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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 6$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $x^{2} - 6$ = 3.

$x^{2} - 6$	=	$3$	\| $+ 6$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

An den Stellen x₁ = $- 3$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= 3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x + 1)}^{4} - 161$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $2 {(x + 1)}^{4} - 161$ = 1.

$2 {(x + 1)}^{4} - 161$	=	$1$	\| $+ 161$
$2 {(x + 1)}^{4}$	=	$162$	\|: $2$
${(x + 1)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 1

- \sqrt[4]{81}

- 3

$x + 1$	=	$- 3$	\| $- 1$
x₁	=	$- 4$

2. Fall

x + 1

\sqrt[4]{81}

3

$x + 1$	=	$3$	\| $- 1$
x₂	=	$2$

An den Stellen x₁ = $- 4$ und x₂ = $2$ gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 {(x^{2} - 13)}^{3} + 128$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 {(x^{2} - 13)}^{3} + 128$	=	0	\| $- 128$
$2 {(x^{2} - 13)}^{3}$	=	$- 128$	\|: $2$
${(x^{2} - 13)}^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 13$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

$x^{2} - 13$	=	$- 4$	\| $+ 13$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0), S₂( $3$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 8$ und $g(x) =$ $3 x^{2} - 4 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 8$	=	$3 x^{2} - 4 x$	\| $- 8$ $- 3 x^{2}$ $+ 4 x$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $3 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2)$ = $20$ ⇒ S₁( $- 2$ | $20$ )