Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -8\\ -5\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -11\\ -11\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(1|-11|-11\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-6\right)-8·\left(-3\right)\\ 8·0-\left(-4\right)·\left(-6\right)\\ -4·\left(-3\right)-8·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48+24\\ 0-24\\ 12+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ -36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -15\\ -29\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ -36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ -15\\ -29\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-29\right)-\left(-36\right)·\left(-15\right)\\ -36·\left(-12\right)-\left(-24\right)·\left(-29\right)\\ -24·\left(-15\right)-\left(-8\right)·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}232-540\\ 432-696\\ 360-96\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-308)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -8\\ 16\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -8\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·16-3·\left(-8\right)\\ 3·\left(-2\right)-\left(-24\right)·16\\ -24·\left(-8\right)-12·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}192+24\\ -6+384\\ 192+24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216\\ 378\\ 216\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}216\\ 378\\ 216\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{216}^2+{378}^2+{216}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 486.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -8\\ 16\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -8\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·16-3·\left(-8\right)\\ 3·\left(-2\right)-\left(-24\right)·16\\ -24·\left(-8\right)-12·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}192+24\\ -6+384\\ 192+24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216\\ 378\\ 216\end{array}\right)$ = 54⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 3\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-2\\ -8\\ 16\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+7x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|1|-5\right)$ erhält man
d = $4\cdot \mathrm{(-3)}+7\cdot 1+4\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$4x_1+7x_2+4x_3=-25$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 8+7\cdot 18+4\cdot 15+25|}{\sqrt{4^2+7^2+4^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 486 · 27 = 4374

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 36\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-28\\ 49\\ 18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 36\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-28\\ 49\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36·18-24·49\\ 24·\left(-28\right)-\left(-8\right)·18\\ -8·49-36·\left(-28\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}648-1176\\ -672+144\\ -392+1008\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-528\\ -528\\ 616\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-528\\ -528\\ 616\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-528)}}^2+{\mathrm{(-528)}}^2+{616}^2}=\sqrt{937024}=968$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 968 = 484.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -14\\ -10\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 36\\ 24\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-28\\ 49\\ 18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 36\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-28\\ 49\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36·18-24·49\\ 24·\left(-28\right)-\left(-8\right)·18\\ -8·49-36·\left(-28\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}648-1176\\ -672+144\\ -392+1008\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-528\\ -528\\ 616\end{array}\right)$ = 88⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ 36\\ 24\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-28\\ 49\\ 18\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ -14\\ -10\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1-6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|-14|-10\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 2+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-14)}+7\cdot \mathrm{(-10)}$
also:

$-6x_1-6x_2+7x_3=2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-27)-6\cdot (-21)+7\cdot 11-2|}{\sqrt{{(-6)}^2+{(-6)}^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 484 · 33 = 5324

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-1t\\ -4t\\ 8t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 9\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-1t\\ -4t\\ 8t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4t·9-8t·0\\ 8t·\left(-9\right)-\left(-t\right)·9\\ -t·0-\left(-4t\right)·\left(-9\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36t+0\\ -72t+9t\\ 0-36t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36t\\ -63t\\ -36t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36t\\ -63t\\ -36t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1296t^2+3969t^2+1296t^2}$ = $\sqrt{6561t^2}$ = $\left|$ 81t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 121,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 81t$\right|$ = 121,5 |⋅2

$\left|$ 81t$\right|$ = 243

1. Fall

$81t$ = 243 |: 81

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(2-1t\right|4-4t\left|-10+8t\right)$ ergibt
B₁$\left(-1|-8|14\right)$.

2. Fall

- $81t$ = 243 |: -81

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(2-1t\right|4-4t\left|-10+8t\right)$ ergibt
B₂$\left(5|16|-34\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+x_2+5x_3=15$ ein.

S₁: => x=$\frac{15}{5}$=3, also S₁$\left(3|0|0\right)$
S₂: => y=$15$=15, also S₂$\left(0|15|0\right)$
S₃: => z=$\frac{15}{5}$=3, also S₃$\left(0|0|3\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 3⋅15 = 22.5, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 3 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅22.5⋅3
=22.5

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{3}$ = $\frac{d^2}{6}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{6}{d}^2$	=	$24$	|⋅$6$
$d^2$	=	$144$	|
d1	=	$-\sqrt{144}$	= $-12$
d2	=	$\sqrt{144}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+3x_3=12$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+x_2+3x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-12|0|0), S₂(0|-12|0) und S₃(0|0|-4). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+3x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{4}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{4}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{144}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{144}{d}^3$	=	$324$	|⋅$144$
$d^3$	=	$46656$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{46656}$	= $36$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+4x_2+2x_3=36$

Aber auch E2: $3x_1+4x_2+2x_3=-36$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-12|0|0), S₂(0|-9|0) und S₃(0|0|-18). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+4x_2+2x_3=36$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.