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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 2 y$ = $4$ .

Bestimme x so, dass (x|0) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$- x - 2 \cdot 0$ = $4$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- x - 2 \cdot 0$	=	$4$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (-4|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 3 y$ = $- 8$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|-3)
denn 1⋅1 +3⋅( - 3 ) = 1 -9 = $- 8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-4)
denn 1⋅4 +3⋅( - 4 ) = 4 -12 = $- 8$

Oder : (-2|-2)
denn 1⋅( - 2 ) +3⋅( - 2 ) = -2 -6 = $- 8$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + y & = & 3 & (I) \\ 3 x & + y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $3$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 1 \cdot 3$	=	$15$
$3 x + 3$	=	$15$	\| $- 3$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 23 & (I) \\ x & - 4 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 23 & (I) \\ x & - 4 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$21$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$21 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 23 & (I) \\ x & = & (21 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $21 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (21 + 4 y) + 2 y$	=	$- 23$
$- 63 - 12 y + 2 y$	=	$- 23$
$- 10 y - 63$	=	$- 23$	\| $+ 63$
$- 10 y$	=	$40$	\|:( $- 10$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $21 + 4 \cdot (- 4)$

= $21 - 16$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 14 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 23 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 14 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 23 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 4 y$	=	$23$	\| $+ 4 y$
$- x$	=	$23 + 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 23 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 14 & (I) \\ x & = & (- 23 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 23 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 23 - 4 y) - 2 y$	=	$14$
$- 46 - 8 y - 2 y$	=	$14$
$- 10 y - 46$	=	$14$	\| $+ 46$
$- 10 y$	=	$60$	\|:( $- 10$ )
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 23 - 4 \cdot (- 6)$

= $- 23 + 24$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & + \frac{2}{3} y & = & 4 & (I) \\ - \frac{3}{2} x & - y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & + \frac{2}{3} y & = & 4 & (I) \\ - \frac{3}{2} x & - y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{3}{2} x - y$	=	$- 6$
$- y - \frac{3}{2} x$	=	$- 6$	\|⋅ 2
$2 (- y - \frac{3}{2} x)$	=	$- 12$
$- 2 y - 3 x$	=	$- 12$	\| $+ 3 x$
$- 2 y$	=	$- 12 + 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$6 - \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & + \frac{2}{3} y & = & 4 & (I) \\ + y & = & (6 - \frac{3}{2} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $6 - \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{2} x + \frac{2}{3} \cdot (6 - \frac{3}{2} x)$	=	$4$
$\frac{1}{2} x + 4 - x$	=	$4$
$- \frac{1}{2} x + 4$	=	$4$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x + 4)$	=	$8$
$- x + 8$	=	$8$	\| $- 8$
$- x$	=	0	\|:( $- 1$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $6 - \frac{3}{2} \cdot (0)$

= $6 + 0$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (0|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +4y = ?

-5x +7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-4x +4y = 20 -4 = 16

-5x +7y = 25 -7 = 18

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +4y = 16

-5x +7y = 18

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 28 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 28 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 22$
$y + 4 x$	=	$- 22$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 22 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 28 & (I) \\ + y & = & (- 22 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 22 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 4 \cdot (- 22 - 4 x)$	=	$28$
$- 4 x + 88 + 16 x$	=	$28$
$12 x + 88$	=	$28$	\| $- 88$
$12 x$	=	$- 60$	\|: $12$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 22 - 4 \cdot (- 5)$

= $- 22 + 20$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 5 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 640 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 135 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 2 y & = & 640 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 135 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 2 y$	=	$640$
$- 2 y + 5 x$	=	$640$	\| $- 5 x$
$- 2 y$	=	$640 - 5 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 320 + \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 320 + \frac{5}{2} x) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 135 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 320 + \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (- 320 + \frac{5}{2} x)$	=	$135$
$2 x + 960 - \frac{15}{2} x$	=	$135$
$- \frac{11}{2} x + 960$	=	$135$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{11}{2} x + 960)$	=	$270$
$- 11 x + 1 920$	=	$270$	\| $- 1 920$
$- 11 x$	=	$- 1 650$	\|:( $- 11$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 320 + \frac{5}{2} \cdot 150$

= $- 320 + 375$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (150|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-8) und B(4|-11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-8): -8 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-11): -11 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 +1b +c |-1
-11 = 16 +4b +c |-16

-9 = 1b +c
-27 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 27$
$c + 4 b$	=	$- 27$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 27 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ + c & = & (- 27 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 27 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 27 - 4 b)$	=	$- 9$
$b - 27 - 4 b$	=	$- 9$
$- 3 b - 27$	=	$- 9$	\| $+ 27$
$- 3 b$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 27 - 4 \cdot (- 6)$

= $- 27 + 24$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(2|-14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-14): -14 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
-14 = 4 +2b +c |-4

6 = -1b +c
-18 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 18$
$c + 2 b$	=	$- 18$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 18 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (- 18 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 18 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 18 - 2 b)$	=	$6$
$- b - 18 - 2 b$	=	$6$
$- 3 b - 18$	=	$6$	\| $+ 18$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 18 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 18 + 16$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 18$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-18).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 2$ = $16 - 32 - 2$ = -18

also: S(4|-18).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS (Standard)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg