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p gesucht (n-te Wurzel)
Beispiel:
Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 65% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)
P=0.65 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.35 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.
Es gilt also 0.35=(1-p)4
=>1-p= ≈ 0.7692
Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.7692 ≈ 0.2308
Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,25.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 29 Treffer zu erzielen ?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 96 | 0.9006 |
| 97 | 0.8893 |
| 98 | 0.8771 |
| 99 | 0.8642 |
| 100 | 0.8505 |
| 101 | 0.836 |
| 102 | 0.8207 |
| 103 | 0.8047 |
| 104 | 0.788 |
| 105 | 0.7707 |
| 106 | 0.7527 |
| 107 | 0.7341 |
| 108 | 0.715 |
| 109 | 0.6954 |
| 110 | 0.6754 |
| 111 | 0.655 |
| 112 | 0.6343 |
| 113 | 0.6134 |
| 114 | 0.5923 |
| 115 | 0.571 |
| 116 | 0.5497 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.9
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 116 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.25⋅116) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=116:
≈ 0.5497
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=96 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.
gesuchtes p (ohne zurücklegen)
Beispiel:
In einer Urne sind 25 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?
| Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne | P('mindestens eine schwarze Kugel') |
|---|---|
| ... | ... |
| 3 | 1-⋅=1-≈0.23 |
| 4 | 1-⋅=1-≈0.3 |
| 5 | 1-⋅=1-≈0.3667 |
| 6 | 1-⋅=1-≈0.43 |
| 7 | 1-⋅=1-≈0.49 |
| 8 | 1-⋅=1-≈0.5467 |
| 9 | 1-⋅=1-≈0.6 |
| 10 | 1-⋅=1-≈0.65 |
| 11 | 1-⋅=1-≈0.6967 |
| 12 | 1-⋅=1-≈0.74 |
| 13 | 1-⋅=1-≈0.78 |
| ... | ... |
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.
Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist): Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= ⋅ (beim ersten Zufallsversuch und beim zweiten weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1-⋅
Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(25-x)/25*(24-x)/24)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 13 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 13 sein.
Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR
Beispiel:
In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 14 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 14 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?
| p | P(X≤6) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.3953 | |
| 0.6925 | |
| 0.8505 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=14 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.8 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 6 Treffer bei 14 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 6=⋅14 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens
6 sein.
Also werden noch 4 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.
