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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 2 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 2 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,1. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
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P=0.1 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.1=p2

=>p=0.12 ≈ 0.3162

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,8. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% 35 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

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nP(X≤k)
......
440.3826
450.2795
460.1952
470.1306
480.0838
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: P0.8n (X35) ≥ 0.9

Weil man ja aber P0.8n (X35) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.8n (X35) = 1 - P0.8n (X34) ≥ 0.9 |+ P0.8n (X34) - 0.9

0.1 ≥ P0.8n (X34) oder P0.8n (X34) ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 35 0.8 ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.8⋅44) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
P0.8n (X34) ≈ 0.3826 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=48 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 48 sein, damit P0.8n (X34) ≤ 0.1 oder eben P0.8n (X35) ≥ 0.9 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 65 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 85% liegen. Wieviel der 65 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im LostopfP('höchstens eine Niete')
......
71- 7 65 6 64 =1- 21 2080 ≈0.9899
81- 8 65 7 64 =1- 7 520 ≈0.9865
91- 9 65 8 64 =1- 9 520 ≈0.9827
101- 10 65 9 64 =1- 9 416 ≈0.9784
111- 11 65 10 64 =1- 11 416 ≈0.9736
121- 12 65 11 64 =1- 33 1040 ≈0.9683
131- 13 65 12 64 =1- 3 80 ≈0.9625
141- 14 65 13 64 =1- 7 160 ≈0.9563
151- 15 65 14 64 =1- 21 416 ≈0.9495
161- 16 65 15 64 =1- 3 52 ≈0.9423
171- 17 65 16 64 =1- 17 260 ≈0.9346
181- 18 65 17 64 =1- 153 2080 ≈0.9264
191- 19 65 18 64 =1- 171 2080 ≈0.9178
201- 20 65 19 64 =1- 19 208 ≈0.9087
211- 21 65 20 64 =1- 21 208 ≈0.899
221- 22 65 21 64 =1- 231 2080 ≈0.8889
231- 23 65 22 64 =1- 253 2080 ≈0.8784
241- 24 65 23 64 =1- 69 520 ≈0.8673
251- 25 65 24 64 =1- 15 104 ≈0.8558
261- 26 65 25 64 =1- 5 32 ≈0.8438
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=7 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= 7 65 6 64 (beim ersten Zufallsversuch 7 65 und beim zweiten 6 64 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- 7 65 6 64

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=7. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/65*(x-1)/64)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 25 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 25 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 11 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 11 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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pP(X≤6)
......
2 3 0.289
2 4 0.7256
2 5 0.9006
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp11 (X6) =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp11 (X6) ('höchstens 6 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 11 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 11 ⋅11 der Erwartungswert und somit Pp11 (X6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 11 mit 2 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 2 3 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 2 5 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 5 sein.

Also werden noch 3 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.