Klasse 5-6
Klasse 7-8
Klasse 9-10
Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
p gesucht (n-te Wurzel)
Beispiel:
Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 58% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)
P=0.58 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.42 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.
Es gilt also 0.42=(1-p)4
=>1-p= ≈ 0.805
Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.805 ≈ 0.195
Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Beim Biberacher Schützenfest läuft ein 12-köpfiger historischer Spielmannszug mit, der an die Schweden während des 30-Jährigen Kriegs erinnert. Dabei feiern dessen Mitglieder manchmal so ausgelassen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ausfall beim Umzug wegen unverhältnismäßigem Alkoholgenuss bei 7% liegt. Wie viele Schwedenmusiker muss die Schützendirektion mindestens ausbilden, damit beim Umzug mit mindestens 80%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 12 Schweden einsatzfähig sind?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 13 | 0.2298 |
| 14 | 0.0698 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.93 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.8
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.8 |+ - 0.8
0.2 ≥ oder ≤ 0.2
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 93% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 13 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.93⋅13) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=13:
≈ 0.2298
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=14 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.
n muss also mindestens 14 sein, damit ≤ 0.2 oder eben ≥ 0.8 gilt.
gesuchtes p (ohne zurücklegen)
Beispiel:
In einem Kartenstapel mit 26 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 85%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?
| Anzahl der Joker im Kartenstapel | P('höchstens einen Joker') |
|---|---|
| ... | ... |
| 4 | 1-⋅=1-≈0.9815 |
| 5 | 1-⋅=1-≈0.9692 |
| 6 | 1-⋅=1-≈0.9538 |
| 7 | 1-⋅=1-≈0.9354 |
| 8 | 1-⋅=1-≈0.9138 |
| 9 | 1-⋅=1-≈0.8892 |
| 10 | 1-⋅=1-≈0.8615 |
| 11 | 1-⋅=1-≈0.8308 |
| ... | ... |
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.
Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist): Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=4 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= ⋅ (beim ersten Zufallsversuch und beim zweiten weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1-⋅
Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=4. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/26*(x-1)/25)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 10 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 85% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 10 sein.
Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR
Beispiel:
In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 17 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 17 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?
| p | P(X≤3) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.6255 | |
| 0.6586 | |
| 0.6887 | |
| 0.7159 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: =0.7 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 3 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=. Mit diesem p wäre ja 3=⋅17 der Erwartungswert und somit irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= mit erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens
25 sein.
Also werden noch 21 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.
