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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $(x + 5) \cdot (x - 3)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $(x + 5) \cdot (x - 3)$ = 0.

(x + 5) \cdot (x - 3)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₁	=	$- 5$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

An den Stellen x₁ = $- 5$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(4 + 2 x)}^{3} - 11$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $2 {(4 + 2 x)}^{3} - 11$ = 5.

$2 {(4 + 2 x)}^{3} - 11$	=	$5$
$2 {(2 x + 4)}^{3} - 11$	=	$5$	\| $+ 11$
$2 {(2 x + 4)}^{3}$	=	$16$	\|: $2$
${(2 x + 4)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$2 x + 4$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$2 x + 4$	=	$2$	\| $- 4$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

An der Stelle x₁ = $- 1$ gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} + 2 x^{3}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} + 2 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} - x^{3} + 2 x - 1$ und $g(x) =$ $2 x - 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} - x^{3} + 2 x - 1$	=	$2 x - 1$	\| $+ 1$
$x^{6} - x^{3} + 2 x$	=	$2 x$	\| $- 2 x$
$x^{6} - x^{3} + 2 x - 2 x$	=	0
$x^{6} - x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $2 \cdot 0 - 1$ = $- 1$ ⇒ S₁(0| $- 1$ )

g( $1$ ) = $2 \cdot 1 - 1$ = $1$ ⇒ S₂( $1$ | $1$ )