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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x - 2)}^{2} (x + 4)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also ${(x - 2)}^{2} (x + 4)$ = 0.

{(x - 2)}^{2} (x + 4)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x - 2)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 2$	=	0

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

An den Stellen x₁ = $- 4$ und x₂ = $2$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 x^{3} + 59$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $2 x^{3} + 59$ = 5.

$2 x^{3} + 59$	=	$5$	\| $- 59$
$2 x^{3}$	=	$- 54$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

An der Stelle x₁ = $- 3$ gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 x^{4} + 144 x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 4 x^{4} + 144 x^{2}$	=	0
$4 x^{2} (- x^{2} + 36)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 36$	=	0	\| $- 36$
$- x^{2}$	=	$- 36$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₃	=	$\sqrt{36}$	= $6$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 6$ |0), S₂(0|0), S₃( $6$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} - 13 x^{3} + 2 x^{2}$ und $g(x) =$ $- 5 x^{3} + 2 x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} - 13 x^{3} + 2 x^{2}$	=	$- 5 x^{3} + 2 x^{2}$	\| $- (- 5 x^{3} + 2 x^{2})$
$x^{6} - 13 x^{3} + 5 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2}$	=	0
$x^{6} - 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 5 \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0^{2}$ = 0 ⇒ S₁(0|0)

g( $2$ ) = $- 5 \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2^{2}$ = $- 32$ ⇒ S₂( $2$ | $- 32$ )