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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 4 y$ = $- 52$ .

Bestimme x so, dass (x|-6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 x + 4 \cdot (- 6)$ = $- 52$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 4 x + 4 \cdot (- 6)$	=	$- 52$
$- 4 x - 24$	=	$- 52$	\| $+ 24$
$- 4 x$	=	$- 28$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (7|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 3 y$ = $36$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|4)
denn 4⋅6 +3⋅4 = 24 +12 = $36$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (9|0)
denn 4⋅9 +3⋅0 = 36 +0 = $36$

Oder : (3|8)
denn 4⋅3 +3⋅8 = 12 +24 = $36$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - y & = & 1 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - y & = & 1 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- y$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 1 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 2 \cdot (- 1)$	=	$10$
$- 2 x - 2$	=	$10$	\| $+ 2$
$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 21 & (I) \\ x & + 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 21 & (I) \\ x & + 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$2$	\| $- 2 y$
$x$	=	$2 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 21 & (I) \\ x & = & (2 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $2 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (2 - 2 y) + 3 y$	=	$21$
$- 6 + 6 y + 3 y$	=	$21$
$9 y - 6$	=	$21$	\| $+ 6$
$9 y$	=	$27$	\|: $9$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $2 - 2 \cdot 3$

= $2 - 6$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 5 y & = & - 1 & (I) \\ - 5 x & - y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 5 y & = & - 1 & (I) \\ - 5 x & - y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x - y$	=	$- 17$
$- y - 5 x$	=	$- 17$	\| $+ 5 x$
$- y$	=	$- 17 + 5 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$17 - 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 5 y & = & - 1 & (I) \\ + y & = & (17 - 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $17 - 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 5 \cdot (17 - 5 x)$	=	$- 1$
$- 4 x - 85 + 25 x$	=	$- 1$
$21 x - 85$	=	$- 1$	\| $+ 85$
$21 x$	=	$84$	\|: $21$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $17 - 5 \cdot 4$

= $17 - 20$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3 (x + 4)$	=	$7 x + 4 y$			(I)
$2 (2 x + 9)$	=	$2 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3 (x + 4)$	=	$7 x + 4 y$			(I)
$2 (2 x + 9)$	=	$2 y$			(II)

$3 x + 12$	=	$7 x + 4 y$	\| $- 12 - 7 x - 4 y$		(I)
$4 x + 18$	=	$2 y$	\| $- 18 - 2 y$		(II)

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & - 12 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 4 y$	=	$- 12$
$- 4 y - 4 x$	=	$- 12$	\| $+ 4 x$
$- 4 y$	=	$- 12 + 4 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$3 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3 - x) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 2 \cdot (3 - x)$	=	$- 18$
$4 x - 6 + 2 x$	=	$- 18$
$6 x - 6$	=	$- 18$	\| $+ 6$
$6 x$	=	$- 12$	\|: $6$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3 - (- 2)$

= $3 + 2$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -4y = ?

-3x +15y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

1x -4y = 4 +16 = 20

-3x +15y = -12 -60 = -72

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -4y = 20

-3x +15y = -72

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 15 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 15 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 4 y$	=	$15$
$4 y + 3 x$	=	$15$	\| $- 3 x$
$4 y$	=	$15 - 3 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{15}{4} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{15}{4} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{15}{4} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 2 \cdot (\frac{15}{4} - \frac{3}{4} x)$	=	$4$
$- 2 x + \frac{15}{2} - \frac{3}{2} x$	=	$4$
$- \frac{7}{2} x + \frac{15}{2}$	=	$4$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{7}{2} x + \frac{15}{2})$	=	$8$
$- 7 x + 15$	=	$8$	\| $- 15$
$- 7 x$	=	$- 7$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{15}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1$

= $\frac{15}{4} - \frac{3}{4}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 780 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 6 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1740 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 780 & (I) \\ 6 x & - 2 y & = & 1740 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 4 y$	=	$780$
$- 4 y + 3 x$	=	$780$	\| $- 3 x$
$- 4 y$	=	$780 - 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 195 + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 195 + \frac{3}{4} x) & (I) \\ 6 x & - 2 y & = & 1740 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 195 + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 2 \cdot (- 195 + \frac{3}{4} x)$	=	$1740$
$6 x + 390 - \frac{3}{2} x$	=	$1740$
$\frac{9}{2} x + 390$	=	$1740$	\|⋅ 2
$2 (\frac{9}{2} x + 390)$	=	$3 480$
$9 x + 780$	=	$3 480$	\| $- 780$
$9 x$	=	$2 700$	\|: $9$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 195 + \frac{3}{4} \cdot 300$

= $- 195 + 225$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|6) und B(-4|27) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|6): 6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|27): 27 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 -1b +c |-1
27 = 16 -4b +c |-16

5 = -1b +c
11 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$11$
$c - 4 b$	=	$11$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$11 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (11 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (11 + 4 b)$	=	$5$
$- b + 11 + 4 b$	=	$5$
$3 b + 11$	=	$5$	\| $- 11$
$3 b$	=	$- 6$	\|: $3$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 + 4 \cdot (- 2)$

= $11 - 8$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|1) und B(-2|10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|1): 1 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|10): 10 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 +1b +c |-1
10 = 4 -2b +c |-4

0 = 1b +c
6 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$6$
$c - 2 b$	=	$6$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$6 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (6 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (6 + 2 b)$	=	0
$b + 6 + 2 b$	=	0
$3 b + 6$	=	0	\| $- 6$
$3 b$	=	$- 6$	\|: $3$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6 + 2 \cdot (- 2)$

= $6 - 4$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 2$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 2$

= ${(x - 1)}^{2} + 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 2$ = $1 - 2 + 2$ = 1

also: S(1|1).

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1. Weg

2. Weg