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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 +5x -16 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also x 2 +5x -16 = -2.

x 2 +5x -16 = -2 | +2

x 2 +5x -14 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -5 ± 5 2 -4 · 1 · ( -14 ) 21

x1,2 = -5 ± 25 +56 2

x1,2 = -5 ± 81 2

x1 = -5 + 81 2 = -5 +9 2 = 4 2 = 2

x2 = -5 - 81 2 = -5 -9 2 = -14 2 = -7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 5 2 ) 2 - ( -14 ) = 25 4 + 14 = 25 4 + 56 4 = 81 4

x1,2 = - 5 2 ± 81 4

x1 = - 5 2 - 9 2 = - 14 2 = -7

x2 = - 5 2 + 9 2 = 4 2 = 2

An den Stellen x1 = -7 und x2 = 2 gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ( x +5 ) 3 -31 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also ( x +5 ) 3 -31 = -4.

( x +5 ) 3 -31 = -4 | +31
( x +5 ) 3 = 27 | 3
x +5 = 27 3 = 3
x +5 = 3 | -5
x = -2

An der Stelle x1 = -2 gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= -2 x 4 +162 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

-2 x 4 +162 = 0 | -162
-2 x 4 = -162 |: ( -2 )
x 4 = 81 | 4
x1 = - 81 4 = -3
x2 = 81 4 = 3

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -3 |0), S2( 3 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 4 -2 x 3 +2 x 2 + x und g(x)= 2 x 2 + x .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 4 -2 x 3 +2 x 2 + x = 2 x 2 + x | - ( 2 x 2 + x )
x 4 -2 x 3 +2 x 2 -2 x 2 + x - x = 0
x 4 -2 x 3 = 0
x 3 ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | 3
x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = 2 0 2 +0 = 0 S1(0|0)

g( 2 ) = 2 2 2 +2 = 10 S2( 2 | 10 )