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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 2 y$ = $18$ .

Bestimme x so, dass (x|5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 x + 2 \cdot 5$ = $18$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 2 x + 2 \cdot 5$	=	$18$
$- 2 x + 10$	=	$18$	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (-4|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 5 y$ = $39$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|3)
denn 4⋅6 +5⋅3 = 24 +15 = $39$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (11|-1)
denn 4⋅11 +5⋅( - 1 ) = 44 -5 = $39$

Oder : (1|7)
denn 4⋅1 +5⋅7 = 4 +35 = $39$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ - y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ - y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- y$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ + y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 2 \cdot (- 3)$	=	$2$
$x + 6$	=	$2$	\| $- 6$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & 0 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & 0 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$- 16$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$- 16 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & 0 & (I) \\ x & = & (- 16 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 16 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 16 + 3 y) - 3 y$	=	0
$48 - 9 y - 3 y$	=	0
$- 12 y + 48$	=	0	\| $- 48$
$- 12 y$	=	$- 48$	\|:( $- 12$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 16 + 3 \cdot 4$

= $- 16 + 12$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & 32 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & 32 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 3 y$	=	$32$
$3 y + 4 x$	=	$32$	\| $- 4 x$
$3 y$	=	$32 - 4 x$	\|: $3$
$y$	=	$\frac{32}{3} - \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{32}{3} - \frac{4}{3} x) & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{32}{3} - \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 3 \cdot (\frac{32}{3} - \frac{4}{3} x)$	=	$13$
$5 x - 32 + 4 x$	=	$13$
$9 x - 32$	=	$13$	\| $+ 32$
$9 x$	=	$45$	\|: $9$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{32}{3} - \frac{4}{3} \cdot 5$

= $\frac{32}{3} - \frac{20}{3}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 4 x$	=	$x - 5 y$			(I)
$- 4 x - 25 - y$	=	0			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 4 x$	=	$x - 5 y$	\| $- x + 5 y$		(I)
$- 4 x - 25 - y$	=	0	\| + $25$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & + 5 y & = & 0 & (I) \\ - 4 x & - y & = & 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x - y$	=	$25$
$- y - 4 x$	=	$25$	\| $+ 4 x$
$- y$	=	$25 + 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 25 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & + 5 y & = & 0 & (I) \\ + y & = & (- 25 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 25 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 5 \cdot (- 25 - 4 x)$	=	0
$- 5 x - 125 - 20 x$	=	0
$- 25 x - 125$	=	0	\| $+ 125$
$- 25 x$	=	$125$	\|:( $- 25$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 25 - 4 \cdot (- 5)$

= $- 25 + 20$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -3y = ?

-8x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-5x -3y = 25 -3 = 22

-8x -3y = 40 -3 = 37

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -3y = 22

-8x -3y = 37

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 5 & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 5 & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 4 y$	=	$5$
$- 4 y - 3 x$	=	$5$	\| $+ 3 x$
$- 4 y$	=	$5 + 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{5}{4} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{5}{4} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{5}{4} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 5 \cdot (- \frac{5}{4} - \frac{3}{4} x)$	=	$- 8$
$2 x - \frac{25}{4} - \frac{15}{4} x$	=	$- 8$
$- \frac{7}{4} x - \frac{25}{4}$	=	$- 8$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{7}{4} x - \frac{25}{4})$	=	$- 32$
$- 7 x - 25$	=	$- 32$	\| $+ 25$
$- 7 x$	=	$- 7$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{5}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1$

= $- \frac{5}{4} - \frac{3}{4}$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 8. Wenn man aber vom 5-fachen von x 5 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 20. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 8 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$8$	\| $- 3 y$
$x$	=	$8 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (8 - 3 y) & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $8 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (8 - 3 y) - 5 y$	=	$20$
$40 - 15 y - 5 y$	=	$20$
$- 20 y + 40$	=	$20$	\| $- 40$
$- 20 y$	=	$- 20$	\|:( $- 20$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $8 - 3 \cdot 1$

= $8 - 3$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 1

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-8) und B(4|-11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-8): -8 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-11): -11 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 +1b +c |-1
-11 = 16 +4b +c |-16

-9 = 1b +c
-27 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 27$
$c + 4 b$	=	$- 27$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 27 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ + c & = & (- 27 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 27 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 27 - 4 b)$	=	$- 9$
$b - 27 - 4 b$	=	$- 9$
$- 3 b - 27$	=	$- 9$	\| $+ 27$
$- 3 b$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 27 - 4 \cdot (- 6)$

= $- 27 + 24$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(-2|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-5): -5 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
-5 = 4 -2b +c |-4

-5 = -1b +c
-9 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 9$
$c - 2 b$	=	$- 9$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 9 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 9 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 9 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 9 + 2 b)$	=	$- 5$
$- b - 9 + 2 b$	=	$- 5$
$b - 9$	=	$- 5$	\| $+ 9$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 9 + 2 \cdot 4$

= $- 9 + 8$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 - 1$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 - 1$

= ${(x + 2)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - 1$ = $4 - 8 - 1$ = -5

also: S(-2|-5).

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg