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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -10x +29 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also x 2 -10x +29 = 5.

x 2 -10x +29 = 5 | -5

x 2 -10x +24 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +10 ± ( -10 ) 2 -4 · 1 · 24 21

x1,2 = +10 ± 100 -96 2

x1,2 = +10 ± 4 2

x1 = 10 + 4 2 = 10 +2 2 = 12 2 = 6

x2 = 10 - 4 2 = 10 -2 2 = 8 2 = 4

An den Stellen x1 = 4 und x2 = 6 gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - ( 4 -2x ) 3 -67 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also - ( 4 -2x ) 3 -67 = -3.

- ( 4 -2x ) 3 -67 = -3
- ( -2x +4 ) 3 -67 = -3 | +67
- ( -2x +4 ) 3 = 64 |: ( -1 )
( -2x +4 ) 3 = -64 | 3
-2x +4 = - 64 3 = -4
-2x +4 = -4 | -4
-2x = -8 |:(-2 )
x = 4

An der Stelle x1 = 4 gilt also f(x)= -3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= -2 x 4 +6 x 3 +56 x 2 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

-2 x 4 +6 x 3 +56 x 2 = 0
2 x 2 ( - x 2 +3x +28 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

- x 2 +3x +28 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x2,3 = -3 ± 3 2 -4 · ( -1 ) · 28 2( -1 )

x2,3 = -3 ± 9 +112 -2

x2,3 = -3 ± 121 -2

x2 = -3 + 121 -2 = -3 +11 -2 = 8 -2 = -4

x3 = -3 - 121 -2 = -3 -11 -2 = -14 -2 = 7

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -4 |0), S2(0|0), S3( 7 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= -2 x 4 +4x +164 und g(x)= 4x +2 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

-2 x 4 +4x +164 = 4x +2 | -164
-2 x 4 +4x = 4x -162 | -4x
-2 x 4 = -162 |: ( -2 )
x 4 = 81 | 4
x1 = - 81 4 = -3
x2 = 81 4 = 3

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -3 ) = 4( -3 ) +2 = -10 S1( -3 | -10 )

g( 3 ) = 43 +2 = 14 S2( 3 | 14 )