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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - x + 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $x^{2} - x + 1$ = 1.

$x^{2} - x + 1$	=	$1$	\| $- 1$
$x^{2} - x + 1 - 1$	=	0
$x^{2} - x$	=	0
$x (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $1$ gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x - 1)}^{4} - 31$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $2 {(x - 1)}^{4} - 31$ = 1.

$2 {(x - 1)}^{4} - 31$	=	$1$	\| $+ 31$
$2 {(x - 1)}^{4}$	=	$32$	\|: $2$
${(x - 1)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 1

- \sqrt[4]{16}

- 2

$x - 1$	=	$- 2$	\| $+ 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall

x - 1

\sqrt[4]{16}

2

$x - 1$	=	$2$	\| $+ 1$
x₂	=	$3$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{5} + 8 x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{5} + 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - x + 51$ und $g(x) =$ $- x + 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 3 x^{2} - x + 51$	=	$- x + 3$	\| $- 51$
$- 3 x^{2} - x$	=	$- x - 48$	\| $+ x$
$- 3 x^{2}$	=	$- 48$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 4$ ) = $- (- 4) + 3$ = $7$ ⇒ S₁( $- 4$ | $7$ )

g( $4$ ) = $- 4 + 3$ = $- 1$ ⇒ S₂( $4$ | $- 1$ )