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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 5 y$ = $- 11$ .

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 \cdot (- 2) + 5 y$ = $- 11$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 2) + 5 y$	=	$- 11$
$4 + 5 y$	=	$- 11$
$5 y + 4$	=	$- 11$	\| $- 4$
$5 y$	=	$- 15$	\|: $5$
$y$	=	$- 3$

Die Lösung ist somit: (-2|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 2 y$ = $11$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|-2)
denn 5⋅3 +2⋅( - 2 ) = 15 -4 = $11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|-7)
denn 5⋅5 +2⋅( - 7 ) = 25 -14 = $11$

Oder : (1|3)
denn 5⋅1 +2⋅3 = 5 +6 = $11$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & = & 18 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & = & 18 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 6 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 6) + 2 y$	=	$- 18$
$- 12 + 2 y$	=	$- 18$
$2 y - 12$	=	$- 18$	\| $+ 12$
$2 y$	=	$- 6$	\|: $2$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + y & = & - 7 & (I) \\ x & - 3 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + y & = & - 7 & (I) \\ x & - 3 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$17$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$17 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + y & = & - 7 & (I) \\ x & = & (17 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $17 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (17 + 3 y) + y$	=	$- 7$
$- 17 - 3 y + y$	=	$- 7$
$- 2 y - 17$	=	$- 7$	\| $+ 17$
$- 2 y$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $17 + 3 \cdot (- 5)$

= $17 - 15$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 16 & (I) \\ - x & - 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 16 & (I) \\ - x & - 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 2 y$	=	$- 12$	\| $+ 2 y$
$- x$	=	$- 12 + 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$12 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 16 & (I) \\ x & = & (12 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $12 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (12 - 2 y) - 3 y$	=	$- 16$
$- 12 + 2 y - 3 y$	=	$- 16$
$- y - 12$	=	$- 16$	\| $+ 12$
$- y$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $12 - 2 \cdot 4$

= $12 - 8$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3 x + 1 + 4 y$	=	$x - 5 + y$			(I)
$- x + 4 (2 + y)$	=	0			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3 x + 1 + 4 y$	=	$x - 5 + y$			(I)
$- x + 4 (2 + y)$	=	0			(II)

$3 x + 1 + 4 y$	=	$x - 5 + y$	\| $- 1 - x - y$		(I)
$- x + 8 + 4 y$	=	0	\| $- 8$		(II)

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & - 6 & (I) \\ - x & + 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 4 y$	=	$- 8$	\| $- 4 y$
$- x$	=	$- 8 - 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$8 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & - 6 & (I) \\ x & = & (8 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $8 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (8 + 4 y) + 3 y$	=	$- 6$
$16 + 8 y + 3 y$	=	$- 6$
$11 y + 16$	=	$- 6$	\| $- 16$
$11 y$	=	$- 22$	\|: $11$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $8 + 4 \cdot (- 2)$

= $8 - 8$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +4y = ?

4x +19y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

1x +4y = 1 -20 = -19

4x +19y = 4 -95 = -91

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +4y = -19

4x +19y = -91

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 8 x & - 4 y & = & - 6 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 8 x & - 4 y & = & - 6 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$1$
$y - 2 x$	=	$1$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$1 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 8 x & - 4 y & = & - 6 & (I) \\ + y & = & (1 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x - 4 \cdot (1 + 2 x)$	=	$- 6$
$8 x - 4 - 8 x$	=	$- 6$
$- 4$	=	$- 6$	\| $+ 4$
0	=	$- 2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 19. Wenn man aber vom 6-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -3. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 6 y & = & 19 & (I) \\ 6 x & - 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 6 y$	=	$19$	\| $- 6 y$
$x$	=	$19 - 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (19 - 6 y) & (I) \\ 6 x & - 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $19 - 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (19 - 6 y) - 3 y$	=	$- 3$
$114 - 36 y - 3 y$	=	$- 3$
$- 39 y + 114$	=	$- 3$	\| $- 114$
$- 39 y$	=	$- 117$	\|:( $- 39$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $19 - 6 \cdot 3$

= $19 - 18$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 3

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|5) und B(3|25) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|5): 5 = 1² + b⋅1 +c

B(3|25): 25 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 +1b +c |-1
25 = 9 +3b +c |-9

4 = 1b +c
16 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ 3 b & + c & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$16$
$c + 3 b$	=	$16$	\| $- 3 b$
$c$	=	$16 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (16 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $16 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (16 - 3 b)$	=	$4$
$b + 16 - 3 b$	=	$4$
$- 2 b + 16$	=	$4$	\| $- 16$
$- 2 b$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $16 - 3 \cdot 6$

= $16 - 18$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-8) und B(-1|12) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-8): -8 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|12): 12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 +1b +c |-1
12 = 1 -1b +c |-1

-9 = 1b +c
11 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ - b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$11$
$c - b$	=	$11$	\| $+ b$
$c$	=	$11 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ + c & = & (11 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (11 + b)$	=	$- 9$
$b + 11 + b$	=	$- 9$
$2 b + 11$	=	$- 9$	\| $- 11$
$2 b$	=	$- 20$	\|: $2$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 - 10$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|1)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 + 1$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 + 1$

= ${(x - 5)}^{2} - 24$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-24).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 + 1$ = $25 - 50 + 1$ = -24

also: S(5|-24).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg