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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 4 y$ = $28$ .

Bestimme x so, dass (x|4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x + 4 \cdot 4$ = $28$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot 4$	=	$28$
$4 x + 16$	=	$28$	\| $- 16$
$4 x$	=	$12$	\|: $4$
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 2 y$ = $8$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|4)
denn 1⋅0 +2⋅4 = 0 +8 = $8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|3)
denn 1⋅2 +2⋅3 = 2 +6 = $8$

Oder : (-2|5)
denn 1⋅( - 2 ) +2⋅5 = -2 +10 = $8$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 y & = & 8 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 y & = & 8 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 2 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (- 2)$	=	$- 12$
$3 x + 6$	=	$- 12$	\| $- 6$
$3 x$	=	$- 18$	\|: $3$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 1 & (I) \\ - 3 x & - y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 1 & (I) \\ - 3 x & - y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x - y$	=	$8$
$- y - 3 x$	=	$8$	\| $+ 3 x$
$- y$	=	$8 + 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 8 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 1 & (I) \\ + y & = & (- 8 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 8 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 2 \cdot (- 8 - 3 x)$	=	$- 1$
$x - 16 - 6 x$	=	$- 1$
$- 5 x - 16$	=	$- 1$	\| $+ 16$
$- 5 x$	=	$15$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 8 - 3 \cdot (- 3)$

= $- 8 + 9$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 12 & (I) \\ 4 x & + 5 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 12 & (I) \\ 4 x & + 5 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 2 y$	=	$- 12$
$2 y - 4 x$	=	$- 12$	\| $+ 4 x$
$2 y$	=	$- 12 + 4 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 6 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 6 + 2 x) & (I) \\ 4 x & + 5 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 6 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 5 \cdot (- 6 + 2 x)$	=	$- 16$
$4 x - 30 + 10 x$	=	$- 16$
$14 x - 30$	=	$- 16$	\| $+ 30$
$14 x$	=	$14$	\|: $14$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 6 + 2 \cdot 1$

= $- 6 + 2$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$x + 4 - 3 y$	=	$- 4 x$			(I)
$3 y$	=	$- 2 (2 x + 7)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$x + 4 - 3 y$	=	$- 4 x$			(I)
$3 y$	=	$- 2 (2 x + 7)$			(II)

$x + 4 - 3 y$	=	$- 4 x$	\| $- 4 + 4 x$		(I)
$3 y$	=	$- 4 x - 14$	\| + $4 x$		(II)

\begin{matrix} 5 x & - 3 y & = & - 4 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 3 y$	=	$- 4$
$- 3 y + 5 x$	=	$- 4$	\| $- 5 x$
$- 3 y$	=	$- 4 - 5 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$\frac{4}{3} + \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{4}{3} + \frac{5}{3} x) & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{4}{3} + \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 3 \cdot (\frac{4}{3} + \frac{5}{3} x)$	=	$- 14$
$4 x + 4 + 5 x$	=	$- 14$
$9 x + 4$	=	$- 14$	\| $- 4$
$9 x$	=	$- 18$	\|: $9$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{4}{3} + \frac{5}{3} \cdot (- 2)$

= $\frac{4}{3} - \frac{10}{3}$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -4y = ?

3x -11y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

1x -4y = 5 +20 = 25

3x -11y = 15 +55 = 70

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -4y = 25

3x -11y = 70

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & 1 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & 1 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 2 y$	=	$1$	\| $- 2 y$
$- x$	=	$1 - 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 1 + 2 y) & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 1 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 1 + 2 y) - 4 y$	=	$- 2$
$- 2 + 4 y - 4 y$	=	$- 2$
$- 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 3 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 69 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 2 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 141 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 8 x & + 3 y & = & 69 & (I) \\ 2 x & + 9 y & = & 141 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x + 3 y$	=	$69$
$3 y + 8 x$	=	$69$	\| $- 8 x$
$3 y$	=	$69 - 8 x$	\|: $3$
$y$	=	$23 - \frac{8}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (23 - \frac{8}{3} x) & (I) \\ 2 x & + 9 y & = & 141 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $23 - \frac{8}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 9 \cdot (23 - \frac{8}{3} x)$	=	$141$
$2 x + 207 - 24 x$	=	$141$
$- 22 x + 207$	=	$141$	\| $- 207$
$- 22 x$	=	$- 66$	\|:( $- 22$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $23 - \frac{8}{3} \cdot 3$

= $23 - 8$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (3|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(1|-8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-8): -8 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
-8 = 1 +1b +c |-1

7 = -1b +c
-9 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ b & + c & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 9$
$c + b$	=	$- 9$	\| $- b$
$c$	=	$- 9 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (- 9 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 9 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 9 - b)$	=	$7$
$- b - 9 - b$	=	$7$
$- 2 b - 9$	=	$7$	\| $+ 9$
$- 2 b$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 9 - (- 8)$

= $- 9 + 8$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-1)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-1) und B(2|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-1): -1 = 1² + b⋅1 +c

B(2|4): 4 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 +1b +c |-1
4 = 4 +2b +c |-4

-2 = 1b +c
0 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 2 & (I) \\ 2 b & + c & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	0
$c + 2 b$	=	0	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & - 2 b & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch $- 2 b$ ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 2 b)$	=	$- 2$
$b - 2 b$	=	$- 2$
$- b$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 2 \cdot 2$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 4$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 4$

= ${(x + 1)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 4$ = $1 - 2 - 4$ = -5

also: S(-1|-5).

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1. Weg

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