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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -4x -17 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also x 2 -4x -17 = -5.

x 2 -4x -17 = -5 | +5

x 2 -4x -12 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · ( -12 ) 21

x1,2 = +4 ± 16 +48 2

x1,2 = +4 ± 64 2

x1 = 4 + 64 2 = 4 +8 2 = 12 2 = 6

x2 = 4 - 64 2 = 4 -8 2 = -4 2 = -2

An den Stellen x1 = -2 und x2 = 6 gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -2 ( x -2 ) 3 -246 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also -2 ( x -2 ) 3 -246 = 4.

-2 ( x -2 ) 3 -246 = 4 | +246
-2 ( x -2 ) 3 = 250 |: ( -2 )
( x -2 ) 3 = -125 | 3
x -2 = - 125 3 = -5
x -2 = -5 | +2
x = -3

An der Stelle x1 = -3 gilt also f(x)= 4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= -2 x 3 -250 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

-2 x 3 -250 = 0 | +250
-2 x 3 = 250 |: ( -2 )
x 3 = -125 | 3
x = - 125 3 = -5

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -5 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= -4 x 4 +4 x 2 +5x -3 und g(x)= 5x -3 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

-4 x 4 +4 x 2 +5x -3 = 5x -3 | +3
-4 x 4 +4 x 2 +5x = 5x | -5x
-4 x 4 +4 x 2 +5x -5x = 0
-4 x 4 +4 x 2 = 0
-4 x 2 ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | 2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -1 ) = 5( -1 ) -3 = -8 S1( -1 | -8 )

g(0) = 50 -3 = -3 S2(0| -3 )

g( 1 ) = 51 -3 = 2 S3( 1 | 2 )