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p gesucht (n-te Wurzel)
Beispiel:
An einem Glücksrad wird 4 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 4 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,4. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)
P=0.4 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 4 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.
Es gilt also 0.4=p4
=>p= ≈ 0.7953
Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 35 6er zu würfeln?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 174 | 0.9045 |
| 175 | 0.8983 |
| 176 | 0.8919 |
| 177 | 0.8852 |
| 178 | 0.8783 |
| 179 | 0.871 |
| 180 | 0.8636 |
| 181 | 0.8558 |
| 182 | 0.8478 |
| 183 | 0.8396 |
| 184 | 0.8311 |
| 185 | 0.8224 |
| 186 | 0.8134 |
| 187 | 0.8042 |
| 188 | 0.7947 |
| 189 | 0.785 |
| 190 | 0.7751 |
| 191 | 0.765 |
| 192 | 0.7547 |
| 193 | 0.7442 |
| 194 | 0.7335 |
| 195 | 0.7226 |
| 196 | 0.7115 |
| 197 | 0.7003 |
| 198 | 0.689 |
| 199 | 0.6775 |
| 200 | 0.6658 |
| 201 | 0.6541 |
| 202 | 0.6422 |
| 203 | 0.6303 |
| 204 | 0.6183 |
| 205 | 0.6061 |
| 206 | 0.594 |
| 207 | 0.5818 |
| 208 | 0.5695 |
| 209 | 0.5573 |
| 210 | 0.545 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.9
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden der Versuche mit einem Treffer.
Also müssten dann doch bei ≈ 210 Versuchen auch ungefähr 35
(≈
Wir berechnen also mit unserem ersten n=210:
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=174 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.
gesuchtes p (ohne zurücklegen)
Beispiel:
In einem Kartenstapel mit 26 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 85%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?
| Anzahl der Joker im Kartenstapel | P('höchstens einen Joker') |
|---|---|
| ... | ... |
| 4 | 1- |
| 5 | 1- |
| 6 | 1- |
| 7 | 1- |
| 8 | 1- |
| 9 | 1- |
| 10 | 1- |
| 11 | 1- |
| ... | ... |
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.
Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=4 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'=
Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=4. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/26*(x-1)/25)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 10 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 85% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 10 sein.
Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR
Beispiel:
Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 8er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?
| p | P(X≥2)=1-P(X≤1) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9648 | |
| 0.8049 | |
| 0.6329 | |
| 0.4967 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=8 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten:
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Als Startwert wählen wir als p=
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens
4 sein.
