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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - y$ = $11$ .

Bestimme y so, dass (2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$2 \cdot 2 - y$ = $11$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2 \cdot 2 - y$	=	$11$
$4 - y$	=	$11$
$- y + 4$	=	$11$	\| $- 4$
$- y$	=	$7$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (2|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 3 y$ = $27$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|7)
denn -1⋅( - 6 ) +3⋅7 = 6 +21 = $27$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|8)
denn -1⋅( - 3 ) +3⋅8 = 3 +24 = $27$

Oder : (-9|6)
denn -1⋅( - 9 ) +3⋅6 = 9 +18 = $27$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 y & = & 9 & (I) \\ 2 x & - y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 y & = & 9 & (I) \\ 2 x & - y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 3 y$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 3 & (I) \\ 2 x & - y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 1 \cdot (- 3)$	=	$9$
$2 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 11 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 11 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$11$	\| $- 2 y$
$x$	=	$11 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (11 - 2 y) & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $11 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (11 - 2 y) + 2 y$	=	$2$
$- 22 + 4 y + 2 y$	=	$2$
$6 y - 22$	=	$2$	\| $+ 22$
$6 y$	=	$24$	\|: $6$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $11 - 2 \cdot 4$

= $11 - 8$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 4 & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 4 & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 4 y$	=	$- 4$
$4 y + 2 x$	=	$- 4$	\| $- 2 x$
$4 y$	=	$- 4 - 2 x$	\|: $4$
$y$	=	$- 1 - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 - \frac{1}{2} x) & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 2 \cdot (- 1 - \frac{1}{2} x)$	=	$6$
$5 x - 2 - x$	=	$6$
$4 x - 2$	=	$6$	\| $+ 2$
$4 x$	=	$8$	\|: $4$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 - \frac{1}{2} \cdot 2$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2 - 5 y$	=	$- 4 x + 27$			(I)
$3 x + 2 y$	=	$13$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2 - 5 y$	=	$- 4 x + 27$	\| $- 2 + 4 x$		(I)
$3 x + 2 y$	=	$13$			(II)

\begin{matrix} 4 x & - 5 y & = & 25 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 5 y$	=	$25$
$- 5 y + 4 x$	=	$25$	\| $- 4 x$
$- 5 y$	=	$25 - 4 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 5 + \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 5 + \frac{4}{5} x) & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 5 + \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 2 \cdot (- 5 + \frac{4}{5} x)$	=	$13$
$3 x - 10 + \frac{8}{5} x$	=	$13$
$\frac{23}{5} x - 10$	=	$13$	\|⋅ 5
$5 (\frac{23}{5} x - 10)$	=	$65$
$23 x - 50$	=	$65$	\| $+ 50$
$23 x$	=	$115$	\|: $23$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5 + \frac{4}{5} \cdot 5$

= $- 5 + 4$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +5y = ?

-6x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-5x +5y = -10 +20 = 10

-6x +3y = -12 +12 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +5y = 10

-6x +3y = 0

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & - y & = & - 1 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - y & = & - 1 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x - y$	=	$- 1$
$- y - x$	=	$- 1$	\| $+ x$
$- y$	=	$- 1 + x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$1 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 - x) & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot (1 - x)$	=	$2$
$4 x + 4 - 4 x$	=	$2$
$4$	=	$2$	\| $- 4$
0	=	$- 2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1090 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 925 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 1090 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 925 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 2 y$	=	$1090$
$- 2 y + 4 x$	=	$1090$	\| $- 4 x$
$- 2 y$	=	$1090 - 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 545 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 545 + 2 x) & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 925 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 545 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 5 \cdot (- 545 + 2 x)$	=	$925$
$4 x + 2 725 - 10 x$	=	$925$
$- 6 x + 2 725$	=	$925$	\| $- 2 725$
$- 6 x$	=	$- 1 800$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 545 + 2 \cdot 300$

= $- 545 + 600$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (300|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|2) und B(2|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-7): -7 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
-7 = 4 +2b +c |-4

1 = -1b +c
-11 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 11$
$c + 2 b$	=	$- 11$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 11 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (- 11 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 11 - 2 b)$	=	$1$
$- b - 11 - 2 b$	=	$1$
$- 3 b - 11$	=	$1$	\| $+ 11$
$- 3 b$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 11 + 8$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-5) und B(-1|3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|3): 3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
3 = 1 -1b +c |-1

-6 = 1b +c
2 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ - b & + c & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$2$
$c - b$	=	$2$	\| $+ b$
$c$	=	$2 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (2 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $2 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (2 + b)$	=	$- 6$
$b + 2 + b$	=	$- 6$
$2 b + 2$	=	$- 6$	\| $- 2$
$2 b$	=	$- 8$	\|: $2$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $2 - 4$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 - 2$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 - 2$

= ${(x - 2)}^{2} - 6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 - 2$ = $4 - 8 - 2$ = -6

also: S(2|-6).

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Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS (Standard)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg