Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}25\\ -5\\ -19\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}32\\ 2\\ -31\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(32|2|-31\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-36\\ 8\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-36\\ 8\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-12\right)-24·7\\ 24·7-\left(-36\right)·\left(-12\right)\\ -36·7-8·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-96-168\\ 168-432\\ -252-56\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ -264\\ -308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ -264\\ -308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-308)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·1-\left(-8\right)·\left(-1\right)\\ -8·4-\left(-8\right)·1\\ -8·\left(-1\right)-\left(-4\right)·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4-8\\ -32+8\\ 8+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3·2-\left(-6\right)·5\\ -6·4-6·2\\ 6·5-3·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6+30\\ -24-12\\ 30-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{36}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{18}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 54.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ 6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 2\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3·2-\left(-6\right)·5\\ -6·4-6·2\\ 6·5-3·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6+30\\ -24-12\\ 30-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ -36\\ 18\end{array}\right)$ = 18⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 2\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ 6\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|-1|6\right)$ erhält man
d = $2\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 6$
also:

$2x_1-2x_2+x_3=-2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 4-2\cdot (-4)+1\cdot 9+2|}{\sqrt{2^2+{(-2)}^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 54 · 9 = 162

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -18\\ -13\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -18\\ -13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-13\right)-\left(-9\right)·\left(-18\right)\\ -9·12-18·\left(-13\right)\\ 18·\left(-18\right)-\left(-6\right)·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}78-162\\ -108+234\\ -324+72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ 126\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ 126\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{126}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 294 = 147.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -18\\ -13\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -18\\ -13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-13\right)-\left(-9\right)·\left(-18\right)\\ -9·12-18·\left(-13\right)\\ 18·\left(-18\right)-\left(-6\right)·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}78-162\\ -108+234\\ -324+72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ 126\\ -252\end{array}\right)$ = 42⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -9\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}12\\ -18\\ -13\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+3x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|4|0\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 4+\mathrm{(-6)}\cdot 0$
also:

$-2x_1+3x_2-6x_3=18$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-12)+3\cdot 7-6\cdot (-20)-18|}{\sqrt{{(-2)}^2+3^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 147 · 21 = 1029

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-8t\\ -4t\\ t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-25\\ -8\\ 11\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8t\\ -4t\\ t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-25\\ -8\\ 11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4t·11-t·\left(-8\right)\\ t·\left(-25\right)-\left(-8t\right)·11\\ -8t·\left(-8\right)-\left(-4t\right)·\left(-25\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-44t+8t\\ -25t+88t\\ 64t-100t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36t\\ 63t\\ -36t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36t\\ 63t\\ -36t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1296t^2+3969t^2+1296t^2}$ = $\sqrt{6561t^2}$ = $\left|$ 81t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 81 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 81t$\right|$ = 81 |⋅2

$\left|$ 81t$\right|$ = 162

1. Fall

$81t$ = 162 |: 81

t = 2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(19-8t\right|17-4t\left|-4+1t\right)$ ergibt
B₁$\left(3|9|-2\right)$.

2. Fall

- $81t$ = 162 |: -81

t = -2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(19-8t\right|17-4t\left|-4+1t\right)$ ergibt
B₂$\left(35|25|-6\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+5x_2+2x_3=60$ ein.

S₁: => x=$\frac{60}{4}$=15, also S₁$\left(15|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{60}{5}$=12, also S₂$\left(0|12|0\right)$
S₃: => z=$\frac{60}{2}$=30, also S₃$\left(0|0|30\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 15⋅12 = 90, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 30 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅90⋅30
=900

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+5x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+5x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{3}$ = $\frac{d^2}{30}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{30}{d}^2$	=	$480$	|⋅$30$
$d^2$	=	$14400$	|
d1	=	$-\sqrt{14400}$	= $-120$
d2	=	$\sqrt{14400}$	= $120$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+5x_2+3x_3=120$

Aber auch E2: $2x_1+5x_2+3x_3=-120$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-60|0|0), S₂(0|-24|0) und S₃(0|0|-40). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+5x_2+3x_3=120$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{1}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{1}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{1}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{1}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{1}$⋅ $\frac{d}{1}$ = $\frac{d^3}{18}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{18}{d}^3$	=	$12$	|⋅$18$
$d^3$	=	$216$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{216}$	= $6$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+x_2+x_3=6$

Aber auch E2: $3x_1+x_2+x_3=-6$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-2|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+x_2+x_3=6$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.