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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 3 y$ = $- 8$ .

Bestimme x so, dass (x|0) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 x + 3 \cdot 0$ = $- 8$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 2 x + 3 \cdot 0$	=	$- 8$
$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (4|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 4 y$ = $12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-3)
denn 3⋅0 -4⋅( - 3 ) = 0 +12 = $12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|-6)
denn 3⋅( - 4 ) -4⋅( - 6 ) = -12 +24 = $12$

Oder : (4|0)
denn 3⋅4 -4⋅0 = 12 +0 = $12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & = & 15 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & = & 15 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 5 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 5) + 4 y$	=	$- 17$
$- 5 + 4 y$	=	$- 17$
$4 y - 5$	=	$- 17$	\| $+ 5$
$4 y$	=	$- 12$	\|: $4$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 20 & (I) \\ x & - y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 20 & (I) \\ x & - y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x - y$	=	$10$
$- y + x$	=	$10$	\| $- x$
$- y$	=	$10 - x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 10 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 20 & (I) \\ + y & = & (- 10 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 10 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 1 \cdot (- 10 + x)$	=	$20$
$4 x - 10 + x$	=	$20$
$5 x - 10$	=	$20$	\| $+ 10$
$5 x$	=	$30$	\|: $5$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 10 + 6$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 1 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 1 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 2 y$	=	$- 1$
$2 y - 3 x$	=	$- 1$	\| $+ 3 x$
$2 y$	=	$- 1 + 3 x$	\|: $2$
$y$	=	$- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} x) & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 3 \cdot (- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} x)$	=	$- 10$
$4 x - \frac{3}{2} + \frac{9}{2} x$	=	$- 10$
$\frac{17}{2} x - \frac{3}{2}$	=	$- 10$	\|⋅ 2
$2 (\frac{17}{2} x - \frac{3}{2})$	=	$- 20$
$17 x - 3$	=	$- 20$	\| $+ 3$
$17 x$	=	$- 17$	\|: $17$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2}$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- x + 3 y$	=	$- 3 x + 4 - y$			(I)
$27$	=	$- 3 x + 5 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- x + 3 y$	=	$- 3 x + 4 - y$	\| + $3 x + y$		(I)
$27$	=	$- 3 x + 5 y$	\| $- 27 + 3 x - 5 y$		(II)

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & 4 & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 4 y$	=	$4$
$4 y + 2 x$	=	$4$	\| $- 2 x$
$4 y$	=	$4 - 2 x$	\|: $4$
$y$	=	$1 - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 - \frac{1}{2} x) & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 5 \cdot (1 - \frac{1}{2} x)$	=	$- 27$
$3 x - 5 + \frac{5}{2} x$	=	$- 27$
$\frac{11}{2} x - 5$	=	$- 27$	\|⋅ 2
$2 (\frac{11}{2} x - 5)$	=	$- 54$
$11 x - 10$	=	$- 54$	\| $+ 10$
$11 x$	=	$- 44$	\|: $11$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1 - \frac{1}{2} \cdot (- 4)$

= $1 + 2$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +1y = ?

-1x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

2x +1y = -4 +4 = 0

-1x +2y = 2 +8 = 10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +1y = 0

-1x +2y = 10

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 8 x & - 12 y & = & - 8 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 8 x & - 12 y & = & - 8 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x - 12 y$	=	$- 8$
$- 12 y + 8 x$	=	$- 8$	\| $- 8 x$
$- 12 y$	=	$- 8 - 8 x$	\|:( $- 12$ )
$y$	=	$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{2}{3} + \frac{2}{3} x) & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{2}{3} + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 3 \cdot (\frac{2}{3} + \frac{2}{3} x)$	=	$2$
$- 2 x + 2 + 2 x$	=	$2$
$2$	=	$2$	\| $- 2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 228 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 162 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 8 x & + 9 y & = & 228 & (I) \\ 7 x & + 6 y & = & 162 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x + 9 y$	=	$228$
$9 y + 8 x$	=	$228$	\| $- 8 x$
$9 y$	=	$228 - 8 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{76}{3} - \frac{8}{9} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{76}{3} - \frac{8}{9} x) & (I) \\ 7 x & + 6 y & = & 162 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{76}{3} - \frac{8}{9} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x + 6 \cdot (\frac{76}{3} - \frac{8}{9} x)$	=	$162$
$7 x + 152 - \frac{16}{3} x$	=	$162$
$\frac{5}{3} x + 152$	=	$162$	\|⋅ 3
$3 (\frac{5}{3} x + 152)$	=	$486$
$5 x + 456$	=	$486$	\| $- 456$
$5 x$	=	$30$	\|: $5$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{76}{3} - \frac{8}{9} \cdot 6$

= $\frac{76}{3} - \frac{16}{3}$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (6|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|4) und B(4|43) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|4): 4 = 1² + b⋅1 +c

B(4|43): 43 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 +1b +c |-1
43 = 16 +4b +c |-16

3 = 1b +c
27 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ 4 b & + c & = & 27 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$27$
$c + 4 b$	=	$27$	\| $- 4 b$
$c$	=	$27 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (27 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $27 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (27 - 4 b)$	=	$3$
$b + 27 - 4 b$	=	$3$
$- 3 b + 27$	=	$3$	\| $- 27$
$- 3 b$	=	$- 24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $27 - 4 \cdot 8$

= $27 - 32$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-5)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(-2|15) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|15): 15 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
15 = 4 -2b +c |-4

7 = -1b +c
11 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$11$
$c - 2 b$	=	$11$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$11 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (11 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (11 + 2 b)$	=	$7$
$- b + 11 + 2 b$	=	$7$
$b + 11$	=	$7$	\| $- 11$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 + 2 \cdot (- 4)$

= $11 - 8$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 3$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 + 3$

= ${(x - 2)}^{2} - 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 + 3$ = $4 - 8 + 3$ = -1

also: S(2|-1).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg