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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 5 y$ = $- 23$ .

Bestimme y so, dass (1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot 1 - 5 y$ = $- 23$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot 1 - 5 y$	=	$- 23$
$- 3 - 5 y$	=	$- 23$
$- 5 y - 3$	=	$- 23$	\| $+ 3$
$- 5 y$	=	$- 20$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (1|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 2 y$ = $2$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|2)
denn -2⋅( - 3 ) -2⋅2 = 6 -4 = $2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|4)
denn -2⋅( - 5 ) -2⋅4 = 10 -8 = $2$

Oder : (-1|0)
denn -2⋅( - 1 ) -2⋅0 = 2 +0 = $2$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 9 & (I) \\ - 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 9 & (I) \\ - 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 9 & (I) \\ + y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 3 \cdot (- 6)$	=	$- 9$
$3 x - 18$	=	$- 9$	\| $+ 18$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 17 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 17 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$- 17$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$- 17 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 17 + 3 y) & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 17 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 17 + 3 y) + 4 y$	=	$24$
$34 - 6 y + 4 y$	=	$24$
$- 2 y + 34$	=	$24$	\| $- 34$
$- 2 y$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 17 + 3 \cdot 5$

= $- 17 + 15$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & - 37 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & - 37 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 5 y$	=	$- 37$
$5 y + 3 x$	=	$- 37$	\| $- 3 x$
$5 y$	=	$- 37 - 3 x$	\|: $5$
$y$	=	$- \frac{37}{5} - \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{37}{5} - \frac{3}{5} x) & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{37}{5} - \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (- \frac{37}{5} - \frac{3}{5} x)$	=	$3$
$3 x + \frac{111}{5} + \frac{9}{5} x$	=	$3$
$\frac{24}{5} x + \frac{111}{5}$	=	$3$	\|⋅ 5
$5 (\frac{24}{5} x + \frac{111}{5})$	=	$15$
$24 x + 111$	=	$15$	\| $- 111$
$24 x$	=	$- 96$	\|: $24$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{37}{5} - \frac{3}{5} \cdot (- 4)$

= $- \frac{37}{5} + \frac{12}{5}$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$y$	=	$2 (x + 3) + 5 y$			(I)
0	=	$x + 5 + 3 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$y$	=	$2 (x + 3) + 5 y$			(I)
0	=	$x + 5 + 3 y$			(II)

$y$	=	$2 x + 6 + 5 y$	\| $- 2 x - 5 y$		(I)
0	=	$x + 5 + 3 y$	\| $- x - 3 y$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 6 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$5$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$5 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 5 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 6 & (I) \\ x & = & (- 5 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 5 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 5 - 3 y) - 4 y$	=	$6$
$10 + 6 y - 4 y$	=	$6$
$2 y + 10$	=	$6$	\| $- 10$
$2 y$	=	$- 4$	\|: $2$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 5 - 3 \cdot (- 2)$

= $- 5 + 6$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +1y = ?

-8x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-4x +1y = 16 -4 = 12

-8x +3y = 32 -12 = 20

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +1y = 12

-8x +3y = 20

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 6 x & + 3 y & = & 4 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 6 x & + 3 y & = & 4 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	$- 1$
$- y - 2 x$	=	$- 1$	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$- 1 + 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$1 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 6 x & + 3 y & = & 4 & (I) \\ + y & = & (1 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 3 \cdot (1 - 2 x)$	=	$4$
$6 x + 3 - 6 x$	=	$4$
$3$	=	$4$	\| $- 3$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 7. Wenn man aber vom 2-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -19. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 7 & (I) \\ 2 x & - 7 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$7$	\| $- 2 y$
$x$	=	$7 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (7 - 2 y) & (I) \\ 2 x & - 7 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (7 - 2 y) - 7 y$	=	$- 19$
$14 - 4 y - 7 y$	=	$- 19$
$- 11 y + 14$	=	$- 19$	\| $- 14$
$- 11 y$	=	$- 33$	\|:( $- 11$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7 - 2 \cdot 3$

= $7 - 6$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 3

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(1|-8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-8): -8 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
-8 = 1 +1b +c |-1

7 = -1b +c
-9 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ b & + c & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 9$
$c + b$	=	$- 9$	\| $- b$
$c$	=	$- 9 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (- 9 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 9 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 9 - b)$	=	$7$
$- b - 9 - b$	=	$7$
$- 2 b - 9$	=	$7$	\| $+ 9$
$- 2 b$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 9 - (- 8)$

= $- 9 + 8$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-1)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-13) und B(-4|-28) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-13): -13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-28): -28 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-13 = 1 -1b +c |-1
-28 = 16 -4b +c |-16

-14 = -1b +c
-44 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 14 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 44 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 44$
$c - 4 b$	=	$- 44$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 44 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 14 & (I) \\ + c & = & (- 44 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 44 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 44 + 4 b)$	=	$- 14$
$- b - 44 + 4 b$	=	$- 14$
$3 b - 44$	=	$- 14$	\| $+ 44$
$3 b$	=	$30$	\|: $3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 44 + 4 \cdot 10$

= $- 44 + 40$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-4)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 29$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-29).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 4$ = $25 - 50 - 4$ = -29

also: S(-5|-29).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg