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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 2x +5y = -32 .

Bestimme x so, dass (x|-4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

2x +5( -4 ) = -32

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

2x -20 = -32 | +20
2x = -12 |:2
x = -6

Die Lösung ist somit: (-6|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -5x +2y = -44 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|-7)
denn -5⋅6 +2( - 7 ) = -30 -14 = -44

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|-2)
denn -5⋅8 +2( - 2 ) = -40 -4 = -44

Oder : (4|-12)
denn -5⋅4 +2( - 12 ) = -20 -24 = -44

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-2y = -4 (I) 2x -y = -6 (II)

Lösung einblenden
-2y = -4 (I) 2x -y = -6 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

-2y = -4 |:(-2 )
y = 2

Als neues LGS erhält man so:

+y = 2 (I) 2x -y = -6 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch 2 ersetzen und dann nach x auflösen:

2x -2 = -6 | +2
2x = -4 |:2
x = -2

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

x +4y = 21 (I) -2x +2y = 8 (II)

Lösung einblenden
x +4y = 21 (I) -2x +2y = 8 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +4y = 21 | -4y
x = 21 -4y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 21 -4y ) (I) -2x +2y = 8 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 21 -4y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-42 +8y +2y = 8
10y -42 = 8 | +42
10y = 50 |:10
y = 5

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 21 -45

= 21 -20

= 1

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-x +2y = -5 (I) 2x +y = 10 (II)

Lösung einblenden
-x +2y = -5 (I) 2x +y = 10 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

2x + y = 10
y +2x = 10 | -2x
y = 10 -2x

Als neues LGS erhält man so:

-x +2y = -5 (I) +y = ( 10 -2x ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( 10 -2x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-x +20 -4x = -5
-5x +20 = -5 | -20
-5x = -25 |:(-5 )
x = 5

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = 10 -25

= 10 -10

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (5|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

3 5 x + 3 4 y = - 3 20 (I) x + 2 5 y = 3 5 (II)

Lösung einblenden
3 5 x + 3 4 y = - 3 20 (I) x + 2 5 y = 3 5 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x + 2 5 y = 3 5 |⋅ 5
5( x + 2 5 y) = 3
5x +2y = 3 | -2y
5x = 3 -2y |:5
x = 3 5 - 2 5 y

Als neues LGS erhält man so:

3 5 x + 3 4 y = - 3 20 (I) x = ( 3 5 - 2 5 y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( 3 5 - 2 5 y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

9 25 - 6 25 y + 3 4 y = - 3 20
51 100 y + 9 25 = - 3 20 |⋅ 100
100( 51 100 y + 9 25 ) = -15
51y +36 = -15 | -36
51y = -51 |:51
y = -1

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = 3 5 - 2 5 ( -1 )

= 3 5 + 2 5

= 1

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +4y = ?

4x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

5x +4y = 25 +12 = 37

4x +2y = 20 +6 = 26

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +4y = 37

4x +2y = 26

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

-2x -6y = 6 (I) x +3y = -3 (II)

Lösung einblenden
-2x -6y = 6 (I) x +3y = -3 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +3y = -3 | -3y
x = -3 -3y

Als neues LGS erhält man so:

-2x -6y = 6 (I) x = ( -3 -3y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( -3 -3y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

6 +6y -6y = 6
6 = 6 | -6
0 = 0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 5 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 211 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 4 LED-Leuchtmittel und 2 Halogenleuchten zusammen 94 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

6x +5y = 211 (I) 4x +2y = 94 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

6x +5y = 211
5y +6x = 211 | -6x
5y = 211 -6x |:5
y = 211 5 - 6 5 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 211 5 - 6 5 x ) (I) 4x +2y = 94 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 211 5 - 6 5 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

4x + 422 5 - 12 5 x = 94
8 5 x + 422 5 = 94 |⋅ 5
5( 8 5 x + 422 5 ) = 470
8x +422 = 470 | -422
8x = 48 |:8
x = 6

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 211 5 - 6 5 6

= 211 5 - 36 5

= 35

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (6|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35