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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 2 y$ = $18$ .

Bestimme y so, dass (2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$3 \cdot 2 - 2 y$ = $18$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3 \cdot 2 - 2 y$	=	$18$
$6 - 2 y$	=	$18$
$- 2 y + 6$	=	$18$	\| $- 6$
$- 2 y$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (2|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 3 y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|0)
denn 1⋅0 +3⋅0 = 0 +0 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|-1)
denn 1⋅3 +3⋅( - 1 ) = 3 -3 = 0

Oder : (-3|1)
denn 1⋅( - 3 ) +3⋅1 = -3 +3 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + y & = & - 5 & (I) \\ - 3 x & + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $- 5$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 3 \cdot (- 5)$	=	$- 9$
$- 3 x - 15$	=	$- 9$	\| $+ 15$
$- 3 x$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 4 & (I) \\ - x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 4 & (I) \\ - x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x - y$	=	0
$- y - x$	=	0	\| $+ x$
$- y$	=	$x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 4 & (I) \\ + y & = & - x & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 1 \cdot (- x)$	=	$- 4$
$- 3 x - x$	=	$- 4$
$- 4 x$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & 0 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & 0 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 3 y$	=	0	\| $- 3 y$
$- x$	=	$- 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 3 y & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $3 y$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot 3 y + 2 y$	=	$- 22$
$9 y + 2 y$	=	$- 22$
$11 y$	=	$- 22$	\|: $11$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $3 \cdot (- 2)$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3 (- 1 + y)$	=	$4 x$			(I)
$- 3 x - 5 y$	=	$- 5 x - 19$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3 (- 1 + y)$	=	$4 x$			(I)
$- 3 x - 5 y$	=	$- 5 x - 19$			(II)

$- 3 + 3 y$	=	$4 x$	\| + $3 - 4 x$		(I)
$- 3 x - 5 y$	=	$- 5 x - 19$	\| + $5 x$		(II)

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & 3 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 3 y$	=	$3$
$3 y - 4 x$	=	$3$	\| $+ 4 x$
$3 y$	=	$3 + 4 x$	\|: $3$
$y$	=	$1 + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 + \frac{4}{3} x) & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot (1 + \frac{4}{3} x)$	=	$- 19$
$2 x - 5 - \frac{20}{3} x$	=	$- 19$
$- \frac{14}{3} x - 5$	=	$- 19$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{14}{3} x - 5)$	=	$- 57$
$- 14 x - 15$	=	$- 57$	\| $+ 15$
$- 14 x$	=	$- 42$	\|:( $- 14$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1 + \frac{4}{3} \cdot 3$

= $1 + 4$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -3y = ?

-1x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-4x -3y = -4 -9 = -13

-1x -3y = -1 -9 = -10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -3y = -13

-1x -3y = -10

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 1 & (I) \\ 12 x & + 4 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 1 & (I) \\ 12 x & + 4 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x - y$	=	$1$
$- y - 3 x$	=	$1$	\| $+ 3 x$
$- y$	=	$1 + 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 1 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 - 3 x) & (I) \\ 12 x & + 4 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$12 x + 4 \cdot (- 1 - 3 x)$	=	$- 4$
$12 x - 4 - 12 x$	=	$- 4$
$- 4$	=	$- 4$	\| $+ 4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 4. Wenn man aber vom 3-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -3. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 4 & (I) \\ 3 x & - 6 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$4$	\| $- 3 y$
$x$	=	$4 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (4 - 3 y) & (I) \\ 3 x & - 6 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $4 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (4 - 3 y) - 6 y$	=	$- 3$
$12 - 9 y - 6 y$	=	$- 3$
$- 15 y + 12$	=	$- 3$	\| $- 12$
$- 15 y$	=	$- 15$	\|:( $- 15$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $4 - 3 \cdot 1$

= $4 - 3$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 1

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|14) und B(-1|-6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|14): 14 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
14 = 1 +1b +c |-1
-6 = 1 -1b +c |-1

13 = 1b +c
-7 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 13 & (I) \\ - b & + c & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 7$
$c - b$	=	$- 7$	\| $+ b$
$c$	=	$- 7 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 13 & (I) \\ + c & = & (- 7 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 7 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 7 + b)$	=	$13$
$b - 7 + b$	=	$13$
$2 b - 7$	=	$13$	\| $+ 7$
$2 b$	=	$20$	\|: $2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 7 + 10$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (10|3)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-9) und B(2|18) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-9): -9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|18): 18 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-9 = 1 -1b +c |-1
18 = 4 +2b +c |-4

-10 = -1b +c
14 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 10 & (I) \\ 2 b & + c & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$14$
$c + 2 b$	=	$14$	\| $- 2 b$
$c$	=	$14 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 10 & (I) \\ + c & = & (14 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $14 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (14 - 2 b)$	=	$- 10$
$- b + 14 - 2 b$	=	$- 10$
$- 3 b + 14$	=	$- 10$	\| $- 14$
$- 3 b$	=	$- 24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $14 - 2 \cdot 8$

= $14 - 16$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-2)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 - 2$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 - 2$

= ${(x + 4)}^{2} - 18$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-18).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) - 2$ = $16 - 32 - 2$ = -18

also: S(-4|-18).

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg