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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 7$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $x^{2} - 7$ = -3.

$x^{2} - 7$	=	$- 3$	\| $+ 7$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = $2$ gilt also f(x)= -3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x - 4)}^{3} - 6$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also $- {(x - 4)}^{3} - 6$ = 2.

$- {(x - 4)}^{3} - 6$	=	$2$	\| $+ 6$
$- {(x - 4)}^{3}$	=	$8$	\|: $(- 1)$
${(x - 4)}^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 4$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

$x - 4$	=	$- 2$	\| $+ 4$
$x$	=	$2$

An der Stelle x₁ = $2$ gilt also f(x)= 2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} - x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} - x$	=	0
$x \cdot (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} - 8 x$ und $g(x) =$ $- 4 x^{3} + x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} - 8 x$	=	$- 4 x^{3} + x^{2}$	\| $- (- 4 x^{3} + x^{2})$
$x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{3} + x^{2} - x^{2} - 8 x$	=	0
$x^{4} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 4 \cdot 0^{3} + 0^{2}$ = 0 ⇒ S₁(0|0)

g( $2$ ) = $- 4 \cdot 2^{3} + 2^{2}$ = $- 28$ ⇒ S₂( $2$ | $- 28$ )