nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -4x +2y = 6 .

Bestimme x so, dass (x|-7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:

-4x +2( -7 ) = 6

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

-4x +2( -7 ) = 6
-4x -14 = 6 | +14
-4x = 20 |:(-4 )
x = -5

Die Lösung ist somit: (-5|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 4x +5y = -48 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|-4)
denn 4⋅( - 7 ) +5( - 4 ) = -28 -20 = -48

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-8)
denn 4⋅( - 2 ) +5( - 8 ) = -8 -40 = -48

Oder : (-12|0)
denn 4⋅( - 12 ) +50 = -48 +0 = -48

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

3x +3y = 9 (I) 4x = -8 (II)

Lösung einblenden
3x +3y = 9 (I) 4x = -8 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

4x = -8 |:4
x = -2

Als neues LGS erhält man so:

3x +3y = 9 (I) x = -2 (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch -2 ersetzen und dann nach y auflösen:

3 · ( -2 ) +3y = 9
-6 +3y = 9
3y -6 = 9 | +6
3y = 15 |:3
y = 5

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

3x -4y = 8 (I) x -4y = 16 (II)

Lösung einblenden
3x -4y = 8 (I) x -4y = 16 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x -4y = 16 | +4y
x = 16 +4y

Als neues LGS erhält man so:

3x -4y = 8 (I) x = ( 16 +4y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( 16 +4y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

3 · ( 16 +4y ) -4y = 8
48 +12y -4y = 8
8y +48 = 8 | -48
8y = -40 |:8
y = -5

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = 16 +4( -5 )

= 16 -20

= -4

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-5x -y = -27 (I) 4x -4y = 12 (II)

Lösung einblenden
-5x -y = -27 (I) 4x -4y = 12 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

-5x - y = -27
-y -5x = -27 | +5x
-y = -27 +5x |:(-1 )
y = 27 -5x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 27 -5x ) (I) 4x -4y = 12 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 27 -5x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

4x -4 · ( 27 -5x ) = 12
4x -108 +20x = 12
24x -108 = 12 | +108
24x = 120 |:24
x = 5

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 27 -55

= 27 -25

= 2

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

3 4 x +y = 3 2 (I) -x -y = 0 (II)

Lösung einblenden
3 4 x +y = 3 2 (I) -x -y = 0 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

-x - y = 0
-y - x = 0 | + x
-y = x |:(-1 )
y = -x

Als neues LGS erhält man so:

3 4 x +y = 3 2 (I) +y = - x (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch -x ersetzen und dann nach x auflösen:

3 4 x + 1 · ( -x ) = 3 2
3 4 x - x = 3 2
- 1 4 x = 3 2 |⋅ 4
-x = 6 |:(-1 )
x = -6

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = -( -6 )

= 6

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -2y = ?

-7x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-4x -2y = -8 -10 = -18

-7x -5y = -14 -25 = -39

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -2y = -18

-7x -5y = -39

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

-4x -3y = 23 (I) x -3y = 13 (II)

Lösung einblenden
-4x -3y = 23 (I) x -3y = 13 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x -3y = 13 | +3y
x = 13 +3y

Als neues LGS erhält man so:

-4x -3y = 23 (I) x = ( 13 +3y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( 13 +3y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-4 · ( 13 +3y ) -3y = 23
-52 -12y -3y = 23
-15y -52 = 23 | +52
-15y = 75 |:(-15 )
y = -5

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = 13 +3( -5 )

= 13 -15

= -2

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 16. Wenn man aber vom 4-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 4. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

x +6y = 16 (I) 4x -6y = 4 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +6y = 16 | -6y
x = 16 -6y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 16 -6y ) (I) 4x -6y = 4 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 16 -6y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

4 · ( 16 -6y ) -6y = 4
64 -24y -6y = 4
-30y +64 = 4 | -64
-30y = -60 |:(-30 )
y = 2

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 16 -62

= 16 -12

= 4

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 2