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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 4 y$ = $- 20$ .

Bestimme x so, dass (x|-4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$x + 4 \cdot (- 4)$ = $- 20$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x + 4 \cdot (- 4)$	=	$- 20$
$x - 16$	=	$- 20$	\| $+ 16$
$x$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (-4|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 5 y$ = $- 15$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-7)
denn 4⋅5 +5⋅( - 7 ) = 20 -35 = $- 15$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (10|-11)
denn 4⋅10 +5⋅( - 11 ) = 40 -55 = $- 15$

Oder : (0|-3)
denn 4⋅0 +5⋅( - 3 ) = 0 -15 = $- 15$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & = & 4 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & = & 4 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$4$	\|: $4$
$x$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 1 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot 1 - 4 y$	=	0
$- 4 - 4 y$	=	0
$- 4 y - 4$	=	0	\| $+ 4$
$- 4 y$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 13 & (I) \\ x & + 2 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 13 & (I) \\ x & + 2 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$5$	\| $- 2 y$
$x$	=	$5 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 13 & (I) \\ x & = & (5 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $5 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (5 - 2 y) + y$	=	$13$
$20 - 8 y + y$	=	$13$
$- 7 y + 20$	=	$13$	\| $- 20$
$- 7 y$	=	$- 7$	\|:( $- 7$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $5 - 2 \cdot 1$

= $5 - 2$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 20 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 20 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 4 y$	=	$- 20$
$- 4 y - 3 x$	=	$- 20$	\| $+ 3 x$
$- 4 y$	=	$- 20 + 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$5 - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (5 - \frac{3}{4} x) & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5 - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 4 \cdot (5 - \frac{3}{4} x)$	=	$- 20$
$3 x - 20 + 3 x$	=	$- 20$
$6 x - 20$	=	$- 20$	\| $+ 20$
$6 x$	=	0	\|: $6$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5 - \frac{3}{4} \cdot 0$

= $5 + 0$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (0|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{16}{5} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{6}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{16}{5} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{6}{5} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - \frac{2}{5} y$	=	$\frac{16}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- x - \frac{2}{5} y)$	=	$16$
$- 5 x - 2 y$	=	$16$	\| $+ 2 y$
$- 5 x$	=	$16 + 2 y$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- \frac{16}{5} - \frac{2}{5} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- \frac{16}{5} - \frac{2}{5} y) & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{6}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- \frac{16}{5} - \frac{2}{5} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- \frac{1}{2} \cdot (- \frac{16}{5} - \frac{2}{5} y) - \frac{2}{5} y$	=	$\frac{6}{5}$
$\frac{8}{5} + \frac{1}{5} y - \frac{2}{5} y$	=	$\frac{6}{5}$
$- \frac{1}{5} y + \frac{8}{5}$	=	$\frac{6}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{1}{5} y + \frac{8}{5})$	=	$6$
$- y + 8$	=	$6$	\| $- 8$
$- y$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- \frac{16}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2$

= $- \frac{16}{5} - \frac{4}{5}$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -3y = ?

3x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

4x -3y = 20 +12 = 32

3x -3y = 15 +12 = 27

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -3y = 32

3x -3y = 27

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & - 8 y & = & 2 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 8 y & = & 2 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$- 1$	\| $- 4 y$
$x$	=	$- 1 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 8 y & = & 2 & (I) \\ x & = & (- 1 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 1 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 1 - 4 y) - 8 y$	=	$2$
$2 + 8 y - 8 y$	=	$2$
$2$	=	$2$	\| $- 2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 7 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 294 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 2 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 364 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 7 y & = & 294 & (I) \\ 2 x & + 9 y & = & 364 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 7 y$	=	$294$
$7 y + 7 x$	=	$294$	\| $- 7 x$
$7 y$	=	$294 - 7 x$	\|: $7$
$y$	=	$42 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (42 - x) & (I) \\ 2 x & + 9 y & = & 364 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $42 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 9 \cdot (42 - x)$	=	$364$
$2 x + 378 - 9 x$	=	$364$
$- 7 x + 378$	=	$364$	\| $- 378$
$- 7 x$	=	$- 14$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $42 - 2$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (2|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|2) und B(-2|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-7): -7 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
-7 = 4 -2b +c |-4

1 = 1b +c
-11 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 11$
$c - 2 b$	=	$- 11$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 11 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (- 11 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 11 + 2 b)$	=	$1$
$b - 11 + 2 b$	=	$1$
$3 b - 11$	=	$1$	\| $+ 11$
$3 b$	=	$12$	\|: $3$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 + 2 \cdot 4$

= $- 11 + 8$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(-4|5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|5): 5 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
5 = 16 -4b +c |-16

-5 = -1b +c
-11 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 11$
$c - 4 b$	=	$- 11$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 11 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 11 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 11 + 4 b)$	=	$- 5$
$- b - 11 + 4 b$	=	$- 5$
$3 b - 11$	=	$- 5$	\| $+ 11$
$3 b$	=	$6$	\|: $3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 + 4 \cdot 2$

= $- 11 + 8$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 3$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 3$

= ${(x + 1)}^{2} - 4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 3$ = $1 - 2 - 3$ = -4

also: S(-1|-4).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg