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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x - 4) \cdot (x - 4)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Es gilt f(x) = 0, also $x (x - 4) \cdot (x - 4)$ = 0.

$x (x - 4) \cdot (x - 4)$	=	0
$x {(x - 4)}^{2}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

${(x - 4)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 4$	=	0

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $4$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(- 4 - 2 x)}^{3} + 17$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $2 {(- 4 - 2 x)}^{3} + 17$ = 1.

$2 {(- 4 - 2 x)}^{3} + 17$	=	$1$
$2 {(- 2 x - 4)}^{3} + 17$	=	$1$	\| $- 17$
$2 {(- 2 x - 4)}^{3}$	=	$- 16$	\|: $2$
${(- 2 x - 4)}^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 2 x - 4$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

$- 2 x - 4$	=	$- 2$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 1$

An der Stelle x₁ = $- 1$ gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{5} - x^{3}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{5} - x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂(0|0), S₃( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 4 x^{3} - 12 x^{2} + 43 x + 4$ und $g(x) =$ $3 x + 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 4 x^{3} - 12 x^{2} + 43 x + 4$	=	$3 x + 4$	\| $- 4$
$- 4 x^{3} - 12 x^{2} + 43 x$	=	$3 x$	\| $- 3 x$
$- 4 x^{3} - 12 x^{2} + 43 x - 3 x$	=	0
$- 4 x^{3} - 12 x^{2} + 40 x$	=	0
$- 4 x \cdot (x^{2} + 3 x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₂ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 5$ ) = $3 \cdot (- 5) + 4$ = $- 11$ ⇒ S₁( $- 5$ | $- 11$ )

g(0) = $3 \cdot 0 + 4$ = $4$ ⇒ S₂(0| $4$ )

g( $2$ ) = $3 \cdot 2 + 4$ = $10$ ⇒ S₃( $2$ | $10$ )

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):