nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -10x +21 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also x 2 -10x +21 = -4.

x 2 -10x +21 = -4 | +4

x 2 -10x +25 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +10 ± ( -10 ) 2 -4 · 1 · 25 2⋅1

x1,2 = +10 ± 100 -100 2

x1,2 = +10 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 10 2 = 5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -5 ) 2 - 25 = 25 - 25 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 5 ± 0 = 5

An der Stelle x1 = 5 gilt also f(x)= -4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 ( x 2 -20 ) 3 +132 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also 2 ( x 2 -20 ) 3 +132 = 4.

2 ( x 2 -20 ) 3 +132 = 4 | -132
2 ( x 2 -20 ) 3 = -128 |:2
( x 2 -20 ) 3 = -64 | ⋅3
x 2 -20 = - 64 3 = -4
x 2 -20 = -4 | +20
x 2 = 16 | ⋅2
x1 = - 16 = -4
x2 = 16 = 4

An den Stellen x1 = -4 und x2 = 4 gilt also f(x)= 4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= 2 x 3 -2 x 2 -4x mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

2 x 3 -2 x 2 -4x = 0
2 x · ( x 2 - x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 - x -2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -2 ) 2⋅1

x2,3 = +1 ± 1 +8 2

x2,3 = +1 ± 9 2

x2 = 1 + 9 2 = 1 +3 2 = 4 2 = 2

x3 = 1 - 9 2 = 1 -3 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -2 ) = 1 4 + 2 = 1 4 + 8 4 = 9 4

x1,2 = 1 2 ± 9 4

x1 = 1 2 - 3 2 = - 2 2 = -1

x2 = 1 2 + 3 2 = 4 2 = 2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -1 |0), S2(0|0), S3( 2 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= - x 4 -3 x 3 -4 x 2 -16 und g(x)= -3 x 3 -4 x 2 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- x 4 -3 x 3 -4 x 2 -16 = -3 x 3 -4 x 2 | +16 +3 x 3 +4 x 2
- x 4 = 16 |: ( -1 )
x 4 = -16 | ⋅4

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).