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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 3 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 96% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.96 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 3 Durchgängen, also ist 1-P=0.04 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 3 Durchgängen.

Es gilt also 0.04=(1-p)³

=>1-p= $\sqrt[3]{0.04}$ ≈ 0.342

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.342 ≈ 0.658

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,9.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 36 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
40	0.371
41	0.2227
42	0.1214
43	0.0607
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \geq 36)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.9}^{n} (X \geq 36)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.9}^{n} (X \geq 36)$ = 1 - $P_{0.9}^{n} (X \leq 35)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.9}^{n} (X \leq 35)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.9}^{n} (X \leq 35)$ oder $P_{0.9}^{n} (X \leq 35)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{36}{0.9}$ ≈ 40 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.9⋅40) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=40:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 35)$ ≈ 0.371 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 43 sein, damit $P_{0.9}^{n} (X \leq 35)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.9}^{n} (X \geq 36)$ ≥ 0.9 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 45 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 85% liegen. Wieviel der 45 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im Lostopf	P('höchstens eine Niete')
...	...
5	1- $\frac{5}{45}$ ⋅ $\frac{4}{44}$ =1- $\frac{1}{99}$ ≈0.9899
6	1- $\frac{6}{45}$ ⋅ $\frac{5}{44}$ =1- $\frac{1}{66}$ ≈0.9848
7	1- $\frac{7}{45}$ ⋅ $\frac{6}{44}$ =1- $\frac{7}{330}$ ≈0.9788
8	1- $\frac{8}{45}$ ⋅ $\frac{7}{44}$ =1- $\frac{14}{495}$ ≈0.9717
9	1- $\frac{9}{45}$ ⋅ $\frac{8}{44}$ =1- $\frac{2}{55}$ ≈0.9636
10	1- $\frac{10}{45}$ ⋅ $\frac{9}{44}$ =1- $\frac{1}{22}$ ≈0.9545
11	1- $\frac{11}{45}$ ⋅ $\frac{10}{44}$ =1- $\frac{1}{18}$ ≈0.9444
12	1- $\frac{12}{45}$ ⋅ $\frac{11}{44}$ =1- $\frac{1}{15}$ ≈0.9333
13	1- $\frac{13}{45}$ ⋅ $\frac{12}{44}$ =1- $\frac{13}{165}$ ≈0.9212
14	1- $\frac{14}{45}$ ⋅ $\frac{13}{44}$ =1- $\frac{91}{990}$ ≈0.9081
15	1- $\frac{15}{45}$ ⋅ $\frac{14}{44}$ =1- $\frac{7}{66}$ ≈0.8939
16	1- $\frac{16}{45}$ ⋅ $\frac{15}{44}$ =1- $\frac{4}{33}$ ≈0.8788
17	1- $\frac{17}{45}$ ⋅ $\frac{16}{44}$ =1- $\frac{68}{495}$ ≈0.8626
18	1- $\frac{18}{45}$ ⋅ $\frac{17}{44}$ =1- $\frac{17}{110}$ ≈0.8455
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=5 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= $\frac{5}{45}$ ⋅ $\frac{4}{44}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{5}{45}$ und beim zweiten $\frac{4}{44}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- $\frac{5}{45}$ ⋅ $\frac{4}{44}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=5. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/45*(x-1)/44)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 17 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 17 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 5 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 120 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 75%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 12 mal am Tag eines ihrer eigenen 5 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥12)=1-P(X≤11)
...	...
$\frac{5}{23}$	0.9998
$\frac{5}{24}$	0.9995
$\frac{5}{25}$	0.999
$\frac{5}{26}$	0.998
$\frac{5}{27}$	0.9965
$\frac{5}{28}$	0.9942
$\frac{5}{29}$	0.9908
$\frac{5}{30}$	0.9861
$\frac{5}{31}$	0.9798
$\frac{5}{32}$	0.9718
$\frac{5}{33}$	0.9618
$\frac{5}{34}$	0.9497
$\frac{5}{35}$	0.9354
$\frac{5}{36}$	0.9189
$\frac{5}{37}$	0.9003
$\frac{5}{38}$	0.8797
$\frac{5}{39}$	0.8571
$\frac{5}{40}$	0.8328
$\frac{5}{41}$	0.8069
$\frac{5}{42}$	0.7798
$\frac{5}{43}$	0.7516
$\frac{5}{44}$	0.7226
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=120 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{120} (X \geq 12)$ = 1- $P_{p}^{120} (X \leq 11)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{120} (X \geq 12)$ ('mindestens 12 Treffer bei 120 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{5}{23}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{5}{43}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 43 sein.

Also wären noch 38 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR