Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $(x - 1) (x - 2)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $(x - 1) (x - 2)$ = 0.

(x - 1) (x - 2)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

An den Stellen x₁ = $1$ und x₂ = $2$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x^{2} - 4)}^{3} - 124$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also ${(x^{2} - 4)}^{3} - 124$ = 1.

${(x^{2} - 4)}^{3} - 124$	=	$1$	\| $+ 124$
${(x^{2} - 4)}^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 4$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

$x^{2} - 4$	=	$5$	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

An den Stellen x₁ = $- 3$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- {(4 - 2 x)}^{3} + 8$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- {(4 - 2 x)}^{3} + 8$	=	0
$- {(- 2 x + 4)}^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$- {(- 2 x + 4)}^{3}$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
${(- 2 x + 4)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 2 x + 4$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$- 2 x + 4$	=	$2$	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 4 x^{2} - 3 x - 3$ und $g(x) =$ $- 3 x - 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 4 x^{2} - 3 x - 3$	=	$- 3 x - 3$	\| $+ 3$
$x^{4} - 4 x^{2} - 3 x$	=	$- 3 x$	\| $+ 3 x$
$x^{4} - 4 x^{2} - 3 x + 3 x$	=	0
$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- 3 \cdot (- 2) - 3$ = $3$ ⇒ S₁( $- 2$ | $3$ )

g(0) = $- 3 \cdot 0 - 3$ = $- 3$ ⇒ S₂(0| $- 3$ )

g( $2$ ) = $- 3 \cdot 2 - 3$ = $- 9$ ⇒ S₃( $2$ | $- 9$ )