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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x + 8}$ = $e$

$e^{x + 8}$ = $e$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x + 8}$ = $e$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x + 8$	=	$1$	\| $- 8$
$x$	=	$- 7$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 e^{4 x} + 4$ = 0

Lösung einblenden

$- 7 e^{4 x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 7 e^{4 x}$	=	$- 4$	\|: $- 7$
$e^{4 x}$	=	$\frac{4}{7}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{4}{7})$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{4}{7})$	≈ -0.1399

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{4}{7})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 e^{- 2 x}$ = $9 e^{- 7 x}$

Lösung einblenden

$7 e^{- 2 x}$	=	$9 e^{- 7 x}$	\| $- 9 e^{- 7 x}$
$7 e^{- 2 x} - 9 e^{- 7 x}$	=	0
$(7 e^{5 x} - 9) e^{- 7 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$7 e^{5 x} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$7 e^{5 x}$	=	$9$	\|: $7$
$e^{5 x}$	=	$\frac{9}{7}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{9}{7})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{9}{7})$	≈ 0.0503

2. Fall:

e^{- 7 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{5} \ln (\frac{9}{7})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 2 e^{x} - 24$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 2 e^{x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{x} - 3 - 10 e^{- x}$ = 0

Lösung einblenden

e^{x} - 3 - 10 e^{- x}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 10 e^{- x} - 3$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} - 3 e^{x} - 10$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 e^{- 5 x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

$2 e^{- 5 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$2 e^{- 5 x}$	=	$6$	\|: $2$
$e^{- 5 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$- 5 x$	=	$\ln (3)$	\|: $- 5$
$x$	=	$- \frac{1}{5} \ln (3)$	≈ -0.2197

L={ $- \frac{1}{5} \ln (3)$ }

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Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Exponentialgl. Substitution

Exponentialgl. vermischt