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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 33$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $x^{2} - 33$ = 3.

$x^{2} - 33$	=	$3$	\| $+ 33$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

An den Stellen x₁ = $- 6$ und x₂ = $6$ gilt also f(x)= 3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(- 4 + 3 x)}^{3} - 251$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $2 {(- 4 + 3 x)}^{3} - 251$ = -1.

$2 {(- 4 + 3 x)}^{3} - 251$	=	$- 1$
$2 {(3 x - 4)}^{3} - 251$	=	$- 1$	\| $+ 251$
$2 {(3 x - 4)}^{3}$	=	$250$	\|: $2$
${(3 x - 4)}^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x - 4$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

$3 x - 4$	=	$5$	\| $+ 4$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

An der Stelle x₁ = $3$ gilt also f(x)= -1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{6} - 8 x^{3}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{6} - 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 3 x^{2} - 19$ und $g(x) =$ $3 x^{2} - 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + 3 x^{2} - 19$	=	$3 x^{2} - 3$	\| $+ 19$
$x^{4} + 3 x^{2}$	=	$3 x^{2} + 16$	\| $- 3 x^{2}$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $3 \cdot {(- 2)}^{2} - 3$ = $9$ ⇒ S₁( $- 2$ | $9$ )

g( $2$ ) = $3 \cdot 2^{2} - 3$ = $9$ ⇒ S₂( $2$ | $9$ )