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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 72% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.72 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.28 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.28=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.28}$ ≈ 0.7274

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.7274 ≈ 0.2726

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 30%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 29 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
80	0.9084
81	0.8949
82	0.8801
83	0.8642
84	0.847
85	0.8286
86	0.8091
87	0.7885
88	0.7668
89	0.7442
90	0.7207
91	0.6965
92	0.6716
93	0.6461
94	0.6202
95	0.594
96	0.5676
97	0.5411
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.3}^{n} (X \leq 29)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 30% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{29}{0.3}$ ≈ 97 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.3⋅97) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=97:
$P_{0.3}^{n} (X \leq 29)$ ≈ 0.5411 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=80 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 45 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne	P('mindestens eine schwarze Kugel')
...	...
3	1- $\frac{42}{45}$ ⋅ $\frac{41}{44}$ =1- $\frac{287}{330}$ ≈0.1303
4	1- $\frac{41}{45}$ ⋅ $\frac{40}{44}$ =1- $\frac{82}{99}$ ≈0.1717
5	1- $\frac{40}{45}$ ⋅ $\frac{39}{44}$ =1- $\frac{26}{33}$ ≈0.2121
6	1- $\frac{39}{45}$ ⋅ $\frac{38}{44}$ =1- $\frac{247}{330}$ ≈0.2515
7	1- $\frac{38}{45}$ ⋅ $\frac{37}{44}$ =1- $\frac{703}{990}$ ≈0.2899
8	1- $\frac{37}{45}$ ⋅ $\frac{36}{44}$ =1- $\frac{37}{55}$ ≈0.3273
9	1- $\frac{36}{45}$ ⋅ $\frac{35}{44}$ =1- $\frac{7}{11}$ ≈0.3636
10	1- $\frac{35}{45}$ ⋅ $\frac{34}{44}$ =1- $\frac{119}{198}$ ≈0.399
11	1- $\frac{34}{45}$ ⋅ $\frac{33}{44}$ =1- $\frac{17}{30}$ ≈0.4333
12	1- $\frac{33}{45}$ ⋅ $\frac{32}{44}$ =1- $\frac{8}{15}$ ≈0.4667
13	1- $\frac{32}{45}$ ⋅ $\frac{31}{44}$ =1- $\frac{248}{495}$ ≈0.499
14	1- $\frac{31}{45}$ ⋅ $\frac{30}{44}$ =1- $\frac{31}{66}$ ≈0.5303
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= $\frac{42}{45}$ ⋅ $\frac{41}{44}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{42}{45}$ und beim zweiten $\frac{41}{44}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- $\frac{42}{45}$ ⋅ $\frac{41}{44}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(45-x)/45*(44-x)/44)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 14 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 14 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 9 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 50 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 9 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% für die 50 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤9)
...	...
$\frac{1}{5}$	0.4437
$\frac{1}{6}$	0.683
$\frac{1}{7}$	0.8314
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{50} (X \leq 9)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{50} (X \leq 9)$ ('höchstens 9 Treffer bei 50 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{9}{50}$ . Mit diesem p wäre ja 9= $\frac{9}{50}$ ⋅50 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{50} (X \leq 9)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{9}{50}$ mit $\frac{1}{9}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{5}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{7}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 7 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR