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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 4 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 96% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.96 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.04 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.04=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.04}$ ≈ 0.4472

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.4472 ≈ 0.5528

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 70%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit 25 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
36	0.3909
37	0.3017
38	0.2255
39	0.1635
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{n} (X \geq 25)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.7}^{n} (X \geq 25)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.7}^{n} (X \geq 25)$ = 1 - $P_{0.7}^{n} (X \leq 24)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.7}^{n} (X \leq 24)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.7}^{n} (X \leq 24)$ oder $P_{0.7}^{n} (X \leq 24)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{25}{0.7}$ ≈ 36 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.7⋅36) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=36:
$P_{0.7}^{n} (X \leq 24)$ ≈ 0.3909 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 39 sein, damit $P_{0.7}^{n} (X \leq 24)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.7}^{n} (X \geq 25)$ ≥ 0.8 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 55 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 85% liegen. Wieviel der 55 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im Lostopf	P('höchstens eine Niete')
...	...
6	1- $\frac{6}{55}$ ⋅ $\frac{5}{54}$ =1- $\frac{1}{99}$ ≈0.9899
7	1- $\frac{7}{55}$ ⋅ $\frac{6}{54}$ =1- $\frac{7}{495}$ ≈0.9859
8	1- $\frac{8}{55}$ ⋅ $\frac{7}{54}$ =1- $\frac{28}{1485}$ ≈0.9811
9	1- $\frac{9}{55}$ ⋅ $\frac{8}{54}$ =1- $\frac{4}{165}$ ≈0.9758
10	1- $\frac{10}{55}$ ⋅ $\frac{9}{54}$ =1- $\frac{1}{33}$ ≈0.9697
11	1- $\frac{11}{55}$ ⋅ $\frac{10}{54}$ =1- $\frac{1}{27}$ ≈0.963
12	1- $\frac{12}{55}$ ⋅ $\frac{11}{54}$ =1- $\frac{2}{45}$ ≈0.9556
13	1- $\frac{13}{55}$ ⋅ $\frac{12}{54}$ =1- $\frac{26}{495}$ ≈0.9475
14	1- $\frac{14}{55}$ ⋅ $\frac{13}{54}$ =1- $\frac{91}{1485}$ ≈0.9387
15	1- $\frac{15}{55}$ ⋅ $\frac{14}{54}$ =1- $\frac{7}{99}$ ≈0.9293
16	1- $\frac{16}{55}$ ⋅ $\frac{15}{54}$ =1- $\frac{8}{99}$ ≈0.9192
17	1- $\frac{17}{55}$ ⋅ $\frac{16}{54}$ =1- $\frac{136}{1485}$ ≈0.9084
18	1- $\frac{18}{55}$ ⋅ $\frac{17}{54}$ =1- $\frac{17}{165}$ ≈0.897
19	1- $\frac{19}{55}$ ⋅ $\frac{18}{54}$ =1- $\frac{19}{165}$ ≈0.8848
20	1- $\frac{20}{55}$ ⋅ $\frac{19}{54}$ =1- $\frac{38}{297}$ ≈0.8721
21	1- $\frac{21}{55}$ ⋅ $\frac{20}{54}$ =1- $\frac{14}{99}$ ≈0.8586
22	1- $\frac{22}{55}$ ⋅ $\frac{21}{54}$ =1- $\frac{7}{45}$ ≈0.8444
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=6 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= $\frac{6}{55}$ ⋅ $\frac{5}{54}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{6}{55}$ und beim zweiten $\frac{5}{54}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- $\frac{6}{55}$ ⋅ $\frac{5}{54}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=6. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/55*(x-1)/54)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 21 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 21 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 19 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 19 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{4}{12}$	0.5431
$\frac{4}{13}$	0.6378
$\frac{4}{14}$	0.7152
$\frac{4}{15}$	0.7768
$\frac{4}{16}$	0.8251
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=19 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{19} (X \leq 6)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{19} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 19 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{19}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{19}$ ⋅19 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{19} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{19}$ mit $\frac{4}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{4}{12}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{4}{16}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 16 sein.

Also werden noch 12 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR