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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 5 y$ = $31$ .

Bestimme x so, dass (x|-6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$- x - 5 \cdot (- 6)$ = $31$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- x - 5 \cdot (- 6)$	=	$31$
$- x + 30$	=	$31$	\| $- 30$
$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-1|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 3 y$ = $- 21$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|6)
denn 1⋅( - 3 ) -3⋅6 = -3 -18 = $- 21$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|5)
denn 1⋅( - 6 ) -3⋅5 = -6 -15 = $- 21$

Oder : (0|7)
denn 1⋅0 -3⋅7 = 0 -21 = $- 21$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 2 y & = & - 8 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 2 y & = & - 8 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$- 8$	\|: $2$
$y$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 4 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (- 4)$	=	$21$
$3 x + 12$	=	$21$	\| $- 12$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 14 & (I) \\ 2 x & + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 14 & (I) \\ 2 x & + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$2$
$y + 2 x$	=	$2$	\| $- 2 x$
$y$	=	$2 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 14 & (I) \\ + y & = & (2 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x - 3 \cdot (2 - 2 x)$	=	$14$
$- x - 6 + 6 x$	=	$14$
$5 x - 6$	=	$14$	\| $+ 6$
$5 x$	=	$20$	\|: $5$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2 - 2 \cdot 4$

= $2 - 8$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + y & = & 19 & (I) \\ x & + 4 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + y & = & 19 & (I) \\ x & + 4 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$19$	\| $- 4 y$
$x$	=	$19 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 5 x & + y & = & 19 & (I) \\ x & = & (19 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $19 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (19 - 4 y) + y$	=	$19$
$95 - 20 y + y$	=	$19$
$- 19 y + 95$	=	$19$	\| $- 95$
$- 19 y$	=	$- 76$	\|:( $- 19$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $19 - 4 \cdot 4$

= $19 - 16$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 5 x$	=	$25 + 2 y$			(I)
$- 3 x + 2 + y$	=	$- 2 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 5 x$	=	$25 + 2 y$	\| $- 2 y$		(I)
$- 3 x + 2 + y$	=	$- 2 x$	\| $- 2 + 2 x$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & - 2 y & = & 25 & (I) \\ - x & + y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x + y$	=	$- 2$
$y - x$	=	$- 2$	\| $+ x$
$y$	=	$- 2 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & - 2 y & = & 25 & (I) \\ + y & = & (- 2 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 2 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 2 \cdot (- 2 + x)$	=	$25$
$- 5 x + 4 - 2 x$	=	$25$
$- 7 x + 4$	=	$25$	\| $- 4$
$- 7 x$	=	$21$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 2 - 3$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +2y = ?

-1x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-2x +2y = 6 -8 = -2

-1x +3y = 3 -12 = -9

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +2y = -2

-1x +3y = -9

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 2 y & = & - 2 & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 2 y$	=	$- 2$
$2 y + 4 x$	=	$- 2$	\| $- 4 x$
$2 y$	=	$- 2 - 4 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 1 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 - 2 x) & (I) \\ 4 x & + 3 y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 3 \cdot (- 1 - 2 x)$	=	$- 5$
$4 x - 3 - 6 x$	=	$- 5$
$- 2 x - 3$	=	$- 5$	\| $+ 3$
$- 2 x$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 1 - 2 \cdot 1$

= $- 1 - 2$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 4 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1130 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1025 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & 1130 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 1025 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 2 y$	=	$1130$
$- 2 y + 4 x$	=	$1130$	\| $- 4 x$
$- 2 y$	=	$1130 - 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 565 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 565 + 2 x) & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 1025 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 565 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 5 \cdot (- 565 + 2 x)$	=	$1025$
$4 x + 2 825 - 10 x$	=	$1025$
$- 6 x + 2 825$	=	$1025$	\| $- 2 825$
$- 6 x$	=	$- 1 800$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 565 + 2 \cdot 300$

= $- 565 + 600$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (300|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(2|29) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|29): 29 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
29 = 4 +2b +c |-4

-5 = -1b +c
25 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$25$
$c + 2 b$	=	$25$	\| $- 2 b$
$c$	=	$25 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (25 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $25 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (25 - 2 b)$	=	$- 5$
$- b + 25 - 2 b$	=	$- 5$
$- 3 b + 25$	=	$- 5$	\| $- 25$
$- 3 b$	=	$- 30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $25 - 2 \cdot 10$

= $25 - 20$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|13) und B(-3|37) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|13): 13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|37): 37 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 -1b +c |-1
37 = 9 -3b +c |-9

12 = -1b +c
28 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 28 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$28$
$c - 3 b$	=	$28$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$28 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 12 & (I) \\ + c & = & (28 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $28 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (28 + 3 b)$	=	$12$
$- b + 28 + 3 b$	=	$12$
$2 b + 28$	=	$12$	\| $- 28$
$2 b$	=	$- 16$	\|: $2$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $28 + 3 \cdot (- 8)$

= $28 - 24$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|4)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 + 4$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 + 4$

= ${(x - 4)}^{2} - 12$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-12).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 + 4$ = $16 - 32 + 4$ = -12

also: S(4|-12).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg