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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 2 y$ = $- 3$ .

Bestimme x so, dass (x|4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 x - 2 \cdot 4$ = $- 3$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 5 x - 2 \cdot 4$	=	$- 3$
$- 5 x - 8$	=	$- 3$	\| $+ 8$
$- 5 x$	=	$5$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-1|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 3 y$ = $- 8$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|3)
denn -1⋅( - 1 ) -3⋅3 = 1 -9 = $- 8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|4)
denn -1⋅( - 4 ) -3⋅4 = 4 -12 = $- 8$

Oder : (2|2)
denn -1⋅2 -3⋅2 = -2 -6 = $- 8$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 4 y & = & 24 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 4 y & = & 24 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4 y$	=	$24$	\|: $4$
$y$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 6 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot 6$	=	$- 2$
$2 x - 12$	=	$- 2$	\| $+ 12$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 20 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 20 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$- 6$	\| $- 3 y$
$x$	=	$- 6 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & 20 & (I) \\ x & = & (- 6 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 6 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 6 - 3 y) - 2 y$	=	$20$
$- 12 - 6 y - 2 y$	=	$20$
$- 8 y - 12$	=	$20$	\| $+ 12$
$- 8 y$	=	$32$	\|:( $- 8$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 6 - 3 \cdot (- 4)$

= $- 6 + 12$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 4 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 4 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 4 y$	=	$4$
$- 4 y + 4 x$	=	$4$	\| $- 4 x$
$- 4 y$	=	$4 - 4 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 1 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 + x) & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 3 \cdot (- 1 + x)$	=	$3$
$- 2 x + 3 - 3 x$	=	$3$
$- 5 x + 3$	=	$3$	\| $- 3$
$- 5 x$	=	0	\|:( $- 5$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 + 0$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 2 - y$	=	$- 5 x - 3 y$			(I)
$- 3 x - 10 + y$	=	$5 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 2 - y$	=	$- 5 x - 3 y$	\| + $2 + 5 x + 3 y$		(I)
$- 3 x - 10 + y$	=	$5 y$	\| + $10 - 5 y$		(II)

\begin{matrix} 5 x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 2 y$	=	$2$
$2 y + 5 x$	=	$2$	\| $- 5 x$
$2 y$	=	$2 - 5 x$	\|: $2$
$y$	=	$1 - \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 - \frac{5}{2} x) & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 - \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (1 - \frac{5}{2} x)$	=	$10$
$- 3 x - 4 + 10 x$	=	$10$
$7 x - 4$	=	$10$	\| $+ 4$
$7 x$	=	$14$	\|: $7$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1 - \frac{5}{2} \cdot 2$

= $1 - 5$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x -3y = ?

-2x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-3x -3y = -6 +3 = -3

-2x -3y = -4 +3 = -1

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x -3y = -3

-2x -3y = -1

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & - 1 & (I) \\ 8 x & + 8 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & - 1 & (I) \\ 8 x & + 8 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 2 y$	=	$- 1$
$- 2 y - 2 x$	=	$- 1$	\| $+ 2 x$
$- 2 y$	=	$- 1 + 2 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$\frac{1}{2} - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{2} - x) & (I) \\ 8 x & + 8 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2} - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 8 \cdot (\frac{1}{2} - x)$	=	$6$
$8 x + 4 - 8 x$	=	$6$
$4$	=	$6$	\| $- 4$
0	=	$2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 3 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 149 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 5 Halogenleuchten zusammen 190 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 149 & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 190 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 4 y$	=	$149$
$4 y + 3 x$	=	$149$	\| $- 3 x$
$4 y$	=	$149 - 3 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{149}{4} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{149}{4} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 190 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{149}{4} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 5 \cdot (\frac{149}{4} - \frac{3}{4} x)$	=	$190$
$5 x + \frac{745}{4} - \frac{15}{4} x$	=	$190$
$\frac{5}{4} x + \frac{745}{4}$	=	$190$	\|⋅ 4
$4 (\frac{5}{4} x + \frac{745}{4})$	=	$760$
$5 x + 745$	=	$760$	\| $- 745$
$5 x$	=	$15$	\|: $5$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{149}{4} - \frac{3}{4} \cdot 3$

= $\frac{149}{4} - \frac{9}{4}$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (3|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|13) und B(-4|52) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|13): 13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|52): 52 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 -1b +c |-1
52 = 16 -4b +c |-16

12 = -1b +c
36 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 36 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$36$
$c - 4 b$	=	$36$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$36 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ + c & = & (36 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $36 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (36 + 4 b)$	=	$12$
$- b + 36 + 4 b$	=	$12$
$3 b + 36$	=	$12$	\| $- 36$
$3 b$	=	$- 24$	\|: $3$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $36 + 4 \cdot (- 8)$

= $36 - 32$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|4)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|9) und B(1|-11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-11): -11 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 -1b +c |-1
-11 = 1 +1b +c |-1

8 = -1b +c
-12 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ b & + c & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 12$
$c + b$	=	$- 12$	\| $- b$
$c$	=	$- 12 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (- 12 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 12 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 12 - b)$	=	$8$
$- b - 12 - b$	=	$8$
$- 2 b - 12$	=	$8$	\| $+ 12$
$- 2 b$	=	$20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 12 - (- 10)$

= $- 12 + 10$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-2)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 10 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 10 x + 25 - 25 - 2$

= ${(x - 5)}^{2} - 25 - 2$

= ${(x - 5)}^{2} - 27$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-27).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 10 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^{2} - 10 \cdot 5 - 2$ = $25 - 50 - 2$ = -27

also: S(5|-27).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg