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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ( x -5 ) ( x +3 ) 2 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also ( x -5 ) ( x +3 ) 2 = 0.

( x -5 ) ( x +3 ) 2 = 0
( x +3 ) 2 ( x -5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x +3 ) 2 = 0 | 2
x +3 = 0
x +3 = 0 | -3
x1 = -3

2. Fall:

x -5 = 0 | +5
x2 = 5

An den Stellen x1 = -3 und x2 = 5 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ( -4 -2x ) 3 -9 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also ( -4 -2x ) 3 -9 = -1.

( -4 -2x ) 3 -9 = -1
( -2x -4 ) 3 -9 = -1 | +9
( -2x -4 ) 3 = 8 | 3
-2x -4 = 8 3 = 2
-2x -4 = 2 | +4
-2x = 6 |:(-2 )
x = -3

An der Stelle x1 = -3 gilt also f(x)= -1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= 2 x 3 -54 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

2 x 3 -54 = 0 | +54
2 x 3 = 54 |:2
x 3 = 27 | 3
x = 27 3 = 3

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( 3 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 4 +6 x 3 -15 x 2 +2 und g(x)= 4 x 3 +2 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 4 +6 x 3 -15 x 2 +2 = 4 x 3 +2 | -2
x 4 +6 x 3 -15 x 2 = 4 x 3 | -4 x 3
x 4 +6 x 3 -4 x 3 -15 x 2 = 0
x 4 +2 x 3 -15 x 2 = 0
x 2 ( x 2 +2x -15 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 +2x -15 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x2,3 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -15 ) 21

x2,3 = -2 ± 4 +60 2

x2,3 = -2 ± 64 2

x2 = -2 + 64 2 = -2 +8 2 = 6 2 = 3

x3 = -2 - 64 2 = -2 -8 2 = -10 2 = -5

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -5 ) = 4 ( -5 ) 3 +2 = -498 S1( -5 | -498 )

g(0) = 4 0 3 +2 = 2 S2(0| 2 )

g( 3 ) = 4 3 3 +2 = 110 S3( 3 | 110 )