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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{6} - x^{3} + 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $x^{6} - x^{3} + 5$ = 5.

$x^{6} - x^{3} + 5$	=	$5$	\| $- 5$
$x^{6} - x^{3} + 5 - 5$	=	0
$x^{6} - x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $1$ gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- x^{4} + 86$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $- x^{4} + 86$ = 5.

$- x^{4} + 86$	=	$5$	\| $- 86$
$- x^{4}$	=	$- 81$	\|: $(- 1)$
$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

An den Stellen x₁ = $- 3$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= 5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 {(x - 1)}^{4} + 32$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 {(x - 1)}^{4} + 32$	=	0	\| $- 32$
$- 2 {(x - 1)}^{4}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
${(x - 1)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 1

- \sqrt[4]{16}

- 2

$x - 1$	=	$- 2$	\| $+ 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall

x - 1

\sqrt[4]{16}

2

$x - 1$	=	$2$	\| $+ 1$
x₂	=	$3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂( $3$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 250$ und $g(x) =$ $- 5 x^{2} + 5 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 250$	=	$- 5 x^{2} + 5 x$	\| $- 250$ $+ 5 x^{2}$ $- 5 x$
$2 x^{3}$	=	$- 250$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 5$ ) = $- 5 \cdot {(- 5)}^{2} + 5 \cdot (- 5)$ = $- 150$ ⇒ S₁( $- 5$ | $- 150$ )