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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - y$ = $- 6$ .

Bestimme y so, dass (3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 \cdot 3 - y$ = $- 6$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 2 \cdot 3 - y$	=	$- 6$
$- 6 - y$	=	$- 6$
$- y - 6$	=	$- 6$	\| $+ 6$
$- y$	=	0	\|:( $- 1$ )
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (3|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 4 y$ = $- 2$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|-3)
denn -2⋅7 -4⋅( - 3 ) = -14 +12 = $- 2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|-1)
denn -2⋅3 -4⋅( - 1 ) = -6 +4 = $- 2$

Oder : (11|-5)
denn -2⋅11 -4⋅( - 5 ) = -22 +20 = $- 2$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & = & 10 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 35 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & = & 10 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 35 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 5 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 35 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 5) - 4 y$	=	$35$
$15 - 4 y$	=	$35$
$- 4 y + 15$	=	$35$	\| $- 15$
$- 4 y$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 24 & (I) \\ x & + 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 24 & (I) \\ x & + 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$14$	\| $- 2 y$
$x$	=	$14 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 24 & (I) \\ x & = & (14 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $14 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (14 - 2 y) + 3 y$	=	$24$
$42 - 6 y + 3 y$	=	$24$
$- 3 y + 42$	=	$24$	\| $- 42$
$- 3 y$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $14 - 2 \cdot 6$

= $14 - 12$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 20 & (I) \\ x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 20 & (I) \\ x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$10$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$10 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 20 & (I) \\ x & = & (10 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $10 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (10 + 2 y) - 4 y$	=	$20$
$40 + 8 y - 4 y$	=	$20$
$4 y + 40$	=	$20$	\| $- 40$
$4 y$	=	$- 20$	\|: $4$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $10 + 2 \cdot (- 5)$

= $10 - 10$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - \frac{3}{4} y & = & \frac{39}{4} & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - \frac{3}{4} y & = & \frac{39}{4} & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - \frac{3}{4} y$	=	$\frac{39}{4}$
$- \frac{3}{4} y - 3 x$	=	$\frac{39}{4}$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{3}{4} y - 3 x)$	=	$39$
$- 3 y - 12 x$	=	$39$	\| $+ 12 x$
$- 3 y$	=	$39 + 12 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 13 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 13 - 4 x) & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 13 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 2 \cdot (- 13 - 4 x)$	=	$14$
$- 2 x - 26 - 8 x$	=	$14$
$- 10 x - 26$	=	$14$	\| $+ 26$
$- 10 x$	=	$40$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 13 - 4 \cdot (- 4)$

= $- 13 + 16$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -4y = ?

-1x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

2x -4y = 4 -8 = -4

-1x +1y = -2 +2 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -4y = -4

-1x +1y = 0

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & 18 & (I) \\ x & + y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & 18 & (I) \\ x & + y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x + y$	=	0
$y + x$	=	0	\| $- x$
$y$	=	$- x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & 18 & (I) \\ + y & = & - x & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 2 \cdot (- x)$	=	$18$
$- x - 2 x$	=	$18$
$- 3 x$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- (- 6)$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 3 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 90 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 170 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 3 y & = & 90 & (I) \\ 6 x & + 7 y & = & 170 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 3 y$	=	$90$
$3 y + 6 x$	=	$90$	\| $- 6 x$
$3 y$	=	$90 - 6 x$	\|: $3$
$y$	=	$30 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (30 - 2 x) & (I) \\ 6 x & + 7 y & = & 170 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $30 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 7 \cdot (30 - 2 x)$	=	$170$
$6 x + 210 - 14 x$	=	$170$
$- 8 x + 210$	=	$170$	\| $- 210$
$- 8 x$	=	$- 40$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $30 - 2 \cdot 5$

= $30 - 10$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (5|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|13) und B(-1|-3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|13): 13 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 +1b +c |-1
-3 = 1 -1b +c |-1

12 = 1b +c
-4 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 12 & (I) \\ - b & + c & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 4$
$c - b$	=	$- 4$	\| $+ b$
$c$	=	$- 4 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 12 & (I) \\ + c & = & (- 4 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 4 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 4 + b)$	=	$12$
$b - 4 + b$	=	$12$
$2 b - 4$	=	$12$	\| $+ 4$
$2 b$	=	$16$	\|: $2$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 4 + 8$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|4)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|8) und B(4|35) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(4|35): 35 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
35 = 16 +4b +c |-16

7 = 1b +c
19 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ 4 b & + c & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$19$
$c + 4 b$	=	$19$	\| $- 4 b$
$c$	=	$19 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (19 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $19 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (19 - 4 b)$	=	$7$
$b + 19 - 4 b$	=	$7$
$- 3 b + 19$	=	$7$	\| $- 19$
$- 3 b$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $19 - 4 \cdot 4$

= $19 - 16$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 + 3$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 + 3$

= ${(x + 2)}^{2} - 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 3$ = $4 - 8 + 3$ = -1

also: S(-2|-1).

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1. Weg

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