Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -7\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-3\\ -9\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -10\\ 5\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-3|-10|5\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -9\\ 12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ -9\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·12-\left(-8\right)·\left(-9\right)\\ -8·\left(-3\right)-4·12\\ 4·\left(-9\right)-8·\left(-3\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}96-72\\ 24-48\\ -36+24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 15\\ 11\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 15\\ 11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24·11-12·15\\ 12·\left(-12\right)-\left(-8\right)·11\\ -8·15-24·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264-180\\ -144+88\\ -120+288\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ -56\\ 168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}84\\ -56\\ 168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{84}^2+{\mathrm{(-56)}}^2+{168}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·0-24·14\\ 24·7-12·0\\ 12·14-8·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-336\\ 168+0\\ 168-56\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-336\\ 168\\ 112\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-336\\ 168\\ 112\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-336)}}^2+{168}^2+{112}^2}=\sqrt{153664}=392$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 392.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -10\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 24\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-14\\ 7\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-14\\ 7\\ t\end{array}\right)$=$7\cdot \mathrm{(-14)}+14\cdot 7+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-98\mathrm{+98}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 24\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-14\\ 7\\ t\end{array}\right)$ = 24⋅t -112 = 0 wird, also t=$\frac{14}{3}$ = $\frac{14}{3}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 7\\ \frac{14}{3}\end{array}\right)$ = $\frac{1}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}-42\\ 21\\ 14\end{array}\right)$ = $\frac{7}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·0-24·14\\ 24·7-12·0\\ 12·14-8·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-336\\ 168+0\\ 168-56\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-336\\ 168\\ 112\end{array}\right)$

= 56⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 24\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -10\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|-4|-10\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 2+3\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot \mathrm{(-10)}$
also:

$-6x_1+3x_2+2x_3=-44$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-11)+3\cdot 13+2\cdot (-1)+44|}{\sqrt{{(-6)}^2+3^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 392 · 21 = 2744

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 27\\ 18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 31\\ 6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 27\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-24\\ 31\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}27·6-18·31\\ 18·\left(-24\right)-\left(-6\right)·6\\ -6·31-27·\left(-24\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}162-558\\ -432+36\\ -186+648\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ -396\\ 462\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-396\\ -396\\ 462\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-396)}}^2+{\mathrm{(-396)}}^2+{462}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 726 = 363.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 27\\ 18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 31\\ 6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 27\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-24\\ 31\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}27·6-18·31\\ 18·\left(-24\right)-\left(-6\right)·6\\ -6·31-27·\left(-24\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}162-558\\ -432+36\\ -186+648\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ -396\\ 462\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 27\\ 18\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-24\\ 31\\ 6\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1-6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|4|5\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-6)}\cdot 4+7\cdot 5$
also:

$-6x_1-6x_2+7x_3=23$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-29)-6\cdot (-12)+7\cdot 20-23|}{\sqrt{{(-6)}^2+{(-6)}^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 363 · 33 = 3993

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}t\\ -8t\\ -4t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}9\\ -9\\ 0\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}t\\ -8t\\ -4t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}9\\ -9\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8t·0-\left(-4t\right)·\left(-9\right)\\ -4t·9-t·0\\ t·\left(-9\right)-\left(-8t\right)·9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-36t\\ -36t+0\\ -9t+72t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36t\\ -36t\\ 63t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36t\\ -36t\\ 63t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1296t^2+1296t^2+3969t^2}$ = $\sqrt{6561t^2}$ = $\left|$ 81t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 81 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 81t$\right|$ = 81 |⋅2

$\left|$ 81t$\right|$ = 162

1. Fall

$81t$ = 162 |: 81

t = 2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-3+1t\right|13-8t\left|0-4t\right)$ ergibt
B₁$\left(-1|-3|-8\right)$.

2. Fall

- $81t$ = 162 |: -81

t = -2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-3+1t\right|13-8t\left|0-4t\right)$ ergibt
B₂$\left(-5|29|8\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+3x_2+3x_3=6$ ein.

S₁: => x=$\frac{6}{2}$=3, also S₁$\left(3|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{6}{3}$=2, also S₂$\left(0|2|0\right)$
S₃: => z=$\frac{6}{3}$=2, also S₃$\left(0|0|2\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 3⋅2 = 3, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 2 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅3⋅2
=2

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{2}$ = $\frac{d^2}{4}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{4}{d}^2$	=	$64$	|⋅$4$
$d^2$	=	$256$	|
d1	=	$-\sqrt{256}$	= $-16$
d2	=	$\sqrt{256}$	= $16$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+x_2+2x_3=16$

Aber auch E2: $4x_1+x_2+2x_3=-16$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-4|0|0), S₂(0|-16|0) und S₃(0|0|-8). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+x_2+2x_3=16$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{1}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{5}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{1}$⋅ $\frac{d}{5}$ = $\frac{d^3}{30}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{30}{d}^3$	=	$\mathrm{112,5}$	|⋅$30$
$d^3$	=	$3375$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{3375}$	= $15$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+5x_3=15$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+x_2+5x_3=-15$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-15|0|0), S₂(0|-15|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+5x_3=15$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.