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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 5 y$ = $- 17$ .

Bestimme x so, dass (x|4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$x - 5 \cdot 4$ = $- 17$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x - 5 \cdot 4$	=	$- 17$
$x - 20$	=	$- 17$	\| $+ 20$
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 2 y$ = $25$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-5)
denn 3⋅5 -2⋅( - 5 ) = 15 +10 = $25$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|-8)
denn 3⋅3 -2⋅( - 8 ) = 9 +16 = $25$

Oder : (7|-2)
denn 3⋅7 -2⋅( - 2 ) = 21 +4 = $25$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & - 3 & (I) \\ - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & - 3 & (I) \\ - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & - 3 & (I) \\ + y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 3 \cdot 1$	=	$- 3$
$x + 3$	=	$- 3$	\| $- 3$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 10 & (I) \\ x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 10 & (I) \\ x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$2$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$2 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 10 & (I) \\ x & = & (2 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $2 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (2 + 2 y) - y$	=	$10$
$4 + 4 y - y$	=	$10$
$3 y + 4$	=	$10$	\| $- 4$
$3 y$	=	$6$	\|: $3$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $2 + 2 \cdot 2$

= $2 + 4$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 5 y & = & - 5 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + 5 y & = & - 5 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 5 y$	=	$- 5$
$5 y + 5 x$	=	$- 5$	\| $- 5 x$
$5 y$	=	$- 5 - 5 x$	\|: $5$
$y$	=	$- 1 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 - x) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (- 1 - x)$	=	$- 7$
$2 x + 3 + 3 x$	=	$- 7$
$5 x + 3$	=	$- 7$	\| $- 3$
$5 x$	=	$- 10$	\|: $5$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 - (- 2)$

= $- 1 + 2$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{2}{3} x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{2}{15} & (I) \\ - \frac{1}{5} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{19}{10} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{2}{3} x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{2}{15} & (I) \\ - \frac{1}{5} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{19}{10} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{2}{3} x - \frac{2}{5} y$	=	$\frac{2}{15}$
$- \frac{2}{5} y - \frac{2}{3} x$	=	$\frac{2}{15}$	\|⋅ 15
$15 (- \frac{2}{5} y - \frac{2}{3} x)$	=	$2$
$- 6 y - 10 x$	=	$2$	\| $+ 10 x$
$- 6 y$	=	$2 + 10 x$	\|:( $- 6$ )
$y$	=	$- \frac{1}{3} - \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{3} - \frac{5}{3} x) & (I) \\ - \frac{1}{5} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{19}{10} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{3} - \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{5} x + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{5}{3} x)$	=	$\frac{19}{10}$
$- \frac{1}{5} x - \frac{1}{6} - \frac{5}{6} x$	=	$\frac{19}{10}$
$- \frac{31}{30} x - \frac{1}{6}$	=	$\frac{19}{10}$	\|⋅ 30
$30 (- \frac{31}{30} x - \frac{1}{6})$	=	$57$
$- 31 x - 5$	=	$57$	\| $+ 5$
$- 31 x$	=	$62$	\|:( $- 31$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{1}{3} - \frac{5}{3} \cdot (- 2)$

= $- \frac{1}{3} + \frac{10}{3}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -2y = ?

5x -6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

2x -2y = -10 -8 = -18

5x -6y = -25 -24 = -49

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -2y = -18

5x -6y = -49

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & + 3 y & = & - 13 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & + 3 y & = & - 13 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x + 3 y$	=	$- 13$
$3 y - 5 x$	=	$- 13$	\| $+ 5 x$
$3 y$	=	$- 13 + 5 x$	\|: $3$
$y$	=	$- \frac{13}{3} + \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{13}{3} + \frac{5}{3} x) & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{13}{3} + \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (- \frac{13}{3} + \frac{5}{3} x)$	=	$9$
$3 x + 13 - 5 x$	=	$9$
$- 2 x + 13$	=	$9$	\| $- 13$
$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{13}{3} + \frac{5}{3} \cdot 2$

= $- \frac{13}{3} + \frac{10}{3}$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 3 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 126 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 245 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 3 y & = & 126 & (I) \\ 5 x & + 6 y & = & 245 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 3 y$	=	$126$
$3 y + 6 x$	=	$126$	\| $- 6 x$
$3 y$	=	$126 - 6 x$	\|: $3$
$y$	=	$42 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (42 - 2 x) & (I) \\ 5 x & + 6 y & = & 245 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $42 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 6 \cdot (42 - 2 x)$	=	$245$
$5 x + 252 - 12 x$	=	$245$
$- 7 x + 252$	=	$245$	\| $- 252$
$- 7 x$	=	$- 7$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $42 - 2 \cdot 1$

= $42 - 2$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (1|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|6) und B(-1|2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
2 = 1 -1b +c |-1

5 = 1b +c
1 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ - b & + c & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$1$
$c - b$	=	$1$	\| $+ b$
$c$	=	$1 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (1 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $1 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (1 + b)$	=	$5$
$b + 1 + b$	=	$5$
$2 b + 1$	=	$5$	\| $- 1$
$2 b$	=	$4$	\|: $2$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $1 + 2$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-12) und B(2|21) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-12): -12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|21): 21 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 -1b +c |-1
21 = 4 +2b +c |-4

-13 = -1b +c
17 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 13 & (I) \\ 2 b & + c & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$17$
$c + 2 b$	=	$17$	\| $- 2 b$
$c$	=	$17 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 13 & (I) \\ + c & = & (17 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $17 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (17 - 2 b)$	=	$- 13$
$- b + 17 - 2 b$	=	$- 13$
$- 3 b + 17$	=	$- 13$	\| $- 17$
$- 3 b$	=	$- 30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $17 - 2 \cdot 10$

= $17 - 20$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-3)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 3$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 3$

= ${(x + 5)}^{2} - 28$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-28).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 3$ = $25 - 50 - 3$ = -28

also: S(-5|-28).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS (Standard)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg