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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 3 x - 3$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Es gilt f(x) = -5, also $x^{2} - 3 x - 3$ = -5.

x^{2} - 3 x - 3

=

- 5

|

+ 5

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

An den Stellen x₁ = $1$ und x₂ = $2$ gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x + 1)}^{3} - 123$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $2 {(x + 1)}^{3} - 123$ = 5.

$2 {(x + 1)}^{3} - 123$	=	$5$	\| $+ 123$
$2 {(x + 1)}^{3}$	=	$128$	\|: $2$
${(x + 1)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 1$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
$x$	=	$3$

An der Stelle x₁ = $3$ gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- {(x^{2} - 27)}^{3} - 8$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- {(x^{2} - 27)}^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$- {(x^{2} - 27)}^{3}$	=	$8$	\|: $(- 1)$
${(x^{2} - 27)}^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 27$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

$x^{2} - 27$	=	$- 2$	\| $+ 27$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 5$ |0), S₂( $5$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{4} + 4 x^{3} - 94 x^{2}$ und $g(x) =$ $4 x^{3} + 4 x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{4} + 4 x^{3} - 94 x^{2}$	=	$4 x^{3} + 4 x^{2}$	\| $- (4 x^{3} + 4 x^{2})$
$2 x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 94 x^{2} - 4 x^{2}$	=	0
$2 x^{4} - 98 x^{2}$	=	0
$2 x^{2} \cdot (x^{2} - 49)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 49$	=	0	\| $+ 49$
$x^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
x₃	=	$\sqrt{49}$	= $7$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 7$ ) = $4 \cdot {(- 7)}^{3} + 4 \cdot {(- 7)}^{2}$ = $- 1 176$ ⇒ S₁( $- 7$ | $- 1 176$ )

g(0) = $4 \cdot 0^{3} + 4 \cdot 0^{2}$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $7$ ) = $4 \cdot 7^{3} + 4 \cdot 7^{2}$ = $1 568$ ⇒ S₃( $7$ | $1 568$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

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