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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 5 y$ = $26$ .

Bestimme y so, dass (6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$6 - 5 y$ = $26$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$6 - 5 y$	=	$26$
$6 - 5 y$	=	$26$
$- 5 y + 6$	=	$26$	\| $- 6$
$- 5 y$	=	$20$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (6|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 2 y$ = $- 8$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|5)
denn -2⋅( - 1 ) -2⋅5 = 2 -10 = $- 8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|7)
denn -2⋅( - 3 ) -2⋅7 = 6 -14 = $- 8$

Oder : (1|3)
denn -2⋅1 -2⋅3 = -2 -6 = $- 8$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & - 2 & (I) \\ + 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & - 2 & (I) \\ + 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$- 6$	\|: $3$
$y$	=	$- 2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & - 2 & (I) \\ + y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 2 \cdot (- 2)$	=	$- 2$
$- 2 x + 4$	=	$- 2$	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 2$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ - x & + 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ - x & + 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 3 y$	=	0	\| $- 3 y$
$- x$	=	$- 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ x & = & 3 y & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $3 y$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot 3 y - 2 y$	=	$2$
$3 y - 2 y$	=	$2$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $3 \cdot 2$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 0 & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 0 & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 4 y$	=	0
$4 y - 2 x$	=	0	\| $+ 2 x$
$4 y$	=	$2 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & \frac{1}{2} x & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $\frac{1}{2} x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 5 \cdot \frac{1}{2} x$	=	$1$
$- 2 x + \frac{5}{2} x$	=	$1$
$\frac{1}{2} x$	=	$1$	\|⋅ 2
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{1}{2} \cdot 2$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3 (x + 2 y)$	=	$- 5 + y$			(I)
$5 (1 - y)$	=	$5 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3 (x + 2 y)$	=	$- 5 + y$			(I)
$5 (1 - y)$	=	$5 x$			(II)

$3 x + 6 y$	=	$- 5 + y$	\| $- y$		(I)
$5 - 5 y$	=	$5 x$	\| $- 5 - 5 x$		(II)

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & - 5 & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 5 y$	=	$- 5$
$5 y + 3 x$	=	$- 5$	\| $- 3 x$
$5 y$	=	$- 5 - 3 x$	\|: $5$
$y$	=	$- 1 - \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 - \frac{3}{5} x) & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 - \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 5 \cdot (- 1 - \frac{3}{5} x)$	=	$- 5$
$- 5 x + 5 + 3 x$	=	$- 5$
$- 2 x + 5$	=	$- 5$	\| $- 5$
$- 2 x$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 - \frac{3}{5} \cdot 5$

= $- 1 - 3$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -3y = ?

1x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-2x -3y = 10 +12 = 22

1x -1y = -5 +4 = -1

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -3y = 22

1x -1y = -1

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 19 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 19 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$19$
$y + 4 x$	=	$19$	\| $- 4 x$
$y$	=	$19 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (19 - 4 x) & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $19 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 2 \cdot (19 - 4 x)$	=	$- 22$
$- 4 x + 38 - 8 x$	=	$- 22$
$- 12 x + 38$	=	$- 22$	\| $- 38$
$- 12 x$	=	$- 60$	\|:( $- 12$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $19 - 4 \cdot 5$

= $19 - 20$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 625 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 340 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & - 5 y & = & 625 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 340 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x - 5 y$	=	$625$
$- 5 y + 6 x$	=	$625$	\| $- 6 x$
$- 5 y$	=	$625 - 6 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 125 + \frac{6}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 125 + \frac{6}{5} x) & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 340 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 125 + \frac{6}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 2 \cdot (- 125 + \frac{6}{5} x)$	=	$340$
$3 x + 250 - \frac{12}{5} x$	=	$340$
$\frac{3}{5} x + 250$	=	$340$	\|⋅ 5
$5 (\frac{3}{5} x + 250)$	=	$1 700$
$3 x + 1 250$	=	$1 700$	\| $- 1 250$
$3 x$	=	$450$	\|: $3$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 125 + \frac{6}{5} \cdot 150$

= $- 125 + 180$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (150|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|1) und B(4|28) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|1): 1 = 1² + b⋅1 +c

B(4|28): 28 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 +1b +c |-1
28 = 16 +4b +c |-16

0 = 1b +c
12 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ 4 b & + c & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$12$
$c + 4 b$	=	$12$	\| $- 4 b$
$c$	=	$12 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (12 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $12 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (12 - 4 b)$	=	0
$b + 12 - 4 b$	=	0
$- 3 b + 12$	=	0	\| $- 12$
$- 3 b$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $12 - 4 \cdot 4$

= $12 - 16$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-4)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-11) und B(1|5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-11): -11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|5): 5 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-11 = 1 -1b +c |-1
5 = 1 +1b +c |-1

-12 = -1b +c
4 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 12 & (I) \\ b & + c & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$4$
$c + b$	=	$4$	\| $- b$
$c$	=	$4 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 12 & (I) \\ + c & = & (4 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $4 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (4 - b)$	=	$- 12$
$- b + 4 - b$	=	$- 12$
$- 2 b + 4$	=	$- 12$	\| $- 4$
$- 2 b$	=	$- 16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $4 - 8$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-4)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 - 4$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 - 4$

= ${(x + 4)}^{2} - 20$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-20).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) - 4$ = $16 - 32 - 4$ = -20

also: S(-4|-20).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg