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p gesucht (n-te Wurzel)
Beispiel:
Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 83% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)
P=0.83 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.17 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.
Es gilt also 0.17=(1-p)4
=>1-p= ≈ 0.6421
Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6421 ≈ 0.3579
Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 90%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit 28 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 31 | 0.3762 |
| 32 | 0.2115 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.7
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.7 |+ - 0.7
0.3 ≥ oder ≤ 0.3
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 31 Versuchen auch ungefähr 28 (≈0.9⋅31) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=31:
≈ 0.3762
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.
n muss also mindestens 32 sein, damit ≤ 0.3 oder eben ≥ 0.7 gilt.
gesuchtes p (ohne zurücklegen)
Beispiel:
Bei einer Tombola sind 55 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 90% liegen. Wieviel der 55 Lose dürfen höchstens Nieten sein?
| Anzahl der Nieten im Lostopf | P('höchstens eine Niete') |
|---|---|
| ... | ... |
| 6 | 1-⋅=1-≈0.9899 |
| 7 | 1-⋅=1-≈0.9859 |
| 8 | 1-⋅=1-≈0.9811 |
| 9 | 1-⋅=1-≈0.9758 |
| 10 | 1-⋅=1-≈0.9697 |
| 11 | 1-⋅=1-≈0.963 |
| 12 | 1-⋅=1-≈0.9556 |
| 13 | 1-⋅=1-≈0.9475 |
| 14 | 1-⋅=1-≈0.9387 |
| 15 | 1-⋅=1-≈0.9293 |
| 16 | 1-⋅=1-≈0.9192 |
| 17 | 1-⋅=1-≈0.9084 |
| 18 | 1-⋅=1-≈0.897 |
| ... | ... |
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.
Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist): Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=6 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= ⋅ (beim ersten Zufallsversuch und beim zweiten weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1-⋅
Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=6. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/55*(x-1)/54)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 17 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 90% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 17 sein.
Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR
Beispiel:
Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 5er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?
| p | P(X≥2)=1-P(X≤1) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.8125 | |
| 0.5391 | |
| 0.3672 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=5 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 1- = 0.5 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('mindestens 2 Treffer bei 5 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=.
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens
3 sein.
