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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: e x + 15 2 = e

Lösung einblenden

e x + 15 2 = e

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

e x + 15 2 = e 1 2

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

x + 15 2 = 1 2 |⋅ 2
2( x + 15 2 ) = 1
2x +15 = 1 | -15
2x = -14 |:2
x = -7

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- e -x = 0

Lösung einblenden
- e -x = 0 |:-1
e -x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-3 e -x +6 e -2x = 0

Lösung einblenden
-3 e -x +6 e -2x = 0
3 ( - e x +2 ) e -2x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- e x +2 = 0 | -2
- e x = -2 |:-1
e x = 2 |ln(⋅)
x1 = ln( 2 ) ≈ 0.6931

2. Fall:

e -2x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ ln( 2 ) }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x -3 e x -4 = 0

Lösung einblenden
e 2x -3 e x -4 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -3u -4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · ( -4 ) 21

u1,2 = +3 ± 9 +16 2

u1,2 = +3 ± 25 2

u1 = 3 + 25 2 = 3 +5 2 = 8 2 = 4

u2 = 3 - 25 2 = 3 -5 2 = -2 2 = -1

Rücksubstitution:

u1: e x = 4

e x = 4 |ln(⋅)
x1 = ln( 4 ) ≈ 1.3863
x1 = 2 ln( 2 )

u2: e x = -1

e x = -1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 2 ln( 2 ) }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 3x -6 e x +5 e -x = 0

Lösung einblenden
e 3x -6 e x +5 e -x = 0
( e 4x -6 e 2x +5 ) e -x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e 4x -6 e 2x +5 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e 2x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -6u +5 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +6 ± ( -6 ) 2 -4 · 1 · 5 21

u1,2 = +6 ± 36 -20 2

u1,2 = +6 ± 16 2

u1 = 6 + 16 2 = 6 +4 2 = 10 2 = 5

u2 = 6 - 16 2 = 6 -4 2 = 2 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: e 2x = 5

e 2x = 5 |ln(⋅)
2x = ln( 5 ) |:2
x1 = 1 2 ln( 5 ) ≈ 0.8047

u2: e 2x = 1

e 2x = 1 |ln(⋅)
2x = 0 |:2
x2 = 0 ≈ 0

2. Fall:

e -x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; 1 2 ln( 5 ) }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-3 e 3x +2 = 0

Lösung einblenden
-3 e 3x +2 = 0 | -2
-3 e 3x = -2 |:-3
e 3x = 2 3 |ln(⋅)
3x = ln( 2 3 ) |:3
x = 1 3 ln( 2 3 ) ≈ -0.1352

L={ 1 3 ln( 2 3 ) }