Mathebattle EduRandomtasks

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 2 x - 23$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Es gilt f(x) = 1, also $x^{2} - 2 x - 23$ = 1.

x^{2} - 2 x - 23

=

1

|

- 1

$x^{2} - 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $1$ - $5$ = -4

x₂ = $1$ + $5$ = 6

An den Stellen x₁ = $- 4$ und x₂ = $6$ gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(- 5 + 3 x)}^{3} + 132$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also $- 2 {(- 5 + 3 x)}^{3} + 132$ = 4.

$- 2 {(- 5 + 3 x)}^{3} + 132$	=	$4$
$- 2 {(3 x - 5)}^{3} + 132$	=	$4$	\| $- 132$
$- 2 {(3 x - 5)}^{3}$	=	$- 128$	\|: $(- 2)$
${(3 x - 5)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x - 5$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$3 x - 5$	=	$4$	\| $+ 5$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

An der Stelle x₁ = $3$ gilt also f(x)= 4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- {(x - 5)}^{3} + 27$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- {(x - 5)}^{3} + 27$	=	0	\| $- 27$
$- {(x - 5)}^{3}$	=	$- 27$	\|: $(- 1)$
${(x - 5)}^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 5$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

$x - 5$	=	$3$	\| $+ 5$
$x$	=	$8$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $8$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $5 x^{4} - 50 x^{3} + 120 x^{2} + 5 x + 1$ und $g(x) =$ $5 x + 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$5 x^{4} - 50 x^{3} + 120 x^{2} + 5 x + 1$	=	$5 x + 1$	\| $- 1$
$5 x^{4} - 50 x^{3} + 120 x^{2} + 5 x$	=	$5 x$	\| $- 5 x$
$5 x^{4} - 50 x^{3} + 120 x^{2} + 5 x - 5 x$	=	0
$5 x^{4} - 50 x^{3} + 120 x^{2}$	=	0
$5 x^{2} (x^{2} - 10 x + 24)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 10 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₂ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₃ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $5$ - $1$ = 4

x₂ = $5$ + $1$ = 6

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $5 \cdot 0 + 1$ = $1$ ⇒ S₁(0| $1$ )

g( $4$ ) = $5 \cdot 4 + 1$ = $21$ ⇒ S₂( $4$ | $21$ )

g( $6$ ) = $5 \cdot 6 + 1$ = $31$ ⇒ S₃( $6$ | $31$ )

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):