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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 5 y$ = $- 15$ .

Bestimme x so, dass (x|-3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x + 5 \cdot (- 3)$ = $- 15$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x + 5 \cdot (- 3)$	=	$- 15$
$4 x - 15$	=	$- 15$	\| $+ 15$
$4 x$	=	0	\|: $4$
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 2 y$ = $- 8$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|-7)
denn -2⋅( - 3 ) +2⋅( - 7 ) = 6 -14 = $- 8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|-5)
denn -2⋅( - 1 ) +2⋅( - 5 ) = 2 -10 = $- 8$

Oder : (-5|-9)
denn -2⋅( - 5 ) +2⋅( - 9 ) = 10 -18 = $- 8$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & = & 2 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & = & 2 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 2 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 2) + 2 y$	=	$- 10$
$- 4 + 2 y$	=	$- 10$
$2 y - 4$	=	$- 10$	\| $+ 4$
$2 y$	=	$- 6$	\|: $2$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & = & - 3 & (I) \\ - 3 x & + y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & = & - 3 & (I) \\ - 3 x & + y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 1 & (I) \\ - 3 x & + y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 1) + y$	=	0
$3 + y$	=	0
$y + 3$	=	0	\| $- 3$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 5 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 5 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$5$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$5 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 5 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 5 & (I) \\ x & = & (- 5 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 5 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 5 - 3 y) + 4 y$	=	$- 5$
$- 5 - 3 y + 4 y$	=	$- 5$
$y - 5$	=	$- 5$	\| $+ 5$
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 5 - 3 \cdot 0$

= $- 5 + 0$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & 0 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & 0 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 2 y$	=	0
$2 y - 2 x$	=	0	\| $+ 2 x$
$2 y$	=	$2 x$	\|: $2$
$y$	=	$x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & x & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 2 \cdot x$	=	$- 12$
$- 2 x - 2 x$	=	$- 12$
$- 4 x$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +2y = ?

-7x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-3x +2y = 9 -2 = 7

-7x +4y = 21 -4 = 17

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +2y = 7

-7x +4y = 17

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 12 x & + 8 y & = & - 15 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 12 x & + 8 y & = & - 15 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$12 x + 8 y$	=	$- 15$
$8 y + 12 x$	=	$- 15$	\| $- 12 x$
$8 y$	=	$- 15 - 12 x$	\|: $8$
$y$	=	$- \frac{15}{8} - \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{15}{8} - \frac{3}{2} x) & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{15}{8} - \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot (- \frac{15}{8} - \frac{3}{2} x)$	=	$3$
$- 3 x + \frac{15}{4} + 3 x$	=	$3$
$\frac{15}{4}$	=	$3$	\| $- \frac{15}{4}$
0	=	$- \frac{3}{4}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 6. Wenn man aber vom 2-fachen von x 5 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -6. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$6$	\| $- 2 y$
$x$	=	$6 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (6 - 2 y) & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $6 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (6 - 2 y) - 5 y$	=	$- 6$
$12 - 4 y - 5 y$	=	$- 6$
$- 9 y + 12$	=	$- 6$	\| $- 12$
$- 9 y$	=	$- 18$	\|:( $- 9$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $6 - 2 \cdot 2$

= $6 - 4$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|11) und B(-4|50) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|11): 11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|50): 50 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
11 = 1 -1b +c |-1
50 = 16 -4b +c |-16

10 = -1b +c
34 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 10 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 34 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$34$
$c - 4 b$	=	$34$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$34 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 10 & (I) \\ + c & = & (34 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $34 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (34 + 4 b)$	=	$10$
$- b + 34 + 4 b$	=	$10$
$3 b + 34$	=	$10$	\| $- 34$
$3 b$	=	$- 24$	\|: $3$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $34 + 4 \cdot (- 8)$

= $34 - 32$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|9) und B(-4|36) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|36): 36 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 -1b +c |-1
36 = 16 -4b +c |-16

8 = -1b +c
20 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$20$
$c - 4 b$	=	$20$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$20 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (20 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $20 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (20 + 4 b)$	=	$8$
$- b + 20 + 4 b$	=	$8$
$3 b + 20$	=	$8$	\| $- 20$
$3 b$	=	$- 12$	\|: $3$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $20 + 4 \cdot (- 4)$

= $20 - 16$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 4$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 + 4$

= ${(x - 2)}^{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 + 4$ = $4 - 8 + 4$ = 0

also: S(2|0).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg