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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 5 y$ = $- 48$ .

Bestimme y so, dass (6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$- 3 \cdot 6 - 5 y$ = $- 48$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 3 \cdot 6 - 5 y$	=	$- 48$
$- 18 - 5 y$	=	$- 48$
$- 5 y - 18$	=	$- 48$	\| $+ 18$
$- 5 y$	=	$- 30$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 5 y$ = $41$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|7)
denn 1⋅6 +5⋅7 = 6 +35 = $41$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (11|6)
denn 1⋅11 +5⋅6 = 11 +30 = $41$

Oder : (1|8)
denn 1⋅1 +5⋅8 = 1 +40 = $41$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ - 2 x & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ - 2 x & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$6$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 2 y & = & 6 & (I) \\ x & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot 6 - 2 y$	=	$6$
$18 - 2 y$	=	$6$
$- 2 y + 18$	=	$6$	\| $- 18$
$- 2 y$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 0 & (I) \\ - 3 x & + y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 0 & (I) \\ - 3 x & + y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$9$
$y - 3 x$	=	$9$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$9 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 0 & (I) \\ + y & = & (9 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $9 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 4 \cdot (9 + 3 x)$	=	0
$3 x - 36 - 12 x$	=	0
$- 9 x - 36$	=	0	\| $+ 36$
$- 9 x$	=	$36$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $9 + 3 \cdot (- 4)$

= $9 - 12$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 7 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 7 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x + 3 y$	=	$- 7$
$3 y - 2 x$	=	$- 7$	\| $+ 2 x$
$3 y$	=	$- 7 + 2 x$	\|: $3$
$y$	=	$- \frac{7}{3} + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{7}{3} + \frac{2}{3} x) & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{7}{3} + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot (- \frac{7}{3} + \frac{2}{3} x)$	=	$4$
$4 x - \frac{28}{3} + \frac{8}{3} x$	=	$4$
$\frac{20}{3} x - \frac{28}{3}$	=	$4$	\|⋅ 3
$3 (\frac{20}{3} x - \frac{28}{3})$	=	$12$
$20 x - 28$	=	$12$	\| $+ 28$
$20 x$	=	$40$	\|: $20$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- \frac{7}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2$

= $- \frac{7}{3} + \frac{4}{3}$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$5 y$	=	$x + 13 + 7 y$			(I)
$- 16$	=	$2 (x + y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$5 y$	=	$x + 13 + 7 y$			(I)
$- 16$	=	$2 (x + y)$			(II)

$5 y$	=	$x + 13 + 7 y$	\| $- x - 7 y$		(I)
$- 16$	=	$2 x + 2 y$	\| + $16 - 2 x - 2 y$		(II)

\begin{matrix} - x & - 2 y & = & 13 & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 2 y$	=	$13$	\| $+ 2 y$
$- x$	=	$13 + 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 13 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 13 - 2 y) & (I) \\ - 2 x & - 2 y & = & 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 13 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 13 - 2 y) - 2 y$	=	$16$
$26 + 4 y - 2 y$	=	$16$
$2 y + 26$	=	$16$	\| $- 26$
$2 y$	=	$- 10$	\|: $2$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 13 - 2 \cdot (- 5)$

= $- 13 + 10$

= $- 3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -3y = ?

-3x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-4x -3y = 4 -3 = 1

-3x -3y = 3 -3 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -3y = 1

-3x -3y = 0

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 13 & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 4 y & = & - 13 & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 3 x - 4 y$	=	$- 13$
$- 4 y - 3 x$	=	$- 13$	\| $+ 3 x$
$- 4 y$	=	$- 13 + 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$\frac{13}{4} - \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{13}{4} - \frac{3}{4} x) & (I) \\ 5 x & - 2 y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{13}{4} - \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 2 \cdot (\frac{13}{4} - \frac{3}{4} x)$	=	$13$
$5 x - \frac{13}{2} + \frac{3}{2} x$	=	$13$
$\frac{13}{2} x - \frac{13}{2}$	=	$13$	\|⋅ 2
$2 (\frac{13}{2} x - \frac{13}{2})$	=	$26$
$13 x - 13$	=	$26$	\| $+ 13$
$13 x$	=	$39$	\|: $13$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{13}{4} - \frac{3}{4} \cdot 3$

= $\frac{13}{4} - \frac{9}{4}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (3|1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 14. Wenn man aber vom 5-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -10. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 14 & (I) \\ 5 x & - 6 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$14$	\| $- 2 y$
$x$	=	$14 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (14 - 2 y) & (I) \\ 5 x & - 6 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $14 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (14 - 2 y) - 6 y$	=	$- 10$
$70 - 10 y - 6 y$	=	$- 10$
$- 16 y + 70$	=	$- 10$	\| $- 70$
$- 16 y$	=	$- 80$	\|:( $- 16$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $14 - 2 \cdot 5$

= $14 - 10$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 5

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|0) und B(-1|12) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|12): 12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
12 = 1 -1b +c |-1

-1 = 1b +c
11 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ - b & + c & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$11$
$c - b$	=	$11$	\| $+ b$
$c$	=	$11 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (11 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (11 + b)$	=	$- 1$
$b + 11 + b$	=	$- 1$
$2 b + 11$	=	$- 1$	\| $- 11$
$2 b$	=	$- 12$	\|: $2$
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11 - 6$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|12) und B(2|-3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|12): 12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-3): -3 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 -1b +c |-1
-3 = 4 +2b +c |-4

11 = -1b +c
-7 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 11 & (I) \\ 2 b & + c & = & - 7 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$- 7$
$c + 2 b$	=	$- 7$	\| $- 2 b$
$c$	=	$- 7 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 11 & (I) \\ + c & = & (- 7 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 7 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 7 - 2 b)$	=	$11$
$- b - 7 - 2 b$	=	$11$
$- 3 b - 7$	=	$11$	\| $+ 7$
$- 3 b$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 7 - 2 \cdot (- 6)$

= $- 7 + 12$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 5$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 + 5$

= ${(x - 3)}^{2} - 4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 + 5$ = $9 - 18 + 5$ = -4

also: S(3|-4).

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1. Weg

2. Weg