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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - 4 y$ = $8$ .

Bestimme x so, dass (x|-1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 x - 4 \cdot (- 1)$ = $8$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 4 x - 4 \cdot (- 1)$	=	$8$
$- 4 x + 4$	=	$8$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-1|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 2 y$ = $2$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-1)
denn -2⋅( - 2 ) +2⋅( - 1 ) = 4 -2 = $2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|1)
denn -2⋅0 +2⋅1 = 0 +2 = $2$

Oder : (-4|-3)
denn -2⋅( - 4 ) +2⋅( - 3 ) = 8 -6 = $2$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 2 y & = & - 12 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 2 y & = & - 12 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$- 12$	\|: $2$
$y$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 6 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 4 \cdot (- 6)$	=	$- 26$
$x - 24$	=	$- 26$	\| $+ 24$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 11 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 11 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$- 18$	\| $- 3 y$
$x$	=	$- 18 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 11 & (I) \\ x & = & (- 18 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 18 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 18 - 3 y) - 4 y$	=	$11$
$- 54 - 9 y - 4 y$	=	$11$
$- 13 y - 54$	=	$11$	\| $+ 54$
$- 13 y$	=	$65$	\|:( $- 13$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 18 - 3 \cdot (- 5)$

= $- 18 + 15$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 15 & (I) \\ x & + 3 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 15 & (I) \\ x & + 3 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$11$	\| $- 3 y$
$x$	=	$11 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 15 & (I) \\ x & = & (11 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $11 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (11 - 3 y) + 3 y$	=	$15$
$33 - 9 y + 3 y$	=	$15$
$- 6 y + 33$	=	$15$	\| $- 33$
$- 6 y$	=	$- 18$	\|:( $- 6$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $11 - 3 \cdot 3$

= $11 - 9$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + \frac{1}{2} y & = & - 8 & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{5} y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + \frac{1}{2} y & = & - 8 & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{5} y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + \frac{1}{2} y$	=	$- 8$
$\frac{1}{2} y - 2 x$	=	$- 8$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} y - 2 x)$	=	$- 16$
$y - 4 x$	=	$- 16$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 16 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 16 + 4 x) & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{5} y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 16 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{2} x - \frac{1}{5} \cdot (- 16 + 4 x)$	=	$- 2$
$- \frac{1}{2} x + \frac{16}{5} - \frac{4}{5} x$	=	$- 2$
$- \frac{13}{10} x + \frac{16}{5}$	=	$- 2$	\|⋅ 10
$10 (- \frac{13}{10} x + \frac{16}{5})$	=	$- 20$
$- 13 x + 32$	=	$- 20$	\| $- 32$
$- 13 x$	=	$- 52$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 16 + 4 \cdot 4$

= $- 16 + 16$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (4|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -4y = ?

-3x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-5x -4y = -25 +16 = -9

-3x -1y = -15 +4 = -11

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -4y = -9

-3x -1y = -11

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 12 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 12 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 2 y$	=	$12$
$2 y - 3 x$	=	$12$	\| $+ 3 x$
$2 y$	=	$12 + 3 x$	\|: $2$
$y$	=	$6 + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (6 + \frac{3}{2} x) & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $6 + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 5 \cdot (6 + \frac{3}{2} x)$	=	$30$
$- 5 x + 30 + \frac{15}{2} x$	=	$30$
$\frac{5}{2} x + 30$	=	$30$	\|⋅ 2
$2 (\frac{5}{2} x + 30)$	=	$60$
$5 x + 60$	=	$60$	\| $- 60$
$5 x$	=	0	\|: $5$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $6 + \frac{3}{2} \cdot 0$

= $6 + 0$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (0|6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 740 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1380 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 740 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 1380 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 4 y$	=	$740$
$- 4 y + 3 x$	=	$740$	\| $- 3 x$
$- 4 y$	=	$740 - 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 185 + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 185 + \frac{3}{4} x) & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 1380 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 185 + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 3 \cdot (- 185 + \frac{3}{4} x)$	=	$1380$
$5 x + 555 - \frac{9}{4} x$	=	$1380$
$\frac{11}{4} x + 555$	=	$1380$	\|⋅ 4
$4 (\frac{11}{4} x + 555)$	=	$5 520$
$11 x + 2 220$	=	$5 520$	\| $- 2 220$
$11 x$	=	$3 300$	\|: $11$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 185 + \frac{3}{4} \cdot 300$

= $- 185 + 225$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (300|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|3) und B(2|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|3): 3 = 1² + b⋅1 +c

B(2|4): 4 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 +1b +c |-1
4 = 4 +2b +c |-4

2 = 1b +c
0 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 2 & (I) \\ 2 b & + c & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	0
$c + 2 b$	=	0	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 2 & (I) \\ + c & = & - 2 b & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch $- 2 b$ ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 2 b)$	=	$2$
$b - 2 b$	=	$2$
$- b$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 2 \cdot (- 2)$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|4) und B(-2|13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|4): 4 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|13): 13 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 +1b +c |-1
13 = 4 -2b +c |-4

3 = 1b +c
9 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$9$
$c - 2 b$	=	$9$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$9 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (9 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $9 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (9 + 2 b)$	=	$3$
$b + 9 + 2 b$	=	$3$
$3 b + 9$	=	$3$	\| $- 9$
$3 b$	=	$- 6$	\|: $3$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $9 + 2 \cdot (- 2)$

= $9 - 4$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 5$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 5$

= ${(x - 1)}^{2} + 4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 5$ = $1 - 2 + 5$ = 4

also: S(1|4).

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Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg