Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}16\\ -11\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}23\\ -10\\ 1\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(23|-10|1\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 12\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·0-0·1\\ 0·7-\left(-16\right)·0\\ -16·1-12·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ -16-84\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{\mathrm{(-100)}}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-1\right)-8·\left(-4\right)\\ 8·1-4·\left(-1\right)\\ 4·\left(-4\right)-8·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8+32\\ 8+4\\ -16-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{12}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ -9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·\left(-7\right)-\left(-9\right)·0\\ -9·\left(-14\right)-\left(-6\right)·\left(-7\right)\\ -6·0-18·\left(-14\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-126+0\\ 126-42\\ 0+252\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-126\\ 84\\ 252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-126\\ 84\\ 252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-126)}}^2+{84}^2+{252}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ -9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ -7\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ -7\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-7\\ t\\ 14\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ -7\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ -7\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-7\\ t\\ 14\end{array}\right)$=$\mathrm{(-14)}\cdot \mathrm{(-7)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-7)}\cdot 14=98\mathrm{+0}-98=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ -9\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ t\\ 14\end{array}\right)$ = 18⋅t -84 = 0 wird, also t=$\frac{14}{3}$ = $\frac{14}{3}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ \frac{14}{3}\\ 14\end{array}\right)$ = $\frac{1}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}-21\\ 14\\ 42\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{-7}}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -6\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·\left(-7\right)-\left(-9\right)·0\\ -9·\left(-14\right)-\left(-6\right)·\left(-7\right)\\ -6·0-18·\left(-14\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-126+0\\ 126-42\\ 0+252\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-126\\ 84\\ 252\end{array}\right)$

= -42⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ -9\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ -7\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1-2x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|-1|-2\right)$ erhält man
d = $3\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$3x_1-2x_2-6x_3=8$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot (-1)-2\cdot (-4)-6\cdot (-25)-8|}{\sqrt{3^2+{(-2)}^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -16\\ -32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}21\\ -12\\ -42\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ -16\\ -32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}21\\ -12\\ -42\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16·\left(-42\right)-\left(-32\right)·\left(-12\right)\\ -32·21-4·\left(-42\right)\\ 4·\left(-12\right)-\left(-16\right)·21\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}672-384\\ -672+168\\ -48+336\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}288\\ -504\\ 288\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}288\\ -504\\ 288\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{288}^2+{\mathrm{(-504)}}^2+{288}^2}=\sqrt{419904}=648$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 648 = 324.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -16\\ -32\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}21\\ -12\\ -42\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ -16\\ -32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}21\\ -12\\ -42\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16·\left(-42\right)-\left(-32\right)·\left(-12\right)\\ -32·21-4·\left(-42\right)\\ 4·\left(-12\right)-\left(-16\right)·21\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}672-384\\ -672+168\\ -48+336\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}288\\ -504\\ 288\end{array}\right)$ = 72⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -16\\ -32\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}21\\ -12\\ -42\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1-7x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|8|3\right)$ erhält man
d = $4\cdot 4+\mathrm{(-7)}\cdot 8+4\cdot 3$
also:

$4x_1-7x_2+4x_3=-28$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 25-7\cdot (-13)+4\cdot 6+28|}{\sqrt{4^2+{(-7)}^2+4^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 324 · 27 = 2916

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-9t\\ 2t\\ 6t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 13\\ 6\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-9t\\ 2t\\ 6t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-20\\ 13\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2t·6-6t·13\\ 6t·\left(-20\right)-\left(-9t\right)·6\\ -9t·13-2t·\left(-20\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12t-78t\\ -120t+54t\\ -117t+40t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-66t\\ -66t\\ -77t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-66t\\ -66t\\ -77t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4356t^2+4356t^2+5929t^2}$ = $\sqrt{14641t^2}$ = $\left|$ 121t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 242 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 121t$\right|$ = 242 |⋅2

$\left|$ 121t$\right|$ = 484

1. Fall

$121t$ = 484 |: 121

t = 4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(22-9t\right|-6+2t\left|-8+6t\right)$ ergibt
B₁$\left(-14|2|16\right)$.

2. Fall

- $121t$ = 484 |: -121

t = -4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(22-9t\right|-6+2t\left|-8+6t\right)$ ergibt
B₂$\left(58|-14|-32\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+2x_2+2x_3=30$ ein.

S₁: => x=$\frac{30}{5}$=6, also S₁$\left(6|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{30}{2}$=15, also S₂$\left(0|15|0\right)$
S₃: => z=$\frac{30}{2}$=15, also S₃$\left(0|0|15\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6⋅15 = 45, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 15 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅45⋅15
=225

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{2}$ = $\frac{d^2}{16}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{16}{d}^2$	=	$100$	|⋅$16$
$d^2$	=	$1600$	|
d1	=	$-\sqrt{1600}$	= $-40$
d2	=	$\sqrt{1600}$	= $40$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+2x_2+5x_3=40$

Aber auch E2: $4x_1+2x_2+5x_3=-40$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-10|0|0), S₂(0|-20|0) und S₃(0|0|-8). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+2x_2+5x_3=40$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{2}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{3}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{2}$⋅ $\frac{d}{3}$ = $\frac{d^3}{72}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{72}{d}^3$	=	$3$	|⋅$72$
$d^3$	=	$216$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{216}$	= $6$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+2x_2+3x_3=6$

Aber auch E2: $2x_1+2x_2+3x_3=-6$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-3|0) und S₃(0|0|-2). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+2x_2+3x_3=6$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.