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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 3 y$ = $- 6$ .

Bestimme x so, dass (x|-2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 x + 3 \cdot (- 2)$ = $- 6$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 3 x + 3 \cdot (- 2)$	=	$- 6$
$- 3 x - 6$	=	$- 6$	\| $+ 6$
$- 3 x$	=	0	\|:( $- 3$ )
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 4 y$ = $- 7$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|4)
denn -3⋅( - 3 ) -4⋅4 = 9 -16 = $- 7$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|7)
denn -3⋅( - 7 ) -4⋅7 = 21 -28 = $- 7$

Oder : (1|1)
denn -3⋅1 -4⋅1 = -3 -4 = $- 7$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + y & = & 6 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $6$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 4 \cdot 6$	=	$12$
$- 2 x + 24$	=	$12$	\| $- 24$
$- 2 x$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & - 10 & (I) \\ 4 x & + y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & - 10 & (I) \\ 4 x & + y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$13$
$y + 4 x$	=	$13$	\| $- 4 x$
$y$	=	$13 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & - 10 & (I) \\ + y & = & (13 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $13 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 4 \cdot (13 - 4 x)$	=	$- 10$
$- 2 x - 52 + 16 x$	=	$- 10$
$14 x - 52$	=	$- 10$	\| $+ 52$
$14 x$	=	$42$	\|: $14$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $13 - 4 \cdot 3$

= $13 - 12$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (3|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & - 27 & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & 35 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & - 27 & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & 35 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 5 y$	=	$- 27$
$5 y + 3 x$	=	$- 27$	\| $- 3 x$
$5 y$	=	$- 27 - 3 x$	\|: $5$
$y$	=	$- \frac{27}{5} - \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{27}{5} - \frac{3}{5} x) & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & 35 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{27}{5} - \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 5 \cdot (- \frac{27}{5} - \frac{3}{5} x)$	=	$35$
$- 5 x + 27 + 3 x$	=	$35$
$- 2 x + 27$	=	$35$	\| $- 27$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{27}{5} - \frac{3}{5} \cdot (- 4)$

= $- \frac{27}{5} + \frac{12}{5}$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- x + y$	=	$- 7$			(I)
$- 3 y$	=	$2 x + 1$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- x + y$	=	$- 7$			(I)
$- 3 y$	=	$2 x + 1$	\| $- 2 x$		(II)

\begin{matrix} - x & + y & = & - 7 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x + y$	=	$- 7$
$y - x$	=	$- 7$	\| $+ x$
$y$	=	$- 7 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 7 + x) & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 7 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 3 \cdot (- 7 + x)$	=	$1$
$- 2 x + 21 - 3 x$	=	$1$
$- 5 x + 21$	=	$1$	\| $- 21$
$- 5 x$	=	$- 20$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 7 + 4$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +2y = ?

-7x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-3x +2y = 9 -8 = 1

-7x +2y = 21 -8 = 13

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +2y = 1

-7x +2y = 13

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 4 & (I) \\ - 5 x & - 2 y & = & 25 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 4 & (I) \\ - 5 x & - 2 y & = & 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x - y$	=	$- 4$
$- y + 3 x$	=	$- 4$	\| $- 3 x$
$- y$	=	$- 4 - 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$4 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (4 + 3 x) & (I) \\ - 5 x & - 2 y & = & 25 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 2 \cdot (4 + 3 x)$	=	$25$
$- 5 x - 8 - 6 x$	=	$25$
$- 11 x - 8$	=	$25$	\| $+ 8$
$- 11 x$	=	$33$	\|:( $- 11$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4 + 3 \cdot (- 3)$

= $4 - 9$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 239 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 5 Halogenleuchten zusammen 135 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 9 y & = & 239 & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 135 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 9 y$	=	$239$
$9 y + 7 x$	=	$239$	\| $- 7 x$
$9 y$	=	$239 - 7 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{239}{9} - \frac{7}{9} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{239}{9} - \frac{7}{9} x) & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 135 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{239}{9} - \frac{7}{9} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 5 \cdot (\frac{239}{9} - \frac{7}{9} x)$	=	$135$
$5 x + \frac{1195}{9} - \frac{35}{9} x$	=	$135$
$\frac{10}{9} x + \frac{1195}{9}$	=	$135$	\|⋅ 9
$9 (\frac{10}{9} x + \frac{1195}{9})$	=	$1 215$
$10 x + 1 195$	=	$1 215$	\| $- 1 195$
$10 x$	=	$20$	\|: $10$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{239}{9} - \frac{7}{9} \cdot 2$

= $\frac{239}{9} - \frac{14}{9}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (2|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-10) und B(2|17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-10): -10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|17): 17 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 -1b +c |-1
17 = 4 +2b +c |-4

-11 = -1b +c
13 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ 2 b & + c & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$13$
$c + 2 b$	=	$13$	\| $- 2 b$
$c$	=	$13 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (13 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (13 - 2 b)$	=	$- 11$
$- b + 13 - 2 b$	=	$- 11$
$- 3 b + 13$	=	$- 11$	\| $- 13$
$- 3 b$	=	$- 24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13 - 2 \cdot 8$

= $13 - 16$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-3)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-5) und B(-1|-1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-1): -1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
-1 = 1 -1b +c |-1

-6 = 1b +c
-2 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ - b & + c & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 2$
$c - b$	=	$- 2$	\| $+ b$
$c$	=	$- 2 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 2 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 2 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 2 + b)$	=	$- 6$
$b - 2 + b$	=	$- 6$
$2 b - 2$	=	$- 6$	\| $+ 2$
$2 b$	=	$- 4$	\|: $2$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 2 - 2$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 - 4$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 - 4$

= ${(x - 1)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 - 4$ = $1 - 2 - 4$ = -5

also: S(1|-5).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg