Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -7\\ -8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ -11\\ -7\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-10|-11|-7\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·1-4·\left(-4\right)\\ 4·\left(-1\right)-8·1\\ 8·\left(-4\right)-8·\left(-1\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8+16\\ -4-8\\ -32+8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ -12\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ -12\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-12)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·\left(-3\right)-16·4\\ 16·0-0·\left(-3\right)\\ 0·4-12·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36-64\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-100)}}^2+0^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-36\\ -8\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-13\\ -20\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-36\\ -8\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-13\\ -20\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-6\right)-24·\left(-20\right)\\ 24·\left(-13\right)-\left(-36\right)·\left(-6\right)\\ -36·\left(-20\right)-\left(-8\right)·\left(-13\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48+480\\ -312-216\\ 720-104\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}528\\ -528\\ 616\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}528\\ -528\\ 616\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{528}^2+{\mathrm{(-528)}}^2+{616}^2}=\sqrt{937024}=968$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 968.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ -8\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-36\\ -8\\ 24\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-13\\ -20\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-36\\ -8\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-13\\ -20\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-6\right)-24·\left(-20\right)\\ 24·\left(-13\right)-\left(-36\right)·\left(-6\right)\\ -36·\left(-20\right)-\left(-8\right)·\left(-13\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48+480\\ -312-216\\ 720-104\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}528\\ -528\\ 616\end{array}\right)$ = 88⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-36\\ -8\\ 24\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-13\\ -20\\ -6\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ -8\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 7\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1-6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(7|4|-8\right)$ erhält man
d = $6\cdot 7+\mathrm{(-6)}\cdot 4+7\cdot \mathrm{(-8)}$
also:

$6x_1-6x_2+7x_3=-38$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 14-6\cdot (-25)+7\cdot 13+38|}{\sqrt{6^2+{(-6)}^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 968 · 33 = 10648

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 9\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 20\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 9\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ 20\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·0-0·20\\ 0·\left(-10\right)-\left(-12\right)·0\\ -12·20-9·\left(-10\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ -240+90\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -150\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -150\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{\mathrm{(-150)}}^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 150 = 75.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -8\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 9\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 20\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-12\\ 9\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-9\\ -12\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-12\\ 9\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-12\\ 9\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-9\\ -12\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-12)}\cdot \mathrm{(-9)}+9\cdot \mathrm{(-12)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=108-108\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-10\\ 20\\ 0\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-9\\ -12\\ t\end{array}\right)$ = 0⋅t -150 = 0 wird, also t=$\frac{1}{0}$ = $\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -12\\ \frac{1}{0}\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{0}{0}\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 9\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ 20\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·0-0·20\\ 0·\left(-10\right)-\left(-12\right)·0\\ -12·20-9·\left(-10\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ -240+90\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -150\end{array}\right)$

= -150⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-12\\ 9\\ 0\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-10\\ 20\\ 0\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-1\\ -8\\ -4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-1|-8|-4\right)$ erhält man
d = $0\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{(-8)}+1\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$+x_3=-4$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot (-2)+0\cdot (-1)+1\cdot (-1)+4|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 75 · 3 = 75

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-2t\\ t\\ -2t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 1\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-2t\\ t\\ -2t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}t·1-\left(-2t\right)·1\\ -2t·4-\left(-2t\right)·1\\ -2t·1-t·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}t+2t\\ -8t+2t\\ -2t-4t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3t\\ -6t\\ -6t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}3t\\ -6t\\ -6t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{9t^2+36t^2+36t^2}$ = $\sqrt{81t^2}$ = $\left|$ 9t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 13,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 9t$\right|$ = 13,5 |⋅2

$\left|$ 9t$\right|$ = 27

1. Fall

$9t$ = 27 |: 9

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-1-2t\right|4+1t\left|-2-2t\right)$ ergibt
B₁$\left(-7|7|-8\right)$.

2. Fall

- $9t$ = 27 |: -9

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-1-2t\right|4+1t\left|-2-2t\right)$ ergibt
B₂$\left(5|1|4\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+5x_2+x_3=15$ ein.

S₁: => x=$\frac{15}{5}$=3, also S₁$\left(3|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{15}{5}$=3, also S₂$\left(0|3|0\right)$
S₃: => z=$15$=15, also S₃$\left(0|0|15\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 3⋅3 = 4.5, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 15 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅4.5⋅15
=22.5

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{4}$ = $\frac{d^2}{40}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{40}{d}^2$	=	$1440$	|⋅$40$
$d^2$	=	$57600$	|
d1	=	$-\sqrt{57600}$	= $-240$
d2	=	$\sqrt{57600}$	= $240$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+5x_2+4x_3=240$

Aber auch E2: $3x_1+5x_2+4x_3=-240$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-80|0|0), S₂(0|-48|0) und S₃(0|0|-60). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+5x_2+4x_3=240$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{2}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{2}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{120}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{120}{d}^3$	=	$225$	|⋅$120$
$d^3$	=	$27000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{27000}$	= $30$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+2x_2+2x_3=30$

Aber auch E2: $5x_1+2x_2+2x_3=-30$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-15|0) und S₃(0|0|-15). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+2x_2+2x_3=30$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.