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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{6} - x^{3} + 3$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $x^{6} - x^{3} + 3$ = 3.

$x^{6} - x^{3} + 3$	=	$3$	\| $- 3$
$x^{6} - x^{3} + 3 - 3$	=	0
$x^{6} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $1$ gilt also f(x)= 3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(- 4 + 2 x)}^{3} + 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $- {(- 4 + 2 x)}^{3} + 5$ = -3.

$- {(- 4 + 2 x)}^{3} + 5$	=	$- 3$
$- {(2 x - 4)}^{3} + 5$	=	$- 3$	\| $- 5$
$- {(2 x - 4)}^{3}$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
${(2 x - 4)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$2 x - 4$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$2 x - 4$	=	$2$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

An der Stelle x₁ = $3$ gilt also f(x)= -3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 27$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{3} + 27$	=	0	\| $- 27$
$x^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x + 5$ und $g(x) =$ $- 4 x + 5$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} - 2 x + 5$	=	$- 4 x + 5$	\| $- 5$
$x^{2} - 2 x$	=	$- 4 x$	\| $+ 4 x$
$x^{2} - 2 x + 4 x$	=	0
$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- 4 \cdot (- 2) + 5$ = $13$ ⇒ S₁( $- 2$ | $13$ )

g(0) = $- 4 \cdot 0 + 5$ = $5$ ⇒ S₂(0| $5$ )