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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 5 y$ = $- 40$ .

Bestimme y so, dass (2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 \cdot 2 + 5 y$ = $- 40$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 5 \cdot 2 + 5 y$	=	$- 40$
$- 10 + 5 y$	=	$- 40$
$5 y - 10$	=	$- 40$	\| $+ 10$
$5 y$	=	$- 30$	\|: $5$
$y$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (2|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 3 y$ = $- 7$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|7)
denn -2⋅( - 7 ) -3⋅7 = 14 -21 = $- 7$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-10|9)
denn -2⋅( - 10 ) -3⋅9 = 20 -27 = $- 7$

Oder : (-4|5)
denn -2⋅( - 4 ) -3⋅5 = 8 -15 = $- 7$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 4 y & = & - 34 & (I) \\ + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $6$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 4 \cdot 6$	=	$- 34$
$2 x - 24$	=	$- 34$	\| $+ 24$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & - 15 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + y & = & - 15 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$- 15$
$y + 2 x$	=	$- 15$	\| $- 2 x$
$y$	=	$- 15 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 15 - 2 x) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 15 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (- 15 - 2 x)$	=	$- 20$
$2 x - 30 - 4 x$	=	$- 20$
$- 2 x - 30$	=	$- 20$	\| $+ 30$
$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 15 - 2 \cdot (- 5)$

= $- 15 + 10$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 22 & (I) \\ x & - 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 22 & (I) \\ x & - 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$10$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$10 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 22 & (I) \\ x & = & (10 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $10 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 5 \cdot (10 + 4 y) - 4 y$	=	$22$
$- 50 - 20 y - 4 y$	=	$22$
$- 24 y - 50$	=	$22$	\| $+ 50$
$- 24 y$	=	$72$	\|:( $- 24$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $10 + 4 \cdot (- 3)$

= $10 - 12$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - \frac{2}{5} y & = & - 8 & (I) \\ - \frac{1}{2} x & + \frac{1}{5} y & = & \frac{3}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - \frac{2}{5} y & = & - 8 & (I) \\ - \frac{1}{2} x & + \frac{1}{5} y & = & \frac{3}{2} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - \frac{2}{5} y$	=	$- 8$
$- \frac{2}{5} y + 2 x$	=	$- 8$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{2}{5} y + 2 x)$	=	$- 40$
$- 2 y + 10 x$	=	$- 40$	\| $- 10 x$
$- 2 y$	=	$- 40 - 10 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$20 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (20 + 5 x) & (I) \\ - \frac{1}{2} x & + \frac{1}{5} y & = & \frac{3}{2} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $20 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{2} x + \frac{1}{5} \cdot (20 + 5 x)$	=	$\frac{3}{2}$
$- \frac{1}{2} x + 4 + x$	=	$\frac{3}{2}$
$\frac{1}{2} x + 4$	=	$\frac{3}{2}$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x + 4)$	=	$3$
$x + 8$	=	$3$	\| $- 8$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $20 + 5 \cdot (- 5)$

= $20 - 25$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -1y = ?

8x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

4x -1y = -16 -2 = -18

8x -3y = -32 -6 = -38

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -1y = -18

8x -3y = -38

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & - 42 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 42 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & - 42 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 42 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 4 y$	=	$- 42$
$4 y + 3 x$	=	$- 42$	\| $- 3 x$
$4 y$	=	$- 42 - 3 x$	\|: $4$
$y$	=	$- \frac{21}{2} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{21}{2} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 42 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{21}{2} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 3 \cdot (- \frac{21}{2} - \frac{3}{4} x)$	=	$42$
$- 4 x + \frac{63}{2} + \frac{9}{4} x$	=	$42$
$- \frac{7}{4} x + \frac{63}{2}$	=	$42$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{7}{4} x + \frac{63}{2})$	=	$168$
$- 7 x + 126$	=	$168$	\| $- 126$
$- 7 x$	=	$42$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{21}{2} - \frac{3}{4} \cdot (- 6)$

= $- \frac{21}{2} + \frac{9}{2}$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1000 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 6 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1650 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 1000 & (I) \\ 6 x & - 3 y & = & 1650 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 4 y$	=	$1000$
$- 4 y + 4 x$	=	$1000$	\| $- 4 x$
$- 4 y$	=	$1000 - 4 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 250 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 250 + x) & (I) \\ 6 x & - 3 y & = & 1650 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 250 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 3 \cdot (- 250 + x)$	=	$1650$
$6 x + 750 - 3 x$	=	$1650$
$3 x + 750$	=	$1650$	\| $- 750$
$3 x$	=	$900$	\|: $3$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 250 + 300$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (300|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-1) und B(2|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-1): -1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-4): -4 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 -1b +c |-1
-4 = 4 +2b +c |-4

-2 = -1b +c
-8 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 8$
$c + 2 b$	=	$- 8$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 8 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (- 8 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 8 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 8 - 2 b)$	=	$- 2$
$- b - 8 - 2 b$	=	$- 2$
$- 3 b - 8$	=	$- 2$	\| $+ 8$
$- 3 b$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 8 - 2 \cdot (- 2)$

= $- 8 + 4$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|10) und B(3|30) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

B(3|30): 30 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 +1b +c |-1
30 = 9 +3b +c |-9

9 = 1b +c
21 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ 3 b & + c & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$21$
$c + 3 b$	=	$21$	\| $- 3 b$
$c$	=	$21 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (21 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $21 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (21 - 3 b)$	=	$9$
$b + 21 - 3 b$	=	$9$
$- 2 b + 21$	=	$9$	\| $- 21$
$- 2 b$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $21 - 3 \cdot 6$

= $21 - 18$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 3$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 3$

= ${(x + 3)}^{2} - 6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 3$ = $9 - 18 + 3$ = -6

also: S(-3|-6).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg