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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 3 y$ = $- 15$ .

Bestimme y so, dass (-6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$5 \cdot (- 6) + 3 y$ = $- 15$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5 \cdot (- 6) + 3 y$	=	$- 15$
$- 30 + 3 y$	=	$- 15$
$3 y - 30$	=	$- 15$	\| $+ 30$
$3 y$	=	$15$	\|: $3$
$y$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (-6|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 3 y$ = $- 4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|0)
denn -2⋅2 +3⋅0 = -4 +0 = $- 4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|2)
denn -2⋅5 +3⋅2 = -10 +6 = $- 4$

Oder : (-1|-2)
denn -2⋅( - 1 ) +3⋅( - 2 ) = 2 -6 = $- 4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + y & = & - 1 & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $- 1$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 4 \cdot (- 1)$	=	$5$
$3 x - 4$	=	$5$	\| $+ 4$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 14 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 14 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$- 14$
$y - 2 x$	=	$- 14$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$- 14 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 14 & (I) \\ + y & = & (- 14 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 14 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x - 3 \cdot (- 14 + 2 x)$	=	$14$
$- x + 42 - 6 x$	=	$14$
$- 7 x + 42$	=	$14$	\| $- 42$
$- 7 x$	=	$- 28$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 14 + 2 \cdot 4$

= $- 14 + 8$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & 48 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 48 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & 48 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 48 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 5 y$	=	$48$
$- 5 y - 3 x$	=	$48$	\| $+ 3 x$
$- 5 y$	=	$48 + 3 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- \frac{48}{5} - \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{48}{5} - \frac{3}{5} x) & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 48 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{48}{5} - \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 4 \cdot (- \frac{48}{5} - \frac{3}{5} x)$	=	$48$
$- 4 x + \frac{192}{5} + \frac{12}{5} x$	=	$48$
$- \frac{8}{5} x + \frac{192}{5}$	=	$48$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{8}{5} x + \frac{192}{5})$	=	$240$
$- 8 x + 192$	=	$240$	\| $- 192$
$- 8 x$	=	$48$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{48}{5} - \frac{3}{5} \cdot (- 6)$

= $- \frac{48}{5} + \frac{18}{5}$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 3 x - 4 y$	=	$- 1$			(I)
$- 3 x$	=	$- x - 2 + 3 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 3 x - 4 y$	=	$- 1$			(I)
$- 3 x$	=	$- x - 2 + 3 y$	\| + $x - 3 y$		(II)

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 1 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 4 y$	=	$- 1$
$- 4 y - 3 x$	=	$- 1$	\| $+ 3 x$
$- 4 y$	=	$- 1 + 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$\frac{1}{4} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{4} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{4} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 3 \cdot (\frac{1}{4} - \frac{3}{4} x)$	=	$- 2$
$- 2 x - \frac{3}{4} + \frac{9}{4} x$	=	$- 2$
$\frac{1}{4} x - \frac{3}{4}$	=	$- 2$	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} x - \frac{3}{4})$	=	$- 8$
$x - 3$	=	$- 8$	\| $+ 3$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{1}{4} - \frac{3}{4} \cdot (- 5)$

= $\frac{1}{4} + \frac{15}{4}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +3y = ?

5x +12y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

1x +3y = -2 +3 = 1

5x +12y = -10 +12 = 2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +3y = 1

5x +12y = 2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 4 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 4 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 4 y$	=	$4$
$4 y + 4 x$	=	$4$	\| $- 4 x$
$4 y$	=	$4 - 4 x$	\|: $4$
$y$	=	$1 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 - x) & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 5 \cdot (1 - x)$	=	$15$
$5 x - 5 + 5 x$	=	$15$
$10 x - 5$	=	$15$	\| $+ 5$
$10 x$	=	$20$	\|: $10$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1 - 2$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 8 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 156 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 8 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 121 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 8 x & + 4 y & = & 156 & (I) \\ 8 x & + 3 y & = & 121 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x + 4 y$	=	$156$
$4 y + 8 x$	=	$156$	\| $- 8 x$
$4 y$	=	$156 - 8 x$	\|: $4$
$y$	=	$39 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (39 - 2 x) & (I) \\ 8 x & + 3 y & = & 121 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $39 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 3 \cdot (39 - 2 x)$	=	$121$
$8 x + 117 - 6 x$	=	$121$
$2 x + 117$	=	$121$	\| $- 117$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $39 - 2 \cdot 2$

= $39 - 4$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (2|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|0) und B(-2|7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|7): 7 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
7 = 4 -2b +c |-4

-1 = -1b +c
3 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$3$
$c - 2 b$	=	$3$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$3 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (3 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $3 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (3 + 2 b)$	=	$- 1$
$- b + 3 + 2 b$	=	$- 1$
$b + 3$	=	$- 1$	\| $- 3$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $3 + 2 \cdot (- 4)$

= $3 - 8$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(-3|31) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|31): 31 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
31 = 9 -3b +c |-9

6 = -1b +c
22 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ - 3 b & + c & = & 22 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$22$
$c - 3 b$	=	$22$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$22 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (22 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $22 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (22 + 3 b)$	=	$6$
$- b + 22 + 3 b$	=	$6$
$2 b + 22$	=	$6$	\| $- 22$
$2 b$	=	$- 16$	\|: $2$
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $22 + 3 \cdot (- 8)$

= $22 - 24$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 2$

= ${(x - 4)}^{2} - 18$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-18).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 2$ nur um $- 2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 2$ = $16 - 32 - 2$ = -18

also: S(4|-18).

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg