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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 2 y$ = $- 26$ .

Bestimme y so, dass (4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot 4 + 2 y$ = $- 26$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot 4 + 2 y$	=	$- 26$
$- 12 + 2 y$	=	$- 26$
$2 y - 12$	=	$- 26$	\| $+ 12$
$2 y$	=	$- 14$	\|: $2$
$y$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (4|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 4 y$ = $12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|-1)
denn 4⋅2 -4⋅( - 1 ) = 8 +4 = $12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-5)
denn 4⋅( - 2 ) -4⋅( - 5 ) = -8 +20 = $12$

Oder : (6|3)
denn 4⋅6 -4⋅3 = 24 -12 = $12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & = & 4 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & = & 4 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$4$	\|: $4$
$x$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 1 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot 1 + 2 y$	=	$- 10$
$- 4 + 2 y$	=	$- 10$
$2 y - 4$	=	$- 10$	\| $+ 4$
$2 y$	=	$- 6$	\|: $2$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 6 & (I) \\ 2 x & - y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 6 & (I) \\ 2 x & - y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x - y$	=	$- 7$
$- y + 2 x$	=	$- 7$	\| $- 2 x$
$- y$	=	$- 7 - 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$7 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & - 6 & (I) \\ + y & = & (7 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $7 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 2 \cdot (7 + 2 x)$	=	$- 6$
$x + 14 + 4 x$	=	$- 6$
$5 x + 14$	=	$- 6$	\| $- 14$
$5 x$	=	$- 20$	\|: $5$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $7 + 2 \cdot (- 4)$

= $7 - 8$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & 30 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & 30 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 5 y$	=	$30$
$- 5 y - 5 x$	=	$30$	\| $+ 5 x$
$- 5 y$	=	$30 + 5 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 6 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 6 - x) & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 6 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot (- 6 - x)$	=	$16$
$4 x + 24 + 4 x$	=	$16$
$8 x + 24$	=	$16$	\| $- 24$
$8 x$	=	$- 8$	\|: $8$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 6 - (- 1)$

= $- 6 + 1$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{4} x & + y & = & - \frac{1}{2} & (I) \\ - x & - \frac{3}{2} y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{4} x & + y & = & - \frac{1}{2} & (I) \\ - x & - \frac{3}{2} y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - \frac{3}{2} y$	=	$9$	\|⋅ 2
$2 (- x - \frac{3}{2} y)$	=	$18$
$- 2 x - 3 y$	=	$18$	\| $+ 3 y$
$- 2 x$	=	$18 + 3 y$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 9 - \frac{3}{2} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - \frac{1}{4} x & + y & = & - \frac{1}{2} & (I) \\ x & = & (- 9 - \frac{3}{2} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 9 - \frac{3}{2} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- \frac{1}{4} \cdot (- 9 - \frac{3}{2} y) + y$	=	$- \frac{1}{2}$
$\frac{9}{4} + \frac{3}{8} y + y$	=	$- \frac{1}{2}$
$\frac{11}{8} y + \frac{9}{4}$	=	$- \frac{1}{2}$	\|⋅ 8
$8 (\frac{11}{8} y + \frac{9}{4})$	=	$- 4$
$11 y + 18$	=	$- 4$	\| $- 18$
$11 y$	=	$- 22$	\|: $11$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 9 - \frac{3}{2} \cdot (- 2)$

= $- 9 + 3$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +1y = ?

9x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

5x +1y = -10 -3 = -13

9x +4y = -18 -12 = -30

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +1y = -13

9x +4y = -30

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & - 1 & (I) \\ - 9 x & - 6 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & - 1 & (I) \\ - 9 x & - 6 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 2 y$	=	$- 1$
$2 y + 3 x$	=	$- 1$	\| $- 3 x$
$2 y$	=	$- 1 - 3 x$	\|: $2$
$y$	=	$- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} x) & (I) \\ - 9 x & - 6 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 9 x - 6 \cdot (- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} x)$	=	$4$
$- 9 x + 3 + 9 x$	=	$4$
$3$	=	$4$	\| $- 3$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 8 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 246 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 2 LED-Leuchtmittel und 5 Halogenleuchten zusammen 156 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 8 y & = & 246 & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & 156 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 8 y$	=	$246$
$8 y + 2 x$	=	$246$	\| $- 2 x$
$8 y$	=	$246 - 2 x$	\|: $8$
$y$	=	$\frac{123}{4} - \frac{1}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{123}{4} - \frac{1}{4} x) & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & 156 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{123}{4} - \frac{1}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 5 \cdot (\frac{123}{4} - \frac{1}{4} x)$	=	$156$
$2 x + \frac{615}{4} - \frac{5}{4} x$	=	$156$
$\frac{3}{4} x + \frac{615}{4}$	=	$156$	\|⋅ 4
$4 (\frac{3}{4} x + \frac{615}{4})$	=	$624$
$3 x + 615$	=	$624$	\| $- 615$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{123}{4} - \frac{1}{4} \cdot 3$

= $\frac{123}{4} - \frac{3}{4}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (3|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-4) und B(2|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-7): -7 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 +1b +c |-1
-7 = 4 +2b +c |-4

-5 = 1b +c
-11 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 11$
$c + 2 b$	=	$- 11$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 11 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 11 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 11 - 2 b)$	=	$- 5$
$b - 11 - 2 b$	=	$- 5$
$- b - 11$	=	$- 5$	\| $+ 11$
$- b$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 - 2 \cdot (- 6)$

= $- 11 + 12$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-9) und B(4|-18) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-9): -9 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-18): -18 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-9 = 1 +1b +c |-1
-18 = 16 +4b +c |-16

-10 = 1b +c
-34 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 10 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 34 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 34$
$c + 4 b$	=	$- 34$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 34 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 10 & (I) \\ + c & = & (- 34 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 34 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 34 - 4 b)$	=	$- 10$
$b - 34 - 4 b$	=	$- 10$
$- 3 b - 34$	=	$- 10$	\| $+ 34$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 34 - 4 \cdot (- 8)$

= $- 34 + 32$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 18$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-18).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 2$ = $16 - 32 - 2$ = -18

also: S(4|-18).

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1. Weg

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