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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 4 y$ = $33$ .

Bestimme x so, dass (x|7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 x + 4 \cdot 7$ = $33$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 5 x + 4 \cdot 7$	=	$33$
$- 5 x + 28$	=	$33$	\| $- 28$
$- 5 x$	=	$5$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-1|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - y$ = $- 27$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|7)
denn -5⋅4 -1⋅7 = -20 -7 = $- 27$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|12)
denn -5⋅3 -1⋅12 = -15 -12 = $- 27$

Oder : (5|2)
denn -5⋅5 -1⋅2 = -25 -2 = $- 27$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 32 & (I) \\ + 3 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 32 & (I) \\ + 3 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$18$	\|: $3$
$y$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 32 & (I) \\ + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 4 \cdot 6$	=	$32$
$- 2 x + 24$	=	$32$	\| $- 24$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ x & - 4 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ x & - 4 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$18$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$18 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ x & = & (18 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $18 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (18 + 4 y) - 3 y$	=	$12$
$18 + 4 y - 3 y$	=	$12$
$y + 18$	=	$12$	\| $- 18$
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $18 + 4 \cdot (- 6)$

= $18 - 24$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & - 29 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & - 29 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$- 12$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$- 12 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & - 29 & (I) \\ x & = & (- 12 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 12 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 12 + 2 y) - 5 y$	=	$- 29$
$- 24 + 4 y - 5 y$	=	$- 29$
$- y - 24$	=	$- 29$	\| $+ 24$
$- y$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 12 + 2 \cdot 5$

= $- 12 + 10$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - \frac{1}{2} y & = & - \frac{5}{2} & (I) \\ - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{3} y & = & \frac{1}{15} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - \frac{1}{2} y & = & - \frac{5}{2} & (I) \\ - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{3} y & = & \frac{1}{15} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - \frac{1}{2} y$	=	$- \frac{5}{2}$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} y)$	=	$- 5$
$2 x - y$	=	$- 5$	\| $+ y$
$2 x$	=	$- 5 + y$	\|: $2$
$x$	=	$- \frac{5}{2} + \frac{1}{2} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- \frac{5}{2} + \frac{1}{2} y) & (I) \\ - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{3} y & = & \frac{1}{15} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- \frac{5}{2} + \frac{1}{2} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- \frac{1}{5} \cdot (- \frac{5}{2} + \frac{1}{2} y) - \frac{1}{3} y$	=	$\frac{1}{15}$
$\frac{1}{2} - \frac{1}{10} y - \frac{1}{3} y$	=	$\frac{1}{15}$
$- \frac{13}{30} y + \frac{1}{2}$	=	$\frac{1}{15}$	\|⋅ 30
$30 (- \frac{13}{30} y + \frac{1}{2})$	=	$2$
$- 13 y + 15$	=	$2$	\| $- 15$
$- 13 y$	=	$- 13$	\|:( $- 13$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- \frac{5}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

= $- \frac{5}{2} + \frac{1}{2}$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +3y = ?

-4x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-5x +3y = 10 -9 = 1

-4x +3y = 8 -9 = -1

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +3y = 1

-4x +3y = -1

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 8 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 8 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 2 y$	=	$- 8$
$- 2 y - 4 x$	=	$- 8$	\| $+ 4 x$
$- 2 y$	=	$- 8 + 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$4 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (4 - 2 x) & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 5 \cdot (4 - 2 x)$	=	$20$
$- 5 x + 20 - 10 x$	=	$20$
$- 15 x + 20$	=	$20$	\| $- 20$
$- 15 x$	=	0	\|:( $- 15$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4 - 2 \cdot (0)$

= $4 + 0$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (0|4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 495 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 6 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 725 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & 495 & (I) \\ 6 x & - 5 y & = & 725 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 3 y$	=	$495$
$- 3 y + 4 x$	=	$495$	\| $- 4 x$
$- 3 y$	=	$495 - 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 165 + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 165 + \frac{4}{3} x) & (I) \\ 6 x & - 5 y & = & 725 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 165 + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 5 \cdot (- 165 + \frac{4}{3} x)$	=	$725$
$6 x + 825 - \frac{20}{3} x$	=	$725$
$- \frac{2}{3} x + 825$	=	$725$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} x + 825)$	=	$2 175$
$- 2 x + 2 475$	=	$2 175$	\| $- 2 475$
$- 2 x$	=	$- 300$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 165 + \frac{4}{3} \cdot 150$

= $- 165 + 200$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|13) und B(-1|-3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|13): 13 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 +1b +c |-1
-3 = 1 -1b +c |-1

12 = 1b +c
-4 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 12 & (I) \\ - b & + c & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 4$
$c - b$	=	$- 4$	\| $+ b$
$c$	=	$- 4 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 12 & (I) \\ + c & = & (- 4 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 4 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 4 + b)$	=	$12$
$b - 4 + b$	=	$12$
$2 b - 4$	=	$12$	\| $+ 4$
$2 b$	=	$16$	\|: $2$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 4 + 8$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|4)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|0) und B(4|-3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-3): -3 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
-3 = 16 +4b +c |-16

-1 = 1b +c
-19 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 19$
$c + 4 b$	=	$- 19$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 19 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (- 19 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 19 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 19 - 4 b)$	=	$- 1$
$b - 19 - 4 b$	=	$- 1$
$- 3 b - 19$	=	$- 1$	\| $+ 19$
$- 3 b$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 19 - 4 \cdot (- 6)$

= $- 19 + 24$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 5$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 + 5$

= ${(x - 3)}^{2} - 4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 + 5$ = $9 - 18 + 5$ = -4

also: S(3|-4).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg