nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 83% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

Lösung einblenden

P=0.83 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.17 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.17=(1-p)4

=>1-p=0.174 ≈ 0.6421

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6421 ≈ 0.3579

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 90%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit 28 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

Lösung einblenden
nP(X≤k)
......
310.3762
320.2115
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: P0.9n (X≥28) ≥ 0.7

Weil man ja aber P0.9n (X≥28) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.9n (X≥28) = 1 - P0.9n (X≤27) ≥ 0.7 |+ P0.9n (X≤27) - 0.7

0.3 ≥ P0.9n (X≤27) oder P0.9n (X≤27) ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 28 0.9 ≈ 31 Versuchen auch ungefähr 28 (≈0.9⋅31) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=31:
P0.9n (X≤27) ≈ 0.3762 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 32 sein, damit P0.9n (X≤27) ≤ 0.3 oder eben P0.9n (X≥28) ≥ 0.7 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 55 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 90% liegen. Wieviel der 55 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

Lösung einblenden
Anzahl der Nieten im LostopfP('höchstens eine Niete')
......
61- 6 55 ⋅ 5 54 =1- 1 99 ≈0.9899
71- 7 55 ⋅ 6 54 =1- 7 495 ≈0.9859
81- 8 55 ⋅ 7 54 =1- 28 1485 ≈0.9811
91- 9 55 ⋅ 8 54 =1- 4 165 ≈0.9758
101- 10 55 ⋅ 9 54 =1- 1 33 ≈0.9697
111- 11 55 ⋅ 10 54 =1- 1 27 ≈0.963
121- 12 55 ⋅ 11 54 =1- 2 45 ≈0.9556
131- 13 55 ⋅ 12 54 =1- 26 495 ≈0.9475
141- 14 55 ⋅ 13 54 =1- 91 1485 ≈0.9387
151- 15 55 ⋅ 14 54 =1- 7 99 ≈0.9293
161- 16 55 ⋅ 15 54 =1- 8 99 ≈0.9192
171- 17 55 ⋅ 16 54 =1- 136 1485 ≈0.9084
181- 18 55 ⋅ 17 54 =1- 17 165 ≈0.897
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=6 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= 6 55 ⋅ 5 54 (beim ersten Zufallsversuch 6 55 und beim zweiten 5 54 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- 6 55 ⋅ 5 54

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=6. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/55*(x-1)/54)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 17 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 17 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 5er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

Lösung einblenden
pP(X≥2)=1-P(X≤1)
......
1 2 0.8125
1 3 0.5391
1 4 0.3672
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=5 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp5 (X≥2) = 1- Pp5 (X≤1) = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp5 (X≥2) ('mindestens 2 Treffer bei 5 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 1 2 .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 3 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 3 sein.