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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + y$ = $- 1$ .

Bestimme y so, dass (0|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$2 \cdot 0 + y$ = $- 1$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2 \cdot 0 + y$	=	$- 1$
$y$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (0|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 2 y$ = $18$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|-1)
denn 5⋅4 +2⋅( - 1 ) = 20 -2 = $18$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|-6)
denn 5⋅6 +2⋅( - 6 ) = 30 -12 = $18$

Oder : (2|4)
denn 5⋅2 +2⋅4 = 10 +8 = $18$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 y & = & 12 & (I) \\ 4 x & - y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 y & = & 12 & (I) \\ 4 x & - y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 6 & (I) \\ 4 x & - y & = & 30 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 1 \cdot (- 6)$	=	$30$
$4 x + 6$	=	$30$	\| $- 6$
$4 x$	=	$24$	\|: $4$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 23 & (I) \\ x & - 2 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 23 & (I) \\ x & - 2 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$9$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$9 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 23 & (I) \\ x & = & (9 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $9 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (9 + 2 y) - 4 y$	=	$23$
$27 + 6 y - 4 y$	=	$23$
$2 y + 27$	=	$23$	\| $- 27$
$2 y$	=	$- 4$	\|: $2$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $9 + 2 \cdot (- 2)$

= $9 - 4$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + y & = & - 5 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + y & = & - 5 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x + y$	=	$- 5$
$y - x$	=	$- 5$	\| $+ x$
$y$	=	$- 5 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 5 + x) & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 5 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 4 \cdot (- 5 + x)$	=	$- 15$
$- 3 x - 20 + 4 x$	=	$- 15$
$x - 20$	=	$- 15$	\| $+ 20$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5 + 5$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (5|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{11}{5} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & + \frac{1}{2} y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{4} y & = & \frac{11}{5} & (I) \\ - \frac{1}{2} x & + \frac{1}{2} y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{1}{5} x - \frac{1}{4} y$	=	$\frac{11}{5}$
$- \frac{1}{4} y - \frac{1}{5} x$	=	$\frac{11}{5}$	\|⋅ 20
$20 (- \frac{1}{4} y - \frac{1}{5} x)$	=	$44$
$- 5 y - 4 x$	=	$44$	\| $+ 4 x$
$- 5 y$	=	$44 + 4 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- \frac{44}{5} - \frac{4}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{44}{5} - \frac{4}{5} x) & (I) \\ - \frac{1}{2} x & + \frac{1}{2} y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{44}{5} - \frac{4}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{44}{5} - \frac{4}{5} x)$	=	$1$
$- \frac{1}{2} x - \frac{22}{5} - \frac{2}{5} x$	=	$1$
$- \frac{9}{10} x - \frac{22}{5}$	=	$1$	\|⋅ 10
$10 (- \frac{9}{10} x - \frac{22}{5})$	=	$10$
$- 9 x - 44$	=	$10$	\| $+ 44$
$- 9 x$	=	$54$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{44}{5} - \frac{4}{5} \cdot (- 6)$

= $- \frac{44}{5} + \frac{24}{5}$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +4y = ?

2x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-2x +4y = -2 -4 = -6

2x -5y = 2 +5 = 7

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +4y = -6

2x -5y = 7

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & 1 & (I) \\ - 6 x & - 6 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & 1 & (I) \\ - 6 x & - 6 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 2 y$	=	$1$
$2 y + 2 x$	=	$1$	\| $- 2 x$
$2 y$	=	$1 - 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$\frac{1}{2} - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{2} - x) & (I) \\ - 6 x & - 6 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2} - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 6 x - 6 \cdot (\frac{1}{2} - x)$	=	$- 3$
$- 6 x - 3 + 6 x$	=	$- 3$
$- 3$	=	$- 3$	\| $+ 3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 7 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 176 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 204 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 9 x & + 7 y & = & 176 & (I) \\ 6 x & + 9 y & = & 204 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9 x + 7 y$	=	$176$
$7 y + 9 x$	=	$176$	\| $- 9 x$
$7 y$	=	$176 - 9 x$	\|: $7$
$y$	=	$\frac{176}{7} - \frac{9}{7} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{176}{7} - \frac{9}{7} x) & (I) \\ 6 x & + 9 y & = & 204 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{176}{7} - \frac{9}{7} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 9 \cdot (\frac{176}{7} - \frac{9}{7} x)$	=	$204$
$6 x + \frac{1584}{7} - \frac{81}{7} x$	=	$204$
$- \frac{39}{7} x + \frac{1584}{7}$	=	$204$	\|⋅ 7
$7 (- \frac{39}{7} x + \frac{1584}{7})$	=	$1 428$
$- 39 x + 1 584$	=	$1 428$	\| $- 1 584$
$- 39 x$	=	$- 156$	\|:( $- 39$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{176}{7} - \frac{9}{7} \cdot 4$

= $\frac{176}{7} - \frac{36}{7}$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (4|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-9) und B(1|3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-9): -9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|3): 3 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-9 = 1 -1b +c |-1
3 = 1 +1b +c |-1

-10 = -1b +c
2 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 10 & (I) \\ b & + c & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$2$
$c + b$	=	$2$	\| $- b$
$c$	=	$2 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 10 & (I) \\ + c & = & (2 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $2 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (2 - b)$	=	$- 10$
$- b + 2 - b$	=	$- 10$
$- 2 b + 2$	=	$- 10$	\| $- 2$
$- 2 b$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $2 - 6$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-10) und B(-1|6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-10): -10 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|6): 6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 +1b +c |-1
6 = 1 -1b +c |-1

-11 = 1b +c
5 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ - b & + c & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$5$
$c - b$	=	$5$	\| $+ b$
$c$	=	$5 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (5 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $5 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (5 + b)$	=	$- 11$
$b + 5 + b$	=	$- 11$
$2 b + 5$	=	$- 11$	\| $- 5$
$2 b$	=	$- 16$	\|: $2$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $5 - 8$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-3)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 3$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 3$

= ${(x - 4)}^{2} - 19$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-19).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 3$ = $16 - 32 - 3$ = -19

also: S(4|-19).

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg