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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 4 y$ = $- 14$ .

Bestimme y so, dass (2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 \cdot 2 + 4 y$ = $- 14$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 5 \cdot 2 + 4 y$	=	$- 14$
$- 10 + 4 y$	=	$- 14$
$4 y - 10$	=	$- 14$	\| $+ 10$
$4 y$	=	$- 4$	\|: $4$
$y$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (2|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 3 y$ = $10$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|2)
denn 2⋅2 +3⋅2 = 4 +6 = $10$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|0)
denn 2⋅5 +3⋅0 = 10 +0 = $10$

Oder : (-1|4)
denn 2⋅( - 1 ) +3⋅4 = -2 +12 = $10$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & = & 12 & (I) \\ - x & + 2 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & = & 12 & (I) \\ - x & + 2 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 3 & (I) \\ - x & + 2 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 3) + 2 y$	=	$15$
$3 + 2 y$	=	$15$
$2 y + 3$	=	$15$	\| $- 3$
$2 y$	=	$12$	\|: $2$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 15 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 15 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$- 15$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$- 15 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 15 + 4 y) & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 15 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 15 + 4 y) + 4 y$	=	$21$
$45 - 12 y + 4 y$	=	$21$
$- 8 y + 45$	=	$21$	\| $- 45$
$- 8 y$	=	$- 24$	\|:( $- 8$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 15 + 4 \cdot 3$

= $- 15 + 12$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 6 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 6 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 3 y$	=	$6$
$- 3 y + 4 x$	=	$6$	\| $- 4 x$
$- 3 y$	=	$6 - 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 2 + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 + \frac{4}{3} x) & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 3 \cdot (- 2 + \frac{4}{3} x)$	=	$- 6$
$3 x - 6 + 4 x$	=	$- 6$
$7 x - 6$	=	$- 6$	\| $+ 6$
$7 x$	=	0	\|: $7$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 + \frac{4}{3} \cdot 0$

= $- 2 + 0$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$4 (- 2 + y)$	=	$4 x$			(I)
0	=	$x + 2 (1 - y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$4 (- 2 + y)$	=	$4 x$			(I)
0	=	$x + 2 (1 - y)$			(II)

$- 8 + 4 y$	=	$4 x$	\| + $8 - 4 x$		(I)
0	=	$x + 2 - 2 y$	\| $- x + 2 y$		(II)

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & 8 & (I) \\ - x & + 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 2 y$	=	$2$	\| $- 2 y$
$- x$	=	$2 - 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & 8 & (I) \\ x & = & (- 2 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 2 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 2 + 2 y) + 4 y$	=	$8$
$8 - 8 y + 4 y$	=	$8$
$- 4 y + 8$	=	$8$	\| $- 8$
$- 4 y$	=	0	\|:( $- 4$ )
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 2 + 2 \cdot (0)$

= $- 2 + 0$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -1y = ?

-1x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-4x -1y = 20 -3 = 17

-1x +2y = 5 +6 = 11

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -1y = 17

-1x +2y = 11

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & 3 & (I) \\ 8 x & + 6 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & 3 & (I) \\ 8 x & + 6 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 3 y$	=	$3$
$- 3 y - 4 x$	=	$3$	\| $+ 4 x$
$- 3 y$	=	$3 + 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 1 - \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 - \frac{4}{3} x) & (I) \\ 8 x & + 6 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 - \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 6 \cdot (- 1 - \frac{4}{3} x)$	=	$- 6$
$8 x - 6 - 8 x$	=	$- 6$
$- 6$	=	$- 6$	\| $+ 6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 12. Wenn man aber vom 2-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 0. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 12 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$12$	\| $- 3 y$
$x$	=	$12 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (12 - 3 y) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $12 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (12 - 3 y) - 2 y$	=	0
$24 - 6 y - 2 y$	=	0
$- 8 y + 24$	=	0	\| $- 24$
$- 8 y$	=	$- 24$	\|:( $- 8$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $12 - 3 \cdot 3$

= $12 - 9$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 3

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(-4|-19) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-19): -19 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
-19 = 16 -4b +c |-16

-5 = -1b +c
-35 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 35 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 35$
$c - 4 b$	=	$- 35$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 35 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 35 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 35 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 35 + 4 b)$	=	$- 5$
$- b - 35 + 4 b$	=	$- 5$
$3 b - 35$	=	$- 5$	\| $+ 35$
$3 b$	=	$30$	\|: $3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 35 + 4 \cdot 10$

= $- 35 + 40$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-8) und B(-3|-16) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-8): -8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-16): -16 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 -1b +c |-1
-16 = 9 -3b +c |-9

-9 = -1b +c
-25 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 9 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 25$
$c - 3 b$	=	$- 25$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 25 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 9 & (I) \\ + c & = & (- 25 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 25 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 25 + 3 b)$	=	$- 9$
$- b - 25 + 3 b$	=	$- 9$
$2 b - 25$	=	$- 9$	\| $+ 25$
$2 b$	=	$16$	\|: $2$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 25 + 3 \cdot 8$

= $- 25 + 24$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-1)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 - 1$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 - 1$

= ${(x + 4)}^{2} - 17$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-17).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) - 1$ = $16 - 32 - 1$ = -17

also: S(-4|-17).

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1. Weg

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