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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} + x^{2} + 3$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $x^{3} + x^{2} + 3$ = 3.

$x^{3} + x^{2} + 3$	=	$3$	\| $- 3$
$x^{3} + x^{2} + 3 - 3$	=	0
$x^{3} + x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= 3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 122$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $x^{3} - 122$ = 3.

$x^{3} - 122$	=	$3$	\| $+ 122$
$x^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

An der Stelle x₁ = $5$ gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 {(x + 1)}^{4} + 32$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 {(x + 1)}^{4} + 32$	=	0	\| $- 32$
$- 2 {(x + 1)}^{4}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
${(x + 1)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 1

- \sqrt[4]{16}

- 2

$x + 1$	=	$- 2$	\| $- 1$
x₁	=	$- 3$

2. Fall

x + 1

\sqrt[4]{16}

2

$x + 1$	=	$2$	\| $- 1$
x₂	=	$1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0), S₂( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 4 x^{3} - 4 x - 1$ und $g(x) =$ $- 4 x - 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} - 4 x^{3} - 4 x - 1$	=	$- 4 x - 1$	\| $+ 1$
$x^{5} - 4 x^{3} - 4 x$	=	$- 4 x$	\| $+ 4 x$
$x^{5} - 4 x^{3} - 4 x + 4 x$	=	0
$x^{5} - 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- 4 \cdot (- 2) - 1$ = $7$ ⇒ S₁( $- 2$ | $7$ )

g(0) = $- 4 \cdot 0 - 1$ = $- 1$ ⇒ S₂(0| $- 1$ )

g( $2$ ) = $- 4 \cdot 2 - 1$ = $- 9$ ⇒ S₃( $2$ | $- 9$ )