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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 2 y$ = $2$ .

Bestimme x so, dass (x|-1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x - 2 \cdot (- 1)$ = $2$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x - 2 \cdot (- 1)$	=	$2$
$4 x + 2$	=	$2$	\| $- 2$
$4 x$	=	0	\|: $4$
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 3 y$ = $17$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|1)
denn -5⋅( - 4 ) -3⋅1 = 20 -3 = $17$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|6)
denn -5⋅( - 7 ) -3⋅6 = 35 -18 = $17$

Oder : (-1|-4)
denn -5⋅( - 1 ) -3⋅( - 4 ) = 5 +12 = $17$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & = & - 6 & (I) \\ - x & - y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & = & - 6 & (I) \\ - x & - y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 3 & (I) \\ - x & - y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot 3 - y$	=	$- 2$
$- 3 - y$	=	$- 2$
$- y - 3$	=	$- 2$	\| $+ 3$
$- y$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 26 & (I) \\ x & - y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 26 & (I) \\ x & - y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x - y$	=	$- 11$
$- y + x$	=	$- 11$	\| $- x$
$- y$	=	$- 11 - x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$11 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 26 & (I) \\ + y & = & (11 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $11 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 1 \cdot (11 + x)$	=	$26$
$- 4 x + 11 + x$	=	$26$
$- 3 x + 11$	=	$26$	\| $- 11$
$- 3 x$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $11 - 5$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & - 28 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & - 28 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 4 y$	=	$- 28$
$4 y - 3 x$	=	$- 28$	\| $+ 3 x$
$4 y$	=	$- 28 + 3 x$	\|: $4$
$y$	=	$- 7 + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 7 + \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 7 + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 2 \cdot (- 7 + \frac{3}{4} x)$	=	$- 8$
$- 4 x + 14 - \frac{3}{2} x$	=	$- 8$
$- \frac{11}{2} x + 14$	=	$- 8$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{11}{2} x + 14)$	=	$- 16$
$- 11 x + 28$	=	$- 16$	\| $- 28$
$- 11 x$	=	$- 44$	\|:( $- 11$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 7 + \frac{3}{4} \cdot 4$

= $- 7 + 3$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{3}{4} x & + y & = & 2 & (I) \\ - \frac{2}{5} x & + \frac{2}{3} y & = & \frac{26}{15} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{3}{4} x & + y & = & 2 & (I) \\ - \frac{2}{5} x & + \frac{2}{3} y & = & \frac{26}{15} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{3}{4} x + y$	=	$2$
$y - \frac{3}{4} x$	=	$2$	\|⋅ 4
$4 (y - \frac{3}{4} x)$	=	$8$
$4 y - 3 x$	=	$8$	\| $+ 3 x$
$4 y$	=	$8 + 3 x$	\|: $4$
$y$	=	$2 + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (2 + \frac{3}{4} x) & (I) \\ - \frac{2}{5} x & + \frac{2}{3} y & = & \frac{26}{15} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2 + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{2}{5} x + \frac{2}{3} \cdot (2 + \frac{3}{4} x)$	=	$\frac{26}{15}$
$- \frac{2}{5} x + \frac{4}{3} + \frac{1}{2} x$	=	$\frac{26}{15}$
$\frac{1}{10} x + \frac{4}{3}$	=	$\frac{26}{15}$	\|⋅ 30
$30 (\frac{1}{10} x + \frac{4}{3})$	=	$52$
$3 x + 40$	=	$52$	\| $- 40$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2 + \frac{3}{4} \cdot 4$

= $2 + 3$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +2y = ?

-1x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-3x +2y = -15 -8 = -23

-1x +4y = -5 -16 = -21

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +2y = -23

-1x +4y = -21

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 9 x & + 9 y & = & 3 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 9 x & + 9 y & = & 3 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9 x + 9 y$	=	$3$
$9 y + 9 x$	=	$3$	\| $- 9 x$
$9 y$	=	$3 - 9 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{1}{3} - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{3} - x) & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{3} - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 3 \cdot (\frac{1}{3} - x)$	=	$- 1$
$- 3 x - 1 + 3 x$	=	$- 1$
$- 1$	=	$- 1$	\| $+ 1$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 110 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 2 Halogenleuchten zusammen 64 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 4 y & = & 110 & (I) \\ 7 x & + 2 y & = & 64 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 4 y$	=	$110$
$4 y + 5 x$	=	$110$	\| $- 5 x$
$4 y$	=	$110 - 5 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{55}{2} - \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{55}{2} - \frac{5}{4} x) & (I) \\ 7 x & + 2 y & = & 64 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{55}{2} - \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x + 2 \cdot (\frac{55}{2} - \frac{5}{4} x)$	=	$64$
$7 x + 55 - \frac{5}{2} x$	=	$64$
$\frac{9}{2} x + 55$	=	$64$	\|⋅ 2
$2 (\frac{9}{2} x + 55)$	=	$128$
$9 x + 110$	=	$128$	\| $- 110$
$9 x$	=	$18$	\|: $9$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{55}{2} - \frac{5}{4} \cdot 2$

= $\frac{55}{2} - \frac{5}{2}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (2|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-2) und B(-2|3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|3): 3 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 -1b +c |-1
3 = 4 -2b +c |-4

-3 = -1b +c
-1 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 1$
$c - 2 b$	=	$- 1$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 1 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 1 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 1 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 1 + 2 b)$	=	$- 3$
$- b - 1 + 2 b$	=	$- 3$
$b - 1$	=	$- 3$	\| $+ 1$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 1 + 2 \cdot (- 2)$

= $- 1 - 4$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(2|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-7): -7 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
-7 = 4 +2b +c |-4

7 = -1b +c
-11 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 11$
$c + 2 b$	=	$- 11$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 11 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (- 11 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 11 - 2 b)$	=	$7$
$- b - 11 - 2 b$	=	$7$
$- 3 b - 11$	=	$7$	\| $+ 11$
$- 3 b$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 - 2 \cdot (- 6)$

= $- 11 + 12$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 1$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 + 1$

= ${(x - 3)}^{2} - 8$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-8).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 + 1$ = $9 - 18 + 1$ = -8

also: S(3|-8).

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1. Weg

2. Weg