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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $(x - 4) \cdot (x - 3)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $(x - 4) \cdot (x - 3)$ = 0.

(x - 4) \cdot (x - 3)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₁	=	$4$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

An den Stellen x₁ = $3$ und x₂ = $4$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x + 4)}^{4} - 157$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $2 {(x + 4)}^{4} - 157$ = 5.

$2 {(x + 4)}^{4} - 157$	=	$5$	\| $+ 157$
$2 {(x + 4)}^{4}$	=	$162$	\|: $2$
${(x + 4)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 4

- \sqrt[4]{81}

- 3

$x + 4$	=	$- 3$	\| $- 4$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 4

\sqrt[4]{81}

3

$x + 4$	=	$3$	\| $- 4$
x₂	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 7$ und x₂ = $- 1$ gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ ${(x - 3)}^{4} - 16$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

${(x - 3)}^{4} - 16$	=	0	\| $+ 16$
${(x - 3)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 3

- \sqrt[4]{16}

- 2

$x - 3$	=	$- 2$	\| $+ 3$
x₁	=	$1$

2. Fall

x - 3

\sqrt[4]{16}

2

$x - 3$	=	$2$	\| $+ 3$
x₂	=	$5$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $1$ |0), S₂( $5$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{3} + x^{2} + 17$ und $g(x) =$ $x^{2} + 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{3} + x^{2} + 17$	=	$x^{2} + 1$	\| $- 17$
$2 x^{3} + x^{2}$	=	$x^{2} - 16$	\| $- x^{2}$
$2 x^{3}$	=	$- 16$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 1$ = $5$ ⇒ S₁( $- 2$ | $5$ )