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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - x - 43$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Es gilt f(x) = -1, also $x^{2} - x - 43$ = -1.

x^{2} - x - 43

=

- 1

|

+ 1

$x^{2} - x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 42)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $42$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

An den Stellen x₁ = $- 6$ und x₂ = $7$ gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x^{2} - 41)}^{3} - 247$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $- 2 {(x^{2} - 41)}^{3} - 247$ = 3.

$- 2 {(x^{2} - 41)}^{3} - 247$	=	$3$	\| $+ 247$
$- 2 {(x^{2} - 41)}^{3}$	=	$250$	\|: $(- 2)$
${(x^{2} - 41)}^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 41$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

$x^{2} - 41$	=	$- 5$	\| $+ 41$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

An den Stellen x₁ = $- 6$ und x₂ = $6$ gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 {(3 - 2 x)}^{3} - 250$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 {(3 - 2 x)}^{3} - 250$	=	0
$- 2 {(- 2 x + 3)}^{3} - 250$	=	0	\| $+ 250$
$- 2 {(- 2 x + 3)}^{3}$	=	$250$	\|: $(- 2)$
${(- 2 x + 3)}^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 2 x + 3$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

$- 2 x + 3$	=	$- 5$	\| $- 3$
$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$4$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $4$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} + 22 x^{3} - 56 x^{2} + 4 x - 2$ und $g(x) =$ $4 x - 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 2 x^{4} + 22 x^{3} - 56 x^{2} + 4 x - 2$	=	$4 x - 2$	\| $+ 2$
$- 2 x^{4} + 22 x^{3} - 56 x^{2} + 4 x$	=	$4 x$	\| $- 4 x$
$- 2 x^{4} + 22 x^{3} - 56 x^{2} + 4 x - 4 x$	=	0
$- 2 x^{4} + 22 x^{3} - 56 x^{2}$	=	0
$2 x^{2} \cdot (- x^{2} + 11 x - 28)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 11 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 28)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 11 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 11+3}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₃ = $\frac{- 11 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 11-3}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 11 x - 28$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 11 x + 28$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $4 \cdot 0 - 2$ = $- 2$ ⇒ S₁(0| $- 2$ )

g( $4$ ) = $4 \cdot 4 - 2$ = $14$ ⇒ S₂( $4$ | $14$ )

g( $7$ ) = $4 \cdot 7 - 2$ = $26$ ⇒ S₃( $7$ | $26$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

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Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):