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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + y$ = $2$ .

Bestimme y so, dass (2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$3 \cdot 2 + y$ = $2$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3 \cdot 2 + y$	=	$2$
$6 + y$	=	$2$
$y + 6$	=	$2$	\| $- 6$
$y$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (2|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + y$ = $8$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|2)
denn -2⋅( - 3 ) +1⋅2 = 6 +2 = $8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|4)
denn -2⋅( - 2 ) +1⋅4 = 4 +4 = $8$

Oder : (-4|0)
denn -2⋅( - 4 ) +1⋅0 = 8 +0 = $8$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 y & = & 16 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 y & = & 16 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 4 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (- 4)$	=	$21$
$3 x + 12$	=	$21$	\| $- 12$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 2 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 2 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 10$
$y + 4 x$	=	$- 10$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 10 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 2 & (I) \\ + y & = & (- 10 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 10 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 1 \cdot (- 10 - 4 x)$	=	$- 2$
$- 4 x - 10 - 4 x$	=	$- 2$
$- 8 x - 10$	=	$- 2$	\| $+ 10$
$- 8 x$	=	$8$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 10 - 4 \cdot (- 1)$

= $- 10 + 4$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 20 & (I) \\ x & + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 20 & (I) \\ x & + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x + y$	=	$6$
$y + x$	=	$6$	\| $- x$
$y$	=	$6 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 20 & (I) \\ + y & = & (6 - x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $6 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (6 - x)$	=	$- 20$
$- 3 x - 24 + 4 x$	=	$- 20$
$x - 24$	=	$- 20$	\| $+ 24$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $6 - 4$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- x - 28$	=	$2 x - 3 - 5 y$			(I)
$- 22 + y$	=	$4 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- x - 28$	=	$2 x - 3 - 5 y$	\| + $28 - 2 x + 5 y$		(I)
$- 22 + y$	=	$4 x$	\| + $22 - 4 x$		(II)

\begin{matrix} - 3 x & + 5 y & = & 25 & (I) \\ - 4 x & + y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$22$
$y - 4 x$	=	$22$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$22 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 5 y & = & 25 & (I) \\ + y & = & (22 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $22 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 5 \cdot (22 + 4 x)$	=	$25$
$- 3 x + 110 + 20 x$	=	$25$
$17 x + 110$	=	$25$	\| $- 110$
$17 x$	=	$- 85$	\|: $17$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $22 + 4 \cdot (- 5)$

= $22 - 20$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -3y = ?

1x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-2x -3y = 2 -3 = -1

1x +3y = -1 +3 = 2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -3y = -1

1x +3y = 2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 1 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 1 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 3 y$	=	$1$
$3 y - 2 x$	=	$1$	\| $+ 2 x$
$3 y$	=	$1 + 2 x$	\|: $3$
$y$	=	$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{3} + \frac{2}{3} x) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (\frac{1}{3} + \frac{2}{3} x)$	=	$14$
$2 x + \frac{2}{3} + \frac{4}{3} x$	=	$14$
$\frac{10}{3} x + \frac{2}{3}$	=	$14$	\|⋅ 3
$3 (\frac{10}{3} x + \frac{2}{3})$	=	$42$
$10 x + 2$	=	$42$	\| $- 2$
$10 x$	=	$40$	\|: $10$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4$

= $\frac{1}{3} + \frac{8}{3}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 24. Wenn man aber vom 3-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -12. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 24 & (I) \\ 3 x & - 6 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$24$	\| $- 5 y$
$x$	=	$24 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (24 - 5 y) & (I) \\ 3 x & - 6 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $24 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (24 - 5 y) - 6 y$	=	$- 12$
$72 - 15 y - 6 y$	=	$- 12$
$- 21 y + 72$	=	$- 12$	\| $- 72$
$- 21 y$	=	$- 84$	\|:( $- 21$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $24 - 5 \cdot 4$

= $24 - 20$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 4

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-7) und B(-4|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-7): -7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-4): -4 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 -1b +c |-1
-4 = 16 -4b +c |-16

-8 = -1b +c
-20 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 20$
$c - 4 b$	=	$- 20$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 20 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ + c & = & (- 20 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 20 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 20 + 4 b)$	=	$- 8$
$- b - 20 + 4 b$	=	$- 8$
$3 b - 20$	=	$- 8$	\| $+ 20$
$3 b$	=	$12$	\|: $3$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 20 + 4 \cdot 4$

= $- 20 + 16$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-4)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|0) und B(4|9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(4|9): 9 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
9 = 16 +4b +c |-16

-1 = 1b +c
-7 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 7$
$c + 4 b$	=	$- 7$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 7 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (- 7 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 7 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 7 - 4 b)$	=	$- 1$
$b - 7 - 4 b$	=	$- 1$
$- 3 b - 7$	=	$- 1$	\| $+ 7$
$- 3 b$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 7 - 4 \cdot (- 2)$

= $- 7 + 8$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 1$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 1$

= ${(x - 1)}^{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 1$ = $1 - 2 + 1$ = 0

also: S(1|0).

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg