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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + y$ = $2$ .

Bestimme x so, dass (x|3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$- x + 3$ = $2$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- x + 3$	=	$2$
$- x + 3$	=	$2$	\| $- 3$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (1|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 3 y$ = $- 21$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-2)
denn -3⋅5 +3⋅( - 2 ) = -15 -6 = $- 21$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|1)
denn -3⋅8 +3⋅1 = -24 +3 = $- 21$

Oder : (2|-5)
denn -3⋅2 +3⋅( - 5 ) = -6 -15 = $- 21$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 26 & (I) \\ - 4 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 26 & (I) \\ - 4 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$- 24$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 26 & (I) \\ + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 3 \cdot 6$	=	$- 26$
$- 4 x - 18$	=	$- 26$	\| $+ 18$
$- 4 x$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 14 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 14 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$- 14$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$- 14 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 14 + 4 y) & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 14 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 14 + 4 y) - 3 y$	=	$12$
$42 - 12 y - 3 y$	=	$12$
$- 15 y + 42$	=	$12$	\| $- 42$
$- 15 y$	=	$- 30$	\|:( $- 15$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 14 + 4 \cdot 2$

= $- 14 + 8$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - y & = & - 6 & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & - y & = & - 6 & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$5 x - y$	=	$- 6$
$- y + 5 x$	=	$- 6$	\| $- 5 x$
$- y$	=	$- 6 - 5 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$6 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (6 + 5 x) & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $6 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 3 \cdot (6 + 5 x)$	=	$8$
$- 5 x + 18 + 15 x$	=	$8$
$10 x + 18$	=	$8$	\| $- 18$
$10 x$	=	$- 10$	\|: $10$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $6 + 5 \cdot (- 1)$

= $6 - 5$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 2 (x + 15)$	=	$- 4 y$			(I)
$- x - 18$	=	$- 5 (x + y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 2 (x + 15)$	=	$- 4 y$			(I)
$- x - 18$	=	$- 5 (x + y)$			(II)

$- 2 x - 30$	=	$- 4 y$	\| + $30 + 4 y$		(I)
$- x - 18$	=	$- 5 x - 5 y$	\| + $18 + 5 x + 5 y$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 30 & (I) \\ 4 x & + 5 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 4 y$	=	$30$
$4 y - 2 x$	=	$30$	\| $+ 2 x$
$4 y$	=	$30 + 2 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{15}{2} + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{15}{2} + \frac{1}{2} x) & (I) \\ 4 x & + 5 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{15}{2} + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 5 \cdot (\frac{15}{2} + \frac{1}{2} x)$	=	$18$
$4 x + \frac{75}{2} + \frac{5}{2} x$	=	$18$
$\frac{13}{2} x + \frac{75}{2}$	=	$18$	\|⋅ 2
$2 (\frac{13}{2} x + \frac{75}{2})$	=	$36$
$13 x + 75$	=	$36$	\| $- 75$
$13 x$	=	$- 39$	\|: $13$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{15}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 3)$

= $\frac{15}{2} - \frac{3}{2}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +3y = ?

-7x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-4x +3y = 4 -15 = -11

-7x +6y = 7 -30 = -23

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +3y = -11

-7x +6y = -23

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 16 x & + 4 y & = & - 1 & (I) \\ - 4 x & - y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 16 x & + 4 y & = & - 1 & (I) \\ - 4 x & - y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x - y$	=	$1$
$- y - 4 x$	=	$1$	\| $+ 4 x$
$- y$	=	$1 + 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 1 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 16 x & + 4 y & = & - 1 & (I) \\ + y & = & (- 1 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 1 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$16 x + 4 \cdot (- 1 - 4 x)$	=	$- 1$
$16 x - 4 - 16 x$	=	$- 1$
$- 4$	=	$- 1$	\| $+ 4$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 8 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 165 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 8 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 130 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 9 x & + 8 y & = & 165 & (I) \\ 8 x & + 6 y & = & 130 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9 x + 8 y$	=	$165$
$8 y + 9 x$	=	$165$	\| $- 9 x$
$8 y$	=	$165 - 9 x$	\|: $8$
$y$	=	$\frac{165}{8} - \frac{9}{8} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{165}{8} - \frac{9}{8} x) & (I) \\ 8 x & + 6 y & = & 130 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{165}{8} - \frac{9}{8} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 6 \cdot (\frac{165}{8} - \frac{9}{8} x)$	=	$130$
$8 x + \frac{495}{4} - \frac{27}{4} x$	=	$130$
$\frac{5}{4} x + \frac{495}{4}$	=	$130$	\|⋅ 4
$4 (\frac{5}{4} x + \frac{495}{4})$	=	$520$
$5 x + 495$	=	$520$	\| $- 495$
$5 x$	=	$25$	\|: $5$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{165}{8} - \frac{9}{8} \cdot 5$

= $\frac{165}{8} - \frac{45}{8}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (5|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-6) und B(2|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-7): -7 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
-7 = 4 +2b +c |-4

-7 = 1b +c
-11 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 11$
$c + 2 b$	=	$- 11$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 11 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 11 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 11 - 2 b)$	=	$- 7$
$b - 11 - 2 b$	=	$- 7$
$- b - 11$	=	$- 7$	\| $+ 11$
$- b$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 11 + 8$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-3) und B(-3|-11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-11): -11 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 -1b +c |-1
-11 = 9 -3b +c |-9

-4 = -1b +c
-20 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 20$
$c - 3 b$	=	$- 20$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 20 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (- 20 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 20 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 20 + 3 b)$	=	$- 4$
$- b - 20 + 3 b$	=	$- 4$
$2 b - 20$	=	$- 4$	\| $+ 20$
$2 b$	=	$16$	\|: $2$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 20 + 3 \cdot 8$

= $- 20 + 24$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|4)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 + 4$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 + 4$

= ${(x + 4)}^{2} - 12$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-12).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) + 4$ = $16 - 32 + 4$ = -12

also: S(-4|-12).

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1. Weg

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