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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 4 y$ = $10$ .

Bestimme x so, dass (x|1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 x - 4 \cdot 1$ = $10$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 2 x - 4 \cdot 1$	=	$10$
$- 2 x - 4$	=	$10$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$14$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (-7|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 3 y$ = $17$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|5)
denn 1⋅2 +3⋅5 = 2 +15 = $17$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|4)
denn 1⋅5 +3⋅4 = 5 +12 = $17$

Oder : (-1|6)
denn 1⋅( - 1 ) +3⋅6 = -1 +18 = $17$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 y & = & - 4 & (I) \\ - x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 y & = & - 4 & (I) \\ - x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 1 & (I) \\ - x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 2 \cdot 1$	=	$- 2$
$- x + 2$	=	$- 2$	\| $- 2$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & - 16 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & - 16 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$- 16$	\| $- 3 y$
$x$	=	$- 16 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 16 - 3 y) & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 16 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 16 - 3 y) + 2 y$	=	$- 6$
$64 + 12 y + 2 y$	=	$- 6$
$14 y + 64$	=	$- 6$	\| $- 64$
$14 y$	=	$- 70$	\|: $14$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 16 - 3 \cdot (- 5)$

= $- 16 + 15$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & 8 & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & 8 & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 2 y$	=	$8$
$2 y - 2 x$	=	$8$	\| $+ 2 x$
$2 y$	=	$8 + 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$4 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (4 + x) & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 3 \cdot (4 + x)$	=	$12$
$5 x + 12 + 3 x$	=	$12$
$8 x + 12$	=	$12$	\| $- 12$
$8 x$	=	0	\|: $8$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4 + 0$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (0|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & + \frac{1}{2} y & = & - 4 & (I) \\ \frac{3}{2} x & - y & = & \frac{1}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & + \frac{1}{2} y & = & - 4 & (I) \\ \frac{3}{2} x & - y & = & \frac{1}{2} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$\frac{3}{2} x - y$	=	$\frac{1}{2}$
$- y + \frac{3}{2} x$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ 2
$2 (- y + \frac{3}{2} x)$	=	$1$
$- 2 y + 3 x$	=	$1$	\| $- 3 x$
$- 2 y$	=	$1 - 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & + \frac{1}{2} y & = & - 4 & (I) \\ + y & = & (- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} x)$	=	$- 4$
$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} x$	=	$- 4$
$\frac{5}{4} x - \frac{1}{4}$	=	$- 4$	\|⋅ 4
$4 (\frac{5}{4} x - \frac{1}{4})$	=	$- 16$
$5 x - 1$	=	$- 16$	\| $+ 1$
$5 x$	=	$- 15$	\|: $5$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot (- 3)$

= $- \frac{1}{2} - \frac{9}{2}$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +5y = ?

9x +12y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

5x +5y = -20 +15 = -5

9x +12y = -36 +36 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +5y = -5

9x +12y = 0

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 0 & (I) \\ 3 x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 0 & (I) \\ 3 x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x - y$	=	0
$- y + 3 x$	=	0	\| $- 3 x$
$- y$	=	$- 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 0 & (I) \\ + y & = & 3 x & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $3 x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot 3 x$	=
$2 x + 9 x$	=
$11 x$	=	\|: $11$
$x$	=

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $3 \cdot 0$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|0)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 4. Wenn man aber vom 2-fachen von x 5 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -3. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 4 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$4$	\| $- 3 y$
$x$	=	$4 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (4 - 3 y) & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $4 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (4 - 3 y) - 5 y$	=	$- 3$
$8 - 6 y - 5 y$	=	$- 3$
$- 11 y + 8$	=	$- 3$	\| $- 8$
$- 11 y$	=	$- 11$	\|:( $- 11$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $4 - 3 \cdot 1$

= $4 - 3$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 1

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|5) und B(1|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|5): 5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-7): -7 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 -1b +c |-1
-7 = 1 +1b +c |-1

4 = -1b +c
-8 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ b & + c & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 8$
$c + b$	=	$- 8$	\| $- b$
$c$	=	$- 8 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (- 8 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 8 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 8 - b)$	=	$4$
$- b - 8 - b$	=	$4$
$- 2 b - 8$	=	$4$	\| $+ 8$
$- 2 b$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 8 - (- 6)$

= $- 8 + 6$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-13) und B(-3|-25) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-13): -13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-25): -25 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-13 = 1 -1b +c |-1
-25 = 9 -3b +c |-9

-14 = -1b +c
-34 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 14 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 34 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 34$
$c - 3 b$	=	$- 34$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 34 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 14 & (I) \\ + c & = & (- 34 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 34 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 34 + 3 b)$	=	$- 14$
$- b - 34 + 3 b$	=	$- 14$
$2 b - 34$	=	$- 14$	\| $+ 34$
$2 b$	=	$20$	\|: $2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 34 + 3 \cdot 10$

= $- 34 + 30$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-4)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 29$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-29).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 4$ = $25 - 50 - 4$ = -29

also: S(-5|-29).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg