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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 3 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 98% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.98 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 3 Durchgängen, also ist 1-P=0.02 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 3 Durchgängen.

Es gilt also 0.02=(1-p)³

=>1-p= $\sqrt[3]{0.02}$ ≈ 0.2714

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.2714 ≈ 0.7286

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Beim MI6 (Arbeitsplatz von James Bond 007) soll eine Projektgruppe zur Aushebung einer multinationalen Superschurkenvereinigung eingerichtet werden. Bisherige Studien haben ergeben, dass diese kriminelle Vereinigung bereits alle wichtigen Regierungsbehörden infiltriert hat. Man geht davon aus, dass bereits jeder 50. MI6-Angestellte ein Spitzel dieser Organisiation ist. Wie groß darf diese Gruppe nun sein, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% kein Spitzel in dieser Projektgruppe ist?

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n	P(X≤k)
...	...
20	0.6676
21	0.6543
22	0.6412
23	0.6283
24	0.6158
25	0.6035
26	0.5914
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.02}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=25 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 45 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 80% liegen. Wieviel der 45 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im Lostopf	P('höchstens eine Niete')
...	...
5	1- $\frac{5}{45}$ ⋅ $\frac{4}{44}$ =1- $\frac{1}{99}$ ≈0.9899
6	1- $\frac{6}{45}$ ⋅ $\frac{5}{44}$ =1- $\frac{1}{66}$ ≈0.9848
7	1- $\frac{7}{45}$ ⋅ $\frac{6}{44}$ =1- $\frac{7}{330}$ ≈0.9788
8	1- $\frac{8}{45}$ ⋅ $\frac{7}{44}$ =1- $\frac{14}{495}$ ≈0.9717
9	1- $\frac{9}{45}$ ⋅ $\frac{8}{44}$ =1- $\frac{2}{55}$ ≈0.9636
10	1- $\frac{10}{45}$ ⋅ $\frac{9}{44}$ =1- $\frac{1}{22}$ ≈0.9545
11	1- $\frac{11}{45}$ ⋅ $\frac{10}{44}$ =1- $\frac{1}{18}$ ≈0.9444
12	1- $\frac{12}{45}$ ⋅ $\frac{11}{44}$ =1- $\frac{1}{15}$ ≈0.9333
13	1- $\frac{13}{45}$ ⋅ $\frac{12}{44}$ =1- $\frac{13}{165}$ ≈0.9212
14	1- $\frac{14}{45}$ ⋅ $\frac{13}{44}$ =1- $\frac{91}{990}$ ≈0.9081
15	1- $\frac{15}{45}$ ⋅ $\frac{14}{44}$ =1- $\frac{7}{66}$ ≈0.8939
16	1- $\frac{16}{45}$ ⋅ $\frac{15}{44}$ =1- $\frac{4}{33}$ ≈0.8788
17	1- $\frac{17}{45}$ ⋅ $\frac{16}{44}$ =1- $\frac{68}{495}$ ≈0.8626
18	1- $\frac{18}{45}$ ⋅ $\frac{17}{44}$ =1- $\frac{17}{110}$ ≈0.8455
19	1- $\frac{19}{45}$ ⋅ $\frac{18}{44}$ =1- $\frac{19}{110}$ ≈0.8273
20	1- $\frac{20}{45}$ ⋅ $\frac{19}{44}$ =1- $\frac{19}{99}$ ≈0.8081
21	1- $\frac{21}{45}$ ⋅ $\frac{20}{44}$ =1- $\frac{7}{33}$ ≈0.7879
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=5 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= $\frac{5}{45}$ ⋅ $\frac{4}{44}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{5}{45}$ und beim zweiten $\frac{4}{44}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- $\frac{5}{45}$ ⋅ $\frac{4}{44}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=5. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/45*(x-1)/44)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 20 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 20 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 13 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 3 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 25% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{1}{4}$	0.5843
$\frac{1}{5}$	0.7473
$\frac{1}{6}$	0.8419
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=13 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{13} (X \leq 3)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{13} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 13 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{13}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{13}$ ⋅13 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{13} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{13}$ mit $\frac{1}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{4}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 6 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR