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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 5 y$ = $- 10$ .

Bestimme y so, dass (2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 \cdot 2 - 5 y$ = $- 10$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 5 \cdot 2 - 5 y$	=	$- 10$
$- 10 - 5 y$	=	$- 10$
$- 5 y - 10$	=	$- 10$	\| $+ 10$
$- 5 y$	=	0	\|:( $- 5$ )
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (2|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 2 y$ = $16$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|-4)
denn 4⋅2 -2⋅( - 4 ) = 8 +8 = $16$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|-8)
denn 4⋅0 -2⋅( - 8 ) = 0 +16 = $16$

Oder : (4|0)
denn 4⋅4 -2⋅0 = 16 +0 = $16$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ 3 x & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ 3 x & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ x & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot 3 - 3 y$	=	$12$
$- 3 - 3 y$	=	$12$
$- 3 y - 3$	=	$12$	\| $+ 3$
$- 3 y$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 36 & (I) \\ 2 x & + y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 36 & (I) \\ 2 x & + y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$14$
$y + 2 x$	=	$14$	\| $- 2 x$
$y$	=	$14 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 36 & (I) \\ + y & = & (14 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $14 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (14 - 2 x)$	=	$- 36$
$- 3 x - 56 + 8 x$	=	$- 36$
$5 x - 56$	=	$- 36$	\| $+ 56$
$5 x$	=	$20$	\|: $5$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $14 - 2 \cdot 4$

= $14 - 8$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (4|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 3 y & = & 33 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + 3 y & = & 33 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 3 y$	=	$33$
$3 y + 5 x$	=	$33$	\| $- 5 x$
$3 y$	=	$33 - 5 x$	\|: $3$
$y$	=	$11 - \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (11 - \frac{5}{3} x) & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $11 - \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 3 \cdot (11 - \frac{5}{3} x)$	=	$- 27$
$- 4 x - 33 + 5 x$	=	$- 27$
$x - 33$	=	$- 27$	\| $+ 33$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $11 - \frac{5}{3} \cdot 6$

= $11 - 10$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

0	=	$- x + 3 - 4 y$			(I)
$- 5 y$	=	$3 x + 5$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

0	=	$- x + 3 - 4 y$	\| + $x + 4 y$		(I)
$- 5 y$	=	$3 x + 5$	\| $- 3 x$		(II)

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 3 & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$3$	\| $- 4 y$
$x$	=	$3 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (3 - 4 y) & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $3 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (3 - 4 y) - 5 y$	=	$5$
$- 9 + 12 y - 5 y$	=	$5$
$7 y - 9$	=	$5$	\| $+ 9$
$7 y$	=	$14$	\|: $7$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $3 - 4 \cdot 2$

= $3 - 8$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -4y = ?

5x -12y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

2x -4y = -8 +4 = -4

5x -12y = -20 +12 = -8

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -4y = -4

5x -12y = -8

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & + y & = & 3 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + y & = & 3 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x + y$	=	$3$
$y - x$	=	$3$	\| $+ x$
$y$	=	$3 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3 + x) & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 2 \cdot (3 + x)$	=	$6$
$- 3 x + 6 + 2 x$	=	$6$
$- x + 6$	=	$6$	\| $- 6$
$- x$	=	0	\|:( $- 1$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3 + 0$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (0|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 5 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 575 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 425 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 5 y & = & 575 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 425 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 5 y$	=	$575$
$- 5 y + 5 x$	=	$575$	\| $- 5 x$
$- 5 y$	=	$575 - 5 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 115 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 115 + x) & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 425 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 115 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 5 \cdot (- 115 + x)$	=	$425$
$4 x + 575 - 5 x$	=	$425$
$- x + 575$	=	$425$	\| $- 575$
$- x$	=	$- 150$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 115 + 150$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(-2|15) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|15): 15 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
15 = 4 -2b +c |-4

7 = -1b +c
11 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$11$
$c - 2 b$	=	$11$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$11 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (11 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (11 + 2 b)$	=	$7$
$- b + 11 + 2 b$	=	$7$
$b + 11$	=	$7$	\| $- 11$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 + 2 \cdot (- 4)$

= $11 - 8$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|0) und B(2|5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(2|5): 5 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
5 = 4 +2b +c |-4

-1 = 1b +c
1 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ 2 b & + c & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$1$
$c + 2 b$	=	$1$	\| $- 2 b$
$c$	=	$1 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (1 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $1 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (1 - 2 b)$	=	$- 1$
$b + 1 - 2 b$	=	$- 1$
$- b + 1$	=	$- 1$	\| $- 1$
$- b$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $1 - 2 \cdot 2$

= $1 - 4$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 3$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 3$

= ${(x + 1)}^{2} - 4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 3$ = $1 - 2 - 3$ = -4

also: S(-1|-4).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg