nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=30%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 92 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 92⋅0.3 ≈ 27.6,
die Standardabweichung mit σ = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 92 ⋅0.3 ⋅ 0.7 ≈ 4.4

32 (27.6 + 4.4) und 23.2 (27.6 - 4.4) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 27.6 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 24 und 31 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 24 und 31 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=92 und p=0.3.

P0.392 (24≤X≤31) =

...
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
...

P0.392 (X≤31) - P0.392 (X≤23) ≈ 0.8134 - 0.176 ≈ 0.6374
(TI-Befehl: binomcdf(92,0.3,31) - binomcdf(92,0.3,23))

n und p aus Erwartungswert und Standardabw.

Beispiel:

Bei einer Binomialverteilung sind der Erwartungswert μ = 90 und die Standardabweichung σ = 6 bekannt.

Bestimme die Parameter n (Stichprobengröße) und p (Einzelwahrscheinlichkeit) dieser Binomialverteilung.

Lösung einblenden

Für den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ gelten die Formeln:
(1) μ = n ⋅ p, also 90 = n ⋅ p
(2) σ = n ⋅ p ⋅ (1-p)

Setzt man nun 6 für σ und 90 für n ⋅ p in die 2. Formel ein, so erhält man:

6 = 90⋅ (1-p)

(wenn man nun auf beiden Seiten quadriert braucht man anschließend keine Probe, weil wir es ausschließlich mit positiven Werten zu tun haben)

36 = 90 ⋅ (1-p) |:90

36 90 = 1-p

2 5 = 1-p

Also gilt p = 1 - 2 5 = 3 5

Jetzt kann man das n einfach durch Einsetzen von p in (1) bestimmen:

90 = n ⋅ 3 5 |⋅ 5 3

Somit gilt: n = 150