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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 5 y$ = $13$ .

Bestimme y so, dass (7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$4 \cdot 7 + 5 y$ = $13$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4 \cdot 7 + 5 y$	=	$13$
$28 + 5 y$	=	$13$
$5 y + 28$	=	$13$	\| $- 28$
$5 y$	=	$- 15$	\|: $5$
$y$	=	$- 3$

Die Lösung ist somit: (7|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 5 y$ = $17$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-3)
denn -2⋅( - 1 ) -5⋅( - 3 ) = 2 +15 = $17$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|-1)
denn -2⋅( - 6 ) -5⋅( - 1 ) = 12 +5 = $17$

Oder : (4|-5)
denn -2⋅4 -5⋅( - 5 ) = -8 +25 = $17$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & = & - 24 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & = & - 24 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$- 24$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 6 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot 6 - 4 y$	=	$2$
$- 6 - 4 y$	=	$2$
$- 4 y - 6$	=	$2$	\| $+ 6$
$- 4 y$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 10 & (I) \\ - x & - y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 10 & (I) \\ - x & - y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x - y$	=	$6$
$- y - x$	=	$6$	\| $+ x$
$- y$	=	$6 + x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 6 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + y & = & 10 & (I) \\ + y & = & (- 6 - x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 6 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 1 \cdot (- 6 - x)$	=	$10$
$- 3 x - 6 - x$	=	$10$
$- 4 x - 6$	=	$10$	\| $+ 6$
$- 4 x$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 6 - (- 4)$

= $- 6 + 4$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 18 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 18 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$18$	\| $- 3 y$
$x$	=	$18 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (18 - 3 y) & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $18 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (18 - 3 y) + 2 y$	=	$- 10$
$- 54 + 9 y + 2 y$	=	$- 10$
$11 y - 54$	=	$- 10$	\| $+ 54$
$11 y$	=	$44$	\|: $11$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $18 - 3 \cdot 4$

= $18 - 12$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2 (- x + 13) + 2 y$	=	$- 2 y$			(I)
$- y$	=	$3 (x - y) - 23$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2 (- x + 13) + 2 y$	=	$- 2 y$			(I)
$- y$	=	$3 (x - y) - 23$			(II)

$- 2 x + 26 + 2 y$	=	$- 2 y$	\| $- 26 + 2 y$		(I)
$- y$	=	$3 x - 23 - 3 y$	\| $- 3 x + 3 y$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 26 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 4 y$	=	$- 26$
$4 y - 2 x$	=	$- 26$	\| $+ 2 x$
$4 y$	=	$- 26 + 2 x$	\|: $4$
$y$	=	$- \frac{13}{2} + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{13}{2} + \frac{1}{2} x) & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{13}{2} + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 2 \cdot (- \frac{13}{2} + \frac{1}{2} x)$	=	$- 23$
$- 3 x - 13 + x$	=	$- 23$
$- 2 x - 13$	=	$- 23$	\| $+ 13$
$- 2 x$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{13}{2} + \frac{1}{2} \cdot 5$

= $- \frac{13}{2} + \frac{5}{2}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +1y = ?

-7x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-4x +1y = 8 -4 = 4

-7x +1y = 14 -4 = 10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +1y = 4

-7x +1y = 10

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & - 21 & (I) \\ x & - 5 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & - 21 & (I) \\ x & - 5 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 5 y$	=	$12$	\| $+ 5 y$
$x$	=	$12 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & - 21 & (I) \\ x & = & (12 + 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $12 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (12 + 5 y) + 5 y$	=	$- 21$
$24 + 10 y + 5 y$	=	$- 21$
$15 y + 24$	=	$- 21$	\| $- 24$
$15 y$	=	$- 45$	\|: $15$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $12 + 5 \cdot (- 3)$

= $12 - 15$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1575 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 675 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & - 5 y & = & 1575 & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & 675 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x - 5 y$	=	$1575$
$- 5 y + 6 x$	=	$1575$	\| $- 6 x$
$- 5 y$	=	$1575 - 6 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 315 + \frac{6}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 315 + \frac{6}{5} x) & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & 675 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 315 + \frac{6}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 5 \cdot (- 315 + \frac{6}{5} x)$	=	$675$
$3 x + 1 575 - 6 x$	=	$675$
$- 3 x + 1 575$	=	$675$	\| $- 1 575$
$- 3 x$	=	$- 900$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 315 + \frac{6}{5} \cdot 300$

= $- 315 + 360$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (300|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(2|23) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|23): 23 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
23 = 4 +2b +c |-4

-5 = -1b +c
19 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$19$
$c + 2 b$	=	$19$	\| $- 2 b$
$c$	=	$19 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (19 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $19 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (19 - 2 b)$	=	$- 5$
$- b + 19 - 2 b$	=	$- 5$
$- 3 b + 19$	=	$- 5$	\| $- 19$
$- 3 b$	=	$- 24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $19 - 2 \cdot 8$

= $19 - 16$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (8|3)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-14) und B(2|-21) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-14): -14 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-21): -21 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-14 = 1 +1b +c |-1
-21 = 4 +2b +c |-4

-15 = 1b +c
-25 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 15 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 25$
$c + 2 b$	=	$- 25$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 25 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 15 & (I) \\ + c & = & (- 25 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 25 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 25 - 2 b)$	=	$- 15$
$b - 25 - 2 b$	=	$- 15$
$- b - 25$	=	$- 15$	\| $+ 25$
$- b$	=	$10$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 25 - 2 \cdot (- 10)$

= $- 25 + 20$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-5)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 - 5$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 - 5$

= ${(x - 5)}^{2} - 30$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-30).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 - 5$ = $25 - 50 - 5$ = -30

also: S(5|-30).

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