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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - y$ = $- 7$ .

Bestimme x so, dass (x|5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$- x - 5$ = $- 7$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- x - 5$	=	$- 7$
$- x - 5$	=	$- 7$	\| $+ 5$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (2|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 3 y$ = $- 36$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|-7)
denn -5⋅3 +3⋅( - 7 ) = -15 -21 = $- 36$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|-2)
denn -5⋅6 +3⋅( - 2 ) = -30 -6 = $- 36$

Oder : (0|-12)
denn -5⋅0 +3⋅( - 12 ) = 0 -36 = $- 36$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 16 & (I) \\ + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 16 & (I) \\ + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$- 9$	\|: $3$
$y$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 16 & (I) \\ + y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 4 \cdot (- 3)$	=	$16$
$- 4 x + 12$	=	$16$	\| $- 12$
$- 4 x$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 6 & (I) \\ x & - 3 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 6 & (I) \\ x & - 3 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$4$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$4 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 6 & (I) \\ x & = & (4 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $4 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (4 + 3 y) + 3 y$	=	$6$
$- 12 - 9 y + 3 y$	=	$6$
$- 6 y - 12$	=	$6$	\| $+ 12$
$- 6 y$	=	$18$	\|:( $- 6$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $4 + 3 \cdot (- 3)$

= $4 - 9$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 14 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 14 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 3 y$	=	$- 14$
$- 3 y - 2 x$	=	$- 14$	\| $+ 2 x$
$- 3 y$	=	$- 14 + 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$\frac{14}{3} - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{14}{3} - \frac{2}{3} x) & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{14}{3} - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 5 \cdot (\frac{14}{3} - \frac{2}{3} x)$	=	$15$
$- 5 x + \frac{70}{3} - \frac{10}{3} x$	=	$15$
$- \frac{25}{3} x + \frac{70}{3}$	=	$15$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{25}{3} x + \frac{70}{3})$	=	$45$
$- 25 x + 70$	=	$45$	\| $- 70$
$- 25 x$	=	$- 25$	\|:( $- 25$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{14}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

= $\frac{14}{3} - \frac{2}{3}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 9 & (I) \\ \frac{3}{4} x & + y & = & - \frac{13}{4} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 9 & (I) \\ \frac{3}{4} x & + y & = & - \frac{13}{4} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$\frac{3}{4} x + y$	=	$- \frac{13}{4}$
$y + \frac{3}{4} x$	=	$- \frac{13}{4}$	\|⋅ 4
$4 (y + \frac{3}{4} x)$	=	$- 13$
$4 y + 3 x$	=	$- 13$	\| $- 3 x$
$4 y$	=	$- 13 - 3 x$	\|: $4$
$y$	=	$- \frac{13}{4} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 9 & (I) \\ + y & = & (- \frac{13}{4} - \frac{3}{4} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- \frac{13}{4} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 2 \cdot (- \frac{13}{4} - \frac{3}{4} x)$	=	$9$
$x + \frac{13}{2} + \frac{3}{2} x$	=	$9$
$\frac{5}{2} x + \frac{13}{2}$	=	$9$	\|⋅ 2
$2 (\frac{5}{2} x + \frac{13}{2})$	=	$18$
$5 x + 13$	=	$18$	\| $- 13$
$5 x$	=	$5$	\|: $5$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- \frac{13}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1$

= $- \frac{13}{4} - \frac{3}{4}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +2y = ?

6x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

3x +2y = -9 +2 = -7

6x +5y = -18 +5 = -13

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +2y = -7

6x +5y = -13

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 2 & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 2 & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 4 y$	=	$2$
$- 4 y - 5 x$	=	$2$	\| $+ 5 x$
$- 4 y$	=	$2 + 5 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{1}{2} - \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{2} - \frac{5}{4} x) & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{2} - \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 5 \cdot (- \frac{1}{2} - \frac{5}{4} x)$	=	$- 4$
$- 3 x + \frac{5}{2} + \frac{25}{4} x$	=	$- 4$
$\frac{13}{4} x + \frac{5}{2}$	=	$- 4$	\|⋅ 4
$4 (\frac{13}{4} x + \frac{5}{2})$	=	$- 16$
$13 x + 10$	=	$- 16$	\| $- 10$
$13 x$	=	$- 26$	\|: $13$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{1}{2} - \frac{5}{4} \cdot (- 2)$

= $- \frac{1}{2} + \frac{5}{2}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 480 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 630 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 480 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 630 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 4 y$	=	$480$
$- 4 y + 4 x$	=	$480$	\| $- 4 x$
$- 4 y$	=	$480 - 4 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 120 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 120 + x) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 630 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 120 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 4 \cdot (- 120 + x)$	=	$630$
$5 x + 480 - 4 x$	=	$630$
$x + 480$	=	$630$	\| $- 480$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 120 + 150$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (150|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-1) und B(2|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-1): -1 = 1² + b⋅1 +c

B(2|4): 4 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 +1b +c |-1
4 = 4 +2b +c |-4

-2 = 1b +c
0 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 2 & (I) \\ 2 b & + c & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	0
$c + 2 b$	=	0	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & - 2 b & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch $- 2 b$ ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 2 b)$	=	$- 2$
$b - 2 b$	=	$- 2$
$- b$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 2 \cdot 2$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|1) und B(-1|-3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|1): 1 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 +1b +c |-1
-3 = 1 -1b +c |-1

0 = 1b +c
-4 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ - b & + c & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 4$
$c - b$	=	$- 4$	\| $+ b$
$c$	=	$- 4 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (- 4 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 4 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 4 + b)$	=	0
$b - 4 + b$	=	0
$2 b - 4$	=	0	\| $+ 4$
$2 b$	=	$4$	\|: $2$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 4 + 2$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 2$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 2$

= ${(x + 1)}^{2} - 3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 2$ = $1 - 2 - 2$ = -3

also: S(-1|-3).

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1. Weg

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