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Flächeninhalt eines Parallelogramms

Beispiel:

Das Dreieck ABC mit A(6|-3|10), B(42|-11|34) und C(-1|-10|-2) soll durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Bestimme den Punkt D und berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms..

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Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

OD = OA + BC = ( 6 -3 10 ) + ( -43 1 -36 ) = ( -37 -2 -26 )

Der Gesuchte Punkt ist also D(-37|-2|-26).

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( 42-6 -11-( - 3 ) 34-10 ) = ( 36 -8 24 ) und AD = BC = ( -1-42 -10-( - 11 ) -2-34 ) = ( -43 1 -36 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 36 -8 24 ) × ( -43 1 -36 ) = ( -8 · ( -36 ) - 24 · 1 24 · ( -43 ) - 36 · ( -36 ) 36 · 1 - ( -8 ) · ( -43 ) ) = ( 288 -24 -1032 +1296 36 -344 ) = ( 264 264 -308 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 264 264 -308 ) | = 264 2 + 2642 + (-308) 2 = 234256 = 484 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 484.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(-6|-1|11), B(18|7|-25) und C(-6|10|0).

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( 18-( - 6 ) 7-( - 1 ) -25-11 ) = ( 24 8 -36 ) und AC = ( -6-( - 6 ) 10-( - 1 ) 0-11 ) = ( 0 11 -11 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 24 8 -36 ) × ( 0 11 -11 ) = ( 8 · ( -11 ) - ( -36 ) · 11 -36 · 0 - 24 · ( -11 ) 24 · 11 - 8 · 0 ) = ( -88 +396 0 +264 264 +0 ) = ( 308 264 264 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 308 264 264 ) | = 308 2 + 2642 + 264 2 = 234256 = 484 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 484 = 242.

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm)

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Parallelogramm ABCD mit A(12|-3|10), B(-24|5|-14), C(-37|25|-8) und D(-1|17|16) und als Spitze S(-17|-10|31). Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( -24-12 5-( - 3 ) -14-10 ) = ( -36 8 -24 ) und AD = BC = ( -37-( - 24 ) 25-5 -8-( - 14 ) ) = ( -13 20 6 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -36 8 -24 ) × ( -13 20 6 ) = ( 8 · 6 - ( -24 ) · 20 -24 · ( -13 ) - ( -36 ) · 6 -36 · 20 - 8 · ( -13 ) ) = ( 48 +480 312 +216 -720 +104 ) = ( 528 528 -616 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 528 528 -616 ) | = 528 2 + 5282 + (-616) 2 = 937024 = 968 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 968.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( 12 -3 10 ) + r ( -36 8 -24 ) + s ( -13 20 6 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( -36 8 -24 ) × ( -13 20 6 ) = ( 8 · 6 - ( -24 ) · 20 -24 · ( -13 ) - ( -36 ) · 6 -36 · 20 - 8 · ( -13 ) ) = ( 48 +480 312 +216 -720 +104 ) = ( 528 528 -616 ) = -88⋅ ( -6 -6 7 )

Weil der Vektor ( -6 -6 7 ) orthogonal zu ( -36 8 -24 ) und ( -13 20 6 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( 12 -3 10 ) ] ( -6 -6 7 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also -6 x 1 -6 x 2 +7 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(12|-3|10) erhält man
d = (-6)12 + (-6)(-3) + 710
also:

-6 x 1 -6 x 2 +7 x 3 = 16

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | -6 ( - 17 )-6 ( - 10 )+7 31-16 | ( - 6 ) 2 + ( - 6 ) 2 + 7 2
= | 363 | 121 = 363 11 = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 968 · 33 = 10648

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Dreieck ABC mit A(-5|3|3), B(-5|-6|-9), C(-5|-17|-7) und als Spitze S(-2|-4|2).
Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( -5-( - 5 ) -6-3 -9-3 ) = ( 0 -9 -12 ) und AC = ( -5-( - 5 ) -17-3 -7-3 ) = ( 0 -20 -10 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 0 -9 -12 ) × ( 0 -20 -10 ) = ( -9 · ( -10 ) - ( -12 ) · ( -20 ) -12 · 0 - 0 · ( -10 ) 0 · ( -20 ) - ( -9 ) · 0 ) = ( 90 -240 0+0 0+0 ) = ( -150 0 0 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -150 0 0 ) | = (-150) 2 + 02 + 0 2 = 22500 = 150 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 150 = 75.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( -5 3 3 ) + r ( 0 -9 -12 ) + s ( 0 -20 -10 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( 0 -9 -12 ) × ( 0 -20 -10 ) = ( -9 · ( -10 ) - ( -12 ) · ( -20 ) -12 · 0 - 0 · ( -10 ) 0 · ( -20 ) - ( -9 ) · 0 ) = ( 90 -240 0+0 0+0 ) = ( -150 0 0 ) = -150⋅ ( 1 0 0 )

Weil der Vektor ( 1 0 0 ) orthogonal zu ( 0 -9 -12 ) und ( 0 -20 -10 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( -5 3 3 ) ] ( 1 0 0 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also x 1 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(-5|3|3) erhält man
d = 1(-5) + 03 + 03
also:

x 1 = -5

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 1 ( - 2 )+0 ( - 4 )+0 2+5 | 1 2 + 0 2 + 0 2
= | 3 | 1 = 3 1 = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 75 · 3 = 75

Pkt auf Gerade mit Dreiecksinhalt finden

Beispiel:

Gegeben ist der Punkt A(3|1|1), der Punkt C(7|0|2) und die Gerade g: x = ( 3 1 1 ) +t ( -2 2 1 ) . A liegt in g.
Bestimme alle möglichen Koordinaten für einen Punkt B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABC den Flächeninhalt A = 9 hat.

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor AB einfach als ( -2 t 2 t t ) schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als AC = ( 7-3 0-1 2-1 ) = ( 4 -1 1 ) .

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -2 t 2 t t ) × ( 4 -1 1 ) = ( 2 t · 1 - t · ( -1 ) t · 4 - ( -2 t ) · 1 -2 t · ( -1 ) - 2 t · 4 ) = ( 2 t + t 4 t +2 t 2 t -8 t ) = ( 3 t 6 t -6 t ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | AB x AC | = | ( 3 t 6 t -6 t ) | = 9 t 2 +36 t 2 +36 t 2 = 81 t 2 = | 9t | entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 9 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = 1 2 | AB x AC | = 1 2 | 9t | = 9 |⋅2

| 9t | = 18

1. Fall

9t = 18 |: 9

t = 2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( 3 -2 t | 1 +2 t | 1 +1 t ) ergibt
B1(-1|5|3).

2. Fall

- 9t = 18 |: -9

t = -2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( 3 -2 t | 1 +2 t | 1 +1 t ) ergibt
B2(7|-3|-1).

Pyramide aus Spurpunkten einer Ebene

Beispiel:

Gegeben ist die Koordinatengleichung der Ebene E: 2 x 1 +2 x 2 + x 3 = 6 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P. Berechne das Volumen von P.

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Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 2 x 1 +2 x 2 + x 3 = 6 ein.

S1: 2 x +2 0 +1 0 = 6 => x= 6 2 =3, also S1(3|0|0)
S2: 2 0 +2 y +1 0 = 6 => y= 6 2 =3, also S2(0|3|0)
S3: 2 0 +2 0 +1 z = 6 => z=6=6, also S3(0|0|6)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 ⋅ 3⋅3 = 4.5, weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS2= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h
= 1 3 ⋅4.5⋅6
=9

Spurpunktdreieck rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: 5 x 1 + x 2 +5 x 3 = 0 .

Die Schnittpunkte von E mit der x1-Achse und der x3-Achse bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Dreieck P mit dem Flächeninhalt 8. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

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Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

5 x 1 + x 2 +5 x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 5 x 1 + x 2 +5 x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 5 x +1 0 +5 0 = d => x = d 5 , also S1( d 5 |0|0)
S2: 5 0 +1 y +5 0 = d => y = d 1 , also S2(0| d 1 |0)
S3: 5 0 +1 0 +5 z = d => z = d 5 , also S3(0|0| d 5 )

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = 1 2 ⋅g⋅hg. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS1 und OS3.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS1S3: A = 1 2 d 5 d 5 = d 2 50

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

1 50 d 2 = 8 |⋅50
d 2 = 400 | 2
d1 = - 400 = -20
d2 = 400 = 20

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: 5 x 1 + x 2 +5 x 3 = 20

Aber auch E2: 5 x 1 + x 2 +5 x 3 = -20 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-4|0|0), S2(0|-20|0) und S3(0|0|-4). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: 5 x 1 + x 2 +5 x 3 = 20 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Spurpunktpyramide rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: 5 x 1 +4 x 2 +2 x 3 = 0 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P mit dem Volumen 900. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

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Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

5 x 1 +4 x 2 +2 x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 5 x 1 +4 x 2 +2 x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 5 x +4 0 +2 0 = d => x = d 5 , also S1( d 5 |0|0)
S2: 5 0 +4 y +2 0 = d => y = d 4 , also S2(0| d 4 |0)
S3: 5 0 +4 0 +2 z = d => z = d 2 , also S3(0|0| d 2 )

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 d 5 d 4 , weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS2= d 2 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h = 1 3 1 2 d 5 d 4 d 2 = d 3 240

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

1 240 d 3 = 900 |⋅240
d 3 = 216000 | 3
d = 216000 3 = 60

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: 5 x 1 +4 x 2 +2 x 3 = 60

Aber auch E2: 5 x 1 +4 x 2 +2 x 3 = -60 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-12|0|0), S2(0|-15|0) und S3(0|0|-30). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: 5 x 1 +4 x 2 +2 x 3 = 60 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.