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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + 2 x - 2$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $x^{2} + 2 x - 2$ = -2.

$x^{2} + 2 x - 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$x^{2} + 2 x - 2 + 2$	=	0
$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x - 1)}^{3} + 126$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also ${(x - 1)}^{3} + 126$ = 1.

${(x - 1)}^{3} + 126$	=	$1$	\| $- 126$
${(x - 1)}^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 1$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

$x - 1$	=	$- 5$	\| $+ 1$
$x$	=	$- 4$

An der Stelle x₁ = $- 4$ gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} + 32$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 x^{4} + 32$	=	0	\| $- 32$
$- 2 x^{4}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 4 x + 5$ und $g(x) =$ $- 5 x + 5$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 4 x + 5$	=	$- 5 x + 5$	\| $- 5$
$x^{4} - 4 x$	=	$- 5 x$	\| $+ 5 x$
$x^{4} - 4 x + 5 x$	=	0
$x^{4} + x$	=	0
$x \cdot (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $- 5 \cdot (- 1) + 5$ = $10$ ⇒ S₁( $- 1$ | $10$ )

g(0) = $- 5 \cdot 0 + 5$ = $5$ ⇒ S₂(0| $5$ )