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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 4 y$ = $- 23$ .

Bestimme y so, dass (5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$5 + 4 y$ = $- 23$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5 + 4 y$	=	$- 23$
$5 + 4 y$	=	$- 23$
$4 y + 5$	=	$- 23$	\| $- 5$
$4 y$	=	$- 28$	\|: $4$
$y$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (5|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + y$ = $- 12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|0)
denn 3⋅( - 4 ) +1⋅0 = -12 +0 = $- 12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-3)
denn 3⋅( - 3 ) +1⋅( - 3 ) = -9 -3 = $- 12$

Oder : (-5|3)
denn 3⋅( - 5 ) +1⋅3 = -15 +3 = $- 12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 4 & (I) \\ + 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 4 & (I) \\ + 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$3$	\|: $3$
$y$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 4 & (I) \\ + y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot 1$	=	$- 4$
$4 x + 4$	=	$- 4$	\| $- 4$
$4 x$	=	$- 8$	\|: $4$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 9 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 9 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$- 9$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$- 9 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 9 + 2 y) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 9 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 9 + 2 y) - 2 y$	=	0
$- 36 + 8 y - 2 y$	=	0
$6 y - 36$	=	0	\| $+ 36$
$6 y$	=	$36$	\|: $6$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 9 + 2 \cdot 6$

= $- 9 + 12$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 5 y & = & - 2 & (I) \\ x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 5 y & = & - 2 & (I) \\ x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$2$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$2 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 5 y & = & - 2 & (I) \\ x & = & (2 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $2 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (2 + 2 y) + 5 y$	=	$- 2$
$- 6 - 6 y + 5 y$	=	$- 2$
$- y - 6$	=	$- 2$	\| $+ 6$
$- y$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $2 + 2 \cdot (- 4)$

= $2 - 8$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 7 - y$	=	$3 x + 2$			(I)
$4 x - 5 y$	=	$- 31$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 7 - y$	=	$3 x + 2$	\| + $7 - 3 x$		(I)
$4 x - 5 y$	=	$- 31$			(II)

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 9 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & - 31 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x - y$	=	$9$
$- y - 3 x$	=	$9$	\| $+ 3 x$
$- y$	=	$9 + 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 9 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 9 - 3 x) & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & - 31 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 9 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 5 \cdot (- 9 - 3 x)$	=	$- 31$
$4 x + 45 + 15 x$	=	$- 31$
$19 x + 45$	=	$- 31$	\| $- 45$
$19 x$	=	$- 76$	\|: $19$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 9 - 3 \cdot (- 4)$

= $- 9 + 12$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -5y = ?

-1x +7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

1x -5y = 4 -10 = -6

-1x +7y = -4 +14 = 10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -5y = -6

-1x +7y = 10

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 6 x & + 3 y & = & 9 & (I) \\ 2 x & - y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 6 x & + 3 y & = & 9 & (I) \\ 2 x & - y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x - y$	=	$- 2$
$- y + 2 x$	=	$- 2$	\| $- 2 x$
$- y$	=	$- 2 - 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$2 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 6 x & + 3 y & = & 9 & (I) \\ + y & = & (2 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 6 x + 3 \cdot (2 + 2 x)$	=	$9$
$- 6 x + 6 + 6 x$	=	$9$
$6$	=	$9$	\| $- 6$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 750 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 840 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 5 y & = & 750 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 840 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 5 y$	=	$750$
$- 5 y + 3 x$	=	$750$	\| $- 3 x$
$- 5 y$	=	$750 - 3 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 150 + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 150 + \frac{3}{5} x) & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 840 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 150 + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 2 \cdot (- 150 + \frac{3}{5} x)$	=	$840$
$3 x + 300 - \frac{6}{5} x$	=	$840$
$\frac{9}{5} x + 300$	=	$840$	\|⋅ 5
$5 (\frac{9}{5} x + 300)$	=	$4 200$
$9 x + 1 500$	=	$4 200$	\| $- 1 500$
$9 x$	=	$2 700$	\|: $9$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 150 + \frac{3}{5} \cdot 300$

= $- 150 + 180$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|5) und B(-4|26) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|5): 5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|26): 26 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 -1b +c |-1
26 = 16 -4b +c |-16

4 = -1b +c
10 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$10$
$c - 4 b$	=	$10$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$10 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (10 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $10 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (10 + 4 b)$	=	$4$
$- b + 10 + 4 b$	=	$4$
$3 b + 10$	=	$4$	\| $- 10$
$3 b$	=	$- 6$	\|: $3$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $10 + 4 \cdot (- 2)$

= $10 - 8$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-10) und B(-1|2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-10): -10 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 +1b +c |-1
2 = 1 -1b +c |-1

-11 = 1b +c
1 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ - b & + c & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$1$
$c - b$	=	$1$	\| $+ b$
$c$	=	$1 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (1 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $1 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (1 + b)$	=	$- 11$
$b + 1 + b$	=	$- 11$
$2 b + 1$	=	$- 11$	\| $- 1$
$2 b$	=	$- 12$	\|: $2$
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $1 - 6$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 - 5$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 - 5$

= ${(x - 3)}^{2} - 14$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-14).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 - 5$ = $9 - 18 - 5$ = -14

also: S(3|-14).

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Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg