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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 5 y$ = $22$ .

Bestimme y so, dass (-3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$(- 3) - 5 y$ = $22$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$(- 3) - 5 y$	=	$22$
$- 3 - 5 y$	=	$22$
$- 5 y - 3$	=	$22$	\| $+ 3$
$- 5 y$	=	$25$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (-3|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 3 y$ = $- 15$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|0)
denn -5⋅3 +3⋅0 = -15 +0 = $- 15$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|5)
denn -5⋅6 +3⋅5 = -30 +15 = $- 15$

Oder : (0|-5)
denn -5⋅0 +3⋅( - 5 ) = 0 -15 = $- 15$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & = & 6 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & = & 6 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 3 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot 3 - 4 y$	=	$- 2$
$6 - 4 y$	=	$- 2$
$- 4 y + 6$	=	$- 2$	\| $- 6$
$- 4 y$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + y & = & 8 & (I) \\ x & + 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + y & = & 8 & (I) \\ x & + 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$12$	\| $- 4 y$
$x$	=	$12 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + y & = & 8 & (I) \\ x & = & (12 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $12 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (12 - 4 y) + y$	=	$8$
$- 12 + 4 y + y$	=	$8$
$5 y - 12$	=	$8$	\| $+ 12$
$5 y$	=	$20$	\|: $5$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $12 - 4 \cdot 4$

= $12 - 16$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 24 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 24 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 4 y$	=	$24$
$4 y + 4 x$	=	$24$	\| $- 4 x$
$4 y$	=	$24 - 4 x$	\|: $4$
$y$	=	$6 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (6 - x) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $6 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 2 \cdot (6 - x)$	=	$12$
$4 x - 12 + 2 x$	=	$12$
$6 x - 12$	=	$12$	\| $+ 12$
$6 x$	=	$24$	\|: $6$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $6 - 4$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$x - 5 - 6 y$	=	$- 3 y$			(I)
$- 3 x - 19 - 4 y$	=	$- 1 - 2 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$x - 5 - 6 y$	=	$- 3 y$	\| + $5 + 3 y$		(I)
$- 3 x - 19 - 4 y$	=	$- 1 - 2 y$	\| + $19 + 2 y$		(II)

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 5 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$5$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$5 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (5 + 3 y) & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $5 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (5 + 3 y) - 2 y$	=	$18$
$- 15 - 9 y - 2 y$	=	$18$
$- 11 y - 15$	=	$18$	\| $+ 15$
$- 11 y$	=	$33$	\|:( $- 11$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $5 + 3 \cdot (- 3)$

= $5 - 9$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +4y = ?

-5x +22y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-1x +4y = 5 +16 = 21

-5x +22y = 25 +88 = 113

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +4y = 21

-5x +22y = 113

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 11 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 27 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 11 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 27 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$11$
$y + 3 x$	=	$11$	\| $- 3 x$
$y$	=	$11 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (11 - 3 x) & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 27 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $11 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (11 - 3 x)$	=	$27$
$3 x - 33 + 9 x$	=	$27$
$12 x - 33$	=	$27$	\| $+ 33$
$12 x$	=	$60$	\|: $12$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $11 - 3 \cdot 5$

= $11 - 15$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 6. Wenn man aber vom 4-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 0. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$6$	\| $- 2 y$
$x$	=	$6 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (6 - 2 y) & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $6 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (6 - 2 y) - 4 y$	=	0
$24 - 8 y - 4 y$	=	0
$- 12 y + 24$	=	0	\| $- 24$
$- 12 y$	=	$- 24$	\|:( $- 12$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $6 - 2 \cdot 2$

= $6 - 4$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|7) und B(2|20) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|7): 7 = 1² + b⋅1 +c

B(2|20): 20 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 +1b +c |-1
20 = 4 +2b +c |-4

6 = 1b +c
16 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 6 & (I) \\ 2 b & + c & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$16$
$c + 2 b$	=	$16$	\| $- 2 b$
$c$	=	$16 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (16 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $16 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (16 - 2 b)$	=	$6$
$b + 16 - 2 b$	=	$6$
$- b + 16$	=	$6$	\| $- 16$
$- b$	=	$- 10$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $16 - 2 \cdot 10$

= $16 - 20$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-4)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|1) und B(3|17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|1): 1 = 1² + b⋅1 +c

B(3|17): 17 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 +1b +c |-1
17 = 9 +3b +c |-9

0 = 1b +c
8 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ 3 b & + c & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$8$
$c + 3 b$	=	$8$	\| $- 3 b$
$c$	=	$8 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (8 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $8 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (8 - 3 b)$	=	0
$b + 8 - 3 b$	=	0
$- 2 b + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 2 b$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $8 - 3 \cdot 4$

= $8 - 12$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-4)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 - 4$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 - 4$

= ${(x + 2)}^{2} - 8$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-8).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - 4$ = $4 - 8 - 4$ = -8

also: S(-2|-8).

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1. Weg

2. Weg