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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 2 y$ = $3$ .

Bestimme x so, dass (x|0) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$x - 2 \cdot 0$ = $3$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x - 2 \cdot 0$	=	$3$
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + 3 y$ = $24$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|6)
denn 3⋅2 +3⋅6 = 6 +18 = $24$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|3)
denn 3⋅5 +3⋅3 = 15 +9 = $24$

Oder : (-1|9)
denn 3⋅( - 1 ) +3⋅9 = -3 +27 = $24$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & = & 6 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $6$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot 6 + 3 y$	=	$- 21$
$- 12 + 3 y$	=	$- 21$
$3 y - 12$	=	$- 21$	\| $+ 12$
$3 y$	=	$- 9$	\|: $3$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 8 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 8 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	$12$
$- y - 2 x$	=	$12$	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$12 + 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 12 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 8 & (I) \\ + y & = & (- 12 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 12 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 3 \cdot (- 12 - 2 x)$	=	$8$
$x + 36 + 6 x$	=	$8$
$7 x + 36$	=	$8$	\| $- 36$
$7 x$	=	$- 28$	\|: $7$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 12 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 12 + 8$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 2 y$	=	$2$
$- 2 y + 4 x$	=	$2$	\| $- 4 x$
$- 2 y$	=	$2 - 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 1 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 + 2 x) & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 5 \cdot (- 1 + 2 x)$	=	$- 5$
$5 x + 5 - 10 x$	=	$- 5$
$- 5 x + 5$	=	$- 5$	\| $- 5$
$- 5 x$	=	$- 10$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 + 2 \cdot 2$

= $- 1 + 4$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{3} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{14}{3} & (I) \\ \frac{1}{2} x & + y & = & \frac{17}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{3} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{14}{3} & (I) \\ \frac{1}{2} x & + y & = & \frac{17}{2} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$\frac{1}{2} x + y$	=	$\frac{17}{2}$
$y + \frac{1}{2} x$	=	$\frac{17}{2}$	\|⋅ 2
$2 (y + \frac{1}{2} x)$	=	$17$
$2 y + x$	=	$17$	\| $- x$
$2 y$	=	$17 - x$	\|: $2$
$y$	=	$\frac{17}{2} - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{1}{3} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{14}{3} & (I) \\ + y & = & (\frac{17}{2} - \frac{1}{2} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $\frac{17}{2} - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{3} x + \frac{1}{2} \cdot (\frac{17}{2} - \frac{1}{2} x)$	=	$\frac{14}{3}$
$\frac{1}{3} x + \frac{17}{4} - \frac{1}{4} x$	=	$\frac{14}{3}$
$\frac{1}{12} x + \frac{17}{4}$	=	$\frac{14}{3}$	\|⋅ 12
$12 (\frac{1}{12} x + \frac{17}{4})$	=	$56$
$x + 51$	=	$56$	\| $- 51$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $\frac{17}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5$

= $\frac{17}{2} - \frac{5}{2}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (5|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -2y = ?

-8x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-4x -2y = -12 -10 = -22

-8x -7y = -24 -35 = -59

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -2y = -22

-8x -7y = -59

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & - 2 y & = & - 7 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 2 y & = & - 7 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 2 y$	=	$- 7$
$- 2 y - 5 x$	=	$- 7$	\| $+ 5 x$
$- 2 y$	=	$- 7 + 5 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$\frac{7}{2} - \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{7}{2} - \frac{5}{2} x) & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{7}{2} - \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 2 \cdot (\frac{7}{2} - \frac{5}{2} x)$	=	$- 4$
$- 4 x - 7 + 5 x$	=	$- 4$
$x - 7$	=	$- 4$	\| $+ 7$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{7}{2} - \frac{5}{2} \cdot 3$

= $\frac{7}{2} - \frac{15}{2}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 93 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 69 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 5 y & = & 93 & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & 69 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 5 y$	=	$93$
$5 y + 6 x$	=	$93$	\| $- 6 x$
$5 y$	=	$93 - 6 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{93}{5} - \frac{6}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{93}{5} - \frac{6}{5} x) & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & 69 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{93}{5} - \frac{6}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 4 \cdot (\frac{93}{5} - \frac{6}{5} x)$	=	$69$
$3 x + \frac{372}{5} - \frac{24}{5} x$	=	$69$
$- \frac{9}{5} x + \frac{372}{5}$	=	$69$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{9}{5} x + \frac{372}{5})$	=	$345$
$- 9 x + 372$	=	$345$	\| $- 372$
$- 9 x$	=	$- 27$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{93}{5} - \frac{6}{5} \cdot 3$

= $\frac{93}{5} - \frac{18}{5}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (3|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|2) und B(-2|-1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-1): -1 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
-1 = 4 -2b +c |-4

1 = 1b +c
-5 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 5$
$c - 2 b$	=	$- 5$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 5 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (- 5 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 5 + 2 b)$	=	$1$
$b - 5 + 2 b$	=	$1$
$3 b - 5$	=	$1$	\| $+ 5$
$3 b$	=	$6$	\|: $3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 + 2 \cdot 2$

= $- 5 + 4$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|0) und B(-3|16) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|16): 16 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
16 = 9 -3b +c |-9

-1 = -1b +c
7 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$7$
$c - 3 b$	=	$7$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$7 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (7 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (7 + 3 b)$	=	$- 1$
$- b + 7 + 3 b$	=	$- 1$
$2 b + 7$	=	$- 1$	\| $- 7$
$2 b$	=	$- 8$	\|: $2$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7 + 3 \cdot (- 4)$

= $7 - 12$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 - 5$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 - 5$

= ${(x - 2)}^{2} - 9$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-9).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 - 5$ = $4 - 8 - 5$ = -9

also: S(2|-9).

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg