Mathebattle EduRandomtasks

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{5} - 4 x^{3} + 4$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Es gilt f(x) = 4, also $x^{5} - 4 x^{3} + 4$ = 4.

$x^{5} - 4 x^{3} + 4$	=	$4$	\| $- 4$
$x^{5} - 4 x^{3} + 4 - 4$	=	0
$x^{5} - 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $2$ gilt also f(x)= 4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- x^{3} + 10$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also $- x^{3} + 10$ = 2.

$- x^{3} + 10$	=	$2$	\| $- 10$
$- x^{3}$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

An der Stelle x₁ = $2$ gilt also f(x)= 2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 {(x + 1)}^{4} + 32$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 {(x + 1)}^{4} + 32$	=	0	\| $- 32$
$- 2 {(x + 1)}^{4}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
${(x + 1)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 1

=

- \sqrt[4]{16}

=

- 2

$x + 1$	=	$- 2$	\| $- 1$
x₁	=	$- 3$

2. Fall

x + 1

=

\sqrt[4]{16}

=

2

$x + 1$	=	$2$	\| $- 1$
x₂	=	$1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0), S₂( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{4} - x^{3} + 26 x^{2} - 3$ und $g(x) =$ $- 4 x^{2} - 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{4} - x^{3} + 26 x^{2} - 3$	=	$- 4 x^{2} - 3$	\| $+ 3$
$- x^{4} - x^{3} + 26 x^{2}$	=	$- 4 x^{2}$	\| $+ 4 x^{2}$
$- x^{4} - x^{3} + 26 x^{2} + 4 x^{2}$	=	0
$- x^{4} - x^{3} + 30 x^{2}$	=	0
$- x^{2} (x^{2} + x - 30)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 6$ ) = $- 4 \cdot {(- 6)}^{2} - 3$ = $- 147$ ⇒ S₁( $- 6$ | $- 147$ )

g(0) = $- 4 \cdot 0^{2} - 3$ = $- 3$ ⇒ S₂(0| $- 3$ )

g( $5$ ) = $- 4 \cdot 5^{2} - 3$ = $- 103$ ⇒ S₃( $5$ | $- 103$ )

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):