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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 2 y$ = $- 16$ .

Bestimme y so, dass (-1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$2 \cdot (- 1) - 2 y$ = $- 16$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2 \cdot (- 1) - 2 y$	=	$- 16$
$- 2 - 2 y$	=	$- 16$
$- 2 y - 2$	=	$- 16$	\| $+ 2$
$- 2 y$	=	$- 14$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (-1|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 4 y$ = $36$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-6)
denn -3⋅( - 4 ) -4⋅( - 6 ) = 12 +24 = $36$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|-3)
denn -3⋅( - 8 ) -4⋅( - 3 ) = 24 +12 = $36$

Oder : (0|-9)
denn -3⋅0 -4⋅( - 9 ) = 0 +36 = $36$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 18 & (I) \\ + 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 18 & (I) \\ + 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$- 12$	\|: $3$
$y$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 18 & (I) \\ + y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 4 \cdot (- 4)$	=	$18$
$- 2 x + 16$	=	$18$	\| $- 16$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 11 & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 11 & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$- 11$
$y + 3 x$	=	$- 11$	\| $- 3 x$
$y$	=	$- 11 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 11 - 3 x) & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 11 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 4 \cdot (- 11 - 3 x)$	=	$1$
$3 x - 44 - 12 x$	=	$1$
$- 9 x - 44$	=	$1$	\| $+ 44$
$- 9 x$	=	$45$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 11 - 3 \cdot (- 5)$

= $- 11 + 15$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 0 & (I) \\ 5 x & - 6 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 0 & (I) \\ 5 x & - 6 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 4 y$	=	0
$- 4 y + 4 x$	=	0	\| $- 4 x$
$- 4 y$	=	$- 4 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & x & (I) \\ 5 x & - 6 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 6 \cdot x$	=	$- 3$
$5 x - 6 x$	=	$- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + \frac{1}{5} y & = & \frac{13}{5} & (I) \\ - \frac{2}{3} x & - \frac{2}{3} y & = & \frac{10}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + \frac{1}{5} y & = & \frac{13}{5} & (I) \\ - \frac{2}{3} x & - \frac{2}{3} y & = & \frac{10}{3} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + \frac{1}{5} y$	=	$\frac{13}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- x + \frac{1}{5} y)$	=	$13$
$- 5 x + y$	=	$13$	\| $- y$
$- 5 x$	=	$13 - y$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- \frac{13}{5} + \frac{1}{5} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- \frac{13}{5} + \frac{1}{5} y) & (I) \\ - \frac{2}{3} x & - \frac{2}{3} y & = & \frac{10}{3} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- \frac{13}{5} + \frac{1}{5} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- \frac{2}{3} \cdot (- \frac{13}{5} + \frac{1}{5} y) - \frac{2}{3} y$	=	$\frac{10}{3}$
$\frac{26}{15} - \frac{2}{15} y - \frac{2}{3} y$	=	$\frac{10}{3}$
$- \frac{4}{5} y + \frac{26}{15}$	=	$\frac{10}{3}$	\|⋅ 15
$15 (- \frac{4}{5} y + \frac{26}{15})$	=	$50$
$- 12 y + 26$	=	$50$	\| $- 26$
$- 12 y$	=	$24$	\|:( $- 12$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- \frac{13}{5} + \frac{1}{5} \cdot (- 2)$

= $- \frac{13}{5} - \frac{2}{5}$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -4y = ?

5x -22y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

1x -4y = -4 -12 = -16

5x -22y = -20 -66 = -86

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -4y = -16

5x -22y = -86

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 7 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 7 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$7$
$y + 4 x$	=	$7$	\| $- 4 x$
$y$	=	$7 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (7 - 4 x) & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $7 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 2 \cdot (7 - 4 x)$	=	$- 2$
$- 4 x - 14 + 8 x$	=	$- 2$
$4 x - 14$	=	$- 2$	\| $+ 14$
$4 x$	=	$12$	\|: $4$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $7 - 4 \cdot 3$

= $7 - 12$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 17. Wenn man aber vom 5-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 16. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 17 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$17$	\| $- 4 y$
$x$	=	$17 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (17 - 4 y) & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $17 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (17 - 4 y) - 3 y$	=	$16$
$85 - 20 y - 3 y$	=	$16$
$- 23 y + 85$	=	$16$	\| $- 85$
$- 23 y$	=	$- 69$	\|:( $- 23$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $17 - 4 \cdot 3$

= $17 - 12$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 3

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|0) und B(-2|-9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-9): -9 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
-9 = 4 -2b +c |-4

-1 = 1b +c
-13 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 13$
$c - 2 b$	=	$- 13$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 13 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (- 13 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 13 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 13 + 2 b)$	=	$- 1$
$b - 13 + 2 b$	=	$- 1$
$3 b - 13$	=	$- 1$	\| $+ 13$
$3 b$	=	$12$	\|: $3$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 13 + 2 \cdot 4$

= $- 13 + 8$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-4) und B(-1|12) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|12): 12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 +1b +c |-1
12 = 1 -1b +c |-1

-5 = 1b +c
11 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ - b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$11$
$c - b$	=	$11$	\| $+ b$
$c$	=	$11 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (11 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (11 + b)$	=	$- 5$
$b + 11 + b$	=	$- 5$
$2 b + 11$	=	$- 5$	\| $- 11$
$2 b$	=	$- 16$	\|: $2$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 - 8$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|3)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 + 3$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 + 3$

= ${(x - 4)}^{2} - 13$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-13).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 + 3$ = $16 - 32 + 3$ = -13

also: S(4|-13).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg