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p gesucht (n-te Wurzel)

Beispiel:

Ein Basketballtrainer sucht einen Spieler, bei dem die Wahrscheinlichkeit von 3 Versuchen mindestens einmal zu treffen bei 96% liegt. Wie hoch muss dann seine Trefferquote sein? (Gib diese als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 an)
(Bitte auf 3 Stellen runden!)

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P=0.96 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 3 Durchgängen, also ist 1-P=0.04 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 3 Durchgängen.

Es gilt also 0.04=(1-p)3

=>1-p=0.043 ≈ 0.342

Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.342 ≈ 0.658

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% nicht mehr als 35 6er zu würfeln?

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nP(X≤k)
......
2100.545
2110.5327
2120.5204
2130.5082
2140.496
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 6 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 6 n (X≤35) ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 6 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 35 1 6 ≈ 210 Versuchen auch ungefähr 35 (≈ 1 6 ⋅210) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=210:
P 1 6 n (X≤35) ≈ 0.545 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=213 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

gesuchtes p (ohne zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Tombola sind 50 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 80% liegen. Wieviel der 50 Lose dürfen höchstens Nieten sein?

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Anzahl der Nieten im LostopfP('höchstens eine Niete')
......
61- 6 50 ⋅ 5 49 =1- 3 245 ≈0.9878
71- 7 50 ⋅ 6 49 =1- 3 175 ≈0.9829
81- 8 50 ⋅ 7 49 =1- 4 175 ≈0.9771
91- 9 50 ⋅ 8 49 =1- 36 1225 ≈0.9706
101- 10 50 ⋅ 9 49 =1- 9 245 ≈0.9633
111- 11 50 ⋅ 10 49 =1- 11 245 ≈0.9551
121- 12 50 ⋅ 11 49 =1- 66 1225 ≈0.9461
131- 13 50 ⋅ 12 49 =1- 78 1225 ≈0.9363
141- 14 50 ⋅ 13 49 =1- 13 175 ≈0.9257
151- 15 50 ⋅ 14 49 =1- 3 35 ≈0.9143
161- 16 50 ⋅ 15 49 =1- 24 245 ≈0.902
171- 17 50 ⋅ 16 49 =1- 136 1225 ≈0.889
181- 18 50 ⋅ 17 49 =1- 153 1225 ≈0.8751
191- 19 50 ⋅ 18 49 =1- 171 1225 ≈0.8604
201- 20 50 ⋅ 19 49 =1- 38 245 ≈0.8449
211- 21 50 ⋅ 20 49 =1- 6 35 ≈0.8286
221- 22 50 ⋅ 21 49 =1- 33 175 ≈0.8114
231- 23 50 ⋅ 22 49 =1- 253 1225 ≈0.7935
......

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.

Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist):
Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=6 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= 6 50 ⋅ 5 49 (beim ersten Zufallsversuch 6 50 und beim zweiten 5 49 weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1- 6 50 ⋅ 5 49

Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=6. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/50*(x-1)/49)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 22 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 22 sein.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 9 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 95 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 9 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% für die 95 Durchgänge reichen?

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pP(X≤9)
......
1 10 0.5184
1 11 0.6376
1 12 0.7329
1 13 0.8056
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=95 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp95 (X≤9) =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp95 (X≤9) ('höchstens 9 Treffer bei 95 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 9 95 . Mit diesem p wäre ja 9= 9 95 ⋅95 der Erwartungswert und somit Pp95 (X≤9) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 9 95 mit 1 9 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 10 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 13 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 13 sein.