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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 5 y$ = $- 8$ .

Bestimme y so, dass (2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 \cdot 2 + 5 y$ = $- 8$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 4 \cdot 2 + 5 y$	=	$- 8$
$- 8 + 5 y$	=	$- 8$
$5 y - 8$	=	$- 8$	\| $+ 8$
$5 y$	=	0	\|: $5$
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (2|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 4 y$ = $- 40$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-5)
denn 5⋅( - 4 ) +4⋅( - 5 ) = -20 -20 = $- 40$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|-10)
denn 5⋅0 +4⋅( - 10 ) = 0 -40 = $- 40$

Oder : (-8|0)
denn 5⋅( - 8 ) +4⋅0 = -40 +0 = $- 40$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & - 10 & (I) \\ 2 x & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & - 10 & (I) \\ 2 x & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$12$	\|: $2$
$x$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & - 10 & (I) \\ x & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot 6 + 4 y$	=	$- 10$
$- 18 + 4 y$	=	$- 10$
$4 y - 18$	=	$- 10$	\| $+ 18$
$4 y$	=	$8$	\|: $4$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & - 10 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & - 10 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$- 13$
$y - 2 x$	=	$- 13$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$- 13 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & - 10 & (I) \\ + y & = & (- 13 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 13 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 4 \cdot (- 13 + 2 x)$	=	$- 10$
$- x - 52 + 8 x$	=	$- 10$
$7 x - 52$	=	$- 10$	\| $+ 52$
$7 x$	=	$42$	\|: $7$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 13 + 2 \cdot 6$

= $- 13 + 12$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & - 3 y & = & - 2 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 3 y & = & - 2 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 3 y$	=	$- 2$
$- 3 y - 5 x$	=	$- 2$	\| $+ 5 x$
$- 3 y$	=	$- 2 + 5 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$\frac{2}{3} - \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{2}{3} - \frac{5}{3} x) & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & - 30 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{2}{3} - \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 5 \cdot (\frac{2}{3} - \frac{5}{3} x)$	=	$- 30$
$5 x - \frac{10}{3} + \frac{25}{3} x$	=	$- 30$
$\frac{40}{3} x - \frac{10}{3}$	=	$- 30$	\|⋅ 3
$3 (\frac{40}{3} x - \frac{10}{3})$	=	$- 90$
$40 x - 10$	=	$- 90$	\| $+ 10$
$40 x$	=	$- 80$	\|: $40$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{2}{3} - \frac{5}{3} \cdot (- 2)$

= $\frac{2}{3} + \frac{10}{3}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & + \frac{1}{2} y & = & 3 & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{2} y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & + \frac{1}{2} y & = & 3 & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{2} y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y$	=	$3$
$\frac{1}{2} y - \frac{1}{2} x$	=	$3$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} y - \frac{1}{2} x)$	=	$6$
$y - x$	=	$6$	\| $+ x$
$y$	=	$6 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (6 + x) & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{2} y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $6 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (6 + x)$	=	$- 2$
$- \frac{1}{2} x - 3 - \frac{1}{2} x$	=	$- 2$
$- x - 3$	=	$- 2$	\| $+ 3$
$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $6 - 1$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +5y = ?

5x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

4x +5y = 4 +20 = 24

5x +5y = 5 +20 = 25

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +5y = 24

5x +5y = 25

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 9 & (I) \\ - 3 x & + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 9 & (I) \\ - 3 x & + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x - y$	=	$9$
$- y - 3 x$	=	$9$	\| $+ 3 x$
$- y$	=	$9 + 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 9 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 9 - 3 x) & (I) \\ - 3 x & + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 9 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 3 \cdot (- 9 - 3 x)$	=	$- 3$
$- 3 x - 27 - 9 x$	=	$- 3$
$- 12 x - 27$	=	$- 3$	\| $+ 27$
$- 12 x$	=	$24$	\|:( $- 12$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 9 - 3 \cdot (- 2)$

= $- 9 + 6$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 4 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 218 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 329 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 6 y & = & 218 & (I) \\ 7 x & + 9 y & = & 329 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 6 y$	=	$218$
$6 y + 4 x$	=	$218$	\| $- 4 x$
$6 y$	=	$218 - 4 x$	\|: $6$
$y$	=	$\frac{109}{3} - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{109}{3} - \frac{2}{3} x) & (I) \\ 7 x & + 9 y & = & 329 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{109}{3} - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x + 9 \cdot (\frac{109}{3} - \frac{2}{3} x)$	=	$329$
$7 x + 327 - 6 x$	=	$329$
$x + 327$	=	$329$	\| $- 327$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{109}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2$

= $\frac{109}{3} - \frac{4}{3}$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (2|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|11) und B(-1|-1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|11): 11 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-1): -1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
11 = 1 +1b +c |-1
-1 = 1 -1b +c |-1

10 = 1b +c
-2 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 10 & (I) \\ - b & + c & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 2$
$c - b$	=	$- 2$	\| $+ b$
$c$	=	$- 2 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 10 & (I) \\ + c & = & (- 2 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 2 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 2 + b)$	=	$10$
$b - 2 + b$	=	$10$
$2 b - 2$	=	$10$	\| $+ 2$
$2 b$	=	$12$	\|: $2$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 2 + 6$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-5) und B(3|-1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-1): -1 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
-1 = 9 +3b +c |-9

-6 = 1b +c
-10 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 10$
$c + 3 b$	=	$- 10$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 10 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 10 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 10 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 10 - 3 b)$	=	$- 6$
$b - 10 - 3 b$	=	$- 6$
$- 2 b - 10$	=	$- 6$	\| $+ 10$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 10 - 3 \cdot (- 2)$

= $- 10 + 6$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 - 4$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 - 4$

= ${(x - 1)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 - 4$ = $1 - 2 - 4$ = -5

also: S(1|-5).

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg