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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 2 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 97% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
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P=0.97 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 2 Durchgängen, also ist 1-P=0.03 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 2 Durchgängen.

Es gilt also 0.03=(1-p)2

=>1-p=0.032 ≈ 0.1732

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.1732 ≈ 0.8268

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Beim Biberacher Schützenfest läuft ein 12-köpfiger historischer Spielmannszug mit, der an die Schweden während des 30-Jährigen Kriegs erinnert. Dabei feiern dessen Mitglieder manchmal so ausgelassen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ausfall beim Umzug wegen unverhältnismäßigem Alkoholgenuss bei 13% liegt. Wie viele Schwedenmusiker muss die Schützendirektion mindestens ausbilden, damit beim Umzug mit mindestens 90%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 12 Schweden einsatzfähig sind?

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nP(X≤k)
......
140.2708
150.1204
160.0471
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.87 und variablem n.

Es muss gelten: P0.87n (X12) ≥ 0.9

Weil man ja aber P0.87n (X12) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.87n (X12) = 1 - P0.87n (X11) ≥ 0.9 |+ P0.87n (X11) - 0.9

0.1 ≥ P0.87n (X11) oder P0.87n (X11) ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 87% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 12 0.87 ≈ 14 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.87⋅14) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=14:
P0.87n (X11) ≈ 0.2708 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=16 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 16 sein, damit P0.87n (X11) ≤ 0.1 oder eben P0.87n (X12) ≥ 0.9 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 65 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 80% liegen. Wieviel der 65 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im LostopfP('höchstens eine Niete')
......
71- 7 65 6 64 =1- 21 2080 ≈0.9899
81- 8 65 7 64 =1- 7 520 ≈0.9865
91- 9 65 8 64 =1- 9 520 ≈0.9827
101- 10 65 9 64 =1- 9 416 ≈0.9784
111- 11 65 10 64 =1- 11 416 ≈0.9736
121- 12 65 11 64 =1- 33 1040 ≈0.9683
131- 13 65 12 64 =1- 3 80 ≈0.9625
141- 14 65 13 64 =1- 7 160 ≈0.9563
151- 15 65 14 64 =1- 21 416 ≈0.9495
161- 16 65 15 64 =1- 3 52 ≈0.9423
171- 17 65 16 64 =1- 17 260 ≈0.9346
181- 18 65 17 64 =1- 153 2080 ≈0.9264
191- 19 65 18 64 =1- 171 2080 ≈0.9178
201- 20 65 19 64 =1- 19 208 ≈0.9087
211- 21 65 20 64 =1- 21 208 ≈0.899
221- 22 65 21 64 =1- 231 2080 ≈0.8889
231- 23 65 22 64 =1- 253 2080 ≈0.8784
241- 24 65 23 64 =1- 69 520 ≈0.8673
251- 25 65 24 64 =1- 15 104 ≈0.8558
261- 26 65 25 64 =1- 5 32 ≈0.8438
271- 27 65 26 64 =1- 27 160 ≈0.8313
281- 28 65 27 64 =1- 189 1040 ≈0.8183
291- 29 65 28 64 =1- 203 1040 ≈0.8048
301- 30 65 29 64 =1- 87 416 ≈0.7909
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=7 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= 7 65 6 64 (beim ersten Zufallsversuch 7 65 und beim zweiten 6 64 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- 7 65 6 64

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=7. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/65*(x-1)/64)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 29 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 29 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 9 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 75 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 9 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% für die 75 Durchgänge reichen?

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pP(X≤9)
......
1 8 0.5349
1 9 0.6798
1 10 0.7858
1 11 0.8586
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=75 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp75 (X9) =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp75 (X9) ('höchstens 9 Treffer bei 75 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 9 75 . Mit diesem p wäre ja 9= 9 75 ⋅75 der Erwartungswert und somit Pp75 (X9) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 9 75 mit 1 9 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 8 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 11 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 11 sein.