nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

An einem Glücksrad wird 4 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen 4 Durchgängen die Farbe 'blau' kommt, ist 0,1. Wie groß muss bei diesem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit für das blaue Feld sein?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

Lösung einblenden

P=0.1 ist die Wahrscheinlichkeit, dass 4 mal das Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt.

Es gilt also 0.1=p4

=>p=0.14 ≈ 0.5623

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 19% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 26-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 50% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

Lösung einblenden
nP(X≤k)
......
320.5854
330.4412
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.81 und variablem n.

Es muss gelten: P0.81n (X≤26) ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 81% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 26 0.81 ≈ 32 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.81⋅32) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=32:
P0.81n (X≤26) ≈ 0.5854 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 45 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

Lösung einblenden
Anzahl der schwarzen Kugeln in der UrneP('mindestens eine schwarze Kugel')
......
31- 42 45 ⋅ 41 44 =1- 287 330 ≈0.1303
41- 41 45 ⋅ 40 44 =1- 82 99 ≈0.1717
51- 40 45 ⋅ 39 44 =1- 26 33 ≈0.2121
61- 39 45 ⋅ 38 44 =1- 247 330 ≈0.2515
71- 38 45 ⋅ 37 44 =1- 703 990 ≈0.2899
81- 37 45 ⋅ 36 44 =1- 37 55 ≈0.3273
91- 36 45 ⋅ 35 44 =1- 7 11 ≈0.3636
101- 35 45 ⋅ 34 44 =1- 119 198 ≈0.399
111- 34 45 ⋅ 33 44 =1- 17 30 ≈0.4333
121- 33 45 ⋅ 32 44 =1- 8 15 ≈0.4667
131- 32 45 ⋅ 31 44 =1- 248 495 ≈0.499
141- 31 45 ⋅ 30 44 =1- 31 66 ≈0.5303
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= 42 45 ⋅ 41 44 (beim ersten Zufallsversuch 42 45 und beim zweiten 41 44 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- 42 45 ⋅ 41 44

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(45-x)/45*(44-x)/44)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 14 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 14 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 4 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 120 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 70%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 12 mal am Tag eines ihrer eigenen 4 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

Lösung einblenden
pP(X≥12)=1-P(X≤11)
......
4 19 0.9996
4 20 0.999
4 21 0.9977
4 22 0.9954
4 23 0.9917
4 24 0.9861
4 25 0.978
4 26 0.967
4 27 0.9529
4 28 0.9354
4 29 0.9145
4 30 0.8902
4 31 0.8629
4 32 0.8328
4 33 0.8003
4 34 0.7658
4 35 0.7299
4 36 0.6931
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=120 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp120 (X≥12) = 1- Pp120 (X≤11) = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp120 (X≥12) ('mindestens 12 Treffer bei 120 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 4 19 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 4 35 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 35 sein.

Also wären noch 31 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.