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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 4x +5y = 13 .

Bestimme y so, dass (7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

47 +5y = 13

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

47 +5y = 13
28 +5y = 13
5y +28 = 13 | -28
5y = -15 |:5
y = -3

Die Lösung ist somit: (7|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -2x -5y = 17 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-3)
denn -2⋅( - 1 ) -5( - 3 ) = 2 +15 = 17

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|-1)
denn -2⋅( - 6 ) -5( - 1 ) = 12 +5 = 17

Oder : (4|-5)
denn -2⋅4 -5( - 5 ) = -8 +25 = 17

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-4x = -24 (I) -x -4y = 2 (II)

Lösung einblenden
-4x = -24 (I) -x -4y = 2 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

-4x = -24 |:(-4 )
x = 6

Als neues LGS erhält man so:

x = 6 (I) -x -4y = 2 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch 6 ersetzen und dann nach y auflösen:

-1 · 6 -4y = 2
-6 -4y = 2
-4y -6 = 2 | +6
-4y = 8 |:(-4 )
y = -2

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-3x +y = 10 (I) -x -y = 6 (II)

Lösung einblenden
-3x +y = 10 (I) -x -y = 6 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

-x - y = 6
-y - x = 6 | + x
-y = 6 + x |:(-1 )
y = -6 - x

Als neues LGS erhält man so:

-3x +y = 10 (I) +y = ( -6 - x ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( -6 - x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-3x + 1 · ( -6 - x ) = 10
-3x -6 - x = 10
-4x -6 = 10 | +6
-4x = 16 |:(-4 )
x = -4

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = -6 - ( -4 )

= -6 +4

= -2

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

x +3y = 18 (I) -3x +2y = -10 (II)

Lösung einblenden
x +3y = 18 (I) -3x +2y = -10 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +3y = 18 | -3y
x = 18 -3y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 18 -3y ) (I) -3x +2y = -10 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 18 -3y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-3 · ( 18 -3y ) +2y = -10
-54 +9y +2y = -10
11y -54 = -10 | +54
11y = 44 |:11
y = 4

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 18 -34

= 18 -12

= 6

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

2( -x +13 )+2y = -2y (I)
-y = 3( x - y) -23 (II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

2( -x +13 )+2y = -2y (I)
-y = 3( x - y) -23 (II)
-2x +26 +2y = -2y | -26 +2y (I)
-y = 3x -23 -3y | -3x +3y (II)
-2x +4y = -26 (I) -3x +2y = -23 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

-2x +4y = -26
4y -2x = -26 | +2x
4y = -26 +2x |:4
y = - 13 2 + 1 2 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( - 13 2 + 1 2 x ) (I) -3x +2y = -23 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( - 13 2 + 1 2 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-3x + 2 · ( - 13 2 + 1 2 x ) = -23
-3x -13 + x = -23
-2x -13 = -23 | +13
-2x = -10 |:(-2 )
x = 5

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = - 13 2 + 1 2 5

= - 13 2 + 5 2

= -4

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +1y = ?

-7x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-4x +1y = 8 -4 = 4

-7x +1y = 14 -4 = 10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +1y = 4

-7x +1y = 10

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

2x +5y = -21 (I) x -5y = 12 (II)

Lösung einblenden
2x +5y = -21 (I) x -5y = 12 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x -5y = 12 | +5y
x = 12 +5y

Als neues LGS erhält man so:

2x +5y = -21 (I) x = ( 12 +5y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( 12 +5y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

2 · ( 12 +5y ) +5y = -21
24 +10y +5y = -21
15y +24 = -21 | -24
15y = -45 |:15
y = -3

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = 12 +5( -3 )

= 12 -15

= -3

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1575 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 675 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

6x -5y = 1575 (I) 3x -5y = 675 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

6x -5y = 1575
-5y +6x = 1575 | -6x
-5y = 1575 -6x |:(-5 )
y = -315 + 6 5 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( -315 + 6 5 x ) (I) 3x -5y = 675 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( -315 + 6 5 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

3x -5 · ( -315 + 6 5 x ) = 675
3x +1575 -6x = 675
-3x +1575 = 675 | -1575
-3x = -900 |:(-3 )
x = 300

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = -315 + 6 5 300

= -315 +360

= 45

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (300|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(2|23) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )2 + b⋅( - 1 ) +c

B(2|23): 23 = 22 + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
23 = 4 +2b +c |-4


-5 = -1b +c
19 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
-b +c = -5 (I) 2b +c = 19 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

2b + c = 19
c +2b = 19 | -2b
c = 19 -2b

Als neues LGS erhält man so:

-b +c = -5 (I) +c = ( 19 -2b ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( 19 -2b ) ersetzen und dann nach b auflösen:

-b + 1 · ( 19 -2b ) = -5
-b +19 -2b = -5
-3b +19 = -5 | -19
-3b = -24 |:(-3 )
b = 8

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = 19 -28

= 19 -16

= 3

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (8|3)

Jetzt können wir b=8 und c=3 in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

y= x 2 +8x +3

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-14) und B(2|-21) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-14): -14 = 12 + b⋅1 +c

B(2|-21): -21 = 22 + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-14 = 1 +1b +c |-1
-21 = 4 +2b +c |-4


-15 = 1b +c
-25 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
b +c = -15 (I) 2b +c = -25 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

2b + c = -25
c +2b = -25 | -2b
c = -25 -2b

Als neues LGS erhält man so:

b +c = -15 (I) +c = ( -25 -2b ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( -25 -2b ) ersetzen und dann nach b auflösen:

b + 1 · ( -25 -2b ) = -15
b -25 -2b = -15
-b -25 = -15 | +25
-b = 10 |:(-1 )
b = -10

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = -25 -2( -10 )

= -25 +20

= -5

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-5)

Jetzt können wir b=-10 und c=-5 in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

y= x 2 -10x -5

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

y= x 2 -10x -5

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -10x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -10x +25 -25 -5

= ( x -5 ) 2 -25 -5

= ( x -5 ) 2 -30

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-30).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -10x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -10x -5 nur um -5 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -10x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -10x = 0
x ( x -10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -10 = 0 | +10
x2 = 10

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = 5 2 -105 -5 = 25 -50 -5 = -30

also: S(5|-30).