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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 3 x - 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Es gilt f(x) = 5, also $x^{2} - 3 x - 5$ = 5.

x^{2} - 3 x - 5

=

5

|

- 5

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x^{2} - 14)}^{3} + 6$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $- {(x^{2} - 14)}^{3} + 6$ = -2.

$- {(x^{2} - 14)}^{3} + 6$	=	$- 2$	\| $- 6$
$- {(x^{2} - 14)}^{3}$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
${(x^{2} - 14)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 14$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$x^{2} - 14$	=	$2$	\| $+ 14$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

An den Stellen x₁ = $- 4$ und x₂ = $4$ gilt also f(x)= -2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 {(6 - 3 x)}^{3} + 54$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 {(6 - 3 x)}^{3} + 54$	=	0
$2 {(- 3 x + 6)}^{3} + 54$	=	0	\| $- 54$
$2 {(- 3 x + 6)}^{3}$	=	$- 54$	\|: $2$
${(- 3 x + 6)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 3 x + 6$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$- 3 x + 6$	=	$- 3$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $3$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + x + 3$ und $g(x) =$ $3 x + 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} + x + 3$	=	$3 x + 3$	\| $- 3$
$x^{2} + x$	=	$3 x$	\| $- 3 x$
$x^{2} + x - 3 x$	=	0
$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $3 \cdot 0 + 3$ = $3$ ⇒ S₁(0| $3$ )

g( $2$ ) = $3 \cdot 2 + 3$ = $9$ ⇒ S₂( $2$ | $9$ )

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Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

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