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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 2 y$ = $- 43$ .

Bestimme x so, dass (x|4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 x - 2 \cdot 4$ = $- 43$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 5 x - 2 \cdot 4$	=	$- 43$
$- 5 x - 8$	=	$- 43$	\| $+ 8$
$- 5 x$	=	$- 35$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (7|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 2 y$ = $15$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|5)
denn 1⋅5 +2⋅5 = 5 +10 = $15$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (7|4)
denn 1⋅7 +2⋅4 = 7 +8 = $15$

Oder : (3|6)
denn 1⋅3 +2⋅6 = 3 +12 = $15$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 y & = & - 12 & (I) \\ 2 x & + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 y & = & - 12 & (I) \\ 2 x & + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 3 & (I) \\ 2 x & + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 1 \cdot 3$	=	$5$
$2 x + 3$	=	$5$	\| $- 3$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 13 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 13 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$- 13$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$- 13 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 13 + 2 y) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 13 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 13 + 2 y) - 2 y$	=	$- 16$
$- 26 + 4 y - 2 y$	=	$- 16$
$2 y - 26$	=	$- 16$	\| $+ 26$
$2 y$	=	$10$	\|: $2$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 13 + 2 \cdot 5$

= $- 13 + 10$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & - 7 & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & - 7 & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 4 y$	=	$- 7$
$- 4 y + 3 x$	=	$- 7$	\| $- 3 x$
$- 4 y$	=	$- 7 - 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$\frac{7}{4} + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{7}{4} + \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{7}{4} + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 5 \cdot (\frac{7}{4} + \frac{3}{4} x)$	=	$5$
$- 3 x + \frac{35}{4} + \frac{15}{4} x$	=	$5$
$\frac{3}{4} x + \frac{35}{4}$	=	$5$	\|⋅ 4
$4 (\frac{3}{4} x + \frac{35}{4})$	=	$20$
$3 x + 35$	=	$20$	\| $- 35$
$3 x$	=	$- 15$	\|: $3$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{7}{4} + \frac{3}{4} \cdot (- 5)$

= $\frac{7}{4} - \frac{15}{4}$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$x - 4 - y$	=	0			(I)
$4 (2 x + y)$	=	$3 x + 2$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$x - 4 - y$	=	0			(I)
$4 (2 x + y)$	=	$3 x + 2$			(II)

$x - 4 - y$	=	0	\| + $4$		(I)
$8 x + 4 y$	=	$3 x + 2$	\| $- 3 x$		(II)

\begin{matrix} x & - y & = & 4 & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x - y$	=	$4$
$- y + x$	=	$4$	\| $- x$
$- y$	=	$4 - x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 4 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 4 + x) & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 4 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 4 \cdot (- 4 + x)$	=	$2$
$5 x - 16 + 4 x$	=	$2$
$9 x - 16$	=	$2$	\| $+ 16$
$9 x$	=	$18$	\|: $9$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 4 + 2$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +5y = ?

-1x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-2x +5y = 2 -20 = -18

-1x +1y = 1 -4 = -3

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +5y = -18

-1x +1y = -3

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & - 5 y & = & - 14 & (I) \\ 3 x & + y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 5 y & = & - 14 & (I) \\ 3 x & + y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$14$
$y + 3 x$	=	$14$	\| $- 3 x$
$y$	=	$14 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 5 y & = & - 14 & (I) \\ + y & = & (14 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $14 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x - 5 \cdot (14 - 3 x)$	=	$- 14$
$- x - 70 + 15 x$	=	$- 14$
$14 x - 70$	=	$- 14$	\| $+ 70$
$14 x$	=	$56$	\|: $14$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $14 - 3 \cdot 4$

= $14 - 12$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 161 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 8 Halogenleuchten zusammen 220 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 9 x & + 5 y & = & 161 & (I) \\ 5 x & + 8 y & = & 220 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9 x + 5 y$	=	$161$
$5 y + 9 x$	=	$161$	\| $- 9 x$
$5 y$	=	$161 - 9 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{161}{5} - \frac{9}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{161}{5} - \frac{9}{5} x) & (I) \\ 5 x & + 8 y & = & 220 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{161}{5} - \frac{9}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 8 \cdot (\frac{161}{5} - \frac{9}{5} x)$	=	$220$
$5 x + \frac{1288}{5} - \frac{72}{5} x$	=	$220$
$- \frac{47}{5} x + \frac{1288}{5}$	=	$220$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{47}{5} x + \frac{1288}{5})$	=	$1 100$
$- 47 x + 1 288$	=	$1 100$	\| $- 1 288$
$- 47 x$	=	$- 188$	\|:( $- 47$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{161}{5} - \frac{9}{5} \cdot 4$

= $\frac{161}{5} - \frac{36}{5}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (4|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(-2|15) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|15): 15 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
15 = 4 -2b +c |-4

7 = -1b +c
11 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$11$
$c - 2 b$	=	$11$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$11 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (11 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (11 + 2 b)$	=	$7$
$- b + 11 + 2 b$	=	$7$
$b + 11$	=	$7$	\| $- 11$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 + 2 \cdot (- 4)$

= $11 - 8$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|9) und B(-1|-11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|9): 9 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-11): -11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 +1b +c |-1
-11 = 1 -1b +c |-1

8 = 1b +c
-12 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 8 & (I) \\ - b & + c & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 12$
$c - b$	=	$- 12$	\| $+ b$
$c$	=	$- 12 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (- 12 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 12 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 12 + b)$	=	$8$
$b - 12 + b$	=	$8$
$2 b - 12$	=	$8$	\| $+ 12$
$2 b$	=	$20$	\|: $2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 12 + 10$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-2)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 2$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 2$

= ${(x + 5)}^{2} - 27$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-27).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 2$ = $25 - 50 - 2$ = -27

also: S(-5|-27).

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