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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 78% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.78 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.22 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.22=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.22}$ ≈ 0.6849

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6849 ≈ 0.3151

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% nicht mehr als 34 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
204	0.5456
205	0.5332
206	0.5207
207	0.5083
208	0.4959
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 34)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{34}{\frac{1}{6}}$ ≈ 204 Versuchen auch ungefähr 34 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅204) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=204:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 34)$ ≈ 0.5456 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=207 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 22 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
3	1- $\frac{3}{22}$ ⋅ $\frac{2}{21}$ =1- $\frac{1}{77}$ ≈0.987
4	1- $\frac{4}{22}$ ⋅ $\frac{3}{21}$ =1- $\frac{2}{77}$ ≈0.974
5	1- $\frac{5}{22}$ ⋅ $\frac{4}{21}$ =1- $\frac{10}{231}$ ≈0.9567
6	1- $\frac{6}{22}$ ⋅ $\frac{5}{21}$ =1- $\frac{5}{77}$ ≈0.9351
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{3}{22}$ ⋅ $\frac{2}{21}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{3}{22}$ und beim zweiten $\frac{2}{21}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{3}{22}$ ⋅ $\frac{2}{21}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/22*(x-1)/21)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 5 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 95% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 5 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 16 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 16 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{4}{10}$	0.5272
$\frac{4}{11}$	0.6457
$\frac{4}{12}$	0.7374
$\frac{4}{13}$	0.8061
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=16 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{16} (X \leq 6)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{16} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 16 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{16}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{16}$ ⋅16 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{16} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{16}$ mit $\frac{4}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{4}{10}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{4}{13}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 13 sein.

Also werden noch 9 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR