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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,65. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit bei 80 Versuchen genau 59 mal im grünen Bereich zu landen.
Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.
P(X = 59) =
Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 80 Ebenen lösen.
Der Binomialkoeffizient vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 59 mal getroffen und 21 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=80 und b=59 sein.
Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser
Pfade an. Da ja in jedem Pfad 59 Treffer und
21 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
⋅ oder eben (einfach vertauscht) ⋅
Somit muss d = 0.35, sowie c = 21 und e = 59 sein.
Bernoulli-Formel vervollständigen
Beispiel:
In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 20 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt.
Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = 1 - - die Wahrscheinlichkeit angeben?
Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.
Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine blaue Kugel gezogen)Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird eine rote Kugel gezogen)
Beim ersten Summand nach dem "1-", also bei steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=20 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 20 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=20) bzw. P(Y=0).
Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz , bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 19 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 19 Treffer sein, also P(X=19) bzw. P(Y=1).
Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 20 und 19 Treffer möglich sind, also 18, 17, ..., kurz P(X≤18) bzw. P(Y≥2).
Somit ist die gesuchte Option: Höchstens 18 mal wird eine blaue Kugel gezogen oder eben gleich bedeutend: Mindestens 2 mal wird eine rote Kugel gezogen.
Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.3.
Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 20 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.
Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 19 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit , also ist a = 19 (hier ist auch a=1 möglich).
Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 45% und wirft 20 mal auf dem Korb. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von den ersten 5 Versuchen genau 2 mal und von den restlichen Versuchen höchstens 8 mal trifft.
Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 5
Durchgänge:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.45.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als ≈ 0.3369.
Analog betrachten wir nun die restlichen 15 Durchgänge:
Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. Y ist binomialverteilt mit n=15 und p=0.45.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als ≈ 0.8182.
Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:
P = ⋅ = 0.3369 ⋅ 0.8182 ≈ 0.2757
zwei unabhängige Binom.
Beispiel:
Beim Torwandschießen muss man immer 3 mal rechts unten und dann 3 mal links oben versuchen zu treffen. Ein Fußballspieler hat unten ein Trefferwahrscheinlichkeit von 40% und oben 20%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er insgesamt 2 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von genau 2 kommen kann:
- 0 mal unten und 2 mal oben
- 1 mal unten und 1 mal oben
- 2 mal unten und 0 mal oben
0 mal unten und 2 mal oben
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal unten ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.
= ≈ 0.216Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal oben ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.2.
= ≈ 0.096Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.216 ⋅ 0.096 = 0.020736
1 mal unten und 1 mal oben
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal unten ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.
= ≈ 0.432Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal oben ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.2.
= ≈ 0.384Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.432 ⋅ 0.384 = 0.165888
2 mal unten und 0 mal oben
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal unten ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.
= ≈ 0.288Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal oben ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.2.
= ≈ 0.512Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.288 ⋅ 0.512 = 0.147456
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:
0.0207 + 0.1659 + 0.1475 = 0.3341
Kombination Binom.-Baumdiagramm
Beispiel:
Ein 10-Klässler bekommt im Schulsport eine 1 als Teilnote, wenn er beim Basketball von 20 Korblegerversuchen mindestens 18 trifft. Weil der Sportlehrer ein nettes Weichei ist, darf der Schüler den Test noch ein zweites mal probieren, wenn er unzufrieden ist. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler mit seiner Trefferquote von 80% eine 1 bekommt?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 18 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten
von 0.8,
also
.
Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: = 1 -
≈ 1 - 0.7939 ≈ 0.2061 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.8,17))
Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.2061) und 'zu wenig'(p=0.7939).
Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.
Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'
Ereignis | P |
---|---|
genügend Treffer -> genügend Treffer | |
genügend Treffer -> zu wenig | |
zu wenig -> genügend Treffer | |
zu wenig -> zu wenig |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: ; zu wenig: ;
Die relevanten Pfade sind:- 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=)
- 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=)
- 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
feste Reihenfolge im Binomialkontext
Beispiel:
In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 10 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 3 blaue Kugeln gezogen werden und diese aber unmittelbar hintereinander gezogen werden (also ohne, dass dazwischen mal eine rote gezogen wird).
Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: ⋅ ⋅
Dabei gibt ja ⋅ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 7 Nicht-Treffern und die Anzahl solcher Pfade an.
Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:
XXXOOOOOOO
OXXXOOOOOO
OOXXXOOOOO
OOOXXXOOOO
OOOOXXXOOO
OOOOOXXXOO
OOOOOOXXXO
OOOOOOOXXX
Es gibt also genau 8 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit: P = 8 ⋅ ⋅ ≈ 0.0006