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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 3 y$ = $8$ .

Bestimme x so, dass (x|-2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x + 3 \cdot (- 2)$ = $8$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot (- 2)$	=	$8$
$2 x - 6$	=	$8$	\| $+ 6$
$2 x$	=	$14$	\|: $2$
$x$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (7|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 2 y$ = $- 3$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|1)
denn 1⋅( - 5 ) +2⋅1 = -5 +2 = $- 3$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|0)
denn 1⋅( - 3 ) +2⋅0 = -3 +0 = $- 3$

Oder : (-7|2)
denn 1⋅( - 7 ) +2⋅2 = -7 +4 = $- 3$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 12 & (I) \\ - x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 12 & (I) \\ - x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 12 & (I) \\ x & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot 4 + 4 y$	=	$- 12$
$8 + 4 y$	=	$- 12$
$4 y + 8$	=	$- 12$	\| $- 8$
$4 y$	=	$- 20$	\|: $4$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & 18 & (I) \\ 4 x & + y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & 18 & (I) \\ 4 x & + y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$15$
$y + 4 x$	=	$15$	\| $- 4 x$
$y$	=	$15 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & 18 & (I) \\ + y & = & (15 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $15 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 4 \cdot (15 - 4 x)$	=	$18$
$2 x + 60 - 16 x$	=	$18$
$- 14 x + 60$	=	$18$	\| $- 60$
$- 14 x$	=	$- 42$	\|:( $- 14$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $15 - 4 \cdot 3$

= $15 - 12$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & - 2 & (I) \\ x & + 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & - 2 & (I) \\ x & + 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$8$	\| $- 2 y$
$x$	=	$8 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & - 2 & (I) \\ x & = & (8 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $8 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (8 - 2 y) - 5 y$	=	$- 2$
$16 - 4 y - 5 y$	=	$- 2$
$- 9 y + 16$	=	$- 2$	\| $- 16$
$- 9 y$	=	$- 18$	\|:( $- 9$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $8 - 2 \cdot 2$

= $8 - 4$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- y$	=	$3 (x - 3)$			(I)
$x$	=	$2 (- x + y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- y$	=	$3 (x - 3)$			(I)
$x$	=	$2 (- x + y)$			(II)

$- y$	=	$3 x - 9$	\| $- 3 x$		(I)
$x$	=	$- 2 x + 2 y$	\| + $2 x - 2 y$		(II)

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & - 9 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x - y$	=	$- 9$
$- y - 3 x$	=	$- 9$	\| $+ 3 x$
$- y$	=	$- 9 + 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$9 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (9 - 3 x) & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $9 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 2 \cdot (9 - 3 x)$	=	0
$3 x - 18 + 6 x$	=	0
$9 x - 18$	=	0	\| $+ 18$
$9 x$	=	$18$	\|: $9$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $9 - 3 \cdot 2$

= $9 - 6$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -3y = ?

-2x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

2x -3y = 4 +12 = 16

-2x +1y = -4 -4 = -8

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -3y = 16

-2x +1y = -8

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 5 x & + 4 y & = & 27 & (I) \\ - 4 x & - 5 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + 4 y & = & 27 & (I) \\ - 4 x & - 5 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 4 y$	=	$27$
$4 y + 5 x$	=	$27$	\| $- 5 x$
$4 y$	=	$27 - 5 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{27}{4} - \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{27}{4} - \frac{5}{4} x) & (I) \\ - 4 x & - 5 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{27}{4} - \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 5 \cdot (\frac{27}{4} - \frac{5}{4} x)$	=	$- 27$
$- 4 x - \frac{135}{4} + \frac{25}{4} x$	=	$- 27$
$\frac{9}{4} x - \frac{135}{4}$	=	$- 27$	\|⋅ 4
$4 (\frac{9}{4} x - \frac{135}{4})$	=	$- 108$
$9 x - 135$	=	$- 108$	\| $+ 135$
$9 x$	=	$27$	\|: $9$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{27}{4} - \frac{5}{4} \cdot 3$

= $\frac{27}{4} - \frac{15}{4}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 680 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1035 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 680 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 1035 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 4 y$	=	$680$
$- 4 y + 3 x$	=	$680$	\| $- 3 x$
$- 4 y$	=	$680 - 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 170 + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 170 + \frac{3}{4} x) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 1035 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 170 + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot (- 170 + \frac{3}{4} x)$	=	$1035$
$4 x + 510 - \frac{9}{4} x$	=	$1035$
$\frac{7}{4} x + 510$	=	$1035$	\|⋅ 4
$4 (\frac{7}{4} x + 510)$	=	$4 140$
$7 x + 2 040$	=	$4 140$	\| $- 2 040$
$7 x$	=	$2 100$	\|: $7$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 170 + \frac{3}{4} \cdot 300$

= $- 170 + 225$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (300|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-5) und B(-4|-2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-2): -2 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 -1b +c |-1
-2 = 16 -4b +c |-16

-6 = -1b +c
-18 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 18$
$c - 4 b$	=	$- 18$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 18 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 18 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 18 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 18 + 4 b)$	=	$- 6$
$- b - 18 + 4 b$	=	$- 6$
$3 b - 18$	=	$- 6$	\| $+ 18$
$3 b$	=	$12$	\|: $3$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 18 + 4 \cdot 4$

= $- 18 + 16$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-6) und B(-4|-21) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-21): -21 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
-21 = 16 -4b +c |-16

-7 = -1b +c
-37 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 37 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 37$
$c - 4 b$	=	$- 37$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 37 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 37 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 37 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 37 + 4 b)$	=	$- 7$
$- b - 37 + 4 b$	=	$- 7$
$3 b - 37$	=	$- 7$	\| $+ 37$
$3 b$	=	$30$	\|: $3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 37 + 4 \cdot 10$

= $- 37 + 40$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (10|3)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 3$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 3$

= ${(x + 5)}^{2} - 22$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-22).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 3$ = $25 - 50 + 3$ = -22

also: S(-5|-22).

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1. Weg

2. Weg