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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 2 y$ = $- 42$ .

Bestimme x so, dass (x|7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x - 2 \cdot 7$ = $- 42$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x - 2 \cdot 7$	=	$- 42$
$4 x - 14$	=	$- 42$	\| $+ 14$
$4 x$	=	$- 28$	\|: $4$
$x$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (-7|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + y$ = $- 12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|-3)
denn -3⋅3 +1⋅( - 3 ) = -9 -3 = $- 12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|0)
denn -3⋅4 +1⋅0 = -12 +0 = $- 12$

Oder : (2|-6)
denn -3⋅2 +1⋅( - 6 ) = -6 -6 = $- 12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 6 & (I) \\ - 2 x & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 6 & (I) \\ - 2 x & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 6 & (I) \\ x & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot 6 - 4 y$	=	$6$
$18 - 4 y$	=	$6$
$- 4 y + 18$	=	$6$	\| $- 18$
$- 4 y$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 14 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 32 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 14 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 32 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$- 14$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$- 14 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 14 + 4 y) & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 32 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 14 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 14 + 4 y) - 4 y$	=	$- 32$
$- 56 + 16 y - 4 y$	=	$- 32$
$12 y - 56$	=	$- 32$	\| $+ 56$
$12 y$	=	$24$	\|: $12$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 14 + 4 \cdot 2$

= $- 14 + 8$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 5 y & = & - 19 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 5 y & = & - 19 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 5 y$	=	$- 19$
$5 y - 3 x$	=	$- 19$	\| $+ 3 x$
$5 y$	=	$- 19 + 3 x$	\|: $5$
$y$	=	$- \frac{19}{5} + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{19}{5} + \frac{3}{5} x) & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{19}{5} + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot (- \frac{19}{5} + \frac{3}{5} x)$	=	$16$
$- 3 x + \frac{38}{5} - \frac{6}{5} x$	=	$16$
$- \frac{21}{5} x + \frac{38}{5}$	=	$16$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{21}{5} x + \frac{38}{5})$	=	$80$
$- 21 x + 38$	=	$80$	\| $- 38$
$- 21 x$	=	$42$	\|:( $- 21$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{19}{5} + \frac{3}{5} \cdot (- 2)$

= $- \frac{19}{5} - \frac{6}{5}$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{4} x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{7}{4} & (I) \\ - 2 x & + \frac{2}{5} y & = & - \frac{54}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{4} x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{7}{4} & (I) \\ - 2 x & + \frac{2}{5} y & = & - \frac{54}{5} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{4} x - \frac{1}{4} y$	=	$\frac{7}{4}$
$- \frac{1}{4} y + \frac{1}{4} x$	=	$\frac{7}{4}$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{4} x)$	=	$7$
$- y + x$	=	$7$	\| $- x$
$- y$	=	$7 - x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 7 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 7 + x) & (I) \\ - 2 x & + \frac{2}{5} y & = & - \frac{54}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 7 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + \frac{2}{5} \cdot (- 7 + x)$	=	$- \frac{54}{5}$
$- 2 x - \frac{14}{5} + \frac{2}{5} x$	=	$- \frac{54}{5}$
$- \frac{8}{5} x - \frac{14}{5}$	=	$- \frac{54}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{8}{5} x - \frac{14}{5})$	=	$- 54$
$- 8 x - 14$	=	$- 54$	\| $+ 14$
$- 8 x$	=	$- 40$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 7 + 5$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +5y = ?

5x +8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

4x +5y = -16 +15 = -1

5x +8y = -20 +24 = 4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +5y = -1

5x +8y = 4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & - 4 & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & - 4 & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 4 y$	=	$- 4$
$- 4 y - 4 x$	=	$- 4$	\| $+ 4 x$
$- 4 y$	=	$- 4 + 4 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$1 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 - x) & (I) \\ - 2 x & + 5 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 5 \cdot (1 - x)$	=	$- 2$
$- 2 x + 5 - 5 x$	=	$- 2$
$- 7 x + 5$	=	$- 2$	\| $- 5$
$- 7 x$	=	$- 7$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1 - 1$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (1|0)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 20. Wenn man aber vom 6-fachen von x 5 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 4. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 20 & (I) \\ 6 x & - 5 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$20$	\| $- 4 y$
$x$	=	$20 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (20 - 4 y) & (I) \\ 6 x & - 5 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $20 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (20 - 4 y) - 5 y$	=	$4$
$120 - 24 y - 5 y$	=	$4$
$- 29 y + 120$	=	$4$	\| $- 120$
$- 29 y$	=	$- 116$	\|:( $- 29$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $20 - 4 \cdot 4$

= $20 - 16$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 4

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-2) und B(2|19) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|19): 19 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 -1b +c |-1
19 = 4 +2b +c |-4

-3 = -1b +c
15 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ 2 b & + c & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$15$
$c + 2 b$	=	$15$	\| $- 2 b$
$c$	=	$15 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (15 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $15 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (15 - 2 b)$	=	$- 3$
$- b + 15 - 2 b$	=	$- 3$
$- 3 b + 15$	=	$- 3$	\| $- 15$
$- 3 b$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $15 - 2 \cdot 6$

= $15 - 12$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-13) und B(2|20) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-13): -13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|20): 20 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-13 = 1 -1b +c |-1
20 = 4 +2b +c |-4

-14 = -1b +c
16 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 14 & (I) \\ 2 b & + c & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$16$
$c + 2 b$	=	$16$	\| $- 2 b$
$c$	=	$16 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 14 & (I) \\ + c & = & (16 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $16 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (16 - 2 b)$	=	$- 14$
$- b + 16 - 2 b$	=	$- 14$
$- 3 b + 16$	=	$- 14$	\| $- 16$
$- 3 b$	=	$- 30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $16 - 2 \cdot 10$

= $16 - 20$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-4)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 29$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-29).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 4$ = $25 - 50 - 4$ = -29

also: S(-5|-29).

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1. Weg

2. Weg