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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + 2 x - 11$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also $x^{2} + 2 x - 11$ = 4.

x^{2} + 2 x - 11

4

- 4

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

An den Stellen x₁ = $- 5$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= 4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x - 3)}^{3} - 20$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $2 {(x - 3)}^{3} - 20$ = -4.

$2 {(x - 3)}^{3} - 20$	=	$- 4$	\| $+ 20$
$2 {(x - 3)}^{3}$	=	$16$	\|: $2$
${(x - 3)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 3$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$x - 3$	=	$2$	\| $+ 3$
$x$	=	$5$

An der Stelle x₁ = $5$ gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 {(x - 3)}^{4} - 162$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 {(x - 3)}^{4} - 162$	=	0	\| $+ 162$
$- 2 {(x - 3)}^{4}$	=	$162$	\|: $(- 2)$
${(x - 3)}^{4}$	=	$- 81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{4} - x + 80$ und $g(x) =$ $- x - 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{4} - x + 80$	=	$- x - 1$	\| $- 80$
$- x^{4} - x$	=	$- x - 81$	\| $+ x$
$- x^{4}$	=	$- 81$	\|: $(- 1)$
$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 3$ ) = $- (- 3) - 1$ = $2$ ⇒ S₁( $- 3$ | $2$ )

g( $3$ ) = $- 3 - 1$ = $- 4$ ⇒ S₂( $3$ | $- 4$ )