Mathebattle EduRandomtasks

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x {(x - 5)}^{2} \cdot (x - 1)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Es gilt f(x) = 0, also $x {(x - 5)}^{2} \cdot (x - 1)$ = 0.

x {(x - 5)}^{2} \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

{(x - 5)}^{2} \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x - 5)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 5$	=	0

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

An den Stellen x₁ = 0, x₂ = $1$ und x₃ = $5$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x - 5)}^{4} + 14$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $- {(x - 5)}^{4} + 14$ = -2.

$- {(x - 5)}^{4} + 14$	=	$- 2$	\| $- 14$
$- {(x - 5)}^{4}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
${(x - 5)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 5

=

- \sqrt[4]{16}

=

- 2

$x - 5$	=	$- 2$	\| $+ 5$
x₁	=	$3$

2. Fall

x - 5

=

\sqrt[4]{16}

=

2

$x - 5$	=	$2$	\| $+ 5$
x₂	=	$7$

An den Stellen x₁ = $3$ und x₂ = $7$ gilt also f(x)= -2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{3} + 2 x^{2} - 40 x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 x^{3} + 2 x^{2} - 40 x$	=	0
$2 x \cdot (x^{2} + x - 20)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 5$ |0), S₂(0|0), S₃( $4$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $3 x^{3} - 40 x^{2} + 126 x - 3$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$3 x^{3} - 40 x^{2} + 126 x - 3$	=	$- x^{2} - 3$	\| $+ 3$
$3 x^{3} - 40 x^{2} + 126 x$	=	$- x^{2}$	\| $+ x^{2}$
$3 x^{3} - 40 x^{2} + x^{2} + 126 x$	=	0
$3 x^{3} - 39 x^{2} + 126 x$	=	0
$3 x \cdot (x^{2} - 13 x + 42)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 13 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₂ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₃ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 0^{2} - 3$ = $- 3$ ⇒ S₁(0| $- 3$ )

g( $6$ ) = $- 6^{2} - 3$ = $- 39$ ⇒ S₂( $6$ | $- 39$ )

g( $7$ ) = $- 7^{2} - 3$ = $- 52$ ⇒ S₃( $7$ | $- 52$ )

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):