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p gesucht (n-te Wurzel)
Beispiel:
An einem Glücksrad wird 4 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 4 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,2. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)
P=0.2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 4 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.
Es gilt also 0.2=p4
=>p= ≈ 0.6687
Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 33 6er zu würfeln?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 163 | 0.9059 |
| 164 | 0.8995 |
| 165 | 0.8929 |
| 166 | 0.886 |
| 167 | 0.8789 |
| 168 | 0.8714 |
| 169 | 0.8637 |
| 170 | 0.8557 |
| 171 | 0.8475 |
| 172 | 0.8389 |
| 173 | 0.8301 |
| 174 | 0.8211 |
| 175 | 0.8118 |
| 176 | 0.8022 |
| 177 | 0.7924 |
| 178 | 0.7823 |
| 179 | 0.7721 |
| 180 | 0.7616 |
| 181 | 0.7508 |
| 182 | 0.7399 |
| 183 | 0.7288 |
| 184 | 0.7175 |
| 185 | 0.706 |
| 186 | 0.6944 |
| 187 | 0.6826 |
| 188 | 0.6706 |
| 189 | 0.6586 |
| 190 | 0.6464 |
| 191 | 0.6341 |
| 192 | 0.6217 |
| 193 | 0.6093 |
| 194 | 0.5968 |
| 195 | 0.5842 |
| 196 | 0.5716 |
| 197 | 0.559 |
| 198 | 0.5463 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.9
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden der Versuche mit einem Treffer.
Also müssten dann doch bei ≈ 198 Versuchen auch ungefähr 33
(≈
Wir berechnen also mit unserem ersten n=198:
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=163 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.
gesuchtes p (ohne zurücklegen)
Beispiel:
Bei einer Tombola sind 55 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 85% liegen. Wieviel der 55 Lose dürfen höchstens Nieten sein?
| Anzahl der Nieten im Lostopf | P('höchstens eine Niete') |
|---|---|
| ... | ... |
| 6 | 1- |
| 7 | 1- |
| 8 | 1- |
| 9 | 1- |
| 10 | 1- |
| 11 | 1- |
| 12 | 1- |
| 13 | 1- |
| 14 | 1- |
| 15 | 1- |
| 16 | 1- |
| 17 | 1- |
| 18 | 1- |
| 19 | 1- |
| 20 | 1- |
| 21 | 1- |
| 22 | 1- |
| ... | ... |
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.
Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=6 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'=
Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=6. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/55*(x-1)/54)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 21 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 85% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 21 sein.
Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR
Beispiel:
In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 29 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 29 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?
| p | P(X≤21) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9959 | |
| 0.9704 | |
| 0.9048 | |
| 0.8014 | |
| 0.6786 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=29 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten:
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 3 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus,
wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Als Startwert wählen wir als p=
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 6 sein.
