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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 3 y$ = $- 7$ .

Bestimme x so, dass (x|-7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x - 3 \cdot (- 7)$ = $- 7$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot (- 7)$	=	$- 7$
$4 x + 21$	=	$- 7$	\| $- 21$
$4 x$	=	$- 28$	\|: $4$
$x$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (-7|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 3 y$ = $29$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|-5)
denn 2⋅7 -3⋅( - 5 ) = 14 +15 = $29$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-7)
denn 2⋅4 -3⋅( - 7 ) = 8 +21 = $29$

Oder : (10|-3)
denn 2⋅10 -3⋅( - 3 ) = 20 +9 = $29$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 y & = & 8 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 y & = & 8 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 2 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 1 \cdot (- 2)$	=	$- 14$
$2 x - 2$	=	$- 14$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$- 12$	\|: $2$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 27 & (I) \\ x & + 2 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 27 & (I) \\ x & + 2 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$13$	\| $- 2 y$
$x$	=	$13 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 27 & (I) \\ x & = & (13 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $13 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (13 - 2 y) + 4 y$	=	$27$
$39 - 6 y + 4 y$	=	$27$
$- 2 y + 39$	=	$27$	\| $- 39$
$- 2 y$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $13 - 2 \cdot 6$

= $13 - 12$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - y & = & 10 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - y & = & 10 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x - y$	=	$10$
$- y + x$	=	$10$	\| $- x$
$- y$	=	$10 - x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 10 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 10 + x) & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 10 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot (- 10 + x)$	=	$- 10$
$- 3 x + 20 - 2 x$	=	$- 10$
$- 5 x + 20$	=	$- 10$	\| $- 20$
$- 5 x$	=	$- 30$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 10 + 6$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{4} x & - \frac{1}{5} y & = & - \frac{3}{4} & (I) \\ - \frac{1}{3} x & - \frac{1}{3} y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{4} x & - \frac{1}{5} y & = & - \frac{3}{4} & (I) \\ - \frac{1}{3} x & - \frac{1}{3} y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{4} x - \frac{1}{5} y$	=	$- \frac{3}{4}$
$- \frac{1}{5} y + \frac{1}{4} x$	=	$- \frac{3}{4}$	\|⋅ 20
$20 (- \frac{1}{5} y + \frac{1}{4} x)$	=	$- 15$
$- 4 y + 5 x$	=	$- 15$	\| $- 5 x$
$- 4 y$	=	$- 15 - 5 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$\frac{15}{4} + \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{15}{4} + \frac{5}{4} x) & (I) \\ - \frac{1}{3} x & - \frac{1}{3} y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{15}{4} + \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{3} x - \frac{1}{3} \cdot (\frac{15}{4} + \frac{5}{4} x)$	=	$- 2$
$- \frac{1}{3} x - \frac{5}{4} - \frac{5}{12} x$	=	$- 2$
$- \frac{3}{4} x - \frac{5}{4}$	=	$- 2$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{3}{4} x - \frac{5}{4})$	=	$- 8$
$- 3 x - 5$	=	$- 8$	\| $+ 5$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{15}{4} + \frac{5}{4} \cdot 1$

= $\frac{15}{4} + \frac{5}{4}$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +4y = ?

-5x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-3x +4y = 9 -20 = -11

-5x +5y = 15 -25 = -10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +4y = -11

-5x +5y = -10

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & - 16 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & - 16 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	$- 1$
$- y - 2 x$	=	$- 1$	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$- 1 + 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$1 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & - 16 & (I) \\ + y & = & (1 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot (1 - 2 x)$	=	$- 16$
$4 x - 4 + 8 x$	=	$- 16$
$12 x - 4$	=	$- 16$	\| $+ 4$
$12 x$	=	$- 12$	\|: $12$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $1 - 2 \cdot (- 1)$

= $1 + 2$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 17. Wenn man aber vom 3-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -1. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 17 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$17$	\| $- 3 y$
$x$	=	$17 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (17 - 3 y) & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $17 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (17 - 3 y) - 4 y$	=	$- 1$
$51 - 9 y - 4 y$	=	$- 1$
$- 13 y + 51$	=	$- 1$	\| $- 51$
$- 13 y$	=	$- 52$	\|:( $- 13$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $17 - 3 \cdot 4$

= $17 - 12$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 4

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|6) und B(2|-9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|6): 6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-9): -9 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 -1b +c |-1
-9 = 4 +2b +c |-4

5 = -1b +c
-13 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 13$
$c + 2 b$	=	$- 13$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 13 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (- 13 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 13 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 13 - 2 b)$	=	$5$
$- b - 13 - 2 b$	=	$5$
$- 3 b - 13$	=	$5$	\| $+ 13$
$- 3 b$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 13 - 2 \cdot (- 6)$

= $- 13 + 12$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-1)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|0) und B(2|-9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-9): -9 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
-9 = 4 +2b +c |-4

-1 = -1b +c
-13 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 13$
$c + 2 b$	=	$- 13$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 13 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (- 13 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 13 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 13 - 2 b)$	=	$- 1$
$- b - 13 - 2 b$	=	$- 1$
$- 3 b - 13$	=	$- 1$	\| $+ 13$
$- 3 b$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 13 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 13 + 8$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 - 5$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 - 5$

= ${(x - 2)}^{2} - 9$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-9).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 - 5$ = $4 - 8 - 5$ = -9

also: S(2|-9).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS zu Lösungen finden

LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg