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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - y$ = $- 1$ .

Bestimme y so, dass (0|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 \cdot 0 - y$ = $- 1$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 5 \cdot 0 - y$	=	$- 1$
$- y$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (0|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - y$ = $- 8$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-7)
denn -3⋅5 -1⋅( - 7 ) = -15 +7 = $- 8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-4)
denn -3⋅4 -1⋅( - 4 ) = -12 +4 = $- 8$

Oder : (6|-10)
denn -3⋅6 -1⋅( - 10 ) = -18 +10 = $- 8$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 14 & (I) \\ - x & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 14 & (I) \\ - x & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 14 & (I) \\ x & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 3) - y$	=	$14$
$12 - y$	=	$14$
$- y + 12$	=	$14$	\| $- 12$
$- y$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 8 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 8 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$- 8$
$y + 3 x$	=	$- 8$	\| $- 3 x$
$y$	=	$- 8 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 8 - 3 x) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 8 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 2 \cdot (- 8 - 3 x)$	=	$- 14$
$4 x + 16 + 6 x$	=	$- 14$
$10 x + 16$	=	$- 14$	\| $- 16$
$10 x$	=	$- 30$	\|: $10$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 8 - 3 \cdot (- 3)$

= $- 8 + 9$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & 30 & (I) \\ x & + 2 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & 30 & (I) \\ x & + 2 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$13$	\| $- 2 y$
$x$	=	$13 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & 30 & (I) \\ x & = & (13 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $13 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (13 - 2 y) + 5 y$	=	$30$
$26 - 4 y + 5 y$	=	$30$
$y + 26$	=	$30$	\| $- 26$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $13 - 2 \cdot 4$

= $13 - 8$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 14 - 3 y$	=	$2 x - y$			(I)
$3 (2 x + y)$	=	$4 x - 15$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 14 - 3 y$	=	$2 x - y$			(I)
$3 (2 x + y)$	=	$4 x - 15$			(II)

$- 14 - 3 y$	=	$2 x - y$	\| + $14 - 2 x + y$		(I)
$6 x + 3 y$	=	$4 x - 15$	\| $- 4 x$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 14 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 2 y$	=	$14$
$- 2 y - 2 x$	=	$14$	\| $+ 2 x$
$- 2 y$	=	$14 + 2 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 7 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 7 - x) & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 7 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot (- 7 - x)$	=	$- 15$
$2 x - 21 - 3 x$	=	$- 15$
$- x - 21$	=	$- 15$	\| $+ 21$
$- x$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 7 - (- 6)$

= $- 7 + 6$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -1y = ?

-2x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-5x -1y = -20 +2 = -18

-2x -1y = -8 +2 = -6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -1y = -18

-2x -1y = -6

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & - y & = & 1 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - y & = & 1 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x - y$	=	$1$
$- y - x$	=	$1$	\| $+ x$
$- y$	=	$1 + x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 1 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 - x) & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 3 \cdot (- 1 - x)$	=	$- 3$
$3 x - 3 - 3 x$	=	$- 3$
$- 3$	=	$- 3$	\| $+ 3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 11. Wenn man aber vom 6-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -2. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 11 & (I) \\ 6 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$11$	\| $- 5 y$
$x$	=	$11 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (11 - 5 y) & (I) \\ 6 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $11 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (11 - 5 y) - 4 y$	=	$- 2$
$66 - 30 y - 4 y$	=	$- 2$
$- 34 y + 66$	=	$- 2$	\| $- 66$
$- 34 y$	=	$- 68$	\|:( $- 34$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $11 - 5 \cdot 2$

= $11 - 10$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-3) und B(-4|6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|6): 6 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 -1b +c |-1
6 = 16 -4b +c |-16

-4 = -1b +c
-10 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 10$
$c - 4 b$	=	$- 10$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 10 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (- 10 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 10 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 10 + 4 b)$	=	$- 4$
$- b - 10 + 4 b$	=	$- 4$
$3 b - 10$	=	$- 4$	\| $+ 10$
$3 b$	=	$6$	\|: $3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 10 + 4 \cdot 2$

= $- 10 + 8$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|2) und B(-4|11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|11): 11 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
11 = 16 -4b +c |-16

1 = -1b +c
-5 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 5$
$c - 4 b$	=	$- 5$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 5 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (- 5 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 5 + 4 b)$	=	$1$
$- b - 5 + 4 b$	=	$1$
$3 b - 5$	=	$1$	\| $+ 5$
$3 b$	=	$6$	\|: $3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 + 4 \cdot 2$

= $- 5 + 8$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 + 3$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 + 3$

= ${(x + 1)}^{2} + 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 3$ = $1 - 2 + 3$ = 2

also: S(-1|2).

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg