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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 4 y$ = $38$ .

Bestimme x so, dass (x|-6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 x - 4 \cdot (- 6)$ = $38$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 2 x - 4 \cdot (- 6)$	=	$38$
$- 2 x + 24$	=	$38$	\| $- 24$
$- 2 x$	=	$14$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (-7|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 3 y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|-2)
denn 1⋅( - 6 ) -3⋅( - 2 ) = -6 +6 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-9|-3)
denn 1⋅( - 9 ) -3⋅( - 3 ) = -9 +9 = 0

Oder : (-3|-1)
denn 1⋅( - 3 ) -3⋅( - 1 ) = -3 +3 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & = & - 3 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & = & - 3 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 3 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot 3 + 4 y$	=	$24$
$12 + 4 y$	=	$24$
$4 y + 12$	=	$24$	\| $- 12$
$4 y$	=	$12$	\|: $4$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 10 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 10 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$- 18$	\| $- 4 y$
$x$	=	$- 18 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 10 & (I) \\ x & = & (- 18 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 18 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 18 - 4 y) - 4 y$	=	$10$
$- 54 - 12 y - 4 y$	=	$10$
$- 16 y - 54$	=	$10$	\| $+ 54$
$- 16 y$	=	$64$	\|:( $- 16$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 18 - 4 \cdot (- 4)$

= $- 18 + 16$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & - 8 & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & - 8 & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 2 y$	=	$- 8$	\| $- 2 y$
$- x$	=	$- 8 - 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$8 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (8 + 2 y) & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $8 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 5 \cdot (8 + 2 y) + 3 y$	=	$2$
$- 40 - 10 y + 3 y$	=	$2$
$- 7 y - 40$	=	$2$	\| $+ 40$
$- 7 y$	=	$42$	\|:( $- 7$ )
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $8 + 2 \cdot (- 6)$

= $8 - 12$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 5 x + 2 y$	=	$24$			(I)
$- 3 (2 + y)$	=	$2 x - 5 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 5 x + 2 y$	=	$24$			(I)
$- 3 (2 + y)$	=	$2 x - 5 y$			(II)

$- 5 x + 2 y$	=	$24$			(I)
$- 6 - 3 y$	=	$2 x - 5 y$	\| + $6 - 2 x + 5 y$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & + 2 y & = & 24 & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x + 2 y$	=	$24$
$2 y - 5 x$	=	$24$	\| $+ 5 x$
$2 y$	=	$24 + 5 x$	\|: $2$
$y$	=	$12 + \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (12 + \frac{5}{2} x) & (I) \\ - 2 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $12 + \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 2 \cdot (12 + \frac{5}{2} x)$	=	$6$
$- 2 x + 24 + 5 x$	=	$6$
$3 x + 24$	=	$6$	\| $- 24$
$3 x$	=	$- 18$	\|: $3$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $12 + \frac{5}{2} \cdot (- 6)$

= $12 - 15$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -2y = ?

3x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

5x -2y = 10 -10 = 0

3x -2y = 6 -10 = -4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -2y = 0

3x -2y = -4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - 9 y & = & - 3 & (I) \\ - x & + 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 9 y & = & - 3 & (I) \\ - x & + 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 3 y$	=	$1$	\| $- 3 y$
$- x$	=	$1 - 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 9 y & = & - 3 & (I) \\ x & = & (- 1 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 1 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 1 + 3 y) - 9 y$	=	$- 3$
$- 3 + 9 y - 9 y$	=	$- 3$
$- 3$	=	$- 3$	\| $+ 3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 10. Wenn man aber vom 5-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -1. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 10 & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$10$	\| $- 3 y$
$x$	=	$10 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (10 - 3 y) & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $10 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (10 - 3 y) - 2 y$	=	$- 1$
$50 - 15 y - 2 y$	=	$- 1$
$- 17 y + 50$	=	$- 1$	\| $- 50$
$- 17 y$	=	$- 51$	\|:( $- 17$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $10 - 3 \cdot 3$

= $10 - 9$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 3

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-4) und B(2|-11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-11): -11 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 +1b +c |-1
-11 = 4 +2b +c |-4

-5 = 1b +c
-15 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 15$
$c + 2 b$	=	$- 15$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 15 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 15 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 15 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 15 - 2 b)$	=	$- 5$
$b - 15 - 2 b$	=	$- 5$
$- b - 15$	=	$- 5$	\| $+ 15$
$- b$	=	$10$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 15 - 2 \cdot (- 10)$

= $- 15 + 20$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|5)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-8) und B(-2|-9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-8): -8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-9): -9 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 -1b +c |-1
-9 = 4 -2b +c |-4

-9 = -1b +c
-13 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 9 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 13$
$c - 2 b$	=	$- 13$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 13 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 9 & (I) \\ + c & = & (- 13 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 13 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 13 + 2 b)$	=	$- 9$
$- b - 13 + 2 b$	=	$- 9$
$b - 13$	=	$- 9$	\| $+ 13$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 13 + 2 \cdot 4$

= $- 13 + 8$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 - 5$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 - 5$

= ${(x + 2)}^{2} - 9$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-9).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - 5$ = $4 - 8 - 5$ = -9

also: S(-2|-9).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg