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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 4 x - 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Es gilt f(x) = -1, also $x^{3} - 4 x - 1$ = -1.

$x^{3} - 4 x - 1$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$x^{3} - 4 x - 1 + 1$	=	0
$x^{3} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $2$ gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x^{2} - 13)}^{3} + 50$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $- 2 {(x^{2} - 13)}^{3} + 50$ = -4.

$- 2 {(x^{2} - 13)}^{3} + 50$	=	$- 4$	\| $- 50$
$- 2 {(x^{2} - 13)}^{3}$	=	$- 54$	\|: $(- 2)$
${(x^{2} - 13)}^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 13$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

$x^{2} - 13$	=	$3$	\| $+ 13$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

An den Stellen x₁ = $- 4$ und x₂ = $4$ gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} - x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂(0|0), S₃( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{2} + 25 x$ und $g(x) =$ $x^{3} - x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{2} + 25 x$	=	$x^{3} - x^{2}$	\| $- (x^{3} - x^{2})$
$- x^{3} - x^{2} + x^{2} + 25 x$	=	0
$- x^{3} + 25 x$	=	0
$x \cdot (- x^{2} + 25)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 25$	=	0	\| $- 25$
$- x^{2}$	=	$- 25$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₃	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 5$ ) = ${(- 5)}^{3} - {(- 5)}^{2}$ = $- 150$ ⇒ S₁( $- 5$ | $- 150$ )

g(0) = $0^{3} - 0^{2}$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $5$ ) = $5^{3} - 5^{2}$ = $100$ ⇒ S₃( $5$ | $100$ )

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