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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - 4 x^{2} - 4$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $x^{4} - 4 x^{2} - 4$ = -4.

$x^{4} - 4 x^{2} - 4$	=	$- 4$	\| $+ 4$
$x^{4} - 4 x^{2} - 4 + 4$	=	0
$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $2$ gilt also f(x)= -4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(4 - 3 x)}^{3} - 21$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also $- 2 {(4 - 3 x)}^{3} - 21$ = -5.

$- 2 {(4 - 3 x)}^{3} - 21$	=	$- 5$
$- 2 {(- 3 x + 4)}^{3} - 21$	=	$- 5$	\| $+ 21$
$- 2 {(- 3 x + 4)}^{3}$	=	$16$	\|: $(- 2)$
${(- 3 x + 4)}^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 3 x + 4$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

$- 3 x + 4$	=	$- 2$	\| $- 4$
$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

An der Stelle x₁ = $2$ gilt also f(x)= -5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 {(x - 2)}^{4} - 162$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 {(x - 2)}^{4} - 162$	=	0	\| $+ 162$
$- 2 {(x - 2)}^{4}$	=	$162$	\|: $(- 2)$
${(x - 2)}^{4}$	=	$- 81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 3 x^{2} + 3$ und $g(x) =$ $x^{2} + 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 3 x^{2} + 3$	=	$x^{2} + 3$	\| $- 3$
$x^{4} - 3 x^{2}$	=	$x^{2}$	\| $- x^{2}$
$x^{4} - 3 x^{2} - x^{2}$	=	0
$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 3$ = $7$ ⇒ S₁( $- 2$ | $7$ )

g(0) = $0^{2} + 3$ = $3$ ⇒ S₂(0| $3$ )

g( $2$ ) = $2^{2} + 3$ = $7$ ⇒ S₃( $2$ | $7$ )