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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 81% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.81 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.19 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.19=(1-p)4

=>1-p=0.194 ≈ 0.6602

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6602 ≈ 0.3398

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,05. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 90% kein Descepticon unter ihnen ist?

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nP(X≤k)
......
10.95
20.9025
30.8574
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.05 und variablem n.

Es muss gelten: P0.05n (X≤0) ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 5% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 0 0.05 ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.05⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
P0.05n (X≤0) ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=2 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 45 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 80% liegen. Wieviel der 45 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im LostopfP('höchstens eine Niete')
......
51- 5 45 ⋅ 4 44 =1- 1 99 ≈0.9899
61- 6 45 ⋅ 5 44 =1- 1 66 ≈0.9848
71- 7 45 ⋅ 6 44 =1- 7 330 ≈0.9788
81- 8 45 ⋅ 7 44 =1- 14 495 ≈0.9717
91- 9 45 ⋅ 8 44 =1- 2 55 ≈0.9636
101- 10 45 ⋅ 9 44 =1- 1 22 ≈0.9545
111- 11 45 ⋅ 10 44 =1- 1 18 ≈0.9444
121- 12 45 ⋅ 11 44 =1- 1 15 ≈0.9333
131- 13 45 ⋅ 12 44 =1- 13 165 ≈0.9212
141- 14 45 ⋅ 13 44 =1- 91 990 ≈0.9081
151- 15 45 ⋅ 14 44 =1- 7 66 ≈0.8939
161- 16 45 ⋅ 15 44 =1- 4 33 ≈0.8788
171- 17 45 ⋅ 16 44 =1- 68 495 ≈0.8626
181- 18 45 ⋅ 17 44 =1- 17 110 ≈0.8455
191- 19 45 ⋅ 18 44 =1- 19 110 ≈0.8273
201- 20 45 ⋅ 19 44 =1- 19 99 ≈0.8081
211- 21 45 ⋅ 20 44 =1- 7 33 ≈0.7879
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=5 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= 5 45 ⋅ 4 44 (beim ersten Zufallsversuch 5 45 und beim zweiten 4 44 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- 5 45 ⋅ 4 44

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=5. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/45*(x-1)/44)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 20 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 20 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 29 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 29 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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pP(X≤21)
......
3 6 0.9959
4 7 0.9704
5 8 0.9048
6 9 0.8014
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=29 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp29 (X≤21) = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 3 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp29 (X≤21) ('höchstens 21 Treffer bei 29 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 3 6 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 5 8 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 5 sein.