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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 5 y$ = $30$ .

Bestimme x so, dass (x|2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x + 5 \cdot 2$ = $30$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x + 5 \cdot 2$	=	$30$
$4 x + 10$	=	$30$	\| $- 10$
$4 x$	=	$20$	\|: $4$
$x$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (5|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - y$ = $18$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|-6)
denn 4⋅3 -1⋅( - 6 ) = 12 +6 = $18$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-10)
denn 4⋅2 -1⋅( - 10 ) = 8 +10 = $18$

Oder : (4|-2)
denn 4⋅4 -1⋅( - 2 ) = 16 +2 = $18$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 18 & (I) \\ - y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 18 & (I) \\ - y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- y$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 18 & (I) \\ + y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 4 \cdot (- 6)$	=	$18$
$- 2 x + 24$	=	$18$	\| $- 24$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + y & = & - 4 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + y & = & - 4 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 2$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 2 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + y & = & - 4 & (I) \\ x & = & (- 2 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 2 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 2 - 2 y) + y$	=	$- 4$
$2 + 2 y + y$	=	$- 4$
$3 y + 2$	=	$- 4$	\| $- 2$
$3 y$	=	$- 6$	\|: $3$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 2 - 2 \cdot (- 2)$

= $- 2 + 4$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 20 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 20 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 4 y$	=	$- 20$
$4 y + 4 x$	=	$- 20$	\| $- 4 x$
$4 y$	=	$- 20 - 4 x$	\|: $4$
$y$	=	$- 5 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 5 - x) & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 5 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 4 \cdot (- 5 - x)$	=	$- 4$
$- 4 x - 20 - 4 x$	=	$- 4$
$- 8 x - 20$	=	$- 4$	\| $+ 20$
$- 8 x$	=	$16$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5 - (- 2)$

= $- 5 + 2$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 15 & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{3} y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 15 & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{3} y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 3 y$	=	$15$
$3 y - 3 x$	=	$15$	\| $+ 3 x$
$3 y$	=	$15 + 3 x$	\|: $3$
$y$	=	$5 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (5 + x) & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{3} y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{2} x - \frac{1}{3} \cdot (5 + x)$	=	0
$- \frac{1}{2} x - \frac{5}{3} - \frac{1}{3} x$	=	0
$- \frac{5}{6} x - \frac{5}{3}$	=	0	\|⋅ 6
$6 (- \frac{5}{6} x - \frac{5}{3})$	=	0
$- 5 x - 10$	=	0	\| $+ 10$
$- 5 x$	=	$10$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5 - 2$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -4y = ?

-8x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-5x -4y = 20 -8 = 12

-8x -3y = 32 -6 = 26

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -4y = 12

-8x -3y = 26

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 8 x & + 16 y & = & 2 & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 8 x & + 16 y & = & 2 & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x + 16 y$	=	$2$
$16 y + 8 x$	=	$2$	\| $- 8 x$
$16 y$	=	$2 - 8 x$	\|: $16$
$y$	=	$\frac{1}{8} - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{8} - \frac{1}{2} x) & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{8} - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 4 \cdot (\frac{1}{8} - \frac{1}{2} x)$	=	$- 1$
$- 2 x - \frac{1}{2} + 2 x$	=	$- 1$
$- \frac{1}{2}$	=	$- 1$	\| $+ \frac{1}{2}$
0	=	$- \frac{1}{2}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 5 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 475 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 135 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 5 y & = & 475 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 135 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 5 y$	=	$475$
$- 5 y + 5 x$	=	$475$	\| $- 5 x$
$- 5 y$	=	$475 - 5 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 95 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 95 + x) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 135 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 95 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (- 95 + x)$	=	$135$
$2 x + 285 - 3 x$	=	$135$
$- x + 285$	=	$135$	\| $- 285$
$- x$	=	$- 150$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 95 + 150$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (150|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|10) und B(3|30) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

B(3|30): 30 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 +1b +c |-1
30 = 9 +3b +c |-9

9 = 1b +c
21 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ 3 b & + c & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$21$
$c + 3 b$	=	$21$	\| $- 3 b$
$c$	=	$21 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (21 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $21 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (21 - 3 b)$	=	$9$
$b + 21 - 3 b$	=	$9$
$- 2 b + 21$	=	$9$	\| $- 21$
$- 2 b$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $21 - 3 \cdot 6$

= $21 - 18$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|4) und B(-4|25) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|25): 25 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
25 = 16 -4b +c |-16

3 = -1b +c
9 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$9$
$c - 4 b$	=	$9$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$9 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (9 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $9 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (9 + 4 b)$	=	$3$
$- b + 9 + 4 b$	=	$3$
$3 b + 9$	=	$3$	\| $- 9$
$3 b$	=	$- 6$	\|: $3$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $9 + 4 \cdot (- 2)$

= $9 - 8$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 1$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 1$

= ${(x - 1)}^{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 1$ = $1 - 2 + 1$ = 0

also: S(1|0).

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Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS (Standard)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg