Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-5\\ -8\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 0\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-3|-5|0\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -8\\ 1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-5\\ -8\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·1-\left(-4\right)·\left(-8\right)\\ -4·\left(-5\right)-8·1\\ 8·\left(-8\right)-8·\left(-5\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8-32\\ 20-8\\ -64+40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}9\\ -1\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}9\\ -1\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·4-8·\left(-1\right)\\ 8·9-\left(-24\right)·4\\ -24·\left(-1\right)-12·9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48+8\\ 72+96\\ 24-108\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56\\ 168\\ -84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}56\\ 168\\ -84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{56}^2+{168}^2+{\mathrm{(-84)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·\left(-2\right)-\left(-4\right)·\left(-4\right)\\ -4·\left(-4\right)-\left(-2\right)·\left(-2\right)\\ -2·\left(-4\right)-4·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8-16\\ 16-4\\ 8+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -2\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·\left(-2\right)-\left(-4\right)·\left(-4\right)\\ -4·\left(-4\right)-\left(-2\right)·\left(-2\right)\\ -2·\left(-4\right)-4·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8-16\\ 16-4\\ 8+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 24\end{array}\right)$ = 12⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -2\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|2|-4\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot 2+2\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$-2x_1+x_2+2x_3=0$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-11)+1\cdot 3+2\cdot 1-0|}{\sqrt{{(-2)}^2+1^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 36 · 9 = 108

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ -36\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ -49\\ 28\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ -36\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ -49\\ 28\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36·28-8·\left(-49\right)\\ 8·18-24·28\\ 24·\left(-49\right)-\left(-36\right)·18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1008+392\\ 144-672\\ -1176+648\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-616\\ -528\\ -528\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-616\\ -528\\ -528\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-616)}}^2+{\mathrm{(-528)}}^2+{\mathrm{(-528)}}^2}=\sqrt{937024}=968$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 968 = 484.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ -36\\ 8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -49\\ 28\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ -36\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ -49\\ 28\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36·28-8·\left(-49\right)\\ 8·18-24·28\\ 24·\left(-49\right)-\left(-36\right)·18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1008+392\\ 144-672\\ -1176+648\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-616\\ -528\\ -528\end{array}\right)$ = -88⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}24\\ -36\\ 8\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}18\\ -49\\ 28\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1+6x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-6|9|-4\right)$ erhält man
d = $7\cdot \mathrm{(-6)}+6\cdot 9+6\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$7x_1+6x_2+6x_3=-12$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 15+6\cdot 16+6\cdot 25+12|}{\sqrt{7^2+6^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 484 · 33 = 5324

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}8t\\ -1t\\ -4t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ 4\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8t\\ -1t\\ -4t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-t·4-\left(-4t\right)·\left(-8\right)\\ -4t·1-8t·4\\ 8t·\left(-8\right)-\left(-t\right)·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4t-32t\\ -4t-32t\\ -64t+t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36t\\ -36t\\ -63t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36t\\ -36t\\ -63t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1296t^2+1296t^2+3969t^2}$ = $\sqrt{6561t^2}$ = $\left|$ 81t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 81 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 81t$\right|$ = 81 |⋅2

$\left|$ 81t$\right|$ = 162

1. Fall

$81t$ = 162 |: 81

t = 2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(3+8t\right|-3-1t\left|2-4t\right)$ ergibt
B₁$\left(19|-5|-6\right)$.

2. Fall

- $81t$ = 162 |: -81

t = -2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(3+8t\right|-3-1t\left|2-4t\right)$ ergibt
B₂$\left(-13|-1|10\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+2x_2+3x_3=30$ ein.

S₁: => x=$\frac{30}{5}$=6, also S₁$\left(6|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{30}{2}$=15, also S₂$\left(0|15|0\right)$
S₃: => z=$\frac{30}{3}$=10, also S₃$\left(0|0|10\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6⋅15 = 45, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 10 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅45⋅10
=150

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{3}$ = $\frac{d^2}{24}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{24}{d}^2$	=	$54$	|⋅$24$
$d^2$	=	$1296$	|
d1	=	$-\sqrt{1296}$	= $-36$
d2	=	$\sqrt{1296}$	= $36$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+3x_2+2x_3=36$

Aber auch E2: $4x_1+3x_2+2x_3=-36$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-9|0|0), S₂(0|-12|0) und S₃(0|0|-18). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+3x_2+2x_3=36$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{3}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{3}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{3}$⋅ $\frac{d}{3}$ = $\frac{d^3}{162}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{162}{d}^3$	=	$\mathrm{4,5}$	|⋅$162$
$d^3$	=	$729$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{729}$	= $9$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+3x_2+3x_3=9$

Aber auch E2: $3x_1+3x_2+3x_3=-9$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-3|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+3x_2+3x_3=9$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.