Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 8\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(6|6|8\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·8-\left(-8\right)·5\\ -8·1-\left(-4\right)·8\\ -4·5-\left(-8\right)·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-64+40\\ -8+32\\ -20+8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{24}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 16\\ -32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 4\\ -17\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 16\\ -32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ 4\\ -17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16·\left(-17\right)-\left(-32\right)·4\\ -32·\left(-10\right)-\left(-4\right)·\left(-17\right)\\ -4·4-16·\left(-10\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-272+128\\ 320-68\\ -16+160\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ 252\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-144\\ 252\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-144)}}^2+{252}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-36\\ -8\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-13\\ -20\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-36\\ -8\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-13\\ -20\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-6\right)-24·\left(-20\right)\\ 24·\left(-13\right)-\left(-36\right)·\left(-6\right)\\ -36·\left(-20\right)-\left(-8\right)·\left(-13\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48+480\\ -312-216\\ 720-104\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}528\\ -528\\ 616\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}528\\ -528\\ 616\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{528}^2+{\mathrm{(-528)}}^2+{616}^2}=\sqrt{937024}=968$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 968.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ -8\\ 24\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-13\\ -20\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-36\\ -8\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-13\\ -20\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-6\right)-24·\left(-20\right)\\ 24·\left(-13\right)-\left(-36\right)·\left(-6\right)\\ -36·\left(-20\right)-\left(-8\right)·\left(-13\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48+480\\ -312-216\\ 720-104\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}528\\ -528\\ 616\end{array}\right)$ = 88⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-36\\ -8\\ 24\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-13\\ -20\\ -6\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 7\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1-6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|4|-4\right)$ erhält man
d = $6\cdot 4+\mathrm{(-6)}\cdot 4+7\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$6x_1-6x_2+7x_3=-28$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 11-6\cdot (-25)+7\cdot 17+28|}{\sqrt{6^2+{(-6)}^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 968 · 33 = 10648

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -8\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 0\\ 18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -8\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-18\\ 0\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·18-16·0\\ 16·\left(-18\right)-\left(-2\right)·18\\ -2·0-\left(-8\right)·\left(-18\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144+0\\ -288+36\\ 0-144\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ -252\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-144\\ -252\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-144)}}^2+{\mathrm{(-252)}}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -8\\ 16\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 0\\ 18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-18\\ 0\\ 18\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}18\\ t\\ 18\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-18\\ 0\\ 18\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-18\\ 0\\ 18\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}18\\ t\\ 18\end{array}\right)$=$\mathrm{(-18)}\cdot 18+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+18\cdot 18=-324\mathrm{+0}\mathrm{+324}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -8\\ 16\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}18\\ t\\ 18\end{array}\right)$ = -8⋅t +252 = 0 wird, also t=$\frac{63}{2}$ = $\frac{63}{2}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}18\\ \frac{63}{2}\\ 18\end{array}\right)$ = $\frac{1}{2}$⋅$\left(\begin{array}{c}36\\ 63\\ 36\end{array}\right)$ = $\frac{9}{2}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -8\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-18\\ 0\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·18-16·0\\ 16·\left(-18\right)-\left(-2\right)·18\\ -2·0-\left(-8\right)·\left(-18\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144+0\\ -288+36\\ 0-144\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ -252\\ -144\end{array}\right)$

= -36⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ -8\\ 16\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-18\\ 0\\ 18\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+7x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|-3|-5\right)$ erhält man
d = $4\cdot \mathrm{(-2)}+7\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$4x_1+7x_2+4x_3=-49$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 2+7\cdot 22+4\cdot 8+49|}{\sqrt{4^2+7^2+4^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 162 · 27 = 1458

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}3t\\ 0t\\ -4t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ -5\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3t\\ 0t\\ -4t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·\left(-5\right)-\left(-4t\right)·0\\ -4t·10-3t·\left(-5\right)\\ 3t·0-0·10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ -40t+15t\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -25t\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -25t\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0+625t^2+0}$ = $\sqrt{625t^2}$ = $\left|$ 25t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 62,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 25t$\right|$ = 62,5 |⋅2

$\left|$ 25t$\right|$ = 125

1. Fall

$25t$ = 125 |: 25

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-9+3t\right|-3+0t\left|5-4t\right)$ ergibt
B₁$\left(6|-3|-15\right)$.

2. Fall

- $25t$ = 125 |: -25

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-9+3t\right|-3+0t\left|5-4t\right)$ ergibt
B₂$\left(-24|-3|25\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+3x_2+5x_3=90$ ein.

S₁: => x=$\frac{90}{2}$=45, also S₁$\left(45|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{90}{3}$=30, also S₂$\left(0|30|0\right)$
S₃: => z=$\frac{90}{5}$=18, also S₃$\left(0|0|18\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 45⋅30 = 675, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 18 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅675⋅18
=4050

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{2}$ = $\frac{d^2}{4}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{4}{d}^2$	=	$64$	|⋅$4$
$d^2$	=	$256$	|
d1	=	$-\sqrt{256}$	= $-16$
d2	=	$\sqrt{256}$	= $16$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+2x_3=16$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+2x_3=-16$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-16|0|0), S₂(0|-4|0) und S₃(0|0|-8). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+2x_3=16$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+5x_2+x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+5x_2+x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{1}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{1}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{5}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{1}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{5}$⋅ $\frac{d}{1}$ = $\frac{d^3}{30}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{30}{d}^3$	=	$\mathrm{112,5}$	|⋅$30$
$d^3$	=	$3375$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{3375}$	= $15$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+x_3=15$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+x_3=-15$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-15|0|0), S₂(0|-3|0) und S₃(0|0|-15). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+x_3=15$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.