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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + y$ = $- 12$ .

Bestimme x so, dass (x|0) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$3 x + 0$ = $- 12$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3 x + 0$	=	$- 12$
$3 x$	=	$- 12$	\|: $3$
$x$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (-4|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - 5 y$ = $5$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-3)
denn 5⋅( - 2 ) -5⋅( - 3 ) = -10 +15 = $5$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|-8)
denn 5⋅( - 7 ) -5⋅( - 8 ) = -35 +40 = $5$

Oder : (3|2)
denn 5⋅3 -5⋅2 = 15 -10 = $5$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & = & - 12 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & = & - 12 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3 x$	=	$- 12$	\|: $3$
$x$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 4 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 4) - 2 y$	=	$2$
$8 - 2 y$	=	$2$
$- 2 y + 8$	=	$2$	\| $- 8$
$- 2 y$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 23 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 23 & (I) \\ x & + 2 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$- 16$	\| $- 2 y$
$x$	=	$- 16 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & - 23 & (I) \\ x & = & (- 16 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 16 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 16 - 2 y) + y$	=	$- 23$
$- 48 - 6 y + y$	=	$- 23$
$- 5 y - 48$	=	$- 23$	\| $+ 48$
$- 5 y$	=	$25$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 16 - 2 \cdot (- 5)$

= $- 16 + 10$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & + y & = & - 6 & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & + y & = & - 6 & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x + y$	=	$- 6$
$y - 5 x$	=	$- 6$	\| $+ 5 x$
$y$	=	$- 6 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 6 + 5 x) & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 6 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 4 \cdot (- 6 + 5 x)$	=	$26$
$5 x - 24 + 20 x$	=	$26$
$25 x - 24$	=	$26$	\| $+ 24$
$25 x$	=	$50$	\|: $25$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 6 + 5 \cdot 2$

= $- 6 + 10$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 23 + 5 y$	=	$- 5 x + 3 y$			(I)
$3 x + 5$	=	$2 (x + 3) - 4 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 23 + 5 y$	=	$- 5 x + 3 y$			(I)
$3 x + 5$	=	$2 (x + 3) - 4 y$			(II)

$- 23 + 5 y$	=	$- 5 x + 3 y$	\| + $23 + 5 x - 3 y$		(I)
$3 x + 5$	=	$2 x + 6 - 4 y$	\| $- 5 - 2 x + 4 y$		(II)

\begin{matrix} 5 x & + 2 y & = & 23 & (I) \\ x & + 4 y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$1$	\| $- 4 y$
$x$	=	$1 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 5 x & + 2 y & = & 23 & (I) \\ x & = & (1 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $1 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (1 - 4 y) + 2 y$	=	$23$
$5 - 20 y + 2 y$	=	$23$
$- 18 y + 5$	=	$23$	\| $- 5$
$- 18 y$	=	$18$	\|:( $- 18$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $1 - 4 \cdot (- 1)$

= $1 + 4$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -5y = ?

1x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-2x -5y = -4 -5 = -9

1x +1y = 2 +1 = 3

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -5y = -9

1x +1y = 3

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & + 8 y & = & 6 & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 8 y & = & 6 & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 8 y$	=	$6$
$8 y + 4 x$	=	$6$	\| $- 4 x$
$8 y$	=	$6 - 4 x$	\|: $8$
$y$	=	$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{3}{4} - \frac{1}{2} x) & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 4 \cdot (\frac{3}{4} - \frac{1}{2} x)$	=	$- 3$
$- 2 x - 3 + 2 x$	=	$- 3$
$- 3$	=	$- 3$	\| $+ 3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 205 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 265 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 5 y & = & 205 & (I) \\ 4 x & + 7 y & = & 265 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 5 y$	=	$205$
$5 y + 6 x$	=	$205$	\| $- 6 x$
$5 y$	=	$205 - 6 x$	\|: $5$
$y$	=	$41 - \frac{6}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (41 - \frac{6}{5} x) & (I) \\ 4 x & + 7 y & = & 265 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $41 - \frac{6}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 7 \cdot (41 - \frac{6}{5} x)$	=	$265$
$4 x + 287 - \frac{42}{5} x$	=	$265$
$- \frac{22}{5} x + 287$	=	$265$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{22}{5} x + 287)$	=	$1 325$
$- 22 x + 1 435$	=	$1 325$	\| $- 1 435$
$- 22 x$	=	$- 110$	\|:( $- 22$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $41 - \frac{6}{5} \cdot 5$

= $41 - 6$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (5|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|1) und B(-2|-8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|1): 1 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-8): -8 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 +1b +c |-1
-8 = 4 -2b +c |-4

0 = 1b +c
-12 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 12$
$c - 2 b$	=	$- 12$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 12 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (- 12 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 12 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 12 + 2 b)$	=	0
$b - 12 + 2 b$	=	0
$3 b - 12$	=	0	\| $+ 12$
$3 b$	=	$12$	\|: $3$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 12 + 2 \cdot 4$

= $- 12 + 8$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-4)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|3) und B(-1|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|3): 3 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 +1b +c |-1
-5 = 1 -1b +c |-1

2 = 1b +c
-6 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 2 & (I) \\ - b & + c & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 6$
$c - b$	=	$- 6$	\| $+ b$
$c$	=	$- 6 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 2 & (I) \\ + c & = & (- 6 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 6 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 6 + b)$	=	$2$
$b - 6 + b$	=	$2$
$2 b - 6$	=	$2$	\| $+ 6$
$2 b$	=	$8$	\|: $2$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 6 + 4$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 - 2$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 - 2$

= ${(x + 2)}^{2} - 6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - 2$ = $4 - 8 - 2$ = -6

also: S(-2|-6).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg