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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + y$ = $- 9$ .

Bestimme y so, dass (3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot 3 + y$ = $- 9$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot 3 + y$	=	$- 9$
$- 9 + y$	=	$- 9$
$y - 9$	=	$- 9$	\| $+ 9$
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (3|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 5 y$ = $- 9$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-1)
denn 1⋅( - 4 ) +5⋅( - 1 ) = -4 -5 = $- 9$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|-2)
denn 1⋅1 +5⋅( - 2 ) = 1 -10 = $- 9$

Oder : (-9|0)
denn 1⋅( - 9 ) +5⋅0 = -9 +0 = $- 9$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 2 & (I) \\ + y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $4$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 1 \cdot 4$	=	$- 2$
$- 2 x + 4$	=	$- 2$	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 3 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 3 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$- 3$
$y - 3 x$	=	$- 3$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$- 3 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 3 + 3 x) & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 3 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 2 \cdot (- 3 + 3 x)$	=	$9$
$3 x + 6 - 6 x$	=	$9$
$- 3 x + 6$	=	$9$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 3 + 3 \cdot (- 1)$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 12 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 12 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 4 y$	=	$- 12$
$4 y - 2 x$	=	$- 12$	\| $+ 2 x$
$4 y$	=	$- 12 + 2 x$	\|: $4$
$y$	=	$- 3 + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 3 + \frac{1}{2} x) & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 3 + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 3 \cdot (- 3 + \frac{1}{2} x)$	=	$- 9$
$3 x - 9 + \frac{3}{2} x$	=	$- 9$
$\frac{9}{2} x - 9$	=	$- 9$	\|⋅ 2
$2 (\frac{9}{2} x - 9)$	=	$- 18$
$9 x - 18$	=	$- 18$	\| $+ 18$
$9 x$	=	0	\|: $9$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 3 + \frac{1}{2} \cdot 0$

= $- 3 + 0$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 2$	=	$3 (x - y) + 28$			(I)
$- 2 x - 5 y$	=	$- 8$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 2$	=	$3 (x - y) + 28$			(I)
$- 2 x - 5 y$	=	$- 8$			(II)

$- 2$	=	$3 x + 28 - 3 y$	\| + $2 - 3 x + 3 y$		(I)
$- 2 x - 5 y$	=	$- 8$			(II)

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 30 & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 3 y$	=	$30$
$3 y - 3 x$	=	$30$	\| $+ 3 x$
$3 y$	=	$30 + 3 x$	\|: $3$
$y$	=	$10 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (10 + x) & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $10 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 5 \cdot (10 + x)$	=	$- 8$
$- 2 x - 50 - 5 x$	=	$- 8$
$- 7 x - 50$	=	$- 8$	\| $+ 50$
$- 7 x$	=	$42$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $10 - 6$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -4y = ?

-2x -10y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-1x -4y = 1 +4 = 5

-2x -10y = 2 +10 = 12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -4y = 5

-2x -10y = 12

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & + 12 y & = & - 2 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 12 y & = & - 2 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$1$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$1 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 12 y & = & - 2 & (I) \\ x & = & (- 1 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 1 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 1 - 3 y) + 12 y$	=	$- 2$
$- 4 - 12 y + 12 y$	=	$- 2$
$- 4$	=	$- 2$	\| $+ 4$
0	=	$2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 26. Wenn man aber vom 2-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -18. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 26 & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$26$	\| $- 5 y$
$x$	=	$26 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (26 - 5 y) & (I) \\ 2 x & - 4 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $26 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (26 - 5 y) - 4 y$	=	$- 18$
$52 - 10 y - 4 y$	=	$- 18$
$- 14 y + 52$	=	$- 18$	\| $- 52$
$- 14 y$	=	$- 70$	\|:( $- 14$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $26 - 5 \cdot 5$

= $26 - 25$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|13) und B(-2|-8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|13): 13 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-8): -8 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 +1b +c |-1
-8 = 4 -2b +c |-4

12 = 1b +c
-12 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 12 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 12$
$c - 2 b$	=	$- 12$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 12 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 12 & (I) \\ + c & = & (- 12 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 12 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 12 + 2 b)$	=	$12$
$b - 12 + 2 b$	=	$12$
$3 b - 12$	=	$12$	\| $+ 12$
$3 b$	=	$24$	\|: $3$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 12 + 2 \cdot 8$

= $- 12 + 16$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|4)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|10) und B(-4|49) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|10): 10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|49): 49 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 -1b +c |-1
49 = 16 -4b +c |-16

9 = -1b +c
33 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 33 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$33$
$c - 4 b$	=	$33$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$33 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (33 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $33 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (33 + 4 b)$	=	$9$
$- b + 33 + 4 b$	=	$9$
$3 b + 33$	=	$9$	\| $- 33$
$3 b$	=	$- 24$	\|: $3$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $33 + 4 \cdot (- 8)$

= $33 - 32$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|1)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 + 1$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 + 1$

= ${(x - 4)}^{2} - 15$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-15).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 + 1$ = $16 - 32 + 1$ = -15

also: S(4|-15).

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1. Weg

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