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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 4 y$ = $- 24$ .

Bestimme y so, dass (0|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot 0 - 4 y$ = $- 24$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot 0 - 4 y$	=	$- 24$
$- 4 y$	=	$- 24$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (0|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 2 y$ = $16$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|-5)
denn 1⋅6 -2⋅( - 5 ) = 6 +10 = $16$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-6)
denn 1⋅4 -2⋅( - 6 ) = 4 +12 = $16$

Oder : (8|-4)
denn 1⋅8 -2⋅( - 4 ) = 8 +8 = $16$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ + 4 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ + 4 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4 y$	=	$- 4$	\|: $4$
$y$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 3 \cdot (- 1)$	=	$- 3$
$x + 3$	=	$- 3$	\| $- 3$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 16 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 16 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$12$
$y - 2 x$	=	$12$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$12 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 16 & (I) \\ + y & = & (12 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $12 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 1 \cdot (12 + 2 x)$	=	$- 16$
$3 x - 12 - 2 x$	=	$- 16$
$x - 12$	=	$- 16$	\| $+ 12$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $12 + 2 \cdot (- 4)$

= $12 - 8$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 5 y & = & - 5 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 5 y & = & - 5 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 5 y$	=	$- 5$
$5 y - 3 x$	=	$- 5$	\| $+ 3 x$
$5 y$	=	$- 5 + 3 x$	\|: $5$
$y$	=	$- 1 + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 + \frac{3}{5} x) & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 3 \cdot (- 1 + \frac{3}{5} x)$	=	$22$
$- 2 x + 3 - \frac{9}{5} x$	=	$22$
$- \frac{19}{5} x + 3$	=	$22$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{19}{5} x + 3)$	=	$110$
$- 19 x + 15$	=	$110$	\| $- 15$
$- 19 x$	=	$95$	\|:( $- 19$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 + \frac{3}{5} \cdot (- 5)$

= $- 1 - 3$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{3}{2} & (I) \\ - \frac{2}{5} x & + \frac{2}{3} y & = & \frac{4}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{3}{2} & (I) \\ - \frac{2}{5} x & + \frac{2}{3} y & = & \frac{4}{3} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{1}{5} x - \frac{1}{2} y$	=	$\frac{3}{2}$
$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{5} x$	=	$\frac{3}{2}$	\|⋅ 10
$10 (- \frac{1}{2} y - \frac{1}{5} x)$	=	$15$
$- 5 y - 2 x$	=	$15$	\| $+ 2 x$
$- 5 y$	=	$15 + 2 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 3 - \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 3 - \frac{2}{5} x) & (I) \\ - \frac{2}{5} x & + \frac{2}{3} y & = & \frac{4}{3} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 3 - \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{2}{5} x + \frac{2}{3} \cdot (- 3 - \frac{2}{5} x)$	=	$\frac{4}{3}$
$- \frac{2}{5} x - 2 - \frac{4}{15} x$	=	$\frac{4}{3}$
$- \frac{2}{3} x - 2$	=	$\frac{4}{3}$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} x - 2)$	=	$4$
$- 2 x - 6$	=	$4$	\| $+ 6$
$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 3 - \frac{2}{5} \cdot (- 5)$

= $- 3 + 2$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -2y = ?

-2x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

2x -2y = -6 -10 = -16

-2x -1y = 6 -5 = 1

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -2y = -16

-2x -1y = 1

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ - 5 x & + y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ - 5 x & + y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x + y$	=	$- 3$
$y - 5 x$	=	$- 3$	\| $+ 5 x$
$y$	=	$- 3 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ + y & = & (- 3 + 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 3 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot (- 3 + 5 x)$	=	$6$
$2 x + 6 - 10 x$	=	$6$
$- 8 x + 6$	=	$6$	\| $- 6$
$- 8 x$	=	0	\|:( $- 8$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 3 + 5 \cdot (0)$

= $- 3 + 0$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 11. Wenn man aber vom 5-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -15. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 11 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$11$	\| $- 2 y$
$x$	=	$11 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (11 - 2 y) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $11 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (11 - 2 y) - 4 y$	=	$- 15$
$55 - 10 y - 4 y$	=	$- 15$
$- 14 y + 55$	=	$- 15$	\| $- 55$
$- 14 y$	=	$- 70$	\|:( $- 14$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $11 - 2 \cdot 5$

= $11 - 10$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|10) und B(1|-6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|10): 10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 -1b +c |-1
-6 = 1 +1b +c |-1

9 = -1b +c
-7 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ b & + c & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 7$
$c + b$	=	$- 7$	\| $- b$
$c$	=	$- 7 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (- 7 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 7 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 7 - b)$	=	$9$
$- b - 7 - b$	=	$9$
$- 2 b - 7$	=	$9$	\| $+ 7$
$- 2 b$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 7 - (- 8)$

= $- 7 + 8$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|1)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|14) und B(-4|59) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|14): 14 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|59): 59 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
14 = 1 -1b +c |-1
59 = 16 -4b +c |-16

13 = -1b +c
43 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 13 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 43 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$43$
$c - 4 b$	=	$43$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$43 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 13 & (I) \\ + c & = & (43 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $43 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (43 + 4 b)$	=	$13$
$- b + 43 + 4 b$	=	$13$
$3 b + 43$	=	$13$	\| $- 43$
$3 b$	=	$- 30$	\|: $3$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $43 + 4 \cdot (- 10)$

= $43 - 40$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 + 3$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 + 3$

= ${(x - 5)}^{2} - 22$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-22).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 + 3$ = $25 - 50 + 3$ = -22

also: S(5|-22).

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg