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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $(x + 3) {(x + 5)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $(x + 3) {(x + 5)}^{2}$ = 0.

$(x + 3) {(x + 5)}^{2}$	=	0
${(x + 5)}^{2} \cdot (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x + 5)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 5$	=	0

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₁	=	$- 5$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

An den Stellen x₁ = $- 5$ und x₂ = $- 3$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x - 5)}^{3} + 11$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also ${(x - 5)}^{3} + 11$ = 3.

${(x - 5)}^{3} + 11$	=	$3$	\| $- 11$
${(x - 5)}^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 5$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

$x - 5$	=	$- 2$	\| $+ 5$
$x$	=	$3$

An der Stelle x₁ = $3$ gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} - 32$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 x^{4} - 32$	=	0	\| $+ 32$
$- 2 x^{4}$	=	$32$	\|: $(- 2)$
$x^{4}$	=	$- 16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x + 125$ und $g(x) =$ $- 4 x^{2} + 5 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x + 125$	=	$- 4 x^{2} + 5 x$	\| $- 125$ $+ 4 x^{2}$ $- 5 x$
$x^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 5$ ) = $- 4 \cdot {(- 5)}^{2} + 5 \cdot (- 5)$ = $- 125$ ⇒ S₁( $- 5$ | $- 125$ )