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Flächeninhalt eines Parallelogramms

Beispiel:

Das Dreieck ABC mit A(5|-13|-5), B(5|3|7) und C(5|-8|5) soll durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Bestimme den Punkt D und berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms..

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Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

OD = OA + BC = ( 5 -13 -5 ) + ( 0 -11 -2 ) = ( 5 -24 -7 )

Der Gesuchte Punkt ist also D(5|-24|-7).

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( 5-5 3-( - 13 ) 7-( - 5 ) ) = ( 0 16 12 ) und AD = BC = ( 5-5 -8-3 5-7 ) = ( 0 -11 -2 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 0 16 12 ) × ( 0 -11 -2 ) = ( 16 · ( -2 ) - 12 · ( -11 ) 12 · 0 - 0 · ( -2 ) 0 · ( -11 ) - 16 · 0 ) = ( -32 +132 0+0 0+0 ) = ( 100 0 0 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 100 0 0 ) | = 100 2 + 02 + 0 2 = 10000 = 100 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 100.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(3|0|3), B(35|4|-13) und C(4|8|7).

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( 35-3 4-0 -13-3 ) = ( 32 4 -16 ) und AC = ( 4-3 8-0 7-3 ) = ( 1 8 4 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 32 4 -16 ) × ( 1 8 4 ) = ( 4 · 4 - ( -16 ) · 8 -16 · 1 - 32 · 4 32 · 8 - 4 · 1 ) = ( 16 +128 -16 -128 256 -4 ) = ( 144 -144 252 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 144 -144 252 ) | = 144 2 + (-144)2 + 252 2 = 104976 = 324 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 324 = 162.

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm)

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Parallelogramm ABCD mit A(4|-1|3), B(16|-1|-6), C(10|-1|-14) und D(-2|-1|-5) und als Spitze S(1|2|-1). Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( 16-4 -1-( - 1 ) -6-3 ) = ( 12 0 -9 ) und AD = BC = ( 10-16 -1-( - 1 ) -14-( - 6 ) ) = ( -6 0 -8 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 12 0 -9 ) × ( -6 0 -8 ) = ( 0 · ( -8 ) - ( -9 ) · 0 -9 · ( -6 ) - 12 · ( -8 ) 12 · 0 - 0 · ( -6 ) ) = ( 0+0 54 +96 0+0 ) = ( 0 150 0 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 0 150 0 ) | = 0 2 + 1502 + 0 2 = 22500 = 150 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 150.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( 4 -1 3 ) + r ( 12 0 -9 ) + s ( -6 0 -8 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( 12 0 -9 ) × ( -6 0 -8 ) = ( 0 · ( -8 ) - ( -9 ) · 0 -9 · ( -6 ) - 12 · ( -8 ) 12 · 0 - 0 · ( -6 ) ) = ( 0+0 54 +96 0+0 ) = ( 0 150 0 ) = 150⋅ ( 0 1 0 )

Weil der Vektor ( 0 1 0 ) orthogonal zu ( 12 0 -9 ) und ( -6 0 -8 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( 4 -1 3 ) ] ( 0 1 0 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also + x 2 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(4|-1|3) erhält man
d = 04 + 1(-1) + 03
also:

+ x 2 = -1

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 0 1+1 2+0 ( - 1 )+1 | 0 2 + 1 2 + 0 2
= | 3 | 1 = 3 1 = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 150 · 3 = 150

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Dreieck ABC mit A(-4|-2|5), B(-8|-14|-1), C(-20|-8|-5) und als Spitze S(-1|7|-15).
Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( -8-( - 4 ) -14-( - 2 ) -1-5 ) = ( -4 -12 -6 ) und AC = ( -20-( - 4 ) -8-( - 2 ) -5-5 ) = ( -16 -6 -10 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -4 -12 -6 ) × ( -16 -6 -10 ) = ( -12 · ( -10 ) - ( -6 ) · ( -6 ) -6 · ( -16 ) - ( -4 ) · ( -10 ) -4 · ( -6 ) - ( -12 ) · ( -16 ) ) = ( 120 -36 96 -40 24 -192 ) = ( 84 56 -168 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 84 56 -168 ) | = 84 2 + 562 + (-168) 2 = 38416 = 196 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 196 = 98.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( -4 -2 5 ) + r ( -4 -12 -6 ) + s ( -16 -6 -10 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( -4 -12 -6 ) × ( -16 -6 -10 ) = ( -12 · ( -10 ) - ( -6 ) · ( -6 ) -6 · ( -16 ) - ( -4 ) · ( -10 ) -4 · ( -6 ) - ( -12 ) · ( -16 ) ) = ( 120 -36 96 -40 24 -192 ) = ( 84 56 -168 ) = 28⋅ ( 3 2 -6 )

Weil der Vektor ( 3 2 -6 ) orthogonal zu ( -4 -12 -6 ) und ( -16 -6 -10 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( -4 -2 5 ) ] ( 3 2 -6 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also 3 x 1 +2 x 2 -6 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(-4|-2|5) erhält man
d = 3(-4) + 2(-2) + (-6)5
also:

3 x 1 +2 x 2 -6 x 3 = -46

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 3 ( - 1 )+2 7-6 ( - 15 )+46 | 3 2 + 2 2 + ( - 6 ) 2
= | 147 | 49 = 147 7 = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 98 · 21 = 686

Pkt auf Gerade mit Dreiecksinhalt finden

Beispiel:

Gegeben ist der Punkt A(-1|-3|-1), der Punkt C(-7|-6|-3) und die Gerade g: x = ( -1 -3 -1 ) +t ( -2 6 -3 ) . A liegt in g.
Bestimme alle möglichen Koordinaten für einen Punkt B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABC den Flächeninhalt A = 122,5 hat.

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor AB einfach als ( -2 t 6 t -3 t ) schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als AC = ( -7-( - 1 ) -6-( - 3 ) -3-( - 1 ) ) = ( -6 -3 -2 ) .

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -2 t 6 t -3 t ) × ( -6 -3 -2 ) = ( 6 t · ( -2 ) - ( -3 t ) · ( -3 ) -3 t · ( -6 ) - ( -2 t ) · ( -2 ) -2 t · ( -3 ) - 6 t · ( -6 ) ) = ( -12 t -9 t 18 t -4 t 6 t +36 t ) = ( -21 t 14 t 42 t ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | AB x AC | = | ( -21 t 14 t 42 t ) | = 441 t 2 +196 t 2 +1764 t 2 = 2401 t 2 = | 49t | entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 122,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = 1 2 | AB x AC | = 1 2 | 49t | = 122,5 |⋅2

| 49t | = 245

1. Fall

49t = 245 |: 49

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( -1 -2 t | -3 +6 t | -1 -3 t ) ergibt
B1(-11|27|-16).

2. Fall

- 49t = 245 |: -49

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( -1 -2 t | -3 +6 t | -1 -3 t ) ergibt
B2(9|-33|14).

Pyramide aus Spurpunkten einer Ebene

Beispiel:

Gegeben ist die Koordinatengleichung der Ebene E: 4 x 1 +2 x 2 +3 x 3 = 12 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P. Berechne das Volumen von P.

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Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 4 x 1 +2 x 2 +3 x 3 = 12 ein.

S1: 4 x +2 0 +3 0 = 12 => x= 12 4 =3, also S1(3|0|0)
S2: 4 0 +2 y +3 0 = 12 => y= 12 2 =6, also S2(0|6|0)
S3: 4 0 +2 0 +3 z = 12 => z= 12 3 =4, also S3(0|0|4)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 ⋅ 3⋅6 = 9, weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS2= 4 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h
= 1 3 ⋅9⋅4
=12

Spurpunktdreieck rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: 2 x 1 +4 x 2 + x 3 = 0 .

Die Schnittpunkte von E mit der x2-Achse und der x3-Achse bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Dreieck P mit dem Flächeninhalt 8. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

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Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

2 x 1 +4 x 2 + x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 2 x 1 +4 x 2 + x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 2 x +4 0 +1 0 = d => x = d 2 , also S1( d 2 |0|0)
S2: 2 0 +4 y +1 0 = d => y = d 4 , also S2(0| d 4 |0)
S3: 2 0 +4 0 +1 z = d => z = d 1 , also S3(0|0| d 1 )

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = 1 2 ⋅g⋅hg. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS2 und OS3.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS2S3: A = 1 2 d 4 d 1 = d 2 8

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

1 8 d 2 = 8 |⋅8
d 2 = 64 | 2
d1 = - 64 = -8
d2 = 64 = 8

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: 2 x 1 +4 x 2 + x 3 = 8

Aber auch E2: 2 x 1 +4 x 2 + x 3 = -8 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-4|0|0), S2(0|-2|0) und S3(0|0|-8). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: 2 x 1 +4 x 2 + x 3 = 8 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Spurpunktpyramide rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: 4 x 1 +2 x 2 +5 x 3 = 0 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P mit dem Volumen 900. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

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Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

4 x 1 +2 x 2 +5 x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 4 x 1 +2 x 2 +5 x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 4 x +2 0 +5 0 = d => x = d 4 , also S1( d 4 |0|0)
S2: 4 0 +2 y +5 0 = d => y = d 2 , also S2(0| d 2 |0)
S3: 4 0 +2 0 +5 z = d => z = d 5 , also S3(0|0| d 5 )

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 d 4 d 2 , weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS2= d 5 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h = 1 3 1 2 d 4 d 2 d 5 = d 3 240

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

1 240 d 3 = 900 |⋅240
d 3 = 216000 | 3
d = 216000 3 = 60

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: 4 x 1 +2 x 2 +5 x 3 = 60

Aber auch E2: 4 x 1 +2 x 2 +5 x 3 = -60 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-15|0|0), S2(0|-30|0) und S3(0|0|-12). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: 4 x 1 +2 x 2 +5 x 3 = 60 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.