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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 54$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also $x^{2} - 54$ = -5.

$x^{2} - 54$	=	$- 5$	\| $+ 54$
$x^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
x₂	=	$\sqrt{49}$	= $7$

An den Stellen x₁ = $- 7$ und x₂ = $7$ gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(6 + 3 x)}^{3} + 30$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also ${(6 + 3 x)}^{3} + 30$ = 3.

${(6 + 3 x)}^{3} + 30$	=	$3$
${(3 x + 6)}^{3} + 30$	=	$3$	\| $- 30$
${(3 x + 6)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x + 6$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$3 x + 6$	=	$- 3$	\| $- 6$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

An der Stelle x₁ = $- 3$ gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} - 2 x^{3}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} - 2 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + x^{3} + 2 x - 3$ und $g(x) =$ $2 x - 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + x^{3} + 2 x - 3$	=	$2 x - 3$	\| $+ 3$
$x^{4} + x^{3} + 2 x$	=	$2 x$	\| $- 2 x$
$x^{4} + x^{3} + 2 x - 2 x$	=	0
$x^{4} + x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $2 \cdot (- 1) - 3$ = $- 5$ ⇒ S₁( $- 1$ | $- 5$ )

g(0) = $2 \cdot 0 - 3$ = $- 3$ ⇒ S₂(0| $- 3$ )