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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 - x -29 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also x 2 - x -29 = 1.

x 2 - x -29 = 1 | -1

x 2 - x -30 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -30 ) 2⋅1

x1,2 = +1 ± 1 +120 2

x1,2 = +1 ± 121 2

x1 = 1 + 121 2 = 1 +11 2 = 12 2 = 6

x2 = 1 - 121 2 = 1 -11 2 = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -30 ) = 1 4 + 30 = 1 4 + 120 4 = 121 4

x1,2 = 1 2 ± 121 4

x1 = 1 2 - 11 2 = - 10 2 = -5

x2 = 1 2 + 11 2 = 12 2 = 6

An den Stellen x1 = -5 und x2 = 6 gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -2 ( x -1 ) 3 +21 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also -2 ( x -1 ) 3 +21 = 5.

-2 ( x -1 ) 3 +21 = 5 | -21
-2 ( x -1 ) 3 = -16 |: ( -2 )
( x -1 ) 3 = 8 | ⋅3
x -1 = 8 3 = 2
x -1 = 2 | +1
x = 3

An der Stelle x1 = 3 gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 5 +8 x 2 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 5 +8 x 2 = 0
x 2 · ( x 3 +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 3 +8 = 0 | -8
x 3 = -8 | ⋅3
x2 = - 8 3 = -2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -2 |0), S2(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 3 +2x -27 und g(x)= 2 x 3 +2x .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 3 +2x -27 = 2 x 3 +2x | +27 -2 x 3 -2x
- x 3 = 27 |: ( -1 )
x 3 = -27 | ⋅3
x = - 27 3 = -3

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -3 ) = 2⋅ ( -3 ) 3 +2⋅( -3 ) = -60 ⇒ S1( -3 | -60 )