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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 2 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 2 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,1. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
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P=0.1 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.1=p²

=>p= $\sqrt[2]{0.1}$ ≈ 0.3162

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 30 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
147	0.9053
148	0.8985
149	0.8915
150	0.8842
151	0.8765
152	0.8686
153	0.8603
154	0.8517
155	0.8429
156	0.8337
157	0.8243
158	0.8146
159	0.8046
160	0.7943
161	0.7837
162	0.7729
163	0.7619
164	0.7506
165	0.7391
166	0.7274
167	0.7155
168	0.7034
169	0.6911
170	0.6787
171	0.6661
172	0.6534
173	0.6405
174	0.6276
175	0.6146
176	0.6014
177	0.5883
178	0.5751
179	0.5618
180	0.5486
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 30)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{30}{\frac{1}{6}}$ ≈ 180 Versuchen auch ungefähr 30 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅180) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=180:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 30)$ ≈ 0.5486 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=147 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 50 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 90% liegen. Wieviel der 50 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im Lostopf	P('höchstens eine Niete')
...	...
6	1- $\frac{6}{50}$ ⋅ $\frac{5}{49}$ =1- $\frac{3}{245}$ ≈0.9878
7	1- $\frac{7}{50}$ ⋅ $\frac{6}{49}$ =1- $\frac{3}{175}$ ≈0.9829
8	1- $\frac{8}{50}$ ⋅ $\frac{7}{49}$ =1- $\frac{4}{175}$ ≈0.9771
9	1- $\frac{9}{50}$ ⋅ $\frac{8}{49}$ =1- $\frac{36}{1225}$ ≈0.9706
10	1- $\frac{10}{50}$ ⋅ $\frac{9}{49}$ =1- $\frac{9}{245}$ ≈0.9633
11	1- $\frac{11}{50}$ ⋅ $\frac{10}{49}$ =1- $\frac{11}{245}$ ≈0.9551
12	1- $\frac{12}{50}$ ⋅ $\frac{11}{49}$ =1- $\frac{66}{1225}$ ≈0.9461
13	1- $\frac{13}{50}$ ⋅ $\frac{12}{49}$ =1- $\frac{78}{1225}$ ≈0.9363
14	1- $\frac{14}{50}$ ⋅ $\frac{13}{49}$ =1- $\frac{13}{175}$ ≈0.9257
15	1- $\frac{15}{50}$ ⋅ $\frac{14}{49}$ =1- $\frac{3}{35}$ ≈0.9143
16	1- $\frac{16}{50}$ ⋅ $\frac{15}{49}$ =1- $\frac{24}{245}$ ≈0.902
17	1- $\frac{17}{50}$ ⋅ $\frac{16}{49}$ =1- $\frac{136}{1225}$ ≈0.889
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=6 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= $\frac{6}{50}$ ⋅ $\frac{5}{49}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{6}{50}$ und beim zweiten $\frac{5}{49}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- $\frac{6}{50}$ ⋅ $\frac{5}{49}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=6. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/50*(x-1)/49)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 16 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 16 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 14 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 2 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 30% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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p	P(X≤2)
...	...
$\frac{1}{7}$	0.6772
$\frac{1}{8}$	0.749
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=14 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{14} (X \leq 2)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{14} (X \leq 2)$ ('höchstens 2 Treffer bei 14 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{2}{14}$ . Mit diesem p wäre ja 2= $\frac{2}{14}$ ⋅14 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{14} (X \leq 2)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{2}{14}$ mit $\frac{1}{2}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{7}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{8}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 8 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR