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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x + \frac{11}{2}}$ = $\sqrt{e}$

$e^{x + \frac{11}{2}}$ = $\sqrt{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x + \frac{11}{2}}$ = $e^{\frac{1}{2}}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x + \frac{11}{2}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{11}{2})$	=	$1$
$2 x + 11$	=	$1$	\| $- 11$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 e^{- 6 x}$ = $5$

Lösung einblenden

$4 e^{- 6 x}$	=	$5$	\|: $4$
$e^{- 6 x}$	=	$\frac{5}{4}$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	$\ln (\frac{5}{4})$	\|: $- 6$
$x$	=	$- \frac{1}{6} \ln (\frac{5}{4})$	≈ -0.0372

L={ $- \frac{1}{6} \ln (\frac{5}{4})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 e^{2 x}$ = $3 e^{- x}$

Lösung einblenden

$4 e^{2 x}$	=	$3 e^{- x}$	\| $- 3 e^{- x}$
$4 e^{2 x} - 3 e^{- x}$	=	0
$(4 e^{3 x} - 3) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$4 e^{3 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$4 e^{3 x}$	=	$3$	\|: $4$
$e^{3 x}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{3}{4})$	≈ -0.0959

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (\frac{3}{4})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 3 e^{x} - 10$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 3 e^{x} - 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 3 e^{4 x} - 4 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} + 3 e^{4 x} - 4 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 4) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} x^{4} - 9 \cdot e^{3 x} x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} x^{4} - 9 \cdot e^{3 x} x^{2}$	=	0
$x^{4} \cdot e^{3 x} - 9 x^{2} \cdot e^{3 x}$	=	0
$(x^{4} - 9 x^{2}) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4} - 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt