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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 3 y$ = $- 9$ .

Bestimme y so, dass (-1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot (- 1) - 3 y$ = $- 9$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 1) - 3 y$	=	$- 9$
$3 - 3 y$	=	$- 9$
$- 3 y + 3$	=	$- 9$	\| $- 3$
$- 3 y$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (-1|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 3 y$ = $- 15$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-5)
denn -5⋅0 +3⋅( - 5 ) = 0 -15 = $- 15$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|0)
denn -5⋅3 +3⋅0 = -15 +0 = $- 15$

Oder : (-3|-10)
denn -5⋅( - 3 ) +3⋅( - 10 ) = 15 -30 = $- 15$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - y & = & - 3 & (I) \\ x & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $- 3$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 3) - y$	=	$- 3$
$3 - y$	=	$- 3$
$- y + 3$	=	$- 3$	\| $- 3$
$- y$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 6 & (I) \\ 2 x & + y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 6 & (I) \\ 2 x & + y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$3$
$y + 2 x$	=	$3$	\| $- 2 x$
$y$	=	$3 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 6 & (I) \\ + y & = & (3 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $3 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 4 \cdot (3 - 2 x)$	=	$- 6$
$2 x + 12 - 8 x$	=	$- 6$
$- 6 x + 12$	=	$- 6$	\| $- 12$
$- 6 x$	=	$- 18$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $3 - 2 \cdot 3$

= $3 - 6$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & - 2 & (I) \\ - x & + 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & - 2 & (I) \\ - x & + 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 2 y$	=	0	\| $- 2 y$
$- x$	=	$- 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & - 2 & (I) \\ x & = & 2 y & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $2 y$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot 2 y - 3 y$	=	$- 2$
$4 y - 3 y$	=	$- 2$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $2 \cdot (- 2)$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{3} x & + \frac{1}{5} y & = & \frac{16}{5} & (I) \\ - \frac{3}{4} x & + \frac{3}{4} y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{3} x & + \frac{1}{5} y & = & \frac{16}{5} & (I) \\ - \frac{3}{4} x & + \frac{3}{4} y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{1}{3} x + \frac{1}{5} y$	=	$\frac{16}{5}$
$\frac{1}{5} y - \frac{1}{3} x$	=	$\frac{16}{5}$	\|⋅ 15
$15 (\frac{1}{5} y - \frac{1}{3} x)$	=	$48$
$3 y - 5 x$	=	$48$	\| $+ 5 x$
$3 y$	=	$48 + 5 x$	\|: $3$
$y$	=	$16 + \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (16 + \frac{5}{3} x) & (I) \\ - \frac{3}{4} x & + \frac{3}{4} y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $16 + \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot (16 + \frac{5}{3} x)$	=	$9$
$- \frac{3}{4} x + 12 + \frac{5}{4} x$	=	$9$
$\frac{1}{2} x + 12$	=	$9$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x + 12)$	=	$18$
$x + 24$	=	$18$	\| $- 24$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $16 + \frac{5}{3} \cdot (- 6)$

= $16 - 10$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -4y = ?

6x -9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

3x -4y = 15 +16 = 31

6x -9y = 30 +36 = 66

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -4y = 31

6x -9y = 66

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - 5 y & = & 30 & (I) \\ x & - 2 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 5 y & = & 30 & (I) \\ x & - 2 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$11$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$11 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 5 y & = & 30 & (I) \\ x & = & (11 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $11 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (11 + 2 y) - 5 y$	=	$30$
$33 + 6 y - 5 y$	=	$30$
$y + 33$	=	$30$	\| $- 33$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $11 + 2 \cdot (- 3)$

= $11 - 6$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1110 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1440 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 1110 & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & 1440 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 3 y$	=	$1110$
$- 3 y + 4 x$	=	$1110$	\| $- 4 x$
$- 3 y$	=	$1110 - 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 370 + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 370 + \frac{4}{3} x) & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & 1440 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 370 + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 2 \cdot (- 370 + \frac{4}{3} x)$	=	$1440$
$5 x + 740 - \frac{8}{3} x$	=	$1440$
$\frac{7}{3} x + 740$	=	$1440$	\|⋅ 3
$3 (\frac{7}{3} x + 740)$	=	$4 320$
$7 x + 2 220$	=	$4 320$	\| $- 2 220$
$7 x$	=	$2 100$	\|: $7$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 370 + \frac{4}{3} \cdot 300$

= $- 370 + 400$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|0) und B(-4|9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|9): 9 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
9 = 16 -4b +c |-16

-1 = -1b +c
-7 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 7$
$c - 4 b$	=	$- 7$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 7 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (- 7 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 7 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 7 + 4 b)$	=	$- 1$
$- b - 7 + 4 b$	=	$- 1$
$3 b - 7$	=	$- 1$	\| $+ 7$
$3 b$	=	$6$	\|: $3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 7 + 4 \cdot 2$

= $- 7 + 8$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|13) und B(1|-3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|13): 13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 -1b +c |-1
-3 = 1 +1b +c |-1

12 = -1b +c
-4 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ b & + c & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 4$
$c + b$	=	$- 4$	\| $- b$
$c$	=	$- 4 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ + c & = & (- 4 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 4 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 4 - b)$	=	$12$
$- b - 4 - b$	=	$12$
$- 2 b - 4$	=	$12$	\| $+ 4$
$- 2 b$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 4 - (- 8)$

= $- 4 + 8$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|4)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 + 4$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 + 4$

= ${(x - 4)}^{2} - 12$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-12).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 + 4$ = $16 - 32 + 4$ = -12

also: S(4|-12).

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1. Weg

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