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Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 71 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 71⋅0.45 ≈ 31.95,
die Standardabweichung mit σ = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 71 ⋅0.45 ⋅ 0.55 ≈ 4.19

36.14 (31.95 + 4.19) und 27.76 (31.95 - 4.19) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 31.95 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 28 und 36 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 28 und 36 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=71 und p=0.45.

P0.4571 (28≤X≤36) =

...
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
...

P0.4571 (X≤36) - P0.4571 (X≤27) ≈ 0.861 - 0.1441 ≈ 0.7169
(TI-Befehl: binomcdf(71,0.45,36) - binomcdf(71,0.45,27))

n und p aus Erwartungswert und Standardabw.

Beispiel:

Bei einer Binomialverteilung sind der Erwartungswert μ = 20 und die Standardabweichung σ = 4 bekannt.

Bestimme die Parameter n (Stichprobengröße) und p (Einzelwahrscheinlichkeit) dieser Binomialverteilung.

Lösung einblenden

Für den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ gelten die Formeln:
(1) μ = n ⋅ p, also 20 = n ⋅ p
(2) σ = n ⋅ p ⋅ (1-p)

Setzt man nun 4 für σ und 20 für n ⋅ p in die 2. Formel ein, so erhält man:

4 = 20⋅ (1-p)

(wenn man nun auf beiden Seiten quadriert braucht man anschließend keine Probe, weil wir es ausschließlich mit positiven Werten zu tun haben)

16 = 20 ⋅ (1-p) |:20

16 20 = 1-p

4 5 = 1-p

Also gilt p = 1 - 4 5 = 1 5

Jetzt kann man das n einfach durch Einsetzen von p in (1) bestimmen:

20 = n ⋅ 1 5 |⋅ 5

Somit gilt: n = 100