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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 5 y$ = $- 10$ .

Bestimme x so, dass (x|-3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$5 x - 5 \cdot (- 3)$ = $- 10$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5 x - 5 \cdot (- 3)$	=	$- 10$
$5 x + 15$	=	$- 10$	\| $- 15$
$5 x$	=	$- 25$	\|: $5$
$x$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (-5|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - 5 y$ = $- 46$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|6)
denn -4⋅4 -5⋅6 = -16 -30 = $- 46$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|10)
denn -4⋅( - 1 ) -5⋅10 = 4 -50 = $- 46$

Oder : (9|2)
denn -4⋅9 -5⋅2 = -36 -10 = $- 46$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & - 27 & (I) \\ + 4 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & - 27 & (I) \\ + 4 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4 y$	=	$- 24$	\|: $4$
$y$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & - 27 & (I) \\ + y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 3 \cdot (- 6)$	=	$- 27$
$- 3 x - 18$	=	$- 27$	\| $+ 18$
$- 3 x$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 7 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 7 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$- 11$
$y + 2 x$	=	$- 11$	\| $- 2 x$
$y$	=	$- 11 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 7 & (I) \\ + y & = & (- 11 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 11 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 2 \cdot (- 11 - 2 x)$	=	$7$
$x + 22 + 4 x$	=	$7$
$5 x + 22$	=	$7$	\| $- 22$
$5 x$	=	$- 15$	\|: $5$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 11 - 2 \cdot (- 3)$

= $- 11 + 6$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - y & = & - 1 & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - y & = & - 1 & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x - y$	=	$- 1$
$- y + x$	=	$- 1$	\| $- x$
$- y$	=	$- 1 - x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$1 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 + x) & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 3 \cdot (1 + x)$	=	$5$
$- 5 x + 3 + 3 x$	=	$5$
$- 2 x + 3$	=	$5$	\| $- 3$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1 - 1$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{3}{5} x & - \frac{3}{5} y & = & - \frac{12}{5} & (I) \\ \frac{1}{3} x & + \frac{2}{5} y & = & \frac{23}{15} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{3}{5} x & - \frac{3}{5} y & = & - \frac{12}{5} & (I) \\ \frac{1}{3} x & + \frac{2}{5} y & = & \frac{23}{15} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{3}{5} x - \frac{3}{5} y$	=	$- \frac{12}{5}$
$- \frac{3}{5} y - \frac{3}{5} x$	=	$- \frac{12}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{3}{5} y - \frac{3}{5} x)$	=	$- 12$
$- 3 y - 3 x$	=	$- 12$	\| $+ 3 x$
$- 3 y$	=	$- 12 + 3 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$4 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (4 - x) & (I) \\ \frac{1}{3} x & + \frac{2}{5} y & = & \frac{23}{15} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{3} x + \frac{2}{5} \cdot (4 - x)$	=	$\frac{23}{15}$
$\frac{1}{3} x + \frac{8}{5} - \frac{2}{5} x$	=	$\frac{23}{15}$
$- \frac{1}{15} x + \frac{8}{5}$	=	$\frac{23}{15}$	\|⋅ 15
$15 (- \frac{1}{15} x + \frac{8}{5})$	=	$23$
$- x + 24$	=	$23$	\| $- 24$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4 - 1$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -2y = ?

-3x -6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-2x -2y = 2 -10 = -8

-3x -6y = 3 -30 = -27

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -2y = -8

-3x -6y = -27

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & - 18 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & - 18 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 3 y$	=	$- 18$
$- 3 y - 3 x$	=	$- 18$	\| $+ 3 x$
$- 3 y$	=	$- 18 + 3 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$6 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (6 - x) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $6 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot (6 - x)$	=	$24$
$4 x - 18 + 3 x$	=	$24$
$7 x - 18$	=	$24$	\| $+ 18$
$7 x$	=	$42$	\|: $7$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $6 - 6$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (6|0)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 3 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 250 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 900 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 250 & (I) \\ 7 x & - 3 y & = & 900 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 4 y$	=	$250$
$- 4 y + 3 x$	=	$250$	\| $- 3 x$
$- 4 y$	=	$250 - 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{125}{2} + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{125}{2} + \frac{3}{4} x) & (I) \\ 7 x & - 3 y & = & 900 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{125}{2} + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x - 3 \cdot (- \frac{125}{2} + \frac{3}{4} x)$	=	$900$
$7 x + \frac{375}{2} - \frac{9}{4} x$	=	$900$
$\frac{19}{4} x + \frac{375}{2}$	=	$900$	\|⋅ 4
$4 (\frac{19}{4} x + \frac{375}{2})$	=	$3 600$
$19 x + 750$	=	$3 600$	\| $- 750$
$19 x$	=	$2 850$	\|: $19$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{125}{2} + \frac{3}{4} \cdot 150$

= $- \frac{125}{2} + \frac{225}{2}$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (150|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-9) und B(4|-12) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-9): -9 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-12): -12 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-9 = 1 +1b +c |-1
-12 = 16 +4b +c |-16

-10 = 1b +c
-28 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 10 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 28 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 28$
$c + 4 b$	=	$- 28$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 28 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 10 & (I) \\ + c & = & (- 28 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 28 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 28 - 4 b)$	=	$- 10$
$b - 28 - 4 b$	=	$- 10$
$- 3 b - 28$	=	$- 10$	\| $+ 28$
$- 3 b$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 28 - 4 \cdot (- 6)$

= $- 28 + 24$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-10) und B(2|-13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-10): -10 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-13): -13 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 +1b +c |-1
-13 = 4 +2b +c |-4

-11 = 1b +c
-17 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 17$
$c + 2 b$	=	$- 17$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 17 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (- 17 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 17 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 17 - 2 b)$	=	$- 11$
$b - 17 - 2 b$	=	$- 11$
$- b - 17$	=	$- 11$	\| $+ 17$
$- b$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 17 - 2 \cdot (- 6)$

= $- 17 + 12$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 - 5$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 - 5$

= ${(x - 3)}^{2} - 14$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-14).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 - 5$ = $9 - 18 - 5$ = -14

also: S(3|-14).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg