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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 4 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 4 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,4. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.4 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 4 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.4=p⁴

=>p= $\sqrt[4]{0.4}$ ≈ 0.7953

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% 24 oder mehr 6er zu erzielen?

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n	P(X≤k)
...	...
144	0.4653
145	0.4506
146	0.4361
147	0.4217
148	0.4075
149	0.3935
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 24)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 24)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 24)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 23)$ ≥ 0.6 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 23)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 23)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 23)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{24}{\frac{1}{6}}$ ≈ 144 Versuchen auch ungefähr 24 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅144) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=144:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 23)$ ≈ 0.4653 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=149 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 149 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 23)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 24)$ ≥ 0.6 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 40 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne	P('mindestens eine schwarze Kugel')
...	...
3	1- $\frac{37}{40}$ ⋅ $\frac{36}{39}$ =1- $\frac{111}{130}$ ≈0.1462
4	1- $\frac{36}{40}$ ⋅ $\frac{35}{39}$ =1- $\frac{21}{26}$ ≈0.1923
5	1- $\frac{35}{40}$ ⋅ $\frac{34}{39}$ =1- $\frac{119}{156}$ ≈0.2372
6	1- $\frac{34}{40}$ ⋅ $\frac{33}{39}$ =1- $\frac{187}{260}$ ≈0.2808
7	1- $\frac{33}{40}$ ⋅ $\frac{32}{39}$ =1- $\frac{44}{65}$ ≈0.3231
8	1- $\frac{32}{40}$ ⋅ $\frac{31}{39}$ =1- $\frac{124}{195}$ ≈0.3641
9	1- $\frac{31}{40}$ ⋅ $\frac{30}{39}$ =1- $\frac{31}{52}$ ≈0.4038
10	1- $\frac{30}{40}$ ⋅ $\frac{29}{39}$ =1- $\frac{29}{52}$ ≈0.4423
11	1- $\frac{29}{40}$ ⋅ $\frac{28}{39}$ =1- $\frac{203}{390}$ ≈0.4795
12	1- $\frac{28}{40}$ ⋅ $\frac{27}{39}$ =1- $\frac{63}{130}$ ≈0.5154
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= $\frac{37}{40}$ ⋅ $\frac{36}{39}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{37}{40}$ und beim zweiten $\frac{36}{39}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- $\frac{37}{40}$ ⋅ $\frac{36}{39}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(40-x)/40*(39-x)/39)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 12 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 12 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 29 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 29 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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p	P(X≤21)
...	...
$\frac{3}{6}$	0.9959
$\frac{4}{7}$	0.9704
$\frac{5}{8}$	0.9048
$\frac{6}{9}$	0.8014
$\frac{7}{10}$	0.6786
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=29 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{29} (X \leq 21)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 3 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{29} (X \leq 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 29 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{3}{6}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{6}{9}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 6 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR