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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: e x + 5 2 = e

Lösung einblenden

e x + 5 2 = e

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

e x + 5 2 = e 1 2

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

x + 5 2 = 1 2 |⋅ 2
2( x + 5 2 ) = 1
2x +5 = 1 | -5
2x = -4 |:2
x = -2

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4 e x -7 = 0

Lösung einblenden
4 e x -7 = 0 | +7
4 e x = 7 |:4
e x = 7 4 |ln(⋅)
x = ln( 7 4 ) ≈ 0.5596

L={ ln( 7 4 ) }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-5 e -x = -2 e -6x

Lösung einblenden
-5 e -x = -2 e -6x | +2 e -6x
-5 e -x +2 e -6x = 0
( -5 e 5x +2 ) e -6x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-5 e 5x +2 = 0 | -2
-5 e 5x = -2 |:-5
e 5x = 2 5 |ln(⋅)
5x = ln( 2 5 ) |:5
x1 = 1 5 ln( 2 5 ) ≈ -0.1833

2. Fall:

e -6x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 1 5 ln( 2 5 ) }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x -10 e x +24 = 0

Lösung einblenden
e 2x -10 e x +24 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -10u +24 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +10 ± ( -10 ) 2 -4 · 1 · 24 21

u1,2 = +10 ± 100 -96 2

u1,2 = +10 ± 4 2

u1 = 10 + 4 2 = 10 +2 2 = 12 2 = 6

u2 = 10 - 4 2 = 10 -2 2 = 8 2 = 4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -5 ) 2 - 24 = 25 - 24 = 1

x1,2 = 5 ± 1

x1 = 5 - 1 = 4

x2 = 5 + 1 = 6

Rücksubstitution:

u1: e x = 6

e x = 6 |ln(⋅)
x1 = ln( 6 ) ≈ 1.7918

u2: e x = 4

e x = 4 |ln(⋅)
x2 = ln( 4 ) ≈ 1.3863
x2 = 2 ln( 2 )

L={ 2 ln( 2 ) ; ln( 6 ) }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x -10 +24 e -2x = 0

Lösung einblenden
e 2x -10 +24 e -2x = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

e 2x +24 e -2x -10 = 0 |⋅ e 2x
e 4x -10 e 2x +24 = 0

Setze u = e 2x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -10u +24 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +10 ± ( -10 ) 2 -4 · 1 · 24 21

u1,2 = +10 ± 100 -96 2

u1,2 = +10 ± 4 2

u1 = 10 + 4 2 = 10 +2 2 = 12 2 = 6

u2 = 10 - 4 2 = 10 -2 2 = 8 2 = 4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -5 ) 2 - 24 = 25 - 24 = 1

x1,2 = 5 ± 1

x1 = 5 - 1 = 4

x2 = 5 + 1 = 6

Rücksubstitution:

u1: e 2x = 6

e 2x = 6 |ln(⋅)
2x = ln( 6 ) |:2
x1 = 1 2 ln( 6 ) ≈ 0.8959

u2: e 2x = 4

e 2x = 4 |ln(⋅)
2x = ln( 4 ) |:2
x2 = 1 2 ln( 4 ) ≈ 0.6931
x2 = ln( 2 )

L={ ln( 2 ) ; 1 2 ln( 6 ) }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x -5 e x -14 = 0

Lösung einblenden
e 2x -5 e x -14 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -5u -14 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · ( -14 ) 21

u1,2 = +5 ± 25 +56 2

u1,2 = +5 ± 81 2

u1 = 5 + 81 2 = 5 +9 2 = 14 2 = 7

u2 = 5 - 81 2 = 5 -9 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 5 2 ) 2 - ( -14 ) = 25 4 + 14 = 25 4 + 56 4 = 81 4

x1,2 = 5 2 ± 81 4

x1 = 5 2 - 9 2 = - 4 2 = -2

x2 = 5 2 + 9 2 = 14 2 = 7

Rücksubstitution:

u1: e x = 7

e x = 7 |ln(⋅)
x1 = ln( 7 ) ≈ 1.9459

u2: e x = -2

e x = -2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ ln( 7 ) }