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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 2 y$ = $- 17$ .

Bestimme x so, dass (x|5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$x - 2 \cdot 5$ = $- 17$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x - 2 \cdot 5$	=	$- 17$
$x - 10$	=	$- 17$	\| $+ 10$
$x$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (-7|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 2 y$ = $17$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-6)
denn 1⋅5 -2⋅( - 6 ) = 5 +12 = $17$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|-7)
denn 1⋅3 -2⋅( - 7 ) = 3 +14 = $17$

Oder : (7|-5)
denn 1⋅7 -2⋅( - 5 ) = 7 +10 = $17$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & - 27 & (I) \\ - x & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & - 27 & (I) \\ - x & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & - 27 & (I) \\ x & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 6) + 3 y$	=	$- 27$
$- 24 + 3 y$	=	$- 27$
$3 y - 24$	=	$- 27$	\| $+ 24$
$3 y$	=	$- 3$	\|: $3$
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 6 & (I) \\ x & - 4 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 6 & (I) \\ x & - 4 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$21$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$21 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 6 & (I) \\ x & = & (21 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $21 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (21 + 4 y) + y$	=	$6$
$42 + 8 y + y$	=	$6$
$9 y + 42$	=	$6$	\| $- 42$
$9 y$	=	$- 36$	\|: $9$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $21 + 4 \cdot (- 4)$

= $21 - 16$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 12 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 32 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 12 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 32 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$12$	\| $- 4 y$
$x$	=	$12 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (12 - 4 y) & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 32 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $12 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (12 - 4 y) + 4 y$	=	$32$
$- 48 + 16 y + 4 y$	=	$32$
$20 y - 48$	=	$32$	\| $+ 48$
$20 y$	=	$80$	\|: $20$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $12 - 4 \cdot 4$

= $12 - 16$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 7 x - 27 + y$	=	$- 5 x - 2 y$			(I)
$2 (19 - 2 y)$	=	$- 3 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 7 x - 27 + y$	=	$- 5 x - 2 y$			(I)
$2 (19 - 2 y)$	=	$- 3 x$			(II)

$- 7 x - 27 + y$	=	$- 5 x - 2 y$	\| + $27 + 5 x + 2 y$		(I)
$38 - 4 y$	=	$- 3 x$	\| $- 38 + 3 x$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 27 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 38 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 3 y$	=	$27$
$3 y - 2 x$	=	$27$	\| $+ 2 x$
$3 y$	=	$27 + 2 x$	\|: $3$
$y$	=	$9 + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (9 + \frac{2}{3} x) & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 38 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $9 + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 4 \cdot (9 + \frac{2}{3} x)$	=	$- 38$
$3 x - 36 - \frac{8}{3} x$	=	$- 38$
$\frac{1}{3} x - 36$	=	$- 38$	\|⋅ 3
$3 (\frac{1}{3} x - 36)$	=	$- 114$
$x - 108$	=	$- 114$	\| $+ 108$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $9 + \frac{2}{3} \cdot (- 6)$

= $9 - 4$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +2y = ?

4x +7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

1x +2y = 2 -4 = -2

4x +7y = 8 -14 = -6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +2y = -2

4x +7y = -6

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ 8 x & - 8 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ 8 x & - 8 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 2 y$	=	$- 2$
$2 y - 2 x$	=	$- 2$	\| $+ 2 x$
$2 y$	=	$- 2 + 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 1 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 + x) & (I) \\ 8 x & - 8 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x - 8 \cdot (- 1 + x)$	=	$8$
$8 x + 8 - 8 x$	=	$8$
$8$	=	$8$	\| $- 8$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1575 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1275 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & - 5 y & = & 1575 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 1275 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x - 5 y$	=	$1575$
$- 5 y + 6 x$	=	$1575$	\| $- 6 x$
$- 5 y$	=	$1575 - 6 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 315 + \frac{6}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 315 + \frac{6}{5} x) & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 1275 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 315 + \frac{6}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 5 \cdot (- 315 + \frac{6}{5} x)$	=	$1275$
$5 x + 1 575 - 6 x$	=	$1275$
$- x + 1 575$	=	$1275$	\| $- 1 575$
$- x$	=	$- 300$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 315 + \frac{6}{5} \cdot 300$

= $- 315 + 360$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (300|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|12) und B(-2|23) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|12): 12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|23): 23 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 -1b +c |-1
23 = 4 -2b +c |-4

11 = -1b +c
19 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 11 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$19$
$c - 2 b$	=	$19$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$19 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 11 & (I) \\ + c & = & (19 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $19 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (19 + 2 b)$	=	$11$
$- b + 19 + 2 b$	=	$11$
$b + 19$	=	$11$	\| $- 19$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $19 + 2 \cdot (- 8)$

= $19 - 16$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|3)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-3) und B(-2|-8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-8): -8 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 -1b +c |-1
-8 = 4 -2b +c |-4

-4 = -1b +c
-12 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 12$
$c - 2 b$	=	$- 12$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 12 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (- 12 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 12 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 12 + 2 b)$	=	$- 4$
$- b - 12 + 2 b$	=	$- 4$
$b - 12$	=	$- 4$	\| $+ 12$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 12 + 2 \cdot 8$

= $- 12 + 16$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|4)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 + 4$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 + 4$

= ${(x + 4)}^{2} - 12$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-12).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) + 4$ = $16 - 32 + 4$ = -12

also: S(-4|-12).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg