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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 86% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.86 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.14 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.14=(1-p)4

=>1-p=0.144 ≈ 0.6117

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6117 ≈ 0.3883

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Ein Lebensmittelhersteller wirbt damit, dass sich in jeder 7. Verpackung eine Überraschung befindet. Wie viele Packungen muss man mindestens kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% mindestens 3 Überraschung(en) zu erhalten.

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nP(X≤k)
......
210.4058
220.3731
230.3423
240.3133
250.2862
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Überraschungen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 7 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 7 n (X≥3) ≥ 0.7

Weil man ja aber P 1 7 n (X≥3) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P 1 7 n (X≥3) = 1 - P 1 7 n (X≤2) ≥ 0.7 |+ P 1 7 n (X≤2) - 0.7

0.3 ≥ P 1 7 n (X≤2) oder P 1 7 n (X≤2) ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 7 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 3 1 7 ≈ 21 Versuchen auch ungefähr 3 (≈ 1 7 ⋅21) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=21:
P 1 7 n (X≤2) ≈ 0.4058 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=25 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 25 sein, damit P 1 7 n (X≤2) ≤ 0.3 oder eben P 1 7 n (X≥3) ≥ 0.7 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 35 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der UrneP('mindestens eine schwarze Kugel')
......
31- 32 35 ⋅ 31 34 =1- 496 595 ≈0.1664
41- 31 35 ⋅ 30 34 =1- 93 119 ≈0.2185
51- 30 35 ⋅ 29 34 =1- 87 119 ≈0.2689
61- 29 35 ⋅ 28 34 =1- 58 85 ≈0.3176
71- 28 35 ⋅ 27 34 =1- 54 85 ≈0.3647
81- 27 35 ⋅ 26 34 =1- 351 595 ≈0.4101
91- 26 35 ⋅ 25 34 =1- 65 119 ≈0.4538
101- 25 35 ⋅ 24 34 =1- 60 119 ≈0.4958
111- 24 35 ⋅ 23 34 =1- 276 595 ≈0.5361
121- 23 35 ⋅ 22 34 =1- 253 595 ≈0.5748
131- 22 35 ⋅ 21 34 =1- 33 85 ≈0.6118
141- 21 35 ⋅ 20 34 =1- 6 17 ≈0.6471
151- 20 35 ⋅ 19 34 =1- 38 119 ≈0.6807
161- 19 35 ⋅ 18 34 =1- 171 595 ≈0.7126
171- 18 35 ⋅ 17 34 =1- 9 35 ≈0.7429
181- 17 35 ⋅ 16 34 =1- 8 35 ≈0.7714
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= 32 35 ⋅ 31 34 (beim ersten Zufallsversuch 32 35 und beim zweiten 31 34 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- 32 35 ⋅ 31 34

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(35-x)/35*(34-x)/34)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 18 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 18 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 6er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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pP(X≥2)=1-P(X≤1)
......
1 2 0.8906
1 3 0.6488
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=6 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp6 (X≥2) = 1- Pp6 (X≤1) = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp6 (X≥2) ('mindestens 2 Treffer bei 6 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 1 2 .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 2 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 2 sein.