Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-1\\ 34\\ -30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 32\\ -28\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(1|32|-28\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -36\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 34\\ -30\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -36\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 34\\ -30\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36·\left(-30\right)-24·34\\ 24·\left(-1\right)-\left(-8\right)·\left(-30\right)\\ -8·34-\left(-36\right)·\left(-1\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1080-816\\ -24-240\\ -272-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ -264\\ -308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ -264\\ -308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-308)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 3\\ -5\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 3\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24·\left(-5\right)-\left(-12\right)·3\\ -12·\left(-8\right)-\left(-8\right)·\left(-5\right)\\ -8·3-24·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-120+36\\ 96-40\\ -24+192\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ 56\\ 168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ 56\\ 168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{56}^2+{168}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 11\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 11\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·0-0·11\\ 0·\left(-2\right)-12·0\\ 12·11-9·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ 132+18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 150\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 150\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{150}^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 150.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 11\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ t\end{array}\right)$=$12\cdot \mathrm{(-9)}+9\cdot 12+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-108\mathrm{+108}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 11\\ 0\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ t\end{array}\right)$ = 0⋅t +150 = 0 wird, also t=$-\frac{1}{0}$ = $-\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ -\frac{1}{0}\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{0}{0}\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 11\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·0-0·11\\ 0·\left(-2\right)-12·0\\ 12·11-9·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ 132+18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 150\end{array}\right)$

= 150⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}12\\ 9\\ 0\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-2\\ 11\\ 0\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|-3|3\right)$ erhält man
d = $0\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot 3$
also:

$+x_3=3$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot (-2)+0\cdot 4+1\cdot 6-3|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 150 · 3 = 150

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -17\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·\left(-17\right)-\left(-9\right)·\left(-6\right)\\ -9·0-0·\left(-17\right)\\ 0·\left(-6\right)-\left(-12\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}204-54\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{150}^2+0^2+0^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 150 = 75.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -17\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -9\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 9\\ -12\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -9\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -9\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 9\\ -12\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-12)}\cdot 9+\mathrm{(-9)}\cdot \mathrm{(-12)}=0-108\mathrm{+108}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -17\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 9\\ -12\end{array}\right)$ = 0⋅t +150 = 0 wird, also t=$-\frac{1}{0}$ = $-\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{0}\\ 9\\ -12\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}\frac{0}{0}\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·\left(-17\right)-\left(-9\right)·\left(-6\right)\\ -9·0-0·\left(-17\right)\\ 0·\left(-6\right)-\left(-12\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}204-54\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

= 150⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -9\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -17\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|2|4\right)$ erhält man
d = $1\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot 2+0\cdot 4$
also:

$\mathrm{}{x}_1=-3$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 0+0\cdot 5+0\cdot 0+3|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 75 · 3 = 75

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-2t\\ 3t\\ -6t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 11\\ -15\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-2t\\ 3t\\ -6t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 11\\ -15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3t·\left(-15\right)-\left(-6t\right)·11\\ -6t·\left(-12\right)-\left(-2t\right)·\left(-15\right)\\ -2t·11-3t·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-45t+66t\\ 72t-30t\\ -22t+36t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}21t\\ 42t\\ 14t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}21t\\ 42t\\ 14t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{441t^2+1764t^2+196t^2}$ = $\sqrt{2401t^2}$ = $\left|$ 49t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 49 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 49t$\right|$ = 49 |⋅2

$\left|$ 49t$\right|$ = 98

1. Fall

$49t$ = 98 |: 49

t = 2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(4-2t\right|-7+3t\left|15-6t\right)$ ergibt
B₁$\left(0|-1|3\right)$.

2. Fall

- $49t$ = 98 |: -49

t = -2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(4-2t\right|-7+3t\left|15-6t\right)$ ergibt
B₂$\left(8|-13|27\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+2x_2+5x_3=30$ ein.

S₁: => x=$\frac{30}{3}$=10, also S₁$\left(10|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{30}{2}$=15, also S₂$\left(0|15|0\right)$
S₃: => z=$\frac{30}{5}$=6, also S₃$\left(0|0|6\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 10⋅15 = 75, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅75⋅6
=150

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{4}$ = $\frac{d^2}{40}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{40}{d}^2$	=	$160$	|⋅$40$
$d^2$	=	$6400$	|
d1	=	$-\sqrt{6400}$	= $-80$
d2	=	$\sqrt{6400}$	= $80$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+4x_2+4x_3=80$

Aber auch E2: $5x_1+4x_2+4x_3=-80$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-16|0|0), S₂(0|-20|0) und S₃(0|0|-20). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+4x_2+4x_3=80$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{3}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{3}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{144}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{144}{d}^3$	=	$324$	|⋅$144$
$d^3$	=	$46656$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{46656}$	= $36$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+3x_2+2x_3=36$

Aber auch E2: $4x_1+3x_2+2x_3=-36$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-9|0|0), S₂(0|-12|0) und S₃(0|0|-18). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+3x_2+2x_3=36$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.