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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 3 y$ = $- 14$ .

Bestimme y so, dass (1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 \cdot 1 + 3 y$ = $- 14$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 2 \cdot 1 + 3 y$	=	$- 14$
$- 2 + 3 y$	=	$- 14$
$3 y - 2$	=	$- 14$	\| $+ 2$
$3 y$	=	$- 12$	\|: $3$
$y$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (1|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 2 y$ = $24$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|0)
denn 4⋅6 +2⋅0 = 24 +0 = $24$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|-4)
denn 4⋅8 +2⋅( - 4 ) = 32 -8 = $24$

Oder : (4|4)
denn 4⋅4 +2⋅4 = 16 +8 = $24$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + y & = & - 4 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $- 4$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (- 4)$	=	$20$
$2 x + 12$	=	$20$	\| $- 12$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 9 & (I) \\ - x & + 3 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 9 & (I) \\ - x & + 3 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 3 y$	=	$- 1$	\| $- 3 y$
$- x$	=	$- 1 - 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 9 & (I) \\ x & = & (1 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $1 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (1 + 3 y) + y$	=	$- 9$
$4 + 12 y + y$	=	$- 9$
$13 y + 4$	=	$- 9$	\| $- 4$
$13 y$	=	$- 13$	\|: $13$
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $1 + 3 \cdot (- 1)$

= $1 - 3$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 12 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 12 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 4 y$	=	$- 12$
$4 y + 2 x$	=	$- 12$	\| $- 2 x$
$4 y$	=	$- 12 - 2 x$	\|: $4$
$y$	=	$- 3 - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 3 - \frac{1}{2} x) & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 3 - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 4 \cdot (- 3 - \frac{1}{2} x)$	=	$12$
$- 4 x + 12 + 2 x$	=	$12$
$- 2 x + 12$	=	$12$	\| $- 12$
$- 2 x$	=	0	\|:( $- 2$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 3 - \frac{1}{2} \cdot (0)$

= $- 3 + 0$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + \frac{3}{4} y & = & \frac{15}{2} & (I) \\ \frac{1}{3} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{1}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + \frac{3}{4} y & = & \frac{15}{2} & (I) \\ \frac{1}{3} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{1}{3} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + \frac{3}{4} y$	=	$\frac{15}{2}$
$\frac{3}{4} y - 3 x$	=	$\frac{15}{2}$	\|⋅ 4
$4 (\frac{3}{4} y - 3 x)$	=	$30$
$3 y - 12 x$	=	$30$	\| $+ 12 x$
$3 y$	=	$30 + 12 x$	\|: $3$
$y$	=	$10 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (10 + 4 x) & (I) \\ \frac{1}{3} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{1}{3} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $10 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{3} x + \frac{1}{2} \cdot (10 + 4 x)$	=	$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{3} x + 5 + 2 x$	=	$\frac{1}{3}$
$\frac{7}{3} x + 5$	=	$\frac{1}{3}$	\|⋅ 3
$3 (\frac{7}{3} x + 5)$	=	$1$
$7 x + 15$	=	$1$	\| $- 15$
$7 x$	=	$- 14$	\|: $7$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $10 + 4 \cdot (- 2)$

= $10 - 8$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +3y = ?

1x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-1x +3y = -1 -9 = -10

1x -1y = 1 +3 = 4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +3y = -10

1x -1y = 4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & + 2 y & = & 16 & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 2 y & = & 16 & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 2 y$	=	$16$
$2 y + 4 x$	=	$16$	\| $- 4 x$
$2 y$	=	$16 - 4 x$	\|: $2$
$y$	=	$8 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (8 - 2 x) & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $8 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 4 \cdot (8 - 2 x)$	=	$17$
$5 x + 32 - 8 x$	=	$17$
$- 3 x + 32$	=	$17$	\| $- 32$
$- 3 x$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $8 - 2 \cdot 5$

= $8 - 10$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1120 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1940 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 1120 & (I) \\ 7 x & - 4 y & = & 1940 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 2 y$	=	$1120$
$- 2 y + 4 x$	=	$1120$	\| $- 4 x$
$- 2 y$	=	$1120 - 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 560 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 560 + 2 x) & (I) \\ 7 x & - 4 y & = & 1940 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 560 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x - 4 \cdot (- 560 + 2 x)$	=	$1940$
$7 x + 2 240 - 8 x$	=	$1940$
$- x + 2 240$	=	$1940$	\| $- 2 240$
$- x$	=	$- 300$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 560 + 2 \cdot 300$

= $- 560 + 600$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (300|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|0) und B(2|1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(2|1): 1 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
1 = 4 +2b +c |-4

-1 = 1b +c
-3 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 3$
$c + 2 b$	=	$- 3$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 3 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (- 3 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 3 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 3 - 2 b)$	=	$- 1$
$b - 3 - 2 b$	=	$- 1$
$- b - 3$	=	$- 1$	\| $+ 3$
$- b$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 3 - 2 \cdot (- 2)$

= $- 3 + 4$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|10) und B(3|30) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

B(3|30): 30 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 +1b +c |-1
30 = 9 +3b +c |-9

9 = 1b +c
21 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ 3 b & + c & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$21$
$c + 3 b$	=	$21$	\| $- 3 b$
$c$	=	$21 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (21 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $21 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (21 - 3 b)$	=	$9$
$b + 21 - 3 b$	=	$9$
$- 2 b + 21$	=	$9$	\| $- 21$
$- 2 b$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $21 - 3 \cdot 6$

= $21 - 18$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 3$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 3$

= ${(x + 3)}^{2} - 6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 3$ = $9 - 18 + 3$ = -6

also: S(-3|-6).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg