Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 19\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 1\\ 23\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-7|1|23\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 19\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·19-\left(-16\right)·0\\ -16·\left(-8\right)-12·19\\ 12·0-0·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 128-228\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{\mathrm{(-100)}}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -36\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-15\\ -29\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -36\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-15\\ -29\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36·\left(-12\right)-\left(-24\right)·\left(-29\right)\\ -24·\left(-15\right)-\left(-8\right)·\left(-12\right)\\ -8·\left(-29\right)-\left(-36\right)·\left(-15\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}432-696\\ 360-96\\ 232-540\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ 264\\ -308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ 264\\ -308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{264}^2+{\mathrm{(-308)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ 9\\ -6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ 9\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·\left(-12\right)-\left(-6\right)·4\\ -6·\left(-6\right)-18·\left(-12\right)\\ 18·4-9·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-108+24\\ 36+216\\ 72+54\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ 252\\ 126\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ 252\\ 126\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{252}^2+{126}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 9\\ -6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -12\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ 9\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·\left(-12\right)-\left(-6\right)·4\\ -6·\left(-6\right)-18·\left(-12\right)\\ 18·4-9·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-108+24\\ 36+216\\ 72+54\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ 252\\ 126\end{array}\right)$ = 42⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}18\\ 9\\ -6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -12\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+6x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|-4|5\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 0+6\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot 5$
also:

$-2x_1+6x_2+3x_3=-9$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-9)+6\cdot 16+3\cdot 8+9|}{\sqrt{{(-2)}^2+6^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 10\\ 16\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 10\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·16-4·10\\ 4·\left(-6\right)-\left(-12\right)·16\\ -12·10-6·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}96-40\\ -24+192\\ -120+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56\\ 168\\ -84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}56\\ 168\\ -84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{56}^2+{168}^2+{\mathrm{(-84)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 10\\ 16\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 10\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·16-4·10\\ 4·\left(-6\right)-\left(-12\right)·16\\ -12·10-6·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}96-40\\ -24+192\\ -120+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56\\ 168\\ -84\end{array}\right)$ = -28⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ 4\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-6\\ 10\\ 16\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 3\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1-6x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|-4|5\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 0+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot 5$
also:

$-2x_1-6x_2+3x_3=39$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-3)-6\cdot (-20)+3\cdot 20-39|}{\sqrt{{(-2)}^2+{(-6)}^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 98 · 21 = 686

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}t\\ -2t\\ 2t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 7\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}t\\ -2t\\ 2t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2t·7-2t·\left(-4\right)\\ 2t·5-t·7\\ t·\left(-4\right)-\left(-2t\right)·5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-14t+8t\\ 10t-7t\\ -4t+10t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6t\\ 3t\\ 6t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-6t\\ 3t\\ 6t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{36t^2+9t^2+36t^2}$ = $\sqrt{81t^2}$ = $\left|$ 9t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 22,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 9t$\right|$ = 22,5 |⋅2

$\left|$ 9t$\right|$ = 45

1. Fall

$9t$ = 45 |: 9

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-6+1t\right|10-2t\left|-2+2t\right)$ ergibt
B₁$\left(-1|0|8\right)$.

2. Fall

- $9t$ = 45 |: -9

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-6+1t\right|10-2t\left|-2+2t\right)$ ergibt
B₂$\left(-11|20|-12\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+x_2+3x_3=3$ ein.

S₁: => x=$\frac{3}{3}$=1, also S₁$\left(1|0|0\right)$
S₂: => y=$3$=3, also S₂$\left(0|3|0\right)$
S₃: => z=$\frac{3}{3}$=1, also S₃$\left(0|0|1\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 1⋅3 = 1.5, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 1 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅1.5⋅1
=0.5

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{5}$ = $\frac{d^2}{50}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{50}{d}^2$	=	$2$	|⋅$50$
$d^2$	=	$100$	|
d1	=	$-\sqrt{100}$	= $-10$
d2	=	$\sqrt{100}$	= $10$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+x_2+5x_3=10$

Aber auch E2: $5x_1+x_2+5x_3=-10$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-2|0|0), S₂(0|-10|0) und S₃(0|0|-2). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+x_2+5x_3=10$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{1}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{3}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{1}$⋅ $\frac{d}{3}$ = $\frac{d^3}{54}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{54}{d}^3$	=	$\mathrm{13,5}$	|⋅$54$
$d^3$	=	$729$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{729}$	= $9$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+x_2+3x_3=9$

Aber auch E2: $3x_1+x_2+3x_3=-9$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-9|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+x_2+3x_3=9$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.