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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 4 y$ = $- 27$ .

Bestimme x so, dass (x|-6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 x + 4 \cdot (- 6)$ = $- 27$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 3 x + 4 \cdot (- 6)$	=	$- 27$
$- 3 x - 24$	=	$- 27$	\| $+ 24$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (1|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 4 y$ = $- 36$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|-3)
denn -4⋅6 +4⋅( - 3 ) = -24 -12 = $- 36$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (10|1)
denn -4⋅10 +4⋅1 = -40 +4 = $- 36$

Oder : (2|-7)
denn -4⋅2 +4⋅( - 7 ) = -8 -28 = $- 36$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - y & = & - 7 & (I) \\ - 2 x & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - y & = & - 7 & (I) \\ - 2 x & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - y & = & - 7 & (I) \\ x & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot 6 - y$	=	$- 7$
$- 6 - y$	=	$- 7$
$- y - 6$	=	$- 7$	\| $+ 6$
$- y$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ - 4 x & + y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ - 4 x & + y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$1$
$y - 4 x$	=	$1$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$1 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 4 & (I) \\ + y & = & (1 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot (1 + 4 x)$	=	$4$
$2 x - 2 - 8 x$	=	$4$
$- 6 x - 2$	=	$4$	\| $+ 2$
$- 6 x$	=	$6$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $1 + 4 \cdot (- 1)$

= $1 - 4$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 2 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 2 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$5$
$y - 2 x$	=	$5$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$5 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 2 & (I) \\ + y & = & (5 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $5 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 4 \cdot (5 + 2 x)$	=	$2$
$- 2 x + 20 + 8 x$	=	$2$
$6 x + 20$	=	$2$	\| $- 20$
$6 x$	=	$- 18$	\|: $6$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $5 + 2 \cdot (- 3)$

= $5 - 6$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$12$	=	$- x - 4 y$			(I)
$18$	=	$- 5 x + y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$12$	=	$- x - 4 y$	\| $- 12 + x + 4 y$		(I)
$18$	=	$- 5 x + y$	\| $- 18 + 5 x - y$		(II)

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 12 & (I) \\ 5 x & - y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$5 x - y$	=	$- 18$
$- y + 5 x$	=	$- 18$	\| $- 5 x$
$- y$	=	$- 18 - 5 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$18 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 12 & (I) \\ + y & = & (18 + 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $18 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 4 \cdot (18 + 5 x)$	=	$- 12$
$x + 72 + 20 x$	=	$- 12$
$21 x + 72$	=	$- 12$	\| $- 72$
$21 x$	=	$- 84$	\|: $21$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $18 + 5 \cdot (- 4)$

= $18 - 20$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -1y = ?

-7x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-4x -1y = 8 -2 = 6

-7x +1y = 14 +2 = 16

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -1y = 6

-7x +1y = 16

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & - 1 & (I) \\ 12 x & + 8 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & - 1 & (I) \\ 12 x & + 8 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 2 y$	=	$- 1$
$- 2 y - 3 x$	=	$- 1$	\| $+ 3 x$
$- 2 y$	=	$- 1 + 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$\frac{1}{2} - \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{2} - \frac{3}{2} x) & (I) \\ 12 x & + 8 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$12 x + 8 \cdot (\frac{1}{2} - \frac{3}{2} x)$	=	$4$
$12 x + 4 - 12 x$	=	$4$
$4$	=	$4$	\| $- 4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 22. Wenn man aber vom 4-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -27. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 22 & (I) \\ 4 x & - 7 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$22$	\| $- 4 y$
$x$	=	$22 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (22 - 4 y) & (I) \\ 4 x & - 7 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $22 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (22 - 4 y) - 7 y$	=	$- 27$
$88 - 16 y - 7 y$	=	$- 27$
$- 23 y + 88$	=	$- 27$	\| $- 88$
$- 23 y$	=	$- 115$	\|:( $- 23$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $22 - 4 \cdot 5$

= $22 - 20$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-12) und B(-2|21) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-12): -12 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|21): 21 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 +1b +c |-1
21 = 4 -2b +c |-4

-13 = 1b +c
17 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$17$
$c - 2 b$	=	$17$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$17 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ + c & = & (17 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $17 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (17 + 2 b)$	=	$- 13$
$b + 17 + 2 b$	=	$- 13$
$3 b + 17$	=	$- 13$	\| $- 17$
$3 b$	=	$- 30$	\|: $3$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $17 + 2 \cdot (- 10)$

= $17 - 20$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|4) und B(-4|25) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|25): 25 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
25 = 16 -4b +c |-16

3 = -1b +c
9 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$9$
$c - 4 b$	=	$9$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$9 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (9 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $9 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (9 + 4 b)$	=	$3$
$- b + 9 + 4 b$	=	$3$
$3 b + 9$	=	$3$	\| $- 9$
$3 b$	=	$- 6$	\|: $3$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $9 + 4 \cdot (- 2)$

= $9 - 8$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 1$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 1$

= ${(x - 1)}^{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 1$ = $1 - 2 + 1$ = 0

also: S(1|0).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg