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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 5 y$ = $- 26$ .

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$3 \cdot (- 2) - 5 y$ = $- 26$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3 \cdot (- 2) - 5 y$	=	$- 26$
$- 6 - 5 y$	=	$- 26$
$- 5 y - 6$	=	$- 26$	\| $+ 6$
$- 5 y$	=	$- 20$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (-2|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 4 y$ = $20$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|4)
denn 1⋅4 +4⋅4 = 4 +16 = $20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|3)
denn 1⋅8 +4⋅3 = 8 +12 = $20$

Oder : (0|5)
denn 1⋅0 +4⋅5 = 0 +20 = $20$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - y & = & 0 & (I) \\ - 3 x & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - y & = & 0 & (I) \\ - 3 x & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - y & = & 0 & (I) \\ x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 4) - y$	=	0
$4 - y$	=	0
$- y + 4$	=	0	\| $- 4$
$- y$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - y & = & 4 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - y & = & 4 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 13$
$y - 4 x$	=	$- 13$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 13 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - y & = & 4 & (I) \\ + y & = & (- 13 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 13 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 1 \cdot (- 13 + 4 x)$	=	$4$
$x + 13 - 4 x$	=	$4$
$- 3 x + 13$	=	$4$	\| $- 13$
$- 3 x$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 13 + 4 \cdot 3$

= $- 13 + 12$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 4 y & = & 36 & (I) \\ 5 x & + y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & - 4 y & = & 36 & (I) \\ 5 x & + y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$5 x + y$	=	$16$
$y + 5 x$	=	$16$	\| $- 5 x$
$y$	=	$16 - 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 5 x & - 4 y & = & 36 & (I) \\ + y & = & (16 - 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $16 - 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 4 \cdot (16 - 5 x)$	=	$36$
$5 x - 64 + 20 x$	=	$36$
$25 x - 64$	=	$36$	\| $+ 64$
$25 x$	=	$100$	\|: $25$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $16 - 5 \cdot 4$

= $16 - 20$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - \frac{3}{5} y & = & \frac{18}{5} & (I) \\ \frac{2}{3} x & - y & = & \frac{5}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - \frac{3}{5} y & = & \frac{18}{5} & (I) \\ \frac{2}{3} x & - y & = & \frac{5}{3} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$\frac{2}{3} x - y$	=	$\frac{5}{3}$
$- y + \frac{2}{3} x$	=	$\frac{5}{3}$	\|⋅ 3
$3 (- y + \frac{2}{3} x)$	=	$5$
$- 3 y + 2 x$	=	$5$	\| $- 2 x$
$- 3 y$	=	$5 - 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- \frac{5}{3} + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - \frac{3}{5} y & = & \frac{18}{5} & (I) \\ + y & = & (- \frac{5}{3} + \frac{2}{3} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- \frac{5}{3} + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - \frac{3}{5} \cdot (- \frac{5}{3} + \frac{2}{3} x)$	=	$\frac{18}{5}$
$3 x + 1 - \frac{2}{5} x$	=	$\frac{18}{5}$
$\frac{13}{5} x + 1$	=	$\frac{18}{5}$	\|⋅ 5
$5 (\frac{13}{5} x + 1)$	=	$18$
$13 x + 5$	=	$18$	\| $- 5$
$13 x$	=	$13$	\|: $13$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- \frac{5}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1$

= $- \frac{5}{3} + \frac{2}{3}$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +3y = ?

4x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

2x +3y = -8 -15 = -23

4x +4y = -16 -20 = -36

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +3y = -23

4x +4y = -36

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 6 x & - 6 y & = & 2 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 6 x & - 6 y & = & 2 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x - 6 y$	=	$2$
$- 6 y + 6 x$	=	$2$	\| $- 6 x$
$- 6 y$	=	$2 - 6 x$	\|:( $- 6$ )
$y$	=	$- \frac{1}{3} + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{3} + x) & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{3} + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 2 \cdot (- \frac{1}{3} + x)$	=	$- 1$
$- 2 x - \frac{2}{3} + 2 x$	=	$- 1$
$- \frac{2}{3}$	=	$- 1$	\| $+ \frac{2}{3}$
0	=	$- \frac{1}{3}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 347 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 8 LED-Leuchtmittel und 10 Halogenleuchten zusammen 382 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 8 x & + 9 y & = & 347 & (I) \\ 8 x & + 10 y & = & 382 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x + 9 y$	=	$347$
$9 y + 8 x$	=	$347$	\| $- 8 x$
$9 y$	=	$347 - 8 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{347}{9} - \frac{8}{9} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{347}{9} - \frac{8}{9} x) & (I) \\ 8 x & + 10 y & = & 382 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{347}{9} - \frac{8}{9} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 10 \cdot (\frac{347}{9} - \frac{8}{9} x)$	=	$382$
$8 x + \frac{3470}{9} - \frac{80}{9} x$	=	$382$
$- \frac{8}{9} x + \frac{3470}{9}$	=	$382$	\|⋅ 9
$9 (- \frac{8}{9} x + \frac{3470}{9})$	=	$3 438$
$- 8 x + 3 470$	=	$3 438$	\| $- 3 470$
$- 8 x$	=	$- 32$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{347}{9} - \frac{8}{9} \cdot 4$

= $\frac{347}{9} - \frac{32}{9}$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (4|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|3) und B(-2|12) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|3): 3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|12): 12 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 -1b +c |-1
12 = 4 -2b +c |-4

2 = -1b +c
8 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 2 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$8$
$c - 2 b$	=	$8$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$8 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 2 & (I) \\ + c & = & (8 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $8 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (8 + 2 b)$	=	$2$
$- b + 8 + 2 b$	=	$2$
$b + 8$	=	$2$	\| $- 8$
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $8 + 2 \cdot (- 6)$

= $8 - 12$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|10) und B(2|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|10): 10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-5): -5 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 -1b +c |-1
-5 = 4 +2b +c |-4

9 = -1b +c
-9 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 9$
$c + 2 b$	=	$- 9$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 9 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (- 9 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 9 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 9 - 2 b)$	=	$9$
$- b - 9 - 2 b$	=	$9$
$- 3 b - 9$	=	$9$	\| $+ 9$
$- 3 b$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 9 - 2 \cdot (- 6)$

= $- 9 + 12$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 3$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 + 3$

= ${(x - 3)}^{2} - 6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 + 3$ = $9 - 18 + 3$ = -6

also: S(3|-6).

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1. Weg

2. Weg