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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 2 y$ = 0.

Bestimme y so, dass (-4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$(- 4) + 2 y$ = 0

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$(- 4) + 2 y$	=	0
$- 4 + 2 y$	=	0
$2 y - 4$	=	0	\| $+ 4$
$2 y$	=	$4$	\|: $2$
$y$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (-4|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 4 y$ = $22$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|4)
denn 1⋅6 +4⋅4 = 6 +16 = $22$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (10|3)
denn 1⋅10 +4⋅3 = 10 +12 = $22$

Oder : (2|5)
denn 1⋅2 +4⋅5 = 2 +20 = $22$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & - 7 & (I) \\ + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & - 7 & (I) \\ + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$- 2$	\|: $2$
$y$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & - 7 & (I) \\ + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 4 \cdot (- 1)$	=	$- 7$
$3 x - 4$	=	$- 7$	\| $+ 4$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 8 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 8 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$- 4$
$y - 2 x$	=	$- 4$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$- 4 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 8 & (I) \\ + y & = & (- 4 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 4 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 1 \cdot (- 4 + 2 x)$	=	$8$
$2 x - 4 + 2 x$	=	$8$
$4 x - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$12$	\|: $4$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 4 + 2 \cdot 3$

= $- 4 + 6$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & 3 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & 3 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 3 y$	=	$3$
$- 3 y + 2 x$	=	$3$	\| $- 2 x$
$- 3 y$	=	$3 - 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 1 + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 + \frac{2}{3} x) & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 2 \cdot (- 1 + \frac{2}{3} x)$	=	$- 3$
$3 x + 2 - \frac{4}{3} x$	=	$- 3$
$\frac{5}{3} x + 2$	=	$- 3$	\|⋅ 3
$3 (\frac{5}{3} x + 2)$	=	$- 9$
$5 x + 6$	=	$- 9$	\| $- 6$
$5 x$	=	$- 15$	\|: $5$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 + \frac{2}{3} \cdot (- 3)$

= $- 1 - 2$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{3}{2} x & + \frac{3}{4} y & = & 0 & (I) \\ x & + \frac{1}{3} y & = & \frac{10}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{3}{2} x & + \frac{3}{4} y & = & 0 & (I) \\ x & + \frac{1}{3} y & = & \frac{10}{3} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + \frac{1}{3} y$	=	$\frac{10}{3}$	\|⋅ 3
$3 (x + \frac{1}{3} y)$	=	$10$
$3 x + y$	=	$10$	\| $- y$
$3 x$	=	$10 - y$	\|: $3$
$x$	=	$\frac{10}{3} - \frac{1}{3} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - \frac{3}{2} x & + \frac{3}{4} y & = & 0 & (I) \\ x & = & (\frac{10}{3} - \frac{1}{3} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{10}{3} - \frac{1}{3} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- \frac{3}{2} \cdot (\frac{10}{3} - \frac{1}{3} y) + \frac{3}{4} y$	=	0
$- 5 + \frac{1}{2} y + \frac{3}{4} y$	=	0
$\frac{5}{4} y - 5$	=	0	\|⋅ 4
$4 (\frac{5}{4} y - 5)$	=	0
$5 y - 20$	=	0	\| $+ 20$
$5 y$	=	$20$	\|: $5$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{10}{3} - \frac{1}{3} \cdot 4$

= $\frac{10}{3} - \frac{4}{3}$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -1y = ?

1x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

5x -1y = -20 -1 = -21

1x -2y = -4 -2 = -6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -1y = -21

1x -2y = -6

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & - 8 y & = & - 1 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 8 y & = & - 1 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 8 y$	=	$- 1$
$- 8 y + 4 x$	=	$- 1$	\| $- 4 x$
$- 8 y$	=	$- 1 - 4 x$	\|:( $- 8$ )
$y$	=	$\frac{1}{8} + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{8} + \frac{1}{2} x) & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{8} + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 4 \cdot (\frac{1}{8} + \frac{1}{2} x)$	=	$1$
$- 2 x + \frac{1}{2} + 2 x$	=	$1$
$\frac{1}{2}$	=	$1$	\| $- \frac{1}{2}$
0	=	$\frac{1}{2}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 8 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 276 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 306 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 8 y & = & 276 & (I) \\ 6 x & + 9 y & = & 306 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 8 y$	=	$276$
$8 y + 6 x$	=	$276$	\| $- 6 x$
$8 y$	=	$276 - 6 x$	\|: $8$
$y$	=	$\frac{69}{2} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{69}{2} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ 6 x & + 9 y & = & 306 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{69}{2} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 9 \cdot (\frac{69}{2} - \frac{3}{4} x)$	=	$306$
$6 x + \frac{621}{2} - \frac{27}{4} x$	=	$306$
$- \frac{3}{4} x + \frac{621}{2}$	=	$306$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{3}{4} x + \frac{621}{2})$	=	$1 224$
$- 3 x + 1 242$	=	$1 224$	\| $- 1 242$
$- 3 x$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{69}{2} - \frac{3}{4} \cdot 6$

= $\frac{69}{2} - \frac{9}{2}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (6|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-5) und B(3|-17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-17): -17 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
-17 = 9 +3b +c |-9

-6 = 1b +c
-26 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 26$
$c + 3 b$	=	$- 26$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 26 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 26 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 26 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 26 - 3 b)$	=	$- 6$
$b - 26 - 3 b$	=	$- 6$
$- 2 b - 26$	=	$- 6$	\| $+ 26$
$- 2 b$	=	$20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 26 - 3 \cdot (- 10)$

= $- 26 + 30$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|4)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(-2|19) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|19): 19 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
19 = 4 -2b +c |-4

7 = -1b +c
15 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$15$
$c - 2 b$	=	$15$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$15 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (15 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $15 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (15 + 2 b)$	=	$7$
$- b + 15 + 2 b$	=	$7$
$b + 15$	=	$7$	\| $- 15$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $15 + 2 \cdot (- 8)$

= $15 - 16$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-1)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 1$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 1$

= ${(x - 4)}^{2} - 17$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-17).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 1$ = $16 - 32 - 1$ = -17

also: S(4|-17).

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1. Weg

2. Weg