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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -12x +36 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also x 2 -12x +36 = 1.

x 2 -12x +36 = 1 | -1

x 2 -12x +35 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +12 ± ( -12 ) 2 -4 · 1 · 35 2⋅1

x1,2 = +12 ± 144 -140 2

x1,2 = +12 ± 4 2

x1 = 12 + 4 2 = 12 +2 2 = 14 2 = 7

x2 = 12 - 4 2 = 12 -2 2 = 10 2 = 5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -6 ) 2 - 35 = 36 - 35 = 1

x1,2 = 6 ± 1

x1 = 6 - 1 = 5

x2 = 6 + 1 = 7

An den Stellen x1 = 5 und x2 = 7 gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ( x 2 -5 ) 3 -61 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also ( x 2 -5 ) 3 -61 = 3.

( x 2 -5 ) 3 -61 = 3 | +61
( x 2 -5 ) 3 = 64 | ⋅3
x 2 -5 = 64 3 = 4
x 2 -5 = 4 | +5
x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

An den Stellen x1 = -3 und x2 = 3 gilt also f(x)= 3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 5 - x 3 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 5 - x 3 = 0
x 3 · ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -1 |0), S2(0|0), S3( 1 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 3 -2 x 2 - x +5 und g(x)= -x +5 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 3 -2 x 2 - x +5 = -x +5 | -5
x 3 -2 x 2 - x = -x | + x
x 3 -2 x 2 - x + x = 0
x 3 -2 x 2 = 0
x 2 · ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = -0 +5 = 5 ⇒ S1(0| 5 )

g( 2 ) = -2 +5 = 3 ⇒ S2( 2 | 3 )