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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{6} + x^{3} - 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $x^{6} + x^{3} - 1$ = -1.

$x^{6} + x^{3} - 1$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$x^{6} + x^{3} - 1 + 1$	=	0
$x^{6} + x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x - 5)}^{3} - 11$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $2 {(x - 5)}^{3} - 11$ = 5.

$2 {(x - 5)}^{3} - 11$	=	$5$	\| $+ 11$
$2 {(x - 5)}^{3}$	=	$16$	\|: $2$
${(x - 5)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 5$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$x - 5$	=	$2$	\| $+ 5$
$x$	=	$7$

An der Stelle x₁ = $7$ gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 {(x^{2} - 21)}^{3} - 128$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 {(x^{2} - 21)}^{3} - 128$	=	0	\| $+ 128$
$2 {(x^{2} - 21)}^{3}$	=	$128$	\|: $2$
${(x^{2} - 21)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 21$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$x^{2} - 21$	=	$4$	\| $+ 21$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 5$ |0), S₂( $5$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{4} - x^{2} - 3 x + 81$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 3 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{4} - x^{2} - 3 x + 81$	=	$- x^{2} - 3 x$	\| $- 81$ $+ x^{2}$ $+ 3 x$
$- x^{4}$	=	$- 81$	\|: $(- 1)$
$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{2} - 3 \cdot (- 3)$ = 0 ⇒ S₁( $- 3$ |0)

g( $3$ ) = $- 3^{2} - 3 \cdot 3$ = $- 18$ ⇒ S₂( $3$ | $- 18$ )