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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + y$ = $9$ .

Bestimme x so, dass (x|-5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x + (- 5)$ = $9$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x + (- 5)$	=	$9$
$2 x - 5$	=	$9$	\| $+ 5$
$2 x$	=	$14$	\|: $2$
$x$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (7|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 5 y$ = $- 50$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|-7)
denn -5⋅3 +5⋅( - 7 ) = -15 -35 = $- 50$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|-2)
denn -5⋅8 +5⋅( - 2 ) = -40 -10 = $- 50$

Oder : (-2|-12)
denn -5⋅( - 2 ) +5⋅( - 12 ) = 10 -60 = $- 50$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & - 4 & (I) \\ - 3 x & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & - 4 & (I) \\ - 3 x & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & - 4 & (I) \\ x & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot 1 - 2 y$	=	$- 4$
$2 - 2 y$	=	$- 4$
$- 2 y + 2$	=	$- 4$	\| $- 2$
$- 2 y$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 9 & (I) \\ x & - 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 9 & (I) \\ x & - 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$4$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$4 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 9 & (I) \\ x & = & (4 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $4 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (4 + 2 y) + y$	=	$- 9$
$- 16 - 8 y + y$	=	$- 9$
$- 7 y - 16$	=	$- 9$	\| $+ 16$
$- 7 y$	=	$7$	\|:( $- 7$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $4 + 2 \cdot (- 1)$

= $4 - 2$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & - 13 & (I) \\ - 5 x & + 4 y & = & - 33 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & - 13 & (I) \\ - 5 x & + 4 y & = & - 33 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x - y$	=	$- 13$
$- y - 3 x$	=	$- 13$	\| $+ 3 x$
$- y$	=	$- 13 + 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$13 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (13 - 3 x) & (I) \\ - 5 x & + 4 y & = & - 33 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $13 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 4 \cdot (13 - 3 x)$	=	$- 33$
$- 5 x + 52 - 12 x$	=	$- 33$
$- 17 x + 52$	=	$- 33$	\| $- 52$
$- 17 x$	=	$- 85$	\|:( $- 17$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $13 - 3 \cdot 5$

= $13 - 15$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 3 x + 11 + 4 y$	=	0			(I)
$5 x + y$	=	$3$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 3 x + 11 + 4 y$	=	0	\| $- 11$		(I)
$5 x + y$	=	$3$			(II)

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & - 11 & (I) \\ 5 x & + y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$5 x + y$	=	$3$
$y + 5 x$	=	$3$	\| $- 5 x$
$y$	=	$3 - 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & - 11 & (I) \\ + y & = & (3 - 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $3 - 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 4 \cdot (3 - 5 x)$	=	$- 11$
$- 3 x + 12 - 20 x$	=	$- 11$
$- 23 x + 12$	=	$- 11$	\| $- 12$
$- 23 x$	=	$- 23$	\|:( $- 23$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $3 - 5 \cdot 1$

= $3 - 5$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -1y = ?

4x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

5x -1y = 5 -3 = 2

4x -4y = 4 -12 = -8

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -1y = 2

4x -4y = -8

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & + 5 y & = & - 35 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & + 5 y & = & - 35 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 2 y$	=	$5$	\| $+ 2 y$
$- x$	=	$5 + 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 5 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & + 5 y & = & - 35 & (I) \\ x & = & (- 5 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 5 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 5 \cdot (- 5 - 2 y) + 5 y$	=	$- 35$
$25 + 10 y + 5 y$	=	$- 35$
$15 y + 25$	=	$- 35$	\| $- 25$
$15 y$	=	$- 60$	\|: $15$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 5 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 5 + 8$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 8. Wenn man aber vom 5-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -2. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 8 & (I) \\ 5 x & - 6 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$8$	\| $- 3 y$
$x$	=	$8 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (8 - 3 y) & (I) \\ 5 x & - 6 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $8 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (8 - 3 y) - 6 y$	=	$- 2$
$40 - 15 y - 6 y$	=	$- 2$
$- 21 y + 40$	=	$- 2$	\| $- 40$
$- 21 y$	=	$- 42$	\|:( $- 21$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $8 - 3 \cdot 2$

= $8 - 6$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|12) und B(-3|32) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|12): 12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|32): 32 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 -1b +c |-1
32 = 9 -3b +c |-9

11 = -1b +c
23 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 11 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 23 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$23$
$c - 3 b$	=	$23$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$23 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 11 & (I) \\ + c & = & (23 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $23 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (23 + 3 b)$	=	$11$
$- b + 23 + 3 b$	=	$11$
$2 b + 23$	=	$11$	\| $- 23$
$2 b$	=	$- 12$	\|: $2$
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $23 + 3 \cdot (- 6)$

= $23 - 18$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(-4|52) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|52): 52 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
52 = 16 -4b +c |-16

6 = -1b +c
36 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 36 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$36$
$c - 4 b$	=	$36$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$36 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (36 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $36 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (36 + 4 b)$	=	$6$
$- b + 36 + 4 b$	=	$6$
$3 b + 36$	=	$6$	\| $- 36$
$3 b$	=	$- 30$	\|: $3$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $36 + 4 \cdot (- 10)$

= $36 - 40$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-4)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 - 4$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 - 4$

= ${(x - 5)}^{2} - 29$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-29).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 - 4$ = $25 - 50 - 4$ = -29

also: S(5|-29).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg