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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 5 y$ = $- 12$ .

Bestimme x so, dass (x|-3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 x + 5 \cdot (- 3)$ = $- 12$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 3 x + 5 \cdot (- 3)$	=	$- 12$
$- 3 x - 15$	=	$- 12$	\| $+ 15$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-1|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 4 y$ = $- 22$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|-4)
denn -2⋅3 +4⋅( - 4 ) = -6 -16 = $- 22$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (7|-2)
denn -2⋅7 +4⋅( - 2 ) = -14 -8 = $- 22$

Oder : (-1|-6)
denn -2⋅( - 1 ) +4⋅( - 6 ) = 2 -24 = $- 22$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + y & = & 2 & (I) \\ - 2 x & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + y & = & 2 & (I) \\ - 2 x & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + y & = & 2 & (I) \\ x & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 2) + y$	=	$2$
$- 2 + y$	=	$2$
$y - 2$	=	$2$	\| $+ 2$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 8 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 8 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 1$
$y + 4 x$	=	$- 1$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 1 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 8 & (I) \\ + y & = & (- 1 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 1 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 1 \cdot (- 1 - 4 x)$	=	$- 8$
$- 3 x - 1 - 4 x$	=	$- 8$
$- 7 x - 1$	=	$- 8$	\| $+ 1$
$- 7 x$	=	$- 7$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 1 - 4 \cdot 1$

= $- 1 - 4$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 2 & (I) \\ x & + 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 2 & (I) \\ x & + 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$1$	\| $- 3 y$
$x$	=	$1 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 2 & (I) \\ x & = & (1 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $1 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (1 - 3 y) - 4 y$	=	$2$
$- 3 + 9 y - 4 y$	=	$2$
$5 y - 3$	=	$2$	\| $+ 3$
$5 y$	=	$5$	\|: $5$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $1 - 3 \cdot 1$

= $1 - 3$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$5 (- x + 5) + 3 y$	=	0			(I)
$- 24 - 5 y$	=	$3 x - 5$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$5 (- x + 5) + 3 y$	=	0			(I)
$- 24 - 5 y$	=	$3 x - 5$			(II)

$- 5 x + 25 + 3 y$	=	0	\| $- 25$		(I)
$- 24 - 5 y$	=	$3 x - 5$	\| + $24 - 3 x$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & + 3 y & = & - 25 & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x + 3 y$	=	$- 25$
$3 y - 5 x$	=	$- 25$	\| $+ 5 x$
$3 y$	=	$- 25 + 5 x$	\|: $3$
$y$	=	$- \frac{25}{3} + \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{25}{3} + \frac{5}{3} x) & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{25}{3} + \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 5 \cdot (- \frac{25}{3} + \frac{5}{3} x)$	=	$19$
$- 3 x + \frac{125}{3} - \frac{25}{3} x$	=	$19$
$- \frac{34}{3} x + \frac{125}{3}$	=	$19$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{34}{3} x + \frac{125}{3})$	=	$57$
$- 34 x + 125$	=	$57$	\| $- 125$
$- 34 x$	=	$- 68$	\|:( $- 34$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{25}{3} + \frac{5}{3} \cdot 2$

= $- \frac{25}{3} + \frac{10}{3}$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -1y = ?

-6x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-2x -1y = 4 +3 = 7

-6x -4y = 12 +12 = 24

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -1y = 7

-6x -4y = 24

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 17 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 17 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	$5$
$- y - 2 x$	=	$5$	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$5 + 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 5 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 17 & (I) \\ + y & = & (- 5 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 5 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 4 \cdot (- 5 - 2 x)$	=	$17$
$- 5 x + 20 + 8 x$	=	$17$
$3 x + 20$	=	$17$	\| $- 20$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 5 - 2 \cdot (- 1)$

= $- 5 + 2$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 380 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1935 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 4 y & = & 380 & (I) \\ 7 x & - 3 y & = & 1935 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 4 y$	=	$380$
$- 4 y + 2 x$	=	$380$	\| $- 2 x$
$- 4 y$	=	$380 - 2 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 95 + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 95 + \frac{1}{2} x) & (I) \\ 7 x & - 3 y & = & 1935 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 95 + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x - 3 \cdot (- 95 + \frac{1}{2} x)$	=	$1935$
$7 x + 285 - \frac{3}{2} x$	=	$1935$
$\frac{11}{2} x + 285$	=	$1935$	\|⋅ 2
$2 (\frac{11}{2} x + 285)$	=	$3 870$
$11 x + 570$	=	$3 870$	\| $- 570$
$11 x$	=	$3 300$	\|: $11$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 95 + \frac{1}{2} \cdot 300$

= $- 95 + 150$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (300|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-10) und B(2|-13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-10): -10 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-13): -13 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 +1b +c |-1
-13 = 4 +2b +c |-4

-11 = 1b +c
-17 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 17$
$c + 2 b$	=	$- 17$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 17 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (- 17 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 17 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 17 - 2 b)$	=	$- 11$
$b - 17 - 2 b$	=	$- 11$
$- b - 17$	=	$- 11$	\| $+ 17$
$- b$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 17 - 2 \cdot (- 6)$

= $- 17 + 12$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|15) und B(-1|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|15): 15 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
15 = 1 +1b +c |-1
-5 = 1 -1b +c |-1

14 = 1b +c
-6 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 14 & (I) \\ - b & + c & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 6$
$c - b$	=	$- 6$	\| $+ b$
$c$	=	$- 6 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 14 & (I) \\ + c & = & (- 6 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 6 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 6 + b)$	=	$14$
$b - 6 + b$	=	$14$
$2 b - 6$	=	$14$	\| $+ 6$
$2 b$	=	$20$	\|: $2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 6 + 10$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|4)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 4$ = $25 - 50 + 4$ = -21

also: S(-5|-21).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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1. Weg

2. Weg