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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 2 y$ = $- 23$ .

Bestimme y so, dass (-7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$5 \cdot (- 7) - 2 y$ = $- 23$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5 \cdot (- 7) - 2 y$	=	$- 23$
$- 35 - 2 y$	=	$- 23$
$- 2 y - 35$	=	$- 23$	\| $+ 35$
$- 2 y$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (-7|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 3 y$ = $- 8$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-2)
denn 2⋅( - 1 ) +3⋅( - 2 ) = -2 -6 = $- 8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-4)
denn 2⋅2 +3⋅( - 4 ) = 4 -12 = $- 8$

Oder : (-4|0)
denn 2⋅( - 4 ) +3⋅0 = -8 +0 = $- 8$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 3 y & = & - 9 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 3 y & = & - 9 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$- 9$	\|: $3$
$y$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 3 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 3 \cdot (- 3)$	=	$- 7$
$- 4 x + 9$	=	$- 7$	\| $- 9$
$- 4 x$	=	$- 16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 19 & (I) \\ - x & - 4 y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 19 & (I) \\ - x & - 4 y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 4 y$	=	$- 26$	\| $+ 4 y$
$- x$	=	$- 26 + 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$26 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 19 & (I) \\ x & = & (26 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $26 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (26 - 4 y) + y$	=	$- 19$
$- 104 + 16 y + y$	=	$- 19$
$17 y - 104$	=	$- 19$	\| $+ 104$
$17 y$	=	$85$	\|: $17$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $26 - 4 \cdot 5$

= $26 - 20$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 5 y & = & - 35 & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & - 5 y & = & - 35 & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 5 y$	=	$- 35$
$- 5 y + 5 x$	=	$- 35$	\| $- 5 x$
$- 5 y$	=	$- 35 - 5 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$7 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (7 + x) & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $7 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 4 \cdot (7 + x)$	=	$10$
$5 x + 28 + 4 x$	=	$10$
$9 x + 28$	=	$10$	\| $- 28$
$9 x$	=	$- 18$	\|: $9$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $7 - 2$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & - \frac{1}{5} y & = & 0 & (I) \\ - \frac{1}{4} x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & - \frac{1}{5} y & = & 0 & (I) \\ - \frac{1}{4} x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{1}{4} x - y$	=	0
$- y - \frac{1}{4} x$	=	0	\|⋅ 4
$4 (- y - \frac{1}{4} x)$	=	0
$- 4 y - x$	=	0	\| $+ x$
$- 4 y$	=	$x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{1}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & - \frac{1}{5} y & = & 0 & (I) \\ + y & = & - \frac{1}{4} x & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- \frac{1}{4} x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{5} \cdot (- \frac{1}{4} x)$	=
$\frac{1}{2} x + \frac{1}{20} x$	=
$\frac{11}{20} x$	=	\|⋅ 20
$11 x$	=	\|: $11$
$x$	=

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- \frac{1}{4} \cdot 0$

= 0

also

y = -0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +1y = ?

6x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

2x +1y = -4 -4 = -8

6x +6y = -12 -24 = -36

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +1y = -8

6x +6y = -36

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & + y & = & - 8 & (I) \\ - 4 x & + 5 y & = & - 37 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + y & = & - 8 & (I) \\ - 4 x & + 5 y & = & - 37 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x + y$	=	$- 8$
$y - x$	=	$- 8$	\| $+ x$
$y$	=	$- 8 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 8 + x) & (I) \\ - 4 x & + 5 y & = & - 37 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 8 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 5 \cdot (- 8 + x)$	=	$- 37$
$- 4 x - 40 + 5 x$	=	$- 37$
$x - 40$	=	$- 37$	\| $+ 40$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 8 + 3$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 18. Wenn man aber vom 3-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -9. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 18 & (I) \\ 3 x & - 6 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$18$	\| $- 5 y$
$x$	=	$18 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (18 - 5 y) & (I) \\ 3 x & - 6 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $18 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (18 - 5 y) - 6 y$	=	$- 9$
$54 - 15 y - 6 y$	=	$- 9$
$- 21 y + 54$	=	$- 9$	\| $- 54$
$- 21 y$	=	$- 63$	\|:( $- 21$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $18 - 5 \cdot 3$

= $18 - 15$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 3

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-5) und B(-1|3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|3): 3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
3 = 1 -1b +c |-1

-6 = 1b +c
2 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ - b & + c & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$2$
$c - b$	=	$2$	\| $+ b$
$c$	=	$2 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (2 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $2 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (2 + b)$	=	$- 6$
$b + 2 + b$	=	$- 6$
$2 b + 2$	=	$- 6$	\| $- 2$
$2 b$	=	$- 8$	\|: $2$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $2 - 4$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-2) und B(3|-6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-6): -6 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
-6 = 9 +3b +c |-9

-3 = 1b +c
-15 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 15$
$c + 3 b$	=	$- 15$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 15 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 15 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 15 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 15 - 3 b)$	=	$- 3$
$b - 15 - 3 b$	=	$- 3$
$- 2 b - 15$	=	$- 3$	\| $+ 15$
$- 2 b$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 15 - 3 \cdot (- 6)$

= $- 15 + 18$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 3$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 + 3$

= ${(x - 3)}^{2} - 6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 + 3$ = $9 - 18 + 3$ = -6

also: S(3|-6).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg