Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}0\\ 15\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 23\\ 8\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-2|23|8\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 15\\ 5\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 15\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16·5-\left(-12\right)·15\\ -12·0-0·5\\ 0·15-\left(-16\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-80+180\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{100}^2+0^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-1\right)-\left(-8\right)·\left(-2\right)\\ -8·2-4·\left(-1\right)\\ 4·\left(-2\right)-8·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8-16\\ -16+4\\ -8-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -14\\ 7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -14\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·7-12·\left(-14\right)\\ 12·0-\left(-24\right)·7\\ -24·\left(-14\right)-\left(-8\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56+168\\ 0+168\\ 336+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}112\\ 168\\ 336\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}112\\ 168\\ 336\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{112}^2+{168}^2+{336}^2}=\sqrt{153664}=392$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 392.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ 7\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -14\\ 7\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -14\\ 7\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -7\\ -14\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -14\\ 7\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -14\\ 7\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -7\\ -14\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-14)}\cdot \mathrm{(-7)}+7\cdot \mathrm{(-14)}=0\mathrm{+98}-98=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ 12\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -7\\ -14\end{array}\right)$ = -24⋅t -112 = 0 wird, also t=$-\frac{14}{3}$ = $-\frac{14}{3}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-\frac{14}{3}\\ -7\\ -14\end{array}\right)$ = $\frac{1}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}-14\\ -21\\ -42\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{-7}}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -14\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·7-12·\left(-14\right)\\ 12·0-\left(-24\right)·7\\ -24·\left(-14\right)-\left(-8\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56+168\\ 0+168\\ 336+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}112\\ 168\\ 336\end{array}\right)$

= 56⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ 12\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ -14\\ 7\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}5\\ 7\\ 0\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+3x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(5|7|0\right)$ erhält man
d = $2\cdot 5+3\cdot 7+6\cdot 0$
also:

$2x_1+3x_2+6x_3=31$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 8+3\cdot 8+6\cdot 23-31|}{\sqrt{2^2+3^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 392 · 21 = 2744

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 23\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 23\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·23-12·0\\ 12·\left(-14\right)-\left(-16\right)·23\\ -16·0-0·\left(-14\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ -168+368\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 200\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 200\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{200}^2+0^2}=\sqrt{40000}=200$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 200 = 100.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 23\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}12\\ t\\ 16\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}12\\ t\\ 16\end{array}\right)$=$\mathrm{(-16)}\cdot 12+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+12\cdot 16=-192\mathrm{+0}\mathrm{+192}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 23\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}12\\ t\\ 16\end{array}\right)$ = 0⋅t +200 = 0 wird, also t=$-\frac{1}{0}$ = $-\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -\frac{1}{0}\\ 16\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{0}{0}\\ 0\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 23\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·23-12·0\\ 12·\left(-14\right)-\left(-16\right)·23\\ -16·0-0·\left(-14\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ -168+368\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 200\\ 0\end{array}\right)$

= 200⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 23\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ 2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_2=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(5|-1|2\right)$ erhält man
d = $0\cdot 5+1\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot 2$
also:

$+x_2=-1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot 4+1\cdot 2+0\cdot 9+1|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 100 · 3 = 100

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-2t\\ 3t\\ -6t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 11\\ -15\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-2t\\ 3t\\ -6t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 11\\ -15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3t·\left(-15\right)-\left(-6t\right)·11\\ -6t·\left(-12\right)-\left(-2t\right)·\left(-15\right)\\ -2t·11-3t·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-45t+66t\\ 72t-30t\\ -22t+36t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}21t\\ 42t\\ 14t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}21t\\ 42t\\ 14t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{441t^2+1764t^2+196t^2}$ = $\sqrt{2401t^2}$ = $\left|$ 49t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 98 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 49t$\right|$ = 98 |⋅2

$\left|$ 49t$\right|$ = 196

1. Fall

$49t$ = 196 |: 49

t = 4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(4-2t\right|-13+3t\left|14-6t\right)$ ergibt
B₁$\left(-4|-1|-10\right)$.

2. Fall

- $49t$ = 196 |: -49

t = -4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(4-2t\right|-13+3t\left|14-6t\right)$ ergibt
B₂$\left(12|-25|38\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+3x_2+5x_3=120$ ein.

S₁: => x=$\frac{120}{4}$=30, also S₁$\left(30|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{120}{3}$=40, also S₂$\left(0|40|0\right)$
S₃: => z=$\frac{120}{5}$=24, also S₃$\left(0|0|24\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 30⋅40 = 600, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 24 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅600⋅24
=4800

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+3x_2+x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+3x_2+x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{1}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{1}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{1}$ = $\frac{d^2}{6}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{6}{d}^2$	=	$6$	|⋅$6$
$d^2$	=	$36$	|
d1	=	$-\sqrt{36}$	= $-6$
d2	=	$\sqrt{36}$	= $6$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+3x_2+x_3=6$

Aber auch E2: $3x_1+3x_2+x_3=-6$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-2|0|0), S₂(0|-2|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+3x_2+x_3=6$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{2}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{4}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{2}$⋅ $\frac{d}{4}$ = $\frac{d^3}{240}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{240}{d}^3$	=	$900$	|⋅$240$
$d^3$	=	$216000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{216000}$	= $60$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+2x_2+4x_3=60$

Aber auch E2: $5x_1+2x_2+4x_3=-60$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-12|0|0), S₂(0|-30|0) und S₃(0|0|-15). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+2x_2+4x_3=60$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.