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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 2 y$ = $- 34$ .

Bestimme x so, dass (x|-3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 x + 2 \cdot (- 3)$ = $- 34$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 4 x + 2 \cdot (- 3)$	=	$- 34$
$- 4 x - 6$	=	$- 34$	\| $+ 6$
$- 4 x$	=	$- 28$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (7|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 4 y$ = $3$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|0)
denn -3⋅( - 1 ) -4⋅0 = 3 +0 = $3$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|3)
denn -3⋅( - 5 ) -4⋅3 = 15 -12 = $3$

Oder : (3|-3)
denn -3⋅3 -4⋅( - 3 ) = -9 +12 = $3$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & = & - 5 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $- 5$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 5) + 2 y$	=	$2$
$- 10 + 2 y$	=	$2$
$2 y - 10$	=	$2$	\| $+ 10$
$2 y$	=	$12$	\|: $2$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 7 & (I) \\ 4 x & + y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 7 & (I) \\ 4 x & + y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$21$
$y + 4 x$	=	$21$	\| $- 4 x$
$y$	=	$21 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 7 & (I) \\ + y & = & (21 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $21 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 1 \cdot (21 - 4 x)$	=	$- 7$
$- 3 x + 21 - 4 x$	=	$- 7$
$- 7 x + 21$	=	$- 7$	\| $- 21$
$- 7 x$	=	$- 28$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $21 - 4 \cdot 4$

= $21 - 16$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 2 y$	=	$2$
$2 y + 2 x$	=	$2$	\| $- 2 x$
$2 y$	=	$2 - 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$1 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 - x) & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (1 - x)$	=	$- 4$
$- 3 x - 4 + 4 x$	=	$- 4$
$x - 4$	=	$- 4$	\| $+ 4$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1 - 0$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (0|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$x - 16$	=	$4 (- 1 + y)$			(I)
$- 3 - y$	=	$- 4 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$x - 16$	=	$4 (- 1 + y)$			(I)
$- 3 - y$	=	$- 4 x$			(II)

$x - 16$	=	$- 4 + 4 y$	\| + $16 - 4 y$		(I)
$- 3 - y$	=	$- 4 x$	\| + $3 + 4 x$		(II)

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 12 & (I) \\ 4 x & - y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x - y$	=	$3$
$- y + 4 x$	=	$3$	\| $- 4 x$
$- y$	=	$3 - 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 3 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 12 & (I) \\ + y & = & (- 3 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 3 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 4 \cdot (- 3 + 4 x)$	=	$12$
$x + 12 - 16 x$	=	$12$
$- 15 x + 12$	=	$12$	\| $- 12$
$- 15 x$	=	0	\|:( $- 15$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 3 + 4 \cdot (0)$

= $- 3 + 0$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -5y = ?

7x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

5x -5y = 25 +20 = 45

7x -5y = 35 +20 = 55

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -5y = 45

7x -5y = 55

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & + y & = & 10 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 34 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + y & = & 10 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 34 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x + y$	=	$10$
$y - x$	=	$10$	\| $+ x$
$y$	=	$10 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (10 + x) & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 34 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $10 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 4 \cdot (10 + x)$	=	$- 34$
$3 x - 40 - 4 x$	=	$- 34$
$- x - 40$	=	$- 34$	\| $+ 40$
$- x$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $10 - 6$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 16. Wenn man aber vom 4-fachen von x 5 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -21. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 16 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$16$	\| $- 3 y$
$x$	=	$16 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (16 - 3 y) & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $16 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (16 - 3 y) - 5 y$	=	$- 21$
$64 - 12 y - 5 y$	=	$- 21$
$- 17 y + 64$	=	$- 21$	\| $- 64$
$- 17 y$	=	$- 85$	\|:( $- 17$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $16 - 3 \cdot 5$

= $16 - 15$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-7) und B(4|-10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-7): -7 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-10): -10 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 +1b +c |-1
-10 = 16 +4b +c |-16

-8 = 1b +c
-26 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 8 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 26$
$c + 4 b$	=	$- 26$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 26 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 8 & (I) \\ + c & = & (- 26 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 26 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 26 - 4 b)$	=	$- 8$
$b - 26 - 4 b$	=	$- 8$
$- 3 b - 26$	=	$- 8$	\| $+ 26$
$- 3 b$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 26 - 4 \cdot (- 6)$

= $- 26 + 24$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|16) und B(1|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|16): 16 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
16 = 1 -1b +c |-1
-4 = 1 +1b +c |-1

15 = -1b +c
-5 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 15 & (I) \\ b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 5$
$c + b$	=	$- 5$	\| $- b$
$c$	=	$- 5 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 15 & (I) \\ + c & = & (- 5 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 5 - b)$	=	$15$
$- b - 5 - b$	=	$15$
$- 2 b - 5$	=	$15$	\| $+ 5$
$- 2 b$	=	$20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 - (- 10)$

= $- 5 + 10$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|5)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 + 5$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 + 5$

= ${(x - 5)}^{2} - 20$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-20).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 + 5$ = $25 - 50 + 5$ = -20

also: S(5|-20).

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1. Weg

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