Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}16\\ 28\\ -9\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}12\\ 7\\ 7\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}28\\ 35\\ -2\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(28|35|-2\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -36\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 7\\ 7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -36\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ 7\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36·7-8·7\\ 8·12-\left(-24\right)·7\\ -24·7-\left(-36\right)·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-252-56\\ 96+168\\ -168+432\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-308)}}^2+{264}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·2-\left(-8\right)·2\\ -8·\left(-1\right)-\left(-8\right)·2\\ -8·2-4·\left(-1\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8+16\\ 8+16\\ -16+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{24}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ 27\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ 18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ 27\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}27·18-6·4\\ 6·\left(-12\right)-18·18\\ 18·4-27·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}486-24\\ -72-324\\ 72+324\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}462\\ -396\\ 396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}462\\ -396\\ 396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{462}^2+{\mathrm{(-396)}}^2+{396}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 27\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ 18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ 27\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}27·18-6·4\\ 6·\left(-12\right)-18·18\\ 18·4-27·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}486-24\\ -72-324\\ 72+324\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}462\\ -396\\ 396\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ 6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ 6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}18\\ 27\\ 6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ 18\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ 6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1-6x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|5|1\right)$ erhält man
d = $7\cdot 2+\mathrm{(-6)}\cdot 5+6\cdot 1$
also:

$7x_1-6x_2+6x_3=-10$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 17-6\cdot (-11)+6\cdot 28+10|}{\sqrt{7^2+{(-6)}^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 726 · 33 = 7986

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}27\\ -6\\ -18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}31\\ -24\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}27\\ -6\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}31\\ -24\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-6\right)-\left(-18\right)·\left(-24\right)\\ -18·31-27·\left(-6\right)\\ 27·\left(-24\right)-\left(-6\right)·31\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36-432\\ -558+162\\ -648+186\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ -396\\ -462\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-396\\ -396\\ -462\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-396)}}^2+{\mathrm{(-396)}}^2+{\mathrm{(-462)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 726 = 363.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}27\\ -6\\ -18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}31\\ -24\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}27\\ -6\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}31\\ -24\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-6\right)-\left(-18\right)·\left(-24\right)\\ -18·31-27·\left(-6\right)\\ 27·\left(-24\right)-\left(-6\right)·31\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36-432\\ -558+162\\ -648+186\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ -396\\ -462\end{array}\right)$ = -66⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}27\\ -6\\ -18\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}31\\ -24\\ -6\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 7\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1+6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|-2|-1\right)$ erhält man
d = $6\cdot 4+6\cdot \mathrm{(-2)}+7\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$6x_1+6x_2+7x_3=5$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 24+6\cdot 7+7\cdot 26-5|}{\sqrt{6^2+6^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 363 · 33 = 3993

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-4t\\ 3t\\ 0t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 10\\ 0\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4t\\ 3t\\ 0t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-5\\ 10\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3t·0-0·10\\ 0·\left(-5\right)-\left(-4t\right)·0\\ -4t·10-3t·\left(-5\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ -40t+15t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -25t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -25t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0+0+625t^2}$ = $\sqrt{625t^2}$ = $\left|$ 25t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 62,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 25t$\right|$ = 62,5 |⋅2

$\left|$ 25t$\right|$ = 125

1. Fall

$25t$ = 125 |: 25

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(8-4t\right|-4+3t\left|4+0t\right)$ ergibt
B₁$\left(-12|11|4\right)$.

2. Fall

- $25t$ = 125 |: -25

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(8-4t\right|-4+3t\left|4+0t\right)$ ergibt
B₂$\left(28|-19|4\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+4x_2+5x_3=60$ ein.

S₁: => x=$\frac{60}{5}$=12, also S₁$\left(12|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{60}{4}$=15, also S₂$\left(0|15|0\right)$
S₃: => z=$\frac{60}{5}$=12, also S₃$\left(0|0|12\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 12⋅15 = 90, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 12 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅90⋅12
=360

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{2}$ = $\frac{d^2}{12}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{12}{d}^2$	=	$300$	|⋅$12$
$d^2$	=	$3600$	|
d1	=	$-\sqrt{3600}$	= $-60$
d2	=	$\sqrt{3600}$	= $60$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+5x_2+2x_3=60$

Aber auch E2: $3x_1+5x_2+2x_3=-60$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-20|0|0), S₂(0|-12|0) und S₃(0|0|-30). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+5x_2+2x_3=60$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{2}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{5}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{2}$⋅ $\frac{d}{5}$ = $\frac{d^3}{120}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{120}{d}^3$	=	$225$	|⋅$120$
$d^3$	=	$27000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{27000}$	= $30$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+2x_2+5x_3=30$

Aber auch E2: $2x_1+2x_2+5x_3=-30$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-15|0|0), S₂(0|-15|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+2x_2+5x_3=30$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.