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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + y$ = $10$ .

Bestimme y so, dass (-6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 \cdot (- 6) + y$ = $10$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 6) + y$	=	$10$
$12 + y$	=	$10$
$y + 12$	=	$10$	\| $- 12$
$y$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (-6|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 5 y$ = $50$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|-7)
denn -3⋅( - 5 ) -5⋅( - 7 ) = 15 +35 = $50$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-10|-4)
denn -3⋅( - 10 ) -5⋅( - 4 ) = 30 +20 = $50$

Oder : (0|-10)
denn -3⋅0 -5⋅( - 10 ) = 0 +50 = $50$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 4 y & = & - 12 & (I) \\ - 4 x & - y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 4 y & = & - 12 & (I) \\ - 4 x & - y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4 y$	=	$- 12$	\|: $4$
$y$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 3 & (I) \\ - 4 x & - y & = & - 21 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 1 \cdot (- 3)$	=	$- 21$
$- 4 x + 3$	=	$- 21$	\| $- 3$
$- 4 x$	=	$- 24$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 13 & (I) \\ x & - y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 13 & (I) \\ x & - y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x - y$	=	$- 7$
$- y + x$	=	$- 7$	\| $- x$
$- y$	=	$- 7 - x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$7 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 13 & (I) \\ + y & = & (7 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $7 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 3 \cdot (7 + x)$	=	$13$
$x + 21 + 3 x$	=	$13$
$4 x + 21$	=	$13$	\| $- 21$
$4 x$	=	$- 8$	\|: $4$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $7 - 2$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 5 y & = & - 13 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 5 y & = & - 13 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 1$
$y + 4 x$	=	$- 1$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 1 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 5 y & = & - 13 & (I) \\ + y & = & (- 1 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 1 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 5 \cdot (- 1 - 4 x)$	=	$- 13$
$- 2 x + 5 + 20 x$	=	$- 13$
$18 x + 5$	=	$- 13$	\| $- 5$
$18 x$	=	$- 18$	\|: $18$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 1 - 4 \cdot (- 1)$

= $- 1 + 4$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$x$	=	$- 3 x + 16 - y$			(I)
$3 x - 8$	=	$x + 3 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$x$	=	$- 3 x + 16 - y$	\| + $3 x + y$		(I)
$3 x - 8$	=	$x + 3 y$	\| + $8 - x - 3 y$		(II)

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 16 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$16$
$y + 4 x$	=	$16$	\| $- 4 x$
$y$	=	$16 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (16 - 4 x) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $16 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (16 - 4 x)$	=	$8$
$2 x - 48 + 12 x$	=	$8$
$14 x - 48$	=	$8$	\| $+ 48$
$14 x$	=	$56$	\|: $14$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $16 - 4 \cdot 4$

= $16 - 16$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (4|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -4y = ?

-3x -8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-2x -4y = 10 +12 = 22

-3x -8y = 15 +24 = 39

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -4y = 22

-3x -8y = 39

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 4 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 4 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x - y$	=	$4$
$- y + 2 x$	=	$4$	\| $- 2 x$
$- y$	=	$4 - 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 4 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 4 + 2 x) & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 4 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot (- 4 + 2 x)$	=	$15$
$- 3 x + 8 - 4 x$	=	$15$
$- 7 x + 8$	=	$15$	\| $- 8$
$- 7 x$	=	$7$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 4 + 2 \cdot (- 1)$

= $- 4 - 2$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 3 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 111 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 8 Halogenleuchten zusammen 301 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 111 & (I) \\ 7 x & + 8 y & = & 301 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 3 y$	=	$111$
$3 y + 2 x$	=	$111$	\| $- 2 x$
$3 y$	=	$111 - 2 x$	\|: $3$
$y$	=	$37 - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (37 - \frac{2}{3} x) & (I) \\ 7 x & + 8 y & = & 301 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $37 - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x + 8 \cdot (37 - \frac{2}{3} x)$	=	$301$
$7 x + 296 - \frac{16}{3} x$	=	$301$
$\frac{5}{3} x + 296$	=	$301$	\|⋅ 3
$3 (\frac{5}{3} x + 296)$	=	$903$
$5 x + 888$	=	$903$	\| $- 888$
$5 x$	=	$15$	\|: $5$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $37 - \frac{2}{3} \cdot 3$

= $37 - 2$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (3|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(1|3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|3): 3 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
3 = 1 +1b +c |-1

6 = -1b +c
2 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ b & + c & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$2$
$c + b$	=	$2$	\| $- b$
$c$	=	$2 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (2 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $2 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (2 - b)$	=	$6$
$- b + 2 - b$	=	$6$
$- 2 b + 2$	=	$6$	\| $- 2$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $2 - (- 2)$

= $2 + 2$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|6) und B(-1|-6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
-6 = 1 -1b +c |-1

5 = 1b +c
-7 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ - b & + c & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 7$
$c - b$	=	$- 7$	\| $+ b$
$c$	=	$- 7 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (- 7 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 7 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 7 + b)$	=	$5$
$b - 7 + b$	=	$5$
$2 b - 7$	=	$5$	\| $+ 7$
$2 b$	=	$12$	\|: $2$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 7 + 6$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 - 1$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 - 1$

= ${(x + 3)}^{2} - 10$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-10).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) - 1$ = $9 - 18 - 1$ = -10

also: S(-3|-10).

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1. Weg

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