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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 4 y$ = $9$ .

Bestimme y so, dass (-7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$(- 7) + 4 y$ = $9$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$(- 7) + 4 y$	=	$9$
$- 7 + 4 y$	=	$9$
$4 y - 7$	=	$9$	\| $+ 7$
$4 y$	=	$16$	\|: $4$
$y$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (-7|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 4 y$ = $- 12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|3)
denn 3⋅0 -4⋅3 = 0 -12 = $- 12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|0)
denn 3⋅( - 4 ) -4⋅0 = -12 +0 = $- 12$

Oder : (4|6)
denn 3⋅4 -4⋅6 = 12 -24 = $- 12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & = & - 4 & (I) \\ - x & - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $- 4$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 4) - 2 y$	=	$- 4$
$4 - 2 y$	=	$- 4$
$- 2 y + 4$	=	$- 4$	\| $- 4$
$- 2 y$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & 8 & (I) \\ 3 x & + y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & 8 & (I) \\ 3 x & + y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$- 11$
$y + 3 x$	=	$- 11$	\| $- 3 x$
$y$	=	$- 11 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & 8 & (I) \\ + y & = & (- 11 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 11 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 2 \cdot (- 11 - 3 x)$	=	$8$
$- 4 x - 22 - 6 x$	=	$8$
$- 10 x - 22$	=	$8$	\| $+ 22$
$- 10 x$	=	$30$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 11 - 3 \cdot (- 3)$

= $- 11 + 9$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 3 & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 3 & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 4 y$	=	$- 3$
$- 4 y - 3 x$	=	$- 3$	\| $+ 3 x$
$- 4 y$	=	$- 3 + 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{4} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 4 \cdot (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} x)$	=	$2$
$- 2 x - 3 + 3 x$	=	$2$
$x - 3$	=	$2$	\| $+ 3$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 5$

= $\frac{3}{4} - \frac{15}{4}$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + \frac{2}{5} y & = & \frac{32}{5} & (I) \\ - \frac{3}{5} x & - \frac{3}{4} y & = & - \frac{33}{10} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + \frac{2}{5} y & = & \frac{32}{5} & (I) \\ - \frac{3}{5} x & - \frac{3}{4} y & = & - \frac{33}{10} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + \frac{2}{5} y$	=	$\frac{32}{5}$
$\frac{2}{5} y - 2 x$	=	$\frac{32}{5}$	\|⋅ 5
$5 (\frac{2}{5} y - 2 x)$	=	$32$
$2 y - 10 x$	=	$32$	\| $+ 10 x$
$2 y$	=	$32 + 10 x$	\|: $2$
$y$	=	$16 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (16 + 5 x) & (I) \\ - \frac{3}{5} x & - \frac{3}{4} y & = & - \frac{33}{10} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $16 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{3}{5} x - \frac{3}{4} \cdot (16 + 5 x)$	=	$- \frac{33}{10}$
$- \frac{3}{5} x - 12 - \frac{15}{4} x$	=	$- \frac{33}{10}$
$- \frac{87}{20} x - 12$	=	$- \frac{33}{10}$	\|⋅ 20
$20 (- \frac{87}{20} x - 12)$	=	$- 66$
$- 87 x - 240$	=	$- 66$	\| $+ 240$
$- 87 x$	=	$174$	\|:( $- 87$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $16 + 5 \cdot (- 2)$

= $16 - 10$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +3y = ?

1x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-2x +3y = -6 -6 = -12

1x -4y = 3 +8 = 11

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +3y = -12

1x -4y = 11

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 2 y$	=	$6$
$2 y + 4 x$	=	$6$	\| $- 4 x$
$2 y$	=	$6 - 4 x$	\|: $2$
$y$	=	$3 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3 - 2 x) & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 5 \cdot (3 - 2 x)$	=	$10$
$5 x + 15 - 10 x$	=	$10$
$- 5 x + 15$	=	$10$	\| $- 15$
$- 5 x$	=	$- 5$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3 - 2 \cdot 1$

= $3 - 2$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 212 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 216 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 8 x & + 6 y & = & 212 & (I) \\ 9 x & + 6 y & = & 216 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x + 6 y$	=	$212$
$6 y + 8 x$	=	$212$	\| $- 8 x$
$6 y$	=	$212 - 8 x$	\|: $6$
$y$	=	$\frac{106}{3} - \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{106}{3} - \frac{4}{3} x) & (I) \\ 9 x & + 6 y & = & 216 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{106}{3} - \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9 x + 6 \cdot (\frac{106}{3} - \frac{4}{3} x)$	=	$216$
$9 x + 212 - 8 x$	=	$216$
$x + 212$	=	$216$	\| $- 212$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{106}{3} - \frac{4}{3} \cdot 4$

= $\frac{106}{3} - \frac{16}{3}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (4|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-4) und B(-1|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 +1b +c |-1
4 = 1 -1b +c |-1

-5 = 1b +c
3 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ - b & + c & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$3$
$c - b$	=	$3$	\| $+ b$
$c$	=	$3 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (3 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $3 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (3 + b)$	=	$- 5$
$b + 3 + b$	=	$- 5$
$2 b + 3$	=	$- 5$	\| $- 3$
$2 b$	=	$- 8$	\|: $2$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $3 - 4$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|6) und B(-1|-14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-14): -14 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
-14 = 1 -1b +c |-1

5 = 1b +c
-15 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ - b & + c & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 15$
$c - b$	=	$- 15$	\| $+ b$
$c$	=	$- 15 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (- 15 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 15 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 15 + b)$	=	$5$
$b - 15 + b$	=	$5$
$2 b - 15$	=	$5$	\| $+ 15$
$2 b$	=	$20$	\|: $2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 15 + 10$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 30$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-30).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 5$ = $25 - 50 - 5$ = -30

also: S(-5|-30).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg