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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} + 8 x - 4$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $x^{4} + 8 x - 4$ = -4.

$x^{4} + 8 x - 4$	=	$- 4$	\| $+ 4$
$x^{4} + 8 x - 4 + 4$	=	0
$x^{4} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= -4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x^{2} - 41)}^{3} - 252$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $- 2 {(x^{2} - 41)}^{3} - 252$ = -2.

$- 2 {(x^{2} - 41)}^{3} - 252$	=	$- 2$	\| $+ 252$
$- 2 {(x^{2} - 41)}^{3}$	=	$250$	\|: $(- 2)$
${(x^{2} - 41)}^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 41$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

$x^{2} - 41$	=	$- 5$	\| $+ 41$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

An den Stellen x₁ = $- 6$ und x₂ = $6$ gilt also f(x)= -2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 {(x + 4)}^{3} + 54$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 {(x + 4)}^{3} + 54$	=	0	\| $- 54$
$- 2 {(x + 4)}^{3}$	=	$- 54$	\|: $(- 2)$
${(x + 4)}^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 4$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

$x + 4$	=	$3$	\| $- 4$
$x$	=	$- 1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 2 x^{2} + 64$ und $g(x) =$ $3 x^{3} - 2 x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{3} - 2 x^{2} + 64$	=	$3 x^{3} - 2 x^{2}$	\| $- 64$ $- 3 x^{3}$ $+ 2 x^{2}$
$- x^{3}$	=	$- 64$	\|: $(- 1)$
$x^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $4$ ) = $3 \cdot 4^{3} - 2 \cdot 4^{2}$ = $160$ ⇒ S₁( $4$ | $160$ )