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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 4 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 92% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.92 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.08 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.08=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.08}$ ≈ 0.5318

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.5318 ≈ 0.4682

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Ein Lebensmittelhersteller wirbt damit, dass sich in jeder 7. Verpackung eine Überraschung befindet. Wie viele Packungen muss man mindestens kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 1 Überraschung(en) zu erhalten.

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n	P(X≤k)
...	...
10	0.2141
11	0.1835
12	0.1573
13	0.1348
14	0.1155
15	0.099
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Überraschungen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{7}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 1)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 1)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 1)$ = 1 - $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.9 |+ $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ oder $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{7}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{1}{\frac{1}{7}}$ ≈ 7 Versuchen auch ungefähr 1 (≈ $\frac{1}{7}$ ⋅7) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=7:
$P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 0.3399 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=15 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 15 sein, damit $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 1)$ ≥ 0.9 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 20 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne	P('mindestens eine schwarze Kugel')
...	...
3	1- $\frac{17}{20}$ ⋅ $\frac{16}{19}$ =1- $\frac{68}{95}$ ≈0.2842
4	1- $\frac{16}{20}$ ⋅ $\frac{15}{19}$ =1- $\frac{12}{19}$ ≈0.3684
5	1- $\frac{15}{20}$ ⋅ $\frac{14}{19}$ =1- $\frac{21}{38}$ ≈0.4474
6	1- $\frac{14}{20}$ ⋅ $\frac{13}{19}$ =1- $\frac{91}{190}$ ≈0.5211
7	1- $\frac{13}{20}$ ⋅ $\frac{12}{19}$ =1- $\frac{39}{95}$ ≈0.5895
8	1- $\frac{12}{20}$ ⋅ $\frac{11}{19}$ =1- $\frac{33}{95}$ ≈0.6526
9	1- $\frac{11}{20}$ ⋅ $\frac{10}{19}$ =1- $\frac{11}{38}$ ≈0.7105
10	1- $\frac{10}{20}$ ⋅ $\frac{9}{19}$ =1- $\frac{9}{38}$ ≈0.7632
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= $\frac{17}{20}$ ⋅ $\frac{16}{19}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{17}{20}$ und beim zweiten $\frac{16}{19}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- $\frac{17}{20}$ ⋅ $\frac{16}{19}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(20-x)/20*(19-x)/19)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 10 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 10 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 15 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 15 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{2}{10}$	0.6482
$\frac{2}{11}$	0.7153
$\frac{2}{12}$	0.7685
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=15 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{15} (X \leq 3)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{15} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 15 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{15}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{15}$ ⋅15 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{15} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{15}$ mit $\frac{2}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{2}{10}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 12 sein.

Also werden noch 10 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR