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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x + \frac{23}{2}}$ = $\sqrt{e}$

$e^{x + \frac{23}{2}}$ = $\sqrt{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x + \frac{23}{2}}$ = $e^{\frac{1}{2}}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x + \frac{23}{2}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{23}{2})$	=	$1$
$2 x + 23$	=	$1$	\| $- 23$
$2 x$	=	$- 22$	\|: $2$
$x$	=	$- 11$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 e^{5 x}$ = $- 5$

Lösung einblenden

$- 5 e^{5 x}$	=	$- 5$	\|: $- 5$
$e^{5 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	0	\|: $5$
$x$	=	0	≈ 0

L={0}

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 e^{6 x}$ = $4 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$9 e^{6 x}$	=	$4 e^{2 x}$	\| $- 4 e^{2 x}$
$9 e^{6 x} - 4 e^{2 x}$	=	0
$(9 e^{4 x} - 4) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{4 x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$9 e^{4 x}$	=	$4$	\|: $9$
$e^{4 x}$	=	$\frac{4}{9}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{4}{9})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{4}{9})$	≈ -0.2027

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{4}{9})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 6 e^{x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 6 e^{x} - 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 5 e^{4 x} - 14 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} - 5 e^{4 x} - 14 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 5 e^{2 x} - 14) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 5 e^{2 x} - 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 9 e^{4 x} + 5) \cdot (x - 3)$ = 0

Lösung einblenden

(- 9 e^{4 x} + 5) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 9 e^{4 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 9 e^{4 x}$	=	$- 5$	\|: $- 9$
$e^{4 x}$	=	$\frac{5}{9}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{5}{9})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{5}{9})$	≈ -0.1469

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{5}{9})$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt