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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 3 x - 15$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Es gilt f(x) = -5, also $x^{2} - 3 x - 15$ = -5.

x^{2} - 3 x - 15

=

- 5

|

+ 5

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(5 - 3 x)}^{3} - 65$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $- {(5 - 3 x)}^{3} - 65$ = -1.

$- {(5 - 3 x)}^{3} - 65$	=	$- 1$
$- {(- 3 x + 5)}^{3} - 65$	=	$- 1$	\| $+ 65$
$- {(- 3 x + 5)}^{3}$	=	$64$	\|: $(- 1)$
${(- 3 x + 5)}^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 3 x + 5$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

$- 3 x + 5$	=	$- 4$	\| $- 5$
$- 3 x$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$3$

An der Stelle x₁ = $3$ gilt also f(x)= -1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{4} + 11 x^{3} - 30 x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- x^{4} + 11 x^{3} - 30 x^{2}$	=	0
$x^{2} (- x^{2} + 11 x - 30)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 11 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 30)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 11+1}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

x₃ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 11-1}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 11 x - 30$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 11 x + 30$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $5$ |0), S₃( $6$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} + 10 x^{2} - 16 x + 4$ und $g(x) =$ $- 4 x + 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 2 x^{3} + 10 x^{2} - 16 x + 4$	=	$- 4 x + 4$	\| $- 4$
$- 2 x^{3} + 10 x^{2} - 16 x$	=	$- 4 x$	\| $+ 4 x$
$- 2 x^{3} + 10 x^{2} - 16 x + 4 x$	=	0
$- 2 x^{3} + 10 x^{2} - 12 x$	=	0
$2 x (- x^{2} + 5 x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5+1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₃ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5-1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 4 \cdot 0 + 4$ = $4$ ⇒ S₁(0| $4$ )

g( $2$ ) = $- 4 \cdot 2 + 4$ = $- 4$ ⇒ S₂( $2$ | $- 4$ )

g( $3$ ) = $- 4 \cdot 3 + 4$ = $- 8$ ⇒ S₃( $3$ | $- 8$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

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Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):