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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 3 y$ = $41$ .

Bestimme y so, dass (7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$5 \cdot 7 - 3 y$ = $41$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5 \cdot 7 - 3 y$	=	$41$
$35 - 3 y$	=	$41$
$- 3 y + 35$	=	$41$	\| $- 35$
$- 3 y$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (7|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - y$ = $2$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|7)
denn -3⋅( - 3 ) -1⋅7 = 9 -7 = $2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|10)
denn -3⋅( - 4 ) -1⋅10 = 12 -10 = $2$

Oder : (-2|4)
denn -3⋅( - 2 ) -1⋅4 = 6 -4 = $2$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & = & - 18 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & = & - 18 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 6 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot 6 - 3 y$	=	$- 18$
$- 12 - 3 y$	=	$- 18$
$- 3 y - 12$	=	$- 18$	\| $+ 12$
$- 3 y$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$- 1$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$- 1 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ x & = & (- 1 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 1 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 1 + 3 y) + 2 y$	=	$2$
$1 - 3 y + 2 y$	=	$2$
$- y + 1$	=	$2$	\| $- 1$
$- y$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 1 + 3 \cdot (- 1)$

= $- 1 - 3$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 36 & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 50 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 36 & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 50 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 4 y$	=	$- 36$
$- 4 y - 3 x$	=	$- 36$	\| $+ 3 x$
$- 4 y$	=	$- 36 + 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$9 - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (9 - \frac{3}{4} x) & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 50 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $9 - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 5 \cdot (9 - \frac{3}{4} x)$	=	$50$
$5 x + 45 - \frac{15}{4} x$	=	$50$
$\frac{5}{4} x + 45$	=	$50$	\|⋅ 4
$4 (\frac{5}{4} x + 45)$	=	$200$
$5 x + 180$	=	$200$	\| $- 180$
$5 x$	=	$20$	\|: $5$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $9 - \frac{3}{4} \cdot 4$

= $9 - 3$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (4|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 4 (x + 2) - 4 y$	=	0			(I)
$- 5 x + 26$	=	$- y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 4 (x + 2) - 4 y$	=	0			(I)
$- 5 x + 26$	=	$- y$			(II)

$- 4 x - 8 - 4 y$	=	0	\| + $8$		(I)
$- 5 x + 26$	=	$- y$	\| $- 26 + y$		(II)

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 8 & (I) \\ - 5 x & + y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x + y$	=	$- 26$
$y - 5 x$	=	$- 26$	\| $+ 5 x$
$y$	=	$- 26 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 8 & (I) \\ + y & = & (- 26 + 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 26 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 4 \cdot (- 26 + 5 x)$	=	$8$
$- 4 x + 104 - 20 x$	=	$8$
$- 24 x + 104$	=	$8$	\| $- 104$
$- 24 x$	=	$- 96$	\|:( $- 24$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 26 + 5 \cdot 4$

= $- 26 + 20$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +5y = ?

3x -18y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-1x +5y = 4 +25 = 29

3x -18y = -12 -90 = -102

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +5y = 29

3x -18y = -102

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 2 & (I) \\ 12 x & + 16 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 2 & (I) \\ 12 x & + 16 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 4 y$	=	$- 2$
$- 4 y - 3 x$	=	$- 2$	\| $+ 3 x$
$- 4 y$	=	$- 2 + 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$\frac{1}{2} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{2} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ 12 x & + 16 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$12 x + 16 \cdot (\frac{1}{2} - \frac{3}{4} x)$	=	$5$
$12 x + 8 - 12 x$	=	$5$
$8$	=	$5$	\| $- 8$
0	=	$- 3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 142 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 95 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 9 y & = & 142 & (I) \\ 5 x & + 6 y & = & 95 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 9 y$	=	$142$
$9 y + 7 x$	=	$142$	\| $- 7 x$
$9 y$	=	$142 - 7 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{142}{9} - \frac{7}{9} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{142}{9} - \frac{7}{9} x) & (I) \\ 5 x & + 6 y & = & 95 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{142}{9} - \frac{7}{9} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 6 \cdot (\frac{142}{9} - \frac{7}{9} x)$	=	$95$
$5 x + \frac{284}{3} - \frac{14}{3} x$	=	$95$
$\frac{1}{3} x + \frac{284}{3}$	=	$95$	\|⋅ 3
$3 (\frac{1}{3} x + \frac{284}{3})$	=	$285$
$x + 284$	=	$285$	\| $- 284$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{142}{9} - \frac{7}{9} \cdot 1$

= $\frac{142}{9} - \frac{7}{9}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (1|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|0) und B(4|21) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(4|21): 21 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
21 = 16 +4b +c |-16

-1 = 1b +c
5 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ 4 b & + c & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$5$
$c + 4 b$	=	$5$	\| $- 4 b$
$c$	=	$5 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (5 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $5 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (5 - 4 b)$	=	$- 1$
$b + 5 - 4 b$	=	$- 1$
$- 3 b + 5$	=	$- 1$	\| $- 5$
$- 3 b$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $5 - 4 \cdot 2$

= $5 - 8$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(1|3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|3): 3 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
3 = 1 +1b +c |-1

6 = -1b +c
2 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ b & + c & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$2$
$c + b$	=	$2$	\| $- b$
$c$	=	$2 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (2 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $2 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (2 - b)$	=	$6$
$- b + 2 - b$	=	$6$
$- 2 b + 2$	=	$6$	\| $- 2$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $2 - (- 2)$

= $2 + 2$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 4$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 4$

= ${(x - 1)}^{2} + 3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 4$ = $1 - 2 + 4$ = 3

also: S(1|3).

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg