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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - y$ = $- 7$ .

Bestimme x so, dass (x|3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x - 3$ = $- 7$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x - 3$	=	$- 7$
$2 x - 3$	=	$- 7$	\| $+ 3$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (-2|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 3 y$ = $- 13$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|7)
denn 2⋅4 -3⋅7 = 8 -21 = $- 13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|5)
denn 2⋅1 -3⋅5 = 2 -15 = $- 13$

Oder : (7|9)
denn 2⋅7 -3⋅9 = 14 -27 = $- 13$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 5 & (I) \\ - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 5 & (I) \\ - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 5 & (I) \\ + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot 2$	=	$- 5$
$- 3 x - 8$	=	$- 5$	\| $+ 8$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 5 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 5 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$- 5$
$y - 2 x$	=	$- 5$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$- 5 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 5 + 2 x) & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 5 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot (- 5 + 2 x)$	=	$12$
$4 x + 20 - 8 x$	=	$12$
$- 4 x + 20$	=	$12$	\| $- 20$
$- 4 x$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5 + 2 \cdot 2$

= $- 5 + 4$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 24 & (I) \\ 2 x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 24 & (I) \\ 2 x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x - y$	=	0
$- y + 2 x$	=	0	\| $- 2 x$
$- y$	=	$- 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 24 & (I) \\ + y & = & 2 x & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $2 x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot 2 x$	=	$- 24$
$4 x + 8 x$	=	$- 24$
$12 x$	=	$- 24$	\|: $12$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2 \cdot (- 2)$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{5} x & + \frac{1}{5} y & = & - \frac{3}{5} & (I) \\ - 3 x & + 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{5} x & + \frac{1}{5} y & = & - \frac{3}{5} & (I) \\ - 3 x & + 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{5} x + \frac{1}{5} y$	=	$- \frac{3}{5}$
$\frac{1}{5} y + \frac{1}{5} x$	=	$- \frac{3}{5}$	\|⋅ 5
$5 (\frac{1}{5} y + \frac{1}{5} x)$	=	$- 3$
$y + x$	=	$- 3$	\| $- x$
$y$	=	$- 3 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 3 - x) & (I) \\ - 3 x & + 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 3 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 3 \cdot (- 3 - x)$	=	$3$
$- 3 x - 9 - 3 x$	=	$3$
$- 6 x - 9$	=	$3$	\| $+ 9$
$- 6 x$	=	$12$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 3 - (- 2)$

= $- 3 + 2$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -2y = ?

7x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

4x -2y = -12 -8 = -20

7x -2y = -21 -8 = -29

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -2y = -20

7x -2y = -29

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ 16 x & + 8 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ 16 x & + 8 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 2 y$	=	$2$
$- 2 y - 4 x$	=	$2$	\| $+ 4 x$
$- 2 y$	=	$2 + 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 1 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 - 2 x) & (I) \\ 16 x & + 8 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$16 x + 8 \cdot (- 1 - 2 x)$	=	$- 8$
$16 x - 8 - 16 x$	=	$- 8$
$- 8$	=	$- 8$	\| $+ 8$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 367 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 2 Halogenleuchten zusammen 89 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 9 y & = & 367 & (I) \\ 9 x & + 2 y & = & 89 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 9 y$	=	$367$
$9 y + 7 x$	=	$367$	\| $- 7 x$
$9 y$	=	$367 - 7 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{367}{9} - \frac{7}{9} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{367}{9} - \frac{7}{9} x) & (I) \\ 9 x & + 2 y & = & 89 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{367}{9} - \frac{7}{9} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9 x + 2 \cdot (\frac{367}{9} - \frac{7}{9} x)$	=	$89$
$9 x + \frac{734}{9} - \frac{14}{9} x$	=	$89$
$\frac{67}{9} x + \frac{734}{9}$	=	$89$	\|⋅ 9
$9 (\frac{67}{9} x + \frac{734}{9})$	=	$801$
$67 x + 734$	=	$801$	\| $- 734$
$67 x$	=	$67$	\|: $67$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{367}{9} - \frac{7}{9} \cdot 1$

= $\frac{367}{9} - \frac{7}{9}$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (1|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|4) und B(2|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-5): -5 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
-5 = 4 +2b +c |-4

3 = -1b +c
-9 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 9$
$c + 2 b$	=	$- 9$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 9 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (- 9 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 9 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 9 - 2 b)$	=	$3$
$- b - 9 - 2 b$	=	$3$
$- 3 b - 9$	=	$3$	\| $+ 9$
$- 3 b$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 9 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 9 + 8$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|14) und B(3|42) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|14): 14 = 1² + b⋅1 +c

B(3|42): 42 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
14 = 1 +1b +c |-1
42 = 9 +3b +c |-9

13 = 1b +c
33 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 13 & (I) \\ 3 b & + c & = & 33 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$33$
$c + 3 b$	=	$33$	\| $- 3 b$
$c$	=	$33 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 13 & (I) \\ + c & = & (33 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $33 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (33 - 3 b)$	=	$13$
$b + 33 - 3 b$	=	$13$
$- 2 b + 33$	=	$13$	\| $- 33$
$- 2 b$	=	$- 20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $33 - 3 \cdot 10$

= $33 - 30$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (10|3)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 3$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 3$

= ${(x + 5)}^{2} - 22$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-22).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 3$ = $25 - 50 + 3$ = -22

also: S(-5|-22).

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Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg