Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 7\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -11\\ 7\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(10|-11|7\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·0-\left(-4\right)·\left(-3\right)\\ -4·6-\left(-8\right)·0\\ -8·\left(-3\right)-8·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-12\\ -24+0\\ 24-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 5\\ -3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 5\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·\left(-3\right)-\left(-24\right)·5\\ -24·\left(-8\right)-\left(-8\right)·\left(-3\right)\\ -8·5-12·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36+120\\ 192-24\\ -40+96\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ 168\\ 56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}84\\ 168\\ 56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{84}^2+{168}^2+{56}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ -8\\ 2\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ 16\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ -8\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·16-2·8\\ 2·2-16·16\\ 16·8-\left(-8\right)·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-128-16\\ 4-256\\ 128+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ -252\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-144\\ -252\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-144)}}^2+{\mathrm{(-252)}}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ -8\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ 16\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ -8\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·16-2·8\\ 2·2-16·16\\ 16·8-\left(-8\right)·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-128-16\\ 4-256\\ 128+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ -252\\ 144\end{array}\right)$ = -36⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}16\\ -8\\ 2\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ 16\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+7x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|-2|-2\right)$ erhält man
d = $4\cdot 1+7\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$4x_1+7x_2-4x_3=-2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 14+7\cdot 23-4\cdot (-6)+2|}{\sqrt{4^2+7^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 324 · 27 = 2916

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ -9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -18\\ -16\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-20\\ -18\\ -16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18·\left(-16\right)-\left(-9\right)·\left(-18\right)\\ -9·\left(-20\right)-\left(-6\right)·\left(-16\right)\\ -6·\left(-18\right)-\left(-18\right)·\left(-20\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}288-162\\ 180-96\\ 108-360\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}126\\ 84\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}126\\ 84\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{126}^2+{84}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 294 = 147.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 8\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ -9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -18\\ -16\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-20\\ -18\\ -16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18·\left(-16\right)-\left(-9\right)·\left(-18\right)\\ -9·\left(-20\right)-\left(-6\right)·\left(-16\right)\\ -6·\left(-18\right)-\left(-18\right)·\left(-20\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}288-162\\ 180-96\\ 108-360\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}126\\ 84\\ -252\end{array}\right)$ = 42⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ -9\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-20\\ -18\\ -16\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 8\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1+2x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|5|8\right)$ erhält man
d = $3\cdot 1+2\cdot 5+\mathrm{(-6)}\cdot 8$
also:

$3x_1+2x_2-6x_3=-35$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot 2+2\cdot 8-6\cdot (-15)+35|}{\sqrt{3^2+2^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 147 · 21 = 1029

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}2t\\ -1t\\ -2t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -5\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2t\\ -1t\\ -2t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-t·\left(-5\right)-\left(-2t\right)·\left(-4\right)\\ -2t·2-2t·\left(-5\right)\\ 2t·\left(-4\right)-\left(-t\right)·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5t-8t\\ -4t+10t\\ -8t+2t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3t\\ 6t\\ -6t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-3t\\ 6t\\ -6t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{9t^2+36t^2+36t^2}$ = $\sqrt{81t^2}$ = $\left|$ 9t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 9 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 9t$\right|$ = 9 |⋅2

$\left|$ 9t$\right|$ = 18

1. Fall

$9t$ = 18 |: 9

t = 2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-4+2t\right|-1-1t\left|7-2t\right)$ ergibt
B₁$\left(0|-3|3\right)$.

2. Fall

- $9t$ = 18 |: -9

t = -2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-4+2t\right|-1-1t\left|7-2t\right)$ ergibt
B₂$\left(-8|1|11\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+5x_2+3x_3=30$ ein.

S₁: => x=$\frac{30}{3}$=10, also S₁$\left(10|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{30}{5}$=6, also S₂$\left(0|6|0\right)$
S₃: => z=$\frac{30}{3}$=10, also S₃$\left(0|0|10\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 10⋅6 = 30, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 10 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅30⋅10
=100

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+5x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+5x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{5}$ = $\frac{d^2}{10}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{10}{d}^2$	=	$10$	|⋅$10$
$d^2$	=	$100$	|
d1	=	$-\sqrt{100}$	= $-10$
d2	=	$\sqrt{100}$	= $10$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+5x_3=10$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+5x_3=-10$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-10|0|0), S₂(0|-2|0) und S₃(0|0|-2). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+5x_3=10$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{2}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{3}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{2}$⋅ $\frac{d}{3}$ = $\frac{d^3}{108}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{108}{d}^3$	=	$16$	|⋅$108$
$d^3$	=	$1728$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{1728}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+2x_2+3x_3=12$

Aber auch E2: $3x_1+2x_2+3x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-4|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-4). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+2x_2+3x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.