Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-16\\ -5\\ -7\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-9\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-25\\ -6\\ -3\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-25|-6|-3\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -1\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-9\\ -1\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·4-8·\left(-1\right)\\ 8·\left(-9\right)-24·4\\ 24·\left(-1\right)-12·\left(-9\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48+8\\ -72-96\\ -24+108\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56\\ -168\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}56\\ -168\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{56}^2+{\mathrm{(-168)}}^2+{84}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16·1-12·7\\ 12·0-0·1\\ 0·7-\left(-16\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16-84\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-100)}}^2+0^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 8\\ -36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 20\\ -13\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ 8\\ -36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 20\\ -13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-13\right)-\left(-36\right)·20\\ -36·6-\left(-24\right)·\left(-13\right)\\ -24·20-8·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-104+720\\ -216-312\\ -480-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}616\\ -528\\ -528\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}616\\ -528\\ -528\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{616}^2+{\mathrm{(-528)}}^2+{\mathrm{(-528)}}^2}=\sqrt{937024}=968$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 968.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ 11\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 8\\ -36\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 20\\ -13\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ 8\\ -36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 20\\ -13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-13\right)-\left(-36\right)·20\\ -36·6-\left(-24\right)·\left(-13\right)\\ -24·20-8·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-104+720\\ -216-312\\ -480-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}616\\ -528\\ -528\end{array}\right)$ = 88⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-24\\ 8\\ -36\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}6\\ 20\\ -13\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ 11\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1-6x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(7|-6|11\right)$ erhält man
d = $7\cdot 7+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-6)}+\mathrm{(-6)}\cdot 11$
also:

$7x_1-6x_2-6x_3=19$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 28-6\cdot (-13)-6\cdot (-18)-19|}{\sqrt{7^2+{(-6)}^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 968 · 33 = 10648

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 18\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 22\\ 22\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 18\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 22\\ 22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·22-4·22\\ 4·0-12·22\\ 12·22-18·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396-88\\ 0-264\\ 264+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{308}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 18\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 22\\ 22\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 22\\ 22\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -22\\ 22\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 22\\ 22\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 22\\ 22\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -22\\ 22\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+22\cdot \mathrm{(-22)}+22\cdot 22=0-484\mathrm{+484}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}12\\ 18\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -22\\ 22\end{array}\right)$ = 12⋅t -308 = 0 wird, also t=$\frac{77}{3}$ = $\frac{77}{3}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}\frac{77}{3}\\ -22\\ 22\end{array}\right)$ = $\frac{1}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}77\\ -66\\ 66\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{11}}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ 6\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 18\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 22\\ 22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·22-4·22\\ 4·0-12·22\\ 12·22-18·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396-88\\ 0-264\\ 264+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$

= 44⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ 6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ 6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}12\\ 18\\ 4\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ 22\\ 22\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ 6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1-6x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|2|-1\right)$ erhält man
d = $7\cdot 4+\mathrm{(-6)}\cdot 2+6\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$7x_1-6x_2+6x_3=10$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 19-6\cdot (-14)+6\cdot 26-10|}{\sqrt{7^2+{(-6)}^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 242 · 33 = 2662

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-1t\\ 2t\\ 2t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-1t\\ 2t\\ 2t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2t·0-2t·3\\ 2t·\left(-3\right)-\left(-t\right)·0\\ -t·3-2t·\left(-3\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-6t\\ -6t+0\\ -3t+6t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6t\\ -6t\\ 3t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-6t\\ -6t\\ 3t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{36t^2+36t^2+9t^2}$ = $\sqrt{81t^2}$ = $\left|$ 9t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 18 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 9t$\right|$ = 18 |⋅2

$\left|$ 9t$\right|$ = 36

1. Fall

$9t$ = 36 |: 9

t = 4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(2-1t\right|-6+2t\left|0+2t\right)$ ergibt
B₁$\left(-2|2|8\right)$.

2. Fall

- $9t$ = 36 |: -9

t = -4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(2-1t\right|-6+2t\left|0+2t\right)$ ergibt
B₂$\left(6|-14|-8\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+3x_2+3x_3=36$ ein.

S₁: => x=$\frac{36}{4}$=9, also S₁$\left(9|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{36}{3}$=12, also S₂$\left(0|12|0\right)$
S₃: => z=$\frac{36}{3}$=12, also S₃$\left(0|0|12\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 9⋅12 = 54, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 12 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅54⋅12
=216

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{1}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{1}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{1}$ = $\frac{d^2}{2}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{2}{d}^2$	=	$18$	|⋅$2$
$d^2$	=	$36$	|
d1	=	$-\sqrt{36}$	= $-6$
d2	=	$\sqrt{36}$	= $6$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+x_3=6$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+x_2+x_3=-6$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+x_2+x_3=6$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{1}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{1}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{24}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{24}{d}^3$	=	$9$	|⋅$24$
$d^3$	=	$216$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{216}$	= $6$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+x_2+2x_3=6$

Aber auch E2: $2x_1+x_2+2x_3=-6$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+x_2+2x_3=6$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.