Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 5\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}8\\ -1\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 10\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(10|0|10\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -1\\ 5\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ -1\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·5-\left(-8\right)·\left(-1\right)\\ -8·8-\left(-8\right)·5\\ -8·\left(-1\right)-4·8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}20-8\\ -64+40\\ 8-32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{12}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 16\\ 32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -8\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 16\\ 32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ -8\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16·\left(-7\right)-32·\left(-8\right)\\ 32·\left(-7\right)-\left(-4\right)·\left(-7\right)\\ -4·\left(-8\right)-16·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-112+256\\ -224-28\\ 32+112\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{\mathrm{(-252)}}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -11\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16·\left(-11\right)-\left(-12\right)·2\\ -12·0-0·\left(-11\right)\\ 0·2-\left(-16\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}176+24\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}200\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}200\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{200}^2+0^2+0^2}=\sqrt{40000}=200$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 200.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 9\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ -12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -11\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ -12\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 12\\ -16\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ -12\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ -12\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 12\\ -16\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-16)}\cdot 12+\mathrm{(-12)}\cdot \mathrm{(-16)}=0-192\mathrm{+192}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -11\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 12\\ -16\end{array}\right)$ = 0⋅t +200 = 0 wird, also t=$-\frac{1}{0}$ = $-\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{0}\\ 12\\ -16\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}\frac{0}{0}\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16·\left(-11\right)-\left(-12\right)·2\\ -12·0-0·\left(-11\right)\\ 0·2-\left(-16\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}176+24\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}200\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

= 200⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ -12\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -11\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\ 9\\ 3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|9|3\right)$ erhält man
d = $1\cdot 4+0\cdot 9+0\cdot 3$
also:

$\mathrm{}{x}_1=4$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 7+0\cdot 8+0\cdot (-4)-4|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 200 · 3 = 200

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-22\\ -22\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ -4\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-22\\ -22\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·0-12·\left(-22\right)\\ 12·\left(-22\right)-\left(-18\right)·0\\ -18·\left(-22\right)-\left(-4\right)·\left(-22\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+264\\ -264+0\\ 396-88\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ -264\\ 308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ -264\\ 308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{308}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ -4\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-22\\ -22\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-22\\ -22\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}22\\ -22\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-22\\ -22\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-22\\ -22\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}22\\ -22\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-22)}\cdot 22+\mathrm{(-22)}\cdot \mathrm{(-22)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-484\mathrm{+484}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-18\\ -4\\ 12\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}22\\ -22\\ t\end{array}\right)$ = 12⋅t -308 = 0 wird, also t=$\frac{77}{3}$ = $\frac{77}{3}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}22\\ -22\\ \frac{77}{3}\end{array}\right)$ = $\frac{1}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}66\\ -66\\ 77\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{11}}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ -4\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-22\\ -22\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·0-12·\left(-22\right)\\ 12·\left(-22\right)-\left(-18\right)·0\\ -18·\left(-22\right)-\left(-4\right)·\left(-22\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+264\\ -264+0\\ 396-88\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ -264\\ 308\end{array}\right)$

= 44⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-18\\ -4\\ 12\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-22\\ -22\\ 0\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 7\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1-6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|4|3\right)$ erhält man
d = $6\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-6)}\cdot 4+7\cdot 3$
also:

$6x_1-6x_2+7x_3=-21$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 13-6\cdot (-23)+7\cdot 18+21|}{\sqrt{6^2+{(-6)}^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 242 · 33 = 2662

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-1t\\ -8t\\ -4t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-11\\ -25\\ -8\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-1t\\ -8t\\ -4t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-11\\ -25\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8t·\left(-8\right)-\left(-4t\right)·\left(-25\right)\\ -4t·\left(-11\right)-\left(-t\right)·\left(-8\right)\\ -t·\left(-25\right)-\left(-8t\right)·\left(-11\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}64t-100t\\ 44t-8t\\ 25t-88t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36t\\ 36t\\ -63t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36t\\ 36t\\ -63t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1296t^2+1296t^2+3969t^2}$ = $\sqrt{6561t^2}$ = $\left|$ 81t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 81 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 81t$\right|$ = 81 |⋅2

$\left|$ 81t$\right|$ = 162

1. Fall

$81t$ = 162 |: 81

t = 2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(3-1t\right|21-8t\left|8-4t\right)$ ergibt
B₁$\left(1|5|0\right)$.

2. Fall

- $81t$ = 162 |: -81

t = -2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(3-1t\right|21-8t\left|8-4t\right)$ ergibt
B₂$\left(5|37|16\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+3x_2+5x_3=30$ ein.

S₁: => x=$\frac{30}{3}$=10, also S₁$\left(10|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{30}{3}$=10, also S₂$\left(0|10|0\right)$
S₃: => z=$\frac{30}{5}$=6, also S₃$\left(0|0|6\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 10⋅10 = 50, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅50⋅6
=100

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{4}$ = $\frac{d^2}{32}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{32}{d}^2$	=	$\mathrm{0,5}$	|⋅$32$
$d^2$	=	$16$	|
d1	=	$-\sqrt{16}$	= $-4$
d2	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+4x_3=4$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+4x_3=-4$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-4|0|0), S₂(0|-1|0) und S₃(0|0|-1). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+4x_3=4$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{2}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{2}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{96}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{96}{d}^3$	=	$18$	|⋅$96$
$d^3$	=	$1728$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{1728}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+2x_2+2x_3=12$

Aber auch E2: $4x_1+2x_2+2x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+2x_2+2x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.