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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 4 y$ = $12$ .

Bestimme y so, dass (-4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$4 \cdot (- 4) + 4 y$ = $12$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4 \cdot (- 4) + 4 y$	=	$12$
$- 16 + 4 y$	=	$12$
$4 y - 16$	=	$12$	\| $+ 16$
$4 y$	=	$28$	\|: $4$
$y$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (-4|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 5 y$ = $- 25$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-5)
denn -3⋅0 +5⋅( - 5 ) = 0 -25 = $- 25$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|-2)
denn -3⋅5 +5⋅( - 2 ) = -15 -10 = $- 25$

Oder : (-5|-8)
denn -3⋅( - 5 ) +5⋅( - 8 ) = 15 -40 = $- 25$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 2 y & = & - 9 & (I) \\ 4 x & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 2 y & = & - 9 & (I) \\ 4 x & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$4$	\|: $4$
$x$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 2 y & = & - 9 & (I) \\ x & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot 1 - 2 y$	=	$- 9$
$- 1 - 2 y$	=	$- 9$
$- 2 y - 1$	=	$- 9$	\| $+ 1$
$- 2 y$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 3 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 3 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$3$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$3 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (3 + 2 y) & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $3 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (3 + 2 y) - 4 y$	=	0
$12 + 8 y - 4 y$	=	0
$4 y + 12$	=	0	\| $- 12$
$4 y$	=	$- 12$	\|: $4$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $3 + 2 \cdot (- 3)$

= $3 - 6$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & - 30 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & - 30 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$- 25$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$- 25 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & - 30 & (I) \\ x & = & (- 25 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 25 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 25 + 4 y) - 2 y$	=	$- 30$
$- 100 + 16 y - 2 y$	=	$- 30$
$14 y - 100$	=	$- 30$	\| $+ 100$
$14 y$	=	$70$	\|: $14$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 25 + 4 \cdot 5$

= $- 25 + 20$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{1}{2} & (I) \\ - \frac{2}{3} x & + y & = & - \frac{5}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{1}{2} & (I) \\ - \frac{2}{3} x & + y & = & - \frac{5}{3} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{2}{3} x + y$	=	$- \frac{5}{3}$
$y - \frac{2}{3} x$	=	$- \frac{5}{3}$	\|⋅ 3
$3 (y - \frac{2}{3} x)$	=	$- 5$
$3 y - 2 x$	=	$- 5$	\| $+ 2 x$
$3 y$	=	$- 5 + 2 x$	\|: $3$
$y$	=	$- \frac{5}{3} + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{1}{2} & (I) \\ + y & = & (- \frac{5}{3} + \frac{2}{3} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- \frac{5}{3} + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{5}{3} + \frac{2}{3} x)$	=	$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} x + \frac{5}{6} - \frac{1}{3} x$	=	$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{6} x + \frac{5}{6}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ 6
$6 (\frac{1}{6} x + \frac{5}{6})$	=	$3$
$x + 5$	=	$3$	\| $- 5$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- \frac{5}{3} + \frac{2}{3} \cdot (- 2)$

= $- \frac{5}{3} - \frac{4}{3}$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +2y = ?

-6x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-4x +2y = 16 -8 = 8

-6x +1y = 24 -4 = 20

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +2y = 8

-6x +1y = 20

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & - 4 y & = & - 3 & (I) \\ - 4 x & + 8 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 4 y & = & - 3 & (I) \\ - 4 x & + 8 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 4 y$	=	$- 3$
$- 4 y + 2 x$	=	$- 3$	\| $- 2 x$
$- 4 y$	=	$- 3 - 2 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$\frac{3}{4} + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{3}{4} + \frac{1}{2} x) & (I) \\ - 4 x & + 8 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{4} + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 8 \cdot (\frac{3}{4} + \frac{1}{2} x)$	=	$9$
$- 4 x + 6 + 4 x$	=	$9$
$6$	=	$9$	\| $- 6$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1575 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1320 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & - 5 y & = & 1575 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 1320 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x - 5 y$	=	$1575$
$- 5 y + 6 x$	=	$1575$	\| $- 6 x$
$- 5 y$	=	$1575 - 6 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 315 + \frac{6}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 315 + \frac{6}{5} x) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 1320 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 315 + \frac{6}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 4 \cdot (- 315 + \frac{6}{5} x)$	=	$1320$
$5 x + 1 260 - \frac{24}{5} x$	=	$1320$
$\frac{1}{5} x + 1 260$	=	$1320$	\|⋅ 5
$5 (\frac{1}{5} x + 1 260)$	=	$6 600$
$x + 6 300$	=	$6 600$	\| $- 6 300$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 315 + \frac{6}{5} \cdot 300$

= $- 315 + 360$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (300|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|2) und B(2|3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(2|3): 3 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
3 = 4 +2b +c |-4

1 = 1b +c
-1 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 1$
$c + 2 b$	=	$- 1$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 1 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (- 1 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 1 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 1 - 2 b)$	=	$1$
$b - 1 - 2 b$	=	$1$
$- b - 1$	=	$1$	\| $+ 1$
$- b$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 1 - 2 \cdot (- 2)$

= $- 1 + 4$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|13) und B(2|-14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|13): 13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-14): -14 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 -1b +c |-1
-14 = 4 +2b +c |-4

12 = -1b +c
-18 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 18$
$c + 2 b$	=	$- 18$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 18 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ + c & = & (- 18 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 18 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 18 - 2 b)$	=	$12$
$- b - 18 - 2 b$	=	$12$
$- 3 b - 18$	=	$12$	\| $+ 18$
$- 3 b$	=	$30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 18 - 2 \cdot (- 10)$

= $- 18 + 20$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|2)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 + 2$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 + 2$

= ${(x - 5)}^{2} - 23$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-23).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 + 2$ = $25 - 50 + 2$ = -23

also: S(5|-23).

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1. Weg

2. Weg