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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 4 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 82% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.82 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.18 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.18=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.18}$ ≈ 0.6514

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6514 ≈ 0.3486

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% 38 oder mehr 6er zu erzielen?

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n	P(X≤k)
...	...
230	0.4491
231	0.4375
232	0.426
233	0.4146
234	0.4033
235	0.3922
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 38)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 38)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 38)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 37)$ ≥ 0.6 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 37)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 37)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 37)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{\frac{1}{6}}$ ≈ 228 Versuchen auch ungefähr 38 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅228) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=228:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 37)$ ≈ 0.4724 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=235 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 235 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 37)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 38)$ ≥ 0.6 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 22 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 80%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
3	1- $\frac{3}{22}$ ⋅ $\frac{2}{21}$ =1- $\frac{1}{77}$ ≈0.987
4	1- $\frac{4}{22}$ ⋅ $\frac{3}{21}$ =1- $\frac{2}{77}$ ≈0.974
5	1- $\frac{5}{22}$ ⋅ $\frac{4}{21}$ =1- $\frac{10}{231}$ ≈0.9567
6	1- $\frac{6}{22}$ ⋅ $\frac{5}{21}$ =1- $\frac{5}{77}$ ≈0.9351
7	1- $\frac{7}{22}$ ⋅ $\frac{6}{21}$ =1- $\frac{1}{11}$ ≈0.9091
8	1- $\frac{8}{22}$ ⋅ $\frac{7}{21}$ =1- $\frac{4}{33}$ ≈0.8788
9	1- $\frac{9}{22}$ ⋅ $\frac{8}{21}$ =1- $\frac{12}{77}$ ≈0.8442
10	1- $\frac{10}{22}$ ⋅ $\frac{9}{21}$ =1- $\frac{15}{77}$ ≈0.8052
11	1- $\frac{11}{22}$ ⋅ $\frac{10}{21}$ =1- $\frac{5}{21}$ ≈0.7619
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{3}{22}$ ⋅ $\frac{2}{21}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{3}{22}$ und beim zweiten $\frac{2}{21}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{3}{22}$ ⋅ $\frac{2}{21}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/22*(x-1)/21)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 10 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 10 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 12er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9998
$\frac{1}{3}$	0.9923
$\frac{1}{4}$	0.9683
$\frac{1}{5}$	0.9313
$\frac{1}{6}$	0.8878
$\frac{1}{7}$	0.8427
$\frac{1}{8}$	0.7986
$\frac{1}{9}$	0.7567
$\frac{1}{10}$	0.7176
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{12} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{12} (X \leq 0)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{12} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{9}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 9 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR