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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x {(x + 1)}^{2} {(x + 4)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x {(x + 1)}^{2} {(x + 4)}^{2}$ = 0.

$x {(x + 1)}^{2} {(x + 4)}^{2}$	=	0
$x {((x + 1) (x + 4))}^{2}$	=	0
${((x + 1) (x + 4))}^{2} x$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${((x + 1) (x + 4))}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$(x + 1) (x + 4)$	=	0

(x + 1) (x + 4)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

x₃

An den Stellen x₁ = $- 4$ , x₂ = $- 1$ und x₃ = 0 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 x^{3} - 56$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $- 2 x^{3} - 56$ = -2.

$- 2 x^{3} - 56$	=	$- 2$	\| $+ 56$
$- 2 x^{3}$	=	$54$	\|: $(- 2)$
$x^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

An der Stelle x₁ = $- 3$ gilt also f(x)= -2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{3} - 108 x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$3 x^{3} - 108 x$	=	0
$3 x (x^{2} - 36)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{2} - 36$	=	0	\| $+ 36$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₃	=	$\sqrt{36}$	= $6$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 6$ |0), S₂(0|0), S₃( $6$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + x^{3} - 5 x$ und $g(x) =$ $3 x^{3} - 5 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + x^{3} - 5 x$	=	$3 x^{3} - 5 x$	\| $- (3 x^{3} - 5 x)$
$x^{4} + x^{3} - 3 x^{3} - 5 x + 5 x$	=	0
$x^{4} - 2 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $3 \cdot 0^{3} - 5 \cdot 0$ = 0 ⇒ S₁(0|0)

g( $2$ ) = $3 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2$ = $14$ ⇒ S₂( $2$ | $14$ )