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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 5 y$ = $41$ .

Bestimme y so, dass (2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$3 \cdot 2 - 5 y$ = $41$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3 \cdot 2 - 5 y$	=	$41$
$6 - 5 y$	=	$41$
$- 5 y + 6$	=	$41$	\| $- 6$
$- 5 y$	=	$35$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (2|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 3 y$ = $- 2$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|0)
denn 2⋅( - 1 ) +3⋅0 = -2 +0 = $- 2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-2)
denn 2⋅2 +3⋅( - 2 ) = 4 -6 = $- 2$

Oder : (-4|2)
denn 2⋅( - 4 ) +3⋅2 = -8 +6 = $- 2$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & = & - 24 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & = & - 24 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$- 24$	\|: $4$
$x$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 6 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 6) - 2 y$	=	$10$
$6 - 2 y$	=	$10$
$- 2 y + 6$	=	$10$	\| $- 6$
$- 2 y$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 26 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 26 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$- 14$
$y + 2 x$	=	$- 14$	\| $- 2 x$
$y$	=	$- 14 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 26 & (I) \\ + y & = & (- 14 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 14 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 1 \cdot (- 14 - 2 x)$	=	$- 26$
$4 x - 14 - 2 x$	=	$- 26$
$2 x - 14$	=	$- 26$	\| $+ 14$
$2 x$	=	$- 12$	\|: $2$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 14 - 2 \cdot (- 6)$

= $- 14 + 12$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 28 & (I) \\ - 4 x & - y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 28 & (I) \\ - 4 x & - y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x - y$	=	$10$
$- y - 4 x$	=	$10$	\| $+ 4 x$
$- y$	=	$10 + 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 10 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 28 & (I) \\ + y & = & (- 10 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 10 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 4 \cdot (- 10 - 4 x)$	=	$28$
$- x - 40 - 16 x$	=	$28$
$- 17 x - 40$	=	$28$	\| $+ 40$
$- 17 x$	=	$68$	\|:( $- 17$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 10 - 4 \cdot (- 4)$

= $- 10 + 16$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{3} x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{13}{12} & (I) \\ \frac{1}{4} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{7}{4} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{3} x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{13}{12} & (I) \\ \frac{1}{4} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{7}{4} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{3} x - \frac{1}{4} y$	=	$\frac{13}{12}$
$- \frac{1}{4} y + \frac{1}{3} x$	=	$\frac{13}{12}$	\|⋅ 12
$12 (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{3} x)$	=	$13$
$- 3 y + 4 x$	=	$13$	\| $- 4 x$
$- 3 y$	=	$13 - 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- \frac{13}{3} + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{13}{3} + \frac{4}{3} x) & (I) \\ \frac{1}{4} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{7}{4} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{13}{3} + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{4} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{13}{3} + \frac{4}{3} x)$	=	$\frac{7}{4}$
$\frac{1}{4} x + \frac{13}{6} - \frac{2}{3} x$	=	$\frac{7}{4}$
$- \frac{5}{12} x + \frac{13}{6}$	=	$\frac{7}{4}$	\|⋅ 12
$12 (- \frac{5}{12} x + \frac{13}{6})$	=	$21$
$- 5 x + 26$	=	$21$	\| $- 26$
$- 5 x$	=	$- 5$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{13}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1$

= $- \frac{13}{3} + \frac{4}{3}$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +2y = ?

-1x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-3x +2y = 3 -10 = -7

-1x -2y = 1 +10 = 11

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +2y = -7

-1x -2y = 11

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 3 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 3 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 4 y$	=	$3$
$- 4 y - 4 x$	=	$3$	\| $+ 4 x$
$- 4 y$	=	$3 + 4 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{3}{4} - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{3}{4} - x) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{3}{4} - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (- \frac{3}{4} - x)$	=	$- 1$
$2 x - \frac{3}{2} - 2 x$	=	$- 1$
$- \frac{3}{2}$	=	$- 1$	\| $+ \frac{3}{2}$
0	=	$\frac{1}{2}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 200 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 500 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 5 y & = & 200 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 500 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 5 y$	=	$200$
$- 5 y + 3 x$	=	$200$	\| $- 3 x$
$- 5 y$	=	$200 - 3 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 40 + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 40 + \frac{3}{5} x) & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 500 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 40 + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 5 \cdot (- 40 + \frac{3}{5} x)$	=	$500$
$5 x + 200 - 3 x$	=	$500$
$2 x + 200$	=	$500$	\| $- 200$
$2 x$	=	$300$	\|: $2$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 40 + \frac{3}{5} \cdot 150$

= $- 40 + 90$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (150|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(2|11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|11): 11 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
11 = 4 +2b +c |-4

-5 = -1b +c
7 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$7$
$c + 2 b$	=	$7$	\| $- 2 b$
$c$	=	$7 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (7 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (7 - 2 b)$	=	$- 5$
$- b + 7 - 2 b$	=	$- 5$
$- 3 b + 7$	=	$- 5$	\| $- 7$
$- 3 b$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7 - 2 \cdot 4$

= $7 - 8$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|3) und B(-1|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|3): 3 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 +1b +c |-1
-5 = 1 -1b +c |-1

2 = 1b +c
-6 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 2 & (I) \\ - b & + c & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 6$
$c - b$	=	$- 6$	\| $+ b$
$c$	=	$- 6 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 2 & (I) \\ + c & = & (- 6 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 6 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 6 + b)$	=	$2$
$b - 6 + b$	=	$2$
$2 b - 6$	=	$2$	\| $+ 6$
$2 b$	=	$8$	\|: $2$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 6 + 4$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 - 2$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 - 2$

= ${(x + 2)}^{2} - 6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - 2$ = $4 - 8 - 2$ = -6

also: S(-2|-6).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg