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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: e 2x -6 = 1 e 2

Lösung einblenden

e 2x -6 = 1 e 2

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

e 2x -6 = e -2

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

2x -6 = -2 | +6
2x = 4 |:2
x = 2

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-3 e 2x +4 = 0

Lösung einblenden
-3 e 2x +4 = 0 | -4
-3 e 2x = -4 |:-3
e 2x = 4 3 |ln(⋅)
2x = ln( 4 3 ) |:2
x = 1 2 ln( 4 3 ) ≈ 0.1438

L={ 1 2 ln( 4 3 ) }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-2 e -x = -8 e -2x

Lösung einblenden
-2 e -x = -8 e -2x | +8 e -2x
-2 e -x +8 e -2x = 0
2 ( - e x +4 ) · e -2x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- e x +4 = 0 | -4
- e x = -4 |:-1
e x = 4 |ln(⋅)
x1 = ln( 4 ) ≈ 1.3863
x1 = 2 ln( 2 )

2. Fall:

e -2x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 2 ln( 2 ) }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x +2 e x -8 = 0

Lösung einblenden
e 2x +2 e x -8 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +2u -8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -8 ) 21

u1,2 = -2 ± 4 +32 2

u1,2 = -2 ± 36 2

u1 = -2 + 36 2 = -2 +6 2 = 4 2 = 2

u2 = -2 - 36 2 = -2 -6 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -8 ) = 1+ 8 = 9

x1,2 = -1 ± 9

x1 = -1 - 3 = -4

x2 = -1 + 3 = 2

Rücksubstitution:

u1: e x = 2

e x = 2 |ln(⋅)
x1 = ln( 2 ) ≈ 0.6931

u2: e x = -4

e x = -4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ ln( 2 ) }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 5x -7 e 2x +6 e -x = 0

Lösung einblenden
e 5x -7 e 2x +6 e -x = 0
( e 6x -7 e 3x +6 ) · e -x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e 6x -7 e 3x +6 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e 3x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -7u +6 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +7 ± ( -7 ) 2 -4 · 1 · 6 21

u1,2 = +7 ± 49 -24 2

u1,2 = +7 ± 25 2

u1 = 7 + 25 2 = 7 +5 2 = 12 2 = 6

u2 = 7 - 25 2 = 7 -5 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 7 2 ) 2 - 6 = 49 4 - 6 = 49 4 - 24 4 = 25 4

x1,2 = 7 2 ± 25 4

x1 = 7 2 - 5 2 = 2 2 = 1

x2 = 7 2 + 5 2 = 12 2 = 6

Rücksubstitution:

u1: e 3x = 6

e 3x = 6 |ln(⋅)
3x = ln( 6 ) |:3
x1 = 1 3 ln( 6 ) ≈ 0.5973

u2: e 3x = 1

e 3x = 1 |ln(⋅)
3x = 0 |:3
x2 = 0 ≈ 0

2. Fall:

e -x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; 1 3 ln( 6 ) }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( -8 e 3x +6 ) · ( x 2 +9x ) = 0

Lösung einblenden
( -8 e 3x +6 ) · ( x 2 +9x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-8 e 3x +6 = 0 | -6
-8 e 3x = -6 |:-8
e 3x = 3 4 |ln(⋅)
3x = ln( 3 4 ) |:3
x1 = 1 3 ln( 3 4 ) ≈ -0.0959

2. Fall:

x 2 +9x = 0
x · ( x +9 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x2 = 0

2. Fall:

x +9 = 0 | -9
x3 = -9

L={ -9 ; 1 3 ln( 3 4 ) ; 0}