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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 74% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.74 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.26 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.26=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.26}$ ≈ 0.7141

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.7141 ≈ 0.2859

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Die Firma Apple hat ein neues geniales Produkt, die iYacht, auf den Markt gebracht (wenn auch nicht ganz günstig). Die hierfür beauftragte Marketingagentur garantiert, dass unter denen, denen sie die Yacht vorgeführt hat, der Anteil der späteren Käufer bei 18% liegt. Wie vielen Personen muss nun dieses Produkt vorgeführt werden, damit sich mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, 37 oder mehr Käufer für dieses Produkt finden?

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n	P(X≤k)
...	...
215	0.3541
216	0.3425
217	0.331
218	0.3198
219	0.3087
220	0.2979
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.18 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.18}^{n} (X \geq 37)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.18}^{n} (X \geq 37)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.18}^{n} (X \geq 37)$ = 1 - $P_{0.18}^{n} (X \leq 36)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.18}^{n} (X \leq 36)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.18}^{n} (X \leq 36)$ oder $P_{0.18}^{n} (X \leq 36)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 18% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{37}{0.18}$ ≈ 206 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.18⋅206) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=206:
$P_{0.18}^{n} (X \leq 36)$ ≈ 0.4658 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=220 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 220 sein, damit $P_{0.18}^{n} (X \leq 36)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.18}^{n} (X \geq 37)$ ≥ 0.7 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 20 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne	P('mindestens eine schwarze Kugel')
...	...
3	1- $\frac{17}{20}$ ⋅ $\frac{16}{19}$ =1- $\frac{68}{95}$ ≈0.2842
4	1- $\frac{16}{20}$ ⋅ $\frac{15}{19}$ =1- $\frac{12}{19}$ ≈0.3684
5	1- $\frac{15}{20}$ ⋅ $\frac{14}{19}$ =1- $\frac{21}{38}$ ≈0.4474
6	1- $\frac{14}{20}$ ⋅ $\frac{13}{19}$ =1- $\frac{91}{190}$ ≈0.5211
7	1- $\frac{13}{20}$ ⋅ $\frac{12}{19}$ =1- $\frac{39}{95}$ ≈0.5895
8	1- $\frac{12}{20}$ ⋅ $\frac{11}{19}$ =1- $\frac{33}{95}$ ≈0.6526
9	1- $\frac{11}{20}$ ⋅ $\frac{10}{19}$ =1- $\frac{11}{38}$ ≈0.7105
10	1- $\frac{10}{20}$ ⋅ $\frac{9}{19}$ =1- $\frac{9}{38}$ ≈0.7632
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= $\frac{17}{20}$ ⋅ $\frac{16}{19}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{17}{20}$ und beim zweiten $\frac{16}{19}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- $\frac{17}{20}$ ⋅ $\frac{16}{19}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(20-x)/20*(19-x)/19)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 10 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 10 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 28 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 28 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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p	P(X≤21)
...	...
$\frac{4}{8}$	0.9981
$\frac{5}{9}$	0.9899
$\frac{6}{10}$	0.9685
$\frac{7}{11}$	0.9297
$\frac{8}{12}$	0.8738
$\frac{9}{13}$	0.8048
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{28} (X \leq 21)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{28} (X \leq 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{4}{8}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{8}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 8 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR