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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 4 x - 3$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $x^{3} - 4 x - 3$ = -3.

$x^{3} - 4 x - 3$	=	$- 3$	\| $+ 3$
$x^{3} - 4 x - 3 + 3$	=	0
$x^{3} - 4 x$	=	0
$x (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $2$ gilt also f(x)= -3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(3 - 2 x)}^{3} + 50$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $2 {(3 - 2 x)}^{3} + 50$ = -4.

$2 {(3 - 2 x)}^{3} + 50$	=	$- 4$
$2 {(- 2 x + 3)}^{3} + 50$	=	$- 4$	\| $- 50$
$2 {(- 2 x + 3)}^{3}$	=	$- 54$	\|: $2$
${(- 2 x + 3)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 2 x + 3$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$- 2 x + 3$	=	$- 3$	\| $- 3$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

An der Stelle x₁ = $3$ gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} - 32$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 x^{4} - 32$	=	0	\| $+ 32$
$- 2 x^{4}$	=	$32$	\|: $(- 2)$
$x^{4}$	=	$- 16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 5 x^{2} - x$ und $g(x) =$ $3 x^{2} - x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} - 5 x^{2} - x$	=	$3 x^{2} - x$	\| $- (3 x^{2} - x)$
$x^{5} - 5 x^{2} - 3 x^{2} - x + x$	=	0
$x^{5} - 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $3 \cdot 0^{2} - 0$ = 0 ⇒ S₁(0|0)

g( $2$ ) = $3 \cdot 2^{2} - 2$ = $10$ ⇒ S₂( $2$ | $10$ )