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Flächeninhalt eines Parallelogramms

Beispiel:

Das Dreieck ABC mit A(-9|26|-15), B(-1|-10|9) und C(6|-3|-3) soll durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Bestimme den Punkt D und berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms..

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Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

OD = OA + BC = ( -9 26 -15 ) + ( 7 7 -12 ) = ( -2 33 -27 )

Der Gesuchte Punkt ist also D(-2|33|-27).

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( -1-( - 9 ) -10-26 9-( - 15 ) ) = ( 8 -36 24 ) und AD = BC = ( 6-( - 1 ) -3-( - 10 ) -3-9 ) = ( 7 7 -12 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 8 -36 24 ) × ( 7 7 -12 ) = ( -36 · ( -12 ) - 24 · 7 24 · 7 - 8 · ( -12 ) 8 · 7 - ( -36 ) · 7 ) = ( 432 -168 168 +96 56 +252 ) = ( 264 264 308 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 264 264 308 ) | = 264 2 + 2642 + 308 2 = 234256 = 484 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 484.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(2|13|-3), B(-6|49|-27) und C(-5|6|9).

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( -6-2 49-13 -27-( - 3 ) ) = ( -8 36 -24 ) und AC = ( -5-2 6-13 9-( - 3 ) ) = ( -7 -7 12 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -8 36 -24 ) × ( -7 -7 12 ) = ( 36 · 12 - ( -24 ) · ( -7 ) -24 · ( -7 ) - ( -8 ) · 12 -8 · ( -7 ) - 36 · ( -7 ) ) = ( 432 -168 168 +96 56 +252 ) = ( 264 264 308 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 264 264 308 ) | = 264 2 + 2642 + 308 2 = 234256 = 484 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 484 = 242.

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm)

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Parallelogramm ABCD mit A(-2|8|4), B(-2|-4|-12), C(-2|-15|-10) und D(-2|-3|6) und als Spitze S(1|1|3). Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( -2-( - 2 ) -4-8 -12-4 ) = ( 0 -12 -16 ) und AD = BC = ( -2-( - 2 ) -15-( - 4 ) -10-( - 12 ) ) = ( 0 -11 2 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 0 -12 -16 ) × ( 0 -11 2 ) = ( -12 · 2 - ( -16 ) · ( -11 ) -16 · 0 - 0 · 2 0 · ( -11 ) - ( -12 ) · 0 ) = ( -24 -176 0+0 0+0 ) = ( -200 0 0 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -200 0 0 ) | = (-200) 2 + 02 + 0 2 = 40000 = 200 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 200.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( -2 8 4 ) + r ( 0 -12 -16 ) + s ( 0 -11 2 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor ( 0 -12 -16 ) in der x1-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor ( t 16 -12 ) für jedes t orthogonal zu ( 0 -12 -16 ) , denn ( 0 -12 -16 ) ( t 16 -12 ) =0t + (-12)16 + (-16)(-12) = 0-192+192=0.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor ( 0 -11 2 ) ( t 16 -12 ) = 0⋅t -200 = 0 wird, also t= 1 0 = 1 0 .

Der gesuchte Normalenvektor ist also n = ( 1 0 16 -12 ) = 1 0 ( 0 0 0 0 )

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: n = ( 0 -12 -16 ) × ( 0 -11 2 ) = ( -12 · 2 - ( -16 ) · ( -11 ) -16 · 0 - 0 · 2 0 · ( -11 ) - ( -12 ) · 0 ) = ( -24 -176 0+0 0+0 ) = ( -200 0 0 )

= -200⋅ ( 1 0 0 )

Weil der Vektor ( 1 0 0 ) orthogonal zu ( 0 -12 -16 ) und ( 0 -11 2 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( -2 8 4 ) ] ( 1 0 0 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also x 1 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(-2|8|4) erhält man
d = 1(-2) + 08 + 04
also:

x 1 = -2

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 1 1+0 1+0 3+2 | 1 2 + 0 2 + 0 2
= | 3 | 1 = 3 1 = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 200 · 3 = 200

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Dreieck ABC mit A(1|-1|-2), B(-8|-19|-8), C(-12|-13|-20) und als Spitze S(-19|8|1).
Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( -8-1 -19-( - 1 ) -8-( - 2 ) ) = ( -9 -18 -6 ) und AC = ( -12-1 -13-( - 1 ) -20-( - 2 ) ) = ( -13 -12 -18 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -9 -18 -6 ) × ( -13 -12 -18 ) = ( -18 · ( -18 ) - ( -6 ) · ( -12 ) -6 · ( -13 ) - ( -9 ) · ( -18 ) -9 · ( -12 ) - ( -18 ) · ( -13 ) ) = ( 324 -72 78 -162 108 -234 ) = ( 252 -84 -126 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 252 -84 -126 ) | = 252 2 + (-84)2 + (-126) 2 = 86436 = 294 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 294 = 147.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( 1 -1 -2 ) + r ( -9 -18 -6 ) + s ( -13 -12 -18 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: n = ( -9 -18 -6 ) × ( -13 -12 -18 ) = ( -18 · ( -18 ) - ( -6 ) · ( -12 ) -6 · ( -13 ) - ( -9 ) · ( -18 ) -9 · ( -12 ) - ( -18 ) · ( -13 ) ) = ( 324 -72 78 -162 108 -234 ) = ( 252 -84 -126 ) = -42⋅ ( -6 2 3 )

Weil der Vektor ( -6 2 3 ) orthogonal zu ( -9 -18 -6 ) und ( -13 -12 -18 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( 1 -1 -2 ) ] ( -6 2 3 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also -6 x 1 +2 x 2 +3 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(1|-1|-2) erhält man
d = (-6)1 + 2(-1) + 3(-2)
also:

-6 x 1 +2 x 2 +3 x 3 = -14

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | -6 ( - 19 )+2 8+3 1+14 | ( - 6 ) 2 + 2 2 + 3 2
= | 147 | 49 = 147 7 = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 147 · 21 = 1029

Pkt auf Gerade mit Dreiecksinhalt finden

Beispiel:

Gegeben ist der Punkt A(-5|-1|4), der Punkt C(-13|-5|3) und die Gerade g: x = ( -5 -1 4 ) +t ( -1 4 -8 ) . A liegt in g.
Bestimme alle möglichen Koordinaten für einen Punkt B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABC den Flächeninhalt A = 202,5 hat.

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor AB einfach als ( -1 t 4 t -8 t ) schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als AC = ( -13-( - 5 ) -5-( - 1 ) 3-4 ) = ( -8 -4 -1 ) .

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -1 t 4 t -8 t ) × ( -8 -4 -1 ) = ( 4 t · ( -1 ) - ( -8 t ) · ( -4 ) -8 t · ( -8 ) - ( - t ) · ( -1 ) - t · ( -4 ) - 4 t · ( -8 ) ) = ( -4 t -32 t 64 t - t 4 t +32 t ) = ( -36 t 63 t 36 t ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | AB x AC | = | ( -36 t 63 t 36 t ) | = 1296 t 2 +3969 t 2 +1296 t 2 = 6561 t 2 = | 81t | entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 202,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = 1 2 | AB x AC | = 1 2 | 81t | = 202,5 |⋅2

| 81t | = 405

1. Fall

81t = 405 |: 81

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( -5 -1 t | -1 +4 t | 4 -8 t ) ergibt
B1(-10|19|-36).

2. Fall

- 81t = 405 |: -81

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( -5 -1 t | -1 +4 t | 4 -8 t ) ergibt
B2(0|-21|44).

Pyramide aus Spurpunkten einer Ebene

Beispiel:

Gegeben ist die Koordinatengleichung der Ebene E: x 1 +3 x 2 + x 3 = 6 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P. Berechne das Volumen von P.

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Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung x 1 +3 x 2 + x 3 = 6 ein.

S1: 1 x +3 0 +1 0 = 6 => x=6=6, also S1(6|0|0)
S2: 1 0 +3 y +1 0 = 6 => y= 6 3 =2, also S2(0|2|0)
S3: 1 0 +3 0 +1 z = 6 => z=6=6, also S3(0|0|6)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 ⋅ 6⋅2 = 6, weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS3= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h
= 1 3 ⋅6⋅6
=12

Spurpunktdreieck rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: 4 x 1 +3 x 2 +2 x 3 = 0 .

Die Schnittpunkte von E mit der x1-Achse und der x3-Achse bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Dreieck P mit dem Flächeninhalt 81. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

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Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

4 x 1 +3 x 2 +2 x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 4 x 1 +3 x 2 +2 x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 4 x +3 0 +2 0 = d => x = d 4 , also S1( d 4 |0|0)
S2: 4 0 +3 y +2 0 = d => y = d 3 , also S2(0| d 3 |0)
S3: 4 0 +3 0 +2 z = d => z = d 2 , also S3(0|0| d 2 )

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = 1 2 ⋅g⋅hg. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS1 und OS3.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS1S3: A = 1 2 d 4 d 2 = d 2 16

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

1 16 d 2 = 81 |⋅16
d 2 = 1296 | 2
d1 = - 1296 = -36
d2 = 1296 = 36

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: 4 x 1 +3 x 2 +2 x 3 = 36

Aber auch E2: 4 x 1 +3 x 2 +2 x 3 = -36 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-9|0|0), S2(0|-12|0) und S3(0|0|-18). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: 4 x 1 +3 x 2 +2 x 3 = 36 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Spurpunktpyramide rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: 5 x 1 +2 x 2 +2 x 3 = 0 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P mit dem Volumen 225. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

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Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

5 x 1 +2 x 2 +2 x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 5 x 1 +2 x 2 +2 x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 5 x +2 0 +2 0 = d => x = d 5 , also S1( d 5 |0|0)
S2: 5 0 +2 y +2 0 = d => y = d 2 , also S2(0| d 2 |0)
S3: 5 0 +2 0 +2 z = d => z = d 2 , also S3(0|0| d 2 )

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 d 5 d 2 , weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS2= d 2 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h = 1 3 1 2 d 5 d 2 d 2 = d 3 120

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

1 120 d 3 = 225 |⋅120
d 3 = 27000 | 3
d = 27000 3 = 30

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: 5 x 1 +2 x 2 +2 x 3 = 30

Aber auch E2: 5 x 1 +2 x 2 +2 x 3 = -30 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-6|0|0), S2(0|-15|0) und S3(0|0|-15). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: 5 x 1 +2 x 2 +2 x 3 = 30 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.