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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 2 y$ = $43$ .

Bestimme y so, dass (7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$5 \cdot 7 + 2 y$ = $43$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5 \cdot 7 + 2 y$	=	$43$
$35 + 2 y$	=	$43$
$2 y + 35$	=	$43$	\| $- 35$
$2 y$	=	$8$	\|: $2$
$y$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (7|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - y$ = $- 3$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|3)
denn -4⋅0 -1⋅3 = 0 -3 = $- 3$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|7)
denn -4⋅( - 1 ) -1⋅7 = 4 -7 = $- 3$

Oder : (1|-1)
denn -4⋅1 -1⋅( - 1 ) = -4 +1 = $- 3$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & = & 3 & (I) \\ x & - 2 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & = & 3 & (I) \\ x & - 2 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 1 & (I) \\ x & - 2 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 1) - 2 y$	=	$11$
$- 1 - 2 y$	=	$11$
$- 2 y - 1$	=	$11$	\| $+ 1$
$- 2 y$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - y & = & 2 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - y & = & 2 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	0
$y - 2 x$	=	0	\| $+ 2 x$
$y$	=	$2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - y & = & 2 & (I) \\ + y & = & 2 x & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $2 x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 1 \cdot 2 x$	=	$2$
$x - 2 x$	=	$2$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2 \cdot (- 2)$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & - 2 y & = & - 22 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 2 y & = & - 22 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 2 y$	=	$- 22$
$- 2 y - 5 x$	=	$- 22$	\| $+ 5 x$
$- 2 y$	=	$- 22 + 5 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$11 - \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (11 - \frac{5}{2} x) & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $11 - \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 2 \cdot (11 - \frac{5}{2} x)$	=	$- 10$
$- 3 x + 22 - 5 x$	=	$- 10$
$- 8 x + 22$	=	$- 10$	\| $- 22$
$- 8 x$	=	$- 32$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $11 - \frac{5}{2} \cdot 4$

= $11 - 10$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2 y$	=	$5 (- x + 4)$			(I)
$- y$	=	$5 (x - 4)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2 y$	=	$5 (- x + 4)$			(I)
$- y$	=	$5 (x - 4)$			(II)

$2 y$	=	$- 5 x + 20$	\| + $5 x$		(I)
$- y$	=	$5 x - 20$	\| $- 5 x$		(II)

\begin{matrix} 5 x & + 2 y & = & 20 & (I) \\ - 5 x & - y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x - y$	=	$- 20$
$- y - 5 x$	=	$- 20$	\| $+ 5 x$
$- y$	=	$- 20 + 5 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$20 - 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 5 x & + 2 y & = & 20 & (I) \\ + y & = & (20 - 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $20 - 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 2 \cdot (20 - 5 x)$	=	$20$
$5 x + 40 - 10 x$	=	$20$
$- 5 x + 40$	=	$20$	\| $- 40$
$- 5 x$	=	$- 20$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $20 - 5 \cdot 4$

= $20 - 20$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (4|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +2y = ?

-1x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-3x +2y = -3 -6 = -9

-1x +2y = -1 -6 = -7

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +2y = -9

-1x +2y = -7

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & + 4 y & = & - 29 & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & 33 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & + 4 y & = & - 29 & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & 33 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x + 4 y$	=	$- 29$
$4 y - 5 x$	=	$- 29$	\| $+ 5 x$
$4 y$	=	$- 29 + 5 x$	\|: $4$
$y$	=	$- \frac{29}{4} + \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{29}{4} + \frac{5}{4} x) & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & 33 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{29}{4} + \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 5 \cdot (- \frac{29}{4} + \frac{5}{4} x)$	=	$33$
$3 x + \frac{145}{4} - \frac{25}{4} x$	=	$33$
$- \frac{13}{4} x + \frac{145}{4}$	=	$33$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{13}{4} x + \frac{145}{4})$	=	$132$
$- 13 x + 145$	=	$132$	\| $- 145$
$- 13 x$	=	$- 13$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{29}{4} + \frac{5}{4} \cdot 1$

= $- \frac{29}{4} + \frac{5}{4}$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 115 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 8 LED-Leuchtmittel und 8 Halogenleuchten zusammen 160 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 8 x & + 5 y & = & 115 & (I) \\ 8 x & + 8 y & = & 160 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x + 5 y$	=	$115$
$5 y + 8 x$	=	$115$	\| $- 8 x$
$5 y$	=	$115 - 8 x$	\|: $5$
$y$	=	$23 - \frac{8}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (23 - \frac{8}{5} x) & (I) \\ 8 x & + 8 y & = & 160 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $23 - \frac{8}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 8 \cdot (23 - \frac{8}{5} x)$	=	$160$
$8 x + 184 - \frac{64}{5} x$	=	$160$
$- \frac{24}{5} x + 184$	=	$160$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{24}{5} x + 184)$	=	$800$
$- 24 x + 920$	=	$800$	\| $- 920$
$- 24 x$	=	$- 120$	\|:( $- 24$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $23 - \frac{8}{5} \cdot 5$

= $23 - 8$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (5|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|0) und B(2|15) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|15): 15 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
15 = 4 +2b +c |-4

-1 = -1b +c
11 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ 2 b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$11$
$c + 2 b$	=	$11$	\| $- 2 b$
$c$	=	$11 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (11 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (11 - 2 b)$	=	$- 1$
$- b + 11 - 2 b$	=	$- 1$
$- 3 b + 11$	=	$- 1$	\| $- 11$
$- 3 b$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 - 2 \cdot 4$

= $11 - 8$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|1) und B(4|22) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|1): 1 = 1² + b⋅1 +c

B(4|22): 22 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 +1b +c |-1
22 = 16 +4b +c |-16

0 = 1b +c
6 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ 4 b & + c & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$6$
$c + 4 b$	=	$6$	\| $- 4 b$
$c$	=	$6 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (6 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (6 - 4 b)$	=	0
$b + 6 - 4 b$	=	0
$- 3 b + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 3 b$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6 - 4 \cdot 2$

= $6 - 8$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 2$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 2$

= ${(x + 1)}^{2} - 3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 2$ = $1 - 2 - 2$ = -3

also: S(-1|-3).

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quadr. Funktionterm bestimmen

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1. Weg

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