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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 4 y$ = $- 20$ .

Bestimme y so, dass (-6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$2 \cdot (- 6) - 4 y$ = $- 20$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2 \cdot (- 6) - 4 y$	=	$- 20$
$- 12 - 4 y$	=	$- 20$
$- 4 y - 12$	=	$- 20$	\| $+ 12$
$- 4 y$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (-6|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 2 y$ = $- 19$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|3)
denn -5⋅5 +2⋅3 = -25 +6 = $- 19$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (7|8)
denn -5⋅7 +2⋅8 = -35 +16 = $- 19$

Oder : (3|-2)
denn -5⋅3 +2⋅( - 2 ) = -15 -4 = $- 19$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & = & 18 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & = & 18 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3 x$	=	$18$	\|: $3$
$x$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 6 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot 6 + 4 y$	=	0
$- 12 + 4 y$	=	0
$4 y - 12$	=	0	\| $+ 12$
$4 y$	=	$12$	\|: $4$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 9 & (I) \\ 3 x & + y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 9 & (I) \\ 3 x & + y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$14$
$y + 3 x$	=	$14$	\| $- 3 x$
$y$	=	$14 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 9 & (I) \\ + y & = & (14 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $14 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 1 \cdot (14 - 3 x)$	=	$9$
$2 x + 14 - 3 x$	=	$9$
$- x + 14$	=	$9$	\| $- 14$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $14 - 3 \cdot 5$

= $14 - 15$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & 16 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & 16 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 4 y$	=	$16$
$4 y + 2 x$	=	$16$	\| $- 2 x$
$4 y$	=	$16 - 2 x$	\|: $4$
$y$	=	$4 - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (4 - \frac{1}{2} x) & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4 - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (4 - \frac{1}{2} x)$	=	$- 22$
$- 3 x - 16 + 2 x$	=	$- 22$
$- x - 16$	=	$- 22$	\| $+ 16$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4 - \frac{1}{2} \cdot 6$

= $4 - 3$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 4 + y$	=	$5 (x + 1)$			(I)
$- 4 - y$	=	$2 (x - 3)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 4 + y$	=	$5 (x + 1)$			(I)
$- 4 - y$	=	$2 (x - 3)$			(II)

$- 4 + y$	=	$5 x + 5$	\| + $4 - 5 x$		(I)
$- 4 - y$	=	$2 x - 6$	\| + $4 - 2 x$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & + y & = & 9 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	$- 2$
$- y - 2 x$	=	$- 2$	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$- 2 + 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$2 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & + y & = & 9 & (I) \\ + y & = & (2 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 1 \cdot (2 - 2 x)$	=	$9$
$- 5 x + 2 - 2 x$	=	$9$
$- 7 x + 2$	=	$9$	\| $- 2$
$- 7 x$	=	$7$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2 - 2 \cdot (- 1)$

= $2 + 2$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +1y = ?

-4x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-1x +1y = -3 +2 = -1

-4x +5y = -12 +10 = -2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +1y = -1

-4x +5y = -2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & - 2 & (I) \\ 6 x & + 12 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & - 2 & (I) \\ 6 x & + 12 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 4 y$	=	$- 2$
$- 4 y - 2 x$	=	$- 2$	\| $+ 2 x$
$- 4 y$	=	$- 2 + 2 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} x) & (I) \\ 6 x & + 12 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 12 \cdot (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} x)$	=	$3$
$6 x + 6 - 6 x$	=	$3$
$6$	=	$3$	\| $- 6$
0	=	$- 3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 8 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 147 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 72 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 9 x & + 8 y & = & 147 & (I) \\ 9 x & + 3 y & = & 72 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9 x + 8 y$	=	$147$
$8 y + 9 x$	=	$147$	\| $- 9 x$
$8 y$	=	$147 - 9 x$	\|: $8$
$y$	=	$\frac{147}{8} - \frac{9}{8} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{147}{8} - \frac{9}{8} x) & (I) \\ 9 x & + 3 y & = & 72 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{147}{8} - \frac{9}{8} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9 x + 3 \cdot (\frac{147}{8} - \frac{9}{8} x)$	=	$72$
$9 x + \frac{441}{8} - \frac{27}{8} x$	=	$72$
$\frac{45}{8} x + \frac{441}{8}$	=	$72$	\|⋅ 8
$8 (\frac{45}{8} x + \frac{441}{8})$	=	$576$
$45 x + 441$	=	$576$	\| $- 441$
$45 x$	=	$135$	\|: $45$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{147}{8} - \frac{9}{8} \cdot 3$

= $\frac{147}{8} - \frac{27}{8}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (3|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-4) und B(4|-13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-13): -13 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 +1b +c |-1
-13 = 16 +4b +c |-16

-5 = 1b +c
-29 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 29 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 29$
$c + 4 b$	=	$- 29$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 29 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 29 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 29 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 29 - 4 b)$	=	$- 5$
$b - 29 - 4 b$	=	$- 5$
$- 3 b - 29$	=	$- 5$	\| $+ 29$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 29 - 4 \cdot (- 8)$

= $- 29 + 32$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|3)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|13) und B(-2|-14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|13): 13 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-14): -14 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 +1b +c |-1
-14 = 4 -2b +c |-4

12 = 1b +c
-18 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 12 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 18$
$c - 2 b$	=	$- 18$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 18 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 12 & (I) \\ + c & = & (- 18 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 18 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 18 + 2 b)$	=	$12$
$b - 18 + 2 b$	=	$12$
$3 b - 18$	=	$12$	\| $+ 18$
$3 b$	=	$30$	\|: $3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 18 + 2 \cdot 10$

= $- 18 + 20$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (10|2)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 2$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 2$

= ${(x + 5)}^{2} - 23$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-23).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 2$ = $25 - 50 + 2$ = -23

also: S(-5|-23).

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1. Weg

2. Weg