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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 4 y$ = $35$ .

Bestimme y so, dass (-7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$- (- 7) + 4 y$ = $35$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- (- 7) + 4 y$	=	$35$
$7 + 4 y$	=	$35$
$4 y + 7$	=	$35$	\| $- 7$
$4 y$	=	$28$	\|: $4$
$y$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (-7|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 5 y$ = $- 13$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-5)
denn -3⋅( - 4 ) +5⋅( - 5 ) = 12 -25 = $- 13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|-2)
denn -3⋅1 +5⋅( - 2 ) = -3 -10 = $- 13$

Oder : (-9|-8)
denn -3⋅( - 9 ) +5⋅( - 8 ) = 27 -40 = $- 13$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 11 & (I) \\ - x & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 11 & (I) \\ - x & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 11 & (I) \\ x & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot 2 + y$	=	$- 11$
$- 8 + y$	=	$- 11$
$y - 8$	=	$- 11$	\| $+ 8$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ 3 x & + y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ 3 x & + y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$7$
$y + 3 x$	=	$7$	\| $- 3 x$
$y$	=	$7 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ + y & = & (7 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $7 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 2 \cdot (7 - 3 x)$	=	$2$
$3 x + 14 - 6 x$	=	$2$
$- 3 x + 14$	=	$2$	\| $- 14$
$- 3 x$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $7 - 3 \cdot 4$

= $7 - 12$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & 16 & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & 16 & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 4 y$	=	$16$
$4 y + 2 x$	=	$16$	\| $- 2 x$
$4 y$	=	$16 - 2 x$	\|: $4$
$y$	=	$4 - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (4 - \frac{1}{2} x) & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4 - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 5 \cdot (4 - \frac{1}{2} x)$	=	$20$
$2 x + 20 - \frac{5}{2} x$	=	$20$
$- \frac{1}{2} x + 20$	=	$20$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x + 20)$	=	$40$
$- x + 40$	=	$40$	\| $- 40$
$- x$	=	0	\|:( $- 1$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4 - \frac{1}{2} \cdot (0)$

= $4 + 0$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (0|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + \frac{1}{5} y & = & \frac{11}{5} & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + \frac{1}{5} y & = & \frac{11}{5} & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + \frac{1}{5} y$	=	$\frac{11}{5}$	\|⋅ 5
$5 (x + \frac{1}{5} y)$	=	$11$
$5 x + y$	=	$11$	\| $- y$
$5 x$	=	$11 - y$	\|: $5$
$x$	=	$\frac{11}{5} - \frac{1}{5} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (\frac{11}{5} - \frac{1}{5} y) & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $\frac{11}{5} - \frac{1}{5} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (\frac{11}{5} - \frac{1}{5} y) - 3 y$	=	$- 15$
$\frac{33}{5} - \frac{3}{5} y - 3 y$	=	$- 15$
$- \frac{18}{5} y + \frac{33}{5}$	=	$- 15$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{18}{5} y + \frac{33}{5})$	=	$- 75$
$- 18 y + 33$	=	$- 75$	\| $- 33$
$- 18 y$	=	$- 108$	\|:( $- 18$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $\frac{11}{5} - \frac{1}{5} \cdot 6$

= $\frac{11}{5} - \frac{6}{5}$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +2y = ?

4x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

3x +2y = -15 +2 = -13

4x +6y = -20 +6 = -14

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +2y = -13

4x +6y = -14

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & - 15 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & - 15 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 4 y$	=	$- 15$	\| $- 4 y$
$- x$	=	$- 15 - 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$15 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (15 + 4 y) & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $15 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (15 + 4 y) - 3 y$	=	$14$
$- 30 - 8 y - 3 y$	=	$14$
$- 11 y - 30$	=	$14$	\| $+ 30$
$- 11 y$	=	$44$	\|:( $- 11$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $15 + 4 \cdot (- 4)$

= $15 - 16$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 9. Wenn man aber vom 5-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 3. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 9 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$9$	\| $- 2 y$
$x$	=	$9 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (9 - 2 y) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $9 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (9 - 2 y) - 4 y$	=	$3$
$45 - 10 y - 4 y$	=	$3$
$- 14 y + 45$	=	$3$	\| $- 45$
$- 14 y$	=	$- 42$	\|:( $- 14$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $9 - 2 \cdot 3$

= $9 - 6$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 3

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-5) und B(1|3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|3): 3 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 -1b +c |-1
3 = 1 +1b +c |-1

-6 = -1b +c
2 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ b & + c & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$2$
$c + b$	=	$2$	\| $- b$
$c$	=	$2 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (2 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $2 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (2 - b)$	=	$- 6$
$- b + 2 - b$	=	$- 6$
$- 2 b + 2$	=	$- 6$	\| $- 2$
$- 2 b$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $2 - 4$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-5) und B(2|-10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-10): -10 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
-10 = 4 +2b +c |-4

-6 = 1b +c
-14 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 14$
$c + 2 b$	=	$- 14$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 14 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 14 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 14 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 14 - 2 b)$	=	$- 6$
$b - 14 - 2 b$	=	$- 6$
$- b - 14$	=	$- 6$	\| $+ 14$
$- b$	=	$8$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 14 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 14 + 16$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 + 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 + 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 14$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-14).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 + 2$ = $16 - 32 + 2$ = -14

also: S(4|-14).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg