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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 5 y$ = $5$ .

Bestimme x so, dass (x|-2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$x - 5 \cdot (- 2)$ = $5$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x - 5 \cdot (- 2)$	=	$5$
$x + 10$	=	$5$	\| $- 10$
$x$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (-5|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - y$ = $- 1$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|1)
denn -3⋅0 -1⋅1 = 0 -1 = $- 1$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|4)
denn -3⋅( - 1 ) -1⋅4 = 3 -4 = $- 1$

Oder : (1|-2)
denn -3⋅1 -1⋅( - 2 ) = -3 +2 = $- 1$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 22 & (I) \\ - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 22 & (I) \\ - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 3 y$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 22 & (I) \\ + y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 3 \cdot (- 4)$	=	$- 22$
$- 2 x - 12$	=	$- 22$	\| $+ 12$
$- 2 x$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 0 & (I) \\ 3 x & + y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 0 & (I) \\ 3 x & + y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$12$
$y + 3 x$	=	$12$	\| $- 3 x$
$y$	=	$12 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 0 & (I) \\ + y & = & (12 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $12 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 3 \cdot (12 - 3 x)$	=	0
$3 x + 36 - 9 x$	=	0
$- 6 x + 36$	=	0	\| $- 36$
$- 6 x$	=	$- 36$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $12 - 3 \cdot 6$

= $12 - 18$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 16 & (I) \\ - x & + 3 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 16 & (I) \\ - x & + 3 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 3 y$	=	$11$	\| $- 3 y$
$- x$	=	$11 - 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 11 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 16 & (I) \\ x & = & (- 11 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 11 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 11 + 3 y) - 3 y$	=	$- 16$
$44 - 12 y - 3 y$	=	$- 16$
$- 15 y + 44$	=	$- 16$	\| $- 44$
$- 15 y$	=	$- 60$	\|:( $- 15$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 11 + 3 \cdot 4$

= $- 11 + 12$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{13}{10} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{5}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{13}{10} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{5}{2} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{1}{5} x - \frac{1}{2} y$	=	$\frac{13}{10}$
$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{5} x$	=	$\frac{13}{10}$	\|⋅ 10
$10 (- \frac{1}{2} y - \frac{1}{5} x)$	=	$13$
$- 5 y - 2 x$	=	$13$	\| $+ 2 x$
$- 5 y$	=	$13 + 2 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- \frac{13}{5} - \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{13}{5} - \frac{2}{5} x) & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{5}{2} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{13}{5} - \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{13}{5} - \frac{2}{5} x)$	=	$\frac{5}{2}$
$- \frac{1}{2} x + \frac{13}{10} + \frac{1}{5} x$	=	$\frac{5}{2}$
$- \frac{3}{10} x + \frac{13}{10}$	=	$\frac{5}{2}$	\|⋅ 10
$10 (- \frac{3}{10} x + \frac{13}{10})$	=	$25$
$- 3 x + 13$	=	$25$	\| $- 13$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{13}{5} - \frac{2}{5} \cdot (- 4)$

= $- \frac{13}{5} + \frac{8}{5}$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -3y = ?

-7x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-5x -3y = -25 -3 = -28

-7x -1y = -35 -1 = -36

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -3y = -28

-7x -1y = -36

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & - 1 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & - 1 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 2 y$	=	$- 1$
$2 y + 2 x$	=	$- 1$	\| $- 2 x$
$2 y$	=	$- 1 - 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$- \frac{1}{2} - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{2} - x) & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{2} - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 4 \cdot (- \frac{1}{2} - x)$	=	$2$
$- 4 x + 2 + 4 x$	=	$2$
$2$	=	$2$	\| $- 2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 9. Wenn man aber vom 6-fachen von x 5 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 20. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 9 & (I) \\ 6 x & - 5 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$9$	\| $- 2 y$
$x$	=	$9 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (9 - 2 y) & (I) \\ 6 x & - 5 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $9 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (9 - 2 y) - 5 y$	=	$20$
$54 - 12 y - 5 y$	=	$20$
$- 17 y + 54$	=	$20$	\| $- 54$
$- 17 y$	=	$- 34$	\|:( $- 17$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $9 - 2 \cdot 2$

= $9 - 4$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(2|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-7): -7 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
-7 = 4 +2b +c |-4

7 = -1b +c
-11 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 11$
$c + 2 b$	=	$- 11$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 11 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (- 11 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 11 - 2 b)$	=	$7$
$- b - 11 - 2 b$	=	$7$
$- 3 b - 11$	=	$7$	\| $+ 11$
$- 3 b$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 - 2 \cdot (- 6)$

= $- 11 + 12$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|8) und B(-1|0) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
0 = 1 -1b +c |-1

7 = 1b +c
-1 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ - b & + c & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 1$
$c - b$	=	$- 1$	\| $+ b$
$c$	=	$- 1 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (- 1 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 1 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 1 + b)$	=	$7$
$b - 1 + b$	=	$7$
$2 b - 1$	=	$7$	\| $+ 1$
$2 b$	=	$8$	\|: $2$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 1 + 4$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 + 3$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 + 3$

= ${(x + 2)}^{2} - 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 3$ = $4 - 8 + 3$ = -1

also: S(-2|-1).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg