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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 4 y$ = $- 14$ .

Bestimme x so, dass (x|5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$- x - 4 \cdot 5$ = $- 14$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- x - 4 \cdot 5$	=	$- 14$
$- x - 20$	=	$- 14$	\| $+ 20$
$- x$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (-6|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x + 5 y$ = $30$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|6)
denn 3⋅0 +5⋅6 = 0 +30 = $30$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|3)
denn 3⋅5 +5⋅3 = 15 +15 = $30$

Oder : (-5|9)
denn 3⋅( - 5 ) +5⋅9 = -15 +45 = $30$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 4 y & = & - 20 & (I) \\ 2 x & - y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 4 y & = & - 20 & (I) \\ 2 x & - y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4 y$	=	$- 20$	\|: $4$
$y$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 5 & (I) \\ 2 x & - y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 1 \cdot (- 5)$	=	$17$
$2 x + 5$	=	$17$	\| $- 5$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 4 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 4 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 3$
$y - 4 x$	=	$- 3$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 3 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 4 & (I) \\ + y & = & (- 3 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 3 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 1 \cdot (- 3 + 4 x)$	=	$4$
$3 x - 3 + 4 x$	=	$4$
$7 x - 3$	=	$4$	\| $+ 3$
$7 x$	=	$7$	\|: $7$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 3 + 4 \cdot 1$

= $- 3 + 4$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 2 y & = & - 12 & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 2 y & = & - 12 & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 2 y$	=	$- 12$	\| $+ 2 y$
$- x$	=	$- 12 + 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$12 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (12 - 2 y) & (I) \\ - 3 x & + 5 y & = & 19 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $12 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (12 - 2 y) + 5 y$	=	$19$
$- 36 + 6 y + 5 y$	=	$19$
$11 y - 36$	=	$19$	\| $+ 36$
$11 y$	=	$55$	\|: $11$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $12 - 2 \cdot 5$

= $12 - 10$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{3}{5} x & + 3 y & = & \frac{96}{5} & (I) \\ 2 x & + \frac{2}{5} y & = & \frac{32}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{3}{5} x & + 3 y & = & \frac{96}{5} & (I) \\ 2 x & + \frac{2}{5} y & = & \frac{32}{5} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$\frac{3}{5} x + 3 y$	=	$\frac{96}{5}$
$3 y + \frac{3}{5} x$	=	$\frac{96}{5}$	\|⋅ 5
$5 (3 y + \frac{3}{5} x)$	=	$96$
$15 y + 3 x$	=	$96$	\| $- 3 x$
$15 y$	=	$96 - 3 x$	\|: $15$
$y$	=	$\frac{32}{5} - \frac{1}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{32}{5} - \frac{1}{5} x) & (I) \\ 2 x & + \frac{2}{5} y & = & \frac{32}{5} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{32}{5} - \frac{1}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + \frac{2}{5} \cdot (\frac{32}{5} - \frac{1}{5} x)$	=	$\frac{32}{5}$
$2 x + \frac{64}{25} - \frac{2}{25} x$	=	$\frac{32}{5}$
$\frac{48}{25} x + \frac{64}{25}$	=	$\frac{32}{5}$	\|⋅ 25
$25 (\frac{48}{25} x + \frac{64}{25})$	=	$160$
$48 x + 64$	=	$160$	\| $- 64$
$48 x$	=	$96$	\|: $48$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{32}{5} - \frac{1}{5} \cdot 2$

= $\frac{32}{5} - \frac{2}{5}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -3y = ?

2x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-1x -3y = 3 +9 = 12

2x +3y = -6 -9 = -15

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -3y = 12

2x +3y = -15

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 11 & (I) \\ 2 x & - y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 11 & (I) \\ 2 x & - y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x - y$	=	$2$
$- y + 2 x$	=	$2$	\| $- 2 x$
$- y$	=	$2 - 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 2 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 11 & (I) \\ + y & = & (- 2 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 2 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot (- 2 + 2 x)$	=	$11$
$- 3 x + 4 - 4 x$	=	$11$
$- 7 x + 4$	=	$11$	\| $- 4$
$- 7 x$	=	$7$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 2 + 2 \cdot (- 1)$

= $- 2 - 2$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 8 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 316 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 246 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 8 y & = & 316 & (I) \\ 6 x & + 6 y & = & 246 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 8 y$	=	$316$
$8 y + 6 x$	=	$316$	\| $- 6 x$
$8 y$	=	$316 - 6 x$	\|: $8$
$y$	=	$\frac{79}{2} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{79}{2} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ 6 x & + 6 y & = & 246 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{79}{2} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 6 \cdot (\frac{79}{2} - \frac{3}{4} x)$	=	$246$
$6 x + 237 - \frac{9}{2} x$	=	$246$
$\frac{3}{2} x + 237$	=	$246$	\|⋅ 2
$2 (\frac{3}{2} x + 237)$	=	$492$
$3 x + 474$	=	$492$	\| $- 474$
$3 x$	=	$18$	\|: $3$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{79}{2} - \frac{3}{4} \cdot 6$

= $\frac{79}{2} - \frac{9}{2}$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (6|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|14) und B(-2|-13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|14): 14 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-13): -13 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
14 = 1 +1b +c |-1
-13 = 4 -2b +c |-4

13 = 1b +c
-17 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 13 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 17$
$c - 2 b$	=	$- 17$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 17 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 13 & (I) \\ + c & = & (- 17 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 17 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 17 + 2 b)$	=	$13$
$b - 17 + 2 b$	=	$13$
$3 b - 17$	=	$13$	\| $+ 17$
$3 b$	=	$30$	\|: $3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 17 + 2 \cdot 10$

= $- 17 + 20$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (10|3)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(-2|-11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-11): -11 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
-11 = 4 -2b +c |-4

-5 = -1b +c
-15 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 15$
$c - 2 b$	=	$- 15$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 15 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 15 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 15 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 15 + 2 b)$	=	$- 5$
$- b - 15 + 2 b$	=	$- 5$
$b - 15$	=	$- 5$	\| $+ 15$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 15 + 2 \cdot 10$

= $- 15 + 20$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 20$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-20).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 5$ = $25 - 50 + 5$ = -20

also: S(-5|-20).

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1. Weg

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