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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 4 y$ = $- 12$ .

Bestimme y so, dass (7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 \cdot 7 + 4 y$ = $- 12$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 4 \cdot 7 + 4 y$	=	$- 12$
$- 28 + 4 y$	=	$- 12$
$4 y - 28$	=	$- 12$	\| $+ 28$
$4 y$	=	$16$	\|: $4$
$y$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (7|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 5 y$ = $- 31$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-6)
denn 1⋅( - 1 ) +5⋅( - 6 ) = -1 -30 = $- 31$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-7)
denn 1⋅4 +5⋅( - 7 ) = 4 -35 = $- 31$

Oder : (-6|-5)
denn 1⋅( - 6 ) +5⋅( - 5 ) = -6 -25 = $- 31$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 8 & (I) \\ + 4 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 8 & (I) \\ + 4 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4 y$	=	$- 20$	\|: $4$
$y$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 8 & (I) \\ + y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 4 \cdot (- 5)$	=	$8$
$- 3 x + 20$	=	$8$	\| $- 20$
$- 3 x$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - y & = & 0 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - y & = & 0 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 4$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 4 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - y & = & 0 & (I) \\ x & = & (- 4 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 4 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 4 - 2 y) - y$	=	0
$4 + 2 y - y$	=	0
$y + 4$	=	0	\| $- 4$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 4 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 4 + 8$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & 2 & (I) \\ - 5 x & + y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & 2 & (I) \\ - 5 x & + y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x + y$	=	$- 5$
$y - 5 x$	=	$- 5$	\| $+ 5 x$
$y$	=	$- 5 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & 2 & (I) \\ + y & = & (- 5 + 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 5 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 5 \cdot (- 5 + 5 x)$	=	$2$
$2 x - 25 + 25 x$	=	$2$
$27 x - 25$	=	$2$	\| $+ 25$
$27 x$	=	$27$	\|: $27$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 5 + 5 \cdot 1$

= $- 5 + 5$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (1|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + \frac{2}{3} y & = & - \frac{8}{3} & (I) \\ \frac{1}{3} x & + \frac{1}{5} y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + \frac{2}{3} y & = & - \frac{8}{3} & (I) \\ \frac{1}{3} x & + \frac{1}{5} y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + \frac{2}{3} y$	=	$- \frac{8}{3}$
$\frac{2}{3} y - 2 x$	=	$- \frac{8}{3}$	\|⋅ 3
$3 (\frac{2}{3} y - 2 x)$	=	$- 8$
$2 y - 6 x$	=	$- 8$	\| $+ 6 x$
$2 y$	=	$- 8 + 6 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 4 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 4 + 3 x) & (I) \\ \frac{1}{3} x & + \frac{1}{5} y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 4 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{3} x + \frac{1}{5} \cdot (- 4 + 3 x)$	=	$2$
$\frac{1}{3} x - \frac{4}{5} + \frac{3}{5} x$	=	$2$
$\frac{14}{15} x - \frac{4}{5}$	=	$2$	\|⋅ 15
$15 (\frac{14}{15} x - \frac{4}{5})$	=	$30$
$14 x - 12$	=	$30$	\| $+ 12$
$14 x$	=	$42$	\|: $14$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 4 + 3 \cdot 3$

= $- 4 + 9$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +1y = ?

-9x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-5x +1y = -15 +1 = -14

-9x +1y = -27 +1 = -26

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +1y = -14

-9x +1y = -26

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 9 x & + 3 y & = & - 7 & (I) \\ 3 x & - y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 9 x & + 3 y & = & - 7 & (I) \\ 3 x & - y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x - y$	=	$2$
$- y + 3 x$	=	$2$	\| $- 3 x$
$- y$	=	$2 - 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 2 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 9 x & + 3 y & = & - 7 & (I) \\ + y & = & (- 2 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 2 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 9 x + 3 \cdot (- 2 + 3 x)$	=	$- 7$
$- 9 x - 6 + 9 x$	=	$- 7$
$- 6$	=	$- 7$	\| $+ 6$
0	=	$- 1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 4 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 192 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 2 Halogenleuchten zusammen 52 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 9 y & = & 192 & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & 52 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 9 y$	=	$192$
$9 y + 4 x$	=	$192$	\| $- 4 x$
$9 y$	=	$192 - 4 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{64}{3} - \frac{4}{9} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{64}{3} - \frac{4}{9} x) & (I) \\ 4 x & + 2 y & = & 52 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{64}{3} - \frac{4}{9} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 2 \cdot (\frac{64}{3} - \frac{4}{9} x)$	=	$52$
$4 x + \frac{128}{3} - \frac{8}{9} x$	=	$52$
$\frac{28}{9} x + \frac{128}{3}$	=	$52$	\|⋅ 9
$9 (\frac{28}{9} x + \frac{128}{3})$	=	$468$
$28 x + 384$	=	$468$	\| $- 384$
$28 x$	=	$84$	\|: $28$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{64}{3} - \frac{4}{9} \cdot 3$

= $\frac{64}{3} - \frac{4}{3}$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (3|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|1) und B(-4|28) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|1): 1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|28): 28 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 -1b +c |-1
28 = 16 -4b +c |-16

0 = -1b +c
12 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$12$
$c - 4 b$	=	$12$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$12 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (12 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $12 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (12 + 4 b)$	=	0
$- b + 12 + 4 b$	=	0
$3 b + 12$	=	0	\| $- 12$
$3 b$	=	$- 12$	\|: $3$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $12 + 4 \cdot (- 4)$

= $12 - 16$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-5) und B(2|-10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-10): -10 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
-10 = 4 +2b +c |-4

-6 = 1b +c
-14 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 14$
$c + 2 b$	=	$- 14$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 14 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 14 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 14 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 14 - 2 b)$	=	$- 6$
$b - 14 - 2 b$	=	$- 6$
$- b - 14$	=	$- 6$	\| $+ 14$
$- b$	=	$8$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 14 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 14 + 16$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x + 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 + 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 + 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 14$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-14).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x + 2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 + 2$ = $16 - 32 + 2$ = -14

also: S(4|-14).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg