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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x + 2)}^{2} \cdot (x + 3)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also ${(x + 2)}^{2} \cdot (x + 3)$ = 0.

{(x + 2)}^{2} \cdot (x + 3)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x + 2)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 2$	=	0

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

An den Stellen x₁ = $- 3$ und x₂ = $- 2$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(5 + 3 x)}^{3} - 59$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $- {(5 + 3 x)}^{3} - 59$ = 5.

$- {(5 + 3 x)}^{3} - 59$	=	$5$
$- {(3 x + 5)}^{3} - 59$	=	$5$	\| $+ 59$
$- {(3 x + 5)}^{3}$	=	$64$	\|: $(- 1)$
${(3 x + 5)}^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x + 5$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

$3 x + 5$	=	$- 4$	\| $- 5$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

An der Stelle x₁ = $- 3$ gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{2} - x$	=	0
$x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} + 8 x^{2} + x + 4$ und $g(x) =$ $x + 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} + 8 x^{2} + x + 4$	=	$x + 4$	\| $- 4$
$x^{5} + 8 x^{2} + x$	=	$x$	\| $- x$
$x^{5} + 8 x^{2} + x - x$	=	0
$x^{5} + 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- 2 + 4$ = $2$ ⇒ S₁( $- 2$ | $2$ )

g(0) = $0 + 4$ = $4$ ⇒ S₂(0| $4$ )