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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 5 y$ = $- 10$ .

Bestimme y so, dass (-5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$- (- 5) + 5 y$ = $- 10$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- (- 5) + 5 y$	=	$- 10$
$5 + 5 y$	=	$- 10$
$5 y + 5$	=	$- 10$	\| $- 5$
$5 y$	=	$- 15$	\|: $5$
$y$	=	$- 3$

Die Lösung ist somit: (-5|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 2 y$ = $- 26$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|-2)
denn 5⋅( - 6 ) -2⋅( - 2 ) = -30 +4 = $- 26$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|-7)
denn 5⋅( - 8 ) -2⋅( - 7 ) = -40 +14 = $- 26$

Oder : (-4|3)
denn 5⋅( - 4 ) -2⋅3 = -20 -6 = $- 26$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & = & 12 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & = & 12 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 6 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 6) + 2 y$	=	$- 16$
$- 6 + 2 y$	=	$- 16$
$2 y - 6$	=	$- 16$	\| $+ 6$
$2 y$	=	$- 10$	\|: $2$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 4 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 4 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 12$
$y + 4 x$	=	$- 12$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 12 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 4 & (I) \\ + y & = & (- 12 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 12 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 1 \cdot (- 12 - 4 x)$	=	$4$
$- 4 x - 12 - 4 x$	=	$4$
$- 8 x - 12$	=	$4$	\| $+ 12$
$- 8 x$	=	$16$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 12 - 4 \cdot (- 2)$

= $- 12 + 8$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 15 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 15 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$15$	\| $- 3 y$
$x$	=	$15 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (15 - 3 y) & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $15 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (15 - 3 y) + 4 y$	=	$20$
$- 30 + 6 y + 4 y$	=	$20$
$10 y - 30$	=	$20$	\| $+ 30$
$10 y$	=	$50$	\|: $10$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $15 - 3 \cdot 5$

= $15 - 15$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$4 y$	=	$4 (x - 5)$			(I)
$2 (x - 1)$	=	$2 (- x + 7) + 2 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$4 y$	=	$4 (x - 5)$			(I)
$2 (x - 1)$	=	$2 (- x + 7) + 2 y$			(II)

$4 y$	=	$4 x - 20$	\| $- 4 x$		(I)
$2 x - 2$	=	$- 2 x + 14 + 2 y$	\| + $2 + 2 x - 2 y$		(II)

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & - 20 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 4 y$	=	$- 20$
$4 y - 4 x$	=	$- 20$	\| $+ 4 x$
$4 y$	=	$- 20 + 4 x$	\|: $4$
$y$	=	$- 5 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 5 + x) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 5 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 2 \cdot (- 5 + x)$	=	$16$
$4 x + 10 - 2 x$	=	$16$
$2 x + 10$	=	$16$	\| $- 10$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5 + 3$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +1y = ?

-5x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-3x +1y = -12 +4 = -8

-5x +3y = -20 +12 = -8

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +1y = -8

-5x +3y = -8

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & 1 & (I) \\ 4 x & + 6 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & 1 & (I) \\ 4 x & + 6 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 3 y$	=	$1$
$- 3 y - 2 x$	=	$1$	\| $+ 2 x$
$- 3 y$	=	$1 + 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- \frac{1}{3} - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{3} - \frac{2}{3} x) & (I) \\ 4 x & + 6 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{3} - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 6 \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{2}{3} x)$	=	$- 2$
$4 x - 2 - 4 x$	=	$- 2$
$- 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 26. Wenn man aber vom 3-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -18. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 6 y & = & 26 & (I) \\ 3 x & - 6 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 6 y$	=	$26$	\| $- 6 y$
$x$	=	$26 - 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (26 - 6 y) & (I) \\ 3 x & - 6 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $26 - 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (26 - 6 y) - 6 y$	=	$- 18$
$78 - 18 y - 6 y$	=	$- 18$
$- 24 y + 78$	=	$- 18$	\| $- 78$
$- 24 y$	=	$- 96$	\|:( $- 24$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $26 - 6 \cdot 4$

= $26 - 24$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 4

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-2) und B(2|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-7): -7 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
-7 = 4 +2b +c |-4

-3 = 1b +c
-11 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 11$
$c + 2 b$	=	$- 11$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 11 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 11 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 11 - 2 b)$	=	$- 3$
$b - 11 - 2 b$	=	$- 3$
$- b - 11$	=	$- 3$	\| $+ 11$
$- b$	=	$8$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 11 + 16$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|5)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|14) und B(2|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|14): 14 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-7): -7 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
14 = 1 -1b +c |-1
-7 = 4 +2b +c |-4

13 = -1b +c
-11 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 13 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 11$
$c + 2 b$	=	$- 11$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 11 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 13 & (I) \\ + c & = & (- 11 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 11 - 2 b)$	=	$13$
$- b - 11 - 2 b$	=	$13$
$- 3 b - 11$	=	$13$	\| $+ 11$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 11 + 16$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|5)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 + 5$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 + 5$

= ${(x - 4)}^{2} - 11$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-11).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 + 5$ = $16 - 32 + 5$ = -11

also: S(4|-11).

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1. Weg

2. Weg