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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 2 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 2 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,1. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
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P=0.1 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.1=p2

=>p=0.12 ≈ 0.3162

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Ein Lebensmittelhersteller wirbt damit, dass sich in jeder 7. Verpackung eine Überraschung befindet. Wie viele Packungen muss man mindestens kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% mindestens 1 Überraschung(en) zu erhalten.

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nP(X≤k)
......
70.3399
80.2914
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Überraschungen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 7 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 7 n (X≥1) ≥ 0.7

Weil man ja aber P 1 7 n (X≥1) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P 1 7 n (X≥1) = 1 - P 1 7 n (X≤0) ≥ 0.7 |+ P 1 7 n (X≤0) - 0.7

0.3 ≥ P 1 7 n (X≤0) oder P 1 7 n (X≤0) ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 7 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 1 1 7 ≈ 7 Versuchen auch ungefähr 1 (≈ 1 7 ⋅7) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=7:
P 1 7 n (X≤0) ≈ 0.3399 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=8 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 8 sein, damit P 1 7 n (X≤0) ≤ 0.3 oder eben P 1 7 n (X≥1) ≥ 0.7 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 65 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 90% liegen. Wieviel der 65 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im LostopfP('höchstens eine Niete')
......
71- 7 65 ⋅ 6 64 =1- 21 2080 ≈0.9899
81- 8 65 ⋅ 7 64 =1- 7 520 ≈0.9865
91- 9 65 ⋅ 8 64 =1- 9 520 ≈0.9827
101- 10 65 ⋅ 9 64 =1- 9 416 ≈0.9784
111- 11 65 ⋅ 10 64 =1- 11 416 ≈0.9736
121- 12 65 ⋅ 11 64 =1- 33 1040 ≈0.9683
131- 13 65 ⋅ 12 64 =1- 3 80 ≈0.9625
141- 14 65 ⋅ 13 64 =1- 7 160 ≈0.9563
151- 15 65 ⋅ 14 64 =1- 21 416 ≈0.9495
161- 16 65 ⋅ 15 64 =1- 3 52 ≈0.9423
171- 17 65 ⋅ 16 64 =1- 17 260 ≈0.9346
181- 18 65 ⋅ 17 64 =1- 153 2080 ≈0.9264
191- 19 65 ⋅ 18 64 =1- 171 2080 ≈0.9178
201- 20 65 ⋅ 19 64 =1- 19 208 ≈0.9087
211- 21 65 ⋅ 20 64 =1- 21 208 ≈0.899
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=7 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= 7 65 ⋅ 6 64 (beim ersten Zufallsversuch 7 65 und beim zweiten 6 64 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- 7 65 ⋅ 6 64

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=7. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/65*(x-1)/64)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 20 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 20 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 6 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 95 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 6 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% für die 95 Durchgänge reichen?

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pP(X≤6)
......
1 15 0.5511
1 16 0.6167
1 17 0.6742
1 18 0.7238
1 19 0.7662
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=95 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp95 (X≤6) =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp95 (X≤6) ('höchstens 6 Treffer bei 95 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 95 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 95 ⋅95 der Erwartungswert und somit Pp95 (X≤6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 95 mit 1 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 15 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 19 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 19 sein.