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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + y$ = $10$ .

Bestimme y so, dass (7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$7 + y$ = $10$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$7 + y$	=	$10$
$7 + y$	=	$10$
$y + 7$	=	$10$	\| $- 7$
$y$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (7|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - 4 y$ = $- 8$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|1)
denn -4⋅1 -4⋅1 = -4 -4 = $- 8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|5)
denn -4⋅( - 3 ) -4⋅5 = 12 -20 = $- 8$

Oder : (5|-3)
denn -4⋅5 -4⋅( - 3 ) = -20 +12 = $- 8$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 3 & (I) \\ + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 3 & (I) \\ + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$- 9$	\|: $3$
$y$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 3 & (I) \\ + y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 4 \cdot (- 3)$	=	$3$
$- 3 x - 12$	=	$3$	\| $+ 12$
$- 3 x$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 16 & (I) \\ x & - 3 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 16 & (I) \\ x & - 3 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$2$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$2 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 16 & (I) \\ x & = & (2 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $2 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (2 + 3 y) + 4 y$	=	$- 16$
$4 + 6 y + 4 y$	=	$- 16$
$10 y + 4$	=	$- 16$	\| $- 4$
$10 y$	=	$- 20$	\|: $10$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $2 + 3 \cdot (- 2)$

= $2 - 6$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 3 y & = & - 12 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + 3 y & = & - 12 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$7$
$y - 2 x$	=	$7$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$7 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 5 x & + 3 y & = & - 12 & (I) \\ + y & = & (7 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $7 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 3 \cdot (7 + 2 x)$	=	$- 12$
$5 x + 21 + 6 x$	=	$- 12$
$11 x + 21$	=	$- 12$	\| $- 21$
$11 x$	=	$- 33$	\|: $11$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $7 + 2 \cdot (- 3)$

= $7 - 6$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & + y & = & \frac{11}{2} & (I) \\ - \frac{2}{5} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{29}{10} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & + y & = & \frac{11}{2} & (I) \\ - \frac{2}{5} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{29}{10} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{1}{2} x + y$	=	$\frac{11}{2}$
$y - \frac{1}{2} x$	=	$\frac{11}{2}$	\|⋅ 2
$2 (y - \frac{1}{2} x)$	=	$11$
$2 y - x$	=	$11$	\| $+ x$
$2 y$	=	$11 + x$	\|: $2$
$y$	=	$\frac{11}{2} + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{11}{2} + \frac{1}{2} x) & (I) \\ - \frac{2}{5} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{29}{10} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{11}{2} + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{2}{5} x + \frac{1}{2} \cdot (\frac{11}{2} + \frac{1}{2} x)$	=	$\frac{29}{10}$
$- \frac{2}{5} x + \frac{11}{4} + \frac{1}{4} x$	=	$\frac{29}{10}$
$- \frac{3}{20} x + \frac{11}{4}$	=	$\frac{29}{10}$	\|⋅ 20
$20 (- \frac{3}{20} x + \frac{11}{4})$	=	$58$
$- 3 x + 55$	=	$58$	\| $- 55$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{11}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 1)$

= $\frac{11}{2} - \frac{1}{2}$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +1y = ?

3x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

5x +1y = -25 +1 = -24

3x +4y = -15 +4 = -11

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +1y = -24

3x +4y = -11

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & 1 & (I) \\ - 4 x & - 8 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & 1 & (I) \\ - 4 x & - 8 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 4 y$	=	$1$
$4 y + 2 x$	=	$1$	\| $- 2 x$
$4 y$	=	$1 - 2 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{1}{4} - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} x) & (I) \\ - 4 x & - 8 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{4} - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 8 \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} x)$	=	$- 2$
$- 4 x - 2 + 4 x$	=	$- 2$
$- 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 261 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 8 Halogenleuchten zusammen 212 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 9 x & + 9 y & = & 261 & (I) \\ 3 x & + 8 y & = & 212 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9 x + 9 y$	=	$261$
$9 y + 9 x$	=	$261$	\| $- 9 x$
$9 y$	=	$261 - 9 x$	\|: $9$
$y$	=	$29 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (29 - x) & (I) \\ 3 x & + 8 y & = & 212 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $29 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 8 \cdot (29 - x)$	=	$212$
$3 x + 232 - 8 x$	=	$212$
$- 5 x + 232$	=	$212$	\| $- 232$
$- 5 x$	=	$- 20$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $29 - 4$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (4|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-6) und B(-4|-21) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-21): -21 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
-21 = 16 -4b +c |-16

-7 = -1b +c
-37 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 37 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 37$
$c - 4 b$	=	$- 37$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 37 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 37 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 37 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 37 + 4 b)$	=	$- 7$
$- b - 37 + 4 b$	=	$- 7$
$3 b - 37$	=	$- 7$	\| $+ 37$
$3 b$	=	$30$	\|: $3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 37 + 4 \cdot 10$

= $- 37 + 40$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (10|3)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|9) und B(1|-3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 -1b +c |-1
-3 = 1 +1b +c |-1

8 = -1b +c
-4 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ b & + c & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 4$
$c + b$	=	$- 4$	\| $- b$
$c$	=	$- 4 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (- 4 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 4 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 4 - b)$	=	$8$
$- b - 4 - b$	=	$8$
$- 2 b - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$- 2 b$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 4 - (- 6)$

= $- 4 + 6$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 2$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 + 2$

= ${(x - 3)}^{2} - 7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 + 2$ = $9 - 18 + 2$ = -7

also: S(3|-7).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg