Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 4\\ 7\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 15\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 8\\ 22\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-7|8|22\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -12\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 15\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -12\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·15-\left(-24\right)·4\\ -24·2-8·15\\ 8·4-\left(-12\right)·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-180+96\\ -48-120\\ 32+24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ -168\\ 56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ -168\\ 56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-168)}}^2+{56}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-36\\ 24\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-29\\ 12\\ 15\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-36\\ 24\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-29\\ 12\\ 15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24·15-8·12\\ 8·\left(-29\right)-\left(-36\right)·15\\ -36·12-24·\left(-29\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}360-96\\ -232+540\\ -432+696\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ 308\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ 308\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{308}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 4\\ 32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 17\\ 10\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 4\\ 32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 17\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·10-32·17\\ 32·4-\left(-16\right)·10\\ -16·17-4·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}40-544\\ 128+160\\ -272-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-504\\ 288\\ -288\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-504\\ 288\\ -288\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-504)}}^2+{288}^2+{\mathrm{(-288)}}^2}=\sqrt{419904}=648$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 648.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-16\\ 4\\ 32\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 17\\ 10\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 4\\ 32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 17\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·10-32·17\\ 32·4-\left(-16\right)·10\\ -16·17-4·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}40-544\\ 128+160\\ -272-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-504\\ 288\\ -288\end{array}\right)$ = 72⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-16\\ 4\\ 32\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}4\\ 17\\ 10\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-7x_1+4x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(6|3|-3\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-7)}\cdot 6+4\cdot 3+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$-7x_1+4x_2-4x_3=-18$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-7\cdot (-15)+4\cdot 24-4\cdot (-6)+18|}{\sqrt{{(-7)}^2+4^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 648 · 27 = 5832

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·\left(-6\right)-\left(-2\right)·6\\ -2·0-\left(-4\right)·\left(-6\right)\\ -4·6-4·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24+12\\ 0-24\\ -24+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ -6\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 6\\ 6\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+6\cdot 6+\mathrm{(-6)}\cdot 6=0\mathrm{+36}-36=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ = -4⋅t +12 = 0 wird, also t=$3$ = $3$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ = $\frac{3}{1}$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·\left(-6\right)-\left(-2\right)·6\\ -2·0-\left(-4\right)·\left(-6\right)\\ -4·6-4·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24+12\\ 0-24\\ -24+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$

= -12⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ -6\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|0|5\right)$ erhält man
d = $1\cdot \mathrm{(-5)}+2\cdot 0+2\cdot 5$
also:

$\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=5$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 0+2\cdot 7+2\cdot 9-5|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 18 · 9 = 54

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}0t\\ -3t\\ 4t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -13\\ 9\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0t\\ -3t\\ 4t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -13\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3t·9-4t·\left(-13\right)\\ 4t·0-0·9\\ 0·\left(-13\right)-\left(-3t\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-27t+52t\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}25t\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}25t\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{625t^2+0+0}$ = $\sqrt{625t^2}$ = $\left|$ 25t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 25 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 25t$\right|$ = 25 |⋅2

$\left|$ 25t$\right|$ = 50

1. Fall

$25t$ = 50 |: 25

t = 2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(0+0t\right|8-3t\left|-17+4t\right)$ ergibt
B₁$\left(0|2|-9\right)$.

2. Fall

- $25t$ = 50 |: -25

t = -2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(0+0t\right|8-3t\left|-17+4t\right)$ ergibt
B₂$\left(0|14|-25\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+2x_2+3x_3=18$ ein.

S₁: => x=$\frac{18}{3}$=6, also S₁$\left(6|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{18}{2}$=9, also S₂$\left(0|9|0\right)$
S₃: => z=$\frac{18}{3}$=6, also S₃$\left(0|0|6\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6⋅9 = 27, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅27⋅6
=54

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{5}$ = $\frac{d^2}{30}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{30}{d}^2$	=	$270$	|⋅$30$
$d^2$	=	$8100$	|
d1	=	$-\sqrt{8100}$	= $-90$
d2	=	$\sqrt{8100}$	= $90$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+2x_2+5x_3=90$

Aber auch E2: $3x_1+2x_2+5x_3=-90$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-30|0|0), S₂(0|-45|0) und S₃(0|0|-18). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+2x_2+5x_3=90$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{1}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{1}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{2}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{1}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{2}$⋅ $\frac{d}{1}$ = $\frac{d^3}{48}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{48}{d}^3$	=	$36$	|⋅$48$
$d^3$	=	$1728$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{1728}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+2x_2+x_3=12$

Aber auch E2: $4x_1+2x_2+x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-12). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+2x_2+x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.