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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 3 y$ = $- 18$ .

Bestimme x so, dass (x|2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 x + 3 \cdot 2$ = $- 18$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 4 x + 3 \cdot 2$	=	$- 18$
$- 4 x + 6$	=	$- 18$	\| $- 6$
$- 4 x$	=	$- 24$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 4 y$ = $13$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|4)
denn -1⋅3 +4⋅4 = -3 +16 = $13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (7|5)
denn -1⋅7 +4⋅5 = -7 +20 = $13$

Oder : (-1|3)
denn -1⋅( - 1 ) +4⋅3 = 1 +12 = $13$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 2 y & = & - 10 & (I) \\ 4 x & - y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 2 y & = & - 10 & (I) \\ 4 x & - y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$- 10$	\|: $2$
$y$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 5 & (I) \\ 4 x & - y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 1 \cdot (- 5)$	=	$- 19$
$4 x + 5$	=	$- 19$	\| $- 5$
$4 x$	=	$- 24$	\|: $4$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 31 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 31 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$- 3$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$- 3 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 31 & (I) \\ x & = & (- 3 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 3 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 3 + 2 y) - 4 y$	=	$- 31$
$9 - 6 y - 4 y$	=	$- 31$
$- 10 y + 9$	=	$- 31$	\| $- 9$
$- 10 y$	=	$- 40$	\|:( $- 10$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 3 + 2 \cdot 4$

= $- 3 + 8$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 3 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 3 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 3$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 3 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 3 - 2 y) & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 3 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 3 - 2 y) + 4 y$	=	$- 24$
$12 + 8 y + 4 y$	=	$- 24$
$12 y + 12$	=	$- 24$	\| $- 12$
$12 y$	=	$- 36$	\|: $12$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 3 - 2 \cdot (- 3)$

= $- 3 + 6$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$8 (x - 3) - 5 y$	=	$5 x$			(I)
$3 x + 5 y$	=	$- 6$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$8 (x - 3) - 5 y$	=	$5 x$			(I)
$3 x + 5 y$	=	$- 6$			(II)

$8 x - 24 - 5 y$	=	$5 x$	\| + $24 - 5 x$		(I)
$3 x + 5 y$	=	$- 6$			(II)

\begin{matrix} 3 x & - 5 y & = & 24 & (I) \\ 3 x & + 5 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 5 y$	=	$24$
$- 5 y + 3 x$	=	$24$	\| $- 3 x$
$- 5 y$	=	$24 - 3 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- \frac{24}{5} + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{24}{5} + \frac{3}{5} x) & (I) \\ 3 x & + 5 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{24}{5} + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 5 \cdot (- \frac{24}{5} + \frac{3}{5} x)$	=	$- 6$
$3 x - 24 + 3 x$	=	$- 6$
$6 x - 24$	=	$- 6$	\| $+ 24$
$6 x$	=	$18$	\|: $6$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{24}{5} + \frac{3}{5} \cdot 3$

= $- \frac{24}{5} + \frac{9}{5}$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -1y = ?

-4x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-1x -1y = -4 -5 = -9

-4x -7y = -16 -35 = -51

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -1y = -9

-4x -7y = -51

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ 6 x & - 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ 6 x & - 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 2 y$	=	$- 2$
$2 y - 3 x$	=	$- 2$	\| $+ 3 x$
$2 y$	=	$- 2 + 3 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 1 + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 + \frac{3}{2} x) & (I) \\ 6 x & - 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 4 \cdot (- 1 + \frac{3}{2} x)$	=	$3$
$6 x + 4 - 6 x$	=	$3$
$4$	=	$3$	\| $- 4$
0	=	$- 1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 7 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 210 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 8 Halogenleuchten zusammen 235 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 7 y & = & 210 & (I) \\ 7 x & + 8 y & = & 235 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 7 y$	=	$210$
$7 y + 7 x$	=	$210$	\| $- 7 x$
$7 y$	=	$210 - 7 x$	\|: $7$
$y$	=	$30 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (30 - x) & (I) \\ 7 x & + 8 y & = & 235 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $30 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x + 8 \cdot (30 - x)$	=	$235$
$7 x + 240 - 8 x$	=	$235$
$- x + 240$	=	$235$	\| $- 240$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $30 - 5$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (5|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|13) und B(2|24) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|13): 13 = 1² + b⋅1 +c

B(2|24): 24 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 +1b +c |-1
24 = 4 +2b +c |-4

12 = 1b +c
20 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 12 & (I) \\ 2 b & + c & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$20$
$c + 2 b$	=	$20$	\| $- 2 b$
$c$	=	$20 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 12 & (I) \\ + c & = & (20 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $20 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (20 - 2 b)$	=	$12$
$b + 20 - 2 b$	=	$12$
$- b + 20$	=	$12$	\| $- 20$
$- b$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $20 - 2 \cdot 8$

= $20 - 16$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|4)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|6) und B(-2|-21) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-21): -21 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
-21 = 4 -2b +c |-4

5 = 1b +c
-25 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 25$
$c - 2 b$	=	$- 25$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 25 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (- 25 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 25 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 25 + 2 b)$	=	$5$
$b - 25 + 2 b$	=	$5$
$3 b - 25$	=	$5$	\| $+ 25$
$3 b$	=	$30$	\|: $3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 25 + 2 \cdot 10$

= $- 25 + 20$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 30$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-30).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 5$ = $25 - 50 - 5$ = -30

also: S(-5|-30).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

LGS (vorher umformen)

LGS zu Lösungen finden

LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg