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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 4 y$ = $18$ .

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$- (- 2) - 4 y$ = $18$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- (- 2) - 4 y$	=	$18$
$2 - 4 y$	=	$18$
$- 4 y + 2$	=	$18$	\| $- 2$
$- 4 y$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (-2|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 4 y$ = $31$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|4)
denn -3⋅( - 5 ) +4⋅4 = 15 +16 = $31$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|7)
denn -3⋅( - 1 ) +4⋅7 = 3 +28 = $31$

Oder : (-9|1)
denn -3⋅( - 9 ) +4⋅1 = 27 +4 = $31$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 6 & (I) \\ + 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 6 & (I) \\ + 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$- 4$	\|: $2$
$y$	=	$- 2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & - 6 & (I) \\ + y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 3 \cdot (- 2)$	=	$- 6$
$- 4 x + 6$	=	$- 6$	\| $- 6$
$- 4 x$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 2$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & - 6 & (I) \\ 3 x & + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & - 6 & (I) \\ 3 x & + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$- 1$
$y + 3 x$	=	$- 1$	\| $- 3 x$
$y$	=	$- 1 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & - 6 & (I) \\ + y & = & (- 1 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 1 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (- 1 - 3 x)$	=	$- 6$
$2 x - 2 - 6 x$	=	$- 6$
$- 4 x - 2$	=	$- 6$	\| $+ 2$
$- 4 x$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 1 - 3 \cdot 1$

= $- 1 - 3$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & 6 & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & 6 & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 3 y$	=	$6$
$- 3 y - 4 x$	=	$6$	\| $+ 4 x$
$- 3 y$	=	$6 + 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 2 - \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 - \frac{4}{3} x) & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 - \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 5 \cdot (- 2 - \frac{4}{3} x)$	=	$- 5$
$5 x - 10 - \frac{20}{3} x$	=	$- 5$
$- \frac{5}{3} x - 10$	=	$- 5$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{5}{3} x - 10)$	=	$- 15$
$- 5 x - 30$	=	$- 15$	\| $+ 30$
$- 5 x$	=	$15$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 - \frac{4}{3} \cdot (- 3)$

= $- 2 + 4$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 3 x - 37 + 2 y$	=	$2 x$			(I)
$- 4 x - 5 y$	=	$- 2 (3 x + 20)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 3 x - 37 + 2 y$	=	$2 x$			(I)
$- 4 x - 5 y$	=	$- 2 (3 x + 20)$			(II)

$- 3 x - 37 + 2 y$	=	$2 x$	\| + $37 - 2 x$		(I)
$- 4 x - 5 y$	=	$- 6 x - 40$	\| + $6 x$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & + 2 y & = & 37 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & - 40 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x + 2 y$	=	$37$
$2 y - 5 x$	=	$37$	\| $+ 5 x$
$2 y$	=	$37 + 5 x$	\|: $2$
$y$	=	$\frac{37}{2} + \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{37}{2} + \frac{5}{2} x) & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & - 40 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{37}{2} + \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot (\frac{37}{2} + \frac{5}{2} x)$	=	$- 40$
$2 x - \frac{185}{2} - \frac{25}{2} x$	=	$- 40$
$- \frac{21}{2} x - \frac{185}{2}$	=	$- 40$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{21}{2} x - \frac{185}{2})$	=	$- 80$
$- 21 x - 185$	=	$- 80$	\| $+ 185$
$- 21 x$	=	$105$	\|:( $- 21$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{37}{2} + \frac{5}{2} \cdot (- 5)$

= $\frac{37}{2} - \frac{25}{2}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -2y = ?

-9x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-5x -2y = 10 +10 = 20

-9x -7y = 18 +35 = 53

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -2y = 20

-9x -7y = 53

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & - 5 y & = & - 22 & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 5 y & = & - 22 & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 5 y$	=	$- 22$
$- 5 y - 2 x$	=	$- 22$	\| $+ 2 x$
$- 5 y$	=	$- 22 + 2 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$\frac{22}{5} - \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{22}{5} - \frac{2}{5} x) & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{22}{5} - \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 5 \cdot (\frac{22}{5} - \frac{2}{5} x)$	=	$- 10$
$- 5 x - 22 + 2 x$	=	$- 10$
$- 3 x - 22$	=	$- 10$	\| $+ 22$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{22}{5} - \frac{2}{5} \cdot (- 4)$

= $\frac{22}{5} + \frac{8}{5}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 5 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 600 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 630 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 5 y & = & 600 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 630 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 5 y$	=	$600$
$- 5 y + 5 x$	=	$600$	\| $- 5 x$
$- 5 y$	=	$600 - 5 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 120 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 120 + x) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 630 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 120 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 4 \cdot (- 120 + x)$	=	$630$
$5 x + 480 - 4 x$	=	$630$
$x + 480$	=	$630$	\| $- 480$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 120 + 150$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (150|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|9) und B(-2|0) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|9): 9 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|0): 0 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 +1b +c |-1
0 = 4 -2b +c |-4

8 = 1b +c
-4 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 8 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 4$
$c - 2 b$	=	$- 4$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 4 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (- 4 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 4 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 4 + 2 b)$	=	$8$
$b - 4 + 2 b$	=	$8$
$3 b - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$3 b$	=	$12$	\|: $3$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 4 + 2 \cdot 4$

= $- 4 + 8$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|4) und B(2|11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|4): 4 = 1² + b⋅1 +c

B(2|11): 11 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 +1b +c |-1
11 = 4 +2b +c |-4

3 = 1b +c
7 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ 2 b & + c & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$7$
$c + 2 b$	=	$7$	\| $- 2 b$
$c$	=	$7 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (7 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (7 - 2 b)$	=	$3$
$b + 7 - 2 b$	=	$3$
$- b + 7$	=	$3$	\| $- 7$
$- b$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7 - 2 \cdot 4$

= $7 - 8$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 - 1$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 - 1$

= ${(x + 2)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - 1$ = $4 - 8 - 1$ = -5

also: S(-2|-5).

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1. Weg

2. Weg