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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 3 y$ = $- 9$ .

Bestimme x so, dass (x|-3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$- x + 3 \cdot (- 3)$ = $- 9$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- x + 3 \cdot (- 3)$	=	$- 9$
$- x - 9$	=	$- 9$	\| $+ 9$
$- x$	=	0	\|:( $- 1$ )
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 2 y$ = $3$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|6)
denn -3⋅3 +2⋅6 = -9 +12 = $3$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|9)
denn -3⋅5 +2⋅9 = -15 +18 = $3$

Oder : (1|3)
denn -3⋅1 +2⋅3 = -3 +6 = $3$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 3 y & = & - 9 & (I) \\ 2 x & + y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 3 y & = & - 9 & (I) \\ 2 x & + y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$- 9$	\|: $3$
$y$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 3 & (I) \\ 2 x & + y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 1 \cdot (- 3)$	=	$7$
$2 x - 3$	=	$7$	\| $+ 3$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 10 & (I) \\ 3 x & + y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 10 & (I) \\ 3 x & + y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$10$
$y + 3 x$	=	$10$	\| $- 3 x$
$y$	=	$10 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 10 & (I) \\ + y & = & (10 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $10 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 2 \cdot (10 - 3 x)$	=	$10$
$x + 20 - 6 x$	=	$10$
$- 5 x + 20$	=	$10$	\| $- 20$
$- 5 x$	=	$- 10$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $10 - 3 \cdot 2$

= $10 - 6$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 5 y & = & 5 & (I) \\ - 3 x & + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & - 5 y & = & 5 & (I) \\ - 3 x & + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$- 1$
$y - 3 x$	=	$- 1$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$- 1 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 5 x & - 5 y & = & 5 & (I) \\ + y & = & (- 1 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 1 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 5 \cdot (- 1 + 3 x)$	=	$5$
$5 x + 5 - 15 x$	=	$5$
$- 10 x + 5$	=	$5$	\| $- 5$
$- 10 x$	=	0	\|:( $- 10$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 1 + 3 \cdot (0)$

= $- 1 + 0$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & + \frac{2}{3} y & = & - \frac{31}{6} & (I) \\ - \frac{2}{3} x & - 2 y & = & \frac{14}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & + \frac{2}{3} y & = & - \frac{31}{6} & (I) \\ - \frac{2}{3} x & - 2 y & = & \frac{14}{3} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} y$	=	$- \frac{31}{6}$
$\frac{2}{3} y - \frac{1}{2} x$	=	$- \frac{31}{6}$	\|⋅ 6
$6 (\frac{2}{3} y - \frac{1}{2} x)$	=	$- 31$
$4 y - 3 x$	=	$- 31$	\| $+ 3 x$
$4 y$	=	$- 31 + 3 x$	\|: $4$
$y$	=	$- \frac{31}{4} + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{31}{4} + \frac{3}{4} x) & (I) \\ - \frac{2}{3} x & - 2 y & = & \frac{14}{3} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{31}{4} + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{2}{3} x - 2 \cdot (- \frac{31}{4} + \frac{3}{4} x)$	=	$\frac{14}{3}$
$- \frac{2}{3} x + \frac{31}{2} - \frac{3}{2} x$	=	$\frac{14}{3}$
$- \frac{13}{6} x + \frac{31}{2}$	=	$\frac{14}{3}$	\|⋅ 6
$6 (- \frac{13}{6} x + \frac{31}{2})$	=	$28$
$- 13 x + 93$	=	$28$	\| $- 93$
$- 13 x$	=	$- 65$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{31}{4} + \frac{3}{4} \cdot 5$

= $- \frac{31}{4} + \frac{15}{4}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -4y = ?

4x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

5x -4y = 25 -16 = 9

4x -4y = 20 -16 = 4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -4y = 9

4x -4y = 4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 8 x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 8 x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 2$
$y - 4 x$	=	$- 2$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 2 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 8 x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ + y & = & (- 2 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 2 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x - 2 \cdot (- 2 + 4 x)$	=	$4$
$8 x + 4 - 8 x$	=	$4$
$4$	=	$4$	\| $- 4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 440 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 100 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 440 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 100 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 4 y$	=	$440$
$- 4 y + 4 x$	=	$440$	\| $- 4 x$
$- 4 y$	=	$440 - 4 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 110 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 110 + x) & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 100 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 110 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot (- 110 + x)$	=	$100$
$2 x + 550 - 5 x$	=	$100$
$- 3 x + 550$	=	$100$	\| $- 550$
$- 3 x$	=	$- 450$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 110 + 150$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (150|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|6) und B(2|15) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(2|15): 15 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
15 = 4 +2b +c |-4

5 = 1b +c
11 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$11$
$c + 2 b$	=	$11$	\| $- 2 b$
$c$	=	$11 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (11 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (11 - 2 b)$	=	$5$
$b + 11 - 2 b$	=	$5$
$- b + 11$	=	$5$	\| $- 11$
$- b$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 - 2 \cdot 6$

= $11 - 12$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|12) und B(3|32) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|12): 12 = 1² + b⋅1 +c

B(3|32): 32 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 +1b +c |-1
32 = 9 +3b +c |-9

11 = 1b +c
23 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ 3 b & + c & = & 23 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$23$
$c + 3 b$	=	$23$	\| $- 3 b$
$c$	=	$23 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ + c & = & (23 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $23 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (23 - 3 b)$	=	$11$
$b + 23 - 3 b$	=	$11$
$- 2 b + 23$	=	$11$	\| $- 23$
$- 2 b$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $23 - 3 \cdot 6$

= $23 - 18$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 5$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 5$

= ${(x + 3)}^{2} - 4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 5$ = $9 - 18 + 5$ = -4

also: S(-3|-4).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg