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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{2 x - 5}$ = $\frac{1}{e}$

$e^{2 x - 5}$ = $\frac{1}{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{2 x - 5}$ = $e^{- 1}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$2 x - 5$	=	$- 1$	\| $+ 5$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 e^{7 x}$ = $6$

Lösung einblenden

$5 e^{7 x}$	=	$6$	\|: $5$
$e^{7 x}$	=	$\frac{6}{5}$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	$\ln (\frac{6}{5})$	\|: $7$
$x$	=	$\frac{1}{7} \ln (\frac{6}{5})$	≈ 0.026

L={ $\frac{1}{7} \ln (\frac{6}{5})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 e^{- x}$ = $8 e^{- 3 x}$

Lösung einblenden

$7 e^{- x}$	=	$8 e^{- 3 x}$	\| $- 8 e^{- 3 x}$
$7 e^{- x} - 8 e^{- 3 x}$	=	0
$(7 e^{2 x} - 8) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$7 e^{2 x} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$7 e^{2 x}$	=	$8$	\|: $7$
$e^{2 x}$	=	$\frac{8}{7}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{8}{7})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{8}{7})$	≈ 0.0668

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (\frac{8}{7})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 2 e^{x} - 15$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 2 e^{x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 3 e^{3 x} + 2 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 3 e^{3 x} + 2 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 3 e^{2 x} + 2) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 3 e^{2 x} + 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 e^{6 x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

$9 e^{6 x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$9 e^{6 x}$	=	$4$	\|: $9$
$e^{6 x}$	=	$\frac{4}{9}$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (\frac{4}{9})$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{6} \ln (\frac{4}{9})$	≈ -0.1352

L={ $\frac{1}{6} \ln (\frac{4}{9})$ }

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt