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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + 3 y$ = $- 27$ .

Bestimme y so, dass (-6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$3 \cdot (- 6) + 3 y$ = $- 27$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3 \cdot (- 6) + 3 y$	=	$- 27$
$- 18 + 3 y$	=	$- 27$
$3 y - 18$	=	$- 27$	\| $+ 18$
$3 y$	=	$- 9$	\|: $3$
$y$	=	$- 3$

Die Lösung ist somit: (-6|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 4 y$ = $- 34$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|-7)
denn -3⋅2 +4⋅( - 7 ) = -6 -28 = $- 34$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|-4)
denn -3⋅6 +4⋅( - 4 ) = -18 -16 = $- 34$

Oder : (-2|-10)
denn -3⋅( - 2 ) +4⋅( - 10 ) = 6 -40 = $- 34$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & = & 10 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & = & 10 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$10$	\|: $2$
$x$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 5 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot 5 + 2 y$	=	$- 2$
$- 10 + 2 y$	=	$- 2$
$2 y - 10$	=	$- 2$	\| $+ 10$
$2 y$	=	$8$	\|: $2$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & - 20 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & - 20 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$- 3$	\| $- 3 y$
$x$	=	$- 3 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & - 20 & (I) \\ x & = & (- 3 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 3 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 3 - 3 y) + 4 y$	=	$- 20$
$12 + 12 y + 4 y$	=	$- 20$
$16 y + 12$	=	$- 20$	\| $- 12$
$16 y$	=	$- 32$	\|: $16$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 3 - 3 \cdot (- 2)$

= $- 3 + 6$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 5 y & = & 29 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 5 y & = & 29 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 5 y$	=	$29$	\| $- 5 y$
$- x$	=	$29 - 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 29 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 29 + 5 y) & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 29 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 29 + 5 y) - 2 y$	=	$- 9$
$- 87 + 15 y - 2 y$	=	$- 9$
$13 y - 87$	=	$- 9$	\| $+ 87$
$13 y$	=	$78$	\|: $13$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 29 + 5 \cdot 6$

= $- 29 + 30$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 7 x + 12$	=	$- 5 x + 4 y$			(I)
$14 + y$	=	$2 (x + 3 y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 7 x + 12$	=	$- 5 x + 4 y$			(I)
$14 + y$	=	$2 (x + 3 y)$			(II)

$- 7 x + 12$	=	$- 5 x + 4 y$	\| $- 12 + 5 x - 4 y$		(I)
$14 + y$	=	$2 x + 6 y$	\| $- 14 - 2 x - 6 y$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & - 12 & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 4 y$	=	$- 12$
$- 4 y - 2 x$	=	$- 12$	\| $+ 2 x$
$- 4 y$	=	$- 12 + 2 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$3 - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3 - \frac{1}{2} x) & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3 - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 5 \cdot (3 - \frac{1}{2} x)$	=	$- 14$
$- 2 x - 15 + \frac{5}{2} x$	=	$- 14$
$\frac{1}{2} x - 15$	=	$- 14$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x - 15)$	=	$- 28$
$x - 30$	=	$- 28$	\| $+ 30$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3 - \frac{1}{2} \cdot 2$

= $3 - 1$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -5y = ?

-6x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-5x -5y = -10 -25 = -35

-6x -4y = -12 -20 = -32

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -5y = -35

-6x -4y = -32

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 1 & (I) \\ - 4 x & - 16 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 1 & (I) \\ - 4 x & - 16 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$1$	\| $- 4 y$
$x$	=	$1 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (1 - 4 y) & (I) \\ - 4 x & - 16 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $1 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (1 - 4 y) - 16 y$	=	$- 1$
$- 4 + 16 y - 16 y$	=	$- 1$
$- 4$	=	$- 1$	\| $+ 4$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 9. Wenn man aber vom 2-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 2. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 9 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$9$	\| $- 3 y$
$x$	=	$9 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (9 - 3 y) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $9 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (9 - 3 y) - 2 y$	=	$2$
$18 - 6 y - 2 y$	=	$2$
$- 8 y + 18$	=	$2$	\| $- 18$
$- 8 y$	=	$- 16$	\|:( $- 8$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $9 - 3 \cdot 2$

= $9 - 6$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-8) und B(-2|25) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-8): -8 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|25): 25 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 +1b +c |-1
25 = 4 -2b +c |-4

-9 = 1b +c
21 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$21$
$c - 2 b$	=	$21$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$21 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ + c & = & (21 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $21 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (21 + 2 b)$	=	$- 9$
$b + 21 + 2 b$	=	$- 9$
$3 b + 21$	=	$- 9$	\| $- 21$
$3 b$	=	$- 30$	\|: $3$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $21 + 2 \cdot (- 10)$

= $21 - 20$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|1)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|2) und B(-4|11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|11): 11 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
11 = 16 -4b +c |-16

1 = -1b +c
-5 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 5$
$c - 4 b$	=	$- 5$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 5 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (- 5 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 5 + 4 b)$	=	$1$
$- b - 5 + 4 b$	=	$1$
$3 b - 5$	=	$1$	\| $+ 5$
$3 b$	=	$6$	\|: $3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 + 4 \cdot 2$

= $- 5 + 8$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 + 3$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 + 3$

= ${(x + 1)}^{2} + 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 3$ = $1 - 2 + 3$ = 2

also: S(-1|2).

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Wert zum Einsetzen finden

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg