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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 3 y$ = $8$ .

Bestimme x so, dass (x|-1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 x - 3 \cdot (- 1)$ = $8$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 5 x - 3 \cdot (- 1)$	=	$8$
$- 5 x + 3$	=	$8$	\| $- 3$
$- 5 x$	=	$5$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-1|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 3 y$ = $- 26$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|2)
denn 4⋅( - 5 ) -3⋅2 = -20 -6 = $- 26$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|-2)
denn 4⋅( - 8 ) -3⋅( - 2 ) = -32 +6 = $- 26$

Oder : (-2|6)
denn 4⋅( - 2 ) -3⋅6 = -8 -18 = $- 26$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 3 y & = & - 15 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 3 y & = & - 15 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$- 15$	\|: $3$
$y$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 5 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (- 5)$	=	$8$
$- 3 x + 20$	=	$8$	\| $- 20$
$- 3 x$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 9 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 9 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$9$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$9 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (9 + 3 y) & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $9 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (9 + 3 y) + 2 y$	=	$- 26$
$- 36 - 12 y + 2 y$	=	$- 26$
$- 10 y - 36$	=	$- 26$	\| $+ 36$
$- 10 y$	=	$10$	\|:( $- 10$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $9 + 3 \cdot (- 1)$

= $9 - 3$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 0 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 0 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	0	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 3 y & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 3 y$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 3 y) + 4 y$	=	$10$
$6 y + 4 y$	=	$10$
$10 y$	=	$10$	\|: $10$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 3 \cdot 1$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{4} x & - \frac{1}{4} y & = & - \frac{1}{4} & (I) \\ 2 x & + \frac{2}{5} y & = & - \frac{58}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{4} x & - \frac{1}{4} y & = & - \frac{1}{4} & (I) \\ 2 x & + \frac{2}{5} y & = & - \frac{58}{5} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{4} x - \frac{1}{4} y$	=	$- \frac{1}{4}$
$- \frac{1}{4} y + \frac{1}{4} x$	=	$- \frac{1}{4}$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{4} x)$	=	$- 1$
$- y + x$	=	$- 1$	\| $- x$
$- y$	=	$- 1 - x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$1 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 + x) & (I) \\ 2 x & + \frac{2}{5} y & = & - \frac{58}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + \frac{2}{5} \cdot (1 + x)$	=	$- \frac{58}{5}$
$2 x + \frac{2}{5} + \frac{2}{5} x$	=	$- \frac{58}{5}$
$\frac{12}{5} x + \frac{2}{5}$	=	$- \frac{58}{5}$	\|⋅ 5
$5 (\frac{12}{5} x + \frac{2}{5})$	=	$- 58$
$12 x + 2$	=	$- 58$	\| $- 2$
$12 x$	=	$- 60$	\|: $12$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1 - 5$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +4y = ?

-7x +8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-5x +4y = 15 +16 = 31

-7x +8y = 21 +32 = 53

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +4y = 31

-7x +8y = 53

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 6 x & - 6 y & = & 5 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 6 x & - 6 y & = & 5 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 6 x - 6 y$	=	$5$
$- 6 y - 6 x$	=	$5$	\| $+ 6 x$
$- 6 y$	=	$5 + 6 x$	\|:( $- 6$ )
$y$	=	$- \frac{5}{6} - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{5}{6} - x) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{5}{6} - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (- \frac{5}{6} - x)$	=	$- 1$
$2 x - \frac{5}{3} - 2 x$	=	$- 1$
$- \frac{5}{3}$	=	$- 1$	\| $+ \frac{5}{3}$
0	=	$\frac{2}{3}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 12. Wenn man aber vom 6-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 20. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 12 & (I) \\ 6 x & - 2 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$12$	\| $- 4 y$
$x$	=	$12 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (12 - 4 y) & (I) \\ 6 x & - 2 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $12 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (12 - 4 y) - 2 y$	=	$20$
$72 - 24 y - 2 y$	=	$20$
$- 26 y + 72$	=	$20$	\| $- 72$
$- 26 y$	=	$- 52$	\|:( $- 26$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $12 - 4 \cdot 2$

= $12 - 8$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(-3|23) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|23): 23 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
23 = 9 -3b +c |-9

6 = -1b +c
14 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$14$
$c - 3 b$	=	$14$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$14 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (14 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $14 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (14 + 3 b)$	=	$6$
$- b + 14 + 3 b$	=	$6$
$2 b + 14$	=	$6$	\| $- 14$
$2 b$	=	$- 8$	\|: $2$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $14 + 3 \cdot (- 4)$

= $14 - 12$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|2)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(2|17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|17): 17 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
17 = 4 +2b +c |-4

-5 = -1b +c
13 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$13$
$c + 2 b$	=	$13$	\| $- 2 b$
$c$	=	$13 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (13 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (13 - 2 b)$	=	$- 5$
$- b + 13 - 2 b$	=	$- 5$
$- 3 b + 13$	=	$- 5$	\| $- 13$
$- 3 b$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13 - 2 \cdot 6$

= $13 - 12$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 1$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 1$

= ${(x + 3)}^{2} - 8$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-8).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 1$ = $9 - 18 + 1$ = -8

also: S(-3|-8).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg