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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 4 y$ = $10$ .

Bestimme x so, dass (x|3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$x + 4 \cdot 3$ = $10$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x + 4 \cdot 3$	=	$10$
$x + 12$	=	$10$	\| $- 12$
$x$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (-2|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 2 y$ = $17$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-1)
denn 3⋅5 -2⋅( - 1 ) = 15 +2 = $17$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|-4)
denn 3⋅3 -2⋅( - 4 ) = 9 +8 = $17$

Oder : (7|2)
denn 3⋅7 -2⋅2 = 21 -4 = $17$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 y & = & - 18 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 y & = & - 18 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 3 y$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 6 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 3 \cdot 6$	=	$26$
$- 2 x + 18$	=	$26$	\| $- 18$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & 24 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & 24 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$- 8$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$- 8 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & 24 & (I) \\ x & = & (- 8 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 8 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 8 + 2 y) + 4 y$	=	$24$
$- 16 + 4 y + 4 y$	=	$24$
$8 y - 16$	=	$24$	\| $+ 16$
$8 y$	=	$40$	\|: $8$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 8 + 2 \cdot 5$

= $- 8 + 10$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 14 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - y & = & 14 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x - y$	=	$14$
$- y - 4 x$	=	$14$	\| $+ 4 x$
$- y$	=	$14 + 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 14 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 14 - 4 x) & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 14 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 3 \cdot (- 14 - 4 x)$	=	$- 26$
$5 x + 42 + 12 x$	=	$- 26$
$17 x + 42$	=	$- 26$	\| $- 42$
$17 x$	=	$- 68$	\|: $17$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 14 - 4 \cdot (- 4)$

= $- 14 + 16$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - \frac{2}{3} y & = & 4 & (I) \\ - \frac{1}{4} x & + \frac{1}{4} y & = & - \frac{3}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - \frac{2}{3} y & = & 4 & (I) \\ - \frac{1}{4} x & + \frac{1}{4} y & = & - \frac{3}{2} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - \frac{2}{3} y$	=	$4$
$- \frac{2}{3} y + 2 x$	=	$4$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} y + 2 x)$	=	$12$
$- 2 y + 6 x$	=	$12$	\| $- 6 x$
$- 2 y$	=	$12 - 6 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 6 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 6 + 3 x) & (I) \\ - \frac{1}{4} x & + \frac{1}{4} y & = & - \frac{3}{2} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 6 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot (- 6 + 3 x)$	=	$- \frac{3}{2}$
$- \frac{1}{4} x - \frac{3}{2} + \frac{3}{4} x$	=	$- \frac{3}{2}$
$\frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$	=	$- \frac{3}{2}$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$	=	$- 3$
$x - 3$	=	$- 3$	\| $+ 3$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 6 + 3 \cdot 0$

= $- 6 + 0$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -2y = ?

-7x -6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-5x -2y = -20 +8 = -12

-7x -6y = -28 +24 = -4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -2y = -12

-7x -6y = -4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + 6 y & = & - 2 & (I) \\ x & - 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 6 y & = & - 2 & (I) \\ x & - 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$1$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$1 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 6 y & = & - 2 & (I) \\ x & = & (1 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $1 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (1 + 3 y) + 6 y$	=	$- 2$
$- 2 - 6 y + 6 y$	=	$- 2$
$- 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 118 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 187 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 4 y & = & 118 & (I) \\ 4 x & + 7 y & = & 187 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 4 y$	=	$118$
$4 y + 6 x$	=	$118$	\| $- 6 x$
$4 y$	=	$118 - 6 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{59}{2} - \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{59}{2} - \frac{3}{2} x) & (I) \\ 4 x & + 7 y & = & 187 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{59}{2} - \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 7 \cdot (\frac{59}{2} - \frac{3}{2} x)$	=	$187$
$4 x + \frac{413}{2} - \frac{21}{2} x$	=	$187$
$- \frac{13}{2} x + \frac{413}{2}$	=	$187$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{13}{2} x + \frac{413}{2})$	=	$374$
$- 13 x + 413$	=	$374$	\| $- 413$
$- 13 x$	=	$- 39$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{59}{2} - \frac{3}{2} \cdot 3$

= $\frac{59}{2} - \frac{9}{2}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (3|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|9) und B(2|16) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|9): 9 = 1² + b⋅1 +c

B(2|16): 16 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 +1b +c |-1
16 = 4 +2b +c |-4

8 = 1b +c
12 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 8 & (I) \\ 2 b & + c & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$12$
$c + 2 b$	=	$12$	\| $- 2 b$
$c$	=	$12 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (12 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $12 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (12 - 2 b)$	=	$8$
$b + 12 - 2 b$	=	$8$
$- b + 12$	=	$8$	\| $- 12$
$- b$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $12 - 2 \cdot 4$

= $12 - 8$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-7) und B(-3|-11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-7): -7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-11): -11 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 -1b +c |-1
-11 = 9 -3b +c |-9

-8 = -1b +c
-20 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 20$
$c - 3 b$	=	$- 20$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 20 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ + c & = & (- 20 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 20 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 20 + 3 b)$	=	$- 8$
$- b - 20 + 3 b$	=	$- 8$
$2 b - 20$	=	$- 8$	\| $+ 20$
$2 b$	=	$12$	\|: $2$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 20 + 3 \cdot 6$

= $- 20 + 18$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 - 2$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 - 2$

= ${(x + 3)}^{2} - 11$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-11).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) - 2$ = $9 - 18 - 2$ = -11

also: S(-3|-11).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg