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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 2 y$ = $15$ .

Bestimme y so, dass (-5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$- (- 5) - 2 y$ = $15$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- (- 5) - 2 y$	=	$15$
$5 - 2 y$	=	$15$
$- 2 y + 5$	=	$15$	\| $- 5$
$- 2 y$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (-5|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + y$ = $- 37$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|-7)
denn 5⋅( - 6 ) +1⋅( - 7 ) = -30 -7 = $- 37$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|-12)
denn 5⋅( - 5 ) +1⋅( - 12 ) = -25 -12 = $- 37$

Oder : (-7|-2)
denn 5⋅( - 7 ) +1⋅( - 2 ) = -35 -2 = $- 37$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & = & 3 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & = & 3 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 1 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot 1 + 4 y$	=	$- 19$
$1 + 4 y$	=	$- 19$
$4 y + 1$	=	$- 19$	\| $- 1$
$4 y$	=	$- 20$	\|: $4$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 9 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 39 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 9 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 39 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$- 9$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$- 9 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 9 + 3 y) & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 39 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 9 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 9 + 3 y) + 3 y$	=	$39$
$- 36 + 12 y + 3 y$	=	$39$
$15 y - 36$	=	$39$	\| $+ 36$
$15 y$	=	$75$	\|: $15$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 9 + 3 \cdot 5$

= $- 9 + 15$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 12 & (I) \\ 4 x & - y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 12 & (I) \\ 4 x & - y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x - y$	=	$- 20$
$- y + 4 x$	=	$- 20$	\| $- 4 x$
$- y$	=	$- 20 - 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$20 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 12 & (I) \\ + y & = & (20 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $20 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 1 \cdot (20 + 4 x)$	=	$12$
$- 2 x + 20 + 4 x$	=	$12$
$2 x + 20$	=	$12$	\| $- 20$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $20 + 4 \cdot (- 4)$

= $20 - 16$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$13 + 2 y$	=	$- 5 x$			(I)
$2 y$	=	$- 2 (x + 2)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$13 + 2 y$	=	$- 5 x$			(I)
$2 y$	=	$- 2 (x + 2)$			(II)

$13 + 2 y$	=	$- 5 x$	\| $- 13 + 5 x$		(I)
$2 y$	=	$- 2 x - 4$	\| + $2 x$		(II)

\begin{matrix} 5 x & + 2 y & = & - 13 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 2 y$	=	$- 13$
$2 y + 5 x$	=	$- 13$	\| $- 5 x$
$2 y$	=	$- 13 - 5 x$	\|: $2$
$y$	=	$- \frac{13}{2} - \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{13}{2} - \frac{5}{2} x) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{13}{2} - \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (- \frac{13}{2} - \frac{5}{2} x)$	=	$- 4$
$2 x - 13 - 5 x$	=	$- 4$
$- 3 x - 13$	=	$- 4$	\| $+ 13$
$- 3 x$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{13}{2} - \frac{5}{2} \cdot (- 3)$

= $- \frac{13}{2} + \frac{15}{2}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +2y = ?

6x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

5x +2y = -5 -8 = -13

6x +1y = -6 -4 = -10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +2y = -13

6x +1y = -10

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & + 16 y & = & 8 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 16 y & = & 8 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$- 2$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$- 2 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + 16 y & = & 8 & (I) \\ x & = & (- 2 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 2 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 2 + 4 y) + 16 y$	=	$8$
$8 - 16 y + 16 y$	=	$8$
$8$	=	$8$	\| $- 8$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 246 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 125 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 9 x & + 6 y & = & 246 & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 125 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9 x + 6 y$	=	$246$
$6 y + 9 x$	=	$246$	\| $- 9 x$
$6 y$	=	$246 - 9 x$	\|: $6$
$y$	=	$41 - \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (41 - \frac{3}{2} x) & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 125 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $41 - \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 3 \cdot (41 - \frac{3}{2} x)$	=	$125$
$5 x + 123 - \frac{9}{2} x$	=	$125$
$\frac{1}{2} x + 123$	=	$125$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x + 123)$	=	$250$
$x + 246$	=	$250$	\| $- 246$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $41 - \frac{3}{2} \cdot 4$

= $41 - 6$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (4|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(-2|-11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-11): -11 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
-11 = 4 -2b +c |-4

-5 = -1b +c
-15 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 15$
$c - 2 b$	=	$- 15$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 15 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 15 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 15 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 15 + 2 b)$	=	$- 5$
$- b - 15 + 2 b$	=	$- 5$
$b - 15$	=	$- 5$	\| $+ 15$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 15 + 2 \cdot 10$

= $- 15 + 20$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-9) und B(1|3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-9): -9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|3): 3 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-9 = 1 -1b +c |-1
3 = 1 +1b +c |-1

-10 = -1b +c
2 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 10 & (I) \\ b & + c & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$2$
$c + b$	=	$2$	\| $- b$
$c$	=	$2 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 10 & (I) \\ + c & = & (2 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $2 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (2 - b)$	=	$- 10$
$- b + 2 - b$	=	$- 10$
$- 2 b + 2$	=	$- 10$	\| $- 2$
$- 2 b$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $2 - 6$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 - 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 - 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 13$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-13).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) - 4$ = $9 - 18 - 4$ = -13

also: S(-3|-13).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg