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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x {(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x {(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}$ = 0.

$x {(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}$	=	0
$x {((x - 4) (x + 1))}^{2}$	=	0
${((x - 4) (x + 1))}^{2} x$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${((x - 4) (x + 1))}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$(x - 4) (x + 1)$	=	0

(x - 4) (x + 1)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₁	=	$4$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

2. Fall:

x₃

An den Stellen x₁ = $- 1$ , x₂ = 0 und x₃ = $4$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x + 3)}^{3} + 63$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also ${(x + 3)}^{3} + 63$ = -1.

${(x + 3)}^{3} + 63$	=	$- 1$	\| $- 63$
${(x + 3)}^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 3$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

$x + 3$	=	$- 4$	\| $- 3$
$x$	=	$- 7$

An der Stelle x₁ = $- 7$ gilt also f(x)= -1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{3} + 27$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- x^{3} + 27$	=	0	\| $- 27$
$- x^{3}$	=	$- 27$	\|: $(- 1)$
$x^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $3$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $5 x^{3} + x^{2} - 8$ und $g(x) =$ $4 x^{3} + x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$5 x^{3} + x^{2} - 8$	=	$4 x^{3} + x^{2}$	\| $+ 8$ $- 4 x^{3}$ $- x^{2}$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $2$ ) = $4 \cdot 2^{3} + 2^{2}$ = $36$ ⇒ S₁( $2$ | $36$ )