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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 4 y$ = $- 19$ .

Bestimme y so, dass (-1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 \cdot (- 1) - 4 y$ = $- 19$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 5 \cdot (- 1) - 4 y$	=	$- 19$
$5 - 4 y$	=	$- 19$
$- 4 y + 5$	=	$- 19$	\| $- 5$
$- 4 y$	=	$- 24$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (-1|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 2 y$ = $- 6$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|0)
denn 2⋅( - 3 ) +2⋅0 = -6 +0 = $- 6$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|-2)
denn 2⋅( - 1 ) +2⋅( - 2 ) = -2 -4 = $- 6$

Oder : (-5|2)
denn 2⋅( - 5 ) +2⋅2 = -10 +4 = $- 6$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & = & 10 & (I) \\ x & + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & = & 10 & (I) \\ x & + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$10$	\|: $2$
$x$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 5 & (I) \\ x & + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot 5 + y$	=	$2$
$5 + y$	=	$2$
$y + 5$	=	$2$	\| $- 5$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 8 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 8 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$10$
$y - 2 x$	=	$10$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$10 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & - 8 & (I) \\ + y & = & (10 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $10 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot (10 + 2 x)$	=	$- 8$
$4 x + 40 + 8 x$	=	$- 8$
$12 x + 40$	=	$- 8$	\| $- 40$
$12 x$	=	$- 48$	\|: $12$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $10 + 2 \cdot (- 4)$

= $10 - 8$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 0 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 0 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	0
$- y - 2 x$	=	0	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 0 & (I) \\ + y & = & - 2 x & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 2 x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 4 \cdot (- 2 x)$	=
$- 5 x + 8 x$	=
$3 x$	=	\|: $3$
$x$	=

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 2 \cdot 0$

= 0

also

y = -0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3 (- 2 + y)$	=	$- 4 x$			(I)
$- x$	=	$- 5 - y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3 (- 2 + y)$	=	$- 4 x$			(I)
$- x$	=	$- 5 - y$			(II)

$- 6 + 3 y$	=	$- 4 x$	\| + $6 + 4 x$		(I)
$- x$	=	$- 5 - y$	\| + $y$		(II)

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & 6 & (I) \\ - x & + y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x + y$	=	$- 5$
$y - x$	=	$- 5$	\| $+ x$
$y$	=	$- 5 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & 6 & (I) \\ + y & = & (- 5 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 5 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 3 \cdot (- 5 + x)$	=	$6$
$4 x - 15 + 3 x$	=	$6$
$7 x - 15$	=	$6$	\| $+ 15$
$7 x$	=	$21$	\|: $7$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 5 + 3$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -1y = ?

-4x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-2x -1y = 4 +2 = 6

-4x -4y = 8 +8 = 16

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -1y = 6

-4x -4y = 16

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & + 6 y & = & - 6 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 6 y & = & - 6 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 2 y$	=	$1$	\| $+ 2 y$
$- x$	=	$1 + 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 6 y & = & - 6 & (I) \\ x & = & (- 1 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 1 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 1 - 2 y) + 6 y$	=	$- 6$
$- 3 - 6 y + 6 y$	=	$- 6$
$- 3$	=	$- 6$	\| $+ 3$
0	=	$- 3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 136 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 112 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 9 x & + 4 y & = & 136 & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & 112 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9 x + 4 y$	=	$136$
$4 y + 9 x$	=	$136$	\| $- 9 x$
$4 y$	=	$136 - 9 x$	\|: $4$
$y$	=	$34 - \frac{9}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (34 - \frac{9}{4} x) & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & 112 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $34 - \frac{9}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 4 \cdot (34 - \frac{9}{4} x)$	=	$112$
$3 x + 136 - 9 x$	=	$112$
$- 6 x + 136$	=	$112$	\| $- 136$
$- 6 x$	=	$- 24$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $34 - \frac{9}{4} \cdot 4$

= $34 - 9$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (4|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(1|16) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|16): 16 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
16 = 1 +1b +c |-1

-5 = -1b +c
15 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ b & + c & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$15$
$c + b$	=	$15$	\| $- b$
$c$	=	$15 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (15 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $15 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (15 - b)$	=	$- 5$
$- b + 15 - b$	=	$- 5$
$- 2 b + 15$	=	$- 5$	\| $- 15$
$- 2 b$	=	$- 20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $15 - 10$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(2|-14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-14): -14 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
-14 = 4 +2b +c |-4

6 = -1b +c
-18 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 18$
$c + 2 b$	=	$- 18$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 18 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (- 18 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 18 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 18 - 2 b)$	=	$6$
$- b - 18 - 2 b$	=	$6$
$- 3 b - 18$	=	$6$	\| $+ 18$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 18 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 18 + 16$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 18$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-18).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 2$ = $16 - 32 - 2$ = -18

also: S(4|-18).

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1. Weg

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