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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x {(x + 2)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Es gilt f(x) = 0, also $x {(x + 2)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ = 0.

$x {(x + 2)}^{2} {(x - 1)}^{2}$	=	0
$x {((x + 2) (x - 1))}^{2}$	=	0
${((x + 2) (x - 1))}^{2} x$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${((x + 2) (x - 1))}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$(x + 2) (x - 1)$	=	0

(x + 2) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

2. Fall:

x₃

=

0

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x^{2} - 22)}^{3} + 24$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $- {(x^{2} - 22)}^{3} + 24$ = -3.

$- {(x^{2} - 22)}^{3} + 24$	=	$- 3$	\| $- 24$
$- {(x^{2} - 22)}^{3}$	=	$- 27$	\|: $(- 1)$
${(x^{2} - 22)}^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 22$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

$x^{2} - 22$	=	$3$	\| $+ 22$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

An den Stellen x₁ = $- 5$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= -3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{5} - x^{3}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{5} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂(0|0), S₃( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2$ und $g(x) =$ $- 4 x^{2} - 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2$	=	$- 4 x^{2} - 2$	\| $+ 2$
$x^{4} - 2 x^{3} - 4 x^{2}$	=	$- 4 x^{2}$	\| $+ 4 x^{2}$
$x^{4} - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 4 x^{2}$	=	0
$x^{4} - 2 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 4 \cdot 0^{2} - 2$ = $- 2$ ⇒ S₁(0| $- 2$ )

g( $2$ ) = $- 4 \cdot 2^{2} - 2$ = $- 18$ ⇒ S₂( $2$ | $- 18$ )

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