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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - y$ = $16$ .

Bestimme y so, dass (-5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 \cdot (- 5) - y$ = $16$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 5) - y$	=	$16$
$10 - y$	=	$16$
$- y + 10$	=	$16$	\| $- 10$
$- y$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (-5|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 3 y$ = $- 21$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|2)
denn -3⋅5 -3⋅2 = -15 -6 = $- 21$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|5)
denn -3⋅2 -3⋅5 = -6 -15 = $- 21$

Oder : (8|-1)
denn -3⋅8 -3⋅( - 1 ) = -24 +3 = $- 21$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 0 & (I) \\ + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 0 & (I) \\ + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$- 9$	\|: $3$
$y$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 0 & (I) \\ + y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 2 \cdot (- 3)$	=	0
$- 2 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 6 & (I) \\ 4 x & + y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 6 & (I) \\ 4 x & + y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$22$
$y + 4 x$	=	$22$	\| $- 4 x$
$y$	=	$22 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 6 & (I) \\ + y & = & (22 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $22 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 3 \cdot (22 - 4 x)$	=	$6$
$- 3 x + 66 - 12 x$	=	$6$
$- 15 x + 66$	=	$6$	\| $- 66$
$- 15 x$	=	$- 60$	\|:( $- 15$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $22 - 4 \cdot 4$

= $22 - 16$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (4|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 4 & (I) \\ 4 x & + 5 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 4 & (I) \\ 4 x & + 5 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x - y$	=	$- 4$
$- y + 3 x$	=	$- 4$	\| $- 3 x$
$- y$	=	$- 4 - 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$4 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (4 + 3 x) & (I) \\ 4 x & + 5 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 5 \cdot (4 + 3 x)$	=	$- 18$
$4 x + 20 + 15 x$	=	$- 18$
$19 x + 20$	=	$- 18$	\| $- 20$
$19 x$	=	$- 38$	\|: $19$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4 + 3 \cdot (- 2)$

= $4 - 6$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3$	=	$- 5 x + 13 + 2 y$			(I)
$4 (x - y)$	=	$15 - y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3$	=	$- 5 x + 13 + 2 y$			(I)
$4 (x - y)$	=	$15 - y$			(II)

$3$	=	$- 5 x + 13 + 2 y$	\| $- 3 + 5 x - 2 y$		(I)
$4 x - 4 y$	=	$15 - y$	\| + $y$		(II)

\begin{matrix} 5 x & - 2 y & = & 10 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 2 y$	=	$10$
$- 2 y + 5 x$	=	$10$	\| $- 5 x$
$- 2 y$	=	$10 - 5 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 5 + \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 5 + \frac{5}{2} x) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 5 + \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot (- 5 + \frac{5}{2} x)$	=	$15$
$4 x + 15 - \frac{15}{2} x$	=	$15$
$- \frac{7}{2} x + 15$	=	$15$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{7}{2} x + 15)$	=	$30$
$- 7 x + 30$	=	$30$	\| $- 30$
$- 7 x$	=	0	\|:( $- 7$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5 + \frac{5}{2} \cdot (0)$

= $- 5 + 0$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -4y = ?

8x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

5x -4y = 10 -16 = -6

8x -5y = 16 -20 = -4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -4y = -6

8x -5y = -4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 2 y$	=	$4$
$- 2 y - 3 x$	=	$4$	\| $+ 3 x$
$- 2 y$	=	$4 + 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 2 - \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 - \frac{3}{2} x) & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 - \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 4 \cdot (- 2 - \frac{3}{2} x)$	=	$26$
$3 x + 8 + 6 x$	=	$26$
$9 x + 8$	=	$26$	\| $- 8$
$9 x$	=	$18$	\|: $9$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 - \frac{3}{2} \cdot 2$

= $- 2 - 3$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 480 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 2020 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & 480 & (I) \\ 7 x & - 2 y & = & 2020 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 3 y$	=	$480$
$- 3 y + 2 x$	=	$480$	\| $- 2 x$
$- 3 y$	=	$480 - 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 160 + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 160 + \frac{2}{3} x) & (I) \\ 7 x & - 2 y & = & 2020 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 160 + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x - 2 \cdot (- 160 + \frac{2}{3} x)$	=	$2020$
$7 x + 320 - \frac{4}{3} x$	=	$2020$
$\frac{17}{3} x + 320$	=	$2020$	\|⋅ 3
$3 (\frac{17}{3} x + 320)$	=	$6 060$
$17 x + 960$	=	$6 060$	\| $- 960$
$17 x$	=	$5 100$	\|: $17$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 160 + \frac{2}{3} \cdot 300$

= $- 160 + 200$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (300|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-8) und B(2|-9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-8): -8 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-9): -9 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 +1b +c |-1
-9 = 4 +2b +c |-4

-9 = 1b +c
-13 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 13$
$c + 2 b$	=	$- 13$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 13 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ + c & = & (- 13 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 13 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 13 - 2 b)$	=	$- 9$
$b - 13 - 2 b$	=	$- 9$
$- b - 13$	=	$- 9$	\| $+ 13$
$- b$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 13 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 13 + 8$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-10) und B(4|-19) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-10): -10 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-19): -19 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 +1b +c |-1
-19 = 16 +4b +c |-16

-11 = 1b +c
-35 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 35 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 35$
$c + 4 b$	=	$- 35$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 35 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (- 35 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 35 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 35 - 4 b)$	=	$- 11$
$b - 35 - 4 b$	=	$- 11$
$- 3 b - 35$	=	$- 11$	\| $+ 35$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 35 - 4 \cdot (- 8)$

= $- 35 + 32$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-3)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 3$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 3$

= ${(x - 4)}^{2} - 19$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-19).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 3$ = $16 - 32 - 3$ = -19

also: S(4|-19).

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