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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 5 y$ = $- 28$ .

Bestimme y so, dass (-7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$4 \cdot (- 7) + 5 y$ = $- 28$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4 \cdot (- 7) + 5 y$	=	$- 28$
$- 28 + 5 y$	=	$- 28$
$5 y - 28$	=	$- 28$	\| $+ 28$
$5 y$	=	0	\|: $5$
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (-7|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 2 y$ = $- 5$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|0)
denn -5⋅1 +2⋅0 = -5 +0 = $- 5$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|5)
denn -5⋅3 +2⋅5 = -15 +10 = $- 5$

Oder : (-1|-5)
denn -5⋅( - 1 ) +2⋅( - 5 ) = 5 -10 = $- 5$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & - 3 & (I) \\ - 4 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & - 3 & (I) \\ - 4 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$- 24$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & - 3 & (I) \\ + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot 6$	=	$- 3$
$- 3 x - 12$	=	$- 3$	\| $+ 12$
$- 3 x$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 12 & (I) \\ 2 x & - y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 12 & (I) \\ 2 x & - y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x - y$	=	$10$
$- y + 2 x$	=	$10$	\| $- 2 x$
$- y$	=	$10 - 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 10 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 12 & (I) \\ + y & = & (- 10 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 10 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 3 \cdot (- 10 + 2 x)$	=	$12$
$x - 30 + 6 x$	=	$12$
$7 x - 30$	=	$12$	\| $+ 30$
$7 x$	=	$42$	\|: $7$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 10 + 2 \cdot 6$

= $- 10 + 12$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & 24 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & 24 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 4 y$	=	$24$	\| $+ 4 y$
$- x$	=	$24 + 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 24 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 24 - 4 y) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 24 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (- 24 - 4 y) - 4 y$	=	0
$- 120 - 20 y - 4 y$	=	0
$- 24 y - 120$	=	0	\| $+ 120$
$- 24 y$	=	$120$	\|:( $- 24$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 24 - 4 \cdot (- 5)$

= $- 24 + 20$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2 - y$	=	$- x$			(I)
$- 13 - y$	=	$4 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2 - y$	=	$- x$	\| $- 2 + x$		(I)
$- 13 - y$	=	$4 x$	\| + $13 - 4 x$		(II)

\begin{matrix} x & - y & = & - 2 & (I) \\ - 4 x & - y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x - y$	=	$13$
$- y - 4 x$	=	$13$	\| $+ 4 x$
$- y$	=	$13 + 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 13 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - y & = & - 2 & (I) \\ + y & = & (- 13 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 13 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 1 \cdot (- 13 - 4 x)$	=	$- 2$
$x + 13 + 4 x$	=	$- 2$
$5 x + 13$	=	$- 2$	\| $- 13$
$5 x$	=	$- 15$	\|: $5$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 13 - 4 \cdot (- 3)$

= $- 13 + 12$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -4y = ?

6x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

5x -4y = 15 +16 = 31

6x -4y = 18 +16 = 34

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -4y = 31

6x -4y = 34

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 11 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 11 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$11$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$11 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (11 + 2 y) & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $11 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (11 + 2 y) + 2 y$	=	$1$
$33 + 6 y + 2 y$	=	$1$
$8 y + 33$	=	$1$	\| $- 33$
$8 y$	=	$- 32$	\|: $8$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $11 + 2 \cdot (- 4)$

= $11 - 8$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 132 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 8 Halogenleuchten zusammen 202 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 6 y & = & 132 & (I) \\ 7 x & + 8 y & = & 202 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 6 y$	=	$132$
$6 y + 2 x$	=	$132$	\| $- 2 x$
$6 y$	=	$132 - 2 x$	\|: $6$
$y$	=	$22 - \frac{1}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (22 - \frac{1}{3} x) & (I) \\ 7 x & + 8 y & = & 202 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $22 - \frac{1}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x + 8 \cdot (22 - \frac{1}{3} x)$	=	$202$
$7 x + 176 - \frac{8}{3} x$	=	$202$
$\frac{13}{3} x + 176$	=	$202$	\|⋅ 3
$3 (\frac{13}{3} x + 176)$	=	$606$
$13 x + 528$	=	$606$	\| $- 528$
$13 x$	=	$78$	\|: $13$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $22 - \frac{1}{3} \cdot 6$

= $22 - 2$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (6|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-5) und B(-2|10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|10): 10 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
10 = 4 -2b +c |-4

-6 = 1b +c
6 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$6$
$c - 2 b$	=	$6$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$6 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (6 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (6 + 2 b)$	=	$- 6$
$b + 6 + 2 b$	=	$- 6$
$3 b + 6$	=	$- 6$	\| $- 6$
$3 b$	=	$- 12$	\|: $3$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6 + 2 \cdot (- 4)$

= $6 - 8$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|6) und B(2|11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(2|11): 11 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
11 = 4 +2b +c |-4

5 = 1b +c
7 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$7$
$c + 2 b$	=	$7$	\| $- 2 b$
$c$	=	$7 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (7 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (7 - 2 b)$	=	$5$
$b + 7 - 2 b$	=	$5$
$- b + 7$	=	$5$	\| $- 7$
$- b$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7 - 2 \cdot 2$

= $7 - 4$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 + 3$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 + 3$

= ${(x + 1)}^{2} + 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 3$ = $1 - 2 + 3$ = 2

also: S(-1|2).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg