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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 3 y$ = $20$ .

Bestimme x so, dass (x|-7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$- x - 3 \cdot (- 7)$ = $20$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- x - 3 \cdot (- 7)$	=	$20$
$- x + 21$	=	$20$	\| $- 21$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (1|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + y$ = $- 3$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|-5)
denn 2⋅1 +1⋅( - 5 ) = 2 -5 = $- 3$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-7)
denn 2⋅2 +1⋅( - 7 ) = 4 -7 = $- 3$

Oder : (0|-3)
denn 2⋅0 +1⋅( - 3 ) = 0 -3 = $- 3$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & - 14 & (I) \\ - 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & - 14 & (I) \\ - 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & - 14 & (I) \\ + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 2 \cdot 6$	=	$- 14$
$- 2 x - 12$	=	$- 14$	\| $+ 12$
$- 2 x$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 16 & (I) \\ x & - y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 16 & (I) \\ x & - y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x - y$	=	$10$
$- y + x$	=	$10$	\| $- x$
$- y$	=	$10 - x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 10 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 16 & (I) \\ + y & = & (- 10 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 10 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 2 \cdot (- 10 + x)$	=	$16$
$x + 20 - 2 x$	=	$16$
$- x + 20$	=	$16$	\| $- 20$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 10 + 4$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & + 3 y & = & 22 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & + 3 y & = & 22 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 7$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 7 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & + 3 y & = & 22 & (I) \\ x & = & (- 7 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 7 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 5 \cdot (- 7 - 2 y) + 3 y$	=	$22$
$35 + 10 y + 3 y$	=	$22$
$13 y + 35$	=	$22$	\| $- 35$
$13 y$	=	$- 13$	\|: $13$
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 7 - 2 \cdot (- 1)$

= $- 7 + 2$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & - \frac{2}{3} y & = & \frac{1}{2} & (I) \\ \frac{2}{3} x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{68}{15} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & - \frac{2}{3} y & = & \frac{1}{2} & (I) \\ \frac{2}{3} x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{68}{15} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{1}{2} x - \frac{2}{3} y$	=	$\frac{1}{2}$
$- \frac{2}{3} y - \frac{1}{2} x$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ 6
$6 (- \frac{2}{3} y - \frac{1}{2} x)$	=	$3$
$- 4 y - 3 x$	=	$3$	\| $+ 3 x$
$- 4 y$	=	$3 + 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{3}{4} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{3}{4} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ \frac{2}{3} x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{68}{15} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{3}{4} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{2}{3} x - \frac{2}{5} \cdot (- \frac{3}{4} - \frac{3}{4} x)$	=	$- \frac{68}{15}$
$\frac{2}{3} x + \frac{3}{10} + \frac{3}{10} x$	=	$- \frac{68}{15}$
$\frac{29}{30} x + \frac{3}{10}$	=	$- \frac{68}{15}$	\|⋅ 30
$30 (\frac{29}{30} x + \frac{3}{10})$	=	$- 136$
$29 x + 9$	=	$- 136$	\| $- 9$
$29 x$	=	$- 145$	\|: $29$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot (- 5)$

= $- \frac{3}{4} + \frac{15}{4}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -5y = ?

3x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

2x -5y = 2 -25 = -23

3x -5y = 3 -25 = -22

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -5y = -23

3x -5y = -22

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & - 9 & (I) \\ x & - 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & - 9 & (I) \\ x & - 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$10$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$10 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & - 9 & (I) \\ x & = & (10 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $10 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (10 + 4 y) + 3 y$	=	$- 9$
$- 10 - 4 y + 3 y$	=	$- 9$
$- y - 10$	=	$- 9$	\| $+ 10$
$- y$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $10 + 4 \cdot (- 1)$

= $10 - 4$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 7. Wenn man aber vom 4-fachen von x 5 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 11. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 7 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$7$	\| $- 3 y$
$x$	=	$7 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (7 - 3 y) & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (7 - 3 y) - 5 y$	=	$11$
$28 - 12 y - 5 y$	=	$11$
$- 17 y + 28$	=	$11$	\| $- 28$
$- 17 y$	=	$- 17$	\|:( $- 17$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7 - 3 \cdot 1$

= $7 - 3$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 1

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|2) und B(-3|6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|6): 6 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
6 = 9 -3b +c |-9

1 = -1b +c
-3 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 3$
$c - 3 b$	=	$- 3$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 3 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (- 3 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 3 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 3 + 3 b)$	=	$1$
$- b - 3 + 3 b$	=	$1$
$2 b - 3$	=	$1$	\| $+ 3$
$2 b$	=	$4$	\|: $2$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 3 + 3 \cdot 2$

= $- 3 + 6$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|11) und B(4|44) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|11): 11 = 1² + b⋅1 +c

B(4|44): 44 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
11 = 1 +1b +c |-1
44 = 16 +4b +c |-16

10 = 1b +c
28 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 10 & (I) \\ 4 b & + c & = & 28 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$28$
$c + 4 b$	=	$28$	\| $- 4 b$
$c$	=	$28 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 10 & (I) \\ + c & = & (28 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $28 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (28 - 4 b)$	=	$10$
$b + 28 - 4 b$	=	$10$
$- 3 b + 28$	=	$10$	\| $- 28$
$- 3 b$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $28 - 4 \cdot 6$

= $28 - 24$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 4$ = $9 - 18 + 4$ = -5

also: S(-3|-5).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg