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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 2 y$ = $2$ .

Bestimme y so, dass (3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 \cdot 3 - 2 y$ = $2$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 2 \cdot 3 - 2 y$	=	$2$
$- 6 - 2 y$	=	$2$
$- 2 y - 6$	=	$2$	\| $+ 6$
$- 2 y$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (3|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 4 y$ = $- 2$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|1)
denn 1⋅2 -4⋅1 = 2 -4 = $- 2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|0)
denn 1⋅( - 2 ) -4⋅0 = -2 +0 = $- 2$

Oder : (6|2)
denn 1⋅6 -4⋅2 = 6 -8 = $- 2$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 y & = & 18 & (I) \\ x & - 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 y & = & 18 & (I) \\ x & - 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 3 y$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 6 & (I) \\ x & - 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 2 \cdot (- 6)$	=	$16$
$x + 12$	=	$16$	\| $- 12$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 19 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 19 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 7$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 7 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 19 & (I) \\ x & = & (- 7 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 7 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 7 - 2 y) - 4 y$	=	$19$
$21 + 6 y - 4 y$	=	$19$
$2 y + 21$	=	$19$	\| $- 21$
$2 y$	=	$- 2$	\|: $2$
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 7 - 2 \cdot (- 1)$

= $- 7 + 2$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 13 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 13 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$- 13$
$y - 3 x$	=	$- 13$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$- 13 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 13 + 3 x) & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 13 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 5 \cdot (- 13 + 3 x)$	=	$- 5$
$- 5 x - 65 + 15 x$	=	$- 5$
$10 x - 65$	=	$- 5$	\| $+ 65$
$10 x$	=	$60$	\|: $10$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 13 + 3 \cdot 6$

= $- 13 + 18$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$6 y$	=	$x - 7 + 3 y$			(I)
$3 x + 4 y$	=	$5 x - 8$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$6 y$	=	$x - 7 + 3 y$	\| $- x - 3 y$		(I)
$3 x + 4 y$	=	$5 x - 8$	\| $- 5 x$		(II)

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & - 7 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 3 y$	=	$- 7$	\| $- 3 y$
$- x$	=	$- 7 - 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$7 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (7 + 3 y) & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (7 + 3 y) + 4 y$	=	$- 8$
$- 14 - 6 y + 4 y$	=	$- 8$
$- 2 y - 14$	=	$- 8$	\| $+ 14$
$- 2 y$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7 + 3 \cdot (- 3)$

= $7 - 9$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +2y = ?

-2x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

1x +2y = -1 -6 = -7

-2x -7y = 2 +21 = 23

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +2y = -7

-2x -7y = 23

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 6 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 25 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 6 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 25 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 3 y$	=	$6$
$3 y + 3 x$	=	$6$	\| $- 3 x$
$3 y$	=	$6 - 3 x$	\|: $3$
$y$	=	$2 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (2 - x) & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 25 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot (2 - x)$	=	$25$
$2 x - 10 + 5 x$	=	$25$
$7 x - 10$	=	$25$	\| $+ 10$
$7 x$	=	$35$	\|: $7$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2 - 5$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 3 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 148 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 8 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 192 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 3 y & = & 148 & (I) \\ 8 x & + 4 y & = & 192 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 3 y$	=	$148$
$3 y + 7 x$	=	$148$	\| $- 7 x$
$3 y$	=	$148 - 7 x$	\|: $3$
$y$	=	$\frac{148}{3} - \frac{7}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{148}{3} - \frac{7}{3} x) & (I) \\ 8 x & + 4 y & = & 192 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{148}{3} - \frac{7}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 4 \cdot (\frac{148}{3} - \frac{7}{3} x)$	=	$192$
$8 x + \frac{592}{3} - \frac{28}{3} x$	=	$192$
$- \frac{4}{3} x + \frac{592}{3}$	=	$192$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{4}{3} x + \frac{592}{3})$	=	$576$
$- 4 x + 592$	=	$576$	\| $- 592$
$- 4 x$	=	$- 16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{148}{3} - \frac{7}{3} \cdot 4$

= $\frac{148}{3} - \frac{28}{3}$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (4|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|3) und B(-3|23) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|3): 3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|23): 23 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 -1b +c |-1
23 = 9 -3b +c |-9

2 = -1b +c
14 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 2 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$14$
$c - 3 b$	=	$14$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$14 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 2 & (I) \\ + c & = & (14 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $14 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (14 + 3 b)$	=	$2$
$- b + 14 + 3 b$	=	$2$
$2 b + 14$	=	$2$	\| $- 14$
$2 b$	=	$- 12$	\|: $2$
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $14 + 3 \cdot (- 6)$

= $14 - 18$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|1) und B(-4|10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|1): 1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|10): 10 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 -1b +c |-1
10 = 16 -4b +c |-16

0 = -1b +c
-6 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 6$
$c - 4 b$	=	$- 6$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 6 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (- 6 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 6 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 6 + 4 b)$	=	0
$- b - 6 + 4 b$	=	0
$3 b - 6$	=	0	\| $+ 6$
$3 b$	=	$6$	\|: $3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 6 + 4 \cdot 2$

= $- 6 + 8$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 + 2$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 + 2$

= ${(x + 1)}^{2} + 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 2$ = $1 - 2 + 2$ = 1

also: S(-1|1).

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg