Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ -3\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(6|8|-3\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·0-\left(-4\right)·3\\ -4·6-\left(-8\right)·0\\ -8·3-\left(-8\right)·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+12\\ -24+0\\ -24+48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{12}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-3\right)-\left(-8\right)·0\\ -8·\left(-3\right)-\left(-4\right)·\left(-3\right)\\ -4·0-8·\left(-3\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24+0\\ 24-12\\ 0+24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -5\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-5\right)-\left(-4\right)·2\\ -4·\left(-4\right)-\left(-8\right)·\left(-5\right)\\ -8·2-\left(-8\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}40+8\\ 16-40\\ -16-32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48\\ -24\\ -48\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}48\\ -24\\ -48\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{48}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-48)}}^2}=\sqrt{5184}=72$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 72.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -5\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-5\right)-\left(-4\right)·2\\ -4·\left(-4\right)-\left(-8\right)·\left(-5\right)\\ -8·2-\left(-8\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}40+8\\ 16-40\\ -16-32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48\\ -24\\ -48\end{array}\right)$ = -24⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -5\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(5|5|-2\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 5+1\cdot 5+2\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$-2x_1+x_2+2x_3=-9$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-4)+1\cdot 8+2\cdot 1+9|}{\sqrt{{(-2)}^2+1^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 72 · 9 = 216

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 16\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-23\\ 14\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 16\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-23\\ 14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16·0-0·14\\ 0·\left(-23\right)-\left(-12\right)·0\\ -12·14-16·\left(-23\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ -168+368\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 200\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 200\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{200}^2}=\sqrt{40000}=200$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 200 = 100.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 16\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-23\\ 14\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-12\\ 16\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-16\\ -12\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-12\\ 16\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-12\\ 16\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-16\\ -12\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-12)}\cdot \mathrm{(-16)}+16\cdot \mathrm{(-12)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=192-192\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-23\\ 14\\ 0\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-16\\ -12\\ t\end{array}\right)$ = 0⋅t +200 = 0 wird, also t=$-\frac{1}{0}$ = $-\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-16\\ -12\\ -\frac{1}{0}\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{0}{0}\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 16\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-23\\ 14\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16·0-0·14\\ 0·\left(-23\right)-\left(-12\right)·0\\ -12·14-16·\left(-23\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ -168+368\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 200\end{array}\right)$

= 200⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-12\\ 16\\ 0\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-23\\ 14\\ 0\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 0\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|-2|0\right)$ erhält man
d = $0\cdot 4+0\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot 0$
also:

$+x_3=0$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot (-3)+0\cdot (-1)+1\cdot 3-0|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 100 · 3 = 100

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}t\\ -8t\\ 4t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}9\\ -9\\ 0\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}t\\ -8t\\ 4t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}9\\ -9\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8t·0-4t·\left(-9\right)\\ 4t·9-t·0\\ t·\left(-9\right)-\left(-8t\right)·9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+36t\\ 36t+0\\ -9t+72t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36t\\ 36t\\ 63t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}36t\\ 36t\\ 63t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1296t^2+1296t^2+3969t^2}$ = $\sqrt{6561t^2}$ = $\left|$ 81t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 202,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 81t$\right|$ = 202,5 |⋅2

$\left|$ 81t$\right|$ = 405

1. Fall

$81t$ = 405 |: 81

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(2+1t\right|7-8t\left|-4+4t\right)$ ergibt
B₁$\left(7|-33|16\right)$.

2. Fall

- $81t$ = 405 |: -81

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(2+1t\right|7-8t\left|-4+4t\right)$ ergibt
B₂$\left(-3|47|-24\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+5x_2+2x_3=60$ ein.

S₁: => x=$\frac{60}{3}$=20, also S₁$\left(20|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{60}{5}$=12, also S₂$\left(0|12|0\right)$
S₃: => z=$\frac{60}{2}$=30, also S₃$\left(0|0|30\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 20⋅12 = 120, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 30 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅120⋅30
=1200

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+5x_2+x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+5x_2+x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{1}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{1}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{5}$ = $\frac{d^2}{40}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{40}{d}^2$	=	$10$	|⋅$40$
$d^2$	=	$400$	|
d1	=	$-\sqrt{400}$	= $-20$
d2	=	$\sqrt{400}$	= $20$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+5x_2+x_3=20$

Aber auch E2: $4x_1+5x_2+x_3=-20$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-5|0|0), S₂(0|-4|0) und S₃(0|0|-20). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+5x_2+x_3=20$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{4}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{4}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{192}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{192}{d}^3$	=	$9$	|⋅$192$
$d^3$	=	$1728$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{1728}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+4x_2+2x_3=12$

Aber auch E2: $4x_1+4x_2+2x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-3|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+4x_2+2x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.