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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 3 y$ = $31$ .

Bestimme x so, dass (x|-2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 x - 3 \cdot (- 2)$ = $31$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 5 x - 3 \cdot (- 2)$	=	$31$
$- 5 x + 6$	=	$31$	\| $- 6$
$- 5 x$	=	$25$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (-5|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + y$ = $- 18$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|-4)
denn 2⋅( - 7 ) +1⋅( - 4 ) = -14 -4 = $- 18$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|-6)
denn 2⋅( - 6 ) +1⋅( - 6 ) = -12 -6 = $- 18$

Oder : (-8|-2)
denn 2⋅( - 8 ) +1⋅( - 2 ) = -16 -2 = $- 18$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & = & - 4 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $- 4$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 4) + 4 y$	=	$12$
$8 + 4 y$	=	$12$
$4 y + 8$	=	$12$	\| $- 8$
$4 y$	=	$4$	\|: $4$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 0 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 0 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 2$
$y - 4 x$	=	$- 2$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 2 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - y & = & 0 & (I) \\ + y & = & (- 2 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 2 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 1 \cdot (- 2 + 4 x)$	=	0
$2 x + 2 - 4 x$	=	0
$- 2 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 2 + 4 \cdot 1$

= $- 2 + 4$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & - 12 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & - 12 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$9$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$9 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 9 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 4 y & = & - 12 & (I) \\ x & = & (- 9 - 3 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 9 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (- 9 - 3 y) + 4 y$	=	$- 12$
$27 + 9 y + 4 y$	=	$- 12$
$13 y + 27$	=	$- 12$	\| $- 27$
$13 y$	=	$- 39$	\|: $13$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 9 - 3 \cdot (- 3)$

= $- 9 + 9$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$12$	=	$2 x + 3 y$			(I)
$5 (- 4 + y)$	=	$5 x$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$12$	=	$2 x + 3 y$			(I)
$5 (- 4 + y)$	=	$5 x$			(II)

$12$	=	$2 x + 3 y$	\| $- 12 - 2 x - 3 y$		(I)
$- 20 + 5 y$	=	$5 x$	\| + $20 - 5 x$		(II)

\begin{matrix} - 2 x & - 3 y & = & - 12 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 2 x - 3 y$	=	$- 12$
$- 3 y - 2 x$	=	$- 12$	\| $+ 2 x$
$- 3 y$	=	$- 12 + 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$4 - \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (4 - \frac{2}{3} x) & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 20 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4 - \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 5 \cdot (4 - \frac{2}{3} x)$	=	$20$
$- 5 x + 20 - \frac{10}{3} x$	=	$20$
$- \frac{25}{3} x + 20$	=	$20$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{25}{3} x + 20)$	=	$60$
$- 25 x + 60$	=	$60$	\| $- 60$
$- 25 x$	=	0	\|:( $- 25$ )
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4 - \frac{2}{3} \cdot (0)$

= $4 + 0$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (0|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -4y = ?

8x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

4x -4y = 16 +4 = 20

8x -5y = 32 +5 = 37

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -4y = 20

8x -5y = 37

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 9 x & + 9 y & = & 10 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 9 x & + 9 y & = & 10 & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 9 x + 9 y$	=	$10$
$9 y - 9 x$	=	$10$	\| $+ 9 x$
$9 y$	=	$10 + 9 x$	\|: $9$
$y$	=	$\frac{10}{9} + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{10}{9} + x) & (I) \\ 3 x & - 3 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{10}{9} + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 3 \cdot (\frac{10}{9} + x)$	=	$- 3$
$3 x - \frac{10}{3} - 3 x$	=	$- 3$
$- \frac{10}{3}$	=	$- 3$	\| $+ \frac{10}{3}$
0	=	$\frac{1}{3}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 795 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 575 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & - 3 y & = & 795 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 575 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x - 3 y$	=	$795$
$- 3 y + 6 x$	=	$795$	\| $- 6 x$
$- 3 y$	=	$795 - 6 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 265 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 265 + 2 x) & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 575 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 265 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x - 5 \cdot (- 265 + 2 x)$	=	$575$
$5 x + 1 325 - 10 x$	=	$575$
$- 5 x + 1 325$	=	$575$	\| $- 1 325$
$- 5 x$	=	$- 750$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 265 + 2 \cdot 150$

= $- 265 + 300$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-10) und B(2|23) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-10): -10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|23): 23 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 -1b +c |-1
23 = 4 +2b +c |-4

-11 = -1b +c
19 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ 2 b & + c & = & 19 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$2 b + c$	=	$19$
$c + 2 b$	=	$19$	\| $- 2 b$
$c$	=	$19 - 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (19 - 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $19 - 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (19 - 2 b)$	=	$- 11$
$- b + 19 - 2 b$	=	$- 11$
$- 3 b + 19$	=	$- 11$	\| $- 19$
$- 3 b$	=	$- 30$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $19 - 2 \cdot 10$

= $19 - 20$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-1)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-2) und B(4|7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(4|7): 7 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
7 = 16 +4b +c |-16

-3 = 1b +c
-9 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 9$
$c + 4 b$	=	$- 9$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 9 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 3 & (I) \\ + c & = & (- 9 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 9 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 9 - 4 b)$	=	$- 3$
$b - 9 - 4 b$	=	$- 3$
$- 3 b - 9$	=	$- 3$	\| $+ 9$
$- 3 b$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 9 - 4 \cdot (- 2)$

= $- 9 + 8$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 - 1$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 - 1$

= ${(x - 1)}^{2} - 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 - 1$ = $1 - 2 - 1$ = -2

also: S(1|-2).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg