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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x + 13}$ = $e^{2}$

$e^{x + 13}$ = $e^{2}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x + 13$	=	$2$	\| $- 13$
$x$	=	$- 11$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 e^{2 x} + 5$ = 0

Lösung einblenden

$- 4 e^{2 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 4 e^{2 x}$	=	$- 5$	\|: $- 4$
$e^{2 x}$	=	$\frac{5}{4}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{5}{4})$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{5}{4})$	≈ 0.1116

L={ $\frac{1}{2} \ln (\frac{5}{4})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 e^{- 2 x}$ = $6 e^{- 5 x}$

Lösung einblenden

$2 e^{- 2 x}$	=	$6 e^{- 5 x}$	\| $- 6 e^{- 5 x}$
$2 e^{- 2 x} - 6 e^{- 5 x}$	=	0
$2 (e^{3 x} - 3) \cdot e^{- 5 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{3 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

2. Fall:

e^{- 5 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 2 e^{x} - 3$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 2 e^{x} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 10$ = 0

Lösung einblenden

e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 e^{- 3 x} + 5$ = 0

Lösung einblenden

$- 7 e^{- 3 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 7 e^{- 3 x}$	=	$- 5$	\|: $- 7$
$e^{- 3 x}$	=	$\frac{5}{7}$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (\frac{5}{7})$	\|: $- 3$
$x$	=	$- \frac{1}{3} \ln (\frac{5}{7})$	≈ 0.1122

L={ $- \frac{1}{3} \ln (\frac{5}{7})$ }

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt