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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + y$ = 0.

Bestimme x so, dass (x|5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$5 x + 5$ = 0

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5 x + 5$	=	0
$5 x + 5$	=	0	\| $- 5$
$5 x$	=	$- 5$	\|: $5$
$x$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-1|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 4 y$ = $- 2$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|-3)
denn -2⋅7 -4⋅( - 3 ) = -14 +12 = $- 2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|-1)
denn -2⋅3 -4⋅( - 1 ) = -6 +4 = $- 2$

Oder : (11|-5)
denn -2⋅11 -4⋅( - 5 ) = -22 +20 = $- 2$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 12 & (I) \\ - 3 x & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 12 & (I) \\ - 3 x & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 12 & (I) \\ x & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot 5 + 2 y$	=	$- 12$
$- 20 + 2 y$	=	$- 12$
$2 y - 20$	=	$- 12$	\| $+ 20$
$2 y$	=	$8$	\|: $2$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 9 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 9 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$- 3$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$- 3 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 9 & (I) \\ x & = & (- 3 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 3 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 3 + 2 y) + 2 y$	=	$9$
$- 3 + 2 y + 2 y$	=	$9$
$4 y - 3$	=	$9$	\| $+ 3$
$4 y$	=	$12$	\|: $4$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 3 + 2 \cdot 3$

= $- 3 + 6$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & - 9 & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & - 9 & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 5 y$	=	$- 9$
$5 y + 2 x$	=	$- 9$	\| $- 2 x$
$5 y$	=	$- 9 - 2 x$	\|: $5$
$y$	=	$- \frac{9}{5} - \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{9}{5} - \frac{2}{5} x) & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{9}{5} - \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 3 \cdot (- \frac{9}{5} - \frac{2}{5} x)$	=	$- 21$
$- 4 x - \frac{27}{5} - \frac{6}{5} x$	=	$- 21$
$- \frac{26}{5} x - \frac{27}{5}$	=	$- 21$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{26}{5} x - \frac{27}{5})$	=	$- 105$
$- 26 x - 27$	=	$- 105$	\| $+ 27$
$- 26 x$	=	$- 78$	\|:( $- 26$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{9}{5} - \frac{2}{5} \cdot 3$

= $- \frac{9}{5} - \frac{6}{5}$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{4} x & + y & = & - \frac{7}{4} & (I) \\ \frac{3}{2} x & - y & = & - \frac{9}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{4} x & + y & = & - \frac{7}{4} & (I) \\ \frac{3}{2} x & - y & = & - \frac{9}{2} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$\frac{3}{2} x - y$	=	$- \frac{9}{2}$
$- y + \frac{3}{2} x$	=	$- \frac{9}{2}$	\|⋅ 2
$2 (- y + \frac{3}{2} x)$	=	$- 9$
$- 2 y + 3 x$	=	$- 9$	\| $- 3 x$
$- 2 y$	=	$- 9 - 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$\frac{9}{2} + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - \frac{1}{4} x & + y & = & - \frac{7}{4} & (I) \\ + y & = & (\frac{9}{2} + \frac{3}{2} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $\frac{9}{2} + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{4} x + 1 \cdot (\frac{9}{2} + \frac{3}{2} x)$	=	$- \frac{7}{4}$
$- \frac{1}{4} x + \frac{9}{2} + \frac{3}{2} x$	=	$- \frac{7}{4}$
$\frac{5}{4} x + \frac{9}{2}$	=	$- \frac{7}{4}$	\|⋅ 4
$4 (\frac{5}{4} x + \frac{9}{2})$	=	$- 7$
$5 x + 18$	=	$- 7$	\| $- 18$
$5 x$	=	$- 25$	\|: $5$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $\frac{9}{2} + \frac{3}{2} \cdot (- 5)$

= $\frac{9}{2} - \frac{15}{2}$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +3y = ?

5x +13y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

1x +3y = -1 -12 = -13

5x +13y = -5 -52 = -57

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +3y = -13

5x +13y = -57

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 8 x & - 8 y & = & - 1 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 8 x & - 8 y & = & - 1 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x - 8 y$	=	$- 1$
$- 8 y + 8 x$	=	$- 1$	\| $- 8 x$
$- 8 y$	=	$- 1 - 8 x$	\|:( $- 8$ )
$y$	=	$\frac{1}{8} + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{8} + x) & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{8} + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 4 \cdot (\frac{1}{8} + x)$	=	$- 1$
$- 4 x + \frac{1}{2} + 4 x$	=	$- 1$
$\frac{1}{2}$	=	$- 1$	\| $- \frac{1}{2}$
0	=	$- \frac{3}{2}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 300 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 8 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 228 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 9 y & = & 300 & (I) \\ 8 x & + 6 y & = & 228 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 9 y$	=	$300$
$9 y + 5 x$	=	$300$	\| $- 5 x$
$9 y$	=	$300 - 5 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{100}{3} - \frac{5}{9} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{100}{3} - \frac{5}{9} x) & (I) \\ 8 x & + 6 y & = & 228 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{100}{3} - \frac{5}{9} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 6 \cdot (\frac{100}{3} - \frac{5}{9} x)$	=	$228$
$8 x + 200 - \frac{10}{3} x$	=	$228$
$\frac{14}{3} x + 200$	=	$228$	\|⋅ 3
$3 (\frac{14}{3} x + 200)$	=	$684$
$14 x + 600$	=	$684$	\| $- 600$
$14 x$	=	$84$	\|: $14$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{100}{3} - \frac{5}{9} \cdot 6$

= $\frac{100}{3} - \frac{10}{3}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (6|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|6) und B(1|-2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|6): 6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 -1b +c |-1
-2 = 1 +1b +c |-1

5 = -1b +c
-3 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ b & + c & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 3$
$c + b$	=	$- 3$	\| $- b$
$c$	=	$- 3 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (- 3 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 3 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 3 - b)$	=	$5$
$- b - 3 - b$	=	$5$
$- 2 b - 3$	=	$5$	\| $+ 3$
$- 2 b$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 3 - (- 4)$

= $- 3 + 4$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|13) und B(1|-3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|13): 13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 -1b +c |-1
-3 = 1 +1b +c |-1

12 = -1b +c
-4 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ b & + c & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 4$
$c + b$	=	$- 4$	\| $- b$
$c$	=	$- 4 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ + c & = & (- 4 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 4 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 4 - b)$	=	$12$
$- b - 4 - b$	=	$12$
$- 2 b - 4$	=	$12$	\| $+ 4$
$- 2 b$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 4 - (- 8)$

= $- 4 + 8$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|4)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 + 4$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 + 4$

= ${(x - 4)}^{2} - 12$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-12).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 + 4$ = $16 - 32 + 4$ = -12

also: S(4|-12).

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1. Weg

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