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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - 8 x - 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Es gilt f(x) = -5, also $x^{4} - 8 x - 5$ = -5.

$x^{4} - 8 x - 5$	=	$- 5$	\| $+ 5$
$x^{4} - 8 x - 5 + 5$	=	0
$x^{4} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $2$ gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x - 5)}^{3} + 49$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also $2 {(x - 5)}^{3} + 49$ = -5.

$2 {(x - 5)}^{3} + 49$	=	$- 5$	\| $- 49$
$2 {(x - 5)}^{3}$	=	$- 54$	\|: $2$
${(x - 5)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 5$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$x - 5$	=	$- 3$	\| $+ 5$
$x$	=	$2$

An der Stelle x₁ = $2$ gilt also f(x)= -5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ ${(x - 2)}^{3} - 27$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

${(x - 2)}^{3} - 27$	=	0	\| $+ 27$
${(x - 2)}^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 2$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

$x - 2$	=	$3$	\| $+ 2$
$x$	=	$5$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $5$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 5 x^{3} + 60 x^{2} - 179 x + 2$ und $g(x) =$ $- 4 x + 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 5 x^{3} + 60 x^{2} - 179 x + 2$	=	$- 4 x + 2$	\| $- 2$
$- 5 x^{3} + 60 x^{2} - 179 x$	=	$- 4 x$	\| $+ 4 x$
$- 5 x^{3} + 60 x^{2} - 179 x + 4 x$	=	0
$- 5 x^{3} + 60 x^{2} - 175 x$	=	0
$5 x \cdot (- x^{2} + 12 x - 35)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 12 x - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 35)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 12 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 12+2}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

x₃ = $\frac{- 12 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 12-2}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 12 x - 35$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 12 x + 35$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 35$ = $36$ $-$ $35$ = $1$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $6$ - $1$ = 5

x₂ = $6$ + $1$ = 7

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 4 \cdot 0 + 2$ = $2$ ⇒ S₁(0| $2$ )

g( $5$ ) = $- 4 \cdot 5 + 2$ = $- 18$ ⇒ S₂( $5$ | $- 18$ )

g( $7$ ) = $- 4 \cdot 7 + 2$ = $- 26$ ⇒ S₃( $7$ | $- 26$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):