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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{5} - x^{2} + 4$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Es gilt f(x) = 4, also $x^{5} - x^{2} + 4$ = 4.

$x^{5} - x^{2} + 4$	=	$4$	\| $- 4$
$x^{5} - x^{2} + 4 - 4$	=	0
$x^{5} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $1$ gilt also f(x)= 4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(6 + 3 x)}^{3} + 55$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $2 {(6 + 3 x)}^{3} + 55$ = 1.

$2 {(6 + 3 x)}^{3} + 55$	=	$1$
$2 {(3 x + 6)}^{3} + 55$	=	$1$	\| $- 55$
$2 {(3 x + 6)}^{3}$	=	$- 54$	\|: $2$
${(3 x + 6)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x + 6$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$3 x + 6$	=	$- 3$	\| $- 6$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

An der Stelle x₁ = $- 3$ gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} + 70 x - 245$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

- 5 x^{2} + 70 x - 245

= 0 |:5

$- x^{2} + 14 x - 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 49)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 14 x - 49$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 14 x + 49$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 49$ = $49$ $-$ $49$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $7$ ± 0 = $7$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $7$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{4} + x^{3} + 42 x^{2} - 3 x - 1$ und $g(x) =$ $- 3 x - 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{4} + x^{3} + 42 x^{2} - 3 x - 1$	=	$- 3 x - 1$	\| $+ 1$
$- x^{4} + x^{3} + 42 x^{2} - 3 x$	=	$- 3 x$	\| $+ 3 x$
$- x^{4} + x^{3} + 42 x^{2} - 3 x + 3 x$	=	0
$- x^{4} + x^{3} + 42 x^{2}$	=	0
$x^{2} (- x^{2} + x + 42)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 42}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{169}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{- 1+13}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{- 1-13}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 42$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 42$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 42)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $42$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 6$ ) = $- 3 \cdot (- 6) - 1$ = $17$ ⇒ S₁( $- 6$ | $17$ )

g(0) = $- 3 \cdot 0 - 1$ = $- 1$ ⇒ S₂(0| $- 1$ )

g( $7$ ) = $- 3 \cdot 7 - 1$ = $- 22$ ⇒ S₃( $7$ | $- 22$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

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Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):