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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 4 y$ = $- 6$ .

Bestimme y so, dass (6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$- 6 + 4 y$ = $- 6$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 6 + 4 y$	=	$- 6$
$- 6 + 4 y$	=	$- 6$
$4 y - 6$	=	$- 6$	\| $+ 6$
$4 y$	=	0	\|: $4$
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (6|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 5 y$ = $15$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|3)
denn -1⋅0 +5⋅3 = 0 +15 = $15$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|4)
denn -1⋅5 +5⋅4 = -5 +20 = $15$

Oder : (-5|2)
denn -1⋅( - 5 ) +5⋅2 = 5 +10 = $15$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & 30 & (I) \\ - 2 x & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & 30 & (I) \\ - 2 x & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & 30 & (I) \\ x & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 6) + 2 y$	=	$30$
$24 + 2 y$	=	$30$
$2 y + 24$	=	$30$	\| $- 24$
$2 y$	=	$6$	\|: $2$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 20 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 20 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$14$
$y - 2 x$	=	$14$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$14 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 20 & (I) \\ + y & = & (14 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $14 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 1 \cdot (14 + 2 x)$	=	$20$
$- 3 x + 14 + 2 x$	=	$20$
$- x + 14$	=	$20$	\| $- 14$
$- x$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $14 + 2 \cdot (- 6)$

= $14 - 12$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & + 5 y & = & 0 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & + 5 y & = & 0 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	$- 6$
$- y - 2 x$	=	$- 6$	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$- 6 + 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$6 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & + 5 y & = & 0 & (I) \\ + y & = & (6 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $6 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 5 \cdot (6 - 2 x)$	=	0
$- 5 x + 30 - 10 x$	=	0
$- 15 x + 30$	=	0	\| $- 30$
$- 15 x$	=	$- 30$	\|:( $- 15$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $6 - 2 \cdot 2$

= $6 - 4$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2 (2 x + 9) - 5 y$	=	$6 x$			(I)
$- 11 + 4 y$	=	$- 5 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2 (2 x + 9) - 5 y$	=	$6 x$			(I)
$- 11 + 4 y$	=	$- 5 x$			(II)

$4 x + 18 - 5 y$	=	$6 x$	\| $- 18 - 6 x$		(I)
$- 11 + 4 y$	=	$- 5 x$	\| + $11 + 5 x$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & - 5 y & = & - 18 & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 5 y$	=	$- 18$
$- 5 y - 2 x$	=	$- 18$	\| $+ 2 x$
$- 5 y$	=	$- 18 + 2 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$\frac{18}{5} - \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{18}{5} - \frac{2}{5} x) & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{18}{5} - \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 4 \cdot (\frac{18}{5} - \frac{2}{5} x)$	=	$11$
$5 x + \frac{72}{5} - \frac{8}{5} x$	=	$11$
$\frac{17}{5} x + \frac{72}{5}$	=	$11$	\|⋅ 5
$5 (\frac{17}{5} x + \frac{72}{5})$	=	$55$
$17 x + 72$	=	$55$	\| $- 72$
$17 x$	=	$- 17$	\|: $17$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{18}{5} - \frac{2}{5} \cdot (- 1)$

= $\frac{18}{5} + \frac{2}{5}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +4y = ?

2x -10y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-1x +4y = 2 -4 = -2

2x -10y = -4 +10 = 6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +4y = -2

2x -10y = 6

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & 9 & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & 25 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - y & = & 9 & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x - y$	=	$9$
$- y + 3 x$	=	$9$	\| $- 3 x$
$- y$	=	$9 - 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 9 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 9 + 3 x) & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & 25 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 9 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 5 \cdot (- 9 + 3 x)$	=	$25$
$- 5 x + 45 - 15 x$	=	$25$
$- 20 x + 45$	=	$25$	\| $- 45$
$- 20 x$	=	$- 20$	\|:( $- 20$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 9 + 3 \cdot 1$

= $- 9 + 3$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 450 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 480 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & 450 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & 480 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 5 y$	=	$450$
$- 5 y + 2 x$	=	$450$	\| $- 2 x$
$- 5 y$	=	$450 - 2 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 90 + \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 90 + \frac{2}{5} x) & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & 480 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 90 + \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 4 \cdot (- 90 + \frac{2}{5} x)$	=	$480$
$2 x + 360 - \frac{8}{5} x$	=	$480$
$\frac{2}{5} x + 360$	=	$480$	\|⋅ 5
$5 (\frac{2}{5} x + 360)$	=	$2 400$
$2 x + 1 800$	=	$2 400$	\| $- 1 800$
$2 x$	=	$600$	\|: $2$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 90 + \frac{2}{5} \cdot 300$

= $- 90 + 120$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|13) und B(1|-3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|13): 13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 -1b +c |-1
-3 = 1 +1b +c |-1

12 = -1b +c
-4 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ b & + c & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 4$
$c + b$	=	$- 4$	\| $- b$
$c$	=	$- 4 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ + c & = & (- 4 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 4 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 4 - b)$	=	$12$
$- b - 4 - b$	=	$12$
$- 2 b - 4$	=	$12$	\| $+ 4$
$- 2 b$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 4 - (- 8)$

= $- 4 + 8$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|4)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(-4|46) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|46): 46 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
46 = 16 -4b +c |-16

6 = -1b +c
30 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 30 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$30$
$c - 4 b$	=	$30$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$30 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (30 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $30 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (30 + 4 b)$	=	$6$
$- b + 30 + 4 b$	=	$6$
$3 b + 30$	=	$6$	\| $- 30$
$3 b$	=	$- 24$	\|: $3$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $30 + 4 \cdot (- 8)$

= $30 - 32$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 18$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-18).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 2$ = $16 - 32 - 2$ = -18

also: S(4|-18).

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1. Weg

2. Weg