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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 5 y$ = $- 24$ .

Bestimme y so, dass (7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 \cdot 7 + 5 y$ = $- 24$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 2 \cdot 7 + 5 y$	=	$- 24$
$- 14 + 5 y$	=	$- 24$
$5 y - 14$	=	$- 24$	\| $+ 14$
$5 y$	=	$- 10$	\|: $5$
$y$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (7|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 2 y$ = $4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|-5)
denn 2⋅( - 3 ) -2⋅( - 5 ) = -6 +10 = $4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|-7)
denn 2⋅( - 5 ) -2⋅( - 7 ) = -10 +14 = $4$

Oder : (-1|-3)
denn 2⋅( - 1 ) -2⋅( - 3 ) = -2 +6 = $4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & = & - 24 & (I) \\ - x & + 4 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & = & - 24 & (I) \\ - x & + 4 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$- 24$	\|: $4$
$x$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 6 & (I) \\ - x & + 4 y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 6) + 4 y$	=	$30$
$6 + 4 y$	=	$30$
$4 y + 6$	=	$30$	\| $- 6$
$4 y$	=	$24$	\|: $4$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 1 & (I) \\ x & + 3 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 1 & (I) \\ x & + 3 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$14$	\| $- 3 y$
$x$	=	$14 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 1 & (I) \\ x & = & (14 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $14 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (14 - 3 y) - 2 y$	=	$- 1$
$14 - 3 y - 2 y$	=	$- 1$
$- 5 y + 14$	=	$- 1$	\| $- 14$
$- 5 y$	=	$- 15$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $14 - 3 \cdot 3$

= $14 - 9$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 15 & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 15 & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$15$
$y + 3 x$	=	$15$	\| $- 3 x$
$y$	=	$15 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (15 - 3 x) & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $15 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 5 \cdot (15 - 3 x)$	=	$- 27$
$- 2 x + 75 - 15 x$	=	$- 27$
$- 17 x + 75$	=	$- 27$	\| $- 75$
$- 17 x$	=	$- 102$	\|:( $- 17$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $15 - 3 \cdot 6$

= $15 - 18$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3$	=	$2 x + 7 - 3 y$			(I)
$- 3 x$	=	$- 2 x + 11 + 3 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3$	=	$2 x + 7 - 3 y$	\| $- 3 - 2 x + 3 y$		(I)
$- 3 x$	=	$- 2 x + 11 + 3 y$	\| + $2 x - 3 y$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 4 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$11$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$11 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 11 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 4 & (I) \\ x & = & (- 11 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 11 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 11 - 3 y) + 3 y$	=	$4$
$22 + 6 y + 3 y$	=	$4$
$9 y + 22$	=	$4$	\| $- 22$
$9 y$	=	$- 18$	\|: $9$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 11 - 3 \cdot (- 2)$

= $- 11 + 6$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +1y = ?

3x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-1x +1y = 1 -5 = -4

3x -4y = -3 +20 = 17

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +1y = -4

3x -4y = 17

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 8 x & - 16 y & = & - 4 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 8 x & - 16 y & = & - 4 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x - 16 y$	=	$- 4$
$- 16 y + 8 x$	=	$- 4$	\| $- 8 x$
$- 16 y$	=	$- 4 - 8 x$	\|:( $- 16$ )
$y$	=	$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} x) & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 4 \cdot (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} x)$	=	$1$
$- 2 x + 1 + 2 x$	=	$1$
$1$	=	$1$	\| $- 1$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 325 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 6 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1635 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & 325 & (I) \\ 6 x & - 3 y & = & 1635 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 5 y$	=	$325$
$- 5 y + 2 x$	=	$325$	\| $- 2 x$
$- 5 y$	=	$325 - 2 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 65 + \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 65 + \frac{2}{5} x) & (I) \\ 6 x & - 3 y & = & 1635 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 65 + \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 3 \cdot (- 65 + \frac{2}{5} x)$	=	$1635$
$6 x + 195 - \frac{6}{5} x$	=	$1635$
$\frac{24}{5} x + 195$	=	$1635$	\|⋅ 5
$5 (\frac{24}{5} x + 195)$	=	$8 175$
$24 x + 975$	=	$8 175$	\| $- 975$
$24 x$	=	$7 200$	\|: $24$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 65 + \frac{2}{5} \cdot 300$

= $- 65 + 120$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (300|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|13) und B(4|52) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|13): 13 = 1² + b⋅1 +c

B(4|52): 52 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 +1b +c |-1
52 = 16 +4b +c |-16

12 = 1b +c
36 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 12 & (I) \\ 4 b & + c & = & 36 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$36$
$c + 4 b$	=	$36$	\| $- 4 b$
$c$	=	$36 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 12 & (I) \\ + c & = & (36 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $36 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (36 - 4 b)$	=	$12$
$b + 36 - 4 b$	=	$12$
$- 3 b + 36$	=	$12$	\| $- 36$
$- 3 b$	=	$- 24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $36 - 4 \cdot 8$

= $36 - 32$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|4)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|9) und B(-3|37) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|37): 37 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 -1b +c |-1
37 = 9 -3b +c |-9

8 = -1b +c
28 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 28 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$28$
$c - 3 b$	=	$28$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$28 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (28 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $28 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (28 + 3 b)$	=	$8$
$- b + 28 + 3 b$	=	$8$
$2 b + 28$	=	$8$	\| $- 28$
$2 b$	=	$- 20$	\|: $2$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $28 + 3 \cdot (- 10)$

= $28 - 30$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-2)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 - 2$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 - 2$

= ${(x - 5)}^{2} - 27$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-27).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 - 2$ = $25 - 50 - 2$ = -27

also: S(5|-27).

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1. Weg

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