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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 4 y$ = $13$ .

Bestimme x so, dass (x|-5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$- x - 4 \cdot (- 5)$ = $13$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- x - 4 \cdot (- 5)$	=	$13$
$- x + 20$	=	$13$	\| $- 20$
$- x$	=	$- 7$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (7|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 3 y$ = $3$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|7)
denn 4⋅6 -3⋅7 = 24 -21 = $3$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|3)
denn 4⋅3 -3⋅3 = 12 -9 = $3$

Oder : (9|11)
denn 4⋅9 -3⋅11 = 36 -33 = $3$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 y & = & - 6 & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 y & = & - 6 & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 3 & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 2 \cdot 3$	=	$- 6$
$4 x + 6$	=	$- 6$	\| $- 6$
$4 x$	=	$- 12$	\|: $4$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 14 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & 28 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 14 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & 28 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$- 14$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$- 14 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 14 + 4 y) & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & 28 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 14 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 14 + 4 y) + 2 y$	=	$28$
$56 - 16 y + 2 y$	=	$28$
$- 14 y + 56$	=	$28$	\| $- 56$
$- 14 y$	=	$- 28$	\|:( $- 14$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 14 + 4 \cdot 2$

= $- 14 + 8$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 5 y & = & - 1 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 5 y & = & - 1 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$- 1$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$- 1 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 5 y & = & - 1 & (I) \\ x & = & (- 1 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 1 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 1 + 2 y) - 5 y$	=	$- 1$
$- 3 + 6 y - 5 y$	=	$- 1$
$y - 3$	=	$- 1$	\| $+ 3$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 1 + 2 \cdot 2$

= $- 1 + 4$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{4} x & - \frac{1}{3} y & = & - \frac{17}{12} & (I) \\ \frac{1}{2} x & - y & = & - \frac{7}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{4} x & - \frac{1}{3} y & = & - \frac{17}{12} & (I) \\ \frac{1}{2} x & - y & = & - \frac{7}{2} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$\frac{1}{2} x - y$	=	$- \frac{7}{2}$
$- y + \frac{1}{2} x$	=	$- \frac{7}{2}$	\|⋅ 2
$2 (- y + \frac{1}{2} x)$	=	$- 7$
$- 2 y + x$	=	$- 7$	\| $- x$
$- 2 y$	=	$- 7 - x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$\frac{7}{2} + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{1}{4} x & - \frac{1}{3} y & = & - \frac{17}{12} & (I) \\ + y & = & (\frac{7}{2} + \frac{1}{2} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $\frac{7}{2} + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{4} x - \frac{1}{3} \cdot (\frac{7}{2} + \frac{1}{2} x)$	=	$- \frac{17}{12}$
$\frac{1}{4} x - \frac{7}{6} - \frac{1}{6} x$	=	$- \frac{17}{12}$
$\frac{1}{12} x - \frac{7}{6}$	=	$- \frac{17}{12}$	\|⋅ 12
$12 (\frac{1}{12} x - \frac{7}{6})$	=	$- 17$
$x - 14$	=	$- 17$	\| $+ 14$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $\frac{7}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 3)$

= $\frac{7}{2} - \frac{3}{2}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x -3y = ?

-5x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-3x -3y = 9 -6 = 3

-5x -7y = 15 -14 = 1

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x -3y = 3

-5x -7y = 1

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & 1 & (I) \\ 8 x & + 6 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 3 y & = & 1 & (I) \\ 8 x & + 6 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 3 y$	=	$1$
$- 3 y - 4 x$	=	$1$	\| $+ 4 x$
$- 3 y$	=	$1 + 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- \frac{1}{3} - \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{3} - \frac{4}{3} x) & (I) \\ 8 x & + 6 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{3} - \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 6 \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{4}{3} x)$	=	$- 5$
$8 x - 2 - 8 x$	=	$- 5$
$- 2$	=	$- 5$	\| $+ 2$
0	=	$- 3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 147 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 8 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 153 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 9 y & = & 147 & (I) \\ 8 x & + 7 y & = & 153 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 9 y$	=	$147$
$9 y + 2 x$	=	$147$	\| $- 2 x$
$9 y$	=	$147 - 2 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{49}{3} - \frac{2}{9} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{49}{3} - \frac{2}{9} x) & (I) \\ 8 x & + 7 y & = & 153 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{49}{3} - \frac{2}{9} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 7 \cdot (\frac{49}{3} - \frac{2}{9} x)$	=	$153$
$8 x + \frac{343}{3} - \frac{14}{9} x$	=	$153$
$\frac{58}{9} x + \frac{343}{3}$	=	$153$	\|⋅ 9
$9 (\frac{58}{9} x + \frac{343}{3})$	=	$1 377$
$58 x + 1 029$	=	$1 377$	\| $- 1 029$
$58 x$	=	$348$	\|: $58$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{49}{3} - \frac{2}{9} \cdot 6$

= $\frac{49}{3} - \frac{4}{3}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (6|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-10) und B(-4|-19) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-10): -10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-19): -19 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 -1b +c |-1
-19 = 16 -4b +c |-16

-11 = -1b +c
-35 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 35 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 35$
$c - 4 b$	=	$- 35$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 35 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (- 35 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 35 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 35 + 4 b)$	=	$- 11$
$- b - 35 + 4 b$	=	$- 11$
$3 b - 35$	=	$- 11$	\| $+ 35$
$3 b$	=	$24$	\|: $3$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 35 + 4 \cdot 8$

= $- 35 + 32$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-3)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-3) und B(-2|-6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-6): -6 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 -1b +c |-1
-6 = 4 -2b +c |-4

-4 = -1b +c
-10 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 10$
$c - 2 b$	=	$- 10$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 10 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (- 10 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 10 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 10 + 2 b)$	=	$- 4$
$- b - 10 + 2 b$	=	$- 4$
$b - 10$	=	$- 4$	\| $+ 10$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 10 + 2 \cdot 6$

= $- 10 + 12$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 2$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 2$

= ${(x + 3)}^{2} - 7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 2$ = $9 - 18 + 2$ = -7

also: S(-3|-7).

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1. Weg

2. Weg