Mathebattle EduRandomtasks

Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$ = $1$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x}$ = $e^{0}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

x

=

0

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 e^{- 7 x} + 3$ = 0

Lösung einblenden

$- 3 e^{- 7 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 3 e^{- 7 x}$	=	$- 3$	\|: $- 3$
$e^{- 7 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 7 x$	=	0	\|: $- 7$
$x$	=	0	≈ 0

L={0}

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 e^{3 x} - 7 e^{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$9 e^{3 x} - 7 e^{- 2 x}$	=	0
$(9 e^{5 x} - 7) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{5 x} - 7$	=	0	\| $+ 7$
$9 e^{5 x}$	=	$7$	\|: $9$
$e^{5 x}$	=	$\frac{7}{9}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{7}{9})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{7}{9})$	≈ -0.0503

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{5} \ln (\frac{7}{9})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 6 e^{x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 6 e^{x} - 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + 3 e^{- x} - 4 e^{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

1 + 3 e^{- x} - 4 e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$3 e^{- x} - 4 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} + 3 e^{x} - 4$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(3 e^{- 2 x} - 2) \cdot (x - 5)$ = 0

Lösung einblenden

(3 e^{- 2 x} - 2) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 e^{- 2 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$3 e^{- 2 x}$	=	$2$	\|: $3$
$e^{- 2 x}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 2$
x₁	=	$- \frac{1}{2} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 0.2027

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

L={ $- \frac{1}{2} \ln (\frac{2}{3})$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt