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p gesucht (n-te Wurzel)
Beispiel:
Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 66% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)
P=0.66 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.34 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.
Es gilt also 0.34=(1-p)4
=>1-p= ≈ 0.7636
Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.7636 ≈ 0.2364
Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,15.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, mindestens 23 Treffer zu erzielen ?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 172 | 0.2445 |
| 173 | 0.2348 |
| 174 | 0.2254 |
| 175 | 0.2163 |
| 176 | 0.2074 |
| 177 | 0.1988 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.8
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.8 |+ - 0.8
0.2 ≥ oder ≤ 0.2
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 153 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.15⋅153) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=153:
≈ 0.4699
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=177 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.
n muss also mindestens 177 sein, damit ≤ 0.2 oder eben ≥ 0.8 gilt.
gesuchtes p (ohne zurücklegen)
Beispiel:
In einer Urne sind 20 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?
| Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne | P('mindestens eine schwarze Kugel') |
|---|---|
| ... | ... |
| 3 | 1-⋅=1-≈0.2842 |
| 4 | 1-⋅=1-≈0.3684 |
| 5 | 1-⋅=1-≈0.4474 |
| 6 | 1-⋅=1-≈0.5211 |
| ... | ... |
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.
Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist): Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= ⋅ (beim ersten Zufallsversuch und beim zweiten weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1-⋅
Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(20-x)/20*(19-x)/19)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 6 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 50% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 6 sein.
Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR
Beispiel:
In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 18 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 18 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?
| p | P(X≤3) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.6479 | |
| 0.6715 | |
| 0.6934 | |
| 0.7138 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=18 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.7 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 3 Treffer bei 18 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 3=⋅18 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens
33 sein.
Also werden noch 28 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.
