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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 5 y$ = 0.

Bestimme x so, dass (x|2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x - 5 \cdot 2$ = 0

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot 2$	=	0
$2 x - 10$	=	0	\| $+ 10$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
$x$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (5|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - 5 y$ = $38$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-6)
denn -4⋅( - 2 ) -5⋅( - 6 ) = 8 +30 = $38$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|-2)
denn -4⋅( - 7 ) -5⋅( - 2 ) = 28 +10 = $38$

Oder : (3|-10)
denn -4⋅3 -5⋅( - 10 ) = -12 +50 = $38$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & = & - 12 & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & - 36 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & = & - 12 & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & - 36 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$- 12$	\|: $2$
$x$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 6 & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & - 36 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 6) + 4 y$	=	$- 36$
$- 12 + 4 y$	=	$- 36$
$4 y - 12$	=	$- 36$	\| $+ 12$
$4 y$	=	$- 24$	\|: $4$
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 4 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 4 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$4$
$y + 3 x$	=	$4$	\| $- 3 x$
$y$	=	$4 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (4 - 3 x) & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 3 \cdot (4 - 3 x)$	=	$3$
$- 4 x - 12 + 9 x$	=	$3$
$5 x - 12$	=	$3$	\| $+ 12$
$5 x$	=	$15$	\|: $5$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4 - 3 \cdot 3$

= $4 - 9$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + y & = & - 8 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + y & = & - 8 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 11$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 11 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + y & = & - 8 & (I) \\ x & = & (- 11 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 11 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 11 - 2 y) + y$	=	$- 8$
$- 11 - 2 y + y$	=	$- 8$
$- y - 11$	=	$- 8$	\| $+ 11$
$- y$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 11 - 2 \cdot (- 3)$

= $- 11 + 6$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & - \frac{1}{2} y & = & - \frac{9}{2} & (I) \\ \frac{1}{3} x & - \frac{1}{2} y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & - \frac{1}{2} y & = & - \frac{9}{2} & (I) \\ \frac{1}{3} x & - \frac{1}{2} y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} y$	=	$- \frac{9}{2}$
$- \frac{1}{2} y + \frac{1}{2} x$	=	$- \frac{9}{2}$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} y + \frac{1}{2} x)$	=	$- 9$
$- y + x$	=	$- 9$	\| $- x$
$- y$	=	$- 9 - x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$9 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (9 + x) & (I) \\ \frac{1}{3} x & - \frac{1}{2} y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $9 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{3} x - \frac{1}{2} \cdot (9 + x)$	=	$- 4$
$\frac{1}{3} x - \frac{9}{2} - \frac{1}{2} x$	=	$- 4$
$- \frac{1}{6} x - \frac{9}{2}$	=	$- 4$	\|⋅ 6
$6 (- \frac{1}{6} x - \frac{9}{2})$	=	$- 24$
$- x - 27$	=	$- 24$	\| $+ 27$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $9 - 3$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +1y = ?

7x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

4x +1y = -4 -1 = -5

7x +5y = -7 -5 = -12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +1y = -5

7x +5y = -12

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 11 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 11 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	$5$
$- y - 2 x$	=	$5$	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$5 + 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 5 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 11 & (I) \\ + y & = & (- 5 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 5 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 1 \cdot (- 5 - 2 x)$	=	$11$
$- 2 x - 5 - 2 x$	=	$11$
$- 4 x - 5$	=	$11$	\| $+ 5$
$- 4 x$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 5 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 5 + 8$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 34. Wenn man aber vom 3-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -3. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 6 y & = & 34 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 6 y$	=	$34$	\| $- 6 y$
$x$	=	$34 - 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (34 - 6 y) & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $34 - 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (34 - 6 y) - 3 y$	=	$- 3$
$102 - 18 y - 3 y$	=	$- 3$
$- 21 y + 102$	=	$- 3$	\| $- 102$
$- 21 y$	=	$- 105$	\|:( $- 21$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $34 - 6 \cdot 5$

= $34 - 30$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-5) und B(-2|10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|10): 10 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
10 = 4 -2b +c |-4

-6 = 1b +c
6 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$6$
$c - 2 b$	=	$6$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$6 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (6 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (6 + 2 b)$	=	$- 6$
$b + 6 + 2 b$	=	$- 6$
$3 b + 6$	=	$- 6$	\| $- 6$
$3 b$	=	$- 12$	\|: $3$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6 + 2 \cdot (- 4)$

= $6 - 8$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|10) und B(3|34) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

B(3|34): 34 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 +1b +c |-1
34 = 9 +3b +c |-9

9 = 1b +c
25 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ 3 b & + c & = & 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$25$
$c + 3 b$	=	$25$	\| $- 3 b$
$c$	=	$25 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (25 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $25 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (25 - 3 b)$	=	$9$
$b + 25 - 3 b$	=	$9$
$- 2 b + 25$	=	$9$	\| $- 25$
$- 2 b$	=	$- 16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $25 - 3 \cdot 8$

= $25 - 24$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (8|1)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 + 1$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 + 1$

= ${(x + 4)}^{2} - 15$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-15).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) + 1$ = $16 - 32 + 1$ = -15

also: S(-4|-15).

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg