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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x + 3 y$ = $12$ .

Bestimme y so, dass (-5|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot (- 5) + 3 y$ = $12$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 5) + 3 y$	=	$12$
$15 + 3 y$	=	$12$
$3 y + 15$	=	$12$	\| $- 15$
$3 y$	=	$- 3$	\|: $3$
$y$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-5|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x + 2 y$ = $12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|0)
denn -2⋅( - 6 ) +2⋅0 = 12 +0 = $12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|2)
denn -2⋅( - 4 ) +2⋅2 = 8 +4 = $12$

Oder : (-8|-2)
denn -2⋅( - 8 ) +2⋅( - 2 ) = 16 -4 = $12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & = & 6 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & = & 6 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 3 & (I) \\ 4 x & - 3 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 3) - 3 y$	=	$3$
$- 12 - 3 y$	=	$3$
$- 3 y - 12$	=	$3$	\| $+ 12$
$- 3 y$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 8 & (I) \\ x & + 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 8 & (I) \\ x & + 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$3$	\| $- 2 y$
$x$	=	$3 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 4 y & = & 8 & (I) \\ x & = & (3 - 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $3 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (3 - 2 y) + 4 y$	=	$8$
$12 - 8 y + 4 y$	=	$8$
$- 4 y + 12$	=	$8$	\| $- 12$
$- 4 y$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $3 - 2 \cdot 1$

= $3 - 2$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 7 & (I) \\ x & + 5 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 7 & (I) \\ x & + 5 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$4$	\| $- 5 y$
$x$	=	$4 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & 7 & (I) \\ x & = & (4 - 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $4 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (4 - 5 y) + 4 y$	=	$7$
$- 12 + 15 y + 4 y$	=	$7$
$19 y - 12$	=	$7$	\| $+ 12$
$19 y$	=	$19$	\|: $19$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $4 - 5 \cdot 1$

= $4 - 5$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{2}{3} x & - 2 y & = & 8 & (I) \\ \frac{1}{2} x & - y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{2}{3} x & - 2 y & = & 8 & (I) \\ \frac{1}{2} x & - y & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$\frac{1}{2} x - y$	=	$- 1$
$- y + \frac{1}{2} x$	=	$- 1$	\|⋅ 2
$2 (- y + \frac{1}{2} x)$	=	$- 2$
$- 2 y + x$	=	$- 2$	\| $- x$
$- 2 y$	=	$- 2 - x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$1 + \frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - \frac{2}{3} x & - 2 y & = & 8 & (I) \\ + y & = & (1 + \frac{1}{2} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1 + \frac{1}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{2}{3} x - 2 \cdot (1 + \frac{1}{2} x)$	=	$8$
$- \frac{2}{3} x - 2 - x$	=	$8$
$- \frac{5}{3} x - 2$	=	$8$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{5}{3} x - 2)$	=	$24$
$- 5 x - 6$	=	$24$	\| $+ 6$
$- 5 x$	=	$30$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $1 + \frac{1}{2} \cdot (- 6)$

= $1 - 3$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +1y = ?

-8x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-5x +1y = -15 -5 = -20

-8x +5y = -24 -25 = -49

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +1y = -20

-8x +5y = -49

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ 9 x & + 6 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 2 y & = & 2 & (I) \\ 9 x & + 6 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 2 y$	=	$2$
$- 2 y - 3 x$	=	$2$	\| $+ 3 x$
$- 2 y$	=	$2 + 3 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 1 - \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 - \frac{3}{2} x) & (I) \\ 9 x & + 6 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 - \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9 x + 6 \cdot (- 1 - \frac{3}{2} x)$	=	$- 8$
$9 x - 6 - 9 x$	=	$- 8$
$- 6$	=	$- 8$	\| $+ 6$
0	=	$- 2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 23. Wenn man aber vom 3-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 9. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 6 y & = & 23 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 6 y$	=	$23$	\| $- 6 y$
$x$	=	$23 - 6 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (23 - 6 y) & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $23 - 6 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (23 - 6 y) - 2 y$	=	$9$
$69 - 18 y - 2 y$	=	$9$
$- 20 y + 69$	=	$9$	\| $- 69$
$- 20 y$	=	$- 60$	\|:( $- 20$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $23 - 6 \cdot 3$

= $23 - 18$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 3

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|1) und B(-4|10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|1): 1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|10): 10 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 -1b +c |-1
10 = 16 -4b +c |-16

0 = -1b +c
-6 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 6$
$c - 4 b$	=	$- 6$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 6 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (- 6 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 6 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 6 + 4 b)$	=	0
$- b - 6 + 4 b$	=	0
$3 b - 6$	=	0	\| $+ 6$
$3 b$	=	$6$	\|: $3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 6 + 4 \cdot 2$

= $- 6 + 8$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|7) und B(3|35) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|7): 7 = 1² + b⋅1 +c

B(3|35): 35 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 +1b +c |-1
35 = 9 +3b +c |-9

6 = 1b +c
26 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 6 & (I) \\ 3 b & + c & = & 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$26$
$c + 3 b$	=	$26$	\| $- 3 b$
$c$	=	$26 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (26 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $26 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (26 - 3 b)$	=	$6$
$b + 26 - 3 b$	=	$6$
$- 2 b + 26$	=	$6$	\| $- 26$
$- 2 b$	=	$- 20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $26 - 3 \cdot 10$

= $26 - 30$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-4)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 29$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-29).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 4$ = $25 - 50 - 4$ = -29

also: S(-5|-29).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg