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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 2 y$ = $20$ .

Bestimme x so, dass (x|1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 x + 2 \cdot 1$ = $20$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 3 x + 2 \cdot 1$	=	$20$
$- 3 x + 2$	=	$20$	\| $- 2$
$- 3 x$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (-6|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 5 y$ = $- 10$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|0)
denn -5⋅2 -5⋅0 = -10 +0 = $- 10$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|5)
denn -5⋅( - 3 ) -5⋅5 = 15 -25 = $- 10$

Oder : (7|-5)
denn -5⋅7 -5⋅( - 5 ) = -35 +25 = $- 10$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 6 & (I) \\ + y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $4$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 4 \cdot 4$	=	$6$
$- 2 x + 16$	=	$6$	\| $- 16$
$- 2 x$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & - 28 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & - 28 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 20$
$y - 4 x$	=	$- 20$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 20 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & - 28 & (I) \\ + y & = & (- 20 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 20 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 1 \cdot (- 20 + 4 x)$	=	$- 28$
$- 4 x + 20 - 4 x$	=	$- 28$
$- 8 x + 20$	=	$- 28$	\| $- 20$
$- 8 x$	=	$- 48$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 20 + 4 \cdot 6$

= $- 20 + 24$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 10 & (I) \\ - x & - 4 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 10 & (I) \\ - x & - 4 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 4 y$	=	$- 15$	\| $+ 4 y$
$- x$	=	$- 15 + 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$15 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 10 & (I) \\ x & = & (15 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $15 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (15 - 4 y) + 3 y$	=	$10$
$15 - 4 y + 3 y$	=	$10$
$- y + 15$	=	$10$	\| $- 15$
$- y$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $15 - 4 \cdot 5$

= $15 - 20$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$4 x$	=	$- 7 + 3 y$			(I)
$2 (x + 3)$	=	$x + 5 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$4 x$	=	$- 7 + 3 y$			(I)
$2 (x + 3)$	=	$x + 5 y$			(II)

$4 x$	=	$- 7 + 3 y$	\| $- 3 y$		(I)
$2 x + 6$	=	$x + 5 y$	\| $- 6 - x - 5 y$		(II)

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 7 & (I) \\ x & - 5 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 5 y$	=	$- 6$	\| $+ 5 y$
$x$	=	$- 6 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 7 & (I) \\ x & = & (- 6 + 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 6 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 6 + 5 y) - 3 y$	=	$- 7$
$- 24 + 20 y - 3 y$	=	$- 7$
$17 y - 24$	=	$- 7$	\| $+ 24$
$17 y$	=	$17$	\|: $17$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 6 + 5 \cdot 1$

= $- 6 + 5$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +3y = ?

-3x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-5x +3y = -20 -9 = -29

-3x +5y = -12 -15 = -27

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +3y = -29

-3x +5y = -27

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 2 & (I) \\ 6 x & + 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 2 & (I) \\ 6 x & + 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x - y$	=	$2$
$- y - 3 x$	=	$2$	\| $+ 3 x$
$- y$	=	$2 + 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 2 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 - 3 x) & (I) \\ 6 x & + 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 2 \cdot (- 2 - 3 x)$	=	$- 4$
$6 x - 4 - 6 x$	=	$- 4$
$- 4$	=	$- 4$	\| $+ 4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 2 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 76 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 219 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & 76 & (I) \\ 3 x & + 6 y & = & 219 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 2 y$	=	$76$
$2 y + 2 x$	=	$76$	\| $- 2 x$
$2 y$	=	$76 - 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$38 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (38 - x) & (I) \\ 3 x & + 6 y & = & 219 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $38 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 6 \cdot (38 - x)$	=	$219$
$3 x + 228 - 6 x$	=	$219$
$- 3 x + 228$	=	$219$	\| $- 228$
$- 3 x$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $38 - 3$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (3|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|16) und B(3|44) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|16): 16 = 1² + b⋅1 +c

B(3|44): 44 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
16 = 1 +1b +c |-1
44 = 9 +3b +c |-9

15 = 1b +c
35 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 15 & (I) \\ 3 b & + c & = & 35 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$35$
$c + 3 b$	=	$35$	\| $- 3 b$
$c$	=	$35 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 15 & (I) \\ + c & = & (35 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $35 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (35 - 3 b)$	=	$15$
$b + 35 - 3 b$	=	$15$
$- 2 b + 35$	=	$15$	\| $- 35$
$- 2 b$	=	$- 20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $35 - 3 \cdot 10$

= $35 - 30$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-9) und B(2|12) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-9): -9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|12): 12 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-9 = 1 -1b +c |-1
12 = 4 +2b +c |-4

-10 = -1b +c
8 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 10 & (I) \\ 2 b & + c & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$8$
$c + 2 b$	=	$8$	\| $- 2 b$
$c$	=	$8 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 10 & (I) \\ + c & = & (8 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $8 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (8 - 2 b)$	=	$- 10$
$- b + 8 - 2 b$	=	$- 10$
$- 3 b + 8$	=	$- 10$	\| $- 8$
$- 3 b$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $8 - 2 \cdot 6$

= $8 - 12$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 - 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 - 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 13$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-13).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) - 4$ = $9 - 18 - 4$ = -13

also: S(-3|-13).

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1. Weg

2. Weg