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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 3 y$ = $13$ .

Bestimme y so, dass (-4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 \cdot (- 4) + 3 y$ = $13$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 4) + 3 y$	=	$13$
$16 + 3 y$	=	$13$
$3 y + 16$	=	$13$	\| $- 16$
$3 y$	=	$- 3$	\|: $3$
$y$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-4|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 3 y$ = $- 8$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|4)
denn -5⋅4 +3⋅4 = -20 +12 = $- 8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (7|9)
denn -5⋅7 +3⋅9 = -35 +27 = $- 8$

Oder : (1|-1)
denn -5⋅1 +3⋅( - 1 ) = -5 -3 = $- 8$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 8 & (I) \\ - 2 x & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 8 & (I) \\ - 2 x & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 8 & (I) \\ x & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 6) - 2 y$	=	$- 8$
$- 6 - 2 y$	=	$- 8$
$- 2 y - 6$	=	$- 8$	\| $+ 6$
$- 2 y$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & - 19 & (I) \\ - 4 x & + y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & - 19 & (I) \\ - 4 x & + y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$8$
$y - 4 x$	=	$8$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$8 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & - 19 & (I) \\ + y & = & (8 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $8 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 4 \cdot (8 + 4 x)$	=	$- 19$
$3 x - 32 - 16 x$	=	$- 19$
$- 13 x - 32$	=	$- 19$	\| $+ 32$
$- 13 x$	=	$13$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $8 + 4 \cdot (- 1)$

= $8 - 4$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 5 y & = & - 7 & (I) \\ - 3 x & - y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 5 y & = & - 7 & (I) \\ - 3 x & - y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x - y$	=	$15$
$- y - 3 x$	=	$15$	\| $+ 3 x$
$- y$	=	$15 + 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 15 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 5 y & = & - 7 & (I) \\ + y & = & (- 15 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 15 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 5 \cdot (- 15 - 3 x)$	=	$- 7$
$- 2 x - 75 - 15 x$	=	$- 7$
$- 17 x - 75$	=	$- 7$	\| $+ 75$
$- 17 x$	=	$68$	\|:( $- 17$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 15 - 3 \cdot (- 4)$

= $- 15 + 12$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & + \frac{1}{2} y & = & - \frac{1}{2} & (I) \\ - \frac{2}{3} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{1}{6} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & + \frac{1}{2} y & = & - \frac{1}{2} & (I) \\ - \frac{2}{3} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{1}{6} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y$	=	$- \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} x$	=	$- \frac{1}{2}$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} x)$	=	$- 1$
$y + x$	=	$- 1$	\| $- x$
$y$	=	$- 1 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 - x) & (I) \\ - \frac{2}{3} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{1}{6} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{2}{3} x - \frac{1}{2} \cdot (- 1 - x)$	=	$\frac{1}{6}$
$- \frac{2}{3} x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} x$	=	$\frac{1}{6}$
$- \frac{1}{6} x + \frac{1}{2}$	=	$\frac{1}{6}$	\|⋅ 6
$6 (- \frac{1}{6} x + \frac{1}{2})$	=	$1$
$- x + 3$	=	$1$	\| $- 3$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 - 2$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +5y = ?

4x +7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

2x +5y = -6 +20 = 14

4x +7y = -12 +28 = 16

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +5y = 14

4x +7y = 16

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & - 6 y & = & - 4 & (I) \\ x & + 3 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 6 y & = & - 4 & (I) \\ x & + 3 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$2$	\| $- 3 y$
$x$	=	$2 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 6 y & = & - 4 & (I) \\ x & = & (2 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $2 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (2 - 3 y) - 6 y$	=	$- 4$
$- 4 + 6 y - 6 y$	=	$- 4$
$- 4$	=	$- 4$	\| $+ 4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 7 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 216 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 95 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 7 y & = & 216 & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 95 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 7 y$	=	$216$
$7 y + 6 x$	=	$216$	\| $- 6 x$
$7 y$	=	$216 - 6 x$	\|: $7$
$y$	=	$\frac{216}{7} - \frac{6}{7} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{216}{7} - \frac{6}{7} x) & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 95 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{216}{7} - \frac{6}{7} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 3 \cdot (\frac{216}{7} - \frac{6}{7} x)$	=	$95$
$5 x + \frac{648}{7} - \frac{18}{7} x$	=	$95$
$\frac{17}{7} x + \frac{648}{7}$	=	$95$	\|⋅ 7
$7 (\frac{17}{7} x + \frac{648}{7})$	=	$665$
$17 x + 648$	=	$665$	\| $- 648$
$17 x$	=	$17$	\|: $17$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{216}{7} - \frac{6}{7} \cdot 1$

= $\frac{216}{7} - \frac{6}{7}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (1|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(-4|53) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|53): 53 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
53 = 16 -4b +c |-16

7 = -1b +c
37 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 37 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$37$
$c - 4 b$	=	$37$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$37 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (37 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $37 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (37 + 4 b)$	=	$7$
$- b + 37 + 4 b$	=	$7$
$3 b + 37$	=	$7$	\| $- 37$
$3 b$	=	$- 30$	\|: $3$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $37 + 4 \cdot (- 10)$

= $37 - 40$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|10) und B(2|1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|10): 10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|1): 1 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 -1b +c |-1
1 = 4 +2b +c |-4

9 = -1b +c
-3 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 3$
$c + 2 b$	=	$- 3$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 3 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (- 3 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 3 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 3 - 2 b)$	=	$9$
$- b - 3 - 2 b$	=	$9$
$- 3 b - 3$	=	$9$	\| $+ 3$
$- 3 b$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 3 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 3 + 8$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 5$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 + 5$

= ${(x - 2)}^{2} + 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 + 5$ = $4 - 8 + 5$ = 1

also: S(2|1).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg