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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 - x -44 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also x 2 - x -44 = -2.

x 2 - x -44 = -2 | +2

x 2 - x -42 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -42 ) 2⋅1

x1,2 = +1 ± 1 +168 2

x1,2 = +1 ± 169 2

x1 = 1 + 169 2 = 1 +13 2 = 14 2 = 7

x2 = 1 - 169 2 = 1 -13 2 = -12 2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -42 ) = 1 4 + 42 = 1 4 + 168 4 = 169 4

x1,2 = 1 2 ± 169 4

x1 = 1 2 - 13 2 = - 12 2 = -6

x2 = 1 2 + 13 2 = 14 2 = 7

An den Stellen x1 = -6 und x2 = 7 gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -2 ( x -1 ) 4 +163 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also -2 ( x -1 ) 4 +163 = 1.

-2 ( x -1 ) 4 +163 = 1 | -163
-2 ( x -1 ) 4 = -162 |: ( -2 )
( x -1 ) 4 = 81 | ⋅4

1. Fall

x -1 = - 81 4 = -3
x -1 = -3 | +1
x1 = -2

2. Fall

x -1 = 81 4 = 3
x -1 = 3 | +1
x2 = 4

An den Stellen x1 = -2 und x2 = 4 gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 4 + x 3 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 4 + x 3 = 0
x 3 · ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -1 |0), S2(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 3 x 2 +7x -104 und g(x)= x +1 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

3 x 2 +7x -104 = x +1 | - x -1
3 x 2 +6x -105 = 0 |:3

x 2 +2x -35 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -35 ) 2⋅1

x1,2 = -2 ± 4 +140 2

x1,2 = -2 ± 144 2

x1 = -2 + 144 2 = -2 +12 2 = 10 2 = 5

x2 = -2 - 144 2 = -2 -12 2 = -14 2 = -7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -35 ) = 1+ 35 = 36

x1,2 = -1 ± 36

x1 = -1 - 6 = -7

x2 = -1 + 6 = 5

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -7 ) = -7 +1 = -6 ⇒ S1( -7 | -6 )

g( 5 ) = 5 +1 = 6 ⇒ S2( 5 | 6 )