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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 2 y$ = $- 19$ .

Bestimme y so, dass (7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$- 7 + 2 y$ = $- 19$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 7 + 2 y$	=	$- 19$
$- 7 + 2 y$	=	$- 19$
$2 y - 7$	=	$- 19$	\| $+ 7$
$2 y$	=	$- 12$	\|: $2$
$y$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (7|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 2 y$ = $- 14$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|5)
denn -2⋅2 -2⋅5 = -4 -10 = $- 14$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|7)
denn -2⋅0 -2⋅7 = 0 -14 = $- 14$

Oder : (4|3)
denn -2⋅4 -2⋅3 = -8 -6 = $- 14$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & = & 1 & (I) \\ - 3 x & + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & = & 1 & (I) \\ - 3 x & + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 1 & (I) \\ - 3 x & + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 1) + y$	=	$5$
$3 + y$	=	$5$
$y + 3$	=	$5$	\| $- 3$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 0 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 0 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$- 4$	\| $- 3 y$
$x$	=	$- 4 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 0 & (I) \\ x & = & (- 4 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 4 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 4 - 3 y) - 4 y$	=	0
$- 16 - 12 y - 4 y$	=	0
$- 16 y - 16$	=	0	\| $+ 16$
$- 16 y$	=	$16$	\|:( $- 16$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 4 - 3 \cdot (- 1)$

= $- 4 + 3$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - y & = & 11 & (I) \\ x & + 5 y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - y & = & 11 & (I) \\ x & + 5 y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$- 13$	\| $- 5 y$
$x$	=	$- 13 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - y & = & 11 & (I) \\ x & = & (- 13 - 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 13 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 13 - 5 y) - y$	=	$11$
$- 52 - 20 y - y$	=	$11$
$- 21 y - 52$	=	$11$	\| $+ 52$
$- 21 y$	=	$63$	\|:( $- 21$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 13 - 5 \cdot (- 3)$

= $- 13 + 15$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3 (1 - y)$	=	$- 3 x - 13 - 5 y$			(I)
$- 19$	=	$- 3 x + 5 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3 (1 - y)$	=	$- 3 x - 13 - 5 y$			(I)
$- 19$	=	$- 3 x + 5 y$			(II)

$3 - 3 y$	=	$- 3 x - 13 - 5 y$	\| $- 3 + 3 x + 5 y$		(I)
$- 19$	=	$- 3 x + 5 y$	\| + $19 + 3 x - 5 y$		(II)

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & - 16 & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 2 y$	=	$- 16$
$2 y + 3 x$	=	$- 16$	\| $- 3 x$
$2 y$	=	$- 16 - 3 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 8 - \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 8 - \frac{3}{2} x) & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 8 - \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 5 \cdot (- 8 - \frac{3}{2} x)$	=	$19$
$3 x + 40 + \frac{15}{2} x$	=	$19$
$\frac{21}{2} x + 40$	=	$19$	\|⋅ 2
$2 (\frac{21}{2} x + 40)$	=	$38$
$21 x + 80$	=	$38$	\| $- 80$
$21 x$	=	$- 42$	\|: $21$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 8 - \frac{3}{2} \cdot (- 2)$

= $- 8 + 3$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +2y = ?

-3x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-5x +2y = -20 -4 = -24

-3x -1y = -12 +2 = -10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +2y = -24

-3x -1y = -10

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 12 & (I) \\ - x & - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 12 & (I) \\ - x & - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 2 y$	=	$- 4$	\| $+ 2 y$
$- x$	=	$- 4 + 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 12 & (I) \\ x & = & (4 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $4 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (4 - 2 y) + 3 y$	=	$12$
$12 - 6 y + 3 y$	=	$12$
$- 3 y + 12$	=	$12$	\| $- 12$
$- 3 y$	=	0	\|:( $- 3$ )
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $4 - 2 \cdot (0)$

= $4 + 0$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|0)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 7. Wenn man aber vom 6-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 2. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 7 & (I) \\ 6 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$7$	\| $- 3 y$
$x$	=	$7 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (7 - 3 y) & (I) \\ 6 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (7 - 3 y) - 2 y$	=	$2$
$42 - 18 y - 2 y$	=	$2$
$- 20 y + 42$	=	$2$	\| $- 42$
$- 20 y$	=	$- 40$	\|:( $- 20$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7 - 3 \cdot 2$

= $7 - 6$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(2|29) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|29): 29 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
29 = 4 +2b +c |-4

-5 = -1b +c
25 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$25$
$c + 2 b$	=	$25$	\| $- 2 b$
$c$	=	$25 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (25 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $25 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (25 - 2 b)$	=	$- 5$
$- b + 25 - 2 b$	=	$- 5$
$- 3 b + 25$	=	$- 5$	\| $- 25$
$- 3 b$	=	$- 30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $25 - 2 \cdot 10$

= $25 - 20$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-6) und B(1|10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
10 = 1 +1b +c |-1

-7 = -1b +c
9 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ b & + c & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$9$
$c + b$	=	$9$	\| $- b$
$c$	=	$9 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (9 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $9 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (9 - b)$	=	$- 7$
$- b + 9 - b$	=	$- 7$
$- 2 b + 9$	=	$- 7$	\| $- 9$
$- 2 b$	=	$- 16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $9 - 8$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (8|1)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 + 1$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 + 1$

= ${(x + 4)}^{2} - 15$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-15).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) + 1$ = $16 - 32 + 1$ = -15

also: S(-4|-15).

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1. Weg

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