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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{5} - x^{3} - 2$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $x^{5} - x^{3} - 2$ = -2.

$x^{5} - x^{3} - 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$x^{5} - x^{3} - 2 + 2$	=	0
$x^{5} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ , x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x + 2)}^{4} + 21$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $- {(x + 2)}^{4} + 21$ = 5.

$- {(x + 2)}^{4} + 21$	=	$5$	\| $- 21$
$- {(x + 2)}^{4}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
${(x + 2)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 2

- \sqrt[4]{16}

- 2

$x + 2$	=	$- 2$	\| $- 2$
x₁	=	$- 4$

2. Fall

x + 2

\sqrt[4]{16}

2

$x + 2$	=	$2$	\| $- 2$
x₂	=	0

An den Stellen x₁ = $- 4$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} + 128$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 x^{3} + 128$	=	0	\| $- 128$
$- 2 x^{3}$	=	$- 128$	\|: $(- 2)$
$x^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $4$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 2 x^{3} + x - 1$ und $g(x) =$ $x - 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 2 x^{3} + x - 1$	=	$x - 1$	\| $+ 1$
$x^{4} - 2 x^{3} + x$	=	$x$	\| $- x$
$x^{4} - 2 x^{3} + x - x$	=	0
$x^{4} - 2 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $0 - 1$ = $- 1$ ⇒ S₁(0| $- 1$ )

g( $2$ ) = $2 - 1$ = $1$ ⇒ S₂( $2$ | $1$ )