nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 3 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 3 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,5. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

Lösung einblenden

P=0.5 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.5=p3

=>p=0.53 ≈ 0.7937

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 30%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit 21 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

Lösung einblenden
nP(X≤k)
......
700.455
710.4246
720.3949
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und variablem n.

Es muss gelten: P0.3n (X21) ≥ 0.6

Weil man ja aber P0.3n (X21) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.3n (X21) = 1 - P0.3n (X20) ≥ 0.6 |+ P0.3n (X20) - 0.6

0.4 ≥ P0.3n (X20) oder P0.3n (X20) ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 30% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 21 0.3 ≈ 70 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.3⋅70) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=70:
P0.3n (X20) ≈ 0.455 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=72 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 72 sein, damit P0.3n (X20) ≤ 0.4 oder eben P0.3n (X21) ≥ 0.6 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 35 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

Lösung einblenden
Anzahl der schwarzen Kugeln in der UrneP('mindestens eine schwarze Kugel')
......
31- 32 35 31 34 =1- 496 595 ≈0.1664
41- 31 35 30 34 =1- 93 119 ≈0.2185
51- 30 35 29 34 =1- 87 119 ≈0.2689
61- 29 35 28 34 =1- 58 85 ≈0.3176
71- 28 35 27 34 =1- 54 85 ≈0.3647
81- 27 35 26 34 =1- 351 595 ≈0.4101
91- 26 35 25 34 =1- 65 119 ≈0.4538
101- 25 35 24 34 =1- 60 119 ≈0.4958
111- 24 35 23 34 =1- 276 595 ≈0.5361
121- 23 35 22 34 =1- 253 595 ≈0.5748
131- 22 35 21 34 =1- 33 85 ≈0.6118
141- 21 35 20 34 =1- 6 17 ≈0.6471
151- 20 35 19 34 =1- 38 119 ≈0.6807
161- 19 35 18 34 =1- 171 595 ≈0.7126
171- 18 35 17 34 =1- 9 35 ≈0.7429
181- 17 35 16 34 =1- 8 35 ≈0.7714
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= 32 35 31 34 (beim ersten Zufallsversuch 32 35 und beim zweiten 31 34 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- 32 35 31 34

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(35-x)/35*(34-x)/34)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 18 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 18 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 13 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 13 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

Lösung einblenden
pP(X≤6)
......
3 6 0.5
3 7 0.7012
3 8 0.8248
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=13 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp13 (X6) =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp13 (X6) ('höchstens 6 Treffer bei 13 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 13 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 13 ⋅13 der Erwartungswert und somit Pp13 (X6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 13 mit 3 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 3 6 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 3 8 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 8 sein.

Also werden noch 5 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.