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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 31$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Es gilt f(x) = 5, also $x^{2} - 31$ = 5.

$x^{2} - 31$	=	$5$	\| $+ 31$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

An den Stellen x₁ = $- 6$ und x₂ = $6$ gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x + 3)}^{3} + 63$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also ${(x + 3)}^{3} + 63$ = -1.

${(x + 3)}^{3} + 63$	=	$- 1$	\| $- 63$
${(x + 3)}^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 3$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

$x + 3$	=	$- 4$	\| $- 3$
$x$	=	$- 7$

An der Stelle x₁ = $- 7$ gilt also f(x)= -1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 6 x + 105$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

- 3 x^{2} - 6 x + 105

= 0 |:3

$- x^{2} - 2 x + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 35}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{- 2}$ = $\frac{2+12}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{- 2}$ = $\frac{2-12}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 35$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 35$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 1$ - $6$ = -7

x₂ = $- 1$ + $6$ = 5

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 7$ |0), S₂( $5$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} + 4 x^{2} - 6 x$ und $g(x) =$ $4 x^{2} - 5 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} + 4 x^{2} - 6 x$	=	$4 x^{2} - 5 x$	\| $- (4 x^{2} - 5 x)$
$x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2} - 6 x + 5 x$	=	0
$x^{3} - x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $4 \cdot {(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1)$ = $9$ ⇒ S₁( $- 1$ | $9$ )

g(0) = $4 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $1$ ) = $4 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1$ = $- 1$ ⇒ S₃( $1$ | $- 1$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

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Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

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