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Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 77 und p = 0.05
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 77 und p = 0.05 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 77 ⋅ 0.05 = 3.85

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 77 ⋅ 0.05 ⋅ 0.95 = 3.6575 1.91

n und p aus Erwartungswert und Standardabw.

Beispiel:

Bei einer Binomialverteilung sind der Erwartungswert μ = 32 und die Standardabweichung σ = 4 bekannt.

Bestimme die Parameter n (Stichprobengröße) und p (Einzelwahrscheinlichkeit) dieser Binomialverteilung.

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Für den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ gelten die Formeln:
(1) μ = n ⋅ p, also 32 = n ⋅ p
(2) σ = n p (1-p)

Setzt man nun 4 für σ und 32 für n ⋅ p in die 2. Formel ein, so erhält man:

4 = 32 (1-p)

(wenn man nun auf beiden Seiten quadriert braucht man anschließend keine Probe, weil wir es ausschließlich mit positiven Werten zu tun haben)

16 = 32 ⋅ (1-p) |:32

16 32 = 1-p

1 2 = 1-p

Also gilt p = 1 - 1 2 = 1 2

Jetzt kann man das n einfach durch Einsetzen von p in (1) bestimmen:

32 = n ⋅ 1 2 |⋅ 2

Somit gilt: n = 64