Mathebattle EduRandomtasks

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - x^{3} - 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Es gilt f(x) = -5, also $x^{4} - x^{3} - 5$ = -5.

$x^{4} - x^{3} - 5$	=	$- 5$	\| $+ 5$
$x^{4} - x^{3} - 5 + 5$	=	0
$x^{4} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $1$ gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(4 + 3 x)}^{3} - 254$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $- 2 {(4 + 3 x)}^{3} - 254$ = -4.

$- 2 {(4 + 3 x)}^{3} - 254$	=	$- 4$
$- 2 {(3 x + 4)}^{3} - 254$	=	$- 4$	\| $+ 254$
$- 2 {(3 x + 4)}^{3}$	=	$250$	\|: $(- 2)$
${(3 x + 4)}^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x + 4$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

$3 x + 4$	=	$- 5$	\| $- 4$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

An der Stelle x₁ = $- 3$ gilt also f(x)= -4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $5 x^{3} - 40 x^{2} + 60 x$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$5 x^{3} - 40 x^{2} + 60 x$	=	0
$5 x (x^{2} - 8 x + 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₂ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₃ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $2$ |0), S₃( $6$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} - 3 x + 132$ und $g(x) =$ $- 3 x + 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 2 x^{3} - 3 x + 132$	=	$- 3 x + 4$	\| $- 132$
$- 2 x^{3} - 3 x$	=	$- 3 x - 128$	\| $+ 3 x$
$- 2 x^{3}$	=	$- 128$	\|: $(- 2)$
$x^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $4$ ) = $- 3 \cdot 4 + 4$ = $- 8$ ⇒ S₁( $4$ | $- 8$ )

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Schnittpunkte berechnen