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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 6 x + 8$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Es gilt f(x) = 3, also $x^{2} - 6 x + 8$ = 3.

x^{2} - 6 x + 8

=

3

|

- 3

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

An den Stellen x₁ = $1$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= 3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x - 4)}^{4} - 84$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also ${(x - 4)}^{4} - 84$ = -3.

${(x - 4)}^{4} - 84$	=	$- 3$	\| $+ 84$
${(x - 4)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 4

=

- \sqrt[4]{81}

=

- 3

$x - 4$	=	$- 3$	\| $+ 4$
x₁	=	$1$

2. Fall

x - 4

=

\sqrt[4]{81}

=

3

$x - 4$	=	$3$	\| $+ 4$
x₂	=	$7$

An den Stellen x₁ = $1$ und x₂ = $7$ gilt also f(x)= -3.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- {(3 - 2 x)}^{3} - 27$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- {(3 - 2 x)}^{3} - 27$	=	0
$- {(- 2 x + 3)}^{3} - 27$	=	0	\| $+ 27$
$- {(- 2 x + 3)}^{3}$	=	$27$	\|: $(- 1)$
${(- 2 x + 3)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 2 x + 3$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$- 2 x + 3$	=	$- 3$	\| $- 3$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $3$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} + x^{2} + 27$ und $g(x) =$ $x^{2} - 5$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 2 x^{4} + x^{2} + 27$	=	$x^{2} - 5$	\| $- 27$
$- 2 x^{4} + x^{2}$	=	$x^{2} - 32$	\| $- x^{2}$
$- 2 x^{4}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - 5$ = $- 1$ ⇒ S₁( $- 2$ | $- 1$ )

g( $2$ ) = $2^{2} - 5$ = $- 1$ ⇒ S₂( $2$ | $- 1$ )

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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

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