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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $(x + 4) (x + 4)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $(x + 4) (x + 4)$ = 0.

$(x + 4) (x + 4)$	=	0
${(x + 4)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 4$	=	0

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
$x$	=	$- 4$

An der Stelle x₁ = $- 4$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x - 5)}^{3} + 51$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $2 {(x - 5)}^{3} + 51$ = -3.

$2 {(x - 5)}^{3} + 51$	=	$- 3$	\| $- 51$
$2 {(x - 5)}^{3}$	=	$- 54$	\|: $2$
${(x - 5)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 5$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$x - 5$	=	$- 3$	\| $+ 5$
$x$	=	$2$

An der Stelle x₁ = $2$ gilt also f(x)= -3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 3)}^{3} + 27$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

${(x + 3)}^{3} + 27$	=	0	\| $- 27$
${(x + 3)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 3$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$x + 3$	=	$- 3$	\| $- 3$
$x$	=	$- 6$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 6$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 4 x^{3} + x^{2} - 128$ und $g(x) =$ $- 2 x^{3} + x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 4 x^{3} + x^{2} - 128$	=	$- 2 x^{3} + x^{2}$	\| $+ 128$ $+ 2 x^{3}$ $- x^{2}$
$- 2 x^{3}$	=	$128$	\|: $(- 2)$
$x^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 4$ ) = $- 2 \cdot {(- 4)}^{3} + {(- 4)}^{2}$ = $144$ ⇒ S₁( $- 4$ | $144$ )