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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x + 4) {(x - 2)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x (x + 4) {(x - 2)}^{2}$ = 0.

$x (x + 4) {(x - 2)}^{2}$	=	0
$x {(x - 2)}^{2} \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

{(x - 2)}^{2} \cdot (x + 4)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x - 2)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 2$	=	0

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

An den Stellen x₁ = $- 4$ , x₂ = 0 und x₃ = $2$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(- 5 - 3 x)}^{3} + 67$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $- {(- 5 - 3 x)}^{3} + 67$ = 3.

$- {(- 5 - 3 x)}^{3} + 67$	=	$3$
$- {(- 3 x - 5)}^{3} + 67$	=	$3$	\| $- 67$
$- {(- 3 x - 5)}^{3}$	=	$- 64$	\|: $(- 1)$
${(- 3 x - 5)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 3 x - 5$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$- 3 x - 5$	=	$4$	\| $+ 5$
$- 3 x$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 3$

An der Stelle x₁ = $- 3$ gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} + 2 x^{3}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} + 2 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 6 x^{3} + 55$ und $g(x) =$ $- 4 x^{3} + 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 6 x^{3} + 55$	=	$- 4 x^{3} + 1$	\| $- 55$
$- 6 x^{3}$	=	$- 4 x^{3} - 54$	\| $+ 4 x^{3}$
$- 2 x^{3}$	=	$- 54$	\|: $(- 2)$
$x^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $3$ ) = $- 4 \cdot 3^{3} + 1$ = $- 107$ ⇒ S₁( $3$ | $- 107$ )