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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 4 y$ = $- 24$ .

Bestimme y so, dass (0|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot 0 + 4 y$ = $- 24$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot 0 + 4 y$	=	$- 24$
$4 y$	=	$- 24$	\|: $4$
$y$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (0|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + 2 y$ = $- 35$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|-7)
denn 3⋅( - 7 ) +2⋅( - 7 ) = -21 -14 = $- 35$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|-10)
denn 3⋅( - 5 ) +2⋅( - 10 ) = -15 -20 = $- 35$

Oder : (-9|-4)
denn 3⋅( - 9 ) +2⋅( - 4 ) = -27 -8 = $- 35$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 y & = & 24 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 y & = & 24 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 6 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot (- 6)$	=	0
$- 3 x + 12$	=	0	\| $- 12$
$- 3 x$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 16 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 16 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$- 12$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$- 12 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 16 & (I) \\ x & = & (- 12 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 12 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 12 + 3 y) - 4 y$	=	$16$
$48 - 12 y - 4 y$	=	$16$
$- 16 y + 48$	=	$16$	\| $- 48$
$- 16 y$	=	$- 32$	\|:( $- 16$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 12 + 3 \cdot 2$

= $- 12 + 6$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 10 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 40 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 10 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 40 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 4 y$	=	$- 10$
$4 y + 2 x$	=	$- 10$	\| $- 2 x$
$4 y$	=	$- 10 - 2 x$	\|: $4$
$y$	=	$- \frac{5}{2} - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{5}{2} - \frac{1}{2} x) & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 40 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{5}{2} - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot (- \frac{5}{2} - \frac{1}{2} x)$	=	$40$
$4 x + 10 + 2 x$	=	$40$
$6 x + 10$	=	$40$	\| $- 10$
$6 x$	=	$30$	\|: $6$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{5}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5$

= $- \frac{5}{2} - \frac{5}{2}$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 3 (1 + y)$	=	$3 x$			(I)
$- 3 (7 + y)$	=	$- 3 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 3 (1 + y)$	=	$3 x$			(I)
$- 3 (7 + y)$	=	$- 3 x$			(II)

$- 3 - 3 y$	=	$3 x$	\| + $3 - 3 x$		(I)
$- 21 - 3 y$	=	$- 3 x$	\| + $21 + 3 x$		(II)

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & 3 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 3 y$	=	$3$
$- 3 y - 3 x$	=	$3$	\| $+ 3 x$
$- 3 y$	=	$3 + 3 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 1 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 - x) & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (- 1 - x)$	=	$21$
$3 x + 3 + 3 x$	=	$21$
$6 x + 3$	=	$21$	\| $- 3$
$6 x$	=	$18$	\|: $6$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 - 3$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +3y = ?

-8x +8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-5x +3y = 25 -3 = 22

-8x +8y = 40 -8 = 32

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +3y = 22

-8x +8y = 32

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 16 x & + 8 y & = & - 15 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 16 x & + 8 y & = & - 15 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$16 x + 8 y$	=	$- 15$
$8 y + 16 x$	=	$- 15$	\| $- 16 x$
$8 y$	=	$- 15 - 16 x$	\|: $8$
$y$	=	$- \frac{15}{8} - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{15}{8} - 2 x) & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{15}{8} - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 2 \cdot (- \frac{15}{8} - 2 x)$	=	$3$
$- 4 x + \frac{15}{4} + 4 x$	=	$3$
$\frac{15}{4}$	=	$3$	\| $- \frac{15}{4}$
0	=	$- \frac{3}{4}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 13. Wenn man aber vom 4-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 14. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 13 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$13$	\| $- 4 y$
$x$	=	$13 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (13 - 4 y) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $13 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (13 - 4 y) - 3 y$	=	$14$
$52 - 16 y - 3 y$	=	$14$
$- 19 y + 52$	=	$14$	\| $- 52$
$- 19 y$	=	$- 38$	\|:( $- 19$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $13 - 4 \cdot 2$

= $13 - 8$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-8) und B(4|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-8): -8 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-5): -5 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 +1b +c |-1
-5 = 16 +4b +c |-16

-9 = 1b +c
-21 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 21$
$c + 4 b$	=	$- 21$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 21 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ + c & = & (- 21 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 21 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 21 - 4 b)$	=	$- 9$
$b - 21 - 4 b$	=	$- 9$
$- 3 b - 21$	=	$- 9$	\| $+ 21$
$- 3 b$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 21 - 4 \cdot (- 4)$

= $- 21 + 16$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|2) und B(4|5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(4|5): 5 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
5 = 16 +4b +c |-16

1 = 1b +c
-11 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 11$
$c + 4 b$	=	$- 11$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 11 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (- 11 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 11 - 4 b)$	=	$1$
$b - 11 - 4 b$	=	$1$
$- 3 b - 11$	=	$1$	\| $+ 11$
$- 3 b$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 - 4 \cdot (- 4)$

= $- 11 + 16$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 5$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 + 5$

= ${(x - 2)}^{2} + 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 + 5$ = $4 - 8 + 5$ = 1

also: S(2|1).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS (Standard)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg