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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 4 y$ = $- 34$ .

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$5 \cdot (- 2) + 4 y$ = $- 34$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5 \cdot (- 2) + 4 y$	=	$- 34$
$- 10 + 4 y$	=	$- 34$
$4 y - 10$	=	$- 34$	\| $+ 10$
$4 y$	=	$- 24$	\|: $4$
$y$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (-2|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 2 y$ = $- 7$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|4)
denn -1⋅( - 1 ) -2⋅4 = 1 -8 = $- 7$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|5)
denn -1⋅( - 3 ) -2⋅5 = 3 -10 = $- 7$

Oder : (1|3)
denn -1⋅1 -2⋅3 = -1 -6 = $- 7$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & = & - 20 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & = & - 20 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$- 20$	\|: $4$
$x$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 5 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 5) + 3 y$	=	$- 27$
$- 15 + 3 y$	=	$- 27$
$3 y - 15$	=	$- 27$	\| $+ 15$
$3 y$	=	$- 12$	\|: $3$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 18 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 18 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$- 18$	\| $- 4 y$
$x$	=	$- 18 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 18 - 4 y) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 18 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 18 - 4 y) - 3 y$	=	$19$
$- 36 - 8 y - 3 y$	=	$19$
$- 11 y - 36$	=	$19$	\| $+ 36$
$- 11 y$	=	$55$	\|:( $- 11$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 18 - 4 \cdot (- 5)$

= $- 18 + 20$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 14 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 14 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$- 18$	\| $- 3 y$
$x$	=	$- 18 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 14 & (I) \\ x & = & (- 18 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 18 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 18 - 3 y) + 2 y$	=	$- 14$
$- 18 - 3 y + 2 y$	=	$- 14$
$- y - 18$	=	$- 14$	\| $+ 18$
$- y$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 18 - 3 \cdot (- 4)$

= $- 18 + 12$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{5}{4} & (I) \\ x & + \frac{1}{3} y & = & - \frac{5}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{5}{4} & (I) \\ x & + \frac{1}{3} y & = & - \frac{5}{3} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + \frac{1}{3} y$	=	$- \frac{5}{3}$	\|⋅ 3
$3 (x + \frac{1}{3} y)$	=	$- 5$
$3 x + y$	=	$- 5$	\| $- y$
$3 x$	=	$- 5 - y$	\|: $3$
$x$	=	$- \frac{5}{3} - \frac{1}{3} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{5}{4} & (I) \\ x & = & (- \frac{5}{3} - \frac{1}{3} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- \frac{5}{3} - \frac{1}{3} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{1}{2} \cdot (- \frac{5}{3} - \frac{1}{3} y) - \frac{1}{4} y$	=	$\frac{5}{4}$
$- \frac{5}{6} - \frac{1}{6} y - \frac{1}{4} y$	=	$\frac{5}{4}$
$- \frac{5}{12} y - \frac{5}{6}$	=	$\frac{5}{4}$	\|⋅ 12
$12 (- \frac{5}{12} y - \frac{5}{6})$	=	$15$
$- 5 y - 10$	=	$15$	\| $+ 10$
$- 5 y$	=	$25$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- \frac{5}{3} - \frac{1}{3} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{3} + \frac{5}{3}$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +5y = ?

7x +14y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

3x +5y = 15 +25 = 40

7x +14y = 35 +70 = 105

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +5y = 40

7x +14y = 105

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 12 x & - 4 y & = & - 8 & (I) \\ 3 x & + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 12 x & - 4 y & = & - 8 & (I) \\ 3 x & + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$2$
$y + 3 x$	=	$2$	\| $- 3 x$
$y$	=	$2 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 12 x & - 4 y & = & - 8 & (I) \\ + y & = & (2 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 12 x - 4 \cdot (2 - 3 x)$	=	$- 8$
$- 12 x - 8 + 12 x$	=	$- 8$
$- 8$	=	$- 8$	\| $+ 8$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 11. Wenn man aber vom 6-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 14. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 11 & (I) \\ 6 x & - 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$11$	\| $- 4 y$
$x$	=	$11 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (11 - 4 y) & (I) \\ 6 x & - 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $11 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (11 - 4 y) - 2 y$	=	$14$
$66 - 24 y - 2 y$	=	$14$
$- 26 y + 66$	=	$14$	\| $- 66$
$- 26 y$	=	$- 52$	\|:( $- 26$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $11 - 4 \cdot 2$

= $11 - 8$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-11) und B(-4|-20) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-11): -11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-20): -20 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-11 = 1 -1b +c |-1
-20 = 16 -4b +c |-16

-12 = -1b +c
-36 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 12 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 36 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 36$
$c - 4 b$	=	$- 36$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 36 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 12 & (I) \\ + c & = & (- 36 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 36 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 36 + 4 b)$	=	$- 12$
$- b - 36 + 4 b$	=	$- 12$
$3 b - 36$	=	$- 12$	\| $+ 36$
$3 b$	=	$24$	\|: $3$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 36 + 4 \cdot 8$

= $- 36 + 32$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-4)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-11) und B(-3|-19) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-11): -11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-19): -19 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-11 = 1 -1b +c |-1
-19 = 9 -3b +c |-9

-12 = -1b +c
-28 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 12 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 28 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 28$
$c - 3 b$	=	$- 28$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 28 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 12 & (I) \\ + c & = & (- 28 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 28 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 28 + 3 b)$	=	$- 12$
$- b - 28 + 3 b$	=	$- 12$
$2 b - 28$	=	$- 12$	\| $+ 28$
$2 b$	=	$16$	\|: $2$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 28 + 3 \cdot 8$

= $- 28 + 24$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-4)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 - 4$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 - 4$

= ${(x + 4)}^{2} - 20$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-20).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) - 4$ = $16 - 32 - 4$ = -20

also: S(-4|-20).

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Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

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LGS zu Lösungen finden

LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg