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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 3 y$ = $13$ .

Bestimme x so, dass (x|7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 x + 3 \cdot 7$ = $13$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 2 x + 3 \cdot 7$	=	$13$
$- 2 x + 21$	=	$13$	\| $- 21$
$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (4|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 2 y$ = $- 4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|-4)
denn 1⋅4 +2⋅( - 4 ) = 4 -8 = $- 4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|-5)
denn 1⋅6 +2⋅( - 5 ) = 6 -10 = $- 4$

Oder : (2|-3)
denn 1⋅2 +2⋅( - 3 ) = 2 -6 = $- 4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 2 y & = & - 10 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 2 y & = & - 10 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$- 10$	\|: $2$
$y$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 5 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x - 2 \cdot (- 5)$	=	$6$
$- x + 10$	=	$6$	\| $- 10$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 15 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 15 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$- 15$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$- 15 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 15 + 2 y) & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 15 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 15 + 2 y) - 3 y$	=	$- 6$
$60 - 8 y - 3 y$	=	$- 6$
$- 11 y + 60$	=	$- 6$	\| $- 60$
$- 11 y$	=	$- 66$	\|:( $- 11$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 15 + 2 \cdot 6$

= $- 15 + 12$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ 4 x & - y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ 4 x & - y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x - y$	=	$2$
$- y + 4 x$	=	$2$	\| $- 4 x$
$- y$	=	$2 - 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 2 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ + y & = & (- 2 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 2 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot (- 2 + 4 x)$	=	$4$
$- 3 x + 4 - 8 x$	=	$4$
$- 11 x + 4$	=	$4$	\| $- 4$
$- 11 x$	=	0	\|:( $- 11$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 2 + 4 \cdot (0)$

= $- 2 + 0$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{3}{2} x & - \frac{3}{2} y & = & - 6 & (I) \\ - \frac{3}{2} x & + \frac{3}{2} y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{3}{2} x & - \frac{3}{2} y & = & - 6 & (I) \\ - \frac{3}{2} x & + \frac{3}{2} y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} y$	=	$- 6$
$- \frac{3}{2} y - \frac{3}{2} x$	=	$- 6$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{3}{2} y - \frac{3}{2} x)$	=	$- 12$
$- 3 y - 3 x$	=	$- 12$	\| $+ 3 x$
$- 3 y$	=	$- 12 + 3 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$4 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (4 - x) & (I) \\ - \frac{3}{2} x & + \frac{3}{2} y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot (4 - x)$	=	$- 12$
$- \frac{3}{2} x + 6 - \frac{3}{2} x$	=	$- 12$
$- 3 x + 6$	=	$- 12$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4 - 6$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +3y = ?

-2x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-3x +3y = -12 +15 = 3

-2x +1y = -8 +5 = -3

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +3y = 3

-2x +1y = -3

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 16 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 16 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 3 y$	=	$- 16$
$- 3 y + 4 x$	=	$- 16$	\| $- 4 x$
$- 3 y$	=	$- 16 - 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$\frac{16}{3} + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{16}{3} + \frac{4}{3} x) & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{16}{3} + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 5 \cdot (\frac{16}{3} + \frac{4}{3} x)$	=	$20$
$- 5 x + \frac{80}{3} + \frac{20}{3} x$	=	$20$
$\frac{5}{3} x + \frac{80}{3}$	=	$20$	\|⋅ 3
$3 (\frac{5}{3} x + \frac{80}{3})$	=	$60$
$5 x + 80$	=	$60$	\| $- 80$
$5 x$	=	$- 20$	\|: $5$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{16}{3} + \frac{4}{3} \cdot (- 4)$

= $\frac{16}{3} - \frac{16}{3}$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|0)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 17. Wenn man aber vom 2-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -11. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 17 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$17$	\| $- 3 y$
$x$	=	$17 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (17 - 3 y) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $17 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (17 - 3 y) - 3 y$	=	$- 11$
$34 - 6 y - 3 y$	=	$- 11$
$- 9 y + 34$	=	$- 11$	\| $- 34$
$- 9 y$	=	$- 45$	\|:( $- 9$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $17 - 3 \cdot 5$

= $17 - 15$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-2) und B(3|-6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-6): -6 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
-6 = 9 +3b +c |-9

-3 = 1b +c
-15 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 15$
$c + 3 b$	=	$- 15$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 15 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 15 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 15 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 15 - 3 b)$	=	$- 3$
$b - 15 - 3 b$	=	$- 3$
$- 2 b - 15$	=	$- 3$	\| $+ 15$
$- 2 b$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 15 - 3 \cdot (- 6)$

= $- 15 + 18$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|2) und B(-2|9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|9): 9 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
9 = 4 -2b +c |-4

1 = -1b +c
5 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$5$
$c - 2 b$	=	$5$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$5 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (5 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $5 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (5 + 2 b)$	=	$1$
$- b + 5 + 2 b$	=	$1$
$b + 5$	=	$1$	\| $- 5$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $5 + 2 \cdot (- 4)$

= $5 - 8$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 - 3$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 - 3$

= ${(x - 2)}^{2} - 7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 - 3$ = $4 - 8 - 3$ = -7

also: S(2|-7).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg