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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 11$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $x^{2} - 11$ = 5.

$x^{2} - 11$	=	$5$	\| $+ 11$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

An den Stellen x₁ = $- 4$ und x₂ = $4$ gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x^{2} - 11)}^{3} - 15$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $- 2 {(x^{2} - 11)}^{3} - 15$ = 1.

$- 2 {(x^{2} - 11)}^{3} - 15$	=	$1$	\| $+ 15$
$- 2 {(x^{2} - 11)}^{3}$	=	$16$	\|: $(- 2)$
${(x^{2} - 11)}^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 11$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

$x^{2} - 11$	=	$- 2$	\| $+ 11$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

An den Stellen x₁ = $- 3$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{3} + 2 x^{2} - 12 x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 x^{3} + 2 x^{2} - 12 x$	=	0
$2 x (x^{2} + x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0), S₂(0|0), S₃( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{3} + x - 10$ und $g(x) =$ $x - 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{3} + x - 10$	=	$x - 2$	\| $+ 10$
$- x^{3} + x$	=	$x + 8$	\| $- x$
$- x^{3}$	=	$8$	\|: $(- 1)$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- 2 - 2$ = $- 4$ ⇒ S₁( $- 2$ | $- 4$ )