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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x - 9}$ = $\frac{1}{e^{2}}$

$e^{x - 9}$ = $\frac{1}{e^{2}}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x - 9}$ = $e^{- 2}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x - 9$	=	$- 2$	\| $+ 9$
$x$	=	$7$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 e^{2 x}$ = $7$

Lösung einblenden

$4 e^{2 x}$	=	$7$	\|: $4$
$e^{2 x}$	=	$\frac{7}{4}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{7}{4})$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{7}{4})$	≈ 0.2798

L={ $\frac{1}{2} \ln (\frac{7}{4})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 e^{- 2 x}$ = $6 e^{- 6 x}$

Lösung einblenden

$4 e^{- 2 x}$	=	$6 e^{- 6 x}$	\| $- 6 e^{- 6 x}$
$4 e^{- 2 x} - 6 e^{- 6 x}$	=	0
$2 (2 e^{4 x} - 3) \cdot e^{- 6 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 e^{4 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$2 e^{4 x}$	=	$3$	\|: $2$
$e^{4 x}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 0.1014

2. Fall:

e^{- 6 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{3}{2})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 3 e^{x} + 2$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 3 e^{x} + 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\ln (2)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 7 e^{3 x} + 12 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 7 e^{3 x} + 12 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 7 e^{2 x} + 12) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 7 e^{2 x} + 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ ; $\ln (2)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 8 e^{- 2 x} + 7) \cdot (x^{4} + 10 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 8 e^{- 2 x} + 7) \cdot (x^{4} + 10 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 8 e^{- 2 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 8 e^{- 2 x}$	=	$- 7$	\|: $- 8$
$e^{- 2 x}$	=	$\frac{7}{8}$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (\frac{7}{8})$	\|: $- 2$
x₁	=	$- \frac{1}{2} \ln (\frac{7}{8})$	≈ 0.0668

2. Fall:

$x^{4} + 10 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₃	=	$- 10$

L={ $- 10$ ; 0; $- \frac{1}{2} \ln (\frac{7}{8})$ }

0 ist 3-fache Lösung!

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt