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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 2 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 2 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,2. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
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P=0.2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.2=p²

=>p= $\sqrt[2]{0.2}$ ≈ 0.4472

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 60%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 26 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
42	0.6554
43	0.5822
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.6}^{n} (X \leq 26)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 60% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{26}{0.6}$ ≈ 43 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.6⋅43) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=43:
$P_{0.6}^{n} (X \leq 26)$ ≈ 0.5822 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=42 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 60 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 85% liegen. Wieviel der 60 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im Lostopf	P('höchstens eine Niete')
...	...
7	1- $\frac{7}{60}$ ⋅ $\frac{6}{59}$ =1- $\frac{7}{590}$ ≈0.9881
8	1- $\frac{8}{60}$ ⋅ $\frac{7}{59}$ =1- $\frac{14}{885}$ ≈0.9842
9	1- $\frac{9}{60}$ ⋅ $\frac{8}{59}$ =1- $\frac{6}{295}$ ≈0.9797
10	1- $\frac{10}{60}$ ⋅ $\frac{9}{59}$ =1- $\frac{3}{118}$ ≈0.9746
11	1- $\frac{11}{60}$ ⋅ $\frac{10}{59}$ =1- $\frac{11}{354}$ ≈0.9689
12	1- $\frac{12}{60}$ ⋅ $\frac{11}{59}$ =1- $\frac{11}{295}$ ≈0.9627
13	1- $\frac{13}{60}$ ⋅ $\frac{12}{59}$ =1- $\frac{13}{295}$ ≈0.9559
14	1- $\frac{14}{60}$ ⋅ $\frac{13}{59}$ =1- $\frac{91}{1770}$ ≈0.9486
15	1- $\frac{15}{60}$ ⋅ $\frac{14}{59}$ =1- $\frac{7}{118}$ ≈0.9407
16	1- $\frac{16}{60}$ ⋅ $\frac{15}{59}$ =1- $\frac{4}{59}$ ≈0.9322
17	1- $\frac{17}{60}$ ⋅ $\frac{16}{59}$ =1- $\frac{68}{885}$ ≈0.9232
18	1- $\frac{18}{60}$ ⋅ $\frac{17}{59}$ =1- $\frac{51}{590}$ ≈0.9136
19	1- $\frac{19}{60}$ ⋅ $\frac{18}{59}$ =1- $\frac{57}{590}$ ≈0.9034
20	1- $\frac{20}{60}$ ⋅ $\frac{19}{59}$ =1- $\frac{19}{177}$ ≈0.8927
21	1- $\frac{21}{60}$ ⋅ $\frac{20}{59}$ =1- $\frac{7}{59}$ ≈0.8814
22	1- $\frac{22}{60}$ ⋅ $\frac{21}{59}$ =1- $\frac{77}{590}$ ≈0.8695
23	1- $\frac{23}{60}$ ⋅ $\frac{22}{59}$ =1- $\frac{253}{1770}$ ≈0.8571
24	1- $\frac{24}{60}$ ⋅ $\frac{23}{59}$ =1- $\frac{46}{295}$ ≈0.8441
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=7 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= $\frac{7}{60}$ ⋅ $\frac{6}{59}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{7}{60}$ und beim zweiten $\frac{6}{59}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- $\frac{7}{60}$ ⋅ $\frac{6}{59}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=7. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/60*(x-1)/59)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 23 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 23 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 8 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 90 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 8 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% für die 90 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤8)
...	...
$\frac{1}{11}$	0.5661
$\frac{1}{12}$	0.6651
$\frac{1}{13}$	0.7448
$\frac{1}{14}$	0.8069
$\frac{1}{15}$	0.8545
$\frac{1}{16}$	0.8904
$\frac{1}{17}$	0.9173
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{90} (X \leq 8)$ =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{90} (X \leq 8)$ ('höchstens 8 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{8}{90}$ . Mit diesem p wäre ja 8= $\frac{8}{90}$ ⋅90 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{90} (X \leq 8)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{8}{90}$ mit $\frac{1}{8}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{11}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{17}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 17 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR