Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-34\\ -1\\ -30\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-35\\ 3\\ -32\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-35|3|-32\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}36\\ -8\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-34\\ -1\\ -30\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}36\\ -8\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-34\\ -1\\ -30\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-30\right)-24·\left(-1\right)\\ 24·\left(-34\right)-36·\left(-30\right)\\ 36·\left(-1\right)-\left(-8\right)·\left(-34\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}240+24\\ -816+1080\\ -36-272\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ -308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ -308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{264}^2+{\mathrm{(-308)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -24\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -24\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24·2-12·3\\ 12·6-8·2\\ 8·3-\left(-24\right)·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48-36\\ 72-16\\ 24+144\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ 56\\ 168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ 56\\ 168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{56}^2+{168}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 18\\ -9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -6\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 18\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -6\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·\left(-4\right)-\left(-9\right)·\left(-6\right)\\ -9·12-6·\left(-4\right)\\ 6·\left(-6\right)-18·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72-54\\ -108+24\\ -36-216\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-126\\ -84\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-126\\ -84\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-126)}}^2+{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 18\\ -9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -6\\ -4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 18\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -6\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·\left(-4\right)-\left(-9\right)·\left(-6\right)\\ -9·12-6·\left(-4\right)\\ 6·\left(-6\right)-18·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72-54\\ -108+24\\ -36-216\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-126\\ -84\\ -252\end{array}\right)$ = -42⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 18\\ -9\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}12\\ -6\\ -4\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1+2x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|-1|-4\right)$ erhält man
d = $3\cdot 2+2\cdot \mathrm{(-1)}+6\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$3x_1+2x_2+6x_3=-20$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot 17+2\cdot 2+6\cdot 12+20|}{\sqrt{3^2+2^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -4\\ -18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -22\\ -22\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -4\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -22\\ -22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·\left(-22\right)-\left(-18\right)·\left(-22\right)\\ -18·0-\left(-12\right)·\left(-22\right)\\ -12·\left(-22\right)-\left(-4\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}88-396\\ 0-264\\ 264+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-308)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ -4\\ -18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -22\\ -22\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -22\\ -22\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 22\\ -22\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -22\\ -22\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -22\\ -22\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 22\\ -22\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-22)}\cdot 22+\mathrm{(-22)}\cdot \mathrm{(-22)}=0-484\mathrm{+484}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-12\\ -4\\ -18\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 22\\ -22\end{array}\right)$ = -12⋅t +308 = 0 wird, also t=$\frac{77}{3}$ = $\frac{77}{3}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}\frac{77}{3}\\ 22\\ -22\end{array}\right)$ = $\frac{1}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}77\\ 66\\ -66\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{11}}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ -6\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -4\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -22\\ -22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·\left(-22\right)-\left(-18\right)·\left(-22\right)\\ -18·0-\left(-12\right)·\left(-22\right)\\ -12·\left(-22\right)-\left(-4\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}88-396\\ 0-264\\ 264+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$

= -44⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-12\\ -4\\ -18\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ -22\\ -22\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1+6x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|3|4\right)$ erhält man
d = $7\cdot \mathrm{(-5)}+6\cdot 3+\mathrm{(-6)}\cdot 4$
also:

$7x_1+6x_2-6x_3=-41$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 22+6\cdot 12-6\cdot (-16)+41|}{\sqrt{7^2+6^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 242 · 33 = 2662

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}3t\\ -6t\\ 2t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}11\\ -15\\ 12\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3t\\ -6t\\ 2t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}11\\ -15\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6t·12-2t·\left(-15\right)\\ 2t·11-3t·12\\ 3t·\left(-15\right)-\left(-6t\right)·11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72t+30t\\ 22t-36t\\ -45t+66t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-42t\\ -14t\\ 21t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-42t\\ -14t\\ 21t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1764t^2+196t^2+441t^2}$ = $\sqrt{2401t^2}$ = $\left|$ 49t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 98 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 49t$\right|$ = 98 |⋅2

$\left|$ 49t$\right|$ = 196

1. Fall

$49t$ = 196 |: 49

t = 4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-11+3t\right|15-6t\left|-3+2t\right)$ ergibt
B₁$\left(1|-9|5\right)$.

2. Fall

- $49t$ = 196 |: -49

t = -4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-11+3t\right|15-6t\left|-3+2t\right)$ ergibt
B₂$\left(-23|39|-11\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+2x_2+5x_3=30$ ein.

S₁: => x=$\frac{30}{2}$=15, also S₁$\left(15|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{30}{2}$=15, also S₂$\left(0|15|0\right)$
S₃: => z=$\frac{30}{5}$=6, also S₃$\left(0|0|6\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 15⋅15 = 112.5, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅112.5⋅6
=225

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{3}$ = $\frac{d^2}{18}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{18}{d}^2$	=	$18$	|⋅$18$
$d^2$	=	$324$	|
d1	=	$-\sqrt{324}$	= $-18$
d2	=	$\sqrt{324}$	= $18$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+3x_2+3x_3=18$

Aber auch E2: $2x_1+3x_2+3x_3=-18$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-9|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+3x_2+3x_3=18$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{1}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{3}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{1}$⋅ $\frac{d}{3}$ = $\frac{d^3}{18}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{18}{d}^3$	=	$\mathrm{1,5}$	|⋅$18$
$d^3$	=	$27$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+3x_3=3$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+x_2+3x_3=-3$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-3|0) und S₃(0|0|-1). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+3x_3=3$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.