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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 5 y$ = $7$ .

Bestimme x so, dass (x|-1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 x + 5 \cdot (- 1)$ = $7$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 4 x + 5 \cdot (- 1)$	=	$7$
$- 4 x - 5$	=	$7$	\| $+ 5$
$- 4 x$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 3$

Die Lösung ist somit: (-3|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 4 y$ = $12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|3)
denn -1⋅0 +4⋅3 = 0 +12 = $12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|4)
denn -1⋅4 +4⋅4 = -4 +16 = $12$

Oder : (-4|2)
denn -1⋅( - 4 ) +4⋅2 = 4 +8 = $12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - y & = & 1 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - y & = & 1 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- y$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 1 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (- 1)$	=	$15$
$3 x + 3$	=	$15$	\| $- 3$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 20 & (I) \\ 3 x & - y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 20 & (I) \\ 3 x & - y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x - y$	=	$- 20$
$- y + 3 x$	=	$- 20$	\| $- 3 x$
$- y$	=	$- 20 - 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$20 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & - 20 & (I) \\ + y & = & (20 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $20 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 3 \cdot (20 + 3 x)$	=	$- 20$
$x - 60 - 9 x$	=	$- 20$
$- 8 x - 60$	=	$- 20$	\| $+ 60$
$- 8 x$	=	$40$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $20 + 3 \cdot (- 5)$

= $20 - 15$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 5 y & = & - 25 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 5 y & = & - 25 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 5 y$	=	$- 25$
$- 5 y + 3 x$	=	$- 25$	\| $- 3 x$
$- 5 y$	=	$- 25 - 3 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$5 + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (5 + \frac{3}{5} x) & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5 + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 3 \cdot (5 + \frac{3}{5} x)$	=	$16$
$- 2 x + 15 + \frac{9}{5} x$	=	$16$
$- \frac{1}{5} x + 15$	=	$16$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{1}{5} x + 15)$	=	$80$
$- x + 75$	=	$80$	\| $- 75$
$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5 + \frac{3}{5} \cdot (- 5)$

= $5 - 3$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{2}{5} x & - y & = & \frac{33}{5} & (I) \\ - \frac{2}{3} x & + \frac{2}{3} y & = & - \frac{2}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{2}{5} x & - y & = & \frac{33}{5} & (I) \\ - \frac{2}{3} x & + \frac{2}{3} y & = & - \frac{2}{3} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{2}{5} x - y$	=	$\frac{33}{5}$
$- y - \frac{2}{5} x$	=	$\frac{33}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- y - \frac{2}{5} x)$	=	$33$
$- 5 y - 2 x$	=	$33$	\| $+ 2 x$
$- 5 y$	=	$33 + 2 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- \frac{33}{5} - \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{33}{5} - \frac{2}{5} x) & (I) \\ - \frac{2}{3} x & + \frac{2}{3} y & = & - \frac{2}{3} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{33}{5} - \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{33}{5} - \frac{2}{5} x)$	=	$- \frac{2}{3}$
$- \frac{2}{3} x - \frac{22}{5} - \frac{4}{15} x$	=	$- \frac{2}{3}$
$- \frac{14}{15} x - \frac{22}{5}$	=	$- \frac{2}{3}$	\|⋅ 15
$15 (- \frac{14}{15} x - \frac{22}{5})$	=	$- 10$
$- 14 x - 66$	=	$- 10$	\| $+ 66$
$- 14 x$	=	$56$	\|:( $- 14$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{33}{5} - \frac{2}{5} \cdot (- 4)$

= $- \frac{33}{5} + \frac{8}{5}$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -1y = ?

-7x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-4x -1y = -8 +2 = -6

-7x -4y = -14 +8 = -6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -1y = -6

-7x -4y = -6

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & 3 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & 3 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 5 y$	=	$3$
$5 y + 3 x$	=	$3$	\| $- 3 x$
$5 y$	=	$3 - 3 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{3}{5} - \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{3}{5} - \frac{3}{5} x) & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{5} - \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot (\frac{3}{5} - \frac{3}{5} x)$	=	$1$
$2 x + \frac{9}{5} - \frac{9}{5} x$	=	$1$
$\frac{1}{5} x + \frac{9}{5}$	=	$1$	\|⋅ 5
$5 (\frac{1}{5} x + \frac{9}{5})$	=	$5$
$x + 9$	=	$5$	\| $- 9$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{3}{5} - \frac{3}{5} \cdot (- 4)$

= $\frac{3}{5} + \frac{12}{5}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 216 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 2 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 146 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 6 y & = & 216 & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & 146 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 6 y$	=	$216$
$6 y + 2 x$	=	$216$	\| $- 2 x$
$6 y$	=	$216 - 2 x$	\|: $6$
$y$	=	$36 - \frac{1}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (36 - \frac{1}{3} x) & (I) \\ 2 x & + 4 y & = & 146 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $36 - \frac{1}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 4 \cdot (36 - \frac{1}{3} x)$	=	$146$
$2 x + 144 - \frac{4}{3} x$	=	$146$
$\frac{2}{3} x + 144$	=	$146$	\|⋅ 3
$3 (\frac{2}{3} x + 144)$	=	$438$
$2 x + 432$	=	$438$	\| $- 432$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $36 - \frac{1}{3} \cdot 3$

= $36 - 1$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (3|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|8) und B(-1|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
4 = 1 -1b +c |-1

7 = 1b +c
3 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ - b & + c & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$3$
$c - b$	=	$3$	\| $+ b$
$c$	=	$3 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (3 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $3 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (3 + b)$	=	$7$
$b + 3 + b$	=	$7$
$2 b + 3$	=	$7$	\| $- 3$
$2 b$	=	$4$	\|: $2$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $3 + 2$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-3) und B(-4|6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|6): 6 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 -1b +c |-1
6 = 16 -4b +c |-16

-4 = -1b +c
-10 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 10$
$c - 4 b$	=	$- 10$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 10 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (- 10 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 10 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 10 + 4 b)$	=	$- 4$
$- b - 10 + 4 b$	=	$- 4$
$3 b - 10$	=	$- 4$	\| $+ 10$
$3 b$	=	$6$	\|: $3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 10 + 4 \cdot 2$

= $- 10 + 8$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 2$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 2$

= ${(x + 1)}^{2} - 3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 2$ = $1 - 2 - 2$ = -3

also: S(-1|-3).

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1. Weg

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