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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $(x - 1) (x + 1)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $(x - 1) (x + 1)$ = 0.

(x - 1) (x + 1)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = $1$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x - 2)}^{4} + 28$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $- 2 {(x - 2)}^{4} + 28$ = -4.

$- 2 {(x - 2)}^{4} + 28$	=	$- 4$	\| $- 28$
$- 2 {(x - 2)}^{4}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
${(x - 2)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 2

- \sqrt[4]{16}

- 2

$x - 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
x₁	=	0

2. Fall

x - 2

\sqrt[4]{16}

2

$x - 2$	=	$2$	\| $+ 2$
x₂	=	$4$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $4$ gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} - x^{2}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂(0|0), S₃( $1$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} + 3 x^{3} - 5 x^{2}$ und $g(x) =$ $3 x^{3} + 3 x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} + 3 x^{3} - 5 x^{2}$	=	$3 x^{3} + 3 x^{2}$	\| $- (3 x^{3} + 3 x^{2})$
$x^{5} + 3 x^{3} - 3 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x^{2}$	=	0
$x^{5} - 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $3 \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0^{2}$ = 0 ⇒ S₁(0|0)

g( $2$ ) = $3 \cdot 2^{3} + 3 \cdot 2^{2}$ = $36$ ⇒ S₂( $2$ | $36$ )