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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 - x -29 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also x 2 - x -29 = 1.

x 2 - x -29 = 1 | -1

x 2 - x -30 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -30 ) 2⋅1

x1,2 = +1 ± 1 +120 2

x1,2 = +1 ± 121 2

x1 = 1 + 121 2 = 1 +11 2 = 12 2 = 6

x2 = 1 - 121 2 = 1 -11 2 = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -30 ) = 1 4 + 30 = 1 4 + 120 4 = 121 4

x1,2 = 1 2 ± 121 4

x1 = 1 2 - 11 2 = - 10 2 = -5

x2 = 1 2 + 11 2 = 12 2 = 6

An den Stellen x1 = -5 und x2 = 6 gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - ( x 2 -30 ) 3 -122 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also - ( x 2 -30 ) 3 -122 = 3.

- ( x 2 -30 ) 3 -122 = 3 | +122
- ( x 2 -30 ) 3 = 125 |: ( -1 )
( x 2 -30 ) 3 = -125 | ⋅3
x 2 -30 = - 125 3 = -5
x 2 -30 = -5 | +30
x 2 = 25 | ⋅2
x1 = - 25 = -5
x2 = 25 = 5

An den Stellen x1 = -5 und x2 = 5 gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= ( x 2 -20 ) 3 -125 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

( x 2 -20 ) 3 -125 = 0 | +125
( x 2 -20 ) 3 = 125 | ⋅3
x 2 -20 = 125 3 = 5
x 2 -20 = 5 | +20
x 2 = 25 | ⋅2
x1 = - 25 = -5
x2 = 25 = 5

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -5 |0), S2( 5 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 6 -8 x 3 -3x +1 und g(x)= -3x +1 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 6 -8 x 3 -3x +1 = -3x +1 | -1
x 6 -8 x 3 -3x = -3x | +3x
x 6 -8 x 3 -3x +3x = 0
x 6 -8 x 3 = 0
x 3 · ( x 3 -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 3 -8 = 0 | +8
x 3 = 8 | ⋅3
x2 = 8 3 = 2

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = -3⋅0 +1 = 1 ⇒ S1(0| 1 )

g( 2 ) = -3⋅2 +1 = -5 ⇒ S2( 2 | -5 )