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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 61% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.61 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.39 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.39=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.39}$ ≈ 0.7903

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.7903 ≈ 0.2097

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht mehr als 28 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
148	0.8031
149	0.7924
150	0.7814
151	0.7701
152	0.7586
153	0.7469
154	0.7348
155	0.7226
156	0.7102
157	0.6975
158	0.6847
159	0.6718
160	0.6586
161	0.6454
162	0.632
163	0.6185
164	0.605
165	0.5913
166	0.5777
167	0.564
168	0.5502
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 28)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{28}{\frac{1}{6}}$ ≈ 168 Versuchen auch ungefähr 28 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅168) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=168:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 28)$ ≈ 0.5502 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=148 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 25 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne	P('mindestens eine schwarze Kugel')
...	...
3	1- $\frac{22}{25}$ ⋅ $\frac{21}{24}$ =1- $\frac{77}{100}$ ≈0.23
4	1- $\frac{21}{25}$ ⋅ $\frac{20}{24}$ =1- $\frac{7}{10}$ ≈0.3
5	1- $\frac{20}{25}$ ⋅ $\frac{19}{24}$ =1- $\frac{19}{30}$ ≈0.3667
6	1- $\frac{19}{25}$ ⋅ $\frac{18}{24}$ =1- $\frac{57}{100}$ ≈0.43
7	1- $\frac{18}{25}$ ⋅ $\frac{17}{24}$ =1- $\frac{51}{100}$ ≈0.49
8	1- $\frac{17}{25}$ ⋅ $\frac{16}{24}$ =1- $\frac{34}{75}$ ≈0.5467
9	1- $\frac{16}{25}$ ⋅ $\frac{15}{24}$ =1- $\frac{2}{5}$ ≈0.6
10	1- $\frac{15}{25}$ ⋅ $\frac{14}{24}$ =1- $\frac{7}{20}$ ≈0.65
11	1- $\frac{14}{25}$ ⋅ $\frac{13}{24}$ =1- $\frac{91}{300}$ ≈0.6967
12	1- $\frac{13}{25}$ ⋅ $\frac{12}{24}$ =1- $\frac{13}{50}$ ≈0.74
13	1- $\frac{12}{25}$ ⋅ $\frac{11}{24}$ =1- $\frac{11}{50}$ ≈0.78
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= $\frac{22}{25}$ ⋅ $\frac{21}{24}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{22}{25}$ und beim zweiten $\frac{21}{24}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- $\frac{22}{25}$ ⋅ $\frac{21}{24}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(25-x)/25*(24-x)/24)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 13 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 13 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 95 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% für die 95 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤7)
...	...
$\frac{1}{13}$	0.5512
$\frac{1}{14}$	0.6319
$\frac{1}{15}$	0.7004
$\frac{1}{16}$	0.7573
$\frac{1}{17}$	0.804
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=95 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{95} (X \leq 7)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{95} (X \leq 7)$ ('höchstens 7 Treffer bei 95 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{7}{95}$ . Mit diesem p wäre ja 7= $\frac{7}{95}$ ⋅95 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{95} (X \leq 7)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{7}{95}$ mit $\frac{1}{7}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{13}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{17}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 17 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR