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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + y$ = $- 12$ .

Bestimme y so, dass (6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 \cdot 6 + y$ = $- 12$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 2 \cdot 6 + y$	=	$- 12$
$- 12 + y$	=	$- 12$
$y - 12$	=	$- 12$	\| $+ 12$
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (6|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 2 y$ = $- 12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|3)
denn 2⋅( - 3 ) -2⋅3 = -6 -6 = $- 12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|1)
denn 2⋅( - 5 ) -2⋅1 = -10 -2 = $- 12$

Oder : (-1|5)
denn 2⋅( - 1 ) -2⋅5 = -2 -10 = $- 12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & = & 4 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & = & 4 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$4$	\|: $4$
$x$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 1 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot 1 - 2 y$	=	$8$
$2 - 2 y$	=	$8$
$- 2 y + 2$	=	$8$	\| $- 2$
$- 2 y$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 24 & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 24 & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 24$
$y - 4 x$	=	$- 24$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 24 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 24 + 4 x) & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 24 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 4 \cdot (- 24 + 4 x)$	=	$- 1$
$3 x - 96 + 16 x$	=	$- 1$
$19 x - 96$	=	$- 1$	\| $+ 96$
$19 x$	=	$95$	\|: $19$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 24 + 4 \cdot 5$

= $- 24 + 20$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 21 & (I) \\ 3 x & - y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 21 & (I) \\ 3 x & - y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x - y$	=	$5$
$- y + 3 x$	=	$5$	\| $- 3 x$
$- y$	=	$5 - 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 5 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 21 & (I) \\ + y & = & (- 5 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 5 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 3 \cdot (- 5 + 3 x)$	=	$21$
$3 x - 15 + 9 x$	=	$21$
$12 x - 15$	=	$21$	\| $+ 15$
$12 x$	=	$36$	\|: $12$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 5 + 3 \cdot 3$

= $- 5 + 9$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{2}{5} x & - \frac{2}{3} y & = & - \frac{8}{3} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{2} y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{2}{5} x & - \frac{2}{3} y & = & - \frac{8}{3} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{2} y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{2}{5} x - \frac{2}{3} y$	=	$- \frac{8}{3}$
$- \frac{2}{3} y + \frac{2}{5} x$	=	$- \frac{8}{3}$	\|⋅ 15
$15 (- \frac{2}{3} y + \frac{2}{5} x)$	=	$- 40$
$- 10 y + 6 x$	=	$- 40$	\| $- 6 x$
$- 10 y$	=	$- 40 - 6 x$	\|:( $- 10$ )
$y$	=	$4 + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (4 + \frac{3}{5} x) & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{2} y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4 + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (4 + \frac{3}{5} x)$	=	$2$
$- \frac{1}{2} x - 2 - \frac{3}{10} x$	=	$2$
$- \frac{4}{5} x - 2$	=	$2$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{4}{5} x - 2)$	=	$10$
$- 4 x - 10$	=	$10$	\| $+ 10$
$- 4 x$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4 + \frac{3}{5} \cdot (- 5)$

= $4 - 3$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +1y = ?

2x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

5x +1y = 5 -2 = 3

2x -2y = 2 +4 = 6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +1y = 3

2x -2y = 6

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 12 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 12 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 4 y$	=	$12$
$- 4 y - 4 x$	=	$12$	\| $+ 4 x$
$- 4 y$	=	$12 + 4 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 3 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 3 - x) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 3 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (- 3 - x)$	=	$- 16$
$2 x + 9 + 3 x$	=	$- 16$
$5 x + 9$	=	$- 16$	\| $- 9$
$5 x$	=	$- 25$	\|: $5$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 3 - (- 5)$

= $- 3 + 5$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 7 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 915 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 6 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 810 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & - 3 y & = & 915 & (I) \\ 6 x & - 2 y & = & 810 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x - 3 y$	=	$915$
$- 3 y + 7 x$	=	$915$	\| $- 7 x$
$- 3 y$	=	$915 - 7 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 305 + \frac{7}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 305 + \frac{7}{3} x) & (I) \\ 6 x & - 2 y & = & 810 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 305 + \frac{7}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 2 \cdot (- 305 + \frac{7}{3} x)$	=	$810$
$6 x + 610 - \frac{14}{3} x$	=	$810$
$\frac{4}{3} x + 610$	=	$810$	\|⋅ 3
$3 (\frac{4}{3} x + 610)$	=	$2 430$
$4 x + 1 830$	=	$2 430$	\| $- 1 830$
$4 x$	=	$600$	\|: $4$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 305 + \frac{7}{3} \cdot 150$

= $- 305 + 350$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (150|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|0) und B(2|-9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-9): -9 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
-9 = 4 +2b +c |-4

-1 = -1b +c
-13 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 13$
$c + 2 b$	=	$- 13$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 13 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (- 13 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 13 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 13 - 2 b)$	=	$- 1$
$- b - 13 - 2 b$	=	$- 1$
$- 3 b - 13$	=	$- 1$	\| $+ 13$
$- 3 b$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 13 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 13 + 8$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(-2|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-7): -7 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
-7 = 4 -2b +c |-4

-5 = -1b +c
-11 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 11$
$c - 2 b$	=	$- 11$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 11 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 11 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 11 + 2 b)$	=	$- 5$
$- b - 11 + 2 b$	=	$- 5$
$b - 11$	=	$- 5$	\| $+ 11$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 + 2 \cdot 6$

= $- 11 + 12$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 1$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 1$

= ${(x + 3)}^{2} - 8$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-8).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 1$ = $9 - 18 + 1$ = -8

also: S(-3|-8).

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1. Weg

2. Weg