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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{5} - 4 x^{3} - 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also $x^{5} - 4 x^{3} - 5$ = -5.

$x^{5} - 4 x^{3} - 5$	=	$- 5$	\| $+ 5$
$x^{5} - 4 x^{3} - 5 + 5$	=	0
$x^{5} - 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $2$ gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x^{2} - 28)}^{3} + 50$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $2 {(x^{2} - 28)}^{3} + 50$ = -4.

$2 {(x^{2} - 28)}^{3} + 50$	=	$- 4$	\| $- 50$
$2 {(x^{2} - 28)}^{3}$	=	$- 54$	\|: $2$
${(x^{2} - 28)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 28$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$x^{2} - 28$	=	$- 3$	\| $+ 28$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

An den Stellen x₁ = $- 5$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- {(x + 4)}^{4} + 81$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- {(x + 4)}^{4} + 81$	=	0	\| $- 81$
$- {(x + 4)}^{4}$	=	$- 81$	\|: $(- 1)$
${(x + 4)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 4

- \sqrt[4]{81}

- 3

$x + 4$	=	$- 3$	\| $- 4$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 4

\sqrt[4]{81}

3

$x + 4$	=	$3$	\| $- 4$
x₂	=	$- 1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 7$ |0), S₂( $- 1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 8 x^{2} + 5 x + 4$ und $g(x) =$ $5 x + 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} - 8 x^{2} + 5 x + 4$	=	$5 x + 4$	\| $- 4$
$x^{5} - 8 x^{2} + 5 x$	=	$5 x$	\| $- 5 x$
$x^{5} - 8 x^{2} + 5 x - 5 x$	=	0
$x^{5} - 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $5 \cdot 0 + 4$ = $4$ ⇒ S₁(0| $4$ )

g( $2$ ) = $5 \cdot 2 + 4$ = $14$ ⇒ S₂( $2$ | $14$ )