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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $(x + 3) (x + 4)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $(x + 3) (x + 4)$ = 0.

(x + 3) (x + 4)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

An den Stellen x₁ = $- 4$ und x₂ = $- 3$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- x^{4} - 17$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $- x^{4} - 17$ = -1.

$- x^{4} - 17$	=	$- 1$	\| $+ 17$
$- x^{4}$	=	$16$	\|: $(- 1)$
$x^{4}$	=	$- 16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Es gibt also keine Stelle x für die f(x)= -1 gilt.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{5} - 4 x^{3}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{5} - 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂(0|0), S₃( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 4 x^{3} - 52$ und $g(x) =$ $- 2 x^{3} + 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 4 x^{3} - 52$	=	$- 2 x^{3} + 2$	\| $+ 52$
$- 4 x^{3}$	=	$- 2 x^{3} + 54$	\| $+ 2 x^{3}$
$- 2 x^{3}$	=	$54$	\|: $(- 2)$
$x^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 3$ ) = $- 2 \cdot {(- 3)}^{3} + 2$ = $56$ ⇒ S₁( $- 3$ | $56$ )