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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} + 2 x^{2} - 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also $x^{3} + 2 x^{2} - 5$ = -5.

$x^{3} + 2 x^{2} - 5$	=	$- 5$	\| $+ 5$
$x^{3} + 2 x^{2} - 5 + 5$	=	0
$x^{3} + 2 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x - 2)}^{3} + 133$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $- 2 {(x - 2)}^{3} + 133$ = 5.

$- 2 {(x - 2)}^{3} + 133$	=	$5$	\| $- 133$
$- 2 {(x - 2)}^{3}$	=	$- 128$	\|: $(- 2)$
${(x - 2)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 2$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$x - 2$	=	$4$	\| $+ 2$
$x$	=	$6$

An der Stelle x₁ = $6$ gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{3} + 16$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 x^{3} + 16$	=	0	\| $- 16$
$2 x^{3}$	=	$- 16$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} + x$ und $g(x) =$ $- 3 x^{2} + x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} + x$	=	$- 3 x^{2} + x$	\| $- (- 3 x^{2} + x)$
$x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + x - x$	=	0
$x^{4} + 2 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 2$ = $- 14$ ⇒ S₁( $- 2$ | $- 14$ )

g(0) = $- 3 \cdot 0^{2} + 0$ = 0 ⇒ S₂(0|0)