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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 4 y$ = $7$ .

Bestimme x so, dass (x|-1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 x - 4 \cdot (- 1)$ = $7$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (- 1)$	=	$7$
$- 3 x + 4$	=	$7$	\| $- 4$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-1|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 2 y$ = $24$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|-6)
denn 4⋅3 -2⋅( - 6 ) = 12 +12 = $24$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|-10)
denn 4⋅1 -2⋅( - 10 ) = 4 +20 = $24$

Oder : (5|-2)
denn 4⋅5 -2⋅( - 2 ) = 20 +4 = $24$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & = & 24 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & = & 24 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 6 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 6) - 2 y$	=	$2$
$12 - 2 y$	=	$2$
$- 2 y + 12$	=	$2$	\| $- 12$
$- 2 y$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 22 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 22 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 22$
$y - 4 x$	=	$- 22$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 22 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 22 + 4 x) & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 22 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 2 \cdot (- 22 + 4 x)$	=	$- 4$
$- 4 x + 44 - 8 x$	=	$- 4$
$- 12 x + 44$	=	$- 4$	\| $- 44$
$- 12 x$	=	$- 48$	\|:( $- 12$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 22 + 4 \cdot 4$

= $- 22 + 16$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 30 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 60 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 30 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 60 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 30$
$y - 4 x$	=	$- 30$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 30 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 30 + 4 x) & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 60 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 30 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 5 \cdot (- 30 + 4 x)$	=	$60$
$5 x + 150 - 20 x$	=	$60$
$- 15 x + 150$	=	$60$	\| $- 150$
$- 15 x$	=	$- 90$	\|:( $- 15$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 30 + 4 \cdot 6$

= $- 30 + 24$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$5 x - y$	=	$2 (20 - 3 y)$			(I)
$4 y$	=	$3 x + 4$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$5 x - y$	=	$2 (20 - 3 y)$			(I)
$4 y$	=	$3 x + 4$			(II)

$5 x - y$	=	$40 - 6 y$	\| + $6 y$		(I)
$4 y$	=	$3 x + 4$	\| $- 3 x$		(II)

\begin{matrix} 5 x & + 5 y & = & 40 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 5 y$	=	$40$
$5 y + 5 x$	=	$40$	\| $- 5 x$
$5 y$	=	$40 - 5 x$	\|: $5$
$y$	=	$8 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (8 - x) & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $8 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 4 \cdot (8 - x)$	=	$4$
$- 3 x + 32 - 4 x$	=	$4$
$- 7 x + 32$	=	$4$	\| $- 32$
$- 7 x$	=	$- 28$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $8 - 4$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x -3y = ?

-5x -6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-3x -3y = -9 -6 = -15

-5x -6y = -15 -12 = -27

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x -3y = -15

-5x -6y = -27

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & 0 & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & 36 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & 0 & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & 36 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 4 y$	=	0
$4 y + 2 x$	=	0	\| $- 2 x$
$4 y$	=	$- 2 x$	\|: $4$
$y$	=	$- \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - \frac{1}{2} x & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & 36 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- \frac{1}{2} x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 2 \cdot (- \frac{1}{2} x)$	=	$36$
$5 x + x$	=	$36$
$6 x$	=	$36$	\|: $6$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{1}{2} \cdot 6$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 15. Wenn man aber vom 5-fachen von x 5 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 0. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 15 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$15$	\| $- 4 y$
$x$	=	$15 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (15 - 4 y) & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $15 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (15 - 4 y) - 5 y$	=	0
$75 - 20 y - 5 y$	=	0
$- 25 y + 75$	=	0	\| $- 75$
$- 25 y$	=	$- 75$	\|:( $- 25$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $15 - 4 \cdot 3$

= $15 - 12$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 3

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-8) und B(-1|8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-8): -8 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 +1b +c |-1
8 = 1 -1b +c |-1

-9 = 1b +c
7 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ - b & + c & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$7$
$c - b$	=	$7$	\| $+ b$
$c$	=	$7 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ + c & = & (7 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (7 + b)$	=	$- 9$
$b + 7 + b$	=	$- 9$
$2 b + 7$	=	$- 9$	\| $- 7$
$2 b$	=	$- 16$	\|: $2$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7 - 8$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-1)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-7) und B(4|-10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-7): -7 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-10): -10 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 +1b +c |-1
-10 = 16 +4b +c |-16

-8 = 1b +c
-26 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 8 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 26$
$c + 4 b$	=	$- 26$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 26 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 8 & (I) \\ + c & = & (- 26 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 26 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 26 - 4 b)$	=	$- 8$
$b - 26 - 4 b$	=	$- 8$
$- 3 b - 26$	=	$- 8$	\| $+ 26$
$- 3 b$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 26 - 4 \cdot (- 6)$

= $- 26 + 24$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 - 2$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 - 2$

= ${(x - 3)}^{2} - 11$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-11).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 - 2$ = $9 - 18 - 2$ = -11

also: S(3|-11).

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Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS (Standard)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg