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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 3 y$ = $3$ .

Bestimme x so, dass (x|-1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x - 3 \cdot (- 1)$ = $3$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (- 1)$	=	$3$
$2 x + 3$	=	$3$	\| $- 3$
$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 3 y$ = $- 11$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|6)
denn 1⋅7 -3⋅6 = 7 -18 = $- 11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|5)
denn 1⋅4 -3⋅5 = 4 -15 = $- 11$

Oder : (10|7)
denn 1⋅10 -3⋅7 = 10 -21 = $- 11$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 y & = & - 24 & (I) \\ - x & - 2 y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 y & = & - 24 & (I) \\ - x & - 2 y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$- 24$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 6 & (I) \\ - x & - 2 y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x - 2 \cdot 6$	=	$- 13$
$- x - 12$	=	$- 13$	\| $+ 12$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 12 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 12 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$- 12$
$y - 3 x$	=	$- 12$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$- 12 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 12 + 3 x) & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 12 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 4 \cdot (- 12 + 3 x)$	=	0
$- 4 x + 48 - 12 x$	=	0
$- 16 x + 48$	=	0	\| $- 48$
$- 16 x$	=	$- 48$	\|:( $- 16$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 12 + 3 \cdot 3$

= $- 12 + 9$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 24 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 24 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 4 y$	=	$24$
$4 y + 4 x$	=	$24$	\| $- 4 x$
$4 y$	=	$24 - 4 x$	\|: $4$
$y$	=	$6 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (6 - x) & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $6 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 4 \cdot (6 - x)$	=	$16$
$- 4 x + 24 - 4 x$	=	$16$
$- 8 x + 24$	=	$16$	\| $- 24$
$- 8 x$	=	$- 8$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $6 - 1$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$7 - 2 y$	=	$x - 2$			(I)
$- 14$	=	$- 4 x + 3 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$7 - 2 y$	=	$x - 2$	\| $- 7 - x$		(I)
$- 14$	=	$- 4 x + 3 y$	\| + $14 + 4 x - 3 y$		(II)

\begin{matrix} - x & - 2 y & = & - 9 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 2 y$	=	$- 9$	\| $+ 2 y$
$- x$	=	$- 9 + 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$9 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (9 - 2 y) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $9 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (9 - 2 y) - 3 y$	=	$14$
$36 - 8 y - 3 y$	=	$14$
$- 11 y + 36$	=	$14$	\| $- 36$
$- 11 y$	=	$- 22$	\|:( $- 11$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $9 - 2 \cdot 2$

= $9 - 4$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -3y = ?

-5x -12y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-1x -3y = 1 +6 = 7

-5x -12y = 5 +24 = 29

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -3y = 7

-5x -12y = 29

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 5 x & + y & = & - 22 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + y & = & - 22 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$13$
$y - 2 x$	=	$13$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$13 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 5 x & + y & = & - 22 & (I) \\ + y & = & (13 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $13 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 1 \cdot (13 + 2 x)$	=	$- 22$
$5 x + 13 + 2 x$	=	$- 22$
$7 x + 13$	=	$- 22$	\| $- 13$
$7 x$	=	$- 35$	\|: $7$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $13 + 2 \cdot (- 5)$

= $13 - 10$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 2 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 76 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 284 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 8 x & + 2 y & = & 76 & (I) \\ 7 x & + 9 y & = & 284 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x + 2 y$	=	$76$
$2 y + 8 x$	=	$76$	\| $- 8 x$
$2 y$	=	$76 - 8 x$	\|: $2$
$y$	=	$38 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (38 - 4 x) & (I) \\ 7 x & + 9 y & = & 284 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $38 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x + 9 \cdot (38 - 4 x)$	=	$284$
$7 x + 342 - 36 x$	=	$284$
$- 29 x + 342$	=	$284$	\| $- 342$
$- 29 x$	=	$- 58$	\|:( $- 29$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $38 - 4 \cdot 2$

= $38 - 8$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (2|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-2) und B(4|-11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-11): -11 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
-11 = 16 +4b +c |-16

-3 = 1b +c
-27 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 27 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 27$
$c + 4 b$	=	$- 27$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 27 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 27 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 27 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 27 - 4 b)$	=	$- 3$
$b - 27 - 4 b$	=	$- 3$
$- 3 b - 27$	=	$- 3$	\| $+ 27$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 27 - 4 \cdot (- 8)$

= $- 27 + 32$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|5)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-2) und B(-2|-1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-1): -1 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 -1b +c |-1
-1 = 4 -2b +c |-4

-3 = -1b +c
-5 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 5$
$c - 2 b$	=	$- 5$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 5 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 5 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 5 + 2 b)$	=	$- 3$
$- b - 5 + 2 b$	=	$- 3$
$b - 5$	=	$- 3$	\| $+ 5$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 + 2 \cdot 2$

= $- 5 + 4$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 1$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 1$

= ${(x + 1)}^{2} - 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 1$ = $1 - 2 - 1$ = -2

also: S(-1|-2).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg