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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 2 y$ = $4$ .

Bestimme x so, dass (x|-6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x - 2 \cdot (- 6)$ = $4$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot (- 6)$	=	$4$
$2 x + 12$	=	$4$	\| $- 12$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (-4|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + y$ = $22$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|2)
denn 5⋅4 +1⋅2 = 20 +2 = $22$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|-3)
denn 5⋅5 +1⋅( - 3 ) = 25 -3 = $22$

Oder : (3|7)
denn 5⋅3 +1⋅7 = 15 +7 = $22$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 19 & (I) \\ - 4 x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 19 & (I) \\ - 4 x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 19 & (I) \\ x & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot 1 + 4 y$	=	$19$
$- 1 + 4 y$	=	$19$
$4 y - 1$	=	$19$	\| $+ 1$
$4 y$	=	$20$	\|: $4$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 20 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 35 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 20 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 35 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$- 20$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$- 20 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 20 + 3 y) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 35 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 20 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 20 + 3 y) - 3 y$	=	$- 35$
$- 80 + 12 y - 3 y$	=	$- 35$
$9 y - 80$	=	$- 35$	\| $+ 80$
$9 y$	=	$45$	\|: $9$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 20 + 3 \cdot 5$

= $- 20 + 15$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 5 y & = & - 5 & (I) \\ - 5 x & + 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & - 5 y & = & - 5 & (I) \\ - 5 x & + 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 5 y$	=	$- 5$
$- 5 y + 5 x$	=	$- 5$	\| $- 5 x$
$- 5 y$	=	$- 5 - 5 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$1 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 + x) & (I) \\ - 5 x & + 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 4 \cdot (1 + x)$	=	$- 1$
$- 5 x + 4 + 4 x$	=	$- 1$
$- x + 4$	=	$- 1$	\| $- 4$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1 + 5$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (5|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{2}{3} x & - \frac{2}{3} y & = & 4 & (I) \\ - \frac{3}{5} x & - y & = & - \frac{2}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{2}{3} x & - \frac{2}{3} y & = & 4 & (I) \\ - \frac{3}{5} x & - y & = & - \frac{2}{5} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{3}{5} x - y$	=	$- \frac{2}{5}$
$- y - \frac{3}{5} x$	=	$- \frac{2}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- y - \frac{3}{5} x)$	=	$- 2$
$- 5 y - 3 x$	=	$- 2$	\| $+ 3 x$
$- 5 y$	=	$- 2 + 3 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$\frac{2}{5} - \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{2}{3} x & - \frac{2}{3} y & = & 4 & (I) \\ + y & = & (\frac{2}{5} - \frac{3}{5} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $\frac{2}{5} - \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot (\frac{2}{5} - \frac{3}{5} x)$	=	$4$
$\frac{2}{3} x - \frac{4}{15} + \frac{2}{5} x$	=	$4$
$\frac{16}{15} x - \frac{4}{15}$	=	$4$	\|⋅ 15
$15 (\frac{16}{15} x - \frac{4}{15})$	=	$60$
$16 x - 4$	=	$60$	\| $+ 4$
$16 x$	=	$64$	\|: $16$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $\frac{2}{5} - \frac{3}{5} \cdot 4$

= $\frac{2}{5} - \frac{12}{5}$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -4y = ?

-2x +10y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

1x -4y = 5 +8 = 13

-2x +10y = -10 -20 = -30

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -4y = 13

-2x +10y = -30

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ - 5 x & + y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ - 5 x & + y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x + y$	=	$16$
$y - 5 x$	=	$16$	\| $+ 5 x$
$y$	=	$16 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ + y & = & (16 + 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $16 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 3 \cdot (16 + 5 x)$	=	$12$
$- 5 x - 48 - 15 x$	=	$12$
$- 20 x - 48$	=	$12$	\| $+ 48$
$- 20 x$	=	$60$	\|:( $- 20$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $16 + 5 \cdot (- 3)$

= $16 - 15$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 330 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 600 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 330 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 600 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 4 y$	=	$330$
$- 4 y + 3 x$	=	$330$	\| $- 3 x$
$- 4 y$	=	$330 - 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{165}{2} + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{165}{2} + \frac{3}{4} x) & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 600 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{165}{2} + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 5 \cdot (- \frac{165}{2} + \frac{3}{4} x)$	=	$600$
$5 x + \frac{825}{2} - \frac{15}{4} x$	=	$600$
$\frac{5}{4} x + \frac{825}{2}$	=	$600$	\|⋅ 4
$4 (\frac{5}{4} x + \frac{825}{2})$	=	$2 400$
$5 x + 1 650$	=	$2 400$	\| $- 1 650$
$5 x$	=	$750$	\|: $5$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{165}{2} + \frac{3}{4} \cdot 150$

= $- \frac{165}{2} + \frac{225}{2}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (150|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-2) und B(-4|1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|1): 1 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 -1b +c |-1
1 = 16 -4b +c |-16

-3 = -1b +c
-15 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 15$
$c - 4 b$	=	$- 15$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 15 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 15 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 15 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 15 + 4 b)$	=	$- 3$
$- b - 15 + 4 b$	=	$- 3$
$3 b - 15$	=	$- 3$	\| $+ 15$
$3 b$	=	$12$	\|: $3$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 15 + 4 \cdot 4$

= $- 15 + 16$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|9) und B(2|-6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-6): -6 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 -1b +c |-1
-6 = 4 +2b +c |-4

8 = -1b +c
-10 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 10$
$c + 2 b$	=	$- 10$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 10 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (- 10 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 10 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 10 - 2 b)$	=	$8$
$- b - 10 - 2 b$	=	$8$
$- 3 b - 10$	=	$8$	\| $+ 10$
$- 3 b$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 10 - 2 \cdot (- 6)$

= $- 10 + 12$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 2$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 + 2$

= ${(x - 3)}^{2} - 7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 + 2$ = $9 - 18 + 2$ = -7

also: S(3|-7).

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1. Weg

2. Weg