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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + x - 8$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Es gilt f(x) = 4, also $x^{2} + x - 8$ = 4.

x^{2} + x - 8

=

4

|

- 4

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

An den Stellen x₁ = $- 4$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= 4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - 11$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $x^{4} - 11$ = 5.

$x^{4} - 11$	=	$5$	\| $+ 11$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = $2$ gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} - x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂(0|0), S₃( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 4 x^{4} + 15 x^{3} + 48 x^{2} - 2 x$ und $g(x) =$ $- x^{3} - 2 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 4 x^{4} + 15 x^{3} + 48 x^{2} - 2 x$	=	$- x^{3} - 2 x$	\| $- (- x^{3} - 2 x)$
$- 4 x^{4} + 15 x^{3} + x^{3} + 48 x^{2} - 2 x + 2 x$	=	0
$- 4 x^{4} + 16 x^{3} + 48 x^{2}$	=	0
$4 x^{2} \cdot (- x^{2} + 4 x + 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 4 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 4+8}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₃ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 4-8}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{3} - 2 \cdot (- 2)$ = $12$ ⇒ S₁( $- 2$ | $12$ )

g(0) = $- 0^{3} - 2 \cdot 0$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $6$ ) = $- 6^{3} - 2 \cdot 6$ = $- 228$ ⇒ S₃( $6$ | $- 228$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

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Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):