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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 3 y$ = $11$ .

Bestimme y so, dass (5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$4 \cdot 5 - 3 y$ = $11$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4 \cdot 5 - 3 y$	=	$11$
$20 - 3 y$	=	$11$
$- 3 y + 20$	=	$11$	\| $- 20$
$- 3 y$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (5|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 5 y$ = $23$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|7)
denn 2⋅( - 6 ) +5⋅7 = -12 +35 = $23$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|5)
denn 2⋅( - 1 ) +5⋅5 = -2 +25 = $23$

Oder : (-11|9)
denn 2⋅( - 11 ) +5⋅9 = -22 +45 = $23$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 2 & (I) \\ + 4 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 2 & (I) \\ + 4 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4 y$	=	$20$	\|: $4$
$y$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 2 & (I) \\ + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 4 \cdot 5$	=	$2$
$3 x + 20$	=	$2$	\| $- 20$
$3 x$	=	$- 18$	\|: $3$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 13 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 13 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 13$
$y - 4 x$	=	$- 13$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 13 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 13 & (I) \\ + y & = & (- 13 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 13 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 4 \cdot (- 13 + 4 x)$	=	$13$
$3 x + 52 - 16 x$	=	$13$
$- 13 x + 52$	=	$13$	\| $- 52$
$- 13 x$	=	$- 39$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 13 + 4 \cdot 3$

= $- 13 + 12$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 5 y & = & - 34 & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & - 50 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 5 y & = & - 34 & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & - 50 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 5 y$	=	$- 34$	\| $+ 5 y$
$- x$	=	$- 34 + 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$34 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (34 - 5 y) & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & - 50 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $34 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 5 \cdot (34 - 5 y) - 5 y$	=	$- 50$
$- 170 + 25 y - 5 y$	=	$- 50$
$20 y - 170$	=	$- 50$	\| $+ 170$
$20 y$	=	$120$	\|: $20$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $34 - 5 \cdot 6$

= $34 - 30$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{3}{5} x & - \frac{3}{4} y & = & \frac{63}{20} & (I) \\ - \frac{3}{5} x & + y & = & - \frac{22}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{3}{5} x & - \frac{3}{4} y & = & \frac{63}{20} & (I) \\ - \frac{3}{5} x & + y & = & - \frac{22}{5} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{3}{5} x + y$	=	$- \frac{22}{5}$
$y - \frac{3}{5} x$	=	$- \frac{22}{5}$	\|⋅ 5
$5 (y - \frac{3}{5} x)$	=	$- 22$
$5 y - 3 x$	=	$- 22$	\| $+ 3 x$
$5 y$	=	$- 22 + 3 x$	\|: $5$
$y$	=	$- \frac{22}{5} + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{3}{5} x & - \frac{3}{4} y & = & \frac{63}{20} & (I) \\ + y & = & (- \frac{22}{5} + \frac{3}{5} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- \frac{22}{5} + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{5} x - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{22}{5} + \frac{3}{5} x)$	=	$\frac{63}{20}$
$\frac{3}{5} x + \frac{33}{10} - \frac{9}{20} x$	=	$\frac{63}{20}$
$\frac{3}{20} x + \frac{33}{10}$	=	$\frac{63}{20}$	\|⋅ 20
$20 (\frac{3}{20} x + \frac{33}{10})$	=	$63$
$3 x + 66$	=	$63$	\| $- 66$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- \frac{22}{5} + \frac{3}{5} \cdot (- 1)$

= $- \frac{22}{5} - \frac{3}{5}$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +1y = ?

1x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

5x +1y = -25 +4 = -21

1x -2y = -5 -8 = -13

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +1y = -21

1x -2y = -13

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 5 x & + 2 y & = & 4 & (I) \\ - x & - y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + 2 y & = & 4 & (I) \\ - x & - y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x - y$	=	$- 2$
$- y - x$	=	$- 2$	\| $+ x$
$- y$	=	$- 2 + x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$2 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 5 x & + 2 y & = & 4 & (I) \\ + y & = & (2 - x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 2 \cdot (2 - x)$	=	$4$
$5 x + 4 - 2 x$	=	$4$
$3 x + 4$	=	$4$	\| $- 4$
$3 x$	=	0	\|: $3$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2 - 0$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (0|2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 25. Wenn man aber vom 3-fachen von x 5 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -17. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 6 y & = & 25 & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 6 y$	=	$25$	\| $- 6 y$
$x$	=	$25 - 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (25 - 6 y) & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $25 - 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (25 - 6 y) - 5 y$	=	$- 17$
$75 - 18 y - 5 y$	=	$- 17$
$- 23 y + 75$	=	$- 17$	\| $- 75$
$- 23 y$	=	$- 92$	\|:( $- 23$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $25 - 6 \cdot 4$

= $25 - 24$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 4

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-7) und B(-2|26) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-7): -7 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|26): 26 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 +1b +c |-1
26 = 4 -2b +c |-4

-8 = 1b +c
22 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 8 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$22$
$c - 2 b$	=	$22$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$22 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 8 & (I) \\ + c & = & (22 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $22 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (22 + 2 b)$	=	$- 8$
$b + 22 + 2 b$	=	$- 8$
$3 b + 22$	=	$- 8$	\| $- 22$
$3 b$	=	$- 30$	\|: $3$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $22 + 2 \cdot (- 10)$

= $22 - 20$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|2)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|2) und B(2|9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(2|9): 9 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
9 = 4 +2b +c |-4

1 = 1b +c
5 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ 2 b & + c & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$5$
$c + 2 b$	=	$5$	\| $- 2 b$
$c$	=	$5 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (5 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $5 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (5 - 2 b)$	=	$1$
$b + 5 - 2 b$	=	$1$
$- b + 5$	=	$1$	\| $- 5$
$- b$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $5 - 2 \cdot 4$

= $5 - 8$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 - 3$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 - 3$

= ${(x + 2)}^{2} - 7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - 3$ = $4 - 8 - 3$ = -7

also: S(-2|-7).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg