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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 3 y$ = $- 20$ .

Bestimme y so, dass (-7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$5 \cdot (- 7) + 3 y$ = $- 20$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5 \cdot (- 7) + 3 y$	=	$- 20$
$- 35 + 3 y$	=	$- 20$
$3 y - 35$	=	$- 20$	\| $+ 35$
$3 y$	=	$15$	\|: $3$
$y$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (-7|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 4 y$ = $- 16$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-4)
denn -5⋅0 +4⋅( - 4 ) = 0 -16 = $- 16$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|1)
denn -5⋅4 +4⋅1 = -20 +4 = $- 16$

Oder : (-4|-9)
denn -5⋅( - 4 ) +4⋅( - 9 ) = 20 -36 = $- 16$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 10 & (I) \\ - 4 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 10 & (I) \\ - 4 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 10 & (I) \\ + y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 3 \cdot 3$	=	$10$
$x + 9$	=	$10$	\| $- 9$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 8 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 8 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$- 7$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$- 7 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 8 & (I) \\ x & = & (- 7 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 7 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 7 + 4 y) + y$	=	$- 8$
$- 21 + 12 y + y$	=	$- 8$
$13 y - 21$	=	$- 8$	\| $+ 21$
$13 y$	=	$13$	\|: $13$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 7 + 4 \cdot 1$

= $- 7 + 4$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & 5 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & 5 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	$- 1$
$- y - 2 x$	=	$- 1$	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$- 1 + 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$1 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & 5 & (I) \\ + y & = & (1 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 5 \cdot (1 - 2 x)$	=	$5$
$2 x + 5 - 10 x$	=	$5$
$- 8 x + 5$	=	$5$	\| $- 5$
$- 8 x$	=	0	\|:( $- 8$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $1 - 2 \cdot (0)$

= $1 + 0$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (0|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{2}{5} x & - \frac{2}{3} y & = & - \frac{16}{5} & (I) \\ 3 x & + \frac{3}{5} y & = & - \frac{36}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{2}{5} x & - \frac{2}{3} y & = & - \frac{16}{5} & (I) \\ 3 x & + \frac{3}{5} y & = & - \frac{36}{5} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{2}{5} x - \frac{2}{3} y$	=	$- \frac{16}{5}$
$- \frac{2}{3} y + \frac{2}{5} x$	=	$- \frac{16}{5}$	\|⋅ 15
$15 (- \frac{2}{3} y + \frac{2}{5} x)$	=	$- 48$
$- 10 y + 6 x$	=	$- 48$	\| $- 6 x$
$- 10 y$	=	$- 48 - 6 x$	\|:( $- 10$ )
$y$	=	$\frac{24}{5} + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{24}{5} + \frac{3}{5} x) & (I) \\ 3 x & + \frac{3}{5} y & = & - \frac{36}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{24}{5} + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + \frac{3}{5} \cdot (\frac{24}{5} + \frac{3}{5} x)$	=	$- \frac{36}{5}$
$3 x + \frac{72}{25} + \frac{9}{25} x$	=	$- \frac{36}{5}$
$\frac{84}{25} x + \frac{72}{25}$	=	$- \frac{36}{5}$	\|⋅ 25
$25 (\frac{84}{25} x + \frac{72}{25})$	=	$- 180$
$84 x + 72$	=	$- 180$	\| $- 72$
$84 x$	=	$- 252$	\|: $84$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{24}{5} + \frac{3}{5} \cdot (- 3)$

= $\frac{24}{5} - \frac{9}{5}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -4y = ?

-3x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-5x -4y = 5 +20 = 25

-3x +1y = 3 -5 = -2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -4y = 25

-3x +1y = -2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & 15 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & 15 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 5 y$	=	$15$
$- 5 y - 5 x$	=	$15$	\| $+ 5 x$
$- 5 y$	=	$15 + 5 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 3 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 3 - x) & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 3 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 5 \cdot (- 3 - x)$	=	$- 30$
$4 x + 15 + 5 x$	=	$- 30$
$9 x + 15$	=	$- 30$	\| $- 15$
$9 x$	=	$- 45$	\|: $9$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 3 - (- 5)$

= $- 3 + 5$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 31. Wenn man aber vom 6-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -29. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 6 y & = & 31 & (I) \\ 6 x & - 7 y & = & - 29 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 6 y$	=	$31$	\| $- 6 y$
$x$	=	$31 - 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (31 - 6 y) & (I) \\ 6 x & - 7 y & = & - 29 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $31 - 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (31 - 6 y) - 7 y$	=	$- 29$
$186 - 36 y - 7 y$	=	$- 29$
$- 43 y + 186$	=	$- 29$	\| $- 186$
$- 43 y$	=	$- 215$	\|:( $- 43$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $31 - 6 \cdot 5$

= $31 - 30$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-1) und B(3|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-1): -1 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-5): -5 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 +1b +c |-1
-5 = 9 +3b +c |-9

-2 = 1b +c
-14 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 2 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 14$
$c + 3 b$	=	$- 14$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 14 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (- 14 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 14 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 14 - 3 b)$	=	$- 2$
$b - 14 - 3 b$	=	$- 2$
$- 2 b - 14$	=	$- 2$	\| $+ 14$
$- 2 b$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 14 - 3 \cdot (- 6)$

= $- 14 + 18$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-1) und B(3|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-1): -1 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-5): -5 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 +1b +c |-1
-5 = 9 +3b +c |-9

-2 = 1b +c
-14 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 2 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 14$
$c + 3 b$	=	$- 14$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 14 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (- 14 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 14 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 14 - 3 b)$	=	$- 2$
$b - 14 - 3 b$	=	$- 2$
$- 2 b - 14$	=	$- 2$	\| $+ 14$
$- 2 b$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 14 - 3 \cdot (- 6)$

= $- 14 + 18$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 4$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 + 4$

= ${(x - 3)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 + 4$ = $9 - 18 + 4$ = -5

also: S(3|-5).

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Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS zu Lösungen finden

LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg