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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 5 y$ = $24$ .

Bestimme x so, dass (x|-3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$3 x - 5 \cdot (- 3)$ = $24$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3 x - 5 \cdot (- 3)$	=	$24$
$3 x + 15$	=	$24$	\| $- 15$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + y$ = $- 2$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-2)
denn -5⋅0 +1⋅( - 2 ) = 0 -2 = $- 2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|3)
denn -5⋅1 +1⋅3 = -5 +3 = $- 2$

Oder : (-1|-7)
denn -5⋅( - 1 ) +1⋅( - 7 ) = 5 -7 = $- 2$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & 3 & (I) \\ - 4 x & = & 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & 3 & (I) \\ - 4 x & = & 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & 3 & (I) \\ x & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 6) - 3 y$	=	$3$
$- 12 - 3 y$	=	$3$
$- 3 y - 12$	=	$3$	\| $+ 12$
$- 3 y$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & - 25 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & - 25 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 25$
$y + 4 x$	=	$- 25$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 25 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & - 25 & (I) \\ + y & = & (- 25 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 25 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot (- 25 - 4 x)$	=	$- 25$
$2 x - 75 - 12 x$	=	$- 25$
$- 10 x - 75$	=	$- 25$	\| $+ 75$
$- 10 x$	=	$50$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 25 - 4 \cdot (- 5)$

= $- 25 + 20$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 1 & (I) \\ x & - 5 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 1 & (I) \\ x & - 5 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 5 y$	=	$9$	\| $+ 5 y$
$x$	=	$9 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 1 & (I) \\ x & = & (9 + 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $9 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (9 + 5 y) + 2 y$	=	$- 1$
$- 27 - 15 y + 2 y$	=	$- 1$
$- 13 y - 27$	=	$- 1$	\| $+ 27$
$- 13 y$	=	$26$	\|:( $- 13$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $9 + 5 \cdot (- 2)$

= $9 - 10$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{5} x & + \frac{1}{3} y & = & \frac{23}{15} & (I) \\ - 2 x & - \frac{2}{3} y & = & - \frac{14}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{5} x & + \frac{1}{3} y & = & \frac{23}{15} & (I) \\ - 2 x & - \frac{2}{3} y & = & - \frac{14}{3} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{5} x + \frac{1}{3} y$	=	$\frac{23}{15}$
$\frac{1}{3} y + \frac{1}{5} x$	=	$\frac{23}{15}$	\|⋅ 15
$15 (\frac{1}{3} y + \frac{1}{5} x)$	=	$23$
$5 y + 3 x$	=	$23$	\| $- 3 x$
$5 y$	=	$23 - 3 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{23}{5} - \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{23}{5} - \frac{3}{5} x) & (I) \\ - 2 x & - \frac{2}{3} y & = & - \frac{14}{3} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{23}{5} - \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - \frac{2}{3} \cdot (\frac{23}{5} - \frac{3}{5} x)$	=	$- \frac{14}{3}$
$- 2 x - \frac{46}{15} + \frac{2}{5} x$	=	$- \frac{14}{3}$
$- \frac{8}{5} x - \frac{46}{15}$	=	$- \frac{14}{3}$	\|⋅ 15
$15 (- \frac{8}{5} x - \frac{46}{15})$	=	$- 70$
$- 24 x - 46$	=	$- 70$	\| $+ 46$
$- 24 x$	=	$- 24$	\|:( $- 24$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{23}{5} - \frac{3}{5} \cdot 1$

= $\frac{23}{5} - \frac{3}{5}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +2y = ?

3x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-1x +2y = 5 -6 = -1

3x -7y = -15 +21 = 6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +2y = -1

3x -7y = 6

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & - 2 & (I) \\ 12 x & + 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & - 2 & (I) \\ 12 x & + 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x - y$	=	$- 2$
$- y - 3 x$	=	$- 2$	\| $+ 3 x$
$- y$	=	$- 2 + 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$2 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (2 - 3 x) & (I) \\ 12 x & + 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$12 x + 4 \cdot (2 - 3 x)$	=	$8$
$12 x + 8 - 12 x$	=	$8$
$8$	=	$8$	\| $- 8$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 16. Wenn man aber vom 3-fachen von x 5 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -3. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 16 & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$16$	\| $- 4 y$
$x$	=	$16 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (16 - 4 y) & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $16 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (16 - 4 y) - 5 y$	=	$- 3$
$48 - 12 y - 5 y$	=	$- 3$
$- 17 y + 48$	=	$- 3$	\| $- 48$
$- 17 y$	=	$- 51$	\|:( $- 17$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $16 - 4 \cdot 3$

= $16 - 12$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 3

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(-4|5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|5): 5 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
5 = 16 -4b +c |-16

-5 = -1b +c
-11 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 11$
$c - 4 b$	=	$- 11$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 11 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 11 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 11 + 4 b)$	=	$- 5$
$- b - 11 + 4 b$	=	$- 5$
$3 b - 11$	=	$- 5$	\| $+ 11$
$3 b$	=	$6$	\|: $3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 + 4 \cdot 2$

= $- 11 + 8$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-3) und B(-2|-6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-6): -6 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 -1b +c |-1
-6 = 4 -2b +c |-4

-4 = -1b +c
-10 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 10$
$c - 2 b$	=	$- 10$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 10 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (- 10 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 10 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 10 + 2 b)$	=	$- 4$
$- b - 10 + 2 b$	=	$- 4$
$b - 10$	=	$- 4$	\| $+ 10$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 10 + 2 \cdot 6$

= $- 10 + 12$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 2$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 2$

= ${(x + 3)}^{2} - 7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 2$ = $9 - 18 + 2$ = -7

also: S(-3|-7).

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Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

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LGS (vorher umformen)

LGS zu Lösungen finden

LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg