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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -3x -14 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also x 2 -3x -14 = 4.

x 2 -3x -14 = 4 | -4

x 2 -3x -18 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · ( -18 ) 2⋅1

x1,2 = +3 ± 9 +72 2

x1,2 = +3 ± 81 2

x1 = 3 + 81 2 = 3 +9 2 = 12 2 = 6

x2 = 3 - 81 2 = 3 -9 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 3 2 ) 2 - ( -18 ) = 9 4 + 18 = 9 4 + 72 4 = 81 4

x1,2 = 3 2 ± 81 4

x1 = 3 2 - 9 2 = - 6 2 = -3

x2 = 3 2 + 9 2 = 12 2 = 6

An den Stellen x1 = -3 und x2 = 6 gilt also f(x)= 4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 x 4 -157 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also 2 x 4 -157 = 5.

2 x 4 -157 = 5 | +157
2 x 4 = 162 |:2
x 4 = 81 | ⋅4
x1 = - 81 4 = -3
x2 = 81 4 = 3

An den Stellen x1 = -3 und x2 = 3 gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= - x 3 +64 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

- x 3 +64 = 0 | -64
- x 3 = -64 |: ( -1 )
x 3 = 64 | ⋅3
x = 64 3 = 4

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( 4 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 4 -3 x 3 + x 2 und g(x)= -2 x 3 + x 2 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 4 -3 x 3 + x 2 = -2 x 3 + x 2 | - ( -2 x 3 + x 2 )
x 4 -3 x 3 +2 x 3 + x 2 - x 2 = 0
x 4 - x 3 = 0
x 3 · ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = -2⋅ 0 3 + 0 2 = 0 ⇒ S1(0|0)

g( 1 ) = -2⋅ 1 3 + 1 2 = -1 ⇒ S2( 1 | -1 )