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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 79% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.79 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.21 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.21=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.21}$ ≈ 0.6769

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6769 ≈ 0.3231

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,8. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% 22 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

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n	P(X≤k)
...	...
28	0.3216
29	0.2097
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \geq 22)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.8}^{n} (X \geq 22)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.8}^{n} (X \geq 22)$ = 1 - $P_{0.8}^{n} (X \leq 21)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.8}^{n} (X \leq 21)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.8}^{n} (X \leq 21)$ oder $P_{0.8}^{n} (X \leq 21)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{22}{0.8}$ ≈ 28 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.8⋅28) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=28:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 21)$ ≈ 0.3216 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=29 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 29 sein, damit $P_{0.8}^{n} (X \leq 21)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.8}^{n} (X \geq 22)$ ≥ 0.7 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 23 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 85%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
3	1- $\frac{3}{23}$ ⋅ $\frac{2}{22}$ =1- $\frac{3}{253}$ ≈0.9881
4	1- $\frac{4}{23}$ ⋅ $\frac{3}{22}$ =1- $\frac{6}{253}$ ≈0.9763
5	1- $\frac{5}{23}$ ⋅ $\frac{4}{22}$ =1- $\frac{10}{253}$ ≈0.9605
6	1- $\frac{6}{23}$ ⋅ $\frac{5}{22}$ =1- $\frac{15}{253}$ ≈0.9407
7	1- $\frac{7}{23}$ ⋅ $\frac{6}{22}$ =1- $\frac{21}{253}$ ≈0.917
8	1- $\frac{8}{23}$ ⋅ $\frac{7}{22}$ =1- $\frac{28}{253}$ ≈0.8893
9	1- $\frac{9}{23}$ ⋅ $\frac{8}{22}$ =1- $\frac{36}{253}$ ≈0.8577
10	1- $\frac{10}{23}$ ⋅ $\frac{9}{22}$ =1- $\frac{45}{253}$ ≈0.8221
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{3}{23}$ ⋅ $\frac{2}{22}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{3}{23}$ und beim zweiten $\frac{2}{22}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{3}{23}$ ⋅ $\frac{2}{22}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/23*(x-1)/22)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 9 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 9 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 70 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% für die 70 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤7)
...	...
$\frac{1}{10}$	0.5989
$\frac{1}{11}$	0.6972
$\frac{1}{12}$	0.7736
$\frac{1}{13}$	0.8314
$\frac{1}{14}$	0.8745
$\frac{1}{15}$	0.9063
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=70 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{70} (X \leq 7)$ =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{70} (X \leq 7)$ ('höchstens 7 Treffer bei 70 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{7}{70}$ . Mit diesem p wäre ja 7= $\frac{7}{70}$ ⋅70 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{70} (X \leq 7)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{7}{70}$ mit $\frac{1}{7}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{10}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{15}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 15 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR