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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 3 y$ = $15$ .

Bestimme y so, dass (0|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$5 \cdot 0 + 3 y$ = $15$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5 \cdot 0 + 3 y$	=	$15$
$3 y$	=	$15$	\|: $3$
$y$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (0|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 2 y$ = $- 17$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|7)
denn -3⋅1 -2⋅7 = -3 -14 = $- 17$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|10)
denn -3⋅( - 1 ) -2⋅10 = 3 -20 = $- 17$

Oder : (3|4)
denn -3⋅3 -2⋅4 = -9 -8 = $- 17$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 y & = & 20 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 y & = & 20 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 5 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x - 2 \cdot (- 5)$	=	$13$
$- x + 10$	=	$13$	\| $- 10$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 1 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 1 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 1$
$y + 4 x$	=	$- 1$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 1 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 - 4 x) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (- 1 - 4 x)$	=	$- 8$
$2 x - 2 - 8 x$	=	$- 8$
$- 6 x - 2$	=	$- 8$	\| $+ 2$
$- 6 x$	=	$- 6$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 - 4 \cdot 1$

= $- 1 - 4$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 3 & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 25 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 3 & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 25 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 3 y$	=	$3$
$3 y - 3 x$	=	$3$	\| $+ 3 x$
$3 y$	=	$3 + 3 x$	\|: $3$
$y$	=	$1 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 + x) & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 25 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 5 \cdot (1 + x)$	=	$25$
$5 x + 5 + 5 x$	=	$25$
$10 x + 5$	=	$25$	\| $- 5$
$10 x$	=	$20$	\|: $10$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1 + 2$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{2}{3} x & - \frac{2}{3} y & = & - \frac{8}{3} & (I) \\ - x & + \frac{1}{4} y & = & \frac{5}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{2}{3} x & - \frac{2}{3} y & = & - \frac{8}{3} & (I) \\ - x & + \frac{1}{4} y & = & \frac{5}{2} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + \frac{1}{4} y$	=	$\frac{5}{2}$	\|⋅ 4
$4 (- x + \frac{1}{4} y)$	=	$10$
$- 4 x + y$	=	$10$	\| $- y$
$- 4 x$	=	$10 - y$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- \frac{5}{2} + \frac{1}{4} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{2}{3} x & - \frac{2}{3} y & = & - \frac{8}{3} & (I) \\ x & = & (- \frac{5}{2} + \frac{1}{4} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- \frac{5}{2} + \frac{1}{4} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{2}{3} \cdot (- \frac{5}{2} + \frac{1}{4} y) - \frac{2}{3} y$	=	$- \frac{8}{3}$
$- \frac{5}{3} + \frac{1}{6} y - \frac{2}{3} y$	=	$- \frac{8}{3}$
$- \frac{1}{2} y - \frac{5}{3}$	=	$- \frac{8}{3}$	\|⋅ 6
$6 (- \frac{1}{2} y - \frac{5}{3})$	=	$- 16$
$- 3 y - 10$	=	$- 16$	\| $+ 10$
$- 3 y$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- \frac{5}{2} + \frac{1}{4} \cdot 2$

= $- \frac{5}{2} + \frac{1}{2}$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -1y = ?

-3x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-4x -1y = 16 +2 = 18

-3x +2y = 12 -4 = 8

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -1y = 18

-3x +2y = 8

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & + y & = & 3 & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + y & = & 3 & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x + y$	=	$3$
$y + x$	=	$3$	\| $- x$
$y$	=	$3 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3 - x) & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 4 \cdot (3 - x)$	=	$- 2$
$- 2 x - 12 + 4 x$	=	$- 2$
$2 x - 12$	=	$- 2$	\| $+ 12$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3 - 5$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 2 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 42 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 83 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & 42 & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & 83 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 2 y$	=	$42$
$2 y + 2 x$	=	$42$	\| $- 2 x$
$2 y$	=	$42 - 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$21 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (21 - x) & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & 83 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $21 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 4 \cdot (21 - x)$	=	$83$
$3 x + 84 - 4 x$	=	$83$
$- x + 84$	=	$83$	\| $- 84$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $21 - 1$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (1|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(-4|-13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-13): -13 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
-13 = 16 -4b +c |-16

-5 = -1b +c
-29 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 29 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 29$
$c - 4 b$	=	$- 29$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 29 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 29 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 29 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 29 + 4 b)$	=	$- 5$
$- b - 29 + 4 b$	=	$- 5$
$3 b - 29$	=	$- 5$	\| $+ 29$
$3 b$	=	$24$	\|: $3$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 29 + 4 \cdot 8$

= $- 29 + 32$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (8|3)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-10) und B(2|-17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-10): -10 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-17): -17 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 +1b +c |-1
-17 = 4 +2b +c |-4

-11 = 1b +c
-21 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 21$
$c + 2 b$	=	$- 21$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 21 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (- 21 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 21 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 21 - 2 b)$	=	$- 11$
$b - 21 - 2 b$	=	$- 11$
$- b - 21$	=	$- 11$	\| $+ 21$
$- b$	=	$10$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 21 - 2 \cdot (- 10)$

= $- 21 + 20$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-1)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 - 1$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 - 1$

= ${(x - 5)}^{2} - 26$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-26).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 - 1$ = $25 - 50 - 1$ = -26

also: S(5|-26).

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1. Weg

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