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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.8 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.2 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.2=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.2}$ ≈ 0.6687

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6687 ≈ 0.3313

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Ein Lebensmittelhersteller wirbt damit, dass sich in jeder 7. Verpackung eine Überraschung befindet. Wie viele Packungen muss man mindestens kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% mindestens 2 Überraschung(en) zu erhalten.

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n	P(X≤k)
...	...
11	0.5199
12	0.4718
13	0.4269
14	0.3851
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Überraschungen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{7}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 2)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 2)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 2)$ = 1 - $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 1)$ ≥ 0.5 |+ $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 1)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 1)$ oder $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 1)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{7}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{2}{\frac{1}{7}}$ ≈ 14 Versuchen auch ungefähr 2 (≈ $\frac{1}{7}$ ⋅14) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=14:
$P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 1)$ ≈ 0.3851 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=12 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 12 sein, damit $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 1)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 2)$ ≥ 0.5 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 27 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 80%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
4	1- $\frac{4}{27}$ ⋅ $\frac{3}{26}$ =1- $\frac{2}{117}$ ≈0.9829
5	1- $\frac{5}{27}$ ⋅ $\frac{4}{26}$ =1- $\frac{10}{351}$ ≈0.9715
6	1- $\frac{6}{27}$ ⋅ $\frac{5}{26}$ =1- $\frac{5}{117}$ ≈0.9573
7	1- $\frac{7}{27}$ ⋅ $\frac{6}{26}$ =1- $\frac{7}{117}$ ≈0.9402
8	1- $\frac{8}{27}$ ⋅ $\frac{7}{26}$ =1- $\frac{28}{351}$ ≈0.9202
9	1- $\frac{9}{27}$ ⋅ $\frac{8}{26}$ =1- $\frac{4}{39}$ ≈0.8974
10	1- $\frac{10}{27}$ ⋅ $\frac{9}{26}$ =1- $\frac{5}{39}$ ≈0.8718
11	1- $\frac{11}{27}$ ⋅ $\frac{10}{26}$ =1- $\frac{55}{351}$ ≈0.8433
12	1- $\frac{12}{27}$ ⋅ $\frac{11}{26}$ =1- $\frac{22}{117}$ ≈0.812
13	1- $\frac{13}{27}$ ⋅ $\frac{12}{26}$ =1- $\frac{2}{9}$ ≈0.7778
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=4 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{4}{27}$ ⋅ $\frac{3}{26}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{4}{27}$ und beim zweiten $\frac{3}{26}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{4}{27}$ ⋅ $\frac{3}{26}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=4. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/27*(x-1)/26)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 12 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 12 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{8}{12}$	0.9996
$\frac{9}{13}$	0.9991
$\frac{10}{14}$	0.9982
$\frac{11}{15}$	0.9967
$\frac{12}{16}$	0.9945
$\frac{13}{17}$	0.9916
$\frac{14}{18}$	0.9878
$\frac{15}{19}$	0.983
$\frac{16}{20}$	0.9773
$\frac{17}{21}$	0.9707
$\frac{18}{22}$	0.9633
$\frac{19}{23}$	0.9549
$\frac{20}{24}$	0.9458
$\frac{21}{25}$	0.936
$\frac{22}{26}$	0.9256
$\frac{23}{27}$	0.9146
$\frac{24}{28}$	0.9031
$\frac{25}{29}$	0.8912
$\frac{26}{30}$	0.8789
$\frac{27}{31}$	0.8664
$\frac{28}{32}$	0.8536
$\frac{29}{33}$	0.8406
$\frac{30}{34}$	0.8275
$\frac{31}{35}$	0.8144
$\frac{32}{36}$	0.8012
$\frac{33}{37}$	0.788
$\frac{34}{38}$	0.7748
$\frac{35}{39}$	0.7617
$\frac{36}{40}$	0.7487
$\frac{37}{41}$	0.7358
$\frac{38}{42}$	0.7231
$\frac{39}{43}$	0.7104
$\frac{40}{44}$	0.6979
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{26} (X \leq 24)$ = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{26} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{8}{12}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{39}{43}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 39 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR