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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 5 y$ = $33$ .

Bestimme x so, dass (x|-6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$x - 5 \cdot (- 6)$ = $33$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x - 5 \cdot (- 6)$	=	$33$
$x + 30$	=	$33$	\| $- 30$
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 5 y$ = $31$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|7)
denn -4⋅1 +5⋅7 = -4 +35 = $31$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|11)
denn -4⋅6 +5⋅11 = -24 +55 = $31$

Oder : (-4|3)
denn -4⋅( - 4 ) +5⋅3 = 16 +15 = $31$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & - 10 & (I) \\ - 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & - 10 & (I) \\ - 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & - 10 & (I) \\ + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 2 \cdot (- 1)$	=	$- 10$
$3 x + 2$	=	$- 10$	\| $- 2$
$3 x$	=	$- 12$	\|: $3$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 16 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 16 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 22$
$y + 4 x$	=	$- 22$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 22 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 16 & (I) \\ + y & = & (- 22 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 22 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 1 \cdot (- 22 - 4 x)$	=	$16$
$- 3 x + 22 + 4 x$	=	$16$
$x + 22$	=	$16$	\| $- 22$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 22 - 4 \cdot (- 6)$

= $- 22 + 24$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 16 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 16 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 4 y$	=	$16$
$4 y - 2 x$	=	$16$	\| $+ 2 x$
$4 y$	=	$16 + 2 x$	\|: $4$
$y$	=	$4 + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (4 + \frac{1}{2} x) & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4 + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 3 \cdot (4 + \frac{1}{2} x)$	=	$15$
$- 3 x - 12 - \frac{3}{2} x$	=	$15$
$- \frac{9}{2} x - 12$	=	$15$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{9}{2} x - 12)$	=	$30$
$- 9 x - 24$	=	$30$	\| $+ 24$
$- 9 x$	=	$54$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4 + \frac{1}{2} \cdot (- 6)$

= $4 - 3$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{4} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{7}{2} & (I) \\ - 2 x & - \frac{2}{3} y & = & - \frac{34}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{4} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{7}{2} & (I) \\ - 2 x & - \frac{2}{3} y & = & - \frac{34}{3} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{4} x + \frac{1}{2} y$	=	$\frac{7}{2}$
$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} x$	=	$\frac{7}{2}$	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} x)$	=	$14$
$2 y + x$	=	$14$	\| $- x$
$2 y$	=	$14 - x$	\|: $2$
$y$	=	$7 - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (7 - \frac{1}{2} x) & (I) \\ - 2 x & - \frac{2}{3} y & = & - \frac{34}{3} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $7 - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - \frac{2}{3} \cdot (7 - \frac{1}{2} x)$	=	$- \frac{34}{3}$
$- 2 x - \frac{14}{3} + \frac{1}{3} x$	=	$- \frac{34}{3}$
$- \frac{5}{3} x - \frac{14}{3}$	=	$- \frac{34}{3}$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{5}{3} x - \frac{14}{3})$	=	$- 34$
$- 5 x - 14$	=	$- 34$	\| $+ 14$
$- 5 x$	=	$- 20$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $7 - \frac{1}{2} \cdot 4$

= $7 - 2$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -5y = ?

6x -9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

4x -5y = -16 -25 = -41

6x -9y = -24 -45 = -69

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -5y = -41

6x -9y = -69

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 3 & (I) \\ 12 x & + 8 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 3 & (I) \\ 12 x & + 8 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 2 y$	=	$3$
$- 2 y - 3 x$	=	$3$	\| $+ 3 x$
$- 2 y$	=	$3 + 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- \frac{3}{2} - \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{3}{2} - \frac{3}{2} x) & (I) \\ 12 x & + 8 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{3}{2} - \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$12 x + 8 \cdot (- \frac{3}{2} - \frac{3}{2} x)$	=	$- 12$
$12 x - 12 - 12 x$	=	$- 12$
$- 12$	=	$- 12$	\| $+ 12$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 810 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 6 Stunden wandern und hat 1 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 855 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & - 2 y & = & 810 & (I) \\ 6 x & - y & = & 855 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$6 x - y$	=	$855$
$- y + 6 x$	=	$855$	\| $- 6 x$
$- y$	=	$855 - 6 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 855 + 6 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 6 x & - 2 y & = & 810 & (I) \\ + y & = & (- 855 + 6 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 855 + 6 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 2 \cdot (- 855 + 6 x)$	=	$810$
$6 x + 1 710 - 12 x$	=	$810$
$- 6 x + 1 710$	=	$810$	\| $- 1 710$
$- 6 x$	=	$- 900$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 855 + 6 \cdot 150$

= $- 855 + 900$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (150|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|4) und B(1|8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
8 = 1 +1b +c |-1

3 = -1b +c
7 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ b & + c & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$7$
$c + b$	=	$7$	\| $- b$
$c$	=	$7 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (7 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (7 - b)$	=	$3$
$- b + 7 - b$	=	$3$
$- 2 b + 7$	=	$3$	\| $- 7$
$- 2 b$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7 - 2$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-4) und B(-1|0) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 +1b +c |-1
0 = 1 -1b +c |-1

-5 = 1b +c
-1 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ - b & + c & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 1$
$c - b$	=	$- 1$	\| $+ b$
$c$	=	$- 1 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 1 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 1 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 1 + b)$	=	$- 5$
$b - 1 + b$	=	$- 5$
$2 b - 1$	=	$- 5$	\| $+ 1$
$2 b$	=	$- 4$	\|: $2$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 1 - 2$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 - 3$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 - 3$

= ${(x - 1)}^{2} - 4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 - 3$ = $1 - 2 - 3$ = -4

also: S(1|-4).

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Wert zum Einsetzen finden

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg