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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - x - 2$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $x^{4} - x - 2$ = -2.

$x^{4} - x - 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$x^{4} - x - 2 + 2$	=	0
$x^{4} - x$	=	0
$x \cdot (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $1$ gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x + 4)}^{3} - 254$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $2 {(x + 4)}^{3} - 254$ = -4.

$2 {(x + 4)}^{3} - 254$	=	$- 4$	\| $+ 254$
$2 {(x + 4)}^{3}$	=	$250$	\|: $2$
${(x + 4)}^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 4$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

$x + 4$	=	$5$	\| $- 4$
$x$	=	$1$

An der Stelle x₁ = $1$ gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 {(x - 3)}^{3} + 128$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 {(x - 3)}^{3} + 128$	=	0	\| $- 128$
$2 {(x - 3)}^{3}$	=	$- 128$	\|: $2$
${(x - 3)}^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 3$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

$x - 3$	=	$- 4$	\| $+ 3$
$x$	=	$- 1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{4} + 3 x^{2} - 161$ und $g(x) =$ $3 x^{2} + 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{4} + 3 x^{2} - 161$	=	$3 x^{2} + 1$	\| $+ 161$
$2 x^{4} + 3 x^{2}$	=	$3 x^{2} + 162$	\| $- 3 x^{2}$
$2 x^{4}$	=	$162$	\|: $2$
$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 3$ ) = $3 \cdot {(- 3)}^{2} + 1$ = $28$ ⇒ S₁( $- 3$ | $28$ )

g( $3$ ) = $3 \cdot 3^{2} + 1$ = $28$ ⇒ S₂( $3$ | $28$ )