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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - y$ = $6$ .

Bestimme y so, dass (2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$3 \cdot 2 - y$ = $6$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3 \cdot 2 - y$	=	$6$
$6 - y$	=	$6$
$- y + 6$	=	$6$	\| $- 6$
$- y$	=	0	\|:( $- 1$ )
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (2|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 4 y$ = $23$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|2)
denn -5⋅( - 3 ) +4⋅2 = 15 +8 = $23$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|7)
denn -5⋅1 +4⋅7 = -5 +28 = $23$

Oder : (-7|-3)
denn -5⋅( - 7 ) +4⋅( - 3 ) = 35 -12 = $23$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & = & 20 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & = & 20 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$20$	\|: $4$
$x$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 5 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot 5 - 2 y$	=	$- 8$
$- 20 - 2 y$	=	$- 8$
$- 2 y - 20$	=	$- 8$	\| $+ 20$
$- 2 y$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & - 8 & (I) \\ 3 x & + y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - y & = & - 8 & (I) \\ 3 x & + y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$- 22$
$y + 3 x$	=	$- 22$	\| $- 3 x$
$y$	=	$- 22 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & - 8 & (I) \\ + y & = & (- 22 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 22 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 1 \cdot (- 22 - 3 x)$	=	$- 8$
$2 x + 22 + 3 x$	=	$- 8$
$5 x + 22$	=	$- 8$	\| $- 22$
$5 x$	=	$- 30$	\|: $5$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 22 - 3 \cdot (- 6)$

= $- 22 + 18$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - y & = & 22 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - y & = & 22 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x - y$	=	$22$
$- y + 4 x$	=	$22$	\| $- 4 x$
$- y$	=	$22 - 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 22 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 22 + 4 x) & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 22 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 3 \cdot (- 22 + 4 x)$	=	$- 18$
$- 2 x + 66 - 12 x$	=	$- 18$
$- 14 x + 66$	=	$- 18$	\| $- 66$
$- 14 x$	=	$- 84$	\|:( $- 14$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 22 + 4 \cdot 6$

= $- 22 + 24$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & + \frac{1}{2} y & = & - 1 & (I) \\ - 3 x & - \frac{3}{4} y & = & - \frac{39}{4} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & + \frac{1}{2} y & = & - 1 & (I) \\ - 3 x & - \frac{3}{4} y & = & - \frac{39}{4} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y$	=	$- 1$
$\frac{1}{2} y - \frac{1}{2} x$	=	$- 1$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} y - \frac{1}{2} x)$	=	$- 2$
$y - x$	=	$- 2$	\| $+ x$
$y$	=	$- 2 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 + x) & (I) \\ - 3 x & - \frac{3}{4} y & = & - \frac{39}{4} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - \frac{3}{4} \cdot (- 2 + x)$	=	$- \frac{39}{4}$
$- 3 x + \frac{3}{2} - \frac{3}{4} x$	=	$- \frac{39}{4}$
$- \frac{15}{4} x + \frac{3}{2}$	=	$- \frac{39}{4}$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{15}{4} x + \frac{3}{2})$	=	$- 39$
$- 15 x + 6$	=	$- 39$	\| $- 6$
$- 15 x$	=	$- 45$	\|:( $- 15$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 + 3$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (3|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -5y = ?

4x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

5x -5y = 10 +10 = 20

4x -1y = 8 +2 = 10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -5y = 20

4x -1y = 10

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ - 4 x & - 8 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ - 4 x & - 8 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$2$	\| $- 2 y$
$x$	=	$2 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (2 - 2 y) & (I) \\ - 4 x & - 8 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $2 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (2 - 2 y) - 8 y$	=	$- 7$
$- 8 + 8 y - 8 y$	=	$- 7$
$- 8$	=	$- 7$	\| $+ 8$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 228 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 252 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 5 y & = & 228 & (I) \\ 3 x & + 6 y & = & 252 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 5 y$	=	$228$
$5 y + 7 x$	=	$228$	\| $- 7 x$
$5 y$	=	$228 - 7 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{228}{5} - \frac{7}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{228}{5} - \frac{7}{5} x) & (I) \\ 3 x & + 6 y & = & 252 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{228}{5} - \frac{7}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 6 \cdot (\frac{228}{5} - \frac{7}{5} x)$	=	$252$
$3 x + \frac{1368}{5} - \frac{42}{5} x$	=	$252$
$- \frac{27}{5} x + \frac{1368}{5}$	=	$252$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{27}{5} x + \frac{1368}{5})$	=	$1 260$
$- 27 x + 1 368$	=	$1 260$	\| $- 1 368$
$- 27 x$	=	$- 108$	\|:( $- 27$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{228}{5} - \frac{7}{5} \cdot 4$

= $\frac{228}{5} - \frac{28}{5}$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (4|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|6) und B(-2|-15) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-15): -15 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
-15 = 4 -2b +c |-4

5 = 1b +c
-19 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 19$
$c - 2 b$	=	$- 19$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 19 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (- 19 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 19 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 19 + 2 b)$	=	$5$
$b - 19 + 2 b$	=	$5$
$3 b - 19$	=	$5$	\| $+ 19$
$3 b$	=	$24$	\|: $3$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 19 + 2 \cdot 8$

= $- 19 + 16$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-3)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|12) und B(2|-15) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|12): 12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-15): -15 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 -1b +c |-1
-15 = 4 +2b +c |-4

11 = -1b +c
-19 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 11 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 19$
$c + 2 b$	=	$- 19$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 19 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 11 & (I) \\ + c & = & (- 19 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 19 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 19 - 2 b)$	=	$11$
$- b - 19 - 2 b$	=	$11$
$- 3 b - 19$	=	$11$	\| $+ 19$
$- 3 b$	=	$30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 19 - 2 \cdot (- 10)$

= $- 19 + 20$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|1)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 + 1$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 + 1$

= ${(x - 5)}^{2} - 24$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-24).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 + 1$ = $25 - 50 + 1$ = -24

also: S(5|-24).

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1. Weg

2. Weg