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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 20$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $x^{2} - 20$ = -4.

$x^{2} - 20$	=	$- 4$	\| $+ 20$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

An den Stellen x₁ = $- 4$ und x₂ = $4$ gilt also f(x)= -4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x^{2} - 9)}^{3} - 251$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $- 2 {(x^{2} - 9)}^{3} - 251$ = -1.

$- 2 {(x^{2} - 9)}^{3} - 251$	=	$- 1$	\| $+ 251$
$- 2 {(x^{2} - 9)}^{3}$	=	$250$	\|: $(- 2)$
${(x^{2} - 9)}^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 9$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

$x^{2} - 9$	=	$- 5$	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = $2$ gilt also f(x)= -1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{5} - 18 x^{3}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 x^{5} - 18 x^{3}$	=	0
$2 x^{3} \cdot (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0), S₂(0|0), S₃( $3$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{4} - 4 x^{3} + 11$ und $g(x) =$ $- 4 x^{3} - 5$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{4} - 4 x^{3} + 11$	=	$- 4 x^{3} - 5$	\| $- 11$
$- x^{4} - 4 x^{3}$	=	$- 4 x^{3} - 16$	\| $+ 4 x^{3}$
$- x^{4}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- 4 \cdot {(- 2)}^{3} - 5$ = $27$ ⇒ S₁( $- 2$ | $27$ )

g( $2$ ) = $- 4 \cdot 2^{3} - 5$ = $- 37$ ⇒ S₂( $2$ | $- 37$ )