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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 2 y$ = $20$ .

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot (- 2) - 2 y$ = $20$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 2) - 2 y$	=	$20$
$6 - 2 y$	=	$20$
$- 2 y + 6$	=	$20$	\| $- 6$
$- 2 y$	=	$14$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (-2|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 2 y$ = $- 11$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-3)
denn -1⋅5 +2⋅( - 3 ) = -5 -6 = $- 11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (7|-2)
denn -1⋅7 +2⋅( - 2 ) = -7 -4 = $- 11$

Oder : (3|-4)
denn -1⋅3 +2⋅( - 4 ) = -3 -8 = $- 11$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 3 & (I) \\ 2 x & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 3 & (I) \\ 2 x & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 3 & (I) \\ x & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 3) + y$	=	$- 3$
$- 9 + y$	=	$- 3$
$y - 9$	=	$- 3$	\| $+ 9$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 7 & (I) \\ 2 x & + y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 7 & (I) \\ 2 x & + y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$11$
$y + 2 x$	=	$11$	\| $- 2 x$
$y$	=	$11 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 7 & (I) \\ + y & = & (11 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $11 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 3 \cdot (11 - 2 x)$	=	$- 7$
$- 2 x + 33 - 6 x$	=	$- 7$
$- 8 x + 33$	=	$- 7$	\| $- 33$
$- 8 x$	=	$- 40$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $11 - 2 \cdot 5$

= $11 - 10$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 17 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 17 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$- 7$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$- 7 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 17 & (I) \\ x & = & (- 7 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 7 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 7 + 2 y) + 4 y$	=	$17$
$7 - 2 y + 4 y$	=	$17$
$2 y + 7$	=	$17$	\| $- 7$
$2 y$	=	$10$	\|: $2$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 7 + 2 \cdot 5$

= $- 7 + 10$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$7$	=	$3 x - y$			(I)
$- 21 + 2 y$	=	$- 5 x - 2$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$7$	=	$3 x - y$	\| $- 7 - 3 x + y$		(I)
$- 21 + 2 y$	=	$- 5 x - 2$	\| + $21 + 5 x$		(II)

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & - 7 & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$- 7$
$y - 3 x$	=	$- 7$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$- 7 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 7 + 3 x) & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 7 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 2 \cdot (- 7 + 3 x)$	=	$19$
$5 x - 14 + 6 x$	=	$19$
$11 x - 14$	=	$19$	\| $+ 14$
$11 x$	=	$33$	\|: $11$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 7 + 3 \cdot 3$

= $- 7 + 9$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +1y = ?

-4x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-2x +1y = -6 -5 = -11

-4x +5y = -12 -25 = -37

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +1y = -11

-4x +5y = -37

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & + y & = & - 3 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + y & = & - 3 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 15$
$y - 4 x$	=	$- 15$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 15 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + y & = & - 3 & (I) \\ + y & = & (- 15 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 15 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 1 \cdot (- 15 + 4 x)$	=	$- 3$
$- x - 15 + 4 x$	=	$- 3$
$3 x - 15$	=	$- 3$	\| $+ 15$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 15 + 4 \cdot 4$

= $- 15 + 16$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 28. Wenn man aber vom 2-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -4. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 28 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$28$	\| $- 5 y$
$x$	=	$28 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (28 - 5 y) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $28 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (28 - 5 y) - 2 y$	=	$- 4$
$56 - 10 y - 2 y$	=	$- 4$
$- 12 y + 56$	=	$- 4$	\| $- 56$
$- 12 y$	=	$- 60$	\|:( $- 12$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $28 - 5 \cdot 5$

= $28 - 25$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|4) und B(-2|11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|11): 11 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
11 = 4 -2b +c |-4

3 = -1b +c
7 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$7$
$c - 2 b$	=	$7$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$7 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (7 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (7 + 2 b)$	=	$3$
$- b + 7 + 2 b$	=	$3$
$b + 7$	=	$3$	\| $- 7$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7 + 2 \cdot (- 4)$

= $7 - 8$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|1) und B(4|22) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|1): 1 = 1² + b⋅1 +c

B(4|22): 22 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 +1b +c |-1
22 = 16 +4b +c |-16

0 = 1b +c
6 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ 4 b & + c & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$6$
$c + 4 b$	=	$6$	\| $- 4 b$
$c$	=	$6 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (6 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (6 - 4 b)$	=	0
$b + 6 - 4 b$	=	0
$- 3 b + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 3 b$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6 - 4 \cdot 2$

= $6 - 8$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 2$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 2$

= ${(x + 1)}^{2} - 3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 2$ = $1 - 2 - 2$ = -3

also: S(-1|-3).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg