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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -x +4y = -14 .

Bestimme y so, dass (6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

-6 +4y = -14

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

-6 +4y = -14
-6 +4y = -14
4y -6 = -14 | +6
4y = -8 |:4
y = -2

Die Lösung ist somit: (6|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 5x -4y = 20 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-5)
denn 5⋅0 -4( - 5 ) = 0 +20 = 20

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|-10)
denn 5⋅( - 4 ) -4( - 10 ) = -20 +40 = 20

Oder : (4|0)
denn 5⋅4 -40 = 20 +0 = 20

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

+3y = -18 (I) 3x +2y = -18 (II)

Lösung einblenden
+3y = -18 (I) 3x +2y = -18 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

3y = -18 |:3
y = -6

Als neues LGS erhält man so:

+y = -6 (I) 3x +2y = -18 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch -6 ersetzen und dann nach x auflösen:

3x + 2 · ( -6 ) = -18
3x -12 = -18 | +12
3x = -6 |:3
x = -2

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-4x -2y = 0 (I) -2x +y = -4 (II)

Lösung einblenden
-4x -2y = 0 (I) -2x +y = -4 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

-2x + y = -4
y -2x = -4 | +2x
y = -4 +2x

Als neues LGS erhält man so:

-4x -2y = 0 (I) +y = ( -4 +2x ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( -4 +2x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-4x -2 · ( -4 +2x ) = 0
-4x -4x +8 = 0
-8x +8 = 0 | -8
-8x = -8 |:(-8 )
x = 1

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = -4 +21

= -4 +2

= -2

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-3x -3y = 18 (I) 3x +y = -10 (II)

Lösung einblenden
-3x -3y = 18 (I) 3x +y = -10 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

3x + y = -10
y +3x = -10 | -3x
y = -10 -3x

Als neues LGS erhält man so:

-3x -3y = 18 (I) +y = ( -10 -3x ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( -10 -3x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-3x -3 · ( -10 -3x ) = 18
-3x +9x +30 = 18
6x +30 = 18 | -30
6x = -12 |:6
x = -2

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = -10 -3( -2 )

= -10 +6

= -4

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

5( x +1 )+5y = 33 +7y (I)
-5x - y = -16 (II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

5( x +1 )+5y = 33 +7y (I)
-5x - y = -16 (II)
5x +5 +5y = 33 +7y | -5 -7y (I)
-5x - y = -16 (II)
5x -2y = 28 (I) -5x -y = -16 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

-5x - y = -16
-y -5x = -16 | +5x
-y = -16 +5x |:(-1 )
y = 16 -5x

Als neues LGS erhält man so:

5x -2y = 28 (I) +y = ( 16 -5x ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( 16 -5x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

5x -2 · ( 16 -5x ) = 28
5x +10x -32 = 28
15x -32 = 28 | +32
15x = 60 |:15
x = 4

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = 16 -54

= 16 -20

= -4

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +3y = ?

-2x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

1x +3y = -5 +9 = 4

-2x -4y = 10 -12 = -2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +3y = 4

-2x -4y = -2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

5x -y = 0 (I) -5x -2y = 15 (II)

Lösung einblenden
5x -y = 0 (I) -5x -2y = 15 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

5x - y = 0
-y +5x = 0 | -5x
-y = -5x |:(-1 )
y = 5x

Als neues LGS erhält man so:

+y = 5 x (I) -5x -2y = 15 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch 5x ersetzen und dann nach x auflösen:

-5x -2 · 5x = 15
-5x -10x = 15
-15x = 15 |:(-15 )
x = -1

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 5( -1 )

= -5

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 27.
Wenn man aber vom 5-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 3.
Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

x +6y = 27 (I) 5x -3y = 3 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +6y = 27 | -6y
x = 27 -6y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 27 -6y ) (I) 5x -3y = 3 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 27 -6x ) ersetzen und dann nach y auflösen:

5 · ( 27 -6y ) -3y = 3
-30y +135 -3y = 3
-33y +135 = 3 | -135
-33y = -132 |:(-33 )
y = 4

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 27 -64

= 27 -24

= 3

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 4