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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 3 y$ = $6$ .

Bestimme x so, dass (x|-2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$5 x - 3 \cdot (- 2)$ = $6$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5 x - 3 \cdot (- 2)$	=	$6$
$5 x + 6$	=	$6$	\| $- 6$
$5 x$	=	0	\|: $5$
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 3 y$ = $- 13$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|3)
denn 4⋅( - 1 ) -3⋅3 = -4 -9 = $- 13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|-1)
denn 4⋅( - 4 ) -3⋅( - 1 ) = -16 +3 = $- 13$

Oder : (2|7)
denn 4⋅2 -3⋅7 = 8 -21 = $- 13$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 5 & (I) \\ x & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $- 1$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 1) + y$	=	$5$
$3 + y$	=	$5$
$y + 3$	=	$5$	\| $- 3$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 20 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 20 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 20$
$y - 4 x$	=	$- 20$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 20 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 20 + 4 x) & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 20 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 2 \cdot (- 20 + 4 x)$	=	$- 24$
$- 4 x - 40 + 8 x$	=	$- 24$
$4 x - 40$	=	$- 24$	\| $+ 40$
$4 x$	=	$16$	\|: $4$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 20 + 4 \cdot 4$

= $- 20 + 16$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & - 24 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & - 24 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 4 y$	=	$- 24$	\| $+ 4 y$
$- x$	=	$- 24 + 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$24 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (24 - 4 y) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $24 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (24 - 4 y) - 4 y$	=	0
$120 - 20 y - 4 y$	=	0
$- 24 y + 120$	=	0	\| $- 120$
$- 24 y$	=	$- 120$	\|:( $- 24$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $24 - 4 \cdot 5$

= $24 - 20$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$37$	=	$5 x + 4 y$			(I)
$- 3$	=	$- 2 (x + y) + 13$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$37$	=	$5 x + 4 y$			(I)
$- 3$	=	$- 2 (x + y) + 13$			(II)

$37$	=	$5 x + 4 y$	\| $- 37 - 5 x - 4 y$		(I)
$- 3$	=	$- 2 x + 13 - 2 y$	\| + $3 + 2 x + 2 y$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & - 37 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 4 y$	=	$- 37$
$- 4 y - 5 x$	=	$- 37$	\| $+ 5 x$
$- 4 y$	=	$- 37 + 5 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$\frac{37}{4} - \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{37}{4} - \frac{5}{4} x) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{37}{4} - \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (\frac{37}{4} - \frac{5}{4} x)$	=	$16$
$2 x + \frac{37}{2} - \frac{5}{2} x$	=	$16$
$- \frac{1}{2} x + \frac{37}{2}$	=	$16$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x + \frac{37}{2})$	=	$32$
$- x + 37$	=	$32$	\| $- 37$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{37}{4} - \frac{5}{4} \cdot 5$

= $\frac{37}{4} - \frac{25}{4}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -4y = ?

7x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

5x -4y = 25 +8 = 33

7x -3y = 35 +6 = 41

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -4y = 33

7x -3y = 41

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & - 3 & (I) \\ 6 x & - 6 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & - 3 & (I) \\ 6 x & - 6 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 2 y$	=	$- 3$
$2 y - 2 x$	=	$- 3$	\| $+ 2 x$
$2 y$	=	$- 3 + 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$- \frac{3}{2} + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{3}{2} + x) & (I) \\ 6 x & - 6 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{3}{2} + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 6 \cdot (- \frac{3}{2} + x)$	=	$9$
$6 x + 9 - 6 x$	=	$9$
$9$	=	$9$	\| $- 9$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 7 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 150 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 146 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 7 y & = & 150 & (I) \\ 3 x & + 7 y & = & 146 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 7 y$	=	$150$
$7 y + 5 x$	=	$150$	\| $- 5 x$
$7 y$	=	$150 - 5 x$	\|: $7$
$y$	=	$\frac{150}{7} - \frac{5}{7} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{150}{7} - \frac{5}{7} x) & (I) \\ 3 x & + 7 y & = & 146 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{150}{7} - \frac{5}{7} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 7 \cdot (\frac{150}{7} - \frac{5}{7} x)$	=	$146$
$3 x + 150 - 5 x$	=	$146$
$- 2 x + 150$	=	$146$	\| $- 150$
$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{150}{7} - \frac{5}{7} \cdot 2$

= $\frac{150}{7} - \frac{10}{7}$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (2|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-1) und B(2|14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-1): -1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|14): 14 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 -1b +c |-1
14 = 4 +2b +c |-4

-2 = -1b +c
10 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ 2 b & + c & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$10$
$c + 2 b$	=	$10$	\| $- 2 b$
$c$	=	$10 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (10 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $10 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (10 - 2 b)$	=	$- 2$
$- b + 10 - 2 b$	=	$- 2$
$- 3 b + 10$	=	$- 2$	\| $- 10$
$- 3 b$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $10 - 2 \cdot 4$

= $10 - 8$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-1) und B(-4|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-1): -1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-4): -4 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 -1b +c |-1
-4 = 16 -4b +c |-16

-2 = -1b +c
-20 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 20$
$c - 4 b$	=	$- 20$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 20 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (- 20 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 20 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 20 + 4 b)$	=	$- 2$
$- b - 20 + 4 b$	=	$- 2$
$3 b - 20$	=	$- 2$	\| $+ 20$
$3 b$	=	$18$	\|: $3$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 20 + 4 \cdot 6$

= $- 20 + 24$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 4$ = $9 - 18 + 4$ = -5

also: S(-3|-5).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg