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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - 3 y$ = $18$ .

Bestimme x so, dass (x|-6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 x - 3 \cdot (- 6)$ = $18$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 4 x - 3 \cdot (- 6)$	=	$18$
$- 4 x + 18$	=	$18$	\| $- 18$
$- 4 x$	=	0	\|:( $- 4$ )
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 5 y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|3)
denn -5⋅3 +5⋅3 = -15 +15 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|8)
denn -5⋅8 +5⋅8 = -40 +40 = 0

Oder : (-2|-2)
denn -5⋅( - 2 ) +5⋅( - 2 ) = 10 -10 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 24 & (I) \\ - 3 x & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 24 & (I) \\ - 3 x & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 24 & (I) \\ x & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 3) + 4 y$	=	$- 24$
$- 12 + 4 y$	=	$- 24$
$4 y - 12$	=	$- 24$	\| $+ 12$
$4 y$	=	$- 12$	\|: $4$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 12 & (I) \\ - 4 x & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 12 & (I) \\ - 4 x & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 12 & (I) \\ x & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot 2 + y$	=	$12$
$8 + y$	=	$12$
$y + 8$	=	$12$	\| $- 8$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 5 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 5 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$5$
$y + 2 x$	=	$5$	\| $- 2 x$
$y$	=	$5 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (5 - 2 x) & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 3 \cdot (5 - 2 x)$	=	$- 17$
$- 2 x + 15 - 6 x$	=	$- 17$
$- 8 x + 15$	=	$- 17$	\| $- 15$
$- 8 x$	=	$- 32$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5 - 2 \cdot 4$

= $5 - 8$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & - 11 & (I) \\ - 2 x & + \frac{2}{3} y & = & \frac{32}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - y & = & - 11 & (I) \\ - 2 x & + \frac{2}{3} y & = & \frac{32}{3} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x - y$	=	$- 11$
$- y + 2 x$	=	$- 11$	\| $- 2 x$
$- y$	=	$- 11 - 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$11 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (11 + 2 x) & (I) \\ - 2 x & + \frac{2}{3} y & = & \frac{32}{3} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $11 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + \frac{2}{3} \cdot (11 + 2 x)$	=	$\frac{32}{3}$
$- 2 x + \frac{22}{3} + \frac{4}{3} x$	=	$\frac{32}{3}$
$- \frac{2}{3} x + \frac{22}{3}$	=	$\frac{32}{3}$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} x + \frac{22}{3})$	=	$32$
$- 2 x + 22$	=	$32$	\| $- 22$
$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $11 + 2 \cdot (- 5)$

= $11 - 10$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -5y = ?

-3x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-4x -5y = 20 -5 = 15

-3x -5y = 15 -5 = 10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -5y = 15

-3x -5y = 10

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & - 11 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & - 11 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 4 y$	=	$- 11$	\| $+ 4 y$
$- x$	=	$- 11 + 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$11 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (11 - 4 y) & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $11 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (11 - 4 y) + 3 y$	=	$5$
$44 - 16 y + 3 y$	=	$5$
$- 13 y + 44$	=	$5$	\| $- 44$
$- 13 y$	=	$- 39$	\|:( $- 13$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $11 - 4 \cdot 3$

= $11 - 12$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 16. Wenn man aber vom 4-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -6. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 16 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$16$	\| $- 3 y$
$x$	=	$16 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (16 - 3 y) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $16 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (16 - 3 y) - 2 y$	=	$- 6$
$64 - 12 y - 2 y$	=	$- 6$
$- 14 y + 64$	=	$- 6$	\| $- 64$
$- 14 y$	=	$- 70$	\|:( $- 14$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $16 - 3 \cdot 5$

= $16 - 15$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|4) und B(1|8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
8 = 1 +1b +c |-1

3 = -1b +c
7 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ b & + c & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$7$
$c + b$	=	$7$	\| $- b$
$c$	=	$7 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (7 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (7 - b)$	=	$3$
$- b + 7 - b$	=	$3$
$- 2 b + 7$	=	$3$	\| $- 7$
$- 2 b$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7 - 2$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|5) und B(2|10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|5): 5 = 1² + b⋅1 +c

B(2|10): 10 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 +1b +c |-1
10 = 4 +2b +c |-4

4 = 1b +c
6 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ 2 b & + c & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$6$
$c + 2 b$	=	$6$	\| $- 2 b$
$c$	=	$6 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (6 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (6 - 2 b)$	=	$4$
$b + 6 - 2 b$	=	$4$
$- b + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$- b$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6 - 2 \cdot 2$

= $6 - 4$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 + 2$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 + 2$

= ${(x + 1)}^{2} + 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 2$ = $1 - 2 + 2$ = 1

also: S(-1|1).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg