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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 2 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 88% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.88 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 2 Durchgängen, also ist 1-P=0.12 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 2 Durchgängen.

Es gilt also 0.12=(1-p)²

=>1-p= $\sqrt[2]{0.12}$ ≈ 0.3464

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.3464 ≈ 0.6536

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,15.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, mindestens 26 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
174	0.4591
175	0.4465
176	0.4341
177	0.4218
178	0.4096
179	0.3975
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{n} (X \geq 26)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.15}^{n} (X \geq 26)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.15}^{n} (X \geq 26)$ = 1 - $P_{0.15}^{n} (X \leq 25)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.15}^{n} (X \leq 25)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.15}^{n} (X \leq 25)$ oder $P_{0.15}^{n} (X \leq 25)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{26}{0.15}$ ≈ 173 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.15⋅173) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=173:
$P_{0.15}^{n} (X \leq 25)$ ≈ 0.4717 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=179 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 179 sein, damit $P_{0.15}^{n} (X \leq 25)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.15}^{n} (X \geq 26)$ ≥ 0.6 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 20 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
3	1- $\frac{3}{20}$ ⋅ $\frac{2}{19}$ =1- $\frac{3}{190}$ ≈0.9842
4	1- $\frac{4}{20}$ ⋅ $\frac{3}{19}$ =1- $\frac{3}{95}$ ≈0.9684
5	1- $\frac{5}{20}$ ⋅ $\frac{4}{19}$ =1- $\frac{1}{19}$ ≈0.9474
6	1- $\frac{6}{20}$ ⋅ $\frac{5}{19}$ =1- $\frac{3}{38}$ ≈0.9211
7	1- $\frac{7}{20}$ ⋅ $\frac{6}{19}$ =1- $\frac{21}{190}$ ≈0.8895
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{3}{20}$ ⋅ $\frac{2}{19}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{3}{20}$ und beim zweiten $\frac{2}{19}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{3}{20}$ ⋅ $\frac{2}{19}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/20*(x-1)/19)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 6 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 6 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 20 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 20 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{5}{33}$	0.6404
$\frac{5}{34}$	0.662
$\frac{5}{35}$	0.6822
$\frac{5}{36}$	0.7012
$\frac{5}{37}$	0.7189
$\frac{5}{38}$	0.7354
$\frac{5}{39}$	0.7509
$\frac{5}{40}$	0.7653
$\frac{5}{41}$	0.7788
$\frac{5}{42}$	0.7915
$\frac{5}{43}$	0.8032
$\frac{5}{44}$	0.8143
$\frac{5}{45}$	0.8246
$\frac{5}{46}$	0.8342
$\frac{5}{47}$	0.8433
$\frac{5}{48}$	0.8517
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{20} (X \leq 3)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{20} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 20 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{20}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{20}$ ⋅20 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{20} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{20}$ mit $\frac{5}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{5}{33}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{5}{48}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 48 sein.

Also werden noch 43 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR