Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -6\\ 7\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-23\\ 5\\ 16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-35\\ -1\\ 23\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-35|-1|23\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}32\\ 4\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-23\\ 5\\ 16\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}32\\ 4\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-23\\ 5\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·16-\left(-16\right)·5\\ -16·\left(-23\right)-32·16\\ 32·5-4·\left(-23\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}64+80\\ 368-512\\ 160+92\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ -144\\ 252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ -144\\ 252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{252}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 12\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 5\\ -3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 12\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 5\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·\left(-3\right)-\left(-24\right)·5\\ -24·8-8·\left(-3\right)\\ 8·5-12·8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36+120\\ -192+24\\ 40-96\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ -168\\ -56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}84\\ -168\\ -56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{84}^2+{\mathrm{(-168)}}^2+{\mathrm{(-56)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·2-4·\left(-4\right)\\ 4·\left(-4\right)-4·2\\ 4·\left(-4\right)-\left(-2\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4+16\\ -16-8\\ -16-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{12}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 2\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·2-4·\left(-4\right)\\ 4·\left(-4\right)-4·2\\ 4·\left(-4\right)-\left(-2\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4+16\\ -16-8\\ -16-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$ = 12⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 2\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1-2x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|1|-1\right)$ erhält man
d = $1\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$\mathrm{}{x}_1-2x_2-2x_3=1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 2-2\cdot (-7)-2\cdot (-6)-1|}{\sqrt{1^2+{(-2)}^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 36 · 9 = 108

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ 9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -18\\ 13\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -18\\ 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·13-9·\left(-18\right)\\ 9·12-18·13\\ 18·\left(-18\right)-\left(-6\right)·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-78+162\\ 108-234\\ -324+72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ -126\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}84\\ -126\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{84}^2+{\mathrm{(-126)}}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 294 = 147.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ 9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -18\\ 13\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -18\\ 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·13-9·\left(-18\right)\\ 9·12-18·13\\ 18·\left(-18\right)-\left(-6\right)·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-78+162\\ 108-234\\ -324+72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ -126\\ -252\end{array}\right)$ = -42⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ 9\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}12\\ -18\\ 13\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 0\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+3x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|1|0\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot 1+6\cdot 0$
also:

$-2x_1+3x_2+6x_3=13$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-14)+3\cdot 4+6\cdot 20-13|}{\sqrt{{(-2)}^2+3^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 147 · 21 = 1029

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-6t\\ 2t\\ -3t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-15\\ 12\\ -11\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6t\\ 2t\\ -3t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-15\\ 12\\ -11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2t·\left(-11\right)-\left(-3t\right)·12\\ -3t·\left(-15\right)-\left(-6t\right)·\left(-11\right)\\ -6t·12-2t·\left(-15\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-22t+36t\\ 45t-66t\\ -72t+30t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}14t\\ -21t\\ -42t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}14t\\ -21t\\ -42t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{196t^2+441t^2+1764t^2}$ = $\sqrt{2401t^2}$ = $\left|$ 49t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 73,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 49t$\right|$ = 73,5 |⋅2

$\left|$ 49t$\right|$ = 147

1. Fall

$49t$ = 147 |: 49

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(23-6t\right|-1+2t\left|11-3t\right)$ ergibt
B₁$\left(5|5|2\right)$.

2. Fall

- $49t$ = 147 |: -49

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(23-6t\right|-1+2t\left|11-3t\right)$ ergibt
B₂$\left(41|-7|20\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+4x_2+x_3=12$ ein.

S₁: => x=$12$=12, also S₁$\left(12|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{12}{4}$=3, also S₂$\left(0|3|0\right)$
S₃: => z=$12$=12, also S₃$\left(0|0|12\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 12⋅3 = 18, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 12 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅18⋅12
=72

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{3}$ = $\frac{d^2}{24}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{24}{d}^2$	=	$96$	|⋅$24$
$d^2$	=	$2304$	|
d1	=	$-\sqrt{2304}$	= $-48$
d2	=	$\sqrt{2304}$	= $48$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+2x_2+3x_3=48$

Aber auch E2: $4x_1+2x_2+3x_3=-48$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-12|0|0), S₂(0|-24|0) und S₃(0|0|-16). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+2x_2+3x_3=48$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{3}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{3}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{3}$⋅ $\frac{d}{3}$ = $\frac{d^3}{162}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{162}{d}^3$	=	$\mathrm{4,5}$	|⋅$162$
$d^3$	=	$729$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{729}$	= $9$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+3x_2+3x_3=9$

Aber auch E2: $3x_1+3x_2+3x_3=-9$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-3|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+3x_2+3x_3=9$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.