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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - y$ = 0.

Bestimme y so, dass (-1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$(- 1) - y$ = 0

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$(- 1) - y$	=	0
$- 1 - y$	=	0
$- y - 1$	=	0	\| $+ 1$
$- y$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-1|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 2 y$ = $- 7$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|2)
denn 1⋅( - 3 ) -2⋅2 = -3 -4 = $- 7$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|1)
denn 1⋅( - 5 ) -2⋅1 = -5 -2 = $- 7$

Oder : (-1|3)
denn 1⋅( - 1 ) -2⋅3 = -1 -6 = $- 7$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ - x & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ - x & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ x & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 2) - 3 y$	=	$12$
$6 - 3 y$	=	$12$
$- 3 y + 6$	=	$12$	\| $- 6$
$- 3 y$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 30 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 30 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$- 10$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$- 10 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 30 & (I) \\ x & = & (- 10 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 10 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 10 + 2 y) - 3 y$	=	$- 30$
$- 40 + 8 y - 3 y$	=	$- 30$
$5 y - 40$	=	$- 30$	\| $+ 40$
$5 y$	=	$10$	\|: $5$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 10 + 2 \cdot 2$

= $- 10 + 4$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 12 & (I) \\ - x & - y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 12 & (I) \\ - x & - y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x - y$	=	$- 12$
$- y - x$	=	$- 12$	\| $+ x$
$- y$	=	$- 12 + x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$12 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 12 & (I) \\ + y & = & (12 - x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $12 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 4 \cdot (12 - x)$	=	$12$
$- 2 x + 48 - 4 x$	=	$12$
$- 6 x + 48$	=	$12$	\| $- 48$
$- 6 x$	=	$- 36$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $12 - 6$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- x$	=	$5 (2 - y)$			(I)
$2 y$	=	$2 (2 x + 11)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- x$	=	$5 (2 - y)$			(I)
$2 y$	=	$2 (2 x + 11)$			(II)

$- x$	=	$10 - 5 y$	\| + $5 y$		(I)
$2 y$	=	$4 x + 22$	\| $- 4 x$		(II)

\begin{matrix} - x & + 5 y & = & 10 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 5 y$	=	$10$	\| $- 5 y$
$- x$	=	$10 - 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 10 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 10 + 5 y) & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 10 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 10 + 5 y) + 2 y$	=	$22$
$40 - 20 y + 2 y$	=	$22$
$- 18 y + 40$	=	$22$	\| $- 40$
$- 18 y$	=	$- 18$	\|:( $- 18$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 10 + 5 \cdot 1$

= $- 10 + 5$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -5y = ?

3x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

5x -5y = 15 -10 = 5

3x -5y = 9 -10 = -1

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -5y = 5

3x -5y = -1

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 2 & (I) \\ - 9 x & + 12 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 2 & (I) \\ - 9 x & + 12 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 4 y$	=	$2$
$- 4 y + 3 x$	=	$2$	\| $- 3 x$
$- 4 y$	=	$2 - 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 9 x & + 12 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 9 x + 12 \cdot (- \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x)$	=	$- 6$
$- 9 x - 6 + 9 x$	=	$- 6$
$- 6$	=	$- 6$	\| $+ 6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 3 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 3 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 120 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 290 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 120 & (I) \\ 9 x & + 7 y & = & 290 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 3 y$	=	$120$
$3 y + 3 x$	=	$120$	\| $- 3 x$
$3 y$	=	$120 - 3 x$	\|: $3$
$y$	=	$40 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (40 - x) & (I) \\ 9 x & + 7 y & = & 290 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $40 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9 x + 7 \cdot (40 - x)$	=	$290$
$9 x + 280 - 7 x$	=	$290$
$2 x + 280$	=	$290$	\| $- 280$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $40 - 5$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (5|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-6) und B(4|-15) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-15): -15 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
-15 = 16 +4b +c |-16

-7 = 1b +c
-31 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 31 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 31$
$c + 4 b$	=	$- 31$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 31 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 31 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 31 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 31 - 4 b)$	=	$- 7$
$b - 31 - 4 b$	=	$- 7$
$- 3 b - 31$	=	$- 7$	\| $+ 31$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 31 - 4 \cdot (- 8)$

= $- 31 + 32$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|1)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|9) und B(3|37) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|9): 9 = 1² + b⋅1 +c

B(3|37): 37 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 +1b +c |-1
37 = 9 +3b +c |-9

8 = 1b +c
28 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 8 & (I) \\ 3 b & + c & = & 28 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$28$
$c + 3 b$	=	$28$	\| $- 3 b$
$c$	=	$28 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (28 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $28 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (28 - 3 b)$	=	$8$
$b + 28 - 3 b$	=	$8$
$- 2 b + 28$	=	$8$	\| $- 28$
$- 2 b$	=	$- 20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $28 - 3 \cdot 10$

= $28 - 30$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-2)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 2$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 2$

= ${(x + 5)}^{2} - 27$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-27).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 2$ = $25 - 50 - 2$ = -27

also: S(-5|-27).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg