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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 5 y$ = $- 23$ .

Bestimme x so, dass (x|-4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 x + 5 \cdot (- 4)$ = $- 23$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 3 x + 5 \cdot (- 4)$	=	$- 23$
$- 3 x - 20$	=	$- 23$	\| $+ 20$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (1|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 3 y$ = $19$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|3)
denn 5⋅2 +3⋅3 = 10 +9 = $19$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|-2)
denn 5⋅5 +3⋅( - 2 ) = 25 -6 = $19$

Oder : (-1|8)
denn 5⋅( - 1 ) +3⋅8 = -5 +24 = $19$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 y & = & 4 & (I) \\ - 3 x & - y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 y & = & 4 & (I) \\ - 3 x & - y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 2 & (I) \\ - 3 x & - y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 1 \cdot (- 2)$	=	$14$
$- 3 x + 2$	=	$14$	\| $- 2$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 12 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 12 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$12$	\| $- 2 y$
$x$	=	$12 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (12 - 2 y) & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $12 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (12 - 2 y) + 3 y$	=	$19$
$24 - 4 y + 3 y$	=	$19$
$- y + 24$	=	$19$	\| $- 24$
$- y$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $12 - 2 \cdot 5$

= $12 - 10$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 5 y & = & - 2 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 5 y & = & - 2 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 5 y$	=	$- 2$
$5 y - 2 x$	=	$- 2$	\| $+ 2 x$
$5 y$	=	$- 2 + 2 x$	\|: $5$
$y$	=	$- \frac{2}{5} + \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{2}{5} + \frac{2}{5} x) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{2}{5} + \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot (- \frac{2}{5} + \frac{2}{5} x)$	=	$- 10$
$4 x + \frac{6}{5} - \frac{6}{5} x$	=	$- 10$
$\frac{14}{5} x + \frac{6}{5}$	=	$- 10$	\|⋅ 5
$5 (\frac{14}{5} x + \frac{6}{5})$	=	$- 50$
$14 x + 6$	=	$- 50$	\| $- 6$
$14 x$	=	$- 56$	\|: $14$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \cdot (- 4)$

= $- \frac{2}{5} - \frac{8}{5}$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 2 (x + 1) + y$	=	$- 32 + 5 y$			(I)
$2 (- x + 21) - 5 y$	=	$2 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 2 (x + 1) + y$	=	$- 32 + 5 y$			(I)
$2 (- x + 21) - 5 y$	=	$2 x$			(II)

$- 2 x - 2 + y$	=	$- 32 + 5 y$	\| + $2 - 5 y$		(I)
$- 2 x + 42 - 5 y$	=	$2 x$	\| $- 42 - 2 x$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & - 30 & (I) \\ - 4 x & - 5 y & = & - 42 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 4 y$	=	$- 30$
$- 4 y - 2 x$	=	$- 30$	\| $+ 2 x$
$- 4 y$	=	$- 30 + 2 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$\frac{15}{2} - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{15}{2} - \frac{1}{2} x) & (I) \\ - 4 x & - 5 y & = & - 42 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{15}{2} - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 5 \cdot (\frac{15}{2} - \frac{1}{2} x)$	=	$- 42$
$- 4 x - \frac{75}{2} + \frac{5}{2} x$	=	$- 42$
$- \frac{3}{2} x - \frac{75}{2}$	=	$- 42$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{3}{2} x - \frac{75}{2})$	=	$- 84$
$- 3 x - 75$	=	$- 84$	\| $+ 75$
$- 3 x$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{15}{2} - \frac{1}{2} \cdot 3$

= $\frac{15}{2} - \frac{3}{2}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (3|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -1y = ?

-2x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-5x -1y = -5 -5 = -10

-2x -3y = -2 -15 = -17

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -1y = -10

-2x -3y = -17

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & - y & = & 22 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - y & = & 22 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x - y$	=	$22$
$- y + 4 x$	=	$22$	\| $- 4 x$
$- y$	=	$22 - 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 22 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 22 + 4 x) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 22 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (- 22 + 4 x)$	=	$16$
$2 x - 44 + 8 x$	=	$16$
$10 x - 44$	=	$16$	\| $+ 44$
$10 x$	=	$60$	\|: $10$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 22 + 4 \cdot 6$

= $- 22 + 24$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 230 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 380 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 230 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 380 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 2 y$	=	$230$
$- 2 y + 2 x$	=	$230$	\| $- 2 x$
$- 2 y$	=	$230 - 2 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 115 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 115 + x) & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 380 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 115 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 2 \cdot (- 115 + x)$	=	$380$
$3 x + 230 - 2 x$	=	$380$
$x + 230$	=	$380$	\| $- 230$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 115 + 150$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(-4|28) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|28): 28 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
28 = 16 -4b +c |-16

6 = -1b +c
12 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$12$
$c - 4 b$	=	$12$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$12 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (12 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $12 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (12 + 4 b)$	=	$6$
$- b + 12 + 4 b$	=	$6$
$3 b + 12$	=	$6$	\| $- 12$
$3 b$	=	$- 6$	\|: $3$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $12 + 4 \cdot (- 2)$

= $12 - 8$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-4) und B(2|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-5): -5 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 +1b +c |-1
-5 = 4 +2b +c |-4

-5 = 1b +c
-9 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 9$
$c + 2 b$	=	$- 9$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 9 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 9 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 9 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 9 - 2 b)$	=	$- 5$
$b - 9 - 2 b$	=	$- 5$
$- b - 9$	=	$- 5$	\| $+ 9$
$- b$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 9 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 9 + 8$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 - 1$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 - 1$

= ${(x - 2)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 - 1$ = $4 - 8 - 1$ = -5

also: S(2|-5).

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1. Weg

2. Weg