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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 2x -2y = 2 .

Bestimme x so, dass (x|1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 1 in die Gleichung ein und erhält:

2x -21 = 2

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

2x -21 = 2
2x -2 = 2 | +2
2x = 4 |:2
x = 2

Die Lösung ist somit: (2|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -x +5y = 3 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|0)
denn -1⋅( - 3 ) +50 = 3 +0 = 3

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|1)
denn -1⋅2 +51 = -2 +5 = 3

Oder : (-8|-1)
denn -1⋅( - 8 ) +5( - 1 ) = 8 -5 = 3

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-3x +2y = 2 (I) -3x = -6 (II)

Lösung einblenden
-3x +2y = 2 (I) -3x = -6 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

-3x = -6 |:(-3 )
x = 2

Als neues LGS erhält man so:

-3x +2y = 2 (I) x = 2 (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch 2 ersetzen und dann nach y auflösen:

-3 · 2 +2y = 2
-6 +2y = 2
2y -6 = 2 | +6
2y = 8 |:2
y = 4

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

2x +y = -7 (I) -2x +3y = 19 (II)

Lösung einblenden
2x +y = -7 (I) -2x +3y = 19 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

2x + y = -7
y +2x = -7 | -2x
y = -7 -2x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( -7 -2x ) (I) -2x +3y = 19 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( -7 -2x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-2x + 3 · ( -7 -2x ) = 19
-2x -21 -6x = 19
-8x -21 = 19 | +21
-8x = 40 |:(-8 )
x = -5

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = -7 -2( -5 )

= -7 +10

= 3

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-3x -3y = 12 (I) -x +3y = -16 (II)

Lösung einblenden
-3x -3y = 12 (I) -x +3y = -16 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

-x +3y = -16 | -3y
-x = -16 -3y |:(-1 )
x = 16 +3y

Als neues LGS erhält man so:

-3x -3y = 12 (I) x = ( 16 +3y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( 16 +3y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-3 · ( 16 +3y ) -3y = 12
-48 -9y -3y = 12
-12y -48 = 12 | +48
-12y = 60 |:(-12 )
y = -5

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = 16 +3( -5 )

= 16 -15

= 1

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

0 = 2( 2x +9 )-5y (I)
8x = 4( x -3 )+2y (II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

0 = 2( 2x +9 )-5y (I)
8x = 4( x -3 )+2y (II)
0 = 4x +18 -5y | -4x +5y (I)
8x = 4x -12 +2y | -4x -2y (II)
-4x +5y = 18 (I) 4x -2y = -12 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

-4x +5y = 18
5y -4x = 18 | +4x
5y = 18 +4x |:5
y = 18 5 + 4 5 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 18 5 + 4 5 x ) (I) 4x -2y = -12 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 18 5 + 4 5 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

4x -2 · ( 18 5 + 4 5 x ) = -12
4x - 36 5 - 8 5 x = -12
12 5 x - 36 5 = -12 |⋅ 5
5( 12 5 x - 36 5 ) = -60
12x -36 = -60 | +36
12x = -24 |:12
x = -2

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 18 5 + 4 5 ( -2 )

= 18 5 - 8 5

= 2

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x -4y = ?

-1x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-3x -4y = 12 +20 = 32

-1x -4y = 4 +20 = 24

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x -4y = 32

-1x -4y = 24

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

-5x +2y = -9 (I) -x -5y = 9 (II)

Lösung einblenden
-5x +2y = -9 (I) -x -5y = 9 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

-x -5y = 9 | +5y
-x = 9 +5y |:(-1 )
x = -9 -5y

Als neues LGS erhält man so:

-5x +2y = -9 (I) x = ( -9 -5y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( -9 -5y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-5 · ( -9 -5y ) +2y = -9
45 +25y +2y = -9
27y +45 = -9 | -45
27y = -54 |:27
y = -2

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = -9 -5( -2 )

= -9 +10

= 1

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 9. Wenn man aber vom 5-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -7. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

x +2y = 9 (I) 5x -3y = -7 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +2y = 9 | -2y
x = 9 -2y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 9 -2y ) (I) 5x -3y = -7 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 9 -2y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

5 · ( 9 -2y ) -3y = -7
45 -10y -3y = -7
-13y +45 = -7 | -45
-13y = -52 |:(-13 )
y = 4

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 9 -24

= 9 -8

= 1

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 4