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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 4 y$ = $16$ .

Bestimme x so, dass (x|1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 x + 4 \cdot 1$ = $16$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 2 x + 4 \cdot 1$	=	$16$
$- 2 x + 4$	=	$16$	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (-6|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - y$ = $- 13$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|5)
denn -4⋅2 -1⋅5 = -8 -5 = $- 13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|9)
denn -4⋅1 -1⋅9 = -4 -9 = $- 13$

Oder : (3|1)
denn -4⋅3 -1⋅1 = -12 -1 = $- 13$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & = & 10 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 36 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & = & 10 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 36 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 5 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 36 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 5) + 4 y$	=	$- 36$
$- 20 + 4 y$	=	$- 36$
$4 y - 20$	=	$- 36$	\| $+ 20$
$4 y$	=	$- 16$	\|: $4$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 2 y$	=	$10$	\| $+ 2 y$
$- x$	=	$10 + 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 10 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ x & = & (- 10 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 10 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 10 - 2 y) - 2 y$	=	$6$
$- 10 - 2 y - 2 y$	=	$6$
$- 4 y - 10$	=	$6$	\| $+ 10$
$- 4 y$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 10 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 10 + 8$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 11 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 11 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 11$
$y + 4 x$	=	$- 11$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 11 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 11 - 4 x) & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 11 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 3 \cdot (- 11 - 4 x)$	=	$- 6$
$3 x - 33 - 12 x$	=	$- 6$
$- 9 x - 33$	=	$- 6$	\| $+ 33$
$- 9 x$	=	$27$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 11 - 4 \cdot (- 3)$

= $- 11 + 12$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{3}{2} x & - y & = & - 9 & (I) \\ - 2 x & + \frac{1}{2} y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{3}{2} x & - y & = & - 9 & (I) \\ - 2 x & + \frac{1}{2} y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{3}{2} x - y$	=	$- 9$
$- y - \frac{3}{2} x$	=	$- 9$	\|⋅ 2
$2 (- y - \frac{3}{2} x)$	=	$- 18$
$- 2 y - 3 x$	=	$- 18$	\| $+ 3 x$
$- 2 y$	=	$- 18 + 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$9 - \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (9 - \frac{3}{2} x) & (I) \\ - 2 x & + \frac{1}{2} y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $9 - \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + \frac{1}{2} \cdot (9 - \frac{3}{2} x)$	=	$- 1$
$- 2 x + \frac{9}{2} - \frac{3}{4} x$	=	$- 1$
$- \frac{11}{4} x + \frac{9}{2}$	=	$- 1$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{11}{4} x + \frac{9}{2})$	=	$- 4$
$- 11 x + 18$	=	$- 4$	\| $- 18$
$- 11 x$	=	$- 22$	\|:( $- 11$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $9 - \frac{3}{2} \cdot 2$

= $9 - 3$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +4y = ?

-1x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-3x +4y = -6 +16 = 10

-1x +2y = -2 +8 = 6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +4y = 10

-1x +2y = 6

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 3 & (I) \\ - 12 x & + 4 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 3 & (I) \\ - 12 x & + 4 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x - y$	=	$- 3$
$- y + 3 x$	=	$- 3$	\| $- 3 x$
$- y$	=	$- 3 - 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$3 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3 + 3 x) & (I) \\ - 12 x & + 4 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 12 x + 4 \cdot (3 + 3 x)$	=	$9$
$- 12 x + 12 + 12 x$	=	$9$
$12$	=	$9$	\| $- 12$
0	=	$- 3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 224 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 292 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 5 y & = & 224 & (I) \\ 3 x & + 7 y & = & 292 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 5 y$	=	$224$
$5 y + 6 x$	=	$224$	\| $- 6 x$
$5 y$	=	$224 - 6 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{224}{5} - \frac{6}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{224}{5} - \frac{6}{5} x) & (I) \\ 3 x & + 7 y & = & 292 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{224}{5} - \frac{6}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 7 \cdot (\frac{224}{5} - \frac{6}{5} x)$	=	$292$
$3 x + \frac{1568}{5} - \frac{42}{5} x$	=	$292$
$- \frac{27}{5} x + \frac{1568}{5}$	=	$292$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{27}{5} x + \frac{1568}{5})$	=	$1 460$
$- 27 x + 1 568$	=	$1 460$	\| $- 1 568$
$- 27 x$	=	$- 108$	\|:( $- 27$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{224}{5} - \frac{6}{5} \cdot 4$

= $\frac{224}{5} - \frac{24}{5}$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (4|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|10) und B(2|-17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|10): 10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-17): -17 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 -1b +c |-1
-17 = 4 +2b +c |-4

9 = -1b +c
-21 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 21$
$c + 2 b$	=	$- 21$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 21 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (- 21 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 21 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 21 - 2 b)$	=	$9$
$- b - 21 - 2 b$	=	$9$
$- 3 b - 21$	=	$9$	\| $+ 21$
$- 3 b$	=	$30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 21 - 2 \cdot (- 10)$

= $- 21 + 20$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-1)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-7) und B(2|14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-7): -7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|14): 14 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 -1b +c |-1
14 = 4 +2b +c |-4

-8 = -1b +c
10 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ 2 b & + c & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$10$
$c + 2 b$	=	$10$	\| $- 2 b$
$c$	=	$10 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ + c & = & (10 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $10 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (10 - 2 b)$	=	$- 8$
$- b + 10 - 2 b$	=	$- 8$
$- 3 b + 10$	=	$- 8$	\| $- 10$
$- 3 b$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $10 - 2 \cdot 6$

= $10 - 12$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 - 2$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 - 2$

= ${(x + 3)}^{2} - 11$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-11).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) - 2$ = $9 - 18 - 2$ = -11

also: S(-3|-11).

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1. Weg

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