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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - x^{2} + 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $x^{4} - x^{2} + 5$ = 5.

$x^{4} - x^{2} + 5$	=	$5$	\| $- 5$
$x^{4} - x^{2} + 5 - 5$	=	0
$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ , x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x^{2} - 20)}^{3} + 129$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $2 {(x^{2} - 20)}^{3} + 129$ = 1.

$2 {(x^{2} - 20)}^{3} + 129$	=	$1$	\| $- 129$
$2 {(x^{2} - 20)}^{3}$	=	$- 128$	\|: $2$
${(x^{2} - 20)}^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 20$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

$x^{2} - 20$	=	$- 4$	\| $+ 20$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

An den Stellen x₁ = $- 4$ und x₂ = $4$ gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{4} - 32$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 x^{4} - 32$	=	0	\| $+ 32$
$2 x^{4}$	=	$32$	\|: $2$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 4 x^{2} + 2 x$ und $g(x) =$ $- 3 x^{2} + 2 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 4 x^{2} + 2 x$	=	$- 3 x^{2} + 2 x$	\| $- (- 3 x^{2} + 2 x)$
$x^{4} - 4 x^{2} + 3 x^{2} + 2 x - 2 x$	=	0
$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $- 3 \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1)$ = $- 5$ ⇒ S₁( $- 1$ | $- 5$ )

g(0) = $- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $1$ ) = $- 3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1$ = $- 1$ ⇒ S₃( $1$ | $- 1$ )