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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 3 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 93% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.93 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 3 Durchgängen, also ist 1-P=0.07 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 3 Durchgängen.

Es gilt also 0.07=(1-p)3

=>1-p=0.073 ≈ 0.4121

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.4121 ≈ 0.5879

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht mehr als 33 6er zu würfeln?

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nP(X≤k)
......
1760.8022
1770.7924
1780.7823
1790.7721
1800.7616
1810.7508
1820.7399
1830.7288
1840.7175
1850.706
1860.6944
1870.6826
1880.6706
1890.6586
1900.6464
1910.6341
1920.6217
1930.6093
1940.5968
1950.5842
1960.5716
1970.559
1980.5463
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 6 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 6 n (X≤33) ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 6 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 33 1 6 ≈ 198 Versuchen auch ungefähr 33 (≈ 1 6 ⋅198) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=198:
P 1 6 n (X≤33) ≈ 0.5463 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=176 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 65 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 85% liegen. Wieviel der 65 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im LostopfP('höchstens eine Niete')
......
71- 7 65 ⋅ 6 64 =1- 21 2080 ≈0.9899
81- 8 65 ⋅ 7 64 =1- 7 520 ≈0.9865
91- 9 65 ⋅ 8 64 =1- 9 520 ≈0.9827
101- 10 65 ⋅ 9 64 =1- 9 416 ≈0.9784
111- 11 65 ⋅ 10 64 =1- 11 416 ≈0.9736
121- 12 65 ⋅ 11 64 =1- 33 1040 ≈0.9683
131- 13 65 ⋅ 12 64 =1- 3 80 ≈0.9625
141- 14 65 ⋅ 13 64 =1- 7 160 ≈0.9563
151- 15 65 ⋅ 14 64 =1- 21 416 ≈0.9495
161- 16 65 ⋅ 15 64 =1- 3 52 ≈0.9423
171- 17 65 ⋅ 16 64 =1- 17 260 ≈0.9346
181- 18 65 ⋅ 17 64 =1- 153 2080 ≈0.9264
191- 19 65 ⋅ 18 64 =1- 171 2080 ≈0.9178
201- 20 65 ⋅ 19 64 =1- 19 208 ≈0.9087
211- 21 65 ⋅ 20 64 =1- 21 208 ≈0.899
221- 22 65 ⋅ 21 64 =1- 231 2080 ≈0.8889
231- 23 65 ⋅ 22 64 =1- 253 2080 ≈0.8784
241- 24 65 ⋅ 23 64 =1- 69 520 ≈0.8673
251- 25 65 ⋅ 24 64 =1- 15 104 ≈0.8558
261- 26 65 ⋅ 25 64 =1- 5 32 ≈0.8438
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=7 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= 7 65 ⋅ 6 64 (beim ersten Zufallsversuch 7 65 und beim zweiten 6 64 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- 7 65 ⋅ 6 64

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=7. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/65*(x-1)/64)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 25 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 25 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 9 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 55 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 9 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% für die 55 Durchgänge reichen?

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pP(X≤9)
......
1 6 0.5637
1 7 0.7456
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp55 (X≤9) =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp55 (X≤9) ('höchstens 9 Treffer bei 55 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 9 55 . Mit diesem p wäre ja 9= 9 55 ⋅55 der Erwartungswert und somit Pp55 (X≤9) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 9 55 mit 1 9 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 6 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 7 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 7 sein.