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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - y$ = $- 6$ .

Bestimme x so, dass (x|6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$3 x - 6$ = $- 6$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3 x - 6$	=	$- 6$
$3 x - 6$	=	$- 6$	\| $+ 6$
$3 x$	=	0	\|: $3$
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 3 y$ = $- 15$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|5)
denn -1⋅0 -3⋅5 = 0 -15 = $- 15$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|6)
denn -1⋅( - 3 ) -3⋅6 = 3 -18 = $- 15$

Oder : (3|4)
denn -1⋅3 -3⋅4 = -3 -12 = $- 15$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 2 y & = & - 30 & (I) \\ - x & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 2 y & = & - 30 & (I) \\ - x & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 2 y & = & - 30 & (I) \\ x & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 5) + 2 y$	=	$- 30$
$- 20 + 2 y$	=	$- 30$
$2 y - 20$	=	$- 30$	\| $+ 20$
$2 y$	=	$- 10$	\|: $2$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 4 y & = & 30 & (I) \\ 4 x & + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 4 y & = & 30 & (I) \\ 4 x & + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$6$
$y + 4 x$	=	$6$	\| $- 4 x$
$y$	=	$6 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 4 y & = & 30 & (I) \\ + y & = & (6 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $6 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 4 \cdot (6 - 4 x)$	=	$30$
$2 x - 24 + 16 x$	=	$30$
$18 x - 24$	=	$30$	\| $+ 24$
$18 x$	=	$54$	\|: $18$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $6 - 4 \cdot 3$

= $6 - 12$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 34 & (I) \\ 5 x & - y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 34 & (I) \\ 5 x & - y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$5 x - y$	=	$26$
$- y + 5 x$	=	$26$	\| $- 5 x$
$- y$	=	$26 - 5 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 26 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 34 & (I) \\ + y & = & (- 26 + 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 26 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot (- 26 + 5 x)$	=	$34$
$4 x + 78 - 15 x$	=	$34$
$- 11 x + 78$	=	$34$	\| $- 78$
$- 11 x$	=	$- 44$	\|:( $- 11$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 26 + 5 \cdot 4$

= $- 26 + 20$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{3}{5} x & + 3 y & = & \frac{33}{5} & (I) \\ - \frac{3}{4} x & + \frac{3}{4} y & = & \frac{9}{4} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{3}{5} x & + 3 y & = & \frac{33}{5} & (I) \\ - \frac{3}{4} x & + \frac{3}{4} y & = & \frac{9}{4} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{3}{5} x + 3 y$	=	$\frac{33}{5}$
$3 y - \frac{3}{5} x$	=	$\frac{33}{5}$	\|⋅ 5
$5 (3 y - \frac{3}{5} x)$	=	$33$
$15 y - 3 x$	=	$33$	\| $+ 3 x$
$15 y$	=	$33 + 3 x$	\|: $15$
$y$	=	$\frac{11}{5} + \frac{1}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{11}{5} + \frac{1}{5} x) & (I) \\ - \frac{3}{4} x & + \frac{3}{4} y & = & \frac{9}{4} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{11}{5} + \frac{1}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot (\frac{11}{5} + \frac{1}{5} x)$	=	$\frac{9}{4}$
$- \frac{3}{4} x + \frac{33}{20} + \frac{3}{20} x$	=	$\frac{9}{4}$
$- \frac{3}{5} x + \frac{33}{20}$	=	$\frac{9}{4}$	\|⋅ 20
$20 (- \frac{3}{5} x + \frac{33}{20})$	=	$45$
$- 12 x + 33$	=	$45$	\| $- 33$
$- 12 x$	=	$12$	\|:( $- 12$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{11}{5} + \frac{1}{5} \cdot (- 1)$

= $\frac{11}{5} - \frac{1}{5}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -3y = ?

-9x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-5x -3y = 5 -12 = -7

-9x -7y = 9 -28 = -19

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -3y = -7

-9x -7y = -19

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 0 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 0 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	0
$- y - 2 x$	=	0	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 0 & (I) \\ + y & = & - 2 x & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 2 x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 3 \cdot (- 2 x)$	=
$x - 6 x$	=
$- 5 x$	=	\|:( $- 5$ )
$x$	=

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 2 \cdot (0)$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|0)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 7 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 257 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 2 LED-Leuchtmittel und 2 Halogenleuchten zusammen 82 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 7 y & = & 257 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 82 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 7 y$	=	$257$
$7 y + 2 x$	=	$257$	\| $- 2 x$
$7 y$	=	$257 - 2 x$	\|: $7$
$y$	=	$\frac{257}{7} - \frac{2}{7} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{257}{7} - \frac{2}{7} x) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 82 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{257}{7} - \frac{2}{7} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (\frac{257}{7} - \frac{2}{7} x)$	=	$82$
$2 x + \frac{514}{7} - \frac{4}{7} x$	=	$82$
$\frac{10}{7} x + \frac{514}{7}$	=	$82$	\|⋅ 7
$7 (\frac{10}{7} x + \frac{514}{7})$	=	$574$
$10 x + 514$	=	$574$	\| $- 514$
$10 x$	=	$60$	\|: $10$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{257}{7} - \frac{2}{7} \cdot 6$

= $\frac{257}{7} - \frac{12}{7}$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (6|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|6) und B(4|51) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(4|51): 51 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
51 = 16 +4b +c |-16

5 = 1b +c
35 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ 4 b & + c & = & 35 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$35$
$c + 4 b$	=	$35$	\| $- 4 b$
$c$	=	$35 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (35 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $35 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (35 - 4 b)$	=	$5$
$b + 35 - 4 b$	=	$5$
$- 3 b + 35$	=	$5$	\| $- 35$
$- 3 b$	=	$- 30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $35 - 4 \cdot 10$

= $35 - 40$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-8) und B(1|0) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-8): -8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 -1b +c |-1
0 = 1 +1b +c |-1

-9 = -1b +c
-1 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 9 & (I) \\ b & + c & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 1$
$c + b$	=	$- 1$	\| $- b$
$c$	=	$- 1 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 9 & (I) \\ + c & = & (- 1 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 1 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 1 - b)$	=	$- 9$
$- b - 1 - b$	=	$- 9$
$- 2 b - 1$	=	$- 9$	\| $+ 1$
$- 2 b$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 1 - 4$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 - 5$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 - 5$

= ${(x + 2)}^{2} - 9$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-9).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - 5$ = $4 - 8 - 5$ = -9

also: S(-2|-9).

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1. Weg

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