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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 2 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 83% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.83 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 2 Durchgängen, also ist 1-P=0.17 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 2 Durchgängen.

Es gilt also 0.17=(1-p)2

=>1-p=0.172 ≈ 0.4123

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.4123 ≈ 0.5877

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Ein Lebensmittelhersteller wirbt damit, dass sich in jeder 7. Verpackung eine Überraschung befindet. Wie viele Packungen muss man mindestens kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% mindestens 1 Überraschung(en) zu erhalten.

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nP(X≤k)
......
40.5398
50.4627
60.3966
70.3399
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Überraschungen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 7 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 7 n (X1) ≥ 0.5

Weil man ja aber P 1 7 n (X1) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P 1 7 n (X1) = 1 - P 1 7 n (X0) ≥ 0.5 |+ P 1 7 n (X0) - 0.5

0.5 ≥ P 1 7 n (X0) oder P 1 7 n (X0) ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 7 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 1 1 7 ≈ 7 Versuchen auch ungefähr 1 (≈ 1 7 ⋅7) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=7:
P 1 7 n (X0) ≈ 0.3399 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=5 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 5 sein, damit P 1 7 n (X0) ≤ 0.5 oder eben P 1 7 n (X1) ≥ 0.5 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 23 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im KartenstapelP('höchstens einen Joker')
......
31- 3 23 2 22 =1- 3 253 ≈0.9881
41- 4 23 3 22 =1- 6 253 ≈0.9763
51- 5 23 4 22 =1- 10 253 ≈0.9605
61- 6 23 5 22 =1- 15 253 ≈0.9407
71- 7 23 6 22 =1- 21 253 ≈0.917
81- 8 23 7 22 =1- 28 253 ≈0.8893
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= 3 23 2 22 (beim ersten Zufallsversuch 3 23 und beim zweiten 2 22 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- 3 23 2 22

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/23*(x-1)/22)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 7 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 7 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 13 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 13 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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pP(X≤3)
......
4 17 0.6335
4 18 0.6767
4 19 0.7144
4 20 0.7473
4 21 0.776
4 22 0.801
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=13 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp13 (X3) =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp13 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 13 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 13 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 13 ⋅13 der Erwartungswert und somit Pp13 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 13 mit 4 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 4 17 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 4 22 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 22 sein.

Also werden noch 18 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.