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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 3 y$ = $- 8$ .

Bestimme y so, dass (1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 \cdot 1 + 3 y$ = $- 8$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 2 \cdot 1 + 3 y$	=	$- 8$
$- 2 + 3 y$	=	$- 8$
$3 y - 2$	=	$- 8$	\| $+ 2$
$3 y$	=	$- 6$	\|: $3$
$y$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (1|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 5 y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|-1)
denn 1⋅( - 5 ) -5⋅( - 1 ) = -5 +5 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-10|-2)
denn 1⋅( - 10 ) -5⋅( - 2 ) = -10 +10 = 0

Oder : (0|0)
denn 1⋅0 -5⋅0 = 0 +0 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 4 & (I) \\ + 4 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 4 & (I) \\ + 4 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4 y$	=	$- 20$	\|: $4$
$y$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 4 & (I) \\ + y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot (- 5)$	=	$4$
$4 x - 20$	=	$4$	\| $+ 20$
$4 x$	=	$24$	\|: $4$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 4 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 4 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$- 4$	\| $- 3 y$
$x$	=	$- 4 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 4 & (I) \\ x & = & (- 4 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 4 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 4 - 3 y) + y$	=	$- 4$
$- 12 - 9 y + y$	=	$- 4$
$- 8 y - 12$	=	$- 4$	\| $+ 12$
$- 8 y$	=	$8$	\|:( $- 8$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 4 - 3 \cdot (- 1)$

= $- 4 + 3$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & - 6 & (I) \\ - 5 x & - 4 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & - 6 & (I) \\ - 5 x & - 4 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 3 y$	=	$- 6$
$- 3 y + 2 x$	=	$- 6$	\| $- 2 x$
$- 3 y$	=	$- 6 - 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$2 + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (2 + \frac{2}{3} x) & (I) \\ - 5 x & - 4 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2 + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 4 \cdot (2 + \frac{2}{3} x)$	=	$15$
$- 5 x - 8 - \frac{8}{3} x$	=	$15$
$- \frac{23}{3} x - 8$	=	$15$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{23}{3} x - 8)$	=	$45$
$- 23 x - 24$	=	$45$	\| $+ 24$
$- 23 x$	=	$69$	\|:( $- 23$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2 + \frac{2}{3} \cdot (- 3)$

= $2 - 2$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{3} x & + \frac{1}{4} y & = & \frac{1}{12} & (I) \\ - x & + \frac{2}{5} y & = & - \frac{4}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{3} x & + \frac{1}{4} y & = & \frac{1}{12} & (I) \\ - x & + \frac{2}{5} y & = & - \frac{4}{5} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + \frac{2}{5} y$	=	$- \frac{4}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- x + \frac{2}{5} y)$	=	$- 4$
$- 5 x + 2 y$	=	$- 4$	\| $- 2 y$
$- 5 x$	=	$- 4 - 2 y$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$\frac{4}{5} + \frac{2}{5} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - \frac{1}{3} x & + \frac{1}{4} y & = & \frac{1}{12} & (I) \\ x & = & (\frac{4}{5} + \frac{2}{5} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{4}{5} + \frac{2}{5} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- \frac{1}{3} \cdot (\frac{4}{5} + \frac{2}{5} y) + \frac{1}{4} y$	=	$\frac{1}{12}$
$- \frac{4}{15} - \frac{2}{15} y + \frac{1}{4} y$	=	$\frac{1}{12}$
$\frac{7}{60} y - \frac{4}{15}$	=	$\frac{1}{12}$	\|⋅ 60
$60 (\frac{7}{60} y - \frac{4}{15})$	=	$5$
$7 y - 16$	=	$5$	\| $+ 16$
$7 y$	=	$21$	\|: $7$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{4}{5} + \frac{2}{5} \cdot 3$

= $\frac{4}{5} + \frac{6}{5}$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -2y = ?

2x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-1x -2y = -2 -8 = -10

2x +1y = 4 +4 = 8

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -2y = -10

2x +1y = 8

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 0 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & 0 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 3 y$	=	0
$- 3 y + 3 x$	=	0	\| $- 3 x$
$- 3 y$	=	$- 3 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & x & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 4 \cdot x$	=	$- 5$
$- 3 x + 4 x$	=	$- 5$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 6. Wenn man aber vom 2-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 5. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$6$	\| $- 2 y$
$x$	=	$6 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (6 - 2 y) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $6 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (6 - 2 y) - 3 y$	=	$5$
$12 - 4 y - 3 y$	=	$5$
$- 7 y + 12$	=	$5$	\| $- 12$
$- 7 y$	=	$- 7$	\|:( $- 7$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $6 - 2 \cdot 1$

= $6 - 2$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 1

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-7) und B(1|5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-7): -7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|5): 5 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 -1b +c |-1
5 = 1 +1b +c |-1

-8 = -1b +c
4 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ b & + c & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$4$
$c + b$	=	$4$	\| $- b$
$c$	=	$4 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ + c & = & (4 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $4 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (4 - b)$	=	$- 8$
$- b + 4 - b$	=	$- 8$
$- 2 b + 4$	=	$- 8$	\| $- 4$
$- 2 b$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $4 - 6$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-2) und B(4|-11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-11): -11 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
-11 = 16 +4b +c |-16

-3 = 1b +c
-27 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 27$
$c + 4 b$	=	$- 27$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 27 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 27 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 27 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 27 - 4 b)$	=	$- 3$
$b - 27 - 4 b$	=	$- 3$
$- 3 b - 27$	=	$- 3$	\| $+ 27$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 27 - 4 \cdot (- 8)$

= $- 27 + 32$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|5)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 + 5$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 + 5$

= ${(x - 4)}^{2} - 11$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-11).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 + 5$ = $16 - 32 + 5$ = -11

also: S(4|-11).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg