Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 7\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ 11\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(1|7|11\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·4-\left(-8\right)·1\\ -8·\left(-1\right)-\left(-4\right)·4\\ -4·1-\left(-8\right)·\left(-1\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32+8\\ 8+16\\ -4-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{24}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-2\right)-8·\left(-1\right)\\ 8·2-4·\left(-2\right)\\ 4·\left(-1\right)-\left(-8\right)·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16+8\\ 16+8\\ -4+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{24}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 7\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-14\\ 7\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·0-\left(-18\right)·7\\ -18·\left(-14\right)-\left(-6\right)·0\\ -6·7-9·\left(-14\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+126\\ 252+0\\ -42+126\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}126\\ 252\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}126\\ 252\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{126}^2+{252}^2+{84}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}6\\ -7\\ 8\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-14\\ 7\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-14\\ 7\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-14\\ 7\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-14\\ 7\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-14)}\cdot \mathrm{(-7)}+7\cdot \mathrm{(-14)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=98-98\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -18\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ t\end{array}\right)$ = -18⋅t -84 = 0 wird, also t=$-\frac{14}{3}$ = $-\frac{14}{3}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ -\frac{14}{3}\end{array}\right)$ = $\frac{1}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}-21\\ -42\\ -14\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{-7}}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-14\\ 7\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·0-\left(-18\right)·7\\ -18·\left(-14\right)-\left(-6\right)·0\\ -6·7-9·\left(-14\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+126\\ 252+0\\ -42+126\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}126\\ 252\\ 84\end{array}\right)$

= 42⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -18\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-14\\ 7\\ 0\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}6\\ -7\\ 8\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1+6x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(6|-7|8\right)$ erhält man
d = $3\cdot 6+6\cdot \mathrm{(-7)}+2\cdot 8$
also:

$3x_1+6x_2+2x_3=-8$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot 7+6\cdot 16+2\cdot 11+8|}{\sqrt{3^2+6^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 2\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 2\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-7\right)-\left(-3\right)·2\\ -3·8-6·\left(-7\right)\\ 6·2-6·8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-42+6\\ -24+42\\ 12-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ 18\\ -36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36\\ 18\\ -36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{18}^2+{\mathrm{(-36)}}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 54 = 27.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 2\\ -7\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 2\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-7\right)-\left(-3\right)·2\\ -3·8-6·\left(-7\right)\\ 6·2-6·8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-42+6\\ -24+42\\ 12-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ 18\\ -36\end{array}\right)$ = 18⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}8\\ 2\\ -7\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|-4|1\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 0+1\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-2)}\cdot 1$
also:

$-2x_1+x_2-2x_3=-6$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-5)+1\cdot (-3)-2\cdot (-7)+6|}{\sqrt{{(-2)}^2+1^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 27 · 9 = 81

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}4t\\ 0t\\ -3t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -7\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4t\\ 0t\\ -3t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·\left(-7\right)-\left(-3t\right)·0\\ -3t·1-4t·\left(-7\right)\\ 4t·0-0·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ -3t+28t\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 25t\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 25t\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0+625t^2+0}$ = $\sqrt{625t^2}$ = $\left|$ 25t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 50 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 25t$\right|$ = 50 |⋅2

$\left|$ 25t$\right|$ = 100

1. Fall

$25t$ = 100 |: 25

t = 4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-7+4t\right|0+0t\left|7-3t\right)$ ergibt
B₁$\left(9|0|-5\right)$.

2. Fall

- $25t$ = 100 |: -25

t = -4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-7+4t\right|0+0t\left|7-3t\right)$ ergibt
B₂$\left(-23|0|19\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+4x_2+2x_3=12$ ein.

S₁: => x=$\frac{6}{2}$=3, also S₁$\left(6|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{6}{4}$=1.5, also S₂$\left(0|3|0\right)$
S₃: => z=$\frac{6}{2}$=3, also S₃$\left(0|0|6\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6⋅3 = 9, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅9⋅6
=18

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{4}$ = $\frac{d^2}{8}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{8}{d}^2$	=	$2$	|⋅$8$
$d^2$	=	$16$	|
d1	=	$-\sqrt{16}$	= $-4$
d2	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+4x_3=4$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+x_2+4x_3=-4$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-4|0|0), S₂(0|-4|0) und S₃(0|0|-1). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+4x_3=4$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{2}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{5}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{2}$⋅ $\frac{d}{5}$ = $\frac{d^3}{240}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{240}{d}^3$	=	$900$	|⋅$240$
$d^3$	=	$216000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{216000}$	= $60$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+2x_2+5x_3=60$

Aber auch E2: $4x_1+2x_2+5x_3=-60$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-15|0|0), S₂(0|-30|0) und S₃(0|0|-12). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+2x_2+5x_3=60$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.