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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 3 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 3 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,5. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.5 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.5=p³

=>p= $\sqrt[3]{0.5}$ ≈ 0.7937

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 30%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit 21 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
70	0.455
71	0.4246
72	0.3949
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.3}^{n} (X \geq 21)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.3}^{n} (X \geq 21)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.3}^{n} (X \geq 21)$ = 1 - $P_{0.3}^{n} (X \leq 20)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.3}^{n} (X \leq 20)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.3}^{n} (X \leq 20)$ oder $P_{0.3}^{n} (X \leq 20)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 30% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{21}{0.3}$ ≈ 70 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.3⋅70) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=70:
$P_{0.3}^{n} (X \leq 20)$ ≈ 0.455 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=72 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 72 sein, damit $P_{0.3}^{n} (X \leq 20)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.3}^{n} (X \geq 21)$ ≥ 0.6 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 35 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne	P('mindestens eine schwarze Kugel')
...	...
3	1- $\frac{32}{35}$ ⋅ $\frac{31}{34}$ =1- $\frac{496}{595}$ ≈0.1664
4	1- $\frac{31}{35}$ ⋅ $\frac{30}{34}$ =1- $\frac{93}{119}$ ≈0.2185
5	1- $\frac{30}{35}$ ⋅ $\frac{29}{34}$ =1- $\frac{87}{119}$ ≈0.2689
6	1- $\frac{29}{35}$ ⋅ $\frac{28}{34}$ =1- $\frac{58}{85}$ ≈0.3176
7	1- $\frac{28}{35}$ ⋅ $\frac{27}{34}$ =1- $\frac{54}{85}$ ≈0.3647
8	1- $\frac{27}{35}$ ⋅ $\frac{26}{34}$ =1- $\frac{351}{595}$ ≈0.4101
9	1- $\frac{26}{35}$ ⋅ $\frac{25}{34}$ =1- $\frac{65}{119}$ ≈0.4538
10	1- $\frac{25}{35}$ ⋅ $\frac{24}{34}$ =1- $\frac{60}{119}$ ≈0.4958
11	1- $\frac{24}{35}$ ⋅ $\frac{23}{34}$ =1- $\frac{276}{595}$ ≈0.5361
12	1- $\frac{23}{35}$ ⋅ $\frac{22}{34}$ =1- $\frac{253}{595}$ ≈0.5748
13	1- $\frac{22}{35}$ ⋅ $\frac{21}{34}$ =1- $\frac{33}{85}$ ≈0.6118
14	1- $\frac{21}{35}$ ⋅ $\frac{20}{34}$ =1- $\frac{6}{17}$ ≈0.6471
15	1- $\frac{20}{35}$ ⋅ $\frac{19}{34}$ =1- $\frac{38}{119}$ ≈0.6807
16	1- $\frac{19}{35}$ ⋅ $\frac{18}{34}$ =1- $\frac{171}{595}$ ≈0.7126
17	1- $\frac{18}{35}$ ⋅ $\frac{17}{34}$ =1- $\frac{9}{35}$ ≈0.7429
18	1- $\frac{17}{35}$ ⋅ $\frac{16}{34}$ =1- $\frac{8}{35}$ ≈0.7714
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= $\frac{32}{35}$ ⋅ $\frac{31}{34}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{32}{35}$ und beim zweiten $\frac{31}{34}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- $\frac{32}{35}$ ⋅ $\frac{31}{34}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(35-x)/35*(34-x)/34)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 18 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 18 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 13 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 13 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{3}{6}$	0.5
$\frac{3}{7}$	0.7012
$\frac{3}{8}$	0.8248
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=13 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{13} (X \leq 6)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{13} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 13 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{13}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{13}$ ⋅13 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{13} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{13}$ mit $\frac{3}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{6}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{8}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 8 sein.

Also werden noch 5 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR