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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 5 y$ = $36$ .

Bestimme y so, dass (1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$1 + 5 y$ = $36$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$1 + 5 y$	=	$36$
$1 + 5 y$	=	$36$
$5 y + 1$	=	$36$	\| $- 1$
$5 y$	=	$35$	\|: $5$
$y$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (1|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 3 y$ = $- 10$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-2)
denn 2⋅( - 2 ) +3⋅( - 2 ) = -4 -6 = $- 10$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|-4)
denn 2⋅1 +3⋅( - 4 ) = 2 -12 = $- 10$

Oder : (-5|0)
denn 2⋅( - 5 ) +3⋅0 = -10 +0 = $- 10$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - y & = & - 3 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - y & = & - 3 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- y$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 3 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot 3$	=	$6$
$2 x - 6$	=	$6$	\| $+ 6$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 6 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 6 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 6$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 6 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 6 - 2 y) & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 6 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 6 - 2 y) + 3 y$	=	$- 6$
$- 12 - 4 y + 3 y$	=	$- 6$
$- y - 12$	=	$- 6$	\| $+ 12$
$- y$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 6 - 2 \cdot (- 6)$

= $- 6 + 12$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 7 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 7 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$7$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$7 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (7 + 4 y) & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (7 + 4 y) - 3 y$	=	$24$
$- 21 - 12 y - 3 y$	=	$24$
$- 15 y - 21$	=	$24$	\| $+ 21$
$- 15 y$	=	$45$	\|:( $- 15$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7 + 4 \cdot (- 3)$

= $7 - 12$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - \frac{2}{3} y & = & - 10 & (I) \\ - x & + \frac{1}{5} y & = & \frac{27}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - \frac{2}{3} y & = & - 10 & (I) \\ - x & + \frac{1}{5} y & = & \frac{27}{5} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + \frac{1}{5} y$	=	$\frac{27}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- x + \frac{1}{5} y)$	=	$27$
$- 5 x + y$	=	$27$	\| $- y$
$- 5 x$	=	$27 - y$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- \frac{27}{5} + \frac{1}{5} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - \frac{2}{3} y & = & - 10 & (I) \\ x & = & (- \frac{27}{5} + \frac{1}{5} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- \frac{27}{5} + \frac{1}{5} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- \frac{27}{5} + \frac{1}{5} y) - \frac{2}{3} y$	=	$- 10$
$- \frac{54}{5} + \frac{2}{5} y - \frac{2}{3} y$	=	$- 10$
$- \frac{4}{15} y - \frac{54}{5}$	=	$- 10$	\|⋅ 15
$15 (- \frac{4}{15} y - \frac{54}{5})$	=	$- 150$
$- 4 y - 162$	=	$- 150$	\| $+ 162$
$- 4 y$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- \frac{27}{5} + \frac{1}{5} \cdot (- 3)$

= $- \frac{27}{5} - \frac{3}{5}$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +3y = ?

5x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

2x +3y = -8 +9 = 1

5x +6y = -20 +18 = -2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +3y = 1

5x +6y = -2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & 12 & (I) \\ - 3 x & + y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & 12 & (I) \\ - 3 x & + y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$- 24$
$y - 3 x$	=	$- 24$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$- 24 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & 12 & (I) \\ + y & = & (- 24 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 24 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 5 \cdot (- 24 + 3 x)$	=	$12$
$- 3 x + 120 - 15 x$	=	$12$
$- 18 x + 120$	=	$12$	\| $- 120$
$- 18 x$	=	$- 108$	\|:( $- 18$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 24 + 3 \cdot 6$

= $- 24 + 18$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 135 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 190 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & 135 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 190 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 3 y$	=	$135$
$- 3 y + 2 x$	=	$135$	\| $- 2 x$
$- 3 y$	=	$135 - 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 45 + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 45 + \frac{2}{3} x) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 190 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 45 + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot (- 45 + \frac{2}{3} x)$	=	$190$
$2 x + 90 - \frac{4}{3} x$	=	$190$
$\frac{2}{3} x + 90$	=	$190$	\|⋅ 3
$3 (\frac{2}{3} x + 90)$	=	$570$
$2 x + 270$	=	$570$	\| $- 270$
$2 x$	=	$300$	\|: $2$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 45 + \frac{2}{3} \cdot 150$

= $- 45 + 100$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (150|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(2|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-7): -7 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
-7 = 4 +2b +c |-4

7 = -1b +c
-11 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 11$
$c + 2 b$	=	$- 11$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 11 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (- 11 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 11 - 2 b)$	=	$7$
$- b - 11 - 2 b$	=	$7$
$- 3 b - 11$	=	$7$	\| $+ 11$
$- 3 b$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 - 2 \cdot (- 6)$

= $- 11 + 12$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-1) und B(2|20) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-1): -1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|20): 20 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 -1b +c |-1
20 = 4 +2b +c |-4

-2 = -1b +c
16 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ 2 b & + c & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$16$
$c + 2 b$	=	$16$	\| $- 2 b$
$c$	=	$16 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (16 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $16 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (16 - 2 b)$	=	$- 2$
$- b + 16 - 2 b$	=	$- 2$
$- 3 b + 16$	=	$- 2$	\| $- 16$
$- 3 b$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $16 - 2 \cdot 6$

= $16 - 12$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 4$ = $9 - 18 + 4$ = -5

also: S(-3|-5).

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1. Weg

2. Weg