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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 4 y$ = $- 12$ .

Bestimme x so, dass (x|-4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 x + 4 \cdot (- 4)$ = $- 12$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 4 x + 4 \cdot (- 4)$	=	$- 12$
$- 4 x - 16$	=	$- 12$	\| $+ 16$
$- 4 x$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-1|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 2 y$ = $- 4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-1)
denn 3⋅( - 2 ) -2⋅( - 1 ) = -6 +2 = $- 4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|-4)
denn 3⋅( - 4 ) -2⋅( - 4 ) = -12 +8 = $- 4$

Oder : (0|2)
denn 3⋅0 -2⋅2 = 0 -4 = $- 4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & = & - 4 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & = & - 4 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 2 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot 2 - 4 y$	=	$- 6$
$6 - 4 y$	=	$- 6$
$- 4 y + 6$	=	$- 6$	\| $- 6$
$- 4 y$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 4 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 4 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 23$
$y - 4 x$	=	$- 23$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 23 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 4 & (I) \\ + y & = & (- 23 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 23 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x - 3 \cdot (- 23 + 4 x)$	=	$4$
$- x + 69 - 12 x$	=	$4$
$- 13 x + 69$	=	$4$	\| $- 69$
$- 13 x$	=	$- 65$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 23 + 4 \cdot 5$

= $- 23 + 20$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 11 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 11 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 4 y$	=	$11$
$- 4 y - 3 x$	=	$11$	\| $+ 3 x$
$- 4 y$	=	$11 + 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{11}{4} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{11}{4} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{11}{4} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 3 \cdot (- \frac{11}{4} - \frac{3}{4} x)$	=	$7$
$- 2 x + \frac{33}{4} + \frac{9}{4} x$	=	$7$
$\frac{1}{4} x + \frac{33}{4}$	=	$7$	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} x + \frac{33}{4})$	=	$28$
$x + 33$	=	$28$	\| $- 33$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{11}{4} - \frac{3}{4} \cdot (- 5)$

= $- \frac{11}{4} + \frac{15}{4}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{9}{2} & (I) \\ x & + \frac{3}{2} y & = & \frac{23}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{9}{2} & (I) \\ x & + \frac{3}{2} y & = & \frac{23}{2} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + \frac{3}{2} y$	=	$\frac{23}{2}$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{3}{2} y)$	=	$23$
$2 x + 3 y$	=	$23$	\| $- 3 y$
$2 x$	=	$23 - 3 y$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{23}{2} - \frac{3}{2} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{9}{2} & (I) \\ x & = & (\frac{23}{2} - \frac{3}{2} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{23}{2} - \frac{3}{2} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{23}{2} - \frac{3}{2} y) + \frac{1}{2} y$	=	$\frac{9}{2}$
$\frac{23}{4} - \frac{3}{4} y + \frac{1}{2} y$	=	$\frac{9}{2}$
$- \frac{1}{4} y + \frac{23}{4}$	=	$\frac{9}{2}$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{1}{4} y + \frac{23}{4})$	=	$18$
$- y + 23$	=	$18$	\| $- 23$
$- y$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{23}{2} - \frac{3}{2} \cdot 5$

= $\frac{23}{2} - \frac{15}{2}$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +2y = ?

3x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-1x +2y = -4 +6 = 2

3x -7y = 12 -21 = -9

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +2y = 2

3x -7y = -9

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 3 & (I) \\ 16 x & + 8 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 3 & (I) \\ 16 x & + 8 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 2 y$	=	$- 3$
$- 2 y - 4 x$	=	$- 3$	\| $+ 4 x$
$- 2 y$	=	$- 3 + 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$\frac{3}{2} - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{3}{2} - 2 x) & (I) \\ 16 x & + 8 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{2} - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$16 x + 8 \cdot (\frac{3}{2} - 2 x)$	=	$12$
$16 x + 12 - 16 x$	=	$12$
$12$	=	$12$	\| $- 12$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 8 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 162 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 132 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 8 y & = & 162 & (I) \\ 7 x & + 6 y & = & 132 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 8 y$	=	$162$
$8 y + 7 x$	=	$162$	\| $- 7 x$
$8 y$	=	$162 - 7 x$	\|: $8$
$y$	=	$\frac{81}{4} - \frac{7}{8} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{81}{4} - \frac{7}{8} x) & (I) \\ 7 x & + 6 y & = & 132 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{81}{4} - \frac{7}{8} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x + 6 \cdot (\frac{81}{4} - \frac{7}{8} x)$	=	$132$
$7 x + \frac{243}{2} - \frac{21}{4} x$	=	$132$
$\frac{7}{4} x + \frac{243}{2}$	=	$132$	\|⋅ 4
$4 (\frac{7}{4} x + \frac{243}{2})$	=	$528$
$7 x + 486$	=	$528$	\| $- 486$
$7 x$	=	$42$	\|: $7$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{81}{4} - \frac{7}{8} \cdot 6$

= $\frac{81}{4} - \frac{21}{4}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (6|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|3) und B(3|23) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|3): 3 = 1² + b⋅1 +c

B(3|23): 23 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 +1b +c |-1
23 = 9 +3b +c |-9

2 = 1b +c
14 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 2 & (I) \\ 3 b & + c & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$14$
$c + 3 b$	=	$14$	\| $- 3 b$
$c$	=	$14 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 2 & (I) \\ + c & = & (14 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $14 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (14 - 3 b)$	=	$2$
$b + 14 - 3 b$	=	$2$
$- 2 b + 14$	=	$2$	\| $- 14$
$- 2 b$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $14 - 3 \cdot 6$

= $14 - 18$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-12) und B(-4|-27) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-12): -12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-27): -27 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 -1b +c |-1
-27 = 16 -4b +c |-16

-13 = -1b +c
-43 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 13 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 43 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 43$
$c - 4 b$	=	$- 43$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 43 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 13 & (I) \\ + c & = & (- 43 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 43 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 43 + 4 b)$	=	$- 13$
$- b - 43 + 4 b$	=	$- 13$
$3 b - 43$	=	$- 13$	\| $+ 43$
$3 b$	=	$30$	\|: $3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 43 + 4 \cdot 10$

= $- 43 + 40$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-3)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 3$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 3$

= ${(x + 5)}^{2} - 28$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-28).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 3$ = $25 - 50 - 3$ = -28

also: S(-5|-28).

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