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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 5 y$ = $- 28$ .

Bestimme y so, dass (3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 + 5 y$ = $- 28$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 + 5 y$	=	$- 28$
$- 3 + 5 y$	=	$- 28$
$5 y - 3$	=	$- 28$	\| $+ 3$
$5 y$	=	$- 25$	\|: $5$
$y$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (3|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 3 y$ = $21$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-2)
denn 3⋅5 -3⋅( - 2 ) = 15 +6 = $21$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-5)
denn 3⋅2 -3⋅( - 5 ) = 6 +15 = $21$

Oder : (8|1)
denn 3⋅8 -3⋅1 = 24 -3 = $21$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + y & = & 2 & (I) \\ x & + y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $2$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 1 \cdot 2$	=	0
$x + 2$	=	0	\| $- 2$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & 33 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & 33 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$15$
$y - 2 x$	=	$15$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$15 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & 33 & (I) \\ + y & = & (15 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $15 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 3 \cdot (15 + 2 x)$	=	$33$
$- 4 x + 45 + 6 x$	=	$33$
$2 x + 45$	=	$33$	\| $- 45$
$2 x$	=	$- 12$	\|: $2$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $15 + 2 \cdot (- 6)$

= $15 - 12$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & - 18 & (I) \\ 4 x & + y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & - 18 & (I) \\ 4 x & + y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$30$
$y + 4 x$	=	$30$	\| $- 4 x$
$y$	=	$30 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & - 18 & (I) \\ + y & = & (30 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $30 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot (30 - 4 x)$	=	$- 18$
$2 x - 150 + 20 x$	=	$- 18$
$22 x - 150$	=	$- 18$	\| $+ 150$
$22 x$	=	$132$	\|: $22$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $30 - 4 \cdot 6$

= $30 - 24$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 7 x + 4 y$	=	$- 2 x + 21$			(I)
$- 12$	=	$2 (2 x - y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 7 x + 4 y$	=	$- 2 x + 21$			(I)
$- 12$	=	$2 (2 x - y)$			(II)

$- 7 x + 4 y$	=	$- 2 x + 21$	\| + $2 x$		(I)
$- 12$	=	$4 x - 2 y$	\| + $12 - 4 x + 2 y$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & + 4 y & = & 21 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x + 4 y$	=	$21$
$4 y - 5 x$	=	$21$	\| $+ 5 x$
$4 y$	=	$21 + 5 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{21}{4} + \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{21}{4} + \frac{5}{4} x) & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{21}{4} + \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 2 \cdot (\frac{21}{4} + \frac{5}{4} x)$	=	$12$
$- 4 x + \frac{21}{2} + \frac{5}{2} x$	=	$12$
$- \frac{3}{2} x + \frac{21}{2}$	=	$12$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{3}{2} x + \frac{21}{2})$	=	$24$
$- 3 x + 21$	=	$24$	\| $- 21$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{21}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- 1)$

= $\frac{21}{4} - \frac{5}{4}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +1y = ?

-1x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-3x +1y = -15 +4 = -11

-1x -1y = -5 -4 = -9

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +1y = -11

-1x -1y = -9

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & - 3 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & - 3 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 4 y$	=	$- 3$	\| $+ 4 y$
$- x$	=	$- 3 + 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (3 - 4 y) & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $3 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (3 - 4 y) - 3 y$	=	$14$
$- 12 + 16 y - 3 y$	=	$14$
$13 y - 12$	=	$14$	\| $+ 12$
$13 y$	=	$26$	\|: $13$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $3 - 4 \cdot 2$

= $3 - 8$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 6. Wenn man aber vom 4-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -3. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 6 & (I) \\ 4 x & - 7 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$6$	\| $- 5 y$
$x$	=	$6 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (6 - 5 y) & (I) \\ 4 x & - 7 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $6 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (6 - 5 y) - 7 y$	=	$- 3$
$24 - 20 y - 7 y$	=	$- 3$
$- 27 y + 24$	=	$- 3$	\| $- 24$
$- 27 y$	=	$- 27$	\|:( $- 27$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $6 - 5 \cdot 1$

= $6 - 5$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 1

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|15) und B(-3|43) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|15): 15 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|43): 43 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
15 = 1 -1b +c |-1
43 = 9 -3b +c |-9

14 = -1b +c
34 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 14 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 34 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$34$
$c - 3 b$	=	$34$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$34 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 14 & (I) \\ + c & = & (34 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $34 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (34 + 3 b)$	=	$14$
$- b + 34 + 3 b$	=	$14$
$2 b + 34$	=	$14$	\| $- 34$
$2 b$	=	$- 20$	\|: $2$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $34 + 3 \cdot (- 10)$

= $34 - 30$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|4)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|7) und B(4|46) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|7): 7 = 1² + b⋅1 +c

B(4|46): 46 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 +1b +c |-1
46 = 16 +4b +c |-16

6 = 1b +c
30 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 6 & (I) \\ 4 b & + c & = & 30 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$30$
$c + 4 b$	=	$30$	\| $- 4 b$
$c$	=	$30 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (30 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $30 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (30 - 4 b)$	=	$6$
$b + 30 - 4 b$	=	$6$
$- 3 b + 30$	=	$6$	\| $- 30$
$- 3 b$	=	$- 24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $30 - 4 \cdot 8$

= $30 - 32$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-2)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 - 2$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 - 2$

= ${(x + 4)}^{2} - 18$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-18).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) - 2$ = $16 - 32 - 2$ = -18

also: S(-4|-18).

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1. Weg

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