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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 4 x - 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $x^{3} - 4 x - 1$ = -1.

$x^{3} - 4 x - 1$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$x^{3} - 4 x - 1 + 1$	=	0
$x^{3} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $2$ gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x - 4)}^{3} - 49$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $- 2 {(x - 4)}^{3} - 49$ = 5.

$- 2 {(x - 4)}^{3} - 49$	=	$5$	\| $+ 49$
$- 2 {(x - 4)}^{3}$	=	$54$	\|: $(- 2)$
${(x - 4)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 4$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$x - 4$	=	$- 3$	\| $+ 4$
$x$	=	$1$

An der Stelle x₁ = $1$ gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{3} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} + 2 x^{2} + 4 x + 1$ und $g(x) =$ $4 x + 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 2 x^{4} + 2 x^{2} + 4 x + 1$	=	$4 x + 1$	\| $- 1$
$- 2 x^{4} + 2 x^{2} + 4 x$	=	$4 x$	\| $- 4 x$
$- 2 x^{4} + 2 x^{2} + 4 x - 4 x$	=	0
$- 2 x^{4} + 2 x^{2}$	=	0
$2 x^{2} \cdot (- x^{2} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $4 \cdot (- 1) + 1$ = $- 3$ ⇒ S₁( $- 1$ | $- 3$ )

g(0) = $4 \cdot 0 + 1$ = $1$ ⇒ S₂(0| $1$ )

g( $1$ ) = $4 \cdot 1 + 1$ = $5$ ⇒ S₃( $1$ | $5$ )