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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 67% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.67 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.33 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.33=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.33}$ ≈ 0.7579

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.7579 ≈ 0.2421

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 19% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 37-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 80% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
43	0.8517
44	0.7562
45	0.6421
46	0.5202
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.81 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.81}^{n} (X \leq 37)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 81% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{37}{0.81}$ ≈ 46 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.81⋅46) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=46:
$P_{0.81}^{n} (X \leq 37)$ ≈ 0.5202 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 65 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 85% liegen. Wieviel der 65 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im Lostopf	P('höchstens eine Niete')
...	...
7	1- $\frac{7}{65}$ ⋅ $\frac{6}{64}$ =1- $\frac{21}{2080}$ ≈0.9899
8	1- $\frac{8}{65}$ ⋅ $\frac{7}{64}$ =1- $\frac{7}{520}$ ≈0.9865
9	1- $\frac{9}{65}$ ⋅ $\frac{8}{64}$ =1- $\frac{9}{520}$ ≈0.9827
10	1- $\frac{10}{65}$ ⋅ $\frac{9}{64}$ =1- $\frac{9}{416}$ ≈0.9784
11	1- $\frac{11}{65}$ ⋅ $\frac{10}{64}$ =1- $\frac{11}{416}$ ≈0.9736
12	1- $\frac{12}{65}$ ⋅ $\frac{11}{64}$ =1- $\frac{33}{1040}$ ≈0.9683
13	1- $\frac{13}{65}$ ⋅ $\frac{12}{64}$ =1- $\frac{3}{80}$ ≈0.9625
14	1- $\frac{14}{65}$ ⋅ $\frac{13}{64}$ =1- $\frac{7}{160}$ ≈0.9563
15	1- $\frac{15}{65}$ ⋅ $\frac{14}{64}$ =1- $\frac{21}{416}$ ≈0.9495
16	1- $\frac{16}{65}$ ⋅ $\frac{15}{64}$ =1- $\frac{3}{52}$ ≈0.9423
17	1- $\frac{17}{65}$ ⋅ $\frac{16}{64}$ =1- $\frac{17}{260}$ ≈0.9346
18	1- $\frac{18}{65}$ ⋅ $\frac{17}{64}$ =1- $\frac{153}{2080}$ ≈0.9264
19	1- $\frac{19}{65}$ ⋅ $\frac{18}{64}$ =1- $\frac{171}{2080}$ ≈0.9178
20	1- $\frac{20}{65}$ ⋅ $\frac{19}{64}$ =1- $\frac{19}{208}$ ≈0.9087
21	1- $\frac{21}{65}$ ⋅ $\frac{20}{64}$ =1- $\frac{21}{208}$ ≈0.899
22	1- $\frac{22}{65}$ ⋅ $\frac{21}{64}$ =1- $\frac{231}{2080}$ ≈0.8889
23	1- $\frac{23}{65}$ ⋅ $\frac{22}{64}$ =1- $\frac{253}{2080}$ ≈0.8784
24	1- $\frac{24}{65}$ ⋅ $\frac{23}{64}$ =1- $\frac{69}{520}$ ≈0.8673
25	1- $\frac{25}{65}$ ⋅ $\frac{24}{64}$ =1- $\frac{15}{104}$ ≈0.8558
26	1- $\frac{26}{65}$ ⋅ $\frac{25}{64}$ =1- $\frac{5}{32}$ ≈0.8438
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=7 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= $\frac{7}{65}$ ⋅ $\frac{6}{64}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{7}{65}$ und beim zweiten $\frac{6}{64}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- $\frac{7}{65}$ ⋅ $\frac{6}{64}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=7. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/65*(x-1)/64)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 25 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 25 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 20 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 20 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{4}{26}$	0.629
$\frac{4}{27}$	0.6567
$\frac{4}{28}$	0.6822
$\frac{4}{29}$	0.7057
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{20} (X \leq 3)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{20} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 20 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{20}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{20}$ ⋅20 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{20} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{20}$ mit $\frac{4}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{4}{26}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{4}{29}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 29 sein.

Also werden noch 25 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR