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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 2 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 2 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,1. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.1 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.1=p²

=>p= $\sqrt[2]{0.1}$ ≈ 0.3162

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Ein Lebensmittelhersteller wirbt damit, dass sich in jeder 7. Verpackung eine Überraschung befindet. Wie viele Packungen muss man mindestens kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens 2 Überraschung(en) zu erhalten.

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n	P(X≤k)
...	...
15	0.3466
16	0.3113
17	0.2789
18	0.2495
19	0.2227
20	0.1986
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Überraschungen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{7}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 2)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 2)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 2)$ = 1 - $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 1)$ ≥ 0.8 |+ $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 1)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 1)$ oder $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 1)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{7}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{2}{\frac{1}{7}}$ ≈ 14 Versuchen auch ungefähr 2 (≈ $\frac{1}{7}$ ⋅14) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=14:
$P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 1)$ ≈ 0.3851 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=20 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 20 sein, damit $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 1)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 2)$ ≥ 0.8 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 25 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne	P('mindestens eine schwarze Kugel')
...	...
3	1- $\frac{22}{25}$ ⋅ $\frac{21}{24}$ =1- $\frac{77}{100}$ ≈0.23
4	1- $\frac{21}{25}$ ⋅ $\frac{20}{24}$ =1- $\frac{7}{10}$ ≈0.3
5	1- $\frac{20}{25}$ ⋅ $\frac{19}{24}$ =1- $\frac{19}{30}$ ≈0.3667
6	1- $\frac{19}{25}$ ⋅ $\frac{18}{24}$ =1- $\frac{57}{100}$ ≈0.43
7	1- $\frac{18}{25}$ ⋅ $\frac{17}{24}$ =1- $\frac{51}{100}$ ≈0.49
8	1- $\frac{17}{25}$ ⋅ $\frac{16}{24}$ =1- $\frac{34}{75}$ ≈0.5467
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= $\frac{22}{25}$ ⋅ $\frac{21}{24}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{22}{25}$ und beim zweiten $\frac{21}{24}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- $\frac{22}{25}$ ⋅ $\frac{21}{24}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(25-x)/25*(24-x)/24)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 8 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 8 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 5 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 150 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 90%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 12 mal am Tag eines ihrer eigenen 5 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥12)=1-P(X≤11)
...	...
$\frac{5}{28}$	0.9998
$\frac{5}{29}$	0.9997
$\frac{5}{30}$	0.9994
$\frac{5}{31}$	0.9989
$\frac{5}{32}$	0.9981
$\frac{5}{33}$	0.997
$\frac{5}{34}$	0.9955
$\frac{5}{35}$	0.9934
$\frac{5}{36}$	0.9905
$\frac{5}{37}$	0.9868
$\frac{5}{38}$	0.9822
$\frac{5}{39}$	0.9765
$\frac{5}{40}$	0.9697
$\frac{5}{41}$	0.9616
$\frac{5}{42}$	0.9521
$\frac{5}{43}$	0.9413
$\frac{5}{44}$	0.9292
$\frac{5}{45}$	0.9156
$\frac{5}{46}$	0.9008
$\frac{5}{47}$	0.8846
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=150 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{150} (X \geq 12)$ = 1- $P_{p}^{150} (X \leq 11)$ = 0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{150} (X \geq 12)$ ('mindestens 12 Treffer bei 150 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{5}{28}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{5}{46}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 46 sein.

Also wären noch 41 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR