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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + y$ = $- 15$ .

Bestimme x so, dass (x|5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$5 x + 5$ = $- 15$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5 x + 5$	=	$- 15$
$5 x + 5$	=	$- 15$	\| $- 5$
$5 x$	=	$- 20$	\|: $5$
$x$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (-4|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 2 y$ = $- 4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-1)
denn 2⋅( - 1 ) +2⋅( - 1 ) = -2 -2 = $- 4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|-3)
denn 2⋅1 +2⋅( - 3 ) = 2 -6 = $- 4$

Oder : (-3|1)
denn 2⋅( - 3 ) +2⋅1 = -6 +2 = $- 4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ - 2 x & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ - 2 x & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ x & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 1) - 3 y$	=	$- 3$
$3 - 3 y$	=	$- 3$
$- 3 y + 3$	=	$- 3$	\| $- 3$
$- 3 y$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 20 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 20 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$- 8$	\| $- 4 y$
$x$	=	$- 8 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 20 & (I) \\ x & = & (- 8 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 8 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 8 - 4 y) + 4 y$	=	$- 20$
$- 32 - 16 y + 4 y$	=	$- 20$
$- 12 y - 32$	=	$- 20$	\| $+ 32$
$- 12 y$	=	$12$	\|:( $- 12$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 8 - 4 \cdot (- 1)$

= $- 8 + 4$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + y & = & 28 & (I) \\ x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + y & = & 28 & (I) \\ x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$10$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$10 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 5 x & + y & = & 28 & (I) \\ x & = & (10 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $10 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (10 + 2 y) + y$	=	$28$
$50 + 10 y + y$	=	$28$
$11 y + 50$	=	$28$	\| $- 50$
$11 y$	=	$- 22$	\|: $11$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $10 + 2 \cdot (- 2)$

= $10 - 4$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 2 & (I) \\ \frac{1}{4} x & - \frac{1}{5} y & = & - \frac{13}{10} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 2 & (I) \\ \frac{1}{4} x & - \frac{1}{5} y & = & - \frac{13}{10} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x - y$	=	$2$
$- y - 3 x$	=	$2$	\| $+ 3 x$
$- y$	=	$2 + 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 2 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 - 3 x) & (I) \\ \frac{1}{4} x & - \frac{1}{5} y & = & - \frac{13}{10} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{4} x - \frac{1}{5} \cdot (- 2 - 3 x)$	=	$- \frac{13}{10}$
$\frac{1}{4} x + \frac{2}{5} + \frac{3}{5} x$	=	$- \frac{13}{10}$
$\frac{17}{20} x + \frac{2}{5}$	=	$- \frac{13}{10}$	\|⋅ 20
$20 (\frac{17}{20} x + \frac{2}{5})$	=	$- 26$
$17 x + 8$	=	$- 26$	\| $- 8$
$17 x$	=	$- 34$	\|: $17$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 - 3 \cdot (- 2)$

= $- 2 + 6$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -4y = ?

9x -10y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

5x -4y = 20 +4 = 24

9x -10y = 36 +10 = 46

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -4y = 24

9x -10y = 46

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & - 4 y & = & 10 & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 4 y & = & 10 & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 4 y$	=	$10$
$- 4 y + 2 x$	=	$10$	\| $- 2 x$
$- 4 y$	=	$10 - 2 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{5}{2} + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{5}{2} + \frac{1}{2} x) & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{5}{2} + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 4 \cdot (- \frac{5}{2} + \frac{1}{2} x)$	=	$22$
$- 2 x + 10 - 2 x$	=	$22$
$- 4 x + 10$	=	$22$	\| $- 10$
$- 4 x$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{5}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 3)$

= $- \frac{5}{2} - \frac{3}{2}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 166 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 2 Halogenleuchten zusammen 98 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & 166 & (I) \\ 6 x & + 2 y & = & 98 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 4 y$	=	$166$
$4 y + 2 x$	=	$166$	\| $- 2 x$
$4 y$	=	$166 - 2 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{83}{2} - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{83}{2} - \frac{1}{2} x) & (I) \\ 6 x & + 2 y & = & 98 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{83}{2} - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 2 \cdot (\frac{83}{2} - \frac{1}{2} x)$	=	$98$
$6 x + 83 - x$	=	$98$
$5 x + 83$	=	$98$	\| $- 83$
$5 x$	=	$15$	\|: $5$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{83}{2} - \frac{1}{2} \cdot 3$

= $\frac{83}{2} - \frac{3}{2}$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (3|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-5) und B(-1|3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|3): 3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
3 = 1 -1b +c |-1

-6 = 1b +c
2 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ - b & + c & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$2$
$c - b$	=	$2$	\| $+ b$
$c$	=	$2 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (2 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $2 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (2 + b)$	=	$- 6$
$b + 2 + b$	=	$- 6$
$2 b + 2$	=	$- 6$	\| $- 2$
$2 b$	=	$- 8$	\|: $2$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $2 - 4$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|10) und B(-1|-10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-10): -10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 +1b +c |-1
-10 = 1 -1b +c |-1

9 = 1b +c
-11 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ - b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 11$
$c - b$	=	$- 11$	\| $+ b$
$c$	=	$- 11 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (- 11 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 11 + b)$	=	$9$
$b - 11 + b$	=	$9$
$2 b - 11$	=	$9$	\| $+ 11$
$2 b$	=	$20$	\|: $2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 + 10$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-1)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 1$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 1$

= ${(x + 5)}^{2} - 26$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-26).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 1$ = $25 - 50 - 1$ = -26

also: S(-5|-26).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg