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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + 4 x - 16$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Es gilt f(x) = -4, also $x^{2} + 4 x - 16$ = -4.

x^{2} + 4 x - 16

=

- 4

|

+ 4

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

An den Stellen x₁ = $- 6$ und x₂ = $2$ gilt also f(x)= -4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x - 5)}^{3} - 13$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $- 2 {(x - 5)}^{3} - 13$ = 3.

$- 2 {(x - 5)}^{3} - 13$	=	$3$	\| $+ 13$
$- 2 {(x - 5)}^{3}$	=	$16$	\|: $(- 2)$
${(x - 5)}^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 5$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

$x - 5$	=	$- 2$	\| $+ 5$
$x$	=	$3$

An der Stelle x₁ = $3$ gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 x^{5} + 8 x^{4} + 96 x^{3}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 4 x^{5} + 8 x^{4} + 96 x^{3}$	=	0
$4 x^{3} \cdot (- x^{2} + 2 x + 24)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 2 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 24}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 2+10}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 2-10}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $1$ - $5$ = -4

x₂ = $1$ + $5$ = 6

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 4$ |0), S₂(0|0), S₃( $6$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $3 x^{4} + 3 x^{3} - 40 x^{2} + 4$ und $g(x) =$ $- 4 x^{2} + 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$3 x^{4} + 3 x^{3} - 40 x^{2} + 4$	=	$- 4 x^{2} + 4$	\| $- 4$
$3 x^{4} + 3 x^{3} - 40 x^{2}$	=	$- 4 x^{2}$	\| $+ 4 x^{2}$
$3 x^{4} + 3 x^{3} - 40 x^{2} + 4 x^{2}$	=	0
$3 x^{4} + 3 x^{3} - 36 x^{2}$	=	0
$3 x^{2} \cdot (x^{2} + x - 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 4$ ) = $- 4 \cdot {(- 4)}^{2} + 4$ = $- 60$ ⇒ S₁( $- 4$ | $- 60$ )

g(0) = $- 4 \cdot 0^{2} + 4$ = $4$ ⇒ S₂(0| $4$ )

g( $3$ ) = $- 4 \cdot 3^{2} + 4$ = $- 32$ ⇒ S₃( $3$ | $- 32$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

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Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):