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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 5 y$ = $- 8$ .

Bestimme x so, dass (x|-4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x - 5 \cdot (- 4)$ = $- 8$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x - 5 \cdot (- 4)$	=	$- 8$
$4 x + 20$	=	$- 8$	\| $- 20$
$4 x$	=	$- 28$	\|: $4$
$x$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (-7|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 3 y$ = $- 5$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-1)
denn 1⋅( - 2 ) +3⋅( - 1 ) = -2 -3 = $- 5$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|-2)
denn 1⋅1 +3⋅( - 2 ) = 1 -6 = $- 5$

Oder : (-5|0)
denn 1⋅( - 5 ) +3⋅0 = -5 +0 = $- 5$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - y & = & - 5 & (I) \\ - x & + 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - y & = & - 5 & (I) \\ - x & + 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- y$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 5 & (I) \\ - x & + 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 4 \cdot 5$	=	$16$
$- x + 20$	=	$16$	\| $- 20$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 18 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 18 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$18$	\| $- 4 y$
$x$	=	$18 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (18 - 4 y) & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $18 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (18 - 4 y) - 2 y$	=	$- 30$
$54 - 12 y - 2 y$	=	$- 30$
$- 14 y + 54$	=	$- 30$	\| $- 54$
$- 14 y$	=	$- 84$	\|:( $- 14$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $18 - 4 \cdot 6$

= $18 - 24$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & - 3 & (I) \\ - x & + 2 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & - 3 & (I) \\ - x & + 2 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 2 y$	=	$11$	\| $- 2 y$
$- x$	=	$11 - 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 11 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & - 3 & (I) \\ x & = & (- 11 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 11 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 11 + 2 y) - y$	=	$- 3$
$22 - 4 y - y$	=	$- 3$
$- 5 y + 22$	=	$- 3$	\| $- 22$
$- 5 y$	=	$- 25$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 11 + 2 \cdot 5$

= $- 11 + 10$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 3 x - 8 + y$	=	$- 2 (2 x + 1)$			(I)
$5$	=	$3 (x - y) - 7$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 3 x - 8 + y$	=	$- 2 (2 x + 1)$			(I)
$5$	=	$3 (x - y) - 7$			(II)

$- 3 x - 8 + y$	=	$- 4 x - 2$	\| + $8 + 4 x$		(I)
$5$	=	$3 x - 7 - 3 y$	\| $- 5 - 3 x + 3 y$		(II)

\begin{matrix} x & + y & = & 6 & (I) \\ - 3 x & + 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x + y$	=	$6$
$y + x$	=	$6$	\| $- x$
$y$	=	$6 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (6 - x) & (I) \\ - 3 x & + 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $6 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 3 \cdot (6 - x)$	=	$- 12$
$- 3 x + 18 - 3 x$	=	$- 12$
$- 6 x + 18$	=	$- 12$	\| $- 18$
$- 6 x$	=	$- 30$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $6 - 5$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -1y = ?

2x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-1x -1y = -1 -1 = -2

2x +5y = 2 +5 = 7

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -1y = -2

2x +5y = 7

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 5 x & + 4 y & = & - 34 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + 4 y & = & - 34 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 4 y$	=	$- 34$
$4 y + 5 x$	=	$- 34$	\| $- 5 x$
$4 y$	=	$- 34 - 5 x$	\|: $4$
$y$	=	$- \frac{17}{2} - \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{17}{2} - \frac{5}{4} x) & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{17}{2} - \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot (- \frac{17}{2} - \frac{5}{4} x)$	=	$- 20$
$4 x + 34 + 5 x$	=	$- 20$
$9 x + 34$	=	$- 20$	\| $- 34$
$9 x$	=	$- 54$	\|: $9$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{17}{2} - \frac{5}{4} \cdot (- 6)$

= $- \frac{17}{2} + \frac{15}{2}$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 190 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 8 Halogenleuchten zusammen 275 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 6 y & = & 190 & (I) \\ 7 x & + 8 y & = & 275 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 6 y$	=	$190$
$6 y + 2 x$	=	$190$	\| $- 2 x$
$6 y$	=	$190 - 2 x$	\|: $6$
$y$	=	$\frac{95}{3} - \frac{1}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{95}{3} - \frac{1}{3} x) & (I) \\ 7 x & + 8 y & = & 275 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{95}{3} - \frac{1}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x + 8 \cdot (\frac{95}{3} - \frac{1}{3} x)$	=	$275$
$7 x + \frac{760}{3} - \frac{8}{3} x$	=	$275$
$\frac{13}{3} x + \frac{760}{3}$	=	$275$	\|⋅ 3
$3 (\frac{13}{3} x + \frac{760}{3})$	=	$825$
$13 x + 760$	=	$825$	\| $- 760$
$13 x$	=	$65$	\|: $13$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{95}{3} - \frac{1}{3} \cdot 5$

= $\frac{95}{3} - \frac{5}{3}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (5|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-1) und B(-2|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-1): -1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-4): -4 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 -1b +c |-1
-4 = 4 -2b +c |-4

-2 = -1b +c
-8 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 8$
$c - 2 b$	=	$- 8$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 8 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (- 8 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 8 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 8 + 2 b)$	=	$- 2$
$- b - 8 + 2 b$	=	$- 2$
$b - 8$	=	$- 2$	\| $+ 8$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 8 + 2 \cdot 6$

= $- 8 + 12$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(-4|-19) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-19): -19 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
-19 = 16 -4b +c |-16

-5 = -1b +c
-35 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 35 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 35$
$c - 4 b$	=	$- 35$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 35 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 35 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 35 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 35 + 4 b)$	=	$- 5$
$- b - 35 + 4 b$	=	$- 5$
$3 b - 35$	=	$- 5$	\| $+ 35$
$3 b$	=	$30$	\|: $3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 35 + 4 \cdot 10$

= $- 35 + 40$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 20$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-20).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 5$ = $25 - 50 + 5$ = -20

also: S(-5|-20).

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