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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 4 y$ = $- 52$ .

Bestimme x so, dass (x|7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x - 4 \cdot 7$ = $- 52$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot 7$	=	$- 52$
$4 x - 28$	=	$- 52$	\| $+ 28$
$4 x$	=	$- 24$	\|: $4$
$x$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (-6|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - y$ = $- 20$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|-1)
denn 3⋅( - 7 ) -1⋅( - 1 ) = -21 +1 = $- 20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|-4)
denn 3⋅( - 8 ) -1⋅( - 4 ) = -24 +4 = $- 20$

Oder : (-6|2)
denn 3⋅( - 6 ) -1⋅2 = -18 -2 = $- 20$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & - 5 & (I) \\ - 2 x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & - 5 & (I) \\ - 2 x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & - 5 & (I) \\ x & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot 2 - y$	=	$- 5$
$- 6 - y$	=	$- 5$
$- y - 6$	=	$- 5$	\| $+ 6$
$- y$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 15 & (I) \\ - 4 x & + y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 15 & (I) \\ - 4 x & + y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$21$
$y - 4 x$	=	$21$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$21 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 15 & (I) \\ + y & = & (21 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $21 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x - 3 \cdot (21 + 4 x)$	=	$15$
$- x - 63 - 12 x$	=	$15$
$- 13 x - 63$	=	$15$	\| $+ 63$
$- 13 x$	=	$78$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $21 + 4 \cdot (- 6)$

= $21 - 24$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 5 & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 5 & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 2 y$	=	$5$
$2 y - 3 x$	=	$5$	\| $+ 3 x$
$2 y$	=	$5 + 3 x$	\|: $2$
$y$	=	$\frac{5}{2} + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{5}{2} + \frac{3}{2} x) & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{5}{2} + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 2 \cdot (\frac{5}{2} + \frac{3}{2} x)$	=	$- 19$
$5 x + 5 + 3 x$	=	$- 19$
$8 x + 5$	=	$- 19$	\| $- 5$
$8 x$	=	$- 24$	\|: $8$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{5}{2} + \frac{3}{2} \cdot (- 3)$

= $\frac{5}{2} - \frac{9}{2}$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{4} x & + y & = & \frac{13}{4} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{3}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{4} x & + y & = & \frac{13}{4} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{3}{2} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{1}{4} x + y$	=	$\frac{13}{4}$
$y - \frac{1}{4} x$	=	$\frac{13}{4}$	\|⋅ 4
$4 (y - \frac{1}{4} x)$	=	$13$
$4 y - x$	=	$13$	\| $+ x$
$4 y$	=	$13 + x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{13}{4} + \frac{1}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{13}{4} + \frac{1}{4} x) & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{2} y & = & \frac{3}{2} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{13}{4} + \frac{1}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (\frac{13}{4} + \frac{1}{4} x)$	=	$\frac{3}{2}$
$- \frac{1}{2} x - \frac{13}{8} - \frac{1}{8} x$	=	$\frac{3}{2}$
$- \frac{5}{8} x - \frac{13}{8}$	=	$\frac{3}{2}$	\|⋅ 8
$8 (- \frac{5}{8} x - \frac{13}{8})$	=	$12$
$- 5 x - 13$	=	$12$	\| $+ 13$
$- 5 x$	=	$25$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{13}{4} + \frac{1}{4} \cdot (- 5)$

= $\frac{13}{4} - \frac{5}{4}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +3y = ?

4x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

3x +3y = -15 +3 = -12

4x +6y = -20 +6 = -14

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +3y = -12

4x +6y = -14

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & - 33 & (I) \\ - 5 x & + y & = & 27 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & - 33 & (I) \\ - 5 x & + y & = & 27 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x + y$	=	$27$
$y - 5 x$	=	$27$	\| $+ 5 x$
$y$	=	$27 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & - 33 & (I) \\ + y & = & (27 + 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $27 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 5 \cdot (27 + 5 x)$	=	$- 33$
$3 x + 135 + 25 x$	=	$- 33$
$28 x + 135$	=	$- 33$	\| $- 135$
$28 x$	=	$- 168$	\|: $28$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $27 + 5 \cdot (- 6)$

= $27 - 30$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 7 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 156 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 72 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 8 x & + 7 y & = & 156 & (I) \\ 6 x & + 3 y & = & 72 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x + 7 y$	=	$156$
$7 y + 8 x$	=	$156$	\| $- 8 x$
$7 y$	=	$156 - 8 x$	\|: $7$
$y$	=	$\frac{156}{7} - \frac{8}{7} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{156}{7} - \frac{8}{7} x) & (I) \\ 6 x & + 3 y & = & 72 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{156}{7} - \frac{8}{7} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 3 \cdot (\frac{156}{7} - \frac{8}{7} x)$	=	$72$
$6 x + \frac{468}{7} - \frac{24}{7} x$	=	$72$
$\frac{18}{7} x + \frac{468}{7}$	=	$72$	\|⋅ 7
$7 (\frac{18}{7} x + \frac{468}{7})$	=	$504$
$18 x + 468$	=	$504$	\| $- 468$
$18 x$	=	$36$	\|: $18$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{156}{7} - \frac{8}{7} \cdot 2$

= $\frac{156}{7} - \frac{16}{7}$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (2|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|1) und B(-2|16) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|1): 1 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|16): 16 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 +1b +c |-1
16 = 4 -2b +c |-4

0 = 1b +c
12 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$12$
$c - 2 b$	=	$12$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$12 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (12 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $12 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (12 + 2 b)$	=	0
$b + 12 + 2 b$	=	0
$3 b + 12$	=	0	\| $- 12$
$3 b$	=	$- 12$	\|: $3$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $12 + 2 \cdot (- 4)$

= $12 - 8$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-3) und B(-2|-2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-2): -2 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 -1b +c |-1
-2 = 4 -2b +c |-4

-4 = -1b +c
-6 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 6$
$c - 2 b$	=	$- 6$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 6 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (- 6 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 6 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 6 + 2 b)$	=	$- 4$
$- b - 6 + 2 b$	=	$- 4$
$b - 6$	=	$- 4$	\| $+ 6$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 6 + 2 \cdot 2$

= $- 6 + 4$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 2$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 2$

= ${(x + 1)}^{2} - 3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 2$ = $1 - 2 - 2$ = -3

also: S(-1|-3).

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1. Weg

2. Weg