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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 2 y$ = $- 18$ .

Bestimme y so, dass (-4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$5 \cdot (- 4) - 2 y$ = $- 18$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5 \cdot (- 4) - 2 y$	=	$- 18$
$- 20 - 2 y$	=	$- 18$
$- 2 y - 20$	=	$- 18$	\| $+ 20$
$- 2 y$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-4|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 5 y$ = $17$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-3)
denn -1⋅( - 2 ) -5⋅( - 3 ) = 2 +15 = $17$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|-2)
denn -1⋅( - 7 ) -5⋅( - 2 ) = 7 +10 = $17$

Oder : (3|-4)
denn -1⋅3 -5⋅( - 4 ) = -3 +20 = $17$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 y & = & 10 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & - 32 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 y & = & 10 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & - 32 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 5 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & - 32 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 4 \cdot (- 5)$	=	$- 32$
$- 3 x - 20$	=	$- 32$	\| $+ 20$
$- 3 x$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ x & - y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ x & - y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x - y$	=	$- 2$
$- y + x$	=	$- 2$	\| $- x$
$- y$	=	$- 2 - x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$2 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ + y & = & (2 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 2 \cdot (2 + x)$	=	$2$
$x - 4 - 2 x$	=	$2$
$- x - 4$	=	$2$	\| $+ 4$
$- x$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2 - 6$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 19 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 19 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$19$	\| $- 5 y$
$x$	=	$19 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (19 - 5 y) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $19 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (19 - 5 y) - 4 y$	=	$- 21$
$95 - 25 y - 4 y$	=	$- 21$
$- 29 y + 95$	=	$- 21$	\| $- 95$
$- 29 y$	=	$- 116$	\|:( $- 29$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $19 - 5 \cdot 4$

= $19 - 20$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{2}{3} x & + \frac{2}{3} y & = & \frac{10}{3} & (I) \\ - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{4} y & = & - \frac{11}{10} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{2}{3} x & + \frac{2}{3} y & = & \frac{10}{3} & (I) \\ - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{4} y & = & - \frac{11}{10} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{2}{3} x + \frac{2}{3} y$	=	$\frac{10}{3}$
$\frac{2}{3} y + \frac{2}{3} x$	=	$\frac{10}{3}$	\|⋅ 3
$3 (\frac{2}{3} y + \frac{2}{3} x)$	=	$10$
$2 y + 2 x$	=	$10$	\| $- 2 x$
$2 y$	=	$10 - 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$5 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (5 - x) & (I) \\ - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{4} y & = & - \frac{11}{10} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{5} x - \frac{1}{4} \cdot (5 - x)$	=	$- \frac{11}{10}$
$- \frac{1}{5} x - \frac{5}{4} + \frac{1}{4} x$	=	$- \frac{11}{10}$
$\frac{1}{20} x - \frac{5}{4}$	=	$- \frac{11}{10}$	\|⋅ 20
$20 (\frac{1}{20} x - \frac{5}{4})$	=	$- 22$
$x - 25$	=	$- 22$	\| $+ 25$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5 - 3$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -2y = ?

-2x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

2x -2y = -10 -10 = -20

-2x +3y = 10 +15 = 25

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -2y = -20

-2x +3y = 25

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 8 x & + 6 y & = & 4 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 8 x & + 6 y & = & 4 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 8 x + 6 y$	=	$4$
$6 y - 8 x$	=	$4$	\| $+ 8 x$
$6 y$	=	$4 + 8 x$	\|: $6$
$y$	=	$\frac{2}{3} + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{2}{3} + \frac{4}{3} x) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{2}{3} + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot (\frac{2}{3} + \frac{4}{3} x)$	=	$- 2$
$4 x - 2 - 4 x$	=	$- 2$
$- 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 2 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 94 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 261 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 2 y & = & 94 & (I) \\ 4 x & + 7 y & = & 261 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 2 y$	=	$94$
$2 y + 6 x$	=	$94$	\| $- 6 x$
$2 y$	=	$94 - 6 x$	\|: $2$
$y$	=	$47 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (47 - 3 x) & (I) \\ 4 x & + 7 y & = & 261 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $47 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 7 \cdot (47 - 3 x)$	=	$261$
$4 x + 329 - 21 x$	=	$261$
$- 17 x + 329$	=	$261$	\| $- 329$
$- 17 x$	=	$- 68$	\|:( $- 17$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $47 - 3 \cdot 4$

= $47 - 12$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (4|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-5) und B(-2|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|4): 4 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
4 = 4 -2b +c |-4

-6 = 1b +c
0 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	0
$c - 2 b$	=	0	\| $+ 2 b$
$c$	=	$2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & 2 b & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch $2 b$ ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot 2 b$	=	$- 6$
$b + 2 b$	=	$- 6$
$3 b$	=	$- 6$	\|: $3$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $2 \cdot (- 2)$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|6) und B(2|3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|6): 6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|3): 3 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 -1b +c |-1
3 = 4 +2b +c |-4

5 = -1b +c
-1 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 1$
$c + 2 b$	=	$- 1$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 1 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (- 1 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 1 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 1 - 2 b)$	=	$5$
$- b - 1 - 2 b$	=	$5$
$- 3 b - 1$	=	$5$	\| $+ 1$
$- 3 b$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 1 - 2 \cdot (- 2)$

= $- 1 + 4$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 3$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 3$

= ${(x - 1)}^{2} + 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 3$ = $1 - 2 + 3$ = 2

also: S(1|2).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg