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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} - x + 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $x^{3} - x + 1$ = 1.

$x^{3} - x + 1$	=	$1$	\| $- 1$
$x^{3} - x + 1 - 1$	=	0
$x^{3} - x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ , x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- x^{3} - 129$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $- x^{3} - 129$ = -4.

$- x^{3} - 129$	=	$- 4$	\| $+ 129$
$- x^{3}$	=	$125$	\|: $(- 1)$
$x^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

An der Stelle x₁ = $- 5$ gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} - 16$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{4} - 5 x + 76$ und $g(x) =$ $- 5 x - 5$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{4} - 5 x + 76$	=	$- 5 x - 5$	\| $- 76$
$- x^{4} - 5 x$	=	$- 5 x - 81$	\| $+ 5 x$
$- x^{4}$	=	$- 81$	\|: $(- 1)$
$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 3$ ) = $- 5 \cdot (- 3) - 5$ = $10$ ⇒ S₁( $- 3$ | $10$ )

g( $3$ ) = $- 5 \cdot 3 - 5$ = $- 20$ ⇒ S₂( $3$ | $- 20$ )