Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-5\\ -23\\ 16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -29\\ 22\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-7|-29|22\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 32\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -23\\ 16\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 32\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-5\\ -23\\ 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}32·16-\left(-16\right)·\left(-23\right)\\ -16·\left(-5\right)-\left(-4\right)·16\\ -4·\left(-23\right)-32·\left(-5\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}512-368\\ 80+64\\ 92+160\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ 144\\ 252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ 144\\ 252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{144}^2+{252}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 36\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 2\\ 6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 36\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-9\\ 2\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36·6-\left(-24\right)·2\\ -24·\left(-9\right)-\left(-8\right)·6\\ -8·2-36·\left(-9\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216+48\\ 216+48\\ -16+324\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ 308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ 264\\ 308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{264}^2+{308}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·\left(-6\right)-12·0\\ 12·8-9·\left(-6\right)\\ 9·0-0·8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 96+54\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 150\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 150\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{150}^2+0^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 150.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 12\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}12\\ t\\ -9\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 12\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 12\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}12\\ t\\ -9\end{array}\right)$=$9\cdot 12+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+12\cdot \mathrm{(-9)}=108\mathrm{+0}-108=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}12\\ t\\ -9\end{array}\right)$ = 0⋅t +150 = 0 wird, also t=$-\frac{1}{0}$ = $-\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -\frac{1}{0}\\ -9\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{0}{0}\\ 0\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·\left(-6\right)-12·0\\ 12·8-9·\left(-6\right)\\ 9·0-0·8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 96+54\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 150\\ 0\end{array}\right)$

= 150⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 12\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ -6\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ -5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_2=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|5|-5\right)$ erhält man
d = $0\cdot 4+1\cdot 5+0\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$+x_2=5$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot 8+1\cdot 8+0\cdot (-8)-5|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 150 · 3 = 150

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 10\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·10-6·4\\ 6·\left(-8\right)-\left(-3\right)·10\\ -3·4-6·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}60-24\\ -48+30\\ -12+48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ -18\\ 36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}36\\ -18\\ 36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{36}^2+{\mathrm{(-18)}}^2+{36}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 54 = 27.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 10\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·10-6·4\\ 6·\left(-8\right)-\left(-3\right)·10\\ -3·4-6·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}60-24\\ -48+30\\ -12+48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ -18\\ 36\end{array}\right)$ = -18⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 10\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|-7|2\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 4+1\cdot \mathrm{(-7)}+\mathrm{(-2)}\cdot 2$
also:

$-2x_1+x_2-2x_3=-19$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-5)+1\cdot (-4)-2\cdot (-1)+19|}{\sqrt{{(-2)}^2+1^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 27 · 9 = 81

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-3t\\ 0t\\ -4t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-13\\ 0\\ -9\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3t\\ 0t\\ -4t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-13\\ 0\\ -9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·\left(-9\right)-\left(-4t\right)·0\\ -4t·\left(-13\right)-\left(-3t\right)·\left(-9\right)\\ -3t·0-0·\left(-13\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 52t-27t\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 25t\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 25t\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0+625t^2+0}$ = $\sqrt{625t^2}$ = $\left|$ 25t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 37,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 25t$\right|$ = 37,5 |⋅2

$\left|$ 25t$\right|$ = 75

1. Fall

$25t$ = 75 |: 25

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(7-3t\right|5+0t\left|10-4t\right)$ ergibt
B₁$\left(-2|5|-2\right)$.

2. Fall

- $25t$ = 75 |: -25

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(7-3t\right|5+0t\left|10-4t\right)$ ergibt
B₂$\left(16|5|22\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+5x_2+2x_3=30$ ein.

S₁: => x=$\frac{30}{2}$=15, also S₁$\left(15|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{30}{5}$=6, also S₂$\left(0|6|0\right)$
S₃: => z=$\frac{30}{2}$=15, also S₃$\left(0|0|15\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 15⋅6 = 45, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 15 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅45⋅15
=225

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+x_2+x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{1}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{1}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{1}$ = $\frac{d^2}{8}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{8}{d}^2$	=	$8$	|⋅$8$
$d^2$	=	$64$	|
d1	=	$-\sqrt{64}$	= $-8$
d2	=	$\sqrt{64}$	= $8$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+x_2+x_3=8$

Aber auch E2: $4x_1+x_2+x_3=-8$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-2|0|0), S₂(0|-8|0) und S₃(0|0|-8). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+x_2+x_3=8$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{5}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{5}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{300}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{300}{d}^3$	=	$90$	|⋅$300$
$d^3$	=	$27000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{27000}$	= $30$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+5x_2+2x_3=30$

Aber auch E2: $5x_1+5x_2+2x_3=-30$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-15). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+5x_2+2x_3=30$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.