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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 4 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 85% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
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P=0.85 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.15 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.15=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.15}$ ≈ 0.6223

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6223 ≈ 0.3777

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,02. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 90% kein Descepticon unter ihnen ist?

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n	P(X≤k)
...	...
1	0.98
2	0.9604
3	0.9412
4	0.9224
5	0.9039
6	0.8858
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.02}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=5 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 60 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 80% liegen. Wieviel der 60 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im Lostopf	P('höchstens eine Niete')
...	...
7	1- $\frac{7}{60}$ ⋅ $\frac{6}{59}$ =1- $\frac{7}{590}$ ≈0.9881
8	1- $\frac{8}{60}$ ⋅ $\frac{7}{59}$ =1- $\frac{14}{885}$ ≈0.9842
9	1- $\frac{9}{60}$ ⋅ $\frac{8}{59}$ =1- $\frac{6}{295}$ ≈0.9797
10	1- $\frac{10}{60}$ ⋅ $\frac{9}{59}$ =1- $\frac{3}{118}$ ≈0.9746
11	1- $\frac{11}{60}$ ⋅ $\frac{10}{59}$ =1- $\frac{11}{354}$ ≈0.9689
12	1- $\frac{12}{60}$ ⋅ $\frac{11}{59}$ =1- $\frac{11}{295}$ ≈0.9627
13	1- $\frac{13}{60}$ ⋅ $\frac{12}{59}$ =1- $\frac{13}{295}$ ≈0.9559
14	1- $\frac{14}{60}$ ⋅ $\frac{13}{59}$ =1- $\frac{91}{1770}$ ≈0.9486
15	1- $\frac{15}{60}$ ⋅ $\frac{14}{59}$ =1- $\frac{7}{118}$ ≈0.9407
16	1- $\frac{16}{60}$ ⋅ $\frac{15}{59}$ =1- $\frac{4}{59}$ ≈0.9322
17	1- $\frac{17}{60}$ ⋅ $\frac{16}{59}$ =1- $\frac{68}{885}$ ≈0.9232
18	1- $\frac{18}{60}$ ⋅ $\frac{17}{59}$ =1- $\frac{51}{590}$ ≈0.9136
19	1- $\frac{19}{60}$ ⋅ $\frac{18}{59}$ =1- $\frac{57}{590}$ ≈0.9034
20	1- $\frac{20}{60}$ ⋅ $\frac{19}{59}$ =1- $\frac{19}{177}$ ≈0.8927
21	1- $\frac{21}{60}$ ⋅ $\frac{20}{59}$ =1- $\frac{7}{59}$ ≈0.8814
22	1- $\frac{22}{60}$ ⋅ $\frac{21}{59}$ =1- $\frac{77}{590}$ ≈0.8695
23	1- $\frac{23}{60}$ ⋅ $\frac{22}{59}$ =1- $\frac{253}{1770}$ ≈0.8571
24	1- $\frac{24}{60}$ ⋅ $\frac{23}{59}$ =1- $\frac{46}{295}$ ≈0.8441
25	1- $\frac{25}{60}$ ⋅ $\frac{24}{59}$ =1- $\frac{10}{59}$ ≈0.8305
26	1- $\frac{26}{60}$ ⋅ $\frac{25}{59}$ =1- $\frac{65}{354}$ ≈0.8164
27	1- $\frac{27}{60}$ ⋅ $\frac{26}{59}$ =1- $\frac{117}{590}$ ≈0.8017
28	1- $\frac{28}{60}$ ⋅ $\frac{27}{59}$ =1- $\frac{63}{295}$ ≈0.7864
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=7 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= $\frac{7}{60}$ ⋅ $\frac{6}{59}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{7}{60}$ und beim zweiten $\frac{6}{59}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- $\frac{7}{60}$ ⋅ $\frac{6}{59}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=7. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/60*(x-1)/59)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 27 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 27 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 2 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 90 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 70%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 16 mal am Tag eines ihrer eigenen 2 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥16)=1-P(X≤15)
...	...
$\frac{2}{6}$	0.9997
$\frac{2}{7}$	0.9935
$\frac{2}{8}$	0.9601
$\frac{2}{9}$	0.8749
$\frac{2}{10}$	0.74
$\frac{2}{11}$	0.5824
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{90} (X \geq 16)$ = 1- $P_{p}^{90} (X \leq 15)$ = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{90} (X \geq 16)$ ('mindestens 16 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{2}{6}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 10 sein.

Also wären noch 8 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR