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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x + 2) (x + 1)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Es gilt f(x) = 0, also $x (x + 2) (x + 1)$ = 0.

x (x + 2) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

(x + 2) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = $- 1$ und x₃ = 0 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x - 1)}^{4} + 35$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $- 2 {(x - 1)}^{4} + 35$ = 3.

$- 2 {(x - 1)}^{4} + 35$	=	$3$	\| $- 35$
$- 2 {(x - 1)}^{4}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
${(x - 1)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 1

=

- \sqrt[4]{16}

=

- 2

$x - 1$	=	$- 2$	\| $+ 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall

x - 1

=

\sqrt[4]{16}

=

2

$x - 1$	=	$2$	\| $+ 1$
x₂	=	$3$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $5 x^{4} + 10 x^{3} - 175 x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$5 x^{4} + 10 x^{3} - 175 x^{2}$	=	0
$5 x^{2} (x^{2} + 2 x - 35)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 2 x - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 1$ - $6$ = -7

x₂ = $- 1$ + $6$ = 5

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 7$ |0), S₂(0|0), S₃( $5$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 5 x^{3} + 65 x^{2} - 242 x$ und $g(x) =$ $- 5 x^{2} + 3 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 5 x^{3} + 65 x^{2} - 242 x$	=	$- 5 x^{2} + 3 x$	\| $- (- 5 x^{2} + 3 x)$
$- 5 x^{3} + 65 x^{2} + 5 x^{2} - 242 x - 3 x$	=	0
$- 5 x^{3} + 70 x^{2} - 245 x$	=	0
$5 x (- x^{2} + 14 x - 49)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 14 x - 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 49)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 14 x - 49$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 14 x + 49$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 49$ = $49$ $-$ $49$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $7$ ± 0 = $7$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 5 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0$ = 0 ⇒ S₁(0|0)

g( $7$ ) = $- 5 \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7$ = $- 224$ ⇒ S₂( $7$ | $- 224$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

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Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):