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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - 4 x^{2} - 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $x^{4} - 4 x^{2} - 1$ = -1.

$x^{4} - 4 x^{2} - 1$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 1$	=	0
$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $2$ gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x - 3)}^{3} - 61$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also ${(x - 3)}^{3} - 61$ = 3.

${(x - 3)}^{3} - 61$	=	$3$	\| $+ 61$
${(x - 3)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 3$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$x - 3$	=	$4$	\| $+ 3$
$x$	=	$7$

An der Stelle x₁ = $7$ gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- {(x + 3)}^{4} - 81$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- {(x + 3)}^{4} - 81$	=	0	\| $+ 81$
$- {(x + 3)}^{4}$	=	$81$	\|: $(- 1)$
${(x + 3)}^{4}$	=	$- 81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{2} - 4 x - 32$ und $g(x) =$ $- 3 x^{2} - 4 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{2} - 4 x - 32$	=	$- 3 x^{2} - 4 x$	\| $+ 32$ $+ 3 x^{2}$ $+ 4 x$
$2 x^{2}$	=	$32$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 4$ ) = $- 3 \cdot {(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 4)$ = $- 32$ ⇒ S₁( $- 4$ | $- 32$ )

g( $4$ ) = $- 3 \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4$ = $- 64$ ⇒ S₂( $4$ | $- 64$ )