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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 3 y$ = $- 12$ .

Bestimme y so, dass (3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot 3 - 3 y$ = $- 12$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot 3 - 3 y$	=	$- 12$
$- 9 - 3 y$	=	$- 12$
$- 3 y - 9$	=	$- 12$	\| $+ 9$
$- 3 y$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (3|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 4 y$ = $- 36$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|-3)
denn 4⋅( - 6 ) +4⋅( - 3 ) = -24 -12 = $- 36$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-7)
denn 4⋅( - 2 ) +4⋅( - 7 ) = -8 -28 = $- 36$

Oder : (-10|1)
denn 4⋅( - 10 ) +4⋅1 = -40 +4 = $- 36$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & - 18 & (I) \\ - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & - 18 & (I) \\ - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & - 18 & (I) \\ + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 3 \cdot 2$	=	$- 18$
$- 3 x - 6$	=	$- 18$	\| $+ 6$
$- 3 x$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 11 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 11 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$- 11$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$- 11 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 11 + 2 y) & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 11 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 11 + 2 y) + 3 y$	=	$11$
$- 44 + 8 y + 3 y$	=	$11$
$11 y - 44$	=	$11$	\| $+ 44$
$11 y$	=	$55$	\|: $11$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 11 + 2 \cdot 5$

= $- 11 + 10$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 5 y & = & 3 & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 5 y & = & 3 & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 5 y$	=	$3$
$- 5 y + 3 x$	=	$3$	\| $- 3 x$
$- 5 y$	=	$3 - 3 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- \frac{3}{5} + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{3}{5} + \frac{3}{5} x) & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{3}{5} + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 3 \cdot (- \frac{3}{5} + \frac{3}{5} x)$	=	$- 21$
$- 5 x - \frac{9}{5} + \frac{9}{5} x$	=	$- 21$
$- \frac{16}{5} x - \frac{9}{5}$	=	$- 21$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{16}{5} x - \frac{9}{5})$	=	$- 105$
$- 16 x - 9$	=	$- 105$	\| $+ 9$
$- 16 x$	=	$- 96$	\|:( $- 16$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{3}{5} + \frac{3}{5} \cdot 6$

= $- \frac{3}{5} + \frac{18}{5}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 3 (1 + y)$	=	$3 x$			(I)
0	=	$3 x + 7 + 4 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 3 (1 + y)$	=	$3 x$			(I)
0	=	$3 x + 7 + 4 y$			(II)

$- 3 - 3 y$	=	$3 x$	\| + $3 - 3 x$		(I)
0	=	$3 x + 7 + 4 y$	\| $- 3 x - 4 y$		(II)

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & 3 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 3 y$	=	$3$
$- 3 y - 3 x$	=	$3$	\| $+ 3 x$
$- 3 y$	=	$3 + 3 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 1 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 - x) & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (- 1 - x)$	=	$7$
$- 3 x + 4 + 4 x$	=	$7$
$x + 4$	=	$7$	\| $- 4$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 - 3$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x -2y = ?

-1x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-3x -2y = 3 -8 = -5

-1x -4y = 1 -16 = -15

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x -2y = -5

-1x -4y = -15

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 8 x & - 16 y & = & - 4 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 8 x & - 16 y & = & - 4 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x - 16 y$	=	$- 4$
$- 16 y + 8 x$	=	$- 4$	\| $- 8 x$
$- 16 y$	=	$- 4 - 8 x$	\|:( $- 16$ )
$y$	=	$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} x) & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 4 \cdot (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} x)$	=	$1$
$- 2 x + 1 + 2 x$	=	$1$
$1$	=	$1$	\| $- 1$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 3 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 81 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 159 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 3 y & = & 81 & (I) \\ 4 x & + 9 y & = & 159 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 3 y$	=	$81$
$3 y + 6 x$	=	$81$	\| $- 6 x$
$3 y$	=	$81 - 6 x$	\|: $3$
$y$	=	$27 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (27 - 2 x) & (I) \\ 4 x & + 9 y & = & 159 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $27 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 9 \cdot (27 - 2 x)$	=	$159$
$4 x + 243 - 18 x$	=	$159$
$- 14 x + 243$	=	$159$	\| $- 243$
$- 14 x$	=	$- 84$	\|:( $- 14$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $27 - 2 \cdot 6$

= $27 - 12$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (6|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-8) und B(-3|-8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-8): -8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-8): -8 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 -1b +c |-1
-8 = 9 -3b +c |-9

-9 = -1b +c
-17 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 9 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 17$
$c - 3 b$	=	$- 17$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 17 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 9 & (I) \\ + c & = & (- 17 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 17 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 17 + 3 b)$	=	$- 9$
$- b - 17 + 3 b$	=	$- 9$
$2 b - 17$	=	$- 9$	\| $+ 17$
$2 b$	=	$8$	\|: $2$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 17 + 3 \cdot 4$

= $- 17 + 12$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|7) und B(4|46) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|7): 7 = 1² + b⋅1 +c

B(4|46): 46 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 +1b +c |-1
46 = 16 +4b +c |-16

6 = 1b +c
30 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 6 & (I) \\ 4 b & + c & = & 30 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$30$
$c + 4 b$	=	$30$	\| $- 4 b$
$c$	=	$30 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (30 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $30 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (30 - 4 b)$	=	$6$
$b + 30 - 4 b$	=	$6$
$- 3 b + 30$	=	$6$	\| $- 30$
$- 3 b$	=	$- 24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $30 - 4 \cdot 8$

= $30 - 32$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-2)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 - 2$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 - 2$

= ${(x + 4)}^{2} - 18$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-18).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) - 2$ = $16 - 32 - 2$ = -18

also: S(-4|-18).

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

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