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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: e x -3 = 1 e 2

Lösung einblenden

e x -3 = 1 e 2

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

e x -3 = e -2

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

x -3 = -2 | +3
x = 1

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-9 e -6x +6 = 0

Lösung einblenden
-9 e -6x +6 = 0 | -6
-9 e -6x = -6 |:-9
e -6x = 2 3 |ln(⋅)
-6x = ln( 2 3 ) |:-6
x = - 1 6 ln( 2 3 ) ≈ 0.0676

L={ - 1 6 ln( 2 3 ) }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 3x = 4 e -2x

Lösung einblenden
e 3x = 4 e -2x | -4 e -2x
e 3x -4 e -2x = 0
( e 5x -4 ) e -2x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e 5x -4 = 0 | +4
e 5x = 4 |ln(⋅)
5x = ln( 4 ) |:5
x1 = 1 5 ln( 4 ) ≈ 0.2773
x1 = 2 5 ln( 2 )

2. Fall:

e -2x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 2 5 ln( 2 ) }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x - e x -20 = 0

Lösung einblenden
e 2x - e x -20 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - u -20 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -20 ) 21

u1,2 = +1 ± 1 +80 2

u1,2 = +1 ± 81 2

u1 = 1 + 81 2 = 1 +9 2 = 10 2 = 5

u2 = 1 - 81 2 = 1 -9 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -20 ) = 1 4 + 20 = 1 4 + 80 4 = 81 4

x1,2 = 1 2 ± 81 4

x1 = 1 2 - 9 2 = - 8 2 = -4

x2 = 1 2 + 9 2 = 10 2 = 5

Rücksubstitution:

u1: e x = 5

e x = 5 |ln(⋅)
x1 = ln( 5 ) ≈ 1.6094

u2: e x = -4

e x = -4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ ln( 5 ) }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x +4 e x -12 = 0

Lösung einblenden
e 2x +4 e x -12 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +4u -12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -4 ± 4 2 -4 · 1 · ( -12 ) 21

u1,2 = -4 ± 16 +48 2

u1,2 = -4 ± 64 2

u1 = -4 + 64 2 = -4 +8 2 = 4 2 = 2

u2 = -4 - 64 2 = -4 -8 2 = -12 2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 2 2 - ( -12 ) = 4+ 12 = 16

x1,2 = -2 ± 16

x1 = -2 - 4 = -6

x2 = -2 + 4 = 2

Rücksubstitution:

u1: e x = 2

e x = 2 |ln(⋅)
x1 = ln( 2 ) ≈ 0.6931

u2: e x = -6

e x = -6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ ln( 2 ) }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( -2 e -5x +7 ) · ( x 2 -4 ) = 0

Lösung einblenden
( -2 e -5x +7 ) ( x 2 -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-2 e -5x +7 = 0 | -7
-2 e -5x = -7 |:-2
e -5x = 7 2 |ln(⋅)
-5x = ln( 7 2 ) |:-5
x1 = - 1 5 ln( 7 2 ) ≈ -0.2506

2. Fall:

x 2 -4 = 0 | +4
x 2 = 4 | 2
x2 = - 4 = -2
x3 = 4 = 2

L={ -2 ; - 1 5 ln( 7 2 ) ; 2 }