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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 4 y$ = $4$ .

Bestimme x so, dass (x|-2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x - 4 \cdot (- 2)$ = $4$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot (- 2)$	=	$4$
$4 x + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$4 x$	=	$- 4$	\|: $4$
$x$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-1|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + 3 y$ = $- 15$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-3)
denn 3⋅( - 2 ) +3⋅( - 3 ) = -6 -9 = $- 15$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|-6)
denn 3⋅1 +3⋅( - 6 ) = 3 -18 = $- 15$

Oder : (-5|0)
denn 3⋅( - 5 ) +3⋅0 = -15 +0 = $- 15$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & = & - 4 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $- 4$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 4) - 4 y$	=	$- 12$
$- 16 - 4 y$	=	$- 12$
$- 4 y - 16$	=	$- 12$	\| $+ 16$
$- 4 y$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 21 & (I) \\ - x & - 4 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 21 & (I) \\ - x & - 4 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 4 y$	=	$- 19$	\| $+ 4 y$
$- x$	=	$- 19 + 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$19 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 21 & (I) \\ x & = & (19 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $19 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (19 - 4 y) + y$	=	$21$
$- 57 + 12 y + y$	=	$21$
$13 y - 57$	=	$21$	\| $+ 57$
$13 y$	=	$78$	\|: $13$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $19 - 4 \cdot 6$

= $19 - 24$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & - 30 & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & - 30 & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 5 y$	=	$- 30$
$- 5 y - 5 x$	=	$- 30$	\| $+ 5 x$
$- 5 y$	=	$- 30 + 5 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$6 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (6 - x) & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $6 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 5 \cdot (6 - x)$	=	$12$
$2 x + 30 - 5 x$	=	$12$
$- 3 x + 30$	=	$12$	\| $- 30$
$- 3 x$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $6 - 6$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (6|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{3}{5} x & + 3 y & = & - \frac{78}{5} & (I) \\ \frac{1}{5} x & - \frac{1}{3} y & = & \frac{22}{15} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{3}{5} x & + 3 y & = & - \frac{78}{5} & (I) \\ \frac{1}{5} x & - \frac{1}{3} y & = & \frac{22}{15} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{3}{5} x + 3 y$	=	$- \frac{78}{5}$
$3 y + \frac{3}{5} x$	=	$- \frac{78}{5}$	\|⋅ 5
$5 (3 y + \frac{3}{5} x)$	=	$- 78$
$15 y + 3 x$	=	$- 78$	\| $- 3 x$
$15 y$	=	$- 78 - 3 x$	\|: $15$
$y$	=	$- \frac{26}{5} - \frac{1}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{26}{5} - \frac{1}{5} x) & (I) \\ \frac{1}{5} x & - \frac{1}{3} y & = & \frac{22}{15} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{26}{5} - \frac{1}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{5} x - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{26}{5} - \frac{1}{5} x)$	=	$\frac{22}{15}$
$\frac{1}{5} x + \frac{26}{15} + \frac{1}{15} x$	=	$\frac{22}{15}$
$\frac{4}{15} x + \frac{26}{15}$	=	$\frac{22}{15}$	\|⋅ 15
$15 (\frac{4}{15} x + \frac{26}{15})$	=	$22$
$4 x + 26$	=	$22$	\| $- 26$
$4 x$	=	$- 4$	\|: $4$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{26}{5} - \frac{1}{5} \cdot (- 1)$

= $- \frac{26}{5} + \frac{1}{5}$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +3y = ?

6x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

3x +3y = -3 +3 = 0

6x +3y = -6 +3 = -3

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +3y = 0

6x +3y = -3

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & - 19 & (I) \\ - x & + 5 y & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & - 19 & (I) \\ - x & + 5 y & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 5 y$	=	$- 25$	\| $- 5 y$
$- x$	=	$- 25 - 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$25 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & - 19 & (I) \\ x & = & (25 + 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $25 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (25 + 5 y) + 4 y$	=	$- 19$
$- 25 - 5 y + 4 y$	=	$- 19$
$- y - 25$	=	$- 19$	\| $+ 25$
$- y$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $25 + 5 \cdot (- 6)$

= $25 - 30$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 140 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 8 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 99 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 5 y & = & 140 & (I) \\ 8 x & + 3 y & = & 99 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 5 y$	=	$140$
$5 y + 5 x$	=	$140$	\| $- 5 x$
$5 y$	=	$140 - 5 x$	\|: $5$
$y$	=	$28 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (28 - x) & (I) \\ 8 x & + 3 y & = & 99 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $28 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 3 \cdot (28 - x)$	=	$99$
$8 x + 84 - 3 x$	=	$99$
$5 x + 84$	=	$99$	\| $- 84$
$5 x$	=	$15$	\|: $5$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $28 - 3$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (3|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-12) und B(3|-24) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-12): -12 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-24): -24 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 +1b +c |-1
-24 = 9 +3b +c |-9

-13 = 1b +c
-33 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 33 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 33$
$c + 3 b$	=	$- 33$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 33 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ + c & = & (- 33 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 33 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 33 - 3 b)$	=	$- 13$
$b - 33 - 3 b$	=	$- 13$
$- 2 b - 33$	=	$- 13$	\| $+ 33$
$- 2 b$	=	$20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 33 - 3 \cdot (- 10)$

= $- 33 + 30$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-8) und B(-2|25) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-8): -8 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|25): 25 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 +1b +c |-1
25 = 4 -2b +c |-4

-9 = 1b +c
21 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$21$
$c - 2 b$	=	$21$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$21 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ + c & = & (21 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $21 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (21 + 2 b)$	=	$- 9$
$b + 21 + 2 b$	=	$- 9$
$3 b + 21$	=	$- 9$	\| $- 21$
$3 b$	=	$- 30$	\|: $3$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $21 + 2 \cdot (- 10)$

= $21 - 20$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|1)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 + 1$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 + 1$

= ${(x - 5)}^{2} - 24$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-24).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 + 1$ = $25 - 50 + 1$ = -24

also: S(5|-24).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

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