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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 4 y$ = $- 25$ .

Bestimme x so, dass (x|6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$- x - 4 \cdot 6$ = $- 25$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- x - 4 \cdot 6$	=	$- 25$
$- x - 24$	=	$- 25$	\| $+ 24$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (1|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + y$ = $5$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|1)
denn -2⋅( - 2 ) +1⋅1 = 4 +1 = $5$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|3)
denn -2⋅( - 1 ) +1⋅3 = 2 +3 = $5$

Oder : (-3|-1)
denn -2⋅( - 3 ) +1⋅( - 1 ) = 6 -1 = $5$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & = & 15 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & = & 15 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 5 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 5) - 3 y$	=	$- 25$
$- 10 - 3 y$	=	$- 25$
$- 3 y - 10$	=	$- 25$	\| $+ 10$
$- 3 y$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & - 18 & (I) \\ 4 x & + y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & - 18 & (I) \\ 4 x & + y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$21$
$y + 4 x$	=	$21$	\| $- 4 x$
$y$	=	$21 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 2 y & = & - 18 & (I) \\ + y & = & (21 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $21 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 2 \cdot (21 - 4 x)$	=	$- 18$
$- 2 x + 42 - 8 x$	=	$- 18$
$- 10 x + 42$	=	$- 18$	\| $- 42$
$- 10 x$	=	$- 60$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $21 - 4 \cdot 6$

= $21 - 24$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & - 15 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 3 y & = & - 15 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x + 3 y$	=	$- 15$
$3 y - 3 x$	=	$- 15$	\| $+ 3 x$
$3 y$	=	$- 15 + 3 x$	\|: $3$
$y$	=	$- 5 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 5 + x) & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 5 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 3 \cdot (- 5 + x)$	=	$3$
$- 3 x + 15 - 3 x$	=	$3$
$- 6 x + 15$	=	$3$	\| $- 15$
$- 6 x$	=	$- 12$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5 + 2$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - y & = & - 5 & (I) \\ \frac{1}{2} x & - y & = & - \frac{7}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - y & = & - 5 & (I) \\ \frac{1}{2} x & - y & = & - \frac{7}{2} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$\frac{1}{2} x - y$	=	$- \frac{7}{2}$
$- y + \frac{1}{2} x$	=	$- \frac{7}{2}$	\|⋅ 2
$2 (- y + \frac{1}{2} x)$	=	$- 7$
$- 2 y + x$	=	$- 7$	\| $- x$
$- 2 y$	=	$- 7 - x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$\frac{7}{2} + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - y & = & - 5 & (I) \\ + y & = & (\frac{7}{2} + \frac{1}{2} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $\frac{7}{2} + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 1 \cdot (\frac{7}{2} + \frac{1}{2} x)$	=	$- 5$
$x - \frac{7}{2} - \frac{1}{2} x$	=	$- 5$
$\frac{1}{2} x - \frac{7}{2}$	=	$- 5$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x - \frac{7}{2})$	=	$- 10$
$x - 7$	=	$- 10$	\| $+ 7$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $\frac{7}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 3)$

= $\frac{7}{2} - \frac{3}{2}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +4y = ?

-1x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-4x +4y = 4 -8 = -4

-1x +2y = 1 -4 = -3

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +4y = -4

-1x +2y = -3

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & - 1 & (I) \\ - 16 x & - 12 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & - 1 & (I) \\ - 16 x & - 12 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 3 y$	=	$- 1$
$3 y + 4 x$	=	$- 1$	\| $- 4 x$
$3 y$	=	$- 1 - 4 x$	\|: $3$
$y$	=	$- \frac{1}{3} - \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{1}{3} - \frac{4}{3} x) & (I) \\ - 16 x & - 12 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{1}{3} - \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 16 x - 12 \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{4}{3} x)$	=	$2$
$- 16 x + 4 + 16 x$	=	$2$
$4$	=	$2$	\| $- 4$
0	=	$- 2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 19. Wenn man aber vom 2-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -4. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 6 y & = & 19 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 6 y$	=	$19$	\| $- 6 y$
$x$	=	$19 - 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (19 - 6 y) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $19 - 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (19 - 6 y) - 2 y$	=	$- 4$
$38 - 12 y - 2 y$	=	$- 4$
$- 14 y + 38$	=	$- 4$	\| $- 38$
$- 14 y$	=	$- 42$	\|:( $- 14$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $19 - 6 \cdot 3$

= $19 - 18$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 3

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|0) und B(-3|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-4): -4 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
-4 = 9 -3b +c |-9

-1 = -1b +c
-13 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 13$
$c - 3 b$	=	$- 13$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 13 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (- 13 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 13 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 13 + 3 b)$	=	$- 1$
$- b - 13 + 3 b$	=	$- 1$
$2 b - 13$	=	$- 1$	\| $+ 13$
$2 b$	=	$12$	\|: $2$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 13 + 3 \cdot 6$

= $- 13 + 18$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|1) und B(2|16) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|1): 1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|16): 16 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 -1b +c |-1
16 = 4 +2b +c |-4

0 = -1b +c
12 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ 2 b & + c & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$12$
$c + 2 b$	=	$12$	\| $- 2 b$
$c$	=	$12 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (12 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $12 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (12 - 2 b)$	=	0
$- b + 12 - 2 b$	=	0
$- 3 b + 12$	=	0	\| $- 12$
$- 3 b$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $12 - 2 \cdot 4$

= $12 - 8$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 + 4$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 + 4$

= ${(x + 2)}^{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 4$ = $4 - 8 + 4$ = 0

also: S(-2|0).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg