Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}15\\ -5\\ 0\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(15|-5|0\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-1\right)-\left(-4\right)·\left(-1\right)\\ -4·4-\left(-8\right)·\left(-1\right)\\ -8·\left(-1\right)-8·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8-4\\ -16-8\\ 8-32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-32\\ -4\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-17\\ -10\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-32\\ -4\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-17\\ -10\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·\left(-4\right)-\left(-16\right)·\left(-10\right)\\ -16·\left(-17\right)-\left(-32\right)·\left(-4\right)\\ -32·\left(-10\right)-\left(-4\right)·\left(-17\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-160\\ 272-128\\ 320-68\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ 144\\ 252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-144\\ 144\\ 252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-144)}}^2+{144}^2+{252}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·2-6·4\\ 6·\left(-4\right)-\left(-3\right)·2\\ -3·4-\left(-6\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12-24\\ -24+6\\ -12-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ -18\\ -36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36\\ -18\\ -36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 54.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 2\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·2-6·4\\ 6·\left(-4\right)-\left(-3\right)·2\\ -3·4-\left(-6\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12-24\\ -24+6\\ -12-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ -18\\ -36\end{array}\right)$ = -18⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 2\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|4|5\right)$ erhält man
d = $2\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot 4+2\cdot 5$
also:

$2x_1+x_2+2x_3=10$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 2+1\cdot 9+2\cdot 12-10|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 54 · 9 = 162

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ -6\\ 27\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -24\\ 31\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ -6\\ 27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -24\\ 31\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·31-27·\left(-24\right)\\ 27·\left(-6\right)-\left(-18\right)·31\\ -18·\left(-24\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-186+648\\ -162+558\\ 432-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}462\\ 396\\ 396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}462\\ 396\\ 396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{462}^2+{396}^2+{396}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 726 = 363.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ -6\\ 27\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -24\\ 31\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ -6\\ 27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -24\\ 31\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·31-27·\left(-24\right)\\ 27·\left(-6\right)-\left(-18\right)·31\\ -18·\left(-24\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-186+648\\ -162+558\\ 432-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}462\\ 396\\ 396\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-18\\ -6\\ 27\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-6\\ -24\\ 31\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1+6x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|-3|1\right)$ erhält man
d = $7\cdot 4+6\cdot \mathrm{(-3)}+6\cdot 1$
also:

$7x_1+6x_2+6x_3=16$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 31+6\cdot 6+6\cdot 21-16|}{\sqrt{7^2+6^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 363 · 33 = 3993

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-3t\\ 0t\\ 4t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ 5\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3t\\ 0t\\ 4t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·5-4t·0\\ 4t·\left(-10\right)-\left(-3t\right)·5\\ -3t·0-0·\left(-10\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ -40t+15t\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -25t\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -25t\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0+625t^2+0}$ = $\sqrt{625t^2}$ = $\left|$ 25t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 62,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 25t$\right|$ = 62,5 |⋅2

$\left|$ 25t$\right|$ = 125

1. Fall

$25t$ = 125 |: 25

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(11-3t\right|3+0t\left|-5+4t\right)$ ergibt
B₁$\left(-4|3|15\right)$.

2. Fall

- $25t$ = 125 |: -25

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(11-3t\right|3+0t\left|-5+4t\right)$ ergibt
B₂$\left(26|3|-25\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+2x_2+2x_3=30$ ein.

S₁: => x=$\frac{30}{5}$=6, also S₁$\left(6|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{30}{2}$=15, also S₂$\left(0|15|0\right)$
S₃: => z=$\frac{30}{2}$=15, also S₃$\left(0|0|15\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6⋅15 = 45, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 15 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅45⋅15
=225

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{3}$ = $\frac{d^2}{30}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{30}{d}^2$	=	$30$	|⋅$30$
$d^2$	=	$900$	|
d1	=	$-\sqrt{900}$	= $-30$
d2	=	$\sqrt{900}$	= $30$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+3x_2+5x_3=30$

Aber auch E2: $5x_1+3x_2+5x_3=-30$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-10|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+3x_2+5x_3=30$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{1}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{1}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{1}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{1}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{1}$⋅ $\frac{d}{1}$ = $\frac{d^3}{30}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{30}{d}^3$	=	$\mathrm{112,5}$	|⋅$30$
$d^3$	=	$3375$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{3375}$	= $15$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+x_2+x_3=15$

Aber auch E2: $5x_1+x_2+x_3=-15$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-15|0) und S₃(0|0|-15). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+x_2+x_3=15$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.