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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x - 4) \cdot (x + 2)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x (x - 4) \cdot (x + 2)$ = 0.

x (x - 4) \cdot (x + 2)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

(x - 4) \cdot (x + 2)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $4$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x - 4)}^{3} - 61$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $- {(x - 4)}^{3} - 61$ = 3.

$- {(x - 4)}^{3} - 61$	=	$3$	\| $+ 61$
$- {(x - 4)}^{3}$	=	$64$	\|: $(- 1)$
${(x - 4)}^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 4$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

$x - 4$	=	$- 4$	\| $+ 4$
$x$	=	0

An der Stelle x₁ = 0 gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $4 x^{3} - 100 x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$4 x^{3} - 100 x$	=	0
$4 x \cdot (x^{2} - 25)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{2} - 25$	=	0	\| $+ 25$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₃	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 5$ |0), S₂(0|0), S₃( $5$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} + 8 x^{3} + 3 x - 2$ und $g(x) =$ $3 x - 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} + 8 x^{3} + 3 x - 2$	=	$3 x - 2$	\| $+ 2$
$x^{6} + 8 x^{3} + 3 x$	=	$3 x$	\| $- 3 x$
$x^{6} + 8 x^{3} + 3 x - 3 x$	=	0
$x^{6} + 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $3 \cdot (- 2) - 2$ = $- 8$ ⇒ S₁( $- 2$ | $- 8$ )

g(0) = $3 \cdot 0 - 2$ = $- 2$ ⇒ S₂(0| $- 2$ )