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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -3x -3y = 0.

Bestimme x so, dass (x|0) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

-3x -30 = 0

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

-3x -30 = 0
-3x = 0 |:(-3 )
x = 0

Die Lösung ist somit: (0|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -5x -2y = 30 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|0)
denn -5⋅( - 6 ) -20 = 30 +0 = 30

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|5)
denn -5⋅( - 8 ) -25 = 40 -10 = 30

Oder : (-4|-5)
denn -5⋅( - 4 ) -2( - 5 ) = 20 +10 = 30

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-y = -4 (I) -x +4y = 18 (II)

Lösung einblenden
-y = -4 (I) -x +4y = 18 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

-y = -4 |:(-1 )
y = 4

Als neues LGS erhält man so:

+y = 4 (I) -x +4y = 18 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch 4 ersetzen und dann nach x auflösen:

-x + 4 · 4 = 18
-x +16 = 18 | -16
-x = 2 |:(-1 )
x = -2

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-2x -4y = -14 (I) x +3y = 12 (II)

Lösung einblenden
-2x -4y = -14 (I) x +3y = 12 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +3y = 12 | -3y
x = 12 -3y

Als neues LGS erhält man so:

-2x -4y = -14 (I) x = ( 12 -3y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( 12 -3y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-2 · ( 12 -3y ) -4y = -14
-24 +6y -4y = -14
2y -24 = -14 | +24
2y = 10 |:2
y = 5

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = 12 -35

= 12 -15

= -3

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

3x +4y = -16 (I) 5x +y = -21 (II)

Lösung einblenden
3x +4y = -16 (I) 5x +y = -21 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

5x + y = -21
y +5x = -21 | -5x
y = -21 -5x

Als neues LGS erhält man so:

3x +4y = -16 (I) +y = ( -21 -5x ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( -21 -5x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

3x + 4 · ( -21 -5x ) = -16
3x -84 -20x = -16
-17x -84 = -16 | +84
-17x = 68 |:(-17 )
x = -4

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = -21 -5( -4 )

= -21 +20

= -1

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

1 4 x + 1 3 y = 7 12 (I) - 2 5 x -2y = - 12 5 (II)

Lösung einblenden
1 4 x + 1 3 y = 7 12 (I) - 2 5 x -2y = - 12 5 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

1 4 x + 1 3 y = 7 12
1 3 y + 1 4 x = 7 12 |⋅ 12
12( 1 3 y + 1 4 x) = 7
4y +3x = 7 | -3x
4y = 7 -3x |:4
y = 7 4 - 3 4 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 7 4 - 3 4 x ) (I) - 2 5 x -2y = - 12 5 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 7 4 - 3 4 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

- 2 5 x -2 · ( 7 4 - 3 4 x ) = - 12 5
- 2 5 x - 7 2 + 3 2 x = - 12 5
11 10 x - 7 2 = - 12 5 |⋅ 10
10( 11 10 x - 7 2 ) = -24
11x -35 = -24 | +35
11x = 11 |:11
x = 1

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 7 4 - 3 4 1

= 7 4 - 3 4

= 1

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -4y = ?

1x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

2x -4y = -2 +20 = 18

1x -4y = -1 +20 = 19

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -4y = 18

1x -4y = 19

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

6x -12y = 7 (I) -2x +4y = -3 (II)

Lösung einblenden
6x -12y = 7 (I) -2x +4y = -3 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

6x -12y = 7
-12y +6x = 7 | -6x
-12y = 7 -6x |:(-12 )
y = - 7 12 + 1 2 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( - 7 12 + 1 2 x ) (I) -2x +4y = -3 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( - 7 12 + 1 2 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-2x + 4 · ( - 7 12 + 1 2 x ) = -3
-2x - 7 3 +2x = -3
- 7 3 = -3 | + 7 3
0 = - 2 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 104 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 134 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

2x +5y = 104 (I) 7x +6y = 134 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

2x +5y = 104
5y +2x = 104 | -2x
5y = 104 -2x |:5
y = 104 5 - 2 5 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 104 5 - 2 5 x ) (I) 7x +6y = 134 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 104 5 - 2 5 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

7x + 6 · ( 104 5 - 2 5 x ) = 134
7x + 624 5 - 12 5 x = 134
23 5 x + 624 5 = 134 |⋅ 5
5( 23 5 x + 624 5 ) = 670
23x +624 = 670 | -624
23x = 46 |:23
x = 2

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 104 5 - 2 5 2

= 104 5 - 4 5

= 20

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (2|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20