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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 66% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.66 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.34 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.34=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.34}$ ≈ 0.7636

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.7636 ≈ 0.2364

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% 30 oder mehr 6er zu erzielen?

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n	P(X≤k)
...	...
181	0.4558
182	0.4427
183	0.4298
184	0.417
185	0.4043
186	0.3917
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 30)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 30)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 30)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 29)$ ≥ 0.6 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 29)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 29)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 29)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{30}{\frac{1}{6}}$ ≈ 180 Versuchen auch ungefähr 30 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅180) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=180:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 29)$ ≈ 0.469 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=186 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 186 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 29)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 30)$ ≥ 0.6 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 60 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 80% liegen. Wieviel der 60 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im Lostopf	P('höchstens eine Niete')
...	...
7	1- $\frac{7}{60}$ ⋅ $\frac{6}{59}$ =1- $\frac{7}{590}$ ≈0.9881
8	1- $\frac{8}{60}$ ⋅ $\frac{7}{59}$ =1- $\frac{14}{885}$ ≈0.9842
9	1- $\frac{9}{60}$ ⋅ $\frac{8}{59}$ =1- $\frac{6}{295}$ ≈0.9797
10	1- $\frac{10}{60}$ ⋅ $\frac{9}{59}$ =1- $\frac{3}{118}$ ≈0.9746
11	1- $\frac{11}{60}$ ⋅ $\frac{10}{59}$ =1- $\frac{11}{354}$ ≈0.9689
12	1- $\frac{12}{60}$ ⋅ $\frac{11}{59}$ =1- $\frac{11}{295}$ ≈0.9627
13	1- $\frac{13}{60}$ ⋅ $\frac{12}{59}$ =1- $\frac{13}{295}$ ≈0.9559
14	1- $\frac{14}{60}$ ⋅ $\frac{13}{59}$ =1- $\frac{91}{1770}$ ≈0.9486
15	1- $\frac{15}{60}$ ⋅ $\frac{14}{59}$ =1- $\frac{7}{118}$ ≈0.9407
16	1- $\frac{16}{60}$ ⋅ $\frac{15}{59}$ =1- $\frac{4}{59}$ ≈0.9322
17	1- $\frac{17}{60}$ ⋅ $\frac{16}{59}$ =1- $\frac{68}{885}$ ≈0.9232
18	1- $\frac{18}{60}$ ⋅ $\frac{17}{59}$ =1- $\frac{51}{590}$ ≈0.9136
19	1- $\frac{19}{60}$ ⋅ $\frac{18}{59}$ =1- $\frac{57}{590}$ ≈0.9034
20	1- $\frac{20}{60}$ ⋅ $\frac{19}{59}$ =1- $\frac{19}{177}$ ≈0.8927
21	1- $\frac{21}{60}$ ⋅ $\frac{20}{59}$ =1- $\frac{7}{59}$ ≈0.8814
22	1- $\frac{22}{60}$ ⋅ $\frac{21}{59}$ =1- $\frac{77}{590}$ ≈0.8695
23	1- $\frac{23}{60}$ ⋅ $\frac{22}{59}$ =1- $\frac{253}{1770}$ ≈0.8571
24	1- $\frac{24}{60}$ ⋅ $\frac{23}{59}$ =1- $\frac{46}{295}$ ≈0.8441
25	1- $\frac{25}{60}$ ⋅ $\frac{24}{59}$ =1- $\frac{10}{59}$ ≈0.8305
26	1- $\frac{26}{60}$ ⋅ $\frac{25}{59}$ =1- $\frac{65}{354}$ ≈0.8164
27	1- $\frac{27}{60}$ ⋅ $\frac{26}{59}$ =1- $\frac{117}{590}$ ≈0.8017
28	1- $\frac{28}{60}$ ⋅ $\frac{27}{59}$ =1- $\frac{63}{295}$ ≈0.7864
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=7 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= $\frac{7}{60}$ ⋅ $\frac{6}{59}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{7}{60}$ und beim zweiten $\frac{6}{59}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- $\frac{7}{60}$ ⋅ $\frac{6}{59}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=7. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/60*(x-1)/59)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 27 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 27 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{12}{17}$	0.9998
$\frac{13}{18}$	0.9997
$\frac{14}{19}$	0.9995
$\frac{15}{20}$	0.9992
$\frac{16}{21}$	0.9989
$\frac{17}{22}$	0.9984
$\frac{18}{23}$	0.9978
$\frac{19}{24}$	0.9971
$\frac{20}{25}$	0.9962
$\frac{21}{26}$	0.9952
$\frac{22}{27}$	0.994
$\frac{23}{28}$	0.9927
$\frac{24}{29}$	0.9912
$\frac{25}{30}$	0.9895
$\frac{26}{31}$	0.9877
$\frac{27}{32}$	0.9857
$\frac{28}{33}$	0.9836
$\frac{29}{34}$	0.9813
$\frac{30}{35}$	0.9788
$\frac{31}{36}$	0.9762
$\frac{32}{37}$	0.9735
$\frac{33}{38}$	0.9706
$\frac{34}{39}$	0.9676
$\frac{35}{40}$	0.9645
$\frac{36}{41}$	0.9613
$\frac{37}{42}$	0.9579
$\frac{38}{43}$	0.9545
$\frac{39}{44}$	0.951
$\frac{40}{45}$	0.9474
$\frac{41}{46}$	0.9437
$\frac{42}{47}$	0.9399
$\frac{43}{48}$	0.9361
$\frac{44}{49}$	0.9322
$\frac{45}{50}$	0.9282
$\frac{46}{51}$	0.9242
$\frac{47}{52}$	0.9201
$\frac{48}{53}$	0.916
$\frac{49}{54}$	0.9119
$\frac{50}{55}$	0.9077
$\frac{51}{56}$	0.9035
$\frac{52}{57}$	0.8993
$\frac{53}{58}$	0.895
$\frac{54}{59}$	0.8907
$\frac{55}{60}$	0.8864
$\frac{56}{61}$	0.8821
$\frac{57}{62}$	0.8778
$\frac{58}{63}$	0.8735
$\frac{59}{64}$	0.8691
$\frac{60}{65}$	0.8648
$\frac{61}{66}$	0.8605
$\frac{62}{67}$	0.8561
$\frac{63}{68}$	0.8518
$\frac{64}{69}$	0.8475
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{12}{17}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{63}{68}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 63 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR