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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 2 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 2 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,4. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
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P=0.4 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.4=p²

=>p= $\sqrt[2]{0.4}$ ≈ 0.6325

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht mehr als 34 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
181	0.8079
182	0.7984
183	0.7886
184	0.7787
185	0.7685
186	0.7581
187	0.7474
188	0.7366
189	0.7256
190	0.7145
191	0.7031
192	0.6916
193	0.68
194	0.6682
195	0.6563
196	0.6443
197	0.6322
198	0.62
199	0.6077
200	0.5953
201	0.583
202	0.5705
203	0.5581
204	0.5456
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 34)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{34}{\frac{1}{6}}$ ≈ 204 Versuchen auch ungefähr 34 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅204) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=204:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 34)$ ≈ 0.5456 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=181 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 24 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
3	1- $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{2}{23}$ =1- $\frac{1}{92}$ ≈0.9891
4	1- $\frac{4}{24}$ ⋅ $\frac{3}{23}$ =1- $\frac{1}{46}$ ≈0.9783
5	1- $\frac{5}{24}$ ⋅ $\frac{4}{23}$ =1- $\frac{5}{138}$ ≈0.9638
6	1- $\frac{6}{24}$ ⋅ $\frac{5}{23}$ =1- $\frac{5}{92}$ ≈0.9457
7	1- $\frac{7}{24}$ ⋅ $\frac{6}{23}$ =1- $\frac{7}{92}$ ≈0.9239
8	1- $\frac{8}{24}$ ⋅ $\frac{7}{23}$ =1- $\frac{7}{69}$ ≈0.8986
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{2}{23}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{3}{24}$ und beim zweiten $\frac{2}{23}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{2}{23}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/24*(x-1)/23)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 7 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 7 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 9 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 55 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 9 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% für die 55 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤9)
...	...
$\frac{1}{6}$	0.5637
$\frac{1}{7}$	0.7456
$\frac{1}{8}$	0.8572
$\frac{1}{9}$	0.9206
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{55} (X \leq 9)$ =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{55} (X \leq 9)$ ('höchstens 9 Treffer bei 55 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{9}{55}$ . Mit diesem p wäre ja 9= $\frac{9}{55}$ ⋅55 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{55} (X \leq 9)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{9}{55}$ mit $\frac{1}{9}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{6}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{9}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 9 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR