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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - y$ = $21$ .

Bestimme y so, dass (5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$3 \cdot 5 - y$ = $21$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3 \cdot 5 - y$	=	$21$
$15 - y$	=	$21$
$- y + 15$	=	$21$	\| $- 15$
$- y$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (5|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 5 y$ = $- 4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|4)
denn 4⋅4 -5⋅4 = 16 -20 = $- 4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|0)
denn 4⋅( - 1 ) -5⋅0 = -4 +0 = $- 4$

Oder : (9|8)
denn 4⋅9 -5⋅8 = 36 -40 = $- 4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & = & 24 & (I) \\ - 4 x & - y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & = & 24 & (I) \\ - 4 x & - y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$24$	\|: $4$
$x$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 6 & (I) \\ - 4 x & - y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot 6 - y$	=	$- 30$
$- 24 - y$	=	$- 30$
$- y - 24$	=	$- 30$	\| $+ 24$
$- y$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & 16 & (I) \\ 3 x & + y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & 16 & (I) \\ 3 x & + y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$3$
$y + 3 x$	=	$3$	\| $- 3 x$
$y$	=	$3 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & 16 & (I) \\ + y & = & (3 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $3 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 2 \cdot (3 - 3 x)$	=	$16$
$- 4 x + 6 - 6 x$	=	$16$
$- 10 x + 6$	=	$16$	\| $- 6$
$- 10 x$	=	$10$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $3 - 3 \cdot (- 1)$

= $3 + 3$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - y & = & 20 & (I) \\ x & - y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & - y & = & 20 & (I) \\ x & - y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x - y$	=	$4$
$- y + x$	=	$4$	\| $- x$
$- y$	=	$4 - x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 4 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 5 x & - y & = & 20 & (I) \\ + y & = & (- 4 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 4 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 1 \cdot (- 4 + x)$	=	$20$
$5 x + 4 - x$	=	$20$
$4 x + 4$	=	$20$	\| $- 4$
$4 x$	=	$16$	\|: $4$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 4 + 4$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (4|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & + \frac{1}{4} y & = & 2 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & + \frac{1}{4} y & = & 2 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} y$	=	$2$
$\frac{1}{4} y + \frac{1}{2} x$	=	$2$	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} y + \frac{1}{2} x)$	=	$8$
$y + 2 x$	=	$8$	\| $- 2 x$
$y$	=	$8 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (8 - 2 x) & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $8 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 2 \cdot (8 - 2 x)$	=	$- 20$
$- 2 x + 16 - 4 x$	=	$- 20$
$- 6 x + 16$	=	$- 20$	\| $- 16$
$- 6 x$	=	$- 36$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $8 - 2 \cdot 6$

= $8 - 12$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +5y = ?

-7x +9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-5x +5y = 10 +25 = 35

-7x +9y = 14 +45 = 59

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +5y = 35

-7x +9y = 59

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & 25 & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & 25 & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 5 y$	=	$25$
$- 5 y - 5 x$	=	$25$	\| $+ 5 x$
$- 5 y$	=	$25 + 5 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 5 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 5 - x) & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 5 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 4 \cdot (- 5 - x)$	=	$16$
$- 2 x + 20 + 4 x$	=	$16$
$2 x + 20$	=	$16$	\| $- 20$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5 - (- 2)$

= $- 5 + 2$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 540 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 450 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 540 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 450 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 2 y$	=	$540$
$- 2 y + 4 x$	=	$540$	\| $- 4 x$
$- 2 y$	=	$540 - 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 270 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 270 + 2 x) & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 450 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 270 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 5 \cdot (- 270 + 2 x)$	=	$450$
$4 x + 1 350 - 10 x$	=	$450$
$- 6 x + 1 350$	=	$450$	\| $- 1 350$
$- 6 x$	=	$- 900$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 270 + 2 \cdot 150$

= $- 270 + 300$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (150|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-10) und B(1|2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-10): -10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 -1b +c |-1
2 = 1 +1b +c |-1

-11 = -1b +c
1 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ b & + c & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$1$
$c + b$	=	$1$	\| $- b$
$c$	=	$1 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (1 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $1 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (1 - b)$	=	$- 11$
$- b + 1 - b$	=	$- 11$
$- 2 b + 1$	=	$- 11$	\| $- 1$
$- 2 b$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $1 - 6$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-5)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|2) und B(1|-2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
-2 = 1 +1b +c |-1

1 = -1b +c
-3 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ b & + c & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 3$
$c + b$	=	$- 3$	\| $- b$
$c$	=	$- 3 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (- 3 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 3 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 3 - b)$	=	$1$
$- b - 3 - b$	=	$1$
$- 2 b - 3$	=	$1$	\| $+ 3$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 3 - (- 2)$

= $- 3 + 2$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 - 1$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 - 1$

= ${(x - 1)}^{2} - 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 - 1$ = $1 - 2 - 1$ = -2

also: S(1|-2).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS (Standard)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg