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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 2 y$ = $8$ .

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 \cdot (- 2) - 2 y$ = $8$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 5 \cdot (- 2) - 2 y$	=	$8$
$10 - 2 y$	=	$8$
$- 2 y + 10$	=	$8$	\| $- 10$
$- 2 y$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (-2|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 4 y$ = $8$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|0)
denn 4⋅2 +4⋅0 = 8 +0 = $8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|-4)
denn 4⋅6 +4⋅( - 4 ) = 24 -16 = $8$

Oder : (-2|4)
denn 4⋅( - 2 ) +4⋅4 = -8 +16 = $8$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 3 y & = & 3 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 3 y & = & 3 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$3$	\|: $3$
$y$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 1 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 3 \cdot 1$	=	$- 6$
$x - 3$	=	$- 6$	\| $+ 3$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 14 & (I) \\ 4 x & + y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 14 & (I) \\ 4 x & + y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$26$
$y + 4 x$	=	$26$	\| $- 4 x$
$y$	=	$26 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 14 & (I) \\ + y & = & (26 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $26 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 1 \cdot (26 - 4 x)$	=	$- 14$
$- 4 x + 26 - 4 x$	=	$- 14$
$- 8 x + 26$	=	$- 14$	\| $- 26$
$- 8 x$	=	$- 40$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $26 - 4 \cdot 5$

= $26 - 20$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (5|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 4 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 4 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 4 y$	=	$4$
$- 4 y - 4 x$	=	$4$	\| $+ 4 x$
$- 4 y$	=	$4 + 4 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 1 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 - x) & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot (- 1 - x)$	=	$- 1$
$2 x - 3 - 3 x$	=	$- 1$
$- x - 3$	=	$- 1$	\| $+ 3$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 - (- 2)$

= $- 1 + 2$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{2}{3} x & + y & = & 2 & (I) \\ - \frac{3}{2} x & + \frac{3}{5} y & = & - \frac{9}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{2}{3} x & + y & = & 2 & (I) \\ - \frac{3}{2} x & + \frac{3}{5} y & = & - \frac{9}{2} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$\frac{2}{3} x + y$	=	$2$
$y + \frac{2}{3} x$	=	$2$	\|⋅ 3
$3 (y + \frac{2}{3} x)$	=	$6$
$3 y + 2 x$	=	$6$	\| $- 2 x$
$3 y$	=	$6 - 2 x$	\|: $3$
$y$	=	$2 - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (2 - \frac{2}{3} x) & (I) \\ - \frac{3}{2} x & + \frac{3}{5} y & = & - \frac{9}{2} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2 - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{3}{2} x + \frac{3}{5} \cdot (2 - \frac{2}{3} x)$	=	$- \frac{9}{2}$
$- \frac{3}{2} x + \frac{6}{5} - \frac{2}{5} x$	=	$- \frac{9}{2}$
$- \frac{19}{10} x + \frac{6}{5}$	=	$- \frac{9}{2}$	\|⋅ 10
$10 (- \frac{19}{10} x + \frac{6}{5})$	=	$- 45$
$- 19 x + 12$	=	$- 45$	\| $- 12$
$- 19 x$	=	$- 57$	\|:( $- 19$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2 - \frac{2}{3} \cdot 3$

= $2 - 2$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (3|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +2y = ?

4x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

5x +2y = -15 +2 = -13

4x +1y = -12 +1 = -11

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +2y = -13

4x +1y = -11

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 5 x & - 3 y & = & 10 & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & - 3 y & = & 10 & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 3 y$	=	$10$
$- 3 y + 5 x$	=	$10$	\| $- 5 x$
$- 3 y$	=	$10 - 5 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- \frac{10}{3} + \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{10}{3} + \frac{5}{3} x) & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{10}{3} + \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 2 \cdot (- \frac{10}{3} + \frac{5}{3} x)$	=	$10$
$5 x + \frac{20}{3} - \frac{10}{3} x$	=	$10$
$\frac{5}{3} x + \frac{20}{3}$	=	$10$	\|⋅ 3
$3 (\frac{5}{3} x + \frac{20}{3})$	=	$30$
$5 x + 20$	=	$30$	\| $- 20$
$5 x$	=	$10$	\|: $5$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{10}{3} + \frac{5}{3} \cdot 2$

= $- \frac{10}{3} + \frac{10}{3}$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (2|0)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 15. Wenn man aber vom 4-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 16. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 15 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$15$	\| $- 5 y$
$x$	=	$15 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (15 - 5 y) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $15 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (15 - 5 y) - 2 y$	=	$16$
$60 - 20 y - 2 y$	=	$16$
$- 22 y + 60$	=	$16$	\| $- 60$
$- 22 y$	=	$- 44$	\|:( $- 22$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $15 - 5 \cdot 2$

= $15 - 10$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|6) und B(2|-9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|6): 6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-9): -9 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 -1b +c |-1
-9 = 4 +2b +c |-4

5 = -1b +c
-13 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 13$
$c + 2 b$	=	$- 13$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 13 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (- 13 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 13 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 13 - 2 b)$	=	$5$
$- b - 13 - 2 b$	=	$5$
$- 3 b - 13$	=	$5$	\| $+ 13$
$- 3 b$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 13 - 2 \cdot (- 6)$

= $- 13 + 12$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-1)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(-2|21) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|21): 21 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
21 = 4 -2b +c |-4

7 = -1b +c
17 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$17$
$c - 2 b$	=	$17$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$17 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (17 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $17 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (17 + 2 b)$	=	$7$
$- b + 17 + 2 b$	=	$7$
$b + 17$	=	$7$	\| $- 17$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $17 + 2 \cdot (- 10)$

= $17 - 20$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 - 3$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 - 3$

= ${(x - 5)}^{2} - 28$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-28).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 - 3$ = $25 - 50 - 3$ = -28

also: S(5|-28).

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1. Weg

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