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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -5x +4y = 26 .

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

-5( -2 ) +4y = 26

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

-5( -2 ) +4y = 26
10 +4y = 26
4y +10 = 26 | -10
4y = 16 |:4
y = 4

Die Lösung ist somit: (-2|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -4x -4y = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|-4)
denn -4⋅4 -4( - 4 ) = -16 +16 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|0)
denn -4⋅0 -40 = 0 +0 = 0

Oder : (8|-8)
denn -4⋅8 -4( - 8 ) = -32 +32 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

4x +y = -5 (I) 3x = -3 (II)

Lösung einblenden
4x +y = -5 (I) 3x = -3 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

3x = -3 |:3
x = -1

Als neues LGS erhält man so:

4x +y = -5 (I) x = -1 (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch -1 ersetzen und dann nach y auflösen:

4 · ( -1 ) + y = -5
-4 + y = -5
y -4 = -5 | +4
y = -1

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

x -4y = 21 (I) -4x +4y = -24 (II)

Lösung einblenden
x -4y = 21 (I) -4x +4y = -24 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x -4y = 21 | +4y
x = 21 +4y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 21 +4y ) (I) -4x +4y = -24 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 21 +4y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-4 · ( 21 +4y ) +4y = -24
-84 -16y +4y = -24
-12y -84 = -24 | +84
-12y = 60 |:(-12 )
y = -5

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 21 +4( -5 )

= 21 -20

= 1

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-5x +3y = -17 (I) x +y = 5 (II)

Lösung einblenden
-5x +3y = -17 (I) x +y = 5 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

x + y = 5
y + x = 5 | - x
y = 5 - x

Als neues LGS erhält man so:

-5x +3y = -17 (I) +y = ( 5 - x ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( 5 - x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-5x + 3 · ( 5 - x ) = -17
-5x +15 -3x = -17
-8x +15 = -17 | -15
-8x = -32 |:(-8 )
x = 4

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = 5 - 4

= 1

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

9( x +3 )-5y = 5x -2y (I)
0 = -4( x +8 )+4y (II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

9( x +3 )-5y = 5x -2y (I)
0 = -4( x +8 )+4y (II)
9x +27 -5y = 5x -2y | -27 -5x +2y (I)
0 = -4x -32 +4y | + 4x -4y (II)
4x -3y = -27 (I) 4x -4y = -32 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

4x -3y = -27
-3y +4x = -27 | -4x
-3y = -27 -4x |:(-3 )
y = 9 + 4 3 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 9 + 4 3 x ) (I) 4x -4y = -32 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 9 + 4 3 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

4x -4 · ( 9 + 4 3 x ) = -32
4x -36 - 16 3 x = -32
- 4 3 x -36 = -32 |⋅ 3
3( - 4 3 x -36 ) = -96
-4x -108 = -96 | +108
-4x = 12 |:(-4 )
x = -3

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 9 + 4 3 ( -3 )

= 9 -4

= 5

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +3y = ?

7x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

5x +3y = 15 -6 = 9

7x +1y = 21 -2 = 19

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +3y = 9

7x +1y = 19

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

x +3y = 9 (I) -5x -4y = -12 (II)

Lösung einblenden
x +3y = 9 (I) -5x -4y = -12 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +3y = 9 | -3y
x = 9 -3y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 9 -3y ) (I) -5x -4y = -12 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 9 -3y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-5 · ( 9 -3y ) -4y = -12
-45 +15y -4y = -12
11y -45 = -12 | +45
11y = 33 |:11
y = 3

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 9 -33

= 9 -9

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 7. Wenn man aber vom 4-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -8. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

x +2y = 7 (I) 4x -4y = -8 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +2y = 7 | -2y
x = 7 -2y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 7 -2y ) (I) 4x -4y = -8 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 7 -2y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

4 · ( 7 -2y ) -4y = -8
28 -8y -4y = -8
-12y +28 = -8 | -28
-12y = -36 |:(-12 )
y = 3

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 7 -23

= 7 -6

= 1

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 3