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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 2 y$ = $6$ .

Bestimme y so, dass (-6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$(- 6) + 2 y$ = $6$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$(- 6) + 2 y$	=	$6$
$- 6 + 2 y$	=	$6$
$2 y - 6$	=	$6$	\| $+ 6$
$2 y$	=	$12$	\|: $2$
$y$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (-6|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $5 x + 5 y$ = $50$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|6)
denn 5⋅4 +5⋅6 = 20 +30 = $50$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (9|1)
denn 5⋅9 +5⋅1 = 45 +5 = $50$

Oder : (-1|11)
denn 5⋅( - 1 ) +5⋅11 = -5 +55 = $50$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & 20 & (I) \\ 3 x & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & 20 & (I) \\ 3 x & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
$x$	=	$- 2$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 3 y & = & 20 & (I) \\ x & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 1 \cdot (- 2) + 3 y$	=	$20$
$2 + 3 y$	=	$20$
$3 y + 2$	=	$20$	\| $- 2$
$3 y$	=	$18$	\|: $3$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 7 & (I) \\ - x & + 4 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 7 & (I) \\ - x & + 4 y & = & 17 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 4 y$	=	$17$	\| $- 4 y$
$- x$	=	$17 - 4 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 17 + 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 2 y & = & - 7 & (I) \\ x & = & (- 17 + 4 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 17 + 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 17 + 4 y) - 2 y$	=	$- 7$
$- 17 + 4 y - 2 y$	=	$- 7$
$2 y - 17$	=	$- 7$	\| $+ 17$
$2 y$	=	$10$	\|: $2$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 17 + 4 \cdot 5$

= $- 17 + 20$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 5 y & = & - 13 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 5 y & = & - 13 & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 5 y$	=	$- 13$	\| $- 5 y$
$- x$	=	$- 13 - 5 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$13 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (13 + 5 y) & (I) \\ 5 x & - 5 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $13 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5 \cdot (13 + 5 y) - 5 y$	=	$5$
$65 + 25 y - 5 y$	=	$5$
$20 y + 65$	=	$5$	\| $- 65$
$20 y$	=	$- 60$	\|: $20$
$y$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $13 + 5 \cdot (- 3)$

= $13 - 15$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - \frac{3}{4} x & - \frac{3}{4} y & = & \frac{27}{4} & (I) \\ - \frac{1}{6} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{5}{3} & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - \frac{3}{4} x & - \frac{3}{4} y & = & \frac{27}{4} & (I) \\ - \frac{1}{6} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{5}{3} & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} y$	=	$\frac{27}{4}$
$- \frac{3}{4} y - \frac{3}{4} x$	=	$\frac{27}{4}$	\|⋅ 4
$4 (- \frac{3}{4} y - \frac{3}{4} x)$	=	$27$
$- 3 y - 3 x$	=	$27$	\| $+ 3 x$
$- 3 y$	=	$27 + 3 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- 9 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 9 - x) & (I) \\ - \frac{1}{6} x & - \frac{1}{5} y & = & \frac{5}{3} & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 9 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- \frac{1}{6} x - \frac{1}{5} \cdot (- 9 - x)$	=	$\frac{5}{3}$
$- \frac{1}{6} x + \frac{9}{5} + \frac{1}{5} x$	=	$\frac{5}{3}$
$\frac{1}{30} x + \frac{9}{5}$	=	$\frac{5}{3}$	\|⋅ 30
$30 (\frac{1}{30} x + \frac{9}{5})$	=	$50$
$x + 54$	=	$50$	\| $- 54$
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 9 - (- 4)$

= $- 9 + 4$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +4y = ?

-7x +8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-4x +4y = -4 -4 = -8

-7x +8y = -7 -8 = -15

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +4y = -8

-7x +8y = -15

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & 2 & (I) \\ - 6 x & + 9 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & 2 & (I) \\ - 6 x & + 9 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 3 y$	=	$2$
$- 3 y + 2 x$	=	$2$	\| $- 2 x$
$- 3 y$	=	$2 - 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$- \frac{2}{3} + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{2}{3} + \frac{2}{3} x) & (I) \\ - 6 x & + 9 y & = & - 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{2}{3} + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 6 x + 9 \cdot (- \frac{2}{3} + \frac{2}{3} x)$	=	$- 8$
$- 6 x - 6 + 6 x$	=	$- 8$
$- 6$	=	$- 8$	\| $+ 6$
0	=	$- 2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 8. Wenn man aber vom 2-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 6. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & 8 & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 4 y$	=	$8$	\| $- 4 y$
$x$	=	$8 - 4 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (8 - 4 y) & (I) \\ 2 x & - 2 y & = & 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $8 - 4 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (8 - 4 y) - 2 y$	=	$6$
$16 - 8 y - 2 y$	=	$6$
$- 10 y + 16$	=	$6$	\| $- 16$
$- 10 y$	=	$- 10$	\|:( $- 10$ )
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $8 - 4 \cdot 1$

= $8 - 4$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 1

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-11) und B(-4|-20) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-11): -11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-20): -20 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-11 = 1 -1b +c |-1
-20 = 16 -4b +c |-16

-12 = -1b +c
-36 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 12 & (I) \\ - 4 b & + c & = & - 36 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 4 b + c$	=	$- 36$
$c - 4 b$	=	$- 36$	\| $+ 4 b$
$c$	=	$- 36 + 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 12 & (I) \\ + c & = & (- 36 + 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 36 + 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 36 + 4 b)$	=	$- 12$
$- b - 36 + 4 b$	=	$- 12$
$3 b - 36$	=	$- 12$	\| $+ 36$
$3 b$	=	$24$	\|: $3$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 36 + 4 \cdot 8$

= $- 36 + 32$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-4)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-6) und B(-1|-2) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
-2 = 1 -1b +c |-1

-7 = 1b +c
-3 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ - b & + c & = & - 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$- 3$
$c - b$	=	$- 3$	\| $+ b$
$c$	=	$- 3 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 7 & (I) \\ + c & = & (- 3 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 3 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 3 + b)$	=	$- 7$
$b - 3 + b$	=	$- 7$
$2 b - 3$	=	$- 7$	\| $+ 3$
$2 b$	=	$- 4$	\|: $2$
$b$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 3 - 2$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

Jetzt können wir b= $- 2$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 2 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 - 5$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 - 5$

= ${(x - 1)}^{2} - 6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 - 5$ = $1 - 2 - 5$ = -6

also: S(1|-6).

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Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

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LGS (Standard)

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LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg