nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: e x +2 = 1

Lösung einblenden

e x +2 = 1

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

e x +2 = e 0

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

x +2 = 0 | -2
x = -2

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

7 e -4x -3 = 0

Lösung einblenden
7 e -4x -3 = 0 | +3
7 e -4x = 3 |:7
e -4x = 3 7 |ln(⋅)
-4x = ln( 3 7 ) |:-4
x = - 1 4 ln( 3 7 ) ≈ 0.2118

L={ - 1 4 ln( 3 7 ) }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

7 e -x -5 e -5x = 0

Lösung einblenden
7 e -x -5 e -5x = 0
( 7 e 4x -5 ) e -5x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

7 e 4x -5 = 0 | +5
7 e 4x = 5 |:7
e 4x = 5 7 |ln(⋅)
4x = ln( 5 7 ) |:4
x1 = 1 4 ln( 5 7 ) ≈ -0.0841

2. Fall:

e -5x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 1 4 ln( 5 7 ) }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x + e x -6 = 0

Lösung einblenden
e 2x + e x -6 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + u -6 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -6 ) 21

u1,2 = -1 ± 1 +24 2

u1,2 = -1 ± 25 2

u1 = -1 + 25 2 = -1 +5 2 = 4 2 = 2

u2 = -1 - 25 2 = -1 -5 2 = -6 2 = -3

Rücksubstitution:

u1: e x = 2

e x = 2 |ln(⋅)
x1 = ln( 2 ) ≈ 0.6931

u2: e x = -3

e x = -3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ ln( 2 ) }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 3x -5 e 2x -14 e x = 0

Lösung einblenden
e 3x -5 e 2x -14 e x = 0
( e 2x -5 e x -14 ) e x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e 2x -5 e x -14 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -5u -14 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · ( -14 ) 21

u1,2 = +5 ± 25 +56 2

u1,2 = +5 ± 81 2

u1 = 5 + 81 2 = 5 +9 2 = 14 2 = 7

u2 = 5 - 81 2 = 5 -9 2 = -4 2 = -2

Rücksubstitution:

u1: e x = 7

e x = 7 |ln(⋅)
x1 = ln( 7 ) ≈ 1.9459

u2: e x = -2

e x = -2

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

e x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ ln( 7 ) }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x -5 e x +4 = 0

Lösung einblenden
e 2x -5 e x +4 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -5u +4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · 4 21

u1,2 = +5 ± 25 -16 2

u1,2 = +5 ± 9 2

u1 = 5 + 9 2 = 5 +3 2 = 8 2 = 4

u2 = 5 - 9 2 = 5 -3 2 = 2 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: e x = 4

e x = 4 |ln(⋅)
x1 = ln( 4 ) ≈ 1.3863
x1 = 2 ln( 2 )

u2: e x = 1

e x = 1 |ln(⋅)
x2 = 0 ≈ 0

L={0; 2 ln( 2 ) }