Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -12\\ -3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-24\\ -25\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-29\\ -37\\ -6\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-29|-37|-6\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 36\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -25\\ -3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 36\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-24\\ -25\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36·\left(-3\right)-\left(-8\right)·\left(-25\right)\\ -8·\left(-24\right)-24·\left(-3\right)\\ 24·\left(-25\right)-36·\left(-24\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-108-200\\ 192+72\\ -600+864\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-308)}}^2+{264}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 9\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·9-\left(-24\right)·\left(-1\right)\\ -24·\left(-4\right)-\left(-8\right)·9\\ -8·\left(-1\right)-12·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}108-24\\ 96+72\\ 8+48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ 168\\ 56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}84\\ 168\\ 56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{84}^2+{168}^2+{56}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ -9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·\left(-8\right)-\left(-9\right)·0\\ -9·\left(-6\right)-12·\left(-8\right)\\ 12·0-0·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 54+96\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 150\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 150\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{150}^2+0^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 150.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ -9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -8\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ -9\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-9\\ t\\ -12\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ -9\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ -9\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-9\\ t\\ -12\end{array}\right)$=$12\cdot \mathrm{(-9)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-9)}\cdot \mathrm{(-12)}=-108\mathrm{+0}\mathrm{+108}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -8\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-9\\ t\\ -12\end{array}\right)$ = 0⋅t +150 = 0 wird, also t=$-\frac{1}{0}$ = $-\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -\frac{1}{0}\\ -12\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{0}{0}\\ 0\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·\left(-8\right)-\left(-9\right)·0\\ -9·\left(-6\right)-12·\left(-8\right)\\ 12·0-0·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 54+96\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 150\\ 0\end{array}\right)$

= 150⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ -9\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -8\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_2=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-1|-5|2\right)$ erhält man
d = $0\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot 2$
also:

$+x_2=-5$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot (-4)+1\cdot (-2)+0\cdot (-2)+5|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 150 · 3 = 150

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-22\\ 19\\ -24\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-22\\ 19\\ -24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·\left(-24\right)-\left(-24\right)·19\\ -24·\left(-22\right)-\left(-8\right)·\left(-24\right)\\ -8·19-12·\left(-22\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-288+456\\ 528-192\\ -152+264\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168\\ 336\\ 112\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}168\\ 336\\ 112\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{168}^2+{336}^2+{112}^2}=\sqrt{153664}=392$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 392 = 196.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -6\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ -24\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-22\\ 19\\ -24\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-22\\ 19\\ -24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·\left(-24\right)-\left(-24\right)·19\\ -24·\left(-22\right)-\left(-8\right)·\left(-24\right)\\ -8·19-12·\left(-22\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-288+456\\ 528-192\\ -152+264\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168\\ 336\\ 112\end{array}\right)$ = 56⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ -24\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-22\\ 19\\ -24\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-1\\ -6\\ 2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1+6x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-1|-6|2\right)$ erhält man
d = $3\cdot \mathrm{(-1)}+6\cdot \mathrm{(-6)}+2\cdot 2$
also:

$3x_1+6x_2+2x_3=-35$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot 0+6\cdot 17+2\cdot 5+35|}{\sqrt{3^2+6^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 196 · 21 = 1372

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}2t\\ -6t\\ -3t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2t\\ -6t\\ -3t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6t·\left(-2\right)-\left(-3t\right)·3\\ -3t·6-2t·\left(-2\right)\\ 2t·3-\left(-6t\right)·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12t+9t\\ -18t+4t\\ 6t+36t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}21t\\ -14t\\ 42t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}21t\\ -14t\\ 42t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{441t^2+196t^2+1764t^2}$ = $\sqrt{2401t^2}$ = $\left|$ 49t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 98 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 49t$\right|$ = 98 |⋅2

$\left|$ 49t$\right|$ = 196

1. Fall

$49t$ = 196 |: 49

t = 4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(0+2t\right|-5-6t\left|0-3t\right)$ ergibt
B₁$\left(8|-29|-12\right)$.

2. Fall

- $49t$ = 196 |: -49

t = -4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(0+2t\right|-5-6t\left|0-3t\right)$ ergibt
B₂$\left(-8|19|12\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+4x_2+3x_3=36$ ein.

S₁: => x=$\frac{36}{2}$=18, also S₁$\left(18|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{36}{4}$=9, also S₂$\left(0|9|0\right)$
S₃: => z=$\frac{36}{3}$=12, also S₃$\left(0|0|12\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 18⋅9 = 81, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 12 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅81⋅12
=324

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{4}$ = $\frac{d^2}{40}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{40}{d}^2$	=	$10$	|⋅$40$
$d^2$	=	$400$	|
d1	=	$-\sqrt{400}$	= $-20$
d2	=	$\sqrt{400}$	= $20$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+5x_2+4x_3=20$

Aber auch E2: $5x_1+5x_2+4x_3=-20$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-4|0|0), S₂(0|-4|0) und S₃(0|0|-5). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+5x_2+4x_3=20$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{1}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{5}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{1}$⋅ $\frac{d}{5}$ = $\frac{d^3}{30}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{30}{d}^3$	=	$\mathrm{112,5}$	|⋅$30$
$d^3$	=	$3375$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{3375}$	= $15$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+5x_3=15$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+x_2+5x_3=-15$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-15|0|0), S₂(0|-15|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+5x_3=15$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.