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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 5 y$ = $10$ .

Bestimme y so, dass (5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 + 5 y$ = $10$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 5 + 5 y$	=	$10$
$- 5 + 5 y$	=	$10$
$5 y - 5$	=	$10$	\| $+ 5$
$5 y$	=	$15$	\|: $5$
$y$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (5|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 3 y$ = $- 42$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|-4)
denn -5⋅6 +3⋅( - 4 ) = -30 -12 = $- 42$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (9|1)
denn -5⋅9 +3⋅1 = -45 +3 = $- 42$

Oder : (3|-9)
denn -5⋅3 +3⋅( - 9 ) = -15 -27 = $- 42$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & = & - 3 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & = & - 3 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 1 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 1) + 3 y$	=	$- 13$
$- 1 + 3 y$	=	$- 13$
$3 y - 1$	=	$- 13$	\| $+ 1$
$3 y$	=	$- 12$	\|: $3$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & 20 & (I) \\ 3 x & + y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & 20 & (I) \\ 3 x & + y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$- 3$
$y + 3 x$	=	$- 3$	\| $- 3 x$
$y$	=	$- 3 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & 20 & (I) \\ + y & = & (- 3 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 3 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (- 3 - 3 x)$	=	$20$
$2 x + 9 + 9 x$	=	$20$
$11 x + 9$	=	$20$	\| $- 9$
$11 x$	=	$11$	\|: $11$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 3 - 3 \cdot 1$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & 16 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & 16 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 2 y$	=	$16$
$- 2 y - 4 x$	=	$16$	\| $+ 4 x$
$- 2 y$	=	$16 + 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 8 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 8 - 2 x) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 8 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot (- 8 - 2 x)$	=	$- 2$
$2 x + 16 + 4 x$	=	$- 2$
$6 x + 16$	=	$- 2$	\| $- 16$
$6 x$	=	$- 18$	\|: $6$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 8 - 2 \cdot (- 3)$

= $- 8 + 6$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - y & = & 5 & (I) \\ - x & + \frac{1}{5} y & = & - \frac{29}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - y & = & 5 & (I) \\ - x & + \frac{1}{5} y & = & - \frac{29}{5} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + \frac{1}{5} y$	=	$- \frac{29}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- x + \frac{1}{5} y)$	=	$- 29$
$- 5 x + y$	=	$- 29$	\| $- y$
$- 5 x$	=	$- 29 - y$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$\frac{29}{5} + \frac{1}{5} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - y & = & 5 & (I) \\ x & = & (\frac{29}{5} + \frac{1}{5} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{29}{5} + \frac{1}{5} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (\frac{29}{5} + \frac{1}{5} y) - y$	=	$5$
$\frac{29}{5} + \frac{1}{5} y - y$	=	$5$
$- \frac{4}{5} y + \frac{29}{5}$	=	$5$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{4}{5} y + \frac{29}{5})$	=	$25$
$- 4 y + 29$	=	$25$	\| $- 29$
$- 4 y$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{29}{5} + \frac{1}{5} \cdot 1$

= $\frac{29}{5} + \frac{1}{5}$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -1y = ?

-7x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-4x -1y = 8 +1 = 9

-7x +1y = 14 -1 = 13

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -1y = 9

-7x +1y = 13

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & 1 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & 1 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 2 y$	=	$1$
$2 y - 2 x$	=	$1$	\| $+ 2 x$
$2 y$	=	$1 + 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$\frac{1}{2} + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{2} + x) & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2} + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot (\frac{1}{2} + x)$	=	$- 1$
$4 x - 2 - 4 x$	=	$- 1$
$- 2$	=	$- 1$	\| $+ 2$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 4 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 141 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 91 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 5 y & = & 141 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 91 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 5 y$	=	$141$
$5 y + 4 x$	=	$141$	\| $- 4 x$
$5 y$	=	$141 - 4 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{141}{5} - \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{141}{5} - \frac{4}{5} x) & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 91 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{141}{5} - \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 3 \cdot (\frac{141}{5} - \frac{4}{5} x)$	=	$91$
$4 x + \frac{423}{5} - \frac{12}{5} x$	=	$91$
$\frac{8}{5} x + \frac{423}{5}$	=	$91$	\|⋅ 5
$5 (\frac{8}{5} x + \frac{423}{5})$	=	$455$
$8 x + 423$	=	$455$	\| $- 423$
$8 x$	=	$32$	\|: $8$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{141}{5} - \frac{4}{5} \cdot 4$

= $\frac{141}{5} - \frac{16}{5}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (4|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-9) und B(-2|-14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-9): -9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-14): -14 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-9 = 1 -1b +c |-1
-14 = 4 -2b +c |-4

-10 = -1b +c
-18 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 10 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 18$
$c - 2 b$	=	$- 18$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 18 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 10 & (I) \\ + c & = & (- 18 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 18 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 18 + 2 b)$	=	$- 10$
$- b - 18 + 2 b$	=	$- 10$
$b - 18$	=	$- 10$	\| $+ 18$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 18 + 2 \cdot 8$

= $- 18 + 16$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-2)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(-3|20) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|20): 20 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
20 = 9 -3b +c |-9

7 = -1b +c
11 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$11$
$c - 3 b$	=	$11$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$11 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (11 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (11 + 3 b)$	=	$7$
$- b + 11 + 3 b$	=	$7$
$2 b + 11$	=	$7$	\| $- 11$
$2 b$	=	$- 4$	\|: $2$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 + 3 \cdot (- 2)$

= $11 - 6$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 5$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 5$

= ${(x - 1)}^{2} + 4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 5$ = $1 - 2 + 5$ = 4

also: S(1|4).

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg