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p gesucht (n-te Wurzel)
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 2 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 97% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)
P=0.97 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 2 Durchgängen, also ist 1-P=0.03 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 2 Durchgängen.
Es gilt also 0.03=(1-p)2
=>1-p= ≈ 0.1732
Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.1732 ≈ 0.8268
Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,7.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, höchstens 35 Treffer zu erzielen ?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 49 | 0.6388 |
| 50 | 0.5532 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.6
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 50 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.7⋅50) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=50:
≈ 0.5532
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=49 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.
gesuchtes p (ohne zurücklegen)
Beispiel:
In einer Urne sind 45 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?
| Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne | P('mindestens eine schwarze Kugel') |
|---|---|
| ... | ... |
| 3 | 1-⋅=1-≈0.1303 |
| 4 | 1-⋅=1-≈0.1717 |
| 5 | 1-⋅=1-≈0.2121 |
| 6 | 1-⋅=1-≈0.2515 |
| 7 | 1-⋅=1-≈0.2899 |
| 8 | 1-⋅=1-≈0.3273 |
| 9 | 1-⋅=1-≈0.3636 |
| 10 | 1-⋅=1-≈0.399 |
| 11 | 1-⋅=1-≈0.4333 |
| 12 | 1-⋅=1-≈0.4667 |
| 13 | 1-⋅=1-≈0.499 |
| 14 | 1-⋅=1-≈0.5303 |
| ... | ... |
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.
Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist): Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= ⋅ (beim ersten Zufallsversuch und beim zweiten weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1-⋅
Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(45-x)/45*(44-x)/44)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 14 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 50% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 14 sein.
Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR
Beispiel:
In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 27 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 27 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?
| p | P(X≤21) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9992 | |
| 0.9967 | |
| 0.99 | |
| 0.9772 | |
| 0.9567 | |
| 0.9281 | |
| 0.8919 | |
| 0.8495 | |
| 0.8024 | |
| 0.7524 | |
| 0.7011 | |
| 0.6497 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=27 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 0.7 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 21 Treffer bei 27 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 15 sein.
