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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{5} + x^{2} - 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Es gilt f(x) = -5, also $x^{5} + x^{2} - 5$ = -5.

$x^{5} + x^{2} - 5$	=	$- 5$	\| $+ 5$
$x^{5} + x^{2} - 5 + 5$	=	0
$x^{5} + x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(- 7 - 3 x)}^{3} + 133$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $2 {(- 7 - 3 x)}^{3} + 133$ = 5.

$2 {(- 7 - 3 x)}^{3} + 133$	=	$5$
$2 {(- 3 x - 7)}^{3} + 133$	=	$5$	\| $- 133$
$2 {(- 3 x - 7)}^{3}$	=	$- 128$	\|: $2$
${(- 3 x - 7)}^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 3 x - 7$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

$- 3 x - 7$	=	$- 4$	\| $+ 7$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

An der Stelle x₁ = $- 1$ gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 {(x + 2)}^{3} - 16$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 {(x + 2)}^{3} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$2 {(x + 2)}^{3}$	=	$16$	\|: $2$
${(x + 2)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 2$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$x + 2$	=	$2$	\| $- 2$
$x$	=	0

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 8 x^{2} - 4 x + 72$ und $g(x) =$ $- 5 x^{2} + 2 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 8 x^{2} - 4 x + 72

=

- 5 x^{2} + 2 x

|

+ 5 x^{2}

- 2 x

- 3 x^{2} - 6 x + 72

= 0 |:3

$- x^{2} - 2 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 24}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{2+10}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{2-10}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 6$ ) = $- 5 \cdot {(- 6)}^{2} + 2 \cdot (- 6)$ = $- 192$ ⇒ S₁( $- 6$ | $- 192$ )

g( $4$ ) = $- 5 \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4$ = $- 72$ ⇒ S₂( $4$ | $- 72$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):