Mathebattle EduRandomtasks

p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 4 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 87% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

Lösung einblenden

P=0.87 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.13 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.13=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.13}$ ≈ 0.6005

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6005 ≈ 0.3995

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Beim Biberacher Schützenfest läuft ein 12-köpfiger historischer Spielmannszug mit, der an die Schweden während des 30-Jährigen Kriegs erinnert. Dabei feiern dessen Mitglieder manchmal so ausgelassen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ausfall beim Umzug wegen unverhältnismäßigem Alkoholgenuss bei 13% liegt. Wie viele Schwedenmusiker muss die Schützendirektion mindestens ausbilden, damit beim Umzug mit mindestens 90%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 12 Schweden einsatzfähig sind?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
14	0.2708
15	0.1204
16	0.0471
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.87 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.87}^{n} (X \geq 12)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.87}^{n} (X \geq 12)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.87}^{n} (X \geq 12)$ = 1 - $P_{0.87}^{n} (X \leq 11)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.87}^{n} (X \leq 11)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.87}^{n} (X \leq 11)$ oder $P_{0.87}^{n} (X \leq 11)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 87% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{12}{0.87}$ ≈ 14 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.87⋅14) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=14:
$P_{0.87}^{n} (X \leq 11)$ ≈ 0.2708 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=16 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 16 sein, damit $P_{0.87}^{n} (X \leq 11)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.87}^{n} (X \geq 12)$ ≥ 0.9 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 25 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

Lösung einblenden

Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
4	1- $\frac{4}{25}$ ⋅ $\frac{3}{24}$ =1- $\frac{1}{50}$ ≈0.98
5	1- $\frac{5}{25}$ ⋅ $\frac{4}{24}$ =1- $\frac{1}{30}$ ≈0.9667
6	1- $\frac{6}{25}$ ⋅ $\frac{5}{24}$ =1- $\frac{1}{20}$ ≈0.95
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=4 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{4}{25}$ ⋅ $\frac{3}{24}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{4}{25}$ und beim zweiten $\frac{3}{24}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{4}{25}$ ⋅ $\frac{3}{24}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=4. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/25*(x-1)/24)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 5 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 95% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 5 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 65 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% für die 65 Durchgänge reichen?

Lösung einblenden

p	P(X≤7)
...	...
$\frac{1}{9}$	0.5638
$\frac{1}{10}$	0.6769
$\frac{1}{11}$	0.7637
$\frac{1}{12}$	0.8282
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=65 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{65} (X \leq 7)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{65} (X \leq 7)$ ('höchstens 7 Treffer bei 65 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{7}{65}$ . Mit diesem p wäre ja 7= $\frac{7}{65}$ ⋅65 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{65} (X \leq 7)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{7}{65}$ mit $\frac{1}{7}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{9}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 12 sein.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR