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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - y$ = $4$ .

Bestimme x so, dass (x|-4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 x - (- 4)$ = $4$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 3 x - (- 4)$	=	$4$
$- 3 x + 4$	=	$4$	\| $- 4$
$- 3 x$	=	0	\|:( $- 3$ )
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 4 y$ = $- 41$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|-4)
denn 5⋅( - 5 ) +4⋅( - 4 ) = -25 -16 = $- 41$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|-9)
denn 5⋅( - 1 ) +4⋅( - 9 ) = -5 -36 = $- 41$

Oder : (-9|1)
denn 5⋅( - 9 ) +4⋅1 = -45 +4 = $- 41$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 10 & (I) \\ + 4 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 10 & (I) \\ + 4 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4 y$	=	$- 12$	\|: $4$
$y$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 10 & (I) \\ + y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 2 \cdot (- 3)$	=	$- 10$
$- 4 x + 6$	=	$- 10$	\| $- 6$
$- 4 x$	=	$- 16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & - 3 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & - 3 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 3$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 3 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & - 3 & (I) \\ x & = & (- 3 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 3 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 3 - 2 y) - 2 y$	=	$- 3$
$9 + 6 y - 2 y$	=	$- 3$
$4 y + 9$	=	$- 3$	\| $- 9$
$4 y$	=	$- 12$	\|: $4$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 3 - 2 \cdot (- 3)$

= $- 3 + 6$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 8 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 8 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$- 2$
$y + 2 x$	=	$- 2$	\| $- 2 x$
$y$	=	$- 2 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 8 & (I) \\ + y & = & (- 2 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 2 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 1 \cdot (- 2 - 2 x)$	=	$- 8$
$3 x + 2 + 2 x$	=	$- 8$
$5 x + 2$	=	$- 8$	\| $- 2$
$5 x$	=	$- 10$	\|: $5$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 2 - 2 \cdot (- 2)$

= $- 2 + 4$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{23}{10} & (I) \\ \frac{2}{5} x & + \frac{2}{5} y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{2} x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{23}{10} & (I) \\ \frac{2}{5} x & + \frac{2}{5} y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{1}{2} x - \frac{2}{5} y$	=	$\frac{23}{10}$
$- \frac{2}{5} y - \frac{1}{2} x$	=	$\frac{23}{10}$	\|⋅ 10
$10 (- \frac{2}{5} y - \frac{1}{2} x)$	=	$23$
$- 4 y - 5 x$	=	$23$	\| $+ 5 x$
$- 4 y$	=	$23 + 5 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{23}{4} - \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{23}{4} - \frac{5}{4} x) & (I) \\ \frac{2}{5} x & + \frac{2}{5} y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{23}{4} - \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot (- \frac{23}{4} - \frac{5}{4} x)$	=	$- 2$
$\frac{2}{5} x - \frac{23}{10} - \frac{1}{2} x$	=	$- 2$
$- \frac{1}{10} x - \frac{23}{10}$	=	$- 2$	\|⋅ 10
$10 (- \frac{1}{10} x - \frac{23}{10})$	=	$- 20$
$- x - 23$	=	$- 20$	\| $+ 23$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{23}{4} - \frac{5}{4} \cdot (- 3)$

= $- \frac{23}{4} + \frac{15}{4}$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -2y = ?

8x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

4x -2y = -4 +8 = 4

8x -2y = -8 +8 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -2y = 4

8x -2y = 0

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 1 & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 1 & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 1$
$y + 4 x$	=	$- 1$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 1 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 - 4 x) & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 5 \cdot (- 1 - 4 x)$	=	$22$
$- 3 x + 5 + 20 x$	=	$22$
$17 x + 5$	=	$22$	\| $- 5$
$17 x$	=	$17$	\|: $17$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 - 4 \cdot 1$

= $- 1 - 4$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 4 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 120 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 8 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 190 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 120 & (I) \\ 8 x & + 6 y & = & 190 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 4 y$	=	$120$
$4 y + 4 x$	=	$120$	\| $- 4 x$
$4 y$	=	$120 - 4 x$	\|: $4$
$y$	=	$30 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (30 - x) & (I) \\ 8 x & + 6 y & = & 190 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $30 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 6 \cdot (30 - x)$	=	$190$
$8 x + 180 - 6 x$	=	$190$
$2 x + 180$	=	$190$	\| $- 180$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $30 - 5$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (5|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|16) und B(4|61) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|16): 16 = 1² + b⋅1 +c

B(4|61): 61 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
16 = 1 +1b +c |-1
61 = 16 +4b +c |-16

15 = 1b +c
45 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 15 & (I) \\ 4 b & + c & = & 45 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$45$
$c + 4 b$	=	$45$	\| $- 4 b$
$c$	=	$45 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 15 & (I) \\ + c & = & (45 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $45 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (45 - 4 b)$	=	$15$
$b + 45 - 4 b$	=	$15$
$- 3 b + 45$	=	$15$	\| $- 45$
$- 3 b$	=	$- 30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $45 - 4 \cdot 10$

= $45 - 40$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(-2|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-7): -7 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
-7 = 4 -2b +c |-4

-5 = -1b +c
-11 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 11$
$c - 2 b$	=	$- 11$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 11 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 11 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 11 + 2 b)$	=	$- 5$
$- b - 11 + 2 b$	=	$- 5$
$b - 11$	=	$- 5$	\| $+ 11$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 + 2 \cdot 6$

= $- 11 + 12$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 1$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 1$

= ${(x + 3)}^{2} - 8$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-8).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 1$ = $9 - 18 + 1$ = -8

also: S(-3|-8).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg