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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x - 2)}^{2} \cdot (x + 1)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also ${(x - 2)}^{2} \cdot (x + 1)$ = 0.

{(x - 2)}^{2} \cdot (x + 1)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x - 2)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 2$	=	0

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = $2$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x + 2)}^{4} + 29$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $2 {(x + 2)}^{4} + 29$ = -3.

$2 {(x + 2)}^{4} + 29$	=	$- 3$	\| $- 29$
$2 {(x + 2)}^{4}$	=	$- 32$	\|: $2$
${(x + 2)}^{4}$	=	$- 16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Es gibt also keine Stelle x für die f(x)= -3 gilt.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- {(x - 5)}^{4} + 81$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- {(x - 5)}^{4} + 81$	=	0	\| $- 81$
$- {(x - 5)}^{4}$	=	$- 81$	\|: $(- 1)$
${(x - 5)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 5

- \sqrt[4]{81}

- 3

$x - 5$	=	$- 3$	\| $+ 5$
x₁	=	$2$

2. Fall

x - 5

\sqrt[4]{81}

3

$x - 5$	=	$3$	\| $+ 5$
x₂	=	$8$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $2$ |0), S₂( $8$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{4} - 2 x^{2} + x + 16$ und $g(x) =$ $- 2 x^{2} + x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{4} - 2 x^{2} + x + 16$	=	$- 2 x^{2} + x$	\| $- 16$ $+ 2 x^{2}$ $- x$
$- x^{4}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 2$ = $- 10$ ⇒ S₁( $- 2$ | $- 10$ )

g( $2$ ) = $- 2 \cdot 2^{2} + 2$ = $- 6$ ⇒ S₂( $2$ | $- 6$ )