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p gesucht (n-te Wurzel)
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 4 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 90% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)
P=0.9 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.1 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.
Es gilt also 0.1=(1-p)4
=>1-p= ≈ 0.5623
Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.5623 ≈ 0.4377
Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,02. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 80% kein Descepticon unter ihnen ist?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 6 | 0.8858 |
| 7 | 0.8681 |
| 8 | 0.8508 |
| 9 | 0.8337 |
| 10 | 0.8171 |
| 11 | 0.8007 |
| 12 | 0.7847 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.8
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
≈ 1
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=11 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.
gesuchtes p (ohne zurücklegen)
Beispiel:
In einer Urne sind 35 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?
| Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne | P('mindestens eine schwarze Kugel') |
|---|---|
| ... | ... |
| 3 | 1-⋅=1-≈0.1664 |
| 4 | 1-⋅=1-≈0.2185 |
| 5 | 1-⋅=1-≈0.2689 |
| 6 | 1-⋅=1-≈0.3176 |
| 7 | 1-⋅=1-≈0.3647 |
| 8 | 1-⋅=1-≈0.4101 |
| 9 | 1-⋅=1-≈0.4538 |
| 10 | 1-⋅=1-≈0.4958 |
| 11 | 1-⋅=1-≈0.5361 |
| 12 | 1-⋅=1-≈0.5748 |
| 13 | 1-⋅=1-≈0.6118 |
| 14 | 1-⋅=1-≈0.6471 |
| 15 | 1-⋅=1-≈0.6807 |
| 16 | 1-⋅=1-≈0.7126 |
| 17 | 1-⋅=1-≈0.7429 |
| 18 | 1-⋅=1-≈0.7714 |
| ... | ... |
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.
Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist): Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= ⋅ (beim ersten Zufallsversuch und beim zweiten weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1-⋅
Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(35-x)/35*(34-x)/34)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 18 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 18 sein.
Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR
Beispiel:
In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?
| p | P(X≤24) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9997 | |
| 0.9992 | |
| 0.9986 | |
| 0.9976 | |
| 0.9962 | |
| 0.9944 | |
| 0.9922 | |
| 0.9895 | |
| 0.9864 | |
| 0.9828 | |
| 0.9788 | |
| 0.9744 | |
| 0.9696 | |
| 0.9645 | |
| 0.9591 | |
| 0.9533 | |
| 0.9474 | |
| 0.9412 | |
| 0.9348 | |
| 0.9282 | |
| 0.9215 | |
| 0.9147 | |
| 0.9077 | |
| 0.9007 | |
| 0.8936 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 0.9 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 3 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 31 sein.
