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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - y$ = $14$ .

Bestimme x so, dass (x|-5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$3 x - (- 5)$ = $14$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3 x - (- 5)$	=	$14$
$3 x + 5$	=	$14$	\| $- 5$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 4 y$ = $- 9$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|6)
denn 5⋅3 -4⋅6 = 15 -24 = $- 9$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|1)
denn 5⋅( - 1 ) -4⋅1 = -5 -4 = $- 9$

Oder : (7|11)
denn 5⋅7 -4⋅11 = 35 -44 = $- 9$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 2 & (I) \\ - 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 2 & (I) \\ - 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 2 & (I) \\ + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot 2$	=	$2$
$2 x + 6$	=	$2$	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 4 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 4 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 4$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 4 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 4 - 2 y) & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 4 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 4 - 2 y) - 2 y$	=	$2$
$8 + 4 y - 2 y$	=	$2$
$2 y + 8$	=	$2$	\| $- 8$
$2 y$	=	$- 6$	\|: $2$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 4 - 2 \cdot (- 3)$

= $- 4 + 6$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 17 & (I) \\ - 3 x & + 3 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 17 & (I) \\ - 3 x & + 3 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x - y$	=	$17$
$- y - 4 x$	=	$17$	\| $+ 4 x$
$- y$	=	$17 + 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 17 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 17 - 4 x) & (I) \\ - 3 x & + 3 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 17 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 3 \cdot (- 17 - 4 x)$	=	$24$
$- 3 x - 51 - 12 x$	=	$24$
$- 15 x - 51$	=	$24$	\| $+ 51$
$- 15 x$	=	$75$	\|:( $- 15$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 17 - 4 \cdot (- 5)$

= $- 17 + 20$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

0	=	$2 (- x + 2) + y$			(I)
$2 x + 3 + y$	=	$- 17 - 4 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

0	=	$2 (- x + 2) + y$			(I)
$2 x + 3 + y$	=	$- 17 - 4 y$			(II)

0	=	$- 2 x + 4 + y$	\| + $2 x - y$		(I)
$2 x + 3 + y$	=	$- 17 - 4 y$	\| $- 3 + 4 y$		(II)

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 4 & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x - y$	=	$4$
$- y + 2 x$	=	$4$	\| $- 2 x$
$- y$	=	$4 - 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 4 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 4 + 2 x) & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 4 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 5 \cdot (- 4 + 2 x)$	=	$- 20$
$2 x - 20 + 10 x$	=	$- 20$
$12 x - 20$	=	$- 20$	\| $+ 20$
$12 x$	=	0	\|: $12$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 4 + 2 \cdot 0$

= $- 4 + 0$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +1y = ?

3x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-1x +1y = -5 +3 = -2

3x -2y = 15 -6 = 9

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +1y = -2

3x -2y = 9

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & - 3 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & - 3 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 2 y$	=	$- 3$
$2 y - 2 x$	=	$- 3$	\| $+ 2 x$
$2 y$	=	$- 3 + 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$- \frac{3}{2} + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{3}{2} + x) & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{3}{2} + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot (- \frac{3}{2} + x)$	=	$7$
$4 x + 6 - 4 x$	=	$7$
$6$	=	$7$	\| $- 6$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 3 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 153 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 99 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 9 y & = & 153 & (I) \\ 9 x & + 3 y & = & 99 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 9 y$	=	$153$
$9 y + 3 x$	=	$153$	\| $- 3 x$
$9 y$	=	$153 - 3 x$	\|: $9$
$y$	=	$17 - \frac{1}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (17 - \frac{1}{3} x) & (I) \\ 9 x & + 3 y & = & 99 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $17 - \frac{1}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9 x + 3 \cdot (17 - \frac{1}{3} x)$	=	$99$
$9 x + 51 - x$	=	$99$
$8 x + 51$	=	$99$	\| $- 51$
$8 x$	=	$48$	\|: $8$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $17 - \frac{1}{3} \cdot 6$

= $17 - 2$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (6|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-7) und B(3|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-7): -7 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-7): -7 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 +1b +c |-1
-7 = 9 +3b +c |-9

-8 = 1b +c
-16 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 8 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 16$
$c + 3 b$	=	$- 16$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 16 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 8 & (I) \\ + c & = & (- 16 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 16 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 16 - 3 b)$	=	$- 8$
$b - 16 - 3 b$	=	$- 8$
$- 2 b - 16$	=	$- 8$	\| $+ 16$
$- 2 b$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 16 - 3 \cdot (- 4)$

= $- 16 + 12$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|5) und B(-2|10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|5): 5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|10): 10 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 -1b +c |-1
10 = 4 -2b +c |-4

4 = -1b +c
6 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$6$
$c - 2 b$	=	$6$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$6 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (6 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (6 + 2 b)$	=	$4$
$- b + 6 + 2 b$	=	$4$
$b + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6 + 2 \cdot (- 2)$

= $6 - 4$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 2$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 2$

= ${(x - 1)}^{2} + 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 2$ = $1 - 2 + 2$ = 1

also: S(1|1).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg