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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 2 y$ = $- 6$ .

Bestimme x so, dass (x|-3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x - 2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot (- 3)$	=	$- 6$
$2 x + 6$	=	$- 6$	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 12$	\|: $2$
$x$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (-6|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + y$ = $6$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-4)
denn -5⋅( - 2 ) +1⋅( - 4 ) = 10 -4 = $6$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|1)
denn -5⋅( - 1 ) +1⋅1 = 5 +1 = $6$

Oder : (-3|-9)
denn -5⋅( - 3 ) +1⋅( - 9 ) = 15 -9 = $6$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 2 y & = & 8 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 2 y & = & 8 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$8$	\|: $2$
$y$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 4 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot 4$	=	$8$
$4 x - 16$	=	$8$	\| $+ 16$
$4 x$	=	$24$	\|: $4$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 15 & (I) \\ - 3 x & + y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 15 & (I) \\ - 3 x & + y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$21$
$y - 3 x$	=	$21$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$21 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 15 & (I) \\ + y & = & (21 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $21 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 3 \cdot (21 + 3 x)$	=	$- 15$
$x - 63 - 9 x$	=	$- 15$
$- 8 x - 63$	=	$- 15$	\| $+ 63$
$- 8 x$	=	$48$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $21 + 3 \cdot (- 6)$

= $21 - 18$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 18 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 18 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$18$
$y - 4 x$	=	$18$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$18 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (18 + 4 x) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $18 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 2 \cdot (18 + 4 x)$	=	$- 12$
$4 x - 36 - 8 x$	=	$- 12$
$- 4 x - 36$	=	$- 12$	\| $+ 36$
$- 4 x$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $18 + 4 \cdot (- 6)$

= $18 - 24$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + \frac{1}{3} y & = & - 1 & (I) \\ x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{3}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + \frac{1}{3} y & = & - 1 & (I) \\ x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{3}{2} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - \frac{1}{4} y$	=	$\frac{3}{2}$	\|⋅ 4
$4 (x - \frac{1}{4} y)$	=	$6$
$4 x - y$	=	$6$	\| $+ y$
$4 x$	=	$6 + y$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{3}{2} + \frac{1}{4} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + \frac{1}{3} y & = & - 1 & (I) \\ x & = & (\frac{3}{2} + \frac{1}{4} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{3}{2} + \frac{1}{4} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (\frac{3}{2} + \frac{1}{4} y) + \frac{1}{3} y$	=	$- 1$
$- \frac{3}{2} - \frac{1}{4} y + \frac{1}{3} y$	=	$- 1$
$\frac{1}{12} y - \frac{3}{2}$	=	$- 1$	\|⋅ 12
$12 (\frac{1}{12} y - \frac{3}{2})$	=	$- 12$
$y - 18$	=	$- 12$	\| $+ 18$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{3}{2} + \frac{1}{4} \cdot 6$

= $\frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +3y = ?

-6x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-5x +3y = -25 -9 = -34

-6x +5y = -30 -15 = -45

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +3y = -34

-6x +5y = -45

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 16 x & - 4 y & = & 4 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 16 x & - 4 y & = & 4 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 1$
$y - 4 x$	=	$- 1$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 1 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 16 x & - 4 y & = & 4 & (I) \\ + y & = & (- 1 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 1 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$16 x - 4 \cdot (- 1 + 4 x)$	=	$4$
$16 x + 4 - 16 x$	=	$4$
$4$	=	$4$	\| $- 4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 2 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 71 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 8 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 174 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 2 y & = & 71 & (I) \\ 8 x & + 6 y & = & 174 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 2 y$	=	$71$
$2 y + 7 x$	=	$71$	\| $- 7 x$
$2 y$	=	$71 - 7 x$	\|: $2$
$y$	=	$\frac{71}{2} - \frac{7}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{71}{2} - \frac{7}{2} x) & (I) \\ 8 x & + 6 y & = & 174 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{71}{2} - \frac{7}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 6 \cdot (\frac{71}{2} - \frac{7}{2} x)$	=	$174$
$8 x + 213 - 21 x$	=	$174$
$- 13 x + 213$	=	$174$	\| $- 213$
$- 13 x$	=	$- 39$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{71}{2} - \frac{7}{2} \cdot 3$

= $\frac{71}{2} - \frac{21}{2}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (3|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-3) und B(4|6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

B(4|6): 6 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 +1b +c |-1
6 = 16 +4b +c |-16

-4 = 1b +c
-10 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 10$
$c + 4 b$	=	$- 10$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 10 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (- 10 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 10 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 10 - 4 b)$	=	$- 4$
$b - 10 - 4 b$	=	$- 4$
$- 3 b - 10$	=	$- 4$	\| $+ 10$
$- 3 b$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 10 - 4 \cdot (- 2)$

= $- 10 + 8$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-2)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|2) und B(-3|18) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|18): 18 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
18 = 9 -3b +c |-9

1 = -1b +c
9 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$9$
$c - 3 b$	=	$9$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$9 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (9 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $9 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (9 + 3 b)$	=	$1$
$- b + 9 + 3 b$	=	$1$
$2 b + 9$	=	$1$	\| $- 9$
$2 b$	=	$- 8$	\|: $2$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $9 + 3 \cdot (- 4)$

= $9 - 12$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 - 3$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 - 3$

= ${(x - 2)}^{2} - 7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 - 3$ = $4 - 8 - 3$ = -7

also: S(2|-7).

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Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS zu Lösungen finden

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg