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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} - x^{2} + 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $x^{3} - x^{2} + 1$ = 1.

$x^{3} - x^{2} + 1$	=	$1$	\| $- 1$
$x^{3} - x^{2} + 1 - 1$	=	0
$x^{3} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $1$ gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x + 4)}^{4} - 76$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also ${(x + 4)}^{4} - 76$ = 5.

${(x + 4)}^{4} - 76$	=	$5$	\| $+ 76$
${(x + 4)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 4

- \sqrt[4]{81}

- 3

$x + 4$	=	$- 3$	\| $- 4$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 4

\sqrt[4]{81}

3

$x + 4$	=	$3$	\| $- 4$
x₂	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 7$ und x₂ = $- 1$ gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{5} - x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{5} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + x^{2} + 2$ und $g(x) =$ $5 x^{2} + 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + x^{2} + 2$	=	$5 x^{2} + 2$	\| $- 2$
$x^{4} + x^{2}$	=	$5 x^{2}$	\| $- 5 x^{2}$
$x^{4} + x^{2} - 5 x^{2}$	=	0
$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $5 \cdot {(- 2)}^{2} + 2$ = $22$ ⇒ S₁( $- 2$ | $22$ )

g(0) = $5 \cdot 0^{2} + 2$ = $2$ ⇒ S₂(0| $2$ )

g( $2$ ) = $5 \cdot 2^{2} + 2$ = $22$ ⇒ S₃( $2$ | $22$ )