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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 + x -25 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also x 2 + x -25 = 5.

x 2 + x -25 = 5 | -5

x 2 + x -30 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -30 ) 2⋅1

x1,2 = -1 ± 1 +120 2

x1,2 = -1 ± 121 2

x1 = -1 + 121 2 = -1 +11 2 = 10 2 = 5

x2 = -1 - 121 2 = -1 -11 2 = -12 2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -30 ) = 1 4 + 30 = 1 4 + 120 4 = 121 4

x1,2 = - 1 2 ± 121 4

x1 = - 1 2 - 11 2 = - 12 2 = -6

x2 = - 1 2 + 11 2 = 10 2 = 5

An den Stellen x1 = -6 und x2 = 5 gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 ( x +1 ) 3 +132 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also 2 ( x +1 ) 3 +132 = 4.

2 ( x +1 ) 3 +132 = 4 | -132
2 ( x +1 ) 3 = -128 |:2
( x +1 ) 3 = -64 | ⋅3
x +1 = - 64 3 = -4
x +1 = -4 | -1
x = -5

An der Stelle x1 = -5 gilt also f(x)= 4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= - x 2 -4x +12 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

- x 2 -4x +12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · ( -1 ) · 12 2⋅( -1 )

x1,2 = +4 ± 16 +48 -2

x1,2 = +4 ± 64 -2

x1 = 4 + 64 -2 = 4 +8 -2 = 12 -2 = -6

x2 = 4 - 64 -2 = 4 -8 -2 = -4 -2 = 2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 -4x +12 = 0 |: -1

x 2 +4x -12 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 2 2 - ( -12 ) = 4+ 12 = 16

x1,2 = -2 ± 16

x1 = -2 - 4 = -6

x2 = -2 + 4 = 2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -6 |0), S2( 2 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 4 x 3 + x 2 +4x und g(x)= 4 x 3 +5x .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

4 x 3 + x 2 +4x = 4 x 3 +5x | - ( 4 x 3 +5x )
4 x 3 -4 x 3 + x 2 +4x -5x = 0
x 2 - x = 0
x · ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = 4⋅ 0 3 +5⋅0 = 0 ⇒ S1(0|0)

g( 1 ) = 4⋅ 1 3 +5⋅1 = 9 ⇒ S2( 1 | 9 )