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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 5 y$ = $24$ .

Bestimme x so, dass (x|6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$x + 5 \cdot 6$ = $24$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x + 5 \cdot 6$	=	$24$
$x + 30$	=	$24$	\| $- 30$
$x$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (-6|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + 5 y$ = $- 8$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|2)
denn 3⋅( - 6 ) +5⋅2 = -18 +10 = $- 8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|-1)
denn 3⋅( - 1 ) +5⋅( - 1 ) = -3 -5 = $- 8$

Oder : (-11|5)
denn 3⋅( - 11 ) +5⋅5 = -33 +25 = $- 8$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + y & = & - 7 & (I) \\ - 4 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + y & = & - 7 & (I) \\ - 4 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + y & = & - 7 & (I) \\ + y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 1 \cdot (- 6)$	=	$- 7$
$- x - 6$	=	$- 7$	\| $+ 6$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & 32 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & 32 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$- 17$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$- 17 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & 32 & (I) \\ x & = & (- 17 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 17 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 17 + 3 y) + 3 y$	=	$32$
$68 - 12 y + 3 y$	=	$32$
$- 9 y + 68$	=	$32$	\| $- 68$
$- 9 y$	=	$- 36$	\|:( $- 9$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 17 + 3 \cdot 4$

= $- 17 + 12$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 4 y & = & - 34 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 32 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + 4 y & = & - 34 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 32 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 4 y$	=	$- 34$
$4 y + 5 x$	=	$- 34$	\| $- 5 x$
$4 y$	=	$- 34 - 5 x$	\|: $4$
$y$	=	$- \frac{17}{2} - \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{17}{2} - \frac{5}{4} x) & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 32 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{17}{2} - \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot (- \frac{17}{2} - \frac{5}{4} x)$	=	$- 32$
$4 x - 34 - 5 x$	=	$- 32$
$- x - 34$	=	$- 32$	\| $+ 34$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{17}{2} - \frac{5}{4} \cdot (- 2)$

= $- \frac{17}{2} + \frac{5}{2}$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & - y & = & 4 & (I) \\ - \frac{1}{3} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{19}{15} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & - y & = & 4 & (I) \\ - \frac{1}{3} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{19}{15} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{1}{2} x - y$	=	$4$
$- y - \frac{1}{2} x$	=	$4$	\|⋅ 2
$2 (- y - \frac{1}{2} x)$	=	$8$
$- 2 y - x$	=	$8$	\| $+ x$
$- 2 y$	=	$8 + x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 4 - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 4 - \frac{1}{2} x) & (I) \\ - \frac{1}{3} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{19}{15} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 4 - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{3} x - \frac{1}{5} \cdot (- 4 - \frac{1}{2} x)$	=	$\frac{19}{15}$
$- \frac{1}{3} x + \frac{4}{5} + \frac{1}{10} x$	=	$\frac{19}{15}$
$- \frac{7}{30} x + \frac{4}{5}$	=	$\frac{19}{15}$	\|⋅ 30
$30 (- \frac{7}{30} x + \frac{4}{5})$	=	$38$
$- 7 x + 24$	=	$38$	\| $- 24$
$- 7 x$	=	$14$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 4 - \frac{1}{2} \cdot (- 2)$

= $- 4 + 1$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +2y = ?

-8x +7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-4x +2y = 4 +6 = 10

-8x +7y = 8 +21 = 29

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +2y = 10

-8x +7y = 29

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 6 & (I) \\ - x & + 3 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 6 & (I) \\ - x & + 3 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 3 y$	=	$- 14$	\| $- 3 y$
$- x$	=	$- 14 - 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$14 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 6 & (I) \\ x & = & (14 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $14 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (14 + 3 y) + y$	=	$6$
$- 42 - 9 y + y$	=	$6$
$- 8 y - 42$	=	$6$	\| $+ 42$
$- 8 y$	=	$48$	\|:( $- 8$ )
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $14 + 3 \cdot (- 6)$

= $14 - 18$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 324 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 251 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 9 x & + 9 y & = & 324 & (I) \\ 6 x & + 7 y & = & 251 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9 x + 9 y$	=	$324$
$9 y + 9 x$	=	$324$	\| $- 9 x$
$9 y$	=	$324 - 9 x$	\|: $9$
$y$	=	$36 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (36 - x) & (I) \\ 6 x & + 7 y & = & 251 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $36 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 7 \cdot (36 - x)$	=	$251$
$6 x + 252 - 7 x$	=	$251$
$- x + 252$	=	$251$	\| $- 252$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $36 - 1$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (1|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-3) und B(-4|-6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-6): -6 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 -1b +c |-1
-6 = 16 -4b +c |-16

-4 = -1b +c
-22 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 22$
$c - 4 b$	=	$- 22$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 22 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (- 22 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 22 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 22 + 4 b)$	=	$- 4$
$- b - 22 + 4 b$	=	$- 4$
$3 b - 22$	=	$- 4$	\| $+ 22$
$3 b$	=	$18$	\|: $3$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 22 + 4 \cdot 6$

= $- 22 + 24$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-1) und B(2|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-1): -1 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-4): -4 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 +1b +c |-1
-4 = 4 +2b +c |-4

-2 = 1b +c
-8 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 2 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 8$
$c + 2 b$	=	$- 8$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 8 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (- 8 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 8 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 8 - 2 b)$	=	$- 2$
$b - 8 - 2 b$	=	$- 2$
$- b - 8$	=	$- 2$	\| $+ 8$
$- b$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 8 - 2 \cdot (- 6)$

= $- 8 + 12$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 4$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 + 4$

= ${(x - 3)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 + 4$ = $9 - 18 + 4$ = -5

also: S(3|-5).

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg