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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 4 y$ = $- 26$ .

Bestimme x so, dass (x|-5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 x + 4 \cdot (- 5)$ = $- 26$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 3 x + 4 \cdot (- 5)$	=	$- 26$
$- 3 x - 20$	=	$- 26$	\| $+ 20$
$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (2|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + y$ = $9$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|1)
denn 2⋅4 +1⋅1 = 8 +1 = $9$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|-1)
denn 2⋅5 +1⋅( - 1 ) = 10 -1 = $9$

Oder : (3|3)
denn 2⋅3 +1⋅3 = 6 +3 = $9$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 y & = & - 8 & (I) \\ x & + 2 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 y & = & - 8 & (I) \\ x & + 2 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 2 & (I) \\ x & + 2 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 2 \cdot 2$	=	$7$
$x + 4$	=	$7$	\| $- 4$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 10 & (I) \\ - x & + 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 10 & (I) \\ - x & + 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 2 y$	=	0	\| $- 2 y$
$- x$	=	$- 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 10 & (I) \\ x & = & 2 y & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $2 y$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot 2 y + y$	=	$10$
$- 6 y + y$	=	$10$
$- 5 y$	=	$10$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $2 \cdot (- 2)$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & - 14 & (I) \\ - x & - 5 y & = & - 34 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & - 14 & (I) \\ - x & - 5 y & = & - 34 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 5 y$	=	$- 34$	\| $+ 5 y$
$- x$	=	$- 34 + 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$34 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & - 14 & (I) \\ x & = & (34 - 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $34 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (34 - 5 y) - y$	=	$- 14$
$- 68 + 10 y - y$	=	$- 14$
$9 y - 68$	=	$- 14$	\| $+ 68$
$9 y$	=	$54$	\|: $9$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $34 - 5 \cdot 6$

= $34 - 30$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{3} x & - \frac{1}{3} y & = & - \frac{4}{3} & (I) \\ \frac{1}{4} x & - \frac{1}{3} y & = & - \frac{23}{12} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{3} x & - \frac{1}{3} y & = & - \frac{4}{3} & (I) \\ \frac{1}{4} x & - \frac{1}{3} y & = & - \frac{23}{12} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{1}{3} x - \frac{1}{3} y$	=	$- \frac{4}{3}$
$- \frac{1}{3} y - \frac{1}{3} x$	=	$- \frac{4}{3}$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{1}{3} y - \frac{1}{3} x)$	=	$- 4$
$- y - x$	=	$- 4$	\| $+ x$
$- y$	=	$- 4 + x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$4 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (4 - x) & (I) \\ \frac{1}{4} x & - \frac{1}{3} y & = & - \frac{23}{12} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{4} x - \frac{1}{3} \cdot (4 - x)$	=	$- \frac{23}{12}$
$\frac{1}{4} x - \frac{4}{3} + \frac{1}{3} x$	=	$- \frac{23}{12}$
$\frac{7}{12} x - \frac{4}{3}$	=	$- \frac{23}{12}$	\|⋅ 12
$12 (\frac{7}{12} x - \frac{4}{3})$	=	$- 23$
$7 x - 16$	=	$- 23$	\| $+ 16$
$7 x$	=	$- 7$	\|: $7$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4 - (- 1)$

= $4 + 1$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -1y = ?

6x -6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

2x -1y = -6 +1 = -5

6x -6y = -18 +6 = -12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -1y = -5

6x -6y = -12

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & + 5 y & = & 15 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 5 y & = & 15 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 5 y$	=	$15$	\| $- 5 y$
$- x$	=	$15 - 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 15 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 15 + 5 y) & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 15 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 15 + 5 y) + 3 y$	=	$9$
$- 45 + 15 y + 3 y$	=	$9$
$18 y - 45$	=	$9$	\| $+ 45$
$18 y$	=	$54$	\|: $18$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 15 + 5 \cdot 3$

= $- 15 + 15$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 7 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1950 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 950 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & - 3 y & = & 1950 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 950 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x - 3 y$	=	$1950$
$- 3 y + 7 x$	=	$1950$	\| $- 7 x$
$- 3 y$	=	$1950 - 7 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 650 + \frac{7}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 650 + \frac{7}{3} x) & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 950 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 650 + \frac{7}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 5 \cdot (- 650 + \frac{7}{3} x)$	=	$950$
$4 x + 3 250 - \frac{35}{3} x$	=	$950$
$- \frac{23}{3} x + 3 250$	=	$950$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{23}{3} x + 3 250)$	=	$2 850$
$- 23 x + 9 750$	=	$2 850$	\| $- 9 750$
$- 23 x$	=	$- 6 900$	\|:( $- 23$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 650 + \frac{7}{3} \cdot 300$

= $- 650 + 700$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (300|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(2|11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|11): 11 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
11 = 4 +2b +c |-4

-5 = -1b +c
7 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$7$
$c + 2 b$	=	$7$	\| $- 2 b$
$c$	=	$7 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (7 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (7 - 2 b)$	=	$- 5$
$- b + 7 - 2 b$	=	$- 5$
$- 3 b + 7$	=	$- 5$	\| $- 7$
$- 3 b$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7 - 2 \cdot 4$

= $7 - 8$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-12) und B(4|-21) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-12): -12 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-21): -21 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 +1b +c |-1
-21 = 16 +4b +c |-16

-13 = 1b +c
-37 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 37 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 37$
$c + 4 b$	=	$- 37$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 37 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ + c & = & (- 37 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 37 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 37 - 4 b)$	=	$- 13$
$b - 37 - 4 b$	=	$- 13$
$- 3 b - 37$	=	$- 13$	\| $+ 37$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 37 - 4 \cdot (- 8)$

= $- 37 + 32$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-5)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 5$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 5$

= ${(x - 4)}^{2} - 21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 5$ = $16 - 32 - 5$ = -21

also: S(4|-21).

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg