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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 3 y$ = $- 20$ .

Bestimme x so, dass (x|7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$- x - 3 \cdot 7$ = $- 20$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- x - 3 \cdot 7$	=	$- 20$
$- x - 21$	=	$- 20$	\| $+ 21$
$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-1|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 4 y$ = $- 11$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|3)
denn -1⋅( - 1 ) -4⋅3 = 1 -12 = $- 11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|4)
denn -1⋅( - 5 ) -4⋅4 = 5 -16 = $- 11$

Oder : (3|2)
denn -1⋅3 -4⋅2 = -3 -8 = $- 11$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 2 & (I) \\ - 3 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 2 & (I) \\ - 3 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 3 y$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 2 & (I) \\ + y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 1 \cdot (- 6)$	=	$2$
$2 x + 6$	=	$2$	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 12 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 12 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 15$
$y + 4 x$	=	$- 15$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 15 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 12 & (I) \\ + y & = & (- 15 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 15 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 1 \cdot (- 15 - 4 x)$	=	$12$
$- 3 x + 15 + 4 x$	=	$12$
$x + 15$	=	$12$	\| $- 15$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 15 - 4 \cdot (- 3)$

= $- 15 + 12$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 5 y & = & 27 & (I) \\ x & + 5 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 5 y & = & 27 & (I) \\ x & + 5 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$24$	\| $- 5 y$
$x$	=	$24 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 5 y & = & 27 & (I) \\ x & = & (24 - 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $24 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (24 - 5 y) + 5 y$	=	$27$
$- 48 + 10 y + 5 y$	=	$27$
$15 y - 48$	=	$27$	\| $+ 48$
$15 y$	=	$75$	\|: $15$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $24 - 5 \cdot 5$

= $24 - 25$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + \frac{1}{2} y & = & - \frac{27}{2} & (I) \\ x & - \frac{3}{5} y & = & - \frac{21}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + \frac{1}{2} y & = & - \frac{27}{2} & (I) \\ x & - \frac{3}{5} y & = & - \frac{21}{5} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - \frac{3}{5} y$	=	$- \frac{21}{5}$	\|⋅ 5
$5 (x - \frac{3}{5} y)$	=	$- 21$
$5 x - 3 y$	=	$- 21$	\| $+ 3 y$
$5 x$	=	$- 21 + 3 y$	\|: $5$
$x$	=	$- \frac{21}{5} + \frac{3}{5} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + \frac{1}{2} y & = & - \frac{27}{2} & (I) \\ x & = & (- \frac{21}{5} + \frac{3}{5} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- \frac{21}{5} + \frac{3}{5} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- \frac{21}{5} + \frac{3}{5} y) + \frac{1}{2} y$	=	$- \frac{27}{2}$
$- \frac{42}{5} + \frac{6}{5} y + \frac{1}{2} y$	=	$- \frac{27}{2}$
$\frac{17}{10} y - \frac{42}{5}$	=	$- \frac{27}{2}$	\|⋅ 10
$10 (\frac{17}{10} y - \frac{42}{5})$	=	$- 135$
$17 y - 84$	=	$- 135$	\| $+ 84$
$17 y$	=	$- 51$	\|: $17$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- \frac{21}{5} + \frac{3}{5} \cdot (- 3)$

= $- \frac{21}{5} - \frac{9}{5}$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +2y = ?

-1x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-5x +2y = 20 -2 = 18

-1x -3y = 4 +3 = 7

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +2y = 18

-1x -3y = 7

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 10 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 10 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 4 y$	=	$10$	\| $- 4 y$
$- x$	=	$10 - 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 10 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 10 + 4 y) & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 10 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 10 + 4 y) - 5 y$	=	$- 7$
$- 40 + 16 y - 5 y$	=	$- 7$
$11 y - 40$	=	$- 7$	\| $+ 40$
$11 y$	=	$33$	\|: $11$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 10 + 4 \cdot 3$

= $- 10 + 12$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1710 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 6 Stunden wandern und hat 1 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1755 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & - 2 y & = & 1710 & (I) \\ 6 x & - y & = & 1755 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$6 x - y$	=	$1755$
$- y + 6 x$	=	$1755$	\| $- 6 x$
$- y$	=	$1755 - 6 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 1 755 + 6 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 6 x & - 2 y & = & 1710 & (I) \\ + y & = & (- 1 755 + 6 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 1 755 + 6 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 2 \cdot (- 1 755 + 6 x)$	=	$1710$
$6 x + 3 510 - 12 x$	=	$1710$
$- 6 x + 3 510$	=	$1710$	\| $- 3 510$
$- 6 x$	=	$- 1 800$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 1 755 + 6 \cdot 300$

= $- 1 755 + 1 800$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (300|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-5) und B(2|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-4): -4 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
-4 = 4 +2b +c |-4

-6 = 1b +c
-8 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 8$
$c + 2 b$	=	$- 8$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 8 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 8 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 8 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 8 - 2 b)$	=	$- 6$
$b - 8 - 2 b$	=	$- 6$
$- b - 8$	=	$- 6$	\| $+ 8$
$- b$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 8 - 2 \cdot (- 2)$

= $- 8 + 4$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(1|3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|3): 3 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
3 = 1 +1b +c |-1

6 = -1b +c
2 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ b & + c & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$2$
$c + b$	=	$2$	\| $- b$
$c$	=	$2 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (2 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $2 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (2 - b)$	=	$6$
$- b + 2 - b$	=	$6$
$- 2 b + 2$	=	$6$	\| $- 2$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $2 - (- 2)$

= $2 + 2$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 4$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 4$

= ${(x - 1)}^{2} + 3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 4$ = $1 - 2 + 4$ = 3

also: S(1|3).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg