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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{5} - x^{2} + 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Es gilt f(x) = 1, also $x^{5} - x^{2} + 1$ = 1.

$x^{5} - x^{2} + 1$	=	$1$	\| $- 1$
$x^{5} - x^{2} + 1 - 1$	=	0
$x^{5} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $1$ gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x + 4)}^{4} - 166$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $2 {(x + 4)}^{4} - 166$ = -4.

$2 {(x + 4)}^{4} - 166$	=	$- 4$	\| $+ 166$
$2 {(x + 4)}^{4}$	=	$162$	\|: $2$
${(x + 4)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 4

=

- \sqrt[4]{81}

=

- 3

$x + 4$	=	$- 3$	\| $- 4$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 4

=

\sqrt[4]{81}

=

3

$x + 4$	=	$3$	\| $- 4$
x₂	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 7$ und x₂ = $- 1$ gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $5 x^{4} - 55 x^{3} + 140 x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$5 x^{4} - 55 x^{3} + 140 x^{2}$	=	0
$5 x^{2} (x^{2} - 11 x + 28)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 11 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₂ = $\frac{11 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11+3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₃ = $\frac{11 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11-3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $4$ |0), S₃( $7$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 4 x + 4$ und $g(x) =$ $- 3 x + 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 4 x + 4$	=	$- 3 x + 4$	\| $- 4$
$x^{3} - 4 x$	=	$- 3 x$	\| $+ 3 x$
$x^{3} - 4 x + 3 x$	=	0
$x^{3} - x$	=	0
$x (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $- 3 \cdot (- 1) + 4$ = $7$ ⇒ S₁( $- 1$ | $7$ )

g(0) = $- 3 \cdot 0 + 4$ = $4$ ⇒ S₂(0| $4$ )

g( $1$ ) = $- 3 \cdot 1 + 4$ = $1$ ⇒ S₃( $1$ | $1$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

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