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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x + 1) {(x - 4)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x (x + 1) {(x - 4)}^{2}$ = 0.

$x (x + 1) {(x - 4)}^{2}$	=	0
$x {(x - 4)}^{2} \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

{(x - 4)}^{2} \cdot (x + 1)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x - 4)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 4$	=	0

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ , x₂ = 0 und x₃ = $4$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x + 4)}^{4} + 15$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $- {(x + 4)}^{4} + 15$ = -1.

$- {(x + 4)}^{4} + 15$	=	$- 1$	\| $- 15$
$- {(x + 4)}^{4}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
${(x + 4)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 4

- \sqrt[4]{16}

- 2

$x + 4$	=	$- 2$	\| $- 4$
x₁	=	$- 6$

2. Fall

x + 4

\sqrt[4]{16}

2

$x + 4$	=	$2$	\| $- 4$
x₂	=	$- 2$

An den Stellen x₁ = $- 6$ und x₂ = $- 2$ gilt also f(x)= -1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} - 16$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 2 x^{3} + 2 x + 3$ und $g(x) =$ $2 x + 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 2 x^{3} + 2 x + 3$	=	$2 x + 3$	\| $- 3$
$x^{4} - 2 x^{3} + 2 x$	=	$2 x$	\| $- 2 x$
$x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 2 x$	=	0
$x^{4} - 2 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $2 \cdot 0 + 3$ = $3$ ⇒ S₁(0| $3$ )

g( $2$ ) = $2 \cdot 2 + 3$ = $7$ ⇒ S₂( $2$ | $7$ )