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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 5 y$ = $- 7$ .

Bestimme y so, dass (-1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot (- 1) - 5 y$ = $- 7$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 1) - 5 y$	=	$- 7$
$3 - 5 y$	=	$- 7$
$- 5 y + 3$	=	$- 7$	\| $- 3$
$- 5 y$	=	$- 10$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (-1|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 4 y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|-6)
denn -4⋅( - 6 ) +4⋅( - 6 ) = 24 -24 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-2)
denn -4⋅( - 2 ) +4⋅( - 2 ) = 8 -8 = 0

Oder : (-10|-10)
denn -4⋅( - 10 ) +4⋅( - 10 ) = 40 -40 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & = & - 6 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & = & - 6 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 6 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot 6 - 2 y$	=	$- 10$
$- 12 - 2 y$	=	$- 10$
$- 2 y - 12$	=	$- 10$	\| $+ 12$
$- 2 y$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & - 18 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & - 18 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$- 6$
$y - 2 x$	=	$- 6$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$- 6 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & - 18 & (I) \\ + y & = & (- 6 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 6 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 3 \cdot (- 6 + 2 x)$	=	$- 18$
$- 3 x + 18 - 6 x$	=	$- 18$
$- 9 x + 18$	=	$- 18$	\| $- 18$
$- 9 x$	=	$- 36$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 6 + 2 \cdot 4$

= $- 6 + 8$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 13 & (I) \\ x & - y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 13 & (I) \\ x & - y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x - y$	=	$8$
$- y + x$	=	$8$	\| $- x$
$- y$	=	$8 - x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 8 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 13 & (I) \\ + y & = & (- 8 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 8 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 1 \cdot (- 8 + x)$	=	$13$
$2 x + 8 - x$	=	$13$
$x + 8$	=	$13$	\| $- 8$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 8 + 5$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{3} x & - \frac{1}{2} y & = & 1 & (I) \\ - 3 x & + 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{3} x & - \frac{1}{2} y & = & 1 & (I) \\ - 3 x & + 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} y$	=	$1$
$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{3} x$	=	$1$	\|⋅ 6
$6 (- \frac{1}{2} y - \frac{1}{3} x)$	=	$6$
$- 3 y - 2 x$	=	$6$	\| $+ 2 x$
$- 3 y$	=	$6 + 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 2 - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 - \frac{2}{3} x) & (I) \\ - 3 x & + 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 3 \cdot (- 2 - \frac{2}{3} x)$	=	$9$
$- 3 x - 6 - 2 x$	=	$9$
$- 5 x - 6$	=	$9$	\| $+ 6$
$- 5 x$	=	$15$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 - \frac{2}{3} \cdot (- 3)$

= $- 2 + 2$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +3y = ?

3x +11y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

1x +3y = 1 -9 = -8

3x +11y = 3 -33 = -30

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +3y = -8

3x +11y = -30

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 10 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 10 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 4 y$	=	$10$
$- 4 y + 3 x$	=	$10$	\| $- 3 x$
$- 4 y$	=	$10 - 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{5}{2} + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{5}{2} + \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{5}{2} + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 2 \cdot (- \frac{5}{2} + \frac{3}{4} x)$	=	$12$
$- 2 x + 5 - \frac{3}{2} x$	=	$12$
$- \frac{7}{2} x + 5$	=	$12$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{7}{2} x + 5)$	=	$24$
$- 7 x + 10$	=	$24$	\| $- 10$
$- 7 x$	=	$14$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{5}{2} + \frac{3}{4} \cdot (- 2)$

= $- \frac{5}{2} - \frac{3}{2}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 19. Wenn man aber vom 6-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -10. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 19 & (I) \\ 6 x & - 7 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$19$	\| $- 4 y$
$x$	=	$19 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (19 - 4 y) & (I) \\ 6 x & - 7 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $19 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (19 - 4 y) - 7 y$	=	$- 10$
$114 - 24 y - 7 y$	=	$- 10$
$- 31 y + 114$	=	$- 10$	\| $- 114$
$- 31 y$	=	$- 124$	\|:( $- 31$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $19 - 4 \cdot 4$

= $19 - 16$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 4

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(2|-19) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-19): -19 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
-19 = 4 +2b +c |-4

7 = -1b +c
-23 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 23$
$c + 2 b$	=	$- 23$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 23 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (- 23 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 23 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 23 - 2 b)$	=	$7$
$- b - 23 - 2 b$	=	$7$
$- 3 b - 23$	=	$7$	\| $+ 23$
$- 3 b$	=	$30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 23 - 2 \cdot (- 10)$

= $- 23 + 20$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|6) und B(-3|18) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|6): 6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|18): 18 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 -1b +c |-1
18 = 9 -3b +c |-9

5 = -1b +c
9 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$9$
$c - 3 b$	=	$9$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$9 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (9 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $9 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (9 + 3 b)$	=	$5$
$- b + 9 + 3 b$	=	$5$
$2 b + 9$	=	$5$	\| $- 9$
$2 b$	=	$- 4$	\|: $2$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $9 + 3 \cdot (- 2)$

= $9 - 6$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 3$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 3$

= ${(x - 1)}^{2} + 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 3$ = $1 - 2 + 3$ = 2

also: S(1|2).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg