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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} + 2 x^{2} + 4$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Es gilt f(x) = 4, also $x^{3} + 2 x^{2} + 4$ = 4.

$x^{3} + 2 x^{2} + 4$	=	$4$	\| $- 4$
$x^{3} + 2 x^{2} + 4 - 4$	=	0
$x^{3} + 2 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= 4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x^{2} - 5)}^{3} - 123$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $2 {(x^{2} - 5)}^{3} - 123$ = 5.

$2 {(x^{2} - 5)}^{3} - 123$	=	$5$	\| $+ 123$
$2 {(x^{2} - 5)}^{3}$	=	$128$	\|: $2$
${(x^{2} - 5)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 5$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$x^{2} - 5$	=	$4$	\| $+ 5$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

An den Stellen x₁ = $- 3$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{4} + 81$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- x^{4} + 81$	=	0	\| $- 81$
$- x^{4}$	=	$- 81$	\|: $(- 1)$
$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0), S₂( $3$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $3 x^{2} - 3 x + 26$ und $g(x) =$ $4 x^{2} - 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

3 x^{2} - 3 x + 26

=

4 x^{2} - 2

|

- 4 x^{2}

+ 2

$- x^{2} - 3 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 28}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{3+11}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{3-11}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 28$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 28$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 7$ ) = $4 \cdot {(- 7)}^{2} - 2$ = $194$ ⇒ S₁( $- 7$ | $194$ )

g( $4$ ) = $4 \cdot 4^{2} - 2$ = $62$ ⇒ S₂( $4$ | $62$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):