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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - y$ = $- 3$ .

Bestimme x so, dass (x|1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$x - 1$ = $- 3$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x - 1$	=	$- 3$
$x - 1$	=	$- 3$	\| $+ 1$
$x$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (-2|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 5 y$ = $39$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|-6)
denn -3⋅( - 3 ) -5⋅( - 6 ) = 9 +30 = $39$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|-3)
denn -3⋅( - 8 ) -5⋅( - 3 ) = 24 +15 = $39$

Oder : (2|-9)
denn -3⋅2 -5⋅( - 9 ) = -6 +45 = $39$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & = & - 12 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & = & - 12 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$- 12$	\|: $4$
$x$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 3 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 3) - 2 y$	=	$- 6$
$6 - 2 y$	=	$- 6$
$- 2 y + 6$	=	$- 6$	\| $- 6$
$- 2 y$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 13 & (I) \\ - 4 x & + y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 13 & (I) \\ - 4 x & + y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$19$
$y - 4 x$	=	$19$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$19 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 13 & (I) \\ + y & = & (19 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $19 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 1 \cdot (19 + 4 x)$	=	$- 13$
$3 x - 19 - 4 x$	=	$- 13$
$- x - 19$	=	$- 13$	\| $+ 19$
$- x$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $19 + 4 \cdot (- 6)$

= $19 - 24$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & - y & = & - 4 & (I) \\ - 3 x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - y & = & - 4 & (I) \\ - 3 x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x - y$	=	0
$- y - 3 x$	=	0	\| $+ 3 x$
$- y$	=	$3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & - y & = & - 4 & (I) \\ + y & = & - 3 x & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 3 x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 1 \cdot (- 3 x)$	=	$- 4$
$- 5 x + 3 x$	=	$- 4$
$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 3 \cdot 2$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{2}{5} x & + y & = & \frac{32}{5} & (I) \\ - \frac{3}{2} x & - 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{2}{5} x & + y & = & \frac{32}{5} & (I) \\ - \frac{3}{2} x & - 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{2}{5} x + y$	=	$\frac{32}{5}$
$y - \frac{2}{5} x$	=	$\frac{32}{5}$	\|⋅ 5
$5 (y - \frac{2}{5} x)$	=	$32$
$5 y - 2 x$	=	$32$	\| $+ 2 x$
$5 y$	=	$32 + 2 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{32}{5} + \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{32}{5} + \frac{2}{5} x) & (I) \\ - \frac{3}{2} x & - 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{32}{5} + \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{3}{2} x - 3 \cdot (\frac{32}{5} + \frac{2}{5} x)$	=	$- 3$
$- \frac{3}{2} x - \frac{96}{5} - \frac{6}{5} x$	=	$- 3$
$- \frac{27}{10} x - \frac{96}{5}$	=	$- 3$	\|⋅ 10
$10 (- \frac{27}{10} x - \frac{96}{5})$	=	$- 30$
$- 27 x - 192$	=	$- 30$	\| $+ 192$
$- 27 x$	=	$162$	\|:( $- 27$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{32}{5} + \frac{2}{5} \cdot (- 6)$

= $\frac{32}{5} - \frac{12}{5}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +5y = ?

-8x +8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-4x +5y = 20 -20 = 0

-8x +8y = 40 -32 = 8

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +5y = 0

-8x +8y = 8

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & 1 & (I) \\ - 16 x & - 12 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & 1 & (I) \\ - 16 x & - 12 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 3 y$	=	$1$
$3 y + 4 x$	=	$1$	\| $- 4 x$
$3 y$	=	$1 - 4 x$	\|: $3$
$y$	=	$\frac{1}{3} - \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{3} - \frac{4}{3} x) & (I) \\ - 16 x & - 12 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{3} - \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 16 x - 12 \cdot (\frac{1}{3} - \frac{4}{3} x)$	=	$- 4$
$- 16 x - 4 + 16 x$	=	$- 4$
$- 4$	=	$- 4$	\| $+ 4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 7. Wenn man aber vom 3-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -9. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 7 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$7$	\| $- 2 y$
$x$	=	$7 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (7 - 2 y) & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (7 - 2 y) - 4 y$	=	$- 9$
$21 - 6 y - 4 y$	=	$- 9$
$- 10 y + 21$	=	$- 9$	\| $- 21$
$- 10 y$	=	$- 30$	\|:( $- 10$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7 - 2 \cdot 3$

= $7 - 6$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 3

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|10) und B(2|-11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|10): 10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-11): -11 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 -1b +c |-1
-11 = 4 +2b +c |-4

9 = -1b +c
-15 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 15$
$c + 2 b$	=	$- 15$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 15 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (- 15 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 15 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 15 - 2 b)$	=	$9$
$- b - 15 - 2 b$	=	$9$
$- 3 b - 15$	=	$9$	\| $+ 15$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 15 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 15 + 16$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|1)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|1) und B(-4|28) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|1): 1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|28): 28 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 -1b +c |-1
28 = 16 -4b +c |-16

0 = -1b +c
12 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$12$
$c - 4 b$	=	$12$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$12 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (12 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $12 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (12 + 4 b)$	=	0
$- b + 12 + 4 b$	=	0
$3 b + 12$	=	0	\| $- 12$
$3 b$	=	$- 12$	\|: $3$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $12 + 4 \cdot (- 4)$

= $12 - 16$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 - 4$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 - 4$

= ${(x - 2)}^{2} - 8$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-8).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 - 4$ = $4 - 8 - 4$ = -8

also: S(2|-8).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

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LGS zu Lösungen finden

LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg