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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - 3 y$ = $25$ .

Bestimme y so, dass (-7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 \cdot (- 7) - 3 y$ = $25$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 7) - 3 y$	=	$25$
$28 - 3 y$	=	$25$
$- 3 y + 28$	=	$25$	\| $- 28$
$- 3 y$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (-7|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 5 y$ = $30$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|6)
denn 4⋅0 +5⋅6 = 0 +30 = $30$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|2)
denn 4⋅5 +5⋅2 = 20 +10 = $30$

Oder : (-5|10)
denn 4⋅( - 5 ) +5⋅10 = -20 +50 = $30$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 6 & (I) \\ - 2 x & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 6 & (I) \\ - 2 x & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 6 & (I) \\ x & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 6) - 4 y$	=	$6$
$- 6 - 4 y$	=	$6$
$- 4 y - 6$	=	$6$	\| $+ 6$
$- 4 y$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & - 24 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & - 24 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$- 14$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$- 14 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & - 24 & (I) \\ x & = & (- 14 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 14 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 14 + 3 y) - 2 y$	=	$- 24$
$42 - 9 y - 2 y$	=	$- 24$
$- 11 y + 42$	=	$- 24$	\| $- 42$
$- 11 y$	=	$- 66$	\|:( $- 11$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 14 + 3 \cdot 6$

= $- 14 + 18$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 7 & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 7 & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 3 y$	=	$- 7$
$- 3 y - 4 x$	=	$- 7$	\| $+ 4 x$
$- 3 y$	=	$- 7 + 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$\frac{7}{3} - \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{7}{3} - \frac{4}{3} x) & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{7}{3} - \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 2 \cdot (\frac{7}{3} - \frac{4}{3} x)$	=	$6$
$4 x + \frac{14}{3} - \frac{8}{3} x$	=	$6$
$\frac{4}{3} x + \frac{14}{3}$	=	$6$	\|⋅ 3
$3 (\frac{4}{3} x + \frac{14}{3})$	=	$18$
$4 x + 14$	=	$18$	\| $- 14$
$4 x$	=	$4$	\|: $4$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{7}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1$

= $\frac{7}{3} - \frac{4}{3}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$x + 9 - 5 y$	=	$- 2 y$			(I)
$11 + 3 y$	=	$2 (- x + 3 y) + 5$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$x + 9 - 5 y$	=	$- 2 y$			(I)
$11 + 3 y$	=	$2 (- x + 3 y) + 5$			(II)

$x + 9 - 5 y$	=	$- 2 y$	\| $- 9 + 2 y$		(I)
$11 + 3 y$	=	$- 2 x + 5 + 6 y$	\| $- 11 + 2 x - 6 y$		(II)

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 9 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$- 9$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$- 9 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 9 + 3 y) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 9 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 9 + 3 y) - 3 y$	=	$- 6$
$- 18 + 6 y - 3 y$	=	$- 6$
$3 y - 18$	=	$- 6$	\| $+ 18$
$3 y$	=	$12$	\|: $3$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 9 + 3 \cdot 4$

= $- 9 + 12$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +2y = ?

-1x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-2x +2y = 6 +4 = 10

-1x -1y = 3 -2 = 1

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +2y = 10

-1x -1y = 1

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & - 3 y & = & 17 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 3 y & = & 17 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 3 y$	=	$17$
$- 3 y - 5 x$	=	$17$	\| $+ 5 x$
$- 3 y$	=	$17 + 5 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- \frac{17}{3} - \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{17}{3} - \frac{5}{3} x) & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{17}{3} - \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (- \frac{17}{3} - \frac{5}{3} x)$	=	$9$
$3 x + 17 + 5 x$	=	$9$
$8 x + 17$	=	$9$	\| $- 17$
$8 x$	=	$- 8$	\|: $8$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{17}{3} - \frac{5}{3} \cdot (- 1)$

= $- \frac{17}{3} + \frac{5}{3}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 3 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 99 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 274 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 9 x & + 3 y & = & 99 & (I) \\ 4 x & + 9 y & = & 274 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9 x + 3 y$	=	$99$
$3 y + 9 x$	=	$99$	\| $- 9 x$
$3 y$	=	$99 - 9 x$	\|: $3$
$y$	=	$33 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (33 - 3 x) & (I) \\ 4 x & + 9 y & = & 274 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $33 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 9 \cdot (33 - 3 x)$	=	$274$
$4 x + 297 - 27 x$	=	$274$
$- 23 x + 297$	=	$274$	\| $- 297$
$- 23 x$	=	$- 23$	\|:( $- 23$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $33 - 3 \cdot 1$

= $33 - 3$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (1|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|1) und B(-3|1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|1): 1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|1): 1 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 -1b +c |-1
1 = 9 -3b +c |-9

0 = -1b +c
-8 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 8$
$c - 3 b$	=	$- 8$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 8 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (- 8 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 8 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 8 + 3 b)$	=	0
$- b - 8 + 3 b$	=	0
$2 b - 8$	=	0	\| $+ 8$
$2 b$	=	$8$	\|: $2$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 8 + 3 \cdot 4$

= $- 8 + 12$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|10) und B(3|34) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

B(3|34): 34 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 +1b +c |-1
34 = 9 +3b +c |-9

9 = 1b +c
25 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ 3 b & + c & = & 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$25$
$c + 3 b$	=	$25$	\| $- 3 b$
$c$	=	$25 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (25 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $25 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (25 - 3 b)$	=	$9$
$b + 25 - 3 b$	=	$9$
$- 2 b + 25$	=	$9$	\| $- 25$
$- 2 b$	=	$- 16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $25 - 3 \cdot 8$

= $25 - 24$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (8|1)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 + 1$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 + 1$

= ${(x + 4)}^{2} - 15$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-15).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) + 1$ = $16 - 32 + 1$ = -15

also: S(-4|-15).

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