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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.8 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.2 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.2=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.2}$ ≈ 0.6687

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6687 ≈ 0.3313

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,25.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, mindestens 28 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
122	0.2688
123	0.2524
124	0.2366
125	0.2214
126	0.2069
127	0.193
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{n} (X \geq 28)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.25}^{n} (X \geq 28)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.25}^{n} (X \geq 28)$ = 1 - $P_{0.25}^{n} (X \leq 27)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.25}^{n} (X \leq 27)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.25}^{n} (X \leq 27)$ oder $P_{0.25}^{n} (X \leq 27)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{28}{0.25}$ ≈ 112 Versuchen auch ungefähr 28 (≈0.25⋅112) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=112:
$P_{0.25}^{n} (X \leq 27)$ ≈ 0.4638 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=127 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 127 sein, damit $P_{0.25}^{n} (X \leq 27)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.25}^{n} (X \geq 28)$ ≥ 0.8 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 60 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 85% liegen. Wieviel der 60 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im Lostopf	P('höchstens eine Niete')
...	...
7	1- $\frac{7}{60}$ ⋅ $\frac{6}{59}$ =1- $\frac{7}{590}$ ≈0.9881
8	1- $\frac{8}{60}$ ⋅ $\frac{7}{59}$ =1- $\frac{14}{885}$ ≈0.9842
9	1- $\frac{9}{60}$ ⋅ $\frac{8}{59}$ =1- $\frac{6}{295}$ ≈0.9797
10	1- $\frac{10}{60}$ ⋅ $\frac{9}{59}$ =1- $\frac{3}{118}$ ≈0.9746
11	1- $\frac{11}{60}$ ⋅ $\frac{10}{59}$ =1- $\frac{11}{354}$ ≈0.9689
12	1- $\frac{12}{60}$ ⋅ $\frac{11}{59}$ =1- $\frac{11}{295}$ ≈0.9627
13	1- $\frac{13}{60}$ ⋅ $\frac{12}{59}$ =1- $\frac{13}{295}$ ≈0.9559
14	1- $\frac{14}{60}$ ⋅ $\frac{13}{59}$ =1- $\frac{91}{1770}$ ≈0.9486
15	1- $\frac{15}{60}$ ⋅ $\frac{14}{59}$ =1- $\frac{7}{118}$ ≈0.9407
16	1- $\frac{16}{60}$ ⋅ $\frac{15}{59}$ =1- $\frac{4}{59}$ ≈0.9322
17	1- $\frac{17}{60}$ ⋅ $\frac{16}{59}$ =1- $\frac{68}{885}$ ≈0.9232
18	1- $\frac{18}{60}$ ⋅ $\frac{17}{59}$ =1- $\frac{51}{590}$ ≈0.9136
19	1- $\frac{19}{60}$ ⋅ $\frac{18}{59}$ =1- $\frac{57}{590}$ ≈0.9034
20	1- $\frac{20}{60}$ ⋅ $\frac{19}{59}$ =1- $\frac{19}{177}$ ≈0.8927
21	1- $\frac{21}{60}$ ⋅ $\frac{20}{59}$ =1- $\frac{7}{59}$ ≈0.8814
22	1- $\frac{22}{60}$ ⋅ $\frac{21}{59}$ =1- $\frac{77}{590}$ ≈0.8695
23	1- $\frac{23}{60}$ ⋅ $\frac{22}{59}$ =1- $\frac{253}{1770}$ ≈0.8571
24	1- $\frac{24}{60}$ ⋅ $\frac{23}{59}$ =1- $\frac{46}{295}$ ≈0.8441
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=7 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= $\frac{7}{60}$ ⋅ $\frac{6}{59}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{7}{60}$ und beim zweiten $\frac{6}{59}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- $\frac{7}{60}$ ⋅ $\frac{6}{59}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=7. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/60*(x-1)/59)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 23 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 23 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 11er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9995
$\frac{1}{3}$	0.9884
$\frac{1}{4}$	0.9578
$\frac{1}{5}$	0.9141
$\frac{1}{6}$	0.8654
$\frac{1}{7}$	0.8165
$\frac{1}{8}$	0.7698
$\frac{1}{9}$	0.7263
$\frac{1}{10}$	0.6862
$\frac{1}{11}$	0.6495
$\frac{1}{12}$	0.616
$\frac{1}{13}$	0.5854
$\frac{1}{14}$	0.5574
$\frac{1}{15}$	0.5318
$\frac{1}{16}$	0.5083
$\frac{1}{17}$	0.4867
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{11} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{11} (X \leq 0)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{11} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{16}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 16 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR