Mathebattle EduRandomtasks

p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 74% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

Lösung einblenden

P=0.74 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.26 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.26=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.26}$ ≈ 0.7141

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.7141 ≈ 0.2859

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,4. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% 29 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
73	0.4367
74	0.4
75	0.3646
76	0.3306
77	0.2984
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{n} (X \geq 29)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.4}^{n} (X \geq 29)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.4}^{n} (X \geq 29)$ = 1 - $P_{0.4}^{n} (X \leq 28)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.4}^{n} (X \leq 28)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.4}^{n} (X \leq 28)$ oder $P_{0.4}^{n} (X \leq 28)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{29}{0.4}$ ≈ 73 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.4⋅73) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=73:
$P_{0.4}^{n} (X \leq 28)$ ≈ 0.4367 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=77 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 77 sein, damit $P_{0.4}^{n} (X \leq 28)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.4}^{n} (X \geq 29)$ ≥ 0.7 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 26 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 80%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

Lösung einblenden

Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
4	1- $\frac{4}{26}$ ⋅ $\frac{3}{25}$ =1- $\frac{6}{325}$ ≈0.9815
5	1- $\frac{5}{26}$ ⋅ $\frac{4}{25}$ =1- $\frac{2}{65}$ ≈0.9692
6	1- $\frac{6}{26}$ ⋅ $\frac{5}{25}$ =1- $\frac{3}{65}$ ≈0.9538
7	1- $\frac{7}{26}$ ⋅ $\frac{6}{25}$ =1- $\frac{21}{325}$ ≈0.9354
8	1- $\frac{8}{26}$ ⋅ $\frac{7}{25}$ =1- $\frac{28}{325}$ ≈0.9138
9	1- $\frac{9}{26}$ ⋅ $\frac{8}{25}$ =1- $\frac{36}{325}$ ≈0.8892
10	1- $\frac{10}{26}$ ⋅ $\frac{9}{25}$ =1- $\frac{9}{65}$ ≈0.8615
11	1- $\frac{11}{26}$ ⋅ $\frac{10}{25}$ =1- $\frac{11}{65}$ ≈0.8308
12	1- $\frac{12}{26}$ ⋅ $\frac{11}{25}$ =1- $\frac{66}{325}$ ≈0.7969
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=4 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{4}{26}$ ⋅ $\frac{3}{25}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{4}{26}$ und beim zweiten $\frac{3}{25}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{4}{26}$ ⋅ $\frac{3}{25}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=4. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/26*(x-1)/25)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 11 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 11 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 11 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 11 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

Lösung einblenden

p	P(X≤3)
...	...
$\frac{5}{18}$	0.6345
$\frac{5}{19}$	0.6765
$\frac{5}{20}$	0.7133
$\frac{5}{21}$	0.7455
$\frac{5}{22}$	0.7737
$\frac{5}{23}$	0.7983
$\frac{5}{24}$	0.8199
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{11} (X \leq 3)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{11} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{11}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{11}$ ⋅11 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{11} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{11}$ mit $\frac{5}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{5}{18}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{5}{24}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 24 sein.

Also werden noch 19 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR