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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 4 y$ = $- 8$ .

Bestimme y so, dass (-4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot (- 4) - 4 y$ = $- 8$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 4) - 4 y$	=	$- 8$
$12 - 4 y$	=	$- 8$
$- 4 y + 12$	=	$- 8$	\| $- 12$
$- 4 y$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (-4|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + y$ = $20$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|-1)
denn 3⋅7 +1⋅( - 1 ) = 21 -1 = $20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|-4)
denn 3⋅8 +1⋅( - 4 ) = 24 -4 = $20$

Oder : (6|2)
denn 3⋅6 +1⋅2 = 18 +2 = $20$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & 4 & (I) \\ - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & 4 & (I) \\ - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & 4 & (I) \\ + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (- 1)$	=	$4$
$2 x - 2$	=	$4$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 17 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 17 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$- 17$	\| $- 4 y$
$x$	=	$- 17 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 17 - 4 y) & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 17 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 17 - 4 y) - 4 y$	=	$8$
$68 + 16 y - 4 y$	=	$8$
$12 y + 68$	=	$8$	\| $- 68$
$12 y$	=	$- 60$	\|: $12$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 17 - 4 \cdot (- 5)$

= $- 17 + 20$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 18 & (I) \\ 2 x & + y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 18 & (I) \\ 2 x & + y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$15$
$y + 2 x$	=	$15$	\| $- 2 x$
$y$	=	$15 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 18 & (I) \\ + y & = & (15 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $15 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 4 \cdot (15 - 2 x)$	=	$18$
$x + 60 - 8 x$	=	$18$
$- 7 x + 60$	=	$18$	\| $- 60$
$- 7 x$	=	$- 42$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $15 - 2 \cdot 6$

= $15 - 12$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 2 x$	=	$- 12 + y$			(I)
$5 x - 31 + 3 y$	=	0			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 2 x$	=	$- 12 + y$	\| $- y$		(I)
$5 x - 31 + 3 y$	=	0	\| + $31$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & - 12 & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 31 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	$- 12$
$- y - 2 x$	=	$- 12$	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$- 12 + 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$12 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (12 - 2 x) & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 31 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $12 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 3 \cdot (12 - 2 x)$	=	$31$
$5 x + 36 - 6 x$	=	$31$
$- x + 36$	=	$31$	\| $- 36$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $12 - 2 \cdot 5$

= $12 - 10$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -3y = ?

2x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

3x -3y = -15 -12 = -27

2x -5y = -10 -20 = -30

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -3y = -27

2x -5y = -30

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & - 5 y & = & - 14 & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 5 y & = & - 14 & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 5 y$	=	$- 14$
$- 5 y - 4 x$	=	$- 14$	\| $+ 4 x$
$- 5 y$	=	$- 14 + 4 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$\frac{14}{5} - \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{14}{5} - \frac{4}{5} x) & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{14}{5} - \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 5 \cdot (\frac{14}{5} - \frac{4}{5} x)$	=	$- 18$
$- 3 x - 14 + 4 x$	=	$- 18$
$x - 14$	=	$- 18$	\| $+ 14$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{14}{5} - \frac{4}{5} \cdot (- 4)$

= $\frac{14}{5} + \frac{16}{5}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 216 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 8 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 138 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 6 y & = & 216 & (I) \\ 8 x & + 3 y & = & 138 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 6 y$	=	$216$
$6 y + 6 x$	=	$216$	\| $- 6 x$
$6 y$	=	$216 - 6 x$	\|: $6$
$y$	=	$36 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (36 - x) & (I) \\ 8 x & + 3 y & = & 138 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $36 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 3 \cdot (36 - x)$	=	$138$
$8 x + 108 - 3 x$	=	$138$
$5 x + 108$	=	$138$	\| $- 108$
$5 x$	=	$30$	\|: $5$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $36 - 6$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (6|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|14) und B(2|-13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|14): 14 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-13): -13 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
14 = 1 -1b +c |-1
-13 = 4 +2b +c |-4

13 = -1b +c
-17 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 13 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 17$
$c + 2 b$	=	$- 17$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 17 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 13 & (I) \\ + c & = & (- 17 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 17 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 17 - 2 b)$	=	$13$
$- b - 17 - 2 b$	=	$13$
$- 3 b - 17$	=	$13$	\| $+ 17$
$- 3 b$	=	$30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 17 - 2 \cdot (- 10)$

= $- 17 + 20$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|11) und B(-2|22) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|11): 11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|22): 22 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
11 = 1 -1b +c |-1
22 = 4 -2b +c |-4

10 = -1b +c
18 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 10 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$18$
$c - 2 b$	=	$18$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$18 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 10 & (I) \\ + c & = & (18 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $18 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (18 + 2 b)$	=	$10$
$- b + 18 + 2 b$	=	$10$
$b + 18$	=	$10$	\| $- 18$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $18 + 2 \cdot (- 8)$

= $18 - 16$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 + 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 + 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 14$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-14).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 + 2$ = $16 - 32 + 2$ = -14

also: S(4|-14).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

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