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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 3 y$ = $30$ .

Bestimme x so, dass (x|-3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$3 x - 3 \cdot (- 3)$ = $30$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (- 3)$	=	$30$
$3 x + 9$	=	$30$	\| $- 9$
$3 x$	=	$21$	\|: $3$
$x$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (7|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 4 y$ = $- 10$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|3)
denn -1⋅( - 2 ) -4⋅3 = 2 -12 = $- 10$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|4)
denn -1⋅( - 6 ) -4⋅4 = 6 -16 = $- 10$

Oder : (2|2)
denn -1⋅2 -4⋅2 = -2 -8 = $- 10$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & = & - 6 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & = & - 6 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 3 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 3) + 3 y$	=	$- 12$
$- 6 + 3 y$	=	$- 12$
$3 y - 6$	=	$- 12$	\| $+ 6$
$3 y$	=	$- 6$	\|: $3$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 11 & (I) \\ - x & - 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 11 & (I) \\ - x & - 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$- 9$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$- 9 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$9 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 11 & (I) \\ x & = & (9 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $9 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (9 - 3 y) + 4 y$	=	$11$
$9 - 3 y + 4 y$	=	$11$
$y + 9$	=	$11$	\| $- 9$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $9 - 3 \cdot 2$

= $9 - 6$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 4 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 4 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 4$
$y - 4 x$	=	$- 4$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 4 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 4 + 4 x) & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 4 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 5 \cdot (- 4 + 4 x)$	=	$- 5$
$- 5 x - 20 + 20 x$	=	$- 5$
$15 x - 20$	=	$- 5$	\| $+ 20$
$15 x$	=	$15$	\|: $15$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 4 + 4 \cdot 1$

= $- 4 + 4$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (1|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$4 x + 5$	=	$37 - 4 y$			(I)
$5 (x - y)$	=	$20$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$4 x + 5$	=	$37 - 4 y$			(I)
$5 (x - y)$	=	$20$			(II)

$4 x + 5$	=	$37 - 4 y$	\| $- 5 + 4 y$		(I)
$5 x - 5 y$	=	$20$			(II)

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 32 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 4 y$	=	$32$
$4 y + 4 x$	=	$32$	\| $- 4 x$
$4 y$	=	$32 - 4 x$	\|: $4$
$y$	=	$8 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (8 - x) & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $8 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 5 \cdot (8 - x)$	=	$20$
$5 x - 40 + 5 x$	=	$20$
$10 x - 40$	=	$20$	\| $+ 40$
$10 x$	=	$60$	\|: $10$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $8 - 6$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -3y = ?

-1x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

2x -3y = 6 -12 = -6

-1x +5y = -3 +20 = 17

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -3y = -6

-1x +5y = 17

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ - 4 x & - 8 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ - 4 x & - 8 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$2$	\| $- 2 y$
$x$	=	$2 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (2 - 2 y) & (I) \\ - 4 x & - 8 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $2 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (2 - 2 y) - 8 y$	=	$- 8$
$- 8 + 8 y - 8 y$	=	$- 8$
$- 8$	=	$- 8$	\| $+ 8$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 3 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 86 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 2 Halogenleuchten zusammen 50 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 86 & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & 50 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 4 y$	=	$86$
$4 y + 3 x$	=	$86$	\| $- 3 x$
$4 y$	=	$86 - 3 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{43}{2} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{43}{2} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & 50 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{43}{2} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 2 \cdot (\frac{43}{2} - \frac{3}{4} x)$	=	$50$
$5 x + 43 - \frac{3}{2} x$	=	$50$
$\frac{7}{2} x + 43$	=	$50$	\|⋅ 2
$2 (\frac{7}{2} x + 43)$	=	$100$
$7 x + 86$	=	$100$	\| $- 86$
$7 x$	=	$14$	\|: $7$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{43}{2} - \frac{3}{4} \cdot 2$

= $\frac{43}{2} - \frac{3}{2}$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (2|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|8) und B(3|28) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(3|28): 28 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
28 = 9 +3b +c |-9

7 = 1b +c
19 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ 3 b & + c & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$19$
$c + 3 b$	=	$19$	\| $- 3 b$
$c$	=	$19 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (19 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $19 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (19 - 3 b)$	=	$7$
$b + 19 - 3 b$	=	$7$
$- 2 b + 19$	=	$7$	\| $- 19$
$- 2 b$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $19 - 3 \cdot 6$

= $19 - 18$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-5) und B(-2|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-4): -4 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 -1b +c |-1
-4 = 4 -2b +c |-4

-6 = -1b +c
-8 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 8$
$c - 2 b$	=	$- 8$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 8 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 8 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 8 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 8 + 2 b)$	=	$- 6$
$- b - 8 + 2 b$	=	$- 6$
$b - 8$	=	$- 6$	\| $+ 8$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 8 + 2 \cdot 2$

= $- 8 + 4$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 4$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 4$

= ${(x + 1)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 4$ = $1 - 2 - 4$ = -5

also: S(-1|-5).

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg