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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 3 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 94% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.94 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 3 Durchgängen, also ist 1-P=0.06 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 3 Durchgängen.

Es gilt also 0.06=(1-p)³

=>1-p= $\sqrt[3]{0.06}$ ≈ 0.3915

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.3915 ≈ 0.6085

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Die Firma Apple hat ein neues geniales Produkt, die iYacht, auf den Markt gebracht (wenn auch nicht ganz günstig). Die hierfür beauftragte Marketingagentur garantiert, dass unter denen, denen sie die Yacht vorgeführt hat, der Anteil der späteren Käufer bei 14% liegt. Wie vielen Personen muss nun dieses Produkt vorgeführt werden, damit sich mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, 39 oder mehr Käufer für dieses Produkt finden?

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n	P(X≤k)
...	...
308	0.2265
309	0.2198
310	0.2133
311	0.2068
312	0.2005
313	0.1944
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.14 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.14}^{n} (X \geq 39)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.14}^{n} (X \geq 39)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.14}^{n} (X \geq 39)$ = 1 - $P_{0.14}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.14}^{n} (X \leq 38)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.14}^{n} (X \leq 38)$ oder $P_{0.14}^{n} (X \leq 38)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 14% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{39}{0.14}$ ≈ 279 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.14⋅279) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=279:
$P_{0.14}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.4697 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=313 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 313 sein, damit $P_{0.14}^{n} (X \leq 38)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.14}^{n} (X \geq 39)$ ≥ 0.8 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 27 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 80%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
4	1- $\frac{4}{27}$ ⋅ $\frac{3}{26}$ =1- $\frac{2}{117}$ ≈0.9829
5	1- $\frac{5}{27}$ ⋅ $\frac{4}{26}$ =1- $\frac{10}{351}$ ≈0.9715
6	1- $\frac{6}{27}$ ⋅ $\frac{5}{26}$ =1- $\frac{5}{117}$ ≈0.9573
7	1- $\frac{7}{27}$ ⋅ $\frac{6}{26}$ =1- $\frac{7}{117}$ ≈0.9402
8	1- $\frac{8}{27}$ ⋅ $\frac{7}{26}$ =1- $\frac{28}{351}$ ≈0.9202
9	1- $\frac{9}{27}$ ⋅ $\frac{8}{26}$ =1- $\frac{4}{39}$ ≈0.8974
10	1- $\frac{10}{27}$ ⋅ $\frac{9}{26}$ =1- $\frac{5}{39}$ ≈0.8718
11	1- $\frac{11}{27}$ ⋅ $\frac{10}{26}$ =1- $\frac{55}{351}$ ≈0.8433
12	1- $\frac{12}{27}$ ⋅ $\frac{11}{26}$ =1- $\frac{22}{117}$ ≈0.812
13	1- $\frac{13}{27}$ ⋅ $\frac{12}{26}$ =1- $\frac{2}{9}$ ≈0.7778
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=4 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{4}{27}$ ⋅ $\frac{3}{26}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{4}{27}$ und beim zweiten $\frac{3}{26}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{4}{27}$ ⋅ $\frac{3}{26}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=4. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/27*(x-1)/26)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 12 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 12 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 8er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9961
$\frac{1}{3}$	0.961
$\frac{1}{4}$	0.8999
$\frac{1}{5}$	0.8322
$\frac{1}{6}$	0.7674
$\frac{1}{7}$	0.7086
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=8 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{8} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{8} (X \leq 0)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{8} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 8 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 6 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR