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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x ( x -4 ) ( x -3 ) . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also x ( x -4 ) ( x -3 ) = 0.

x ( x -4 ) ( x -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x -4 ) ( x -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

2. Fall:

x -3 = 0 | +3
x3 = 3

An den Stellen x1 = 0, x2 = 3 und x3 = 4 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - ( x -5 ) 3 +121 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also - ( x -5 ) 3 +121 = -4.

- ( x -5 ) 3 +121 = -4 | -121
- ( x -5 ) 3 = -125 |: ( -1 )
( x -5 ) 3 = 125 | ⋅3
x -5 = 125 3 = 5
x -5 = 5 | +5
x = 10

An der Stelle x1 = 10 gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 4 -16 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 4 -16 = 0 | +16
x 4 = 16 | ⋅4
x1 = - 16 4 = -2
x2 = 16 4 = 2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -2 |0), S2( 2 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 2 x 3 + x 2 -3 und g(x)= x 3 -3 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

2 x 3 + x 2 -3 = x 3 -3 | +3
2 x 3 + x 2 = x 3 | - x 3
2 x 3 - x 3 + x 2 = 0
x 3 + x 2 = 0
x 2 ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -1 ) = ( -1 ) 3 -3 = -4 ⇒ S1( -1 | -4 )

g(0) = 0 3 -3 = -3 ⇒ S2(0| -3 )