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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x - 4) (x + 3)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x (x - 4) (x + 3)$ = 0.

x (x - 4) (x + 3)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

(x - 4) (x + 3)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

An den Stellen x₁ = $- 3$ , x₂ = 0 und x₃ = $4$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x^{2} - 33)}^{3} - 53$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $2 {(x^{2} - 33)}^{3} - 53$ = 1.

$2 {(x^{2} - 33)}^{3} - 53$	=	$1$	\| $+ 53$
$2 {(x^{2} - 33)}^{3}$	=	$54$	\|: $2$
${(x^{2} - 33)}^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 33$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

$x^{2} - 33$	=	$3$	\| $+ 33$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

An den Stellen x₁ = $- 6$ und x₂ = $6$ gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- {(- 8 + 3 x)}^{3} - 8$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- {(- 8 + 3 x)}^{3} - 8$	=	0
$- {(3 x - 8)}^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$- {(3 x - 8)}^{3}$	=	$8$	\|: $(- 1)$
${(3 x - 8)}^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x - 8$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

$3 x - 8$	=	$- 2$	\| $+ 8$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $3 x^{3} + x^{2} + x - 4$ und $g(x) =$ $3 x^{3} - 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$3 x^{3} + x^{2} + x - 4$	=	$3 x^{3} - 4$	\| $+ 4$
$3 x^{3} + x^{2} + x$	=	$3 x^{3}$	\| $- 3 x^{3}$
$3 x^{3} - 3 x^{3} + x^{2} + x$	=	0
$x^{2} + x$	=	0
$x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $3 \cdot {(- 1)}^{3} - 4$ = $- 7$ ⇒ S₁( $- 1$ | $- 7$ )

g(0) = $3 \cdot 0^{3} - 4$ = $- 4$ ⇒ S₂(0| $- 4$ )