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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 5 y$ = $4$ .

Bestimme x so, dass (x|2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 x + 5 \cdot 2$ = $4$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 2 x + 5 \cdot 2$	=	$4$
$- 2 x + 10$	=	$4$	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 2 y$ = $4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-5)
denn 3⋅( - 2 ) -2⋅( - 5 ) = -6 +10 = $4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|-8)
denn 3⋅( - 4 ) -2⋅( - 8 ) = -12 +16 = $4$

Oder : (0|-2)
denn 3⋅0 -2⋅( - 2 ) = 0 +4 = $4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 2 y & = & - 12 & (I) \\ x & - 2 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 2 y & = & - 12 & (I) \\ x & - 2 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$- 12$	\|: $2$
$y$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 6 & (I) \\ x & - 2 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 2 \cdot (- 6)$	=	$9$
$x + 12$	=	$9$	\| $- 12$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 13 & (I) \\ - 3 x & + y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 13 & (I) \\ - 3 x & + y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$- 2$
$y - 3 x$	=	$- 2$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$- 2 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 13 & (I) \\ + y & = & (- 2 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 2 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot (- 2 + 3 x)$	=	$13$
$- 3 x + 4 - 6 x$	=	$13$
$- 9 x + 4$	=	$13$	\| $- 4$
$- 9 x$	=	$9$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 2 + 3 \cdot (- 1)$

= $- 2 - 3$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 1 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 1 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 3 y$	=	$1$
$- 3 y + 4 x$	=	$1$	\| $- 4 x$
$- 3 y$	=	$1 - 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- \frac{1}{3} + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{3} + \frac{4}{3} x) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{3} + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 2 \cdot (- \frac{1}{3} + \frac{4}{3} x)$	=	$2$
$4 x + \frac{2}{3} - \frac{8}{3} x$	=	$2$
$\frac{4}{3} x + \frac{2}{3}$	=	$2$	\|⋅ 3
$3 (\frac{4}{3} x + \frac{2}{3})$	=	$6$
$4 x + 2$	=	$6$	\| $- 2$
$4 x$	=	$4$	\|: $4$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{1}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1$

= $- \frac{1}{3} + \frac{4}{3}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 3 x$	=	$2 (8 + y)$			(I)
$- 5 x - 3 (7 + y)$	=	$- x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 3 x$	=	$2 (8 + y)$			(I)
$- 5 x - 3 (7 + y)$	=	$- x$			(II)

$- 3 x$	=	$16 + 2 y$	\| $- 2 y$		(I)
$- 5 x - 21 - 3 y$	=	$- x$	\| + $21 + x$		(II)

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 16 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 2 y$	=	$16$
$- 2 y - 3 x$	=	$16$	\| $+ 3 x$
$- 2 y$	=	$16 + 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 8 - \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 8 - \frac{3}{2} x) & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 8 - \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 3 \cdot (- 8 - \frac{3}{2} x)$	=	$21$
$- 4 x + 24 + \frac{9}{2} x$	=	$21$
$\frac{1}{2} x + 24$	=	$21$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x + 24)$	=	$42$
$x + 48$	=	$42$	\| $- 48$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 8 - \frac{3}{2} \cdot (- 6)$

= $- 8 + 9$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +4y = ?

8x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

5x +4y = -20 +4 = -16

8x +3y = -32 +3 = -29

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +4y = -16

8x +3y = -29

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & + 2 y & = & - 4 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 2 y & = & - 4 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 2 y$	=	$- 4$
$2 y + 4 x$	=	$- 4$	\| $- 4 x$
$2 y$	=	$- 4 - 4 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 2 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 - 2 x) & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 2 \cdot (- 2 - 2 x)$	=	$- 2$
$- 2 x + 4 + 4 x$	=	$- 2$
$2 x + 4$	=	$- 2$	\| $- 4$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 - 2 \cdot (- 3)$

= $- 2 + 6$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1140 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 1 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1170 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 1140 & (I) \\ 4 x & - y & = & 1170 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x - y$	=	$1170$
$- y + 4 x$	=	$1170$	\| $- 4 x$
$- y$	=	$1170 - 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 1 170 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 1140 & (I) \\ + y & = & (- 1 170 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 1 170 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 2 \cdot (- 1 170 + 4 x)$	=	$1140$
$4 x + 2 340 - 8 x$	=	$1140$
$- 4 x + 2 340$	=	$1140$	\| $- 2 340$
$- 4 x$	=	$- 1 200$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 1 170 + 4 \cdot 300$

= $- 1 170 + 1 200$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|3) und B(-4|30) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|3): 3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|30): 30 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 -1b +c |-1
30 = 16 -4b +c |-16

2 = -1b +c
14 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 2 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$14$
$c - 4 b$	=	$14$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$14 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 2 & (I) \\ + c & = & (14 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $14 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (14 + 4 b)$	=	$2$
$- b + 14 + 4 b$	=	$2$
$3 b + 14$	=	$2$	\| $- 14$
$3 b$	=	$- 12$	\|: $3$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $14 + 4 \cdot (- 4)$

= $14 - 16$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-12) und B(-2|21) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-12): -12 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|21): 21 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 +1b +c |-1
21 = 4 -2b +c |-4

-13 = 1b +c
17 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$17$
$c - 2 b$	=	$17$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$17 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ + c & = & (17 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $17 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (17 + 2 b)$	=	$- 13$
$b + 17 + 2 b$	=	$- 13$
$3 b + 17$	=	$- 13$	\| $- 17$
$3 b$	=	$- 30$	\|: $3$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $17 + 2 \cdot (- 10)$

= $17 - 20$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 - 3$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 - 3$

= ${(x - 5)}^{2} - 28$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-28).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 - 3$ = $25 - 50 - 3$ = -28

also: S(5|-28).

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1. Weg

2. Weg