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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 4 y$ = $36$ .

Bestimme y so, dass (-6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 \cdot (- 6) - 4 y$ = $36$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 6) - 4 y$	=	$36$
$12 - 4 y$	=	$36$
$- 4 y + 12$	=	$36$	\| $- 12$
$- 4 y$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (-6|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 3 y$ = $- 6$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|-4)
denn 2⋅3 +3⋅( - 4 ) = 6 -12 = $- 6$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|-6)
denn 2⋅6 +3⋅( - 6 ) = 12 -18 = $- 6$

Oder : (0|-2)
denn 2⋅0 +3⋅( - 2 ) = 0 -6 = $- 6$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + y & = & - 5 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $- 5$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 2 \cdot (- 5)$	=	$2$
$4 x + 10$	=	$2$	\| $- 10$
$4 x$	=	$- 8$	\|: $4$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 12 & (I) \\ 3 x & + y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 12 & (I) \\ 3 x & + y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$- 16$
$y + 3 x$	=	$- 16$	\| $- 3 x$
$y$	=	$- 16 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 12 & (I) \\ + y & = & (- 16 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 16 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 3 \cdot (- 16 - 3 x)$	=	$- 12$
$3 x - 48 - 9 x$	=	$- 12$
$- 6 x - 48$	=	$- 12$	\| $+ 48$
$- 6 x$	=	$36$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 16 - 3 \cdot (- 6)$

= $- 16 + 18$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 15 & (I) \\ - 5 x & + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 15 & (I) \\ - 5 x & + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x + y$	=	$5$
$y - 5 x$	=	$5$	\| $+ 5 x$
$y$	=	$5 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 15 & (I) \\ + y & = & (5 + 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $5 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 3 \cdot (5 + 5 x)$	=	$15$
$x + 15 + 15 x$	=	$15$
$16 x + 15$	=	$15$	\| $- 15$
$16 x$	=	0	\|: $16$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $5 + 5 \cdot 0$

= $5 + 0$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (0|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2 (9 + 2 y)$	=	$5 x$			(I)
$2 (- x + y) - 3$	=	$- 3 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2 (9 + 2 y)$	=	$5 x$			(I)
$2 (- x + y) - 3$	=	$- 3 y$			(II)

$18 + 4 y$	=	$5 x$	\| $- 18 - 5 x$		(I)
$- 2 x - 3 + 2 y$	=	$- 3 y$	\| + $3 + 3 y$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & + 4 y & = & - 18 & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x + 4 y$	=	$- 18$
$4 y - 5 x$	=	$- 18$	\| $+ 5 x$
$4 y$	=	$- 18 + 5 x$	\|: $4$
$y$	=	$- \frac{9}{2} + \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{9}{2} + \frac{5}{4} x) & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{9}{2} + \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 5 \cdot (- \frac{9}{2} + \frac{5}{4} x)$	=	$3$
$- 2 x - \frac{45}{2} + \frac{25}{4} x$	=	$3$
$\frac{17}{4} x - \frac{45}{2}$	=	$3$	\|⋅ 4
$4 (\frac{17}{4} x - \frac{45}{2})$	=	$12$
$17 x - 90$	=	$12$	\| $+ 90$
$17 x$	=	$102$	\|: $17$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{9}{2} + \frac{5}{4} \cdot 6$

= $- \frac{9}{2} + \frac{15}{2}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +3y = ?

6x +7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

2x +3y = 8 -3 = 5

6x +7y = 24 -7 = 17

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +3y = 5

6x +7y = 17

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 8 x & + 12 y & = & 10 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 8 x & + 12 y & = & 10 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x + 12 y$	=	$10$
$12 y + 8 x$	=	$10$	\| $- 8 x$
$12 y$	=	$10 - 8 x$	\|: $12$
$y$	=	$\frac{5}{6} - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{5}{6} - \frac{2}{3} x) & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{5}{6} - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 3 \cdot (\frac{5}{6} - \frac{2}{3} x)$	=	$- 2$
$- 2 x - \frac{5}{2} + 2 x$	=	$- 2$
$- \frac{5}{2}$	=	$- 2$	\| $+ \frac{5}{2}$
0	=	$\frac{1}{2}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 7 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 130 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 165 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 7 y & = & 130 & (I) \\ 6 x & + 9 y & = & 165 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 7 y$	=	$130$
$7 y + 5 x$	=	$130$	\| $- 5 x$
$7 y$	=	$130 - 5 x$	\|: $7$
$y$	=	$\frac{130}{7} - \frac{5}{7} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{130}{7} - \frac{5}{7} x) & (I) \\ 6 x & + 9 y & = & 165 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{130}{7} - \frac{5}{7} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 9 \cdot (\frac{130}{7} - \frac{5}{7} x)$	=	$165$
$6 x + \frac{1170}{7} - \frac{45}{7} x$	=	$165$
$- \frac{3}{7} x + \frac{1170}{7}$	=	$165$	\|⋅ 7
$7 (- \frac{3}{7} x + \frac{1170}{7})$	=	$1 155$
$- 3 x + 1 170$	=	$1 155$	\| $- 1 170$
$- 3 x$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{130}{7} - \frac{5}{7} \cdot 5$

= $\frac{130}{7} - \frac{25}{7}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (5|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|11) und B(-2|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|11): 11 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-4): -4 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
11 = 1 +1b +c |-1
-4 = 4 -2b +c |-4

10 = 1b +c
-8 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 10 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 8$
$c - 2 b$	=	$- 8$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 8 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 10 & (I) \\ + c & = & (- 8 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 8 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 8 + 2 b)$	=	$10$
$b - 8 + 2 b$	=	$10$
$3 b - 8$	=	$10$	\| $+ 8$
$3 b$	=	$18$	\|: $3$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 8 + 2 \cdot 6$

= $- 8 + 12$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-9) und B(1|7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-9): -9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|7): 7 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-9 = 1 -1b +c |-1
7 = 1 +1b +c |-1

-10 = -1b +c
6 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 10 & (I) \\ b & + c & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$6$
$c + b$	=	$6$	\| $- b$
$c$	=	$6 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 10 & (I) \\ + c & = & (6 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (6 - b)$	=	$- 10$
$- b + 6 - b$	=	$- 10$
$- 2 b + 6$	=	$- 10$	\| $- 6$
$- 2 b$	=	$- 16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6 - 8$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-2)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 - 2$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 - 2$

= ${(x + 4)}^{2} - 18$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-18).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) - 2$ = $16 - 32 - 2$ = -18

also: S(-4|-18).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

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