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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x + 5) {(x + 1)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Es gilt f(x) = 0, also $x (x + 5) {(x + 1)}^{2}$ = 0.

$x (x + 5) {(x + 1)}^{2}$	=	0
$x {(x + 1)}^{2} (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

{(x + 1)}^{2} (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x + 1)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 1$	=	0

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

An den Stellen x₁ = $- 5$ , x₂ = $- 1$ und x₃ = 0 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x + 5)}^{4} - 14$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also ${(x + 5)}^{4} - 14$ = 2.

${(x + 5)}^{4} - 14$	=	$2$	\| $+ 14$
${(x + 5)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 5

=

- \sqrt[4]{16}

=

- 2

$x + 5$	=	$- 2$	\| $- 5$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 5

=

\sqrt[4]{16}

=

2

$x + 5$	=	$2$	\| $- 5$
x₂	=	$- 3$

An den Stellen x₁ = $- 7$ und x₂ = $- 3$ gilt also f(x)= 2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 x^{3} + 65 x^{2} - 210 x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 5 x^{3} + 65 x^{2} - 210 x$	=	0
$5 x (- x^{2} + 13 x - 42)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 13 x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 42)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 13 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 13+1}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

x₃ = $\frac{- 13 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 13-1}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 13 x - 42$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 13 x + 42$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $6$ |0), S₃( $7$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 19 x + 48$ und $g(x) =$ $- 5 x^{2} + 5 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 2 x^{2} - 19 x + 48

=

- 5 x^{2} + 5 x

|

+ 5 x^{2}

- 5 x

3 x^{2} - 24 x + 48

= 0 |:3

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $4$ ) = $- 5 \cdot 4^{2} + 5 \cdot 4$ = $- 60$ ⇒ S₁( $4$ | $- 60$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

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Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):