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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x}$ = $e^{2}$

$e^{x}$ = $e^{2}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

x

=

2

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 8 e^{- 5 x} + 3) \cdot (x^{3} - 16 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 8 e^{- 5 x} + 3) (x^{3} - 16 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 8 e^{- 5 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 8 e^{- 5 x}$	=	$- 3$	\|: $- 8$
$e^{- 5 x}$	=	$\frac{3}{8}$	\|ln(⋅)
$- 5 x$	=	$\ln (\frac{3}{8})$	\|: $- 5$
x₁	=	$- \frac{1}{5} \ln (\frac{3}{8})$	≈ 0.1962

2. Fall:

$x^{3} - 16 x$	=	0
$x (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; 0; $- \frac{1}{5} \ln (\frac{3}{8})$ ; $4$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- e^{6 x}$ = $- 3 e^{x}$

Lösung einblenden

$- e^{6 x}$	=	$- 3 e^{x}$	\| $+ 3 e^{x}$
$- e^{6 x} + 3 e^{x}$	=	0
$(- e^{5 x} + 3) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- e^{5 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- e^{5 x}$	=	$- 3$	\|: $- 1$
$e^{5 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (3)$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (3)$	≈ 0.2197

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{5} \ln (3)$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 9 e^{x} + 14$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 9 e^{x} + 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

L={ $\ln (2)$ ; $\ln (7)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{x} - 5 - 6 e^{- x}$ = 0

Lösung einblenden

e^{x} - 5 - 6 e^{- x}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 6 e^{- x} - 5$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} - 5 e^{x} - 6$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} x^{4} - 16 \cdot e^{3 x} x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} x^{4} - 16 \cdot e^{3 x} x^{2}$	=	0
$x^{4} \cdot e^{3 x} - 16 x^{2} \cdot e^{3 x}$	=	0
$(x^{4} - 16 x^{2}) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4} - 16 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₃	=	$\sqrt{16}$	= $4$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ ; 0; $4$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt