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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x + 2) \cdot (x - 4)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x (x + 2) \cdot (x - 4)$ = 0.

x (x + 2) \cdot (x - 4)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

(x + 2) \cdot (x - 4)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $4$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(8 + 3 x)}^{3} + 126$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $- {(8 + 3 x)}^{3} + 126$ = 1.

$- {(8 + 3 x)}^{3} + 126$	=	$1$
$- {(3 x + 8)}^{3} + 126$	=	$1$	\| $- 126$
$- {(3 x + 8)}^{3}$	=	$- 125$	\|: $(- 1)$
${(3 x + 8)}^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x + 8$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

$3 x + 8$	=	$5$	\| $- 8$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

An der Stelle x₁ = $- 1$ gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{5} + 8 x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{5} + 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{3} - 3 x^{2} + 6$ und $g(x) =$ $- 3 x^{2} - 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{3} - 3 x^{2} + 6$	=	$- 3 x^{2} - 2$	\| $- 6$
$- x^{3} - 3 x^{2}$	=	$- 3 x^{2} - 8$	\| $+ 3 x^{2}$
$- x^{3}$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $2$ ) = $- 3 \cdot 2^{2} - 2$ = $- 14$ ⇒ S₁( $2$ | $- 14$ )