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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x + 4) \cdot (x + 2)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x (x + 4) \cdot (x + 2)$ = 0.

x (x + 4) \cdot (x + 2)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

(x + 4) \cdot (x + 2)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

An den Stellen x₁ = $- 4$ , x₂ = $- 2$ und x₃ = 0 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x + 4)}^{4} + 83$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also $- {(x + 4)}^{4} + 83$ = 2.

$- {(x + 4)}^{4} + 83$	=	$2$	\| $- 83$
$- {(x + 4)}^{4}$	=	$- 81$	\|: $(- 1)$
${(x + 4)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 4

- \sqrt[4]{81}

- 3

$x + 4$	=	$- 3$	\| $- 4$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 4

\sqrt[4]{81}

3

$x + 4$	=	$3$	\| $- 4$
x₂	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 7$ und x₂ = $- 1$ gilt also f(x)= 2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} - 4 x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂(0|0), S₃( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $5 x^{3} - 4 x + 8$ und $g(x) =$ $4 x^{3} - 4 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$5 x^{3} - 4 x + 8$	=	$4 x^{3} - 4 x$	\| $- 8$ $- 4 x^{3}$ $+ 4 x$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $4 \cdot {(- 2)}^{3} - 4 \cdot (- 2)$ = $- 24$ ⇒ S₁( $- 2$ | $- 24$ )