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Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=35%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 55 Versuchen nicht mehr als 15% von seinem Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=55⋅0.35 = 19.25

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 19.25, also 0.85⋅ 19.25 = 16.363 und 115% von 19.25, also 1.15⋅ 19.25 = 22.138

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 19.25 entfernt sein darf als 16.363 bzw. 22.138, muss sie also zwischen 17 und 22 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.35.

P0.3555 (17≤X≤22) =

...
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
...

P0.3555 (X≤22) - P0.3555 (X≤16) ≈ 0.8215 - 0.2203 ≈ 0.6012
(TI-Befehl: binomcdf(55,0.35,22) - binomcdf(55,0.35,16))

n und p aus Erwartungswert und Standardabw.

Beispiel:

Bei einer Binomialverteilung sind der Erwartungswert μ = 96 und die Standardabweichung σ = 8 bekannt.

Bestimme die Parameter n (Stichprobengröße) und p (Einzelwahrscheinlichkeit) dieser Binomialverteilung.

Lösung einblenden

Für den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ gelten die Formeln:
(1) μ = n ⋅ p, also 96 = n ⋅ p
(2) σ = n ⋅ p ⋅ (1-p)

Setzt man nun 8 für σ und 96 für n ⋅ p in die 2. Formel ein, so erhält man:

8 = 96⋅ (1-p)

(wenn man nun auf beiden Seiten quadriert braucht man anschließend keine Probe, weil wir es ausschließlich mit positiven Werten zu tun haben)

64 = 96 ⋅ (1-p) |:96

64 96 = 1-p

2 3 = 1-p

Also gilt p = 1 - 2 3 = 1 3

Jetzt kann man das n einfach durch Einsetzen von p in (1) bestimmen:

96 = n ⋅ 1 3 |⋅ 3

Somit gilt: n = 288