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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x {(x - 3)}^{2} {(x + 3)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x {(x - 3)}^{2} {(x + 3)}^{2}$ = 0.

$x {(x - 3)}^{2} {(x + 3)}^{2}$	=	0
$x {((x - 3) \cdot (x + 3))}^{2}$	=	0
${((x - 3) \cdot (x + 3))}^{2} x$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${((x - 3) \cdot (x + 3))}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$(x - 3) \cdot (x + 3)$	=	0

(x - 3) \cdot (x + 3)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₁	=	$3$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

2. Fall:

x₃

An den Stellen x₁ = $- 3$ , x₂ = 0 und x₃ = $3$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x^{2} - 11)}^{3} - 11$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $- 2 {(x^{2} - 11)}^{3} - 11$ = 5.

$- 2 {(x^{2} - 11)}^{3} - 11$	=	$5$	\| $+ 11$
$- 2 {(x^{2} - 11)}^{3}$	=	$16$	\|: $(- 2)$
${(x^{2} - 11)}^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 11$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

$x^{2} - 11$	=	$- 2$	\| $+ 11$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

An den Stellen x₁ = $- 3$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{5} + x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{5} + x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 4 x^{2} - 3 x - 54$ und $g(x) =$ $- 4 x^{2} - 3 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{3} - 4 x^{2} - 3 x - 54$	=	$- 4 x^{2} - 3 x$	\| $+ 54$ $+ 4 x^{2}$ $+ 3 x$
$2 x^{3}$	=	$54$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $3$ ) = $- 4 \cdot 3^{2} - 3 \cdot 3$ = $- 45$ ⇒ S₁( $3$ | $- 45$ )