Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 5\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ -27\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ -22\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-6|-3|-22\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ -27\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ -27\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-27\right)-24·\left(-2\right)\\ 24·\left(-10\right)-12·\left(-27\right)\\ 12·\left(-2\right)-8·\left(-10\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216+48\\ -240+324\\ -24+80\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ 84\\ 56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-168\\ 84\\ 56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-168)}}^2+{84}^2+{56}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -36\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ 12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -36\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36·12-\left(-24\right)·7\\ -24·7-8·12\\ 8·7-\left(-36\right)·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-432+168\\ -168-96\\ 56+252\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ -264\\ 308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ -264\\ 308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{308}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-4\right)-6·2\\ 6·4-3·\left(-4\right)\\ 3·2-6·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-12\\ 24+12\\ 6-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ 36\\ -18\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36\\ 36\\ -18\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{36}^2+{\mathrm{(-18)}}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 54.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-4\right)-6·2\\ 6·4-3·\left(-4\right)\\ 3·2-6·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-12\\ 24+12\\ 6-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ 36\\ -18\end{array}\right)$ = -18⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|-5|-3\right)$ erhält man
d = $2\cdot 0+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+1\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$2x_1-2x_2+x_3=7$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 8-2\cdot (-10)+1\cdot (-2)-7|}{\sqrt{2^2+{(-2)}^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 54 · 9 = 162

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 23\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 23\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·23-12·0\\ 12·\left(-14\right)-\left(-16\right)·23\\ -16·0-0·\left(-14\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ -168+368\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 200\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 200\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{200}^2+0^2}=\sqrt{40000}=200$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 200 = 100.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 23\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}12\\ t\\ 16\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}12\\ t\\ 16\end{array}\right)$=$\mathrm{(-16)}\cdot 12+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+12\cdot 16=-192\mathrm{+0}\mathrm{+192}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 23\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}12\\ t\\ 16\end{array}\right)$ = 0⋅t +200 = 0 wird, also t=$-\frac{1}{0}$ = $-\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -\frac{1}{0}\\ 16\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{0}{0}\\ 0\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 23\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·23-12·0\\ 12·\left(-14\right)-\left(-16\right)·23\\ -16·0-0·\left(-14\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ -168+368\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 200\\ 0\end{array}\right)$

= 200⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ 12\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-14\\ 0\\ 23\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_2=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(5|0|-4\right)$ erhält man
d = $0\cdot 5+1\cdot 0+0\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$+x_2=0$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot 4+1\cdot 3+0\cdot 3-0|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 100 · 3 = 100

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-1t\\ -8t\\ -4t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-11\\ -25\\ -8\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-1t\\ -8t\\ -4t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-11\\ -25\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8t·\left(-8\right)-\left(-4t\right)·\left(-25\right)\\ -4t·\left(-11\right)-\left(-t\right)·\left(-8\right)\\ -t·\left(-25\right)-\left(-8t\right)·\left(-11\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}64t-100t\\ 44t-8t\\ 25t-88t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36t\\ 36t\\ -63t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36t\\ 36t\\ -63t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1296t^2+1296t^2+3969t^2}$ = $\sqrt{6561t^2}$ = $\left|$ 81t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 121,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 81t$\right|$ = 121,5 |⋅2

$\left|$ 81t$\right|$ = 243

1. Fall

$81t$ = 243 |: 81

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(6-1t\right|29-8t\left|15-4t\right)$ ergibt
B₁$\left(3|5|3\right)$.

2. Fall

- $81t$ = 243 |: -81

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(6-1t\right|29-8t\left|15-4t\right)$ ergibt
B₂$\left(9|53|27\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+2x_2+4x_3=36$ ein.

S₁: => x=$\frac{36}{3}$=12, also S₁$\left(12|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{36}{2}$=18, also S₂$\left(0|18|0\right)$
S₃: => z=$\frac{36}{4}$=9, also S₃$\left(0|0|9\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 12⋅18 = 108, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 9 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅108⋅9
=324

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{5}$ = $\frac{d^2}{50}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{50}{d}^2$	=	$8$	|⋅$50$
$d^2$	=	$400$	|
d1	=	$-\sqrt{400}$	= $-20$
d2	=	$\sqrt{400}$	= $20$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+5x_2+4x_3=20$

Aber auch E2: $5x_1+5x_2+4x_3=-20$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-4|0|0), S₂(0|-4|0) und S₃(0|0|-5). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+5x_2+4x_3=20$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{2}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{4}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{2}$⋅ $\frac{d}{4}$ = $\frac{d^3}{96}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{96}{d}^3$	=	$18$	|⋅$96$
$d^3$	=	$1728$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{1728}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+2x_2+4x_3=12$

Aber auch E2: $2x_1+2x_2+4x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+2x_2+4x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.