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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 3 y$ = $2$ .

Bestimme y so, dass (2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 \cdot 2 - 3 y$ = $2$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 2 \cdot 2 - 3 y$	=	$2$
$- 4 - 3 y$	=	$2$
$- 3 y - 4$	=	$2$	\| $+ 4$
$- 3 y$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (2|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 5 y$ = $47$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|7)
denn -3⋅( - 4 ) +5⋅7 = 12 +35 = $47$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|10)
denn -3⋅1 +5⋅10 = -3 +50 = $47$

Oder : (-9|4)
denn -3⋅( - 9 ) +5⋅4 = 27 +20 = $47$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 16 & (I) \\ + 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 16 & (I) \\ + 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$12$	\|: $3$
$y$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 16 & (I) \\ + y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot 4$	=	$16$
$2 x + 12$	=	$16$	\| $- 12$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 15 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 15 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	$- 3$
$- y - 2 x$	=	$- 3$	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$- 3 + 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$3 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 15 & (I) \\ + y & = & (3 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $3 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 4 \cdot (3 - 2 x)$	=	$15$
$x - 12 + 8 x$	=	$15$
$9 x - 12$	=	$15$	\| $+ 12$
$9 x$	=	$27$	\|: $9$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $3 - 2 \cdot 3$

= $3 - 6$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & 2 & (I) \\ x & + 5 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & 2 & (I) \\ x & + 5 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$4$	\| $- 5 y$
$x$	=	$4 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & 2 & (I) \\ x & = & (4 - 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $4 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (4 - 5 y) + 5 y$	=	$2$
$12 - 15 y + 5 y$	=	$2$
$- 10 y + 12$	=	$2$	\| $- 12$
$- 10 y$	=	$- 10$	\|:( $- 10$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $4 - 5 \cdot 1$

= $4 - 5$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{4} x & + \frac{1}{3} y & = & \frac{1}{2} & (I) \\ \frac{1}{2} x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{11}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{4} x & + \frac{1}{3} y & = & \frac{1}{2} & (I) \\ \frac{1}{2} x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{11}{5} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{4} x + \frac{1}{3} y$	=	$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3} y + \frac{1}{4} x$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ 12
$12 (\frac{1}{3} y + \frac{1}{4} x)$	=	$6$
$4 y + 3 x$	=	$6$	\| $- 3 x$
$4 y$	=	$6 - 3 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{3}{2} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{3}{2} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ \frac{1}{2} x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{11}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{2} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{2} x - \frac{2}{5} \cdot (\frac{3}{2} - \frac{3}{4} x)$	=	$- \frac{11}{5}$
$\frac{1}{2} x - \frac{3}{5} + \frac{3}{10} x$	=	$- \frac{11}{5}$
$\frac{4}{5} x - \frac{3}{5}$	=	$- \frac{11}{5}$	\|⋅ 5
$5 (\frac{4}{5} x - \frac{3}{5})$	=	$- 11$
$4 x - 3$	=	$- 11$	\| $+ 3$
$4 x$	=	$- 8$	\|: $4$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{3}{2} - \frac{3}{4} \cdot (- 2)$

= $\frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +5y = ?

-2x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-3x +5y = -3 -5 = -8

-2x +1y = -2 -1 = -3

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +5y = -8

-2x +1y = -3

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 5 x & + 3 y & = & 16 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 40 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + 3 y & = & 16 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 40 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 3 y$	=	$16$
$3 y + 5 x$	=	$16$	\| $- 5 x$
$3 y$	=	$16 - 5 x$	\|: $3$
$y$	=	$\frac{16}{3} - \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{16}{3} - \frac{5}{3} x) & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 40 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{16}{3} - \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 5 \cdot (\frac{16}{3} - \frac{5}{3} x)$	=	$40$
$5 x - \frac{80}{3} + \frac{25}{3} x$	=	$40$
$\frac{40}{3} x - \frac{80}{3}$	=	$40$	\|⋅ 3
$3 (\frac{40}{3} x - \frac{80}{3})$	=	$120$
$40 x - 80$	=	$120$	\| $+ 80$
$40 x$	=	$200$	\|: $40$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{16}{3} - \frac{5}{3} \cdot 5$

= $\frac{16}{3} - \frac{25}{3}$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 400 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 670 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 5 y & = & 400 & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & 670 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 5 y$	=	$400$
$- 5 y + 4 x$	=	$400$	\| $- 4 x$
$- 5 y$	=	$400 - 4 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 80 + \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 80 + \frac{4}{5} x) & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & 670 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 80 + \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 2 \cdot (- 80 + \frac{4}{5} x)$	=	$670$
$5 x + 160 - \frac{8}{5} x$	=	$670$
$\frac{17}{5} x + 160$	=	$670$	\|⋅ 5
$5 (\frac{17}{5} x + 160)$	=	$3 350$
$17 x + 800$	=	$3 350$	\| $- 800$
$17 x$	=	$2 550$	\|: $17$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 80 + \frac{4}{5} \cdot 150$

= $- 80 + 120$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (150|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|5) und B(3|25) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|5): 5 = 1² + b⋅1 +c

B(3|25): 25 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 +1b +c |-1
25 = 9 +3b +c |-9

4 = 1b +c
16 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ 3 b & + c & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$16$
$c + 3 b$	=	$16$	\| $- 3 b$
$c$	=	$16 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (16 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $16 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (16 - 3 b)$	=	$4$
$b + 16 - 3 b$	=	$4$
$- 2 b + 16$	=	$4$	\| $- 16$
$- 2 b$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $16 - 3 \cdot 6$

= $16 - 18$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|9) und B(2|0) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|0): 0 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 -1b +c |-1
0 = 4 +2b +c |-4

8 = -1b +c
-4 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 4$
$c + 2 b$	=	$- 4$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 4 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (- 4 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 4 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 4 - 2 b)$	=	$8$
$- b - 4 - 2 b$	=	$8$
$- 3 b - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$- 3 b$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 4 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 4 + 8$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 4$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 + 4$

= ${(x - 2)}^{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 + 4$ = $4 - 8 + 4$ = 0

also: S(2|0).

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1. Weg

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