Mathebattle EduRandomtasks

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + x - 32$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Es gilt f(x) = -2, also $x^{2} + x - 32$ = -2.

x^{2} + x - 32

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} + x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

An den Stellen x₁ = $- 6$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(- 6 + 3 x)}^{3} + 30$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $- {(- 6 + 3 x)}^{3} + 30$ = 3.

$- {(- 6 + 3 x)}^{3} + 30$	=	$3$
$- {(3 x - 6)}^{3} + 30$	=	$3$	\| $- 30$
$- {(3 x - 6)}^{3}$	=	$- 27$	\|: $(- 1)$
${(3 x - 6)}^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x - 6$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

$3 x - 6$	=	$3$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

An der Stelle x₁ = $3$ gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{4} + 6 x^{3} - 2 x^{2} + 5$ und $g(x) =$ $3 x^{2} + 5$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{4} + 6 x^{3} - 2 x^{2} + 5$	=	$3 x^{2} + 5$	\| $- 5$
$- x^{4} + 6 x^{3} - 2 x^{2}$	=	$3 x^{2}$	\| $- 3 x^{2}$
$- x^{4} + 6 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x^{2}$	=	0
$- x^{4} + 6 x^{3} - 5 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (- x^{2} + 6 x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6+4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₃ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6-4}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $3 \cdot 0^{2} + 5$ = $5$ ⇒ S₁(0| $5$ )

g( $1$ ) = $3 \cdot 1^{2} + 5$ = $8$ ⇒ S₂( $1$ | $8$ )

g( $5$ ) = $3 \cdot 5^{2} + 5$ = $80$ ⇒ S₃( $5$ | $80$ )

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):