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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 4 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 92% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.92 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.08 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.08=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.08}$ ≈ 0.5318

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.5318 ≈ 0.4682

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, mindestens 38 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
76	0.4544
77	0.4099
78	0.3672
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{n} (X \geq 38)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.5}^{n} (X \geq 38)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.5}^{n} (X \geq 38)$ = 1 - $P_{0.5}^{n} (X \leq 37)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.5}^{n} (X \leq 37)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.5}^{n} (X \leq 37)$ oder $P_{0.5}^{n} (X \leq 37)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{0.5}$ ≈ 76 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.5⋅76) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=76:
$P_{0.5}^{n} (X \leq 37)$ ≈ 0.4544 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=78 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 78 sein, damit $P_{0.5}^{n} (X \leq 37)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.5}^{n} (X \geq 38)$ ≥ 0.6 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 20 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
3	1- $\frac{3}{20}$ ⋅ $\frac{2}{19}$ =1- $\frac{3}{190}$ ≈0.9842
4	1- $\frac{4}{20}$ ⋅ $\frac{3}{19}$ =1- $\frac{3}{95}$ ≈0.9684
5	1- $\frac{5}{20}$ ⋅ $\frac{4}{19}$ =1- $\frac{1}{19}$ ≈0.9474
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{3}{20}$ ⋅ $\frac{2}{19}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{3}{20}$ und beim zweiten $\frac{2}{19}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{3}{20}$ ⋅ $\frac{2}{19}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/20*(x-1)/19)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 4 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 95% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 4 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 14 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 14 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{3}{14}$	0.6483
$\frac{3}{15}$	0.6982
$\frac{3}{16}$	0.7404
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=14 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{14} (X \leq 3)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{14} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 14 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{14}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{14}$ ⋅14 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{14} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{14}$ mit $\frac{3}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{14}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{16}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 16 sein.

Also werden noch 13 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR