Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - x + 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $x^{2} - x + 5$ = 5.

$x^{2} - x + 5$	=	$5$	\| $- 5$
$x^{2} - x + 5 - 5$	=	0
$x^{2} - x$	=	0
$x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $1$ gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x - 5)}^{3} - 7$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $- {(x - 5)}^{3} - 7$ = 1.

$- {(x - 5)}^{3} - 7$	=	$1$	\| $+ 7$
$- {(x - 5)}^{3}$	=	$8$	\|: $(- 1)$
${(x - 5)}^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 5$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

$x - 5$	=	$- 2$	\| $+ 5$
$x$	=	$3$

An der Stelle x₁ = $3$ gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 {(x - 1)}^{3} - 128$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 {(x - 1)}^{3} - 128$	=	0	\| $+ 128$
$2 {(x - 1)}^{3}$	=	$128$	\|: $2$
${(x - 1)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 1$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$x - 1$	=	$4$	\| $+ 1$
$x$	=	$5$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $5$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} - x^{2} - 5 x - 128$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 5 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 2 x^{3} - x^{2} - 5 x - 128$	=	$- x^{2} - 5 x$	\| $+ 128$ $+ x^{2}$ $+ 5 x$
$- 2 x^{3}$	=	$128$	\|: $(- 2)$
$x^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{2} - 5 \cdot (- 4)$ = $4$ ⇒ S₁( $- 4$ | $4$ )