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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 2 y$ = $- 26$ .

Bestimme y so, dass (3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 \cdot 3 + 2 y$ = $- 26$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 4 \cdot 3 + 2 y$	=	$- 26$
$- 12 + 2 y$	=	$- 26$
$2 y - 12$	=	$- 26$	\| $+ 12$
$2 y$	=	$- 14$	\|: $2$
$y$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (3|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 3 y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|0)
denn 5⋅0 -3⋅0 = 0 +0 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-5)
denn 5⋅( - 3 ) -3⋅( - 5 ) = -15 +15 = 0

Oder : (3|5)
denn 5⋅3 -3⋅5 = 15 -15 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & = & 16 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & = & 16 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 4 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 4) - 2 y$	=	$- 14$
$- 16 - 2 y$	=	$- 14$
$- 2 y - 16$	=	$- 14$	\| $+ 16$
$- 2 y$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 3 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 3 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$- 9$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$- 9 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 3 & (I) \\ x & = & (- 9 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 9 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 9 + 4 y) + 2 y$	=	$- 3$
$27 - 12 y + 2 y$	=	$- 3$
$- 10 y + 27$	=	$- 3$	\| $- 27$
$- 10 y$	=	$- 30$	\|:( $- 10$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 9 + 4 \cdot 3$

= $- 9 + 12$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & - 2 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & - 2 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$- 2$	\| $- 3 y$
$x$	=	$- 2 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 2 - 3 y) & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 2 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 2 - 3 y) - 2 y$	=	$8$
$8 + 12 y - 2 y$	=	$8$
$10 y + 8$	=	$8$	\| $- 8$
$10 y$	=	0	\|: $10$
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 2 - 3 \cdot 0$

= $- 2 + 0$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{7}{2} & (I) \\ \frac{3}{5} x & - \frac{3}{5} y & = & \frac{3}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{7}{2} & (I) \\ \frac{3}{5} x & - \frac{3}{5} y & = & \frac{3}{5} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} y$	=	$\frac{7}{2}$
$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} x$	=	$\frac{7}{2}$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} x)$	=	$7$
$- y - x$	=	$7$	\| $+ x$
$- y$	=	$7 + x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 7 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 7 - x) & (I) \\ \frac{3}{5} x & - \frac{3}{5} y & = & \frac{3}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 7 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{5} x - \frac{3}{5} \cdot (- 7 - x)$	=	$\frac{3}{5}$
$\frac{3}{5} x + \frac{21}{5} + \frac{3}{5} x$	=	$\frac{3}{5}$
$\frac{6}{5} x + \frac{21}{5}$	=	$\frac{3}{5}$	\|⋅ 5
$5 (\frac{6}{5} x + \frac{21}{5})$	=	$3$
$6 x + 21$	=	$3$	\| $- 21$
$6 x$	=	$- 18$	\|: $6$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 7 - (- 3)$

= $- 7 + 3$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -1y = ?

-9x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-5x -1y = 25 +5 = 30

-9x -4y = 45 +20 = 65

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -1y = 30

-9x -4y = 65

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 3 & (I) \\ 6 x & - 12 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 3 & (I) \\ 6 x & - 12 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 4 y$	=	$- 3$
$4 y - 2 x$	=	$- 3$	\| $+ 2 x$
$4 y$	=	$- 3 + 2 x$	\|: $4$
$y$	=	$- \frac{3}{4} + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{3}{4} + \frac{1}{2} x) & (I) \\ 6 x & - 12 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{3}{4} + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 12 \cdot (- \frac{3}{4} + \frac{1}{2} x)$	=	$9$
$6 x + 9 - 6 x$	=	$9$
$9$	=	$9$	\| $- 9$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 372 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 2 Halogenleuchten zusammen 98 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 9 y & = & 372 & (I) \\ 9 x & + 2 y & = & 98 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 9 y$	=	$372$
$9 y + 6 x$	=	$372$	\| $- 6 x$
$9 y$	=	$372 - 6 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{124}{3} - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{124}{3} - \frac{2}{3} x) & (I) \\ 9 x & + 2 y & = & 98 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{124}{3} - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9 x + 2 \cdot (\frac{124}{3} - \frac{2}{3} x)$	=	$98$
$9 x + \frac{248}{3} - \frac{4}{3} x$	=	$98$
$\frac{23}{3} x + \frac{248}{3}$	=	$98$	\|⋅ 3
$3 (\frac{23}{3} x + \frac{248}{3})$	=	$294$
$23 x + 248$	=	$294$	\| $- 248$
$23 x$	=	$46$	\|: $23$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{124}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2$

= $\frac{124}{3} - \frac{4}{3}$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (2|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|6) und B(-2|13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|6): 6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|13): 13 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 -1b +c |-1
13 = 4 -2b +c |-4

5 = -1b +c
9 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$9$
$c - 2 b$	=	$9$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$9 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (9 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $9 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (9 + 2 b)$	=	$5$
$- b + 9 + 2 b$	=	$5$
$b + 9$	=	$5$	\| $- 9$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $9 + 2 \cdot (- 4)$

= $9 - 8$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-1) und B(-2|20) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-1): -1 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|20): 20 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 +1b +c |-1
20 = 4 -2b +c |-4

-2 = 1b +c
16 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 2 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$16$
$c - 2 b$	=	$16$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$16 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (16 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $16 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (16 + 2 b)$	=	$- 2$
$b + 16 + 2 b$	=	$- 2$
$3 b + 16$	=	$- 2$	\| $- 16$
$3 b$	=	$- 18$	\|: $3$
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $16 + 2 \cdot (- 6)$

= $16 - 12$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 4$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 + 4$

= ${(x - 3)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 + 4$ = $9 - 18 + 4$ = -5

also: S(3|-5).

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Wert zum Einsetzen finden

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg