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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + y$ = $- 4$ .

Bestimme x so, dass (x|0) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x + 0$ = $- 4$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x + 0$	=	$- 4$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (-2|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 2 y$ = $11$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|-4)
denn -1⋅( - 3 ) -2⋅( - 4 ) = 3 +8 = $11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|-3)
denn -1⋅( - 5 ) -2⋅( - 3 ) = 5 +6 = $11$

Oder : (-1|-5)
denn -1⋅( - 1 ) -2⋅( - 5 ) = 1 +10 = $11$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & = & - 24 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & = & - 24 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$- 24$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 6 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot 6 - 3 y$	=	$9$
$12 - 3 y$	=	$9$
$- 3 y + 12$	=	$9$	\| $- 12$
$- 3 y$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 7 & (I) \\ - 3 x & - y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 7 & (I) \\ - 3 x & - y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x - y$	=	$- 18$
$- y - 3 x$	=	$- 18$	\| $+ 3 x$
$- y$	=	$- 18 + 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$18 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 7 & (I) \\ + y & = & (18 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $18 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 4 \cdot (18 - 3 x)$	=	$- 7$
$x - 72 + 12 x$	=	$- 7$
$13 x - 72$	=	$- 7$	\| $+ 72$
$13 x$	=	$65$	\|: $13$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $18 - 3 \cdot 5$

= $18 - 15$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 5 y & = & - 30 & (I) \\ x & - 4 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + 5 y & = & - 30 & (I) \\ x & - 4 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$9$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$9 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 5 x & + 5 y & = & - 30 & (I) \\ x & = & (9 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $9 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (9 + 4 y) + 5 y$	=	$- 30$
$45 + 20 y + 5 y$	=	$- 30$
$25 y + 45$	=	$- 30$	\| $- 45$
$25 y$	=	$- 75$	\|: $25$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $9 + 4 \cdot (- 3)$

= $9 - 12$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{3}{2} & (I) \\ \frac{1}{2} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{1}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{3}{2} & (I) \\ \frac{1}{2} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{1}{2} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{2} x - \frac{2}{5} y$	=	$\frac{3}{2}$
$- \frac{2}{5} y + \frac{1}{2} x$	=	$\frac{3}{2}$	\|⋅ 10
$10 (- \frac{2}{5} y + \frac{1}{2} x)$	=	$15$
$- 4 y + 5 x$	=	$15$	\| $- 5 x$
$- 4 y$	=	$15 - 5 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{15}{4} + \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{15}{4} + \frac{5}{4} x) & (I) \\ \frac{1}{2} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{1}{2} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{15}{4} + \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{5} \cdot (- \frac{15}{4} + \frac{5}{4} x)$	=	$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} x + \frac{3}{4} - \frac{1}{4} x$	=	$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4} x + \frac{3}{4}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} x + \frac{3}{4})$	=	$2$
$x + 3$	=	$2$	\| $- 3$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{15}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- 1)$

= $- \frac{15}{4} - \frac{5}{4}$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -5y = ?

-2x +7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

2x -5y = 6 -10 = -4

-2x +7y = -6 +14 = 8

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -5y = -4

-2x +7y = 8

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 2 & (I) \\ 3 x & + 9 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 2 & (I) \\ 3 x & + 9 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$2$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$2 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 2 - 3 y) & (I) \\ 3 x & + 9 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 2 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 2 - 3 y) + 9 y$	=	$- 6$
$- 6 - 9 y + 9 y$	=	$- 6$
$- 6$	=	$- 6$	\| $+ 6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 750 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1950 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 5 y & = & 750 & (I) \\ 7 x & - 5 y & = & 1950 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 5 y$	=	$750$
$- 5 y + 3 x$	=	$750$	\| $- 3 x$
$- 5 y$	=	$750 - 3 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 150 + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 150 + \frac{3}{5} x) & (I) \\ 7 x & - 5 y & = & 1950 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 150 + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x - 5 \cdot (- 150 + \frac{3}{5} x)$	=	$1950$
$7 x + 750 - 3 x$	=	$1950$
$4 x + 750$	=	$1950$	\| $- 750$
$4 x$	=	$1 200$	\|: $4$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 150 + \frac{3}{5} \cdot 300$

= $- 150 + 180$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-9) und B(4|-18) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-9): -9 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-18): -18 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-9 = 1 +1b +c |-1
-18 = 16 +4b +c |-16

-10 = 1b +c
-34 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 10 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 34 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 34$
$c + 4 b$	=	$- 34$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 34 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 10 & (I) \\ + c & = & (- 34 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 34 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 34 - 4 b)$	=	$- 10$
$b - 34 - 4 b$	=	$- 10$
$- 3 b - 34$	=	$- 10$	\| $+ 34$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 34 - 4 \cdot (- 8)$

= $- 34 + 32$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|2) und B(3|2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(3|2): 2 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
2 = 9 +3b +c |-9

1 = 1b +c
-7 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 7$
$c + 3 b$	=	$- 7$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 7 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (- 7 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 7 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 7 - 3 b)$	=	$1$
$b - 7 - 3 b$	=	$1$
$- 2 b - 7$	=	$1$	\| $+ 7$
$- 2 b$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 7 - 3 \cdot (- 4)$

= $- 7 + 12$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 5$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 + 5$

= ${(x - 2)}^{2} + 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 + 5$ = $4 - 8 + 5$ = 1

also: S(2|1).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg