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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + y$ = $16$ .

Bestimme y so, dass (7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$3 \cdot 7 + y$ = $16$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3 \cdot 7 + y$	=	$16$
$21 + y$	=	$16$
$y + 21$	=	$16$	\| $- 21$
$y$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (7|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 5 y$ = $- 30$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|0)
denn -5⋅6 +5⋅0 = -30 +0 = $- 30$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (11|5)
denn -5⋅11 +5⋅5 = -55 +25 = $- 30$

Oder : (1|-5)
denn -5⋅1 +5⋅( - 5 ) = -5 -25 = $- 30$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & 8 & (I) \\ - 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & 8 & (I) \\ - 2 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 2 y$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & 8 & (I) \\ + y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 4 \cdot 3$	=	$8$
$2 x + 12$	=	$8$	\| $- 12$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 15 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 15 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$- 11$
$y - 2 x$	=	$- 11$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$- 11 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 15 & (I) \\ + y & = & (- 11 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 11 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 3 \cdot (- 11 + 2 x)$	=	$- 15$
$- 2 x + 33 - 6 x$	=	$- 15$
$- 8 x + 33$	=	$- 15$	\| $- 33$
$- 8 x$	=	$- 48$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 11 + 2 \cdot 6$

= $- 11 + 12$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 26 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & 26 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$26$
$y + 4 x$	=	$26$	\| $- 4 x$
$y$	=	$26 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (26 - 4 x) & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $26 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 2 \cdot (26 - 4 x)$	=	$- 16$
$- 2 x - 52 + 8 x$	=	$- 16$
$6 x - 52$	=	$- 16$	\| $+ 52$
$6 x$	=	$36$	\|: $6$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $26 - 4 \cdot 6$

= $26 - 24$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3 (x + y) - 8$	=	$2 y$			(I)
$- 18$	=	$- 5 x + 3 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3 (x + y) - 8$	=	$2 y$			(I)
$- 18$	=	$- 5 x + 3 y$			(II)

$3 x - 8 + 3 y$	=	$2 y$	\| + $8 - 2 y$		(I)
$- 18$	=	$- 5 x + 3 y$	\| + $18 + 5 x - 3 y$		(II)

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 8 & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$8$
$y + 3 x$	=	$8$	\| $- 3 x$
$y$	=	$8 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (8 - 3 x) & (I) \\ 5 x & - 3 y & = & 18 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $8 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 3 \cdot (8 - 3 x)$	=	$18$
$5 x - 24 + 9 x$	=	$18$
$14 x - 24$	=	$18$	\| $+ 24$
$14 x$	=	$42$	\|: $14$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $8 - 3 \cdot 3$

= $8 - 9$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +5y = ?

-4x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-5x +5y = 5 -5 = 0

-4x +1y = 4 -1 = 3

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +5y = 0

-4x +1y = 3

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 14 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & 14 & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 4 y$	=	$14$
$- 4 y - 5 x$	=	$14$	\| $+ 5 x$
$- 4 y$	=	$14 + 5 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- \frac{7}{2} - \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{7}{2} - \frac{5}{4} x) & (I) \\ - 4 x & + 2 y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{7}{2} - \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x + 2 \cdot (- \frac{7}{2} - \frac{5}{4} x)$	=	$- 20$
$- 4 x - 7 - \frac{5}{2} x$	=	$- 20$
$- \frac{13}{2} x - 7$	=	$- 20$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{13}{2} x - 7)$	=	$- 40$
$- 13 x - 14$	=	$- 40$	\| $+ 14$
$- 13 x$	=	$- 26$	\|:( $- 13$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{7}{2} - \frac{5}{4} \cdot 2$

= $- \frac{7}{2} - \frac{5}{2}$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 7 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 222 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 7 LED-Leuchtmittel und 2 Halogenleuchten zusammen 102 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 7 y & = & 222 & (I) \\ 7 x & + 2 y & = & 102 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 7 y$	=	$222$
$7 y + 2 x$	=	$222$	\| $- 2 x$
$7 y$	=	$222 - 2 x$	\|: $7$
$y$	=	$\frac{222}{7} - \frac{2}{7} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{222}{7} - \frac{2}{7} x) & (I) \\ 7 x & + 2 y & = & 102 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{222}{7} - \frac{2}{7} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x + 2 \cdot (\frac{222}{7} - \frac{2}{7} x)$	=	$102$
$7 x + \frac{444}{7} - \frac{4}{7} x$	=	$102$
$\frac{45}{7} x + \frac{444}{7}$	=	$102$	\|⋅ 7
$7 (\frac{45}{7} x + \frac{444}{7})$	=	$714$
$45 x + 444$	=	$714$	\| $- 444$
$45 x$	=	$270$	\|: $45$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{222}{7} - \frac{2}{7} \cdot 6$

= $\frac{222}{7} - \frac{12}{7}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (6|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|5) und B(3|29) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|5): 5 = 1² + b⋅1 +c

B(3|29): 29 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 +1b +c |-1
29 = 9 +3b +c |-9

4 = 1b +c
20 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ 3 b & + c & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$20$
$c + 3 b$	=	$20$	\| $- 3 b$
$c$	=	$20 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 4 & (I) \\ + c & = & (20 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $20 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (20 - 3 b)$	=	$4$
$b + 20 - 3 b$	=	$4$
$- 2 b + 20$	=	$4$	\| $- 20$
$- 2 b$	=	$- 16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $20 - 3 \cdot 8$

= $20 - 24$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-4)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|6) und B(2|3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|6): 6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|3): 3 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 -1b +c |-1
3 = 4 +2b +c |-4

5 = -1b +c
-1 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 1$
$c + 2 b$	=	$- 1$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 1 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (- 1 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 1 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 1 - 2 b)$	=	$5$
$- b - 1 - 2 b$	=	$5$
$- 3 b - 1$	=	$5$	\| $+ 1$
$- 3 b$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 1 - 2 \cdot (- 2)$

= $- 1 + 4$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 3$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 3$

= ${(x - 1)}^{2} + 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 3$ = $1 - 2 + 3$ = 2

also: S(1|2).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg