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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x {(x + 1)}^{2} \cdot (x + 4)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Es gilt f(x) = 0, also $x {(x + 1)}^{2} \cdot (x + 4)$ = 0.

x {(x + 1)}^{2} \cdot (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

{(x + 1)}^{2} \cdot (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x + 1)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 1$	=	0

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

An den Stellen x₁ = $- 4$ , x₂ = $- 1$ und x₃ = 0 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x - 4)}^{4} - 15$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also ${(x - 4)}^{4} - 15$ = 1.

${(x - 4)}^{4} - 15$	=	$1$	\| $+ 15$
${(x - 4)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 4

=

- \sqrt[4]{16}

=

- 2

$x - 4$	=	$- 2$	\| $+ 4$
x₁	=	$2$

2. Fall

x - 4

=

\sqrt[4]{16}

=

2

$x - 4$	=	$2$	\| $+ 4$
x₂	=	$6$

An den Stellen x₁ = $2$ und x₂ = $6$ gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{5} + 8 x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{5} + 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - x^{2} + 4 x$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 4 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - x^{2} + 4 x$	=	$- x^{2} - 4 x$	\| $- (- x^{2} - 4 x)$
$x^{4} - x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 x$	=	0
$x^{4} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2)$ = $4$ ⇒ S₁( $- 2$ | $4$ )

g(0) = $- 0^{2} - 4 \cdot 0$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

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x-Werte berechnen (schwerer)

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