Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-1\\ -34\\ -30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -38\\ -26\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(1|-38|-26\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 36\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -34\\ -30\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 36\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ -34\\ -30\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36·\left(-30\right)-24·\left(-34\right)\\ 24·\left(-1\right)-\left(-8\right)·\left(-30\right)\\ -8·\left(-34\right)-36·\left(-1\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1080+816\\ -24-240\\ 272+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ -264\\ 308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ -264\\ 308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{308}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 24\\ 36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}15\\ 12\\ 29\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 24\\ 36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}15\\ 12\\ 29\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24·29-36·12\\ 36·15-8·29\\ 8·12-24·15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}696-432\\ 540-232\\ 96-360\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ 308\\ -264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ 308\\ -264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{308}^2+{\mathrm{(-264)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -32\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}17\\ -10\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ -32\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}17\\ -10\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32·\left(-4\right)-16·\left(-10\right)\\ 16·17-4·\left(-4\right)\\ 4·\left(-10\right)-\left(-32\right)·17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}128+160\\ 272+16\\ -40+544\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}288\\ 288\\ 504\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}288\\ 288\\ 504\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{288}^2+{288}^2+{504}^2}=\sqrt{419904}=648$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 648.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -32\\ 16\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}17\\ -10\\ -4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ -32\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}17\\ -10\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32·\left(-4\right)-16·\left(-10\right)\\ 16·17-4·\left(-4\right)\\ 4·\left(-10\right)-\left(-32\right)·17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}128+160\\ 272+16\\ -40+544\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}288\\ 288\\ 504\end{array}\right)$ = 72⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -32\\ 16\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}17\\ -10\\ -4\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ -3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 7\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+4x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|6|-3\right)$ erhält man
d = $4\cdot 2+4\cdot 6+7\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$4x_1+4x_2+7x_3=11$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 23+4\cdot 9+7\cdot 18-11|}{\sqrt{4^2+4^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 648 · 27 = 5832

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·6-4·\left(-6\right)\\ 4·0-4·6\\ 4·\left(-6\right)-\left(-2\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12+24\\ 0-24\\ -24+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{12}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 6\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 6\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -6\\ -6\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-6)}+6\cdot \mathrm{(-6)}=0\mathrm{+36}-36=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ = 4⋅t -12 = 0 wird, also t=$3$ = $3$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ = $\frac{3}{1}$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·6-4·\left(-6\right)\\ 4·0-4·6\\ 4·\left(-6\right)-\left(-2\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12+24\\ 0-24\\ -24+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$

= 12⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 6\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 0\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1-2x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|-2|0\right)$ erhält man
d = $1\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot 0$
also:

$\mathrm{}{x}_1-2x_2-2x_3=6$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 3-2\cdot (-10)-2\cdot (-5)-6|}{\sqrt{1^2+{(-2)}^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 18 · 9 = 54

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}3t\\ 0t\\ 4t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -7\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3t\\ 0t\\ 4t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·\left(-7\right)-4t·0\\ 4t·1-3t·\left(-7\right)\\ 3t·0-0·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 4t+21t\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 25t\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 25t\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0+625t^2+0}$ = $\sqrt{625t^2}$ = $\left|$ 25t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 62,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 25t$\right|$ = 62,5 |⋅2

$\left|$ 25t$\right|$ = 125

1. Fall

$25t$ = 125 |: 25

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(4+3t\right|-2+0t\left|-1+4t\right)$ ergibt
B₁$\left(19|-2|19\right)$.

2. Fall

- $25t$ = 125 |: -25

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(4+3t\right|-2+0t\left|-1+4t\right)$ ergibt
B₂$\left(-11|-2|-21\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+3x_2+3x_3=9$ ein.

S₁: => x=$\frac{3}{3}$=1, also S₁$\left(3|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{3}{3}$=1, also S₂$\left(0|3|0\right)$
S₃: => z=$\frac{3}{3}$=1, also S₃$\left(0|0|3\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 3⋅3 = 4.5, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 3 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅4.5⋅3
=4.5

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{3}$ = $\frac{d^2}{24}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{24}{d}^2$	=	$6$	|⋅$24$
$d^2$	=	$144$	|
d1	=	$-\sqrt{144}$	= $-12$
d2	=	$\sqrt{144}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+3x_2+2x_3=12$

Aber auch E2: $4x_1+3x_2+2x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-4|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+3x_2+2x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{1}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{5}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{1}$⋅ $\frac{d}{5}$ = $\frac{d^3}{150}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{150}{d}^3$	=	$\mathrm{22,5}$	|⋅$150$
$d^3$	=	$3375$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{3375}$	= $15$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+x_2+5x_3=15$

Aber auch E2: $5x_1+x_2+5x_3=-15$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-15|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+x_2+5x_3=15$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.