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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 3 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 87% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.87 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 3 Durchgängen, also ist 1-P=0.13 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 3 Durchgängen.

Es gilt also 0.13=(1-p)³

=>1-p= $\sqrt[3]{0.13}$ ≈ 0.5066

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.5066 ≈ 0.4934

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,8. Wie viele Freiwürfe darf man bei ihm durch Fouls höchstens zulassen, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht über 37 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
44	0.8044
45	0.7025
46	0.5879
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \leq 37)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{37}{0.8}$ ≈ 46 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.8⋅46) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=46:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 37)$ ≈ 0.5879 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=44 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 24 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 80%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
3	1- $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{2}{23}$ =1- $\frac{1}{92}$ ≈0.9891
4	1- $\frac{4}{24}$ ⋅ $\frac{3}{23}$ =1- $\frac{1}{46}$ ≈0.9783
5	1- $\frac{5}{24}$ ⋅ $\frac{4}{23}$ =1- $\frac{5}{138}$ ≈0.9638
6	1- $\frac{6}{24}$ ⋅ $\frac{5}{23}$ =1- $\frac{5}{92}$ ≈0.9457
7	1- $\frac{7}{24}$ ⋅ $\frac{6}{23}$ =1- $\frac{7}{92}$ ≈0.9239
8	1- $\frac{8}{24}$ ⋅ $\frac{7}{23}$ =1- $\frac{7}{69}$ ≈0.8986
9	1- $\frac{9}{24}$ ⋅ $\frac{8}{23}$ =1- $\frac{3}{23}$ ≈0.8696
10	1- $\frac{10}{24}$ ⋅ $\frac{9}{23}$ =1- $\frac{15}{92}$ ≈0.837
11	1- $\frac{11}{24}$ ⋅ $\frac{10}{23}$ =1- $\frac{55}{276}$ ≈0.8007
12	1- $\frac{12}{24}$ ⋅ $\frac{11}{23}$ =1- $\frac{11}{46}$ ≈0.7609
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{2}{23}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{3}{24}$ und beim zweiten $\frac{2}{23}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{2}{23}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/24*(x-1)/23)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 11 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 11 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 8 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 60 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 8 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% für die 60 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤8)
...	...
$\frac{1}{7}$	0.5073
$\frac{1}{8}$	0.6669
$\frac{1}{9}$	0.7815
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{60} (X \leq 8)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{60} (X \leq 8)$ ('höchstens 8 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{8}{60}$ . Mit diesem p wäre ja 8= $\frac{8}{60}$ ⋅60 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{60} (X \leq 8)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{8}{60}$ mit $\frac{1}{8}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{7}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{9}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 9 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR