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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 4 y$ = $43$ .

Bestimme y so, dass (-5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot (- 5) - 4 y$ = $43$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 5) - 4 y$	=	$43$
$15 - 4 y$	=	$43$
$- 4 y + 15$	=	$43$	\| $- 15$
$- 4 y$	=	$28$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (-5|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 2 y$ = $- 10$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|3)
denn 1⋅( - 4 ) -2⋅3 = -4 -6 = $- 10$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|2)
denn 1⋅( - 6 ) -2⋅2 = -6 -4 = $- 10$

Oder : (-2|4)
denn 1⋅( - 2 ) -2⋅4 = -2 -8 = $- 10$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & - 10 & (I) \\ - 2 x & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & - 10 & (I) \\ - 2 x & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & - 10 & (I) \\ x & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 1) + 2 y$	=	$- 10$
$- 2 + 2 y$	=	$- 10$
$2 y - 2$	=	$- 10$	\| $+ 2$
$2 y$	=	$- 8$	\|: $2$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 13 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 13 & (I) \\ - 2 x & + y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$1$
$y - 2 x$	=	$1$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$1 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 13 & (I) \\ + y & = & (1 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 4 \cdot (1 + 2 x)$	=	$13$
$x + 4 + 8 x$	=	$13$
$9 x + 4$	=	$13$	\| $- 4$
$9 x$	=	$9$	\|: $9$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $1 + 2 \cdot 1$

= $1 + 2$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 4 y & = & - 6 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + 4 y & = & - 6 & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 4 y$	=	$- 6$
$4 y + 5 x$	=	$- 6$	\| $- 5 x$
$4 y$	=	$- 6 - 5 x$	\|: $4$
$y$	=	$- \frac{3}{2} - \frac{5}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{3}{2} - \frac{5}{4} x) & (I) \\ - 4 x & - 3 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{3}{2} - \frac{5}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 3 \cdot (- \frac{3}{2} - \frac{5}{4} x)$	=	$5$
$- 4 x + \frac{9}{2} + \frac{15}{4} x$	=	$5$
$- \frac{1}{4} x + \frac{9}{2}$	=	$5$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{1}{4} x + \frac{9}{2})$	=	$20$
$- x + 18$	=	$20$	\| $- 18$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{3}{2} - \frac{5}{4} \cdot (- 2)$

= $- \frac{3}{2} + \frac{5}{2}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{3}{2} x & + y & = & - 5 & (I) \\ \frac{1}{4} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{9}{10} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{3}{2} x & + y & = & - 5 & (I) \\ \frac{1}{4} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{9}{10} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{3}{2} x + y$	=	$- 5$
$y - \frac{3}{2} x$	=	$- 5$	\|⋅ 2
$2 (y - \frac{3}{2} x)$	=	$- 10$
$2 y - 3 x$	=	$- 10$	\| $+ 3 x$
$2 y$	=	$- 10 + 3 x$	\|: $2$
$y$	=	$- 5 + \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 5 + \frac{3}{2} x) & (I) \\ \frac{1}{4} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{9}{10} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 5 + \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{4} x - \frac{1}{5} \cdot (- 5 + \frac{3}{2} x)$	=	$\frac{9}{10}$
$\frac{1}{4} x + 1 - \frac{3}{10} x$	=	$\frac{9}{10}$
$- \frac{1}{20} x + 1$	=	$\frac{9}{10}$	\|⋅ 20
$20 (- \frac{1}{20} x + 1)$	=	$18$
$- x + 20$	=	$18$	\| $- 20$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 5 + \frac{3}{2} \cdot 2$

= $- 5 + 3$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +5y = ?

2x +12y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

1x +5y = -4 -10 = -14

2x +12y = -8 -24 = -32

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +5y = -14

2x +12y = -32

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 12 & (I) \\ - x & + 5 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 12 & (I) \\ - x & + 5 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 5 y$	=	$4$	\| $- 5 y$
$- x$	=	$4 - 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & 12 & (I) \\ x & = & (- 4 + 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 4 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 4 + 5 y) - 4 y$	=	$12$
$12 - 15 y - 4 y$	=	$12$
$- 19 y + 12$	=	$12$	\| $- 12$
$- 19 y$	=	0	\|:( $- 19$ )
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 4 + 5 \cdot (0)$

= $- 4 + 0$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|0)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 3 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 156 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 5 Halogenleuchten zusammen 133 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 6 y & = & 156 & (I) \\ 4 x & + 5 y & = & 133 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 6 y$	=	$156$
$6 y + 3 x$	=	$156$	\| $- 3 x$
$6 y$	=	$156 - 3 x$	\|: $6$
$y$	=	$26 - \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (26 - \frac{1}{2} x) & (I) \\ 4 x & + 5 y & = & 133 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $26 - \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 5 \cdot (26 - \frac{1}{2} x)$	=	$133$
$4 x + 130 - \frac{5}{2} x$	=	$133$
$\frac{3}{2} x + 130$	=	$133$	\|⋅ 2
$2 (\frac{3}{2} x + 130)$	=	$266$
$3 x + 260$	=	$266$	\| $- 260$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $26 - \frac{1}{2} \cdot 2$

= $26 - 1$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (2|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-13) und B(-4|-28) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-13): -13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-28): -28 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-13 = 1 -1b +c |-1
-28 = 16 -4b +c |-16

-14 = -1b +c
-44 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 14 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 44 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 44$
$c - 4 b$	=	$- 44$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 44 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 14 & (I) \\ + c & = & (- 44 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 44 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 44 + 4 b)$	=	$- 14$
$- b - 44 + 4 b$	=	$- 14$
$3 b - 44$	=	$- 14$	\| $+ 44$
$3 b$	=	$30$	\|: $3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 44 + 4 \cdot 10$

= $- 44 + 40$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-4)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|0) und B(-4|3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|3): 3 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
3 = 16 -4b +c |-16

-1 = -1b +c
-13 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 13$
$c - 4 b$	=	$- 13$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 13 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (- 13 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 13 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 13 + 4 b)$	=	$- 1$
$- b - 13 + 4 b$	=	$- 1$
$3 b - 13$	=	$- 1$	\| $+ 13$
$3 b$	=	$12$	\|: $3$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 13 + 4 \cdot 4$

= $- 13 + 16$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 4 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 + 3$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 + 3$

= ${(x + 2)}^{2} - 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 3$ = $4 - 8 + 3$ = -1

also: S(-2|-1).

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1. Weg

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