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Flächeninhalt eines Parallelogramms

Beispiel:

Das Dreieck ABC mit A(5|4|-2), B(5|20|-14) und C(5|-3|-3) soll durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Bestimme den Punkt D und berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms..

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Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

OD = OA + BC = ( 5 4 -2 ) + ( 0 -23 11 ) = ( 5 -19 9 )

Der Gesuchte Punkt ist also D(5|-19|9).

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( 5-5 20-4 -14-( - 2 ) ) = ( 0 16 -12 ) und AD = BC = ( 5-5 -3-20 -3-( - 14 ) ) = ( 0 -23 11 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 0 16 -12 ) × ( 0 -23 11 ) = ( 16 · 11 - ( -12 ) · ( -23 ) -12 · 0 - 0 · 11 0 · ( -23 ) - 16 · 0 ) = ( 176 -276 0+0 0+0 ) = ( -100 0 0 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -100 0 0 ) | = (-100) 2 + 02 + 0 2 = 10000 = 100 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 100.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(-10|4|-3), B(-46|28|5) und C(-3|-8|4).

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( -46-( - 10 ) 28-4 5-( - 3 ) ) = ( -36 24 8 ) und AC = ( -3-( - 10 ) -8-4 4-( - 3 ) ) = ( 7 -12 7 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -36 24 8 ) × ( 7 -12 7 ) = ( 24 · 7 - 8 · ( -12 ) 8 · 7 - ( -36 ) · 7 -36 · ( -12 ) - 24 · 7 ) = ( 168 +96 56 +252 432 -168 ) = ( 264 308 264 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 264 308 264 ) | = 264 2 + 3082 + 264 2 = 234256 = 484 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 484 = 242.

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm)

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Parallelogramm ABCD mit A(4|4|0), B(-23|22|-6), C(-27|10|-24) und D(0|-8|-18) und als Spitze S(20|19|-27). Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( -23-4 22-4 -6-0 ) = ( -27 18 -6 ) und AD = BC = ( -27-( - 23 ) 10-22 -24-( - 6 ) ) = ( -4 -12 -18 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -27 18 -6 ) × ( -4 -12 -18 ) = ( 18 · ( -18 ) - ( -6 ) · ( -12 ) -6 · ( -4 ) - ( -27 ) · ( -18 ) -27 · ( -12 ) - 18 · ( -4 ) ) = ( -324 -72 24 -486 324 +72 ) = ( -396 -462 396 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -396 -462 396 ) | = (-396) 2 + (-462)2 + 396 2 = 527076 = 726 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( 4 4 0 ) + r ( -27 18 -6 ) + s ( -4 -12 -18 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: n = ( -27 18 -6 ) × ( -4 -12 -18 ) = ( 18 · ( -18 ) - ( -6 ) · ( -12 ) -6 · ( -4 ) - ( -27 ) · ( -18 ) -27 · ( -12 ) - 18 · ( -4 ) ) = ( -324 -72 24 -486 324 +72 ) = ( -396 -462 396 ) = -66⋅ ( 6 7 -6 )

Weil der Vektor ( 6 7 -6 ) orthogonal zu ( -27 18 -6 ) und ( -4 -12 -18 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( 4 4 0 ) ] ( 6 7 -6 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also 6 x 1 +7 x 2 -6 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(4|4|0) erhält man
d = 64 + 74 + (-6)0
also:

6 x 1 +7 x 2 -6 x 3 = 52

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 6 20+7 19-6 ( - 27 )-52 | 6 2 + 7 2 + ( - 6 ) 2
= | 363 | 121 = 363 11 = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 726 · 33 = 7986

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Dreieck ABC mit A(0|-4|1), B(-12|20|4), C(-8|30|21) und als Spitze S(21|17|-2).
Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( -12-0 20-( - 4 ) 4-1 ) = ( -12 24 3 ) und AC = ( -8-0 30-( - 4 ) 21-1 ) = ( -8 34 20 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -12 24 3 ) × ( -8 34 20 ) = ( 24 · 20 - 3 · 34 3 · ( -8 ) - ( -12 ) · 20 -12 · 34 - 24 · ( -8 ) ) = ( 480 -102 -24 +240 -408 +192 ) = ( 378 216 -216 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 378 216 -216 ) | = 378 2 + 2162 + (-216) 2 = 236196 = 486 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 486 = 243.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( 0 -4 1 ) + r ( -12 24 3 ) + s ( -8 34 20 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: n = ( -12 24 3 ) × ( -8 34 20 ) = ( 24 · 20 - 3 · 34 3 · ( -8 ) - ( -12 ) · 20 -12 · 34 - 24 · ( -8 ) ) = ( 480 -102 -24 +240 -408 +192 ) = ( 378 216 -216 ) = 54⋅ ( 7 4 -4 )

Weil der Vektor ( 7 4 -4 ) orthogonal zu ( -12 24 3 ) und ( -8 34 20 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( 0 -4 1 ) ] ( 7 4 -4 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also 7 x 1 +4 x 2 -4 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(0|-4|1) erhält man
d = 70 + 4(-4) + (-4)1
also:

7 x 1 +4 x 2 -4 x 3 = -20

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 7 21+4 17-4 ( - 2 )+20 | 7 2 + 4 2 + ( - 4 ) 2
= | 243 | 81 = 243 9 = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 243 · 27 = 2187

Pkt auf Gerade mit Dreiecksinhalt finden

Beispiel:

Gegeben ist der Punkt A(5|-1|-6), der Punkt C(9|8|-5) und die Gerade g: x = ( 5 -1 -6 ) +t ( 2 -6 -3 ) . A liegt in g.
Bestimme alle möglichen Koordinaten für einen Punkt B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABC den Flächeninhalt A = 73,5 hat.

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor AB einfach als ( 2 t -6 t -3 t ) schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als AC = ( 9-5 8-( - 1 ) -5-( - 6 ) ) = ( 4 9 1 ) .

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 2 t -6 t -3 t ) × ( 4 9 1 ) = ( -6 t · 1 - ( -3 t ) · 9 -3 t · 4 - 2 t · 1 2 t · 9 - ( -6 t ) · 4 ) = ( -6 t +27 t -12 t -2 t 18 t +24 t ) = ( 21 t -14 t 42 t ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | AB x AC | = | ( 21 t -14 t 42 t ) | = 441 t 2 +196 t 2 +1764 t 2 = 2401 t 2 = | 49t | entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 73,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = 1 2 | AB x AC | = 1 2 | 49t | = 73,5 |⋅2

| 49t | = 147

1. Fall

49t = 147 |: 49

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( 5 +2 t | -1 -6 t | -6 -3 t ) ergibt
B1(11|-19|-15).

2. Fall

- 49t = 147 |: -49

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( 5 +2 t | -1 -6 t | -6 -3 t ) ergibt
B2(-1|17|3).

Pyramide aus Spurpunkten einer Ebene

Beispiel:

Gegeben ist die Koordinatengleichung der Ebene E: 3 x 1 +2 x 2 +5 x 3 = 45 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P. Berechne das Volumen von P.

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Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 3 x 1 +2 x 2 +5 x 3 = 45 ein.

S1: 3 x +2 0 +5 0 = 45 => x= 990 3 =330, also S1(15|0|0)
S2: 3 0 +2 y +5 0 = 45 => y= 990 2 =495, also S2(0|22|0)
S3: 3 0 +2 0 +5 z = 45 => z= 990 5 =198, also S3(0|0|9)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 ⋅ 15⋅22 = 165, weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS3= 9 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h
= 1 3 ⋅165⋅9
=495

Spurpunktdreieck rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: x 1 +2 x 2 +2 x 3 = 0 .

Die Schnittpunkte von E mit der x1-Achse und der x3-Achse bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Dreieck P mit dem Flächeninhalt 16. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

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Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

x 1 +2 x 2 +2 x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung x 1 +2 x 2 +2 x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 1 x +2 0 +2 0 = d => x = d 1 , also S1( d 1 |0|0)
S2: 1 0 +2 y +2 0 = d => y = d 2 , also S2(0| d 2 |0)
S3: 1 0 +2 0 +2 z = d => z = d 2 , also S3(0|0| d 2 )

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = 1 2 ⋅g⋅hg. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS1 und OS3.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS1S3: A = 1 2 d 1 d 2 = d 2 4

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

1 4 d 2 = 16 |⋅4
d 2 = 64 | 2
d1 = - 64 = -8
d2 = 64 = 8

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: x 1 +2 x 2 +2 x 3 = 8

Aber auch E2: x 1 +2 x 2 +2 x 3 = -8 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-8|0|0), S2(0|-4|0) und S3(0|0|-4). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: x 1 +2 x 2 +2 x 3 = 8 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Spurpunktpyramide rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: 2 x 1 +3 x 2 +5 x 3 = 0 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P mit dem Volumen 4050. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

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Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

2 x 1 +3 x 2 +5 x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 2 x 1 +3 x 2 +5 x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 2 x +3 0 +5 0 = d => x = d 2 , also S1( d 2 |0|0)
S2: 2 0 +3 y +5 0 = d => y = d 3 , also S2(0| d 3 |0)
S3: 2 0 +3 0 +5 z = d => z = d 5 , also S3(0|0| d 5 )

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 d 2 d 3 , weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS2= d 5 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h = 1 3 1 2 d 2 d 3 d 5 = d 3 180

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

1 180 d 3 = 4050 |⋅180
d 3 = 729000 | 3
d = 729000 3 = 90

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: 2 x 1 +3 x 2 +5 x 3 = 90

Aber auch E2: 2 x 1 +3 x 2 +5 x 3 = -90 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-45|0|0), S2(0|-30|0) und S3(0|0|-18). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: 2 x 1 +3 x 2 +5 x 3 = 90 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.