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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - y$ = $- 7$ .

Bestimme x so, dass (x|6) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$x - 6$ = $- 7$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x - 6$	=	$- 7$
$x - 6$	=	$- 7$	\| $+ 6$
$x$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-1|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 4 y$ = $- 4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|4)
denn 3⋅4 -4⋅4 = 12 -16 = $- 4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|1)
denn 3⋅0 -4⋅1 = 0 -4 = $- 4$

Oder : (8|7)
denn 3⋅8 -4⋅7 = 24 -28 = $- 4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 y & = & 12 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 y & = & 12 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 3 y$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 4 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 3 \cdot (- 4)$	=	$16$
$- 4 x + 12$	=	$16$	\| $- 12$
$- 4 x$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - y & = & 1 & (I) \\ x & - 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - y & = & 1 & (I) \\ x & - 2 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$8$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$8 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - y & = & 1 & (I) \\ x & = & (8 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $8 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (8 + 2 y) - y$	=	$1$
$- 8 - 2 y - y$	=	$1$
$- 3 y - 8$	=	$1$	\| $+ 8$
$- 3 y$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $8 + 2 \cdot (- 3)$

= $8 - 6$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & 15 & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 45 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - y & = & 15 & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 45 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x - y$	=	$15$
$- y + 3 x$	=	$15$	\| $- 3 x$
$- y$	=	$15 - 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 15 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 15 + 3 x) & (I) \\ 5 x & + 5 y & = & 45 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 15 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 5 \cdot (- 15 + 3 x)$	=	$45$
$5 x - 75 + 15 x$	=	$45$
$20 x - 75$	=	$45$	\| $+ 75$
$20 x$	=	$120$	\|: $20$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 15 + 3 \cdot 6$

= $- 15 + 18$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$10 + 3 y$	=	$x$			(I)
$6 x$	=	$3 (x + 3) + 2 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$10 + 3 y$	=	$x$			(I)
$6 x$	=	$3 (x + 3) + 2 y$			(II)

$10 + 3 y$	=	$x$	\| $- 10 - x$		(I)
$6 x$	=	$3 x + 9 + 2 y$	\| $- 3 x - 2 y$		(II)

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & - 10 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 3 y$	=	$- 10$	\| $- 3 y$
$- x$	=	$- 10 - 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$10 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (10 + 3 y) & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $10 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (10 + 3 y) - 2 y$	=	$9$
$30 + 9 y - 2 y$	=	$9$
$7 y + 30$	=	$9$	\| $- 30$
$7 y$	=	$- 21$	\|: $7$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $10 + 3 \cdot (- 3)$

= $10 - 9$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +4y = ?

-1x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

3x +4y = -3 -20 = -23

-1x +2y = 1 -10 = -9

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +4y = -23

-1x +2y = -9

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & - 3 & (I) \\ - 6 x & + 8 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & - 3 & (I) \\ - 6 x & + 8 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 4 y$	=	$- 3$
$- 4 y + 3 x$	=	$- 3$	\| $- 3 x$
$- 4 y$	=	$- 3 - 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$\frac{3}{4} + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{3}{4} + \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 6 x & + 8 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{4} + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 6 x + 8 \cdot (\frac{3}{4} + \frac{3}{4} x)$	=	$3$
$- 6 x + 6 + 6 x$	=	$3$
$6$	=	$3$	\| $- 6$
0	=	$- 3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 158 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 2 Halogenleuchten zusammen 88 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & 158 & (I) \\ 7 x & + 2 y & = & 88 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 5 y$	=	$158$
$5 y + 2 x$	=	$158$	\| $- 2 x$
$5 y$	=	$158 - 2 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{158}{5} - \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{158}{5} - \frac{2}{5} x) & (I) \\ 7 x & + 2 y & = & 88 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{158}{5} - \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x + 2 \cdot (\frac{158}{5} - \frac{2}{5} x)$	=	$88$
$7 x + \frac{316}{5} - \frac{4}{5} x$	=	$88$
$\frac{31}{5} x + \frac{316}{5}$	=	$88$	\|⋅ 5
$5 (\frac{31}{5} x + \frac{316}{5})$	=	$440$
$31 x + 316$	=	$440$	\| $- 316$
$31 x$	=	$124$	\|: $31$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{158}{5} - \frac{2}{5} \cdot 4$

= $\frac{158}{5} - \frac{8}{5}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (4|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-5) und B(-2|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-4): -4 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 -1b +c |-1
-4 = 4 -2b +c |-4

-6 = -1b +c
-8 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 8$
$c - 2 b$	=	$- 8$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 8 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 8 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 8 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 8 + 2 b)$	=	$- 6$
$- b - 8 + 2 b$	=	$- 6$
$b - 8$	=	$- 6$	\| $+ 8$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 8 + 2 \cdot 2$

= $- 8 + 4$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|5) und B(2|-10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|5): 5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-10): -10 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 -1b +c |-1
-10 = 4 +2b +c |-4

4 = -1b +c
-14 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 14$
$c + 2 b$	=	$- 14$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 14 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (- 14 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 14 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 14 - 2 b)$	=	$4$
$- b - 14 - 2 b$	=	$4$
$- 3 b - 14$	=	$4$	\| $+ 14$
$- 3 b$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 14 - 2 \cdot (- 6)$

= $- 14 + 12$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 - 2$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 - 2$

= ${(x - 3)}^{2} - 11$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-11).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 - 2$ = $9 - 18 - 2$ = -11

also: S(3|-11).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg