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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 4 y$ = $20$ .

Bestimme x so, dass (x|-2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x + 4 \cdot (- 2)$ = $20$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot (- 2)$	=	$20$
$4 x - 8$	=	$20$	\| $+ 8$
$4 x$	=	$28$	\|: $4$
$x$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (7|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + y$ = $5$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|5)
denn 4⋅0 +1⋅5 = 0 +5 = $5$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|1)
denn 4⋅1 +1⋅1 = 4 +1 = $5$

Oder : (-1|9)
denn 4⋅( - 1 ) +1⋅9 = -4 +9 = $5$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 y & = & - 2 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 y & = & - 2 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 1 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 2 \cdot 1$	=	$17$
$3 x + 2$	=	$17$	\| $- 2$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & - 26 & (I) \\ x & + 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & - 26 & (I) \\ x & + 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$14$	\| $- 2 y$
$x$	=	$14 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & - 26 & (I) \\ x & = & (14 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $14 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (14 - 2 y) - 4 y$	=	$- 26$
$- 14 + 2 y - 4 y$	=	$- 26$
$- 2 y - 14$	=	$- 26$	\| $+ 14$
$- 2 y$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $14 - 2 \cdot 6$

= $14 - 12$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 16 & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & 28 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 16 & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & 28 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 2 y$	=	$- 16$
$2 y - 4 x$	=	$- 16$	\| $+ 4 x$
$2 y$	=	$- 16 + 4 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 8 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 8 + 2 x) & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & 28 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 8 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 4 \cdot (- 8 + 2 x)$	=	$28$
$2 x - 32 + 8 x$	=	$28$
$10 x - 32$	=	$28$	\| $+ 32$
$10 x$	=	$60$	\|: $10$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 8 + 2 \cdot 6$

= $- 8 + 12$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$6$	=	$4 x - y$			(I)
$- 5 x - 1 + y$	=	$2 + 5 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$6$	=	$4 x - y$	\| $- 6 - 4 x + y$		(I)
$- 5 x - 1 + y$	=	$2 + 5 y$	\| + $1 - 5 y$		(II)

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 6 & (I) \\ - 5 x & - 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 6$
$y - 4 x$	=	$- 6$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 6 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 6 + 4 x) & (I) \\ - 5 x & - 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 6 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 4 \cdot (- 6 + 4 x)$	=	$3$
$- 5 x + 24 - 16 x$	=	$3$
$- 21 x + 24$	=	$3$	\| $- 24$
$- 21 x$	=	$- 21$	\|:( $- 21$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 6 + 4 \cdot 1$

= $- 6 + 4$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +3y = ?

-1x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-3x +3y = -6 +12 = 6

-1x -1y = -2 -4 = -6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +3y = 6

-1x -1y = -6

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & + 8 y & = & 2 & (I) \\ - x & - 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 8 y & = & 2 & (I) \\ - x & - 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 2 y$	=	$- 1$	\| $+ 2 y$
$- x$	=	$- 1 + 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 8 y & = & 2 & (I) \\ x & = & (1 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $1 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (1 - 2 y) + 8 y$	=	$2$
$4 - 8 y + 8 y$	=	$2$
$4$	=	$2$	\| $- 4$
0	=	$- 2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 35. Wenn man aber vom 4-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 5. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 6 y & = & 35 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 6 y$	=	$35$	\| $- 6 y$
$x$	=	$35 - 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (35 - 6 y) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $35 - 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (35 - 6 y) - 3 y$	=	$5$
$140 - 24 y - 3 y$	=	$5$
$- 27 y + 140$	=	$5$	\| $- 140$
$- 27 y$	=	$- 135$	\|:( $- 27$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $35 - 6 \cdot 5$

= $35 - 30$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|6) und B(-1|2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
2 = 1 -1b +c |-1

5 = 1b +c
1 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ - b & + c & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$1$
$c - b$	=	$1$	\| $+ b$
$c$	=	$1 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (1 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $1 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (1 + b)$	=	$5$
$b + 1 + b$	=	$5$
$2 b + 1$	=	$5$	\| $- 1$
$2 b$	=	$4$	\|: $2$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $1 + 2$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(-2|-9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-9): -9 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
-9 = 4 -2b +c |-4

-5 = -1b +c
-13 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 13$
$c - 2 b$	=	$- 13$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 13 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 13 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 13 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 13 + 2 b)$	=	$- 5$
$- b - 13 + 2 b$	=	$- 5$
$b - 13$	=	$- 5$	\| $+ 13$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 13 + 2 \cdot 8$

= $- 13 + 16$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (8|3)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 + 3$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 + 3$

= ${(x + 4)}^{2} - 13$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-13).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) + 3$ = $16 - 32 + 3$ = -13

also: S(-4|-13).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

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