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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.75 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.25 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.25=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.25}$ ≈ 0.7071

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.7071 ≈ 0.2929

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,7.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 24 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
34	0.4455
35	0.3484
36	0.2635
37	0.1929
38	0.1369
39	0.0944
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{n} (X \geq 24)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.7}^{n} (X \geq 24)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.7}^{n} (X \geq 24)$ = 1 - $P_{0.7}^{n} (X \leq 23)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.7}^{n} (X \leq 23)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.7}^{n} (X \leq 23)$ oder $P_{0.7}^{n} (X \leq 23)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{24}{0.7}$ ≈ 34 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.7⋅34) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=34:
$P_{0.7}^{n} (X \leq 23)$ ≈ 0.4455 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 39 sein, damit $P_{0.7}^{n} (X \leq 23)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.7}^{n} (X \geq 24)$ ≥ 0.9 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 20 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
3	1- $\frac{3}{20}$ ⋅ $\frac{2}{19}$ =1- $\frac{3}{190}$ ≈0.9842
4	1- $\frac{4}{20}$ ⋅ $\frac{3}{19}$ =1- $\frac{3}{95}$ ≈0.9684
5	1- $\frac{5}{20}$ ⋅ $\frac{4}{19}$ =1- $\frac{1}{19}$ ≈0.9474
6	1- $\frac{6}{20}$ ⋅ $\frac{5}{19}$ =1- $\frac{3}{38}$ ≈0.9211
7	1- $\frac{7}{20}$ ⋅ $\frac{6}{19}$ =1- $\frac{21}{190}$ ≈0.8895
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{3}{20}$ ⋅ $\frac{2}{19}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{3}{20}$ und beim zweiten $\frac{2}{19}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{3}{20}$ ⋅ $\frac{2}{19}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/20*(x-1)/19)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 6 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 6 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{9}{14}$	0.9998
$\frac{10}{15}$	0.9996
$\frac{11}{16}$	0.9992
$\frac{12}{17}$	0.9986
$\frac{13}{18}$	0.9977
$\frac{14}{19}$	0.9963
$\frac{15}{20}$	0.9945
$\frac{16}{21}$	0.9922
$\frac{17}{22}$	0.9894
$\frac{18}{23}$	0.986
$\frac{19}{24}$	0.9819
$\frac{20}{25}$	0.9773
$\frac{21}{26}$	0.9721
$\frac{22}{27}$	0.9664
$\frac{23}{28}$	0.96
$\frac{24}{29}$	0.9532
$\frac{25}{30}$	0.9458
$\frac{26}{31}$	0.938
$\frac{27}{32}$	0.9298
$\frac{28}{33}$	0.9213
$\frac{29}{34}$	0.9123
$\frac{30}{35}$	0.9031
$\frac{31}{36}$	0.8936
$\frac{32}{37}$	0.8838
$\frac{33}{38}$	0.8739
$\frac{34}{39}$	0.8638
$\frac{35}{40}$	0.8536
$\frac{36}{41}$	0.8432
$\frac{37}{42}$	0.8328
$\frac{38}{43}$	0.8223
$\frac{39}{44}$	0.8118
$\frac{40}{45}$	0.8012
$\frac{41}{46}$	0.7906
$\frac{42}{47}$	0.7801
$\frac{43}{48}$	0.7696
$\frac{44}{49}$	0.7591
$\frac{45}{50}$	0.7487
$\frac{46}{51}$	0.7384
$\frac{47}{52}$	0.7281
$\frac{48}{53}$	0.718
$\frac{49}{54}$	0.7079
$\frac{50}{55}$	0.6979
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{26} (X \leq 24)$ = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{26} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{9}{14}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{49}{54}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 49 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR