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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 3 y$ = $3$ .

Bestimme x so, dass (x|-3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 x + 3 \cdot (- 3)$ = $3$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 2 x + 3 \cdot (- 3)$	=	$3$
$- 2 x - 9$	=	$3$	\| $+ 9$
$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (-6|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 3 y$ = $1$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|0)
denn 1⋅1 -3⋅0 = 1 +0 = $1$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-1)
denn 1⋅( - 2 ) -3⋅( - 1 ) = -2 +3 = $1$

Oder : (4|1)
denn 1⋅4 -3⋅1 = 4 -3 = $1$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & = & - 20 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & = & - 20 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$- 20$	\|: $4$
$x$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 5 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 5) - 2 y$	=	$- 2$
$- 10 - 2 y$	=	$- 2$
$- 2 y - 10$	=	$- 2$	\| $+ 10$
$- 2 y$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 14 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 14 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$14$
$y - 4 x$	=	$14$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$14 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (14 + 4 x) & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $14 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 4 \cdot (14 + 4 x)$	=	0
$- 2 x + 56 + 16 x$	=	0
$14 x + 56$	=	0	\| $- 56$
$14 x$	=	$- 56$	\|: $14$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $14 + 4 \cdot (- 4)$

= $14 - 16$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & - 27 & (I) \\ x & + 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & - 27 & (I) \\ x & + 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	0	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & - 27 & (I) \\ x & = & - 2 y & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 2 y$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 2 y) - 5 y$	=	$- 27$
$- 4 y - 5 y$	=	$- 27$
$- 9 y$	=	$- 27$	\|:( $- 9$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 2 \cdot 3$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$6$	=	$x - y$			(I)
$- 4 (x + y)$	=	$- 9 x + 26$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$6$	=	$x - y$			(I)
$- 4 (x + y)$	=	$- 9 x + 26$			(II)

$6$	=	$x - y$	\| $- 6 - x + y$		(I)
$- 4 x - 4 y$	=	$- 9 x + 26$	\| + $9 x$		(II)

\begin{matrix} - x & + y & = & - 6 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x + y$	=	$- 6$
$y - x$	=	$- 6$	\| $+ x$
$y$	=	$- 6 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 6 + x) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 6 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 4 \cdot (- 6 + x)$	=	$26$
$5 x + 24 - 4 x$	=	$26$
$x + 24$	=	$26$	\| $- 24$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 6 + 2$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -2y = ?

-5x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-2x -2y = -8 +8 = 0

-5x -4y = -20 +16 = -4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -2y = 0

-5x -4y = -4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 8 & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 8 & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 8$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 8 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 8 - 2 y) & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 8 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 8 - 2 y) - 5 y$	=	$21$
$16 + 4 y - 5 y$	=	$21$
$- y + 16$	=	$21$	\| $- 16$
$- y$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 8 - 2 \cdot (- 5)$

= $- 8 + 10$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 5. Wenn man aber vom 3-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -9. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 5 & (I) \\ 3 x & - 6 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$5$	\| $- 2 y$
$x$	=	$5 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (5 - 2 y) & (I) \\ 3 x & - 6 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $5 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (5 - 2 y) - 6 y$	=	$- 9$
$15 - 6 y - 6 y$	=	$- 9$
$- 12 y + 15$	=	$- 9$	\| $- 15$
$- 12 y$	=	$- 24$	\|:( $- 12$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $5 - 2 \cdot 2$

= $5 - 4$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-6) und B(-3|-18) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-18): -18 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
-18 = 9 -3b +c |-9

-7 = -1b +c
-27 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 27$
$c - 3 b$	=	$- 27$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 27 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 27 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 27 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 27 + 3 b)$	=	$- 7$
$- b - 27 + 3 b$	=	$- 7$
$2 b - 27$	=	$- 7$	\| $+ 27$
$2 b$	=	$20$	\|: $2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 27 + 3 \cdot 10$

= $- 27 + 30$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (10|3)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(1|0) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
0 = 1 +1b +c |-1

-5 = -1b +c
-1 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ b & + c & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 1$
$c + b$	=	$- 1$	\| $- b$
$c$	=	$- 1 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 1 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 1 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 1 - b)$	=	$- 5$
$- b - 1 - b$	=	$- 5$
$- 2 b - 1$	=	$- 5$	\| $+ 1$
$- 2 b$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 1 - 2$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 3$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 3$

= ${(x + 1)}^{2} - 4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 3$ = $1 - 2 - 3$ = -4

also: S(-1|-4).

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1. Weg

2. Weg