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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 2 y$ = $- 2$ .

Bestimme x so, dass (x|4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 x - 2 \cdot 4$ = $- 2$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot 4$	=	$- 2$
$- 3 x - 8$	=	$- 2$	\| $+ 8$
$- 3 x$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (-2|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 3 y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|4)
denn 2⋅( - 6 ) +3⋅4 = -12 +12 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|2)
denn 2⋅( - 3 ) +3⋅2 = -6 +6 = 0

Oder : (-9|6)
denn 2⋅( - 9 ) +3⋅6 = -18 +18 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 5 & (I) \\ + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 5 & (I) \\ + 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$- 2$	\|: $2$
$y$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 5 & (I) \\ + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 1 \cdot (- 1)$	=	$5$
$2 x - 1$	=	$5$	\| $+ 1$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$- 18$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$- 18 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ x & = & (- 18 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 18 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 18 + 2 y) + 2 y$	=	$6$
$- 18 + 2 y + 2 y$	=	$6$
$4 y - 18$	=	$6$	\| $+ 18$
$4 y$	=	$24$	\|: $4$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 18 + 2 \cdot 6$

= $- 18 + 12$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	$- 6$
$- y - 2 x$	=	$- 6$	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$- 6 + 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$6 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ + y & = & (6 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $6 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (6 - 2 x)$	=	$2$
$2 x + 12 - 4 x$	=	$2$
$- 2 x + 12$	=	$2$	\| $- 12$
$- 2 x$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $6 - 2 \cdot 5$

= $6 - 10$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$x + 6$	=	$y$			(I)
$- 2 x - y$	=	$9$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$x + 6$	=	$y$	\| $- 6 - y$		(I)
$- 2 x - y$	=	$9$			(II)

\begin{matrix} x & - y & = & - 6 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	$9$
$- y - 2 x$	=	$9$	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$9 + 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 9 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - y & = & - 6 & (I) \\ + y & = & (- 9 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 9 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 1 \cdot (- 9 - 2 x)$	=	$- 6$
$x + 9 + 2 x$	=	$- 6$
$3 x + 9$	=	$- 6$	\| $- 9$
$3 x$	=	$- 15$	\|: $3$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 9 - 2 \cdot (- 5)$

= $- 9 + 10$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -4y = ?

2x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

4x -4y = 16 -20 = -4

2x -5y = 8 -25 = -17

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -4y = -4

2x -5y = -17

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 2 & (I) \\ - 12 x & - 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 2 & (I) \\ - 12 x & - 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 2$
$y + 4 x$	=	$- 2$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 2 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 - 4 x) & (I) \\ - 12 x & - 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 12 x - 3 \cdot (- 2 - 4 x)$	=	$6$
$- 12 x + 6 + 12 x$	=	$6$
$6$	=	$6$	\| $- 6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 30. Wenn man aber vom 6-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -5. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 30 & (I) \\ 6 x & - 7 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$30$	\| $- 5 y$
$x$	=	$30 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (30 - 5 y) & (I) \\ 6 x & - 7 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $30 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (30 - 5 y) - 7 y$	=	$- 5$
$180 - 30 y - 7 y$	=	$- 5$
$- 37 y + 180$	=	$- 5$	\| $- 180$
$- 37 y$	=	$- 185$	\|:( $- 37$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $30 - 5 \cdot 5$

= $30 - 25$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|0) und B(4|27) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(4|27): 27 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
27 = 16 +4b +c |-16

-1 = 1b +c
11 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ 4 b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$11$
$c + 4 b$	=	$11$	\| $- 4 b$
$c$	=	$11 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (11 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (11 - 4 b)$	=	$- 1$
$b + 11 - 4 b$	=	$- 1$
$- 3 b + 11$	=	$- 1$	\| $- 11$
$- 3 b$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 - 4 \cdot 4$

= $11 - 16$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|0) und B(3|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(3|4): 4 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
4 = 9 +3b +c |-9

-1 = 1b +c
-5 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 5$
$c + 3 b$	=	$- 5$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 5 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (- 5 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 5 - 3 b)$	=	$- 1$
$b - 5 - 3 b$	=	$- 1$
$- 2 b - 5$	=	$- 1$	\| $+ 5$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 - 3 \cdot (- 2)$

= $- 5 + 6$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 1$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 1$

= ${(x - 1)}^{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 1$ = $1 - 2 + 1$ = 0

also: S(1|0).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg