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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $(x + 5) \cdot (x + 4)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $(x + 5) \cdot (x + 4)$ = 0.

(x + 5) \cdot (x + 4)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₁	=	$- 5$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

An den Stellen x₁ = $- 5$ und x₂ = $- 4$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x - 4)}^{3} + 55$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $2 {(x - 4)}^{3} + 55$ = 1.

$2 {(x - 4)}^{3} + 55$	=	$1$	\| $- 55$
$2 {(x - 4)}^{3}$	=	$- 54$	\|: $2$
${(x - 4)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 4$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$x - 4$	=	$- 3$	\| $+ 4$
$x$	=	$1$

An der Stelle x₁ = $1$ gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{5} + 8 x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{5} + 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 2 x^{2} + 5 x$ und $g(x) =$ $3 x^{2} + 5 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + 2 x^{2} + 5 x$	=	$3 x^{2} + 5 x$	\| $- (3 x^{2} + 5 x)$
$x^{4} + 2 x^{2} - 3 x^{2} + 5 x - 5 x$	=	0
$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $3 \cdot {(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1)$ = $- 2$ ⇒ S₁( $- 1$ | $- 2$ )

g(0) = $3 \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $1$ ) = $3 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1$ = $8$ ⇒ S₃( $1$ | $8$ )