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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 2 y$ = $12$ .

Bestimme x so, dass (x|1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x - 2 \cdot 1$ = $12$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot 1$	=	$12$
$2 x - 2$	=	$12$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$14$	\|: $2$
$x$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (7|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - y$ = $10$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-5)
denn 1⋅5 -1⋅( - 5 ) = 5 +5 = $10$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-6)
denn 1⋅4 -1⋅( - 6 ) = 4 +6 = $10$

Oder : (6|-4)
denn 1⋅6 -1⋅( - 4 ) = 6 +4 = $10$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 y & = & 24 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 23 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 y & = & 24 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 23 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 6 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 23 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x - 3 \cdot (- 6)$	=	$23$
$- x + 18$	=	$23$	\| $- 18$
$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 18 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 18 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 18$
$y - 4 x$	=	$- 18$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 18 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 18 + 4 x) & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 18 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 3 \cdot (- 18 + 4 x)$	=	$- 4$
$- 2 x - 54 + 12 x$	=	$- 4$
$10 x - 54$	=	$- 4$	\| $+ 54$
$10 x$	=	$50$	\|: $10$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 18 + 4 \cdot 5$

= $- 18 + 20$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 12 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 12 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 3 y$	=	$12$
$3 y - 2 x$	=	$12$	\| $+ 2 x$
$3 y$	=	$12 + 2 x$	\|: $3$
$y$	=	$4 + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (4 + \frac{2}{3} x) & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4 + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 5 \cdot (4 + \frac{2}{3} x)$	=	$30$
$- 5 x + 20 + \frac{10}{3} x$	=	$30$
$- \frac{5}{3} x + 20$	=	$30$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{5}{3} x + 20)$	=	$90$
$- 5 x + 60$	=	$90$	\| $- 60$
$- 5 x$	=	$30$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4 + \frac{2}{3} \cdot (- 6)$

= $4 - 4$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3 y$	=	$x + 7$			(I)
$4 y$	=	$- 3 x + 5$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3 y$	=	$x + 7$	\| $- x$		(I)
$4 y$	=	$- 3 x + 5$	\| + $3 x$		(II)

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & 7 & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 3 y$	=	$7$	\| $- 3 y$
$- x$	=	$7 - 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 7 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 7 + 3 y) & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 7 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 7 + 3 y) + 4 y$	=	$5$
$- 21 + 9 y + 4 y$	=	$5$
$13 y - 21$	=	$5$	\| $+ 21$
$13 y$	=	$26$	\|: $13$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 7 + 3 \cdot 2$

= $- 7 + 6$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -1y = ?

-1x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-2x -1y = 6 +3 = 9

-1x -3y = 3 +9 = 12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -1y = 9

-1x -3y = 12

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ - 12 x & + 8 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ - 12 x & + 8 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 2 y$	=	$2$
$- 2 y + 3 x$	=	$2$	\| $- 3 x$
$- 2 y$	=	$2 - 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 1 + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 + \frac{3}{2} x) & (I) \\ - 12 x & + 8 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 12 x + 8 \cdot (- 1 + \frac{3}{2} x)$	=	$- 6$
$- 12 x - 8 + 12 x$	=	$- 6$
$- 8$	=	$- 6$	\| $+ 8$
0	=	$2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 4. Wenn man aber vom 3-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 3. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 4 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$4$	\| $- 2 y$
$x$	=	$4 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (4 - 2 y) & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $4 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (4 - 2 y) - 3 y$	=	$3$
$12 - 6 y - 3 y$	=	$3$
$- 9 y + 12$	=	$3$	\| $- 12$
$- 9 y$	=	$- 9$	\|:( $- 9$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $4 - 2 \cdot 1$

= $4 - 2$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 1

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-2) und B(2|-1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-1): -1 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
-1 = 4 +2b +c |-4

-3 = 1b +c
-5 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 5$
$c + 2 b$	=	$- 5$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 5 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 5 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 5 - 2 b)$	=	$- 3$
$b - 5 - 2 b$	=	$- 3$
$- b - 5$	=	$- 3$	\| $+ 5$
$- b$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 - 2 \cdot (- 2)$

= $- 5 + 4$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|7) und B(3|23) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|7): 7 = 1² + b⋅1 +c

B(3|23): 23 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 +1b +c |-1
23 = 9 +3b +c |-9

6 = 1b +c
14 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 6 & (I) \\ 3 b & + c & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$14$
$c + 3 b$	=	$14$	\| $- 3 b$
$c$	=	$14 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (14 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $14 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (14 - 3 b)$	=	$6$
$b + 14 - 3 b$	=	$6$
$- 2 b + 14$	=	$6$	\| $- 14$
$- 2 b$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $14 - 3 \cdot 4$

= $14 - 12$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 + 2$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 + 2$

= ${(x + 2)}^{2} - 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 2$ = $4 - 8 + 2$ = -2

also: S(-2|-2).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg