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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 4 y$ = $2$ .

Bestimme x so, dass (x|2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x - 4 \cdot 2$ = $2$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x - 4 \cdot 2$	=	$2$
$2 x - 8$	=	$2$	\| $+ 8$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
$x$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (5|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 5 y$ = $20$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|6)
denn -5⋅2 +5⋅6 = -10 +30 = $20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (7|11)
denn -5⋅7 +5⋅11 = -35 +55 = $20$

Oder : (-3|1)
denn -5⋅( - 3 ) +5⋅1 = 15 +5 = $20$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & - 10 & (I) \\ - 3 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & - 10 & (I) \\ - 3 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 3 y$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & - 10 & (I) \\ + y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (- 6)$	=	$- 10$
$2 x - 12$	=	$- 10$	\| $+ 12$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 17 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 17 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$- 11$	\| $- 4 y$
$x$	=	$- 11 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 17 & (I) \\ x & = & (- 11 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 11 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 11 - 4 y) - 3 y$	=	$17$
$- 11 - 4 y - 3 y$	=	$17$
$- 7 y - 11$	=	$17$	\| $+ 11$
$- 7 y$	=	$28$	\|:( $- 7$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 11 - 4 \cdot (- 4)$

= $- 11 + 16$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 15 & (I) \\ - 3 x & - y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 15 & (I) \\ - 3 x & - y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x - y$	=	$- 15$
$- y - 3 x$	=	$- 15$	\| $+ 3 x$
$- y$	=	$- 15 + 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$15 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 15 & (I) \\ + y & = & (15 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $15 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 4 \cdot (15 - 3 x)$	=	$15$
$3 x + 60 - 12 x$	=	$15$
$- 9 x + 60$	=	$15$	\| $- 60$
$- 9 x$	=	$- 45$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $15 - 3 \cdot 5$

= $15 - 15$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (5|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{3} x & + \frac{1}{3} y & = & - \frac{8}{3} & (I) \\ - \frac{3}{4} x & + y & = & - \frac{29}{4} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{3} x & + \frac{1}{3} y & = & - \frac{8}{3} & (I) \\ - \frac{3}{4} x & + y & = & - \frac{29}{4} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{3}{4} x + y$	=	$- \frac{29}{4}$
$y - \frac{3}{4} x$	=	$- \frac{29}{4}$	\|⋅ 4
$4 (y - \frac{3}{4} x)$	=	$- 29$
$4 y - 3 x$	=	$- 29$	\| $+ 3 x$
$4 y$	=	$- 29 + 3 x$	\|: $4$
$y$	=	$- \frac{29}{4} + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - \frac{1}{3} x & + \frac{1}{3} y & = & - \frac{8}{3} & (I) \\ + y & = & (- \frac{29}{4} + \frac{3}{4} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- \frac{29}{4} + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot (- \frac{29}{4} + \frac{3}{4} x)$	=	$- \frac{8}{3}$
$- \frac{1}{3} x - \frac{29}{12} + \frac{1}{4} x$	=	$- \frac{8}{3}$
$- \frac{1}{12} x - \frac{29}{12}$	=	$- \frac{8}{3}$	\|⋅ 12
$12 (- \frac{1}{12} x - \frac{29}{12})$	=	$- 32$
$- x - 29$	=	$- 32$	\| $+ 29$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- \frac{29}{4} + \frac{3}{4} \cdot 3$

= $- \frac{29}{4} + \frac{9}{4}$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +5y = ?

3x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

5x +5y = -20 -15 = -35

3x +6y = -12 -18 = -30

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +5y = -35

3x +6y = -30

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 12 x & - 3 y & = & 7 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 12 x & - 3 y & = & 7 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 2$
$y - 4 x$	=	$- 2$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 2 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 12 x & - 3 y & = & 7 & (I) \\ + y & = & (- 2 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 2 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$12 x - 3 \cdot (- 2 + 4 x)$	=	$7$
$12 x + 6 - 12 x$	=	$7$
$6$	=	$7$	\| $- 6$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 7 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 800 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 500 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & - 5 y & = & 800 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 500 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x - 5 y$	=	$800$
$- 5 y + 7 x$	=	$800$	\| $- 7 x$
$- 5 y$	=	$800 - 7 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 160 + \frac{7}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 160 + \frac{7}{5} x) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 500 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 160 + \frac{7}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 2 \cdot (- 160 + \frac{7}{5} x)$	=	$500$
$4 x + 320 - \frac{14}{5} x$	=	$500$
$\frac{6}{5} x + 320$	=	$500$	\|⋅ 5
$5 (\frac{6}{5} x + 320)$	=	$2 500$
$6 x + 1 600$	=	$2 500$	\| $- 1 600$
$6 x$	=	$900$	\|: $6$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 160 + \frac{7}{5} \cdot 150$

= $- 160 + 210$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (150|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|9) und B(-4|36) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|36): 36 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 -1b +c |-1
36 = 16 -4b +c |-16

8 = -1b +c
20 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$20$
$c - 4 b$	=	$20$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$20 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (20 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $20 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (20 + 4 b)$	=	$8$
$- b + 20 + 4 b$	=	$8$
$3 b + 20$	=	$8$	\| $- 20$
$3 b$	=	$- 12$	\|: $3$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $20 + 4 \cdot (- 4)$

= $20 - 16$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-1) und B(2|20) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-1): -1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|20): 20 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 -1b +c |-1
20 = 4 +2b +c |-4

-2 = -1b +c
16 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ 2 b & + c & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$16$
$c + 2 b$	=	$16$	\| $- 2 b$
$c$	=	$16 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (16 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $16 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (16 - 2 b)$	=	$- 2$
$- b + 16 - 2 b$	=	$- 2$
$- 3 b + 16$	=	$- 2$	\| $- 16$
$- 3 b$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $16 - 2 \cdot 6$

= $16 - 12$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 4$ = $9 - 18 + 4$ = -5

also: S(-3|-5).

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1. Weg

2. Weg