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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x {(x + 2)}^{2} \cdot (x + 5)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x {(x + 2)}^{2} \cdot (x + 5)$ = 0.

x {(x + 2)}^{2} \cdot (x + 5)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

{(x + 2)}^{2} \cdot (x + 5)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x + 2)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 2$	=	0

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

An den Stellen x₁ = $- 5$ , x₂ = $- 2$ und x₃ = 0 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 x^{3} + 53$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $- 2 x^{3} + 53$ = -1.

$- 2 x^{3} + 53$	=	$- 1$	\| $- 53$
$- 2 x^{3}$	=	$- 54$	\|: $(- 2)$
$x^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

An der Stelle x₁ = $3$ gilt also f(x)= -1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 27$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{3} - 27$	=	0	\| $+ 27$
$x^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $3$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{4} + 5 x^{3} - 4 x + 16$ und $g(x) =$ $5 x^{3} - 4 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{4} + 5 x^{3} - 4 x + 16$	=	$5 x^{3} - 4 x$	\| $- 16$ $- 5 x^{3}$ $+ 4 x$
$- x^{4}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $5 \cdot {(- 2)}^{3} - 4 \cdot (- 2)$ = $- 32$ ⇒ S₁( $- 2$ | $- 32$ )

g( $2$ ) = $5 \cdot 2^{3} - 4 \cdot 2$ = $32$ ⇒ S₂( $2$ | $32$ )