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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 3 y$ = $- 9$ .

Bestimme x so, dass (x|7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x - 3 \cdot 7$ = $- 9$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot 7$	=	$- 9$
$2 x - 21$	=	$- 9$	\| $+ 21$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - y$ = $6$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|-1)
denn 5⋅1 -1⋅( - 1 ) = 5 +1 = $6$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|-6)
denn 5⋅0 -1⋅( - 6 ) = 0 +6 = $6$

Oder : (2|4)
denn 5⋅2 -1⋅4 = 10 -4 = $6$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ + 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ + 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$12$	\|: $2$
$y$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 2 \cdot 6$	=	$6$
$- 3 x + 12$	=	$6$	\| $- 12$
$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 13 & (I) \\ 3 x & + y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 13 & (I) \\ 3 x & + y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$- 16$
$y + 3 x$	=	$- 16$	\| $- 3 x$
$y$	=	$- 16 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 13 & (I) \\ + y & = & (- 16 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 16 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 2 \cdot (- 16 - 3 x)$	=	$13$
$- 3 x - 32 - 6 x$	=	$13$
$- 9 x - 32$	=	$13$	\| $+ 32$
$- 9 x$	=	$45$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 16 - 3 \cdot (- 5)$

= $- 16 + 15$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 10 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 10 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$10$
$y + 2 x$	=	$10$	\| $- 2 x$
$y$	=	$10 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (10 - 2 x) & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $10 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot (10 - 2 x)$	=	$16$
$4 x + 40 - 8 x$	=	$16$
$- 4 x + 40$	=	$16$	\| $- 40$
$- 4 x$	=	$- 24$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $10 - 2 \cdot 6$

= $10 - 12$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2 (x + 12) - 3 y$	=	0			(I)
0	=	$x + 2 (- 5 + 2 y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2 (x + 12) - 3 y$	=	0			(I)
0	=	$x + 2 (- 5 + 2 y)$			(II)

$2 x + 24 - 3 y$	=	0	\| $- 24$		(I)
0	=	$x - 10 + 4 y$	\| $- x - 4 y$		(II)

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & - 24 & (I) \\ - x & - 4 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 4 y$	=	$- 10$	\| $+ 4 y$
$- x$	=	$- 10 + 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$10 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & - 24 & (I) \\ x & = & (10 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $10 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (10 - 4 y) - 3 y$	=	$- 24$
$20 - 8 y - 3 y$	=	$- 24$
$- 11 y + 20$	=	$- 24$	\| $- 20$
$- 11 y$	=	$- 44$	\|:( $- 11$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $10 - 4 \cdot 4$

= $10 - 16$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -1y = ?

7x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

3x -1y = -3 -5 = -8

7x -1y = -7 -5 = -12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -1y = -8

7x -1y = -12

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 3 & (I) \\ 6 x & - 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 3 & (I) \\ 6 x & - 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$3$
$y - 2 x$	=	$3$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$3 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3 + 2 x) & (I) \\ 6 x & - 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 3 \cdot (3 + 2 x)$	=	$- 9$
$6 x - 9 - 6 x$	=	$- 9$
$- 9$	=	$- 9$	\| $+ 9$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 480 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 630 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 480 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 630 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 3 y$	=	$480$
$- 3 y + 4 x$	=	$480$	\| $- 4 x$
$- 3 y$	=	$480 - 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 160 + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 160 + \frac{4}{3} x) & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 630 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 160 + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 3 \cdot (- 160 + \frac{4}{3} x)$	=	$630$
$5 x + 480 - 4 x$	=	$630$
$x + 480$	=	$630$	\| $- 480$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 160 + \frac{4}{3} \cdot 150$

= $- 160 + 200$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (150|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-2) und B(-3|-6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-6): -6 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 -1b +c |-1
-6 = 9 -3b +c |-9

-3 = -1b +c
-15 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 15$
$c - 3 b$	=	$- 15$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 15 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 15 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 15 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 15 + 3 b)$	=	$- 3$
$- b - 15 + 3 b$	=	$- 3$
$2 b - 15$	=	$- 3$	\| $+ 15$
$2 b$	=	$12$	\|: $2$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 15 + 3 \cdot 6$

= $- 15 + 18$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-2) und B(-2|13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|13): 13 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
13 = 4 -2b +c |-4

-3 = 1b +c
9 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$9$
$c - 2 b$	=	$9$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$9 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (9 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $9 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (9 + 2 b)$	=	$- 3$
$b + 9 + 2 b$	=	$- 3$
$3 b + 9$	=	$- 3$	\| $- 9$
$3 b$	=	$- 12$	\|: $3$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $9 + 2 \cdot (- 4)$

= $9 - 8$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 1$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 + 1$

= ${(x - 2)}^{2} - 3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 + 1$ = $4 - 8 + 1$ = -3

also: S(2|-3).

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Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS (Standard)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg