Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-11\\ -4\\ -3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-21\\ 0\\ -7\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-32\\ -4\\ -10\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-32|-4|-10\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 8\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-21\\ 0\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 8\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-21\\ 0\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-7\right)-12·0\\ 12·\left(-21\right)-24·\left(-7\right)\\ 24·0-8·\left(-21\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56+0\\ -252+168\\ 0+168\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56\\ -84\\ 168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-56\\ -84\\ 168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-56)}}^2+{\mathrm{(-84)}}^2+{168}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 10\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·10-12·0\\ 12·\left(-5\right)-\left(-16\right)·10\\ -16·0-0·\left(-5\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ -60+160\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{100}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ 27\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ -12\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ 27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-18\\ -12\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·4-27·\left(-12\right)\\ 27·\left(-18\right)-\left(-6\right)·4\\ -6·\left(-12\right)-18·\left(-18\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}72+324\\ -486+24\\ 72+324\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ -462\\ 396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}396\\ -462\\ 396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{396}^2+{\mathrm{(-462)}}^2+{396}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ 27\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ -12\\ 4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ 27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-18\\ -12\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·4-27·\left(-12\right)\\ 27·\left(-18\right)-\left(-6\right)·4\\ -6·\left(-12\right)-18·\left(-18\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}72+324\\ -486+24\\ 72+324\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ -462\\ 396\end{array}\right)$ = -66⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ 27\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-18\\ -12\\ 4\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+7x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|-1|-3\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-3)}+7\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$-6x_1+7x_2-6x_3=29$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-30)+7\cdot 14-6\cdot (-19)-29|}{\sqrt{{(-6)}^2+7^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 726 · 33 = 7986

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 3\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 20\\ 34\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 3\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 20\\ 34\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3·34-24·20\\ 24·8-12·34\\ 12·20-3·8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}102-480\\ 192-408\\ 240-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-378\\ -216\\ 216\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-378\\ -216\\ 216\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-378)}}^2+{\mathrm{(-216)}}^2+{216}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 486 = 243.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ -12\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 3\\ 24\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 20\\ 34\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 3\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 20\\ 34\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3·34-24·20\\ 24·8-12·34\\ 12·20-3·8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}102-480\\ 192-408\\ 240-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-378\\ -216\\ 216\end{array}\right)$ = -54⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}12\\ 3\\ 24\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}8\\ 20\\ 34\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ -12\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ -4\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1+4x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|-6|-12\right)$ erhält man
d = $7\cdot \mathrm{(-2)}+4\cdot \mathrm{(-6)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-12)}$
also:

$7x_1+4x_2-4x_3=10$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 19+4\cdot 15-4\cdot (-15)-10|}{\sqrt{7^2+4^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 243 · 27 = 2187

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-9t\\ 2t\\ 6t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ -6\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-9t\\ 2t\\ 6t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2t·\left(-6\right)-6t·9\\ 6t·\left(-2\right)-\left(-9t\right)·\left(-6\right)\\ -9t·9-2t·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12t-54t\\ -12t-54t\\ -81t+4t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-66t\\ -66t\\ -77t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-66t\\ -66t\\ -77t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4356t^2+4356t^2+5929t^2}$ = $\sqrt{14641t^2}$ = $\left|$ 121t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 302,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 121t$\right|$ = 302,5 |⋅2

$\left|$ 121t$\right|$ = 605

1. Fall

$121t$ = 605 |: 121

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-4-9t\right|-4+2t\left|2+6t\right)$ ergibt
B₁$\left(-49|6|32\right)$.

2. Fall

- $121t$ = 605 |: -121

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-4-9t\right|-4+2t\left|2+6t\right)$ ergibt
B₂$\left(41|-14|-28\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+5x_2+4x_3=60$ ein.

S₁: => x=$\frac{60}{2}$=30, also S₁$\left(30|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{60}{5}$=12, also S₂$\left(0|12|0\right)$
S₃: => z=$\frac{60}{4}$=15, also S₃$\left(0|0|15\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 30⋅12 = 180, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 15 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅180⋅15
=900

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{2}$ = $\frac{d^2}{8}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{8}{d}^2$	=	$50$	|⋅$8$
$d^2$	=	$400$	|
d1	=	$-\sqrt{400}$	= $-20$
d2	=	$\sqrt{400}$	= $20$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+2x_2+5x_3=20$

Aber auch E2: $2x_1+2x_2+5x_3=-20$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-10|0|0), S₂(0|-10|0) und S₃(0|0|-4). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+2x_2+5x_3=20$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{3}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{5}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{3}$⋅ $\frac{d}{5}$ = $\frac{d^3}{180}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{180}{d}^3$	=	$150$	|⋅$180$
$d^3$	=	$27000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{27000}$	= $30$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+3x_2+5x_3=30$

Aber auch E2: $2x_1+3x_2+5x_3=-30$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-15|0|0), S₂(0|-10|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+3x_2+5x_3=30$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.