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Exponentialgl. elementar
Beispiel:
Löse die Gleichung ohne WTR: =
=
Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.
=
Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:
| = | | | ||
| = |
Exponentialgleichungen (einfach)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | ≈ -0.1386 |
L={ }
Exponentialgl. mit 2 e-Termen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = | | | ||
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| x1 | = | ≈ 0.2027 |
2. Fall:
| = |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={ }
Exponentialgl. Substitution BF
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 = = = =
u2 = = = =
Rücksubstitution:
u1: =
| = | |ln(⋅) | ||
| x1 | = | ≈ 0 |
u2: =
| = |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={
Exponentialgl. Substitution
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
u = =
Rücksubstitution:
u1: =
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| x1 | = | ≈ 0.231 |
u2: =
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| x2 | = | ≈ 0.231 |
2. Fall:
| = |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={ }
ist 2-fache Lösung!
Exponentialgl. vermischt
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 = = = =
u2 = = = =
Rücksubstitution:
u1: =
| = | |ln(⋅) | ||
| x1 | = | ≈ 1.7918 |
u2: =
| = | |ln(⋅) | ||
| x2 | = | ≈ 1.3863 | |
| x2 | = |
L={ ; }