Mathebattle EduRandomtasks

p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 84% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

Lösung einblenden

P=0.84 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.16 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.16=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.16}$ ≈ 0.6325

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6325 ≈ 0.3675

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Die Firma Apple hat ein neues geniales Produkt, die iYacht, auf den Markt gebracht (wenn auch nicht ganz günstig). Die hierfür beauftragte Marketingagentur garantiert, dass unter denen, denen sie die Yacht vorgeführt hat, der Anteil der späteren Käufer bei 18% liegt. Wie vielen Personen muss nun dieses Produkt vorgeführt werden, damit sich mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, 39 oder mehr Käufer für dieses Produkt finden?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
227	0.3475
228	0.3363
229	0.3252
230	0.3143
231	0.3036
232	0.2931
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.18 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.18}^{n} (X \geq 39)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.18}^{n} (X \geq 39)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.18}^{n} (X \geq 39)$ = 1 - $P_{0.18}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.18}^{n} (X \leq 38)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.18}^{n} (X \leq 38)$ oder $P_{0.18}^{n} (X \leq 38)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 18% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{39}{0.18}$ ≈ 217 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.18⋅217) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=217:
$P_{0.18}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.4681 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=232 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 232 sein, damit $P_{0.18}^{n} (X \leq 38)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.18}^{n} (X \geq 39)$ ≥ 0.7 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 45 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 95% liegen. Wieviel der 45 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

Lösung einblenden

Anzahl der Nieten im Lostopf	P('höchstens eine Niete')
...	...
5	1- $\frac{5}{45}$ ⋅ $\frac{4}{44}$ =1- $\frac{1}{99}$ ≈0.9899
6	1- $\frac{6}{45}$ ⋅ $\frac{5}{44}$ =1- $\frac{1}{66}$ ≈0.9848
7	1- $\frac{7}{45}$ ⋅ $\frac{6}{44}$ =1- $\frac{7}{330}$ ≈0.9788
8	1- $\frac{8}{45}$ ⋅ $\frac{7}{44}$ =1- $\frac{14}{495}$ ≈0.9717
9	1- $\frac{9}{45}$ ⋅ $\frac{8}{44}$ =1- $\frac{2}{55}$ ≈0.9636
10	1- $\frac{10}{45}$ ⋅ $\frac{9}{44}$ =1- $\frac{1}{22}$ ≈0.9545
11	1- $\frac{11}{45}$ ⋅ $\frac{10}{44}$ =1- $\frac{1}{18}$ ≈0.9444
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=5 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= $\frac{5}{45}$ ⋅ $\frac{4}{44}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{5}{45}$ und beim zweiten $\frac{4}{44}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- $\frac{5}{45}$ ⋅ $\frac{4}{44}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=5. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/45*(x-1)/44)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 10 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 95% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 10 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 28 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 28 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

Lösung einblenden

p	P(X≤21)
...	...
$\frac{4}{8}$	0.9981
$\frac{5}{9}$	0.9899
$\frac{6}{10}$	0.9685
$\frac{7}{11}$	0.9297
$\frac{8}{12}$	0.8738
$\frac{9}{13}$	0.8048
$\frac{10}{14}$	0.7282
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{28} (X \leq 21)$ = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{28} (X \leq 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{4}{8}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{9}{13}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 9 sein.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR