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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x - 1) {(x + 5)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x (x - 1) {(x + 5)}^{2}$ = 0.

$x (x - 1) {(x + 5)}^{2}$	=	0
$x {(x + 5)}^{2} \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

{(x + 5)}^{2} \cdot (x - 1)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x + 5)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 5$	=	0

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

An den Stellen x₁ = $- 5$ , x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x - 2)}^{3} - 9$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $- {(x - 2)}^{3} - 9$ = -1.

$- {(x - 2)}^{3} - 9$	=	$- 1$	\| $+ 9$
$- {(x - 2)}^{3}$	=	$8$	\|: $(- 1)$
${(x - 2)}^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 2$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

$x - 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$x$	=	0

An der Stelle x₁ = 0 gilt also f(x)= -1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 {(x + 3)}^{4} - 32$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 {(x + 3)}^{4} - 32$	=	0	\| $+ 32$
$2 {(x + 3)}^{4}$	=	$32$	\|: $2$
${(x + 3)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 3

- \sqrt[4]{16}

- 2

$x + 3$	=	$- 2$	\| $- 3$
x₁	=	$- 5$

2. Fall

x + 3

\sqrt[4]{16}

2

$x + 3$	=	$2$	\| $- 3$
x₂	=	$- 1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 5$ |0), S₂( $- 1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + x^{3} - 5 x + 4$ und $g(x) =$ $- 5 x + 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + x^{3} - 5 x + 4$	=	$- 5 x + 4$	\| $- 4$
$x^{4} + x^{3} - 5 x$	=	$- 5 x$	\| $+ 5 x$
$x^{4} + x^{3} - 5 x + 5 x$	=	0
$x^{4} + x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $- 5 \cdot (- 1) + 4$ = $9$ ⇒ S₁( $- 1$ | $9$ )

g(0) = $- 5 \cdot 0 + 4$ = $4$ ⇒ S₂(0| $4$ )