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Klasse 9-10
Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Wert zum Einsetzen finden
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme y so, dass (-1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.
Man setzt einfach x = -1 in die Gleichung ein und erhält:
=
Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Die Lösung ist somit: (-1|3)
Wert zum Einsetzen finden (offen)
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.
Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|4)
denn
-2⋅
Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|6)
denn -2⋅
Oder : (1|2)
denn -2⋅
LGS (1 Var. schon aufgelöst)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:
|
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= |
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|:( |
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= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x
durch
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= |
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= |
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= |
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|
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|
|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für y.
Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x =
Die Lösung des LGS ist damit: (-1|1)
LGS (1 Var. ohne Koeff.)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:
|
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= |
|
|
|
|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x
durch (
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= |
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= |
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|
= |
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|
|
|
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für y.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
x =
=
=
also
x = -6
Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)
LGS (Standard)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
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= |
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= |
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|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y
durch (
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= |
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= |
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|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = -6
Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)
LGS (vorher umformen)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
| | = | | (I) | ||
| | = | (II) |
Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:
|
| = |
|
(I) | ||
|
| = | (II) |
|
| = |
|
|
| (I) | |
|
| = | | +
| (II) |
Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:
|
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= |
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|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x
durch (
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= |
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= |
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|
= |
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|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für y.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
x =
=
=
also
x = -2
Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)
LGS zu Lösungen finden
Beispiel:
Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.
Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:
5x
2x
Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:
5x
2x
So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:
5x
2x
LGS Lösungsvielfalt erkennen
Beispiel:
Bestimme die Lösungsmenge:
Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:
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= |
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|
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|
= |
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|:( |
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|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x
durch (
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= |
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= |
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= |
|
|
|
| = |
Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!
Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.
LGS Anwendungen
Beispiel:
Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 17. Wenn man aber vom 4-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -13. Bestimme x und y.
Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:
|
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= |
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|
|
|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x
durch (
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= |
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= |
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|
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= |
|
|
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|
|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für y.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
x =
=
=
also
x = 2
Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)
Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:
x (x-Wert): 2
y (y-Wert): 3
