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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 2 y$ = $28$ .

Bestimme x so, dass (x|2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 x + 2 \cdot 2$ = $28$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 4 x + 2 \cdot 2$	=	$28$
$- 4 x + 4$	=	$28$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (-6|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 4 y$ = $36$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|7)
denn 2⋅4 +4⋅7 = 8 +28 = $36$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|5)
denn 2⋅8 +4⋅5 = 16 +20 = $36$

Oder : (0|9)
denn 2⋅0 +4⋅9 = 0 +36 = $36$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 4 & (I) \\ + 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 4 & (I) \\ + 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$- 12$	\|: $3$
$y$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 4 & (I) \\ + y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot (- 4)$	=	$- 4$
$4 x - 16$	=	$- 4$	\| $+ 16$
$4 x$	=	$12$	\|: $4$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 8 & (I) \\ - x & - 4 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 8 & (I) \\ - x & - 4 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 4 y$	=	$- 14$	\| $+ 4 y$
$- x$	=	$- 14 + 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$14 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 8 & (I) \\ x & = & (14 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $14 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (14 - 4 y) + y$	=	$8$
$- 28 + 8 y + y$	=	$8$
$9 y - 28$	=	$8$	\| $+ 28$
$9 y$	=	$36$	\|: $9$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $14 - 4 \cdot 4$

= $14 - 16$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & - y & = & - 33 & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 39 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - y & = & - 33 & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 39 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x - y$	=	$- 33$
$- y - 5 x$	=	$- 33$	\| $+ 5 x$
$- y$	=	$- 33 + 5 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$33 - 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (33 - 5 x) & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 39 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $33 - 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 3 \cdot (33 - 5 x)$	=	$39$
$5 x + 99 - 15 x$	=	$39$
$- 10 x + 99$	=	$39$	\| $- 99$
$- 10 x$	=	$- 60$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $33 - 5 \cdot 6$

= $33 - 30$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2 x$	=	$- 2 (4 + y)$			(I)
$- 3 y$	=	$- 5 x - 36$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2 x$	=	$- 2 (4 + y)$			(I)
$- 3 y$	=	$- 5 x - 36$			(II)

$2 x$	=	$- 8 - 2 y$	\| + $2 y$		(I)
$- 3 y$	=	$- 5 x - 36$	\| + $5 x$		(II)

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & - 8 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & - 36 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 2 y$	=	$- 8$
$2 y + 2 x$	=	$- 8$	\| $- 2 x$
$2 y$	=	$- 8 - 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 4 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 4 - x) & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & - 36 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 4 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 3 \cdot (- 4 - x)$	=	$- 36$
$5 x + 12 + 3 x$	=	$- 36$
$8 x + 12$	=	$- 36$	\| $- 12$
$8 x$	=	$- 48$	\|: $8$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 4 - (- 6)$

= $- 4 + 6$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +2y = ?

-3x +7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-1x +2y = 3 -4 = -1

-3x +7y = 9 -14 = -5

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +2y = -1

-3x +7y = -5

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & + y & = & 2 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + y & = & 2 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x + y$	=	$2$
$y + x$	=	$2$	\| $- x$
$y$	=	$2 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (2 - x) & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 3 \cdot (2 - x)$	=	$- 4$
$- 3 x - 6 + 3 x$	=	$- 4$
$- 6$	=	$- 4$	\| $+ 6$
0	=	$2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 350 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 50 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & 350 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 50 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 2 y$	=	$350$
$- 2 y + 3 x$	=	$350$	\| $- 3 x$
$- 2 y$	=	$350 - 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 175 + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 175 + \frac{3}{2} x) & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 50 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 175 + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot (- 175 + \frac{3}{2} x)$	=	$50$
$2 x + 875 - \frac{15}{2} x$	=	$50$
$- \frac{11}{2} x + 875$	=	$50$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{11}{2} x + 875)$	=	$100$
$- 11 x + 1 750$	=	$100$	\| $- 1 750$
$- 11 x$	=	$- 1 650$	\|:( $- 11$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 175 + \frac{3}{2} \cdot 150$

= $- 175 + 225$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (150|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|15) und B(3|43) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|15): 15 = 1² + b⋅1 +c

B(3|43): 43 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
15 = 1 +1b +c |-1
43 = 9 +3b +c |-9

14 = 1b +c
34 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 14 & (I) \\ 3 b & + c & = & 34 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$34$
$c + 3 b$	=	$34$	\| $- 3 b$
$c$	=	$34 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 14 & (I) \\ + c & = & (34 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $34 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (34 - 3 b)$	=	$14$
$b + 34 - 3 b$	=	$14$
$- 2 b + 34$	=	$14$	\| $- 34$
$- 2 b$	=	$- 20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $34 - 3 \cdot 10$

= $34 - 30$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|4)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-9) und B(-2|-12) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-9): -9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-12): -12 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-9 = 1 -1b +c |-1
-12 = 4 -2b +c |-4

-10 = -1b +c
-16 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 10 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 16$
$c - 2 b$	=	$- 16$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 16 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 10 & (I) \\ + c & = & (- 16 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 16 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 16 + 2 b)$	=	$- 10$
$- b - 16 + 2 b$	=	$- 10$
$b - 16$	=	$- 10$	\| $+ 16$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 16 + 2 \cdot 6$

= $- 16 + 12$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 - 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 - 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 13$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-13).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) - 4$ = $9 - 18 - 4$ = -13

also: S(-3|-13).

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Wert zum Einsetzen finden

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg