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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 77% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.77 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.23 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.23=(1-p)4

=>1-p=0.234 ≈ 0.6925

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6925 ≈ 0.3075

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Die Firma Apple hat ein neues geniales Produkt, die iYacht, auf den Markt gebracht (wenn auch nicht ganz günstig). Die hierfür beauftragte Marketingagentur garantiert, dass unter denen, denen sie die Yacht vorgeführt hat, der Anteil der späteren Käufer bei 14% liegt. Wie vielen Personen muss nun dieses Produkt vorgeführt werden, damit sich mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, 34 oder mehr Käufer für dieses Produkt finden?

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nP(X≤k)
......
2400.5015
2410.4911
2420.4808
2430.4705
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.14 und variablem n.

Es muss gelten: P0.14n (X≥34) ≥ 0.5

Weil man ja aber P0.14n (X≥34) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.14n (X≥34) = 1 - P0.14n (X≤33) ≥ 0.5 |+ P0.14n (X≤33) - 0.5

0.5 ≥ P0.14n (X≤33) oder P0.14n (X≤33) ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 14% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 34 0.14 ≈ 243 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.14⋅243) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=243:
P0.14n (X≤33) ≈ 0.4705 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=241 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 241 sein, damit P0.14n (X≤33) ≤ 0.5 oder eben P0.14n (X≥34) ≥ 0.5 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 65 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 80% liegen. Wieviel der 65 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im LostopfP('höchstens eine Niete')
......
71- 7 65 ⋅ 6 64 =1- 21 2080 ≈0.9899
81- 8 65 ⋅ 7 64 =1- 7 520 ≈0.9865
91- 9 65 ⋅ 8 64 =1- 9 520 ≈0.9827
101- 10 65 ⋅ 9 64 =1- 9 416 ≈0.9784
111- 11 65 ⋅ 10 64 =1- 11 416 ≈0.9736
121- 12 65 ⋅ 11 64 =1- 33 1040 ≈0.9683
131- 13 65 ⋅ 12 64 =1- 3 80 ≈0.9625
141- 14 65 ⋅ 13 64 =1- 7 160 ≈0.9563
151- 15 65 ⋅ 14 64 =1- 21 416 ≈0.9495
161- 16 65 ⋅ 15 64 =1- 3 52 ≈0.9423
171- 17 65 ⋅ 16 64 =1- 17 260 ≈0.9346
181- 18 65 ⋅ 17 64 =1- 153 2080 ≈0.9264
191- 19 65 ⋅ 18 64 =1- 171 2080 ≈0.9178
201- 20 65 ⋅ 19 64 =1- 19 208 ≈0.9087
211- 21 65 ⋅ 20 64 =1- 21 208 ≈0.899
221- 22 65 ⋅ 21 64 =1- 231 2080 ≈0.8889
231- 23 65 ⋅ 22 64 =1- 253 2080 ≈0.8784
241- 24 65 ⋅ 23 64 =1- 69 520 ≈0.8673
251- 25 65 ⋅ 24 64 =1- 15 104 ≈0.8558
261- 26 65 ⋅ 25 64 =1- 5 32 ≈0.8438
271- 27 65 ⋅ 26 64 =1- 27 160 ≈0.8313
281- 28 65 ⋅ 27 64 =1- 189 1040 ≈0.8183
291- 29 65 ⋅ 28 64 =1- 203 1040 ≈0.8048
301- 30 65 ⋅ 29 64 =1- 87 416 ≈0.7909
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=7 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= 7 65 ⋅ 6 64 (beim ersten Zufallsversuch 7 65 und beim zweiten 6 64 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- 7 65 ⋅ 6 64

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=7. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/65*(x-1)/64)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 29 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 29 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
12 17 0.9998
13 18 0.9997
14 19 0.9995
15 20 0.9992
16 21 0.9989
17 22 0.9984
18 23 0.9978
19 24 0.9971
20 25 0.9962
21 26 0.9952
22 27 0.994
23 28 0.9927
24 29 0.9912
25 30 0.9895
26 31 0.9877
27 32 0.9857
28 33 0.9836
29 34 0.9813
30 35 0.9788
31 36 0.9762
32 37 0.9735
33 38 0.9706
34 39 0.9676
35 40 0.9645
36 41 0.9613
37 42 0.9579
38 43 0.9545
39 44 0.951
40 45 0.9474
41 46 0.9437
42 47 0.9399
43 48 0.9361
44 49 0.9322
45 50 0.9282
46 51 0.9242
47 52 0.9201
48 53 0.916
49 54 0.9119
50 55 0.9077
51 56 0.9035
52 57 0.8993
53 58 0.895
54 59 0.8907
55 60 0.8864
56 61 0.8821
57 62 0.8778
58 63 0.8735
59 64 0.8691
60 65 0.8648
61 66 0.8605
62 67 0.8561
63 68 0.8518
64 69 0.8475
65 70 0.8432
66 71 0.8389
67 72 0.8346
68 73 0.8303
69 74 0.826
70 75 0.8218
71 76 0.8176
72 77 0.8133
73 78 0.8091
74 79 0.805
75 80 0.8008
76 81 0.7967
77 82 0.7925
78 83 0.7885
79 84 0.7844
80 85 0.7803
81 86 0.7763
82 87 0.7723
83 88 0.7683
84 89 0.7644
85 90 0.7604
86 91 0.7565
87 92 0.7527
88 93 0.7488
89 94 0.745
90 95 0.7412
91 96 0.7374
92 97 0.7337
93 98 0.73
94 99 0.7263
95 100 0.7226
96 101 0.719
97 102 0.7154
98 103 0.7118
99 104 0.7082
100 105 0.7047
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp25 (X≤24) = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp25 (X≤24) ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 12 17 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 99 104 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 99 sein.