Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}24\\ 3\\ 25\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}33\\ -2\\ 29\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(33|-2|29\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 8\\ -36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 3\\ 25\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ 8\\ -36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}24\\ 3\\ 25\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·25-\left(-36\right)·3\\ -36·24-\left(-24\right)·25\\ -24·3-8·24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}200+108\\ -864+600\\ -72-192\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}308\\ -264\\ -264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}308\\ -264\\ -264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{308}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·2-\left(-8\right)·1\\ -8·\left(-2\right)-\left(-4\right)·2\\ -4·1-8·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16+8\\ 16+8\\ -4+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{24}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 32\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}17\\ 10\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 32\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}17\\ 10\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}32·4-\left(-16\right)·10\\ -16·17-4·4\\ 4·10-32·17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}128+160\\ -272-16\\ 40-544\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}288\\ -288\\ -504\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}288\\ -288\\ -504\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{288}^2+{\mathrm{(-288)}}^2+{\mathrm{(-504)}}^2}=\sqrt{419904}=648$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 648.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ -10\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 32\\ -16\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}17\\ 10\\ 4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 32\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}17\\ 10\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}32·4-\left(-16\right)·10\\ -16·17-4·4\\ 4·10-32·17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}128+160\\ -272-16\\ 40-544\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}288\\ -288\\ -504\end{array}\right)$ = -72⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 32\\ -16\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}17\\ 10\\ 4\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-5\\ -10\\ 3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 7\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-4x_1+4x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|-10|3\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}+4\cdot \mathrm{(-10)}+7\cdot 3$
also:

$-4x_1+4x_2+7x_3=1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-4\cdot (-8)+4\cdot 11+7\cdot 24-1|}{\sqrt{{(-4)}^2+4^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 648 · 27 = 5832

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -14\\ 23\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -14\\ 23\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16·23-12·\left(-14\right)\\ 12·0-0·23\\ 0·\left(-14\right)-\left(-16\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-368+168\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-200\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-200\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-200)}}^2+0^2+0^2}=\sqrt{40000}=200$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 200 = 100.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -14\\ 23\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ 12\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -12\\ -16\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ 12\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ 12\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -12\\ -16\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-16)}\cdot \mathrm{(-12)}+12\cdot \mathrm{(-16)}=0\mathrm{+192}-192=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -14\\ 23\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -12\\ -16\end{array}\right)$ = 0⋅t -200 = 0 wird, also t=$\frac{1}{0}$ = $\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}\frac{1}{0}\\ -12\\ -16\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}\frac{0}{0}\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -14\\ 23\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16·23-12·\left(-14\right)\\ 12·0-0·23\\ 0·\left(-14\right)-\left(-16\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-368+168\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-200\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

= -200⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ 12\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ -14\\ 23\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|0|1\right)$ erhält man
d = $1\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot 0+0\cdot 1$
also:

$\mathrm{}{x}_1=-5$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot (-2)+0\cdot (-1)+0\cdot 8+5|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 100 · 3 = 100

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-6t\\ -2t\\ 9t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -7\\ -7\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6t\\ -2t\\ 9t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -7\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2t·\left(-7\right)-9t·\left(-7\right)\\ 9t·12-\left(-6t\right)·\left(-7\right)\\ -6t·\left(-7\right)-\left(-2t\right)·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}14t+63t\\ 108t-42t\\ 42t+24t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}77t\\ 66t\\ 66t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}77t\\ 66t\\ 66t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{5929t^2+4356t^2+4356t^2}$ = $\sqrt{14641t^2}$ = $\left|$ 121t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 181,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 121t$\right|$ = 181,5 |⋅2

$\left|$ 121t$\right|$ = 363

1. Fall

$121t$ = 363 |: 121

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-11-6t\right|-3-2t\left|13+9t\right)$ ergibt
B₁$\left(-29|-9|40\right)$.

2. Fall

- $121t$ = 363 |: -121

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-11-6t\right|-3-2t\left|13+9t\right)$ ergibt
B₂$\left(7|3|-14\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+4x_2+2x_3=60$ ein.

S₁: => x=$\frac{60}{5}$=12, also S₁$\left(12|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{60}{4}$=15, also S₂$\left(0|15|0\right)$
S₃: => z=$\frac{60}{2}$=30, also S₃$\left(0|0|30\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 12⋅15 = 90, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 30 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅90⋅30
=900

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{3}$ = $\frac{d^2}{12}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{12}{d}^2$	=	$1200$	|⋅$12$
$d^2$	=	$14400$	|
d1	=	$-\sqrt{14400}$	= $-120$
d2	=	$\sqrt{14400}$	= $120$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+3x_2+5x_3=120$

Aber auch E2: $2x_1+3x_2+5x_3=-120$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-60|0|0), S₂(0|-40|0) und S₃(0|0|-24). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+3x_2+5x_3=120$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{3}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{3}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{3}$⋅ $\frac{d}{3}$ = $\frac{d^3}{216}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{216}{d}^3$	=	$8$	|⋅$216$
$d^3$	=	$1728$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{1728}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+3x_2+3x_3=12$

Aber auch E2: $4x_1+3x_2+3x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-4|0) und S₃(0|0|-4). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+3x_2+3x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.