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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x ( x +4 ) 2 ( x -3 ) 2 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also x ( x +4 ) 2 ( x -3 ) 2 = 0.

x ( x +4 ) 2 ( x -3 ) 2 = 0
x ( ( x +4 ) · ( x -3 ) ) 2 = 0
( ( x +4 ) · ( x -3 ) ) 2 x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( ( x +4 ) · ( x -3 ) ) 2 = 0 | ⋅2
( x +4 ) · ( x -3 ) = 0
( x +4 ) · ( x -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x +4 = 0 | -4
x1 = -4

2. Fall:

x -3 = 0 | +3
x2 = 3

2. Fall:

x3 = 0

An den Stellen x1 = -4 , x2 = 0 und x3 = 3 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 x 4 -34 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also 2 x 4 -34 = -2.

2 x 4 -34 = -2 | +34
2 x 4 = 32 |:2
x 4 = 16 | ⋅4
x1 = - 16 4 = -2
x2 = 16 4 = 2

An den Stellen x1 = -2 und x2 = 2 gilt also f(x)= -2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 3 -4x mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 3 -4x = 0
x · ( x 2 -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 -4 = 0 | +4
x 2 = 4 | ⋅2
x2 = - 4 = -2
x3 = 4 = 2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -2 |0), S2(0|0), S3( 2 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= -3 x 4 +30 x 3 -63 x 2 - x +1 und g(x)= -x +1 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

-3 x 4 +30 x 3 -63 x 2 - x +1 = -x +1 | -1
-3 x 4 +30 x 3 -63 x 2 - x = -x | + x
-3 x 4 +30 x 3 -63 x 2 - x + x = 0
-3 x 4 +30 x 3 -63 x 2 = 0
3 x 2 · ( - x 2 +10x -21 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

- x 2 +10x -21 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = -10 ± 10 2 -4 · ( -1 ) · ( -21 ) 2⋅( -1 )

x2,3 = -10 ± 100 -84 -2

x2,3 = -10 ± 16 -2

x2 = -10 + 16 -2 = -10 +4 -2 = -6 -2 = 3

x3 = -10 - 16 -2 = -10 -4 -2 = -14 -2 = 7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +10x -21 = 0 |: -1

x 2 -10x +21 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -5 ) 2 - 21 = 25 - 21 = 4

x1,2 = 5 ± 4

x1 = 5 - 2 = 3

x2 = 5 + 2 = 7

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = -0 +1 = 1 ⇒ S1(0| 1 )

g( 3 ) = -3 +1 = -2 ⇒ S2( 3 | -2 )

g( 7 ) = -7 +1 = -6 ⇒ S3( 7 | -6 )