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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 5 y$ = $1$ .

Bestimme x so, dass (x|-1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x - 5 \cdot (- 1)$ = $1$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot (- 1)$	=	$1$
$2 x + 5$	=	$1$	\| $- 5$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (-2|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + y$ = $- 11$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|-4)
denn 1⋅( - 7 ) +1⋅( - 4 ) = -7 -4 = $- 11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|-5)
denn 1⋅( - 6 ) +1⋅( - 5 ) = -6 -5 = $- 11$

Oder : (-8|-3)
denn 1⋅( - 8 ) +1⋅( - 3 ) = -8 -3 = $- 11$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 17 & (I) \\ - x & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 17 & (I) \\ - x & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 17 & (I) \\ x & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot 1 - 3 y$	=	$- 17$
$1 - 3 y$	=	$- 17$
$- 3 y + 1$	=	$- 17$	\| $- 1$
$- 3 y$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 11 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 11 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$11$	\| $- 4 y$
$x$	=	$11 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (11 - 4 y) & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $11 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (11 - 4 y) - 3 y$	=	$- 6$
$- 33 + 12 y - 3 y$	=	$- 6$
$9 y - 33$	=	$- 6$	\| $+ 33$
$9 y$	=	$27$	\|: $9$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $11 - 4 \cdot 3$

= $11 - 12$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 14 & (I) \\ 5 x & - y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 14 & (I) \\ 5 x & - y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$5 x - y$	=	$- 6$
$- y + 5 x$	=	$- 6$	\| $- 5 x$
$- y$	=	$- 6 - 5 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$6 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 14 & (I) \\ + y & = & (6 + 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $6 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot (6 + 5 x)$	=	$14$
$- 3 x - 12 - 10 x$	=	$14$
$- 13 x - 12$	=	$14$	\| $+ 12$
$- 13 x$	=	$26$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $6 + 5 \cdot (- 2)$

= $6 - 10$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$4 (x + 5) + 4 y$	=	$x$			(I)
$- 3 x - 2 (8 + y)$	=	0			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$4 (x + 5) + 4 y$	=	$x$			(I)
$- 3 x - 2 (8 + y)$	=	0			(II)

$4 x + 20 + 4 y$	=	$x$	\| $- 20 - x$		(I)
$- 3 x - 16 - 2 y$	=	0	\| + $16$		(II)

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & - 20 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 4 y$	=	$- 20$
$4 y + 3 x$	=	$- 20$	\| $- 3 x$
$4 y$	=	$- 20 - 3 x$	\|: $4$
$y$	=	$- 5 - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 5 - \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 5 - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot (- 5 - \frac{3}{4} x)$	=	$16$
$- 3 x + 10 + \frac{3}{2} x$	=	$16$
$- \frac{3}{2} x + 10$	=	$16$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{3}{2} x + 10)$	=	$32$
$- 3 x + 20$	=	$32$	\| $- 20$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5 - \frac{3}{4} \cdot (- 4)$

= $- 5 + 3$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +1y = ?

7x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

4x +1y = -16 +1 = -15

7x +3y = -28 +3 = -25

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +1y = -15

7x +3y = -25

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 16 x & - 16 y & = & - 12 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 16 x & - 16 y & = & - 12 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$16 x - 16 y$	=	$- 12$
$- 16 y + 16 x$	=	$- 12$	\| $- 16 x$
$- 16 y$	=	$- 12 - 16 x$	\|:( $- 16$ )
$y$	=	$\frac{3}{4} + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{3}{4} + x) & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{4} + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 4 \cdot (\frac{3}{4} + x)$	=	$3$
$- 4 x + 3 + 4 x$	=	$3$
$3$	=	$3$	\| $- 3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 3 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 65 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 155 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 3 y & = & 65 & (I) \\ 5 x & + 9 y & = & 155 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 3 y$	=	$65$
$3 y + 5 x$	=	$65$	\| $- 5 x$
$3 y$	=	$65 - 5 x$	\|: $3$
$y$	=	$\frac{65}{3} - \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{65}{3} - \frac{5}{3} x) & (I) \\ 5 x & + 9 y & = & 155 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{65}{3} - \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 9 \cdot (\frac{65}{3} - \frac{5}{3} x)$	=	$155$
$5 x + 195 - 15 x$	=	$155$
$- 10 x + 195$	=	$155$	\| $- 195$
$- 10 x$	=	$- 40$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{65}{3} - \frac{5}{3} \cdot 4$

= $\frac{65}{3} - \frac{20}{3}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (4|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|4) und B(3|20) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|4): 4 = 1² + b⋅1 +c

B(3|20): 20 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 +1b +c |-1
20 = 9 +3b +c |-9

3 = 1b +c
11 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ 3 b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$11$
$c + 3 b$	=	$11$	\| $- 3 b$
$c$	=	$11 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (11 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (11 - 3 b)$	=	$3$
$b + 11 - 3 b$	=	$3$
$- 2 b + 11$	=	$3$	\| $- 11$
$- 2 b$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 - 3 \cdot 4$

= $11 - 12$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|6) und B(-2|-15) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-15): -15 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
-15 = 4 -2b +c |-4

5 = 1b +c
-19 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 19$
$c - 2 b$	=	$- 19$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 19 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (- 19 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 19 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 19 + 2 b)$	=	$5$
$b - 19 + 2 b$	=	$5$
$3 b - 19$	=	$5$	\| $+ 19$
$3 b$	=	$24$	\|: $3$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 19 + 2 \cdot 8$

= $- 19 + 16$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-3)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 - 3$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 - 3$

= ${(x + 4)}^{2} - 19$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-19).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) - 3$ = $16 - 32 - 3$ = -19

also: S(-4|-19).

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1. Weg

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