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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 2 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 2 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,1. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.1 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.1=p²

=>p= $\sqrt[2]{0.1}$ ≈ 0.3162

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Die Firma Apple hat ein neues geniales Produkt, die iYacht, auf den Markt gebracht (wenn auch nicht ganz günstig). Die hierfür beauftragte Marketingagentur garantiert, dass unter denen, denen sie die Yacht vorgeführt hat, der Anteil der späteren Käufer bei 13% liegt. Wie vielen Personen muss nun dieses Produkt vorgeführt werden, damit sich mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, 35 oder mehr Käufer für dieses Produkt finden?

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n	P(X≤k)
...	...
273	0.4378
274	0.4287
275	0.4196
276	0.4106
277	0.4017
278	0.3928
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.13 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.13}^{n} (X \geq 35)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.13}^{n} (X \geq 35)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.13}^{n} (X \geq 35)$ = 1 - $P_{0.13}^{n} (X \leq 34)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.13}^{n} (X \leq 34)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.13}^{n} (X \leq 34)$ oder $P_{0.13}^{n} (X \leq 34)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 13% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{35}{0.13}$ ≈ 269 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.13⋅269) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=269:
$P_{0.13}^{n} (X \leq 34)$ ≈ 0.4749 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=278 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 278 sein, damit $P_{0.13}^{n} (X \leq 34)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.13}^{n} (X \geq 35)$ ≥ 0.6 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 22 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 80%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
3	1- $\frac{3}{22}$ ⋅ $\frac{2}{21}$ =1- $\frac{1}{77}$ ≈0.987
4	1- $\frac{4}{22}$ ⋅ $\frac{3}{21}$ =1- $\frac{2}{77}$ ≈0.974
5	1- $\frac{5}{22}$ ⋅ $\frac{4}{21}$ =1- $\frac{10}{231}$ ≈0.9567
6	1- $\frac{6}{22}$ ⋅ $\frac{5}{21}$ =1- $\frac{5}{77}$ ≈0.9351
7	1- $\frac{7}{22}$ ⋅ $\frac{6}{21}$ =1- $\frac{1}{11}$ ≈0.9091
8	1- $\frac{8}{22}$ ⋅ $\frac{7}{21}$ =1- $\frac{4}{33}$ ≈0.8788
9	1- $\frac{9}{22}$ ⋅ $\frac{8}{21}$ =1- $\frac{12}{77}$ ≈0.8442
10	1- $\frac{10}{22}$ ⋅ $\frac{9}{21}$ =1- $\frac{15}{77}$ ≈0.8052
11	1- $\frac{11}{22}$ ⋅ $\frac{10}{21}$ =1- $\frac{5}{21}$ ≈0.7619
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{3}{22}$ ⋅ $\frac{2}{21}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{3}{22}$ und beim zweiten $\frac{2}{21}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{3}{22}$ ⋅ $\frac{2}{21}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/22*(x-1)/21)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 10 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 10 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 16 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 16 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{4}{21}$	0.6362
$\frac{4}{22}$	0.6705
$\frac{4}{23}$	0.7014
$\frac{4}{24}$	0.7291
$\frac{4}{25}$	0.754
$\frac{4}{26}$	0.7763
$\frac{4}{27}$	0.7963
$\frac{4}{28}$	0.8143
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=16 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{16} (X \leq 3)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{16} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 16 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{16}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{16}$ ⋅16 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{16} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{16}$ mit $\frac{4}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{4}{21}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{4}{28}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 28 sein.

Also werden noch 24 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR