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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 3 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 83% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.83 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 3 Durchgängen, also ist 1-P=0.17 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 3 Durchgängen.

Es gilt also 0.17=(1-p)3

=>1-p=0.173 ≈ 0.554

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.554 ≈ 0.446

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,8. Wie viele Freiwürfe darf man bei ihm durch Fouls höchstens zulassen, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht über 33 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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nP(X≤k)
......
390.82
400.7141
410.5931
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: P0.8n (X≤33) ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 33 0.8 ≈ 41 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.8⋅41) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=41:
P0.8n (X≤33) ≈ 0.5931 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 60 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 85% liegen. Wieviel der 60 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im LostopfP('höchstens eine Niete')
......
71- 7 60 ⋅ 6 59 =1- 7 590 ≈0.9881
81- 8 60 ⋅ 7 59 =1- 14 885 ≈0.9842
91- 9 60 ⋅ 8 59 =1- 6 295 ≈0.9797
101- 10 60 ⋅ 9 59 =1- 3 118 ≈0.9746
111- 11 60 ⋅ 10 59 =1- 11 354 ≈0.9689
121- 12 60 ⋅ 11 59 =1- 11 295 ≈0.9627
131- 13 60 ⋅ 12 59 =1- 13 295 ≈0.9559
141- 14 60 ⋅ 13 59 =1- 91 1770 ≈0.9486
151- 15 60 ⋅ 14 59 =1- 7 118 ≈0.9407
161- 16 60 ⋅ 15 59 =1- 4 59 ≈0.9322
171- 17 60 ⋅ 16 59 =1- 68 885 ≈0.9232
181- 18 60 ⋅ 17 59 =1- 51 590 ≈0.9136
191- 19 60 ⋅ 18 59 =1- 57 590 ≈0.9034
201- 20 60 ⋅ 19 59 =1- 19 177 ≈0.8927
211- 21 60 ⋅ 20 59 =1- 7 59 ≈0.8814
221- 22 60 ⋅ 21 59 =1- 77 590 ≈0.8695
231- 23 60 ⋅ 22 59 =1- 253 1770 ≈0.8571
241- 24 60 ⋅ 23 59 =1- 46 295 ≈0.8441
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=7 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= 7 60 ⋅ 6 59 (beim ersten Zufallsversuch 7 60 und beim zweiten 6 59 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- 7 60 ⋅ 6 59

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=7. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/60*(x-1)/59)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 23 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 23 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 8 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 70 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 8 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% für die 70 Durchgänge reichen?

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pP(X≤8)
......
1 8 0.4822
1 9 0.6256
1 10 0.7363
1 11 0.8167
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=70 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp70 (X≤8) =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp70 (X≤8) ('höchstens 8 Treffer bei 70 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 8 70 . Mit diesem p wäre ja 8= 8 70 ⋅70 der Erwartungswert und somit Pp70 (X≤8) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 8 70 mit 1 8 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 8 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 11 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 11 sein.