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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 10 x + 19$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Es gilt f(x) = -2, also $x^{2} - 10 x + 19$ = -2.

x^{2} - 10 x + 19

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} - 10 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $5$ - $2$ = 3

x₂ = $5$ + $2$ = 7

An den Stellen x₁ = $3$ und x₂ = $7$ gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x + 2)}^{4} + 15$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also ${(x + 2)}^{4} + 15$ = -1.

${(x + 2)}^{4} + 15$	=	$- 1$	\| $- 15$
${(x + 2)}^{4}$	=	$- 16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Es gibt also keine Stelle x für die f(x)= -1 gilt.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 {(5 + 3 x)}^{3} - 128$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 {(5 + 3 x)}^{3} - 128$	=	0
$- 2 {(3 x + 5)}^{3} - 128$	=	0	\| $+ 128$
$- 2 {(3 x + 5)}^{3}$	=	$128$	\|: $(- 2)$
${(3 x + 5)}^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x + 5$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

$3 x + 5$	=	$- 4$	\| $- 5$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} - 8 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x$ und $g(x) =$ $- 4 x^{2} + 2 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} - 8 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x$	=	$- 4 x^{2} + 2 x$	\| $- (- 4 x^{2} + 2 x)$
$x^{6} - 8 x^{3} - 4 x^{2} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x$	=	0
$x^{6} - 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 4 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0$ = 0 ⇒ S₁(0|0)

g( $2$ ) = $- 4 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ = $- 12$ ⇒ S₂( $2$ | $- 12$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

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