Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 19\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -12\\ 15\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(5|-12|15\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 19\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·19-\left(-16\right)·\left(-8\right)\\ -16·0-0·19\\ 0·\left(-8\right)-12·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}228-128\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{100}^2+0^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 12\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·0-0·1\\ 0·7-\left(-16\right)·0\\ -16·1-12·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ -16-84\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{\mathrm{(-100)}}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·4-8·5\\ 8·2-\left(-8\right)·4\\ -8·5-4·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-40\\ 16+32\\ -40-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ 48\\ -48\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ 48\\ -48\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{48}^2+{\mathrm{(-48)}}^2}=\sqrt{5184}=72$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 72.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·4-8·5\\ 8·2-\left(-8\right)·4\\ -8·5-4·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-40\\ 16+32\\ -40-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ 48\\ -48\end{array}\right)$ = -24⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 8\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 4\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1-2x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|2|-5\right)$ erhält man
d = $1\cdot 0+\mathrm{(-2)}\cdot 2+2\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$\mathrm{}{x}_1-2x_2+2x_3=-14$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 3-2\cdot (-1)+2\cdot 4+14|}{\sqrt{1^2+{(-2)}^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 72 · 9 = 216

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-26\\ 4\\ -19\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-26\\ 4\\ -19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·\left(-19\right)-\left(-3\right)·4\\ -3·\left(-26\right)-\left(-24\right)·\left(-19\right)\\ -24·4-12·\left(-26\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-228+12\\ 78-456\\ -96+312\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ -378\\ 216\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-216\\ -378\\ 216\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-216)}}^2+{\mathrm{(-378)}}^2+{216}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 486 = 243.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-26\\ 4\\ -19\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-26\\ 4\\ -19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·\left(-19\right)-\left(-3\right)·4\\ -3·\left(-26\right)-\left(-24\right)·\left(-19\right)\\ -24·4-12·\left(-26\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-228+12\\ 78-456\\ -96+312\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ -378\\ 216\end{array}\right)$ = -54⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -3\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-26\\ 4\\ -19\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+7x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-4|-1|3\right)$ erhält man
d = $4\cdot \mathrm{(-4)}+7\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-4)}\cdot 3$
also:

$4x_1+7x_2-4x_3=-35$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 7+7\cdot 16-4\cdot (-17)+35|}{\sqrt{4^2+7^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 243 · 27 = 2187

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-3t\\ 4t\\ 0t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -7\\ 0\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3t\\ 4t\\ 0t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ -7\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4t·0-0·\left(-7\right)\\ 0·\left(-1\right)-\left(-3t\right)·0\\ -3t·\left(-7\right)-4t·\left(-1\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ 21t+4t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 25t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 25t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0+0+625t^2}$ = $\sqrt{625t^2}$ = $\left|$ 25t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 37,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 25t$\right|$ = 37,5 |⋅2

$\left|$ 25t$\right|$ = 75

1. Fall

$25t$ = 75 |: 25

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-7-3t\right|9+4t\left|-2+0t\right)$ ergibt
B₁$\left(-16|21|-2\right)$.

2. Fall

- $25t$ = 75 |: -25

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-7-3t\right|9+4t\left|-2+0t\right)$ ergibt
B₂$\left(2|-3|-2\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+4x_2+2x_3=12$ ein.

S₁: => x=$\frac{6}{2}$=3, also S₁$\left(6|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{6}{4}$=1.5, also S₂$\left(0|3|0\right)$
S₃: => z=$\frac{6}{2}$=3, also S₃$\left(0|0|6\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6⋅3 = 9, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅9⋅6
=18

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{4}$ = $\frac{d^2}{32}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{32}{d}^2$	=	$18$	|⋅$32$
$d^2$	=	$576$	|
d1	=	$-\sqrt{576}$	= $-24$
d2	=	$\sqrt{576}$	= $24$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+4x_2+4x_3=24$

Aber auch E2: $4x_1+4x_2+4x_3=-24$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+4x_2+4x_3=24$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{4}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{4}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{96}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{96}{d}^3$	=	$18$	|⋅$96$
$d^3$	=	$1728$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{1728}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+4x_2+2x_3=12$

Aber auch E2: $2x_1+4x_2+2x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-3|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+4x_2+2x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.