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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 5 y$ = $- 11$ .

Bestimme x so, dass (x|3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$x - 5 \cdot 3$ = $- 11$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x - 5 \cdot 3$	=	$- 11$
$x - 15$	=	$- 11$	\| $+ 15$
$x$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (4|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 3 y$ = $1$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|2)
denn 1⋅7 -3⋅2 = 7 -6 = $1$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|1)
denn 1⋅4 -3⋅1 = 4 -3 = $1$

Oder : (10|3)
denn 1⋅10 -3⋅3 = 10 -9 = $1$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 3 y & = & 9 & (I) \\ x & + 4 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 3 y & = & 9 & (I) \\ x & + 4 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$9$	\|: $3$
$y$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 3 & (I) \\ x & + 4 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 4 \cdot 3$	=	$11$
$x + 12$	=	$11$	\| $- 12$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 11 & (I) \\ 2 x & - y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 11 & (I) \\ 2 x & - y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x - y$	=	$- 3$
$- y + 2 x$	=	$- 3$	\| $- 2 x$
$- y$	=	$- 3 - 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$3 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 11 & (I) \\ + y & = & (3 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $3 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 2 \cdot (3 + 2 x)$	=	$11$
$x + 6 + 4 x$	=	$11$
$5 x + 6$	=	$11$	\| $- 6$
$5 x$	=	$5$	\|: $5$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $3 + 2 \cdot 1$

= $3 + 2$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & - 5 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & - 5 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 5 y$	=	$- 5$
$- 5 y - 5 x$	=	$- 5$	\| $+ 5 x$
$- 5 y$	=	$- 5 + 5 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$1 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 - x) & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot (1 - x)$	=	$9$
$2 x - 5 + 5 x$	=	$9$
$7 x - 5$	=	$9$	\| $+ 5$
$7 x$	=	$14$	\|: $7$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1 - 2$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{3} x & + y & = & \frac{7}{3} & (I) \\ - \frac{2}{5} x & + \frac{2}{3} y & = & \frac{34}{15} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{3} x & + y & = & \frac{7}{3} & (I) \\ - \frac{2}{5} x & + \frac{2}{3} y & = & \frac{34}{15} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{1}{3} x + y$	=	$\frac{7}{3}$
$y - \frac{1}{3} x$	=	$\frac{7}{3}$	\|⋅ 3
$3 (y - \frac{1}{3} x)$	=	$7$
$3 y - x$	=	$7$	\| $+ x$
$3 y$	=	$7 + x$	\|: $3$
$y$	=	$\frac{7}{3} + \frac{1}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{7}{3} + \frac{1}{3} x) & (I) \\ - \frac{2}{5} x & + \frac{2}{3} y & = & \frac{34}{15} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{7}{3} + \frac{1}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{2}{5} x + \frac{2}{3} \cdot (\frac{7}{3} + \frac{1}{3} x)$	=	$\frac{34}{15}$
$- \frac{2}{5} x + \frac{14}{9} + \frac{2}{9} x$	=	$\frac{34}{15}$
$- \frac{8}{45} x + \frac{14}{9}$	=	$\frac{34}{15}$	\|⋅ 45
$45 (- \frac{8}{45} x + \frac{14}{9})$	=	$102$
$- 8 x + 70$	=	$102$	\| $- 70$
$- 8 x$	=	$32$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{7}{3} + \frac{1}{3} \cdot (- 4)$

= $\frac{7}{3} - \frac{4}{3}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +4y = ?

-2x -6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

2x +4y = -6 +4 = -2

-2x -6y = 6 -6 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +4y = -2

-2x -6y = 0

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 16 x & - 16 y & = & - 12 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 16 x & - 16 y & = & - 12 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$16 x - 16 y$	=	$- 12$
$- 16 y + 16 x$	=	$- 12$	\| $- 16 x$
$- 16 y$	=	$- 12 - 16 x$	\|:( $- 16$ )
$y$	=	$\frac{3}{4} + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{3}{4} + x) & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{4} + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 4 \cdot (\frac{3}{4} + x)$	=	$3$
$- 4 x + 3 + 4 x$	=	$3$
$3$	=	$3$	\| $- 3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 3 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 7 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 254 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 5 Halogenleuchten zusammen 202 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 7 y & = & 254 & (I) \\ 9 x & + 5 y & = & 202 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 7 y$	=	$254$
$7 y + 3 x$	=	$254$	\| $- 3 x$
$7 y$	=	$254 - 3 x$	\|: $7$
$y$	=	$\frac{254}{7} - \frac{3}{7} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{254}{7} - \frac{3}{7} x) & (I) \\ 9 x & + 5 y & = & 202 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{254}{7} - \frac{3}{7} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9 x + 5 \cdot (\frac{254}{7} - \frac{3}{7} x)$	=	$202$
$9 x + \frac{1270}{7} - \frac{15}{7} x$	=	$202$
$\frac{48}{7} x + \frac{1270}{7}$	=	$202$	\|⋅ 7
$7 (\frac{48}{7} x + \frac{1270}{7})$	=	$1 414$
$48 x + 1 270$	=	$1 414$	\| $- 1 270$
$48 x$	=	$144$	\|: $48$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{254}{7} - \frac{3}{7} \cdot 3$

= $\frac{254}{7} - \frac{9}{7}$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (3|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|12) und B(-3|36) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|12): 12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|36): 36 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 -1b +c |-1
36 = 9 -3b +c |-9

11 = -1b +c
27 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 11 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 27 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$27$
$c - 3 b$	=	$27$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$27 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 11 & (I) \\ + c & = & (27 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $27 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (27 + 3 b)$	=	$11$
$- b + 27 + 3 b$	=	$11$
$2 b + 27$	=	$11$	\| $- 27$
$2 b$	=	$- 16$	\|: $2$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $27 + 3 \cdot (- 8)$

= $27 - 24$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|3)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-9) und B(-1|7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-9): -9 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-9 = 1 +1b +c |-1
7 = 1 -1b +c |-1

-10 = 1b +c
6 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 10 & (I) \\ - b & + c & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$6$
$c - b$	=	$6$	\| $+ b$
$c$	=	$6 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 10 & (I) \\ + c & = & (6 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (6 + b)$	=	$- 10$
$b + 6 + b$	=	$- 10$
$2 b + 6$	=	$- 10$	\| $- 6$
$2 b$	=	$- 16$	\|: $2$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6 - 8$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 18$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-18).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 2$ = $16 - 32 - 2$ = -18

also: S(4|-18).

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1. Weg

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