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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + y$ = $29$ .

Bestimme y so, dass (-5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 \cdot (- 5) + y$ = $29$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 5 \cdot (- 5) + y$	=	$29$
$25 + y$	=	$29$
$y + 25$	=	$29$	\| $- 25$
$y$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (-5|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 2 y$ = $6$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|5)
denn 4⋅4 -2⋅5 = 16 -10 = $6$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|1)
denn 4⋅2 -2⋅1 = 8 -2 = $6$

Oder : (6|9)
denn 4⋅6 -2⋅9 = 24 -18 = $6$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 y & = & 4 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 y & = & 4 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 1 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x - 4 \cdot (- 1)$	=	$8$
$- x + 4$	=	$8$	\| $- 4$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 14 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 14 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$14$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$14 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (14 + 4 y) & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $14 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (14 + 4 y) + 2 y$	=	$2$
$- 28 - 8 y + 2 y$	=	$2$
$- 6 y - 28$	=	$2$	\| $+ 28$
$- 6 y$	=	$30$	\|:( $- 6$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $14 + 4 \cdot (- 5)$

= $14 - 20$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + y & = & 2 & (I) \\ - 5 x & - 2 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + y & = & 2 & (I) \\ - 5 x & - 2 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x + y$	=	$2$
$y + x$	=	$2$	\| $- x$
$y$	=	$2 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (2 - x) & (I) \\ - 5 x & - 2 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 2 \cdot (2 - x)$	=	$- 22$
$- 5 x - 4 + 2 x$	=	$- 22$
$- 3 x - 4$	=	$- 22$	\| $+ 4$
$- 3 x$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2 - 6$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{3}{5} x & + \frac{3}{5} y & = & - \frac{6}{5} & (I) \\ - \frac{1}{3} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{2}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{3}{5} x & + \frac{3}{5} y & = & - \frac{6}{5} & (I) \\ - \frac{1}{3} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{2}{5} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{3}{5} x + \frac{3}{5} y$	=	$- \frac{6}{5}$
$\frac{3}{5} y + \frac{3}{5} x$	=	$- \frac{6}{5}$	\|⋅ 5
$5 (\frac{3}{5} y + \frac{3}{5} x)$	=	$- 6$
$3 y + 3 x$	=	$- 6$	\| $- 3 x$
$3 y$	=	$- 6 - 3 x$	\|: $3$
$y$	=	$- 2 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 - x) & (I) \\ - \frac{1}{3} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{2}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{3} x - \frac{1}{5} \cdot (- 2 - x)$	=	$\frac{2}{5}$
$- \frac{1}{3} x + \frac{2}{5} + \frac{1}{5} x$	=	$\frac{2}{5}$
$- \frac{2}{15} x + \frac{2}{5}$	=	$\frac{2}{5}$	\|⋅ 15
$15 (- \frac{2}{15} x + \frac{2}{5})$	=	$6$
$- 2 x + 6$	=	$6$	\| $- 6$
$- 2 x$	=	0	\|:( $- 2$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 - (0)$

= $- 2 + 0$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -5y = ?

-5x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-4x -5y = -8 +25 = 17

-5x -3y = -10 +15 = 5

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -5y = 17

-5x -3y = 5

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 9 & (I) \\ x & - y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 9 & (I) \\ x & - y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x - y$	=	$- 9$
$- y + x$	=	$- 9$	\| $- x$
$- y$	=	$- 9 - x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$9 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 9 & (I) \\ + y & = & (9 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $9 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 3 \cdot (9 + x)$	=	$- 9$
$3 x + 27 + 3 x$	=	$- 9$
$6 x + 27$	=	$- 9$	\| $- 27$
$6 x$	=	$- 36$	\|: $6$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $9 - 6$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 239 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 183 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 9 y & = & 239 & (I) \\ 4 x & + 7 y & = & 183 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 9 y$	=	$239$
$9 y + 7 x$	=	$239$	\| $- 7 x$
$9 y$	=	$239 - 7 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{239}{9} - \frac{7}{9} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{239}{9} - \frac{7}{9} x) & (I) \\ 4 x & + 7 y & = & 183 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{239}{9} - \frac{7}{9} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 7 \cdot (\frac{239}{9} - \frac{7}{9} x)$	=	$183$
$4 x + \frac{1673}{9} - \frac{49}{9} x$	=	$183$
$- \frac{13}{9} x + \frac{1673}{9}$	=	$183$	\|⋅ 9
$9 (- \frac{13}{9} x + \frac{1673}{9})$	=	$1 647$
$- 13 x + 1 673$	=	$1 647$	\| $- 1 673$
$- 13 x$	=	$- 26$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{239}{9} - \frac{7}{9} \cdot 2$

= $\frac{239}{9} - \frac{14}{9}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (2|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|14) und B(3|42) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|14): 14 = 1² + b⋅1 +c

B(3|42): 42 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
14 = 1 +1b +c |-1
42 = 9 +3b +c |-9

13 = 1b +c
33 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 13 & (I) \\ 3 b & + c & = & 33 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$33$
$c + 3 b$	=	$33$	\| $- 3 b$
$c$	=	$33 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 13 & (I) \\ + c & = & (33 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $33 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (33 - 3 b)$	=	$13$
$b + 33 - 3 b$	=	$13$
$- 2 b + 33$	=	$13$	\| $- 33$
$- 2 b$	=	$- 20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $33 - 3 \cdot 10$

= $33 - 30$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (10|3)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-11) und B(-4|-26) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-11): -11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-26): -26 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-11 = 1 -1b +c |-1
-26 = 16 -4b +c |-16

-12 = -1b +c
-42 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 12 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 42 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 42$
$c - 4 b$	=	$- 42$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 42 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 12 & (I) \\ + c & = & (- 42 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 42 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 42 + 4 b)$	=	$- 12$
$- b - 42 + 4 b$	=	$- 12$
$3 b - 42$	=	$- 12$	\| $+ 42$
$3 b$	=	$30$	\|: $3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 42 + 4 \cdot 10$

= $- 42 + 40$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-2)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 2$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 2$

= ${(x + 5)}^{2} - 27$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-27).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 2$ = $25 - 50 - 2$ = -27

also: S(-5|-27).

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quadr. Funktionterm bestimmen

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1. Weg

2. Weg