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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 2 y$ = $- 26$ .

Bestimme x so, dass (x|-4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 x + 2 \cdot (- 4)$ = $- 26$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 3 x + 2 \cdot (- 4)$	=	$- 26$
$- 3 x - 8$	=	$- 26$	\| $+ 8$
$- 3 x$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 3 y$ = $4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-7)
denn 5⋅5 +3⋅( - 7 ) = 25 -21 = $4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|-12)
denn 5⋅8 +3⋅( - 12 ) = 40 -36 = $4$

Oder : (2|-2)
denn 5⋅2 +3⋅( - 2 ) = 10 -6 = $4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & 26 & (I) \\ + 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & 26 & (I) \\ + 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$- 12$	\|: $2$
$y$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & 26 & (I) \\ + y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (- 6)$	=	$26$
$2 x + 18$	=	$26$	\| $- 18$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 18 & (I) \\ - 3 x & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 18 & (I) \\ - 3 x & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 18 & (I) \\ x & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot 5 + y$	=	$18$
$15 + y$	=	$18$
$y + 15$	=	$18$	\| $- 15$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 11 & (I) \\ x & + 4 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 11 & (I) \\ x & + 4 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$19$	\| $- 4 y$
$x$	=	$19 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 11 & (I) \\ x & = & (19 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $19 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (19 - 4 y) - 2 y$	=	$- 11$
$19 - 4 y - 2 y$	=	$- 11$
$- 6 y + 19$	=	$- 11$	\| $- 19$
$- 6 y$	=	$- 30$	\|:( $- 6$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $19 - 4 \cdot 5$

= $19 - 20$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{2}{3} x & + \frac{1}{2} y & = & - \frac{5}{3} & (I) \\ - x & - \frac{2}{3} y & = & - \frac{16}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{2}{3} x & + \frac{1}{2} y & = & - \frac{5}{3} & (I) \\ - x & - \frac{2}{3} y & = & - \frac{16}{3} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - \frac{2}{3} y$	=	$- \frac{16}{3}$	\|⋅ 3
$3 (- x - \frac{2}{3} y)$	=	$- 16$
$- 3 x - 2 y$	=	$- 16$	\| $+ 2 y$
$- 3 x$	=	$- 16 + 2 y$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - \frac{2}{3} x & + \frac{1}{2} y & = & - \frac{5}{3} & (I) \\ x & = & (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{16}{3} - \frac{2}{3} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- \frac{2}{3} \cdot (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} y) + \frac{1}{2} y$	=	$- \frac{5}{3}$
$- \frac{32}{9} + \frac{4}{9} y + \frac{1}{2} y$	=	$- \frac{5}{3}$
$\frac{17}{18} y - \frac{32}{9}$	=	$- \frac{5}{3}$	\|⋅ 18
$18 (\frac{17}{18} y - \frac{32}{9})$	=	$- 30$
$17 y - 64$	=	$- 30$	\| $+ 64$
$17 y$	=	$34$	\|: $17$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2$

= $\frac{16}{3} - \frac{4}{3}$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +3y = ?

8x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

5x +3y = -10 +12 = 2

8x +4y = -16 +16 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +3y = 2

8x +4y = 0

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 6 x & + 8 y & = & - 3 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 6 x & + 8 y & = & - 3 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 8 y$	=	$- 3$
$8 y + 6 x$	=	$- 3$	\| $- 6 x$
$8 y$	=	$- 3 - 6 x$	\|: $8$
$y$	=	$- \frac{3}{8} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{3}{8} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{3}{8} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (- \frac{3}{8} - \frac{3}{4} x)$	=	$1$
$- 3 x + \frac{3}{2} + 3 x$	=	$1$
$\frac{3}{2}$	=	$1$	\| $- \frac{3}{2}$
0	=	$- \frac{1}{2}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 4 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 294 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 174 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 9 y & = & 294 & (I) \\ 9 x & + 4 y & = & 174 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 9 y$	=	$294$
$9 y + 4 x$	=	$294$	\| $- 4 x$
$9 y$	=	$294 - 4 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{98}{3} - \frac{4}{9} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{98}{3} - \frac{4}{9} x) & (I) \\ 9 x & + 4 y & = & 174 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{98}{3} - \frac{4}{9} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9 x + 4 \cdot (\frac{98}{3} - \frac{4}{9} x)$	=	$174$
$9 x + \frac{392}{3} - \frac{16}{9} x$	=	$174$
$\frac{65}{9} x + \frac{392}{3}$	=	$174$	\|⋅ 9
$9 (\frac{65}{9} x + \frac{392}{3})$	=	$1 566$
$65 x + 1 176$	=	$1 566$	\| $- 1 176$
$65 x$	=	$390$	\|: $65$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{98}{3} - \frac{4}{9} \cdot 6$

= $\frac{98}{3} - \frac{8}{3}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (6|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-6) und B(1|6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
6 = 1 +1b +c |-1

-7 = -1b +c
5 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ b & + c & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$5$
$c + b$	=	$5$	\| $- b$
$c$	=	$5 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (5 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $5 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (5 - b)$	=	$- 7$
$- b + 5 - b$	=	$- 7$
$- 2 b + 5$	=	$- 7$	\| $- 5$
$- 2 b$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $5 - 6$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|4) und B(2|1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|1): 1 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
1 = 4 +2b +c |-4

3 = -1b +c
-3 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 3$
$c + 2 b$	=	$- 3$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 3 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (- 3 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 3 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 3 - 2 b)$	=	$3$
$- b - 3 - 2 b$	=	$3$
$- 3 b - 3$	=	$3$	\| $+ 3$
$- 3 b$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 3 - 2 \cdot (- 2)$

= $- 3 + 4$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 1$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 1$

= ${(x - 1)}^{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 1$ = $1 - 2 + 1$ = 0

also: S(1|0).

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Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg