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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 4 y$ = $- 53$ .

Bestimme y so, dass (5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 \cdot 5 + 4 y$ = $- 53$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 5 \cdot 5 + 4 y$	=	$- 53$
$- 25 + 4 y$	=	$- 53$
$4 y - 25$	=	$- 53$	\| $+ 25$
$4 y$	=	$- 28$	\|: $4$
$y$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (5|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 2 y$ = $- 21$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|7)
denn -5⋅7 +2⋅7 = -35 +14 = $- 21$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (9|12)
denn -5⋅9 +2⋅12 = -45 +24 = $- 21$

Oder : (5|2)
denn -5⋅5 +2⋅2 = -25 +4 = $- 21$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & - 14 & (I) \\ - 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & - 14 & (I) \\ - 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & - 14 & (I) \\ + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 1 \cdot 2$	=	$- 14$
$- 3 x - 2$	=	$- 14$	\| $+ 2$
$- 3 x$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 4 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 4 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$4$
$y + 3 x$	=	$4$	\| $- 3 x$
$y$	=	$4 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (4 - 3 x) & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 2 \cdot (4 - 3 x)$	=	$- 4$
$- 2 x - 8 + 6 x$	=	$- 4$
$4 x - 8$	=	$- 4$	\| $+ 8$
$4 x$	=	$4$	\|: $4$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4 - 3 \cdot 1$

= $4 - 3$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 2 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 2 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 3 y$	=	$- 2$
$- 3 y - 2 x$	=	$- 2$	\| $+ 2 x$
$- 3 y$	=	$- 2 + 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} x) & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{2}{3} - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 2 \cdot (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} x)$	=	$3$
$3 x - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} x$	=	$3$
$\frac{13}{3} x - \frac{4}{3}$	=	$3$	\|⋅ 3
$3 (\frac{13}{3} x - \frac{4}{3})$	=	$9$
$13 x - 4$	=	$9$	\| $+ 4$
$13 x$	=	$13$	\|: $13$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

= $\frac{2}{3} - \frac{2}{3}$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (1|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 3 x$	=	$x - 4 (2 + y)$			(I)
$- 3 x - 2$	=	$- 4 x - y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 3 x$	=	$x - 4 (2 + y)$			(I)
$- 3 x - 2$	=	$- 4 x - y$			(II)

$- 3 x$	=	$x - 8 - 4 y$	\| $- x + 4 y$		(I)
$- 3 x - 2$	=	$- 4 x - y$	\| + $2 + 4 x + y$		(II)

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & - 8 & (I) \\ x & + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x + y$	=	$2$
$y + x$	=	$2$	\| $- x$
$y$	=	$2 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & - 8 & (I) \\ + y & = & (2 - x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 4 \cdot (2 - x)$	=	$- 8$
$- 4 x + 8 - 4 x$	=	$- 8$
$- 8 x + 8$	=	$- 8$	\| $- 8$
$- 8 x$	=	$- 16$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2 - 2$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (2|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +3y = ?

4x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

2x +3y = -10 +6 = -4

4x +3y = -20 +6 = -14

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +3y = -4

4x +3y = -14

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 8 x & + 4 y & = & 4 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 8 x & + 4 y & = & 4 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	$- 1$
$- y - 2 x$	=	$- 1$	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$- 1 + 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$1 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 8 x & + 4 y & = & 4 & (I) \\ + y & = & (1 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 4 \cdot (1 - 2 x)$	=	$4$
$8 x + 4 - 8 x$	=	$4$
$4$	=	$4$	\| $- 4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 8 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 300 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 8 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 137 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 8 y & = & 300 & (I) \\ 8 x & + 3 y & = & 137 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 8 y$	=	$300$
$8 y + 5 x$	=	$300$	\| $- 5 x$
$8 y$	=	$300 - 5 x$	\|: $8$
$y$	=	$\frac{75}{2} - \frac{5}{8} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{75}{2} - \frac{5}{8} x) & (I) \\ 8 x & + 3 y & = & 137 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{75}{2} - \frac{5}{8} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 3 \cdot (\frac{75}{2} - \frac{5}{8} x)$	=	$137$
$8 x + \frac{225}{2} - \frac{15}{8} x$	=	$137$
$\frac{49}{8} x + \frac{225}{2}$	=	$137$	\|⋅ 8
$8 (\frac{49}{8} x + \frac{225}{2})$	=	$1 096$
$49 x + 900$	=	$1 096$	\| $- 900$
$49 x$	=	$196$	\|: $49$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{75}{2} - \frac{5}{8} \cdot 4$

= $\frac{75}{2} - \frac{5}{2}$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (4|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|1) und B(2|-8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|1): 1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-8): -8 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 -1b +c |-1
-8 = 4 +2b +c |-4

0 = -1b +c
-12 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 12$
$c + 2 b$	=	$- 12$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 12 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (- 12 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 12 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 12 - 2 b)$	=	0
$- b - 12 - 2 b$	=	0
$- 3 b - 12$	=	0	\| $+ 12$
$- 3 b$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 12 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 12 + 8$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|15) und B(-1|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|15): 15 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
15 = 1 +1b +c |-1
-5 = 1 -1b +c |-1

14 = 1b +c
-6 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 14 & (I) \\ - b & + c & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 6$
$c - b$	=	$- 6$	\| $+ b$
$c$	=	$- 6 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 14 & (I) \\ + c & = & (- 6 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 6 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 6 + b)$	=	$14$
$b - 6 + b$	=	$14$
$2 b - 6$	=	$14$	\| $+ 6$
$2 b$	=	$20$	\|: $2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 6 + 10$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|4)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 4$ = $25 - 50 + 4$ = -21

also: S(-5|-21).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS (Standard)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg