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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Beispiel:

Ein Basketballspieler mit einer Trefferquote von 75% wirft 60 mal auf den Korb. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass er dabei genau 52 mal trifft.

Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.

P(X = 52) = $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) \cdot d^{c} \cdot {0.75}^{e}$

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Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 60 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 52 mal getroffen und 8 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=60 und b=52 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $(\begin{matrix} 60 \\ 52 \end{matrix})$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 52 Treffer und 8 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.75}^{52}$ ⋅ ${0.25}^{8}$ oder eben (einfach vertauscht) ${0.25}^{8}$ ⋅ ${0.75}^{52}$

Somit muss d = 0.25, sowie c = 8 und e = 52 sein.

Bernoulli-Formel vervollständigen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 10 mal geworfen.

Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = ${(\frac{1}{6})}^{10}$ + $(\begin{matrix} 10 \\ a \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{9} \cdot {(\frac{b}{6})}^{c}$ die Wahrscheinlichkeit angeben?

Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.

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Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine 6 gewürfelt)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird keine 6 gewürfelt)

Beim ersten Summand ${(\frac{1}{6})}^{10}$ steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=10 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 10 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=10) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${(\frac{1}{6})}^{9}$ , bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 9 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 9 Treffer sein, also P(X=9) bzw. P(Y=1).

X: Treffer:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Y: keine Treffer:

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=10)+P(X=9)=P(X≥9) bzw. P(Y≤1)

Somit ist die gesuchte Option: Mindestens 9 mal wird eine 6 gewürfelt oder eben gleich bedeutend: Weniger als 2 mal wird keine 6 gewürfelt.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 10 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 9 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $(\begin{matrix} 10 \\ 9 \end{matrix})$ , also ist a = 9 (hier ist auch a=1 möglich).

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

Beispiel:

Eine faire Münze wird 25 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses: Von den ersten 13 Versuchen landen höchstens 7 Versuche mit Zahl oben und von den restlichen Versuchen erscheint genau 5 mal "Zahl".

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Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 13 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. X ist binomialverteilt mit n=13 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.5}^{13} (X \leq 7)$ ≈ 0.7095.

Analog betrachten wir nun die restlichen 12 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. Y ist binomialverteilt mit n=12 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.5}^{12} (Y = 5)$ ≈ 0.1934.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.5}^{13} (X \leq 7)$ ⋅ $P_{0.5}^{12} (Y = 5)$ = 0.7095 ⋅ 0.1934 ≈ 0.1372

zwei unabhängige Binom.

Beispiel:

Beim Torwandschießen muss man immer 3 mal rechts unten und dann 3 mal links oben versuchen zu treffen. Ein Fußballspieler hat unten ein Trefferwahrscheinlichkeit von 50% und oben 30%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er insgesamt 4 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von genau 4 kommen kann:

1 mal unten und 3 mal oben
2 mal unten und 2 mal oben
3 mal unten und 1 mal oben

1 mal unten und 3 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal unten ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.5.

P_{0.5}^{3} (X = 1)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{1} \cdot {0.5}^{2}

≈ 0.375
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal oben ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.

P_{0.3}^{3} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{3} \cdot {0.7}^{0}

≈ 0.027
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.375 ⋅ 0.027 = 0.010125

2 mal unten und 2 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal unten ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.5.

P_{0.5}^{3} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{2} \cdot {0.5}^{1}

≈ 0.375
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal oben ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.

P_{0.3}^{3} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{2} \cdot {0.7}^{1}

≈ 0.189
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.375 ⋅ 0.189 = 0.070875

3 mal unten und 1 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal unten ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.5.

P_{0.5}^{3} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.5}^{3} \cdot {0.5}^{0}

≈ 0.125
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal oben ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.

P_{0.3}^{3} (X = 1)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{1} \cdot {0.7}^{2}

≈ 0.441
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.125 ⋅ 0.441 = 0.055125

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:

0.0101 + 0.0709 + 0.0551 = 0.1361

Kombination Binom.-Baumdiagramm

Beispiel:

Bei einer Fluggesellschaft treten 13% der Besitzer gültiger Flugtickets ihren Flug nicht an. Deswegen verkauft die Fluggesellschaft immer 108 Tickets für ihr Flugzeug mit 99 Plätzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei drei aufeinanderfolgenden Flügen nicht öfters als einmal zu der peinlichen Situation kommt, dass mehr Fluggäste ihren Flug antreten wollen, als Plätze frei sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=108 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 99 Treffer bei 108 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.87, also $P_{0.87}^{108} (X \leq 99)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=108 und p=0.87.

P_{0.87}^{108} (X \leq 99)

=

P_{0.87}^{108} (X = 0)

+

P_{0.87}^{108} (X = 1)

+

P_{0.87}^{108} (X = 2)

+... +

P_{0.87}^{108} (X = 99)

= 0.9509403037923 ≈ 0.9509
(TI-Befehl: binomcdf(108,0.87,99))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9509) und 'überbucht'(p=0.0491).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Ereignis	P
nicht überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht	$0,8598$
nicht überbucht -> nicht überbucht -> überbucht	$0,0444$
nicht überbucht -> überbucht -> nicht überbucht	$0,0444$
nicht überbucht -> überbucht -> überbucht	$0,0023$
überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht	$0,0444$
überbucht -> nicht überbucht -> überbucht	$0,0023$
überbucht -> überbucht -> nicht überbucht	$0,0023$
überbucht -> überbucht -> überbucht	$0,0001$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("nicht überbucht")= $0,9509$ ; P("überbucht")= $0,0491$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P= $0,8598$ )
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P= $0,0444$ )
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P= $0,0444$ )
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P= $0,0444$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0,8598$ + $0,0444$ + $0,0444$ + $0,0444$ = $0,993$

feste Reihenfolge im Binomialkontext

Beispiel:

Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich 45%. Es wird 9 mal gedreht.Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 4 mal in den grünen Bereich gedreht wird und diese Drehungen unmittelbar hintereinander erfolgen (also ohne, dass dazwischen mal nicht in den grünen Bereich gedreht wird).

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Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 9 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix})$ ⋅ ${0.45}^{4}$ ⋅ ${0.55}^{5}$

Dabei gibt ja ${0.45}^{4}$ ⋅ ${0.55}^{5}$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 5 Nicht-Treffern und $(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix})$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix})$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOOOOO

OXXXXOOOO

OOXXXXOOO

OOOXXXXOO

OOOOXXXXO

OOOOOXXXX

Es gibt also genau 6 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 6 ⋅ ${0.45}^{4}$ ⋅ ${0.55}^{5}$ ≈ 0.0124

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Bernoulli-Formel vervollständigen

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

zwei unabhängige Binom.

Kombination Binom.-Baumdiagramm

feste Reihenfolge im Binomialkontext