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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 4 y$ = $24$ .

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 \cdot (- 2) + 4 y$ = $24$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 2) + 4 y$	=	$24$
$4 + 4 y$	=	$24$
$4 y + 4$	=	$24$	\| $- 4$
$4 y$	=	$20$	\|: $4$
$y$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (-2|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 5 y$ = $- 10$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-6)
denn -5⋅( - 4 ) +5⋅( - 6 ) = 20 -30 = $- 10$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|-1)
denn -5⋅1 +5⋅( - 1 ) = -5 -5 = $- 10$

Oder : (-9|-11)
denn -5⋅( - 9 ) +5⋅( - 11 ) = 45 -55 = $- 10$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & = & 8 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & = & 8 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 2 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 2) + 2 y$	=	$2$
$8 + 2 y$	=	$2$
$2 y + 8$	=	$2$	\| $- 8$
$2 y$	=	$- 6$	\|: $2$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 27 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 27 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$- 17$	\| $- 4 y$
$x$	=	$- 17 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 27 & (I) \\ x & = & (- 17 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 17 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 17 - 4 y) - 4 y$	=	$27$
$51 + 12 y - 4 y$	=	$27$
$8 y + 51$	=	$27$	\| $- 51$
$8 y$	=	$- 24$	\|: $8$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 17 - 4 \cdot (- 3)$

= $- 17 + 12$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & - 7 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - y & = & - 7 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x - y$	=	$- 7$
$- y + 2 x$	=	$- 7$	\| $- 2 x$
$- y$	=	$- 7 - 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$7 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (7 + 2 x) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $7 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot (7 + 2 x)$	=	$- 2$
$2 x - 14 - 4 x$	=	$- 2$
$- 2 x - 14$	=	$- 2$	\| $+ 14$
$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $7 + 2 \cdot (- 6)$

= $7 - 12$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & + y & = & \frac{1}{2} & (I) \\ \frac{1}{2} x & - \frac{1}{3} y & = & - \frac{7}{6} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & + y & = & \frac{1}{2} & (I) \\ \frac{1}{2} x & - \frac{1}{3} y & = & - \frac{7}{6} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{1}{2} x + y$	=	$\frac{1}{2}$
$y - \frac{1}{2} x$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ 2
$2 (y - \frac{1}{2} x)$	=	$1$
$2 y - x$	=	$1$	\| $+ x$
$2 y$	=	$1 + x$	\|: $2$
$y$	=	$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} x) & (I) \\ \frac{1}{2} x & - \frac{1}{3} y & = & - \frac{7}{6} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} x)$	=	$- \frac{7}{6}$
$\frac{1}{2} x - \frac{1}{6} - \frac{1}{6} x$	=	$- \frac{7}{6}$
$\frac{1}{3} x - \frac{1}{6}$	=	$- \frac{7}{6}$	\|⋅ 6
$6 (\frac{1}{3} x - \frac{1}{6})$	=	$- 7$
$2 x - 1$	=	$- 7$	\| $+ 1$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{2} - \frac{3}{2}$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +4y = ?

-3x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-2x +4y = -10 -20 = -30

-3x +4y = -15 -20 = -35

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +4y = -30

-3x +4y = -35

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ 2 x & + 6 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ 2 x & + 6 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$- 3$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$- 3 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (3 - 3 y) & (I) \\ 2 x & + 6 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $3 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (3 - 3 y) + 6 y$	=	$6$
$6 - 6 y + 6 y$	=	$6$
$6$	=	$6$	\| $- 6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 5 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1350 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 6 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1680 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 5 y & = & 1350 & (I) \\ 6 x & - 4 y & = & 1680 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 5 y$	=	$1350$
$- 5 y + 5 x$	=	$1350$	\| $- 5 x$
$- 5 y$	=	$1350 - 5 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 270 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 270 + x) & (I) \\ 6 x & - 4 y & = & 1680 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 270 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 4 \cdot (- 270 + x)$	=	$1680$
$6 x + 1 080 - 4 x$	=	$1680$
$2 x + 1 080$	=	$1680$	\| $- 1 080$
$2 x$	=	$600$	\|: $2$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 270 + 300$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|7) und B(2|18) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|7): 7 = 1² + b⋅1 +c

B(2|18): 18 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 +1b +c |-1
18 = 4 +2b +c |-4

6 = 1b +c
14 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 6 & (I) \\ 2 b & + c & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$14$
$c + 2 b$	=	$14$	\| $- 2 b$
$c$	=	$14 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (14 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $14 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (14 - 2 b)$	=	$6$
$b + 14 - 2 b$	=	$6$
$- b + 14$	=	$6$	\| $- 14$
$- b$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $14 - 2 \cdot 8$

= $14 - 16$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-2)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-5) und B(-3|-17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-17): -17 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 -1b +c |-1
-17 = 9 -3b +c |-9

-6 = -1b +c
-26 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 26$
$c - 3 b$	=	$- 26$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 26 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 26 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 26 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 26 + 3 b)$	=	$- 6$
$- b - 26 + 3 b$	=	$- 6$
$2 b - 26$	=	$- 6$	\| $+ 26$
$2 b$	=	$20$	\|: $2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 26 + 3 \cdot 10$

= $- 26 + 30$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|4)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 4$ = $25 - 50 + 4$ = -21

also: S(-5|-21).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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1. Weg

2. Weg