Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-8\\ -1\\ -5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -10\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-5|0|-10\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -1\\ -5\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ -1\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·\left(-5\right)-8·\left(-1\right)\\ 8·\left(-8\right)-8·\left(-5\right)\\ 8·\left(-1\right)-4·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-20+8\\ -64+40\\ -8+32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -12\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -8\\ 9\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -12\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ -8\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·9-24·\left(-8\right)\\ 24·\left(-10\right)-\left(-8\right)·9\\ -8·\left(-8\right)-\left(-12\right)·\left(-10\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-108+192\\ -240+72\\ 64-120\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ -168\\ -56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}84\\ -168\\ -56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{84}^2+{\mathrm{(-168)}}^2+{\mathrm{(-56)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ 4\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 18\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ 4\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 18\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·\left(-12\right)-12·18\\ 12·4-18·\left(-12\right)\\ 18·18-4·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48-216\\ 48+216\\ 324-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ 264\\ 308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ 264\\ 308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{264}^2+{308}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 4\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 18\\ -12\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ 4\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 18\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·\left(-12\right)-12·18\\ 12·4-18·\left(-12\right)\\ 18·18-4·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48-216\\ 48+216\\ 324-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ 264\\ 308\end{array}\right)$ = 44⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}18\\ 4\\ 12\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}4\\ 18\\ -12\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 7\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|0|1\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 4+6\cdot 0+7\cdot 1$
also:

$-6x_1+6x_2+7x_3=-17$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-12)+6\cdot 27+7\cdot 16+17|}{\sqrt{{(-6)}^2+6^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 484 · 33 = 5324

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·0-4·6\\ 4·\left(-6\right)-\left(-2\right)·0\\ -2·6-4·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-24\\ -24+0\\ -12+24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-6)}+6\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=36-36\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ t\end{array}\right)$ = 4⋅t -12 = 0 wird, also t=$3$ = $3$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{3}{1}$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·0-4·6\\ 4·\left(-6\right)-\left(-2\right)·0\\ -2·6-4·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-24\\ -24+0\\ -12+24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$

= 12⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|2|0\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 0+\mathrm{(-2)}\cdot 2+1\cdot 0$
also:

$-2x_1-2x_2+x_3=-4$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-8)-2\cdot (-3)+1\cdot 1+4|}{\sqrt{{(-2)}^2+{(-2)}^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 18 · 9 = 54

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}t\\ 2t\\ 2t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}5\\ 7\\ 4\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}t\\ 2t\\ 2t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}5\\ 7\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2t·4-2t·7\\ 2t·5-t·4\\ t·7-2t·5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8t-14t\\ 10t-4t\\ 7t-10t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6t\\ 6t\\ -3t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-6t\\ 6t\\ -3t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{36t^2+36t^2+9t^2}$ = $\sqrt{81t^2}$ = $\left|$ 9t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 18 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 9t$\right|$ = 18 |⋅2

$\left|$ 9t$\right|$ = 36

1. Fall

$9t$ = 36 |: 9

t = 4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-8+1t\right|-7+2t\left|-2+2t\right)$ ergibt
B₁$\left(-4|1|6\right)$.

2. Fall

- $9t$ = 36 |: -9

t = -4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-8+1t\right|-7+2t\left|-2+2t\right)$ ergibt
B₂$\left(-12|-15|-10\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+5x_2+x_3=15$ ein.

S₁: => x=$\frac{15}{5}$=3, also S₁$\left(3|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{15}{5}$=3, also S₂$\left(0|3|0\right)$
S₃: => z=$15$=15, also S₃$\left(0|0|15\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 3⋅3 = 4.5, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 15 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅4.5⋅15
=22.5

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{3}$ = $\frac{d^2}{12}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{12}{d}^2$	=	$48$	|⋅$12$
$d^2$	=	$576$	|
d1	=	$-\sqrt{576}$	= $-24$
d2	=	$\sqrt{576}$	= $24$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+2x_2+3x_3=24$

Aber auch E2: $2x_1+2x_2+3x_3=-24$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-12|0|0), S₂(0|-12|0) und S₃(0|0|-8). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+2x_2+3x_3=24$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{3}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{3}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{108}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{108}{d}^3$	=	$2$	|⋅$108$
$d^3$	=	$216$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{216}$	= $6$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+3x_2+2x_3=6$

Aber auch E2: $3x_1+3x_2+2x_3=-6$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-2|0|0), S₂(0|-2|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+3x_2+2x_3=6$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.