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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,55. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit bei 40 Versuchen genau 17 mal im grünen Bereich zu landen.

Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.

P(X = 17) = $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) \cdot d^{c} \cdot {0.55}^{e}$

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Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 40 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 17 mal getroffen und 23 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=40 und b=17 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $(\begin{matrix} 40 \\ 17 \end{matrix})$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 17 Treffer und 23 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.55}^{17}$ ⋅ ${0.45}^{23}$ oder eben (einfach vertauscht) ${0.45}^{23}$ ⋅ ${0.55}^{17}$

Somit muss d = 0.45, sowie c = 23 und e = 17 sein.

Bernoulli-Formel vervollständigen

Beispiel:

Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich 40%. Es wird 15 mal gedreht.

Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = 1 - ${0.6}^{15}$ - $(\begin{matrix} 15 \\ a \end{matrix}) \cdot {0.4}^{1} \cdot b^{c}$ die Wahrscheinlichkeit angeben?

Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.

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Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird in den grünen Bereich gedreht)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird nicht in den grünen Bereich gedreht)

Beim Summand ${0.6}^{15}$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=15 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 15 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=15).

Beim hinteren längeren Term erkennt man die Potenz ${0.4}^{1}$ , bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=14).

Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 0 und 1 Treffer möglich sind, also 2, 3, ..., kurz P(X≥2) bzw. P(Y≤13).

X: Treffer:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Y: keine Treffer:

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 2 mal wird in den grünen Bereich gedreht.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.6.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 15 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 14 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 14 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $(\begin{matrix} 15 \\ 1 \end{matrix})$ , also ist a = 1 (hier ist auch a=14 möglich).

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit, im grünen Bereich zu landen, bei p=0,8. Es wird 30 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses:Von den ersten 15 Versuchen landen genau 13 Versuche im grünen Bereich und von den restlichen Versuchen wird mindestens 12 mal auf grün gedreht.

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Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 15 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=15 und p=0.8.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.8}^{15} (X = 13)$ ≈ 0.2309.

Analog betrachten wir nun die restlichen 15 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=15 und p=0.8.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.8}^{15} (Y \geq 12)$ = 1- $P_{0.8}^{15} (Y \leq 11)$ ≈ 0.6482.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.8}^{15} (X = 13)$ ⋅ $P_{0.8}^{15} (Y \geq 12)$ = 0.2309 ⋅ 0.6482 ≈ 0.1497

zwei unabhängige Binom.

Beispiel:

Ein Mitarbeiter der Stadtwerke bekommt den Auftrag am Freitag bei 65 und am Samstag bei 35 Haushalten den Gas- und den Stromzähler abzulesen. Als ihn seine Frau fragt, was er denn glaubt, wie viele der Kunden überhaupt zuhause wären und die Tür öffnen würden, sagt er: Ich denke, dass ich am Freitag so zwischen 24 und 36 am Samstag so zwischen 24 und 28 erreichen werde. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihm die Tür geöffnet wird, am Samstag mit 63% höher als am Freitag mit 58%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Prognose zutrifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 36 Treffer bei 65 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.58 zu erzielen, also

P_{0.58}^{65} (24 \leq X \leq 36)

.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als

P_{0.58}^{65} (X \leq 36)

-

P_{0.58}^{65} (X \leq 23)

≈ 0.3793 - 0.0002 ≈ 0.3791 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(65,0.58,36)- binomcdf(65,0.58,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 28 Treffer bei 35 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.63 zu erzielen, also

P_{0.63}^{35} (24 \leq X \leq 28)

.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als

P_{0.63}^{35} (X \leq 28)

-

P_{0.63}^{35} (X \leq 23)

≈ 0.9908 - 0.6898 ≈ 0.301 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(35,0.63,28)- binomcdf(35,0.63,23)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.3791 ⋅ 0.301 ≈ 0.1141

Kombination Binom.-Baumdiagramm

Beispiel:

Bei einer Fluggesellschaft treten 16% der Besitzer gültiger Flugtickets ihren Flug nicht an. Deswegen verkauft die Fluggesellschaft immer 107 Tickets für ihr Flugzeug mit 99 Plätzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei drei aufeinanderfolgenden Flügen nicht öfters als einmal zu der peinlichen Situation kommt, dass mehr Fluggäste ihren Flug antreten wollen, als Plätze frei sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=107 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 99 Treffer bei 107 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.84, also $P_{0.84}^{107} (X \leq 99)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=107 und p=0.84.

P_{0.84}^{107} (X \leq 99)

=

P_{0.84}^{107} (X = 0)

+

P_{0.84}^{107} (X = 1)

+

P_{0.84}^{107} (X = 2)

+... +

P_{0.84}^{107} (X = 99)

= 0.99716568417468 ≈ 0.9972
(TI-Befehl: binomcdf(107,0.84,99))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9972) und 'überbucht'(p=0.0028).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Ereignis	P
nicht überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht	$0,9916$
nicht überbucht -> nicht überbucht -> überbucht	$0,0028$
nicht überbucht -> überbucht -> nicht überbucht	$0,0028$
nicht überbucht -> überbucht -> überbucht	$0$
überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht	$0,0028$
überbucht -> nicht überbucht -> überbucht	$0$
überbucht -> überbucht -> nicht überbucht	$0$
überbucht -> überbucht -> überbucht	$0$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("nicht überbucht")= $0,9972$ ; P("überbucht")= $0,0028$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P= $0,9916$ )
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P= $0,0028$ )
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P= $0,0028$ )
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P= $0,0028$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0,9916$ + $0,0028$ + $0,0028$ + $0,0028$ = $1$

feste Reihenfolge im Binomialkontext

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 9 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 3 blaue Kugeln gezogen werden und diese aber unmittelbar hintereinander gezogen werden (also ohne, dass dazwischen mal eine rote gezogen wird).

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Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 9 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix})$ ⋅ ${0.7}^{3}$ ⋅ ${0.3}^{6}$

Dabei gibt ja ${0.7}^{3}$ ⋅ ${0.3}^{6}$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 6 Nicht-Treffern und $(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix})$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix})$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOOOOO

OXXXOOOOO

OOXXXOOOO

OOOXXXOOO

OOOOXXXOO

OOOOOXXXO

OOOOOOXXX

Es gibt also genau 7 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 7 ⋅ ${0.7}^{3}$ ⋅ ${0.3}^{6}$ ≈ 0.0018

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Bernoulli-Formel vervollständigen

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

zwei unabhängige Binom.

Kombination Binom.-Baumdiagramm

feste Reihenfolge im Binomialkontext