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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 82% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.82 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.18 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.18=(1-p)4

=>1-p=0.184 ≈ 0.6514

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6514 ≈ 0.3486

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,55.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 26 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
400.9249
410.8933
420.8544
430.8084
440.756
450.6985
460.6371
470.5736
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: P0.55n (X≤26) ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 26 0.55 ≈ 47 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.55⋅47) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=47:
P0.55n (X≤26) ≈ 0.5736 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=40 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 25 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der UrneP('mindestens eine schwarze Kugel')
......
31- 22 25 ⋅ 21 24 =1- 77 100 ≈0.23
41- 21 25 ⋅ 20 24 =1- 7 10 ≈0.3
51- 20 25 ⋅ 19 24 =1- 19 30 ≈0.3667
61- 19 25 ⋅ 18 24 =1- 57 100 ≈0.43
71- 18 25 ⋅ 17 24 =1- 51 100 ≈0.49
81- 17 25 ⋅ 16 24 =1- 34 75 ≈0.5467
91- 16 25 ⋅ 15 24 =1- 2 5 ≈0.6
101- 15 25 ⋅ 14 24 =1- 7 20 ≈0.65
111- 14 25 ⋅ 13 24 =1- 91 300 ≈0.6967
121- 13 25 ⋅ 12 24 =1- 13 50 ≈0.74
131- 12 25 ⋅ 11 24 =1- 11 50 ≈0.78
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= 22 25 ⋅ 21 24 (beim ersten Zufallsversuch 22 25 und beim zweiten 21 24 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- 22 25 ⋅ 21 24

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(25-x)/25*(24-x)/24)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 13 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 13 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 28 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 28 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
4 7 0.9997
5 8 0.9983
6 9 0.9939
7 10 0.9843
8 11 0.9682
9 12 0.9449
10 13 0.9149
11 14 0.8795
12 15 0.8398
13 16 0.7974
14 17 0.7535
15 18 0.7093
16 19 0.6655
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp28 (X≤24) = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 3 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp28 (X≤24) ('höchstens 24 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 4 7 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 15 18 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 15 sein.