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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 3 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 91% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.91 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 3 Durchgängen, also ist 1-P=0.09 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 3 Durchgängen.

Es gilt also 0.09=(1-p)3

=>1-p=0.093 ≈ 0.4481

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.4481 ≈ 0.5519

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Ein Lebensmittelhersteller wirbt damit, dass sich in jeder 7. Verpackung eine Überraschung befindet. Wie viele Packungen muss man mindestens kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% mindestens 3 Überraschung(en) zu erhalten.

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nP(X≤k)
......
210.4058
220.3731
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Überraschungen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 7 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 7 n (X≥3) ≥ 0.6

Weil man ja aber P 1 7 n (X≥3) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P 1 7 n (X≥3) = 1 - P 1 7 n (X≤2) ≥ 0.6 |+ P 1 7 n (X≤2) - 0.6

0.4 ≥ P 1 7 n (X≤2) oder P 1 7 n (X≤2) ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 7 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 3 1 7 ≈ 21 Versuchen auch ungefähr 3 (≈ 1 7 ⋅21) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=21:
P 1 7 n (X≤2) ≈ 0.4058 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=22 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 22 sein, damit P 1 7 n (X≤2) ≤ 0.4 oder eben P 1 7 n (X≥3) ≥ 0.6 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 35 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der UrneP('mindestens eine schwarze Kugel')
......
31- 32 35 ⋅ 31 34 =1- 496 595 ≈0.1664
41- 31 35 ⋅ 30 34 =1- 93 119 ≈0.2185
51- 30 35 ⋅ 29 34 =1- 87 119 ≈0.2689
61- 29 35 ⋅ 28 34 =1- 58 85 ≈0.3176
71- 28 35 ⋅ 27 34 =1- 54 85 ≈0.3647
81- 27 35 ⋅ 26 34 =1- 351 595 ≈0.4101
91- 26 35 ⋅ 25 34 =1- 65 119 ≈0.4538
101- 25 35 ⋅ 24 34 =1- 60 119 ≈0.4958
111- 24 35 ⋅ 23 34 =1- 276 595 ≈0.5361
121- 23 35 ⋅ 22 34 =1- 253 595 ≈0.5748
131- 22 35 ⋅ 21 34 =1- 33 85 ≈0.6118
141- 21 35 ⋅ 20 34 =1- 6 17 ≈0.6471
151- 20 35 ⋅ 19 34 =1- 38 119 ≈0.6807
161- 19 35 ⋅ 18 34 =1- 171 595 ≈0.7126
171- 18 35 ⋅ 17 34 =1- 9 35 ≈0.7429
181- 17 35 ⋅ 16 34 =1- 8 35 ≈0.7714
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= 32 35 ⋅ 31 34 (beim ersten Zufallsversuch 32 35 und beim zweiten 31 34 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- 32 35 ⋅ 31 34

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(35-x)/35*(34-x)/34)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 18 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 18 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 28 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 28 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?

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pP(X≤21)
......
2 4 0.9981
3 5 0.9685
4 6 0.8738
5 7 0.7282
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp28 (X≤21) = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 2 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp28 (X≤21) ('höchstens 21 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 2 4 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 4 6 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 4 sein.