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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - y$ = $- 18$ .

Bestimme y so, dass (3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 \cdot 3 - y$ = $- 18$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 4 \cdot 3 - y$	=	$- 18$
$- 12 - y$	=	$- 18$
$- y - 12$	=	$- 18$	\| $+ 12$
$- y$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (3|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - y$ = $- 2$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-4)
denn 3⋅( - 2 ) -1⋅( - 4 ) = -6 +4 = $- 2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-7)
denn 3⋅( - 3 ) -1⋅( - 7 ) = -9 +7 = $- 2$

Oder : (-1|-1)
denn 3⋅( - 1 ) -1⋅( - 1 ) = -3 +1 = $- 2$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ x & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $1$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot 1 - 2 y$	=	$6$
$- 2 - 2 y$	=	$6$
$- 2 y - 2$	=	$6$	\| $+ 2$
$- 2 y$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 8 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 8 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 3$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 3 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 8 & (I) \\ x & = & (- 3 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 3 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 3 - 2 y) - 4 y$	=	$8$
$12 + 8 y - 4 y$	=	$8$
$4 y + 12$	=	$8$	\| $- 12$
$4 y$	=	$- 4$	\|: $4$
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 3 - 2 \cdot (- 1)$

= $- 3 + 2$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & - 7 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & - 7 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 5 y$	=	$- 7$
$- 5 y + 2 x$	=	$- 7$	\| $- 2 x$
$- 5 y$	=	$- 7 - 2 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$\frac{7}{5} + \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{7}{5} + \frac{2}{5} x) & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{7}{5} + \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot (\frac{7}{5} + \frac{2}{5} x)$	=	$- 18$
$- 3 x - \frac{14}{5} - \frac{4}{5} x$	=	$- 18$
$- \frac{19}{5} x - \frac{14}{5}$	=	$- 18$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{19}{5} x - \frac{14}{5})$	=	$- 90$
$- 19 x - 14$	=	$- 90$	\| $+ 14$
$- 19 x$	=	$- 76$	\|:( $- 19$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{7}{5} + \frac{2}{5} \cdot 4$

= $\frac{7}{5} + \frac{8}{5}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{3}{4} x & - \frac{3}{4} y & = & \frac{3}{2} & (I) \\ \frac{3}{2} x & - \frac{3}{5} y & = & \frac{21}{10} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{3}{4} x & - \frac{3}{4} y & = & \frac{3}{2} & (I) \\ \frac{3}{2} x & - \frac{3}{5} y & = & \frac{21}{10} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{3}{4} x - \frac{3}{4} y$	=	$\frac{3}{2}$
$- \frac{3}{4} y + \frac{3}{4} x$	=	$\frac{3}{2}$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{3}{4} y + \frac{3}{4} x)$	=	$6$
$- 3 y + 3 x$	=	$6$	\| $- 3 x$
$- 3 y$	=	$6 - 3 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 2 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 + x) & (I) \\ \frac{3}{2} x & - \frac{3}{5} y & = & \frac{21}{10} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{2} x - \frac{3}{5} \cdot (- 2 + x)$	=	$\frac{21}{10}$
$\frac{3}{2} x + \frac{6}{5} - \frac{3}{5} x$	=	$\frac{21}{10}$
$\frac{9}{10} x + \frac{6}{5}$	=	$\frac{21}{10}$	\|⋅ 10
$10 (\frac{9}{10} x + \frac{6}{5})$	=	$21$
$9 x + 12$	=	$21$	\| $- 12$
$9 x$	=	$9$	\|: $9$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 + 1$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +3y = ?

6x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

3x +3y = -6 +12 = 6

6x +4y = -12 +16 = 4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +3y = 6

6x +4y = 4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 10 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 10 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	0	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 10 & (I) \\ x & = & - 3 y & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 3 y$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 3 y) - 2 y$	=	$10$
$- 3 y - 2 y$	=	$10$
$- 5 y$	=	$10$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 3 \cdot (- 2)$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 830 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 760 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & 830 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 760 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 2 y$	=	$830$
$- 2 y + 3 x$	=	$830$	\| $- 3 x$
$- 2 y$	=	$830 - 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 415 + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 415 + \frac{3}{2} x) & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 760 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 415 + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 4 \cdot (- 415 + \frac{3}{2} x)$	=	$760$
$3 x + 1 660 - 6 x$	=	$760$
$- 3 x + 1 660$	=	$760$	\| $- 1 660$
$- 3 x$	=	$- 900$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 415 + \frac{3}{2} \cdot 300$

= $- 415 + 450$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (300|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|5) und B(3|17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|5): 5 = 1² + b⋅1 +c

B(3|17): 17 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 +1b +c |-1
17 = 9 +3b +c |-9

4 = 1b +c
8 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ 3 b & + c & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$8$
$c + 3 b$	=	$8$	\| $- 3 b$
$c$	=	$8 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (8 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $8 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (8 - 3 b)$	=	$4$
$b + 8 - 3 b$	=	$4$
$- 2 b + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$- 2 b$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $8 - 3 \cdot 2$

= $8 - 6$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|3) und B(-3|7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|3): 3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|7): 7 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 -1b +c |-1
7 = 9 -3b +c |-9

2 = -1b +c
-2 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 2 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 2$
$c - 3 b$	=	$- 2$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 2 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 2 & (I) \\ + c & = & (- 2 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 2 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 2 + 3 b)$	=	$2$
$- b - 2 + 3 b$	=	$2$
$2 b - 2$	=	$2$	\| $+ 2$
$2 b$	=	$4$	\|: $2$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 2 + 3 \cdot 2$

= $- 2 + 6$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 + 4$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 + 4$

= ${(x + 1)}^{2} + 3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 4$ = $1 - 2 + 4$ = 3

also: S(-1|3).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

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