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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 2 y$ = $14$ .

Bestimme x so, dass (x|-7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$3 x - 2 \cdot (- 7)$ = $14$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3 x - 2 \cdot (- 7)$	=	$14$
$3 x + 14$	=	$14$	\| $- 14$
$3 x$	=	0	\|: $3$
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 4 y$ = $- 5$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|0)
denn 1⋅( - 5 ) -4⋅0 = -5 +0 = $- 5$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-9|-1)
denn 1⋅( - 9 ) -4⋅( - 1 ) = -9 +4 = $- 5$

Oder : (-1|1)
denn 1⋅( - 1 ) -4⋅1 = -1 -4 = $- 5$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 7 & (I) \\ - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 7 & (I) \\ - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 3 y$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 7 & (I) \\ + y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x - 3 \cdot (- 4)$	=	$7$
$- x + 12$	=	$7$	\| $- 12$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & - 21 & (I) \\ x & - 4 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & - 21 & (I) \\ x & - 4 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$21$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$21 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & - 21 & (I) \\ x & = & (21 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $21 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (21 + 4 y) + 2 y$	=	$- 21$
$63 + 12 y + 2 y$	=	$- 21$
$14 y + 63$	=	$- 21$	\| $- 63$
$14 y$	=	$- 84$	\|: $14$
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $21 + 4 \cdot (- 6)$

= $21 - 24$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 11 & (I) \\ - x & - 4 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 11 & (I) \\ - x & - 4 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 4 y$	=	$- 9$	\| $+ 4 y$
$- x$	=	$- 9 + 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$9 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 11 & (I) \\ x & = & (9 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $9 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (9 - 4 y) + 5 y$	=	$11$
$9 - 4 y + 5 y$	=	$11$
$y + 9$	=	$11$	\| $- 9$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $9 - 4 \cdot 2$

= $9 - 8$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 3 x + 13 + 5 y$	=	0			(I)
$3 (- x + 3) + 7 y$	=	$4 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 3 x + 13 + 5 y$	=	0			(I)
$3 (- x + 3) + 7 y$	=	$4 y$			(II)

$- 3 x + 13 + 5 y$	=	0	\| $- 13$		(I)
$- 3 x + 9 + 7 y$	=	$4 y$	\| $- 9 - 4 y$		(II)

\begin{matrix} - 3 x & + 5 y & = & - 13 & (I) \\ - 3 x & + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 5 y$	=	$- 13$
$5 y - 3 x$	=	$- 13$	\| $+ 3 x$
$5 y$	=	$- 13 + 3 x$	\|: $5$
$y$	=	$- \frac{13}{5} + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{13}{5} + \frac{3}{5} x) & (I) \\ - 3 x & + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{13}{5} + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 3 \cdot (- \frac{13}{5} + \frac{3}{5} x)$	=	$- 9$
$- 3 x - \frac{39}{5} + \frac{9}{5} x$	=	$- 9$
$- \frac{6}{5} x - \frac{39}{5}$	=	$- 9$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{6}{5} x - \frac{39}{5})$	=	$- 45$
$- 6 x - 39$	=	$- 45$	\| $+ 39$
$- 6 x$	=	$- 6$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{13}{5} + \frac{3}{5} \cdot 1$

= $- \frac{13}{5} + \frac{3}{5}$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -2y = ?

4x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

5x -2y = 10 +2 = 12

4x -4y = 8 +4 = 12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -2y = 12

4x -4y = 12

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 1 & (I) \\ - 6 x & - 6 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 1 & (I) \\ - 6 x & - 6 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 3 y$	=	$- 1$
$3 y + 3 x$	=	$- 1$	\| $- 3 x$
$3 y$	=	$- 1 - 3 x$	\|: $3$
$y$	=	$- \frac{1}{3} - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{3} - x) & (I) \\ - 6 x & - 6 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{3} - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 6 x - 6 \cdot (- \frac{1}{3} - x)$	=	0
$- 6 x + 2 + 6 x$	=	0
$2$	=	0	\| $- 2$
0	=	$- 2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 275 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 8 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 278 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 9 y & = & 275 & (I) \\ 8 x & + 9 y & = & 278 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 9 y$	=	$275$
$9 y + 5 x$	=	$275$	\| $- 5 x$
$9 y$	=	$275 - 5 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{275}{9} - \frac{5}{9} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{275}{9} - \frac{5}{9} x) & (I) \\ 8 x & + 9 y & = & 278 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{275}{9} - \frac{5}{9} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 9 \cdot (\frac{275}{9} - \frac{5}{9} x)$	=	$278$
$8 x + 275 - 5 x$	=	$278$
$3 x + 275$	=	$278$	\| $- 275$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{275}{9} - \frac{5}{9} \cdot 1$

= $\frac{275}{9} - \frac{5}{9}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (1|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-10) und B(-2|-15) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-10): -10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-15): -15 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 -1b +c |-1
-15 = 4 -2b +c |-4

-11 = -1b +c
-19 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 19$
$c - 2 b$	=	$- 19$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 19 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (- 19 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 19 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 19 + 2 b)$	=	$- 11$
$- b - 19 + 2 b$	=	$- 11$
$b - 19$	=	$- 11$	\| $+ 19$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 19 + 2 \cdot 8$

= $- 19 + 16$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-3)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-12) und B(-4|-27) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-12): -12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-27): -27 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 -1b +c |-1
-27 = 16 -4b +c |-16

-13 = -1b +c
-43 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 13 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 43 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 43$
$c - 4 b$	=	$- 43$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 43 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 13 & (I) \\ + c & = & (- 43 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 43 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 43 + 4 b)$	=	$- 13$
$- b - 43 + 4 b$	=	$- 13$
$3 b - 43$	=	$- 13$	\| $+ 43$
$3 b$	=	$30$	\|: $3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 43 + 4 \cdot 10$

= $- 43 + 40$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-3)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 3$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 3$

= ${(x + 5)}^{2} - 28$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-28).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 3$ = $25 - 50 - 3$ = -28

also: S(-5|-28).

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Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg