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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - 5 y$ = $22$ .

Bestimme y so, dass (-7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$- (- 7) - 5 y$ = $22$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- (- 7) - 5 y$	=	$22$
$7 - 5 y$	=	$22$
$- 5 y + 7$	=	$22$	\| $- 7$
$- 5 y$	=	$15$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 3$

Die Lösung ist somit: (-7|-3)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - y$ = $18$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|7)
denn 5⋅5 -1⋅7 = 25 -7 = $18$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|2)
denn 5⋅4 -1⋅2 = 20 -2 = $18$

Oder : (6|12)
denn 5⋅6 -1⋅12 = 30 -12 = $18$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & = & - 3 & (I) \\ x & - 4 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & = & - 3 & (I) \\ x & - 4 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & 1 & (I) \\ x & - 4 y & = & 21 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot 1 - 4 y$	=	$21$
$1 - 4 y$	=	$21$
$- 4 y + 1$	=	$21$	\| $- 1$
$- 4 y$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 2 y & = & - 3 & (I) \\ x & + 3 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 2 y & = & - 3 & (I) \\ x & + 3 y & = & 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$7$	\| $- 3 y$
$x$	=	$7 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & - 2 y & = & - 3 & (I) \\ x & = & (7 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $7 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (7 - 3 y) - 2 y$	=	$- 3$
$- 7 + 3 y - 2 y$	=	$- 3$
$y - 7$	=	$- 3$	\| $+ 7$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $7 - 3 \cdot 4$

= $7 - 12$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & - 14 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & - 14 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 2 y$	=	$- 14$
$- 2 y + 4 x$	=	$- 14$	\| $- 4 x$
$- 2 y$	=	$- 14 - 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$7 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (7 + 2 x) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $7 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot (7 + 2 x)$	=	$- 12$
$2 x - 14 - 4 x$	=	$- 12$
$- 2 x - 14$	=	$- 12$	\| $+ 14$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $7 + 2 \cdot (- 1)$

= $7 - 2$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{5} y & = & - \frac{4}{5} & (I) \\ - \frac{1}{3} x & + y & = & - \frac{8}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{5} y & = & - \frac{4}{5} & (I) \\ - \frac{1}{3} x & + y & = & - \frac{8}{3} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{1}{3} x + y$	=	$- \frac{8}{3}$
$y - \frac{1}{3} x$	=	$- \frac{8}{3}$	\|⋅ 3
$3 (y - \frac{1}{3} x)$	=	$- 8$
$3 y - x$	=	$- 8$	\| $+ x$
$3 y$	=	$- 8 + x$	\|: $3$
$y$	=	$- \frac{8}{3} + \frac{1}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{5} y & = & - \frac{4}{5} & (I) \\ + y & = & (- \frac{8}{3} + \frac{1}{3} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- \frac{8}{3} + \frac{1}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{5} x - \frac{1}{5} \cdot (- \frac{8}{3} + \frac{1}{3} x)$	=	$- \frac{4}{5}$
$- \frac{1}{5} x + \frac{8}{15} - \frac{1}{15} x$	=	$- \frac{4}{5}$
$- \frac{4}{15} x + \frac{8}{15}$	=	$- \frac{4}{5}$	\|⋅ 15
$15 (- \frac{4}{15} x + \frac{8}{15})$	=	$- 12$
$- 4 x + 8$	=	$- 12$	\| $- 8$
$- 4 x$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- \frac{8}{3} + \frac{1}{3} \cdot 5$

= $- \frac{8}{3} + \frac{5}{3}$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -5y = ?

3x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

5x -5y = -25 -5 = -30

3x -4y = -15 -4 = -19

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -5y = -30

3x -4y = -19

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & - 5 y & = & 10 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 29 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 5 y & = & 10 & (I) \\ x & + 4 y & = & - 29 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$- 29$	\| $- 4 y$
$x$	=	$- 29 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 5 y & = & 10 & (I) \\ x & = & (- 29 - 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 29 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 29 - 4 y) - 5 y$	=	$10$
$- 116 - 16 y - 5 y$	=	$10$
$- 21 y - 116$	=	$10$	\| $+ 116$
$- 21 y$	=	$126$	\|:( $- 21$ )
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 29 - 4 \cdot (- 6)$

= $- 29 + 24$

= $- 5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 7 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 149 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 117 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & + 9 y & = & 149 & (I) \\ 6 x & + 7 y & = & 117 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x + 9 y$	=	$149$
$9 y + 7 x$	=	$149$	\| $- 7 x$
$9 y$	=	$149 - 7 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{149}{9} - \frac{7}{9} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{149}{9} - \frac{7}{9} x) & (I) \\ 6 x & + 7 y & = & 117 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{149}{9} - \frac{7}{9} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6 x + 7 \cdot (\frac{149}{9} - \frac{7}{9} x)$	=	$117$
$6 x + \frac{1043}{9} - \frac{49}{9} x$	=	$117$
$\frac{5}{9} x + \frac{1043}{9}$	=	$117$	\|⋅ 9
$9 (\frac{5}{9} x + \frac{1043}{9})$	=	$1 053$
$5 x + 1 043$	=	$1 053$	\| $- 1 043$
$5 x$	=	$10$	\|: $5$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{149}{9} - \frac{7}{9} \cdot 2$

= $\frac{149}{9} - \frac{14}{9}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (2|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-8) und B(-1|12) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-8): -8 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|12): 12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 +1b +c |-1
12 = 1 -1b +c |-1

-9 = 1b +c
11 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ - b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$11$
$c - b$	=	$11$	\| $+ b$
$c$	=	$11 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 9 & (I) \\ + c & = & (11 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (11 + b)$	=	$- 9$
$b + 11 + b$	=	$- 9$
$2 b + 11$	=	$- 9$	\| $- 11$
$2 b$	=	$- 20$	\|: $2$
$b$	=	$- 10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 - 10$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|1)

Jetzt können wir b= $- 10$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 10 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|8) und B(4|47) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(4|47): 47 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
47 = 16 +4b +c |-16

7 = 1b +c
31 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ 4 b & + c & = & 31 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$31$
$c + 4 b$	=	$31$	\| $- 4 b$
$c$	=	$31 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (31 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $31 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (31 - 4 b)$	=	$7$
$b + 31 - 4 b$	=	$7$
$- 3 b + 31$	=	$7$	\| $- 31$
$- 3 b$	=	$- 24$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $31 - 4 \cdot 8$

= $31 - 32$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-1)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 - 1$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 - 1$

= ${(x + 4)}^{2} - 17$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-17).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) - 1$ = $16 - 32 - 1$ = -17

also: S(-4|-17).

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1. Weg

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