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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x + 2}$ = $\frac{1}{e}$

$e^{x + 2}$ = $\frac{1}{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x + 2}$ = $e^{- 1}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x + 2$	=	$- 1$	\| $- 2$
$x$	=	$- 3$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- e^{- 2 x}$ = $- 5$

Lösung einblenden

$- e^{- 2 x}$	=	$- 5$	\|: $- 1$
$e^{- 2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $- 2$
$x$	=	$- \frac{1}{2} \ln (5)$	≈ -0.8047

L={ $- \frac{1}{2} \ln (5)$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 e^{x}$ = $- 5 e^{- 3 x}$

Lösung einblenden

$- 7 e^{x}$	=	$- 5 e^{- 3 x}$	\| $+ 5 e^{- 3 x}$
$- 7 e^{x} + 5 e^{- 3 x}$	=	0
$(- 7 e^{4 x} + 5) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 7 e^{4 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 7 e^{4 x}$	=	$- 5$	\|: $- 7$
$e^{4 x}$	=	$\frac{5}{7}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{5}{7})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{5}{7})$	≈ -0.0841

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{5}{7})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 2 e^{x} - 35$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 2 e^{x} - 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $1$ - $6$ = -5

x₂ = $1$ + $6$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - 8 e^{5 x} + 15 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} - 8 e^{5 x} + 15 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 15) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ ; $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 7 e^{4 x} + 7) \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 7 e^{4 x} + 7) (x^{3} + 3 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 7 e^{4 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 7 e^{4 x}$	=	$- 7$	\|: $- 7$
$e^{4 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

$x^{3} + 3 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt