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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 3 y$ = $- 7$ .

Bestimme y so, dass (2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$2 + 3 y$ = $- 7$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2 + 3 y$	=	$- 7$
$2 + 3 y$	=	$- 7$
$3 y + 2$	=	$- 7$	\| $- 2$
$3 y$	=	$- 9$	\|: $3$
$y$	=	$- 3$

Die Lösung ist somit: (2|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + y$ = $- 14$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|-2)
denn -3⋅4 +1⋅( - 2 ) = -12 -2 = $- 14$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|1)
denn -3⋅5 +1⋅1 = -15 +1 = $- 14$

Oder : (3|-5)
denn -3⋅3 +1⋅( - 5 ) = -9 -5 = $- 14$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & - 4 & (I) \\ 2 x & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - y & = & - 4 & (I) \\ 2 x & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & - 4 & (I) \\ x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 4) - y$	=	$- 4$
$- 8 - y$	=	$- 4$
$- y - 8$	=	$- 4$	\| $+ 8$
$- y$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 22 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 22 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$22$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$22 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (22 + 4 y) & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $22 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (22 + 4 y) - 3 y$	=	$30$
$66 + 12 y - 3 y$	=	$30$
$9 y + 66$	=	$30$	\| $- 66$
$9 y$	=	$- 36$	\|: $9$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $22 + 4 \cdot (- 4)$

= $22 - 16$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 11 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 11 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 11$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 11 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 11 - 2 y) & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 11 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 11 - 2 y) + 3 y$	=	$1$
$22 + 4 y + 3 y$	=	$1$
$7 y + 22$	=	$1$	\| $- 22$
$7 y$	=	$- 21$	\|: $7$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 11 - 2 \cdot (- 3)$

= $- 11 + 6$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{2}{3} x & + \frac{2}{3} y & = & - 2 & (I) \\ - \frac{3}{5} x & - y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{2}{3} x & + \frac{2}{3} y & = & - 2 & (I) \\ - \frac{3}{5} x & - y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{3}{5} x - y$	=	$3$
$- y - \frac{3}{5} x$	=	$3$	\|⋅ 5
$5 (- y - \frac{3}{5} x)$	=	$15$
$- 5 y - 3 x$	=	$15$	\| $+ 3 x$
$- 5 y$	=	$15 + 3 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 3 - \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{2}{3} x & + \frac{2}{3} y & = & - 2 & (I) \\ + y & = & (- 3 - \frac{3}{5} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 3 - \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot (- 3 - \frac{3}{5} x)$	=	$- 2$
$\frac{2}{3} x - 2 - \frac{2}{5} x$	=	$- 2$
$\frac{4}{15} x - 2$	=	$- 2$	\|⋅ 15
$15 (\frac{4}{15} x - 2)$	=	$- 30$
$4 x - 30$	=	$- 30$	\| $+ 30$
$4 x$	=	0	\|: $4$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 3 - \frac{3}{5} \cdot 0$

= $- 3 + 0$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -1y = ?

-6x -6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-2x -1y = -8 +3 = -5

-6x -6y = -24 +18 = -6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -1y = -5

-6x -6y = -6

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & - 1 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & - 1 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 4 y$	=	$- 1$
$4 y + 3 x$	=	$- 1$	\| $- 3 x$
$4 y$	=	$- 1 - 3 x$	\|: $4$
$y$	=	$- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 3 \cdot (- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} x)$	=	$2$
$- 2 x + \frac{3}{4} + \frac{9}{4} x$	=	$2$
$\frac{1}{4} x + \frac{3}{4}$	=	$2$	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} x + \frac{3}{4})$	=	$8$
$x + 3$	=	$8$	\| $- 3$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} \cdot 5$

= $- \frac{1}{4} - \frac{15}{4}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 10. Wenn man aber vom 4-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 12. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 6 y & = & 10 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 6 y$	=	$10$	\| $- 6 y$
$x$	=	$10 - 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (10 - 6 y) & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $10 - 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (10 - 6 y) - 4 y$	=	$12$
$40 - 24 y - 4 y$	=	$12$
$- 28 y + 40$	=	$12$	\| $- 40$
$- 28 y$	=	$- 28$	\|:( $- 28$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $10 - 6 \cdot 1$

= $10 - 6$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 1

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(-4|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-7): -7 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
-7 = 16 -4b +c |-16

-5 = -1b +c
-23 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 23$
$c - 4 b$	=	$- 23$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 23 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 23 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 23 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 23 + 4 b)$	=	$- 5$
$- b - 23 + 4 b$	=	$- 5$
$3 b - 23$	=	$- 5$	\| $+ 23$
$3 b$	=	$18$	\|: $3$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 23 + 4 \cdot 6$

= $- 23 + 24$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-9) und B(2|-14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-9): -9 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-14): -14 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-9 = 1 +1b +c |-1
-14 = 4 +2b +c |-4

-10 = 1b +c
-18 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 10 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 18$
$c + 2 b$	=	$- 18$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 18 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 10 & (I) \\ + c & = & (- 18 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 18 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 18 - 2 b)$	=	$- 10$
$b - 18 - 2 b$	=	$- 10$
$- b - 18$	=	$- 10$	\| $+ 18$
$- b$	=	$8$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 18 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 18 + 16$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 18$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-18).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 2$ = $16 - 32 - 2$ = -18

also: S(4|-18).

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg