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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} + x^{2} - 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Es gilt f(x) = -5, also $x^{3} + x^{2} - 5$ = -5.

$x^{3} + x^{2} - 5$	=	$- 5$	\| $+ 5$
$x^{3} + x^{2} - 5 + 5$	=	0
$x^{3} + x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(6 + 3 x)}^{3} - 57$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $- 2 {(6 + 3 x)}^{3} - 57$ = -3.

$- 2 {(6 + 3 x)}^{3} - 57$	=	$- 3$
$- 2 {(3 x + 6)}^{3} - 57$	=	$- 3$	\| $+ 57$
$- 2 {(3 x + 6)}^{3}$	=	$54$	\|: $(- 2)$
${(3 x + 6)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x + 6$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$3 x + 6$	=	$- 3$	\| $- 6$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

An der Stelle x₁ = $- 3$ gilt also f(x)= -3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ ${(x^{2} - 21)}^{3} - 64$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

${(x^{2} - 21)}^{3} - 64$	=	0	\| $+ 64$
${(x^{2} - 21)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 21$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$x^{2} - 21$	=	$4$	\| $+ 21$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 5$ |0), S₂( $5$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} + 25 x^{2} - 77 x$ und $g(x) =$ $x^{2} - 5 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 2 x^{3} + 25 x^{2} - 77 x$	=	$x^{2} - 5 x$	\| $- (x^{2} - 5 x)$
$- 2 x^{3} + 25 x^{2} - x^{2} - 77 x + 5 x$	=	0
$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 72 x$	=	0
$2 x \cdot (- x^{2} + 12 x - 36)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 12 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 36)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 12 x - 36$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 12 x + 36$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 36$ = $36$ $-$ $36$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $6$ ± 0 = $6$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $0^{2} - 5 \cdot 0$ = 0 ⇒ S₁(0|0)

g( $6$ ) = $6^{2} - 5 \cdot 6$ = $6$ ⇒ S₂( $6$ | $6$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

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Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):