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Flächeninhalt eines Parallelogramms

Beispiel:

Das Dreieck ABC mit A(-16|-7|1), B(8|1|-11) und C(-7|3|-7) soll durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Bestimme den Punkt D und berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms..

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Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

OD = OA + BC = ( -16 -7 1 ) + ( -15 2 4 ) = ( -31 -5 5 )

Der Gesuchte Punkt ist also D(-31|-5|5).

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( 8-( - 16 ) 1-( - 7 ) -11-1 ) = ( 24 8 -12 ) und AD = BC = ( -7-8 3-1 -7-( - 11 ) ) = ( -15 2 4 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 24 8 -12 ) × ( -15 2 4 ) = ( 8 · 4 - ( -12 ) · 2 -12 · ( -15 ) - 24 · 4 24 · 2 - 8 · ( -15 ) ) = ( 32 +24 180 -96 48 +120 ) = ( 56 84 168 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 56 84 168 ) | = 56 2 + 842 + 168 2 = 38416 = 196 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 196.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(-5|-2|-17), B(7|6|7) und C(3|8|-8).

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( 7-( - 5 ) 6-( - 2 ) 7-( - 17 ) ) = ( 12 8 24 ) und AC = ( 3-( - 5 ) 8-( - 2 ) -8-( - 17 ) ) = ( 8 10 9 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 12 8 24 ) × ( 8 10 9 ) = ( 8 · 9 - 24 · 10 24 · 8 - 12 · 9 12 · 10 - 8 · 8 ) = ( 72 -240 192 -108 120 -64 ) = ( -168 84 56 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -168 84 56 ) | = (-168) 2 + 842 + 56 2 = 38416 = 196 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 196 = 98.

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm)

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Parallelogramm ABCD mit A(-2|-3|-4), B(10|-9|-8), C(4|-13|-20) und D(-8|-7|-16) und als Spitze S(-11|-23|-1). Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( 10-( - 2 ) -9-( - 3 ) -8-( - 4 ) ) = ( 12 -6 -4 ) und AD = BC = ( 4-10 -13-( - 9 ) -20-( - 8 ) ) = ( -6 -4 -12 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 12 -6 -4 ) × ( -6 -4 -12 ) = ( -6 · ( -12 ) - ( -4 ) · ( -4 ) -4 · ( -6 ) - 12 · ( -12 ) 12 · ( -4 ) - ( -6 ) · ( -6 ) ) = ( 72 -16 24 +144 -48 -36 ) = ( 56 168 -84 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 56 168 -84 ) | = 56 2 + 1682 + (-84) 2 = 38416 = 196 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 196.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( -2 -3 -4 ) + r ( 12 -6 -4 ) + s ( -6 -4 -12 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: n = ( 12 -6 -4 ) × ( -6 -4 -12 ) = ( -6 · ( -12 ) - ( -4 ) · ( -4 ) -4 · ( -6 ) - 12 · ( -12 ) 12 · ( -4 ) - ( -6 ) · ( -6 ) ) = ( 72 -16 24 +144 -48 -36 ) = ( 56 168 -84 ) = -28⋅ ( -2 -6 3 )

Weil der Vektor ( -2 -6 3 ) orthogonal zu ( 12 -6 -4 ) und ( -6 -4 -12 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( -2 -3 -4 ) ] ( -2 -6 3 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also -2 x 1 -6 x 2 +3 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(-2|-3|-4) erhält man
d = (-2)(-2) + (-6)(-3) + 3(-4)
also:

-2 x 1 -6 x 2 +3 x 3 = 10

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | -2 ( - 11 )-6 ( - 23 )+3 ( - 1 )-10 | ( - 2 ) 2 + ( - 6 ) 2 + 3 2
= | 147 | 49 = 147 7 = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 196 · 21 = 1372

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Dreieck ABC mit A(0|-10|6), B(16|22|2), C(12|32|-15) und als Spitze S(-21|11|9).
Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( 16-0 22-( - 10 ) 2-6 ) = ( 16 32 -4 ) und AC = ( 12-0 32-( - 10 ) -15-6 ) = ( 12 42 -21 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 16 32 -4 ) × ( 12 42 -21 ) = ( 32 · ( -21 ) - ( -4 ) · 42 -4 · 12 - 16 · ( -21 ) 16 · 42 - 32 · 12 ) = ( -672 +168 -48 +336 672 -384 ) = ( -504 288 288 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -504 288 288 ) | = (-504) 2 + 2882 + 288 2 = 419904 = 648 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 648 = 324.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( 0 -10 6 ) + r ( 16 32 -4 ) + s ( 12 42 -21 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: n = ( 16 32 -4 ) × ( 12 42 -21 ) = ( 32 · ( -21 ) - ( -4 ) · 42 -4 · 12 - 16 · ( -21 ) 16 · 42 - 32 · 12 ) = ( -672 +168 -48 +336 672 -384 ) = ( -504 288 288 ) = 72⋅ ( -7 4 4 )

Weil der Vektor ( -7 4 4 ) orthogonal zu ( 16 32 -4 ) und ( 12 42 -21 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( 0 -10 6 ) ] ( -7 4 4 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also -7 x 1 +4 x 2 +4 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(0|-10|6) erhält man
d = (-7)0 + 4(-10) + 46
also:

-7 x 1 +4 x 2 +4 x 3 = -16

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | -7 ( - 21 )+4 11+4 9+16 | ( - 7 ) 2 + 4 2 + 4 2
= | 243 | 81 = 243 9 = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 324 · 27 = 2916

Pkt auf Gerade mit Dreiecksinhalt finden

Beispiel:

Gegeben ist der Punkt A(-3|20|14), der Punkt C(8|-5|6) und die Gerade g: x = ( -3 20 14 ) +t ( 1 -8 -4 ) . A liegt in g.
Bestimme alle möglichen Koordinaten für einen Punkt B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABC den Flächeninhalt A = 81 hat.

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor AB einfach als ( t -8 t -4 t ) schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als AC = ( 8-( - 3 ) -5-20 6-14 ) = ( 11 -25 -8 ) .

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( t -8 t -4 t ) × ( 11 -25 -8 ) = ( -8 t · ( -8 ) - ( -4 t ) · ( -25 ) -4 t · 11 - t · ( -8 ) t · ( -25 ) - ( -8 t ) · 11 ) = ( 64 t -100 t -44 t +8 t -25 t +88 t ) = ( -36 t -36 t 63 t ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | AB x AC | = | ( -36 t -36 t 63 t ) | = 1296 t 2 +1296 t 2 +3969 t 2 = 6561 t 2 = | 81t | entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 81 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = 1 2 | AB x AC | = 1 2 | 81t | = 81 |⋅2

| 81t | = 162

1. Fall

81t = 162 |: 81

t = 2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( -3 +1 t | 20 -8 t | 14 -4 t ) ergibt
B1(-1|4|6).

2. Fall

- 81t = 162 |: -81

t = -2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( -3 +1 t | 20 -8 t | 14 -4 t ) ergibt
B2(-5|36|22).

Pyramide aus Spurpunkten einer Ebene

Beispiel:

Gegeben ist die Koordinatengleichung der Ebene E: 2 x 1 +5 x 2 +2 x 3 = 30 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P. Berechne das Volumen von P.

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Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 2 x 1 +5 x 2 +2 x 3 = 30 ein.

S1: 2 x +5 0 +2 0 = 30 => x= 30 2 =15, also S1(15|0|0)
S2: 2 0 +5 y +2 0 = 30 => y= 30 5 =6, also S2(0|6|0)
S3: 2 0 +5 0 +2 z = 30 => z= 30 2 =15, also S3(0|0|15)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 ⋅ 15⋅6 = 45, weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS3= 15 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h
= 1 3 ⋅45⋅15
=225

Spurpunktdreieck rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: 4 x 1 +5 x 2 +4 x 3 = 0 .

Die Schnittpunkte von E mit der x1-Achse und der x2-Achse bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Dreieck P mit dem Flächeninhalt 160. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

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Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

4 x 1 +5 x 2 +4 x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 4 x 1 +5 x 2 +4 x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 4 x +5 0 +4 0 = d => x = d 4 , also S1( d 4 |0|0)
S2: 4 0 +5 y +4 0 = d => y = d 5 , also S2(0| d 5 |0)
S3: 4 0 +5 0 +4 z = d => z = d 4 , also S3(0|0| d 4 )

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = 1 2 ⋅g⋅hg. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS1 und OS2.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS1S2: A = 1 2 d 4 d 5 = d 2 40

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

1 40 d 2 = 160 |⋅40
d 2 = 6400 | 2
d1 = - 6400 = -80
d2 = 6400 = 80

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: 4 x 1 +5 x 2 +4 x 3 = 80

Aber auch E2: 4 x 1 +5 x 2 +4 x 3 = -80 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-20|0|0), S2(0|-16|0) und S3(0|0|-20). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: 4 x 1 +5 x 2 +4 x 3 = 80 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Spurpunktpyramide rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: 5 x 1 +5 x 2 +2 x 3 = 0 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P mit dem Volumen 90. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

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Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

5 x 1 +5 x 2 +2 x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 5 x 1 +5 x 2 +2 x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 5 x +5 0 +2 0 = d => x = d 5 , also S1( d 5 |0|0)
S2: 5 0 +5 y +2 0 = d => y = d 5 , also S2(0| d 5 |0)
S3: 5 0 +5 0 +2 z = d => z = d 2 , also S3(0|0| d 2 )

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 d 5 d 5 , weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS2= d 2 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h = 1 3 1 2 d 5 d 5 d 2 = d 3 300

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

1 300 d 3 = 90 |⋅300
d 3 = 27000 | 3
d = 27000 3 = 30

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: 5 x 1 +5 x 2 +2 x 3 = 30

Aber auch E2: 5 x 1 +5 x 2 +2 x 3 = -30 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-6|0|0), S2(0|-6|0) und S3(0|0|-15). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: 5 x 1 +5 x 2 +2 x 3 = 30 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.