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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 5 y$ = $41$ .

Bestimme y so, dass (-3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 \cdot (- 3) + 5 y$ = $41$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 3) + 5 y$	=	$41$
$6 + 5 y$	=	$41$
$5 y + 6$	=	$41$	\| $- 6$
$5 y$	=	$35$	\|: $5$
$y$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (-3|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - y$ = $- 9$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|3)
denn 3⋅( - 2 ) -1⋅3 = -6 -3 = $- 9$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|0)
denn 3⋅( - 3 ) -1⋅0 = -9 +0 = $- 9$

Oder : (-1|6)
denn 3⋅( - 1 ) -1⋅6 = -3 -6 = $- 9$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & - 2 & (I) \\ + y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $- 5$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 2 \cdot (- 5)$	=	$- 2$
$3 x + 10$	=	$- 2$	\| $- 10$
$3 x$	=	$- 12$	\|: $3$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 2 y & = & - 16 & (I) \\ x & + 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 2 y & = & - 16 & (I) \\ x & + 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$2$	\| $- 2 y$
$x$	=	$2 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 2 y & = & - 16 & (I) \\ x & = & (2 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $2 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (2 - 2 y) + 2 y$	=	$- 16$
$8 - 8 y + 2 y$	=	$- 16$
$- 6 y + 8$	=	$- 16$	\| $- 8$
$- 6 y$	=	$- 24$	\|:( $- 6$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $2 - 2 \cdot 4$

= $2 - 8$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & - 8 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & - 8 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	$- 8$
$- y - 2 x$	=	$- 8$	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$- 8 + 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$8 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (8 - 2 x) & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $8 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 2 \cdot (8 - 2 x)$	=	$- 26$
$- 3 x + 16 - 4 x$	=	$- 26$
$- 7 x + 16$	=	$- 26$	\| $- 16$
$- 7 x$	=	$- 42$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $8 - 2 \cdot 6$

= $8 - 12$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & + \frac{1}{4} y & = & \frac{7}{2} & (I) \\ \frac{3}{4} x & + 3 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & + \frac{1}{4} y & = & \frac{7}{2} & (I) \\ \frac{3}{4} x & + 3 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} y$	=	$\frac{7}{2}$
$\frac{1}{4} y - \frac{1}{2} x$	=	$\frac{7}{2}$	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2} x)$	=	$14$
$y - 2 x$	=	$14$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$14 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (14 + 2 x) & (I) \\ \frac{3}{4} x & + 3 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $14 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{4} x + 3 \cdot (14 + 2 x)$	=	$15$
$\frac{3}{4} x + 42 + 6 x$	=	$15$
$\frac{27}{4} x + 42$	=	$15$	\|⋅ 4
$4 (\frac{27}{4} x + 42)$	=	$60$
$27 x + 168$	=	$60$	\| $- 168$
$27 x$	=	$- 108$	\|: $27$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $14 + 2 \cdot (- 4)$

= $14 - 8$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +3y = ?

-5x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-4x +3y = 12 -9 = 3

-5x +1y = 15 -3 = 12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +3y = 3

-5x +1y = 12

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & 0 & (I) \\ - 4 x & - 5 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & 0 & (I) \\ - 4 x & - 5 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 2 y$	=	0
$2 y - 2 x$	=	0	\| $+ 2 x$
$2 y$	=	$2 x$	\|: $2$
$y$	=	$x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & x & (I) \\ - 4 x & - 5 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 5 \cdot x$	=	$18$
$- 4 x - 5 x$	=	$18$
$- 9 x$	=	$18$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 7 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1950 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 2000 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & - 3 y & = & 1950 & (I) \\ 7 x & - 2 y & = & 2000 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x - 3 y$	=	$1950$
$- 3 y + 7 x$	=	$1950$	\| $- 7 x$
$- 3 y$	=	$1950 - 7 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 650 + \frac{7}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 650 + \frac{7}{3} x) & (I) \\ 7 x & - 2 y & = & 2000 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 650 + \frac{7}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x - 2 \cdot (- 650 + \frac{7}{3} x)$	=	$2000$
$7 x + 1 300 - \frac{14}{3} x$	=	$2000$
$\frac{7}{3} x + 1 300$	=	$2000$	\|⋅ 3
$3 (\frac{7}{3} x + 1 300)$	=	$6 000$
$7 x + 3 900$	=	$6 000$	\| $- 3 900$
$7 x$	=	$2 100$	\|: $7$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 650 + \frac{7}{3} \cdot 300$

= $- 650 + 700$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (300|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(-4|53) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|53): 53 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
53 = 16 -4b +c |-16

7 = -1b +c
37 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 37 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$37$
$c - 4 b$	=	$37$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$37 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (37 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $37 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (37 + 4 b)$	=	$7$
$- b + 37 + 4 b$	=	$7$
$3 b + 37$	=	$7$	\| $- 37$
$3 b$	=	$- 30$	\|: $3$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $37 + 4 \cdot (- 10)$

= $37 - 40$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-8) und B(2|7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-8): -8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|7): 7 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 -1b +c |-1
7 = 4 +2b +c |-4

-9 = -1b +c
3 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 9 & (I) \\ 2 b & + c & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$3$
$c + 2 b$	=	$3$	\| $- 2 b$
$c$	=	$3 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 9 & (I) \\ + c & = & (3 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $3 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (3 - 2 b)$	=	$- 9$
$- b + 3 - 2 b$	=	$- 9$
$- 3 b + 3$	=	$- 9$	\| $- 3$
$- 3 b$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $3 - 2 \cdot 4$

= $3 - 8$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 - 5$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 - 5$

= ${(x + 2)}^{2} - 9$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-9).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - 5$ = $4 - 8 - 5$ = -9

also: S(-2|-9).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg