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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - 3 y$ = $- 41$ .

Bestimme x so, dass (x|7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 x - 3 \cdot 7$ = $- 41$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 4 x - 3 \cdot 7$	=	$- 41$
$- 4 x - 21$	=	$- 41$	\| $+ 21$
$- 4 x$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (5|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + y$ = $- 12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-4)
denn 4⋅( - 2 ) +1⋅( - 4 ) = -8 -4 = $- 12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|-8)
denn 4⋅( - 1 ) +1⋅( - 8 ) = -4 -8 = $- 12$

Oder : (-3|0)
denn 4⋅( - 3 ) +1⋅0 = -12 +0 = $- 12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 8 & (I) \\ - 4 x & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 8 & (I) \\ - 4 x & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 8 & (I) \\ x & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot 5 - 2 y$	=	$8$
$10 - 2 y$	=	$8$
$- 2 y + 10$	=	$8$	\| $- 10$
$- 2 y$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 9 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 9 & (I) \\ x & - 3 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$- 12$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$- 12 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 9 & (I) \\ x & = & (- 12 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 12 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 12 + 3 y) - 2 y$	=	$- 9$
$- 12 + 3 y - 2 y$	=	$- 9$
$y - 12$	=	$- 9$	\| $+ 12$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 12 + 3 \cdot 3$

= $- 12 + 9$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 5 y & = & 25 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 5 y & = & 25 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 5 y$	=	$25$	\| $- 5 y$
$- x$	=	$25 - 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 25 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 25 + 5 y) & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 25 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 25 + 5 y) + 4 y$	=	$20$
$75 - 15 y + 4 y$	=	$20$
$- 11 y + 75$	=	$20$	\| $- 75$
$- 11 y$	=	$- 55$	\|:( $- 11$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 25 + 5 \cdot 5$

= $- 25 + 25$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3 y$	=	$3 x$			(I)
$3 y$	=	$x + 2 (- 8 + 3 y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3 y$	=	$3 x$			(I)
$3 y$	=	$x + 2 (- 8 + 3 y)$			(II)

$3 y$	=	$3 x$	\| $- 3 x$		(I)
$3 y$	=	$x - 16 + 6 y$	\| $- x - 6 y$		(II)

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 0 & (I) \\ - x & - 3 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$- 16$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$- 16 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$16 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 0 & (I) \\ x & = & (16 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $16 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (16 - 3 y) + 3 y$	=	0
$- 48 + 9 y + 3 y$	=	0
$12 y - 48$	=	0	\| $+ 48$
$12 y$	=	$48$	\|: $12$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $16 - 3 \cdot 4$

= $16 - 12$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x -1y = ?

-6x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-3x -1y = -6 +3 = -3

-6x -4y = -12 +12 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x -1y = -3

-6x -4y = 0

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & - 9 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & - 9 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 3 y$	=	$- 9$
$- 3 y + 2 x$	=	$- 9$	\| $- 2 x$
$- 3 y$	=	$- 9 - 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$3 + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3 + \frac{2}{3} x) & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3 + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 3 \cdot (3 + \frac{2}{3} x)$	=	0
$5 x - 9 - 2 x$	=	0
$3 x - 9$	=	0	\| $+ 9$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3 + \frac{2}{3} \cdot 3$

= $3 + 2$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 16. Wenn man aber vom 5-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 8. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 16 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$16$	\| $- 4 y$
$x$	=	$16 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (16 - 4 y) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $16 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (16 - 4 y) - 4 y$	=	$8$
$80 - 20 y - 4 y$	=	$8$
$- 24 y + 80$	=	$8$	\| $- 80$
$- 24 y$	=	$- 72$	\|:( $- 24$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $16 - 4 \cdot 3$

= $16 - 12$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 3

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-3) und B(-4|-6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-6): -6 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 -1b +c |-1
-6 = 16 -4b +c |-16

-4 = -1b +c
-22 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 22$
$c - 4 b$	=	$- 22$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 22 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (- 22 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 22 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 22 + 4 b)$	=	$- 4$
$- b - 22 + 4 b$	=	$- 4$
$3 b - 22$	=	$- 4$	\| $+ 22$
$3 b$	=	$18$	\|: $3$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 22 + 4 \cdot 6$

= $- 22 + 24$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|6) und B(-1|-10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-10): -10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
-10 = 1 -1b +c |-1

5 = 1b +c
-11 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ - b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 11$
$c - b$	=	$- 11$	\| $+ b$
$c$	=	$- 11 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (- 11 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 11 + b)$	=	$5$
$b - 11 + b$	=	$5$
$2 b - 11$	=	$5$	\| $+ 11$
$2 b$	=	$16$	\|: $2$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 + 8$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-3)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 - 3$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 - 3$

= ${(x + 4)}^{2} - 19$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-19).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) - 3$ = $16 - 32 - 3$ = -19

also: S(-4|-19).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS (Standard)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg