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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + y$ = $- 7$ .

Bestimme y so, dass (-3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$(- 3) + y$ = $- 7$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$(- 3) + y$	=	$- 7$
$- 3 + y$	=	$- 7$
$y - 3$	=	$- 7$	\| $+ 3$
$y$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (-3|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - y$ = $15$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|-6)
denn -3⋅( - 3 ) -1⋅( - 6 ) = 9 +6 = $15$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|-3)
denn -3⋅( - 4 ) -1⋅( - 3 ) = 12 +3 = $15$

Oder : (-2|-9)
denn -3⋅( - 2 ) -1⋅( - 9 ) = 6 +9 = $15$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & = & 18 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & = & 18 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3 x$	=	$18$	\|: $3$
$x$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 6 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot 6 - 3 y$	=	$- 6$
$12 - 3 y$	=	$- 6$
$- 3 y + 12$	=	$- 6$	\| $- 12$
$- 3 y$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 24 & (I) \\ 4 x & - y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 24 & (I) \\ 4 x & - y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x - y$	=	$- 16$
$- y + 4 x$	=	$- 16$	\| $- 4 x$
$- y$	=	$- 16 - 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$16 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 24 & (I) \\ + y & = & (16 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $16 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 1 \cdot (16 + 4 x)$	=	$- 24$
$4 x + 16 + 4 x$	=	$- 24$
$8 x + 16$	=	$- 24$	\| $- 16$
$8 x$	=	$- 40$	\|: $8$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $16 + 4 \cdot (- 5)$

= $16 - 20$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & - 33 & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 3 y & = & - 33 & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x + 3 y$	=	$- 33$
$3 y - 4 x$	=	$- 33$	\| $+ 4 x$
$3 y$	=	$- 33 + 4 x$	\|: $3$
$y$	=	$- 11 + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 11 + \frac{4}{3} x) & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 11 + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 5 \cdot (- 11 + \frac{4}{3} x)$	=	$- 15$
$- 5 x + 55 - \frac{20}{3} x$	=	$- 15$
$- \frac{35}{3} x + 55$	=	$- 15$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{35}{3} x + 55)$	=	$- 45$
$- 35 x + 165$	=	$- 45$	\| $- 165$
$- 35 x$	=	$- 210$	\|:( $- 35$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 11 + \frac{4}{3} \cdot 6$

= $- 11 + 8$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{2} y & = & - \frac{3}{2} & (I) \\ \frac{1}{5} x & + \frac{1}{5} y & = & \frac{6}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{2} y & = & - \frac{3}{2} & (I) \\ \frac{1}{5} x & + \frac{1}{5} y & = & \frac{6}{5} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{1}{5} x - \frac{1}{2} y$	=	$- \frac{3}{2}$
$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{5} x$	=	$- \frac{3}{2}$	\|⋅ 10
$10 (- \frac{1}{2} y - \frac{1}{5} x)$	=	$- 15$
$- 5 y - 2 x$	=	$- 15$	\| $+ 2 x$
$- 5 y$	=	$- 15 + 2 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$3 - \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (3 - \frac{2}{5} x) & (I) \\ \frac{1}{5} x & + \frac{1}{5} y & = & \frac{6}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3 - \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{5} x + \frac{1}{5} \cdot (3 - \frac{2}{5} x)$	=	$\frac{6}{5}$
$\frac{1}{5} x + \frac{3}{5} - \frac{2}{25} x$	=	$\frac{6}{5}$
$\frac{3}{25} x + \frac{3}{5}$	=	$\frac{6}{5}$	\|⋅ 25
$25 (\frac{3}{25} x + \frac{3}{5})$	=	$30$
$3 x + 15$	=	$30$	\| $- 15$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3 - \frac{2}{5} \cdot 5$

= $3 - 2$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +5y = ?

6x +9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

4x +5y = -4 -10 = -14

6x +9y = -6 -18 = -24

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +5y = -14

6x +9y = -24

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 12 x & - 12 y & = & - 6 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 12 x & - 12 y & = & - 6 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$12 x - 12 y$	=	$- 6$
$- 12 y + 12 x$	=	$- 6$	\| $- 12 x$
$- 12 y$	=	$- 6 - 12 x$	\|:( $- 12$ )
$y$	=	$\frac{1}{2} + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{2} + x) & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2} + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 4 \cdot (\frac{1}{2} + x)$	=	$2$
$- 4 x + 2 + 4 x$	=	$2$
$2$	=	$2$	\| $- 2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 198 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 102 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 6 y & = & 198 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 102 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 6 y$	=	$198$
$6 y + 6 x$	=	$198$	\| $- 6 x$
$6 y$	=	$198 - 6 x$	\|: $6$
$y$	=	$33 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (33 - x) & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & 102 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $33 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 3 \cdot (33 - x)$	=	$102$
$4 x + 99 - 3 x$	=	$102$
$x + 99$	=	$102$	\| $- 99$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $33 - 3$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (3|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|10) und B(2|23) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

B(2|23): 23 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 +1b +c |-1
23 = 4 +2b +c |-4

9 = 1b +c
19 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ 2 b & + c & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$19$
$c + 2 b$	=	$19$	\| $- 2 b$
$c$	=	$19 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (19 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $19 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (19 - 2 b)$	=	$9$
$b + 19 - 2 b$	=	$9$
$- b + 19$	=	$9$	\| $- 19$
$- b$	=	$- 10$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $19 - 2 \cdot 10$

= $19 - 20$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-1)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|0) und B(2|15) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|15): 15 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
15 = 4 +2b +c |-4

-1 = -1b +c
11 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ 2 b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$11$
$c + 2 b$	=	$11$	\| $- 2 b$
$c$	=	$11 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (11 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (11 - 2 b)$	=	$- 1$
$- b + 11 - 2 b$	=	$- 1$
$- 3 b + 11$	=	$- 1$	\| $- 11$
$- 3 b$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 - 2 \cdot 4$

= $11 - 8$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 + 3$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 + 3$

= ${(x + 2)}^{2} - 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 3$ = $4 - 8 + 3$ = -1

also: S(-2|-1).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg