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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 4 y$ = $22$ .

Bestimme x so, dass (x|3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 x + 4 \cdot 3$ = $22$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 5 x + 4 \cdot 3$	=	$22$
$- 5 x + 12$	=	$22$	\| $- 12$
$- 5 x$	=	$10$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (-2|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 4 y$ = $- 34$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-6)
denn -2⋅5 +4⋅( - 6 ) = -10 -24 = $- 34$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (9|-4)
denn -2⋅9 +4⋅( - 4 ) = -18 -16 = $- 34$

Oder : (1|-8)
denn -2⋅1 +4⋅( - 8 ) = -2 -32 = $- 34$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 13 & (I) \\ 4 x & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 13 & (I) \\ 4 x & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$- 20$	\|: $4$
$x$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 13 & (I) \\ x & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 5) + 3 y$	=	$13$
$- 5 + 3 y$	=	$13$
$3 y - 5$	=	$13$	\| $+ 5$
$3 y$	=	$18$	\|: $3$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & - 7 & (I) \\ x & + 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + y & = & - 7 & (I) \\ x & + 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$4$	\| $- 2 y$
$x$	=	$4 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & - 7 & (I) \\ x & = & (4 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $4 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (4 - 2 y) + y$	=	$- 7$
$8 - 4 y + y$	=	$- 7$
$- 3 y + 8$	=	$- 7$	\| $- 8$
$- 3 y$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $4 - 2 \cdot 5$

= $4 - 10$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 16 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 16 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 4 y$	=	$16$
$- 4 y - 4 x$	=	$16$	\| $+ 4 x$
$- 4 y$	=	$16 + 4 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 4 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 4 - x) & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 4 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 3 \cdot (- 4 - x)$	=	$- 18$
$4 x - 12 - 3 x$	=	$- 18$
$x - 12$	=	$- 18$	\| $+ 12$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 4 - (- 6)$

= $- 4 + 6$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 5 y$	=	$x - 4 (1 + y)$			(I)
$5 (- x + 4) + 2 y$	=	0			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 5 y$	=	$x - 4 (1 + y)$			(I)
$5 (- x + 4) + 2 y$	=	0			(II)

$- 5 y$	=	$x - 4 - 4 y$	\| $- x + 4 y$		(I)
$- 5 x + 20 + 2 y$	=	0	\| $- 20$		(II)

\begin{matrix} - x & - y & = & - 4 & (I) \\ - 5 x & + 2 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x - y$	=	$- 4$
$- y - x$	=	$- 4$	\| $+ x$
$- y$	=	$- 4 + x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$4 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (4 - x) & (I) \\ - 5 x & + 2 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 2 \cdot (4 - x)$	=	$- 20$
$- 5 x + 8 - 2 x$	=	$- 20$
$- 7 x + 8$	=	$- 20$	\| $- 8$
$- 7 x$	=	$- 28$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4 - 4$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (4|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -2y = ?

4x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

2x -2y = 8 +10 = 18

4x -5y = 16 +25 = 41

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -2y = 18

4x -5y = 41

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 11 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 11 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x - y$	=	$11$
$- y + 2 x$	=	$11$	\| $- 2 x$
$- y$	=	$11 - 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 11 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 11 + 2 x) & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 11 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 3 \cdot (- 11 + 2 x)$	=	$12$
$3 x - 33 + 6 x$	=	$12$
$9 x - 33$	=	$12$	\| $+ 33$
$9 x$	=	$45$	\|: $9$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 11 + 2 \cdot 5$

= $- 11 + 10$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 7 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 2020 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1120 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & - 2 y & = & 2020 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 1120 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x - 2 y$	=	$2020$
$- 2 y + 7 x$	=	$2020$	\| $- 7 x$
$- 2 y$	=	$2020 - 7 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 1 010 + \frac{7}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 010 + \frac{7}{2} x) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 1120 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 010 + \frac{7}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 2 \cdot (- 1 010 + \frac{7}{2} x)$	=	$1120$
$4 x + 2 020 - 7 x$	=	$1120$
$- 3 x + 2 020$	=	$1120$	\| $- 2 020$
$- 3 x$	=	$- 900$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 010 + \frac{7}{2} \cdot 300$

= $- 1 010 + 1 050$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (300|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-1) und B(4|20) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-1): -1 = 1² + b⋅1 +c

B(4|20): 20 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 +1b +c |-1
20 = 16 +4b +c |-16

-2 = 1b +c
4 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 2 & (I) \\ 4 b & + c & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$4$
$c + 4 b$	=	$4$	\| $- 4 b$
$c$	=	$4 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (4 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $4 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (4 - 4 b)$	=	$- 2$
$b + 4 - 4 b$	=	$- 2$
$- 3 b + 4$	=	$- 2$	\| $- 4$
$- 3 b$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $4 - 4 \cdot 2$

= $4 - 8$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-10) und B(3|-18) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-10): -10 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-18): -18 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 +1b +c |-1
-18 = 9 +3b +c |-9

-11 = 1b +c
-27 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 27$
$c + 3 b$	=	$- 27$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 27 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (- 27 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 27 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 27 - 3 b)$	=	$- 11$
$b - 27 - 3 b$	=	$- 11$
$- 2 b - 27$	=	$- 11$	\| $+ 27$
$- 2 b$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 27 - 3 \cdot (- 8)$

= $- 27 + 24$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-3)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 3$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 3$

= ${(x - 4)}^{2} - 19$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-19).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 3$ = $16 - 32 - 3$ = -19

also: S(4|-19).

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1. Weg

2. Weg