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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 5 y$ = $- 4$ .

Bestimme x so, dass (x|0) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 x + 5 \cdot 0$ = $- 4$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 4 x + 5 \cdot 0$	=	$- 4$
$- 4 x$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (1|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 5 y$ = $- 10$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-2)
denn -3⋅0 +5⋅( - 2 ) = 0 -10 = $- 10$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|1)
denn -3⋅5 +5⋅1 = -15 +5 = $- 10$

Oder : (-5|-5)
denn -3⋅( - 5 ) +5⋅( - 5 ) = 15 -25 = $- 10$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 20 & (I) \\ - 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 20 & (I) \\ - 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 3 y$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 20 & (I) \\ + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 4 \cdot 2$	=	$20$
$- 3 x + 8$	=	$20$	\| $- 8$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 5 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 5 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$- 15$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$- 15 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 5 & (I) \\ x & = & (- 15 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 15 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 15 + 4 y) + 2 y$	=	$5$
$45 - 12 y + 2 y$	=	$5$
$- 10 y + 45$	=	$5$	\| $- 45$
$- 10 y$	=	$- 40$	\|:( $- 10$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 15 + 4 \cdot 4$

= $- 15 + 16$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 5 y & = & 30 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + 5 y & = & 30 & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 5 y$	=	$30$
$5 y + 5 x$	=	$30$	\| $- 5 x$
$5 y$	=	$30 - 5 x$	\|: $5$
$y$	=	$6 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (6 - x) & (I) \\ - 3 x & + 2 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $6 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 2 \cdot (6 - x)$	=	$7$
$- 3 x + 12 - 2 x$	=	$7$
$- 5 x + 12$	=	$7$	\| $- 12$
$- 5 x$	=	$- 5$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $6 - 1$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$x - 8$	=	$3 y$			(I)
$- 9 - 2 y$	=	$3 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$x - 8$	=	$3 y$	\| + $8 - 3 y$		(I)
$- 9 - 2 y$	=	$3 x$	\| + $9 - 3 x$		(II)

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 8 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$8$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$8 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (8 + 3 y) & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $8 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (8 + 3 y) - 2 y$	=	$9$
$- 24 - 9 y - 2 y$	=	$9$
$- 11 y - 24$	=	$9$	\| $+ 24$
$- 11 y$	=	$33$	\|:( $- 11$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $8 + 3 \cdot (- 3)$

= $8 - 9$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +2y = ?

1x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

3x +2y = 15 +10 = 25

1x -2y = 5 -10 = -5

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +2y = 25

1x -2y = -5

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 12 x & + 12 y & = & 4 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 12 x & + 12 y & = & 4 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 12 x + 12 y$	=	$4$
$12 y - 12 x$	=	$4$	\| $+ 12 x$
$12 y$	=	$4 + 12 x$	\|: $12$
$y$	=	$\frac{1}{3} + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{3} + x) & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{3} + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot (\frac{1}{3} + x)$	=	$- 2$
$4 x - \frac{4}{3} - 4 x$	=	$- 2$
$- \frac{4}{3}$	=	$- 2$	\| $+ \frac{4}{3}$
0	=	$- \frac{2}{3}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 120 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 6 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 765 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 4 y & = & 120 & (I) \\ 6 x & - 3 y & = & 765 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 4 y$	=	$120$
$- 4 y + 2 x$	=	$120$	\| $- 2 x$
$- 4 y$	=	$120 - 2 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 30 + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 30 + \frac{1}{2} x) & (I) \\ 6 x & - 3 y & = & 765 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 30 + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 3 \cdot (- 30 + \frac{1}{2} x)$	=	$765$
$6 x + 90 - \frac{3}{2} x$	=	$765$
$\frac{9}{2} x + 90$	=	$765$	\|⋅ 2
$2 (\frac{9}{2} x + 90)$	=	$1 530$
$9 x + 180$	=	$1 530$	\| $- 180$
$9 x$	=	$1 350$	\|: $9$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 30 + \frac{1}{2} \cdot 150$

= $- 30 + 75$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (150|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|12) und B(-1|-8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|12): 12 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-8): -8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 +1b +c |-1
-8 = 1 -1b +c |-1

11 = 1b +c
-9 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ - b & + c & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 9$
$c - b$	=	$- 9$	\| $+ b$
$c$	=	$- 9 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ + c & = & (- 9 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 9 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 9 + b)$	=	$11$
$b - 9 + b$	=	$11$
$2 b - 9$	=	$11$	\| $+ 9$
$2 b$	=	$20$	\|: $2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 9 + 10$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|1)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|4) und B(3|20) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|4): 4 = 1² + b⋅1 +c

B(3|20): 20 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 +1b +c |-1
20 = 9 +3b +c |-9

3 = 1b +c
11 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ 3 b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$11$
$c + 3 b$	=	$11$	\| $- 3 b$
$c$	=	$11 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (11 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (11 - 3 b)$	=	$3$
$b + 11 - 3 b$	=	$3$
$- 2 b + 11$	=	$3$	\| $- 11$
$- 2 b$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 - 3 \cdot 4$

= $11 - 12$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 - 1$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 - 1$

= ${(x + 2)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - 1$ = $4 - 8 - 1$ = -5

also: S(-2|-5).

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Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg