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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 3 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 3 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,2. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
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P=0.2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.2=p3

=>p=0.23 ≈ 0.5848

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,05. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 70% kein Descepticon unter ihnen ist?

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nP(X≤k)
......
10.95
20.9025
30.8574
40.8145
50.7738
60.7351
70.6983
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.05 und variablem n.

Es muss gelten: P0.05n (X≤0) ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 5% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 0 0.05 ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.05⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
P0.05n (X≤0) ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=6 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 45 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der UrneP('mindestens eine schwarze Kugel')
......
31- 42 45 ⋅ 41 44 =1- 287 330 ≈0.1303
41- 41 45 ⋅ 40 44 =1- 82 99 ≈0.1717
51- 40 45 ⋅ 39 44 =1- 26 33 ≈0.2121
61- 39 45 ⋅ 38 44 =1- 247 330 ≈0.2515
71- 38 45 ⋅ 37 44 =1- 703 990 ≈0.2899
81- 37 45 ⋅ 36 44 =1- 37 55 ≈0.3273
91- 36 45 ⋅ 35 44 =1- 7 11 ≈0.3636
101- 35 45 ⋅ 34 44 =1- 119 198 ≈0.399
111- 34 45 ⋅ 33 44 =1- 17 30 ≈0.4333
121- 33 45 ⋅ 32 44 =1- 8 15 ≈0.4667
131- 32 45 ⋅ 31 44 =1- 248 495 ≈0.499
141- 31 45 ⋅ 30 44 =1- 31 66 ≈0.5303
151- 30 45 ⋅ 29 44 =1- 29 66 ≈0.5606
161- 29 45 ⋅ 28 44 =1- 203 495 ≈0.5899
171- 28 45 ⋅ 27 44 =1- 21 55 ≈0.6182
181- 27 45 ⋅ 26 44 =1- 39 110 ≈0.6455
191- 26 45 ⋅ 25 44 =1- 65 198 ≈0.6717
201- 25 45 ⋅ 24 44 =1- 10 33 ≈0.697
211- 24 45 ⋅ 23 44 =1- 46 165 ≈0.7212
221- 23 45 ⋅ 22 44 =1- 23 90 ≈0.7444
231- 22 45 ⋅ 21 44 =1- 7 30 ≈0.7667
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= 42 45 ⋅ 41 44 (beim ersten Zufallsversuch 42 45 und beim zweiten 41 44 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- 42 45 ⋅ 41 44

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(45-x)/45*(44-x)/44)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 23 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 23 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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pP(X≤21)
......
3 5 0.9976
4 6 0.9851
5 7 0.9542
6 8 0.9038
7 9 0.8388
8 10 0.766
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp25 (X≤21) = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 2 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp25 (X≤21) ('höchstens 21 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 3 5 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 7 9 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 7 sein.