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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 2 y$ = $- 22$ .

Bestimme x so, dass (x|6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 x - 2 \cdot 6$ = $- 22$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 5 x - 2 \cdot 6$	=	$- 22$
$- 5 x - 12$	=	$- 22$	\| $+ 12$
$- 5 x$	=	$- 10$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (2|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - 4 y$ = $16$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-4)
denn -4⋅0 -4⋅( - 4 ) = 0 +16 = $16$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|0)
denn -4⋅( - 4 ) -4⋅0 = 16 +0 = $16$

Oder : (4|-8)
denn -4⋅4 -4⋅( - 8 ) = -16 +32 = $16$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & - 8 & (I) \\ - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & - 8 & (I) \\ - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 3 y$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & - 8 & (I) \\ + y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot (- 4)$	=	$- 8$
$2 x - 12$	=	$- 8$	\| $+ 12$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 6 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 6 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$6$
$y + 4 x$	=	$6$	\| $- 4 x$
$y$	=	$6 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (6 - 4 x) & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $6 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 3 \cdot (6 - 4 x)$	=	$- 10$
$- 2 x + 18 - 12 x$	=	$- 10$
$- 14 x + 18$	=	$- 10$	\| $- 18$
$- 14 x$	=	$- 28$	\|:( $- 14$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $6 - 4 \cdot 2$

= $6 - 8$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & + 5 y & = & 15 & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & + 5 y & = & 15 & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x + 5 y$	=	$15$
$5 y - 5 x$	=	$15$	\| $+ 5 x$
$5 y$	=	$15 + 5 x$	\|: $5$
$y$	=	$3 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3 + x) & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 3 \cdot (3 + x)$	=	$- 15$
$5 x + 9 + 3 x$	=	$- 15$
$8 x + 9$	=	$- 15$	\| $- 9$
$8 x$	=	$- 24$	\|: $8$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3 - 3$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 5 x - 2 y$	=	$9$			(I)
$30$	=	$- 5 x + 3 + 4 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 5 x - 2 y$	=	$9$			(I)
$30$	=	$- 5 x + 3 + 4 y$	\| $- 30 + 5 x - 4 y$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & - 2 y & = & 9 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 2 y$	=	$9$
$- 2 y - 5 x$	=	$9$	\| $+ 5 x$
$- 2 y$	=	$9 + 5 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- \frac{9}{2} - \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{9}{2} - \frac{5}{2} x) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{9}{2} - \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 4 \cdot (- \frac{9}{2} - \frac{5}{2} x)$	=	$- 27$
$5 x + 18 + 10 x$	=	$- 27$
$15 x + 18$	=	$- 27$	\| $- 18$
$15 x$	=	$- 45$	\|: $15$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{9}{2} - \frac{5}{2} \cdot (- 3)$

= $- \frac{9}{2} + \frac{15}{2}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -2y = ?

-6x -9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-2x -2y = 6 -10 = -4

-6x -9y = 18 -45 = -27

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -2y = -4

-6x -9y = -27

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + 5 y & = & 27 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 5 y & = & 27 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 5 y$	=	$27$
$5 y - 2 x$	=	$27$	\| $+ 2 x$
$5 y$	=	$27 + 2 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{27}{5} + \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{27}{5} + \frac{2}{5} x) & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{27}{5} + \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 2 \cdot (\frac{27}{5} + \frac{2}{5} x)$	=	$- 12$
$3 x + \frac{54}{5} + \frac{4}{5} x$	=	$- 12$
$\frac{19}{5} x + \frac{54}{5}$	=	$- 12$	\|⋅ 5
$5 (\frac{19}{5} x + \frac{54}{5})$	=	$- 60$
$19 x + 54$	=	$- 60$	\| $- 54$
$19 x$	=	$- 114$	\|: $19$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{27}{5} + \frac{2}{5} \cdot (- 6)$

= $\frac{27}{5} - \frac{12}{5}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 520 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 100 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 520 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 100 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 2 y$	=	$520$
$- 2 y + 4 x$	=	$520$	\| $- 4 x$
$- 2 y$	=	$520 - 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 260 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 260 + 2 x) & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 100 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 260 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot (- 260 + 2 x)$	=	$100$
$2 x + 1 300 - 10 x$	=	$100$
$- 8 x + 1 300$	=	$100$	\| $- 1 300$
$- 8 x$	=	$- 1 200$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 260 + 2 \cdot 150$

= $- 260 + 300$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (150|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(-2|15) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|15): 15 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
15 = 4 -2b +c |-4

7 = -1b +c
11 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$11$
$c - 2 b$	=	$11$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$11 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (11 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (11 + 2 b)$	=	$7$
$- b + 11 + 2 b$	=	$7$
$b + 11$	=	$7$	\| $- 11$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 + 2 \cdot (- 4)$

= $11 - 8$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|12) und B(3|40) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|12): 12 = 1² + b⋅1 +c

B(3|40): 40 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 +1b +c |-1
40 = 9 +3b +c |-9

11 = 1b +c
31 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ 3 b & + c & = & 31 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$31$
$c + 3 b$	=	$31$	\| $- 3 b$
$c$	=	$31 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ + c & = & (31 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $31 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (31 - 3 b)$	=	$11$
$b + 31 - 3 b$	=	$11$
$- 2 b + 31$	=	$11$	\| $- 31$
$- 2 b$	=	$- 20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $31 - 3 \cdot 10$

= $31 - 30$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|1)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 1$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 1$

= ${(x + 5)}^{2} - 24$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-24).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 1$ = $25 - 50 + 1$ = -24

also: S(-5|-24).

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1. Weg

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