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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x {(x - 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x {(x - 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ = 0.

$x {(x - 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$	=	0
$x {(x - 4)}^{4}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

${(x - 4)}^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
$x - 4$	=	0

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $4$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- x^{3} + 69$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $- x^{3} + 69$ = 5.

$- x^{3} + 69$	=	$5$	\| $- 69$
$- x^{3}$	=	$- 64$	\|: $(- 1)$
$x^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

An der Stelle x₁ = $4$ gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- {(8 - 3 x)}^{3} + 125$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- {(8 - 3 x)}^{3} + 125$	=	0
$- {(- 3 x + 8)}^{3} + 125$	=	0	\| $- 125$
$- {(- 3 x + 8)}^{3}$	=	$- 125$	\|: $(- 1)$
${(- 3 x + 8)}^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 3 x + 8$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

$- 3 x + 8$	=	$5$	\| $- 8$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 2 x^{2} + x - 64$ und $g(x) =$ $- 2 x^{2} + x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 2 x^{2} + x - 64$	=	$- 2 x^{2} + x$	\| $+ 64$ $+ 2 x^{2}$ $- x$
$x^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $4$ ) = $- 2 \cdot 4^{2} + 4$ = $- 28$ ⇒ S₁( $4$ | $- 28$ )