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Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 70 und p = 0.15
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

Lösung einblenden

Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 70 und p = 0.15 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 70 ⋅ 0.15 = 10.5

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{n ⋅ p ⋅ (1-p)}$ = $\sqrt{70 ⋅ 0.15 ⋅ 0.85}$ = $\sqrt{8.925}$ ≈ 2.99

n und p aus Erwartungswert und Standardabw.

Beispiel:

Bei einer Binomialverteilung sind der Erwartungswert μ = 36 und die Standardabweichung σ = 3 bekannt.

Bestimme die Parameter n (Stichprobengröße) und p (Einzelwahrscheinlichkeit) dieser Binomialverteilung.

Lösung einblenden

Für den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ gelten die Formeln:
(1) μ = n ⋅ p, also 36 = n ⋅ p
(2) σ = $\sqrt{n\cdotp\cdot(1-p)}$

Setzt man nun 3 für σ und 36 für n ⋅ p in die 2. Formel ein, so erhält man:

3 = $\sqrt{36\cdot(1-p)}$

(wenn man nun auf beiden Seiten quadriert braucht man anschließend keine Probe, weil wir es ausschließlich mit positiven Werten zu tun haben)

9 = 36 ⋅ (1-p) |:36

$\frac{9}{36}$ = 1-p

$\frac{1}{4}$ = 1-p

Also gilt p = 1 - $\frac{1}{4}$ = $\frac{3}{4}$

Jetzt kann man das n einfach durch Einsetzen von p in (1) bestimmen:

36 = n ⋅ $\frac{3}{4}$ |⋅ $\frac{4}{3}$

Somit gilt: n = 48