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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 5 y$ = $- 20$ .

Bestimme x so, dass (x|0) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$5 x - 5 \cdot 0$ = $- 20$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5 x - 5 \cdot 0$	=	$- 20$
$5 x$	=	$- 20$	\|: $5$
$x$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (-4|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 2 y$ = $- 4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-3)
denn -2⋅5 -2⋅( - 3 ) = -10 +6 = $- 4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|-1)
denn -2⋅3 -2⋅( - 1 ) = -6 +2 = $- 4$

Oder : (7|-5)
denn -2⋅7 -2⋅( - 5 ) = -14 +10 = $- 4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 7 & (I) \\ 3 x & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 7 & (I) \\ 3 x & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 7 & (I) \\ x & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 1) + 3 y$	=	$- 7$
$2 + 3 y$	=	$- 7$
$3 y + 2$	=	$- 7$	\| $- 2$
$3 y$	=	$- 9$	\|: $3$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 24 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 24 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$24$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$24 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (24 + 3 y) & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $24 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (24 + 3 y) - 2 y$	=	$- 6$
$- 72 - 9 y - 2 y$	=	$- 6$
$- 11 y - 72$	=	$- 6$	\| $+ 72$
$- 11 y$	=	$66$	\|:( $- 11$ )
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $24 + 3 \cdot (- 6)$

= $24 - 18$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 2 y & = & 5 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + 2 y & = & 5 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 2 y$	=	$5$
$2 y + 5 x$	=	$5$	\| $- 5 x$
$2 y$	=	$5 - 5 x$	\|: $2$
$y$	=	$\frac{5}{2} - \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{5}{2} - \frac{5}{2} x) & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{5}{2} - \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 3 \cdot (\frac{5}{2} - \frac{5}{2} x)$	=	$- 13$
$- 2 x - \frac{15}{2} + \frac{15}{2} x$	=	$- 13$
$\frac{11}{2} x - \frac{15}{2}$	=	$- 13$	\|⋅ 2
$2 (\frac{11}{2} x - \frac{15}{2})$	=	$- 26$
$11 x - 15$	=	$- 26$	\| $+ 15$
$11 x$	=	$- 11$	\|: $11$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{5}{2} - \frac{5}{2} \cdot (- 1)$

= $\frac{5}{2} + \frac{5}{2}$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{3}{5} x & + \frac{3}{4} y & = & - \frac{27}{20} & (I) \\ - \frac{3}{4} x & - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{3}{5} x & + \frac{3}{4} y & = & - \frac{27}{20} & (I) \\ - \frac{3}{4} x & - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{3}{5} x + \frac{3}{4} y$	=	$- \frac{27}{20}$
$\frac{3}{4} y + \frac{3}{5} x$	=	$- \frac{27}{20}$	\|⋅ 20
$20 (\frac{3}{4} y + \frac{3}{5} x)$	=	$- 27$
$15 y + 12 x$	=	$- 27$	\| $- 12 x$
$15 y$	=	$- 27 - 12 x$	\|: $15$
$y$	=	$- \frac{9}{5} - \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{9}{5} - \frac{4}{5} x) & (I) \\ - \frac{3}{4} x & - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{9}{5} - \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{3}{4} x - 3 \cdot (- \frac{9}{5} - \frac{4}{5} x)$	=	$12$
$- \frac{3}{4} x + \frac{27}{5} + \frac{12}{5} x$	=	$12$
$\frac{33}{20} x + \frac{27}{5}$	=	$12$	\|⋅ 20
$20 (\frac{33}{20} x + \frac{27}{5})$	=	$240$
$33 x + 108$	=	$240$	\| $- 108$
$33 x$	=	$132$	\|: $33$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{9}{5} - \frac{4}{5} \cdot 4$

= $- \frac{9}{5} - \frac{16}{5}$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +1y = ?

-2x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-1x +1y = -4 -5 = -9

-2x +5y = -8 -25 = -33

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +1y = -9

-2x +5y = -33

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 3 & (I) \\ 8 x & - 4 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 3 & (I) \\ 8 x & - 4 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$- 3$
$y - 2 x$	=	$- 3$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$- 3 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 3 + 2 x) & (I) \\ 8 x & - 4 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 3 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x - 4 \cdot (- 3 + 2 x)$	=	$14$
$8 x + 12 - 8 x$	=	$14$
$12$	=	$14$	\| $- 12$
0	=	$2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 8 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 348 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 304 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 8 y & = & 348 & (I) \\ 6 x & + 7 y & = & 304 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 8 y$	=	$348$
$8 y + 7 x$	=	$348$	\| $- 7 x$
$8 y$	=	$348 - 7 x$	\|: $8$
$y$	=	$\frac{87}{2} - \frac{7}{8} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{87}{2} - \frac{7}{8} x) & (I) \\ 6 x & + 7 y & = & 304 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{87}{2} - \frac{7}{8} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 7 \cdot (\frac{87}{2} - \frac{7}{8} x)$	=	$304$
$6 x + \frac{609}{2} - \frac{49}{8} x$	=	$304$
$- \frac{1}{8} x + \frac{609}{2}$	=	$304$	\|⋅ 8
$8 (- \frac{1}{8} x + \frac{609}{2})$	=	$2 432$
$- x + 2 436$	=	$2 432$	\| $- 2 436$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{87}{2} - \frac{7}{8} \cdot 4$

= $\frac{87}{2} - \frac{7}{2}$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (4|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-6) und B(4|-9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-9): -9 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
-9 = 16 +4b +c |-16

-7 = 1b +c
-25 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 25$
$c + 4 b$	=	$- 25$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 25 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 25 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 25 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 25 - 4 b)$	=	$- 7$
$b - 25 - 4 b$	=	$- 7$
$- 3 b - 25$	=	$- 7$	\| $+ 25$
$- 3 b$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 25 - 4 \cdot (- 6)$

= $- 25 + 24$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-1)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-7) und B(-1|13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-7): -7 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|13): 13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 +1b +c |-1
13 = 1 -1b +c |-1

-8 = 1b +c
12 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 8 & (I) \\ - b & + c & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$12$
$c - b$	=	$12$	\| $+ b$
$c$	=	$12 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 8 & (I) \\ + c & = & (12 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $12 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (12 + b)$	=	$- 8$
$b + 12 + b$	=	$- 8$
$2 b + 12$	=	$- 8$	\| $- 12$
$2 b$	=	$- 20$	\|: $2$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $12 - 10$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|2)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 + 2$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 + 2$

= ${(x - 5)}^{2} - 23$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-23).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 + 2$ = $25 - 50 + 2$ = -23

also: S(5|-23).

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1. Weg

2. Weg