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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x - 2}$ = $e$

$e^{x - 2}$ = $e$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x - 2}$ = $e$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x - 2$	=	$1$	\| $+ 2$
$x$	=	$3$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(3 e^{- 7 x} - 4) \cdot (x^{2} - 9)$ = 0

Lösung einblenden

(3 e^{- 7 x} - 4) \cdot (x^{2} - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 e^{- 7 x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$3 e^{- 7 x}$	=	$4$	\|: $3$
$e^{- 7 x}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
$- 7 x$	=	$\ln (\frac{4}{3})$	\|: $- 7$
x₁	=	$- \frac{1}{7} \ln (\frac{4}{3})$	≈ -0.0411

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{1}{7} \ln (\frac{4}{3})$ ; $3$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 e^{- 2 x} + 7 e^{- 3 x}$ = 0

Lösung einblenden

$- 4 e^{- 2 x} + 7 e^{- 3 x}$	=	0
$(- 4 e^{x} + 7) \cdot e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 4 e^{x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 4 e^{x}$	=	$- 7$	\|: $- 4$
$e^{x}$	=	$\frac{7}{4}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{7}{4})$	≈ 0.5596

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (\frac{7}{4})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 12 e^{x} + 35$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 12 e^{x} + 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 12 u + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12+2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12-2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 35$ = $36$ $-$ $35$ = $1$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $6$ - $1$ = 5

x₂ = $6$ + $1$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

L={ $\ln (5)$ ; $\ln (7)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} + 2 e^{2 x} - 24 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} + 2 e^{2 x} - 24 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + 2 e^{x} - 24) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 2 e^{x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(6 e^{- 4 x} - 7) \cdot (x^{3} - 16 x)$ = 0

Lösung einblenden

(6 e^{- 4 x} - 7) \cdot (x^{3} - 16 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$6 e^{- 4 x} - 7$	=	0	\| $+ 7$
$6 e^{- 4 x}$	=	$7$	\|: $6$
$e^{- 4 x}$	=	$\frac{7}{6}$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (\frac{7}{6})$	\|: $- 4$
x₁	=	$- \frac{1}{4} \ln (\frac{7}{6})$	≈ -0.0385

2. Fall:

$x^{3} - 16 x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $- \frac{1}{4} \ln (\frac{7}{6})$ ; 0; $4$ }

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt