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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 2 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 2 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,1. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
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P=0.1 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.1=p2

=>p=0.12 ≈ 0.3162

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,35.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 22 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
720.1809
730.1602
740.1413
750.1241
760.1086
770.0947
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und variablem n.

Es muss gelten: P0.35n (X22) ≥ 0.9

Weil man ja aber P0.35n (X22) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.35n (X22) = 1 - P0.35n (X21) ≥ 0.9 |+ P0.35n (X21) - 0.9

0.1 ≥ P0.35n (X21) oder P0.35n (X21) ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 35% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 22 0.35 ≈ 63 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.35⋅63) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=63:
P0.35n (X21) ≈ 0.4475 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=77 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 77 sein, damit P0.35n (X21) ≤ 0.1 oder eben P0.35n (X22) ≥ 0.9 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 20 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 80%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im KartenstapelP('höchstens einen Joker')
......
31- 3 20 2 19 =1- 3 190 ≈0.9842
41- 4 20 3 19 =1- 3 95 ≈0.9684
51- 5 20 4 19 =1- 1 19 ≈0.9474
61- 6 20 5 19 =1- 3 38 ≈0.9211
71- 7 20 6 19 =1- 21 190 ≈0.8895
81- 8 20 7 19 =1- 14 95 ≈0.8526
91- 9 20 8 19 =1- 18 95 ≈0.8105
101- 10 20 9 19 =1- 9 38 ≈0.7632
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= 3 20 2 19 (beim ersten Zufallsversuch 3 20 und beim zweiten 2 19 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- 3 20 2 19

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/20*(x-1)/19)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 9 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 9 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 5 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 85 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 5 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% für die 85 Durchgänge reichen?

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pP(X≤5)
......
1 17 0.616
1 18 0.666
1 19 0.7099
1 20 0.7482
1 21 0.7814
1 22 0.8101
1 23 0.8349
1 24 0.8563
1 25 0.8747
1 26 0.8906
1 27 0.9043
1 28 0.9161
1 29 0.9264
1 30 0.9352
1 31 0.9429
1 32 0.9496
1 33 0.9554
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=85 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp85 (X5) =0.95 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp85 (X5) ('höchstens 5 Treffer bei 85 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 5 85 . Mit diesem p wäre ja 5= 5 85 ⋅85 der Erwartungswert und somit Pp85 (X5) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 5 85 mit 1 5 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 17 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 33 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 95% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 33 sein.