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Flächeninhalt eines Parallelogramms

Beispiel:

Das Dreieck ABC mit A(7|-3|-5), B(19|-3|-21) und C(8|-3|2) soll durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Bestimme den Punkt D und berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms..

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Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

OD = OA + BC = ( 7 -3 -5 ) + ( -11 0 23 ) = ( -4 -3 18 )

Der Gesuchte Punkt ist also D(-4|-3|18).

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( 19-7 -3-( - 3 ) -21-( - 5 ) ) = ( 12 0 -16 ) und AD = BC = ( 8-19 -3-( - 3 ) 2-( - 21 ) ) = ( -11 0 23 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 12 0 -16 ) × ( -11 0 23 ) = ( 0 23 - ( - 16 ) 0 -16 ( - 11 ) - 12 23 12 0 - 0 ( - 11 ) ) = ( 0 - 0 176 - 276 0 - 0 ) = ( 0 -100 0 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 0 -100 0 ) | = 0 2 + (-100)2 + 0 2 = 10000 = 100 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 100.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(13|-3|9), B(-3|-3|-3) und C(4|-3|-4).

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( -3-13 -3-( - 3 ) -3-9 ) = ( -16 0 -12 ) und AC = ( 4-13 -3-( - 3 ) -4-9 ) = ( -9 0 -13 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -16 0 -12 ) × ( -9 0 -13 ) = ( 0 ( - 13 ) - ( - 12 ) 0 -12 ( - 9 ) - ( - 16 ) ( - 13 ) -16 0 - 0 ( - 9 ) ) = ( 0 - 0 108 - 208 0 - 0 ) = ( 0 -100 0 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 0 -100 0 ) | = 0 2 + (-100)2 + 0 2 = 10000 = 100 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 100 = 50.

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm)

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Parallelogramm ABCD mit A(1|1|-9), B(1|10|3), C(1|21|1) und D(1|12|-11) und als Spitze S(4|8|-8). Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( 1-1 10-1 3-( - 9 ) ) = ( 0 9 12 ) und AD = BC = ( 1-1 21-10 1-3 ) = ( 0 11 -2 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 0 9 12 ) × ( 0 11 -2 ) = ( 9 ( - 2 ) - 12 11 12 0 - 0 ( - 2 ) 0 11 - 9 0 ) = ( -18 - 132 0 - 0 0 - 0 ) = ( -150 0 0 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -150 0 0 ) | = (-150) 2 + 02 + 0 2 = 22500 = 150 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 150.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( 1 1 -9 ) + r ( 0 9 12 ) + s ( 0 11 -2 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( 0 9 12 ) × ( 0 11 -2 ) = ( 9 ( - 2 ) - 12 11 12 0 - 0 ( - 2 ) 0 11 - 9 0 ) = ( -18 - 132 0 - 0 0 - 0 ) = ( -150 0 0 ) = -150⋅ ( 1 0 0 )
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also x 1 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(1|1|-9) erhält man
d = 11 + 01 + 0(-9)
also:

x 1 = 1

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 1 4+0 8+0 ( - 8 )-1 | 1 2 + 0 2 + 0 2
= | 3 | 1 = 3 1 = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 150 · 3 = 150

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Dreieck ABC mit A(-3|-3|-7), B(1|-11|1), C(6|-9|5) und als Spitze S(-6|0|2).
Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( 1-( - 3 ) -11-( - 3 ) 1-( - 7 ) ) = ( 4 -8 8 ) und AC = ( 6-( - 3 ) -9-( - 3 ) 5-( - 7 ) ) = ( 9 -6 12 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 4 -8 8 ) × ( 9 -6 12 ) = ( -8 12 - 8 ( - 6 ) 8 9 - 4 12 4 ( - 6 ) - ( - 8 ) 9 ) = ( -96 - ( - 48 ) 72 - 48 -24 - ( - 72 ) ) = ( -48 24 48 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -48 24 48 ) | = (-48) 2 + 242 + 48 2 = 5184 = 72 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 72 = 36.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( -3 -3 -7 ) + r ( 4 -8 8 ) + s ( 9 -6 12 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( 4 -8 8 ) × ( 9 -6 12 ) = ( -8 12 - 8 ( - 6 ) 8 9 - 4 12 4 ( - 6 ) - ( - 8 ) 9 ) = ( -96 - ( - 48 ) 72 - 48 -24 - ( - 72 ) ) = ( -48 24 48 ) = 24⋅ ( -2 1 2 )
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also -2 x 1 + x 2 +2 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(-3|-3|-7) erhält man
d = (-2)(-3) + 1(-3) + 2(-7)
also:

-2 x 1 + x 2 +2 x 3 = -11

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | -2 ( - 6 )+1 0+2 2+11 | ( - 2 ) 2 + 1 2 + 2 2
= | 27 | 9 = 27 3 = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 36 · 9 = 108