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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 2 y$ = $12$ .

Bestimme y so, dass (1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$4 \cdot 1 - 2 y$ = $12$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4 \cdot 1 - 2 y$	=	$12$
$4 - 2 y$	=	$12$
$- 2 y + 4$	=	$12$	\| $- 4$
$- 2 y$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (1|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 4 y$ = $11$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|1)
denn -1⋅( - 7 ) +4⋅1 = 7 +4 = $11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|2)
denn -1⋅( - 3 ) +4⋅2 = 3 +8 = $11$

Oder : (-11|0)
denn -1⋅( - 11 ) +4⋅0 = 11 +0 = $11$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & = & - 15 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & = & - 15 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 5 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot 5 + 2 y$	=	$14$
$10 + 2 y$	=	$14$
$2 y + 10$	=	$14$	\| $- 10$
$2 y$	=	$4$	\|: $2$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 27 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 27 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$4$
$y - 2 x$	=	$4$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$4 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 27 & (I) \\ + y & = & (4 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $4 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 4 \cdot (4 + 2 x)$	=	$27$
$3 x + 16 + 8 x$	=	$27$
$11 x + 16$	=	$27$	\| $- 16$
$11 x$	=	$11$	\|: $11$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $4 + 2 \cdot 1$

= $4 + 2$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 14 & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 14 & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 2 y$	=	$- 14$
$2 y - 4 x$	=	$- 14$	\| $+ 4 x$
$2 y$	=	$- 14 + 4 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 7 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 7 + 2 x) & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 7 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 4 \cdot (- 7 + 2 x)$	=	$2$
$2 x - 28 + 8 x$	=	$2$
$10 x - 28$	=	$2$	\| $+ 28$
$10 x$	=	$30$	\|: $10$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 7 + 2 \cdot 3$

= $- 7 + 6$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2 y$	=	$- 3 x + 16$			(I)
$- 5 + 3 y$	=	$5 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2 y$	=	$- 3 x + 16$	\| + $3 x$		(I)
$- 5 + 3 y$	=	$5 x$	\| + $5 - 5 x$		(II)

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & 16 & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 2 y$	=	$16$
$2 y + 3 x$	=	$16$	\| $- 3 x$
$2 y$	=	$16 - 3 x$	\|: $2$
$y$	=	$8 - \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (8 - \frac{3}{2} x) & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $8 - \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 3 \cdot (8 - \frac{3}{2} x)$	=	$5$
$- 5 x + 24 - \frac{9}{2} x$	=	$5$
$- \frac{19}{2} x + 24$	=	$5$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{19}{2} x + 24)$	=	$10$
$- 19 x + 48$	=	$10$	\| $- 48$
$- 19 x$	=	$- 38$	\|:( $- 19$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $8 - \frac{3}{2} \cdot 2$

= $8 - 3$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +4y = ?

-3x +15y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-1x +4y = -1 -20 = -21

-3x +15y = -3 -75 = -78

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +4y = -21

-3x +15y = -78

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & 1 & (I) \\ 3 x & + 12 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & 1 & (I) \\ 3 x & + 12 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 4 y$	=	$1$	\| $+ 4 y$
$- x$	=	$1 + 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 1 - 4 y) & (I) \\ 3 x & + 12 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 1 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 1 - 4 y) + 12 y$	=	$- 3$
$- 3 - 12 y + 12 y$	=	$- 3$
$- 3$	=	$- 3$	\| $+ 3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 25 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 175 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & 25 & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & 175 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 5 y$	=	$25$
$- 5 y + 2 x$	=	$25$	\| $- 2 x$
$- 5 y$	=	$25 - 2 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 5 + \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 5 + \frac{2}{5} x) & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & 175 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 5 + \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 5 \cdot (- 5 + \frac{2}{5} x)$	=	$175$
$3 x + 25 - 2 x$	=	$175$
$x + 25$	=	$175$	\| $- 25$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5 + \frac{2}{5} \cdot 150$

= $- 5 + 60$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (150|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|2) und B(2|17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|17): 17 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
17 = 4 +2b +c |-4

1 = -1b +c
13 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ 2 b & + c & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$13$
$c + 2 b$	=	$13$	\| $- 2 b$
$c$	=	$13 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (13 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (13 - 2 b)$	=	$1$
$- b + 13 - 2 b$	=	$1$
$- 3 b + 13$	=	$1$	\| $- 13$
$- 3 b$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13 - 2 \cdot 4$

= $13 - 8$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|6) und B(2|-21) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|6): 6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-21): -21 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 -1b +c |-1
-21 = 4 +2b +c |-4

5 = -1b +c
-25 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 25$
$c + 2 b$	=	$- 25$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 25 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (- 25 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 25 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 25 - 2 b)$	=	$5$
$- b - 25 - 2 b$	=	$5$
$- 3 b - 25$	=	$5$	\| $+ 25$
$- 3 b$	=	$30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 25 - 2 \cdot (- 10)$

= $- 25 + 20$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-5)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 - 5$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 - 5$

= ${(x - 5)}^{2} - 30$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-30).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 - 5$ = $25 - 50 - 5$ = -30

also: S(5|-30).

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1. Weg

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