Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ -21\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ -23\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-10|-2|-23\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ -21\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ -21\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-21\right)-24·0\\ 24·\left(-7\right)-12·\left(-21\right)\\ 12·0-8·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168+0\\ -168+252\\ 0+56\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ 84\\ 56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-168\\ 84\\ 56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-168)}}^2+{84}^2+{56}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-32\\ -16\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-17\\ -4\\ -10\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-32\\ -16\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-17\\ -4\\ -10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16·\left(-10\right)-\left(-4\right)·\left(-4\right)\\ -4·\left(-17\right)-\left(-32\right)·\left(-10\right)\\ -32·\left(-4\right)-\left(-16\right)·\left(-17\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}160-16\\ 68-320\\ 128-272\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{\mathrm{(-252)}}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 5\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·5-4·2\\ 4·\left(-4\right)-\left(-8\right)·5\\ -8·2-\left(-8\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-40-8\\ -16+40\\ -16-32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48\\ 24\\ -48\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-48\\ 24\\ -48\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-48)}}^2+{24}^2+{\mathrm{(-48)}}^2}=\sqrt{5184}=72$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 72.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 7\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 5\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·5-4·2\\ 4·\left(-4\right)-\left(-8\right)·5\\ -8·2-\left(-8\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-40-8\\ -16+40\\ -16-32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48\\ 24\\ -48\end{array}\right)$ = 24⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 5\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}3\\ 7\\ -5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(3|7|-5\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 3+1\cdot 7+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$-2x_1+x_2-2x_3=11$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-6)+1\cdot 10-2\cdot (-8)-11|}{\sqrt{{(-2)}^2+1^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 72 · 9 = 216

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·\left(-6\right)-\left(-2\right)·0\\ -2·\left(-6\right)-\left(-4\right)·\left(-6\right)\\ -4·0-4·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24+0\\ 12-24\\ 0+24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ 6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -6\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ 6\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-6)}\cdot 6=36\mathrm{+0}-36=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ 6\end{array}\right)$ = 4⋅t +12 = 0 wird, also t=$-3$ = $-3$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{-3}}{1}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·\left(-6\right)-\left(-2\right)·0\\ -2·\left(-6\right)-\left(-4\right)·\left(-6\right)\\ -4·0-4·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24+0\\ 12-24\\ 0+24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 24\end{array}\right)$

= -12⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ -6\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(2|2|-3\right)$ erhält man
d = $2\cdot 2+1\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$2x_1+x_2-2x_3=12$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 7+1\cdot 3-2\cdot (-11)-12|}{\sqrt{2^2+1^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 18 · 9 = 54

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}4t\\ t\\ 8t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4t\\ t\\ 8t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}t·1-8t·8\\ 8t·\left(-4\right)-4t·1\\ 4t·8-t·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}t-64t\\ -32t-4t\\ 32t+4t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-63t\\ -36t\\ 36t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-63t\\ -36t\\ 36t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{3969t^2+1296t^2+1296t^2}$ = $\sqrt{6561t^2}$ = $\left|$ 81t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 121,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 81t$\right|$ = 121,5 |⋅2

$\left|$ 81t$\right|$ = 243

1. Fall

$81t$ = 243 |: 81

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(1+4t\right|-2+1t\left|1+8t\right)$ ergibt
B₁$\left(13|1|25\right)$.

2. Fall

- $81t$ = 243 |: -81

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(1+4t\right|-2+1t\left|1+8t\right)$ ergibt
B₂$\left(-11|-5|-23\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+5x_2+4x_3=60$ ein.

S₁: => x=$\frac{60}{4}$=15, also S₁$\left(15|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{60}{5}$=12, also S₂$\left(0|12|0\right)$
S₃: => z=$\frac{60}{4}$=15, also S₃$\left(0|0|15\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 15⋅12 = 90, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 15 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅90⋅15
=450

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{1}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{1}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{1}$ = $\frac{d^2}{8}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{8}{d}^2$	=	$32$	|⋅$8$
$d^2$	=	$256$	|
d1	=	$-\sqrt{256}$	= $-16$
d2	=	$\sqrt{256}$	= $16$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+x_2+x_3=16$

Aber auch E2: $4x_1+x_2+x_3=-16$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-4|0|0), S₂(0|-16|0) und S₃(0|0|-16). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+x_2+x_3=16$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+5x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+5x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{5}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{3}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{5}$⋅ $\frac{d}{3}$ = $\frac{d^3}{360}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{360}{d}^3$	=	$600$	|⋅$360$
$d^3$	=	$216000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{216000}$	= $60$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+5x_2+3x_3=60$

Aber auch E2: $4x_1+5x_2+3x_3=-60$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-15|0|0), S₂(0|-12|0) und S₃(0|0|-20). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+5x_2+3x_3=60$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.