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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 5 y$ = $3$ .

Bestimme y so, dass (2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$4 \cdot 2 - 5 y$ = $3$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4 \cdot 2 - 5 y$	=	$3$
$8 - 5 y$	=	$3$
$- 5 y + 8$	=	$3$	\| $- 8$
$- 5 y$	=	$- 5$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (2|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 5 y$ = $24$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|-3)
denn 3⋅3 -5⋅( - 3 ) = 9 +15 = $24$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-6)
denn 3⋅( - 2 ) -5⋅( - 6 ) = -6 +30 = $24$

Oder : (8|0)
denn 3⋅8 -5⋅0 = 24 +0 = $24$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 17 & (I) \\ 2 x & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 17 & (I) \\ 2 x & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 17 & (I) \\ x & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 5) + 2 y$	=	$17$
$15 + 2 y$	=	$17$
$2 y + 15$	=	$17$	\| $- 15$
$2 y$	=	$2$	\|: $2$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 19 & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 19 & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$19$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$19 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (19 + 4 y) & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $19 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (19 + 4 y) + 2 y$	=	$4$
$76 + 16 y + 2 y$	=	$4$
$18 y + 76$	=	$4$	\| $- 76$
$18 y$	=	$- 72$	\|: $18$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $19 + 4 \cdot (- 4)$

= $19 - 16$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 0 & (I) \\ - 5 x & - 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 0 & (I) \\ - 5 x & - 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 3 y$	=	0
$3 y + 3 x$	=	0	\| $- 3 x$
$3 y$	=	$- 3 x$	\|: $3$
$y$	=	$- x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - x & (I) \\ - 5 x & - 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 3 \cdot (- x)$	=	$6$
$- 5 x + 3 x$	=	$6$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- (- 3)$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 2 x + 29 - 5 y$	=	$- 4 x$			(I)
$2 x - 1$	=	$- y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 2 x + 29 - 5 y$	=	$- 4 x$	\| $- 29 + 4 x$		(I)
$2 x - 1$	=	$- y$	\| + $1 + y$		(II)

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & - 29 & (I) \\ 2 x & + y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$1$
$y + 2 x$	=	$1$	\| $- 2 x$
$y$	=	$1 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & - 29 & (I) \\ + y & = & (1 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot (1 - 2 x)$	=	$- 29$
$2 x - 5 + 10 x$	=	$- 29$
$12 x - 5$	=	$- 29$	\| $+ 5$
$12 x$	=	$- 24$	\|: $12$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $1 - 2 \cdot (- 2)$

= $1 + 4$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -2y = ?

4x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

3x -2y = 6 -4 = 2

4x -2y = 8 -4 = 4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -2y = 2

4x -2y = 4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 16 x & + 8 y & = & - 12 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 16 x & + 8 y & = & - 12 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$16 x + 8 y$	=	$- 12$
$8 y + 16 x$	=	$- 12$	\| $- 16 x$
$8 y$	=	$- 12 - 16 x$	\|: $8$
$y$	=	$- \frac{3}{2} - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{3}{2} - 2 x) & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{3}{2} - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 2 \cdot (- \frac{3}{2} - 2 x)$	=	$3$
$- 4 x + 3 + 4 x$	=	$3$
$3$	=	$3$	\| $- 3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 8. Wenn man aber vom 6-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 12. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 8 & (I) \\ 6 x & - 6 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$8$	\| $- 5 y$
$x$	=	$8 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (8 - 5 y) & (I) \\ 6 x & - 6 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $8 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (8 - 5 y) - 6 y$	=	$12$
$48 - 30 y - 6 y$	=	$12$
$- 36 y + 48$	=	$12$	\| $- 48$
$- 36 y$	=	$- 36$	\|:( $- 36$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $8 - 5 \cdot 1$

= $8 - 5$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 1

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|0) und B(-3|0) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|0): 0 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
0 = 9 -3b +c |-9

-1 = -1b +c
-9 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 9$
$c - 3 b$	=	$- 9$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 9 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (- 9 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 9 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 9 + 3 b)$	=	$- 1$
$- b - 9 + 3 b$	=	$- 1$
$2 b - 9$	=	$- 1$	\| $+ 9$
$2 b$	=	$8$	\|: $2$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 9 + 3 \cdot 4$

= $- 9 + 12$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|10) und B(4|37) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

B(4|37): 37 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 +1b +c |-1
37 = 16 +4b +c |-16

9 = 1b +c
21 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ 4 b & + c & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$21$
$c + 4 b$	=	$21$	\| $- 4 b$
$c$	=	$21 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (21 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $21 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (21 - 4 b)$	=	$9$
$b + 21 - 4 b$	=	$9$
$- 3 b + 21$	=	$9$	\| $- 21$
$- 3 b$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $21 - 4 \cdot 4$

= $21 - 16$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 + 5$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 + 5$

= ${(x + 2)}^{2} + 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 5$ = $4 - 8 + 5$ = 1

also: S(-2|1).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg