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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + 5 y$ = $- 35$ .

Bestimme y so, dass (-5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$3 \cdot (- 5) + 5 y$ = $- 35$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3 \cdot (- 5) + 5 y$	=	$- 35$
$- 15 + 5 y$	=	$- 35$
$5 y - 15$	=	$- 35$	\| $+ 15$
$5 y$	=	$- 20$	\|: $5$
$y$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (-5|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + 4 y$ = $2$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|2)
denn 3⋅( - 2 ) +4⋅2 = -6 +8 = $2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-1)
denn 3⋅2 +4⋅( - 1 ) = 6 -4 = $2$

Oder : (-6|5)
denn 3⋅( - 6 ) +4⋅5 = -18 +20 = $2$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & = & - 16 & (I) \\ - x & + 3 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & = & - 16 & (I) \\ - x & + 3 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$- 16$	\|: $4$
$x$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 4 & (I) \\ - x & + 3 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 4) + 3 y$	=	$19$
$4 + 3 y$	=	$19$
$3 y + 4$	=	$19$	\| $- 4$
$3 y$	=	$15$	\|: $3$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ - x & + 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ - x & + 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 4 y$	=	$10$	\| $- 4 y$
$- x$	=	$10 - 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 10 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ x & = & (- 10 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 10 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 10 + 4 y) + 2 y$	=	$2$
$- 10 + 4 y + 2 y$	=	$2$
$6 y - 10$	=	$2$	\| $+ 10$
$6 y$	=	$12$	\|: $6$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 10 + 4 \cdot 2$

= $- 10 + 8$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & + 3 y & = & 10 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & + 3 y & = & 10 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x + 3 y$	=	$10$
$3 y - 5 x$	=	$10$	\| $+ 5 x$
$3 y$	=	$10 + 5 x$	\|: $3$
$y$	=	$\frac{10}{3} + \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{10}{3} + \frac{5}{3} x) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{10}{3} + \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (\frac{10}{3} + \frac{5}{3} x)$	=	$- 4$
$2 x + \frac{20}{3} + \frac{10}{3} x$	=	$- 4$
$\frac{16}{3} x + \frac{20}{3}$	=	$- 4$	\|⋅ 3
$3 (\frac{16}{3} x + \frac{20}{3})$	=	$- 12$
$16 x + 20$	=	$- 12$	\| $- 20$
$16 x$	=	$- 32$	\|: $16$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{10}{3} + \frac{5}{3} \cdot (- 2)$

= $\frac{10}{3} - \frac{10}{3}$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3 x$	=	$- 39 + 4 y$			(I)
$- 3 x - 7$	=	$2 x + 3 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3 x$	=	$- 39 + 4 y$	\| $- 4 y$		(I)
$- 3 x - 7$	=	$2 x + 3 y$	\| + $7 - 2 x - 3 y$		(II)

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & - 39 & (I) \\ - 5 x & - 3 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 4 y$	=	$- 39$
$- 4 y + 3 x$	=	$- 39$	\| $- 3 x$
$- 4 y$	=	$- 39 - 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$\frac{39}{4} + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{39}{4} + \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 5 x & - 3 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{39}{4} + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 3 \cdot (\frac{39}{4} + \frac{3}{4} x)$	=	$7$
$- 5 x - \frac{117}{4} - \frac{9}{4} x$	=	$7$
$- \frac{29}{4} x - \frac{117}{4}$	=	$7$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{29}{4} x - \frac{117}{4})$	=	$28$
$- 29 x - 117$	=	$28$	\| $+ 117$
$- 29 x$	=	$145$	\|:( $- 29$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{39}{4} + \frac{3}{4} \cdot (- 5)$

= $\frac{39}{4} - \frac{15}{4}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +3y = ?

-5x +10y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-2x +3y = 10 -15 = -5

-5x +10y = 25 -50 = -25

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +3y = -5

-5x +10y = -25

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$2$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$2 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (2 + 2 y) & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $2 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (2 + 2 y) + 4 y$	=	$- 2$
$- 4 - 4 y + 4 y$	=	$- 2$
$- 4$	=	$- 2$	\| $+ 4$
0	=	$2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 3. Wenn man aber vom 4-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 2. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 3 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$3$	\| $- 2 y$
$x$	=	$3 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (3 - 2 y) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $3 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (3 - 2 y) - 2 y$	=	$2$
$12 - 8 y - 2 y$	=	$2$
$- 10 y + 12$	=	$2$	\| $- 12$
$- 10 y$	=	$- 10$	\|:( $- 10$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $3 - 2 \cdot 1$

= $3 - 2$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 1

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|0) und B(-2|9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|9): 9 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
9 = 4 -2b +c |-4

-1 = 1b +c
5 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$5$
$c - 2 b$	=	$5$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$5 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (5 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $5 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (5 + 2 b)$	=	$- 1$
$b + 5 + 2 b$	=	$- 1$
$3 b + 5$	=	$- 1$	\| $- 5$
$3 b$	=	$- 6$	\|: $3$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $5 + 2 \cdot (- 2)$

= $5 - 4$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|7) und B(-1|-1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|7): 7 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-1): -1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 +1b +c |-1
-1 = 1 -1b +c |-1

6 = 1b +c
-2 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 6 & (I) \\ - b & + c & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 2$
$c - b$	=	$- 2$	\| $+ b$
$c$	=	$- 2 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (- 2 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 2 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 2 + b)$	=	$6$
$b - 2 + b$	=	$6$
$2 b - 2$	=	$6$	\| $+ 2$
$2 b$	=	$8$	\|: $2$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 2 + 4$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 + 2$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 + 2$

= ${(x + 2)}^{2} - 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 2$ = $4 - 8 + 2$ = -2

also: S(-2|-2).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg