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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 5 y$ = $- 10$ .

Bestimme y so, dass (-5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$- (- 5) - 5 y$ = $- 10$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- (- 5) - 5 y$	=	$- 10$
$5 - 5 y$	=	$- 10$
$- 5 y + 5$	=	$- 10$	\| $- 5$
$- 5 y$	=	$- 15$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (-5|3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - y$ = $32$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|3)
denn -5⋅( - 7 ) -1⋅3 = 35 -3 = $32$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|8)
denn -5⋅( - 8 ) -1⋅8 = 40 -8 = $32$

Oder : (-6|-2)
denn -5⋅( - 6 ) -1⋅( - 2 ) = 30 +2 = $32$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 3 y & = & 3 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 3 y & = & 3 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$3 y$	=	$3$	\|: $3$
$y$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 1 & (I) \\ - 2 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 3 \cdot 1$	=	$3$
$- 2 x - 3$	=	$3$	\| $+ 3$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & 11 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & 11 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$- 3$	\| $- 4 y$
$x$	=	$- 3 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 2 y & = & 11 & (I) \\ x & = & (- 3 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 3 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 3 - 4 y) + 2 y$	=	$11$
$- 9 - 12 y + 2 y$	=	$11$
$- 10 y - 9$	=	$11$	\| $+ 9$
$- 10 y$	=	$20$	\|:( $- 10$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 3 - 4 \cdot (- 2)$

= $- 3 + 8$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 18 & (I) \\ - x & - y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 18 & (I) \\ - x & - y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- x - y$	=	$8$
$- y - x$	=	$8$	\| $+ x$
$- y$	=	$8 + x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 8 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 18 & (I) \\ + y & = & (- 8 - x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 8 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x - 3 \cdot (- 8 - x)$	=	$18$
$- x + 24 + 3 x$	=	$18$
$2 x + 24$	=	$18$	\| $- 24$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 8 - (- 3)$

= $- 8 + 3$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & - 24 & (I) \\ - \frac{1}{4} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{13}{4} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 3 y & = & - 24 & (I) \\ - \frac{1}{4} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{13}{4} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 3 y$	=	$- 24$
$- 3 y + 3 x$	=	$- 24$	\| $- 3 x$
$- 3 y$	=	$- 24 - 3 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$8 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (8 + x) & (I) \\ - \frac{1}{4} x & + \frac{1}{2} y & = & \frac{13}{4} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $8 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \cdot (8 + x)$	=	$\frac{13}{4}$
$- \frac{1}{4} x + 4 + \frac{1}{2} x$	=	$\frac{13}{4}$
$\frac{1}{4} x + 4$	=	$\frac{13}{4}$	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} x + 4)$	=	$13$
$x + 16$	=	$13$	\| $- 16$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $8 - 3$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +3y = ?

-3x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-5x +3y = -5 -9 = -14

-3x +4y = -3 -12 = -15

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +3y = -14

-3x +4y = -15

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & - 4 & (I) \\ - 4 x & - 5 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & - 4 & (I) \\ - 4 x & - 5 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 2 y$	=	$- 4$
$- 2 y + 3 x$	=	$- 4$	\| $- 3 x$
$- 2 y$	=	$- 4 - 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$2 + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (2 + \frac{3}{2} x) & (I) \\ - 4 x & - 5 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2 + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 5 \cdot (2 + \frac{3}{2} x)$	=	$- 10$
$- 4 x - 10 - \frac{15}{2} x$	=	$- 10$
$- \frac{23}{2} x - 10$	=	$- 10$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{23}{2} x - 10)$	=	$- 20$
$- 23 x - 20$	=	$- 20$	\| $+ 20$
$- 23 x$	=	0	\|:( $- 23$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2 + \frac{3}{2} \cdot (0)$

= $2 + 0$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (0|2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 10. Wenn man aber vom 3-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 0. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 10 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$10$	\| $- 2 y$
$x$	=	$10 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (10 - 2 y) & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $10 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (10 - 2 y) - 4 y$	=	0
$30 - 6 y - 4 y$	=	0
$- 10 y + 30$	=	0	\| $- 30$
$- 10 y$	=	$- 30$	\|:( $- 10$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $10 - 2 \cdot 3$

= $10 - 6$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 3

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|8) und B(3|36) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(3|36): 36 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
36 = 9 +3b +c |-9

7 = 1b +c
27 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ 3 b & + c & = & 27 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$27$
$c + 3 b$	=	$27$	\| $- 3 b$
$c$	=	$27 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (27 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $27 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (27 - 3 b)$	=	$7$
$b + 27 - 3 b$	=	$7$
$- 2 b + 27$	=	$7$	\| $- 27$
$- 2 b$	=	$- 20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $27 - 3 \cdot 10$

= $27 - 30$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-3)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-5) und B(-3|-17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-17): -17 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 -1b +c |-1
-17 = 9 -3b +c |-9

-6 = -1b +c
-26 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 26$
$c - 3 b$	=	$- 26$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 26 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 26 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 26 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 26 + 3 b)$	=	$- 6$
$- b - 26 + 3 b$	=	$- 6$
$2 b - 26$	=	$- 6$	\| $+ 26$
$2 b$	=	$20$	\|: $2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 26 + 3 \cdot 10$

= $- 26 + 30$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|4)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 4$ = $25 - 50 + 4$ = -21

also: S(-5|-21).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg