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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 5 y$ = $- 35$ .

Bestimme y so, dass (-5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$2 \cdot (- 5) + 5 y$ = $- 35$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2 \cdot (- 5) + 5 y$	=	$- 35$
$- 10 + 5 y$	=	$- 35$
$5 y - 10$	=	$- 35$	\| $+ 10$
$5 y$	=	$- 25$	\|: $5$
$y$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (-5|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 2 y$ = $18$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|7)
denn -2⋅( - 2 ) +2⋅7 = 4 +14 = $18$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|9)
denn -2⋅0 +2⋅9 = 0 +18 = $18$

Oder : (-4|5)
denn -2⋅( - 4 ) +2⋅5 = 8 +10 = $18$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & = & - 4 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & = & - 4 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 2 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot 2 - 3 y$	=	$- 24$
$- 6 - 3 y$	=	$- 24$
$- 3 y - 6$	=	$- 24$	\| $+ 6$
$- 3 y$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ 4 x & + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ 4 x & + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$5$
$y + 4 x$	=	$5$	\| $- 4 x$
$y$	=	$5 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ + y & = & (5 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $5 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 2 \cdot (5 - 4 x)$	=	$2$
$- 2 x - 10 + 8 x$	=	$2$
$6 x - 10$	=	$2$	\| $+ 10$
$6 x$	=	$12$	\|: $6$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $5 - 4 \cdot 2$

= $5 - 8$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & 18 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 40 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & 18 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 40 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 3 y$	=	$18$	\| $- 3 y$
$- x$	=	$18 - 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 18 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 18 + 3 y) & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 40 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 18 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 5 \cdot (- 18 + 3 y) + 5 y$	=	$40$
$90 - 15 y + 5 y$	=	$40$
$- 10 y + 90$	=	$40$	\| $- 90$
$- 10 y$	=	$- 50$	\|:( $- 10$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 18 + 3 \cdot 5$

= $- 18 + 15$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$9 x - 13 - 2 y$	=	$5 x - y$			(I)
$3 y$	=	$- x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$9 x - 13 - 2 y$	=	$5 x - y$	\| + $13 - 5 x + y$		(I)
$3 y$	=	$- x$	\| + $x$		(II)

\begin{matrix} 4 x & - y & = & 13 & (I) \\ x & + 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	0	\| $- 3 y$
$x$	=	$- 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - y & = & 13 & (I) \\ x & = & - 3 y & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 3 y$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 3 y) - y$	=	$13$
$- 12 y - y$	=	$13$
$- 13 y$	=	$13$	\|:( $- 13$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 3 \cdot (- 1)$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +3y = ?

6x +10y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

2x +3y = 10 +3 = 13

6x +10y = 30 +10 = 40

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +3y = 13

6x +10y = 40

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & + y & = & - 1 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + y & = & - 1 & (I) \\ - x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 2 y$	=	$2$	\| $+ 2 y$
$- x$	=	$2 + 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + y & = & - 1 & (I) \\ x & = & (- 2 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 2 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 2 - 2 y) + y$	=	$- 1$
$- 2 - 2 y + y$	=	$- 1$
$- y - 2$	=	$- 1$	\| $+ 2$
$- y$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 2 - 2 \cdot (- 1)$

= $- 2 + 2$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 7. Wenn man aber vom 6-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 27. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 7 & (I) \\ 6 x & - 3 y & = & 27 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$7$	\| $- 2 y$
$x$	=	$7 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (7 - 2 y) & (I) \\ 6 x & - 3 y & = & 27 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (7 - 2 y) - 3 y$	=	$27$
$42 - 12 y - 3 y$	=	$27$
$- 15 y + 42$	=	$27$	\| $- 42$
$- 15 y$	=	$- 15$	\|:( $- 15$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7 - 2 \cdot 1$

= $7 - 2$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 1

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|3) und B(-3|7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|3): 3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|7): 7 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 -1b +c |-1
7 = 9 -3b +c |-9

2 = -1b +c
-2 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 2 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 2$
$c - 3 b$	=	$- 2$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 2 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 2 & (I) \\ + c & = & (- 2 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 2 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 2 + 3 b)$	=	$2$
$- b - 2 + 3 b$	=	$2$
$2 b - 2$	=	$2$	\| $+ 2$
$2 b$	=	$4$	\|: $2$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 2 + 3 \cdot 2$

= $- 2 + 6$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|11) und B(-2|-10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|11): 11 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-10): -10 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
11 = 1 +1b +c |-1
-10 = 4 -2b +c |-4

10 = 1b +c
-14 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 10 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 14$
$c - 2 b$	=	$- 14$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 14 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 10 & (I) \\ + c & = & (- 14 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 14 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 14 + 2 b)$	=	$10$
$b - 14 + 2 b$	=	$10$
$3 b - 14$	=	$10$	\| $+ 14$
$3 b$	=	$24$	\|: $3$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 14 + 2 \cdot 8$

= $- 14 + 16$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (8|2)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 + 2$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 + 2$

= ${(x + 4)}^{2} - 14$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-14).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) + 2$ = $16 - 32 + 2$ = -14

also: S(-4|-14).

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1. Weg

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