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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - x^{3} + 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $x^{4} - x^{3} + 1$ = 1.

$x^{4} - x^{3} + 1$	=	$1$	\| $- 1$
$x^{4} - x^{3} + 1 - 1$	=	0
$x^{4} - x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $1$ gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(3 + 2 x)}^{3} + 251$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $2 {(3 + 2 x)}^{3} + 251$ = 1.

$2 {(3 + 2 x)}^{3} + 251$	=	$1$
$2 {(2 x + 3)}^{3} + 251$	=	$1$	\| $- 251$
$2 {(2 x + 3)}^{3}$	=	$- 250$	\|: $2$
${(2 x + 3)}^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$2 x + 3$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

$2 x + 3$	=	$- 5$	\| $- 3$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

An der Stelle x₁ = $- 4$ gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{6} - x^{3}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{6} - x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 6 x + 2$ und $g(x) =$ $4 x + 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} + 6 x + 2$	=	$4 x + 2$	\| $- 2$
$x^{2} + 6 x$	=	$4 x$	\| $- 4 x$
$x^{2} + 6 x - 4 x$	=	0
$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $4 \cdot (- 2) + 2$ = $- 6$ ⇒ S₁( $- 2$ | $- 6$ )

g(0) = $4 \cdot 0 + 2$ = $2$ ⇒ S₂(0| $2$ )