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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 3 y$ = $9$ .

Bestimme x so, dass (x|-1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$3 x - 3 \cdot (- 1)$ = $9$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (- 1)$	=	$9$
$3 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (2|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + 5 y$ = $7$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|-1)
denn 3⋅4 +5⋅( - 1 ) = 12 -5 = $7$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (9|-4)
denn 3⋅9 +5⋅( - 4 ) = 27 -20 = $7$

Oder : (-1|2)
denn 3⋅( - 1 ) +5⋅2 = -3 +10 = $7$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & = & - 4 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & = & - 4 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$- 4$	\|: $4$
$x$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 1 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 1) + 2 y$	=	0
$- 2 + 2 y$	=	0
$2 y - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 y$	=	$2$	\|: $2$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 2 & (I) \\ 4 x & - y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 2 & (I) \\ 4 x & - y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x - y$	=	$- 19$
$- y + 4 x$	=	$- 19$	\| $- 4 x$
$- y$	=	$- 19 - 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$19 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 2 & (I) \\ + y & = & (19 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $19 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 3 \cdot (19 + 4 x)$	=	$- 2$
$x - 57 - 12 x$	=	$- 2$
$- 11 x - 57$	=	$- 2$	\| $+ 57$
$- 11 x$	=	$55$	\|:( $- 11$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $19 + 4 \cdot (- 5)$

= $19 - 20$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & + 2 y & = & 21 & (I) \\ - 4 x & - y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & + 2 y & = & 21 & (I) \\ - 4 x & - y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x - y$	=	$9$
$- y - 4 x$	=	$9$	\| $+ 4 x$
$- y$	=	$9 + 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 9 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & + 2 y & = & 21 & (I) \\ + y & = & (- 9 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 9 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 2 \cdot (- 9 - 4 x)$	=	$21$
$- 5 x - 18 - 8 x$	=	$21$
$- 13 x - 18$	=	$21$	\| $+ 18$
$- 13 x$	=	$39$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 9 - 4 \cdot (- 3)$

= $- 9 + 12$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 2 x - 3 y$	=	$x + 18$			(I)
$x + 2 (5 + 2 y)$	=	$1$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 2 x - 3 y$	=	$x + 18$			(I)
$x + 2 (5 + 2 y)$	=	$1$			(II)

$- 2 x - 3 y$	=	$x + 18$	\| $- x$		(I)
$x + 10 + 4 y$	=	$1$	\| $- 10$		(II)

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & 18 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$- 9$	\| $- 4 y$
$x$	=	$- 9 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & 18 & (I) \\ x & = & (- 9 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 9 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 9 - 4 y) - 3 y$	=	$18$
$27 + 12 y - 3 y$	=	$18$
$9 y + 27$	=	$18$	\| $- 27$
$9 y$	=	$- 9$	\|: $9$
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 9 - 4 \cdot (- 1)$

= $- 9 + 4$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +2y = ?

1x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-3x +2y = 6 +10 = 16

1x -4y = -2 -20 = -22

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +2y = 16

1x -4y = -22

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 16 x & - 12 y & = & - 10 & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 16 x & - 12 y & = & - 10 & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$16 x - 12 y$	=	$- 10$
$- 12 y + 16 x$	=	$- 10$	\| $- 16 x$
$- 12 y$	=	$- 10 - 16 x$	\|:( $- 12$ )
$y$	=	$\frac{5}{6} + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{5}{6} + \frac{4}{3} x) & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{5}{6} + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 3 \cdot (\frac{5}{6} + \frac{4}{3} x)$	=	$2$
$- 4 x + \frac{5}{2} + 4 x$	=	$2$
$\frac{5}{2}$	=	$2$	\| $- \frac{5}{2}$
0	=	$- \frac{1}{2}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 14. Wenn man aber vom 5-fachen von x 5 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 10. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 14 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$14$	\| $- 5 y$
$x$	=	$14 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (14 - 5 y) & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $14 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (14 - 5 y) - 5 y$	=	$10$
$70 - 25 y - 5 y$	=	$10$
$- 30 y + 70$	=	$10$	\| $- 70$
$- 30 y$	=	$- 60$	\|:( $- 30$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $14 - 5 \cdot 2$

= $14 - 10$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-2) und B(-2|25) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|25): 25 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
25 = 4 -2b +c |-4

-3 = 1b +c
21 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$21$
$c - 2 b$	=	$21$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$21 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (21 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $21 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (21 + 2 b)$	=	$- 3$
$b + 21 + 2 b$	=	$- 3$
$3 b + 21$	=	$- 3$	\| $- 21$
$3 b$	=	$- 24$	\|: $3$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $21 + 2 \cdot (- 8)$

= $21 - 16$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|5)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-3) und B(-2|-8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-8): -8 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 -1b +c |-1
-8 = 4 -2b +c |-4

-4 = -1b +c
-12 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 12$
$c - 2 b$	=	$- 12$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 12 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (- 12 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 12 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 12 + 2 b)$	=	$- 4$
$- b - 12 + 2 b$	=	$- 4$
$b - 12$	=	$- 4$	\| $+ 12$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 12 + 2 \cdot 8$

= $- 12 + 16$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|4)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 + 4$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 + 4$

= ${(x + 4)}^{2} - 12$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-12).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) + 4$ = $16 - 32 + 4$ = -12

also: S(-4|-12).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg