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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 4 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 4 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,1. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
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P=0.1 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 4 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.1=p4

=>p=0.14 ≈ 0.5623

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% 20 oder mehr 6er zu erzielen?

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nP(X≤k)
......
1260.3689
1270.3542
1280.3399
1290.3258
1300.3121
1310.2987
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 6 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 6 n (X≥20) ≥ 0.7

Weil man ja aber P 1 6 n (X≥20) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P 1 6 n (X≥20) = 1 - P 1 6 n (X≤19) ≥ 0.7 |+ P 1 6 n (X≤19) - 0.7

0.3 ≥ P 1 6 n (X≤19) oder P 1 6 n (X≤19) ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 6 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 20 1 6 ≈ 120 Versuchen auch ungefähr 20 (≈ 1 6 ⋅120) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=120:
P 1 6 n (X≤19) ≈ 0.462 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=131 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 131 sein, damit P 1 6 n (X≤19) ≤ 0.3 oder eben P 1 6 n (X≥20) ≥ 0.7 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 40 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der UrneP('mindestens eine schwarze Kugel')
......
31- 37 40 ⋅ 36 39 =1- 111 130 ≈0.1462
41- 36 40 ⋅ 35 39 =1- 21 26 ≈0.1923
51- 35 40 ⋅ 34 39 =1- 119 156 ≈0.2372
61- 34 40 ⋅ 33 39 =1- 187 260 ≈0.2808
71- 33 40 ⋅ 32 39 =1- 44 65 ≈0.3231
81- 32 40 ⋅ 31 39 =1- 124 195 ≈0.3641
91- 31 40 ⋅ 30 39 =1- 31 52 ≈0.4038
101- 30 40 ⋅ 29 39 =1- 29 52 ≈0.4423
111- 29 40 ⋅ 28 39 =1- 203 390 ≈0.4795
121- 28 40 ⋅ 27 39 =1- 63 130 ≈0.5154
131- 27 40 ⋅ 26 39 =1- 9 20 ≈0.55
141- 26 40 ⋅ 25 39 =1- 5 12 ≈0.5833
151- 25 40 ⋅ 24 39 =1- 5 13 ≈0.6154
161- 24 40 ⋅ 23 39 =1- 23 65 ≈0.6462
171- 23 40 ⋅ 22 39 =1- 253 780 ≈0.6756
181- 22 40 ⋅ 21 39 =1- 77 260 ≈0.7038
191- 21 40 ⋅ 20 39 =1- 7 26 ≈0.7308
201- 20 40 ⋅ 19 39 =1- 19 78 ≈0.7564
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= 37 40 ⋅ 36 39 (beim ersten Zufallsversuch 37 40 und beim zweiten 36 39 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- 37 40 ⋅ 36 39

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(40-x)/40*(39-x)/39)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 20 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 20 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 29 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 29 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
5 9 0.9995
6 10 0.9978
7 11 0.9932
8 12 0.9839
9 13 0.9686
10 14 0.9468
11 15 0.9186
12 16 0.8847
13 17 0.8462
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=29 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp29 (X≤24) = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp29 (X≤24) ('höchstens 24 Treffer bei 29 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 5 9 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 12 16 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 12 sein.