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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 63% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.63 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.37 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.37=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.37}$ ≈ 0.7799

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.7799 ≈ 0.2201

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% nicht mehr als 24 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
140	0.6133
141	0.5986
142	0.5838
143	0.569
144	0.5542
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 24)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{24}{\frac{1}{6}}$ ≈ 144 Versuchen auch ungefähr 24 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅144) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=144:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 24)$ ≈ 0.5542 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=140 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 60 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 95% liegen. Wieviel der 60 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im Lostopf	P('höchstens eine Niete')
...	...
7	1- $\frac{7}{60}$ ⋅ $\frac{6}{59}$ =1- $\frac{7}{590}$ ≈0.9881
8	1- $\frac{8}{60}$ ⋅ $\frac{7}{59}$ =1- $\frac{14}{885}$ ≈0.9842
9	1- $\frac{9}{60}$ ⋅ $\frac{8}{59}$ =1- $\frac{6}{295}$ ≈0.9797
10	1- $\frac{10}{60}$ ⋅ $\frac{9}{59}$ =1- $\frac{3}{118}$ ≈0.9746
11	1- $\frac{11}{60}$ ⋅ $\frac{10}{59}$ =1- $\frac{11}{354}$ ≈0.9689
12	1- $\frac{12}{60}$ ⋅ $\frac{11}{59}$ =1- $\frac{11}{295}$ ≈0.9627
13	1- $\frac{13}{60}$ ⋅ $\frac{12}{59}$ =1- $\frac{13}{295}$ ≈0.9559
14	1- $\frac{14}{60}$ ⋅ $\frac{13}{59}$ =1- $\frac{91}{1770}$ ≈0.9486
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=7 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= $\frac{7}{60}$ ⋅ $\frac{6}{59}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{7}{60}$ und beim zweiten $\frac{6}{59}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- $\frac{7}{60}$ ⋅ $\frac{6}{59}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=7. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/60*(x-1)/59)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 13 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 95% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 13 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 95 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% für die 95 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤7)
...	...
$\frac{1}{13}$	0.5512
$\frac{1}{14}$	0.6319
$\frac{1}{15}$	0.7004
$\frac{1}{16}$	0.7573
$\frac{1}{17}$	0.804
$\frac{1}{18}$	0.8418
$\frac{1}{19}$	0.8723
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=95 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{95} (X \leq 7)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{95} (X \leq 7)$ ('höchstens 7 Treffer bei 95 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{7}{95}$ . Mit diesem p wäre ja 7= $\frac{7}{95}$ ⋅95 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{95} (X \leq 7)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{7}{95}$ mit $\frac{1}{7}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{13}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{19}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 19 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR