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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 20 mal geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 2 mal eine 6 geworfen wird.

Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.

P(X = 2) = $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) \cdot {(\frac{d}{6})}^{c} \cdot {(\frac{1}{6})}^{e}$

Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 20 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 2 mal getroffen und 18 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=20 und b=2 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $(\begin{matrix} 20 \\ 2 \end{matrix})$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 2 Treffer und 18 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${(\frac{1}{6})}^{2}$ ⋅ ${(\frac{5}{6})}^{18}$ oder eben (einfach vertauscht) ${(\frac{5}{6})}^{18}$ ⋅ ${(\frac{1}{6})}^{2}$

Somit muss d = 5, sowie c = 18 und e = 2 sein.

Bernoulli-Formel vervollständigen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 15 mal geworfen.

Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = 1 - ${(\frac{5}{6})}^{15}$ - $(\begin{matrix} 15 \\ a \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{1} \cdot {(\frac{b}{6})}^{c}$ die Wahrscheinlichkeit angeben?

Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.

Lösung einblenden

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine 6 gewürfelt)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird keine 6 gewürfelt)

Beim Summand ${(\frac{5}{6})}^{15}$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=15 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 15 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=15).

Beim hinteren längeren Term erkennt man die Potenz ${(\frac{1}{6})}^{1}$ , bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=14).

Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 0 und 1 Treffer möglich sind, also 2, 3, ..., kurz P(X≥2) bzw. P(Y≤13).

X: Treffer:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Y: keine Treffer:

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Somit ist die gesuchte Option: Mehr als 1 mal wird eine 6 gewürfelt.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 15 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 14 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 14 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $(\begin{matrix} 15 \\ 1 \end{matrix})$ , also ist a = 1 (hier ist auch a=14 möglich).

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,2 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 90 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 10 Stück dieser Stichprobe gleich mal genau 3 defekt sind und von den restlichen der Stickprobe höchstens 18 nicht funktionieren.

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Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.2.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.2}^{10} (X = 3)$ ≈ 0.2013.

Analog betrachten wir nun die restlichen 80 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der defekten Chips an. Y ist binomialverteilt mit n=80 und p=0.2.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.2}^{80} (Y \leq 18)$ ≈ 0.7621.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.2}^{10} (X = 3)$ ⋅ $P_{0.2}^{80} (Y \leq 18)$ = 0.2013 ⋅ 0.7621 ≈ 0.1534

zwei unabhängige Binom.

Beispiel:

Beim Torwandschießen muss man immer 3 mal rechts unten und dann 3 mal links oben versuchen zu treffen. Ein Fußballspieler hat unten ein Trefferwahrscheinlichkeit von 40% und oben 30%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er insgesamt 4 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von genau 4 kommen kann:

1 mal unten und 3 mal oben
2 mal unten und 2 mal oben
3 mal unten und 1 mal oben

1 mal unten und 3 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal unten ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.

P_{0.4}^{3} (X = 1)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {0.4}^{1} \cdot {0.6}^{2}

≈ 0.432
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal oben ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.

P_{0.3}^{3} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{3} \cdot {0.7}^{0}

≈ 0.027
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.432 ⋅ 0.027 = 0.011664

2 mal unten und 2 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal unten ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.

P_{0.4}^{3} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.4}^{2} \cdot {0.6}^{1}

≈ 0.288
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal oben ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.

P_{0.3}^{3} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{2} \cdot {0.7}^{1}

≈ 0.189
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.288 ⋅ 0.189 = 0.054432

3 mal unten und 1 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal unten ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.

P_{0.4}^{3} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.4}^{3} \cdot {0.6}^{0}

≈ 0.064
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal oben ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.

P_{0.3}^{3} (X = 1)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{1} \cdot {0.7}^{2}

≈ 0.441
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.064 ⋅ 0.441 = 0.028224

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:

0.0117 + 0.0544 + 0.0282 = 0.0943

Kombination Binom.-Baumdiagramm

Beispiel:

Ein 10-Klässler bekommt im Schulsport eine 1 als Teilnote, wenn er beim Basketball von 20 Korblegerversuchen mindestens 15 trifft. Weil der Sportlehrer ein nettes Weichei ist, darf der Schüler den Test noch ein zweites mal probieren, wenn er unzufrieden ist. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler mit seiner Trefferquote von 80% eine 1 bekommt?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 15 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.8,
also $P_{0.8}^{20} (X \geq 15)$ .

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.8}^{20} (X \geq 15)$ = 1 - $P_{0.8}^{20} (X \leq 14)$

≈ 1 - 0.1958 ≈ 0.8042 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.8,14))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.8042) und 'zu wenig'(p=0.1958).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Ereignis	P
genügend Treffer -> genügend Treffer	$0,6467$
genügend Treffer -> zu wenig	$0,1575$
zu wenig -> genügend Treffer	$0,1575$
zu wenig -> zu wenig	$0,0383$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("genügend Treffer")= $0,8042$ ; P("zu wenig")= $0,1958$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'genügend Treffer'-'zu wenig' (P= $0,1575$ )
'zu wenig'-'genügend Treffer' (P= $0,1575$ )
'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P= $0,6467$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0,1575$ + $0,1575$ + $0,6467$ = $0,9617$

feste Reihenfolge im Binomialkontext

Beispiel:

Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich 10%. Es wird 7 mal gedreht.Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 4 mal in den grünen Bereich gedreht wird und diese Drehungen unmittelbar hintereinander erfolgen (also ohne, dass dazwischen mal nicht in den grünen Bereich gedreht wird).

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Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 7 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix})$ ⋅ ${0.1}^{4}$ ⋅ ${0.9}^{3}$

Dabei gibt ja ${0.1}^{4}$ ⋅ ${0.9}^{3}$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 3 Nicht-Treffern und $(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix})$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix})$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOOO

OXXXXOO

OOXXXXO

OOOXXXX

Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 4 ⋅ ${0.1}^{4}$ ⋅ ${0.9}^{3}$ ≈ 0.0003

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Bernoulli-Formel vervollständigen

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

zwei unabhängige Binom.

Kombination Binom.-Baumdiagramm

feste Reihenfolge im Binomialkontext