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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 4 y$ = $27$ .

Bestimme y so, dass (5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$3 \cdot 5 - 4 y$ = $27$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3 \cdot 5 - 4 y$	=	$27$
$15 - 4 y$	=	$27$
$- 4 y + 15$	=	$27$	\| $- 15$
$- 4 y$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 3$

Die Lösung ist somit: (5|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 2 y$ = $12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-7)
denn 1⋅( - 2 ) -2⋅( - 7 ) = -2 +14 = $12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|-8)
denn 1⋅( - 4 ) -2⋅( - 8 ) = -4 +16 = $12$

Oder : (0|-6)
denn 1⋅0 -2⋅( - 6 ) = 0 +12 = $12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ 2 x & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ 2 x & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 4) - 2 y$	=	$6$
$4 - 2 y$	=	$6$
$- 2 y + 4$	=	$6$	\| $- 4$
$- 2 y$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & 12 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & 12 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$- 11$	\| $- 3 y$
$x$	=	$- 11 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & 12 & (I) \\ x & = & (- 11 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 11 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 11 - 3 y) + 4 y$	=	$12$
$44 + 12 y + 4 y$	=	$12$
$16 y + 44$	=	$12$	\| $- 44$
$16 y$	=	$- 32$	\|: $16$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 11 - 3 \cdot (- 2)$

= $- 11 + 6$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 2 y$	=	$4$
$- 2 y + 2 x$	=	$4$	\| $- 2 x$
$- 2 y$	=	$4 - 2 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 2 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 + x) & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 3 \cdot (- 2 + x)$	=	$- 9$
$- 2 x - 6 + 3 x$	=	$- 9$
$x - 6$	=	$- 9$	\| $+ 6$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 - 3$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 27 - y$	=	$x + 4 y$			(I)
$- 7 x$	=	$3 (- x + 6) + 2 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 27 - y$	=	$x + 4 y$			(I)
$- 7 x$	=	$3 (- x + 6) + 2 y$			(II)

$- 27 - y$	=	$x + 4 y$	\| + $27 - x - 4 y$		(I)
$- 7 x$	=	$- 3 x + 18 + 2 y$	\| + $3 x - 2 y$		(II)

\begin{matrix} - x & - 5 y & = & 27 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 5 y$	=	$27$	\| $+ 5 y$
$- x$	=	$27 + 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 27 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 27 - 5 y) & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 27 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 27 - 5 y) - 2 y$	=	$18$
$108 + 20 y - 2 y$	=	$18$
$18 y + 108$	=	$18$	\| $- 108$
$18 y$	=	$- 90$	\|: $18$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 27 - 5 \cdot (- 5)$

= $- 27 + 25$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -5y = ?

4x -22y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

1x -5y = 4 -10 = -6

4x -22y = 16 -44 = -28

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -5y = -6

4x -22y = -28

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 24 & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 24 & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 3 y$	=	$- 24$
$- 3 y - 2 x$	=	$- 24$	\| $+ 2 x$
$- 3 y$	=	$- 24 + 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$8 - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (8 - \frac{2}{3} x) & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $8 - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 2 \cdot (8 - \frac{2}{3} x)$	=	$24$
$4 x + 16 - \frac{4}{3} x$	=	$24$
$\frac{8}{3} x + 16$	=	$24$	\|⋅ 3
$3 (\frac{8}{3} x + 16)$	=	$72$
$8 x + 48$	=	$72$	\| $- 48$
$8 x$	=	$24$	\|: $8$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $8 - \frac{2}{3} \cdot 3$

= $8 - 2$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (3|6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 3 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 276 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 8 Halogenleuchten zusammen 248 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 9 y & = & 276 & (I) \\ 4 x & + 8 y & = & 248 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 9 y$	=	$276$
$9 y + 3 x$	=	$276$	\| $- 3 x$
$9 y$	=	$276 - 3 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{92}{3} - \frac{1}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{92}{3} - \frac{1}{3} x) & (I) \\ 4 x & + 8 y & = & 248 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{92}{3} - \frac{1}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 8 \cdot (\frac{92}{3} - \frac{1}{3} x)$	=	$248$
$4 x + \frac{736}{3} - \frac{8}{3} x$	=	$248$
$\frac{4}{3} x + \frac{736}{3}$	=	$248$	\|⋅ 3
$3 (\frac{4}{3} x + \frac{736}{3})$	=	$744$
$4 x + 736$	=	$744$	\| $- 736$
$4 x$	=	$8$	\|: $4$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{92}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2$

= $\frac{92}{3} - \frac{2}{3}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (2|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-9) und B(-3|-13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-9): -9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-13): -13 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-9 = 1 -1b +c |-1
-13 = 9 -3b +c |-9

-10 = -1b +c
-22 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 10 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 22$
$c - 3 b$	=	$- 22$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 22 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 10 & (I) \\ + c & = & (- 22 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 22 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 22 + 3 b)$	=	$- 10$
$- b - 22 + 3 b$	=	$- 10$
$2 b - 22$	=	$- 10$	\| $+ 22$
$2 b$	=	$12$	\|: $2$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 22 + 3 \cdot 6$

= $- 22 + 18$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-2) und B(2|19) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|19): 19 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 -1b +c |-1
19 = 4 +2b +c |-4

-3 = -1b +c
15 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ 2 b & + c & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$15$
$c + 2 b$	=	$15$	\| $- 2 b$
$c$	=	$15 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (15 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $15 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (15 - 2 b)$	=	$- 3$
$- b + 15 - 2 b$	=	$- 3$
$- 3 b + 15$	=	$- 3$	\| $- 15$
$- 3 b$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $15 - 2 \cdot 6$

= $15 - 12$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 3$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 3$

= ${(x + 3)}^{2} - 6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 3$ = $9 - 18 + 3$ = -6

also: S(-3|-6).

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1. Weg

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