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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 3 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 3 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,2. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.2=p³

=>p= $\sqrt[3]{0.2}$ ≈ 0.5848

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,25. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% 40 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

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n	P(X≤k)
...	...
160	0.4697
161	0.4517
162	0.4338
163	0.4162
164	0.3988
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{n} (X \geq 40)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.25}^{n} (X \geq 40)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.25}^{n} (X \geq 40)$ = 1 - $P_{0.25}^{n} (X \leq 39)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.25}^{n} (X \leq 39)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.25}^{n} (X \leq 39)$ oder $P_{0.25}^{n} (X \leq 39)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{40}{0.25}$ ≈ 160 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.25⋅160) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=160:
$P_{0.25}^{n} (X \leq 39)$ ≈ 0.4697 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=164 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 164 sein, damit $P_{0.25}^{n} (X \leq 39)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.25}^{n} (X \geq 40)$ ≥ 0.6 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 40 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne	P('mindestens eine schwarze Kugel')
...	...
3	1- $\frac{37}{40}$ ⋅ $\frac{36}{39}$ =1- $\frac{111}{130}$ ≈0.1462
4	1- $\frac{36}{40}$ ⋅ $\frac{35}{39}$ =1- $\frac{21}{26}$ ≈0.1923
5	1- $\frac{35}{40}$ ⋅ $\frac{34}{39}$ =1- $\frac{119}{156}$ ≈0.2372
6	1- $\frac{34}{40}$ ⋅ $\frac{33}{39}$ =1- $\frac{187}{260}$ ≈0.2808
7	1- $\frac{33}{40}$ ⋅ $\frac{32}{39}$ =1- $\frac{44}{65}$ ≈0.3231
8	1- $\frac{32}{40}$ ⋅ $\frac{31}{39}$ =1- $\frac{124}{195}$ ≈0.3641
9	1- $\frac{31}{40}$ ⋅ $\frac{30}{39}$ =1- $\frac{31}{52}$ ≈0.4038
10	1- $\frac{30}{40}$ ⋅ $\frac{29}{39}$ =1- $\frac{29}{52}$ ≈0.4423
11	1- $\frac{29}{40}$ ⋅ $\frac{28}{39}$ =1- $\frac{203}{390}$ ≈0.4795
12	1- $\frac{28}{40}$ ⋅ $\frac{27}{39}$ =1- $\frac{63}{130}$ ≈0.5154
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= $\frac{37}{40}$ ⋅ $\frac{36}{39}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{37}{40}$ und beim zweiten $\frac{36}{39}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- $\frac{37}{40}$ ⋅ $\frac{36}{39}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(40-x)/40*(39-x)/39)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 12 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 12 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 2 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 120 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 80%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 16 mal am Tag eines ihrer eigenen 2 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥16)=1-P(X≤15)
...	...
$\frac{2}{8}$	0.9994
$\frac{2}{9}$	0.9951
$\frac{2}{10}$	0.9782
$\frac{2}{11}$	0.9374
$\frac{2}{12}$	0.8665
$\frac{2}{13}$	0.7692
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=120 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{120} (X \geq 16)$ = 1- $P_{p}^{120} (X \leq 15)$ = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{120} (X \geq 16)$ ('mindestens 16 Treffer bei 120 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{2}{8}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 12 sein.

Also wären noch 10 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR