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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 3 y$ = $7$ .

Bestimme x so, dass (x|-3) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x + 3 \cdot (- 3)$ = $7$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x + 3 \cdot (- 3)$	=	$7$
$4 x - 9$	=	$7$	\| $+ 9$
$4 x$	=	$16$	\|: $4$
$x$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (4|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - y$ = $- 6$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|3)
denn -1⋅3 -1⋅3 = -3 -3 = $- 6$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|4)
denn -1⋅2 -1⋅4 = -2 -4 = $- 6$

Oder : (4|2)
denn -1⋅4 -1⋅2 = -4 -2 = $- 6$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 y & = & 6 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 y & = & 6 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 3 y$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 2 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 2 \cdot (- 2)$	=	$10$
$3 x + 4$	=	$10$	\| $- 4$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 13 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 13 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$- 13$
$y + 3 x$	=	$- 13$	\| $- 3 x$
$y$	=	$- 13 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 13 - 3 x) & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 13 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot (- 13 - 3 x)$	=	$- 12$
$4 x - 52 - 12 x$	=	$- 12$
$- 8 x - 52$	=	$- 12$	\| $+ 52$
$- 8 x$	=	$40$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 13 - 3 \cdot (- 5)$

= $- 13 + 15$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & 7 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & 7 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 2 y$	=	$7$
$- 2 y + 3 x$	=	$7$	\| $- 3 x$
$- 2 y$	=	$7 - 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- \frac{7}{2} + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{7}{2} + \frac{3}{2} x) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{7}{2} + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot (- \frac{7}{2} + \frac{3}{2} x)$	=	$11$
$4 x + \frac{21}{2} - \frac{9}{2} x$	=	$11$
$- \frac{1}{2} x + \frac{21}{2}$	=	$11$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x + \frac{21}{2})$	=	$22$
$- x + 21$	=	$22$	\| $- 21$
$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{7}{2} + \frac{3}{2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{7}{2} - \frac{3}{2}$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & + \frac{1}{4} y & = & - \frac{5}{4} & (I) \\ 3 x & - y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & + \frac{1}{4} y & = & - \frac{5}{4} & (I) \\ 3 x & - y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x - y$	=	$- 10$
$- y + 3 x$	=	$- 10$	\| $- 3 x$
$- y$	=	$- 10 - 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$10 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & + \frac{1}{4} y & = & - \frac{5}{4} & (I) \\ + y & = & (10 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $10 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \cdot (10 + 3 x)$	=	$- \frac{5}{4}$
$\frac{1}{2} x + \frac{5}{2} + \frac{3}{4} x$	=	$- \frac{5}{4}$
$\frac{5}{4} x + \frac{5}{2}$	=	$- \frac{5}{4}$	\|⋅ 4
$4 (\frac{5}{4} x + \frac{5}{2})$	=	$- 5$
$5 x + 10$	=	$- 5$	\| $- 10$
$5 x$	=	$- 15$	\|: $5$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $10 + 3 \cdot (- 3)$

= $10 - 9$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +2y = ?

-2x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-4x +2y = -12 +8 = -4

-2x +2y = -6 +8 = 2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +2y = -4

-2x +2y = 2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 1 & (I) \\ 2 x & - 8 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 4 y & = & 1 & (I) \\ 2 x & - 8 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 4 y$	=	$1$	\| $- 4 y$
$- x$	=	$1 - 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 1 + 4 y) & (I) \\ 2 x & - 8 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 1 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 1 + 4 y) - 8 y$	=	$- 2$
$- 2 + 8 y - 8 y$	=	$- 2$
$- 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 810 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 825 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & - 2 y & = & 810 & (I) \\ 7 x & - 5 y & = & 825 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x - 2 y$	=	$810$
$- 2 y + 6 x$	=	$810$	\| $- 6 x$
$- 2 y$	=	$810 - 6 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 405 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 405 + 3 x) & (I) \\ 7 x & - 5 y & = & 825 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 405 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x - 5 \cdot (- 405 + 3 x)$	=	$825$
$7 x + 2 025 - 15 x$	=	$825$
$- 8 x + 2 025$	=	$825$	\| $- 2 025$
$- 8 x$	=	$- 1 200$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 405 + 3 \cdot 150$

= $- 405 + 450$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (150|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|4) und B(-4|37) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|37): 37 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
37 = 16 -4b +c |-16

3 = -1b +c
21 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$21$
$c - 4 b$	=	$21$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$21 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (21 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $21 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (21 + 4 b)$	=	$3$
$- b + 21 + 4 b$	=	$3$
$3 b + 21$	=	$3$	\| $- 21$
$3 b$	=	$- 18$	\|: $3$
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $21 + 4 \cdot (- 6)$

= $21 - 24$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-2) und B(4|7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(4|7): 7 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
7 = 16 +4b +c |-16

-3 = 1b +c
-9 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 9$
$c + 4 b$	=	$- 9$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 9 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 9 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 9 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 9 - 4 b)$	=	$- 3$
$b - 9 - 4 b$	=	$- 3$
$- 3 b - 9$	=	$- 3$	\| $+ 9$
$- 3 b$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 9 - 4 \cdot (- 2)$

= $- 9 + 8$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 - 1$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 - 1$

= ${(x - 1)}^{2} - 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 - 1$ = $1 - 2 - 1$ = -2

also: S(1|-2).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg