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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - y$ = $- 9$ .

Bestimme y so, dass (3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 \cdot 3 - y$ = $- 9$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 5 \cdot 3 - y$	=	$- 9$
$- 15 - y$	=	$- 9$
$- y - 15$	=	$- 9$	\| $+ 15$
$- y$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (3|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - y$ = $1$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-1)
denn -3⋅0 -1⋅( - 1 ) = 0 +1 = $1$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|2)
denn -3⋅( - 1 ) -1⋅2 = 3 -2 = $1$

Oder : (1|-4)
denn -3⋅1 -1⋅( - 4 ) = -3 +4 = $1$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 6 & (I) \\ - y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 6 & (I) \\ - y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- y$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 6 & (I) \\ + y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 4 \cdot (- 3)$	=	$6$
$- 2 x + 12$	=	$6$	\| $- 12$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 15 & (I) \\ - x & + 4 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 15 & (I) \\ - x & + 4 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 4 y$	=	$- 18$	\| $- 4 y$
$- x$	=	$- 18 - 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$18 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 15 & (I) \\ x & = & (18 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $18 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (18 + 4 y) - 3 y$	=	$15$
$18 + 4 y - 3 y$	=	$15$
$y + 18$	=	$15$	\| $- 18$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $18 + 4 \cdot (- 3)$

= $18 - 12$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 3 & (I) \\ - x & + 5 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 3 & (I) \\ - x & + 5 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 5 y$	=	$- 5$	\| $- 5 y$
$- x$	=	$- 5 - 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 3 & (I) \\ x & = & (5 + 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $5 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (5 + 5 y) - 3 y$	=	$3$
$- 5 - 5 y - 3 y$	=	$3$
$- 8 y - 5$	=	$3$	\| $+ 5$
$- 8 y$	=	$8$	\|:( $- 8$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $5 + 5 \cdot (- 1)$

= $5 - 5$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + \frac{3}{4} y & = & \frac{35}{4} & (I) \\ - \frac{3}{2} x & + y & = & \frac{25}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + \frac{3}{4} y & = & \frac{35}{4} & (I) \\ - \frac{3}{2} x & + y & = & \frac{25}{2} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{3}{2} x + y$	=	$\frac{25}{2}$
$y - \frac{3}{2} x$	=	$\frac{25}{2}$	\|⋅ 2
$2 (y - \frac{3}{2} x)$	=	$25$
$2 y - 3 x$	=	$25$	\| $+ 3 x$
$2 y$	=	$25 + 3 x$	\|: $2$
$y$	=	$\frac{25}{2} + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + \frac{3}{4} y & = & \frac{35}{4} & (I) \\ + y & = & (\frac{25}{2} + \frac{3}{2} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $\frac{25}{2} + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + \frac{3}{4} \cdot (\frac{25}{2} + \frac{3}{2} x)$	=	$\frac{35}{4}$
$- x + \frac{75}{8} + \frac{9}{8} x$	=	$\frac{35}{4}$
$\frac{1}{8} x + \frac{75}{8}$	=	$\frac{35}{4}$	\|⋅ 8
$8 (\frac{1}{8} x + \frac{75}{8})$	=	$70$
$x + 75$	=	$70$	\| $- 75$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $\frac{25}{2} + \frac{3}{2} \cdot (- 5)$

= $\frac{25}{2} - \frac{15}{2}$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +3y = ?

3x +8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

1x +3y = 2 -15 = -13

3x +8y = 6 -40 = -34

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +3y = -13

3x +8y = -34

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & - 5 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & - 5 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 4 y$	=	$- 5$
$- 4 y + 4 x$	=	$- 5$	\| $- 4 x$
$- 4 y$	=	$- 5 - 4 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$\frac{5}{4} + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{5}{4} + x) & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{5}{4} + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 2 \cdot (\frac{5}{4} + x)$	=	$3$
$- 2 x + \frac{5}{2} + 2 x$	=	$3$
$\frac{5}{2}$	=	$3$	\| $- \frac{5}{2}$
0	=	$\frac{1}{2}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 10. Wenn man aber vom 5-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 21. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 10 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$10$	\| $- 5 y$
$x$	=	$10 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (10 - 5 y) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $10 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (10 - 5 y) - 4 y$	=	$21$
$50 - 25 y - 4 y$	=	$21$
$- 29 y + 50$	=	$21$	\| $- 50$
$- 29 y$	=	$- 29$	\|:( $- 29$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $10 - 5 \cdot 1$

= $10 - 5$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 1

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-5) und B(-4|-2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-2): -2 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 -1b +c |-1
-2 = 16 -4b +c |-16

-6 = -1b +c
-18 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 18$
$c - 4 b$	=	$- 18$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 18 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 18 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 18 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 18 + 4 b)$	=	$- 6$
$- b - 18 + 4 b$	=	$- 6$
$3 b - 18$	=	$- 6$	\| $+ 18$
$3 b$	=	$12$	\|: $3$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 18 + 4 \cdot 4$

= $- 18 + 16$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(2|-14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-14): -14 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
-14 = 4 +2b +c |-4

6 = -1b +c
-18 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 18$
$c + 2 b$	=	$- 18$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 18 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (- 18 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 18 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 18 - 2 b)$	=	$6$
$- b - 18 - 2 b$	=	$6$
$- 3 b - 18$	=	$6$	\| $+ 18$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 18 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 18 + 16$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 18$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-18).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 2$ = $16 - 32 - 2$ = -18

also: S(4|-18).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg