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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x + 1) \cdot (x + 4)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x (x + 1) \cdot (x + 4)$ = 0.

x (x + 1) \cdot (x + 4)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

(x + 1) \cdot (x + 4)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

An den Stellen x₁ = $- 4$ , x₂ = $- 1$ und x₃ = 0 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x - 4)}^{4} + 21$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $- {(x - 4)}^{4} + 21$ = 5.

$- {(x - 4)}^{4} + 21$	=	$5$	\| $- 21$
$- {(x - 4)}^{4}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
${(x - 4)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 4

- \sqrt[4]{16}

- 2

$x - 4$	=	$- 2$	\| $+ 4$
x₁	=	$2$

2. Fall

x - 4

\sqrt[4]{16}

2

$x - 4$	=	$2$	\| $+ 4$
x₂	=	$6$

An den Stellen x₁ = $2$ und x₂ = $6$ gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} - 81$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} - 81$	=	0	\| $+ 81$
$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0), S₂( $3$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 5 x - 4$ und $g(x) =$ $4 x - 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + 5 x - 4$	=	$4 x - 4$	\| $+ 4$
$x^{4} + 5 x$	=	$4 x$	\| $- 4 x$
$x^{4} + 5 x - 4 x$	=	0
$x^{4} + x$	=	0
$x \cdot (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $4 \cdot (- 1) - 4$ = $- 8$ ⇒ S₁( $- 1$ | $- 8$ )

g(0) = $4 \cdot 0 - 4$ = $- 4$ ⇒ S₂(0| $- 4$ )