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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 5 y$ = $35$ .

Bestimme y so, dass (5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$4 \cdot 5 + 5 y$ = $35$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4 \cdot 5 + 5 y$	=	$35$
$20 + 5 y$	=	$35$
$5 y + 20$	=	$35$	\| $- 20$
$5 y$	=	$15$	\|: $5$
$y$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (5|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + 3 y$ = $42$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|7)
denn 3⋅7 +3⋅7 = 21 +21 = $42$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (10|4)
denn 3⋅10 +3⋅4 = 30 +12 = $42$

Oder : (4|10)
denn 3⋅4 +3⋅10 = 12 +30 = $42$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 27 & (I) \\ - 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 27 & (I) \\ - 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 27 & (I) \\ + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 3 \cdot 5$	=	$27$
$- 3 x + 15$	=	$27$	\| $- 15$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 17 & (I) \\ - x & + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 17 & (I) \\ - x & + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x + y$	=	$2$
$y - x$	=	$2$	\| $+ x$
$y$	=	$2 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 17 & (I) \\ + y & = & (2 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 4 \cdot (2 + x)$	=	$- 17$
$x + 8 + 4 x$	=	$- 17$
$5 x + 8$	=	$- 17$	\| $- 8$
$5 x$	=	$- 25$	\|: $5$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2 - 5$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 5 y & = & 6 & (I) \\ - 5 x & - 3 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 5 y & = & 6 & (I) \\ - 5 x & - 3 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 5 y$	=	$6$	\| $+ 5 y$
$- x$	=	$6 + 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 6 - 5 y) & (I) \\ - 5 x & - 3 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 6 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 5 \cdot (- 6 - 5 y) - 3 y$	=	$30$
$30 + 25 y - 3 y$	=	$30$
$22 y + 30$	=	$30$	\| $- 30$
$22 y$	=	0	\|: $22$
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 6 - 5 \cdot 0$

= $- 6 + 0$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3 (3 x - 4)$	=	$5 x - 2 y$			(I)
$- 4 (x + y)$	=	$- x - 24$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3 (3 x - 4)$	=	$5 x - 2 y$			(I)
$- 4 (x + y)$	=	$- x - 24$			(II)

$9 x - 12$	=	$5 x - 2 y$	\| + $12 - 5 x + 2 y$		(I)
$- 4 x - 4 y$	=	$- x - 24$	\| + $x$		(II)

\begin{matrix} 4 x & + 2 y & = & 12 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 2 y$	=	$12$
$2 y + 4 x$	=	$12$	\| $- 4 x$
$2 y$	=	$12 - 4 x$	\|: $2$
$y$	=	$6 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (6 - 2 x) & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $6 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (6 - 2 x)$	=	$- 24$
$- 3 x - 24 + 8 x$	=	$- 24$
$5 x - 24$	=	$- 24$	\| $+ 24$
$5 x$	=	0	\|: $5$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $6 - 2 \cdot 0$

= $6 + 0$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (0|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +1y = ?

-2x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-1x +1y = 4 -4 = 0

-2x +1y = 8 -4 = 4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +1y = 0

-2x +1y = 4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 3 & (I) \\ - 8 x & - 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 3 & (I) \\ - 8 x & - 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 3$
$y + 4 x$	=	$- 3$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 3 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 3 - 4 x) & (I) \\ - 8 x & - 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 3 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 8 x - 2 \cdot (- 3 - 4 x)$	=	$8$
$- 8 x + 6 + 8 x$	=	$8$
$6$	=	$8$	\| $- 6$
0	=	$2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1110 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 750 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 1110 & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & 750 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 3 y$	=	$1110$
$- 3 y + 4 x$	=	$1110$	\| $- 4 x$
$- 3 y$	=	$1110 - 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 370 + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 370 + \frac{4}{3} x) & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & 750 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 370 + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 5 \cdot (- 370 + \frac{4}{3} x)$	=	$750$
$3 x + 1 850 - \frac{20}{3} x$	=	$750$
$- \frac{11}{3} x + 1 850$	=	$750$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{11}{3} x + 1 850)$	=	$2 250$
$- 11 x + 5 550$	=	$2 250$	\| $- 5 550$
$- 11 x$	=	$- 3 300$	\|:( $- 11$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 370 + \frac{4}{3} \cdot 300$

= $- 370 + 400$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|12) und B(-2|-15) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|12): 12 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-15): -15 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 +1b +c |-1
-15 = 4 -2b +c |-4

11 = 1b +c
-19 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 19$
$c - 2 b$	=	$- 19$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 19 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ + c & = & (- 19 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 19 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 19 + 2 b)$	=	$11$
$b - 19 + 2 b$	=	$11$
$3 b - 19$	=	$11$	\| $+ 19$
$3 b$	=	$30$	\|: $3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 19 + 2 \cdot 10$

= $- 19 + 20$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|1)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-10) und B(-2|-17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-10): -10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-17): -17 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 -1b +c |-1
-17 = 4 -2b +c |-4

-11 = -1b +c
-21 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 21$
$c - 2 b$	=	$- 21$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 21 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (- 21 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 21 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 21 + 2 b)$	=	$- 11$
$- b - 21 + 2 b$	=	$- 11$
$b - 21$	=	$- 11$	\| $+ 21$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 21 + 2 \cdot 10$

= $- 21 + 20$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-1)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 1$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 1$

= ${(x + 5)}^{2} - 26$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-26).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 1$ = $25 - 50 - 1$ = -26

also: S(-5|-26).

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Wert zum Einsetzen finden

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

LGS (vorher umformen)

LGS zu Lösungen finden

LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg