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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 4 y$ = $22$ .

Bestimme x so, dass (x|-4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$3 x - 4 \cdot (- 4)$ = $22$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3 x - 4 \cdot (- 4)$	=	$22$
$3 x + 16$	=	$22$	\| $- 16$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (2|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 2 y$ = $4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|3)
denn 5⋅2 -2⋅3 = 10 -6 = $4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|-2)
denn 5⋅0 -2⋅( - 2 ) = 0 +4 = $4$

Oder : (4|8)
denn 5⋅4 -2⋅8 = 20 -16 = $4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 36 & (I) \\ - 2 x & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 36 & (I) \\ - 2 x & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 36 & (I) \\ x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 4) + 4 y$	=	$36$
$12 + 4 y$	=	$36$
$4 y + 12$	=	$36$	\| $- 12$
$4 y$	=	$24$	\|: $4$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ x & - 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ x & - 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$14$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$14 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ x & = & (14 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $14 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (14 + 2 y) + 2 y$	=	$- 2$
$14 + 2 y + 2 y$	=	$- 2$
$4 y + 14$	=	$- 2$	\| $- 14$
$4 y$	=	$- 16$	\|: $4$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $14 + 2 \cdot (- 4)$

= $14 - 8$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 34 & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & - 55 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 34 & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & - 55 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 2 y$	=	$- 34$
$- 2 y - 4 x$	=	$- 34$	\| $+ 4 x$
$- 2 y$	=	$- 34 + 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$17 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (17 - 2 x) & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & - 55 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $17 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 5 \cdot (17 - 2 x)$	=	$- 55$
$- 5 x - 85 + 10 x$	=	$- 55$
$5 x - 85$	=	$- 55$	\| $+ 85$
$5 x$	=	$30$	\|: $5$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $17 - 2 \cdot 6$

= $17 - 12$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & + \frac{2}{5} y & = & - \frac{1}{2} & (I) \\ \frac{1}{5} x & + \frac{1}{3} y & = & - \frac{34}{15} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & + \frac{2}{5} y & = & - \frac{1}{2} & (I) \\ \frac{1}{5} x & + \frac{1}{3} y & = & - \frac{34}{15} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{1}{2} x + \frac{2}{5} y$	=	$- \frac{1}{2}$
$\frac{2}{5} y - \frac{1}{2} x$	=	$- \frac{1}{2}$	\|⋅ 10
$10 (\frac{2}{5} y - \frac{1}{2} x)$	=	$- 5$
$4 y - 5 x$	=	$- 5$	\| $+ 5 x$
$4 y$	=	$- 5 + 5 x$	\|: $4$
$y$	=	$- \frac{5}{4} + \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{5}{4} + \frac{5}{4} x) & (I) \\ \frac{1}{5} x & + \frac{1}{3} y & = & - \frac{34}{15} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{5}{4} + \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{5} x + \frac{1}{3} \cdot (- \frac{5}{4} + \frac{5}{4} x)$	=	$- \frac{34}{15}$
$\frac{1}{5} x - \frac{5}{12} + \frac{5}{12} x$	=	$- \frac{34}{15}$
$\frac{37}{60} x - \frac{5}{12}$	=	$- \frac{34}{15}$	\|⋅ 60
$60 (\frac{37}{60} x - \frac{5}{12})$	=	$- 136$
$37 x - 25$	=	$- 136$	\| $+ 25$
$37 x$	=	$- 111$	\|: $37$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- 3)$

= $- \frac{5}{4} - \frac{15}{4}$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -3y = ?

5x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

3x -3y = -15 -3 = -18

5x -2y = -25 -2 = -27

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -3y = -18

5x -2y = -27

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 12 x & + 9 y & = & - 8 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 12 x & + 9 y & = & - 8 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$12 x + 9 y$	=	$- 8$
$9 y + 12 x$	=	$- 8$	\| $- 12 x$
$9 y$	=	$- 8 - 12 x$	\|: $9$
$y$	=	$- \frac{8}{9} - \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{8}{9} - \frac{4}{3} x) & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{8}{9} - \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 3 \cdot (- \frac{8}{9} - \frac{4}{3} x)$	=	$3$
$- 4 x + \frac{8}{3} + 4 x$	=	$3$
$\frac{8}{3}$	=	$3$	\| $- \frac{8}{3}$
0	=	$\frac{1}{3}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1080 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 450 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 1080 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 450 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 4 y$	=	$1080$
$- 4 y + 4 x$	=	$1080$	\| $- 4 x$
$- 4 y$	=	$1080 - 4 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 270 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 270 + x) & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 450 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 270 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot (- 270 + x)$	=	$450$
$2 x + 1 350 - 5 x$	=	$450$
$- 3 x + 1 350$	=	$450$	\| $- 1 350$
$- 3 x$	=	$- 900$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 270 + 300$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|6) und B(1|-14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|6): 6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-14): -14 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 -1b +c |-1
-14 = 1 +1b +c |-1

5 = -1b +c
-15 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ b & + c & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 15$
$c + b$	=	$- 15$	\| $- b$
$c$	=	$- 15 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (- 15 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 15 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 15 - b)$	=	$5$
$- b - 15 - b$	=	$5$
$- 2 b - 15$	=	$5$	\| $+ 15$
$- 2 b$	=	$20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 15 - (- 10)$

= $- 15 + 10$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-5)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-7) und B(1|13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-7): -7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|13): 13 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 -1b +c |-1
13 = 1 +1b +c |-1

-8 = -1b +c
12 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ b & + c & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$12$
$c + b$	=	$12$	\| $- b$
$c$	=	$12 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ + c & = & (12 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $12 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (12 - b)$	=	$- 8$
$- b + 12 - b$	=	$- 8$
$- 2 b + 12$	=	$- 8$	\| $- 12$
$- 2 b$	=	$- 20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $12 - 10$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (10|2)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 2$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 2$

= ${(x + 5)}^{2} - 23$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-23).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 2$ = $25 - 50 + 2$ = -23

also: S(-5|-23).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg