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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x + 5)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also ${(x + 5)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ = 0.

${(x + 5)}^{2} {(x - 1)}^{2}$	=	0
${((x + 5) (x - 1))}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$(x + 5) (x - 1)$	=	0

(x + 5) (x - 1)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₁	=	$- 5$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

An den Stellen x₁ = $- 5$ und x₂ = $1$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(- 6 + 3 x)}^{3} + 23$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also ${(- 6 + 3 x)}^{3} + 23$ = -4.

${(- 6 + 3 x)}^{3} + 23$	=	$- 4$
${(3 x - 6)}^{3} + 23$	=	$- 4$	\| $- 23$
${(3 x - 6)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x - 6$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$3 x - 6$	=	$- 3$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

An der Stelle x₁ = $1$ gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 250$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 x^{3} - 250$	=	0	\| $+ 250$
$2 x^{3}$	=	$250$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $5$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 4 x^{2} - x - 1$ und $g(x) =$ $4 x^{2} - 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + 4 x^{2} - x - 1$	=	$4 x^{2} - 1$	\| $+ 1$
$x^{4} + 4 x^{2} - x$	=	$4 x^{2}$	\| $- 4 x^{2}$
$x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2} - x$	=	0
$x^{4} - x$	=	0
$x (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $4 \cdot 0^{2} - 1$ = $- 1$ ⇒ S₁(0| $- 1$ )

g( $1$ ) = $4 \cdot 1^{2} - 1$ = $3$ ⇒ S₂( $1$ | $3$ )