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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 5 y$ = $- 24$ .

Bestimme x so, dass (x|6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$3 x - 5 \cdot 6$ = $- 24$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3 x - 5 \cdot 6$	=	$- 24$
$3 x - 30$	=	$- 24$	\| $+ 30$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (2|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - y$ = $18$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|0)
denn -3⋅( - 6 ) -1⋅0 = 18 +0 = $18$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|3)
denn -3⋅( - 7 ) -1⋅3 = 21 -3 = $18$

Oder : (-5|-3)
denn -3⋅( - 5 ) -1⋅( - 3 ) = 15 +3 = $18$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & 7 & (I) \\ 2 x & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & 7 & (I) \\ 2 x & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & 7 & (I) \\ x & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot 1 + 3 y$	=	$7$
$4 + 3 y$	=	$7$
$3 y + 4$	=	$7$	\| $- 4$
$3 y$	=	$3$	\|: $3$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & - 15 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & - 15 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$- 9$
$y + 2 x$	=	$- 9$	\| $- 2 x$
$y$	=	$- 9 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & - 15 & (I) \\ + y & = & (- 9 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 9 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 2 \cdot (- 9 - 2 x)$	=	$- 15$
$3 x - 18 - 4 x$	=	$- 15$
$- x - 18$	=	$- 15$	\| $+ 18$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 9 - 2 \cdot (- 3)$

= $- 9 + 6$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 30 & (I) \\ - 5 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 30 & (I) \\ - 5 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 3 y$	=	$30$
$- 3 y + 4 x$	=	$30$	\| $- 4 x$
$- 3 y$	=	$30 - 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 10 + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 10 + \frac{4}{3} x) & (I) \\ - 5 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 10 + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 3 \cdot (- 10 + \frac{4}{3} x)$	=	$3$
$- 5 x + 30 - 4 x$	=	$3$
$- 9 x + 30$	=	$3$	\| $- 30$
$- 9 x$	=	$- 27$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 10 + \frac{4}{3} \cdot 3$

= $- 10 + 4$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 5 y$	=	$- 3 x + 31$			(I)
$4 (- x + 5) + 2 y$	=	$x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 5 y$	=	$- 3 x + 31$			(I)
$4 (- x + 5) + 2 y$	=	$x$			(II)

$- 5 y$	=	$- 3 x + 31$	\| + $3 x$		(I)
$- 4 x + 20 + 2 y$	=	$x$	\| $- 20 - x$		(II)

\begin{matrix} 3 x & - 5 y & = & 31 & (I) \\ - 5 x & + 2 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 5 y$	=	$31$
$- 5 y + 3 x$	=	$31$	\| $- 3 x$
$- 5 y$	=	$31 - 3 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- \frac{31}{5} + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{31}{5} + \frac{3}{5} x) & (I) \\ - 5 x & + 2 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{31}{5} + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 2 \cdot (- \frac{31}{5} + \frac{3}{5} x)$	=	$- 20$
$- 5 x - \frac{62}{5} + \frac{6}{5} x$	=	$- 20$
$- \frac{19}{5} x - \frac{62}{5}$	=	$- 20$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{19}{5} x - \frac{62}{5})$	=	$- 100$
$- 19 x - 62$	=	$- 100$	\| $+ 62$
$- 19 x$	=	$- 38$	\|:( $- 19$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{31}{5} + \frac{3}{5} \cdot 2$

= $- \frac{31}{5} + \frac{6}{5}$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -3y = ?

5x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

4x -3y = 4 +9 = 13

5x -3y = 5 +9 = 14

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -3y = 13

5x -3y = 14

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 12 x & - 16 y & = & - 12 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 12 x & - 16 y & = & - 12 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$12 x - 16 y$	=	$- 12$
$- 16 y + 12 x$	=	$- 12$	\| $- 12 x$
$- 16 y$	=	$- 12 - 12 x$	\|:( $- 16$ )
$y$	=	$\frac{3}{4} + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{3}{4} + \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{4} + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 4 \cdot (\frac{3}{4} + \frac{3}{4} x)$	=	$3$
$- 3 x + 3 + 3 x$	=	$3$
$3$	=	$3$	\| $- 3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 29. Wenn man aber vom 5-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 0. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 29 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$29$	\| $- 5 y$
$x$	=	$29 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (29 - 5 y) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $29 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (29 - 5 y) - 4 y$	=	0
$145 - 25 y - 4 y$	=	0
$- 29 y + 145$	=	0	\| $- 145$
$- 29 y$	=	$- 145$	\|:( $- 29$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $29 - 5 \cdot 5$

= $29 - 25$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-4) und B(4|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-7): -7 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 +1b +c |-1
-7 = 16 +4b +c |-16

-5 = 1b +c
-23 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 23$
$c + 4 b$	=	$- 23$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 23 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 23 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 23 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 23 - 4 b)$	=	$- 5$
$b - 23 - 4 b$	=	$- 5$
$- 3 b - 23$	=	$- 5$	\| $+ 23$
$- 3 b$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 23 - 4 \cdot (- 6)$

= $- 23 + 24$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-7) und B(2|14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-7): -7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|14): 14 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 -1b +c |-1
14 = 4 +2b +c |-4

-8 = -1b +c
10 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ 2 b & + c & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$10$
$c + 2 b$	=	$10$	\| $- 2 b$
$c$	=	$10 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ + c & = & (10 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $10 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (10 - 2 b)$	=	$- 8$
$- b + 10 - 2 b$	=	$- 8$
$- 3 b + 10$	=	$- 8$	\| $- 10$
$- 3 b$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $10 - 2 \cdot 6$

= $10 - 12$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 - 2$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 - 2$

= ${(x + 3)}^{2} - 11$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-11).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) - 2$ = $9 - 18 - 2$ = -11

also: S(-3|-11).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg