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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + 4$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Es gilt f(x) = 5, also $x^{2} + 4$ = 5.

$x^{2} + 4$	=	$5$	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = $1$ gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} + 25$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $x^{3} + 25$ = -2.

$x^{3} + 25$	=	$- 2$	\| $- 25$
$x^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

An der Stelle x₁ = $- 3$ gilt also f(x)= -2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x$	=	0
$4 x \cdot (- x^{2} + 3 x + 18)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 3 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 18}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 3+9}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₃ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 3-9}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 18$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0), S₂(0|0), S₃( $6$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - x^{2} - 2 x + 5$ und $g(x) =$ $- 2 x + 5$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - x^{2} - 2 x + 5$	=	$- 2 x + 5$	\| $- 5$
$x^{4} - x^{2} - 2 x$	=	$- 2 x$	\| $+ 2 x$
$x^{4} - x^{2} - 2 x + 2 x$	=	0
$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $- 2 \cdot (- 1) + 5$ = $7$ ⇒ S₁( $- 1$ | $7$ )

g(0) = $- 2 \cdot 0 + 5$ = $5$ ⇒ S₂(0| $5$ )

g( $1$ ) = $- 2 \cdot 1 + 5$ = $3$ ⇒ S₃( $1$ | $3$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

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Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

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