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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 55% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.55 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.45 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.45=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.45}$ ≈ 0.819

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.819 ≈ 0.181

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Die Firma Apple hat ein neues geniales Produkt, die iYacht, auf den Markt gebracht (wenn auch nicht ganz günstig). Die hierfür beauftragte Marketingagentur garantiert, dass unter denen, denen sie die Yacht vorgeführt hat, der Anteil der späteren Käufer bei 15% liegt. Wie vielen Personen muss nun dieses Produkt vorgeführt werden, damit sich mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, 21 oder mehr Käufer für dieses Produkt finden?

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n	P(X≤k)
...	...
140	0.4638
141	0.4498
142	0.436
143	0.4223
144	0.4087
145	0.3954
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{n} (X \geq 21)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.15}^{n} (X \geq 21)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.15}^{n} (X \geq 21)$ = 1 - $P_{0.15}^{n} (X \leq 20)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.15}^{n} (X \leq 20)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.15}^{n} (X \leq 20)$ oder $P_{0.15}^{n} (X \leq 20)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{21}{0.15}$ ≈ 140 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.15⋅140) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=140:
$P_{0.15}^{n} (X \leq 20)$ ≈ 0.4638 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=145 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 145 sein, damit $P_{0.15}^{n} (X \leq 20)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.15}^{n} (X \geq 21)$ ≥ 0.6 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 20 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
3	1- $\frac{3}{20}$ ⋅ $\frac{2}{19}$ =1- $\frac{3}{190}$ ≈0.9842
4	1- $\frac{4}{20}$ ⋅ $\frac{3}{19}$ =1- $\frac{3}{95}$ ≈0.9684
5	1- $\frac{5}{20}$ ⋅ $\frac{4}{19}$ =1- $\frac{1}{19}$ ≈0.9474
6	1- $\frac{6}{20}$ ⋅ $\frac{5}{19}$ =1- $\frac{3}{38}$ ≈0.9211
7	1- $\frac{7}{20}$ ⋅ $\frac{6}{19}$ =1- $\frac{21}{190}$ ≈0.8895
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{3}{20}$ ⋅ $\frac{2}{19}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{3}{20}$ und beim zweiten $\frac{2}{19}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{3}{20}$ ⋅ $\frac{2}{19}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/20*(x-1)/19)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 6 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 6 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 18 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 18 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{2}{12}$	0.6479
$\frac{2}{13}$	0.7038
$\frac{2}{14}$	0.7501
$\frac{2}{15}$	0.7885
$\frac{2}{16}$	0.8201
$\frac{2}{17}$	0.8464
$\frac{2}{18}$	0.8683
$\frac{2}{19}$	0.8865
$\frac{2}{20}$	0.9018
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=18 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{18} (X \leq 3)$ =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{18} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 18 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{18}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{18}$ ⋅18 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{18} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{18}$ mit $\frac{2}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{2}{12}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{20}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 20 sein.

Also werden noch 18 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR