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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 3 y$ = $- 9$ .

Bestimme y so, dass (7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot 7 - 3 y$ = $- 9$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot 7 - 3 y$	=	$- 9$
$- 21 - 3 y$	=	$- 9$
$- 3 y - 21$	=	$- 9$	\| $+ 21$
$- 3 y$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (7|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - 2 y$ = $16$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|2)
denn -4⋅( - 5 ) -2⋅2 = 20 -4 = $16$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|6)
denn -4⋅( - 7 ) -2⋅6 = 28 -12 = $16$

Oder : (-3|-2)
denn -4⋅( - 3 ) -2⋅( - 2 ) = 12 +4 = $16$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & = & 6 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $6$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot 6 + 4 y$	=	$- 4$
$- 12 + 4 y$	=	$- 4$
$4 y - 12$	=	$- 4$	\| $+ 12$
$4 y$	=	$8$	\|: $4$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 10 & (I) \\ x & + 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 10 & (I) \\ x & + 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$8$	\| $- 2 y$
$x$	=	$8 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 10 & (I) \\ x & = & (8 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $8 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (8 - 2 y) - 3 y$	=	$- 10$
$- 8 + 2 y - 3 y$	=	$- 10$
$- y - 8$	=	$- 10$	\| $+ 8$
$- y$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $8 - 2 \cdot 2$

= $8 - 4$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 14 & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 14 & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 4 y$	=	$14$
$- 4 y - 5 x$	=	$14$	\| $+ 5 x$
$- 4 y$	=	$14 + 5 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{7}{2} - \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{7}{2} - \frac{5}{4} x) & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{7}{2} - \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 3 \cdot (- \frac{7}{2} - \frac{5}{4} x)$	=	$5$
$- 4 x - \frac{21}{2} - \frac{15}{4} x$	=	$5$
$- \frac{31}{4} x - \frac{21}{2}$	=	$5$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{31}{4} x - \frac{21}{2})$	=	$20$
$- 31 x - 42$	=	$20$	\| $+ 42$
$- 31 x$	=	$62$	\|:( $- 31$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{7}{2} - \frac{5}{4} \cdot (- 2)$

= $- \frac{7}{2} + \frac{5}{2}$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 15 & (I) \\ - \frac{2}{3} x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{38}{15} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 15 & (I) \\ - \frac{2}{3} x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{38}{15} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 3 y$	=	$15$
$3 y + 3 x$	=	$15$	\| $- 3 x$
$3 y$	=	$15 - 3 x$	\|: $3$
$y$	=	$5 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (5 - x) & (I) \\ - \frac{2}{3} x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{38}{15} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{2}{3} x - \frac{2}{5} \cdot (5 - x)$	=	$- \frac{38}{15}$
$- \frac{2}{3} x - 2 + \frac{2}{5} x$	=	$- \frac{38}{15}$
$- \frac{4}{15} x - 2$	=	$- \frac{38}{15}$	\|⋅ 15
$15 (- \frac{4}{15} x - 2)$	=	$- 38$
$- 4 x - 30$	=	$- 38$	\| $+ 30$
$- 4 x$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5 - 2$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -4y = ?

4x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

3x -4y = -3 +8 = 5

4x -4y = -4 +8 = 4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -4y = 5

4x -4y = 4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ 12 x & - 8 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ 12 x & - 8 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 2 y$	=	$2$
$2 y - 3 x$	=	$2$	\| $+ 3 x$
$2 y$	=	$2 + 3 x$	\|: $2$
$y$	=	$1 + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 + \frac{3}{2} x) & (I) \\ 12 x & - 8 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$12 x - 8 \cdot (1 + \frac{3}{2} x)$	=	$- 11$
$12 x - 8 - 12 x$	=	$- 11$
$- 8$	=	$- 11$	\| $+ 8$
0	=	$- 3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 115 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 8 Halogenleuchten zusammen 215 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 4 y & = & 115 & (I) \\ 5 x & + 8 y & = & 215 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 4 y$	=	$115$
$4 y + 5 x$	=	$115$	\| $- 5 x$
$4 y$	=	$115 - 5 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{115}{4} - \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{115}{4} - \frac{5}{4} x) & (I) \\ 5 x & + 8 y & = & 215 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{115}{4} - \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 8 \cdot (\frac{115}{4} - \frac{5}{4} x)$	=	$215$
$5 x + 230 - 10 x$	=	$215$
$- 5 x + 230$	=	$215$	\| $- 230$
$- 5 x$	=	$- 15$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{115}{4} - \frac{5}{4} \cdot 3$

= $\frac{115}{4} - \frac{15}{4}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (3|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-4) und B(2|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-5): -5 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 +1b +c |-1
-5 = 4 +2b +c |-4

-5 = 1b +c
-9 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 9$
$c + 2 b$	=	$- 9$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 9 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 9 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 9 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 9 - 2 b)$	=	$- 5$
$b - 9 - 2 b$	=	$- 5$
$- b - 9$	=	$- 5$	\| $+ 9$
$- b$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 9 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 9 + 8$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-11) und B(-2|16) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-11): -11 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|16): 16 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-11 = 1 +1b +c |-1
16 = 4 -2b +c |-4

-12 = 1b +c
12 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 12 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$12$
$c - 2 b$	=	$12$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$12 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 12 & (I) \\ + c & = & (12 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $12 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (12 + 2 b)$	=	$- 12$
$b + 12 + 2 b$	=	$- 12$
$3 b + 12$	=	$- 12$	\| $- 12$
$3 b$	=	$- 24$	\|: $3$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $12 + 2 \cdot (- 8)$

= $12 - 16$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-4)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 4$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 4$

= ${(x - 4)}^{2} - 20$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-20).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 4$ = $16 - 32 - 4$ = -20

also: S(4|-20).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg