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p gesucht (n-te Wurzel)
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 2 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 96% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)
P=0.96 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 2 Durchgängen, also ist 1-P=0.04 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 2 Durchgängen.
Es gilt also 0.04=(1-p)2
=>1-p= ≈ 0.2
Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.2 ≈ 0.8
Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,15.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 40 Treffer zu erzielen ?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 223 | 0.9046 |
| 224 | 0.8995 |
| 225 | 0.8942 |
| 226 | 0.8888 |
| 227 | 0.8832 |
| 228 | 0.8774 |
| 229 | 0.8714 |
| 230 | 0.8652 |
| 231 | 0.8589 |
| 232 | 0.8524 |
| 233 | 0.8457 |
| 234 | 0.8389 |
| 235 | 0.8318 |
| 236 | 0.8246 |
| 237 | 0.8172 |
| 238 | 0.8097 |
| 239 | 0.802 |
| 240 | 0.7941 |
| 241 | 0.7861 |
| 242 | 0.7779 |
| 243 | 0.7696 |
| 244 | 0.7611 |
| 245 | 0.7525 |
| 246 | 0.7438 |
| 247 | 0.7349 |
| 248 | 0.7259 |
| 249 | 0.7167 |
| 250 | 0.7075 |
| 251 | 0.6981 |
| 252 | 0.6887 |
| 253 | 0.6791 |
| 254 | 0.6695 |
| 255 | 0.6597 |
| 256 | 0.6499 |
| 257 | 0.64 |
| 258 | 0.6301 |
| 259 | 0.6201 |
| 260 | 0.61 |
| 261 | 0.5999 |
| 262 | 0.5897 |
| 263 | 0.5796 |
| 264 | 0.5693 |
| 265 | 0.5591 |
| 266 | 0.5489 |
| 267 | 0.5386 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.9
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 267 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.15⋅267) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=267:
≈ 0.5386
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=223 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.
gesuchtes p (ohne zurücklegen)
Beispiel:
Bei einer Tombola sind 65 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 90% liegen. Wieviel der 65 Lose dürfen höchstens Nieten sein?
| Anzahl der Nieten im Lostopf | P('höchstens eine Niete') |
|---|---|
| ... | ... |
| 7 | 1-⋅=1-≈0.9899 |
| 8 | 1-⋅=1-≈0.9865 |
| 9 | 1-⋅=1-≈0.9827 |
| 10 | 1-⋅=1-≈0.9784 |
| 11 | 1-⋅=1-≈0.9736 |
| 12 | 1-⋅=1-≈0.9683 |
| 13 | 1-⋅=1-≈0.9625 |
| 14 | 1-⋅=1-≈0.9563 |
| 15 | 1-⋅=1-≈0.9495 |
| 16 | 1-⋅=1-≈0.9423 |
| 17 | 1-⋅=1-≈0.9346 |
| 18 | 1-⋅=1-≈0.9264 |
| 19 | 1-⋅=1-≈0.9178 |
| 20 | 1-⋅=1-≈0.9087 |
| 21 | 1-⋅=1-≈0.899 |
| ... | ... |
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.
Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist): Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=7 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= ⋅ (beim ersten Zufallsversuch und beim zweiten weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1-⋅
Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=7. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/65*(x-1)/64)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 20 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 90% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 20 sein.
Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR
Beispiel:
In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 18 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 18 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?
| p | P(X≤3) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.6479 | |
| 0.6771 | |
| 0.7038 | |
| 0.7281 | |
| 0.7501 | |
| 0.7702 | |
| 0.7885 | |
| 0.805 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=18 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.8 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 3 Treffer bei 18 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 3=⋅18 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens
31 sein.
Also werden noch 27 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.
