Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 77% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

Lösung einblenden

P=0.77 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.23 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.23=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.23}$ ≈ 0.6925

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6925 ≈ 0.3075

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Die Firma Apple hat ein neues geniales Produkt, die iYacht, auf den Markt gebracht (wenn auch nicht ganz günstig). Die hierfür beauftragte Marketingagentur garantiert, dass unter denen, denen sie die Yacht vorgeführt hat, der Anteil der späteren Käufer bei 14% liegt. Wie vielen Personen muss nun dieses Produkt vorgeführt werden, damit sich mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, 34 oder mehr Käufer für dieses Produkt finden?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
240	0.5015
241	0.4911
242	0.4808
243	0.4705
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.14 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.14}^{n} (X \geq 34)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.14}^{n} (X \geq 34)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.14}^{n} (X \geq 34)$ = 1 - $P_{0.14}^{n} (X \leq 33)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.14}^{n} (X \leq 33)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.14}^{n} (X \leq 33)$ oder $P_{0.14}^{n} (X \leq 33)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 14% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{34}{0.14}$ ≈ 243 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.14⋅243) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=243:
$P_{0.14}^{n} (X \leq 33)$ ≈ 0.4705 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=241 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 241 sein, damit $P_{0.14}^{n} (X \leq 33)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.14}^{n} (X \geq 34)$ ≥ 0.5 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 65 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 80% liegen. Wieviel der 65 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

Lösung einblenden

Anzahl der Nieten im Lostopf	P('höchstens eine Niete')
...	...
7	1- $\frac{7}{65}$ ⋅ $\frac{6}{64}$ =1- $\frac{21}{2080}$ ≈0.9899
8	1- $\frac{8}{65}$ ⋅ $\frac{7}{64}$ =1- $\frac{7}{520}$ ≈0.9865
9	1- $\frac{9}{65}$ ⋅ $\frac{8}{64}$ =1- $\frac{9}{520}$ ≈0.9827
10	1- $\frac{10}{65}$ ⋅ $\frac{9}{64}$ =1- $\frac{9}{416}$ ≈0.9784
11	1- $\frac{11}{65}$ ⋅ $\frac{10}{64}$ =1- $\frac{11}{416}$ ≈0.9736
12	1- $\frac{12}{65}$ ⋅ $\frac{11}{64}$ =1- $\frac{33}{1040}$ ≈0.9683
13	1- $\frac{13}{65}$ ⋅ $\frac{12}{64}$ =1- $\frac{3}{80}$ ≈0.9625
14	1- $\frac{14}{65}$ ⋅ $\frac{13}{64}$ =1- $\frac{7}{160}$ ≈0.9563
15	1- $\frac{15}{65}$ ⋅ $\frac{14}{64}$ =1- $\frac{21}{416}$ ≈0.9495
16	1- $\frac{16}{65}$ ⋅ $\frac{15}{64}$ =1- $\frac{3}{52}$ ≈0.9423
17	1- $\frac{17}{65}$ ⋅ $\frac{16}{64}$ =1- $\frac{17}{260}$ ≈0.9346
18	1- $\frac{18}{65}$ ⋅ $\frac{17}{64}$ =1- $\frac{153}{2080}$ ≈0.9264
19	1- $\frac{19}{65}$ ⋅ $\frac{18}{64}$ =1- $\frac{171}{2080}$ ≈0.9178
20	1- $\frac{20}{65}$ ⋅ $\frac{19}{64}$ =1- $\frac{19}{208}$ ≈0.9087
21	1- $\frac{21}{65}$ ⋅ $\frac{20}{64}$ =1- $\frac{21}{208}$ ≈0.899
22	1- $\frac{22}{65}$ ⋅ $\frac{21}{64}$ =1- $\frac{231}{2080}$ ≈0.8889
23	1- $\frac{23}{65}$ ⋅ $\frac{22}{64}$ =1- $\frac{253}{2080}$ ≈0.8784
24	1- $\frac{24}{65}$ ⋅ $\frac{23}{64}$ =1- $\frac{69}{520}$ ≈0.8673
25	1- $\frac{25}{65}$ ⋅ $\frac{24}{64}$ =1- $\frac{15}{104}$ ≈0.8558
26	1- $\frac{26}{65}$ ⋅ $\frac{25}{64}$ =1- $\frac{5}{32}$ ≈0.8438
27	1- $\frac{27}{65}$ ⋅ $\frac{26}{64}$ =1- $\frac{27}{160}$ ≈0.8313
28	1- $\frac{28}{65}$ ⋅ $\frac{27}{64}$ =1- $\frac{189}{1040}$ ≈0.8183
29	1- $\frac{29}{65}$ ⋅ $\frac{28}{64}$ =1- $\frac{203}{1040}$ ≈0.8048
30	1- $\frac{30}{65}$ ⋅ $\frac{29}{64}$ =1- $\frac{87}{416}$ ≈0.7909
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=7 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= $\frac{7}{65}$ ⋅ $\frac{6}{64}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{7}{65}$ und beim zweiten $\frac{6}{64}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- $\frac{7}{65}$ ⋅ $\frac{6}{64}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=7. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/65*(x-1)/64)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 29 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 29 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

Lösung einblenden

p	P(X≤24)
...	...
$\frac{12}{17}$	0.9998
$\frac{13}{18}$	0.9997
$\frac{14}{19}$	0.9995
$\frac{15}{20}$	0.9992
$\frac{16}{21}$	0.9989
$\frac{17}{22}$	0.9984
$\frac{18}{23}$	0.9978
$\frac{19}{24}$	0.9971
$\frac{20}{25}$	0.9962
$\frac{21}{26}$	0.9952
$\frac{22}{27}$	0.994
$\frac{23}{28}$	0.9927
$\frac{24}{29}$	0.9912
$\frac{25}{30}$	0.9895
$\frac{26}{31}$	0.9877
$\frac{27}{32}$	0.9857
$\frac{28}{33}$	0.9836
$\frac{29}{34}$	0.9813
$\frac{30}{35}$	0.9788
$\frac{31}{36}$	0.9762
$\frac{32}{37}$	0.9735
$\frac{33}{38}$	0.9706
$\frac{34}{39}$	0.9676
$\frac{35}{40}$	0.9645
$\frac{36}{41}$	0.9613
$\frac{37}{42}$	0.9579
$\frac{38}{43}$	0.9545
$\frac{39}{44}$	0.951
$\frac{40}{45}$	0.9474
$\frac{41}{46}$	0.9437
$\frac{42}{47}$	0.9399
$\frac{43}{48}$	0.9361
$\frac{44}{49}$	0.9322
$\frac{45}{50}$	0.9282
$\frac{46}{51}$	0.9242
$\frac{47}{52}$	0.9201
$\frac{48}{53}$	0.916
$\frac{49}{54}$	0.9119
$\frac{50}{55}$	0.9077
$\frac{51}{56}$	0.9035
$\frac{52}{57}$	0.8993
$\frac{53}{58}$	0.895
$\frac{54}{59}$	0.8907
$\frac{55}{60}$	0.8864
$\frac{56}{61}$	0.8821
$\frac{57}{62}$	0.8778
$\frac{58}{63}$	0.8735
$\frac{59}{64}$	0.8691
$\frac{60}{65}$	0.8648
$\frac{61}{66}$	0.8605
$\frac{62}{67}$	0.8561
$\frac{63}{68}$	0.8518
$\frac{64}{69}$	0.8475
$\frac{65}{70}$	0.8432
$\frac{66}{71}$	0.8389
$\frac{67}{72}$	0.8346
$\frac{68}{73}$	0.8303
$\frac{69}{74}$	0.826
$\frac{70}{75}$	0.8218
$\frac{71}{76}$	0.8176
$\frac{72}{77}$	0.8133
$\frac{73}{78}$	0.8091
$\frac{74}{79}$	0.805
$\frac{75}{80}$	0.8008
$\frac{76}{81}$	0.7967
$\frac{77}{82}$	0.7925
$\frac{78}{83}$	0.7885
$\frac{79}{84}$	0.7844
$\frac{80}{85}$	0.7803
$\frac{81}{86}$	0.7763
$\frac{82}{87}$	0.7723
$\frac{83}{88}$	0.7683
$\frac{84}{89}$	0.7644
$\frac{85}{90}$	0.7604
$\frac{86}{91}$	0.7565
$\frac{87}{92}$	0.7527
$\frac{88}{93}$	0.7488
$\frac{89}{94}$	0.745
$\frac{90}{95}$	0.7412
$\frac{91}{96}$	0.7374
$\frac{92}{97}$	0.7337
$\frac{93}{98}$	0.73
$\frac{94}{99}$	0.7263
$\frac{95}{100}$	0.7226
$\frac{96}{101}$	0.719
$\frac{97}{102}$	0.7154
$\frac{98}{103}$	0.7118
$\frac{99}{104}$	0.7082
$\frac{100}{105}$	0.7047
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{12}{17}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{99}{104}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 99 sein.