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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 +4x -16 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also x 2 +4x -16 = 5.

x 2 +4x -16 = 5 | -5

x 2 +4x -21 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -4 ± 4 2 -4 · 1 · ( -21 ) 2⋅1

x1,2 = -4 ± 16 +84 2

x1,2 = -4 ± 100 2

x1 = -4 + 100 2 = -4 +10 2 = 6 2 = 3

x2 = -4 - 100 2 = -4 -10 2 = -14 2 = -7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 2 2 - ( -21 ) = 4+ 21 = 25

x1,2 = -2 ± 25

x1 = -2 - 5 = -7

x2 = -2 + 5 = 3

An den Stellen x1 = -7 und x2 = 3 gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 x 4 -160 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also 2 x 4 -160 = 2.

2 x 4 -160 = 2 | +160
2 x 4 = 162 |:2
x 4 = 81 | ⋅4
x1 = - 81 4 = -3
x2 = 81 4 = 3

An den Stellen x1 = -3 und x2 = 3 gilt also f(x)= 2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 5 +8 x 2 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 5 +8 x 2 = 0
x 2 · ( x 3 +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 3 +8 = 0 | -8
x 3 = -8 | ⋅3
x2 = - 8 3 = -2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -2 |0), S2(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 2 x 4 +4 x 3 + x 2 -162 und g(x)= 4 x 3 + x 2 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

2 x 4 +4 x 3 + x 2 -162 = 4 x 3 + x 2 | +162 -4 x 3 - x 2
2 x 4 = 162 |:2
x 4 = 81 | ⋅4
x1 = - 81 4 = -3
x2 = 81 4 = 3

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -3 ) = 4⋅ ( -3 ) 3 + ( -3 ) 2 = -99 ⇒ S1( -3 | -99 )

g( 3 ) = 4⋅ 3 3 + 3 2 = 117 ⇒ S2( 3 | 117 )