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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 4 y$ = $- 3$ .

Bestimme x so, dass (x|0) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$- x - 4 \cdot 0$ = $- 3$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- x - 4 \cdot 0$	=	$- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + y$ = $17$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|-4)
denn -3⋅( - 7 ) +1⋅( - 4 ) = 21 -4 = $17$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|-1)
denn -3⋅( - 6 ) +1⋅( - 1 ) = 18 -1 = $17$

Oder : (-8|-7)
denn -3⋅( - 8 ) +1⋅( - 7 ) = 24 -7 = $17$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 y & = & 8 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 y & = & 8 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 2 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (- 2)$	=	$9$
$3 x + 6$	=	$9$	\| $- 6$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 2$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & 2 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - y & = & 2 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	0
$y - 2 x$	=	0	\| $+ 2 x$
$y$	=	$2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & 2 & (I) \\ + y & = & 2 x & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $2 x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 1 \cdot 2 x$	=	$2$
$3 x - 2 x$	=	$2$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2 \cdot 2$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 18 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 18 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x - y$	=	$18$
$- y - 4 x$	=	$18$	\| $+ 4 x$
$- y$	=	$18 + 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 18 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 18 - 4 x) & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 18 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 5 \cdot (- 18 - 4 x)$	=	$- 6$
$4 x + 90 + 20 x$	=	$- 6$
$24 x + 90$	=	$- 6$	\| $- 90$
$24 x$	=	$- 96$	\|: $24$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 18 - 4 \cdot (- 4)$

= $- 18 + 16$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 7 - y$	=	$- 5 x$			(I)
$- 3$	=	$- 2 x + 1 + y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 7 - y$	=	$- 5 x$	\| + $7 + 5 x$		(I)
$- 3$	=	$- 2 x + 1 + y$	\| + $3 + 2 x - y$		(II)

\begin{matrix} 5 x & - y & = & 7 & (I) \\ 2 x & - y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x - y$	=	$4$
$- y + 2 x$	=	$4$	\| $- 2 x$
$- y$	=	$4 - 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 4 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 5 x & - y & = & 7 & (I) \\ + y & = & (- 4 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 4 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 1 \cdot (- 4 + 2 x)$	=	$7$
$5 x + 4 - 2 x$	=	$7$
$3 x + 4$	=	$7$	\| $- 4$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 4 + 2 \cdot 1$

= $- 4 + 2$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +2y = ?

5x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

3x +2y = -6 +4 = -2

5x +2y = -10 +4 = -6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +2y = -2

5x +2y = -6

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & 4 & (I) \\ - 4 x & - y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & 4 & (I) \\ - 4 x & - y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x - y$	=	$2$
$- y - 4 x$	=	$2$	\| $+ 4 x$
$- y$	=	$2 + 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 2 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & 4 & (I) \\ + y & = & (- 2 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 2 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 1 \cdot (- 2 - 4 x)$	=	$4$
$- 2 x + 2 + 4 x$	=	$4$
$2 x + 2$	=	$4$	\| $- 2$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 2 - 4 \cdot 1$

= $- 2 - 4$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 13. Wenn man aber vom 3-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -9. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 13 & (I) \\ 3 x & - 6 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$13$	\| $- 2 y$
$x$	=	$13 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (13 - 2 y) & (I) \\ 3 x & - 6 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $13 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (13 - 2 y) - 6 y$	=	$- 9$
$39 - 6 y - 6 y$	=	$- 9$
$- 12 y + 39$	=	$- 9$	\| $- 39$
$- 12 y$	=	$- 48$	\|:( $- 12$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $13 - 2 \cdot 4$

= $13 - 8$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 4

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-6) und B(-2|21) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|21): 21 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
21 = 4 -2b +c |-4

-7 = 1b +c
17 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$17$
$c - 2 b$	=	$17$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$17 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (17 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $17 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (17 + 2 b)$	=	$- 7$
$b + 17 + 2 b$	=	$- 7$
$3 b + 17$	=	$- 7$	\| $- 17$
$3 b$	=	$- 24$	\|: $3$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $17 + 2 \cdot (- 8)$

= $17 - 16$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|1)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-1) und B(1|7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-1): -1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|7): 7 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 -1b +c |-1
7 = 1 +1b +c |-1

-2 = -1b +c
6 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ b & + c & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$6$
$c + b$	=	$6$	\| $- b$
$c$	=	$6 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (6 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (6 - b)$	=	$- 2$
$- b + 6 - b$	=	$- 2$
$- 2 b + 6$	=	$- 2$	\| $- 6$
$- 2 b$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6 - 4$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 + 2$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 + 2$

= ${(x + 2)}^{2} - 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 2$ = $4 - 8 + 2$ = -2

also: S(-2|-2).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg