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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + y$ = $- 32$ .

Bestimme x so, dass (x|-7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$5 x + (- 7)$ = $- 32$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5 x + (- 7)$	=	$- 32$
$5 x - 7$	=	$- 32$	\| $+ 7$
$5 x$	=	$- 25$	\|: $5$
$x$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (-5|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - y$ = $- 15$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|0)
denn -5⋅3 -1⋅0 = -15 +0 = $- 15$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|5)
denn -5⋅2 -1⋅5 = -10 -5 = $- 15$

Oder : (4|-5)
denn -5⋅4 -1⋅( - 5 ) = -20 +5 = $- 15$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - y & = & - 4 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - y & = & - 4 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- y$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 4 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 1 \cdot 4$	=	$8$
$- 2 x - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 13 & (I) \\ 3 x & + y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 13 & (I) \\ 3 x & + y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$13$
$y + 3 x$	=	$13$	\| $- 3 x$
$y$	=	$13 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 13 & (I) \\ + y & = & (13 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $13 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 4 \cdot (13 - 3 x)$	=	$13$
$- x + 52 - 12 x$	=	$13$
$- 13 x + 52$	=	$13$	\| $- 52$
$- 13 x$	=	$- 39$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $13 - 3 \cdot 3$

= $13 - 9$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & + 4 y & = & - 27 & (I) \\ - 5 x & - y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & + 4 y & = & - 27 & (I) \\ - 5 x & - y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x - y$	=	$- 12$
$- y - 5 x$	=	$- 12$	\| $+ 5 x$
$- y$	=	$- 12 + 5 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$12 - 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & + 4 y & = & - 27 & (I) \\ + y & = & (12 - 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $12 - 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 4 \cdot (12 - 5 x)$	=	$- 27$
$- 5 x + 48 - 20 x$	=	$- 27$
$- 25 x + 48$	=	$- 27$	\| $- 48$
$- 25 x$	=	$- 75$	\|:( $- 25$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $12 - 5 \cdot 3$

= $12 - 15$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + \frac{1}{2} y & = & - 6 & (I) \\ \frac{1}{5} x & + \frac{1}{5} y & = & - \frac{3}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + \frac{1}{2} y & = & - 6 & (I) \\ \frac{1}{5} x & + \frac{1}{5} y & = & - \frac{3}{5} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + \frac{1}{2} y$	=	$- 6$
$\frac{1}{2} y + 2 x$	=	$- 6$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} y + 2 x)$	=	$- 12$
$y + 4 x$	=	$- 12$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 12 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 12 - 4 x) & (I) \\ \frac{1}{5} x & + \frac{1}{5} y & = & - \frac{3}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 12 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{5} x + \frac{1}{5} \cdot (- 12 - 4 x)$	=	$- \frac{3}{5}$
$\frac{1}{5} x - \frac{12}{5} - \frac{4}{5} x$	=	$- \frac{3}{5}$
$- \frac{3}{5} x - \frac{12}{5}$	=	$- \frac{3}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{3}{5} x - \frac{12}{5})$	=	$- 3$
$- 3 x - 12$	=	$- 3$	\| $+ 12$
$- 3 x$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 12 - 4 \cdot (- 3)$

= $- 12 + 12$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +4y = ?

-1x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-5x +4y = -15 -16 = -31

-1x -2y = -3 +8 = 5

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +4y = -31

-1x -2y = 5

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 6 x & + 9 y & = & 5 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 6 x & + 9 y & = & 5 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 6 x + 9 y$	=	$5$
$9 y - 6 x$	=	$5$	\| $+ 6 x$
$9 y$	=	$5 + 6 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{5}{9} + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{5}{9} + \frac{2}{3} x) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{5}{9} + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (\frac{5}{9} + \frac{2}{3} x)$	=	$- 2$
$2 x - \frac{5}{3} - 2 x$	=	$- 2$
$- \frac{5}{3}$	=	$- 2$	\| $+ \frac{5}{3}$
0	=	$- \frac{1}{3}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 208 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 102 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 6 y & = & 208 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & 102 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 6 y$	=	$208$
$6 y + 7 x$	=	$208$	\| $- 7 x$
$6 y$	=	$208 - 7 x$	\|: $6$
$y$	=	$\frac{104}{3} - \frac{7}{6} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{104}{3} - \frac{7}{6} x) & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & 102 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{104}{3} - \frac{7}{6} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 3 \cdot (\frac{104}{3} - \frac{7}{6} x)$	=	$102$
$3 x + 104 - \frac{7}{2} x$	=	$102$
$- \frac{1}{2} x + 104$	=	$102$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x + 104)$	=	$204$
$- x + 208$	=	$204$	\| $- 208$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{104}{3} - \frac{7}{6} \cdot 4$

= $\frac{104}{3} - \frac{14}{3}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (4|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-5) und B(1|15) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|15): 15 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 -1b +c |-1
15 = 1 +1b +c |-1

-6 = -1b +c
14 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ b & + c & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$14$
$c + b$	=	$14$	\| $- b$
$c$	=	$14 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (14 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $14 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (14 - b)$	=	$- 6$
$- b + 14 - b$	=	$- 6$
$- 2 b + 14$	=	$- 6$	\| $- 14$
$- 2 b$	=	$- 20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $14 - 10$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|4)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-3) und B(2|-2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-2): -2 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 +1b +c |-1
-2 = 4 +2b +c |-4

-4 = 1b +c
-6 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 6$
$c + 2 b$	=	$- 6$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 6 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (- 6 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 6 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 6 - 2 b)$	=	$- 4$
$b - 6 - 2 b$	=	$- 4$
$- b - 6$	=	$- 4$	\| $+ 6$
$- b$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 6 - 2 \cdot (- 2)$

= $- 6 + 4$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-2)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 - 2$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 - 2$

= ${(x - 1)}^{2} - 3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 - 2$ = $1 - 2 - 2$ = -3

also: S(1|-3).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg