Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}0\\ 21\\ 7\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 29\\ 6\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-2|29|6\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 21\\ 7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 21\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24·7-\left(-12\right)·21\\ -12·0-\left(-8\right)·7\\ -8·21-\left(-24\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168+252\\ 0+56\\ -168+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ 56\\ -168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}84\\ 56\\ -168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{84}^2+{56}^2+{\mathrm{(-168)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}36\\ -8\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}20\\ -13\\ 6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}36\\ -8\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}20\\ -13\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·6-24·\left(-13\right)\\ 24·20-36·6\\ 36·\left(-13\right)-\left(-8\right)·20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48+312\\ 480-216\\ -468+160\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ -308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ -308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{264}^2+{\mathrm{(-308)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·6-\left(-8\right)·0\\ -8·\left(-8\right)-\left(-6\right)·6\\ -6·0-0·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 64+36\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{100}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -8\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-8\\ t\\ 6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -8\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -8\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-8\\ t\\ 6\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-8)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-8)}\cdot 6=48\mathrm{+0}-48=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ t\\ 6\end{array}\right)$ = 0⋅t +100 = 0 wird, also t=$-\frac{1}{0}$ = $-\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -\frac{1}{0}\\ 6\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{0}{0}\\ 0\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·6-\left(-8\right)·0\\ -8·\left(-8\right)-\left(-6\right)·6\\ -6·0-0·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 64+36\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$

= 100⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -8\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 6\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_2=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(3|4|-5\right)$ erhält man
d = $0\cdot 3+1\cdot 4+0\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$+x_2=4$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot (-1)+1\cdot 7+0\cdot (-2)-4|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 100 · 3 = 100

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ -9\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -13\\ 18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -9\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -13\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-9·18-6·\left(-13\right)\\ 6·12-18·18\\ 18·\left(-13\right)-\left(-9\right)·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-162+78\\ 72-324\\ -234+108\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ -252\\ -126\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ -252\\ -126\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-252)}}^2+{\mathrm{(-126)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 294 = 147.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -9\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -13\\ 18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -9\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -13\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-9·18-6·\left(-13\right)\\ 6·12-18·18\\ 18·\left(-13\right)-\left(-9\right)·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-162+78\\ 72-324\\ -234+108\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ -252\\ -126\end{array}\right)$ = -42⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}18\\ -9\\ 6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}12\\ -13\\ 18\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 3\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+6x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|5|1\right)$ erhält man
d = $2\cdot 0+6\cdot 5+3\cdot 1$
also:

$2x_1+6x_2+3x_3=33$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 3+6\cdot 21+3\cdot 16-33|}{\sqrt{2^2+6^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 147 · 21 = 1029

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}9t\\ -6t\\ 2t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 12\\ 7\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}9t\\ -6t\\ 2t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 12\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6t·7-2t·12\\ 2t·\left(-7\right)-9t·7\\ 9t·12-\left(-6t\right)·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-42t-24t\\ -14t-63t\\ 108t-42t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-66t\\ -77t\\ 66t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-66t\\ -77t\\ 66t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4356t^2+5929t^2+4356t^2}$ = $\sqrt{14641t^2}$ = $\left|$ 121t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 302,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 121t$\right|$ = 302,5 |⋅2

$\left|$ 121t$\right|$ = 605

1. Fall

$121t$ = 605 |: 121

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(4+9t\right|-5-6t\left|-1+2t\right)$ ergibt
B₁$\left(49|-35|9\right)$.

2. Fall

- $121t$ = 605 |: -121

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(4+9t\right|-5-6t\left|-1+2t\right)$ ergibt
B₂$\left(-41|25|-11\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+4x_2+x_3=12$ ein.

S₁: => x=$\frac{12}{2}$=6, also S₁$\left(6|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{12}{4}$=3, also S₂$\left(0|3|0\right)$
S₃: => z=$12$=12, also S₃$\left(0|0|12\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6⋅3 = 9, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 12 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅9⋅12
=36

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{2}$ = $\frac{d^2}{16}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{16}{d}^2$	=	$144$	|⋅$16$
$d^2$	=	$2304$	|
d1	=	$-\sqrt{2304}$	= $-48$
d2	=	$\sqrt{2304}$	= $48$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+3x_2+2x_3=48$

Aber auch E2: $4x_1+3x_2+2x_3=-48$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-12|0|0), S₂(0|-16|0) und S₃(0|0|-24). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+3x_2+2x_3=48$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{4}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{3}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{4}$⋅ $\frac{d}{3}$ = $\frac{d^3}{360}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{360}{d}^3$	=	$4800$	|⋅$360$
$d^3$	=	$1728000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{1728000}$	= $120$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+4x_2+3x_3=120$

Aber auch E2: $5x_1+4x_2+3x_3=-120$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-24|0|0), S₂(0|-30|0) und S₃(0|0|-40). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+4x_2+3x_3=120$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.