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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 4 y$ = $18$ .

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$5 \cdot (- 2) + 4 y$ = $18$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5 \cdot (- 2) + 4 y$	=	$18$
$- 10 + 4 y$	=	$18$
$4 y - 10$	=	$18$	\| $+ 10$
$4 y$	=	$28$	\|: $4$
$y$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (-2|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 3 y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|2)
denn -2⋅( - 3 ) -3⋅2 = 6 -6 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|4)
denn -2⋅( - 6 ) -3⋅4 = 12 -12 = 0

Oder : (0|0)
denn -2⋅0 -3⋅0 = 0 +0 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 6 & (I) \\ - x & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 6 & (I) \\ - x & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 6 & (I) \\ x & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 3) + 4 y$	=	$- 6$
$6 + 4 y$	=	$- 6$
$4 y + 6$	=	$- 6$	\| $- 6$
$4 y$	=	$- 12$	\|: $4$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$- 18$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$- 18 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ x & = & (- 18 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 18 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 18 + 4 y) - 3 y$	=	$- 3$
$18 - 4 y - 3 y$	=	$- 3$
$- 7 y + 18$	=	$- 3$	\| $- 18$
$- 7 y$	=	$- 21$	\|:( $- 7$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 18 + 4 \cdot 3$

= $- 18 + 12$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 3 y & = & 24 & (I) \\ - 4 x & - y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & - 3 y & = & 24 & (I) \\ - 4 x & - y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x - y$	=	$- 26$
$- y - 4 x$	=	$- 26$	\| $+ 4 x$
$- y$	=	$- 26 + 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$26 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 5 x & - 3 y & = & 24 & (I) \\ + y & = & (26 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $26 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 3 \cdot (26 - 4 x)$	=	$24$
$5 x - 78 + 12 x$	=	$24$
$17 x - 78$	=	$24$	\| $+ 78$
$17 x$	=	$102$	\|: $17$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $26 - 4 \cdot 6$

= $26 - 24$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - y & = & - 2 & (I) \\ \frac{1}{5} x & + \frac{1}{3} y & = & \frac{2}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - y & = & - 2 & (I) \\ \frac{1}{5} x & + \frac{1}{3} y & = & \frac{2}{3} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x - y$	=	$- 2$
$- y + x$	=	$- 2$	\| $- x$
$- y$	=	$- 2 - x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$2 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (2 + x) & (I) \\ \frac{1}{5} x & + \frac{1}{3} y & = & \frac{2}{3} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{5} x + \frac{1}{3} \cdot (2 + x)$	=	$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{5} x + \frac{2}{3} + \frac{1}{3} x$	=	$\frac{2}{3}$
$\frac{8}{15} x + \frac{2}{3}$	=	$\frac{2}{3}$	\|⋅ 15
$15 (\frac{8}{15} x + \frac{2}{3})$	=	$10$
$8 x + 10$	=	$10$	\| $- 10$
$8 x$	=	0	\|: $8$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2 + 0$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (0|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -1y = ?

8x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

4x -1y = -20 -2 = -22

8x -1y = -40 -2 = -42

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -1y = -22

8x -1y = -42

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & - 35 & (I) \\ - 4 x & - 5 y & = & - 31 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & - 35 & (I) \\ - 4 x & - 5 y & = & - 31 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 5 y$	=	$- 35$
$- 5 y - 5 x$	=	$- 35$	\| $+ 5 x$
$- 5 y$	=	$- 35 + 5 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$7 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (7 - x) & (I) \\ - 4 x & - 5 y & = & - 31 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $7 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 5 \cdot (7 - x)$	=	$- 31$
$- 4 x - 35 + 5 x$	=	$- 31$
$x - 35$	=	$- 31$	\| $+ 35$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $7 - 4$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 7 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 850 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 150 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & - 4 y & = & 850 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 150 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x - 4 y$	=	$850$
$- 4 y + 7 x$	=	$850$	\| $- 7 x$
$- 4 y$	=	$850 - 7 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{425}{2} + \frac{7}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{425}{2} + \frac{7}{4} x) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 150 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{425}{2} + \frac{7}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (- \frac{425}{2} + \frac{7}{4} x)$	=	$150$
$2 x + \frac{1275}{2} - \frac{21}{4} x$	=	$150$
$- \frac{13}{4} x + \frac{1275}{2}$	=	$150$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{13}{4} x + \frac{1275}{2})$	=	$600$
$- 13 x + 2 550$	=	$600$	\| $- 2 550$
$- 13 x$	=	$- 1 950$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{425}{2} + \frac{7}{4} \cdot 150$

= $- \frac{425}{2} + \frac{525}{2}$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (150|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-3) und B(4|-12) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-12): -12 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 +1b +c |-1
-12 = 16 +4b +c |-16

-4 = 1b +c
-28 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 28 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 28$
$c + 4 b$	=	$- 28$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 28 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (- 28 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 28 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 28 - 4 b)$	=	$- 4$
$b - 28 - 4 b$	=	$- 4$
$- 3 b - 28$	=	$- 4$	\| $+ 28$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 28 - 4 \cdot (- 8)$

= $- 28 + 32$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|4)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|15) und B(-1|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|15): 15 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
15 = 1 +1b +c |-1
-5 = 1 -1b +c |-1

14 = 1b +c
-6 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 14 & (I) \\ - b & + c & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 6$
$c - b$	=	$- 6$	\| $+ b$
$c$	=	$- 6 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 14 & (I) \\ + c & = & (- 6 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 6 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 6 + b)$	=	$14$
$b - 6 + b$	=	$14$
$2 b - 6$	=	$14$	\| $+ 6$
$2 b$	=	$20$	\|: $2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 6 + 10$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|4)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 4$ = $25 - 50 + 4$ = -21

also: S(-5|-21).

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg