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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + y$ = $- 5$ .

Bestimme y so, dass (3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot 3 + y$ = $- 5$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot 3 + y$	=	$- 5$
$- 9 + y$	=	$- 5$
$y - 9$	=	$- 5$	\| $+ 9$
$y$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (3|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 2 y$ = $31$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|-2)
denn 5⋅7 +2⋅( - 2 ) = 35 -4 = $31$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (9|-7)
denn 5⋅9 +2⋅( - 7 ) = 45 -14 = $31$

Oder : (5|3)
denn 5⋅5 +2⋅3 = 25 +6 = $31$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & = & - 8 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & = & - 8 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 4 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot 4 + 4 y$	=	$- 16$
$- 8 + 4 y$	=	$- 16$
$4 y - 8$	=	$- 16$	\| $+ 8$
$4 y$	=	$- 8$	\|: $4$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & 2 & (I) \\ 3 x & + y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & 2 & (I) \\ 3 x & + y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$- 8$
$y + 3 x$	=	$- 8$	\| $- 3 x$
$y$	=	$- 8 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & 2 & (I) \\ + y & = & (- 8 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 8 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (- 8 - 3 x)$	=	$2$
$2 x + 24 + 9 x$	=	$2$
$11 x + 24$	=	$2$	\| $- 24$
$11 x$	=	$- 22$	\|: $11$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 8 - 3 \cdot (- 2)$

= $- 8 + 6$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & - 45 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & - 45 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 5 y$	=	$- 45$
$5 y + 3 x$	=	$- 45$	\| $- 3 x$
$5 y$	=	$- 45 - 3 x$	\|: $5$
$y$	=	$- 9 - \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 9 - \frac{3}{5} x) & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 9 - \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 2 \cdot (- 9 - \frac{3}{5} x)$	=	$- 27$
$3 x - 18 - \frac{6}{5} x$	=	$- 27$
$\frac{9}{5} x - 18$	=	$- 27$	\|⋅ 5
$5 (\frac{9}{5} x - 18)$	=	$- 135$
$9 x - 90$	=	$- 135$	\| $+ 90$
$9 x$	=	$- 45$	\|: $9$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 9 - \frac{3}{5} \cdot (- 5)$

= $- 9 + 3$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 4 x + 3 y$	=	$- 24$			(I)
$3 x - 17$	=	$1 + 3 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 4 x + 3 y$	=	$- 24$			(I)
$3 x - 17$	=	$1 + 3 y$	\| + $17 - 3 y$		(II)

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & - 24 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 3 y$	=	$- 24$
$3 y - 4 x$	=	$- 24$	\| $+ 4 x$
$3 y$	=	$- 24 + 4 x$	\|: $3$
$y$	=	$- 8 + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 8 + \frac{4}{3} x) & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 8 + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (- 8 + \frac{4}{3} x)$	=	$18$
$3 x + 24 - 4 x$	=	$18$
$- x + 24$	=	$18$	\| $- 24$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 8 + \frac{4}{3} \cdot 6$

= $- 8 + 8$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (6|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -3y = ?

5x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

4x -3y = -8 +12 = 4

5x -3y = -10 +12 = 2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -3y = 4

5x -3y = 2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & + 3 y & = & - 28 & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & + 3 y & = & - 28 & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x + 3 y$	=	$- 28$
$3 y - 5 x$	=	$- 28$	\| $+ 5 x$
$3 y$	=	$- 28 + 5 x$	\|: $3$
$y$	=	$- \frac{28}{3} + \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{28}{3} + \frac{5}{3} x) & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{28}{3} + \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 5 \cdot (- \frac{28}{3} + \frac{5}{3} x)$	=	$20$
$- 5 x + \frac{140}{3} - \frac{25}{3} x$	=	$20$
$- \frac{40}{3} x + \frac{140}{3}$	=	$20$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{40}{3} x + \frac{140}{3})$	=	$60$
$- 40 x + 140$	=	$60$	\| $- 140$
$- 40 x$	=	$- 80$	\|:( $- 40$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{28}{3} + \frac{5}{3} \cdot 2$

= $- \frac{28}{3} + \frac{10}{3}$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 195 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 6 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 795 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & 195 & (I) \\ 6 x & - 3 y & = & 795 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 3 y$	=	$195$
$- 3 y + 2 x$	=	$195$	\| $- 2 x$
$- 3 y$	=	$195 - 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 65 + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 65 + \frac{2}{3} x) & (I) \\ 6 x & - 3 y & = & 795 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 65 + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 3 \cdot (- 65 + \frac{2}{3} x)$	=	$795$
$6 x + 195 - 2 x$	=	$795$
$4 x + 195$	=	$795$	\| $- 195$
$4 x$	=	$600$	\|: $4$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 65 + \frac{2}{3} \cdot 150$

= $- 65 + 100$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|13) und B(-2|24) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|13): 13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|24): 24 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 -1b +c |-1
24 = 4 -2b +c |-4

12 = -1b +c
20 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$20$
$c - 2 b$	=	$20$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$20 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ + c & = & (20 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $20 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (20 + 2 b)$	=	$12$
$- b + 20 + 2 b$	=	$12$
$b + 20$	=	$12$	\| $- 20$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $20 + 2 \cdot (- 8)$

= $20 - 16$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|4)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-12) und B(3|-20) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-12): -12 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-20): -20 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 +1b +c |-1
-20 = 9 +3b +c |-9

-13 = 1b +c
-29 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 29 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 29$
$c + 3 b$	=	$- 29$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 29 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ + c & = & (- 29 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 29 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 29 - 3 b)$	=	$- 13$
$b - 29 - 3 b$	=	$- 13$
$- 2 b - 29$	=	$- 13$	\| $+ 29$
$- 2 b$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 29 - 3 \cdot (- 8)$

= $- 29 + 24$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-5)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 5$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 5$

= ${(x - 4)}^{2} - 21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 5$ = $16 - 32 - 5$ = -21

also: S(4|-21).

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1. Weg

2. Weg