Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 1\\ 9\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-10|1|9\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·1-\left(-8\right)·1\\ -8·\left(-4\right)-8·1\\ 8·1-4·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4+8\\ 32-8\\ 8+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{12}^2+{24}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·4-4·2\\ 4·5-8·4\\ 8·2-8·5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}32-8\\ 20-32\\ 16-40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ -12\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ -12\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ 9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18·7-9·0\\ 9·\left(-14\right)-\left(-6\right)·7\\ -6·0-\left(-18\right)·\left(-14\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-126+0\\ -126+42\\ 0-252\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-126\\ -84\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-126\\ -84\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-126)}}^2+{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 10\\ -6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ 9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 7\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 7\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ t\\ 14\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 7\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 7\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}7\\ t\\ 14\end{array}\right)$=$\mathrm{(-14)}\cdot 7+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+7\cdot 14=-98\mathrm{+0}\mathrm{+98}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ 9\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ t\\ 14\end{array}\right)$ = -18⋅t +84 = 0 wird, also t=$\frac{14}{3}$ = $\frac{14}{3}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ \frac{14}{3}\\ 14\end{array}\right)$ = $\frac{1}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}21\\ 14\\ 42\end{array}\right)$ = $\frac{7}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18·7-9·0\\ 9·\left(-14\right)-\left(-6\right)·7\\ -6·0-\left(-18\right)·\left(-14\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-126+0\\ -126+42\\ 0-252\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-126\\ -84\\ -252\end{array}\right)$

= -42⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ 9\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 7\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-2\\ 10\\ -6\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1+2x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|10|-6\right)$ erhält man
d = $3\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 10+6\cdot \mathrm{(-6)}$
also:

$3x_1+2x_2+6x_3=-22$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot (-1)+2\cdot 13+6\cdot 17+22|}{\sqrt{3^2+2^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ 32\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 42\\ -21\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 32\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ 42\\ -21\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}32·\left(-21\right)-\left(-4\right)·42\\ -4·12-16·\left(-21\right)\\ 16·42-32·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-672+168\\ -48+336\\ 672-384\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-504\\ 288\\ 288\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-504\\ 288\\ 288\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-504)}}^2+{288}^2+{288}^2}=\sqrt{419904}=648$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 648 = 324.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -13\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ 32\\ -4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 42\\ -21\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 32\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ 42\\ -21\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}32·\left(-21\right)-\left(-4\right)·42\\ -4·12-16·\left(-21\right)\\ 16·42-32·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-672+168\\ -48+336\\ 672-384\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-504\\ 288\\ 288\end{array}\right)$ = 72⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 4\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}16\\ 32\\ -4\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}12\\ 42\\ -21\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-3\\ -13\\ 1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 4\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-7x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|-13|1\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-7)}\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot \mathrm{(-13)}+4\cdot 1$
also:

$-7x_1+4x_2+4x_3=-27$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-7\cdot (-24)+4\cdot 8+4\cdot 4+27|}{\sqrt{{(-7)}^2+4^2+4^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 324 · 27 = 2916

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}3t\\ 4t\\ 0t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\\ 0\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3t\\ 4t\\ 0t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ 5\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4t·0-0·5\\ 0·10-3t·0\\ 3t·5-4t·10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ 15t-40t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -25t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -25t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0+0+625t^2}$ = $\sqrt{625t^2}$ = $\left|$ 25t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 37,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 25t$\right|$ = 37,5 |⋅2

$\left|$ 25t$\right|$ = 75

1. Fall

$25t$ = 75 |: 25

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-11+3t\right|-6+4t\left|-5+0t\right)$ ergibt
B₁$\left(-2|6|-5\right)$.

2. Fall

- $25t$ = 75 |: -25

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-11+3t\right|-6+4t\left|-5+0t\right)$ ergibt
B₂$\left(-20|-18|-5\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+3x_2+2x_3=18$ ein.

S₁: => x=$\frac{18}{3}$=6, also S₁$\left(6|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{18}{3}$=6, also S₂$\left(0|6|0\right)$
S₃: => z=$\frac{18}{2}$=9, also S₃$\left(0|0|9\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6⋅6 = 18, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 9 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅18⋅9
=54

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{2}$ = $\frac{d^2}{4}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{4}{d}^2$	=	$81$	|⋅$4$
$d^2$	=	$324$	|
d1	=	$-\sqrt{324}$	= $-18$
d2	=	$\sqrt{324}$	= $18$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+x_2+2x_3=18$

Aber auch E2: $3x_1+x_2+2x_3=-18$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-18|0) und S₃(0|0|-9). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+x_2+2x_3=18$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{1}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{3}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{1}$⋅ $\frac{d}{3}$ = $\frac{d^3}{18}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{18}{d}^3$	=	$12$	|⋅$18$
$d^3$	=	$216$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{216}$	= $6$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+3x_3=6$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+x_2+3x_3=-6$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-2). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+3x_3=6$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.