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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 5 y$ = $- 35$ .

Bestimme y so, dass (5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot 5 - 5 y$ = $- 35$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot 5 - 5 y$	=	$- 35$
$- 15 - 5 y$	=	$- 35$
$- 5 y - 15$	=	$- 35$	\| $+ 15$
$- 5 y$	=	$- 20$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (5|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 2 y$ = $8$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|2)
denn 1⋅4 +2⋅2 = 4 +4 = $8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|1)
denn 1⋅6 +2⋅1 = 6 +2 = $8$

Oder : (2|3)
denn 1⋅2 +2⋅3 = 2 +6 = $8$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & - 27 & (I) \\ - y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & - 27 & (I) \\ - y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- y$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & - 27 & (I) \\ + y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 3 \cdot (- 4)$	=	$- 27$
$- 3 x - 12$	=	$- 27$	\| $+ 12$
$- 3 x$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 0 & (I) \\ 4 x & + y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 0 & (I) \\ 4 x & + y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$10$
$y + 4 x$	=	$10$	\| $- 4 x$
$y$	=	$10 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 0 & (I) \\ + y & = & (10 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $10 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 3 \cdot (10 - 4 x)$	=	0
$- 3 x + 30 - 12 x$	=	0
$- 15 x + 30$	=	0	\| $- 30$
$- 15 x$	=	$- 30$	\|:( $- 15$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $10 - 4 \cdot 2$

= $10 - 8$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 7 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 7 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 4 y$	=	$7$
$- 4 y + 3 x$	=	$7$	\| $- 3 x$
$- 4 y$	=	$7 - 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{7}{4} + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{7}{4} + \frac{3}{4} x) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{7}{4} + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot (- \frac{7}{4} + \frac{3}{4} x)$	=	$6$
$2 x + \frac{7}{2} - \frac{3}{2} x$	=	$6$
$\frac{1}{2} x + \frac{7}{2}$	=	$6$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x + \frac{7}{2})$	=	$12$
$x + 7$	=	$12$	\| $- 7$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{7}{4} + \frac{3}{4} \cdot 5$

= $- \frac{7}{4} + \frac{15}{4}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- x$	=	$16 + 5 y$			(I)
$- 5 x + 2 (16 + 3 y)$	=	$- 9 x + 2 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- x$	=	$16 + 5 y$			(I)
$- 5 x + 2 (16 + 3 y)$	=	$- 9 x + 2 y$			(II)

$- x$	=	$16 + 5 y$	\| $- 5 y$		(I)
$- 5 x + 32 + 6 y$	=	$- 9 x + 2 y$	\| $- 32 + 9 x - 2 y$		(II)

\begin{matrix} - x & - 5 y & = & 16 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 32 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 5 y$	=	$16$	\| $+ 5 y$
$- x$	=	$16 + 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 16 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 16 - 5 y) & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 32 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 16 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 16 - 5 y) + 4 y$	=	$- 32$
$- 64 - 20 y + 4 y$	=	$- 32$
$- 16 y - 64$	=	$- 32$	\| $+ 64$
$- 16 y$	=	$32$	\|:( $- 16$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 16 - 5 \cdot (- 2)$

= $- 16 + 10$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +1y = ?

2x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

3x +1y = 15 +4 = 19

2x -2y = 10 -8 = 2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +1y = 19

2x -2y = 2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 6 x & + 12 y & = & - 3 & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 6 x & + 12 y & = & - 3 & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 12 y$	=	$- 3$
$12 y + 6 x$	=	$- 3$	\| $- 6 x$
$12 y$	=	$- 3 - 6 x$	\|: $12$
$y$	=	$- \frac{1}{4} - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{4} - \frac{1}{2} x) & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{4} - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 4 \cdot (- \frac{1}{4} - \frac{1}{2} x)$	=	$2$
$- 2 x + 1 + 2 x$	=	$2$
$1$	=	$2$	\| $- 1$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 3 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 282 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 2 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 218 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 9 y & = & 282 & (I) \\ 2 x & + 7 y & = & 218 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 9 y$	=	$282$
$9 y + 3 x$	=	$282$	\| $- 3 x$
$9 y$	=	$282 - 3 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{94}{3} - \frac{1}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{94}{3} - \frac{1}{3} x) & (I) \\ 2 x & + 7 y & = & 218 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{94}{3} - \frac{1}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 7 \cdot (\frac{94}{3} - \frac{1}{3} x)$	=	$218$
$2 x + \frac{658}{3} - \frac{7}{3} x$	=	$218$
$- \frac{1}{3} x + \frac{658}{3}$	=	$218$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{1}{3} x + \frac{658}{3})$	=	$654$
$- x + 658$	=	$654$	\| $- 658$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{94}{3} - \frac{1}{3} \cdot 4$

= $\frac{94}{3} - \frac{4}{3}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (4|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|4) und B(-3|28) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|28): 28 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
28 = 9 -3b +c |-9

3 = -1b +c
19 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$19$
$c - 3 b$	=	$19$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$19 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (19 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $19 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (19 + 3 b)$	=	$3$
$- b + 19 + 3 b$	=	$3$
$2 b + 19$	=	$3$	\| $- 19$
$2 b$	=	$- 16$	\|: $2$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $19 + 3 \cdot (- 8)$

= $19 - 24$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-5)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(2|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|4): 4 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
4 = 4 +2b +c |-4

6 = -1b +c
0 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ 2 b & + c & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	0
$c + 2 b$	=	0	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & - 2 b & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch $- 2 b$ ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 2 b)$	=	$6$
$- b - 2 b$	=	$6$
$- 3 b$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 2 \cdot (- 2)$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 4$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 4$

= ${(x - 1)}^{2} + 3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 4$ = $1 - 2 + 4$ = 3

also: S(1|3).

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1. Weg

2. Weg