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p gesucht (n-te Wurzel)
Beispiel:
Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 68% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)
P=0.68 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.32 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.
Es gilt also 0.32=(1-p)4
=>1-p= ≈ 0.7521
Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.7521 ≈ 0.2479
Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,25. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% 39 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 161 | 0.3803 |
| 162 | 0.3634 |
| 163 | 0.3467 |
| 164 | 0.3305 |
| 165 | 0.3146 |
| 166 | 0.2992 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.7
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.7 |+ - 0.7
0.3 ≥ oder ≤ 0.3
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 156 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.25⋅156) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=156:
≈ 0.4693
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=166 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.
n muss also mindestens 166 sein, damit ≤ 0.3 oder eben ≥ 0.7 gilt.
gesuchtes p (ohne zurücklegen)
Beispiel:
In einer Urne sind 40 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?
| Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne | P('mindestens eine schwarze Kugel') |
|---|---|
| ... | ... |
| 3 | 1-⋅=1-≈0.1462 |
| 4 | 1-⋅=1-≈0.1923 |
| 5 | 1-⋅=1-≈0.2372 |
| 6 | 1-⋅=1-≈0.2808 |
| 7 | 1-⋅=1-≈0.3231 |
| 8 | 1-⋅=1-≈0.3641 |
| 9 | 1-⋅=1-≈0.4038 |
| 10 | 1-⋅=1-≈0.4423 |
| 11 | 1-⋅=1-≈0.4795 |
| 12 | 1-⋅=1-≈0.5154 |
| 13 | 1-⋅=1-≈0.55 |
| 14 | 1-⋅=1-≈0.5833 |
| 15 | 1-⋅=1-≈0.6154 |
| 16 | 1-⋅=1-≈0.6462 |
| 17 | 1-⋅=1-≈0.6756 |
| 18 | 1-⋅=1-≈0.7038 |
| 19 | 1-⋅=1-≈0.7308 |
| 20 | 1-⋅=1-≈0.7564 |
| ... | ... |
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.
Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist): Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= ⋅ (beim ersten Zufallsversuch und beim zweiten weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1-⋅
Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(40-x)/40*(39-x)/39)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 20 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 20 sein.
Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR
Beispiel:
In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?
| p | P(X≤24) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9998 | |
| 0.9997 | |
| 0.9995 | |
| 0.9992 | |
| 0.9989 | |
| 0.9984 | |
| 0.9978 | |
| 0.9971 | |
| 0.9962 | |
| 0.9952 | |
| 0.994 | |
| 0.9927 | |
| 0.9912 | |
| 0.9895 | |
| 0.9877 | |
| 0.9857 | |
| 0.9836 | |
| 0.9813 | |
| 0.9788 | |
| 0.9762 | |
| 0.9735 | |
| 0.9706 | |
| 0.9676 | |
| 0.9645 | |
| 0.9613 | |
| 0.9579 | |
| 0.9545 | |
| 0.951 | |
| 0.9474 | |
| 0.9437 | |
| 0.9399 | |
| 0.9361 | |
| 0.9322 | |
| 0.9282 | |
| 0.9242 | |
| 0.9201 | |
| 0.916 | |
| 0.9119 | |
| 0.9077 | |
| 0.9035 | |
| 0.8993 | |
| 0.895 | |
| 0.8907 | |
| 0.8864 | |
| 0.8821 | |
| 0.8778 | |
| 0.8735 | |
| 0.8691 | |
| 0.8648 | |
| 0.8605 | |
| 0.8561 | |
| 0.8518 | |
| 0.8475 | |
| 0.8432 | |
| 0.8389 | |
| 0.8346 | |
| 0.8303 | |
| 0.826 | |
| 0.8218 | |
| 0.8176 | |
| 0.8133 | |
| 0.8091 | |
| 0.805 | |
| 0.8008 | |
| 0.7967 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 0.8 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 75 sein.
