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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - y$ = $- 15$ .

Bestimme x so, dass (x|5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 x - 5$ = $- 15$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 2 x - 5$	=	$- 15$
$- 2 x - 5$	=	$- 15$	\| $+ 5$
$- 2 x$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (5|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 2 y$ = $- 1$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|-5)
denn -3⋅( - 3 ) +2⋅( - 5 ) = 9 -10 = $- 1$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|-2)
denn -3⋅( - 1 ) +2⋅( - 2 ) = 3 -4 = $- 1$

Oder : (-5|-8)
denn -3⋅( - 5 ) +2⋅( - 8 ) = 15 -16 = $- 1$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & = & - 3 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & = & - 3 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 1 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot 1 - 2 y$	=	$9$
$- 3 - 2 y$	=	$9$
$- 2 y - 3$	=	$9$	\| $+ 3$
$- 2 y$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & - 23 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & - 23 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 22$
$y + 4 x$	=	$- 22$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 22 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & - 23 & (I) \\ + y & = & (- 22 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 22 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 4 \cdot (- 22 - 4 x)$	=	$- 23$
$3 x - 88 - 16 x$	=	$- 23$
$- 13 x - 88$	=	$- 23$	\| $+ 88$
$- 13 x$	=	$65$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 22 - 4 \cdot (- 5)$

= $- 22 + 20$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & - 12 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & - 12 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 3 y$	=	$- 12$
$- 3 y - 3 x$	=	$- 12$	\| $+ 3 x$
$- 3 y$	=	$- 12 + 3 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$4 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (4 - x) & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 3 \cdot (4 - x)$	=	$17$
$- 2 x + 12 - 3 x$	=	$17$
$- 5 x + 12$	=	$17$	\| $- 12$
$- 5 x$	=	$5$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4 - (- 1)$

= $4 + 1$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + \frac{3}{2} y & = & 12 & (I) \\ - x & + \frac{1}{4} y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + \frac{3}{2} y & = & 12 & (I) \\ - x & + \frac{1}{4} y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + \frac{1}{4} y$	=	$4$	\|⋅ 4
$4 (- x + \frac{1}{4} y)$	=	$16$
$- 4 x + y$	=	$16$	\| $- y$
$- 4 x$	=	$16 - y$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 4 + \frac{1}{4} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + \frac{3}{2} y & = & 12 & (I) \\ x & = & (- 4 + \frac{1}{4} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 4 + \frac{1}{4} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 4 + \frac{1}{4} y) + \frac{3}{2} y$	=	$12$
$12 - \frac{3}{4} y + \frac{3}{2} y$	=	$12$
$\frac{3}{4} y + 12$	=	$12$	\|⋅ 4
$4 (\frac{3}{4} y + 12)$	=	$48$
$3 y + 48$	=	$48$	\| $- 48$
$3 y$	=	0	\|: $3$
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 4 + \frac{1}{4} \cdot 0$

= $- 4 + 0$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +2y = ?

-1x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

2x +2y = -8 -10 = -18

-1x -4y = 4 +20 = 24

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +2y = -18

-1x -4y = 24

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 5 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 5 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 3 y$	=	$5$
$- 3 y + 4 x$	=	$5$	\| $- 4 x$
$- 3 y$	=	$5 - 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- \frac{5}{3} + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{5}{3} + \frac{4}{3} x) & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{5}{3} + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 4 \cdot (- \frac{5}{3} + \frac{4}{3} x)$	=	$9$
$3 x + \frac{20}{3} - \frac{16}{3} x$	=	$9$
$- \frac{7}{3} x + \frac{20}{3}$	=	$9$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{7}{3} x + \frac{20}{3})$	=	$27$
$- 7 x + 20$	=	$27$	\| $- 20$
$- 7 x$	=	$7$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{5}{3} + \frac{4}{3} \cdot (- 1)$

= $- \frac{5}{3} - \frac{4}{3}$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 10. Wenn man aber vom 2-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -24. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 10 & (I) \\ 2 x & - 7 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$10$	\| $- 2 y$
$x$	=	$10 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (10 - 2 y) & (I) \\ 2 x & - 7 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $10 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (10 - 2 y) - 7 y$	=	$- 24$
$20 - 4 y - 7 y$	=	$- 24$
$- 11 y + 20$	=	$- 24$	\| $- 20$
$- 11 y$	=	$- 44$	\|:( $- 11$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $10 - 2 \cdot 4$

= $10 - 8$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 4

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-7) und B(-2|-10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-7): -7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-10): -10 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 -1b +c |-1
-10 = 4 -2b +c |-4

-8 = -1b +c
-14 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 14$
$c - 2 b$	=	$- 14$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 14 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ + c & = & (- 14 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 14 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 14 + 2 b)$	=	$- 8$
$- b - 14 + 2 b$	=	$- 8$
$b - 14$	=	$- 8$	\| $+ 14$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 14 + 2 \cdot 6$

= $- 14 + 12$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-13) und B(-3|-25) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-13): -13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-25): -25 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-13 = 1 -1b +c |-1
-25 = 9 -3b +c |-9

-14 = -1b +c
-34 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 14 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 34 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 34$
$c - 3 b$	=	$- 34$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 34 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 14 & (I) \\ + c & = & (- 34 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 34 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 34 + 3 b)$	=	$- 14$
$- b - 34 + 3 b$	=	$- 14$
$2 b - 34$	=	$- 14$	\| $+ 34$
$2 b$	=	$20$	\|: $2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 34 + 3 \cdot 10$

= $- 34 + 30$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-4)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 29$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-29).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 4$ = $25 - 50 - 4$ = -29

also: S(-5|-29).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg