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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{5} - 4 x^{3} + 2$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also $x^{5} - 4 x^{3} + 2$ = 2.

$x^{5} - 4 x^{3} + 2$	=	$2$	\| $- 2$
$x^{5} - 4 x^{3} + 2 - 2$	=	0
$x^{5} - 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $2$ gilt also f(x)= 2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x - 1)}^{3} + 6$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also ${(x - 1)}^{3} + 6$ = -2.

${(x - 1)}^{3} + 6$	=	$- 2$	\| $- 6$
${(x - 1)}^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 1$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

$x - 1$	=	$- 2$	\| $+ 1$
$x$	=	$- 1$

An der Stelle x₁ = $- 1$ gilt also f(x)= -2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 {(- 8 + 3 x)}^{3} - 16$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 {(- 8 + 3 x)}^{3} - 16$	=	0
$- 2 {(3 x - 8)}^{3} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$- 2 {(3 x - 8)}^{3}$	=	$16$	\|: $(- 2)$
${(3 x - 8)}^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x - 8$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

$3 x - 8$	=	$- 2$	\| $+ 8$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 3 x - 4$ und $g(x) =$ $- 4 x - 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} - 3 x - 4$	=	$- 4 x - 4$	\| $+ 4$
$x^{2} - 3 x$	=	$- 4 x$	\| $+ 4 x$
$x^{2} - 3 x + 4 x$	=	0
$x^{2} + x$	=	0
$x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $- 4 \cdot (- 1) - 4$ = 0 ⇒ S₁( $- 1$ |0)

g(0) = $- 4 \cdot 0 - 4$ = $- 4$ ⇒ S₂(0| $- 4$ )