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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x {(x - 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x {(x - 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}$ = 0.

$x {(x - 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}$	=	0
$x {((x - 1) \cdot (x - 3))}^{2}$	=	0
${((x - 1) \cdot (x - 3))}^{2} x$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${((x - 1) \cdot (x - 3))}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$(x - 1) \cdot (x - 3)$	=	0

(x - 1) \cdot (x - 3)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

2. Fall:

x₃

An den Stellen x₁ = 0, x₂ = $1$ und x₃ = $3$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(7 - 3 x)}^{3} - 63$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also ${(7 - 3 x)}^{3} - 63$ = 1.

${(7 - 3 x)}^{3} - 63$	=	$1$
${(- 3 x + 7)}^{3} - 63$	=	$1$	\| $+ 63$
${(- 3 x + 7)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 3 x + 7$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$- 3 x + 7$	=	$4$	\| $- 7$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

An der Stelle x₁ = $1$ gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 2 x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{3} - 2 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{3} + 3 x^{2} + 4 x - 64$ und $g(x) =$ $3 x^{2} + 4 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{3} + 3 x^{2} + 4 x - 64$	=	$3 x^{2} + 4 x$	\| $+ 64$ $- 3 x^{2}$ $- 4 x$
$- x^{3}$	=	$64$	\|: $(- 1)$
$x^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 4$ ) = $3 \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot (- 4)$ = $32$ ⇒ S₁( $- 4$ | $32$ )