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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 3 y$ = $- 6$ .

Bestimme x so, dass (x|5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 x + 3 \cdot 5$ = $- 6$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 3 x + 3 \cdot 5$	=	$- 6$
$- 3 x + 15$	=	$- 6$	\| $- 15$
$- 3 x$	=	$- 21$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (7|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 5 y$ = $- 19$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|-5)
denn -2⋅( - 3 ) +5⋅( - 5 ) = 6 -25 = $- 19$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-3)
denn -2⋅2 +5⋅( - 3 ) = -4 -15 = $- 19$

Oder : (-8|-7)
denn -2⋅( - 8 ) +5⋅( - 7 ) = 16 -35 = $- 19$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 0 & (I) \\ + 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 0 & (I) \\ + 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$- 12$	\|: $2$
$y$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 0 & (I) \\ + y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 2 \cdot (- 6)$	=	0
$- 2 x + 12$	=	0	\| $- 12$
$- 2 x$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & 28 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & 28 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$- 11$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$- 11 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & 28 & (I) \\ x & = & (- 11 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 11 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 11 + 2 y) + 4 y$	=	$28$
$44 - 8 y + 4 y$	=	$28$
$- 4 y + 44$	=	$28$	\| $- 44$
$- 4 y$	=	$- 16$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 11 + 2 \cdot 4$

= $- 11 + 8$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & 9 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & 9 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 2 y$	=	$9$	\| $- 2 y$
$- x$	=	$9 - 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 9 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 9 + 2 y) & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 9 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 9 + 2 y) - 4 y$	=	$- 16$
$- 36 + 8 y - 4 y$	=	$- 16$
$4 y - 36$	=	$- 16$	\| $+ 36$
$4 y$	=	$20$	\|: $4$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 9 + 2 \cdot 5$

= $- 9 + 10$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{3}{2} x & - \frac{3}{4} y & = & - \frac{3}{4} & (I) \\ x & + y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{3}{2} x & - \frac{3}{4} y & = & - \frac{3}{4} & (I) \\ x & + y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x + y$	=	$- 2$
$y + x$	=	$- 2$	\| $- x$
$y$	=	$- 2 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{3}{2} x & - \frac{3}{4} y & = & - \frac{3}{4} & (I) \\ + y & = & (- 2 - x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 2 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{2} x - \frac{3}{4} \cdot (- 2 - x)$	=	$- \frac{3}{4}$
$\frac{3}{2} x + \frac{3}{2} + \frac{3}{4} x$	=	$- \frac{3}{4}$
$\frac{9}{4} x + \frac{3}{2}$	=	$- \frac{3}{4}$	\|⋅ 4
$4 (\frac{9}{4} x + \frac{3}{2})$	=	$- 3$
$9 x + 6$	=	$- 3$	\| $- 6$
$9 x$	=	$- 9$	\|: $9$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 2 - (- 1)$

= $- 2 + 1$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -2y = ?

-3x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-5x -2y = 10 -2 = 8

-3x -3y = 6 -3 = 3

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -2y = 8

-3x -3y = 3

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & + 5 y & = & - 22 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 5 y & = & - 22 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 5 y$	=	$- 22$	\| $- 5 y$
$- x$	=	$- 22 - 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$22 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (22 + 5 y) & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $22 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (22 + 5 y) - 5 y$	=	$10$
$110 + 25 y - 5 y$	=	$10$
$20 y + 110$	=	$10$	\| $- 110$
$20 y$	=	$- 100$	\|: $20$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $22 + 5 \cdot (- 5)$

= $22 - 25$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 2 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 80 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 5 Halogenleuchten zusammen 145 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 2 y & = & 80 & (I) \\ 4 x & + 5 y & = & 145 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 2 y$	=	$80$
$2 y + 6 x$	=	$80$	\| $- 6 x$
$2 y$	=	$80 - 6 x$	\|: $2$
$y$	=	$40 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (40 - 3 x) & (I) \\ 4 x & + 5 y & = & 145 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $40 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 5 \cdot (40 - 3 x)$	=	$145$
$4 x + 200 - 15 x$	=	$145$
$- 11 x + 200$	=	$145$	\| $- 200$
$- 11 x$	=	$- 55$	\|:( $- 11$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $40 - 3 \cdot 5$

= $40 - 15$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (5|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|10) und B(3|30) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

B(3|30): 30 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 +1b +c |-1
30 = 9 +3b +c |-9

9 = 1b +c
21 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ 3 b & + c & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$21$
$c + 3 b$	=	$21$	\| $- 3 b$
$c$	=	$21 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (21 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $21 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (21 - 3 b)$	=	$9$
$b + 21 - 3 b$	=	$9$
$- 2 b + 21$	=	$9$	\| $- 21$
$- 2 b$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $21 - 3 \cdot 6$

= $21 - 18$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|4) und B(4|25) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|4): 4 = 1² + b⋅1 +c

B(4|25): 25 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 +1b +c |-1
25 = 16 +4b +c |-16

3 = 1b +c
9 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ 4 b & + c & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$9$
$c + 4 b$	=	$9$	\| $- 4 b$
$c$	=	$9 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (9 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $9 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (9 - 4 b)$	=	$3$
$b + 9 - 4 b$	=	$3$
$- 3 b + 9$	=	$3$	\| $- 9$
$- 3 b$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $9 - 4 \cdot 2$

= $9 - 8$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 + 1$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 + 1$

= ${(x + 1)}^{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 1$ = $1 - 2 + 1$ = 0

also: S(-1|0).

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg