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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x - 11}$ = $1$

$e^{x - 11}$ = $1$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x - 11}$ = $e^{0}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x - 11$	=	0	\| $+ 11$
$x$	=	$11$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 e^{- 4 x}$ = 0

Lösung einblenden

$- 3 e^{- 4 x}$	=	$0$	\|: $- 3$
$e^{- 4 x}$	=	$0$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 e^{2 x}$ = $9 e^{x}$

Lösung einblenden

$6 e^{2 x}$	=	$9 e^{x}$	\| $- 9 e^{x}$
$6 e^{2 x} - 9 e^{x}$	=	0
$3 (2 e^{x} - 3) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 e^{x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$2 e^{x}$	=	$3$	\|: $2$
$e^{x}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{3}{2})$	≈ 0.4055

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (\frac{3}{2})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - e^{x} - 12$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - e^{x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 13 + 42 e^{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 13 + 42 e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} + 42 e^{- 2 x} - 13$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} - 13 e^{2 x} + 42$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- e^{- 5 x} + 5$ = 0

Lösung einblenden

$- e^{- 5 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- e^{- 5 x}$	=	$- 5$	\|: $- 1$
$e^{- 5 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$- 5 x$	=	$\ln (5)$	\|: $- 5$
$x$	=	$- \frac{1}{5} \ln (5)$	≈ -0.3219

L={ $- \frac{1}{5} \ln (5)$ }

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt