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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 4 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 98% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.98 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.02 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.02=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.02}$ ≈ 0.3761

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.3761 ≈ 0.6239

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 80%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit 24 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
30	0.393
31	0.27
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \geq 24)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.8}^{n} (X \geq 24)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.8}^{n} (X \geq 24)$ = 1 - $P_{0.8}^{n} (X \leq 23)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.8}^{n} (X \leq 23)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.8}^{n} (X \leq 23)$ oder $P_{0.8}^{n} (X \leq 23)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{24}{0.8}$ ≈ 30 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.8⋅30) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=30:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 23)$ ≈ 0.393 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=31 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 31 sein, damit $P_{0.8}^{n} (X \leq 23)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.8}^{n} (X \geq 24)$ ≥ 0.7 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 30 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne	P('mindestens eine schwarze Kugel')
...	...
3	1- $\frac{27}{30}$ ⋅ $\frac{26}{29}$ =1- $\frac{117}{145}$ ≈0.1931
4	1- $\frac{26}{30}$ ⋅ $\frac{25}{29}$ =1- $\frac{65}{87}$ ≈0.2529
5	1- $\frac{25}{30}$ ⋅ $\frac{24}{29}$ =1- $\frac{20}{29}$ ≈0.3103
6	1- $\frac{24}{30}$ ⋅ $\frac{23}{29}$ =1- $\frac{92}{145}$ ≈0.3655
7	1- $\frac{23}{30}$ ⋅ $\frac{22}{29}$ =1- $\frac{253}{435}$ ≈0.4184
8	1- $\frac{22}{30}$ ⋅ $\frac{21}{29}$ =1- $\frac{77}{145}$ ≈0.469
9	1- $\frac{21}{30}$ ⋅ $\frac{20}{29}$ =1- $\frac{14}{29}$ ≈0.5172
10	1- $\frac{20}{30}$ ⋅ $\frac{19}{29}$ =1- $\frac{38}{87}$ ≈0.5632
11	1- $\frac{19}{30}$ ⋅ $\frac{18}{29}$ =1- $\frac{57}{145}$ ≈0.6069
12	1- $\frac{18}{30}$ ⋅ $\frac{17}{29}$ =1- $\frac{51}{145}$ ≈0.6483
13	1- $\frac{17}{30}$ ⋅ $\frac{16}{29}$ =1- $\frac{136}{435}$ ≈0.6874
14	1- $\frac{16}{30}$ ⋅ $\frac{15}{29}$ =1- $\frac{8}{29}$ ≈0.7241
15	1- $\frac{15}{30}$ ⋅ $\frac{14}{29}$ =1- $\frac{7}{29}$ ≈0.7586
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= $\frac{27}{30}$ ⋅ $\frac{26}{29}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{27}{30}$ und beim zweiten $\frac{26}{29}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- $\frac{27}{30}$ ⋅ $\frac{26}{29}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(30-x)/30*(29-x)/29)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 15 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 15 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 9 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 75 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 9 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% für die 75 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤9)
...	...
$\frac{1}{8}$	0.5349
$\frac{1}{9}$	0.6798
$\frac{1}{10}$	0.7858
$\frac{1}{11}$	0.8586
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=75 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{75} (X \leq 9)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{75} (X \leq 9)$ ('höchstens 9 Treffer bei 75 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{9}{75}$ . Mit diesem p wäre ja 9= $\frac{9}{75}$ ⋅75 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{75} (X \leq 9)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{9}{75}$ mit $\frac{1}{9}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{8}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{11}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 11 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR