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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + y$ = $2$ .

Bestimme y so, dass (7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$7 + y$ = $2$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$7 + y$	=	$2$
$7 + y$	=	$2$
$y + 7$	=	$2$	\| $- 7$
$y$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (7|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- x - y$ = $- 1$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|5)
denn -1⋅( - 4 ) -1⋅5 = 4 -5 = $- 1$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|6)
denn -1⋅( - 5 ) -1⋅6 = 5 -6 = $- 1$

Oder : (-3|4)
denn -1⋅( - 3 ) -1⋅4 = 3 -4 = $- 1$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & = & 15 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & = & 15 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 3 x$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & - 5 & (I) \\ x & - 4 y & = & - 17 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $- 5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 5) - 4 y$	=	$- 17$
$- 5 - 4 y$	=	$- 17$
$- 4 y - 5$	=	$- 17$	\| $+ 5$
$- 4 y$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 14 & (I) \\ x & - 2 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 14 & (I) \\ x & - 2 y & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	$9$	\| $+ 2 y$
$x$	=	$9 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & - 14 & (I) \\ x & = & (9 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $9 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (9 + 2 y) + 3 y$	=	$- 14$
$- 18 - 4 y + 3 y$	=	$- 14$
$- y - 18$	=	$- 14$	\| $+ 18$
$- y$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $9 + 2 \cdot (- 4)$

= $9 - 8$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 2 x & + 5 y & = & - 21 & (I) \\ - 5 x & - y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 2 x & + 5 y & = & - 21 & (I) \\ - 5 x & - y & = & 15 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 5 x - y$	=	$15$
$- y - 5 x$	=	$15$	\| $+ 5 x$
$- y$	=	$15 + 5 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 15 - 5 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 5 y & = & - 21 & (I) \\ + y & = & (- 15 - 5 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 15 - 5 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 5 \cdot (- 15 - 5 x)$	=	$- 21$
$- 2 x - 75 - 25 x$	=	$- 21$
$- 27 x - 75$	=	$- 21$	\| $+ 75$
$- 27 x$	=	$54$	\|:( $- 27$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 15 - 5 \cdot (- 2)$

= $- 15 + 10$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 2 + 3 y$	=	$x$			(I)
$1 + 5 y$	=	$4 x - 7 + 9 y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 2 + 3 y$	=	$x$	\| + $2 - x$		(I)
$1 + 5 y$	=	$4 x - 7 + 9 y$	\| $- 1 - 4 x - 9 y$		(II)

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & 2 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 3 y$	=	$2$	\| $- 3 y$
$- x$	=	$2 - 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2 + 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (- 2 + 3 y) & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $- 2 + 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot (- 2 + 3 y) - 4 y$	=	$- 8$
$8 - 12 y - 4 y$	=	$- 8$
$- 16 y + 8$	=	$- 8$	\| $- 8$
$- 16 y$	=	$- 16$	\|:( $- 16$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $- 2 + 3 \cdot 1$

= $- 2 + 3$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +4y = ?

7x +10y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

3x +4y = -9 -12 = -21

7x +10y = -21 -30 = -51

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +4y = -21

7x +10y = -51

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 5 x & - y & = & 16 & (I) \\ - x & - 5 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & - y & = & 16 & (I) \\ - x & - 5 y & = & - 24 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 5 y$	=	$- 24$	\| $+ 5 y$
$- x$	=	$- 24 + 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$24 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 5 x & - y & = & 16 & (I) \\ x & = & (24 - 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $24 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (24 - 5 y) - y$	=	$16$
$120 - 25 y - y$	=	$16$
$- 26 y + 120$	=	$16$	\| $- 120$
$- 26 y$	=	$- 104$	\|:( $- 26$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $24 - 5 \cdot 4$

= $24 - 20$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 2 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 2 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 44 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 5 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 70 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & 44 & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 70 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 2 y$	=	$44$
$2 y + 2 x$	=	$44$	\| $- 2 x$
$2 y$	=	$44 - 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$22 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (22 - x) & (I) \\ 5 x & + 3 y & = & 70 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $22 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5 x + 3 \cdot (22 - x)$	=	$70$
$5 x + 66 - 3 x$	=	$70$
$2 x + 66$	=	$70$	\| $- 66$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $22 - 2$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (2|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|14) und B(3|38) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|14): 14 = 1² + b⋅1 +c

B(3|38): 38 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
14 = 1 +1b +c |-1
38 = 9 +3b +c |-9

13 = 1b +c
29 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 13 & (I) \\ 3 b & + c & = & 29 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$29$
$c + 3 b$	=	$29$	\| $- 3 b$
$c$	=	$29 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 13 & (I) \\ + c & = & (29 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $29 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (29 - 3 b)$	=	$13$
$b + 29 - 3 b$	=	$13$
$- 2 b + 29$	=	$13$	\| $- 29$
$- 2 b$	=	$- 16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $29 - 3 \cdot 8$

= $29 - 24$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (8|5)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x + 5$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|2) und B(3|6) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(3|6): 6 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
6 = 9 +3b +c |-9

1 = 1b +c
-3 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ 3 b & + c & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$3 b + c$	=	$- 3$
$c + 3 b$	=	$- 3$	\| $- 3 b$
$c$	=	$- 3 - 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (- 3 - 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 3 - 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 3 - 3 b)$	=	$1$
$b - 3 - 3 b$	=	$1$
$- 2 b - 3$	=	$1$	\| $+ 3$
$- 2 b$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 3 - 3 \cdot (- 2)$

= $- 3 + 6$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 3$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 3$

= ${(x - 1)}^{2} + 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 3$ = $1 - 2 + 3$ = 2

also: S(1|2).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg