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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{6} - 8 x^{3} - 2$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Es gilt f(x) = -2, also $x^{6} - 8 x^{3} - 2$ = -2.

$x^{6} - 8 x^{3} - 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$x^{6} - 8 x^{3} - 2 + 2$	=	0
$x^{6} - 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $2$ gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $x^{3} - 5$ = 3.

$x^{3} - 5$	=	$3$	\| $+ 5$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

An der Stelle x₁ = $2$ gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{3} + 3 x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 3 x^{3} + 3 x$	=	0
$3 x \cdot (- x^{2} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂(0|0), S₃( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 4$ und $g(x) =$ $2 x^{2} - 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 2 x^{4} - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 4$	=	$2 x^{2} - 4$	\| $+ 4$
$- 2 x^{4} - 2 x^{3} + 14 x^{2}$	=	$2 x^{2}$	\| $- 2 x^{2}$
$- 2 x^{4} - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 2 x^{2}$	=	0
$- 2 x^{4} - 2 x^{3} + 12 x^{2}$	=	0
$- 2 x^{2} \cdot (x^{2} + x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 3$ ) = $2 \cdot {(- 3)}^{2} - 4$ = $14$ ⇒ S₁( $- 3$ | $14$ )

g(0) = $2 \cdot 0^{2} - 4$ = $- 4$ ⇒ S₂(0| $- 4$ )

g( $2$ ) = $2 \cdot 2^{2} - 4$ = $4$ ⇒ S₃( $2$ | $4$ )

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):