Mathebattle EduRandomtasks

p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 4 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 94% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

Lösung einblenden

P=0.94 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.06 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.06=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.06}$ ≈ 0.4949

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.4949 ≈ 0.5051

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 20%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit 40 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
209	0.3509
210	0.3383
211	0.326
212	0.3139
213	0.3021
214	0.2905
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.2 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.2}^{n} (X \geq 40)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.2}^{n} (X \geq 40)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.2}^{n} (X \geq 40)$ = 1 - $P_{0.2}^{n} (X \leq 39)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.2}^{n} (X \leq 39)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.2}^{n} (X \leq 39)$ oder $P_{0.2}^{n} (X \leq 39)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 20% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{40}{0.2}$ ≈ 200 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.2⋅200) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=200:
$P_{0.2}^{n} (X \leq 39)$ ≈ 0.4718 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=214 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 214 sein, damit $P_{0.2}^{n} (X \leq 39)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.2}^{n} (X \geq 40)$ ≥ 0.7 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 27 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 80%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

Lösung einblenden

Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
4	1- $\frac{4}{27}$ ⋅ $\frac{3}{26}$ =1- $\frac{2}{117}$ ≈0.9829
5	1- $\frac{5}{27}$ ⋅ $\frac{4}{26}$ =1- $\frac{10}{351}$ ≈0.9715
6	1- $\frac{6}{27}$ ⋅ $\frac{5}{26}$ =1- $\frac{5}{117}$ ≈0.9573
7	1- $\frac{7}{27}$ ⋅ $\frac{6}{26}$ =1- $\frac{7}{117}$ ≈0.9402
8	1- $\frac{8}{27}$ ⋅ $\frac{7}{26}$ =1- $\frac{28}{351}$ ≈0.9202
9	1- $\frac{9}{27}$ ⋅ $\frac{8}{26}$ =1- $\frac{4}{39}$ ≈0.8974
10	1- $\frac{10}{27}$ ⋅ $\frac{9}{26}$ =1- $\frac{5}{39}$ ≈0.8718
11	1- $\frac{11}{27}$ ⋅ $\frac{10}{26}$ =1- $\frac{55}{351}$ ≈0.8433
12	1- $\frac{12}{27}$ ⋅ $\frac{11}{26}$ =1- $\frac{22}{117}$ ≈0.812
13	1- $\frac{13}{27}$ ⋅ $\frac{12}{26}$ =1- $\frac{2}{9}$ ≈0.7778
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=4 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{4}{27}$ ⋅ $\frac{3}{26}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{4}{27}$ und beim zweiten $\frac{3}{26}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{4}{27}$ ⋅ $\frac{3}{26}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=4. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/27*(x-1)/26)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 12 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 12 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 13 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% unter den 13 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

Lösung einblenden

p	P(X≤6)
...	...
$\frac{5}{10}$	0.5
$\frac{5}{11}$	0.6311
$\frac{5}{12}$	0.7314
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=13 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{13} (X \leq 6)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{13} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 13 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{13}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{13}$ ⋅13 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{13} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{13}$ mit $\frac{5}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{5}{10}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{5}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 12 sein.

Also werden noch 7 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR