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p gesucht (n-te Wurzel)
Beispiel:
Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)
P=0.75 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.25 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.
Es gilt also 0.25=(1-p)4
=>1-p= ≈ 0.7071
Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.7071 ≈ 0.2929
Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,7.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 24 Treffer zu erzielen ?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 34 | 0.4455 |
| 35 | 0.3484 |
| 36 | 0.2635 |
| 37 | 0.1929 |
| 38 | 0.1369 |
| 39 | 0.0944 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.9
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.9 |+ - 0.9
0.1 ≥ oder ≤ 0.1
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 34 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.7⋅34) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=34:
≈ 0.4455
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.
n muss also mindestens 39 sein, damit ≤ 0.1 oder eben ≥ 0.9 gilt.
gesuchtes p (ohne zurücklegen)
Beispiel:
In einem Kartenstapel mit 20 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?
| Anzahl der Joker im Kartenstapel | P('höchstens einen Joker') |
|---|---|
| ... | ... |
| 3 | 1-⋅=1-≈0.9842 |
| 4 | 1-⋅=1-≈0.9684 |
| 5 | 1-⋅=1-≈0.9474 |
| 6 | 1-⋅=1-≈0.9211 |
| 7 | 1-⋅=1-≈0.8895 |
| ... | ... |
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.
Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist): Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= ⋅ (beim ersten Zufallsversuch und beim zweiten weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1-⋅
Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/20*(x-1)/19)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 6 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 90% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 6 sein.
Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR
Beispiel:
In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?
| p | P(X≤24) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9998 | |
| 0.9996 | |
| 0.9992 | |
| 0.9986 | |
| 0.9977 | |
| 0.9963 | |
| 0.9945 | |
| 0.9922 | |
| 0.9894 | |
| 0.986 | |
| 0.9819 | |
| 0.9773 | |
| 0.9721 | |
| 0.9664 | |
| 0.96 | |
| 0.9532 | |
| 0.9458 | |
| 0.938 | |
| 0.9298 | |
| 0.9213 | |
| 0.9123 | |
| 0.9031 | |
| 0.8936 | |
| 0.8838 | |
| 0.8739 | |
| 0.8638 | |
| 0.8536 | |
| 0.8432 | |
| 0.8328 | |
| 0.8223 | |
| 0.8118 | |
| 0.8012 | |
| 0.7906 | |
| 0.7801 | |
| 0.7696 | |
| 0.7591 | |
| 0.7487 | |
| 0.7384 | |
| 0.7281 | |
| 0.718 | |
| 0.7079 | |
| 0.6979 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 0.7 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 24 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 49 sein.
