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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 3 y$ = $45$ .

Bestimme x so, dass (x|7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x + 3 \cdot 7$ = $45$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x + 3 \cdot 7$	=	$45$
$4 x + 21$	=	$45$	\| $- 21$
$4 x$	=	$24$	\|: $4$
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|2)
denn 2⋅1 -1⋅2 = 2 -2 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|0)
denn 2⋅0 -1⋅0 = 0 +0 = 0

Oder : (2|4)
denn 2⋅2 -1⋅4 = 4 -4 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 2 y & = & - 12 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 2 y & = & - 12 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$- 12$	\|: $2$
$y$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 6 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot (- 6)$	=	$3$
$- 3 x + 12$	=	$3$	\| $- 12$
$- 3 x$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 6 & (I) \\ - 3 x & + y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 6 & (I) \\ - 3 x & + y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$15$
$y - 3 x$	=	$15$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$15 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 6 & (I) \\ + y & = & (15 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $15 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 1 \cdot (15 + 3 x)$	=	$6$
$- 4 x - 15 - 3 x$	=	$6$
$- 7 x - 15$	=	$6$	\| $+ 15$
$- 7 x$	=	$21$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $15 + 3 \cdot (- 3)$

= $15 - 9$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 5 y & = & - 10 & (I) \\ - x & + 5 y & = & 35 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 5 y & = & - 10 & (I) \\ - x & + 5 y & = & 35 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 5 y$	=	$35$	\| $- 5 y$
$- x$	=	$35 - 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 35 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 5 y & = & - 10 & (I) \\ x & = & (- 35 + 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 35 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 35 + 5 y) - 5 y$	=	$- 10$
$140 - 20 y - 5 y$	=	$- 10$
$- 25 y + 140$	=	$- 10$	\| $- 140$
$- 25 y$	=	$- 150$	\|:( $- 25$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 35 + 5 \cdot 6$

= $- 35 + 30$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 9 y$	=	$3 x + 11 - 4 y$			(I)
$- 4 x - 1$	=	$2 - 5 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 9 y$	=	$3 x + 11 - 4 y$	\| $- 3 x + 4 y$		(I)
$- 4 x - 1$	=	$2 - 5 y$	\| + $1 + 5 y$		(II)

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & 11 & (I) \\ - 4 x & + 5 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 5 y$	=	$11$
$- 5 y - 3 x$	=	$11$	\| $+ 3 x$
$- 5 y$	=	$11 + 3 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- \frac{11}{5} - \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{11}{5} - \frac{3}{5} x) & (I) \\ - 4 x & + 5 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{11}{5} - \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 5 \cdot (- \frac{11}{5} - \frac{3}{5} x)$	=	$3$
$- 4 x - 11 - 3 x$	=	$3$
$- 7 x - 11$	=	$3$	\| $+ 11$
$- 7 x$	=	$14$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{11}{5} - \frac{3}{5} \cdot (- 2)$

= $- \frac{11}{5} + \frac{6}{5}$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +3y = ?

-2x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

1x +3y = -1 -6 = -7

-2x -4y = 2 +8 = 10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +3y = -7

-2x -4y = 10

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - 5 y & = & 36 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 38 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 5 y & = & 36 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 38 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 5 y$	=	$36$
$- 5 y + 3 x$	=	$36$	\| $- 3 x$
$- 5 y$	=	$36 - 3 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- \frac{36}{5} + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{36}{5} + \frac{3}{5} x) & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 38 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{36}{5} + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 5 \cdot (- \frac{36}{5} + \frac{3}{5} x)$	=	$38$
$4 x + 36 - 3 x$	=	$38$
$x + 36$	=	$38$	\| $- 36$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{36}{5} + \frac{3}{5} \cdot 2$

= $- \frac{36}{5} + \frac{6}{5}$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 7 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 885 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 6 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 680 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & - 3 y & = & 885 & (I) \\ 6 x & - 4 y & = & 680 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x - 3 y$	=	$885$
$- 3 y + 7 x$	=	$885$	\| $- 7 x$
$- 3 y$	=	$885 - 7 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 295 + \frac{7}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 295 + \frac{7}{3} x) & (I) \\ 6 x & - 4 y & = & 680 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 295 + \frac{7}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 4 \cdot (- 295 + \frac{7}{3} x)$	=	$680$
$6 x + 1 180 - \frac{28}{3} x$	=	$680$
$- \frac{10}{3} x + 1 180$	=	$680$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{10}{3} x + 1 180)$	=	$2 040$
$- 10 x + 3 540$	=	$2 040$	\| $- 3 540$
$- 10 x$	=	$- 1 500$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 295 + \frac{7}{3} \cdot 150$

= $- 295 + 350$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (150|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-13) und B(-1|7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-13): -13 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-13 = 1 +1b +c |-1
7 = 1 -1b +c |-1

-14 = 1b +c
6 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 14 & (I) \\ - b & + c & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$6$
$c - b$	=	$6$	\| $+ b$
$c$	=	$6 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 14 & (I) \\ + c & = & (6 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (6 + b)$	=	$- 14$
$b + 6 + b$	=	$- 14$
$2 b + 6$	=	$- 14$	\| $- 6$
$2 b$	=	$- 20$	\|: $2$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6 - 10$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-4)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|3) und B(-2|10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|3): 3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|10): 10 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 -1b +c |-1
10 = 4 -2b +c |-4

2 = -1b +c
6 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 2 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$6$
$c - 2 b$	=	$6$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$6 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 2 & (I) \\ + c & = & (6 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (6 + 2 b)$	=	$2$
$- b + 6 + 2 b$	=	$2$
$b + 6$	=	$2$	\| $- 6$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6 + 2 \cdot (- 4)$

= $6 - 8$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 - 2$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 - 2$

= ${(x - 2)}^{2} - 6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 - 2$ = $4 - 8 - 2$ = -6

also: S(2|-6).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg