Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-8\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -10\\ -2\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-5|-10|-2\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -5\\ -1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ -5\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-1\right)-4·\left(-5\right)\\ 4·\left(-8\right)-8·\left(-1\right)\\ 8·\left(-5\right)-8·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8+20\\ -32+8\\ -40+64\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{12}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}36\\ -24\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}11\\ 0\\ -11\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}36\\ -24\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}11\\ 0\\ -11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24·\left(-11\right)-\left(-8\right)·0\\ -8·11-36·\left(-11\right)\\ 36·0-\left(-24\right)·11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264+0\\ -88+396\\ 0+264\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ 308\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ 308\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{308}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 27\\ -18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}20\\ 13\\ 6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 27\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}20\\ 13\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}27·6-\left(-18\right)·13\\ -18·20-6·6\\ 6·13-27·20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}162+234\\ -360-36\\ 78-540\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ -396\\ -462\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}396\\ -396\\ -462\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{396}^2+{\mathrm{(-396)}}^2+{\mathrm{(-462)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ -9\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 27\\ -18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 13\\ 6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 27\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}20\\ 13\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}27·6-\left(-18\right)·13\\ -18·20-6·6\\ 6·13-27·20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}162+234\\ -360-36\\ 78-540\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ -396\\ -462\end{array}\right)$ = -66⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 27\\ -18\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}20\\ 13\\ 6\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-5\\ -9\\ 4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 7\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|-9|4\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-5)}+6\cdot \mathrm{(-9)}+7\cdot 4$
also:

$-6x_1+6x_2+7x_3=4$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-12)+6\cdot 20+7\cdot 25-4|}{\sqrt{{(-6)}^2+6^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 726 · 33 = 7986

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 18\\ 13\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ 6\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 18\\ 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·13-9·18\\ 9·\left(-12\right)-\left(-18\right)·13\\ -18·18-6·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}78-162\\ -108+234\\ -324+72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ 126\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ 126\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{126}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 294 = 147.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 6\\ 9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 18\\ 13\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ 6\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 18\\ 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·13-9·18\\ 9·\left(-12\right)-\left(-18\right)·13\\ -18·18-6·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}78-162\\ -108+234\\ -324+72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ 126\\ -252\end{array}\right)$ = 42⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-18\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-12\\ 18\\ 13\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+3x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(5|5|4\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 5+3\cdot 5+\mathrm{(-6)}\cdot 4$
also:

$-2x_1+3x_2-6x_3=-19$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot 2+3\cdot 20-6\cdot (-12)+19|}{\sqrt{{(-2)}^2+3^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 147 · 21 = 1029

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}t\\ -2t\\ -2t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 0\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}t\\ -2t\\ -2t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2t·0-\left(-2t\right)·\left(-3\right)\\ -2t·3-t·0\\ t·\left(-3\right)-\left(-2t\right)·3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-6t\\ -6t+0\\ -3t+6t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6t\\ -6t\\ 3t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-6t\\ -6t\\ 3t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{36t^2+36t^2+9t^2}$ = $\sqrt{81t^2}$ = $\left|$ 9t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 13,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 9t$\right|$ = 13,5 |⋅2

$\left|$ 9t$\right|$ = 27

1. Fall

$9t$ = 27 |: 9

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-6+1t\right|-1-2t\left|-3-2t\right)$ ergibt
B₁$\left(-3|-7|-9\right)$.

2. Fall

- $9t$ = 27 |: -9

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-6+1t\right|-1-2t\left|-3-2t\right)$ ergibt
B₂$\left(-9|5|3\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+5x_2+4x_3=60$ ein.

S₁: => x=$\frac{60}{4}$=15, also S₁$\left(15|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{60}{5}$=12, also S₂$\left(0|12|0\right)$
S₃: => z=$\frac{60}{4}$=15, also S₃$\left(0|0|15\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 15⋅12 = 90, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 15 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅90⋅15
=450

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{5}$ = $\frac{d^2}{30}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{30}{d}^2$	=	$120$	|⋅$30$
$d^2$	=	$3600$	|
d1	=	$-\sqrt{3600}$	= $-60$
d2	=	$\sqrt{3600}$	= $60$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+4x_2+5x_3=60$

Aber auch E2: $3x_1+4x_2+5x_3=-60$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-20|0|0), S₂(0|-15|0) und S₃(0|0|-12). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+4x_2+5x_3=60$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+4x_2+x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+4x_2+x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{1}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{1}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{4}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{1}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{4}$⋅ $\frac{d}{1}$ = $\frac{d^3}{24}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{24}{d}^3$	=	$72$	|⋅$24$
$d^3$	=	$1728$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{1728}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+x_3=12$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-12|0|0), S₂(0|-3|0) und S₃(0|0|-12). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.