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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 3 y$ = $2$ .

Bestimme y so, dass (1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$2 \cdot 1 - 3 y$ = $2$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2 \cdot 1 - 3 y$	=	$2$
$2 - 3 y$	=	$2$
$- 3 y + 2$	=	$2$	\| $- 2$
$- 3 y$	=	0	\|:( $- 3$ )
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (1|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 5 y$ = $11$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|1)
denn 2⋅3 +5⋅1 = 6 +5 = $11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|-1)
denn 2⋅8 +5⋅( - 1 ) = 16 -5 = $11$

Oder : (-2|3)
denn 2⋅( - 2 ) +5⋅3 = -4 +15 = $11$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 30 & (I) \\ - 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 30 & (I) \\ - 3 y & = & - 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 3 y$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 30 & (I) \\ + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 4 \cdot 6$	=	$30$
$- 3 x + 24$	=	$30$	\| $- 24$
$- 3 x$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ x & + 3 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ x & + 3 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$11$	\| $- 3 y$
$x$	=	$11 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ x & = & (11 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $11 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (11 - 3 y) + 2 y$	=	$6$
$11 - 3 y + 2 y$	=	$6$
$- y + 11$	=	$6$	\| $- 11$
$- y$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $11 - 3 \cdot 5$

= $11 - 15$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 12 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 12 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 3 y$	=	$12$
$3 y + 3 x$	=	$12$	\| $- 3 x$
$3 y$	=	$12 - 3 x$	\|: $3$
$y$	=	$4 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (4 - x) & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 3 \cdot (4 - x)$	=	$12$
$5 x - 12 + 3 x$	=	$12$
$8 x - 12$	=	$12$	\| $+ 12$
$8 x$	=	$24$	\|: $8$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4 - 3$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (3|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{2}{5} x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{2}{5} x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{2}{5} x - 2 y$	=	$6$
$- 2 y - \frac{2}{5} x$	=	$6$	\|⋅ 5
$5 (- 2 y - \frac{2}{5} x)$	=	$30$
$- 10 y - 2 x$	=	$30$	\| $+ 2 x$
$- 10 y$	=	$30 + 2 x$	\|:( $- 10$ )
$y$	=	$- 3 - \frac{1}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 3 - \frac{1}{5} x) & (I) \\ - \frac{1}{2} x & - 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 3 - \frac{1}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{2} x - 2 \cdot (- 3 - \frac{1}{5} x)$	=	$6$
$- \frac{1}{2} x + 6 + \frac{2}{5} x$	=	$6$
$- \frac{1}{10} x + 6$	=	$6$	\|⋅ 10
$10 (- \frac{1}{10} x + 6)$	=	$60$
$- x + 60$	=	$60$	\| $- 60$
$- x$	=	0	\|:( $- 1$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 3 - \frac{1}{5} \cdot (0)$

= $- 3 + 0$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -4y = ?

-8x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-5x -4y = -20 +20 = 0

-8x -5y = -32 +25 = -7

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -4y = 0

-8x -5y = -7

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & 7 & (I) \\ 4 x & + 5 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & 7 & (I) \\ 4 x & + 5 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 5 y$	=	$7$
$5 y + 2 x$	=	$7$	\| $- 2 x$
$5 y$	=	$7 - 2 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{7}{5} - \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{7}{5} - \frac{2}{5} x) & (I) \\ 4 x & + 5 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{7}{5} - \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 5 \cdot (\frac{7}{5} - \frac{2}{5} x)$	=	$19$
$4 x + 7 - 2 x$	=	$19$
$2 x + 7$	=	$19$	\| $- 7$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{7}{5} - \frac{2}{5} \cdot 6$

= $\frac{7}{5} - \frac{12}{5}$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 7 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 228 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 220 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 9 x & + 7 y & = & 228 & (I) \\ 5 x & + 7 y & = & 220 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9 x + 7 y$	=	$228$
$7 y + 9 x$	=	$228$	\| $- 9 x$
$7 y$	=	$228 - 9 x$	\|: $7$
$y$	=	$\frac{228}{7} - \frac{9}{7} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{228}{7} - \frac{9}{7} x) & (I) \\ 5 x & + 7 y & = & 220 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{228}{7} - \frac{9}{7} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 7 \cdot (\frac{228}{7} - \frac{9}{7} x)$	=	$220$
$5 x + 228 - 9 x$	=	$220$
$- 4 x + 228$	=	$220$	\| $- 228$
$- 4 x$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{228}{7} - \frac{9}{7} \cdot 2$

= $\frac{228}{7} - \frac{18}{7}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (2|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|5) und B(-2|-16) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|5): 5 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-16): -16 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 +1b +c |-1
-16 = 4 -2b +c |-4

4 = 1b +c
-20 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 20$
$c - 2 b$	=	$- 20$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 20 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (- 20 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 20 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 20 + 2 b)$	=	$4$
$b - 20 + 2 b$	=	$4$
$3 b - 20$	=	$4$	\| $+ 20$
$3 b$	=	$24$	\|: $3$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 20 + 2 \cdot 8$

= $- 20 + 16$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-4)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|10) und B(-1|-10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-10): -10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 +1b +c |-1
-10 = 1 -1b +c |-1

9 = 1b +c
-11 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ - b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 11$
$c - b$	=	$- 11$	\| $+ b$
$c$	=	$- 11 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (- 11 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 11 + b)$	=	$9$
$b - 11 + b$	=	$9$
$2 b - 11$	=	$9$	\| $+ 11$
$2 b$	=	$20$	\|: $2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 + 10$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-1)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 1$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 1$

= ${(x + 5)}^{2} - 26$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-26).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 1$ = $25 - 50 - 1$ = -26

also: S(-5|-26).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg