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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 2 y$ = $- 8$ .

Bestimme y so, dass (2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot 2 - 2 y$ = $- 8$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot 2 - 2 y$	=	$- 8$
$- 6 - 2 y$	=	$- 8$
$- 2 y - 6$	=	$- 8$	\| $+ 6$
$- 2 y$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (2|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + y$ = $- 5$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|1)
denn 2⋅( - 3 ) +1⋅1 = -6 +1 = $- 5$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-1)
denn 2⋅( - 2 ) +1⋅( - 1 ) = -4 -1 = $- 5$

Oder : (-4|3)
denn 2⋅( - 4 ) +1⋅3 = -8 +3 = $- 5$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & = & - 6 & (I) \\ - x & - 3 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & = & - 6 & (I) \\ - x & - 3 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 2 & (I) \\ - x & - 3 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot 2 - 3 y$	=	$- 17$
$- 2 - 3 y$	=	$- 17$
$- 3 y - 2$	=	$- 17$	\| $+ 2$
$- 3 y$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & 20 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & 20 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$- 12$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$- 12 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & 20 & (I) \\ x & = & (- 12 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 12 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 12 + 3 y) - 2 y$	=	$20$
$48 - 12 y - 2 y$	=	$20$
$- 14 y + 48$	=	$20$	\| $- 48$
$- 14 y$	=	$- 28$	\|:( $- 14$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 12 + 3 \cdot 2$

= $- 12 + 6$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & - 4 & (I) \\ 4 x & + 5 y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & - 4 & (I) \\ 4 x & + 5 y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 2 y$	=	$- 4$
$2 y + 2 x$	=	$- 4$	\| $- 2 x$
$2 y$	=	$- 4 - 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 2 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 - x) & (I) \\ 4 x & + 5 y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 5 \cdot (- 2 - x)$	=	$- 13$
$4 x - 10 - 5 x$	=	$- 13$
$- x - 10$	=	$- 13$	\| $+ 10$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 - 3$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 23 + 4 y$	=	$x$			(I)
$3 x$	=	$3 (2 - y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 23 + 4 y$	=	$x$			(I)
$3 x$	=	$3 (2 - y)$			(II)

$- 23 + 4 y$	=	$x$	\| + $23 - x$		(I)
$3 x$	=	$6 - 3 y$	\| + $3 y$		(II)

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 23 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 4 y$	=	$23$	\| $- 4 y$
$- x$	=	$23 - 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 23 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 23 + 4 y) & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 23 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 23 + 4 y) + 3 y$	=	$6$
$- 69 + 12 y + 3 y$	=	$6$
$15 y - 69$	=	$6$	\| $+ 69$
$15 y$	=	$75$	\|: $15$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 23 + 4 \cdot 5$

= $- 23 + 20$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x -5y = ?

-2x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-3x -5y = 15 +5 = 20

-2x -2y = 10 +2 = 12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x -5y = 20

-2x -2y = 12

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 14 & (I) \\ - x & + 5 y & = & - 28 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 14 & (I) \\ - x & + 5 y & = & - 28 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 5 y$	=	$- 28$	\| $- 5 y$
$- x$	=	$- 28 - 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$28 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 14 & (I) \\ x & = & (28 + 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $28 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (28 + 5 y) - 4 y$	=	$14$
$- 56 - 10 y - 4 y$	=	$14$
$- 14 y - 56$	=	$14$	\| $+ 56$
$- 14 y$	=	$70$	\|:( $- 14$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $28 + 5 \cdot (- 5)$

= $28 - 25$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 2 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 64 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 231 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 2 y & = & 64 & (I) \\ 3 x & + 9 y & = & 231 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 2 y$	=	$64$
$2 y + 7 x$	=	$64$	\| $- 7 x$
$2 y$	=	$64 - 7 x$	\|: $2$
$y$	=	$32 - \frac{7}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (32 - \frac{7}{2} x) & (I) \\ 3 x & + 9 y & = & 231 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $32 - \frac{7}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 9 \cdot (32 - \frac{7}{2} x)$	=	$231$
$3 x + 288 - \frac{63}{2} x$	=	$231$
$- \frac{57}{2} x + 288$	=	$231$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{57}{2} x + 288)$	=	$462$
$- 57 x + 576$	=	$462$	\| $- 576$
$- 57 x$	=	$- 114$	\|:( $- 57$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $32 - \frac{7}{2} \cdot 2$

= $32 - 7$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (2|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-8) und B(1|8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-8): -8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 -1b +c |-1
8 = 1 +1b +c |-1

-9 = -1b +c
7 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 9 & (I) \\ b & + c & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$7$
$c + b$	=	$7$	\| $- b$
$c$	=	$7 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 9 & (I) \\ + c & = & (7 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (7 - b)$	=	$- 9$
$- b + 7 - b$	=	$- 9$
$- 2 b + 7$	=	$- 9$	\| $- 7$
$- 2 b$	=	$- 16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7 - 8$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-1)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-2) und B(-1|10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|10): 10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
10 = 1 -1b +c |-1

-3 = 1b +c
9 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ - b & + c & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$9$
$c - b$	=	$9$	\| $+ b$
$c$	=	$9 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (9 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $9 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (9 + b)$	=	$- 3$
$b + 9 + b$	=	$- 3$
$2 b + 9$	=	$- 3$	\| $- 9$
$2 b$	=	$- 12$	\|: $2$
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $9 - 6$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 3$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 + 3$

= ${(x - 3)}^{2} - 6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 + 3$ = $9 - 18 + 3$ = -6

also: S(3|-6).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg