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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - y$ = $5$ .

Bestimme x so, dass (x|4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$3 x - 4$ = $5$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3 x - 4$	=	$5$
$3 x - 4$	=	$5$	\| $+ 4$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 2 y$ = $- 22$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|-2)
denn -3⋅6 +2⋅( - 2 ) = -18 -4 = $- 22$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|1)
denn -3⋅8 +2⋅1 = -24 +2 = $- 22$

Oder : (4|-5)
denn -3⋅4 +2⋅( - 5 ) = -12 -10 = $- 22$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & = & 1 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $1$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot 1 - 4 y$	=	$- 21$
$3 - 4 y$	=	$- 21$
$- 4 y + 3$	=	$- 21$	\| $- 3$
$- 4 y$	=	$- 24$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 17 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 17 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$7$
$y - 2 x$	=	$7$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$7 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 17 & (I) \\ + y & = & (7 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $7 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 1 \cdot (7 + 2 x)$	=	$17$
$- 4 x - 7 - 2 x$	=	$17$
$- 6 x - 7$	=	$17$	\| $+ 7$
$- 6 x$	=	$24$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $7 + 2 \cdot (- 4)$

= $7 - 8$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 14 & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 14 & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 4 y$	=	$14$
$- 4 y - 2 x$	=	$14$	\| $+ 2 x$
$- 4 y$	=	$14 + 2 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{7}{2} - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{7}{2} - \frac{1}{2} x) & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{7}{2} - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 5 \cdot (- \frac{7}{2} - \frac{1}{2} x)$	=	$- 17$
$2 x - \frac{35}{2} - \frac{5}{2} x$	=	$- 17$
$- \frac{1}{2} x - \frac{35}{2}$	=	$- 17$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x - \frac{35}{2})$	=	$- 34$
$- x - 35$	=	$- 34$	\| $+ 35$
$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{7}{2} - \frac{1}{2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{7}{2} + \frac{1}{2}$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- x + 3 y$	=	$- 3$			(I)
$- 2 x$	=	$- 3 x + 2 (2 + y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- x + 3 y$	=	$- 3$			(I)
$- 2 x$	=	$- 3 x + 2 (2 + y)$			(II)

$- x + 3 y$	=	$- 3$			(I)
$- 2 x$	=	$- 3 x + 4 + 2 y$	\| + $3 x - 2 y$		(II)

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & - 3 & (I) \\ x & - 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$4$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$4 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & - 3 & (I) \\ x & = & (4 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $4 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (4 + 2 y) + 3 y$	=	$- 3$
$- 4 - 2 y + 3 y$	=	$- 3$
$y - 4$	=	$- 3$	\| $+ 4$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $4 + 2 \cdot 1$

= $4 + 2$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +2y = ?

-8x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-5x +2y = -20 -8 = -28

-8x +4y = -32 -16 = -48

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +2y = -28

-8x +4y = -48

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 8 x & + 8 y & = & - 4 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 8 x & + 8 y & = & - 4 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 8 x + 8 y$	=	$- 4$
$8 y - 8 x$	=	$- 4$	\| $+ 8 x$
$8 y$	=	$- 4 + 8 x$	\|: $8$
$y$	=	$- \frac{1}{2} + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{2} + x) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{2} + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot (- \frac{1}{2} + x)$	=	$1$
$2 x + 1 - 2 x$	=	$1$
$1$	=	$1$	\| $- 1$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 3 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 2 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 45 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 2 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 100 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & 45 & (I) \\ 2 x & + 6 y & = & 100 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 2 y$	=	$45$
$2 y + 3 x$	=	$45$	\| $- 3 x$
$2 y$	=	$45 - 3 x$	\|: $2$
$y$	=	$\frac{45}{2} - \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{45}{2} - \frac{3}{2} x) & (I) \\ 2 x & + 6 y & = & 100 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{45}{2} - \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 6 \cdot (\frac{45}{2} - \frac{3}{2} x)$	=	$100$
$2 x + 135 - 9 x$	=	$100$
$- 7 x + 135$	=	$100$	\| $- 135$
$- 7 x$	=	$- 35$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{45}{2} - \frac{3}{2} \cdot 5$

= $\frac{45}{2} - \frac{15}{2}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (5|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-8) und B(2|-13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-8): -8 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-13): -13 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 +1b +c |-1
-13 = 4 +2b +c |-4

-9 = 1b +c
-17 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 17$
$c + 2 b$	=	$- 17$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 17 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ + c & = & (- 17 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 17 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 17 - 2 b)$	=	$- 9$
$b - 17 - 2 b$	=	$- 9$
$- b - 17$	=	$- 9$	\| $+ 17$
$- b$	=	$8$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 17 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 17 + 16$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-1)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-10) und B(-4|-25) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-10): -10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-25): -25 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 -1b +c |-1
-25 = 16 -4b +c |-16

-11 = -1b +c
-41 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 41 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 41$
$c - 4 b$	=	$- 41$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 41 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (- 41 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 41 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 41 + 4 b)$	=	$- 11$
$- b - 41 + 4 b$	=	$- 11$
$3 b - 41$	=	$- 11$	\| $+ 41$
$3 b$	=	$30$	\|: $3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 41 + 4 \cdot 10$

= $- 41 + 40$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-1)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 1$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 1$

= ${(x + 5)}^{2} - 26$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-26).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 1$ = $25 - 50 - 1$ = -26

also: S(-5|-26).

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Wert zum Einsetzen finden

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

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LGS zu Lösungen finden

LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg