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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 5 y$ = $30$ .

Bestimme y so, dass (5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 + 5 y$ = $30$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 5 + 5 y$	=	$30$
$- 5 + 5 y$	=	$30$
$5 y - 5$	=	$30$	\| $+ 5$
$5 y$	=	$35$	\|: $5$
$y$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (5|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 3 y$ = $5$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-1)
denn -1⋅( - 2 ) -3⋅( - 1 ) = 2 +3 = $5$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|0)
denn -1⋅( - 5 ) -3⋅0 = 5 +0 = $5$

Oder : (1|-2)
denn -1⋅1 -3⋅( - 2 ) = -1 +6 = $5$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 11 & (I) \\ - x & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 11 & (I) \\ - x & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 11 & (I) \\ x & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot 3 - 2 y$	=	$11$
$3 - 2 y$	=	$11$
$- 2 y + 3$	=	$11$	\| $- 3$
$- 2 y$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 14 & (I) \\ 3 x & + y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 14 & (I) \\ 3 x & + y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$9$
$y + 3 x$	=	$9$	\| $- 3 x$
$y$	=	$9 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 14 & (I) \\ + y & = & (9 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $9 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 4 \cdot (9 - 3 x)$	=	$14$
$x + 36 - 12 x$	=	$14$
$- 11 x + 36$	=	$14$	\| $- 36$
$- 11 x$	=	$- 22$	\|:( $- 11$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $9 - 3 \cdot 2$

= $9 - 6$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & + 5 y & = & - 15 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & + 5 y & = & - 15 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x + 5 y$	=	$- 15$
$5 y - 5 x$	=	$- 15$	\| $+ 5 x$
$5 y$	=	$- 15 + 5 x$	\|: $5$
$y$	=	$- 3 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 3 + x) & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 3 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot (- 3 + x)$	=	$9$
$2 x + 15 - 5 x$	=	$9$
$- 3 x + 15$	=	$9$	\| $- 15$
$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 3 + 2$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{1}{4} & (I) \\ \frac{1}{3} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{1}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{1}{4} & (I) \\ \frac{1}{3} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{1}{5} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - \frac{1}{4} y$	=	$\frac{1}{4}$	\|⋅ 4
$4 (x - \frac{1}{4} y)$	=	$1$
$4 x - y$	=	$1$	\| $+ y$
$4 x$	=	$1 + y$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} y) & (I) \\ \frac{1}{3} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{1}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} y) - \frac{1}{5} y$	=	$\frac{1}{5}$
$\frac{1}{12} + \frac{1}{12} y - \frac{1}{5} y$	=	$\frac{1}{5}$
$- \frac{7}{60} y + \frac{1}{12}$	=	$\frac{1}{5}$	\|⋅ 60
$60 (- \frac{7}{60} y + \frac{1}{12})$	=	$12$
$- 7 y + 5$	=	$12$	\| $- 5$
$- 7 y$	=	$7$	\|:( $- 7$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{4} - \frac{1}{4}$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -1y = ?

3x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

4x -1y = 20 +2 = 22

3x -4y = 15 +8 = 23

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -1y = 22

3x -4y = 23

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 26 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 26 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 4 y$	=	$26$
$- 4 y - 5 x$	=	$26$	\| $+ 5 x$
$- 4 y$	=	$26 + 5 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{13}{2} - \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{13}{2} - \frac{5}{4} x) & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{13}{2} - \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 3 \cdot (- \frac{13}{2} - \frac{5}{4} x)$	=	$- 8$
$- 2 x - \frac{39}{2} - \frac{15}{4} x$	=	$- 8$
$- \frac{23}{4} x - \frac{39}{2}$	=	$- 8$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{23}{4} x - \frac{39}{2})$	=	$- 32$
$- 23 x - 78$	=	$- 32$	\| $+ 78$
$- 23 x$	=	$46$	\|:( $- 23$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{13}{2} - \frac{5}{4} \cdot (- 2)$

= $- \frac{13}{2} + \frac{5}{2}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 23. Wenn man aber vom 6-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 10. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 23 & (I) \\ 6 x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$23$	\| $- 5 y$
$x$	=	$23 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (23 - 5 y) & (I) \\ 6 x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $23 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (23 - 5 y) - 2 y$	=	$10$
$138 - 30 y - 2 y$	=	$10$
$- 32 y + 138$	=	$10$	\| $- 138$
$- 32 y$	=	$- 128$	\|:( $- 32$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $23 - 5 \cdot 4$

= $23 - 20$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 4

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-6) und B(2|-13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-13): -13 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
-13 = 4 +2b +c |-4

-7 = 1b +c
-17 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 17$
$c + 2 b$	=	$- 17$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 17 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 17 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 17 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 17 - 2 b)$	=	$- 7$
$b - 17 - 2 b$	=	$- 7$
$- b - 17$	=	$- 7$	\| $+ 17$
$- b$	=	$10$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 17 - 2 \cdot (- 10)$

= $- 17 + 20$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|6) und B(2|13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(2|13): 13 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
13 = 4 +2b +c |-4

5 = 1b +c
9 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$9$
$c + 2 b$	=	$9$	\| $- 2 b$
$c$	=	$9 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (9 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $9 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (9 - 2 b)$	=	$5$
$b + 9 - 2 b$	=	$5$
$- b + 9$	=	$5$	\| $- 9$
$- b$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $9 - 2 \cdot 4$

= $9 - 8$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 + 1$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 + 1$

= ${(x + 2)}^{2} - 3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 1$ = $4 - 8 + 1$ = -3

also: S(-2|-3).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg