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Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Wert zum Einsetzen finden
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme x so, dass (x|-7) eine Lösung dieser Gleichung ist.
Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:
=
Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Die Lösung ist somit: (-7|-7)
Wert zum Einsetzen finden (offen)
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.
Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|1)
denn
3⋅
Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-2)
denn 3⋅
Oder : (2|4)
denn 3⋅
LGS (1 Var. schon aufgelöst)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x
durch
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= |
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= |
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= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für y.
Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x =
Die Lösung des LGS ist damit: (-3|6)
LGS (1 Var. ohne Koeff.)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
|
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= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch (
|
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= |
|
|
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|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 2
Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)
LGS (Standard)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch (
|
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= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = -5
Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)
LGS (vorher umformen)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
| | = | | (I) | ||
| | = | | (II) |
Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:
|
| = |
|
(I) | ||
|
| = |
|
(II) |
|
| = |
|
| +
| (I) | |
|
| = |
|
|
| (II) |
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
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= |
|
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|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch (
|
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= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = -4
Die Lösung des LGS ist damit: (0|-4)
LGS zu Lösungen finden
Beispiel:
Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.
Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:
1x
4x
Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:
1x
4x
So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:
1x
4x
LGS Lösungsvielfalt erkennen
Beispiel:
Bestimme die Lösungsmenge:
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
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= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch (
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 0
Die Lösung des LGS ist damit: (5|0)
LGS Anwendungen
Beispiel:
In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 3 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 144 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 295 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?
Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und
Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
|
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= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch (
|
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= |
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|
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= |
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= |
|
|⋅ 3 |
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= |
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= |
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|
|
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|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 40
Die Lösung des LGS ist damit: (3|40)
Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:
Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3
Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40
quadr. Funktionterm bestimmen
Beispiel:
Die Punkte A(-1|1) und B(1|5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.
Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.
Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:
A(-1|1): 1 =
B(1|5): 5 =
Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1
5 = 1
0 = -1b +c
4 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:
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= |
|
|
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|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c
durch (
|
|
= | ||
|
|
= | ||
|
|
= | |
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für b.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
c =
=
also
c = 2
Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)
Jetzt können wir b=
Scheitel aus 2 Punkten bestimmen
Beispiel:
Die Punkte A(1|-3) und B(3|-11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.
Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.
Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:
Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:
A(1|-3): -3 =
B(3|-11): -11 =
Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1
-11 = 9
-4 = 1b +c
-20 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:
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|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c
durch (
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für b.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
c =
=
=
also
c = 4
Die Lösung des LGS ist damit: (-8|4)
Jetzt können wir b=
Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:
1. Weg
Man erweitert die ersten beiden Summanden (
=
=
=
Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-12).
2. Weg
Wir betrachten nun nur
Von
|
|
= | ||
|
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
|
|
= | |
|
|
| x2 | = |
|
Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).
y =
also: S(4|-12).
