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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 100 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 8 blaue Kugeln gezogen werden.

Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.

P(X = 8) = $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) \cdot {0.7}^{c} \cdot d^{e}$

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Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 100 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 8 mal getroffen und 92 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=100 und b=8 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $(\begin{matrix} 100 \\ 8 \end{matrix})$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 8 Treffer und 92 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.7}^{8}$ ⋅ ${0.3}^{92}$

Somit muss d = 0.3, sowie c = 8 und e = 92 sein.

Bernoulli-Formel vervollständigen

Beispiel:

Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich 10%. Es wird 15 mal gedreht.

Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = ${0.9}^{15}$ + $(\begin{matrix} 15 \\ a \end{matrix}) \cdot {0.1}^{1} \cdot b^{c}$ die Wahrscheinlichkeit angeben?

Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.

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Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird in den grünen Bereich gedreht)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird nicht in den grünen Bereich gedreht)

Beim ersten Summand ${0.9}^{15}$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=15 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 15 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=15).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.1}^{1}$ , bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=14).

X: Treffer:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Y: keine Treffer:

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1) bzw. P(Y≥14)

Somit ist die gesuchte Option: Höchstens 1 mal wird in den grünen Bereich gedreht.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.9.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 15 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 14 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 14 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $(\begin{matrix} 15 \\ 1 \end{matrix})$ , also ist a = 1 (hier ist auch a=14 möglich).

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 75% und wirft 26 mal auf dem Korb. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von den ersten 16 Versuchen genau 13 mal und von den restlichen Versuchen höchstens 9 mal trifft.

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Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 16 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. X ist binomialverteilt mit n=16 und p=0.75.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.75}^{16} (X = 13)$ ≈ 0.2079.

Analog betrachten wir nun die restlichen 10 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. Y ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.75.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.75}^{10} (Y \leq 9)$ ≈ 0.9437.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.75}^{16} (X = 13)$ ⋅ $P_{0.75}^{10} (Y \leq 9)$ = 0.2079 ⋅ 0.9437 ≈ 0.1962

zwei unabhängige Binom.

Beispiel:

Ein Mitarbeiter der Stadtwerke bekommt den Auftrag am Freitag bei 65 und am Samstag bei 35 Haushalten den Gas- und den Stromzähler abzulesen. Als ihn seine Frau fragt, was er denn glaubt, wie viele der Kunden überhaupt zuhause wären und die Tür öffnen würden, sagt er: Ich denke, dass ich am Freitag so zwischen 30 und 34 am Samstag so zwischen 19 und 28 erreichen werde. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihm die Tür geöffnet wird, am Samstag mit 75% höher als am Freitag mit 43%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Prognose zutrifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 34 Treffer bei 65 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.43 zu erzielen, also

P_{0.43}^{65} (30 \leq X \leq 34)

.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als

P_{0.43}^{65} (X \leq 34)

-

P_{0.43}^{65} (X \leq 29)

≈ 0.949 - 0.6528 ≈ 0.2962 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(65,0.43,34)- binomcdf(65,0.43,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 19 und 28 Treffer bei 35 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.75 zu erzielen, also

P_{0.75}^{35} (19 \leq X \leq 28)

.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als

P_{0.75}^{35} (X \leq 28)

-

P_{0.75}^{35} (X \leq 18)

≈ 0.808 - 0.0022 ≈ 0.8058 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(35,0.75,28)- binomcdf(35,0.75,18)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.2962 ⋅ 0.8058 ≈ 0.2387

Kombination Binom.-Baumdiagramm

Beispiel:

Ein fernöstlicher LED-Hersteller hat Probleme in der Qualitätssicherung, so dass 7% seiner Leuchtmittel defekt sind. Diese werden in Kartons a 50 Stück verpackt. Ein Großhändler öffnet testweise zwei Kartons der Lieferung und prüft die darin enthaltenen Leuchtmittel. Nur wenn in keiner der Packungen mehr als 4 Stück defekt sind nimmt er die Lieferung an. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Lieferung annimmt?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 4 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.07, also $P_{0.07}^{50} (X \leq 4)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.07.

P_{0.07}^{50} (X \leq 4)

=

P_{0.07}^{50} (X = 0)

+

P_{0.07}^{50} (X = 1)

+

P_{0.07}^{50} (X = 2)

+... +

P_{0.07}^{50} (X = 4)

= 0.72902690999887 ≈ 0.729
(TI-Befehl: binomcdf(50,0.07,4))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.729) und 'nicht ok'(p=0.271).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'

Ereignis	P
kiste ok -> kiste ok	$0,5314$
kiste ok -> nicht ok	$0,1976$
nicht ok -> kiste ok	$0,1976$
nicht ok -> nicht ok	$0,0734$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("kiste ok")= $0,729$ ; P("nicht ok")= $0,271$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'kiste ok'-'kiste ok' (P= $0,5314$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0,5314$ = $0,5314$

feste Reihenfolge im Binomialkontext

Beispiel:

Ein Basketballspieler mit einer Trefferquote von 50% wirft 9 mal auf den Korb. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass er bei diesen 9 Versuchen irgendwann einmal eine Serie mit 3 aufeinanderfolgenden Treffern hinlegt und bei allen anderen Versuchen nicht trifft.

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Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 9 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix})$ ⋅ ${0.5}^{3}$ ⋅ ${0.5}^{6}$

Dabei gibt ja ${0.5}^{3}$ ⋅ ${0.5}^{6}$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 6 Nicht-Treffern und $(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix})$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix})$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOOOOO

OXXXOOOOO

OOXXXOOOO

OOOXXXOOO

OOOOXXXOO

OOOOOXXXO

OOOOOOXXX

Es gibt also genau 7 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 7 ⋅ ${0.5}^{3}$ ⋅ ${0.5}^{6}$ ≈ 0.0137

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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Bernoulli-Formel vervollständigen

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

zwei unabhängige Binom.

Kombination Binom.-Baumdiagramm

feste Reihenfolge im Binomialkontext