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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 17$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $x^{2} - 17$ = -1.

$x^{2} - 17$	=	$- 1$	\| $+ 17$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

An den Stellen x₁ = $- 4$ und x₂ = $4$ gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x - 3)}^{3} - 127$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $- {(x - 3)}^{3} - 127$ = -2.

$- {(x - 3)}^{3} - 127$	=	$- 2$	\| $+ 127$
$- {(x - 3)}^{3}$	=	$125$	\|: $(- 1)$
${(x - 3)}^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 3$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

$x - 3$	=	$- 5$	\| $+ 3$
$x$	=	$- 2$

An der Stelle x₁ = $- 2$ gilt also f(x)= -2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- {(x^{2} - 13)}^{3} + 27$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- {(x^{2} - 13)}^{3} + 27$	=	0	\| $- 27$
$- {(x^{2} - 13)}^{3}$	=	$- 27$	\|: $(- 1)$
${(x^{2} - 13)}^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 13$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

$x^{2} - 13$	=	$3$	\| $+ 13$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 4$ |0), S₂( $4$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} + x^{2} - 2 x + 27$ und $g(x) =$ $x^{2} - 2 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} + x^{2} - 2 x + 27$	=	$x^{2} - 2 x$	\| $- 27$ $- x^{2}$ $+ 2 x$
$x^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} - 2 \cdot (- 3)$ = $15$ ⇒ S₁( $- 3$ | $15$ )