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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 3 y$ = $6$ .

Bestimme y so, dass (5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot 5 + 3 y$ = $6$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot 5 + 3 y$	=	$6$
$- 15 + 3 y$	=	$6$
$3 y - 15$	=	$6$	\| $+ 15$
$3 y$	=	$21$	\|: $3$
$y$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (5|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x + 3 y$ = $- 24$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|2)
denn -5⋅6 +3⋅2 = -30 +6 = $- 24$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (9|7)
denn -5⋅9 +3⋅7 = -45 +21 = $- 24$

Oder : (3|-3)
denn -5⋅3 +3⋅( - 3 ) = -15 -9 = $- 24$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 4 & (I) \\ - y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 4 & (I) \\ - y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- y$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 4 & (I) \\ + y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x + 4 \cdot (- 2)$	=	$4$
$- 3 x - 8$	=	$4$	\| $+ 8$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 10 & (I) \\ - 4 x & + y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 10 & (I) \\ - 4 x & + y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$15$
$y - 4 x$	=	$15$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$15 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 4 y & = & - 10 & (I) \\ + y & = & (15 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $15 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 4 \cdot (15 + 4 x)$	=	$- 10$
$- 2 x + 60 + 16 x$	=	$- 10$
$14 x + 60$	=	$- 10$	\| $- 60$
$14 x$	=	$- 70$	\|: $14$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $15 + 4 \cdot (- 5)$

= $15 - 20$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$12$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$12 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 12 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 12 - 3 y) & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 12 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 12 - 3 y) - 4 y$	=	$16$
$48 + 12 y - 4 y$	=	$16$
$8 y + 48$	=	$16$	\| $- 48$
$8 y$	=	$- 32$	\|: $8$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 12 - 3 \cdot (- 4)$

= $- 12 + 12$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-4)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - \frac{3}{5} y & = & - 4 & (I) \\ - x & + \frac{1}{5} y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - \frac{3}{5} y & = & - 4 & (I) \\ - x & + \frac{1}{5} y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + \frac{1}{5} y$	=	$4$	\|⋅ 5
$5 (- x + \frac{1}{5} y)$	=	$20$
$- 5 x + y$	=	$20$	\| $- y$
$- 5 x$	=	$20 - y$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 4 + \frac{1}{5} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - \frac{3}{5} y & = & - 4 & (I) \\ x & = & (- 4 + \frac{1}{5} y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 4 + \frac{1}{5} y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 4 + \frac{1}{5} y) - \frac{3}{5} y$	=	$- 4$
$- 4 + \frac{1}{5} y - \frac{3}{5} y$	=	$- 4$
$- \frac{2}{5} y - 4$	=	$- 4$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{2}{5} y - 4)$	=	$- 20$
$- 2 y - 20$	=	$- 20$	\| $+ 20$
$- 2 y$	=	0	\|:( $- 2$ )
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 4 + \frac{1}{5} \cdot (0)$

= $- 4 + 0$

= $- 4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|0)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -5y = ?

3x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

4x -5y = -8 +10 = 2

3x -1y = -6 +2 = -4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -5y = 2

3x -1y = -4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 8 & (I) \\ - 5 x & + 6 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & 8 & (I) \\ - 5 x & + 6 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 4 y$	=	$8$
$- 4 y + 4 x$	=	$8$	\| $- 4 x$
$- 4 y$	=	$8 - 4 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 2 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 2 + x) & (I) \\ - 5 x & + 6 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 2 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 6 \cdot (- 2 + x)$	=	$- 7$
$- 5 x - 12 + 6 x$	=	$- 7$
$x - 12$	=	$- 7$	\| $+ 12$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 2 + 5$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 4. Wenn man aber vom 5-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 3. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 4 & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$4$	\| $- 3 y$
$x$	=	$4 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (4 - 3 y) & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $4 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (4 - 3 y) - 2 y$	=	$3$
$20 - 15 y - 2 y$	=	$3$
$- 17 y + 20$	=	$3$	\| $- 20$
$- 17 y$	=	$- 17$	\|:( $- 17$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $4 - 3 \cdot 1$

= $4 - 3$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 1

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|4) und B(2|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-5): -5 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
-5 = 4 +2b +c |-4

3 = -1b +c
-9 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 9$
$c + 2 b$	=	$- 9$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 9 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (- 9 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 9 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 9 - 2 b)$	=	$3$
$- b - 9 - 2 b$	=	$3$
$- 3 b - 9$	=	$3$	\| $+ 9$
$- 3 b$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 9 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 9 + 8$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|12) und B(3|40) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|12): 12 = 1² + b⋅1 +c

B(3|40): 40 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 +1b +c |-1
40 = 9 +3b +c |-9

11 = 1b +c
31 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ 3 b & + c & = & 31 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$31$
$c + 3 b$	=	$31$	\| $- 3 b$
$c$	=	$31 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ + c & = & (31 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $31 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (31 - 3 b)$	=	$11$
$b + 31 - 3 b$	=	$11$
$- 2 b + 31$	=	$11$	\| $- 31$
$- 2 b$	=	$- 20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $31 - 3 \cdot 10$

= $31 - 30$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|1)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 1$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 1$

= ${(x + 5)}^{2} - 24$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-24).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 1$ = $25 - 50 + 1$ = -24

also: S(-5|-24).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg