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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 89% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.89 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.11 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.11=(1-p)4

=>1-p=0.114 ≈ 0.5759

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.5759 ≈ 0.4241

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,55. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% 22 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

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nP(X≤k)
......
430.2542
440.2063
450.165
460.1302
470.1014
480.0779
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: P0.55n (X22) ≥ 0.9

Weil man ja aber P0.55n (X22) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.55n (X22) = 1 - P0.55n (X21) ≥ 0.9 |+ P0.55n (X21) - 0.9

0.1 ≥ P0.55n (X21) oder P0.55n (X21) ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 22 0.55 ≈ 40 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.55⋅40) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=40:
P0.55n (X21) ≈ 0.4349 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=48 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 48 sein, damit P0.55n (X21) ≤ 0.1 oder eben P0.55n (X22) ≥ 0.9 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 27 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im KartenstapelP('höchstens einen Joker')
......
41- 4 27 3 26 =1- 2 117 ≈0.9829
51- 5 27 4 26 =1- 10 351 ≈0.9715
61- 6 27 5 26 =1- 5 117 ≈0.9573
71- 7 27 6 26 =1- 7 117 ≈0.9402
81- 8 27 7 26 =1- 28 351 ≈0.9202
91- 9 27 8 26 =1- 4 39 ≈0.8974
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=4 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= 4 27 3 26 (beim ersten Zufallsversuch 4 27 und beim zweiten 3 26 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- 4 27 3 26

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=4. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/27*(x-1)/26)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 8 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 8 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 15 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 15 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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pP(X≤3)
......
3 15 0.6482
3 16 0.6946
3 17 0.7344
3 18 0.7685
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=15 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp15 (X3) =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp15 (X3) ('höchstens 3 Treffer bei 15 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 3 15 . Mit diesem p wäre ja 3= 3 15 ⋅15 der Erwartungswert und somit Pp15 (X3) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 3 15 mit 3 3 erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 3 15 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 3 18 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 18 sein.

Also werden noch 15 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.