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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + y$ = $- 28$ .

Bestimme x so, dass (x|-7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$3 x + (- 7)$ = $- 28$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3 x + (- 7)$	=	$- 28$
$3 x - 7$	=	$- 28$	\| $+ 7$
$3 x$	=	$- 21$	\|: $3$
$x$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (-7|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 2 y$ = $4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|-3)
denn -2⋅( - 5 ) +2⋅( - 3 ) = 10 -6 = $4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-1)
denn -2⋅( - 3 ) +2⋅( - 1 ) = 6 -2 = $4$

Oder : (-7|-5)
denn -2⋅( - 7 ) +2⋅( - 5 ) = 14 -10 = $4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 14 & (I) \\ - 4 x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 14 & (I) \\ - 4 x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 14 & (I) \\ x & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot 1 + 4 y$	=	$- 14$
$- 2 + 4 y$	=	$- 14$
$4 y - 2$	=	$- 14$	\| $+ 2$
$4 y$	=	$- 12$	\|: $4$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & - 22 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & - 22 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$- 2$
$y - 2 x$	=	$- 2$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$- 2 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & - 22 & (I) \\ + y & = & (- 2 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 2 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot (- 2 + 2 x)$	=	$- 22$
$2 x - 6 + 6 x$	=	$- 22$
$8 x - 6$	=	$- 22$	\| $+ 6$
$8 x$	=	$- 16$	\|: $8$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 2 + 2 \cdot (- 2)$

= $- 2 - 4$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 3 y & = & 18 & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & 38 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + 3 y & = & 18 & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & 38 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 3 y$	=	$18$
$3 y + 5 x$	=	$18$	\| $- 5 x$
$3 y$	=	$18 - 5 x$	\|: $3$
$y$	=	$6 - \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (6 - \frac{5}{3} x) & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & 38 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $6 - \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 5 \cdot (6 - \frac{5}{3} x)$	=	$38$
$3 x - 30 + \frac{25}{3} x$	=	$38$
$\frac{34}{3} x - 30$	=	$38$	\|⋅ 3
$3 (\frac{34}{3} x - 30)$	=	$114$
$34 x - 90$	=	$114$	\| $+ 90$
$34 x$	=	$204$	\|: $34$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $6 - \frac{5}{3} \cdot 6$

= $6 - 10$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 19 & (I) \\ \frac{3}{2} x & + \frac{3}{2} y & = & - \frac{21}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 19 & (I) \\ \frac{3}{2} x & + \frac{3}{2} y & = & - \frac{21}{2} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x - y$	=	$19$
$- y - 3 x$	=	$19$	\| $+ 3 x$
$- y$	=	$19 + 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 19 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 19 - 3 x) & (I) \\ \frac{3}{2} x & + \frac{3}{2} y & = & - \frac{21}{2} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 19 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot (- 19 - 3 x)$	=	$- \frac{21}{2}$
$\frac{3}{2} x - \frac{57}{2} - \frac{9}{2} x$	=	$- \frac{21}{2}$
$- 3 x - \frac{57}{2}$	=	$- \frac{21}{2}$	\|⋅ 2
$2 (- 3 x - \frac{57}{2})$	=	$- 21$
$- 6 x - 57$	=	$- 21$	\| $+ 57$
$- 6 x$	=	$36$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 19 - 3 \cdot (- 6)$

= $- 19 + 18$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x -2y = ?

-5x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-3x -2y = -6 -4 = -10

-5x -1y = -10 -2 = -12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x -2y = -10

-5x -1y = -12

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 4 & (I) \\ - x & + y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 4 & (I) \\ - x & + y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x + y$	=	$8$
$y - x$	=	$8$	\| $+ x$
$y$	=	$8 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 4 & (I) \\ + y & = & (8 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $8 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 3 \cdot (8 + x)$	=	$4$
$x + 24 + 3 x$	=	$4$
$4 x + 24$	=	$4$	\| $- 24$
$4 x$	=	$- 20$	\|: $4$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $8 - 5$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 365 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 166 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 9 y & = & 365 & (I) \\ 6 x & + 4 y & = & 166 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 9 y$	=	$365$
$9 y + 5 x$	=	$365$	\| $- 5 x$
$9 y$	=	$365 - 5 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{365}{9} - \frac{5}{9} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{365}{9} - \frac{5}{9} x) & (I) \\ 6 x & + 4 y & = & 166 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{365}{9} - \frac{5}{9} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 4 \cdot (\frac{365}{9} - \frac{5}{9} x)$	=	$166$
$6 x + \frac{1460}{9} - \frac{20}{9} x$	=	$166$
$\frac{34}{9} x + \frac{1460}{9}$	=	$166$	\|⋅ 9
$9 (\frac{34}{9} x + \frac{1460}{9})$	=	$1 494$
$34 x + 1 460$	=	$1 494$	\| $- 1 460$
$34 x$	=	$34$	\|: $34$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{365}{9} - \frac{5}{9} \cdot 1$

= $\frac{365}{9} - \frac{5}{9}$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (1|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|12) und B(2|25) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|12): 12 = 1² + b⋅1 +c

B(2|25): 25 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 +1b +c |-1
25 = 4 +2b +c |-4

11 = 1b +c
21 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ 2 b & + c & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$21$
$c + 2 b$	=	$21$	\| $- 2 b$
$c$	=	$21 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ + c & = & (21 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $21 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (21 - 2 b)$	=	$11$
$b + 21 - 2 b$	=	$11$
$- b + 21$	=	$11$	\| $- 21$
$- b$	=	$- 10$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $21 - 2 \cdot 10$

= $21 - 20$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|1)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-3) und B(-4|-6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-6): -6 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 -1b +c |-1
-6 = 16 -4b +c |-16

-4 = -1b +c
-22 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 22$
$c - 4 b$	=	$- 22$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 22 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (- 22 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 22 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 22 + 4 b)$	=	$- 4$
$- b - 22 + 4 b$	=	$- 4$
$3 b - 22$	=	$- 4$	\| $+ 22$
$3 b$	=	$18$	\|: $3$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 22 + 4 \cdot 6$

= $- 22 + 24$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 2$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 2$

= ${(x + 3)}^{2} - 7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 2$ = $9 - 18 + 2$ = -7

also: S(-3|-7).

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1. Weg

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