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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x + 2}$ = $e$

$e^{x + 2}$ = $e$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x + 2}$ = $e$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x + 2$	=	$1$	\| $- 2$
$x$	=	$- 1$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 e^{3 x} + 6$ = 0

Lösung einblenden

$- 5 e^{3 x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 5 e^{3 x}$	=	$- 6$	\|: $- 5$
$e^{3 x}$	=	$\frac{6}{5}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{6}{5})$	\|: $3$
$x$	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{6}{5})$	≈ 0.0608

L={ $\frac{1}{3} \ln (\frac{6}{5})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 e^{x}$ = $5 e^{- 4 x}$

Lösung einblenden

$7 e^{x}$	=	$5 e^{- 4 x}$	\| $- 5 e^{- 4 x}$
$7 e^{x} - 5 e^{- 4 x}$	=	0
$(7 e^{5 x} - 5) \cdot e^{- 4 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$7 e^{5 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$7 e^{5 x}$	=	$5$	\|: $7$
$e^{5 x}$	=	$\frac{5}{7}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{5}{7})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{5}{7})$	≈ -0.0673

2. Fall:

e^{- 4 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{5} \ln (\frac{5}{7})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 5 e^{x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 5 e^{x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 2 e^{x} - 15$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 2 e^{x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 13 e^{x} + 42$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 13 e^{x} + 42

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

L={ $\ln (6)$ ; $\ln (7)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):