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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 3 y$ = $6$ .

Bestimme y so, dass (6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$6 - 3 y$ = $6$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$6 - 3 y$	=	$6$
$6 - 3 y$	=	$6$
$- 3 y + 6$	=	$6$	\| $- 6$
$- 3 y$	=	0	\|:( $- 3$ )
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (6|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 3 y$ = $14$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|7)
denn -1⋅7 +3⋅7 = -7 +21 = $14$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (10|8)
denn -1⋅10 +3⋅8 = -10 +24 = $14$

Oder : (4|6)
denn -1⋅4 +3⋅6 = -4 +18 = $14$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 2 y & = & - 10 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 2 y & = & - 10 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$- 10$	\|: $2$
$y$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 5 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 3 \cdot (- 5)$	=	$- 23$
$4 x - 15$	=	$- 23$	\| $+ 15$
$4 x$	=	$- 8$	\|: $4$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 11 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 11 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 11$
$y + 4 x$	=	$- 11$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 11 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 11 - 4 x) & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 11 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot (- 11 - 4 x)$	=	$- 13$
$2 x - 33 - 12 x$	=	$- 13$
$- 10 x - 33$	=	$- 13$	\| $+ 33$
$- 10 x$	=	$20$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 11 - 4 \cdot (- 2)$

= $- 11 + 8$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 5 y & = & 31 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 5 y & = & 31 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 5 y$	=	$31$	\| $- 5 y$
$- x$	=	$31 - 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 31 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 31 + 5 y) & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 31 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 31 + 5 y) - 2 y$	=	$8$
$93 - 15 y - 2 y$	=	$8$
$- 17 y + 93$	=	$8$	\| $- 93$
$- 17 y$	=	$- 85$	\|:( $- 17$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 31 + 5 \cdot 5$

= $- 31 + 25$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

0	=	$4 (x - 9) - 4 y$			(I)
$2 (x - 11)$	=	$3 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

0	=	$4 (x - 9) - 4 y$			(I)
$2 (x - 11)$	=	$3 y$			(II)

0	=	$4 x - 36 - 4 y$	\| $- 4 x + 4 y$		(I)
$2 x - 22$	=	$3 y$	\| + $22 - 3 y$		(II)

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & - 36 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 4 y$	=	$- 36$
$4 y - 4 x$	=	$- 36$	\| $+ 4 x$
$4 y$	=	$- 36 + 4 x$	\|: $4$
$y$	=	$- 9 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 9 + x) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 9 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (- 9 + x)$	=	$22$
$2 x + 27 - 3 x$	=	$22$
$- x + 27$	=	$22$	\| $- 27$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 9 + 5$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -3y = ?

4x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

2x -3y = -10 +3 = -7

4x -5y = -20 +5 = -15

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -3y = -7

4x -5y = -15

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & 7 & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & 7 & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 5 y$	=	$7$
$5 y + 3 x$	=	$7$	\| $- 3 x$
$5 y$	=	$7 - 3 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{7}{5} - \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{7}{5} - \frac{3}{5} x) & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{7}{5} - \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 2 \cdot (\frac{7}{5} - \frac{3}{5} x)$	=	$- 1$
$5 x + \frac{14}{5} - \frac{6}{5} x$	=	$- 1$
$\frac{19}{5} x + \frac{14}{5}$	=	$- 1$	\|⋅ 5
$5 (\frac{19}{5} x + \frac{14}{5})$	=	$- 5$
$19 x + 14$	=	$- 5$	\| $- 14$
$19 x$	=	$- 19$	\|: $19$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{7}{5} - \frac{3}{5} \cdot (- 1)$

= $\frac{7}{5} + \frac{3}{5}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 10. Wenn man aber vom 2-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 4. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 6 y & = & 10 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 6 y$	=	$10$	\| $- 6 y$
$x$	=	$10 - 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (10 - 6 y) & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $10 - 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (10 - 6 y) - 4 y$	=	$4$
$20 - 12 y - 4 y$	=	$4$
$- 16 y + 20$	=	$4$	\| $- 20$
$- 16 y$	=	$- 16$	\|:( $- 16$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $10 - 6 \cdot 1$

= $10 - 6$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 1

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|6) und B(3|34) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(3|34): 34 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
34 = 9 +3b +c |-9

5 = 1b +c
25 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ 3 b & + c & = & 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$25$
$c + 3 b$	=	$25$	\| $- 3 b$
$c$	=	$25 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (25 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $25 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (25 - 3 b)$	=	$5$
$b + 25 - 3 b$	=	$5$
$- 2 b + 25$	=	$5$	\| $- 25$
$- 2 b$	=	$- 20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $25 - 3 \cdot 10$

= $25 - 30$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|9) und B(1|-3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 -1b +c |-1
-3 = 1 +1b +c |-1

8 = -1b +c
-4 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ b & + c & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 4$
$c + b$	=	$- 4$	\| $- b$
$c$	=	$- 4 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (- 4 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 4 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 4 - b)$	=	$8$
$- b - 4 - b$	=	$8$
$- 2 b - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$- 2 b$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 4 - (- 6)$

= $- 4 + 6$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 2$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 + 2$

= ${(x - 3)}^{2} - 7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 + 2$ = $9 - 18 + 2$ = -7

also: S(3|-7).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg