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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 2 y$ = $- 14$ .

Bestimme y so, dass (-4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$3 \cdot (- 4) - 2 y$ = $- 14$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3 \cdot (- 4) - 2 y$	=	$- 14$
$- 12 - 2 y$	=	$- 14$
$- 2 y - 12$	=	$- 14$	\| $+ 12$
$- 2 y$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (-4|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - 2 y$ = $- 24$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|0)
denn -4⋅6 -2⋅0 = -24 +0 = $- 24$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|4)
denn -4⋅4 -2⋅4 = -16 -8 = $- 24$

Oder : (8|-4)
denn -4⋅8 -2⋅( - 4 ) = -32 +8 = $- 24$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & = & 16 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & = & 16 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$16$	\|: $4$
$x$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 4 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot 4 - 3 y$	=	$- 7$
$8 - 3 y$	=	$- 7$
$- 3 y + 8$	=	$- 7$	\| $- 8$
$- 3 y$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 14 & (I) \\ - 3 x & + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 14 & (I) \\ - 3 x & + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$2$
$y - 3 x$	=	$2$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$2 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 14 & (I) \\ + y & = & (2 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 4 \cdot (2 + 3 x)$	=	$14$
$x - 8 - 12 x$	=	$14$
$- 11 x - 8$	=	$14$	\| $+ 8$
$- 11 x$	=	$22$	\|:( $- 11$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2 + 3 \cdot (- 2)$

= $2 - 6$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & - 32 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & - 32 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 4 y$	=	$- 32$
$4 y - 4 x$	=	$- 32$	\| $+ 4 x$
$4 y$	=	$- 32 + 4 x$	\|: $4$
$y$	=	$- 8 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 8 + x) & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 8 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot (- 8 + x)$	=	$- 16$
$4 x - 32 + 4 x$	=	$- 16$
$8 x - 32$	=	$- 16$	\| $+ 32$
$8 x$	=	$16$	\|: $8$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 8 + 2$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 4 & (I) \\ \frac{1}{4} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{1}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 4 & (I) \\ \frac{1}{4} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{1}{2} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$4$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$4 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (4 + 3 y) & (I) \\ \frac{1}{4} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{1}{2} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $4 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{1}{4} \cdot (4 + 3 y) - \frac{1}{2} y$	=	$\frac{1}{2}$
$1 + \frac{3}{4} y - \frac{1}{2} y$	=	$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4} y + 1$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} y + 1)$	=	$2$
$y + 4$	=	$2$	\| $- 4$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $4 + 3 \cdot (- 2)$

= $4 - 6$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -2y = ?

-1x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

1x -2y = 2 +2 = 4

-1x +3y = -2 -3 = -5

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -2y = 4

-1x +3y = -5

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & 1 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & 1 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 4 y$	=	$1$	\| $+ 4 y$
$- x$	=	$1 + 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 1 - 4 y) & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 1 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 1 - 4 y) - 4 y$	=	$3$
$3 + 12 y - 4 y$	=	$3$
$8 y + 3$	=	$3$	\| $- 3$
$8 y$	=	0	\|: $8$
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 1 - 4 \cdot 0$

= $- 1 + 0$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|0)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 5. Wenn man aber vom 4-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 8. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 5 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$5$	\| $- 2 y$
$x$	=	$5 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (5 - 2 y) & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $5 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (5 - 2 y) - 4 y$	=	$8$
$20 - 8 y - 4 y$	=	$8$
$- 12 y + 20$	=	$8$	\| $- 20$
$- 12 y$	=	$- 12$	\|:( $- 12$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $5 - 2 \cdot 1$

= $5 - 2$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 1

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|8) und B(3|28) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(3|28): 28 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
28 = 9 +3b +c |-9

7 = 1b +c
19 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ 3 b & + c & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$19$
$c + 3 b$	=	$19$	\| $- 3 b$
$c$	=	$19 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (19 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $19 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (19 - 3 b)$	=	$7$
$b + 19 - 3 b$	=	$7$
$- 2 b + 19$	=	$7$	\| $- 19$
$- 2 b$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $19 - 3 \cdot 6$

= $19 - 18$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|12) und B(-2|25) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|12): 12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|25): 25 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 -1b +c |-1
25 = 4 -2b +c |-4

11 = -1b +c
21 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 11 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$21$
$c - 2 b$	=	$21$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$21 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 11 & (I) \\ + c & = & (21 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $21 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (21 + 2 b)$	=	$11$
$- b + 21 + 2 b$	=	$11$
$b + 21$	=	$11$	\| $- 21$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $21 + 2 \cdot (- 10)$

= $21 - 20$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|1)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 + 1$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 + 1$

= ${(x - 5)}^{2} - 24$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-24).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 + 1$ = $25 - 50 + 1$ = -24

also: S(5|-24).

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1. Weg

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