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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 2 y$ = $14$ .

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot (- 2) + 2 y$ = $14$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 2) + 2 y$	=	$14$
$6 + 2 y$	=	$14$
$2 y + 6$	=	$14$	\| $- 6$
$2 y$	=	$8$	\|: $2$
$y$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (-2|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 4 y$ = $20$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|6)
denn 1⋅( - 4 ) +4⋅6 = -4 +24 = $20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|5)
denn 1⋅0 +4⋅5 = 0 +20 = $20$

Oder : (-8|7)
denn 1⋅( - 8 ) +4⋅7 = -8 +28 = $20$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 y & = & 4 & (I) \\ 3 x & + y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 y & = & 4 & (I) \\ 3 x & + y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 1 & (I) \\ 3 x & + y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 1 \cdot (- 1)$	=	$8$
$3 x - 1$	=	$8$	\| $+ 1$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 32 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 32 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$- 14$
$y + 2 x$	=	$- 14$	\| $- 2 x$
$y$	=	$- 14 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 32 & (I) \\ + y & = & (- 14 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 14 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 4 \cdot (- 14 - 2 x)$	=	$32$
$- 2 x + 56 + 8 x$	=	$32$
$6 x + 56$	=	$32$	\| $- 56$
$6 x$	=	$- 24$	\|: $6$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 14 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 14 + 8$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & - 14 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & - 14 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	$8$
$- y - 2 x$	=	$8$	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$8 + 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 8 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & - 14 & (I) \\ + y & = & (- 8 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 8 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 3 \cdot (- 8 - 2 x)$	=	$- 14$
$x - 24 - 6 x$	=	$- 14$
$- 5 x - 24$	=	$- 14$	\| $+ 24$
$- 5 x$	=	$10$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 8 - 2 \cdot (- 2)$

= $- 8 + 4$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 5 x$	=	$5 y$			(I)
$x + 2 (1 - 2 y)$	=	$4 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 5 x$	=	$5 y$			(I)
$x + 2 (1 - 2 y)$	=	$4 x$			(II)

$- 5 x$	=	$5 y$	\| $- 5 y$		(I)
$x + 2 - 4 y$	=	$4 x$	\| $- 2 - 4 x$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & 0 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 5 y$	=	0
$- 5 y - 5 x$	=	0	\| $+ 5 x$
$- 5 y$	=	$5 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - x & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (- x)$	=	$- 2$
$- 3 x + 4 x$	=	$- 2$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- (- 2)$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -5y = ?

2x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

3x -5y = 15 -20 = -5

2x -4y = 10 -16 = -6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -5y = -5

2x -4y = -6

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & - y & = & - 18 & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - y & = & - 18 & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x - y$	=	$- 18$
$- y + 4 x$	=	$- 18$	\| $- 4 x$
$- y$	=	$- 18 - 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$18 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (18 + 4 x) & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $18 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 5 \cdot (18 + 4 x)$	=	$12$
$3 x - 90 - 20 x$	=	$12$
$- 17 x - 90$	=	$12$	\| $+ 90$
$- 17 x$	=	$102$	\|:( $- 17$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $18 + 4 \cdot (- 6)$

= $18 - 24$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 5 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1325 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1095 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 5 y & = & 1325 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 1095 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 5 y$	=	$1325$
$- 5 y + 5 x$	=	$1325$	\| $- 5 x$
$- 5 y$	=	$1325 - 5 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 265 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 265 + x) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 1095 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 265 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot (- 265 + x)$	=	$1095$
$4 x + 795 - 3 x$	=	$1095$
$x + 795$	=	$1095$	\| $- 795$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 265 + 300$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (300|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|13) und B(3|37) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|13): 13 = 1² + b⋅1 +c

B(3|37): 37 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 +1b +c |-1
37 = 9 +3b +c |-9

12 = 1b +c
28 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 12 & (I) \\ 3 b & + c & = & 28 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$28$
$c + 3 b$	=	$28$	\| $- 3 b$
$c$	=	$28 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 12 & (I) \\ + c & = & (28 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $28 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (28 - 3 b)$	=	$12$
$b + 28 - 3 b$	=	$12$
$- 2 b + 28$	=	$12$	\| $- 28$
$- 2 b$	=	$- 16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $28 - 3 \cdot 8$

= $28 - 24$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|4)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-8) und B(4|-17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-8): -8 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-17): -17 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 +1b +c |-1
-17 = 16 +4b +c |-16

-9 = 1b +c
-33 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 33 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 33$
$c + 4 b$	=	$- 33$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 33 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ + c & = & (- 33 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 33 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 33 - 4 b)$	=	$- 9$
$b - 33 - 4 b$	=	$- 9$
$- 3 b - 33$	=	$- 9$	\| $+ 33$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 33 - 4 \cdot (- 8)$

= $- 33 + 32$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-1)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 1$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 1$

= ${(x - 4)}^{2} - 17$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-17).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 1$ = $16 - 32 - 1$ = -17

also: S(4|-17).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg