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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 89% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
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P=0.89 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.11 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.11=(1-p)4

=>1-p=0.114 ≈ 0.5759

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.5759 ≈ 0.4241

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,09. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 90% kein Descepticon unter ihnen ist?

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nP(X≤k)
......
10.91
20.8281
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.09 und variablem n.

Es muss gelten: P0.09n (X≤0) ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 9% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 0 0.09 ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.09⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
P0.09n (X≤0) ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=1 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einer Urne sind 40 Kugeln. Alle Kugeln sind entweder rot oder schwarz. Es sollen 2 Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% unter den beiden gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze ist?

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Anzahl der schwarzen Kugeln in der UrneP('mindestens eine schwarze Kugel')
......
31- 37 40 ⋅ 36 39 =1- 111 130 ≈0.1462
41- 36 40 ⋅ 35 39 =1- 21 26 ≈0.1923
51- 35 40 ⋅ 34 39 =1- 119 156 ≈0.2372
61- 34 40 ⋅ 33 39 =1- 187 260 ≈0.2808
71- 33 40 ⋅ 32 39 =1- 44 65 ≈0.3231
81- 32 40 ⋅ 31 39 =1- 124 195 ≈0.3641
91- 31 40 ⋅ 30 39 =1- 31 52 ≈0.4038
101- 30 40 ⋅ 29 39 =1- 29 52 ≈0.4423
111- 29 40 ⋅ 28 39 =1- 203 390 ≈0.4795
121- 28 40 ⋅ 27 39 =1- 63 130 ≈0.5154
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'mindestens eine schwarze Kugel'.

Das Gegenereignis ('keine schwarze Kugel') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne=3 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'keine schwarze Kugel'= 37 40 ⋅ 36 39 (beim ersten Zufallsversuch 37 40 und beim zweiten 36 39 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel'=1- 37 40 ⋅ 36 39

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine schwarze Kugel' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=3. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-(40-x)/40*(39-x)/39)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei 12 als 'Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne muss also mindestens 12 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 6 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 60 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 6 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% für die 60 Durchgänge reichen?

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pP(X≤6)
......
1 10 0.6065
1 11 0.6975
1 12 0.7688
1 13 0.8235
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp60 (X≤6) =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp60 (X≤6) ('höchstens 6 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 6 60 . Mit diesem p wäre ja 6= 6 60 ⋅60 der Erwartungswert und somit Pp60 (X≤6) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 6 60 mit 1 6 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 10 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 13 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 13 sein.