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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + 2 x - 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also $x^{2} + 2 x - 5$ = -5.

$x^{2} + 2 x - 5$	=	$- 5$	\| $+ 5$
$x^{2} + 2 x - 5 + 5$	=	0
$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(4 + 2 x)}^{3} - 68$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $- {(4 + 2 x)}^{3} - 68$ = -4.

$- {(4 + 2 x)}^{3} - 68$	=	$- 4$
$- {(2 x + 4)}^{3} - 68$	=	$- 4$	\| $+ 68$
$- {(2 x + 4)}^{3}$	=	$64$	\|: $(- 1)$
${(2 x + 4)}^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$2 x + 4$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

$2 x + 4$	=	$- 4$	\| $- 4$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

An der Stelle x₁ = $- 4$ gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 2)}^{4} - 81$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

${(x + 2)}^{4} - 81$	=	0	\| $+ 81$
${(x + 2)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 2

- \sqrt[4]{81}

- 3

$x + 2$	=	$- 3$	\| $- 2$
x₁	=	$- 5$

2. Fall

x + 2

\sqrt[4]{81}

3

$x + 2$	=	$3$	\| $- 2$
x₂	=	$1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 5$ |0), S₂( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{4} + x^{3} + 10 x^{2}$ und $g(x) =$ $x^{3} + x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{4} + x^{3} + 10 x^{2}$	=	$x^{3} + x^{2}$	\| $- (x^{3} + x^{2})$
$- x^{4} + x^{3} - x^{3} + 10 x^{2} - x^{2}$	=	0
$- x^{4} + 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (- x^{2} + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$- x^{2}$	=	$- 9$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{2}$ = $- 18$ ⇒ S₁( $- 3$ | $- 18$ )

g(0) = $0^{3} + 0^{2}$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $3$ ) = $3^{3} + 3^{2}$ = $36$ ⇒ S₃( $3$ | $36$ )