Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}0\\ 19\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 15\\ 8\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-3|15|8\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 19\\ 8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 19\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16·8-\left(-12\right)·19\\ -12·0-0·8\\ 0·19-\left(-16\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-128+228\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{100}^2+0^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -8\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 9\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -8\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·9-\left(-24\right)·\left(-4\right)\\ -24·1-\left(-12\right)·9\\ -12·\left(-4\right)-\left(-8\right)·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72-96\\ -24+108\\ 48+8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ 84\\ 56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-168\\ 84\\ 56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-168)}}^2+{84}^2+{56}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -12\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -12\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·4-6·6\\ 6·\left(-12\right)-\left(-4\right)·4\\ -4·6-\left(-12\right)·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48-36\\ -72+16\\ -24-144\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ -56\\ -168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ -56\\ -168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-56)}}^2+{\mathrm{(-168)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -12\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ 4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -12\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·4-6·6\\ 6·\left(-12\right)-\left(-4\right)·4\\ -4·6-\left(-12\right)·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48-36\\ -72+16\\ -24-144\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ -56\\ -168\end{array}\right)$ = -28⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ -12\\ 6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-12\\ 6\\ 4\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1+2x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|3|-2\right)$ erhält man
d = $3\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot 3+6\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$3x_1+2x_2+6x_3=-15$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot 0+2\cdot 12+6\cdot 18+15|}{\sqrt{3^2+2^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 196 · 21 = 1372

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ -9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ -20\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ -20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·\left(-20\right)-\left(-9\right)·0\\ -9·\left(-10\right)-\left(-12\right)·\left(-20\right)\\ -12·0-0·\left(-10\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 90-240\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -150\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -150\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{\mathrm{(-150)}}^2+0^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 150 = 75.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}6\\ -4\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ -9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ -20\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ -9\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-9\\ t\\ 12\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ -9\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ -9\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-9\\ t\\ 12\end{array}\right)$=$\mathrm{(-12)}\cdot \mathrm{(-9)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-9)}\cdot 12=108\mathrm{+0}-108=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ -20\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-9\\ t\\ 12\end{array}\right)$ = 0⋅t -150 = 0 wird, also t=$\frac{1}{0}$ = $\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ \frac{1}{0}\\ 12\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{0}{0}\\ 0\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ -20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·\left(-20\right)-\left(-9\right)·0\\ -9·\left(-10\right)-\left(-12\right)·\left(-20\right)\\ -12·0-0·\left(-10\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 90-240\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -150\\ 0\end{array}\right)$

= -150⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ -9\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ -20\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}6\\ -4\\ 1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_2=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(6|-4|1\right)$ erhält man
d = $0\cdot 6+1\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot 1$
also:

$+x_2=-4$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot 5+1\cdot (-1)+0\cdot (-6)+4|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 75 · 3 = 75

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-1t\\ 4t\\ -8t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -8\\ 7\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-1t\\ 4t\\ -8t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ -8\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4t·7-\left(-8t\right)·\left(-8\right)\\ -8t·\left(-7\right)-\left(-t\right)·7\\ -t·\left(-8\right)-4t·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}28t-64t\\ 56t+7t\\ 8t+28t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36t\\ 63t\\ 36t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36t\\ 63t\\ 36t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1296t^2+3969t^2+1296t^2}$ = $\sqrt{6561t^2}$ = $\left|$ 81t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 202,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 81t$\right|$ = 202,5 |⋅2

$\left|$ 81t$\right|$ = 405

1. Fall

$81t$ = 405 |: 81

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-6-1t\right|9+4t\left|-7-8t\right)$ ergibt
B₁$\left(-11|29|-47\right)$.

2. Fall

- $81t$ = 405 |: -81

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-6-1t\right|9+4t\left|-7-8t\right)$ ergibt
B₂$\left(-1|-11|33\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+3x_2+2x_3=30$ ein.

S₁: => x=$\frac{30}{5}$=6, also S₁$\left(6|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{30}{3}$=10, also S₂$\left(0|10|0\right)$
S₃: => z=$\frac{30}{2}$=15, also S₃$\left(0|0|15\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6⋅10 = 30, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 15 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅30⋅15
=150

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{1}$ = $\frac{d^2}{8}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{8}{d}^2$	=	$2$	|⋅$8$
$d^2$	=	$16$	|
d1	=	$-\sqrt{16}$	= $-4$
d2	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+x_2+4x_3=4$

Aber auch E2: $4x_1+x_2+4x_3=-4$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-1|0|0), S₂(0|-4|0) und S₃(0|0|-1). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+x_2+4x_3=4$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{5}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{5}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{300}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{300}{d}^3$	=	$90$	|⋅$300$
$d^3$	=	$27000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{27000}$	= $30$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+5x_2+2x_3=30$

Aber auch E2: $5x_1+5x_2+2x_3=-30$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-15). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+5x_2+2x_3=30$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.