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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 2 x + 4$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also $x^{2} - 2 x + 4$ = 4.

$x^{2} - 2 x + 4$	=	$4$	\| $- 4$
$x^{2} - 2 x + 4 - 4$	=	0
$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $2$ gilt also f(x)= 4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(- 5 + 2 x)}^{3} + 26$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also ${(- 5 + 2 x)}^{3} + 26$ = -1.

${(- 5 + 2 x)}^{3} + 26$	=	$- 1$
${(2 x - 5)}^{3} + 26$	=	$- 1$	\| $- 26$
${(2 x - 5)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$2 x - 5$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$2 x - 5$	=	$- 3$	\| $+ 5$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

An der Stelle x₁ = $1$ gilt also f(x)= -1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{3} - 27$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- x^{3} - 27$	=	0	\| $+ 27$
$- x^{3}$	=	$27$	\|: $(- 1)$
$x^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 5 x^{3} + x^{2}$ und $g(x) =$ $- x^{3} + x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} - 5 x^{3} + x^{2}$	=	$- x^{3} + x^{2}$	\| $- (- x^{3} + x^{2})$
$x^{5} - 5 x^{3} + x^{3} + x^{2} - x^{2}$	=	0
$x^{5} - 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2}$ = $12$ ⇒ S₁( $- 2$ | $12$ )

g(0) = $- 0^{3} + 0^{2}$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $2$ ) = $- 2^{3} + 2^{2}$ = $- 4$ ⇒ S₃( $2$ | $- 4$ )