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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 5 y$ = $- 24$ .

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot (- 2) - 5 y$ = $- 24$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 2) - 5 y$	=	$- 24$
$6 - 5 y$	=	$- 24$
$- 5 y + 6$	=	$- 24$	\| $- 6$
$- 5 y$	=	$- 30$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (-2|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 5 y$ = $3$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|5)
denn 4⋅7 -5⋅5 = 28 -25 = $3$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|1)
denn 4⋅2 -5⋅1 = 8 -5 = $3$

Oder : (12|9)
denn 4⋅12 -5⋅9 = 48 -45 = $3$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & 21 & (I) \\ + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $6$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 3 \cdot 6$	=	$21$
$- x + 18$	=	$21$	\| $- 18$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 2 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 2 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$- 14$	\| $- 4 y$
$x$	=	$- 14 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 2 & (I) \\ x & = & (- 14 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 14 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 14 - 4 y) - 4 y$	=	$2$
$- 14 - 4 y - 4 y$	=	$2$
$- 8 y - 14$	=	$2$	\| $+ 14$
$- 8 y$	=	$16$	\|:( $- 8$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 14 - 4 \cdot (- 2)$

= $- 14 + 8$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 9 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 9 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 3 y$	=	$- 9$
$3 y - 2 x$	=	$- 9$	\| $+ 2 x$
$3 y$	=	$- 9 + 2 x$	\|: $3$
$y$	=	$- 3 + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 3 + \frac{2}{3} x) & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 3 + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot (- 3 + \frac{2}{3} x)$	=	$12$
$4 x + 12 - \frac{8}{3} x$	=	$12$
$\frac{4}{3} x + 12$	=	$12$	\|⋅ 3
$3 (\frac{4}{3} x + 12)$	=	$36$
$4 x + 36$	=	$36$	\| $- 36$
$4 x$	=	0	\|: $4$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 3 + \frac{2}{3} \cdot 0$

= $- 3 + 0$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 7$	=	$- 2 x - 1 + 3 y$			(I)
$4 x - 13 + 3 y$	=	$- 1$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 7$	=	$- 2 x - 1 + 3 y$	\| + $7 + 2 x - 3 y$		(I)
$4 x - 13 + 3 y$	=	$- 1$	\| + $13$		(II)

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & 6 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 3 y$	=	$6$
$- 3 y + 2 x$	=	$6$	\| $- 2 x$
$- 3 y$	=	$6 - 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 2 + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 + \frac{2}{3} x) & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 3 \cdot (- 2 + \frac{2}{3} x)$	=	$12$
$4 x - 6 + 2 x$	=	$12$
$6 x - 6$	=	$12$	\| $+ 6$
$6 x$	=	$18$	\|: $6$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 + \frac{2}{3} \cdot 3$

= $- 2 + 2$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (3|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +1y = ?

-4x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-3x +1y = 3 -2 = 1

-4x -2y = 4 +4 = 8

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +1y = 1

-4x -2y = 8

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ - 5 x & + y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ - 5 x & + y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x + y$	=	$- 7$
$y - 5 x$	=	$- 7$	\| $+ 5 x$
$y$	=	$- 7 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ + y & = & (- 7 + 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 7 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 2 \cdot (- 7 + 5 x)$	=	$2$
$4 x + 14 - 10 x$	=	$2$
$- 6 x + 14$	=	$2$	\| $- 14$
$- 6 x$	=	$- 12$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 7 + 5 \cdot 2$

= $- 7 + 10$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 11. Wenn man aber vom 5-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -1. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 11 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$11$	\| $- 5 y$
$x$	=	$11 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (11 - 5 y) & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $11 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (11 - 5 y) - 3 y$	=	$- 1$
$55 - 25 y - 3 y$	=	$- 1$
$- 28 y + 55$	=	$- 1$	\| $- 55$
$- 28 y$	=	$- 56$	\|:( $- 28$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $11 - 5 \cdot 2$

= $11 - 10$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(1|-9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-9): -9 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
-9 = 1 +1b +c |-1

6 = -1b +c
-10 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ b & + c & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 10$
$c + b$	=	$- 10$	\| $- b$
$c$	=	$- 10 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (- 10 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 10 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 10 - b)$	=	$6$
$- b - 10 - b$	=	$6$
$- 2 b - 10$	=	$6$	\| $+ 10$
$- 2 b$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 10 - (- 8)$

= $- 10 + 8$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(-2|21) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|21): 21 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
21 = 4 -2b +c |-4

7 = -1b +c
17 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$17$
$c - 2 b$	=	$17$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$17 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (17 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $17 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (17 + 2 b)$	=	$7$
$- b + 17 + 2 b$	=	$7$
$b + 17$	=	$7$	\| $- 17$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $17 + 2 \cdot (- 10)$

= $17 - 20$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 - 3$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 - 3$

= ${(x - 5)}^{2} - 28$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-28).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 - 3$ = $25 - 50 - 3$ = -28

also: S(5|-28).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg