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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 2 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 95% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.95 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 2 Durchgängen, also ist 1-P=0.05 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 2 Durchgängen.

Es gilt also 0.05=(1-p)²

=>1-p= $\sqrt[2]{0.05}$ ≈ 0.2236

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.2236 ≈ 0.7764

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,08. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 50% kein Descepticon unter ihnen ist?

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n	P(X≤k)
...	...
3	0.7787
4	0.7164
5	0.6591
6	0.6064
7	0.5578
8	0.5132
9	0.4722
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.08 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.08}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 8% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.08}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.08⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.08}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=8 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 25 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 80%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
4	1- $\frac{4}{25}$ ⋅ $\frac{3}{24}$ =1- $\frac{1}{50}$ ≈0.98
5	1- $\frac{5}{25}$ ⋅ $\frac{4}{24}$ =1- $\frac{1}{30}$ ≈0.9667
6	1- $\frac{6}{25}$ ⋅ $\frac{5}{24}$ =1- $\frac{1}{20}$ ≈0.95
7	1- $\frac{7}{25}$ ⋅ $\frac{6}{24}$ =1- $\frac{7}{100}$ ≈0.93
8	1- $\frac{8}{25}$ ⋅ $\frac{7}{24}$ =1- $\frac{7}{75}$ ≈0.9067
9	1- $\frac{9}{25}$ ⋅ $\frac{8}{24}$ =1- $\frac{3}{25}$ ≈0.88
10	1- $\frac{10}{25}$ ⋅ $\frac{9}{24}$ =1- $\frac{3}{20}$ ≈0.85
11	1- $\frac{11}{25}$ ⋅ $\frac{10}{24}$ =1- $\frac{11}{60}$ ≈0.8167
12	1- $\frac{12}{25}$ ⋅ $\frac{11}{24}$ =1- $\frac{11}{50}$ ≈0.78
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=4 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{4}{25}$ ⋅ $\frac{3}{24}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{4}{25}$ und beim zweiten $\frac{3}{24}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{4}{25}$ ⋅ $\frac{3}{24}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=4. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/25*(x-1)/24)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 11 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 11 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 15 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 3 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 15% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{1}{5}$	0.6482
$\frac{1}{6}$	0.7685
$\frac{1}{7}$	0.8441
$\frac{1}{8}$	0.8922
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=15 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{15} (X \leq 3)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{15} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 15 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{15}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{15}$ ⋅15 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{15} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{15}$ mit $\frac{1}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{5}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{8}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 8 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR