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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{5} + 8 x^{2} + 2$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Es gilt f(x) = 2, also $x^{5} + 8 x^{2} + 2$ = 2.

$x^{5} + 8 x^{2} + 2$	=	$2$	\| $- 2$
$x^{5} + 8 x^{2} + 2 - 2$	=	0
$x^{5} + 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= 2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x - 3)}^{4} - 13$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also ${(x - 3)}^{4} - 13$ = 3.

${(x - 3)}^{4} - 13$	=	$3$	\| $+ 13$
${(x - 3)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 3

=

- \sqrt[4]{16}

=

- 2

$x - 3$	=	$- 2$	\| $+ 3$
x₁	=	$1$

2. Fall

x - 3

=

\sqrt[4]{16}

=

2

$x - 3$	=	$2$	\| $+ 3$
x₂	=	$5$

An den Stellen x₁ = $1$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} - x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} - x$	=	0
$x \cdot (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $3 x^{4} - 15 x^{3} - 20 x^{2} - 2$ und $g(x) =$ $- 2 x^{2} - 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$3 x^{4} - 15 x^{3} - 20 x^{2} - 2$	=	$- 2 x^{2} - 2$	\| $+ 2$
$3 x^{4} - 15 x^{3} - 20 x^{2}$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 2 x^{2}$
$3 x^{4} - 15 x^{3} - 20 x^{2} + 2 x^{2}$	=	0
$3 x^{4} - 15 x^{3} - 18 x^{2}$	=	0
$3 x^{2} \cdot (x^{2} - 5 x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₂ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₃ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $- 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 2$ = $- 4$ ⇒ S₁( $- 1$ | $- 4$ )

g(0) = $- 2 \cdot 0^{2} - 2$ = $- 2$ ⇒ S₂(0| $- 2$ )

g( $6$ ) = $- 2 \cdot 6^{2} - 2$ = $- 74$ ⇒ S₃( $6$ | $- 74$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):