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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 3 y$ = $- 6$ .

Bestimme x so, dass (x|1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$3 x - 3 \cdot 1$ = $- 6$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot 1$	=	$- 6$
$3 x - 3$	=	$- 6$	\| $+ 3$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-1|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 2 y$ = $36$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|-3)
denn 5⋅6 -2⋅( - 3 ) = 30 +6 = $36$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-8)
denn 5⋅4 -2⋅( - 8 ) = 20 +16 = $36$

Oder : (8|2)
denn 5⋅8 -2⋅2 = 40 -4 = $36$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & = & 24 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & = & 24 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$24$	\|: $4$
$x$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 6 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot 6 + 4 y$	=	$- 16$
$- 12 + 4 y$	=	$- 16$
$4 y - 12$	=	$- 16$	\| $+ 12$
$4 y$	=	$- 4$	\|: $4$
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 27 & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 27 & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 27$
$y + 4 x$	=	$- 27$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 27 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 27 - 4 x) & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 27 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 4 \cdot (- 27 - 4 x)$	=	$- 24$
$2 x - 108 - 16 x$	=	$- 24$
$- 14 x - 108$	=	$- 24$	\| $+ 108$
$- 14 x$	=	$84$	\|:( $- 14$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 27 - 4 \cdot (- 6)$

= $- 27 + 24$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & 12 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & 12 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 5 y$	=	$12$
$5 y + 2 x$	=	$12$	\| $- 2 x$
$5 y$	=	$12 - 2 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{12}{5} - \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{12}{5} - \frac{2}{5} x) & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{12}{5} - \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 3 \cdot (\frac{12}{5} - \frac{2}{5} x)$	=	$9$
$3 x + \frac{36}{5} - \frac{6}{5} x$	=	$9$
$\frac{9}{5} x + \frac{36}{5}$	=	$9$	\|⋅ 5
$5 (\frac{9}{5} x + \frac{36}{5})$	=	$45$
$9 x + 36$	=	$45$	\| $- 36$
$9 x$	=	$9$	\|: $9$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{12}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1$

= $\frac{12}{5} - \frac{2}{5}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$4 (x + 7) - 3 y$	=	$y$			(I)
$3 x - 5 + y$	=	$- 2$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$4 (x + 7) - 3 y$	=	$y$			(I)
$3 x - 5 + y$	=	$- 2$			(II)

$4 x + 28 - 3 y$	=	$y$	\| $- 28 - y$		(I)
$3 x - 5 + y$	=	$- 2$	\| + $5$		(II)

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & - 28 & (I) \\ 3 x & + y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$3$
$y + 3 x$	=	$3$	\| $- 3 x$
$y$	=	$3 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & - 28 & (I) \\ + y & = & (3 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $3 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot (3 - 3 x)$	=	$- 28$
$4 x - 12 + 12 x$	=	$- 28$
$16 x - 12$	=	$- 28$	\| $+ 12$
$16 x$	=	$- 16$	\|: $16$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $3 - 3 \cdot (- 1)$

= $3 + 3$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +3y = ?

-3x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-2x +3y = 8 -9 = -1

-3x +6y = 12 -18 = -6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +3y = -1

-3x +6y = -6

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 3 & (I) \\ - 16 x & - 4 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 3 & (I) \\ - 16 x & - 4 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$3$
$y + 4 x$	=	$3$	\| $- 4 x$
$y$	=	$3 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3 - 4 x) & (I) \\ - 16 x & - 4 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 16 x - 4 \cdot (3 - 4 x)$	=	$- 12$
$- 16 x - 12 + 16 x$	=	$- 12$
$- 12$	=	$- 12$	\| $+ 12$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 7 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 850 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 350 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & - 4 y & = & 850 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 350 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x - 4 y$	=	$850$
$- 4 y + 7 x$	=	$850$	\| $- 7 x$
$- 4 y$	=	$850 - 7 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{425}{2} + \frac{7}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{425}{2} + \frac{7}{4} x) & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 350 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{425}{2} + \frac{7}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 5 \cdot (- \frac{425}{2} + \frac{7}{4} x)$	=	$350$
$4 x + \frac{2125}{2} - \frac{35}{4} x$	=	$350$
$- \frac{19}{4} x + \frac{2125}{2}$	=	$350$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{19}{4} x + \frac{2125}{2})$	=	$1 400$
$- 19 x + 4 250$	=	$1 400$	\| $- 4 250$
$- 19 x$	=	$- 2 850$	\|:( $- 19$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{425}{2} + \frac{7}{4} \cdot 150$

= $- \frac{425}{2} + \frac{525}{2}$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (150|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|9) und B(4|36) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|9): 9 = 1² + b⋅1 +c

B(4|36): 36 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 +1b +c |-1
36 = 16 +4b +c |-16

8 = 1b +c
20 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 8 & (I) \\ 4 b & + c & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$20$
$c + 4 b$	=	$20$	\| $- 4 b$
$c$	=	$20 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (20 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $20 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (20 - 4 b)$	=	$8$
$b + 20 - 4 b$	=	$8$
$- 3 b + 20$	=	$8$	\| $- 20$
$- 3 b$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $20 - 4 \cdot 4$

= $20 - 16$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-12) und B(-1|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-12): -12 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 +1b +c |-1
4 = 1 -1b +c |-1

-13 = 1b +c
3 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ - b & + c & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$3$
$c - b$	=	$3$	\| $+ b$
$c$	=	$3 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ + c & = & (3 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $3 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (3 + b)$	=	$- 13$
$b + 3 + b$	=	$- 13$
$2 b + 3$	=	$- 13$	\| $- 3$
$2 b$	=	$- 16$	\|: $2$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $3 - 8$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-5)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 5$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 5$

= ${(x - 4)}^{2} - 21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 5$ = $16 - 32 - 5$ = -21

also: S(4|-21).

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1. Weg

2. Weg