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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{6 x + 10}$ = $\frac{1}{e^{2}}$

$e^{6 x + 10}$ = $\frac{1}{e^{2}}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{6 x + 10}$ = $e^{- 2}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$6 x + 10$	=	$- 2$	\| $- 10$
$6 x$	=	$- 12$	\|: $6$
$x$	=	$- 2$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 e^{6 x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

$9 e^{6 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$9 e^{6 x}$	=	$6$	\|: $9$
$e^{6 x}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{6} \ln (\frac{2}{3})$	≈ -0.0676

L={ $\frac{1}{6} \ln (\frac{2}{3})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 e^{- 2 x}$ = $- 8 e^{- 7 x}$

Lösung einblenden

$- 5 e^{- 2 x}$	=	$- 8 e^{- 7 x}$	\| $+ 8 e^{- 7 x}$
$- 5 e^{- 2 x} + 8 e^{- 7 x}$	=	0
$(- 5 e^{5 x} + 8) e^{- 7 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 e^{5 x} + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 5 e^{5 x}$	=	$- 8$	\|: $- 5$
$e^{5 x}$	=	$\frac{8}{5}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{8}{5})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{8}{5})$	≈ 0.094

2. Fall:

e^{- 7 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{5} \ln (\frac{8}{5})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 4 e^{x} - 21$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 4 e^{x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $2$ - $5$ = -3

x₂ = $2$ + $5$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{x} - 3 + 2 e^{- x}$ = 0

Lösung einblenden

e^{x} - 3 + 2 e^{- x}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} + 2 e^{- x} - 3$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} - 3 e^{x} + 2$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\ln (2)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} x^{4} - 7 \cdot e^{3 x} x^{3}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} x^{4} - 7 \cdot e^{3 x} x^{3}$	=	0
$x^{4} \cdot e^{3 x} - 7 x^{3} \cdot e^{3 x}$	=	0
$(x^{4} - 7 x^{3}) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4} - 7 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₂	=	$7$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $7$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt