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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 3 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 3 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,2. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.2=p³

=>p= $\sqrt[3]{0.2}$ ≈ 0.5848

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,5. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% 25 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

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n	P(X≤k)
...	...
49	0.5
50	0.4439
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{n} (X \geq 25)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.5}^{n} (X \geq 25)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.5}^{n} (X \geq 25)$ = 1 - $P_{0.5}^{n} (X \leq 24)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.5}^{n} (X \leq 24)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.5}^{n} (X \leq 24)$ oder $P_{0.5}^{n} (X \leq 24)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{25}{0.5}$ ≈ 50 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.5⋅50) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=50:
$P_{0.5}^{n} (X \leq 24)$ ≈ 0.4439 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=50 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 50 sein, damit $P_{0.5}^{n} (X \leq 24)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.5}^{n} (X \geq 25)$ ≥ 0.5 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 21 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 80%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
3	1- $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{2}{20}$ =1- $\frac{1}{70}$ ≈0.9857
4	1- $\frac{4}{21}$ ⋅ $\frac{3}{20}$ =1- $\frac{1}{35}$ ≈0.9714
5	1- $\frac{5}{21}$ ⋅ $\frac{4}{20}$ =1- $\frac{1}{21}$ ≈0.9524
6	1- $\frac{6}{21}$ ⋅ $\frac{5}{20}$ =1- $\frac{1}{14}$ ≈0.9286
7	1- $\frac{7}{21}$ ⋅ $\frac{6}{20}$ =1- $\frac{1}{10}$ ≈0.9
8	1- $\frac{8}{21}$ ⋅ $\frac{7}{20}$ =1- $\frac{2}{15}$ ≈0.8667
9	1- $\frac{9}{21}$ ⋅ $\frac{8}{20}$ =1- $\frac{6}{35}$ ≈0.8286
10	1- $\frac{10}{21}$ ⋅ $\frac{9}{20}$ =1- $\frac{3}{14}$ ≈0.7857
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{2}{20}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{3}{21}$ und beim zweiten $\frac{2}{20}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{2}{20}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/21*(x-1)/20)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 9 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 9 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 25 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 25 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{8}{11}$	0.9997
$\frac{9}{12}$	0.9992
$\frac{10}{13}$	0.9986
$\frac{11}{14}$	0.9976
$\frac{12}{15}$	0.9962
$\frac{13}{16}$	0.9944
$\frac{14}{17}$	0.9922
$\frac{15}{18}$	0.9895
$\frac{16}{19}$	0.9864
$\frac{17}{20}$	0.9828
$\frac{18}{21}$	0.9788
$\frac{19}{22}$	0.9744
$\frac{20}{23}$	0.9696
$\frac{21}{24}$	0.9645
$\frac{22}{25}$	0.9591
$\frac{23}{26}$	0.9533
$\frac{24}{27}$	0.9474
$\frac{25}{28}$	0.9412
$\frac{26}{29}$	0.9348
$\frac{27}{30}$	0.9282
$\frac{28}{31}$	0.9215
$\frac{29}{32}$	0.9147
$\frac{30}{33}$	0.9077
$\frac{31}{34}$	0.9007
$\frac{32}{35}$	0.8936
$\frac{33}{36}$	0.8864
$\frac{34}{37}$	0.8792
$\frac{35}{38}$	0.872
$\frac{36}{39}$	0.8648
$\frac{37}{40}$	0.8576
$\frac{38}{41}$	0.8504
$\frac{39}{42}$	0.8432
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 3 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{25} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 25 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{8}{11}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{38}{41}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 38 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR