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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 4 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 90% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.9 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.1 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.

Es gilt also 0.1=(1-p)⁴

=>1-p= $\sqrt[4]{0.1}$ ≈ 0.5623

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.5623 ≈ 0.4377

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Beim Biberacher Schützenfest läuft ein 12-köpfiger historischer Spielmannszug mit, der an die Schweden während des 30-Jährigen Kriegs erinnert. Dabei feiern dessen Mitglieder manchmal so ausgelassen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ausfall beim Umzug wegen unverhältnismäßigem Alkoholgenuss bei 15% liegt. Wie viele Schwedenmusiker muss die Schützendirektion mindestens ausbilden, damit beim Umzug mit mindestens 50%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 12 Schweden einsatzfähig sind?

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n	P(X≤k)
...	...
13	0.6017
14	0.3521
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \geq 12)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.85}^{n} (X \geq 12)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.85}^{n} (X \geq 12)$ = 1 - $P_{0.85}^{n} (X \leq 11)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.85}^{n} (X \leq 11)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.85}^{n} (X \leq 11)$ oder $P_{0.85}^{n} (X \leq 11)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{12}{0.85}$ ≈ 14 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.85⋅14) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=14:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 11)$ ≈ 0.3521 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=14 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 14 sein, damit $P_{0.85}^{n} (X \leq 11)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.85}^{n} (X \geq 12)$ ≥ 0.5 gilt.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

In einem Kartenstapel mit 26 Karten sind auch einige Joker-Karten drin. Wenn man 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel zieht, soll mit 85%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens eine Jokerkarte dabei sein liegen. Wie viele Jokerkarten dürfen maximal in dem Stapel drin sein?

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Anzahl der Joker im Kartenstapel	P('höchstens einen Joker')
...	...
4	1- $\frac{4}{26}$ ⋅ $\frac{3}{25}$ =1- $\frac{6}{325}$ ≈0.9815
5	1- $\frac{5}{26}$ ⋅ $\frac{4}{25}$ =1- $\frac{2}{65}$ ≈0.9692
6	1- $\frac{6}{26}$ ⋅ $\frac{5}{25}$ =1- $\frac{3}{65}$ ≈0.9538
7	1- $\frac{7}{26}$ ⋅ $\frac{6}{25}$ =1- $\frac{21}{325}$ ≈0.9354
8	1- $\frac{8}{26}$ ⋅ $\frac{7}{25}$ =1- $\frac{28}{325}$ ≈0.9138
9	1- $\frac{9}{26}$ ⋅ $\frac{8}{25}$ =1- $\frac{36}{325}$ ≈0.8892
10	1- $\frac{10}{26}$ ⋅ $\frac{9}{25}$ =1- $\frac{9}{65}$ ≈0.8615
11	1- $\frac{11}{26}$ ⋅ $\frac{10}{25}$ =1- $\frac{11}{65}$ ≈0.8308
...	...

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens einen Joker'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Joker') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Joker im Kartenstapel=4 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Joker'= $\frac{4}{26}$ ⋅ $\frac{3}{25}$ (beim ersten Zufallsversuch $\frac{4}{26}$ und beim zweiten $\frac{3}{25}$ weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker'=1- $\frac{4}{26}$ ⋅ $\frac{3}{25}$

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Joker im Kartenstapel um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens einen Joker' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=4. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/26*(x-1)/25)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 10 als 'Anzahl der Joker im Kartenstapel' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Joker im Kartenstapel darf also höchstens 10 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 9er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.998
$\frac{1}{3}$	0.974
$\frac{1}{4}$	0.9249
$\frac{1}{5}$	0.8658
$\frac{1}{6}$	0.8062
$\frac{1}{7}$	0.7503
$\frac{1}{8}$	0.6993
$\frac{1}{9}$	0.6536
$\frac{1}{10}$	0.6126
$\frac{1}{11}$	0.5759
$\frac{1}{12}$	0.543
$\frac{1}{13}$	0.5134
$\frac{1}{14}$	0.4867
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=9 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{9} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{9} (X \leq 0)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{9} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 9 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{13}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 13 sein.

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p gesucht (n-te Wurzel)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR