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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 3 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 3 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,2. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
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P=0.2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.2=p3

=>p=0.23 ≈ 0.5848

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,5. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% 25 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

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nP(X≤k)
......
490.5
500.4439
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: P0.5n (X25) ≥ 0.5

Weil man ja aber P0.5n (X25) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.5n (X25) = 1 - P0.5n (X24) ≥ 0.5 |+ P0.5n (X24) - 0.5

0.5 ≥ P0.5n (X24) oder P0.5n (X24) ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 25 0.5 ≈ 50 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.5⋅50) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=50:
P0.5n (X24) ≈ 0.4439 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=50 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 50 sein, damit P0.5n (X24) ≤ 0.5 oder eben P0.5n (X25) ≥ 0.5 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 21 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 80%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im KartenstapelP('höchstens einen Joker')
......
31- 3 21 2 20 =1- 1 70 ≈0.9857
41- 4 21 3 20 =1- 1 35 ≈0.9714
51- 5 21 4 20 =1- 1 21 ≈0.9524
61- 6 21 5 20 =1- 1 14 ≈0.9286
71- 7 21 6 20 =1- 1 10 ≈0.9
81- 8 21 7 20 =1- 2 15 ≈0.8667
91- 9 21 8 20 =1- 6 35 ≈0.8286
101- 10 21 9 20 =1- 3 14 ≈0.7857
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= 3 21 2 20 (beim ersten Zufallsversuch 3 21 und beim zweiten 2 20 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- 3 21 2 20

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/21*(x-1)/20)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 9 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 9 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
8 11 0.9997
9 12 0.9992
10 13 0.9986
11 14 0.9976
12 15 0.9962
13 16 0.9944
14 17 0.9922
15 18 0.9895
16 19 0.9864
17 20 0.9828
18 21 0.9788
19 22 0.9744
20 23 0.9696
21 24 0.9645
22 25 0.9591
23 26 0.9533
24 27 0.9474
25 28 0.9412
26 29 0.9348
27 30 0.9282
28 31 0.9215
29 32 0.9147
30 33 0.9077
31 34 0.9007
32 35 0.8936
33 36 0.8864
34 37 0.8792
35 38 0.872
36 39 0.8648
37 40 0.8576
38 41 0.8504
39 42 0.8432
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp25 (X24) = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 3 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp25 (X24) ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 8 11 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 38 41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 38 sein.