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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 2 y$ = $- 1$ .

Bestimme y so, dass (-1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$5 \cdot (- 1) + 2 y$ = $- 1$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5 \cdot (- 1) + 2 y$	=	$- 1$
$- 5 + 2 y$	=	$- 1$
$2 y - 5$	=	$- 1$	\| $+ 5$
$2 y$	=	$4$	\|: $2$
$y$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (-1|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 4 y$ = $12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-5)
denn 2⋅( - 4 ) -4⋅( - 5 ) = -8 +20 = $12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|-7)
denn 2⋅( - 8 ) -4⋅( - 7 ) = -16 +28 = $12$

Oder : (0|-3)
denn 2⋅0 -4⋅( - 3 ) = 0 +12 = $12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - y & = & 5 & (I) \\ x & - 3 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - y & = & 5 & (I) \\ x & - 3 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- y$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 5 & (I) \\ x & - 3 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 3 \cdot (- 5)$	=	$17$
$x + 15$	=	$17$	\| $- 15$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 25 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 25 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$25$
$y - 4 x$	=	$25$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$25 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (25 + 4 x) & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $25 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 2 \cdot (25 + 4 x)$	=	$10$
$- 2 x - 50 - 8 x$	=	$10$
$- 10 x - 50$	=	$10$	\| $+ 50$
$- 10 x$	=	$60$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $25 + 4 \cdot (- 6)$

= $25 - 24$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 2 & (I) \\ x & + 4 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 2 & (I) \\ x & + 4 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$21$	\| $- 4 y$
$x$	=	$21 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 2 & (I) \\ x & = & (21 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $21 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (21 - 4 y) + 3 y$	=	$2$
$- 42 + 8 y + 3 y$	=	$2$
$11 y - 42$	=	$2$	\| $+ 42$
$11 y$	=	$44$	\|: $11$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $21 - 4 \cdot 4$

= $21 - 16$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{3} x & + y & = & - 5 & (I) \\ - \frac{2}{3} x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{3} x & + y & = & - 5 & (I) \\ - \frac{2}{3} x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$\frac{1}{3} x + y$	=	$- 5$
$y + \frac{1}{3} x$	=	$- 5$	\|⋅ 3
$3 (y + \frac{1}{3} x)$	=	$- 15$
$3 y + x$	=	$- 15$	\| $- x$
$3 y$	=	$- 15 - x$	\|: $3$
$y$	=	$- 5 - \frac{1}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 5 - \frac{1}{3} x) & (I) \\ - \frac{2}{3} x & + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 5 - \frac{1}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{2}{3} x + 2 \cdot (- 5 - \frac{1}{3} x)$	=	$- 2$
$- \frac{2}{3} x - 10 - \frac{2}{3} x$	=	$- 2$
$- \frac{4}{3} x - 10$	=	$- 2$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{4}{3} x - 10)$	=	$- 6$
$- 4 x - 30$	=	$- 6$	\| $+ 30$
$- 4 x$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5 - \frac{1}{3} \cdot (- 6)$

= $- 5 + 2$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +4y = ?

-1x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-2x +4y = 6 -8 = -2

-1x +1y = 3 -2 = 1

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +4y = -2

-1x +1y = 1

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ 8 x & + 6 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ 8 x & + 6 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 3 y$	=	$- 3$
$- 3 y - 4 x$	=	$- 3$	\| $+ 4 x$
$- 3 y$	=	$- 3 + 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$1 - \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 - \frac{4}{3} x) & (I) \\ 8 x & + 6 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 - \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 6 \cdot (1 - \frac{4}{3} x)$	=	$6$
$8 x + 6 - 8 x$	=	$6$
$6$	=	$6$	\| $- 6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 13. Wenn man aber vom 4-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 16. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 13 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$13$	\| $- 4 y$
$x$	=	$13 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (13 - 4 y) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $13 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (13 - 4 y) - 2 y$	=	$16$
$52 - 16 y - 2 y$	=	$16$
$- 18 y + 52$	=	$16$	\| $- 52$
$- 18 y$	=	$- 36$	\|:( $- 18$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $13 - 4 \cdot 2$

= $13 - 8$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-13) und B(-2|-20) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-13): -13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-20): -20 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-13 = 1 -1b +c |-1
-20 = 4 -2b +c |-4

-14 = -1b +c
-24 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 14 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 24$
$c - 2 b$	=	$- 24$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 24 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 14 & (I) \\ + c & = & (- 24 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 24 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 24 + 2 b)$	=	$- 14$
$- b - 24 + 2 b$	=	$- 14$
$b - 24$	=	$- 14$	\| $+ 24$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 24 + 2 \cdot 10$

= $- 24 + 20$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-4)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|5) und B(-3|29) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|5): 5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|29): 29 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 -1b +c |-1
29 = 9 -3b +c |-9

4 = -1b +c
20 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$20$
$c - 3 b$	=	$20$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$20 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (20 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $20 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (20 + 3 b)$	=	$4$
$- b + 20 + 3 b$	=	$4$
$2 b + 20$	=	$4$	\| $- 20$
$2 b$	=	$- 16$	\|: $2$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $20 + 3 \cdot (- 8)$

= $20 - 24$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-4)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 4$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 4$

= ${(x - 4)}^{2} - 20$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-20).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 4$ = $16 - 32 - 4$ = -20

also: S(4|-20).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg