Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}2\\ 11\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 16\\ -1\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(5|16|-1\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -16\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 11\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ -16\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 11\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16·0-0·11\\ 0·2-\left(-12\right)·0\\ -12·11-\left(-16\right)·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ -132+32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{\mathrm{(-100)}}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ -12\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -10\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ -12\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-5\\ -10\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·0-0·\left(-10\right)\\ 0·\left(-5\right)-\left(-16\right)·0\\ -16·\left(-10\right)-\left(-12\right)·\left(-5\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ 160-60\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{100}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·6-\left(-8\right)·0\\ -8·8-6·6\\ 6·0-0·8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ -64-36\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{\mathrm{(-100)}}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -8\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-8\\ t\\ -6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -8\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -8\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-8\\ t\\ -6\end{array}\right)$=$6\cdot \mathrm{(-8)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-8)}\cdot \mathrm{(-6)}=-48\mathrm{+0}\mathrm{+48}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ t\\ -6\end{array}\right)$ = 0⋅t -100 = 0 wird, also t=$\frac{1}{0}$ = $\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ \frac{1}{0}\\ -6\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{0}{0}\\ 0\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·6-\left(-8\right)·0\\ -8·8-6·6\\ 6·0-0·8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ -64-36\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$

= -100⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -8\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 6\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_2=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|-2|-3\right)$ erhält man
d = $0\cdot 0+1\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$+x_2=-2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot 4+1\cdot 1+0\cdot 0+2|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 100 · 3 = 100

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}13\\ 18\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}13\\ 18\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-12\right)-\left(-18\right)·18\\ -18·13-9·\left(-12\right)\\ 9·18-6·13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72+324\\ -234+108\\ 162-78\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -126\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ -126\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{\mathrm{(-126)}}^2+{84}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 294 = 147.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}13\\ 18\\ -12\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}13\\ 18\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-12\right)-\left(-18\right)·18\\ -18·13-9·\left(-12\right)\\ 9·18-6·13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72+324\\ -234+108\\ 162-78\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -126\\ 84\end{array}\right)$ = -42⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -18\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}13\\ 18\\ -12\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+3x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|5|5\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 0+3\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot 5$
also:

$-6x_1+3x_2-2x_3=5$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-16)+3\cdot 20-2\cdot 2-5|}{\sqrt{{(-6)}^2+3^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 147 · 21 = 1029

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-3t\\ -4t\\ 0t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -5\\ 0\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3t\\ -4t\\ 0t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ -5\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4t·0-0·\left(-5\right)\\ 0·\left(-10\right)-\left(-3t\right)·0\\ -3t·\left(-5\right)-\left(-4t\right)·\left(-10\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ 15t-40t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -25t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -25t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0+0+625t^2}$ = $\sqrt{625t^2}$ = $\left|$ 25t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 62,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 25t$\right|$ = 62,5 |⋅2

$\left|$ 25t$\right|$ = 125

1. Fall

$25t$ = 125 |: 25

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(8-3t\right|12-4t\left|4+0t\right)$ ergibt
B₁$\left(-7|-8|4\right)$.

2. Fall

- $25t$ = 125 |: -25

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(8-3t\right|12-4t\left|4+0t\right)$ ergibt
B₂$\left(23|32|4\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+4x_2+2x_3=12$ ein.

S₁: => x=$12$=12, also S₁$\left(12|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{12}{4}$=3, also S₂$\left(0|3|0\right)$
S₃: => z=$\frac{12}{2}$=6, also S₃$\left(0|0|6\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 12⋅3 = 18, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅18⋅6
=36

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{3}$ = $\frac{d^2}{12}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{12}{d}^2$	=	$27$	|⋅$12$
$d^2$	=	$324$	|
d1	=	$-\sqrt{324}$	= $-18$
d2	=	$\sqrt{324}$	= $18$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+2x_2+3x_3=18$

Aber auch E2: $3x_1+2x_2+3x_3=-18$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-9|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+2x_2+3x_3=18$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{3}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{5}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{3}$⋅ $\frac{d}{5}$ = $\frac{d^3}{450}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{450}{d}^3$	=	$60$	|⋅$450$
$d^3$	=	$27000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{27000}$	= $30$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+3x_2+5x_3=30$

Aber auch E2: $5x_1+3x_2+5x_3=-30$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-10|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+3x_2+5x_3=30$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.