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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 5 y$ = $- 39$ .

Bestimme y so, dass (1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 \cdot 1 + 5 y$ = $- 39$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 4 \cdot 1 + 5 y$	=	$- 39$
$- 4 + 5 y$	=	$- 39$
$5 y - 4$	=	$- 39$	\| $+ 4$
$5 y$	=	$- 35$	\|: $5$
$y$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (1|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - y$ = $30$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|-6)
denn -4⋅( - 6 ) -1⋅( - 6 ) = 24 +6 = $30$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|-2)
denn -4⋅( - 7 ) -1⋅( - 2 ) = 28 +2 = $30$

Oder : (-5|-10)
denn -4⋅( - 5 ) -1⋅( - 10 ) = 20 +10 = $30$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & - 24 & (I) \\ 3 x & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & - 24 & (I) \\ 3 x & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3 x$	=	$- 18$	\|: $3$
$x$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & - 24 & (I) \\ x & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 6) - 2 y$	=	$- 24$
$- 18 - 2 y$	=	$- 24$
$- 2 y - 18$	=	$- 24$	\| $+ 18$
$- 2 y$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 4 & (I) \\ x & + 4 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 4 & (I) \\ x & + 4 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$9$	\| $- 4 y$
$x$	=	$9 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 4 & (I) \\ x & = & (9 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $9 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (9 - 4 y) + y$	=	$4$
$18 - 8 y + y$	=	$4$
$- 7 y + 18$	=	$4$	\| $- 18$
$- 7 y$	=	$- 14$	\|:( $- 7$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $9 - 4 \cdot 2$

= $9 - 8$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 13 & (I) \\ - x & + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 13 & (I) \\ - x & + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 2 y$	=	$- 8$	\| $- 2 y$
$- x$	=	$- 8 - 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$8 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 13 & (I) \\ x & = & (8 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $8 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (8 + 2 y) + y$	=	$- 13$
$- 16 - 4 y + y$	=	$- 13$
$- 3 y - 16$	=	$- 13$	\| $+ 16$
$- 3 y$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $8 + 2 \cdot (- 1)$

= $8 - 2$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 5 y$	=	$2 (- x + 19)$			(I)
$2 x + y$	=	$- 4 - y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 5 y$	=	$2 (- x + 19)$			(I)
$2 x + y$	=	$- 4 - y$			(II)

$- 5 y$	=	$- 2 x + 38$	\| + $2 x$		(I)
$2 x + y$	=	$- 4 - y$	\| + $y$		(II)

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & 38 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 5 y$	=	$38$
$- 5 y + 2 x$	=	$38$	\| $- 2 x$
$- 5 y$	=	$38 - 2 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- \frac{38}{5} + \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{38}{5} + \frac{2}{5} x) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{38}{5} + \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (- \frac{38}{5} + \frac{2}{5} x)$	=	$- 4$
$2 x - \frac{76}{5} + \frac{4}{5} x$	=	$- 4$
$\frac{14}{5} x - \frac{76}{5}$	=	$- 4$	\|⋅ 5
$5 (\frac{14}{5} x - \frac{76}{5})$	=	$- 20$
$14 x - 76$	=	$- 20$	\| $+ 76$
$14 x$	=	$56$	\|: $14$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{38}{5} + \frac{2}{5} \cdot 4$

= $- \frac{38}{5} + \frac{8}{5}$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +4y = ?

2x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-2x +4y = -2 +8 = 6

2x -7y = 2 -14 = -12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +4y = 6

2x -7y = -12

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & + 8 y & = & 4 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 8 y & = & 4 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 8 y$	=	$4$
$8 y - 4 x$	=	$4$	\| $+ 4 x$
$8 y$	=	$4 + 4 x$	\|: $8$
$y$	=	$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} x) & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 4 \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} x)$	=	$- 2$
$2 x - 2 - 2 x$	=	$- 2$
$- 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1120 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 6 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1720 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 1120 & (I) \\ 6 x & - 2 y & = & 1720 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 2 y$	=	$1120$
$- 2 y + 4 x$	=	$1120$	\| $- 4 x$
$- 2 y$	=	$1120 - 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 560 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 560 + 2 x) & (I) \\ 6 x & - 2 y & = & 1720 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 560 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 2 \cdot (- 560 + 2 x)$	=	$1720$
$6 x + 1 120 - 4 x$	=	$1720$
$2 x + 1 120$	=	$1720$	\| $- 1 120$
$2 x$	=	$600$	\|: $2$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 560 + 2 \cdot 300$

= $- 560 + 600$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (300|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-12) und B(2|21) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-12): -12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|21): 21 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 -1b +c |-1
21 = 4 +2b +c |-4

-13 = -1b +c
17 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 13 & (I) \\ 2 b & + c & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$17$
$c + 2 b$	=	$17$	\| $- 2 b$
$c$	=	$17 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 13 & (I) \\ + c & = & (17 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $17 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (17 - 2 b)$	=	$- 13$
$- b + 17 - 2 b$	=	$- 13$
$- 3 b + 17$	=	$- 13$	\| $- 17$
$- 3 b$	=	$- 30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $17 - 2 \cdot 10$

= $17 - 20$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-3)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-11) und B(-2|-16) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-11): -11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-16): -16 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-11 = 1 -1b +c |-1
-16 = 4 -2b +c |-4

-12 = -1b +c
-20 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 12 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 20$
$c - 2 b$	=	$- 20$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 20 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 12 & (I) \\ + c & = & (- 20 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 20 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 20 + 2 b)$	=	$- 12$
$- b - 20 + 2 b$	=	$- 12$
$b - 20$	=	$- 12$	\| $+ 20$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 20 + 2 \cdot 8$

= $- 20 + 16$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-4)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 - 4$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 - 4$

= ${(x + 4)}^{2} - 20$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-20).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) - 4$ = $16 - 32 - 4$ = -20

also: S(-4|-20).

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1. Weg

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