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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - 4 x^{2} - 2$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $x^{4} - 4 x^{2} - 2$ = -2.

$x^{4} - 4 x^{2} - 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$x^{4} - 4 x^{2} - 2 + 2$	=	0
$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $2$ gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x + 5)}^{3} + 125$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $2 {(x + 5)}^{3} + 125$ = -3.

$2 {(x + 5)}^{3} + 125$	=	$- 3$	\| $- 125$
$2 {(x + 5)}^{3}$	=	$- 128$	\|: $2$
${(x + 5)}^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 5$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

$x + 5$	=	$- 4$	\| $- 5$
$x$	=	$- 9$

An der Stelle x₁ = $- 9$ gilt also f(x)= -3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} + 128$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 x^{3} + 128$	=	0	\| $- 128$
$- 2 x^{3}$	=	$- 128$	\|: $(- 2)$
$x^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $4$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} + 6 x^{3} - 1$ und $g(x) =$ $5 x^{3} - 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} + 6 x^{3} - 1$	=	$5 x^{3} - 1$	\| $+ 1$
$x^{6} + 6 x^{3}$	=	$5 x^{3}$	\| $- 5 x^{3}$
$x^{6} + 6 x^{3} - 5 x^{3}$	=	0
$x^{6} + x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $5 \cdot {(- 1)}^{3} - 1$ = $- 6$ ⇒ S₁( $- 1$ | $- 6$ )

g(0) = $5 \cdot 0^{3} - 1$ = $- 1$ ⇒ S₂(0| $- 1$ )