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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 4 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 81% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.81 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.19 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.19=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.19}$ ≈ 0.6602

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.6602 ≈ 0.3398

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 25%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit 31 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
124	0.4656
125	0.4452
126	0.425
127	0.4052
128	0.3857
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{n} (X \geq 31)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.25}^{n} (X \geq 31)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.25}^{n} (X \geq 31)$ = 1 - $P_{0.25}^{n} (X \leq 30)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.25}^{n} (X \leq 30)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.25}^{n} (X \leq 30)$ oder $P_{0.25}^{n} (X \leq 30)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{31}{0.25}$ ≈ 124 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.25⋅124) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=124:
$P_{0.25}^{n} (X \leq 30)$ ≈ 0.4656 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=128 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 128 sein, damit $P_{0.25}^{n} (X \leq 30)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.25}^{n} (X \geq 31)$ ≥ 0.6 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 22 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
3	1- $\frac{3}{22}$ ⋅ $\frac{2}{21}$ =1- $\frac{1}{77}$ ≈0.987
4	1- $\frac{4}{22}$ ⋅ $\frac{3}{21}$ =1- $\frac{2}{77}$ ≈0.974
5	1- $\frac{5}{22}$ ⋅ $\frac{4}{21}$ =1- $\frac{10}{231}$ ≈0.9567
6	1- $\frac{6}{22}$ ⋅ $\frac{5}{21}$ =1- $\frac{5}{77}$ ≈0.9351
7	1- $\frac{7}{22}$ ⋅ $\frac{6}{21}$ =1- $\frac{1}{11}$ ≈0.9091
8	1- $\frac{8}{22}$ ⋅ $\frac{7}{21}$ =1- $\frac{4}{33}$ ≈0.8788
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{3}{22}$ ⋅ $\frac{2}{21}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{3}{22}$ und beim zweiten $\frac{2}{21}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{3}{22}$ ⋅ $\frac{2}{21}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/22*(x-1)/21)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 7 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 7 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 2 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 60 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 75%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 16 mal am Tag eines ihrer eigenen 2 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥16)=1-P(X≤15)
...	...
$\frac{2}{5}$	0.9891
$\frac{2}{6}$	0.8929
$\frac{2}{7}$	0.6746
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{60} (X \geq 16)$ = 1- $P_{p}^{60} (X \leq 15)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{60} (X \geq 16)$ ('mindestens 16 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{2}{5}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{6}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 6 sein.

Also wären noch 4 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR