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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x + 1}$ = $e$

$e^{x + 1}$ = $e$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x + 1}$ = $e$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x + 1$	=	$1$	\| $- 1$
$x$	=	0

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 e^{- 4 x}$ = $- 2$

Lösung einblenden

$- 5 e^{- 4 x}$	=	$- 2$	\|: $- 5$
$e^{- 4 x}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 4$
$x$	=	$- \frac{1}{4} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 0.2291

L={ $- \frac{1}{4} \ln (\frac{2}{5})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 e^{- 2 x} - 5 e^{- 6 x}$ = 0

Lösung einblenden

$2 e^{- 2 x} - 5 e^{- 6 x}$	=	0
$(2 e^{4 x} - 5) \cdot e^{- 6 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 e^{4 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$2 e^{4 x}$	=	$5$	\|: $2$
$e^{4 x}$	=	$\frac{5}{2}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{5}{2})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{5}{2})$	≈ 0.2291

2. Fall:

e^{- 6 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{5}{2})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 7 e^{x} + 10$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 7 e^{x} + 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

L={ $\ln (2)$ ; $\ln (5)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 11 e^{2 x} + 28$ = 0

Lösung einblenden

e^{4 x} - 11 e^{2 x} + 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11+3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11-3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₂	=	$\ln (2)$

L={ $\ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(9 e^{- 6 x} - 7) \cdot (x^{2} + 6 x)$ = 0

Lösung einblenden

(9 e^{- 6 x} - 7) \cdot (x^{2} + 6 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{- 6 x} - 7$	=	0	\| $+ 7$
$9 e^{- 6 x}$	=	$7$	\|: $9$
$e^{- 6 x}$	=	$\frac{7}{9}$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	$\ln (\frac{7}{9})$	\|: $- 6$
x₁	=	$- \frac{1}{6} \ln (\frac{7}{9})$	≈ 0.0419

2. Fall:

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; 0; $- \frac{1}{6} \ln (\frac{7}{9})$ }

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt