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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + x - 2$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $x^{2} + x - 2$ = -2.

$x^{2} + x - 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$x^{2} + x - 2 + 2$	=	0
$x^{2} + x$	=	0
$x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x - 2)}^{4} - 86$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also ${(x - 2)}^{4} - 86$ = -5.

${(x - 2)}^{4} - 86$	=	$- 5$	\| $+ 86$
${(x - 2)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 2

- \sqrt[4]{81}

- 3

$x - 2$	=	$- 3$	\| $+ 2$
x₁	=	$- 1$

2. Fall

x - 2

\sqrt[4]{81}

3

$x - 2$	=	$3$	\| $+ 2$
x₂	=	$5$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= -5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{5} + x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{5} + x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{4} - 5 x^{3} - 161$ und $g(x) =$ $- 5 x^{3} + 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{4} - 5 x^{3} - 161$	=	$- 5 x^{3} + 1$	\| $+ 161$
$2 x^{4} - 5 x^{3}$	=	$- 5 x^{3} + 162$	\| $+ 5 x^{3}$
$2 x^{4}$	=	$162$	\|: $2$
$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 3$ ) = $- 5 \cdot {(- 3)}^{3} + 1$ = $136$ ⇒ S₁( $- 3$ | $136$ )

g( $3$ ) = $- 5 \cdot 3^{3} + 1$ = $- 134$ ⇒ S₂( $3$ | $- 134$ )