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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 2 y$ = $34$ .

Bestimme y so, dass (-6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 \cdot (- 6) - 2 y$ = $34$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 5 \cdot (- 6) - 2 y$	=	$34$
$30 - 2 y$	=	$34$
$- 2 y + 30$	=	$34$	\| $- 30$
$- 2 y$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (-6|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 5 y$ = $44$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|6)
denn 2⋅7 +5⋅6 = 14 +30 = $44$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (12|4)
denn 2⋅12 +5⋅4 = 24 +20 = $44$

Oder : (2|8)
denn 2⋅2 +5⋅8 = 4 +40 = $44$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 3 y & = & 18 & (I) \\ x & + 3 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 3 y & = & 18 & (I) \\ x & + 3 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$18$	\|: $3$
$y$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 6 & (I) \\ x & + 3 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 3 \cdot 6$	=	$20$
$x + 18$	=	$20$	\| $- 18$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 23 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 23 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$- 22$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$- 22 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 23 & (I) \\ x & = & (- 22 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 22 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 22 + 4 y) - 3 y$	=	$- 23$
$- 88 + 16 y - 3 y$	=	$- 23$
$13 y - 88$	=	$- 23$	\| $+ 88$
$13 y$	=	$65$	\|: $13$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 22 + 4 \cdot 5$

= $- 22 + 20$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 28 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 25 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 28 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 25 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 4 y$	=	$28$
$- 4 y - 4 x$	=	$28$	\| $+ 4 x$
$- 4 y$	=	$28 + 4 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 7 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 7 - x) & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 25 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 7 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 5 \cdot (- 7 - x)$	=	$25$
$5 x + 35 + 5 x$	=	$25$
$10 x + 35$	=	$25$	\| $- 35$
$10 x$	=	$- 10$	\|: $10$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 7 - (- 1)$

= $- 7 + 1$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$5 x - 4 - y$	=	$- 34$			(I)
$- x - 4 y$	=	$6$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$5 x - 4 - y$	=	$- 34$	\| + $4$		(I)
$- x - 4 y$	=	$6$			(II)

\begin{matrix} 5 x & - y & = & - 30 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 4 y$	=	$6$	\| $+ 4 y$
$- x$	=	$6 + 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 5 x & - y & = & - 30 & (I) \\ x & = & (- 6 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 6 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (- 6 - 4 y) - y$	=	$- 30$
$- 30 - 20 y - y$	=	$- 30$
$- 21 y - 30$	=	$- 30$	\| $+ 30$
$- 21 y$	=	0	\|:( $- 21$ )
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 6 - 4 \cdot (0)$

= $- 6 + 0$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +2y = ?

-3x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-4x +2y = 12 -6 = 6

-3x +3y = 9 -9 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +2y = 6

-3x +3y = 0

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & - 1 & (I) \\ 8 x & + 16 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & - 1 & (I) \\ 8 x & + 16 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 4 y$	=	$- 1$
$- 4 y - 2 x$	=	$- 1$	\| $+ 2 x$
$- 4 y$	=	$- 1 + 2 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$\frac{1}{4} - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} x) & (I) \\ 8 x & + 16 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{4} - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 16 \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} x)$	=	$4$
$8 x + 4 - 8 x$	=	$4$
$4$	=	$4$	\| $- 4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 16. Wenn man aber vom 3-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -4. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 16 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$16$	\| $- 3 y$
$x$	=	$16 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (16 - 3 y) & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $16 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (16 - 3 y) - 4 y$	=	$- 4$
$48 - 9 y - 4 y$	=	$- 4$
$- 13 y + 48$	=	$- 4$	\| $- 48$
$- 13 y$	=	$- 52$	\|:( $- 13$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $16 - 3 \cdot 4$

= $16 - 12$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 4

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-2) und B(-1|2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
2 = 1 -1b +c |-1

-3 = 1b +c
1 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ - b & + c & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$1$
$c - b$	=	$1$	\| $+ b$
$c$	=	$1 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (1 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $1 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (1 + b)$	=	$- 3$
$b + 1 + b$	=	$- 3$
$2 b + 1$	=	$- 3$	\| $- 1$
$2 b$	=	$- 4$	\|: $2$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $1 - 2$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-1) und B(1|7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-1): -1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|7): 7 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 -1b +c |-1
7 = 1 +1b +c |-1

-2 = -1b +c
6 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ b & + c & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$6$
$c + b$	=	$6$	\| $- b$
$c$	=	$6 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (6 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (6 - b)$	=	$- 2$
$- b + 6 - b$	=	$- 2$
$- 2 b + 6$	=	$- 2$	\| $- 6$
$- 2 b$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6 - 4$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 + 2$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 + 2$

= ${(x + 2)}^{2} - 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 2$ = $4 - 8 + 2$ = -2

also: S(-2|-2).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg