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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 2 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 97% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.97 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 2 Durchgängen, also ist 1-P=0.03 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 2 Durchgängen.

Es gilt also 0.03=(1-p)²

=>1-p= $\sqrt[2]{0.03}$ ≈ 0.1732

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.1732 ≈ 0.8268

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,7. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% 23 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

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n	P(X≤k)
...	...
33	0.4007
34	0.3068
35	0.2271
36	0.1627
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{n} (X \geq 23)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.7}^{n} (X \geq 23)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.7}^{n} (X \geq 23)$ = 1 - $P_{0.7}^{n} (X \leq 22)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.7}^{n} (X \leq 22)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.7}^{n} (X \leq 22)$ oder $P_{0.7}^{n} (X \leq 22)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{23}{0.7}$ ≈ 33 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.7⋅33) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=33:
$P_{0.7}^{n} (X \leq 22)$ ≈ 0.4007 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 36 sein, damit $P_{0.7}^{n} (X \leq 22)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.7}^{n} (X \geq 23)$ ≥ 0.8 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 21 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 80%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
3	1- $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{2}{20}$ =1- $\frac{1}{70}$ ≈0.9857
4	1- $\frac{4}{21}$ ⋅ $\frac{3}{20}$ =1- $\frac{1}{35}$ ≈0.9714
5	1- $\frac{5}{21}$ ⋅ $\frac{4}{20}$ =1- $\frac{1}{21}$ ≈0.9524
6	1- $\frac{6}{21}$ ⋅ $\frac{5}{20}$ =1- $\frac{1}{14}$ ≈0.9286
7	1- $\frac{7}{21}$ ⋅ $\frac{6}{20}$ =1- $\frac{1}{10}$ ≈0.9
8	1- $\frac{8}{21}$ ⋅ $\frac{7}{20}$ =1- $\frac{2}{15}$ ≈0.8667
9	1- $\frac{9}{21}$ ⋅ $\frac{8}{20}$ =1- $\frac{6}{35}$ ≈0.8286
10	1- $\frac{10}{21}$ ⋅ $\frac{9}{20}$ =1- $\frac{3}{14}$ ≈0.7857
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{2}{20}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{3}{21}$ und beim zweiten $\frac{2}{20}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{2}{20}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/21*(x-1)/20)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 9 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 9 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 12 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 12 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{2}{8}$	0.6488
$\frac{2}{9}$	0.7325
$\frac{2}{10}$	0.7946
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{12} (X \leq 3)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{12} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{12}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{12}$ ⋅12 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{12} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{12}$ mit $\frac{2}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{2}{8}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 10 sein.

Also werden noch 8 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR