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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 4 y$ = $26$ .

Bestimme x so, dass (x|-7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 x - 4 \cdot (- 7)$ = $26$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 2 x - 4 \cdot (- 7)$	=	$26$
$- 2 x + 28$	=	$26$	\| $- 28$
$- 2 x$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (1|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 2 y$ = $8$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|5)
denn -1⋅2 +2⋅5 = -2 +10 = $8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|6)
denn -1⋅4 +2⋅6 = -4 +12 = $8$

Oder : (0|4)
denn -1⋅0 +2⋅4 = 0 +8 = $8$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 y & = & 20 & (I) \\ - x & + y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 y & = & 20 & (I) \\ - x & + y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 5 & (I) \\ - x & + y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 1 \cdot (- 5)$	=	$- 8$
$- x - 5$	=	$- 8$	\| $+ 5$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 3 & (I) \\ 4 x & + y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 3 & (I) \\ 4 x & + y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$21$
$y + 4 x$	=	$21$	\| $- 4 x$
$y$	=	$21 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 3 & (I) \\ + y & = & (21 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $21 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 1 \cdot (21 - 4 x)$	=	$3$
$2 x - 21 + 4 x$	=	$3$
$6 x - 21$	=	$3$	\| $+ 21$
$6 x$	=	$24$	\|: $6$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $21 - 4 \cdot 4$

= $21 - 16$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & - 4 & (I) \\ 3 x & - y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & - 4 & (I) \\ 3 x & - y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x - y$	=	$10$
$- y + 3 x$	=	$10$	\| $- 3 x$
$- y$	=	$10 - 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 10 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & - 4 & (I) \\ + y & = & (- 10 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 10 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 2 \cdot (- 10 + 3 x)$	=	$- 4$
$- 2 x + 20 - 6 x$	=	$- 4$
$- 8 x + 20$	=	$- 4$	\| $- 20$
$- 8 x$	=	$- 24$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 10 + 3 \cdot 3$

= $- 10 + 9$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 5 x + 1 - 7 y$	=	$38 - 3 y$			(I)
$5 y$	=	$5 x + 2 (8 + y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 5 x + 1 - 7 y$	=	$38 - 3 y$			(I)
$5 y$	=	$5 x + 2 (8 + y)$			(II)

$- 5 x + 1 - 7 y$	=	$38 - 3 y$	\| $- 1 + 3 y$		(I)
$5 y$	=	$5 x + 16 + 2 y$	\| $- 5 x - 2 y$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 37 & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 4 y$	=	$37$
$- 4 y - 5 x$	=	$37$	\| $+ 5 x$
$- 4 y$	=	$37 + 5 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{37}{4} - \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{37}{4} - \frac{5}{4} x) & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{37}{4} - \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 3 \cdot (- \frac{37}{4} - \frac{5}{4} x)$	=	$16$
$- 5 x - \frac{111}{4} - \frac{15}{4} x$	=	$16$
$- \frac{35}{4} x - \frac{111}{4}$	=	$16$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{35}{4} x - \frac{111}{4})$	=	$64$
$- 35 x - 111$	=	$64$	\| $+ 111$
$- 35 x$	=	$175$	\|:( $- 35$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{37}{4} - \frac{5}{4} \cdot (- 5)$

= $- \frac{37}{4} + \frac{25}{4}$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -4y = ?

2x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

5x -4y = -20 +8 = -12

2x -4y = -8 +8 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -4y = -12

2x -4y = 0

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & 3 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & 3 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 2 y$	=	$3$
$2 y - 2 x$	=	$3$	\| $+ 2 x$
$2 y$	=	$3 + 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$\frac{3}{2} + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{3}{2} + x) & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{2} + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot (\frac{3}{2} + x)$	=	$- 6$
$4 x - 6 - 4 x$	=	$- 6$
$- 6$	=	$- 6$	\| $+ 6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 9. Wenn man aber vom 4-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -2. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 9 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$9$	\| $- 4 y$
$x$	=	$9 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (9 - 4 y) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $9 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (9 - 4 y) - 3 y$	=	$- 2$
$36 - 16 y - 3 y$	=	$- 2$
$- 19 y + 36$	=	$- 2$	\| $- 36$
$- 19 y$	=	$- 38$	\|:( $- 19$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $9 - 4 \cdot 2$

= $9 - 8$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|0) und B(-1|12) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|12): 12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
12 = 1 -1b +c |-1

-1 = 1b +c
11 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ - b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$11$
$c - b$	=	$11$	\| $+ b$
$c$	=	$11 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (11 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (11 + b)$	=	$- 1$
$b + 11 + b$	=	$- 1$
$2 b + 11$	=	$- 1$	\| $- 11$
$2 b$	=	$- 12$	\|: $2$
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 - 6$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-7) und B(-1|13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-7): -7 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|13): 13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 +1b +c |-1
13 = 1 -1b +c |-1

-8 = 1b +c
12 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 8 & (I) \\ - b & + c & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$12$
$c - b$	=	$12$	\| $+ b$
$c$	=	$12 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 8 & (I) \\ + c & = & (12 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $12 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (12 + b)$	=	$- 8$
$b + 12 + b$	=	$- 8$
$2 b + 12$	=	$- 8$	\| $- 12$
$2 b$	=	$- 20$	\|: $2$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $12 - 10$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|2)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 + 2$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 + 2$

= ${(x - 5)}^{2} - 23$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-23).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 + 2$ = $25 - 50 + 2$ = -23

also: S(5|-23).

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg