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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x {(x + 4)}^{2} \cdot (x - 4)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x {(x + 4)}^{2} \cdot (x - 4)$ = 0.

x {(x + 4)}^{2} \cdot (x - 4)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

{(x + 4)}^{2} \cdot (x - 4)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x + 4)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 4$	=	0

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

An den Stellen x₁ = $- 4$ , x₂ = 0 und x₃ = $4$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(- 4 + 2 x)}^{3} + 19$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $2 {(- 4 + 2 x)}^{3} + 19$ = 3.

$2 {(- 4 + 2 x)}^{3} + 19$	=	$3$
$2 {(2 x - 4)}^{3} + 19$	=	$3$	\| $- 19$
$2 {(2 x - 4)}^{3}$	=	$- 16$	\|: $2$
${(2 x - 4)}^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$2 x - 4$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

$2 x - 4$	=	$- 2$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

An der Stelle x₁ = $1$ gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 16$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 x^{3} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$2 x^{3}$	=	$16$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x - 16$ und $g(x) =$ $2 x^{3} + 2 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x - 16$	=	$2 x^{3} + 2 x$	\| $+ 16$ $- 2 x^{3}$ $- 2 x$
$- 2 x^{3}$	=	$16$	\|: $(- 2)$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot (- 2)$ = $- 20$ ⇒ S₁( $- 2$ | $- 20$ )