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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 2 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 2 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,2. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.2=p²

=>p= $\sqrt[2]{0.2}$ ≈ 0.4472

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,4. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% 35 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

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n	P(X≤k)
...	...
98	0.1664
99	0.1475
100	0.1303
101	0.1147
102	0.1006
103	0.0878
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{n} (X \geq 35)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.4}^{n} (X \geq 35)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.4}^{n} (X \geq 35)$ = 1 - $P_{0.4}^{n} (X \leq 34)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.4}^{n} (X \leq 34)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.4}^{n} (X \leq 34)$ oder $P_{0.4}^{n} (X \leq 34)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{35}{0.4}$ ≈ 88 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.4⋅88) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=88:
$P_{0.4}^{n} (X \leq 34)$ ≈ 0.4423 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=103 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 103 sein, damit $P_{0.4}^{n} (X \leq 34)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.4}^{n} (X \geq 35)$ ≥ 0.9 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 25 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
4	1- $\frac{4}{25}$ ⋅ $\frac{3}{24}$ =1- $\frac{1}{50}$ ≈0.98
5	1- $\frac{5}{25}$ ⋅ $\frac{4}{24}$ =1- $\frac{1}{30}$ ≈0.9667
6	1- $\frac{6}{25}$ ⋅ $\frac{5}{24}$ =1- $\frac{1}{20}$ ≈0.95
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=4 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{4}{25}$ ⋅ $\frac{3}{24}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{4}{25}$ und beim zweiten $\frac{3}{24}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{4}{25}$ ⋅ $\frac{3}{24}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=4. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/25*(x-1)/24)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 5 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 95% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 5 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 7er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9922
$\frac{1}{3}$	0.9415
$\frac{1}{4}$	0.8665
$\frac{1}{5}$	0.7903
$\frac{1}{6}$	0.7209
$\frac{1}{7}$	0.6601
$\frac{1}{8}$	0.6073
$\frac{1}{9}$	0.5615
$\frac{1}{10}$	0.5217
$\frac{1}{11}$	0.4868
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=7 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{7} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{7} (X \leq 0)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{7} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 7 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 10 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR