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Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=25%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 67 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 67⋅0.25 ≈ 16.75,
die Standardabweichung mit σ = n p (1-p) = 67 0.25 0.75 ≈ 3.54

20.29 (16.75 + 3.54) und 13.21 (16.75 - 3.54) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 16.75 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 14 und 20 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 14 und 20 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=0.25.

P0.2567 (14X20) =

...
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
...

P0.2567 (X20) - P0.2567 (X13) ≈ 0.8546 - 0.1805 ≈ 0.6741
(TI-Befehl: binomcdf(67,0.25,20) - binomcdf(67,0.25,13))

n und p aus Erwartungswert und Standardabw.

Beispiel:

Bei einer Binomialverteilung sind der Erwartungswert μ = 192 und die Standardabweichung σ = 8 bekannt.

Bestimme die Parameter n (Stichprobengröße) und p (Einzelwahrscheinlichkeit) dieser Binomialverteilung.

Lösung einblenden

Für den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ gelten die Formeln:
(1) μ = n ⋅ p, also 192 = n ⋅ p
(2) σ = n p (1-p)

Setzt man nun 8 für σ und 192 für n ⋅ p in die 2. Formel ein, so erhält man:

8 = 192 (1-p)

(wenn man nun auf beiden Seiten quadriert braucht man anschließend keine Probe, weil wir es ausschließlich mit positiven Werten zu tun haben)

64 = 192 ⋅ (1-p) |:192

64 192 = 1-p

1 3 = 1-p

Also gilt p = 1 - 1 3 = 2 3

Jetzt kann man das n einfach durch Einsetzen von p in (1) bestimmen:

192 = n ⋅ 2 3 |⋅ 3 2

Somit gilt: n = 288