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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 2 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 96% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.96 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 2 Durchgängen, also ist 1-P=0.04 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 2 Durchgängen.

Es gilt also 0.04=(1-p)2

=>1-p=0.042 ≈ 0.2

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.2 ≈ 0.8

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,6.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, höchstens 39 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
640.6073
650.547
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und variablem n.

Es muss gelten: P0.6n (X≤39) ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 60% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 39 0.6 ≈ 65 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.6⋅65) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=65:
P0.6n (X≤39) ≈ 0.547 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=64 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 45 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der UrneP('mindestens eine schwarze Kugel')
......
31- 42 45 ⋅ 41 44 =1- 287 330 ≈0.1303
41- 41 45 ⋅ 40 44 =1- 82 99 ≈0.1717
51- 40 45 ⋅ 39 44 =1- 26 33 ≈0.2121
61- 39 45 ⋅ 38 44 =1- 247 330 ≈0.2515
71- 38 45 ⋅ 37 44 =1- 703 990 ≈0.2899
81- 37 45 ⋅ 36 44 =1- 37 55 ≈0.3273
91- 36 45 ⋅ 35 44 =1- 7 11 ≈0.3636
101- 35 45 ⋅ 34 44 =1- 119 198 ≈0.399
111- 34 45 ⋅ 33 44 =1- 17 30 ≈0.4333
121- 33 45 ⋅ 32 44 =1- 8 15 ≈0.4667
131- 32 45 ⋅ 31 44 =1- 248 495 ≈0.499
141- 31 45 ⋅ 30 44 =1- 31 66 ≈0.5303
151- 30 45 ⋅ 29 44 =1- 29 66 ≈0.5606
161- 29 45 ⋅ 28 44 =1- 203 495 ≈0.5899
171- 28 45 ⋅ 27 44 =1- 21 55 ≈0.6182
181- 27 45 ⋅ 26 44 =1- 39 110 ≈0.6455
191- 26 45 ⋅ 25 44 =1- 65 198 ≈0.6717
201- 25 45 ⋅ 24 44 =1- 10 33 ≈0.697
211- 24 45 ⋅ 23 44 =1- 46 165 ≈0.7212
221- 23 45 ⋅ 22 44 =1- 23 90 ≈0.7444
231- 22 45 ⋅ 21 44 =1- 7 30 ≈0.7667
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= 42 45 ⋅ 41 44 (beim ersten Zufallsversuch 42 45 und beim zweiten 41 44 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- 42 45 ⋅ 41 44

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(45-x)/45*(44-x)/44)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 23 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 23 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 18 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 18 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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pP(X≤3)
......
5 30 0.6479
5 31 0.6715
5 32 0.6934
5 33 0.7138
5 34 0.7327
5 35 0.7501
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=18 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp18 (X≤3) =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp18 (X≤3) ('höchstens 3 Treffer bei 18 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 18 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 18 ⋅18 der Erwartungswert und somit Pp18 (X≤3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 18 mit 5 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 5 30 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 5 35 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 35 sein.

Also werden noch 30 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.