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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 4 y$ = $44$ .

Bestimme y so, dass (7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$4 \cdot 7 - 4 y$ = $44$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4 \cdot 7 - 4 y$	=	$44$
$28 - 4 y$	=	$44$
$- 4 y + 28$	=	$44$	\| $- 28$
$- 4 y$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (7|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 3 y$ = $26$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|-7)
denn 5⋅1 -3⋅( - 7 ) = 5 +21 = $26$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-12)
denn 5⋅( - 2 ) -3⋅( - 12 ) = -10 +36 = $26$

Oder : (4|-2)
denn 5⋅4 -3⋅( - 2 ) = 20 +6 = $26$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & = & - 5 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & = & - 5 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 5 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot 5 - 2 y$	=	$- 5$
$5 - 2 y$	=	$- 5$
$- 2 y + 5$	=	$- 5$	\| $- 5$
$- 2 y$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & - 10 & (I) \\ 3 x & + y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - y & = & - 10 & (I) \\ 3 x & + y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	0
$y + 3 x$	=	0	\| $- 3 x$
$y$	=	$- 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & - 10 & (I) \\ + y & = & - 3 x & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 3 x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 1 \cdot (- 3 x)$	=	$- 10$
$2 x + 3 x$	=	$- 10$
$5 x$	=	$- 10$	\|: $5$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 3 \cdot (- 2)$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & - 39 & (I) \\ 4 x & - y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & - 39 & (I) \\ 4 x & - y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x - y$	=	$26$
$- y + 4 x$	=	$26$	\| $- 4 x$
$- y$	=	$26 - 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 26 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & - 39 & (I) \\ + y & = & (- 26 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 26 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 4 \cdot (- 26 + 4 x)$	=	$- 39$
$- 3 x - 104 + 16 x$	=	$- 39$
$13 x - 104$	=	$- 39$	\| $+ 104$
$13 x$	=	$65$	\|: $13$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 26 + 4 \cdot 5$

= $- 26 + 20$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{2}{3} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{1}{6} & (I) \\ \frac{1}{4} x & + \frac{1}{5} y & = & - \frac{9}{20} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{2}{3} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{1}{6} & (I) \\ \frac{1}{4} x & + \frac{1}{5} y & = & - \frac{9}{20} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{2}{3} x + \frac{1}{2} y$	=	$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{2} y - \frac{2}{3} x$	=	$\frac{1}{6}$	\|⋅ 6
$6 (\frac{1}{2} y - \frac{2}{3} x)$	=	$1$
$3 y - 4 x$	=	$1$	\| $+ 4 x$
$3 y$	=	$1 + 4 x$	\|: $3$
$y$	=	$\frac{1}{3} + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{3} + \frac{4}{3} x) & (I) \\ \frac{1}{4} x & + \frac{1}{5} y & = & - \frac{9}{20} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{3} + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{4} x + \frac{1}{5} \cdot (\frac{1}{3} + \frac{4}{3} x)$	=	$- \frac{9}{20}$
$\frac{1}{4} x + \frac{1}{15} + \frac{4}{15} x$	=	$- \frac{9}{20}$
$\frac{31}{60} x + \frac{1}{15}$	=	$- \frac{9}{20}$	\|⋅ 60
$60 (\frac{31}{60} x + \frac{1}{15})$	=	$- 27$
$31 x + 4$	=	$- 27$	\| $- 4$
$31 x$	=	$- 31$	\|: $31$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{1}{3} + \frac{4}{3} \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{3} - \frac{4}{3}$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x -4y = ?

1x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-3x -4y = 6 -4 = 2

1x +3y = -2 +3 = 1

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x -4y = 2

1x +3y = 1

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 3 & (I) \\ - 8 x & - 16 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 3 & (I) \\ - 8 x & - 16 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 4 y$	=	$- 3$
$4 y + 2 x$	=	$- 3$	\| $- 2 x$
$4 y$	=	$- 3 - 2 x$	\|: $4$
$y$	=	$- \frac{3}{4} - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{3}{4} - \frac{1}{2} x) & (I) \\ - 8 x & - 16 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{3}{4} - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 8 x - 16 \cdot (- \frac{3}{4} - \frac{1}{2} x)$	=	$13$
$- 8 x + 12 + 8 x$	=	$13$
$12$	=	$13$	\| $- 12$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 8 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 156 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 114 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 8 y & = & 156 & (I) \\ 9 x & + 4 y & = & 114 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 8 y$	=	$156$
$8 y + 6 x$	=	$156$	\| $- 6 x$
$8 y$	=	$156 - 6 x$	\|: $8$
$y$	=	$\frac{39}{2} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{39}{2} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ 9 x & + 4 y & = & 114 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{39}{2} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9 x + 4 \cdot (\frac{39}{2} - \frac{3}{4} x)$	=	$114$
$9 x + 78 - 3 x$	=	$114$
$6 x + 78$	=	$114$	\| $- 78$
$6 x$	=	$36$	\|: $6$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{39}{2} - \frac{3}{4} \cdot 6$

= $\frac{39}{2} - \frac{9}{2}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (6|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|1) und B(4|22) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|1): 1 = 1² + b⋅1 +c

B(4|22): 22 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 +1b +c |-1
22 = 16 +4b +c |-16

0 = 1b +c
6 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ 4 b & + c & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$6$
$c + 4 b$	=	$6$	\| $- 4 b$
$c$	=	$6 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (6 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (6 - 4 b)$	=	0
$b + 6 - 4 b$	=	0
$- 3 b + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 3 b$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6 - 4 \cdot 2$

= $6 - 8$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|8) und B(4|35) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(4|35): 35 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
35 = 16 +4b +c |-16

7 = 1b +c
19 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ 4 b & + c & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$19$
$c + 4 b$	=	$19$	\| $- 4 b$
$c$	=	$19 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (19 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $19 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (19 - 4 b)$	=	$7$
$b + 19 - 4 b$	=	$7$
$- 3 b + 19$	=	$7$	\| $- 19$
$- 3 b$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $19 - 4 \cdot 4$

= $19 - 16$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 + 3$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 + 3$

= ${(x + 2)}^{2} - 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 3$ = $4 - 8 + 3$ = -1

also: S(-2|-1).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg