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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 2 y$ = $18$ .

Bestimme x so, dass (x|-6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 x - 2 \cdot (- 6)$ = $18$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot (- 6)$	=	$18$
$- 3 x + 12$	=	$18$	\| $- 12$
$- 3 x$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (-2|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 5 y$ = $13$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|-5)
denn 2⋅( - 6 ) -5⋅( - 5 ) = -12 +25 = $13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-11|-7)
denn 2⋅( - 11 ) -5⋅( - 7 ) = -22 +35 = $13$

Oder : (-1|-3)
denn 2⋅( - 1 ) -5⋅( - 3 ) = -2 +15 = $13$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & = & 2 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & = & 2 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 2 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 2) - 3 y$	=	$- 19$
$- 4 - 3 y$	=	$- 19$
$- 3 y - 4$	=	$- 19$	\| $+ 4$
$- 3 y$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 2 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 2 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	0	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 2 & (I) \\ x & = & - 3 y & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 3 y$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 3 y) + 4 y$	=	$- 2$
$- 3 y + 4 y$	=	$- 2$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 3 \cdot (- 2)$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & + 2 y & = & 18 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 48 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & + 2 y & = & 18 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 48 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x + 2 y$	=	$18$
$2 y - 5 x$	=	$18$	\| $+ 5 x$
$2 y$	=	$18 + 5 x$	\|: $2$
$y$	=	$9 + \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (9 + \frac{5}{2} x) & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 48 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $9 + \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 4 \cdot (9 + \frac{5}{2} x)$	=	$48$
$- 4 x - 36 - 10 x$	=	$48$
$- 14 x - 36$	=	$48$	\| $+ 36$
$- 14 x$	=	$84$	\|:( $- 14$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $9 + \frac{5}{2} \cdot (- 6)$

= $9 - 15$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + \frac{1}{2} y & = & - 7 & (I) \\ x & - \frac{1}{4} y & = & - \frac{13}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + \frac{1}{2} y & = & - 7 & (I) \\ x & - \frac{1}{4} y & = & - \frac{13}{2} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - \frac{1}{4} y$	=	$- \frac{13}{2}$	\|⋅ 4
$4 (x - \frac{1}{4} y)$	=	$- 26$
$4 x - y$	=	$- 26$	\| $+ y$
$4 x$	=	$- 26 + y$	\|: $4$
$x$	=	$- \frac{13}{2} + \frac{1}{4} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + \frac{1}{2} y & = & - 7 & (I) \\ x & = & (- \frac{13}{2} + \frac{1}{4} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- \frac{13}{2} + \frac{1}{4} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- \frac{13}{2} + \frac{1}{4} y) + \frac{1}{2} y$	=	$- 7$
$- 13 + \frac{1}{2} y + \frac{1}{2} y$	=	$- 7$
$y - 13$	=	$- 7$	\| $+ 13$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- \frac{13}{2} + \frac{1}{4} \cdot 6$

= $- \frac{13}{2} + \frac{3}{2}$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -5y = ?

2x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-2x -5y = -10 -5 = -15

2x +2y = 10 +2 = 12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -5y = -15

2x +2y = 12

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 9 x & + 3 y & = & - 6 & (I) \\ 3 x & - y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 9 x & + 3 y & = & - 6 & (I) \\ 3 x & - y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x - y$	=	$3$
$- y + 3 x$	=	$3$	\| $- 3 x$
$- y$	=	$3 - 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 3 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 9 x & + 3 y & = & - 6 & (I) \\ + y & = & (- 3 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 3 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 9 x + 3 \cdot (- 3 + 3 x)$	=	$- 6$
$- 9 x - 9 + 9 x$	=	$- 6$
$- 9$	=	$- 6$	\| $+ 9$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 5 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 525 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 375 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 5 y & = & 525 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 375 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 5 y$	=	$525$
$- 5 y + 5 x$	=	$525$	\| $- 5 x$
$- 5 y$	=	$525 - 5 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 105 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 105 + x) & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 375 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 105 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 5 \cdot (- 105 + x)$	=	$375$
$4 x + 525 - 5 x$	=	$375$
$- x + 525$	=	$375$	\| $- 525$
$- x$	=	$- 150$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 105 + 150$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (150|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-10) und B(2|17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-10): -10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|17): 17 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 -1b +c |-1
17 = 4 +2b +c |-4

-11 = -1b +c
13 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ 2 b & + c & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$13$
$c + 2 b$	=	$13$	\| $- 2 b$
$c$	=	$13 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (13 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (13 - 2 b)$	=	$- 11$
$- b + 13 - 2 b$	=	$- 11$
$- 3 b + 13$	=	$- 11$	\| $- 13$
$- 3 b$	=	$- 24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13 - 2 \cdot 8$

= $13 - 16$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-3)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|5) und B(3|25) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|5): 5 = 1² + b⋅1 +c

B(3|25): 25 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 +1b +c |-1
25 = 9 +3b +c |-9

4 = 1b +c
16 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ 3 b & + c & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$16$
$c + 3 b$	=	$16$	\| $- 3 b$
$c$	=	$16 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (16 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $16 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (16 - 3 b)$	=	$4$
$b + 16 - 3 b$	=	$4$
$- 2 b + 16$	=	$4$	\| $- 16$
$- 2 b$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $16 - 3 \cdot 6$

= $16 - 18$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 - 2$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 - 2$

= ${(x + 3)}^{2} - 11$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-11).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) - 2$ = $9 - 18 - 2$ = -11

also: S(-3|-11).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg