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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} + x - 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also $x^{4} + x - 5$ = -5.

$x^{4} + x - 5$	=	$- 5$	\| $+ 5$
$x^{4} + x - 5 + 5$	=	0
$x^{4} + x$	=	0
$x (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x + 1)}^{3} - 130$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $2 {(x + 1)}^{3} - 130$ = -2.

$2 {(x + 1)}^{3} - 130$	=	$- 2$	\| $+ 130$
$2 {(x + 1)}^{3}$	=	$128$	\|: $2$
${(x + 1)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 1$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
$x$	=	$3$

An der Stelle x₁ = $3$ gilt also f(x)= -2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{3} - x + 6$ und $g(x) =$ $- x - 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{3} - x + 6$	=	$- x - 2$	\| $- 6$
$- x^{3} - x$	=	$- x - 8$	\| $+ x$
$- x^{3}$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $2$ ) = $- 2 - 2$ = $- 4$ ⇒ S₁( $2$ | $- 4$ )