Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}14\\ 16\\ -3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}18\\ 16\\ 5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}32\\ 32\\ 2\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(32|32|2\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -36\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ 16\\ 5\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -36\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ 16\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36·5-8·16\\ 8·18-\left(-24\right)·5\\ -24·16-\left(-36\right)·18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-180-128\\ 144+120\\ -384+648\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-308)}}^2+{264}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ 36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -7\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -8\\ 36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -7\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-7\right)-36·\left(-7\right)\\ 36·12-\left(-24\right)·\left(-7\right)\\ -24·\left(-7\right)-\left(-8\right)·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56+252\\ 432-168\\ 168+96\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{308}^2+{264}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -5\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-5\right)-\left(-4\right)·2\\ -4·\left(-4\right)-\left(-8\right)·\left(-5\right)\\ -8·2-\left(-8\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}40+8\\ 16-40\\ -16-32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48\\ -24\\ -48\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}48\\ -24\\ -48\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{48}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-48)}}^2}=\sqrt{5184}=72$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 72.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 7\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -5\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-5\right)-\left(-4\right)·2\\ -4·\left(-4\right)-\left(-8\right)·\left(-5\right)\\ -8·2-\left(-8\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}40+8\\ 16-40\\ -16-32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48\\ -24\\ -48\end{array}\right)$ = -24⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -5\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ 7\\ 4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|7|4\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 2+1\cdot 7+2\cdot 4$
also:

$-2x_1+x_2+2x_3=11$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-7)+1\cdot 10+2\cdot 7-11|}{\sqrt{{(-2)}^2+1^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 72 · 9 = 216

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -9\\ 18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}20\\ -16\\ 18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -9\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}20\\ -16\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-9·18-18·\left(-16\right)\\ 18·20-6·18\\ 6·\left(-16\right)-\left(-9\right)·20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-162+288\\ 360-108\\ -96+180\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}126\\ 252\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}126\\ 252\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{126}^2+{252}^2+{84}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 294 = 147.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 8\\ -11\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -9\\ 18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ -16\\ 18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -9\\ 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}20\\ -16\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-9·18-18·\left(-16\right)\\ 18·20-6·18\\ 6·\left(-16\right)-\left(-9\right)·20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-162+288\\ 360-108\\ -96+180\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}126\\ 252\\ 84\end{array}\right)$ = 42⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ -9\\ 18\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}20\\ -16\\ 18\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}3\\ 8\\ -11\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1+6x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(3|8|-11\right)$ erhält man
d = $3\cdot 3+6\cdot 8+2\cdot \mathrm{(-11)}$
also:

$3x_1+6x_2+2x_3=35$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot 20+6\cdot 21+2\cdot (-2)-35|}{\sqrt{3^2+6^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 147 · 21 = 1029

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-2t\\ -2t\\ t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-2t\\ -2t\\ t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2t·2-t·\left(-1\right)\\ t·2-\left(-2t\right)·2\\ -2t·\left(-1\right)-\left(-2t\right)·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4t+t\\ 2t+4t\\ 2t+4t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3t\\ 6t\\ 6t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-3t\\ 6t\\ 6t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{9t^2+36t^2+36t^2}$ = $\sqrt{81t^2}$ = $\left|$ 9t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 18 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 9t$\right|$ = 18 |⋅2

$\left|$ 9t$\right|$ = 36

1. Fall

$9t$ = 36 |: 9

t = 4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(1-2t\right|-5-2t\left|1+1t\right)$ ergibt
B₁$\left(-7|-13|5\right)$.

2. Fall

- $9t$ = 36 |: -9

t = -4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(1-2t\right|-5-2t\left|1+1t\right)$ ergibt
B₂$\left(9|3|-3\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+4x_2+5x_3=180$ ein.

S₁: => x=$\frac{180}{3}$=60, also S₁$\left(60|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{180}{4}$=45, also S₂$\left(0|45|0\right)$
S₃: => z=$\frac{180}{5}$=36, also S₃$\left(0|0|36\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 60⋅45 = 1350, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 36 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅1350⋅36
=16200

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{4}$ = $\frac{d^2}{40}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{40}{d}^2$	=	$10$	|⋅$40$
$d^2$	=	$400$	|
d1	=	$-\sqrt{400}$	= $-20$
d2	=	$\sqrt{400}$	= $20$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+x_2+4x_3=20$

Aber auch E2: $5x_1+x_2+4x_3=-20$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-4|0|0), S₂(0|-20|0) und S₃(0|0|-5). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+x_2+4x_3=20$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+5x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+5x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{5}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{3}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{5}$⋅ $\frac{d}{3}$ = $\frac{d^3}{270}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{270}{d}^3$	=	$\mathrm{337,5}$	|⋅$270$
$d^3$	=	$91125$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{91125}$	= $45$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+5x_2+3x_3=45$

Aber auch E2: $3x_1+5x_2+3x_3=-45$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-15|0|0), S₂(0|-9|0) und S₃(0|0|-15). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+5x_2+3x_3=45$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.