Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-23\\ -5\\ -16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-35\\ -4\\ -20\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-35|-4|-20\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}32\\ -4\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-23\\ -5\\ -16\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}32\\ -4\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-23\\ -5\\ -16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·\left(-16\right)-16·\left(-5\right)\\ 16·\left(-23\right)-32·\left(-16\right)\\ 32·\left(-5\right)-\left(-4\right)·\left(-23\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}64+80\\ -368+512\\ -160-92\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ 144\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ 144\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{144}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -32\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -9\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -32\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-9\\ -9\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32·0-16·\left(-9\right)\\ 16·\left(-9\right)-\left(-4\right)·0\\ -4·\left(-9\right)-\left(-32\right)·\left(-9\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+144\\ -144+0\\ 36-288\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ -144\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ -144\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -20\\ 13\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -20\\ 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·13-36·\left(-20\right)\\ 36·\left(-6\right)-24·13\\ 24·\left(-20\right)-\left(-8\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-104+720\\ -216-312\\ -480-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}616\\ -528\\ -528\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}616\\ -528\\ -528\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{616}^2+{\mathrm{(-528)}}^2+{\mathrm{(-528)}}^2}=\sqrt{937024}=968$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 968.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -10\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 36\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -20\\ 13\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -20\\ 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·13-36·\left(-20\right)\\ 36·\left(-6\right)-24·13\\ 24·\left(-20\right)-\left(-8\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-104+720\\ -216-312\\ -480-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}616\\ -528\\ -528\end{array}\right)$ = 88⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 36\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-6\\ -20\\ 13\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -10\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1-6x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-4|-2|-10\right)$ erhält man
d = $7\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-10)}$
also:

$7x_1-6x_2-6x_3=44$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 17-6\cdot (-31)-6\cdot (-17)-44|}{\sqrt{7^2+{(-6)}^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 968 · 33 = 10648

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -4\\ -18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -22\\ -22\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -4\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -22\\ -22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·\left(-22\right)-\left(-18\right)·\left(-22\right)\\ -18·0-\left(-12\right)·\left(-22\right)\\ -12·\left(-22\right)-\left(-4\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}88-396\\ 0-264\\ 264+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-308)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ -4\\ -18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -22\\ -22\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -22\\ -22\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 22\\ -22\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -22\\ -22\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -22\\ -22\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 22\\ -22\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-22)}\cdot 22+\mathrm{(-22)}\cdot \mathrm{(-22)}=0-484\mathrm{+484}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-12\\ -4\\ -18\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 22\\ -22\end{array}\right)$ = -12⋅t +308 = 0 wird, also t=$\frac{77}{3}$ = $\frac{77}{3}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}\frac{77}{3}\\ 22\\ -22\end{array}\right)$ = $\frac{1}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}77\\ 66\\ -66\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{11}}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ -6\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -4\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -22\\ -22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·\left(-22\right)-\left(-18\right)·\left(-22\right)\\ -18·0-\left(-12\right)·\left(-22\right)\\ -12·\left(-22\right)-\left(-4\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}88-396\\ 0-264\\ 264+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$

= -44⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-12\\ -4\\ -18\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ -22\\ -22\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1+6x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|5|3\right)$ erhält man
d = $7\cdot 2+6\cdot 5+\mathrm{(-6)}\cdot 3$
also:

$7x_1+6x_2-6x_3=26$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 29+6\cdot 14-6\cdot (-17)-26|}{\sqrt{7^2+6^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 242 · 33 = 2662

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}8t\\ -1t\\ -4t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}9\\ -9\\ 0\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8t\\ -1t\\ -4t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}9\\ -9\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-t·0-\left(-4t\right)·\left(-9\right)\\ -4t·9-8t·0\\ 8t·\left(-9\right)-\left(-t\right)·9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-36t\\ -36t+0\\ -72t+9t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36t\\ -36t\\ -63t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36t\\ -36t\\ -63t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1296t^2+1296t^2+3969t^2}$ = $\sqrt{6561t^2}$ = $\left|$ 81t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 121,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 81t$\right|$ = 121,5 |⋅2

$\left|$ 81t$\right|$ = 243

1. Fall

$81t$ = 243 |: 81

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-12+8t\right|3-1t\left|7-4t\right)$ ergibt
B₁$\left(12|0|-5\right)$.

2. Fall

- $81t$ = 243 |: -81

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-12+8t\right|3-1t\left|7-4t\right)$ ergibt
B₂$\left(-36|6|19\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+2x_2+4x_3=12$ ein.

S₁: => x=$\frac{6}{2}$=3, also S₁$\left(6|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{6}{2}$=3, also S₂$\left(0|6|0\right)$
S₃: => z=$\frac{6}{4}$=1.5, also S₃$\left(0|0|3\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6⋅6 = 18, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 3 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅18⋅3
=18

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{2}$ = $\frac{d^2}{12}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{12}{d}^2$	=	$3$	|⋅$12$
$d^2$	=	$36$	|
d1	=	$-\sqrt{36}$	= $-6$
d2	=	$\sqrt{36}$	= $6$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+x_2+2x_3=6$

Aber auch E2: $3x_1+x_2+2x_3=-6$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-2|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+x_2+2x_3=6$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{2}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{2}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{120}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{120}{d}^3$	=	$225$	|⋅$120$
$d^3$	=	$27000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{27000}$	= $30$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+2x_2+2x_3=30$

Aber auch E2: $5x_1+2x_2+2x_3=-30$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-15|0) und S₃(0|0|-15). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+2x_2+2x_3=30$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.