Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -11\\ 8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-3\\ 39\\ -24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 28\\ -16\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(1|28|-16\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -32\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 39\\ -24\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -32\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ 39\\ -24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32·\left(-24\right)-16·39\\ 16·\left(-3\right)-\left(-4\right)·\left(-24\right)\\ -4·39-\left(-32\right)·\left(-3\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}768-624\\ -48-96\\ -156-96\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ -144\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ -144\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ -36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -7\\ 7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ -36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ -7\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·7-\left(-36\right)·\left(-7\right)\\ -36·\left(-12\right)-24·7\\ 24·\left(-7\right)-\left(-8\right)·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56-252\\ 432-168\\ -168-96\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ -264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ -264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-308)}}^2+{264}^2+{\mathrm{(-264)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ -6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3·2-\left(-6\right)·\left(-5\right)\\ -6·\left(-4\right)-\left(-6\right)·2\\ -6·\left(-5\right)-\left(-3\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6-30\\ 24+12\\ 30-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ 36\\ 18\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36\\ 36\\ 18\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{36}^2+{18}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 54.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ -6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 2\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3·2-\left(-6\right)·\left(-5\right)\\ -6·\left(-4\right)-\left(-6\right)·2\\ -6·\left(-5\right)-\left(-3\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6-30\\ 24+12\\ 30-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ 36\\ 18\end{array}\right)$ = 18⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ -6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 2\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ -2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(6|2|-2\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 6+2\cdot 2+1\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$-2x_1+2x_2+x_3=-10$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-3)+2\cdot 5+1\cdot 1+10|}{\sqrt{{(-2)}^2+2^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 54 · 9 = 162

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 10\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3·10-6·\left(-8\right)\\ 6·4-6·10\\ 6·\left(-8\right)-\left(-3\right)·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-30+48\\ 24-60\\ -48+12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\\ -36\\ -36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}18\\ -36\\ -36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{18}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 54 = 27.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 10\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3·10-6·\left(-8\right)\\ 6·4-6·10\\ 6·\left(-8\right)-\left(-3\right)·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-30+48\\ 24-60\\ -48+12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\\ -36\\ -36\end{array}\right)$ = 18⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 10\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1-2x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|-3|-1\right)$ erhält man
d = $1\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$\mathrm{}{x}_1-2x_2-2x_3=9$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 4-2\cdot (-12)-2\cdot (-4)-9|}{\sqrt{1^2+{(-2)}^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 27 · 9 = 81

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}3t\\ 2t\\ 6t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -9\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3t\\ 2t\\ 6t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2t·\left(-9\right)-6t·4\\ 6t·\left(-1\right)-3t·\left(-9\right)\\ 3t·4-2t·\left(-1\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18t-24t\\ -6t+27t\\ 12t+2t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-42t\\ 21t\\ 14t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-42t\\ 21t\\ 14t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1764t^2+441t^2+196t^2}$ = $\sqrt{2401t^2}$ = $\left|$ 49t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 122,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 49t$\right|$ = 122,5 |⋅2

$\left|$ 49t$\right|$ = 245

1. Fall

$49t$ = 245 |: 49

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-1+3t\right|0+2t\left|3+6t\right)$ ergibt
B₁$\left(14|10|33\right)$.

2. Fall

- $49t$ = 245 |: -49

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-1+3t\right|0+2t\left|3+6t\right)$ ergibt
B₂$\left(-16|-10|-27\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+2x_2+5x_3=30$ ein.

S₁: => x=$\frac{30}{5}$=6, also S₁$\left(6|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{30}{2}$=15, also S₂$\left(0|15|0\right)$
S₃: => z=$\frac{30}{5}$=6, also S₃$\left(0|0|6\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6⋅15 = 45, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅45⋅6
=90

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{1}$, also S₂(0|$\frac{d}{1}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{1}$ = $\frac{d^2}{10}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{10}{d}^2$	=	$40$	|⋅$10$
$d^2$	=	$400$	|
d1	=	$-\sqrt{400}$	= $-20$
d2	=	$\sqrt{400}$	= $20$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+x_2+2x_3=20$

Aber auch E2: $5x_1+x_2+2x_3=-20$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-4|0|0), S₂(0|-20|0) und S₃(0|0|-10). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+x_2+2x_3=20$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{4}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{3}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{4}$⋅ $\frac{d}{3}$ = $\frac{d^3}{216}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{216}{d}^3$	=	$64$	|⋅$216$
$d^3$	=	$13824$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{13824}$	= $24$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+4x_2+3x_3=24$

Aber auch E2: $3x_1+4x_2+3x_3=-24$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-8|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-8). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+4x_2+3x_3=24$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.