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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 3 y$ = $13$ .

Bestimme x so, dass (x|5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x + 3 \cdot 5$ = $13$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot 5$	=	$13$
$2 x + 15$	=	$13$	\| $- 15$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-1|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - y$ = $14$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|6)
denn -4⋅( - 5 ) -1⋅6 = 20 -6 = $14$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|10)
denn -4⋅( - 6 ) -1⋅10 = 24 -10 = $14$

Oder : (-4|2)
denn -4⋅( - 4 ) -1⋅2 = 16 -2 = $14$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & 2 & (I) \\ + 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & 2 & (I) \\ + 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$12$	\|: $2$
$y$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & 2 & (I) \\ + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 3 \cdot 6$	=	$2$
$4 x + 18$	=	$2$	\| $- 18$
$4 x$	=	$- 16$	\|: $4$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & - 20 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & - 20 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$- 10$
$y - 2 x$	=	$- 10$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$- 10 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & - 20 & (I) \\ + y & = & (- 10 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 10 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 1 \cdot (- 10 + 2 x)$	=	$- 20$
$- 3 x + 10 - 2 x$	=	$- 20$
$- 5 x + 10$	=	$- 20$	\| $- 10$
$- 5 x$	=	$- 30$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 10 + 2 \cdot 6$

= $- 10 + 12$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + y & = & 29 & (I) \\ x & - 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + y & = & 29 & (I) \\ x & - 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$9$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$9 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 5 x & + y & = & 29 & (I) \\ x & = & (9 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $9 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (9 + 3 y) + y$	=	$29$
$45 + 15 y + y$	=	$29$
$16 y + 45$	=	$29$	\| $- 45$
$16 y$	=	$- 16$	\|: $16$
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $9 + 3 \cdot (- 1)$

= $9 - 3$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3 (x + 4) - 3 y$	=	0			(I)
$3 x$	=	$2 (x + 1) + 4 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3 (x + 4) - 3 y$	=	0			(I)
$3 x$	=	$2 (x + 1) + 4 y$			(II)

$3 x + 12 - 3 y$	=	0	\| $- 12$		(I)
$3 x$	=	$2 x + 2 + 4 y$	\| $- 2 x - 4 y$		(II)

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & - 12 & (I) \\ x & - 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$2$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$2 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & - 12 & (I) \\ x & = & (2 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $2 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (2 + 4 y) - 3 y$	=	$- 12$
$6 + 12 y - 3 y$	=	$- 12$
$9 y + 6$	=	$- 12$	\| $- 6$
$9 y$	=	$- 18$	\|: $9$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $2 + 4 \cdot (- 2)$

= $2 - 8$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +2y = ?

-2x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

2x +2y = 8 +2 = 10

-2x -1y = -8 -1 = -9

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +2y = 10

-2x -1y = -9

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & + 6 y & = & - 3 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 6 y & = & - 3 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 6 y$	=	$- 3$
$6 y - 4 x$	=	$- 3$	\| $+ 4 x$
$6 y$	=	$- 3 + 4 x$	\|: $6$
$y$	=	$- \frac{1}{2} + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{2} + \frac{2}{3} x) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{2} + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (- \frac{1}{2} + \frac{2}{3} x)$	=	$1$
$2 x + \frac{3}{2} - 2 x$	=	$1$
$\frac{3}{2}$	=	$1$	\| $- \frac{3}{2}$
0	=	$- \frac{1}{2}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 810 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 270 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & - 2 y & = & 810 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 270 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x - 2 y$	=	$810$
$- 2 y + 6 x$	=	$810$	\| $- 6 x$
$- 2 y$	=	$810 - 6 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 405 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 405 + 3 x) & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 270 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 405 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 4 \cdot (- 405 + 3 x)$	=	$270$
$3 x + 1 620 - 12 x$	=	$270$
$- 9 x + 1 620$	=	$270$	\| $- 1 620$
$- 9 x$	=	$- 1 350$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 405 + 3 \cdot 150$

= $- 405 + 450$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (150|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-10) und B(1|2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-10): -10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 -1b +c |-1
2 = 1 +1b +c |-1

-11 = -1b +c
1 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ b & + c & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$1$
$c + b$	=	$1$	\| $- b$
$c$	=	$1 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (1 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $1 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (1 - b)$	=	$- 11$
$- b + 1 - b$	=	$- 11$
$- 2 b + 1$	=	$- 11$	\| $- 1$
$- 2 b$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $1 - 6$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-5)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|8) und B(-2|-1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-1): -1 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
-1 = 4 -2b +c |-4

7 = 1b +c
-5 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 5$
$c - 2 b$	=	$- 5$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 5 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (- 5 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 5 + 2 b)$	=	$7$
$b - 5 + 2 b$	=	$7$
$3 b - 5$	=	$7$	\| $+ 5$
$3 b$	=	$12$	\|: $3$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 + 2 \cdot 4$

= $- 5 + 8$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 + 3$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 + 3$

= ${(x + 2)}^{2} - 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 3$ = $4 - 8 + 3$ = -1

also: S(-2|-1).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg