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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 4 y$ = $- 9$ .

Bestimme y so, dass (-7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$- (- 7) + 4 y$ = $- 9$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- (- 7) + 4 y$	=	$- 9$
$7 + 4 y$	=	$- 9$
$4 y + 7$	=	$- 9$	\| $- 7$
$4 y$	=	$- 16$	\|: $4$
$y$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (-7|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 4 y$ = $42$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|7)
denn 2⋅7 +4⋅7 = 14 +28 = $42$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (11|5)
denn 2⋅11 +4⋅5 = 22 +20 = $42$

Oder : (3|9)
denn 2⋅3 +4⋅9 = 6 +36 = $42$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 8 & (I) \\ + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $6$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 3 \cdot 6$	=	$- 8$
$- 2 x - 18$	=	$- 8$	\| $+ 18$
$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 5 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 5 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$5$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$5 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (5 + 4 y) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $5 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (5 + 4 y) - 3 y$	=	$7$
$20 + 16 y - 3 y$	=	$7$
$13 y + 20$	=	$7$	\| $- 20$
$13 y$	=	$- 13$	\|: $13$
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $5 + 4 \cdot (- 1)$

= $5 - 4$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & 10 & (I) \\ x & + 4 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & 10 & (I) \\ x & + 4 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$1$	\| $- 4 y$
$x$	=	$1 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & 10 & (I) \\ x & = & (1 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $1 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 5 \cdot (1 - 4 y) - 5 y$	=	$10$
$- 5 + 20 y - 5 y$	=	$10$
$15 y - 5$	=	$10$	\| $+ 5$
$15 y$	=	$15$	\|: $15$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $1 - 4 \cdot 1$

= $1 - 4$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{5} x & + \frac{1}{5} y & = & - 1 & (I) \\ \frac{1}{5} x & + \frac{1}{4} y & = & - \frac{19}{20} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{5} x & + \frac{1}{5} y & = & - 1 & (I) \\ \frac{1}{5} x & + \frac{1}{4} y & = & - \frac{19}{20} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{1}{5} x + \frac{1}{5} y$	=	$- 1$
$\frac{1}{5} y + \frac{1}{5} x$	=	$- 1$	\|⋅ 5
$5 (\frac{1}{5} y + \frac{1}{5} x)$	=	$- 5$
$y + x$	=	$- 5$	\| $- x$
$y$	=	$- 5 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 5 - x) & (I) \\ \frac{1}{5} x & + \frac{1}{4} y & = & - \frac{19}{20} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 5 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{5} x + \frac{1}{4} \cdot (- 5 - x)$	=	$- \frac{19}{20}$
$\frac{1}{5} x - \frac{5}{4} - \frac{1}{4} x$	=	$- \frac{19}{20}$
$- \frac{1}{20} x - \frac{5}{4}$	=	$- \frac{19}{20}$	\|⋅ 20
$20 (- \frac{1}{20} x - \frac{5}{4})$	=	$- 19$
$- x - 25$	=	$- 19$	\| $+ 25$
$- x$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5 - (- 6)$

= $- 5 + 6$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +3y = ?

-3x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-4x +3y = -8 -12 = -20

-3x +3y = -6 -12 = -18

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +3y = -20

-3x +3y = -18

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 12 x & + 16 y & = & 4 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 12 x & + 16 y & = & 4 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$12 x + 16 y$	=	$4$
$16 y + 12 x$	=	$4$	\| $- 12 x$
$16 y$	=	$4 - 12 x$	\|: $16$
$y$	=	$\frac{1}{4} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{4} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{4} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (\frac{1}{4} - \frac{3}{4} x)$	=	$- 1$
$- 3 x - 1 + 3 x$	=	$- 1$
$- 1$	=	$- 1$	\| $+ 1$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 180 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 370 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & 180 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 370 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 3 y$	=	$180$
$- 3 y + 2 x$	=	$180$	\| $- 2 x$
$- 3 y$	=	$180 - 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 60 + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 60 + \frac{2}{3} x) & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 370 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 60 + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 2 \cdot (- 60 + \frac{2}{3} x)$	=	$370$
$3 x + 120 - \frac{4}{3} x$	=	$370$
$\frac{5}{3} x + 120$	=	$370$	\|⋅ 3
$3 (\frac{5}{3} x + 120)$	=	$1 110$
$5 x + 360$	=	$1 110$	\| $- 360$
$5 x$	=	$750$	\|: $5$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 60 + \frac{2}{3} \cdot 150$

= $- 60 + 100$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (150|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|15) und B(4|60) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|15): 15 = 1² + b⋅1 +c

B(4|60): 60 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
15 = 1 +1b +c |-1
60 = 16 +4b +c |-16

14 = 1b +c
44 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 14 & (I) \\ 4 b & + c & = & 44 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$44$
$c + 4 b$	=	$44$	\| $- 4 b$
$c$	=	$44 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 14 & (I) \\ + c & = & (44 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $44 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (44 - 4 b)$	=	$14$
$b + 44 - 4 b$	=	$14$
$- 3 b + 44$	=	$14$	\| $- 44$
$- 3 b$	=	$- 30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $44 - 4 \cdot 10$

= $44 - 40$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|4)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|6) und B(2|15) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(2|15): 15 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
15 = 4 +2b +c |-4

5 = 1b +c
11 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$11$
$c + 2 b$	=	$11$	\| $- 2 b$
$c$	=	$11 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (11 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (11 - 2 b)$	=	$5$
$b + 11 - 2 b$	=	$5$
$- b + 11$	=	$5$	\| $- 11$
$- b$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 - 2 \cdot 6$

= $11 - 12$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 - 1$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 - 1$

= ${(x + 3)}^{2} - 10$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-10).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) - 1$ = $9 - 18 - 1$ = -10

also: S(-3|-10).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg