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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 2 y$ = $27$ .

Bestimme x so, dass (x|6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 x + 2 \cdot 6$ = $27$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 5 x + 2 \cdot 6$	=	$27$
$- 5 x + 12$	=	$27$	\| $- 12$
$- 5 x$	=	$15$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 3$

Die Lösung ist somit: (-3|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + 4 y$ = $- 3$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|0)
denn 3⋅( - 1 ) +4⋅0 = -3 +0 = $- 3$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|-3)
denn 3⋅3 +4⋅( - 3 ) = 9 -12 = $- 3$

Oder : (-5|3)
denn 3⋅( - 5 ) +4⋅3 = -15 +12 = $- 3$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & - 6 & (I) \\ 3 x & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & - 6 & (I) \\ 3 x & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & - 6 & (I) \\ x & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot 2 - 2 y$	=	$- 6$
$6 - 2 y$	=	$- 6$
$- 2 y + 6$	=	$- 6$	\| $- 6$
$- 2 y$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & - 23 & (I) \\ x & - 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & - 23 & (I) \\ x & - 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$10$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$10 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & - 23 & (I) \\ x & = & (10 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $10 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (10 + 4 y) - y$	=	$- 23$
$- 40 - 16 y - y$	=	$- 23$
$- 17 y - 40$	=	$- 23$	\| $+ 40$
$- 17 y$	=	$17$	\|:( $- 17$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $10 + 4 \cdot (- 1)$

= $10 - 4$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 21 & (I) \\ - 3 x & + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 21 & (I) \\ - 3 x & + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 3 y$	=	$21$
$3 y + 3 x$	=	$21$	\| $- 3 x$
$3 y$	=	$21 - 3 x$	\|: $3$
$y$	=	$7 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (7 - x) & (I) \\ - 3 x & + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $7 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 3 \cdot (7 - x)$	=	$- 9$
$- 3 x + 21 - 3 x$	=	$- 9$
$- 6 x + 21$	=	$- 9$	\| $- 21$
$- 6 x$	=	$- 30$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $7 - 5$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$x + 5 + 6 y$	=	$25 + y$			(I)
$2 (4 - y)$	=	$2 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$x + 5 + 6 y$	=	$25 + y$			(I)
$2 (4 - y)$	=	$2 x$			(II)

$x + 5 + 6 y$	=	$25 + y$	\| $- 5 - y$		(I)
$8 - 2 y$	=	$2 x$	\| $- 8 - 2 x$		(II)

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 20 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$20$	\| $- 5 y$
$x$	=	$20 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (20 - 5 y) & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $20 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (20 - 5 y) - 2 y$	=	$- 8$
$- 40 + 10 y - 2 y$	=	$- 8$
$8 y - 40$	=	$- 8$	\| $+ 40$
$8 y$	=	$32$	\|: $8$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $20 - 5 \cdot 4$

= $20 - 20$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +3y = ?

-8x +8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-5x +3y = 10 -15 = -5

-8x +8y = 16 -40 = -24

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +3y = -5

-8x +8y = -24

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 5 x & - 2 y & = & - 8 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & - 2 y & = & - 8 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 2 y$	=	$- 8$
$- 2 y + 5 x$	=	$- 8$	\| $- 5 x$
$- 2 y$	=	$- 8 - 5 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$4 + \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (4 + \frac{5}{2} x) & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4 + \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 2 \cdot (4 + \frac{5}{2} x)$	=	$- 8$
$3 x + 8 + 5 x$	=	$- 8$
$8 x + 8$	=	$- 8$	\| $- 8$
$8 x$	=	$- 16$	\|: $8$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4 + \frac{5}{2} \cdot (- 2)$

= $4 - 5$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 840 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1050 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & 840 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 1050 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 2 y$	=	$840$
$- 2 y + 3 x$	=	$840$	\| $- 3 x$
$- 2 y$	=	$840 - 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 420 + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 420 + \frac{3}{2} x) & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 1050 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 420 + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 5 \cdot (- 420 + \frac{3}{2} x)$	=	$1050$
$4 x + 2 100 - \frac{15}{2} x$	=	$1050$
$- \frac{7}{2} x + 2 100$	=	$1050$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{7}{2} x + 2 100)$	=	$2 100$
$- 7 x + 4 200$	=	$2 100$	\| $- 4 200$
$- 7 x$	=	$- 2 100$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 420 + \frac{3}{2} \cdot 300$

= $- 420 + 450$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|5) und B(1|-11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|5): 5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-11): -11 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 -1b +c |-1
-11 = 1 +1b +c |-1

4 = -1b +c
-12 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ b & + c & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 12$
$c + b$	=	$- 12$	\| $- b$
$c$	=	$- 12 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (- 12 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 12 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 12 - b)$	=	$4$
$- b - 12 - b$	=	$4$
$- 2 b - 12$	=	$4$	\| $+ 12$
$- 2 b$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 12 - (- 8)$

= $- 12 + 8$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-4)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-6) und B(2|3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|3): 3 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
3 = 4 +2b +c |-4

-7 = -1b +c
-1 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 1$
$c + 2 b$	=	$- 1$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 1 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 1 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 1 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 1 - 2 b)$	=	$- 7$
$- b - 1 - 2 b$	=	$- 7$
$- 3 b - 1$	=	$- 7$	\| $+ 1$
$- 3 b$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 1 - 2 \cdot 2$

= $- 1 - 4$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 5$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 5$

= ${(x + 1)}^{2} - 6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 5$ = $1 - 2 - 5$ = -6

also: S(-1|-6).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg