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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} - x^{2} + 3$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $x^{3} - x^{2} + 3$ = 3.

$x^{3} - x^{2} + 3$	=	$3$	\| $- 3$
$x^{3} - x^{2} + 3 - 3$	=	0
$x^{3} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $1$ gilt also f(x)= 3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x + 3)}^{3} - 30$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $- {(x + 3)}^{3} - 30$ = -3.

$- {(x + 3)}^{3} - 30$	=	$- 3$	\| $+ 30$
$- {(x + 3)}^{3}$	=	$27$	\|: $(- 1)$
${(x + 3)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 3$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$x + 3$	=	$- 3$	\| $- 3$
$x$	=	$- 6$

An der Stelle x₁ = $- 6$ gilt also f(x)= -3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 {(- 7 + 3 x)}^{3} + 128$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 {(- 7 + 3 x)}^{3} + 128$	=	0
$2 {(3 x - 7)}^{3} + 128$	=	0	\| $- 128$
$2 {(3 x - 7)}^{3}$	=	$- 128$	\|: $2$
${(3 x - 7)}^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x - 7$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

$3 x - 7$	=	$- 4$	\| $+ 7$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 4 x + 124$ und $g(x) =$ $- 4 x - 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 4 x + 124$	=	$- 4 x - 1$	\| $- 124$
$x^{3} - 4 x$	=	$- 4 x - 125$	\| $+ 4 x$
$x^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 5$ ) = $- 4 \cdot (- 5) - 1$ = $19$ ⇒ S₁( $- 5$ | $19$ )