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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 4 y$ = $22$ .

Bestimme y so, dass (2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$3 \cdot 2 - 4 y$ = $22$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3 \cdot 2 - 4 y$	=	$22$
$6 - 4 y$	=	$22$
$- 4 y + 6$	=	$22$	\| $- 6$
$- 4 y$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (2|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 5 y$ = $16$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|-5)
denn -3⋅3 -5⋅( - 5 ) = -9 +25 = $16$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-2)
denn -3⋅( - 2 ) -5⋅( - 2 ) = 6 +10 = $16$

Oder : (8|-8)
denn -3⋅8 -5⋅( - 8 ) = -24 +40 = $16$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + y & = & 8 & (I) \\ + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $5$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 1 \cdot 5$	=	$8$
$- x + 5$	=	$8$	\| $- 5$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 7 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 7 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$12$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$12 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 12 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 7 & (I) \\ x & = & (- 12 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 12 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 12 - 3 y) + 2 y$	=	$- 7$
$- 12 - 3 y + 2 y$	=	$- 7$
$- y - 12$	=	$- 7$	\| $+ 12$
$- y$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 12 - 3 \cdot (- 5)$

= $- 12 + 15$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & 0 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & 0 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 2 y$	=	0
$- 2 y - 4 x$	=	0	\| $+ 4 x$
$- 2 y$	=	$4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 2 x & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 2 x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot (- 2 x)$	=	$- 8$
$2 x - 6 x$	=	$- 8$
$- 4 x$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 \cdot 2$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 4 x - 19$	=	$- 5 y$			(I)
$3 x - 4 (1 + y)$	=	$- 19$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 4 x - 19$	=	$- 5 y$			(I)
$3 x - 4 (1 + y)$	=	$- 19$			(II)

$- 4 x - 19$	=	$- 5 y$	\| + $19 + 5 y$		(I)
$3 x - 4 - 4 y$	=	$- 19$	\| + $4$		(II)

\begin{matrix} - 4 x & + 5 y & = & 19 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 5 y$	=	$19$
$5 y - 4 x$	=	$19$	\| $+ 4 x$
$5 y$	=	$19 + 4 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{19}{5} + \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{19}{5} + \frac{4}{5} x) & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{19}{5} + \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 4 \cdot (\frac{19}{5} + \frac{4}{5} x)$	=	$- 15$
$3 x - \frac{76}{5} - \frac{16}{5} x$	=	$- 15$
$- \frac{1}{5} x - \frac{76}{5}$	=	$- 15$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{1}{5} x - \frac{76}{5})$	=	$- 75$
$- x - 76$	=	$- 75$	\| $+ 76$
$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{19}{5} + \frac{4}{5} \cdot (- 1)$

= $\frac{19}{5} - \frac{4}{5}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -5y = ?

-5x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-4x -5y = 16 +5 = 21

-5x -4y = 20 +4 = 24

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -5y = 21

-5x -4y = 24

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 11 & (I) \\ - 3 x & + y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 11 & (I) \\ - 3 x & + y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$- 13$
$y - 3 x$	=	$- 13$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$- 13 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 11 & (I) \\ + y & = & (- 13 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 13 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 2 \cdot (- 13 + 3 x)$	=	$11$
$x + 26 - 6 x$	=	$11$
$- 5 x + 26$	=	$11$	\| $- 26$
$- 5 x$	=	$- 15$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 13 + 3 \cdot 3$

= $- 13 + 9$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 350 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1850 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & 350 & (I) \\ 7 x & - 5 y & = & 1850 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 5 y$	=	$350$
$- 5 y + 2 x$	=	$350$	\| $- 2 x$
$- 5 y$	=	$350 - 2 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 70 + \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 70 + \frac{2}{5} x) & (I) \\ 7 x & - 5 y & = & 1850 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 70 + \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x - 5 \cdot (- 70 + \frac{2}{5} x)$	=	$1850$
$7 x + 350 - 2 x$	=	$1850$
$5 x + 350$	=	$1850$	\| $- 350$
$5 x$	=	$1 500$	\|: $5$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 70 + \frac{2}{5} \cdot 300$

= $- 70 + 120$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (300|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-4) und B(4|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-7): -7 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 +1b +c |-1
-7 = 16 +4b +c |-16

-5 = 1b +c
-23 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 23$
$c + 4 b$	=	$- 23$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 23 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 23 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 23 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 23 - 4 b)$	=	$- 5$
$b - 23 - 4 b$	=	$- 5$
$- 3 b - 23$	=	$- 5$	\| $+ 23$
$- 3 b$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 23 - 4 \cdot (- 6)$

= $- 23 + 24$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(1|12) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|12): 12 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
12 = 1 +1b +c |-1

-5 = -1b +c
11 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$11$
$c + b$	=	$11$	\| $- b$
$c$	=	$11 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (11 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (11 - b)$	=	$- 5$
$- b + 11 - b$	=	$- 5$
$- 2 b + 11$	=	$- 5$	\| $- 11$
$- 2 b$	=	$- 16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 - 8$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (8|3)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 + 3$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 + 3$

= ${(x + 4)}^{2} - 13$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-13).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) + 3$ = $16 - 32 + 3$ = -13

also: S(-4|-13).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

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LGS Anwendungen

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg