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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 20$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $x^{2} - 20$ = 5.

$x^{2} - 20$	=	$5$	\| $+ 20$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

An den Stellen x₁ = $- 5$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x - 4)}^{4} + 84$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $- {(x - 4)}^{4} + 84$ = 3.

$- {(x - 4)}^{4} + 84$	=	$3$	\| $- 84$
$- {(x - 4)}^{4}$	=	$- 81$	\|: $(- 1)$
${(x - 4)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 4

- \sqrt[4]{81}

- 3

$x - 4$	=	$- 3$	\| $+ 4$
x₁	=	$1$

2. Fall

x - 4

\sqrt[4]{81}

3

$x - 4$	=	$3$	\| $+ 4$
x₂	=	$7$

An den Stellen x₁ = $1$ und x₂ = $7$ gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} + x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} + x$	=	0
$x \cdot (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 4 x^{2} - 95 x$ und $g(x) =$ $- 4 x^{2} + 3 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{3} - 4 x^{2} - 95 x$	=	$- 4 x^{2} + 3 x$	\| $- (- 4 x^{2} + 3 x)$
$2 x^{3} - 4 x^{2} + 4 x^{2} - 95 x - 3 x$	=	0
$2 x^{3} - 98 x$	=	0
$2 x \cdot (x^{2} - 49)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{2} - 49$	=	0	\| $+ 49$
$x^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
x₃	=	$\sqrt{49}$	= $7$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 7$ ) = $- 4 \cdot {(- 7)}^{2} + 3 \cdot (- 7)$ = $- 217$ ⇒ S₁( $- 7$ | $- 217$ )

g(0) = $- 4 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $7$ ) = $- 4 \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7$ = $- 175$ ⇒ S₃( $7$ | $- 175$ )