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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{5} - 4 x^{3} + 3$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Es gilt f(x) = 3, also $x^{5} - 4 x^{3} + 3$ = 3.

$x^{5} - 4 x^{3} + 3$	=	$3$	\| $- 3$
$x^{5} - 4 x^{3} + 3 - 3$	=	0
$x^{5} - 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $2$ gilt also f(x)= 3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x + 3)}^{4} + 82$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $- {(x + 3)}^{4} + 82$ = 1.

$- {(x + 3)}^{4} + 82$	=	$1$	\| $- 82$
$- {(x + 3)}^{4}$	=	$- 81$	\|: $(- 1)$
${(x + 3)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 3

=

- \sqrt[4]{81}

=

- 3

$x + 3$	=	$- 3$	\| $- 3$
x₁	=	$- 6$

2. Fall

x + 3

=

\sqrt[4]{81}

=

3

$x + 3$	=	$3$	\| $- 3$
x₂	=	0

An den Stellen x₁ = $- 6$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} + 72 x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 x^{4} + 72 x^{2}$	=	0
$2 x^{2} \cdot (- x^{2} + 36)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 36$	=	0	\| $- 36$
$- x^{2}$	=	$- 36$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₃	=	$\sqrt{36}$	= $6$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 6$ |0), S₂(0|0), S₃( $6$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} - 6 x^{3} + 7 x^{2} + 1$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 2 x^{4} - 6 x^{3} + 7 x^{2} + 1$	=	$- x^{2} + 1$	\| $- 1$
$- 2 x^{4} - 6 x^{3} + 7 x^{2}$	=	$- x^{2}$	\| $+ x^{2}$
$- 2 x^{4} - 6 x^{3} + 7 x^{2} + x^{2}$	=	0
$- 2 x^{4} - 6 x^{3} + 8 x^{2}$	=	0
$- 2 x^{2} \cdot (x^{2} + 3 x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₂ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₃ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} + 1$ = $- 15$ ⇒ S₁( $- 4$ | $- 15$ )

g(0) = $- 0^{2} + 1$ = $1$ ⇒ S₂(0| $1$ )

g( $1$ ) = $- 1^{2} + 1$ = 0 ⇒ S₃( $1$ |0)

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):