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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 2$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $x^{2} - 2$ = -1.

$x^{2} - 2$	=	$- 1$	\| $+ 2$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = $1$ gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(- 3 - 2 x)}^{3} - 50$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also $2 {(- 3 - 2 x)}^{3} - 50$ = 4.

$2 {(- 3 - 2 x)}^{3} - 50$	=	$4$
$2 {(- 2 x - 3)}^{3} - 50$	=	$4$	\| $+ 50$
$2 {(- 2 x - 3)}^{3}$	=	$54$	\|: $2$
${(- 2 x - 3)}^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 2 x - 3$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

$- 2 x - 3$	=	$3$	\| $+ 3$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 3$

An der Stelle x₁ = $- 3$ gilt also f(x)= 4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{3} + 8$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$- x^{3}$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} - x^{3} + 2 x^{2} - 4$ und $g(x) =$ $2 x^{2} - 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} - x^{3} + 2 x^{2} - 4$	=	$2 x^{2} - 4$	\| $+ 4$
$x^{6} - x^{3} + 2 x^{2}$	=	$2 x^{2}$	\| $- 2 x^{2}$
$x^{6} - x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2}$	=	0
$x^{6} - x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $2 \cdot 0^{2} - 4$ = $- 4$ ⇒ S₁(0| $- 4$ )

g( $1$ ) = $2 \cdot 1^{2} - 4$ = $- 2$ ⇒ S₂( $1$ | $- 2$ )