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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 5 y$ = $13$ .

Bestimme x so, dass (x|-5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x - 5 \cdot (- 5)$ = $13$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot (- 5)$	=	$13$
$2 x + 25$	=	$13$	\| $- 25$
$2 x$	=	$- 12$	\|: $2$
$x$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (-6|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + y$ = $13$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|4)
denn -3⋅( - 3 ) +1⋅4 = 9 +4 = $13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|7)
denn -3⋅( - 2 ) +1⋅7 = 6 +7 = $13$

Oder : (-4|1)
denn -3⋅( - 4 ) +1⋅1 = 12 +1 = $13$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & 3 & (I) \\ 4 x & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - y & = & 3 & (I) \\ 4 x & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$8$	\|: $4$
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & 3 & (I) \\ x & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot 2 - y$	=	$3$
$6 - y$	=	$3$
$- y + 6$	=	$3$	\| $- 6$
$- y$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 7 & (I) \\ 4 x & + y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 7 & (I) \\ 4 x & + y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$17$
$y + 4 x$	=	$17$	\| $- 4 x$
$y$	=	$17 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 7 & (I) \\ + y & = & (17 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $17 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 1 \cdot (17 - 4 x)$	=	$- 7$
$- 2 x + 17 - 4 x$	=	$- 7$
$- 6 x + 17$	=	$- 7$	\| $- 17$
$- 6 x$	=	$- 24$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $17 - 4 \cdot 4$

= $17 - 16$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 9 & (I) \\ x & + y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 9 & (I) \\ x & + y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x + y$	=	$- 3$
$y + x$	=	$- 3$	\| $- x$
$y$	=	$- 3 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 9 & (I) \\ + y & = & (- 3 - x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 3 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 2 \cdot (- 3 - x)$	=	$- 9$
$x + 6 + 2 x$	=	$- 9$
$3 x + 6$	=	$- 9$	\| $- 6$
$3 x$	=	$- 15$	\|: $3$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 3 - (- 5)$

= $- 3 + 5$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2 (x - 3) + 3 y$	=	$3 x$			(I)
$13 - y$	=	$- 4 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2 (x - 3) + 3 y$	=	$3 x$			(I)
$13 - y$	=	$- 4 x$			(II)

$2 x - 6 + 3 y$	=	$3 x$	\| + $6 - 3 x$		(I)
$13 - y$	=	$- 4 x$	\| $- 13 + 4 x$		(II)

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & 6 & (I) \\ 4 x & - y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x - y$	=	$- 13$
$- y + 4 x$	=	$- 13$	\| $- 4 x$
$- y$	=	$- 13 - 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$13 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & 6 & (I) \\ + y & = & (13 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $13 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 3 \cdot (13 + 4 x)$	=	$6$
$- x + 39 + 12 x$	=	$6$
$11 x + 39$	=	$6$	\| $- 39$
$11 x$	=	$- 33$	\|: $11$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $13 + 4 \cdot (- 3)$

= $13 - 12$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +2y = ?

-1x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-2x +2y = 2 +10 = 12

-1x -1y = 1 -5 = -4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +2y = 12

-1x -1y = -4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 1 & (I) \\ - 8 x & - 2 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 1 & (I) \\ - 8 x & - 2 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 1$
$y + 4 x$	=	$- 1$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 1 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 - 4 x) & (I) \\ - 8 x & - 2 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 8 x - 2 \cdot (- 1 - 4 x)$	=	$5$
$- 8 x + 2 + 8 x$	=	$5$
$2$	=	$5$	\| $- 2$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 4 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 2 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 94 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 275 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 2 y & = & 94 & (I) \\ 5 x & + 7 y & = & 275 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 2 y$	=	$94$
$2 y + 4 x$	=	$94$	\| $- 4 x$
$2 y$	=	$94 - 4 x$	\|: $2$
$y$	=	$47 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (47 - 2 x) & (I) \\ 5 x & + 7 y & = & 275 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $47 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 7 \cdot (47 - 2 x)$	=	$275$
$5 x + 329 - 14 x$	=	$275$
$- 9 x + 329$	=	$275$	\| $- 329$
$- 9 x$	=	$- 54$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $47 - 2 \cdot 6$

= $47 - 12$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (6|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|8) und B(3|24) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(3|24): 24 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
24 = 9 +3b +c |-9

7 = 1b +c
15 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ 3 b & + c & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$15$
$c + 3 b$	=	$15$	\| $- 3 b$
$c$	=	$15 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (15 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $15 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (15 - 3 b)$	=	$7$
$b + 15 - 3 b$	=	$7$
$- 2 b + 15$	=	$7$	\| $- 15$
$- 2 b$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $15 - 3 \cdot 4$

= $15 - 12$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|4) und B(3|20) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|4): 4 = 1² + b⋅1 +c

B(3|20): 20 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 +1b +c |-1
20 = 9 +3b +c |-9

3 = 1b +c
11 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ 3 b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$11$
$c + 3 b$	=	$11$	\| $- 3 b$
$c$	=	$11 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (11 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (11 - 3 b)$	=	$3$
$b + 11 - 3 b$	=	$3$
$- 2 b + 11$	=	$3$	\| $- 11$
$- 2 b$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 - 3 \cdot 4$

= $11 - 12$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 - 1$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 - 1$

= ${(x + 2)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - 1$ = $4 - 8 - 1$ = -5

also: S(-2|-5).

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1. Weg

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