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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 4 y$ = $- 44$ .

Bestimme x so, dass (x|5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x - 4 \cdot 5$ = $- 44$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot 5$	=	$- 44$
$4 x - 20$	=	$- 44$	\| $+ 20$
$4 x$	=	$- 24$	\|: $4$
$x$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (-6|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - y$ = $- 3$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|-2)
denn 1⋅( - 5 ) -1⋅( - 2 ) = -5 +2 = $- 3$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|-3)
denn 1⋅( - 6 ) -1⋅( - 3 ) = -6 +3 = $- 3$

Oder : (-4|-1)
denn 1⋅( - 4 ) -1⋅( - 1 ) = -4 +1 = $- 3$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & = & 12 & (I) \\ - 4 x & + y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & = & 12 & (I) \\ - 4 x & + y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 4 & (I) \\ - 4 x & + y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 4) + y$	=	$17$
$16 + y$	=	$17$
$y + 16$	=	$17$	\| $- 16$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - y & = & 6 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - y & = & 6 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$- 10$	\| $- 3 y$
$x$	=	$- 10 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - y & = & 6 & (I) \\ x & = & (- 10 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 10 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 10 - 3 y) - y$	=	$6$
$10 + 3 y - y$	=	$6$
$2 y + 10$	=	$6$	\| $- 10$
$2 y$	=	$- 4$	\|: $2$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 10 - 3 \cdot (- 2)$

= $- 10 + 6$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 4 y & = & 20 & (I) \\ - 4 x & + 5 y & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & - 4 y & = & 20 & (I) \\ - 4 x & + 5 y & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 4 y$	=	$20$
$- 4 y + 5 x$	=	$20$	\| $- 5 x$
$- 4 y$	=	$20 - 5 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 5 + \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 5 + \frac{5}{4} x) & (I) \\ - 4 x & + 5 y & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 5 + \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 5 \cdot (- 5 + \frac{5}{4} x)$	=	$- 25$
$- 4 x - 25 + \frac{25}{4} x$	=	$- 25$
$\frac{9}{4} x - 25$	=	$- 25$	\|⋅ 4
$4 (\frac{9}{4} x - 25)$	=	$- 100$
$9 x - 100$	=	$- 100$	\| $+ 100$
$9 x$	=	0	\|: $9$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5 + \frac{5}{4} \cdot 0$

= $- 5 + 0$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- x - 3$	=	$- 5 - 2 y$			(I)
$4$	=	$2 x - 3 - 5 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- x - 3$	=	$- 5 - 2 y$	\| + $3 + 2 y$		(I)
$4$	=	$2 x - 3 - 5 y$	\| $- 4 - 2 x + 5 y$		(II)

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 2 y$	=	$- 2$	\| $- 2 y$
$- x$	=	$- 2 - 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (2 + 2 y) & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $2 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (2 + 2 y) + 5 y$	=	$- 7$
$- 4 - 4 y + 5 y$	=	$- 7$
$y - 4$	=	$- 7$	\| $+ 4$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $2 + 2 \cdot (- 3)$

= $2 - 6$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +4y = ?

-7x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-5x +4y = 15 +16 = 31

-7x +5y = 21 +20 = 41

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +4y = 31

-7x +5y = 41

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & - 5 y & = & - 4 & (I) \\ - 5 x & + 2 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 5 y & = & - 4 & (I) \\ - 5 x & + 2 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 5 y$	=	$- 4$
$- 5 y + 4 x$	=	$- 4$	\| $- 4 x$
$- 5 y$	=	$- 4 - 4 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$\frac{4}{5} + \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{4}{5} + \frac{4}{5} x) & (I) \\ - 5 x & + 2 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{4}{5} + \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 2 \cdot (\frac{4}{5} + \frac{4}{5} x)$	=	$22$
$- 5 x + \frac{8}{5} + \frac{8}{5} x$	=	$22$
$- \frac{17}{5} x + \frac{8}{5}$	=	$22$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{17}{5} x + \frac{8}{5})$	=	$110$
$- 17 x + 8$	=	$110$	\| $- 8$
$- 17 x$	=	$102$	\|:( $- 17$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{4}{5} + \frac{4}{5} \cdot (- 6)$

= $\frac{4}{5} - \frac{24}{5}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 3 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 130 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 172 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 3 y & = & 130 & (I) \\ 6 x & + 4 y & = & 172 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 3 y$	=	$130$
$3 y + 5 x$	=	$130$	\| $- 5 x$
$3 y$	=	$130 - 5 x$	\|: $3$
$y$	=	$\frac{130}{3} - \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{130}{3} - \frac{5}{3} x) & (I) \\ 6 x & + 4 y & = & 172 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{130}{3} - \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 4 \cdot (\frac{130}{3} - \frac{5}{3} x)$	=	$172$
$6 x + \frac{520}{3} - \frac{20}{3} x$	=	$172$
$- \frac{2}{3} x + \frac{520}{3}$	=	$172$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} x + \frac{520}{3})$	=	$516$
$- 2 x + 520$	=	$516$	\| $- 520$
$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{130}{3} - \frac{5}{3} \cdot 2$

= $\frac{130}{3} - \frac{10}{3}$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (2|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|0) und B(-3|12) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|12): 12 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
12 = 9 -3b +c |-9

-1 = -1b +c
3 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$3$
$c - 3 b$	=	$3$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$3 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (3 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $3 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (3 + 3 b)$	=	$- 1$
$- b + 3 + 3 b$	=	$- 1$
$2 b + 3$	=	$- 1$	\| $- 3$
$2 b$	=	$- 4$	\|: $2$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $3 + 3 \cdot (- 2)$

= $3 - 6$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-1) und B(-4|2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-1): -1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|2): 2 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 -1b +c |-1
2 = 16 -4b +c |-16

-2 = -1b +c
-14 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 14$
$c - 4 b$	=	$- 14$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 14 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (- 14 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 14 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 14 + 4 b)$	=	$- 2$
$- b - 14 + 4 b$	=	$- 2$
$3 b - 14$	=	$- 2$	\| $+ 14$
$3 b$	=	$12$	\|: $3$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 14 + 4 \cdot 4$

= $- 14 + 16$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 + 2$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 + 2$

= ${(x + 2)}^{2} - 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 2$ = $4 - 8 + 2$ = -2

also: S(-2|-2).

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1. Weg

2. Weg