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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x ( x +1 ) 2 · ( x +3 ) . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also x ( x +1 ) 2 · ( x +3 ) = 0.

x ( x +1 ) 2 · ( x +3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x +1 ) 2 · ( x +3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x +1 ) 2 = 0 | ⋅2
x +1 = 0
x +1 = 0 | -1
x2 = -1

2. Fall:

x +3 = 0 | -3
x3 = -3

An den Stellen x1 = -3 , x2 = -1 und x3 = 0 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -2 ( x 2 -1 ) 3 +49 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also -2 ( x 2 -1 ) 3 +49 = -5.

-2 ( x 2 -1 ) 3 +49 = -5 | -49
-2 ( x 2 -1 ) 3 = -54 |: ( -2 )
( x 2 -1 ) 3 = 27 | ⋅3
x 2 -1 = 27 3 = 3
x 2 -1 = 3 | +1
x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

An den Stellen x1 = -2 und x2 = 2 gilt also f(x)= -5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= -2 x 5 +18 x 3 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

-2 x 5 +18 x 3 = 0
2 x 3 · ( - x 2 +9 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

- x 2 +9 = 0 | -9
- x 2 = -9 |: ( -1 )
x 2 = 9 | ⋅2
x2 = - 9 = -3
x3 = 9 = 3

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -3 |0), S2(0|0), S3( 3 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 2 x 2 -3x und g(x)= x 2 -5x .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

2 x 2 -3x = x 2 -5x | - ( x 2 -5x )
2 x 2 - x 2 -3x +5x = 0
x 2 +2x = 0
x · ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -2 ) = ( -2 ) 2 -5⋅( -2 ) = 14 ⇒ S1( -2 | 14 )

g(0) = 0 2 -5⋅0 = 0 ⇒ S2(0|0)