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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 83% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.83 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.17 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.17=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.17}$ ≈ 0.6421

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6421 ≈ 0.3579

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Ein Lebensmittelhersteller wirbt damit, dass sich in jeder 7. Verpackung eine Überraschung befindet. Wie viele Packungen muss man mindestens kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% mindestens 1 Überraschung(en) zu erhalten.

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n	P(X≤k)
...	...
5	0.4627
6	0.3966
7	0.3399
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Überraschungen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{7}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 1)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 1)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 1)$ = 1 - $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.6 |+ $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ oder $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{7}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{1}{\frac{1}{7}}$ ≈ 7 Versuchen auch ungefähr 1 (≈ $\frac{1}{7}$ ⋅7) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=7:
$P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 0.3399 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=6 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 6 sein, damit $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 1)$ ≥ 0.6 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 40 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne	P('mindestens eine schwarze Kugel')
...	...
3	1- $\frac{37}{40}$ ⋅ $\frac{36}{39}$ =1- $\frac{111}{130}$ ≈0.1462
4	1- $\frac{36}{40}$ ⋅ $\frac{35}{39}$ =1- $\frac{21}{26}$ ≈0.1923
5	1- $\frac{35}{40}$ ⋅ $\frac{34}{39}$ =1- $\frac{119}{156}$ ≈0.2372
6	1- $\frac{34}{40}$ ⋅ $\frac{33}{39}$ =1- $\frac{187}{260}$ ≈0.2808
7	1- $\frac{33}{40}$ ⋅ $\frac{32}{39}$ =1- $\frac{44}{65}$ ≈0.3231
8	1- $\frac{32}{40}$ ⋅ $\frac{31}{39}$ =1- $\frac{124}{195}$ ≈0.3641
9	1- $\frac{31}{40}$ ⋅ $\frac{30}{39}$ =1- $\frac{31}{52}$ ≈0.4038
10	1- $\frac{30}{40}$ ⋅ $\frac{29}{39}$ =1- $\frac{29}{52}$ ≈0.4423
11	1- $\frac{29}{40}$ ⋅ $\frac{28}{39}$ =1- $\frac{203}{390}$ ≈0.4795
12	1- $\frac{28}{40}$ ⋅ $\frac{27}{39}$ =1- $\frac{63}{130}$ ≈0.5154
13	1- $\frac{27}{40}$ ⋅ $\frac{26}{39}$ =1- $\frac{9}{20}$ ≈0.55
14	1- $\frac{26}{40}$ ⋅ $\frac{25}{39}$ =1- $\frac{5}{12}$ ≈0.5833
15	1- $\frac{25}{40}$ ⋅ $\frac{24}{39}$ =1- $\frac{5}{13}$ ≈0.6154
16	1- $\frac{24}{40}$ ⋅ $\frac{23}{39}$ =1- $\frac{23}{65}$ ≈0.6462
17	1- $\frac{23}{40}$ ⋅ $\frac{22}{39}$ =1- $\frac{253}{780}$ ≈0.6756
18	1- $\frac{22}{40}$ ⋅ $\frac{21}{39}$ =1- $\frac{77}{260}$ ≈0.7038
19	1- $\frac{21}{40}$ ⋅ $\frac{20}{39}$ =1- $\frac{7}{26}$ ≈0.7308
20	1- $\frac{20}{40}$ ⋅ $\frac{19}{39}$ =1- $\frac{19}{78}$ ≈0.7564
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= $\frac{37}{40}$ ⋅ $\frac{36}{39}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{37}{40}$ und beim zweiten $\frac{36}{39}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- $\frac{37}{40}$ ⋅ $\frac{36}{39}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(40-x)/40*(39-x)/39)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 20 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 20 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 8er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9648
$\frac{1}{3}$	0.8049
$\frac{1}{4}$	0.6329
$\frac{1}{5}$	0.4967
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=8 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{8} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{8} (X \leq 1)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{8} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 8 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{4}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 4 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR