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cosh
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Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Würfel wird 86 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=86⋅ = 14.333333333333
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 14.333, also 0.8⋅ 14.333 = 11.467 und 120% von 14.333333333333, also 1.2⋅ 14.333 = 17.2
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 14.333333333333 entfernt sein darf als 11.467 bzw. 17.2, muss sie also zwischen 12 und 17 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(86,,17) - binomcdf(86,,11))
n und p aus Erwartungswert und Standardabw.
Beispiel:
Bei einer Binomialverteilung sind der Erwartungswert μ = 20 und die Standardabweichung σ = 4 bekannt.
Bestimme die Parameter n (Stichprobengröße) und p (Einzelwahrscheinlichkeit) dieser Binomialverteilung.
Für den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ gelten die Formeln:
(1) μ = n ⋅ p, also 20 = n ⋅ p
(2) σ =
Setzt man nun 4 für σ und 20 für n ⋅ p in die 2. Formel ein, so erhält man:
4 =
(wenn man nun auf beiden Seiten quadriert braucht man anschließend keine Probe, weil wir es ausschließlich mit positiven Werten zu tun haben)
16 = 20 ⋅ (1-p) |:20
= 1-p
= 1-p
Also gilt p = 1 - =
Jetzt kann man das n einfach durch Einsetzen von p in (1) bestimmen:
20 = n ⋅ |⋅
Somit gilt: n = 100