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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} - x - 2$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Es gilt f(x) = -2, also $x^{3} - x - 2$ = -2.

$x^{3} - x - 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$x^{3} - x - 2 + 2$	=	0
$x^{3} - x$	=	0
$x (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ , x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x + 3)}^{3} - 123$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also $- {(x + 3)}^{3} - 123$ = 2.

$- {(x + 3)}^{3} - 123$	=	$2$	\| $+ 123$
$- {(x + 3)}^{3}$	=	$125$	\|: $(- 1)$
${(x + 3)}^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 3$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

$x + 3$	=	$- 5$	\| $- 3$
$x$	=	$- 8$

An der Stelle x₁ = $- 8$ gilt also f(x)= 2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 {(5 + 2 x)}^{3} - 54$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 {(5 + 2 x)}^{3} - 54$	=	0
$2 {(2 x + 5)}^{3} - 54$	=	0	\| $+ 54$
$2 {(2 x + 5)}^{3}$	=	$54$	\|: $2$
${(2 x + 5)}^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$2 x + 5$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

$2 x + 5$	=	$3$	\| $- 5$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 3 x^{3} + x^{2}$ und $g(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 3 x^{3} + x^{2}$	=	$x^{3} - 3 x^{2}$	\| $- (x^{3} - 3 x^{2})$
$x^{4} - 3 x^{3} - x^{3} + x^{2} + 3 x^{2}$	=	0
$x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4 x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $0^{3} - 3 \cdot 0^{2}$ = 0 ⇒ S₁(0|0)

g( $2$ ) = $2^{3} - 3 \cdot 2^{2}$ = $- 4$ ⇒ S₂( $2$ | $- 4$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):