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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - 4 x^{2} - 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $x^{4} - 4 x^{2} - 1$ = -1.

$x^{4} - 4 x^{2} - 1$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 1$	=	0
$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $2$ gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x + 5)}^{4} + 12$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $- {(x + 5)}^{4} + 12$ = -4.

$- {(x + 5)}^{4} + 12$	=	$- 4$	\| $- 12$
$- {(x + 5)}^{4}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
${(x + 5)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 5

- \sqrt[4]{16}

- 2

$x + 5$	=	$- 2$	\| $- 5$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 5

\sqrt[4]{16}

2

$x + 5$	=	$2$	\| $- 5$
x₂	=	$- 3$

An den Stellen x₁ = $- 7$ und x₂ = $- 3$ gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 2$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 2 x^{2}$	=	$- 2$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 5 x + 1$ und $g(x) =$ $4 x + 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + 5 x + 1$	=	$4 x + 1$	\| $- 1$
$x^{4} + 5 x$	=	$4 x$	\| $- 4 x$
$x^{4} + 5 x - 4 x$	=	0
$x^{4} + x$	=	0
$x \cdot (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $4 \cdot (- 1) + 1$ = $- 3$ ⇒ S₁( $- 1$ | $- 3$ )

g(0) = $4 \cdot 0 + 1$ = $1$ ⇒ S₂(0| $1$ )