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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -5x -17 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also x 2 -5x -17 = -3.

x 2 -5x -17 = -3 | +3

x 2 -5x -14 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · ( -14 ) 2⋅1

x1,2 = +5 ± 25 +56 2

x1,2 = +5 ± 81 2

x1 = 5 + 81 2 = 5 +9 2 = 14 2 = 7

x2 = 5 - 81 2 = 5 -9 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 5 2 ) 2 - ( -14 ) = 25 4 + 14 = 25 4 + 56 4 = 81 4

x1,2 = 5 2 ± 81 4

x1 = 5 2 - 9 2 = - 4 2 = -2

x2 = 5 2 + 9 2 = 14 2 = 7

An den Stellen x1 = -2 und x2 = 7 gilt also f(x)= -3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 4 -82 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also x 4 -82 = -1.

x 4 -82 = -1 | +82
x 4 = 81 | ⋅4
x1 = - 81 4 = -3
x2 = 81 4 = 3

An den Stellen x1 = -3 und x2 = 3 gilt also f(x)= -1.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 5 -8 x 2 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 5 -8 x 2 = 0
x 2 · ( x 3 -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 3 -8 = 0 | +8
x 3 = 8 | ⋅3
x2 = 8 3 = 2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1(0|0), S2( 2 |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= -2 x 3 + x 2 +3x +250 und g(x)= x 2 +3x .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

-2 x 3 + x 2 +3x +250 = x 2 +3x | -250 - x 2 -3x
-2 x 3 = -250 |: ( -2 )
x 3 = 125 | ⋅3
x = 125 3 = 5

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( 5 ) = 5 2 +3⋅5 = 40 ⇒ S1( 5 | 40 )