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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 5 y$ = $- 15$ .

Bestimme x so, dass (x|7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x - 5 \cdot 7$ = $- 15$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x - 5 \cdot 7$	=	$- 15$
$4 x - 35$	=	$- 15$	\| $+ 35$
$4 x$	=	$20$	\|: $4$
$x$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (5|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $3 x - 3 y$ = $- 6$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|3)
denn 3⋅1 -3⋅3 = 3 -9 = $- 6$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|0)
denn 3⋅( - 2 ) -3⋅0 = -6 +0 = $- 6$

Oder : (4|6)
denn 3⋅4 -3⋅6 = 12 -18 = $- 6$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & = & 20 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & = & 20 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 5 & (I) \\ 3 x & - 2 y & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (- 5) - 2 y$	=	$- 23$
$- 15 - 2 y$	=	$- 23$
$- 2 y - 15$	=	$- 23$	\| $+ 15$
$- 2 y$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & - 5 & (I) \\ - 3 x & + y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & - 5 & (I) \\ - 3 x & + y & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x + y$	=	$- 20$
$y - 3 x$	=	$- 20$	\| $+ 3 x$
$y$	=	$- 20 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & - y & = & - 5 & (I) \\ + y & = & (- 20 + 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 20 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x - 1 \cdot (- 20 + 3 x)$	=	$- 5$
$- 2 x + 20 - 3 x$	=	$- 5$
$- 5 x + 20$	=	$- 5$	\| $- 20$
$- 5 x$	=	$- 25$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 20 + 3 \cdot 5$

= $- 20 + 15$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & - y & = & - 16 & (I) \\ - x & + 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - y & = & - 16 & (I) \\ - x & + 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 2 y$	=	$10$	\| $- 2 y$
$- x$	=	$10 - 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 10 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & - y & = & - 16 & (I) \\ x & = & (- 10 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 10 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 5 \cdot (- 10 + 2 y) - y$	=	$- 16$
$50 - 10 y - y$	=	$- 16$
$- 11 y + 50$	=	$- 16$	\| $- 50$
$- 11 y$	=	$- 66$	\|:( $- 11$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 10 + 2 \cdot 6$

= $- 10 + 12$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$7 x - 24 + 5 y$	=	$2 x + 1$			(I)
0	=	$- 2 (x + 16) + 5 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$7 x - 24 + 5 y$	=	$2 x + 1$			(I)
0	=	$- 2 (x + 16) + 5 y$			(II)

$7 x - 24 + 5 y$	=	$2 x + 1$	\| + $24 - 2 x$		(I)
0	=	$- 2 x - 32 + 5 y$	\| + $2 x - 5 y$		(II)

\begin{matrix} 5 x & + 5 y & = & 25 & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & - 32 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$5 x + 5 y$	=	$25$
$5 y + 5 x$	=	$25$	\| $- 5 x$
$5 y$	=	$25 - 5 x$	\|: $5$
$y$	=	$5 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (5 - x) & (I) \\ 2 x & - 5 y & = & - 32 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot (5 - x)$	=	$- 32$
$2 x - 25 + 5 x$	=	$- 32$
$7 x - 25$	=	$- 32$	\| $+ 25$
$7 x$	=	$- 7$	\|: $7$
$x$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5 - (- 1)$

= $5 + 1$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -2y = ?

-2x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

2x -2y = 6 +6 = 12

-2x +4y = -6 -12 = -18

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -2y = 12

-2x +4y = -18

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 6 x & + 6 y & = & - 6 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 6 x & + 6 y & = & - 6 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 6 x + 6 y$	=	$- 6$
$6 y - 6 x$	=	$- 6$	\| $+ 6 x$
$6 y$	=	$- 6 + 6 x$	\|: $6$
$y$	=	$- 1 + x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 1 + x) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 1 + x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2 x - 2 \cdot (- 1 + x)$	=	$2$
$2 x + 2 - 2 x$	=	$2$
$2$	=	$2$	\| $- 2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 6 Stunden wandern. Danach hat sie 3 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 1710 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 7 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 2040 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & - 3 y & = & 1710 & (I) \\ 7 x & - 2 y & = & 2040 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x - 3 y$	=	$1710$
$- 3 y + 6 x$	=	$1710$	\| $- 6 x$
$- 3 y$	=	$1710 - 6 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 570 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 570 + 2 x) & (I) \\ 7 x & - 2 y & = & 2040 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 570 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7 x - 2 \cdot (- 570 + 2 x)$	=	$2040$
$7 x + 1 140 - 4 x$	=	$2040$
$3 x + 1 140$	=	$2040$	\| $- 1 140$
$3 x$	=	$900$	\|: $3$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 570 + 2 \cdot 300$

= $- 570 + 600$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|4) und B(-1|0) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|4): 4 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 +1b +c |-1
0 = 1 -1b +c |-1

3 = 1b +c
-1 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ - b & + c & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 1$
$c - b$	=	$- 1$	\| $+ b$
$c$	=	$- 1 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 3 & (I) \\ + c & = & (- 1 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 1 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 1 + b)$	=	$3$
$b - 1 + b$	=	$3$
$2 b - 1$	=	$3$	\| $+ 1$
$2 b$	=	$4$	\|: $2$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 1 + 2$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|0) und B(-2|9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|9): 9 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
9 = 4 -2b +c |-4

-1 = 1b +c
5 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$5$
$c - 2 b$	=	$5$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$5 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 1 & (I) \\ + c & = & (5 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $5 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (5 + 2 b)$	=	$- 1$
$b + 5 + 2 b$	=	$- 1$
$3 b + 5$	=	$- 1$	\| $- 5$
$3 b$	=	$- 6$	\|: $3$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $5 + 2 \cdot (- 2)$

= $5 - 4$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 1$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 1$

= ${(x - 1)}^{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 1$ = $1 - 2 + 1$ = 0

also: S(1|0).

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Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg