Mathebattle EduRandomtasks

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 4 x - 16$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Es gilt f(x) = -4, also $x^{2} - 4 x - 16$ = -4.

x^{2} - 4 x - 16

=

- 4

|

+ 4

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = $6$ gilt also f(x)= -4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x + 4)}^{3} - 19$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $- 2 {(x + 4)}^{3} - 19$ = -3.

$- 2 {(x + 4)}^{3} - 19$	=	$- 3$	\| $+ 19$
$- 2 {(x + 4)}^{3}$	=	$16$	\|: $(- 2)$
${(x + 4)}^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 4$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

$x + 4$	=	$- 2$	\| $- 4$
$x$	=	$- 6$

An der Stelle x₁ = $- 6$ gilt also f(x)= -3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- {(x^{2} - 6)}^{3} + 27$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- {(x^{2} - 6)}^{3} + 27$	=	0	\| $- 27$
$- {(x^{2} - 6)}^{3}$	=	$- 27$	\|: $(- 1)$
${(x^{2} - 6)}^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 6$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

$x^{2} - 6$	=	$3$	\| $+ 6$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0), S₂( $3$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + 16$ und $g(x) =$ $x^{3} - 5 x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + 16$	=	$x^{3} - 5 x^{2}$	\| $- 16$ $- x^{3}$ $+ 5 x^{2}$
$- x^{4}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{3} - 5 \cdot {(- 2)}^{2}$ = $- 28$ ⇒ S₁( $- 2$ | $- 28$ )

g( $2$ ) = $2^{3} - 5 \cdot 2^{2}$ = $- 12$ ⇒ S₂( $2$ | $- 12$ )

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen