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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x - 3) {(x + 3)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x (x - 3) {(x + 3)}^{2}$ = 0.

$x (x - 3) {(x + 3)}^{2}$	=	0
$x {(x + 3)}^{2} (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

{(x + 3)}^{2} (x - 3)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x + 3)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 3$	=	0

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

An den Stellen x₁ = $- 3$ , x₂ = 0 und x₃ = $3$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x^{2} - 34)}^{3} + 11$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $- {(x^{2} - 34)}^{3} + 11$ = 3.

$- {(x^{2} - 34)}^{3} + 11$	=	$3$	\| $- 11$
$- {(x^{2} - 34)}^{3}$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
${(x^{2} - 34)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 34$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$x^{2} - 34$	=	$2$	\| $+ 34$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

An den Stellen x₁ = $- 6$ und x₂ = $6$ gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ ${(- 6 + 3 x)}^{3} + 27$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

${(- 6 + 3 x)}^{3} + 27$	=	0
${(3 x - 6)}^{3} + 27$	=	0	\| $- 27$
${(3 x - 6)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x - 6$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$3 x - 6$	=	$- 3$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 3 x - 253$ und $g(x) =$ $- 3 x - 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{3} - 3 x - 253$	=	$- 3 x - 3$	\| $+ 253$
$2 x^{3} - 3 x$	=	$- 3 x + 250$	\| $+ 3 x$
$2 x^{3}$	=	$250$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $5$ ) = $- 3 \cdot 5 - 3$ = $- 18$ ⇒ S₁( $5$ | $- 18$ )