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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{2 x + 6}$ = $e^{2}$

$e^{2 x + 6}$ = $e^{2}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$2 x + 6$	=	$2$	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 e^{4 x} - 3$ = 0

Lösung einblenden

$9 e^{4 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$9 e^{4 x}$	=	$3$	\|: $9$
$e^{4 x}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3})$	≈ -0.2747

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 e^{2 x}$ = $6 e^{- 3 x}$

Lösung einblenden

$4 e^{2 x}$	=	$6 e^{- 3 x}$	\| $- 6 e^{- 3 x}$
$4 e^{2 x} - 6 e^{- 3 x}$	=	0
$2 (2 e^{5 x} - 3) \cdot e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 e^{5 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$2 e^{5 x}$	=	$3$	\|: $2$
$e^{5 x}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 0.0811

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{5} \ln (\frac{3}{2})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 3 e^{x} - 28$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 3 e^{x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 5 e^{3 x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

e^{6 x} - 5 e^{3 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 9 e^{- x} + 6$ = 0

Lösung einblenden

$- 9 e^{- x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 9 e^{- x}$	=	$- 6$	\|: $- 9$
$e^{- x}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- x$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 1$
$x$	=	$- \ln (\frac{2}{3})$	≈ 0.4055

L={ $- \ln (\frac{2}{3})$ }

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt