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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 68% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.68 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.32 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.32=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.32}$ ≈ 0.7521

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.7521 ≈ 0.2479

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,25. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% 39 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

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n	P(X≤k)
...	...
161	0.3803
162	0.3634
163	0.3467
164	0.3305
165	0.3146
166	0.2992
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{n} (X \geq 39)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.25}^{n} (X \geq 39)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.25}^{n} (X \geq 39)$ = 1 - $P_{0.25}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.25}^{n} (X \leq 38)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.25}^{n} (X \leq 38)$ oder $P_{0.25}^{n} (X \leq 38)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{39}{0.25}$ ≈ 156 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.25⋅156) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=156:
$P_{0.25}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.4693 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=166 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 166 sein, damit $P_{0.25}^{n} (X \leq 38)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.25}^{n} (X \geq 39)$ ≥ 0.7 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 40 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne	P('mindestens eine schwarze Kugel')
...	...
3	1- $\frac{37}{40}$ ⋅ $\frac{36}{39}$ =1- $\frac{111}{130}$ ≈0.1462
4	1- $\frac{36}{40}$ ⋅ $\frac{35}{39}$ =1- $\frac{21}{26}$ ≈0.1923
5	1- $\frac{35}{40}$ ⋅ $\frac{34}{39}$ =1- $\frac{119}{156}$ ≈0.2372
6	1- $\frac{34}{40}$ ⋅ $\frac{33}{39}$ =1- $\frac{187}{260}$ ≈0.2808
7	1- $\frac{33}{40}$ ⋅ $\frac{32}{39}$ =1- $\frac{44}{65}$ ≈0.3231
8	1- $\frac{32}{40}$ ⋅ $\frac{31}{39}$ =1- $\frac{124}{195}$ ≈0.3641
9	1- $\frac{31}{40}$ ⋅ $\frac{30}{39}$ =1- $\frac{31}{52}$ ≈0.4038
10	1- $\frac{30}{40}$ ⋅ $\frac{29}{39}$ =1- $\frac{29}{52}$ ≈0.4423
11	1- $\frac{29}{40}$ ⋅ $\frac{28}{39}$ =1- $\frac{203}{390}$ ≈0.4795
12	1- $\frac{28}{40}$ ⋅ $\frac{27}{39}$ =1- $\frac{63}{130}$ ≈0.5154
13	1- $\frac{27}{40}$ ⋅ $\frac{26}{39}$ =1- $\frac{9}{20}$ ≈0.55
14	1- $\frac{26}{40}$ ⋅ $\frac{25}{39}$ =1- $\frac{5}{12}$ ≈0.5833
15	1- $\frac{25}{40}$ ⋅ $\frac{24}{39}$ =1- $\frac{5}{13}$ ≈0.6154
16	1- $\frac{24}{40}$ ⋅ $\frac{23}{39}$ =1- $\frac{23}{65}$ ≈0.6462
17	1- $\frac{23}{40}$ ⋅ $\frac{22}{39}$ =1- $\frac{253}{780}$ ≈0.6756
18	1- $\frac{22}{40}$ ⋅ $\frac{21}{39}$ =1- $\frac{77}{260}$ ≈0.7038
19	1- $\frac{21}{40}$ ⋅ $\frac{20}{39}$ =1- $\frac{7}{26}$ ≈0.7308
20	1- $\frac{20}{40}$ ⋅ $\frac{19}{39}$ =1- $\frac{19}{78}$ ≈0.7564
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= $\frac{37}{40}$ ⋅ $\frac{36}{39}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{37}{40}$ und beim zweiten $\frac{36}{39}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- $\frac{37}{40}$ ⋅ $\frac{36}{39}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(40-x)/40*(39-x)/39)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 20 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 20 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{12}{17}$	0.9998
$\frac{13}{18}$	0.9997
$\frac{14}{19}$	0.9995
$\frac{15}{20}$	0.9992
$\frac{16}{21}$	0.9989
$\frac{17}{22}$	0.9984
$\frac{18}{23}$	0.9978
$\frac{19}{24}$	0.9971
$\frac{20}{25}$	0.9962
$\frac{21}{26}$	0.9952
$\frac{22}{27}$	0.994
$\frac{23}{28}$	0.9927
$\frac{24}{29}$	0.9912
$\frac{25}{30}$	0.9895
$\frac{26}{31}$	0.9877
$\frac{27}{32}$	0.9857
$\frac{28}{33}$	0.9836
$\frac{29}{34}$	0.9813
$\frac{30}{35}$	0.9788
$\frac{31}{36}$	0.9762
$\frac{32}{37}$	0.9735
$\frac{33}{38}$	0.9706
$\frac{34}{39}$	0.9676
$\frac{35}{40}$	0.9645
$\frac{36}{41}$	0.9613
$\frac{37}{42}$	0.9579
$\frac{38}{43}$	0.9545
$\frac{39}{44}$	0.951
$\frac{40}{45}$	0.9474
$\frac{41}{46}$	0.9437
$\frac{42}{47}$	0.9399
$\frac{43}{48}$	0.9361
$\frac{44}{49}$	0.9322
$\frac{45}{50}$	0.9282
$\frac{46}{51}$	0.9242
$\frac{47}{52}$	0.9201
$\frac{48}{53}$	0.916
$\frac{49}{54}$	0.9119
$\frac{50}{55}$	0.9077
$\frac{51}{56}$	0.9035
$\frac{52}{57}$	0.8993
$\frac{53}{58}$	0.895
$\frac{54}{59}$	0.8907
$\frac{55}{60}$	0.8864
$\frac{56}{61}$	0.8821
$\frac{57}{62}$	0.8778
$\frac{58}{63}$	0.8735
$\frac{59}{64}$	0.8691
$\frac{60}{65}$	0.8648
$\frac{61}{66}$	0.8605
$\frac{62}{67}$	0.8561
$\frac{63}{68}$	0.8518
$\frac{64}{69}$	0.8475
$\frac{65}{70}$	0.8432
$\frac{66}{71}$	0.8389
$\frac{67}{72}$	0.8346
$\frac{68}{73}$	0.8303
$\frac{69}{74}$	0.826
$\frac{70}{75}$	0.8218
$\frac{71}{76}$	0.8176
$\frac{72}{77}$	0.8133
$\frac{73}{78}$	0.8091
$\frac{74}{79}$	0.805
$\frac{75}{80}$	0.8008
$\frac{76}{81}$	0.7967
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{12}{17}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{75}{80}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 75 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR