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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 4 y$ = $- 24$ .

Bestimme x so, dass (x|-1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 x + 4 \cdot (- 1)$ = $- 24$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 4 x + 4 \cdot (- 1)$	=	$- 24$
$- 4 x - 4$	=	$- 24$	\| $+ 4$
$- 4 x$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (5|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 2 y$ = $12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-6)
denn 1⋅0 -2⋅( - 6 ) = 0 +12 = $12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-7)
denn 1⋅( - 2 ) -2⋅( - 7 ) = -2 +14 = $12$

Oder : (2|-5)
denn 1⋅2 -2⋅( - 5 ) = 2 +10 = $12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & - 2 & (I) \\ + 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & - 2 & (I) \\ + 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$4$	\|: $2$
$y$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & - 2 & (I) \\ + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot 2$	=	$- 2$
$2 x + 6$	=	$- 2$	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & - 4 & (I) \\ 2 x & + y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & - 4 & (I) \\ 2 x & + y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$1$
$y + 2 x$	=	$1$	\| $- 2 x$
$y$	=	$1 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & - 4 & (I) \\ + y & = & (1 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (1 - 2 x)$	=	$- 4$
$2 x + 2 - 4 x$	=	$- 4$
$- 2 x + 2$	=	$- 4$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $1 - 2 \cdot 3$

= $1 - 6$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 1 & (I) \\ 3 x & + 5 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 1 & (I) \\ 3 x & + 5 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$1$	\| $- 4 y$
$x$	=	$1 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (1 - 4 y) & (I) \\ 3 x & + 5 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $1 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (1 - 4 y) + 5 y$	=	$- 4$
$3 - 12 y + 5 y$	=	$- 4$
$- 7 y + 3$	=	$- 4$	\| $- 3$
$- 7 y$	=	$- 7$	\|:( $- 7$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $1 - 4 \cdot 1$

= $1 - 4$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{2}{3} x & - y & = & \frac{16}{3} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{29}{10} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{2}{3} x & - y & = & \frac{16}{3} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{29}{10} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$\frac{2}{3} x - y$	=	$\frac{16}{3}$
$- y + \frac{2}{3} x$	=	$\frac{16}{3}$	\|⋅ 3
$3 (- y + \frac{2}{3} x)$	=	$16$
$- 3 y + 2 x$	=	$16$	\| $- 2 x$
$- 3 y$	=	$16 - 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- \frac{16}{3} + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{16}{3} + \frac{2}{3} x) & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{29}{10} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{16}{3} + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{2} x - \frac{2}{5} \cdot (- \frac{16}{3} + \frac{2}{3} x)$	=	$\frac{29}{10}$
$- \frac{1}{2} x + \frac{32}{15} - \frac{4}{15} x$	=	$\frac{29}{10}$
$- \frac{23}{30} x + \frac{32}{15}$	=	$\frac{29}{10}$	\|⋅ 30
$30 (- \frac{23}{30} x + \frac{32}{15})$	=	$87$
$- 23 x + 64$	=	$87$	\| $- 64$
$- 23 x$	=	$23$	\|:( $- 23$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{16}{3} + \frac{2}{3} \cdot (- 1)$

= $- \frac{16}{3} - \frac{2}{3}$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -5y = ?

-5x -8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-4x -5y = 12 -20 = -8

-5x -8y = 15 -32 = -17

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -5y = -8

-5x -8y = -17

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & - 17 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & - 17 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 3 y$	=	$- 17$
$3 y - 4 x$	=	$- 17$	\| $+ 4 x$
$3 y$	=	$- 17 + 4 x$	\|: $3$
$y$	=	$- \frac{17}{3} + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{17}{3} + \frac{4}{3} x) & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{17}{3} + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot (- \frac{17}{3} + \frac{4}{3} x)$	=	$- 17$
$- 3 x + \frac{34}{3} - \frac{8}{3} x$	=	$- 17$
$- \frac{17}{3} x + \frac{34}{3}$	=	$- 17$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{17}{3} x + \frac{34}{3})$	=	$- 51$
$- 17 x + 34$	=	$- 51$	\| $- 34$
$- 17 x$	=	$- 85$	\|:( $- 17$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{17}{3} + \frac{4}{3} \cdot 5$

= $- \frac{17}{3} + \frac{20}{3}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 3 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 69 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 114 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 69 & (I) \\ 3 x & + 7 y & = & 114 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 4 y$	=	$69$
$4 y + 3 x$	=	$69$	\| $- 3 x$
$4 y$	=	$69 - 3 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{69}{4} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{69}{4} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ 3 x & + 7 y & = & 114 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{69}{4} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 7 \cdot (\frac{69}{4} - \frac{3}{4} x)$	=	$114$
$3 x + \frac{483}{4} - \frac{21}{4} x$	=	$114$
$- \frac{9}{4} x + \frac{483}{4}$	=	$114$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{9}{4} x + \frac{483}{4})$	=	$456$
$- 9 x + 483$	=	$456$	\| $- 483$
$- 9 x$	=	$- 27$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{69}{4} - \frac{3}{4} \cdot 3$

= $\frac{69}{4} - \frac{9}{4}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (3|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-2) und B(-4|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-5): -5 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 -1b +c |-1
-5 = 16 -4b +c |-16

-3 = -1b +c
-21 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 21$
$c - 4 b$	=	$- 21$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 21 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 21 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 21 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 21 + 4 b)$	=	$- 3$
$- b - 21 + 4 b$	=	$- 3$
$3 b - 21$	=	$- 3$	\| $+ 21$
$3 b$	=	$18$	\|: $3$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 21 + 4 \cdot 6$

= $- 21 + 24$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-7) und B(-2|-8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-7): -7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-8): -8 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 -1b +c |-1
-8 = 4 -2b +c |-4

-8 = -1b +c
-12 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 12$
$c - 2 b$	=	$- 12$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 12 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ + c & = & (- 12 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 12 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 12 + 2 b)$	=	$- 8$
$- b - 12 + 2 b$	=	$- 8$
$b - 12$	=	$- 8$	\| $+ 12$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 12 + 2 \cdot 4$

= $- 12 + 8$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-4)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 - 4$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 - 4$

= ${(x + 2)}^{2} - 8$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-8).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - 4$ = $4 - 8 - 4$ = -8

also: S(-2|-8).

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1. Weg

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