Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x - 3) {(x - 5)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x (x - 3) {(x - 5)}^{2}$ = 0.

$x (x - 3) {(x - 5)}^{2}$	=	0
$x {(x - 5)}^{2} \cdot (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

{(x - 5)}^{2} \cdot (x - 3)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x - 5)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 5$	=	0

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

An den Stellen x₁ = 0, x₂ = $3$ und x₃ = $5$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x^{2} - 2)}^{3} - 15$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $2 {(x^{2} - 2)}^{3} - 15$ = 1.

$2 {(x^{2} - 2)}^{3} - 15$	=	$1$	\| $+ 15$
$2 {(x^{2} - 2)}^{3}$	=	$16$	\|: $2$
${(x^{2} - 2)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 2$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$x^{2} - 2$	=	$2$	\| $+ 2$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = $2$ gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} + 72 x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 x^{4} + 72 x^{2}$	=	0
$2 x^{2} \cdot (- x^{2} + 36)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 36$	=	0	\| $- 36$
$- x^{2}$	=	$- 36$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₃	=	$\sqrt{36}$	= $6$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 6$ |0), S₂(0|0), S₃( $6$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{4} + 3 x - 37$ und $g(x) =$ $3 x - 5$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{4} + 3 x - 37$	=	$3 x - 5$	\| $+ 37$
$2 x^{4} + 3 x$	=	$3 x + 32$	\| $- 3 x$
$2 x^{4}$	=	$32$	\|: $2$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $3 \cdot (- 2) - 5$ = $- 11$ ⇒ S₁( $- 2$ | $- 11$ )

g( $2$ ) = $3 \cdot 2 - 5$ = $1$ ⇒ S₂( $2$ | $1$ )