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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 2 y$ = $6$ .

Bestimme x so, dass (x|-3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x + 2 \cdot (- 3)$ = $6$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (- 3)$	=	$6$
$2 x - 6$	=	$6$	\| $+ 6$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 5 y$ = $- 18$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|6)
denn -2⋅( - 6 ) -5⋅6 = 12 -30 = $- 18$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-11|8)
denn -2⋅( - 11 ) -5⋅8 = 22 -40 = $- 18$

Oder : (-1|4)
denn -2⋅( - 1 ) -5⋅4 = 2 -20 = $- 18$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & 18 & (I) \\ - x & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & 18 & (I) \\ - x & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & 18 & (I) \\ x & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot 2 + 2 y$	=	$18$
$6 + 2 y$	=	$18$
$2 y + 6$	=	$18$	\| $- 6$
$2 y$	=	$12$	\|: $2$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 3 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 3 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 12$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 12 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 3 & (I) \\ x & = & (- 12 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 12 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 12 - 2 y) + y$	=	$3$
$48 + 8 y + y$	=	$3$
$9 y + 48$	=	$3$	\| $- 48$
$9 y$	=	$- 45$	\|: $9$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 12 - 2 \cdot (- 5)$

= $- 12 + 10$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & - 43 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & - 43 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$- 14$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$- 14 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & - 43 & (I) \\ x & = & (- 14 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 14 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 14 + 4 y) - 5 y$	=	$- 43$
$42 - 12 y - 5 y$	=	$- 43$
$- 17 y + 42$	=	$- 43$	\| $- 42$
$- 17 y$	=	$- 85$	\|:( $- 17$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 14 + 4 \cdot 5$

= $- 14 + 20$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ - \frac{3}{5} x & + 3 y & = & \frac{36}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ - \frac{3}{5} x & + 3 y & = & \frac{36}{5} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 2 y$	=	$6$	\| $- 2 y$
$- x$	=	$6 - 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 6 + 2 y) & (I) \\ - \frac{3}{5} x & + 3 y & = & \frac{36}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 6 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- \frac{3}{5} \cdot (- 6 + 2 y) + 3 y$	=	$\frac{36}{5}$
$\frac{18}{5} - \frac{6}{5} y + 3 y$	=	$\frac{36}{5}$
$\frac{9}{5} y + \frac{18}{5}$	=	$\frac{36}{5}$	\|⋅ 5
$5 (\frac{9}{5} y + \frac{18}{5})$	=	$36$
$9 y + 18$	=	$36$	\| $- 18$
$9 y$	=	$18$	\|: $9$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 6 + 2 \cdot 2$

= $- 6 + 4$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +2y = ?

-4x +10y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-1x +2y = -5 +10 = 5

-4x +10y = -20 +50 = 30

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +2y = 5

-4x +10y = 30

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & + y & = & 1 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + y & = & 1 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x + y$	=	$1$
$y + x$	=	$1$	\| $- x$
$y$	=	$1 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 - x) & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 2 \cdot (1 - x)$	=	$- 1$
$- 2 x - 2 + 2 x$	=	$- 1$
$- 2$	=	$- 1$	\| $+ 2$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 8 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 308 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 152 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 8 y & = & 308 & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & 152 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 8 y$	=	$308$
$8 y + 7 x$	=	$308$	\| $- 7 x$
$8 y$	=	$308 - 7 x$	\|: $8$
$y$	=	$\frac{77}{2} - \frac{7}{8} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{77}{2} - \frac{7}{8} x) & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & 152 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{77}{2} - \frac{7}{8} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 4 \cdot (\frac{77}{2} - \frac{7}{8} x)$	=	$152$
$3 x + 154 - \frac{7}{2} x$	=	$152$
$- \frac{1}{2} x + 154$	=	$152$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x + 154)$	=	$304$
$- x + 308$	=	$304$	\| $- 308$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{77}{2} - \frac{7}{8} \cdot 4$

= $\frac{77}{2} - \frac{7}{2}$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (4|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-1) und B(-2|14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-1): -1 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|14): 14 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 +1b +c |-1
14 = 4 -2b +c |-4

-2 = 1b +c
10 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 2 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$10$
$c - 2 b$	=	$10$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$10 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (10 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $10 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (10 + 2 b)$	=	$- 2$
$b + 10 + 2 b$	=	$- 2$
$3 b + 10$	=	$- 2$	\| $- 10$
$3 b$	=	$- 12$	\|: $3$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $10 + 2 \cdot (- 4)$

= $10 - 8$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|2)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|13) und B(2|-8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|13): 13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-8): -8 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 -1b +c |-1
-8 = 4 +2b +c |-4

12 = -1b +c
-12 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 12$
$c + 2 b$	=	$- 12$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 12 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ + c & = & (- 12 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 12 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 12 - 2 b)$	=	$12$
$- b - 12 - 2 b$	=	$12$
$- 3 b - 12$	=	$12$	\| $+ 12$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 12 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 12 + 16$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|4)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 + 4$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 + 4$

= ${(x - 4)}^{2} - 12$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-12).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 + 4$ = $16 - 32 + 4$ = -12

also: S(4|-12).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg