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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - 3 y$ = 0.

Bestimme x so, dass (x|4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 x - 3 \cdot 4$ = 0

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 4 x - 3 \cdot 4$	=	0
$- 4 x - 12$	=	0	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 3$

Die Lösung ist somit: (-3|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 4 y$ = $17$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|3)
denn -5⋅( - 1 ) +4⋅3 = 5 +12 = $17$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|8)
denn -5⋅3 +4⋅8 = -15 +32 = $17$

Oder : (-5|-2)
denn -5⋅( - 5 ) +4⋅( - 2 ) = 25 -8 = $17$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & = & - 6 & (I) \\ 3 x & + y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & = & - 6 & (I) \\ 3 x & + y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 2 & (I) \\ 3 x & + y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot 2 + y$	=	$9$
$6 + y$	=	$9$
$y + 6$	=	$9$	\| $- 6$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 6 & (I) \\ x & + 4 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 6 & (I) \\ x & + 4 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$13$	\| $- 4 y$
$x$	=	$13 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 6 & (I) \\ x & = & (13 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $13 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (13 - 4 y) - 3 y$	=	$- 6$
$- 26 + 8 y - 3 y$	=	$- 6$
$5 y - 26$	=	$- 6$	\| $+ 26$
$5 y$	=	$20$	\|: $5$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $13 - 4 \cdot 4$

= $13 - 16$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 5 y & = & - 8 & (I) \\ 5 x & - y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 5 y & = & - 8 & (I) \\ 5 x & - y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$5 x - y$	=	$- 26$
$- y + 5 x$	=	$- 26$	\| $- 5 x$
$- y$	=	$- 26 - 5 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$26 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 5 y & = & - 8 & (I) \\ + y & = & (26 + 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $26 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 5 \cdot (26 + 5 x)$	=	$- 8$
$- 2 x + 130 + 25 x$	=	$- 8$
$23 x + 130$	=	$- 8$	\| $- 130$
$23 x$	=	$- 138$	\|: $23$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $26 + 5 \cdot (- 6)$

= $26 - 30$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 2 x - 5 y$	=	$- 2 (1 + 4 y)$			(I)
$- 22 - 3 y$	=	$2 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 2 x - 5 y$	=	$- 2 (1 + 4 y)$			(I)
$- 22 - 3 y$	=	$2 x$			(II)

$- 2 x - 5 y$	=	$- 2 - 8 y$	\| + $8 y$		(I)
$- 22 - 3 y$	=	$2 x$	\| + $22 - 2 x$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 2 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 3 y$	=	$- 2$
$3 y - 2 x$	=	$- 2$	\| $+ 2 x$
$3 y$	=	$- 2 + 2 x$	\|: $3$
$y$	=	$- \frac{2}{3} + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{2}{3} + \frac{2}{3} x) & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{2}{3} + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 3 \cdot (- \frac{2}{3} + \frac{2}{3} x)$	=	$22$
$- 2 x + 2 - 2 x$	=	$22$
$- 4 x + 2$	=	$22$	\| $- 2$
$- 4 x$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot (- 5)$

= $- \frac{2}{3} - \frac{10}{3}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -5y = ?

7x -8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

4x -5y = 16 +5 = 21

7x -8y = 28 +8 = 36

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -5y = 21

7x -8y = 36

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & - 3 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & - 3 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 4 y$	=	$- 3$
$- 4 y - 5 x$	=	$- 3$	\| $+ 5 x$
$- 4 y$	=	$- 3 + 5 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$\frac{3}{4} - \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{3}{4} - \frac{5}{4} x) & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{4} - \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 4 \cdot (\frac{3}{4} - \frac{5}{4} x)$	=	$10$
$- 2 x + 3 - 5 x$	=	$10$
$- 7 x + 3$	=	$10$	\| $- 3$
$- 7 x$	=	$7$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{3}{4} - \frac{5}{4} \cdot (- 1)$

= $\frac{3}{4} + \frac{5}{4}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 21. Wenn man aber vom 2-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -12. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 6 y & = & 21 & (I) \\ 2 x & - 6 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 6 y$	=	$21$	\| $- 6 y$
$x$	=	$21 - 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (21 - 6 y) & (I) \\ 2 x & - 6 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $21 - 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (21 - 6 y) - 6 y$	=	$- 12$
$42 - 12 y - 6 y$	=	$- 12$
$- 18 y + 42$	=	$- 12$	\| $- 42$
$- 18 y$	=	$- 54$	\|:( $- 18$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $21 - 6 \cdot 3$

= $21 - 18$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 3

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|1) und B(-1|9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|1): 1 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 +1b +c |-1
9 = 1 -1b +c |-1

0 = 1b +c
8 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ - b & + c & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$8$
$c - b$	=	$8$	\| $+ b$
$c$	=	$8 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (8 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $8 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (8 + b)$	=	0
$b + 8 + b$	=	0
$2 b + 8$	=	0	\| $- 8$
$2 b$	=	$- 8$	\|: $2$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $8 - 4$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|3) und B(1|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|3): 3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 -1b +c |-1
-5 = 1 +1b +c |-1

2 = -1b +c
-6 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 2 & (I) \\ b & + c & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 6$
$c + b$	=	$- 6$	\| $- b$
$c$	=	$- 6 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 2 & (I) \\ + c & = & (- 6 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 6 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 6 - b)$	=	$2$
$- b - 6 - b$	=	$2$
$- 2 b - 6$	=	$2$	\| $+ 6$
$- 2 b$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 6 - (- 4)$

= $- 6 + 4$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 - 2$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 - 2$

= ${(x - 2)}^{2} - 6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 - 2$ = $4 - 8 - 2$ = -6

also: S(2|-6).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg