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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 2 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 2 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,4. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
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P=0.4 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.4=p²

=>p= $\sqrt[2]{0.4}$ ≈ 0.6325

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Beim Biberacher Schützenfest läuft ein 12-köpfiger historischer Spielmannszug mit, der an die Schweden während des 30-Jährigen Kriegs erinnert. Dabei feiern dessen Mitglieder manchmal so ausgelassen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ausfall beim Umzug wegen unverhältnismäßigem Alkoholgenuss bei 17% liegt. Wie viele Schwedenmusiker muss die Schützendirektion mindestens ausbilden, damit beim Umzug mit mindestens 70%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 12 Schweden einsatzfähig sind?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
14	0.4341
15	0.2429
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.83 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.83}^{n} (X \geq 12)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.83}^{n} (X \geq 12)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.83}^{n} (X \geq 12)$ = 1 - $P_{0.83}^{n} (X \leq 11)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.83}^{n} (X \leq 11)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.83}^{n} (X \leq 11)$ oder $P_{0.83}^{n} (X \leq 11)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 83% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{12}{0.83}$ ≈ 14 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.83⋅14) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=14:
$P_{0.83}^{n} (X \leq 11)$ ≈ 0.4341 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=15 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 15 sein, damit $P_{0.83}^{n} (X \leq 11)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.83}^{n} (X \geq 12)$ ≥ 0.7 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 45 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 85% liegen. Wieviel der 45 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im Lostopf	P('höchstens eine Niete')
...	...
5	1- $\frac{5}{45}$ ⋅ $\frac{4}{44}$ =1- $\frac{1}{99}$ ≈0.9899
6	1- $\frac{6}{45}$ ⋅ $\frac{5}{44}$ =1- $\frac{1}{66}$ ≈0.9848
7	1- $\frac{7}{45}$ ⋅ $\frac{6}{44}$ =1- $\frac{7}{330}$ ≈0.9788
8	1- $\frac{8}{45}$ ⋅ $\frac{7}{44}$ =1- $\frac{14}{495}$ ≈0.9717
9	1- $\frac{9}{45}$ ⋅ $\frac{8}{44}$ =1- $\frac{2}{55}$ ≈0.9636
10	1- $\frac{10}{45}$ ⋅ $\frac{9}{44}$ =1- $\frac{1}{22}$ ≈0.9545
11	1- $\frac{11}{45}$ ⋅ $\frac{10}{44}$ =1- $\frac{1}{18}$ ≈0.9444
12	1- $\frac{12}{45}$ ⋅ $\frac{11}{44}$ =1- $\frac{1}{15}$ ≈0.9333
13	1- $\frac{13}{45}$ ⋅ $\frac{12}{44}$ =1- $\frac{13}{165}$ ≈0.9212
14	1- $\frac{14}{45}$ ⋅ $\frac{13}{44}$ =1- $\frac{91}{990}$ ≈0.9081
15	1- $\frac{15}{45}$ ⋅ $\frac{14}{44}$ =1- $\frac{7}{66}$ ≈0.8939
16	1- $\frac{16}{45}$ ⋅ $\frac{15}{44}$ =1- $\frac{4}{33}$ ≈0.8788
17	1- $\frac{17}{45}$ ⋅ $\frac{16}{44}$ =1- $\frac{68}{495}$ ≈0.8626
18	1- $\frac{18}{45}$ ⋅ $\frac{17}{44}$ =1- $\frac{17}{110}$ ≈0.8455
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=5 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= $\frac{5}{45}$ ⋅ $\frac{4}{44}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{5}{45}$ und beim zweiten $\frac{4}{44}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- $\frac{5}{45}$ ⋅ $\frac{4}{44}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=5. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/45*(x-1)/44)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 17 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 17 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 90 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% für die 90 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤7)
...	...
$\frac{1}{12}$	0.5215
$\frac{1}{13}$	0.6107
$\frac{1}{14}$	0.6864
$\frac{1}{15}$	0.7489
$\frac{1}{16}$	0.7996
$\frac{1}{17}$	0.8403
$\frac{1}{18}$	0.8727
$\frac{1}{19}$	0.8984
$\frac{1}{20}$	0.9187
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{90} (X \leq 7)$ =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{90} (X \leq 7)$ ('höchstens 7 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{7}{90}$ . Mit diesem p wäre ja 7= $\frac{7}{90}$ ⋅90 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{90} (X \leq 7)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{7}{90}$ mit $\frac{1}{7}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{12}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{20}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 20 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR