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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x - 1) (x + 4)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x (x - 1) (x + 4)$ = 0.

x (x - 1) (x + 4)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

(x - 1) (x + 4)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

An den Stellen x₁ = $- 4$ , x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x - 4)}^{3} - 248$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also $- 2 {(x - 4)}^{3} - 248$ = 2.

$- 2 {(x - 4)}^{3} - 248$	=	$2$	\| $+ 248$
$- 2 {(x - 4)}^{3}$	=	$250$	\|: $(- 2)$
${(x - 4)}^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 4$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

$x - 4$	=	$- 5$	\| $+ 4$
$x$	=	$- 1$

An der Stelle x₁ = $- 1$ gilt also f(x)= 2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 4 x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{3} - 4 x$	=	0
$x (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂(0|0), S₃( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - x^{3} - 4 x^{2} + x$ und $g(x) =$ $- 4 x^{2} + x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - x^{3} - 4 x^{2} + x$	=	$- 4 x^{2} + x$	\| $- (- 4 x^{2} + x)$
$x^{4} - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x^{2} + x - x$	=	0
$x^{4} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 4 \cdot 0^{2} + 0$ = 0 ⇒ S₁(0|0)

g( $1$ ) = $- 4 \cdot 1^{2} + 1$ = $- 3$ ⇒ S₂( $1$ | $- 3$ )