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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x + 3)}^{2} \cdot (x + 2)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also ${(x + 3)}^{2} \cdot (x + 2)$ = 0.

{(x + 3)}^{2} \cdot (x + 2)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x + 3)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 3$	=	0

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

An den Stellen x₁ = $- 3$ und x₂ = $- 2$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x^{2} - 5)}^{3} + 127$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $- 2 {(x^{2} - 5)}^{3} + 127$ = -1.

$- 2 {(x^{2} - 5)}^{3} + 127$	=	$- 1$	\| $- 127$
$- 2 {(x^{2} - 5)}^{3}$	=	$- 128$	\|: $(- 2)$
${(x^{2} - 5)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 5$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$x^{2} - 5$	=	$4$	\| $+ 5$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

An den Stellen x₁ = $- 3$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= -1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} - x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} - x$	=	0
$x \cdot (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $5 x^{3} + 4 x + 8$ und $g(x) =$ $4 x^{3} + 4 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$5 x^{3} + 4 x + 8$	=	$4 x^{3} + 4 x$	\| $- 8$ $- 4 x^{3}$ $- 4 x$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $4 \cdot {(- 2)}^{3} + 4 \cdot (- 2)$ = $- 40$ ⇒ S₁( $- 2$ | $- 40$ )