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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 4 y$ = $9$ .

Bestimme x so, dass (x|3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$x + 4 \cdot 3$ = $9$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x + 4 \cdot 3$	=	$9$
$x + 12$	=	$9$	\| $- 12$
$x$	=	$- 3$

Die Lösung ist somit: (-3|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 4 y$ = $18$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|7)
denn -5⋅2 +4⋅7 = -10 +28 = $18$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|12)
denn -5⋅6 +4⋅12 = -30 +48 = $18$

Oder : (-2|2)
denn -5⋅( - 2 ) +4⋅2 = 10 +8 = $18$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ - 4 x & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ - 4 x & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ x & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot 3 - 2 y$	=	$6$
$12 - 2 y$	=	$6$
$- 2 y + 12$	=	$6$	\| $- 12$
$- 2 y$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & - 2 & (I) \\ 4 x & + y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & - 2 & (I) \\ 4 x & + y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$21$
$y + 4 x$	=	$21$	\| $- 4 x$
$y$	=	$21 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & - 2 & (I) \\ + y & = & (21 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $21 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 3 \cdot (21 - 4 x)$	=	$- 2$
$- x + 63 - 12 x$	=	$- 2$
$- 13 x + 63$	=	$- 2$	\| $- 63$
$- 13 x$	=	$- 65$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $21 - 4 \cdot 5$

= $21 - 20$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & - 15 & (I) \\ - 5 x & - y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 5 y & = & - 15 & (I) \\ - 5 x & - y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x - y$	=	$- 21$
$- y - 5 x$	=	$- 21$	\| $+ 5 x$
$- y$	=	$- 21 + 5 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$21 - 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & - 15 & (I) \\ + y & = & (21 - 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $21 - 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 5 \cdot (21 - 5 x)$	=	$- 15$
$x + 105 - 25 x$	=	$- 15$
$- 24 x + 105$	=	$- 15$	\| $- 105$
$- 24 x$	=	$- 120$	\|:( $- 24$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $21 - 5 \cdot 5$

= $21 - 25$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + \frac{1}{5} y & = & 3 & (I) \\ \frac{2}{3} x & + \frac{2}{3} y & = & \frac{14}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + \frac{1}{5} y & = & 3 & (I) \\ \frac{2}{3} x & + \frac{2}{3} y & = & \frac{14}{3} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + \frac{1}{5} y$	=	$3$	\|⋅ 5
$5 (x + \frac{1}{5} y)$	=	$15$
$5 x + y$	=	$15$	\| $- y$
$5 x$	=	$15 - y$	\|: $5$
$x$	=	$3 - \frac{1}{5} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (3 - \frac{1}{5} y) & (I) \\ \frac{2}{3} x & + \frac{2}{3} y & = & \frac{14}{3} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $3 - \frac{1}{5} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{2}{3} \cdot (3 - \frac{1}{5} y) + \frac{2}{3} y$	=	$\frac{14}{3}$
$2 - \frac{2}{15} y + \frac{2}{3} y$	=	$\frac{14}{3}$
$\frac{8}{15} y + 2$	=	$\frac{14}{3}$	\|⋅ 15
$15 (\frac{8}{15} y + 2)$	=	$70$
$8 y + 30$	=	$70$	\| $- 30$
$8 y$	=	$40$	\|: $8$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $3 - \frac{1}{5} \cdot 5$

= $3 - 1$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +5y = ?

7x +10y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

5x +5y = 10 +15 = 25

7x +10y = 14 +30 = 44

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +5y = 25

7x +10y = 44

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & + 4 y & = & 26 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & + 4 y & = & 26 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x + 4 y$	=	$26$
$4 y - 5 x$	=	$26$	\| $+ 5 x$
$4 y$	=	$26 + 5 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{13}{2} + \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{13}{2} + \frac{5}{4} x) & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{13}{2} + \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 2 \cdot (\frac{13}{2} + \frac{5}{4} x)$	=	$10$
$- 2 x + 13 + \frac{5}{2} x$	=	$10$
$\frac{1}{2} x + 13$	=	$10$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x + 13)$	=	$20$
$x + 26$	=	$20$	\| $- 26$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{13}{2} + \frac{5}{4} \cdot (- 6)$

= $\frac{13}{2} - \frac{15}{2}$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 104 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 176 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 4 y & = & 104 & (I) \\ 9 x & + 7 y & = & 176 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 4 y$	=	$104$
$4 y + 6 x$	=	$104$	\| $- 6 x$
$4 y$	=	$104 - 6 x$	\|: $4$
$y$	=	$26 - \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (26 - \frac{3}{2} x) & (I) \\ 9 x & + 7 y & = & 176 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $26 - \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9 x + 7 \cdot (26 - \frac{3}{2} x)$	=	$176$
$9 x + 182 - \frac{21}{2} x$	=	$176$
$- \frac{3}{2} x + 182$	=	$176$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{3}{2} x + 182)$	=	$352$
$- 3 x + 364$	=	$352$	\| $- 364$
$- 3 x$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $26 - \frac{3}{2} \cdot 4$

= $26 - 6$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (4|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-4) und B(3|-16) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-16): -16 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 +1b +c |-1
-16 = 9 +3b +c |-9

-5 = 1b +c
-25 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 25$
$c + 3 b$	=	$- 25$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 25 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 25 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 25 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 25 - 3 b)$	=	$- 5$
$b - 25 - 3 b$	=	$- 5$
$- 2 b - 25$	=	$- 5$	\| $+ 25$
$- 2 b$	=	$20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 25 - 3 \cdot (- 10)$

= $- 25 + 30$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|5)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-5) und B(-3|-1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-1): -1 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 -1b +c |-1
-1 = 9 -3b +c |-9

-6 = -1b +c
-10 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 10$
$c - 3 b$	=	$- 10$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 10 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 10 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 10 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 10 + 3 b)$	=	$- 6$
$- b - 10 + 3 b$	=	$- 6$
$2 b - 10$	=	$- 6$	\| $+ 10$
$2 b$	=	$4$	\|: $2$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 10 + 3 \cdot 2$

= $- 10 + 6$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 4$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 4$

= ${(x + 1)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 4$ = $1 - 2 - 4$ = -5

also: S(-1|-5).

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1. Weg

2. Weg