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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 4 y$ = $- 8$ .

Bestimme x so, dass (x|2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x - 4 \cdot 2$ = $- 8$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot 2$	=	$- 8$
$4 x - 8$	=	$- 8$	\| $+ 8$
$4 x$	=	0	\|: $4$
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 4 y$ = $- 20$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-3)
denn 2⋅( - 4 ) +4⋅( - 3 ) = -8 -12 = $- 20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|-5)
denn 2⋅0 +4⋅( - 5 ) = 0 -20 = $- 20$

Oder : (-8|-1)
denn 2⋅( - 8 ) +4⋅( - 1 ) = -16 -4 = $- 20$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 y & = & 8 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 y & = & 8 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 2 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 3 \cdot (- 2)$	=	$- 18$
$- 4 x + 6$	=	$- 18$	\| $- 6$
$- 4 x$	=	$- 24$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 2$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 8 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 8 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$- 11$	\| $- 3 y$
$x$	=	$- 11 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 8 & (I) \\ x & = & (- 11 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 11 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 11 - 3 y) + 4 y$	=	$- 8$
$22 + 6 y + 4 y$	=	$- 8$
$10 y + 22$	=	$- 8$	\| $- 22$
$10 y$	=	$- 30$	\|: $10$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 11 - 3 \cdot (- 3)$

= $- 11 + 9$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 12 & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 12 & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x - y$	=	$12$
$- y - 3 x$	=	$12$	\| $+ 3 x$
$- y$	=	$12 + 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 12 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 12 - 3 x) & (I) \\ - 2 x & - 5 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 12 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 5 \cdot (- 12 - 3 x)$	=	$- 18$
$- 2 x + 60 + 15 x$	=	$- 18$
$13 x + 60$	=	$- 18$	\| $- 60$
$13 x$	=	$- 78$	\|: $13$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 12 - 3 \cdot (- 6)$

= $- 12 + 18$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 18$	=	$2 x + 3 y$			(I)
$- 3 (4 + y)$	=	$x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 18$	=	$2 x + 3 y$			(I)
$- 3 (4 + y)$	=	$x$			(II)

$- 18$	=	$2 x + 3 y$	\| + $18 - 2 x - 3 y$		(I)
$- 12 - 3 y$	=	$x$	\| + $12 - x$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & 18 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$12$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$12 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 12 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & 18 & (I) \\ x & = & (- 12 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 12 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 12 - 3 y) - 3 y$	=	$18$
$24 + 6 y - 3 y$	=	$18$
$3 y + 24$	=	$18$	\| $- 24$
$3 y$	=	$- 6$	\|: $3$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 12 - 3 \cdot (- 2)$

= $- 12 + 6$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -2y = ?

1x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

3x -2y = 15 -4 = 11

1x +1y = 5 +2 = 7

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -2y = 11

1x +1y = 7

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 9 x & - 9 y & = & 3 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 9 x & - 9 y & = & 3 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 9 x - 9 y$	=	$3$
$- 9 y - 9 x$	=	$3$	\| $+ 9 x$
$- 9 y$	=	$3 + 9 x$	\|:( $- 9$ )
$y$	=	$- \frac{1}{3} - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{3} - x) & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{3} - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 3 \cdot (- \frac{1}{3} - x)$	=	$- 1$
$3 x - 1 - 3 x$	=	$- 1$
$- 1$	=	$- 1$	\| $+ 1$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 160 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 8 Halogenleuchten zusammen 220 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 5 y & = & 160 & (I) \\ 4 x & + 8 y & = & 220 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 5 y$	=	$160$
$5 y + 7 x$	=	$160$	\| $- 7 x$
$5 y$	=	$160 - 7 x$	\|: $5$
$y$	=	$32 - \frac{7}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (32 - \frac{7}{5} x) & (I) \\ 4 x & + 8 y & = & 220 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $32 - \frac{7}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 8 \cdot (32 - \frac{7}{5} x)$	=	$220$
$4 x + 256 - \frac{56}{5} x$	=	$220$
$- \frac{36}{5} x + 256$	=	$220$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{36}{5} x + 256)$	=	$1 100$
$- 36 x + 1 280$	=	$1 100$	\| $- 1 280$
$- 36 x$	=	$- 180$	\|:( $- 36$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $32 - \frac{7}{5} \cdot 5$

= $32 - 7$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (5|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|10) und B(-3|30) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|10): 10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|30): 30 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 -1b +c |-1
30 = 9 -3b +c |-9

9 = -1b +c
21 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$21$
$c - 3 b$	=	$21$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$21 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (21 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $21 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (21 + 3 b)$	=	$9$
$- b + 21 + 3 b$	=	$9$
$2 b + 21$	=	$9$	\| $- 21$
$2 b$	=	$- 12$	\|: $2$
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $21 + 3 \cdot (- 6)$

= $21 - 18$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|1) und B(-1|9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|1): 1 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 +1b +c |-1
9 = 1 -1b +c |-1

0 = 1b +c
8 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ - b & + c & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$8$
$c - b$	=	$8$	\| $+ b$
$c$	=	$8 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (8 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $8 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (8 + b)$	=	0
$b + 8 + b$	=	0
$2 b + 8$	=	0	\| $- 8$
$2 b$	=	$- 8$	\|: $2$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $8 - 4$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 4$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 + 4$

= ${(x - 2)}^{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 + 4$ = $4 - 8 + 4$ = 0

also: S(2|0).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg