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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 4 y$ = $- 4$ .

Bestimme y so, dass (-6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$2 \cdot (- 6) - 4 y$ = $- 4$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2 \cdot (- 6) - 4 y$	=	$- 4$
$- 12 - 4 y$	=	$- 4$
$- 4 y - 12$	=	$- 4$	\| $+ 12$
$- 4 y$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (-6|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + 3 y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|-6)
denn 3⋅6 +3⋅( - 6 ) = 18 -18 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (9|-9)
denn 3⋅9 +3⋅( - 9 ) = 27 -27 = 0

Oder : (3|-3)
denn 3⋅3 +3⋅( - 3 ) = 9 -9 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 12 & (I) \\ + 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 12 & (I) \\ + 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$12$	\|: $2$
$y$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 12 & (I) \\ + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 1 \cdot 6$	=	$12$
$2 x + 6$	=	$12$	\| $- 6$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 21 & (I) \\ x & + 4 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 21 & (I) \\ x & + 4 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$13$	\| $- 4 y$
$x$	=	$13 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 21 & (I) \\ x & = & (13 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $13 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (13 - 4 y) + 3 y$	=	$21$
$39 - 12 y + 3 y$	=	$21$
$- 9 y + 39$	=	$21$	\| $- 39$
$- 9 y$	=	$- 18$	\|:( $- 9$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $13 - 4 \cdot 2$

= $13 - 8$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & 22 & (I) \\ x & + 2 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & 22 & (I) \\ x & + 2 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$17$	\| $- 2 y$
$x$	=	$17 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & 22 & (I) \\ x & = & (17 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $17 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (17 - 2 y) + 2 y$	=	$22$
$34 - 4 y + 2 y$	=	$22$
$- 2 y + 34$	=	$22$	\| $- 34$
$- 2 y$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $17 - 2 \cdot 6$

= $17 - 12$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 4 y$	=	$5 x - 7$			(I)
$x$	=	$2 - y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 4 y$	=	$5 x - 7$	\| $- 5 x$		(I)
$x$	=	$2 - y$	\| + $y$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & - 7 & (I) \\ x & + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x + y$	=	$2$
$y + x$	=	$2$	\| $- x$
$y$	=	$2 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & - 7 & (I) \\ + y & = & (2 - x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 4 \cdot (2 - x)$	=	$- 7$
$- 5 x - 8 + 4 x$	=	$- 7$
$- x - 8$	=	$- 7$	\| $+ 8$
$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2 - (- 1)$

= $2 + 1$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -1y = ?

-1x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

1x -1y = 4 +2 = 6

-1x +4y = -4 -8 = -12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -1y = 6

-1x +4y = -12

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & - y & = & 2 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - y & = & 2 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x - y$	=	$2$
$- y + 4 x$	=	$2$	\| $- 4 x$
$- y$	=	$2 - 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 2 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 + 4 x) & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 3 \cdot (- 2 + 4 x)$	=	$6$
$- 4 x + 6 - 12 x$	=	$6$
$- 16 x + 6$	=	$6$	\| $- 6$
$- 16 x$	=	0	\|:( $- 16$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 + 4 \cdot (0)$

= $- 2 + 0$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 7. Wenn man aber vom 2-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 1. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 7 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$7$	\| $- 5 y$
$x$	=	$7 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (7 - 5 y) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (7 - 5 y) - 3 y$	=	$1$
$14 - 10 y - 3 y$	=	$1$
$- 13 y + 14$	=	$1$	\| $- 14$
$- 13 y$	=	$- 13$	\|:( $- 13$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7 - 5 \cdot 1$

= $7 - 5$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 1

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-5) und B(2|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-4): -4 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
-4 = 4 +2b +c |-4

-6 = 1b +c
-8 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 8$
$c + 2 b$	=	$- 8$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 8 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 8 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 8 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 8 - 2 b)$	=	$- 6$
$b - 8 - 2 b$	=	$- 6$
$- b - 8$	=	$- 6$	\| $+ 8$
$- b$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 8 - 2 \cdot (- 2)$

= $- 8 + 4$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|10) und B(1|2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|10): 10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 -1b +c |-1
2 = 1 +1b +c |-1

9 = -1b +c
1 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ b & + c & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$1$
$c + b$	=	$1$	\| $- b$
$c$	=	$1 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (1 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $1 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (1 - b)$	=	$9$
$- b + 1 - b$	=	$9$
$- 2 b + 1$	=	$9$	\| $- 1$
$- 2 b$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $1 - (- 4)$

= $1 + 4$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 5$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 + 5$

= ${(x - 2)}^{2} + 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 + 5$ = $4 - 8 + 5$ = 1

also: S(2|1).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg