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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 4 y$ = $5$ .

Bestimme y so, dass (1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$1 - 4 y$ = $5$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$1 - 4 y$	=	$5$
$1 - 4 y$	=	$5$
$- 4 y + 1$	=	$5$	\| $- 1$
$- 4 y$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (1|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 2 y$ = $- 6$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|0)
denn 3⋅( - 2 ) -2⋅0 = -6 +0 = $- 6$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|-3)
denn 3⋅( - 4 ) -2⋅( - 3 ) = -12 +6 = $- 6$

Oder : (0|3)
denn 3⋅0 -2⋅3 = 0 -6 = $- 6$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & = & - 24 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & = & - 24 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$- 24$	\|: $4$
$x$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 6 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 6) - 3 y$	=	$- 21$
$- 6 - 3 y$	=	$- 21$
$- 3 y - 6$	=	$- 21$	\| $+ 6$
$- 3 y$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 9 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 33 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 9 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 33 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$- 9$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$- 9 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 9 + 2 y) & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 33 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 9 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 9 + 2 y) - 4 y$	=	$- 33$
$27 - 6 y - 4 y$	=	$- 33$
$- 10 y + 27$	=	$- 33$	\| $- 27$
$- 10 y$	=	$- 60$	\|:( $- 10$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 9 + 2 \cdot 6$

= $- 9 + 12$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & 0 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & 0 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 18$
$y - 4 x$	=	$- 18$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 18 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & 0 & (I) \\ + y & = & (- 18 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 18 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 1 \cdot (- 18 + 4 x)$	=	0
$- 2 x + 18 - 4 x$	=	0
$- 6 x + 18$	=	0	\| $- 18$
$- 6 x$	=	$- 18$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 18 + 4 \cdot 3$

= $- 18 + 12$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{2}{5} x & - \frac{2}{3} y & = & - \frac{32}{15} & (I) \\ \frac{1}{3} x & + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{2}{5} x & - \frac{2}{3} y & = & - \frac{32}{15} & (I) \\ \frac{1}{3} x & + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$\frac{1}{3} x + y$	=	$6$
$y + \frac{1}{3} x$	=	$6$	\|⋅ 3
$3 (y + \frac{1}{3} x)$	=	$18$
$3 y + x$	=	$18$	\| $- x$
$3 y$	=	$18 - x$	\|: $3$
$y$	=	$6 - \frac{1}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{2}{5} x & - \frac{2}{3} y & = & - \frac{32}{15} & (I) \\ + y & = & (6 - \frac{1}{3} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $6 - \frac{1}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{2}{5} x - \frac{2}{3} \cdot (6 - \frac{1}{3} x)$	=	$- \frac{32}{15}$
$\frac{2}{5} x - 4 + \frac{2}{9} x$	=	$- \frac{32}{15}$
$\frac{28}{45} x - 4$	=	$- \frac{32}{15}$	\|⋅ 45
$45 (\frac{28}{45} x - 4)$	=	$- 96$
$28 x - 180$	=	$- 96$	\| $+ 180$
$28 x$	=	$84$	\|: $28$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $6 - \frac{1}{3} \cdot 3$

= $6 - 1$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +3y = ?

-2x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

1x +3y = -3 +12 = 9

-2x -7y = 6 -28 = -22

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +3y = 9

-2x -7y = -22

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & + 5 y & = & - 37 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 27 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 5 y & = & - 37 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 27 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 5 y$	=	$- 37$
$5 y - 4 x$	=	$- 37$	\| $+ 4 x$
$5 y$	=	$- 37 + 4 x$	\|: $5$
$y$	=	$- \frac{37}{5} + \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{37}{5} + \frac{4}{5} x) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 27 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{37}{5} + \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot (- \frac{37}{5} + \frac{4}{5} x)$	=	$27$
$4 x + \frac{111}{5} - \frac{12}{5} x$	=	$27$
$\frac{8}{5} x + \frac{111}{5}$	=	$27$	\|⋅ 5
$5 (\frac{8}{5} x + \frac{111}{5})$	=	$135$
$8 x + 111$	=	$135$	\| $- 111$
$8 x$	=	$24$	\|: $8$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{37}{5} + \frac{4}{5} \cdot 3$

= $- \frac{37}{5} + \frac{12}{5}$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 980 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 380 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 980 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & 380 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 4 y$	=	$980$
$- 4 y + 4 x$	=	$980$	\| $- 4 x$
$- 4 y$	=	$980 - 4 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 245 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 245 + x) & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & 380 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 245 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 4 \cdot (- 245 + x)$	=	$380$
$2 x + 980 - 4 x$	=	$380$
$- 2 x + 980$	=	$380$	\| $- 980$
$- 2 x$	=	$- 600$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 245 + 300$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (300|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-2) und B(-2|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-5): -5 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 -1b +c |-1
-5 = 4 -2b +c |-4

-3 = -1b +c
-9 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 9$
$c - 2 b$	=	$- 9$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 9 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 9 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 9 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 9 + 2 b)$	=	$- 3$
$- b - 9 + 2 b$	=	$- 3$
$b - 9$	=	$- 3$	\| $+ 9$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 9 + 2 \cdot 6$

= $- 9 + 12$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-9) und B(-2|12) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-9): -9 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|12): 12 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-9 = 1 +1b +c |-1
12 = 4 -2b +c |-4

-10 = 1b +c
8 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 10 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$8$
$c - 2 b$	=	$8$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$8 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 10 & (I) \\ + c & = & (8 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $8 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (8 + 2 b)$	=	$- 10$
$b + 8 + 2 b$	=	$- 10$
$3 b + 8$	=	$- 10$	\| $- 8$
$3 b$	=	$- 18$	\|: $3$
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $8 + 2 \cdot (- 6)$

= $8 - 12$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 - 4$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 - 4$

= ${(x - 3)}^{2} - 13$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-13).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 - 4$ = $9 - 18 - 4$ = -13

also: S(3|-13).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg