Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -6\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -6\\ 5\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(4|-6|5\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·6-\left(-8\right)·0\\ -8·3-\left(-8\right)·6\\ -8·0-4·3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24+0\\ -24+48\\ 0-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{24}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·1-16·\left(-7\right)\\ 16·0-0·1\\ 0·\left(-7\right)-\left(-12\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12+112\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{100}^2+0^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -12\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-11\\ 2\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-9\\ -12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-11\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·0-0·2\\ 0·\left(-11\right)-\left(-9\right)·0\\ -9·2-\left(-12\right)·\left(-11\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ -18-132\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -150\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -150\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{\mathrm{(-150)}}^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 150.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ -12\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-11\\ 2\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-9\\ -12\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}12\\ -9\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-9\\ -12\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-9\\ -12\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}12\\ -9\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-9)}\cdot 12+\mathrm{(-12)}\cdot \mathrm{(-9)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-108\mathrm{+108}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-11\\ 2\\ 0\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}12\\ -9\\ t\end{array}\right)$ = 0⋅t -150 = 0 wird, also t=$\frac{1}{0}$ = $\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -9\\ \frac{1}{0}\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{0}{0}\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-9\\ -12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-11\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·0-0·2\\ 0·\left(-11\right)-\left(-9\right)·0\\ -9·2-\left(-12\right)·\left(-11\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ -18-132\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -150\end{array}\right)$

= -150⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-9\\ -12\\ 0\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-11\\ 2\\ 0\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 0\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|6|0\right)$ erhält man
d = $0\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot 6+1\cdot 0$
also:

$+x_3=0$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot (-9)+0\cdot 5+1\cdot 3-0|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 150 · 3 = 150

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·0-\left(-4\right)·6\\ -4·\left(-6\right)-\left(-2\right)·0\\ -2·6-4·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+24\\ 24+0\\ -12+24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{24}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-6)}+6\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=36-36\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ t\end{array}\right)$ = -4⋅t -12 = 0 wird, also t=$-3$ = $-3$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{-3}}{1}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·0-\left(-4\right)·6\\ -4·\left(-6\right)-\left(-2\right)·0\\ -2·6-4·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+24\\ 24+0\\ -12+24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$

= 12⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ -4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(5|-1|-4\right)$ erhält man
d = $2\cdot 5+2\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$2x_1+2x_2+x_3=4$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 9+2\cdot 6+1\cdot 1-4|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 18 · 9 = 54

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}6t\\ -2t\\ 9t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -15\\ 29\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6t\\ -2t\\ 9t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -15\\ 29\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2t·29-9t·\left(-15\right)\\ 9t·12-6t·29\\ 6t·\left(-15\right)-\left(-2t\right)·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-58t+135t\\ 108t-174t\\ -90t+24t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}77t\\ -66t\\ -66t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}77t\\ -66t\\ -66t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{5929t^2+4356t^2+4356t^2}$ = $\sqrt{14641t^2}$ = $\left|$ 121t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 181,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 121t$\right|$ = 181,5 |⋅2

$\left|$ 121t$\right|$ = 363

1. Fall

$121t$ = 363 |: 121

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-19+6t\right|8-2t\left|-32+9t\right)$ ergibt
B₁$\left(-1|2|-5\right)$.

2. Fall

- $121t$ = 363 |: -121

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-19+6t\right|8-2t\left|-32+9t\right)$ ergibt
B₂$\left(-37|14|-59\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+x_2+2x_3=6$ ein.

S₁: => x=$6$=6, also S₁$\left(6|0|0\right)$
S₂: => y=$6$=6, also S₂$\left(0|6|0\right)$
S₃: => z=$\frac{6}{2}$=3, also S₃$\left(0|0|3\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6⋅6 = 18, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 3 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅18⋅3
=18

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{4}$ = $\frac{d^2}{40}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{40}{d}^2$	=	$1440$	|⋅$40$
$d^2$	=	$57600$	|
d1	=	$-\sqrt{57600}$	= $-240$
d2	=	$\sqrt{57600}$	= $240$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+4x_2+3x_3=240$

Aber auch E2: $5x_1+4x_2+3x_3=-240$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-48|0|0), S₂(0|-60|0) und S₃(0|0|-80). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+4x_2+3x_3=240$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{1}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{1}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{1}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{1}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{1}$⋅ $\frac{d}{1}$ = $\frac{d^3}{12}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{12}{d}^3$	=	$18$	|⋅$12$
$d^3$	=	$216$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{216}$	= $6$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+x_2+x_3=6$

Aber auch E2: $2x_1+x_2+x_3=-6$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+x_2+x_3=6$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.