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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 4 x + 4$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also $x^{3} - 4 x + 4$ = 4.

$x^{3} - 4 x + 4$	=	$4$	\| $- 4$
$x^{3} - 4 x + 4 - 4$	=	0
$x^{3} - 4 x$	=	0
$x (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $2$ gilt also f(x)= 4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x + 2)}^{4} - 34$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $2 {(x + 2)}^{4} - 34$ = -2.

$2 {(x + 2)}^{4} - 34$	=	$- 2$	\| $+ 34$
$2 {(x + 2)}^{4}$	=	$32$	\|: $2$
${(x + 2)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 2

- \sqrt[4]{16}

- 2

$x + 2$	=	$- 2$	\| $- 2$
x₁	=	$- 4$

2. Fall

x + 2

\sqrt[4]{16}

2

$x + 2$	=	$2$	\| $- 2$
x₂	=	0

An den Stellen x₁ = $- 4$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= -2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} - 54$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 x^{3} - 54$	=	0	\| $+ 54$
$- 2 x^{3}$	=	$54$	\|: $(- 2)$
$x^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 4 x^{2} + x$ und $g(x) =$ $- 4 x^{2} + 3 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{3} - 4 x^{2} + x$	=	$- 4 x^{2} + 3 x$	\| $- (- 4 x^{2} + 3 x)$
$2 x^{3} - 4 x^{2} + 4 x^{2} + x - 3 x$	=	0
$2 x^{3} - 2 x$	=	0
$2 x (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $- 4 \cdot {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1)$ = $- 7$ ⇒ S₁( $- 1$ | $- 7$ )

g(0) = $- 4 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $1$ ) = $- 4 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1$ = $- 1$ ⇒ S₃( $1$ | $- 1$ )