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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 5 y$ = $6$ .

Bestimme y so, dass (7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 \cdot 7 - 5 y$ = $6$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 2 \cdot 7 - 5 y$	=	$6$
$- 14 - 5 y$	=	$6$
$- 5 y - 14$	=	$6$	\| $+ 14$
$- 5 y$	=	$20$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (7|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 2 y$ = $12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|0)
denn 4⋅3 +2⋅0 = 12 +0 = $12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|-4)
denn 4⋅5 +2⋅( - 4 ) = 20 -8 = $12$

Oder : (1|4)
denn 4⋅1 +2⋅4 = 4 +8 = $12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 1 & (I) \\ - 4 x & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 1 & (I) \\ - 4 x & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 1 & (I) \\ x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 4) - 3 y$	=	$1$
$4 - 3 y$	=	$1$
$- 3 y + 4$	=	$1$	\| $- 4$
$- 3 y$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 11 & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 11 & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$- 11$
$y + 3 x$	=	$- 11$	\| $- 3 x$
$y$	=	$- 11 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 11 - 3 x) & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 11 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 4 \cdot (- 11 - 3 x)$	=	$- 17$
$3 x - 44 - 12 x$	=	$- 17$
$- 9 x - 44$	=	$- 17$	\| $+ 44$
$- 9 x$	=	$27$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 11 - 3 \cdot (- 3)$

= $- 11 + 9$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 21 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 21 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$21$	\| $- 3 y$
$x$	=	$21 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (21 - 3 y) & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $21 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (21 - 3 y) - 4 y$	=	$- 18$
$42 - 6 y - 4 y$	=	$- 18$
$- 10 y + 42$	=	$- 18$	\| $- 42$
$- 10 y$	=	$- 60$	\|:( $- 10$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $21 - 3 \cdot 6$

= $21 - 18$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$4 (x + 2)$	=	$- 4 y$			(I)
$3 x$	=	$2 (11 + 2 y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$4 (x + 2)$	=	$- 4 y$			(I)
$3 x$	=	$2 (11 + 2 y)$			(II)

$4 x + 8$	=	$- 4 y$	\| $- 8 + 4 y$		(I)
$3 x$	=	$22 + 4 y$	\| $- 4 y$		(II)

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 8 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 4 y$	=	$- 8$
$4 y + 4 x$	=	$- 8$	\| $- 4 x$
$4 y$	=	$- 8 - 4 x$	\|: $4$
$y$	=	$- 2 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 - x) & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 4 \cdot (- 2 - x)$	=	$22$
$3 x + 8 + 4 x$	=	$22$
$7 x + 8$	=	$22$	\| $- 8$
$7 x$	=	$14$	\|: $7$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 - 2$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +5y = ?

-1x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

3x +5y = -6 +5 = -1

-1x -1y = 2 -1 = 1

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +5y = -1

-1x -1y = 1

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ x & + 5 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ x & + 5 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$- 16$	\| $- 5 y$
$x$	=	$- 16 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ x & = & (- 16 - 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 16 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 16 - 5 y) - 2 y$	=	$4$
$- 32 - 10 y - 2 y$	=	$4$
$- 12 y - 32$	=	$4$	\| $+ 32$
$- 12 y$	=	$36$	\|:( $- 12$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 16 - 5 \cdot (- 3)$

= $- 16 + 15$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 4 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 158 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 231 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 6 y & = & 158 & (I) \\ 3 x & + 9 y & = & 231 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 6 y$	=	$158$
$6 y + 4 x$	=	$158$	\| $- 4 x$
$6 y$	=	$158 - 4 x$	\|: $6$
$y$	=	$\frac{79}{3} - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{79}{3} - \frac{2}{3} x) & (I) \\ 3 x & + 9 y & = & 231 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{79}{3} - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 9 \cdot (\frac{79}{3} - \frac{2}{3} x)$	=	$231$
$3 x + 237 - 6 x$	=	$231$
$- 3 x + 237$	=	$231$	\| $- 237$
$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{79}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2$

= $\frac{79}{3} - \frac{4}{3}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (2|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-11) und B(4|-20) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-11): -11 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-20): -20 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-11 = 1 +1b +c |-1
-20 = 16 +4b +c |-16

-12 = 1b +c
-36 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 12 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 36 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 36$
$c + 4 b$	=	$- 36$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 36 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 12 & (I) \\ + c & = & (- 36 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 36 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 36 - 4 b)$	=	$- 12$
$b - 36 - 4 b$	=	$- 12$
$- 3 b - 36$	=	$- 12$	\| $+ 36$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 36 - 4 \cdot (- 8)$

= $- 36 + 32$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-4)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|0) und B(-4|9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|9): 9 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
9 = 16 -4b +c |-16

-1 = -1b +c
-7 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 7$
$c - 4 b$	=	$- 7$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 7 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (- 7 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 7 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 7 + 4 b)$	=	$- 1$
$- b - 7 + 4 b$	=	$- 1$
$3 b - 7$	=	$- 1$	\| $+ 7$
$3 b$	=	$6$	\|: $3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 7 + 4 \cdot 2$

= $- 7 + 8$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 + 1$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 + 1$

= ${(x + 1)}^{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 1$ = $1 - 2 + 1$ = 0

also: S(-1|0).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS (Standard)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg