Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 7\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-4\\ 15\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-13\\ 22\\ -1\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-13|22|-1\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 15\\ -2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 15\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24·\left(-2\right)-\left(-8\right)·15\\ -8·\left(-4\right)-12·\left(-2\right)\\ 12·15-\left(-24\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48+120\\ 32+24\\ 180-96\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168\\ 56\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}168\\ 56\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{168}^2+{56}^2+{84}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-4\right)-\left(-4\right)·\left(-5\right)\\ -4·2-8·\left(-4\right)\\ 8·\left(-5\right)-\left(-8\right)·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}32-20\\ -8+32\\ -40+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{12}^2+{24}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -16\\ -2\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -2\\ -16\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -16\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ -2\\ -16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16·\left(-16\right)-\left(-2\right)·\left(-2\right)\\ -2·\left(-8\right)-8·\left(-16\right)\\ 8·\left(-2\right)-\left(-16\right)·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}256-4\\ 16+128\\ -16-128\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ 144\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ 144\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{144}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -16\\ -2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -2\\ -16\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -16\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ -2\\ -16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16·\left(-16\right)-\left(-2\right)·\left(-2\right)\\ -2·\left(-8\right)-8·\left(-16\right)\\ 8·\left(-2\right)-\left(-16\right)·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}256-4\\ 16+128\\ -16-128\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ 144\\ -144\end{array}\right)$ = 36⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}8\\ -16\\ -2\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-8\\ -2\\ -16\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ -4\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1+4x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|-3|3\right)$ erhält man
d = $7\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-4)}\cdot 3$
also:

$7x_1+4x_2-4x_3=-45$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 14+4\cdot 8-4\cdot (-17)+45|}{\sqrt{7^2+4^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 324 · 27 = 2916

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ -2\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ -18\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ -2\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ -18\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·0-8·\left(-18\right)\\ 8·18-16·0\\ 16·\left(-18\right)-\left(-2\right)·18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+144\\ 144+0\\ -288+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ 144\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ 144\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{144}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ -2\\ 8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -18\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}18\\ -18\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}18\\ 18\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}18\\ -18\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}18\\ -18\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}18\\ 18\\ t\end{array}\right)$=$18\cdot 18+\mathrm{(-18)}\cdot 18+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=324-324\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}16\\ -2\\ 8\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}18\\ 18\\ t\end{array}\right)$ = 8⋅t +252 = 0 wird, also t=$-\frac{63}{2}$ = $-\frac{63}{2}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}18\\ 18\\ -\frac{63}{2}\end{array}\right)$ = $\frac{1}{2}$⋅$\left(\begin{array}{c}36\\ 36\\ -63\end{array}\right)$ = $\frac{9}{2}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ -2\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ -18\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·0-8·\left(-18\right)\\ 8·18-16·0\\ 16·\left(-18\right)-\left(-2\right)·18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+144\\ 144+0\\ -288+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ 144\\ -252\end{array}\right)$

= 36⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}16\\ -2\\ 8\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}18\\ -18\\ 0\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -7\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+4x_2-7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(5|0|-4\right)$ erhält man
d = $4\cdot 5+4\cdot 0+\mathrm{(-7)}\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$4x_1+4x_2-7x_3=48$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 18+4\cdot 4-7\cdot (-29)-48|}{\sqrt{4^2+4^2+{(-7)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 162 · 27 = 1458

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-2t\\ -9t\\ -6t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -2\\ 6\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-2t\\ -9t\\ -6t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-9\\ -2\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-9t·6-\left(-6t\right)·\left(-2\right)\\ -6t·\left(-9\right)-\left(-2t\right)·6\\ -2t·\left(-2\right)-\left(-9t\right)·\left(-9\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-54t-12t\\ 54t+12t\\ 4t-81t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-66t\\ 66t\\ -77t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-66t\\ 66t\\ -77t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4356t^2+4356t^2+5929t^2}$ = $\sqrt{14641t^2}$ = $\left|$ 121t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 242 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 121t$\right|$ = 242 |⋅2

$\left|$ 121t$\right|$ = 484

1. Fall

$121t$ = 484 |: 121

t = 4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(0-2t\right|2-9t\left|0-6t\right)$ ergibt
B₁$\left(-8|-34|-24\right)$.

2. Fall

- $121t$ = 484 |: -121

t = -4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(0-2t\right|2-9t\left|0-6t\right)$ ergibt
B₂$\left(8|38|24\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+x_2+4x_3=12$ ein.

S₁: => x=$12$=12, also S₁$\left(12|0|0\right)$
S₂: => y=$12$=12, also S₂$\left(0|12|0\right)$
S₃: => z=$\frac{12}{4}$=3, also S₃$\left(0|0|3\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 12⋅12 = 72, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 3 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅72⋅3
=72

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{3}$ = $\frac{d^2}{24}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{24}{d}^2$	=	$600$	|⋅$24$
$d^2$	=	$14400$	|
d1	=	$-\sqrt{14400}$	= $-120$
d2	=	$\sqrt{14400}$	= $120$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+3x_2+5x_3=120$

Aber auch E2: $4x_1+3x_2+5x_3=-120$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-30|0|0), S₂(0|-40|0) und S₃(0|0|-24). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+3x_2+5x_3=120$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{1}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{3}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{1}$⋅ $\frac{d}{3}$ = $\frac{d^3}{54}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{54}{d}^3$	=	$\mathrm{13,5}$	|⋅$54$
$d^3$	=	$729$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{729}$	= $9$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+x_2+3x_3=9$

Aber auch E2: $3x_1+x_2+3x_3=-9$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-9|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+x_2+3x_3=9$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.