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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + y$ = $- 6$ .

Bestimme x so, dass (x|-2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x + (- 2)$ = $- 6$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x + (- 2)$	=	$- 6$
$4 x - 2$	=	$- 6$	\| $+ 2$
$4 x$	=	$- 4$	\|: $4$
$x$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-1|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 3 y$ = $- 26$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|-6)
denn -2⋅4 +3⋅( - 6 ) = -8 -18 = $- 26$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (7|-4)
denn -2⋅7 +3⋅( - 4 ) = -14 -12 = $- 26$

Oder : (1|-8)
denn -2⋅1 +3⋅( - 8 ) = -2 -24 = $- 26$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 15 & (I) \\ 2 x & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 15 & (I) \\ 2 x & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$2 x$	=	$10$	\|: $2$
$x$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & - 15 & (I) \\ x & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot 5 + y$	=	$- 15$
$- 10 + y$	=	$- 15$
$y - 10$	=	$- 15$	\| $+ 10$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 8 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 36 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 8 & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 36 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$8$	\| $- 2 y$
$x$	=	$8 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (8 - 2 y) & (I) \\ - 3 x & + 4 y & = & 36 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $8 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (8 - 2 y) + 4 y$	=	$36$
$- 24 + 6 y + 4 y$	=	$36$
$10 y - 24$	=	$36$	\| $+ 24$
$10 y$	=	$60$	\|: $10$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $8 - 2 \cdot 6$

= $8 - 12$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & - 22 & (I) \\ - 4 x & - y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & - 22 & (I) \\ - 4 x & - y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x - y$	=	$16$
$- y - 4 x$	=	$16$	\| $+ 4 x$
$- y$	=	$16 + 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 16 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & - 22 & (I) \\ + y & = & (- 16 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 16 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (- 16 - 4 x)$	=	$- 22$
$2 x + 48 + 12 x$	=	$- 22$
$14 x + 48$	=	$- 22$	\| $- 48$
$14 x$	=	$- 70$	\|: $14$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 16 - 4 \cdot (- 5)$

= $- 16 + 20$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 0 & (I) \\ - \frac{2}{3} x & - y & = & - \frac{4}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 0 & (I) \\ - \frac{2}{3} x & - y & = & - \frac{4}{3} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{2}{3} x - y$	=	$- \frac{4}{3}$
$- y - \frac{2}{3} x$	=	$- \frac{4}{3}$	\|⋅ 3
$3 (- y - \frac{2}{3} x)$	=	$- 4$
$- 3 y - 2 x$	=	$- 4$	\| $+ 2 x$
$- 3 y$	=	$- 4 + 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + y & = & 0 & (I) \\ + y & = & (\frac{4}{3} - \frac{2}{3} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $\frac{4}{3} - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 1 \cdot (\frac{4}{3} - \frac{2}{3} x)$	=	0
$2 x + \frac{4}{3} - \frac{2}{3} x$	=	0
$\frac{4}{3} x + \frac{4}{3}$	=	0	\|⋅ 3
$3 (\frac{4}{3} x + \frac{4}{3})$	=	0
$4 x + 4$	=	0	\| $- 4$
$4 x$	=	$- 4$	\|: $4$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $\frac{4}{3} - \frac{2}{3} \cdot (- 1)$

= $\frac{4}{3} + \frac{2}{3}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +1y = ?

2x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-2x +1y = -10 -3 = -13

2x -4y = 10 +12 = 22

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +1y = -13

2x -4y = 22

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 6 x & - 6 y & = & - 7 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 6 x & - 6 y & = & - 7 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 6 x - 6 y$	=	$- 7$
$- 6 y - 6 x$	=	$- 7$	\| $+ 6 x$
$- 6 y$	=	$- 7 + 6 x$	\|:( $- 6$ )
$y$	=	$\frac{7}{6} - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{7}{6} - x) & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{7}{6} - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot (\frac{7}{6} - x)$	=	$3$
$2 x + \frac{7}{3} - 2 x$	=	$3$
$\frac{7}{3}$	=	$3$	\| $- \frac{7}{3}$
0	=	$\frac{2}{3}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 5 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 525 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 3 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 225 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 5 y & = & 525 & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & 225 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 5 y$	=	$525$
$- 5 y + 5 x$	=	$525$	\| $- 5 x$
$- 5 y$	=	$525 - 5 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 105 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 105 + x) & (I) \\ 3 x & - 5 y & = & 225 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 105 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 5 \cdot (- 105 + x)$	=	$225$
$3 x + 525 - 5 x$	=	$225$
$- 2 x + 525$	=	$225$	\| $- 525$
$- 2 x$	=	$- 300$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 105 + 150$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (150|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-9) und B(4|-18) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-9): -9 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-18): -18 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-9 = 1 +1b +c |-1
-18 = 16 +4b +c |-16

-10 = 1b +c
-34 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 10 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 34 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 34$
$c + 4 b$	=	$- 34$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 34 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 10 & (I) \\ + c & = & (- 34 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 34 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 34 - 4 b)$	=	$- 10$
$b - 34 - 4 b$	=	$- 10$
$- 3 b - 34$	=	$- 10$	\| $+ 34$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 34 - 4 \cdot (- 8)$

= $- 34 + 32$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-2) und B(3|-2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-2): -2 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
-2 = 9 +3b +c |-9

-3 = 1b +c
-11 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 11$
$c + 3 b$	=	$- 11$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 11 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 11 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 11 - 3 b)$	=	$- 3$
$b - 11 - 3 b$	=	$- 3$
$- 2 b - 11$	=	$- 3$	\| $+ 11$
$- 2 b$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 - 3 \cdot (- 4)$

= $- 11 + 12$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 1$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 + 1$

= ${(x - 2)}^{2} - 3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 + 1$ = $4 - 8 + 1$ = -3

also: S(2|-3).

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Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg