Mathebattle EduRandomtasks

Dividieren (einfach)

Beispiel:

Berechne.

$\frac{7}{9}$ : $\frac{3}{4}$

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Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert:

$\frac{7}{9}$ : $\frac{3}{4}$

= $\frac{7}{9}$ ⋅ $\frac{4}{3}$

Zwei Brüche multipliziert man, indem man die beiden Zähler und die beiden Nenner jeweils miteinander multipliziert:

= $\frac{7 ⋅ 4}{9 ⋅ 3}$

= $\frac{28}{27}$

Bruch durch Zahl (einfach)

Beispiel:

Berechne.

$\frac{6}{7}$ : 5

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Einen Bruch dividiert man durch eine Zahl, in dem man die Zahl in den Nenner reinmultipliziert:

= $\frac{6}{7 ⋅ 5}$

= $\frac{6}{35}$

Dividieren (mit kürzen)

Beispiel:

Berechne. Kürze dabei bereits vor dem Multiplizieren:

$\frac{3}{8}$ : $\frac{3}{4}$

Der Bruch muss vollständig gekürzt eingegeben werden!

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Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert:

= $\frac{3}{8}$ : $\frac{3}{4}$

= $\frac{3}{8}$ ⋅ $\frac{4}{3}$

Zwei Brüche multipliziert man, in dem man die beiden Zähler und die beiden Nenner jeweils miteinander multipliziert:

= $\frac{3 ⋅ 4}{8 ⋅ 3}$

Bevor wir jetzt aber die Produkte im Zähler und Nenner ausmultiplizieren, sollten wir erst mal schauen, ob wir nicht kürzen können:

= $\frac{3 \cdot 4}{8 \cdot 3}$

Und da sowohl 4 als auch 8 die 4 als Teiler haben, können wir also diagonal mit 4 kürzen:

= $\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Und da sowohl 3 als auch 3 die 3 als Teiler hat, können wir also auch diagonal mit 3 kürzen:

= $\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

= $\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

= $\frac{1}{2}$

Dividieren (auch negative)

Beispiel:

Berechne. Kürze dabei bereits vor dem Multiplizieren:

$\frac{5}{6}$ : $\frac{3}{14}$

Der Bruch muss vollständig gekürzt eingegeben werden!

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Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert:

= $\frac{5}{6}$ : $\frac{3}{14}$

= $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{14}{3}$

Zwei Brüche multipliziert man, in dem man die beiden Zähler und die beiden Nenner jeweils miteinander multipliziert:

= $\frac{5 ⋅ 14}{6 ⋅ 3}$

Bevor wir jetzt aber die Produkte im Zähler und Nenner ausmultiplizieren, sollten wir erst mal schauen, ob wir nicht kürzen können:

= $\frac{5 \cdot 14}{6 \cdot 3}$

Und da sowohl 14 als auch 6 die 2 als Teiler haben, können wir also diagonal mit 2 kürzen:

= $\frac{5 \cdot 7}{3 \cdot 3}$

= $\frac{35}{9}$

Bruch durch Zahl (kürzen)

Beispiel:

Berechne: $\frac{7}{5}$ : 21

Gib den Bruch vollständig gekürzt ein!

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Einen Bruch dividiert man durch eine Zahl, in dem man die Zahl in den Nenner reinmultipliziert:

= $\frac{7}{5 ⋅21}$

Sowohl im Zähler als auch im Nenner kann man durch 7 teilen:

= $\frac{1 ⋅7}{5 ⋅3⋅7}$

= $\frac{1}{5 ⋅3}$

= $\frac{1}{15}$

Dividieren gemischte Brüche (mit kürzen)

Beispiel:

Berechne. Kürze dabei bereits vor dem Multiplizieren:

$- 1 \frac{5}{13}$ : $2 \frac{1}{4}$

Der Bruch muss vollständig gekürzt eingegeben werden!

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Da wir die Brüche verrechnen möchten, sollten wir die gemischten Brüche unbedingt erstmal in echte Brüche umwandeln:

$- 1 \frac{5}{13}$ = $- (1 + \frac{5}{13})$ = $- (\frac{13}{13} + \frac{5}{13})$ = $- \frac{13 + 5}{13}$ = $- \frac{18}{13}$

$2 \frac{1}{4}$ = $2 + \frac{1}{4}$ = $\frac{8}{4} + \frac{1}{4}$ = $\frac{8 + 1}{4}$ = $\frac{9}{4}$

Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert:

= $- 1 \frac{5}{13}$ : $2 \frac{1}{4}$

= $- \frac{18}{13}$ : $\frac{9}{4}$

= $- \frac{18}{13}$ ⋅ $\frac{4}{9}$

Zwei Brüche multipliziert man, in dem man die beiden Zähler und die beiden Nenner jeweils miteinander multipliziert:

Zuvor sollten wir uns aber noch Gedanken machen welches Vorzeichen denn der Ergebnisbruch hat.
Wie bei den ganzen Zahlen gilt auch hier : "Minus mal Plus = Minus". Unser Ergebnisbruch ist somit negativ.

= $- \frac{18}{13}$ ⋅ $\frac{4}{9}$

= $-$ $\frac{18 ⋅ 4}{13 ⋅ 9}$

Bevor wir jetzt aber die Produkte im Zähler und Nenner ausmultiplizieren, sollten wir erst mal schauen, ob wir nicht kürzen können:

Und da sowohl 18 als auch 9 die 9 als Teiler hat, können wir also auch diagonal mit 9 kürzen:

= $-$ $\frac{18 \cdot 4}{13 \cdot 9}$

= $-$ $\frac{2 \cdot 4}{13 \cdot 1}$

= $- \frac{8}{13}$

Zahl durch Bruch

Beispiel:

Berechne.

$3$ : $\frac{5}{4}$

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Wir können hier die natürliche (ganze) Zahl 3 einfach auch als Bruch schreiben: 3 = $\frac{3}{1}$ :

Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert:

$\frac{3}{1}$ : $\frac{5}{4}$

= $\frac{3}{1}$ ⋅ $\frac{4}{5}$

Zwei Brüche multipliziert man, indem man die beiden Zähler und die beiden Nenner jeweils miteinander multipliziert:

= $\frac{3 ⋅ 4}{1 ⋅ 5}$

= $\frac{12}{5}$

Multiplikation, Division rückwärts

Beispiel:

Welcher Bruch muss für das Kästchen ⬜ stehen?

⬜ ⋅ $\frac{8}{3}$ = $- 2$

Der Bruch muss vollständig gekürzt eingegeben werden!

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Wenn ⬜ ⋅ $\frac{8}{3}$ = $- 2$ ist, muss $- 2$ doch gerade das $\frac{8}{3}$ -fache vom Kästchen ⬜ sein. Es gilt also ⬜ = $- 2$ : $\frac{8}{3}$

=> ⬜ = $- 2$ ⋅ $\frac{3}{8}$

$- 2$ $\cdot$ $\frac{3}{8}$

= $- \frac{2 \cdot 3}{1 \cdot 8}$

= $- \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 4}$

= $- \frac{3}{4}$

Probe:

$- \frac{3}{4}$ $\cdot$ $\frac{8}{3}$ = $- \frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 3}$ = $- \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 1}$ = $- 2$

Doppelbruch

Beispiel:

Berechne: $\frac{\frac{5}{6}}{\frac{11}{12}}$

Der Bruch muss vollständig gekürzt eingegeben werden!

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Der mittlere Bruchstrich des Doppelbruchs kann ja einfach als ein " : " gesehen werden:

$\frac{\frac{5}{6}}{\frac{11}{12}}$ = $\frac{5}{6}$ : $\frac{11}{12}$

Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert:

= $\frac{\frac{5}{6}}{\frac{11}{12}}$

= $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{12}{11}$

Zwei Brüche multipliziert man, in dem man die beiden Zähler und die beiden Nenner jeweils miteinander multipliziert:

= $\frac{5 ⋅ 12}{6 ⋅ 11}$

Bevor wir jetzt aber die Produkte im Zähler und Nenner ausmultiplizieren, sollten wir erst mal schauen, ob wir nicht kürzen können:

= $\frac{5 \cdot 12}{6 \cdot 11}$

Und da sowohl 12 als auch 6 die 6 als Teiler haben, können wir also diagonal mit 6 kürzen:

= $\frac{5 \cdot 2}{1 \cdot 11}$

= $\frac{10}{11}$

Doppelbruch (komplexer)

Beispiel:

Vereinfache den Doppelbruch bis er vollständig gekürzt ist: $\frac{\frac{4}{15} \cdot 21}{9 \cdot \frac{7}{30}}$

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$\frac{\frac{4}{15} \cdot 21}{9 \cdot \frac{7}{30}}$

Zuerst schauen wir mal, ob man im Zähler und Nenner diagonal kürzen kann:

= $\frac{\frac{4}{5} \cdot 7}{3 \cdot \frac{7}{10}}$

= $\frac{\frac{28}{5}}{\frac{21}{10}}$

Den Doppelbruch lösen wir wieder auf, indem wir den Zählerbruch mit dem Kehrbruch des Nennerbruchs multiplizieren:

= $\frac{28}{5} \cdot \frac{10}{21}$

Jetzt können wir wieder diagonal kürzen:

= $4 \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{8}{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Dividieren (einfach)

Bruch durch Zahl (einfach)

Dividieren (mit kürzen)

Dividieren (auch negative)

Bruch durch Zahl (kürzen)

Dividieren gemischte Brüche (mit kürzen)

Zahl durch Bruch

Multiplikation, Division rückwärts

Doppelbruch

Doppelbruch (komplexer)