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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 4 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 4 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,4. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
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P=0.4 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 4 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.4=p⁴

=>p= $\sqrt[4]{0.4}$ ≈ 0.7953

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht mehr als 39 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
209	0.8083
210	0.7995
211	0.7905
212	0.7812
213	0.7718
214	0.7622
215	0.7524
216	0.7425
217	0.7323
218	0.722
219	0.7116
220	0.701
221	0.6903
222	0.6794
223	0.6684
224	0.6573
225	0.6462
226	0.6349
227	0.6235
228	0.6121
229	0.6006
230	0.5891
231	0.5775
232	0.5659
233	0.5543
234	0.5426
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 39)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{39}{\frac{1}{6}}$ ≈ 234 Versuchen auch ungefähr 39 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅234) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=234:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 39)$ ≈ 0.5426 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=209 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 25 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 85%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
4	1- $\frac{4}{25}$ ⋅ $\frac{3}{24}$ =1- $\frac{1}{50}$ ≈0.98
5	1- $\frac{5}{25}$ ⋅ $\frac{4}{24}$ =1- $\frac{1}{30}$ ≈0.9667
6	1- $\frac{6}{25}$ ⋅ $\frac{5}{24}$ =1- $\frac{1}{20}$ ≈0.95
7	1- $\frac{7}{25}$ ⋅ $\frac{6}{24}$ =1- $\frac{7}{100}$ ≈0.93
8	1- $\frac{8}{25}$ ⋅ $\frac{7}{24}$ =1- $\frac{7}{75}$ ≈0.9067
9	1- $\frac{9}{25}$ ⋅ $\frac{8}{24}$ =1- $\frac{3}{25}$ ≈0.88
10	1- $\frac{10}{25}$ ⋅ $\frac{9}{24}$ =1- $\frac{3}{20}$ ≈0.85
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=4 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{4}{25}$ ⋅ $\frac{3}{24}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{4}{25}$ und beim zweiten $\frac{3}{24}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{4}{25}$ ⋅ $\frac{3}{24}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=4. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/25*(x-1)/24)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 9 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 9 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 4 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 120 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 80%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 10 mal am Tag eines ihrer eigenen 4 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥10)=1-P(X≤9)
...	...
$\frac{4}{21}$	0.9997
$\frac{4}{22}$	0.9993
$\frac{4}{23}$	0.9985
$\frac{4}{24}$	0.9973
$\frac{4}{25}$	0.9953
$\frac{4}{26}$	0.9924
$\frac{4}{27}$	0.9883
$\frac{4}{28}$	0.9828
$\frac{4}{29}$	0.9756
$\frac{4}{30}$	0.9665
$\frac{4}{31}$	0.9555
$\frac{4}{32}$	0.9424
$\frac{4}{33}$	0.9273
$\frac{4}{34}$	0.9101
$\frac{4}{35}$	0.8909
$\frac{4}{36}$	0.87
$\frac{4}{37}$	0.8473
$\frac{4}{38}$	0.8232
$\frac{4}{39}$	0.7978
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=120 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{120} (X \geq 10)$ = 1- $P_{p}^{120} (X \leq 9)$ = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{120} (X \geq 10)$ ('mindestens 10 Treffer bei 120 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{4}{21}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{4}{38}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 38 sein.

Also wären noch 34 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR