Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}34\\ 1\\ -30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}33\\ 6\\ -29\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(33|6|-29\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-36\\ 8\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}34\\ 1\\ -30\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-36\\ 8\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}34\\ 1\\ -30\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-30\right)-24·1\\ 24·34-\left(-36\right)·\left(-30\right)\\ -36·1-8·34\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-240-24\\ 816-1080\\ -36-272\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ -264\\ -308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ -264\\ -308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-308)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·1-4·\left(-1\right)\\ 4·4-\left(-8\right)·1\\ -8·\left(-1\right)-8·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8+4\\ 16+8\\ 8-32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{12}^2+{24}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-11\\ 0\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-11\\ 0\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·2-\left(-16\right)·0\\ -16·\left(-11\right)-\left(-12\right)·2\\ -12·0-0·\left(-11\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 176+24\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 200\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 200\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{200}^2+0^2}=\sqrt{40000}=200$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 200.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 7\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ -16\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-11\\ 0\\ 2\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ -16\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-16\\ t\\ 12\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ -16\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ -16\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-16\\ t\\ 12\end{array}\right)$=$\mathrm{(-12)}\cdot \mathrm{(-16)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-16)}\cdot 12=192\mathrm{+0}-192=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-11\\ 0\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-16\\ t\\ 12\end{array}\right)$ = 0⋅t +200 = 0 wird, also t=$-\frac{1}{0}$ = $-\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-16\\ -\frac{1}{0}\\ 12\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{0}{0}\\ 0\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-11\\ 0\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·2-\left(-16\right)·0\\ -16·\left(-11\right)-\left(-12\right)·2\\ -12·0-0·\left(-11\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 176+24\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 200\\ 0\end{array}\right)$

= 200⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ -16\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-11\\ 0\\ 2\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 7\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_2=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|-2|7\right)$ erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot 7$
also:

$+x_2=-2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot (-3)+1\cdot 1+0\cdot 6+2|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 200 · 3 = 200

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}10\\ 20\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ 20\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·0-0·20\\ 0·10-12·0\\ 12·20-9·10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ 240-90\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 150\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 150\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{150}^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 150 = 75.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 20\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ t\end{array}\right)$=$12\cdot \mathrm{(-9)}+9\cdot 12+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-108\mathrm{+108}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}10\\ 20\\ 0\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ t\end{array}\right)$ = 0⋅t +150 = 0 wird, also t=$-\frac{1}{0}$ = $-\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ -\frac{1}{0}\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{0}{0}\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ 20\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·0-0·20\\ 0·10-12·0\\ 12·20-9·10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ 240-90\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 150\end{array}\right)$

= 150⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 0\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}10\\ 20\\ 0\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|-2|-2\right)$ erhält man
d = $0\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$+x_3=-2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot (-1)+0\cdot 5+1\cdot 1+2|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 75 · 3 = 75

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-8t\\ -1t\\ -4t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -8\\ 4\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8t\\ -1t\\ -4t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ -8\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-t·4-\left(-4t\right)·\left(-8\right)\\ -4t·\left(-1\right)-\left(-8t\right)·4\\ -8t·\left(-8\right)-\left(-t\right)·\left(-1\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4t-32t\\ 4t+32t\\ 64t-t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36t\\ 36t\\ 63t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36t\\ 36t\\ 63t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1296t^2+1296t^2+3969t^2}$ = $\sqrt{6561t^2}$ = $\left|$ 81t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 162 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 81t$\right|$ = 162 |⋅2

$\left|$ 81t$\right|$ = 324

1. Fall

$81t$ = 324 |: 81

t = 4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-4-8t\right|4-1t\left|-2-4t\right)$ ergibt
B₁$\left(-36|0|-18\right)$.

2. Fall

- $81t$ = 324 |: -81

t = -4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-4-8t\right|4-1t\left|-2-4t\right)$ ergibt
B₂$\left(28|8|14\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+2x_2+3x_3=12$ ein.

S₁: => x=$\frac{12}{3}$=4, also S₁$\left(4|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{12}{2}$=6, also S₂$\left(0|6|0\right)$
S₃: => z=$\frac{12}{3}$=4, also S₃$\left(0|0|4\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 4⋅6 = 12, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 4 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅12⋅4
=16

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{5}$ = $\frac{d^2}{20}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{20}{d}^2$	=	$180$	|⋅$20$
$d^2$	=	$3600$	|
d1	=	$-\sqrt{3600}$	= $-60$
d2	=	$\sqrt{3600}$	= $60$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+4x_2+5x_3=60$

Aber auch E2: $2x_1+4x_2+5x_3=-60$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-30|0|0), S₂(0|-15|0) und S₃(0|0|-12). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+4x_2+5x_3=60$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+5x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+5x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{5}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{5}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{5}$⋅ $\frac{d}{5}$ = $\frac{d^3}{600}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{600}{d}^3$	=	$360$	|⋅$600$
$d^3$	=	$216000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{216000}$	= $60$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+5x_2+5x_3=60$

Aber auch E2: $4x_1+5x_2+5x_3=-60$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-15|0|0), S₂(0|-12|0) und S₃(0|0|-12). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+5x_2+5x_3=60$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.