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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - y$ = $23$ .

Bestimme y so, dass (-5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 \cdot (- 5) - y$ = $23$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 5) - y$	=	$23$
$20 - y$	=	$23$
$- y + 20$	=	$23$	\| $- 20$
$- y$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 3$

Die Lösung ist somit: (-5|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 5 y$ = $35$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|3)
denn 5⋅4 +5⋅3 = 20 +15 = $35$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (9|-2)
denn 5⋅9 +5⋅( - 2 ) = 45 -10 = $35$

Oder : (-1|8)
denn 5⋅( - 1 ) +5⋅8 = -5 +40 = $35$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & = & - 3 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $- 3$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 3) + y$	=	$- 13$
$- 12 + y$	=	$- 13$
$y - 12$	=	$- 13$	\| $+ 12$
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 2 & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 2 & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$- 2$
$y - 3 x$	=	$- 2$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$- 2 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 + 3 x) & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 4 \cdot (- 2 + 3 x)$	=	$- 23$
$3 x - 8 + 12 x$	=	$- 23$
$15 x - 8$	=	$- 23$	\| $+ 8$
$15 x$	=	$- 15$	\|: $15$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 + 3 \cdot (- 1)$

= $- 2 - 3$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 28 & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 28 & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 4 y$	=	$28$
$4 y + 4 x$	=	$28$	\| $- 4 x$
$4 y$	=	$28 - 4 x$	\|: $4$
$y$	=	$7 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (7 - x) & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $7 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 5 \cdot (7 - x)$	=	$19$
$- 3 x + 35 - 5 x$	=	$19$
$- 8 x + 35$	=	$19$	\| $- 35$
$- 8 x$	=	$- 16$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $7 - 2$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{5} x & - \frac{1}{5} y & = & - \frac{2}{5} & (I) \\ - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{17}{20} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{5} x & - \frac{1}{5} y & = & - \frac{2}{5} & (I) \\ - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{17}{20} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{5} x - \frac{1}{5} y$	=	$- \frac{2}{5}$
$- \frac{1}{5} y + \frac{1}{5} x$	=	$- \frac{2}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{1}{5} y + \frac{1}{5} x)$	=	$- 2$
$- y + x$	=	$- 2$	\| $- x$
$- y$	=	$- 2 - x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$2 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (2 + x) & (I) \\ - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{17}{20} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{5} x - \frac{1}{4} \cdot (2 + x)$	=	$\frac{17}{20}$
$- \frac{1}{5} x - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} x$	=	$\frac{17}{20}$
$- \frac{9}{20} x - \frac{1}{2}$	=	$\frac{17}{20}$	\|⋅ 20
$20 (- \frac{9}{20} x - \frac{1}{2})$	=	$17$
$- 9 x - 10$	=	$17$	\| $+ 10$
$- 9 x$	=	$27$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2 - 3$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +3y = ?

1x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

5x +3y = -25 +12 = -13

1x -1y = -5 -4 = -9

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +3y = -13

1x -1y = -9

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & + 9 y & = & - 9 & (I) \\ x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 9 y & = & - 9 & (I) \\ x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$3$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$3 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 9 y & = & - 9 & (I) \\ x & = & (3 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $3 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (3 + 3 y) + 9 y$	=	$- 9$
$- 9 - 9 y + 9 y$	=	$- 9$
$- 9$	=	$- 9$	\| $+ 9$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Herr Maier zahlt für 2kg Äpfel und 3kg Birnen zusammen 11,2 Euro.Frau Müller zahlt für 2kg Äpfel und 2kg Birnen zusammen 9 Euro.Wie viel kostet ein Kilo Äpfel, wie viel ein Kilo Birnen ?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kg-Preis der Äpfel und y als kg-Preis der Birnen und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 11,2 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 3 y$	=	$11,2$
$3 y + 2 x$	=	$11,2$	\| $- 2 x$
$3 y$	=	$11,2 - 2 x$	\|: $3$
$y$	=	$3,7333 - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3,7333 - \frac{2}{3} x) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3,7333 - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (3,7333 - \frac{2}{3} x)$	=	$9$
$2 x + 7,4667 - \frac{4}{3} x$	=	$9$
$\frac{2}{3} x + 7,4667$	=	$9$	\|⋅ 3
$3 (\frac{2}{3} x + 7,4667)$	=	$27$
$2 x + 22,4$	=	$27$	\| $- 22,4$
$2 x$	=	$4,6$	\|: $2$
$x$	=	$2,3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3,7333 - \frac{2}{3} \cdot 2,3$

= $3,7333 - \frac{4,6}{3}$

= $\frac{3,7333333333333E+15}{1,0E+15} - \frac{23}{15}$

also

y = 2.2

Die Lösung des LGS ist damit: (2.3|2.2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kg-Preis der Äpfel (x-Wert): 2.3

kg-Preis der Birnen (y-Wert): 2.2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|9) und B(3|37) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|9): 9 = 1² + b⋅1 +c

B(3|37): 37 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 +1b +c |-1
37 = 9 +3b +c |-9

8 = 1b +c
28 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 8 & (I) \\ 3 b & + c & = & 28 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$28$
$c + 3 b$	=	$28$	\| $- 3 b$
$c$	=	$28 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (28 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $28 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (28 - 3 b)$	=	$8$
$b + 28 - 3 b$	=	$8$
$- 2 b + 28$	=	$8$	\| $- 28$
$- 2 b$	=	$- 20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $28 - 3 \cdot 10$

= $28 - 30$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-2)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|4) und B(-2|15) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|15): 15 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
15 = 4 -2b +c |-4

3 = -1b +c
11 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$11$
$c - 2 b$	=	$11$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$11 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (11 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (11 + 2 b)$	=	$3$
$- b + 11 + 2 b$	=	$3$
$b + 11$	=	$3$	\| $- 11$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 + 2 \cdot (- 8)$

= $11 - 16$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-5)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 5$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 5$

= ${(x - 4)}^{2} - 21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 5$ = $16 - 32 - 5$ = -21

also: S(4|-21).

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LGS Anwendungen

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg