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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 2 y$ = 0.

Bestimme y so, dass (1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$2 \cdot 1 - 2 y$ = 0

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2 \cdot 1 - 2 y$	=	0
$2 - 2 y$	=	0
$- 2 y + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 2 y$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (1|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 3 y$ = $- 17$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|5)
denn -2⋅1 -3⋅5 = -2 -15 = $- 17$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|7)
denn -2⋅( - 2 ) -3⋅7 = 4 -21 = $- 17$

Oder : (4|3)
denn -2⋅4 -3⋅3 = -8 -9 = $- 17$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 30 & (I) \\ 4 x & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 30 & (I) \\ 4 x & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$- 8$	\|: $4$
$x$	=	$- 2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 30 & (I) \\ x & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 2) + 4 y$	=	$30$
$6 + 4 y$	=	$30$
$4 y + 6$	=	$30$	\| $- 6$
$4 y$	=	$24$	\|: $4$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & - 21 & (I) \\ x & - 3 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & - 21 & (I) \\ x & - 3 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$17$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$17 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & - 21 & (I) \\ x & = & (17 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $17 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (17 + 3 y) + 4 y$	=	$- 21$
$- 51 - 9 y + 4 y$	=	$- 21$
$- 5 y - 51$	=	$- 21$	\| $+ 51$
$- 5 y$	=	$30$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $17 + 3 \cdot (- 6)$

= $17 - 18$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & 21 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & - 36 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & 21 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & - 36 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 2 y$	=	$21$
$2 y + 3 x$	=	$21$	\| $- 3 x$
$2 y$	=	$21 - 3 x$	\|: $2$
$y$	=	$\frac{21}{2} - \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{21}{2} - \frac{3}{2} x) & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & - 36 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{21}{2} - \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 4 \cdot (\frac{21}{2} - \frac{3}{2} x)$	=	$- 36$
$- 4 x - 42 + 6 x$	=	$- 36$
$2 x - 42$	=	$- 36$	\| $+ 42$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{21}{2} - \frac{3}{2} \cdot 3$

= $\frac{21}{2} - \frac{9}{2}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (3|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

0	=	$- x - 1 + 4 y$			(I)
$x$	=	$- 1 + y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

0	=	$- x - 1 + 4 y$	\| + $x - 4 y$		(I)
$x$	=	$- 1 + y$	\| $- y$		(II)

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 1 & (I) \\ x & - y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x - y$	=	$- 1$
$- y + x$	=	$- 1$	\| $- x$
$- y$	=	$- 1 - x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$1 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & - 1 & (I) \\ + y & = & (1 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 4 \cdot (1 + x)$	=	$- 1$
$x - 4 - 4 x$	=	$- 1$
$- 3 x - 4$	=	$- 1$	\| $+ 4$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $1 - 1$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +5y = ?

6x +9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

5x +5y = 25 -10 = 15

6x +9y = 30 -18 = 12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +5y = 15

6x +9y = 12

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 16 x & + 16 y & = & 7 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 16 x & + 16 y & = & 7 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$16 x + 16 y$	=	$7$
$16 y + 16 x$	=	$7$	\| $- 16 x$
$16 y$	=	$7 - 16 x$	\|: $16$
$y$	=	$\frac{7}{16} - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{7}{16} - x) & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{7}{16} - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 4 \cdot (\frac{7}{16} - x)$	=	$- 1$
$- 4 x - \frac{7}{4} + 4 x$	=	$- 1$
$- \frac{7}{4}$	=	$- 1$	\| $+ \frac{7}{4}$
0	=	$\frac{3}{4}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 375 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1875 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & 375 & (I) \\ 7 x & - 5 y & = & 1875 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 5 y$	=	$375$
$- 5 y + 2 x$	=	$375$	\| $- 2 x$
$- 5 y$	=	$375 - 2 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 75 + \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 75 + \frac{2}{5} x) & (I) \\ 7 x & - 5 y & = & 1875 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 75 + \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x - 5 \cdot (- 75 + \frac{2}{5} x)$	=	$1875$
$7 x + 375 - 2 x$	=	$1875$
$5 x + 375$	=	$1875$	\| $- 375$
$5 x$	=	$1 500$	\|: $5$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 75 + \frac{2}{5} \cdot 300$

= $- 75 + 120$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (300|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|1) und B(-4|22) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|1): 1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|22): 22 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 -1b +c |-1
22 = 16 -4b +c |-16

0 = -1b +c
6 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$6$
$c - 4 b$	=	$6$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$6 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (6 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (6 + 4 b)$	=	0
$- b + 6 + 4 b$	=	0
$3 b + 6$	=	0	\| $- 6$
$3 b$	=	$- 6$	\|: $3$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6 + 4 \cdot (- 2)$

= $6 - 8$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-2)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|6) und B(2|11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(2|11): 11 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
11 = 4 +2b +c |-4

5 = 1b +c
7 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$7$
$c + 2 b$	=	$7$	\| $- 2 b$
$c$	=	$7 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (7 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (7 - 2 b)$	=	$5$
$b + 7 - 2 b$	=	$5$
$- b + 7$	=	$5$	\| $- 7$
$- b$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7 - 2 \cdot 2$

= $7 - 4$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 + 3$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 + 3$

= ${(x + 1)}^{2} + 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 3$ = $1 - 2 + 3$ = 2

also: S(-1|2).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg