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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 4 y$ = $10$ .

Bestimme x so, dass (x|7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 x + 4 \cdot 7$ = $10$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 3 x + 4 \cdot 7$	=	$10$
$- 3 x + 28$	=	$10$	\| $- 28$
$- 3 x$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 4 y$ = $29$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|-2)
denn 3⋅7 -4⋅( - 2 ) = 21 +8 = $29$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|-5)
denn 3⋅3 -4⋅( - 5 ) = 9 +20 = $29$

Oder : (11|1)
denn 3⋅11 -4⋅1 = 33 -4 = $29$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 1 & (I) \\ + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 1 & (I) \\ + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$- 3$	\|: $3$
$y$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 1 & (I) \\ + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 3 \cdot (- 1)$	=	$- 1$
$- 2 x - 3$	=	$- 1$	\| $+ 3$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 11 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 11 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 2 y$	=	$4$	\| $+ 2 y$
$- x$	=	$4 + 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 11 & (I) \\ x & = & (- 4 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 4 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 4 - 2 y) + y$	=	$- 11$
$16 + 8 y + y$	=	$- 11$
$9 y + 16$	=	$- 11$	\| $- 16$
$9 y$	=	$- 27$	\|: $9$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 4 - 2 \cdot (- 3)$

= $- 4 + 6$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & - 6 & (I) \\ - x & + 4 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & - 6 & (I) \\ - x & + 4 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 4 y$	=	$11$	\| $- 4 y$
$- x$	=	$11 - 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 11 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & - 6 & (I) \\ x & = & (- 11 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 11 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 11 + 4 y) - 3 y$	=	$- 6$
$- 33 + 12 y - 3 y$	=	$- 6$
$9 y - 33$	=	$- 6$	\| $+ 33$
$9 y$	=	$27$	\|: $9$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 11 + 4 \cdot 3$

= $- 11 + 12$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & + \frac{1}{3} y & = & \frac{4}{3} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & + y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & + \frac{1}{3} y & = & \frac{4}{3} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & + y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{1}{2} x + y$	=	$4$
$y - \frac{1}{2} x$	=	$4$	\|⋅ 2
$2 (y - \frac{1}{2} x)$	=	$8$
$2 y - x$	=	$8$	\| $+ x$
$2 y$	=	$8 + x$	\|: $2$
$y$	=	$4 + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & + \frac{1}{3} y & = & \frac{4}{3} & (I) \\ + y & = & (4 + \frac{1}{2} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $4 + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} \cdot (4 + \frac{1}{2} x)$	=	$\frac{4}{3}$
$- \frac{1}{2} x + \frac{4}{3} + \frac{1}{6} x$	=	$\frac{4}{3}$
$- \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$	=	$\frac{4}{3}$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{1}{3} x + \frac{4}{3})$	=	$4$
$- x + 4$	=	$4$	\| $- 4$
$- x$	=	0	\|:( $- 1$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $4 + \frac{1}{2} \cdot (0)$

= $4 + 0$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (0|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +2y = ?

3x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

5x +2y = -25 +10 = -15

3x +4y = -15 +20 = 5

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +2y = -15

3x +4y = 5

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & + 8 y & = & 6 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 8 y & = & 6 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 8 y$	=	$6$
$8 y - 4 x$	=	$6$	\| $+ 4 x$
$8 y$	=	$6 + 4 x$	\|: $8$
$y$	=	$\frac{3}{4} + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{3}{4} + \frac{1}{2} x) & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{4} + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 4 \cdot (\frac{3}{4} + \frac{1}{2} x)$	=	$- 2$
$2 x - 3 - 2 x$	=	$- 2$
$- 3$	=	$- 2$	\| $+ 3$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 33. Wenn man aber vom 6-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -12. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 6 y & = & 33 & (I) \\ 6 x & - 6 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 6 y$	=	$33$	\| $- 6 y$
$x$	=	$33 - 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (33 - 6 y) & (I) \\ 6 x & - 6 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $33 - 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (33 - 6 y) - 6 y$	=	$- 12$
$198 - 36 y - 6 y$	=	$- 12$
$- 42 y + 198$	=	$- 12$	\| $- 198$
$- 42 y$	=	$- 210$	\|:( $- 42$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $33 - 6 \cdot 5$

= $33 - 30$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|2) und B(-1|10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|10): 10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
10 = 1 -1b +c |-1

1 = 1b +c
9 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ - b & + c & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$9$
$c - b$	=	$9$	\| $+ b$
$c$	=	$9 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (9 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $9 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (9 + b)$	=	$1$
$b + 9 + b$	=	$1$
$2 b + 9$	=	$1$	\| $- 9$
$2 b$	=	$- 8$	\|: $2$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $9 - 4$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|8) und B(2|19) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(2|19): 19 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
19 = 4 +2b +c |-4

7 = 1b +c
15 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ 2 b & + c & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$15$
$c + 2 b$	=	$15$	\| $- 2 b$
$c$	=	$15 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (15 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $15 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (15 - 2 b)$	=	$7$
$b + 15 - 2 b$	=	$7$
$- b + 15$	=	$7$	\| $- 15$
$- b$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $15 - 2 \cdot 8$

= $15 - 16$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-1)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 - 1$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 - 1$

= ${(x + 4)}^{2} - 17$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-17).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) - 1$ = $16 - 32 - 1$ = -17

also: S(-4|-17).

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1. Weg

2. Weg