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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 5 y$ = $42$ .

Bestimme y so, dass (4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$3 \cdot 4 - 5 y$ = $42$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3 \cdot 4 - 5 y$	=	$42$
$12 - 5 y$	=	$42$
$- 5 y + 12$	=	$42$	\| $- 12$
$- 5 y$	=	$30$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (4|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 3 y$ = $- 9$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-4)
denn -3⋅( - 1 ) +3⋅( - 4 ) = 3 -12 = $- 9$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-1)
denn -3⋅2 +3⋅( - 1 ) = -6 -3 = $- 9$

Oder : (-4|-7)
denn -3⋅( - 4 ) +3⋅( - 7 ) = 12 -21 = $- 9$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & = & - 1 & (I) \\ 2 x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & = & - 1 & (I) \\ 2 x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 1 & (I) \\ 2 x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot 1 - y$	=	0
$2 - y$	=	0
$- y + 2$	=	0	\| $- 2$
$- y$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 12 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 12 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 17$
$y + 4 x$	=	$- 17$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 17 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 12 & (I) \\ + y & = & (- 17 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 17 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 4 \cdot (- 17 - 4 x)$	=	$12$
$- 2 x + 68 + 16 x$	=	$12$
$14 x + 68$	=	$12$	\| $- 68$
$14 x$	=	$- 56$	\|: $14$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 17 - 4 \cdot (- 4)$

= $- 17 + 16$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 1 & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 1 & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 4 y$	=	$1$
$- 4 y - 3 x$	=	$1$	\| $+ 3 x$
$- 4 y$	=	$1 + 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 5 \cdot (- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} x)$	=	$- 30$
$- 2 x - \frac{5}{4} - \frac{15}{4} x$	=	$- 30$
$- \frac{23}{4} x - \frac{5}{4}$	=	$- 30$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{23}{4} x - \frac{5}{4})$	=	$- 120$
$- 23 x - 5$	=	$- 120$	\| $+ 5$
$- 23 x$	=	$- 115$	\|:( $- 23$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} \cdot 5$

= $- \frac{1}{4} - \frac{15}{4}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{4} x & - \frac{1}{2} y & = & - \frac{15}{4} & (I) \\ 3 x & - y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{4} x & - \frac{1}{2} y & = & - \frac{15}{4} & (I) \\ 3 x & - y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x - y$	=	$10$
$- y + 3 x$	=	$10$	\| $- 3 x$
$- y$	=	$10 - 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 10 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - \frac{1}{4} x & - \frac{1}{2} y & = & - \frac{15}{4} & (I) \\ + y & = & (- 10 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 10 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{4} x - \frac{1}{2} \cdot (- 10 + 3 x)$	=	$- \frac{15}{4}$
$- \frac{1}{4} x + 5 - \frac{3}{2} x$	=	$- \frac{15}{4}$
$- \frac{7}{4} x + 5$	=	$- \frac{15}{4}$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{7}{4} x + 5)$	=	$- 15$
$- 7 x + 20$	=	$- 15$	\| $- 20$
$- 7 x$	=	$- 35$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 10 + 3 \cdot 5$

= $- 10 + 15$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +1y = ?

-5x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-3x +1y = -9 +2 = -7

-5x +4y = -15 +8 = -7

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +1y = -7

-5x +4y = -7

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 21 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 21 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 4 y$	=	$21$
$- 4 y - 5 x$	=	$21$	\| $+ 5 x$
$- 4 y$	=	$21 + 5 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{21}{4} - \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{21}{4} - \frac{5}{4} x) & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{21}{4} - \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 2 \cdot (- \frac{21}{4} - \frac{5}{4} x)$	=	$12$
$- 2 x - \frac{21}{2} - \frac{5}{2} x$	=	$12$
$- \frac{9}{2} x - \frac{21}{2}$	=	$12$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{9}{2} x - \frac{21}{2})$	=	$24$
$- 9 x - 21$	=	$24$	\| $+ 21$
$- 9 x$	=	$45$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{21}{4} - \frac{5}{4} \cdot (- 5)$

= $- \frac{21}{4} + \frac{25}{4}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 7 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 263 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 225 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 7 y & = & 263 & (I) \\ 5 x & + 6 y & = & 225 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 7 y$	=	$263$
$7 y + 6 x$	=	$263$	\| $- 6 x$
$7 y$	=	$263 - 6 x$	\|: $7$
$y$	=	$\frac{263}{7} - \frac{6}{7} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{263}{7} - \frac{6}{7} x) & (I) \\ 5 x & + 6 y & = & 225 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{263}{7} - \frac{6}{7} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 6 \cdot (\frac{263}{7} - \frac{6}{7} x)$	=	$225$
$5 x + \frac{1578}{7} - \frac{36}{7} x$	=	$225$
$- \frac{1}{7} x + \frac{1578}{7}$	=	$225$	\|⋅ 7
$7 (- \frac{1}{7} x + \frac{1578}{7})$	=	$1 575$
$- x + 1 578$	=	$1 575$	\| $- 1 578$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{263}{7} - \frac{6}{7} \cdot 3$

= $\frac{263}{7} - \frac{18}{7}$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (3|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|4) und B(-1|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|4): 4 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 +1b +c |-1
-4 = 1 -1b +c |-1

3 = 1b +c
-5 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ - b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 5$
$c - b$	=	$- 5$	\| $+ b$
$c$	=	$- 5 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (- 5 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 5 + b)$	=	$3$
$b - 5 + b$	=	$3$
$2 b - 5$	=	$3$	\| $+ 5$
$2 b$	=	$8$	\|: $2$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 + 4$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-2) und B(-3|-6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-6): -6 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 -1b +c |-1
-6 = 9 -3b +c |-9

-3 = -1b +c
-15 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 15$
$c - 3 b$	=	$- 15$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 15 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 15 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 15 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 15 + 3 b)$	=	$- 3$
$- b - 15 + 3 b$	=	$- 3$
$2 b - 15$	=	$- 3$	\| $+ 15$
$2 b$	=	$12$	\|: $2$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 15 + 3 \cdot 6$

= $- 15 + 18$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 3$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 3$

= ${(x + 3)}^{2} - 6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 3$ = $9 - 18 + 3$ = -6

also: S(-3|-6).

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