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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 5 y$ = $35$ .

Bestimme x so, dass (x|7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x + 5 \cdot 7$ = $35$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x + 5 \cdot 7$	=	$35$
$4 x + 35$	=	$35$	\| $- 35$
$4 x$	=	0	\|: $4$
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 2 y$ = $- 32$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-6)
denn 5⋅( - 4 ) +2⋅( - 6 ) = -20 -12 = $- 32$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-11)
denn 5⋅( - 2 ) +2⋅( - 11 ) = -10 -22 = $- 32$

Oder : (-6|-1)
denn 5⋅( - 6 ) +2⋅( - 1 ) = -30 -2 = $- 32$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 40 & (I) \\ + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 40 & (I) \\ + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$- 8$	\|: $2$
$y$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 40 & (I) \\ + y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot (- 4)$	=	$40$
$4 x + 16$	=	$40$	\| $- 16$
$4 x$	=	$24$	\|: $4$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 7 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 7 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$7$
$y - 3 x$	=	$7$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$7 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (7 + 3 x) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $7 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 2 \cdot (7 + 3 x)$	=	$- 12$
$4 x - 14 - 6 x$	=	$- 12$
$- 2 x - 14$	=	$- 12$	\| $+ 14$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $7 + 3 \cdot (- 1)$

= $7 - 3$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & 27 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & 27 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 3 y$	=	$27$
$3 y + 4 x$	=	$27$	\| $- 4 x$
$3 y$	=	$27 - 4 x$	\|: $3$
$y$	=	$9 - \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (9 - \frac{4}{3} x) & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $9 - \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot (9 - \frac{4}{3} x)$	=	$21$
$2 x + 27 - 4 x$	=	$21$
$- 2 x + 27$	=	$21$	\| $- 27$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $9 - \frac{4}{3} \cdot 3$

= $9 - 4$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - \frac{3}{5} y & = & \frac{28}{5} & (I) \\ - \frac{3}{2} x & + \frac{3}{2} y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - \frac{3}{5} y & = & \frac{28}{5} & (I) \\ - \frac{3}{2} x & + \frac{3}{2} y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - \frac{3}{5} y$	=	$\frac{28}{5}$	\|⋅ 5
$5 (x - \frac{3}{5} y)$	=	$28$
$5 x - 3 y$	=	$28$	\| $+ 3 y$
$5 x$	=	$28 + 3 y$	\|: $5$
$x$	=	$\frac{28}{5} + \frac{3}{5} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (\frac{28}{5} + \frac{3}{5} y) & (I) \\ - \frac{3}{2} x & + \frac{3}{2} y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $\frac{28}{5} + \frac{3}{5} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- \frac{3}{2} \cdot (\frac{28}{5} + \frac{3}{5} y) + \frac{3}{2} y$	=	$- 9$
$- \frac{42}{5} - \frac{9}{10} y + \frac{3}{2} y$	=	$- 9$
$\frac{3}{5} y - \frac{42}{5}$	=	$- 9$	\|⋅ 5
$5 (\frac{3}{5} y - \frac{42}{5})$	=	$- 45$
$3 y - 42$	=	$- 45$	\| $+ 42$
$3 y$	=	$- 3$	\|: $3$
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $\frac{28}{5} + \frac{3}{5} \cdot (- 1)$

= $\frac{28}{5} - \frac{3}{5}$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +3y = ?

-8x +9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-4x +3y = 12 -15 = -3

-8x +9y = 24 -45 = -21

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +3y = -3

-8x +9y = -21

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 0 & (I) \\ 5 x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 0 & (I) \\ 5 x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$5 x - y$	=	0
$- y + 5 x$	=	0	\| $- 5 x$
$- y$	=	$- 5 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 0 & (I) \\ + y & = & 5 x & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $5 x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot 5 x$	=
$4 x - 15 x$	=
$- 11 x$	=	\|:( $- 11$ )
$x$	=

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $5 \cdot (0)$

= 0

also

y = -0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-0)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 21. Wenn man aber vom 3-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -21. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 21 & (I) \\ 3 x & - 6 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$21$	\| $- 5 y$
$x$	=	$21 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (21 - 5 y) & (I) \\ 3 x & - 6 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $21 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (21 - 5 y) - 6 y$	=	$- 21$
$63 - 15 y - 6 y$	=	$- 21$
$- 21 y + 63$	=	$- 21$	\| $- 63$
$- 21 y$	=	$- 84$	\|:( $- 21$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $21 - 5 \cdot 4$

= $21 - 20$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 4

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|0) und B(-2|-1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-1): -1 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
-1 = 4 -2b +c |-4

-1 = -1b +c
-5 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 5$
$c - 2 b$	=	$- 5$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 5 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (- 5 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 5 + 2 b)$	=	$- 1$
$- b - 5 + 2 b$	=	$- 1$
$b - 5$	=	$- 1$	\| $+ 5$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 + 2 \cdot 4$

= $- 5 + 8$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-6) und B(-3|-10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-10): -10 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
-10 = 9 -3b +c |-9

-7 = -1b +c
-19 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 19$
$c - 3 b$	=	$- 19$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 19 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 19 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 19 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 19 + 3 b)$	=	$- 7$
$- b - 19 + 3 b$	=	$- 7$
$2 b - 19$	=	$- 7$	\| $+ 19$
$2 b$	=	$12$	\|: $2$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 19 + 3 \cdot 6$

= $- 19 + 18$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 - 1$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 - 1$

= ${(x + 3)}^{2} - 10$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-10).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) - 1$ = $9 - 18 - 1$ = -10

also: S(-3|-10).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg