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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 2 y$ = $- 22$ .

Bestimme y so, dass (2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 \cdot 2 - 2 y$ = $- 22$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 5 \cdot 2 - 2 y$	=	$- 22$
$- 10 - 2 y$	=	$- 22$
$- 2 y - 10$	=	$- 22$	\| $+ 10$
$- 2 y$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (2|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 2 y$ = $- 9$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|3)
denn -1⋅3 -2⋅3 = -3 -6 = $- 9$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|4)
denn -1⋅1 -2⋅4 = -1 -8 = $- 9$

Oder : (5|2)
denn -1⋅5 -2⋅2 = -5 -4 = $- 9$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & = & 3 & (I) \\ - x & + 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & = & 3 & (I) \\ - x & + 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 3 & (I) \\ - x & + 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 3) + 3 y$	=	$6$
$3 + 3 y$	=	$6$
$3 y + 3$	=	$6$	\| $- 3$
$3 y$	=	$3$	\|: $3$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & - 3 & (I) \\ x & - 3 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & - 3 & (I) \\ x & - 3 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$2$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$2 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & - 3 & (I) \\ x & = & (2 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $2 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (2 + 3 y) + 4 y$	=	$- 3$
$- 2 - 3 y + 4 y$	=	$- 3$
$y - 2$	=	$- 3$	\| $+ 2$
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $2 + 3 \cdot (- 1)$

= $2 - 3$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 2 y$	=	$- 2$
$2 y - 2 x$	=	$- 2$	\| $+ 2 x$
$2 y$	=	$- 2 + 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 1 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 + x) & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 5 \cdot (- 1 + x)$	=	$- 11$
$- 2 x - 5 + 5 x$	=	$- 11$
$3 x - 5$	=	$- 11$	\| $+ 5$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 - 2$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$x$	=	$5 x + 2 (- 17 + y)$			(I)
$- 6 - 5 y$	=	$- 3 (x + 1) - 2 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$x$	=	$5 x + 2 (- 17 + y)$			(I)
$- 6 - 5 y$	=	$- 3 (x + 1) - 2 y$			(II)

$x$	=	$5 x - 34 + 2 y$	\| $- 5 x - 2 y$		(I)
$- 6 - 5 y$	=	$- 3 x - 3 - 2 y$	\| + $6 + 3 x + 2 y$		(II)

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 34 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 2 y$	=	$- 34$
$- 2 y - 4 x$	=	$- 34$	\| $+ 4 x$
$- 2 y$	=	$- 34 + 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$17 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (17 - 2 x) & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $17 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (17 - 2 x)$	=	$3$
$3 x - 51 + 6 x$	=	$3$
$9 x - 51$	=	$3$	\| $+ 51$
$9 x$	=	$54$	\|: $9$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $17 - 2 \cdot 6$

= $17 - 12$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +5y = ?

-4x +9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-3x +5y = -9 +25 = 16

-4x +9y = -12 +45 = 33

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +5y = 16

-4x +9y = 33

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 2 & (I) \\ 12 x & + 16 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 2 & (I) \\ 12 x & + 16 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 4 y$	=	$- 2$
$- 4 y - 3 x$	=	$- 2$	\| $+ 3 x$
$- 4 y$	=	$- 2 + 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$\frac{1}{2} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{2} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ 12 x & + 16 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$12 x + 16 \cdot (\frac{1}{2} - \frac{3}{4} x)$	=	$8$
$12 x + 8 - 12 x$	=	$8$
$8$	=	$8$	\| $- 8$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 129 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 2 LED-Leuchtmittel und 5 Halogenleuchten zusammen 152 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 9 x & + 4 y & = & 129 & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & 152 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9 x + 4 y$	=	$129$
$4 y + 9 x$	=	$129$	\| $- 9 x$
$4 y$	=	$129 - 9 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{129}{4} - \frac{9}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{129}{4} - \frac{9}{4} x) & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & 152 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{129}{4} - \frac{9}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 5 \cdot (\frac{129}{4} - \frac{9}{4} x)$	=	$152$
$2 x + \frac{645}{4} - \frac{45}{4} x$	=	$152$
$- \frac{37}{4} x + \frac{645}{4}$	=	$152$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{37}{4} x + \frac{645}{4})$	=	$608$
$- 37 x + 645$	=	$608$	\| $- 645$
$- 37 x$	=	$- 37$	\|:( $- 37$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{129}{4} - \frac{9}{4} \cdot 1$

= $\frac{129}{4} - \frac{9}{4}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (1|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|1) und B(-3|1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|1): 1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|1): 1 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 -1b +c |-1
1 = 9 -3b +c |-9

0 = -1b +c
-8 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 8$
$c - 3 b$	=	$- 8$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 8 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (- 8 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 8 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 8 + 3 b)$	=	0
$- b - 8 + 3 b$	=	0
$2 b - 8$	=	0	\| $+ 8$
$2 b$	=	$8$	\|: $2$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 8 + 3 \cdot 4$

= $- 8 + 12$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-10) und B(-2|11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-10): -10 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|11): 11 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 +1b +c |-1
11 = 4 -2b +c |-4

-11 = 1b +c
7 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$7$
$c - 2 b$	=	$7$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$7 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (7 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (7 + 2 b)$	=	$- 11$
$b + 7 + 2 b$	=	$- 11$
$3 b + 7$	=	$- 11$	\| $- 7$
$3 b$	=	$- 18$	\|: $3$
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7 + 2 \cdot (- 6)$

= $7 - 12$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 - 5$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 - 5$

= ${(x - 3)}^{2} - 14$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-14).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 - 5$ = $9 - 18 - 5$ = -14

also: S(3|-14).

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg