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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 3 y$ = $13$ .

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 \cdot (- 2) - 3 y$ = $13$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 5 \cdot (- 2) - 3 y$	=	$13$
$10 - 3 y$	=	$13$
$- 3 y + 10$	=	$13$	\| $- 10$
$- 3 y$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-2|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 4 y$ = $- 12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|-4)
denn 1⋅4 +4⋅( - 4 ) = 4 -16 = $- 12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|-5)
denn 1⋅8 +4⋅( - 5 ) = 8 -20 = $- 12$

Oder : (0|-3)
denn 1⋅0 +4⋅( - 3 ) = 0 -12 = $- 12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 11 & (I) \\ - x & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 11 & (I) \\ - x & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 11 & (I) \\ x & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 3) - y$	=	$11$
$12 - y$	=	$11$
$- y + 12$	=	$11$	\| $- 12$
$- y$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 23 & (I) \\ - x & + 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 23 & (I) \\ - x & + 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 4 y$	=	$- 2$	\| $- 4 y$
$- x$	=	$- 2 - 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & - 23 & (I) \\ x & = & (2 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $2 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (2 + 4 y) + y$	=	$- 23$
$- 8 - 16 y + y$	=	$- 23$
$- 15 y - 8$	=	$- 23$	\| $+ 8$
$- 15 y$	=	$- 15$	\|:( $- 15$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $2 + 4 \cdot 1$

= $2 + 4$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 12 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 12 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$12$
$y - 3 x$	=	$12$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$12 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (12 + 3 x) & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $12 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 5 \cdot (12 + 3 x)$	=	$- 20$
$5 x - 60 - 15 x$	=	$- 20$
$- 10 x - 60$	=	$- 20$	\| $+ 60$
$- 10 x$	=	$40$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $12 + 3 \cdot (- 4)$

= $12 - 12$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 3 x - 1 + 5 y$	=	$- 2 x + 35$			(I)
$- x + 6 (- 7 + y)$	=	0			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 3 x - 1 + 5 y$	=	$- 2 x + 35$			(I)
$- x + 6 (- 7 + y)$	=	0			(II)

$- 3 x - 1 + 5 y$	=	$- 2 x + 35$	\| + $1 + 2 x$		(I)
$- x - 42 + 6 y$	=	0	\| + $42$		(II)

\begin{matrix} - x & + 5 y & = & 36 & (I) \\ - x & + 6 y & = & 42 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 6 y$	=	$42$	\| $- 6 y$
$- x$	=	$42 - 6 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 42 + 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 5 y & = & 36 & (I) \\ x & = & (- 42 + 6 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 42 + 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 42 + 6 y) + 5 y$	=	$36$
$42 - 6 y + 5 y$	=	$36$
$- y + 42$	=	$36$	\| $- 42$
$- y$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 42 + 6 \cdot 6$

= $- 42 + 36$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -2y = ?

-1x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-4x -2y = 4 +4 = 8

-1x -2y = 1 +4 = 5

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -2y = 8

-1x -2y = 5

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & - 10 & (I) \\ - 3 x & - 6 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & - 10 & (I) \\ - 3 x & - 6 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 5 y$	=	$- 10$
$- 5 y - 3 x$	=	$- 10$	\| $+ 3 x$
$- 5 y$	=	$- 10 + 3 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$2 - \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (2 - \frac{3}{5} x) & (I) \\ - 3 x & - 6 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2 - \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 6 \cdot (2 - \frac{3}{5} x)$	=	$- 15$
$- 3 x - 12 + \frac{18}{5} x$	=	$- 15$
$\frac{3}{5} x - 12$	=	$- 15$	\|⋅ 5
$5 (\frac{3}{5} x - 12)$	=	$- 75$
$3 x - 60$	=	$- 75$	\| $+ 60$
$3 x$	=	$- 15$	\|: $3$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2 - \frac{3}{5} \cdot (- 5)$

= $2 + 3$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 325 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 240 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 9 y & = & 325 & (I) \\ 6 x & + 6 y & = & 240 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 9 y$	=	$325$
$9 y + 2 x$	=	$325$	\| $- 2 x$
$9 y$	=	$325 - 2 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{325}{9} - \frac{2}{9} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{325}{9} - \frac{2}{9} x) & (I) \\ 6 x & + 6 y & = & 240 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{325}{9} - \frac{2}{9} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 6 \cdot (\frac{325}{9} - \frac{2}{9} x)$	=	$240$
$6 x + \frac{650}{3} - \frac{4}{3} x$	=	$240$
$\frac{14}{3} x + \frac{650}{3}$	=	$240$	\|⋅ 3
$3 (\frac{14}{3} x + \frac{650}{3})$	=	$720$
$14 x + 650$	=	$720$	\| $- 650$
$14 x$	=	$70$	\|: $14$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{325}{9} - \frac{2}{9} \cdot 5$

= $\frac{325}{9} - \frac{10}{9}$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (5|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-6) und B(3|-2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-2): -2 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
-2 = 9 +3b +c |-9

-7 = 1b +c
-11 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 11$
$c + 3 b$	=	$- 11$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 11 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 11 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 11 - 3 b)$	=	$- 7$
$b - 11 - 3 b$	=	$- 7$
$- 2 b - 11$	=	$- 7$	\| $+ 11$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 - 3 \cdot (- 2)$

= $- 11 + 6$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-4) und B(4|-1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-1): -1 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 +1b +c |-1
-1 = 16 +4b +c |-16

-5 = 1b +c
-17 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 17$
$c + 4 b$	=	$- 17$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 17 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 17 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 17 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 17 - 4 b)$	=	$- 5$
$b - 17 - 4 b$	=	$- 5$
$- 3 b - 17$	=	$- 5$	\| $+ 17$
$- 3 b$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 17 - 4 \cdot (- 4)$

= $- 17 + 16$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 - 1$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 - 1$

= ${(x - 2)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 - 1$ = $4 - 8 - 1$ = -5

also: S(2|-5).

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1. Weg

2. Weg