Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -6\\ -9\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -9\\ -15\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(5|-9|-15\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-6\right)-8·\left(-3\right)\\ 8·0-\left(-4\right)·\left(-6\right)\\ -4·\left(-3\right)-8·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48+24\\ 0-24\\ 12+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 8\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 4\\ 1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 8\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-9\\ 4\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·1-\left(-12\right)·4\\ -12·\left(-9\right)-24·1\\ 24·4-8·\left(-9\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8+48\\ 108-24\\ 96+72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56\\ 84\\ 168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}56\\ 84\\ 168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{56}^2+{84}^2+{168}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ -8\\ 2\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ 16\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ -8\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·16-2·8\\ 2·\left(-2\right)-\left(-16\right)·16\\ -16·8-\left(-8\right)·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-128-16\\ -4+256\\ -128-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ 252\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-144\\ 252\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-144)}}^2+{252}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-16\\ -8\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ 16\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ -8\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·16-2·8\\ 2·\left(-2\right)-\left(-16\right)·16\\ -16·8-\left(-8\right)·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-128-16\\ -4+256\\ -128-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ 252\\ -144\end{array}\right)$ = -36⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-16\\ -8\\ 2\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ 16\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1-7x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|4|-5\right)$ erhält man
d = $4\cdot 0+\mathrm{(-7)}\cdot 4+4\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$4x_1-7x_2+4x_3=-48$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 11-7\cdot (-13)+4\cdot 15+48|}{\sqrt{4^2+{(-7)}^2+4^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 324 · 27 = 2916

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ -9\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ -16\\ 20\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -9\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ -16\\ 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-9·20-6·\left(-16\right)\\ 6·18-18·20\\ 18·\left(-16\right)-\left(-9\right)·18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-180+96\\ 108-360\\ -288+162\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ -252\\ -126\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ -252\\ -126\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-252)}}^2+{\mathrm{(-126)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 294 = 147.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-9\\ 8\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -9\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -16\\ 20\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -9\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ -16\\ 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-9·20-6·\left(-16\right)\\ 6·18-18·20\\ 18·\left(-16\right)-\left(-9\right)·18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-180+96\\ 108-360\\ -288+162\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ -252\\ -126\end{array}\right)$ = -42⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}18\\ -9\\ 6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}18\\ -16\\ 20\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-9\\ 8\\ 1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 3\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+6x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-9|8|1\right)$ erhält man
d = $2\cdot \mathrm{(-9)}+6\cdot 8+3\cdot 1$
also:

$2x_1+6x_2+3x_3=33$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 0+6\cdot 21+3\cdot 18-33|}{\sqrt{2^2+6^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 147 · 21 = 1029

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}t\\ -4t\\ 8t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}11\\ -8\\ 25\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}t\\ -4t\\ 8t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}11\\ -8\\ 25\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4t·25-8t·\left(-8\right)\\ 8t·11-t·25\\ t·\left(-8\right)-\left(-4t\right)·11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-100t+64t\\ 88t-25t\\ -8t+44t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36t\\ 63t\\ 36t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36t\\ 63t\\ 36t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1296t^2+3969t^2+1296t^2}$ = $\sqrt{6561t^2}$ = $\left|$ 81t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 202,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 81t$\right|$ = 202,5 |⋅2

$\left|$ 81t$\right|$ = 405

1. Fall

$81t$ = 405 |: 81

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-4+1t\right|13-4t\left|-23+8t\right)$ ergibt
B₁$\left(1|-7|17\right)$.

2. Fall

- $81t$ = 405 |: -81

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-4+1t\right|13-4t\left|-23+8t\right)$ ergibt
B₂$\left(-9|33|-63\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+3x_2+4x_3=36$ ein.

S₁: => x=$\frac{36}{3}$=12, also S₁$\left(12|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{36}{3}$=12, also S₂$\left(0|12|0\right)$
S₃: => z=$\frac{36}{4}$=9, also S₃$\left(0|0|9\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 12⋅12 = 72, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 9 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅72⋅9
=216

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{1}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{1}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{1}$ = $\frac{d^2}{4}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{4}{d}^2$	=	$4$	|⋅$4$
$d^2$	=	$16$	|
d1	=	$-\sqrt{16}$	= $-4$
d2	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+2x_2+x_3=4$

Aber auch E2: $2x_1+2x_2+x_3=-4$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-2|0|0), S₂(0|-2|0) und S₃(0|0|-4). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+2x_2+x_3=4$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{4}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{4}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{48}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{48}{d}^3$	=	$36$	|⋅$48$
$d^3$	=	$1728$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{1728}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+2x_3=12$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+2x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-12|0|0), S₂(0|-3|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+4x_2+2x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.