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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} - x + 4$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also $x^{3} - x + 4$ = 4.

$x^{3} - x + 4$	=	$4$	\| $- 4$
$x^{3} - x + 4 - 4$	=	0
$x^{3} - x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ , x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= 4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x - 3)}^{3} - 12$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $- {(x - 3)}^{3} - 12$ = -4.

$- {(x - 3)}^{3} - 12$	=	$- 4$	\| $+ 12$
$- {(x - 3)}^{3}$	=	$8$	\|: $(- 1)$
${(x - 3)}^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 3$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

$x - 3$	=	$- 2$	\| $+ 3$
$x$	=	$1$

An der Stelle x₁ = $1$ gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{3} - 27$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- x^{3} - 27$	=	0	\| $+ 27$
$- x^{3}$	=	$27$	\|: $(- 1)$
$x^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} + 4 x^{3} + 5$ und $g(x) =$ $- 4 x^{3} + 5$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} + 4 x^{3} + 5$	=	$- 4 x^{3} + 5$	\| $- 5$
$x^{6} + 4 x^{3}$	=	$- 4 x^{3}$	\| $+ 4 x^{3}$
$x^{6} + 4 x^{3} + 4 x^{3}$	=	0
$x^{6} + 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- 4 \cdot {(- 2)}^{3} + 5$ = $37$ ⇒ S₁( $- 2$ | $37$ )

g(0) = $- 4 \cdot 0^{3} + 5$ = $5$ ⇒ S₂(0| $5$ )