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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + 2 x + 2$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also $x^{2} + 2 x + 2$ = 2.

$x^{2} + 2 x + 2$	=	$2$	\| $- 2$
$x^{2} + 2 x + 2 - 2$	=	0
$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= 2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} + 69$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $x^{3} + 69$ = 5.

$x^{3} + 69$	=	$5$	\| $- 69$
$x^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

An der Stelle x₁ = $- 4$ gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 {(x - 4)}^{3} - 16$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 {(x - 4)}^{3} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$2 {(x - 4)}^{3}$	=	$16$	\|: $2$
${(x - 4)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 4$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$x - 4$	=	$2$	\| $+ 4$
$x$	=	$6$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $6$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 125$ und $g(x) =$ $- 3 x^{2} - 3 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 125$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$	\| $- 125$ $+ 3 x^{2}$ $+ 3 x$
$x^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 5$ ) = $- 3 \cdot {(- 5)}^{2} - 3 \cdot (- 5)$ = $- 60$ ⇒ S₁( $- 5$ | $- 60$ )