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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 2 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 98% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
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P=0.98 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 2 Durchgängen, also ist 1-P=0.02 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 2 Durchgängen.

Es gilt also 0.02=(1-p)2

=>1-p=0.022 ≈ 0.1414

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.1414 ≈ 0.8586

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 18% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 32-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 90% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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nP(X≤k)
......
360.9094
370.8209
380.7029
390.5685
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.82 und variablem n.

Es muss gelten: P0.82n (X≤32) ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 82% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 32 0.82 ≈ 39 Versuchen auch ungefähr 32 (≈0.82⋅39) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=39:
P0.82n (X≤32) ≈ 0.5685 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 50 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 80% liegen. Wieviel der 50 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im LostopfP('höchstens eine Niete')
......
61- 6 50 ⋅ 5 49 =1- 3 245 ≈0.9878
71- 7 50 ⋅ 6 49 =1- 3 175 ≈0.9829
81- 8 50 ⋅ 7 49 =1- 4 175 ≈0.9771
91- 9 50 ⋅ 8 49 =1- 36 1225 ≈0.9706
101- 10 50 ⋅ 9 49 =1- 9 245 ≈0.9633
111- 11 50 ⋅ 10 49 =1- 11 245 ≈0.9551
121- 12 50 ⋅ 11 49 =1- 66 1225 ≈0.9461
131- 13 50 ⋅ 12 49 =1- 78 1225 ≈0.9363
141- 14 50 ⋅ 13 49 =1- 13 175 ≈0.9257
151- 15 50 ⋅ 14 49 =1- 3 35 ≈0.9143
161- 16 50 ⋅ 15 49 =1- 24 245 ≈0.902
171- 17 50 ⋅ 16 49 =1- 136 1225 ≈0.889
181- 18 50 ⋅ 17 49 =1- 153 1225 ≈0.8751
191- 19 50 ⋅ 18 49 =1- 171 1225 ≈0.8604
201- 20 50 ⋅ 19 49 =1- 38 245 ≈0.8449
211- 21 50 ⋅ 20 49 =1- 6 35 ≈0.8286
221- 22 50 ⋅ 21 49 =1- 33 175 ≈0.8114
231- 23 50 ⋅ 22 49 =1- 253 1225 ≈0.7935
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=6 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= 6 50 ⋅ 5 49 (beim ersten Zufallsversuch 6 50 und beim zweiten 5 49 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- 6 50 ⋅ 5 49

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=6. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/50*(x-1)/49)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 22 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 22 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 11er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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pP(X≥1)=1-P(X≤0)
......
1 2 0.9995
1 3 0.9884
1 4 0.9578
1 5 0.9141
1 6 0.8654
1 7 0.8165
1 8 0.7698
1 9 0.7263
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp11 (X≥1) = 1- Pp11 (X≤0) = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp11 (X≥1) ('mindestens 1 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 1 2 .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 8 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 8 sein.