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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - 2 y$ = $- 36$ .

Bestimme x so, dass (x|6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 x - 2 \cdot 6$ = $- 36$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 4 x - 2 \cdot 6$	=	$- 36$
$- 4 x - 12$	=	$- 36$	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$- 24$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - y$ = $13$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|-7)
denn 3⋅2 -1⋅( - 7 ) = 6 +7 = $13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|-10)
denn 3⋅1 -1⋅( - 10 ) = 3 +10 = $13$

Oder : (3|-4)
denn 3⋅3 -1⋅( - 4 ) = 9 +4 = $13$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 14 & (I) \\ - 3 x & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 14 & (I) \\ - 3 x & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 14 & (I) \\ x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 4) + y$	=	$- 14$
$- 12 + y$	=	$- 14$
$y - 12$	=	$- 14$	\| $+ 12$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 17 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 17 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$17$
$y - 3 x$	=	$17$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$17 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (17 + 3 x) & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $17 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 3 \cdot (17 + 3 x)$	=	$16$
$- 2 x + 51 + 9 x$	=	$16$
$7 x + 51$	=	$16$	\| $- 51$
$7 x$	=	$- 35$	\|: $7$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $17 + 3 \cdot (- 5)$

= $17 - 15$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & - 16 & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & - 16 & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 4 y$	=	$- 16$
$4 y + 3 x$	=	$- 16$	\| $- 3 x$
$4 y$	=	$- 16 - 3 x$	\|: $4$
$y$	=	$- 4 - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 4 - \frac{3}{4} x) & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 4 - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 2 \cdot (- 4 - \frac{3}{4} x)$	=	$- 22$
$5 x - 8 - \frac{3}{2} x$	=	$- 22$
$\frac{7}{2} x - 8$	=	$- 22$	\|⋅ 2
$2 (\frac{7}{2} x - 8)$	=	$- 44$
$7 x - 16$	=	$- 44$	\| $+ 16$
$7 x$	=	$- 28$	\|: $7$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 4 - \frac{3}{4} \cdot (- 4)$

= $- 4 + 3$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{2}{3} x & - 2 y & = & - 6 & (I) \\ \frac{1}{2} x & + y & = & \frac{5}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{2}{3} x & - 2 y & = & - 6 & (I) \\ \frac{1}{2} x & + y & = & \frac{5}{2} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$\frac{1}{2} x + y$	=	$\frac{5}{2}$
$y + \frac{1}{2} x$	=	$\frac{5}{2}$	\|⋅ 2
$2 (y + \frac{1}{2} x)$	=	$5$
$2 y + x$	=	$5$	\| $- x$
$2 y$	=	$5 - x$	\|: $2$
$y$	=	$\frac{5}{2} - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - \frac{2}{3} x & - 2 y & = & - 6 & (I) \\ + y & = & (\frac{5}{2} - \frac{1}{2} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $\frac{5}{2} - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{2}{3} x - 2 \cdot (\frac{5}{2} - \frac{1}{2} x)$	=	$- 6$
$- \frac{2}{3} x - 5 + x$	=	$- 6$
$\frac{1}{3} x - 5$	=	$- 6$	\|⋅ 3
$3 (\frac{1}{3} x - 5)$	=	$- 18$
$x - 15$	=	$- 18$	\| $+ 15$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $\frac{5}{2} - \frac{1}{2} \cdot (- 3)$

= $\frac{5}{2} + \frac{3}{2}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -3y = ?

2x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-2x -3y = -2 +15 = 13

2x +4y = 2 -20 = -18

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -3y = 13

2x +4y = -18

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & - 1 & (I) \\ 4 x & + 16 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & - 1 & (I) \\ 4 x & + 16 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 4 y$	=	$- 1$	\| $+ 4 y$
$- x$	=	$- 1 + 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (1 - 4 y) & (I) \\ 4 x & + 16 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $1 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (1 - 4 y) + 16 y$	=	$4$
$4 - 16 y + 16 y$	=	$4$
$4$	=	$4$	\| $- 4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 8 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 328 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 268 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 8 y & = & 328 & (I) \\ 7 x & + 6 y & = & 268 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 8 y$	=	$328$
$8 y + 2 x$	=	$328$	\| $- 2 x$
$8 y$	=	$328 - 2 x$	\|: $8$
$y$	=	$41 - \frac{1}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (41 - \frac{1}{4} x) & (I) \\ 7 x & + 6 y & = & 268 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $41 - \frac{1}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x + 6 \cdot (41 - \frac{1}{4} x)$	=	$268$
$7 x + 246 - \frac{3}{2} x$	=	$268$
$\frac{11}{2} x + 246$	=	$268$	\|⋅ 2
$2 (\frac{11}{2} x + 246)$	=	$536$
$11 x + 492$	=	$536$	\| $- 492$
$11 x$	=	$44$	\|: $11$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $41 - \frac{1}{4} \cdot 4$

= $41 - 1$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (4|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|10) und B(-3|26) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|10): 10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|26): 26 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 -1b +c |-1
26 = 9 -3b +c |-9

9 = -1b +c
17 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$17$
$c - 3 b$	=	$17$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$17 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (17 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $17 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (17 + 3 b)$	=	$9$
$- b + 17 + 3 b$	=	$9$
$2 b + 17$	=	$9$	\| $- 17$
$2 b$	=	$- 8$	\|: $2$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $17 + 3 \cdot (- 4)$

= $17 - 12$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-13) und B(-2|-20) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-13): -13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-20): -20 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-13 = 1 -1b +c |-1
-20 = 4 -2b +c |-4

-14 = -1b +c
-24 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 14 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 24$
$c - 2 b$	=	$- 24$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 24 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 14 & (I) \\ + c & = & (- 24 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 24 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 24 + 2 b)$	=	$- 14$
$- b - 24 + 2 b$	=	$- 14$
$b - 24$	=	$- 14$	\| $+ 24$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 24 + 2 \cdot 10$

= $- 24 + 20$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-4)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 29$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-29).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 4$ = $25 - 50 - 4$ = -29

also: S(-5|-29).

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1. Weg

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