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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} + 8 x - 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also $x^{4} + 8 x - 5$ = -5.

$x^{4} + 8 x - 5$	=	$- 5$	\| $+ 5$
$x^{4} + 8 x - 5 + 5$	=	0
$x^{4} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(- 5 - 2 x)}^{3} - 255$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also $- 2 {(- 5 - 2 x)}^{3} - 255$ = -5.

$- 2 {(- 5 - 2 x)}^{3} - 255$	=	$- 5$
$- 2 {(- 2 x - 5)}^{3} - 255$	=	$- 5$	\| $+ 255$
$- 2 {(- 2 x - 5)}^{3}$	=	$250$	\|: $(- 2)$
${(- 2 x - 5)}^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 2 x - 5$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

$- 2 x - 5$	=	$- 5$	\| $+ 5$
$- 2 x$	=	0	\|:( $- 2$ )
$x$	=	0

An der Stelle x₁ = 0 gilt also f(x)= -5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{4} + 81$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- x^{4} + 81$	=	0	\| $- 81$
$- x^{4}$	=	$- 81$	\|: $(- 1)$
$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0), S₂( $3$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 4 x^{2} - 4$ und $g(x) =$ $5 x^{2} - 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + 4 x^{2} - 4$	=	$5 x^{2} - 4$	\| $+ 4$
$x^{4} + 4 x^{2}$	=	$5 x^{2}$	\| $- 5 x^{2}$
$x^{4} + 4 x^{2} - 5 x^{2}$	=	0
$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $5 \cdot {(- 1)}^{2} - 4$ = $1$ ⇒ S₁( $- 1$ | $1$ )

g(0) = $5 \cdot 0^{2} - 4$ = $- 4$ ⇒ S₂(0| $- 4$ )

g( $1$ ) = $5 \cdot 1^{2} - 4$ = $1$ ⇒ S₃( $1$ | $1$ )