Mathebattle EduRandomtasks

Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x + 8}$ = $e$

$e^{x + 8}$ = $e$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x + 8}$ = $e$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x + 8$	=	$1$	\| $- 8$
$x$	=	$- 7$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 e^{3 x}$ = $- 3$

Lösung einblenden

$- 3 e^{3 x}$	=	$- 3$	\|: $- 3$
$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
$x$	=	0	≈ 0

L={0}

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 e^{2 x} - 9 e^{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$5 e^{2 x} - 9 e^{- 2 x}$	=	0
$(5 e^{4 x} - 9) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$5 e^{4 x} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$5 e^{4 x}$	=	$9$	\|: $5$
$e^{4 x}$	=	$\frac{9}{5}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{9}{5})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{9}{5})$	≈ 0.1469

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{9}{5})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 2 e^{x} - 24$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 2 e^{x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $1$ - $5$ = -4

x₂ = $1$ + $5$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} + 6 e^{x} - 7 e^{- x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} + 6 e^{x} - 7 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} + 6 e^{2 x} - 7) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 6 e^{2 x} - 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} x^{4} - 16 \cdot e^{3 x} x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} x^{4} - 16 \cdot e^{3 x} x^{2}$	=	0
$x^{4} \cdot e^{3 x} - 16 x^{2} \cdot e^{3 x}$	=	0
$(x^{4} - 16 x^{2}) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4} - 16 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₃	=	$\sqrt{16}$	= $4$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ ; 0; $4$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt