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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 2 x - 2$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $x^{2} - 2 x - 2$ = -2.

$x^{2} - 2 x - 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$x^{2} - 2 x - 2 + 2$	=	0
$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $2$ gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x - 2)}^{3} - 131$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $2 {(x - 2)}^{3} - 131$ = -3.

$2 {(x - 2)}^{3} - 131$	=	$- 3$	\| $+ 131$
$2 {(x - 2)}^{3}$	=	$128$	\|: $2$
${(x - 2)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 2$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$x - 2$	=	$4$	\| $+ 2$
$x$	=	$6$

An der Stelle x₁ = $6$ gilt also f(x)= -3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 {(x^{2} - 21)}^{3} + 128$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 {(x^{2} - 21)}^{3} + 128$	=	0	\| $- 128$
$- 2 {(x^{2} - 21)}^{3}$	=	$- 128$	\|: $(- 2)$
${(x^{2} - 21)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 21$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$x^{2} - 21$	=	$4$	\| $+ 21$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 5$ |0), S₂( $5$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} + 3 x + 160$ und $g(x) =$ $3 x - 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 2 x^{4} + 3 x + 160$	=	$3 x - 2$	\| $- 160$
$- 2 x^{4} + 3 x$	=	$3 x - 162$	\| $- 3 x$
$- 2 x^{4}$	=	$- 162$	\|: $(- 2)$
$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 3$ ) = $3 \cdot (- 3) - 2$ = $- 11$ ⇒ S₁( $- 3$ | $- 11$ )

g( $3$ ) = $3 \cdot 3 - 2$ = $7$ ⇒ S₂( $3$ | $7$ )