Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ -15\\ 19\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-5\\ -18\\ 16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -33\\ 35\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(2|-33|35\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ -36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -18\\ 16\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ -36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-5\\ -18\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24·16-\left(-36\right)·\left(-18\right)\\ -36·\left(-5\right)-\left(-8\right)·16\\ -8·\left(-18\right)-24·\left(-5\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}384-648\\ 180+128\\ 144+120\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ 308\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ 308\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{308}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·3-\left(-16\right)·\left(-4\right)\\ -16·0-0·3\\ 0·\left(-4\right)-\left(-12\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36-64\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-100)}}^2+0^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ 6\\ -9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ 6\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-4\right)-\left(-9\right)·12\\ -9·\left(-6\right)-18·\left(-4\right)\\ 18·12-6·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24+108\\ 54+72\\ 216+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ 126\\ 252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}84\\ 126\\ 252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{84}^2+{126}^2+{252}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 6\\ -9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ -4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ 6\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-4\right)-\left(-9\right)·12\\ -9·\left(-6\right)-18·\left(-4\right)\\ 18·12-6·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24+108\\ 54+72\\ 216+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ 126\\ 252\end{array}\right)$ = 42⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}18\\ 6\\ -9\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ -4\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+3x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-4|0|-1\right)$ erhält man
d = $2\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot 0+6\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$2x_1+3x_2+6x_3=-14$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot (-1)+3\cdot 15+6\cdot 15+14|}{\sqrt{2^2+3^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -7\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ -7\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3·2-6·\left(-7\right)\\ 6·8-6·2\\ 6·\left(-7\right)-\left(-3\right)·8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6+42\\ 48-12\\ -42+24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ 36\\ -18\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}36\\ 36\\ -18\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{36}^2+{36}^2+{\mathrm{(-18)}}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 54 = 27.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -7\\ 2\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ -7\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3·2-6·\left(-7\right)\\ 6·8-6·2\\ 6·\left(-7\right)-\left(-3\right)·8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6+42\\ 48-12\\ -42+24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ 36\\ -18\end{array}\right)$ = -18⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}8\\ -7\\ 2\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|-1|3\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 3$
also:

$-2x_1-2x_2+x_3=1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-3)-2\cdot (-9)+1\cdot 4-1|}{\sqrt{{(-2)}^2+{(-2)}^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 27 · 9 = 81

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}2t\\ 6t\\ -9t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}9\\ -6\\ -2\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2t\\ 6t\\ -9t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}9\\ -6\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6t·\left(-2\right)-\left(-9t\right)·\left(-6\right)\\ -9t·9-2t·\left(-2\right)\\ 2t·\left(-6\right)-6t·9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12t-54t\\ -81t+4t\\ -12t-54t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-66t\\ -77t\\ -66t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-66t\\ -77t\\ -66t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4356t^2+5929t^2+4356t^2}$ = $\sqrt{14641t^2}$ = $\left|$ 121t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 302,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 121t$\right|$ = 302,5 |⋅2

$\left|$ 121t$\right|$ = 605

1. Fall

$121t$ = 605 |: 121

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-4+2t\right|0+6t\left|3-9t\right)$ ergibt
B₁$\left(6|30|-42\right)$.

2. Fall

- $121t$ = 605 |: -121

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-4+2t\right|0+6t\left|3-9t\right)$ ergibt
B₂$\left(-14|-30|48\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+5x_2+2x_3=30$ ein.

S₁: => x=$\frac{30}{2}$=15, also S₁$\left(15|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{30}{5}$=6, also S₂$\left(0|6|0\right)$
S₃: => z=$\frac{30}{2}$=15, also S₃$\left(0|0|15\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 15⋅6 = 45, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 15 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅45⋅15
=225

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+5x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+5x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{5}$ = $\frac{d^2}{20}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{20}{d}^2$	=	$80$	|⋅$20$
$d^2$	=	$1600$	|
d1	=	$-\sqrt{1600}$	= $-40$
d2	=	$\sqrt{1600}$	= $40$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+5x_2+5x_3=40$

Aber auch E2: $2x_1+5x_2+5x_3=-40$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-20|0|0), S₂(0|-8|0) und S₃(0|0|-8). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+5x_2+5x_3=40$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{3}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{3}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{180}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{180}{d}^3$	=	$4050$	|⋅$180$
$d^3$	=	$729000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{729000}$	= $90$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+3x_2+2x_3=90$

Aber auch E2: $5x_1+3x_2+2x_3=-90$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-18|0|0), S₂(0|-30|0) und S₃(0|0|-45). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+3x_2+2x_3=90$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.