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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 2 y$ = $- 16$ .

Bestimme y so, dass (7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 \cdot 7 - 2 y$ = $- 16$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 2 \cdot 7 - 2 y$	=	$- 16$
$- 14 - 2 y$	=	$- 16$
$- 2 y - 14$	=	$- 16$	\| $+ 14$
$- 2 y$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (7|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 3 y$ = $- 11$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|3)
denn -1⋅2 -3⋅3 = -2 -9 = $- 11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|4)
denn -1⋅( - 1 ) -3⋅4 = 1 -12 = $- 11$

Oder : (5|2)
denn -1⋅5 -3⋅2 = -5 -6 = $- 11$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 22 & (I) \\ 2 x & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 22 & (I) \\ 2 x & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$10$	\|: $2$
$x$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 22 & (I) \\ x & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot 5 - 2 y$	=	$22$
$20 - 2 y$	=	$22$
$- 2 y + 20$	=	$22$	\| $- 20$
$- 2 y$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & - 10 & (I) \\ x & - 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & - 10 & (I) \\ x & - 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$10$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$10 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & - 10 & (I) \\ x & = & (10 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $10 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (10 + 4 y) - 2 y$	=	$- 10$
$30 + 12 y - 2 y$	=	$- 10$
$10 y + 30$	=	$- 10$	\| $- 30$
$10 y$	=	$- 40$	\|: $10$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $10 + 4 \cdot (- 4)$

= $10 - 16$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 2 y$	=	$6$
$- 2 y + 2 x$	=	$6$	\| $- 2 x$
$- 2 y$	=	$6 - 2 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 3 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 3 + x) & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 3 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 4 \cdot (- 3 + x)$	=	$11$
$3 x + 12 - 4 x$	=	$11$
$- x + 12$	=	$11$	\| $- 12$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 3 + 1$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{5} x & + \frac{1}{5} y & = & - 1 & (I) \\ x & + \frac{1}{4} y & = & \frac{25}{4} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{5} x & + \frac{1}{5} y & = & - 1 & (I) \\ x & + \frac{1}{4} y & = & \frac{25}{4} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + \frac{1}{4} y$	=	$\frac{25}{4}$	\|⋅ 4
$4 (x + \frac{1}{4} y)$	=	$25$
$4 x + y$	=	$25$	\| $- y$
$4 x$	=	$25 - y$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{25}{4} - \frac{1}{4} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - \frac{1}{5} x & + \frac{1}{5} y & = & - 1 & (I) \\ x & = & (\frac{25}{4} - \frac{1}{4} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{25}{4} - \frac{1}{4} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- \frac{1}{5} \cdot (\frac{25}{4} - \frac{1}{4} y) + \frac{1}{5} y$	=	$- 1$
$- \frac{5}{4} + \frac{1}{20} y + \frac{1}{5} y$	=	$- 1$
$\frac{1}{4} y - \frac{5}{4}$	=	$- 1$	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} y - \frac{5}{4})$	=	$- 4$
$y - 5$	=	$- 4$	\| $+ 5$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{25}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

= $\frac{25}{4} - \frac{1}{4}$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -4y = ?

5x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

3x -4y = -9 +4 = -5

5x -4y = -15 +4 = -11

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -4y = -5

5x -4y = -11

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 2 & (I) \\ - 9 x & + 12 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 2 & (I) \\ - 9 x & + 12 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 4 y$	=	$2$
$- 4 y + 3 x$	=	$2$	\| $- 3 x$
$- 4 y$	=	$2 - 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 9 x & + 12 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 9 x + 12 \cdot (- \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x)$	=	$- 7$
$- 9 x - 6 + 9 x$	=	$- 7$
$- 6$	=	$- 7$	\| $+ 6$
0	=	$- 1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 30. Wenn man aber vom 6-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -5. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 30 & (I) \\ 6 x & - 7 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$30$	\| $- 5 y$
$x$	=	$30 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (30 - 5 y) & (I) \\ 6 x & - 7 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $30 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (30 - 5 y) - 7 y$	=	$- 5$
$180 - 30 y - 7 y$	=	$- 5$
$- 37 y + 180$	=	$- 5$	\| $- 180$
$- 37 y$	=	$- 185$	\|:( $- 37$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $30 - 5 \cdot 5$

= $30 - 25$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(-2|19) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|19): 19 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
19 = 4 -2b +c |-4

7 = -1b +c
15 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$15$
$c - 2 b$	=	$15$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$15 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (15 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $15 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (15 + 2 b)$	=	$7$
$- b + 15 + 2 b$	=	$7$
$b + 15$	=	$7$	\| $- 15$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $15 + 2 \cdot (- 8)$

= $15 - 16$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-1)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|0) und B(2|-3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-3): -3 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
-3 = 4 +2b +c |-4

-1 = 1b +c
-7 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 7$
$c + 2 b$	=	$- 7$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 7 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (- 7 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 7 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 7 - 2 b)$	=	$- 1$
$b - 7 - 2 b$	=	$- 1$
$- b - 7$	=	$- 1$	\| $+ 7$
$- b$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 7 - 2 \cdot (- 6)$

= $- 7 + 12$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 5$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 + 5$

= ${(x - 3)}^{2} - 4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 + 5$ = $9 - 18 + 5$ = -4

also: S(3|-4).

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Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS (Standard)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg