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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + 2 x - 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also $x^{2} + 2 x - 5$ = -5.

$x^{2} + 2 x - 5$	=	$- 5$	\| $+ 5$
$x^{2} + 2 x - 5 + 5$	=	0
$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(- 5 - 3 x)}^{3} - 131$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $2 {(- 5 - 3 x)}^{3} - 131$ = -3.

$2 {(- 5 - 3 x)}^{3} - 131$	=	$- 3$
$2 {(- 3 x - 5)}^{3} - 131$	=	$- 3$	\| $+ 131$
$2 {(- 3 x - 5)}^{3}$	=	$128$	\|: $2$
${(- 3 x - 5)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 3 x - 5$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$- 3 x - 5$	=	$4$	\| $+ 5$
$- 3 x$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 3$

An der Stelle x₁ = $- 3$ gilt also f(x)= -3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ ${(x^{2} - 12)}^{3} + 27$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

${(x^{2} - 12)}^{3} + 27$	=	0	\| $- 27$
${(x^{2} - 12)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 12$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$x^{2} - 12$	=	$- 3$	\| $+ 12$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0), S₂( $3$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 32$ und $g(x) =$ $3 x^{3} - 5 x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 2 x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 32$	=	$3 x^{3} - 5 x^{2}$	\| $- 32$ $- 3 x^{3}$ $+ 5 x^{2}$
$- 2 x^{4}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $3 \cdot {(- 2)}^{3} - 5 \cdot {(- 2)}^{2}$ = $- 44$ ⇒ S₁( $- 2$ | $- 44$ )

g( $2$ ) = $3 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2^{2}$ = $4$ ⇒ S₂( $2$ | $4$ )