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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 5 y$ = $- 12$ .

Bestimme x so, dass (x|0) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 x + 5 \cdot 0$ = $- 12$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 2 x + 5 \cdot 0$	=	$- 12$
$- 2 x$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 2 y$ = $18$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|6)
denn 2⋅3 +2⋅6 = 6 +12 = $18$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|4)
denn 2⋅5 +2⋅4 = 10 +8 = $18$

Oder : (1|8)
denn 2⋅1 +2⋅8 = 2 +16 = $18$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & = & 3 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $3$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot 3 - 3 y$	=	$- 15$
$- 9 - 3 y$	=	$- 15$
$- 3 y - 9$	=	$- 15$	\| $+ 9$
$- 3 y$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 6 & (I) \\ x & - 4 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 6 & (I) \\ x & - 4 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$13$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$13 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 6 & (I) \\ x & = & (13 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $13 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (13 + 4 y) + 3 y$	=	$- 6$
$39 + 12 y + 3 y$	=	$- 6$
$15 y + 39$	=	$- 6$	\| $- 39$
$15 y$	=	$- 45$	\|: $15$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $13 + 4 \cdot (- 3)$

= $13 - 12$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 28 & (I) \\ - x & + y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 28 & (I) \\ - x & + y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x + y$	=	$- 5$
$y - x$	=	$- 5$	\| $+ x$
$y$	=	$- 5 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 28 & (I) \\ + y & = & (- 5 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 5 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot (- 5 + x)$	=	$28$
$4 x - 20 + 4 x$	=	$28$
$8 x - 20$	=	$28$	\| $+ 20$
$8 x$	=	$48$	\|: $8$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 5 + 6$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{3}{4} x & + \frac{3}{2} y & = & - \frac{33}{4} & (I) \\ \frac{2}{5} x & + y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{3}{4} x & + \frac{3}{2} y & = & - \frac{33}{4} & (I) \\ \frac{2}{5} x & + y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$\frac{2}{5} x + y$	=	$- 5$
$y + \frac{2}{5} x$	=	$- 5$	\|⋅ 5
$5 (y + \frac{2}{5} x)$	=	$- 25$
$5 y + 2 x$	=	$- 25$	\| $- 2 x$
$5 y$	=	$- 25 - 2 x$	\|: $5$
$y$	=	$- 5 - \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{3}{4} x & + \frac{3}{2} y & = & - \frac{33}{4} & (I) \\ + y & = & (- 5 - \frac{2}{5} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 5 - \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{4} x + \frac{3}{2} \cdot (- 5 - \frac{2}{5} x)$	=	$- \frac{33}{4}$
$\frac{3}{4} x - \frac{15}{2} - \frac{3}{5} x$	=	$- \frac{33}{4}$
$\frac{3}{20} x - \frac{15}{2}$	=	$- \frac{33}{4}$	\|⋅ 20
$20 (\frac{3}{20} x - \frac{15}{2})$	=	$- 165$
$3 x - 150$	=	$- 165$	\| $+ 150$
$3 x$	=	$- 15$	\|: $3$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 5 - \frac{2}{5} \cdot (- 5)$

= $- 5 + 2$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +5y = ?

-1x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

3x +5y = -9 +5 = -4

-1x -3y = 3 -3 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +5y = -4

-1x -3y = 0

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 3 & (I) \\ 16 x & - 4 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 3 & (I) \\ 16 x & - 4 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 3$
$y - 4 x$	=	$- 3$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 3 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 3 + 4 x) & (I) \\ 16 x & - 4 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 3 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$16 x - 4 \cdot (- 3 + 4 x)$	=	$13$
$16 x + 12 - 16 x$	=	$13$
$12$	=	$13$	\| $- 12$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1095 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1395 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 1095 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 1395 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 3 y$	=	$1095$
$- 3 y + 4 x$	=	$1095$	\| $- 4 x$
$- 3 y$	=	$1095 - 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 365 + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 365 + \frac{4}{3} x) & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 1395 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 365 + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 3 \cdot (- 365 + \frac{4}{3} x)$	=	$1395$
$5 x + 1 095 - 4 x$	=	$1395$
$x + 1 095$	=	$1395$	\| $- 1 095$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 365 + \frac{4}{3} \cdot 300$

= $- 365 + 400$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (300|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|12) und B(-1|0) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|12): 12 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 +1b +c |-1
0 = 1 -1b +c |-1

11 = 1b +c
-1 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ - b & + c & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 1$
$c - b$	=	$- 1$	\| $+ b$
$c$	=	$- 1 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ + c & = & (- 1 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 1 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 1 + b)$	=	$11$
$b - 1 + b$	=	$11$
$2 b - 1$	=	$11$	\| $+ 1$
$2 b$	=	$12$	\|: $2$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 1 + 6$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|15) und B(1|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|15): 15 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
15 = 1 -1b +c |-1
-5 = 1 +1b +c |-1

14 = -1b +c
-6 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 14 & (I) \\ b & + c & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 6$
$c + b$	=	$- 6$	\| $- b$
$c$	=	$- 6 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 14 & (I) \\ + c & = & (- 6 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 6 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 6 - b)$	=	$14$
$- b - 6 - b$	=	$14$
$- 2 b - 6$	=	$14$	\| $+ 6$
$- 2 b$	=	$20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 6 - (- 10)$

= $- 6 + 10$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|4)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 + 4$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 + 4$

= ${(x - 5)}^{2} - 21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 + 4$ = $25 - 50 + 4$ = -21

also: S(5|-21).

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1. Weg

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