Mathebattle EduRandomtasks

Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{3 x - 7}$ = $e^{2}$

$e^{3 x - 7}$ = $e^{2}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$3 x - 7$	=	$2$	\| $+ 7$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 e^{5 x}$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- 6 e^{5 x}$	=	$- 7$	\|: $- 6$
$e^{5 x}$	=	$\frac{7}{6}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{7}{6})$	\|: $5$
$x$	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{7}{6})$	≈ 0.0308

L={ $\frac{1}{5} \ln (\frac{7}{6})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 e^{2 x}$ = $- 2 e^{- x}$

Lösung einblenden

$- 4 e^{2 x}$	=	$- 2 e^{- x}$	\| $+ 2 e^{- x}$
$- 4 e^{2 x} + 2 e^{- x}$	=	0
$2 (- 2 e^{3 x} + 1) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 e^{3 x} + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 2 e^{3 x}$	=	$- 1$	\|: $- 2$
$e^{3 x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{1}{2})$	≈ -0.231

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (\frac{1}{2})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 5 e^{x} + 6$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 5 e^{x} + 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

L={ $\ln (2)$ ; $\ln (3)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + 2 e^{3 x} - 8 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} + 2 e^{3 x} - 8 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + 2 e^{x} - 8) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 2 e^{x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 e^{2 x} + 5$ = 0

Lösung einblenden

$- 6 e^{2 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 6 e^{2 x}$	=	$- 5$	\|: $- 6$
$e^{2 x}$	=	$\frac{5}{6}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{5}{6})$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{5}{6})$	≈ -0.0912

L={ $\frac{1}{2} \ln (\frac{5}{6})$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt