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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 2 y$ = $17$ .

Bestimme x so, dass (x|6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$x + 2 \cdot 6$ = $17$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x + 2 \cdot 6$	=	$17$
$x + 12$	=	$17$	\| $- 12$
$x$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (5|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 2 y$ = $- 18$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|6)
denn 3⋅( - 2 ) -2⋅6 = -6 -12 = $- 18$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|3)
denn 3⋅( - 4 ) -2⋅3 = -12 -6 = $- 18$

Oder : (0|9)
denn 3⋅0 -2⋅9 = 0 -18 = $- 18$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 6 & (I) \\ + 3 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 6 & (I) \\ + 3 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$18$	\|: $3$
$y$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 6 & (I) \\ + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 1 \cdot 6$	=	$6$
$- 4 x - 6$	=	$6$	\| $+ 6$
$- 4 x$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 11 & (I) \\ - 3 x & + y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 11 & (I) \\ - 3 x & + y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$- 13$
$y - 3 x$	=	$- 13$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$- 13 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 11 & (I) \\ + y & = & (- 13 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 13 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 1 \cdot (- 13 + 3 x)$	=	$11$
$3 x - 13 + 3 x$	=	$11$
$6 x - 13$	=	$11$	\| $+ 13$
$6 x$	=	$24$	\|: $6$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 13 + 3 \cdot 4$

= $- 13 + 12$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & 3 & (I) \\ - 4 x & + 5 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & 3 & (I) \\ - 4 x & + 5 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 2 y$	=	$3$	\| $- 2 y$
$- x$	=	$3 - 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 3 + 2 y) & (I) \\ - 4 x & + 5 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 3 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 3 + 2 y) + 5 y$	=	$12$
$12 - 8 y + 5 y$	=	$12$
$- 3 y + 12$	=	$12$	\| $- 12$
$- 3 y$	=	0	\|:( $- 3$ )
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 3 + 2 \cdot (0)$

= $- 3 + 0$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - \frac{1}{2} y & = & 7 & (I) \\ - \frac{3}{2} x & - \frac{3}{5} y & = & - \frac{39}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - \frac{1}{2} y & = & 7 & (I) \\ - \frac{3}{2} x & - \frac{3}{5} y & = & - \frac{39}{5} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - \frac{1}{2} y$	=	$7$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} y)$	=	$14$
$2 x - y$	=	$14$	\| $+ y$
$2 x$	=	$14 + y$	\|: $2$
$x$	=	$7 + \frac{1}{2} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (7 + \frac{1}{2} y) & (I) \\ - \frac{3}{2} x & - \frac{3}{5} y & = & - \frac{39}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7 + \frac{1}{2} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- \frac{3}{2} \cdot (7 + \frac{1}{2} y) - \frac{3}{5} y$	=	$- \frac{39}{5}$
$- \frac{21}{2} - \frac{3}{4} y - \frac{3}{5} y$	=	$- \frac{39}{5}$
$- \frac{27}{20} y - \frac{21}{2}$	=	$- \frac{39}{5}$	\|⋅ 20
$20 (- \frac{27}{20} y - \frac{21}{2})$	=	$- 156$
$- 27 y - 210$	=	$- 156$	\| $+ 210$
$- 27 y$	=	$54$	\|:( $- 27$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7 + \frac{1}{2} \cdot (- 2)$

= $7 - 1$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -5y = ?

-6x -14y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-2x -5y = 2 +15 = 17

-6x -14y = 6 +42 = 48

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -5y = 17

-6x -14y = 48

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 8 x & - 4 y & = & 2 & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 8 x & - 4 y & = & 2 & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 8 x - 4 y$	=	$2$
$- 4 y - 8 x$	=	$2$	\| $+ 8 x$
$- 4 y$	=	$2 + 8 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{1}{2} - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{2} - 2 x) & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{2} - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 2 \cdot (- \frac{1}{2} - 2 x)$	=	$- 2$
$4 x - 1 - 4 x$	=	$- 2$
$- 1$	=	$- 2$	\| $+ 1$
0	=	$- 1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 840 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1380 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & 840 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 1380 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 2 y$	=	$840$
$- 2 y + 3 x$	=	$840$	\| $- 3 x$
$- 2 y$	=	$840 - 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 420 + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 420 + \frac{3}{2} x) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 1380 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 420 + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 4 \cdot (- 420 + \frac{3}{2} x)$	=	$1380$
$5 x + 1 680 - 6 x$	=	$1380$
$- x + 1 680$	=	$1380$	\| $- 1 680$
$- x$	=	$- 300$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 420 + \frac{3}{2} \cdot 300$

= $- 420 + 450$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-6) und B(3|-18) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-18): -18 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
-18 = 9 +3b +c |-9

-7 = 1b +c
-27 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 27$
$c + 3 b$	=	$- 27$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 27 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 27 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 27 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 27 - 3 b)$	=	$- 7$
$b - 27 - 3 b$	=	$- 7$
$- 2 b - 27$	=	$- 7$	\| $+ 27$
$- 2 b$	=	$20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 27 - 3 \cdot (- 10)$

= $- 27 + 30$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|12) und B(4|45) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|12): 12 = 1² + b⋅1 +c

B(4|45): 45 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 +1b +c |-1
45 = 16 +4b +c |-16

11 = 1b +c
29 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ 4 b & + c & = & 29 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$29$
$c + 4 b$	=	$29$	\| $- 4 b$
$c$	=	$29 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ + c & = & (29 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $29 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (29 - 4 b)$	=	$11$
$b + 29 - 4 b$	=	$11$
$- 3 b + 29$	=	$11$	\| $- 29$
$- 3 b$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $29 - 4 \cdot 6$

= $29 - 24$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 5$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 5$

= ${(x + 3)}^{2} - 4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 5$ = $9 - 18 + 5$ = -4

also: S(-3|-4).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg