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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 4 y$ = $- 50$ .

Bestimme x so, dass (x|5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$5 x - 4 \cdot 5$ = $- 50$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5 x - 4 \cdot 5$	=	$- 50$
$5 x - 20$	=	$- 50$	\| $+ 20$
$5 x$	=	$- 30$	\|: $5$
$x$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (-6|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 3 y$ = $12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|-7)
denn -3⋅3 -3⋅( - 7 ) = -9 +21 = $12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|-4)
denn -3⋅0 -3⋅( - 4 ) = 0 +12 = $12$

Oder : (6|-10)
denn -3⋅6 -3⋅( - 10 ) = -18 +30 = $12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - y & = & - 6 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - y & = & - 6 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- y$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 6 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 2 \cdot 6$	=	0
$4 x - 12$	=	0	\| $+ 12$
$4 x$	=	$12$	\|: $4$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 10 & (I) \\ - 3 x & - y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 10 & (I) \\ - 3 x & - y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x - y$	=	$- 9$
$- y - 3 x$	=	$- 9$	\| $+ 3 x$
$- y$	=	$- 9 + 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$9 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 10 & (I) \\ + y & = & (9 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $9 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 2 \cdot (9 - 3 x)$	=	$10$
$x - 18 + 6 x$	=	$10$
$7 x - 18$	=	$10$	\| $+ 18$
$7 x$	=	$28$	\|: $7$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $9 - 3 \cdot 4$

= $9 - 12$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & - 3 y & = & 13 & (I) \\ - x & - 3 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 3 y & = & 13 & (I) \\ - x & - 3 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$- 7$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$- 7 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$7 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & - 3 y & = & 13 & (I) \\ x & = & (7 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $7 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 5 \cdot (7 - 3 y) - 3 y$	=	$13$
$- 35 + 15 y - 3 y$	=	$13$
$12 y - 35$	=	$13$	\| $+ 35$
$12 y$	=	$48$	\|: $12$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $7 - 3 \cdot 4$

= $7 - 12$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - \frac{1}{2} y & = & - 8 & (I) \\ - \frac{2}{3} x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{26}{15} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - \frac{1}{2} y & = & - 8 & (I) \\ - \frac{2}{3} x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{26}{15} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - \frac{1}{2} y$	=	$- 8$
$- \frac{1}{2} y - 2 x$	=	$- 8$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} y - 2 x)$	=	$- 16$
$- y - 4 x$	=	$- 16$	\| $+ 4 x$
$- y$	=	$- 16 + 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$16 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (16 - 4 x) & (I) \\ - \frac{2}{3} x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{26}{15} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $16 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{2}{3} x - \frac{2}{5} \cdot (16 - 4 x)$	=	$- \frac{26}{15}$
$- \frac{2}{3} x - \frac{32}{5} + \frac{8}{5} x$	=	$- \frac{26}{15}$
$\frac{14}{15} x - \frac{32}{5}$	=	$- \frac{26}{15}$	\|⋅ 15
$15 (\frac{14}{15} x - \frac{32}{5})$	=	$- 26$
$14 x - 96$	=	$- 26$	\| $+ 96$
$14 x$	=	$70$	\|: $14$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $16 - 4 \cdot 5$

= $16 - 20$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -4y = ?

6x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

3x -4y = -6 +4 = -2

6x -7y = -12 +7 = -5

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -4y = -2

6x -7y = -5

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 3 & (I) \\ 4 x & + 8 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 3 & (I) \\ 4 x & + 8 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 4 y$	=	$3$
$- 4 y - 2 x$	=	$3$	\| $+ 2 x$
$- 4 y$	=	$3 + 2 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{3}{4} - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{3}{4} - \frac{1}{2} x) & (I) \\ 4 x & + 8 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{3}{4} - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 8 \cdot (- \frac{3}{4} - \frac{1}{2} x)$	=	$- 3$
$4 x - 6 - 4 x$	=	$- 3$
$- 6$	=	$- 3$	\| $+ 6$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 81 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 2 LED-Leuchtmittel und 2 Halogenleuchten zusammen 36 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & 81 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 36 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 5 y$	=	$81$
$5 y + 2 x$	=	$81$	\| $- 2 x$
$5 y$	=	$81 - 2 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{81}{5} - \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{81}{5} - \frac{2}{5} x) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 36 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{81}{5} - \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (\frac{81}{5} - \frac{2}{5} x)$	=	$36$
$2 x + \frac{162}{5} - \frac{4}{5} x$	=	$36$
$\frac{6}{5} x + \frac{162}{5}$	=	$36$	\|⋅ 5
$5 (\frac{6}{5} x + \frac{162}{5})$	=	$180$
$6 x + 162$	=	$180$	\| $- 162$
$6 x$	=	$18$	\|: $6$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{81}{5} - \frac{2}{5} \cdot 3$

= $\frac{81}{5} - \frac{6}{5}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (3|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|10) und B(-1|-6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 +1b +c |-1
-6 = 1 -1b +c |-1

9 = 1b +c
-7 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ - b & + c & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 7$
$c - b$	=	$- 7$	\| $+ b$
$c$	=	$- 7 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (- 7 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 7 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 7 + b)$	=	$9$
$b - 7 + b$	=	$9$
$2 b - 7$	=	$9$	\| $+ 7$
$2 b$	=	$16$	\|: $2$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 7 + 8$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (8|1)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|0) und B(-3|12) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|12): 12 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
12 = 9 -3b +c |-9

-1 = -1b +c
3 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$3$
$c - 3 b$	=	$3$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$3 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (3 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $3 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (3 + 3 b)$	=	$- 1$
$- b + 3 + 3 b$	=	$- 1$
$2 b + 3$	=	$- 1$	\| $- 3$
$2 b$	=	$- 4$	\|: $2$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $3 + 3 \cdot (- 2)$

= $3 - 6$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 - 3$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 - 3$

= ${(x - 1)}^{2} - 4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 - 3$ = $1 - 2 - 3$ = -4

also: S(1|-4).

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg