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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ( x -3 ) ( x +1 ) . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also ( x -3 ) ( x +1 ) = 0.

( x -3 ) ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -3 = 0 | +3
x1 = 3

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

An den Stellen x1 = -1 und x2 = 3 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - ( x +5 ) 4 +77 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also - ( x +5 ) 4 +77 = -4.

- ( x +5 ) 4 +77 = -4 | -77
- ( x +5 ) 4 = -81 |: ( -1 )
( x +5 ) 4 = 81 | 4

1. Fall

x +5 = - 81 4 = -3
x +5 = -3 | -5
x1 = -8

2. Fall

x +5 = 81 4 = 3
x +5 = 3 | -5
x2 = -2

An den Stellen x1 = -8 und x2 = -2 gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= -2 x 4 +8 x 3 +24 x 2 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

-2 x 4 +8 x 3 +24 x 2 = 0
2 x 2 ( - x 2 +4x +12 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

- x 2 +4x +12 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x2,3 = -4 ± 4 2 -4 · ( -1 ) · 12 2( -1 )

x2,3 = -4 ± 16 +48 -2

x2,3 = -4 ± 64 -2

x2 = -4 + 64 -2 = -4 +8 -2 = 4 -2 = -2

x3 = -4 - 64 -2 = -4 -8 -2 = -12 -2 = 6

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -2 |0), S2(0|0), S3( 6 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 3 +3 x 2 +1 und g(x)= 2 x 2 +1 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 3 +3 x 2 +1 = 2 x 2 +1 | -1
x 3 +3 x 2 = 2 x 2 | -2 x 2
x 3 +3 x 2 -2 x 2 = 0
x 3 + x 2 = 0
x 2 ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -1 ) = 2 ( -1 ) 2 +1 = 3 S1( -1 | 3 )

g(0) = 2 0 2 +1 = 1 S2(0| 1 )