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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{6} + x^{3} - 2$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $x^{6} + x^{3} - 2$ = -2.

$x^{6} + x^{3} - 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$x^{6} + x^{3} - 2 + 2$	=	0
$x^{6} + x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(3 - 2 x)}^{3} + 30$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also ${(3 - 2 x)}^{3} + 30$ = 3.

${(3 - 2 x)}^{3} + 30$	=	$3$
${(- 2 x + 3)}^{3} + 30$	=	$3$	\| $- 30$
${(- 2 x + 3)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 2 x + 3$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$- 2 x + 3$	=	$- 3$	\| $- 3$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

An der Stelle x₁ = $3$ gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} + x^{3}$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} + x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x$ und $g(x) =$ $- 2 x^{3} - 3 x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x$	=	$- 2 x^{3} - 3 x^{2}$	\| $- (- 2 x^{3} - 3 x^{2})$
$- 2 x^{3} + 2 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x^{2} - 2 x$	=	0
$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 2 \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{2}$ = 0 ⇒ S₁(0|0)

g( $2$ ) = $- 2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2^{2}$ = $- 28$ ⇒ S₂( $2$ | $- 28$ )