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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 4 y$ = $- 15$ .

Bestimme x so, dass (x|-4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$x + 4 \cdot (- 4)$ = $- 15$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x + 4 \cdot (- 4)$	=	$- 15$
$x - 16$	=	$- 15$	\| $+ 16$
$x$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (1|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 2 y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|5)
denn -2⋅5 +2⋅5 = -10 +10 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (7|7)
denn -2⋅7 +2⋅7 = -14 +14 = 0

Oder : (3|3)
denn -2⋅3 +2⋅3 = -6 +6 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & - 9 & (I) \\ - 4 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & - 9 & (I) \\ - 4 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & - 9 & (I) \\ + y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x - 4 \cdot 3$	=	$- 9$
$- x - 12$	=	$- 9$	\| $+ 12$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 1 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 1 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$- 1$
$y - 2 x$	=	$- 1$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$- 1 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 + 2 x) & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 2 \cdot (- 1 + 2 x)$	=	$- 6$
$- 2 x - 2 + 4 x$	=	$- 6$
$2 x - 2$	=	$- 6$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 + 2 \cdot (- 2)$

= $- 1 - 4$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 14 & (I) \\ - 5 x & + y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 14 & (I) \\ - 5 x & + y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x + y$	=	$- 22$
$y - 5 x$	=	$- 22$	\| $+ 5 x$
$y$	=	$- 22 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 14 & (I) \\ + y & = & (- 22 + 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 22 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x - 3 \cdot (- 22 + 5 x)$	=	$- 14$
$- x + 66 - 15 x$	=	$- 14$
$- 16 x + 66$	=	$- 14$	\| $- 66$
$- 16 x$	=	$- 80$	\|:( $- 16$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 22 + 5 \cdot 5$

= $- 22 + 25$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & - 2 y & = & - 7 & (I) \\ \frac{3}{2} x & - 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & - 2 y & = & - 7 & (I) \\ \frac{3}{2} x & - 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{2} x - 2 y$	=	$- 7$
$- 2 y + \frac{1}{2} x$	=	$- 7$	\|⋅ 2
$2 (- 2 y + \frac{1}{2} x)$	=	$- 14$
$- 4 y + x$	=	$- 14$	\| $- x$
$- 4 y$	=	$- 14 - x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$\frac{7}{2} + \frac{1}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{7}{2} + \frac{1}{4} x) & (I) \\ \frac{3}{2} x & - 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{7}{2} + \frac{1}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{2} x - 3 \cdot (\frac{7}{2} + \frac{1}{4} x)$	=	$- 12$
$\frac{3}{2} x - \frac{21}{2} - \frac{3}{4} x$	=	$- 12$
$\frac{3}{4} x - \frac{21}{2}$	=	$- 12$	\|⋅ 4
$4 (\frac{3}{4} x - \frac{21}{2})$	=	$- 48$
$3 x - 42$	=	$- 48$	\| $+ 42$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{7}{2} + \frac{1}{4} \cdot (- 2)$

= $\frac{7}{2} - \frac{1}{2}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +5y = ?

-1x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

2x +5y = -6 -5 = -11

-1x -4y = 3 +4 = 7

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +5y = -11

-1x -4y = 7

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 12 x & + 12 y & = & 6 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 12 x & + 12 y & = & 6 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 12 x + 12 y$	=	$6$
$12 y - 12 x$	=	$6$	\| $+ 12 x$
$12 y$	=	$6 + 12 x$	\|: $12$
$y$	=	$\frac{1}{2} + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{2} + x) & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2} + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot (\frac{1}{2} + x)$	=	$- 2$
$4 x - 2 - 4 x$	=	$- 2$
$- 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 3 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 7 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 219 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 5 Halogenleuchten zusammen 168 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 7 y & = & 219 & (I) \\ 6 x & + 5 y & = & 168 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 7 y$	=	$219$
$7 y + 3 x$	=	$219$	\| $- 3 x$
$7 y$	=	$219 - 3 x$	\|: $7$
$y$	=	$\frac{219}{7} - \frac{3}{7} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{219}{7} - \frac{3}{7} x) & (I) \\ 6 x & + 5 y & = & 168 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{219}{7} - \frac{3}{7} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 5 \cdot (\frac{219}{7} - \frac{3}{7} x)$	=	$168$
$6 x + \frac{1095}{7} - \frac{15}{7} x$	=	$168$
$\frac{27}{7} x + \frac{1095}{7}$	=	$168$	\|⋅ 7
$7 (\frac{27}{7} x + \frac{1095}{7})$	=	$1 176$
$27 x + 1 095$	=	$1 176$	\| $- 1 095$
$27 x$	=	$81$	\|: $27$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{219}{7} - \frac{3}{7} \cdot 3$

= $\frac{219}{7} - \frac{9}{7}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (3|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-1) und B(1|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-1): -1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 -1b +c |-1
-5 = 1 +1b +c |-1

-2 = -1b +c
-6 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ b & + c & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 6$
$c + b$	=	$- 6$	\| $- b$
$c$	=	$- 6 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (- 6 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 6 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 6 - b)$	=	$- 2$
$- b - 6 - b$	=	$- 2$
$- 2 b - 6$	=	$- 2$	\| $+ 6$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 6 - (- 2)$

= $- 6 + 2$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|3) und B(3|19) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|3): 3 = 1² + b⋅1 +c

B(3|19): 19 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 +1b +c |-1
19 = 9 +3b +c |-9

2 = 1b +c
10 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 2 & (I) \\ 3 b & + c & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$10$
$c + 3 b$	=	$10$	\| $- 3 b$
$c$	=	$10 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 2 & (I) \\ + c & = & (10 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $10 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (10 - 3 b)$	=	$2$
$b + 10 - 3 b$	=	$2$
$- 2 b + 10$	=	$2$	\| $- 10$
$- 2 b$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $10 - 3 \cdot 4$

= $10 - 12$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 - 2$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 - 2$

= ${(x + 2)}^{2} - 6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - 2$ = $4 - 8 - 2$ = -6

also: S(-2|-6).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg