Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 9\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-7\\ 21\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 30\\ -1\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-12|30|-1\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 21\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 21\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24·0-\left(-8\right)·21\\ -8·\left(-7\right)-12·0\\ 12·21-\left(-24\right)·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+168\\ 56+0\\ 252-168\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168\\ 56\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}168\\ 56\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{168}^2+{56}^2+{84}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -8\\ 5\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ -8\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·5-12·\left(-8\right)\\ 12·\left(-3\right)-\left(-24\right)·5\\ -24·\left(-8\right)-\left(-8\right)·\left(-3\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-40+96\\ -36+120\\ 192-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56\\ 84\\ 168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}56\\ 84\\ 168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{56}^2+{84}^2+{168}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ 18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 4\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ 4\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·\left(-6\right)-18·4\\ 18·12-6·\left(-6\right)\\ 6·4-9·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-54-72\\ 216+36\\ 24-108\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-126\\ 252\\ -84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-126\\ 252\\ -84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-126)}}^2+{252}^2+{\mathrm{(-84)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ 18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 4\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ 4\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·\left(-6\right)-18·4\\ 18·12-6·\left(-6\right)\\ 6·4-9·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-54-72\\ 216+36\\ 24-108\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-126\\ 252\\ -84\end{array}\right)$ = -42⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ 18\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}12\\ 4\\ -6\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 0\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1-6x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|-5|0\right)$ erhält man
d = $3\cdot 4+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-5)}+2\cdot 0$
also:

$3x_1-6x_2+2x_3=42$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot 19-6\cdot (-21)+2\cdot 3-42|}{\sqrt{3^2+{(-6)}^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ -32\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -42\\ -21\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ -32\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ -42\\ -21\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32·\left(-21\right)-\left(-4\right)·\left(-42\right)\\ -4·\left(-12\right)-\left(-16\right)·\left(-21\right)\\ -16·\left(-42\right)-\left(-32\right)·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}672-168\\ 48-336\\ 672-384\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}504\\ -288\\ 288\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}504\\ -288\\ 288\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{504}^2+{\mathrm{(-288)}}^2+{288}^2}=\sqrt{419904}=648$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 648 = 324.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-16\\ -32\\ -4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ -42\\ -21\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ -32\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ -42\\ -21\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32·\left(-21\right)-\left(-4\right)·\left(-42\right)\\ -4·\left(-12\right)-\left(-16\right)·\left(-21\right)\\ -16·\left(-42\right)-\left(-32\right)·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}672-168\\ 48-336\\ 672-384\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}504\\ -288\\ 288\end{array}\right)$ = -72⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-16\\ -32\\ -4\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-12\\ -42\\ -21\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ -2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-7x_1+4x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|9|-2\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-7)}\cdot 2+4\cdot 9+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$-7x_1+4x_2-4x_3=30$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-7\cdot (-19)+4\cdot 12-4\cdot (-23)-30|}{\sqrt{{(-7)}^2+4^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 324 · 27 = 2916

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-6t\\ -2t\\ -3t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -10\\ -8\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6t\\ -2t\\ -3t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-9\\ -10\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2t·\left(-8\right)-\left(-3t\right)·\left(-10\right)\\ -3t·\left(-9\right)-\left(-6t\right)·\left(-8\right)\\ -6t·\left(-10\right)-\left(-2t\right)·\left(-9\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16t-30t\\ 27t-48t\\ 60t-18t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-14t\\ -21t\\ 42t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-14t\\ -21t\\ 42t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{196t^2+441t^2+1764t^2}$ = $\sqrt{2401t^2}$ = $\left|$ 49t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 122,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 49t$\right|$ = 122,5 |⋅2

$\left|$ 49t$\right|$ = 245

1. Fall

$49t$ = 245 |: 49

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(7-6t\right|-1-2t\left|7-3t\right)$ ergibt
B₁$\left(-23|-11|-8\right)$.

2. Fall

- $49t$ = 245 |: -49

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(7-6t\right|-1-2t\left|7-3t\right)$ ergibt
B₂$\left(37|9|22\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+2x_2+x_3=6$ ein.

S₁: => x=$\frac{6}{3}$=2, also S₁$\left(2|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{6}{2}$=3, also S₂$\left(0|3|0\right)$
S₃: => z=$6$=6, also S₃$\left(0|0|6\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 2⋅3 = 3, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅3⋅6
=6

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{1}$ = $\frac{d^2}{10}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{10}{d}^2$	=	$10$	|⋅$10$
$d^2$	=	$100$	|
d1	=	$-\sqrt{100}$	= $-10$
d2	=	$\sqrt{100}$	= $10$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+x_2+5x_3=10$

Aber auch E2: $5x_1+x_2+5x_3=-10$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-2|0|0), S₂(0|-10|0) und S₃(0|0|-2). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+x_2+5x_3=10$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{5}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{4}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{5}$⋅ $\frac{d}{4}$ = $\frac{d^3}{240}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{240}{d}^3$	=	$900$	|⋅$240$
$d^3$	=	$216000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{216000}$	= $60$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+5x_2+4x_3=60$

Aber auch E2: $2x_1+5x_2+4x_3=-60$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-30|0|0), S₂(0|-12|0) und S₃(0|0|-15). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+5x_2+4x_3=60$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.