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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x - 3 y$ = $- 5$ .

Bestimme x so, dass (x|2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$x - 3 \cdot 2$ = $- 5$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x - 3 \cdot 2$	=	$- 5$
$x - 6$	=	$- 5$	\| $+ 6$
$x$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (1|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - 2 y$ = $- 20$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|-2)
denn -4⋅6 -2⋅( - 2 ) = -24 +4 = $- 20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|2)
denn -4⋅4 -2⋅2 = -16 -4 = $- 20$

Oder : (8|-6)
denn -4⋅8 -2⋅( - 6 ) = -32 +12 = $- 20$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 9 & (I) \\ - 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 9 & (I) \\ - 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 3 y$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 9 & (I) \\ + y & = & 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 3 \cdot 1$	=	$9$
$x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 11 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 11 & (I) \\ x & - 2 y & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$- 7$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$- 7 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 11 & (I) \\ x & = & (- 7 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 7 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 7 + 2 y) + 4 y$	=	$11$
$21 - 6 y + 4 y$	=	$11$
$- 2 y + 21$	=	$11$	\| $- 21$
$- 2 y$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 7 + 2 \cdot 5$

= $- 7 + 10$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & 8 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & 8 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	$10$
$- y - 2 x$	=	$10$	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$10 + 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 10 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & 8 & (I) \\ + y & = & (- 10 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 10 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 5 \cdot (- 10 - 2 x)$	=	$8$
$- 3 x + 50 + 10 x$	=	$8$
$7 x + 50$	=	$8$	\| $- 50$
$7 x$	=	$- 42$	\|: $7$
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 10 - 2 \cdot (- 6)$

= $- 10 + 12$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 7 x - 13 + y$	=	$- 5 x$			(I)
$- 3 x - 5 y$	=	$2 x + 25$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 7 x - 13 + y$	=	$- 5 x$	\| + $13 + 5 x$		(I)
$- 3 x - 5 y$	=	$2 x + 25$	\| $- 2 x$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & + y & = & 13 & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$13$
$y - 2 x$	=	$13$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$13 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (13 + 2 x) & (I) \\ - 5 x & - 5 y & = & 25 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $13 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 5 \cdot (13 + 2 x)$	=	$25$
$- 5 x - 65 - 10 x$	=	$25$
$- 15 x - 65$	=	$25$	\| $+ 65$
$- 15 x$	=	$90$	\|:( $- 15$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $13 + 2 \cdot (- 6)$

= $13 - 12$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +3y = ?

-4x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-2x +3y = 2 -12 = -10

-4x +5y = 4 -20 = -16

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +3y = -10

-4x +5y = -16

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 24 & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 24 & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 3 y$	=	$- 24$
$3 y - 2 x$	=	$- 24$	\| $+ 2 x$
$3 y$	=	$- 24 + 2 x$	\|: $3$
$y$	=	$- 8 + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 8 + \frac{2}{3} x) & (I) \\ 5 x & + 4 y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 8 + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 4 \cdot (- 8 + \frac{2}{3} x)$	=	$- 9$
$5 x - 32 + \frac{8}{3} x$	=	$- 9$
$\frac{23}{3} x - 32$	=	$- 9$	\|⋅ 3
$3 (\frac{23}{3} x - 32)$	=	$- 27$
$23 x - 96$	=	$- 27$	\| $+ 96$
$23 x$	=	$69$	\|: $23$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 8 + \frac{2}{3} \cdot 3$

= $- 8 + 2$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 8 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 310 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 9 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 264 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 5 x & + 8 y & = & 310 & (I) \\ 9 x & + 6 y & = & 264 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 8 y$	=	$310$
$8 y + 5 x$	=	$310$	\| $- 5 x$
$8 y$	=	$310 - 5 x$	\|: $8$
$y$	=	$\frac{155}{4} - \frac{5}{8} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{155}{4} - \frac{5}{8} x) & (I) \\ 9 x & + 6 y & = & 264 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{155}{4} - \frac{5}{8} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9 x + 6 \cdot (\frac{155}{4} - \frac{5}{8} x)$	=	$264$
$9 x + \frac{465}{2} - \frac{15}{4} x$	=	$264$
$\frac{21}{4} x + \frac{465}{2}$	=	$264$	\|⋅ 4
$4 (\frac{21}{4} x + \frac{465}{2})$	=	$1 056$
$21 x + 930$	=	$1 056$	\| $- 930$
$21 x$	=	$126$	\|: $21$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{155}{4} - \frac{5}{8} \cdot 6$

= $\frac{155}{4} - \frac{15}{4}$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (6|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|8) und B(-2|5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|5): 5 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
5 = 4 -2b +c |-4

7 = 1b +c
1 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$1$
$c - 2 b$	=	$1$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$1 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (1 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $1 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (1 + 2 b)$	=	$7$
$b + 1 + 2 b$	=	$7$
$3 b + 1$	=	$7$	\| $- 1$
$3 b$	=	$6$	\|: $3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $1 + 2 \cdot 2$

= $1 + 4$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|2) und B(-4|11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|11): 11 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
11 = 16 -4b +c |-16

1 = -1b +c
-5 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 5$
$c - 4 b$	=	$- 5$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 5 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (- 5 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 5 + 4 b)$	=	$1$
$- b - 5 + 4 b$	=	$1$
$3 b - 5$	=	$1$	\| $+ 5$
$3 b$	=	$6$	\|: $3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 + 4 \cdot 2$

= $- 5 + 8$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 + 3$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 + 3$

= ${(x + 1)}^{2} + 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 3$ = $1 - 2 + 3$ = 2

also: S(-1|2).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg