Mathebattle EduRandomtasks

Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x - 9}$ = $\frac{1}{e^{2}}$

$e^{x - 9}$ = $\frac{1}{e^{2}}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x - 9}$ = $e^{- 2}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x - 9$	=	$- 2$	\| $+ 9$
$x$	=	$7$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- e^{2 x} + 7$ = 0

Lösung einblenden

$- e^{2 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- e^{2 x}$	=	$- 7$	\|: $- 1$
$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- e^{3 x}$ = $- 5 e^{x}$

Lösung einblenden

$- e^{3 x}$	=	$- 5 e^{x}$	\| $+ 5 e^{x}$
$- e^{3 x} + 5 e^{x}$	=	0
$(- e^{2 x} + 5) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- e^{2 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- e^{2 x}$	=	$- 5$	\|: $- 1$
$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 12 e^{x} + 35$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 12 e^{x} + 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 12 u + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12+2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12-2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 35$ = $36$ $-$ $35$ = $1$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $6$ - $1$ = 5

x₂ = $6$ + $1$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

L={ $\ln (5)$ ; $\ln (7)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + e^{x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + e^{x} - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 e^{7 x} + 4$ = 0

Lösung einblenden

$- 6 e^{7 x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 6 e^{7 x}$	=	$- 4$	\|: $- 6$
$e^{7 x}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $7$
$x$	=	$\frac{1}{7} \ln (\frac{2}{3})$	≈ -0.0579

L={ $\frac{1}{7} \ln (\frac{2}{3})$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt