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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $4 x - 4 y$ = $- 12$ .

Bestimme x so, dass (x|7) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$4 x - 4 \cdot 7$ = $- 12$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4 x - 4 \cdot 7$	=	$- 12$
$4 x - 28$	=	$- 12$	\| $+ 28$
$4 x$	=	$16$	\|: $4$
$x$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (4|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $x + 5 y$ = $7$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|0)
denn 1⋅7 +5⋅0 = 7 +0 = $7$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (12|-1)
denn 1⋅12 +5⋅( - 1 ) = 12 -5 = $7$

Oder : (2|1)
denn 1⋅2 +5⋅1 = 2 +5 = $7$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 4 x & + 3 y & = & - 36 & (I) \\ x & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $- 6$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot (- 6) + 3 y$	=	$- 36$
$- 24 + 3 y$	=	$- 36$
$3 y - 24$	=	$- 36$	\| $+ 24$
$3 y$	=	$- 12$	\|: $3$
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ - 3 x & - y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ - 3 x & - y & = & 14 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 3 x - y$	=	$14$
$- y - 3 x$	=	$14$	\| $+ 3 x$
$- y$	=	$14 + 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 14 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - 3 y & = & 12 & (I) \\ + y & = & (- 14 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 14 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x - 3 \cdot (- 14 - 3 x)$	=	$12$
$x + 42 + 9 x$	=	$12$
$10 x + 42$	=	$12$	\| $- 42$
$10 x$	=	$- 30$	\|: $10$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 14 - 3 \cdot (- 3)$

= $- 14 + 9$

= $- 5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - 5 y & = & 23 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - 5 y & = & 23 & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x - 5 y$	=	$23$	\| $+ 5 y$
$x$	=	$23 + 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (23 + 5 y) & (I) \\ 2 x & - 3 y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $23 + 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (23 + 5 y) - 3 y$	=	$11$
$46 + 10 y - 3 y$	=	$11$
$7 y + 46$	=	$11$	\| $- 46$
$7 y$	=	$- 35$	\|: $7$
$y$	=	$- 5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $23 + 5 \cdot (- 5)$

= $23 - 25$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$x + 2 (1 + 2 y)$	=	$- 5$			(I)
$8 x + 11$	=	$4 x + y$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$x + 2 (1 + 2 y)$	=	$- 5$			(I)
$8 x + 11$	=	$4 x + y$			(II)

$x + 2 + 4 y$	=	$- 5$	\| $- 2$		(I)
$8 x + 11$	=	$4 x + y$	\| $- 11 - 4 x - y$		(II)

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 7 & (I) \\ 4 x & - y & = & - 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$4 x - y$	=	$- 11$
$- y + 4 x$	=	$- 11$	\| $- 4 x$
$- y$	=	$- 11 - 4 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$11 + 4 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 4 y & = & - 7 & (I) \\ + y & = & (11 + 4 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $11 + 4 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 4 \cdot (11 + 4 x)$	=	$- 7$
$x + 44 + 16 x$	=	$- 7$
$17 x + 44$	=	$- 7$	\| $- 44$
$17 x$	=	$- 51$	\|: $17$
$x$	=	$- 3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $11 + 4 \cdot (- 3)$

= $11 - 12$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +3y = ?

8x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

5x +3y = -15 -12 = -27

8x +2y = -24 -8 = -32

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +3y = -27

8x +2y = -32

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 17 & (I) \\ 3 x & + 5 y & = & 35 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 17 & (I) \\ 3 x & + 5 y & = & 35 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$- 17$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$- 17 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$17 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (17 - 3 y) & (I) \\ 3 x & + 5 y & = & 35 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $17 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3 \cdot (17 - 3 y) + 5 y$	=	$35$
$51 - 9 y + 5 y$	=	$35$
$- 4 y + 51$	=	$35$	\| $- 51$
$- 4 y$	=	$- 16$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $17 - 3 \cdot 4$

= $17 - 12$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 13. Wenn man aber vom 2-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -6. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 13 & (I) \\ 2 x & - 6 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$13$	\| $- 5 y$
$x$	=	$13 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (13 - 5 y) & (I) \\ 2 x & - 6 y & = & - 6 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $13 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2 \cdot (13 - 5 y) - 6 y$	=	$- 6$
$26 - 10 y - 6 y$	=	$- 6$
$- 16 y + 26$	=	$- 6$	\| $- 26$
$- 16 y$	=	$- 32$	\|:( $- 16$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $13 - 5 \cdot 2$

= $13 - 10$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 2

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(1|-9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-9): -9 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
-9 = 1 +1b +c |-1

6 = -1b +c
-10 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ b & + c & = & - 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$- 10$
$c + b$	=	$- 10$	\| $- b$
$c$	=	$- 10 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 6 & (I) \\ + c & = & (- 10 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 10 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (- 10 - b)$	=	$6$
$- b - 10 - b$	=	$6$
$- 2 b - 10$	=	$6$	\| $+ 10$
$- 2 b$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$- 8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 10 - (- 8)$

= $- 10 + 8$

= $- 2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-2)

Jetzt können wir b= $- 8$ und c= $- 2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 8 x - 2$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-4) und B(-1|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 +1b +c |-1
4 = 1 -1b +c |-1

-5 = 1b +c
3 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ - b & + c & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- b + c$	=	$3$
$c - b$	=	$3$	\| $+ b$
$c$	=	$3 + b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (3 + b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $3 + b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (3 + b)$	=	$- 5$
$b + 3 + b$	=	$- 5$
$2 b + 3$	=	$- 5$	\| $- 3$
$2 b$	=	$- 8$	\|: $2$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $3 - 4$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 - 1$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 - 1$

= ${(x - 2)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 - 1$ = $4 - 8 - 1$ = -5

also: S(2|-5).

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Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg