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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 +2x -19 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also x 2 +2x -19 = 5.

x 2 +2x -19 = 5 | -5

x 2 +2x -24 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -24 ) 2⋅1

x1,2 = -2 ± 4 +96 2

x1,2 = -2 ± 100 2

x1 = -2 + 100 2 = -2 +10 2 = 8 2 = 4

x2 = -2 - 100 2 = -2 -10 2 = -12 2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -24 ) = 1+ 24 = 25

x1,2 = -1 ± 25

x1 = -1 - 5 = -6

x2 = -1 + 5 = 4

An den Stellen x1 = -6 und x2 = 4 gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 x 4 -157 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also 2 x 4 -157 = 5.

2 x 4 -157 = 5 | +157
2 x 4 = 162 |:2
x 4 = 81 | ⋅4
x1 = - 81 4 = -3
x2 = 81 4 = 3

An den Stellen x1 = -3 und x2 = 3 gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 4 - x 2 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 4 - x 2 = 0
x 2 ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -1 |0), S2(0|0), S3( 1 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 2 +4x +3 und g(x)= 5x +3 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 +4x +3 = 5x +3 | -3
x 2 +4x = 5x | -5x
x 2 +4x -5x = 0
x 2 - x = 0
x ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = 5⋅0 +3 = 3 ⇒ S1(0| 3 )

g( 1 ) = 5⋅1 +3 = 8 ⇒ S2( 1 | 8 )