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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -6x -8 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also x 2 -6x -8 = -1.

x 2 -6x -8 = -1 | +1

x 2 -6x -7 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +6 ± ( -6 ) 2 -4 · 1 · ( -7 ) 2⋅1

x1,2 = +6 ± 36 +28 2

x1,2 = +6 ± 64 2

x1 = 6 + 64 2 = 6 +8 2 = 14 2 = 7

x2 = 6 - 64 2 = 6 -8 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -3 ) 2 - ( -7 ) = 9+ 7 = 16

x1,2 = 3 ± 16

x1 = 3 - 4 = -1

x2 = 3 + 4 = 7

An den Stellen x1 = -1 und x2 = 7 gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - ( x +5 ) 4 -79 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

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Es gilt f(x) = 2, also - ( x +5 ) 4 -79 = 2.

- ( x +5 ) 4 -79 = 2 | +79
- ( x +5 ) 4 = 81 |: ( -1 )
( x +5 ) 4 = -81 | ⋅4

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Es gibt also keine Stelle x für die f(x)= 2 gilt.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 6 +8 x 3 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 6 +8 x 3 = 0
x 3 · ( x 3 +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 3 +8 = 0 | -8
x 3 = -8 | ⋅3
x2 = - 8 3 = -2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -2 |0), S2(0|0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 6 + x 3 +5x -2 und g(x)= 5x -2 .

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An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 6 + x 3 +5x -2 = 5x -2 | +2
x 6 + x 3 +5x = 5x | -5x
x 6 + x 3 +5x -5x = 0
x 6 + x 3 = 0
x 3 · ( x 3 +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 3 +1 = 0 | -1
x 3 = -1 | ⋅3
x2 = - 1 3 = -1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -1 ) = 5⋅( -1 ) -2 = -7 ⇒ S1( -1 | -7 )

g(0) = 5⋅0 -2 = -2 ⇒ S2(0| -2 )