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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 3 y$ = $27$ .

Bestimme x so, dass (x|-7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$3 x - 3 \cdot (- 7)$ = $27$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (- 7)$	=	$27$
$3 x + 21$	=	$27$	\| $- 21$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (2|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 3 y$ = $- 11$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|7)
denn -5⋅( - 2 ) -3⋅7 = 10 -21 = $- 11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|12)
denn -5⋅( - 5 ) -3⋅12 = 25 -36 = $- 11$

Oder : (1|2)
denn -5⋅1 -3⋅2 = -5 -6 = $- 11$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & = & - 10 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & = & - 10 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 5 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 5) - 4 y$	=	$13$
$5 - 4 y$	=	$13$
$- 4 y + 5$	=	$13$	\| $- 5$
$- 4 y$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 19 & (I) \\ 2 x & + y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 19 & (I) \\ 2 x & + y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$8$
$y + 2 x$	=	$8$	\| $- 2 x$
$y$	=	$8 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 19 & (I) \\ + y & = & (8 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $8 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 2 \cdot (8 - 2 x)$	=	$- 19$
$- 3 x + 16 - 4 x$	=	$- 19$
$- 7 x + 16$	=	$- 19$	\| $- 16$
$- 7 x$	=	$- 35$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $8 - 2 \cdot 5$

= $8 - 10$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & 14 & (I) \\ - x & + 3 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & 14 & (I) \\ - x & + 3 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 3 y$	=	$20$	\| $- 3 y$
$- x$	=	$20 - 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 20 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & 14 & (I) \\ x & = & (- 20 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 20 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 20 + 3 y) + 2 y$	=	$14$
$20 - 3 y + 2 y$	=	$14$
$- y + 20$	=	$14$	\| $- 20$
$- y$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 20 + 3 \cdot 6$

= $- 20 + 18$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 3 x - 2 y$	=	$2 (- 3 x + 4) - 4 y$			(I)
$x + 10 + y$	=	$3 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 3 x - 2 y$	=	$2 (- 3 x + 4) - 4 y$			(I)
$x + 10 + y$	=	$3 x$			(II)

$- 3 x - 2 y$	=	$- 6 x + 8 - 4 y$	\| + $6 x + 4 y$		(I)
$x + 10 + y$	=	$3 x$	\| $- 10 - 3 x$		(II)

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & 8 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$- 10$
$y - 2 x$	=	$- 10$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$- 10 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & 8 & (I) \\ + y & = & (- 10 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 10 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 2 \cdot (- 10 + 2 x)$	=	$8$
$3 x - 20 + 4 x$	=	$8$
$7 x - 20$	=	$8$	\| $+ 20$
$7 x$	=	$28$	\|: $7$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 10 + 2 \cdot 4$

= $- 10 + 8$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +3y = ?

4x +9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

1x +3y = 2 +12 = 14

4x +9y = 8 +36 = 44

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +3y = 14

4x +9y = 44

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ 6 x & - 6 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ 6 x & - 6 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 2 y$	=	$- 2$
$2 y - 2 x$	=	$- 2$	\| $+ 2 x$
$2 y$	=	$- 2 + 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 1 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 + x) & (I) \\ 6 x & - 6 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 6 \cdot (- 1 + x)$	=	$6$
$6 x + 6 - 6 x$	=	$6$
$6$	=	$6$	\| $- 6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 225 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 870 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 5 y & = & 225 & (I) \\ 7 x & - 4 y & = & 870 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 5 y$	=	$225$
$- 5 y + 3 x$	=	$225$	\| $- 3 x$
$- 5 y$	=	$225 - 3 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 45 + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 45 + \frac{3}{5} x) & (I) \\ 7 x & - 4 y & = & 870 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 45 + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x - 4 \cdot (- 45 + \frac{3}{5} x)$	=	$870$
$7 x + 180 - \frac{12}{5} x$	=	$870$
$\frac{23}{5} x + 180$	=	$870$	\|⋅ 5
$5 (\frac{23}{5} x + 180)$	=	$4 350$
$23 x + 900$	=	$4 350$	\| $- 900$
$23 x$	=	$3 450$	\|: $23$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 45 + \frac{3}{5} \cdot 150$

= $- 45 + 90$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (150|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-1) und B(-3|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-1): -1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-5): -5 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 -1b +c |-1
-5 = 9 -3b +c |-9

-2 = -1b +c
-14 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 14$
$c - 3 b$	=	$- 14$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 14 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (- 14 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 14 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 14 + 3 b)$	=	$- 2$
$- b - 14 + 3 b$	=	$- 2$
$2 b - 14$	=	$- 2$	\| $+ 14$
$2 b$	=	$12$	\|: $2$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 14 + 3 \cdot 6$

= $- 14 + 18$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|6) und B(-2|13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|6): 6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|13): 13 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 -1b +c |-1
13 = 4 -2b +c |-4

5 = -1b +c
9 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$9$
$c - 2 b$	=	$9$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$9 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (9 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $9 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (9 + 2 b)$	=	$5$
$- b + 9 + 2 b$	=	$5$
$b + 9$	=	$5$	\| $- 9$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $9 + 2 \cdot (- 4)$

= $9 - 8$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 1$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 + 1$

= ${(x - 2)}^{2} - 3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 + 1$ = $4 - 8 + 1$ = -3

also: S(2|-3).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg