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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + y$ = $- 9$ .

Bestimme x so, dass (x|-5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x + (- 5)$ = $- 9$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x + (- 5)$	=	$- 9$
$4 x - 5$	=	$- 9$	\| $+ 5$
$4 x$	=	$- 4$	\|: $4$
$x$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-1|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 5 y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|4)
denn -4⋅5 +5⋅4 = -20 +20 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (10|8)
denn -4⋅10 +5⋅8 = -40 +40 = 0

Oder : (0|0)
denn -4⋅0 +5⋅0 = 0 +0 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 y & = & - 3 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 y & = & - 3 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 3 y$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 1 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 2 \cdot 1$	=	$- 10$
$3 x + 2$	=	$- 10$	\| $- 2$
$3 x$	=	$- 12$	\|: $3$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 22 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 32 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 22 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 32 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$- 22$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$- 22 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 22 + 4 y) & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 32 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 22 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 22 + 4 y) + 4 y$	=	$32$
$- 88 + 16 y + 4 y$	=	$32$
$20 y - 88$	=	$32$	\| $+ 88$
$20 y$	=	$120$	\|: $20$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 22 + 4 \cdot 6$

= $- 22 + 24$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - y & = & 14 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - y & = & 14 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x - y$	=	$14$
$- y + 4 x$	=	$14$	\| $- 4 x$
$- y$	=	$14 - 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 14 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 14 + 4 x) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 14 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 2 \cdot (- 14 + 4 x)$	=	$20$
$4 x + 28 - 8 x$	=	$20$
$- 4 x + 28$	=	$20$	\| $- 28$
$- 4 x$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 14 + 4 \cdot 2$

= $- 14 + 8$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$39$	=	$5 x + 3 y$			(I)
$- 21 + 5 y$	=	$- 5 x + 8 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$39$	=	$5 x + 3 y$	\| $- 39 - 5 x - 3 y$		(I)
$- 21 + 5 y$	=	$- 5 x + 8 y$	\| + $21 + 5 x - 8 y$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & - 3 y & = & - 39 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 3 y$	=	$- 39$
$- 3 y - 5 x$	=	$- 39$	\| $+ 5 x$
$- 3 y$	=	$- 39 + 5 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$13 - \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (13 - \frac{5}{3} x) & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $13 - \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 3 \cdot (13 - \frac{5}{3} x)$	=	$21$
$5 x - 39 + 5 x$	=	$21$
$10 x - 39$	=	$21$	\| $+ 39$
$10 x$	=	$60$	\|: $10$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $13 - \frac{5}{3} \cdot 6$

= $13 - 10$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +3y = ?

-2x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-5x +3y = 25 -12 = 13

-2x -1y = 10 +4 = 14

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +3y = 13

-2x -1y = 14

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 6 x & - 3 y & = & - 12 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 6 x & - 3 y & = & - 12 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$3$
$y - 2 x$	=	$3$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$3 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 6 x & - 3 y & = & - 12 & (I) \\ + y & = & (3 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $3 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 3 \cdot (3 + 2 x)$	=	$- 12$
$6 x - 9 - 6 x$	=	$- 12$
$- 9$	=	$- 12$	\| $+ 9$
0	=	$- 3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 8 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 200 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 8 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 100 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 8 x & + 8 y & = & 200 & (I) \\ 8 x & + 3 y & = & 100 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x + 8 y$	=	$200$
$8 y + 8 x$	=	$200$	\| $- 8 x$
$8 y$	=	$200 - 8 x$	\|: $8$
$y$	=	$25 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (25 - x) & (I) \\ 8 x & + 3 y & = & 100 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $25 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 3 \cdot (25 - x)$	=	$100$
$8 x + 75 - 3 x$	=	$100$
$5 x + 75$	=	$100$	\| $- 75$
$5 x$	=	$25$	\|: $5$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $25 - 5$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (5|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|7) und B(2|20) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|7): 7 = 1² + b⋅1 +c

B(2|20): 20 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 +1b +c |-1
20 = 4 +2b +c |-4

6 = 1b +c
16 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 6 & (I) \\ 2 b & + c & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$16$
$c + 2 b$	=	$16$	\| $- 2 b$
$c$	=	$16 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (16 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $16 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (16 - 2 b)$	=	$6$
$b + 16 - 2 b$	=	$6$
$- b + 16$	=	$6$	\| $- 16$
$- b$	=	$- 10$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $16 - 2 \cdot 10$

= $16 - 20$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-4)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-14) und B(2|19) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-14): -14 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|19): 19 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-14 = 1 -1b +c |-1
19 = 4 +2b +c |-4

-15 = -1b +c
15 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 15 & (I) \\ 2 b & + c & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$15$
$c + 2 b$	=	$15$	\| $- 2 b$
$c$	=	$15 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 15 & (I) \\ + c & = & (15 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $15 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (15 - 2 b)$	=	$- 15$
$- b + 15 - 2 b$	=	$- 15$
$- 3 b + 15$	=	$- 15$	\| $- 15$
$- 3 b$	=	$- 30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $15 - 2 \cdot 10$

= $15 - 20$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 30$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-30).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 5$ = $25 - 50 - 5$ = -30

also: S(-5|-30).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg