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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 5 y$ = $5$ .

Bestimme y so, dass (-5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$(- 5) + 5 y$ = $5$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$(- 5) + 5 y$	=	$5$
$- 5 + 5 y$	=	$5$
$5 y - 5$	=	$5$	\| $+ 5$
$5 y$	=	$10$	\|: $5$
$y$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (-5|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 4 y$ = $- 12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|0)
denn 3⋅( - 4 ) -4⋅0 = -12 +0 = $- 12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|-3)
denn 3⋅( - 8 ) -4⋅( - 3 ) = -24 +12 = $- 12$

Oder : (0|3)
denn 3⋅0 -4⋅3 = 0 -12 = $- 12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 16 & (I) \\ 2 x & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 16 & (I) \\ 2 x & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$12$	\|: $2$
$x$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 16 & (I) \\ x & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot 6 - 2 y$	=	$- 16$
$- 24 - 2 y$	=	$- 16$
$- 2 y - 24$	=	$- 16$	\| $+ 24$
$- 2 y$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 7 & (I) \\ 4 x & - y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 7 & (I) \\ 4 x & - y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x - y$	=	$- 11$
$- y + 4 x$	=	$- 11$	\| $- 4 x$
$- y$	=	$- 11 - 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$11 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 7 & (I) \\ + y & = & (11 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $11 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 4 \cdot (11 + 4 x)$	=	$- 7$
$x + 44 + 16 x$	=	$- 7$
$17 x + 44$	=	$- 7$	\| $- 44$
$17 x$	=	$- 51$	\|: $17$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $11 + 4 \cdot (- 3)$

= $11 - 12$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 9 & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 9 & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x - y$	=	$9$
$- y + 2 x$	=	$9$	\| $- 2 x$
$- y$	=	$9 - 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 9 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 9 + 2 x) & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 9 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 5 \cdot (- 9 + 2 x)$	=	$- 10$
$- 3 x - 45 + 10 x$	=	$- 10$
$7 x - 45$	=	$- 10$	\| $+ 45$
$7 x$	=	$35$	\|: $7$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 9 + 2 \cdot 5$

= $- 9 + 10$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ - \frac{3}{5} x & + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ - \frac{3}{5} x & + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 2 y$	=	$6$
$2 y + 2 x$	=	$6$	\| $- 2 x$
$2 y$	=	$6 - 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$3 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3 - x) & (I) \\ - \frac{3}{5} x & + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{3}{5} x + 3 \cdot (3 - x)$	=	$- 9$
$- \frac{3}{5} x + 9 - 3 x$	=	$- 9$
$- \frac{18}{5} x + 9$	=	$- 9$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{18}{5} x + 9)$	=	$- 45$
$- 18 x + 45$	=	$- 45$	\| $- 45$
$- 18 x$	=	$- 90$	\|:( $- 18$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3 - 5$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -1y = ?

-6x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-5x -1y = -10 -5 = -15

-6x +2y = -12 +10 = -2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -1y = -15

-6x +2y = -2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & - 1 & (I) \\ 6 x & - 6 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & - 1 & (I) \\ 6 x & - 6 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 3 y$	=	$- 1$
$3 y - 3 x$	=	$- 1$	\| $+ 3 x$
$3 y$	=	$- 1 + 3 x$	\|: $3$
$y$	=	$- \frac{1}{3} + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{3} + x) & (I) \\ 6 x & - 6 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{3} + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 6 \cdot (- \frac{1}{3} + x)$	=	$3$
$6 x + 2 - 6 x$	=	$3$
$2$	=	$3$	\| $- 2$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 34. Wenn man aber vom 6-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -6. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 6 y & = & 34 & (I) \\ 6 x & - 6 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 6 y$	=	$34$	\| $- 6 y$
$x$	=	$34 - 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (34 - 6 y) & (I) \\ 6 x & - 6 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $34 - 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (34 - 6 y) - 6 y$	=	$- 6$
$204 - 36 y - 6 y$	=	$- 6$
$- 42 y + 204$	=	$- 6$	\| $- 204$
$- 42 y$	=	$- 210$	\|:( $- 42$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $34 - 6 \cdot 5$

= $34 - 30$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|1) und B(1|-3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|1): 1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 -1b +c |-1
-3 = 1 +1b +c |-1

0 = -1b +c
-4 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ b & + c & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 4$
$c + b$	=	$- 4$	\| $- b$
$c$	=	$- 4 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (- 4 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 4 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 4 - b)$	=	0
$- b - 4 - b$	=	0
$- 2 b - 4$	=	0	\| $+ 4$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 4 - (- 2)$

= $- 4 + 2$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-2)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-3) und B(3|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-7): -7 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 +1b +c |-1
-7 = 9 +3b +c |-9

-4 = 1b +c
-16 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 16$
$c + 3 b$	=	$- 16$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 16 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (- 16 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 16 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 16 - 3 b)$	=	$- 4$
$b - 16 - 3 b$	=	$- 4$
$- 2 b - 16$	=	$- 4$	\| $+ 16$
$- 2 b$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 16 - 3 \cdot (- 6)$

= $- 16 + 18$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 2$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 + 2$

= ${(x - 3)}^{2} - 7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 + 2$ = $9 - 18 + 2$ = -7

also: S(3|-7).

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Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS (Standard)

LGS (vorher umformen)

LGS zu Lösungen finden

LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg