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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + y$ = $- 6$ .

Bestimme x so, dass (x|-6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 x + (- 6)$ = $- 6$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 5 x + (- 6)$	=	$- 6$
$- 5 x - 6$	=	$- 6$	\| $+ 6$
$- 5 x$	=	0	\|:( $- 5$ )
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 4 y$ = $- 2$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|5)
denn 3⋅6 -4⋅5 = 18 -20 = $- 2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|2)
denn 3⋅2 -4⋅2 = 6 -8 = $- 2$

Oder : (10|8)
denn 3⋅10 -4⋅8 = 30 -32 = $- 2$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 2 y & = & - 32 & (I) \\ + 4 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 2 y & = & - 32 & (I) \\ + 4 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4 y$	=	$- 24$	\|: $4$
$y$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 2 y & = & - 32 & (I) \\ + y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 2 \cdot (- 6)$	=	$- 32$
$4 x - 12$	=	$- 32$	\| $+ 12$
$4 x$	=	$- 20$	\|: $4$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 10 & (I) \\ x & - 4 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 10 & (I) \\ x & - 4 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$15$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$15 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 10 & (I) \\ x & = & (15 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $15 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (15 + 4 y) - 3 y$	=	$10$
$15 + 4 y - 3 y$	=	$10$
$y + 15$	=	$10$	\| $- 15$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $15 + 4 \cdot (- 5)$

= $15 - 20$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & - 4 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - y & = & - 4 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 2 y$	=	$2$	\| $+ 2 y$
$- x$	=	$2 + 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & - 4 & (I) \\ x & = & (- 2 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 2 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 2 - 2 y) - y$	=	$- 4$
$- 4 - 4 y - y$	=	$- 4$
$- 5 y - 4$	=	$- 4$	\| $+ 4$
$- 5 y$	=	0	\|:( $- 5$ )
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 2 - 2 \cdot (0)$

= $- 2 + 0$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + y & = & 5 & (I) \\ 3 x & + \frac{3}{5} y & = & \frac{3}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + y & = & 5 & (I) \\ 3 x & + \frac{3}{5} y & = & \frac{3}{5} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x + y$	=	$5$
$y + x$	=	$5$	\| $- x$
$y$	=	$5 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (5 - x) & (I) \\ 3 x & + \frac{3}{5} y & = & \frac{3}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + \frac{3}{5} \cdot (5 - x)$	=	$\frac{3}{5}$
$3 x + 3 - \frac{3}{5} x$	=	$\frac{3}{5}$
$\frac{12}{5} x + 3$	=	$\frac{3}{5}$	\|⋅ 5
$5 (\frac{12}{5} x + 3)$	=	$3$
$12 x + 15$	=	$3$	\| $- 15$
$12 x$	=	$- 12$	\|: $12$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5 - (- 1)$

= $5 + 1$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +4y = ?

5x +19y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

1x +4y = -5 -8 = -13

5x +19y = -25 -38 = -63

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +4y = -13

5x +19y = -63

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 3 & (I) \\ 12 x & - 12 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 3 & (I) \\ 12 x & - 12 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 3 y$	=	$3$
$3 y - 3 x$	=	$3$	\| $+ 3 x$
$3 y$	=	$3 + 3 x$	\|: $3$
$y$	=	$1 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 + x) & (I) \\ 12 x & - 12 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$12 x - 12 \cdot (1 + x)$	=	$- 15$
$12 x - 12 - 12 x$	=	$- 15$
$- 12$	=	$- 15$	\| $+ 12$
0	=	$- 3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 7 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1825 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1280 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & - 5 y & = & 1825 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 1280 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x - 5 y$	=	$1825$
$- 5 y + 7 x$	=	$1825$	\| $- 7 x$
$- 5 y$	=	$1825 - 7 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 365 + \frac{7}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 365 + \frac{7}{5} x) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 1280 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 365 + \frac{7}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 4 \cdot (- 365 + \frac{7}{5} x)$	=	$1280$
$5 x + 1 460 - \frac{28}{5} x$	=	$1280$
$- \frac{3}{5} x + 1 460$	=	$1280$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{3}{5} x + 1 460)$	=	$6 400$
$- 3 x + 7 300$	=	$6 400$	\| $- 7 300$
$- 3 x$	=	$- 900$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 365 + \frac{7}{5} \cdot 300$

= $- 365 + 420$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (300|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(2|17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|17): 17 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
17 = 4 +2b +c |-4

-5 = -1b +c
13 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$13$
$c + 2 b$	=	$13$	\| $- 2 b$
$c$	=	$13 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (13 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (13 - 2 b)$	=	$- 5$
$- b + 13 - 2 b$	=	$- 5$
$- 3 b + 13$	=	$- 5$	\| $- 13$
$- 3 b$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13 - 2 \cdot 6$

= $13 - 12$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|3) und B(2|10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|3): 3 = 1² + b⋅1 +c

B(2|10): 10 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 +1b +c |-1
10 = 4 +2b +c |-4

2 = 1b +c
6 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 2 & (I) \\ 2 b & + c & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$6$
$c + 2 b$	=	$6$	\| $- 2 b$
$c$	=	$6 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 2 & (I) \\ + c & = & (6 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (6 - 2 b)$	=	$2$
$b + 6 - 2 b$	=	$2$
$- b + 6$	=	$2$	\| $- 6$
$- b$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6 - 2 \cdot 4$

= $6 - 8$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 - 2$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 - 2$

= ${(x + 2)}^{2} - 6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - 2$ = $4 - 8 - 2$ = -6

also: S(-2|-6).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg