Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ -4\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(8|-4|-4\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·0-4·\left(-3\right)\\ 4·6-\left(-8\right)·0\\ -8·\left(-3\right)-8·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+12\\ 24+0\\ 24-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{12}^2+{24}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ -1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·\left(-1\right)-\left(-16\right)·0\\ -16·\left(-7\right)-\left(-12\right)·\left(-1\right)\\ -12·0-0·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 112-12\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{100}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·0-0·\left(-6\right)\\ 0·\left(-8\right)-\left(-9\right)·0\\ -9·\left(-6\right)-12·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ 54+96\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 150\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 150\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{150}^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 150.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-12\\ -9\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-12\\ -9\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-9)}\cdot \mathrm{(-12)}+12\cdot \mathrm{(-9)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=108-108\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-12\\ -9\\ t\end{array}\right)$ = 0⋅t +150 = 0 wird, also t=$-\frac{1}{0}$ = $-\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -9\\ -\frac{1}{0}\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{0}{0}\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·0-0·\left(-6\right)\\ 0·\left(-8\right)-\left(-9\right)·0\\ -9·\left(-6\right)-12·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ 54+96\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 150\end{array}\right)$

= 150⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ 0\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ -2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|-3|-2\right)$ erhält man
d = $0\cdot 2+0\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$+x_3=-2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot (-2)+0\cdot (-6)+1\cdot 1+2|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 150 · 3 = 150

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}9\\ 12\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}17\\ 6\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}9\\ 12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}17\\ 6\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·0-0·6\\ 0·17-9·0\\ 9·6-12·17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ 54-204\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -150\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -150\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{\mathrm{(-150)}}^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 150 = 75.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 12\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}17\\ 6\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}9\\ 12\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-12\\ 9\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}9\\ 12\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}9\\ 12\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-12\\ 9\\ t\end{array}\right)$=$9\cdot \mathrm{(-12)}+12\cdot 9+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-108\mathrm{+108}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}17\\ 6\\ 0\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-12\\ 9\\ t\end{array}\right)$ = 0⋅t -150 = 0 wird, also t=$\frac{1}{0}$ = $\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 9\\ \frac{1}{0}\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{0}{0}\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}9\\ 12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}17\\ 6\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·0-0·6\\ 0·17-9·0\\ 9·6-12·17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ 54-204\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -150\end{array}\right)$

= -150⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}9\\ 12\\ 0\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}17\\ 6\\ 0\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-4|-2|-1\right)$ erhält man
d = $0\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$+x_3=-1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot 0+0\cdot (-5)+1\cdot 2+1|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 75 · 3 = 75

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}t\\ 2t\\ 2t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}t\\ 2t\\ 2t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2t·\left(-2\right)-2t·1\\ 2t·2-t·\left(-2\right)\\ t·1-2t·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4t-2t\\ 4t+2t\\ t-4t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6t\\ 6t\\ -3t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-6t\\ 6t\\ -3t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{36t^2+36t^2+9t^2}$ = $\sqrt{81t^2}$ = $\left|$ 9t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 22,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 9t$\right|$ = 22,5 |⋅2

$\left|$ 9t$\right|$ = 45

1. Fall

$9t$ = 45 |: 9

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-5+1t\right|2+2t\left|0+2t\right)$ ergibt
B₁$\left(0|12|10\right)$.

2. Fall

- $9t$ = 45 |: -9

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-5+1t\right|2+2t\left|0+2t\right)$ ergibt
B₂$\left(-10|-8|-10\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+4x_2+2x_3=12$ ein.

S₁: => x=$\frac{6}{4}$=1.5, also S₁$\left(3|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{6}{4}$=1.5, also S₂$\left(0|3|0\right)$
S₃: => z=$\frac{6}{2}$=3, also S₃$\left(0|0|6\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 3⋅3 = 4.5, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅4.5⋅6
=9

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{5}$ = $\frac{d^2}{20}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{20}{d}^2$	=	$20$	|⋅$20$
$d^2$	=	$400$	|
d1	=	$-\sqrt{400}$	= $-20$
d2	=	$\sqrt{400}$	= $20$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+5x_2+2x_3=20$

Aber auch E2: $2x_1+5x_2+2x_3=-20$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-10|0|0), S₂(0|-4|0) und S₃(0|0|-10). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+5x_2+2x_3=20$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+5x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+5x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{5}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{5}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{5}$⋅ $\frac{d}{5}$ = $\frac{d^3}{150}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{150}{d}^3$	=	$\mathrm{22,5}$	|⋅$150$
$d^3$	=	$3375$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{3375}$	= $15$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+5x_3=15$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+5x_3=-15$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-15|0|0), S₂(0|-3|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+5x_3=15$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.