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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 2 y$ = $- 17$ .

Bestimme y so, dass (-3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$5 \cdot (- 3) + 2 y$ = $- 17$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5 \cdot (- 3) + 2 y$	=	$- 17$
$- 15 + 2 y$	=	$- 17$
$2 y - 15$	=	$- 17$	\| $+ 15$
$2 y$	=	$- 2$	\|: $2$
$y$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-3|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 4 y$ = $- 24$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|-5)
denn -2⋅2 +4⋅( - 5 ) = -4 -20 = $- 24$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|-3)
denn -2⋅6 +4⋅( - 3 ) = -12 -12 = $- 24$

Oder : (-2|-7)
denn -2⋅( - 2 ) +4⋅( - 7 ) = 4 -28 = $- 24$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & = & - 2 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & = & - 2 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 2 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot 2 - 2 y$	=	$2$
$- 2 - 2 y$	=	$2$
$- 2 y - 2$	=	$2$	\| $+ 2$
$- 2 y$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 11 & (I) \\ 3 x & + y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 11 & (I) \\ 3 x & + y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$19$
$y + 3 x$	=	$19$	\| $- 3 x$
$y$	=	$19 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 11 & (I) \\ + y & = & (19 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $19 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 1 \cdot (19 - 3 x)$	=	$- 11$
$- 3 x + 19 - 3 x$	=	$- 11$
$- 6 x + 19$	=	$- 11$	\| $- 19$
$- 6 x$	=	$- 30$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $19 - 3 \cdot 5$

= $19 - 15$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & 18 & (I) \\ x & + 5 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - y & = & 18 & (I) \\ x & + 5 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$6$	\| $- 5 y$
$x$	=	$6 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & 18 & (I) \\ x & = & (6 - 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $6 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (6 - 5 y) - y$	=	$18$
$18 - 15 y - y$	=	$18$
$- 16 y + 18$	=	$18$	\| $- 18$
$- 16 y$	=	0	\|:( $- 16$ )
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $6 - 5 \cdot (0)$

= $6 + 0$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - \frac{1}{2} y & = & 7 & (I) \\ \frac{1}{5} x & - \frac{1}{3} y & = & \frac{28}{15} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - \frac{1}{2} y & = & 7 & (I) \\ \frac{1}{5} x & - \frac{1}{3} y & = & \frac{28}{15} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - \frac{1}{2} y$	=	$7$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} y)$	=	$14$
$2 x - y$	=	$14$	\| $+ y$
$2 x$	=	$14 + y$	\|: $2$
$x$	=	$7 + \frac{1}{2} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (7 + \frac{1}{2} y) & (I) \\ \frac{1}{5} x & - \frac{1}{3} y & = & \frac{28}{15} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7 + \frac{1}{2} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{1}{5} \cdot (7 + \frac{1}{2} y) - \frac{1}{3} y$	=	$\frac{28}{15}$
$\frac{7}{5} + \frac{1}{10} y - \frac{1}{3} y$	=	$\frac{28}{15}$
$- \frac{7}{30} y + \frac{7}{5}$	=	$\frac{28}{15}$	\|⋅ 30
$30 (- \frac{7}{30} y + \frac{7}{5})$	=	$56$
$- 7 y + 42$	=	$56$	\| $- 42$
$- 7 y$	=	$14$	\|:( $- 7$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7 + \frac{1}{2} \cdot (- 2)$

= $7 - 1$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -1y = ?

-2x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-1x -1y = 5 -4 = 1

-2x +1y = 10 +4 = 14

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -1y = 1

-2x +1y = 14

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 2 & (I) \\ 6 x & - 9 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 2 & (I) \\ 6 x & - 9 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 3 y$	=	$2$
$3 y - 2 x$	=	$2$	\| $+ 2 x$
$3 y$	=	$2 + 2 x$	\|: $3$
$y$	=	$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{2}{3} + \frac{2}{3} x) & (I) \\ 6 x & - 9 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{2}{3} + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 9 \cdot (\frac{2}{3} + \frac{2}{3} x)$	=	$- 6$
$6 x - 6 - 6 x$	=	$- 6$
$- 6$	=	$- 6$	\| $+ 6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 2 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 67 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 5 Halogenleuchten zusammen 115 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 9 x & + 2 y & = & 67 & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 115 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9 x + 2 y$	=	$67$
$2 y + 9 x$	=	$67$	\| $- 9 x$
$2 y$	=	$67 - 9 x$	\|: $2$
$y$	=	$\frac{67}{2} - \frac{9}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{67}{2} - \frac{9}{2} x) & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 115 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{67}{2} - \frac{9}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 5 \cdot (\frac{67}{2} - \frac{9}{2} x)$	=	$115$
$5 x + \frac{335}{2} - \frac{45}{2} x$	=	$115$
$- \frac{35}{2} x + \frac{335}{2}$	=	$115$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{35}{2} x + \frac{335}{2})$	=	$230$
$- 35 x + 335$	=	$230$	\| $- 335$
$- 35 x$	=	$- 105$	\|:( $- 35$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{67}{2} - \frac{9}{2} \cdot 3$

= $\frac{67}{2} - \frac{27}{2}$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (3|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|6) und B(-1|-14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-14): -14 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
-14 = 1 -1b +c |-1

5 = 1b +c
-15 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ - b & + c & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 15$
$c - b$	=	$- 15$	\| $+ b$
$c$	=	$- 15 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (- 15 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 15 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 15 + b)$	=	$5$
$b - 15 + b$	=	$5$
$2 b - 15$	=	$5$	\| $+ 15$
$2 b$	=	$20$	\|: $2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 15 + 10$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-6) und B(-2|9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|9): 9 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
9 = 4 -2b +c |-4

-7 = 1b +c
5 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$5$
$c - 2 b$	=	$5$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$5 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (5 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $5 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (5 + 2 b)$	=	$- 7$
$b + 5 + 2 b$	=	$- 7$
$3 b + 5$	=	$- 7$	\| $- 5$
$3 b$	=	$- 12$	\|: $3$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $5 + 2 \cdot (- 4)$

= $5 - 8$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 - 3$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 - 3$

= ${(x - 2)}^{2} - 7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 - 3$ = $4 - 8 - 3$ = -7

also: S(2|-7).

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Wert zum Einsetzen finden

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg