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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} - x + 3$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Es gilt f(x) = 3, also $x^{3} - x + 3$ = 3.

$x^{3} - x + 3$	=	$3$	\| $- 3$
$x^{3} - x + 3 - 3$	=	0
$x^{3} - x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ , x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= 3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(8 - 3 x)}^{3} - 249$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $2 {(8 - 3 x)}^{3} - 249$ = 1.

$2 {(8 - 3 x)}^{3} - 249$	=	$1$
$2 {(- 3 x + 8)}^{3} - 249$	=	$1$	\| $+ 249$
$2 {(- 3 x + 8)}^{3}$	=	$250$	\|: $2$
${(- 3 x + 8)}^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 3 x + 8$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

$- 3 x + 8$	=	$5$	\| $- 8$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

An der Stelle x₁ = $1$ gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 10 x + 21$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{2} - 10 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $5$ - $2$ = 3

x₂ = $5$ + $2$ = 7

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $3$ |0), S₂( $7$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} + 5 x + 130$ und $g(x) =$ $5 x + 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 2 x^{3} + 5 x + 130$	=	$5 x + 2$	\| $- 130$
$- 2 x^{3} + 5 x$	=	$5 x - 128$	\| $- 5 x$
$- 2 x^{3}$	=	$- 128$	\|: $(- 2)$
$x^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $4$ ) = $5 \cdot 4 + 2$ = $22$ ⇒ S₁( $4$ | $22$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

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