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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 2 y$ = $- 9$ .

Bestimme y so, dass (7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$- 7 + 2 y$ = $- 9$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 7 + 2 y$	=	$- 9$
$- 7 + 2 y$	=	$- 9$
$2 y - 7$	=	$- 9$	\| $+ 7$
$2 y$	=	$- 2$	\|: $2$
$y$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (7|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - 2 y$ = $- 42$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|7)
denn -4⋅7 -2⋅7 = -28 -14 = $- 42$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|11)
denn -4⋅5 -2⋅11 = -20 -22 = $- 42$

Oder : (9|3)
denn -4⋅9 -2⋅3 = -36 -6 = $- 42$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & 11 & (I) \\ - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & 11 & (I) \\ - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & 11 & (I) \\ + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 3 \cdot 2$	=	$11$
$- x + 6$	=	$11$	\| $- 6$
$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 14 & (I) \\ 3 x & + y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 14 & (I) \\ 3 x & + y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$16$
$y + 3 x$	=	$16$	\| $- 3 x$
$y$	=	$16 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 14 & (I) \\ + y & = & (16 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $16 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 1 \cdot (16 - 3 x)$	=	$14$
$2 x - 16 + 3 x$	=	$14$
$5 x - 16$	=	$14$	\| $+ 16$
$5 x$	=	$30$	\|: $5$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $16 - 3 \cdot 6$

= $16 - 18$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 16 & (I) \\ - x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 16 & (I) \\ - x & + 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 2 y$	=	$6$	\| $- 2 y$
$- x$	=	$6 - 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 16 & (I) \\ x & = & (- 6 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 6 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 5 \cdot (- 6 + 2 y) - 4 y$	=	$16$
$30 - 10 y - 4 y$	=	$16$
$- 14 y + 30$	=	$16$	\| $- 30$
$- 14 y$	=	$- 14$	\|:( $- 14$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 6 + 2 \cdot 1$

= $- 6 + 2$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$4 (4 - y)$	=	$x$			(I)
$x - y$	=	$- 9$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$4 (4 - y)$	=	$x$			(I)
$x - y$	=	$- 9$			(II)

$16 - 4 y$	=	$x$	\| $- 16 - x$		(I)
$x - y$	=	$- 9$			(II)

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & - 16 & (I) \\ x & - y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x - y$	=	$- 9$
$- y + x$	=	$- 9$	\| $- x$
$- y$	=	$- 9 - x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$9 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 4 y & = & - 16 & (I) \\ + y & = & (9 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $9 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x - 4 \cdot (9 + x)$	=	$- 16$
$- x - 36 - 4 x$	=	$- 16$
$- 5 x - 36$	=	$- 16$	\| $+ 36$
$- 5 x$	=	$20$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $9 - 4$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +3y = ?

-4x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-5x +3y = 20 -6 = 14

-4x +5y = 16 -10 = 6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +3y = 14

-4x +5y = 6

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 11 & (I) \\ - 3 x & - y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 11 & (I) \\ - 3 x & - y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x - y$	=	$- 19$
$- y - 3 x$	=	$- 19$	\| $+ 3 x$
$- y$	=	$- 19 + 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$19 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 11 & (I) \\ + y & = & (19 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $19 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 4 \cdot (19 - 3 x)$	=	$- 11$
$x - 76 + 12 x$	=	$- 11$
$13 x - 76$	=	$- 11$	\| $+ 76$
$13 x$	=	$65$	\|: $13$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $19 - 3 \cdot 5$

= $19 - 15$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 19. Wenn man aber vom 2-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -19. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 6 y & = & 19 & (I) \\ 2 x & - 7 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 6 y$	=	$19$	\| $- 6 y$
$x$	=	$19 - 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (19 - 6 y) & (I) \\ 2 x & - 7 y & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $19 - 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (19 - 6 y) - 7 y$	=	$- 19$
$38 - 12 y - 7 y$	=	$- 19$
$- 19 y + 38$	=	$- 19$	\| $- 38$
$- 19 y$	=	$- 57$	\|:( $- 19$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $19 - 6 \cdot 3$

= $19 - 18$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 3

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-13) und B(-3|-25) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-13): -13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-25): -25 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-13 = 1 -1b +c |-1
-25 = 9 -3b +c |-9

-14 = -1b +c
-34 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 14 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 34 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 34$
$c - 3 b$	=	$- 34$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 34 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 14 & (I) \\ + c & = & (- 34 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 34 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 34 + 3 b)$	=	$- 14$
$- b - 34 + 3 b$	=	$- 14$
$2 b - 34$	=	$- 14$	\| $+ 34$
$2 b$	=	$20$	\|: $2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 34 + 3 \cdot 10$

= $- 34 + 30$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-4)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(2|5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|5): 5 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
5 = 4 +2b +c |-4

-5 = -1b +c
1 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$1$
$c + 2 b$	=	$1$	\| $- 2 b$
$c$	=	$1 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (1 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $1 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (1 - 2 b)$	=	$- 5$
$- b + 1 - 2 b$	=	$- 5$
$- 3 b + 1$	=	$- 5$	\| $- 1$
$- 3 b$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $1 - 2 \cdot 2$

= $1 - 4$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 3$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 3$

= ${(x + 1)}^{2} - 4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 3$ = $1 - 2 - 3$ = -4

also: S(-1|-4).

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg