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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x {(x - 2)}^{2} \cdot (x + 1)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Es gilt f(x) = 0, also $x {(x - 2)}^{2} \cdot (x + 1)$ = 0.

x {(x - 2)}^{2} \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

{(x - 2)}^{2} \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x - 2)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 2$	=	0

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ , x₂ = 0 und x₃ = $2$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 x^{4} + 161$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $2 x^{4} + 161$ = -1.

$2 x^{4} + 161$	=	$- 1$	\| $- 161$
$2 x^{4}$	=	$- 162$	\|: $2$
$x^{4}$	=	$- 81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Es gibt also keine Stelle x für die f(x)= -1 gilt.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 4 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2}$	=	0
$- 4 x^{2} \cdot (x^{2} + 4 x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₂ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₃ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 5$ |0), S₂(0|0), S₃( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 7 x^{3} + 2$ und $g(x) =$ $- 3 x^{3} + 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} - 7 x^{3} + 2$	=	$- 3 x^{3} + 2$	\| $- 2$
$x^{5} - 7 x^{3}$	=	$- 3 x^{3}$	\| $+ 3 x^{3}$
$x^{5} - 7 x^{3} + 3 x^{3}$	=	0
$x^{5} - 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- 3 \cdot {(- 2)}^{3} + 2$ = $26$ ⇒ S₁( $- 2$ | $26$ )

g(0) = $- 3 \cdot 0^{3} + 2$ = $2$ ⇒ S₂(0| $2$ )

g( $2$ ) = $- 3 \cdot 2^{3} + 2$ = $- 22$ ⇒ S₃( $2$ | $- 22$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

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Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

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