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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ = 0.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$	=	0
${((x + 2) \cdot (x - 2))}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$(x + 2) \cdot (x - 2)$	=	0

(x + 2) \cdot (x - 2)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = $2$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 x^{3} + 252$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also $2 x^{3} + 252$ = 2.

$2 x^{3} + 252$	=	$2$	\| $- 252$
$2 x^{3}$	=	$- 250$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

An der Stelle x₁ = $- 5$ gilt also f(x)= 2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{5} + 32 x^{3}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 x^{5} + 32 x^{3}$	=	0
$2 x^{3} \cdot (- x^{2} + 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 16$	=	0	\| $- 16$
$- x^{2}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₃	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 4$ |0), S₂(0|0), S₃( $4$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 2 x^{3} - 2 x + 3$ und $g(x) =$ $- 2 x + 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 2 x^{3} - 2 x + 3$	=	$- 2 x + 3$	\| $- 3$
$x^{4} - 2 x^{3} - 2 x$	=	$- 2 x$	\| $+ 2 x$
$x^{4} - 2 x^{3} - 2 x + 2 x$	=	0
$x^{4} - 2 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 2 \cdot 0 + 3$ = $3$ ⇒ S₁(0| $3$ )

g( $2$ ) = $- 2 \cdot 2 + 3$ = $- 1$ ⇒ S₂( $2$ | $- 1$ )