Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -8\\ -6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-24\\ -25\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-27\\ -33\\ -3\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-27|-33|-3\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ 36\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -25\\ 3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ 36\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-24\\ -25\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36·3-8·\left(-25\right)\\ 8·\left(-24\right)-24·3\\ 24·\left(-25\right)-36·\left(-24\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}108+200\\ -192-72\\ -600+864\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}308\\ -264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{308}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·3-4·0\\ 4·3-8·3\\ 8·0-\left(-8\right)·3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24+0\\ 12-24\\ 0+24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·\left(-12\right)-\left(-4\right)·\left(-6\right)\\ -4·\left(-4\right)-\left(-6\right)·\left(-12\right)\\ -6·\left(-6\right)-12·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144-24\\ 16-72\\ 36+48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ -56\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-168\\ -56\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-168)}}^2+{\mathrm{(-56)}}^2+{84}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ -4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ -12\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·\left(-12\right)-\left(-4\right)·\left(-6\right)\\ -4·\left(-4\right)-\left(-6\right)·\left(-12\right)\\ -6·\left(-6\right)-12·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144-24\\ 16-72\\ 36+48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ -56\\ 84\end{array}\right)$ = 28⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ -12\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 3\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1-2x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|-2|-3\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$-6x_1-2x_2+3x_3=-11$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-19)-2\cdot (-11)+3\cdot 0+11|}{\sqrt{{(-6)}^2+{(-2)}^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 196 · 21 = 1372

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-32\\ 16\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-42\\ 12\\ 21\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-32\\ 16\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-42\\ 12\\ 21\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16·21-4·12\\ 4·\left(-42\right)-\left(-32\right)·21\\ -32·12-16·\left(-42\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}336-48\\ -168+672\\ -384+672\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}288\\ 504\\ 288\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}288\\ 504\\ 288\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{288}^2+{504}^2+{288}^2}=\sqrt{419904}=648$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 648 = 324.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}10\\ -7\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-32\\ 16\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-42\\ 12\\ 21\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-32\\ 16\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-42\\ 12\\ 21\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16·21-4·12\\ 4·\left(-42\right)-\left(-32\right)·21\\ -32·12-16·\left(-42\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}336-48\\ -168+672\\ -384+672\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}288\\ 504\\ 288\end{array}\right)$ = 72⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-32\\ 16\\ 4\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-42\\ 12\\ 21\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}10\\ -7\\ 2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+7x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(10|-7|2\right)$ erhält man
d = $4\cdot 10+7\cdot \mathrm{(-7)}+4\cdot 2$
also:

$4x_1+7x_2+4x_3=-1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 13+7\cdot 14+4\cdot 23+1|}{\sqrt{4^2+7^2+4^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 324 · 27 = 2916

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-1t\\ 2t\\ -2t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ -7\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-1t\\ 2t\\ -2t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2t·\left(-7\right)-\left(-2t\right)·4\\ -2t·\left(-5\right)-\left(-t\right)·\left(-7\right)\\ -t·4-2t·\left(-5\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-14t+8t\\ 10t-7t\\ -4t+10t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6t\\ 3t\\ 6t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-6t\\ 3t\\ 6t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{36t^2+9t^2+36t^2}$ = $\sqrt{81t^2}$ = $\left|$ 9t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 22,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 9t$\right|$ = 22,5 |⋅2

$\left|$ 9t$\right|$ = 45

1. Fall

$9t$ = 45 |: 9

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(5-1t\right|-10+2t\left|8-2t\right)$ ergibt
B₁$\left(0|0|-2\right)$.

2. Fall

- $9t$ = 45 |: -9

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(5-1t\right|-10+2t\left|8-2t\right)$ ergibt
B₂$\left(10|-20|18\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+x_2+x_3=6$ ein.

S₁: => x=$\frac{6}{2}$=3, also S₁$\left(3|0|0\right)$
S₂: => y=$6$=6, also S₂$\left(0|6|0\right)$
S₃: => z=$6$=6, also S₃$\left(0|0|6\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 3⋅6 = 9, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅9⋅6
=18

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{1}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{1}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{1}$ = $\frac{d^2}{2}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{2}{d}^2$	=	$8$	|⋅$2$
$d^2$	=	$16$	|
d1	=	$-\sqrt{16}$	= $-4$
d2	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+x_3=4$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+x_3=-4$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-4|0|0), S₂(0|-2|0) und S₃(0|0|-4). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+x_3=4$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{3}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{3}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{108}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{108}{d}^3$	=	$2$	|⋅$108$
$d^3$	=	$216$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{216}$	= $6$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+3x_2+2x_3=6$

Aber auch E2: $3x_1+3x_2+2x_3=-6$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-2|0|0), S₂(0|-2|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+3x_2+2x_3=6$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.