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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x - 5)}^{2} \cdot (x + 3)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Es gilt f(x) = 0, also ${(x - 5)}^{2} \cdot (x + 3)$ = 0.

{(x - 5)}^{2} \cdot (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x - 5)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 5$	=	0

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₁	=	$5$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

An den Stellen x₁ = $- 3$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x - 4)}^{3} - 120$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $- {(x - 4)}^{3} - 120$ = 5.

$- {(x - 4)}^{3} - 120$	=	$5$	\| $+ 120$
$- {(x - 4)}^{3}$	=	$125$	\|: $(- 1)$
${(x - 4)}^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 4$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

$x - 4$	=	$- 5$	\| $+ 4$
$x$	=	$- 1$

An der Stelle x₁ = $- 1$ gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{4} - 3 x^{3} + 90 x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 3 x^{4} - 3 x^{3} + 90 x^{2}$	=	0
$- 3 x^{2} \cdot (x^{2} + x - 30)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 6$ |0), S₂(0|0), S₃( $5$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + 16$ und $g(x) =$ $x^{3} + 2 x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + 16$	=	$x^{3} + 2 x^{2}$	\| $- 16$ $- x^{3}$ $- 2 x^{2}$
$- x^{4}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2}$ = 0 ⇒ S₁( $- 2$ |0)

g( $2$ ) = $2^{3} + 2 \cdot 2^{2}$ = $16$ ⇒ S₂( $2$ | $16$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

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