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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + 3 x - 14$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Es gilt f(x) = -4, also $x^{2} + 3 x - 14$ = -4.

x^{2} + 3 x - 14

=

- 4

|

+ 4

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

An den Stellen x₁ = $- 5$ und x₂ = $2$ gilt also f(x)= -4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} + 128$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $x^{3} + 128$ = 3.

$x^{3} + 128$	=	$3$	\| $- 128$
$x^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

An der Stelle x₁ = $- 5$ gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 x^{4} + 245 x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 5 x^{4} + 245 x^{2}$	=	0
$5 x^{2} \cdot (- x^{2} + 49)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 49$	=	0	\| $- 49$
$- x^{2}$	=	$- 49$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
x₃	=	$\sqrt{49}$	= $7$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 7$ |0), S₂(0|0), S₃( $7$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} - 3 x^{3} + 3$ und $g(x) =$ $- 2 x^{3} + 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} - 3 x^{3} + 3$	=	$- 2 x^{3} + 3$	\| $- 3$
$x^{6} - 3 x^{3}$	=	$- 2 x^{3}$	\| $+ 2 x^{3}$
$x^{6} - 3 x^{3} + 2 x^{3}$	=	0
$x^{6} - x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 2 \cdot 0^{3} + 3$ = $3$ ⇒ S₁(0| $3$ )

g( $1$ ) = $- 2 \cdot 1^{3} + 3$ = $1$ ⇒ S₂( $1$ | $1$ )

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Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

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