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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 + x -28 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also x 2 + x -28 = 2.

x 2 + x -28 = 2 | -2

x 2 + x -30 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -30 ) 2⋅1

x1,2 = -1 ± 1 +120 2

x1,2 = -1 ± 121 2

x1 = -1 + 121 2 = -1 +11 2 = 10 2 = 5

x2 = -1 - 121 2 = -1 -11 2 = -12 2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -30 ) = 1 4 + 30 = 1 4 + 120 4 = 121 4

x1,2 = - 1 2 ± 121 4

x1 = - 1 2 - 11 2 = - 12 2 = -6

x2 = - 1 2 + 11 2 = 10 2 = 5

An den Stellen x1 = -6 und x2 = 5 gilt also f(x)= 2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ( x +1 ) 4 +11 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also ( x +1 ) 4 +11 = -5.

( x +1 ) 4 +11 = -5 | -11
( x +1 ) 4 = -16 | ⋅4

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Es gibt also keine Stelle x für die f(x)= -5 gilt.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= 2 x 3 +128 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

2 x 3 +128 = 0 | -128
2 x 3 = -128 |:2
x 3 = -64 | ⋅3
x = - 64 3 = -4

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -4 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= - x 3 +2 x 2 - x und g(x)= - x 3 + x 2 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- x 3 +2 x 2 - x = - x 3 + x 2 | - ( - x 3 + x 2 )
- x 3 + x 3 +2 x 2 - x 2 - x = 0
x 2 - x = 0
x · ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = - 0 3 + 0 2 = 0 ⇒ S1(0|0)

g( 1 ) = - 1 3 + 1 2 = 0 ⇒ S2( 1 |0)