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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{4 x + 8}$ = $1$

$e^{4 x + 8}$ = $1$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{4 x + 8}$ = $e^{0}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$4 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$4 x$	=	$- 8$	\|: $4$
$x$	=	$- 2$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 8 e^{- 7 x} + 6) \cdot (x^{3} - 9 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 8 e^{- 7 x} + 6) \cdot (x^{3} - 9 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 8 e^{- 7 x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 8 e^{- 7 x}$	=	$- 6$	\|: $- 8$
$e^{- 7 x}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 7 x$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 7$
x₁	=	$- \frac{1}{7} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 0.0411

2. Fall:

$x^{3} - 9 x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₄	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $- \frac{1}{7} \ln (\frac{3}{4})$ ; $3$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 e^{- 2 x} - 7 e^{- 7 x}$ = 0

Lösung einblenden

$5 e^{- 2 x} - 7 e^{- 7 x}$	=	0
$(5 e^{5 x} - 7) \cdot e^{- 7 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$5 e^{5 x} - 7$	=	0	\| $+ 7$
$5 e^{5 x}$	=	$7$	\|: $5$
$e^{5 x}$	=	$\frac{7}{5}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{7}{5})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{7}{5})$	≈ 0.0673

2. Fall:

e^{- 7 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{5} \ln (\frac{7}{5})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 8 e^{x} + 15$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 8 e^{x} + 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

L={ $\ln (3)$ ; $\ln (5)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} + 2 e^{5 x} - 3 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} + 2 e^{5 x} - 3 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 3) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} x^{2} - 16 e^{3 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} x^{2} - 16 e^{3 x}$	=	0
$- 16 e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{3 x}$	=	0
$(x^{2} - 16) \cdot e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ ; $4$ }

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt