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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + y$ = $16$ .

Bestimme y so, dass (-3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 \cdot (- 3) + y$ = $16$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 5 \cdot (- 3) + y$	=	$16$
$15 + y$	=	$16$
$y + 15$	=	$16$	\| $- 15$
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (-3|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 4 y$ = $- 4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|-6)
denn 4⋅( - 7 ) -4⋅( - 6 ) = -28 +24 = $- 4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-11|-10)
denn 4⋅( - 11 ) -4⋅( - 10 ) = -44 +40 = $- 4$

Oder : (-3|-2)
denn 4⋅( - 3 ) -4⋅( - 2 ) = -12 +8 = $- 4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & = & - 12 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & = & - 12 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 6 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot 6 - 2 y$	=	$8$
$18 - 2 y$	=	$8$
$- 2 y + 18$	=	$8$	\| $- 18$
$- 2 y$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ 3 x & + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ 3 x & + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$5$
$y + 3 x$	=	$5$	\| $- 3 x$
$y$	=	$5 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ + y & = & (5 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $5 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (5 - 3 x)$	=	$- 3$
$3 x - 15 + 9 x$	=	$- 3$
$12 x - 15$	=	$- 3$	\| $+ 15$
$12 x$	=	$12$	\|: $12$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $5 - 3 \cdot 1$

= $5 - 3$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & 40 & (I) \\ x & + 5 y & = & - 28 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & 40 & (I) \\ x & + 5 y & = & - 28 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$- 28$	\| $- 5 y$
$x$	=	$- 28 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & 40 & (I) \\ x & = & (- 28 - 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 28 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 5 \cdot (- 28 - 5 y) - 5 y$	=	$40$
$140 + 25 y - 5 y$	=	$40$
$20 y + 140$	=	$40$	\| $- 140$
$20 y$	=	$- 100$	\|: $20$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 28 - 5 \cdot (- 5)$

= $- 28 + 25$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3 x - 8$	=	$- 4 y$			(I)
$- 2 x$	=	$- 17 + 5 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3 x - 8$	=	$- 4 y$	\| + $8 + 4 y$		(I)
$- 2 x$	=	$- 17 + 5 y$	\| $- 5 y$		(II)

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 8 & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 4 y$	=	$8$
$4 y + 3 x$	=	$8$	\| $- 3 x$
$4 y$	=	$8 - 3 x$	\|: $4$
$y$	=	$2 - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (2 - \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2 - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 5 \cdot (2 - \frac{3}{4} x)$	=	$- 17$
$- 2 x - 10 + \frac{15}{4} x$	=	$- 17$
$\frac{7}{4} x - 10$	=	$- 17$	\|⋅ 4
$4 (\frac{7}{4} x - 10)$	=	$- 68$
$7 x - 40$	=	$- 68$	\| $+ 40$
$7 x$	=	$- 28$	\|: $7$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2 - \frac{3}{4} \cdot (- 4)$

= $2 + 3$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x -5y = ?

-6x -11y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-3x -5y = -12 -25 = -37

-6x -11y = -24 -55 = -79

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x -5y = -37

-6x -11y = -79

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & + y & = & 5 & (I) \\ - x & - y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + y & = & 5 & (I) \\ - x & - y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x - y$	=	$- 5$
$- y - x$	=	$- 5$	\| $+ x$
$- y$	=	$- 5 + x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$5 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + y & = & 5 & (I) \\ + y & = & (5 - x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $5 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 1 \cdot (5 - x)$	=	$5$
$- x + 5 - x$	=	$5$
$- 2 x + 5$	=	$5$	\| $- 5$
$- 2 x$	=	0	\|:( $- 2$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $5 - (0)$

= $5 + 0$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (0|5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 440 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 740 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 4 y & = & 440 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 740 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 4 y$	=	$440$
$- 4 y + 2 x$	=	$440$	\| $- 2 x$
$- 4 y$	=	$440 - 2 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 110 + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 110 + \frac{1}{2} x) & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 740 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 110 + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 4 \cdot (- 110 + \frac{1}{2} x)$	=	$740$
$3 x + 440 - 2 x$	=	$740$
$x + 440$	=	$740$	\| $- 440$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 110 + \frac{1}{2} \cdot 300$

= $- 110 + 150$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (300|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|5) und B(3|29) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|5): 5 = 1² + b⋅1 +c

B(3|29): 29 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 +1b +c |-1
29 = 9 +3b +c |-9

4 = 1b +c
20 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ 3 b & + c & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$20$
$c + 3 b$	=	$20$	\| $- 3 b$
$c$	=	$20 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (20 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $20 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (20 - 3 b)$	=	$4$
$b + 20 - 3 b$	=	$4$
$- 2 b + 20$	=	$4$	\| $- 20$
$- 2 b$	=	$- 16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $20 - 3 \cdot 8$

= $20 - 24$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-4)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|2) und B(2|7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(2|7): 7 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
7 = 4 +2b +c |-4

1 = 1b +c
3 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ 2 b & + c & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$3$
$c + 2 b$	=	$3$	\| $- 2 b$
$c$	=	$3 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (3 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $3 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (3 - 2 b)$	=	$1$
$b + 3 - 2 b$	=	$1$
$- b + 3$	=	$1$	\| $- 3$
$- b$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $3 - 2 \cdot 2$

= $3 - 4$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 1$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 1$

= ${(x + 1)}^{2} - 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 1$ = $1 - 2 - 1$ = -2

also: S(-1|-2).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg