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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x - y$ = $6$ .

Bestimme y so, dass (0|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$5 \cdot 0 - y$ = $6$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5 \cdot 0 - y$	=	$6$
$- y$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (0|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 2 y$ = $22$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|-3)
denn -4⋅( - 7 ) +2⋅( - 3 ) = 28 -6 = $22$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|1)
denn -4⋅( - 5 ) +2⋅1 = 20 +2 = $22$

Oder : (-9|-7)
denn -4⋅( - 9 ) +2⋅( - 7 ) = 36 -14 = $22$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & - 12 & (I) \\ - 2 x & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & - 12 & (I) \\ - 2 x & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 4$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 2 x & - 2 y & = & - 12 & (I) \\ x & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (- 4) - 2 y$	=	$- 12$
$- 8 - 2 y$	=	$- 12$
$- 2 y - 8$	=	$- 12$	\| $+ 8$
$- 2 y$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & - y & = & 15 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - y & = & 15 & (I) \\ - 2 x & + y & = & - 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x + y$	=	$- 9$
$y - 2 x$	=	$- 9$	\| $+ 2 x$
$y$	=	$- 9 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & - y & = & 15 & (I) \\ + y & = & (- 9 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 9 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 1 \cdot (- 9 + 2 x)$	=	$15$
$4 x + 9 - 2 x$	=	$15$
$2 x + 9$	=	$15$	\| $- 9$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 9 + 2 \cdot 3$

= $- 9 + 6$

= $- 3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & - 8 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & - 8 & (I) \\ - 4 x & + y & = & - 26 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 4 x + y$	=	$- 26$
$y - 4 x$	=	$- 26$	\| $+ 4 x$
$y$	=	$- 26 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - 5 y & = & - 8 & (I) \\ + y & = & (- 26 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 26 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 5 \cdot (- 26 + 4 x)$	=	$- 8$
$- 3 x + 130 - 20 x$	=	$- 8$
$- 23 x + 130$	=	$- 8$	\| $- 130$
$- 23 x$	=	$- 138$	\|:( $- 23$ )
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 26 + 4 \cdot 6$

= $- 26 + 24$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

0	=	$5 (x - 1) + 3 y$			(I)
$- 2 y$	=	$5 (x - 2)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

0	=	$5 (x - 1) + 3 y$			(I)
$- 2 y$	=	$5 (x - 2)$			(II)

0	=	$5 x - 5 + 3 y$	\| $- 5 x - 3 y$		(I)
$- 2 y$	=	$5 x - 10$	\| $- 5 x$		(II)

\begin{matrix} - 5 x & - 3 y & = & - 5 & (I) \\ - 5 x & - 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 3 y$	=	$- 5$
$- 3 y - 5 x$	=	$- 5$	\| $+ 5 x$
$- 3 y$	=	$- 5 + 5 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$\frac{5}{3} - \frac{5}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{5}{3} - \frac{5}{3} x) & (I) \\ - 5 x & - 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{5}{3} - \frac{5}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 2 \cdot (\frac{5}{3} - \frac{5}{3} x)$	=	$- 10$
$- 5 x - \frac{10}{3} + \frac{10}{3} x$	=	$- 10$
$- \frac{5}{3} x - \frac{10}{3}$	=	$- 10$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{5}{3} x - \frac{10}{3})$	=	$- 30$
$- 5 x - 10$	=	$- 30$	\| $+ 10$
$- 5 x$	=	$- 20$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{5}{3} - \frac{5}{3} \cdot 4$

= $\frac{5}{3} - \frac{20}{3}$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +1y = ?

4x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

3x +1y = -3 +3 = 0

4x +2y = -4 +6 = 2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +1y = 0

4x +2y = 2

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & - 16 & (I) \\ - 5 x & - 2 y & = & 29 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & - 2 y & = & - 16 & (I) \\ - 5 x & - 2 y & = & 29 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$4 x - 2 y$	=	$- 16$
$- 2 y + 4 x$	=	$- 16$	\| $- 4 x$
$- 2 y$	=	$- 16 - 4 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$8 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (8 + 2 x) & (I) \\ - 5 x & - 2 y & = & 29 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $8 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 2 \cdot (8 + 2 x)$	=	$29$
$- 5 x - 16 - 4 x$	=	$29$
$- 9 x - 16$	=	$29$	\| $+ 16$
$- 9 x$	=	$45$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $8 + 2 \cdot (- 5)$

= $8 - 10$

= $- 2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-2)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 7 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 960 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 4 Stunden wandern und hat 5 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 375 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 7 x & - 2 y & = & 960 & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 375 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$7 x - 2 y$	=	$960$
$- 2 y + 7 x$	=	$960$	\| $- 7 x$
$- 2 y$	=	$960 - 7 x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$- 480 + \frac{7}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 480 + \frac{7}{2} x) & (I) \\ 4 x & - 5 y & = & 375 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 480 + \frac{7}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x - 5 \cdot (- 480 + \frac{7}{2} x)$	=	$375$
$4 x + 2 400 - \frac{35}{2} x$	=	$375$
$- \frac{27}{2} x + 2 400$	=	$375$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{27}{2} x + 2 400)$	=	$750$
$- 27 x + 4 800$	=	$750$	\| $- 4 800$
$- 27 x$	=	$- 4 050$	\|:( $- 27$ )
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 480 + \frac{7}{2} \cdot 150$

= $- 480 + 525$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (150|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(1|0) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
0 = 1 +1b +c |-1

7 = -1b +c
-1 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ b & + c & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 1$
$c + b$	=	$- 1$	\| $- b$
$c$	=	$- 1 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 7 & (I) \\ + c & = & (- 1 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 1 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 1 - b)$	=	$7$
$- b - 1 - b$	=	$7$
$- 2 b - 1$	=	$7$	\| $+ 1$
$- 2 b$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 1 - (- 4)$

= $- 1 + 4$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 3$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-13) und B(-4|-28) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-13): -13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-28): -28 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-13 = 1 -1b +c |-1
-28 = 16 -4b +c |-16

-14 = -1b +c
-44 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 14 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 44 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 44$
$c - 4 b$	=	$- 44$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 44 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 14 & (I) \\ + c & = & (- 44 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 44 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 44 + 4 b)$	=	$- 14$
$- b - 44 + 4 b$	=	$- 14$
$3 b - 44$	=	$- 14$	\| $+ 44$
$3 b$	=	$30$	\|: $3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 44 + 4 \cdot 10$

= $- 44 + 40$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-4)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 4$

= ${(x + 5)}^{2} - 29$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-29).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 4$ = $25 - 50 - 4$ = -29

also: S(-5|-29).

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1. Weg

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