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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 4 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 4 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,1. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
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P=0.1 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 4 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.1=p4

=>p=0.14 ≈ 0.5623

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,6.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, mindestens 20 Treffer zu erzielen ?

Lösung einblenden
nP(X≤k)
......
320.5382
330.453
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und variablem n.

Es muss gelten: P0.6n (X≥20) ≥ 0.5

Weil man ja aber P0.6n (X≥20) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.6n (X≥20) = 1 - P0.6n (X≤19) ≥ 0.5 |+ P0.6n (X≤19) - 0.5

0.5 ≥ P0.6n (X≤19) oder P0.6n (X≤19) ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 60% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 20 0.6 ≈ 33 Versuchen auch ungefähr 20 (≈0.6⋅33) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=33:
P0.6n (X≤19) ≈ 0.453 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=33 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 33 sein, damit P0.6n (X≤19) ≤ 0.5 oder eben P0.6n (X≥20) ≥ 0.5 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 35 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der UrneP('mindestens eine schwarze Kugel')
......
31- 32 35 ⋅ 31 34 =1- 496 595 ≈0.1664
41- 31 35 ⋅ 30 34 =1- 93 119 ≈0.2185
51- 30 35 ⋅ 29 34 =1- 87 119 ≈0.2689
61- 29 35 ⋅ 28 34 =1- 58 85 ≈0.3176
71- 28 35 ⋅ 27 34 =1- 54 85 ≈0.3647
81- 27 35 ⋅ 26 34 =1- 351 595 ≈0.4101
91- 26 35 ⋅ 25 34 =1- 65 119 ≈0.4538
101- 25 35 ⋅ 24 34 =1- 60 119 ≈0.4958
111- 24 35 ⋅ 23 34 =1- 276 595 ≈0.5361
121- 23 35 ⋅ 22 34 =1- 253 595 ≈0.5748
131- 22 35 ⋅ 21 34 =1- 33 85 ≈0.6118
141- 21 35 ⋅ 20 34 =1- 6 17 ≈0.6471
151- 20 35 ⋅ 19 34 =1- 38 119 ≈0.6807
161- 19 35 ⋅ 18 34 =1- 171 595 ≈0.7126
171- 18 35 ⋅ 17 34 =1- 9 35 ≈0.7429
181- 17 35 ⋅ 16 34 =1- 8 35 ≈0.7714
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= 32 35 ⋅ 31 34 (beim ersten Zufallsversuch 32 35 und beim zweiten 31 34 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- 32 35 ⋅ 31 34

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(35-x)/35*(34-x)/34)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 18 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 18 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 8er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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pP(X≥2)=1-P(X≤1)
......
1 2 0.9648
1 3 0.8049
1 4 0.6329
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=8 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp8 (X≥2) = 1- Pp8 (X≤1) = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp8 (X≥2) ('mindestens 2 Treffer bei 8 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 1 2 .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 3 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 3 sein.