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Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,25 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 99 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips um nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 99⋅0.25 ≈ 24.75,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ = $\sqrt{99\cdot0.25\cdot0.75}$ ≈ 4.31

29.06 (24.75 + 4.31) und 20.44 (24.75 - 4.31) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 24.75 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 21 und 29 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 21 und 29 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=99 und p=0.25.

$P_{0.25}^{99} (21 \leq X \leq 29)$ =

...

P_{0.25}^{99} (X \leq 29)

P_{0.25}^{99} (X \leq 20)

≈ 0.8642 - 0.162 ≈ 0.7022
(TI-Befehl: binomcdf(99,0.25,29) - binomcdf(99,0.25,20))

n und p aus Erwartungswert und Standardabw.

Beispiel:

Bei einer Binomialverteilung sind der Erwartungswert μ = 192 und die Standardabweichung σ = 8 bekannt.

Bestimme die Parameter n (Stichprobengröße) und p (Einzelwahrscheinlichkeit) dieser Binomialverteilung.

Lösung einblenden

Für den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ gelten die Formeln:
(1) μ = n ⋅ p, also 192 = n ⋅ p
(2) σ = $\sqrt{n\cdotp\cdot(1-p)}$

Setzt man nun 8 für σ und 192 für n ⋅ p in die 2. Formel ein, so erhält man:

8 = $\sqrt{192\cdot(1-p)}$

(wenn man nun auf beiden Seiten quadriert braucht man anschließend keine Probe, weil wir es ausschließlich mit positiven Werten zu tun haben)

64 = 192 ⋅ (1-p) |:192

$\frac{64}{192}$ = 1-p

$\frac{1}{3}$ = 1-p

Also gilt p = 1 - $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{3}$

Jetzt kann man das n einfach durch Einsetzen von p in (1) bestimmen:

192 = n ⋅ $\frac{2}{3}$ |⋅ $\frac{3}{2}$

Somit gilt: n = 288