Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - x^{2} + 3$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $x^{4} - x^{2} + 3$ = 3.

$x^{4} - x^{2} + 3$	=	$3$	\| $- 3$
$x^{4} - x^{2} + 3 - 3$	=	0
$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ , x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= 3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x^{2} - 19)}^{3} - 23$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also $- {(x^{2} - 19)}^{3} - 23$ = 4.

$- {(x^{2} - 19)}^{3} - 23$	=	$4$	\| $+ 23$
$- {(x^{2} - 19)}^{3}$	=	$27$	\|: $(- 1)$
${(x^{2} - 19)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 19$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$x^{2} - 19$	=	$- 3$	\| $+ 19$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

An den Stellen x₁ = $- 4$ und x₂ = $4$ gilt also f(x)= 4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 {(x - 3)}^{3} + 16$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 {(x - 3)}^{3} + 16$	=	0	\| $- 16$
$- 2 {(x - 3)}^{3}$	=	$- 16$	\|: $(- 2)$
${(x - 3)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 3$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$x - 3$	=	$2$	\| $+ 3$
$x$	=	$5$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $5$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} + 3 x + 1$ und $g(x) =$ $- 5 x + 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 2 x^{3} + 3 x + 1$	=	$- 5 x + 1$	\| $- 1$
$- 2 x^{3} + 3 x$	=	$- 5 x$	\| $+ 5 x$
$- 2 x^{3} + 3 x + 5 x$	=	0
$- 2 x^{3} + 8 x$	=	0
$2 x \cdot (- x^{2} + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$- x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- 5 \cdot (- 2) + 1$ = $11$ ⇒ S₁( $- 2$ | $11$ )

g(0) = $- 5 \cdot 0 + 1$ = $1$ ⇒ S₂(0| $1$ )

g( $2$ ) = $- 5 \cdot 2 + 1$ = $- 9$ ⇒ S₃( $2$ | $- 9$ )