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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x - \frac{3}{2}}$ = $\sqrt{e}$

$e^{x - \frac{3}{2}}$ = $\sqrt{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x - \frac{3}{2}}$ = $e^{\frac{1}{2}}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x - \frac{3}{2}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{3}{2})$	=	$1$
$2 x - 3$	=	$1$	\| $+ 3$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 e^{- 5 x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

$6 e^{- 5 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$6 e^{- 5 x}$	=	$5$	\|: $6$
$e^{- 5 x}$	=	$\frac{5}{6}$	\|ln(⋅)
$- 5 x$	=	$\ln (\frac{5}{6})$	\|: $- 5$
$x$	=	$- \frac{1}{5} \ln (\frac{5}{6})$	≈ 0.0365

L={ $- \frac{1}{5} \ln (\frac{5}{6})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 e^{x}$ = $- 2 e^{- 2 x}$

Lösung einblenden

$- 5 e^{x}$	=	$- 2 e^{- 2 x}$	\| $+ 2 e^{- 2 x}$
$- 5 e^{x} + 2 e^{- 2 x}$	=	0
$(- 5 e^{3 x} + 2) \cdot e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 e^{3 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 5 e^{3 x}$	=	$- 2$	\|: $- 5$
$e^{3 x}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{2}{5})$	≈ -0.3054

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (\frac{2}{5})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 13 e^{x} + 42$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 13 e^{x} + 42

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

L={ $\ln (6)$ ; $\ln (7)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} + 5 e^{2 x} - 14 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} + 5 e^{2 x} - 14 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + 5 e^{x} - 14) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 5 e^{x} - 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(9 e^{- 3 x} - 6) \cdot (x - 7)$ = 0

Lösung einblenden

(9 e^{- 3 x} - 6) \cdot (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{- 3 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$9 e^{- 3 x}$	=	$6$	\|: $9$
$e^{- 3 x}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 3$
x₁	=	$- \frac{1}{3} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 0.1352

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₂	=	$7$

L={ $- \frac{1}{3} \ln (\frac{2}{3})$ ; $7$ }

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt