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Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 86 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=86⋅0.35 = 30.1

Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 30.1, also 0.8⋅ 30.1 = 24.08 und 120% von 30.1, also 1.2⋅ 30.1 = 36.12

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 30.1 entfernt sein darf als 24.08 bzw. 36.12, muss sie also zwischen 25 und 36 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p=0.35.

P0.3586 (25≤X≤36) =

...
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
...

P0.3586 (X≤36) - P0.3586 (X≤24) ≈ 0.9246 - 0.1013 ≈ 0.8233
(TI-Befehl: binomcdf(86,0.35,36) - binomcdf(86,0.35,24))

n und p aus Erwartungswert und Standardabw.

Beispiel:

Bei einer Binomialverteilung sind der Erwartungswert μ = 162 und die Standardabweichung σ = 9 bekannt.

Bestimme die Parameter n (Stichprobengröße) und p (Einzelwahrscheinlichkeit) dieser Binomialverteilung.

Lösung einblenden

Für den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ gelten die Formeln:
(1) μ = n ⋅ p, also 162 = n ⋅ p
(2) σ = n ⋅ p ⋅ (1-p)

Setzt man nun 9 für σ und 162 für n ⋅ p in die 2. Formel ein, so erhält man:

9 = 162⋅ (1-p)

(wenn man nun auf beiden Seiten quadriert braucht man anschließend keine Probe, weil wir es ausschließlich mit positiven Werten zu tun haben)

81 = 162 ⋅ (1-p) |:162

81 162 = 1-p

1 2 = 1-p

Also gilt p = 1 - 1 2 = 1 2

Jetzt kann man das n einfach durch Einsetzen von p in (1) bestimmen:

162 = n ⋅ 1 2 |⋅ 2

Somit gilt: n = 324