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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 3 y$ = $- 45$ .

Bestimme x so, dass (x|5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 x - 3 \cdot 5$ = $- 45$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 5 x - 3 \cdot 5$	=	$- 45$
$- 5 x - 15$	=	$- 45$	\| $+ 15$
$- 5 x$	=	$- 30$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 5 y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|-7)
denn -5⋅7 -5⋅( - 7 ) = -35 +35 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-2)
denn -5⋅2 -5⋅( - 2 ) = -10 +10 = 0

Oder : (12|-12)
denn -5⋅12 -5⋅( - 12 ) = -60 +60 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & = & 5 & (I) \\ - 4 x & - y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $5$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot 5 - y$	=	$- 17$
$- 20 - y$	=	$- 17$
$- y - 20$	=	$- 17$	\| $+ 20$
$- y$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & - 7 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & - 7 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 21$
$y + 4 x$	=	$- 21$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 21 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & - 7 & (I) \\ + y & = & (- 21 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 21 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (- 21 - 4 x)$	=	$- 7$
$2 x + 63 + 12 x$	=	$- 7$
$14 x + 63$	=	$- 7$	\| $- 63$
$14 x$	=	$- 70$	\|: $14$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 21 - 4 \cdot (- 5)$

= $- 21 + 20$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 5 y & = & 19 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 5 y & = & 19 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 5 y$	=	$19$
$5 y + 4 x$	=	$19$	\| $- 4 x$
$5 y$	=	$19 - 4 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{19}{5} - \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{19}{5} - \frac{4}{5} x) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{19}{5} - \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (\frac{19}{5} - \frac{4}{5} x)$	=	$8$
$2 x + \frac{38}{5} - \frac{8}{5} x$	=	$8$
$\frac{2}{5} x + \frac{38}{5}$	=	$8$	\|⋅ 5
$5 (\frac{2}{5} x + \frac{38}{5})$	=	$40$
$2 x + 38$	=	$40$	\| $- 38$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{19}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1$

= $\frac{19}{5} - \frac{4}{5}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{2}{5} x & + 2 y & = & \frac{44}{5} & (I) \\ 2 x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{2}{5} x & + 2 y & = & \frac{44}{5} & (I) \\ 2 x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x - y$	=	0
$- y + 2 x$	=	0	\| $- 2 x$
$- y$	=	$- 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{2}{5} x & + 2 y & = & \frac{44}{5} & (I) \\ + y & = & 2 x & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $2 x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{2}{5} x + 2 \cdot 2 x$	=	$\frac{44}{5}$
$\frac{2}{5} x + 4 x$	=	$\frac{44}{5}$
$\frac{22}{5} x$	=	$\frac{44}{5}$	\|⋅ 5
$22 x$	=	$44$	\|: $22$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2 \cdot 2$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +1y = ?

6x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

4x +1y = -20 -5 = -25

6x +5y = -30 -25 = -55

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +1y = -25

6x +5y = -55

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 13 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 13 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$- 8$
$y - 2 x$	=	$- 8$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$- 8 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 13 & (I) \\ + y & = & (- 8 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 8 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 4 \cdot (- 8 + 2 x)$	=	$13$
$x - 32 + 8 x$	=	$13$
$9 x - 32$	=	$13$	\| $+ 32$
$9 x$	=	$45$	\|: $9$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 8 + 2 \cdot 5$

= $- 8 + 10$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 840 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 660 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & - 2 y & = & 840 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 660 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x - 2 y$	=	$840$
$- 2 y + 6 x$	=	$840$	\| $- 6 x$
$- 2 y$	=	$840 - 6 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 420 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 420 + 3 x) & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 660 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 420 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 3 \cdot (- 420 + 3 x)$	=	$660$
$5 x + 1 260 - 9 x$	=	$660$
$- 4 x + 1 260$	=	$660$	\| $- 1 260$
$- 4 x$	=	$- 600$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 420 + 3 \cdot 150$

= $- 420 + 450$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (150|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-5) und B(2|-6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-6): -6 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
-6 = 4 +2b +c |-4

-6 = 1b +c
-10 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 10$
$c + 2 b$	=	$- 10$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 10 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 10 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 10 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 10 - 2 b)$	=	$- 6$
$b - 10 - 2 b$	=	$- 6$
$- b - 10$	=	$- 6$	\| $+ 10$
$- b$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 10 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 10 + 8$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-6) und B(4|-21) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-21): -21 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
-21 = 16 +4b +c |-16

-7 = 1b +c
-37 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 37 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 37$
$c + 4 b$	=	$- 37$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 37 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 37 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 37 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 37 - 4 b)$	=	$- 7$
$b - 37 - 4 b$	=	$- 7$
$- 3 b - 37$	=	$- 7$	\| $+ 37$
$- 3 b$	=	$30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 37 - 4 \cdot (- 10)$

= $- 37 + 40$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 + 3$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 + 3$

= ${(x - 5)}^{2} - 22$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-22).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 + 3$ = $25 - 50 + 3$ = -22

also: S(5|-22).

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1. Weg

2. Weg