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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 3 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 3 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,2. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
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P=0.2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.2=p³

=>p= $\sqrt[3]{0.2}$ ≈ 0.5848

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,8. Wie viele Freiwürfe darf man bei ihm durch Fouls höchstens zulassen, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht über 30 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
34	0.93
35	0.8565
36	0.7536
37	0.6302
38	0.4997
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \leq 30)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{30}{0.8}$ ≈ 38 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.8⋅38) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=38:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 30)$ ≈ 0.4997 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 24 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 85%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
3	1- $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{2}{23}$ =1- $\frac{1}{92}$ ≈0.9891
4	1- $\frac{4}{24}$ ⋅ $\frac{3}{23}$ =1- $\frac{1}{46}$ ≈0.9783
5	1- $\frac{5}{24}$ ⋅ $\frac{4}{23}$ =1- $\frac{5}{138}$ ≈0.9638
6	1- $\frac{6}{24}$ ⋅ $\frac{5}{23}$ =1- $\frac{5}{92}$ ≈0.9457
7	1- $\frac{7}{24}$ ⋅ $\frac{6}{23}$ =1- $\frac{7}{92}$ ≈0.9239
8	1- $\frac{8}{24}$ ⋅ $\frac{7}{23}$ =1- $\frac{7}{69}$ ≈0.8986
9	1- $\frac{9}{24}$ ⋅ $\frac{8}{23}$ =1- $\frac{3}{23}$ ≈0.8696
10	1- $\frac{10}{24}$ ⋅ $\frac{9}{23}$ =1- $\frac{15}{92}$ ≈0.837
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{2}{23}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{3}{24}$ und beim zweiten $\frac{2}{23}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{2}{23}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/24*(x-1)/23)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 9 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 9 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 20 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 20 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{3}{10}$	0.608
$\frac{3}{11}$	0.7093
$\frac{3}{12}$	0.7858
$\frac{3}{13}$	0.8422
$\frac{3}{14}$	0.8833
$\frac{3}{15}$	0.9133
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{20} (X \leq 6)$ =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{20} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 20 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{20}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{20}$ ⋅20 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{20} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{20}$ mit $\frac{3}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{10}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{15}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 15 sein.

Also werden noch 12 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR