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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 4 y$ = $33$ .

Bestimme y so, dass (5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$5 \cdot 5 + 4 y$ = $33$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5 \cdot 5 + 4 y$	=	$33$
$25 + 4 y$	=	$33$
$4 y + 25$	=	$33$	\| $- 25$
$4 y$	=	$8$	\|: $4$
$y$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (5|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + y$ = $- 22$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-2)
denn 5⋅( - 4 ) +1⋅( - 2 ) = -20 -2 = $- 22$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-7)
denn 5⋅( - 3 ) +1⋅( - 7 ) = -15 -7 = $- 22$

Oder : (-5|3)
denn 5⋅( - 5 ) +1⋅3 = -25 +3 = $- 22$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & = & - 10 & (I) \\ x & - y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & = & - 10 & (I) \\ x & - y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 5 & (I) \\ x & - y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot 5 - y$	=	$6$
$5 - y$	=	$6$
$- y + 5$	=	$6$	\| $- 5$
$- y$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 17 & (I) \\ - x & + 4 y & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 17 & (I) \\ - x & + 4 y & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 4 y$	=	$- 23$	\| $- 4 y$
$- x$	=	$- 23 - 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$23 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 17 & (I) \\ x & = & (23 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $23 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (23 + 4 y) - 3 y$	=	$17$
$23 + 4 y - 3 y$	=	$17$
$y + 23$	=	$17$	\| $- 23$
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $23 + 4 \cdot (- 6)$

= $23 - 24$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 9 & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 9 & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$- 9$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$- 9 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$9 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (9 - 3 y) & (I) \\ - 2 x & - 4 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $9 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (9 - 3 y) - 4 y$	=	$- 12$
$- 18 + 6 y - 4 y$	=	$- 12$
$2 y - 18$	=	$- 12$	\| $+ 18$
$2 y$	=	$6$	\|: $2$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $9 - 3 \cdot 3$

= $9 - 9$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$3 (x + y)$	=	$- 27$			(I)
$x + 1$	=	$y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$3 (x + y)$	=	$- 27$			(I)
$x + 1$	=	$y$			(II)

$3 x + 3 y$	=	$- 27$			(I)
$x + 1$	=	$y$	\| $- 1 - y$		(II)

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 27 & (I) \\ x & - y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x - y$	=	$- 1$
$- y + x$	=	$- 1$	\| $- x$
$- y$	=	$- 1 - x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$1 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & - 27 & (I) \\ + y & = & (1 + x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 3 \cdot (1 + x)$	=	$- 27$
$3 x + 3 + 3 x$	=	$- 27$
$6 x + 3$	=	$- 27$	\| $- 3$
$6 x$	=	$- 30$	\|: $6$
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $1 - 5$

= $- 4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -4y = ?

6x -9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

2x -4y = -8 -20 = -28

6x -9y = -24 -45 = -69

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -4y = -28

6x -9y = -69

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - 5 y & = & 17 & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 5 y & = & 17 & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 5 y$	=	$17$
$- 5 y + 3 x$	=	$17$	\| $- 3 x$
$- 5 y$	=	$17 - 3 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- \frac{17}{5} + \frac{3}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{17}{5} + \frac{3}{5} x) & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{17}{5} + \frac{3}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 4 \cdot (- \frac{17}{5} + \frac{3}{5} x)$	=	$8$
$3 x - \frac{68}{5} + \frac{12}{5} x$	=	$8$
$\frac{27}{5} x - \frac{68}{5}$	=	$8$	\|⋅ 5
$5 (\frac{27}{5} x - \frac{68}{5})$	=	$40$
$27 x - 68$	=	$40$	\| $+ 68$
$27 x$	=	$108$	\|: $27$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{17}{5} + \frac{3}{5} \cdot 4$

= $- \frac{17}{5} + \frac{12}{5}$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 4 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 100 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 3 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 150 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 4 y & = & 100 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 150 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 4 y$	=	$100$
$- 4 y + 2 x$	=	$100$	\| $- 2 x$
$- 4 y$	=	$100 - 2 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 25 + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 25 + \frac{1}{2} x) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 150 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 25 + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 3 \cdot (- 25 + \frac{1}{2} x)$	=	$150$
$2 x + 75 - \frac{3}{2} x$	=	$150$
$\frac{1}{2} x + 75$	=	$150$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x + 75)$	=	$300$
$x + 150$	=	$300$	\| $- 150$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 25 + \frac{1}{2} \cdot 150$

= $- 25 + 75$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (150|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(2|-13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-13): -13 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
-13 = 4 +2b +c |-4

7 = -1b +c
-17 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 17$
$c + 2 b$	=	$- 17$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 17 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (- 17 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 17 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 17 - 2 b)$	=	$7$
$- b - 17 - 2 b$	=	$7$
$- 3 b - 17$	=	$7$	\| $+ 17$
$- 3 b$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 17 - 2 \cdot (- 8)$

= $- 17 + 16$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-1)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-5) und B(-2|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-4): -4 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 -1b +c |-1
-4 = 4 -2b +c |-4

-6 = -1b +c
-8 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 8$
$c - 2 b$	=	$- 8$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 8 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 6 & (I) \\ + c & = & (- 8 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 8 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 8 + 2 b)$	=	$- 6$
$- b - 8 + 2 b$	=	$- 6$
$b - 8$	=	$- 6$	\| $+ 8$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 8 + 2 \cdot 2$

= $- 8 + 4$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 4$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 4$

= ${(x + 1)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 4$ = $1 - 2 - 4$ = -5

also: S(-1|-5).

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1. Weg

2. Weg