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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + y$ = $- 13$ .

Bestimme x so, dass (x|-5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x + (- 5)$ = $- 13$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x + (- 5)$	=	$- 13$
$2 x - 5$	=	$- 13$	\| $+ 5$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (-4|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 4 y$ = $- 28$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-7)
denn -2⋅0 +4⋅( - 7 ) = 0 -28 = $- 28$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-5)
denn -2⋅4 +4⋅( - 5 ) = -8 -20 = $- 28$

Oder : (-4|-9)
denn -2⋅( - 4 ) +4⋅( - 9 ) = 8 -36 = $- 28$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 y & = & - 16 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 31 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 y & = & - 16 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 31 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$- 16$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 4 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 31 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 4 \cdot 4$	=	$31$
$- 3 x + 16$	=	$31$	\| $- 16$
$- 3 x$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 6 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 6 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$- 6$
$y + 3 x$	=	$- 6$	\| $- 3 x$
$y$	=	$- 6 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 6 - 3 x) & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 6 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (- 6 - 3 x)$	=	$- 12$
$- 3 x + 24 + 12 x$	=	$- 12$
$9 x + 24$	=	$- 12$	\| $- 24$
$9 x$	=	$- 36$	\|: $9$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 6 - 3 \cdot (- 4)$

= $- 6 + 12$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 6 & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 6 & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 3 y$	=	$- 6$
$3 y + 3 x$	=	$- 6$	\| $- 3 x$
$3 y$	=	$- 6 - 3 x$	\|: $3$
$y$	=	$- 2 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 - x) & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 5 \cdot (- 2 - x)$	=	$- 10$
$- 2 x - 10 - 5 x$	=	$- 10$
$- 7 x - 10$	=	$- 10$	\| $+ 10$
$- 7 x$	=	0	\|:( $- 7$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 - (0)$

= $- 2 + 0$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 2 (x + y) - 15$	=	$3 (- 2 x + 1) - 7 y$			(I)
$- 16$	=	$- 4 (x + y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 2 (x + y) - 15$	=	$3 (- 2 x + 1) - 7 y$			(I)
$- 16$	=	$- 4 (x + y)$			(II)

$- 2 x - 15 - 2 y$	=	$- 6 x + 3 - 7 y$	\| + $15 + 6 x + 7 y$		(I)
$- 16$	=	$- 4 x - 4 y$	\| + $16 + 4 x + 4 y$		(II)

\begin{matrix} 4 x & + 5 y & = & 18 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 5 y$	=	$18$
$5 y + 4 x$	=	$18$	\| $- 4 x$
$5 y$	=	$18 - 4 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{18}{5} - \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{18}{5} - \frac{4}{5} x) & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{18}{5} - \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot (\frac{18}{5} - \frac{4}{5} x)$	=	$16$
$4 x + \frac{72}{5} - \frac{16}{5} x$	=	$16$
$\frac{4}{5} x + \frac{72}{5}$	=	$16$	\|⋅ 5
$5 (\frac{4}{5} x + \frac{72}{5})$	=	$80$
$4 x + 72$	=	$80$	\| $- 72$
$4 x$	=	$8$	\|: $4$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{18}{5} - \frac{4}{5} \cdot 2$

= $\frac{18}{5} - \frac{8}{5}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -2y = ?

8x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

4x -2y = -4 +2 = -2

8x -7y = -8 +7 = -1

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -2y = -2

8x -7y = -1

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & - 3 y & = & 18 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 3 y & = & 18 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 3 y$	=	$18$
$- 3 y - 5 x$	=	$18$	\| $+ 5 x$
$- 3 y$	=	$18 + 5 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 6 - \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 6 - \frac{5}{3} x) & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 6 - \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 3 \cdot (- 6 - \frac{5}{3} x)$	=	$12$
$- 3 x + 18 + 5 x$	=	$12$
$2 x + 18$	=	$12$	\| $- 18$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 6 - \frac{5}{3} \cdot (- 3)$

= $- 6 + 5$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 7 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 285 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 2 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 150 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 8 x & + 7 y & = & 285 & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & 150 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x + 7 y$	=	$285$
$7 y + 8 x$	=	$285$	\| $- 8 x$
$7 y$	=	$285 - 8 x$	\|: $7$
$y$	=	$\frac{285}{7} - \frac{8}{7} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{285}{7} - \frac{8}{7} x) & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & 150 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{285}{7} - \frac{8}{7} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 4 \cdot (\frac{285}{7} - \frac{8}{7} x)$	=	$150$
$2 x + \frac{1140}{7} - \frac{32}{7} x$	=	$150$
$- \frac{18}{7} x + \frac{1140}{7}$	=	$150$	\|⋅ 7
$7 (- \frac{18}{7} x + \frac{1140}{7})$	=	$1 050$
$- 18 x + 1 140$	=	$1 050$	\| $- 1 140$
$- 18 x$	=	$- 90$	\|:( $- 18$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{285}{7} - \frac{8}{7} \cdot 5$

= $\frac{285}{7} - \frac{40}{7}$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (5|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|9) und B(2|0) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|0): 0 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 -1b +c |-1
0 = 4 +2b +c |-4

8 = -1b +c
-4 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 4$
$c + 2 b$	=	$- 4$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 4 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (- 4 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 4 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 4 - 2 b)$	=	$8$
$- b - 4 - 2 b$	=	$8$
$- 3 b - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$- 3 b$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 4 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 4 + 8$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-2) und B(-2|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-5): -5 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 -1b +c |-1
-5 = 4 -2b +c |-4

-3 = -1b +c
-9 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 9$
$c - 2 b$	=	$- 9$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 9 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 9 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 9 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 9 + 2 b)$	=	$- 3$
$- b - 9 + 2 b$	=	$- 3$
$b - 9$	=	$- 3$	\| $+ 9$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 9 + 2 \cdot 6$

= $- 9 + 12$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 3$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 3$

= ${(x + 3)}^{2} - 6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 3$ = $9 - 18 + 3$ = -6

also: S(-3|-6).

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1. Weg

2. Weg