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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - y$ = $- 12$ .

Bestimme y so, dass (-4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$3 \cdot (- 4) - y$ = $- 12$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3 \cdot (- 4) - y$	=	$- 12$
$- 12 - y$	=	$- 12$
$- y - 12$	=	$- 12$	\| $+ 12$
$- y$	=	0	\|:( $- 1$ )
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (-4|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - 5 y$ = $- 35$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|3)
denn -4⋅5 -5⋅3 = -20 -15 = $- 35$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|7)
denn -4⋅0 -5⋅7 = 0 -35 = $- 35$

Oder : (10|-1)
denn -4⋅10 -5⋅( - 1 ) = -40 +5 = $- 35$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & = & - 15 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 31 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & = & - 15 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 31 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 5 & (I) \\ - 3 x & - 4 y & = & - 31 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot 5 - 4 y$	=	$- 31$
$- 15 - 4 y$	=	$- 31$
$- 4 y - 15$	=	$- 31$	\| $+ 15$
$- 4 y$	=	$- 16$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 22 & (I) \\ - x & - y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 22 & (I) \\ - x & - y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x - y$	=	$3$
$- y - x$	=	$3$	\| $+ x$
$- y$	=	$3 + x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 3 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 22 & (I) \\ + y & = & (- 3 - x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 3 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 4 \cdot (- 3 - x)$	=	$22$
$x + 12 + 4 x$	=	$22$
$5 x + 12$	=	$22$	\| $- 12$
$5 x$	=	$10$	\|: $5$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 3 - 2$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 10 & (I) \\ 2 x & + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 10 & (I) \\ 2 x & + y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$6$
$y + 2 x$	=	$6$	\| $- 2 x$
$y$	=	$6 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 10 & (I) \\ + y & = & (6 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $6 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 3 \cdot (6 - 2 x)$	=	$- 10$
$- 2 x - 18 + 6 x$	=	$- 10$
$4 x - 18$	=	$- 10$	\| $+ 18$
$4 x$	=	$8$	\|: $4$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $6 - 2 \cdot 2$

= $6 - 4$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 4$	=	$3 (x + y) + 2$			(I)
0	=	$- 2 x - 7 - 3 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 4$	=	$3 (x + y) + 2$			(I)
0	=	$- 2 x - 7 - 3 y$			(II)

$- 4$	=	$3 x + 2 + 3 y$	\| + $4 - 3 x - 3 y$		(I)
0	=	$- 2 x - 7 - 3 y$	\| + $2 x + 3 y$		(II)

\begin{matrix} - 3 x & - 3 y & = & 6 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 3 y$	=	$6$
$- 3 y - 3 x$	=	$6$	\| $+ 3 x$
$- 3 y$	=	$6 + 3 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 2 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 - x) & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot (- 2 - x)$	=	$- 7$
$2 x - 6 - 3 x$	=	$- 7$
$- x - 6$	=	$- 7$	\| $+ 6$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 - 1$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +3y = ?

6x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

4x +3y = 20 +6 = 26

6x +3y = 30 +6 = 36

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +3y = 26

6x +3y = 36

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 12 x & - 3 y & = & - 1 & (I) \\ 4 x & + y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 12 x & - 3 y & = & - 1 & (I) \\ 4 x & + y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$1$
$y + 4 x$	=	$1$	\| $- 4 x$
$y$	=	$1 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 12 x & - 3 y & = & - 1 & (I) \\ + y & = & (1 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 12 x - 3 \cdot (1 - 4 x)$	=	$- 1$
$- 12 x - 3 + 12 x$	=	$- 1$
$- 3$	=	$- 1$	\| $+ 3$
0	=	$2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 7 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1920 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 4 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 1320 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & - 4 y & = & 1920 & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 1320 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x - 4 y$	=	$1920$
$- 4 y + 7 x$	=	$1920$	\| $- 7 x$
$- 4 y$	=	$1920 - 7 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 480 + \frac{7}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 480 + \frac{7}{4} x) & (I) \\ 5 x & - 4 y & = & 1320 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 480 + \frac{7}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 4 \cdot (- 480 + \frac{7}{4} x)$	=	$1320$
$5 x + 1 920 - 7 x$	=	$1320$
$- 2 x + 1 920$	=	$1320$	\| $- 1 920$
$- 2 x$	=	$- 600$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 480 + \frac{7}{4} \cdot 300$

= $- 480 + 525$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (300|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|11) und B(4|44) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|11): 11 = 1² + b⋅1 +c

B(4|44): 44 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
11 = 1 +1b +c |-1
44 = 16 +4b +c |-16

10 = 1b +c
28 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 10 & (I) \\ 4 b & + c & = & 28 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$28$
$c + 4 b$	=	$28$	\| $- 4 b$
$c$	=	$28 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 10 & (I) \\ + c & = & (28 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $28 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (28 - 4 b)$	=	$10$
$b + 28 - 4 b$	=	$10$
$- 3 b + 28$	=	$10$	\| $- 28$
$- 3 b$	=	$- 18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $28 - 4 \cdot 6$

= $28 - 24$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(-2|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-7): -7 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
-7 = 4 -2b +c |-4

-5 = -1b +c
-11 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 11$
$c - 2 b$	=	$- 11$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 11 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 11 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 11 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 11 + 2 b)$	=	$- 5$
$- b - 11 + 2 b$	=	$- 5$
$b - 11$	=	$- 5$	\| $+ 11$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 11 + 2 \cdot 6$

= $- 11 + 12$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 1$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 1$

= ${(x + 3)}^{2} - 8$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-8).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 1$ = $9 - 18 + 1$ = -8

also: S(-3|-8).

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1. Weg

2. Weg