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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + 2 x - 6$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Es gilt f(x) = 2, also $x^{2} + 2 x - 6$ = 2.

x^{2} + 2 x - 6

=

2

|

- 2

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

An den Stellen x₁ = $- 4$ und x₂ = $2$ gilt also f(x)= 2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(8 - 3 x)}^{3} + 13$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $- 2 {(8 - 3 x)}^{3} + 13$ = -3.

$- 2 {(8 - 3 x)}^{3} + 13$	=	$- 3$
$- 2 {(- 3 x + 8)}^{3} + 13$	=	$- 3$	\| $- 13$
$- 2 {(- 3 x + 8)}^{3}$	=	$- 16$	\|: $(- 2)$
${(- 3 x + 8)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 3 x + 8$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$- 3 x + 8$	=	$2$	\| $- 8$
$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

An der Stelle x₁ = $2$ gilt also f(x)= -3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} - 4 x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂(0|0), S₃( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $5 x^{4} - 42 x^{3} + 100 x^{2} + 3$ und $g(x) =$ $3 x^{3} + 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$5 x^{4} - 42 x^{3} + 100 x^{2} + 3$	=	$3 x^{3} + 3$	\| $- 3$
$5 x^{4} - 42 x^{3} + 100 x^{2}$	=	$3 x^{3}$	\| $- 3 x^{3}$
$5 x^{4} - 42 x^{3} - 3 x^{3} + 100 x^{2}$	=	0
$5 x^{4} - 45 x^{3} + 100 x^{2}$	=	0
$5 x^{2} (x^{2} - 9 x + 20)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₂ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₃ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $3 \cdot 0^{3} + 3$ = $3$ ⇒ S₁(0| $3$ )

g( $4$ ) = $3 \cdot 4^{3} + 3$ = $195$ ⇒ S₂( $4$ | $195$ )

g( $5$ ) = $3 \cdot 5^{3} + 3$ = $378$ ⇒ S₃( $5$ | $378$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

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Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):