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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 3 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 3 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,1. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.1 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.1=p³

=>p= $\sqrt[3]{0.1}$ ≈ 0.4642

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In Tschechien gilt absolutes Alkoholverbot in Lokalen für Jugendliche unter 18 Jahren. Ein paar trinkfreudige 17-jährige Jugendliche wollen bei einer Studienfahrt nach Prag trotzdem ihr Glück versuchen. 95% der Gaststätten setzen das Alkoholverbot konsequent um und schenken nur gegen Vorlage einer "ID" (Personalausweis) Bier aus. Wie viele Kneipen müssen die Jugenlichen nun mindestens aufsuchen, damit sie bei einer Kneipentour mit mindestens 50% Wahrscheinlichkeit in mindestens 2 Lokalen nicht mit Nachfragen zu ihrer "ID" gedemütigt werden und in Ruhe ein Bier trinken können?

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n	P(X≤k)
...	...
33	0.5036
34	0.4877
35	0.472
36	0.4567
37	0.4418
38	0.4272
39	0.4129
40	0.3991
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.05 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.05}^{n} (X \geq 2)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.05}^{n} (X \geq 2)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.05}^{n} (X \geq 2)$ = 1 - $P_{0.05}^{n} (X \leq 1)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.05}^{n} (X \leq 1)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.05}^{n} (X \leq 1)$ oder $P_{0.05}^{n} (X \leq 1)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 5% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{2}{0.05}$ ≈ 40 Versuchen auch ungefähr 2 (≈0.05⋅40) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=40:
$P_{0.05}^{n} (X \leq 1)$ ≈ 0.3991 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 34 sein, damit $P_{0.05}^{n} (X \leq 1)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.05}^{n} (X \geq 2)$ ≥ 0.5 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 55 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 90% liegen. Wieviel der 55 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im Lostopf	P('höchstens eine Niete')
...	...
6	1- $\frac{6}{55}$ ⋅ $\frac{5}{54}$ =1- $\frac{1}{99}$ ≈0.9899
7	1- $\frac{7}{55}$ ⋅ $\frac{6}{54}$ =1- $\frac{7}{495}$ ≈0.9859
8	1- $\frac{8}{55}$ ⋅ $\frac{7}{54}$ =1- $\frac{28}{1485}$ ≈0.9811
9	1- $\frac{9}{55}$ ⋅ $\frac{8}{54}$ =1- $\frac{4}{165}$ ≈0.9758
10	1- $\frac{10}{55}$ ⋅ $\frac{9}{54}$ =1- $\frac{1}{33}$ ≈0.9697
11	1- $\frac{11}{55}$ ⋅ $\frac{10}{54}$ =1- $\frac{1}{27}$ ≈0.963
12	1- $\frac{12}{55}$ ⋅ $\frac{11}{54}$ =1- $\frac{2}{45}$ ≈0.9556
13	1- $\frac{13}{55}$ ⋅ $\frac{12}{54}$ =1- $\frac{26}{495}$ ≈0.9475
14	1- $\frac{14}{55}$ ⋅ $\frac{13}{54}$ =1- $\frac{91}{1485}$ ≈0.9387
15	1- $\frac{15}{55}$ ⋅ $\frac{14}{54}$ =1- $\frac{7}{99}$ ≈0.9293
16	1- $\frac{16}{55}$ ⋅ $\frac{15}{54}$ =1- $\frac{8}{99}$ ≈0.9192
17	1- $\frac{17}{55}$ ⋅ $\frac{16}{54}$ =1- $\frac{136}{1485}$ ≈0.9084
18	1- $\frac{18}{55}$ ⋅ $\frac{17}{54}$ =1- $\frac{17}{165}$ ≈0.897
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=6 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= $\frac{6}{55}$ ⋅ $\frac{5}{54}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{6}{55}$ und beim zweiten $\frac{5}{54}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- $\frac{6}{55}$ ⋅ $\frac{5}{54}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=6. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/55*(x-1)/54)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 17 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 17 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 12 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 3 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 25% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{1}{4}$	0.6488
$\frac{1}{5}$	0.7946
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{12} (X \leq 3)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{12} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{12}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{12}$ ⋅12 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{12} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{12}$ mit $\frac{1}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{4}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{5}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 5 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR