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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 5 y$ = $11$ .

Bestimme y so, dass (4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$4 \cdot 4 + 5 y$ = $11$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4 \cdot 4 + 5 y$	=	$11$
$16 + 5 y$	=	$11$
$5 y + 16$	=	$11$	\| $- 16$
$5 y$	=	$- 5$	\|: $5$
$y$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (4|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + y$ = $- 12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|-7)
denn -5⋅1 +1⋅( - 7 ) = -5 -7 = $- 12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-2)
denn -5⋅2 +1⋅( - 2 ) = -10 -2 = $- 12$

Oder : (0|-12)
denn -5⋅0 +1⋅( - 12 ) = 0 -12 = $- 12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 22 & (I) \\ 2 x & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 22 & (I) \\ 2 x & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 22 & (I) \\ x & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot 2 - 4 y$	=	$- 22$
$- 6 - 4 y$	=	$- 22$
$- 4 y - 6$	=	$- 22$	\| $+ 6$
$- 4 y$	=	$- 16$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$4$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$4 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (4 + 2 y) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $4 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (4 + 2 y) - 3 y$	=	$5$
$8 + 4 y - 3 y$	=	$5$
$y + 8$	=	$5$	\| $- 8$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $4 + 2 \cdot (- 3)$

= $4 - 6$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 16 & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 16 & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 3 y$	=	$- 16$
$- 3 y + 4 x$	=	$- 16$	\| $- 4 x$
$- 3 y$	=	$- 16 - 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$\frac{16}{3} + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{16}{3} + \frac{4}{3} x) & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{16}{3} + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 5 \cdot (\frac{16}{3} + \frac{4}{3} x)$	=	$- 20$
$5 x + \frac{80}{3} + \frac{20}{3} x$	=	$- 20$
$\frac{35}{3} x + \frac{80}{3}$	=	$- 20$	\|⋅ 3
$3 (\frac{35}{3} x + \frac{80}{3})$	=	$- 60$
$35 x + 80$	=	$- 60$	\| $- 80$
$35 x$	=	$- 140$	\|: $35$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{16}{3} + \frac{4}{3} \cdot (- 4)$

= $\frac{16}{3} - \frac{16}{3}$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & 9 & (I) \\ - \frac{2}{5} x & - \frac{2}{5} y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - y & = & 9 & (I) \\ - \frac{2}{5} x & - \frac{2}{5} y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x - y$	=	$9$
$- y + 3 x$	=	$9$	\| $- 3 x$
$- y$	=	$9 - 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 9 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 9 + 3 x) & (I) \\ - \frac{2}{5} x & - \frac{2}{5} y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 9 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{2}{5} x - \frac{2}{5} \cdot (- 9 + 3 x)$	=	$2$
$- \frac{2}{5} x + \frac{18}{5} - \frac{6}{5} x$	=	$2$
$- \frac{8}{5} x + \frac{18}{5}$	=	$2$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{8}{5} x + \frac{18}{5})$	=	$10$
$- 8 x + 18$	=	$10$	\| $- 18$
$- 8 x$	=	$- 8$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 9 + 3 \cdot 1$

= $- 9 + 3$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +4y = ?

5x +12y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

2x +4y = 10 -12 = -2

5x +12y = 25 -36 = -11

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +4y = -2

5x +12y = -11

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & - 2 y & = & 22 & (I) \\ - x & + 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 2 y & = & 22 & (I) \\ - x & + 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 3 y$	=	$1$	\| $- 3 y$
$- x$	=	$1 - 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & - 2 y & = & 22 & (I) \\ x & = & (- 1 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 1 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 5 \cdot (- 1 + 3 y) - 2 y$	=	$22$
$5 - 15 y - 2 y$	=	$22$
$- 17 y + 5$	=	$22$	\| $- 5$
$- 17 y$	=	$17$	\|:( $- 17$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 1 + 3 \cdot (- 1)$

= $- 1 - 3$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 21. Wenn man aber vom 2-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -14. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 21 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$21$	\| $- 5 y$
$x$	=	$21 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (21 - 5 y) & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $21 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (21 - 5 y) - 4 y$	=	$- 14$
$42 - 10 y - 4 y$	=	$- 14$
$- 14 y + 42$	=	$- 14$	\| $- 42$
$- 14 y$	=	$- 56$	\|:( $- 14$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $21 - 5 \cdot 4$

= $21 - 20$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 4

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-14) und B(3|-26) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-14): -14 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-26): -26 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-14 = 1 +1b +c |-1
-26 = 9 +3b +c |-9

-15 = 1b +c
-35 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 15 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 35 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 35$
$c + 3 b$	=	$- 35$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 35 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 15 & (I) \\ + c & = & (- 35 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 35 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 35 - 3 b)$	=	$- 15$
$b - 35 - 3 b$	=	$- 15$
$- 2 b - 35$	=	$- 15$	\| $+ 35$
$- 2 b$	=	$20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 35 - 3 \cdot (- 10)$

= $- 35 + 30$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-5)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-3) und B(2|24) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|24): 24 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 -1b +c |-1
24 = 4 +2b +c |-4

-4 = -1b +c
20 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ 2 b & + c & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$20$
$c + 2 b$	=	$20$	\| $- 2 b$
$c$	=	$20 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (20 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $20 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (20 - 2 b)$	=	$- 4$
$- b + 20 - 2 b$	=	$- 4$
$- 3 b + 20$	=	$- 4$	\| $- 20$
$- 3 b$	=	$- 24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $20 - 2 \cdot 8$

= $20 - 16$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|4)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 + 4$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 + 4$

= ${(x + 4)}^{2} - 12$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-12).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) + 4$ = $16 - 32 + 4$ = -12

also: S(-4|-12).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg