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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x + 4) \cdot (x + 2)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Es gilt f(x) = 0, also $x (x + 4) \cdot (x + 2)$ = 0.

x (x + 4) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

(x + 4) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

An den Stellen x₁ = $- 4$ , x₂ = $- 2$ und x₃ = 0 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x + 3)}^{4} + 77$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $- {(x + 3)}^{4} + 77$ = -4.

$- {(x + 3)}^{4} + 77$	=	$- 4$	\| $- 77$
$- {(x + 3)}^{4}$	=	$- 81$	\|: $(- 1)$
${(x + 3)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 3

=

- \sqrt[4]{81}

=

- 3

$x + 3$	=	$- 3$	\| $- 3$
x₁	=	$- 6$

2. Fall

x + 3

=

\sqrt[4]{81}

=

3

$x + 3$	=	$3$	\| $- 3$
x₂	=	0

An den Stellen x₁ = $- 6$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{5} - 4 x^{3}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{5} - 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂(0|0), S₃( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 5 x + 5$ und $g(x) =$ $- x + 5$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 5 x + 5$	=	$- x + 5$	\| $- 5$
$x^{3} - 5 x$	=	$- x$	\| $+ x$
$x^{3} - 5 x + x$	=	0
$x^{3} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- (- 2) + 5$ = $7$ ⇒ S₁( $- 2$ | $7$ )

g(0) = $- 0 + 5$ = $5$ ⇒ S₂(0| $5$ )

g( $2$ ) = $- 2 + 5$ = $3$ ⇒ S₃( $2$ | $3$ )

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x-Werte berechnen (schwerer)

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