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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 5 y$ = 0.

Bestimme x so, dass (x|6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$5 x + 5 \cdot 6$ = 0

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5 x + 5 \cdot 6$	=	0
$5 x + 30$	=	0	\| $- 30$
$5 x$	=	$- 30$	\|: $5$
$x$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (-6|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 4 y$ = $- 14$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|-7)
denn -2⋅( - 7 ) +4⋅( - 7 ) = 14 -28 = $- 14$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-5)
denn -2⋅( - 3 ) +4⋅( - 5 ) = 6 -20 = $- 14$

Oder : (-11|-9)
denn -2⋅( - 11 ) +4⋅( - 9 ) = 22 -36 = $- 14$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + y & = & - 6 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $- 6$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 2 \cdot (- 6)$	=	$- 8$
$- 4 x + 12$	=	$- 8$	\| $- 12$
$- 4 x$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 14 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & 14 & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$14$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$14 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (14 + 2 y) & (I) \\ 3 x & + 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $14 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (14 + 2 y) + 2 y$	=	$10$
$42 + 6 y + 2 y$	=	$10$
$8 y + 42$	=	$10$	\| $- 42$
$8 y$	=	$- 32$	\|: $8$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $14 + 2 \cdot (- 4)$

= $14 - 8$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 2 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & 2 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 4 y$	=	$2$
$4 y - 2 x$	=	$2$	\| $+ 2 x$
$4 y$	=	$2 + 2 x$	\|: $4$
$y$	=	$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} x) & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} x)$	=	$20$
$4 x + 2 + 2 x$	=	$20$
$6 x + 2$	=	$20$	\| $- 2$
$6 x$	=	$18$	\|: $6$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 3$

= $\frac{1}{2} + \frac{3}{2}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$20$	=	$5 (x + y)$			(I)
$- 2 (3 x + 1) + 6 y$	=	$5 (- x + y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$20$	=	$5 (x + y)$			(I)
$- 2 (3 x + 1) + 6 y$	=	$5 (- x + y)$			(II)

$20$	=	$5 x + 5 y$	\| $- 20 - 5 x - 5 y$		(I)
$- 6 x - 2 + 6 y$	=	$- 5 x + 5 y$	\| + $2 + 5 x - 5 y$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & - 20 & (I) \\ - x & + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x + y$	=	$2$
$y - x$	=	$2$	\| $+ x$
$y$	=	$2 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & - 20 & (I) \\ + y & = & (2 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 5 \cdot (2 + x)$	=	$- 20$
$- 5 x - 10 - 5 x$	=	$- 20$
$- 10 x - 10$	=	$- 20$	\| $+ 10$
$- 10 x$	=	$- 10$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2 + 1$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +4y = ?

-5x +12y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-2x +4y = -2 +4 = 2

-5x +12y = -5 +12 = 7

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +4y = 2

-5x +12y = 7

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 6 x & + 6 y & = & - 6 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 6 x & + 6 y & = & - 6 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 6 y$	=	$- 6$
$6 y + 6 x$	=	$- 6$	\| $- 6 x$
$6 y$	=	$- 6 - 6 x$	\|: $6$
$y$	=	$- 1 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 - x) & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 3 \cdot (- 1 - x)$	=	$3$
$- 3 x + 3 + 3 x$	=	$3$
$3$	=	$3$	\| $- 3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 4 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 3 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 114 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 4 Halogenleuchten zusammen 156 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & 114 & (I) \\ 6 x & + 4 y & = & 156 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 3 y$	=	$114$
$3 y + 4 x$	=	$114$	\| $- 4 x$
$3 y$	=	$114 - 4 x$	\|: $3$
$y$	=	$38 - \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (38 - \frac{4}{3} x) & (I) \\ 6 x & + 4 y & = & 156 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $38 - \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 4 \cdot (38 - \frac{4}{3} x)$	=	$156$
$6 x + 152 - \frac{16}{3} x$	=	$156$
$\frac{2}{3} x + 152$	=	$156$	\|⋅ 3
$3 (\frac{2}{3} x + 152)$	=	$468$
$2 x + 456$	=	$468$	\| $- 456$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $38 - \frac{4}{3} \cdot 6$

= $38 - 8$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (6|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(-3|-8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-8): -8 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
-8 = 9 -3b +c |-9

-5 = -1b +c
-17 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 17$
$c - 3 b$	=	$- 17$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 17 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 17 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 17 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 17 + 3 b)$	=	$- 5$
$- b - 17 + 3 b$	=	$- 5$
$2 b - 17$	=	$- 5$	\| $+ 17$
$2 b$	=	$12$	\|: $2$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 17 + 3 \cdot 6$

= $- 17 + 18$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|3) und B(-2|-12) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|3): 3 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-12): -12 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 +1b +c |-1
-12 = 4 -2b +c |-4

2 = 1b +c
-16 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 2 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 16$
$c - 2 b$	=	$- 16$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 16 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 2 & (I) \\ + c & = & (- 16 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 16 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 16 + 2 b)$	=	$2$
$b - 16 + 2 b$	=	$2$
$3 b - 16$	=	$2$	\| $+ 16$
$3 b$	=	$18$	\|: $3$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 16 + 2 \cdot 6$

= $- 16 + 12$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 - 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 - 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 13$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-13).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) - 4$ = $9 - 18 - 4$ = -13

also: S(-3|-13).

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1. Weg

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