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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 4 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 4 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,2. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
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P=0.2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 4 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.2=p4

=>p=0.24 ≈ 0.6687

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie viele Freiwürfe darf man bei ihm durch Fouls höchstens zulassen, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% nicht über 39 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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nP(X≤k)
......
430.6352
440.4528
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: P0.9n (X≤39) ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 39 0.9 ≈ 43 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.9⋅43) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=43:
P0.9n (X≤39) ≈ 0.6352 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 65 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 95% liegen. Wieviel der 65 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im LostopfP('höchstens eine Niete')
......
71- 7 65 ⋅ 6 64 =1- 21 2080 ≈0.9899
81- 8 65 ⋅ 7 64 =1- 7 520 ≈0.9865
91- 9 65 ⋅ 8 64 =1- 9 520 ≈0.9827
101- 10 65 ⋅ 9 64 =1- 9 416 ≈0.9784
111- 11 65 ⋅ 10 64 =1- 11 416 ≈0.9736
121- 12 65 ⋅ 11 64 =1- 33 1040 ≈0.9683
131- 13 65 ⋅ 12 64 =1- 3 80 ≈0.9625
141- 14 65 ⋅ 13 64 =1- 7 160 ≈0.9563
151- 15 65 ⋅ 14 64 =1- 21 416 ≈0.9495
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=7 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= 7 65 ⋅ 6 64 (beim ersten Zufallsversuch 7 65 und beim zweiten 6 64 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- 7 65 ⋅ 6 64

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=7. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/65*(x-1)/64)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 14 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 95% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 14 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 20 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 20 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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pP(X≤3)
......
4 26 0.629
4 27 0.6567
4 28 0.6822
4 29 0.7057
4 30 0.7273
4 31 0.7471
4 32 0.7653
4 33 0.7821
4 34 0.7974
4 35 0.8116
4 36 0.8246
4 37 0.8365
4 38 0.8476
4 39 0.8577
4 40 0.867
4 41 0.8757
4 42 0.8836
4 43 0.891
4 44 0.8978
4 45 0.9041
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp20 (X≤3) =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp20 (X≤3) ('höchstens 3 Treffer bei 20 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 20 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 20 ⋅20 der Erwartungswert und somit Pp20 (X≤3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 20 mit 4 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 4 26 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 4 45 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 45 sein.

Also werden noch 41 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.