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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 3 y$ = $- 25$ .

Bestimme x so, dass (x|0) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$5 x + 3 \cdot 0$ = $- 25$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5 x + 3 \cdot 0$	=	$- 25$
$5 x$	=	$- 25$	\|: $5$
$x$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (-5|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 2 y$ = $24$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|-6)
denn 2⋅6 -2⋅( - 6 ) = 12 +12 = $24$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-8)
denn 2⋅4 -2⋅( - 8 ) = 8 +16 = $24$

Oder : (8|-4)
denn 2⋅8 -2⋅( - 4 ) = 16 +8 = $24$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 3 y & = & 15 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 3 y & = & 15 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$15$	\|: $3$
$y$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 5 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 1 \cdot 5$	=	$- 1$
$- 2 x - 5$	=	$- 1$	\| $+ 5$
$- 2 x$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ - x & + y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ - x & + y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x + y$	=	$- 6$
$y - x$	=	$- 6$	\| $+ x$
$y$	=	$- 6 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ + y & = & (- 6 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 6 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 3 \cdot (- 6 + x)$	=	$12$
$x + 18 - 3 x$	=	$12$
$- 2 x + 18$	=	$12$	\| $- 18$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 6 + 3$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & 18 & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & 18 & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 5 y$	=	$18$
$5 y + 3 x$	=	$18$	\| $- 3 x$
$5 y$	=	$18 - 3 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{18}{5} - \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{18}{5} - \frac{3}{5} x) & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{18}{5} - \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 2 \cdot (\frac{18}{5} - \frac{3}{5} x)$	=	$- 8$
$5 x + \frac{36}{5} - \frac{6}{5} x$	=	$- 8$
$\frac{19}{5} x + \frac{36}{5}$	=	$- 8$	\|⋅ 5
$5 (\frac{19}{5} x + \frac{36}{5})$	=	$- 40$
$19 x + 36$	=	$- 40$	\| $- 36$
$19 x$	=	$- 76$	\|: $19$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{18}{5} - \frac{3}{5} \cdot (- 4)$

= $\frac{18}{5} + \frac{12}{5}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- x - 2$	=	$4 + y$			(I)
$x + 10 (3 + y)$	=	$5 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- x - 2$	=	$4 + y$			(I)
$x + 10 (3 + y)$	=	$5 y$			(II)

$- x - 2$	=	$4 + y$	\| + $2 - y$		(I)
$x + 30 + 10 y$	=	$5 y$	\| $- 30 - 5 y$		(II)

\begin{matrix} - x & - y & = & 6 & (I) \\ x & + 5 y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$- 30$	\| $- 5 y$
$x$	=	$- 30 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - y & = & 6 & (I) \\ x & = & (- 30 - 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 30 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 30 - 5 y) - y$	=	$6$
$30 + 5 y - y$	=	$6$
$4 y + 30$	=	$6$	\| $- 30$
$4 y$	=	$- 24$	\|: $4$
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 30 - 5 \cdot (- 6)$

= $- 30 + 30$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -4y = ?

-9x -10y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-5x -4y = 25 -20 = 5

-9x -10y = 45 -50 = -5

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -4y = 5

-9x -10y = -5

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 15 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 15 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 4 y$	=	$15$
$- 4 y + 3 x$	=	$15$	\| $- 3 x$
$- 4 y$	=	$15 - 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{15}{4} + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{15}{4} + \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{15}{4} + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 5 \cdot (- \frac{15}{4} + \frac{3}{4} x)$	=	$- 15$
$- 5 x - \frac{75}{4} + \frac{15}{4} x$	=	$- 15$
$- \frac{5}{4} x - \frac{75}{4}$	=	$- 15$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{5}{4} x - \frac{75}{4})$	=	$- 60$
$- 5 x - 75$	=	$- 60$	\| $+ 75$
$- 5 x$	=	$15$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{15}{4} + \frac{3}{4} \cdot (- 3)$

= $- \frac{15}{4} - \frac{9}{4}$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 2 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 92 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 2 LED-Leuchtmittel und 8 Halogenleuchten zusammen 324 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 2 y & = & 92 & (I) \\ 2 x & + 8 y & = & 324 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 2 y$	=	$92$
$2 y + 6 x$	=	$92$	\| $- 6 x$
$2 y$	=	$92 - 6 x$	\|: $2$
$y$	=	$46 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (46 - 3 x) & (I) \\ 2 x & + 8 y & = & 324 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $46 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 8 \cdot (46 - 3 x)$	=	$324$
$2 x + 368 - 24 x$	=	$324$
$- 22 x + 368$	=	$324$	\| $- 368$
$- 22 x$	=	$- 44$	\|:( $- 22$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $46 - 3 \cdot 2$

= $46 - 6$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (2|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|9) und B(-2|18) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|18): 18 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 -1b +c |-1
18 = 4 -2b +c |-4

8 = -1b +c
14 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$14$
$c - 2 b$	=	$14$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$14 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (14 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $14 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (14 + 2 b)$	=	$8$
$- b + 14 + 2 b$	=	$8$
$b + 14$	=	$8$	\| $- 14$
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $14 + 2 \cdot (- 6)$

= $14 - 12$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|5) und B(1|1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|5): 5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|1): 1 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 -1b +c |-1
1 = 1 +1b +c |-1

4 = -1b +c
0 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ b & + c & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	0
$c + b$	=	0	\| $- b$
$c$	=	$- b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & - b & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch $- b$ ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- b)$	=	$4$
$- b - b$	=	$4$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- (- 2)$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 2$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 2$

= ${(x - 1)}^{2} + 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 2$ = $1 - 2 + 2$ = 1

also: S(1|1).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg