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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{6} + 8 x^{3} - 3$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $x^{6} + 8 x^{3} - 3$ = -3.

$x^{6} + 8 x^{3} - 3$	=	$- 3$	\| $+ 3$
$x^{6} + 8 x^{3} - 3 + 3$	=	0
$x^{6} + 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= -3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(- 5 + 3 x)}^{3} + 61$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $- {(- 5 + 3 x)}^{3} + 61$ = -3.

$- {(- 5 + 3 x)}^{3} + 61$	=	$- 3$
$- {(3 x - 5)}^{3} + 61$	=	$- 3$	\| $- 61$
$- {(3 x - 5)}^{3}$	=	$- 64$	\|: $(- 1)$
${(3 x - 5)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x - 5$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$3 x - 5$	=	$4$	\| $+ 5$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

An der Stelle x₁ = $3$ gilt also f(x)= -3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{5} - x^{3}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{5} - x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂(0|0), S₃( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $7 x^{3} - x^{2} + 250$ und $g(x) =$ $5 x^{3} - x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$7 x^{3} - x^{2} + 250$	=	$5 x^{3} - x^{2}$	\| $- 250$ $- 5 x^{3}$ $+ x^{2}$
$2 x^{3}$	=	$- 250$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 5$ ) = $5 \cdot {(- 5)}^{3} - {(- 5)}^{2}$ = $- 650$ ⇒ S₁( $- 5$ | $- 650$ )