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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + y$ = $30$ .

Bestimme y so, dass (6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$5 \cdot 6 + y$ = $30$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5 \cdot 6 + y$	=	$30$
$30 + y$	=	$30$
$y + 30$	=	$30$	\| $- 30$
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (6|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 2 y$ = $14$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|4)
denn -3⋅( - 2 ) +2⋅4 = 6 +8 = $14$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|7)
denn -3⋅0 +2⋅7 = 0 +14 = $14$

Oder : (-4|1)
denn -3⋅( - 4 ) +2⋅1 = 12 +2 = $14$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & - 40 & (I) \\ - x & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & - 40 & (I) \\ - x & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & - 40 & (I) \\ x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 4) - 4 y$	=	$- 40$
$- 16 - 4 y$	=	$- 40$
$- 4 y - 16$	=	$- 40$	\| $+ 16$
$- 4 y$	=	$- 24$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 16 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 16 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 16$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 16 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 16 - 2 y) & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 16 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 16 - 2 y) - 2 y$	=	$- 8$
$- 48 - 6 y - 2 y$	=	$- 8$
$- 8 y - 48$	=	$- 8$	\| $+ 48$
$- 8 y$	=	$40$	\|:( $- 8$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 16 - 2 \cdot (- 5)$

= $- 16 + 10$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 0 & (I) \\ 5 x & + y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 0 & (I) \\ 5 x & + y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$5 x + y$	=	$- 13$
$y + 5 x$	=	$- 13$	\| $- 5 x$
$y$	=	$- 13 - 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 0 & (I) \\ + y & = & (- 13 - 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 13 - 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 2 \cdot (- 13 - 5 x)$	=	0
$- 3 x - 26 - 10 x$	=	0
$- 13 x - 26$	=	0	\| $+ 26$
$- 13 x$	=	$26$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 13 - 5 \cdot (- 2)$

= $- 13 + 10$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - y & = & - 1 & (I) \\ - \frac{1}{5} x & + \frac{1}{3} y & = & \frac{1}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - y & = & - 1 & (I) \\ - \frac{1}{5} x & + \frac{1}{3} y & = & \frac{1}{5} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x - y$	=	$- 1$
$- y + x$	=	$- 1$	\| $- x$
$- y$	=	$- 1 - x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$1 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 + x) & (I) \\ - \frac{1}{5} x & + \frac{1}{3} y & = & \frac{1}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{5} x + \frac{1}{3} \cdot (1 + x)$	=	$\frac{1}{5}$
$- \frac{1}{5} x + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} x$	=	$\frac{1}{5}$
$\frac{2}{15} x + \frac{1}{3}$	=	$\frac{1}{5}$	\|⋅ 15
$15 (\frac{2}{15} x + \frac{1}{3})$	=	$3$
$2 x + 5$	=	$3$	\| $- 5$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1 - 1$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -1y = ?

-1x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

3x -1y = -6 -5 = -11

-1x -3y = 2 -15 = -13

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -1y = -11

-1x -3y = -13

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 2 & (I) \\ - 6 x & - 8 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 2 & (I) \\ - 6 x & - 8 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 4 y$	=	$2$
$4 y + 3 x$	=	$2$	\| $- 3 x$
$4 y$	=	$2 - 3 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{1}{2} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{2} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 6 x & - 8 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 6 x - 8 \cdot (\frac{1}{2} - \frac{3}{4} x)$	=	$- 4$
$- 6 x - 4 + 6 x$	=	$- 4$
$- 4$	=	$- 4$	\| $+ 4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 520 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 140 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 520 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & 140 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 2 y$	=	$520$
$- 2 y + 4 x$	=	$520$	\| $- 4 x$
$- 2 y$	=	$520 - 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 260 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 260 + 2 x) & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & 140 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 260 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 4 \cdot (- 260 + 2 x)$	=	$140$
$2 x + 1 040 - 8 x$	=	$140$
$- 6 x + 1 040$	=	$140$	\| $- 1 040$
$- 6 x$	=	$- 900$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 260 + 2 \cdot 150$

= $- 260 + 300$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (150|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-2) und B(3|2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(3|2): 2 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
2 = 9 +3b +c |-9

-3 = 1b +c
-7 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 7$
$c + 3 b$	=	$- 7$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 7 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 7 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 7 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 7 - 3 b)$	=	$- 3$
$b - 7 - 3 b$	=	$- 3$
$- 2 b - 7$	=	$- 3$	\| $+ 7$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 7 - 3 \cdot (- 2)$

= $- 7 + 6$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-3) und B(-2|18) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|18): 18 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 +1b +c |-1
18 = 4 -2b +c |-4

-4 = 1b +c
14 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$14$
$c - 2 b$	=	$14$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$14 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (14 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $14 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (14 + 2 b)$	=	$- 4$
$b + 14 + 2 b$	=	$- 4$
$3 b + 14$	=	$- 4$	\| $- 14$
$3 b$	=	$- 18$	\|: $3$
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $14 + 2 \cdot (- 6)$

= $14 - 12$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 2$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 + 2$

= ${(x - 3)}^{2} - 7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 + 2$ = $9 - 18 + 2$ = -7

also: S(3|-7).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg