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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + y$ = $- 4$ .

Bestimme y so, dass (-1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$2 \cdot (- 1) + y$ = $- 4$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2 \cdot (- 1) + y$	=	$- 4$
$- 2 + y$	=	$- 4$
$y - 2$	=	$- 4$	\| $+ 2$
$y$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (-1|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 2 y$ = $28$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|-6)
denn 4⋅4 -2⋅( - 6 ) = 16 +12 = $28$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-10)
denn 4⋅2 -2⋅( - 10 ) = 8 +20 = $28$

Oder : (6|-2)
denn 4⋅6 -2⋅( - 2 ) = 24 +4 = $28$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 26 & (I) \\ - 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 26 & (I) \\ - 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 3 y$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 26 & (I) \\ + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 1 \cdot 6$	=	$26$
$- 4 x + 6$	=	$26$	\| $- 6$
$- 4 x$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 26 & (I) \\ x & + y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 26 & (I) \\ x & + y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x + y$	=	$- 4$
$y + x$	=	$- 4$	\| $- x$
$y$	=	$- 4 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 26 & (I) \\ + y & = & (- 4 - x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 4 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 4 \cdot (- 4 - x)$	=	$26$
$x + 16 + 4 x$	=	$26$
$5 x + 16$	=	$26$	\| $- 16$
$5 x$	=	$10$	\|: $5$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 4 - 2$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & + 4 y & = & 9 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & 28 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & + 4 y & = & 9 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & 28 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x + 4 y$	=	$9$
$4 y - 5 x$	=	$9$	\| $+ 5 x$
$4 y$	=	$9 + 5 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{9}{4} + \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{9}{4} + \frac{5}{4} x) & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & 28 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{9}{4} + \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 2 \cdot (\frac{9}{4} + \frac{5}{4} x)$	=	$28$
$- 4 x - \frac{9}{2} - \frac{5}{2} x$	=	$28$
$- \frac{13}{2} x - \frac{9}{2}$	=	$28$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{13}{2} x - \frac{9}{2})$	=	$56$
$- 13 x - 9$	=	$56$	\| $+ 9$
$- 13 x$	=	$65$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{9}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- 5)$

= $\frac{9}{4} - \frac{25}{4}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{2}{3} x & + \frac{2}{5} y & = & \frac{12}{5} & (I) \\ - 2 x & + \frac{1}{2} y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{2}{3} x & + \frac{2}{5} y & = & \frac{12}{5} & (I) \\ - 2 x & + \frac{1}{2} y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{2}{3} x + \frac{2}{5} y$	=	$\frac{12}{5}$
$\frac{2}{5} y - \frac{2}{3} x$	=	$\frac{12}{5}$	\|⋅ 15
$15 (\frac{2}{5} y - \frac{2}{3} x)$	=	$36$
$6 y - 10 x$	=	$36$	\| $+ 10 x$
$6 y$	=	$36 + 10 x$	\|: $6$
$y$	=	$6 + \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (6 + \frac{5}{3} x) & (I) \\ - 2 x & + \frac{1}{2} y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $6 + \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + \frac{1}{2} \cdot (6 + \frac{5}{3} x)$	=	$10$
$- 2 x + 3 + \frac{5}{6} x$	=	$10$
$- \frac{7}{6} x + 3$	=	$10$	\|⋅ 6
$6 (- \frac{7}{6} x + 3)$	=	$60$
$- 7 x + 18$	=	$60$	\| $- 18$
$- 7 x$	=	$42$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $6 + \frac{5}{3} \cdot (- 6)$

= $6 - 10$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -4y = ?

-6x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-4x -4y = 8 +20 = 28

-6x -5y = 12 +25 = 37

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -4y = 28

-6x -5y = 37

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 6 x & + 6 y & = & 7 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 6 x & + 6 y & = & 7 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 6 x + 6 y$	=	$7$
$6 y - 6 x$	=	$7$	\| $+ 6 x$
$6 y$	=	$7 + 6 x$	\|: $6$
$y$	=	$\frac{7}{6} + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{7}{6} + x) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{7}{6} + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot (\frac{7}{6} + x)$	=	$- 3$
$2 x - \frac{7}{3} - 2 x$	=	$- 3$
$- \frac{7}{3}$	=	$- 3$	\| $+ \frac{7}{3}$
0	=	$- \frac{2}{3}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 425 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1060 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & 425 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 1060 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 5 y$	=	$425$
$- 5 y + 2 x$	=	$425$	\| $- 2 x$
$- 5 y$	=	$425 - 2 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 85 + \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 85 + \frac{2}{5} x) & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 1060 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 85 + \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot (- 85 + \frac{2}{5} x)$	=	$1060$
$4 x + 340 - \frac{8}{5} x$	=	$1060$
$\frac{12}{5} x + 340$	=	$1060$	\|⋅ 5
$5 (\frac{12}{5} x + 340)$	=	$5 300$
$12 x + 1 700$	=	$5 300$	\| $- 1 700$
$12 x$	=	$3 600$	\|: $12$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 85 + \frac{2}{5} \cdot 300$

= $- 85 + 120$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (300|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-10) und B(-3|-22) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-10): -10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-22): -22 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 -1b +c |-1
-22 = 9 -3b +c |-9

-11 = -1b +c
-31 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 31 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 31$
$c - 3 b$	=	$- 31$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 31 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (- 31 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 31 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 31 + 3 b)$	=	$- 11$
$- b - 31 + 3 b$	=	$- 11$
$2 b - 31$	=	$- 11$	\| $+ 31$
$2 b$	=	$20$	\|: $2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 31 + 3 \cdot 10$

= $- 31 + 30$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-1)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|6) und B(2|-21) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|6): 6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-21): -21 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 -1b +c |-1
-21 = 4 +2b +c |-4

5 = -1b +c
-25 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 25$
$c + 2 b$	=	$- 25$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 25 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (- 25 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 25 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 25 - 2 b)$	=	$5$
$- b - 25 - 2 b$	=	$5$
$- 3 b - 25$	=	$5$	\| $+ 25$
$- 3 b$	=	$30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 25 - 2 \cdot (- 10)$

= $- 25 + 20$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-5)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 - 5$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 - 5$

= ${(x - 5)}^{2} - 30$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-30).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 - 5$ = $25 - 50 - 5$ = -30

also: S(5|-30).

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1. Weg

2. Weg