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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 5 y$ = $- 6$ .

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$3 \cdot (- 2) - 5 y$ = $- 6$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3 \cdot (- 2) - 5 y$	=	$- 6$
$- 6 - 5 y$	=	$- 6$
$- 5 y - 6$	=	$- 6$	\| $+ 6$
$- 5 y$	=	0	\|:( $- 5$ )
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (-2|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 5 y$ = $- 10$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|3)
denn 5⋅1 -5⋅3 = 5 -15 = $- 10$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|-2)
denn 5⋅( - 4 ) -5⋅( - 2 ) = -20 +10 = $- 10$

Oder : (6|8)
denn 5⋅6 -5⋅8 = 30 -40 = $- 10$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & = & - 6 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & = & - 6 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 2 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot 2 + 2 y$	=	$- 16$
$- 6 + 2 y$	=	$- 16$
$2 y - 6$	=	$- 16$	\| $+ 6$
$2 y$	=	$- 10$	\|: $2$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 15 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 15 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$- 15$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$- 15 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 15 & (I) \\ x & = & (- 15 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 15 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 15 + 4 y) + y$	=	$15$
$- 30 + 8 y + y$	=	$15$
$9 y - 30$	=	$15$	\| $+ 30$
$9 y$	=	$45$	\|: $9$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 15 + 4 \cdot 5$

= $- 15 + 20$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & - 22 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & - 22 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 5 y$	=	$- 22$
$- 5 y + 2 x$	=	$- 22$	\| $- 2 x$
$- 5 y$	=	$- 22 - 2 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$\frac{22}{5} + \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{22}{5} + \frac{2}{5} x) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{22}{5} + \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (\frac{22}{5} + \frac{2}{5} x)$	=	$- 10$
$2 x - \frac{66}{5} - \frac{6}{5} x$	=	$- 10$
$\frac{4}{5} x - \frac{66}{5}$	=	$- 10$	\|⋅ 5
$5 (\frac{4}{5} x - \frac{66}{5})$	=	$- 50$
$4 x - 66$	=	$- 50$	\| $+ 66$
$4 x$	=	$16$	\|: $4$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{22}{5} + \frac{2}{5} \cdot 4$

= $\frac{22}{5} + \frac{8}{5}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (4|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- x - 2 + 3 y$	=	$5$			(I)
$1 - 2 y$	=	$3 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- x - 2 + 3 y$	=	$5$	\| + $2$		(I)
$1 - 2 y$	=	$3 x$	\| $- 1 - 3 x$		(II)

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & 7 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 3 y$	=	$7$	\| $- 3 y$
$- x$	=	$7 - 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 7 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 7 + 3 y) & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 7 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 7 + 3 y) - 2 y$	=	$- 1$
$21 - 9 y - 2 y$	=	$- 1$
$- 11 y + 21$	=	$- 1$	\| $- 21$
$- 11 y$	=	$- 22$	\|:( $- 11$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 7 + 3 \cdot 2$

= $- 7 + 6$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -5y = ?

-5x -16y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-2x -5y = -8 -25 = -33

-5x -16y = -20 -80 = -100

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -5y = -33

-5x -16y = -100

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & - 2 y & = & - 12 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 2 y & = & - 12 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 2 y$	=	$- 12$
$- 2 y - 5 x$	=	$- 12$	\| $+ 5 x$
$- 2 y$	=	$- 12 + 5 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$6 - \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (6 - \frac{5}{2} x) & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $6 - \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 2 \cdot (6 - \frac{5}{2} x)$	=	$- 24$
$- 4 x + 12 - 5 x$	=	$- 24$
$- 9 x + 12$	=	$- 24$	\| $- 12$
$- 9 x$	=	$- 36$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $6 - \frac{5}{2} \cdot 4$

= $6 - 10$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 780 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 6 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 700 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & - 3 y & = & 780 & (I) \\ 6 x & - 5 y & = & 700 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x - 3 y$	=	$780$
$- 3 y + 6 x$	=	$780$	\| $- 6 x$
$- 3 y$	=	$780 - 6 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 260 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 260 + 2 x) & (I) \\ 6 x & - 5 y & = & 700 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 260 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 5 \cdot (- 260 + 2 x)$	=	$700$
$6 x + 1 300 - 10 x$	=	$700$
$- 4 x + 1 300$	=	$700$	\| $- 1 300$
$- 4 x$	=	$- 600$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 260 + 2 \cdot 150$

= $- 260 + 300$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (150|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-7) und B(-4|-10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-7): -7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-10): -10 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 -1b +c |-1
-10 = 16 -4b +c |-16

-8 = -1b +c
-26 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 26$
$c - 4 b$	=	$- 26$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 26 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 8 & (I) \\ + c & = & (- 26 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 26 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 26 + 4 b)$	=	$- 8$
$- b - 26 + 4 b$	=	$- 8$
$3 b - 26$	=	$- 8$	\| $+ 26$
$3 b$	=	$18$	\|: $3$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 26 + 4 \cdot 6$

= $- 26 + 24$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|5) und B(-3|17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|5): 5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|17): 17 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 -1b +c |-1
17 = 9 -3b +c |-9

4 = -1b +c
8 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$8$
$c - 3 b$	=	$8$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$8 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (8 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $8 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (8 + 3 b)$	=	$4$
$- b + 8 + 3 b$	=	$4$
$2 b + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$2 b$	=	$- 4$	\|: $2$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $8 + 3 \cdot (- 2)$

= $8 - 6$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 2$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 2$

= ${(x - 1)}^{2} + 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 2$ = $1 - 2 + 2$ = 1

also: S(1|1).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg