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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + y$ = $- 18$ .

Bestimme x so, dass (x|-3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$3 x + (- 3)$ = $- 18$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3 x + (- 3)$	=	$- 18$
$3 x - 3$	=	$- 18$	\| $+ 3$
$3 x$	=	$- 15$	\|: $3$
$x$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (-5|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + y$ = $4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|4)
denn -5⋅0 +1⋅4 = 0 +4 = $4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|9)
denn -5⋅1 +1⋅9 = -5 +9 = $4$

Oder : (-1|-1)
denn -5⋅( - 1 ) +1⋅( - 1 ) = 5 -1 = $4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 4 & (I) \\ 4 x & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 4 & (I) \\ 4 x & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$- 16$	\|: $4$
$x$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 4 & (I) \\ x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 4) + 2 y$	=	$4$
$12 + 2 y$	=	$4$
$2 y + 12$	=	$4$	\| $- 12$
$2 y$	=	$- 8$	\|: $2$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 9 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 9 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$- 9$
$y - 3 x$	=	$- 9$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$- 9 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 9 + 3 x) & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 9 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 2 \cdot (- 9 + 3 x)$	=	$- 22$
$- 4 x + 18 - 6 x$	=	$- 22$
$- 10 x + 18$	=	$- 22$	\| $- 18$
$- 10 x$	=	$- 40$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 9 + 3 \cdot 4$

= $- 9 + 12$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 0 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 0 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 2 y$	=	$14$	\| $+ 2 y$
$- x$	=	$14 + 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 14 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 0 & (I) \\ x & = & (- 14 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 14 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 14 - 2 y) + 3 y$	=	0
$28 + 4 y + 3 y$	=	0
$7 y + 28$	=	0	\| $- 28$
$7 y$	=	$- 28$	\|: $7$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 14 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 14 + 8$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{3}{5} x & + 3 y & = & \frac{72}{5} & (I) \\ - \frac{1}{3} x & + 2 y & = & \frac{28}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{3}{5} x & + 3 y & = & \frac{72}{5} & (I) \\ - \frac{1}{3} x & + 2 y & = & \frac{28}{3} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{3}{5} x + 3 y$	=	$\frac{72}{5}$
$3 y - \frac{3}{5} x$	=	$\frac{72}{5}$	\|⋅ 5
$5 (3 y - \frac{3}{5} x)$	=	$72$
$15 y - 3 x$	=	$72$	\| $+ 3 x$
$15 y$	=	$72 + 3 x$	\|: $15$
$y$	=	$\frac{24}{5} + \frac{1}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{24}{5} + \frac{1}{5} x) & (I) \\ - \frac{1}{3} x & + 2 y & = & \frac{28}{3} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{24}{5} + \frac{1}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{3} x + 2 \cdot (\frac{24}{5} + \frac{1}{5} x)$	=	$\frac{28}{3}$
$- \frac{1}{3} x + \frac{48}{5} + \frac{2}{5} x$	=	$\frac{28}{3}$
$\frac{1}{15} x + \frac{48}{5}$	=	$\frac{28}{3}$	\|⋅ 15
$15 (\frac{1}{15} x + \frac{48}{5})$	=	$140$
$x + 144$	=	$140$	\| $- 144$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{24}{5} + \frac{1}{5} \cdot (- 4)$

= $\frac{24}{5} - \frac{4}{5}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -1y = ?

6x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

4x -1y = 8 -2 = 6

6x -5y = 12 -10 = 2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -1y = 6

6x -5y = 2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & 2 & (I) \\ 12 x & - 12 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & 2 & (I) \\ 12 x & - 12 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 4 y$	=	$2$
$4 y - 4 x$	=	$2$	\| $+ 4 x$
$4 y$	=	$2 + 4 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{1}{2} + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{2} + x) & (I) \\ 12 x & - 12 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2} + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$12 x - 12 \cdot (\frac{1}{2} + x)$	=	$- 6$
$12 x - 6 - 12 x$	=	$- 6$
$- 6$	=	$- 6$	\| $+ 6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 336 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 126 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 9 y & = & 336 & (I) \\ 7 x & + 3 y & = & 126 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 9 y$	=	$336$
$9 y + 7 x$	=	$336$	\| $- 7 x$
$9 y$	=	$336 - 7 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{112}{3} - \frac{7}{9} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{112}{3} - \frac{7}{9} x) & (I) \\ 7 x & + 3 y & = & 126 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{112}{3} - \frac{7}{9} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x + 3 \cdot (\frac{112}{3} - \frac{7}{9} x)$	=	$126$
$7 x + 112 - \frac{7}{3} x$	=	$126$
$\frac{14}{3} x + 112$	=	$126$	\|⋅ 3
$3 (\frac{14}{3} x + 112)$	=	$378$
$14 x + 336$	=	$378$	\| $- 336$
$14 x$	=	$42$	\|: $14$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{112}{3} - \frac{7}{9} \cdot 3$

= $\frac{112}{3} - \frac{7}{3}$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (3|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(-4|-1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-1): -1 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
-1 = 16 -4b +c |-16

-5 = -1b +c
-17 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 17$
$c - 4 b$	=	$- 17$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 17 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 17 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 17 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 17 + 4 b)$	=	$- 5$
$- b - 17 + 4 b$	=	$- 5$
$3 b - 17$	=	$- 5$	\| $+ 17$
$3 b$	=	$12$	\|: $3$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 17 + 4 \cdot 4$

= $- 17 + 16$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-5) und B(-2|-6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-6): -6 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 -1b +c |-1
-6 = 4 -2b +c |-4

-6 = -1b +c
-10 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 10$
$c - 2 b$	=	$- 10$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 10 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 10 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 10 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 10 + 2 b)$	=	$- 6$
$- b - 10 + 2 b$	=	$- 6$
$b - 10$	=	$- 6$	\| $+ 10$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 10 + 2 \cdot 4$

= $- 10 + 8$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 - 2$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 - 2$

= ${(x + 2)}^{2} - 6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - 2$ = $4 - 8 - 2$ = -6

also: S(-2|-6).

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1. Weg

2. Weg