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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 2 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 92% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
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P=0.92 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 2 Durchgängen, also ist 1-P=0.08 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 2 Durchgängen.

Es gilt also 0.08=(1-p)2

=>1-p=0.082 ≈ 0.2828

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.2828 ≈ 0.7172

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 14% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 24-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 80% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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nP(X≤k)
......
260.8963
270.7496
280.5647
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.86 und variablem n.

Es muss gelten: P0.86n (X≤24) ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 86% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 24 0.86 ≈ 28 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.86⋅28) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=28:
P0.86n (X≤24) ≈ 0.5647 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=26 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 30 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der UrneP('mindestens eine schwarze Kugel')
......
31- 27 30 ⋅ 26 29 =1- 117 145 ≈0.1931
41- 26 30 ⋅ 25 29 =1- 65 87 ≈0.2529
51- 25 30 ⋅ 24 29 =1- 20 29 ≈0.3103
61- 24 30 ⋅ 23 29 =1- 92 145 ≈0.3655
71- 23 30 ⋅ 22 29 =1- 253 435 ≈0.4184
81- 22 30 ⋅ 21 29 =1- 77 145 ≈0.469
91- 21 30 ⋅ 20 29 =1- 14 29 ≈0.5172
101- 20 30 ⋅ 19 29 =1- 38 87 ≈0.5632
111- 19 30 ⋅ 18 29 =1- 57 145 ≈0.6069
121- 18 30 ⋅ 17 29 =1- 51 145 ≈0.6483
131- 17 30 ⋅ 16 29 =1- 136 435 ≈0.6874
141- 16 30 ⋅ 15 29 =1- 8 29 ≈0.7241
151- 15 30 ⋅ 14 29 =1- 7 29 ≈0.7586
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= 27 30 ⋅ 26 29 (beim ersten Zufallsversuch 27 30 und beim zweiten 26 29 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- 27 30 ⋅ 26 29

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(30-x)/30*(29-x)/29)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 15 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 15 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 12er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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pP(X≥1)=1-P(X≤0)
......
1 2 0.9998
1 3 0.9923
1 4 0.9683
1 5 0.9313
1 6 0.8878
1 7 0.8427
1 8 0.7986
1 9 0.7567
1 10 0.7176
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp12 (X≥1) = 1- Pp12 (X≤0) = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp12 (X≥1) ('mindestens 1 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 1 2 .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 9 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 9 sein.