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p gesucht (n-te Wurzel)
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 2 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 92% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)
P=0.92 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 2 Durchgängen, also ist 1-P=0.08 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 2 Durchgängen.
Es gilt also 0.08=(1-p)2
=>1-p= ≈ 0.2828
Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.2828 ≈ 0.7172
Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,35. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% 34 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 99 | 0.4082 |
| 100 | 0.3803 |
| 101 | 0.3532 |
| 102 | 0.327 |
| 103 | 0.3019 |
| 104 | 0.2779 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.7
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.7 |+ - 0.7
0.3 ≥ oder ≤ 0.3
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 35% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 97 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.35⋅97) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=97:
≈ 0.4661
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=104 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.
n muss also mindestens 104 sein, damit ≤ 0.3 oder eben ≥ 0.7 gilt.
gesuchtes p (ohne zurücklegen)
Beispiel:
In einem Kartenstapel mit 27 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?
| Anzahl der Joker im Kartenstapel | P('höchstens einen Joker') |
|---|---|
| ... | ... |
| 4 | 1-⋅=1-≈0.9829 |
| 5 | 1-⋅=1-≈0.9715 |
| 6 | 1-⋅=1-≈0.9573 |
| 7 | 1-⋅=1-≈0.9402 |
| 8 | 1-⋅=1-≈0.9202 |
| 9 | 1-⋅=1-≈0.8974 |
| ... | ... |
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.
Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist): Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=4 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= ⋅ (beim ersten Zufallsversuch und beim zweiten weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1-⋅
Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=4. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/27*(x-1)/26)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 8 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 90% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 8 sein.
Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR
Beispiel:
In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?
| p | P(X≤24) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.9998 | |
| 0.9996 | |
| 0.9992 | |
| 0.9988 | |
| 0.9981 | |
| 0.9973 | |
| 0.9962 | |
| 0.9949 | |
| 0.9934 | |
| 0.9916 | |
| 0.9895 | |
| 0.9872 | |
| 0.9846 | |
| 0.9818 | |
| 0.9788 | |
| 0.9755 | |
| 0.9721 | |
| 0.9684 | |
| 0.9645 | |
| 0.9605 | |
| 0.9562 | |
| 0.9519 | |
| 0.9474 | |
| 0.9427 | |
| 0.938 | |
| 0.9332 | |
| 0.9282 | |
| 0.9232 | |
| 0.9181 | |
| 0.9129 | |
| 0.9077 | |
| 0.9024 | |
| 0.8971 | |
| 0.8918 | |
| 0.8864 | |
| 0.881 | |
| 0.8756 | |
| 0.8702 | |
| 0.8648 | |
| 0.8594 | |
| 0.854 | |
| 0.8486 | |
| 0.8432 | |
| 0.8378 | |
| 0.8325 | |
| 0.8271 | |
| 0.8218 | |
| 0.8165 | |
| 0.8112 | |
| 0.806 | |
| 0.8008 | |
| 0.7956 | |
| 0.7905 | |
| 0.7854 | |
| 0.7803 | |
| 0.7753 | |
| 0.7703 | |
| 0.7654 | |
| 0.7604 | |
| 0.7556 | |
| 0.7507 | |
| 0.7459 | |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 0.75 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 70 sein.
