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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 3 y$ = $15$ .

Bestimme y so, dass (0|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$2 \cdot 0 + 3 y$ = $15$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2 \cdot 0 + 3 y$	=	$15$
$3 y$	=	$15$	\|: $3$
$y$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (0|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 3 y$ = $6$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|4)
denn -3⋅2 +3⋅4 = -6 +12 = $6$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|7)
denn -3⋅5 +3⋅7 = -15 +21 = $6$

Oder : (-1|1)
denn -3⋅( - 1 ) +3⋅1 = 3 +3 = $6$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 3 y & = & - 6 & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 3 y & = & - 6 & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$- 6$	\|: $3$
$y$	=	$- 2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 2 & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 3 \cdot (- 2)$	=	$- 18$
$- 4 x - 6$	=	$- 18$	\| $+ 6$
$- 4 x$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 2$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 15 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 15 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$- 25$	\| $- 4 y$
$x$	=	$- 25 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 15 & (I) \\ x & = & (- 25 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 25 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 25 - 4 y) - 3 y$	=	$15$
$- 75 - 12 y - 3 y$	=	$15$
$- 15 y - 75$	=	$15$	\| $+ 75$
$- 15 y$	=	$90$	\|:( $- 15$ )
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 25 - 4 \cdot (- 6)$

= $- 25 + 24$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 8 & (I) \\ - x & + 5 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 8 & (I) \\ - x & + 5 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 5 y$	=	$9$	\| $- 5 y$
$- x$	=	$9 - 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 9 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 8 & (I) \\ x & = & (- 9 + 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 9 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 9 + 5 y) + 4 y$	=	$8$
$9 - 5 y + 4 y$	=	$8$
$- y + 9$	=	$8$	\| $- 9$
$- y$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 9 + 5 \cdot 1$

= $- 9 + 5$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{4} x & + \frac{1}{3} y & = & \frac{5}{3} & (I) \\ - \frac{2}{5} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{3}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{4} x & + \frac{1}{3} y & = & \frac{5}{3} & (I) \\ - \frac{2}{5} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{3}{5} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{1}{4} x + \frac{1}{3} y$	=	$\frac{5}{3}$
$\frac{1}{3} y - \frac{1}{4} x$	=	$\frac{5}{3}$	\|⋅ 12
$12 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{4} x)$	=	$20$
$4 y - 3 x$	=	$20$	\| $+ 3 x$
$4 y$	=	$20 + 3 x$	\|: $4$
$y$	=	$5 + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (5 + \frac{3}{4} x) & (I) \\ - \frac{2}{5} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{3}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5 + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{2}{5} x - \frac{1}{2} \cdot (5 + \frac{3}{4} x)$	=	$\frac{3}{5}$
$- \frac{2}{5} x - \frac{5}{2} - \frac{3}{8} x$	=	$\frac{3}{5}$
$- \frac{31}{40} x - \frac{5}{2}$	=	$\frac{3}{5}$	\|⋅ 40
$40 (- \frac{31}{40} x - \frac{5}{2})$	=	$24$
$- 31 x - 100$	=	$24$	\| $+ 100$
$- 31 x$	=	$124$	\|:( $- 31$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5 + \frac{3}{4} \cdot (- 4)$

= $5 - 3$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +1y = ?

-1x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-5x +1y = 25 -1 = 24

-1x +2y = 5 -2 = 3

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +1y = 24

-1x +2y = 3

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 3 & (I) \\ - 9 x & + 9 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 3 & (I) \\ - 9 x & + 9 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 3 y$	=	$3$
$- 3 y + 3 x$	=	$3$	\| $- 3 x$
$- 3 y$	=	$3 - 3 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 1 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 + x) & (I) \\ - 9 x & + 9 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 9 x + 9 \cdot (- 1 + x)$	=	$- 9$
$- 9 x - 9 + 9 x$	=	$- 9$
$- 9$	=	$- 9$	\| $+ 9$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 27. Wenn man aber vom 4-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -12. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 6 y & = & 27 & (I) \\ 4 x & - 6 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 6 y$	=	$27$	\| $- 6 y$
$x$	=	$27 - 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (27 - 6 y) & (I) \\ 4 x & - 6 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $27 - 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (27 - 6 y) - 6 y$	=	$- 12$
$108 - 24 y - 6 y$	=	$- 12$
$- 30 y + 108$	=	$- 12$	\| $- 108$
$- 30 y$	=	$- 120$	\|:( $- 30$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $27 - 6 \cdot 4$

= $27 - 24$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 4

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|9) und B(-2|22) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|22): 22 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 -1b +c |-1
22 = 4 -2b +c |-4

8 = -1b +c
18 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$18$
$c - 2 b$	=	$18$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$18 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (18 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $18 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (18 + 2 b)$	=	$8$
$- b + 18 + 2 b$	=	$8$
$b + 18$	=	$8$	\| $- 18$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $18 + 2 \cdot (- 10)$

= $18 - 20$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-2)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-1) und B(-2|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-1): -1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-4): -4 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 -1b +c |-1
-4 = 4 -2b +c |-4

-2 = -1b +c
-8 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 8$
$c - 2 b$	=	$- 8$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 8 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (- 8 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 8 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 8 + 2 b)$	=	$- 2$
$- b - 8 + 2 b$	=	$- 2$
$b - 8$	=	$- 2$	\| $+ 8$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 8 + 2 \cdot 6$

= $- 8 + 12$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 4$ = $9 - 18 + 4$ = -5

also: S(-3|-5).

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Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg