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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 23$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also $x^{2} - 23$ = 2.

$x^{2} - 23$	=	$2$	\| $+ 23$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

An den Stellen x₁ = $- 5$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= 2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x - 4)}^{3} - 15$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $2 {(x - 4)}^{3} - 15$ = 1.

$2 {(x - 4)}^{3} - 15$	=	$1$	\| $+ 15$
$2 {(x - 4)}^{3}$	=	$16$	\|: $2$
${(x - 4)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 4$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$x - 4$	=	$2$	\| $+ 4$
$x$	=	$6$

An der Stelle x₁ = $6$ gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{4} - 162$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 x^{4} - 162$	=	0	\| $+ 162$
$2 x^{4}$	=	$162$	\|: $2$
$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0), S₂( $3$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $7 x^{2} - 248$ und $g(x) =$ $2 x^{2} - 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$7 x^{2} - 248$	=	$2 x^{2} - 3$	\| $+ 248$
$7 x^{2}$	=	$2 x^{2} + 245$	\| $- 2 x^{2}$
$5 x^{2}$	=	$245$	\|: $5$
$x^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
x₂	=	$\sqrt{49}$	= $7$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 7$ ) = $2 \cdot {(- 7)}^{2} - 3$ = $95$ ⇒ S₁( $- 7$ | $95$ )

g( $7$ ) = $2 \cdot 7^{2} - 3$ = $95$ ⇒ S₂( $7$ | $95$ )