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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 2 y$ = $- 17$ .

Bestimme x so, dass (x|5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$- x - 2 \cdot 5$ = $- 17$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- x - 2 \cdot 5$	=	$- 17$
$- x - 10$	=	$- 17$	\| $+ 10$
$- x$	=	$- 7$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (7|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + y$ = $- 3$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-3)
denn 4⋅0 +1⋅( - 3 ) = 0 -3 = $- 3$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|-7)
denn 4⋅1 +1⋅( - 7 ) = 4 -7 = $- 3$

Oder : (-1|1)
denn 4⋅( - 1 ) +1⋅1 = -4 +1 = $- 3$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & - 32 & (I) \\ - y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & - 32 & (I) \\ - y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- y$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & - 32 & (I) \\ + y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 4 \cdot 3$	=	$- 32$
$- 4 x - 12$	=	$- 32$	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 12 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & - 28 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 12 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & - 28 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$12$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$12 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (12 + 2 y) & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & - 28 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $12 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (12 + 2 y) + 4 y$	=	$- 28$
$- 36 - 6 y + 4 y$	=	$- 28$
$- 2 y - 36$	=	$- 28$	\| $+ 36$
$- 2 y$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $12 + 2 \cdot (- 4)$

= $12 - 8$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & + 3 y & = & - 16 & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & + 3 y & = & - 16 & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x + 3 y$	=	$- 16$
$3 y - 5 x$	=	$- 16$	\| $+ 5 x$
$3 y$	=	$- 16 + 5 x$	\|: $3$
$y$	=	$- \frac{16}{3} + \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{16}{3} + \frac{5}{3} x) & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{16}{3} + \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 3 \cdot (- \frac{16}{3} + \frac{5}{3} x)$	=	$4$
$5 x - 16 + 5 x$	=	$4$
$10 x - 16$	=	$4$	\| $+ 16$
$10 x$	=	$20$	\|: $10$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{16}{3} + \frac{5}{3} \cdot 2$

= $- \frac{16}{3} + \frac{10}{3}$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{3} x & - \frac{1}{2} y & = & - \frac{2}{3} & (I) \\ \frac{1}{2} x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{3}{10} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{3} x & - \frac{1}{2} y & = & - \frac{2}{3} & (I) \\ \frac{1}{2} x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{3}{10} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{3} x - \frac{1}{2} y$	=	$- \frac{2}{3}$
$- \frac{1}{2} y + \frac{1}{3} x$	=	$- \frac{2}{3}$	\|⋅ 6
$6 (- \frac{1}{2} y + \frac{1}{3} x)$	=	$- 4$
$- 3 y + 2 x$	=	$- 4$	\| $- 2 x$
$- 3 y$	=	$- 4 - 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$\frac{4}{3} + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{4}{3} + \frac{2}{3} x) & (I) \\ \frac{1}{2} x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{3}{10} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{4}{3} + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{2} x - \frac{2}{5} \cdot (\frac{4}{3} + \frac{2}{3} x)$	=	$- \frac{3}{10}$
$\frac{1}{2} x - \frac{8}{15} - \frac{4}{15} x$	=	$- \frac{3}{10}$
$\frac{7}{30} x - \frac{8}{15}$	=	$- \frac{3}{10}$	\|⋅ 30
$30 (\frac{7}{30} x - \frac{8}{15})$	=	$- 9$
$7 x - 16$	=	$- 9$	\| $+ 16$
$7 x$	=	$7$	\|: $7$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{4}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1$

= $\frac{4}{3} + \frac{2}{3}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +3y = ?

2x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

4x +3y = -12 -12 = -24

2x +4y = -6 -16 = -22

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +3y = -24

2x +4y = -22

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 12 x & - 8 y & = & 5 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 12 x & - 8 y & = & 5 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$12 x - 8 y$	=	$5$
$- 8 y + 12 x$	=	$5$	\| $- 12 x$
$- 8 y$	=	$5 - 12 x$	\|:( $- 8$ )
$y$	=	$- \frac{5}{8} + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{5}{8} + \frac{3}{2} x) & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{5}{8} + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 2 \cdot (- \frac{5}{8} + \frac{3}{2} x)$	=	$- 1$
$- 3 x - \frac{5}{4} + 3 x$	=	$- 1$
$- \frac{5}{4}$	=	$- 1$	\| $+ \frac{5}{4}$
0	=	$\frac{1}{4}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 265 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 210 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 8 x & + 9 y & = & 265 & (I) \\ 7 x & + 7 y & = & 210 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x + 9 y$	=	$265$
$9 y + 8 x$	=	$265$	\| $- 8 x$
$9 y$	=	$265 - 8 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{265}{9} - \frac{8}{9} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{265}{9} - \frac{8}{9} x) & (I) \\ 7 x & + 7 y & = & 210 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{265}{9} - \frac{8}{9} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x + 7 \cdot (\frac{265}{9} - \frac{8}{9} x)$	=	$210$
$7 x + \frac{1855}{9} - \frac{56}{9} x$	=	$210$
$\frac{7}{9} x + \frac{1855}{9}$	=	$210$	\|⋅ 9
$9 (\frac{7}{9} x + \frac{1855}{9})$	=	$1 890$
$7 x + 1 855$	=	$1 890$	\| $- 1 855$
$7 x$	=	$35$	\|: $7$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{265}{9} - \frac{8}{9} \cdot 5$

= $\frac{265}{9} - \frac{40}{9}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (5|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|16) und B(-2|29) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|16): 16 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|29): 29 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
16 = 1 -1b +c |-1
29 = 4 -2b +c |-4

15 = -1b +c
25 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 15 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$25$
$c - 2 b$	=	$25$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$25 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 15 & (I) \\ + c & = & (25 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $25 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (25 + 2 b)$	=	$15$
$- b + 25 + 2 b$	=	$15$
$b + 25$	=	$15$	\| $- 25$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $25 + 2 \cdot (- 10)$

= $25 - 20$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|5)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-4) und B(2|-11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-11): -11 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 +1b +c |-1
-11 = 4 +2b +c |-4

-5 = 1b +c
-15 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 15$
$c + 2 b$	=	$- 15$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 15 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 15 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 15 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 15 - 2 b)$	=	$- 5$
$b - 15 - 2 b$	=	$- 5$
$- b - 15$	=	$- 5$	\| $+ 15$
$- b$	=	$10$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 15 - 2 \cdot (- 10)$

= $- 15 + 20$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|5)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 + 5$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 + 5$

= ${(x - 5)}^{2} - 20$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-20).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 + 5$ = $25 - 50 + 5$ = -20

also: S(5|-20).

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1. Weg

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