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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.75 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.25 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.25=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.25}$ ≈ 0.7071

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.7071 ≈ 0.2929

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,15. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% 33 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

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n	P(X≤k)
...	...
261	0.1229
262	0.1179
263	0.113
264	0.1083
265	0.1038
266	0.0994
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{n} (X \geq 33)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.15}^{n} (X \geq 33)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.15}^{n} (X \geq 33)$ = 1 - $P_{0.15}^{n} (X \leq 32)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.15}^{n} (X \leq 32)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.15}^{n} (X \leq 32)$ oder $P_{0.15}^{n} (X \leq 32)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{33}{0.15}$ ≈ 220 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.15⋅220) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=220:
$P_{0.15}^{n} (X \leq 32)$ ≈ 0.4711 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=266 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 266 sein, damit $P_{0.15}^{n} (X \leq 32)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.15}^{n} (X \geq 33)$ ≥ 0.9 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 22 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
3	1- $\frac{3}{22}$ ⋅ $\frac{2}{21}$ =1- $\frac{1}{77}$ ≈0.987
4	1- $\frac{4}{22}$ ⋅ $\frac{3}{21}$ =1- $\frac{2}{77}$ ≈0.974
5	1- $\frac{5}{22}$ ⋅ $\frac{4}{21}$ =1- $\frac{10}{231}$ ≈0.9567
6	1- $\frac{6}{22}$ ⋅ $\frac{5}{21}$ =1- $\frac{5}{77}$ ≈0.9351
7	1- $\frac{7}{22}$ ⋅ $\frac{6}{21}$ =1- $\frac{1}{11}$ ≈0.9091
8	1- $\frac{8}{22}$ ⋅ $\frac{7}{21}$ =1- $\frac{4}{33}$ ≈0.8788
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{3}{22}$ ⋅ $\frac{2}{21}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{3}{22}$ und beim zweiten $\frac{2}{21}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{3}{22}$ ⋅ $\frac{2}{21}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/22*(x-1)/21)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 7 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 7 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 15 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 15 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{5}{25}$	0.6482
$\frac{5}{26}$	0.6769
$\frac{5}{27}$	0.703
$\frac{5}{28}$	0.7269
$\frac{5}{29}$	0.7487
$\frac{5}{30}$	0.7685
$\frac{5}{31}$	0.7865
$\frac{5}{32}$	0.803
$\frac{5}{33}$	0.818
$\frac{5}{34}$	0.8316
$\frac{5}{35}$	0.8441
$\frac{5}{36}$	0.8555
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=15 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{15} (X \leq 3)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{15} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 15 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{15}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{15}$ ⋅15 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{15} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{15}$ mit $\frac{5}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{5}{25}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{5}{36}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 36 sein.

Also werden noch 31 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR