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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 2 y$ = $16$ .

Bestimme x so, dass (x|-4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x + 2 \cdot (- 4)$ = $16$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x + 2 \cdot (- 4)$	=	$16$
$4 x - 8$	=	$16$	\| $+ 8$
$4 x$	=	$24$	\|: $4$
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - y$ = $9$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|-3)
denn 1⋅6 -1⋅( - 3 ) = 6 +3 = $9$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|-4)
denn 1⋅5 -1⋅( - 4 ) = 5 +4 = $9$

Oder : (7|-2)
denn 1⋅7 -1⋅( - 2 ) = 7 +2 = $9$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & - 14 & (I) \\ 4 x & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & - 14 & (I) \\ 4 x & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$8$	\|: $4$
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & - 14 & (I) \\ x & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot 2 + 4 y$	=	$- 14$
$- 6 + 4 y$	=	$- 14$
$4 y - 6$	=	$- 14$	\| $+ 6$
$4 y$	=	$- 8$	\|: $4$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 13 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 13 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$- 21$	\| $- 3 y$
$x$	=	$- 21 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 13 & (I) \\ x & = & (- 21 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 21 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 21 - 3 y) - y$	=	$- 13$
$- 63 - 9 y - y$	=	$- 13$
$- 10 y - 63$	=	$- 13$	\| $+ 63$
$- 10 y$	=	$50$	\|:( $- 10$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 21 - 3 \cdot (- 5)$

= $- 21 + 15$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 16 & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 33 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 16 & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 33 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 2 y$	=	$- 16$
$2 y - 3 x$	=	$- 16$	\| $+ 3 x$
$2 y$	=	$- 16 + 3 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 8 + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 8 + \frac{3}{2} x) & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 33 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 8 + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 3 \cdot (- 8 + \frac{3}{2} x)$	=	$33$
$5 x - 24 + \frac{9}{2} x$	=	$33$
$\frac{19}{2} x - 24$	=	$33$	\|⋅ 2
$2 (\frac{19}{2} x - 24)$	=	$66$
$19 x - 48$	=	$66$	\| $+ 48$
$19 x$	=	$114$	\|: $19$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 8 + \frac{3}{2} \cdot 6$

= $- 8 + 9$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + y & = & - 1 & (I) \\ \frac{3}{4} x & + \frac{3}{5} y & = & - \frac{9}{20} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + y & = & - 1 & (I) \\ \frac{3}{4} x & + \frac{3}{5} y & = & - \frac{9}{20} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x + y$	=	$- 1$
$y + x$	=	$- 1$	\| $- x$
$y$	=	$- 1 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 - x) & (I) \\ \frac{3}{4} x & + \frac{3}{5} y & = & - \frac{9}{20} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{4} x + \frac{3}{5} \cdot (- 1 - x)$	=	$- \frac{9}{20}$
$\frac{3}{4} x - \frac{3}{5} - \frac{3}{5} x$	=	$- \frac{9}{20}$
$\frac{3}{20} x - \frac{3}{5}$	=	$- \frac{9}{20}$	\|⋅ 20
$20 (\frac{3}{20} x - \frac{3}{5})$	=	$- 9$
$3 x - 12$	=	$- 9$	\| $+ 12$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 - 1$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +1y = ?

-3x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-1x +1y = 2 -5 = -3

-3x +6y = 6 -30 = -24

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +1y = -3

-3x +6y = -24

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & - 6 y & = & 2 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 6 y & = & 2 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 6 y$	=	$2$
$- 6 y - 4 x$	=	$2$	\| $+ 4 x$
$- 6 y$	=	$2 + 4 x$	\|:( $- 6$ )
$y$	=	$- \frac{1}{3} - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{3} - \frac{2}{3} x) & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{3} - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{2}{3} x)$	=	$- 1$
$2 x - 1 - 2 x$	=	$- 1$
$- 1$	=	$- 1$	\| $+ 1$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 141 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 8 Halogenleuchten zusammen 138 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 9 y & = & 141 & (I) \\ 6 x & + 8 y & = & 138 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 9 y$	=	$141$
$9 y + 2 x$	=	$141$	\| $- 2 x$
$9 y$	=	$141 - 2 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{47}{3} - \frac{2}{9} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{47}{3} - \frac{2}{9} x) & (I) \\ 6 x & + 8 y & = & 138 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{47}{3} - \frac{2}{9} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 8 \cdot (\frac{47}{3} - \frac{2}{9} x)$	=	$138$
$6 x + \frac{376}{3} - \frac{16}{9} x$	=	$138$
$\frac{38}{9} x + \frac{376}{3}$	=	$138$	\|⋅ 9
$9 (\frac{38}{9} x + \frac{376}{3})$	=	$1 242$
$38 x + 1 128$	=	$1 242$	\| $- 1 128$
$38 x$	=	$114$	\|: $38$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{47}{3} - \frac{2}{9} \cdot 3$

= $\frac{47}{3} - \frac{2}{3}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (3|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(-2|20) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|20): 20 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
20 = 4 -2b +c |-4

6 = -1b +c
16 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$16$
$c - 2 b$	=	$16$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$16 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (16 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $16 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (16 + 2 b)$	=	$6$
$- b + 16 + 2 b$	=	$6$
$b + 16$	=	$6$	\| $- 16$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $16 + 2 \cdot (- 10)$

= $16 - 20$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-4)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-6) und B(-3|-14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-14): -14 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
-14 = 9 -3b +c |-9

-7 = -1b +c
-23 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 23$
$c - 3 b$	=	$- 23$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 23 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 23 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 23 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 23 + 3 b)$	=	$- 7$
$- b - 23 + 3 b$	=	$- 7$
$2 b - 23$	=	$- 7$	\| $+ 23$
$2 b$	=	$16$	\|: $2$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 23 + 3 \cdot 8$

= $- 23 + 24$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (8|1)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 + 1$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 + 1$

= ${(x + 4)}^{2} - 15$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-15).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) + 1$ = $16 - 32 + 1$ = -15

also: S(-4|-15).

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