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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 5 y$ = $- 10$ .

Bestimme y so, dass (0|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$- 0 + 5 y$ = $- 10$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 0 + 5 y$	=	$- 10$
$5 y$	=	$- 10$	\|: $5$
$y$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (0|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 3 y$ = $- 2$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|-2)
denn 4⋅1 +3⋅( - 2 ) = 4 -6 = $- 2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-6)
denn 4⋅4 +3⋅( - 6 ) = 16 -18 = $- 2$

Oder : (-2|2)
denn 4⋅( - 2 ) +3⋅2 = -8 +6 = $- 2$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - y & = & - 1 & (I) \\ - x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - y & = & - 1 & (I) \\ - x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - y & = & - 1 & (I) \\ x & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot 4 - y$	=	$- 1$
$- 4 - y$	=	$- 1$
$- y - 4$	=	$- 1$	\| $+ 4$
$- y$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & 20 & (I) \\ x & - 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & 20 & (I) \\ x & - 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$6$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$6 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & 20 & (I) \\ x & = & (6 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $6 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (6 + 2 y) - 3 y$	=	$20$
$- 24 - 8 y - 3 y$	=	$20$
$- 11 y - 24$	=	$20$	\| $+ 24$
$- 11 y$	=	$44$	\|:( $- 11$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $6 + 2 \cdot (- 4)$

= $6 - 8$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 27 & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 27 & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 4 y$	=	$- 27$
$- 4 y - 3 x$	=	$- 27$	\| $+ 3 x$
$- 4 y$	=	$- 27 + 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$\frac{27}{4} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{27}{4} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{27}{4} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 5 \cdot (\frac{27}{4} - \frac{3}{4} x)$	=	$- 30$
$- 3 x - \frac{135}{4} + \frac{15}{4} x$	=	$- 30$
$\frac{3}{4} x - \frac{135}{4}$	=	$- 30$	\|⋅ 4
$4 (\frac{3}{4} x - \frac{135}{4})$	=	$- 120$
$3 x - 135$	=	$- 120$	\| $+ 135$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{27}{4} - \frac{3}{4} \cdot 5$

= $\frac{27}{4} - \frac{15}{4}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{2}{3} x & - \frac{2}{5} y & = & 0 & (I) \\ - \frac{1}{3} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{3}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{2}{3} x & - \frac{2}{5} y & = & 0 & (I) \\ - \frac{1}{3} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{3}{2} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{2}{3} x - \frac{2}{5} y$	=	0
$- \frac{2}{5} y + \frac{2}{3} x$	=	0	\|⋅ 15
$15 (- \frac{2}{5} y + \frac{2}{3} x)$	=	0
$- 6 y + 10 x$	=	0	\| $- 10 x$
$- 6 y$	=	$- 10 x$	\|:( $- 6$ )
$y$	=	$\frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & \frac{5}{3} x & (I) \\ - \frac{1}{3} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{3}{2} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $\frac{5}{3} x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{3} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} x$	=	$\frac{3}{2}$
$- \frac{1}{3} x + \frac{5}{6} x$	=	$\frac{3}{2}$
$\frac{1}{2} x$	=	$\frac{3}{2}$	\|⋅ 2
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{5}{3} \cdot 3$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +5y = ?

-2x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

2x +5y = 2 -10 = -8

-2x -7y = -2 +14 = 12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +5y = -8

-2x -7y = 12

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & - 12 & (I) \\ x & - 5 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & - 12 & (I) \\ x & - 5 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 5 y$	=	$- 8$	\| $+ 5 y$
$x$	=	$- 8 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & - 12 & (I) \\ x & = & (- 8 + 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 8 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 8 + 5 y) - 3 y$	=	$- 12$
$- 24 + 15 y - 3 y$	=	$- 12$
$12 y - 24$	=	$- 12$	\| $+ 24$
$12 y$	=	$12$	\|: $12$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 8 + 5 \cdot 1$

= $- 8 + 5$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 7 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 228 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 5 Halogenleuchten zusammen 171 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 7 y & = & 228 & (I) \\ 7 x & + 5 y & = & 171 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 7 y$	=	$228$
$7 y + 6 x$	=	$228$	\| $- 6 x$
$7 y$	=	$228 - 6 x$	\|: $7$
$y$	=	$\frac{228}{7} - \frac{6}{7} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{228}{7} - \frac{6}{7} x) & (I) \\ 7 x & + 5 y & = & 171 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{228}{7} - \frac{6}{7} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x + 5 \cdot (\frac{228}{7} - \frac{6}{7} x)$	=	$171$
$7 x + \frac{1140}{7} - \frac{30}{7} x$	=	$171$
$\frac{19}{7} x + \frac{1140}{7}$	=	$171$	\|⋅ 7
$7 (\frac{19}{7} x + \frac{1140}{7})$	=	$1 197$
$19 x + 1 140$	=	$1 197$	\| $- 1 140$
$19 x$	=	$57$	\|: $19$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{228}{7} - \frac{6}{7} \cdot 3$

= $\frac{228}{7} - \frac{18}{7}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (3|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|14) und B(4|53) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|14): 14 = 1² + b⋅1 +c

B(4|53): 53 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
14 = 1 +1b +c |-1
53 = 16 +4b +c |-16

13 = 1b +c
37 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 13 & (I) \\ 4 b & + c & = & 37 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$37$
$c + 4 b$	=	$37$	\| $- 4 b$
$c$	=	$37 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 13 & (I) \\ + c & = & (37 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $37 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (37 - 4 b)$	=	$13$
$b + 37 - 4 b$	=	$13$
$- 3 b + 37$	=	$13$	\| $- 37$
$- 3 b$	=	$- 24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $37 - 4 \cdot 8$

= $37 - 32$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (8|5)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(2|-20) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-20): -20 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
-20 = 4 +2b +c |-4

6 = -1b +c
-24 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 24$
$c + 2 b$	=	$- 24$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 24 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (- 24 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 24 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 24 - 2 b)$	=	$6$
$- b - 24 - 2 b$	=	$6$
$- 3 b - 24$	=	$6$	\| $+ 24$
$- 3 b$	=	$30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 24 - 2 \cdot (- 10)$

= $- 24 + 20$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-4)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 - 4$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 - 4$

= ${(x - 5)}^{2} - 29$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-29).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 - 4$ = $25 - 50 - 4$ = -29

also: S(5|-29).

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