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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 3 y$ = $14$ .

Bestimme x so, dass (x|0) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 x + 3 \cdot 0$ = $14$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 2 x + 3 \cdot 0$	=	$14$
$- 2 x$	=	$14$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (-7|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 5 y$ = $34$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|2)
denn 4⋅6 +5⋅2 = 24 +10 = $34$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (11|-2)
denn 4⋅11 +5⋅( - 2 ) = 44 -10 = $34$

Oder : (1|6)
denn 4⋅1 +5⋅6 = 4 +30 = $34$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ - 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ - 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$- 16$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ + y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 2 \cdot 4$	=	$2$
$- x + 8$	=	$2$	\| $- 8$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 12 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 12 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$7$
$y - 2 x$	=	$7$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$7 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 12 & (I) \\ + y & = & (7 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $7 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 1 \cdot (7 + 2 x)$	=	$- 12$
$3 x - 7 - 2 x$	=	$- 12$
$x - 7$	=	$- 12$	\| $+ 7$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $7 + 2 \cdot (- 5)$

= $7 - 10$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 28 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 28 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 3 y$	=	$- 28$
$- 3 y - 2 x$	=	$- 28$	\| $+ 2 x$
$- 3 y$	=	$- 28 + 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$\frac{28}{3} - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{28}{3} - \frac{2}{3} x) & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{28}{3} - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 4 \cdot (\frac{28}{3} - \frac{2}{3} x)$	=	$- 14$
$2 x - \frac{112}{3} + \frac{8}{3} x$	=	$- 14$
$\frac{14}{3} x - \frac{112}{3}$	=	$- 14$	\|⋅ 3
$3 (\frac{14}{3} x - \frac{112}{3})$	=	$- 42$
$14 x - 112$	=	$- 42$	\| $+ 112$
$14 x$	=	$70$	\|: $14$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{28}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5$

= $\frac{28}{3} - \frac{10}{3}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (5|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2 (- 3 x + 1) + y$	=	$- 3 x + 2 - y$			(I)
$- 17$	=	$2 (x + 1) + 5 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2 (- 3 x + 1) + y$	=	$- 3 x + 2 - y$			(I)
$- 17$	=	$2 (x + 1) + 5 y$			(II)

$- 6 x + 2 + y$	=	$- 3 x + 2 - y$	\| $- 2 + 3 x + y$		(I)
$- 17$	=	$2 x + 2 + 5 y$	\| + $17 - 2 x - 5 y$		(II)

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 0 & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 2 y$	=	0
$2 y - 3 x$	=	0	\| $+ 3 x$
$2 y$	=	$3 x$	\|: $2$
$y$	=	$\frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & \frac{3}{2} x & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $\frac{3}{2} x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 5 \cdot \frac{3}{2} x$	=	$19$
$- 2 x - \frac{15}{2} x$	=	$19$
$- \frac{19}{2} x$	=	$19$	\|⋅ 2
$- 19 x$	=	$38$	\|:( $- 19$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{3}{2} \cdot (- 2)$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -4y = ?

1x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

2x -4y = 4 -8 = -4

1x -4y = 2 -8 = -6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -4y = -4

1x -4y = -6

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 16 & (I) \\ x & + 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 16 & (I) \\ x & + 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$4$	\| $- 4 y$
$x$	=	$4 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 16 & (I) \\ x & = & (4 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $4 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (4 - 4 y) + 2 y$	=	$- 16$
$- 16 + 16 y + 2 y$	=	$- 16$
$18 y - 16$	=	$- 16$	\| $+ 16$
$18 y$	=	0	\|: $18$
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $4 - 4 \cdot 0$

= $4 + 0$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|0)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 8. Wenn man aber vom 6-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 20. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 8 & (I) \\ 6 x & - 2 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$8$	\| $- 2 y$
$x$	=	$8 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (8 - 2 y) & (I) \\ 6 x & - 2 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $8 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (8 - 2 y) - 2 y$	=	$20$
$48 - 12 y - 2 y$	=	$20$
$- 14 y + 48$	=	$20$	\| $- 48$
$- 14 y$	=	$- 28$	\|:( $- 14$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $8 - 2 \cdot 2$

= $8 - 4$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 2

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

LGS (vorher umformen)

LGS zu Lösungen finden

LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen