nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Flächeninhalt eines Parallelogramms

Beispiel:

Das Dreieck ABC mit A(-2|7|-1), B(6|-1|-5) und C(0|2|-5) soll durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Bestimme den Punkt D und berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms..

Lösung einblenden

Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

OD = OA + BC = ( -2 7 -1 ) + ( -6 3 0 ) = ( -8 10 -1 )

Der Gesuchte Punkt ist also D(-8|10|-1).

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( 6-( - 2 ) -1-7 -5-( - 1 ) ) = ( 8 -8 -4 ) und AD = BC = ( 0-6 2-( - 1 ) -5-( - 5 ) ) = ( -6 3 0 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 8 -8 -4 ) × ( -6 3 0 ) = ( -8 · 0 - ( -4 ) · 3 -4 · ( -6 ) - 8 · 0 8 · 3 - ( -8 ) · ( -6 ) ) = ( 0 +12 24 +0 24 -48 ) = ( 12 24 -24 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 12 24 -24 ) | = 12 2 + 242 + (-24) 2 = 1296 = 36 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 36.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(2|7|2), B(6|15|-6) und C(3|3|3).

Lösung einblenden

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( 6-2 15-7 -6-2 ) = ( 4 8 -8 ) und AC = ( 3-2 3-7 3-2 ) = ( 1 -4 1 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 4 8 -8 ) × ( 1 -4 1 ) = ( 8 · 1 - ( -8 ) · ( -4 ) -8 · 1 - 4 · 1 4 · ( -4 ) - 8 · 1 ) = ( 8 -32 -8 -4 -16 -8 ) = ( -24 -12 -24 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -24 -12 -24 ) | = (-24) 2 + (-12)2 + (-24) 2 = 1296 = 36 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 36 = 18.

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm)

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Parallelogramm ABCD mit A(0|-3|0), B(8|-7|8), C(6|-12|12) und D(-2|-8|4) und als Spitze S(3|-12|-3). Berechne das Volumen der Pyramide.

Lösung einblenden

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( 8-0 -7-( - 3 ) 8-0 ) = ( 8 -4 8 ) und AD = BC = ( 6-8 -12-( - 7 ) 12-8 ) = ( -2 -5 4 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 8 -4 8 ) × ( -2 -5 4 ) = ( -4 · 4 - 8 · ( -5 ) 8 · ( -2 ) - 8 · 4 8 · ( -5 ) - ( -4 ) · ( -2 ) ) = ( -16 +40 -16 -32 -40 -8 ) = ( 24 -48 -48 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 24 -48 -48 ) | = 24 2 + (-48)2 + (-48) 2 = 5184 = 72 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 72.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( 0 -3 0 ) + r ( 8 -4 8 ) + s ( -2 -5 4 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( 8 -4 8 ) × ( -2 -5 4 ) = ( -4 · 4 - 8 · ( -5 ) 8 · ( -2 ) - 8 · 4 8 · ( -5 ) - ( -4 ) · ( -2 ) ) = ( -16 +40 -16 -32 -40 -8 ) = ( 24 -48 -48 ) = 24⋅ ( 1 -2 -2 )

Weil der Vektor ( 1 -2 -2 ) orthogonal zu ( 8 -4 8 ) und ( -2 -5 4 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( 0 -3 0 ) ] ( 1 -2 -2 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also x 1 -2 x 2 -2 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(0|-3|0) erhält man
d = 10 + (-2)(-3) + (-2)0
also:

x 1 -2 x 2 -2 x 3 = 6

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 1 3-2 ( - 12 )-2 ( - 3 )-6 | 1 2 + ( - 2 ) 2 + ( - 2 ) 2
= | 27 | 9 = 27 3 = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 72 · 9 = 216

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Dreieck ABC mit A(-2|-5|5), B(1|-11|-1), C(5|-13|3) und als Spitze S(-6|-12|10).
Berechne das Volumen der Pyramide.

Lösung einblenden

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( 1-( - 2 ) -11-( - 5 ) -1-5 ) = ( 3 -6 -6 ) und AC = ( 5-( - 2 ) -13-( - 5 ) 3-5 ) = ( 7 -8 -2 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 3 -6 -6 ) × ( 7 -8 -2 ) = ( -6 · ( -2 ) - ( -6 ) · ( -8 ) -6 · 7 - 3 · ( -2 ) 3 · ( -8 ) - ( -6 ) · 7 ) = ( 12 -48 -42 +6 -24 +42 ) = ( -36 -36 18 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -36 -36 18 ) | = (-36) 2 + (-36)2 + 18 2 = 2916 = 54 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 54 = 27.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( -2 -5 5 ) + r ( 3 -6 -6 ) + s ( 7 -8 -2 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( 3 -6 -6 ) × ( 7 -8 -2 ) = ( -6 · ( -2 ) - ( -6 ) · ( -8 ) -6 · 7 - 3 · ( -2 ) 3 · ( -8 ) - ( -6 ) · 7 ) = ( 12 -48 -42 +6 -24 +42 ) = ( -36 -36 18 ) = 18⋅ ( -2 -2 1 )

Weil der Vektor ( -2 -2 1 ) orthogonal zu ( 3 -6 -6 ) und ( 7 -8 -2 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( -2 -5 5 ) ] ( -2 -2 1 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also -2 x 1 -2 x 2 + x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(-2|-5|5) erhält man
d = (-2)(-2) + (-2)(-5) + 15
also:

-2 x 1 -2 x 2 + x 3 = 19

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | -2 ( - 6 )-2 ( - 12 )+1 10-19 | ( - 2 ) 2 + ( - 2 ) 2 + 1 2
= | 27 | 9 = 27 3 = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 27 · 9 = 81

Pkt auf Gerade mit Dreiecksinhalt finden

Beispiel:

Gegeben ist der Punkt A(-3|-4|-1), der Punkt C(-5|-3|-3) und die Gerade g: x = ( -3 -4 -1 ) +t ( 2 2 -1 ) . A liegt in g.
Bestimme alle möglichen Koordinaten für einen Punkt B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABC den Flächeninhalt A = 18 hat.

Lösung einblenden

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor AB einfach als ( 2 t 2 t -1 t ) schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als AC = ( -5-( - 3 ) -3-( - 4 ) -3-( - 1 ) ) = ( -2 1 -2 ) .

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 2 t 2 t -1 t ) × ( -2 1 -2 ) = ( 2 t · ( -2 ) - ( - t ) · 1 - t · ( -2 ) - 2 t · ( -2 ) 2 t · 1 - 2 t · ( -2 ) ) = ( -4 t + t 2 t +4 t 2 t +4 t ) = ( -3 t 6 t 6 t ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | AB x AC | = | ( -3 t 6 t 6 t ) | = 9 t 2 +36 t 2 +36 t 2 = 81 t 2 = | 9t | entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 18 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = 1 2 | AB x AC | = 1 2 | 9t | = 18 |⋅2

| 9t | = 36

1. Fall

9t = 36 |: 9

t = 4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( -3 +2 t | -4 +2 t | -1 -1 t ) ergibt
B1(5|4|-5).

2. Fall

- 9t = 36 |: -9

t = -4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( -3 +2 t | -4 +2 t | -1 -1 t ) ergibt
B2(-11|-12|3).

Pyramide aus Spurpunkten einer Ebene

Beispiel:

Gegeben ist die Koordinatengleichung der Ebene E: 3 x 1 +2 x 2 +5 x 3 = 60 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P. Berechne das Volumen von P.

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 3 x 1 +2 x 2 +5 x 3 = 60 ein.

S1: 3 x +2 0 +5 0 = 60 => x= 60 3 =20, also S1(20|0|0)
S2: 3 0 +2 y +5 0 = 60 => y= 60 2 =30, also S2(0|30|0)
S3: 3 0 +2 0 +5 z = 60 => z= 60 5 =12, also S3(0|0|12)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 ⋅ 20⋅30 = 300, weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS2= 12 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h
= 1 3 ⋅300⋅12
=1200

Spurpunktdreieck rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: 4 x 1 +4 x 2 +3 x 3 = 0 .

Die Schnittpunkte von E mit der x2-Achse und der x3-Achse bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Dreieck P mit dem Flächeninhalt 24. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

4 x 1 +4 x 2 +3 x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 4 x 1 +4 x 2 +3 x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 4 x +4 0 +3 0 = d => x = d 4 , also S1( d 4 |0|0)
S2: 4 0 +4 y +3 0 = d => y = d 4 , also S2(0| d 4 |0)
S3: 4 0 +4 0 +3 z = d => z = d 3 , also S3(0|0| d 3 )

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = 1 2 ⋅g⋅hg. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS2 und OS3.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS2S3: A = 1 2 d 4 d 3 = d 2 24

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

1 24 d 2 = 24 |⋅24
d 2 = 576 | 2
d1 = - 576 = -24
d2 = 576 = 24

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: 4 x 1 +4 x 2 +3 x 3 = 24

Aber auch E2: 4 x 1 +4 x 2 +3 x 3 = -24 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-6|0|0), S2(0|-6|0) und S3(0|0|-8). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: 4 x 1 +4 x 2 +3 x 3 = 24 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Spurpunktpyramide rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: 3 x 1 + x 2 +2 x 3 = 0 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P mit dem Volumen 48. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

3 x 1 + x 2 +2 x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 3 x 1 + x 2 +2 x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 3 x +1 0 +2 0 = d => x = d 3 , also S1( d 3 |0|0)
S2: 3 0 +1 y +2 0 = d => y = d 1 , also S2(0| d 1 |0)
S3: 3 0 +1 0 +2 z = d => z = d 2 , also S3(0|0| d 2 )

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 d 3 d 1 , weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS2= d 2 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h = 1 3 1 2 d 3 d 1 d 2 = d 3 36

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

1 36 d 3 = 48 |⋅36
d 3 = 1728 | 3
d = 1728 3 = 12

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: 3 x 1 + x 2 +2 x 3 = 12

Aber auch E2: 3 x 1 + x 2 +2 x 3 = -12 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-4|0|0), S2(0|-12|0) und S3(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: 3 x 1 + x 2 +2 x 3 = 12 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.