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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 2 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 92% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
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P=0.92 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 2 Durchgängen, also ist 1-P=0.08 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 2 Durchgängen.

Es gilt also 0.08=(1-p)²

=>1-p= $\sqrt[2]{0.08}$ ≈ 0.2828

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.2828 ≈ 0.7172

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,35. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% 34 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

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n	P(X≤k)
...	...
99	0.4082
100	0.3803
101	0.3532
102	0.327
103	0.3019
104	0.2779
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.35}^{n} (X \geq 34)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.35}^{n} (X \geq 34)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.35}^{n} (X \geq 34)$ = 1 - $P_{0.35}^{n} (X \leq 33)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.35}^{n} (X \leq 33)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.35}^{n} (X \leq 33)$ oder $P_{0.35}^{n} (X \leq 33)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 35% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{34}{0.35}$ ≈ 97 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.35⋅97) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=97:
$P_{0.35}^{n} (X \leq 33)$ ≈ 0.4661 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=104 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 104 sein, damit $P_{0.35}^{n} (X \leq 33)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.35}^{n} (X \geq 34)$ ≥ 0.7 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 27 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
4	1- $\frac{4}{27}$ ⋅ $\frac{3}{26}$ =1- $\frac{2}{117}$ ≈0.9829
5	1- $\frac{5}{27}$ ⋅ $\frac{4}{26}$ =1- $\frac{10}{351}$ ≈0.9715
6	1- $\frac{6}{27}$ ⋅ $\frac{5}{26}$ =1- $\frac{5}{117}$ ≈0.9573
7	1- $\frac{7}{27}$ ⋅ $\frac{6}{26}$ =1- $\frac{7}{117}$ ≈0.9402
8	1- $\frac{8}{27}$ ⋅ $\frac{7}{26}$ =1- $\frac{28}{351}$ ≈0.9202
9	1- $\frac{9}{27}$ ⋅ $\frac{8}{26}$ =1- $\frac{4}{39}$ ≈0.8974
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=4 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{4}{27}$ ⋅ $\frac{3}{26}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{4}{27}$ und beim zweiten $\frac{3}{26}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{4}{27}$ ⋅ $\frac{3}{26}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=4. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/27*(x-1)/26)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 8 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 8 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{10}{14}$	0.9998
$\frac{11}{15}$	0.9996
$\frac{12}{16}$	0.9992
$\frac{13}{17}$	0.9988
$\frac{14}{18}$	0.9981
$\frac{15}{19}$	0.9973
$\frac{16}{20}$	0.9962
$\frac{17}{21}$	0.9949
$\frac{18}{22}$	0.9934
$\frac{19}{23}$	0.9916
$\frac{20}{24}$	0.9895
$\frac{21}{25}$	0.9872
$\frac{22}{26}$	0.9846
$\frac{23}{27}$	0.9818
$\frac{24}{28}$	0.9788
$\frac{25}{29}$	0.9755
$\frac{26}{30}$	0.9721
$\frac{27}{31}$	0.9684
$\frac{28}{32}$	0.9645
$\frac{29}{33}$	0.9605
$\frac{30}{34}$	0.9562
$\frac{31}{35}$	0.9519
$\frac{32}{36}$	0.9474
$\frac{33}{37}$	0.9427
$\frac{34}{38}$	0.938
$\frac{35}{39}$	0.9332
$\frac{36}{40}$	0.9282
$\frac{37}{41}$	0.9232
$\frac{38}{42}$	0.9181
$\frac{39}{43}$	0.9129
$\frac{40}{44}$	0.9077
$\frac{41}{45}$	0.9024
$\frac{42}{46}$	0.8971
$\frac{43}{47}$	0.8918
$\frac{44}{48}$	0.8864
$\frac{45}{49}$	0.881
$\frac{46}{50}$	0.8756
$\frac{47}{51}$	0.8702
$\frac{48}{52}$	0.8648
$\frac{49}{53}$	0.8594
$\frac{50}{54}$	0.854
$\frac{51}{55}$	0.8486
$\frac{52}{56}$	0.8432
$\frac{53}{57}$	0.8378
$\frac{54}{58}$	0.8325
$\frac{55}{59}$	0.8271
$\frac{56}{60}$	0.8218
$\frac{57}{61}$	0.8165
$\frac{58}{62}$	0.8112
$\frac{59}{63}$	0.806
$\frac{60}{64}$	0.8008
$\frac{61}{65}$	0.7956
$\frac{62}{66}$	0.7905
$\frac{63}{67}$	0.7854
$\frac{64}{68}$	0.7803
$\frac{65}{69}$	0.7753
$\frac{66}{70}$	0.7703
$\frac{67}{71}$	0.7654
$\frac{68}{72}$	0.7604
$\frac{69}{73}$	0.7556
$\frac{70}{74}$	0.7507
$\frac{71}{75}$	0.7459
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{10}{14}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{70}{74}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 70 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR