nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Beispiel:

Ein Basketballspieler mit einer Trefferquote von 20% wirft 60 mal auf den Korb. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass er dabei genau 24 mal trifft.

Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.

P(X = 24) = ( a b ) dc 0.2e

Lösung einblenden

Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 60 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient ( a b ) vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 24 mal getroffen und 36 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es ( n k ) , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=60 und b=24 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser ( 60 24 ) Pfade an. Da ja in jedem Pfad 24 Treffer und 36 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
0.2240.836 oder eben (einfach vertauscht) 0.8360.224

Somit muss d = 0.8, sowie c = 36 und e = 24 sein.

Bernoulli-Formel vervollständigen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 5 mal geworfen.

Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = ( 5 6 )5 + ( 5 a ) ( 1 6 )1 ( b 6 )c die Wahrscheinlichkeit angeben?

Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.

Lösung einblenden

Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine 6 gewürfelt)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird keine 6 gewürfelt)

Beim ersten Summand ( 5 6 )5 steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=5 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 5 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=5).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ( 1 6 )1, bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=4).

X: Treffer:
0
1
2
3
4
5

Y: keine Treffer:
5
4
3
2
1
0

Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1) bzw. P(Y≥4)

Somit ist die gesuchte Option: Weniger als 2 mal wird eine 6 gewürfelt.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 5 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 4 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 4 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit ( 5 1 ) , also ist a = 1 (hier ist auch a=4 möglich).

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 75% und wirft 31 mal auf dem Korb. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von den ersten 19 Versuchen genau 14 mal und von den restlichen Versuchen höchstens 8 mal trifft.

Lösung einblenden

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 19 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. X ist binomialverteilt mit n=19 und p=0.75.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als P0.7519 (X=14) ≈ 0.2023.

Analog betrachten wir nun die restlichen 12 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. Y ist binomialverteilt mit n=12 und p=0.75.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als P0.7512 (Y8) ≈ 0.3512.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = P0.7519 (X=14) P0.7512 (Y8) = 0.2023 ⋅ 0.3512 ≈ 0.071

zwei unabhängige Binom.

Beispiel:

Ein Mitarbeiter der Stadtwerke bekommt den Auftrag am Freitag bei 60 und am Samstag bei 50 Haushalten den Gas- und den Stromzähler abzulesen. Als ihn seine Frau fragt, was er denn glaubt, wie viele der Kunden überhaupt zuhause wären und die Tür öffnen würden, sagr er: Ich denke, dass ich am Freitag so zwischen 30 und 35 am Samstag so zwischen 19 und 26 erreichen werde. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihm die Tür geöffnet wird, am Samstag mit 70% höher als am Freitag mit 54%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Prognose zutrifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Freitag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.54.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 35 Treffer bei 60 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.54 zu erzielen, also P0.5460 (30X35) .
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als P0.5460 (X35) - P0.5460 (X29) ≈ 0.7885 - 0.226 ≈ 0.5625 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(60,0.54,35)- binomcdf(60,0.54,29)

Samstag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.7.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 19 und 26 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.7 zu erzielen, also P0.750 (19X26) .
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als P0.750 (X26) - P0.750 (X18) ≈ 0.0056 - 0 ≈ 0.0056 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.7,26)- binomcdf(50,0.7,18)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.5625 ⋅ 0.0056 ≈ 0.0032

Kombination Binom.-Baumdiagramm

Beispiel:

Ein fernöstlicher LED-Hersteller hat Probleme in der Qualitätssicherung, so dass 9% seiner Leuchtmittel defekt sind. Diese werden in Kartons a 50 Stück verpackt. Ein Großhändler öffnet testweise zwei Kartons der Lieferung und prüft die darin enthaltenen Leuchtmittel. Nur wenn in keiner der Packungen mehr als 2 Stück defekt sind nimmt er die Lieferung an. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Lieferung annimmt?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.09.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.09, also P0.0950 (X2)

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.09.

P0.0950 (X2) = P0.0950 (X=0) + P0.0950 (X=1) + P0.0950 (X=2) = 0.16054049072451 ≈ 0.1605
(TI-Befehl: binomcdf(50,0.09,2))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.1605) und 'nicht ok'(p=0.8395).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'

EreignisP
kiste ok -> kiste ok0,02576025
kiste ok -> nicht ok0,13473975
nicht ok -> kiste ok0,13473975
nicht ok -> nicht ok0,70476025

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: kiste ok: 0,1605; nicht ok: 0,8395;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'kiste ok'-'kiste ok' (P=0,02576025)


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

0,02576025 = 0,02576025


feste Reihenfolge im Binomialkontext

Beispiel:

Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich 40%. Es wird 6 mal gedreht.Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 5 mal in den grünen Bereich gedreht wird und diese Drehungen unmittelbar hintereinander erfolgen (also ohne, dass dazwischen mal nicht in den grünen Bereich gedreht wird).

Lösung einblenden

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: ( 6 5 ) 0.4 5 0.6 1

Dabei gibt ja 0.4 5 0.6 1 die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 1 Nicht-Treffern und ( 6 5 ) die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen ( 6 5 ) Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXO

OXXXXX

Es gibt also genau 2 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 2 ⋅ 0.4 5 0.6 1 ≈ 0.0123