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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{5} - 4 x^{3} - 3$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $x^{5} - 4 x^{3} - 3$ = -3.

$x^{5} - 4 x^{3} - 3$	=	$- 3$	\| $+ 3$
$x^{5} - 4 x^{3} - 3 + 3$	=	0
$x^{5} - 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $2$ gilt also f(x)= -3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(- 6 + 3 x)}^{3} - 22$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $- {(- 6 + 3 x)}^{3} - 22$ = 5.

$- {(- 6 + 3 x)}^{3} - 22$	=	$5$
$- {(3 x - 6)}^{3} - 22$	=	$5$	\| $+ 22$
$- {(3 x - 6)}^{3}$	=	$27$	\|: $(- 1)$
${(3 x - 6)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x - 6$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$3 x - 6$	=	$- 3$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

An der Stelle x₁ = $1$ gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 4 x^{3} - 4 x^{2} + 3$ und $g(x) =$ $- 4 x^{2} + 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} - 4 x^{3} - 4 x^{2} + 3$	=	$- 4 x^{2} + 3$	\| $- 3$
$x^{5} - 4 x^{3} - 4 x^{2}$	=	$- 4 x^{2}$	\| $+ 4 x^{2}$
$x^{5} - 4 x^{3} - 4 x^{2} + 4 x^{2}$	=	0
$x^{5} - 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- 4 \cdot {(- 2)}^{2} + 3$ = $- 13$ ⇒ S₁( $- 2$ | $- 13$ )

g(0) = $- 4 \cdot 0^{2} + 3$ = $3$ ⇒ S₂(0| $3$ )

g( $2$ ) = $- 4 \cdot 2^{2} + 3$ = $- 13$ ⇒ S₃( $2$ | $- 13$ )