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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 2 y$ = $8$ .

Bestimme x so, dass (x|-2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x + 2 \cdot (- 2)$ = $8$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x + 2 \cdot (- 2)$	=	$8$
$4 x - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$12$	\|: $4$
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - y$ = $- 12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|7)
denn -1⋅5 -1⋅7 = -5 -7 = $- 12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|8)
denn -1⋅4 -1⋅8 = -4 -8 = $- 12$

Oder : (6|6)
denn -1⋅6 -1⋅6 = -6 -6 = $- 12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + y & = & 4 & (I) \\ 4 x & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + y & = & 4 & (I) \\ 4 x & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$8$	\|: $4$
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + y & = & 4 & (I) \\ x & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot 2 + y$	=	$4$
$2 + y$	=	$4$
$y + 2$	=	$4$	\| $- 2$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 13 & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 13 & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$13$
$y - 3 x$	=	$13$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$13 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (13 + 3 x) & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $13 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 3 \cdot (13 + 3 x)$	=	$9$
$- 4 x + 39 + 9 x$	=	$9$
$5 x + 39$	=	$9$	\| $- 39$
$5 x$	=	$- 30$	\|: $5$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $13 + 3 \cdot (- 6)$

= $13 - 18$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & - 8 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - y & = & - 8 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x - y$	=	$- 8$
$- y + 2 x$	=	$- 8$	\| $- 2 x$
$- y$	=	$- 8 - 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$8 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (8 + 2 x) & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $8 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 3 \cdot (8 + 2 x)$	=	$6$
$- 4 x - 24 - 6 x$	=	$6$
$- 10 x - 24$	=	$6$	\| $+ 24$
$- 10 x$	=	$30$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $8 + 2 \cdot (- 3)$

= $8 - 6$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{3} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{13}{15} & (I) \\ x & - \frac{1}{3} y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{3} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{13}{15} & (I) \\ x & - \frac{1}{3} y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - \frac{1}{3} y$	=	$3$	\|⋅ 3
$3 (x - \frac{1}{3} y)$	=	$9$
$3 x - y$	=	$9$	\| $+ y$
$3 x$	=	$9 + y$	\|: $3$
$x$	=	$3 + \frac{1}{3} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - \frac{1}{3} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{13}{15} & (I) \\ x & = & (3 + \frac{1}{3} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $3 + \frac{1}{3} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- \frac{1}{3} \cdot (3 + \frac{1}{3} y) - \frac{1}{5} y$	=	$\frac{13}{15}$
$- 1 - \frac{1}{9} y - \frac{1}{5} y$	=	$\frac{13}{15}$
$- \frac{14}{45} y - 1$	=	$\frac{13}{15}$	\|⋅ 45
$45 (- \frac{14}{45} y - 1)$	=	$39$
$- 14 y - 45$	=	$39$	\| $+ 45$
$- 14 y$	=	$84$	\|:( $- 14$ )
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $3 + \frac{1}{3} \cdot (- 6)$

= $3 - 2$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +2y = ?

1x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

5x +2y = 20 +10 = 30

1x +2y = 4 +10 = 14

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +2y = 30

1x +2y = 14

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 8 x & + 4 y & = & 5 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 8 x & + 4 y & = & 5 & (I) \\ - 2 x & - y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	$- 1$
$- y - 2 x$	=	$- 1$	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$- 1 + 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$1 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 8 x & + 4 y & = & 5 & (I) \\ + y & = & (1 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 4 \cdot (1 - 2 x)$	=	$5$
$8 x + 4 - 8 x$	=	$5$
$4$	=	$5$	\| $- 4$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 3 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 50 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 5 Halogenleuchten zusammen 84 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 3 y & = & 50 & (I) \\ 9 x & + 5 y & = & 84 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 3 y$	=	$50$
$3 y + 5 x$	=	$50$	\| $- 5 x$
$3 y$	=	$50 - 5 x$	\|: $3$
$y$	=	$\frac{50}{3} - \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{50}{3} - \frac{5}{3} x) & (I) \\ 9 x & + 5 y & = & 84 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{50}{3} - \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9 x + 5 \cdot (\frac{50}{3} - \frac{5}{3} x)$	=	$84$
$9 x + \frac{250}{3} - \frac{25}{3} x$	=	$84$
$\frac{2}{3} x + \frac{250}{3}$	=	$84$	\|⋅ 3
$3 (\frac{2}{3} x + \frac{250}{3})$	=	$252$
$2 x + 250$	=	$252$	\| $- 250$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{50}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1$

= $\frac{50}{3} - \frac{5}{3}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (1|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|13) und B(-2|24) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|13): 13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|24): 24 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 -1b +c |-1
24 = 4 -2b +c |-4

12 = -1b +c
20 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$20$
$c - 2 b$	=	$20$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$20 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ + c & = & (20 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $20 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (20 + 2 b)$	=	$12$
$- b + 20 + 2 b$	=	$12$
$b + 20$	=	$12$	\| $- 20$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $20 + 2 \cdot (- 8)$

= $20 - 16$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|4)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(-4|-19) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-19): -19 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
-19 = 16 -4b +c |-16

-5 = -1b +c
-35 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 35 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 35$
$c - 4 b$	=	$- 35$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 35 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 35 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 35 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 35 + 4 b)$	=	$- 5$
$- b - 35 + 4 b$	=	$- 5$
$3 b - 35$	=	$- 5$	\| $+ 35$
$3 b$	=	$30$	\|: $3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 35 + 4 \cdot 10$

= $- 35 + 40$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 20$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-20).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 5$ = $25 - 50 + 5$ = -20

also: S(-5|-20).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg