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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + y$ = $- 8$ .

Bestimme y so, dass (-5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$2 \cdot (- 5) + y$ = $- 8$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2 \cdot (- 5) + y$	=	$- 8$
$- 10 + y$	=	$- 8$
$y - 10$	=	$- 8$	\| $+ 10$
$y$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (-5|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + y$ = $- 6$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|0)
denn 3⋅( - 2 ) +1⋅0 = -6 +0 = $- 6$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|-3)
denn 3⋅( - 1 ) +1⋅( - 3 ) = -3 -3 = $- 6$

Oder : (-3|3)
denn 3⋅( - 3 ) +1⋅3 = -9 +3 = $- 6$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & = & 12 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & = & 12 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 4 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot 4 + 4 y$	=	0
$- 16 + 4 y$	=	0
$4 y - 16$	=	0	\| $+ 16$
$4 y$	=	$16$	\|: $4$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & - 6 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & - 6 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$- 3$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$- 3 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & - 6 & (I) \\ x & = & (- 3 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 3 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 3 + 4 y) - 3 y$	=	$- 6$
$9 - 12 y - 3 y$	=	$- 6$
$- 15 y + 9$	=	$- 6$	\| $- 9$
$- 15 y$	=	$- 15$	\|:( $- 15$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 3 + 4 \cdot 1$

= $- 3 + 4$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & - 6 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & - 6 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 2 y$	=	$- 6$
$2 y + 2 x$	=	$- 6$	\| $- 2 x$
$2 y$	=	$- 6 - 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 3 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 3 - x) & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 3 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot (- 3 - x)$	=	$- 3$
$2 x - 9 - 3 x$	=	$- 3$
$- x - 9$	=	$- 3$	\| $+ 9$
$- x$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 3 - (- 6)$

= $- 3 + 6$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$2 y$	=	$3 (x + 3)$			(I)
$4 x - y$	=	$2 (x - 2)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$2 y$	=	$3 (x + 3)$			(I)
$4 x - y$	=	$2 (x - 2)$			(II)

$2 y$	=	$3 x + 9$	\| $- 3 x$		(I)
$4 x - y$	=	$2 x - 4$	\| $- 2 x$		(II)

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 9 & (I) \\ 2 x & - y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x - y$	=	$- 4$
$- y + 2 x$	=	$- 4$	\| $- 2 x$
$- y$	=	$- 4 - 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$4 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & 9 & (I) \\ + y & = & (4 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $4 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 2 \cdot (4 + 2 x)$	=	$9$
$- 3 x + 8 + 4 x$	=	$9$
$x + 8$	=	$9$	\| $- 8$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $4 + 2 \cdot 1$

= $4 + 2$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +4y = ?

-1x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-5x +4y = 10 -8 = 2

-1x +3y = 2 -6 = -4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +4y = 2

-1x +3y = -4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & + 3 y & = & - 40 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 25 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & + 3 y & = & - 40 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 25 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x + 3 y$	=	$- 40$
$3 y - 5 x$	=	$- 40$	\| $+ 5 x$
$3 y$	=	$- 40 + 5 x$	\|: $3$
$y$	=	$- \frac{40}{3} + \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{40}{3} + \frac{5}{3} x) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 25 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{40}{3} + \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (- \frac{40}{3} + \frac{5}{3} x)$	=	$25$
$2 x + 40 - 5 x$	=	$25$
$- 3 x + 40$	=	$25$	\| $- 40$
$- 3 x$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{40}{3} + \frac{5}{3} \cdot 5$

= $- \frac{40}{3} + \frac{25}{3}$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 10. Wenn man aber vom 5-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 22. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 10 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$10$	\| $- 5 y$
$x$	=	$10 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (10 - 5 y) & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $10 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (10 - 5 y) - 3 y$	=	$22$
$50 - 25 y - 3 y$	=	$22$
$- 28 y + 50$	=	$22$	\| $- 50$
$- 28 y$	=	$- 28$	\|:( $- 28$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $10 - 5 \cdot 1$

= $10 - 5$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 1

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|12) und B(-1|0) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|12): 12 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 +1b +c |-1
0 = 1 -1b +c |-1

11 = 1b +c
-1 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ - b & + c & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 1$
$c - b$	=	$- 1$	\| $+ b$
$c$	=	$- 1 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ + c & = & (- 1 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 1 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 1 + b)$	=	$11$
$b - 1 + b$	=	$11$
$2 b - 1$	=	$11$	\| $+ 1$
$2 b$	=	$12$	\|: $2$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 1 + 6$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-9) und B(3|-13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-9): -9 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-13): -13 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-9 = 1 +1b +c |-1
-13 = 9 +3b +c |-9

-10 = 1b +c
-22 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 10 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 22$
$c + 3 b$	=	$- 22$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 22 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 10 & (I) \\ + c & = & (- 22 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 22 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 22 - 3 b)$	=	$- 10$
$b - 22 - 3 b$	=	$- 10$
$- 2 b - 22$	=	$- 10$	\| $+ 22$
$- 2 b$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 22 - 3 \cdot (- 6)$

= $- 22 + 18$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 - 4$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 - 4$

= ${(x - 3)}^{2} - 13$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-13).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 - 4$ = $9 - 18 - 4$ = -13

also: S(3|-13).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS (Standard)

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LGS zu Lösungen finden

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg