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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 3 y$ = $- 1$ .

Bestimme y so, dass (2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$2 - 3 y$ = $- 1$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2 - 3 y$	=	$- 1$
$2 - 3 y$	=	$- 1$
$- 3 y + 2$	=	$- 1$	\| $- 2$
$- 3 y$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (2|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 5 y$ = $60$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|-5)
denn 5⋅7 -5⋅( - 5 ) = 35 +25 = $60$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-10)
denn 5⋅2 -5⋅( - 10 ) = 10 +50 = $60$

Oder : (12|0)
denn 5⋅12 -5⋅0 = 60 +0 = $60$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 6 & (I) \\ - 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 6 & (I) \\ - 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 6 & (I) \\ + y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 3 \cdot 3$	=	$- 6$
$x - 9$	=	$- 6$	\| $+ 9$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & - 4 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & - 4 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$- 4$	\| $- 3 y$
$x$	=	$- 4 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 4 - 3 y) & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 4 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 4 - 3 y) + 4 y$	=	$- 16$
$16 + 12 y + 4 y$	=	$- 16$
$16 y + 16$	=	$- 16$	\| $- 16$
$16 y$	=	$- 32$	\|: $16$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 4 - 3 \cdot (- 2)$

= $- 4 + 6$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 6 & (I) \\ x & + 5 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 6 & (I) \\ x & + 5 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$- 8$	\| $- 5 y$
$x$	=	$- 8 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 6 & (I) \\ x & = & (- 8 - 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 8 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 8 - 5 y) + 4 y$	=	$- 6$
$- 8 - 5 y + 4 y$	=	$- 6$
$- y - 8$	=	$- 6$	\| $+ 8$
$- y$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 8 - 5 \cdot (- 2)$

= $- 8 + 10$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{3}{4} x & + \frac{3}{5} y & = & \frac{15}{4} & (I) \\ \frac{3}{2} x & + \frac{3}{2} y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{3}{4} x & + \frac{3}{5} y & = & \frac{15}{4} & (I) \\ \frac{3}{2} x & + \frac{3}{2} y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{3}{4} x + \frac{3}{5} y$	=	$\frac{15}{4}$
$\frac{3}{5} y - \frac{3}{4} x$	=	$\frac{15}{4}$	\|⋅ 20
$20 (\frac{3}{5} y - \frac{3}{4} x)$	=	$75$
$12 y - 15 x$	=	$75$	\| $+ 15 x$
$12 y$	=	$75 + 15 x$	\|: $12$
$y$	=	$\frac{25}{4} + \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{25}{4} + \frac{5}{4} x) & (I) \\ \frac{3}{2} x & + \frac{3}{2} y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{25}{4} + \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot (\frac{25}{4} + \frac{5}{4} x)$	=	$6$
$\frac{3}{2} x + \frac{75}{8} + \frac{15}{8} x$	=	$6$
$\frac{27}{8} x + \frac{75}{8}$	=	$6$	\|⋅ 8
$8 (\frac{27}{8} x + \frac{75}{8})$	=	$48$
$27 x + 75$	=	$48$	\| $- 75$
$27 x$	=	$- 27$	\|: $27$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{25}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- 1)$

= $\frac{25}{4} - \frac{5}{4}$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +1y = ?

-1x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-3x +1y = 9 +5 = 14

-1x +2y = 3 +10 = 13

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +1y = 14

-1x +2y = 13

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 2 & (I) \\ 6 x & + 9 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 2 & (I) \\ 6 x & + 9 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 3 y$	=	$- 2$
$- 3 y - 2 x$	=	$- 2$	\| $+ 2 x$
$- 3 y$	=	$- 2 + 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} x) & (I) \\ 6 x & + 9 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{2}{3} - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 9 \cdot (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} x)$	=	$6$
$6 x + 6 - 6 x$	=	$6$
$6$	=	$6$	\| $- 6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 25. Wenn man aber vom 5-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -3. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 25 & (I) \\ 5 x & - 7 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$25$	\| $- 5 y$
$x$	=	$25 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (25 - 5 y) & (I) \\ 5 x & - 7 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $25 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (25 - 5 y) - 7 y$	=	$- 3$
$125 - 25 y - 7 y$	=	$- 3$
$- 32 y + 125$	=	$- 3$	\| $- 125$
$- 32 y$	=	$- 128$	\|:( $- 32$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $25 - 5 \cdot 4$

= $25 - 20$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 4

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|1) und B(-1|9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|1): 1 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 +1b +c |-1
9 = 1 -1b +c |-1

0 = 1b +c
8 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ - b & + c & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$8$
$c - b$	=	$8$	\| $+ b$
$c$	=	$8 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (8 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $8 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (8 + b)$	=	0
$b + 8 + b$	=	0
$2 b + 8$	=	0	\| $- 8$
$2 b$	=	$- 8$	\|: $2$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $8 - 4$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|12) und B(3|40) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|12): 12 = 1² + b⋅1 +c

B(3|40): 40 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 +1b +c |-1
40 = 9 +3b +c |-9

11 = 1b +c
31 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ 3 b & + c & = & 31 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$31$
$c + 3 b$	=	$31$	\| $- 3 b$
$c$	=	$31 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ + c & = & (31 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $31 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (31 - 3 b)$	=	$11$
$b + 31 - 3 b$	=	$11$
$- 2 b + 31$	=	$11$	\| $- 31$
$- 2 b$	=	$- 20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $31 - 3 \cdot 10$

= $31 - 30$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|1)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 1$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 1$

= ${(x + 5)}^{2} - 24$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-24).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 1$ = $25 - 50 + 1$ = -24

also: S(-5|-24).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg