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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 4 y$ = $51$ .

Bestimme y so, dass (7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$5 \cdot 7 + 4 y$ = $51$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5 \cdot 7 + 4 y$	=	$51$
$35 + 4 y$	=	$51$
$4 y + 35$	=	$51$	\| $- 35$
$4 y$	=	$16$	\|: $4$
$y$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (7|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 4 y$ = $- 25$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|0)
denn -5⋅5 -4⋅0 = -25 +0 = $- 25$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|5)
denn -5⋅1 -4⋅5 = -5 -20 = $- 25$

Oder : (9|-5)
denn -5⋅9 -4⋅( - 5 ) = -45 +20 = $- 25$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 3 y & = & 9 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 3 y & = & 9 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$9$	\|: $3$
$y$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 3 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 4 \cdot 3$	=	$- 6$
$x - 12$	=	$- 6$	\| $+ 12$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 17 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 17 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 17$
$y - 4 x$	=	$- 17$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 17 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 17 + 4 x) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 17 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (- 17 + 4 x)$	=	$16$
$2 x - 34 + 8 x$	=	$16$
$10 x - 34$	=	$16$	\| $+ 34$
$10 x$	=	$50$	\|: $10$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 17 + 4 \cdot 5$

= $- 17 + 20$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 5 y & = & 34 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 5 y & = & 34 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 5 y$	=	$34$
$5 y + 4 x$	=	$34$	\| $- 4 x$
$5 y$	=	$34 - 4 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{34}{5} - \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{34}{5} - \frac{4}{5} x) & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{34}{5} - \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 4 \cdot (\frac{34}{5} - \frac{4}{5} x)$	=	$4$
$2 x - \frac{136}{5} + \frac{16}{5} x$	=	$4$
$\frac{26}{5} x - \frac{136}{5}$	=	$4$	\|⋅ 5
$5 (\frac{26}{5} x - \frac{136}{5})$	=	$20$
$26 x - 136$	=	$20$	\| $+ 136$
$26 x$	=	$156$	\|: $26$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{34}{5} - \frac{4}{5} \cdot 6$

= $\frac{34}{5} - \frac{24}{5}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{3}{4} x & - \frac{3}{2} y & = & 9 & (I) \\ - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{6}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{3}{4} x & - \frac{3}{2} y & = & 9 & (I) \\ - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{6}{5} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{3}{4} x - \frac{3}{2} y$	=	$9$
$- \frac{3}{2} y - \frac{3}{4} x$	=	$9$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{3}{2} y - \frac{3}{4} x)$	=	$36$
$- 6 y - 3 x$	=	$36$	\| $+ 3 x$
$- 6 y$	=	$36 + 3 x$	\|:( $- 6$ )
$y$	=	$- 6 - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 6 - \frac{1}{2} x) & (I) \\ - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{6}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 6 - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{5} x - \frac{1}{5} \cdot (- 6 - \frac{1}{2} x)$	=	$\frac{6}{5}$
$- \frac{1}{5} x + \frac{6}{5} + \frac{1}{10} x$	=	$\frac{6}{5}$
$- \frac{1}{10} x + \frac{6}{5}$	=	$\frac{6}{5}$	\|⋅ 10
$10 (- \frac{1}{10} x + \frac{6}{5})$	=	$12$
$- x + 12$	=	$12$	\| $- 12$
$- x$	=	0	\|:( $- 1$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 6 - \frac{1}{2} \cdot (0)$

= $- 6 + 0$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -2y = ?

3x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

5x -2y = 25 -10 = 15

3x -3y = 15 -15 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -2y = 15

3x -3y = 0

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & - 1 & (I) \\ - 6 x & + 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & - 1 & (I) \\ - 6 x & + 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 2 y$	=	$- 1$
$- 2 y + 3 x$	=	$- 1$	\| $- 3 x$
$- 2 y$	=	$- 1 - 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{2} + \frac{3}{2} x) & (I) \\ - 6 x & + 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 6 x + 4 \cdot (\frac{1}{2} + \frac{3}{2} x)$	=	$2$
$- 6 x + 2 + 6 x$	=	$2$
$2$	=	$2$	\| $- 2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 28. Wenn man aber vom 2-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -29. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 28 & (I) \\ 2 x & - 7 y & = & - 29 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$28$	\| $- 5 y$
$x$	=	$28 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (28 - 5 y) & (I) \\ 2 x & - 7 y & = & - 29 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $28 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (28 - 5 y) - 7 y$	=	$- 29$
$56 - 10 y - 7 y$	=	$- 29$
$- 17 y + 56$	=	$- 29$	\| $- 56$
$- 17 y$	=	$- 85$	\|:( $- 17$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $28 - 5 \cdot 5$

= $28 - 25$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|2) und B(4|23) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(4|23): 23 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
23 = 16 +4b +c |-16

1 = 1b +c
7 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ 4 b & + c & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$7$
$c + 4 b$	=	$7$	\| $- 4 b$
$c$	=	$7 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (7 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (7 - 4 b)$	=	$1$
$b + 7 - 4 b$	=	$1$
$- 3 b + 7$	=	$1$	\| $- 7$
$- 3 b$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7 - 4 \cdot 2$

= $7 - 8$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(1|-13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-13): -13 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
-13 = 1 +1b +c |-1

6 = -1b +c
-14 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ b & + c & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 14$
$c + b$	=	$- 14$	\| $- b$
$c$	=	$- 14 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (- 14 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 14 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 14 - b)$	=	$6$
$- b - 14 - b$	=	$6$
$- 2 b - 14$	=	$6$	\| $+ 14$
$- 2 b$	=	$20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 14 - (- 10)$

= $- 14 + 10$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-4)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 - 4$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 - 4$

= ${(x - 5)}^{2} - 29$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-29).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 - 4$ = $25 - 50 - 4$ = -29

also: S(5|-29).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

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LGS zu Lösungen finden

LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg