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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 65% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.65 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.35 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.35=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.35}$ ≈ 0.7692

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.7692 ≈ 0.2308

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,25.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 29 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
96	0.9006
97	0.8893
98	0.8771
99	0.8642
100	0.8505
101	0.836
102	0.8207
103	0.8047
104	0.788
105	0.7707
106	0.7527
107	0.7341
108	0.715
109	0.6954
110	0.6754
111	0.655
112	0.6343
113	0.6134
114	0.5923
115	0.571
116	0.5497
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{n} (X \leq 29)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{29}{0.25}$ ≈ 116 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.25⋅116) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=116:
$P_{0.25}^{n} (X \leq 29)$ ≈ 0.5497 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=96 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 25 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne	P('mindestens eine schwarze Kugel')
...	...
3	1- $\frac{22}{25}$ ⋅ $\frac{21}{24}$ =1- $\frac{77}{100}$ ≈0.23
4	1- $\frac{21}{25}$ ⋅ $\frac{20}{24}$ =1- $\frac{7}{10}$ ≈0.3
5	1- $\frac{20}{25}$ ⋅ $\frac{19}{24}$ =1- $\frac{19}{30}$ ≈0.3667
6	1- $\frac{19}{25}$ ⋅ $\frac{18}{24}$ =1- $\frac{57}{100}$ ≈0.43
7	1- $\frac{18}{25}$ ⋅ $\frac{17}{24}$ =1- $\frac{51}{100}$ ≈0.49
8	1- $\frac{17}{25}$ ⋅ $\frac{16}{24}$ =1- $\frac{34}{75}$ ≈0.5467
9	1- $\frac{16}{25}$ ⋅ $\frac{15}{24}$ =1- $\frac{2}{5}$ ≈0.6
10	1- $\frac{15}{25}$ ⋅ $\frac{14}{24}$ =1- $\frac{7}{20}$ ≈0.65
11	1- $\frac{14}{25}$ ⋅ $\frac{13}{24}$ =1- $\frac{91}{300}$ ≈0.6967
12	1- $\frac{13}{25}$ ⋅ $\frac{12}{24}$ =1- $\frac{13}{50}$ ≈0.74
13	1- $\frac{12}{25}$ ⋅ $\frac{11}{24}$ =1- $\frac{11}{50}$ ≈0.78
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= $\frac{22}{25}$ ⋅ $\frac{21}{24}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{22}{25}$ und beim zweiten $\frac{21}{24}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- $\frac{22}{25}$ ⋅ $\frac{21}{24}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(25-x)/25*(24-x)/24)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 13 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 13 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 14 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 14 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{2}{4}$	0.3953
$\frac{2}{5}$	0.6925
$\frac{2}{6}$	0.8505
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=14 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{14} (X \leq 6)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{14} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 14 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{14}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{14}$ ⋅14 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{14} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{14}$ mit $\frac{2}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{2}{4}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 6 sein.

Also werden noch 4 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR