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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 3 y$ = $- 4$ .

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$5 \cdot (- 2) - 3 y$ = $- 4$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5 \cdot (- 2) - 3 y$	=	$- 4$
$- 10 - 3 y$	=	$- 4$
$- 3 y - 10$	=	$- 4$	\| $+ 10$
$- 3 y$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (-2|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - 3 y$ = $11$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|-5)
denn -4⋅1 -3⋅( - 5 ) = -4 +15 = $11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-1)
denn -4⋅( - 2 ) -3⋅( - 1 ) = 8 +3 = $11$

Oder : (4|-9)
denn -4⋅4 -3⋅( - 9 ) = -16 +27 = $11$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 1 & (I) \\ - 4 x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 1 & (I) \\ - 4 x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 1 & (I) \\ x & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot 1 + y$	=	$- 1$
$- 3 + y$	=	$- 1$
$y - 3$	=	$- 1$	\| $+ 3$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 14 & (I) \\ x & + 2 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 14 & (I) \\ x & + 2 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$7$	\| $- 2 y$
$x$	=	$7 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 14 & (I) \\ x & = & (7 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $7 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (7 - 2 y) + y$	=	$- 14$
$- 21 + 6 y + y$	=	$- 14$
$7 y - 21$	=	$- 14$	\| $+ 21$
$7 y$	=	$7$	\|: $7$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $7 - 2 \cdot 1$

= $7 - 2$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 7 & (I) \\ x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 7 & (I) \\ x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$6$	\| $- 2 y$
$x$	=	$6 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 7 & (I) \\ x & = & (6 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $6 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (6 - 2 y) + y$	=	$- 7$
$- 12 + 4 y + y$	=	$- 7$
$5 y - 12$	=	$- 7$	\| $+ 12$
$5 y$	=	$5$	\|: $5$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $6 - 2 \cdot 1$

= $6 - 2$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{3} x & - y & = & - \frac{14}{3} & (I) \\ 3 x & - \frac{3}{5} y & = & \frac{18}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{3} x & - y & = & - \frac{14}{3} & (I) \\ 3 x & - \frac{3}{5} y & = & \frac{18}{5} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{1}{3} x - y$	=	$- \frac{14}{3}$
$- y - \frac{1}{3} x$	=	$- \frac{14}{3}$	\|⋅ 3
$3 (- y - \frac{1}{3} x)$	=	$- 14$
$- 3 y - x$	=	$- 14$	\| $+ x$
$- 3 y$	=	$- 14 + x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$\frac{14}{3} - \frac{1}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{14}{3} - \frac{1}{3} x) & (I) \\ 3 x & - \frac{3}{5} y & = & \frac{18}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{14}{3} - \frac{1}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - \frac{3}{5} \cdot (\frac{14}{3} - \frac{1}{3} x)$	=	$\frac{18}{5}$
$3 x - \frac{14}{5} + \frac{1}{5} x$	=	$\frac{18}{5}$
$\frac{16}{5} x - \frac{14}{5}$	=	$\frac{18}{5}$	\|⋅ 5
$5 (\frac{16}{5} x - \frac{14}{5})$	=	$18$
$16 x - 14$	=	$18$	\| $+ 14$
$16 x$	=	$32$	\|: $16$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{14}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2$

= $\frac{14}{3} - \frac{2}{3}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +5y = ?

6x +7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

3x +5y = -9 -5 = -14

6x +7y = -18 -7 = -25

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +5y = -14

6x +7y = -25

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & 2 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & 2 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 5 y$	=	$2$
$- 5 y - 3 x$	=	$2$	\| $+ 3 x$
$- 5 y$	=	$2 + 3 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- \frac{2}{5} - \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{2}{5} - \frac{3}{5} x) & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{2}{5} - \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 2 \cdot (- \frac{2}{5} - \frac{3}{5} x)$	=	$- 8$
$3 x - \frac{4}{5} - \frac{6}{5} x$	=	$- 8$
$\frac{9}{5} x - \frac{4}{5}$	=	$- 8$	\|⋅ 5
$5 (\frac{9}{5} x - \frac{4}{5})$	=	$- 40$
$9 x - 4$	=	$- 40$	\| $+ 4$
$9 x$	=	$- 36$	\|: $9$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{2}{5} - \frac{3}{5} \cdot (- 4)$

= $- \frac{2}{5} + \frac{12}{5}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 276 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 2 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 372 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 6 y & = & 276 & (I) \\ 2 x & + 9 y & = & 372 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 6 y$	=	$276$
$6 y + 6 x$	=	$276$	\| $- 6 x$
$6 y$	=	$276 - 6 x$	\|: $6$
$y$	=	$46 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (46 - x) & (I) \\ 2 x & + 9 y & = & 372 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $46 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 9 \cdot (46 - x)$	=	$372$
$2 x + 414 - 9 x$	=	$372$
$- 7 x + 414$	=	$372$	\| $- 414$
$- 7 x$	=	$- 42$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $46 - 6$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (6|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-3) und B(2|-8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-8): -8 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 +1b +c |-1
-8 = 4 +2b +c |-4

-4 = 1b +c
-12 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 12$
$c + 2 b$	=	$- 12$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 12 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (- 12 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 12 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 12 - 2 b)$	=	$- 4$
$b - 12 - 2 b$	=	$- 4$
$- b - 12$	=	$- 4$	\| $+ 12$
$- b$	=	$8$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 12 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 12 + 16$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|4)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|9) und B(-3|29) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|29): 29 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 -1b +c |-1
29 = 9 -3b +c |-9

8 = -1b +c
20 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$20$
$c - 3 b$	=	$20$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$20 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (20 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $20 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (20 + 3 b)$	=	$8$
$- b + 20 + 3 b$	=	$8$
$2 b + 20$	=	$8$	\| $- 20$
$2 b$	=	$- 12$	\|: $2$
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $20 + 3 \cdot (- 6)$

= $20 - 18$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 2$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 + 2$

= ${(x - 3)}^{2} - 7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 + 2$ = $9 - 18 + 2$ = -7

also: S(3|-7).

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1. Weg

2. Weg