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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 88% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.88 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.12 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.12=(1-p)4

=>1-p=0.124 ≈ 0.5886

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.5886 ≈ 0.4114

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 19% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 34-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 80% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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nP(X≤k)
......
390.8873
400.798
410.6848
420.5589
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.81 und variablem n.

Es muss gelten: P0.81n (X34) ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 81% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 34 0.81 ≈ 42 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.81⋅42) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=42:
P0.81n (X34) ≈ 0.5589 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 55 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 90% liegen. Wieviel der 55 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im LostopfP('höchstens eine Niete')
......
61- 6 55 5 54 =1- 1 99 ≈0.9899
71- 7 55 6 54 =1- 7 495 ≈0.9859
81- 8 55 7 54 =1- 28 1485 ≈0.9811
91- 9 55 8 54 =1- 4 165 ≈0.9758
101- 10 55 9 54 =1- 1 33 ≈0.9697
111- 11 55 10 54 =1- 1 27 ≈0.963
121- 12 55 11 54 =1- 2 45 ≈0.9556
131- 13 55 12 54 =1- 26 495 ≈0.9475
141- 14 55 13 54 =1- 91 1485 ≈0.9387
151- 15 55 14 54 =1- 7 99 ≈0.9293
161- 16 55 15 54 =1- 8 99 ≈0.9192
171- 17 55 16 54 =1- 136 1485 ≈0.9084
181- 18 55 17 54 =1- 17 165 ≈0.897
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=6 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= 6 55 5 54 (beim ersten Zufallsversuch 6 55 und beim zweiten 5 54 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- 6 55 5 54

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=6. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/55*(x-1)/54)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 17 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 17 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 14 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 14 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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pP(X≤3)
......
5 23 0.6373
5 24 0.6693
5 25 0.6982
5 26 0.7244
5 27 0.748
5 28 0.7694
5 29 0.7888
5 30 0.8063
5 31 0.8221
5 32 0.8364
5 33 0.8494
5 34 0.8612
5 35 0.8719
5 36 0.8817
5 37 0.8905
5 38 0.8986
5 39 0.9059
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=14 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp14 (X3) =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp14 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 14 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 14 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 14 ⋅14 der Erwartungswert und somit Pp14 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 14 mit 5 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 5 23 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 5 39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 39 sein.

Also werden noch 34 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.