Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ 3\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-6|8|3\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·0-4·6\\ 4·\left(-3\right)-8·0\\ 8·6-\left(-8\right)·\left(-3\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-24\\ -12+0\\ 48-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -7\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-5\\ -7\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·4-8·\left(-7\right)\\ 8·\left(-5\right)-\left(-4\right)·4\\ -4·\left(-7\right)-\left(-8\right)·\left(-5\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32+56\\ -40+16\\ 28-40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -27\\ 18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}20\\ -13\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -27\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}20\\ -13\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-27·\left(-6\right)-18·\left(-13\right)\\ 18·20-6·\left(-6\right)\\ 6·\left(-13\right)-\left(-27\right)·20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}162+234\\ 360+36\\ -78+540\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ 396\\ 462\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}396\\ 396\\ 462\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{396}^2+{396}^2+{462}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 11\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -27\\ 18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ -13\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -27\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}20\\ -13\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-27·\left(-6\right)-18·\left(-13\right)\\ 18·20-6·\left(-6\right)\\ 6·\left(-13\right)-\left(-27\right)·20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}162+234\\ 360+36\\ -78+540\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ 396\\ 462\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ -27\\ 18\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}20\\ -13\\ -6\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ 11\\ -5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 7\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1+6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|11|-5\right)$ erhält man
d = $6\cdot 2+6\cdot 11+7\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$6x_1+6x_2+7x_3=43$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 31+6\cdot 18+7\cdot 16-43|}{\sqrt{6^2+6^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 726 · 33 = 7986

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ -36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ -28\\ -49\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ -36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-18\\ -28\\ -49\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-49\right)-\left(-36\right)·\left(-28\right)\\ -36·\left(-18\right)-\left(-24\right)·\left(-49\right)\\ -24·\left(-28\right)-\left(-8\right)·\left(-18\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}392-1008\\ 648-1176\\ 672-144\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-616\\ -528\\ 528\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-616\\ -528\\ 528\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-616)}}^2+{\mathrm{(-528)}}^2+{528}^2}=\sqrt{937024}=968$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 968 = 484.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 9\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ -36\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ -28\\ -49\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ -36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-18\\ -28\\ -49\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-49\right)-\left(-36\right)·\left(-28\right)\\ -36·\left(-18\right)-\left(-24\right)·\left(-49\right)\\ -24·\left(-28\right)-\left(-8\right)·\left(-18\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}392-1008\\ 648-1176\\ 672-144\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-616\\ -528\\ 528\end{array}\right)$ = -88⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ -36\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-18\\ -28\\ -49\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 9\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1+6x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|-3|9\right)$ erhält man
d = $7\cdot 4+6\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-6)}\cdot 9$
also:

$7x_1+6x_2-6x_3=-44$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 25+6\cdot 4-6\cdot (-20)+44|}{\sqrt{7^2+6^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 484 · 33 = 5324

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}6t\\ -3t\\ 2t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6t\\ -3t\\ 2t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3t·6-2t·\left(-2\right)\\ 2t·\left(-3\right)-6t·6\\ 6t·\left(-2\right)-\left(-3t\right)·\left(-3\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18t+4t\\ -6t-36t\\ -12t-9t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-14t\\ -42t\\ -21t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-14t\\ -42t\\ -21t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{196t^2+1764t^2+441t^2}$ = $\sqrt{2401t^2}$ = $\left|$ 49t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 73,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 49t$\right|$ = 73,5 |⋅2

$\left|$ 49t$\right|$ = 147

1. Fall

$49t$ = 147 |: 49

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-5+6t\right|-1-3t\left|2+2t\right)$ ergibt
B₁$\left(13|-10|8\right)$.

2. Fall

- $49t$ = 147 |: -49

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-5+6t\right|-1-3t\left|2+2t\right)$ ergibt
B₂$\left(-23|8|-4\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+3x_2+3x_3=18$ ein.

S₁: => x=$\frac{18}{2}$=9, also S₁$\left(9|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{18}{3}$=6, also S₂$\left(0|6|0\right)$
S₃: => z=$\frac{18}{3}$=6, also S₃$\left(0|0|6\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 9⋅6 = 27, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅27⋅6
=54

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{2}$ = $\frac{d^2}{12}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{12}{d}^2$	=	$48$	|⋅$12$
$d^2$	=	$576$	|
d1	=	$-\sqrt{576}$	= $-24$
d2	=	$\sqrt{576}$	= $24$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+2x_2+2x_3=24$

Aber auch E2: $3x_1+2x_2+2x_3=-24$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-8|0|0), S₂(0|-12|0) und S₃(0|0|-12). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+2x_2+2x_3=24$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{5}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{5}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{180}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{180}{d}^3$	=	$4050$	|⋅$180$
$d^3$	=	$729000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{729000}$	= $90$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+5x_2+2x_3=90$

Aber auch E2: $3x_1+5x_2+2x_3=-90$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-30|0|0), S₂(0|-18|0) und S₃(0|0|-45). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+5x_2+2x_3=90$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.