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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 4 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 82% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
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P=0.82 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.18 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.18=(1-p)4

=>1-p=0.184 ≈ 0.6514

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6514 ≈ 0.3486

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Beim Biberacher Schützenfest läuft ein 12-köpfiger historischer Spielmannszug mit, der an die Schweden während des 30-Jährigen Kriegs erinnert. Dabei feiern dessen Mitglieder manchmal so ausgelassen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ausfall beim Umzug wegen unverhältnismäßigem Alkoholgenuss bei 16% liegt. Wie viele Schwedenmusiker muss die Schützendirektion mindestens ausbilden, damit beim Umzug mit mindestens 80%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 12 Schweden einsatzfähig sind?

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nP(X≤k)
......
140.3932
150.2092
160.0988
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.84 und variablem n.

Es muss gelten: P0.84n (X12) ≥ 0.8

Weil man ja aber P0.84n (X12) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.84n (X12) = 1 - P0.84n (X11) ≥ 0.8 |+ P0.84n (X11) - 0.8

0.2 ≥ P0.84n (X11) oder P0.84n (X11) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 84% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 12 0.84 ≈ 14 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.84⋅14) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=14:
P0.84n (X11) ≈ 0.3932 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=16 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 16 sein, damit P0.84n (X11) ≤ 0.2 oder eben P0.84n (X12) ≥ 0.8 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 27 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im KartenstapelP('höchstens einen Joker')
......
41- 4 27 3 26 =1- 2 117 ≈0.9829
51- 5 27 4 26 =1- 10 351 ≈0.9715
61- 6 27 5 26 =1- 5 117 ≈0.9573
71- 7 27 6 26 =1- 7 117 ≈0.9402
81- 8 27 7 26 =1- 28 351 ≈0.9202
91- 9 27 8 26 =1- 4 39 ≈0.8974
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=4 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= 4 27 3 26 (beim ersten Zufallsversuch 4 27 und beim zweiten 3 26 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- 4 27 3 26

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=4. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/27*(x-1)/26)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 8 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 8 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 11er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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pP(X≥1)=1-P(X≤0)
......
1 2 0.9995
1 3 0.9884
1 4 0.9578
1 5 0.9141
1 6 0.8654
1 7 0.8165
1 8 0.7698
1 9 0.7263
1 10 0.6862
1 11 0.6495
1 12 0.616
1 13 0.5854
1 14 0.5574
1 15 0.5318
1 16 0.5083
1 17 0.4867
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp11 (X1) = 1- Pp11 (X0) = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp11 (X1) ('mindestens 1 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 1 2 .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 16 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 16 sein.