Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 7\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ 3\\ 15\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(11|3|15\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·8-\left(-8\right)·1\\ -8·5-\left(-8\right)·8\\ -8·1-\left(-4\right)·5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32+8\\ -40+64\\ -8+20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{24}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 16\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 16\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16·0-0·\left(-3\right)\\ 0·\left(-4\right)-\left(-12\right)·0\\ -12·\left(-3\right)-16·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ 36+64\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{100}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 27\\ -18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 13\\ 6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 27\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-20\\ 13\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}27·6-\left(-18\right)·13\\ -18·\left(-20\right)-\left(-6\right)·6\\ -6·13-27·\left(-20\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}162+234\\ 360+36\\ -78+540\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ 396\\ 462\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}396\\ 396\\ 462\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{396}^2+{396}^2+{462}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -7\\ 9\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 27\\ -18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 13\\ 6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 27\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-20\\ 13\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}27·6-\left(-18\right)·13\\ -18·\left(-20\right)-\left(-6\right)·6\\ -6·13-27·\left(-20\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}162+234\\ 360+36\\ -78+540\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ 396\\ 462\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 27\\ -18\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-20\\ 13\\ 6\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-2\\ -7\\ 9\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 7\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1+6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|-7|9\right)$ erhält man
d = $6\cdot \mathrm{(-2)}+6\cdot \mathrm{(-7)}+7\cdot 9$
also:

$6x_1+6x_2+7x_3=9$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 5+6\cdot 22+7\cdot 30-9|}{\sqrt{6^2+6^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 726 · 33 = 7986

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-22\\ 24\\ 19\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-22\\ 24\\ 19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24·19-12·24\\ 12·\left(-22\right)-\left(-8\right)·19\\ -8·24-24·\left(-22\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}456-288\\ -264+152\\ -192+528\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168\\ -112\\ 336\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}168\\ -112\\ 336\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{168}^2+{\mathrm{(-112)}}^2+{336}^2}=\sqrt{153664}=392$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 392 = 196.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -9\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-22\\ 24\\ 19\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-22\\ 24\\ 19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24·19-12·24\\ 12·\left(-22\right)-\left(-8\right)·19\\ -8·24-24·\left(-22\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}456-288\\ -264+152\\ -192+528\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168\\ -112\\ 336\end{array}\right)$ = 56⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ 12\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-22\\ 24\\ 19\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-2\\ -9\\ -5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1-2x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|-9|-5\right)$ erhält man
d = $3\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-9)}+6\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$3x_1-2x_2+6x_3=-18$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot (-1)-2\cdot (-12)+6\cdot 18+18|}{\sqrt{3^2+{(-2)}^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 196 · 21 = 1372

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}2t\\ -2t\\ -1t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2t\\ -2t\\ -1t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2t·\left(-2\right)-\left(-t\right)·2\\ -t·1-2t·\left(-2\right)\\ 2t·2-\left(-2t\right)·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4t+2t\\ -t+4t\\ 4t+2t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6t\\ 3t\\ 6t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}6t\\ 3t\\ 6t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{36t^2+9t^2+36t^2}$ = $\sqrt{81t^2}$ = $\left|$ 9t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 22,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 9t$\right|$ = 22,5 |⋅2

$\left|$ 9t$\right|$ = 45

1. Fall

$9t$ = 45 |: 9

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(1+2t\right|5-2t\left|2-1t\right)$ ergibt
B₁$\left(11|-5|-3\right)$.

2. Fall

- $9t$ = 45 |: -9

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(1+2t\right|5-2t\left|2-1t\right)$ ergibt
B₂$\left(-9|15|7\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+2x_2+4x_3=60$ ein.

S₁: => x=$\frac{60}{5}$=12, also S₁$\left(12|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{60}{2}$=30, also S₂$\left(0|30|0\right)$
S₃: => z=$\frac{60}{4}$=15, also S₃$\left(0|0|15\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 12⋅30 = 180, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 15 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅180⋅15
=900

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{5}$ = $\frac{d^2}{30}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{30}{d}^2$	=	$30$	|⋅$30$
$d^2$	=	$900$	|
d1	=	$-\sqrt{900}$	= $-30$
d2	=	$\sqrt{900}$	= $30$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+5x_2+2x_3=30$

Aber auch E2: $3x_1+5x_2+2x_3=-30$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-10|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-15). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+5x_2+2x_3=30$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{4}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{4}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{96}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{96}{d}^3$	=	$18$	|⋅$96$
$d^3$	=	$1728$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{1728}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+4x_2+2x_3=12$

Aber auch E2: $2x_1+4x_2+2x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-3|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+4x_2+2x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.