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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: e x -10 = e

Lösung einblenden

e x -10 = e

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

e x -10 = e 1

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

x -10 = 1 | +10
x = 11

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

6 e 7x = 2

Lösung einblenden
6 e 7x = 2 |:6
e 7x = 1 3 |ln(⋅)
7x = ln( 1 3 ) |:7
x = 1 7 ln( 1 3 ) ≈ -0.1569

L={ 1 7 ln( 1 3 ) }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-2 e x +4 e -x = 0

Lösung einblenden
-2 e x +4 e -x = 0
2 ( - e 2x +2 ) e -x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- e 2x +2 = 0 | -2
- e 2x = -2 |:-1
e 2x = 2 |ln(⋅)
2x = ln( 2 ) |:2
x1 = 1 2 ln( 2 ) ≈ 0.3466

2. Fall:

e -x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 1 2 ln( 2 ) }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x -8 e x +12 = 0

Lösung einblenden
e 2x -8 e x +12 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -8u +12 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · 12 21

u1,2 = +8 ± 64 -48 2

u1,2 = +8 ± 16 2

u1 = 8 + 16 2 = 8 +4 2 = 12 2 = 6

u2 = 8 - 16 2 = 8 -4 2 = 4 2 = 2

Rücksubstitution:

u1: e x = 6

e x = 6 |ln(⋅)
x1 = ln( 6 ) ≈ 1.7918

u2: e x = 2

e x = 2 |ln(⋅)
x2 = ln( 2 ) ≈ 0.6931

L={ ln( 2 ) ; ln( 6 ) }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x +2 -8 e -2x = 0

Lösung einblenden
e 2x +2 -8 e -2x = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

e 2x -8 e -2x +2 = 0 |⋅ e 2x
e 4x +2 e 2x -8 = 0

Setze u = e 2x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +2u -8 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -8 ) 21

u1,2 = -2 ± 4 +32 2

u1,2 = -2 ± 36 2

u1 = -2 + 36 2 = -2 +6 2 = 4 2 = 2

u2 = -2 - 36 2 = -2 -6 2 = -8 2 = -4

Rücksubstitution:

u1: e 2x = 2

e 2x = 2 |ln(⋅)
2x = ln( 2 ) |:2
x1 = 1 2 ln( 2 ) ≈ 0.3466

u2: e 2x = -4

e 2x = -4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 1 2 ln( 2 ) }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x -2 e x -15 = 0

Lösung einblenden
e 2x -2 e x -15 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -2u -15 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -15 ) 21

u1,2 = +2 ± 4 +60 2

u1,2 = +2 ± 64 2

u1 = 2 + 64 2 = 2 +8 2 = 10 2 = 5

u2 = 2 - 64 2 = 2 -8 2 = -6 2 = -3

Rücksubstitution:

u1: e x = 5

e x = 5 |ln(⋅)
x1 = ln( 5 ) ≈ 1.6094

u2: e x = -3

e x = -3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ ln( 5 ) }