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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 3 y$ = $13$ .

Bestimme y so, dass (-5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$(- 5) - 3 y$ = $13$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$(- 5) - 3 y$	=	$13$
$- 5 - 3 y$	=	$13$
$- 3 y - 5$	=	$13$	\| $+ 5$
$- 3 y$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (-5|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 3 y$ = $- 13$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|-4)
denn -1⋅1 +3⋅( - 4 ) = -1 -12 = $- 13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-3)
denn -1⋅4 +3⋅( - 3 ) = -4 -9 = $- 13$

Oder : (-2|-5)
denn -1⋅( - 2 ) +3⋅( - 5 ) = 2 -15 = $- 13$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 9 & (I) \\ - y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 9 & (I) \\ - y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- y$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 9 & (I) \\ + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 1 \cdot (- 1)$	=	$9$
$2 x + 1$	=	$9$	\| $- 1$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 13 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 13 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 2$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 2 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 13 & (I) \\ x & = & (- 2 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 2 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 2 - 2 y) + y$	=	$13$
$6 + 6 y + y$	=	$13$
$7 y + 6$	=	$13$	\| $- 6$
$7 y$	=	$7$	\|: $7$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 2 - 2 \cdot 1$

= $- 2 - 2$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 2 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 2 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 8$
$y - 4 x$	=	$- 8$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 8 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 2 & (I) \\ + y & = & (- 8 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 8 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 4 \cdot (- 8 + 4 x)$	=	$2$
$x - 32 + 16 x$	=	$2$
$17 x - 32$	=	$2$	\| $+ 32$
$17 x$	=	$34$	\|: $17$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 8 + 4 \cdot 2$

= $- 8 + 8$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (2|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{3}{5} x & + \frac{3}{5} y & = & \frac{6}{5} & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{3}{5} x & + \frac{3}{5} y & = & \frac{6}{5} & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	$- 2$
$- y - 2 x$	=	$- 2$	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$- 2 + 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$2 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{3}{5} x & + \frac{3}{5} y & = & \frac{6}{5} & (I) \\ + y & = & (2 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{5} x + \frac{3}{5} \cdot (2 - 2 x)$	=	$\frac{6}{5}$
$\frac{3}{5} x + \frac{6}{5} - \frac{6}{5} x$	=	$\frac{6}{5}$
$- \frac{3}{5} x + \frac{6}{5}$	=	$\frac{6}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{3}{5} x + \frac{6}{5})$	=	$6$
$- 3 x + 6$	=	$6$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	0	\|:( $- 3$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2 - 2 \cdot (0)$

= $2 + 0$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (0|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +3y = ?

-5x +16y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-1x +3y = -2 +15 = 13

-5x +16y = -10 +80 = 70

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +3y = 13

-5x +16y = 70

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & - 5 y & = & 9 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 5 y & = & 9 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	$- 3$
$- y - 2 x$	=	$- 3$	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$- 3 + 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$3 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 5 y & = & 9 & (I) \\ + y & = & (3 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $3 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 5 \cdot (3 - 2 x)$	=	$9$
$- 2 x - 15 + 10 x$	=	$9$
$8 x - 15$	=	$9$	\| $+ 15$
$8 x$	=	$24$	\|: $8$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $3 - 2 \cdot 3$

= $3 - 6$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 480 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 520 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 480 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 520 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 3 y$	=	$480$
$- 3 y + 4 x$	=	$480$	\| $- 4 x$
$- 3 y$	=	$480 - 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 160 + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 160 + \frac{4}{3} x) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 520 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 160 + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 2 \cdot (- 160 + \frac{4}{3} x)$	=	$520$
$4 x + 320 - \frac{8}{3} x$	=	$520$
$\frac{4}{3} x + 320$	=	$520$	\|⋅ 3
$3 (\frac{4}{3} x + 320)$	=	$1 560$
$4 x + 960$	=	$1 560$	\| $- 960$
$4 x$	=	$600$	\|: $4$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 160 + \frac{4}{3} \cdot 150$

= $- 160 + 200$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (150|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-3) und B(2|-6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-6): -6 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 +1b +c |-1
-6 = 4 +2b +c |-4

-4 = 1b +c
-10 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 10$
$c + 2 b$	=	$- 10$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 10 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (- 10 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 10 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 10 - 2 b)$	=	$- 4$
$b - 10 - 2 b$	=	$- 4$
$- b - 10$	=	$- 4$	\| $+ 10$
$- b$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 10 - 2 \cdot (- 6)$

= $- 10 + 12$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|3) und B(4|36) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|3): 3 = 1² + b⋅1 +c

B(4|36): 36 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 +1b +c |-1
36 = 16 +4b +c |-16

2 = 1b +c
20 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 2 & (I) \\ 4 b & + c & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$20$
$c + 4 b$	=	$20$	\| $- 4 b$
$c$	=	$20 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 2 & (I) \\ + c & = & (20 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $20 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (20 - 4 b)$	=	$2$
$b + 20 - 4 b$	=	$2$
$- 3 b + 20$	=	$2$	\| $- 20$
$- 3 b$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $20 - 4 \cdot 6$

= $20 - 24$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 - 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 - 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 13$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-13).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) - 4$ = $9 - 18 - 4$ = -13

also: S(-3|-13).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg