Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ 17\\ -27\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-7\\ 12\\ -7\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 29\\ -34\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(4|29|-34\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ 36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 12\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ 36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 12\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24·\left(-7\right)-36·12\\ 36·\left(-7\right)-\left(-8\right)·\left(-7\right)\\ -8·12-\left(-24\right)·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168-432\\ -252-56\\ -96-168\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ -308\\ -264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ -308\\ -264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-308)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}32\\ -4\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}9\\ -9\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}32\\ -4\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}9\\ -9\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·0-\left(-16\right)·\left(-9\right)\\ -16·9-32·0\\ 32·\left(-9\right)-\left(-4\right)·9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-144\\ -144+0\\ -288+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ -144\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-144\\ -144\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-144)}}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -8\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -8\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·0-\left(-24\right)·\left(-14\right)\\ -24·\left(-7\right)-\left(-12\right)·0\\ -12·\left(-14\right)-\left(-8\right)·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-336\\ 168+0\\ 168-56\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-336\\ 168\\ 112\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-336\\ 168\\ 112\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-336)}}^2+{168}^2+{112}^2}=\sqrt{153664}=392$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 392.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 8\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ -8\\ -24\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}14\\ -7\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}14\\ -7\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-7)}\cdot 14+\mathrm{(-14)}\cdot \mathrm{(-7)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-98\mathrm{+98}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-12\\ -8\\ -24\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}14\\ -7\\ t\end{array}\right)$ = -24⋅t -112 = 0 wird, also t=$-\frac{14}{3}$ = $-\frac{14}{3}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}14\\ -7\\ -\frac{14}{3}\end{array}\right)$ = $\frac{1}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}42\\ -21\\ -14\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{-7}}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -8\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·0-\left(-24\right)·\left(-14\right)\\ -24·\left(-7\right)-\left(-12\right)·0\\ -12·\left(-14\right)-\left(-8\right)·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-336\\ 168+0\\ 168-56\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-336\\ 168\\ 112\end{array}\right)$

= 56⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-12\\ -8\\ -24\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 8\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(3|2|8\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 3+3\cdot 2+2\cdot 8$
also:

$-6x_1+3x_2+2x_3=4$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-20)+3\cdot 3+2\cdot 11-4|}{\sqrt{{(-6)}^2+3^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 392 · 21 = 2744

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ -36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-28\\ -18\\ -49\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ -36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-28\\ -18\\ -49\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24·\left(-49\right)-\left(-36\right)·\left(-18\right)\\ -36·\left(-28\right)-\left(-8\right)·\left(-49\right)\\ -8·\left(-18\right)-\left(-24\right)·\left(-28\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1176-648\\ 1008-392\\ 144-672\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}528\\ 616\\ -528\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}528\\ 616\\ -528\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{528}^2+{616}^2+{\mathrm{(-528)}}^2}=\sqrt{937024}=968$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 968 = 484.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 11\\ 13\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ -36\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-28\\ -18\\ -49\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ -36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-28\\ -18\\ -49\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24·\left(-49\right)-\left(-36\right)·\left(-18\right)\\ -36·\left(-28\right)-\left(-8\right)·\left(-49\right)\\ -8·\left(-18\right)-\left(-24\right)·\left(-28\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1176-648\\ 1008-392\\ 144-672\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}528\\ 616\\ -528\end{array}\right)$ = 88⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ -36\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-28\\ -18\\ -49\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-1\\ 11\\ 13\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1+7x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-1|11|13\right)$ erhält man
d = $6\cdot \mathrm{(-1)}+7\cdot 11+\mathrm{(-6)}\cdot 13$
also:

$6x_1+7x_2-6x_3=-7$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 6+7\cdot 32-6\cdot (-16)+7|}{\sqrt{6^2+7^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 484 · 33 = 5324

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}2t\\ -1t\\ -2t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 1\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2t\\ -1t\\ -2t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-t·1-\left(-2t\right)·\left(-1\right)\\ -2t·\left(-4\right)-2t·1\\ 2t·\left(-1\right)-\left(-t\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-t-2t\\ 8t-2t\\ -2t-4t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3t\\ 6t\\ -6t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-3t\\ 6t\\ -6t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{9t^2+36t^2+36t^2}$ = $\sqrt{81t^2}$ = $\left|$ 9t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 13,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 9t$\right|$ = 13,5 |⋅2

$\left|$ 9t$\right|$ = 27

1. Fall

$9t$ = 27 |: 9

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(5+2t\right|-5-1t\left|1-2t\right)$ ergibt
B₁$\left(11|-8|-5\right)$.

2. Fall

- $9t$ = 27 |: -9

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(5+2t\right|-5-1t\left|1-2t\right)$ ergibt
B₂$\left(-1|-2|7\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+2x_2+5x_3=30$ ein.

S₁: => x=$\frac{30}{2}$=15, also S₁$\left(15|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{30}{2}$=15, also S₂$\left(0|15|0\right)$
S₃: => z=$\frac{30}{5}$=6, also S₃$\left(0|0|6\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 15⋅15 = 112.5, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅112.5⋅6
=225

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{2}$ = $\frac{d^2}{16}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{16}{d}^2$	=	$81$	|⋅$16$
$d^2$	=	$1296$	|
d1	=	$-\sqrt{1296}$	= $-36$
d2	=	$\sqrt{1296}$	= $36$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+4x_2+2x_3=36$

Aber auch E2: $3x_1+4x_2+2x_3=-36$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-12|0|0), S₂(0|-9|0) und S₃(0|0|-18). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+4x_2+2x_3=36$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{2}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{2}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{48}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{48}{d}^3$	=	$\mathrm{4,5}$	|⋅$48$
$d^3$	=	$216$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{216}$	= $6$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+2x_2+2x_3=6$

Aber auch E2: $2x_1+2x_2+2x_3=-6$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-3|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+2x_2+2x_3=6$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.