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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x - 1}$ = $1$

$e^{x - 1}$ = $1$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x - 1}$ = $e^{0}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x$	=	$1$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 e^{- 3 x}$ = $- 4$

Lösung einblenden

$- 3 e^{- 3 x}$	=	$- 4$	\|: $- 3$
$e^{- 3 x}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (\frac{4}{3})$	\|: $- 3$
$x$	=	$- \frac{1}{3} \ln (\frac{4}{3})$	≈ -0.0959

L={ $- \frac{1}{3} \ln (\frac{4}{3})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 e^{x}$ = $e^{- 3 x}$

Lösung einblenden

$6 e^{x}$	=	$e^{- 3 x}$	\| $- e^{- 3 x}$
$6 e^{x} - e^{- 3 x}$	=	0
$(6 e^{4 x} - 1) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$6 e^{4 x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$6 e^{4 x}$	=	$1$	\|: $6$
$e^{4 x}$	=	$\frac{1}{6}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{1}{6})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{6})$	≈ -0.4479

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{6})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - e^{x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - e^{x} - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{x} x^{4} - 6 \cdot e^{x} x^{3}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{x} x^{4} - 6 \cdot e^{x} x^{3}$	=	0
$x^{4} \cdot e^{x} - 6 x^{3} \cdot e^{x}$	=	0
$(x^{4} - 6 x^{3}) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4} - 6 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $6$ }

0 ist 3-fache Lösung!

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt