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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 2 x - y$ = $20$ .

Bestimme y so, dass (-7|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$- 2 \cdot (- 7) - y$ = $20$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 7) - y$	=	$20$
$14 - y$	=	$20$
$- y + 14$	=	$20$	\| $- 14$
$- y$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 6$

Die Lösung ist somit: (-7|-6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 5 x - y$ = $- 28$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|-2)
denn -5⋅6 -1⋅( - 2 ) = -30 +2 = $- 28$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|3)
denn -5⋅5 -1⋅3 = -25 -3 = $- 28$

Oder : (7|-7)
denn -5⋅7 -1⋅( - 7 ) = -35 +7 = $- 28$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & - 1 & (I) \\ + 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & - 1 & (I) \\ + 2 y & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

$2 y$	=	$- 10$	\|: $2$
$y$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 3 x & - y & = & - 1 & (I) \\ + y & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $- 5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 1 \cdot (- 5)$	=	$- 1$
$- 3 x + 5$	=	$- 1$	\| $- 5$
$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 13 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 4 x & + y & = & - 13 & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x + y$	=	$- 13$
$y + 4 x$	=	$- 13$	\| $- 4 x$
$y$	=	$- 13 - 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 13 - 4 x) & (I) \\ - 2 x & + 4 y & = & - 16 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 13 - 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 2 x + 4 \cdot (- 13 - 4 x)$	=	$- 16$
$- 2 x - 52 - 16 x$	=	$- 16$
$- 18 x - 52$	=	$- 16$	\| $+ 52$
$- 18 x$	=	$36$	\|:( $- 18$ )
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 13 - 4 \cdot (- 2)$

= $- 13 + 8$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & - 32 & (I) \\ - x & + 5 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & - 32 & (I) \\ - x & + 5 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 5 y$	=	$11$	\| $- 5 y$
$- x$	=	$11 - 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 11 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 5 x & - 4 y & = & - 32 & (I) \\ x & = & (- 11 + 5 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 11 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 5 \cdot (- 11 + 5 y) - 4 y$	=	$- 32$
$55 - 25 y - 4 y$	=	$- 32$
$- 29 y + 55$	=	$- 32$	\| $- 55$
$- 29 y$	=	$- 87$	\|:( $- 29$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 11 + 5 \cdot 3$

= $- 11 + 15$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

0	=	$- 4 x + 39 - 5 y$			(I)
$x - 2$	=	$2 (- 1 + y)$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

0	=	$- 4 x + 39 - 5 y$			(I)
$x - 2$	=	$2 (- 1 + y)$			(II)

0	=	$- 4 x + 39 - 5 y$	\| + $4 x + 5 y$		(I)
$x - 2$	=	$- 2 + 2 y$	\| + $2 - 2 y$		(II)

\begin{matrix} 4 x & + 5 y & = & 39 & (I) \\ x & - 2 y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 2 y$	=	0	\| $+ 2 y$
$x$	=	$2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 4 x & + 5 y & = & 39 & (I) \\ x & = & 2 y & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $2 y$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot 2 y + 5 y$	=	$39$
$8 y + 5 y$	=	$39$
$13 y$	=	$39$	\|: $13$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $2 \cdot 3$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -1 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +4y = ?

-4x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-2x +4y = 2 -12 = -10

-4x +5y = 4 -15 = -11

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +4y = -10

-4x +5y = -11

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 5 x & + y & = & 4 & (I) \\ x & - 4 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 5 x & + y & = & 4 & (I) \\ x & - 4 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 4 y$	=	$5$	\| $+ 4 y$
$x$	=	$5 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} 5 x & + y & = & 4 & (I) \\ x & = & (5 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $5 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (5 + 4 y) + y$	=	$4$
$25 + 20 y + y$	=	$4$
$21 y + 25$	=	$4$	\| $- 25$
$21 y$	=	$- 21$	\|: $21$
$y$	=	$- 1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $5 + 4 \cdot (- 1)$

= $5 - 4$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-1)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 4 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 124 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 5 Halogenleuchten zusammen 137 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 6 x & + 4 y & = & 124 & (I) \\ 3 x & + 5 y & = & 137 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$6 x + 4 y$	=	$124$
$4 y + 6 x$	=	$124$	\| $- 6 x$
$4 y$	=	$124 - 6 x$	\|: $4$
$y$	=	$31 - \frac{3}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (31 - \frac{3}{2} x) & (I) \\ 3 x & + 5 y & = & 137 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $31 - \frac{3}{2} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 5 \cdot (31 - \frac{3}{2} x)$	=	$137$
$3 x + 155 - \frac{15}{2} x$	=	$137$
$- \frac{9}{2} x + 155$	=	$137$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{9}{2} x + 155)$	=	$274$
$- 9 x + 310$	=	$274$	\| $- 310$
$- 9 x$	=	$- 36$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $31 - \frac{3}{2} \cdot 4$

= $31 - 6$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (4|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|3) und B(-2|12) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|3): 3 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|12): 12 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 +1b +c |-1
12 = 4 -2b +c |-4

2 = 1b +c
8 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 2 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$8$
$c - 2 b$	=	$8$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$8 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 2 & (I) \\ + c & = & (8 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $8 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (8 + 2 b)$	=	$2$
$b + 8 + 2 b$	=	$2$
$3 b + 8$	=	$2$	\| $- 8$
$3 b$	=	$- 6$	\|: $3$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $8 + 2 \cdot (- 2)$

= $8 - 4$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-4) und B(-3|-16) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-16): -16 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
-16 = 9 -3b +c |-9

-5 = -1b +c
-25 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ - 3 b & + c & = & - 25 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 3 b + c$	=	$- 25$
$c - 3 b$	=	$- 25$	\| $+ 3 b$
$c$	=	$- 25 + 3 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 25 + 3 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 25 + 3 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 25 + 3 b)$	=	$- 5$
$- b - 25 + 3 b$	=	$- 5$
$2 b - 25$	=	$- 5$	\| $+ 25$
$2 b$	=	$20$	\|: $2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 25 + 3 \cdot 10$

= $- 25 + 30$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|5)

Jetzt können wir b= $10$ und c= $5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 10 x + 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 10 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 25 + 5$

= ${(x + 5)}^{2} - 20$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-20).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 10 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 10 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 10 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 10 x$	=	0
$x \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₂	=	$- 10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5) + 5$ = $25 - 50 + 5$ = -20

also: S(-5|-20).

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LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg