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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 2 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 98% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
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P=0.98 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 2 Durchgängen, also ist 1-P=0.02 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 2 Durchgängen.

Es gilt also 0.02=(1-p)2

=>1-p=0.022 ≈ 0.1414

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.1414 ≈ 0.8586

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, mindestens 40 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
470.409
480.288
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: P0.85n (X40) ≥ 0.7

Weil man ja aber P0.85n (X40) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.85n (X40) = 1 - P0.85n (X39) ≥ 0.7 |+ P0.85n (X39) - 0.7

0.3 ≥ P0.85n (X39) oder P0.85n (X39) ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 40 0.85 ≈ 47 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.85⋅47) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=47:
P0.85n (X39) ≈ 0.409 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=48 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 48 sein, damit P0.85n (X39) ≤ 0.3 oder eben P0.85n (X40) ≥ 0.7 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 27 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 80%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im KartenstapelP('höchstens einen Joker')
......
41- 4 27 3 26 =1- 2 117 ≈0.9829
51- 5 27 4 26 =1- 10 351 ≈0.9715
61- 6 27 5 26 =1- 5 117 ≈0.9573
71- 7 27 6 26 =1- 7 117 ≈0.9402
81- 8 27 7 26 =1- 28 351 ≈0.9202
91- 9 27 8 26 =1- 4 39 ≈0.8974
101- 10 27 9 26 =1- 5 39 ≈0.8718
111- 11 27 10 26 =1- 55 351 ≈0.8433
121- 12 27 11 26 =1- 22 117 ≈0.812
131- 13 27 12 26 =1- 2 9 ≈0.7778
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=4 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= 4 27 3 26 (beim ersten Zufallsversuch 4 27 und beim zweiten 3 26 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- 4 27 3 26

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=4. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/27*(x-1)/26)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 12 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 12 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 12er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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pP(X≥1)=1-P(X≤0)
......
1 2 0.9998
1 3 0.9923
1 4 0.9683
1 5 0.9313
1 6 0.8878
1 7 0.8427
1 8 0.7986
1 9 0.7567
1 10 0.7176
1 11 0.6814
1 12 0.648
1 13 0.6173
1 14 0.5891
1 15 0.563
1 16 0.539
1 17 0.5169
1 18 0.4964
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp12 (X1) = 1- Pp12 (X0) = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp12 (X1) ('mindestens 1 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 1 2 .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 17 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 17 sein.