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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 2 x + 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $x^{2} - 2 x + 5$ = 5.

$x^{2} - 2 x + 5$	=	$5$	\| $- 5$
$x^{2} - 2 x + 5 - 5$	=	0
$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $2$ gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x + 1)}^{3} + 124$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $- {(x + 1)}^{3} + 124$ = -1.

$- {(x + 1)}^{3} + 124$	=	$- 1$	\| $- 124$
$- {(x + 1)}^{3}$	=	$- 125$	\|: $(- 1)$
${(x + 1)}^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 1$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

$x + 1$	=	$5$	\| $- 1$
$x$	=	$4$

An der Stelle x₁ = $4$ gilt also f(x)= -1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} + 8 x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} + 5 x^{3} - 3 x^{2}$ und $g(x) =$ $4 x^{3} - 3 x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} + 5 x^{3} - 3 x^{2}$	=	$4 x^{3} - 3 x^{2}$	\| $- (4 x^{3} - 3 x^{2})$
$x^{6} + 5 x^{3} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2}$	=	0
$x^{6} + x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $4 \cdot {(- 1)}^{3} - 3 \cdot {(- 1)}^{2}$ = $- 7$ ⇒ S₁( $- 1$ | $- 7$ )

g(0) = $4 \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{2}$ = 0 ⇒ S₂(0|0)