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Flächeninhalt eines Parallelogramms

Beispiel:

Das Dreieck ABC mit A(-2|-2|-6), B(10|-2|10) und C(5|-2|-5) soll durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Bestimme den Punkt D und berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms..

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Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

OD = OA + BC = ( -2 -2 -6 ) + ( -5 0 -15 ) = ( -7 -2 -21 )

Der Gesuchte Punkt ist also D(-7|-2|-21).

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( 10-( - 2 ) -2-( - 2 ) 10-( - 6 ) ) = ( 12 0 16 ) und AD = BC = ( 5-10 -2-( - 2 ) -5-10 ) = ( -5 0 -15 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 12 0 16 ) × ( -5 0 -15 ) = ( 0 · ( -15 ) - 16 · 0 16 · ( -5 ) - 12 · ( -15 ) 12 · 0 - 0 · ( -5 ) ) = ( 0+0 -80 +180 0+0 ) = ( 0 100 0 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 0 100 0 ) | = 0 2 + 1002 + 0 2 = 10000 = 100 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 100.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(-11|-3|5), B(-43|-7|21) und C(-4|-10|-3).

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( -43-( - 11 ) -7-( - 3 ) 21-5 ) = ( -32 -4 16 ) und AC = ( -4-( - 11 ) -10-( - 3 ) -3-5 ) = ( 7 -7 -8 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -32 -4 16 ) × ( 7 -7 -8 ) = ( -4 · ( -8 ) - 16 · ( -7 ) 16 · 7 - ( -32 ) · ( -8 ) -32 · ( -7 ) - ( -4 ) · 7 ) = ( 32 +112 112 -256 224 +28 ) = ( 144 -144 252 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 144 -144 252 ) | = 144 2 + (-144)2 + 252 2 = 104976 = 324 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 324 = 162.

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm)

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Parallelogramm ABCD mit A(6|-6|-11), B(-21|0|7), C(-34|20|1) und D(-7|14|-17) und als Spitze S(13|23|10). Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( -21-6 0-( - 6 ) 7-( - 11 ) ) = ( -27 6 18 ) und AD = BC = ( -34-( - 21 ) 20-0 1-7 ) = ( -13 20 -6 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -27 6 18 ) × ( -13 20 -6 ) = ( 6 · ( -6 ) - 18 · 20 18 · ( -13 ) - ( -27 ) · ( -6 ) -27 · 20 - 6 · ( -13 ) ) = ( -36 -360 -234 -162 -540 +78 ) = ( -396 -396 -462 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -396 -396 -462 ) | = (-396) 2 + (-396)2 + (-462) 2 = 527076 = 726 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( 6 -6 -11 ) + r ( -27 6 18 ) + s ( -13 20 -6 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( -27 6 18 ) × ( -13 20 -6 ) = ( 6 · ( -6 ) - 18 · 20 18 · ( -13 ) - ( -27 ) · ( -6 ) -27 · 20 - 6 · ( -13 ) ) = ( -36 -360 -234 -162 -540 +78 ) = ( -396 -396 -462 ) = -66⋅ ( 6 6 7 )

Weil der Vektor ( 6 6 7 ) orthogonal zu ( -27 6 18 ) und ( -13 20 -6 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( 6 -6 -11 ) ] ( 6 6 7 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also 6 x 1 +6 x 2 +7 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(6|-6|-11) erhält man
d = 66 + 6(-6) + 7(-11)
also:

6 x 1 +6 x 2 +7 x 3 = -77

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 6 13+6 23+7 10+77 | 6 2 + 6 2 + 7 2
= | 363 | 121 = 363 11 = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 726 · 33 = 7986

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Dreieck ABC mit A(4|11|4), B(0|-21|-12), C(-17|-31|-8) und als Spitze S(-17|14|-17).
Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( 0-4 -21-11 -12-4 ) = ( -4 -32 -16 ) und AC = ( -17-4 -31-11 -8-4 ) = ( -21 -42 -12 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -4 -32 -16 ) × ( -21 -42 -12 ) = ( -32 · ( -12 ) - ( -16 ) · ( -42 ) -16 · ( -21 ) - ( -4 ) · ( -12 ) -4 · ( -42 ) - ( -32 ) · ( -21 ) ) = ( 384 -672 336 -48 168 -672 ) = ( -288 288 -504 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -288 288 -504 ) | = (-288) 2 + 2882 + (-504) 2 = 419904 = 648 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 648 = 324.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( 4 11 4 ) + r ( -4 -32 -16 ) + s ( -21 -42 -12 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( -4 -32 -16 ) × ( -21 -42 -12 ) = ( -32 · ( -12 ) - ( -16 ) · ( -42 ) -16 · ( -21 ) - ( -4 ) · ( -12 ) -4 · ( -42 ) - ( -32 ) · ( -21 ) ) = ( 384 -672 336 -48 168 -672 ) = ( -288 288 -504 ) = 72⋅ ( -4 4 -7 )

Weil der Vektor ( -4 4 -7 ) orthogonal zu ( -4 -32 -16 ) und ( -21 -42 -12 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( 4 11 4 ) ] ( -4 4 -7 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also -4 x 1 +4 x 2 -7 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(4|11|4) erhält man
d = (-4)4 + 411 + (-7)4
also:

-4 x 1 +4 x 2 -7 x 3 = 0

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | -4 ( - 17 )+4 14-7 ( - 17 )-0 | ( - 4 ) 2 + 4 2 + ( - 7 ) 2
= | 243 | 81 = 243 9 = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 324 · 27 = 2916

Pkt auf Gerade mit Dreiecksinhalt finden

Beispiel:

Gegeben ist der Punkt A(-8|10|-9), der Punkt C(2|2|0) und die Gerade g: x = ( -8 10 -9 ) +t ( 2 -3 6 ) . A liegt in g.
Bestimme alle möglichen Koordinaten für einen Punkt B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABC den Flächeninhalt A = 73,5 hat.

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor AB einfach als ( 2 t -3 t 6 t ) schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als AC = ( 2-( - 8 ) 2-10 0-( - 9 ) ) = ( 10 -8 9 ) .

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 2 t -3 t 6 t ) × ( 10 -8 9 ) = ( -3 t · 9 - 6 t · ( -8 ) 6 t · 10 - 2 t · 9 2 t · ( -8 ) - ( -3 t ) · 10 ) = ( -27 t +48 t 60 t -18 t -16 t +30 t ) = ( 21 t 42 t 14 t ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | AB x AC | = | ( 21 t 42 t 14 t ) | = 441 t 2 +1764 t 2 +196 t 2 = 2401 t 2 = | 49t | entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 73,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = 1 2 | AB x AC | = 1 2 | 49t | = 73,5 |⋅2

| 49t | = 147

1. Fall

49t = 147 |: 49

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( -8 +2 t | 10 -3 t | -9 +6 t ) ergibt
B1(-2|1|9).

2. Fall

- 49t = 147 |: -49

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( -8 +2 t | 10 -3 t | -9 +6 t ) ergibt
B2(-14|19|-27).

Pyramide aus Spurpunkten einer Ebene

Beispiel:

Gegeben ist die Koordinatengleichung der Ebene E: 4 x 1 +4 x 2 + x 3 = 12 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P. Berechne das Volumen von P.

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Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 4 x 1 +4 x 2 + x 3 = 12 ein.

S1: 4 x +4 0 +1 0 = 12 => x= 12 4 =3, also S1(3|0|0)
S2: 4 0 +4 y +1 0 = 12 => y= 12 4 =3, also S2(0|3|0)
S3: 4 0 +4 0 +1 z = 12 => z=12=12, also S3(0|0|12)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 ⋅ 3⋅3 = 4.5, weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS2= 12 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h
= 1 3 ⋅4.5⋅12
=18

Spurpunktdreieck rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: 3 x 1 + x 2 +2 x 3 = 0 .

Die Schnittpunkte von E mit der x1-Achse und der x3-Achse bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Dreieck P mit dem Flächeninhalt 12. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

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Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

3 x 1 + x 2 +2 x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 3 x 1 + x 2 +2 x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 3 x +1 0 +2 0 = d => x = d 3 , also S1( d 3 |0|0)
S2: 3 0 +1 y +2 0 = d => y = d 1 , also S2(0| d 1 |0)
S3: 3 0 +1 0 +2 z = d => z = d 2 , also S3(0|0| d 2 )

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = 1 2 ⋅g⋅hg. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS1 und OS3.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS1S3: A = 1 2 d 3 d 2 = d 2 12

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

1 12 d 2 = 12 |⋅12
d 2 = 144 | 2
d1 = - 144 = -12
d2 = 144 = 12

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: 3 x 1 + x 2 +2 x 3 = 12

Aber auch E2: 3 x 1 + x 2 +2 x 3 = -12 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-4|0|0), S2(0|-12|0) und S3(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: 3 x 1 + x 2 +2 x 3 = 12 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Spurpunktpyramide rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: 5 x 1 +2 x 2 +4 x 3 = 0 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P mit dem Volumen 900. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

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Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

5 x 1 +2 x 2 +4 x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 5 x 1 +2 x 2 +4 x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 5 x +2 0 +4 0 = d => x = d 5 , also S1( d 5 |0|0)
S2: 5 0 +2 y +4 0 = d => y = d 2 , also S2(0| d 2 |0)
S3: 5 0 +2 0 +4 z = d => z = d 4 , also S3(0|0| d 4 )

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 d 5 d 2 , weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS2= d 4 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h = 1 3 1 2 d 5 d 2 d 4 = d 3 240

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

1 240 d 3 = 900 |⋅240
d 3 = 216000 | 3
d = 216000 3 = 60

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: 5 x 1 +2 x 2 +4 x 3 = 60

Aber auch E2: 5 x 1 +2 x 2 +4 x 3 = -60 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-12|0|0), S2(0|-30|0) und S3(0|0|-15). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: 5 x 1 +2 x 2 +4 x 3 = 60 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.