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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 87% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.87 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.13 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.13=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.13}$ ≈ 0.6005

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6005 ≈ 0.3995

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht mehr als 26 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
137	0.8019
138	0.7907
139	0.7792
140	0.7674
141	0.7554
142	0.743
143	0.7305
144	0.7177
145	0.7046
146	0.6914
147	0.678
148	0.6645
149	0.6507
150	0.6369
151	0.6229
152	0.6089
153	0.5948
154	0.5806
155	0.5664
156	0.5521
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 26)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{26}{\frac{1}{6}}$ ≈ 156 Versuchen auch ungefähr 26 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅156) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=156:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 26)$ ≈ 0.5521 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=137 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 45 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne	P('mindestens eine schwarze Kugel')
...	...
3	1- $\frac{42}{45}$ ⋅ $\frac{41}{44}$ =1- $\frac{287}{330}$ ≈0.1303
4	1- $\frac{41}{45}$ ⋅ $\frac{40}{44}$ =1- $\frac{82}{99}$ ≈0.1717
5	1- $\frac{40}{45}$ ⋅ $\frac{39}{44}$ =1- $\frac{26}{33}$ ≈0.2121
6	1- $\frac{39}{45}$ ⋅ $\frac{38}{44}$ =1- $\frac{247}{330}$ ≈0.2515
7	1- $\frac{38}{45}$ ⋅ $\frac{37}{44}$ =1- $\frac{703}{990}$ ≈0.2899
8	1- $\frac{37}{45}$ ⋅ $\frac{36}{44}$ =1- $\frac{37}{55}$ ≈0.3273
9	1- $\frac{36}{45}$ ⋅ $\frac{35}{44}$ =1- $\frac{7}{11}$ ≈0.3636
10	1- $\frac{35}{45}$ ⋅ $\frac{34}{44}$ =1- $\frac{119}{198}$ ≈0.399
11	1- $\frac{34}{45}$ ⋅ $\frac{33}{44}$ =1- $\frac{17}{30}$ ≈0.4333
12	1- $\frac{33}{45}$ ⋅ $\frac{32}{44}$ =1- $\frac{8}{15}$ ≈0.4667
13	1- $\frac{32}{45}$ ⋅ $\frac{31}{44}$ =1- $\frac{248}{495}$ ≈0.499
14	1- $\frac{31}{45}$ ⋅ $\frac{30}{44}$ =1- $\frac{31}{66}$ ≈0.5303
15	1- $\frac{30}{45}$ ⋅ $\frac{29}{44}$ =1- $\frac{29}{66}$ ≈0.5606
16	1- $\frac{29}{45}$ ⋅ $\frac{28}{44}$ =1- $\frac{203}{495}$ ≈0.5899
17	1- $\frac{28}{45}$ ⋅ $\frac{27}{44}$ =1- $\frac{21}{55}$ ≈0.6182
18	1- $\frac{27}{45}$ ⋅ $\frac{26}{44}$ =1- $\frac{39}{110}$ ≈0.6455
19	1- $\frac{26}{45}$ ⋅ $\frac{25}{44}$ =1- $\frac{65}{198}$ ≈0.6717
20	1- $\frac{25}{45}$ ⋅ $\frac{24}{44}$ =1- $\frac{10}{33}$ ≈0.697
21	1- $\frac{24}{45}$ ⋅ $\frac{23}{44}$ =1- $\frac{46}{165}$ ≈0.7212
22	1- $\frac{23}{45}$ ⋅ $\frac{22}{44}$ =1- $\frac{23}{90}$ ≈0.7444
23	1- $\frac{22}{45}$ ⋅ $\frac{21}{44}$ =1- $\frac{7}{30}$ ≈0.7667
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= $\frac{42}{45}$ ⋅ $\frac{41}{44}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{42}{45}$ und beim zweiten $\frac{41}{44}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- $\frac{42}{45}$ ⋅ $\frac{41}{44}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(45-x)/45*(44-x)/44)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 23 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 23 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 17 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 17 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{3}{17}$	0.6479
$\frac{3}{18}$	0.6887
$\frac{3}{19}$	0.7244
$\frac{3}{20}$	0.7556
$\frac{3}{21}$	0.7829
$\frac{3}{22}$	0.8067
$\frac{3}{23}$	0.8275
$\frac{3}{24}$	0.8457
$\frac{3}{25}$	0.8617
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{17} (X \leq 3)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{17} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{17}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{17}$ ⋅17 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{17} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{17}$ mit $\frac{3}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{17}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{25}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 25 sein.

Also werden noch 22 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR