Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-19\\ 0\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 4\\ 10\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-20|4|10\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ 0\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-19\\ 0\\ 8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 0\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-19\\ 0\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·8-\left(-12\right)·0\\ -12·\left(-19\right)-16·8\\ 16·0-0·\left(-19\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 228-128\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{100}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}36\\ -8\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}20\\ -13\\ 6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}36\\ -8\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}20\\ -13\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·6-24·\left(-13\right)\\ 24·20-36·6\\ 36·\left(-13\right)-\left(-8\right)·20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48+312\\ 480-216\\ -468+160\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ -308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ -308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{264}^2+{\mathrm{(-308)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-4\right)-\left(-3\right)·\left(-4\right)\\ -3·\left(-2\right)-\left(-6\right)·\left(-4\right)\\ -6·\left(-4\right)-6·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-12\\ 6-24\\ 24+12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ -18\\ 36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36\\ -18\\ 36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{36}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 54.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-4\right)-\left(-3\right)·\left(-4\right)\\ -3·\left(-2\right)-\left(-6\right)·\left(-4\right)\\ -6·\left(-4\right)-6·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-12\\ 6-24\\ 24+12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ -18\\ 36\end{array}\right)$ = -18⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -4\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|-5|5\right)$ erhält man
d = $2\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-2)}\cdot 5$
also:

$2x_1+x_2-2x_3=-19$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 3+1\cdot (-4)-2\cdot (-3)+19|}{\sqrt{2^2+1^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 54 · 9 = 162

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ -9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -18\\ -16\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-20\\ -18\\ -16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18·\left(-16\right)-\left(-9\right)·\left(-18\right)\\ -9·\left(-20\right)-\left(-6\right)·\left(-16\right)\\ -6·\left(-18\right)-\left(-18\right)·\left(-20\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}288-162\\ 180-96\\ 108-360\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}126\\ 84\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}126\\ 84\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{126}^2+{84}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 294 = 147.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}7\\ 8\\ 8\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ -9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -18\\ -16\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-20\\ -18\\ -16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18·\left(-16\right)-\left(-9\right)·\left(-18\right)\\ -9·\left(-20\right)-\left(-6\right)·\left(-16\right)\\ -6·\left(-18\right)-\left(-18\right)·\left(-20\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}288-162\\ 180-96\\ 108-360\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}126\\ 84\\ -252\end{array}\right)$ = 42⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ -9\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-20\\ -18\\ -16\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}7\\ 8\\ 8\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1+2x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(7|8|8\right)$ erhält man
d = $3\cdot 7+2\cdot 8+\mathrm{(-6)}\cdot 8$
also:

$3x_1+2x_2-6x_3=-11$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot 8+2\cdot 11-6\cdot (-15)+11|}{\sqrt{3^2+2^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 147 · 21 = 1029

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}9t\\ 2t\\ -6t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}29\\ 15\\ -12\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}9t\\ 2t\\ -6t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}29\\ 15\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2t·\left(-12\right)-\left(-6t\right)·15\\ -6t·29-9t·\left(-12\right)\\ 9t·15-2t·29\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24t+90t\\ -174t+108t\\ 135t-58t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}66t\\ -66t\\ 77t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}66t\\ -66t\\ 77t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4356t^2+4356t^2+5929t^2}$ = $\sqrt{14641t^2}$ = $\left|$ 121t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 121 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 121t$\right|$ = 121 |⋅2

$\left|$ 121t$\right|$ = 242

1. Fall

$121t$ = 242 |: 121

t = 2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-31+9t\right|-4+2t\left|22-6t\right)$ ergibt
B₁$\left(-13|0|10\right)$.

2. Fall

- $121t$ = 242 |: -121

t = -2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-31+9t\right|-4+2t\left|22-6t\right)$ ergibt
B₂$\left(-49|-8|34\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+2x_2+5x_3=30$ ein.

S₁: => x=$\frac{30}{2}$=15, also S₁$\left(15|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{30}{2}$=15, also S₂$\left(0|15|0\right)$
S₃: => z=$\frac{30}{5}$=6, also S₃$\left(0|0|6\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 15⋅15 = 112.5, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅112.5⋅6
=225

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{2}$ = $\frac{d^2}{20}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{20}{d}^2$	=	$405$	|⋅$20$
$d^2$	=	$8100$	|
d1	=	$-\sqrt{8100}$	= $-90$
d2	=	$\sqrt{8100}$	= $90$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+2x_2+3x_3=90$

Aber auch E2: $5x_1+2x_2+3x_3=-90$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-18|0|0), S₂(0|-45|0) und S₃(0|0|-30). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+2x_2+3x_3=90$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{4}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{5}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{4}$⋅ $\frac{d}{5}$ = $\frac{d^3}{360}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{360}{d}^3$	=	$16200$	|⋅$360$
$d^3$	=	$5832000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{5832000}$	= $180$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+4x_2+5x_3=180$

Aber auch E2: $3x_1+4x_2+5x_3=-180$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-60|0|0), S₂(0|-45|0) und S₃(0|0|-36). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+4x_2+5x_3=180$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.