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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 3 y$ = $18$ .

Bestimme y so, dass (-6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 \cdot (- 6) + 3 y$ = $18$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 6) + 3 y$	=	$18$
$24 + 3 y$	=	$18$
$3 y + 24$	=	$18$	\| $- 24$
$3 y$	=	$- 6$	\|: $3$
$y$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (-6|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 2 y$ = $- 2$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|1)
denn -4⋅1 +2⋅1 = -4 +2 = $- 2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|5)
denn -4⋅3 +2⋅5 = -12 +10 = $- 2$

Oder : (-1|-3)
denn -4⋅( - 1 ) +2⋅( - 3 ) = 4 -6 = $- 2$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - y & = & - 2 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - y & = & - 2 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- y$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 2 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 2 \cdot 2$	=	$- 16$
$3 x - 4$	=	$- 16$	\| $+ 4$
$3 x$	=	$- 12$	\|: $3$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 4 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 4 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$4$	\| $- 4 y$
$x$	=	$4 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (4 - 4 y) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $4 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (4 - 4 y) - 2 y$	=	$- 20$
$16 - 16 y - 2 y$	=	$- 20$
$- 18 y + 16$	=	$- 20$	\| $- 16$
$- 18 y$	=	$- 36$	\|:( $- 18$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $4 - 4 \cdot 2$

= $4 - 8$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & 23 & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & - 32 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & 23 & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & - 32 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 2 y$	=	$23$
$- 2 y + 3 x$	=	$23$	\| $- 3 x$
$- 2 y$	=	$23 - 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- \frac{23}{2} + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{23}{2} + \frac{3}{2} x) & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & - 32 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{23}{2} + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 3 \cdot (- \frac{23}{2} + \frac{3}{2} x)$	=	$- 32$
$- 4 x - \frac{69}{2} + \frac{9}{2} x$	=	$- 32$
$\frac{1}{2} x - \frac{69}{2}$	=	$- 32$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x - \frac{69}{2})$	=	$- 64$
$x - 69$	=	$- 64$	\| $+ 69$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{23}{2} + \frac{3}{2} \cdot 5$

= $- \frac{23}{2} + \frac{15}{2}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{5} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{29}{10} & (I) \\ - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{17}{20} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{5} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{29}{10} & (I) \\ - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{17}{20} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{5} x - \frac{1}{2} y$	=	$\frac{29}{10}$
$- \frac{1}{2} y + \frac{1}{5} x$	=	$\frac{29}{10}$	\|⋅ 10
$10 (- \frac{1}{2} y + \frac{1}{5} x)$	=	$29$
$- 5 y + 2 x$	=	$29$	\| $- 2 x$
$- 5 y$	=	$29 - 2 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- \frac{29}{5} + \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{29}{5} + \frac{2}{5} x) & (I) \\ - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{17}{20} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{29}{5} + \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{5} x - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{29}{5} + \frac{2}{5} x)$	=	$\frac{17}{20}$
$- \frac{1}{5} x + \frac{29}{20} - \frac{1}{10} x$	=	$\frac{17}{20}$
$- \frac{3}{10} x + \frac{29}{20}$	=	$\frac{17}{20}$	\|⋅ 20
$20 (- \frac{3}{10} x + \frac{29}{20})$	=	$17$
$- 6 x + 29$	=	$17$	\| $- 29$
$- 6 x$	=	$- 12$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{29}{5} + \frac{2}{5} \cdot 2$

= $- \frac{29}{5} + \frac{4}{5}$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x -4y = ?

1x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-3x -4y = 6 +20 = 26

1x +2y = -2 -10 = -12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x -4y = 26

1x +2y = -12

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & 12 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & 12 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 4 y$	=	$12$
$4 y + 2 x$	=	$12$	\| $- 2 x$
$4 y$	=	$12 - 2 x$	\|: $4$
$y$	=	$3 - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3 - \frac{1}{2} x) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3 - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 4 \cdot (3 - \frac{1}{2} x)$	=	$- 26$
$5 x - 12 + 2 x$	=	$- 26$
$7 x - 12$	=	$- 26$	\| $+ 12$
$7 x$	=	$- 14$	\|: $7$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3 - \frac{1}{2} \cdot (- 2)$

= $3 + 1$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1650 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 780 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & - 5 y & = & 1650 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 780 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x - 5 y$	=	$1650$
$- 5 y + 6 x$	=	$1650$	\| $- 6 x$
$- 5 y$	=	$1650 - 6 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 330 + \frac{6}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 330 + \frac{6}{5} x) & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 780 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 330 + \frac{6}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 4 \cdot (- 330 + \frac{6}{5} x)$	=	$780$
$3 x + 1 320 - \frac{24}{5} x$	=	$780$
$- \frac{9}{5} x + 1 320$	=	$780$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{9}{5} x + 1 320)$	=	$3 900$
$- 9 x + 6 600$	=	$3 900$	\| $- 6 600$
$- 9 x$	=	$- 2 700$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 330 + \frac{6}{5} \cdot 300$

= $- 330 + 360$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|0) und B(2|5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(2|5): 5 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
5 = 4 +2b +c |-4

-1 = 1b +c
1 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ 2 b & + c & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$1$
$c + 2 b$	=	$1$	\| $- 2 b$
$c$	=	$1 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (1 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $1 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (1 - 2 b)$	=	$- 1$
$b + 1 - 2 b$	=	$- 1$
$- b + 1$	=	$- 1$	\| $- 1$
$- b$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $1 - 2 \cdot 2$

= $1 - 4$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-2) und B(2|19) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|19): 19 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 -1b +c |-1
19 = 4 +2b +c |-4

-3 = -1b +c
15 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ 2 b & + c & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$15$
$c + 2 b$	=	$15$	\| $- 2 b$
$c$	=	$15 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (15 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $15 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (15 - 2 b)$	=	$- 3$
$- b + 15 - 2 b$	=	$- 3$
$- 3 b + 15$	=	$- 3$	\| $- 15$
$- 3 b$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $15 - 2 \cdot 6$

= $15 - 12$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 3$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 3$

= ${(x + 3)}^{2} - 6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 3$ = $9 - 18 + 3$ = -6

also: S(-3|-6).

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1. Weg

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