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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 5 y$ = $5$ .

Bestimme y so, dass (-4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$5 \cdot (- 4) + 5 y$ = $5$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5 \cdot (- 4) + 5 y$	=	$5$
$- 20 + 5 y$	=	$5$
$5 y - 20$	=	$5$	\| $+ 20$
$5 y$	=	$25$	\|: $5$
$y$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (-4|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 3 y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|-3)
denn 3⋅( - 3 ) -3⋅( - 3 ) = -9 +9 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|-6)
denn 3⋅( - 6 ) -3⋅( - 6 ) = -18 +18 = 0

Oder : (0|0)
denn 3⋅0 -3⋅0 = 0 +0 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + y & = & - 3 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $- 3$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x - 4 \cdot (- 3)$	=	$16$
$- x + 12$	=	$16$	\| $- 12$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 2 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 2 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$- 8$
$y - 2 x$	=	$- 8$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$- 8 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 2 & (I) \\ + y & = & (- 8 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 8 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 4 \cdot (- 8 + 2 x)$	=	$- 2$
$2 x - 32 + 8 x$	=	$- 2$
$10 x - 32$	=	$- 2$	\| $+ 32$
$10 x$	=	$30$	\|: $10$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 8 + 2 \cdot 3$

= $- 8 + 6$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & - 3 y & = & 6 & (I) \\ 5 x & + y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 3 y & = & 6 & (I) \\ 5 x & + y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$5 x + y$	=	$- 2$
$y + 5 x$	=	$- 2$	\| $- 5 x$
$y$	=	$- 2 - 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & - 3 y & = & 6 & (I) \\ + y & = & (- 2 - 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 2 - 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 3 \cdot (- 2 - 5 x)$	=	$6$
$- 5 x + 6 + 15 x$	=	$6$
$10 x + 6$	=	$6$	\| $- 6$
$10 x$	=	0	\|: $10$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 2 - 5 \cdot 0$

= $- 2 + 0$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 2$	=	$3 x + 2 (1 + y)$			(I)
$- 4 x$	=	$36 - 5 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 2$	=	$3 x + 2 (1 + y)$			(I)
$- 4 x$	=	$36 - 5 y$			(II)

$- 2$	=	$3 x + 2 + 2 y$	\| + $2 - 3 x - 2 y$		(I)
$- 4 x$	=	$36 - 5 y$	\| + $5 y$		(II)

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ - 4 x & + 5 y & = & 36 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 2 y$	=	$4$
$- 2 y - 3 x$	=	$4$	\| $+ 3 x$
$- 2 y$	=	$4 + 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 2 - \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 - \frac{3}{2} x) & (I) \\ - 4 x & + 5 y & = & 36 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 - \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 5 \cdot (- 2 - \frac{3}{2} x)$	=	$36$
$- 4 x - 10 - \frac{15}{2} x$	=	$36$
$- \frac{23}{2} x - 10$	=	$36$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{23}{2} x - 10)$	=	$72$
$- 23 x - 20$	=	$72$	\| $+ 20$
$- 23 x$	=	$92$	\|:( $- 23$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 - \frac{3}{2} \cdot (- 4)$

= $- 2 + 6$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -3y = ?

7x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

5x -3y = 25 +12 = 37

7x -7y = 35 +28 = 63

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -3y = 37

7x -7y = 63

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 16 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 16 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 2 y$	=	$- 16$
$2 y - 3 x$	=	$- 16$	\| $+ 3 x$
$2 y$	=	$- 16 + 3 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 8 + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 8 + \frac{3}{2} x) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 8 + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot (- 8 + \frac{3}{2} x)$	=	$10$
$2 x + 16 - 3 x$	=	$10$
$- x + 16$	=	$10$	\| $- 16$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 8 + \frac{3}{2} \cdot 6$

= $- 8 + 9$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 124 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 10 Halogenleuchten zusammen 206 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 6 y & = & 124 & (I) \\ 3 x & + 10 y & = & 206 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 6 y$	=	$124$
$6 y + 2 x$	=	$124$	\| $- 2 x$
$6 y$	=	$124 - 2 x$	\|: $6$
$y$	=	$\frac{62}{3} - \frac{1}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{62}{3} - \frac{1}{3} x) & (I) \\ 3 x & + 10 y & = & 206 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{62}{3} - \frac{1}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 10 \cdot (\frac{62}{3} - \frac{1}{3} x)$	=	$206$
$3 x + \frac{620}{3} - \frac{10}{3} x$	=	$206$
$- \frac{1}{3} x + \frac{620}{3}$	=	$206$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{1}{3} x + \frac{620}{3})$	=	$618$
$- x + 620$	=	$618$	\| $- 620$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{62}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2$

= $\frac{62}{3} - \frac{2}{3}$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (2|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-6) und B(-1|14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|14): 14 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
14 = 1 -1b +c |-1

-7 = 1b +c
13 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ - b & + c & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$13$
$c - b$	=	$13$	\| $+ b$
$c$	=	$13 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (13 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (13 + b)$	=	$- 7$
$b + 13 + b$	=	$- 7$
$2 b + 13$	=	$- 7$	\| $- 13$
$2 b$	=	$- 20$	\|: $2$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13 - 10$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-6) und B(-4|-21) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-21): -21 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
-21 = 16 -4b +c |-16

-7 = -1b +c
-37 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 37 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 37$
$c - 4 b$	=	$- 37$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 37 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 37 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 37 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 37 + 4 b)$	=	$- 7$
$- b - 37 + 4 b$	=	$- 7$
$3 b - 37$	=	$- 7$	\| $+ 37$
$3 b$	=	$30$	\|: $3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 37 + 4 \cdot 10$

= $- 37 + 40$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (10|3)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 3$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 3$

= ${(x + 5)}^{2} - 22$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-22).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 3$ = $25 - 50 + 3$ = -22

also: S(-5|-22).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg