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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 + x -7 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also x 2 + x -7 = -1.

x 2 + x -7 = -1 | +1

x 2 + x -6 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -6 ) 2⋅1

x1,2 = -1 ± 1 +24 2

x1,2 = -1 ± 25 2

x1 = -1 + 25 2 = -1 +5 2 = 4 2 = 2

x2 = -1 - 25 2 = -1 -5 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -6 ) = 1 4 + 6 = 1 4 + 24 4 = 25 4

x1,2 = - 1 2 ± 25 4

x1 = - 1 2 - 5 2 = - 6 2 = -3

x2 = - 1 2 + 5 2 = 4 2 = 2

An den Stellen x1 = -3 und x2 = 2 gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 ( x -1 ) 3 +57 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also 2 ( x -1 ) 3 +57 = 3.

2 ( x -1 ) 3 +57 = 3 | -57
2 ( x -1 ) 3 = -54 |:2
( x -1 ) 3 = -27 | ⋅3
x -1 = - 27 3 = -3
x -1 = -3 | +1
x = -2

An der Stelle x1 = -2 gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 4 +8x mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 4 +8x = 0
x · ( x 3 +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 3 +8 = 0 | -8
x 3 = -8 | ⋅3
x2 = - 8 3 = -2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -2 |0), S2(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 4 - x 2 + x -1 und g(x)= - x 2 -1 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 4 - x 2 + x -1 = - x 2 -1 | +1
x 4 - x 2 + x = - x 2 | + x 2
x 4 - x 2 + x 2 + x = 0
x 4 + x = 0
x · ( x 3 +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 3 +1 = 0 | -1
x 3 = -1 | ⋅3
x2 = - 1 3 = -1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -1 ) = - ( -1 ) 2 -1 = -2 ⇒ S1( -1 | -2 )

g(0) = - 0 2 -1 = -1 ⇒ S2(0| -1 )