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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} + 2 x^{3} + 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $x^{4} + 2 x^{3} + 1$ = 1.

$x^{4} + 2 x^{3} + 1$	=	$1$	\| $- 1$
$x^{4} + 2 x^{3} + 1 - 1$	=	0
$x^{4} + 2 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x - 3)}^{3} + 123$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $- {(x - 3)}^{3} + 123$ = -2.

$- {(x - 3)}^{3} + 123$	=	$- 2$	\| $- 123$
$- {(x - 3)}^{3}$	=	$- 125$	\|: $(- 1)$
${(x - 3)}^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 3$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

$x - 3$	=	$5$	\| $+ 3$
$x$	=	$8$

An der Stelle x₁ = $8$ gilt also f(x)= -2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 27$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{3} + 27$	=	0	\| $- 27$
$x^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} + 3 x - 3$ und $g(x) =$ $4 x - 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} + 3 x - 3$	=	$4 x - 3$	\| $+ 3$
$x^{3} + 3 x$	=	$4 x$	\| $- 4 x$
$x^{3} + 3 x - 4 x$	=	0
$x^{3} - x$	=	0
$x (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $4 \cdot (- 1) - 3$ = $- 7$ ⇒ S₁( $- 1$ | $- 7$ )

g(0) = $4 \cdot 0 - 3$ = $- 3$ ⇒ S₂(0| $- 3$ )

g( $1$ ) = $4 \cdot 1 - 3$ = $1$ ⇒ S₃( $1$ | $1$ )