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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + y$ = $- 9$ .

Bestimme x so, dass (x|6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 x + 6$ = $- 9$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 5 x + 6$	=	$- 9$
$- 5 x + 6$	=	$- 9$	\| $- 6$
$- 5 x$	=	$- 15$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 3 y$ = $- 17$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-1)
denn 5⋅( - 4 ) -3⋅( - 1 ) = -20 +3 = $- 17$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|-6)
denn 5⋅( - 7 ) -3⋅( - 6 ) = -35 +18 = $- 17$

Oder : (-1|4)
denn 5⋅( - 1 ) -3⋅4 = -5 -12 = $- 17$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & = & - 12 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & = & - 12 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 6 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot 6 + 3 y$	=	$30$
$24 + 3 y$	=	$30$
$3 y + 24$	=	$30$	\| $- 24$
$3 y$	=	$6$	\|: $3$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + y & = & - 5 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + y & = & - 5 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 8$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 8 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + y & = & - 5 & (I) \\ x & = & (- 8 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 8 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 8 - 2 y) + y$	=	$- 5$
$- 8 - 2 y + y$	=	$- 5$
$- y - 8$	=	$- 5$	\| $+ 8$
$- y$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 8 - 2 \cdot (- 3)$

= $- 8 + 6$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 5 y & = & - 15 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 5 y & = & - 15 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 5 y$	=	$- 15$
$5 y - 3 x$	=	$- 15$	\| $+ 3 x$
$5 y$	=	$- 15 + 3 x$	\|: $5$
$y$	=	$- 3 + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 3 + \frac{3}{5} x) & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 3 + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 5 \cdot (- 3 + \frac{3}{5} x)$	=	$20$
$4 x + 15 - 3 x$	=	$20$
$x + 15$	=	$20$	\| $- 15$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 3 + \frac{3}{5} \cdot 5$

= $- 3 + 3$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (5|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 5 x$	=	$- 23 + 3 y$			(I)
$- 3 x + 16$	=	$4 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 5 x$	=	$- 23 + 3 y$	\| $- 3 y$		(I)
$- 3 x + 16$	=	$4 y$	\| $- 16 - 4 y$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & - 3 y & = & - 23 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 3 y$	=	$- 23$
$- 3 y - 5 x$	=	$- 23$	\| $+ 5 x$
$- 3 y$	=	$- 23 + 5 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$\frac{23}{3} - \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{23}{3} - \frac{5}{3} x) & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{23}{3} - \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (\frac{23}{3} - \frac{5}{3} x)$	=	$- 16$
$- 3 x - \frac{92}{3} + \frac{20}{3} x$	=	$- 16$
$\frac{11}{3} x - \frac{92}{3}$	=	$- 16$	\|⋅ 3
$3 (\frac{11}{3} x - \frac{92}{3})$	=	$- 48$
$11 x - 92$	=	$- 48$	\| $+ 92$
$11 x$	=	$44$	\|: $11$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{23}{3} - \frac{5}{3} \cdot 4$

= $\frac{23}{3} - \frac{20}{3}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -3y = ?

1x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-2x -3y = 8 -9 = -1

1x +1y = -4 +3 = -1

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -3y = -1

1x +1y = -1

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 5 x & - y & = & - 31 & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & 45 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & - y & = & - 31 & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & 45 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$5 x - y$	=	$- 31$
$- y + 5 x$	=	$- 31$	\| $- 5 x$
$- y$	=	$- 31 - 5 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$31 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (31 + 5 x) & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & 45 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $31 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 5 \cdot (31 + 5 x)$	=	$45$
$- 3 x + 155 + 25 x$	=	$45$
$22 x + 155$	=	$45$	\| $- 155$
$22 x$	=	$- 110$	\|: $22$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $31 + 5 \cdot (- 5)$

= $31 - 25$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 350 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 350 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 5 y & = & 350 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 350 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 5 y$	=	$350$
$- 5 y + 4 x$	=	$350$	\| $- 4 x$
$- 5 y$	=	$350 - 4 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 70 + \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 70 + \frac{4}{5} x) & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 350 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 70 + \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 2 \cdot (- 70 + \frac{4}{5} x)$	=	$350$
$3 x + 140 - \frac{8}{5} x$	=	$350$
$\frac{7}{5} x + 140$	=	$350$	\|⋅ 5
$5 (\frac{7}{5} x + 140)$	=	$1 750$
$7 x + 700$	=	$1 750$	\| $- 700$
$7 x$	=	$1 050$	\|: $7$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 70 + \frac{4}{5} \cdot 150$

= $- 70 + 120$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (150|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|15) und B(1|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|15): 15 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
15 = 1 -1b +c |-1
-5 = 1 +1b +c |-1

14 = -1b +c
-6 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 14 & (I) \\ b & + c & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 6$
$c + b$	=	$- 6$	\| $- b$
$c$	=	$- 6 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 14 & (I) \\ + c & = & (- 6 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 6 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 6 - b)$	=	$14$
$- b - 6 - b$	=	$14$
$- 2 b - 6$	=	$14$	\| $+ 6$
$- 2 b$	=	$20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 6 - (- 10)$

= $- 6 + 10$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|4)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-8) und B(-4|-23) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-8): -8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-23): -23 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 -1b +c |-1
-23 = 16 -4b +c |-16

-9 = -1b +c
-39 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 9 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 39 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 39$
$c - 4 b$	=	$- 39$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 39 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 9 & (I) \\ + c & = & (- 39 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 39 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 39 + 4 b)$	=	$- 9$
$- b - 39 + 4 b$	=	$- 9$
$3 b - 39$	=	$- 9$	\| $+ 39$
$3 b$	=	$30$	\|: $3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 39 + 4 \cdot 10$

= $- 39 + 40$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|1)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 1$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 1$

= ${(x + 5)}^{2} - 24$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-24).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 1$ = $25 - 50 + 1$ = -24

also: S(-5|-24).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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1. Weg

2. Weg