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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 3 y$ = $- 34$ .

Bestimme y so, dass (-4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$4 \cdot (- 4) + 3 y$ = $- 34$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4 \cdot (- 4) + 3 y$	=	$- 34$
$- 16 + 3 y$	=	$- 34$
$3 y - 16$	=	$- 34$	\| $+ 16$
$3 y$	=	$- 18$	\|: $3$
$y$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (-4|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - 3 y$ = $- 29$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|3)
denn -4⋅5 -3⋅3 = -20 -9 = $- 29$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|7)
denn -4⋅2 -3⋅7 = -8 -21 = $- 29$

Oder : (8|-1)
denn -4⋅8 -3⋅( - 1 ) = -32 +3 = $- 29$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 3 y & = & - 9 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 3 y & = & - 9 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$- 9$	\|: $3$
$y$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 3 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 1 \cdot (- 3)$	=	$- 11$
$- 2 x - 3$	=	$- 11$	\| $+ 3$
$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & - 29 & (I) \\ x & + 2 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & - 29 & (I) \\ x & + 2 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$7$	\| $- 2 y$
$x$	=	$7 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & - 29 & (I) \\ x & = & (7 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $7 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (7 - 2 y) - 4 y$	=	$- 29$
$21 - 6 y - 4 y$	=	$- 29$
$- 10 y + 21$	=	$- 29$	\| $- 21$
$- 10 y$	=	$- 50$	\|:( $- 10$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $7 - 2 \cdot 5$

= $7 - 10$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & 20 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & 20 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 2 y$	=	$20$
$2 y + 3 x$	=	$20$	\| $- 3 x$
$2 y$	=	$20 - 3 x$	\|: $2$
$y$	=	$10 - \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (10 - \frac{3}{2} x) & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $10 - \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 2 \cdot (10 - \frac{3}{2} x)$	=	$- 24$
$- 4 x - 20 + 3 x$	=	$- 24$
$- x - 20$	=	$- 24$	\| $+ 20$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $10 - \frac{3}{2} \cdot 4$

= $10 - 6$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- x - 3$	=	$9 + y$			(I)
$- 6$	=	$- 3 x + 4 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- x - 3$	=	$9 + y$	\| + $3 - y$		(I)
$- 6$	=	$- 3 x + 4 y$	\| + $6 + 3 x - 4 y$		(II)

\begin{matrix} - x & - y & = & 12 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x - y$	=	$12$
$- y - x$	=	$12$	\| $+ x$
$- y$	=	$12 + x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 12 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 12 - x) & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 12 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 4 \cdot (- 12 - x)$	=	$6$
$3 x + 48 + 4 x$	=	$6$
$7 x + 48$	=	$6$	\| $- 48$
$7 x$	=	$- 42$	\|: $7$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 12 - (- 6)$

= $- 12 + 6$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x -2y = ?

-2x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-3x -2y = 15 +8 = 23

-2x -3y = 10 +12 = 22

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x -2y = 23

-2x -3y = 22

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 9 x & - 6 y & = & 9 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 9 x & - 6 y & = & 9 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9 x - 6 y$	=	$9$
$- 6 y + 9 x$	=	$9$	\| $- 9 x$
$- 6 y$	=	$9 - 9 x$	\|:( $- 6$ )
$y$	=	$- \frac{3}{2} + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{3}{2} + \frac{3}{2} x) & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{3}{2} + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 2 \cdot (- \frac{3}{2} + \frac{3}{2} x)$	=	$- 3$
$- 3 x - 3 + 3 x$	=	$- 3$
$- 3$	=	$- 3$	\| $+ 3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 3 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 60 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 81 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 3 y & = & 60 & (I) \\ 7 x & + 4 y & = & 81 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 3 y$	=	$60$
$3 y + 5 x$	=	$60$	\| $- 5 x$
$3 y$	=	$60 - 5 x$	\|: $3$
$y$	=	$20 - \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (20 - \frac{5}{3} x) & (I) \\ 7 x & + 4 y & = & 81 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $20 - \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x + 4 \cdot (20 - \frac{5}{3} x)$	=	$81$
$7 x + 80 - \frac{20}{3} x$	=	$81$
$\frac{1}{3} x + 80$	=	$81$	\|⋅ 3
$3 (\frac{1}{3} x + 80)$	=	$243$
$x + 240$	=	$243$	\| $- 240$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $20 - \frac{5}{3} \cdot 3$

= $20 - 5$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (3|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

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Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

LGS (vorher umformen)

LGS zu Lösungen finden

LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen