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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 78% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.78 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.22 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.22=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.22}$ ≈ 0.6849

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6849 ≈ 0.3151

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 20%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit 26 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
144	0.2494
145	0.2368
146	0.2246
147	0.2128
148	0.2014
149	0.1905
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.2 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.2}^{n} (X \geq 26)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.2}^{n} (X \geq 26)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.2}^{n} (X \geq 26)$ = 1 - $P_{0.2}^{n} (X \leq 25)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.2}^{n} (X \leq 25)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.2}^{n} (X \leq 25)$ oder $P_{0.2}^{n} (X \leq 25)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 20% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{26}{0.2}$ ≈ 130 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.2⋅130) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=130:
$P_{0.2}^{n} (X \leq 25)$ ≈ 0.465 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=149 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 149 sein, damit $P_{0.2}^{n} (X \leq 25)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.2}^{n} (X \geq 26)$ ≥ 0.8 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 60 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 85% liegen. Wieviel der 60 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im Lostopf	P('höchstens eine Niete')
...	...
7	1- $\frac{7}{60}$ ⋅ $\frac{6}{59}$ =1- $\frac{7}{590}$ ≈0.9881
8	1- $\frac{8}{60}$ ⋅ $\frac{7}{59}$ =1- $\frac{14}{885}$ ≈0.9842
9	1- $\frac{9}{60}$ ⋅ $\frac{8}{59}$ =1- $\frac{6}{295}$ ≈0.9797
10	1- $\frac{10}{60}$ ⋅ $\frac{9}{59}$ =1- $\frac{3}{118}$ ≈0.9746
11	1- $\frac{11}{60}$ ⋅ $\frac{10}{59}$ =1- $\frac{11}{354}$ ≈0.9689
12	1- $\frac{12}{60}$ ⋅ $\frac{11}{59}$ =1- $\frac{11}{295}$ ≈0.9627
13	1- $\frac{13}{60}$ ⋅ $\frac{12}{59}$ =1- $\frac{13}{295}$ ≈0.9559
14	1- $\frac{14}{60}$ ⋅ $\frac{13}{59}$ =1- $\frac{91}{1770}$ ≈0.9486
15	1- $\frac{15}{60}$ ⋅ $\frac{14}{59}$ =1- $\frac{7}{118}$ ≈0.9407
16	1- $\frac{16}{60}$ ⋅ $\frac{15}{59}$ =1- $\frac{4}{59}$ ≈0.9322
17	1- $\frac{17}{60}$ ⋅ $\frac{16}{59}$ =1- $\frac{68}{885}$ ≈0.9232
18	1- $\frac{18}{60}$ ⋅ $\frac{17}{59}$ =1- $\frac{51}{590}$ ≈0.9136
19	1- $\frac{19}{60}$ ⋅ $\frac{18}{59}$ =1- $\frac{57}{590}$ ≈0.9034
20	1- $\frac{20}{60}$ ⋅ $\frac{19}{59}$ =1- $\frac{19}{177}$ ≈0.8927
21	1- $\frac{21}{60}$ ⋅ $\frac{20}{59}$ =1- $\frac{7}{59}$ ≈0.8814
22	1- $\frac{22}{60}$ ⋅ $\frac{21}{59}$ =1- $\frac{77}{590}$ ≈0.8695
23	1- $\frac{23}{60}$ ⋅ $\frac{22}{59}$ =1- $\frac{253}{1770}$ ≈0.8571
24	1- $\frac{24}{60}$ ⋅ $\frac{23}{59}$ =1- $\frac{46}{295}$ ≈0.8441
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=7 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= $\frac{7}{60}$ ⋅ $\frac{6}{59}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{7}{60}$ und beim zweiten $\frac{6}{59}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- $\frac{7}{60}$ ⋅ $\frac{6}{59}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=7. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/60*(x-1)/59)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 23 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 23 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 3 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 150 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 85%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 12 mal am Tag eines ihrer eigenen 3 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥12)=1-P(X≤11)
...	...
$\frac{3}{17}$	0.9998
$\frac{3}{18}$	0.9994
$\frac{3}{19}$	0.9984
$\frac{3}{20}$	0.9966
$\frac{3}{21}$	0.9934
$\frac{3}{22}$	0.9882
$\frac{3}{23}$	0.9805
$\frac{3}{24}$	0.9697
$\frac{3}{25}$	0.9554
$\frac{3}{26}$	0.9374
$\frac{3}{27}$	0.9156
$\frac{3}{28}$	0.8901
$\frac{3}{29}$	0.8611
$\frac{3}{30}$	0.8291
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=150 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{150} (X \geq 12)$ = 1- $P_{p}^{150} (X \leq 11)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{150} (X \geq 12)$ ('mindestens 12 Treffer bei 150 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{3}{17}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{29}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 29 sein.

Also wären noch 26 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR