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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 4 y$ = $- 28$ .

Bestimme x so, dass (x|-7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 x + 4 \cdot (- 7)$ = $- 28$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 2 x + 4 \cdot (- 7)$	=	$- 28$
$- 2 x - 28$	=	$- 28$	\| $+ 28$
$- 2 x$	=	0	\|:( $- 2$ )
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 3 y$ = $14$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-2)
denn -2⋅( - 4 ) -3⋅( - 2 ) = 8 +6 = $14$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|0)
denn -2⋅( - 7 ) -3⋅0 = 14 +0 = $14$

Oder : (-1|-4)
denn -2⋅( - 1 ) -3⋅( - 4 ) = 2 +12 = $14$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & = & 3 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & = & 3 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 1 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 1) + y$	=	$- 6$
$- 2 + y$	=	$- 6$
$y - 2$	=	$- 6$	\| $+ 2$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 10 & (I) \\ x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 10 & (I) \\ x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	0	\| $+ 3 y$
$x$	=	$3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 10 & (I) \\ x & = & 3 y & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $3 y$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot 3 y + y$	=	$- 10$
$- 6 y + y$	=	$- 10$
$- 5 y$	=	$- 10$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $3 \cdot 2$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & - 10 & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & - 35 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & - 10 & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & - 35 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 2 y$	=	$- 10$
$- 2 y + 2 x$	=	$- 10$	\| $- 2 x$
$- 2 y$	=	$- 10 - 2 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$5 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (5 + x) & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & - 35 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 5 \cdot (5 + x)$	=	$- 35$
$- 5 x - 25 - 5 x$	=	$- 35$
$- 10 x - 25$	=	$- 35$	\| $+ 25$
$- 10 x$	=	$- 10$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5 + 1$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$4 x + 3 y$	=	$8 x - 15$			(I)
$y$	=	$x - 5$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$4 x + 3 y$	=	$8 x - 15$	\| $- 8 x$		(I)
$y$	=	$x - 5$	\| $- x$		(II)

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & - 15 & (I) \\ - x & + y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x + y$	=	$- 5$
$y - x$	=	$- 5$	\| $+ x$
$y$	=	$- 5 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & - 15 & (I) \\ + y & = & (- 5 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 5 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 3 \cdot (- 5 + x)$	=	$- 15$
$- 4 x - 15 + 3 x$	=	$- 15$
$- x - 15$	=	$- 15$	\| $+ 15$
$- x$	=	0	\|:( $- 1$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 5 + 0$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +3y = ?

6x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

4x +3y = 12 +6 = 18

6x +2y = 18 +4 = 22

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +3y = 18

6x +2y = 22

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 12 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 12 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 24$
$y + 4 x$	=	$- 24$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 24 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 12 & (I) \\ + y & = & (- 24 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 24 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 1 \cdot (- 24 - 4 x)$	=	$12$
$- 2 x - 24 - 4 x$	=	$12$
$- 6 x - 24$	=	$12$	\| $+ 24$
$- 6 x$	=	$36$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 24 - 4 \cdot (- 6)$

= $- 24 + 24$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|0)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 3 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 7 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 190 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 100 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 7 y & = & 190 & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 100 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 7 y$	=	$190$
$7 y + 3 x$	=	$190$	\| $- 3 x$
$7 y$	=	$190 - 3 x$	\|: $7$
$y$	=	$\frac{190}{7} - \frac{3}{7} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{190}{7} - \frac{3}{7} x) & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 100 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{190}{7} - \frac{3}{7} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 3 \cdot (\frac{190}{7} - \frac{3}{7} x)$	=	$100$
$5 x + \frac{570}{7} - \frac{9}{7} x$	=	$100$
$\frac{26}{7} x + \frac{570}{7}$	=	$100$	\|⋅ 7
$7 (\frac{26}{7} x + \frac{570}{7})$	=	$700$
$26 x + 570$	=	$700$	\| $- 570$
$26 x$	=	$130$	\|: $26$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{190}{7} - \frac{3}{7} \cdot 5$

= $\frac{190}{7} - \frac{15}{7}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (5|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-4) und B(4|-1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-1): -1 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 +1b +c |-1
-1 = 16 +4b +c |-16

-5 = 1b +c
-17 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 17$
$c + 4 b$	=	$- 17$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 17 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 17 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 17 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 17 - 4 b)$	=	$- 5$
$b - 17 - 4 b$	=	$- 5$
$- 3 b - 17$	=	$- 5$	\| $+ 17$
$- 3 b$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 17 - 4 \cdot (- 4)$

= $- 17 + 16$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|8) und B(2|17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(2|17): 17 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
17 = 4 +2b +c |-4

7 = 1b +c
13 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ 2 b & + c & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$13$
$c + 2 b$	=	$13$	\| $- 2 b$
$c$	=	$13 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (13 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (13 - 2 b)$	=	$7$
$b + 13 - 2 b$	=	$7$
$- b + 13$	=	$7$	\| $- 13$
$- b$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13 - 2 \cdot 6$

= $13 - 12$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 1$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 1$

= ${(x + 3)}^{2} - 8$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-8).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 1$ = $9 - 18 + 1$ = -8

also: S(-3|-8).

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1. Weg

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