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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 4 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 4 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,4. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
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P=0.4 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 4 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.4=p⁴

=>p= $\sqrt[4]{0.4}$ ≈ 0.7953

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Beim MI6 (Arbeitsplatz von James Bond 007) soll eine Projektgruppe zur Aushebung einer multinationalen Superschurkenvereinigung eingerichtet werden. Bisherige Studien haben ergeben, dass diese kriminelle Vereinigung bereits alle wichtigen Regierungsbehörden infiltriert hat. Man geht davon aus, dass bereits jeder 50. MI6-Angestellte ein Spitzel dieser Organisiation ist. Wie groß darf diese Gruppe nun sein, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% kein Spitzel in dieser Projektgruppe ist?

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n	P(X≤k)
...	...
20	0.6676
21	0.6543
22	0.6412
23	0.6283
24	0.6158
25	0.6035
26	0.5914
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.02}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=25 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 65 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 80% liegen. Wieviel der 65 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im Lostopf	P('höchstens eine Niete')
...	...
7	1- $\frac{7}{65}$ ⋅ $\frac{6}{64}$ =1- $\frac{21}{2080}$ ≈0.9899
8	1- $\frac{8}{65}$ ⋅ $\frac{7}{64}$ =1- $\frac{7}{520}$ ≈0.9865
9	1- $\frac{9}{65}$ ⋅ $\frac{8}{64}$ =1- $\frac{9}{520}$ ≈0.9827
10	1- $\frac{10}{65}$ ⋅ $\frac{9}{64}$ =1- $\frac{9}{416}$ ≈0.9784
11	1- $\frac{11}{65}$ ⋅ $\frac{10}{64}$ =1- $\frac{11}{416}$ ≈0.9736
12	1- $\frac{12}{65}$ ⋅ $\frac{11}{64}$ =1- $\frac{33}{1040}$ ≈0.9683
13	1- $\frac{13}{65}$ ⋅ $\frac{12}{64}$ =1- $\frac{3}{80}$ ≈0.9625
14	1- $\frac{14}{65}$ ⋅ $\frac{13}{64}$ =1- $\frac{7}{160}$ ≈0.9563
15	1- $\frac{15}{65}$ ⋅ $\frac{14}{64}$ =1- $\frac{21}{416}$ ≈0.9495
16	1- $\frac{16}{65}$ ⋅ $\frac{15}{64}$ =1- $\frac{3}{52}$ ≈0.9423
17	1- $\frac{17}{65}$ ⋅ $\frac{16}{64}$ =1- $\frac{17}{260}$ ≈0.9346
18	1- $\frac{18}{65}$ ⋅ $\frac{17}{64}$ =1- $\frac{153}{2080}$ ≈0.9264
19	1- $\frac{19}{65}$ ⋅ $\frac{18}{64}$ =1- $\frac{171}{2080}$ ≈0.9178
20	1- $\frac{20}{65}$ ⋅ $\frac{19}{64}$ =1- $\frac{19}{208}$ ≈0.9087
21	1- $\frac{21}{65}$ ⋅ $\frac{20}{64}$ =1- $\frac{21}{208}$ ≈0.899
22	1- $\frac{22}{65}$ ⋅ $\frac{21}{64}$ =1- $\frac{231}{2080}$ ≈0.8889
23	1- $\frac{23}{65}$ ⋅ $\frac{22}{64}$ =1- $\frac{253}{2080}$ ≈0.8784
24	1- $\frac{24}{65}$ ⋅ $\frac{23}{64}$ =1- $\frac{69}{520}$ ≈0.8673
25	1- $\frac{25}{65}$ ⋅ $\frac{24}{64}$ =1- $\frac{15}{104}$ ≈0.8558
26	1- $\frac{26}{65}$ ⋅ $\frac{25}{64}$ =1- $\frac{5}{32}$ ≈0.8438
27	1- $\frac{27}{65}$ ⋅ $\frac{26}{64}$ =1- $\frac{27}{160}$ ≈0.8313
28	1- $\frac{28}{65}$ ⋅ $\frac{27}{64}$ =1- $\frac{189}{1040}$ ≈0.8183
29	1- $\frac{29}{65}$ ⋅ $\frac{28}{64}$ =1- $\frac{203}{1040}$ ≈0.8048
30	1- $\frac{30}{65}$ ⋅ $\frac{29}{64}$ =1- $\frac{87}{416}$ ≈0.7909
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=7 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= $\frac{7}{65}$ ⋅ $\frac{6}{64}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{7}{65}$ und beim zweiten $\frac{6}{64}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- $\frac{7}{65}$ ⋅ $\frac{6}{64}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=7. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/65*(x-1)/64)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 29 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 29 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 9er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.998
$\frac{1}{3}$	0.974
$\frac{1}{4}$	0.9249
$\frac{1}{5}$	0.8658
$\frac{1}{6}$	0.8062
$\frac{1}{7}$	0.7503
$\frac{1}{8}$	0.6993
$\frac{1}{9}$	0.6536
$\frac{1}{10}$	0.6126
$\frac{1}{11}$	0.5759
$\frac{1}{12}$	0.543
$\frac{1}{13}$	0.5134
$\frac{1}{14}$	0.4867
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=9 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{9} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{9} (X \leq 0)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{9} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 9 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{13}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 13 sein.