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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 3 y$ = $3$ .

Bestimme x so, dass (x|2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 x - 3 \cdot 2$ = $3$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 3 x - 3 \cdot 2$	=	$3$
$- 3 x - 6$	=	$3$	\| $+ 6$
$- 3 x$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 3$

Die Lösung ist somit: (-3|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 4 y$ = $- 11$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|4)
denn 1⋅5 -4⋅4 = 5 -16 = $- 11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|3)
denn 1⋅1 -4⋅3 = 1 -12 = $- 11$

Oder : (9|5)
denn 1⋅9 -4⋅5 = 9 -20 = $- 11$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 3 & (I) \\ - 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 3 & (I) \\ - 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 3 & (I) \\ + y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot 3$	=	$- 3$
$- 3 x - 12$	=	$- 3$	\| $+ 12$
$- 3 x$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & - 16 & (I) \\ x & - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & - 16 & (I) \\ x & - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$12$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$12 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & - 16 & (I) \\ x & = & (12 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $12 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (12 + 3 y) - y$	=	$- 16$
$- 36 - 9 y - y$	=	$- 16$
$- 10 y - 36$	=	$- 16$	\| $+ 36$
$- 10 y$	=	$20$	\|:( $- 10$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $12 + 3 \cdot (- 2)$

= $12 - 6$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 6 & (I) \\ - 4 x & - 5 y & = & 54 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 6 & (I) \\ - 4 x & - 5 y & = & 54 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$6$
$y - 2 x$	=	$6$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$6 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (6 + 2 x) & (I) \\ - 4 x & - 5 y & = & 54 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $6 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 5 \cdot (6 + 2 x)$	=	$54$
$- 4 x - 30 - 10 x$	=	$54$
$- 14 x - 30$	=	$54$	\| $+ 30$
$- 14 x$	=	$84$	\|:( $- 14$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $6 + 2 \cdot (- 6)$

= $6 - 12$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + \frac{1}{2} y & = & - \frac{5}{2} & (I) \\ \frac{1}{2} x & + \frac{1}{5} y & = & - \frac{1}{10} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + \frac{1}{2} y & = & - \frac{5}{2} & (I) \\ \frac{1}{2} x & + \frac{1}{5} y & = & - \frac{1}{10} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + \frac{1}{2} y$	=	$- \frac{5}{2}$	\|⋅ 2
$2 (- x + \frac{1}{2} y)$	=	$- 5$
$- 2 x + y$	=	$- 5$	\| $- y$
$- 2 x$	=	$- 5 - y$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$\frac{5}{2} + \frac{1}{2} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} y) & (I) \\ \frac{1}{2} x & + \frac{1}{5} y & = & - \frac{1}{10} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $\frac{5}{2} + \frac{1}{2} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} y) + \frac{1}{5} y$	=	$- \frac{1}{10}$
$\frac{5}{4} + \frac{1}{4} y + \frac{1}{5} y$	=	$- \frac{1}{10}$
$\frac{9}{20} y + \frac{5}{4}$	=	$- \frac{1}{10}$	\|⋅ 20
$20 (\frac{9}{20} y + \frac{5}{4})$	=	$- 2$
$9 y + 25$	=	$- 2$	\| $- 25$
$9 y$	=	$- 27$	\|: $9$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $\frac{5}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 3)$

= $\frac{5}{2} - \frac{3}{2}$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -3y = ?

2x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

1x -3y = 4 -12 = -8

2x -7y = 8 -28 = -20

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -3y = -8

2x -7y = -20

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 4 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 4 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 4 y$	=	$- 4$
$4 y + 2 x$	=	$- 4$	\| $- 2 x$
$4 y$	=	$- 4 - 2 x$	\|: $4$
$y$	=	$- 1 - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 - \frac{1}{2} x) & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 2 \cdot (- 1 - \frac{1}{2} x)$	=	$- 22$
$3 x + 2 + x$	=	$- 22$
$4 x + 2$	=	$- 22$	\| $- 2$
$4 x$	=	$- 24$	\|: $4$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 - \frac{1}{2} \cdot (- 6)$

= $- 1 + 3$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 7 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1990 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 435 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & - 2 y & = & 1990 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 435 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x - 2 y$	=	$1990$
$- 2 y + 7 x$	=	$1990$	\| $- 7 x$
$- 2 y$	=	$1990 - 7 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 995 + \frac{7}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 995 + \frac{7}{2} x) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 435 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 995 + \frac{7}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (- 995 + \frac{7}{2} x)$	=	$435$
$2 x + 2 985 - \frac{21}{2} x$	=	$435$
$- \frac{17}{2} x + 2 985$	=	$435$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{17}{2} x + 2 985)$	=	$870$
$- 17 x + 5 970$	=	$870$	\| $- 5 970$
$- 17 x$	=	$- 5 100$	\|:( $- 17$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 995 + \frac{7}{2} \cdot 300$

= $- 995 + 1 050$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (300|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|1) und B(4|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|1): 1 = 1² + b⋅1 +c

B(4|4): 4 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 +1b +c |-1
4 = 16 +4b +c |-16

0 = 1b +c
-12 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 12$
$c + 4 b$	=	$- 12$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 12 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (- 12 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 12 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 12 - 4 b)$	=	0
$b - 12 - 4 b$	=	0
$- 3 b - 12$	=	0	\| $+ 12$
$- 3 b$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 12 - 4 \cdot (- 4)$

= $- 12 + 16$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|15) und B(4|60) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|15): 15 = 1² + b⋅1 +c

B(4|60): 60 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
15 = 1 +1b +c |-1
60 = 16 +4b +c |-16

14 = 1b +c
44 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 14 & (I) \\ 4 b & + c & = & 44 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$44$
$c + 4 b$	=	$44$	\| $- 4 b$
$c$	=	$44 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 14 & (I) \\ + c & = & (44 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $44 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (44 - 4 b)$	=	$14$
$b + 44 - 4 b$	=	$14$
$- 3 b + 44$	=	$14$	\| $- 44$
$- 3 b$	=	$- 30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $44 - 4 \cdot 10$

= $44 - 40$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|4)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 4$ = $25 - 50 + 4$ = -21

also: S(-5|-21).

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Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg