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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 5 y$ = $- 30$ .

Bestimme y so, dass (5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 \cdot 5 + 5 y$ = $- 30$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 4 \cdot 5 + 5 y$	=	$- 30$
$- 20 + 5 y$	=	$- 30$
$5 y - 20$	=	$- 30$	\| $+ 20$
$5 y$	=	$- 10$	\|: $5$
$y$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (5|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - y$ = $3$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|0)
denn 1⋅3 -1⋅0 = 3 +0 = $3$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-1)
denn 1⋅2 -1⋅( - 1 ) = 2 +1 = $3$

Oder : (4|1)
denn 1⋅4 -1⋅1 = 4 -1 = $3$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 7 & (I) \\ - 3 x & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 7 & (I) \\ - 3 x & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 7 & (I) \\ x & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 2) + y$	=	$7$
$4 + y$	=	$7$
$y + 4$	=	$7$	\| $- 4$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 2 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 2 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$2$	\| $- 3 y$
$x$	=	$2 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (2 - 3 y) & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $2 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (2 - 3 y) + 4 y$	=	$- 8$
$8 - 12 y + 4 y$	=	$- 8$
$- 8 y + 8$	=	$- 8$	\| $- 8$
$- 8 y$	=	$- 16$	\|:( $- 8$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $2 - 3 \cdot 2$

= $2 - 6$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & - 6 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & - 6 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 3 y$	=	$- 6$
$3 y - 3 x$	=	$- 6$	\| $+ 3 x$
$3 y$	=	$- 6 + 3 x$	\|: $3$
$y$	=	$- 2 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 + x) & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 3 \cdot (- 2 + x)$	=	0
$- 3 x + 6 - 3 x$	=	0
$- 6 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 6 x$	=	$- 6$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 + 1$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{5} y & = & - \frac{23}{10} & (I) \\ \frac{2}{3} x & + \frac{2}{5} y & = & \frac{44}{15} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{5} y & = & - \frac{23}{10} & (I) \\ \frac{2}{3} x & + \frac{2}{5} y & = & \frac{44}{15} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{1}{2} x - \frac{1}{5} y$	=	$- \frac{23}{10}$
$- \frac{1}{5} y - \frac{1}{2} x$	=	$- \frac{23}{10}$	\|⋅ 10
$10 (- \frac{1}{5} y - \frac{1}{2} x)$	=	$- 23$
$- 2 y - 5 x$	=	$- 23$	\| $+ 5 x$
$- 2 y$	=	$- 23 + 5 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$\frac{23}{2} - \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{23}{2} - \frac{5}{2} x) & (I) \\ \frac{2}{3} x & + \frac{2}{5} y & = & \frac{44}{15} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{23}{2} - \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{2}{3} x + \frac{2}{5} \cdot (\frac{23}{2} - \frac{5}{2} x)$	=	$\frac{44}{15}$
$\frac{2}{3} x + \frac{23}{5} - x$	=	$\frac{44}{15}$
$- \frac{1}{3} x + \frac{23}{5}$	=	$\frac{44}{15}$	\|⋅ 15
$15 (- \frac{1}{3} x + \frac{23}{5})$	=	$44$
$- 5 x + 69$	=	$44$	\| $- 69$
$- 5 x$	=	$- 25$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{23}{2} - \frac{5}{2} \cdot 5$

= $\frac{23}{2} - \frac{25}{2}$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +2y = ?

-6x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-4x +2y = -20 -4 = -24

-6x +6y = -30 -12 = -42

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +2y = -24

-6x +6y = -42

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 1 & (I) \\ 12 x & + 8 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 1 & (I) \\ 12 x & + 8 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 2 y$	=	$1$
$- 2 y - 3 x$	=	$1$	\| $+ 3 x$
$- 2 y$	=	$1 + 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} x) & (I) \\ 12 x & + 8 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$12 x + 8 \cdot (- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} x)$	=	$- 5$
$12 x - 4 - 12 x$	=	$- 5$
$- 4$	=	$- 5$	\| $+ 4$
0	=	$- 1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 5 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 585 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 6 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 790 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 3 y & = & 585 & (I) \\ 6 x & - 2 y & = & 790 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 3 y$	=	$585$
$- 3 y + 5 x$	=	$585$	\| $- 5 x$
$- 3 y$	=	$585 - 5 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 195 + \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 195 + \frac{5}{3} x) & (I) \\ 6 x & - 2 y & = & 790 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 195 + \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 2 \cdot (- 195 + \frac{5}{3} x)$	=	$790$
$6 x + 390 - \frac{10}{3} x$	=	$790$
$\frac{8}{3} x + 390$	=	$790$	\|⋅ 3
$3 (\frac{8}{3} x + 390)$	=	$2 370$
$8 x + 1 170$	=	$2 370$	\| $- 1 170$
$8 x$	=	$1 200$	\|: $8$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 195 + \frac{5}{3} \cdot 150$

= $- 195 + 250$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (150|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|11) und B(2|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|11): 11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-4): -4 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
11 = 1 -1b +c |-1
-4 = 4 +2b +c |-4

10 = -1b +c
-8 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 10 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 8$
$c + 2 b$	=	$- 8$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 8 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 10 & (I) \\ + c & = & (- 8 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 8 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 8 - 2 b)$	=	$10$
$- b - 8 - 2 b$	=	$10$
$- 3 b - 8$	=	$10$	\| $+ 8$
$- 3 b$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 8 - 2 \cdot (- 6)$

= $- 8 + 12$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|0) und B(-1|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
-4 = 1 -1b +c |-1

-1 = 1b +c
-5 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ - b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 5$
$c - b$	=	$- 5$	\| $+ b$
$c$	=	$- 5 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (- 5 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 5 + b)$	=	$- 1$
$b - 5 + b$	=	$- 1$
$2 b - 5$	=	$- 1$	\| $+ 5$
$2 b$	=	$4$	\|: $2$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 + 2$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 3$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 3$

= ${(x + 1)}^{2} - 4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 3$ = $1 - 2 - 3$ = -4

also: S(-1|-4).

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1. Weg

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