Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 26\\ -15\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 33\\ -27\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-2|33|-27\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -36\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -36\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36·\left(-12\right)-24·7\\ 24·7-8·\left(-12\right)\\ 8·7-\left(-36\right)·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}432-168\\ 168+96\\ 56+252\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ 308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ 308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{264}^2+{308}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 36\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -7\\ 12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 36\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ -7\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36·12-\left(-24\right)·\left(-7\right)\\ -24·\left(-7\right)-\left(-8\right)·12\\ -8·\left(-7\right)-36·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}432-168\\ 168+96\\ 56+252\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ 308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ 308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{264}^2+{308}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -11\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -11\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·2-\left(-16\right)·\left(-11\right)\\ -16·0-0·2\\ 0·\left(-11\right)-\left(-12\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-176\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-200\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-200\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-200)}}^2+0^2+0^2}=\sqrt{40000}=200$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 200.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -16\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -11\\ 2\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -16\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 16\\ -12\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -16\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -16\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 16\\ -12\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-12)}\cdot 16+\mathrm{(-16)}\cdot \mathrm{(-12)}=0-192\mathrm{+192}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -11\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 16\\ -12\end{array}\right)$ = 0⋅t -200 = 0 wird, also t=$\frac{1}{0}$ = $\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}\frac{1}{0}\\ 16\\ -12\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}\frac{0}{0}\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -11\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·2-\left(-16\right)·\left(-11\right)\\ -16·0-0·2\\ 0·\left(-11\right)-\left(-12\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-176\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-200\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

= -200⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ -16\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ -11\\ 2\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ 4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|8|4\right)$ erhält man
d = $1\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot 8+0\cdot 4$
also:

$\mathrm{}{x}_1=-2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 1+0\cdot 1+0\cdot 3+2|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 200 · 3 = 200

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -18\\ -6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-13\\ -12\\ -18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-9\\ -18\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-13\\ -12\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18·\left(-18\right)-\left(-6\right)·\left(-12\right)\\ -6·\left(-13\right)-\left(-9\right)·\left(-18\right)\\ -9·\left(-12\right)-\left(-18\right)·\left(-13\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}324-72\\ 78-162\\ 108-234\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -84\\ -126\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ -84\\ -126\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-126)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 294 = 147.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -18\\ -6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-13\\ -12\\ -18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-9\\ -18\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-13\\ -12\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18·\left(-18\right)-\left(-6\right)·\left(-12\right)\\ -6·\left(-13\right)-\left(-9\right)·\left(-18\right)\\ -9·\left(-12\right)-\left(-18\right)·\left(-13\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}324-72\\ 78-162\\ 108-234\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -84\\ -126\end{array}\right)$ = -42⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-9\\ -18\\ -6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-13\\ -12\\ -18\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|-1|-2\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 1+2\cdot \mathrm{(-1)}+3\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$-6x_1+2x_2+3x_3=-14$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-19)+2\cdot 8+3\cdot 1+14|}{\sqrt{{(-6)}^2+2^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 147 · 21 = 1029

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-1t\\ 4t\\ -8t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -1\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-1t\\ 4t\\ -8t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4t·\left(-1\right)-\left(-8t\right)·\left(-4\right)\\ -8t·\left(-8\right)-\left(-t\right)·\left(-1\right)\\ -t·\left(-4\right)-4t·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4t-32t\\ 64t-t\\ 4t+32t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36t\\ 63t\\ 36t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36t\\ 63t\\ 36t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1296t^2+3969t^2+1296t^2}$ = $\sqrt{6561t^2}$ = $\left|$ 81t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 202,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 81t$\right|$ = 202,5 |⋅2

$\left|$ 81t$\right|$ = 405

1. Fall

$81t$ = 405 |: 81

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-5-1t\right|-1+4t\left|4-8t\right)$ ergibt
B₁$\left(-10|19|-36\right)$.

2. Fall

- $81t$ = 405 |: -81

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-5-1t\right|-1+4t\left|4-8t\right)$ ergibt
B₂$\left(0|-21|44\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+3x_2+x_3=6$ ein.

S₁: => x=$6$=6, also S₁$\left(6|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{6}{3}$=2, also S₂$\left(0|2|0\right)$
S₃: => z=$6$=6, also S₃$\left(0|0|6\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6⋅2 = 6, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅6⋅6
=12

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{2}$ = $\frac{d^2}{16}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{16}{d}^2$	=	$81$	|⋅$16$
$d^2$	=	$1296$	|
d1	=	$-\sqrt{1296}$	= $-36$
d2	=	$\sqrt{1296}$	= $36$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+3x_2+2x_3=36$

Aber auch E2: $4x_1+3x_2+2x_3=-36$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-9|0|0), S₂(0|-12|0) und S₃(0|0|-18). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+3x_2+2x_3=36$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{2}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{2}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{120}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{120}{d}^3$	=	$225$	|⋅$120$
$d^3$	=	$27000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{27000}$	= $30$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+2x_2+2x_3=30$

Aber auch E2: $5x_1+2x_2+2x_3=-30$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-15|0) und S₃(0|0|-15). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+2x_2+2x_3=30$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.