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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 2 y$ = $6$ .

Bestimme y so, dass (-1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$2 \cdot (- 1) + 2 y$ = $6$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2 \cdot (- 1) + 2 y$	=	$6$
$- 2 + 2 y$	=	$6$
$2 y - 2$	=	$6$	\| $+ 2$
$2 y$	=	$8$	\|: $2$
$y$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (-1|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 2 y$ = $- 39$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|2)
denn 5⋅( - 7 ) -2⋅2 = -35 -4 = $- 39$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-9|-3)
denn 5⋅( - 9 ) -2⋅( - 3 ) = -45 +6 = $- 39$

Oder : (-5|7)
denn 5⋅( - 5 ) -2⋅7 = -25 -14 = $- 39$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 y & = & 9 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 y & = & 9 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 3 y$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 3 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (- 3)$	=	$18$
$3 x + 9$	=	$18$	\| $- 9$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 16 & (I) \\ - x & - 3 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 16 & (I) \\ - x & - 3 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$- 11$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$- 11 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$11 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 16 & (I) \\ x & = & (11 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $11 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (11 - 3 y) + 4 y$	=	$16$
$11 - 3 y + 4 y$	=	$16$
$y + 11$	=	$16$	\| $- 11$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $11 - 3 \cdot 5$

= $11 - 15$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 0 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 0 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 4 y$	=	0
$- 4 y - 4 x$	=	0	\| $+ 4 x$
$- 4 y$	=	$4 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - x & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 2 \cdot (- x)$	=	$- 15$
$3 x + 2 x$	=	$- 15$
$5 x$	=	$- 15$	\|: $5$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- (- 3)$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2$	=	$2 (2 x + y)$			(I)
$5 + 3 y$	=	$2 (x + 12)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2$	=	$2 (2 x + y)$			(I)
$5 + 3 y$	=	$2 (x + 12)$			(II)

$2$	=	$4 x + 2 y$	\| $- 2 - 4 x - 2 y$		(I)
$5 + 3 y$	=	$2 x + 24$	\| $- 5 - 2 x$		(II)

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 2 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 2 y$	=	$- 2$
$- 2 y - 4 x$	=	$- 2$	\| $+ 4 x$
$- 2 y$	=	$- 2 + 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$1 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 - 2 x) & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 3 \cdot (1 - 2 x)$	=	$19$
$- 2 x + 3 - 6 x$	=	$19$
$- 8 x + 3$	=	$19$	\| $- 3$
$- 8 x$	=	$16$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1 - 2 \cdot (- 2)$

= $1 + 4$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +3y = ?

7x +8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

4x +3y = -8 -6 = -14

7x +8y = -14 -16 = -30

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +3y = -14

7x +8y = -30

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 3 & (I) \\ - 5 x & + 2 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 3 & (I) \\ - 5 x & + 2 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$3$
$y - 3 x$	=	$3$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$3 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3 + 3 x) & (I) \\ - 5 x & + 2 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 2 \cdot (3 + 3 x)$	=	$7$
$- 5 x + 6 + 6 x$	=	$7$
$x + 6$	=	$7$	\| $- 6$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3 + 3 \cdot 1$

= $3 + 3$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 114 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 231 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 4 y & = & 114 & (I) \\ 3 x & + 9 y & = & 231 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 4 y$	=	$114$
$4 y + 7 x$	=	$114$	\| $- 7 x$
$4 y$	=	$114 - 7 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{57}{2} - \frac{7}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{57}{2} - \frac{7}{4} x) & (I) \\ 3 x & + 9 y & = & 231 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{57}{2} - \frac{7}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 9 \cdot (\frac{57}{2} - \frac{7}{4} x)$	=	$231$
$3 x + \frac{513}{2} - \frac{63}{4} x$	=	$231$
$- \frac{51}{4} x + \frac{513}{2}$	=	$231$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{51}{4} x + \frac{513}{2})$	=	$924$
$- 51 x + 1 026$	=	$924$	\| $- 1 026$
$- 51 x$	=	$- 102$	\|:( $- 51$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{57}{2} - \frac{7}{4} \cdot 2$

= $\frac{57}{2} - \frac{7}{2}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (2|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|11) und B(1|-1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|11): 11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-1): -1 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
11 = 1 -1b +c |-1
-1 = 1 +1b +c |-1

10 = -1b +c
-2 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 10 & (I) \\ b & + c & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 2$
$c + b$	=	$- 2$	\| $- b$
$c$	=	$- 2 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 10 & (I) \\ + c & = & (- 2 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 2 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 2 - b)$	=	$10$
$- b - 2 - b$	=	$10$
$- 2 b - 2$	=	$10$	\| $+ 2$
$- 2 b$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 2 - (- 6)$

= $- 2 + 6$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|12) und B(-3|40) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|12): 12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|40): 40 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 -1b +c |-1
40 = 9 -3b +c |-9

11 = -1b +c
31 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 11 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 31 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$31$
$c - 3 b$	=	$31$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$31 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 11 & (I) \\ + c & = & (31 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $31 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (31 + 3 b)$	=	$11$
$- b + 31 + 3 b$	=	$11$
$2 b + 31$	=	$11$	\| $- 31$
$2 b$	=	$- 20$	\|: $2$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $31 + 3 \cdot (- 10)$

= $31 - 30$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|1)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 + 1$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 + 1$

= ${(x - 5)}^{2} - 24$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-24).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 + 1$ = $25 - 50 + 1$ = -24

also: S(5|-24).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

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