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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Beispiel:

Ein Basketballspieler mit einer Trefferquote von 85% wirft 20 mal auf den Korb. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass er dabei genau 17 mal trifft.

Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.

P(X = 17) = $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) \cdot d^{c} \cdot {0.85}^{e}$

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Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 20 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 17 mal getroffen und 3 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=20 und b=17 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $(\begin{matrix} 20 \\ 17 \end{matrix})$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 17 Treffer und 3 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.85}^{17}$ ⋅ ${0.15}^{3}$ oder eben (einfach vertauscht) ${0.15}^{3}$ ⋅ ${0.85}^{17}$

Somit muss d = 0.15, sowie c = 3 und e = 17 sein.

Bernoulli-Formel vervollständigen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 20 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt.

Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = ${0.7}^{20}$ + $(\begin{matrix} 20 \\ a \end{matrix}) \cdot {0.7}^{19} \cdot b^{c}$ die Wahrscheinlichkeit angeben?

Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.

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Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine blaue Kugel gezogen)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird eine rote Kugel gezogen)

Beim ersten Summand ${0.7}^{20}$ steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=20 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 20 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=20) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.7}^{19}$ , bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 19 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 19 Treffer sein, also P(X=19) bzw. P(Y=1).

X: Treffer:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Y: keine Treffer:

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=20)+P(X=19)=P(X≥19) bzw. P(Y≤1)

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 19 mal wird eine blaue Kugel gezogen oder eben gleich bedeutend: Weniger als 2 mal wird eine rote Kugel gezogen.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.3.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 20 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 19 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $(\begin{matrix} 20 \\ 19 \end{matrix})$ , also ist a = 19 (hier ist auch a=1 möglich).

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

Beispiel:

Eine faire Münze wird 22 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses: Von den ersten 17 Versuchen landen höchstens 8 Versuche mit Zahl oben und von den restlichen Versuchen erscheint genau 2 mal "Zahl".

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Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 17 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. X ist binomialverteilt mit n=17 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.5}^{17} (X \leq 8)$ ≈ 0.5.

Analog betrachten wir nun die restlichen 5 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. Y ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.5}^{5} (Y = 2)$ ≈ 0.3125.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.5}^{17} (X \leq 8)$ ⋅ $P_{0.5}^{5} (Y = 2)$ = 0.5 ⋅ 0.3125 ≈ 0.1563

zwei unabhängige Binom.

Beispiel:

Ein Mitarbeiter der Stadtwerke bekommt den Auftrag am Freitag bei 50 und am Samstag bei 45 Haushalten den Gas- und den Stromzähler abzulesen. Als ihn seine Frau fragt, was er denn glaubt, wie viele der Kunden überhaupt zuhause wären und die Tür öffnen würden, sagt er: Ich denke, dass ich am Freitag so zwischen 24 und 35 am Samstag so zwischen 23 und 30 erreichen werde. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihm die Tür geöffnet wird, am Samstag mit 66% höher als am Freitag mit 52%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Prognose zutrifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 35 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.52 zu erzielen, also

P_{0.52}^{50} (24 \leq X \leq 35)

.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als

P_{0.52}^{50} (X \leq 35)

-

P_{0.52}^{50} (X \leq 23)

≈ 0.9968 - 0.2395 ≈ 0.7573 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.52,35)- binomcdf(50,0.52,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 23 und 30 Treffer bei 45 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.66 zu erzielen, also

P_{0.66}^{45} (23 \leq X \leq 30)

.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als

P_{0.66}^{45} (X \leq 30)

-

P_{0.66}^{45} (X \leq 22)

≈ 0.593 - 0.0133 ≈ 0.5797 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(45,0.66,30)- binomcdf(45,0.66,22)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.7573 ⋅ 0.5797 ≈ 0.439

Kombination Binom.-Baumdiagramm

Beispiel:

Bei einer Fluggesellschaft treten 10% der Besitzer gültiger Flugtickets ihren Flug nicht an. Deswegen verkauft die Fluggesellschaft immer 105 Tickets für ihr Flugzeug mit 94 Plätzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei drei aufeinanderfolgenden Flügen nicht öfters als einmal zu der peinlichen Situation kommt, dass mehr Fluggäste ihren Flug antreten wollen, als Plätze frei sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=105 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 94 Treffer bei 105 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.9, also $P_{0.9}^{105} (X \leq 94)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=105 und p=0.9.

P_{0.9}^{105} (X \leq 94)

=

P_{0.9}^{105} (X = 0)

+

P_{0.9}^{105} (X = 1)

+

P_{0.9}^{105} (X = 2)

+... +

P_{0.9}^{105} (X = 94)

= 0.48249274855044 ≈ 0.4825
(TI-Befehl: binomcdf(105,0.9,94))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.4825) und 'überbucht'(p=0.5175).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Ereignis	P
nicht überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht	$0,1123$
nicht überbucht -> nicht überbucht -> überbucht	$0,1205$
nicht überbucht -> überbucht -> nicht überbucht	$0,1205$
nicht überbucht -> überbucht -> überbucht	$0,1292$
überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht	$0,1205$
überbucht -> nicht überbucht -> überbucht	$0,1292$
überbucht -> überbucht -> nicht überbucht	$0,1292$
überbucht -> überbucht -> überbucht	$0,1386$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("nicht überbucht")= $0,4825$ ; P("überbucht")= $0,5175$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P= $0,1123$ )
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P= $0,1205$ )
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P= $0,1205$ )
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P= $0,1205$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0,1123$ + $0,1205$ + $0,1205$ + $0,1205$ = $0,4738$

feste Reihenfolge im Binomialkontext

Beispiel:

Ein Basketballspieler mit einer Trefferquote von 55% wirft 10 mal auf den Korb. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass er bei diesen 10 Versuchen irgendwann einmal eine Serie mit 3 aufeinanderfolgenden Treffern hinlegt und bei allen anderen Versuchen nicht trifft.

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Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})$ ⋅ ${0.55}^{3}$ ⋅ ${0.45}^{7}$

Dabei gibt ja ${0.55}^{3}$ ⋅ ${0.45}^{7}$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 7 Nicht-Treffern und $(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOOOOOO

OXXXOOOOOO

OOXXXOOOOO

OOOXXXOOOO

OOOOXXXOOO

OOOOOXXXOO

OOOOOOXXXO

OOOOOOOXXX

Es gibt also genau 8 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 8 ⋅ ${0.55}^{3}$ ⋅ ${0.45}^{7}$ ≈ 0.005

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Bernoulli-Formel vervollständigen

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

zwei unabhängige Binom.

Kombination Binom.-Baumdiagramm

feste Reihenfolge im Binomialkontext