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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 5 y$ = $- 34$ .

Bestimme x so, dass (x|-5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 x + 5 \cdot (- 5)$ = $- 34$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 3 x + 5 \cdot (- 5)$	=	$- 34$
$- 3 x - 25$	=	$- 34$	\| $+ 25$
$- 3 x$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 4 y$ = $4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-1)
denn -4⋅( - 2 ) +4⋅( - 1 ) = 8 -4 = $4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|3)
denn -4⋅2 +4⋅3 = -8 +12 = $4$

Oder : (-6|-5)
denn -4⋅( - 6 ) +4⋅( - 5 ) = 24 -20 = $4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & = & - 6 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & = & - 6 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 3 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot 3 - 4 y$	=	$5$
$- 3 - 4 y$	=	$5$
$- 4 y - 3$	=	$5$	\| $+ 3$
$- 4 y$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 12 & (I) \\ x & - 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 12 & (I) \\ x & - 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$10$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$10 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 12 & (I) \\ x & = & (10 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $10 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (10 + 4 y) + 4 y$	=	$- 12$
$- 20 - 8 y + 4 y$	=	$- 12$
$- 4 y - 20$	=	$- 12$	\| $+ 20$
$- 4 y$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $10 + 4 \cdot (- 2)$

= $10 - 8$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 28 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 28 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	$- 9$
$- y - 2 x$	=	$- 9$	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$- 9 + 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$9 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 28 & (I) \\ + y & = & (9 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $9 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot (9 - 2 x)$	=	$28$
$4 x + 36 - 8 x$	=	$28$
$- 4 x + 36$	=	$28$	\| $- 36$
$- 4 x$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $9 - 2 \cdot 2$

= $9 - 4$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2 (1 - 2 y)$	=	$x - 9 y$			(I)
0	=	$4 (x - 2) - y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2 (1 - 2 y)$	=	$x - 9 y$			(I)
0	=	$4 (x - 2) - y$			(II)

$2 - 4 y$	=	$x - 9 y$	\| $- 2 - x + 9 y$		(I)
0	=	$4 x - 8 - y$	\| $- 4 x + y$		(II)

\begin{matrix} - x & + 5 y & = & - 2 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 8$
$y - 4 x$	=	$- 8$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 8 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 5 y & = & - 2 & (I) \\ + y & = & (- 8 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 8 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 5 \cdot (- 8 + 4 x)$	=	$- 2$
$- x - 40 + 20 x$	=	$- 2$
$19 x - 40$	=	$- 2$	\| $+ 40$
$19 x$	=	$38$	\|: $19$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 8 + 4 \cdot 2$

= $- 8 + 8$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (2|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -5y = ?

3x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

4x -5y = -8 +5 = -3

3x -5y = -6 +5 = -1

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -5y = -3

3x -5y = -1

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 8 x & + 6 y & = & 5 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 8 x & + 6 y & = & 5 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 8 x + 6 y$	=	$5$
$6 y - 8 x$	=	$5$	\| $+ 8 x$
$6 y$	=	$5 + 8 x$	\|: $6$
$y$	=	$\frac{5}{6} + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{5}{6} + \frac{4}{3} x) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{5}{6} + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot (\frac{5}{6} + \frac{4}{3} x)$	=	$- 2$
$4 x - \frac{5}{2} - 4 x$	=	$- 2$
$- \frac{5}{2}$	=	$- 2$	\| $+ \frac{5}{2}$
0	=	$\frac{1}{2}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 25 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 6 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 680 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & 25 & (I) \\ 6 x & - 4 y & = & 680 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 5 y$	=	$25$
$- 5 y + 2 x$	=	$25$	\| $- 2 x$
$- 5 y$	=	$25 - 2 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 5 + \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 5 + \frac{2}{5} x) & (I) \\ 6 x & - 4 y & = & 680 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 5 + \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 4 \cdot (- 5 + \frac{2}{5} x)$	=	$680$
$6 x + 20 - \frac{8}{5} x$	=	$680$
$\frac{22}{5} x + 20$	=	$680$	\|⋅ 5
$5 (\frac{22}{5} x + 20)$	=	$3 400$
$22 x + 100$	=	$3 400$	\| $- 100$
$22 x$	=	$3 300$	\|: $22$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5 + \frac{2}{5} \cdot 150$

= $- 5 + 60$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (150|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(2|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|4): 4 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
4 = 4 +2b +c |-4

6 = -1b +c
0 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ 2 b & + c & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	0
$c + 2 b$	=	0	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & - 2 b & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch $- 2 b$ ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 2 b)$	=	$6$
$- b - 2 b$	=	$6$
$- 3 b$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 2 \cdot (- 2)$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|6) und B(4|39) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(4|39): 39 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
39 = 16 +4b +c |-16

5 = 1b +c
23 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ 4 b & + c & = & 23 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$23$
$c + 4 b$	=	$23$	\| $- 4 b$
$c$	=	$23 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (23 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $23 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (23 - 4 b)$	=	$5$
$b + 23 - 4 b$	=	$5$
$- 3 b + 23$	=	$5$	\| $- 23$
$- 3 b$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $23 - 4 \cdot 6$

= $23 - 24$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 - 1$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 - 1$

= ${(x + 3)}^{2} - 10$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-10).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) - 1$ = $9 - 18 - 1$ = -10

also: S(-3|-10).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg