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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 5 y$ = $50$ .

Bestimme x so, dass (x|-3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 x - 5 \cdot (- 3)$ = $50$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 5 x - 5 \cdot (- 3)$	=	$50$
$- 5 x + 15$	=	$50$	\| $- 15$
$- 5 x$	=	$35$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (-7|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 2 y$ = $9$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-5)
denn 1⋅( - 1 ) -2⋅( - 5 ) = -1 +10 = $9$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-6)
denn 1⋅( - 3 ) -2⋅( - 6 ) = -3 +12 = $9$

Oder : (1|-4)
denn 1⋅1 -2⋅( - 4 ) = 1 +8 = $9$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 y & = & 9 & (I) \\ x & + y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 y & = & 9 & (I) \\ x & + y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 3 y$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 3 & (I) \\ x & + y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 1 \cdot (- 3)$	=	$- 4$
$x - 3$	=	$- 4$	\| $+ 3$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 0 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 0 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 9$
$y + 4 x$	=	$- 9$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 9 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 0 & (I) \\ + y & = & (- 9 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 9 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 2 \cdot (- 9 - 4 x)$	=	0
$x + 18 + 8 x$	=	0
$9 x + 18$	=	0	\| $- 18$
$9 x$	=	$- 18$	\|: $9$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 9 - 4 \cdot (- 2)$

= $- 9 + 8$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 5 & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 5 & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$- 5$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$- 5 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 5 + 3 y) & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 5 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 5 + 3 y) + 5 y$	=	$3$
$15 - 9 y + 5 y$	=	$3$
$- 4 y + 15$	=	$3$	\| $- 15$
$- 4 y$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 5 + 3 \cdot 3$

= $- 5 + 9$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{2}{5} x & - \frac{2}{3} y & = & \frac{14}{15} & (I) \\ - 3 x & - \frac{3}{2} y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{2}{5} x & - \frac{2}{3} y & = & \frac{14}{15} & (I) \\ - 3 x & - \frac{3}{2} y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{2}{5} x - \frac{2}{3} y$	=	$\frac{14}{15}$
$- \frac{2}{3} y + \frac{2}{5} x$	=	$\frac{14}{15}$	\|⋅ 15
$15 (- \frac{2}{3} y + \frac{2}{5} x)$	=	$14$
$- 10 y + 6 x$	=	$14$	\| $- 6 x$
$- 10 y$	=	$14 - 6 x$	\|:( $- 10$ )
$y$	=	$- \frac{7}{5} + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{7}{5} + \frac{3}{5} x) & (I) \\ - 3 x & - \frac{3}{2} y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{7}{5} + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{7}{5} + \frac{3}{5} x)$	=	$6$
$- 3 x + \frac{21}{10} - \frac{9}{10} x$	=	$6$
$- \frac{39}{10} x + \frac{21}{10}$	=	$6$	\|⋅ 10
$10 (- \frac{39}{10} x + \frac{21}{10})$	=	$60$
$- 39 x + 21$	=	$60$	\| $- 21$
$- 39 x$	=	$39$	\|:( $- 39$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{7}{5} + \frac{3}{5} \cdot (- 1)$

= $- \frac{7}{5} - \frac{3}{5}$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +4y = ?

-4x +8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-3x +4y = 3 +16 = 19

-4x +8y = 4 +32 = 36

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +4y = 19

-4x +8y = 36

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & - 1 & (I) \\ 6 x & + 12 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & - 1 & (I) \\ 6 x & + 12 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 4 y$	=	$- 1$
$- 4 y - 2 x$	=	$- 1$	\| $+ 2 x$
$- 4 y$	=	$- 1 + 2 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$\frac{1}{4} - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} x) & (I) \\ 6 x & + 12 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{4} - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 12 \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} x)$	=	$6$
$6 x + 3 - 6 x$	=	$6$
$3$	=	$6$	\| $- 3$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 4 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 2 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 84 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 204 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 2 y & = & 84 & (I) \\ 4 x & + 6 y & = & 204 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 2 y$	=	$84$
$2 y + 4 x$	=	$84$	\| $- 4 x$
$2 y$	=	$84 - 4 x$	\|: $2$
$y$	=	$42 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (42 - 2 x) & (I) \\ 4 x & + 6 y & = & 204 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $42 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 6 \cdot (42 - 2 x)$	=	$204$
$4 x + 252 - 12 x$	=	$204$
$- 8 x + 252$	=	$204$	\| $- 252$
$- 8 x$	=	$- 48$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $42 - 2 \cdot 6$

= $42 - 12$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (6|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-1) und B(1|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-1): -1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 -1b +c |-1
-5 = 1 +1b +c |-1

-2 = -1b +c
-6 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ b & + c & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 6$
$c + b$	=	$- 6$	\| $- b$
$c$	=	$- 6 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (- 6 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 6 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 6 - b)$	=	$- 2$
$- b - 6 - b$	=	$- 2$
$- 2 b - 6$	=	$- 2$	\| $+ 6$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 6 - (- 2)$

= $- 6 + 2$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|0) und B(3|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(3|4): 4 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
4 = 9 +3b +c |-9

-1 = 1b +c
-5 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 5$
$c + 3 b$	=	$- 5$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 5 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (- 5 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 5 - 3 b)$	=	$- 1$
$b - 5 - 3 b$	=	$- 1$
$- 2 b - 5$	=	$- 1$	\| $+ 5$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 - 3 \cdot (- 2)$

= $- 5 + 6$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 1$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 1$

= ${(x - 1)}^{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 1$ = $1 - 2 + 1$ = 0

also: S(1|0).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg