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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 3 y$ = $- 15$ .

Bestimme y so, dass (0|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$- 0 - 3 y$ = $- 15$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 0 - 3 y$	=	$- 15$
$- 3 y$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (0|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 4 y$ = $- 15$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|0)
denn 5⋅( - 3 ) -4⋅0 = -15 +0 = $- 15$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|-5)
denn 5⋅( - 7 ) -4⋅( - 5 ) = -35 +20 = $- 15$

Oder : (1|5)
denn 5⋅1 -4⋅5 = 5 -20 = $- 15$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & = & - 16 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & = & - 16 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$- 16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 4 & (I) \\ 2 x & + 2 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot 4 + 2 y$	=	$4$
$8 + 2 y$	=	$4$
$2 y + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$2 y$	=	$- 4$	\|: $2$
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 15 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 33 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 15 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 33 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$15$
$y - 2 x$	=	$15$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$15 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (15 + 2 x) & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & - 33 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $15 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 3 \cdot (15 + 2 x)$	=	$- 33$
$4 x - 45 - 6 x$	=	$- 33$
$- 2 x - 45$	=	$- 33$	\| $+ 45$
$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $15 + 2 \cdot (- 6)$

= $15 - 12$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + y & = & - 16 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + y & = & - 16 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$5 x + y$	=	$- 16$
$y + 5 x$	=	$- 16$	\| $- 5 x$
$y$	=	$- 16 - 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 16 - 5 x) & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 16 - 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot (- 16 - 5 x)$	=	$16$
$4 x + 64 + 20 x$	=	$16$
$24 x + 64$	=	$16$	\| $- 64$
$24 x$	=	$- 48$	\|: $24$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 16 - 5 \cdot (- 2)$

= $- 16 + 10$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 5 x + 3 y$	=	$3 (- x + 2)$			(I)
$29 - 5 y$	=	$3 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 5 x + 3 y$	=	$3 (- x + 2)$			(I)
$29 - 5 y$	=	$3 x$			(II)

$- 5 x + 3 y$	=	$- 3 x + 6$	\| + $3 x$		(I)
$29 - 5 y$	=	$3 x$	\| $- 29 - 3 x$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 6 & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & - 29 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 3 y$	=	$6$
$3 y - 2 x$	=	$6$	\| $+ 2 x$
$3 y$	=	$6 + 2 x$	\|: $3$
$y$	=	$2 + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (2 + \frac{2}{3} x) & (I) \\ - 3 x & - 5 y & = & - 29 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2 + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 5 \cdot (2 + \frac{2}{3} x)$	=	$- 29$
$- 3 x - 10 - \frac{10}{3} x$	=	$- 29$
$- \frac{19}{3} x - 10$	=	$- 29$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{19}{3} x - 10)$	=	$- 87$
$- 19 x - 30$	=	$- 87$	\| $+ 30$
$- 19 x$	=	$- 57$	\|:( $- 19$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2 + \frac{2}{3} \cdot 3$

= $2 + 2$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +1y = ?

1x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-3x +1y = -6 -3 = -9

1x +3y = 2 -9 = -7

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +1y = -9

1x +3y = -7

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 2 & (I) \\ - 3 x & + 6 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 2 & (I) \\ - 3 x & + 6 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$- 2$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$- 2 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 2 + 2 y) & (I) \\ - 3 x & + 6 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 2 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 2 + 2 y) + 6 y$	=	$9$
$6 - 6 y + 6 y$	=	$9$
$6$	=	$9$	\| $- 6$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 5 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1280 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 6 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1525 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 4 y & = & 1280 & (I) \\ 6 x & - 5 y & = & 1525 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 4 y$	=	$1280$
$- 4 y + 5 x$	=	$1280$	\| $- 5 x$
$- 4 y$	=	$1280 - 5 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 320 + \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 320 + \frac{5}{4} x) & (I) \\ 6 x & - 5 y & = & 1525 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 320 + \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x - 5 \cdot (- 320 + \frac{5}{4} x)$	=	$1525$
$6 x + 1 600 - \frac{25}{4} x$	=	$1525$
$- \frac{1}{4} x + 1 600$	=	$1525$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{1}{4} x + 1 600)$	=	$6 100$
$- x + 6 400$	=	$6 100$	\| $- 6 400$
$- x$	=	$- 300$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 320 + \frac{5}{4} \cdot 300$

= $- 320 + 375$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (300|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|0) und B(-4|3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|3): 3 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
3 = 16 -4b +c |-16

-1 = -1b +c
-13 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 13$
$c - 4 b$	=	$- 13$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 13 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (- 13 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 13 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 13 + 4 b)$	=	$- 1$
$- b - 13 + 4 b$	=	$- 1$
$3 b - 13$	=	$- 1$	\| $+ 13$
$3 b$	=	$12$	\|: $3$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 13 + 4 \cdot 4$

= $- 13 + 16$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|2) und B(1|-2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
-2 = 1 +1b +c |-1

1 = -1b +c
-3 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ b & + c & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 3$
$c + b$	=	$- 3$	\| $- b$
$c$	=	$- 3 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (- 3 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 3 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 3 - b)$	=	$1$
$- b - 3 - b$	=	$1$
$- 2 b - 3$	=	$1$	\| $+ 3$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 3 - (- 2)$

= $- 3 + 2$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 - 1$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 - 1$

= ${(x - 1)}^{2} - 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 - 1$ = $1 - 2 - 1$ = -2

also: S(1|-2).

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Wert zum Einsetzen finden

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg