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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 4 y$ = $12$ .

Bestimme x so, dass (x|0) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x + 4 \cdot 0$ = $12$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot 0$	=	$12$
$4 x$	=	$12$	\|: $4$
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + 2 y$ = $- 3$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|0)
denn 3⋅( - 1 ) +2⋅0 = -3 +0 = $- 3$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|-3)
denn 3⋅1 +2⋅( - 3 ) = 3 -6 = $- 3$

Oder : (-3|3)
denn 3⋅( - 3 ) +2⋅3 = -9 +6 = $- 3$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 4 y & = & 12 & (I) \\ - x & - 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 4 y & = & 12 & (I) \\ - x & - 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4 y$	=	$12$	\|: $4$
$y$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 3 & (I) \\ - x & - 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x - 2 \cdot 3$	=	$- 1$
$- x - 6$	=	$- 1$	\| $+ 6$
$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 6 & (I) \\ x & - 3 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 6 & (I) \\ x & - 3 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$8$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$8 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 6 & (I) \\ x & = & (8 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $8 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (8 + 3 y) - 3 y$	=	$6$
$24 + 9 y - 3 y$	=	$6$
$6 y + 24$	=	$6$	\| $- 24$
$6 y$	=	$- 18$	\|: $6$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $8 + 3 \cdot (- 3)$

= $8 - 9$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 7 & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & 27 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 7 & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & 27 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 2 y$	=	$- 7$
$2 y - 3 x$	=	$- 7$	\| $+ 3 x$
$2 y$	=	$- 7 + 3 x$	\|: $2$
$y$	=	$- \frac{7}{2} + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{7}{2} + \frac{3}{2} x) & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & 27 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{7}{2} + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 5 \cdot (- \frac{7}{2} + \frac{3}{2} x)$	=	$27$
$- 2 x + \frac{35}{2} - \frac{15}{2} x$	=	$27$
$- \frac{19}{2} x + \frac{35}{2}$	=	$27$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{19}{2} x + \frac{35}{2})$	=	$54$
$- 19 x + 35$	=	$54$	\| $- 35$
$- 19 x$	=	$19$	\|:( $- 19$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{7}{2} + \frac{3}{2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{7}{2} - \frac{3}{2}$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2 (- 17 + 2 y)$	=	$- 4 x + 9 y$			(I)
$3 x$	=	$8 - 5 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2 (- 17 + 2 y)$	=	$- 4 x + 9 y$			(I)
$3 x$	=	$8 - 5 y$			(II)

$- 34 + 4 y$	=	$- 4 x + 9 y$	\| + $34 + 4 x - 9 y$		(I)
$3 x$	=	$8 - 5 y$	\| + $5 y$		(II)

\begin{matrix} 4 x & - 5 y & = & 34 & (I) \\ 3 x & + 5 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 5 y$	=	$34$
$- 5 y + 4 x$	=	$34$	\| $- 4 x$
$- 5 y$	=	$34 - 4 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- \frac{34}{5} + \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{34}{5} + \frac{4}{5} x) & (I) \\ 3 x & + 5 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{34}{5} + \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 5 \cdot (- \frac{34}{5} + \frac{4}{5} x)$	=	$8$
$3 x - 34 + 4 x$	=	$8$
$7 x - 34$	=	$8$	\| $+ 34$
$7 x$	=	$42$	\|: $7$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{34}{5} + \frac{4}{5} \cdot 6$

= $- \frac{34}{5} + \frac{24}{5}$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -1y = ?

-8x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-5x -1y = -20 -3 = -23

-8x -4y = -32 -12 = -44

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -1y = -23

-8x -4y = -44

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & 0 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & 0 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 5 y$	=	0
$- 5 y - 3 x$	=	0	\| $+ 3 x$
$- 5 y$	=	$3 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - \frac{3}{5} x & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- \frac{3}{5} x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 2 \cdot (- \frac{3}{5} x)$	=	$- 16$
$- 2 x - \frac{6}{5} x$	=	$- 16$
$- \frac{16}{5} x$	=	$- 16$	\|⋅ 5
$- 16 x$	=	$- 80$	\|:( $- 16$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{3}{5} \cdot 5$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 2 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 72 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 84 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 2 y & = & 72 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 84 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 2 y$	=	$72$
$2 y + 7 x$	=	$72$	\| $- 7 x$
$2 y$	=	$72 - 7 x$	\|: $2$
$y$	=	$36 - \frac{7}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (36 - \frac{7}{2} x) & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 84 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $36 - \frac{7}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot (36 - \frac{7}{2} x)$	=	$84$
$4 x + 144 - 14 x$	=	$84$
$- 10 x + 144$	=	$84$	\| $- 144$
$- 10 x$	=	$- 60$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $36 - \frac{7}{2} \cdot 6$

= $36 - 21$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (6|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|4) und B(-2|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|4): 4 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-5): -5 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 +1b +c |-1
-5 = 4 -2b +c |-4

3 = 1b +c
-9 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 9$
$c - 2 b$	=	$- 9$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 9 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (- 9 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 9 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 9 + 2 b)$	=	$3$
$b - 9 + 2 b$	=	$3$
$3 b - 9$	=	$3$	\| $+ 9$
$3 b$	=	$12$	\|: $3$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 9 + 2 \cdot 4$

= $- 9 + 8$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-9) und B(2|-14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-9): -9 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-14): -14 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-9 = 1 +1b +c |-1
-14 = 4 +2b +c |-4

-10 = 1b +c
-18 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 10 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 18$
$c + 2 b$	=	$- 18$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 18 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 10 & (I) \\ + c & = & (- 18 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 18 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 18 - 2 b)$	=	$- 10$
$b - 18 - 2 b$	=	$- 10$
$- b - 18$	=	$- 10$	\| $+ 18$
$- b$	=	$8$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 18 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 18 + 16$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 18$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-18).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 2$ = $16 - 32 - 2$ = -18

also: S(4|-18).

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