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p gesucht (n-te Wurzel)
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 3 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 80% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)
P=0.8 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 3 Durchgängen, also ist 1-P=0.2 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 3 Durchgängen.
Es gilt also 0.2=(1-p)3
=>1-p= ≈ 0.5848
Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.5848 ≈ 0.4152
Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie viele Freiwürfe darf man bei ihm durch Fouls höchstens zulassen, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% nicht über 30 Freiwurfpunkte kommen lassen will?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 33 | 0.6543 |
| 34 | 0.4462 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.6
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 33 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.9⋅33) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=33:
≈ 0.6543
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=33 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.
gesuchtes p (ohne zurücklegen)
Beispiel:
In einer Urne sind 20 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?
| Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne | P('mindestens eine schwarze Kugel') |
|---|---|
| ... | ... |
| 3 | 1-⋅=1-≈0.2842 |
| 4 | 1-⋅=1-≈0.3684 |
| 5 | 1-⋅=1-≈0.4474 |
| 6 | 1-⋅=1-≈0.5211 |
| 7 | 1-⋅=1-≈0.5895 |
| 8 | 1-⋅=1-≈0.6526 |
| 9 | 1-⋅=1-≈0.7105 |
| 10 | 1-⋅=1-≈0.7632 |
| ... | ... |
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.
Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist): Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= ⋅ (beim ersten Zufallsversuch und beim zweiten weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1-⋅
Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(20-x)/20*(19-x)/19)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 10 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 10 sein.
Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR
Beispiel:
In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?
| p | P(X≤24) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9998 | |
| 0.9997 | |
| 0.9995 | |
| 0.9992 | |
| 0.9989 | |
| 0.9984 | |
| 0.9978 | |
| 0.9971 | |
| 0.9962 | |
| 0.9952 | |
| 0.994 | |
| 0.9927 | |
| 0.9912 | |
| 0.9895 | |
| 0.9877 | |
| 0.9857 | |
| 0.9836 | |
| 0.9813 | |
| 0.9788 | |
| 0.9762 | |
| 0.9735 | |
| 0.9706 | |
| 0.9676 | |
| 0.9645 | |
| 0.9613 | |
| 0.9579 | |
| 0.9545 | |
| 0.951 | |
| 0.9474 | |
| 0.9437 | |
| 0.9399 | |
| 0.9361 | |
| 0.9322 | |
| 0.9282 | |
| 0.9242 | |
| 0.9201 | |
| 0.916 | |
| 0.9119 | |
| 0.9077 | |
| 0.9035 | |
| 0.8993 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 0.9 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 51 sein.
