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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 4 y$ = $- 9$ .

Bestimme x so, dass (x|6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 x - 4 \cdot 6$ = $- 9$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 5 x - 4 \cdot 6$	=	$- 9$
$- 5 x - 24$	=	$- 9$	\| $+ 24$
$- 5 x$	=	$15$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 3$

Die Lösung ist somit: (-3|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 2 y$ = $- 4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|-3)
denn 1⋅2 +2⋅( - 3 ) = 2 -6 = $- 4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-4)
denn 1⋅4 +2⋅( - 4 ) = 4 -8 = $- 4$

Oder : (0|-2)
denn 1⋅0 +2⋅( - 2 ) = 0 -4 = $- 4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 19 & (I) \\ + 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 19 & (I) \\ + 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4 y$	=	$4$	\|: $4$
$y$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 19 & (I) \\ + y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 1 \cdot 1$	=	$- 19$
$- 4 x + 1$	=	$- 19$	\| $- 1$
$- 4 x$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & - 10 & (I) \\ x & - 2 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & - 10 & (I) \\ x & - 2 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$11$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$11 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & - 10 & (I) \\ x & = & (11 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $11 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (11 + 2 y) + 2 y$	=	$- 10$
$- 22 - 4 y + 2 y$	=	$- 10$
$- 2 y - 22$	=	$- 10$	\| $+ 22$
$- 2 y$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $11 + 2 \cdot (- 6)$

= $11 - 12$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 5 & (I) \\ - x & + 4 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 5 & (I) \\ - x & + 4 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 4 y$	=	$- 20$	\| $- 4 y$
$- x$	=	$- 20 - 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$20 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 5 & (I) \\ x & = & (20 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $20 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (20 + 4 y) + y$	=	$- 5$
$60 + 12 y + y$	=	$- 5$
$13 y + 60$	=	$- 5$	\| $- 60$
$13 y$	=	$- 65$	\|: $13$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $20 + 4 \cdot (- 5)$

= $20 - 20$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{2}{5} & (I) \\ 2 x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{28}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{2}{5} & (I) \\ 2 x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{28}{5} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{2} x - \frac{2}{5} y$	=	$\frac{2}{5}$
$- \frac{2}{5} y + \frac{1}{2} x$	=	$\frac{2}{5}$	\|⋅ 10
$10 (- \frac{2}{5} y + \frac{1}{2} x)$	=	$4$
$- 4 y + 5 x$	=	$4$	\| $- 5 x$
$- 4 y$	=	$4 - 5 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 1 + \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 + \frac{5}{4} x) & (I) \\ 2 x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{28}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 + \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - \frac{2}{5} \cdot (- 1 + \frac{5}{4} x)$	=	$- \frac{28}{5}$
$2 x + \frac{2}{5} - \frac{1}{2} x$	=	$- \frac{28}{5}$
$\frac{3}{2} x + \frac{2}{5}$	=	$- \frac{28}{5}$	\|⋅ 10
$10 (\frac{3}{2} x + \frac{2}{5})$	=	$- 56$
$15 x + 4$	=	$- 56$	\| $- 4$
$15 x$	=	$- 60$	\|: $15$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 + \frac{5}{4} \cdot (- 4)$

= $- 1 - 5$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +3y = ?

-7x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-4x +3y = -16 +3 = -13

-7x +4y = -28 +4 = -24

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +3y = -13

-7x +4y = -24

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 6 x & - 6 y & = & - 6 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 6 x & - 6 y & = & - 6 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x - 6 y$	=	$- 6$
$- 6 y + 6 x$	=	$- 6$	\| $- 6 x$
$- 6 y$	=	$- 6 - 6 x$	\|:( $- 6$ )
$y$	=	$1 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 + x) & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 2 \cdot (1 + x)$	=	$2$
$- 2 x + 2 + 2 x$	=	$2$
$2$	=	$2$	\| $- 2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 2 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 81 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 8 Halogenleuchten zusammen 267 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 2 y & = & 81 & (I) \\ 9 x & + 8 y & = & 267 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 2 y$	=	$81$
$2 y + 7 x$	=	$81$	\| $- 7 x$
$2 y$	=	$81 - 7 x$	\|: $2$
$y$	=	$\frac{81}{2} - \frac{7}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{81}{2} - \frac{7}{2} x) & (I) \\ 9 x & + 8 y & = & 267 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{81}{2} - \frac{7}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9 x + 8 \cdot (\frac{81}{2} - \frac{7}{2} x)$	=	$267$
$9 x + 324 - 28 x$	=	$267$
$- 19 x + 324$	=	$267$	\| $- 324$
$- 19 x$	=	$- 57$	\|:( $- 19$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{81}{2} - \frac{7}{2} \cdot 3$

= $\frac{81}{2} - \frac{21}{2}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (3|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|4) und B(2|-17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-17): -17 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
-17 = 4 +2b +c |-4

3 = -1b +c
-21 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 21$
$c + 2 b$	=	$- 21$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 21 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (- 21 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 21 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 21 - 2 b)$	=	$3$
$- b - 21 - 2 b$	=	$3$
$- 3 b - 21$	=	$3$	\| $+ 21$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 21 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 21 + 16$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-5)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|16) und B(-1|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|16): 16 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
16 = 1 +1b +c |-1
-4 = 1 -1b +c |-1

15 = 1b +c
-5 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 15 & (I) \\ - b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 5$
$c - b$	=	$- 5$	\| $+ b$
$c$	=	$- 5 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 15 & (I) \\ + c & = & (- 5 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 5 + b)$	=	$15$
$b - 5 + b$	=	$15$
$2 b - 5$	=	$15$	\| $+ 5$
$2 b$	=	$20$	\|: $2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 + 10$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 20$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-20).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 5$ = $25 - 50 + 5$ = -20

also: S(-5|-20).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg