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Flächeninhalt eines Parallelogramms

Beispiel:

Das Dreieck ABC mit A(-2|-5|-1), B(14|-5|11) und C(-1|-5|6) soll durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Bestimme den Punkt D und berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms..

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Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

OD = OA + BC = ( -2 -5 -1 ) + ( -15 0 -5 ) = ( -17 -5 -6 )

Der Gesuchte Punkt ist also D(-17|-5|-6).

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( 14-( - 2 ) -5-( - 5 ) 11-( - 1 ) ) = ( 16 0 12 ) und AD = BC = ( -1-14 -5-( - 5 ) 6-11 ) = ( -15 0 -5 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 16 0 12 ) × ( -15 0 -5 ) = ( 0 · ( -5 ) - 12 · 0 12 · ( -15 ) - 16 · ( -5 ) 16 · 0 - 0 · ( -15 ) ) = ( 0+0 -180 +80 0+0 ) = ( 0 -100 0 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 0 -100 0 ) | = 0 2 + (-100)2 + 0 2 = 10000 = 100 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 100.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(14|-2|-11), B(2|-2|5) und C(1|-2|-2).

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( 2-14 -2-( - 2 ) 5-( - 11 ) ) = ( -12 0 16 ) und AC = ( 1-14 -2-( - 2 ) -2-( - 11 ) ) = ( -13 0 9 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -12 0 16 ) × ( -13 0 9 ) = ( 0 · 9 - 16 · 0 16 · ( -13 ) - ( -12 ) · 9 -12 · 0 - 0 · ( -13 ) ) = ( 0+0 -208 +108 0+0 ) = ( 0 -100 0 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 0 -100 0 ) | = 0 2 + (-100)2 + 0 2 = 10000 = 100 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 100 = 50.

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm)

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Parallelogramm ABCD mit A(-4|5|2), B(-1|-1|8), C(3|3|10) und D(0|9|4) und als Spitze S(-8|10|9). Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( -1-( - 4 ) -1-5 8-2 ) = ( 3 -6 6 ) und AD = BC = ( 3-( - 1 ) 3-( - 1 ) 10-8 ) = ( 4 4 2 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 3 -6 6 ) × ( 4 4 2 ) = ( -6 · 2 - 6 · 4 6 · 4 - 3 · 2 3 · 4 - ( -6 ) · 4 ) = ( -12 -24 24 -6 12 +24 ) = ( -36 18 36 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -36 18 36 ) | = (-36) 2 + 182 + 36 2 = 2916 = 54 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 54.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( -4 5 2 ) + r ( 3 -6 6 ) + s ( 4 4 2 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( 3 -6 6 ) × ( 4 4 2 ) = ( -6 · 2 - 6 · 4 6 · 4 - 3 · 2 3 · 4 - ( -6 ) · 4 ) = ( -12 -24 24 -6 12 +24 ) = ( -36 18 36 ) = 18⋅ ( -2 1 2 )

Weil der Vektor ( -2 1 2 ) orthogonal zu ( 3 -6 6 ) und ( 4 4 2 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( -4 5 2 ) ] ( -2 1 2 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also -2 x 1 + x 2 +2 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(-4|5|2) erhält man
d = (-2)(-4) + 15 + 22
also:

-2 x 1 + x 2 +2 x 3 = 17

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | -2 ( - 8 )+1 10+2 9-17 | ( - 2 ) 2 + 1 2 + 2 2
= | 27 | 9 = 27 3 = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 54 · 9 = 162

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Dreieck ABC mit A(5|-5|1), B(1|-17|-5), C(-11|-11|-9) und als Spitze S(8|4|-19).
Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( 1-5 -17-( - 5 ) -5-1 ) = ( -4 -12 -6 ) und AC = ( -11-5 -11-( - 5 ) -9-1 ) = ( -16 -6 -10 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -4 -12 -6 ) × ( -16 -6 -10 ) = ( -12 · ( -10 ) - ( -6 ) · ( -6 ) -6 · ( -16 ) - ( -4 ) · ( -10 ) -4 · ( -6 ) - ( -12 ) · ( -16 ) ) = ( 120 -36 96 -40 24 -192 ) = ( 84 56 -168 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 84 56 -168 ) | = 84 2 + 562 + (-168) 2 = 38416 = 196 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 196 = 98.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( 5 -5 1 ) + r ( -4 -12 -6 ) + s ( -16 -6 -10 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( -4 -12 -6 ) × ( -16 -6 -10 ) = ( -12 · ( -10 ) - ( -6 ) · ( -6 ) -6 · ( -16 ) - ( -4 ) · ( -10 ) -4 · ( -6 ) - ( -12 ) · ( -16 ) ) = ( 120 -36 96 -40 24 -192 ) = ( 84 56 -168 ) = 28⋅ ( 3 2 -6 )

Weil der Vektor ( 3 2 -6 ) orthogonal zu ( -4 -12 -6 ) und ( -16 -6 -10 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( 5 -5 1 ) ] ( 3 2 -6 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also 3 x 1 +2 x 2 -6 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(5|-5|1) erhält man
d = 35 + 2(-5) + (-6)1
also:

3 x 1 +2 x 2 -6 x 3 = -1

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 3 8+2 4-6 ( - 19 )+1 | 3 2 + 2 2 + ( - 6 ) 2
= | 147 | 49 = 147 7 = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 98 · 21 = 686

Pkt auf Gerade mit Dreiecksinhalt finden

Beispiel:

Gegeben ist der Punkt A(5|1|10), der Punkt C(0|9|7) und die Gerade g: x = ( 5 1 10 ) +t ( -3 2 -6 ) . A liegt in g.
Bestimme alle möglichen Koordinaten für einen Punkt B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABC den Flächeninhalt A = 122,5 hat.

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor AB einfach als ( -3 t 2 t -6 t ) schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als AC = ( 0-5 9-1 7-10 ) = ( -5 8 -3 ) .

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -3 t 2 t -6 t ) × ( -5 8 -3 ) = ( 2 t · ( -3 ) - ( -6 t ) · 8 -6 t · ( -5 ) - ( -3 t ) · ( -3 ) -3 t · 8 - 2 t · ( -5 ) ) = ( -6 t +48 t 30 t -9 t -24 t +10 t ) = ( 42 t 21 t -14 t ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | AB x AC | = | ( 42 t 21 t -14 t ) | = 1764 t 2 +441 t 2 +196 t 2 = 2401 t 2 = | 49t | entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 122,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = 1 2 | AB x AC | = 1 2 | 49t | = 122,5 |⋅2

| 49t | = 245

1. Fall

49t = 245 |: 49

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( 5 -3 t | 1 +2 t | 10 -6 t ) ergibt
B1(-10|11|-20).

2. Fall

- 49t = 245 |: -49

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( 5 -3 t | 1 +2 t | 10 -6 t ) ergibt
B2(20|-9|40).

Pyramide aus Spurpunkten einer Ebene

Beispiel:

Gegeben ist die Koordinatengleichung der Ebene E: 4 x 1 +3 x 2 +2 x 3 = 12 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P. Berechne das Volumen von P.

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Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 4 x 1 +3 x 2 +2 x 3 = 12 ein.

S1: 4 x +3 0 +2 0 = 12 => x= 12 4 =3, also S1(3|0|0)
S2: 4 0 +3 y +2 0 = 12 => y= 12 3 =4, also S2(0|4|0)
S3: 4 0 +3 0 +2 z = 12 => z= 12 2 =6, also S3(0|0|6)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 ⋅ 3⋅4 = 6, weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS2= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h
= 1 3 ⋅6⋅6
=12

Spurpunktdreieck rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: 2 x 1 +2 x 2 +3 x 3 = 0 .

Die Schnittpunkte von E mit der x1-Achse und der x2-Achse bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Dreieck P mit dem Flächeninhalt 18. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

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Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

2 x 1 +2 x 2 +3 x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 2 x 1 +2 x 2 +3 x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 2 x +2 0 +3 0 = d => x = d 2 , also S1( d 2 |0|0)
S2: 2 0 +2 y +3 0 = d => y = d 2 , also S2(0| d 2 |0)
S3: 2 0 +2 0 +3 z = d => z = d 3 , also S3(0|0| d 3 )

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = 1 2 ⋅g⋅hg. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS1 und OS2.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS1S2: A = 1 2 d 2 d 2 = d 2 8

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

1 8 d 2 = 18 |⋅8
d 2 = 144 | 2
d1 = - 144 = -12
d2 = 144 = 12

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: 2 x 1 +2 x 2 +3 x 3 = 12

Aber auch E2: 2 x 1 +2 x 2 +3 x 3 = -12 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-6|0|0), S2(0|-6|0) und S3(0|0|-4). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: 2 x 1 +2 x 2 +3 x 3 = 12 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Spurpunktpyramide rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: 2 x 1 +3 x 2 + x 3 = 0 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P mit dem Volumen 162. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

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Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

2 x 1 +3 x 2 + x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 2 x 1 +3 x 2 + x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 2 x +3 0 +1 0 = d => x = d 2 , also S1( d 2 |0|0)
S2: 2 0 +3 y +1 0 = d => y = d 3 , also S2(0| d 3 |0)
S3: 2 0 +3 0 +1 z = d => z = d 1 , also S3(0|0| d 1 )

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 d 2 d 3 , weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS2= d 1 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h = 1 3 1 2 d 2 d 3 d 1 = d 3 36

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

1 36 d 3 = 162 |⋅36
d 3 = 5832 | 3
d = 5832 3 = 18

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: 2 x 1 +3 x 2 + x 3 = 18

Aber auch E2: 2 x 1 +3 x 2 + x 3 = -18 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-9|0|0), S2(0|-6|0) und S3(0|0|-18). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: 2 x 1 +3 x 2 + x 3 = 18 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.