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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 2 y$ = $- 22$ .

Bestimme x so, dass (x|-1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$5 x + 2 \cdot (- 1)$ = $- 22$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5 x + 2 \cdot (- 1)$	=	$- 22$
$5 x - 2$	=	$- 22$	\| $+ 2$
$5 x$	=	$- 20$	\|: $5$
$x$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (-4|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 5 y$ = $40$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|-5)
denn -5⋅( - 3 ) -5⋅( - 5 ) = 15 +25 = $40$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|0)
denn -5⋅( - 8 ) -5⋅0 = 40 +0 = $40$

Oder : (2|-10)
denn -5⋅2 -5⋅( - 10 ) = -10 +50 = $40$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ - 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ - 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ + y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 2 \cdot (- 3)$	=	$- 2$
$x - 6$	=	$- 2$	\| $+ 6$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 12 & (I) \\ - x & + y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 12 & (I) \\ - x & + y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x + y$	=	$3$
$y - x$	=	$3$	\| $+ x$
$y$	=	$3 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 12 & (I) \\ + y & = & (3 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $3 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 2 \cdot (3 + x)$	=	$12$
$x + 6 + 2 x$	=	$12$
$3 x + 6$	=	$12$	\| $- 6$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $3 + 2$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - y & = & 3 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - y & = & 3 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$7$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$7 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 7 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - y & = & 3 & (I) \\ x & = & (- 7 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 7 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 7 - 3 y) - y$	=	$3$
$7 + 3 y - y$	=	$3$
$2 y + 7$	=	$3$	\| $- 7$
$2 y$	=	$- 4$	\|: $2$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 7 - 3 \cdot (- 2)$

= $- 7 + 6$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

0	=	$2 (x + 5) - 4 y$			(I)
$- 7 + 4 y$	=	$x - 2$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

0	=	$2 (x + 5) - 4 y$			(I)
$- 7 + 4 y$	=	$x - 2$			(II)

0	=	$2 x + 10 - 4 y$	\| $- 2 x + 4 y$		(I)
$- 7 + 4 y$	=	$x - 2$	\| + $7 - x$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 10 & (I) \\ - x & + 4 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 4 y$	=	$5$	\| $- 4 y$
$- x$	=	$5 - 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 5 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 10 & (I) \\ x & = & (- 5 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 5 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 5 + 4 y) + 4 y$	=	$10$
$10 - 8 y + 4 y$	=	$10$
$- 4 y + 10$	=	$10$	\| $- 10$
$- 4 y$	=	0	\|:( $- 4$ )
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 5 + 4 \cdot (0)$

= $- 5 + 0$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -3y = ?

7x -6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

4x -3y = 16 -6 = 10

7x -6y = 28 -12 = 16

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -3y = 10

7x -6y = 16

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 7 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 7 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$- 11$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$- 11 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 7 & (I) \\ x & = & (- 11 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 11 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 11 + 4 y) + y$	=	$7$
$- 44 + 16 y + y$	=	$7$
$17 y - 44$	=	$7$	\| $+ 44$
$17 y$	=	$51$	\|: $17$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 11 + 4 \cdot 3$

= $- 11 + 12$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 4 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 132 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 201 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 6 y & = & 132 & (I) \\ 7 x & + 9 y & = & 201 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 6 y$	=	$132$
$6 y + 4 x$	=	$132$	\| $- 4 x$
$6 y$	=	$132 - 4 x$	\|: $6$
$y$	=	$22 - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (22 - \frac{2}{3} x) & (I) \\ 7 x & + 9 y & = & 201 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $22 - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x + 9 \cdot (22 - \frac{2}{3} x)$	=	$201$
$7 x + 198 - 6 x$	=	$201$
$x + 198$	=	$201$	\| $- 198$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $22 - \frac{2}{3} \cdot 3$

= $22 - 2$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (3|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-3) und B(2|-6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-6): -6 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 +1b +c |-1
-6 = 4 +2b +c |-4

-4 = 1b +c
-10 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 10$
$c + 2 b$	=	$- 10$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 10 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (- 10 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 10 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 10 - 2 b)$	=	$- 4$
$b - 10 - 2 b$	=	$- 4$
$- b - 10$	=	$- 4$	\| $+ 10$
$- b$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 10 - 2 \cdot (- 6)$

= $- 10 + 12$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-11) und B(-2|22) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-11): -11 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|22): 22 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-11 = 1 +1b +c |-1
22 = 4 -2b +c |-4

-12 = 1b +c
18 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 12 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$18$
$c - 2 b$	=	$18$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$18 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 12 & (I) \\ + c & = & (18 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $18 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (18 + 2 b)$	=	$- 12$
$b + 18 + 2 b$	=	$- 12$
$3 b + 18$	=	$- 12$	\| $- 18$
$3 b$	=	$- 30$	\|: $3$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $18 + 2 \cdot (- 10)$

= $18 - 20$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-2)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 - 2$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 - 2$

= ${(x - 5)}^{2} - 27$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-27).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 - 2$ = $25 - 50 - 2$ = -27

also: S(5|-27).

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