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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 4 y$ = $- 10$ .

Bestimme y so, dass (6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 \cdot 6 - 4 y$ = $- 10$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 5 \cdot 6 - 4 y$	=	$- 10$
$- 30 - 4 y$	=	$- 10$
$- 4 y - 30$	=	$- 10$	\| $+ 30$
$- 4 y$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (6|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 3 y$ = $- 10$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|2)
denn 4⋅( - 4 ) +3⋅2 = -16 +6 = $- 10$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|-2)
denn 4⋅( - 1 ) +3⋅( - 2 ) = -4 -6 = $- 10$

Oder : (-7|6)
denn 4⋅( - 7 ) +3⋅6 = -28 +18 = $- 10$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ + 3 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ + 3 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$15$	\|: $3$
$y$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 2 \cdot 5$	=	$6$
$- 2 x + 10$	=	$6$	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 12 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 12 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$- 12$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$- 12 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 12 + 2 y) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 12 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 12 + 2 y) + 2 y$	=	$6$
$- 24 + 4 y + 2 y$	=	$6$
$6 y - 24$	=	$6$	\| $+ 24$
$6 y$	=	$30$	\|: $6$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 12 + 2 \cdot 5$

= $- 12 + 10$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & 10 & (I) \\ - x & - 3 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & 10 & (I) \\ - x & - 3 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$- 5$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$- 5 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & 10 & (I) \\ x & = & (5 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $5 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (5 - 3 y) + 3 y$	=	$10$
$- 20 + 12 y + 3 y$	=	$10$
$15 y - 20$	=	$10$	\| $+ 20$
$15 y$	=	$30$	\|: $15$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $5 - 3 \cdot 2$

= $5 - 6$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{2}{3} x & + \frac{2}{3} y & = & \frac{14}{3} & (I) \\ \frac{1}{2} x & + \frac{1}{4} y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{2}{3} x & + \frac{2}{3} y & = & \frac{14}{3} & (I) \\ \frac{1}{2} x & + \frac{1}{4} y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{2}{3} x + \frac{2}{3} y$	=	$\frac{14}{3}$
$\frac{2}{3} y + \frac{2}{3} x$	=	$\frac{14}{3}$	\|⋅ 3
$3 (\frac{2}{3} y + \frac{2}{3} x)$	=	$14$
$2 y + 2 x$	=	$14$	\| $- 2 x$
$2 y$	=	$14 - 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$7 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (7 - x) & (I) \\ \frac{1}{2} x & + \frac{1}{4} y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $7 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \cdot (7 - x)$	=	$2$
$\frac{1}{2} x + \frac{7}{4} - \frac{1}{4} x$	=	$2$
$\frac{1}{4} x + \frac{7}{4}$	=	$2$	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} x + \frac{7}{4})$	=	$8$
$x + 7$	=	$8$	\| $- 7$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $7 - 1$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +1y = ?

-8x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-4x +1y = -4 +3 = -1

-8x +5y = -8 +15 = 7

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +1y = -1

-8x +5y = 7

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 12 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 12 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 3 y$	=	$- 12$
$3 y + 3 x$	=	$- 12$	\| $- 3 x$
$3 y$	=	$- 12 - 3 x$	\|: $3$
$y$	=	$- 4 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 4 - x) & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 4 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot (- 4 - x)$	=	$- 16$
$4 x + 16 + 4 x$	=	$- 16$
$8 x + 16$	=	$- 16$	\| $- 16$
$8 x$	=	$- 32$	\|: $8$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 4 - (- 4)$

= $- 4 + 4$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|0)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1090 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 925 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 1090 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 925 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 2 y$	=	$1090$
$- 2 y + 4 x$	=	$1090$	\| $- 4 x$
$- 2 y$	=	$1090 - 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 545 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 545 + 2 x) & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 925 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 545 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 5 \cdot (- 545 + 2 x)$	=	$925$
$4 x + 2 725 - 10 x$	=	$925$
$- 6 x + 2 725$	=	$925$	\| $- 2 725$
$- 6 x$	=	$- 1 800$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 545 + 2 \cdot 300$

= $- 545 + 600$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (300|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-6) und B(-2|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-7): -7 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
-7 = 4 -2b +c |-4

-7 = -1b +c
-11 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 11$
$c - 2 b$	=	$- 11$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 11 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 11 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 11 + 2 b)$	=	$- 7$
$- b - 11 + 2 b$	=	$- 7$
$b - 11$	=	$- 7$	\| $+ 11$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 + 2 \cdot 4$

= $- 11 + 8$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|11) und B(-2|20) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|11): 11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|20): 20 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
11 = 1 -1b +c |-1
20 = 4 -2b +c |-4

10 = -1b +c
16 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 10 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$16$
$c - 2 b$	=	$16$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$16 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 10 & (I) \\ + c & = & (16 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $16 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (16 + 2 b)$	=	$10$
$- b + 16 + 2 b$	=	$10$
$b + 16$	=	$10$	\| $- 16$
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $16 + 2 \cdot (- 6)$

= $16 - 12$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 4$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 + 4$

= ${(x - 3)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 + 4$ = $9 - 18 + 4$ = -5

also: S(3|-5).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg