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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - 4 x^{2} - 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also $x^{4} - 4 x^{2} - 5$ = -5.

$x^{4} - 4 x^{2} - 5$	=	$- 5$	\| $+ 5$
$x^{4} - 4 x^{2} - 5 + 5$	=	0
$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $2$ gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x - 2)}^{3} - 20$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $2 {(x - 2)}^{3} - 20$ = -4.

$2 {(x - 2)}^{3} - 20$	=	$- 4$	\| $+ 20$
$2 {(x - 2)}^{3}$	=	$16$	\|: $2$
${(x - 2)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 2$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$x - 2$	=	$2$	\| $+ 2$
$x$	=	$4$

An der Stelle x₁ = $4$ gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- {(x + 3)}^{4} + 16$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- {(x + 3)}^{4} + 16$	=	0	\| $- 16$
$- {(x + 3)}^{4}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
${(x + 3)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 3

- \sqrt[4]{16}

- 2

$x + 3$	=	$- 2$	\| $- 3$
x₁	=	$- 5$

2. Fall

x + 3

\sqrt[4]{16}

2

$x + 3$	=	$2$	\| $- 3$
x₂	=	$- 1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 5$ |0), S₂( $- 1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{4} + 3 x^{2} - 33$ und $g(x) =$ $3 x^{2} - 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{4} + 3 x^{2} - 33$	=	$3 x^{2} - 1$	\| $+ 33$
$2 x^{4} + 3 x^{2}$	=	$3 x^{2} + 32$	\| $- 3 x^{2}$
$2 x^{4}$	=	$32$	\|: $2$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $3 \cdot {(- 2)}^{2} - 1$ = $11$ ⇒ S₁( $- 2$ | $11$ )

g( $2$ ) = $3 \cdot 2^{2} - 1$ = $11$ ⇒ S₂( $2$ | $11$ )