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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{5} - 4 x^{3} + 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $x^{5} - 4 x^{3} + 5$ = 5.

$x^{5} - 4 x^{3} + 5$	=	$5$	\| $- 5$
$x^{5} - 4 x^{3} + 5 - 5$	=	0
$x^{5} - 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $2$ gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x - 3)}^{3} - 127$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $- 2 {(x - 3)}^{3} - 127$ = 1.

$- 2 {(x - 3)}^{3} - 127$	=	$1$	\| $+ 127$
$- 2 {(x - 3)}^{3}$	=	$128$	\|: $(- 2)$
${(x - 3)}^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 3$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

$x - 3$	=	$- 4$	\| $+ 3$
$x$	=	$- 1$

An der Stelle x₁ = $- 1$ gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 {(5 + 2 x)}^{3} + 250$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 {(5 + 2 x)}^{3} + 250$	=	0
$- 2 {(2 x + 5)}^{3} + 250$	=	0	\| $- 250$
$- 2 {(2 x + 5)}^{3}$	=	$- 250$	\|: $(- 2)$
${(2 x + 5)}^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$2 x + 5$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

$2 x + 5$	=	$5$	\| $- 5$
$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 3 x^{3} - 4 x^{2} - 16$ und $g(x) =$ $- 3 x^{3} - 4 x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 3 x^{3} - 4 x^{2} - 16$	=	$- 3 x^{3} - 4 x^{2}$	\| $+ 16$ $+ 3 x^{3}$ $+ 4 x^{2}$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- 3 \cdot {(- 2)}^{3} - 4 \cdot {(- 2)}^{2}$ = $8$ ⇒ S₁( $- 2$ | $8$ )

g( $2$ ) = $- 3 \cdot 2^{3} - 4 \cdot 2^{2}$ = $- 40$ ⇒ S₂( $2$ | $- 40$ )