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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 2 y$ = $- 4$ .

Bestimme y so, dass (0|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$2 \cdot 0 - 2 y$ = $- 4$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2 \cdot 0 - 2 y$	=	$- 4$
$- 2 y$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (0|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 4 y$ = $4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|1)
denn -4⋅0 +4⋅1 = 0 +4 = $4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|5)
denn -4⋅4 +4⋅5 = -16 +20 = $4$

Oder : (-4|-3)
denn -4⋅( - 4 ) +4⋅( - 3 ) = 16 -12 = $4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & = & 10 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & = & 10 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$10$	\|: $2$
$x$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 5 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot 5 + 3 y$	=	$- 7$
$5 + 3 y$	=	$- 7$
$3 y + 5$	=	$- 7$	\| $- 5$
$3 y$	=	$- 12$	\|: $3$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 9 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 9 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 10$
$y + 4 x$	=	$- 10$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 10 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 9 & (I) \\ + y & = & (- 10 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 10 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 1 \cdot (- 10 - 4 x)$	=	$- 9$
$3 x - 10 - 4 x$	=	$- 9$
$- x - 10$	=	$- 9$	\| $+ 10$
$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 10 - 4 \cdot (- 1)$

= $- 10 + 4$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 5 y & = & 1 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 5 y & = & 1 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	$3$
$- y - 2 x$	=	$3$	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$3 + 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 3 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 5 y & = & 1 & (I) \\ + y & = & (- 3 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 3 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 5 \cdot (- 3 - 2 x)$	=	$1$
$4 x + 15 + 10 x$	=	$1$
$14 x + 15$	=	$1$	\| $- 15$
$14 x$	=	$- 14$	\|: $14$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 3 - 2 \cdot (- 1)$

= $- 3 + 2$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- x + y$	=	$15 + 4 y$			(I)
$2 x + 1 - 3 y$	=	$- 2$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- x + y$	=	$15 + 4 y$	\| $- 4 y$		(I)
$2 x + 1 - 3 y$	=	$- 2$	\| $- 1$		(II)

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 15 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$15$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$15 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 15 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 15 - 3 y) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 15 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 15 - 3 y) - 3 y$	=	$- 3$
$- 30 - 6 y - 3 y$	=	$- 3$
$- 9 y - 30$	=	$- 3$	\| $+ 30$
$- 9 y$	=	$27$	\|:( $- 9$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 15 - 3 \cdot (- 3)$

= $- 15 + 9$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -1y = ?

6x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

3x -1y = -6 -1 = -7

6x -4y = -12 -4 = -16

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -1y = -7

6x -4y = -16

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & - 5 y & = & - 9 & (I) \\ - x & + 2 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 5 y & = & - 9 & (I) \\ - x & + 2 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 2 y$	=	$9$	\| $- 2 y$
$- x$	=	$9 - 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 9 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 5 y & = & - 9 & (I) \\ x & = & (- 9 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 9 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 9 + 2 y) - 5 y$	=	$- 9$
$18 - 4 y - 5 y$	=	$- 9$
$- 9 y + 18$	=	$- 9$	\| $- 18$
$- 9 y$	=	$- 27$	\|:( $- 9$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 9 + 2 \cdot 3$

= $- 9 + 6$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 4 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 129 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 8 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 158 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 5 y & = & 129 & (I) \\ 8 x & + 6 y & = & 158 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 5 y$	=	$129$
$5 y + 4 x$	=	$129$	\| $- 4 x$
$5 y$	=	$129 - 4 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{129}{5} - \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{129}{5} - \frac{4}{5} x) & (I) \\ 8 x & + 6 y & = & 158 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{129}{5} - \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 6 \cdot (\frac{129}{5} - \frac{4}{5} x)$	=	$158$
$8 x + \frac{774}{5} - \frac{24}{5} x$	=	$158$
$\frac{16}{5} x + \frac{774}{5}$	=	$158$	\|⋅ 5
$5 (\frac{16}{5} x + \frac{774}{5})$	=	$790$
$16 x + 774$	=	$790$	\| $- 774$
$16 x$	=	$16$	\|: $16$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{129}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1$

= $\frac{129}{5} - \frac{4}{5}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (1|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|1) und B(-3|13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|1): 1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|13): 13 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 -1b +c |-1
13 = 9 -3b +c |-9

0 = -1b +c
4 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$4$
$c - 3 b$	=	$4$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$4 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (4 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $4 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (4 + 3 b)$	=	0
$- b + 4 + 3 b$	=	0
$2 b + 4$	=	0	\| $- 4$
$2 b$	=	$- 4$	\|: $2$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $4 + 3 \cdot (- 2)$

= $4 - 6$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-2)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-6) und B(3|-18) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-18): -18 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
-18 = 9 +3b +c |-9

-7 = 1b +c
-27 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 27$
$c + 3 b$	=	$- 27$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 27 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 27 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 27 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 27 - 3 b)$	=	$- 7$
$b - 27 - 3 b$	=	$- 7$
$- 2 b - 27$	=	$- 7$	\| $+ 27$
$- 2 b$	=	$20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 27 - 3 \cdot (- 10)$

= $- 27 + 30$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 + 3$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 + 3$

= ${(x - 5)}^{2} - 22$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-22).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 + 3$ = $25 - 50 + 3$ = -22

also: S(5|-22).

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