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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x - 1)}^{2} \cdot (x - 4)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Es gilt f(x) = 0, also ${(x - 1)}^{2} \cdot (x - 4)$ = 0.

{(x - 1)}^{2} \cdot (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x - 1)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 1$	=	0

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

An den Stellen x₁ = $1$ und x₂ = $4$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x + 4)}^{4} - 166$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $2 {(x + 4)}^{4} - 166$ = -4.

$2 {(x + 4)}^{4} - 166$	=	$- 4$	\| $+ 166$
$2 {(x + 4)}^{4}$	=	$162$	\|: $2$
${(x + 4)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 4

=

- \sqrt[4]{81}

=

- 3

$x + 4$	=	$- 3$	\| $- 4$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 4

=

\sqrt[4]{81}

=

3

$x + 4$	=	$3$	\| $- 4$
x₂	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 7$ und x₂ = $- 1$ gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- {(3 - 2 x)}^{3} - 27$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- {(3 - 2 x)}^{3} - 27$	=	0
$- {(- 2 x + 3)}^{3} - 27$	=	0	\| $+ 27$
$- {(- 2 x + 3)}^{3}$	=	$27$	\|: $(- 1)$
${(- 2 x + 3)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 2 x + 3$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$- 2 x + 3$	=	$- 3$	\| $- 3$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $3$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 4 x^{2} - 24 x + 4$ und $g(x) =$ $- 2 x^{3} + 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{3} - 4 x^{2} - 24 x + 4$	=	$- 2 x^{3} + 4$	\| $- 4$
$2 x^{3} - 4 x^{2} - 24 x$	=	$- 2 x^{3}$	\| $+ 2 x^{3}$
$2 x^{3} + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 24 x$	=	0
$4 x^{3} - 4 x^{2} - 24 x$	=	0
$4 x \cdot (x^{2} - x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₂ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₃ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{3} + 4$ = $20$ ⇒ S₁( $- 2$ | $20$ )

g(0) = $- 2 \cdot 0^{3} + 4$ = $4$ ⇒ S₂(0| $4$ )

g( $3$ ) = $- 2 \cdot 3^{3} + 4$ = $- 50$ ⇒ S₃( $3$ | $- 50$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):