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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 - x -21 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also x 2 - x -21 = -1.

x 2 - x -21 = -1 | +1

x 2 - x -20 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -20 ) 2⋅1

x1,2 = +1 ± 1 +80 2

x1,2 = +1 ± 81 2

x1 = 1 + 81 2 = 1 +9 2 = 10 2 = 5

x2 = 1 - 81 2 = 1 -9 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -20 ) = 1 4 + 20 = 1 4 + 80 4 = 81 4

x1,2 = 1 2 ± 81 4

x1 = 1 2 - 9 2 = - 8 2 = -4

x2 = 1 2 + 9 2 = 10 2 = 5

An den Stellen x1 = -4 und x2 = 5 gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -2 ( x -3 ) 4 -161 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also -2 ( x -3 ) 4 -161 = 1.

-2 ( x -3 ) 4 -161 = 1 | +161
-2 ( x -3 ) 4 = 162 |: ( -2 )
( x -3 ) 4 = -81 | ⋅4

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Es gibt also keine Stelle x für die f(x)= 1 gilt.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= 5 x 2 -10x -40 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

5 x 2 -10x -40 = 0 |:5

x 2 -2x -8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -8 ) 2⋅1

x1,2 = +2 ± 4 +32 2

x1,2 = +2 ± 36 2

x1 = 2 + 36 2 = 2 +6 2 = 8 2 = 4

x2 = 2 - 36 2 = 2 -6 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - ( -8 ) = 1+ 8 = 9

x1,2 = 1 ± 9

x1 = 1 - 3 = -2

x2 = 1 + 3 = 4

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -2 |0), S2( 4 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 6 + x 3 + x -3 und g(x)= x -3 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 6 + x 3 + x -3 = x -3 | +3
x 6 + x 3 + x = x | - x
x 6 + x 3 + x - x = 0
x 6 + x 3 = 0
x 3 · ( x 3 +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 3 +1 = 0 | -1
x 3 = -1 | ⋅3
x2 = - 1 3 = -1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -1 ) = -1 -3 = -4 ⇒ S1( -1 | -4 )

g(0) = 0 -3 = -3 ⇒ S2(0| -3 )