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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 4 y$ = $36$ .

Bestimme y so, dass (-4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot (- 4) + 4 y$ = $36$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 4) + 4 y$	=	$36$
$12 + 4 y$	=	$36$
$4 y + 12$	=	$36$	\| $- 12$
$4 y$	=	$24$	\|: $4$
$y$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (-4|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + y$ = $11$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|-1)
denn 4⋅3 +1⋅( - 1 ) = 12 -1 = $11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-5)
denn 4⋅4 +1⋅( - 5 ) = 16 -5 = $11$

Oder : (2|3)
denn 4⋅2 +1⋅3 = 8 +3 = $11$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 y & = & - 6 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 y & = & - 6 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 3 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot 3$	=	$- 27$
$3 x - 9$	=	$- 27$	\| $+ 9$
$3 x$	=	$- 18$	\|: $3$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 12 & (I) \\ x & + 2 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 12 & (I) \\ x & + 2 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$15$	\| $- 2 y$
$x$	=	$15 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 12 & (I) \\ x & = & (15 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $15 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (15 - 2 y) + 3 y$	=	$12$
$- 30 + 4 y + 3 y$	=	$12$
$7 y - 30$	=	$12$	\| $+ 30$
$7 y$	=	$42$	\|: $7$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $15 - 2 \cdot 6$

= $15 - 12$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & 13 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & 13 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 2$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 2 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & 13 & (I) \\ x & = & (- 2 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 2 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 2 - 2 y) - 3 y$	=	$13$
$8 + 8 y - 3 y$	=	$13$
$5 y + 8$	=	$13$	\| $- 8$
$5 y$	=	$5$	\|: $5$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 2 - 2 \cdot 1$

= $- 2 - 2$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 1$	=	$- 5 x - 22 - 3 y$			(I)
$- 2 x$	=	$x + 13 + 2 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 1$	=	$- 5 x - 22 - 3 y$	\| + $1 + 5 x + 3 y$		(I)
$- 2 x$	=	$x + 13 + 2 y$	\| $- x - 2 y$		(II)

\begin{matrix} 5 x & + 3 y & = & - 21 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 3 y$	=	$- 21$
$3 y + 5 x$	=	$- 21$	\| $- 5 x$
$3 y$	=	$- 21 - 5 x$	\|: $3$
$y$	=	$- 7 - \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 7 - \frac{5}{3} x) & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 7 - \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot (- 7 - \frac{5}{3} x)$	=	$13$
$- 3 x + 14 + \frac{10}{3} x$	=	$13$
$\frac{1}{3} x + 14$	=	$13$	\|⋅ 3
$3 (\frac{1}{3} x + 14)$	=	$39$
$x + 42$	=	$39$	\| $- 42$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 7 - \frac{5}{3} \cdot (- 3)$

= $- 7 + 5$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -3y = ?

1x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

2x -3y = 4 -12 = -8

1x -4y = 2 -16 = -14

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -3y = -8

1x -4y = -14

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 18 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 18 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$- 18$	\| $- 4 y$
$x$	=	$- 18 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 18 & (I) \\ x & = & (- 18 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 18 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 18 - 4 y) + 2 y$	=	$- 18$
$72 + 16 y + 2 y$	=	$- 18$
$18 y + 72$	=	$- 18$	\| $- 72$
$18 y$	=	$- 90$	\|: $18$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 18 - 4 \cdot (- 5)$

= $- 18 + 20$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 50 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 6 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 700 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & 50 & (I) \\ 6 x & - 4 y & = & 700 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 5 y$	=	$50$
$- 5 y + 2 x$	=	$50$	\| $- 2 x$
$- 5 y$	=	$50 - 2 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 10 + \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 10 + \frac{2}{5} x) & (I) \\ 6 x & - 4 y & = & 700 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 10 + \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 4 \cdot (- 10 + \frac{2}{5} x)$	=	$700$
$6 x + 40 - \frac{8}{5} x$	=	$700$
$\frac{22}{5} x + 40$	=	$700$	\|⋅ 5
$5 (\frac{22}{5} x + 40)$	=	$3 500$
$22 x + 200$	=	$3 500$	\| $- 200$
$22 x$	=	$3 300$	\|: $22$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 10 + \frac{2}{5} \cdot 150$

= $- 10 + 60$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (150|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-12) und B(3|-24) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-12): -12 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-24): -24 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 +1b +c |-1
-24 = 9 +3b +c |-9

-13 = 1b +c
-33 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 33 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 33$
$c + 3 b$	=	$- 33$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 33 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ + c & = & (- 33 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 33 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 33 - 3 b)$	=	$- 13$
$b - 33 - 3 b$	=	$- 13$
$- 2 b - 33$	=	$- 13$	\| $+ 33$
$- 2 b$	=	$20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 33 - 3 \cdot (- 10)$

= $- 33 + 30$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|13) und B(2|26) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|13): 13 = 1² + b⋅1 +c

B(2|26): 26 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 +1b +c |-1
26 = 4 +2b +c |-4

12 = 1b +c
22 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 12 & (I) \\ 2 b & + c & = & 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$22$
$c + 2 b$	=	$22$	\| $- 2 b$
$c$	=	$22 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 12 & (I) \\ + c & = & (22 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $22 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (22 - 2 b)$	=	$12$
$b + 22 - 2 b$	=	$12$
$- b + 22$	=	$12$	\| $- 22$
$- b$	=	$- 10$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $22 - 2 \cdot 10$

= $22 - 20$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (10|2)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 2$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 2$

= ${(x + 5)}^{2} - 23$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-23).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 2$ = $25 - 50 + 2$ = -23

also: S(-5|-23).

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1. Weg

2. Weg