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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{5} - 4 x^{3} + 4$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also $x^{5} - 4 x^{3} + 4$ = 4.

$x^{5} - 4 x^{3} + 4$	=	$4$	\| $- 4$
$x^{5} - 4 x^{3} + 4 - 4$	=	0
$x^{5} - 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $2$ gilt also f(x)= 4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x^{2} - 8)}^{3} - 67$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $- {(x^{2} - 8)}^{3} - 67$ = -3.

$- {(x^{2} - 8)}^{3} - 67$	=	$- 3$	\| $+ 67$
$- {(x^{2} - 8)}^{3}$	=	$64$	\|: $(- 1)$
${(x^{2} - 8)}^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 8$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

$x^{2} - 8$	=	$- 4$	\| $+ 8$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = $2$ gilt also f(x)= -3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 8$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{4} + x - 161$ und $g(x) =$ $x + 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{4} + x - 161$	=	$x + 1$	\| $+ 161$
$2 x^{4} + x$	=	$x + 162$	\| $- x$
$2 x^{4}$	=	$162$	\|: $2$
$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 3$ ) = $- 3 + 1$ = $- 2$ ⇒ S₁( $- 3$ | $- 2$ )

g( $3$ ) = $3 + 1$ = $4$ ⇒ S₂( $3$ | $4$ )