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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -4x +4y = -44 .

Bestimme y so, dass (6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

-46 +4y = -44

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

-46 +4y = -44
-24 +4y = -44
4y -24 = -44 | +24
4y = -20 |:4
y = -5

Die Lösung ist somit: (6|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -2x +4y = 42 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|7)
denn -2⋅( - 7 ) +47 = 14 +28 = 42

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|9)
denn -2⋅( - 3 ) +49 = 6 +36 = 42

Oder : (-11|5)
denn -2⋅( - 11 ) +45 = 22 +20 = 42

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-x -2y = -9 (I) -4y = -8 (II)

Lösung einblenden
-x -2y = -9 (I) -4y = -8 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

-4y = -8 |:(-4 )
y = 2

Als neues LGS erhält man so:

-x -2y = -9 (I) +y = 2 (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch 2 ersetzen und dann nach x auflösen:

-x -2 · 2 = -9
-x -4 = -9 | +4
-x = -5 |:(-1 )
x = 5

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

x -2y = -12 (I) 4x +3y = 7 (II)

Lösung einblenden
x -2y = -12 (I) 4x +3y = 7 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x -2y = -12 | +2y
x = -12 +2y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( -12 +2y ) (I) 4x +3y = 7 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( -12 +2y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

4 · ( -12 +2y ) +3y = 7
-48 +8y +3y = 7
11y -48 = 7 | +48
11y = 55 |:11
y = 5

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = -12 +25

= -12 +10

= -2

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

3x +3y = -3 (I) x +2y = -5 (II)

Lösung einblenden
3x +3y = -3 (I) x +2y = -5 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +2y = -5 | -2y
x = -5 -2y

Als neues LGS erhält man so:

3x +3y = -3 (I) x = ( -5 -2y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( -5 -2y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

3 · ( -5 -2y ) +3y = -3
-15 -6y +3y = -3
-3y -15 = -3 | +15
-3y = 12 |:(-3 )
y = -4

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = -5 -2( -4 )

= -5 +8

= 3

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

3x -y = 3 (I) - 2 3 x + 2 3 y = - 10 3 (II)

Lösung einblenden
3x -y = 3 (I) - 2 3 x + 2 3 y = - 10 3 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

3x - y = 3
-y +3x = 3 | -3x
-y = 3 -3x |:(-1 )
y = -3 +3x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( -3 +3x ) (I) - 2 3 x + 2 3 y = - 10 3 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( -3 +3x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

- 2 3 x + 2 3 · ( -3 +3x ) = - 10 3
- 2 3 x -2 +2x = - 10 3
4 3 x -2 = - 10 3 |⋅ 3
3( 4 3 x -2 ) = -10
4x -6 = -10 | +6
4x = -4 |:4
x = -1

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = -3 +3( -1 )

= -3 -3

= -6

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -4y = ?

-9x -6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-5x -4y = -20 +12 = -8

-9x -6y = -36 +18 = -18

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -4y = -8

-9x -6y = -18

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

-12x +12y = 8 (I) 3x -3y = -2 (II)

Lösung einblenden
-12x +12y = 8 (I) 3x -3y = -2 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

-12x +12y = 8
12y -12x = 8 | +12x
12y = 8 +12x |:12
y = 2 3 + x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 2 3 + x ) (I) 3x -3y = -2 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 2 3 + x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

3x -3 · ( 2 3 + x ) = -2
3x -2 -3x = -2
-2 = -2 | +2
0 = 0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 13. Wenn man aber vom 4-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 4. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

x +3y = 13 (I) 4x -4y = 4 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +3y = 13 | -3y
x = 13 -3y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 13 -3y ) (I) 4x -4y = 4 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 13 -3y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

4 · ( 13 -3y ) -4y = 4
52 -12y -4y = 4
-16y +52 = 4 | -52
-16y = -48 |:(-16 )
y = 3

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 13 -33

= 13 -9

= 4

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 3