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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - y$ = $3$ .

Bestimme y so, dass (-5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$- (- 5) - y$ = $3$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- (- 5) - y$	=	$3$
$5 - y$	=	$3$
$- y + 5$	=	$3$	\| $- 5$
$- y$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (-5|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + y$ = $8$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|-1)
denn -3⋅( - 3 ) +1⋅( - 1 ) = 9 -1 = $8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|2)
denn -3⋅( - 2 ) +1⋅2 = 6 +2 = $8$

Oder : (-4|-4)
denn -3⋅( - 4 ) +1⋅( - 4 ) = 12 -4 = $8$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & = & - 8 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 32 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & = & - 8 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 32 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 4 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 32 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 4) + 4 y$	=	$32$
$12 + 4 y$	=	$32$
$4 y + 12$	=	$32$	\| $- 12$
$4 y$	=	$20$	\|: $4$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 11 & (I) \\ 4 x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 11 & (I) \\ 4 x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x - y$	=	0
$- y + 4 x$	=	0	\| $- 4 x$
$- y$	=	$- 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 11 & (I) \\ + y & = & 4 x & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $4 x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 3 \cdot 4 x$	=	$- 11$
$x - 12 x$	=	$- 11$
$- 11 x$	=	$- 11$	\|:( $- 11$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $4 \cdot 1$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 13 & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 13 & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$- 13$
$y - 2 x$	=	$- 13$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$- 13 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 13 + 2 x) & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 13 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 4 \cdot (- 13 + 2 x)$	=	$- 8$
$- 2 x + 52 - 8 x$	=	$- 8$
$- 10 x + 52$	=	$- 8$	\| $- 52$
$- 10 x$	=	$- 60$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 13 + 2 \cdot 6$

= $- 13 + 12$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$6 x - 1$	=	$5 x - 2 + y$			(I)
0	=	$- x + 1 + 2 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$6 x - 1$	=	$5 x - 2 + y$	\| + $1 - 5 x - y$		(I)
0	=	$- x + 1 + 2 y$	\| + $x - 2 y$		(II)

\begin{matrix} x & - y & = & - 1 & (I) \\ x & - 2 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$1$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$1 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - y & = & - 1 & (I) \\ x & = & (1 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $1 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (1 + 2 y) - y$	=	$- 1$
$1 + 2 y - y$	=	$- 1$
$y + 1$	=	$- 1$	\| $- 1$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $1 + 2 \cdot (- 2)$

= $1 - 4$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +1y = ?

-8x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-4x +1y = 8 -2 = 6

-8x +3y = 16 -6 = 10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +1y = 6

-8x +3y = 10

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 4 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 4 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$- 8$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$- 8 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 4 & (I) \\ x & = & (- 8 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 8 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 8 + 2 y) - y$	=	$- 4$
$- 24 + 6 y - y$	=	$- 4$
$5 y - 24$	=	$- 4$	\| $+ 24$
$5 y$	=	$20$	\|: $5$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 8 + 2 \cdot 4$

= $- 8 + 8$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 5 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1395 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1095 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 3 y & = & 1395 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 1095 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 3 y$	=	$1395$
$- 3 y + 5 x$	=	$1395$	\| $- 5 x$
$- 3 y$	=	$1395 - 5 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 465 + \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 465 + \frac{5}{3} x) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 1095 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 465 + \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot (- 465 + \frac{5}{3} x)$	=	$1095$
$4 x + 1 395 - 5 x$	=	$1095$
$- x + 1 395$	=	$1095$	\| $- 1 395$
$- x$	=	$- 300$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 465 + \frac{5}{3} \cdot 300$

= $- 465 + 500$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (300|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-2) und B(4|1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(4|1): 1 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
1 = 16 +4b +c |-16

-3 = 1b +c
-15 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 15$
$c + 4 b$	=	$- 15$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 15 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 15 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 15 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 15 - 4 b)$	=	$- 3$
$b - 15 - 4 b$	=	$- 3$
$- 3 b - 15$	=	$- 3$	\| $+ 15$
$- 3 b$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 15 - 4 \cdot (- 4)$

= $- 15 + 16$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|5) und B(-4|38) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|5): 5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|38): 38 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 -1b +c |-1
38 = 16 -4b +c |-16

4 = -1b +c
22 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$22$
$c - 4 b$	=	$22$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$22 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (22 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $22 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (22 + 4 b)$	=	$4$
$- b + 22 + 4 b$	=	$4$
$3 b + 22$	=	$4$	\| $- 22$
$3 b$	=	$- 18$	\|: $3$
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $22 + 4 \cdot (- 6)$

= $22 - 24$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 - 2$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 - 2$

= ${(x - 3)}^{2} - 11$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-11).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 - 2$ = $9 - 18 - 2$ = -11

also: S(3|-11).

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Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS (Standard)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg