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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 5 y$ = $10$ .

Bestimme x so, dass (x|3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$5 x + 5 \cdot 3$ = $10$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5 x + 5 \cdot 3$	=	$10$
$5 x + 15$	=	$10$	\| $- 15$
$5 x$	=	$- 5$	\|: $5$
$x$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-1|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 5 y$ = $5$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|4)
denn -5⋅( - 5 ) -5⋅4 = 25 -20 = $5$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-10|9)
denn -5⋅( - 10 ) -5⋅9 = 50 -45 = $5$

Oder : (0|-1)
denn -5⋅0 -5⋅( - 1 ) = 0 +5 = $5$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 y & = & 8 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 y & = & 8 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 2 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 2 \cdot (- 2)$	=	$4$
$- 4 x - 4$	=	$4$	\| $+ 4$
$- 4 x$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 5 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 5 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$- 5$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$- 5 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 5 + 2 y) & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 5 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 5 + 2 y) + 4 y$	=	$5$
$15 - 6 y + 4 y$	=	$5$
$- 2 y + 15$	=	$5$	\| $- 15$
$- 2 y$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 5 + 2 \cdot 5$

= $- 5 + 10$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 0 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 0 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 4 y$	=	0
$- 4 y + 3 x$	=	0	\| $- 3 x$
$- 4 y$	=	$- 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$\frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & \frac{3}{4} x & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $\frac{3}{4} x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot \frac{3}{4} x$	=	$18$
$- 3 x - \frac{3}{2} x$	=	$18$
$- \frac{9}{2} x$	=	$18$	\|⋅ 2
$- 9 x$	=	$36$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{3}{4} \cdot (- 4)$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{3} x & - y & = & 4 & (I) \\ - \frac{3}{2} x & - \frac{3}{4} y & = & - \frac{9}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{3} x & - y & = & 4 & (I) \\ - \frac{3}{2} x & - \frac{3}{4} y & = & - \frac{9}{2} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{1}{3} x - y$	=	$4$
$- y - \frac{1}{3} x$	=	$4$	\|⋅ 3
$3 (- y - \frac{1}{3} x)$	=	$12$
$- 3 y - x$	=	$12$	\| $+ x$
$- 3 y$	=	$12 + x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 4 - \frac{1}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 4 - \frac{1}{3} x) & (I) \\ - \frac{3}{2} x & - \frac{3}{4} y & = & - \frac{9}{2} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 4 - \frac{1}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{3}{2} x - \frac{3}{4} \cdot (- 4 - \frac{1}{3} x)$	=	$- \frac{9}{2}$
$- \frac{3}{2} x + 3 + \frac{1}{4} x$	=	$- \frac{9}{2}$
$- \frac{5}{4} x + 3$	=	$- \frac{9}{2}$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{5}{4} x + 3)$	=	$- 18$
$- 5 x + 12$	=	$- 18$	\| $- 12$
$- 5 x$	=	$- 30$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 4 - \frac{1}{3} \cdot 6$

= $- 4 - 2$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -2y = ?

6x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

4x -2y = 8 +6 = 14

6x -1y = 12 +3 = 15

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -2y = 14

6x -1y = 15

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ 9 x & + 9 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ 9 x & + 9 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 3 y$	=	$- 3$
$- 3 y - 3 x$	=	$- 3$	\| $+ 3 x$
$- 3 y$	=	$- 3 + 3 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$1 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 - x) & (I) \\ 9 x & + 9 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9 x + 9 \cdot (1 - x)$	=	$9$
$9 x + 9 - 9 x$	=	$9$
$9$	=	$9$	\| $- 9$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 236 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 8 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 312 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 9 x & + 5 y & = & 236 & (I) \\ 8 x & + 7 y & = & 312 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9 x + 5 y$	=	$236$
$5 y + 9 x$	=	$236$	\| $- 9 x$
$5 y$	=	$236 - 9 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{236}{5} - \frac{9}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{236}{5} - \frac{9}{5} x) & (I) \\ 8 x & + 7 y & = & 312 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{236}{5} - \frac{9}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 7 \cdot (\frac{236}{5} - \frac{9}{5} x)$	=	$312$
$8 x + \frac{1652}{5} - \frac{63}{5} x$	=	$312$
$- \frac{23}{5} x + \frac{1652}{5}$	=	$312$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{23}{5} x + \frac{1652}{5})$	=	$1 560$
$- 23 x + 1 652$	=	$1 560$	\| $- 1 652$
$- 23 x$	=	$- 92$	\|:( $- 23$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{236}{5} - \frac{9}{5} \cdot 4$

= $\frac{236}{5} - \frac{36}{5}$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (4|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(-3|35) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|35): 35 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
35 = 9 -3b +c |-9

6 = -1b +c
26 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$26$
$c - 3 b$	=	$26$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$26 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (26 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $26 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (26 + 3 b)$	=	$6$
$- b + 26 + 3 b$	=	$6$
$2 b + 26$	=	$6$	\| $- 26$
$2 b$	=	$- 20$	\|: $2$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $26 + 3 \cdot (- 10)$

= $26 - 30$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-4)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|6) und B(2|19) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(2|19): 19 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
19 = 4 +2b +c |-4

5 = 1b +c
15 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$15$
$c + 2 b$	=	$15$	\| $- 2 b$
$c$	=	$15 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (15 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $15 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (15 - 2 b)$	=	$5$
$b + 15 - 2 b$	=	$5$
$- b + 15$	=	$5$	\| $- 15$
$- b$	=	$- 10$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $15 - 2 \cdot 10$

= $15 - 20$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 30$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-30).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 5$ = $25 - 50 - 5$ = -30

also: S(-5|-30).

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1. Weg

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