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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 2 y$ = $25$ .

Bestimme x so, dass (x|5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 x - 2 \cdot 5$ = $25$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 5 x - 2 \cdot 5$	=	$25$
$- 5 x - 10$	=	$25$	\| $+ 10$
$- 5 x$	=	$35$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (-7|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 5 y$ = $- 49$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|7)
denn -2⋅7 -5⋅7 = -14 -35 = $- 49$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|9)
denn -2⋅2 -5⋅9 = -4 -45 = $- 49$

Oder : (12|5)
denn -2⋅12 -5⋅5 = -24 -25 = $- 49$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + y & = & - 3 & (I) \\ - 3 x & + y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $- 3$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 1 \cdot (- 3)$	=	$- 12$
$- 3 x - 3$	=	$- 12$	\| $+ 3$
$- 3 x$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & - 18 & (I) \\ 3 x & + y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & - 18 & (I) \\ 3 x & + y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$- 11$
$y + 3 x$	=	$- 11$	\| $- 3 x$
$y$	=	$- 11 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & - 18 & (I) \\ + y & = & (- 11 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 11 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 4 \cdot (- 11 - 3 x)$	=	$- 18$
$- x - 44 - 12 x$	=	$- 18$
$- 13 x - 44$	=	$- 18$	\| $+ 44$
$- 13 x$	=	$26$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 11 - 3 \cdot (- 2)$

= $- 11 + 6$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 2 y & = & 25 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + 2 y & = & 25 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 2 y$	=	$25$
$2 y + 5 x$	=	$25$	\| $- 5 x$
$2 y$	=	$25 - 5 x$	\|: $2$
$y$	=	$\frac{25}{2} - \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{25}{2} - \frac{5}{2} x) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{25}{2} - \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 2 \cdot (\frac{25}{2} - \frac{5}{2} x)$	=	$20$
$4 x - 25 + 5 x$	=	$20$
$9 x - 25$	=	$20$	\| $+ 25$
$9 x$	=	$45$	\|: $9$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{25}{2} - \frac{5}{2} \cdot 5$

= $\frac{25}{2} - \frac{25}{2}$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (5|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$4 + y$	=	$2 x$			(I)
$2 (x + 3 y)$	=	$- x + 39 + 2 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$4 + y$	=	$2 x$			(I)
$2 (x + 3 y)$	=	$- x + 39 + 2 y$			(II)

$4 + y$	=	$2 x$	\| $- 4 - 2 x$		(I)
$2 x + 6 y$	=	$- x + 39 + 2 y$	\| + $x - 2 y$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 4 & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & 39 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$- 4$
$y - 2 x$	=	$- 4$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$- 4 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 4 + 2 x) & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & 39 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 4 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 4 \cdot (- 4 + 2 x)$	=	$39$
$3 x - 16 + 8 x$	=	$39$
$11 x - 16$	=	$39$	\| $+ 16$
$11 x$	=	$55$	\|: $11$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 4 + 2 \cdot 5$

= $- 4 + 10$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (5|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -4y = ?

3x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

5x -4y = 5 +16 = 21

3x -5y = 3 +20 = 23

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -4y = 21

3x -5y = 23

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & - 30 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & - 30 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 5 y$	=	$- 30$
$- 5 y - 5 x$	=	$- 30$	\| $+ 5 x$
$- 5 y$	=	$- 30 + 5 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$6 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (6 - x) & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $6 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot (6 - x)$	=	$- 9$
$2 x - 30 + 5 x$	=	$- 9$
$7 x - 30$	=	$- 9$	\| $+ 30$
$7 x$	=	$21$	\|: $7$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $6 - 3$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 8. Wenn man aber vom 4-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 2. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 6 y & = & 8 & (I) \\ 4 x & - 6 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 6 y$	=	$8$	\| $- 6 y$
$x$	=	$8 - 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (8 - 6 y) & (I) \\ 4 x & - 6 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $8 - 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (8 - 6 y) - 6 y$	=	$2$
$32 - 24 y - 6 y$	=	$2$
$- 30 y + 32$	=	$2$	\| $- 32$
$- 30 y$	=	$- 30$	\|:( $- 30$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $8 - 6 \cdot 1$

= $8 - 6$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 1

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|11) und B(-1|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|11): 11 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
11 = 1 +1b +c |-1
-5 = 1 -1b +c |-1

10 = 1b +c
-6 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 10 & (I) \\ - b & + c & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 6$
$c - b$	=	$- 6$	\| $+ b$
$c$	=	$- 6 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 10 & (I) \\ + c & = & (- 6 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 6 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 6 + b)$	=	$10$
$b - 6 + b$	=	$10$
$2 b - 6$	=	$10$	\| $+ 6$
$2 b$	=	$16$	\|: $2$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 6 + 8$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (8|2)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|4) und B(2|1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|1): 1 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
1 = 4 +2b +c |-4

3 = -1b +c
-3 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 3$
$c + 2 b$	=	$- 3$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 3 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (- 3 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 3 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 3 - 2 b)$	=	$3$
$- b - 3 - 2 b$	=	$3$
$- 3 b - 3$	=	$3$	\| $+ 3$
$- 3 b$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 3 - 2 \cdot (- 2)$

= $- 3 + 4$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 1$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 1$

= ${(x - 1)}^{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 1$ = $1 - 2 + 1$ = 0

also: S(1|0).

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1. Weg

2. Weg