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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 5 y$ = $- 19$ .

Bestimme y so, dass (2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$3 \cdot 2 - 5 y$ = $- 19$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3 \cdot 2 - 5 y$	=	$- 19$
$6 - 5 y$	=	$- 19$
$- 5 y + 6$	=	$- 19$	\| $- 6$
$- 5 y$	=	$- 25$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (2|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 2 y$ = $- 4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-6)
denn -2⋅( - 4 ) +2⋅( - 6 ) = 8 -12 = $- 4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-4)
denn -2⋅( - 2 ) +2⋅( - 4 ) = 4 -8 = $- 4$

Oder : (-6|-8)
denn -2⋅( - 6 ) +2⋅( - 8 ) = 12 -16 = $- 4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & - 4 & (I) \\ - x & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & - 4 & (I) \\ - x & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & - 4 & (I) \\ x & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot 6 - 4 y$	=	$- 4$
$- 24 - 4 y$	=	$- 4$
$- 4 y - 24$	=	$- 4$	\| $+ 24$
$- 4 y$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 9 & (I) \\ - x & + 4 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 9 & (I) \\ - x & + 4 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 4 y$	=	$19$	\| $- 4 y$
$- x$	=	$19 - 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 19 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 9 & (I) \\ x & = & (- 19 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 19 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 19 + 4 y) - 2 y$	=	$- 9$
$- 19 + 4 y - 2 y$	=	$- 9$
$2 y - 19$	=	$- 9$	\| $+ 19$
$2 y$	=	$10$	\|: $2$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 19 + 4 \cdot 5$

= $- 19 + 20$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 20 & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 20 & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 2 y$	=	$- 20$
$- 2 y - 4 x$	=	$- 20$	\| $+ 4 x$
$- 2 y$	=	$- 20 + 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$10 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (10 - 2 x) & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $10 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 5 \cdot (10 - 2 x)$	=	$- 22$
$- 2 x + 50 - 10 x$	=	$- 22$
$- 12 x + 50$	=	$- 22$	\| $- 50$
$- 12 x$	=	$- 72$	\|:( $- 12$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $10 - 2 \cdot 6$

= $10 - 12$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2 x - 3 y$	=	$- x - 3$			(I)
$3 (x + 4) + 2 y$	=	$- x + 4 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2 x - 3 y$	=	$- x - 3$			(I)
$3 (x + 4) + 2 y$	=	$- x + 4 y$			(II)

$2 x - 3 y$	=	$- x - 3$	\| + $x$		(I)
$3 x + 12 + 2 y$	=	$- x + 4 y$	\| $- 12 + x - 4 y$		(II)

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 3 y$	=	$- 3$
$- 3 y + 3 x$	=	$- 3$	\| $- 3 x$
$- 3 y$	=	$- 3 - 3 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$1 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 + x) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 2 \cdot (1 + x)$	=	$- 12$
$4 x - 2 - 2 x$	=	$- 12$
$2 x - 2$	=	$- 12$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1 - 5$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -1y = ?

-3x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-2x -1y = -2 +1 = -1

-3x -1y = -3 +1 = -2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -1y = -1

-3x -1y = -2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & - 3 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & - 3 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 2 y$	=	$- 3$
$- 2 y + 2 x$	=	$- 3$	\| $- 2 x$
$- 2 y$	=	$- 3 - 2 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$\frac{3}{2} + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{3}{2} + x) & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{2} + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 4 \cdot (\frac{3}{2} + x)$	=	$4$
$- 4 x + 6 + 4 x$	=	$4$
$6$	=	$4$	\| $- 6$
0	=	$- 2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 15. Wenn man aber vom 4-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 12. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 15 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$15$	\| $- 5 y$
$x$	=	$15 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (15 - 5 y) & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $15 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (15 - 5 y) - 4 y$	=	$12$
$60 - 20 y - 4 y$	=	$12$
$- 24 y + 60$	=	$12$	\| $- 60$
$- 24 y$	=	$- 48$	\|:( $- 24$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $15 - 5 \cdot 2$

= $15 - 10$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-7) und B(2|8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-7): -7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|8): 8 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 -1b +c |-1
8 = 4 +2b +c |-4

-8 = -1b +c
4 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ 2 b & + c & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$4$
$c + 2 b$	=	$4$	\| $- 2 b$
$c$	=	$4 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ + c & = & (4 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $4 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (4 - 2 b)$	=	$- 8$
$- b + 4 - 2 b$	=	$- 8$
$- 3 b + 4$	=	$- 8$	\| $- 4$
$- 3 b$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $4 - 2 \cdot 4$

= $4 - 8$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-4)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|4) und B(3|8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|4): 4 = 1² + b⋅1 +c

B(3|8): 8 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 +1b +c |-1
8 = 9 +3b +c |-9

3 = 1b +c
-1 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 1$
$c + 3 b$	=	$- 1$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 1 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (- 1 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 1 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 1 - 3 b)$	=	$3$
$b - 1 - 3 b$	=	$3$
$- 2 b - 1$	=	$3$	\| $+ 1$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 1 - 3 \cdot (- 2)$

= $- 1 + 6$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 5$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 5$

= ${(x - 1)}^{2} + 4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 5$ = $1 - 2 + 5$ = 4

also: S(1|4).

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Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS (Standard)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg