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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 2 y$ = $2$ .

Bestimme x so, dass (x|-2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 x - 2 \cdot (- 2)$ = $2$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 2 x - 2 \cdot (- 2)$	=	$2$
$- 2 x + 4$	=	$2$	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (1|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 3 y$ = $11$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|3)
denn -1⋅( - 2 ) +3⋅3 = 2 +9 = $11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|4)
denn -1⋅1 +3⋅4 = -1 +12 = $11$

Oder : (-5|2)
denn -1⋅( - 5 ) +3⋅2 = 5 +6 = $11$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 y & = & 16 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 y & = & 16 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 4 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 4 \cdot (- 4)$	=	$- 19$
$x - 16$	=	$- 19$	\| $+ 16$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 3 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 3 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$3$	\| $- 3 y$
$x$	=	$3 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (3 - 3 y) & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $3 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (3 - 3 y) + 3 y$	=	$- 3$
$6 - 6 y + 3 y$	=	$- 3$
$- 3 y + 6$	=	$- 3$	\| $- 6$
$- 3 y$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $3 - 3 \cdot 3$

= $3 - 9$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 10 & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 10 & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 2 y$	=	$- 10$
$2 y - 4 x$	=	$- 10$	\| $+ 4 x$
$2 y$	=	$- 10 + 4 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 5 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 5 + 2 x) & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 5 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 3 \cdot (- 5 + 2 x)$	=	$- 11$
$- 4 x - 15 + 6 x$	=	$- 11$
$2 x - 15$	=	$- 11$	\| $+ 15$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5 + 2 \cdot 2$

= $- 5 + 4$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 27 + 4 y$	=	$3 x$			(I)
$14 - 3 y$	=	$4 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 27 + 4 y$	=	$3 x$	\| + $27 - 3 x$		(I)
$14 - 3 y$	=	$4 x$	\| $- 14 - 4 x$		(II)

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 27 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 4 y$	=	$27$
$4 y - 3 x$	=	$27$	\| $+ 3 x$
$4 y$	=	$27 + 3 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{27}{4} + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{27}{4} + \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{27}{4} + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 3 \cdot (\frac{27}{4} + \frac{3}{4} x)$	=	$- 14$
$- 4 x - \frac{81}{4} - \frac{9}{4} x$	=	$- 14$
$- \frac{25}{4} x - \frac{81}{4}$	=	$- 14$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{25}{4} x - \frac{81}{4})$	=	$- 56$
$- 25 x - 81$	=	$- 56$	\| $+ 81$
$- 25 x$	=	$25$	\|:( $- 25$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{27}{4} + \frac{3}{4} \cdot (- 1)$

= $\frac{27}{4} - \frac{3}{4}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +3y = ?

-2x -6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

2x +3y = -8 +6 = -2

-2x -6y = 8 -12 = -4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +3y = -2

-2x -6y = -4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 2 & (I) \\ - 16 x & + 12 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 2 & (I) \\ - 16 x & + 12 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 3 y$	=	$- 2$
$- 3 y + 4 x$	=	$- 2$	\| $- 4 x$
$- 3 y$	=	$- 2 - 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$\frac{2}{3} + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{2}{3} + \frac{4}{3} x) & (I) \\ - 16 x & + 12 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{2}{3} + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 16 x + 12 \cdot (\frac{2}{3} + \frac{4}{3} x)$	=	$7$
$- 16 x + 8 + 16 x$	=	$7$
$8$	=	$7$	\| $- 8$
0	=	$- 1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 20. Wenn man aber vom 2-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -2. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 6 y & = & 20 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 6 y$	=	$20$	\| $- 6 y$
$x$	=	$20 - 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (20 - 6 y) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $20 - 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (20 - 6 y) - 2 y$	=	$- 2$
$40 - 12 y - 2 y$	=	$- 2$
$- 14 y + 40$	=	$- 2$	\| $- 40$
$- 14 y$	=	$- 42$	\|:( $- 14$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $20 - 6 \cdot 3$

= $20 - 18$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 3

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|9) und B(-4|54) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|54): 54 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 -1b +c |-1
54 = 16 -4b +c |-16

8 = -1b +c
38 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 38 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$38$
$c - 4 b$	=	$38$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$38 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (38 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $38 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (38 + 4 b)$	=	$8$
$- b + 38 + 4 b$	=	$8$
$3 b + 38$	=	$8$	\| $- 38$
$3 b$	=	$- 30$	\|: $3$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $38 + 4 \cdot (- 10)$

= $38 - 40$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-2)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-5) und B(3|-17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-17): -17 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
-17 = 9 +3b +c |-9

-6 = 1b +c
-26 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 26$
$c + 3 b$	=	$- 26$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 26 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 26 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 26 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 26 - 3 b)$	=	$- 6$
$b - 26 - 3 b$	=	$- 6$
$- 2 b - 26$	=	$- 6$	\| $+ 26$
$- 2 b$	=	$20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 26 - 3 \cdot (- 10)$

= $- 26 + 30$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|4)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 + 4$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 + 4$

= ${(x - 5)}^{2} - 21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 + 4$ = $25 - 50 + 4$ = -21

also: S(5|-21).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg