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p gesucht (n-te Wurzel)
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 3 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 96% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)
P=0.96 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 3 Durchgängen, also ist 1-P=0.04 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 3 Durchgängen.
Es gilt also 0.04=(1-p)3
=>1-p= ≈ 0.342
Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.342 ≈ 0.658
Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 45%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 33 grüne Kugeln gezogen werden?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 73 | 0.5622 |
| 74 | 0.5202 |
| 75 | 0.4784 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.5
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 73 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.45⋅73) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=73:
≈ 0.5622
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=74 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.
gesuchtes p (ohne zurücklegen)
Beispiel:
Bei einer Tombola sind 60 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 85% liegen. Wieviel der 60 Lose dürfen höchstens Nieten sein?
| Anzahl der Nieten im Lostopf | P('höchstens eine Niete') |
|---|---|
| ... | ... |
| 7 | 1-⋅=1-≈0.9881 |
| 8 | 1-⋅=1-≈0.9842 |
| 9 | 1-⋅=1-≈0.9797 |
| 10 | 1-⋅=1-≈0.9746 |
| 11 | 1-⋅=1-≈0.9689 |
| 12 | 1-⋅=1-≈0.9627 |
| 13 | 1-⋅=1-≈0.9559 |
| 14 | 1-⋅=1-≈0.9486 |
| 15 | 1-⋅=1-≈0.9407 |
| 16 | 1-⋅=1-≈0.9322 |
| 17 | 1-⋅=1-≈0.9232 |
| 18 | 1-⋅=1-≈0.9136 |
| 19 | 1-⋅=1-≈0.9034 |
| 20 | 1-⋅=1-≈0.8927 |
| 21 | 1-⋅=1-≈0.8814 |
| 22 | 1-⋅=1-≈0.8695 |
| 23 | 1-⋅=1-≈0.8571 |
| 24 | 1-⋅=1-≈0.8441 |
| ... | ... |
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.
Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist): Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=7 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= ⋅ (beim ersten Zufallsversuch und beim zweiten weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1-⋅
Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=7. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/60*(x-1)/59)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 23 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 85% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 23 sein.
Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR
Beispiel:
In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?
| p | P(X≤21) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9997 | |
| 0.9987 | |
| 0.9959 | |
| 0.9899 | |
| 0.9796 | |
| 0.9642 | |
| 0.9435 | |
| 0.9175 | |
| 0.887 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 0.9 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 21 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 12 sein.
