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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{3 x - 6}$ = $1$

$e^{3 x - 6}$ = $1$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{3 x - 6}$ = $e^{0}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$3 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 e^{- 5 x}$ = $- 2$

Lösung einblenden

$- 4 e^{- 5 x}$	=	$- 2$	\|: $- 4$
$e^{- 5 x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 5 x$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 5$
$x$	=	$- \frac{1}{5} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 0.1386

L={ $- \frac{1}{5} \ln (\frac{1}{2})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 e^{x} + 9 e^{- 3 x}$ = 0

Lösung einblenden

$- 5 e^{x} + 9 e^{- 3 x}$	=	0
$(- 5 e^{4 x} + 9) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 e^{4 x} + 9$	=	0	\| $- 9$
$- 5 e^{4 x}$	=	$- 9$	\|: $- 5$
$e^{4 x}$	=	$\frac{9}{5}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{9}{5})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{9}{5})$	≈ 0.1469

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{9}{5})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 5 e^{x} - 14$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 5 e^{x} - 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 12 e^{4 x} + 35 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 12 e^{4 x} + 35 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 12 e^{3 x} + 35) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 12 e^{3 x} + 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 12 u + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12+2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12-2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 35$ = $36$ $-$ $35$ = $1$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $6$ - $1$ = 5

x₂ = $6$ + $1$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ ; $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(4 e^{4 x} - 3) \cdot (x - 9)$ = 0

Lösung einblenden

(4 e^{4 x} - 3) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$4 e^{4 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$4 e^{4 x}$	=	$3$	\|: $4$
$e^{4 x}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{3}{4})$	≈ -0.0719

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₂	=	$9$

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{3}{4})$ ; $9$ }

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt