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Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Würfel wird 86 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=86⋅ 1 6 = 14.333333333333

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 14.333, also 0.8⋅ 14.333 = 11.467 und 120% von 14.333333333333, also 1.2⋅ 14.333 = 17.2

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 14.333333333333 entfernt sein darf als 11.467 bzw. 17.2, muss sie also zwischen 12 und 17 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p= 1 6 .

P 1 6 86 (12≤X≤17) =

...
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
...

P 1 6 86 (X≤17) - P 1 6 86 (X≤11) ≈ 0.8218 - 0.2092 ≈ 0.6126
(TI-Befehl: binomcdf(86, 1 6 ,17) - binomcdf(86, 1 6 ,11))

n und p aus Erwartungswert und Standardabw.

Beispiel:

Bei einer Binomialverteilung sind der Erwartungswert μ = 20 und die Standardabweichung σ = 4 bekannt.

Bestimme die Parameter n (Stichprobengröße) und p (Einzelwahrscheinlichkeit) dieser Binomialverteilung.

Lösung einblenden

Für den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ gelten die Formeln:
(1) μ = n ⋅ p, also 20 = n ⋅ p
(2) σ = n ⋅ p ⋅ (1-p)

Setzt man nun 4 für σ und 20 für n ⋅ p in die 2. Formel ein, so erhält man:

4 = 20⋅ (1-p)

(wenn man nun auf beiden Seiten quadriert braucht man anschließend keine Probe, weil wir es ausschließlich mit positiven Werten zu tun haben)

16 = 20 ⋅ (1-p) |:20

16 20 = 1-p

4 5 = 1-p

Also gilt p = 1 - 4 5 = 1 5

Jetzt kann man das n einfach durch Einsetzen von p in (1) bestimmen:

20 = n ⋅ 1 5 |⋅ 5

Somit gilt: n = 100