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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 4 y$ = $3$ .

Bestimme x so, dass (x|-1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$x + 4 \cdot (- 1)$ = $3$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x + 4 \cdot (- 1)$	=	$3$
$x - 4$	=	$3$	\| $+ 4$
$x$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (7|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 4 y$ = $- 18$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|-3)
denn 1⋅( - 6 ) +4⋅( - 3 ) = -6 -12 = $- 18$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-4)
denn 1⋅( - 2 ) +4⋅( - 4 ) = -2 -16 = $- 18$

Oder : (-10|-2)
denn 1⋅( - 10 ) +4⋅( - 2 ) = -10 -8 = $- 18$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & = & 6 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & = & 6 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 3 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 3) - 2 y$	=	$- 11$
$- 9 - 2 y$	=	$- 11$
$- 2 y - 9$	=	$- 11$	\| $+ 9$
$- 2 y$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & = & 6 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & = & 6 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 3 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 3) + y$	=	$- 10$
$- 6 + y$	=	$- 10$
$y - 6$	=	$- 10$	\| $+ 6$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 15 & (I) \\ - 3 x & - y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 15 & (I) \\ - 3 x & - y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x - y$	=	$- 7$
$- y - 3 x$	=	$- 7$	\| $+ 3 x$
$- y$	=	$- 7 + 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$7 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 15 & (I) \\ + y & = & (7 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $7 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 4 \cdot (7 - 3 x)$	=	$15$
$- x + 28 - 12 x$	=	$15$
$- 13 x + 28$	=	$15$	\| $- 28$
$- 13 x$	=	$- 13$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $7 - 3 \cdot 1$

= $7 - 3$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{5} x & - \frac{1}{3} y & = & \frac{13}{15} & (I) \\ \frac{1}{4} x & + \frac{1}{4} y & = & - \frac{9}{4} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{5} x & - \frac{1}{3} y & = & \frac{13}{15} & (I) \\ \frac{1}{4} x & + \frac{1}{4} y & = & - \frac{9}{4} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{5} x - \frac{1}{3} y$	=	$\frac{13}{15}$
$- \frac{1}{3} y + \frac{1}{5} x$	=	$\frac{13}{15}$	\|⋅ 15
$15 (- \frac{1}{3} y + \frac{1}{5} x)$	=	$13$
$- 5 y + 3 x$	=	$13$	\| $- 3 x$
$- 5 y$	=	$13 - 3 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- \frac{13}{5} + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{13}{5} + \frac{3}{5} x) & (I) \\ \frac{1}{4} x & + \frac{1}{4} y & = & - \frac{9}{4} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{13}{5} + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{13}{5} + \frac{3}{5} x)$	=	$- \frac{9}{4}$
$\frac{1}{4} x - \frac{13}{20} + \frac{3}{20} x$	=	$- \frac{9}{4}$
$\frac{2}{5} x - \frac{13}{20}$	=	$- \frac{9}{4}$	\|⋅ 20
$20 (\frac{2}{5} x - \frac{13}{20})$	=	$- 45$
$8 x - 13$	=	$- 45$	\| $+ 13$
$8 x$	=	$- 32$	\|: $8$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{13}{5} + \frac{3}{5} \cdot (- 4)$

= $- \frac{13}{5} - \frac{12}{5}$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +3y = ?

-7x +8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-4x +3y = 8 -3 = 5

-7x +8y = 14 -8 = 6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +3y = 5

-7x +8y = 6

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 6 & (I) \\ x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 6 & (I) \\ x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$3$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$3 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 6 & (I) \\ x & = & (3 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $3 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (3 + 2 y) + 4 y$	=	$- 6$
$- 6 - 4 y + 4 y$	=	$- 6$
$- 6$	=	$- 6$	\| $+ 6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 11. Wenn man aber vom 5-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 13. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 11 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$11$	\| $- 2 y$
$x$	=	$11 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (11 - 2 y) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $11 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (11 - 2 y) - 4 y$	=	$13$
$55 - 10 y - 4 y$	=	$13$
$- 14 y + 55$	=	$13$	\| $- 55$
$- 14 y$	=	$- 42$	\|:( $- 14$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $11 - 2 \cdot 3$

= $11 - 6$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 3

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|16) und B(-1|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|16): 16 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
16 = 1 +1b +c |-1
-4 = 1 -1b +c |-1

15 = 1b +c
-5 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 15 & (I) \\ - b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 5$
$c - b$	=	$- 5$	\| $+ b$
$c$	=	$- 5 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 15 & (I) \\ + c & = & (- 5 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 5 + b)$	=	$15$
$b - 5 + b$	=	$15$
$2 b - 5$	=	$15$	\| $+ 5$
$2 b$	=	$20$	\|: $2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 + 10$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-5) und B(3|-17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-17): -17 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
-17 = 9 +3b +c |-9

-6 = 1b +c
-26 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 26$
$c + 3 b$	=	$- 26$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 26 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 26 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 26 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 26 - 3 b)$	=	$- 6$
$b - 26 - 3 b$	=	$- 6$
$- 2 b - 26$	=	$- 6$	\| $+ 26$
$- 2 b$	=	$20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 26 - 3 \cdot (- 10)$

= $- 26 + 30$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|4)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 + 4$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 + 4$

= ${(x - 5)}^{2} - 21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 + 4$ = $25 - 50 + 4$ = -21

also: S(5|-21).

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Wert zum Einsetzen finden

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

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LGS zu Lösungen finden

LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg