Mathebattle EduRandomtasks

p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 4 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 99% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

Lösung einblenden

P=0.99 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.01 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.01=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.01}$ ≈ 0.3162

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.3162 ≈ 0.6838

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 35%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit 36 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
103	0.4589
104	0.4306
105	0.4029
106	0.3758
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.35}^{n} (X \geq 36)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.35}^{n} (X \geq 36)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.35}^{n} (X \geq 36)$ = 1 - $P_{0.35}^{n} (X \leq 35)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.35}^{n} (X \leq 35)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.35}^{n} (X \leq 35)$ oder $P_{0.35}^{n} (X \leq 35)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 35% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{36}{0.35}$ ≈ 103 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.35⋅103) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=103:
$P_{0.35}^{n} (X \leq 35)$ ≈ 0.4589 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=106 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 106 sein, damit $P_{0.35}^{n} (X \leq 35)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.35}^{n} (X \geq 36)$ ≥ 0.6 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 65 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 85% liegen. Wieviel der 65 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

Lösung einblenden

Anzahl der Nieten im Lostopf	P('höchstens eine Niete')
...	...
7	1- $\frac{7}{65}$ ⋅ $\frac{6}{64}$ =1- $\frac{21}{2080}$ ≈0.9899
8	1- $\frac{8}{65}$ ⋅ $\frac{7}{64}$ =1- $\frac{7}{520}$ ≈0.9865
9	1- $\frac{9}{65}$ ⋅ $\frac{8}{64}$ =1- $\frac{9}{520}$ ≈0.9827
10	1- $\frac{10}{65}$ ⋅ $\frac{9}{64}$ =1- $\frac{9}{416}$ ≈0.9784
11	1- $\frac{11}{65}$ ⋅ $\frac{10}{64}$ =1- $\frac{11}{416}$ ≈0.9736
12	1- $\frac{12}{65}$ ⋅ $\frac{11}{64}$ =1- $\frac{33}{1040}$ ≈0.9683
13	1- $\frac{13}{65}$ ⋅ $\frac{12}{64}$ =1- $\frac{3}{80}$ ≈0.9625
14	1- $\frac{14}{65}$ ⋅ $\frac{13}{64}$ =1- $\frac{7}{160}$ ≈0.9563
15	1- $\frac{15}{65}$ ⋅ $\frac{14}{64}$ =1- $\frac{21}{416}$ ≈0.9495
16	1- $\frac{16}{65}$ ⋅ $\frac{15}{64}$ =1- $\frac{3}{52}$ ≈0.9423
17	1- $\frac{17}{65}$ ⋅ $\frac{16}{64}$ =1- $\frac{17}{260}$ ≈0.9346
18	1- $\frac{18}{65}$ ⋅ $\frac{17}{64}$ =1- $\frac{153}{2080}$ ≈0.9264
19	1- $\frac{19}{65}$ ⋅ $\frac{18}{64}$ =1- $\frac{171}{2080}$ ≈0.9178
20	1- $\frac{20}{65}$ ⋅ $\frac{19}{64}$ =1- $\frac{19}{208}$ ≈0.9087
21	1- $\frac{21}{65}$ ⋅ $\frac{20}{64}$ =1- $\frac{21}{208}$ ≈0.899
22	1- $\frac{22}{65}$ ⋅ $\frac{21}{64}$ =1- $\frac{231}{2080}$ ≈0.8889
23	1- $\frac{23}{65}$ ⋅ $\frac{22}{64}$ =1- $\frac{253}{2080}$ ≈0.8784
24	1- $\frac{24}{65}$ ⋅ $\frac{23}{64}$ =1- $\frac{69}{520}$ ≈0.8673
25	1- $\frac{25}{65}$ ⋅ $\frac{24}{64}$ =1- $\frac{15}{104}$ ≈0.8558
26	1- $\frac{26}{65}$ ⋅ $\frac{25}{64}$ =1- $\frac{5}{32}$ ≈0.8438
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=7 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= $\frac{7}{65}$ ⋅ $\frac{6}{64}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{7}{65}$ und beim zweiten $\frac{6}{64}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- $\frac{7}{65}$ ⋅ $\frac{6}{64}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=7. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/65*(x-1)/64)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 25 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 25 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 11 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 11 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

Lösung einblenden

p	P(X≤6)
...	...
$\frac{3}{5}$	0.4672
$\frac{3}{6}$	0.7256
$\frac{3}{7}$	0.8614
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{11} (X \leq 6)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{11} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{11}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{11}$ ⋅11 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{11} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{11}$ mit $\frac{3}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{5}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{7}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 7 sein.

Also werden noch 4 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR