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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - y$ = $24$ .

Bestimme x so, dass (x|1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 x - 1$ = $24$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 5 x - 1$	=	$24$
$- 5 x - 1$	=	$24$	\| $+ 1$
$- 5 x$	=	$25$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (-5|1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 4 y$ = $20$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|7)
denn 2⋅( - 4 ) +4⋅7 = -8 +28 = $20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|5)
denn 2⋅0 +4⋅5 = 0 +20 = $20$

Oder : (-8|9)
denn 2⋅( - 8 ) +4⋅9 = -16 +36 = $20$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & = & - 6 & (I) \\ - 4 x & + 4 y & = & 32 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $- 6$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 6) + 4 y$	=	$32$
$24 + 4 y$	=	$32$
$4 y + 24$	=	$32$	\| $- 24$
$4 y$	=	$8$	\|: $4$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 2 & (I) \\ 3 x & + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 2 & (I) \\ 3 x & + y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$2$
$y + 3 x$	=	$2$	\| $- 3 x$
$y$	=	$2 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 2 y & = & - 2 & (I) \\ + y & = & (2 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 2 \cdot (2 - 3 x)$	=	$- 2$
$- 4 x - 4 + 6 x$	=	$- 2$
$2 x - 4$	=	$- 2$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2 - 3 \cdot 1$

= $2 - 3$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & + y & = & 6 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & + y & = & 6 & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x + y$	=	$6$
$y - 5 x$	=	$6$	\| $+ 5 x$
$y$	=	$6 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (6 + 5 x) & (I) \\ - 3 x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $6 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 3 \cdot (6 + 5 x)$	=	0
$- 3 x - 18 - 15 x$	=	0
$- 18 x - 18$	=	0	\| $+ 18$
$- 18 x$	=	$18$	\|:( $- 18$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $6 + 5 \cdot (- 1)$

= $6 - 5$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + y & = & - 5 & (I) \\ - 3 x & - \frac{3}{5} y & = & \frac{63}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + y & = & - 5 & (I) \\ - 3 x & - \frac{3}{5} y & = & \frac{63}{5} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x + y$	=	$- 5$
$y + x$	=	$- 5$	\| $- x$
$y$	=	$- 5 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 5 - x) & (I) \\ - 3 x & - \frac{3}{5} y & = & \frac{63}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 5 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - \frac{3}{5} \cdot (- 5 - x)$	=	$\frac{63}{5}$
$- 3 x + 3 + \frac{3}{5} x$	=	$\frac{63}{5}$
$- \frac{12}{5} x + 3$	=	$\frac{63}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{12}{5} x + 3)$	=	$63$
$- 12 x + 15$	=	$63$	\| $- 15$
$- 12 x$	=	$48$	\|:( $- 12$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5 - (- 4)$

= $- 5 + 4$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +2y = ?

-3x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-5x +2y = 15 -10 = 5

-3x -2y = 9 +10 = 19

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +2y = 5

-3x -2y = 19

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 16 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 16 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 4 y$	=	$22$	\| $+ 4 y$
$- x$	=	$22 + 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 22 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 16 & (I) \\ x & = & (- 22 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 22 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 22 - 4 y) - 3 y$	=	$16$
$22 + 4 y - 3 y$	=	$16$
$y + 22$	=	$16$	\| $- 22$
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 22 - 4 \cdot (- 6)$

= $- 22 + 24$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 18. Wenn man aber vom 6-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 3. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 18 & (I) \\ 6 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$18$	\| $- 3 y$
$x$	=	$18 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (18 - 3 y) & (I) \\ 6 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $18 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (18 - 3 y) - 3 y$	=	$3$
$108 - 18 y - 3 y$	=	$3$
$- 21 y + 108$	=	$3$	\| $- 108$
$- 21 y$	=	$- 105$	\|:( $- 21$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $18 - 3 \cdot 5$

= $18 - 15$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-12) und B(2|-19) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-12): -12 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-19): -19 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 +1b +c |-1
-19 = 4 +2b +c |-4

-13 = 1b +c
-23 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 23$
$c + 2 b$	=	$- 23$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 23 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ + c & = & (- 23 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 23 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 23 - 2 b)$	=	$- 13$
$b - 23 - 2 b$	=	$- 13$
$- b - 23$	=	$- 13$	\| $+ 23$
$- b$	=	$10$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 23 - 2 \cdot (- 10)$

= $- 23 + 20$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-3)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|4) und B(-1|0) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|4): 4 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 +1b +c |-1
0 = 1 -1b +c |-1

3 = 1b +c
-1 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ - b & + c & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 1$
$c - b$	=	$- 1$	\| $+ b$
$c$	=	$- 1 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (- 1 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 1 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 1 + b)$	=	$3$
$b - 1 + b$	=	$3$
$2 b - 1$	=	$3$	\| $+ 1$
$2 b$	=	$4$	\|: $2$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 1 + 2$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 + 1$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 + 1$

= ${(x + 1)}^{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 1$ = $1 - 2 + 1$ = 0

also: S(-1|0).

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1. Weg

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