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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 2 y$ = $- 9$ .

Bestimme x so, dass (x|-7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 x + 2 \cdot (- 7)$ = $- 9$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 5 x + 2 \cdot (- 7)$	=	$- 9$
$- 5 x - 14$	=	$- 9$	\| $+ 14$
$- 5 x$	=	$5$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-1|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 2 y$ = $- 4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|0)
denn 1⋅( - 4 ) +2⋅0 = -4 +0 = $- 4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-1)
denn 1⋅( - 2 ) +2⋅( - 1 ) = -2 -2 = $- 4$

Oder : (-6|1)
denn 1⋅( - 6 ) +2⋅1 = -6 +2 = $- 4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 15 & (I) \\ 3 x & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 15 & (I) \\ 3 x & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 15 & (I) \\ x & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 1) - 4 y$	=	$15$
$3 - 4 y$	=	$15$
$- 4 y + 3$	=	$15$	\| $- 3$
$- 4 y$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & - 23 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & - 23 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$- 12$
$y + 2 x$	=	$- 12$	\| $- 2 x$
$y$	=	$- 12 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & - 23 & (I) \\ + y & = & (- 12 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 12 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 4 \cdot (- 12 - 2 x)$	=	$- 23$
$3 x - 48 - 8 x$	=	$- 23$
$- 5 x - 48$	=	$- 23$	\| $+ 48$
$- 5 x$	=	$25$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 12 - 2 \cdot (- 5)$

= $- 12 + 10$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 3 & (I) \\ - 5 x & + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 3 & (I) \\ - 5 x & + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x + y$	=	$- 1$
$y - 5 x$	=	$- 1$	\| $+ 5 x$
$y$	=	$- 1 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 3 & (I) \\ + y & = & (- 1 + 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 1 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (- 1 + 5 x)$	=	$3$
$3 x + 3 - 15 x$	=	$3$
$- 12 x + 3$	=	$3$	\| $- 3$
$- 12 x$	=	0	\|:( $- 12$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 1 + 5 \cdot (0)$

= $- 1 + 0$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 5 x - 2$	=	$33 + 4 y$			(I)
$5 x + 32$	=	$x - 4 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 5 x - 2$	=	$33 + 4 y$	\| + $2 - 4 y$		(I)
$5 x + 32$	=	$x - 4 y$	\| $- 32 - x + 4 y$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 35 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 32 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 4 y$	=	$35$
$- 4 y - 5 x$	=	$35$	\| $+ 5 x$
$- 4 y$	=	$35 + 5 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{35}{4} - \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{35}{4} - \frac{5}{4} x) & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 32 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{35}{4} - \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot (- \frac{35}{4} - \frac{5}{4} x)$	=	$- 32$
$4 x - 35 - 5 x$	=	$- 32$
$- x - 35$	=	$- 32$	\| $+ 35$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{35}{4} - \frac{5}{4} \cdot (- 3)$

= $- \frac{35}{4} + \frac{15}{4}$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +4y = ?

-8x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-5x +4y = 10 +12 = 22

-8x +5y = 16 +15 = 31

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +4y = 22

-8x +5y = 31

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & - 9 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & - 9 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$5$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$5 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 5 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & - 9 & (I) \\ x & = & (- 5 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 5 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 5 - 3 y) + 4 y$	=	$- 9$
$5 + 3 y + 4 y$	=	$- 9$
$7 y + 5$	=	$- 9$	\| $- 5$
$7 y$	=	$- 14$	\|: $7$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 5 - 3 \cdot (- 2)$

= $- 5 + 6$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 252 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 2 Halogenleuchten zusammen 88 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 6 y & = & 252 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & 88 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 6 y$	=	$252$
$6 y + 7 x$	=	$252$	\| $- 7 x$
$6 y$	=	$252 - 7 x$	\|: $6$
$y$	=	$42 - \frac{7}{6} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (42 - \frac{7}{6} x) & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & 88 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $42 - \frac{7}{6} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 2 \cdot (42 - \frac{7}{6} x)$	=	$88$
$3 x + 84 - \frac{7}{3} x$	=	$88$
$\frac{2}{3} x + 84$	=	$88$	\|⋅ 3
$3 (\frac{2}{3} x + 84)$	=	$264$
$2 x + 252$	=	$264$	\| $- 252$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $42 - \frac{7}{6} \cdot 6$

= $42 - 7$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (6|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-12) und B(4|-27) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-12): -12 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-27): -27 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 +1b +c |-1
-27 = 16 +4b +c |-16

-13 = 1b +c
-43 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 43 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 43$
$c + 4 b$	=	$- 43$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 43 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ + c & = & (- 43 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 43 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 43 - 4 b)$	=	$- 13$
$b - 43 - 4 b$	=	$- 13$
$- 3 b - 43$	=	$- 13$	\| $+ 43$
$- 3 b$	=	$30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 43 - 4 \cdot (- 10)$

= $- 43 + 40$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|2) und B(-3|22) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|22): 22 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
22 = 9 -3b +c |-9

1 = -1b +c
13 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$13$
$c - 3 b$	=	$13$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$13 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (13 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (13 + 3 b)$	=	$1$
$- b + 13 + 3 b$	=	$1$
$2 b + 13$	=	$1$	\| $- 13$
$2 b$	=	$- 12$	\|: $2$
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13 + 3 \cdot (- 6)$

= $13 - 18$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 - 5$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 - 5$

= ${(x - 3)}^{2} - 14$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-14).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 - 5$ = $9 - 18 - 5$ = -14

also: S(3|-14).

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1. Weg

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