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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 2$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also $x^{2} - 2$ = 2.

$x^{2} - 2$	=	$2$	\| $+ 2$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = $2$ gilt also f(x)= 2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(8 + 3 x)}^{3} - 129$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also ${(8 + 3 x)}^{3} - 129$ = -4.

${(8 + 3 x)}^{3} - 129$	=	$- 4$
${(3 x + 8)}^{3} - 129$	=	$- 4$	\| $+ 129$
${(3 x + 8)}^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x + 8$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

$3 x + 8$	=	$5$	\| $- 8$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

An der Stelle x₁ = $- 1$ gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} + x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} + x$	=	0
$x (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{4} + x - 28$ und $g(x) =$ $x + 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{4} + x - 28$	=	$x + 4$	\| $+ 28$
$2 x^{4} + x$	=	$x + 32$	\| $- x$
$2 x^{4}$	=	$32$	\|: $2$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- 2 + 4$ = $2$ ⇒ S₁( $- 2$ | $2$ )

g( $2$ ) = $2 + 4$ = $6$ ⇒ S₂( $2$ | $6$ )