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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 4 y$ = $- 28$ .

Bestimme x so, dass (x|7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$3 x - 4 \cdot 7$ = $- 28$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3 x - 4 \cdot 7$	=	$- 28$
$3 x - 28$	=	$- 28$	\| $+ 28$
$3 x$	=	0	\|: $3$
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 4 y$ = $- 52$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|-7)
denn -4⋅6 +4⋅( - 7 ) = -24 -28 = $- 52$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (10|-3)
denn -4⋅10 +4⋅( - 3 ) = -40 -12 = $- 52$

Oder : (2|-11)
denn -4⋅2 +4⋅( - 11 ) = -8 -44 = $- 52$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & = & 12 & (I) \\ x & - y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & = & 12 & (I) \\ x & - y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 6 & (I) \\ x & - y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 6) - y$	=	$- 12$
$- 6 - y$	=	$- 12$
$- y - 6$	=	$- 12$	\| $+ 6$
$- y$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & 0 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & 0 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$- 9$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$- 9 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & 0 & (I) \\ x & = & (- 9 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 9 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 9 + 3 y) - 3 y$	=	0
$18 - 6 y - 3 y$	=	0
$- 9 y + 18$	=	0	\| $- 18$
$- 9 y$	=	$- 18$	\|:( $- 9$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 9 + 3 \cdot 2$

= $- 9 + 6$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & + 5 y & = & - 20 & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & + 5 y & = & - 20 & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x + 5 y$	=	$- 20$
$5 y - 5 x$	=	$- 20$	\| $+ 5 x$
$5 y$	=	$- 20 + 5 x$	\|: $5$
$y$	=	$- 4 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 4 + x) & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 4 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 5 \cdot (- 4 + x)$	=	$- 20$
$- 3 x + 20 - 5 x$	=	$- 20$
$- 8 x + 20$	=	$- 20$	\| $- 20$
$- 8 x$	=	$- 40$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 4 + 5$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & + \frac{1}{2} y & = & - \frac{5}{2} & (I) \\ - \frac{2}{5} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{12}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & + \frac{1}{2} y & = & - \frac{5}{2} & (I) \\ - \frac{2}{5} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{12}{5} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y$	=	$- \frac{5}{2}$
$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} x$	=	$- \frac{5}{2}$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} x)$	=	$- 5$
$y + x$	=	$- 5$	\| $- x$
$y$	=	$- 5 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 5 - x) & (I) \\ - \frac{2}{5} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{12}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 5 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{2}{5} x - \frac{1}{2} \cdot (- 5 - x)$	=	$\frac{12}{5}$
$- \frac{2}{5} x + \frac{5}{2} + \frac{1}{2} x$	=	$\frac{12}{5}$
$\frac{1}{10} x + \frac{5}{2}$	=	$\frac{12}{5}$	\|⋅ 10
$10 (\frac{1}{10} x + \frac{5}{2})$	=	$24$
$x + 25$	=	$24$	\| $- 25$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5 - (- 1)$

= $- 5 + 1$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +2y = ?

1x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-1x +2y = 1 +2 = 3

1x -1y = -1 -1 = -2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +2y = 3

1x -1y = -2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 4 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 4 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 3 y$	=	$4$
$- 3 y + 4 x$	=	$4$	\| $- 4 x$
$- 3 y$	=	$4 - 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- \frac{4}{3} + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{4}{3} + \frac{4}{3} x) & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{4}{3} + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot (- \frac{4}{3} + \frac{4}{3} x)$	=	$- 24$
$4 x - \frac{16}{3} + \frac{16}{3} x$	=	$- 24$
$\frac{28}{3} x - \frac{16}{3}$	=	$- 24$	\|⋅ 3
$3 (\frac{28}{3} x - \frac{16}{3})$	=	$- 72$
$28 x - 16$	=	$- 72$	\| $+ 16$
$28 x$	=	$- 56$	\|: $28$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \cdot (- 2)$

= $- \frac{4}{3} - \frac{8}{3}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 13. Wenn man aber vom 3-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -26. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 13 & (I) \\ 3 x & - 7 y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$13$	\| $- 2 y$
$x$	=	$13 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (13 - 2 y) & (I) \\ 3 x & - 7 y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $13 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (13 - 2 y) - 7 y$	=	$- 26$
$39 - 6 y - 7 y$	=	$- 26$
$- 13 y + 39$	=	$- 26$	\| $- 39$
$- 13 y$	=	$- 65$	\|:( $- 13$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $13 - 2 \cdot 5$

= $13 - 10$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|3) und B(1|-9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|3): 3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-9): -9 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 -1b +c |-1
-9 = 1 +1b +c |-1

2 = -1b +c
-10 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 2 & (I) \\ b & + c & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 10$
$c + b$	=	$- 10$	\| $- b$
$c$	=	$- 10 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 2 & (I) \\ + c & = & (- 10 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 10 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 10 - b)$	=	$2$
$- b - 10 - b$	=	$2$
$- 2 b - 10$	=	$2$	\| $+ 10$
$- 2 b$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 10 - (- 6)$

= $- 10 + 6$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-12) und B(4|-27) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-12): -12 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-27): -27 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 +1b +c |-1
-27 = 16 +4b +c |-16

-13 = 1b +c
-43 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 43 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 43$
$c + 4 b$	=	$- 43$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 43 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ + c & = & (- 43 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 43 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 43 - 4 b)$	=	$- 13$
$b - 43 - 4 b$	=	$- 13$
$- 3 b - 43$	=	$- 13$	\| $+ 43$
$- 3 b$	=	$30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 43 - 4 \cdot (- 10)$

= $- 43 + 40$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 - 3$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 - 3$

= ${(x - 5)}^{2} - 28$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-28).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 - 3$ = $25 - 50 - 3$ = -28

also: S(5|-28).

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1. Weg

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