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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + y$ = $- 2$ .

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$2 \cdot (- 2) + y$ = $- 2$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2 \cdot (- 2) + y$	=	$- 2$
$- 4 + y$	=	$- 2$
$y - 4$	=	$- 2$	\| $+ 4$
$y$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (-2|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 2 y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|-3)
denn -1⋅6 -2⋅( - 3 ) = -6 +6 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-2)
denn -1⋅4 -2⋅( - 2 ) = -4 +4 = 0

Oder : (8|-4)
denn -1⋅8 -2⋅( - 4 ) = -8 +8 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 0 & (I) \\ - 4 x & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 0 & (I) \\ - 4 x & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 0 & (I) \\ x & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 3) - 3 y$	=	0
$3 - 3 y$	=	0
$- 3 y + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 3 y$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 11 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 11 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$- 21$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$- 21 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 11 & (I) \\ x & = & (- 21 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 21 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 21 + 4 y) + 4 y$	=	$11$
$- 21 + 4 y + 4 y$	=	$11$
$8 y - 21$	=	$11$	\| $+ 21$
$8 y$	=	$32$	\|: $8$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 21 + 4 \cdot 4$

= $- 21 + 16$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 0 & (I) \\ x & + 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 0 & (I) \\ x & + 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	0	\| $- 4 y$
$x$	=	$- 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 0 & (I) \\ x & = & - 4 y & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 4 y$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 4 y) - y$	=
$12 y - y$	=
$11 y$	=	\|: $11$
$y$	=

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 4 \cdot 0$

= 0

also

x = -0

Die Lösung des LGS ist damit: (-0|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

0	=	$- 3 x - 4 y$			(I)
$- 3 x - 2 y$	=	0			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

0	=	$- 3 x - 4 y$	\| + $3 x + 4 y$		(I)
$- 3 x - 2 y$	=	0			(II)

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 0 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 4 y$	=	0
$4 y + 3 x$	=	0	\| $- 3 x$
$4 y$	=	$- 3 x$	\|: $4$
$y$	=	$- \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - \frac{3}{4} x & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- \frac{3}{4} x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot (- \frac{3}{4} x)$	=
$- 3 x + \frac{3}{2} x$	=
$- \frac{3}{2} x$	=	\|⋅ 2
$- 3 x$	=	\|:( $- 3$ )
$x$	=

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{3}{4} \cdot (0)$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -5y = ?

-8x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-4x -5y = 16 +10 = 26

-8x -7y = 32 +14 = 46

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -5y = 26

-8x -7y = 46

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & - 1 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & - 1 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 4 y$	=	$- 1$
$- 4 y - 4 x$	=	$- 1$	\| $+ 4 x$
$- 4 y$	=	$- 1 + 4 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$\frac{1}{4} - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{4} - x) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{4} - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (\frac{1}{4} - x)$	=	$1$
$2 x + \frac{1}{2} - 2 x$	=	$1$
$\frac{1}{2}$	=	$1$	\| $- \frac{1}{2}$
0	=	$\frac{1}{2}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 231 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 237 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 9 y & = & 231 & (I) \\ 4 x & + 9 y & = & 237 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 9 y$	=	$231$
$9 y + 2 x$	=	$231$	\| $- 2 x$
$9 y$	=	$231 - 2 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{77}{3} - \frac{2}{9} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{77}{3} - \frac{2}{9} x) & (I) \\ 4 x & + 9 y & = & 237 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{77}{3} - \frac{2}{9} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 9 \cdot (\frac{77}{3} - \frac{2}{9} x)$	=	$237$
$4 x + 231 - 2 x$	=	$237$
$2 x + 231$	=	$237$	\| $- 231$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{77}{3} - \frac{2}{9} \cdot 3$

= $\frac{77}{3} - \frac{2}{3}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (3|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(1|3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|3): 3 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
3 = 1 +1b +c |-1

6 = -1b +c
2 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ b & + c & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$2$
$c + b$	=	$2$	\| $- b$
$c$	=	$2 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (2 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $2 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (2 - b)$	=	$6$
$- b + 2 - b$	=	$6$
$- 2 b + 2$	=	$6$	\| $- 2$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $2 - (- 2)$

= $2 + 2$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-2) und B(-2|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-7): -7 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 -1b +c |-1
-7 = 4 -2b +c |-4

-3 = -1b +c
-11 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 11$
$c - 2 b$	=	$- 11$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 11 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 11 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 11 + 2 b)$	=	$- 3$
$- b - 11 + 2 b$	=	$- 3$
$b - 11$	=	$- 3$	\| $+ 11$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 + 2 \cdot 8$

= $- 11 + 16$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (8|5)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 + 5$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 + 5$

= ${(x + 4)}^{2} - 11$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-11).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) + 5$ = $16 - 32 + 5$ = -11

also: S(-4|-11).

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