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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x + 1) {(x + 1)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x (x + 1) {(x + 1)}^{2}$ = 0.

$x (x + 1) {(x + 1)}^{2}$	=	0
$x {(x + 1)}^{3}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

${(x + 1)}^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 1$	=	0

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x - 2)}^{3} - 60$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also ${(x - 2)}^{3} - 60$ = 4.

${(x - 2)}^{3} - 60$	=	$4$	\| $+ 60$
${(x - 2)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 2$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$x - 2$	=	$4$	\| $+ 2$
$x$	=	$6$

An der Stelle x₁ = $6$ gilt also f(x)= 4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $4 x^{3} - 64 x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$4 x^{3} - 64 x$	=	0
$4 x \cdot (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₃	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 4$ |0), S₂(0|0), S₃( $4$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 5 x^{3} - 5 x^{2}$ und $g(x) =$ $- 5 x^{3} - 4 x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} - 5 x^{3} - 5 x^{2}$	=	$- 5 x^{3} - 4 x^{2}$	\| $- (- 5 x^{3} - 4 x^{2})$
$x^{5} - 5 x^{3} + 5 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x^{2}$	=	0
$x^{5} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 5 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0^{2}$ = 0 ⇒ S₁(0|0)

g( $1$ ) = $- 5 \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1^{2}$ = $- 9$ ⇒ S₂( $1$ | $- 9$ )