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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{6} - 8 x^{3} - 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $x^{6} - 8 x^{3} - 1$ = -1.

$x^{6} - 8 x^{3} - 1$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$x^{6} - 8 x^{3} - 1 + 1$	=	0
$x^{6} - 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $2$ gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(6 - 3 x)}^{3} + 32$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also ${(6 - 3 x)}^{3} + 32$ = 5.

${(6 - 3 x)}^{3} + 32$	=	$5$
${(- 3 x + 6)}^{3} + 32$	=	$5$	\| $- 32$
${(- 3 x + 6)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 3 x + 6$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$- 3 x + 6$	=	$- 3$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$3$

An der Stelle x₁ = $3$ gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 2 x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{3} + 2 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 5 x^{3} + 3 x - 125$ und $g(x) =$ $- 4 x^{3} + 3 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 5 x^{3} + 3 x - 125$	=	$- 4 x^{3} + 3 x$	\| $+ 125$ $+ 4 x^{3}$ $- 3 x$
$- x^{3}$	=	$125$	\|: $(- 1)$
$x^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 5$ ) = $- 4 \cdot {(- 5)}^{3} + 3 \cdot (- 5)$ = $485$ ⇒ S₁( $- 5$ | $485$ )