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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 2 y$ = $- 14$ .

Bestimme y so, dass (-6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$4 \cdot (- 6) - 2 y$ = $- 14$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4 \cdot (- 6) - 2 y$	=	$- 14$
$- 24 - 2 y$	=	$- 14$
$- 2 y - 24$	=	$- 14$	\| $+ 24$
$- 2 y$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (-6|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - y$ = $13$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-5)
denn -4⋅( - 2 ) -1⋅( - 5 ) = 8 +5 = $13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-1)
denn -4⋅( - 3 ) -1⋅( - 1 ) = 12 +1 = $13$

Oder : (-1|-9)
denn -4⋅( - 1 ) -1⋅( - 9 ) = 4 +9 = $13$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 20 & (I) \\ - 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 20 & (I) \\ - 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 4 y$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 4 y & = & 20 & (I) \\ + y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 4 \cdot (- 3)$	=	$20$
$- 2 x + 12$	=	$20$	\| $- 12$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 14 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 4 y & = & 14 & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$14$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$14 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (14 + 4 y) & (I) \\ - 2 x & + 3 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $14 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (14 + 4 y) + 3 y$	=	$- 8$
$- 28 - 8 y + 3 y$	=	$- 8$
$- 5 y - 28$	=	$- 8$	\| $+ 28$
$- 5 y$	=	$20$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $14 + 4 \cdot (- 4)$

= $14 - 16$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 14 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 14 & (I) \\ x & + 3 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$- 10$	\| $- 3 y$
$x$	=	$- 10 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 4 y & = & - 14 & (I) \\ x & = & (- 10 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 10 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 10 - 3 y) + 4 y$	=	$- 14$
$- 20 - 6 y + 4 y$	=	$- 14$
$- 2 y - 20$	=	$- 14$	\| $+ 20$
$- 2 y$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 10 - 3 \cdot (- 3)$

= $- 10 + 9$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{28}{5} & (I) \\ \frac{1}{2} x & + \frac{1}{2} y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - \frac{2}{5} y & = & \frac{28}{5} & (I) \\ \frac{1}{2} x & + \frac{1}{2} y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - \frac{2}{5} y$	=	$\frac{28}{5}$
$- \frac{2}{5} y + 2 x$	=	$\frac{28}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{2}{5} y + 2 x)$	=	$28$
$- 2 y + 10 x$	=	$28$	\| $- 10 x$
$- 2 y$	=	$28 - 10 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 14 + 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 14 + 5 x) & (I) \\ \frac{1}{2} x & + \frac{1}{2} y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 14 + 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot (- 14 + 5 x)$	=	$2$
$\frac{1}{2} x - 7 + \frac{5}{2} x$	=	$2$
$3 x - 7$	=	$2$	\| $+ 7$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 14 + 5 \cdot 3$

= $- 14 + 15$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (3|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +3y = ?

1x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

5x +3y = -25 +15 = -10

1x +2y = -5 +10 = 5

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +3y = -10

1x +2y = 5

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 5 x & + 2 y & = & 14 & (I) \\ - x & + 3 y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + 2 y & = & 14 & (I) \\ - x & + 3 y & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 3 y$	=	$- 13$	\| $- 3 y$
$- x$	=	$- 13 - 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$13 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 5 x & + 2 y & = & 14 & (I) \\ x & = & (13 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $13 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (13 + 3 y) + 2 y$	=	$14$
$65 + 15 y + 2 y$	=	$14$
$17 y + 65$	=	$14$	\| $- 65$
$17 y$	=	$- 51$	\|: $17$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $13 + 3 \cdot (- 3)$

= $13 - 9$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 810 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 990 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & - 3 y & = & 810 & (I) \\ 7 x & - 2 y & = & 990 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x - 3 y$	=	$810$
$- 3 y + 6 x$	=	$810$	\| $- 6 x$
$- 3 y$	=	$810 - 6 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 270 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 270 + 2 x) & (I) \\ 7 x & - 2 y & = & 990 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 270 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x - 2 \cdot (- 270 + 2 x)$	=	$990$
$7 x + 540 - 4 x$	=	$990$
$3 x + 540$	=	$990$	\| $- 540$
$3 x$	=	$450$	\|: $3$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 270 + 2 \cdot 150$

= $- 270 + 300$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (150|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-12) und B(4|-21) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-12): -12 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-21): -21 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 +1b +c |-1
-21 = 16 +4b +c |-16

-13 = 1b +c
-37 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 37 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 37$
$c + 4 b$	=	$- 37$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 37 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 13 & (I) \\ + c & = & (- 37 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 37 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 37 - 4 b)$	=	$- 13$
$b - 37 - 4 b$	=	$- 13$
$- 3 b - 37$	=	$- 13$	\| $+ 37$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 37 - 4 \cdot (- 8)$

= $- 37 + 32$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-5)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-14) und B(2|19) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-14): -14 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|19): 19 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-14 = 1 -1b +c |-1
19 = 4 +2b +c |-4

-15 = -1b +c
15 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 15 & (I) \\ 2 b & + c & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$15$
$c + 2 b$	=	$15$	\| $- 2 b$
$c$	=	$15 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 15 & (I) \\ + c & = & (15 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $15 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (15 - 2 b)$	=	$- 15$
$- b + 15 - 2 b$	=	$- 15$
$- 3 b + 15$	=	$- 15$	\| $- 15$
$- 3 b$	=	$- 30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $15 - 2 \cdot 10$

= $15 - 20$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 30$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-30).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 5$ = $25 - 50 - 5$ = -30

also: S(-5|-30).

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