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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 3 y$ = $3$ .

Bestimme x so, dass (x|-5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x - 3 \cdot (- 5)$ = $3$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot (- 5)$	=	$3$
$4 x + 15$	=	$3$	\| $- 15$
$4 x$	=	$- 12$	\|: $4$
$x$	=	$- 3$

Die Lösung ist somit: (-3|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 2 y$ = $- 16$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|6)
denn 4⋅( - 7 ) +2⋅6 = -28 +12 = $- 16$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|2)
denn 4⋅( - 5 ) +2⋅2 = -20 +4 = $- 16$

Oder : (-9|10)
denn 4⋅( - 9 ) +2⋅10 = -36 +20 = $- 16$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 19 & (I) \\ + 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 19 & (I) \\ + 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$- 12$	\|: $3$
$y$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 19 & (I) \\ + y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 1 \cdot (- 4)$	=	$- 19$
$- 3 x - 4$	=	$- 19$	\| $+ 4$
$- 3 x$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - y & = & - 3 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - y & = & - 3 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$7$
$y - 2 x$	=	$7$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$7 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - y & = & - 3 & (I) \\ + y & = & (7 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $7 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 1 \cdot (7 + 2 x)$	=	$- 3$
$x - 7 - 2 x$	=	$- 3$
$- x - 7$	=	$- 3$	\| $+ 7$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $7 + 2 \cdot (- 4)$

= $7 - 8$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & 28 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & 28 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$- 10$
$y - 2 x$	=	$- 10$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$- 10 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & 28 & (I) \\ + y & = & (- 10 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 10 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 5 \cdot (- 10 + 2 x)$	=	$28$
$3 x - 50 + 10 x$	=	$28$
$13 x - 50$	=	$28$	\| $+ 50$
$13 x$	=	$78$	\|: $13$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 10 + 2 \cdot 6$

= $- 10 + 12$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{3}{4} x & + \frac{3}{5} y & = & \frac{18}{5} & (I) \\ - x & + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{3}{4} x & + \frac{3}{5} y & = & \frac{18}{5} & (I) \\ - x & + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x + y$	=	$6$
$y - x$	=	$6$	\| $+ x$
$y$	=	$6 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - \frac{3}{4} x & + \frac{3}{5} y & = & \frac{18}{5} & (I) \\ + y & = & (6 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $6 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{3}{4} x + \frac{3}{5} \cdot (6 + x)$	=	$\frac{18}{5}$
$- \frac{3}{4} x + \frac{18}{5} + \frac{3}{5} x$	=	$\frac{18}{5}$
$- \frac{3}{20} x + \frac{18}{5}$	=	$\frac{18}{5}$	\|⋅ 20
$20 (- \frac{3}{20} x + \frac{18}{5})$	=	$72$
$- 3 x + 72$	=	$72$	\| $- 72$
$- 3 x$	=	0	\|:( $- 3$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $6 + 0$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (0|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -1y = ?

3x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

1x -1y = 5 +5 = 10

3x -5y = 15 +25 = 40

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -1y = 10

3x -5y = 40

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 8 x & + 16 y & = & - 9 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 8 x & + 16 y & = & - 9 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 8 x + 16 y$	=	$- 9$
$16 y - 8 x$	=	$- 9$	\| $+ 8 x$
$16 y$	=	$- 9 + 8 x$	\|: $16$
$y$	=	$- \frac{9}{16} + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{9}{16} + \frac{1}{2} x) & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{9}{16} + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 4 \cdot (- \frac{9}{16} + \frac{1}{2} x)$	=	$2$
$2 x + \frac{9}{4} - 2 x$	=	$2$
$\frac{9}{4}$	=	$2$	\| $- \frac{9}{4}$
0	=	$- \frac{1}{4}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 8 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 181 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 2 LED-Leuchtmittel und 2 Halogenleuchten zusammen 46 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 8 y & = & 181 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 46 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 8 y$	=	$181$
$8 y + 7 x$	=	$181$	\| $- 7 x$
$8 y$	=	$181 - 7 x$	\|: $8$
$y$	=	$\frac{181}{8} - \frac{7}{8} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{181}{8} - \frac{7}{8} x) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 46 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{181}{8} - \frac{7}{8} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (\frac{181}{8} - \frac{7}{8} x)$	=	$46$
$2 x + \frac{181}{4} - \frac{7}{4} x$	=	$46$
$\frac{1}{4} x + \frac{181}{4}$	=	$46$	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} x + \frac{181}{4})$	=	$184$
$x + 181$	=	$184$	\| $- 181$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{181}{8} - \frac{7}{8} \cdot 3$

= $\frac{181}{8} - \frac{21}{8}$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (3|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|0) und B(1|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
-4 = 1 +1b +c |-1

-1 = -1b +c
-5 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 5$
$c + b$	=	$- 5$	\| $- b$
$c$	=	$- 5 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (- 5 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 5 - b)$	=	$- 1$
$- b - 5 - b$	=	$- 1$
$- 2 b - 5$	=	$- 1$	\| $+ 5$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 - (- 2)$

= $- 5 + 2$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|1) und B(-4|28) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|1): 1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|28): 28 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 -1b +c |-1
28 = 16 -4b +c |-16

0 = -1b +c
12 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$12$
$c - 4 b$	=	$12$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$12 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (12 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $12 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (12 + 4 b)$	=	0
$- b + 12 + 4 b$	=	0
$3 b + 12$	=	0	\| $- 12$
$3 b$	=	$- 12$	\|: $3$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $12 + 4 \cdot (- 4)$

= $12 - 16$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 - 4$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 - 4$

= ${(x - 2)}^{2} - 8$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-8).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 - 4$ = $4 - 8 - 4$ = -8

also: S(2|-8).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg