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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + y$ = $18$ .

Bestimme y so, dass (3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$4 \cdot 3 + y$ = $18$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4 \cdot 3 + y$	=	$18$
$12 + y$	=	$18$
$y + 12$	=	$18$	\| $- 12$
$y$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (3|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 2 y$ = $- 34$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|2)
denn 5⋅( - 6 ) -2⋅2 = -30 -4 = $- 34$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|-3)
denn 5⋅( - 8 ) -2⋅( - 3 ) = -40 +6 = $- 34$

Oder : (-4|7)
denn 5⋅( - 4 ) -2⋅7 = -20 -14 = $- 34$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 y & = & - 4 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 y & = & - 4 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 2 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 3 \cdot 2$	=	$- 3$
$3 x + 6$	=	$- 3$	\| $- 6$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 10 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 10 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$- 10$
$y - 3 x$	=	$- 10$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$- 10 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 10 + 3 x) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 10 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 2 \cdot (- 10 + 3 x)$	=	$14$
$4 x + 20 - 6 x$	=	$14$
$- 2 x + 20$	=	$14$	\| $- 20$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 10 + 3 \cdot 3$

= $- 10 + 9$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 6 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 6 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$6$
$y + 2 x$	=	$6$	\| $- 2 x$
$y$	=	$6 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (6 - 2 x) & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $6 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot (6 - 2 x)$	=	$6$
$2 x + 18 - 6 x$	=	$6$
$- 4 x + 18$	=	$6$	\| $- 18$
$- 4 x$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $6 - 2 \cdot 3$

= $6 - 6$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (3|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2 (x + 6)$	=	$7 x + 2 + 5 y$			(I)
$3 (- 4 + y)$	=	$- 5 x - 3 (1 + y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2 (x + 6)$	=	$7 x + 2 + 5 y$			(I)
$3 (- 4 + y)$	=	$- 5 x - 3 (1 + y)$			(II)

$2 x + 12$	=	$7 x + 2 + 5 y$	\| $- 12 - 7 x - 5 y$		(I)
$- 12 + 3 y$	=	$- 5 x - 3 - 3 y$	\| + $12 + 5 x + 3 y$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & - 10 & (I) \\ 5 x & + 6 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 5 y$	=	$- 10$
$- 5 y - 5 x$	=	$- 10$	\| $+ 5 x$
$- 5 y$	=	$- 10 + 5 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$2 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (2 - x) & (I) \\ 5 x & + 6 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 6 \cdot (2 - x)$	=	$9$
$5 x + 12 - 6 x$	=	$9$
$- x + 12$	=	$9$	\| $- 12$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2 - 3$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -5y = ?

1x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

3x -5y = 15 +20 = 35

1x -3y = 5 +12 = 17

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -5y = 35

1x -3y = 17

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & - 3 & (I) \\ 9 x & - 12 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & - 3 & (I) \\ 9 x & - 12 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 4 y$	=	$- 3$
$4 y - 3 x$	=	$- 3$	\| $+ 3 x$
$4 y$	=	$- 3 + 3 x$	\|: $4$
$y$	=	$- \frac{3}{4} + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{3}{4} + \frac{3}{4} x) & (I) \\ 9 x & - 12 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{3}{4} + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9 x - 12 \cdot (- \frac{3}{4} + \frac{3}{4} x)$	=	$11$
$9 x + 9 - 9 x$	=	$11$
$9$	=	$11$	\| $- 9$
0	=	$2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 152 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 5 Halogenleuchten zusammen 166 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 8 x & + 4 y & = & 152 & (I) \\ 4 x & + 5 y & = & 166 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x + 4 y$	=	$152$
$4 y + 8 x$	=	$152$	\| $- 8 x$
$4 y$	=	$152 - 8 x$	\|: $4$
$y$	=	$38 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (38 - 2 x) & (I) \\ 4 x & + 5 y & = & 166 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $38 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 5 \cdot (38 - 2 x)$	=	$166$
$4 x + 190 - 10 x$	=	$166$
$- 6 x + 190$	=	$166$	\| $- 190$
$- 6 x$	=	$- 24$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $38 - 2 \cdot 4$

= $38 - 8$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (4|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|5) und B(-2|16) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|5): 5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|16): 16 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 -1b +c |-1
16 = 4 -2b +c |-4

4 = -1b +c
12 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$12$
$c - 2 b$	=	$12$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$12 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (12 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $12 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (12 + 2 b)$	=	$4$
$- b + 12 + 2 b$	=	$4$
$b + 12$	=	$4$	\| $- 12$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $12 + 2 \cdot (- 8)$

= $12 - 16$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-4)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-3) und B(-1|13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|13): 13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 +1b +c |-1
13 = 1 -1b +c |-1

-4 = 1b +c
12 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ - b & + c & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$12$
$c - b$	=	$12$	\| $+ b$
$c$	=	$12 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (12 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $12 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (12 + b)$	=	$- 4$
$b + 12 + b$	=	$- 4$
$2 b + 12$	=	$- 4$	\| $- 12$
$2 b$	=	$- 16$	\|: $2$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $12 - 8$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|4)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 + 4$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 + 4$

= ${(x - 4)}^{2} - 12$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-12).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 + 4$ = $16 - 32 + 4$ = -12

also: S(4|-12).

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Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg