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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 3 y$ = $- 27$ .

Bestimme y so, dass (3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 \cdot 3 - 3 y$ = $- 27$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 2 \cdot 3 - 3 y$	=	$- 27$
$- 6 - 3 y$	=	$- 27$
$- 3 y - 6$	=	$- 27$	\| $+ 6$
$- 3 y$	=	$- 21$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (3|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + 3 y$ = $24$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|5)
denn 3⋅3 +3⋅5 = 9 +15 = $24$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|2)
denn 3⋅6 +3⋅2 = 18 +6 = $24$

Oder : (0|8)
denn 3⋅0 +3⋅8 = 0 +24 = $24$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & = & 4 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $4$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot 4 - 2 y$	=	$- 2$
$- 8 - 2 y$	=	$- 2$
$- 2 y - 8$	=	$- 2$	\| $+ 8$
$- 2 y$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ x & + 4 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ x & + 4 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$24$	\| $- 4 y$
$x$	=	$24 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ x & = & (24 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $24 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (24 - 4 y) - 2 y$	=	$2$
$72 - 12 y - 2 y$	=	$2$
$- 14 y + 72$	=	$2$	\| $- 72$
$- 14 y$	=	$- 70$	\|:( $- 14$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $24 - 4 \cdot 5$

= $24 - 20$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 9 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 9 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$6$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$6 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 9 & (I) \\ x & = & (- 6 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 6 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 6 - 3 y) - y$	=	$9$
$- 12 - 6 y - y$	=	$9$
$- 7 y - 12$	=	$9$	\| $+ 12$
$- 7 y$	=	$21$	\|:( $- 7$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 6 - 3 \cdot (- 3)$

= $- 6 + 9$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 4 x + 5$	=	$13 + 4 y$			(I)
$x + 4 - y$	=	$- 2 (x + 9)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 4 x + 5$	=	$13 + 4 y$			(I)
$x + 4 - y$	=	$- 2 (x + 9)$			(II)

$- 4 x + 5$	=	$13 + 4 y$	\| $- 5 - 4 y$		(I)
$x + 4 - y$	=	$- 2 x - 18$	\| $- 4 + 2 x$		(II)

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 8 & (I) \\ 3 x & - y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x - y$	=	$- 22$
$- y + 3 x$	=	$- 22$	\| $- 3 x$
$- y$	=	$- 22 - 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$22 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & 8 & (I) \\ + y & = & (22 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $22 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 4 \cdot (22 + 3 x)$	=	$8$
$- 4 x - 88 - 12 x$	=	$8$
$- 16 x - 88$	=	$8$	\| $+ 88$
$- 16 x$	=	$96$	\|:( $- 16$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $22 + 3 \cdot (- 6)$

= $22 - 18$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -1y = ?

6x -6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

2x -1y = 4 +2 = 6

6x -6y = 12 +12 = 24

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -1y = 6

6x -6y = 24

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & - 5 y & = & 8 & (I) \\ - 3 x & + y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 5 y & = & 8 & (I) \\ - 3 x & + y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$- 13$
$y - 3 x$	=	$- 13$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$- 13 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 5 y & = & 8 & (I) \\ + y & = & (- 13 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 13 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 5 \cdot (- 13 + 3 x)$	=	$8$
$- 4 x + 65 - 15 x$	=	$8$
$- 19 x + 65$	=	$8$	\| $- 65$
$- 19 x$	=	$- 57$	\|:( $- 19$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 13 + 3 \cdot 3$

= $- 13 + 9$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 11. Wenn man aber vom 6-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -8. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 11 & (I) \\ 6 x & - 7 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$11$	\| $- 5 y$
$x$	=	$11 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (11 - 5 y) & (I) \\ 6 x & - 7 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $11 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (11 - 5 y) - 7 y$	=	$- 8$
$66 - 30 y - 7 y$	=	$- 8$
$- 37 y + 66$	=	$- 8$	\| $- 66$
$- 37 y$	=	$- 74$	\|:( $- 37$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $11 - 5 \cdot 2$

= $11 - 10$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-6) und B(2|3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|3): 3 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
3 = 4 +2b +c |-4

-7 = -1b +c
-1 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 1$
$c + 2 b$	=	$- 1$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 1 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 1 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 1 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 1 - 2 b)$	=	$- 7$
$- b - 1 - 2 b$	=	$- 7$
$- 3 b - 1$	=	$- 7$	\| $+ 1$
$- 3 b$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 1 - 2 \cdot 2$

= $- 1 - 4$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|12) und B(-1|-8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|12): 12 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-8): -8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 +1b +c |-1
-8 = 1 -1b +c |-1

11 = 1b +c
-9 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ - b & + c & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 9$
$c - b$	=	$- 9$	\| $+ b$
$c$	=	$- 9 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ + c & = & (- 9 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 9 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 9 + b)$	=	$11$
$b - 9 + b$	=	$11$
$2 b - 9$	=	$11$	\| $+ 9$
$2 b$	=	$20$	\|: $2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 9 + 10$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|1)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 1$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 1$

= ${(x + 5)}^{2} - 24$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-24).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 1$ = $25 - 50 + 1$ = -24

also: S(-5|-24).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg