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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{5} - 8 x^{2} - 4$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $x^{5} - 8 x^{2} - 4$ = -4.

$x^{5} - 8 x^{2} - 4$	=	$- 4$	\| $+ 4$
$x^{5} - 8 x^{2} - 4 + 4$	=	0
$x^{5} - 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $2$ gilt also f(x)= -4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(- 8 - 3 x)}^{3} + 20$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also $2 {(- 8 - 3 x)}^{3} + 20$ = 4.

$2 {(- 8 - 3 x)}^{3} + 20$	=	$4$
$2 {(- 3 x - 8)}^{3} + 20$	=	$4$	\| $- 20$
$2 {(- 3 x - 8)}^{3}$	=	$- 16$	\|: $2$
${(- 3 x - 8)}^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 3 x - 8$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

$- 3 x - 8$	=	$- 2$	\| $+ 8$
$- 3 x$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 2$

An der Stelle x₁ = $- 2$ gilt also f(x)= 4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $4 x^{3} - 196 x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$4 x^{3} - 196 x$	=	0
$4 x \cdot (x^{2} - 49)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{2} - 49$	=	0	\| $+ 49$
$x^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
x₃	=	$\sqrt{49}$	= $7$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 7$ |0), S₂(0|0), S₃( $7$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + x^{3} - 12 x$ und $g(x) =$ $x^{3} - 4 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + x^{3} - 12 x$	=	$x^{3} - 4 x$	\| $- (x^{3} - 4 x)$
$x^{4} + x^{3} - x^{3} - 12 x + 4 x$	=	0
$x^{4} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $0^{3} - 4 \cdot 0$ = 0 ⇒ S₁(0|0)

g( $2$ ) = $2^{3} - 4 \cdot 2$ = 0 ⇒ S₂( $2$ |0)