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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 3 y$ = $16$ .

Bestimme y so, dass (1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$1 - 3 y$ = $16$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$1 - 3 y$	=	$16$
$1 - 3 y$	=	$16$
$- 3 y + 1$	=	$16$	\| $- 1$
$- 3 y$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (1|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 2 y$ = $- 11$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|7)
denn -1⋅( - 3 ) -2⋅7 = 3 -14 = $- 11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|8)
denn -1⋅( - 5 ) -2⋅8 = 5 -16 = $- 11$

Oder : (-1|6)
denn -1⋅( - 1 ) -2⋅6 = 1 -12 = $- 11$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 21 & (I) \\ - x & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 21 & (I) \\ - x & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 21 & (I) \\ x & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 6) + 3 y$	=	$21$
$12 + 3 y$	=	$21$
$3 y + 12$	=	$21$	\| $- 12$
$3 y$	=	$9$	\|: $3$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 13 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 13 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$- 13$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$- 13 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 13 + 4 y) & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 13 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 13 + 4 y) - 2 y$	=	$11$
$39 - 12 y - 2 y$	=	$11$
$- 14 y + 39$	=	$11$	\| $- 39$
$- 14 y$	=	$- 28$	\|:( $- 14$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 13 + 4 \cdot 2$

= $- 13 + 8$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 3 & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 3 & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 4 y$	=	$3$
$- 4 y + 3 x$	=	$3$	\| $- 3 x$
$- 4 y$	=	$3 - 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{3}{4} + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{3}{4} + \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{3}{4} + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 5 \cdot (- \frac{3}{4} + \frac{3}{4} x)$	=	$- 6$
$- 3 x - \frac{15}{4} + \frac{15}{4} x$	=	$- 6$
$\frac{3}{4} x - \frac{15}{4}$	=	$- 6$	\|⋅ 4
$4 (\frac{3}{4} x - \frac{15}{4})$	=	$- 24$
$3 x - 15$	=	$- 24$	\| $+ 15$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{4} - \frac{9}{4}$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 20 - 3 y$	=	$2 x$			(I)
$5 x + 6 y$	=	$x + 4 (- 6 + y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 20 - 3 y$	=	$2 x$			(I)
$5 x + 6 y$	=	$x + 4 (- 6 + y)$			(II)

$- 20 - 3 y$	=	$2 x$	\| + $20 - 2 x$		(I)
$5 x + 6 y$	=	$x - 24 + 4 y$	\| $- x - 4 y$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & 20 & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 3 y$	=	$20$
$- 3 y - 2 x$	=	$20$	\| $+ 2 x$
$- 3 y$	=	$20 + 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- \frac{20}{3} - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{20}{3} - \frac{2}{3} x) & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{20}{3} - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 2 \cdot (- \frac{20}{3} - \frac{2}{3} x)$	=	$- 24$
$4 x - \frac{40}{3} - \frac{4}{3} x$	=	$- 24$
$\frac{8}{3} x - \frac{40}{3}$	=	$- 24$	\|⋅ 3
$3 (\frac{8}{3} x - \frac{40}{3})$	=	$- 72$
$8 x - 40$	=	$- 72$	\| $+ 40$
$8 x$	=	$- 32$	\|: $8$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{20}{3} - \frac{2}{3} \cdot (- 4)$

= $- \frac{20}{3} + \frac{8}{3}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +1y = ?

-2x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-5x +1y = -20 +1 = -19

-2x -1y = -8 -1 = -9

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +1y = -19

-2x -1y = -9

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & + y & = & 3 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + y & = & 3 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x + y$	=	$3$
$y - x$	=	$3$	\| $+ x$
$y$	=	$3 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3 + x) & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 4 \cdot (3 + x)$	=	$7$
$- 3 x + 12 + 4 x$	=	$7$
$x + 12$	=	$7$	\| $- 12$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3 - 5$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 128 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 2 LED-Leuchtmittel und 2 Halogenleuchten zusammen 62 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 8 x & + 4 y & = & 128 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 62 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x + 4 y$	=	$128$
$4 y + 8 x$	=	$128$	\| $- 8 x$
$4 y$	=	$128 - 8 x$	\|: $4$
$y$	=	$32 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (32 - 2 x) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 62 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $32 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (32 - 2 x)$	=	$62$
$2 x + 64 - 4 x$	=	$62$
$- 2 x + 64$	=	$62$	\| $- 64$
$- 2 x$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $32 - 2 \cdot 1$

= $32 - 2$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (1|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|2) und B(2|11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(2|11): 11 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
11 = 4 +2b +c |-4

1 = 1b +c
7 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ 2 b & + c & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$7$
$c + 2 b$	=	$7$	\| $- 2 b$
$c$	=	$7 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (7 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (7 - 2 b)$	=	$1$
$b + 7 - 2 b$	=	$1$
$- b + 7$	=	$1$	\| $- 7$
$- b$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7 - 2 \cdot 6$

= $7 - 12$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-5)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|5) und B(3|17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|5): 5 = 1² + b⋅1 +c

B(3|17): 17 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 +1b +c |-1
17 = 9 +3b +c |-9

4 = 1b +c
8 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ 3 b & + c & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$8$
$c + 3 b$	=	$8$	\| $- 3 b$
$c$	=	$8 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (8 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $8 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (8 - 3 b)$	=	$4$
$b + 8 - 3 b$	=	$4$
$- 2 b + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$- 2 b$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $8 - 3 \cdot 2$

= $8 - 6$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 + 2$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 + 2$

= ${(x + 1)}^{2} + 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 2$ = $1 - 2 + 2$ = 1

also: S(-1|1).

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1. Weg

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