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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 2 y$ = $- 14$ .

Bestimme x so, dass (x|5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x + 2 \cdot 5$ = $- 14$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x + 2 \cdot 5$	=	$- 14$
$4 x + 10$	=	$- 14$	\| $- 10$
$4 x$	=	$- 24$	\|: $4$
$x$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (-6|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 4 y$ = $15$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|-4)
denn -1⋅1 -4⋅( - 4 ) = -1 +16 = $15$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-3)
denn -1⋅( - 3 ) -4⋅( - 3 ) = 3 +12 = $15$

Oder : (5|-5)
denn -1⋅5 -4⋅( - 5 ) = -5 +20 = $15$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & = & - 6 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & = & - 6 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 6 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot 6 + 2 y$	=	$22$
$18 + 2 y$	=	$22$
$2 y + 18$	=	$22$	\| $- 18$
$2 y$	=	$4$	\|: $2$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 15 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 15 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$- 15$
$y - 2 x$	=	$- 15$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$- 15 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 15 + 2 x) & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 15 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 2 \cdot (- 15 + 2 x)$	=	$- 18$
$- 2 x - 30 + 4 x$	=	$- 18$
$2 x - 30$	=	$- 18$	\| $+ 30$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 15 + 2 \cdot 6$

= $- 15 + 12$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 5 y & = & - 7 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 5 y & = & - 7 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 5 y$	=	$- 7$
$- 5 y + 4 x$	=	$- 7$	\| $- 4 x$
$- 5 y$	=	$- 7 - 4 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$\frac{7}{5} + \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{7}{5} + \frac{4}{5} x) & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{7}{5} + \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 4 \cdot (\frac{7}{5} + \frac{4}{5} x)$	=	$- 2$
$2 x - \frac{28}{5} - \frac{16}{5} x$	=	$- 2$
$- \frac{6}{5} x - \frac{28}{5}$	=	$- 2$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{6}{5} x - \frac{28}{5})$	=	$- 10$
$- 6 x - 28$	=	$- 10$	\| $+ 28$
$- 6 x$	=	$18$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{7}{5} + \frac{4}{5} \cdot (- 3)$

= $\frac{7}{5} - \frac{12}{5}$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & - \frac{1}{3} y & = & - \frac{1}{6} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & + y & = & - \frac{5}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & - \frac{1}{3} y & = & - \frac{1}{6} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & + y & = & - \frac{5}{2} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{1}{2} x + y$	=	$- \frac{5}{2}$
$y - \frac{1}{2} x$	=	$- \frac{5}{2}$	\|⋅ 2
$2 (y - \frac{1}{2} x)$	=	$- 5$
$2 y - x$	=	$- 5$	\| $+ x$
$2 y$	=	$- 5 + x$	\|: $2$
$y$	=	$- \frac{5}{2} + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & - \frac{1}{3} y & = & - \frac{1}{6} & (I) \\ + y & = & (- \frac{5}{2} + \frac{1}{2} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- \frac{5}{2} + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{5}{2} + \frac{1}{2} x)$	=	$- \frac{1}{6}$
$\frac{1}{2} x + \frac{5}{6} - \frac{1}{6} x$	=	$- \frac{1}{6}$
$\frac{1}{3} x + \frac{5}{6}$	=	$- \frac{1}{6}$	\|⋅ 6
$6 (\frac{1}{3} x + \frac{5}{6})$	=	$- 1$
$2 x + 5$	=	$- 1$	\| $- 5$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- \frac{5}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 3)$

= $- \frac{5}{2} - \frac{3}{2}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +1y = ?

-1x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-2x +1y = 6 -3 = 3

-1x -2y = 3 +6 = 9

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +1y = 3

-1x -2y = 9

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 16 x & + 4 y & = & - 11 & (I) \\ - 4 x & - y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 16 x & + 4 y & = & - 11 & (I) \\ - 4 x & - y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x - y$	=	$3$
$- y - 4 x$	=	$3$	\| $+ 4 x$
$- y$	=	$3 + 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 3 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 16 x & + 4 y & = & - 11 & (I) \\ + y & = & (- 3 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 3 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$16 x + 4 \cdot (- 3 - 4 x)$	=	$- 11$
$16 x - 12 - 16 x$	=	$- 11$
$- 12$	=	$- 11$	\| $+ 12$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 10. Wenn man aber vom 4-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 13. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 10 & (I) \\ 4 x & - 7 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$10$	\| $- 5 y$
$x$	=	$10 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (10 - 5 y) & (I) \\ 4 x & - 7 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $10 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (10 - 5 y) - 7 y$	=	$13$
$40 - 20 y - 7 y$	=	$13$
$- 27 y + 40$	=	$13$	\| $- 40$
$- 27 y$	=	$- 27$	\|:( $- 27$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $10 - 5 \cdot 1$

= $10 - 5$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 1

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|10) und B(-2|-17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-17): -17 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 +1b +c |-1
-17 = 4 -2b +c |-4

9 = 1b +c
-21 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 21$
$c - 2 b$	=	$- 21$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 21 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (- 21 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 21 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 21 + 2 b)$	=	$9$
$b - 21 + 2 b$	=	$9$
$3 b - 21$	=	$9$	\| $+ 21$
$3 b$	=	$30$	\|: $3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 21 + 2 \cdot 10$

= $- 21 + 20$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-1)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|13) und B(2|-8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|13): 13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-8): -8 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 -1b +c |-1
-8 = 4 +2b +c |-4

12 = -1b +c
-12 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 12$
$c + 2 b$	=	$- 12$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 12 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ + c & = & (- 12 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 12 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 12 - 2 b)$	=	$12$
$- b - 12 - 2 b$	=	$12$
$- 3 b - 12$	=	$12$	\| $+ 12$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 12 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 12 + 16$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|4)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 + 4$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 + 4$

= ${(x - 4)}^{2} - 12$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-12).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 + 4$ = $16 - 32 + 4$ = -12

also: S(4|-12).

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1. Weg

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