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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 4 y$ = $- 23$ .

Bestimme x so, dass (x|5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$x - 4 \cdot 5$ = $- 23$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x - 4 \cdot 5$	=	$- 23$
$x - 20$	=	$- 23$	\| $+ 20$
$x$	=	$- 3$

Die Lösung ist somit: (-3|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + y$ = $- 2$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|-5)
denn 3⋅1 +1⋅( - 5 ) = 3 -5 = $- 2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-8)
denn 3⋅2 +1⋅( - 8 ) = 6 -8 = $- 2$

Oder : (0|-2)
denn 3⋅0 +1⋅( - 2 ) = 0 -2 = $- 2$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & 21 & (I) \\ + y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $- 6$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 1 \cdot (- 6)$	=	$21$
$3 x + 6$	=	$21$	\| $- 6$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 11 & (I) \\ - x & + 4 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 11 & (I) \\ - x & + 4 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 4 y$	=	$21$	\| $- 4 y$
$- x$	=	$21 - 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 21 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 11 & (I) \\ x & = & (- 21 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 21 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 21 + 4 y) - 2 y$	=	$- 11$
$- 21 + 4 y - 2 y$	=	$- 11$
$2 y - 21$	=	$- 11$	\| $+ 21$
$2 y$	=	$10$	\|: $2$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 21 + 4 \cdot 5$

= $- 21 + 20$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & - 50 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & - 50 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$4$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$4 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (4 + 2 y) & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & - 50 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $4 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (4 + 2 y) + 4 y$	=	$- 50$
$20 + 10 y + 4 y$	=	$- 50$
$14 y + 20$	=	$- 50$	\| $- 20$
$14 y$	=	$- 70$	\|: $14$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $4 + 2 \cdot (- 5)$

= $4 - 10$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + \frac{3}{2} y & = & - 6 & (I) \\ \frac{3}{2} x & - y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + \frac{3}{2} y & = & - 6 & (I) \\ \frac{3}{2} x & - y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$\frac{3}{2} x - y$	=	$4$
$- y + \frac{3}{2} x$	=	$4$	\|⋅ 2
$2 (- y + \frac{3}{2} x)$	=	$8$
$- 2 y + 3 x$	=	$8$	\| $- 3 x$
$- 2 y$	=	$8 - 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 4 + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + \frac{3}{2} y & = & - 6 & (I) \\ + y & = & (- 4 + \frac{3}{2} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 4 + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + \frac{3}{2} \cdot (- 4 + \frac{3}{2} x)$	=	$- 6$
$- 3 x - 6 + \frac{9}{4} x$	=	$- 6$
$- \frac{3}{4} x - 6$	=	$- 6$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{3}{4} x - 6)$	=	$- 24$
$- 3 x - 24$	=	$- 24$	\| $+ 24$
$- 3 x$	=	0	\|:( $- 3$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 4 + \frac{3}{2} \cdot (0)$

= $- 4 + 0$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +5y = ?

7x +8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

5x +5y = 20 +20 = 40

7x +8y = 28 +32 = 60

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +5y = 40

7x +8y = 60

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & - 2 & (I) \\ - 9 x & + 6 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & - 2 & (I) \\ - 9 x & + 6 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 2 y$	=	$- 2$
$- 2 y + 3 x$	=	$- 2$	\| $- 3 x$
$- 2 y$	=	$- 2 - 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$1 + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 + \frac{3}{2} x) & (I) \\ - 9 x & + 6 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 9 x + 6 \cdot (1 + \frac{3}{2} x)$	=	$8$
$- 9 x + 6 + 9 x$	=	$8$
$6$	=	$8$	\| $- 6$
0	=	$2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 7 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 930 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 960 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & - 4 y & = & 930 & (I) \\ 7 x & - 3 y & = & 960 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x - 4 y$	=	$930$
$- 4 y + 7 x$	=	$930$	\| $- 7 x$
$- 4 y$	=	$930 - 7 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{465}{2} + \frac{7}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{465}{2} + \frac{7}{4} x) & (I) \\ 7 x & - 3 y & = & 960 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{465}{2} + \frac{7}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x - 3 \cdot (- \frac{465}{2} + \frac{7}{4} x)$	=	$960$
$7 x + \frac{1395}{2} - \frac{21}{4} x$	=	$960$
$\frac{7}{4} x + \frac{1395}{2}$	=	$960$	\|⋅ 4
$4 (\frac{7}{4} x + \frac{1395}{2})$	=	$3 840$
$7 x + 2 790$	=	$3 840$	\| $- 2 790$
$7 x$	=	$1 050$	\|: $7$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{465}{2} + \frac{7}{4} \cdot 150$

= $- \frac{465}{2} + \frac{525}{2}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (150|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|10) und B(-2|17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|10): 10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|17): 17 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 -1b +c |-1
17 = 4 -2b +c |-4

9 = -1b +c
13 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$13$
$c - 2 b$	=	$13$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$13 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (13 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (13 + 2 b)$	=	$9$
$- b + 13 + 2 b$	=	$9$
$b + 13$	=	$9$	\| $- 13$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13 + 2 \cdot (- 4)$

= $13 - 8$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|3) und B(-1|7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|3): 3 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 +1b +c |-1
7 = 1 -1b +c |-1

2 = 1b +c
6 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 2 & (I) \\ - b & + c & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$6$
$c - b$	=	$6$	\| $+ b$
$c$	=	$6 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 2 & (I) \\ + c & = & (6 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (6 + b)$	=	$2$
$b + 6 + b$	=	$2$
$2 b + 6$	=	$2$	\| $- 6$
$2 b$	=	$- 4$	\|: $2$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6 - 2$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 4$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 4$

= ${(x - 1)}^{2} + 3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 4$ = $1 - 2 + 4$ = 3

also: S(1|3).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg