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Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 48 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 48⋅ 1 6 ≈ 8,
die Standardabweichung mit σ = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 48 ⋅ 1 6 ⋅ 5 6 ≈ 2.58

10.58 (8 + 2.58) und 5.42 (8 - 2.58) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 8 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 6 und 10 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 6 und 10 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p= 1 6 .

P 1 6 48 (6≤X≤10) =

...
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
...

P 1 6 48 (X≤10) - P 1 6 48 (X≤5) ≈ 0.8348 - 0.1667 ≈ 0.6681
(TI-Befehl: binomcdf(48, 1 6 ,10) - binomcdf(48, 1 6 ,5))

n und p aus Erwartungswert und Standardabw.

Beispiel:

Bei einer Binomialverteilung sind der Erwartungswert μ = 150 und die Standardabweichung σ = 5 bekannt.

Bestimme die Parameter n (Stichprobengröße) und p (Einzelwahrscheinlichkeit) dieser Binomialverteilung.

Lösung einblenden

Für den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ gelten die Formeln:
(1) μ = n ⋅ p, also 150 = n ⋅ p
(2) σ = n ⋅ p ⋅ (1-p)

Setzt man nun 5 für σ und 150 für n ⋅ p in die 2. Formel ein, so erhält man:

5 = 150⋅ (1-p)

(wenn man nun auf beiden Seiten quadriert braucht man anschließend keine Probe, weil wir es ausschließlich mit positiven Werten zu tun haben)

25 = 150 ⋅ (1-p) |:150

25 150 = 1-p

1 6 = 1-p

Also gilt p = 1 - 1 6 = 5 6

Jetzt kann man das n einfach durch Einsetzen von p in (1) bestimmen:

150 = n ⋅ 5 6 |⋅ 6 5

Somit gilt: n = 180