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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 5 y$ = $40$ .

Bestimme x so, dass (x|-7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$5 x - 5 \cdot (- 7)$ = $40$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5 x - 5 \cdot (- 7)$	=	$40$
$5 x + 35$	=	$40$	\| $- 35$
$5 x$	=	$5$	\|: $5$
$x$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (1|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 5 y$ = $4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|2)
denn -2⋅( - 7 ) -5⋅2 = 14 -10 = $4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-12|4)
denn -2⋅( - 12 ) -5⋅4 = 24 -20 = $4$

Oder : (-2|0)
denn -2⋅( - 2 ) -5⋅0 = 4 +0 = $4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - y & = & 6 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - y & = & 6 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- y$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 6 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 2 \cdot (- 6)$	=	$16$
$4 x + 12$	=	$16$	\| $- 12$
$4 x$	=	$4$	\|: $4$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & 12 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & 12 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$- 9$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$- 9 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & 12 & (I) \\ x & = & (- 9 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 9 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 9 + 4 y) + 4 y$	=	$12$
$36 - 16 y + 4 y$	=	$12$
$- 12 y + 36$	=	$12$	\| $- 36$
$- 12 y$	=	$- 24$	\|:( $- 12$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 9 + 4 \cdot 2$

= $- 9 + 8$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 6 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 6 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 2 y$	=	$- 6$
$- 2 y - 4 x$	=	$- 6$	\| $+ 4 x$
$- 2 y$	=	$- 6 + 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$3 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3 - 2 x) & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 3 \cdot (3 - 2 x)$	=	0
$3 x + 9 - 6 x$	=	0
$- 3 x + 9$	=	0	\| $- 9$
$- 3 x$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3 - 2 \cdot 3$

= $3 - 6$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{3}{5} x & + y & = & \frac{4}{5} & (I) \\ \frac{1}{3} x & + y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{3}{5} x & + y & = & \frac{4}{5} & (I) \\ \frac{1}{3} x & + y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$\frac{1}{3} x + y$	=	0
$y + \frac{1}{3} x$	=	0	\|⋅ 3
$3 (y + \frac{1}{3} x)$	=	0
$3 y + x$	=	0	\| $- x$
$3 y$	=	$- x$	\|: $3$
$y$	=	$- \frac{1}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{3}{5} x & + y & = & \frac{4}{5} & (I) \\ + y & = & - \frac{1}{3} x & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- \frac{1}{3} x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{5} x + 1 \cdot (- \frac{1}{3} x)$	=	$\frac{4}{5}$
$\frac{3}{5} x - \frac{1}{3} x$	=	$\frac{4}{5}$
$\frac{4}{15} x$	=	$\frac{4}{5}$	\|⋅ 15
$4 x$	=	$12$	\|: $4$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- \frac{1}{3} \cdot 3$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +1y = ?

3x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

4x +1y = -16 +3 = -13

3x +2y = -12 +6 = -6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +1y = -13

3x +2y = -6

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & 10 & (I) \\ - x & - y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & 10 & (I) \\ - x & - y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x - y$	=	$4$
$- y - x$	=	$4$	\| $+ x$
$- y$	=	$4 + x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 4 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & 10 & (I) \\ + y & = & (- 4 - x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 4 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 3 \cdot (- 4 - x)$	=	$10$
$- 4 x + 12 + 3 x$	=	$10$
$- x + 12$	=	$10$	\| $- 12$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 4 - 2$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 3 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 8 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 252 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 110 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 8 y & = & 252 & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 110 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 8 y$	=	$252$
$8 y + 3 x$	=	$252$	\| $- 3 x$
$8 y$	=	$252 - 3 x$	\|: $8$
$y$	=	$\frac{63}{2} - \frac{3}{8} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{63}{2} - \frac{3}{8} x) & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 110 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{63}{2} - \frac{3}{8} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 3 \cdot (\frac{63}{2} - \frac{3}{8} x)$	=	$110$
$5 x + \frac{189}{2} - \frac{9}{8} x$	=	$110$
$\frac{31}{8} x + \frac{189}{2}$	=	$110$	\|⋅ 8
$8 (\frac{31}{8} x + \frac{189}{2})$	=	$880$
$31 x + 756$	=	$880$	\| $- 756$
$31 x$	=	$124$	\|: $31$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{63}{2} - \frac{3}{8} \cdot 4$

= $\frac{63}{2} - \frac{3}{2}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (4|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|15) und B(-3|43) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|15): 15 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|43): 43 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
15 = 1 -1b +c |-1
43 = 9 -3b +c |-9

14 = -1b +c
34 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 14 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 34 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$34$
$c - 3 b$	=	$34$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$34 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 14 & (I) \\ + c & = & (34 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $34 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (34 + 3 b)$	=	$14$
$- b + 34 + 3 b$	=	$14$
$2 b + 34$	=	$14$	\| $- 34$
$2 b$	=	$- 20$	\|: $2$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $34 + 3 \cdot (- 10)$

= $34 - 30$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|4)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-13) und B(-1|7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-13): -13 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-13 = 1 +1b +c |-1
7 = 1 -1b +c |-1

-14 = 1b +c
6 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 14 & (I) \\ - b & + c & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$6$
$c - b$	=	$6$	\| $+ b$
$c$	=	$6 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 14 & (I) \\ + c & = & (6 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (6 + b)$	=	$- 14$
$b + 6 + b$	=	$- 14$
$2 b + 6$	=	$- 14$	\| $- 6$
$2 b$	=	$- 20$	\|: $2$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6 - 10$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-4)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 - 4$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 - 4$

= ${(x - 5)}^{2} - 29$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-29).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 - 4$ = $25 - 50 - 4$ = -29

also: S(5|-29).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg