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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: e 5x +12 = e 2

Lösung einblenden

e 5x +12 = e 2

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

5x +12 = 2 | -12
5x = -10 |:5
x = -2

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-9 e -2x = -2

Lösung einblenden
-9 e -2x = -2 |:-9
e -2x = 2 9 |ln(⋅)
-2x = ln( 2 9 ) |:-2
x = - 1 2 ln( 2 9 ) ≈ 0.752

L={ - 1 2 ln( 2 9 ) }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-8 e 3x = -3 e 2x

Lösung einblenden
-8 e 3x = -3 e 2x | +3 e 2x
-8 e 3x +3 e 2x = 0
( -8 e x +3 ) e 2x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-8 e x +3 = 0 | -3
-8 e x = -3 |:-8
e x = 3 8 |ln(⋅)
x1 = ln( 3 8 ) ≈ -0.9808

2. Fall:

e 2x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ ln( 3 8 ) }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x +4 e x -12 = 0

Lösung einblenden
e 2x +4 e x -12 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +4u -12 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -4 ± 4 2 -4 · 1 · ( -12 ) 21

u1,2 = -4 ± 16 +48 2

u1,2 = -4 ± 64 2

u1 = -4 + 64 2 = -4 +8 2 = 4 2 = 2

u2 = -4 - 64 2 = -4 -8 2 = -12 2 = -6

Rücksubstitution:

u1: e x = 2

e x = 2 |ln(⋅)
x1 = ln( 2 ) ≈ 0.6931

u2: e x = -6

e x = -6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ ln( 2 ) }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 3x -7 e x +12 e -x = 0

Lösung einblenden
e 3x -7 e x +12 e -x = 0
( e 4x -7 e 2x +12 ) e -x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e 4x -7 e 2x +12 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e 2x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -7u +12 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +7 ± ( -7 ) 2 -4 · 1 · 12 21

u1,2 = +7 ± 49 -48 2

u1,2 = +7 ± 1 2

u1 = 7 + 1 2 = 7 +1 2 = 8 2 = 4

u2 = 7 - 1 2 = 7 -1 2 = 6 2 = 3

Rücksubstitution:

u1: e 2x = 4

e 2x = 4 |ln(⋅)
2x = ln( 4 ) |:2
x1 = 1 2 ln( 4 ) ≈ 0.6931
x1 = ln( 2 )

u2: e 2x = 3

e 2x = 3 |ln(⋅)
2x = ln( 3 ) |:2
x2 = 1 2 ln( 3 ) ≈ 0.5493

2. Fall:

e -x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 1 2 ln( 3 ) ; ln( 2 ) }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 3x x 2 +7 · e 3x x = 0

Lösung einblenden
e 3x x 2 +7 · e 3x x = 0
x 2 · e 3x +7 x · e 3x = 0
( x 2 +7x ) e 3x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 +7x = 0
x ( x +7 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +7 = 0 | -7
x2 = -7

2. Fall:

e 3x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ -7 ; 0}