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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 5 y$ = $13$ .

Bestimme x so, dass (x|-5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 x - 5 \cdot (- 5)$ = $13$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 3 x - 5 \cdot (- 5)$	=	$13$
$- 3 x + 25$	=	$13$	\| $- 25$
$- 3 x$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (4|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + y$ = $- 1$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-5)
denn -2⋅( - 2 ) +1⋅( - 5 ) = 4 -5 = $- 1$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|-3)
denn -2⋅( - 1 ) +1⋅( - 3 ) = 2 -3 = $- 1$

Oder : (-3|-7)
denn -2⋅( - 3 ) +1⋅( - 7 ) = 6 -7 = $- 1$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 0 & (I) \\ - 3 x & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 0 & (I) \\ - 3 x & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 0 & (I) \\ x & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot 2 - 3 y$	=	0
$6 - 3 y$	=	0
$- 3 y + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 3 y$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & - 9 & (I) \\ - x & + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + y & = & - 9 & (I) \\ - x & + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 2 y$	=	$- 8$	\| $- 2 y$
$- x$	=	$- 8 - 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$8 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & - 9 & (I) \\ x & = & (8 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $8 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (8 + 2 y) + y$	=	$- 9$
$16 + 4 y + y$	=	$- 9$
$5 y + 16$	=	$- 9$	\| $- 16$
$5 y$	=	$- 25$	\|: $5$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $8 + 2 \cdot (- 5)$

= $8 - 10$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 5 y & = & 17 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & - 29 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 5 y & = & 17 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & - 29 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 5 y$	=	$17$
$5 y + 4 x$	=	$17$	\| $- 4 x$
$5 y$	=	$17 - 4 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{17}{5} - \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{17}{5} - \frac{4}{5} x) & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & - 29 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{17}{5} - \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot (\frac{17}{5} - \frac{4}{5} x)$	=	$- 29$
$2 x - 17 + 4 x$	=	$- 29$
$6 x - 17$	=	$- 29$	\| $+ 17$
$6 x$	=	$- 12$	\|: $6$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{17}{5} - \frac{4}{5} \cdot (- 2)$

= $\frac{17}{5} + \frac{8}{5}$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{4} x & - \frac{1}{2} y & = & - \frac{9}{2} & (I) \\ \frac{3}{4} x & + \frac{3}{2} y & = & \frac{9}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{4} x & - \frac{1}{2} y & = & - \frac{9}{2} & (I) \\ \frac{3}{4} x & + \frac{3}{2} y & = & \frac{9}{2} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{4} x - \frac{1}{2} y$	=	$- \frac{9}{2}$
$- \frac{1}{2} y + \frac{1}{4} x$	=	$- \frac{9}{2}$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{1}{2} y + \frac{1}{4} x)$	=	$- 18$
$- 2 y + x$	=	$- 18$	\| $- x$
$- 2 y$	=	$- 18 - x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$9 + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (9 + \frac{1}{2} x) & (I) \\ \frac{3}{4} x & + \frac{3}{2} y & = & \frac{9}{2} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $9 + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{4} x + \frac{3}{2} \cdot (9 + \frac{1}{2} x)$	=	$\frac{9}{2}$
$\frac{3}{4} x + \frac{27}{2} + \frac{3}{4} x$	=	$\frac{9}{2}$
$\frac{3}{2} x + \frac{27}{2}$	=	$\frac{9}{2}$	\|⋅ 2
$2 (\frac{3}{2} x + \frac{27}{2})$	=	$9$
$3 x + 27$	=	$9$	\| $- 27$
$3 x$	=	$- 18$	\|: $3$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $9 + \frac{1}{2} \cdot (- 6)$

= $9 - 3$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -5y = ?

2x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-2x -5y = -6 +15 = 9

2x +2y = 6 -6 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -5y = 9

2x +2y = 0

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & - 5 y & = & - 9 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 5 y & = & - 9 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 5 y$	=	$- 9$
$- 5 y + 4 x$	=	$- 9$	\| $- 4 x$
$- 5 y$	=	$- 9 - 4 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$\frac{9}{5} + \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{9}{5} + \frac{4}{5} x) & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{9}{5} + \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 2 \cdot (\frac{9}{5} + \frac{4}{5} x)$	=	$- 2$
$- 3 x + \frac{18}{5} + \frac{8}{5} x$	=	$- 2$
$- \frac{7}{5} x + \frac{18}{5}$	=	$- 2$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{7}{5} x + \frac{18}{5})$	=	$- 10$
$- 7 x + 18$	=	$- 10$	\| $- 18$
$- 7 x$	=	$- 28$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{9}{5} + \frac{4}{5} \cdot 4$

= $\frac{9}{5} + \frac{16}{5}$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 4 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 3 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 87 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 8 Halogenleuchten zusammen 215 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & 87 & (I) \\ 5 x & + 8 y & = & 215 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 3 y$	=	$87$
$3 y + 4 x$	=	$87$	\| $- 4 x$
$3 y$	=	$87 - 4 x$	\|: $3$
$y$	=	$29 - \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (29 - \frac{4}{3} x) & (I) \\ 5 x & + 8 y & = & 215 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $29 - \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 8 \cdot (29 - \frac{4}{3} x)$	=	$215$
$5 x + 232 - \frac{32}{3} x$	=	$215$
$- \frac{17}{3} x + 232$	=	$215$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{17}{3} x + 232)$	=	$645$
$- 17 x + 696$	=	$645$	\| $- 696$
$- 17 x$	=	$- 51$	\|:( $- 17$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $29 - \frac{4}{3} \cdot 3$

= $29 - 4$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (3|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-2) und B(-2|3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|3): 3 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 -1b +c |-1
3 = 4 -2b +c |-4

-3 = -1b +c
-1 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 1$
$c - 2 b$	=	$- 1$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 1 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 1 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 1 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 1 + 2 b)$	=	$- 3$
$- b - 1 + 2 b$	=	$- 3$
$b - 1$	=	$- 3$	\| $+ 1$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 1 + 2 \cdot (- 2)$

= $- 1 - 4$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|4) und B(1|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
-4 = 1 +1b +c |-1

3 = -1b +c
-5 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 5$
$c + b$	=	$- 5$	\| $- b$
$c$	=	$- 5 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (- 5 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 5 - b)$	=	$3$
$- b - 5 - b$	=	$3$
$- 2 b - 5$	=	$3$	\| $+ 5$
$- 2 b$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 - (- 4)$

= $- 5 + 4$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 - 1$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 - 1$

= ${(x - 2)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 - 1$ = $4 - 8 - 1$ = -5

also: S(2|-5).

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1. Weg

2. Weg