Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 20 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ \mathrm{b}\end{array}\right)$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 10 mal getroffen und 10 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $\left(\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ \mathrm{k}\end{array}\right)$, wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=20 und b=10 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $\left(\begin{array}{c}20\\ 10\end{array}\right)$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 10 Treffer und 10 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.2}^{10}$ ⋅ ${0.8}^{10}$ oder eben (einfach vertauscht) ${0.8}^{10}$ ⋅ ${0.2}^{10}$

Somit muss d = 0.8, sowie c = 10 und e = 10 sein.

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird in den grünen Bereich gedreht)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird nicht in den grünen Bereich gedreht)

Beim ersten Summand nach dem "1-", also bei ${0.4}^5$ steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=5 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 5 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=5) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${0.4}^4$, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 4 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 4 Treffer sein, also P(X=4) bzw. P(Y=1).

Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 5 und 4 Treffer möglich sind, also 3, 2, ..., kurz P(X≤3) bzw. P(Y≥2).

Somit ist die gesuchte Option: Höchstens 3 mal wird in den grünen Bereich gedreht oder eben gleich bedeutend: Mindestens 2 mal wird nicht in den grünen Bereich gedreht.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.6.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 5 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 4 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$, also ist a = 4 (hier ist auch a=1 möglich).

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.22.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.22}^{10}(X=2)$ ≈ 0.2984.

Analog betrachten wir nun die restlichen 80 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der defekten Chips an. Y ist binomialverteilt mit n=80 und p=0.22.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.22}^{80}(Y\le 10)$ ≈ 0.0226.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.22}^{10}(X=2)$ ⋅ $P_{0.22}^{80}(Y\le 10)$ = 0.2984 ⋅ 0.0226 ≈ 0.0067

Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 37 Treffer bei 65 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.59 zu erzielen, also $P_{0.59}^{65}(30\le X\le 37)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.59}^{65}(X\le 37)$ - $P_{0.59}^{65}(X\le 29)$ ≈ 0.4124 - 0.0134 ≈ 0.399 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(65,0.59,37)- binomcdf(65,0.59,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 22 und 30 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.67 zu erzielen, also $P_{0.67}^{50}(22\le X\le 30)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.67}^{50}(X\le 30)$ - $P_{0.67}^{50}(X\le 21)$ ≈ 0.1826 - 0.0002 ≈ 0.1824 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.67,30)- binomcdf(50,0.67,21)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.399 ⋅ 0.1824 ≈ 0.0728

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 18 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.83,
also $P_{0.83}^{20}(X\ge 18)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.83}^{20}(X\ge 18)$ = 1 - $P_{0.83}^{20}(X\le 17)$

≈ 1 - 0.6854 ≈ 0.3146 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.83,17))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.3146) und 'zu wenig'(p=0.6854).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $\mathrm{0,3146}$; zu wenig: $\mathrm{0,6854}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$\mathrm{0,2156}$)
• 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,2156}$)
• 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,099}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,2156}$ + $\mathrm{0,2156}$ + $\mathrm{0,099}$ = $\mathrm{0,5302}$

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${0.85}^4$ ⋅ ${0.15}^6$

Dabei gibt ja ${0.85}^4$ ⋅ ${0.15}^6$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 6 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOOOOOO

OXXXXOOOOO

OOXXXXOOOO

OOOXXXXOOO

OOOOXXXXOO

OOOOOXXXXO

OOOOOOXXXX

Es gibt also genau 7 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 7 ⋅ ${0.85}^4$ ⋅ ${0.15}^6$ ≈ 0