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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 5 y$ = $- 5$ .

Bestimme x so, dass (x|-1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x - 5 \cdot (- 1)$ = $- 5$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot (- 1)$	=	$- 5$
$2 x + 5$	=	$- 5$	\| $- 5$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (-5|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 3 y$ = $9$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|1)
denn -1⋅( - 6 ) +3⋅1 = 6 +3 = $9$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|2)
denn -1⋅( - 3 ) +3⋅2 = 3 +6 = $9$

Oder : (-9|0)
denn -1⋅( - 9 ) +3⋅0 = 9 +0 = $9$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 y & = & 16 & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & - 28 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 y & = & 16 & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & - 28 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 4 & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & - 28 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 4 \cdot (- 4)$	=	$- 28$
$2 x - 16$	=	$- 28$	\| $+ 16$
$2 x$	=	$- 12$	\|: $2$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 11 & (I) \\ - x & + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 11 & (I) \\ - x & + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x + y$	=	$5$
$y - x$	=	$5$	\| $+ x$
$y$	=	$5 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 11 & (I) \\ + y & = & (5 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $5 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 1 \cdot (5 + x)$	=	$11$
$- 2 x + 5 + x$	=	$11$
$- x + 5$	=	$11$	\| $- 5$
$- x$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $5 - 6$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 7 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 7 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$- 7$
$y - 3 x$	=	$- 7$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$- 7 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 7 + 3 x) & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 7 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot (- 7 + 3 x)$	=	$5$
$- 3 x + 14 - 6 x$	=	$5$
$- 9 x + 14$	=	$5$	\| $- 14$
$- 9 x$	=	$- 9$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 7 + 3 \cdot 1$

= $- 7 + 3$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2 (x - 2) - 5 y$	=	$- 7 (2 + y)$			(I)
$- 5 x + 2 y$	=	$- 17$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2 (x - 2) - 5 y$	=	$- 7 (2 + y)$			(I)
$- 5 x + 2 y$	=	$- 17$			(II)

$2 x - 4 - 5 y$	=	$- 14 - 7 y$	\| + $4 + 7 y$		(I)
$- 5 x + 2 y$	=	$- 17$			(II)

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & - 10 & (I) \\ - 5 x & + 2 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 2 y$	=	$- 10$
$2 y + 2 x$	=	$- 10$	\| $- 2 x$
$2 y$	=	$- 10 - 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 5 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 5 - x) & (I) \\ - 5 x & + 2 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 5 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 2 \cdot (- 5 - x)$	=	$- 17$
$- 5 x - 10 - 2 x$	=	$- 17$
$- 7 x - 10$	=	$- 17$	\| $+ 10$
$- 7 x$	=	$- 7$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5 - 1$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -2y = ?

-1x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

3x -2y = -6 +4 = -2

-1x +2y = 2 -4 = -2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -2y = -2

-1x +2y = -2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + 6 y & = & - 5 & (I) \\ x & - 3 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 6 y & = & - 5 & (I) \\ x & - 3 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$2$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$2 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 6 y & = & - 5 & (I) \\ x & = & (2 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $2 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (2 + 3 y) + 6 y$	=	$- 5$
$- 4 - 6 y + 6 y$	=	$- 5$
$- 4$	=	$- 5$	\| $+ 4$
0	=	$- 1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 5 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 570 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 915 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 4 y & = & 570 & (I) \\ 7 x & - 3 y & = & 915 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 4 y$	=	$570$
$- 4 y + 5 x$	=	$570$	\| $- 5 x$
$- 4 y$	=	$570 - 5 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{285}{2} + \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{285}{2} + \frac{5}{4} x) & (I) \\ 7 x & - 3 y & = & 915 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{285}{2} + \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x - 3 \cdot (- \frac{285}{2} + \frac{5}{4} x)$	=	$915$
$7 x + \frac{855}{2} - \frac{15}{4} x$	=	$915$
$\frac{13}{4} x + \frac{855}{2}$	=	$915$	\|⋅ 4
$4 (\frac{13}{4} x + \frac{855}{2})$	=	$3 660$
$13 x + 1 710$	=	$3 660$	\| $- 1 710$
$13 x$	=	$1 950$	\|: $13$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{285}{2} + \frac{5}{4} \cdot 150$

= $- \frac{285}{2} + \frac{375}{2}$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (150|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|5) und B(1|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|5): 5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-7): -7 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 -1b +c |-1
-7 = 1 +1b +c |-1

4 = -1b +c
-8 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ b & + c & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 8$
$c + b$	=	$- 8$	\| $- b$
$c$	=	$- 8 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (- 8 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 8 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 8 - b)$	=	$4$
$- b - 8 - b$	=	$4$
$- 2 b - 8$	=	$4$	\| $+ 8$
$- 2 b$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 8 - (- 6)$

= $- 8 + 6$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-9) und B(3|-17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-9): -9 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-17): -17 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-9 = 1 +1b +c |-1
-17 = 9 +3b +c |-9

-10 = 1b +c
-26 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 10 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 26$
$c + 3 b$	=	$- 26$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 26 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 10 & (I) \\ + c & = & (- 26 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 26 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 26 - 3 b)$	=	$- 10$
$b - 26 - 3 b$	=	$- 10$
$- 2 b - 26$	=	$- 10$	\| $+ 26$
$- 2 b$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 26 - 3 \cdot (- 8)$

= $- 26 + 24$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 18$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-18).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 2$ = $16 - 32 - 2$ = -18

also: S(4|-18).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg