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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 4 y$ = $- 18$ .

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$- (- 2) + 4 y$ = $- 18$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- (- 2) + 4 y$	=	$- 18$
$2 + 4 y$	=	$- 18$
$4 y + 2$	=	$- 18$	\| $- 2$
$4 y$	=	$- 20$	\|: $4$
$y$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (-2|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 3 y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|2)
denn 1⋅( - 6 ) +3⋅2 = -6 +6 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|1)
denn 1⋅( - 3 ) +3⋅1 = -3 +3 = 0

Oder : (-9|3)
denn 1⋅( - 9 ) +3⋅3 = -9 +9 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & - 3 & (I) \\ 4 x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & - 3 & (I) \\ 4 x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$- 4$	\|: $4$
$x$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & - 3 & (I) \\ x & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 1) - y$	=	$- 3$
$3 - y$	=	$- 3$
$- y + 3$	=	$- 3$	\| $- 3$
$- y$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 1 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 1 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$- 8$
$y + 2 x$	=	$- 8$	\| $- 2 x$
$y$	=	$- 8 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 1 & (I) \\ + y & = & (- 8 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 8 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 2 \cdot (- 8 - 2 x)$	=	$1$
$x + 16 + 4 x$	=	$1$
$5 x + 16$	=	$1$	\| $- 16$
$5 x$	=	$- 15$	\|: $5$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 8 - 2 \cdot (- 3)$

= $- 8 + 6$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 4 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 4 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 4$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 4 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 4 - 2 y) & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 4 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 4 - 2 y) + 4 y$	=	$- 20$
$16 + 8 y + 4 y$	=	$- 20$
$12 y + 16$	=	$- 20$	\| $- 16$
$12 y$	=	$- 36$	\|: $12$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 4 - 2 \cdot (- 3)$

= $- 4 + 6$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 5 x + 24$	=	$2 y$			(I)
$2 (2 x - 1) - y$	=	$x + 28 + 3 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 5 x + 24$	=	$2 y$			(I)
$2 (2 x - 1) - y$	=	$x + 28 + 3 y$			(II)

$- 5 x + 24$	=	$2 y$	\| $- 24 - 2 y$		(I)
$4 x - 2 - y$	=	$x + 28 + 3 y$	\| + $2 - x - 3 y$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & - 2 y & = & - 24 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 2 y$	=	$- 24$
$- 2 y - 5 x$	=	$- 24$	\| $+ 5 x$
$- 2 y$	=	$- 24 + 5 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$12 - \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (12 - \frac{5}{2} x) & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $12 - \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 4 \cdot (12 - \frac{5}{2} x)$	=	$30$
$3 x - 48 + 10 x$	=	$30$
$13 x - 48$	=	$30$	\| $+ 48$
$13 x$	=	$78$	\|: $13$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $12 - \frac{5}{2} \cdot 6$

= $12 - 15$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -2y = ?

-6x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-2x -2y = 4 -6 = -2

-6x -4y = 12 -12 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -2y = -2

-6x -4y = 0

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & - y & = & - 27 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - y & = & - 27 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x - y$	=	$- 27$
$- y + 4 x$	=	$- 27$	\| $- 4 x$
$- y$	=	$- 27 - 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$27 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (27 + 4 x) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $27 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot (27 + 4 x)$	=	$- 18$
$2 x - 54 - 8 x$	=	$- 18$
$- 6 x - 54$	=	$- 18$	\| $+ 54$
$- 6 x$	=	$36$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $27 + 4 \cdot (- 6)$

= $27 - 24$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 20. Wenn man aber vom 5-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -8. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 20 & (I) \\ 5 x & - 7 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$20$	\| $- 4 y$
$x$	=	$20 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (20 - 4 y) & (I) \\ 5 x & - 7 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $20 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (20 - 4 y) - 7 y$	=	$- 8$
$100 - 20 y - 7 y$	=	$- 8$
$- 27 y + 100$	=	$- 8$	\| $- 100$
$- 27 y$	=	$- 108$	\|:( $- 27$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $20 - 4 \cdot 4$

= $20 - 16$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 4

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(1|-12) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-12): -12 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
-12 = 1 +1b +c |-1

7 = -1b +c
-13 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ b & + c & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 13$
$c + b$	=	$- 13$	\| $- b$
$c$	=	$- 13 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (- 13 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 13 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 13 - b)$	=	$7$
$- b - 13 - b$	=	$7$
$- 2 b - 13$	=	$7$	\| $+ 13$
$- 2 b$	=	$20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 13 - (- 10)$

= $- 13 + 10$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-11) und B(-2|16) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-11): -11 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|16): 16 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-11 = 1 +1b +c |-1
16 = 4 -2b +c |-4

-12 = 1b +c
12 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 12 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$12$
$c - 2 b$	=	$12$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$12 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 12 & (I) \\ + c & = & (12 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $12 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (12 + 2 b)$	=	$- 12$
$b + 12 + 2 b$	=	$- 12$
$3 b + 12$	=	$- 12$	\| $- 12$
$3 b$	=	$- 24$	\|: $3$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $12 + 2 \cdot (- 8)$

= $12 - 16$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-4)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 4$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 4$

= ${(x - 4)}^{2} - 20$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-20).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 4$ = $16 - 32 - 4$ = -20

also: S(4|-20).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg