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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 2 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 2 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,2. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
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P=0.2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.2=p2

=>p=0.22 ≈ 0.4472

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% 26 oder mehr 6er zu erzielen?

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nP(X≤k)
......
1880.1252
1890.1188
1900.1128
1910.107
1920.1014
1930.0961
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 6 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 6 n (X≥26) ≥ 0.9

Weil man ja aber P 1 6 n (X≥26) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P 1 6 n (X≥26) = 1 - P 1 6 n (X≤25) ≥ 0.9 |+ P 1 6 n (X≤25) - 0.9

0.1 ≥ P 1 6 n (X≤25) oder P 1 6 n (X≤25) ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 6 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 26 1 6 ≈ 156 Versuchen auch ungefähr 26 (≈ 1 6 ⋅156) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=156:
P 1 6 n (X≤25) ≈ 0.4667 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=193 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 193 sein, damit P 1 6 n (X≤25) ≤ 0.1 oder eben P 1 6 n (X≥26) ≥ 0.9 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 55 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 80% liegen. Wieviel der 55 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im LostopfP('höchstens eine Niete')
......
61- 6 55 ⋅ 5 54 =1- 1 99 ≈0.9899
71- 7 55 ⋅ 6 54 =1- 7 495 ≈0.9859
81- 8 55 ⋅ 7 54 =1- 28 1485 ≈0.9811
91- 9 55 ⋅ 8 54 =1- 4 165 ≈0.9758
101- 10 55 ⋅ 9 54 =1- 1 33 ≈0.9697
111- 11 55 ⋅ 10 54 =1- 1 27 ≈0.963
121- 12 55 ⋅ 11 54 =1- 2 45 ≈0.9556
131- 13 55 ⋅ 12 54 =1- 26 495 ≈0.9475
141- 14 55 ⋅ 13 54 =1- 91 1485 ≈0.9387
151- 15 55 ⋅ 14 54 =1- 7 99 ≈0.9293
161- 16 55 ⋅ 15 54 =1- 8 99 ≈0.9192
171- 17 55 ⋅ 16 54 =1- 136 1485 ≈0.9084
181- 18 55 ⋅ 17 54 =1- 17 165 ≈0.897
191- 19 55 ⋅ 18 54 =1- 19 165 ≈0.8848
201- 20 55 ⋅ 19 54 =1- 38 297 ≈0.8721
211- 21 55 ⋅ 20 54 =1- 14 99 ≈0.8586
221- 22 55 ⋅ 21 54 =1- 7 45 ≈0.8444
231- 23 55 ⋅ 22 54 =1- 23 135 ≈0.8296
241- 24 55 ⋅ 23 54 =1- 92 495 ≈0.8141
251- 25 55 ⋅ 24 54 =1- 20 99 ≈0.798
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=6 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= 6 55 ⋅ 5 54 (beim ersten Zufallsversuch 6 55 und beim zweiten 5 54 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- 6 55 ⋅ 5 54

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=6. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/55*(x-1)/54)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 24 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 24 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 20 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 20 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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pP(X≤6)
......
4 13 0.5784
4 14 0.662
4 15 0.7306
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp20 (X≤6) =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp20 (X≤6) ('höchstens 6 Treffer bei 20 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 20 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 20 ⋅20 der Erwartungswert und somit Pp20 (X≤6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 20 mit 4 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 4 13 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 4 15 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 15 sein.

Also werden noch 11 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.