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Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 50 und p = 0.35
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

Lösung einblenden

Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 50 und p = 0.35 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 50 ⋅ 0.35 = 17.5

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{50 ⋅ 0.35 ⋅ 0.65}$ = $\sqrt{11.375}$ ≈ 3.37

n und p aus Erwartungswert und Standardabw.

Beispiel:

Bei einer Binomialverteilung sind der Erwartungswert μ = 12 und die Standardabweichung σ = 3 bekannt.

Bestimme die Parameter n (Stichprobengröße) und p (Einzelwahrscheinlichkeit) dieser Binomialverteilung.

Lösung einblenden

Für den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ gelten die Formeln:
(1) μ = n ⋅ p, also 12 = n ⋅ p
(2) σ = $\sqrt{n\cdotp\cdot(1-p)}$

Setzt man nun 3 für σ und 12 für n ⋅ p in die 2. Formel ein, so erhält man:

3 = $\sqrt{12\cdot(1-p)}$

(wenn man nun auf beiden Seiten quadriert braucht man anschließend keine Probe, weil wir es ausschließlich mit positiven Werten zu tun haben)

9 = 12 ⋅ (1-p) |:12

$\frac{9}{12}$ = 1-p

$\frac{3}{4}$ = 1-p

Also gilt p = 1 - $\frac{3}{4}$ = $\frac{1}{4}$

Jetzt kann man das n einfach durch Einsetzen von p in (1) bestimmen:

12 = n ⋅ $\frac{1}{4}$ |⋅ $4$

Somit gilt: n = 48