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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 2 y$ = $- 8$ .

Bestimme y so, dass (-4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$4 \cdot (- 4) + 2 y$ = $- 8$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4 \cdot (- 4) + 2 y$	=	$- 8$
$- 16 + 2 y$	=	$- 8$
$2 y - 16$	=	$- 8$	\| $+ 16$
$2 y$	=	$8$	\|: $2$
$y$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (-4|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - y$ = $7$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|0)
denn -1⋅( - 7 ) -1⋅0 = 7 +0 = $7$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|1)
denn -1⋅( - 8 ) -1⋅1 = 8 -1 = $7$

Oder : (-6|-1)
denn -1⋅( - 6 ) -1⋅( - 1 ) = 6 +1 = $7$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & = & 6 & (I) \\ 2 x & + y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & = & 6 & (I) \\ 2 x & + y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 3 & (I) \\ 2 x & + y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot 3 + y$	=	$12$
$6 + y$	=	$12$
$y + 6$	=	$12$	\| $- 6$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & - 5 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & - 5 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	0
$y - 2 x$	=	0	\| $+ 2 x$
$y$	=	$2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & - 5 & (I) \\ + y & = & 2 x & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $2 x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 3 \cdot 2 x$	=	$- 5$
$- x + 6 x$	=	$- 5$
$5 x$	=	$- 5$	\|: $5$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2 \cdot (- 1)$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 1 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 1 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$1$
$y + 2 x$	=	$1$	\| $- 2 x$
$y$	=	$1 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 - 2 x) & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 4 \cdot (1 - 2 x)$	=	$- 8$
$- 4 x - 4 + 8 x$	=	$- 8$
$4 x - 4$	=	$- 8$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$- 4$	\|: $4$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1 - 2 \cdot (- 1)$

= $1 + 2$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2 y$	=	$- 2 x + y$			(I)
$2 (x + y)$	=	$4$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2 y$	=	$- 2 x + y$			(I)
$2 (x + y)$	=	$4$			(II)

$2 y$	=	$- 2 x + y$	\| + $2 x - y$		(I)
$2 x + 2 y$	=	$4$			(II)

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 0 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	0
$y + 2 x$	=	0	\| $- 2 x$
$y$	=	$- 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 2 x & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 2 x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (- 2 x)$	=	$4$
$2 x - 4 x$	=	$4$
$- 2 x$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 \cdot (- 2)$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -3y = ?

4x -10y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

1x -3y = -1 -12 = -13

4x -10y = -4 -40 = -44

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -3y = -13

4x -10y = -44

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & - y & = & - 3 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - y & = & - 3 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x - y$	=	$- 3$
$- y - x$	=	$- 3$	\| $+ x$
$- y$	=	$- 3 + x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$3 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3 - x) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (3 - x)$	=	$6$
$2 x + 6 - 2 x$	=	$6$
$6$	=	$6$	\| $- 6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 5 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 640 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 6 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 625 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 2 y & = & 640 & (I) \\ 6 x & - 5 y & = & 625 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 2 y$	=	$640$
$- 2 y + 5 x$	=	$640$	\| $- 5 x$
$- 2 y$	=	$640 - 5 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 320 + \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 320 + \frac{5}{2} x) & (I) \\ 6 x & - 5 y & = & 625 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 320 + \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 5 \cdot (- 320 + \frac{5}{2} x)$	=	$625$
$6 x + 1 600 - \frac{25}{2} x$	=	$625$
$- \frac{13}{2} x + 1 600$	=	$625$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{13}{2} x + 1 600)$	=	$1 250$
$- 13 x + 3 200$	=	$1 250$	\| $- 3 200$
$- 13 x$	=	$- 1 950$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 320 + \frac{5}{2} \cdot 150$

= $- 320 + 375$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (150|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|0) und B(2|-3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-3): -3 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
-3 = 4 +2b +c |-4

-1 = -1b +c
-7 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 7$
$c + 2 b$	=	$- 7$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 7 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (- 7 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 7 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 7 - 2 b)$	=	$- 1$
$- b - 7 - 2 b$	=	$- 1$
$- 3 b - 7$	=	$- 1$	\| $+ 7$
$- 3 b$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 7 - 2 \cdot (- 2)$

= $- 7 + 4$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-1) und B(-2|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-1): -1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-4): -4 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 -1b +c |-1
-4 = 4 -2b +c |-4

-2 = -1b +c
-8 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 8$
$c - 2 b$	=	$- 8$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 8 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (- 8 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 8 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 8 + 2 b)$	=	$- 2$
$- b - 8 + 2 b$	=	$- 2$
$b - 8$	=	$- 2$	\| $+ 8$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 8 + 2 \cdot 6$

= $- 8 + 12$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 4$ = $9 - 18 + 4$ = -5

also: S(-3|-5).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg