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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{2 x - 2}$ = $e^{2}$

$e^{2 x - 2}$ = $e^{2}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$2 x - 2$	=	$2$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 e^{5 x}$ = $- 4$

Lösung einblenden

$- 7 e^{5 x}$	=	$- 4$	\|: $- 7$
$e^{5 x}$	=	$\frac{4}{7}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{4}{7})$	\|: $5$
$x$	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{4}{7})$	≈ -0.1119

L={ $\frac{1}{5} \ln (\frac{4}{7})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 e^{4 x}$ = $- 4 e^{- x}$

Lösung einblenden

$- 8 e^{4 x}$	=	$- 4 e^{- x}$	\| $+ 4 e^{- x}$
$- 8 e^{4 x} + 4 e^{- x}$	=	0
$4 (- 2 e^{5 x} + 1) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 e^{5 x} + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 2 e^{5 x}$	=	$- 1$	\|: $- 2$
$e^{5 x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{1}{2})$	≈ -0.1386

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{5} \ln (\frac{1}{2})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 4 e^{x} - 12$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 4 e^{x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 5 e^{3 x} - 14 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} - 5 e^{3 x} - 14 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 5 e^{x} - 14) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 5 e^{x} - 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 e^{- 6 x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

$9 e^{- 6 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$9 e^{- 6 x}$	=	$6$	\|: $9$
$e^{- 6 x}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 6$
$x$	=	$- \frac{1}{6} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 0.0676

L={ $- \frac{1}{6} \ln (\frac{2}{3})$ }

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt