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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 4 y$ = $- 22$ .

Bestimme x so, dass (x|2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 x + 4 \cdot 2$ = $- 22$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 5 x + 4 \cdot 2$	=	$- 22$
$- 5 x + 8$	=	$- 22$	\| $- 8$
$- 5 x$	=	$- 30$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 5 y$ = $- 16$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|4)
denn 4⋅1 -5⋅4 = 4 -20 = $- 16$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|0)
denn 4⋅( - 4 ) -5⋅0 = -16 +0 = $- 16$

Oder : (6|8)
denn 4⋅6 -5⋅8 = 24 -40 = $- 16$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 4 y & = & - 8 & (I) \\ - 4 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 4 y & = & - 8 & (I) \\ - 4 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 4 y & = & - 8 & (I) \\ + y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 4 \cdot 3$	=	$- 8$
$2 x - 12$	=	$- 8$	\| $+ 12$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 22 & (I) \\ 3 x & - y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 22 & (I) \\ 3 x & - y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x - y$	=	$13$
$- y + 3 x$	=	$13$	\| $- 3 x$
$- y$	=	$13 - 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 13 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 22 & (I) \\ + y & = & (- 13 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 13 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 1 \cdot (- 13 + 3 x)$	=	$22$
$4 x - 13 + 3 x$	=	$22$
$7 x - 13$	=	$22$	\| $+ 13$
$7 x$	=	$35$	\|: $7$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 13 + 3 \cdot 5$

= $- 13 + 15$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + y & = & - 30 & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + y & = & - 30 & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$5 x + y$	=	$- 30$
$y + 5 x$	=	$- 30$	\| $- 5 x$
$y$	=	$- 30 - 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 30 - 5 x) & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 30 - 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 3 \cdot (- 30 - 5 x)$	=	$10$
$- 5 x - 90 - 15 x$	=	$10$
$- 20 x - 90$	=	$10$	\| $+ 90$
$- 20 x$	=	$100$	\|:( $- 20$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 30 - 5 \cdot (- 5)$

= $- 30 + 25$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & + \frac{2}{5} y & = & - \frac{21}{5} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{9}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & + \frac{2}{5} y & = & - \frac{21}{5} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{9}{5} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{1}{2} x + \frac{2}{5} y$	=	$- \frac{21}{5}$
$\frac{2}{5} y - \frac{1}{2} x$	=	$- \frac{21}{5}$	\|⋅ 10
$10 (\frac{2}{5} y - \frac{1}{2} x)$	=	$- 42$
$4 y - 5 x$	=	$- 42$	\| $+ 5 x$
$4 y$	=	$- 42 + 5 x$	\|: $4$
$y$	=	$- \frac{21}{2} + \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{21}{2} + \frac{5}{4} x) & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{2}{5} y & = & - \frac{9}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{21}{2} + \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{2} x - \frac{2}{5} \cdot (- \frac{21}{2} + \frac{5}{4} x)$	=	$- \frac{9}{5}$
$- \frac{1}{2} x + \frac{21}{5} - \frac{1}{2} x$	=	$- \frac{9}{5}$
$- x + \frac{21}{5}$	=	$- \frac{9}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- x + \frac{21}{5})$	=	$- 9$
$- 5 x + 21$	=	$- 9$	\| $- 21$
$- 5 x$	=	$- 30$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{21}{2} + \frac{5}{4} \cdot 6$

= $- \frac{21}{2} + \frac{15}{2}$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +1y = ?

6x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

3x +1y = 3 -5 = -2

6x +4y = 6 -20 = -14

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +1y = -2

6x +4y = -14

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & - 3 & (I) \\ - 4 x & - 12 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & - 3 & (I) \\ - 4 x & - 12 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$- 3$	\| $- 3 y$
$x$	=	$- 3 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 3 - 3 y) & (I) \\ - 4 x & - 12 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 3 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 3 - 3 y) - 12 y$	=	$12$
$12 + 12 y - 12 y$	=	$12$
$12$	=	$12$	\| $- 12$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1600 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 650 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & - 4 y & = & 1600 & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & 650 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x - 4 y$	=	$1600$
$- 4 y + 6 x$	=	$1600$	\| $- 6 x$
$- 4 y$	=	$1600 - 6 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 400 + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 400 + \frac{3}{2} x) & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & 650 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 400 + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 5 \cdot (- 400 + \frac{3}{2} x)$	=	$650$
$3 x + 2 000 - \frac{15}{2} x$	=	$650$
$- \frac{9}{2} x + 2 000$	=	$650$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{9}{2} x + 2 000)$	=	$1 300$
$- 9 x + 4 000$	=	$1 300$	\| $- 4 000$
$- 9 x$	=	$- 2 700$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 400 + \frac{3}{2} \cdot 300$

= $- 400 + 450$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (300|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(1|16) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|16): 16 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
16 = 1 +1b +c |-1

-5 = -1b +c
15 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ b & + c & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$15$
$c + b$	=	$15$	\| $- b$
$c$	=	$15 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (15 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $15 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (15 - b)$	=	$- 5$
$- b + 15 - b$	=	$- 5$
$- 2 b + 15$	=	$- 5$	\| $- 15$
$- 2 b$	=	$- 20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $15 - 10$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(-4|52) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|52): 52 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
52 = 16 -4b +c |-16

6 = -1b +c
36 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 36 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$36$
$c - 4 b$	=	$36$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$36 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (36 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $36 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (36 + 4 b)$	=	$6$
$- b + 36 + 4 b$	=	$6$
$3 b + 36$	=	$6$	\| $- 36$
$3 b$	=	$- 30$	\|: $3$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $36 + 4 \cdot (- 10)$

= $36 - 40$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-4)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 - 4$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 - 4$

= ${(x - 5)}^{2} - 29$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-29).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 - 4$ = $25 - 50 - 4$ = -29

also: S(5|-29).

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Wert zum Einsetzen finden

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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1. Weg

2. Weg