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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 69% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.69 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.31 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.31=(1-p)4

=>1-p=0.314 ≈ 0.7462

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.7462 ≈ 0.2538

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% nicht mehr als 39 6er zu würfeln?

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nP(X≤k)
......
2200.701
2210.6903
2220.6794
2230.6684
2240.6573
2250.6462
2260.6349
2270.6235
2280.6121
2290.6006
2300.5891
2310.5775
2320.5659
2330.5543
2340.5426
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 6 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 6 n (X≤39) ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 6 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 39 1 6 ≈ 234 Versuchen auch ungefähr 39 (≈ 1 6 ⋅234) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=234:
P 1 6 n (X≤39) ≈ 0.5426 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=220 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 25 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der UrneP('mindestens eine schwarze Kugel')
......
31- 22 25 ⋅ 21 24 =1- 77 100 ≈0.23
41- 21 25 ⋅ 20 24 =1- 7 10 ≈0.3
51- 20 25 ⋅ 19 24 =1- 19 30 ≈0.3667
61- 19 25 ⋅ 18 24 =1- 57 100 ≈0.43
71- 18 25 ⋅ 17 24 =1- 51 100 ≈0.49
81- 17 25 ⋅ 16 24 =1- 34 75 ≈0.5467
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= 22 25 ⋅ 21 24 (beim ersten Zufallsversuch 22 25 und beim zweiten 21 24 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- 22 25 ⋅ 21 24

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(25-x)/25*(24-x)/24)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 8 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 8 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 15 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 3 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 25% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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pP(X≤3)
......
1 5 0.6482
1 6 0.7685
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=15 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp15 (X≤3) =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp15 (X≤3) ('höchstens 3 Treffer bei 15 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 15 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 15 ⋅15 der Erwartungswert und somit Pp15 (X≤3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 15 mit 1 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 5 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 6 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 6 sein.