Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -21\\ 8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}7\\ -7\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -28\\ 16\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(0|-28|16\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 32\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}7\\ -7\\ 8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 32\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ -7\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}32·8-\left(-16\right)·\left(-7\right)\\ -16·7-4·8\\ 4·\left(-7\right)-32·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}256-112\\ -112-32\\ -28-224\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ -144\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ -144\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ 0\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 0\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·1-12·0\\ 12·\left(-7\right)-16·1\\ 16·0-0·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ -84-16\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{\mathrm{(-100)}}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·0-\left(-18\right)·14\\ -18·7-9·0\\ 9·14-6·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+252\\ -126+0\\ 126-42\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -126\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ -126\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{\mathrm{(-126)}}^2+{84}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-7\\ -2\\ 11\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-14\\ 7\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-14\\ 7\\ t\end{array}\right)$=$7\cdot \mathrm{(-14)}+14\cdot 7+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-98\mathrm{+98}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -18\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-14\\ 7\\ t\end{array}\right)$ = -18⋅t -84 = 0 wird, also t=$-\frac{14}{3}$ = $-\frac{14}{3}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 7\\ -\frac{14}{3}\end{array}\right)$ = $\frac{1}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}-42\\ 21\\ -14\end{array}\right)$ = $\frac{7}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·0-\left(-18\right)·14\\ -18·7-9·0\\ 9·14-6·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+252\\ -126+0\\ 126-42\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -126\\ 84\end{array}\right)$

= -42⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -18\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-7\\ -2\\ 11\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+3x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-7|-2|11\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-7)}+3\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot 11$
also:

$-6x_1+3x_2-2x_3=14$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-20)+3\cdot 15-2\cdot 2-14|}{\sqrt{{(-6)}^2+3^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 14\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 14\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·2-8·14\\ 8·0-0·2\\ 0·14-6·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12-112\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-100)}}^2+0^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 14\\ 2\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 8\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -8\\ 6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 8\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 8\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -8\\ 6\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+6\cdot \mathrm{(-8)}+8\cdot 6=0-48\mathrm{+48}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 14\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -8\\ 6\end{array}\right)$ = 0⋅t -100 = 0 wird, also t=$\frac{1}{0}$ = $\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}\frac{1}{0}\\ -8\\ 6\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}\frac{0}{0}\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 14\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·2-8·14\\ 8·0-0·2\\ 0·14-6·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12-112\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

= -100⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 8\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ 14\\ 2\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|-4|-3\right)$ erhält man
d = $1\cdot 1+0\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$\mathrm{}{x}_1=1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 4+0\cdot 0+0\cdot (-6)-1|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 50 · 3 = 50

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}t\\ -8t\\ -4t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}10\\ -17\\ -4\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}t\\ -8t\\ -4t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ -17\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8t·\left(-4\right)-\left(-4t\right)·\left(-17\right)\\ -4t·10-t·\left(-4\right)\\ t·\left(-17\right)-\left(-8t\right)·10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}32t-68t\\ -40t+4t\\ -17t+80t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36t\\ -36t\\ 63t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36t\\ -36t\\ 63t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1296t^2+1296t^2+3969t^2}$ = $\sqrt{6561t^2}$ = $\left|$ 81t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 162 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 81t$\right|$ = 162 |⋅2

$\left|$ 81t$\right|$ = 324

1. Fall

$81t$ = 324 |: 81

t = 4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(3+1t\right|14-8t\left|13-4t\right)$ ergibt
B₁$\left(7|-18|-3\right)$.

2. Fall

- $81t$ = 324 |: -81

t = -4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(3+1t\right|14-8t\left|13-4t\right)$ ergibt
B₂$\left(-1|46|29\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+x_2+3x_3=6$ ein.

S₁: => x=$\frac{6}{2}$=3, also S₁$\left(3|0|0\right)$
S₂: => y=$6$=6, also S₂$\left(0|6|0\right)$
S₃: => z=$\frac{6}{3}$=2, also S₃$\left(0|0|2\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 3⋅6 = 9, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 2 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅9⋅2
=6

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{3}$ = $\frac{d^2}{30}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{30}{d}^2$	=	$120$	|⋅$30$
$d^2$	=	$3600$	|
d1	=	$-\sqrt{3600}$	= $-60$
d2	=	$\sqrt{3600}$	= $60$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+3x_2+2x_3=60$

Aber auch E2: $5x_1+3x_2+2x_3=-60$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-12|0|0), S₂(0|-20|0) und S₃(0|0|-30). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+3x_2+2x_3=60$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{4}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{5}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{4}$⋅ $\frac{d}{5}$ = $\frac{d^3}{240}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{240}{d}^3$	=	$900$	|⋅$240$
$d^3$	=	$216000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{216000}$	= $60$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+4x_2+5x_3=60$

Aber auch E2: $2x_1+4x_2+5x_3=-60$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-30|0|0), S₂(0|-15|0) und S₃(0|0|-12). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+4x_2+5x_3=60$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.