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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 2 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 87% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
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P=0.87 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 2 Durchgängen, also ist 1-P=0.13 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 2 Durchgängen.

Es gilt also 0.13=(1-p)²

=>1-p= $\sqrt[2]{0.13}$ ≈ 0.3606

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.3606 ≈ 0.6394

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,2.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, mindestens 28 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
140	0.4663
141	0.4497
142	0.4332
143	0.4169
144	0.4008
145	0.385
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.2 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.2}^{n} (X \geq 28)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.2}^{n} (X \geq 28)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.2}^{n} (X \geq 28)$ = 1 - $P_{0.2}^{n} (X \leq 27)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.2}^{n} (X \leq 27)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.2}^{n} (X \leq 27)$ oder $P_{0.2}^{n} (X \leq 27)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 20% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{28}{0.2}$ ≈ 140 Versuchen auch ungefähr 28 (≈0.2⋅140) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=140:
$P_{0.2}^{n} (X \leq 27)$ ≈ 0.4663 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=145 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 145 sein, damit $P_{0.2}^{n} (X \leq 27)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.2}^{n} (X \geq 28)$ ≥ 0.6 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 20 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne	P('mindestens eine schwarze Kugel')
...	...
3	1- $\frac{17}{20}$ ⋅ $\frac{16}{19}$ =1- $\frac{68}{95}$ ≈0.2842
4	1- $\frac{16}{20}$ ⋅ $\frac{15}{19}$ =1- $\frac{12}{19}$ ≈0.3684
5	1- $\frac{15}{20}$ ⋅ $\frac{14}{19}$ =1- $\frac{21}{38}$ ≈0.4474
6	1- $\frac{14}{20}$ ⋅ $\frac{13}{19}$ =1- $\frac{91}{190}$ ≈0.5211
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= $\frac{17}{20}$ ⋅ $\frac{16}{19}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{17}{20}$ und beim zweiten $\frac{16}{19}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- $\frac{17}{20}$ ⋅ $\frac{16}{19}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(20-x)/20*(19-x)/19)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 6 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 6 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 9er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.998
$\frac{1}{3}$	0.974
$\frac{1}{4}$	0.9249
$\frac{1}{5}$	0.8658
$\frac{1}{6}$	0.8062
$\frac{1}{7}$	0.7503
$\frac{1}{8}$	0.6993
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=9 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{9} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{9} (X \leq 0)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{9} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 9 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{7}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 7 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR