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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 3 y$ = $- 35$ .

Bestimme y so, dass (-5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$4 \cdot (- 5) - 3 y$ = $- 35$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4 \cdot (- 5) - 3 y$	=	$- 35$
$- 20 - 3 y$	=	$- 35$
$- 3 y - 20$	=	$- 35$	\| $+ 20$
$- 3 y$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (-5|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 5 y$ = $2$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|-2)
denn -2⋅4 -5⋅( - 2 ) = -8 +10 = $2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|0)
denn -2⋅( - 1 ) -5⋅0 = 2 +0 = $2$

Oder : (9|-4)
denn -2⋅9 -5⋅( - 4 ) = -18 +20 = $2$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 y & = & - 4 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 y & = & - 4 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 2 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 2 \cdot 2$	=	$16$
$- 4 x + 4$	=	$16$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 16 & (I) \\ x & + 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 16 & (I) \\ x & + 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$10$	\| $- 4 y$
$x$	=	$10 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 16 & (I) \\ x & = & (10 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $10 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (10 - 4 y) + y$	=	$16$
$- 20 + 8 y + y$	=	$16$
$9 y - 20$	=	$16$	\| $+ 20$
$9 y$	=	$36$	\|: $9$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $10 - 4 \cdot 4$

= $10 - 16$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 5 y & = & - 2 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 5 y & = & - 2 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 5 y$	=	$- 2$	\| $+ 5 y$
$x$	=	$- 2 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 2 + 5 y) & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 2 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 2 + 5 y) - 3 y$	=	$8$
$8 - 20 y - 3 y$	=	$8$
$- 23 y + 8$	=	$8$	\| $- 8$
$- 23 y$	=	0	\|:( $- 23$ )
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 2 + 5 \cdot (0)$

= $- 2 + 0$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + \frac{2}{3} y & = & - \frac{34}{3} & (I) \\ \frac{2}{5} x & + 2 y & = & - \frac{2}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + \frac{2}{3} y & = & - \frac{34}{3} & (I) \\ \frac{2}{5} x & + 2 y & = & - \frac{2}{5} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + \frac{2}{3} y$	=	$- \frac{34}{3}$
$\frac{2}{3} y + 2 x$	=	$- \frac{34}{3}$	\|⋅ 3
$3 (\frac{2}{3} y + 2 x)$	=	$- 34$
$2 y + 6 x$	=	$- 34$	\| $- 6 x$
$2 y$	=	$- 34 - 6 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 17 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 17 - 3 x) & (I) \\ \frac{2}{5} x & + 2 y & = & - \frac{2}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 17 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{2}{5} x + 2 \cdot (- 17 - 3 x)$	=	$- \frac{2}{5}$
$\frac{2}{5} x - 34 - 6 x$	=	$- \frac{2}{5}$
$- \frac{28}{5} x - 34$	=	$- \frac{2}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{28}{5} x - 34)$	=	$- 2$
$- 28 x - 170$	=	$- 2$	\| $+ 170$
$- 28 x$	=	$168$	\|:( $- 28$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 17 - 3 \cdot (- 6)$

= $- 17 + 18$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +2y = ?

-3x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-5x +2y = -10 -10 = -20

-3x -2y = -6 +10 = 4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +2y = -20

-3x -2y = 4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & + 3 y & = & 42 & (I) \\ - x & + 4 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & + 3 y & = & 42 & (I) \\ - x & + 4 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 4 y$	=	$22$	\| $- 4 y$
$- x$	=	$22 - 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 22 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & + 3 y & = & 42 & (I) \\ x & = & (- 22 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 22 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 5 \cdot (- 22 + 4 y) + 3 y$	=	$42$
$110 - 20 y + 3 y$	=	$42$
$- 17 y + 110$	=	$42$	\| $- 110$
$- 17 y$	=	$- 68$	\|:( $- 17$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 22 + 4 \cdot 4$

= $- 22 + 16$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 2 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 90 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 378 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 2 y & = & 90 & (I) \\ 9 x & + 9 y & = & 378 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 2 y$	=	$90$
$2 y + 5 x$	=	$90$	\| $- 5 x$
$2 y$	=	$90 - 5 x$	\|: $2$
$y$	=	$45 - \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (45 - \frac{5}{2} x) & (I) \\ 9 x & + 9 y & = & 378 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $45 - \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9 x + 9 \cdot (45 - \frac{5}{2} x)$	=	$378$
$9 x + 405 - \frac{45}{2} x$	=	$378$
$- \frac{27}{2} x + 405$	=	$378$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{27}{2} x + 405)$	=	$756$
$- 27 x + 810$	=	$756$	\| $- 810$
$- 27 x$	=	$- 54$	\|:( $- 27$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $45 - \frac{5}{2} \cdot 2$

= $45 - 5$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (2|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|5) und B(4|44) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|5): 5 = 1² + b⋅1 +c

B(4|44): 44 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 +1b +c |-1
44 = 16 +4b +c |-16

4 = 1b +c
28 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ 4 b & + c & = & 28 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$28$
$c + 4 b$	=	$28$	\| $- 4 b$
$c$	=	$28 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (28 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $28 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (28 - 4 b)$	=	$4$
$b + 28 - 4 b$	=	$4$
$- 3 b + 28$	=	$4$	\| $- 28$
$- 3 b$	=	$- 24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $28 - 4 \cdot 8$

= $28 - 32$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-4)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|9) und B(-2|-6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|9): 9 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-6): -6 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 +1b +c |-1
-6 = 4 -2b +c |-4

8 = 1b +c
-10 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 8 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 10$
$c - 2 b$	=	$- 10$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 10 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (- 10 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 10 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 10 + 2 b)$	=	$8$
$b - 10 + 2 b$	=	$8$
$3 b - 10$	=	$8$	\| $+ 10$
$3 b$	=	$18$	\|: $3$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 10 + 2 \cdot 6$

= $- 10 + 12$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 2$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 2$

= ${(x + 3)}^{2} - 7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 2$ = $9 - 18 + 2$ = -7

also: S(-3|-7).

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1. Weg

2. Weg