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Flächeninhalt eines Parallelogramms

Beispiel:

Das Dreieck ABC mit A(13|-8|0), B(45|-24|4) und C(6|0|7) soll durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Bestimme den Punkt D und berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms..

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Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

OD = OA + BC = ( 13 -8 0 ) + ( -39 24 3 ) = ( -26 16 3 )

Der Gesuchte Punkt ist also D(-26|16|3).

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( 45-13 -24-( - 8 ) 4-0 ) = ( 32 -16 4 ) und AD = BC = ( 6-45 0-( - 24 ) 7-4 ) = ( -39 24 3 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 32 -16 4 ) × ( -39 24 3 ) = ( -16 · 3 - 4 · 24 4 · ( -39 ) - 32 · 3 32 · 24 - ( -16 ) · ( -39 ) ) = ( -48 -96 -156 -96 768 -624 ) = ( -144 -252 144 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -144 -252 144 ) | = (-144) 2 + (-252)2 + 144 2 = 104976 = 324 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 324.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(0|10|-5), B(8|34|-17) und C(4|1|-4).

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( 8-0 34-10 -17-( - 5 ) ) = ( 8 24 -12 ) und AC = ( 4-0 1-10 -4-( - 5 ) ) = ( 4 -9 1 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 8 24 -12 ) × ( 4 -9 1 ) = ( 24 · 1 - ( -12 ) · ( -9 ) -12 · 4 - 8 · 1 8 · ( -9 ) - 24 · 4 ) = ( 24 -108 -48 -8 -72 -96 ) = ( -84 -56 -168 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -84 -56 -168 ) | = (-84) 2 + (-56)2 + (-168) 2 = 38416 = 196 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 196 = 98.

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm)

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Parallelogramm ABCD mit A(5|2|4), B(-4|8|22), C(-8|20|16) und D(1|14|-2) und als Spitze S(21|17|7). Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
AB = ( -4-5 8-2 22-4 ) = ( -9 6 18 ) und AD = BC = ( -8-( - 4 ) 20-8 16-22 ) = ( -4 12 -6 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( -9 6 18 ) × ( -4 12 -6 ) = ( 6 · ( -6 ) - 18 · 12 18 · ( -4 ) - ( -9 ) · ( -6 ) -9 · 12 - 6 · ( -4 ) ) = ( -36 -216 -72 -54 -108 +24 ) = ( -252 -126 -84 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( -252 -126 -84 ) | = (-252) 2 + (-126)2 + (-84) 2 = 86436 = 294 entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | a x b | = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( 5 2 4 ) + r ( -9 6 18 ) + s ( -4 12 -6 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: n = ( -9 6 18 ) × ( -4 12 -6 ) = ( 6 · ( -6 ) - 18 · 12 18 · ( -4 ) - ( -9 ) · ( -6 ) -9 · 12 - 6 · ( -4 ) ) = ( -36 -216 -72 -54 -108 +24 ) = ( -252 -126 -84 ) = -42⋅ ( 6 3 2 )

Weil der Vektor ( 6 3 2 ) orthogonal zu ( -9 6 18 ) und ( -4 12 -6 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( 5 2 4 ) ] ( 6 3 2 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also 6 x 1 +3 x 2 +2 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(5|2|4) erhält man
d = 65 + 32 + 24
also:

6 x 1 +3 x 2 +2 x 3 = 44

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 6 21+3 17+2 7-44 | 6 2 + 3 2 + 2 2
= | 147 | 49 = 147 7 = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 294 · 21 = 2058

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Dreieck ABC mit A(-3|-5|10), B(13|-1|-22), C(9|16|-32) und als Spitze S(18|16|13).
Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren AB = ( 13-( - 3 ) -1-( - 5 ) -22-10 ) = ( 16 4 -32 ) und AC = ( 9-( - 3 ) 16-( - 5 ) -32-10 ) = ( 12 21 -42 ) .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 16 4 -32 ) × ( 12 21 -42 ) = ( 4 · ( -42 ) - ( -32 ) · 21 -32 · 12 - 16 · ( -42 ) 16 · 21 - 4 · 12 ) = ( -168 +672 -384 +672 336 -48 ) = ( 504 288 288 ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | a x b | = | ( 504 288 288 ) | = 504 2 + 2882 + 288 2 = 419904 = 648 entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = 1 2 | a x b | = 1 2 ⋅ 648 = 324.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E: x = ( -3 -5 10 ) + r ( 16 4 -32 ) + s ( 12 21 -42 )

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: n = ( 16 4 -32 ) × ( 12 21 -42 ) = ( 4 · ( -42 ) - ( -32 ) · 21 -32 · 12 - 16 · ( -42 ) 16 · 21 - 4 · 12 ) = ( -168 +672 -384 +672 336 -48 ) = ( 504 288 288 ) = 72⋅ ( 7 4 4 )

Weil der Vektor ( 7 4 4 ) orthogonal zu ( 16 4 -32 ) und ( 12 21 -42 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( -3 -5 10 ) ] ( 7 4 4 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also 7 x 1 +4 x 2 +4 x 3 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(-3|-5|10) erhält man
d = 7(-3) + 4(-5) + 410
also:

7 x 1 +4 x 2 +4 x 3 = -1

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | 7 18+4 16+4 13+1 | 7 2 + 4 2 + 4 2
= | 243 | 81 = 243 9 = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = 1 3 · 324 · 27 = 2916

Pkt auf Gerade mit Dreiecksinhalt finden

Beispiel:

Gegeben ist der Punkt A(-1|-2|1), der Punkt C(2|3|-7) und die Gerade g: x = ( -1 -2 1 ) +t ( 6 3 -2 ) . A liegt in g.
Bestimme alle möglichen Koordinaten für einen Punkt B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABC den Flächeninhalt A = 122,5 hat.

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor AB einfach als ( 6 t 3 t -2 t ) schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als AC = ( 2-( - 1 ) 3-( - 2 ) -7-1 ) = ( 3 5 -8 ) .

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: n = ( 6 t 3 t -2 t ) × ( 3 5 -8 ) = ( 3 t · ( -8 ) - ( -2 t ) · 5 -2 t · 3 - 6 t · ( -8 ) 6 t · 5 - 3 t · 3 ) = ( -24 t +10 t -6 t +48 t 30 t -9 t ) = ( -14 t 42 t 21 t ) .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | AB x AC | = | ( -14 t 42 t 21 t ) | = 196 t 2 +1764 t 2 +441 t 2 = 2401 t 2 = | 49t | entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 122,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = 1 2 | AB x AC | = 1 2 | 49t | = 122,5 |⋅2

| 49t | = 245

1. Fall

49t = 245 |: 49

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( -1 +6 t | -2 +3 t | 1 -2 t ) ergibt
B1(29|13|-9).

2. Fall

- 49t = 245 |: -49

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt G t ( -1 +6 t | -2 +3 t | 1 -2 t ) ergibt
B2(-31|-17|11).

Pyramide aus Spurpunkten einer Ebene

Beispiel:

Gegeben ist die Koordinatengleichung der Ebene E: 2 x 1 +2 x 2 +3 x 3 = 6 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P. Berechne das Volumen von P.

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Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 2 x 1 +2 x 2 +3 x 3 = 6 ein.

S1: 2 x +2 0 +3 0 = 6 => x= 6 2 =3, also S1(3|0|0)
S2: 2 0 +2 y +3 0 = 6 => y= 6 2 =3, also S2(0|3|0)
S3: 2 0 +2 0 +3 z = 6 => z= 6 3 =2, also S3(0|0|2)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 ⋅ 3⋅3 = 4.5, weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS3= 2 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h
= 1 3 ⋅4.5⋅2
=3

Spurpunktdreieck rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: x 1 +5 x 2 + x 3 = 0 .

Die Schnittpunkte von E mit der x2-Achse und der x3-Achse bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Dreieck P mit dem Flächeninhalt 40. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

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Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

x 1 +5 x 2 + x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung x 1 +5 x 2 + x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 1 x +5 0 +1 0 = d => x = d 1 , also S1( d 1 |0|0)
S2: 1 0 +5 y +1 0 = d => y = d 5 , also S2(0| d 5 |0)
S3: 1 0 +5 0 +1 z = d => z = d 1 , also S3(0|0| d 1 )

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = 1 2 ⋅g⋅hg. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS2 und OS3.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS2S3: A = 1 2 d 5 d 1 = d 2 10

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

1 10 d 2 = 40 |⋅10
d 2 = 400 | 2
d1 = - 400 = -20
d2 = 400 = 20

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: x 1 +5 x 2 + x 3 = 20

Aber auch E2: x 1 +5 x 2 + x 3 = -20 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-20|0|0), S2(0|-4|0) und S3(0|0|-20). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: x 1 +5 x 2 + x 3 = 20 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Spurpunktpyramide rückwärts

Beispiel:

Die Ebene E ist parallel zur Ebene F: x 1 + x 2 +4 x 3 = 0 .

Die Spurpunkte von E bilden mit dem Koordinatenursprung O(0|0|0) eine Pyramide P mit dem Volumen 72. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.

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Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

x 1 + x 2 +4 x 3 = d

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0) und S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung x 1 + x 2 +4 x 3 = d einsetzen, erhalten wir:

S1: 1 x +1 0 +4 0 = d => x = d 1 , also S1( d 1 |0|0)
S2: 1 0 +1 y +4 0 = d => y = d 1 , also S2(0| d 1 |0)
S3: 1 0 +1 0 +4 z = d => z = d 4 , also S3(0|0| d 4 )

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = 1 3 ⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS1S2: G = 1 2 d 1 d 1 , weil das Dreieck OS1S2 rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x1-Achse und die x2-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x3-Achse orthogonal zur x1-x2-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS2= d 4 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = 1 3 ⋅G⋅h = 1 3 1 2 d 1 d 1 d 4 = d 3 24

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

1 24 d 3 = 72 |⋅24
d 3 = 1728 | 3
d = 1728 3 = 12

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: x 1 + x 2 +4 x 3 = 12

Aber auch E2: x 1 + x 2 +4 x 3 = -12 ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S1(-12|0|0), S2(0|-12|0) und S3(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: x 1 + x 2 +4 x 3 = 12 einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.