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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 72% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.72 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.28 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.28=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.28}$ ≈ 0.7274

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.7274 ≈ 0.2726

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% 28 oder mehr 6er zu erzielen?

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n	P(X≤k)
...	...
165	0.5093
166	0.4954
167	0.4816
168	0.4679
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 28)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 28)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 28)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 27)$ ≥ 0.5 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 27)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 27)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 27)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{28}{\frac{1}{6}}$ ≈ 168 Versuchen auch ungefähr 28 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅168) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=168:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 27)$ ≈ 0.4679 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=166 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 166 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 27)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 28)$ ≥ 0.5 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 21 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
3	1- $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{2}{20}$ =1- $\frac{1}{70}$ ≈0.9857
4	1- $\frac{4}{21}$ ⋅ $\frac{3}{20}$ =1- $\frac{1}{35}$ ≈0.9714
5	1- $\frac{5}{21}$ ⋅ $\frac{4}{20}$ =1- $\frac{1}{21}$ ≈0.9524
6	1- $\frac{6}{21}$ ⋅ $\frac{5}{20}$ =1- $\frac{1}{14}$ ≈0.9286
7	1- $\frac{7}{21}$ ⋅ $\frac{6}{20}$ =1- $\frac{1}{10}$ ≈0.9
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{2}{20}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{3}{21}$ und beim zweiten $\frac{2}{20}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{2}{20}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/21*(x-1)/20)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 6 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 6 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 8 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 95 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 8 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% für die 95 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤8)
...	...
$\frac{1}{11}$	0.5003
$\frac{1}{12}$	0.6048
$\frac{1}{13}$	0.6921
$\frac{1}{14}$	0.7624
$\frac{1}{15}$	0.8177
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=95 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{95} (X \leq 8)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{95} (X \leq 8)$ ('höchstens 8 Treffer bei 95 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{8}{95}$ . Mit diesem p wäre ja 8= $\frac{8}{95}$ ⋅95 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{95} (X \leq 8)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{8}{95}$ mit $\frac{1}{8}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{11}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{15}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 15 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR