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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 3 y$ = $- 9$ .

Bestimme x so, dass (x|3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$5 x - 3 \cdot 3$ = $- 9$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5 x - 3 \cdot 3$	=	$- 9$
$5 x - 9$	=	$- 9$	\| $+ 9$
$5 x$	=	0	\|: $5$
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 2 y$ = $- 28$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|5)
denn 3⋅( - 6 ) -2⋅5 = -18 -10 = $- 28$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|2)
denn 3⋅( - 8 ) -2⋅2 = -24 -4 = $- 28$

Oder : (-4|8)
denn 3⋅( - 4 ) -2⋅8 = -12 -16 = $- 28$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 4 & (I) \\ x & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $2$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot 2 + 2 y$	=	$- 4$
$- 6 + 2 y$	=	$- 4$
$2 y - 6$	=	$- 4$	\| $+ 6$
$2 y$	=	$2$	\|: $2$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ x & - 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ x & - 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$12$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$12 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ x & = & (12 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $12 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (12 + 4 y) - 2 y$	=	$4$
$12 + 4 y - 2 y$	=	$4$
$2 y + 12$	=	$4$	\| $- 12$
$2 y$	=	$- 8$	\|: $2$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $12 + 4 \cdot (- 4)$

= $12 - 16$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 22 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 38 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 22 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 38 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 2 y$	=	$22$
$- 2 y - 2 x$	=	$22$	\| $+ 2 x$
$- 2 y$	=	$22 + 2 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 11 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 11 - x) & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 38 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 11 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (- 11 - x)$	=	$38$
$- 3 x + 44 + 4 x$	=	$38$
$x + 44$	=	$38$	\| $- 44$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 11 - (- 6)$

= $- 11 + 6$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{3}{4} x & + \frac{3}{2} y & = & - \frac{3}{2} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{1}{4} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{3}{4} x & + \frac{3}{2} y & = & - \frac{3}{2} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{1}{4} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{3}{4} x + \frac{3}{2} y$	=	$- \frac{3}{2}$
$\frac{3}{2} y + \frac{3}{4} x$	=	$- \frac{3}{2}$	\|⋅ 4
$4 (\frac{3}{2} y + \frac{3}{4} x)$	=	$- 6$
$6 y + 3 x$	=	$- 6$	\| $- 3 x$
$6 y$	=	$- 6 - 3 x$	\|: $6$
$y$	=	$- 1 - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 - \frac{1}{2} x) & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{1}{4} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \cdot (- 1 - \frac{1}{2} x)$	=	$\frac{1}{4}$
$- \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} x$	=	$\frac{1}{4}$
$- \frac{3}{8} x + \frac{1}{4}$	=	$\frac{1}{4}$	\|⋅ 8
$8 (- \frac{3}{8} x + \frac{1}{4})$	=	$2$
$- 3 x + 2$	=	$2$	\| $- 2$
$- 3 x$	=	0	\|:( $- 3$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 - \frac{1}{2} \cdot (0)$

= $- 1 + 0$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +2y = ?

-4x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-3x +2y = 6 +2 = 8

-4x +4y = 8 +4 = 12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +2y = 8

-4x +4y = 12

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 8 x & + 8 y & = & - 7 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 8 x & + 8 y & = & - 7 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x + 8 y$	=	$- 7$
$8 y + 8 x$	=	$- 7$	\| $- 8 x$
$8 y$	=	$- 7 - 8 x$	\|: $8$
$y$	=	$- \frac{7}{8} - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{7}{8} - x) & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{7}{8} - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 4 \cdot (- \frac{7}{8} - x)$	=	$3$
$- 4 x + \frac{7}{2} + 4 x$	=	$3$
$\frac{7}{2}$	=	$3$	\| $- \frac{7}{2}$
0	=	$- \frac{1}{2}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 210 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 510 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & 210 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 510 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 3 y$	=	$210$
$- 3 y + 2 x$	=	$210$	\| $- 2 x$
$- 3 y$	=	$210 - 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 70 + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 70 + \frac{2}{3} x) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 510 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 70 + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot (- 70 + \frac{2}{3} x)$	=	$510$
$4 x + 210 - 2 x$	=	$510$
$2 x + 210$	=	$510$	\| $- 210$
$2 x$	=	$300$	\|: $2$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 70 + \frac{2}{3} \cdot 150$

= $- 70 + 100$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (150|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-6) und B(-2|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-5): -5 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
-5 = 4 -2b +c |-4

-7 = -1b +c
-9 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 9$
$c - 2 b$	=	$- 9$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 9 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 9 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 9 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 9 + 2 b)$	=	$- 7$
$- b - 9 + 2 b$	=	$- 7$
$b - 9$	=	$- 7$	\| $+ 9$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 9 + 2 \cdot 2$

= $- 9 + 4$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-5) und B(2|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|4): 4 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 -1b +c |-1
4 = 4 +2b +c |-4

-6 = -1b +c
0 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ 2 b & + c & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	0
$c + 2 b$	=	0	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & - 2 b & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch $- 2 b$ ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 2 b)$	=	$- 6$
$- b - 2 b$	=	$- 6$
$- 3 b$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 2 \cdot 2$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 4$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 4$

= ${(x + 1)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 4$ = $1 - 2 - 4$ = -5

also: S(-1|-5).

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1. Weg

2. Weg