Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-30\\ 34\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-25\\ 29\\ 3\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-25|29|3\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ -36\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 34\\ 1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ -36\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-30\\ 34\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36·1-8·34\\ 8·\left(-30\right)-24·1\\ 24·34-\left(-36\right)·\left(-30\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36-272\\ -240-24\\ 816-1080\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ -264\\ -264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-308\\ -264\\ -264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-308)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}13\\ 0\\ 9\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}13\\ 0\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·9-16·0\\ 16·13-12·9\\ 12·0-0·13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 208-108\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{100}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ 27\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ 18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ 27\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}27·18-6·4\\ 6·\left(-12\right)-18·18\\ 18·4-27·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}486-24\\ -72-324\\ 72+324\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}462\\ -396\\ 396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}462\\ -396\\ 396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{462}^2+{\mathrm{(-396)}}^2+{396}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 27\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ 18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ 27\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}27·18-6·4\\ 6·\left(-12\right)-18·18\\ 18·4-27·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}486-24\\ -72-324\\ 72+324\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}462\\ -396\\ 396\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ 6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ 6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}18\\ 27\\ 6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ 18\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ 6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1-6x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-1|1|-1\right)$ erhält man
d = $7\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-6)}\cdot 1+6\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$7x_1-6x_2+6x_3=-19$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 14-6\cdot (-15)+6\cdot 26+19|}{\sqrt{7^2+{(-6)}^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 726 · 33 = 7986

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -16\\ -2\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -18\\ -18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -16\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -18\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16·\left(-18\right)-\left(-2\right)·\left(-18\right)\\ -2·0-8·\left(-18\right)\\ 8·\left(-18\right)-\left(-16\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}288-36\\ 0+144\\ -144+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ 144\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ 144\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{144}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -16\\ -2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -18\\ -18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -18\\ -18\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 18\\ -18\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -18\\ -18\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -18\\ -18\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 18\\ -18\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-18)}\cdot 18+\mathrm{(-18)}\cdot \mathrm{(-18)}=0-324\mathrm{+324}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}8\\ -16\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 18\\ -18\end{array}\right)$ = 8⋅t -252 = 0 wird, also t=$\frac{63}{2}$ = $\frac{63}{2}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}\frac{63}{2}\\ 18\\ -18\end{array}\right)$ = $\frac{1}{2}$⋅$\left(\begin{array}{c}63\\ 36\\ -36\end{array}\right)$ = $\frac{9}{2}$⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -16\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -18\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16·\left(-18\right)-\left(-2\right)·\left(-18\right)\\ -2·0-8·\left(-18\right)\\ 8·\left(-18\right)-\left(-16\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}288-36\\ 0+144\\ -144+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ 144\\ -144\end{array}\right)$

= 36⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}8\\ -16\\ -2\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ -18\\ -18\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ -4\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1+4x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-4|0|4\right)$ erhält man
d = $7\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot 0+\mathrm{(-4)}\cdot 4$
also:

$7x_1+4x_2-4x_3=-44$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 13+4\cdot 11-4\cdot (-16)+44|}{\sqrt{7^2+4^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 162 · 27 = 1458

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-1t\\ -8t\\ 4t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -17\\ 4\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-1t\\ -8t\\ 4t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ -17\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8t·4-4t·\left(-17\right)\\ 4t·\left(-10\right)-\left(-t\right)·4\\ -t·\left(-17\right)-\left(-8t\right)·\left(-10\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32t+68t\\ -40t+4t\\ 17t-80t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36t\\ -36t\\ -63t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}36t\\ -36t\\ -63t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1296t^2+1296t^2+3969t^2}$ = $\sqrt{6561t^2}$ = $\left|$ 81t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 202,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 81t$\right|$ = 202,5 |⋅2

$\left|$ 81t$\right|$ = 405

1. Fall

$81t$ = 405 |: 81

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-1-1t\right|17-8t\left|-3+4t\right)$ ergibt
B₁$\left(-6|-23|17\right)$.

2. Fall

- $81t$ = 405 |: -81

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-1-1t\right|17-8t\left|-3+4t\right)$ ergibt
B₂$\left(4|57|-23\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+5x_2+4x_3=60$ ein.

S₁: => x=$\frac{60}{3}$=20, also S₁$\left(20|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{60}{5}$=12, also S₂$\left(0|12|0\right)$
S₃: => z=$\frac{60}{4}$=15, also S₃$\left(0|0|15\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 20⋅12 = 120, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 15 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅120⋅15
=600

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{4}$ = $\frac{d^2}{24}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{24}{d}^2$	=	$600$	|⋅$24$
$d^2$	=	$14400$	|
d1	=	$-\sqrt{14400}$	= $-120$
d2	=	$\sqrt{14400}$	= $120$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+5x_2+4x_3=120$

Aber auch E2: $3x_1+5x_2+4x_3=-120$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-40|0|0), S₂(0|-24|0) und S₃(0|0|-30). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+5x_2+4x_3=120$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+5x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+5x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{5}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{3}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{5}$⋅ $\frac{d}{3}$ = $\frac{d^3}{180}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{180}{d}^3$	=	$150$	|⋅$180$
$d^3$	=	$27000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{27000}$	= $30$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+5x_2+3x_3=30$

Aber auch E2: $2x_1+5x_2+3x_3=-30$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-15|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-10). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+5x_2+3x_3=30$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.