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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + 2 y$ = $21$ .

Bestimme x so, dass (x|3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$3 x + 2 \cdot 3$ = $21$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3 x + 2 \cdot 3$	=	$21$
$3 x + 6$	=	$21$	\| $- 6$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
$x$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (5|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 3 y$ = $- 4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|4)
denn 4⋅2 -3⋅4 = 8 -12 = $- 4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|0)
denn 4⋅( - 1 ) -3⋅0 = -4 +0 = $- 4$

Oder : (5|8)
denn 4⋅5 -3⋅8 = 20 -24 = $- 4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 38 & (I) \\ - y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 38 & (I) \\ - y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- y$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 38 & (I) \\ + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 3 \cdot 6$	=	$- 38$
$- 4 x - 18$	=	$- 38$	\| $+ 18$
$- 4 x$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 4 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 32 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 4 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 32 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$4$
$y - 2 x$	=	$4$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$4 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (4 + 2 x) & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 32 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 4 \cdot (4 + 2 x)$	=	$32$
$- 4 x - 16 - 8 x$	=	$32$
$- 12 x - 16$	=	$32$	\| $+ 16$
$- 12 x$	=	$48$	\|:( $- 12$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4 + 2 \cdot (- 4)$

= $4 - 8$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & - 11 & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & - 11 & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 4 y$	=	$- 11$	\| $+ 4 y$
$- x$	=	$- 11 + 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$11 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (11 - 4 y) & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $11 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (11 - 4 y) + 5 y$	=	$10$
$55 - 20 y + 5 y$	=	$10$
$- 15 y + 55$	=	$10$	\| $- 55$
$- 15 y$	=	$- 45$	\|:( $- 15$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $11 - 4 \cdot 3$

= $11 - 12$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{18}{5} & (I) \\ x & - \frac{1}{5} y & = & - \frac{36}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{18}{5} & (I) \\ x & - \frac{1}{5} y & = & - \frac{36}{5} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - \frac{1}{5} y$	=	$- \frac{36}{5}$	\|⋅ 5
$5 (x - \frac{1}{5} y)$	=	$- 36$
$5 x - y$	=	$- 36$	\| $+ y$
$5 x$	=	$- 36 + y$	\|: $5$
$x$	=	$- \frac{36}{5} + \frac{1}{5} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{18}{5} & (I) \\ x & = & (- \frac{36}{5} + \frac{1}{5} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- \frac{36}{5} + \frac{1}{5} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- \frac{36}{5} + \frac{1}{5} y) - \frac{2}{5} y$	=	$\frac{18}{5}$
$\frac{36}{5} - \frac{1}{5} y - \frac{2}{5} y$	=	$\frac{18}{5}$
$- \frac{3}{5} y + \frac{36}{5}$	=	$\frac{18}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{3}{5} y + \frac{36}{5})$	=	$18$
$- 3 y + 36$	=	$18$	\| $- 36$
$- 3 y$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- \frac{36}{5} + \frac{1}{5} \cdot 6$

= $- \frac{36}{5} + \frac{6}{5}$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +1y = ?

-2x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

2x +1y = 4 -4 = 0

-2x -2y = -4 +8 = 4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +1y = 0

-2x -2y = 4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 16 x & - 8 y & = & - 9 & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 16 x & - 8 y & = & - 9 & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 16 x - 8 y$	=	$- 9$
$- 8 y - 16 x$	=	$- 9$	\| $+ 16 x$
$- 8 y$	=	$- 9 + 16 x$	\|:( $- 8$ )
$y$	=	$\frac{9}{8} - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{9}{8} - 2 x) & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{9}{8} - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 2 \cdot (\frac{9}{8} - 2 x)$	=	$3$
$4 x + \frac{9}{4} - 4 x$	=	$3$
$\frac{9}{4}$	=	$3$	\| $- \frac{9}{4}$
0	=	$\frac{3}{4}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 3 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 129 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 192 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 6 y & = & 129 & (I) \\ 4 x & + 9 y & = & 192 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 6 y$	=	$129$
$6 y + 3 x$	=	$129$	\| $- 3 x$
$6 y$	=	$129 - 3 x$	\|: $6$
$y$	=	$\frac{43}{2} - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{43}{2} - \frac{1}{2} x) & (I) \\ 4 x & + 9 y & = & 192 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{43}{2} - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 9 \cdot (\frac{43}{2} - \frac{1}{2} x)$	=	$192$
$4 x + \frac{387}{2} - \frac{9}{2} x$	=	$192$
$- \frac{1}{2} x + \frac{387}{2}$	=	$192$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x + \frac{387}{2})$	=	$384$
$- x + 387$	=	$384$	\| $- 387$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{43}{2} - \frac{1}{2} \cdot 3$

= $\frac{43}{2} - \frac{3}{2}$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (3|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|2) und B(4|5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(4|5): 5 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
5 = 16 +4b +c |-16

1 = 1b +c
-11 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 11$
$c + 4 b$	=	$- 11$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 11 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (- 11 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 11 - 4 b)$	=	$1$
$b - 11 - 4 b$	=	$1$
$- 3 b - 11$	=	$1$	\| $+ 11$
$- 3 b$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 - 4 \cdot (- 4)$

= $- 11 + 16$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-2) und B(4|19) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(4|19): 19 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
19 = 16 +4b +c |-16

-3 = 1b +c
3 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ 4 b & + c & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$3$
$c + 4 b$	=	$3$	\| $- 4 b$
$c$	=	$3 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (3 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $3 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (3 - 4 b)$	=	$- 3$
$b + 3 - 4 b$	=	$- 3$
$- 3 b + 3$	=	$- 3$	\| $- 3$
$- 3 b$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $3 - 4 \cdot 2$

= $3 - 8$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 5$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 5$

= ${(x + 1)}^{2} - 6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 5$ = $1 - 2 - 5$ = -6

also: S(-1|-6).

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quadr. Funktionterm bestimmen

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1. Weg

2. Weg