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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 4 y$ = $35$ .

Bestimme y so, dass (-7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 \cdot (- 7) + 4 y$ = $35$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 5 \cdot (- 7) + 4 y$	=	$35$
$35 + 4 y$	=	$35$
$4 y + 35$	=	$35$	\| $- 35$
$4 y$	=	0	\|: $4$
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (-7|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 3 y$ = $20$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|4)
denn 4⋅2 +3⋅4 = 8 +12 = $20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|0)
denn 4⋅5 +3⋅0 = 20 +0 = $20$

Oder : (-1|8)
denn 4⋅( - 1 ) +3⋅8 = -4 +24 = $20$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 11 & (I) \\ - 3 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 11 & (I) \\ - 3 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 3 y$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 11 & (I) \\ + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot 5$	=	$11$
$2 x + 15$	=	$11$	\| $- 15$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - y & = & - 7 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - y & = & - 7 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$- 13$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$- 13 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - y & = & - 7 & (I) \\ x & = & (- 13 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 13 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 13 + 3 y) - y$	=	$- 7$
$13 - 3 y - y$	=	$- 7$
$- 4 y + 13$	=	$- 7$	\| $- 13$
$- 4 y$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 13 + 3 \cdot 5$

= $- 13 + 15$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 14 & (I) \\ 4 x & - y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 14 & (I) \\ 4 x & - y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x - y$	=	$- 8$
$- y + 4 x$	=	$- 8$	\| $- 4 x$
$- y$	=	$- 8 - 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$8 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 14 & (I) \\ + y & = & (8 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $8 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 3 \cdot (8 + 4 x)$	=	$14$
$- 2 x + 24 + 12 x$	=	$14$
$10 x + 24$	=	$14$	\| $- 24$
$10 x$	=	$- 10$	\|: $10$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $8 + 4 \cdot (- 1)$

= $8 - 4$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 2 x$	=	$- 7 x + 5 (3 + y)$			(I)
$- 1 + y$	=	$4 (- x + 4) + 6 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 2 x$	=	$- 7 x + 5 (3 + y)$			(I)
$- 1 + y$	=	$4 (- x + 4) + 6 y$			(II)

$- 2 x$	=	$- 7 x + 15 + 5 y$	\| + $7 x - 5 y$		(I)
$- 1 + y$	=	$- 4 x + 16 + 6 y$	\| + $1 + 4 x - 6 y$		(II)

\begin{matrix} 5 x & - 5 y & = & 15 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 5 y$	=	$15$
$- 5 y + 5 x$	=	$15$	\| $- 5 x$
$- 5 y$	=	$15 - 5 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 3 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 3 + x) & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 3 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 5 \cdot (- 3 + x)$	=	$17$
$4 x + 15 - 5 x$	=	$17$
$- x + 15$	=	$17$	\| $- 15$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 3 - 2$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +3y = ?

2x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-2x +3y = 6 -6 = 0

2x -1y = -6 +2 = -4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +3y = 0

2x -1y = -4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & - 1 & (I) \\ 6 x & + 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & - 1 & (I) \\ 6 x & + 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 2 y$	=	$- 1$
$- 2 y - 3 x$	=	$- 1$	\| $+ 3 x$
$- 2 y$	=	$- 1 + 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$\frac{1}{2} - \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{2} - \frac{3}{2} x) & (I) \\ 6 x & + 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 4 \cdot (\frac{1}{2} - \frac{3}{2} x)$	=	$2$
$6 x + 2 - 6 x$	=	$2$
$2$	=	$2$	\| $- 2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1710 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 750 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & - 3 y & = & 1710 & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & 750 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x - 3 y$	=	$1710$
$- 3 y + 6 x$	=	$1710$	\| $- 6 x$
$- 3 y$	=	$1710 - 6 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 570 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 570 + 2 x) & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & 750 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 570 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 5 \cdot (- 570 + 2 x)$	=	$750$
$3 x + 2 850 - 10 x$	=	$750$
$- 7 x + 2 850$	=	$750$	\| $- 2 850$
$- 7 x$	=	$- 2 100$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 570 + 2 \cdot 300$

= $- 570 + 600$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-3) und B(3|1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

B(3|1): 1 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 +1b +c |-1
1 = 9 +3b +c |-9

-4 = 1b +c
-8 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 8$
$c + 3 b$	=	$- 8$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 8 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (- 8 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 8 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 8 - 3 b)$	=	$- 4$
$b - 8 - 3 b$	=	$- 4$
$- 2 b - 8$	=	$- 4$	\| $+ 8$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 8 - 3 \cdot (- 2)$

= $- 8 + 6$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-2)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|10) und B(-1|-2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 +1b +c |-1
-2 = 1 -1b +c |-1

9 = 1b +c
-3 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ - b & + c & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 3$
$c - b$	=	$- 3$	\| $+ b$
$c$	=	$- 3 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (- 3 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 3 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 3 + b)$	=	$9$
$b - 3 + b$	=	$9$
$2 b - 3$	=	$9$	\| $+ 3$
$2 b$	=	$12$	\|: $2$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 3 + 6$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 3$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 3$

= ${(x + 3)}^{2} - 6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 3$ = $9 - 18 + 3$ = -6

also: S(-3|-6).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg