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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 2 y$ = $- 39$ .

Bestimme y so, dass (-7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$5 \cdot (- 7) - 2 y$ = $- 39$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5 \cdot (- 7) - 2 y$	=	$- 39$
$- 35 - 2 y$	=	$- 39$
$- 2 y - 35$	=	$- 39$	\| $+ 35$
$- 2 y$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (-7|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 5 y$ = $15$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|-7)
denn 4⋅( - 5 ) -5⋅( - 7 ) = -20 +35 = $15$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-10|-11)
denn 4⋅( - 10 ) -5⋅( - 11 ) = -40 +55 = $15$

Oder : (0|-3)
denn 4⋅0 -5⋅( - 3 ) = 0 +15 = $15$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & - 12 & (I) \\ x & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $- 1$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 1) + 3 y$	=	$- 12$
$3 + 3 y$	=	$- 12$
$3 y + 3$	=	$- 12$	\| $- 3$
$3 y$	=	$- 15$	\|: $3$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 20 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 20 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 5$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 5 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 20 & (I) \\ x & = & (- 5 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 5 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 5 - 2 y) + 2 y$	=	$- 20$
$20 + 8 y + 2 y$	=	$- 20$
$10 y + 20$	=	$- 20$	\| $- 20$
$10 y$	=	$- 40$	\|: $10$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 5 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 5 + 8$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & - 6 & (I) \\ - 3 x & + y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + y & = & - 6 & (I) \\ - 3 x & + y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$- 6$
$y - 3 x$	=	$- 6$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$- 6 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & - 6 & (I) \\ + y & = & (- 6 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 6 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 1 \cdot (- 6 + 3 x)$	=	$- 6$
$2 x - 6 + 3 x$	=	$- 6$
$5 x - 6$	=	$- 6$	\| $+ 6$
$5 x$	=	0	\|: $5$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 6 + 3 \cdot 0$

= $- 6 + 0$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{2}{3} x & + \frac{1}{2} y & = & - \frac{3}{2} & (I) \\ x & - \frac{3}{2} y & = & - \frac{27}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{2}{3} x & + \frac{1}{2} y & = & - \frac{3}{2} & (I) \\ x & - \frac{3}{2} y & = & - \frac{27}{2} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - \frac{3}{2} y$	=	$- \frac{27}{2}$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{3}{2} y)$	=	$- 27$
$2 x - 3 y$	=	$- 27$	\| $+ 3 y$
$2 x$	=	$- 27 + 3 y$	\|: $2$
$x$	=	$- \frac{27}{2} + \frac{3}{2} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{2}{3} x & + \frac{1}{2} y & = & - \frac{3}{2} & (I) \\ x & = & (- \frac{27}{2} + \frac{3}{2} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- \frac{27}{2} + \frac{3}{2} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{2}{3} \cdot (- \frac{27}{2} + \frac{3}{2} y) + \frac{1}{2} y$	=	$- \frac{3}{2}$
$- 9 + y + \frac{1}{2} y$	=	$- \frac{3}{2}$
$\frac{3}{2} y - 9$	=	$- \frac{3}{2}$	\|⋅ 2
$2 (\frac{3}{2} y - 9)$	=	$- 3$
$3 y - 18$	=	$- 3$	\| $+ 18$
$3 y$	=	$15$	\|: $3$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- \frac{27}{2} + \frac{3}{2} \cdot 5$

= $- \frac{27}{2} + \frac{15}{2}$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +4y = ?

4x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

2x +4y = 4 +16 = 20

4x +6y = 8 +24 = 32

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +4y = 20

4x +6y = 32

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 2 & (I) \\ - 8 x & - 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 2 & (I) \\ - 8 x & - 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$2$
$y + 2 x$	=	$2$	\| $- 2 x$
$y$	=	$2 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (2 - 2 x) & (I) \\ - 8 x & - 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 8 x - 4 \cdot (2 - 2 x)$	=	$- 8$
$- 8 x - 8 + 8 x$	=	$- 8$
$- 8$	=	$- 8$	\| $+ 8$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 5 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 530 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 6 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 680 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 4 y & = & 530 & (I) \\ 6 x & - 4 y & = & 680 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 4 y$	=	$530$
$- 4 y + 5 x$	=	$530$	\| $- 5 x$
$- 4 y$	=	$530 - 5 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{265}{2} + \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{265}{2} + \frac{5}{4} x) & (I) \\ 6 x & - 4 y & = & 680 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{265}{2} + \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 4 \cdot (- \frac{265}{2} + \frac{5}{4} x)$	=	$680$
$6 x + 530 - 5 x$	=	$680$
$x + 530$	=	$680$	\| $- 530$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{265}{2} + \frac{5}{4} \cdot 150$

= $- \frac{265}{2} + \frac{375}{2}$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (150|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|6) und B(4|45) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(4|45): 45 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
45 = 16 +4b +c |-16

5 = 1b +c
29 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ 4 b & + c & = & 29 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$29$
$c + 4 b$	=	$29$	\| $- 4 b$
$c$	=	$29 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (29 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $29 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (29 - 4 b)$	=	$5$
$b + 29 - 4 b$	=	$5$
$- 3 b + 29$	=	$5$	\| $- 29$
$- 3 b$	=	$- 24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $29 - 4 \cdot 8$

= $29 - 32$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-3)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|2) und B(4|29) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(4|29): 29 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
29 = 16 +4b +c |-16

1 = 1b +c
13 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ 4 b & + c & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$13$
$c + 4 b$	=	$13$	\| $- 4 b$
$c$	=	$13 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (13 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (13 - 4 b)$	=	$1$
$b + 13 - 4 b$	=	$1$
$- 3 b + 13$	=	$1$	\| $- 13$
$- 3 b$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13 - 4 \cdot 4$

= $13 - 16$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 - 3$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 - 3$

= ${(x + 2)}^{2} - 7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - 3$ = $4 - 8 - 3$ = -7

also: S(-2|-7).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg