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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Beispiel:

Ein Basketballspieler mit einer Trefferquote von 85% wirft 20 mal auf den Korb. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass er dabei genau 14 mal trifft.

Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.

P(X = 14) = $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) \cdot {0.85}^{c} \cdot d^{e}$

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Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 20 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 14 mal getroffen und 6 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=20 und b=14 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $(\begin{matrix} 20 \\ 14 \end{matrix})$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 14 Treffer und 6 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.85}^{14}$ ⋅ ${0.15}^{6}$

Somit muss d = 0.15, sowie c = 14 und e = 6 sein.

Bernoulli-Formel vervollständigen

Beispiel:

Ein Basketballspieler mit einer Trefferquote von p=0,5 wirft 20 mal auf den Korb.

Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = 1 - ${0.5}^{20}$ - $(\begin{matrix} 20 \\ a \end{matrix}) \cdot {0.5}^{1} \cdot b^{c}$ die Wahrscheinlichkeit angeben?

Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.

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Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es trifft er in den Korb)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es trifft er nicht in den Korb)

Beim Summand ${0.5}^{20}$ steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=20 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 20 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=20).

Beim hinteren längeren Term erkennt man die Potenz ${0.5}^{1}$ , bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=19).

Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 0 und 1 Treffer möglich sind, also 2, 3, ..., kurz P(X≥2) bzw. P(Y≤18).

X: Treffer:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Y: keine Treffer:

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Somit ist die gesuchte Option: Mehr als 1 mal trifft er in den Korb.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.5.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 20 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 19 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 19 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $(\begin{matrix} 20 \\ 1 \end{matrix})$ , also ist a = 1 (hier ist auch a=19 möglich).

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 35% und wirft 34 mal auf dem Korb. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von den ersten 16 Versuchen genau 4 mal und von den restlichen Versuchen höchstens 7 mal trifft.

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Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 16 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. X ist binomialverteilt mit n=16 und p=0.35.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.35}^{16} (X = 4)$ ≈ 0.1553.

Analog betrachten wir nun die restlichen 18 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. Y ist binomialverteilt mit n=18 und p=0.35.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.35}^{18} (Y \leq 7)$ ≈ 0.7283.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.35}^{16} (X = 4)$ ⋅ $P_{0.35}^{18} (Y \leq 7)$ = 0.1553 ⋅ 0.7283 ≈ 0.1131

zwei unabhängige Binom.

Beispiel:

Beim Torwandschießen muss man immer 3 mal rechts unten und dann 3 mal links oben versuchen zu treffen. Ein Fußballspieler hat unten ein Trefferwahrscheinlichkeit von 40% und oben 30%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er insgesamt 4 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von genau 4 kommen kann:

1 mal unten und 3 mal oben
2 mal unten und 2 mal oben
3 mal unten und 1 mal oben

1 mal unten und 3 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal unten ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.

P_{0.4}^{3} (X = 1)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {0.4}^{1} \cdot {0.6}^{2}

≈ 0.432
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal oben ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.

P_{0.3}^{3} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{3} \cdot {0.7}^{0}

≈ 0.027
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.432 ⋅ 0.027 = 0.011664

2 mal unten und 2 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal unten ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.

P_{0.4}^{3} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.4}^{2} \cdot {0.6}^{1}

≈ 0.288
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal oben ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.

P_{0.3}^{3} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{2} \cdot {0.7}^{1}

≈ 0.189
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.288 ⋅ 0.189 = 0.054432

3 mal unten und 1 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal unten ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.

P_{0.4}^{3} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.4}^{3} \cdot {0.6}^{0}

≈ 0.064
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal oben ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.

P_{0.3}^{3} (X = 1)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{1} \cdot {0.7}^{2}

≈ 0.441
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.064 ⋅ 0.441 = 0.028224

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:

0.0117 + 0.0544 + 0.0282 = 0.0943

Kombination Binom.-Baumdiagramm

Beispiel:

Ein fernöstlicher LED-Hersteller hat Probleme in der Qualitätssicherung, so dass 6% seiner Leuchtmittel defekt sind. Diese werden in Kartons a 25 Stück verpackt. Ein Großhändler öffnet testweise zwei Kartons der Lieferung und prüft die darin enthaltenen Leuchtmittel. Nur wenn in keiner der Packungen mehr als 4 Stück defekt sind nimmt er die Lieferung an. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Lieferung annimmt?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 4 Treffer bei 25 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.06, also $P_{0.06}^{25} (X \leq 4)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.06.

P_{0.06}^{25} (X \leq 4)

=

P_{0.06}^{25} (X = 0)

+

P_{0.06}^{25} (X = 1)

+

P_{0.06}^{25} (X = 2)

+... +

P_{0.06}^{25} (X = 4)

= 0.98495072980097 ≈ 0.985
(TI-Befehl: binomcdf(25,0.06,4))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.985) und 'nicht ok'(p=0.015).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'

Ereignis	P
kiste ok -> kiste ok	$0,9702$
kiste ok -> nicht ok	$0,0148$
nicht ok -> kiste ok	$0,0148$
nicht ok -> nicht ok	$0,0002$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("kiste ok")= $0,985$ ; P("nicht ok")= $0,015$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'kiste ok'-'kiste ok' (P= $0,9702$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0,9702$ = $0,9702$

feste Reihenfolge im Binomialkontext

Beispiel:

Ein Basketballspieler mit einer Trefferquote von 50% wirft 6 mal auf den Korb. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass er bei diesen 6 Versuchen irgendwann einmal eine Serie mit 4 aufeinanderfolgenden Treffern hinlegt und bei allen anderen Versuchen nicht trifft.

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Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix})$ ⋅ ${0.5}^{4}$ ⋅ ${0.5}^{2}$

Dabei gibt ja ${0.5}^{4}$ ⋅ ${0.5}^{2}$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 2 Nicht-Treffern und $(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix})$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix})$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOO

OXXXXO

OOXXXX

Es gibt also genau 3 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 3 ⋅ ${0.5}^{4}$ ⋅ ${0.5}^{2}$ ≈ 0.0469

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Bernoulli-Formel vervollständigen

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

zwei unabhängige Binom.

Kombination Binom.-Baumdiagramm

feste Reihenfolge im Binomialkontext