Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 5\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}15\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}14\\ -7\\ 5\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(14|-7|5\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 12\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}15\\ -5\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}15\\ -5\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·0-0·\left(-5\right)\\ 0·15-\left(-16\right)·0\\ -16·\left(-5\right)-12·15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ 80-180\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{\mathrm{(-100)}}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·3-4·0\\ 4·3-8·3\\ 8·0-\left(-8\right)·3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24+0\\ 12-24\\ 0+24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ 24\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ 2\\ -8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ 24\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}16\\ 2\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24·\left(-8\right)-12·2\\ 12·16-3·\left(-8\right)\\ 3·2-24·16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-192-24\\ 192+24\\ 6-384\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ 216\\ -378\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-216\\ 216\\ -378\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-216)}}^2+{216}^2+{\mathrm{(-378)}}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 486.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 24\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ 2\\ -8\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ 24\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}16\\ 2\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24·\left(-8\right)-12·2\\ 12·16-3·\left(-8\right)\\ 3·2-24·16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-192-24\\ 192+24\\ 6-384\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ 216\\ -378\end{array}\right)$ = 54⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 24\\ 12\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}16\\ 2\\ -8\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -7\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-4x_1+4x_2-7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-1|0|2\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+4\cdot 0+\mathrm{(-7)}\cdot 2$
also:

$-4x_1+4x_2-7x_3=-10$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-4\cdot (-5)+4\cdot 13-7\cdot (-23)+10|}{\sqrt{{(-4)}^2+4^2+{(-7)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 486 · 27 = 4374

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}10\\ -6\\ 16\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ -6\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·16-4·\left(-6\right)\\ 4·10-6·16\\ 6·\left(-6\right)-\left(-12\right)·10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-192+24\\ 40-96\\ -36+120\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ -56\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-168\\ -56\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-168)}}^2+{\mathrm{(-56)}}^2+{84}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ -6\\ 16\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ -6\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·16-4·\left(-6\right)\\ 4·10-6·16\\ 6·\left(-6\right)-\left(-12\right)·10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-192+24\\ 40-96\\ -36+120\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ -56\\ 84\end{array}\right)$ = 28⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ 4\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}10\\ -6\\ 16\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 3\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1-2x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|0|4\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot 0+3\cdot 4$
also:

$-6x_1-2x_2+3x_3=24$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-18)-2\cdot (-3)+3\cdot 19-24|}{\sqrt{{(-6)}^2+{(-2)}^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 98 · 21 = 686

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}6t\\ 2t\\ 3t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ 8\\ 5\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6t\\ 2t\\ 3t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ 8\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2t·5-3t·8\\ 3t·3-6t·5\\ 6t·8-2t·3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10t-24t\\ 9t-30t\\ 48t-6t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-14t\\ -21t\\ 42t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-14t\\ -21t\\ 42t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{196t^2+441t^2+1764t^2}$ = $\sqrt{2401t^2}$ = $\left|$ 49t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 98 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 49t$\right|$ = 98 |⋅2

$\left|$ 49t$\right|$ = 196

1. Fall

$49t$ = 196 |: 49

t = 4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-4+6t\right|-4+2t\left|-4+3t\right)$ ergibt
B₁$\left(20|4|8\right)$.

2. Fall

- $49t$ = 196 |: -49

t = -4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-4+6t\right|-4+2t\left|-4+3t\right)$ ergibt
B₂$\left(-28|-12|-16\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+4x_2+3x_3=24$ ein.

S₁: => x=$\frac{24}{2}$=12, also S₁$\left(12|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{24}{4}$=6, also S₂$\left(0|6|0\right)$
S₃: => z=$\frac{24}{3}$=8, also S₃$\left(0|0|8\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 12⋅6 = 36, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 8 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅36⋅8
=96

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+3x_2+x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+3x_2+x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{1}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{1}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{3}$ = $\frac{d^2}{18}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{18}{d}^2$	=	$2$	|⋅$18$
$d^2$	=	$36$	|
d1	=	$-\sqrt{36}$	= $-6$
d2	=	$\sqrt{36}$	= $6$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+3x_2+x_3=6$

Aber auch E2: $3x_1+3x_2+x_3=-6$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-2|0|0), S₂(0|-2|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+3x_2+x_3=6$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+5x_2+x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+5x_2+x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{1}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{1}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{5}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{1}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{5}$⋅ $\frac{d}{1}$ = $\frac{d^3}{90}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{90}{d}^3$	=	$\mathrm{37,5}$	|⋅$90$
$d^3$	=	$3375$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{3375}$	= $15$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+5x_2+x_3=15$

Aber auch E2: $3x_1+5x_2+x_3=-15$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-5|0|0), S₂(0|-3|0) und S₃(0|0|-15). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+5x_2+x_3=15$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.