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p gesucht (n-te Wurzel)
Beispiel:
An einem Glücksrad wird 3 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 3 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,2. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)
P=0.2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.
Es gilt also 0.2=p3
=>p= ≈ 0.5848
Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 90%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 37 grüne Kugeln gezogen werden?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 40 | 0.7772 |
| 41 | 0.5969 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.6
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 41 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.9⋅41) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=41:
≈ 0.5969
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=40 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.
gesuchtes p (ohne zurücklegen)
Beispiel:
In einem Kartenstapel mit 23 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 80%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?
| Anzahl der Joker im Kartenstapel | P('höchstens einen Joker') |
|---|---|
| ... | ... |
| 3 | 1-⋅=1-≈0.9881 |
| 4 | 1-⋅=1-≈0.9763 |
| 5 | 1-⋅=1-≈0.9605 |
| 6 | 1-⋅=1-≈0.9407 |
| 7 | 1-⋅=1-≈0.917 |
| 8 | 1-⋅=1-≈0.8893 |
| 9 | 1-⋅=1-≈0.8577 |
| 10 | 1-⋅=1-≈0.8221 |
| 11 | 1-⋅=1-≈0.7826 |
| ... | ... |
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.
Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist): Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= ⋅ (beim ersten Zufallsversuch und beim zweiten weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1-⋅
Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/23*(x-1)/22)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 10 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 10 sein.
Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR
Beispiel:
Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 11er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?
| p | P(X≥2)=1-P(X≤1) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9941 | |
| 0.9249 | |
| 0.8029 | |
| 0.6779 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 1- = 0.75 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('mindestens 2 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens
4 sein.
