Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}1\\ -30\\ -34\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -28\\ -39\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(0|-28|-39\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 24\\ 36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ -30\\ -34\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 24\\ 36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ -30\\ -34\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24·\left(-34\right)-36·\left(-30\right)\\ 36·1-8·\left(-34\right)\\ 8·\left(-30\right)-24·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-816+1080\\ 36+272\\ -240-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ 308\\ -264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ 308\\ -264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{308}^2+{\mathrm{(-264)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·1-4·1\\ 4·4-\left(-8\right)·1\\ -8·1-\left(-8\right)·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8-4\\ 16+8\\ -8+32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-12)}}^2+{24}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ -14\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ -14\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·\left(-14\right)-\left(-8\right)·\left(-7\right)\\ -8·0-\left(-24\right)·\left(-14\right)\\ -24·\left(-7\right)-\left(-12\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168-56\\ 0-336\\ 168+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}112\\ -336\\ 168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}112\\ -336\\ 168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{112}^2+{\mathrm{(-336)}}^2+{168}^2}=\sqrt{153664}=392$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 392.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}9\\ 7\\ 7\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ -8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ -14\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ -14\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 14\\ -7\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ -14\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ -14\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 14\\ -7\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-7)}\cdot 14+\mathrm{(-14)}\cdot \mathrm{(-7)}=0-98\mathrm{+98}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ -8\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 14\\ -7\end{array}\right)$ = -24⋅t -112 = 0 wird, also t=$-\frac{14}{3}$ = $-\frac{14}{3}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-\frac{14}{3}\\ 14\\ -7\end{array}\right)$ = $\frac{1}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}-14\\ 42\\ -21\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{-7}}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ -14\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·\left(-14\right)-\left(-8\right)·\left(-7\right)\\ -8·0-\left(-24\right)·\left(-14\right)\\ -24·\left(-7\right)-\left(-12\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168-56\\ 0-336\\ 168+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}112\\ -336\\ 168\end{array}\right)$

= 56⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ -8\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ -14\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}9\\ 7\\ 7\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1-6x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(9|7|7\right)$ erhält man
d = $2\cdot 9+\mathrm{(-6)}\cdot 7+3\cdot 7$
also:

$2x_1-6x_2+3x_3=-3$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 12-6\cdot (-16)+3\cdot 8+3|}{\sqrt{2^2+{(-6)}^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 392 · 21 = 2744

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 9\\ -6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 13\\ -18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ 9\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 13\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·\left(-18\right)-\left(-6\right)·13\\ -6·\left(-12\right)-\left(-18\right)·\left(-18\right)\\ -18·13-9·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-162+78\\ 72-324\\ -234+108\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ -252\\ -126\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ -252\\ -126\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-252)}}^2+{\mathrm{(-126)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 294 = 147.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 9\\ -6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 13\\ -18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ 9\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 13\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·\left(-18\right)-\left(-6\right)·13\\ -6·\left(-12\right)-\left(-18\right)·\left(-18\right)\\ -18·13-9·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-162+78\\ 72-324\\ -234+108\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ -252\\ -126\end{array}\right)$ = -42⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-18\\ 9\\ -6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-12\\ 13\\ -18\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ -2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 3\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+6x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|-5|-2\right)$ erhält man
d = $2\cdot 2+6\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$2x_1+6x_2+3x_3=-32$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 11+6\cdot 15+3\cdot 1+32|}{\sqrt{2^2+6^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 147 · 21 = 1029

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}t\\ -4t\\ -8t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ -1\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}t\\ -4t\\ -8t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4t·\left(-1\right)-\left(-8t\right)·4\\ -8t·8-t·\left(-1\right)\\ t·4-\left(-4t\right)·8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4t+32t\\ -64t+t\\ 4t+32t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36t\\ -63t\\ 36t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}36t\\ -63t\\ 36t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1296t^2+3969t^2+1296t^2}$ = $\sqrt{6561t^2}$ = $\left|$ 81t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 162 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 81t$\right|$ = 162 |⋅2

$\left|$ 81t$\right|$ = 324

1. Fall

$81t$ = 324 |: 81

t = 4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-4+1t\right|5-4t\left|-2-8t\right)$ ergibt
B₁$\left(0|-11|-34\right)$.

2. Fall

- $81t$ = 324 |: -81

t = -4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-4+1t\right|5-4t\left|-2-8t\right)$ ergibt
B₂$\left(-8|21|30\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+5x_2+2x_3=45$ ein.

S₁: => x=$\frac{990}{3}$=330, also S₁$\left(15|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{990}{5}$=198, also S₂$\left(0|9|0\right)$
S₃: => z=$\frac{990}{2}$=495, also S₃$\left(0|0|22\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 15⋅9 = 67.5, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 22 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅67.5⋅22
=495

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{2}$ = $\frac{d^2}{12}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{12}{d}^2$	=	$300$	|⋅$12$
$d^2$	=	$3600$	|
d1	=	$-\sqrt{3600}$	= $-60$
d2	=	$\sqrt{3600}$	= $60$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+2x_2+5x_3=60$

Aber auch E2: $3x_1+2x_2+5x_3=-60$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-20|0|0), S₂(0|-30|0) und S₃(0|0|-12). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+2x_2+5x_3=60$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{4}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{4}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{192}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{192}{d}^3$	=	$9$	|⋅$192$
$d^3$	=	$1728$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{1728}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+4x_2+2x_3=12$

Aber auch E2: $4x_1+4x_2+2x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-3|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+4x_2+2x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.