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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 5 y$ = $- 25$ .

Bestimme x so, dass (x|0) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$5 x - 5 \cdot 0$ = $- 25$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5 x - 5 \cdot 0$	=	$- 25$
$5 x$	=	$- 25$	\|: $5$
$x$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (-5|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 2 y$ = $8$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-3)
denn -2⋅( - 1 ) -2⋅( - 3 ) = 2 +6 = $8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-1)
denn -2⋅( - 3 ) -2⋅( - 1 ) = 6 +2 = $8$

Oder : (1|-5)
denn -2⋅1 -2⋅( - 5 ) = -2 +10 = $8$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & 36 & (I) \\ + 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & 36 & (I) \\ + 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$8$	\|: $2$
$y$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & 36 & (I) \\ + y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 3 \cdot 4$	=	$36$
$4 x + 12$	=	$36$	\| $- 12$
$4 x$	=	$24$	\|: $4$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 1 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 1 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$1$	\| $- 2 y$
$x$	=	$1 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (1 - 2 y) & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $1 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (1 - 2 y) - 3 y$	=	$6$
$- 4 + 8 y - 3 y$	=	$6$
$5 y - 4$	=	$6$	\| $+ 4$
$5 y$	=	$10$	\|: $5$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $1 - 2 \cdot 2$

= $1 - 4$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 17 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 17 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 3 y$	=	$- 17$
$- 3 y - 4 x$	=	$- 17$	\| $+ 4 x$
$- 3 y$	=	$- 17 + 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$\frac{17}{3} - \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{17}{3} - \frac{4}{3} x) & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{17}{3} - \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 2 \cdot (\frac{17}{3} - \frac{4}{3} x)$	=	$- 18$
$- 4 x - \frac{34}{3} + \frac{8}{3} x$	=	$- 18$
$- \frac{4}{3} x - \frac{34}{3}$	=	$- 18$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{4}{3} x - \frac{34}{3})$	=	$- 54$
$- 4 x - 34$	=	$- 54$	\| $+ 34$
$- 4 x$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{17}{3} - \frac{4}{3} \cdot 5$

= $\frac{17}{3} - \frac{20}{3}$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & + y & = & - \frac{9}{2} & (I) \\ 3 x & - \frac{3}{4} y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & + y & = & - \frac{9}{2} & (I) \\ 3 x & - \frac{3}{4} y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{1}{2} x + y$	=	$- \frac{9}{2}$
$y - \frac{1}{2} x$	=	$- \frac{9}{2}$	\|⋅ 2
$2 (y - \frac{1}{2} x)$	=	$- 9$
$2 y - x$	=	$- 9$	\| $+ x$
$2 y$	=	$- 9 + x$	\|: $2$
$y$	=	$- \frac{9}{2} + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{9}{2} + \frac{1}{2} x) & (I) \\ 3 x & - \frac{3}{4} y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{9}{2} + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{9}{2} + \frac{1}{2} x)$	=	$6$
$3 x + \frac{27}{8} - \frac{3}{8} x$	=	$6$
$\frac{21}{8} x + \frac{27}{8}$	=	$6$	\|⋅ 8
$8 (\frac{21}{8} x + \frac{27}{8})$	=	$48$
$21 x + 27$	=	$48$	\| $- 27$
$21 x$	=	$21$	\|: $21$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{9}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

= $- \frac{9}{2} + \frac{1}{2}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +5y = ?

-1x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-5x +5y = -25 +20 = -5

-1x +3y = -5 +12 = 7

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +5y = -5

-1x +3y = 7

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 6 x & + 8 y & = & 5 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 6 x & + 8 y & = & 5 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 8 y$	=	$5$
$8 y + 6 x$	=	$5$	\| $- 6 x$
$8 y$	=	$5 - 6 x$	\|: $8$
$y$	=	$\frac{5}{8} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{5}{8} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{5}{8} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (\frac{5}{8} - \frac{3}{4} x)$	=	$- 2$
$- 3 x - \frac{5}{2} + 3 x$	=	$- 2$
$- \frac{5}{2}$	=	$- 2$	\| $+ \frac{5}{2}$
0	=	$\frac{1}{2}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 15. Wenn man aber vom 5-fachen von x 5 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 5. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 6 y & = & 15 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 6 y$	=	$15$	\| $- 6 y$
$x$	=	$15 - 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (15 - 6 y) & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $15 - 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (15 - 6 y) - 5 y$	=	$5$
$75 - 30 y - 5 y$	=	$5$
$- 35 y + 75$	=	$5$	\| $- 75$
$- 35 y$	=	$- 70$	\|:( $- 35$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $15 - 6 \cdot 2$

= $15 - 12$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(2|-13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-13): -13 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
-13 = 4 +2b +c |-4

7 = -1b +c
-17 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 17$
$c + 2 b$	=	$- 17$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 17 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (- 17 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 17 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 17 - 2 b)$	=	$7$
$- b - 17 - 2 b$	=	$7$
$- 3 b - 17$	=	$7$	\| $+ 17$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 17 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 17 + 16$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-1)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|9) und B(-2|-6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|9): 9 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-6): -6 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 +1b +c |-1
-6 = 4 -2b +c |-4

8 = 1b +c
-10 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 8 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 10$
$c - 2 b$	=	$- 10$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 10 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (- 10 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 10 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 10 + 2 b)$	=	$8$
$b - 10 + 2 b$	=	$8$
$3 b - 10$	=	$8$	\| $+ 10$
$3 b$	=	$18$	\|: $3$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 10 + 2 \cdot 6$

= $- 10 + 12$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 2$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 2$

= ${(x + 3)}^{2} - 7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 2$ = $9 - 18 + 2$ = -7

also: S(-3|-7).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg