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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 3 y$ = $- 3$ .

Bestimme x so, dass (x|-2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 x - 3 \cdot (- 2)$ = $- 3$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 3 x - 3 \cdot (- 2)$	=	$- 3$
$- 3 x + 6$	=	$- 3$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 2 y$ = $- 11$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|2)
denn -1⋅7 -2⋅2 = -7 -4 = $- 11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|3)
denn -1⋅5 -2⋅3 = -5 -6 = $- 11$

Oder : (9|1)
denn -1⋅9 -2⋅1 = -9 -2 = $- 11$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 3 y & = & 6 & (I) \\ - x & + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 3 y & = & 6 & (I) \\ - x & + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$6$	\|: $3$
$y$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 2 & (I) \\ - x & + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 1 \cdot 2$	=	$6$
$- x + 2$	=	$6$	\| $- 2$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 6 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 6 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 6$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 6 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 6 & (I) \\ x & = & (- 6 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 6 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 6 - 2 y) - 4 y$	=	$6$
$- 6 - 2 y - 4 y$	=	$6$
$- 6 y - 6$	=	$6$	\| $+ 6$
$- 6 y$	=	$12$	\|:( $- 6$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 6 - 2 \cdot (- 2)$

= $- 6 + 4$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 28 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 28 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$- 25$	\| $- 4 y$
$x$	=	$- 25 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 28 & (I) \\ x & = & (- 25 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 25 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 25 - 4 y) + 4 y$	=	$- 28$
$- 100 - 16 y + 4 y$	=	$- 28$
$- 12 y - 100$	=	$- 28$	\| $+ 100$
$- 12 y$	=	$72$	\|:( $- 12$ )
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 25 - 4 \cdot (- 6)$

= $- 25 + 24$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

0	=	$2 (x + 10) + 4 y$			(I)
$2 x + y$	=	$x - 5$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

0	=	$2 (x + 10) + 4 y$			(I)
$2 x + y$	=	$x - 5$			(II)

0	=	$2 x + 20 + 4 y$	\| $- 2 x - 4 y$		(I)
$2 x + y$	=	$x - 5$	\| $- x$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 20 & (I) \\ x & + y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x + y$	=	$- 5$
$y + x$	=	$- 5$	\| $- x$
$y$	=	$- 5 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 20 & (I) \\ + y & = & (- 5 - x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 5 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 4 \cdot (- 5 - x)$	=	$20$
$- 2 x + 20 + 4 x$	=	$20$
$2 x + 20$	=	$20$	\| $- 20$
$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 5 - 0$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +5y = ?

5x +15y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

2x +5y = -2 -25 = -27

5x +15y = -5 -75 = -80

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +5y = -27

5x +15y = -80

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & - 30 & (I) \\ - 5 x & - 2 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & - 30 & (I) \\ - 5 x & - 2 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 5 y$	=	$- 30$
$- 5 y + 2 x$	=	$- 30$	\| $- 2 x$
$- 5 y$	=	$- 30 - 2 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$6 + \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (6 + \frac{2}{5} x) & (I) \\ - 5 x & - 2 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $6 + \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 2 \cdot (6 + \frac{2}{5} x)$	=	$17$
$- 5 x - 12 - \frac{4}{5} x$	=	$17$
$- \frac{29}{5} x - 12$	=	$17$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{29}{5} x - 12)$	=	$85$
$- 29 x - 60$	=	$85$	\| $+ 60$
$- 29 x$	=	$145$	\|:( $- 29$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $6 + \frac{2}{5} \cdot (- 5)$

= $6 - 2$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1000 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1340 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 5 y & = & 1000 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 1340 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 5 y$	=	$1000$
$- 5 y + 4 x$	=	$1000$	\| $- 4 x$
$- 5 y$	=	$1000 - 4 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 200 + \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 200 + \frac{4}{5} x) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 1340 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 200 + \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 4 \cdot (- 200 + \frac{4}{5} x)$	=	$1340$
$5 x + 800 - \frac{16}{5} x$	=	$1340$
$\frac{9}{5} x + 800$	=	$1340$	\|⋅ 5
$5 (\frac{9}{5} x + 800)$	=	$6 700$
$9 x + 4 000$	=	$6 700$	\| $- 4 000$
$9 x$	=	$2 700$	\|: $9$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 200 + \frac{4}{5} \cdot 300$

= $- 200 + 240$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (300|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-5) und B(3|-17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-17): -17 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
-17 = 9 +3b +c |-9

-6 = 1b +c
-26 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 26$
$c + 3 b$	=	$- 26$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 26 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 26 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 26 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 26 - 3 b)$	=	$- 6$
$b - 26 - 3 b$	=	$- 6$
$- 2 b - 26$	=	$- 6$	\| $+ 26$
$- 2 b$	=	$20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 26 - 3 \cdot (- 10)$

= $- 26 + 30$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|4)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|12) und B(2|-9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|12): 12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-9): -9 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 -1b +c |-1
-9 = 4 +2b +c |-4

11 = -1b +c
-13 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 11 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 13$
$c + 2 b$	=	$- 13$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 13 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 11 & (I) \\ + c & = & (- 13 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 13 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 13 - 2 b)$	=	$11$
$- b - 13 - 2 b$	=	$11$
$- 3 b - 13$	=	$11$	\| $+ 13$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 13 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 13 + 16$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|3)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 + 3$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 + 3$

= ${(x - 4)}^{2} - 13$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-13).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 + 3$ = $16 - 32 + 3$ = -13

also: S(4|-13).

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1. Weg

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