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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 2 y$ = $8$ .

Bestimme x so, dass (x|1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$5 x - 2 \cdot 1$ = $8$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5 x - 2 \cdot 1$	=	$8$
$5 x - 2$	=	$8$	\| $+ 2$
$5 x$	=	$10$	\|: $5$
$x$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (2|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 4 y$ = $4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|-6)
denn 4⋅7 +4⋅( - 6 ) = 28 -24 = $4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (11|-10)
denn 4⋅11 +4⋅( - 10 ) = 44 -40 = $4$

Oder : (3|-2)
denn 4⋅3 +4⋅( - 2 ) = 12 -8 = $4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & 18 & (I) \\ + 4 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & 18 & (I) \\ + 4 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4 y$	=	$20$	\|: $4$
$y$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & 18 & (I) \\ + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot 5$	=	$18$
$2 x + 10$	=	$18$	\| $- 10$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & - 9 & (I) \\ 3 x & + y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & - 9 & (I) \\ 3 x & + y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$11$
$y + 3 x$	=	$11$	\| $- 3 x$
$y$	=	$11 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & - 9 & (I) \\ + y & = & (11 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $11 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (11 - 3 x)$	=	$- 9$
$3 x - 33 + 9 x$	=	$- 9$
$12 x - 33$	=	$- 9$	\| $+ 33$
$12 x$	=	$24$	\|: $12$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $11 - 3 \cdot 2$

= $11 - 6$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & 16 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & 16 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 4 y$	=	$16$
$4 y - 4 x$	=	$16$	\| $+ 4 x$
$4 y$	=	$16 + 4 x$	\|: $4$
$y$	=	$4 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (4 + x) & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (4 + x)$	=	$- 16$
$- 3 x - 16 - 4 x$	=	$- 16$
$- 7 x - 16$	=	$- 16$	\| $+ 16$
$- 7 x$	=	0	\|:( $- 7$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4 + 0$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (0|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 5 x + 39$	=	$4 y$			(I)
$2 (x - y)$	=	$5 x - 21$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 5 x + 39$	=	$4 y$			(I)
$2 (x - y)$	=	$5 x - 21$			(II)

$- 5 x + 39$	=	$4 y$	\| $- 39 - 4 y$		(I)
$2 x - 2 y$	=	$5 x - 21$	\| $- 5 x$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & - 39 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 4 y$	=	$- 39$
$- 4 y - 5 x$	=	$- 39$	\| $+ 5 x$
$- 4 y$	=	$- 39 + 5 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$\frac{39}{4} - \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{39}{4} - \frac{5}{4} x) & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{39}{4} - \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot (\frac{39}{4} - \frac{5}{4} x)$	=	$- 21$
$- 3 x - \frac{39}{2} + \frac{5}{2} x$	=	$- 21$
$- \frac{1}{2} x - \frac{39}{2}$	=	$- 21$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x - \frac{39}{2})$	=	$- 42$
$- x - 39$	=	$- 42$	\| $+ 39$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{39}{4} - \frac{5}{4} \cdot 3$

= $\frac{39}{4} - \frac{15}{4}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (3|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -1y = ?

-8x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-5x -1y = -25 +5 = -20

-8x -5y = -40 +25 = -15

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -1y = -20

-8x -5y = -15

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & - 6 & (I) \\ x & + 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & - 6 & (I) \\ x & + 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$3$	\| $- 2 y$
$x$	=	$3 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & - 6 & (I) \\ x & = & (3 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $3 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (3 - 2 y) - 4 y$	=	$- 6$
$- 6 + 4 y - 4 y$	=	$- 6$
$- 6$	=	$- 6$	\| $+ 6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 7 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1935 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 735 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & - 3 y & = & 1935 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 735 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x - 3 y$	=	$1935$
$- 3 y + 7 x$	=	$1935$	\| $- 7 x$
$- 3 y$	=	$1935 - 7 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 645 + \frac{7}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 645 + \frac{7}{3} x) & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 735 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 645 + \frac{7}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (- 645 + \frac{7}{3} x)$	=	$735$
$3 x + 1 935 - 7 x$	=	$735$
$- 4 x + 1 935$	=	$735$	\| $- 1 935$
$- 4 x$	=	$- 1 200$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 645 + \frac{7}{3} \cdot 300$

= $- 645 + 700$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (300|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|12) und B(2|-9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|12): 12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-9): -9 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 -1b +c |-1
-9 = 4 +2b +c |-4

11 = -1b +c
-13 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 11 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 13$
$c + 2 b$	=	$- 13$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 13 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 11 & (I) \\ + c & = & (- 13 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 13 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 13 - 2 b)$	=	$11$
$- b - 13 - 2 b$	=	$11$
$- 3 b - 13$	=	$11$	\| $+ 13$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 13 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 13 + 16$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|3)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(-4|-19) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-19): -19 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
-19 = 16 -4b +c |-16

-5 = -1b +c
-35 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 35 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 35$
$c - 4 b$	=	$- 35$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 35 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 35 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 35 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 35 + 4 b)$	=	$- 5$
$- b - 35 + 4 b$	=	$- 5$
$3 b - 35$	=	$- 5$	\| $+ 35$
$3 b$	=	$30$	\|: $3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 35 + 4 \cdot 10$

= $- 35 + 40$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 20$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-20).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 5$ = $25 - 50 + 5$ = -20

also: S(-5|-20).

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Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg