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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 3 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 3 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,4. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
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P=0.4 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.4=p3

=>p=0.43 ≈ 0.7368

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Beim Biberacher Schützenfest läuft ein 12-köpfiger historischer Spielmannszug mit, der an die Schweden während des 30-Jährigen Kriegs erinnert. Dabei feiern dessen Mitglieder manchmal so ausgelassen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ausfall beim Umzug wegen unverhältnismäßigem Alkoholgenuss bei 15% liegt. Wie viele Schwedenmusiker muss die Schützendirektion mindestens ausbilden, damit beim Umzug mit mindestens 90%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 12 Schweden einsatzfähig sind?

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nP(X≤k)
......
140.3521
150.1773
160.0791
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: P0.85n (X12) ≥ 0.9

Weil man ja aber P0.85n (X12) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.85n (X12) = 1 - P0.85n (X11) ≥ 0.9 |+ P0.85n (X11) - 0.9

0.1 ≥ P0.85n (X11) oder P0.85n (X11) ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 12 0.85 ≈ 14 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.85⋅14) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=14:
P0.85n (X11) ≈ 0.3521 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=16 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 16 sein, damit P0.85n (X11) ≤ 0.1 oder eben P0.85n (X12) ≥ 0.9 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 27 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 80%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im KartenstapelP('höchstens einen Joker')
......
41- 4 27 3 26 =1- 2 117 ≈0.9829
51- 5 27 4 26 =1- 10 351 ≈0.9715
61- 6 27 5 26 =1- 5 117 ≈0.9573
71- 7 27 6 26 =1- 7 117 ≈0.9402
81- 8 27 7 26 =1- 28 351 ≈0.9202
91- 9 27 8 26 =1- 4 39 ≈0.8974
101- 10 27 9 26 =1- 5 39 ≈0.8718
111- 11 27 10 26 =1- 55 351 ≈0.8433
121- 12 27 11 26 =1- 22 117 ≈0.812
131- 13 27 12 26 =1- 2 9 ≈0.7778
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=4 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= 4 27 3 26 (beim ersten Zufallsversuch 4 27 und beim zweiten 3 26 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- 4 27 3 26

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=4. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/27*(x-1)/26)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 12 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 12 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 90 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% für die 90 Durchgänge reichen?

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pP(X≤7)
......
1 12 0.5215
1 13 0.6107
1 14 0.6864
1 15 0.7489
1 16 0.7996
1 17 0.8403
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp90 (X7) =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp90 (X7) ('höchstens 7 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 7 90 . Mit diesem p wäre ja 7= 7 90 ⋅90 der Erwartungswert und somit Pp90 (X7) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 7 90 mit 1 7 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 12 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 17 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 17 sein.