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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 4 y$ = $- 14$ .

Bestimme x so, dass (x|-4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$- x + 4 \cdot (- 4)$ = $- 14$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- x + 4 \cdot (- 4)$	=	$- 14$
$- x - 16$	=	$- 14$	\| $+ 16$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (-2|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x + 2 y$ = $10$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|5)
denn -1⋅0 +2⋅5 = 0 +10 = $10$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|6)
denn -1⋅2 +2⋅6 = -2 +12 = $10$

Oder : (-2|4)
denn -1⋅( - 2 ) +2⋅4 = 2 +8 = $10$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 8 & (I) \\ - x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 8 & (I) \\ - x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 8 & (I) \\ x & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot 4 - 4 y$	=	$8$
$- 12 - 4 y$	=	$8$
$- 4 y - 12$	=	$8$	\| $+ 12$
$- 4 y$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & - 19 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & - 19 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 8$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 8 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & - 19 & (I) \\ x & = & (- 8 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 8 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 8 - 2 y) + 5 y$	=	$- 19$
$- 16 - 4 y + 5 y$	=	$- 19$
$y - 16$	=	$- 19$	\| $+ 16$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 8 - 2 \cdot (- 3)$

= $- 8 + 6$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & 0 & (I) \\ - 5 x & + 4 y & = & 31 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & 0 & (I) \\ - 5 x & + 4 y & = & 31 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 3 y$	=	0
$3 y + 4 x$	=	0	\| $- 4 x$
$3 y$	=	$- 4 x$	\|: $3$
$y$	=	$- \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - \frac{4}{3} x & (I) \\ - 5 x & + 4 y & = & 31 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- \frac{4}{3} x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 4 \cdot (- \frac{4}{3} x)$	=	$31$
$- 5 x - \frac{16}{3} x$	=	$31$
$- \frac{31}{3} x$	=	$31$	\|⋅ 3
$- 31 x$	=	$93$	\|:( $- 31$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{4}{3} \cdot (- 3)$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 5 y$	=	$3 x + 4 (5 - y)$			(I)
$5 x - 38 + y$	=	$5 (2 x + y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 5 y$	=	$3 x + 4 (5 - y)$			(I)
$5 x - 38 + y$	=	$5 (2 x + y)$			(II)

$- 5 y$	=	$3 x + 20 - 4 y$	\| $- 3 x + 4 y$		(I)
$5 x - 38 + y$	=	$10 x + 5 y$	\| + $38 - 10 x - 5 y$		(II)

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & 20 & (I) \\ - 5 x & - 4 y & = & 38 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x - y$	=	$20$
$- y - 3 x$	=	$20$	\| $+ 3 x$
$- y$	=	$20 + 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 20 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 20 - 3 x) & (I) \\ - 5 x & - 4 y & = & 38 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 20 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 4 \cdot (- 20 - 3 x)$	=	$38$
$- 5 x + 80 + 12 x$	=	$38$
$7 x + 80$	=	$38$	\| $- 80$
$7 x$	=	$- 42$	\|: $7$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 20 - 3 \cdot (- 6)$

= $- 20 + 18$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -3y = ?

-1x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

2x -3y = 6 -3 = 3

-1x +5y = -3 +5 = 2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -3y = 3

-1x +5y = 2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & 35 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & 35 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 5 y$	=	$35$
$- 5 y - 5 x$	=	$35$	\| $+ 5 x$
$- 5 y$	=	$35 + 5 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 7 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 7 - x) & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 7 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot (- 7 - x)$	=	0
$2 x + 35 + 5 x$	=	0
$7 x + 35$	=	0	\| $- 35$
$7 x$	=	$- 35$	\|: $7$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 7 - (- 5)$

= $- 7 + 5$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 4 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 3 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 132 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 8 Halogenleuchten zusammen 338 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & 132 & (I) \\ 6 x & + 8 y & = & 338 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 3 y$	=	$132$
$3 y + 4 x$	=	$132$	\| $- 4 x$
$3 y$	=	$132 - 4 x$	\|: $3$
$y$	=	$44 - \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (44 - \frac{4}{3} x) & (I) \\ 6 x & + 8 y & = & 338 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $44 - \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 8 \cdot (44 - \frac{4}{3} x)$	=	$338$
$6 x + 352 - \frac{32}{3} x$	=	$338$
$- \frac{14}{3} x + 352$	=	$338$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{14}{3} x + 352)$	=	$1 014$
$- 14 x + 1 056$	=	$1 014$	\| $- 1 056$
$- 14 x$	=	$- 42$	\|:( $- 14$ )
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $44 - \frac{4}{3} \cdot 3$

= $44 - 4$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (3|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|0) und B(-2|9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|9): 9 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
9 = 4 -2b +c |-4

-1 = 1b +c
5 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$5$
$c - 2 b$	=	$5$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$5 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (5 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $5 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (5 + 2 b)$	=	$- 1$
$b + 5 + 2 b$	=	$- 1$
$3 b + 5$	=	$- 1$	\| $- 5$
$3 b$	=	$- 6$	\|: $3$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $5 + 2 \cdot (- 2)$

= $5 - 4$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-1) und B(-1|11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-1): -1 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|11): 11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 +1b +c |-1
11 = 1 -1b +c |-1

-2 = 1b +c
10 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 2 & (I) \\ - b & + c & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$10$
$c - b$	=	$10$	\| $+ b$
$c$	=	$10 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 2 & (I) \\ + c & = & (10 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $10 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (10 + b)$	=	$- 2$
$b + 10 + b$	=	$- 2$
$2 b + 10$	=	$- 2$	\| $- 10$
$2 b$	=	$- 12$	\|: $2$
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $10 - 6$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 4$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 + 4$

= ${(x - 3)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 + 4$ = $9 - 18 + 4$ = -5

also: S(3|-5).

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg