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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 3 y$ = $- 26$ .

Bestimme x so, dass (x|-6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x + 3 \cdot (- 6)$ = $- 26$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot (- 6)$	=	$- 26$
$2 x - 18$	=	$- 26$	\| $+ 18$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (-4|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|3)
denn -3⋅1 +1⋅3 = -3 +3 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|6)
denn -3⋅2 +1⋅6 = -6 +6 = 0

Oder : (0|0)
denn -3⋅0 +1⋅0 = 0 +0 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & = & - 4 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $- 4$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 4) + 2 y$	=	$6$
$16 + 2 y$	=	$6$
$2 y + 16$	=	$6$	\| $- 16$
$2 y$	=	$- 10$	\|: $2$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & - 9 & (I) \\ x & + 2 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & - 9 & (I) \\ x & + 2 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$17$	\| $- 2 y$
$x$	=	$17 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & - 9 & (I) \\ x & = & (17 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $17 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (17 - 2 y) - 4 y$	=	$- 9$
$51 - 6 y - 4 y$	=	$- 9$
$- 10 y + 51$	=	$- 9$	\| $- 51$
$- 10 y$	=	$- 60$	\|:( $- 10$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $17 - 2 \cdot 6$

= $17 - 12$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & - 1 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & - 1 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 3 y$	=	$- 1$
$3 y - 4 x$	=	$- 1$	\| $+ 4 x$
$3 y$	=	$- 1 + 4 x$	\|: $3$
$y$	=	$- \frac{1}{3} + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{3} + \frac{4}{3} x) & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{3} + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 5 \cdot (- \frac{1}{3} + \frac{4}{3} x)$	=	$5$
$- 5 x - \frac{5}{3} + \frac{20}{3} x$	=	$5$
$\frac{5}{3} x - \frac{5}{3}$	=	$5$	\|⋅ 3
$3 (\frac{5}{3} x - \frac{5}{3})$	=	$15$
$5 x - 5$	=	$15$	\| $+ 5$
$5 x$	=	$20$	\|: $5$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{1}{3} + \frac{4}{3} \cdot 4$

= $- \frac{1}{3} + \frac{16}{3}$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{3}{4} x & + \frac{3}{2} y & = & \frac{15}{2} & (I) \\ x & - 3 y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{3}{4} x & + \frac{3}{2} y & = & \frac{15}{2} & (I) \\ x & - 3 y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$- 13$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$- 13 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - \frac{3}{4} x & + \frac{3}{2} y & = & \frac{15}{2} & (I) \\ x & = & (- 13 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 13 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- \frac{3}{4} \cdot (- 13 + 3 y) + \frac{3}{2} y$	=	$\frac{15}{2}$
$\frac{39}{4} - \frac{9}{4} y + \frac{3}{2} y$	=	$\frac{15}{2}$
$- \frac{3}{4} y + \frac{39}{4}$	=	$\frac{15}{2}$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{3}{4} y + \frac{39}{4})$	=	$30$
$- 3 y + 39$	=	$30$	\| $- 39$
$- 3 y$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 13 + 3 \cdot 3$

= $- 13 + 9$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -1y = ?

6x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

4x -1y = 12 -1 = 11

6x -1y = 18 -1 = 17

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -1y = 11

6x -1y = 17

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 17 & (I) \\ - 5 x & - y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 17 & (I) \\ - 5 x & - y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x - y$	=	$22$
$- y - 5 x$	=	$22$	\| $+ 5 x$
$- y$	=	$22 + 5 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 22 - 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 17 & (I) \\ + y & = & (- 22 - 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 22 - 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 1 \cdot (- 22 - 5 x)$	=	$17$
$- 4 x + 22 + 5 x$	=	$17$
$x + 22$	=	$17$	\| $- 22$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 22 - 5 \cdot (- 5)$

= $- 22 + 25$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 16. Wenn man aber vom 5-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -4. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 16 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$16$	\| $- 5 y$
$x$	=	$16 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (16 - 5 y) & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $16 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (16 - 5 y) - 3 y$	=	$- 4$
$80 - 25 y - 3 y$	=	$- 4$
$- 28 y + 80$	=	$- 4$	\| $- 80$
$- 28 y$	=	$- 84$	\|:( $- 28$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $16 - 5 \cdot 3$

= $16 - 15$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 3

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-7) und B(-2|8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-7): -7 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|8): 8 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 +1b +c |-1
8 = 4 -2b +c |-4

-8 = 1b +c
4 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 8 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$4$
$c - 2 b$	=	$4$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$4 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 8 & (I) \\ + c & = & (4 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $4 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (4 + 2 b)$	=	$- 8$
$b + 4 + 2 b$	=	$- 8$
$3 b + 4$	=	$- 8$	\| $- 4$
$3 b$	=	$- 12$	\|: $3$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $4 + 2 \cdot (- 4)$

= $4 - 8$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(-4|46) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|46): 46 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
46 = 16 -4b +c |-16

6 = -1b +c
30 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 30 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$30$
$c - 4 b$	=	$30$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$30 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (30 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $30 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (30 + 4 b)$	=	$6$
$- b + 30 + 4 b$	=	$6$
$3 b + 30$	=	$6$	\| $- 30$
$3 b$	=	$- 24$	\|: $3$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $30 + 4 \cdot (- 8)$

= $30 - 32$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 18$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-18).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 2$ = $16 - 32 - 2$ = -18

also: S(4|-18).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg