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p gesucht (n-te Wurzel)
Beispiel:
An einem Glücksrad wird 4 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 4 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,3. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)
P=0.3 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 4 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.
Es gilt also 0.3=p4
=>p= ≈ 0.7401
Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,8. Wie viele Freiwürfe darf man bei ihm durch Fouls höchstens zulassen, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% nicht über 27 Freiwurfpunkte kommen lassen will?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 34 | 0.5339 |
| 35 | 0.4007 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.5
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 34 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.8⋅34) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=34:
≈ 0.5339
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.
gesuchtes p (ohne zurücklegen)
Beispiel:
Bei einer Tombola sind 60 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 85% liegen. Wieviel der 60 Lose dürfen höchstens Nieten sein?
| Anzahl der Nieten im Lostopf | P('höchstens eine Niete') |
|---|---|
| ... | ... |
| 7 | 1-⋅=1-≈0.9881 |
| 8 | 1-⋅=1-≈0.9842 |
| 9 | 1-⋅=1-≈0.9797 |
| 10 | 1-⋅=1-≈0.9746 |
| 11 | 1-⋅=1-≈0.9689 |
| 12 | 1-⋅=1-≈0.9627 |
| 13 | 1-⋅=1-≈0.9559 |
| 14 | 1-⋅=1-≈0.9486 |
| 15 | 1-⋅=1-≈0.9407 |
| 16 | 1-⋅=1-≈0.9322 |
| 17 | 1-⋅=1-≈0.9232 |
| 18 | 1-⋅=1-≈0.9136 |
| 19 | 1-⋅=1-≈0.9034 |
| 20 | 1-⋅=1-≈0.8927 |
| 21 | 1-⋅=1-≈0.8814 |
| 22 | 1-⋅=1-≈0.8695 |
| 23 | 1-⋅=1-≈0.8571 |
| 24 | 1-⋅=1-≈0.8441 |
| ... | ... |
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.
Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist): Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=7 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= ⋅ (beim ersten Zufallsversuch und beim zweiten weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1-⋅
Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=7. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/60*(x-1)/59)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 23 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 85% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 23 sein.
Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR
Beispiel:
Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 6 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 50 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 6 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% für die 50 Durchgänge reichen?
| p | P(X≤6) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.5637 | |
| 0.6817 | |
| 0.7702 | |
| 0.8345 | |
| 0.8804 | |
| 0.9131 | |
| 0.9364 | |
| 0.953 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.95 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 6 Treffer bei 50 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 6=⋅50 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 95% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens
15 sein.
