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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 5 y$ = $- 9$ .

Bestimme x so, dass (x|-1) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x - 5 \cdot (- 1)$ = $- 9$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot (- 1)$	=	$- 9$
$2 x + 5$	=	$- 9$	\| $- 5$
$2 x$	=	$- 14$	\|: $2$
$x$	=	$- 7$

Die Lösung ist somit: (-7|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 2 y$ = $4$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|2)
denn 4⋅2 -2⋅2 = 8 -4 = $4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|-2)
denn 4⋅0 -2⋅( - 2 ) = 0 +4 = $4$

Oder : (4|6)
denn 4⋅4 -2⋅6 = 16 -12 = $4$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} + 4 y & = & 12 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} + 4 y & = & 12 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$4 y$	=	$12$	\|: $4$
$y$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & 3 & (I) \\ - 4 x & - 2 y & = & - 14 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 2 \cdot 3$	=	$- 14$
$- 4 x - 6$	=	$- 14$	\| $+ 6$
$- 4 x$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 1 & (I) \\ x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 1 & (I) \\ x & - 2 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$3$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$3 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & + 2 y & = & - 1 & (I) \\ x & = & (3 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $3 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 3 \cdot (3 + 2 y) + 2 y$	=	$- 1$
$- 9 - 6 y + 2 y$	=	$- 1$
$- 4 y - 9$	=	$- 1$	\| $+ 9$
$- 4 y$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $3 + 2 \cdot (- 2)$

= $3 - 4$

= $- 1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 7 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 7 & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$- 7$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$- 7 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$7 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (7 - 3 y) & (I) \\ 2 x & + 3 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (7 - 3 y) + 3 y$	=	$11$
$14 - 6 y + 3 y$	=	$11$
$- 3 y + 14$	=	$11$	\| $- 14$
$- 3 y$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7 - 3 \cdot 1$

= $7 - 3$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & + \frac{1}{2} y & = & - 2 & (I) \\ - \frac{2}{5} x & + y & = & \frac{1}{5} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & + \frac{1}{2} y & = & - 2 & (I) \\ - \frac{2}{5} x & + y & = & \frac{1}{5} & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- \frac{2}{5} x + y$	=	$\frac{1}{5}$
$y - \frac{2}{5} x$	=	$\frac{1}{5}$	\|⋅ 5
$5 (y - \frac{2}{5} x)$	=	$1$
$5 y - 2 x$	=	$1$	\| $+ 2 x$
$5 y$	=	$1 + 2 x$	\|: $5$
$y$	=	$\frac{1}{5} + \frac{2}{5} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x & + \frac{1}{2} y & = & - 2 & (I) \\ + y & = & (\frac{1}{5} + \frac{2}{5} x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} + \frac{2}{5} x)$	=	$- 2$
$\frac{1}{2} x + \frac{1}{10} + \frac{1}{5} x$	=	$- 2$
$\frac{7}{10} x + \frac{1}{10}$	=	$- 2$	\|⋅ 10
$10 (\frac{7}{10} x + \frac{1}{10})$	=	$- 20$
$7 x + 1$	=	$- 20$	\| $- 1$
$7 x$	=	$- 21$	\|: $7$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{5} - \frac{6}{5}$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +1y = ?

-1x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

1x +1y = -1 -5 = -6

-1x +1y = 1 -5 = -4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +1y = -6

-1x +1y = -4

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 9 x & + 12 y & = & 6 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 9 x & + 12 y & = & 6 & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 9 x + 12 y$	=	$6$
$12 y - 9 x$	=	$6$	\| $+ 9 x$
$12 y$	=	$6 + 9 x$	\|: $12$
$y$	=	$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{2} + \frac{3}{4} x) & (I) \\ 3 x & - 4 y & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 4 \cdot (\frac{1}{2} + \frac{3}{4} x)$	=	$- 3$
$3 x - 2 - 3 x$	=	$- 3$
$- 2$	=	$- 3$	\| $+ 2$
0	=	$- 1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 176 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 8 LED-Leuchtmittel und 7 Halogenleuchten zusammen 277 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 9 x & + 4 y & = & 176 & (I) \\ 8 x & + 7 y & = & 277 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$9 x + 4 y$	=	$176$
$4 y + 9 x$	=	$176$	\| $- 9 x$
$4 y$	=	$176 - 9 x$	\|: $4$
$y$	=	$44 - \frac{9}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (44 - \frac{9}{4} x) & (I) \\ 8 x & + 7 y & = & 277 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $44 - \frac{9}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8 x + 7 \cdot (44 - \frac{9}{4} x)$	=	$277$
$8 x + 308 - \frac{63}{4} x$	=	$277$
$- \frac{31}{4} x + 308$	=	$277$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{31}{4} x + 308)$	=	$1 108$
$- 31 x + 1 232$	=	$1 108$	\| $- 1 232$
$- 31 x$	=	$- 124$	\|:( $- 31$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $44 - \frac{9}{4} \cdot 4$

= $44 - 9$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (4|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(-4|29) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|29): 29 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
29 = 16 -4b +c |-16

7 = -1b +c
13 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$13$
$c - 4 b$	=	$13$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$13 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (13 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (13 + 4 b)$	=	$7$
$- b + 13 + 4 b$	=	$7$
$3 b + 13$	=	$7$	\| $- 13$
$3 b$	=	$- 6$	\|: $3$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13 + 4 \cdot (- 2)$

= $13 - 8$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|10) und B(1|-2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|10): 10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 -1b +c |-1
-2 = 1 +1b +c |-1

9 = -1b +c
-3 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ b & + c & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 3$
$c + b$	=	$- 3$	\| $- b$
$c$	=	$- 3 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 9 & (I) \\ + c & = & (- 3 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 3 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 3 - b)$	=	$9$
$- b - 3 - b$	=	$9$
$- 2 b - 3$	=	$9$	\| $+ 3$
$- 2 b$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 3 - (- 6)$

= $- 3 + 6$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 3$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 + 3$

= ${(x - 3)}^{2} - 6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 + 3$ = $9 - 18 + 3$ = -6

also: S(3|-6).

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg