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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 2 y$ = 0.

Bestimme x so, dass (x|0) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$- x + 2 \cdot 0$ = 0

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- x + 2 \cdot 0$	=
$- x$	=	\|:( $- 1$ )
$x$	=

Die Lösung ist somit: (0|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 4 y$ = $- 25$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|0)
denn -5⋅5 -4⋅0 = -25 +0 = $- 25$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|5)
denn -5⋅1 -4⋅5 = -5 -20 = $- 25$

Oder : (9|-5)
denn -5⋅9 -4⋅( - 5 ) = -45 +20 = $- 25$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & = & - 1 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $- 1$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 1) - 2 y$	=	$8$
$2 - 2 y$	=	$8$
$- 2 y + 2$	=	$8$	\| $- 2$
$- 2 y$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ 4 x & + y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ 4 x & + y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$9$
$y + 4 x$	=	$9$	\| $- 4 x$
$y$	=	$9 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ + y & = & (9 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $9 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 3 \cdot (9 - 4 x)$	=	$12$
$x - 27 + 12 x$	=	$12$
$13 x - 27$	=	$12$	\| $+ 27$
$13 x$	=	$39$	\|: $13$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $9 - 4 \cdot 3$

= $9 - 12$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 8 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 8 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 2 y$	=	$8$
$- 2 y - 2 x$	=	$8$	\| $+ 2 x$
$- 2 y$	=	$8 + 2 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 4 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 4 - x) & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 4 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (- 4 - x)$	=	$18$
$- 3 x + 16 + 4 x$	=	$18$
$x + 16$	=	$18$	\| $- 16$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 4 - 2$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{4} x & + \frac{1}{3} y & = & - \frac{1}{6} & (I) \\ \frac{1}{5} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{7}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{4} x & + \frac{1}{3} y & = & - \frac{1}{6} & (I) \\ \frac{1}{5} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{7}{5} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{4} x + \frac{1}{3} y$	=	$- \frac{1}{6}$
$\frac{1}{3} y + \frac{1}{4} x$	=	$- \frac{1}{6}$	\|⋅ 12
$12 (\frac{1}{3} y + \frac{1}{4} x)$	=	$- 2$
$4 y + 3 x$	=	$- 2$	\| $- 3 x$
$4 y$	=	$- 2 - 3 x$	\|: $4$
$y$	=	$- \frac{1}{2} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{2} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ \frac{1}{5} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{7}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{2} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{5} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} - \frac{3}{4} x)$	=	$\frac{7}{5}$
$\frac{1}{5} x + \frac{1}{4} + \frac{3}{8} x$	=	$\frac{7}{5}$
$\frac{23}{40} x + \frac{1}{4}$	=	$\frac{7}{5}$	\|⋅ 40
$40 (\frac{23}{40} x + \frac{1}{4})$	=	$56$
$23 x + 10$	=	$56$	\| $- 10$
$23 x$	=	$46$	\|: $23$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{1}{2} - \frac{3}{4} \cdot 2$

= $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2}$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +3y = ?

3x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

5x +3y = -5 +12 = 7

3x +5y = -3 +20 = 17

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +3y = 7

3x +5y = 17

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & - 3 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & - 3 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 4 y$	=	$- 3$
$4 y - 4 x$	=	$- 3$	\| $+ 4 x$
$4 y$	=	$- 3 + 4 x$	\|: $4$
$y$	=	$- \frac{3}{4} + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{3}{4} + x) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{3}{4} + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot (- \frac{3}{4} + x)$	=	$2$
$2 x + \frac{3}{2} - 2 x$	=	$2$
$\frac{3}{2}$	=	$2$	\| $- \frac{3}{2}$
0	=	$\frac{1}{2}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 176 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 238 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 9 x & + 4 y & = & 176 & (I) \\ 7 x & + 6 y & = & 238 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9 x + 4 y$	=	$176$
$4 y + 9 x$	=	$176$	\| $- 9 x$
$4 y$	=	$176 - 9 x$	\|: $4$
$y$	=	$44 - \frac{9}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (44 - \frac{9}{4} x) & (I) \\ 7 x & + 6 y & = & 238 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $44 - \frac{9}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x + 6 \cdot (44 - \frac{9}{4} x)$	=	$238$
$7 x + 264 - \frac{27}{2} x$	=	$238$
$- \frac{13}{2} x + 264$	=	$238$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{13}{2} x + 264)$	=	$476$
$- 13 x + 528$	=	$476$	\| $- 528$
$- 13 x$	=	$- 52$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $44 - \frac{9}{4} \cdot 4$

= $44 - 9$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (4|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|2) und B(-3|14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|14): 14 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
14 = 9 -3b +c |-9

1 = -1b +c
5 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$5$
$c - 3 b$	=	$5$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$5 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (5 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $5 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (5 + 3 b)$	=	$1$
$- b + 5 + 3 b$	=	$1$
$2 b + 5$	=	$1$	\| $- 5$
$2 b$	=	$- 4$	\|: $2$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $5 + 3 \cdot (- 2)$

= $5 - 6$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|6) und B(-1|-14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-14): -14 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
-14 = 1 -1b +c |-1

5 = 1b +c
-15 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ - b & + c & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 15$
$c - b$	=	$- 15$	\| $+ b$
$c$	=	$- 15 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (- 15 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 15 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 15 + b)$	=	$5$
$b - 15 + b$	=	$5$
$2 b - 15$	=	$5$	\| $+ 15$
$2 b$	=	$20$	\|: $2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 15 + 10$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 30$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-30).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 5$ = $25 - 50 - 5$ = -30

also: S(-5|-30).

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1. Weg

2. Weg