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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x + 1}$ = $e$

$e^{x + 1}$ = $e$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x + 1}$ = $e$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x + 1$	=	$1$	\| $- 1$
$x$	=	0

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 e^{6 x} - 3$ = 0

Lösung einblenden

$5 e^{6 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$5 e^{6 x}$	=	$3$	\|: $5$
$e^{6 x}$	=	$\frac{3}{5}$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (\frac{3}{5})$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{6} \ln (\frac{3}{5})$	≈ -0.0851

L={ $\frac{1}{6} \ln (\frac{3}{5})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 e^{4 x} - 9 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$2 e^{4 x} - 9 e^{2 x}$	=	0
$(2 e^{2 x} - 9) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 e^{2 x} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$2 e^{2 x}$	=	$9$	\|: $2$
$e^{2 x}$	=	$\frac{9}{2}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{9}{2})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{9}{2})$	≈ 0.752

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (\frac{9}{2})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 5 e^{x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 5 e^{x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} + 2 e^{4 x} - 8 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} + 2 e^{4 x} - 8 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 8) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 e^{2 x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

$5 e^{2 x} - 7$	=	0	\| $+ 7$
$5 e^{2 x}$	=	$7$	\|: $5$
$e^{2 x}$	=	$\frac{7}{5}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{7}{5})$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{7}{5})$	≈ 0.1682

L={ $\frac{1}{2} \ln (\frac{7}{5})$ }

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt