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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 4 y$ = $- 19$ .

Bestimme x so, dass (x|4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$5 x + 4 \cdot 4$ = $- 19$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5 x + 4 \cdot 4$	=	$- 19$
$5 x + 16$	=	$- 19$	\| $- 16$
$5 x$	=	$- 35$	\|: $5$
$x$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (-7|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + y$ = $6$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-2)
denn -4⋅( - 2 ) +1⋅( - 2 ) = 8 -2 = $6$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|2)
denn -4⋅( - 1 ) +1⋅2 = 4 +2 = $6$

Oder : (-3|-6)
denn -4⋅( - 3 ) +1⋅( - 6 ) = 12 -6 = $6$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & = & 8 & (I) \\ - x & - y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & = & 8 & (I) \\ - x & - y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 2 & (I) \\ - x & - y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 2) - y$	=	$- 3$
$2 - y$	=	$- 3$
$- y + 2$	=	$- 3$	\| $- 2$
$- y$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 2 & (I) \\ - 3 x & + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 2 & (I) \\ - 3 x & + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$- 2$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$- 2 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 2 + 2 y) & (I) \\ - 3 x & + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 2 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 2 + 2 y) + 3 y$	=	$- 3$
$6 - 6 y + 3 y$	=	$- 3$
$- 3 y + 6$	=	$- 3$	\| $- 6$
$- 3 y$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 2 + 2 \cdot 3$

= $- 2 + 6$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 2$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 2 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 2 - 2 y) & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 2 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (- 2 - 2 y) + 4 y$	=	$2$
$- 10 - 10 y + 4 y$	=	$2$
$- 6 y - 10$	=	$2$	\| $+ 10$
$- 6 y$	=	$12$	\|:( $- 6$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 2 - 2 \cdot (- 2)$

= $- 2 + 4$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3 (- x + y) + 4$	=	$- x$			(I)
$x - 11$	=	$- 3 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3 (- x + y) + 4$	=	$- x$			(I)
$x - 11$	=	$- 3 y$			(II)

$- 3 x + 4 + 3 y$	=	$- x$	\| $- 4 + x$		(I)
$x - 11$	=	$- 3 y$	\| + $11 + 3 y$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 4 & (I) \\ x & + 3 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$11$	\| $- 3 y$
$x$	=	$11 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 4 & (I) \\ x & = & (11 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $11 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (11 - 3 y) + 3 y$	=	$- 4$
$- 22 + 6 y + 3 y$	=	$- 4$
$9 y - 22$	=	$- 4$	\| $+ 22$
$9 y$	=	$18$	\|: $9$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $11 - 3 \cdot 2$

= $11 - 6$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -3y = ?

2x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

3x -3y = 15 +6 = 21

2x -4y = 10 +8 = 18

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -3y = 21

2x -4y = 18

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 16 x & - 16 y & = & - 12 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 16 x & - 16 y & = & - 12 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 16 x - 16 y$	=	$- 12$
$- 16 y - 16 x$	=	$- 12$	\| $+ 16 x$
$- 16 y$	=	$- 12 + 16 x$	\|:( $- 16$ )
$y$	=	$\frac{3}{4} - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{3}{4} - x) & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{4} - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot (\frac{3}{4} - x)$	=	$3$
$4 x + 3 - 4 x$	=	$3$
$3$	=	$3$	\| $- 3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 7 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 316 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 150 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 7 y & = & 316 & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 150 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 7 y$	=	$316$
$7 y + 6 x$	=	$316$	\| $- 6 x$
$7 y$	=	$316 - 6 x$	\|: $7$
$y$	=	$\frac{316}{7} - \frac{6}{7} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{316}{7} - \frac{6}{7} x) & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 150 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{316}{7} - \frac{6}{7} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 3 \cdot (\frac{316}{7} - \frac{6}{7} x)$	=	$150$
$5 x + \frac{948}{7} - \frac{18}{7} x$	=	$150$
$\frac{17}{7} x + \frac{948}{7}$	=	$150$	\|⋅ 7
$7 (\frac{17}{7} x + \frac{948}{7})$	=	$1 050$
$17 x + 948$	=	$1 050$	\| $- 948$
$17 x$	=	$102$	\|: $17$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{316}{7} - \frac{6}{7} \cdot 6$

= $\frac{316}{7} - \frac{36}{7}$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (6|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-3) und B(-2|-8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-8): -8 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 -1b +c |-1
-8 = 4 -2b +c |-4

-4 = -1b +c
-12 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 12$
$c - 2 b$	=	$- 12$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 12 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (- 12 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 12 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 12 + 2 b)$	=	$- 4$
$- b - 12 + 2 b$	=	$- 4$
$b - 12$	=	$- 4$	\| $+ 12$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 12 + 2 \cdot 8$

= $- 12 + 16$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|4)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-6) und B(-2|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-7): -7 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
-7 = 4 -2b +c |-4

-7 = -1b +c
-11 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 11$
$c - 2 b$	=	$- 11$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 11 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 11 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 11 + 2 b)$	=	$- 7$
$- b - 11 + 2 b$	=	$- 7$
$b - 11$	=	$- 7$	\| $+ 11$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 + 2 \cdot 4$

= $- 11 + 8$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 - 3$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 - 3$

= ${(x + 2)}^{2} - 7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - 3$ = $4 - 8 - 3$ = -7

also: S(-2|-7).

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg