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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - y$ = $- 18$ .

Bestimme x so, dass (x|-6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x - (- 6)$ = $- 18$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x - (- 6)$	=	$- 18$
$4 x + 6$	=	$- 18$	\| $- 6$
$4 x$	=	$- 24$	\|: $4$
$x$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (-6|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 5 y$ = $- 2$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|2)
denn -3⋅4 +5⋅2 = -12 +10 = $- 2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (9|5)
denn -3⋅9 +5⋅5 = -27 +25 = $- 2$

Oder : (-1|-1)
denn -3⋅( - 1 ) +5⋅( - 1 ) = 3 -5 = $- 2$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 7 & (I) \\ 2 x & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 7 & (I) \\ 2 x & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 7 & (I) \\ x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 4) - y$	=	$7$
$12 - y$	=	$7$
$- y + 12$	=	$7$	\| $- 12$
$- y$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 17 & (I) \\ - 3 x & + y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 17 & (I) \\ - 3 x & + y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$14$
$y - 3 x$	=	$14$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$14 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 17 & (I) \\ + y & = & (14 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $14 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot (14 + 3 x)$	=	$- 17$
$4 x - 42 - 9 x$	=	$- 17$
$- 5 x - 42$	=	$- 17$	\| $+ 42$
$- 5 x$	=	$25$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $14 + 3 \cdot (- 5)$

= $14 - 15$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & - 16 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & - 16 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$- 16$	\| $- 3 y$
$x$	=	$- 16 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 16 - 3 y) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 16 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (- 16 - 3 y) - 4 y$	=	$15$
$- 80 - 15 y - 4 y$	=	$15$
$- 19 y - 80$	=	$15$	\| $+ 80$
$- 19 y$	=	$95$	\|:( $- 19$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 16 - 3 \cdot (- 5)$

= $- 16 + 15$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 2 y & = & 10 & (I) \\ - \frac{1}{2} x & + 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 2 y & = & 10 & (I) \\ - \frac{1}{2} x & + 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 2 y$	=	$10$	\| $+ 2 y$
$- x$	=	$10 + 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 10 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 10 - 2 y) & (I) \\ - \frac{1}{2} x & + 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 10 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- \frac{1}{2} \cdot (- 10 - 2 y) + 2 y$	=	$- 4$
$5 + y + 2 y$	=	$- 4$
$3 y + 5$	=	$- 4$	\| $- 5$
$3 y$	=	$- 9$	\|: $3$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 10 - 2 \cdot (- 3)$

= $- 10 + 6$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +3y = ?

1x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-3x +3y = 6 +15 = 21

1x -2y = -2 -10 = -12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +3y = 21

1x -2y = -12

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 8 & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 8 & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 4 y$	=	$- 8$
$4 y + 4 x$	=	$- 8$	\| $- 4 x$
$4 y$	=	$- 8 - 4 x$	\|: $4$
$y$	=	$- 2 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 - x) & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 2 \cdot (- 2 - x)$	=	$- 10$
$4 x - 4 - 2 x$	=	$- 10$
$2 x - 4$	=	$- 10$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 - (- 3)$

= $- 2 + 3$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 5 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1320 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1920 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 4 y & = & 1320 & (I) \\ 7 x & - 4 y & = & 1920 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 4 y$	=	$1320$
$- 4 y + 5 x$	=	$1320$	\| $- 5 x$
$- 4 y$	=	$1320 - 5 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 330 + \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 330 + \frac{5}{4} x) & (I) \\ 7 x & - 4 y & = & 1920 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 330 + \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x - 4 \cdot (- 330 + \frac{5}{4} x)$	=	$1920$
$7 x + 1 320 - 5 x$	=	$1920$
$2 x + 1 320$	=	$1920$	\| $- 1 320$
$2 x$	=	$600$	\|: $2$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 330 + \frac{5}{4} \cdot 300$

= $- 330 + 375$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (300|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|5) und B(2|10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|5): 5 = 1² + b⋅1 +c

B(2|10): 10 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 +1b +c |-1
10 = 4 +2b +c |-4

4 = 1b +c
6 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ 2 b & + c & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$6$
$c + 2 b$	=	$6$	\| $- 2 b$
$c$	=	$6 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (6 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (6 - 2 b)$	=	$4$
$b + 6 - 2 b$	=	$4$
$- b + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$- b$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6 - 2 \cdot 2$

= $6 - 4$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-12) und B(4|-21) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-12): -12 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-21): -21 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 +1b +c |-1
-21 = 16 +4b +c |-16

-13 = 1b +c
-37 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 37 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 37$
$c + 4 b$	=	$- 37$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 37 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ + c & = & (- 37 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 37 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 37 - 4 b)$	=	$- 13$
$b - 37 - 4 b$	=	$- 13$
$- 3 b - 37$	=	$- 13$	\| $+ 37$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 37 - 4 \cdot (- 8)$

= $- 37 + 32$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-5)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 5$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 5$

= ${(x - 4)}^{2} - 21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 5$ = $16 - 32 - 5$ = -21

also: S(4|-21).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg