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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 5 y$ = $- 12$ .

Bestimme y so, dass (1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$3 \cdot 1 - 5 y$ = $- 12$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3 \cdot 1 - 5 y$	=	$- 12$
$3 - 5 y$	=	$- 12$
$- 5 y + 3$	=	$- 12$	\| $- 3$
$- 5 y$	=	$- 15$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (1|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 5 y$ = $31$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|7)
denn -2⋅2 +5⋅7 = -4 +35 = $31$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (7|9)
denn -2⋅7 +5⋅9 = -14 +45 = $31$

Oder : (-3|5)
denn -2⋅( - 3 ) +5⋅5 = 6 +25 = $31$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 20 & (I) \\ - x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 20 & (I) \\ - x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 20 & (I) \\ x & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot 4 - 2 y$	=	$20$
$8 - 2 y$	=	$20$
$- 2 y + 8$	=	$20$	\| $- 8$
$- 2 y$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + y & = & - 3 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + y & = & - 3 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$- 7$	\| $- 4 y$
$x$	=	$- 7 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + y & = & - 3 & (I) \\ x & = & (- 7 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 7 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 7 - 4 y) + y$	=	$- 3$
$7 + 4 y + y$	=	$- 3$
$5 y + 7$	=	$- 3$	\| $- 7$
$5 y$	=	$- 10$	\|: $5$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 7 - 4 \cdot (- 2)$

= $- 7 + 8$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + y & = & 2 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + y & = & 2 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x + y$	=	$2$
$y - x$	=	$2$	\| $+ x$
$y$	=	$2 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (2 + x) & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 2 \cdot (2 + x)$	=	$- 1$
$3 x - 4 - 2 x$	=	$- 1$
$x - 4$	=	$- 1$	\| $+ 4$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2 + 3$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 2 - 5 y$	=	$2 x - 13$			(I)
$- 4 (x + 5) + 3 y$	=	$- y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 2 - 5 y$	=	$2 x - 13$			(I)
$- 4 (x + 5) + 3 y$	=	$- y$			(II)

$- 2 - 5 y$	=	$2 x - 13$	\| + $2 - 2 x$		(I)
$- 4 x - 20 + 3 y$	=	$- y$	\| + $20 + y$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & - 5 y & = & - 11 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 5 y$	=	$- 11$
$- 5 y - 2 x$	=	$- 11$	\| $+ 2 x$
$- 5 y$	=	$- 11 + 2 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$\frac{11}{5} - \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{11}{5} - \frac{2}{5} x) & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{11}{5} - \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 4 \cdot (\frac{11}{5} - \frac{2}{5} x)$	=	$20$
$- 4 x + \frac{44}{5} - \frac{8}{5} x$	=	$20$
$- \frac{28}{5} x + \frac{44}{5}$	=	$20$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{28}{5} x + \frac{44}{5})$	=	$100$
$- 28 x + 44$	=	$100$	\| $- 44$
$- 28 x$	=	$56$	\|:( $- 28$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{11}{5} - \frac{2}{5} \cdot (- 2)$

= $\frac{11}{5} + \frac{4}{5}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +1y = ?

-5x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-2x +1y = -6 +3 = -3

-5x +2y = -15 +6 = -9

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +1y = -3

-5x +2y = -9

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 3 & (I) \\ 9 x & - 9 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & 3 & (I) \\ 9 x & - 9 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 3 y$	=	$3$
$3 y - 3 x$	=	$3$	\| $+ 3 x$
$3 y$	=	$3 + 3 x$	\|: $3$
$y$	=	$1 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 + x) & (I) \\ 9 x & - 9 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9 x - 9 \cdot (1 + x)$	=	$- 9$
$9 x - 9 - 9 x$	=	$- 9$
$- 9$	=	$- 9$	\| $+ 9$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 133 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 2 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 158 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & 133 & (I) \\ 2 x & + 6 y & = & 158 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 5 y$	=	$133$
$5 y + 2 x$	=	$133$	\| $- 2 x$
$5 y$	=	$133 - 2 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{133}{5} - \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{133}{5} - \frac{2}{5} x) & (I) \\ 2 x & + 6 y & = & 158 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{133}{5} - \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 6 \cdot (\frac{133}{5} - \frac{2}{5} x)$	=	$158$
$2 x + \frac{798}{5} - \frac{12}{5} x$	=	$158$
$- \frac{2}{5} x + \frac{798}{5}$	=	$158$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{2}{5} x + \frac{798}{5})$	=	$790$
$- 2 x + 798$	=	$790$	\| $- 798$
$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{133}{5} - \frac{2}{5} \cdot 4$

= $\frac{133}{5} - \frac{8}{5}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (4|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-6) und B(-2|-13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-13): -13 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
-13 = 4 -2b +c |-4

-7 = -1b +c
-17 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 17$
$c - 2 b$	=	$- 17$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 17 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 17 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 17 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 17 + 2 b)$	=	$- 7$
$- b - 17 + 2 b$	=	$- 7$
$b - 17$	=	$- 7$	\| $+ 17$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 17 + 2 \cdot 10$

= $- 17 + 20$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (10|3)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-2) und B(4|7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(4|7): 7 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
7 = 16 +4b +c |-16

-3 = 1b +c
-9 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 9$
$c + 4 b$	=	$- 9$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 9 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 9 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 9 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 9 - 4 b)$	=	$- 3$
$b - 9 - 4 b$	=	$- 3$
$- 3 b - 9$	=	$- 3$	\| $+ 9$
$- 3 b$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 9 - 4 \cdot (- 2)$

= $- 9 + 8$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 - 1$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 - 1$

= ${(x - 1)}^{2} - 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 - 1$ = $1 - 2 - 1$ = -2

also: S(1|-2).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg