Mathebattle EduRandomtasks

p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 72% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

Lösung einblenden

P=0.72 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.28 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.28=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.28}$ ≈ 0.7274

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.7274 ≈ 0.2726

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% 36 oder mehr 6er zu erzielen?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
238	0.2372
239	0.2285
240	0.2201
241	0.2119
242	0.2039
243	0.196
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 36)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 36)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 36)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 35)$ ≥ 0.8 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 35)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 35)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 35)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{36}{\frac{1}{6}}$ ≈ 216 Versuchen auch ungefähr 36 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅216) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=216:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 35)$ ≈ 0.4717 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=243 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 243 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 35)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 36)$ ≥ 0.8 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 21 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

Lösung einblenden

Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
3	1- $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{2}{20}$ =1- $\frac{1}{70}$ ≈0.9857
4	1- $\frac{4}{21}$ ⋅ $\frac{3}{20}$ =1- $\frac{1}{35}$ ≈0.9714
5	1- $\frac{5}{21}$ ⋅ $\frac{4}{20}$ =1- $\frac{1}{21}$ ≈0.9524
6	1- $\frac{6}{21}$ ⋅ $\frac{5}{20}$ =1- $\frac{1}{14}$ ≈0.9286
7	1- $\frac{7}{21}$ ⋅ $\frac{6}{20}$ =1- $\frac{1}{10}$ ≈0.9
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{2}{20}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{3}{21}$ und beim zweiten $\frac{2}{20}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{2}{20}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/21*(x-1)/20)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 6 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 6 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 19 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 19 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

Lösung einblenden

p	P(X≤6)
...	...
$\frac{3}{9}$	0.5431
$\frac{3}{10}$	0.6655
$\frac{3}{11}$	0.7578
$\frac{3}{12}$	0.8251
$\frac{3}{13}$	0.8734
$\frac{3}{14}$	0.9078
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=19 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{19} (X \leq 6)$ =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{19} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 19 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{19}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{19}$ ⋅19 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{19} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{19}$ mit $\frac{3}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{9}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{14}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 14 sein.

Also werden noch 11 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR