Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}2\\ -27\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -30\\ 9\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-1|-30|9\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ -27\\ 10\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -27\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24·10-\left(-12\right)·\left(-27\right)\\ -12·2-\left(-8\right)·10\\ -8·\left(-27\right)-24·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}240-324\\ -24+80\\ 216-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ 56\\ 168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ 56\\ 168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{56}^2+{168}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-32\\ 4\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-32\\ 4\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·4-\left(-16\right)·8\\ -16·\left(-1\right)-\left(-32\right)·4\\ -32·8-4·\left(-1\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16+128\\ 16+128\\ -256+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ 144\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ 144\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{144}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -12\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -12\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-4\right)-\left(-9\right)·\left(-12\right)\\ -9·\left(-6\right)-18·\left(-4\right)\\ 18·\left(-12\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-108\\ 54+72\\ -216-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ 126\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ 126\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{126}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -12\\ -4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -12\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-4\right)-\left(-9\right)·\left(-12\right)\\ -9·\left(-6\right)-18·\left(-4\right)\\ 18·\left(-12\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-108\\ 54+72\\ -216-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ 126\\ -252\end{array}\right)$ = 42⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -9\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-6\\ -12\\ -4\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 0\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+3x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|-5|0\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-6)}\cdot 0$
also:

$-2x_1+3x_2-6x_3=-5$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-14)+3\cdot (-2)-6\cdot (-20)+5|}{\sqrt{{(-2)}^2+3^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ -27\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -40\\ 26\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -27\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -40\\ 26\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-27·26-6·\left(-40\right)\\ 6·12-18·26\\ 18·\left(-40\right)-\left(-27\right)·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-702+240\\ 72-468\\ -720+324\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-462\\ -396\\ -396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-462\\ -396\\ -396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-462)}}^2+{\mathrm{(-396)}}^2+{\mathrm{(-396)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 726 = 363.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-11\\ 5\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -27\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -40\\ 26\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -27\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -40\\ 26\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-27·26-6·\left(-40\right)\\ 6·12-18·26\\ 18·\left(-40\right)-\left(-27\right)·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-702+240\\ 72-468\\ -720+324\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-462\\ -396\\ -396\end{array}\right)$ = -66⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}18\\ -27\\ 6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}12\\ -40\\ 26\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-11\\ 5\\ -2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1+6x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-11|5|-2\right)$ erhält man
d = $7\cdot \mathrm{(-11)}+6\cdot 5+6\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$7x_1+6x_2+6x_3=-59$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 10+6\cdot 12+6\cdot 27+59|}{\sqrt{7^2+6^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 363 · 33 = 3993

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-3t\\ -6t\\ 2t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-11\\ -15\\ 12\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3t\\ -6t\\ 2t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-11\\ -15\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6t·12-2t·\left(-15\right)\\ 2t·\left(-11\right)-\left(-3t\right)·12\\ -3t·\left(-15\right)-\left(-6t\right)·\left(-11\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72t+30t\\ -22t+36t\\ 45t-66t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-42t\\ 14t\\ -21t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-42t\\ 14t\\ -21t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1764t^2+196t^2+441t^2}$ = $\sqrt{2401t^2}$ = $\left|$ 49t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 122,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 49t$\right|$ = 122,5 |⋅2

$\left|$ 49t$\right|$ = 245

1. Fall

$49t$ = 245 |: 49

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(14-3t\right|15-6t\left|-1+2t\right)$ ergibt
B₁$\left(-1|-15|9\right)$.

2. Fall

- $49t$ = 245 |: -49

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(14-3t\right|15-6t\left|-1+2t\right)$ ergibt
B₂$\left(29|45|-11\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+3x_2+x_3=6$ ein.

S₁: => x=$6$=6, also S₁$\left(6|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{6}{3}$=2, also S₂$\left(0|2|0\right)$
S₃: => z=$6$=6, also S₃$\left(0|0|6\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6⋅2 = 6, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅6⋅6
=12

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{2}$ = $\frac{d^2}{20}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{20}{d}^2$	=	$320$	|⋅$20$
$d^2$	=	$6400$	|
d1	=	$-\sqrt{6400}$	= $-80$
d2	=	$\sqrt{6400}$	= $80$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+5x_2+2x_3=80$

Aber auch E2: $4x_1+5x_2+2x_3=-80$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-20|0|0), S₂(0|-16|0) und S₃(0|0|-40). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+5x_2+2x_3=80$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+4x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{4}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{4}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{4}$⋅ $\frac{d}{4}$ = $\frac{d^3}{96}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{96}{d}^3$	=	$18$	|⋅$96$
$d^3$	=	$1728$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{1728}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+4x_3=12$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+4x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-12|0|0), S₂(0|-3|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+4x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.