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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x + 2) {(x - 3)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x (x + 2) {(x - 3)}^{2}$ = 0.

$x (x + 2) {(x - 3)}^{2}$	=	0
$x {(x - 3)}^{2} \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

{(x - 3)}^{2} \cdot (x + 2)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x - 3)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 3$	=	0

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $3$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(- 4 + 2 x)}^{3} - 129$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $2 {(- 4 + 2 x)}^{3} - 129$ = -1.

$2 {(- 4 + 2 x)}^{3} - 129$	=	$- 1$
$2 {(2 x - 4)}^{3} - 129$	=	$- 1$	\| $+ 129$
$2 {(2 x - 4)}^{3}$	=	$128$	\|: $2$
${(2 x - 4)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$2 x - 4$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$2 x - 4$	=	$4$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

An der Stelle x₁ = $4$ gilt also f(x)= -1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- {(x^{2} - 2)}^{3} + 8$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- {(x^{2} - 2)}^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$- {(x^{2} - 2)}^{3}$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
${(x^{2} - 2)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 2$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$x^{2} - 2$	=	$2$	\| $+ 2$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{3} + x - 21$ und $g(x) =$ $x - 5$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{3} + x - 21$	=	$x - 5$	\| $+ 21$
$2 x^{3} + x$	=	$x + 16$	\| $- x$
$2 x^{3}$	=	$16$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $2$ ) = $2 - 5$ = $- 3$ ⇒ S₁( $2$ | $- 3$ )