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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x + 4 y$ = $20$ .

Bestimme x so, dass (x|4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x + 4 \cdot 4$ = $20$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot 4$	=	$20$
$4 x + 16$	=	$20$	\| $- 16$
$4 x$	=	$4$	\|: $4$
$x$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (1|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 2 y$ = $- 3$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|3)
denn -1⋅( - 3 ) -2⋅3 = 3 -6 = $- 3$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|4)
denn -1⋅( - 5 ) -2⋅4 = 5 -8 = $- 3$

Oder : (-1|2)
denn -1⋅( - 1 ) -2⋅2 = 1 -4 = $- 3$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 1 & (I) \\ + 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 1 & (I) \\ + 3 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$6$	\|: $3$
$y$	=	$2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 1 & (I) \\ + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 1 \cdot 2$	=	$- 1$
$3 x + 2$	=	$- 1$	\| $- 2$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 18 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 18 & (I) \\ 2 x & + y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$- 4$
$y + 2 x$	=	$- 4$	\| $- 2 x$
$y$	=	$- 4 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 18 & (I) \\ + y & = & (- 4 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 4 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot (- 4 - 2 x)$	=	$- 18$
$4 x + 12 + 6 x$	=	$- 18$
$10 x + 12$	=	$- 18$	\| $- 12$
$10 x$	=	$- 30$	\|: $10$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 4 - 2 \cdot (- 3)$

= $- 4 + 6$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 2 y$	=	$- 2$	\| $- 2 y$
$- x$	=	$- 2 - 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (2 + 2 y) & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $2 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (2 + 2 y) - 3 y$	=	$21$
$- 6 - 6 y - 3 y$	=	$21$
$- 9 y - 6$	=	$21$	\| $+ 6$
$- 9 y$	=	$27$	\|:( $- 9$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $2 + 2 \cdot (- 3)$

= $2 - 6$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$4$	=	$- 4 (x + 8) + 2 y$			(I)
$3 (2 + y)$	=	$- 4 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$4$	=	$- 4 (x + 8) + 2 y$			(I)
$3 (2 + y)$	=	$- 4 x$			(II)

$4$	=	$- 4 x - 32 + 2 y$	\| $- 4 + 4 x - 2 y$		(I)
$6 + 3 y$	=	$- 4 x$	\| $- 6 + 4 x$		(II)

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & - 36 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 2 y$	=	$- 36$
$- 2 y + 4 x$	=	$- 36$	\| $- 4 x$
$- 2 y$	=	$- 36 - 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$18 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (18 + 2 x) & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $18 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 3 \cdot (18 + 2 x)$	=	$- 6$
$4 x + 54 + 6 x$	=	$- 6$
$10 x + 54$	=	$- 6$	\| $- 54$
$10 x$	=	$- 60$	\|: $10$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $18 + 2 \cdot (- 6)$

= $18 - 12$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +2y = ?

-7x +7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-4x +2y = -8 +8 = 0

-7x +7y = -14 +28 = 14

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +2y = 0

-7x +7y = 14

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ 8 x & - 8 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ 8 x & - 8 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 2 y$	=	$2$
$2 y - 2 x$	=	$2$	\| $+ 2 x$
$2 y$	=	$2 + 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$1 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 + x) & (I) \\ 8 x & - 8 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x - 8 \cdot (1 + x)$	=	$- 9$
$8 x - 8 - 8 x$	=	$- 9$
$- 8$	=	$- 9$	\| $+ 8$
0	=	$- 1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 34. Wenn man aber vom 2-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -22. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 6 y & = & 34 & (I) \\ 2 x & - 6 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 6 y$	=	$34$	\| $- 6 y$
$x$	=	$34 - 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (34 - 6 y) & (I) \\ 2 x & - 6 y & = & - 22 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $34 - 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (34 - 6 y) - 6 y$	=	$- 22$
$68 - 12 y - 6 y$	=	$- 22$
$- 18 y + 68$	=	$- 22$	\| $- 68$
$- 18 y$	=	$- 90$	\|:( $- 18$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $34 - 6 \cdot 5$

= $34 - 30$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|7) und B(2|18) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|7): 7 = 1² + b⋅1 +c

B(2|18): 18 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 +1b +c |-1
18 = 4 +2b +c |-4

6 = 1b +c
14 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 6 & (I) \\ 2 b & + c & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$14$
$c + 2 b$	=	$14$	\| $- 2 b$
$c$	=	$14 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (14 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $14 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (14 - 2 b)$	=	$6$
$b + 14 - 2 b$	=	$6$
$- b + 14$	=	$6$	\| $- 14$
$- b$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $14 - 2 \cdot 8$

= $14 - 16$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-2)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|8) und B(-1|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
-4 = 1 -1b +c |-1

7 = 1b +c
-5 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ - b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 5$
$c - b$	=	$- 5$	\| $+ b$
$c$	=	$- 5 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (- 5 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 5 + b)$	=	$7$
$b - 5 + b$	=	$7$
$2 b - 5$	=	$7$	\| $+ 5$
$2 b$	=	$12$	\|: $2$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 + 6$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 1$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 1$

= ${(x + 3)}^{2} - 8$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-8).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 1$ = $9 - 18 + 1$ = -8

also: S(-3|-8).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg