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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + y$ = $4$ .

Bestimme x so, dass (x|-2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$x + (- 2)$ = $4$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x + (- 2)$	=	$4$
$x - 2$	=	$4$	\| $+ 2$
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 5 y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-4)
denn 4⋅5 +5⋅( - 4 ) = 20 -20 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (10|-8)
denn 4⋅10 +5⋅( - 8 ) = 40 -40 = 0

Oder : (0|0)
denn 4⋅0 +5⋅0 = 0 +0 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 26 & (I) \\ 2 x & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 26 & (I) \\ 2 x & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$10$	\|: $2$
$x$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 26 & (I) \\ x & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot 5 + 4 y$	=	$- 26$
$- 10 + 4 y$	=	$- 26$
$4 y - 10$	=	$- 26$	\| $+ 10$
$4 y$	=	$- 16$	\|: $4$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 8 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 8 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$8$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$8 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (8 + 3 y) & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $8 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (8 + 3 y) + 2 y$	=	$- 3$
$- 24 - 9 y + 2 y$	=	$- 3$
$- 7 y - 24$	=	$- 3$	\| $+ 24$
$- 7 y$	=	$21$	\|:( $- 7$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $8 + 3 \cdot (- 3)$

= $8 - 9$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 14 & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 14 & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 4 y$	=	$14$	\| $- 4 y$
$- x$	=	$14 - 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 14 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 14 + 4 y) & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 14 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 14 + 4 y) + 2 y$	=	$- 20$
$- 56 + 16 y + 2 y$	=	$- 20$
$18 y - 56$	=	$- 20$	\| $+ 56$
$18 y$	=	$36$	\|: $18$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 14 + 4 \cdot 2$

= $- 14 + 8$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{3} y & = & \frac{2}{15} & (I) \\ \frac{2}{3} x & + \frac{2}{5} y & = & \frac{12}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{3} y & = & \frac{2}{15} & (I) \\ \frac{2}{3} x & + \frac{2}{5} y & = & \frac{12}{5} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{1}{5} x - \frac{1}{3} y$	=	$\frac{2}{15}$
$- \frac{1}{3} y - \frac{1}{5} x$	=	$\frac{2}{15}$	\|⋅ 15
$15 (- \frac{1}{3} y - \frac{1}{5} x)$	=	$2$
$- 5 y - 3 x$	=	$2$	\| $+ 3 x$
$- 5 y$	=	$2 + 3 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- \frac{2}{5} - \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{2}{5} - \frac{3}{5} x) & (I) \\ \frac{2}{3} x & + \frac{2}{5} y & = & \frac{12}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{2}{5} - \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{2}{3} x + \frac{2}{5} \cdot (- \frac{2}{5} - \frac{3}{5} x)$	=	$\frac{12}{5}$
$\frac{2}{3} x - \frac{4}{25} - \frac{6}{25} x$	=	$\frac{12}{5}$
$\frac{32}{75} x - \frac{4}{25}$	=	$\frac{12}{5}$	\|⋅ 75
$75 (\frac{32}{75} x - \frac{4}{25})$	=	$180$
$32 x - 12$	=	$180$	\| $+ 12$
$32 x$	=	$192$	\|: $32$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{2}{5} - \frac{3}{5} \cdot 6$

= $- \frac{2}{5} - \frac{18}{5}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +2y = ?

-1x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-2x +2y = 10 +4 = 14

-1x -2y = 5 -4 = 1

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +2y = 14

-1x -2y = 1

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 16 & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 16 & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 3 y$	=	$- 16$
$- 3 y - 4 x$	=	$- 16$	\| $+ 4 x$
$- 3 y$	=	$- 16 + 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$\frac{16}{3} - \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{16}{3} - \frac{4}{3} x) & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{16}{3} - \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 3 \cdot (\frac{16}{3} - \frac{4}{3} x)$	=	$7$
$- 5 x + 16 - 4 x$	=	$7$
$- 9 x + 16$	=	$7$	\| $- 16$
$- 9 x$	=	$- 9$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{16}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1$

= $\frac{16}{3} - \frac{4}{3}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 180 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 240 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 4 y & = & 180 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 240 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 4 y$	=	$180$
$- 4 y + 2 x$	=	$180$	\| $- 2 x$
$- 4 y$	=	$180 - 2 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 45 + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 45 + \frac{1}{2} x) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 240 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 45 + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot (- 45 + \frac{1}{2} x)$	=	$240$
$2 x + 90 - x$	=	$240$
$x + 90$	=	$240$	\| $- 90$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 45 + \frac{1}{2} \cdot 150$

= $- 45 + 75$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (150|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-7) und B(2|8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-7): -7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|8): 8 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 -1b +c |-1
8 = 4 +2b +c |-4

-8 = -1b +c
4 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ 2 b & + c & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$4$
$c + 2 b$	=	$4$	\| $- 2 b$
$c$	=	$4 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ + c & = & (4 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $4 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (4 - 2 b)$	=	$- 8$
$- b + 4 - 2 b$	=	$- 8$
$- 3 b + 4$	=	$- 8$	\| $- 4$
$- 3 b$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $4 - 2 \cdot 4$

= $4 - 8$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-4)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(1|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|4): 4 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
4 = 1 +1b +c |-1

7 = -1b +c
3 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ b & + c & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$3$
$c + b$	=	$3$	\| $- b$
$c$	=	$3 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (3 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $3 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (3 - b)$	=	$7$
$- b + 3 - b$	=	$7$
$- 2 b + 3$	=	$7$	\| $- 3$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $3 - (- 2)$

= $3 + 2$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 5$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 5$

= ${(x - 1)}^{2} + 4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 5$ = $1 - 2 + 5$ = 4

also: S(1|4).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg