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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 4 y$ = $18$ .

Bestimme x so, dass (x|5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$x + 4 \cdot 5$ = $18$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x + 4 \cdot 5$	=	$18$
$x + 20$	=	$18$	\| $- 20$
$x$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (-2|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 3 y$ = $26$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|-7)
denn 5⋅1 -3⋅( - 7 ) = 5 +21 = $26$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-12)
denn 5⋅( - 2 ) -3⋅( - 12 ) = -10 +36 = $26$

Oder : (4|-2)
denn 5⋅4 -3⋅( - 2 ) = 20 +6 = $26$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 4 y & = & 12 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 33 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 4 y & = & 12 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 33 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4 y$	=	$12$	\|: $4$
$y$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 3 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 33 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot 3$	=	$- 33$
$4 x - 9$	=	$- 33$	\| $+ 9$
$4 x$	=	$- 24$	\|: $4$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 15 & (I) \\ - x & - 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 15 & (I) \\ - x & - 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 4 y$	=	$- 8$	\| $+ 4 y$
$- x$	=	$- 8 + 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$8 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 15 & (I) \\ x & = & (8 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $8 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (8 - 4 y) + y$	=	$- 15$
$- 32 + 16 y + y$	=	$- 15$
$17 y - 32$	=	$- 15$	\| $+ 32$
$17 y$	=	$17$	\|: $17$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $8 - 4 \cdot 1$

= $8 - 4$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 5 y & = & - 21 & (I) \\ x & - y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 5 y & = & - 21 & (I) \\ x & - y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x - y$	=	$- 9$
$- y + x$	=	$- 9$	\| $- x$
$- y$	=	$- 9 - x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$9 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 5 y & = & - 21 & (I) \\ + y & = & (9 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $9 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 5 \cdot (9 + x)$	=	$- 21$
$x - 45 - 5 x$	=	$- 21$
$- 4 x - 45$	=	$- 21$	\| $+ 45$
$- 4 x$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $9 - 6$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 10 & (I) \\ - \frac{1}{5} x & + \frac{1}{2} y & = & - \frac{9}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 10 & (I) \\ - \frac{1}{5} x & + \frac{1}{2} y & = & - \frac{9}{5} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 2 y$	=	$10$
$- 2 y - 2 x$	=	$10$	\| $+ 2 x$
$- 2 y$	=	$10 + 2 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 5 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 5 - x) & (I) \\ - \frac{1}{5} x & + \frac{1}{2} y & = & - \frac{9}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 5 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{5} x + \frac{1}{2} \cdot (- 5 - x)$	=	$- \frac{9}{5}$
$- \frac{1}{5} x - \frac{5}{2} - \frac{1}{2} x$	=	$- \frac{9}{5}$
$- \frac{7}{10} x - \frac{5}{2}$	=	$- \frac{9}{5}$	\|⋅ 10
$10 (- \frac{7}{10} x - \frac{5}{2})$	=	$- 18$
$- 7 x - 25$	=	$- 18$	\| $+ 25$
$- 7 x$	=	$7$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5 - (- 1)$

= $- 5 + 1$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +4y = ?

-2x +10y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-1x +4y = 5 -4 = 1

-2x +10y = 10 -10 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +4y = 1

-2x +10y = 0

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & + 5 y & = & - 42 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 5 y & = & - 42 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 5 y$	=	$- 42$
$5 y + 4 x$	=	$- 42$	\| $- 4 x$
$5 y$	=	$- 42 - 4 x$	\|: $5$
$y$	=	$- \frac{42}{5} - \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{42}{5} - \frac{4}{5} x) & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{42}{5} - \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 2 \cdot (- \frac{42}{5} - \frac{4}{5} x)$	=	$24$
$- 4 x + \frac{84}{5} + \frac{8}{5} x$	=	$24$
$- \frac{12}{5} x + \frac{84}{5}$	=	$24$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{12}{5} x + \frac{84}{5})$	=	$120$
$- 12 x + 84$	=	$120$	\| $- 84$
$- 12 x$	=	$36$	\|:( $- 12$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{42}{5} - \frac{4}{5} \cdot (- 3)$

= $- \frac{42}{5} + \frac{12}{5}$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 980 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 925 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 980 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 925 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 4 y$	=	$980$
$- 4 y + 4 x$	=	$980$	\| $- 4 x$
$- 4 y$	=	$980 - 4 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 245 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 245 + x) & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 925 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 245 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 5 \cdot (- 245 + x)$	=	$925$
$4 x + 1 225 - 5 x$	=	$925$
$- x + 1 225$	=	$925$	\| $- 1 225$
$- x$	=	$- 300$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 245 + 300$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (300|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-1) und B(2|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-1): -1 = 1² + b⋅1 +c

B(2|4): 4 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 +1b +c |-1
4 = 4 +2b +c |-4

-2 = 1b +c
0 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 2 & (I) \\ 2 b & + c & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	0
$c + 2 b$	=	0	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & - 2 b & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch $- 2 b$ ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 2 b)$	=	$- 2$
$b - 2 b$	=	$- 2$
$- b$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 2 \cdot 2$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|1) und B(4|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|1): 1 = 1² + b⋅1 +c

B(4|4): 4 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 +1b +c |-1
4 = 16 +4b +c |-16

0 = 1b +c
-12 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 12$
$c + 4 b$	=	$- 12$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 12 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (- 12 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 12 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 12 - 4 b)$	=	0
$b - 12 - 4 b$	=	0
$- 3 b - 12$	=	0	\| $+ 12$
$- 3 b$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 12 - 4 \cdot (- 4)$

= $- 12 + 16$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 4$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 + 4$

= ${(x - 2)}^{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 + 4$ = $4 - 8 + 4$ = 0

also: S(2|0).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg