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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 3 y$ = $- 3$ .

Bestimme x so, dass (x|1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x - 3 \cdot 1$ = $- 3$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot 1$	=	$- 3$
$2 x - 3$	=	$- 3$	\| $+ 3$
$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 3 y$ = $- 4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|6)
denn -2⋅( - 7 ) -3⋅6 = 14 -18 = $- 4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-10|8)
denn -2⋅( - 10 ) -3⋅8 = 20 -24 = $- 4$

Oder : (-4|4)
denn -2⋅( - 4 ) -3⋅4 = 8 -12 = $- 4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 21 & (I) \\ x & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $- 3$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 3) + 3 y$	=	$21$
$9 + 3 y$	=	$21$
$3 y + 9$	=	$21$	\| $- 9$
$3 y$	=	$12$	\|: $3$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & = & 16 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & = & 16 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$16$	\|: $4$
$x$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 4 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot 4 + y$	=	$- 15$
$- 16 + y$	=	$- 15$
$y - 16$	=	$- 15$	\| $+ 16$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 5 y & = & - 8 & (I) \\ x & - 4 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 5 y & = & - 8 & (I) \\ x & - 4 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$19$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$19 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 5 y & = & - 8 & (I) \\ x & = & (19 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $19 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (19 + 4 y) + 5 y$	=	$- 8$
$76 + 16 y + 5 y$	=	$- 8$
$21 y + 76$	=	$- 8$	\| $- 76$
$21 y$	=	$- 84$	\|: $21$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $19 + 4 \cdot (- 4)$

= $19 - 16$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 3 x$	=	$4 (6 - y)$			(I)
$- x - 6 + y$	=	$- 5 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 3 x$	=	$4 (6 - y)$			(I)
$- x - 6 + y$	=	$- 5 x$			(II)

$- 3 x$	=	$24 - 4 y$	\| + $4 y$		(I)
$- x - 6 + y$	=	$- 5 x$	\| + $6 + 5 x$		(II)

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 24 & (I) \\ 4 x & + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$6$
$y + 4 x$	=	$6$	\| $- 4 x$
$y$	=	$6 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 24 & (I) \\ + y & = & (6 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $6 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 4 \cdot (6 - 4 x)$	=	$24$
$- 3 x + 24 - 16 x$	=	$24$
$- 19 x + 24$	=	$24$	\| $- 24$
$- 19 x$	=	0	\|:( $- 19$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $6 - 4 \cdot (0)$

= $6 + 0$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (0|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -5y = ?

6x -9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

3x -5y = 9 +15 = 24

6x -9y = 18 +27 = 45

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -5y = 24

6x -9y = 45

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 2 & (I) \\ - 12 x & + 16 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 2 & (I) \\ - 12 x & + 16 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 4 y$	=	$2$
$- 4 y + 3 x$	=	$2$	\| $- 3 x$
$- 4 y$	=	$2 - 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 12 x & + 16 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 12 x + 16 \cdot (- \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x)$	=	$- 8$
$- 12 x - 8 + 12 x$	=	$- 8$
$- 8$	=	$- 8$	\| $+ 8$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 510 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 210 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 510 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 210 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 2 y$	=	$510$
$- 2 y + 4 x$	=	$510$	\| $- 4 x$
$- 2 y$	=	$510 - 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 255 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 255 + 2 x) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 210 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 255 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot (- 255 + 2 x)$	=	$210$
$2 x + 510 - 4 x$	=	$210$
$- 2 x + 510$	=	$210$	\| $- 510$
$- 2 x$	=	$- 300$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 255 + 2 \cdot 150$

= $- 255 + 300$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (150|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|2) und B(3|14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(3|14): 14 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
14 = 9 +3b +c |-9

1 = 1b +c
5 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ 3 b & + c & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$5$
$c + 3 b$	=	$5$	\| $- 3 b$
$c$	=	$5 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (5 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $5 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (5 - 3 b)$	=	$1$
$b + 5 - 3 b$	=	$1$
$- 2 b + 5$	=	$1$	\| $- 5$
$- 2 b$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $5 - 3 \cdot 2$

= $5 - 6$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|5) und B(-2|10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|5): 5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|10): 10 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 -1b +c |-1
10 = 4 -2b +c |-4

4 = -1b +c
6 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$6$
$c - 2 b$	=	$6$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$6 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (6 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (6 + 2 b)$	=	$4$
$- b + 6 + 2 b$	=	$4$
$b + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6 + 2 \cdot (- 2)$

= $6 - 4$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 2$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 2$

= ${(x - 1)}^{2} + 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 2$ = $1 - 2 + 2$ = 1

also: S(1|1).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg