nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 3 -2 x 2 -2 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also x 3 -2 x 2 -2 = -2.

x 3 -2 x 2 -2 = -2 | +2
x 3 -2 x 2 -2 +2 = 0
x 3 -2 x 2 = 0
x 2 ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

An den Stellen x1 = 0 und x2 = 2 gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - x 4 +12 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also - x 4 +12 = -4.

- x 4 +12 = -4 | -12
- x 4 = -16 |: ( -1 )
x 4 = 16 | 4
x1 = - 16 4 = -2
x2 = 16 4 = 2

An den Stellen x1 = -2 und x2 = 2 gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= -2 ( x 2 -6 ) 3 -16 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

-2 ( x 2 -6 ) 3 -16 = 0 | +16
-2 ( x 2 -6 ) 3 = 16 |: ( -2 )
( x 2 -6 ) 3 = -8 | 3
x 2 -6 = - 8 3 = -2
x 2 -6 = -2 | +6
x 2 = 4 | 2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -2 |0), S2( 2 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 2 x 4 - x 3 +3x +32 und g(x)= - x 3 +3x .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

2 x 4 - x 3 +3x +32 = - x 3 +3x | -32 + x 3 -3x
2 x 4 = -32 |:2
x 4 = -16 | 4

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).