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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 5 y$ = $- 16$ .

Bestimme x so, dass (x|-2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$- x + 5 \cdot (- 2)$ = $- 16$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- x + 5 \cdot (- 2)$	=	$- 16$
$- x - 10$	=	$- 16$	\| $+ 10$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 5 y$ = $- 4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|-2)
denn 2⋅3 +5⋅( - 2 ) = 6 -10 = $- 4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|-4)
denn 2⋅8 +5⋅( - 4 ) = 16 -20 = $- 4$

Oder : (-2|0)
denn 2⋅( - 2 ) +5⋅0 = -4 +0 = $- 4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & = & 12 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & = & 12 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 6 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 6) + 2 y$	=	$- 6$
$- 12 + 2 y$	=	$- 6$
$2 y - 12$	=	$- 6$	\| $+ 12$
$2 y$	=	$6$	\|: $2$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 3 & (I) \\ x & - 3 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 3 & (I) \\ x & - 3 y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$14$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$14 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & 3 & (I) \\ x & = & (14 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $14 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (14 + 3 y) + 4 y$	=	$3$
$42 + 9 y + 4 y$	=	$3$
$13 y + 42$	=	$3$	\| $- 42$
$13 y$	=	$- 39$	\|: $13$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $14 + 3 \cdot (- 3)$

= $14 - 9$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 7 & (I) \\ - x & - 5 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 7 & (I) \\ - x & - 5 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 5 y$	=	$19$	\| $+ 5 y$
$- x$	=	$19 + 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 19 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 7 & (I) \\ x & = & (- 19 - 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 19 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 19 - 5 y) + y$	=	$7$
$- 38 - 10 y + y$	=	$7$
$- 9 y - 38$	=	$7$	\| $+ 38$
$- 9 y$	=	$45$	\|:( $- 9$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 19 - 5 \cdot (- 5)$

= $- 19 + 25$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$5 x - 2 y$	=	$2 (x - 7) - 6 y$			(I)
$- 3 x + 2 - 5 y$	=	$- x + 3 (5 - 2 y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$5 x - 2 y$	=	$2 (x - 7) - 6 y$			(I)
$- 3 x + 2 - 5 y$	=	$- x + 3 (5 - 2 y)$			(II)

$5 x - 2 y$	=	$2 x - 14 - 6 y$	\| $- 2 x + 6 y$		(I)
$- 3 x + 2 - 5 y$	=	$- x + 15 - 6 y$	\| $- 2 + x + 6 y$		(II)

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & - 14 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$13$
$y - 2 x$	=	$13$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$13 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 4 y & = & - 14 & (I) \\ + y & = & (13 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $13 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 4 \cdot (13 + 2 x)$	=	$- 14$
$3 x + 52 + 8 x$	=	$- 14$
$11 x + 52$	=	$- 14$	\| $- 52$
$11 x$	=	$- 66$	\|: $11$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $13 + 2 \cdot (- 6)$

= $13 - 12$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +4y = ?

7x +11y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

3x +4y = -12 -16 = -28

7x +11y = -28 -44 = -72

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +4y = -28

7x +11y = -72

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ - 16 x & + 8 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ - 16 x & + 8 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 2 y$	=	$2$
$- 2 y + 4 x$	=	$2$	\| $- 4 x$
$- 2 y$	=	$2 - 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 1 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 + 2 x) & (I) \\ - 16 x & + 8 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 16 x + 8 \cdot (- 1 + 2 x)$	=	$- 8$
$- 16 x - 8 + 16 x$	=	$- 8$
$- 8$	=	$- 8$	\| $+ 8$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 4 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 8 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 296 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 8 Halogenleuchten zusammen 300 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 8 y & = & 296 & (I) \\ 5 x & + 8 y & = & 300 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 8 y$	=	$296$
$8 y + 4 x$	=	$296$	\| $- 4 x$
$8 y$	=	$296 - 4 x$	\|: $8$
$y$	=	$37 - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (37 - \frac{1}{2} x) & (I) \\ 5 x & + 8 y & = & 300 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $37 - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 8 \cdot (37 - \frac{1}{2} x)$	=	$300$
$5 x + 296 - 4 x$	=	$300$
$x + 296$	=	$300$	\| $- 296$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $37 - \frac{1}{2} \cdot 4$

= $37 - 2$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (4|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|4) und B(-3|20) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|20): 20 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
20 = 9 -3b +c |-9

3 = -1b +c
11 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$11$
$c - 3 b$	=	$11$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$11 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (11 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (11 + 3 b)$	=	$3$
$- b + 11 + 3 b$	=	$3$
$2 b + 11$	=	$3$	\| $- 11$
$2 b$	=	$- 8$	\|: $2$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 + 3 \cdot (- 4)$

= $11 - 12$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-6) und B(1|14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|14): 14 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
14 = 1 +1b +c |-1

-7 = -1b +c
13 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ b & + c & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$13$
$c + b$	=	$13$	\| $- b$
$c$	=	$13 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (13 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (13 - b)$	=	$- 7$
$- b + 13 - b$	=	$- 7$
$- 2 b + 13$	=	$- 7$	\| $- 13$
$- 2 b$	=	$- 20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13 - 10$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (10|3)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 3$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 3$

= ${(x + 5)}^{2} - 22$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-22).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 3$ = $25 - 50 + 3$ = -22

also: S(-5|-22).

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Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

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LGS zu Lösungen finden

LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg