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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 4 y$ = $- 16$ .

Bestimme y so, dass (2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$2 \cdot 2 + 4 y$ = $- 16$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2 \cdot 2 + 4 y$	=	$- 16$
$4 + 4 y$	=	$- 16$
$4 y + 4$	=	$- 16$	\| $- 4$
$4 y$	=	$- 20$	\|: $4$
$y$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (2|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 4 y$ = $- 12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-3)
denn 4⋅0 +4⋅( - 3 ) = 0 -12 = $- 12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-7)
denn 4⋅4 +4⋅( - 7 ) = 16 -28 = $- 12$

Oder : (-4|1)
denn 4⋅( - 4 ) +4⋅1 = -16 +4 = $- 12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 y & = & - 4 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 y & = & - 4 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 2 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 3 \cdot 2$	=	$22$
$4 x + 6$	=	$22$	\| $- 6$
$4 x$	=	$16$	\|: $4$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 20 & (I) \\ - 3 x & + y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 20 & (I) \\ - 3 x & + y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$8$
$y - 3 x$	=	$8$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$8 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 20 & (I) \\ + y & = & (8 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $8 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 1 \cdot (8 + 3 x)$	=	$- 20$
$4 x + 8 + 3 x$	=	$- 20$
$7 x + 8$	=	$- 20$	\| $- 8$
$7 x$	=	$- 28$	\|: $7$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $8 + 3 \cdot (- 4)$

= $8 - 12$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + y & = & 6 & (I) \\ x & + 2 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + y & = & 6 & (I) \\ x & + 2 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$11$	\| $- 2 y$
$x$	=	$11 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + y & = & 6 & (I) \\ x & = & (11 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $11 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (11 - 2 y) + y$	=	$6$
$11 - 2 y + y$	=	$6$
$- y + 11$	=	$6$	\| $- 11$
$- y$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $11 - 2 \cdot 5$

= $11 - 10$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2 (- x + 10) - 4 y$	=	$2 (x - 4 y)$			(I)
$x + 2$	=	$3 x + 5 (4 + y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2 (- x + 10) - 4 y$	=	$2 (x - 4 y)$			(I)
$x + 2$	=	$3 x + 5 (4 + y)$			(II)

$- 2 x + 20 - 4 y$	=	$2 x - 8 y$	\| $- 20 - 2 x + 8 y$		(I)
$x + 2$	=	$3 x + 20 + 5 y$	\| $- 2 - 3 x - 5 y$		(II)

\begin{matrix} - 4 x & + 4 y & = & - 20 & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 4 y$	=	$- 20$
$4 y - 4 x$	=	$- 20$	\| $+ 4 x$
$4 y$	=	$- 20 + 4 x$	\|: $4$
$y$	=	$- 5 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 5 + x) & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 5 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 5 \cdot (- 5 + x)$	=	$18$
$- 2 x + 25 - 5 x$	=	$18$
$- 7 x + 25$	=	$18$	\| $- 25$
$- 7 x$	=	$- 7$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5 + 1$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +5y = ?

7x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

5x +5y = -15 +25 = 10

7x +4y = -21 +20 = -1

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +5y = 10

7x +4y = -1

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & - 2 y & = & - 3 & (I) \\ - x & + 5 y & = & - 33 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 2 y & = & - 3 & (I) \\ - x & + 5 y & = & - 33 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 5 y$	=	$- 33$	\| $- 5 y$
$- x$	=	$- 33 - 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$33 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & - 2 y & = & - 3 & (I) \\ x & = & (33 + 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $33 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 5 \cdot (33 + 5 y) - 2 y$	=	$- 3$
$- 165 - 25 y - 2 y$	=	$- 3$
$- 27 y - 165$	=	$- 3$	\| $+ 165$
$- 27 y$	=	$162$	\|:( $- 27$ )
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $33 + 5 \cdot (- 6)$

= $33 - 30$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 12. Wenn man aber vom 2-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -20. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 12 & (I) \\ 2 x & - 7 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$12$	\| $- 2 y$
$x$	=	$12 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (12 - 2 y) & (I) \\ 2 x & - 7 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $12 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (12 - 2 y) - 7 y$	=	$- 20$
$24 - 4 y - 7 y$	=	$- 20$
$- 11 y + 24$	=	$- 20$	\| $- 24$
$- 11 y$	=	$- 44$	\|:( $- 11$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $12 - 2 \cdot 4$

= $12 - 8$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 4

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-6) und B(-1|2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
2 = 1 -1b +c |-1

-7 = 1b +c
1 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ - b & + c & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$1$
$c - b$	=	$1$	\| $+ b$
$c$	=	$1 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (1 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $1 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (1 + b)$	=	$- 7$
$b + 1 + b$	=	$- 7$
$2 b + 1$	=	$- 7$	\| $- 1$
$2 b$	=	$- 8$	\|: $2$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $1 - 4$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(-4|29) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|29): 29 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
29 = 16 -4b +c |-16

7 = -1b +c
13 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$13$
$c - 4 b$	=	$13$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$13 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (13 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (13 + 4 b)$	=	$7$
$- b + 13 + 4 b$	=	$7$
$3 b + 13$	=	$7$	\| $- 13$
$3 b$	=	$- 6$	\|: $3$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13 + 4 \cdot (- 2)$

= $13 - 8$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 5$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 5$

= ${(x - 1)}^{2} + 4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 5$ = $1 - 2 + 5$ = 4

also: S(1|4).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg