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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 67% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.67 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.33 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.33=(1-p)4

=>1-p=0.334 ≈ 0.7579

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.7579 ≈ 0.2421

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Ein Lebensmittelhersteller wirbt damit, dass sich in jeder 7. Verpackung eine Überraschung befindet. Wie viele Packungen muss man mindestens kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens 1 Überraschung(en) zu erhalten.

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nP(X≤k)
......
70.3399
80.2914
90.2497
100.2141
110.1835
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Überraschungen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 7 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 7 n (X1) ≥ 0.8

Weil man ja aber P 1 7 n (X1) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P 1 7 n (X1) = 1 - P 1 7 n (X0) ≥ 0.8 |+ P 1 7 n (X0) - 0.8

0.2 ≥ P 1 7 n (X0) oder P 1 7 n (X0) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 7 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 1 1 7 ≈ 7 Versuchen auch ungefähr 1 (≈ 1 7 ⋅7) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=7:
P 1 7 n (X0) ≈ 0.3399 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=11 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 11 sein, damit P 1 7 n (X0) ≤ 0.2 oder eben P 1 7 n (X1) ≥ 0.8 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 45 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 80% liegen. Wieviel der 45 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im LostopfP('höchstens eine Niete')
......
51- 5 45 4 44 =1- 1 99 ≈0.9899
61- 6 45 5 44 =1- 1 66 ≈0.9848
71- 7 45 6 44 =1- 7 330 ≈0.9788
81- 8 45 7 44 =1- 14 495 ≈0.9717
91- 9 45 8 44 =1- 2 55 ≈0.9636
101- 10 45 9 44 =1- 1 22 ≈0.9545
111- 11 45 10 44 =1- 1 18 ≈0.9444
121- 12 45 11 44 =1- 1 15 ≈0.9333
131- 13 45 12 44 =1- 13 165 ≈0.9212
141- 14 45 13 44 =1- 91 990 ≈0.9081
151- 15 45 14 44 =1- 7 66 ≈0.8939
161- 16 45 15 44 =1- 4 33 ≈0.8788
171- 17 45 16 44 =1- 68 495 ≈0.8626
181- 18 45 17 44 =1- 17 110 ≈0.8455
191- 19 45 18 44 =1- 19 110 ≈0.8273
201- 20 45 19 44 =1- 19 99 ≈0.8081
211- 21 45 20 44 =1- 7 33 ≈0.7879
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=5 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= 5 45 4 44 (beim ersten Zufallsversuch 5 45 und beim zweiten 4 44 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- 5 45 4 44

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=5. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/45*(x-1)/44)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 20 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 20 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 12 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 12 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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pP(X≤6)
......
4 8 0.6128
4 9 0.752
4 10 0.8418
4 11 0.8982
4 12 0.9336
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp12 (X6) =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp12 (X6) ('höchstens 6 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 12 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 12 ⋅12 der Erwartungswert und somit Pp12 (X6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 12 mit 4 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 4 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 4 8 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 4 12 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 12 sein.

Also werden noch 8 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.