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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 5 y$ = $20$ .

Bestimme y so, dass (-1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 \cdot (- 1) + 5 y$ = $20$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 5 \cdot (- 1) + 5 y$	=	$20$
$5 + 5 y$	=	$20$
$5 y + 5$	=	$20$	\| $- 5$
$5 y$	=	$15$	\|: $5$
$y$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (-1|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 2 y$ = $- 2$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|0)
denn 1⋅( - 2 ) -2⋅0 = -2 +0 = $- 2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|-1)
denn 1⋅( - 4 ) -2⋅( - 1 ) = -4 +2 = $- 2$

Oder : (0|1)
denn 1⋅0 -2⋅1 = 0 -2 = $- 2$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 9 & (I) \\ - y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 9 & (I) \\ - y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- y$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 9 & (I) \\ + y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x - 3 \cdot 4$	=	$- 9$
$- x - 12$	=	$- 9$	\| $+ 12$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 1 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 1 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$1$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$1 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (1 + 3 y) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $1 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (1 + 3 y) - 3 y$	=	$- 5$
$4 + 12 y - 3 y$	=	$- 5$
$9 y + 4$	=	$- 5$	\| $- 4$
$9 y$	=	$- 9$	\|: $9$
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $1 + 3 \cdot (- 1)$

= $1 - 3$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & 19 & (I) \\ 3 x & - y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & 19 & (I) \\ 3 x & - y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x - y$	=	$- 14$
$- y + 3 x$	=	$- 14$	\| $- 3 x$
$- y$	=	$- 14 - 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$14 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & 19 & (I) \\ + y & = & (14 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $14 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 5 \cdot (14 + 3 x)$	=	$19$
$2 x + 70 + 15 x$	=	$19$
$17 x + 70$	=	$19$	\| $- 70$
$17 x$	=	$- 51$	\|: $17$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $14 + 3 \cdot (- 3)$

= $14 - 9$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2 y$	=	$2 (2 x + 1)$			(I)
$- x + 1 + y$	=	0			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2 y$	=	$2 (2 x + 1)$			(I)
$- x + 1 + y$	=	0			(II)

$2 y$	=	$4 x + 2$	\| $- 4 x$		(I)
$- x + 1 + y$	=	0	\| $- 1$		(II)

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ - x & + y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x + y$	=	$- 1$
$y - x$	=	$- 1$	\| $+ x$
$y$	=	$- 1 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ + y & = & (- 1 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 1 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 2 \cdot (- 1 + x)$	=	$2$
$- 4 x - 2 + 2 x$	=	$2$
$- 2 x - 2$	=	$2$	\| $+ 2$
$- 2 x$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 1 - 2$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -4y = ?

-1x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

1x -4y = -1 -8 = -9

-1x +2y = 1 +4 = 5

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -4y = -9

-1x +2y = 5

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & 21 & (I) \\ 2 x & - y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & 21 & (I) \\ 2 x & - y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x - y$	=	$- 1$
$- y + 2 x$	=	$- 1$	\| $- 2 x$
$- y$	=	$- 1 - 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$1 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & 21 & (I) \\ + y & = & (1 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 5 \cdot (1 + 2 x)$	=	$21$
$- 3 x - 5 - 10 x$	=	$21$
$- 13 x - 5$	=	$21$	\| $+ 5$
$- 13 x$	=	$26$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $1 + 2 \cdot (- 2)$

= $1 - 4$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 3 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 186 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 220 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 6 y & = & 186 & (I) \\ 5 x & + 7 y & = & 220 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 6 y$	=	$186$
$6 y + 3 x$	=	$186$	\| $- 3 x$
$6 y$	=	$186 - 3 x$	\|: $6$
$y$	=	$31 - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (31 - \frac{1}{2} x) & (I) \\ 5 x & + 7 y & = & 220 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $31 - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 7 \cdot (31 - \frac{1}{2} x)$	=	$220$
$5 x + 217 - \frac{7}{2} x$	=	$220$
$\frac{3}{2} x + 217$	=	$220$	\|⋅ 2
$2 (\frac{3}{2} x + 217)$	=	$440$
$3 x + 434$	=	$440$	\| $- 434$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $31 - \frac{1}{2} \cdot 2$

= $31 - 1$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (2|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

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Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

LGS (vorher umformen)

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LGS Anwendungen