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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + 3 y$ = $3$ .

Bestimme y so, dass (3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$3 \cdot 3 + 3 y$ = $3$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3 \cdot 3 + 3 y$	=	$3$
$9 + 3 y$	=	$3$
$3 y + 9$	=	$3$	\| $- 9$
$3 y$	=	$- 6$	\|: $3$
$y$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (3|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + 2 y$ = $- 10$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-2)
denn 3⋅( - 2 ) +2⋅( - 2 ) = -6 -4 = $- 10$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|-5)
denn 3⋅0 +2⋅( - 5 ) = 0 -10 = $- 10$

Oder : (-4|1)
denn 3⋅( - 4 ) +2⋅1 = -12 +2 = $- 10$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 32 & (I) \\ - 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 32 & (I) \\ - 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 32 & (I) \\ + y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 4 \cdot (- 2)$	=	$32$
$- 4 x + 8$	=	$32$	\| $- 8$
$- 4 x$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 9 & (I) \\ 2 x & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 9 & (I) \\ 2 x & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 9 & (I) \\ x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 4) + y$	=	$9$
$8 + y$	=	$9$
$y + 8$	=	$9$	\| $- 8$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & - y & = & 26 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - y & = & 26 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x - y$	=	$26$
$- y - 5 x$	=	$26$	\| $+ 5 x$
$- y$	=	$26 + 5 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 26 - 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 26 - 5 x) & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 26 - 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 3 \cdot (- 26 - 5 x)$	=	$18$
$- 3 x + 78 + 15 x$	=	$18$
$12 x + 78$	=	$18$	\| $- 78$
$12 x$	=	$- 60$	\|: $12$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 26 - 5 \cdot (- 5)$

= $- 26 + 25$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 5 x$	=	$- 5 + y$			(I)
$2 x$	=	$2 (1 - 2 y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 5 x$	=	$- 5 + y$			(I)
$2 x$	=	$2 (1 - 2 y)$			(II)

$- 5 x$	=	$- 5 + y$	\| $- y$		(I)
$2 x$	=	$2 - 4 y$	\| + $4 y$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & - y & = & - 5 & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x - y$	=	$- 5$
$- y - 5 x$	=	$- 5$	\| $+ 5 x$
$- y$	=	$- 5 + 5 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$5 - 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (5 - 5 x) & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5 - 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 4 \cdot (5 - 5 x)$	=	$2$
$2 x + 20 - 20 x$	=	$2$
$- 18 x + 20$	=	$2$	\| $- 20$
$- 18 x$	=	$- 18$	\|:( $- 18$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5 - 5 \cdot 1$

= $5 - 5$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (1|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +2y = ?

6x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

3x +2y = -3 -8 = -11

6x +6y = -6 -24 = -30

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +2y = -11

6x +6y = -30

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 16 x & - 8 y & = & - 11 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 16 x & - 8 y & = & - 11 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$16 x - 8 y$	=	$- 11$
$- 8 y + 16 x$	=	$- 11$	\| $- 16 x$
$- 8 y$	=	$- 11 - 16 x$	\|:( $- 8$ )
$y$	=	$\frac{11}{8} + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{11}{8} + 2 x) & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{11}{8} + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 2 \cdot (\frac{11}{8} + 2 x)$	=	$2$
$- 4 x + \frac{11}{4} + 4 x$	=	$2$
$\frac{11}{4}$	=	$2$	\| $- \frac{11}{4}$
0	=	$- \frac{3}{4}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 3 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 81 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 93 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 81 & (I) \\ 6 x & + 3 y & = & 93 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 3 y$	=	$81$
$3 y + 2 x$	=	$81$	\| $- 2 x$
$3 y$	=	$81 - 2 x$	\|: $3$
$y$	=	$27 - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (27 - \frac{2}{3} x) & (I) \\ 6 x & + 3 y & = & 93 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $27 - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 3 \cdot (27 - \frac{2}{3} x)$	=	$93$
$6 x + 81 - 2 x$	=	$93$
$4 x + 81$	=	$93$	\| $- 81$
$4 x$	=	$12$	\|: $4$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $27 - \frac{2}{3} \cdot 3$

= $27 - 2$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (3|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|16) und B(-2|-11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|16): 16 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-11): -11 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
16 = 1 +1b +c |-1
-11 = 4 -2b +c |-4

15 = 1b +c
-15 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 15 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 15$
$c - 2 b$	=	$- 15$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 15 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 15 & (I) \\ + c & = & (- 15 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 15 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 15 + 2 b)$	=	$15$
$b - 15 + 2 b$	=	$15$
$3 b - 15$	=	$15$	\| $+ 15$
$3 b$	=	$30$	\|: $3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 15 + 2 \cdot 10$

= $- 15 + 20$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-8) und B(4|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-8): -8 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-5): -5 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 +1b +c |-1
-5 = 16 +4b +c |-16

-9 = 1b +c
-21 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 21$
$c + 4 b$	=	$- 21$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 21 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ + c & = & (- 21 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 21 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 21 - 4 b)$	=	$- 9$
$b - 21 - 4 b$	=	$- 9$
$- 3 b - 21$	=	$- 9$	\| $+ 21$
$- 3 b$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 21 - 4 \cdot (- 4)$

= $- 21 + 16$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 - 5$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 - 5$

= ${(x - 2)}^{2} - 9$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-9).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 - 5$ = $4 - 8 - 5$ = -9

also: S(2|-9).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg