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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 3 y$ = $- 12$ .

Bestimme y so, dass (3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$2 \cdot 3 - 3 y$ = $- 12$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2 \cdot 3 - 3 y$	=	$- 12$
$6 - 3 y$	=	$- 12$
$- 3 y + 6$	=	$- 12$	\| $- 6$
$- 3 y$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (3|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 5 y$ = $6$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|1)
denn 1⋅1 +5⋅1 = 1 +5 = $6$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|0)
denn 1⋅6 +5⋅0 = 6 +0 = $6$

Oder : (-4|2)
denn 1⋅( - 4 ) +5⋅2 = -4 +10 = $6$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 0 & (I) \\ + 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 0 & (I) \\ + 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$12$	\|: $3$
$y$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 0 & (I) \\ + y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 1 \cdot 4$	=	0
$- 2 x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 26 & (I) \\ x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 26 & (I) \\ x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	0	\| $+ 3 y$
$x$	=	$3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 26 & (I) \\ x & = & 3 y & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $3 y$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot 3 y - 4 y$	=	$- 26$
$- 9 y - 4 y$	=	$- 26$
$- 13 y$	=	$- 26$	\|:( $- 13$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $3 \cdot 2$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 5 y & = & - 24 & (I) \\ x & + 6 y & = & 29 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 5 y & = & - 24 & (I) \\ x & + 6 y & = & 29 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 6 y$	=	$29$	\| $- 6 y$
$x$	=	$29 - 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 5 y & = & - 24 & (I) \\ x & = & (29 - 6 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $29 - 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (29 - 6 y) - 5 y$	=	$- 24$
$- 29 + 6 y - 5 y$	=	$- 24$
$y - 29$	=	$- 24$	\| $+ 29$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $29 - 6 \cdot 5$

= $29 - 30$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 2 y$	=	$- 5 x - 17$			(I)
$5 y$	=	$3 (- x + 7) + y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 2 y$	=	$- 5 x - 17$			(I)
$5 y$	=	$3 (- x + 7) + y$			(II)

$- 2 y$	=	$- 5 x - 17$	\| + $5 x$		(I)
$5 y$	=	$- 3 x + 21 + y$	\| + $3 x - y$		(II)

\begin{matrix} 5 x & - 2 y & = & - 17 & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 2 y$	=	$- 17$
$- 2 y + 5 x$	=	$- 17$	\| $- 5 x$
$- 2 y$	=	$- 17 - 5 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$\frac{17}{2} + \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{17}{2} + \frac{5}{2} x) & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{17}{2} + \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 4 \cdot (\frac{17}{2} + \frac{5}{2} x)$	=	$21$
$3 x + 34 + 10 x$	=	$21$
$13 x + 34$	=	$21$	\| $- 34$
$13 x$	=	$- 13$	\|: $13$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{17}{2} + \frac{5}{2} \cdot (- 1)$

= $\frac{17}{2} - \frac{5}{2}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +3y = ?

-6x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-4x +3y = 4 -12 = -8

-6x +6y = 6 -24 = -18

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +3y = -8

-6x +6y = -18

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 6 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 6 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 3 y$	=	$6$
$- 3 y + 3 x$	=	$6$	\| $- 3 x$
$- 3 y$	=	$6 - 3 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 2 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 + x) & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (- 2 + x)$	=	$- 6$
$- 3 x + 8 - 4 x$	=	$- 6$
$- 7 x + 8$	=	$- 6$	\| $- 8$
$- 7 x$	=	$- 14$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 + 2$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (2|0)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 4 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 264 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 2 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 172 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 6 y & = & 264 & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & 172 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 6 y$	=	$264$
$6 y + 4 x$	=	$264$	\| $- 4 x$
$6 y$	=	$264 - 4 x$	\|: $6$
$y$	=	$44 - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (44 - \frac{2}{3} x) & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & 172 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $44 - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 4 \cdot (44 - \frac{2}{3} x)$	=	$172$
$2 x + 176 - \frac{8}{3} x$	=	$172$
$- \frac{2}{3} x + 176$	=	$172$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} x + 176)$	=	$516$
$- 2 x + 528$	=	$516$	\| $- 528$
$- 2 x$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $44 - \frac{2}{3} \cdot 6$

= $44 - 4$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (6|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-12) und B(3|-20) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-12): -12 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-20): -20 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 +1b +c |-1
-20 = 9 +3b +c |-9

-13 = 1b +c
-29 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 29 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 29$
$c + 3 b$	=	$- 29$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 29 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ + c & = & (- 29 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 29 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 29 - 3 b)$	=	$- 13$
$b - 29 - 3 b$	=	$- 13$
$- 2 b - 29$	=	$- 13$	\| $+ 29$
$- 2 b$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 29 - 3 \cdot (- 8)$

= $- 29 + 24$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-5)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-10) und B(2|-17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-10): -10 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-17): -17 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 +1b +c |-1
-17 = 4 +2b +c |-4

-11 = 1b +c
-21 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 21$
$c + 2 b$	=	$- 21$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 21 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (- 21 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 21 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 21 - 2 b)$	=	$- 11$
$b - 21 - 2 b$	=	$- 11$
$- b - 21$	=	$- 11$	\| $+ 21$
$- b$	=	$10$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 21 - 2 \cdot (- 10)$

= $- 21 + 20$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-1)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 - 1$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 - 1$

= ${(x - 5)}^{2} - 26$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-26).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 - 1$ = $25 - 50 - 1$ = -26

also: S(5|-26).

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1. Weg

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