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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 3 y$ = $12$ .

Bestimme y so, dass (6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$2 \cdot 6 + 3 y$ = $12$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2 \cdot 6 + 3 y$	=	$12$
$12 + 3 y$	=	$12$
$3 y + 12$	=	$12$	\| $- 12$
$3 y$	=	0	\|: $3$
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (6|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - 2 y$ = $20$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-2)
denn -4⋅( - 4 ) -2⋅( - 2 ) = 16 +4 = $20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|2)
denn -4⋅( - 6 ) -2⋅2 = 24 -4 = $20$

Oder : (-2|-6)
denn -4⋅( - 2 ) -2⋅( - 6 ) = 8 +12 = $20$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & = & - 16 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 28 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & = & - 16 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 28 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$- 16$	\|: $4$
$x$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 4 & (I) \\ - x & - 4 y & = & 28 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 4) - 4 y$	=	$28$
$4 - 4 y$	=	$28$
$- 4 y + 4$	=	$28$	\| $- 4$
$- 4 y$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 20 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 20 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$- 20$	\| $- 4 y$
$x$	=	$- 20 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 20 - 4 y) & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 20 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 20 - 4 y) - 4 y$	=	$4$
$- 60 - 12 y - 4 y$	=	$4$
$- 16 y - 60$	=	$4$	\| $+ 60$
$- 16 y$	=	$64$	\|:( $- 16$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 20 - 4 \cdot (- 4)$

= $- 20 + 16$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & 2 & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 5 y & = & 2 & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 5 y$	=	$2$
$5 y + 3 x$	=	$2$	\| $- 3 x$
$5 y$	=	$2 - 3 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{2}{5} - \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{2}{5} - \frac{3}{5} x) & (I) \\ 2 x & + 5 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{2}{5} - \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 5 \cdot (\frac{2}{5} - \frac{3}{5} x)$	=	$- 2$
$2 x + 2 - 3 x$	=	$- 2$
$- x + 2$	=	$- 2$	\| $- 2$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{2}{5} - \frac{3}{5} \cdot 4$

= $\frac{2}{5} - \frac{12}{5}$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - \frac{1}{5} y & = & - \frac{1}{5} & (I) \\ x & + \frac{2}{3} y & = & \frac{2}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - \frac{1}{5} y & = & - \frac{1}{5} & (I) \\ x & + \frac{2}{3} y & = & \frac{2}{3} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + \frac{2}{3} y$	=	$\frac{2}{3}$	\|⋅ 3
$3 (x + \frac{2}{3} y)$	=	$2$
$3 x + 2 y$	=	$2$	\| $- 2 y$
$3 x$	=	$2 - 2 y$	\|: $3$
$x$	=	$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - \frac{1}{5} y & = & - \frac{1}{5} & (I) \\ x & = & (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{2}{3} - \frac{2}{3} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} y) - \frac{1}{5} y$	=	$- \frac{1}{5}$
$- \frac{2}{3} + \frac{2}{3} y - \frac{1}{5} y$	=	$- \frac{1}{5}$
$\frac{7}{15} y - \frac{2}{3}$	=	$- \frac{1}{5}$	\|⋅ 15
$15 (\frac{7}{15} y - \frac{2}{3})$	=	$- 3$
$7 y - 10$	=	$- 3$	\| $+ 10$
$7 y$	=	$7$	\|: $7$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

= $\frac{2}{3} - \frac{2}{3}$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +1y = ?

-5x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-2x +1y = 10 -5 = 5

-5x +5y = 25 -25 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +1y = 5

-5x +5y = 0

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & - 2 y & = & - 26 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 2 y & = & - 26 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 2 y$	=	$- 26$
$- 2 y - 5 x$	=	$- 26$	\| $+ 5 x$
$- 2 y$	=	$- 26 + 5 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$13 - \frac{5}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (13 - \frac{5}{2} x) & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $13 - \frac{5}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 2 \cdot (13 - \frac{5}{2} x)$	=	$- 14$
$- 2 x - 26 + 5 x$	=	$- 14$
$3 x - 26$	=	$- 14$	\| $+ 26$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $13 - \frac{5}{2} \cdot 4$

= $13 - 10$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 7. Wenn man aber vom 2-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 7. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 7 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$7$	\| $- 2 y$
$x$	=	$7 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (7 - 2 y) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (7 - 2 y) - 3 y$	=	$7$
$14 - 4 y - 3 y$	=	$7$
$- 7 y + 14$	=	$7$	\| $- 14$
$- 7 y$	=	$- 7$	\|:( $- 7$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7 - 2 \cdot 1$

= $7 - 2$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 1

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|4) und B(2|5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|4): 4 = 1² + b⋅1 +c

B(2|5): 5 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 +1b +c |-1
5 = 4 +2b +c |-4

3 = 1b +c
1 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ 2 b & + c & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$1$
$c + 2 b$	=	$1$	\| $- 2 b$
$c$	=	$1 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (1 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $1 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (1 - 2 b)$	=	$3$
$b + 1 - 2 b$	=	$3$
$- b + 1$	=	$3$	\| $- 1$
$- b$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $1 - 2 \cdot (- 2)$

= $1 + 4$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|4) und B(-3|24) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|24): 24 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
24 = 9 -3b +c |-9

3 = -1b +c
15 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$15$
$c - 3 b$	=	$15$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$15 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (15 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $15 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (15 + 3 b)$	=	$3$
$- b + 15 + 3 b$	=	$3$
$2 b + 15$	=	$3$	\| $- 15$
$2 b$	=	$- 12$	\|: $2$
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $15 + 3 \cdot (- 6)$

= $15 - 18$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 - 3$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 - 3$

= ${(x - 3)}^{2} - 12$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-12).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 - 3$ = $9 - 18 - 3$ = -12

also: S(3|-12).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

LGS (vorher umformen)

LGS zu Lösungen finden

LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg