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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{6 x - 13}$ = $\frac{1}{e}$

$e^{6 x - 13}$ = $\frac{1}{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{6 x - 13}$ = $e^{- 1}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$6 x - 13$	=	$- 1$	\| $+ 13$
$6 x$	=	$12$	\|: $6$
$x$	=	$2$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 e^{- 6 x} - 3$ = 0

Lösung einblenden

$9 e^{- 6 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$9 e^{- 6 x}$	=	$3$	\|: $9$
$e^{- 6 x}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 6$
$x$	=	$- \frac{1}{6} \ln (\frac{1}{3})$	≈ 0.1831

L={ $- \frac{1}{6} \ln (\frac{1}{3})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 e^{2 x}$ = $9 e^{x}$

Lösung einblenden

$5 e^{2 x}$	=	$9 e^{x}$	\| $- 9 e^{x}$
$5 e^{2 x} - 9 e^{x}$	=	0
$(5 e^{x} - 9) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$5 e^{x} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$5 e^{x}$	=	$9$	\|: $5$
$e^{x}$	=	$\frac{9}{5}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{9}{5})$	≈ 0.5878

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (\frac{9}{5})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - e^{x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - e^{x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 5 e^{4 x} + 6 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} - 5 e^{4 x} + 6 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 5 e^{2 x} + 6) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 5 e^{2 x} + 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(7 e^{- 4 x} - 3) \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(7 e^{- 4 x} - 3) \cdot (x^{3} + 3 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$7 e^{- 4 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$7 e^{- 4 x}$	=	$3$	\|: $7$
$e^{- 4 x}$	=	$\frac{3}{7}$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (\frac{3}{7})$	\|: $- 4$
x₁	=	$- \frac{1}{4} \ln (\frac{3}{7})$	≈ 0.2118

2. Fall:

$x^{3} + 3 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; 0; $- \frac{1}{4} \ln (\frac{3}{7})$ }

0 ist 2-fache Lösung!

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt