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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Es gilt f(x) = 0, also $x (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ = 0.

$x (x + 1) {(x - 1)}^{2}$	=	0
$x {(x - 1)}^{2} \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

{(x - 1)}^{2} \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x - 1)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 1$	=	0

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ , x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(4 - 3 x)}^{3} - 253$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $- 2 {(4 - 3 x)}^{3} - 253$ = -3.

$- 2 {(4 - 3 x)}^{3} - 253$	=	$- 3$
$- 2 {(- 3 x + 4)}^{3} - 253$	=	$- 3$	\| $+ 253$
$- 2 {(- 3 x + 4)}^{3}$	=	$250$	\|: $(- 2)$
${(- 3 x + 4)}^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 3 x + 4$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

$- 3 x + 4$	=	$- 5$	\| $- 4$
$- 3 x$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$3$

An der Stelle x₁ = $3$ gilt also f(x)= -3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 {(x - 3)}^{4} + 162$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 {(x - 3)}^{4} + 162$	=	0	\| $- 162$
$- 2 {(x - 3)}^{4}$	=	$- 162$	\|: $(- 2)$
${(x - 3)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 3

=

- \sqrt[4]{81}

=

- 3

$x - 3$	=	$- 3$	\| $+ 3$
x₁	=	0

2. Fall

x - 3

=

\sqrt[4]{81}

=

3

$x - 3$	=	$3$	\| $+ 3$
x₂	=	$6$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $6$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + x^{3} - x^{2} - 1$ und $g(x) =$ $x^{3} - 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + x^{3} - x^{2} - 1$	=	$x^{3} - 1$	\| $+ 1$
$x^{4} + x^{3} - x^{2}$	=	$x^{3}$	\| $- x^{3}$
$x^{4} + x^{3} - x^{3} - x^{2}$	=	0
$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{3} - 1$ = $- 2$ ⇒ S₁( $- 1$ | $- 2$ )

g(0) = $0^{3} - 1$ = $- 1$ ⇒ S₂(0| $- 1$ )

g( $1$ ) = $1^{3} - 1$ = 0 ⇒ S₃( $1$ |0)

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