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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 2 y$ = $8$ .

Bestimme y so, dass (4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$5 \cdot 4 - 2 y$ = $8$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5 \cdot 4 - 2 y$	=	$8$
$20 - 2 y$	=	$8$
$- 2 y + 20$	=	$8$	\| $- 20$
$- 2 y$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (4|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - y$ = $11$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|-7)
denn 2⋅2 -1⋅( - 7 ) = 4 +7 = $11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|-9)
denn 2⋅1 -1⋅( - 9 ) = 2 +9 = $11$

Oder : (3|-5)
denn 2⋅3 -1⋅( - 5 ) = 6 +5 = $11$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + y & = & - 1 & (I) \\ - x & + y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $- 1$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 1 \cdot (- 1)$	=	$- 4$
$- x - 1$	=	$- 4$	\| $+ 1$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & - 8 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & - 8 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$- 1$
$y + 2 x$	=	$- 1$	\| $- 2 x$
$y$	=	$- 1 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & - 8 & (I) \\ + y & = & (- 1 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 1 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 4 \cdot (- 1 - 2 x)$	=	$- 8$
$- 4 x + 4 + 8 x$	=	$- 8$
$4 x + 4$	=	$- 8$	\| $- 4$
$4 x$	=	$- 12$	\|: $4$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 1 - 2 \cdot (- 3)$

= $- 1 + 6$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 10 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 10 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 2 y$	=	$10$
$- 2 y - 2 x$	=	$10$	\| $+ 2 x$
$- 2 y$	=	$10 + 2 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 5 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 5 - x) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 5 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (- 5 - x)$	=	$- 15$
$2 x + 15 + 3 x$	=	$- 15$
$5 x + 15$	=	$- 15$	\| $- 15$
$5 x$	=	$- 30$	\|: $5$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5 - (- 6)$

= $- 5 + 6$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{3} x & + \frac{1}{2} y & = & - \frac{7}{6} & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{3} x & + \frac{1}{2} y & = & - \frac{7}{6} & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{3} x + \frac{1}{2} y$	=	$- \frac{7}{6}$
$\frac{1}{2} y + \frac{1}{3} x$	=	$- \frac{7}{6}$	\|⋅ 6
$6 (\frac{1}{2} y + \frac{1}{3} x)$	=	$- 7$
$3 y + 2 x$	=	$- 7$	\| $- 2 x$
$3 y$	=	$- 7 - 2 x$	\|: $3$
$y$	=	$- \frac{7}{3} - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{7}{3} - \frac{2}{3} x) & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{7}{3} - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (- \frac{7}{3} - \frac{2}{3} x)$	=	$- 3$
$3 x + 7 + 2 x$	=	$- 3$
$5 x + 7$	=	$- 3$	\| $- 7$
$5 x$	=	$- 10$	\|: $5$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{7}{3} - \frac{2}{3} \cdot (- 2)$

= $- \frac{7}{3} + \frac{4}{3}$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -5y = ?

3x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

2x -5y = 4 -20 = -16

3x -7y = 6 -28 = -22

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -5y = -16

3x -7y = -22

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 8 x & - 4 y & = & - 5 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 8 x & - 4 y & = & - 5 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$2$
$y - 2 x$	=	$2$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$2 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 8 x & - 4 y & = & - 5 & (I) \\ + y & = & (2 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x - 4 \cdot (2 + 2 x)$	=	$- 5$
$8 x - 8 - 8 x$	=	$- 5$
$- 8$	=	$- 5$	\| $+ 8$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 16. Wenn man aber vom 2-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -4. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 16 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$16$	\| $- 5 y$
$x$	=	$16 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (16 - 5 y) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $16 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (16 - 5 y) - 2 y$	=	$- 4$
$32 - 10 y - 2 y$	=	$- 4$
$- 12 y + 32$	=	$- 4$	\| $- 32$
$- 12 y$	=	$- 36$	\|:( $- 12$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $16 - 5 \cdot 3$

= $16 - 15$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 3

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|0) und B(1|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|4): 4 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
4 = 1 +1b +c |-1

-1 = -1b +c
3 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ b & + c & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$3$
$c + b$	=	$3$	\| $- b$
$c$	=	$3 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (3 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $3 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (3 - b)$	=	$- 1$
$- b + 3 - b$	=	$- 1$
$- 2 b + 3$	=	$- 1$	\| $- 3$
$- 2 b$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $3 - 2$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|11) und B(-3|35) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|11): 11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|35): 35 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
11 = 1 -1b +c |-1
35 = 9 -3b +c |-9

10 = -1b +c
26 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 10 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$26$
$c - 3 b$	=	$26$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$26 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 10 & (I) \\ + c & = & (26 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $26 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (26 + 3 b)$	=	$10$
$- b + 26 + 3 b$	=	$10$
$2 b + 26$	=	$10$	\| $- 26$
$2 b$	=	$- 16$	\|: $2$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $26 + 3 \cdot (- 8)$

= $26 - 24$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 + 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 + 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 14$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-14).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 + 2$ = $16 - 32 + 2$ = -14

also: S(4|-14).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

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