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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 4 x - 17$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also $x^{2} - 4 x - 17$ = -5.

x^{2} - 4 x - 17

- 5

+ 5

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4\pm\sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4\pm\sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4\pm\sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = $6$ gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x - 2)}^{3} - 246$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also $- 2 {(x - 2)}^{3} - 246$ = 4.

$- 2 {(x - 2)}^{3} - 246$	=	$4$	\| $+ 246$
$- 2 {(x - 2)}^{3}$	=	$250$	\|: $(- 2)$
${(x - 2)}^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 2$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

$x - 2$	=	$- 5$	\| $+ 2$
$x$	=	$- 3$

An der Stelle x₁ = $- 3$ gilt also f(x)= 4.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} - 250$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 x^{3} - 250$	=	0	\| $+ 250$
$- 2 x^{3}$	=	$250$	\|: $(- 2)$
$x^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 5$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 4 x^{4} + 4 x^{2} + 5 x - 3$ und $g(x) =$ $5 x - 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 4 x^{4} + 4 x^{2} + 5 x - 3$	=	$5 x - 3$	\| $+ 3$
$- 4 x^{4} + 4 x^{2} + 5 x$	=	$5 x$	\| $- 5 x$
$- 4 x^{4} + 4 x^{2} + 5 x - 5 x$	=	0
$- 4 x^{4} + 4 x^{2}$	=	0
$- 4 x^{2} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $5 \cdot (- 1) - 3$ = $- 8$ ⇒ S₁( $- 1$ | $- 8$ )

g(0) = $5 \cdot 0 - 3$ = $- 3$ ⇒ S₂(0| $- 3$ )

g( $1$ ) = $5 \cdot 1 - 3$ = $2$ ⇒ S₃( $1$ | $2$ )