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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 72% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.72 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.28 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.28=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.28}$ ≈ 0.7274

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.7274 ≈ 0.2726

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht mehr als 30 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
159	0.8046
160	0.7943
161	0.7837
162	0.7729
163	0.7619
164	0.7506
165	0.7391
166	0.7274
167	0.7155
168	0.7034
169	0.6911
170	0.6787
171	0.6661
172	0.6534
173	0.6405
174	0.6276
175	0.6146
176	0.6014
177	0.5883
178	0.5751
179	0.5618
180	0.5486
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 30)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{30}{\frac{1}{6}}$ ≈ 180 Versuchen auch ungefähr 30 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅180) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=180:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 30)$ ≈ 0.5486 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=159 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 40 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne	P('mindestens eine schwarze Kugel')
...	...
3	1- $\frac{37}{40}$ ⋅ $\frac{36}{39}$ =1- $\frac{111}{130}$ ≈0.1462
4	1- $\frac{36}{40}$ ⋅ $\frac{35}{39}$ =1- $\frac{21}{26}$ ≈0.1923
5	1- $\frac{35}{40}$ ⋅ $\frac{34}{39}$ =1- $\frac{119}{156}$ ≈0.2372
6	1- $\frac{34}{40}$ ⋅ $\frac{33}{39}$ =1- $\frac{187}{260}$ ≈0.2808
7	1- $\frac{33}{40}$ ⋅ $\frac{32}{39}$ =1- $\frac{44}{65}$ ≈0.3231
8	1- $\frac{32}{40}$ ⋅ $\frac{31}{39}$ =1- $\frac{124}{195}$ ≈0.3641
9	1- $\frac{31}{40}$ ⋅ $\frac{30}{39}$ =1- $\frac{31}{52}$ ≈0.4038
10	1- $\frac{30}{40}$ ⋅ $\frac{29}{39}$ =1- $\frac{29}{52}$ ≈0.4423
11	1- $\frac{29}{40}$ ⋅ $\frac{28}{39}$ =1- $\frac{203}{390}$ ≈0.4795
12	1- $\frac{28}{40}$ ⋅ $\frac{27}{39}$ =1- $\frac{63}{130}$ ≈0.5154
13	1- $\frac{27}{40}$ ⋅ $\frac{26}{39}$ =1- $\frac{9}{20}$ ≈0.55
14	1- $\frac{26}{40}$ ⋅ $\frac{25}{39}$ =1- $\frac{5}{12}$ ≈0.5833
15	1- $\frac{25}{40}$ ⋅ $\frac{24}{39}$ =1- $\frac{5}{13}$ ≈0.6154
16	1- $\frac{24}{40}$ ⋅ $\frac{23}{39}$ =1- $\frac{23}{65}$ ≈0.6462
17	1- $\frac{23}{40}$ ⋅ $\frac{22}{39}$ =1- $\frac{253}{780}$ ≈0.6756
18	1- $\frac{22}{40}$ ⋅ $\frac{21}{39}$ =1- $\frac{77}{260}$ ≈0.7038
19	1- $\frac{21}{40}$ ⋅ $\frac{20}{39}$ =1- $\frac{7}{26}$ ≈0.7308
20	1- $\frac{20}{40}$ ⋅ $\frac{19}{39}$ =1- $\frac{19}{78}$ ≈0.7564
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= $\frac{37}{40}$ ⋅ $\frac{36}{39}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{37}{40}$ und beim zweiten $\frac{36}{39}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- $\frac{37}{40}$ ⋅ $\frac{36}{39}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(40-x)/40*(39-x)/39)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 20 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 20 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 2 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 150 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 90%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 10 mal am Tag eines ihrer eigenen 2 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥10)=1-P(X≤9)
...	...
$\frac{2}{13}$	0.9996
$\frac{2}{14}$	0.9988
$\frac{2}{15}$	0.9969
$\frac{2}{16}$	0.993
$\frac{2}{17}$	0.9862
$\frac{2}{18}$	0.9756
$\frac{2}{19}$	0.9603
$\frac{2}{20}$	0.94
$\frac{2}{21}$	0.9144
$\frac{2}{22}$	0.8839
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=150 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{150} (X \geq 10)$ = 1- $P_{p}^{150} (X \leq 9)$ = 0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{150} (X \geq 10)$ ('mindestens 10 Treffer bei 150 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{2}{13}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{21}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 21 sein.

Also wären noch 19 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR