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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + 4 y$ = $- 31$ .

Bestimme x so, dass (x|-4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$3 x + 4 \cdot (- 4)$ = $- 31$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3 x + 4 \cdot (- 4)$	=	$- 31$
$3 x - 16$	=	$- 31$	\| $+ 16$
$3 x$	=	$- 15$	\|: $3$
$x$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (-5|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 2 y$ = $- 6$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-1)
denn 2⋅( - 4 ) -2⋅( - 1 ) = -8 +2 = $- 6$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|-3)
denn 2⋅( - 6 ) -2⋅( - 3 ) = -12 +6 = $- 6$

Oder : (-2|1)
denn 2⋅( - 2 ) -2⋅1 = -4 -2 = $- 6$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 8 & (I) \\ + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $6$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 2 \cdot 6$	=	$8$
$x + 12$	=	$8$	\| $- 12$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & 0 & (I) \\ x & - 2 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & 0 & (I) \\ x & - 2 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$5$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$5 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & 0 & (I) \\ x & = & (5 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $5 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (5 + 2 y) - y$	=	0
$- 10 - 4 y - y$	=	0
$- 5 y - 10$	=	0	\| $+ 10$
$- 5 y$	=	$10$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $5 + 2 \cdot (- 2)$

= $5 - 4$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & 15 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & 15 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$17$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$17 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 17 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & 15 & (I) \\ x & = & (- 17 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 17 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 17 - 3 y) - 3 y$	=	$15$
$51 + 9 y - 3 y$	=	$15$
$6 y + 51$	=	$15$	\| $- 51$
$6 y$	=	$- 36$	\|: $6$
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 17 - 3 \cdot (- 6)$

= $- 17 + 18$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 3 y$	=	$2 x - 5$			(I)
$3 (x - 5) + 5 y$	=	$x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 3 y$	=	$2 x - 5$			(I)
$3 (x - 5) + 5 y$	=	$x$			(II)

$- 3 y$	=	$2 x - 5$	\| $- 2 x$		(I)
$3 x - 15 + 5 y$	=	$x$	\| + $15 - x$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 5 & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 3 y$	=	$- 5$
$- 3 y - 2 x$	=	$- 5$	\| $+ 2 x$
$- 3 y$	=	$- 5 + 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$\frac{5}{3} - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{5}{3} - \frac{2}{3} x) & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{5}{3} - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 5 \cdot (\frac{5}{3} - \frac{2}{3} x)$	=	$15$
$2 x + \frac{25}{3} - \frac{10}{3} x$	=	$15$
$- \frac{4}{3} x + \frac{25}{3}$	=	$15$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{4}{3} x + \frac{25}{3})$	=	$45$
$- 4 x + 25$	=	$45$	\| $- 25$
$- 4 x$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{5}{3} - \frac{2}{3} \cdot (- 5)$

= $\frac{5}{3} + \frac{10}{3}$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +5y = ?

-2x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

2x +5y = -8 -25 = -33

-2x -7y = 8 +35 = 43

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +5y = -33

-2x -7y = 43

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ x & + 5 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ x & + 5 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$- 15$	\| $- 5 y$
$x$	=	$- 15 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ x & = & (- 15 - 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 15 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 15 - 5 y) - 2 y$	=	$6$
$45 + 15 y - 2 y$	=	$6$
$13 y + 45$	=	$6$	\| $- 45$
$13 y$	=	$- 39$	\|: $13$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 15 - 5 \cdot (- 3)$

= $- 15 + 15$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 135 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 255 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & 135 & (I) \\ 6 x & + 9 y & = & 255 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 5 y$	=	$135$
$5 y + 2 x$	=	$135$	\| $- 2 x$
$5 y$	=	$135 - 2 x$	\|: $5$
$y$	=	$27 - \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (27 - \frac{2}{5} x) & (I) \\ 6 x & + 9 y & = & 255 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $27 - \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 9 \cdot (27 - \frac{2}{5} x)$	=	$255$
$6 x + 243 - \frac{18}{5} x$	=	$255$
$\frac{12}{5} x + 243$	=	$255$	\|⋅ 5
$5 (\frac{12}{5} x + 243)$	=	$1 275$
$12 x + 1 215$	=	$1 275$	\| $- 1 215$
$12 x$	=	$60$	\|: $12$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $27 - \frac{2}{5} \cdot 5$

= $27 - 2$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (5|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|10) und B(-3|38) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|10): 10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|38): 38 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 -1b +c |-1
38 = 9 -3b +c |-9

9 = -1b +c
29 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 29 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$29$
$c - 3 b$	=	$29$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$29 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (29 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $29 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (29 + 3 b)$	=	$9$
$- b + 29 + 3 b$	=	$9$
$2 b + 29$	=	$9$	\| $- 29$
$2 b$	=	$- 20$	\|: $2$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $29 + 3 \cdot (- 10)$

= $29 - 30$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-1)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-12) und B(-1|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-12): -12 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 +1b +c |-1
4 = 1 -1b +c |-1

-13 = 1b +c
3 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ - b & + c & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$3$
$c - b$	=	$3$	\| $+ b$
$c$	=	$3 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ + c & = & (3 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $3 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (3 + b)$	=	$- 13$
$b + 3 + b$	=	$- 13$
$2 b + 3$	=	$- 13$	\| $- 3$
$2 b$	=	$- 16$	\|: $2$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $3 - 8$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-5)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 5$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 5$

= ${(x - 4)}^{2} - 21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 5$ = $16 - 32 - 5$ = -21

also: S(4|-21).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg