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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} + x^{2} + 2$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also $x^{3} + x^{2} + 2$ = 2.

$x^{3} + x^{2} + 2$	=	$2$	\| $- 2$
$x^{3} + x^{2} + 2 - 2$	=	0
$x^{3} + x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= 2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x + 2)}^{3} + 127$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also $- {(x + 2)}^{3} + 127$ = 2.

$- {(x + 2)}^{3} + 127$	=	$2$	\| $- 127$
$- {(x + 2)}^{3}$	=	$- 125$	\|: $(- 1)$
${(x + 2)}^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 2$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

$x + 2$	=	$5$	\| $- 2$
$x$	=	$3$

An der Stelle x₁ = $3$ gilt also f(x)= 2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{4} + 81$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- x^{4} + 81$	=	0	\| $- 81$
$- x^{4}$	=	$- 81$	\|: $(- 1)$
$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0), S₂( $3$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 128$ und $g(x) =$ $- 3 x^{2} - 5 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 128$	=	$- 3 x^{2} - 5 x$	\| $- 128$ $+ 3 x^{2}$ $+ 5 x$
$2 x^{3}$	=	$- 128$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 4$ ) = $- 3 \cdot {(- 4)}^{2} - 5 \cdot (- 4)$ = $- 28$ ⇒ S₁( $- 4$ | $- 28$ )