Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 13\\ 5\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-1\\ 9\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-15\\ 22\\ 1\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-15|22|1\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 9\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 9\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24·\left(-4\right)-\left(-8\right)·9\\ -8·\left(-1\right)-12·\left(-4\right)\\ 12·9-\left(-24\right)·\left(-1\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}96+72\\ 8+48\\ 108-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168\\ 56\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}168\\ 56\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{168}^2+{56}^2+{84}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 4\\ 32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 9\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 4\\ 32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 9\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·9-32·9\\ 32·0-\left(-16\right)·9\\ -16·9-4·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36-288\\ 0+144\\ -144+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-252\\ 144\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-252\\ 144\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-252)}}^2+{144}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -11\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -11\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·2-\left(-16\right)·\left(-11\right)\\ -16·0-0·2\\ 0·\left(-11\right)-\left(-12\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-176\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-200\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-200\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-200)}}^2+0^2+0^2}=\sqrt{40000}=200$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 200.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -16\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -11\\ 2\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -16\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 16\\ -12\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -16\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -16\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 16\\ -12\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-12)}\cdot 16+\mathrm{(-16)}\cdot \mathrm{(-12)}=0-192\mathrm{+192}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -11\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 16\\ -12\end{array}\right)$ = 0⋅t -200 = 0 wird, also t=$\frac{1}{0}$ = $\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}\frac{1}{0}\\ 16\\ -12\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}\frac{0}{0}\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -11\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·2-\left(-16\right)·\left(-11\right)\\ -16·0-0·2\\ 0·\left(-11\right)-\left(-12\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-176\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-200\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

= -200⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -16\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ -11\\ 2\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|4|-1\right)$ erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 4+0\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$\mathrm{}{x}_1=2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 5+0\cdot (-3)+0\cdot (-2)-2|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 200 · 3 = 200

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ -12\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}22\\ 0\\ -22\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -12\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}22\\ 0\\ -22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·\left(-22\right)-\left(-4\right)·0\\ -4·22-18·\left(-22\right)\\ 18·0-\left(-12\right)·22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264+0\\ -88+396\\ 0+264\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ 308\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ 308\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{308}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -12\\ -4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}22\\ 0\\ -22\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}22\\ 0\\ -22\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-22\\ t\\ -22\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}22\\ 0\\ -22\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}22\\ 0\\ -22\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-22\\ t\\ -22\end{array}\right)$=$22\cdot \mathrm{(-22)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-22)}\cdot \mathrm{(-22)}=-484\mathrm{+0}\mathrm{+484}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}18\\ -12\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-22\\ t\\ -22\end{array}\right)$ = -12⋅t -308 = 0 wird, also t=$-\frac{77}{3}$ = $-\frac{77}{3}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-22\\ -\frac{77}{3}\\ -22\end{array}\right)$ = $\frac{1}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}-66\\ -77\\ -66\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{-11}}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -12\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}22\\ 0\\ -22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·\left(-22\right)-\left(-4\right)·0\\ -4·22-18·\left(-22\right)\\ 18·0-\left(-12\right)·22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264+0\\ -88+396\\ 0+264\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ 308\\ 264\end{array}\right)$

= 44⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}18\\ -12\\ -4\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}22\\ 0\\ -22\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1+7x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|5|4\right)$ erhält man
d = $6\cdot 0+7\cdot 5+6\cdot 4$
also:

$6x_1+7x_2+6x_3=59$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 20+7\cdot 32+6\cdot 13-59|}{\sqrt{6^2+7^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 242 · 33 = 2662

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-1t\\ -2t\\ 2t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 5\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-1t\\ -2t\\ 2t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2t·5-2t·\left(-2\right)\\ 2t·\left(-4\right)-\left(-t\right)·5\\ -t·\left(-2\right)-\left(-2t\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-10t+4t\\ -8t+5t\\ 2t-8t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6t\\ -3t\\ -6t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-6t\\ -3t\\ -6t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{36t^2+9t^2+36t^2}$ = $\sqrt{81t^2}$ = $\left|$ 9t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 9 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 9t$\right|$ = 9 |⋅2

$\left|$ 9t$\right|$ = 18

1. Fall

$9t$ = 18 |: 9

t = 2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(1-1t\right|5-2t\left|-5+2t\right)$ ergibt
B₁$\left(-1|1|-1\right)$.

2. Fall

- $9t$ = 18 |: -9

t = -2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(1-1t\right|5-2t\left|-5+2t\right)$ ergibt
B₂$\left(3|9|-9\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+5x_2+x_3=15$ ein.

S₁: => x=$\frac{15}{5}$=3, also S₁$\left(3|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{15}{5}$=3, also S₂$\left(0|3|0\right)$
S₃: => z=$15$=15, also S₃$\left(0|0|15\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 3⋅3 = 4.5, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 15 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅4.5⋅15
=22.5

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{3}$ = $\frac{d^2}{18}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{18}{d}^2$	=	$8$	|⋅$18$
$d^2$	=	$144$	|
d1	=	$-\sqrt{144}$	= $-12$
d2	=	$\sqrt{144}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+3x_2+3x_3=12$

Aber auch E2: $2x_1+3x_2+3x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-4|0) und S₃(0|0|-4). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+3x_2+3x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{1}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{1}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{1}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{1}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{1}$⋅ $\frac{d}{1}$ = $\frac{d^3}{24}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{24}{d}^3$	=	$72$	|⋅$24$
$d^3$	=	$1728$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{1728}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+x_2+x_3=12$

Aber auch E2: $4x_1+x_2+x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-12|0) und S₃(0|0|-12). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+x_2+x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.