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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 2 y$ = $- 8$ .

Bestimme x so, dass (x|-2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 x + 2 \cdot (- 2)$ = $- 8$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 2 x + 2 \cdot (- 2)$	=	$- 8$
$- 2 x - 4$	=	$- 8$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (2|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 4 y$ = $38$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|-5)
denn 3⋅6 -4⋅( - 5 ) = 18 +20 = $38$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-8)
denn 3⋅2 -4⋅( - 8 ) = 6 +32 = $38$

Oder : (10|-2)
denn 3⋅10 -4⋅( - 2 ) = 30 +8 = $38$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + y & = & 3 & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $3$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 2 \cdot 3$	=	$- 10$
$4 x + 6$	=	$- 10$	\| $- 6$
$4 x$	=	$- 16$	\|: $4$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 5 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 5 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 5$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 5 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 5 - 2 y) & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 5 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 5 - 2 y) + 3 y$	=	$- 7$
$- 10 - 4 y + 3 y$	=	$- 7$
$- y - 10$	=	$- 7$	\| $+ 10$
$- y$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 5 - 2 \cdot (- 3)$

= $- 5 + 6$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 4 y & = & - 20 & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + 4 y & = & - 20 & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 4 y$	=	$- 20$
$4 y + 5 x$	=	$- 20$	\| $- 5 x$
$4 y$	=	$- 20 - 5 x$	\|: $4$
$y$	=	$- 5 - \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 5 - \frac{5}{4} x) & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 5 - \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 5 \cdot (- 5 - \frac{5}{4} x)$	=	$- 25$
$- 2 x - 25 - \frac{25}{4} x$	=	$- 25$
$- \frac{33}{4} x - 25$	=	$- 25$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{33}{4} x - 25)$	=	$- 100$
$- 33 x - 100$	=	$- 100$	\| $+ 100$
$- 33 x$	=	0	\|:( $- 33$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5 - \frac{5}{4} \cdot (0)$

= $- 5 + 0$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & + \frac{1}{4} y & = & \frac{3}{4} & (I) \\ - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{5} y & = & - \frac{6}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & + \frac{1}{4} y & = & \frac{3}{4} & (I) \\ - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{5} y & = & - \frac{6}{5} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} y$	=	$\frac{3}{4}$
$\frac{1}{4} y - \frac{1}{2} x$	=	$\frac{3}{4}$	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2} x)$	=	$3$
$y - 2 x$	=	$3$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$3 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3 + 2 x) & (I) \\ - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{5} y & = & - \frac{6}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{5} x - \frac{1}{5} \cdot (3 + 2 x)$	=	$- \frac{6}{5}$
$- \frac{1}{5} x - \frac{3}{5} - \frac{2}{5} x$	=	$- \frac{6}{5}$
$- \frac{3}{5} x - \frac{3}{5}$	=	$- \frac{6}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{3}{5} x - \frac{3}{5})$	=	$- 6$
$- 3 x - 3$	=	$- 6$	\| $+ 3$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3 + 2 \cdot 1$

= $3 + 2$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +4y = ?

-6x +7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-3x +4y = 3 +8 = 11

-6x +7y = 6 +14 = 20

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +4y = 11

-6x +7y = 20

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 12 x & - 12 y & = & 9 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 12 x & - 12 y & = & 9 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$12 x - 12 y$	=	$9$
$- 12 y + 12 x$	=	$9$	\| $- 12 x$
$- 12 y$	=	$9 - 12 x$	\|:( $- 12$ )
$y$	=	$- \frac{3}{4} + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{3}{4} + x) & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{3}{4} + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 4 \cdot (- \frac{3}{4} + x)$	=	$- 2$
$- 4 x - 3 + 4 x$	=	$- 2$
$- 3$	=	$- 2$	\| $+ 3$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 480 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 330 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 480 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 330 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 3 y$	=	$480$
$- 3 y + 4 x$	=	$480$	\| $- 4 x$
$- 3 y$	=	$480 - 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 160 + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 160 + \frac{4}{3} x) & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 330 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 160 + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (- 160 + \frac{4}{3} x)$	=	$330$
$3 x + 480 - 4 x$	=	$330$
$- x + 480$	=	$330$	\| $- 480$
$- x$	=	$- 150$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 160 + \frac{4}{3} \cdot 150$

= $- 160 + 200$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (150|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|2) und B(1|10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
10 = 1 +1b +c |-1

1 = -1b +c
9 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ b & + c & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$9$
$c + b$	=	$9$	\| $- b$
$c$	=	$9 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (9 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $9 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (9 - b)$	=	$1$
$- b + 9 - b$	=	$1$
$- 2 b + 9$	=	$1$	\| $- 9$
$- 2 b$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $9 - 4$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|2) und B(2|11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|11): 11 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
11 = 4 +2b +c |-4

1 = -1b +c
7 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ 2 b & + c & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$7$
$c + 2 b$	=	$7$	\| $- 2 b$
$c$	=	$7 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (7 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (7 - 2 b)$	=	$1$
$- b + 7 - 2 b$	=	$1$
$- 3 b + 7$	=	$1$	\| $- 7$
$- 3 b$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7 - 2 \cdot 2$

= $7 - 4$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 + 3$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 + 3$

= ${(x + 1)}^{2} + 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 3$ = $1 - 2 + 3$ = 2

also: S(-1|2).

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg