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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -x -5y = -8 .

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

-( -2 ) -5y = -8

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

-( -2 ) -5y = -8
2 -5y = -8
-5y +2 = -8 | -2
-5y = -10 |:(-5 )
y = 2

Die Lösung ist somit: (-2|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -4x -3y = 22 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-6)
denn -4⋅( - 1 ) -3( - 6 ) = 4 +18 = 22

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|-2)
denn -4⋅( - 4 ) -3( - 2 ) = 16 +6 = 22

Oder : (2|-10)
denn -4⋅2 -3( - 10 ) = -8 +30 = 22

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

4x = 8 (I) -3x +4y = 10 (II)

Lösung einblenden
4x = 8 (I) -3x +4y = 10 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

4x = 8 |:4
x = 2

Als neues LGS erhält man so:

x = 2 (I) -3x +4y = 10 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch 2 ersetzen und dann nach y auflösen:

-3 · 2 +4y = 10
-6 +4y = 10
4y -6 = 10 | +6
4y = 16 |:4
y = 4

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

4x -y = -12 (I) 3x +y = -16 (II)

Lösung einblenden
4x -y = -12 (I) 3x +y = -16 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

3x + y = -16
y +3x = -16 | -3x
y = -16 -3x

Als neues LGS erhält man so:

4x -y = -12 (I) +y = ( -16 -3x ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( -16 -3x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

4x -1 · ( -16 -3x ) = -12
4x +3x +16 = -12
7x +16 = -12 | -16
7x = -28 |:7
x = -4

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = -16 -3( -4 )

= -16 +12

= -4

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

2x +3y = 6 (I) -2x +5y = -22 (II)

Lösung einblenden
2x +3y = 6 (I) -2x +5y = -22 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

2x +3y = 6
3y +2x = 6 | -2x
3y = 6 -2x |:3
y = 2 - 2 3 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 2 - 2 3 x ) (I) -2x +5y = -22 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 2 - 2 3 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-2x + 5 · ( 2 - 2 3 x ) = -22
-2x - 10 3 x +10 = -22
- 16 3 x +10 = -22 |⋅ 3
3( - 16 3 x +10 ) = -66
-16x +30 = -66 | -30
-16x = -96 |:(-16 )
x = 6

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 2 - 2 3 6

= 2 -4

= -2

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-22 = 2x +5y (I)
5( x +8 ) = -5y (II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

-22 = 2x +5y (I)
5( x +8 ) = -5y (II)
-22 = 2x +5y | + 22 -2x -5y (I)
5x +40 = -5y | -40 +5y (II)
-2x -5y = 22 (I) 5x +5y = -40 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

-2x -5y = 22
-5y -2x = 22 | +2x
-5y = 22 +2x |:(-5 )
y = - 22 5 - 2 5 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( - 22 5 - 2 5 x ) (I) 5x +5y = -40 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( - 22 5 - 2 5 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

5x + 5 · ( - 22 5 - 2 5 x ) = -40
5x -2x -22 = -40
3x -22 = -40 | +22
3x = -18 |:3
x = -6

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = - 22 5 - 2 5 ( -6 )

= - 22 5 + 12 5

= -2

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -4y = ?

1x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

3x -4y = -15 -12 = -27

1x -3y = -5 -9 = -14

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -4y = -27

1x -3y = -14

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

-6x +9y = -6 (I) 2x -3y = 2 (II)

Lösung einblenden
-6x +9y = -6 (I) 2x -3y = 2 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

-6x +9y = -6
9y -6x = -6 | +6x
9y = -6 +6x |:9
y = - 2 3 + 2 3 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( - 2 3 + 2 3 x ) (I) 2x -3y = 2 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( - 2 3 + 2 3 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

2x -3 · ( - 2 3 + 2 3 x ) = 2
2x -2x +2 = 2
2 = 2 | -2
0 = 0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 7 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1990 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1935 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

7x -2y = 1990 (I) 7x -3y = 1935 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

7x -2y = 1990
-2y +7x = 1990 | -7x
-2y = 1990 -7x |:(-2 )
y = -995 + 7 2 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( -995 + 7 2 x ) (I) 7x -3y = 1935 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( -995 + 7 2 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

7x -3 · ( -995 + 7 2 x ) = 1935
7x - 21 2 x +2985 = 1935
- 7 2 x +2985 = 1935 |⋅ 2
2( - 7 2 x +2985 ) = 3870
-7x +5970 = 3870 | -5970
-7x = -2100 |:(-7 )
x = 300

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = -995 + 7 2 300

= -995 +1050

= 55

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (300|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55