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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 20 mal geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 14 mal eine 6 geworfen wird.

Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.

P(X = 14) = $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) \cdot {(\frac{d}{6})}^{c} \cdot {(\frac{1}{6})}^{e}$

Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 20 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 14 mal getroffen und 6 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=20 und b=14 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $(\begin{matrix} 20 \\ 14 \end{matrix})$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 14 Treffer und 6 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${(\frac{1}{6})}^{14}$ ⋅ ${(\frac{5}{6})}^{6}$ oder eben (einfach vertauscht) ${(\frac{5}{6})}^{6}$ ⋅ ${(\frac{1}{6})}^{14}$

Somit muss d = 5, sowie c = 6 und e = 14 sein.

Bernoulli-Formel vervollständigen

Beispiel:

Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich 20%. Es wird 5 mal gedreht.

Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = ${0.8}^{5}$ + $(\begin{matrix} 5 \\ a \end{matrix}) \cdot {0.2}^{1} \cdot b^{c}$ die Wahrscheinlichkeit angeben?

Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.

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Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird in den grünen Bereich gedreht)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird nicht in den grünen Bereich gedreht)

Beim ersten Summand ${0.8}^{5}$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=5 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 5 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=5).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.2}^{1}$ , bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=4).

X: Treffer:

0

1

2

3

4

5

Y: keine Treffer:

5

4

3

2

1

0

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1) bzw. P(Y≥4)

Somit ist die gesuchte Option: Höchstens 1 mal wird in den grünen Bereich gedreht.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.8.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 5 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 4 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 4 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix})$ , also ist a = 1 (hier ist auch a=4 möglich).

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,27 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 70 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 10 Stück dieser Stichprobe gleich mal genau 2 defekt sind und von den restlichen der Stickprobe höchstens 10 nicht funktionieren.

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Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.27.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.27}^{10} (X = 2)$ ≈ 0.2646.

Analog betrachten wir nun die restlichen 60 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der defekten Chips an. Y ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.27.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.27}^{60} (Y \leq 10)$ ≈ 0.0439.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.27}^{10} (X = 2)$ ⋅ $P_{0.27}^{60} (Y \leq 10)$ = 0.2646 ⋅ 0.0439 ≈ 0.0116

zwei unabhängige Binom.

Beispiel:

Ein Mitarbeiter der Stadtwerke bekommt den Auftrag am Freitag bei 60 und am Samstag bei 40 Haushalten den Gas- und den Stromzähler abzulesen. Als ihn seine Frau fragt, was er denn glaubt, wie viele der Kunden überhaupt zuhause wären und die Tür öffnen würden, sagr er: Ich denke, dass ich am Freitag so zwischen 30 und 35 am Samstag so zwischen 24 und 28 erreichen werde. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihm die Tür geöffnet wird, am Samstag mit 62% höher als am Freitag mit 54%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Prognose zutrifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 35 Treffer bei 60 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.54 zu erzielen, also

P_{0.54}^{60} (30 \leq X \leq 35)

.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als

P_{0.54}^{60} (X \leq 35)

-

P_{0.54}^{60} (X \leq 29)

≈ 0.7885 - 0.226 ≈ 0.5625 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(60,0.54,35)- binomcdf(60,0.54,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 28 Treffer bei 40 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.62 zu erzielen, also

P_{0.62}^{40} (24 \leq X \leq 28)

.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als

P_{0.62}^{40} (X \leq 28)

-

P_{0.62}^{40} (X \leq 23)

≈ 0.8874 - 0.3323 ≈ 0.5551 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(40,0.62,28)- binomcdf(40,0.62,23)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.5625 ⋅ 0.5551 ≈ 0.3122

Kombination Binom.-Baumdiagramm

Beispiel:

Ein 10-Klässler bekommt im Schulsport eine 1 als Teilnote, wenn er beim Basketball von 20 Korblegerversuchen mindestens 18 trifft. Weil der Sportlehrer ein nettes Weichei ist, darf der Schüler den Test noch ein zweites mal probieren, wenn er unzufrieden ist. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler mit seiner Trefferquote von 89% eine 1 bekommt?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 18 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.89,
also $P_{0.89}^{20} (X \geq 18)$ .

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.89}^{20} (X \geq 18)$ = 1 - $P_{0.89}^{20} (X \leq 17)$

≈ 1 - 0.3802 ≈ 0.6198 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.89,17))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.6198) und 'zu wenig'(p=0.3802).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Ereignis	P
genügend Treffer -> genügend Treffer	$0,3842$
genügend Treffer -> zu wenig	$0,2356$
zu wenig -> genügend Treffer	$0,2356$
zu wenig -> zu wenig	$0,1446$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $0,6198$ ; zu wenig: $0,3802$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'genügend Treffer'-'zu wenig' (P= $0,2356$ )
'zu wenig'-'genügend Treffer' (P= $0,2356$ )
'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P= $0,3842$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0,2356$ + $0,2356$ + $0,3842$ = $0,8554$

feste Reihenfolge im Binomialkontext

Beispiel:

Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich 10%. Es wird 6 mal gedreht.Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 3 mal in den grünen Bereich gedreht wird und diese Drehungen unmittelbar hintereinander erfolgen (also ohne, dass dazwischen mal nicht in den grünen Bereich gedreht wird).

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Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $(\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix})$ ⋅ ${0.1}^{3}$ ⋅ ${0.9}^{3}$

Dabei gibt ja ${0.1}^{3}$ ⋅ ${0.9}^{3}$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 3 Nicht-Treffern und $(\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix})$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $(\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix})$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOO

OXXXOO

OOXXXO

OOOXXX

Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 4 ⋅ ${0.1}^{3}$ ⋅ ${0.9}^{3}$ ≈ 0.0029

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Bernoulli-Formel vervollständigen

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

zwei unabhängige Binom.

Kombination Binom.-Baumdiagramm

feste Reihenfolge im Binomialkontext