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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 2 y$ = $2$ .

Bestimme y so, dass (2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$4 \cdot 2 - 2 y$ = $2$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4 \cdot 2 - 2 y$	=	$2$
$8 - 2 y$	=	$2$
$- 2 y + 8$	=	$2$	\| $- 8$
$- 2 y$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (2|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 5 y$ = $- 25$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-3)
denn -2⋅5 +5⋅( - 3 ) = -10 -15 = $- 25$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (10|-1)
denn -2⋅10 +5⋅( - 1 ) = -20 -5 = $- 25$

Oder : (0|-5)
denn -2⋅0 +5⋅( - 5 ) = 0 -25 = $- 25$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & - 12 & (I) \\ 2 x & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & - 12 & (I) \\ 2 x & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$12$	\|: $2$
$x$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & - 12 & (I) \\ x & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot 6 + 3 y$	=	$- 12$
$- 24 + 3 y$	=	$- 12$
$3 y - 24$	=	$- 12$	\| $+ 24$
$3 y$	=	$12$	\|: $3$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 3 & (I) \\ - 3 x & + y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 3 & (I) \\ - 3 x & + y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$- 18$
$y - 3 x$	=	$- 18$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$- 18 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 3 & (I) \\ + y & = & (- 18 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 18 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (- 18 + 3 x)$	=	$- 3$
$- 3 x + 72 - 12 x$	=	$- 3$
$- 15 x + 72$	=	$- 3$	\| $- 72$
$- 15 x$	=	$- 75$	\|:( $- 15$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 18 + 3 \cdot 5$

= $- 18 + 15$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - y & = & 9 & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & - y & = & 9 & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$5 x - y$	=	$9$
$- y + 5 x$	=	$9$	\| $- 5 x$
$- y$	=	$9 - 5 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 9 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 9 + 5 x) & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 9 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 2 \cdot (- 9 + 5 x)$	=	$3$
$5 x + 18 - 10 x$	=	$3$
$- 5 x + 18$	=	$3$	\| $- 18$
$- 5 x$	=	$- 15$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 9 + 5 \cdot 3$

= $- 9 + 15$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (3|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$21 - y$	=	$- 4 x$			(I)
$- 11 - 4 y$	=	$3 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$21 - y$	=	$- 4 x$	\| $- 21 + 4 x$		(I)
$- 11 - 4 y$	=	$3 x$	\| + $11 - 3 x$		(II)

\begin{matrix} 4 x & - y & = & - 21 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x - y$	=	$- 21$
$- y + 4 x$	=	$- 21$	\| $- 4 x$
$- y$	=	$- 21 - 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$21 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (21 + 4 x) & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $21 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (21 + 4 x)$	=	$11$
$- 3 x - 84 - 16 x$	=	$11$
$- 19 x - 84$	=	$11$	\| $+ 84$
$- 19 x$	=	$95$	\|:( $- 19$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $21 + 4 \cdot (- 5)$

= $21 - 20$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x -2y = ?

-7x -8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-3x -2y = 9 +6 = 15

-7x -8y = 21 +24 = 45

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x -2y = 15

-7x -8y = 45

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 1 & (I) \\ - 4 x & + 12 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 1 & (I) \\ - 4 x & + 12 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$1$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$1 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (1 + 3 y) & (I) \\ - 4 x & + 12 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $1 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (1 + 3 y) + 12 y$	=	$- 4$
$- 4 - 12 y + 12 y$	=	$- 4$
$- 4$	=	$- 4$	\| $+ 4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 15. Wenn man aber vom 5-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 7. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 15 & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$15$	\| $- 3 y$
$x$	=	$15 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (15 - 3 y) & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $15 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (15 - 3 y) - 2 y$	=	$7$
$75 - 15 y - 2 y$	=	$7$
$- 17 y + 75$	=	$7$	\| $- 75$
$- 17 y$	=	$- 68$	\|:( $- 17$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $15 - 3 \cdot 4$

= $15 - 12$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 4

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|0) und B(-3|16) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|16): 16 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
16 = 9 -3b +c |-9

-1 = -1b +c
7 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$7$
$c - 3 b$	=	$7$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$7 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (7 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (7 + 3 b)$	=	$- 1$
$- b + 7 + 3 b$	=	$- 1$
$2 b + 7$	=	$- 1$	\| $- 7$
$2 b$	=	$- 8$	\|: $2$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7 + 3 \cdot (- 4)$

= $7 - 12$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-9) und B(-4|-18) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-9): -9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-18): -18 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-9 = 1 -1b +c |-1
-18 = 16 -4b +c |-16

-10 = -1b +c
-34 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 10 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 34 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 34$
$c - 4 b$	=	$- 34$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 34 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 10 & (I) \\ + c & = & (- 34 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 34 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 34 + 4 b)$	=	$- 10$
$- b - 34 + 4 b$	=	$- 10$
$3 b - 34$	=	$- 10$	\| $+ 34$
$3 b$	=	$24$	\|: $3$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 34 + 4 \cdot 8$

= $- 34 + 32$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-2)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 - 2$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 - 2$

= ${(x + 4)}^{2} - 18$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-18).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) - 2$ = $16 - 32 - 2$ = -18

also: S(-4|-18).

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1. Weg

2. Weg