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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 5 y$ = $- 14$ .

Bestimme x so, dass (x|-4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$- x + 5 \cdot (- 4)$ = $- 14$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- x + 5 \cdot (- 4)$	=	$- 14$
$- x - 20$	=	$- 14$	\| $+ 20$
$- x$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (-6|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 5 y$ = $5$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-1)
denn -2⋅0 -5⋅( - 1 ) = 0 +5 = $5$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|1)
denn -2⋅( - 5 ) -5⋅1 = 10 -5 = $5$

Oder : (5|-3)
denn -2⋅5 -5⋅( - 3 ) = -10 +15 = $5$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 y & = & - 4 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 y & = & - 4 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 2 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot 2$	=	$2$
$2 x + 6$	=	$2$	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & - 33 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & - 33 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$- 15$	\| $- 3 y$
$x$	=	$- 15 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & - 33 & (I) \\ x & = & (- 15 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 15 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 15 - 3 y) + 3 y$	=	$- 33$
$- 60 - 12 y + 3 y$	=	$- 33$
$- 9 y - 60$	=	$- 33$	\| $+ 60$
$- 9 y$	=	$27$	\|:( $- 9$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 15 - 3 \cdot (- 3)$

= $- 15 + 9$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 9 & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 9 & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 4 y$	=	$9$	\| $- 4 y$
$- x$	=	$9 - 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 9 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 9 + 4 y) & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 9 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 9 + 4 y) + 5 y$	=	$6$
$27 - 12 y + 5 y$	=	$6$
$- 7 y + 27$	=	$6$	\| $- 27$
$- 7 y$	=	$- 21$	\|:( $- 7$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 9 + 4 \cdot 3$

= $- 9 + 12$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$x - 3 - 4 y$	=	$- 25$			(I)
$- 2 (5 + y)$	=	$3 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$x - 3 - 4 y$	=	$- 25$			(I)
$- 2 (5 + y)$	=	$3 x$			(II)

$x - 3 - 4 y$	=	$- 25$	\| + $3$		(I)
$- 10 - 2 y$	=	$3 x$	\| + $10 - 3 x$		(II)

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 22 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$- 22$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$- 22 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 22 + 4 y) & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 22 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 22 + 4 y) - 2 y$	=	$10$
$66 - 12 y - 2 y$	=	$10$
$- 14 y + 66$	=	$10$	\| $- 66$
$- 14 y$	=	$- 56$	\|:( $- 14$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 22 + 4 \cdot 4$

= $- 22 + 16$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +1y = ?

-4x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-2x +1y = 4 -2 = 2

-4x +1y = 8 -2 = 6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +1y = 2

-4x +1y = 6

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & + y & = & 2 & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + y & = & 2 & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x + y$	=	$2$
$y + x$	=	$2$	\| $- x$
$y$	=	$2 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (2 - x) & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 4 \cdot (2 - x)$	=	$13$
$5 x + 8 - 4 x$	=	$13$
$x + 8$	=	$13$	\| $- 8$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2 - 5$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 5 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 690 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 390 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 2 y & = & 690 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 390 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 2 y$	=	$690$
$- 2 y + 5 x$	=	$690$	\| $- 5 x$
$- 2 y$	=	$690 - 5 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 345 + \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 345 + \frac{5}{2} x) & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 390 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 345 + \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 2 \cdot (- 345 + \frac{5}{2} x)$	=	$390$
$3 x + 690 - 5 x$	=	$390$
$- 2 x + 690$	=	$390$	\| $- 690$
$- 2 x$	=	$- 300$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 345 + \frac{5}{2} \cdot 150$

= $- 345 + 375$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (150|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|5) und B(-3|29) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|5): 5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|29): 29 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 -1b +c |-1
29 = 9 -3b +c |-9

4 = -1b +c
20 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$20$
$c - 3 b$	=	$20$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$20 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (20 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $20 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (20 + 3 b)$	=	$4$
$- b + 20 + 3 b$	=	$4$
$2 b + 20$	=	$4$	\| $- 20$
$2 b$	=	$- 16$	\|: $2$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $20 + 3 \cdot (- 8)$

= $20 - 24$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-4)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(-4|53) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|53): 53 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
53 = 16 -4b +c |-16

7 = -1b +c
37 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 37 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$37$
$c - 4 b$	=	$37$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$37 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (37 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $37 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (37 + 4 b)$	=	$7$
$- b + 37 + 4 b$	=	$7$
$3 b + 37$	=	$7$	\| $- 37$
$3 b$	=	$- 30$	\|: $3$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $37 + 4 \cdot (- 10)$

= $37 - 40$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 - 3$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 - 3$

= ${(x - 5)}^{2} - 28$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-28).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 - 3$ = $25 - 50 - 3$ = -28

also: S(5|-28).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg