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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 2 y$ = $13$ .

Bestimme y so, dass (-3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$- (- 3) - 2 y$ = $13$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- (- 3) - 2 y$	=	$13$
$3 - 2 y$	=	$13$
$- 2 y + 3$	=	$13$	\| $- 3$
$- 2 y$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (-3|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 2 y$ = $- 10$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|0)
denn -2⋅5 -2⋅0 = -10 +0 = $- 10$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|2)
denn -2⋅3 -2⋅2 = -6 -4 = $- 10$

Oder : (7|-2)
denn -2⋅7 -2⋅( - 2 ) = -14 +4 = $- 10$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 2 y & = & - 12 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 2 y & = & - 12 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$- 12$	\|: $2$
$y$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 6 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 2 \cdot (- 6)$	=	$- 18$
$x - 12$	=	$- 18$	\| $+ 12$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 15 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 15 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$- 15$	\| $- 4 y$
$x$	=	$- 15 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 15 - 4 y) & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 15 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 15 - 4 y) + 4 y$	=	0
$- 60 - 16 y + 4 y$	=	0
$- 12 y - 60$	=	0	\| $+ 60$
$- 12 y$	=	$60$	\|:( $- 12$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 15 - 4 \cdot (- 5)$

= $- 15 + 20$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & 6 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & 6 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 3 y$	=	$6$	\| $- 3 y$
$- x$	=	$6 - 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 6 + 3 y) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 6 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (- 6 + 3 y) - 4 y$	=	$- 19$
$- 30 + 15 y - 4 y$	=	$- 19$
$11 y - 30$	=	$- 19$	\| $+ 30$
$11 y$	=	$11$	\|: $11$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 6 + 3 \cdot 1$

= $- 6 + 3$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + \frac{1}{2} y & = & 6 & (I) \\ - \frac{2}{5} x & + \frac{2}{5} y & = & \frac{14}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + \frac{1}{2} y & = & 6 & (I) \\ - \frac{2}{5} x & + \frac{2}{5} y & = & \frac{14}{5} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + \frac{1}{2} y$	=	$6$	\|⋅ 2
$2 (- x + \frac{1}{2} y)$	=	$12$
$- 2 x + y$	=	$12$	\| $- y$
$- 2 x$	=	$12 - y$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 6 + \frac{1}{2} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 6 + \frac{1}{2} y) & (I) \\ - \frac{2}{5} x & + \frac{2}{5} y & = & \frac{14}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 6 + \frac{1}{2} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- \frac{2}{5} \cdot (- 6 + \frac{1}{2} y) + \frac{2}{5} y$	=	$\frac{14}{5}$
$\frac{12}{5} - \frac{1}{5} y + \frac{2}{5} y$	=	$\frac{14}{5}$
$\frac{1}{5} y + \frac{12}{5}$	=	$\frac{14}{5}$	\|⋅ 5
$5 (\frac{1}{5} y + \frac{12}{5})$	=	$14$
$y + 12$	=	$14$	\| $- 12$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 6 + \frac{1}{2} \cdot 2$

= $- 6 + 1$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x -4y = ?

-1x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-3x -4y = 12 -12 = 0

-1x -2y = 4 -6 = -2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x -4y = 0

-1x -2y = -2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & + 5 y & = & 29 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 5 y & = & 29 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 5 y$	=	$29$
$5 y - 4 x$	=	$29$	\| $+ 4 x$
$5 y$	=	$29 + 4 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{29}{5} + \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{29}{5} + \frac{4}{5} x) & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{29}{5} + \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot (\frac{29}{5} + \frac{4}{5} x)$	=	$16$
$- 3 x - \frac{58}{5} - \frac{8}{5} x$	=	$16$
$- \frac{23}{5} x - \frac{58}{5}$	=	$16$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{23}{5} x - \frac{58}{5})$	=	$80$
$- 23 x - 58$	=	$80$	\| $+ 58$
$- 23 x$	=	$138$	\|:( $- 23$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{29}{5} + \frac{4}{5} \cdot (- 6)$

= $\frac{29}{5} - \frac{24}{5}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 725 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 425 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & - 5 y & = & 725 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 425 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x - 5 y$	=	$725$
$- 5 y + 6 x$	=	$725$	\| $- 6 x$
$- 5 y$	=	$725 - 6 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 145 + \frac{6}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 145 + \frac{6}{5} x) & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 425 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 145 + \frac{6}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 5 \cdot (- 145 + \frac{6}{5} x)$	=	$425$
$4 x + 725 - 6 x$	=	$425$
$- 2 x + 725$	=	$425$	\| $- 725$
$- 2 x$	=	$- 300$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 145 + \frac{6}{5} \cdot 150$

= $- 145 + 180$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|14) und B(2|-13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|14): 14 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-13): -13 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
14 = 1 -1b +c |-1
-13 = 4 +2b +c |-4

13 = -1b +c
-17 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 13 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 17$
$c + 2 b$	=	$- 17$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 17 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 13 & (I) \\ + c & = & (- 17 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 17 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 17 - 2 b)$	=	$13$
$- b - 17 - 2 b$	=	$13$
$- 3 b - 17$	=	$13$	\| $+ 17$
$- 3 b$	=	$30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 17 - 2 \cdot (- 10)$

= $- 17 + 20$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|12) und B(4|57) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|12): 12 = 1² + b⋅1 +c

B(4|57): 57 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 +1b +c |-1
57 = 16 +4b +c |-16

11 = 1b +c
41 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ 4 b & + c & = & 41 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$41$
$c + 4 b$	=	$41$	\| $- 4 b$
$c$	=	$41 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ + c & = & (41 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $41 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (41 - 4 b)$	=	$11$
$b + 41 - 4 b$	=	$11$
$- 3 b + 41$	=	$11$	\| $- 41$
$- 3 b$	=	$- 30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $41 - 4 \cdot 10$

= $41 - 40$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|1)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 1$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 1$

= ${(x + 5)}^{2} - 24$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-24).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 1$ = $25 - 50 + 1$ = -24

also: S(-5|-24).

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