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Flächeninhalt eines Parallelogramms

Beispiel:

Das Dreieck ABC mit A(3|3|5), B(19|-1|37) und C(-1|-5|6) soll durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Bestimme den Punkt D und berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms..

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Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

OD = OA + BC = ( 3 3 5 ) + ( -20 -4 -31 ) = ( -17 -1 -26 )

Der Gesuchte Punkt ist also D(-17|-1|-26).

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( 19-3 -1-3 37-5 ) = ( 16 -4 32 ) und AD = BC = ( -1-19 -5-( - 1 ) 6-37 ) = ( -20 -4 -31 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 16 -4 32 ) × ( -20 -4 -31 ) = ( -4( - 31 )-32( - 4 ) 32( - 20 )-16( - 31 ) 16( - 4 )-( - 4 )( - 20 ) ) = ( 124-( - 128 ) -640-( - 496 ) -64-80 ) = ( 252 -144 -144 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 252 -144 -144 ) | = 252 2 + (-144)2 + (-144) 2 = 104976 = 324 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 324.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(-3|3|4), B(-27|11|-32) und C(3|12|2).

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( -27-( - 3 ) 11-3 -32-4 ) = ( -24 8 -36 ) und AC = ( 3-( - 3 ) 12-3 2-4 ) = ( 6 9 -2 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -24 8 -36 ) × ( 6 9 -2 ) = ( 8( - 2 )-( - 36 )9 -366-( - 24 )( - 2 ) -249-86 ) = ( -16-( - 324 ) -216-48 -216-48 ) = ( 308 -264 -264 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 308 -264 -264 ) | = 308 2 + (-264)2 + (-264) 2 = 234256 = 484 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 484 = 242.

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm)

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Parallelogramm ABCD mit A(0|-2|3), B(-27|-8|-15), C(-31|-26|-3) und D(-4|-20|15) und als Spitze S(-20|7|30). Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( -27-0 -8-( - 2 ) -15-3 ) = ( -27 -6 -18 ) und AD = BC = ( -31-( - 27 ) -26-( - 8 ) -3-( - 15 ) ) = ( -4 -18 12 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -27 -6 -18 ) × ( -4 -18 12 ) = ( -612-( - 18 )( - 18 ) -18( - 4 )-( - 27 )12 -27( - 18 )-( - 6 )( - 4 ) ) = ( -72-324 72-( - 324 ) 486-24 ) = ( -396 396 462 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -396 396 462 ) | = (-396) 2 + 3962 + 462 2 = 527076 = 726 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( 0 -2 3 ) + r ( -27 -6 -18 ) + s ( -4 -18 12 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( -27 -6 -18 ) × ( -4 -18 12 ) = ( -612-( - 18 )( - 18 ) -18( - 4 )-( - 27 )12 -27( - 18 )-( - 6 )( - 4 ) ) = ( -72-324 72-( - 324 ) 486-24 ) = ( -396 396 462 ) = 66⋅ ( -6 6 7 )

Weil der Vektor ( -6 6 7 ) orthogonal zu ( -27 -6 -18 ) und ( -4 -18 12 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( 0 -2 3 ) ] ( -6 6 7 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also -6 x 1 +6 x 2 +7 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(0|-2|3) erhält man
d = (-6)0 + 6(-2) + 73
also:

-6 x 1 +6 x 2 +7 x 3 = 9

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | -6 ( - 20 )+6 7+7 30-9 | ( - 6 ) 2 + 6 2 + 7 2
= | 363 | 121 = 363 11 = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 726 · 33 = 7986

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Dreieck ABC mit A(3|3|5), B(-3|-24|23), C(-21|-28|11) und als Spitze S(-24|19|20).
Berechne das Volumen der Pyramide.

Lösung einblenden

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( -3-3 -24-3 23-5 ) = ( -6 -27 18 ) und AC = ( -21-3 -28-3 11-5 ) = ( -24 -31 6 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -6 -27 18 ) × ( -24 -31 6 ) = ( -276-18( - 31 ) 18( - 24 )-( - 6 )6 -6( - 31 )-( - 27 )( - 24 ) ) = ( -162-( - 558 ) -432-( - 36 ) 186-648 ) = ( 396 -396 -462 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 396 -396 -462 ) | = 396 2 + (-396)2 + (-462) 2 = 527076 = 726 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 726 = 363.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( 3 3 5 ) + r ( -6 -27 18 ) + s ( -24 -31 6 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( -6 -27 18 ) × ( -24 -31 6 ) = ( -276-18( - 31 ) 18( - 24 )-( - 6 )6 -6( - 31 )-( - 27 )( - 24 ) ) = ( -162-( - 558 ) -432-( - 36 ) 186-648 ) = ( 396 -396 -462 ) = -66⋅ ( -6 6 7 )

Weil der Vektor ( -6 6 7 ) orthogonal zu ( -6 -27 18 ) und ( -24 -31 6 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( 3 3 5 ) ] ( -6 6 7 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also -6 x 1 +6 x 2 +7 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(3|3|5) erhält man
d = (-6)3 + 63 + 75
also:

-6 x 1 +6 x 2 +7 x 3 = 35

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | -6 ( - 24 )+6 19+7 20-35 | ( - 6 ) 2 + 6 2 + 7 2
= | 363 | 121 = 363 11 = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 363 · 33 = 3993