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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - x + 3$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $x^{4} - x + 3$ = 3.

$x^{4} - x + 3$	=	$3$	\| $- 3$
$x^{4} - x + 3 - 3$	=	0
$x^{4} - x$	=	0
$x \cdot (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $1$ gilt also f(x)= 3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x - 5)}^{3} - 67$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also ${(x - 5)}^{3} - 67$ = -3.

${(x - 5)}^{3} - 67$	=	$- 3$	\| $+ 67$
${(x - 5)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 5$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$x - 5$	=	$4$	\| $+ 5$
$x$	=	$9$

An der Stelle x₁ = $9$ gilt also f(x)= -3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 {(x - 4)}^{3} - 16$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 {(x - 4)}^{3} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$- 2 {(x - 4)}^{3}$	=	$16$	\|: $(- 2)$
${(x - 4)}^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 4$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

$x - 4$	=	$- 2$	\| $+ 4$
$x$	=	$2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + x$ und $g(x) =$ $x^{2} + x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + x$	=	$x^{2} + x$	\| $- (x^{2} + x)$
$x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - x^{2} + x - x$	=	0
$x^{4} - 2 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $0^{2} + 0$ = 0 ⇒ S₁(0|0)

g( $2$ ) = $2^{2} + 2$ = $6$ ⇒ S₂( $2$ | $6$ )