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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 4 y$ = $11$ .

Bestimme x so, dass (x|6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 x - 4 \cdot 6$ = $11$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 5 x - 4 \cdot 6$	=	$11$
$- 5 x - 24$	=	$11$	\| $+ 24$
$- 5 x$	=	$35$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (-7|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 4 y$ = $14$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|2)
denn -3⋅( - 2 ) +4⋅2 = 6 +8 = $14$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|5)
denn -3⋅2 +4⋅5 = -6 +20 = $14$

Oder : (-6|-1)
denn -3⋅( - 6 ) +4⋅( - 1 ) = 18 -4 = $14$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 6 & (I) \\ + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $- 1$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (- 1)$	=	$6$
$3 x + 3$	=	$6$	\| $- 3$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 14 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 14 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$- 6$	\| $- 3 y$
$x$	=	$- 6 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 14 & (I) \\ x & = & (- 6 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 6 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 6 - 3 y) - 2 y$	=	$14$
$- 6 - 3 y - 2 y$	=	$14$
$- 5 y - 6$	=	$14$	\| $+ 6$
$- 5 y$	=	$20$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 6 - 3 \cdot (- 4)$

= $- 6 + 12$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & + y & = & 6 & (I) \\ 3 x & + 5 y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & + y & = & 6 & (I) \\ 3 x & + 5 y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x + y$	=	$6$
$y - 5 x$	=	$6$	\| $+ 5 x$
$y$	=	$6 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (6 + 5 x) & (I) \\ 3 x & + 5 y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $6 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 5 \cdot (6 + 5 x)$	=	$- 26$
$3 x + 30 + 25 x$	=	$- 26$
$28 x + 30$	=	$- 26$	\| $- 30$
$28 x$	=	$- 56$	\|: $28$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $6 + 5 \cdot (- 2)$

= $6 - 10$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{5} x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{1}{5} & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{5} x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{1}{5} & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{5} x - \frac{1}{4} y$	=	$\frac{1}{5}$
$- \frac{1}{4} y + \frac{1}{5} x$	=	$\frac{1}{5}$	\|⋅ 20
$20 (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{5} x)$	=	$4$
$- 5 y + 4 x$	=	$4$	\| $- 4 x$
$- 5 y$	=	$4 - 4 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- \frac{4}{5} + \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{4}{5} + \frac{4}{5} x) & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{4}{5} + \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (- \frac{4}{5} + \frac{4}{5} x)$	=	0
$3 x + \frac{12}{5} - \frac{12}{5} x$	=	0
$\frac{3}{5} x + \frac{12}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (\frac{3}{5} x + \frac{12}{5})$	=	0
$3 x + 12$	=	0	\| $- 12$
$3 x$	=	$- 12$	\|: $3$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{4}{5} + \frac{4}{5} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{5} - \frac{16}{5}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -5y = ?

2x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-2x -5y = -2 +20 = 18

2x +3y = 2 -12 = -10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -5y = 18

2x +3y = -10

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$6$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$6 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (6 + 2 y) & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $6 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (6 + 2 y) - 5 y$	=	$15$
$12 + 4 y - 5 y$	=	$15$
$- y + 12$	=	$15$	\| $- 12$
$- y$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $6 + 2 \cdot (- 3)$

= $6 - 6$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 12. Wenn man aber vom 3-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -2. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 12 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$12$	\| $- 5 y$
$x$	=	$12 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (12 - 5 y) & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $12 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (12 - 5 y) - 4 y$	=	$- 2$
$36 - 15 y - 4 y$	=	$- 2$
$- 19 y + 36$	=	$- 2$	\| $- 36$
$- 19 y$	=	$- 38$	\|:( $- 19$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $12 - 5 \cdot 2$

= $12 - 10$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-6) und B(-1|-2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
-2 = 1 -1b +c |-1

-7 = 1b +c
-3 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ - b & + c & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 3$
$c - b$	=	$- 3$	\| $+ b$
$c$	=	$- 3 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 3 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 3 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 3 + b)$	=	$- 7$
$b - 3 + b$	=	$- 7$
$2 b - 3$	=	$- 7$	\| $+ 3$
$2 b$	=	$- 4$	\|: $2$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 3 - 2$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|2) und B(-4|11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|11): 11 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
11 = 16 -4b +c |-16

1 = -1b +c
-5 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 5$
$c - 4 b$	=	$- 5$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 5 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (- 5 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 5 + 4 b)$	=	$1$
$- b - 5 + 4 b$	=	$1$
$3 b - 5$	=	$1$	\| $+ 5$
$3 b$	=	$6$	\|: $3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 + 4 \cdot 2$

= $- 5 + 8$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 + 3$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 + 3$

= ${(x + 1)}^{2} + 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 3$ = $1 - 2 + 3$ = 2

also: S(-1|2).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg