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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -4x +4y = -12 .

Bestimme x so, dass (x|-4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

-4x +4( -4 ) = -12

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

-4x +4( -4 ) = -12
-4x -16 = -12 | +16
-4x = 4 |:(-4 )
x = -1

Die Lösung ist somit: (-1|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 3x -2y = -4 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-1)
denn 3⋅( - 2 ) -2( - 1 ) = -6 +2 = -4

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|-4)
denn 3⋅( - 4 ) -2( - 4 ) = -12 +8 = -4

Oder : (0|2)
denn 3⋅0 -22 = 0 -4 = -4

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-2x = -4 (I) 3x -4y = -6 (II)

Lösung einblenden
-2x = -4 (I) 3x -4y = -6 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

-2x = -4 |:(-2 )
x = 2

Als neues LGS erhält man so:

x = 2 (I) 3x -4y = -6 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch 2 ersetzen und dann nach y auflösen:

3 · 2 -4y = -6
6 -4y = -6
-4y +6 = -6 | -6
-4y = -12 |:(-4 )
y = 3

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-x -3y = 4 (I) -4x +y = -23 (II)

Lösung einblenden
-x -3y = 4 (I) -4x +y = -23 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

-4x + y = -23
y -4x = -23 | +4x
y = -23 +4x

Als neues LGS erhält man so:

-x -3y = 4 (I) +y = ( -23 +4x ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( -23 +4x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-x -3 · ( -23 +4x ) = 4
-x +69 -12x = 4
-13x +69 = 4 | -69
-13x = -65 |:(-13 )
x = 5

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = -23 +45

= -23 +20

= -3

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-3x -4y = 11 (I) -2x -3y = 7 (II)

Lösung einblenden
-3x -4y = 11 (I) -2x -3y = 7 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

-3x -4y = 11
-4y -3x = 11 | +3x
-4y = 11 +3x |:(-4 )
y = - 11 4 - 3 4 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( - 11 4 - 3 4 x ) (I) -2x -3y = 7 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( - 11 4 - 3 4 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-2x -3 · ( - 11 4 - 3 4 x ) = 7
-2x + 33 4 + 9 4 x = 7
1 4 x + 33 4 = 7 |⋅ 4
4( 1 4 x + 33 4 ) = 28
x +33 = 28 | -33
x = -5

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = - 11 4 - 3 4 ( -5 )

= - 11 4 + 15 4

= 1

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

1 2 x + 1 2 y = 9 2 (I) x + 3 2 y = 23 2 (II)

Lösung einblenden
1 2 x + 1 2 y = 9 2 (I) x + 3 2 y = 23 2 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x + 3 2 y = 23 2 |⋅ 2
2( x + 3 2 y) = 23
2x +3y = 23 | -3y
2x = 23 -3y |:2
x = 23 2 - 3 2 y

Als neues LGS erhält man so:

1 2 x + 1 2 y = 9 2 (I) x = ( 23 2 - 3 2 y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( 23 2 - 3 2 y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

1 2 · ( 23 2 - 3 2 y ) + 1 2 y = 9 2
23 4 - 3 4 y + 1 2 y = 9 2
- 1 4 y + 23 4 = 9 2 |⋅ 4
4( - 1 4 y + 23 4 ) = 18
-y +23 = 18 | -23
-y = -5 |:(-1 )
y = 5

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = 23 2 - 3 2 5

= 23 2 - 15 2

= 4

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +2y = ?

3x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-1x +2y = -4 +6 = 2

3x -7y = 12 -21 = -9

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +2y = 2

3x -7y = -9

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

-4x -2y = -3 (I) 16x +8y = 12 (II)

Lösung einblenden
-4x -2y = -3 (I) 16x +8y = 12 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

-4x -2y = -3
-2y -4x = -3 | +4x
-2y = -3 +4x |:(-2 )
y = 3 2 -2x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 3 2 -2x ) (I) 16x +8y = 12 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 3 2 -2x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

16x + 8 · ( 3 2 -2x ) = 12
16x +12 -16x = 12
12 = 12 | -12
0 = 0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 8 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 162 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 132 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

7x +8y = 162 (I) 7x +6y = 132 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

7x +8y = 162
8y +7x = 162 | -7x
8y = 162 -7x |:8
y = 81 4 - 7 8 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 81 4 - 7 8 x ) (I) 7x +6y = 132 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 81 4 - 7 8 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

7x + 6 · ( 81 4 - 7 8 x ) = 132
7x + 243 2 - 21 4 x = 132
7 4 x + 243 2 = 132 |⋅ 4
4( 7 4 x + 243 2 ) = 528
7x +486 = 528 | -486
7x = 42 |:7
x = 6

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 81 4 - 7 8 6

= 81 4 - 21 4

= 15

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (6|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|3) und B(3|23) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|3): 3 = 12 + b⋅1 +c

B(3|23): 23 = 32 + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 +1b +c |-1
23 = 9 +3b +c |-9


2 = 1b +c
14 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
b +c = 2 (I) 3b +c = 14 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

3b + c = 14
c +3b = 14 | -3b
c = 14 -3b

Als neues LGS erhält man so:

b +c = 2 (I) +c = ( 14 -3b ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( 14 -3b ) ersetzen und dann nach b auflösen:

b + 1 · ( 14 -3b ) = 2
b +14 -3b = 2
-2b +14 = 2 | -14
-2b = -12 |:(-2 )
b = 6

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = 14 -36

= 14 -18

= -4

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

Jetzt können wir b=6 und c=-4 in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

y= x 2 +6x -4

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-12) und B(-4|-27) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-12): -12 = ( - 1 )2 + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-27): -27 = ( - 4 )2 + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 -1b +c |-1
-27 = 16 -4b +c |-16


-13 = -1b +c
-43 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
-b +c = -13 (I) -4b +c = -43 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

-4b + c = -43
c -4b = -43 | +4b
c = -43 +4b

Als neues LGS erhält man so:

-b +c = -13 (I) +c = ( -43 +4b ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( -43 +4b ) ersetzen und dann nach b auflösen:

-b + 1 · ( -43 +4b ) = -13
-b -43 +4b = -13
3b -43 = -13 | +43
3b = 30 |:3
b = 10

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = -43 +410

= -43 +40

= -3

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-3)

Jetzt können wir b=10 und c=-3 in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

y= x 2 +10x -3

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

y= x 2 +10x -3

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +10x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +10x +25 -25 -3

= ( x +5 ) 2 -25 -3

= ( x +5 ) 2 -28

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-28).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 +10x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 +10x -3 nur um -3 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 +10x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +10x = 0
x ( x +10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +10 = 0 | -10
x2 = -10

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ( -5 ) 2 +10( -5 ) -3 = 25 -50 -3 = -28

also: S(-5|-28).