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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - y$ = $- 6$ .

Bestimme y so, dass (-6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$2 \cdot (- 6) - y$ = $- 6$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2 \cdot (- 6) - y$	=	$- 6$
$- 12 - y$	=	$- 6$
$- y - 12$	=	$- 6$	\| $+ 12$
$- y$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (-6|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 4 y$ = $- 9$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|3)
denn 1⋅3 -4⋅3 = 3 -12 = $- 9$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|2)
denn 1⋅( - 1 ) -4⋅2 = -1 -8 = $- 9$

Oder : (7|4)
denn 1⋅7 -4⋅4 = 7 -16 = $- 9$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 3 & (I) \\ - 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 3 & (I) \\ - 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 3 y$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 3 & (I) \\ + y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 4 \cdot 3$	=	$3$
$3 x - 12$	=	$3$	\| $+ 12$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 19 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 19 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$19$
$y + 4 x$	=	$19$	\| $- 4 x$
$y$	=	$19 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (19 - 4 x) & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $19 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 3 \cdot (19 - 4 x)$	=	$9$
$4 x + 57 - 12 x$	=	$9$
$- 8 x + 57$	=	$9$	\| $- 57$
$- 8 x$	=	$- 48$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $19 - 4 \cdot 6$

= $19 - 24$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 26 & (I) \\ - x & + 3 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 26 & (I) \\ - x & + 3 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 3 y$	=	$21$	\| $- 3 y$
$- x$	=	$21 - 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 21 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 26 & (I) \\ x & = & (- 21 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 21 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 21 + 3 y) - 4 y$	=	$- 26$
$- 21 + 3 y - 4 y$	=	$- 26$
$- y - 21$	=	$- 26$	\| $+ 21$
$- y$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 21 + 3 \cdot 5$

= $- 21 + 15$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2$	=	$- x - 32 + 5 y$			(I)
$- 1$	=	$5 (x - y) + 49$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2$	=	$- x - 32 + 5 y$			(I)
$- 1$	=	$5 (x - y) + 49$			(II)

$2$	=	$- x - 32 + 5 y$	\| $- 2 + x - 5 y$		(I)
$- 1$	=	$5 x + 49 - 5 y$	\| + $1 - 5 x + 5 y$		(II)

\begin{matrix} x & - 5 y & = & - 34 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 50 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 5 y$	=	$- 34$	\| $+ 5 y$
$x$	=	$- 34 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 34 + 5 y) & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 50 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 34 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 5 \cdot (- 34 + 5 y) + 5 y$	=	$50$
$170 - 25 y + 5 y$	=	$50$
$- 20 y + 170$	=	$50$	\| $- 170$
$- 20 y$	=	$- 120$	\|:( $- 20$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 34 + 5 \cdot 6$

= $- 34 + 30$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +3y = ?

8x +8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

4x +3y = -20 +3 = -17

8x +8y = -40 +8 = -32

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +3y = -17

8x +8y = -32

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 8 x & + 8 y & = & 6 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 8 x & + 8 y & = & 6 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 8 x + 8 y$	=	$6$
$8 y - 8 x$	=	$6$	\| $+ 8 x$
$8 y$	=	$6 + 8 x$	\|: $8$
$y$	=	$\frac{3}{4} + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{3}{4} + x) & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{4} + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot (\frac{3}{4} + x)$	=	$- 3$
$4 x - 3 - 4 x$	=	$- 3$
$- 3$	=	$- 3$	\| $+ 3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 35. Wenn man aber vom 5-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 10. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 6 y & = & 35 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 6 y$	=	$35$	\| $- 6 y$
$x$	=	$35 - 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (35 - 6 y) & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $35 - 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (35 - 6 y) - 3 y$	=	$10$
$175 - 30 y - 3 y$	=	$10$
$- 33 y + 175$	=	$10$	\| $- 175$
$- 33 y$	=	$- 165$	\|:( $- 33$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $35 - 6 \cdot 5$

= $35 - 30$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|15) und B(2|-12) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|15): 15 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-12): -12 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
15 = 1 -1b +c |-1
-12 = 4 +2b +c |-4

14 = -1b +c
-16 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 14 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 16$
$c + 2 b$	=	$- 16$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 16 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 14 & (I) \\ + c & = & (- 16 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 16 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 16 - 2 b)$	=	$14$
$- b - 16 - 2 b$	=	$14$
$- 3 b - 16$	=	$14$	\| $+ 16$
$- 3 b$	=	$30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 16 - 2 \cdot (- 10)$

= $- 16 + 20$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|4)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-10) und B(4|-25) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-10): -10 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-25): -25 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 +1b +c |-1
-25 = 16 +4b +c |-16

-11 = 1b +c
-41 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 41 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 41$
$c + 4 b$	=	$- 41$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 41 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (- 41 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 41 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 41 - 4 b)$	=	$- 11$
$b - 41 - 4 b$	=	$- 11$
$- 3 b - 41$	=	$- 11$	\| $+ 41$
$- 3 b$	=	$30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 41 - 4 \cdot (- 10)$

= $- 41 + 40$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-1)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 - 1$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 - 1$

= ${(x - 5)}^{2} - 26$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-26).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 - 1$ = $25 - 50 - 1$ = -26

also: S(5|-26).

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1. Weg

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