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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 5 y$ = $24$ .

Bestimme y so, dass (-7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 \cdot (- 7) - 5 y$ = $24$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 7) - 5 y$	=	$24$
$14 - 5 y$	=	$24$
$- 5 y + 14$	=	$24$	\| $- 14$
$- 5 y$	=	$10$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (-7|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 2 y$ = $- 4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|4)
denn 4⋅( - 3 ) +2⋅4 = -12 +8 = $- 4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|0)
denn 4⋅( - 1 ) +2⋅0 = -4 +0 = $- 4$

Oder : (-5|8)
denn 4⋅( - 5 ) +2⋅8 = -20 +16 = $- 4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 4 y & = & - 12 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 4 y & = & - 12 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4 y$	=	$- 12$	\|: $4$
$y$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 3 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (- 3)$	=	$- 8$
$2 x - 6$	=	$- 8$	\| $+ 6$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$6$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$6 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (6 + 2 y) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $6 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (6 + 2 y) - 3 y$	=	$14$
$24 + 8 y - 3 y$	=	$14$
$5 y + 24$	=	$14$	\| $- 24$
$5 y$	=	$- 10$	\|: $5$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $6 + 2 \cdot (- 2)$

= $6 - 4$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 20 & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 20 & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 2 y$	=	$20$
$- 2 y - 2 x$	=	$20$	\| $+ 2 x$
$- 2 y$	=	$20 + 2 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 10 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 10 - x) & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 10 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 5 \cdot (- 10 - x)$	=	$- 10$
$- 3 x - 50 - 5 x$	=	$- 10$
$- 8 x - 50$	=	$- 10$	\| $+ 50$
$- 8 x$	=	$40$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 10 - (- 5)$

= $- 10 + 5$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$4 x$	=	$4 (1 - y)$			(I)
$- 3 x - 2 (1 + 2 y)$	=	$- 1$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$4 x$	=	$4 (1 - y)$			(I)
$- 3 x - 2 (1 + 2 y)$	=	$- 1$			(II)

$4 x$	=	$4 - 4 y$	\| + $4 y$		(I)
$- 3 x - 2 - 4 y$	=	$- 1$	\| + $2$		(II)

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 4 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 4 y$	=	$4$
$4 y + 4 x$	=	$4$	\| $- 4 x$
$4 y$	=	$4 - 4 x$	\|: $4$
$y$	=	$1 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 - x) & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (1 - x)$	=	$1$
$- 3 x - 4 + 4 x$	=	$1$
$x - 4$	=	$1$	\| $+ 4$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1 - 5$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -2y = ?

-4x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-2x -2y = 4 -6 = -2

-4x -2y = 8 -6 = 2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -2y = -2

-4x -2y = 2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 3 & (I) \\ 2 x & - y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 3 & (I) \\ 2 x & - y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x - y$	=	$3$
$- y + 2 x$	=	$3$	\| $- 2 x$
$- y$	=	$3 - 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 3 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 3 & (I) \\ + y & = & (- 3 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 3 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 1 \cdot (- 3 + 2 x)$	=	$3$
$- 4 x + 3 - 2 x$	=	$3$
$- 6 x + 3$	=	$3$	\| $- 3$
$- 6 x$	=	0	\|:( $- 6$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 3 + 2 \cdot (0)$

= $- 3 + 0$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 440 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 480 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 4 y & = & 440 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 480 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 4 y$	=	$440$
$- 4 y + 2 x$	=	$440$	\| $- 2 x$
$- 4 y$	=	$440 - 2 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 110 + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 110 + \frac{1}{2} x) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 480 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 110 + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (- 110 + \frac{1}{2} x)$	=	$480$
$2 x + 330 - \frac{3}{2} x$	=	$480$
$\frac{1}{2} x + 330$	=	$480$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x + 330)$	=	$960$
$x + 660$	=	$960$	\| $- 660$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 110 + \frac{1}{2} \cdot 300$

= $- 110 + 150$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (300|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-1) und B(2|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-1): -1 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-4): -4 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 +1b +c |-1
-4 = 4 +2b +c |-4

-2 = 1b +c
-8 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 2 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 8$
$c + 2 b$	=	$- 8$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 8 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (- 8 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 8 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 8 - 2 b)$	=	$- 2$
$b - 8 - 2 b$	=	$- 2$
$- b - 8$	=	$- 2$	\| $+ 8$
$- b$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 8 - 2 \cdot (- 6)$

= $- 8 + 12$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-5) und B(-2|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-4): -4 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 -1b +c |-1
-4 = 4 -2b +c |-4

-6 = -1b +c
-8 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 8$
$c - 2 b$	=	$- 8$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 8 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 8 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 8 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 8 + 2 b)$	=	$- 6$
$- b - 8 + 2 b$	=	$- 6$
$b - 8$	=	$- 6$	\| $+ 8$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 8 + 2 \cdot 2$

= $- 8 + 4$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 4$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 4$

= ${(x + 1)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 4$ = $1 - 2 - 4$ = -5

also: S(-1|-5).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg