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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x - 4}$ = $\frac{1}{e^{2}}$

$e^{x - 4}$ = $\frac{1}{e^{2}}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x - 4}$ = $e^{- 2}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x - 4$	=	$- 2$	\| $+ 4$
$x$	=	$2$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(3 e^{7 x} - 4) \cdot (x^{2} - 2 x)$ = 0

Lösung einblenden

(3 e^{7 x} - 4) \cdot (x^{2} - 2 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 e^{7 x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$3 e^{7 x}$	=	$4$	\|: $3$
$e^{7 x}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	$\ln (\frac{4}{3})$	\|: $7$
x₁	=	$\frac{1}{7} \ln (\frac{4}{3})$	≈ 0.0411

2. Fall:

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={0; $\frac{1}{7} \ln (\frac{4}{3})$ ; $2$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 e^{x}$ = $- 9 e^{- 3 x}$

Lösung einblenden

$- 5 e^{x}$	=	$- 9 e^{- 3 x}$	\| $+ 9 e^{- 3 x}$
$- 5 e^{x} + 9 e^{- 3 x}$	=	0
$(- 5 e^{4 x} + 9) \cdot e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 e^{4 x} + 9$	=	0	\| $- 9$
$- 5 e^{4 x}$	=	$- 9$	\|: $- 5$
$e^{4 x}$	=	$\frac{9}{5}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{9}{5})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{9}{5})$	≈ 0.1469

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{9}{5})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 6 e^{x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 6 e^{x} - 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - 3 e^{5 x} - 4 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} - 3 e^{5 x} - 4 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 4) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 e^{- 4 x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

$3 e^{- 4 x} - 7$	=	0	\| $+ 7$
$3 e^{- 4 x}$	=	$7$	\|: $3$
$e^{- 4 x}$	=	$\frac{7}{3}$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (\frac{7}{3})$	\|: $- 4$
$x$	=	$- \frac{1}{4} \ln (\frac{7}{3})$	≈ -0.2118

L={ $- \frac{1}{4} \ln (\frac{7}{3})$ }

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt