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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + y$ = $- 8$ .

Bestimme x so, dass (x|-3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$x + (- 3)$ = $- 8$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x + (- 3)$	=	$- 8$
$x - 3$	=	$- 8$	\| $+ 3$
$x$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (-5|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 3 y$ = $22$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-4)
denn 2⋅5 -3⋅( - 4 ) = 10 +12 = $22$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-6)
denn 2⋅2 -3⋅( - 6 ) = 4 +18 = $22$

Oder : (8|-2)
denn 2⋅8 -3⋅( - 2 ) = 16 +6 = $22$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 4 y & = & - 20 & (I) \\ 3 x & - y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 4 y & = & - 20 & (I) \\ 3 x & - y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4 y$	=	$- 20$	\|: $4$
$y$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 5 & (I) \\ 3 x & - y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 1 \cdot (- 5)$	=	$17$
$3 x + 5$	=	$17$	\| $- 5$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 14 & (I) \\ - 3 x & + y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 14 & (I) \\ - 3 x & + y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$- 16$
$y - 3 x$	=	$- 16$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$- 16 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 14 & (I) \\ + y & = & (- 16 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 16 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 1 \cdot (- 16 + 3 x)$	=	$14$
$2 x - 16 + 3 x$	=	$14$
$5 x - 16$	=	$14$	\| $+ 16$
$5 x$	=	$30$	\|: $5$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 16 + 3 \cdot 6$

= $- 16 + 18$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 6 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 6 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 3 y$	=	$- 6$
$- 3 y - 2 x$	=	$- 6$	\| $+ 2 x$
$- 3 y$	=	$- 6 + 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$2 - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (2 - \frac{2}{3} x) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2 - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (2 - \frac{2}{3} x)$	=	$6$
$2 x + 4 - \frac{4}{3} x$	=	$6$
$\frac{2}{3} x + 4$	=	$6$	\|⋅ 3
$3 (\frac{2}{3} x + 4)$	=	$18$
$2 x + 12$	=	$18$	\| $- 12$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2 - \frac{2}{3} \cdot 3$

= $2 - 2$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (3|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 5 x$	=	$5 (6 - y)$			(I)
$2 (2 x - 1) - y$	=	$- 17$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 5 x$	=	$5 (6 - y)$			(I)
$2 (2 x - 1) - y$	=	$- 17$			(II)

$- 5 x$	=	$30 - 5 y$	\| + $5 y$		(I)
$4 x - 2 - y$	=	$- 17$	\| + $2$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & + 5 y & = & 30 & (I) \\ 4 x & - y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x - y$	=	$- 15$
$- y + 4 x$	=	$- 15$	\| $- 4 x$
$- y$	=	$- 15 - 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$15 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & + 5 y & = & 30 & (I) \\ + y & = & (15 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $15 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 5 \cdot (15 + 4 x)$	=	$30$
$- 5 x + 75 + 20 x$	=	$30$
$15 x + 75$	=	$30$	\| $- 75$
$15 x$	=	$- 45$	\|: $15$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $15 + 4 \cdot (- 3)$

= $15 - 12$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -1y = ?

-1x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

3x -1y = 9 -1 = 8

-1x +3y = -3 +3 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -1y = 8

-1x +3y = 0

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & - 32 & (I) \\ - x & - 4 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & - 32 & (I) \\ - x & - 4 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 4 y$	=	$- 20$	\| $+ 4 y$
$- x$	=	$- 20 + 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$20 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & - 32 & (I) \\ x & = & (20 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $20 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (20 - 4 y) - 5 y$	=	$- 32$
$- 60 + 12 y - 5 y$	=	$- 32$
$7 y - 60$	=	$- 32$	\| $+ 60$
$7 y$	=	$28$	\|: $7$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $20 - 4 \cdot 4$

= $20 - 16$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 7. Wenn man aber vom 6-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -15. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 7 & (I) \\ 6 x & - 7 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$7$	\| $- 2 y$
$x$	=	$7 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (7 - 2 y) & (I) \\ 6 x & - 7 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (7 - 2 y) - 7 y$	=	$- 15$
$42 - 12 y - 7 y$	=	$- 15$
$- 19 y + 42$	=	$- 15$	\| $- 42$
$- 19 y$	=	$- 57$	\|:( $- 19$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7 - 2 \cdot 3$

= $7 - 6$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 3

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-3) und B(3|1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

B(3|1): 1 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 +1b +c |-1
1 = 9 +3b +c |-9

-4 = 1b +c
-8 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 8$
$c + 3 b$	=	$- 8$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 8 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (- 8 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 8 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 8 - 3 b)$	=	$- 4$
$b - 8 - 3 b$	=	$- 4$
$- 2 b - 8$	=	$- 4$	\| $+ 8$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 8 - 3 \cdot (- 2)$

= $- 8 + 6$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-2)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|6) und B(1|2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|6): 6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 -1b +c |-1
2 = 1 +1b +c |-1

5 = -1b +c
1 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ b & + c & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$1$
$c + b$	=	$1$	\| $- b$
$c$	=	$1 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (1 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $1 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (1 - b)$	=	$5$
$- b + 1 - b$	=	$5$
$- 2 b + 1$	=	$5$	\| $- 1$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $1 - (- 2)$

= $1 + 2$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 3$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 3$

= ${(x - 1)}^{2} + 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 3$ = $1 - 2 + 3$ = 2

also: S(1|2).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg