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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 4 y$ = $1$ .

Bestimme x so, dass (x|-4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 x - 4 \cdot (- 4)$ = $1$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (- 4)$	=	$1$
$- 3 x + 16$	=	$1$	\| $- 16$
$- 3 x$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (5|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - y$ = $- 12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|2)
denn 5⋅( - 2 ) -1⋅2 = -10 -2 = $- 12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-3)
denn 5⋅( - 3 ) -1⋅( - 3 ) = -15 +3 = $- 12$

Oder : (-1|7)
denn 5⋅( - 1 ) -1⋅7 = -5 -7 = $- 12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & = & - 2 & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & = & - 2 & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 1 & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot 1 + 2 y$	=	$14$
$4 + 2 y$	=	$14$
$2 y + 4$	=	$14$	\| $- 4$
$2 y$	=	$10$	\|: $2$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 9 & (I) \\ - x & - 3 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 9 & (I) \\ - x & - 3 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$- 8$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$- 8 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$8 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 9 & (I) \\ x & = & (8 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $8 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (8 - 3 y) + 4 y$	=	$9$
$8 - 3 y + 4 y$	=	$9$
$y + 8$	=	$9$	\| $- 8$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $8 - 3 \cdot 1$

= $8 - 3$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - y & = & 29 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & - y & = & 29 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$5 x - y$	=	$29$
$- y + 5 x$	=	$29$	\| $- 5 x$
$- y$	=	$29 - 5 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 29 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 29 + 5 x) & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 29 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot (- 29 + 5 x)$	=	$30$
$2 x + 145 - 25 x$	=	$30$
$- 23 x + 145$	=	$30$	\| $- 145$
$- 23 x$	=	$- 115$	\|:( $- 23$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 29 + 5 \cdot 5$

= $- 29 + 25$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 2 (x + 7)$	=	$- 3 (x + 1) - 5 y$			(I)
$- y$	=	$- 2 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 2 (x + 7)$	=	$- 3 (x + 1) - 5 y$			(I)
$- y$	=	$- 2 x$			(II)

$- 2 x - 14$	=	$- 3 x - 3 - 5 y$	\| + $14 + 3 x + 5 y$		(I)
$- y$	=	$- 2 x$	\| + $2 x$		(II)

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 11 & (I) \\ 2 x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x - y$	=	0
$- y + 2 x$	=	0	\| $- 2 x$
$- y$	=	$- 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 11 & (I) \\ + y & = & 2 x & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $2 x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 5 \cdot 2 x$	=	$11$
$x + 10 x$	=	$11$
$11 x$	=	$11$	\|: $11$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2 \cdot 1$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +5y = ?

-2x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-5x +5y = -15 +15 = 0

-2x +1y = -6 +3 = -3

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +5y = 0

-2x +1y = -3

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & - y & = & 3 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - y & = & 3 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x - y$	=	$3$
$- y - x$	=	$3$	\| $+ x$
$- y$	=	$3 + x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 3 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 3 - x) & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 3 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 3 \cdot (- 3 - x)$	=	$- 24$
$- 2 x - 9 - 3 x$	=	$- 24$
$- 5 x - 9$	=	$- 24$	\| $+ 9$
$- 5 x$	=	$- 15$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 3 - 3$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 98 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 54 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 8 x & + 6 y & = & 98 & (I) \\ 9 x & + 3 y & = & 54 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x + 6 y$	=	$98$
$6 y + 8 x$	=	$98$	\| $- 8 x$
$6 y$	=	$98 - 8 x$	\|: $6$
$y$	=	$\frac{49}{3} - \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{49}{3} - \frac{4}{3} x) & (I) \\ 9 x & + 3 y & = & 54 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{49}{3} - \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9 x + 3 \cdot (\frac{49}{3} - \frac{4}{3} x)$	=	$54$
$9 x + 49 - 4 x$	=	$54$
$5 x + 49$	=	$54$	\| $- 49$
$5 x$	=	$5$	\|: $5$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{49}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1$

= $\frac{49}{3} - \frac{4}{3}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (1|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|10) und B(1|2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|10): 10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 -1b +c |-1
2 = 1 +1b +c |-1

9 = -1b +c
1 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ b & + c & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$1$
$c + b$	=	$1$	\| $- b$
$c$	=	$1 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (1 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $1 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (1 - b)$	=	$9$
$- b + 1 - b$	=	$9$
$- 2 b + 1$	=	$9$	\| $- 1$
$- 2 b$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $1 - (- 4)$

= $1 + 4$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|2) und B(2|-1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-1): -1 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
-1 = 4 +2b +c |-4

1 = -1b +c
-5 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 5$
$c + 2 b$	=	$- 5$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 5 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (- 5 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 5 - 2 b)$	=	$1$
$- b - 5 - 2 b$	=	$1$
$- 3 b - 5$	=	$1$	\| $+ 5$
$- 3 b$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 - 2 \cdot (- 2)$

= $- 5 + 4$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 - 1$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 - 1$

= ${(x - 1)}^{2} - 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 - 1$ = $1 - 2 - 1$ = -2

also: S(1|-2).

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Wert zum Einsetzen finden

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg