Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}19\\ 10\\ 7\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}7\\ 8\\ -7\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}26\\ 18\\ 0\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(26|18|0\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-32\\ -16\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}7\\ 8\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-32\\ -16\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ 8\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16·\left(-7\right)-\left(-4\right)·8\\ -4·7-\left(-32\right)·\left(-7\right)\\ -32·8-\left(-16\right)·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}112+32\\ -28-224\\ -256+112\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ -252\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{\mathrm{(-252)}}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 8\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ -2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ 8\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-2\right)-\left(-12\right)·6\\ -12·3-\left(-24\right)·\left(-2\right)\\ -24·6-8·3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16+72\\ -36-48\\ -144-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56\\ -84\\ -168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}56\\ -84\\ -168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{56}^2+{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-168)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ 27\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 12\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ 27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-18\\ 12\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18·4-27·12\\ 27·\left(-18\right)-\left(-6\right)·4\\ -6·12-\left(-18\right)·\left(-18\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72-324\\ -486+24\\ -72-324\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ -462\\ -396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-396\\ -462\\ -396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-396)}}^2+{\mathrm{(-462)}}^2+{\mathrm{(-396)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ 27\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 12\\ 4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ 27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-18\\ 12\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18·4-27·12\\ 27·\left(-18\right)-\left(-6\right)·4\\ -6·12-\left(-18\right)·\left(-18\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72-324\\ -486+24\\ -72-324\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ -462\\ -396\end{array}\right)$ = -66⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ 27\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-18\\ 12\\ 4\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1+7x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|5|-3\right)$ erhält man
d = $6\cdot \mathrm{(-5)}+7\cdot 5+6\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$6x_1+7x_2+6x_3=-13$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 4+7\cdot 32+6\cdot 17+13|}{\sqrt{6^2+7^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 726 · 33 = 7986

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 6\\ 16\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ 6\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·16-4·6\\ 4·\left(-10\right)-\left(-6\right)·16\\ -6·6-12·\left(-10\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}192-24\\ -40+96\\ -36+120\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168\\ 56\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}168\\ 56\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{168}^2+{56}^2+{84}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 6\\ 16\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ 6\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·16-4·6\\ 4·\left(-10\right)-\left(-6\right)·16\\ -6·6-12·\left(-10\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}192-24\\ -40+96\\ -36+120\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}168\\ 56\\ 84\end{array}\right)$ = 28⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ 4\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-10\\ 6\\ 16\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 3\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|0|5\right)$ erhält man
d = $6\cdot 0+2\cdot 0+3\cdot 5$
also:

$6x_1+2x_2+3x_3=15$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 16+2\cdot 3+3\cdot 20-15|}{\sqrt{6^2+2^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 98 · 21 = 686

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}3t\\ -4t\\ 0t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}7\\ -1\\ 0\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3t\\ -4t\\ 0t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ -1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4t·0-0·\left(-1\right)\\ 0·7-3t·0\\ 3t·\left(-1\right)-\left(-4t\right)·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ -3t+28t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 25t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 25t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0+0+625t^2}$ = $\sqrt{625t^2}$ = $\left|$ 25t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 25 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 25t$\right|$ = 25 |⋅2

$\left|$ 25t$\right|$ = 50

1. Fall

$25t$ = 50 |: 25

t = 2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-2+3t\right|9-4t\left|-3+0t\right)$ ergibt
B₁$\left(4|1|-3\right)$.

2. Fall

- $25t$ = 50 |: -25

t = -2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-2+3t\right|9-4t\left|-3+0t\right)$ ergibt
B₂$\left(-8|17|-3\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+2x_2+5x_3=30$ ein.

S₁: => x=$\frac{30}{3}$=10, also S₁$\left(10|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{30}{2}$=15, also S₂$\left(0|15|0\right)$
S₃: => z=$\frac{30}{5}$=6, also S₃$\left(0|0|6\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 10⋅15 = 75, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅75⋅6
=150

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{4}$ = $\frac{d^2}{32}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{32}{d}^2$	=	$\mathrm{40,5}$	|⋅$32$
$d^2$	=	$1296$	|
d1	=	$-\sqrt{1296}$	= $-36$
d2	=	$\sqrt{1296}$	= $36$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+4x_2+3x_3=36$

Aber auch E2: $4x_1+4x_2+3x_3=-36$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-9|0|0), S₂(0|-9|0) und S₃(0|0|-12). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+4x_2+3x_3=36$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+5x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+5x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{5}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{3}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{5}$⋅ $\frac{d}{3}$ = $\frac{d^3}{360}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{360}{d}^3$	=	$4800$	|⋅$360$
$d^3$	=	$1728000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{1728000}$	= $120$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+5x_2+3x_3=120$

Aber auch E2: $4x_1+5x_2+3x_3=-120$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-30|0|0), S₂(0|-24|0) und S₃(0|0|-40). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+5x_2+3x_3=120$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.