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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + 2 y$ = $- 17$ .

Bestimme x so, dass (x|2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$3 x + 2 \cdot 2$ = $- 17$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3 x + 2 \cdot 2$	=	$- 17$
$3 x + 4$	=	$- 17$	\| $- 4$
$3 x$	=	$- 21$	\|: $3$
$x$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (-7|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 5 y$ = $19$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|3)
denn 4⋅1 +5⋅3 = 4 +15 = $19$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|-1)
denn 4⋅6 +5⋅( - 1 ) = 24 -5 = $19$

Oder : (-4|7)
denn 4⋅( - 4 ) +5⋅7 = -16 +35 = $19$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 10 & (I) \\ 3 x & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 10 & (I) \\ 3 x & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 10 & (I) \\ x & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 3) + 4 y$	=	$- 10$
$- 6 + 4 y$	=	$- 10$
$4 y - 6$	=	$- 10$	\| $+ 6$
$4 y$	=	$- 4$	\|: $4$
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & 20 & (I) \\ x & - 4 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & 20 & (I) \\ x & - 4 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$14$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$14 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & 20 & (I) \\ x & = & (14 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $14 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (14 + 4 y) - 3 y$	=	$20$
$- 56 - 16 y - 3 y$	=	$20$
$- 19 y - 56$	=	$20$	\| $+ 56$
$- 19 y$	=	$76$	\|:( $- 19$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $14 + 4 \cdot (- 4)$

= $14 - 16$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 1 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 35 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 1 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 35 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$1$
$y + 3 x$	=	$1$	\| $- 3 x$
$y$	=	$1 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 - 3 x) & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 35 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 5 \cdot (1 - 3 x)$	=	$35$
$5 x - 5 + 15 x$	=	$35$
$20 x - 5$	=	$35$	\| $+ 5$
$20 x$	=	$40$	\|: $20$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1 - 3 \cdot 2$

= $1 - 6$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{2}{3} x & - \frac{2}{3} y & = & 2 & (I) \\ - \frac{1}{3} x & + y & = & - \frac{1}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{2}{3} x & - \frac{2}{3} y & = & 2 & (I) \\ - \frac{1}{3} x & + y & = & - \frac{1}{3} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{1}{3} x + y$	=	$- \frac{1}{3}$
$y - \frac{1}{3} x$	=	$- \frac{1}{3}$	\|⋅ 3
$3 (y - \frac{1}{3} x)$	=	$- 1$
$3 y - x$	=	$- 1$	\| $+ x$
$3 y$	=	$- 1 + x$	\|: $3$
$y$	=	$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - \frac{2}{3} x & - \frac{2}{3} y & = & 2 & (I) \\ + y & = & (- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} x)$	=	$2$
$- \frac{2}{3} x + \frac{2}{9} - \frac{2}{9} x$	=	$2$
$- \frac{8}{9} x + \frac{2}{9}$	=	$2$	\|⋅ 9
$9 (- \frac{8}{9} x + \frac{2}{9})$	=	$18$
$- 8 x + 2$	=	$18$	\| $- 2$
$- 8 x$	=	$16$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot (- 2)$

= $- \frac{1}{3} - \frac{2}{3}$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +4y = ?

6x +11y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

3x +4y = 9 -12 = -3

6x +11y = 18 -33 = -15

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +4y = -3

6x +11y = -15

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & - 3 y & = & - 9 & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 3 y & = & - 9 & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 3 y$	=	$- 9$
$- 3 y - 5 x$	=	$- 9$	\| $+ 5 x$
$- 3 y$	=	$- 9 + 5 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$3 - \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3 - \frac{5}{3} x) & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3 - \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 5 \cdot (3 - \frac{5}{3} x)$	=	$5$
$5 x + 15 - \frac{25}{3} x$	=	$5$
$- \frac{10}{3} x + 15$	=	$5$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{10}{3} x + 15)$	=	$15$
$- 10 x + 45$	=	$15$	\| $- 45$
$- 10 x$	=	$- 30$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3 - \frac{5}{3} \cdot 3$

= $3 - 5$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 13. Wenn man aber vom 3-fachen von x 5 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -16. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 13 & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$13$	\| $- 2 y$
$x$	=	$13 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (13 - 2 y) & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $13 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (13 - 2 y) - 5 y$	=	$- 16$
$39 - 6 y - 5 y$	=	$- 16$
$- 11 y + 39$	=	$- 16$	\| $- 39$
$- 11 y$	=	$- 55$	\|:( $- 11$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $13 - 2 \cdot 5$

= $13 - 10$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|13) und B(2|-14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|13): 13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-14): -14 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 -1b +c |-1
-14 = 4 +2b +c |-4

12 = -1b +c
-18 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 18$
$c + 2 b$	=	$- 18$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 18 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ + c & = & (- 18 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 18 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 18 - 2 b)$	=	$12$
$- b - 18 - 2 b$	=	$12$
$- 3 b - 18$	=	$12$	\| $+ 18$
$- 3 b$	=	$30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 18 - 2 \cdot (- 10)$

= $- 18 + 20$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|2)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|10) und B(4|49) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

B(4|49): 49 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 +1b +c |-1
49 = 16 +4b +c |-16

9 = 1b +c
33 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ 4 b & + c & = & 33 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$33$
$c + 4 b$	=	$33$	\| $- 4 b$
$c$	=	$33 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (33 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $33 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (33 - 4 b)$	=	$9$
$b + 33 - 4 b$	=	$9$
$- 3 b + 33$	=	$9$	\| $- 33$
$- 3 b$	=	$- 24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $33 - 4 \cdot 8$

= $33 - 32$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (8|1)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 + 1$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 + 1$

= ${(x + 4)}^{2} - 15$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-15).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) + 1$ = $16 - 32 + 1$ = -15

also: S(-4|-15).

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1. Weg

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