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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 2 y$ = $- 13$ .

Bestimme y so, dass (1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$1 + 2 y$ = $- 13$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$1 + 2 y$	=	$- 13$
$1 + 2 y$	=	$- 13$
$2 y + 1$	=	$- 13$	\| $- 1$
$2 y$	=	$- 14$	\|: $2$
$y$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (1|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - 2 y$ = $14$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|-1)
denn -4⋅( - 3 ) -2⋅( - 1 ) = 12 +2 = $14$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|3)
denn -4⋅( - 5 ) -2⋅3 = 20 -6 = $14$

Oder : (-1|-5)
denn -4⋅( - 1 ) -2⋅( - 5 ) = 4 +10 = $14$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 16 & (I) \\ 3 x & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 16 & (I) \\ 3 x & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 16 & (I) \\ x & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot 2 + 4 y$	=	$16$
$- 4 + 4 y$	=	$16$
$4 y - 4$	=	$16$	\| $+ 4$
$4 y$	=	$20$	\|: $4$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & = & 12 & (I) \\ 3 x & + y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & = & 12 & (I) \\ 3 x & + y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 4 & (I) \\ 3 x & + y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 4) + y$	=	$- 7$
$- 12 + y$	=	$- 7$
$y - 12$	=	$- 7$	\| $+ 12$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 4 & (I) \\ 4 x & + y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 4 & (I) \\ 4 x & + y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$20$
$y + 4 x$	=	$20$	\| $- 4 x$
$y$	=	$20 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 4 & (I) \\ + y & = & (20 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $20 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot (20 - 4 x)$	=	$4$
$4 x - 60 + 12 x$	=	$4$
$16 x - 60$	=	$4$	\| $+ 60$
$16 x$	=	$64$	\|: $16$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $20 - 4 \cdot 4$

= $20 - 16$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 5 & (I) \\ \frac{3}{4} x & + \frac{3}{5} y & = & - \frac{21}{10} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 5 & (I) \\ \frac{3}{4} x & + \frac{3}{5} y & = & - \frac{21}{10} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x - y$	=	$- 5$
$- y + 3 x$	=	$- 5$	\| $- 3 x$
$- y$	=	$- 5 - 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$5 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (5 + 3 x) & (I) \\ \frac{3}{4} x & + \frac{3}{5} y & = & - \frac{21}{10} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{4} x + \frac{3}{5} \cdot (5 + 3 x)$	=	$- \frac{21}{10}$
$\frac{3}{4} x + 3 + \frac{9}{5} x$	=	$- \frac{21}{10}$
$\frac{51}{20} x + 3$	=	$- \frac{21}{10}$	\|⋅ 20
$20 (\frac{51}{20} x + 3)$	=	$- 42$
$51 x + 60$	=	$- 42$	\| $- 60$
$51 x$	=	$- 102$	\|: $51$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5 + 3 \cdot (- 2)$

= $5 - 6$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -5y = ?

2x +9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-1x -5y = 3 -10 = -7

2x +9y = -6 +18 = 12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -5y = -7

2x +9y = 12

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 3 & (I) \\ 6 x & - 4 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 3 & (I) \\ 6 x & - 4 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 2 y$	=	$- 3$
$2 y - 3 x$	=	$- 3$	\| $+ 3 x$
$2 y$	=	$- 3 + 3 x$	\|: $2$
$y$	=	$- \frac{3}{2} + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{3}{2} + \frac{3}{2} x) & (I) \\ 6 x & - 4 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{3}{2} + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 4 \cdot (- \frac{3}{2} + \frac{3}{2} x)$	=	$9$
$6 x + 6 - 6 x$	=	$9$
$6$	=	$9$	\| $- 6$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 3 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 50 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 2 Halogenleuchten zusammen 36 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 3 y & = & 50 & (I) \\ 6 x & + 2 y & = & 36 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 3 y$	=	$50$
$3 y + 5 x$	=	$50$	\| $- 5 x$
$3 y$	=	$50 - 5 x$	\|: $3$
$y$	=	$\frac{50}{3} - \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{50}{3} - \frac{5}{3} x) & (I) \\ 6 x & + 2 y & = & 36 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{50}{3} - \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 2 \cdot (\frac{50}{3} - \frac{5}{3} x)$	=	$36$
$6 x + \frac{100}{3} - \frac{10}{3} x$	=	$36$
$\frac{8}{3} x + \frac{100}{3}$	=	$36$	\|⋅ 3
$3 (\frac{8}{3} x + \frac{100}{3})$	=	$108$
$8 x + 100$	=	$108$	\| $- 100$
$8 x$	=	$8$	\|: $8$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{50}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1$

= $\frac{50}{3} - \frac{5}{3}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (1|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-11) und B(2|22) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-11): -11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|22): 22 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-11 = 1 -1b +c |-1
22 = 4 +2b +c |-4

-12 = -1b +c
18 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 12 & (I) \\ 2 b & + c & = & 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$18$
$c + 2 b$	=	$18$	\| $- 2 b$
$c$	=	$18 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 12 & (I) \\ + c & = & (18 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $18 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (18 - 2 b)$	=	$- 12$
$- b + 18 - 2 b$	=	$- 12$
$- 3 b + 18$	=	$- 12$	\| $- 18$
$- 3 b$	=	$- 30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $18 - 2 \cdot 10$

= $18 - 20$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-2)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-8) und B(-4|-11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-8): -8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-11): -11 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 -1b +c |-1
-11 = 16 -4b +c |-16

-9 = -1b +c
-27 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 9 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 27$
$c - 4 b$	=	$- 27$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 27 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 9 & (I) \\ + c & = & (- 27 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 27 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 27 + 4 b)$	=	$- 9$
$- b - 27 + 4 b$	=	$- 9$
$3 b - 27$	=	$- 9$	\| $+ 27$
$3 b$	=	$18$	\|: $3$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 27 + 4 \cdot 6$

= $- 27 + 24$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-3)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 - 3$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 - 3$

= ${(x + 3)}^{2} - 12$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-12).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) - 3$ = $9 - 18 - 3$ = -12

also: S(-3|-12).

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1. Weg

2. Weg