Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ -17\\ -27\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-7\\ -8\\ -7\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -25\\ -34\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(0|-25|-34\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 16\\ 32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -8\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 16\\ 32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ -8\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16·\left(-7\right)-32·\left(-8\right)\\ 32·\left(-7\right)-\left(-4\right)·\left(-7\right)\\ -4·\left(-8\right)-16·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-112+256\\ -224-28\\ 32+112\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{\mathrm{(-252)}}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ -9\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ -9\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24·4-8·\left(-9\right)\\ 8·1-\left(-12\right)·4\\ -12·\left(-9\right)-24·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}96+72\\ 8+48\\ 108-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168\\ 56\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}168\\ 56\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{168}^2+{56}^2+{84}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·\left(-4\right)-\left(-2\right)·\left(-4\right)\\ -2·\left(-2\right)-\left(-4\right)·\left(-4\right)\\ -4·\left(-4\right)-4·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16-8\\ 4-16\\ 16+8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·\left(-4\right)-\left(-2\right)·\left(-4\right)\\ -2·\left(-2\right)-\left(-4\right)·\left(-4\right)\\ -4·\left(-4\right)-4·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16-8\\ 4-16\\ 16+8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 24\end{array}\right)$ = -12⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -4\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|2|4\right)$ erhält man
d = $2\cdot 1+1\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 4$
also:

$2x_1+x_2-2x_3=-4$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 6+1\cdot 3-2\cdot (-4)+4|}{\sqrt{2^2+1^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 36 · 9 = 108

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ 9\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·9-4·\left(-12\right)\\ 4·6-8·9\\ 8·\left(-12\right)-\left(-8\right)·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72+48\\ 24-72\\ -96+48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -48\\ -48\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ -48\\ -48\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-48)}}^2+{\mathrm{(-48)}}^2}=\sqrt{5184}=72$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 72 = 36.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ 9\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·9-4·\left(-12\right)\\ 4·6-8·9\\ 8·\left(-12\right)-\left(-8\right)·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72+48\\ 24-72\\ -96+48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -48\\ -48\end{array}\right)$ = -24⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}6\\ -12\\ 9\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|0|0\right)$ erhält man
d = $1\cdot \mathrm{(-5)}+2\cdot 0+2\cdot 0$
also:

$\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=-5$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot (-2)+2\cdot 3+2\cdot 9+5|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 36 · 9 = 108

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}3t\\ 2t\\ 6t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 10\\ 9\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3t\\ 2t\\ 6t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 10\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2t·9-6t·10\\ 6t·8-3t·9\\ 3t·10-2t·8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18t-60t\\ 48t-27t\\ 30t-16t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-42t\\ 21t\\ 14t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-42t\\ 21t\\ 14t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1764t^2+441t^2+196t^2}$ = $\sqrt{2401t^2}$ = $\left|$ 49t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 73,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 49t$\right|$ = 73,5 |⋅2

$\left|$ 49t$\right|$ = 147

1. Fall

$49t$ = 147 |: 49

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-2+3t\right|-9+2t\left|-16+6t\right)$ ergibt
B₁$\left(7|-3|2\right)$.

2. Fall

- $49t$ = 147 |: -49

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-2+3t\right|-9+2t\left|-16+6t\right)$ ergibt
B₂$\left(-11|-15|-34\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+4x_2+5x_3=60$ ein.

S₁: => x=$\frac{60}{2}$=30, also S₁$\left(30|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{60}{4}$=15, also S₂$\left(0|15|0\right)$
S₃: => z=$\frac{60}{5}$=12, also S₃$\left(0|0|12\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 30⋅15 = 225, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 12 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅225⋅12
=900

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{2}$ = $\frac{d^2}{4}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{4}{d}^2$	=	$25$	|⋅$4$
$d^2$	=	$100$	|
d1	=	$-\sqrt{100}$	= $-10$
d2	=	$\sqrt{100}$	= $10$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+x_2+2x_3=10$

Aber auch E2: $5x_1+x_2+2x_3=-10$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-2|0|0), S₂(0|-10|0) und S₃(0|0|-5). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+x_2+2x_3=10$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{1}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{1}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{24}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{24}{d}^3$	=	$9$	|⋅$24$
$d^3$	=	$216$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{216}$	= $6$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+x_2+2x_3=6$

Aber auch E2: $2x_1+x_2+2x_3=-6$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+x_2+2x_3=6$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.