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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 4 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 96% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
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P=0.96 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.04 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.04=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.04}$ ≈ 0.4472

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.4472 ≈ 0.5528

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Die Firma Apple hat ein neues geniales Produkt, die iYacht, auf den Markt gebracht (wenn auch nicht ganz günstig). Die hierfür beauftragte Marketingagentur garantiert, dass unter denen, denen sie die Yacht vorgeführt hat, der Anteil der späteren Käufer bei 18% liegt. Wie vielen Personen muss nun dieses Produkt vorgeführt werden, damit sich mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, 26 oder mehr Käufer für dieses Produkt finden?

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n	P(X≤k)
...	...
160	0.2524
161	0.241
162	0.23
163	0.2193
164	0.209
165	0.199
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.18 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.18}^{n} (X \geq 26)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.18}^{n} (X \geq 26)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.18}^{n} (X \geq 26)$ = 1 - $P_{0.18}^{n} (X \leq 25)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.18}^{n} (X \leq 25)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.18}^{n} (X \leq 25)$ oder $P_{0.18}^{n} (X \leq 25)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 18% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{26}{0.18}$ ≈ 144 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.18⋅144) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=144:
$P_{0.18}^{n} (X \leq 25)$ ≈ 0.4729 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=165 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 165 sein, damit $P_{0.18}^{n} (X \leq 25)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.18}^{n} (X \geq 26)$ ≥ 0.8 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 45 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 80% liegen. Wieviel der 45 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im Lostopf	P('höchstens eine Niete')
...	...
5	1- $\frac{5}{45}$ ⋅ $\frac{4}{44}$ =1- $\frac{1}{99}$ ≈0.9899
6	1- $\frac{6}{45}$ ⋅ $\frac{5}{44}$ =1- $\frac{1}{66}$ ≈0.9848
7	1- $\frac{7}{45}$ ⋅ $\frac{6}{44}$ =1- $\frac{7}{330}$ ≈0.9788
8	1- $\frac{8}{45}$ ⋅ $\frac{7}{44}$ =1- $\frac{14}{495}$ ≈0.9717
9	1- $\frac{9}{45}$ ⋅ $\frac{8}{44}$ =1- $\frac{2}{55}$ ≈0.9636
10	1- $\frac{10}{45}$ ⋅ $\frac{9}{44}$ =1- $\frac{1}{22}$ ≈0.9545
11	1- $\frac{11}{45}$ ⋅ $\frac{10}{44}$ =1- $\frac{1}{18}$ ≈0.9444
12	1- $\frac{12}{45}$ ⋅ $\frac{11}{44}$ =1- $\frac{1}{15}$ ≈0.9333
13	1- $\frac{13}{45}$ ⋅ $\frac{12}{44}$ =1- $\frac{13}{165}$ ≈0.9212
14	1- $\frac{14}{45}$ ⋅ $\frac{13}{44}$ =1- $\frac{91}{990}$ ≈0.9081
15	1- $\frac{15}{45}$ ⋅ $\frac{14}{44}$ =1- $\frac{7}{66}$ ≈0.8939
16	1- $\frac{16}{45}$ ⋅ $\frac{15}{44}$ =1- $\frac{4}{33}$ ≈0.8788
17	1- $\frac{17}{45}$ ⋅ $\frac{16}{44}$ =1- $\frac{68}{495}$ ≈0.8626
18	1- $\frac{18}{45}$ ⋅ $\frac{17}{44}$ =1- $\frac{17}{110}$ ≈0.8455
19	1- $\frac{19}{45}$ ⋅ $\frac{18}{44}$ =1- $\frac{19}{110}$ ≈0.8273
20	1- $\frac{20}{45}$ ⋅ $\frac{19}{44}$ =1- $\frac{19}{99}$ ≈0.8081
21	1- $\frac{21}{45}$ ⋅ $\frac{20}{44}$ =1- $\frac{7}{33}$ ≈0.7879
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=5 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= $\frac{5}{45}$ ⋅ $\frac{4}{44}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{5}{45}$ und beim zweiten $\frac{4}{44}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- $\frac{5}{45}$ ⋅ $\frac{4}{44}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=5. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/45*(x-1)/44)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 20 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 20 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 8 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 75 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 8 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% für die 75 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤8)
...	...
$\frac{1}{9}$	0.5435
$\frac{1}{10}$	0.6658
$\frac{1}{11}$	0.7599
$\frac{1}{12}$	0.8291
$\frac{1}{13}$	0.8787
$\frac{1}{14}$	0.9139
$\frac{1}{15}$	0.9386
$\frac{1}{16}$	0.956
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=75 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{75} (X \leq 8)$ =0.95 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{75} (X \leq 8)$ ('höchstens 8 Treffer bei 75 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{8}{75}$ . Mit diesem p wäre ja 8= $\frac{8}{75}$ ⋅75 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{75} (X \leq 8)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{8}{75}$ mit $\frac{1}{8}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{9}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{16}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 95% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 16 sein.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR