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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 3 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 3 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,5. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
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P=0.5 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.5=p3

=>p=0.53 ≈ 0.7937

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,65.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, mindestens 36 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
550.4662
560.3955
570.3295
580.2696
590.2168
600.1714
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.65 und variablem n.

Es muss gelten: P0.65n (X36) ≥ 0.8

Weil man ja aber P0.65n (X36) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.65n (X36) = 1 - P0.65n (X35) ≥ 0.8 |+ P0.65n (X35) - 0.8

0.2 ≥ P0.65n (X35) oder P0.65n (X35) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 65% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 36 0.65 ≈ 55 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.65⋅55) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=55:
P0.65n (X35) ≈ 0.4662 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=60 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 60 sein, damit P0.65n (X35) ≤ 0.2 oder eben P0.65n (X36) ≥ 0.8 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 50 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 85% liegen. Wieviel der 50 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im LostopfP('höchstens eine Niete')
......
61- 6 50 5 49 =1- 3 245 ≈0.9878
71- 7 50 6 49 =1- 3 175 ≈0.9829
81- 8 50 7 49 =1- 4 175 ≈0.9771
91- 9 50 8 49 =1- 36 1225 ≈0.9706
101- 10 50 9 49 =1- 9 245 ≈0.9633
111- 11 50 10 49 =1- 11 245 ≈0.9551
121- 12 50 11 49 =1- 66 1225 ≈0.9461
131- 13 50 12 49 =1- 78 1225 ≈0.9363
141- 14 50 13 49 =1- 13 175 ≈0.9257
151- 15 50 14 49 =1- 3 35 ≈0.9143
161- 16 50 15 49 =1- 24 245 ≈0.902
171- 17 50 16 49 =1- 136 1225 ≈0.889
181- 18 50 17 49 =1- 153 1225 ≈0.8751
191- 19 50 18 49 =1- 171 1225 ≈0.8604
201- 20 50 19 49 =1- 38 245 ≈0.8449
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=6 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= 6 50 5 49 (beim ersten Zufallsversuch 6 50 und beim zweiten 5 49 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- 6 50 5 49

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=6. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/50*(x-1)/49)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 19 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 19 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
8 12 0.9996
9 13 0.9991
10 14 0.9982
11 15 0.9967
12 16 0.9945
13 17 0.9916
14 18 0.9878
15 19 0.983
16 20 0.9773
17 21 0.9707
18 22 0.9633
19 23 0.9549
20 24 0.9458
21 25 0.936
22 26 0.9256
23 27 0.9146
24 28 0.9031
25 29 0.8912
26 30 0.8789
27 31 0.8664
28 32 0.8536
29 33 0.8406
30 34 0.8275
31 35 0.8144
32 36 0.8012
33 37 0.788
34 38 0.7748
35 39 0.7617
36 40 0.7487
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp26 (X24) = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp26 (X24) ('höchstens 24 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 8 12 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 35 39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 35 sein.