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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - y$ = $18$ .

Bestimme y so, dass (-5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot (- 5) - y$ = $18$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 5) - y$	=	$18$
$15 - y$	=	$18$
$- y + 15$	=	$18$	\| $- 15$
$- y$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 3$

Die Lösung ist somit: (-5|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - y$ = 0.

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|3)
denn 3⋅1 -1⋅3 = 3 -3 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|0)
denn 3⋅0 -1⋅0 = 0 +0 = 0

Oder : (2|6)
denn 3⋅2 -1⋅6 = 6 -6 = 0

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & = & 6 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & = & 6 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- x$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 6 & (I) \\ 3 x & + 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 6) + 3 y$	=	$- 3$
$- 18 + 3 y$	=	$- 3$
$3 y - 18$	=	$- 3$	\| $+ 18$
$3 y$	=	$15$	\|: $3$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 4 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + y & = & 4 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$4$
$y - 4 x$	=	$4$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$4 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (4 + 4 x) & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 3 \cdot (4 + 4 x)$	=	$16$
$- 2 x - 12 - 12 x$	=	$16$
$- 14 x - 12$	=	$16$	\| $+ 12$
$- 14 x$	=	$28$	\|:( $- 14$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4 + 4 \cdot (- 2)$

= $4 - 8$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & 10 & (I) \\ 5 x & - y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & 10 & (I) \\ 5 x & - y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$5 x - y$	=	$- 4$
$- y + 5 x$	=	$- 4$	\| $- 5 x$
$- y$	=	$- 4 - 5 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$4 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & 10 & (I) \\ + y & = & (4 + 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $4 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 5 \cdot (4 + 5 x)$	=	$10$
$- 5 x - 20 - 25 x$	=	$10$
$- 30 x - 20$	=	$10$	\| $+ 20$
$- 30 x$	=	$30$	\|:( $- 30$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $4 + 5 \cdot (- 1)$

= $4 - 5$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$5 x - 22$	=	$- y$			(I)
$- 17$	=	$- 5 x + 2 (1 - y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$5 x - 22$	=	$- y$			(I)
$- 17$	=	$- 5 x + 2 (1 - y)$			(II)

$5 x - 22$	=	$- y$	\| + $22 + y$		(I)
$- 17$	=	$- 5 x + 2 - 2 y$	\| + $17 + 5 x + 2 y$		(II)

\begin{matrix} 5 x & + y & = & 22 & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$5 x + y$	=	$22$
$y + 5 x$	=	$22$	\| $- 5 x$
$y$	=	$22 - 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (22 - 5 x) & (I) \\ 5 x & + 2 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $22 - 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 2 \cdot (22 - 5 x)$	=	$19$
$5 x + 44 - 10 x$	=	$19$
$- 5 x + 44$	=	$19$	\| $- 44$
$- 5 x$	=	$- 25$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $22 - 5 \cdot 5$

= $22 - 25$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +3y = ?

-2x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-3x +3y = -6 +9 = 3

-2x -1y = -4 -3 = -7

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +3y = 3

-2x -1y = -7

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ - 16 x & + 12 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 3 y & = & - 3 & (I) \\ - 16 x & + 12 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 3 y$	=	$- 3$
$- 3 y + 4 x$	=	$- 3$	\| $- 4 x$
$- 3 y$	=	$- 3 - 4 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$1 + \frac{4}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 + \frac{4}{3} x) & (I) \\ - 16 x & + 12 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 + \frac{4}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 16 x + 12 \cdot (1 + \frac{4}{3} x)$	=	$10$
$- 16 x + 12 + 16 x$	=	$10$
$12$	=	$10$	\| $- 12$
0	=	$- 2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 155 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 5 Halogenleuchten zusammen 130 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 6 y & = & 155 & (I) \\ 6 x & + 5 y & = & 130 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 6 y$	=	$155$
$6 y + 7 x$	=	$155$	\| $- 7 x$
$6 y$	=	$155 - 7 x$	\|: $6$
$y$	=	$\frac{155}{6} - \frac{7}{6} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{155}{6} - \frac{7}{6} x) & (I) \\ 6 x & + 5 y & = & 130 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{155}{6} - \frac{7}{6} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 5 \cdot (\frac{155}{6} - \frac{7}{6} x)$	=	$130$
$6 x + \frac{775}{6} - \frac{35}{6} x$	=	$130$
$\frac{1}{6} x + \frac{775}{6}$	=	$130$	\|⋅ 6
$6 (\frac{1}{6} x + \frac{775}{6})$	=	$780$
$x + 775$	=	$780$	\| $- 775$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{155}{6} - \frac{7}{6} \cdot 5$

= $\frac{155}{6} - \frac{35}{6}$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (5|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|2) und B(-2|1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|1): 1 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
1 = 4 -2b +c |-4

1 = -1b +c
-3 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 3$
$c - 2 b$	=	$- 3$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 3 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (- 3 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 3 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 3 + 2 b)$	=	$1$
$- b - 3 + 2 b$	=	$1$
$b - 3$	=	$1$	\| $+ 3$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 3 + 2 \cdot 4$

= $- 3 + 8$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|0) und B(-2|1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|1): 1 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
1 = 4 -2b +c |-4

-1 = -1b +c
-3 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 3$
$c - 2 b$	=	$- 3$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 3 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (- 3 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 3 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 3 + 2 b)$	=	$- 1$
$- b - 3 + 2 b$	=	$- 1$
$b - 3$	=	$- 1$	\| $+ 3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 3 + 2 \cdot 2$

= $- 3 + 4$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 + 1$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 + 1$

= ${(x + 1)}^{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 1$ = $1 - 2 + 1$ = 0

also: S(-1|0).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg