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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} + x^{2} - 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $x^{3} + x^{2} - 1$ = -1.

$x^{3} + x^{2} - 1$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$x^{3} + x^{2} - 1 + 1$	=	0
$x^{3} + x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(4 - 2 x)}^{3} - 68$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also ${(4 - 2 x)}^{3} - 68$ = -4.

${(4 - 2 x)}^{3} - 68$	=	$- 4$
${(- 2 x + 4)}^{3} - 68$	=	$- 4$	\| $+ 68$
${(- 2 x + 4)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 2 x + 4$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$- 2 x + 4$	=	$4$	\| $- 4$
$- 2 x$	=	0	\|:( $- 2$ )
$x$	=	0

An der Stelle x₁ = 0 gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 {(x + 4)}^{3} - 54$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 {(x + 4)}^{3} - 54$	=	0	\| $+ 54$
$2 {(x + 4)}^{3}$	=	$54$	\|: $2$
${(x + 4)}^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 4$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

$x + 4$	=	$3$	\| $- 4$
$x$	=	$- 1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ und $g(x) =$ $5 x - 5$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$	=	$5 x - 5$	\| $+ 5$
$x^{3} - x^{2} + 5 x$	=	$5 x$	\| $- 5 x$
$x^{3} - x^{2} + 5 x - 5 x$	=	0
$x^{3} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $5 \cdot 0 - 5$ = $- 5$ ⇒ S₁(0| $- 5$ )

g( $1$ ) = $5 \cdot 1 - 5$ = 0 ⇒ S₂( $1$ |0)