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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - 5 y$ = $35$ .

Bestimme x so, dass (x|-5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$- 5 x - 5 \cdot (- 5)$ = $35$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 5 x - 5 \cdot (- 5)$	=	$35$
$- 5 x + 25$	=	$35$	\| $- 25$
$- 5 x$	=	$10$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 2$

Die Lösung ist somit: (-2|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 5 y$ = $- 25$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|1)
denn 4⋅( - 5 ) -5⋅1 = -20 -5 = $- 25$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-10|-3)
denn 4⋅( - 10 ) -5⋅( - 3 ) = -40 +15 = $- 25$

Oder : (0|5)
denn 4⋅0 -5⋅5 = 0 -25 = $- 25$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 y & = & 15 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 y & = & 15 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$- 3 y$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & - 5 & (I) \\ - x & - 3 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $- 5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x - 3 \cdot (- 5)$	=	$10$
$- x + 15$	=	$10$	\| $- 15$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 17 & (I) \\ x & + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 17 & (I) \\ x & + y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$x + y$	=	$5$
$y + x$	=	$5$	\| $- x$
$y$	=	$5 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & + y & = & 17 & (I) \\ + y & = & (5 - x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $5 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 1 \cdot (5 - x)$	=	$17$
$3 x + 5 - x$	=	$17$
$2 x + 5$	=	$17$	\| $- 5$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $5 - 6$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & - 16 & (I) \\ x & + 5 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & - 16 & (I) \\ x & + 5 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$- 16$	\| $- 5 y$
$x$	=	$- 16 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - 4 y & = & - 16 & (I) \\ x & = & (- 16 - 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 16 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 16 - 5 y) - 4 y$	=	$- 16$
$- 64 - 20 y - 4 y$	=	$- 16$
$- 24 y - 64$	=	$- 16$	\| $+ 64$
$- 24 y$	=	$48$	\|:( $- 24$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 16 - 5 \cdot (- 2)$

= $- 16 + 10$

= $- 6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{4}{5} & (I) \\ - x & - \frac{1}{3} y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{4}{5} & (I) \\ - x & - \frac{1}{3} y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - \frac{1}{3} y$	=	0	\|⋅ 3
$3 (- x - \frac{1}{3} y)$	=	0
$- 3 x - y$	=	0	\| $+ y$
$- 3 x$	=	$y$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- \frac{1}{3} y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - \frac{1}{5} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{4}{5} & (I) \\ x & = & - \frac{1}{3} y & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- \frac{1}{3} y$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- \frac{1}{5} \cdot (- \frac{1}{3} y) - \frac{1}{5} y$	=	$\frac{4}{5}$
$\frac{1}{15} y - \frac{1}{5} y$	=	$\frac{4}{5}$
$- \frac{2}{15} y$	=	$\frac{4}{5}$	\|⋅ 15
$- 2 y$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- \frac{1}{3} \cdot (- 6)$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -4y = ?

5x -23y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

1x -4y = 4 -8 = -4

5x -23y = 20 -46 = -26

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -4y = -4

5x -23y = -26

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 1 & (I) \\ - 4 x & - 16 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 1 & (I) \\ - 4 x & - 16 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$1$	\| $- 4 y$
$x$	=	$1 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (1 - 4 y) & (I) \\ - 4 x & - 16 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $1 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (1 - 4 y) - 16 y$	=	$- 4$
$- 4 + 16 y - 16 y$	=	$- 4$
$- 4$	=	$- 4$	\| $+ 4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 5 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 75 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 2 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 210 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 5 y & = & 75 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 210 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 5 y$	=	$75$
$- 5 y + 2 x$	=	$75$	\| $- 2 x$
$- 5 y$	=	$75 - 2 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$- 15 + \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 15 + \frac{2}{5} x) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 210 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 15 + \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot (- 15 + \frac{2}{5} x)$	=	$210$
$2 x + 30 - \frac{4}{5} x$	=	$210$
$\frac{6}{5} x + 30$	=	$210$	\|⋅ 5
$5 (\frac{6}{5} x + 30)$	=	$1 050$
$6 x + 150$	=	$1 050$	\| $- 150$
$6 x$	=	$900$	\|: $6$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 15 + \frac{2}{5} \cdot 150$

= $- 15 + 60$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (150|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-3) und B(3|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-7): -7 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 +1b +c |-1
-7 = 9 +3b +c |-9

-4 = 1b +c
-16 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 16$
$c + 3 b$	=	$- 16$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 16 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 4 & (I) \\ + c & = & (- 16 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 16 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 16 - 3 b)$	=	$- 4$
$b - 16 - 3 b$	=	$- 4$
$- 2 b - 16$	=	$- 4$	\| $+ 16$
$- 2 b$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 16 - 3 \cdot (- 6)$

= $- 16 + 18$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|12) und B(-1|0) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|12): 12 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 +1b +c |-1
0 = 1 -1b +c |-1

11 = 1b +c
-1 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ - b & + c & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 1$
$c - b$	=	$- 1$	\| $+ b$
$c$	=	$- 1 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 11 & (I) \\ + c & = & (- 1 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 1 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 1 + b)$	=	$11$
$b - 1 + b$	=	$11$
$2 b - 1$	=	$11$	\| $+ 1$
$2 b$	=	$12$	\|: $2$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 1 + 6$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

Jetzt können wir b= $6$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 6 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 5$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 5$

= ${(x + 3)}^{2} - 4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 5$ = $9 - 18 + 5$ = -4

also: S(-3|-4).

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Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg