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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{2 x + 2}$ = $\frac{1}{e^{2}}$

$e^{2 x + 2}$ = $\frac{1}{e^{2}}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{2 x + 2}$ = $e^{- 2}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$2 x + 2$	=	$- 2$	\| $- 2$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 e^{6 x}$ = $2$

Lösung einblenden

$3 e^{6 x}$	=	$2$	\|: $3$
$e^{6 x}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{6} \ln (\frac{2}{3})$	≈ -0.0676

L={ $\frac{1}{6} \ln (\frac{2}{3})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 e^{7 x}$ = $- 5 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$- 4 e^{7 x}$	=	$- 5 e^{2 x}$	\| $+ 5 e^{2 x}$
$- 4 e^{7 x} + 5 e^{2 x}$	=	0
$(- 4 e^{5 x} + 5) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 4 e^{5 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 4 e^{5 x}$	=	$- 5$	\|: $- 4$
$e^{5 x}$	=	$\frac{5}{4}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{5}{4})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{5}{4})$	≈ 0.0446

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{5} \ln (\frac{5}{4})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 4 e^{x} - 12$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 4 e^{x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} + 2 e^{4 x} - 35 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} + 2 e^{4 x} - 35 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 35) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 1$ - $6$ = -7

x₂ = $- 1$ + $6$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(7 e^{4 x} - 6) \cdot (x^{2} - 8 x)$ = 0

Lösung einblenden

(7 e^{4 x} - 6) \cdot (x^{2} - 8 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$7 e^{4 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$7 e^{4 x}$	=	$6$	\|: $7$
$e^{4 x}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{6}{7})$	≈ -0.0385

2. Fall:

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{6}{7})$ ; 0; $8$ }

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt