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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 5 y$ = $- 23$ .

Bestimme y so, dass (-4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$2 \cdot (- 4) - 5 y$ = $- 23$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2 \cdot (- 4) - 5 y$	=	$- 23$
$- 8 - 5 y$	=	$- 23$
$- 5 y - 8$	=	$- 23$	\| $+ 8$
$- 5 y$	=	$- 15$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (-4|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 4 y$ = $12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|3)
denn -4⋅0 +4⋅3 = 0 +12 = $12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|7)
denn -4⋅4 +4⋅7 = -16 +28 = $12$

Oder : (-4|-1)
denn -4⋅( - 4 ) +4⋅( - 1 ) = 16 -4 = $12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 3 y & = & 15 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 3 y & = & 15 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$15$	\|: $3$
$y$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 5 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 3 \cdot 5$	=	$- 18$
$x - 15$	=	$- 18$	\| $+ 15$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 14 & (I) \\ - x & - 4 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 14 & (I) \\ - x & - 4 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 4 y$	=	$- 11$	\| $+ 4 y$
$- x$	=	$- 11 + 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$11 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 14 & (I) \\ x & = & (11 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $11 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (11 - 4 y) + y$	=	$14$
$44 - 16 y + y$	=	$14$
$- 15 y + 44$	=	$14$	\| $- 44$
$- 15 y$	=	$- 30$	\|:( $- 15$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $11 - 4 \cdot 2$

= $11 - 8$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - y & = & - 30 & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & - y & = & - 30 & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$5 x - y$	=	$- 30$
$- y + 5 x$	=	$- 30$	\| $- 5 x$
$- y$	=	$- 30 - 5 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$30 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (30 + 5 x) & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $30 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 5 \cdot (30 + 5 x)$	=	$18$
$- 3 x - 150 - 25 x$	=	$18$
$- 28 x - 150$	=	$18$	\| $+ 150$
$- 28 x$	=	$168$	\|:( $- 28$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $30 + 5 \cdot (- 6)$

= $30 - 30$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3 (- x + y)$	=	$- 4 x - 1 + 5 y$			(I)
$x$	=	$- 7 + 4 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3 (- x + y)$	=	$- 4 x - 1 + 5 y$			(I)
$x$	=	$- 7 + 4 y$			(II)

$- 3 x + 3 y$	=	$- 4 x - 1 + 5 y$	\| + $4 x - 5 y$		(I)
$x$	=	$- 7 + 4 y$	\| $- 4 y$		(II)

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 1 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$- 7$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$- 7 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 1 & (I) \\ x & = & (- 7 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 7 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 7 + 4 y) - 2 y$	=	$- 1$
$- 7 + 4 y - 2 y$	=	$- 1$
$2 y - 7$	=	$- 1$	\| $+ 7$
$2 y$	=	$6$	\|: $2$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 7 + 4 \cdot 3$

= $- 7 + 12$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +1y = ?

1x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

2x +1y = 6 +5 = 11

1x +4y = 3 +20 = 23

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +1y = 11

1x +4y = 23

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 3 & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 3 & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$3$
$y - 2 x$	=	$3$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$3 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3 + 2 x) & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 2 \cdot (3 + 2 x)$	=	$6$
$5 x + 6 + 4 x$	=	$6$
$9 x + 6$	=	$6$	\| $- 6$
$9 x$	=	0	\|: $9$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3 + 2 \cdot 0$

= $3 + 0$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (0|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 390 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 360 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & 390 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 360 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 2 y$	=	$390$
$- 2 y + 3 x$	=	$390$	\| $- 3 x$
$- 2 y$	=	$390 - 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 195 + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 195 + \frac{3}{2} x) & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 360 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 195 + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (- 195 + \frac{3}{2} x)$	=	$360$
$3 x + 585 - \frac{9}{2} x$	=	$360$
$- \frac{3}{2} x + 585$	=	$360$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{3}{2} x + 585)$	=	$720$
$- 3 x + 1 170$	=	$720$	\| $- 1 170$
$- 3 x$	=	$- 450$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 195 + \frac{3}{2} \cdot 150$

= $- 195 + 225$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (150|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|4) und B(1|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
-4 = 1 +1b +c |-1

3 = -1b +c
-5 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 5$
$c + b$	=	$- 5$	\| $- b$
$c$	=	$- 5 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (- 5 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 5 - b)$	=	$3$
$- b - 5 - b$	=	$3$
$- 2 b - 5$	=	$3$	\| $+ 5$
$- 2 b$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 - (- 4)$

= $- 5 + 4$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-6) und B(3|-6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-6): -6 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
-6 = 9 +3b +c |-9

-7 = 1b +c
-15 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 15$
$c + 3 b$	=	$- 15$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 15 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 15 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 15 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 15 - 3 b)$	=	$- 7$
$b - 15 - 3 b$	=	$- 7$
$- 2 b - 15$	=	$- 7$	\| $+ 15$
$- 2 b$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 15 - 3 \cdot (- 4)$

= $- 15 + 12$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 - 3$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 - 3$

= ${(x - 2)}^{2} - 7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 - 3$ = $4 - 8 - 3$ = -7

also: S(2|-7).

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg