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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 2 y$ = $- 19$ .

Bestimme x so, dass (x|-7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$- x + 2 \cdot (- 7)$ = $- 19$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- x + 2 \cdot (- 7)$	=	$- 19$
$- x - 14$	=	$- 19$	\| $+ 14$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (5|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 3 y$ = $- 20$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-5)
denn 5⋅( - 1 ) +3⋅( - 5 ) = -5 -15 = $- 20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-10)
denn 5⋅2 +3⋅( - 10 ) = 10 -30 = $- 20$

Oder : (-4|0)
denn 5⋅( - 4 ) +3⋅0 = -20 +0 = $- 20$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & - 15 & (I) \\ + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & - 15 & (I) \\ + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$6$	\|: $2$
$y$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & - 15 & (I) \\ + y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 3 \cdot 3$	=	$- 15$
$- 4 x + 9$	=	$- 15$	\| $- 9$
$- 4 x$	=	$- 24$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & 24 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & 24 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$1$
$y - 2 x$	=	$1$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$1 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & 24 & (I) \\ + y & = & (1 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 3 \cdot (1 + 2 x)$	=	$24$
$- 3 x - 3 - 6 x$	=	$24$
$- 9 x - 3$	=	$24$	\| $+ 3$
$- 9 x$	=	$27$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $1 + 2 \cdot (- 3)$

= $1 - 6$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & 14 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & 14 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 5 y$	=	$14$
$- 5 y - 3 x$	=	$14$	\| $+ 3 x$
$- 5 y$	=	$14 + 3 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- \frac{14}{5} - \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{14}{5} - \frac{3}{5} x) & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{14}{5} - \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 5 \cdot (- \frac{14}{5} - \frac{3}{5} x)$	=	$30$
$5 x + 14 + 3 x$	=	$30$
$8 x + 14$	=	$30$	\| $- 14$
$8 x$	=	$16$	\|: $8$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{14}{5} - \frac{3}{5} \cdot 2$

= $- \frac{14}{5} - \frac{6}{5}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

0	=	$- 2 (x + 2) + 2 y$			(I)
$2 (2 x + 3 y)$	=	$3 (9 + y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

0	=	$- 2 (x + 2) + 2 y$			(I)
$2 (2 x + 3 y)$	=	$3 (9 + y)$			(II)

0	=	$- 2 x - 4 + 2 y$	\| + $2 x - 2 y$		(I)
$4 x + 6 y$	=	$27 + 3 y$	\| $- 3 y$		(II)

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & - 4 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 27 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 2 y$	=	$- 4$
$- 2 y + 2 x$	=	$- 4$	\| $- 2 x$
$- 2 y$	=	$- 4 - 2 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$2 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (2 + x) & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 27 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 3 \cdot (2 + x)$	=	$27$
$4 x + 6 + 3 x$	=	$27$
$7 x + 6$	=	$27$	\| $- 6$
$7 x$	=	$21$	\|: $7$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2 + 3$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -1y = ?

5x -8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

1x -1y = -1 +5 = 4

5x -8y = -5 +40 = 35

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -1y = 4

5x -8y = 35

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 6 x & - 6 y & = & - 1 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 6 x & - 6 y & = & - 1 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 6 x - 6 y$	=	$- 1$
$- 6 y - 6 x$	=	$- 1$	\| $+ 6 x$
$- 6 y$	=	$- 1 + 6 x$	\|:( $- 6$ )
$y$	=	$\frac{1}{6} - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{6} - x) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{6} - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (\frac{1}{6} - x)$	=	$1$
$2 x + \frac{1}{3} - 2 x$	=	$1$
$\frac{1}{3}$	=	$1$	\| $- \frac{1}{3}$
0	=	$\frac{2}{3}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 2 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 58 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 104 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 8 x & + 2 y & = & 58 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 104 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x + 2 y$	=	$58$
$2 y + 8 x$	=	$58$	\| $- 8 x$
$2 y$	=	$58 - 8 x$	\|: $2$
$y$	=	$29 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (29 - 4 x) & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 104 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $29 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot (29 - 4 x)$	=	$104$
$4 x + 116 - 16 x$	=	$104$
$- 12 x + 116$	=	$104$	\| $- 116$
$- 12 x$	=	$- 12$	\|:( $- 12$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $29 - 4 \cdot 1$

= $29 - 4$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (1|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|11) und B(-2|22) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|11): 11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|22): 22 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
11 = 1 -1b +c |-1
22 = 4 -2b +c |-4

10 = -1b +c
18 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 10 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$18$
$c - 2 b$	=	$18$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$18 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 10 & (I) \\ + c & = & (18 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $18 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (18 + 2 b)$	=	$10$
$- b + 18 + 2 b$	=	$10$
$b + 18$	=	$10$	\| $- 18$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $18 + 2 \cdot (- 8)$

= $18 - 16$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-10) und B(-2|23) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-10): -10 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|23): 23 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 +1b +c |-1
23 = 4 -2b +c |-4

-11 = 1b +c
19 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$19$
$c - 2 b$	=	$19$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$19 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (19 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $19 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (19 + 2 b)$	=	$- 11$
$b + 19 + 2 b$	=	$- 11$
$3 b + 19$	=	$- 11$	\| $- 19$
$3 b$	=	$- 30$	\|: $3$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $19 + 2 \cdot (- 10)$

= $19 - 20$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-1)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 - 1$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 - 1$

= ${(x - 5)}^{2} - 26$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-26).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 - 1$ = $25 - 50 - 1$ = -26

also: S(5|-26).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg