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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{2 x + \frac{9}{2}}$ = $\sqrt{e}$

$e^{2 x + \frac{9}{2}}$ = $\sqrt{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{2 x + \frac{9}{2}}$ = $e^{\frac{1}{2}}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$2 x + \frac{9}{2}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{9}{2})$	=	$1$
$4 x + 9$	=	$1$	\| $- 9$
$4 x$	=	$- 8$	\|: $4$
$x$	=	$- 2$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 9 e^{4 x} + 5$ = 0

Lösung einblenden

$- 9 e^{4 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 9 e^{4 x}$	=	$- 5$	\|: $- 9$
$e^{4 x}$	=	$\frac{5}{9}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{5}{9})$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{5}{9})$	≈ -0.1469

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{5}{9})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 e^{2 x}$ = $- 9 e^{- 2 x}$

Lösung einblenden

$- 3 e^{2 x}$	=	$- 9 e^{- 2 x}$	\| $+ 9 e^{- 2 x}$
$- 3 e^{2 x} + 9 e^{- 2 x}$	=	0
$3 (- e^{4 x} + 3) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- e^{4 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- e^{4 x}$	=	$- 3$	\|: $- 1$
$e^{4 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (3)$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (3)$	≈ 0.2747

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{4} \ln (3)$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 12 e^{x} + 35$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 12 e^{x} + 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 12 u + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12+2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12-2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 35$ = $36$ $-$ $35$ = $1$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $6$ - $1$ = 5

x₂ = $6$ + $1$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

L={ $\ln (5)$ ; $\ln (7)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 10 e^{3 x} + 21 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 10 e^{3 x} + 21 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 10 e^{2 x} + 21) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 10 e^{2 x} + 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $5$ - $2$ = 3

x₂ = $5$ + $2$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 e^{- 5 x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

$5 e^{- 5 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$5 e^{- 5 x}$	=	$2$	\|: $5$
$e^{- 5 x}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 5 x$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 5$
$x$	=	$- \frac{1}{5} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 0.1833

L={ $- \frac{1}{5} \ln (\frac{2}{5})$ }

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt