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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 4 y$ = $7$ .

Bestimme y so, dass (-3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$- (- 3) + 4 y$ = $7$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- (- 3) + 4 y$	=	$7$
$3 + 4 y$	=	$7$
$4 y + 3$	=	$7$	\| $- 3$
$4 y$	=	$4$	\|: $4$
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (-3|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 3 y$ = $24$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|2)
denn -5⋅( - 6 ) -3⋅2 = 30 -6 = $24$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-9|7)
denn -5⋅( - 9 ) -3⋅7 = 45 -21 = $24$

Oder : (-3|-3)
denn -5⋅( - 3 ) -3⋅( - 3 ) = 15 +9 = $24$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & - 2 & (I) \\ - 4 x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & - 2 & (I) \\ - 4 x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & - 2 & (I) \\ x & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot 1 + 3 y$	=	$- 2$
$4 + 3 y$	=	$- 2$
$3 y + 4$	=	$- 2$	\| $- 4$
$3 y$	=	$- 6$	\|: $3$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 0 & (I) \\ 2 x & + y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 0 & (I) \\ 2 x & + y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$3$
$y + 2 x$	=	$3$	\| $- 2 x$
$y$	=	$3 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 0 & (I) \\ + y & = & (3 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $3 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot (3 - 2 x)$	=	0
$2 x - 6 + 4 x$	=	0
$6 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$6 x$	=	$6$	\|: $6$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $3 - 2 \cdot 1$

= $3 - 2$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 2 y & = & 40 & (I) \\ - x & + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + 2 y & = & 40 & (I) \\ - x & + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x + y$	=	$- 1$
$y - x$	=	$- 1$	\| $+ x$
$y$	=	$- 1 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 5 x & + 2 y & = & 40 & (I) \\ + y & = & (- 1 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 1 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 2 \cdot (- 1 + x)$	=	$40$
$5 x - 2 + 2 x$	=	$40$
$7 x - 2$	=	$40$	\| $+ 2$
$7 x$	=	$42$	\|: $7$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 1 + 6$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 1 - 5 y$	=	$- x$			(I)
$5 (- x + 4) + 5 y$	=	$- 9 x + y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 1 - 5 y$	=	$- x$			(I)
$5 (- x + 4) + 5 y$	=	$- 9 x + y$			(II)

$- 1 - 5 y$	=	$- x$	\| + $1 + x$		(I)
$- 5 x + 20 + 5 y$	=	$- 9 x + y$	\| $- 20 + 9 x - y$		(II)

\begin{matrix} x & - 5 y & = & 1 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 5 y$	=	$1$	\| $+ 5 y$
$x$	=	$1 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (1 + 5 y) & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $1 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (1 + 5 y) + 4 y$	=	$- 20$
$4 + 20 y + 4 y$	=	$- 20$
$24 y + 4$	=	$- 20$	\| $- 4$
$24 y$	=	$- 24$	\|: $24$
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $1 + 5 \cdot (- 1)$

= $1 - 5$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +1y = ?

3x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

1x +1y = -4 +1 = -3

3x +2y = -12 +2 = -10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +1y = -3

3x +2y = -10

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 6 x & - 8 y & = & 5 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 6 x & - 8 y & = & 5 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x - 8 y$	=	$5$
$- 8 y + 6 x$	=	$5$	\| $- 6 x$
$- 8 y$	=	$5 - 6 x$	\|:( $- 8$ )
$y$	=	$- \frac{5}{8} + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{5}{8} + \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{5}{8} + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 4 \cdot (- \frac{5}{8} + \frac{3}{4} x)$	=	$- 3$
$- 3 x - \frac{5}{2} + 3 x$	=	$- 3$
$- \frac{5}{2}$	=	$- 3$	\| $+ \frac{5}{2}$
0	=	$- \frac{1}{2}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 725 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 380 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & - 5 y & = & 725 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 380 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x - 5 y$	=	$725$
$- 5 y + 6 x$	=	$725$	\| $- 6 x$
$- 5 y$	=	$725 - 6 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 145 + \frac{6}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 145 + \frac{6}{5} x) & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 380 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 145 + \frac{6}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 2 \cdot (- 145 + \frac{6}{5} x)$	=	$380$
$3 x + 290 - \frac{12}{5} x$	=	$380$
$\frac{3}{5} x + 290$	=	$380$	\|⋅ 5
$5 (\frac{3}{5} x + 290)$	=	$1 900$
$3 x + 1 450$	=	$1 900$	\| $- 1 450$
$3 x$	=	$450$	\|: $3$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 145 + \frac{6}{5} \cdot 150$

= $- 145 + 180$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(-4|47) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|47): 47 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
47 = 16 -4b +c |-16

7 = -1b +c
31 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 31 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$31$
$c - 4 b$	=	$31$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$31 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (31 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $31 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (31 + 4 b)$	=	$7$
$- b + 31 + 4 b$	=	$7$
$3 b + 31$	=	$7$	\| $- 31$
$3 b$	=	$- 24$	\|: $3$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $31 + 4 \cdot (- 8)$

= $31 - 32$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-1)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|5) und B(2|2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|5): 5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|2): 2 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 -1b +c |-1
2 = 4 +2b +c |-4

4 = -1b +c
-2 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 2$
$c + 2 b$	=	$- 2$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 2 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (- 2 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 2 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 2 - 2 b)$	=	$4$
$- b - 2 - 2 b$	=	$4$
$- 3 b - 2$	=	$4$	\| $+ 2$
$- 3 b$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 2 - 2 \cdot (- 2)$

= $- 2 + 4$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 2$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 2$

= ${(x - 1)}^{2} + 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 2$ = $1 - 2 + 2$ = 1

also: S(1|1).

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg