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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 5 y$ = $- 7$ .

Bestimme y so, dass (6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$3 \cdot 6 - 5 y$ = $- 7$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3 \cdot 6 - 5 y$	=	$- 7$
$18 - 5 y$	=	$- 7$
$- 5 y + 18$	=	$- 7$	\| $- 18$
$- 5 y$	=	$- 25$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (6|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + y$ = $- 13$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|-5)
denn -4⋅2 +1⋅( - 5 ) = -8 -5 = $- 13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|-1)
denn -4⋅3 +1⋅( - 1 ) = -12 -1 = $- 13$

Oder : (1|-9)
denn -4⋅1 +1⋅( - 9 ) = -4 -9 = $- 13$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & = & 24 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & = & 24 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$24$	\|: $4$
$x$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 6 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot 6 + y$	=	$- 15$
$- 12 + y$	=	$- 15$
$y - 12$	=	$- 15$	\| $+ 12$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 4 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 4 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$4$
$y + 3 x$	=	$4$	\| $- 3 x$
$y$	=	$4 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (4 - 3 x) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot (4 - 3 x)$	=	$1$
$4 x - 12 + 9 x$	=	$1$
$13 x - 12$	=	$1$	\| $+ 12$
$13 x$	=	$13$	\|: $13$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4 - 3 \cdot 1$

= $4 - 3$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 28 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 28 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$28$
$y + 4 x$	=	$28$	\| $- 4 x$
$y$	=	$28 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (28 - 4 x) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $28 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot (28 - 4 x)$	=	$12$
$4 x - 84 + 12 x$	=	$12$
$16 x - 84$	=	$12$	\| $+ 84$
$16 x$	=	$96$	\|: $16$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $28 - 4 \cdot 6$

= $28 - 24$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$5 y$	=	$2 x + 17$			(I)
$- 3 + 7 y$	=	$4 (x + 6) + 4 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$5 y$	=	$2 x + 17$			(I)
$- 3 + 7 y$	=	$4 (x + 6) + 4 y$			(II)

$5 y$	=	$2 x + 17$	\| $- 2 x$		(I)
$- 3 + 7 y$	=	$4 x + 24 + 4 y$	\| + $3 - 4 x - 4 y$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & + 5 y & = & 17 & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & 27 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 5 y$	=	$17$
$5 y - 2 x$	=	$17$	\| $+ 2 x$
$5 y$	=	$17 + 2 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{17}{5} + \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{17}{5} + \frac{2}{5} x) & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & 27 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{17}{5} + \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 3 \cdot (\frac{17}{5} + \frac{2}{5} x)$	=	$27$
$- 4 x + \frac{51}{5} + \frac{6}{5} x$	=	$27$
$- \frac{14}{5} x + \frac{51}{5}$	=	$27$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{14}{5} x + \frac{51}{5})$	=	$135$
$- 14 x + 51$	=	$135$	\| $- 51$
$- 14 x$	=	$84$	\|:( $- 14$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{17}{5} + \frac{2}{5} \cdot (- 6)$

= $\frac{17}{5} - \frac{12}{5}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +2y = ?

5x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

3x +2y = 6 -6 = 0

5x +5y = 10 -15 = -5

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +2y = 0

5x +5y = -5

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 1 & (I) \\ - 16 x & + 16 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 1 & (I) \\ - 16 x & + 16 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 4 y$	=	$1$
$- 4 y + 4 x$	=	$1$	\| $- 4 x$
$- 4 y$	=	$1 - 4 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{1}{4} + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{4} + x) & (I) \\ - 16 x & + 16 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{4} + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 16 x + 16 \cdot (- \frac{1}{4} + x)$	=	$- 2$
$- 16 x - 4 + 16 x$	=	$- 2$
$- 4$	=	$- 2$	\| $+ 4$
0	=	$2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 31. Wenn man aber vom 4-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -11. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 6 y & = & 31 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 6 y$	=	$31$	\| $- 6 y$
$x$	=	$31 - 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (31 - 6 y) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $31 - 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (31 - 6 y) - 3 y$	=	$- 11$
$124 - 24 y - 3 y$	=	$- 11$
$- 27 y + 124$	=	$- 11$	\| $- 124$
$- 27 y$	=	$- 135$	\|:( $- 27$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $31 - 6 \cdot 5$

= $31 - 30$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|1) und B(2|2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|1): 1 = 1² + b⋅1 +c

B(2|2): 2 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 +1b +c |-1
2 = 4 +2b +c |-4

0 = 1b +c
-2 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 2$
$c + 2 b$	=	$- 2$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 2 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (- 2 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 2 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 2 - 2 b)$	=	0
$b - 2 - 2 b$	=	0
$- b - 2$	=	0	\| $+ 2$
$- b$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 2 - 2 \cdot (- 2)$

= $- 2 + 4$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-7) und B(1|13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-7): -7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|13): 13 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 -1b +c |-1
13 = 1 +1b +c |-1

-8 = -1b +c
12 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ b & + c & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$12$
$c + b$	=	$12$	\| $- b$
$c$	=	$12 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ + c & = & (12 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $12 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (12 - b)$	=	$- 8$
$- b + 12 - b$	=	$- 8$
$- 2 b + 12$	=	$- 8$	\| $- 12$
$- 2 b$	=	$- 20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $12 - 10$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (10|2)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 2$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 2$

= ${(x + 5)}^{2} - 23$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-23).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 2$ = $25 - 50 + 2$ = -23

also: S(-5|-23).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS (Standard)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg