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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{5 x - \frac{19}{2}}$ = $\sqrt{e}$

$e^{5 x - \frac{19}{2}}$ = $\sqrt{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{5 x - \frac{19}{2}}$ = $e^{\frac{1}{2}}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$5 x - \frac{19}{2}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ 2
$2 (5 x - \frac{19}{2})$	=	$1$
$10 x - 19$	=	$1$	\| $+ 19$
$10 x$	=	$20$	\|: $10$
$x$	=	$2$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 e^{- 2 x}$ = $5$

Lösung einblenden

$7 e^{- 2 x}$	=	$5$	\|: $7$
$e^{- 2 x}$	=	$\frac{5}{7}$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (\frac{5}{7})$	\|: $- 2$
$x$	=	$- \frac{1}{2} \ln (\frac{5}{7})$	≈ 0.1682

L={ $- \frac{1}{2} \ln (\frac{5}{7})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 e^{- 2 x}$ = $7 e^{- 5 x}$

Lösung einblenden

$4 e^{- 2 x}$	=	$7 e^{- 5 x}$	\| $- 7 e^{- 5 x}$
$4 e^{- 2 x} - 7 e^{- 5 x}$	=	0
$(4 e^{3 x} - 7) \cdot e^{- 5 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$4 e^{3 x} - 7$	=	0	\| $+ 7$
$4 e^{3 x}$	=	$7$	\|: $4$
$e^{3 x}$	=	$\frac{7}{4}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{7}{4})$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{7}{4})$	≈ 0.1865

2. Fall:

e^{- 5 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (\frac{7}{4})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 2 e^{x} - 8$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 2 e^{x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 4 e^{4 x} + 4 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} - 4 e^{4 x} + 4 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 4 e^{2 x} + 4) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 4 e^{2 x} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

$\frac{1}{2} \ln (2)$ ist 2-fache Lösung!

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(8 e^{- 5 x} - 2) \cdot (x^{3} - 10 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(8 e^{- 5 x} - 2) \cdot (x^{3} - 10 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$8 e^{- 5 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$8 e^{- 5 x}$	=	$2$	\|: $8$
$e^{- 5 x}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 5 x$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 5$
x₁	=	$- \frac{1}{5} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 0.2773

2. Fall:

$x^{3} - 10 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₃	=	$10$

L={0; $- \frac{1}{5} \ln (\frac{1}{4})$ ; $10$ }

0 ist 2-fache Lösung!

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt