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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 3 y$ = $8$ .

Bestimme x so, dass (x|-1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$5 x - 3 \cdot (- 1)$ = $8$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5 x - 3 \cdot (- 1)$	=	$8$
$5 x + 3$	=	$8$	\| $- 3$
$5 x$	=	$5$	\|: $5$
$x$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (1|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 4 y$ = $12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|0)
denn -2⋅( - 6 ) -4⋅0 = 12 +0 = $12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-10|2)
denn -2⋅( - 10 ) -4⋅2 = 20 -8 = $12$

Oder : (-2|-2)
denn -2⋅( - 2 ) -4⋅( - 2 ) = 4 +8 = $12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & = & - 9 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & = & - 9 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 3 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot 3 + 3 y$	=	$21$
$12 + 3 y$	=	$21$
$3 y + 12$	=	$21$	\| $- 12$
$3 y$	=	$9$	\|: $3$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & = & - 16 & (I) \\ 4 x & + y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & = & - 16 & (I) \\ 4 x & + y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$- 16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 4 & (I) \\ 4 x & + y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot 4 + y$	=	$15$
$16 + y$	=	$15$
$y + 16$	=	$15$	\| $- 16$
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & - 2 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & - 2 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 5 y$	=	$- 2$
$- 5 y - 3 x$	=	$- 2$	\| $+ 3 x$
$- 5 y$	=	$- 2 + 3 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$\frac{2}{5} - \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{2}{5} - \frac{3}{5} x) & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{2}{5} - \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 2 \cdot (\frac{2}{5} - \frac{3}{5} x)$	=	$8$
$3 x + \frac{4}{5} - \frac{6}{5} x$	=	$8$
$\frac{9}{5} x + \frac{4}{5}$	=	$8$	\|⋅ 5
$5 (\frac{9}{5} x + \frac{4}{5})$	=	$40$
$9 x + 4$	=	$40$	\| $- 4$
$9 x$	=	$36$	\|: $9$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{2}{5} - \frac{3}{5} \cdot 4$

= $\frac{2}{5} - \frac{12}{5}$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3 x$	=	$3 (9 - y)$			(I)
0	=	$2 x - 33 + 5 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3 x$	=	$3 (9 - y)$			(I)
0	=	$2 x - 33 + 5 y$			(II)

$3 x$	=	$27 - 3 y$	\| + $3 y$		(I)
0	=	$2 x - 33 + 5 y$	\| $- 2 x - 5 y$		(II)

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 27 & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & - 33 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 3 y$	=	$27$
$3 y + 3 x$	=	$27$	\| $- 3 x$
$3 y$	=	$27 - 3 x$	\|: $3$
$y$	=	$9 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (9 - x) & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & - 33 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $9 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 5 \cdot (9 - x)$	=	$- 33$
$- 2 x - 45 + 5 x$	=	$- 33$
$3 x - 45$	=	$- 33$	\| $+ 45$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $9 - 4$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -4y = ?

-8x -9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-4x -4y = 4 +20 = 24

-8x -9y = 8 +45 = 53

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -4y = 24

-8x -9y = 53

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & 40 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & - 46 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & 40 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & - 46 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 4 y$	=	$40$
$4 y - 4 x$	=	$40$	\| $+ 4 x$
$4 y$	=	$40 + 4 x$	\|: $4$
$y$	=	$10 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (10 + x) & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & - 46 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $10 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 5 \cdot (10 + x)$	=	$- 46$
$4 x - 50 - 5 x$	=	$- 46$
$- x - 50$	=	$- 46$	\| $+ 50$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $10 - 4$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 250 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 6 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 780 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 5 y & = & 250 & (I) \\ 6 x & - 3 y & = & 780 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 5 y$	=	$250$
$- 5 y + 3 x$	=	$250$	\| $- 3 x$
$- 5 y$	=	$250 - 3 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 50 + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 50 + \frac{3}{5} x) & (I) \\ 6 x & - 3 y & = & 780 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 50 + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 3 \cdot (- 50 + \frac{3}{5} x)$	=	$780$
$6 x + 150 - \frac{9}{5} x$	=	$780$
$\frac{21}{5} x + 150$	=	$780$	\|⋅ 5
$5 (\frac{21}{5} x + 150)$	=	$3 900$
$21 x + 750$	=	$3 900$	\| $- 750$
$21 x$	=	$3 150$	\|: $21$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 50 + \frac{3}{5} \cdot 150$

= $- 50 + 90$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (150|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|4) und B(-2|15) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|15): 15 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
15 = 4 -2b +c |-4

3 = -1b +c
11 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$11$
$c - 2 b$	=	$11$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$11 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (11 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (11 + 2 b)$	=	$3$
$- b + 11 + 2 b$	=	$3$
$b + 11$	=	$3$	\| $- 11$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 + 2 \cdot (- 8)$

= $11 - 16$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-5)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(1|3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|3): 3 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
3 = 1 +1b +c |-1

6 = -1b +c
2 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ b & + c & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$2$
$c + b$	=	$2$	\| $- b$
$c$	=	$2 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (2 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $2 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (2 - b)$	=	$6$
$- b + 2 - b$	=	$6$
$- 2 b + 2$	=	$6$	\| $- 2$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $2 - (- 2)$

= $2 + 2$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 4$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 4$

= ${(x - 1)}^{2} + 3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 4$ = $1 - 2 + 4$ = 3

also: S(1|3).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS (Standard)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg