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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 3 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 86% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.86 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 3 Durchgängen, also ist 1-P=0.14 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 3 Durchgängen.

Es gilt also 0.14=(1-p)3

=>1-p=0.143 ≈ 0.5192

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.5192 ≈ 0.4808

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 45%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit 23 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

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nP(X≤k)
......
570.2013
580.1712
590.1444
600.121
610.1007
620.0832
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: P0.45n (X23) ≥ 0.9

Weil man ja aber P0.45n (X23) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.45n (X23) = 1 - P0.45n (X22) ≥ 0.9 |+ P0.45n (X22) - 0.9

0.1 ≥ P0.45n (X22) oder P0.45n (X22) ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 23 0.45 ≈ 51 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.45⋅51) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=51:
P0.45n (X22) ≈ 0.4515 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=62 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 62 sein, damit P0.45n (X22) ≤ 0.1 oder eben P0.45n (X23) ≥ 0.9 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 40 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der UrneP('mindestens eine schwarze Kugel')
......
31- 37 40 36 39 =1- 111 130 ≈0.1462
41- 36 40 35 39 =1- 21 26 ≈0.1923
51- 35 40 34 39 =1- 119 156 ≈0.2372
61- 34 40 33 39 =1- 187 260 ≈0.2808
71- 33 40 32 39 =1- 44 65 ≈0.3231
81- 32 40 31 39 =1- 124 195 ≈0.3641
91- 31 40 30 39 =1- 31 52 ≈0.4038
101- 30 40 29 39 =1- 29 52 ≈0.4423
111- 29 40 28 39 =1- 203 390 ≈0.4795
121- 28 40 27 39 =1- 63 130 ≈0.5154
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= 37 40 36 39 (beim ersten Zufallsversuch 37 40 und beim zweiten 36 39 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- 37 40 36 39

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(40-x)/40*(39-x)/39)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 12 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 12 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 29 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 29 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
4 7 0.9992
5 8 0.9951
6 9 0.9839
7 10 0.9621
8 11 0.9287
9 12 0.8847
10 13 0.8326
11 14 0.7755
12 15 0.7161
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=29 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp29 (X24) = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 3 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp29 (X24) ('höchstens 24 Treffer bei 29 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 4 7 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 11 14 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 11 sein.