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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - y$ = $- 11$ .

Bestimme y so, dass (3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 \cdot 3 - y$ = $- 11$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 4 \cdot 3 - y$	=	$- 11$
$- 12 - y$	=	$- 11$
$- y - 12$	=	$- 11$	\| $+ 12$
$- y$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (3|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 4 y$ = $- 8$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|7)
denn 5⋅4 -4⋅7 = 20 -28 = $- 8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|2)
denn 5⋅0 -4⋅2 = 0 -8 = $- 8$

Oder : (8|12)
denn 5⋅8 -4⋅12 = 40 -48 = $- 8$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & - 16 & (I) \\ + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $6$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 4 \cdot 6$	=	$- 16$
$- 4 x - 24$	=	$- 16$	\| $+ 24$
$- 4 x$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 17 & (I) \\ - 4 x & + y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 17 & (I) \\ - 4 x & + y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$15$
$y - 4 x$	=	$15$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$15 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 17 & (I) \\ + y & = & (15 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $15 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 1 \cdot (15 + 4 x)$	=	$- 17$
$4 x + 15 + 4 x$	=	$- 17$
$8 x + 15$	=	$- 17$	\| $- 15$
$8 x$	=	$- 32$	\|: $8$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $15 + 4 \cdot (- 4)$

= $15 - 16$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 3 y & = & - 3 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + 3 y & = & - 3 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 3 y$	=	$- 3$
$3 y + 5 x$	=	$- 3$	\| $- 5 x$
$3 y$	=	$- 3 - 5 x$	\|: $3$
$y$	=	$- 1 - \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 - \frac{5}{3} x) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 - \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (- 1 - \frac{5}{3} x)$	=	$3$
$2 x + 3 + 5 x$	=	$3$
$7 x + 3$	=	$3$	\| $- 3$
$7 x$	=	0	\|: $7$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 - \frac{5}{3} \cdot 0$

= $- 1 + 0$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & 16 & (I) \\ - \frac{1}{5} x & + y & = & \frac{28}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & 16 & (I) \\ - \frac{1}{5} x & + y & = & \frac{28}{5} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{1}{5} x + y$	=	$\frac{28}{5}$
$y - \frac{1}{5} x$	=	$\frac{28}{5}$	\|⋅ 5
$5 (y - \frac{1}{5} x)$	=	$28$
$5 y - x$	=	$28$	\| $+ x$
$5 y$	=	$28 + x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{28}{5} + \frac{1}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & 16 & (I) \\ + y & = & (\frac{28}{5} + \frac{1}{5} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $\frac{28}{5} + \frac{1}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 3 \cdot (\frac{28}{5} + \frac{1}{5} x)$	=	$16$
$- x + \frac{84}{5} + \frac{3}{5} x$	=	$16$
$- \frac{2}{5} x + \frac{84}{5}$	=	$16$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{2}{5} x + \frac{84}{5})$	=	$80$
$- 2 x + 84$	=	$80$	\| $- 84$
$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $\frac{28}{5} + \frac{1}{5} \cdot 2$

= $\frac{28}{5} + \frac{2}{5}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +5y = ?

-5x +14y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-2x +5y = 8 -10 = -2

-5x +14y = 20 -28 = -8

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +5y = -2

-5x +14y = -8

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & - y & = & - 8 & (I) \\ - 4 x & + y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - y & = & - 8 & (I) \\ - 4 x & + y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$14$
$y - 4 x$	=	$14$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$14 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - y & = & - 8 & (I) \\ + y & = & (14 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $14 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 1 \cdot (14 + 4 x)$	=	$- 8$
$x - 14 - 4 x$	=	$- 8$
$- 3 x - 14$	=	$- 8$	\| $+ 14$
$- 3 x$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $14 + 4 \cdot (- 2)$

= $14 - 8$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 100 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 150 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 4 y & = & 100 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 150 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 4 y$	=	$100$
$- 4 y + 2 x$	=	$100$	\| $- 2 x$
$- 4 y$	=	$100 - 2 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 25 + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 25 + \frac{1}{2} x) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 150 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 25 + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (- 25 + \frac{1}{2} x)$	=	$150$
$2 x + 75 - \frac{3}{2} x$	=	$150$
$\frac{1}{2} x + 75$	=	$150$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x + 75)$	=	$300$
$x + 150$	=	$300$	\| $- 150$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 25 + \frac{1}{2} \cdot 150$

= $- 25 + 75$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (150|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|9) und B(1|-3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 -1b +c |-1
-3 = 1 +1b +c |-1

8 = -1b +c
-4 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ b & + c & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 4$
$c + b$	=	$- 4$	\| $- b$
$c$	=	$- 4 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (- 4 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 4 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 4 - b)$	=	$8$
$- b - 4 - b$	=	$8$
$- 2 b - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$- 2 b$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 4 - (- 6)$

= $- 4 + 6$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(-3|20) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|20): 20 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
20 = 9 -3b +c |-9

7 = -1b +c
11 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$11$
$c - 3 b$	=	$11$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$11 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (11 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (11 + 3 b)$	=	$7$
$- b + 11 + 3 b$	=	$7$
$2 b + 11$	=	$7$	\| $- 11$
$2 b$	=	$- 4$	\|: $2$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 + 3 \cdot (- 2)$

= $11 - 6$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 5$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 5$

= ${(x - 1)}^{2} + 4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 5$ = $1 - 2 + 5$ = 4

also: S(1|4).

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Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

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LGS (vorher umformen)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg