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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 4 y$ = $8$ .

Bestimme x so, dass (x|3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$5 x - 4 \cdot 3$ = $8$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5 x - 4 \cdot 3$	=	$8$
$5 x - 12$	=	$8$	\| $+ 12$
$5 x$	=	$20$	\|: $5$
$x$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (4|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 3 y$ = $36$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|-7)
denn 5⋅3 -3⋅( - 7 ) = 15 +21 = $36$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|-12)
denn 5⋅0 -3⋅( - 12 ) = 0 +36 = $36$

Oder : (6|-2)
denn 5⋅6 -3⋅( - 2 ) = 30 +6 = $36$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 9 & (I) \\ 3 x & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 9 & (I) \\ 3 x & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3 x$	=	$15$	\|: $3$
$x$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 9 & (I) \\ x & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot 5 - 2 y$	=	$9$
$5 - 2 y$	=	$9$
$- 2 y + 5$	=	$9$	\| $- 5$
$- 2 y$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 11 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 11 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$11$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$11 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (11 + 2 y) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $11 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (11 + 2 y) - 3 y$	=	$24$
$44 + 8 y - 3 y$	=	$24$
$5 y + 44$	=	$24$	\| $- 44$
$5 y$	=	$- 20$	\|: $5$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $11 + 2 \cdot (- 4)$

= $11 - 8$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 16 & (I) \\ - 4 x & - 5 y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 16 & (I) \\ - 4 x & - 5 y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 4 y$	=	$16$
$- 4 y - 2 x$	=	$16$	\| $+ 2 x$
$- 4 y$	=	$16 + 2 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 4 - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 4 - \frac{1}{2} x) & (I) \\ - 4 x & - 5 y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 4 - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 5 \cdot (- 4 - \frac{1}{2} x)$	=	$26$
$- 4 x + 20 + \frac{5}{2} x$	=	$26$
$- \frac{3}{2} x + 20$	=	$26$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{3}{2} x + 20)$	=	$52$
$- 3 x + 40$	=	$52$	\| $- 40$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 4 - \frac{1}{2} \cdot (- 4)$

= $- 4 + 2$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{3}{5} x & + y & = & - \frac{33}{5} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{5} y & = & - \frac{12}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{3}{5} x & + y & = & - \frac{33}{5} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{5} y & = & - \frac{12}{5} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{3}{5} x + y$	=	$- \frac{33}{5}$
$y - \frac{3}{5} x$	=	$- \frac{33}{5}$	\|⋅ 5
$5 (y - \frac{3}{5} x)$	=	$- 33$
$5 y - 3 x$	=	$- 33$	\| $+ 3 x$
$5 y$	=	$- 33 + 3 x$	\|: $5$
$y$	=	$- \frac{33}{5} + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{33}{5} + \frac{3}{5} x) & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - \frac{1}{5} y & = & - \frac{12}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{33}{5} + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{2} x - \frac{1}{5} \cdot (- \frac{33}{5} + \frac{3}{5} x)$	=	$- \frac{12}{5}$
$- \frac{1}{2} x + \frac{33}{25} - \frac{3}{25} x$	=	$- \frac{12}{5}$
$- \frac{31}{50} x + \frac{33}{25}$	=	$- \frac{12}{5}$	\|⋅ 50
$50 (- \frac{31}{50} x + \frac{33}{25})$	=	$- 120$
$- 31 x + 66$	=	$- 120$	\| $- 66$
$- 31 x$	=	$- 186$	\|:( $- 31$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{33}{5} + \frac{3}{5} \cdot 6$

= $- \frac{33}{5} + \frac{18}{5}$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +4y = ?

1x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

4x +4y = 12 +4 = 16

1x +3y = 3 +3 = 6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +4y = 16

1x +3y = 6

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 1 & (I) \\ - 8 x & + 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 1 & (I) \\ - 8 x & + 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x - y$	=	$1$
$- y + 2 x$	=	$1$	\| $- 2 x$
$- y$	=	$1 - 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 1 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 + 2 x) & (I) \\ - 8 x & + 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 8 x + 4 \cdot (- 1 + 2 x)$	=	$- 2$
$- 8 x - 4 + 8 x$	=	$- 2$
$- 4$	=	$- 2$	\| $+ 4$
0	=	$2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1710 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1110 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & - 2 y & = & 1710 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 1110 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x - 2 y$	=	$1710$
$- 2 y + 6 x$	=	$1710$	\| $- 6 x$
$- 2 y$	=	$1710 - 6 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 855 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 855 + 3 x) & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 1110 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 855 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 2 \cdot (- 855 + 3 x)$	=	$1110$
$4 x + 1 710 - 6 x$	=	$1110$
$- 2 x + 1 710$	=	$1110$	\| $- 1 710$
$- 2 x$	=	$- 600$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 855 + 3 \cdot 300$

= $- 855 + 900$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (300|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|13) und B(4|52) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|13): 13 = 1² + b⋅1 +c

B(4|52): 52 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 +1b +c |-1
52 = 16 +4b +c |-16

12 = 1b +c
36 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 12 & (I) \\ 4 b & + c & = & 36 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$36$
$c + 4 b$	=	$36$	\| $- 4 b$
$c$	=	$36 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 12 & (I) \\ + c & = & (36 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $36 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (36 - 4 b)$	=	$12$
$b + 36 - 4 b$	=	$12$
$- 3 b + 36$	=	$12$	\| $- 36$
$- 3 b$	=	$- 24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $36 - 4 \cdot 8$

= $36 - 32$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|4)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|15) und B(3|43) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|15): 15 = 1² + b⋅1 +c

B(3|43): 43 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
15 = 1 +1b +c |-1
43 = 9 +3b +c |-9

14 = 1b +c
34 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 14 & (I) \\ 3 b & + c & = & 34 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$34$
$c + 3 b$	=	$34$	\| $- 3 b$
$c$	=	$34 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 14 & (I) \\ + c & = & (34 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $34 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (34 - 3 b)$	=	$14$
$b + 34 - 3 b$	=	$14$
$- 2 b + 34$	=	$14$	\| $- 34$
$- 2 b$	=	$- 20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $34 - 3 \cdot 10$

= $34 - 30$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|4)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 4$ = $25 - 50 + 4$ = -21

also: S(-5|-21).

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1. Weg

2. Weg