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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} + x - 2$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $x^{4} + x - 2$ = -2.

$x^{4} + x - 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$x^{4} + x - 2 + 2$	=	0
$x^{4} + x$	=	0
$x \cdot (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x + 5)}^{3} - 30$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $- {(x + 5)}^{3} - 30$ = -3.

$- {(x + 5)}^{3} - 30$	=	$- 3$	\| $+ 30$
$- {(x + 5)}^{3}$	=	$27$	\|: $(- 1)$
${(x + 5)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 5$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$x + 5$	=	$- 3$	\| $- 5$
$x$	=	$- 8$

An der Stelle x₁ = $- 8$ gilt also f(x)= -3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} + 162$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 x^{4} + 162$	=	0	\| $- 162$
$- 2 x^{4}$	=	$- 162$	\|: $(- 2)$
$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0), S₂( $3$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 10 x + 4$ und $g(x) =$ $- 2 x + 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 10 x + 4$	=	$- 2 x + 4$	\| $- 4$
$x^{4} - 10 x$	=	$- 2 x$	\| $+ 2 x$
$x^{4} - 10 x + 2 x$	=	0
$x^{4} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 2 \cdot 0 + 4$ = $4$ ⇒ S₁(0| $4$ )

g( $2$ ) = $- 2 \cdot 2 + 4$ = 0 ⇒ S₂( $2$ |0)