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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 2 y$ = $- 12$ .

Bestimme x so, dass (x|2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x - 2 \cdot 2$ = $- 12$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot 2$	=	$- 12$
$2 x - 4$	=	$- 12$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (-4|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - y$ = $- 3$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|-1)
denn -4⋅1 -1⋅( - 1 ) = -4 +1 = $- 3$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|3)
denn -4⋅0 -1⋅3 = 0 -3 = $- 3$

Oder : (2|-5)
denn -4⋅2 -1⋅( - 5 ) = -8 +5 = $- 3$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & = & - 12 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & = & - 12 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 3 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot 3 + 2 y$	=	$- 19$
$- 9 + 2 y$	=	$- 19$
$2 y - 9$	=	$- 19$	\| $+ 9$
$2 y$	=	$- 10$	\|: $2$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & 19 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & 19 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$- 7$
$y - 2 x$	=	$- 7$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$- 7 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & 19 & (I) \\ + y & = & (- 7 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 7 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x - 4 \cdot (- 7 + 2 x)$	=	$19$
$- x + 28 - 8 x$	=	$19$
$- 9 x + 28$	=	$19$	\| $- 28$
$- 9 x$	=	$- 9$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 7 + 2 \cdot 1$

= $- 7 + 2$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - y & = & - 1 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - y & = & - 1 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x - y$	=	$- 1$
$- y + x$	=	$- 1$	\| $- x$
$- y$	=	$- 1 - x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$1 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 + x) & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 3 \cdot (1 + x)$	=	$3$
$- 3 x - 3 - 3 x$	=	$3$
$- 6 x - 3$	=	$3$	\| $+ 3$
$- 6 x$	=	$6$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1 - 1$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- x - 2 (11 + 2 y)$	=	$4 x + 1$			(I)
$5 x + 9$	=	$3 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- x - 2 (11 + 2 y)$	=	$4 x + 1$			(I)
$5 x + 9$	=	$3 y$			(II)

$- x - 22 - 4 y$	=	$4 x + 1$	\| + $22 - 4 x$		(I)
$5 x + 9$	=	$3 y$	\| $- 9 - 3 y$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 23 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 4 y$	=	$23$
$- 4 y - 5 x$	=	$23$	\| $+ 5 x$
$- 4 y$	=	$23 + 5 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{23}{4} - \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{23}{4} - \frac{5}{4} x) & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{23}{4} - \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 3 \cdot (- \frac{23}{4} - \frac{5}{4} x)$	=	$- 9$
$5 x + \frac{69}{4} + \frac{15}{4} x$	=	$- 9$
$\frac{35}{4} x + \frac{69}{4}$	=	$- 9$	\|⋅ 4
$4 (\frac{35}{4} x + \frac{69}{4})$	=	$- 36$
$35 x + 69$	=	$- 36$	\| $- 69$
$35 x$	=	$- 105$	\|: $35$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{23}{4} - \frac{5}{4} \cdot (- 3)$

= $- \frac{23}{4} + \frac{15}{4}$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -4y = ?

6x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

4x -4y = -16 -12 = -28

6x -7y = -24 -21 = -45

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -4y = -28

6x -7y = -45

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 16 x & - 12 y & = & - 14 & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 16 x & - 12 y & = & - 14 & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$16 x - 12 y$	=	$- 14$
$- 12 y + 16 x$	=	$- 14$	\| $- 16 x$
$- 12 y$	=	$- 14 - 16 x$	\|:( $- 12$ )
$y$	=	$\frac{7}{6} + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{7}{6} + \frac{4}{3} x) & (I) \\ - 4 x & + 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{7}{6} + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 3 \cdot (\frac{7}{6} + \frac{4}{3} x)$	=	$3$
$- 4 x + \frac{7}{2} + 4 x$	=	$3$
$\frac{7}{2}$	=	$3$	\| $- \frac{7}{2}$
0	=	$- \frac{1}{2}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 142 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 204 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 4 y & = & 142 & (I) \\ 9 x & + 6 y & = & 204 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 4 y$	=	$142$
$4 y + 7 x$	=	$142$	\| $- 7 x$
$4 y$	=	$142 - 7 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{71}{2} - \frac{7}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{71}{2} - \frac{7}{4} x) & (I) \\ 9 x & + 6 y & = & 204 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{71}{2} - \frac{7}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9 x + 6 \cdot (\frac{71}{2} - \frac{7}{4} x)$	=	$204$
$9 x + 213 - \frac{21}{2} x$	=	$204$
$- \frac{3}{2} x + 213$	=	$204$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{3}{2} x + 213)$	=	$408$
$- 3 x + 426$	=	$408$	\| $- 426$
$- 3 x$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{71}{2} - \frac{7}{4} \cdot 6$

= $\frac{71}{2} - \frac{21}{2}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (6|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(2|-1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-1): -1 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
-1 = 4 +2b +c |-4

7 = -1b +c
-5 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 5$
$c + 2 b$	=	$- 5$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 5 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (- 5 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 5 - 2 b)$	=	$7$
$- b - 5 - 2 b$	=	$7$
$- 3 b - 5$	=	$7$	\| $+ 5$
$- 3 b$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 5 + 8$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|13) und B(-4|52) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|13): 13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|52): 52 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 -1b +c |-1
52 = 16 -4b +c |-16

12 = -1b +c
36 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 36 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$36$
$c - 4 b$	=	$36$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$36 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ + c & = & (36 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $36 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (36 + 4 b)$	=	$12$
$- b + 36 + 4 b$	=	$12$
$3 b + 36$	=	$12$	\| $- 36$
$3 b$	=	$- 24$	\|: $3$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $36 + 4 \cdot (- 8)$

= $36 - 32$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|4)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 + 4$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 + 4$

= ${(x - 4)}^{2} - 12$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-12).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 + 4$ = $16 - 32 + 4$ = -12

also: S(4|-12).

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1. Weg

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