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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 5x +2y = -19 .

Bestimme x so, dass (x|-7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:

5x +2( -7 ) = -19

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

5x +2( -7 ) = -19
5x -14 = -19 | +14
5x = -5 |:5
x = -1

Die Lösung ist somit: (-1|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -3x - y = -18 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|6)
denn -3⋅4 -16 = -12 -6 = -18

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|9)
denn -3⋅3 -19 = -9 -9 = -18

Oder : (5|3)
denn -3⋅5 -13 = -15 -3 = -18

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-x +2y = -9 (I) -3y = 15 (II)

Lösung einblenden
-x +2y = -9 (I) -3y = 15 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

-3y = 15 |:(-3 )
y = -5

Als neues LGS erhält man so:

-x +2y = -9 (I) +y = -5 (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch -5 ersetzen und dann nach x auflösen:

-x + 2 · ( -5 ) = -9
-x -10 = -9 | +10
-x = 1 |:(-1 )
x = -1

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

x +2y = 9 (I) -2x -3y = -13 (II)

Lösung einblenden
x +2y = 9 (I) -2x -3y = -13 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +2y = 9 | -2y
x = 9 -2y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 9 -2y ) (I) -2x -3y = -13 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 9 -2y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-2 · ( 9 -2y ) -3y = -13
-18 +4y -3y = -13
y -18 = -13 | +18
y = 5

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 9 -25

= 9 -10

= -1

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

3x +3y = 24 (I) 3x +4y = 30 (II)

Lösung einblenden
3x +3y = 24 (I) 3x +4y = 30 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

3x +3y = 24
3y +3x = 24 | -3x
3y = 24 -3x |:3
y = 8 - x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 8 - x ) (I) 3x +4y = 30 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 8 - x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

3x + 4 · ( 8 - x ) = 30
3x +32 -4x = 30
-x +32 = 30 | -32
-x = -2 |:(-1 )
x = 2

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 8 - 2

= 6

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-3x +2y = 6 (I)
5x +8 = 3y (II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

-3x +2y = 6 (I)
5x +8 = 3y | -8 -3y (II)
-3x +2y = 6 (I) 5x -3y = -8 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

-3x +2y = 6
2y -3x = 6 | +3x
2y = 6 +3x |:2
y = 3 + 3 2 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 3 + 3 2 x ) (I) 5x -3y = -8 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 3 + 3 2 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

5x -3 · ( 3 + 3 2 x ) = -8
5x -9 - 9 2 x = -8
1 2 x -9 = -8 |⋅ 2
2( 1 2 x -9 ) = -16
x -18 = -16 | +18
x = 2

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 3 + 3 2 2

= 3 +3

= 6

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x -3y = ?

-1x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-3x -3y = 3 -9 = -6

-1x +1y = 1 +3 = 4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x -3y = -6

-1x +1y = 4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

5x -4y = -10 (I) x +y = 7 (II)

Lösung einblenden
5x -4y = -10 (I) x +y = 7 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

x + y = 7
y + x = 7 | - x
y = 7 - x

Als neues LGS erhält man so:

5x -4y = -10 (I) +y = ( 7 - x ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( 7 - x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

5x -4 · ( 7 - x ) = -10
5x -28 +4x = -10
9x -28 = -10 | +28
9x = 18 |:9
x = 2

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = 7 - 2

= 5

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 5. Wenn man aber vom 5-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 4. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

x +3y = 5 (I) 5x -6y = 4 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +3y = 5 | -3y
x = 5 -3y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 5 -3y ) (I) 5x -6y = 4 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 5 -3y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

5 · ( 5 -3y ) -6y = 4
25 -15y -6y = 4
-21y +25 = 4 | -25
-21y = -21 |:(-21 )
y = 1

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 5 -31

= 5 -3

= 2

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 1