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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 4 y$ = $24$ .

Bestimme y so, dass (0|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 \cdot 0 - 4 y$ = $24$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 5 \cdot 0 - 4 y$	=	$24$
$- 4 y$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (0|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 3 y$ = $- 12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|7)
denn 3⋅3 -3⋅7 = 9 -21 = $- 12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|4)
denn 3⋅0 -3⋅4 = 0 -12 = $- 12$

Oder : (6|10)
denn 3⋅6 -3⋅10 = 18 -30 = $- 12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - y & = & 6 & (I) \\ - 3 x & - y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - y & = & 6 & (I) \\ - 3 x & - y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- y$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 6 & (I) \\ - 3 x & - y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 1 \cdot (- 6)$	=	$- 9$
$- 3 x + 6$	=	$- 9$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & 8 & (I) \\ - 4 x & + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & 8 & (I) \\ - 4 x & + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$2$
$y - 4 x$	=	$2$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$2 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & 8 & (I) \\ + y & = & (2 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 3 \cdot (2 + 4 x)$	=	$8$
$- 2 x - 6 - 12 x$	=	$8$
$- 14 x - 6$	=	$8$	\| $+ 6$
$- 14 x$	=	$14$	\|:( $- 14$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2 + 4 \cdot (- 1)$

= $2 - 4$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 0 & (I) \\ - 3 x & + y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 0 & (I) \\ - 3 x & + y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$- 24$
$y - 3 x$	=	$- 24$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$- 24 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 0 & (I) \\ + y & = & (- 24 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 24 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot (- 24 + 3 x)$	=	0
$4 x - 96 + 12 x$	=	0
$16 x - 96$	=	0	\| $+ 96$
$16 x$	=	$96$	\|: $16$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 24 + 3 \cdot 6$

= $- 24 + 18$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$5 (4 + y)$	=	$- 5 x$			(I)
$5 (x - 4) - 4 y$	=	$10 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$5 (4 + y)$	=	$- 5 x$			(I)
$5 (x - 4) - 4 y$	=	$10 x$			(II)

$20 + 5 y$	=	$- 5 x$	\| $- 20 + 5 x$		(I)
$5 x - 20 - 4 y$	=	$10 x$	\| + $20 - 10 x$		(II)

\begin{matrix} 5 x & + 5 y & = & - 20 & (I) \\ - 5 x & - 4 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 5 y$	=	$- 20$
$5 y + 5 x$	=	$- 20$	\| $- 5 x$
$5 y$	=	$- 20 - 5 x$	\|: $5$
$y$	=	$- 4 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 4 - x) & (I) \\ - 5 x & - 4 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 4 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 4 \cdot (- 4 - x)$	=	$20$
$- 5 x + 16 + 4 x$	=	$20$
$- x + 16$	=	$20$	\| $- 16$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 4 - (- 4)$

= $- 4 + 4$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -1y = ?

1x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-1x -1y = -1 -3 = -4

1x -1y = 1 -3 = -2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -1y = -4

1x -1y = -2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 8 x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ 4 x & - y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 8 x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ 4 x & - y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x - y$	=	$1$
$- y + 4 x$	=	$1$	\| $- 4 x$
$- y$	=	$1 - 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 1 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 8 x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ + y & = & (- 1 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 1 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 8 x + 2 \cdot (- 1 + 4 x)$	=	$- 2$
$- 8 x - 2 + 8 x$	=	$- 2$
$- 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 5. Wenn man aber vom 6-fachen von x 5 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 13. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 5 & (I) \\ 6 x & - 5 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$5$	\| $- 2 y$
$x$	=	$5 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (5 - 2 y) & (I) \\ 6 x & - 5 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $5 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (5 - 2 y) - 5 y$	=	$13$
$30 - 12 y - 5 y$	=	$13$
$- 17 y + 30$	=	$13$	\| $- 30$
$- 17 y$	=	$- 17$	\|:( $- 17$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $5 - 2 \cdot 1$

= $5 - 2$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 1

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|9) und B(-3|29) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|29): 29 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 -1b +c |-1
29 = 9 -3b +c |-9

8 = -1b +c
20 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$20$
$c - 3 b$	=	$20$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$20 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (20 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $20 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (20 + 3 b)$	=	$8$
$- b + 20 + 3 b$	=	$8$
$2 b + 20$	=	$8$	\| $- 20$
$2 b$	=	$- 12$	\|: $2$
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $20 + 3 \cdot (- 6)$

= $20 - 18$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-5) und B(3|-1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-1): -1 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
-1 = 9 +3b +c |-9

-6 = 1b +c
-10 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 10$
$c + 3 b$	=	$- 10$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 10 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 10 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 10 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 10 - 3 b)$	=	$- 6$
$b - 10 - 3 b$	=	$- 6$
$- 2 b - 10$	=	$- 6$	\| $+ 10$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 10 - 3 \cdot (- 2)$

= $- 10 + 6$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 - 4$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 - 4$

= ${(x - 1)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 - 4$ = $1 - 2 - 4$ = -5

also: S(1|-5).

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg