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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 3 y$ = $6$ .

Bestimme x so, dass (x|4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 x + 3 \cdot 4$ = $6$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 3 x + 3 \cdot 4$	=	$6$
$- 3 x + 12$	=	$6$	\| $- 12$
$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (2|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 3 y$ = $- 11$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|7)
denn 5⋅2 -3⋅7 = 10 -21 = $- 11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|2)
denn 5⋅( - 1 ) -3⋅2 = -5 -6 = $- 11$

Oder : (5|12)
denn 5⋅5 -3⋅12 = 25 -36 = $- 11$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + y & = & 2 & (I) \\ - x & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + y & = & 2 & (I) \\ - x & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + y & = & 2 & (I) \\ x & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 1) + y$	=	$2$
$1 + y$	=	$2$
$y + 1$	=	$2$	\| $- 1$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 10 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 10 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$10$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$10 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (10 + 2 y) & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $10 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (10 + 2 y) + 2 y$	=	$- 2$
$30 + 6 y + 2 y$	=	$- 2$
$8 y + 30$	=	$- 2$	\| $- 30$
$8 y$	=	$- 32$	\|: $8$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $10 + 2 \cdot (- 4)$

= $10 - 8$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 36 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 36 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 3 y$	=	$36$
$3 y - 3 x$	=	$36$	\| $+ 3 x$
$3 y$	=	$36 + 3 x$	\|: $3$
$y$	=	$12 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (12 + x) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $12 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (12 + x)$	=	$- 30$
$2 x - 36 - 3 x$	=	$- 30$
$- x - 36$	=	$- 30$	\| $+ 36$
$- x$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $12 - 6$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - \frac{3}{2} y & = & - \frac{27}{2} & (I) \\ \frac{3}{5} x & + \frac{3}{4} y & = & \frac{51}{20} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - \frac{3}{2} y & = & - \frac{27}{2} & (I) \\ \frac{3}{5} x & + \frac{3}{4} y & = & \frac{51}{20} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - \frac{3}{2} y$	=	$- \frac{27}{2}$
$- \frac{3}{2} y + 3 x$	=	$- \frac{27}{2}$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{3}{2} y + 3 x)$	=	$- 27$
$- 3 y + 6 x$	=	$- 27$	\| $- 6 x$
$- 3 y$	=	$- 27 - 6 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$9 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (9 + 2 x) & (I) \\ \frac{3}{5} x & + \frac{3}{4} y & = & \frac{51}{20} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $9 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{5} x + \frac{3}{4} \cdot (9 + 2 x)$	=	$\frac{51}{20}$
$\frac{3}{5} x + \frac{27}{4} + \frac{3}{2} x$	=	$\frac{51}{20}$
$\frac{21}{10} x + \frac{27}{4}$	=	$\frac{51}{20}$	\|⋅ 20
$20 (\frac{21}{10} x + \frac{27}{4})$	=	$51$
$42 x + 135$	=	$51$	\| $- 135$
$42 x$	=	$- 84$	\|: $42$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $9 + 2 \cdot (- 2)$

= $9 - 4$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -2y = ?

-4x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-2x -2y = 8 +4 = 12

-4x -2y = 16 +4 = 20

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -2y = 12

-4x -2y = 20

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 5 & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 40 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 5 & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 40 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$5$	\| $- 2 y$
$x$	=	$5 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (5 - 2 y) & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 40 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $5 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 5 \cdot (5 - 2 y) + 3 y$	=	$40$
$- 25 + 10 y + 3 y$	=	$40$
$13 y - 25$	=	$40$	\| $+ 25$
$13 y$	=	$65$	\|: $13$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $5 - 2 \cdot 5$

= $5 - 10$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 8 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 352 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 140 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 8 x & + 8 y & = & 352 & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 140 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x + 8 y$	=	$352$
$8 y + 8 x$	=	$352$	\| $- 8 x$
$8 y$	=	$352 - 8 x$	\|: $8$
$y$	=	$44 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (44 - x) & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 140 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $44 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 3 \cdot (44 - x)$	=	$140$
$5 x + 132 - 3 x$	=	$140$
$2 x + 132$	=	$140$	\| $- 132$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $44 - 4$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (4|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|15) und B(4|60) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|15): 15 = 1² + b⋅1 +c

B(4|60): 60 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
15 = 1 +1b +c |-1
60 = 16 +4b +c |-16

14 = 1b +c
44 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 14 & (I) \\ 4 b & + c & = & 44 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$44$
$c + 4 b$	=	$44$	\| $- 4 b$
$c$	=	$44 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 14 & (I) \\ + c & = & (44 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $44 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (44 - 4 b)$	=	$14$
$b + 44 - 4 b$	=	$14$
$- 3 b + 44$	=	$14$	\| $- 44$
$- 3 b$	=	$- 30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $44 - 4 \cdot 10$

= $44 - 40$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|4)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-2) und B(1|2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 -1b +c |-1
2 = 1 +1b +c |-1

-3 = -1b +c
1 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ b & + c & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$1$
$c + b$	=	$1$	\| $- b$
$c$	=	$1 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (1 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $1 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (1 - b)$	=	$- 3$
$- b + 1 - b$	=	$- 3$
$- 2 b + 1$	=	$- 3$	\| $- 1$
$- 2 b$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $1 - 2$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 1$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 1$

= ${(x + 1)}^{2} - 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 1$ = $1 - 2 - 1$ = -2

also: S(-1|-2).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg