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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 3 y$ = $14$ .

Bestimme y so, dass (-7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$(- 7) + 3 y$ = $14$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$(- 7) + 3 y$	=	$14$
$- 7 + 3 y$	=	$14$
$3 y - 7$	=	$14$	\| $+ 7$
$3 y$	=	$21$	\|: $3$
$y$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (-7|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 4 y$ = $- 13$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|-2)
denn 3⋅( - 7 ) -4⋅( - 2 ) = -21 +8 = $- 13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-11|-5)
denn 3⋅( - 11 ) -4⋅( - 5 ) = -33 +20 = $- 13$

Oder : (-3|1)
denn 3⋅( - 3 ) -4⋅1 = -9 -4 = $- 13$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 3 y & = & 12 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 3 y & = & 12 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$12$	\|: $3$
$y$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 4 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 4 \cdot 4$	=	$4$
$- 2 x + 16$	=	$4$	\| $- 16$
$- 2 x$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 18 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 18 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$18$
$y - 3 x$	=	$18$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$18 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (18 + 3 x) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $18 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (18 + 3 x)$	=	$4$
$2 x + 36 + 6 x$	=	$4$
$8 x + 36$	=	$4$	\| $- 36$
$8 x$	=	$- 32$	\|: $8$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $18 + 3 \cdot (- 4)$

= $18 - 12$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & 6 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 28 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & 6 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 28 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 4 y$	=	$6$
$4 y + 2 x$	=	$6$	\| $- 2 x$
$4 y$	=	$6 - 2 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{3}{2} - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{3}{2} - \frac{1}{2} x) & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 28 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 3 \cdot (\frac{3}{2} - \frac{1}{2} x)$	=	$28$
$5 x - \frac{9}{2} + \frac{3}{2} x$	=	$28$
$\frac{13}{2} x - \frac{9}{2}$	=	$28$	\|⋅ 2
$2 (\frac{13}{2} x - \frac{9}{2})$	=	$56$
$13 x - 9$	=	$56$	\| $+ 9$
$13 x$	=	$65$	\|: $13$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5$

= $\frac{3}{2} - \frac{5}{2}$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - \frac{1}{4} y & = & - \frac{21}{4} & (I) \\ - \frac{1}{3} x & + \frac{1}{3} y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - \frac{1}{4} y & = & - \frac{21}{4} & (I) \\ - \frac{1}{3} x & + \frac{1}{3} y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - \frac{1}{4} y$	=	$- \frac{21}{4}$	\|⋅ 4
$4 (x - \frac{1}{4} y)$	=	$- 21$
$4 x - y$	=	$- 21$	\| $+ y$
$4 x$	=	$- 21 + y$	\|: $4$
$x$	=	$- \frac{21}{4} + \frac{1}{4} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- \frac{21}{4} + \frac{1}{4} y) & (I) \\ - \frac{1}{3} x & + \frac{1}{3} y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- \frac{21}{4} + \frac{1}{4} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- \frac{1}{3} \cdot (- \frac{21}{4} + \frac{1}{4} y) + \frac{1}{3} y$	=	$3$
$\frac{7}{4} - \frac{1}{12} y + \frac{1}{3} y$	=	$3$
$\frac{1}{4} y + \frac{7}{4}$	=	$3$	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} y + \frac{7}{4})$	=	$12$
$y + 7$	=	$12$	\| $- 7$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- \frac{21}{4} + \frac{1}{4} \cdot 5$

= $- \frac{21}{4} + \frac{5}{4}$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +1y = ?

4x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

2x +1y = 6 +5 = 11

4x +5y = 12 +25 = 37

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +1y = 11

4x +5y = 37

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & 6 & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & - 42 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & 6 & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & - 42 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 3 y$	=	$6$
$3 y - 4 x$	=	$6$	\| $+ 4 x$
$3 y$	=	$6 + 4 x$	\|: $3$
$y$	=	$2 + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (2 + \frac{4}{3} x) & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & - 42 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2 + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 2 \cdot (2 + \frac{4}{3} x)$	=	$- 42$
$5 x + 4 + \frac{8}{3} x$	=	$- 42$
$\frac{23}{3} x + 4$	=	$- 42$	\|⋅ 3
$3 (\frac{23}{3} x + 4)$	=	$- 126$
$23 x + 12$	=	$- 126$	\| $- 12$
$23 x$	=	$- 138$	\|: $23$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2 + \frac{4}{3} \cdot (- 6)$

= $2 - 8$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 284 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 188 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 9 y & = & 284 & (I) \\ 4 x & + 6 y & = & 188 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 9 y$	=	$284$
$9 y + 7 x$	=	$284$	\| $- 7 x$
$9 y$	=	$284 - 7 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{284}{9} - \frac{7}{9} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{284}{9} - \frac{7}{9} x) & (I) \\ 4 x & + 6 y & = & 188 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{284}{9} - \frac{7}{9} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 6 \cdot (\frac{284}{9} - \frac{7}{9} x)$	=	$188$
$4 x + \frac{568}{3} - \frac{14}{3} x$	=	$188$
$- \frac{2}{3} x + \frac{568}{3}$	=	$188$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} x + \frac{568}{3})$	=	$564$
$- 2 x + 568$	=	$564$	\| $- 568$
$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{284}{9} - \frac{7}{9} \cdot 2$

= $\frac{284}{9} - \frac{14}{9}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (2|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-10) und B(2|17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-10): -10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|17): 17 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 -1b +c |-1
17 = 4 +2b +c |-4

-11 = -1b +c
13 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ 2 b & + c & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$13$
$c + 2 b$	=	$13$	\| $- 2 b$
$c$	=	$13 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (13 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (13 - 2 b)$	=	$- 11$
$- b + 13 - 2 b$	=	$- 11$
$- 3 b + 13$	=	$- 11$	\| $- 13$
$- 3 b$	=	$- 24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13 - 2 \cdot 8$

= $13 - 16$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-3)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-12) und B(-2|21) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-12): -12 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|21): 21 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 +1b +c |-1
21 = 4 -2b +c |-4

-13 = 1b +c
17 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$17$
$c - 2 b$	=	$17$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$17 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ + c & = & (17 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $17 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (17 + 2 b)$	=	$- 13$
$b + 17 + 2 b$	=	$- 13$
$3 b + 17$	=	$- 13$	\| $- 17$
$3 b$	=	$- 30$	\|: $3$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $17 + 2 \cdot (- 10)$

= $17 - 20$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 - 3$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 - 3$

= ${(x - 5)}^{2} - 28$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-28).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 - 3$ = $25 - 50 - 3$ = -28

also: S(5|-28).

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