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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - y$ = $- 1$ .

Bestimme y so, dass (1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot 1 - y$ = $- 1$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot 1 - y$	=	$- 1$
$- 3 - y$	=	$- 1$
$- y - 3$	=	$- 1$	\| $+ 3$
$- y$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (1|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 5 y$ = $19$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|2)
denn -3⋅( - 3 ) +5⋅2 = 9 +10 = $19$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|5)
denn -3⋅2 +5⋅5 = -6 +25 = $19$

Oder : (-8|-1)
denn -3⋅( - 8 ) +5⋅( - 1 ) = 24 -5 = $19$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 33 & (I) \\ - 4 x & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 33 & (I) \\ - 4 x & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 33 & (I) \\ x & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot 3 - 4 y$	=	$33$
$9 - 4 y$	=	$33$
$- 4 y + 9$	=	$33$	\| $- 9$
$- 4 y$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 18 & (I) \\ - 3 x & + y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 18 & (I) \\ - 3 x & + y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$11$
$y - 3 x$	=	$11$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$11 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - 2 y & = & 18 & (I) \\ + y & = & (11 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $11 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 2 \cdot (11 + 3 x)$	=	$18$
$- 2 x - 22 - 6 x$	=	$18$
$- 8 x - 22$	=	$18$	\| $+ 22$
$- 8 x$	=	$40$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $11 + 3 \cdot (- 5)$

= $11 - 15$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & - 40 & (I) \\ x & - 3 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & - 40 & (I) \\ x & - 3 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 3 y$	=	$13$	\| $+ 3 y$
$x$	=	$13 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 5 y & = & - 40 & (I) \\ x & = & (13 + 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $13 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (13 + 3 y) + 5 y$	=	$- 40$
$26 + 6 y + 5 y$	=	$- 40$
$11 y + 26$	=	$- 40$	\| $- 26$
$11 y$	=	$- 66$	\|: $11$
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $13 + 3 \cdot (- 6)$

= $13 - 18$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$21 + 4 y$	=	$2 x - y$			(I)
$4 (x - y)$	=	$24$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$21 + 4 y$	=	$2 x - y$			(I)
$4 (x - y)$	=	$24$			(II)

$21 + 4 y$	=	$2 x - y$	\| $- 21 - 2 x + y$		(I)
$4 x - 4 y$	=	$24$			(II)

\begin{matrix} - 2 x & + 5 y & = & - 21 & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 5 y$	=	$- 21$
$5 y - 2 x$	=	$- 21$	\| $+ 2 x$
$5 y$	=	$- 21 + 2 x$	\|: $5$
$y$	=	$- \frac{21}{5} + \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{21}{5} + \frac{2}{5} x) & (I) \\ 4 x & - 4 y & = & 24 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{21}{5} + \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot (- \frac{21}{5} + \frac{2}{5} x)$	=	$24$
$4 x + \frac{84}{5} - \frac{8}{5} x$	=	$24$
$\frac{12}{5} x + \frac{84}{5}$	=	$24$	\|⋅ 5
$5 (\frac{12}{5} x + \frac{84}{5})$	=	$120$
$12 x + 84$	=	$120$	\| $- 84$
$12 x$	=	$36$	\|: $12$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{21}{5} + \frac{2}{5} \cdot 3$

= $- \frac{21}{5} + \frac{6}{5}$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -5y = ?

-2x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

2x -5y = -6 -5 = -11

-2x +6y = 6 +6 = 12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -5y = -11

-2x +6y = 12

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 5 x & - y & = & - 20 & (I) \\ - 3 x & - y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & - y & = & - 20 & (I) \\ - 3 x & - y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x - y$	=	$4$
$- y - 3 x$	=	$4$	\| $+ 3 x$
$- y$	=	$4 + 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 4 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 5 x & - y & = & - 20 & (I) \\ + y & = & (- 4 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 4 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 1 \cdot (- 4 - 3 x)$	=	$- 20$
$5 x + 4 + 3 x$	=	$- 20$
$8 x + 4$	=	$- 20$	\| $- 4$
$8 x$	=	$- 24$	\|: $8$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 4 - 3 \cdot (- 3)$

= $- 4 + 9$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1680 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 400 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & - 3 y & = & 1680 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 400 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x - 3 y$	=	$1680$
$- 3 y + 6 x$	=	$1680$	\| $- 6 x$
$- 3 y$	=	$1680 - 6 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 560 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 560 + 2 x) & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & 400 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 560 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot (- 560 + 2 x)$	=	$400$
$2 x + 2 800 - 10 x$	=	$400$
$- 8 x + 2 800$	=	$400$	\| $- 2 800$
$- 8 x$	=	$- 2 400$	\|:( $- 8$ )
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 560 + 2 \cdot 300$

= $- 560 + 600$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (300|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|1) und B(-4|28) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|1): 1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|28): 28 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 -1b +c |-1
28 = 16 -4b +c |-16

0 = -1b +c
12 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$12$
$c - 4 b$	=	$12$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$12 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (12 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $12 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (12 + 4 b)$	=	0
$- b + 12 + 4 b$	=	0
$3 b + 12$	=	0	\| $- 12$
$3 b$	=	$- 12$	\|: $3$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $12 + 4 \cdot (- 4)$

= $12 - 16$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(2|-13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-13): -13 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
-13 = 4 +2b +c |-4

7 = -1b +c
-17 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 17$
$c + 2 b$	=	$- 17$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 17 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (- 17 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 17 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 17 - 2 b)$	=	$7$
$- b - 17 - 2 b$	=	$7$
$- 3 b - 17$	=	$7$	\| $+ 17$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 17 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 17 + 16$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-1)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 8 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 1$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 1$

= ${(x - 4)}^{2} - 17$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-17).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 1$ = $16 - 32 - 1$ = -17

also: S(4|-17).

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1. Weg

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