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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - 3 y$ = $7$ .

Bestimme y so, dass (-2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 \cdot (- 2) - 3 y$ = $7$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 2) - 3 y$	=	$7$
$4 - 3 y$	=	$7$
$- 3 y + 4$	=	$7$	\| $- 4$
$- 3 y$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 1$

Die Lösung ist somit: (-2|-1)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + y$ = $3$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|0)
denn 1⋅3 +1⋅0 = 3 +0 = $3$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-1)
denn 1⋅4 +1⋅( - 1 ) = 4 -1 = $3$

Oder : (2|1)
denn 1⋅2 +1⋅1 = 2 +1 = $3$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & - 7 & (I) \\ - 4 x & = & 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & - 7 & (I) \\ - 4 x & = & 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 1$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & - 7 & (I) \\ x & = & - 1 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 1) + 2 y$	=	$- 7$
$1 + 2 y$	=	$- 7$
$2 y + 1$	=	$- 7$	\| $- 1$
$2 y$	=	$- 8$	\|: $2$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ 4 x & + y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 4$
$y + 4 x$	=	$- 4$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 4 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 6 & (I) \\ + y & = & (- 4 - 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 4 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 2 \cdot (- 4 - 4 x)$	=	$6$
$x - 8 - 8 x$	=	$6$
$- 7 x - 8$	=	$6$	\| $+ 8$
$- 7 x$	=	$14$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 4 - 4 \cdot (- 2)$

= $- 4 + 8$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 27 & (I) \\ - 4 x & - 5 y & = & - 41 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & + 3 y & = & 27 & (I) \\ - 4 x & - 5 y & = & - 41 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x + 3 y$	=	$27$
$3 y + 3 x$	=	$27$	\| $- 3 x$
$3 y$	=	$27 - 3 x$	\|: $3$
$y$	=	$9 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (9 - x) & (I) \\ - 4 x & - 5 y & = & - 41 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $9 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 5 \cdot (9 - x)$	=	$- 41$
$- 4 x - 45 + 5 x$	=	$- 41$
$x - 45$	=	$- 41$	\| $+ 45$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $9 - 4$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$5 x - y$	=	$2 (x + 6)$			(I)
$2 x$	=	$10 + y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$5 x - y$	=	$2 (x + 6)$			(I)
$2 x$	=	$10 + y$			(II)

$5 x - y$	=	$2 x + 12$	\| $- 2 x$		(I)
$2 x$	=	$10 + y$	\| $- y$		(II)

\begin{matrix} 3 x & - y & = & 12 & (I) \\ 2 x & - y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x - y$	=	$10$
$- y + 2 x$	=	$10$	\| $- 2 x$
$- y$	=	$10 - 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 10 + 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & 12 & (I) \\ + y & = & (- 10 + 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 10 + 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x - 1 \cdot (- 10 + 2 x)$	=	$12$
$3 x + 10 - 2 x$	=	$12$
$x + 10$	=	$12$	\| $- 10$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 10 + 2 \cdot 2$

= $- 10 + 4$

= $- 6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +2y = ?

-6x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-5x +2y = 15 +10 = 25

-6x +3y = 18 +15 = 33

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +2y = 25

-6x +3y = 33

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 12 x & + 8 y & = & 8 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 12 x & + 8 y & = & 8 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$12 x + 8 y$	=	$8$
$8 y + 12 x$	=	$8$	\| $- 12 x$
$8 y$	=	$8 - 12 x$	\|: $8$
$y$	=	$1 - \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (1 - \frac{3}{2} x) & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1 - \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot (1 - \frac{3}{2} x)$	=	$- 2$
$- 3 x - 2 + 3 x$	=	$- 2$
$- 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 2-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 5. Wenn man aber vom 6-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 0. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 2 y & = & 5 & (I) \\ 6 x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 2 y$	=	$5$	\| $- 2 y$
$x$	=	$5 - 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (5 - 2 y) & (I) \\ 6 x & - 3 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $5 - 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (5 - 2 y) - 3 y$	=	0
$30 - 12 y - 3 y$	=	0
$- 15 y + 30$	=	0	\| $- 30$
$- 15 y$	=	$- 30$	\|:( $- 15$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $5 - 2 \cdot 2$

= $5 - 4$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|9) und B(-4|36) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|36): 36 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 -1b +c |-1
36 = 16 -4b +c |-16

8 = -1b +c
20 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ - 4 b & + c & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$20$
$c - 4 b$	=	$20$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$20 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 8 & (I) \\ + c & = & (20 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $20 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (20 + 4 b)$	=	$8$
$- b + 20 + 4 b$	=	$8$
$3 b + 20$	=	$8$	\| $- 20$
$3 b$	=	$- 12$	\|: $3$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $20 + 4 \cdot (- 4)$

= $20 - 16$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-10) und B(1|10) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-10): -10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 -1b +c |-1
10 = 1 +1b +c |-1

-11 = -1b +c
9 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ b & + c & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$9$
$c + b$	=	$9$	\| $- b$
$c$	=	$9 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 11 & (I) \\ + c & = & (9 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $9 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (9 - b)$	=	$- 11$
$- b + 9 - b$	=	$- 11$
$- 2 b + 9$	=	$- 11$	\| $- 9$
$- 2 b$	=	$- 20$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $9 - 10$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-1)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 - 1$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 - 1$

= ${(x + 5)}^{2} - 26$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-26).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) - 1$ = $25 - 50 - 1$ = -26

also: S(-5|-26).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg