Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 5\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-4\\ -20\\ 31\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -17\\ 36\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-7|-17|36\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 16\\ -32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -20\\ 31\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 16\\ -32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -20\\ 31\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16·31-\left(-32\right)·\left(-20\right)\\ -32·\left(-4\right)-\left(-4\right)·31\\ -4·\left(-20\right)-16·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}496-640\\ 128+124\\ 80+64\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ 252\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-144\\ 252\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-144)}}^2+{252}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -1\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-9\\ -1\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·4-8·\left(-1\right)\\ 8·\left(-9\right)-24·4\\ 24·\left(-1\right)-12·\left(-9\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48+8\\ -72-96\\ -24+108\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56\\ -168\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}56\\ -168\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{56}^2+{\mathrm{(-168)}}^2+{84}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·0-24·14\\ 24·7-12·0\\ 12·14-8·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-336\\ 168+0\\ 168-56\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-336\\ 168\\ 112\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-336\\ 168\\ 112\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-336)}}^2+{168}^2+{112}^2}=\sqrt{153664}=392$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 392.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -7\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 24\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-14\\ 7\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-14\\ 7\\ t\end{array}\right)$=$7\cdot \mathrm{(-14)}+14\cdot 7+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-98\mathrm{+98}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 24\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-14\\ 7\\ t\end{array}\right)$ = 24⋅t -112 = 0 wird, also t=$\frac{14}{3}$ = $\frac{14}{3}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 7\\ \frac{14}{3}\end{array}\right)$ = $\frac{1}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}-42\\ 21\\ 14\end{array}\right)$ = $\frac{7}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·0-24·14\\ 24·7-12·0\\ 12·14-8·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-336\\ 168+0\\ 168-56\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-336\\ 168\\ 112\end{array}\right)$

= 56⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 24\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}7\\ 14\\ 0\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -7\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|3|-7\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot 3+2\cdot \mathrm{(-7)}$
also:

$-6x_1+3x_2+2x_3=7$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-15)+3\cdot 20+2\cdot 2-7|}{\sqrt{{(-6)}^2+3^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 392 · 21 = 2744

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·\left(-6\right)-\left(-2\right)·\left(-6\right)\\ -2·0-\left(-4\right)·\left(-6\right)\\ -4·\left(-6\right)-\left(-4\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-12\\ 0-24\\ 24+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{12}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -6\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 6\\ -6\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-6)}\cdot 6+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-6)}=0-36\mathrm{+36}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ = -4⋅t -12 = 0 wird, also t=$-3$ = $-3$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{-3}}{1}$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·\left(-6\right)-\left(-2\right)·\left(-6\right)\\ -2·0-\left(-4\right)·\left(-6\right)\\ -4·\left(-6\right)-\left(-4\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-12\\ 0-24\\ 24+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ 24\end{array}\right)$

= 12⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -6\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1-2x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|2|-5\right)$ erhält man
d = $1\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 2+2\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$\mathrm{}{x}_1-2x_2+2x_3=-12$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 7-2\cdot (-5)+2\cdot (-1)+12|}{\sqrt{1^2+{(-2)}^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 18 · 9 = 54

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}9t\\ 2t\\ 6t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 7\\ -12\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}9t\\ 2t\\ 6t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 7\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2t·\left(-12\right)-6t·7\\ 6t·\left(-7\right)-9t·\left(-12\right)\\ 9t·7-2t·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24t-42t\\ -42t+108t\\ 63t+14t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-66t\\ 66t\\ 77t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-66t\\ 66t\\ 77t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4356t^2+4356t^2+5929t^2}$ = $\sqrt{14641t^2}$ = $\left|$ 121t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 121 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 121t$\right|$ = 121 |⋅2

$\left|$ 121t$\right|$ = 242

1. Fall

$121t$ = 242 |: 121

t = 2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(7+9t\right|0+2t\left|6+6t\right)$ ergibt
B₁$\left(25|4|18\right)$.

2. Fall

- $121t$ = 242 |: -121

t = -2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(7+9t\right|0+2t\left|6+6t\right)$ ergibt
B₂$\left(-11|-4|-6\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+4x_2+3x_3=24$ ein.

S₁: => x=$\frac{24}{4}$=6, also S₁$\left(6|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{24}{4}$=6, also S₂$\left(0|6|0\right)$
S₃: => z=$\frac{24}{3}$=8, also S₃$\left(0|0|8\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6⋅6 = 18, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 8 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅18⋅8
=48

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{2}$ = $\frac{d^2}{12}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{12}{d}^2$	=	$48$	|⋅$12$
$d^2$	=	$576$	|
d1	=	$-\sqrt{576}$	= $-24$
d2	=	$\sqrt{576}$	= $24$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+2x_2+2x_3=24$

Aber auch E2: $3x_1+2x_2+2x_3=-24$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-8|0|0), S₂(0|-12|0) und S₃(0|0|-12). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+2x_2+2x_3=24$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{4}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{5}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{4}$⋅ $\frac{d}{5}$ = $\frac{d^3}{360}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{360}{d}^3$	=	$4800$	|⋅$360$
$d^3$	=	$1728000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{1728000}$	= $120$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+4x_2+5x_3=120$

Aber auch E2: $3x_1+4x_2+5x_3=-120$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-40|0|0), S₂(0|-30|0) und S₃(0|0|-24). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+4x_2+5x_3=120$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.