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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + y$ = $- 3$ .

Bestimme x so, dass (x|4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$x + 4$ = $- 3$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x + 4$	=	$- 3$
$x + 4$	=	$- 3$	\| $- 4$
$x$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (-7|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 3 y$ = $- 16$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-6)
denn -2⋅( - 1 ) +3⋅( - 6 ) = 2 -18 = $- 16$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-4)
denn -2⋅2 +3⋅( - 4 ) = -4 -12 = $- 16$

Oder : (-4|-8)
denn -2⋅( - 4 ) +3⋅( - 8 ) = 8 -24 = $- 16$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 9 & (I) \\ - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 9 & (I) \\ - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 9 & (I) \\ + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 1 \cdot (- 1)$	=	$9$
$2 x - 1$	=	$9$	\| $+ 1$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 19 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 19 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 6$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 6 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 19 & (I) \\ x & = & (- 6 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 6 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 6 - 2 y) - 3 y$	=	$19$
$- 6 - 2 y - 3 y$	=	$19$
$- 5 y - 6$	=	$19$	\| $+ 6$
$- 5 y$	=	$25$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 6 - 2 \cdot (- 5)$

= $- 6 + 10$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & 18 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & 18 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 2 y$	=	$18$
$- 2 y - 4 x$	=	$18$	\| $+ 4 x$
$- 2 y$	=	$18 + 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 9 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 9 - 2 x) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 9 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot (- 9 - 2 x)$	=	$- 6$
$2 x + 18 + 4 x$	=	$- 6$
$6 x + 18$	=	$- 6$	\| $- 18$
$6 x$	=	$- 24$	\|: $6$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 9 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 9 + 8$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$4 (x - 6)$	=	$4 y$			(I)
$- y$	=	$2 (x + 2 y) + 23$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$4 (x - 6)$	=	$4 y$			(I)
$- y$	=	$2 (x + 2 y) + 23$			(II)

$4 x - 24$	=	$4 y$	\| + $24 - 4 y$		(I)
$- y$	=	$2 x + 23 + 4 y$	\| $- 2 x - 4 y$		(II)

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 24 & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & 23 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 4 y$	=	$24$
$- 4 y + 4 x$	=	$24$	\| $- 4 x$
$- 4 y$	=	$24 - 4 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 6 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 6 + x) & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & 23 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 6 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 5 \cdot (- 6 + x)$	=	$23$
$- 2 x + 30 - 5 x$	=	$23$
$- 7 x + 30$	=	$23$	\| $- 30$
$- 7 x$	=	$- 7$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 6 + 1$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +3y = ?

-8x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-4x +3y = -20 +3 = -17

-8x +4y = -40 +4 = -36

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +3y = -17

-8x +4y = -36

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & - 4 y & = & - 1 & (I) \\ - 8 x & + 16 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 4 y & = & - 1 & (I) \\ - 8 x & + 16 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 4 y$	=	$- 1$
$- 4 y + 2 x$	=	$- 1$	\| $- 2 x$
$- 4 y$	=	$- 1 - 2 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} x) & (I) \\ - 8 x & + 16 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 8 x + 16 \cdot (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} x)$	=	$4$
$- 8 x + 4 + 8 x$	=	$4$
$4$	=	$4$	\| $- 4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 90 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 105 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 4 y & = & 90 & (I) \\ 9 x & + 4 y & = & 105 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 4 y$	=	$90$
$4 y + 6 x$	=	$90$	\| $- 6 x$
$4 y$	=	$90 - 6 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{45}{2} - \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{45}{2} - \frac{3}{2} x) & (I) \\ 9 x & + 4 y & = & 105 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{45}{2} - \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9 x + 4 \cdot (\frac{45}{2} - \frac{3}{2} x)$	=	$105$
$9 x + 90 - 6 x$	=	$105$
$3 x + 90$	=	$105$	\| $- 90$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{45}{2} - \frac{3}{2} \cdot 5$

= $\frac{45}{2} - \frac{15}{2}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (5|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-6) und B(-4|-21) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-21): -21 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
-21 = 16 -4b +c |-16

-7 = -1b +c
-37 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 37 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 37$
$c - 4 b$	=	$- 37$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 37 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 37 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 37 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 37 + 4 b)$	=	$- 7$
$- b - 37 + 4 b$	=	$- 7$
$3 b - 37$	=	$- 7$	\| $+ 37$
$3 b$	=	$30$	\|: $3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 37 + 4 \cdot 10$

= $- 37 + 40$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (10|3)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|8) und B(4|47) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(4|47): 47 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
47 = 16 +4b +c |-16

7 = 1b +c
31 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ 4 b & + c & = & 31 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$31$
$c + 4 b$	=	$31$	\| $- 4 b$
$c$	=	$31 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (31 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $31 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (31 - 4 b)$	=	$7$
$b + 31 - 4 b$	=	$7$
$- 3 b + 31$	=	$7$	\| $- 31$
$- 3 b$	=	$- 24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $31 - 4 \cdot 8$

= $31 - 32$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-1)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 - 1$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 - 1$

= ${(x + 4)}^{2} - 17$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-17).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) - 1$ = $16 - 32 - 1$ = -17

also: S(-4|-17).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

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