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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 4 y$ = $- 21$ .

Bestimme y so, dass (1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$- 1 - 4 y$ = $- 21$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 1 - 4 y$	=	$- 21$
$- 1 - 4 y$	=	$- 21$
$- 4 y - 1$	=	$- 21$	\| $+ 1$
$- 4 y$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (1|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - y$ = $20$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|4)
denn 4⋅6 -1⋅4 = 24 -4 = $20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|0)
denn 4⋅5 -1⋅0 = 20 +0 = $20$

Oder : (7|8)
denn 4⋅7 -1⋅8 = 28 -8 = $20$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 19 & (I) \\ 4 x & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 19 & (I) \\ 4 x & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$4$	\|: $4$
$x$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 19 & (I) \\ x & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot 1 - 3 y$	=	$19$
$4 - 3 y$	=	$19$
$- 3 y + 4$	=	$19$	\| $- 4$
$- 3 y$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 10 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 10 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$10$
$y - 3 x$	=	$10$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$10 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (10 + 3 x) & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $10 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 2 \cdot (10 + 3 x)$	=	$16$
$- 4 x + 20 + 6 x$	=	$16$
$2 x + 20$	=	$16$	\| $- 20$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $10 + 3 \cdot (- 2)$

= $10 - 6$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & - 26 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & - 26 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 5 y$	=	$- 26$
$5 y + 3 x$	=	$- 26$	\| $- 3 x$
$5 y$	=	$- 26 - 3 x$	\|: $5$
$y$	=	$- \frac{26}{5} - \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{26}{5} - \frac{3}{5} x) & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{26}{5} - \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot (- \frac{26}{5} - \frac{3}{5} x)$	=	$- 16$
$2 x - \frac{78}{5} - \frac{9}{5} x$	=	$- 16$
$\frac{1}{5} x - \frac{78}{5}$	=	$- 16$	\|⋅ 5
$5 (\frac{1}{5} x - \frac{78}{5})$	=	$- 80$
$x - 78$	=	$- 80$	\| $+ 78$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{26}{5} - \frac{3}{5} \cdot (- 2)$

= $- \frac{26}{5} + \frac{6}{5}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3 (3 x + 13)$	=	$5 (x - y)$			(I)
$- 3 (2 x + 5) - 4 y$	=	$- 5 x + 3$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3 (3 x + 13)$	=	$5 (x - y)$			(I)
$- 3 (2 x + 5) - 4 y$	=	$- 5 x + 3$			(II)

$9 x + 39$	=	$5 x - 5 y$	\| $- 39 - 5 x + 5 y$		(I)
$- 6 x - 15 - 4 y$	=	$- 5 x + 3$	\| + $15 + 5 x$		(II)

\begin{matrix} 4 x & + 5 y & = & - 39 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 4 y$	=	$18$	\| $+ 4 y$
$- x$	=	$18 + 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 18 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 5 y & = & - 39 & (I) \\ x & = & (- 18 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 18 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 18 - 4 y) + 5 y$	=	$- 39$
$- 72 - 16 y + 5 y$	=	$- 39$
$- 11 y - 72$	=	$- 39$	\| $+ 72$
$- 11 y$	=	$33$	\|:( $- 11$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 18 - 4 \cdot (- 3)$

= $- 18 + 12$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -2y = ?

-8x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-4x -2y = -16 -2 = -18

-8x -2y = -32 -2 = -34

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -2y = -18

-8x -2y = -34

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 3 & (I) \\ 8 x & - 12 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 3 & (I) \\ 8 x & - 12 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 3 y$	=	$- 3$
$3 y - 2 x$	=	$- 3$	\| $+ 2 x$
$3 y$	=	$- 3 + 2 x$	\|: $3$
$y$	=	$- 1 + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 + \frac{2}{3} x) & (I) \\ 8 x & - 12 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x - 12 \cdot (- 1 + \frac{2}{3} x)$	=	$14$
$8 x + 12 - 8 x$	=	$14$
$12$	=	$14$	\| $- 12$
0	=	$2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 3 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 140 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 345 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 3 y & = & 140 & (I) \\ 6 x & + 9 y & = & 345 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 3 y$	=	$140$
$3 y + 7 x$	=	$140$	\| $- 7 x$
$3 y$	=	$140 - 7 x$	\|: $3$
$y$	=	$\frac{140}{3} - \frac{7}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{140}{3} - \frac{7}{3} x) & (I) \\ 6 x & + 9 y & = & 345 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{140}{3} - \frac{7}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 9 \cdot (\frac{140}{3} - \frac{7}{3} x)$	=	$345$
$6 x + 420 - 21 x$	=	$345$
$- 15 x + 420$	=	$345$	\| $- 420$
$- 15 x$	=	$- 75$	\|:( $- 15$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{140}{3} - \frac{7}{3} \cdot 5$

= $\frac{140}{3} - \frac{35}{3}$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (5|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|9) und B(-1|-11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|9): 9 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-11): -11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 +1b +c |-1
-11 = 1 -1b +c |-1

8 = 1b +c
-12 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 8 & (I) \\ - b & + c & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 12$
$c - b$	=	$- 12$	\| $+ b$
$c$	=	$- 12 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (- 12 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 12 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 12 + b)$	=	$8$
$b - 12 + b$	=	$8$
$2 b - 12$	=	$8$	\| $+ 12$
$2 b$	=	$20$	\|: $2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 12 + 10$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-2)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|6) und B(4|27) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(4|27): 27 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
27 = 16 +4b +c |-16

5 = 1b +c
11 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ 4 b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$11$
$c + 4 b$	=	$11$	\| $- 4 b$
$c$	=	$11 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (11 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (11 - 4 b)$	=	$5$
$b + 11 - 4 b$	=	$5$
$- 3 b + 11$	=	$5$	\| $- 11$
$- 3 b$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 - 4 \cdot 2$

= $11 - 8$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 + 3$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 + 3$

= ${(x + 1)}^{2} + 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 3$ = $1 - 2 + 3$ = 2

also: S(-1|2).

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1. Weg

2. Weg