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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 5 y$ = $- 12$ .

Bestimme y so, dass (-1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$2 \cdot (- 1) + 5 y$ = $- 12$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2 \cdot (- 1) + 5 y$	=	$- 12$
$- 2 + 5 y$	=	$- 12$
$5 y - 2$	=	$- 12$	\| $+ 2$
$5 y$	=	$- 10$	\|: $5$
$y$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (-1|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 5 y$ = $- 55$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-6)
denn -5⋅5 +5⋅( - 6 ) = -25 -30 = $- 55$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (10|-1)
denn -5⋅10 +5⋅( - 1 ) = -50 -5 = $- 55$

Oder : (0|-11)
denn -5⋅0 +5⋅( - 11 ) = 0 -55 = $- 55$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 15 & (I) \\ - 4 x & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 15 & (I) \\ - 4 x & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$- 24$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & + 3 y & = & 15 & (I) \\ x & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot 6 + 3 y$	=	$15$
$12 + 3 y$	=	$15$
$3 y + 12$	=	$15$	\| $- 12$
$3 y$	=	$3$	\|: $3$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + y & = & - 3 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + y & = & - 3 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$- 6$	\| $- 4 y$
$x$	=	$- 6 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + y & = & - 3 & (I) \\ x & = & (- 6 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 6 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 6 - 4 y) + y$	=	$- 3$
$- 6 - 4 y + y$	=	$- 3$
$- 3 y - 6$	=	$- 3$	\| $+ 6$
$- 3 y$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 6 - 4 \cdot (- 1)$

= $- 6 + 4$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ 5 x & + y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ 5 x & + y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$5 x + y$	=	$1$
$y + 5 x$	=	$1$	\| $- 5 x$
$y$	=	$1 - 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 2 & (I) \\ + y & = & (1 - 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1 - 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 2 \cdot (1 - 5 x)$	=	$2$
$x + 2 - 10 x$	=	$2$
$- 9 x + 2$	=	$2$	\| $- 2$
$- 9 x$	=	0	\|:( $- 9$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $1 - 5 \cdot (0)$

= $1 + 0$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (0|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

0	=	$4 (- x + 10) - 4 y$			(I)
$3 (x + y) - 26$	=	$x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

0	=	$4 (- x + 10) - 4 y$			(I)
$3 (x + y) - 26$	=	$x$			(II)

0	=	$- 4 x + 40 - 4 y$	\| + $4 x + 4 y$		(I)
$3 x - 26 + 3 y$	=	$x$	\| + $26 - x$		(II)

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 40 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x + 4 y$	=	$40$
$4 y + 4 x$	=	$40$	\| $- 4 x$
$4 y$	=	$40 - 4 x$	\|: $4$
$y$	=	$10 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (10 - x) & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & 26 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $10 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x + 3 \cdot (10 - x)$	=	$26$
$2 x + 30 - 3 x$	=	$26$
$- x + 30$	=	$26$	\| $- 30$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $10 - 4$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (4|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -4y = ?

2x -9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

1x -4y = -2 +20 = 18

2x -9y = -4 +45 = 41

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -4y = 18

2x -9y = 41

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & 10 & (I) \\ x & + 2 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - y & = & 10 & (I) \\ x & + 2 y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$15$	\| $- 2 y$
$x$	=	$15 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & 10 & (I) \\ x & = & (15 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $15 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (15 - 2 y) - y$	=	$10$
$45 - 6 y - y$	=	$10$
$- 7 y + 45$	=	$10$	\| $- 45$
$- 7 y$	=	$- 35$	\|:( $- 7$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $15 - 2 \cdot 5$

= $15 - 10$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 5 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 630 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 670 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & - 3 y & = & 630 & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & 670 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x - 3 y$	=	$630$
$- 3 y + 5 x$	=	$630$	\| $- 5 x$
$- 3 y$	=	$630 - 5 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 210 + \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 210 + \frac{5}{3} x) & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & 670 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 210 + \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 2 \cdot (- 210 + \frac{5}{3} x)$	=	$670$
$5 x + 420 - \frac{10}{3} x$	=	$670$
$\frac{5}{3} x + 420$	=	$670$	\|⋅ 3
$3 (\frac{5}{3} x + 420)$	=	$2 010$
$5 x + 1 260$	=	$2 010$	\| $- 1 260$
$5 x$	=	$750$	\|: $5$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 210 + \frac{5}{3} \cdot 150$

= $- 210 + 250$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (150|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(-2|-9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-9): -9 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
-9 = 4 -2b +c |-4

-5 = -1b +c
-13 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 13$
$c - 2 b$	=	$- 13$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 13 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 13 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 13 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 13 + 2 b)$	=	$- 5$
$- b - 13 + 2 b$	=	$- 5$
$b - 13$	=	$- 5$	\| $+ 13$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 13 + 2 \cdot 8$

= $- 13 + 16$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (8|3)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-8) und B(-2|13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-8): -8 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|13): 13 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 +1b +c |-1
13 = 4 -2b +c |-4

-9 = 1b +c
9 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$9$
$c - 2 b$	=	$9$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$9 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ + c & = & (9 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $9 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (9 + 2 b)$	=	$- 9$
$b + 9 + 2 b$	=	$- 9$
$3 b + 9$	=	$- 9$	\| $- 9$
$3 b$	=	$- 18$	\|: $3$
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $9 + 2 \cdot (- 6)$

= $9 - 12$

= $- 3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $- 3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x - 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 - 3$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 - 3$

= ${(x - 3)}^{2} - 12$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-12).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 - 3$ = $9 - 18 - 3$ = -12

also: S(3|-12).

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1. Weg

2. Weg