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Flächeninhalt eines Parallelogramms

Beispiel:

Das Dreieck ABC mit A $(2 | 0 | 0)$ , B $(-22 | 8 | -36)$ und C $(8 | 9 | -2)$ soll durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Bestimme den Punkt D und berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms..

Lösung einblenden

Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\vec{OD}$ = $\vec{OA}$ + $\vec{BC}$ = $(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} 30 \\ 1 \\ 34 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 32 \\ 1 \\ 34 \end{matrix})$

Der Gesuchte Punkt ist also D $(32 | 1 | 34)$ .

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -22 - 2 \\ 8 - 0 \\ -36 - 0 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -24 \\ 8 \\ -36 \end{matrix})$ und $\vec{AD}$ = $\vec{BC}$ = $(\begin{matrix} 8 - (-22) \\ 9 - 8 \\ -2 - (-36) \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 30 \\ 1 \\ 34 \end{matrix})$ .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\vec{n} = (\begin{matrix} -24 \\ 8 \\ -36 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 30 \\ 1 \\ 34 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 8 \cdot 34 - (- 36) \cdot 1 \\ - 36 \cdot 30 - (- 24) \cdot 34 \\ - 24 \cdot 1 - 8 \cdot 30 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 272 + 36 \\ - 1 080 + 816 \\ - 24 - 240 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 308 \\ - 264 \\ - 264 \end{matrix})$ .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | $\vec{a}$ x $\vec{b}$ | = $| (\begin{matrix} 308 \\ -264 \\ -264 \end{matrix}) |$ = $\sqrt{308^{2} + {(-264)}^{2} + {(-264)}^{2}} = \sqrt{234256} = 484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | $\vec{a}$ x $\vec{b}$ | = 484.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A $(-1 | -7 | 2)$ , B $(7 | -15 | 6)$ und C $(-5 | -6 | 3)$ .

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 7 - (-1) \\ -15 - (-7) \\ 6 - 2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 8 \\ -8 \\ 4 \end{matrix})$ und $\vec{AC}$ = $(\begin{matrix} -5 - (-1) \\ -6 - (-7) \\ 3 - 2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$ .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\vec{n} = (\begin{matrix} 8 \\ -8 \\ 4 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 8 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \\ 4 \cdot (- 4) - 8 \cdot 1 \\ 8 \cdot 1 - (- 8) \cdot (- 4) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 8 - 4 \\ - 16 - 8 \\ 8 - 32 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 12 \\ - 24 \\ - 24 \end{matrix})$ .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | $\vec{a}$ x $\vec{b}$ | = $| (\begin{matrix} -12 \\ -24 \\ -24 \end{matrix}) |$ = $\sqrt{{(-12)}^{2} + {(-24)}^{2} + {(-24)}^{2}} = \sqrt{1296} = 36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$ | $\vec{a}$ x $\vec{b}$ | = $\frac{1}{2}$ ⋅ 36 = 18.

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm)

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Parallelogramm ABCD mit A $(-5 | 8 | 3)$ , B $(7 | -1 | 3)$ , C $(5 | -12 | 3)$ und D $(-7 | -3 | 3)$ und als Spitze S $(-4 | 1 | 6)$ . Berechne das Volumen der Pyramide.

Lösung einblenden

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 7 - (-5) \\ -1 - 8 \\ 3 - 3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 12 \\ -9 \\ 0 \end{matrix})$ und $\vec{AD}$ = $\vec{BC}$ = $(\begin{matrix} 5 - 7 \\ -12 - (-1) \\ 3 - 3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -2 \\ -11 \\ 0 \end{matrix})$ .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\vec{n} = (\begin{matrix} 12 \\ -9 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} -2 \\ -11 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 9 \cdot 0 - 0 \cdot (- 11) \\ 0 \cdot (- 2) - 12 \cdot 0 \\ 12 \cdot (- 11) - (- 9) \cdot (- 2) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 + 0 \\ 0 + 0 \\ - 132 - 18 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 150 \end{matrix})$ .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | $\vec{a}$ x $\vec{b}$ | = $| (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ -150 \end{matrix}) |$ = $\sqrt{0^{2} + 0^{2} + {(-150)}^{2}} = \sqrt{22500} = 150$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | $\vec{a}$ x $\vec{b}$ | = 150.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:

\vec{x} = (\begin{matrix} -5 \\ 8 \\ 3 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 12 \\ -9 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -2 \\ -11 \\ 0 \end{matrix})

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $(\begin{matrix} 12 \\ -9 \\ 0 \end{matrix})$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $(\begin{matrix} 9 \\ 12 \\ t \end{matrix})$ für jedes t orthogonal zu $(\begin{matrix} 12 \\ -9 \\ 0 \end{matrix})$ , denn $(\begin{matrix} 12 \\ -9 \\ 0 \end{matrix})$ ∘ $(\begin{matrix} 9 \\ 12 \\ t \end{matrix})$ = $12 \cdot 9 + (-9) \cdot 12 + 0 \cdot t = 108 -108 +0 = 0$ .

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $(\begin{matrix} -2 \\ -11 \\ 0 \end{matrix})$ ⋅ $(\begin{matrix} 9 \\ 12 \\ t \end{matrix})$ = 0⋅t -150 = 0 wird, also t= $\frac{1}{0}$ = $\frac{1}{0}$ .

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 9 \\ 12 \\ \frac{1}{0} \end{matrix})$ = $\frac{1}{0}$ ⋅ $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \frac{0}{0} \end{matrix})$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\vec{n} = (\begin{matrix} 12 \\ -9 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} -2 \\ -11 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 9 \cdot 0 - 0 \cdot (- 11) \\ 0 \cdot (- 2) - 12 \cdot 0 \\ 12 \cdot (- 11) - (- 9) \cdot (- 2) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 + 0 \\ 0 + 0 \\ - 132 - 18 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 150 \end{matrix})$

= -150⋅

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Weil der Vektor $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ orthogonal zu $(\begin{matrix} 12 \\ -9 \\ 0 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} -2 \\ -11 \\ 0 \end{matrix})$ , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\vec{x} - (\begin{matrix} -5 \\ 8 \\ 3 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = 0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+ x_{3} = d$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A $(-5 | 8 | 3)$ erhält man
d = $0 \cdot (-5) + 0 \cdot 8 + 1 \cdot 3$
also:

+ x_{3} = 3

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d =

\frac{| 0 \cdot (- 4) + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 6 - 3 |}{\sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}}

=

\frac{| 3 |}{\sqrt{1}}

=

\frac{3}{1}

= 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 150 · 3 = 150

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Dreieck ABC mit A $(-1 | 9 | 11)$ , B $(7 | -27 | -13)$ , C $(27 | -40 | -7)$ und als Spitze S $(-8 | -20 | 32)$ .
Berechne das Volumen der Pyramide.

Lösung einblenden

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 7 - (-1) \\ -27 - 9 \\ -13 - 11 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 8 \\ -36 \\ -24 \end{matrix})$ und $\vec{AC}$ = $(\begin{matrix} 27 - (-1) \\ -40 - 9 \\ -7 - 11 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 28 \\ -49 \\ -18 \end{matrix})$ .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\vec{n} = (\begin{matrix} 8 \\ -36 \\ -24 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 28 \\ -49 \\ -18 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 36 \cdot (- 18) - (- 24) \cdot (- 49) \\ - 24 \cdot 28 - 8 \cdot (- 18) \\ 8 \cdot (- 49) - (- 36) \cdot 28 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 648 - 1 176 \\ - 672 + 144 \\ - 392 + 1 008 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 528 \\ - 528 \\ 616 \end{matrix})$ .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | $\vec{a}$ x $\vec{b}$ | = $| (\begin{matrix} -528 \\ -528 \\ 616 \end{matrix}) |$ = $\sqrt{{(-528)}^{2} + {(-528)}^{2} + 616^{2}} = \sqrt{937024} = 968$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$ | $\vec{a}$ x $\vec{b}$ | = $\frac{1}{2}$ ⋅ 968 = 484.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:

\vec{x} = (\begin{matrix} -1 \\ 9 \\ 11 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 8 \\ -36 \\ -24 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 28 \\ -49 \\ -18 \end{matrix})

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

\vec{n} = (\begin{matrix} 8 \\ -36 \\ -24 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 28 \\ -49 \\ -18 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 36 \cdot (- 18) - (- 24) \cdot (- 49) \\ - 24 \cdot 28 - 8 \cdot (- 18) \\ 8 \cdot (- 49) - (- 36) \cdot 28 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 648 - 1 176 \\ - 672 + 144 \\ - 392 + 1 008 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 528 \\ - 528 \\ 616 \end{matrix})

= 88⋅

(\begin{matrix} -6 \\ -6 \\ 7 \end{matrix})

Weil der Vektor $(\begin{matrix} -6 \\ -6 \\ 7 \end{matrix})$ orthogonal zu $(\begin{matrix} 8 \\ -36 \\ -24 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} 28 \\ -49 \\ -18 \end{matrix})$ , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\vec{x} - (\begin{matrix} -1 \\ 9 \\ 11 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} -6 \\ -6 \\ 7 \end{matrix}) = 0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6 x_{1} - 6 x_{2} + 7 x_{3} = d$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A $(-1 | 9 | 11)$ erhält man
d = $(-6) \cdot (-1) + (-6) \cdot 9 + 7 \cdot 11$
also:

-6 x_{1} - 6 x_{2} + 7 x_{3} = 29

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d =

\frac{| -6 \cdot (- 8) - 6 \cdot (- 20) + 7 \cdot 32 - 29 |}{\sqrt{{(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{2} + 7^{2}}}

=

\frac{| 363 |}{\sqrt{121}}

=

\frac{363}{11}

= 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 484 · 33 = 5324

Pkt auf Gerade mit Dreiecksinhalt finden

Beispiel:

Gegeben ist der Punkt A $(5 | 4 | -2)$ , der Punkt C $(14 | 6 | 4)$ und die Gerade g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ -2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 9 \\ -6 \end{matrix})$ . A liegt in g.
Bestimme alle möglichen Koordinaten für einen Punkt B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABC den Flächeninhalt A = 121 hat.

Lösung einblenden

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\vec{AB}$ einfach als $(\begin{matrix} 2 t \\ 9 t \\ - 6 t \end{matrix})$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\vec{AC}$ = $(\begin{matrix} 14 - 5 \\ 6 - 4 \\ 4 - (-2) \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 9 \\ 2 \\ 6 \end{matrix})$ .

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\vec{n} = (\begin{matrix} 2 t \\ 9 t \\ - 6 t \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 9 \\ 2 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 9 t \cdot 6 - (- 6 t) \cdot 2 \\ - 6 t \cdot 9 - 2 t \cdot 6 \\ 2 t \cdot 2 - 9 t \cdot 9 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 54 t + 12 t \\ - 54 t - 12 t \\ 4 t - 81 t \end{matrix}) = (\begin{matrix} 66 t \\ - 66 t \\ - 77 t \end{matrix})$ .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | $\vec{AB}$ x $\vec{AC}$ | = $| (\begin{matrix} 66 t \\ - 66 t \\ - 77 t \end{matrix}) |$ = $\sqrt{4 356 t^{2} + 4 356 t^{2} + 5 929 t^{2}}$ = $\sqrt{14 641 t^{2}}$ = $| 121 t |$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 121 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$ | $\vec{AB}$ x $\vec{AC}$ | = $\frac{1}{2}$ $| 121 t |$ = 121 |⋅2

$| 121 t |$ = 242

1. Fall

$121 t$ = 242 |: 121

t = 2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_{t} (5 + 2 t | 4 + 9 t | -2 - 6 t)$ ergibt
B₁ $(9 | 22 | -14)$ .

2. Fall

- $121 t$ = 242 |: -121

t = -2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_{t} (5 + 2 t | 4 + 9 t | -2 - 6 t)$ ergibt
B₂ $(1 | -14 | 10)$ .

Pyramide aus Spurpunkten einer Ebene

Beispiel:

Gegeben ist die Koordinatengleichung der Ebene E: $3 x_{1} + 4 x_{2} + 2 x_{3} = 12$ .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P. Berechne das Volumen von P.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3 x_{1} + 4 x_{2} + 2 x_{3} = 12$ ein.

S₁: $3 \cdot x + 4 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 12$ => x= $\frac{12}{3}$ =4, also S₁ $(4 | 0 | 0)$
S₂: $3 \cdot 0 + 4 \cdot y + 2 \cdot 0 = 12$ => y= $\frac{12}{4}$ =3, also S₂ $(0 | 3 | 0)$
S₃: $3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 2 \cdot z = 12$ => z= $\frac{12}{2}$ =6, also S₃ $(0 | 0 | 6)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$ ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 4⋅3 = 6, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$ ⋅G⋅h
= $\frac{1}{3}$ ⋅6⋅6
=12

Spurpunktdreieck rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: $5 x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = 0$ .

Die Schnittpunkte von E mit der x₁-Achse und der x₃-Achse bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Dreieck P mit dem Flächeninhalt 5. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

Lösung einblenden

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5 x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = d$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5 x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = d$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: $5 \cdot x + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = d$ => x = $\frac{d}{5}$ , also S₁( $\frac{d}{5}$ |0|0)
S₂: $5 \cdot 0 + 2 \cdot y + 2 \cdot 0 = d$ => y = $\frac{d}{2}$ , also S₂(0| $\frac{d}{2}$ |0)
S₃: $5 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot z = d$ => z = $\frac{d}{2}$ , also S₃(0|0| $\frac{d}{2}$ )

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$ ⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$ ⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^{2}}{20}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{20} d^{2}$	=	$5$	\|⋅ $20$
$d^{2}$	=	$100$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
d₁	=	$- \sqrt{100}$	= $- 10$
d₂	=	$\sqrt{100}$	= $10$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5 x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = 10$

Aber auch E2: $5 x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = -10$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-2|0|0), S₂(0|-5|0) und S₃(0|0|-5). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5 x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = 10$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Spurpunktpyramide rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: $2 x_{1} + 5 x_{2} + 2 x_{3} = 0$ .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P mit dem Volumen 225. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

Lösung einblenden

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2 x_{1} + 5 x_{2} + 2 x_{3} = d$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2 x_{1} + 5 x_{2} + 2 x_{3} = d$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: $2 \cdot x + 5 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = d$ => x = $\frac{d}{2}$ , also S₁( $\frac{d}{2}$ |0|0)
S₂: $2 \cdot 0 + 5 \cdot y + 2 \cdot 0 = d$ => y = $\frac{d}{5}$ , also S₂(0| $\frac{d}{5}$ |0)
S₃: $2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 2 \cdot z = d$ => z = $\frac{d}{2}$ , also S₃(0|0| $\frac{d}{2}$ )

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$ ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$ , weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$ ⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$ ⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^{3}}{120}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{120} d^{3}$	=	$225$	\|⋅ $120$
$d^{3}$	=	$27 000$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$d$	=	$\sqrt[3]{27 000}$	= $30$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2 x_{1} + 5 x_{2} + 2 x_{3} = 30$

Aber auch E2: $2 x_{1} + 5 x_{2} + 2 x_{3} = -30$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-15|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-15). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2 x_{1} + 5 x_{2} + 2 x_{3} = 30$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Flächeninhalt eines Parallelogramms

Flächeninhalt eines Dreiecks

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm)

Berechnung der Grundfläche

Aufstellen der Koordinatengleichung

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Aufstellen der Koordinatengleichung

Pkt auf Gerade mit Dreiecksinhalt finden

Pyramide aus Spurpunkten einer Ebene

Spurpunktdreieck rückwärts

Spurpunktpyramide rückwärts