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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} + x - 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also $x^{4} + x - 5$ = -5.

$x^{4} + x - 5$	=	$- 5$	\| $+ 5$
$x^{4} + x - 5 + 5$	=	0
$x^{4} + x$	=	0
$x \cdot (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x - 2)}^{4} - 34$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $- 2 {(x - 2)}^{4} - 34$ = -2.

$- 2 {(x - 2)}^{4} - 34$	=	$- 2$	\| $+ 34$
$- 2 {(x - 2)}^{4}$	=	$32$	\|: $(- 2)$
${(x - 2)}^{4}$	=	$- 16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Es gibt also keine Stelle x für die f(x)= -2 gilt.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 {(x + 4)}^{3} - 16$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 {(x + 4)}^{3} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$2 {(x + 4)}^{3}$	=	$16$	\|: $2$
${(x + 4)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 4$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$x + 4$	=	$2$	\| $- 4$
$x$	=	$- 2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 3 x$ und $g(x) =$ $x^{2} - 3 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} - 3 x$	=	$x^{2} - 3 x$	\| $- (x^{2} - 3 x)$
$x^{5} - x^{2} - 3 x + 3 x$	=	0
$x^{5} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $0^{2} - 3 \cdot 0$ = 0 ⇒ S₁(0|0)

g( $1$ ) = $1^{2} - 3 \cdot 1$ = $- 2$ ⇒ S₂( $1$ | $- 2$ )