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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 4 y$ = $- 14$ .

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$(- 2) - 4 y$ = $- 14$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$(- 2) - 4 y$	=	$- 14$
$- 2 - 4 y$	=	$- 14$
$- 4 y - 2$	=	$- 14$	\| $+ 2$
$- 4 y$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (-2|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 2 y$ = $- 2$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-6)
denn -5⋅( - 2 ) +2⋅( - 6 ) = 10 -12 = $- 2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|-1)
denn -5⋅0 +2⋅( - 1 ) = 0 -2 = $- 2$

Oder : (-4|-11)
denn -5⋅( - 4 ) +2⋅( - 11 ) = 20 -22 = $- 2$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & = & 6 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & = & 6 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 3 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot 3 + 4 y$	=	$4$
$- 12 + 4 y$	=	$4$
$4 y - 12$	=	$4$	\| $+ 12$
$4 y$	=	$16$	\|: $4$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & 22 & (I) \\ 3 x & + y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & 22 & (I) \\ 3 x & + y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$- 13$
$y + 3 x$	=	$- 13$	\| $- 3 x$
$y$	=	$- 13 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & 22 & (I) \\ + y & = & (- 13 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 13 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 2 \cdot (- 13 - 3 x)$	=	$22$
$- 2 x - 26 - 6 x$	=	$22$
$- 8 x - 26$	=	$22$	\| $+ 26$
$- 8 x$	=	$48$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 13 - 3 \cdot (- 6)$

= $- 13 + 18$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 8 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 50 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 8 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 50 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 4 y$	=	$- 8$
$4 y + 2 x$	=	$- 8$	\| $- 2 x$
$4 y$	=	$- 8 - 2 x$	\|: $4$
$y$	=	$- 2 - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 - \frac{1}{2} x) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 50 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 4 \cdot (- 2 - \frac{1}{2} x)$	=	$50$
$5 x + 8 + 2 x$	=	$50$
$7 x + 8$	=	$50$	\| $- 8$
$7 x$	=	$42$	\|: $7$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 - \frac{1}{2} \cdot 6$

= $- 2 - 3$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3 (x - y)$	=	$- 9 - y$			(I)
$3 (3 + y)$	=	$- 3 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3 (x - y)$	=	$- 9 - y$			(I)
$3 (3 + y)$	=	$- 3 x$			(II)

$3 x - 3 y$	=	$- 9 - y$	\| + $y$		(I)
$9 + 3 y$	=	$- 3 x$	\| $- 9 + 3 x$		(II)

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & - 9 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 2 y$	=	$- 9$
$- 2 y + 3 x$	=	$- 9$	\| $- 3 x$
$- 2 y$	=	$- 9 - 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$\frac{9}{2} + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{9}{2} + \frac{3}{2} x) & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{9}{2} + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 3 \cdot (\frac{9}{2} + \frac{3}{2} x)$	=	$- 9$
$3 x + \frac{27}{2} + \frac{9}{2} x$	=	$- 9$
$\frac{15}{2} x + \frac{27}{2}$	=	$- 9$	\|⋅ 2
$2 (\frac{15}{2} x + \frac{27}{2})$	=	$- 18$
$15 x + 27$	=	$- 18$	\| $- 27$
$15 x$	=	$- 45$	\|: $15$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{9}{2} + \frac{3}{2} \cdot (- 3)$

= $\frac{9}{2} - \frac{9}{2}$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +4y = ?

6x +11y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

2x +4y = 10 -16 = -6

6x +11y = 30 -44 = -14

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +4y = -6

6x +11y = -14

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 8 x & - 6 y & = & - 2 & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 8 x & - 6 y & = & - 2 & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x - 6 y$	=	$- 2$
$- 6 y + 8 x$	=	$- 2$	\| $- 8 x$
$- 6 y$	=	$- 2 - 8 x$	\|:( $- 6$ )
$y$	=	$\frac{1}{3} + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{3} + \frac{4}{3} x) & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{3} + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 3 \cdot (\frac{1}{3} + \frac{4}{3} x)$	=	$1$
$- 4 x + 1 + 4 x$	=	$1$
$1$	=	$1$	\| $- 1$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 14. Wenn man aber vom 4-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 4. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 6 y & = & 14 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 6 y$	=	$14$	\| $- 6 y$
$x$	=	$14 - 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (14 - 6 y) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $14 - 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (14 - 6 y) - 2 y$	=	$4$
$56 - 24 y - 2 y$	=	$4$
$- 26 y + 56$	=	$4$	\| $- 56$
$- 26 y$	=	$- 52$	\|:( $- 26$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $14 - 6 \cdot 2$

= $14 - 12$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|12) und B(-3|40) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|12): 12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|40): 40 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 -1b +c |-1
40 = 9 -3b +c |-9

11 = -1b +c
31 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 11 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 31 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$31$
$c - 3 b$	=	$31$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$31 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 11 & (I) \\ + c & = & (31 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $31 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (31 + 3 b)$	=	$11$
$- b + 31 + 3 b$	=	$11$
$2 b + 31$	=	$11$	\| $- 31$
$2 b$	=	$- 20$	\|: $2$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $31 + 3 \cdot (- 10)$

= $31 - 30$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|1)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-10) und B(-2|17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-10): -10 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|17): 17 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 +1b +c |-1
17 = 4 -2b +c |-4

-11 = 1b +c
13 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$13$
$c - 2 b$	=	$13$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$13 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (13 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (13 + 2 b)$	=	$- 11$
$b + 13 + 2 b$	=	$- 11$
$3 b + 13$	=	$- 11$	\| $- 13$
$3 b$	=	$- 24$	\|: $3$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13 + 2 \cdot (- 8)$

= $13 - 16$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-3)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 3$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 3$

= ${(x - 4)}^{2} - 19$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-19).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 3$ = $16 - 32 - 3$ = -19

also: S(4|-19).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg