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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - y$ = $18$ .

Bestimme y so, dass (-6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 \cdot (- 6) - y$ = $18$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 6) - y$	=	$18$
$24 - y$	=	$18$
$- y + 24$	=	$18$	\| $- 24$
$- y$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (-6|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + 3 y$ = $- 3$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|2)
denn 3⋅( - 3 ) +3⋅2 = -9 +6 = $- 3$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|-1)
denn 3⋅0 +3⋅( - 1 ) = 0 -3 = $- 3$

Oder : (-6|5)
denn 3⋅( - 6 ) +3⋅5 = -18 +15 = $- 3$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & 2 & (I) \\ - 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & 2 & (I) \\ - 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 3 y$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & 2 & (I) \\ + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 1 \cdot 6$	=	$2$
$- 2 x - 6$	=	$2$	\| $+ 6$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 0 & (I) \\ - x & + 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 0 & (I) \\ - x & + 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 2 y$	=	$- 12$	\| $- 2 y$
$- x$	=	$- 12 - 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$12 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 0 & (I) \\ x & = & (12 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $12 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (12 + 2 y) + 2 y$	=	0
$12 + 2 y + 2 y$	=	0
$4 y + 12$	=	0	\| $- 12$
$4 y$	=	$- 12$	\|: $4$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $12 + 2 \cdot (- 3)$

= $12 - 6$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 7 & (I) \\ x & + 4 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 7 & (I) \\ x & + 4 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$24$	\| $- 4 y$
$x$	=	$24 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 7 & (I) \\ x & = & (24 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $24 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (24 - 4 y) + 3 y$	=	$7$
$- 48 + 8 y + 3 y$	=	$7$
$11 y - 48$	=	$7$	\| $+ 48$
$11 y$	=	$55$	\|: $11$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $24 - 4 \cdot 5$

= $24 - 20$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2 (x + 6) - 10 y$	=	$- 5 y$			(I)
$- 3 (x + y) - 5$	=	$- 8 x - 35$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2 (x + 6) - 10 y$	=	$- 5 y$			(I)
$- 3 (x + y) - 5$	=	$- 8 x - 35$			(II)

$2 x + 12 - 10 y$	=	$- 5 y$	\| $- 12 + 5 y$		(I)
$- 3 x - 5 - 3 y$	=	$- 8 x - 35$	\| + $5 + 8 x$		(II)

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & - 12 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 5 y$	=	$- 12$
$- 5 y + 2 x$	=	$- 12$	\| $- 2 x$
$- 5 y$	=	$- 12 - 2 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$\frac{12}{5} + \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{12}{5} + \frac{2}{5} x) & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{12}{5} + \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 3 \cdot (\frac{12}{5} + \frac{2}{5} x)$	=	$- 30$
$5 x - \frac{36}{5} - \frac{6}{5} x$	=	$- 30$
$\frac{19}{5} x - \frac{36}{5}$	=	$- 30$	\|⋅ 5
$5 (\frac{19}{5} x - \frac{36}{5})$	=	$- 150$
$19 x - 36$	=	$- 150$	\| $+ 36$
$19 x$	=	$- 114$	\|: $19$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{12}{5} + \frac{2}{5} \cdot (- 6)$

= $\frac{12}{5} - \frac{12}{5}$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -5y = ?

4x -23y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

1x -5y = 3 +15 = 18

4x -23y = 12 +69 = 81

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -5y = 18

4x -23y = 81

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 14 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 14 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$- 14$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$- 14 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$14 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (14 - 3 y) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $14 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (14 - 3 y) - 2 y$	=	$- 14$
$56 - 12 y - 2 y$	=	$- 14$
$- 14 y + 56$	=	$- 14$	\| $- 56$
$- 14 y$	=	$- 70$	\|:( $- 14$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $14 - 3 \cdot 5$

= $14 - 15$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 5 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 660 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 525 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 2 y & = & 660 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 525 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 2 y$	=	$660$
$- 2 y + 5 x$	=	$660$	\| $- 5 x$
$- 2 y$	=	$660 - 5 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 330 + \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 330 + \frac{5}{2} x) & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 525 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 330 + \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 5 \cdot (- 330 + \frac{5}{2} x)$	=	$525$
$5 x + 1 650 - \frac{25}{2} x$	=	$525$
$- \frac{15}{2} x + 1 650$	=	$525$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{15}{2} x + 1 650)$	=	$1 050$
$- 15 x + 3 300$	=	$1 050$	\| $- 3 300$
$- 15 x$	=	$- 2 250$	\|:( $- 15$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 330 + \frac{5}{2} \cdot 150$

= $- 330 + 375$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (150|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|3) und B(-1|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|3): 3 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 +1b +c |-1
-5 = 1 -1b +c |-1

2 = 1b +c
-6 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 2 & (I) \\ - b & + c & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 6$
$c - b$	=	$- 6$	\| $+ b$
$c$	=	$- 6 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 2 & (I) \\ + c & = & (- 6 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 6 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 6 + b)$	=	$2$
$b - 6 + b$	=	$2$
$2 b - 6$	=	$2$	\| $+ 6$
$2 b$	=	$8$	\|: $2$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 6 + 4$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|9) und B(4|54) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|9): 9 = 1² + b⋅1 +c

B(4|54): 54 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 +1b +c |-1
54 = 16 +4b +c |-16

8 = 1b +c
38 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 8 & (I) \\ 4 b & + c & = & 38 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$38$
$c + 4 b$	=	$38$	\| $- 4 b$
$c$	=	$38 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (38 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $38 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (38 - 4 b)$	=	$8$
$b + 38 - 4 b$	=	$8$
$- 3 b + 38$	=	$8$	\| $- 38$
$- 3 b$	=	$- 30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $38 - 4 \cdot 10$

= $38 - 40$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-2)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 2$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 2$

= ${(x + 5)}^{2} - 27$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-27).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 2$ = $25 - 50 - 2$ = -27

also: S(-5|-27).

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1. Weg

2. Weg