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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x - 1}$ = $\frac{1}{e}$

$e^{x - 1}$ = $\frac{1}{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x - 1}$ = $e^{- 1}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x - 1$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$x$	=	0

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 e^{3 x} + 5$ = 0

Lösung einblenden

$- 7 e^{3 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 7 e^{3 x}$	=	$- 5$	\|: $- 7$
$e^{3 x}$	=	$\frac{5}{7}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{5}{7})$	\|: $3$
$x$	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{5}{7})$	≈ -0.1122

L={ $\frac{1}{3} \ln (\frac{5}{7})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{x} - 6 e^{- x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{x} - 6 e^{- x}$	=	0
$(e^{2 x} - 6) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{2 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 13 e^{x} + 42$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 13 e^{x} + 42

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

L={ $\ln (6)$ ; $\ln (7)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 12 e^{3 x} + 35 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} - 12 e^{3 x} + 35 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 12 e^{x} + 35) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 12 e^{x} + 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 12 u + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12+2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12-2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 35$ = $36$ $-$ $35$ = $1$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $6$ - $1$ = 5

x₂ = $6$ + $1$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ ; $\ln (7)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 6 e^{x} + 9$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 6 e^{x} + 9

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $3$ ± 0 = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

L={ $\ln (3)$ }

$\ln (3)$ ist 2-fache Lösung!

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):