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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 5 y$ = $- 5$ .

Bestimme x so, dass (x|-4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 x - 5 \cdot (- 4)$ = $- 5$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 5 x - 5 \cdot (- 4)$	=	$- 5$
$- 5 x + 20$	=	$- 5$	\| $- 20$
$- 5 x$	=	$- 25$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (5|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 2 y$ = $8$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|1)
denn 1⋅6 +2⋅1 = 6 +2 = $8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|0)
denn 1⋅8 +2⋅0 = 8 +0 = $8$

Oder : (4|2)
denn 1⋅4 +2⋅2 = 4 +4 = $8$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & - 3 & (I) \\ 3 x & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & - 3 & (I) \\ 3 x & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & - 3 & (I) \\ x & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot 3 - y$	=	$- 3$
$- 6 - y$	=	$- 3$
$- y - 6$	=	$- 3$	\| $+ 6$
$- y$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 25 & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 25 & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$- 25$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$- 25 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 25 + 4 y) & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 25 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 25 + 4 y) + 4 y$	=	$22$
$- 50 + 8 y + 4 y$	=	$22$
$12 y - 50$	=	$22$	\| $+ 50$
$12 y$	=	$72$	\|: $12$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 25 + 4 \cdot 6$

= $- 25 + 24$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 5 y & = & 12 & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 5 y & = & 12 & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 5 y$	=	$12$	\| $+ 5 y$
$- x$	=	$12 + 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 12 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 12 - 5 y) & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 12 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 12 - 5 y) + 5 y$	=	$- 24$
$36 + 15 y + 5 y$	=	$- 24$
$20 y + 36$	=	$- 24$	\| $- 36$
$20 y$	=	$- 60$	\|: $20$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 12 - 5 \cdot (- 3)$

= $- 12 + 15$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + \frac{3}{4} y & = & - \frac{15}{2} & (I) \\ x & - \frac{1}{3} y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + \frac{3}{4} y & = & - \frac{15}{2} & (I) \\ x & - \frac{1}{3} y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - \frac{1}{3} y$	=	$2$	\|⋅ 3
$3 (x - \frac{1}{3} y)$	=	$6$
$3 x - y$	=	$6$	\| $+ y$
$3 x$	=	$6 + y$	\|: $3$
$x$	=	$2 + \frac{1}{3} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + \frac{3}{4} y & = & - \frac{15}{2} & (I) \\ x & = & (2 + \frac{1}{3} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $2 + \frac{1}{3} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (2 + \frac{1}{3} y) + \frac{3}{4} y$	=	$- \frac{15}{2}$
$- 6 - y + \frac{3}{4} y$	=	$- \frac{15}{2}$
$- \frac{1}{4} y - 6$	=	$- \frac{15}{2}$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{1}{4} y - 6)$	=	$- 30$
$- y - 24$	=	$- 30$	\| $+ 24$
$- y$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $2 + \frac{1}{3} \cdot 6$

= $2 + 2$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -5y = ?

1x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

4x -5y = -20 -10 = -30

1x -2y = -5 -4 = -9

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -5y = -30

1x -2y = -9

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & + 5 y & = & 5 & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 5 y & = & 5 & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 5 y$	=	$5$
$5 y + 4 x$	=	$5$	\| $- 4 x$
$5 y$	=	$5 - 4 x$	\|: $5$
$y$	=	$1 - \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 - \frac{4}{5} x) & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 - \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 5 \cdot (1 - \frac{4}{5} x)$	=	$- 10$
$- 3 x - 5 + 4 x$	=	$- 10$
$x - 5$	=	$- 10$	\| $+ 5$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1 - \frac{4}{5} \cdot (- 5)$

= $1 + 4$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 3 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 150 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 160 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 9 x & + 3 y & = & 150 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 160 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9 x + 3 y$	=	$150$
$3 y + 9 x$	=	$150$	\| $- 9 x$
$3 y$	=	$150 - 9 x$	\|: $3$
$y$	=	$50 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (50 - 3 x) & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 160 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $50 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot (50 - 3 x)$	=	$160$
$4 x + 200 - 12 x$	=	$160$
$- 8 x + 200$	=	$160$	\| $- 200$
$- 8 x$	=	$- 40$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $50 - 3 \cdot 5$

= $50 - 15$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (5|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-2) und B(2|13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|13): 13 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 -1b +c |-1
13 = 4 +2b +c |-4

-3 = -1b +c
9 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ 2 b & + c & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$9$
$c + 2 b$	=	$9$	\| $- 2 b$
$c$	=	$9 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (9 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $9 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (9 - 2 b)$	=	$- 3$
$- b + 9 - 2 b$	=	$- 3$
$- 3 b + 9$	=	$- 3$	\| $- 9$
$- 3 b$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $9 - 2 \cdot 4$

= $9 - 8$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|2) und B(-1|-2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
-2 = 1 -1b +c |-1

1 = 1b +c
-3 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ - b & + c & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 3$
$c - b$	=	$- 3$	\| $+ b$
$c$	=	$- 3 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (- 3 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 3 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 3 + b)$	=	$1$
$b - 3 + b$	=	$1$
$2 b - 3$	=	$1$	\| $+ 3$
$2 b$	=	$4$	\|: $2$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 3 + 2$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 1$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 1$

= ${(x + 1)}^{2} - 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 1$ = $1 - 2 - 1$ = -2

also: S(-1|-2).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg