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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 5 y$ = $- 23$ .

Bestimme y so, dass (4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$3 \cdot 4 - 5 y$ = $- 23$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3 \cdot 4 - 5 y$	=	$- 23$
$12 - 5 y$	=	$- 23$
$- 5 y + 12$	=	$- 23$	\| $- 12$
$- 5 y$	=	$- 35$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (4|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 5 y$ = $43$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|3)
denn -4⋅( - 7 ) +5⋅3 = 28 +15 = $43$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|7)
denn -4⋅( - 2 ) +5⋅7 = 8 +35 = $43$

Oder : (-12|-1)
denn -4⋅( - 12 ) +5⋅( - 1 ) = 48 -5 = $43$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & - 2 & (I) \\ - 4 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & - 2 & (I) \\ - 4 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & - 2 & (I) \\ + y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 4 \cdot 1$	=	$- 2$
$- x + 4$	=	$- 2$	\| $- 4$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 22 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 22 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$- 14$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$- 14 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 22 & (I) \\ x & = & (- 14 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 14 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 14 + 3 y) - 3 y$	=	$- 22$
$14 - 3 y - 3 y$	=	$- 22$
$- 6 y + 14$	=	$- 22$	\| $- 14$
$- 6 y$	=	$- 36$	\|:( $- 6$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 14 + 3 \cdot 6$

= $- 14 + 18$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 8 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 8 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 2 y$	=	$- 8$
$2 y - 4 x$	=	$- 8$	\| $+ 4 x$
$2 y$	=	$- 8 + 4 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 4 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 4 + 2 x) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 4 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 4 \cdot (- 4 + 2 x)$	=	$13$
$5 x + 16 - 8 x$	=	$13$
$- 3 x + 16$	=	$13$	\| $- 16$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 4 + 2 \cdot 1$

= $- 4 + 2$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{3}{5} x & + \frac{3}{4} y & = & - \frac{21}{5} & (I) \\ \frac{2}{3} x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{4}{15} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{3}{5} x & + \frac{3}{4} y & = & - \frac{21}{5} & (I) \\ \frac{2}{3} x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{4}{15} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{3}{5} x + \frac{3}{4} y$	=	$- \frac{21}{5}$
$\frac{3}{4} y + \frac{3}{5} x$	=	$- \frac{21}{5}$	\|⋅ 20
$20 (\frac{3}{4} y + \frac{3}{5} x)$	=	$- 84$
$15 y + 12 x$	=	$- 84$	\| $- 12 x$
$15 y$	=	$- 84 - 12 x$	\|: $15$
$y$	=	$- \frac{28}{5} - \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{28}{5} - \frac{4}{5} x) & (I) \\ \frac{2}{3} x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{4}{15} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{28}{5} - \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{2}{3} x - \frac{2}{5} \cdot (- \frac{28}{5} - \frac{4}{5} x)$	=	$\frac{4}{15}$
$\frac{2}{3} x + \frac{56}{25} + \frac{8}{25} x$	=	$\frac{4}{15}$
$\frac{74}{75} x + \frac{56}{25}$	=	$\frac{4}{15}$	\|⋅ 75
$75 (\frac{74}{75} x + \frac{56}{25})$	=	$20$
$74 x + 168$	=	$20$	\| $- 168$
$74 x$	=	$- 148$	\|: $74$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{28}{5} - \frac{4}{5} \cdot (- 2)$

= $- \frac{28}{5} + \frac{8}{5}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +5y = ?

-1x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

2x +5y = 2 +25 = 27

-1x -4y = -1 -20 = -21

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +5y = 27

-1x -4y = -21

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + 5 y & = & 9 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 5 y & = & 9 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 5 y$	=	$9$
$5 y - 2 x$	=	$9$	\| $+ 2 x$
$5 y$	=	$9 + 2 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{9}{5} + \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{9}{5} + \frac{2}{5} x) & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{9}{5} + \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 2 \cdot (\frac{9}{5} + \frac{2}{5} x)$	=	$8$
$- 3 x + \frac{18}{5} + \frac{4}{5} x$	=	$8$
$- \frac{11}{5} x + \frac{18}{5}$	=	$8$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{11}{5} x + \frac{18}{5})$	=	$40$
$- 11 x + 18$	=	$40$	\| $- 18$
$- 11 x$	=	$22$	\|:( $- 11$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{9}{5} + \frac{2}{5} \cdot (- 2)$

= $\frac{9}{5} - \frac{4}{5}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 300 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 800 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 300 & (I) \\ 7 x & - 5 y & = & 800 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 3 y$	=	$300$
$- 3 y + 3 x$	=	$300$	\| $- 3 x$
$- 3 y$	=	$300 - 3 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 100 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 100 + x) & (I) \\ 7 x & - 5 y & = & 800 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 100 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x - 5 \cdot (- 100 + x)$	=	$800$
$7 x + 500 - 5 x$	=	$800$
$2 x + 500$	=	$800$	\| $- 500$
$2 x$	=	$300$	\|: $2$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 100 + 150$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (150|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-8) und B(-1|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-8): -8 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 +1b +c |-1
4 = 1 -1b +c |-1

-9 = 1b +c
3 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ - b & + c & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$3$
$c - b$	=	$3$	\| $+ b$
$c$	=	$3 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ + c & = & (3 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $3 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (3 + b)$	=	$- 9$
$b + 3 + b$	=	$- 9$
$2 b + 3$	=	$- 9$	\| $- 3$
$2 b$	=	$- 12$	\|: $2$
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $3 - 6$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-2) und B(4|7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(4|7): 7 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
7 = 16 +4b +c |-16

-3 = 1b +c
-9 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 9$
$c + 4 b$	=	$- 9$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 9 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 9 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 9 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 9 - 4 b)$	=	$- 3$
$b - 9 - 4 b$	=	$- 3$
$- 3 b - 9$	=	$- 3$	\| $+ 9$
$- 3 b$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 9 - 4 \cdot (- 2)$

= $- 9 + 8$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 - 1$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 - 1$

= ${(x - 1)}^{2} - 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 - 1$ = $1 - 2 - 1$ = -2

also: S(1|-2).

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1. Weg

2. Weg