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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 5 y$ = $- 40$ .

Bestimme y so, dass (5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 \cdot 5 + 5 y$ = $- 40$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 4 \cdot 5 + 5 y$	=	$- 40$
$- 20 + 5 y$	=	$- 40$
$5 y - 20$	=	$- 40$	\| $+ 20$
$5 y$	=	$- 20$	\|: $5$
$y$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (5|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - y$ = $- 7$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-3)
denn 5⋅( - 2 ) -1⋅( - 3 ) = -10 +3 = $- 7$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-8)
denn 5⋅( - 3 ) -1⋅( - 8 ) = -15 +8 = $- 7$

Oder : (-1|2)
denn 5⋅( - 1 ) -1⋅2 = -5 -2 = $- 7$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 4 y & = & 24 & (I) \\ - x & - 4 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 4 y & = & 24 & (I) \\ - x & - 4 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4 y$	=	$24$	\|: $4$
$y$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 6 & (I) \\ - x & - 4 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x - 4 \cdot 6$	=	$- 21$
$- x - 24$	=	$- 21$	\| $+ 24$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & - 8 & (I) \\ x & + 3 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & - 8 & (I) \\ x & + 3 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$8$	\| $- 3 y$
$x$	=	$8 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & - 8 & (I) \\ x & = & (8 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $8 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (8 - 3 y) - 4 y$	=	$- 8$
$- 16 + 6 y - 4 y$	=	$- 8$
$2 y - 16$	=	$- 8$	\| $+ 16$
$2 y$	=	$8$	\|: $2$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $8 - 3 \cdot 4$

= $8 - 12$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 6 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 6 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 4 y$	=	$6$
$- 4 y - 5 x$	=	$6$	\| $+ 5 x$
$- 4 y$	=	$6 + 5 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{3}{2} - \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{3}{2} - \frac{5}{4} x) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{3}{2} - \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot (- \frac{3}{2} - \frac{5}{4} x)$	=	$- 11$
$4 x + \frac{9}{2} + \frac{15}{4} x$	=	$- 11$
$\frac{31}{4} x + \frac{9}{2}$	=	$- 11$	\|⋅ 4
$4 (\frac{31}{4} x + \frac{9}{2})$	=	$- 44$
$31 x + 18$	=	$- 44$	\| $- 18$
$31 x$	=	$- 62$	\|: $31$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{3}{2} - \frac{5}{4} \cdot (- 2)$

= $- \frac{3}{2} + \frac{5}{2}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - \frac{2}{3} y & = & - \frac{46}{3} & (I) \\ - \frac{1}{5} x & + \frac{1}{4} y & = & \frac{49}{20} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - \frac{2}{3} y & = & - \frac{46}{3} & (I) \\ - \frac{1}{5} x & + \frac{1}{4} y & = & \frac{49}{20} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - \frac{2}{3} y$	=	$- \frac{46}{3}$
$- \frac{2}{3} y + 2 x$	=	$- \frac{46}{3}$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} y + 2 x)$	=	$- 46$
$- 2 y + 6 x$	=	$- 46$	\| $- 6 x$
$- 2 y$	=	$- 46 - 6 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$23 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (23 + 3 x) & (I) \\ - \frac{1}{5} x & + \frac{1}{4} y & = & \frac{49}{20} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $23 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{5} x + \frac{1}{4} \cdot (23 + 3 x)$	=	$\frac{49}{20}$
$- \frac{1}{5} x + \frac{23}{4} + \frac{3}{4} x$	=	$\frac{49}{20}$
$\frac{11}{20} x + \frac{23}{4}$	=	$\frac{49}{20}$	\|⋅ 20
$20 (\frac{11}{20} x + \frac{23}{4})$	=	$49$
$11 x + 115$	=	$49$	\| $- 115$
$11 x$	=	$- 66$	\|: $11$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $23 + 3 \cdot (- 6)$

= $23 - 18$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +1y = ?

1x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

3x +1y = 6 +2 = 8

1x -3y = 2 -6 = -4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +1y = 8

1x -3y = -4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 12 & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 12 & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 4 y$	=	$12$
$4 y - 2 x$	=	$12$	\| $+ 2 x$
$4 y$	=	$12 + 2 x$	\|: $4$
$y$	=	$3 + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3 + \frac{1}{2} x) & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3 + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 4 \cdot (3 + \frac{1}{2} x)$	=	$- 16$
$5 x + 12 + 2 x$	=	$- 16$
$7 x + 12$	=	$- 16$	\| $- 12$
$7 x$	=	$- 28$	\|: $7$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3 + \frac{1}{2} \cdot (- 4)$

= $3 - 2$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 3 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 318 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 2 Halogenleuchten zusammen 75 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 9 y & = & 318 & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & 75 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 9 y$	=	$318$
$9 y + 3 x$	=	$318$	\| $- 3 x$
$9 y$	=	$318 - 3 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{106}{3} - \frac{1}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{106}{3} - \frac{1}{3} x) & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & 75 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{106}{3} - \frac{1}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 2 \cdot (\frac{106}{3} - \frac{1}{3} x)$	=	$75$
$5 x + \frac{212}{3} - \frac{2}{3} x$	=	$75$
$\frac{13}{3} x + \frac{212}{3}$	=	$75$	\|⋅ 3
$3 (\frac{13}{3} x + \frac{212}{3})$	=	$225$
$13 x + 212$	=	$225$	\| $- 212$
$13 x$	=	$13$	\|: $13$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{106}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1$

= $\frac{106}{3} - \frac{1}{3}$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (1|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|14) und B(-4|59) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|14): 14 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|59): 59 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
14 = 1 -1b +c |-1
59 = 16 -4b +c |-16

13 = -1b +c
43 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 13 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 43 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$43$
$c - 4 b$	=	$43$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$43 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 13 & (I) \\ + c & = & (43 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $43 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (43 + 4 b)$	=	$13$
$- b + 43 + 4 b$	=	$13$
$3 b + 43$	=	$13$	\| $- 43$
$3 b$	=	$- 30$	\|: $3$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $43 + 4 \cdot (- 10)$

= $43 - 40$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|0) und B(-3|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|4): 4 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
4 = 9 -3b +c |-9

-1 = -1b +c
-5 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 5$
$c - 3 b$	=	$- 5$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 5 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (- 5 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 5 + 3 b)$	=	$- 1$
$- b - 5 + 3 b$	=	$- 1$
$2 b - 5$	=	$- 1$	\| $+ 5$
$2 b$	=	$4$	\|: $2$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 + 3 \cdot 2$

= $- 5 + 6$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 + 1$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 + 1$

= ${(x + 1)}^{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 1$ = $1 - 2 + 1$ = 0

also: S(-1|0).

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1. Weg

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