Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 10\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-7\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-23\\ 9\\ -1\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-23|9|-1\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ -12\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -1\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ -12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ -1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·0-0·\left(-1\right)\\ 0·\left(-7\right)-16·0\\ 16·\left(-1\right)-\left(-12\right)·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ -16-84\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{\mathrm{(-100)}}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-36\\ 8\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-29\\ 15\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-36\\ 8\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-29\\ 15\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-12\right)-\left(-24\right)·15\\ -24·\left(-29\right)-\left(-36\right)·\left(-12\right)\\ -36·15-8·\left(-29\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-96+360\\ 696-432\\ -540+232\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ -308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ -308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{264}^2+{\mathrm{(-308)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}13\\ -6\\ -20\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}13\\ -6\\ -20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·\left(-20\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\\ -6·13-27·\left(-20\right)\\ 27·\left(-6\right)-18·13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-360-36\\ -78+540\\ -162-234\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ 462\\ -396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-396\\ 462\\ -396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-396)}}^2+{462}^2+{\mathrm{(-396)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ -6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}13\\ -6\\ -20\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}13\\ -6\\ -20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·\left(-20\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\\ -6·13-27·\left(-20\right)\\ 27·\left(-6\right)-18·13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-360-36\\ -78+540\\ -162-234\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ 462\\ -396\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}13\\ -6\\ -20\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ -1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+7x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-6|-4|-1\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-6)}+7\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$-6x_1+7x_2-6x_3=14$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-13)+7\cdot 17-6\cdot (-30)-14|}{\sqrt{{(-6)}^2+7^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 726 · 33 = 7986

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-27\\ -18\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -12\\ 26\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-27\\ -18\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-40\\ -12\\ 26\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18·26-6·\left(-12\right)\\ 6·\left(-40\right)-\left(-27\right)·26\\ -27·\left(-12\right)-\left(-18\right)·\left(-40\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-468+72\\ -240+702\\ 324-720\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ 462\\ -396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-396\\ 462\\ -396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-396)}}^2+{462}^2+{\mathrm{(-396)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 726 = 363.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-27\\ -18\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -12\\ 26\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-27\\ -18\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-40\\ -12\\ 26\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18·26-6·\left(-12\right)\\ 6·\left(-40\right)-\left(-27\right)·26\\ -27·\left(-12\right)-\left(-18\right)·\left(-40\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-468+72\\ -240+702\\ 324-720\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ 462\\ -396\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-27\\ -18\\ 6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-40\\ -12\\ 26\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ -1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+7x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(7|7|-1\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 7+7\cdot 7+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$-6x_1+7x_2-6x_3=13$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-22)+7\cdot 28-6\cdot (-8)-13|}{\sqrt{{(-6)}^2+7^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 363 · 33 = 3993

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}0t\\ 4t\\ -3t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -7\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0t\\ 4t\\ -3t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4t·\left(-7\right)-\left(-3t\right)·1\\ -3t·0-0·\left(-7\right)\\ 0·1-4t·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-28t+3t\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-25t\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-25t\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{625t^2+0+0}$ = $\sqrt{625t^2}$ = $\left|$ 25t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 25 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 25t$\right|$ = 25 |⋅2

$\left|$ 25t$\right|$ = 50

1. Fall

$25t$ = 50 |: 25

t = 2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(0+0t\right|0+4t\left|0-3t\right)$ ergibt
B₁$\left(0|8|-6\right)$.

2. Fall

- $25t$ = 50 |: -25

t = -2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(0+0t\right|0+4t\left|0-3t\right)$ ergibt
B₂$\left(0|-8|6\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+x_2+3x_3=12$ ein.

S₁: => x=$\frac{12}{2}$=6, also S₁$\left(6|0|0\right)$
S₂: => y=$12$=12, also S₂$\left(0|12|0\right)$
S₃: => z=$\frac{12}{3}$=4, also S₃$\left(0|0|4\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6⋅12 = 36, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 4 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅36⋅4
=48

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+4x_2+x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+4x_2+x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{1}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{1}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{1}$ = $\frac{d^2}{8}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{8}{d}^2$	=	$2$	|⋅$8$
$d^2$	=	$16$	|
d1	=	$-\sqrt{16}$	= $-4$
d2	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+4x_2+x_3=4$

Aber auch E2: $2x_1+4x_2+x_3=-4$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-2|0|0), S₂(0|-1|0) und S₃(0|0|-4). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+4x_2+x_3=4$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{1}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{5}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{1}$⋅ $\frac{d}{5}$ = $\frac{d^3}{150}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{150}{d}^3$	=	$\mathrm{22,5}$	|⋅$150$
$d^3$	=	$3375$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{3375}$	= $15$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+x_2+5x_3=15$

Aber auch E2: $5x_1+x_2+5x_3=-15$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-15|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+x_2+5x_3=15$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.