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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + y$ = $23$ .

Bestimme y so, dass (-5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 \cdot (- 5) + y$ = $23$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 5 \cdot (- 5) + y$	=	$23$
$25 + y$	=	$23$
$y + 25$	=	$23$	\| $- 25$
$y$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (-5|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 3 y$ = $2$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|0)
denn 1⋅2 +3⋅0 = 2 +0 = $2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|-1)
denn 1⋅5 +3⋅( - 1 ) = 5 -3 = $2$

Oder : (-1|1)
denn 1⋅( - 1 ) +3⋅1 = -1 +3 = $2$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & = & - 12 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & 28 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & = & - 12 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & 28 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 6 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & 28 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot 6 - 4 y$	=	$28$
$12 - 4 y$	=	$28$
$- 4 y + 12$	=	$28$	\| $- 12$
$- 4 y$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 9 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 9 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$- 9$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$- 9 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 9 + 3 y) & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 9 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 9 + 3 y) - 4 y$	=	$20$
$36 - 12 y - 4 y$	=	$20$
$- 16 y + 36$	=	$20$	\| $- 36$
$- 16 y$	=	$- 16$	\|:( $- 16$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 9 + 3 \cdot 1$

= $- 9 + 3$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & - 14 & (I) \\ x & - 2 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & - 14 & (I) \\ x & - 2 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$17$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$17 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & - 14 & (I) \\ x & = & (17 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $17 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (17 + 2 y) - y$	=	$- 14$
$- 68 - 8 y - y$	=	$- 14$
$- 9 y - 68$	=	$- 14$	\| $+ 68$
$- 9 y$	=	$54$	\|:( $- 9$ )
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $17 + 2 \cdot (- 6)$

= $17 - 12$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{4} x & + \frac{1}{4} y & = & - \frac{7}{4} & (I) \\ x & - \frac{1}{3} y & = & \frac{17}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{4} x & + \frac{1}{4} y & = & - \frac{7}{4} & (I) \\ x & - \frac{1}{3} y & = & \frac{17}{3} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - \frac{1}{3} y$	=	$\frac{17}{3}$	\|⋅ 3
$3 (x - \frac{1}{3} y)$	=	$17$
$3 x - y$	=	$17$	\| $+ y$
$3 x$	=	$17 + y$	\|: $3$
$x$	=	$\frac{17}{3} + \frac{1}{3} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - \frac{1}{4} x & + \frac{1}{4} y & = & - \frac{7}{4} & (I) \\ x & = & (\frac{17}{3} + \frac{1}{3} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{17}{3} + \frac{1}{3} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- \frac{1}{4} \cdot (\frac{17}{3} + \frac{1}{3} y) + \frac{1}{4} y$	=	$- \frac{7}{4}$
$- \frac{17}{12} - \frac{1}{12} y + \frac{1}{4} y$	=	$- \frac{7}{4}$
$\frac{1}{6} y - \frac{17}{12}$	=	$- \frac{7}{4}$	\|⋅ 12
$12 (\frac{1}{6} y - \frac{17}{12})$	=	$- 21$
$2 y - 17$	=	$- 21$	\| $+ 17$
$2 y$	=	$- 4$	\|: $2$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{17}{3} + \frac{1}{3} \cdot (- 2)$

= $\frac{17}{3} - \frac{2}{3}$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +3y = ?

-3x +7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-1x +3y = -5 -9 = -14

-3x +7y = -15 -21 = -36

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +3y = -14

-3x +7y = -36

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 3 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 3 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 2 y$	=	$2$	\| $+ 2 y$
$- x$	=	$2 + 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 3 & (I) \\ x & = & (- 2 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 2 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 2 - 2 y) + 4 y$	=	$- 3$
$- 4 - 4 y + 4 y$	=	$- 3$
$- 4$	=	$- 3$	\| $+ 4$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 2 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 75 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 8 Halogenleuchten zusammen 155 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 9 x & + 2 y & = & 75 & (I) \\ 7 x & + 8 y & = & 155 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9 x + 2 y$	=	$75$
$2 y + 9 x$	=	$75$	\| $- 9 x$
$2 y$	=	$75 - 9 x$	\|: $2$
$y$	=	$\frac{75}{2} - \frac{9}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{75}{2} - \frac{9}{2} x) & (I) \\ 7 x & + 8 y & = & 155 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{75}{2} - \frac{9}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x + 8 \cdot (\frac{75}{2} - \frac{9}{2} x)$	=	$155$
$7 x + 300 - 36 x$	=	$155$
$- 29 x + 300$	=	$155$	\| $- 300$
$- 29 x$	=	$- 145$	\|:( $- 29$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{75}{2} - \frac{9}{2} \cdot 5$

= $\frac{75}{2} - \frac{45}{2}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (5|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-3) und B(3|-11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-11): -11 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 +1b +c |-1
-11 = 9 +3b +c |-9

-4 = 1b +c
-20 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 20$
$c + 3 b$	=	$- 20$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 20 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (- 20 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 20 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 20 - 3 b)$	=	$- 4$
$b - 20 - 3 b$	=	$- 4$
$- 2 b - 20$	=	$- 4$	\| $+ 20$
$- 2 b$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 20 - 3 \cdot (- 8)$

= $- 20 + 24$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|4)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|0) und B(2|-3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-3): -3 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
-3 = 4 +2b +c |-4

-1 = -1b +c
-7 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 7$
$c + 2 b$	=	$- 7$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 7 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (- 7 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 7 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 7 - 2 b)$	=	$- 1$
$- b - 7 - 2 b$	=	$- 1$
$- 3 b - 7$	=	$- 1$	\| $+ 7$
$- 3 b$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 7 - 2 \cdot (- 2)$

= $- 7 + 4$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 - 3$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 - 3$

= ${(x - 1)}^{2} - 4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 - 3$ = $1 - 2 - 3$ = -4

also: S(1|-4).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg