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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x - 4) \cdot (x + 3)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x (x - 4) \cdot (x + 3)$ = 0.

x (x - 4) \cdot (x + 3)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

(x - 4) \cdot (x + 3)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

An den Stellen x₁ = $- 3$ , x₂ = 0 und x₃ = $4$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- x^{4} + 19$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $- x^{4} + 19$ = 3.

$- x^{4} + 19$	=	$3$	\| $- 19$
$- x^{4}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = $2$ gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{5} - x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{5} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 6 x^{3} + 11$ und $g(x) =$ $- 5 x^{3} + 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 6 x^{3} + 11$	=	$- 5 x^{3} + 3$	\| $- 11$
$- 6 x^{3}$	=	$- 5 x^{3} - 8$	\| $+ 5 x^{3}$
$- x^{3}$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $2$ ) = $- 5 \cdot 2^{3} + 3$ = $- 37$ ⇒ S₁( $2$ | $- 37$ )