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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 3 y$ = $19$ .

Bestimme x so, dass (x|-7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 x - 3 \cdot (- 7)$ = $19$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 2 x - 3 \cdot (- 7)$	=	$19$
$- 2 x + 21$	=	$19$	\| $- 21$
$- 2 x$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (1|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 5 y$ = $- 29$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|-3)
denn 2⋅( - 7 ) +5⋅( - 3 ) = -14 -15 = $- 29$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-5)
denn 2⋅( - 2 ) +5⋅( - 5 ) = -4 -25 = $- 29$

Oder : (-12|-1)
denn 2⋅( - 12 ) +5⋅( - 1 ) = -24 -5 = $- 29$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 12 & (I) \\ - y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 12 & (I) \\ - y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- y$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 12 & (I) \\ + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot 6$	=	$12$
$2 x + 18$	=	$12$	\| $- 18$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 21 & (I) \\ x & - 2 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 21 & (I) \\ x & - 2 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$11$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$11 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 21 & (I) \\ x & = & (11 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $11 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (11 + 2 y) + 3 y$	=	$- 21$
$33 + 6 y + 3 y$	=	$- 21$
$9 y + 33$	=	$- 21$	\| $- 33$
$9 y$	=	$- 54$	\|: $9$
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $11 + 2 \cdot (- 6)$

= $11 - 12$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & 20 & (I) \\ - 5 x & + 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & 20 & (I) \\ - 5 x & + 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 4 x - 2 y$	=	$20$
$- 2 y - 4 x$	=	$20$	\| $+ 4 x$
$- 2 y$	=	$20 + 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 10 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 10 - 2 x) & (I) \\ - 5 x & + 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 10 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 4 \cdot (- 10 - 2 x)$	=	$12$
$- 5 x - 40 - 8 x$	=	$12$
$- 13 x - 40$	=	$12$	\| $+ 40$
$- 13 x$	=	$52$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 10 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 10 + 8$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + \frac{3}{2} y & = & - \frac{15}{2} & (I) \\ - x & - \frac{3}{2} y & = & \frac{3}{2} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + \frac{3}{2} y & = & - \frac{15}{2} & (I) \\ - x & - \frac{3}{2} y & = & \frac{3}{2} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - \frac{3}{2} y$	=	$\frac{3}{2}$	\|⋅ 2
$2 (- x - \frac{3}{2} y)$	=	$3$
$- 2 x - 3 y$	=	$3$	\| $+ 3 y$
$- 2 x$	=	$3 + 3 y$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- \frac{3}{2} - \frac{3}{2} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + \frac{3}{2} y & = & - \frac{15}{2} & (I) \\ x & = & (- \frac{3}{2} - \frac{3}{2} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- \frac{3}{2} - \frac{3}{2} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- \frac{3}{2} - \frac{3}{2} y) + \frac{3}{2} y$	=	$- \frac{15}{2}$
$\frac{3}{2} + \frac{3}{2} y + \frac{3}{2} y$	=	$- \frac{15}{2}$
$3 y + \frac{3}{2}$	=	$- \frac{15}{2}$	\|⋅ 2
$2 (3 y + \frac{3}{2})$	=	$- 15$
$6 y + 3$	=	$- 15$	\| $- 3$
$6 y$	=	$- 18$	\|: $6$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{2} + \frac{9}{2}$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -5y = ?

3x -18y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

1x -5y = -2 -25 = -27

3x -18y = -6 -90 = -96

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -5y = -27

3x -18y = -96

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 5 x & + 5 y & = & - 5 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 55 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + 5 y & = & - 5 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 55 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 5 y$	=	$- 5$
$5 y + 5 x$	=	$- 5$	\| $- 5 x$
$5 y$	=	$- 5 - 5 x$	\|: $5$
$y$	=	$- 1 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 - x) & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 55 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 5 \cdot (- 1 - x)$	=	$55$
$- 5 x - 5 - 5 x$	=	$55$
$- 10 x - 5$	=	$55$	\| $+ 5$
$- 10 x$	=	$60$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 - (- 6)$

= $- 1 + 6$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 100 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 8 Halogenleuchten zusammen 176 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 4 y & = & 100 & (I) \\ 4 x & + 8 y & = & 176 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 4 y$	=	$100$
$4 y + 5 x$	=	$100$	\| $- 5 x$
$4 y$	=	$100 - 5 x$	\|: $4$
$y$	=	$25 - \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (25 - \frac{5}{4} x) & (I) \\ 4 x & + 8 y & = & 176 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $25 - \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 8 \cdot (25 - \frac{5}{4} x)$	=	$176$
$4 x + 200 - 10 x$	=	$176$
$- 6 x + 200$	=	$176$	\| $- 200$
$- 6 x$	=	$- 24$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $25 - \frac{5}{4} \cdot 4$

= $25 - 5$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (4|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-10) und B(-1|6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-10): -10 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|6): 6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 +1b +c |-1
6 = 1 -1b +c |-1

-11 = 1b +c
5 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ - b & + c & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$5$
$c - b$	=	$5$	\| $+ b$
$c$	=	$5 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (5 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $5 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (5 + b)$	=	$- 11$
$b + 5 + b$	=	$- 11$
$2 b + 5$	=	$- 11$	\| $- 5$
$2 b$	=	$- 16$	\|: $2$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $5 - 8$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-3)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|6) und B(4|27) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(4|27): 27 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
27 = 16 +4b +c |-16

5 = 1b +c
11 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ 4 b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$11$
$c + 4 b$	=	$11$	\| $- 4 b$
$c$	=	$11 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (11 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (11 - 4 b)$	=	$5$
$b + 11 - 4 b$	=	$5$
$- 3 b + 11$	=	$5$	\| $- 11$
$- 3 b$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 - 4 \cdot 2$

= $11 - 8$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 + 3$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 + 3$

= ${(x + 1)}^{2} + 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 3$ = $1 - 2 + 3$ = 2

also: S(-1|2).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg