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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 2 y$ = $12$ .

Bestimme x so, dass (x|3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 x + 2 \cdot 3$ = $12$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 2 x + 2 \cdot 3$	=	$12$
$- 2 x + 6$	=	$12$	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 3$

Die Lösung ist somit: (-3|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 5 y$ = $- 3$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|0)
denn -1⋅3 +5⋅0 = -3 +0 = $- 3$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|1)
denn -1⋅8 +5⋅1 = -8 +5 = $- 3$

Oder : (-2|-1)
denn -1⋅( - 2 ) +5⋅( - 1 ) = 2 -5 = $- 3$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & = & - 12 & (I) \\ - x & + 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & = & - 12 & (I) \\ - x & + 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 4 & (I) \\ - x & + 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot 4 + 4 y$	=	$- 16$
$- 4 + 4 y$	=	$- 16$
$4 y - 4$	=	$- 16$	\| $+ 4$
$4 y$	=	$- 12$	\|: $4$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 9 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 9 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$9$
$y - 2 x$	=	$9$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$9 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 9 & (I) \\ + y & = & (9 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $9 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 1 \cdot (9 + 2 x)$	=	$9$
$- 4 x - 9 - 2 x$	=	$9$
$- 6 x - 9$	=	$9$	\| $+ 9$
$- 6 x$	=	$18$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $9 + 2 \cdot (- 3)$

= $9 - 6$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 2 y$	=	$4$
$- 2 y + 2 x$	=	$4$	\| $- 2 x$
$- 2 y$	=	$4 - 2 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 2 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 + x) & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 5 \cdot (- 2 + x)$	=	$- 17$
$2 x - 10 + 5 x$	=	$- 17$
$7 x - 10$	=	$- 17$	\| $+ 10$
$7 x$	=	$- 7$	\|: $7$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 - 1$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 15 + y$	=	$4 x$			(I)
$5 x - 2 y$	=	$- 3 (10 + y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 15 + y$	=	$4 x$			(I)
$5 x - 2 y$	=	$- 3 (10 + y)$			(II)

$- 15 + y$	=	$4 x$	\| + $15 - 4 x$		(I)
$5 x - 2 y$	=	$- 30 - 3 y$	\| + $3 y$		(II)

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 15 & (I) \\ 5 x & + y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$5 x + y$	=	$- 30$
$y + 5 x$	=	$- 30$	\| $- 5 x$
$y$	=	$- 30 - 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 15 & (I) \\ + y & = & (- 30 - 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 30 - 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 1 \cdot (- 30 - 5 x)$	=	$15$
$- 4 x - 30 - 5 x$	=	$15$
$- 9 x - 30$	=	$15$	\| $+ 30$
$- 9 x$	=	$45$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 30 - 5 \cdot (- 5)$

= $- 30 + 25$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +4y = ?

2x -10y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-1x +4y = -2 -8 = -10

2x -10y = 4 +20 = 24

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +4y = -10

2x -10y = 24

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & - 2 & (I) \\ - 8 x & + 8 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & - 2 & (I) \\ - 8 x & + 8 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 2 y$	=	$- 2$
$- 2 y + 2 x$	=	$- 2$	\| $- 2 x$
$- 2 y$	=	$- 2 - 2 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$1 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 + x) & (I) \\ - 8 x & + 8 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 8 x + 8 \cdot (1 + x)$	=	$11$
$- 8 x + 8 + 8 x$	=	$11$
$8$	=	$11$	\| $- 8$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 795 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 425 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 795 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 425 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 3 y$	=	$795$
$- 3 y + 3 x$	=	$795$	\| $- 3 x$
$- 3 y$	=	$795 - 3 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 265 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 265 + x) & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 425 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 265 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot (- 265 + x)$	=	$425$
$2 x + 1 325 - 5 x$	=	$425$
$- 3 x + 1 325$	=	$425$	\| $- 1 325$
$- 3 x$	=	$- 900$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 265 + 300$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (300|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-5) und B(-4|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|4): 4 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 -1b +c |-1
4 = 16 -4b +c |-16

-6 = -1b +c
-12 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 12$
$c - 4 b$	=	$- 12$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 12 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 12 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 12 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 12 + 4 b)$	=	$- 6$
$- b - 12 + 4 b$	=	$- 6$
$3 b - 12$	=	$- 6$	\| $+ 12$
$3 b$	=	$6$	\|: $3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 12 + 4 \cdot 2$

= $- 12 + 8$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(1|0) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
0 = 1 +1b +c |-1

7 = -1b +c
-1 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ b & + c & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 1$
$c + b$	=	$- 1$	\| $- b$
$c$	=	$- 1 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (- 1 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 1 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 1 - b)$	=	$7$
$- b - 1 - b$	=	$7$
$- 2 b - 1$	=	$7$	\| $+ 1$
$- 2 b$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 1 - (- 4)$

= $- 1 + 4$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 3$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 + 3$

= ${(x - 2)}^{2} - 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 + 3$ = $4 - 8 + 3$ = -1

also: S(2|-1).

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg