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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x {(x + 5)}^{2} {(x + 3)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x {(x + 5)}^{2} {(x + 3)}^{2}$ = 0.

$x {(x + 5)}^{2} {(x + 3)}^{2}$	=	0
$x {((x + 5) (x + 3))}^{2}$	=	0
${((x + 5) (x + 3))}^{2} x$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${((x + 5) (x + 3))}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$(x + 5) (x + 3)$	=	0

(x + 5) (x + 3)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₁	=	$- 5$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

2. Fall:

x₃

An den Stellen x₁ = $- 5$ , x₂ = $- 3$ und x₃ = 0 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x + 1)}^{4} + 82$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also ${(x + 1)}^{4} + 82$ = 1.

${(x + 1)}^{4} + 82$	=	$1$	\| $- 82$
${(x + 1)}^{4}$	=	$- 81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Es gibt also keine Stelle x für die f(x)= 1 gilt.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 3)}^{3} + 8$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

${(x + 3)}^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
${(x + 3)}^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 3$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

$x + 3$	=	$- 2$	\| $- 3$
$x$	=	$- 5$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 5$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{3} + 3 x - 57$ und $g(x) =$ $3 x - 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{3} + 3 x - 57$	=	$3 x - 3$	\| $+ 57$
$2 x^{3} + 3 x$	=	$3 x + 54$	\| $- 3 x$
$2 x^{3}$	=	$54$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $3$ ) = $3 \cdot 3 - 3$ = $6$ ⇒ S₁( $3$ | $6$ )