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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 2 y$ = $5$ .

Bestimme y so, dass (1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$1 - 2 y$ = $5$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$1 - 2 y$	=	$5$
$1 - 2 y$	=	$5$
$- 2 y + 1$	=	$5$	\| $- 1$
$- 2 y$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (1|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 5 y$ = $- 4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|2)
denn 3⋅2 -5⋅2 = 6 -10 = $- 4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-1)
denn 3⋅( - 3 ) -5⋅( - 1 ) = -9 +5 = $- 4$

Oder : (7|5)
denn 3⋅7 -5⋅5 = 21 -25 = $- 4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 6 & (I) \\ - 4 x & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 6 & (I) \\ - 4 x & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 6 & (I) \\ x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 4) - 2 y$	=	$- 6$
$- 4 - 2 y$	=	$- 6$
$- 2 y - 4$	=	$- 6$	\| $+ 4$
$- 2 y$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 14 & (I) \\ x & - 2 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 14 & (I) \\ x & - 2 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$11$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$11 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 14 & (I) \\ x & = & (11 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $11 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (11 + 2 y) - 3 y$	=	$14$
$11 + 2 y - 3 y$	=	$14$
$- y + 11$	=	$14$	\| $- 11$
$- y$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $11 + 2 \cdot (- 3)$

= $11 - 6$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & - 4 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & - 4 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 2 y$	=	$- 4$
$2 y - 2 x$	=	$- 4$	\| $+ 2 x$
$2 y$	=	$- 4 + 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 2 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 + x) & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 4 \cdot (- 2 + x)$	=	$8$
$- 4 x + 8 - 4 x$	=	$8$
$- 8 x + 8$	=	$8$	\| $- 8$
$- 8 x$	=	0	\|:( $- 8$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 + 0$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$14$	=	$2 (x - y)$			(I)
$2 (x - 15)$	=	$4 (- 1 + y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$14$	=	$2 (x - y)$			(I)
$2 (x - 15)$	=	$4 (- 1 + y)$			(II)

$14$	=	$2 x - 2 y$	\| $- 14 - 2 x + 2 y$		(I)
$2 x - 30$	=	$- 4 + 4 y$	\| + $30 - 4 y$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & - 14 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 2 y$	=	$- 14$
$2 y - 2 x$	=	$- 14$	\| $+ 2 x$
$2 y$	=	$- 14 + 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 7 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 7 + x) & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 7 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 4 \cdot (- 7 + x)$	=	$26$
$2 x + 28 - 4 x$	=	$26$
$- 2 x + 28$	=	$26$	\| $- 28$
$- 2 x$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 7 + 1$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +2y = ?

-3x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

1x +2y = -3 +6 = 3

-3x -3y = 9 -9 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +2y = 3

-3x -3y = 0

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & - 35 & (I) \\ - x & + 5 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & - 35 & (I) \\ - x & + 5 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 5 y$	=	$15$	\| $- 5 y$
$- x$	=	$15 - 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 15 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & - 35 & (I) \\ x & = & (- 15 + 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 15 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 15 + 5 y) - 5 y$	=	$- 35$
$45 - 15 y - 5 y$	=	$- 35$
$- 20 y + 45$	=	$- 35$	\| $- 45$
$- 20 y$	=	$- 80$	\|:( $- 20$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 15 + 5 \cdot 4$

= $- 15 + 20$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 7 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 775 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 340 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & - 5 y & = & 775 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 340 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x - 5 y$	=	$775$
$- 5 y + 7 x$	=	$775$	\| $- 7 x$
$- 5 y$	=	$775 - 7 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 155 + \frac{7}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 155 + \frac{7}{5} x) & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 340 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 155 + \frac{7}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 2 \cdot (- 155 + \frac{7}{5} x)$	=	$340$
$3 x + 310 - \frac{14}{5} x$	=	$340$
$\frac{1}{5} x + 310$	=	$340$	\|⋅ 5
$5 (\frac{1}{5} x + 310)$	=	$1 700$
$x + 1 550$	=	$1 700$	\| $- 1 550$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 155 + \frac{7}{5} \cdot 150$

= $- 155 + 210$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (150|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(-4|35) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|35): 35 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
35 = 16 -4b +c |-16

7 = -1b +c
19 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$19$
$c - 4 b$	=	$19$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$19 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (19 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $19 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (19 + 4 b)$	=	$7$
$- b + 19 + 4 b$	=	$7$
$3 b + 19$	=	$7$	\| $- 19$
$3 b$	=	$- 12$	\|: $3$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $19 + 4 \cdot (- 4)$

= $19 - 16$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-7) und B(2|-14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-7): -7 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-14): -14 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 +1b +c |-1
-14 = 4 +2b +c |-4

-8 = 1b +c
-18 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 8 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 18$
$c + 2 b$	=	$- 18$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 18 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 8 & (I) \\ + c & = & (- 18 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 18 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 18 - 2 b)$	=	$- 8$
$b - 18 - 2 b$	=	$- 8$
$- b - 18$	=	$- 8$	\| $+ 18$
$- b$	=	$10$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 18 - 2 \cdot (- 10)$

= $- 18 + 20$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|2)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 + 2$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 + 2$

= ${(x - 5)}^{2} - 23$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-23).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 + 2$ = $25 - 50 + 2$ = -23

also: S(5|-23).

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1. Weg

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