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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{3 x - 5}$ = $e$

$e^{3 x - 5}$ = $e$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{3 x - 5}$ = $e$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$3 x - 5$	=	$1$	\| $+ 5$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 e^{- 7 x} - 3$ = 0

Lösung einblenden

$6 e^{- 7 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$6 e^{- 7 x}$	=	$3$	\|: $6$
$e^{- 7 x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 7 x$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 7$
$x$	=	$- \frac{1}{7} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 0.099

L={ $- \frac{1}{7} \ln (\frac{1}{2})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 e^{5 x}$ = $- 6 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$- 4 e^{5 x}$	=	$- 6 e^{2 x}$	\| $+ 6 e^{2 x}$
$- 4 e^{5 x} + 6 e^{2 x}$	=	0
$2 (- 2 e^{3 x} + 3) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 e^{3 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 2 e^{3 x}$	=	$- 3$	\|: $- 2$
$e^{3 x}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 0.1352

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (\frac{3}{2})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 2 e^{x} - 3$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 2 e^{x} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 8 e^{2 x} + 7 e^{- x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 8 e^{2 x} + 7 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 7) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 8 e^{- 2 x} + 2) \cdot (x^{4} + 6 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 8 e^{- 2 x} + 2) \cdot (x^{4} + 6 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 8 e^{- 2 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 8 e^{- 2 x}$	=	$- 2$	\|: $- 8$
$e^{- 2 x}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 2$
x₁	=	$- \frac{1}{2} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 0.6931

2. Fall:

$x^{4} + 6 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; 0; $- \frac{1}{2} \ln (\frac{1}{4})$ }

0 ist 3-fache Lösung!

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Exponentialgl. vermischt