Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ -2\\ -11\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(11|-2|-11\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·\left(-12\right)-8·3\\ 8·9-\left(-8\right)·\left(-12\right)\\ -8·3-\left(-4\right)·9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48-24\\ 72-96\\ -24+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·3-8·3\\ 8·0-\left(-8\right)·3\\ -8·3-4·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12-24\\ 0+24\\ -24+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-12)}}^2+{24}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·0-0·\left(-6\right)\\ 0·\left(-8\right)-\left(-6\right)·0\\ -6·\left(-6\right)-8·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ 36+64\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{100}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-8)}+8\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=48-48\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ t\end{array}\right)$ = 0⋅t +100 = 0 wird, also t=$-\frac{1}{0}$ = $-\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ -\frac{1}{0}\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{0}{0}\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·0-0·\left(-6\right)\\ 0·\left(-8\right)-\left(-6\right)·0\\ -6·\left(-6\right)-8·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ 36+64\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$

= 100⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ 0\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-8\\ -6\\ 0\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|-5|2\right)$ erhält man
d = $0\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{(-5)}+1\cdot 2$
also:

$+x_3=2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot (-6)+0\cdot (-8)+1\cdot 5-2|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 100 · 3 = 100

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-27\\ -18\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-40\\ -12\\ 26\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-27\\ -18\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-40\\ -12\\ 26\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18·26-6·\left(-12\right)\\ 6·\left(-40\right)-\left(-27\right)·26\\ -27·\left(-12\right)-\left(-18\right)·\left(-40\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-468+72\\ -240+702\\ 324-720\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ 462\\ -396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-396\\ 462\\ -396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-396)}}^2+{462}^2+{\mathrm{(-396)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 726 = 363.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ -7\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-27\\ -18\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-40\\ -12\\ 26\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-27\\ -18\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-40\\ -12\\ 26\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18·26-6·\left(-12\right)\\ 6·\left(-40\right)-\left(-27\right)·26\\ -27·\left(-12\right)-\left(-18\right)·\left(-40\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-468+72\\ -240+702\\ 324-720\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ 462\\ -396\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-27\\ -18\\ 6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-40\\ -12\\ 26\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ -7\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+7x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(5|1|-7\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 5+7\cdot 1+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-7)}$
also:

$-6x_1+7x_2-6x_3=19$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-24)+7\cdot 22-6\cdot (-14)-19|}{\sqrt{{(-6)}^2+7^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 363 · 33 = 3993

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-2t\\ 6t\\ -3t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 3\\ -5\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-2t\\ 6t\\ -3t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 3\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6t·\left(-5\right)-\left(-3t\right)·3\\ -3t·\left(-8\right)-\left(-2t\right)·\left(-5\right)\\ -2t·3-6t·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-30t+9t\\ 24t-10t\\ -6t+48t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-21t\\ 14t\\ 42t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-21t\\ 14t\\ 42t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{441t^2+196t^2+1764t^2}$ = $\sqrt{2401t^2}$ = $\left|$ 49t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 49 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 49t$\right|$ = 49 |⋅2

$\left|$ 49t$\right|$ = 98

1. Fall

$49t$ = 98 |: 49

t = 2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(4-2t\right|-2+6t\left|7-3t\right)$ ergibt
B₁$\left(0|10|1\right)$.

2. Fall

- $49t$ = 98 |: -49

t = -2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(4-2t\right|-2+6t\left|7-3t\right)$ ergibt
B₂$\left(8|-14|13\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+2x_2+2x_3=12$ ein.

S₁: => x=$\frac{6}{4}$=1.5, also S₁$\left(3|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{6}{2}$=3, also S₂$\left(0|6|0\right)$
S₃: => z=$\frac{6}{2}$=3, also S₃$\left(0|0|6\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 3⋅6 = 9, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅9⋅6
=18

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{3}$ = $\frac{d^2}{24}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{24}{d}^2$	=	$6$	|⋅$24$
$d^2$	=	$144$	|
d1	=	$-\sqrt{144}$	= $-12$
d2	=	$\sqrt{144}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+3x_2+3x_3=12$

Aber auch E2: $4x_1+3x_2+3x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-4|0) und S₃(0|0|-4). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+3x_2+3x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+3x_2+x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+3x_2+x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{1}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{1}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{3}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{1}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{3}$⋅ $\frac{d}{1}$ = $\frac{d^3}{72}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{72}{d}^3$	=	$24$	|⋅$72$
$d^3$	=	$1728$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{1728}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+3x_2+x_3=12$

Aber auch E2: $4x_1+3x_2+x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-4|0) und S₃(0|0|-12). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+3x_2+x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.