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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 4 y$ = $- 9$ .

Bestimme y so, dass (3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$3 + 4 y$ = $- 9$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3 + 4 y$	=	$- 9$
$3 + 4 y$	=	$- 9$
$4 y + 3$	=	$- 9$	\| $- 3$
$4 y$	=	$- 12$	\|: $4$
$y$	=	$- 3$

Die Lösung ist somit: (3|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 3 y$ = $- 7$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|-7)
denn -2⋅( - 7 ) +3⋅( - 7 ) = 14 -21 = $- 7$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|-5)
denn -2⋅( - 4 ) +3⋅( - 5 ) = 8 -15 = $- 7$

Oder : (-10|-9)
denn -2⋅( - 10 ) +3⋅( - 9 ) = 20 -27 = $- 7$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 10 & (I) \\ - x & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 10 & (I) \\ - x & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 10 & (I) \\ x & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 6) + y$	=	$10$
$12 + y$	=	$10$
$y + 12$	=	$10$	\| $- 12$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & - 6 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & - 6 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 3$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 3 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & - 6 & (I) \\ x & = & (- 3 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 3 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 3 - 2 y) + 3 y$	=	$- 6$
$- 3 - 2 y + 3 y$	=	$- 6$
$y - 3$	=	$- 6$	\| $+ 3$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 3 - 2 \cdot (- 3)$

= $- 3 + 6$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 5 y & = & 22 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 5 y & = & 22 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 5 y$	=	$22$
$5 y - 3 x$	=	$22$	\| $+ 3 x$
$5 y$	=	$22 + 3 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{22}{5} + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{22}{5} + \frac{3}{5} x) & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{22}{5} + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 3 \cdot (\frac{22}{5} + \frac{3}{5} x)$	=	$6$
$- 3 x - \frac{66}{5} - \frac{9}{5} x$	=	$6$
$- \frac{24}{5} x - \frac{66}{5}$	=	$6$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{24}{5} x - \frac{66}{5})$	=	$30$
$- 24 x - 66$	=	$30$	\| $+ 66$
$- 24 x$	=	$96$	\|:( $- 24$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{22}{5} + \frac{3}{5} \cdot (- 4)$

= $\frac{22}{5} - \frac{12}{5}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$x + 2 (2 + y)$	=	$y$			(I)
$2 x + 5 y$	=	$x - 16 + y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$x + 2 (2 + y)$	=	$y$			(I)
$2 x + 5 y$	=	$x - 16 + y$			(II)

$x + 4 + 2 y$	=	$y$	\| $- 4 - y$		(I)
$2 x + 5 y$	=	$x - 16 + y$	\| $- x - y$		(II)

\begin{matrix} x & + y & = & - 4 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$- 16$	\| $- 4 y$
$x$	=	$- 16 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + y & = & - 4 & (I) \\ x & = & (- 16 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 16 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 16 - 4 y) + y$	=	$- 4$
$- 16 - 4 y + y$	=	$- 4$
$- 3 y - 16$	=	$- 4$	\| $+ 16$
$- 3 y$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 16 - 4 \cdot (- 4)$

= $- 16 + 16$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +4y = ?

4x +19y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

1x +4y = -4 -8 = -12

4x +19y = -16 -38 = -54

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +4y = -12

4x +19y = -54

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & - 2 y & = & 18 & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 23 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 2 y & = & 18 & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 23 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 2 y$	=	$18$
$- 2 y - 5 x$	=	$18$	\| $+ 5 x$
$- 2 y$	=	$18 + 5 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 9 - \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 9 - \frac{5}{2} x) & (I) \\ - 5 x & + 3 y & = & 23 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 9 - \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 3 \cdot (- 9 - \frac{5}{2} x)$	=	$23$
$- 5 x - 27 - \frac{15}{2} x$	=	$23$
$- \frac{25}{2} x - 27$	=	$23$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{25}{2} x - 27)$	=	$46$
$- 25 x - 54$	=	$46$	\| $+ 54$
$- 25 x$	=	$100$	\|:( $- 25$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 9 - \frac{5}{2} \cdot (- 4)$

= $- 9 + 10$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 13. Wenn man aber vom 4-fachen von x 5 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 10. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 13 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$13$	\| $- 4 y$
$x$	=	$13 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (13 - 4 y) & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $13 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (13 - 4 y) - 5 y$	=	$10$
$52 - 16 y - 5 y$	=	$10$
$- 21 y + 52$	=	$10$	\| $- 52$
$- 21 y$	=	$- 42$	\|:( $- 21$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $13 - 4 \cdot 2$

= $13 - 8$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|4) und B(1|-12) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-12): -12 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
-12 = 1 +1b +c |-1

3 = -1b +c
-13 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ b & + c & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 13$
$c + b$	=	$- 13$	\| $- b$
$c$	=	$- 13 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (- 13 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 13 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 13 - b)$	=	$3$
$- b - 13 - b$	=	$3$
$- 2 b - 13$	=	$3$	\| $+ 13$
$- 2 b$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 13 - (- 8)$

= $- 13 + 8$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-5)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-2) und B(3|-10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-10): -10 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
-10 = 9 +3b +c |-9

-3 = 1b +c
-19 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 19$
$c + 3 b$	=	$- 19$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 19 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 19 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 19 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 19 - 3 b)$	=	$- 3$
$b - 19 - 3 b$	=	$- 3$
$- 2 b - 19$	=	$- 3$	\| $+ 19$
$- 2 b$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 19 - 3 \cdot (- 8)$

= $- 19 + 24$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|5)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 + 5$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 + 5$

= ${(x - 4)}^{2} - 11$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-11).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 + 5$ = $16 - 32 + 5$ = -11

also: S(4|-11).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

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