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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + y$ = $- 5$ .

Bestimme x so, dass (x|-7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x + (- 7)$ = $- 5$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x + (- 7)$	=	$- 5$
$2 x - 7$	=	$- 5$	\| $+ 7$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (1|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 3 y$ = $13$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|5)
denn 1⋅( - 2 ) +3⋅5 = -2 +15 = $13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|4)
denn 1⋅1 +3⋅4 = 1 +12 = $13$

Oder : (-5|6)
denn 1⋅( - 5 ) +3⋅6 = -5 +18 = $13$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & = & 16 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & = & 16 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 4 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 4) - 2 y$	=	$14$
$4 - 2 y$	=	$14$
$- 2 y + 4$	=	$14$	\| $- 4$
$- 2 y$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & - 9 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & - 9 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$- 9$	\| $- 3 y$
$x$	=	$- 9 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 9 - 3 y) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 9 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 9 - 3 y) - 3 y$	=	$- 21$
$- 36 - 12 y - 3 y$	=	$- 21$
$- 15 y - 36$	=	$- 21$	\| $+ 36$
$- 15 y$	=	$15$	\|:( $- 15$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 9 - 3 \cdot (- 1)$

= $- 9 + 3$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 8 & (I) \\ x & + 4 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 8 & (I) \\ x & + 4 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$14$	\| $- 4 y$
$x$	=	$14 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 8 & (I) \\ x & = & (14 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $14 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (14 - 4 y) + 3 y$	=	$8$
$28 - 8 y + 3 y$	=	$8$
$- 5 y + 28$	=	$8$	\| $- 28$
$- 5 y$	=	$- 20$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $14 - 4 \cdot 4$

= $14 - 16$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{2}{5} x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{6}{5} & (I) \\ x & - \frac{1}{2} y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{2}{5} x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{6}{5} & (I) \\ x & - \frac{1}{2} y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - \frac{1}{2} y$	=	$- 1$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} y)$	=	$- 2$
$2 x - y$	=	$- 2$	\| $+ y$
$2 x$	=	$- 2 + y$	\|: $2$
$x$	=	$- 1 + \frac{1}{2} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{2}{5} x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{6}{5} & (I) \\ x & = & (- 1 + \frac{1}{2} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 1 + \frac{1}{2} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{2}{5} \cdot (- 1 + \frac{1}{2} y) - \frac{2}{5} y$	=	$- \frac{6}{5}$
$- \frac{2}{5} + \frac{1}{5} y - \frac{2}{5} y$	=	$- \frac{6}{5}$
$- \frac{1}{5} y - \frac{2}{5}$	=	$- \frac{6}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{1}{5} y - \frac{2}{5})$	=	$- 6$
$- y - 2$	=	$- 6$	\| $+ 2$
$- y$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 1 + \frac{1}{2} \cdot 4$

= $- 1 + 2$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -1y = ?

5x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

3x -1y = 9 +3 = 12

5x -3y = 15 +9 = 24

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -1y = 12

5x -3y = 24

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 5 x & - 3 y & = & 9 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & - 3 y & = & 9 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 3 y$	=	$9$
$- 3 y + 5 x$	=	$9$	\| $- 5 x$
$- 3 y$	=	$9 - 5 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 3 + \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 3 + \frac{5}{3} x) & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 3 + \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 5 \cdot (- 3 + \frac{5}{3} x)$	=	$- 15$
$- 5 x - 15 + \frac{25}{3} x$	=	$- 15$
$\frac{10}{3} x - 15$	=	$- 15$	\|⋅ 3
$3 (\frac{10}{3} x - 15)$	=	$- 45$
$10 x - 45$	=	$- 45$	\| $+ 45$
$10 x$	=	0	\|: $10$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 3 + \frac{5}{3} \cdot 0$

= $- 3 + 0$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 21. Wenn man aber vom 6-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 14. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 21 & (I) \\ 6 x & - 4 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$21$	\| $- 4 y$
$x$	=	$21 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (21 - 4 y) & (I) \\ 6 x & - 4 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $21 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (21 - 4 y) - 4 y$	=	$14$
$126 - 24 y - 4 y$	=	$14$
$- 28 y + 126$	=	$14$	\| $- 126$
$- 28 y$	=	$- 112$	\|:( $- 28$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $21 - 4 \cdot 4$

= $21 - 16$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 4

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-2) und B(4|-11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-11): -11 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
-11 = 16 +4b +c |-16

-3 = 1b +c
-27 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 27$
$c + 4 b$	=	$- 27$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 27 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 27 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 27 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 27 - 4 b)$	=	$- 3$
$b - 27 - 4 b$	=	$- 3$
$- 3 b - 27$	=	$- 3$	\| $+ 27$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 27 - 4 \cdot (- 8)$

= $- 27 + 32$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|5)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-5) und B(2|-10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-10): -10 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
-10 = 4 +2b +c |-4

-6 = 1b +c
-14 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 14$
$c + 2 b$	=	$- 14$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 14 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 14 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 14 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 14 - 2 b)$	=	$- 6$
$b - 14 - 2 b$	=	$- 6$
$- b - 14$	=	$- 6$	\| $+ 14$
$- b$	=	$8$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 14 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 14 + 16$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 + 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 + 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 14$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-14).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 + 2$ = $16 - 32 + 2$ = -14

also: S(4|-14).

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg