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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 4 y$ = $- 26$ .

Bestimme x so, dass (x|2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 x - 4 \cdot 2$ = $- 26$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot 2$	=	$- 26$
$- 3 x - 8$	=	$- 26$	\| $+ 8$
$- 3 x$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 5 y$ = $1$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|1)
denn -2⋅( - 3 ) -5⋅1 = 6 -5 = $1$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|3)
denn -2⋅( - 8 ) -5⋅3 = 16 -15 = $1$

Oder : (2|-1)
denn -2⋅2 -5⋅( - 1 ) = -4 +5 = $1$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 2 y & = & - 10 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 2 y & = & - 10 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$- 10$	\|: $2$
$y$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 5 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 1 \cdot (- 5)$	=	$7$
$- 2 x - 5$	=	$7$	\| $+ 5$
$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & - 11 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & - 11 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 10$
$y - 4 x$	=	$- 10$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 10 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & - 11 & (I) \\ + y & = & (- 10 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 10 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x - 4 \cdot (- 10 + 4 x)$	=	$- 11$
$- x + 40 - 16 x$	=	$- 11$
$- 17 x + 40$	=	$- 11$	\| $- 40$
$- 17 x$	=	$- 51$	\|:( $- 17$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 10 + 4 \cdot 3$

= $- 10 + 12$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & - y & = & - 14 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - y & = & - 14 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x - y$	=	$- 14$
$- y - 5 x$	=	$- 14$	\| $+ 5 x$
$- y$	=	$- 14 + 5 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$14 - 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (14 - 5 x) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $14 - 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot (14 - 5 x)$	=	$15$
$4 x - 42 + 15 x$	=	$15$
$19 x - 42$	=	$15$	\| $+ 42$
$19 x$	=	$57$	\|: $19$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $14 - 5 \cdot 3$

= $14 - 15$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$4 y$	=	$5 x + 4 (3 + 2 y)$			(I)
$2 y$	=	$- 5 x - 16$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$4 y$	=	$5 x + 4 (3 + 2 y)$			(I)
$2 y$	=	$- 5 x - 16$			(II)

$4 y$	=	$5 x + 12 + 8 y$	\| $- 5 x - 8 y$		(I)
$2 y$	=	$- 5 x - 16$	\| + $5 x$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 12 & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 4 y$	=	$12$
$- 4 y - 5 x$	=	$12$	\| $+ 5 x$
$- 4 y$	=	$12 + 5 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 3 - \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 3 - \frac{5}{4} x) & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 3 - \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 2 \cdot (- 3 - \frac{5}{4} x)$	=	$- 16$
$5 x - 6 - \frac{5}{2} x$	=	$- 16$
$\frac{5}{2} x - 6$	=	$- 16$	\|⋅ 2
$2 (\frac{5}{2} x - 6)$	=	$- 32$
$5 x - 12$	=	$- 32$	\| $+ 12$
$5 x$	=	$- 20$	\|: $5$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 3 - \frac{5}{4} \cdot (- 4)$

= $- 3 + 5$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -5y = ?

2x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-2x -5y = 6 +5 = 11

2x +6y = -6 -6 = -12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -5y = 11

2x +6y = -12

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 1 & (I) \\ - 4 x & + 5 y & = & 23 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 1 & (I) \\ - 4 x & + 5 y & = & 23 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 3 y$	=	$- 1$
$- 3 y - 4 x$	=	$- 1$	\| $+ 4 x$
$- 3 y$	=	$- 1 + 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$\frac{1}{3} - \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{3} - \frac{4}{3} x) & (I) \\ - 4 x & + 5 y & = & 23 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{3} - \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 5 \cdot (\frac{1}{3} - \frac{4}{3} x)$	=	$23$
$- 4 x + \frac{5}{3} - \frac{20}{3} x$	=	$23$
$- \frac{32}{3} x + \frac{5}{3}$	=	$23$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{32}{3} x + \frac{5}{3})$	=	$69$
$- 32 x + 5$	=	$69$	\| $- 5$
$- 32 x$	=	$64$	\|:( $- 32$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{1}{3} - \frac{4}{3} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{3} + \frac{8}{3}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 7 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 255 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 333 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 7 y & = & 255 & (I) \\ 9 x & + 9 y & = & 333 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 7 y$	=	$255$
$7 y + 5 x$	=	$255$	\| $- 5 x$
$7 y$	=	$255 - 5 x$	\|: $7$
$y$	=	$\frac{255}{7} - \frac{5}{7} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{255}{7} - \frac{5}{7} x) & (I) \\ 9 x & + 9 y & = & 333 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{255}{7} - \frac{5}{7} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9 x + 9 \cdot (\frac{255}{7} - \frac{5}{7} x)$	=	$333$
$9 x + \frac{2295}{7} - \frac{45}{7} x$	=	$333$
$\frac{18}{7} x + \frac{2295}{7}$	=	$333$	\|⋅ 7
$7 (\frac{18}{7} x + \frac{2295}{7})$	=	$2 331$
$18 x + 2 295$	=	$2 331$	\| $- 2 295$
$18 x$	=	$36$	\|: $18$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{255}{7} - \frac{5}{7} \cdot 2$

= $\frac{255}{7} - \frac{10}{7}$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (2|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|13) und B(2|26) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|13): 13 = 1² + b⋅1 +c

B(2|26): 26 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 +1b +c |-1
26 = 4 +2b +c |-4

12 = 1b +c
22 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 12 & (I) \\ 2 b & + c & = & 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$22$
$c + 2 b$	=	$22$	\| $- 2 b$
$c$	=	$22 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 12 & (I) \\ + c & = & (22 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $22 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (22 - 2 b)$	=	$12$
$b + 22 - 2 b$	=	$12$
$- b + 22$	=	$12$	\| $- 22$
$- b$	=	$- 10$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $22 - 2 \cdot 10$

= $22 - 20$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (10|2)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(2|-13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-13): -13 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
-13 = 4 +2b +c |-4

7 = -1b +c
-17 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 17$
$c + 2 b$	=	$- 17$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 17 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (- 17 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 17 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 17 - 2 b)$	=	$7$
$- b - 17 - 2 b$	=	$7$
$- 3 b - 17$	=	$7$	\| $+ 17$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 17 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 17 + 16$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-1)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 1$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 1$

= ${(x - 4)}^{2} - 17$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-17).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 1$ = $16 - 32 - 1$ = -17

also: S(4|-17).

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