Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-33\\ -4\\ -13\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-31\\ -6\\ -11\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-31|-6|-11\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 8\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-33\\ -4\\ -13\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 8\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-33\\ -4\\ -13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-13\right)-12·\left(-4\right)\\ 12·\left(-33\right)-24·\left(-13\right)\\ 24·\left(-4\right)-8·\left(-33\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-104+48\\ -396+312\\ -96+264\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56\\ -84\\ 168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-56\\ -84\\ 168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-56)}}^2+{\mathrm{(-84)}}^2+{168}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -36\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}13\\ -20\\ 6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -36\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}13\\ -20\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36·6-24·\left(-20\right)\\ 24·13-8·6\\ 8·\left(-20\right)-\left(-36\right)·13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216+480\\ 312-48\\ -160+468\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ 308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ 308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{264}^2+{308}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ 0\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 11\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 0\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·11-12·0\\ 12·\left(-2\right)-16·11\\ 16·0-0·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ -24-176\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -200\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -200\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{\mathrm{(-200)}}^2+0^2}=\sqrt{40000}=200$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 200.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -5\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ 0\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 11\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}16\\ 0\\ 12\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}12\\ t\\ -16\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}16\\ 0\\ 12\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}16\\ 0\\ 12\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}12\\ t\\ -16\end{array}\right)$=$16\cdot 12+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+12\cdot \mathrm{(-16)}=192\mathrm{+0}-192=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 11\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}12\\ t\\ -16\end{array}\right)$ = 0⋅t -200 = 0 wird, also t=$\frac{1}{0}$ = $\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ \frac{1}{0}\\ -16\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{0}{0}\\ 0\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 0\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·11-12·0\\ 12·\left(-2\right)-16·11\\ 16·0-0·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ -24-176\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -200\\ 0\end{array}\right)$

= -200⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}16\\ 0\\ 12\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 11\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-8\\ -5\\ -3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_2=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-8|-5|-3\right)$ erhält man
d = $0\cdot \mathrm{(-8)}+1\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$+x_2=-5$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot (-7)+1\cdot (-2)+0\cdot 4+5|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 200 · 3 = 200

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -18\\ -13\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -18\\ -13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-13\right)-\left(-9\right)·\left(-18\right)\\ -9·12-18·\left(-13\right)\\ 18·\left(-18\right)-\left(-6\right)·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}78-162\\ -108+234\\ -324+72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ 126\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ 126\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{126}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 294 = 147.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -18\\ -13\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -18\\ -13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-13\right)-\left(-9\right)·\left(-18\right)\\ -9·12-18·\left(-13\right)\\ 18·\left(-18\right)-\left(-6\right)·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}78-162\\ -108+234\\ -324+72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ 126\\ -252\end{array}\right)$ = 42⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -9\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}12\\ -18\\ -13\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 0\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+3x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|3|0\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot 3+\mathrm{(-6)}\cdot 0$
also:

$-2x_1+3x_2-6x_3=19$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-14)+3\cdot 6-6\cdot (-20)-19|}{\sqrt{{(-2)}^2+3^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 147 · 21 = 1029

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}2t\\ -1t\\ 2t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 2\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2t\\ -1t\\ 2t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-t·2-2t·\left(-4\right)\\ 2t·5-2t·2\\ 2t·\left(-4\right)-\left(-t\right)·5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2t+8t\\ 10t-4t\\ -8t+5t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6t\\ 6t\\ -3t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}6t\\ 6t\\ -3t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{36t^2+36t^2+9t^2}$ = $\sqrt{81t^2}$ = $\left|$ 9t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 22,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 9t$\right|$ = 22,5 |⋅2

$\left|$ 9t$\right|$ = 45

1. Fall

$9t$ = 45 |: 9

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(0+2t\right|2-1t\left|1+2t\right)$ ergibt
B₁$\left(10|-3|11\right)$.

2. Fall

- $9t$ = 45 |: -9

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(0+2t\right|2-1t\left|1+2t\right)$ ergibt
B₂$\left(-10|7|-9\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+4x_2+4x_3=12$ ein.

S₁: => x=$\frac{12}{3}$=4, also S₁$\left(4|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{12}{4}$=3, also S₂$\left(0|3|0\right)$
S₃: => z=$\frac{12}{4}$=3, also S₃$\left(0|0|3\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 4⋅3 = 6, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 3 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅6⋅3
=6

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{4}$ = $\frac{d^2}{16}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{16}{d}^2$	=	$400$	|⋅$16$
$d^2$	=	$6400$	|
d1	=	$-\sqrt{6400}$	= $-80$
d2	=	$\sqrt{6400}$	= $80$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+4x_2+5x_3=80$

Aber auch E2: $2x_1+4x_2+5x_3=-80$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-40|0|0), S₂(0|-20|0) und S₃(0|0|-16). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+4x_2+5x_3=80$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{3}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{3}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{3}$⋅ $\frac{d}{3}$ = $\frac{d^3}{216}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{216}{d}^3$	=	$64$	|⋅$216$
$d^3$	=	$13824$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{13824}$	= $24$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+3x_2+3x_3=24$

Aber auch E2: $4x_1+3x_2+3x_3=-24$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-8|0) und S₃(0|0|-8). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+3x_2+3x_3=24$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.