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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 2 y$ = $- 4$ .

Bestimme x so, dass (x|-3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 x - 2 \cdot (- 3)$ = $- 4$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 5 x - 2 \cdot (- 3)$	=	$- 4$
$- 5 x + 6$	=	$- 4$	\| $- 6$
$- 5 x$	=	$- 10$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (2|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 2 y$ = $- 7$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|5)
denn 3⋅1 -2⋅5 = 3 -10 = $- 7$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|2)
denn 3⋅( - 1 ) -2⋅2 = -3 -4 = $- 7$

Oder : (3|8)
denn 3⋅3 -2⋅8 = 9 -16 = $- 7$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 2 y & = & - 10 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 2 y & = & - 10 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$- 10$	\|: $2$
$y$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 5 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (- 5)$	=	$9$
$3 x + 15$	=	$9$	\| $- 15$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & - 16 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & - 16 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$- 6$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$- 6 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & - 16 & (I) \\ x & = & (- 6 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 6 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 6 + 3 y) - 4 y$	=	$- 16$
$- 24 + 12 y - 4 y$	=	$- 16$
$8 y - 24$	=	$- 16$	\| $+ 24$
$8 y$	=	$8$	\|: $8$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 6 + 3 \cdot 1$

= $- 6 + 3$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & - 1 & (I) \\ x & - y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + y & = & - 1 & (I) \\ x & - y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x - y$	=	$- 5$
$- y + x$	=	$- 5$	\| $- x$
$- y$	=	$- 5 - x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$5 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & - 1 & (I) \\ + y & = & (5 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $5 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 1 \cdot (5 + x)$	=	$- 1$
$2 x + 5 + x$	=	$- 1$
$3 x + 5$	=	$- 1$	\| $- 5$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $5 - 2$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$4 y$	=	$- 5 x + 4 + y$			(I)
$x$	=	$8 - 3 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$4 y$	=	$- 5 x + 4 + y$	\| + $5 x - y$		(I)
$x$	=	$8 - 3 y$	\| + $3 y$		(II)

\begin{matrix} 5 x & + 3 y & = & 4 & (I) \\ x & + 3 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$8$	\| $- 3 y$
$x$	=	$8 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 5 x & + 3 y & = & 4 & (I) \\ x & = & (8 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $8 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (8 - 3 y) + 3 y$	=	$4$
$40 - 15 y + 3 y$	=	$4$
$- 12 y + 40$	=	$4$	\| $- 40$
$- 12 y$	=	$- 36$	\|:( $- 12$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $8 - 3 \cdot 3$

= $8 - 9$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +4y = ?

1x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

5x +4y = -20 -20 = -40

1x +4y = -4 -20 = -24

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +4y = -40

1x +4y = -24

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 6 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 6 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 3 y$	=	$6$
$- 3 y + 3 x$	=	$6$	\| $- 3 x$
$- 3 y$	=	$6 - 3 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 2 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 + x) & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 3 \cdot (- 2 + x)$	=	$- 6$
$- 2 x - 6 + 3 x$	=	$- 6$
$x - 6$	=	$- 6$	\| $+ 6$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 + 0$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 17. Wenn man aber vom 5-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 16. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 17 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$17$	\| $- 4 y$
$x$	=	$17 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (17 - 4 y) & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $17 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (17 - 4 y) - 3 y$	=	$16$
$85 - 20 y - 3 y$	=	$16$
$- 23 y + 85$	=	$16$	\| $- 85$
$- 23 y$	=	$- 69$	\|:( $- 23$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $17 - 4 \cdot 3$

= $17 - 12$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 3

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-8) und B(-4|-17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-8): -8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-17): -17 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 -1b +c |-1
-17 = 16 -4b +c |-16

-9 = -1b +c
-33 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 9 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 33 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 33$
$c - 4 b$	=	$- 33$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 33 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 9 & (I) \\ + c & = & (- 33 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 33 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 33 + 4 b)$	=	$- 9$
$- b - 33 + 4 b$	=	$- 9$
$3 b - 33$	=	$- 9$	\| $+ 33$
$3 b$	=	$24$	\|: $3$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 33 + 4 \cdot 8$

= $- 33 + 32$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-1)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|0) und B(2|7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(2|7): 7 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
7 = 4 +2b +c |-4

-1 = 1b +c
3 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ 2 b & + c & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$3$
$c + 2 b$	=	$3$	\| $- 2 b$
$c$	=	$3 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (3 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $3 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (3 - 2 b)$	=	$- 1$
$b + 3 - 2 b$	=	$- 1$
$- b + 3$	=	$- 1$	\| $- 3$
$- b$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $3 - 2 \cdot 4$

= $3 - 8$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 - 5$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 - 5$

= ${(x + 2)}^{2} - 9$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-9).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - 5$ = $4 - 8 - 5$ = -9

also: S(-2|-9).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg