Mathebattle EduRandomtasks

p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 57% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

Lösung einblenden

P=0.57 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.43 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.43=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.43}$ ≈ 0.8098

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.8098 ≈ 0.1902

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,25. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% 29 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
120	0.3821
121	0.3625
122	0.3433
123	0.3247
124	0.3066
125	0.2891
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{n} (X \geq 29)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.25}^{n} (X \geq 29)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.25}^{n} (X \geq 29)$ = 1 - $P_{0.25}^{n} (X \leq 28)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.25}^{n} (X \leq 28)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.25}^{n} (X \leq 28)$ oder $P_{0.25}^{n} (X \leq 28)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{29}{0.25}$ ≈ 116 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.25⋅116) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=116:
$P_{0.25}^{n} (X \leq 28)$ ≈ 0.4644 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=125 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 125 sein, damit $P_{0.25}^{n} (X \leq 28)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.25}^{n} (X \geq 29)$ ≥ 0.7 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 55 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 80% liegen. Wieviel der 55 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

Lösung einblenden

Anzahl der Nieten im Lostopf	P('höchstens eine Niete')
...	...
6	1- $\frac{6}{55}$ ⋅ $\frac{5}{54}$ =1- $\frac{1}{99}$ ≈0.9899
7	1- $\frac{7}{55}$ ⋅ $\frac{6}{54}$ =1- $\frac{7}{495}$ ≈0.9859
8	1- $\frac{8}{55}$ ⋅ $\frac{7}{54}$ =1- $\frac{28}{1485}$ ≈0.9811
9	1- $\frac{9}{55}$ ⋅ $\frac{8}{54}$ =1- $\frac{4}{165}$ ≈0.9758
10	1- $\frac{10}{55}$ ⋅ $\frac{9}{54}$ =1- $\frac{1}{33}$ ≈0.9697
11	1- $\frac{11}{55}$ ⋅ $\frac{10}{54}$ =1- $\frac{1}{27}$ ≈0.963
12	1- $\frac{12}{55}$ ⋅ $\frac{11}{54}$ =1- $\frac{2}{45}$ ≈0.9556
13	1- $\frac{13}{55}$ ⋅ $\frac{12}{54}$ =1- $\frac{26}{495}$ ≈0.9475
14	1- $\frac{14}{55}$ ⋅ $\frac{13}{54}$ =1- $\frac{91}{1485}$ ≈0.9387
15	1- $\frac{15}{55}$ ⋅ $\frac{14}{54}$ =1- $\frac{7}{99}$ ≈0.9293
16	1- $\frac{16}{55}$ ⋅ $\frac{15}{54}$ =1- $\frac{8}{99}$ ≈0.9192
17	1- $\frac{17}{55}$ ⋅ $\frac{16}{54}$ =1- $\frac{136}{1485}$ ≈0.9084
18	1- $\frac{18}{55}$ ⋅ $\frac{17}{54}$ =1- $\frac{17}{165}$ ≈0.897
19	1- $\frac{19}{55}$ ⋅ $\frac{18}{54}$ =1- $\frac{19}{165}$ ≈0.8848
20	1- $\frac{20}{55}$ ⋅ $\frac{19}{54}$ =1- $\frac{38}{297}$ ≈0.8721
21	1- $\frac{21}{55}$ ⋅ $\frac{20}{54}$ =1- $\frac{14}{99}$ ≈0.8586
22	1- $\frac{22}{55}$ ⋅ $\frac{21}{54}$ =1- $\frac{7}{45}$ ≈0.8444
23	1- $\frac{23}{55}$ ⋅ $\frac{22}{54}$ =1- $\frac{23}{135}$ ≈0.8296
24	1- $\frac{24}{55}$ ⋅ $\frac{23}{54}$ =1- $\frac{92}{495}$ ≈0.8141
25	1- $\frac{25}{55}$ ⋅ $\frac{24}{54}$ =1- $\frac{20}{99}$ ≈0.798
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=6 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= $\frac{6}{55}$ ⋅ $\frac{5}{54}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{6}{55}$ und beim zweiten $\frac{5}{54}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- $\frac{6}{55}$ ⋅ $\frac{5}{54}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=6. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/55*(x-1)/54)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 24 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 24 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 10er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

Lösung einblenden

p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.999
$\frac{1}{3}$	0.9827
$\frac{1}{4}$	0.9437
$\frac{1}{5}$	0.8926
$\frac{1}{6}$	0.8385
$\frac{1}{7}$	0.7859
$\frac{1}{8}$	0.7369
$\frac{1}{9}$	0.6921
$\frac{1}{10}$	0.6513
$\frac{1}{11}$	0.6145
$\frac{1}{12}$	0.5811
$\frac{1}{13}$	0.5509
$\frac{1}{14}$	0.5234
$\frac{1}{15}$	0.4984
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=10 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{10} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{10} (X \leq 0)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{10} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 10 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{14}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 14 sein.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR