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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - y$ = $10$ .

Bestimme y so, dass (-5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 \cdot (- 5) - y$ = $10$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 5) - y$	=	$10$
$10 - y$	=	$10$
$- y + 10$	=	$10$	\| $- 10$
$- y$	=	0	\|:( $- 1$ )
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (-5|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 5 y$ = $16$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-2)
denn -3⋅( - 2 ) -5⋅( - 2 ) = 6 +10 = $16$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|1)
denn -3⋅( - 7 ) -5⋅1 = 21 -5 = $16$

Oder : (3|-5)
denn -3⋅3 -5⋅( - 5 ) = -9 +25 = $16$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 y & = & - 2 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 y & = & - 2 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 1 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 2 \cdot 1$	=	$17$
$- 3 x + 2$	=	$17$	\| $- 2$
$- 3 x$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 9 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 9 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 7$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 7 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 9 & (I) \\ x & = & (- 7 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 7 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 7 - 2 y) - 3 y$	=	$9$
$7 + 2 y - 3 y$	=	$9$
$- y + 7$	=	$9$	\| $- 7$
$- y$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 7 - 2 \cdot (- 2)$

= $- 7 + 4$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & - 2 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & - 28 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & - 2 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & - 28 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 5 y$	=	$- 2$
$5 y + 3 x$	=	$- 2$	\| $- 3 x$
$5 y$	=	$- 2 - 3 x$	\|: $5$
$y$	=	$- \frac{2}{5} - \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{2}{5} - \frac{3}{5} x) & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & - 28 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{2}{5} - \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 4 \cdot (- \frac{2}{5} - \frac{3}{5} x)$	=	$- 28$
$- 2 x - \frac{8}{5} - \frac{12}{5} x$	=	$- 28$
$- \frac{22}{5} x - \frac{8}{5}$	=	$- 28$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{22}{5} x - \frac{8}{5})$	=	$- 140$
$- 22 x - 8$	=	$- 140$	\| $+ 8$
$- 22 x$	=	$- 132$	\|:( $- 22$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{2}{5} - \frac{3}{5} \cdot 6$

= $- \frac{2}{5} - \frac{18}{5}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2 (- 1 + y)$	=	$2 x$			(I)
0	=	$5 x - 11 - y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2 (- 1 + y)$	=	$2 x$			(I)
0	=	$5 x - 11 - y$			(II)

$- 2 + 2 y$	=	$2 x$	\| + $2 - 2 x$		(I)
0	=	$5 x - 11 - y$	\| $- 5 x + y$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ - 5 x & + y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x + y$	=	$- 11$
$y - 5 x$	=	$- 11$	\| $+ 5 x$
$y$	=	$- 11 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ + y & = & (- 11 + 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 11 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 2 \cdot (- 11 + 5 x)$	=	$2$
$- 2 x - 22 + 10 x$	=	$2$
$8 x - 22$	=	$2$	\| $+ 22$
$8 x$	=	$24$	\|: $8$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 11 + 5 \cdot 3$

= $- 11 + 15$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +4y = ?

-4x +19y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-1x +4y = 1 -4 = -3

-4x +19y = 4 -19 = -15

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +4y = -3

-4x +19y = -15

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & - 6 & (I) \\ - 5 x & + 6 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & - 6 & (I) \\ - 5 x & + 6 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 2 y$	=	$- 6$
$2 y - 2 x$	=	$- 6$	\| $+ 2 x$
$2 y$	=	$- 6 + 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 3 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 3 + x) & (I) \\ - 5 x & + 6 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 3 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 6 \cdot (- 3 + x)$	=	$- 17$
$- 5 x - 18 + 6 x$	=	$- 17$
$x - 18$	=	$- 17$	\| $+ 18$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 3 + 1$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 5 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1420 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1900 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 2 y & = & 1420 & (I) \\ 7 x & - 5 y & = & 1900 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 2 y$	=	$1420$
$- 2 y + 5 x$	=	$1420$	\| $- 5 x$
$- 2 y$	=	$1420 - 5 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 710 + \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 710 + \frac{5}{2} x) & (I) \\ 7 x & - 5 y & = & 1900 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 710 + \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x - 5 \cdot (- 710 + \frac{5}{2} x)$	=	$1900$
$7 x + 3 550 - \frac{25}{2} x$	=	$1900$
$- \frac{11}{2} x + 3 550$	=	$1900$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{11}{2} x + 3 550)$	=	$3 800$
$- 11 x + 7 100$	=	$3 800$	\| $- 7 100$
$- 11 x$	=	$- 3 300$	\|:( $- 11$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 710 + \frac{5}{2} \cdot 300$

= $- 710 + 750$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (300|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|5) und B(1|1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|5): 5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|1): 1 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 -1b +c |-1
1 = 1 +1b +c |-1

4 = -1b +c
0 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ b & + c & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	0
$c + b$	=	0	\| $- b$
$c$	=	$- b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & - b & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch $- b$ ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- b)$	=	$4$
$- b - b$	=	$4$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- (- 2)$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|8) und B(-1|0) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
0 = 1 -1b +c |-1

7 = 1b +c
-1 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ - b & + c & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 1$
$c - b$	=	$- 1$	\| $+ b$
$c$	=	$- 1 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (- 1 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 1 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 1 + b)$	=	$7$
$b - 1 + b$	=	$7$
$2 b - 1$	=	$7$	\| $+ 1$
$2 b$	=	$8$	\|: $2$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 1 + 4$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 + 3$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 + 3$

= ${(x + 2)}^{2} - 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 3$ = $4 - 8 + 3$ = -1

also: S(-2|-1).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg