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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 85% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.85 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.15 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.15=(1-p)4

=>1-p=0.154 ≈ 0.6223

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6223 ≈ 0.3777

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,7. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% 27 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

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nP(X≤k)
......
380.4764
390.3818
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: P0.7n (X27) ≥ 0.6

Weil man ja aber P0.7n (X27) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.7n (X27) = 1 - P0.7n (X26) ≥ 0.6 |+ P0.7n (X26) - 0.6

0.4 ≥ P0.7n (X26) oder P0.7n (X26) ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 27 0.7 ≈ 39 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.7⋅39) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=39:
P0.7n (X26) ≈ 0.3818 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 39 sein, damit P0.7n (X26) ≤ 0.4 oder eben P0.7n (X27) ≥ 0.6 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 25 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 85%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im KartenstapelP('höchstens einen Joker')
......
41- 4 25 3 24 =1- 1 50 ≈0.98
51- 5 25 4 24 =1- 1 30 ≈0.9667
61- 6 25 5 24 =1- 1 20 ≈0.95
71- 7 25 6 24 =1- 7 100 ≈0.93
81- 8 25 7 24 =1- 7 75 ≈0.9067
91- 9 25 8 24 =1- 3 25 ≈0.88
101- 10 25 9 24 =1- 3 20 ≈0.85
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=4 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= 4 25 3 24 (beim ersten Zufallsversuch 4 25 und beim zweiten 3 24 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- 4 25 3 24

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=4. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/25*(x-1)/24)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 9 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 9 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 29 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 29 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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pP(X≤21)
......
2 4 0.9959
3 5 0.943
4 6 0.8014
5 7 0.616
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=29 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp29 (X21) = 0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 2 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp29 (X21) ('höchstens 21 Treffer bei 29 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 2 4 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 4 6 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 4 sein.