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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 3 y$ = $- 3$ .

Bestimme y so, dass (6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$2 \cdot 6 + 3 y$ = $- 3$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2 \cdot 6 + 3 y$	=	$- 3$
$12 + 3 y$	=	$- 3$
$3 y + 12$	=	$- 3$	\| $- 12$
$3 y$	=	$- 15$	\|: $3$
$y$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (6|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 3 y$ = $7$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|1)
denn 2⋅5 -3⋅1 = 10 -3 = $7$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-1)
denn 2⋅2 -3⋅( - 1 ) = 4 +3 = $7$

Oder : (8|3)
denn 2⋅8 -3⋅3 = 16 -9 = $7$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 4 y & = & - 8 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 4 y & = & - 8 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4 y$	=	$- 8$	\|: $4$
$y$	=	$- 2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 2 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 3 \cdot (- 2)$	=	$14$
$4 x - 6$	=	$14$	\| $+ 6$
$4 x$	=	$20$	\|: $4$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 2$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 31 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 31 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 11$
$y - 4 x$	=	$- 11$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 11 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 31 & (I) \\ + y & = & (- 11 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 11 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 3 \cdot (- 11 + 4 x)$	=	$- 31$
$- 4 x + 33 - 12 x$	=	$- 31$
$- 16 x + 33$	=	$- 31$	\| $- 33$
$- 16 x$	=	$- 64$	\|:( $- 16$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 11 + 4 \cdot 4$

= $- 11 + 16$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 18 & (I) \\ x & + 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 18 & (I) \\ x & + 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$12$	\| $- 2 y$
$x$	=	$12 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 18 & (I) \\ x & = & (12 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $12 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (12 - 2 y) - 2 y$	=	$- 18$
$- 48 + 8 y - 2 y$	=	$- 18$
$6 y - 48$	=	$- 18$	\| $+ 48$
$6 y$	=	$30$	\|: $6$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $12 - 2 \cdot 5$

= $12 - 10$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{3}{5} x & - y & = & \frac{14}{5} & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{3}{5} x & - y & = & \frac{14}{5} & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$\frac{3}{5} x - y$	=	$\frac{14}{5}$
$- y + \frac{3}{5} x$	=	$\frac{14}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- y + \frac{3}{5} x)$	=	$14$
$- 5 y + 3 x$	=	$14$	\| $- 3 x$
$- 5 y$	=	$14 - 3 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- \frac{14}{5} + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{14}{5} + \frac{3}{5} x) & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{14}{5} + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (- \frac{14}{5} + \frac{3}{5} x)$	=	$6$
$3 x + \frac{42}{5} - \frac{9}{5} x$	=	$6$
$\frac{6}{5} x + \frac{42}{5}$	=	$6$	\|⋅ 5
$5 (\frac{6}{5} x + \frac{42}{5})$	=	$30$
$6 x + 42$	=	$30$	\| $- 42$
$6 x$	=	$- 12$	\|: $6$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{14}{5} + \frac{3}{5} \cdot (- 2)$

= $- \frac{14}{5} - \frac{6}{5}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -4y = ?

4x -19y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

1x -4y = -2 +4 = 2

4x -19y = -8 +19 = 11

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -4y = 2

4x -19y = 11

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & 12 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & 12 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 4 y$	=	$12$
$4 y - 4 x$	=	$12$	\| $+ 4 x$
$4 y$	=	$12 + 4 x$	\|: $4$
$y$	=	$3 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3 + x) & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 3 \cdot (3 + x)$	=	$3$
$- 2 x + 9 + 3 x$	=	$3$
$x + 9$	=	$3$	\| $- 9$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3 - 6$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 106 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 5 Halogenleuchten zusammen 81 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 8 x & + 6 y & = & 106 & (I) \\ 3 x & + 5 y & = & 81 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x + 6 y$	=	$106$
$6 y + 8 x$	=	$106$	\| $- 8 x$
$6 y$	=	$106 - 8 x$	\|: $6$
$y$	=	$\frac{53}{3} - \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{53}{3} - \frac{4}{3} x) & (I) \\ 3 x & + 5 y & = & 81 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{53}{3} - \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 5 \cdot (\frac{53}{3} - \frac{4}{3} x)$	=	$81$
$3 x + \frac{265}{3} - \frac{20}{3} x$	=	$81$
$- \frac{11}{3} x + \frac{265}{3}$	=	$81$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{11}{3} x + \frac{265}{3})$	=	$243$
$- 11 x + 265$	=	$243$	\| $- 265$
$- 11 x$	=	$- 22$	\|:( $- 11$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{53}{3} - \frac{4}{3} \cdot 2$

= $\frac{53}{3} - \frac{8}{3}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (2|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|1) und B(-4|10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|1): 1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|10): 10 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 -1b +c |-1
10 = 16 -4b +c |-16

0 = -1b +c
-6 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 6$
$c - 4 b$	=	$- 6$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 6 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (- 6 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 6 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 6 + 4 b)$	=	0
$- b - 6 + 4 b$	=	0
$3 b - 6$	=	0	\| $+ 6$
$3 b$	=	$6$	\|: $3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 6 + 4 \cdot 2$

= $- 6 + 8$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-10) und B(-2|17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-10): -10 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|17): 17 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 +1b +c |-1
17 = 4 -2b +c |-4

-11 = 1b +c
13 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$13$
$c - 2 b$	=	$13$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$13 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (13 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (13 + 2 b)$	=	$- 11$
$b + 13 + 2 b$	=	$- 11$
$3 b + 13$	=	$- 11$	\| $- 13$
$3 b$	=	$- 24$	\|: $3$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13 + 2 \cdot (- 8)$

= $13 - 16$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-3)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 3$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 3$

= ${(x - 4)}^{2} - 19$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-19).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 3$ = $16 - 32 - 3$ = -19

also: S(4|-19).

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