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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + y$ = $- 5$ .

Bestimme y so, dass (0|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 \cdot 0 + y$ = $- 5$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 2 \cdot 0 + y$	=	$- 5$
$y$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (0|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 2 y$ = $- 20$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|0)
denn 5⋅( - 4 ) -2⋅0 = -20 +0 = $- 20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|-5)
denn 5⋅( - 6 ) -2⋅( - 5 ) = -30 +10 = $- 20$

Oder : (-2|5)
denn 5⋅( - 2 ) -2⋅5 = -10 -10 = $- 20$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + y & = & - 2 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $- 2$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 3 \cdot (- 2)$	=	$26$
$- 4 x + 6$	=	$26$	\| $- 6$
$- 4 x$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 3 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 3 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$3$
$y - 4 x$	=	$3$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$3 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3 + 4 x) & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 4 \cdot (3 + 4 x)$	=	$2$
$2 x - 12 - 16 x$	=	$2$
$- 14 x - 12$	=	$2$	\| $+ 12$
$- 14 x$	=	$14$	\|:( $- 14$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3 + 4 \cdot (- 1)$

= $3 - 4$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 1 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 1 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 4 y$	=	$1$
$- 4 y - 3 x$	=	$1$	\| $+ 3 x$
$- 4 y$	=	$1 + 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 4 \cdot (- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} x)$	=	$- 23$
$5 x + 1 + 3 x$	=	$- 23$
$8 x + 1$	=	$- 23$	\| $- 1$
$8 x$	=	$- 24$	\|: $8$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} \cdot (- 3)$

= $- \frac{1}{4} + \frac{9}{4}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 3 x + 5 + 7 y$	=	$2 y$			(I)
$4 (x + 1) + 4 y$	=	0			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 3 x + 5 + 7 y$	=	$2 y$			(I)
$4 (x + 1) + 4 y$	=	0			(II)

$- 3 x + 5 + 7 y$	=	$2 y$	\| $- 5 - 2 y$		(I)
$4 x + 4 + 4 y$	=	0	\| $- 4$		(II)

\begin{matrix} - 3 x & + 5 y & = & - 5 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 5 y$	=	$- 5$
$5 y - 3 x$	=	$- 5$	\| $+ 3 x$
$5 y$	=	$- 5 + 3 x$	\|: $5$
$y$	=	$- 1 + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 + \frac{3}{5} x) & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot (- 1 + \frac{3}{5} x)$	=	$- 4$
$4 x - 4 + \frac{12}{5} x$	=	$- 4$
$\frac{32}{5} x - 4$	=	$- 4$	\|⋅ 5
$5 (\frac{32}{5} x - 4)$	=	$- 20$
$32 x - 20$	=	$- 20$	\| $+ 20$
$32 x$	=	0	\|: $32$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 + \frac{3}{5} \cdot 0$

= $- 1 + 0$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -1y = ?

-1x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

1x -1y = -5 +4 = -1

-1x +3y = 5 -12 = -7

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -1y = -1

-1x +3y = -7

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & 4 & (I) \\ - 5 x & + y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & 4 & (I) \\ - 5 x & + y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x + y$	=	$- 22$
$y - 5 x$	=	$- 22$	\| $+ 5 x$
$y$	=	$- 22 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & 4 & (I) \\ + y & = & (- 22 + 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 22 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x - 4 \cdot (- 22 + 5 x)$	=	$4$
$- x + 88 - 20 x$	=	$4$
$- 21 x + 88$	=	$4$	\| $- 88$
$- 21 x$	=	$- 84$	\|:( $- 21$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 22 + 5 \cdot 4$

= $- 22 + 20$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 2 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 58 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 161 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 2 y & = & 58 & (I) \\ 7 x & + 7 y & = & 161 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 2 y$	=	$58$
$2 y + 6 x$	=	$58$	\| $- 6 x$
$2 y$	=	$58 - 6 x$	\|: $2$
$y$	=	$29 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (29 - 3 x) & (I) \\ 7 x & + 7 y & = & 161 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $29 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x + 7 \cdot (29 - 3 x)$	=	$161$
$7 x + 203 - 21 x$	=	$161$
$- 14 x + 203$	=	$161$	\| $- 203$
$- 14 x$	=	$- 42$	\|:( $- 14$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $29 - 3 \cdot 3$

= $29 - 9$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (3|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-10) und B(3|-18) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-10): -10 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-18): -18 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 +1b +c |-1
-18 = 9 +3b +c |-9

-11 = 1b +c
-27 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 27$
$c + 3 b$	=	$- 27$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 27 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (- 27 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 27 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 27 - 3 b)$	=	$- 11$
$b - 27 - 3 b$	=	$- 11$
$- 2 b - 27$	=	$- 11$	\| $+ 27$
$- 2 b$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 27 - 3 \cdot (- 8)$

= $- 27 + 24$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-3)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|6) und B(2|17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(2|17): 17 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
17 = 4 +2b +c |-4

5 = 1b +c
13 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$13$
$c + 2 b$	=	$13$	\| $- 2 b$
$c$	=	$13 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (13 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (13 - 2 b)$	=	$5$
$b + 13 - 2 b$	=	$5$
$- b + 13$	=	$5$	\| $- 13$
$- b$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13 - 2 \cdot 8$

= $13 - 16$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-3)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 - 3$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 - 3$

= ${(x + 4)}^{2} - 19$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-19).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) - 3$ = $16 - 32 - 3$ = -19

also: S(-4|-19).

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1. Weg

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