Mathebattle EduRandomtasks

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + x - 17$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Es gilt f(x) = -5, also $x^{2} + x - 17$ = -5.

x^{2} + x - 17

=

- 5

|

+ 5

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

An den Stellen x₁ = $- 4$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- x^{3} + 12$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also $- x^{3} + 12$ = 4.

$- x^{3} + 12$	=	$4$	\| $- 12$
$- x^{3}$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

An der Stelle x₁ = $2$ gilt also f(x)= 4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 {(7 - 3 x)}^{3} - 128$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 {(7 - 3 x)}^{3} - 128$	=	0
$2 {(- 3 x + 7)}^{3} - 128$	=	0	\| $+ 128$
$2 {(- 3 x + 7)}^{3}$	=	$128$	\|: $2$
${(- 3 x + 7)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 3 x + 7$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$- 3 x + 7$	=	$4$	\| $- 7$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{4} - 4 x^{2} + 77$ und $g(x) =$ $- 4 x^{2} - 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{4} - 4 x^{2} + 77$	=	$- 4 x^{2} - 4$	\| $- 77$
$- x^{4} - 4 x^{2}$	=	$- 4 x^{2} - 81$	\| $+ 4 x^{2}$
$- x^{4}$	=	$- 81$	\|: $(- 1)$
$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 3$ ) = $- 4 \cdot {(- 3)}^{2} - 4$ = $- 40$ ⇒ S₁( $- 3$ | $- 40$ )

g( $3$ ) = $- 4 \cdot 3^{2} - 4$ = $- 40$ ⇒ S₂( $3$ | $- 40$ )

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen