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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x ( x -5 ) 2 · ( x -2 ) . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also x ( x -5 ) 2 · ( x -2 ) = 0.

x ( x -5 ) 2 · ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x -5 ) 2 · ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x -5 ) 2 = 0 | ⋅2
x -5 = 0
x -5 = 0 | +5
x2 = 5

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x3 = 2

An den Stellen x1 = 0, x2 = 2 und x3 = 5 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - ( 8 +3x ) 3 +126 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also - ( 8 +3x ) 3 +126 = 1.

- ( 8 +3x ) 3 +126 = 1
- ( 3x +8 ) 3 +126 = 1 | -126
- ( 3x +8 ) 3 = -125 |: ( -1 )
( 3x +8 ) 3 = 125 | ⋅3
3x +8 = 125 3 = 5
3x +8 = 5 | -8
3x = -3 |:3
x = -1

An der Stelle x1 = -1 gilt also f(x)= 1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= - x 3 + x 2 +20x mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

- x 3 + x 2 +20x = 0
x · ( - x 2 + x +20 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

- x 2 + x +20 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = -1 ± 1 2 -4 · ( -1 ) · 20 2⋅( -1 )

x2,3 = -1 ± 1 +80 -2

x2,3 = -1 ± 81 -2

x2 = -1 + 81 -2 = -1 +9 -2 = 8 -2 = -4

x3 = -1 - 81 -2 = -1 -9 -2 = -10 -2 = 5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 + x +20 = 0 |: -1

x 2 - x -20 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -20 ) = 1 4 + 20 = 1 4 + 80 4 = 81 4

x1,2 = 1 2 ± 81 4

x1 = 1 2 - 9 2 = - 8 2 = -4

x2 = 1 2 + 9 2 = 10 2 = 5

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -4 |0), S2(0|0), S3( 5 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= -3 x 2 +31x -80 und g(x)= x -5 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

-3 x 2 +31x -80 = x -5 | - x +5
-3 x 2 +30x -75 = 0 |:3

- x 2 +10x -25 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -10 ± 10 2 -4 · ( -1 ) · ( -25 ) 2⋅( -1 )

x1,2 = -10 ± 100 -100 -2

x1,2 = -10 ± 0 -2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -10 -2 = 5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +10x -25 = 0 |: -1

x 2 -10x +25 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -5 ) 2 - 25 = 25 - 25 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 5 ± 0 = 5

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( 5 ) = 5 -5 = 0 ⇒ S1( 5 |0)