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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 71% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.71 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.29 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.29=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.29}$ ≈ 0.7338

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.7338 ≈ 0.2662

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Ein Lebensmittelhersteller wirbt damit, dass sich in jeder 7. Verpackung eine Überraschung befindet. Wie viele Packungen muss man mindestens kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 1 Überraschung(en) zu erhalten.

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n	P(X≤k)
...	...
10	0.2141
11	0.1835
12	0.1573
13	0.1348
14	0.1155
15	0.099
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Überraschungen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{7}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 1)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 1)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 1)$ = 1 - $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.9 |+ $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ oder $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{7}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{1}{\frac{1}{7}}$ ≈ 7 Versuchen auch ungefähr 1 (≈ $\frac{1}{7}$ ⋅7) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=7:
$P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 0.3399 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=15 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 15 sein, damit $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 1)$ ≥ 0.9 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 45 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne	P('mindestens eine schwarze Kugel')
...	...
3	1- $\frac{42}{45}$ ⋅ $\frac{41}{44}$ =1- $\frac{287}{330}$ ≈0.1303
4	1- $\frac{41}{45}$ ⋅ $\frac{40}{44}$ =1- $\frac{82}{99}$ ≈0.1717
5	1- $\frac{40}{45}$ ⋅ $\frac{39}{44}$ =1- $\frac{26}{33}$ ≈0.2121
6	1- $\frac{39}{45}$ ⋅ $\frac{38}{44}$ =1- $\frac{247}{330}$ ≈0.2515
7	1- $\frac{38}{45}$ ⋅ $\frac{37}{44}$ =1- $\frac{703}{990}$ ≈0.2899
8	1- $\frac{37}{45}$ ⋅ $\frac{36}{44}$ =1- $\frac{37}{55}$ ≈0.3273
9	1- $\frac{36}{45}$ ⋅ $\frac{35}{44}$ =1- $\frac{7}{11}$ ≈0.3636
10	1- $\frac{35}{45}$ ⋅ $\frac{34}{44}$ =1- $\frac{119}{198}$ ≈0.399
11	1- $\frac{34}{45}$ ⋅ $\frac{33}{44}$ =1- $\frac{17}{30}$ ≈0.4333
12	1- $\frac{33}{45}$ ⋅ $\frac{32}{44}$ =1- $\frac{8}{15}$ ≈0.4667
13	1- $\frac{32}{45}$ ⋅ $\frac{31}{44}$ =1- $\frac{248}{495}$ ≈0.499
14	1- $\frac{31}{45}$ ⋅ $\frac{30}{44}$ =1- $\frac{31}{66}$ ≈0.5303
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= $\frac{42}{45}$ ⋅ $\frac{41}{44}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{42}{45}$ und beim zweiten $\frac{41}{44}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- $\frac{42}{45}$ ⋅ $\frac{41}{44}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(45-x)/45*(44-x)/44)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 14 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 14 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 28 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 28 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{6}{10}$	0.9993
$\frac{7}{11}$	0.9976
$\frac{8}{12}$	0.9939
$\frac{9}{13}$	0.9873
$\frac{10}{14}$	0.9771
$\frac{11}{15}$	0.963
$\frac{12}{16}$	0.9449
$\frac{13}{17}$	0.923
$\frac{14}{18}$	0.8978
$\frac{15}{19}$	0.8699
$\frac{16}{20}$	0.8398
$\frac{17}{21}$	0.8082
$\frac{18}{22}$	0.7756
$\frac{19}{23}$	0.7425
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{28} (X \leq 24)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{28} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{6}{10}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{18}{22}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 18 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR