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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x + 5) {(x + 3)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x (x + 5) {(x + 3)}^{2}$ = 0.

$x (x + 5) {(x + 3)}^{2}$	=	0
$x {(x + 3)}^{2} (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

{(x + 3)}^{2} (x + 5)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x + 3)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 3$	=	0

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

An den Stellen x₁ = $- 5$ , x₂ = $- 3$ und x₃ = 0 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{6} - 65$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $x^{6} - 65$ = -1.

$x^{6} - 65$	=	$- 1$	\| $+ 65$
$x^{6}$	=	$64$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{64}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[6]{64}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = $2$ gilt also f(x)= -1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{2} + x$	=	0
$x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 3$ und $g(x) =$ $4 x - 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 3$	=	$4 x - 3$	\| $+ 3$
$x^{4} + 2 x^{3} + 4 x$	=	$4 x$	\| $- 4 x$
$x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 4 x$	=	0
$x^{4} + 2 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $4 \cdot (- 2) - 3$ = $- 11$ ⇒ S₁( $- 2$ | $- 11$ )

g(0) = $4 \cdot 0 - 3$ = $- 3$ ⇒ S₂(0| $- 3$ )