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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{6} + x^{3} - 4$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $x^{6} + x^{3} - 4$ = -4.

$x^{6} + x^{3} - 4$	=	$- 4$	\| $+ 4$
$x^{6} + x^{3} - 4 + 4$	=	0
$x^{6} + x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= -4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x - 2)}^{3} + 246$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $2 {(x - 2)}^{3} + 246$ = -4.

$2 {(x - 2)}^{3} + 246$	=	$- 4$	\| $- 246$
$2 {(x - 2)}^{3}$	=	$- 250$	\|: $2$
${(x - 2)}^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 2$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

$x - 2$	=	$- 5$	\| $+ 2$
$x$	=	$- 3$

An der Stelle x₁ = $- 3$ gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 4)}^{3} - 125$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

${(x + 4)}^{3} - 125$	=	0	\| $+ 125$
${(x + 4)}^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 4$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

$x + 4$	=	$5$	\| $- 4$
$x$	=	$1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2}$ und $g(x) =$ $- 4 x^{3} + 3 x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2}$	=	$- 4 x^{3} + 3 x^{2}$	\| $- (- 4 x^{3} + 3 x^{2})$
$x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x^{2}$	=	0
$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $- 4 \cdot {(- 1)}^{3} + 3 \cdot {(- 1)}^{2}$ = $7$ ⇒ S₁( $- 1$ | $7$ )

g(0) = $- 4 \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0^{2}$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $1$ ) = $- 4 \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1^{2}$ = $- 1$ ⇒ S₃( $1$ | $- 1$ )