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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + y$ = $- 3$ .

Bestimme x so, dass (x|-2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$- x + (- 2)$ = $- 3$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- x + (- 2)$	=	$- 3$
$- x - 2$	=	$- 3$	\| $+ 2$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (1|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 2 y$ = $- 8$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|1)
denn -2⋅5 +2⋅1 = -10 +2 = $- 8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (7|3)
denn -2⋅7 +2⋅3 = -14 +6 = $- 8$

Oder : (3|-1)
denn -2⋅3 +2⋅( - 1 ) = -6 -2 = $- 8$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 2 y & = & - 12 & (I) \\ - 4 x & - y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 2 y & = & - 12 & (I) \\ - 4 x & - y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$- 12$	\|: $2$
$y$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 6 & (I) \\ - 4 x & - y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 1 \cdot (- 6)$	=	$- 6$
$- 4 x + 6$	=	$- 6$	\| $- 6$
$- 4 x$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 11 & (I) \\ x & - 2 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 11 & (I) \\ x & - 2 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$1$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$1 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 11 & (I) \\ x & = & (1 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $1 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (1 + 2 y) + 2 y$	=	$- 11$
$1 + 2 y + 2 y$	=	$- 11$
$4 y + 1$	=	$- 11$	\| $- 1$
$4 y$	=	$- 12$	\|: $4$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $1 + 2 \cdot (- 3)$

= $1 - 6$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & - 24 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & - 24 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 3 y$	=	$- 24$
$- 3 y + 2 x$	=	$- 24$	\| $- 2 x$
$- 3 y$	=	$- 24 - 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$8 + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (8 + \frac{2}{3} x) & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $8 + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 2 \cdot (8 + \frac{2}{3} x)$	=	0
$- 4 x - 16 - \frac{4}{3} x$	=	0
$- \frac{16}{3} x - 16$	=	0	\|⋅ 3
$3 (- \frac{16}{3} x - 16)$	=	0
$- 16 x - 48$	=	0	\| $+ 48$
$- 16 x$	=	$48$	\|:( $- 16$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $8 + \frac{2}{3} \cdot (- 3)$

= $8 - 2$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + \frac{1}{3} y & = & \frac{14}{3} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & + y & = & \frac{7}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + \frac{1}{3} y & = & \frac{14}{3} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & + y & = & \frac{7}{2} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{1}{2} x + y$	=	$\frac{7}{2}$
$y - \frac{1}{2} x$	=	$\frac{7}{2}$	\|⋅ 2
$2 (y - \frac{1}{2} x)$	=	$7$
$2 y - x$	=	$7$	\| $+ x$
$2 y$	=	$7 + x$	\|: $2$
$y$	=	$\frac{7}{2} + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + \frac{1}{3} y & = & \frac{14}{3} & (I) \\ + y & = & (\frac{7}{2} + \frac{1}{2} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $\frac{7}{2} + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + \frac{1}{3} \cdot (\frac{7}{2} + \frac{1}{2} x)$	=	$\frac{14}{3}$
$x + \frac{7}{6} + \frac{1}{6} x$	=	$\frac{14}{3}$
$\frac{7}{6} x + \frac{7}{6}$	=	$\frac{14}{3}$	\|⋅ 6
$6 (\frac{7}{6} x + \frac{7}{6})$	=	$28$
$7 x + 7$	=	$28$	\| $- 7$
$7 x$	=	$21$	\|: $7$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $\frac{7}{2} + \frac{1}{2} \cdot 3$

= $\frac{7}{2} + \frac{3}{2}$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -5y = ?

-3x -13y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-1x -5y = -5 -10 = -15

-3x -13y = -15 -26 = -41

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -5y = -15

-3x -13y = -41

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & - 5 y & = & 2 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 5 y & = & 2 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$- 11$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$- 11 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 5 y & = & 2 & (I) \\ x & = & (- 11 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 11 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 11 + 4 y) - 5 y$	=	$2$
$44 - 16 y - 5 y$	=	$2$
$- 21 y + 44$	=	$2$	\| $- 44$
$- 21 y$	=	$- 42$	\|:( $- 21$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 11 + 4 \cdot 2$

= $- 11 + 8$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 700 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 350 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 700 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 350 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 4 y$	=	$700$
$- 4 y + 3 x$	=	$700$	\| $- 3 x$
$- 4 y$	=	$700 - 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 175 + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 175 + \frac{3}{4} x) & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 350 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 175 + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot (- 175 + \frac{3}{4} x)$	=	$350$
$2 x + 875 - \frac{15}{4} x$	=	$350$
$- \frac{7}{4} x + 875$	=	$350$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{7}{4} x + 875)$	=	$1 400$
$- 7 x + 3 500$	=	$1 400$	\| $- 3 500$
$- 7 x$	=	$- 2 100$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 175 + \frac{3}{4} \cdot 300$

= $- 175 + 225$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (300|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(1|-12) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-12): -12 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
-12 = 1 +1b +c |-1

7 = -1b +c
-13 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ b & + c & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 13$
$c + b$	=	$- 13$	\| $- b$
$c$	=	$- 13 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (- 13 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 13 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 13 - b)$	=	$7$
$- b - 13 - b$	=	$7$
$- 2 b - 13$	=	$7$	\| $+ 13$
$- 2 b$	=	$20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 13 - (- 10)$

= $- 13 + 10$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|11) und B(2|-10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|11): 11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-10): -10 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
11 = 1 -1b +c |-1
-10 = 4 +2b +c |-4

10 = -1b +c
-14 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 10 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 14$
$c + 2 b$	=	$- 14$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 14 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 10 & (I) \\ + c & = & (- 14 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 14 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 14 - 2 b)$	=	$10$
$- b - 14 - 2 b$	=	$10$
$- 3 b - 14$	=	$10$	\| $+ 14$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 14 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 14 + 16$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 + 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 + 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 14$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-14).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 + 2$ = $16 - 32 + 2$ = -14

also: S(4|-14).

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