Mathebattle EduRandomtasks

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - 4 x^{2} - 2$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Es gilt f(x) = -2, also $x^{4} - 4 x^{2} - 2$ = -2.

$x^{4} - 4 x^{2} - 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$x^{4} - 4 x^{2} - 2 + 2$	=	0
$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $2$ gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(- 4 + 2 x)}^{3} + 3$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also $- {(- 4 + 2 x)}^{3} + 3$ = -5.

$- {(- 4 + 2 x)}^{3} + 3$	=	$- 5$
$- {(2 x - 4)}^{3} + 3$	=	$- 5$	\| $- 3$
$- {(2 x - 4)}^{3}$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
${(2 x - 4)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$2 x - 4$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$2 x - 4$	=	$2$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

An der Stelle x₁ = $3$ gilt also f(x)= -5.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 64$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{3} + 64$	=	0	\| $- 64$
$x^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 4$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 5 x^{4} + 36 x^{3} - 80 x^{2} - 1$ und $g(x) =$ $- 4 x^{3} - 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 5 x^{4} + 36 x^{3} - 80 x^{2} - 1$	=	$- 4 x^{3} - 1$	\| $+ 1$
$- 5 x^{4} + 36 x^{3} - 80 x^{2}$	=	$- 4 x^{3}$	\| $+ 4 x^{3}$
$- 5 x^{4} + 36 x^{3} + 4 x^{3} - 80 x^{2}$	=	0
$- 5 x^{4} + 40 x^{3} - 80 x^{2}$	=	0
$5 x^{2} \cdot (- x^{2} + 8 x - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 8 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 16$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 4 \cdot 0^{3} - 1$ = $- 1$ ⇒ S₁(0| $- 1$ )

g( $4$ ) = $- 4 \cdot 4^{3} - 1$ = $- 257$ ⇒ S₂( $4$ | $- 257$ )

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Nullstellen berechnen

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):