Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}8\\ -5\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -8\\ 5\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(10|-8|5\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -5\\ 1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ -5\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·1-\left(-4\right)·\left(-5\right)\\ -4·8-\left(-8\right)·1\\ -8·\left(-5\right)-8·8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8-20\\ -32+8\\ 40-64\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 36\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 11\\ 11\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 36\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 11\\ 11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36·11-8·11\\ 8·0-24·11\\ 24·11-36·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396-88\\ 0-264\\ 264+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{308}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·0-18·\left(-14\right)\\ 18·\left(-7\right)-\left(-9\right)·0\\ -9·\left(-14\right)-\left(-6\right)·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+252\\ -126+0\\ 126-42\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -126\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ -126\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{\mathrm{(-126)}}^2+{84}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -9\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}14\\ -7\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}14\\ -7\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-7)}\cdot 14+\mathrm{(-14)}\cdot \mathrm{(-7)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-98\mathrm{+98}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 18\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}14\\ -7\\ t\end{array}\right)$ = 18⋅t -84 = 0 wird, also t=$\frac{14}{3}$ = $\frac{14}{3}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}14\\ -7\\ \frac{14}{3}\end{array}\right)$ = $\frac{1}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}42\\ -21\\ 14\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{-7}}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·0-18·\left(-14\right)\\ 18·\left(-7\right)-\left(-9\right)·0\\ -9·\left(-14\right)-\left(-6\right)·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+252\\ -126+0\\ 126-42\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -126\\ 84\end{array}\right)$

= -42⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ 18\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -9\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+3x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|-2|-9\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 0+3\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-9)}$
also:

$-6x_1+3x_2-2x_3=12$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-23)+3\cdot (-1)-2\cdot (-12)-12|}{\sqrt{{(-6)}^2+3^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}22\\ -24\\ 19\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -24\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}22\\ -24\\ 19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24·19-12·\left(-24\right)\\ 12·22-8·19\\ 8·\left(-24\right)-\left(-24\right)·22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-456+288\\ 264-152\\ -192+528\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ 112\\ 336\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-168\\ 112\\ 336\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-168)}}^2+{112}^2+{336}^2}=\sqrt{153664}=392$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 392 = 196.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ 7\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -24\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}22\\ -24\\ 19\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -24\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}22\\ -24\\ 19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24·19-12·\left(-24\right)\\ 12·22-8·19\\ 8·\left(-24\right)-\left(-24\right)·22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-456+288\\ 264-152\\ -192+528\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ 112\\ 336\end{array}\right)$ = -56⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}8\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}22\\ -24\\ 19\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-5\\ 7\\ 1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1-2x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|7|1\right)$ erhält man
d = $3\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-2)}\cdot 7+\mathrm{(-6)}\cdot 1$
also:

$3x_1-2x_2-6x_3=-35$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot 12-2\cdot (-2)-6\cdot (-12)+35|}{\sqrt{3^2+{(-2)}^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 196 · 21 = 1372

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}2t\\ -2t\\ -1t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -3\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2t\\ -2t\\ -1t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2t·\left(-3\right)-\left(-t\right)·0\\ -t·3-2t·\left(-3\right)\\ 2t·0-\left(-2t\right)·3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6t+0\\ -3t+6t\\ 0+6t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6t\\ 3t\\ 6t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}6t\\ 3t\\ 6t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{36t^2+9t^2+36t^2}$ = $\sqrt{81t^2}$ = $\left|$ 9t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 18 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 9t$\right|$ = 18 |⋅2

$\left|$ 9t$\right|$ = 36

1. Fall

$9t$ = 36 |: 9

t = 4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(0+2t\right|7-2t\left|0-1t\right)$ ergibt
B₁$\left(8|-1|-4\right)$.

2. Fall

- $9t$ = 36 |: -9

t = -4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(0+2t\right|7-2t\left|0-1t\right)$ ergibt
B₂$\left(-8|15|4\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+x_2+3x_3=9$ ein.

S₁: => x=$\frac{9}{3}$=3, also S₁$\left(3|0|0\right)$
S₂: => y=$9$=9, also S₂$\left(0|9|0\right)$
S₃: => z=$\frac{9}{3}$=3, also S₃$\left(0|0|3\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 3⋅9 = 13.5, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 3 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅13.5⋅3
=13.5

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+3x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+3x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{3}$ = $\frac{d^2}{12}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{12}{d}^2$	=	$48$	|⋅$12$
$d^2$	=	$576$	|
d1	=	$-\sqrt{576}$	= $-24$
d2	=	$\sqrt{576}$	= $24$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+3x_2+4x_3=24$

Aber auch E2: $2x_1+3x_2+4x_3=-24$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-12|0|0), S₂(0|-8|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+3x_2+4x_3=24$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{1}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{5}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{1}$⋅ $\frac{d}{5}$ = $\frac{d^3}{30}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{30}{d}^3$	=	$\mathrm{112,5}$	|⋅$30$
$d^3$	=	$3375$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{3375}$	= $15$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+5x_3=15$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+x_2+5x_3=-15$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-15|0|0), S₂(0|-15|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+5x_3=15$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.