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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: e x + 3 2 = e

Lösung einblenden

e x + 3 2 = e

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

e x + 3 2 = e 1 2

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

x + 3 2 = 1 2 |⋅ 2
2( x + 3 2 ) = 1
2x +3 = 1 | -3
2x = -2 |:2
x = -1

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- e 3x = -7

Lösung einblenden
- e 3x = -7 |:-1
e 3x = 7 |ln(⋅)
3x = ln( 7 ) |:3
x = 1 3 ln( 7 ) ≈ 0.6486

L={ 1 3 ln( 7 ) }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-2 e 7x = -3 e 2x

Lösung einblenden
-2 e 7x = -3 e 2x | +3 e 2x
-2 e 7x +3 e 2x = 0
( -2 e 5x +3 ) e 2x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-2 e 5x +3 = 0 | -3
-2 e 5x = -3 |:-2
e 5x = 3 2 |ln(⋅)
5x = ln( 3 2 ) |:5
x1 = 1 5 ln( 3 2 ) ≈ 0.0811

2. Fall:

e 2x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 1 5 ln( 3 2 ) }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x -4 e x -5 = 0

Lösung einblenden
e 2x -4 e x -5 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -4u -5 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · ( -5 ) 21

u1,2 = +4 ± 16 +20 2

u1,2 = +4 ± 36 2

u1 = 4 + 36 2 = 4 +6 2 = 10 2 = 5

u2 = 4 - 36 2 = 4 -6 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -2 ) 2 - ( -5 ) = 4+ 5 = 9

x1,2 = 2 ± 9

x1 = 2 - 3 = -1

x2 = 2 + 3 = 5

Rücksubstitution:

u1: e x = 5

e x = 5 |ln(⋅)
x1 = ln( 5 ) ≈ 1.6094

u2: e x = -1

e x = -1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ ln( 5 ) }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x -5 -6 e -2x = 0

Lösung einblenden
e 2x -5 -6 e -2x = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

e 2x -6 e -2x -5 = 0 |⋅ e 2x
e 4x -5 e 2x -6 = 0

Setze u = e 2x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -5u -6 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · ( -6 ) 21

u1,2 = +5 ± 25 +24 2

u1,2 = +5 ± 49 2

u1 = 5 + 49 2 = 5 +7 2 = 12 2 = 6

u2 = 5 - 49 2 = 5 -7 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 5 2 ) 2 - ( -6 ) = 25 4 + 6 = 25 4 + 24 4 = 49 4

x1,2 = 5 2 ± 49 4

x1 = 5 2 - 7 2 = - 2 2 = -1

x2 = 5 2 + 7 2 = 12 2 = 6

Rücksubstitution:

u1: e 2x = 6

e 2x = 6 |ln(⋅)
2x = ln( 6 ) |:2
x1 = 1 2 ln( 6 ) ≈ 0.8959

u2: e 2x = -1

e 2x = -1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 1 2 ln( 6 ) }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5 e -2x -5 = 0

Lösung einblenden
5 e -2x -5 = 0 | +5
5 e -2x = 5 |:5
e -2x = 1 |ln(⋅)
-2x = 0 |:-2
x = 0 ≈ 0

L={0}