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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - y$ = $3$ .

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot (- 2) - y$ = $3$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 2) - y$	=	$3$
$6 - y$	=	$3$
$- y + 6$	=	$3$	\| $- 6$
$- y$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (-2|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 2 y$ = $16$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|2)
denn -5⋅( - 4 ) -2⋅2 = 20 -4 = $16$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|7)
denn -5⋅( - 6 ) -2⋅7 = 30 -14 = $16$

Oder : (-2|-3)
denn -5⋅( - 2 ) -2⋅( - 3 ) = 10 +6 = $16$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 16 & (I) \\ 4 x & = & 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 16 & (I) \\ 4 x & = & 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$24$	\|: $4$
$x$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 16 & (I) \\ x & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot 6 + 4 y$	=	$16$
$24 + 4 y$	=	$16$
$4 y + 24$	=	$16$	\| $- 24$
$4 y$	=	$- 8$	\|: $4$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & 8 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & 8 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$- 9$	\| $- 3 y$
$x$	=	$- 9 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & 8 & (I) \\ x & = & (- 9 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 9 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 9 - 3 y) + 2 y$	=	$8$
$- 27 - 9 y + 2 y$	=	$8$
$- 7 y - 27$	=	$8$	\| $+ 27$
$- 7 y$	=	$35$	\|:( $- 7$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 9 - 3 \cdot (- 5)$

= $- 9 + 15$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 8 & (I) \\ - x & - 4 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 8 & (I) \\ - x & - 4 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 4 y$	=	$- 19$	\| $+ 4 y$
$- x$	=	$- 19 + 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$19 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 8 & (I) \\ x & = & (19 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $19 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (19 - 4 y) + y$	=	$8$
$- 57 + 12 y + y$	=	$8$
$13 y - 57$	=	$8$	\| $+ 57$
$13 y$	=	$65$	\|: $13$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $19 - 4 \cdot 5$

= $19 - 20$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{3} y & = & - \frac{8}{5} & (I) \\ - \frac{1}{3} x & - y & = & - \frac{16}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{3} y & = & - \frac{8}{5} & (I) \\ - \frac{1}{3} x & - y & = & - \frac{16}{3} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{1}{3} x - y$	=	$- \frac{16}{3}$
$- y - \frac{1}{3} x$	=	$- \frac{16}{3}$	\|⋅ 3
$3 (- y - \frac{1}{3} x)$	=	$- 16$
$- 3 y - x$	=	$- 16$	\| $+ x$
$- 3 y$	=	$- 16 + x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$\frac{16}{3} - \frac{1}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{3} y & = & - \frac{8}{5} & (I) \\ + y & = & (\frac{16}{3} - \frac{1}{3} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $\frac{16}{3} - \frac{1}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{5} x - \frac{1}{3} \cdot (\frac{16}{3} - \frac{1}{3} x)$	=	$- \frac{8}{5}$
$- \frac{1}{5} x - \frac{16}{9} + \frac{1}{9} x$	=	$- \frac{8}{5}$
$- \frac{4}{45} x - \frac{16}{9}$	=	$- \frac{8}{5}$	\|⋅ 45
$45 (- \frac{4}{45} x - \frac{16}{9})$	=	$- 72$
$- 4 x - 80$	=	$- 72$	\| $+ 80$
$- 4 x$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $\frac{16}{3} - \frac{1}{3} \cdot (- 2)$

= $\frac{16}{3} + \frac{2}{3}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -5y = ?

-2x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

2x -5y = 2 -5 = -3

-2x +6y = -2 +6 = 4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -5y = -3

-2x +6y = 4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & 6 & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & 6 & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 3 y$	=	$6$
$- 3 y - 3 x$	=	$6$	\| $+ 3 x$
$- 3 y$	=	$6 + 3 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 2 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 - x) & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 3 \cdot (- 2 - x)$	=	$- 12$
$5 x - 6 - 3 x$	=	$- 12$
$2 x - 6$	=	$- 12$	\| $+ 6$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 - (- 3)$

= $- 2 + 3$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 15. Wenn man aber vom 6-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 15. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 15 & (I) \\ 6 x & - 3 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$15$	\| $- 2 y$
$x$	=	$15 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (15 - 2 y) & (I) \\ 6 x & - 3 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $15 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (15 - 2 y) - 3 y$	=	$15$
$90 - 12 y - 3 y$	=	$15$
$- 15 y + 90$	=	$15$	\| $- 90$
$- 15 y$	=	$- 75$	\|:( $- 15$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $15 - 2 \cdot 5$

= $15 - 10$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-1) und B(-4|2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-1): -1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|2): 2 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 -1b +c |-1
2 = 16 -4b +c |-16

-2 = -1b +c
-14 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 14$
$c - 4 b$	=	$- 14$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 14 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (- 14 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 14 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 14 + 4 b)$	=	$- 2$
$- b - 14 + 4 b$	=	$- 2$
$3 b - 14$	=	$- 2$	\| $+ 14$
$3 b$	=	$12$	\|: $3$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 14 + 4 \cdot 4$

= $- 14 + 16$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|5) und B(2|10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|5): 5 = 1² + b⋅1 +c

B(2|10): 10 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 +1b +c |-1
10 = 4 +2b +c |-4

4 = 1b +c
6 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ 2 b & + c & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$6$
$c + 2 b$	=	$6$	\| $- 2 b$
$c$	=	$6 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (6 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (6 - 2 b)$	=	$4$
$b + 6 - 2 b$	=	$4$
$- b + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$- b$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6 - 2 \cdot 2$

= $6 - 4$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 + 2$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 + 2$

= ${(x + 1)}^{2} + 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 2$ = $1 - 2 + 2$ = 1

also: S(-1|1).

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg