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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{5} - x^{3} - 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $x^{5} - x^{3} - 1$ = -1.

$x^{5} - x^{3} - 1$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$x^{5} - x^{3} - 1 + 1$	=	0
$x^{5} - x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ , x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(8 + 3 x)}^{3} + 11$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also $- 2 {(8 + 3 x)}^{3} + 11$ = -5.

$- 2 {(8 + 3 x)}^{3} + 11$	=	$- 5$
$- 2 {(3 x + 8)}^{3} + 11$	=	$- 5$	\| $- 11$
$- 2 {(3 x + 8)}^{3}$	=	$- 16$	\|: $(- 2)$
${(3 x + 8)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x + 8$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$3 x + 8$	=	$2$	\| $- 8$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
$x$	=	$- 2$

An der Stelle x₁ = $- 2$ gilt also f(x)= -5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 2 x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{3} + 2 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $6 x^{3} + 4 x - 8$ und $g(x) =$ $5 x^{3} + 4 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$6 x^{3} + 4 x - 8$	=	$5 x^{3} + 4 x$	\| $+ 8$ $- 5 x^{3}$ $- 4 x$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $2$ ) = $5 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2$ = $48$ ⇒ S₁( $2$ | $48$ )