Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-10\\ 7\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 9\\ 3\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-8|9|3\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 7\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-10\\ 7\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·2-\left(-4\right)·7\\ -4·\left(-10\right)-8·2\\ 8·7-\left(-8\right)·\left(-10\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16+28\\ 40-16\\ 56-80\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{12}^2+{24}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -24\\ -36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}15\\ -12\\ -29\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -24\\ -36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}15\\ -12\\ -29\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24·\left(-29\right)-\left(-36\right)·\left(-12\right)\\ -36·15-8·\left(-29\right)\\ 8·\left(-12\right)-\left(-24\right)·15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}696-432\\ -540+232\\ -96+360\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ -308\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ -308\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{\mathrm{(-308)}}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·\left(-6\right)-12·12\\ 12·\left(-4\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\\ -6·12-4·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-144\\ -48-36\\ -72+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ -84\\ -56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-168\\ -84\\ -56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-168)}}^2+{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-56)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·\left(-6\right)-12·12\\ 12·\left(-4\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\\ -6·12-4·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-144\\ -48-36\\ -72+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ -84\\ -56\end{array}\right)$ = -28⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ 12\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -6\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|3|-5\right)$ erhält man
d = $6\cdot 0+3\cdot 3+2\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$6x_1+3x_2+2x_3=-1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 16+3\cdot 18+2\cdot (-2)+1|}{\sqrt{6^2+3^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 196 · 21 = 1372

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ -18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-18\right)-\left(-16\right)·0\\ -16·18-2·\left(-18\right)\\ 2·0-8·18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144+0\\ -288+36\\ 0-144\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ -252\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-144\\ -252\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-144)}}^2+{\mathrm{(-252)}}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ -16\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ -18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ -18\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-18\\ t\\ -18\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ -18\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ -18\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-18\\ t\\ -18\end{array}\right)$=$18\cdot \mathrm{(-18)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-18)}\cdot \mathrm{(-18)}=-324\mathrm{+0}\mathrm{+324}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ -16\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-18\\ t\\ -18\end{array}\right)$ = 8⋅t +252 = 0 wird, also t=$-\frac{63}{2}$ = $-\frac{63}{2}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-18\\ -\frac{63}{2}\\ -18\end{array}\right)$ = $\frac{1}{2}$⋅$\left(\begin{array}{c}-36\\ -63\\ -36\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{-9}}{2}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-18\right)-\left(-16\right)·0\\ -16·18-2·\left(-18\right)\\ 2·0-8·18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144+0\\ -288+36\\ 0-144\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ -252\\ -144\end{array}\right)$

= -36⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ -16\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}18\\ 0\\ -18\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+7x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|-1|-2\right)$ erhält man
d = $4\cdot \mathrm{(-3)}+7\cdot \mathrm{(-1)}+4\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$4x_1+7x_2+4x_3=-27$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 17+7\cdot 16+4\cdot 9+27|}{\sqrt{4^2+7^2+4^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 162 · 27 = 1458

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}t\\ -2t\\ -2t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 4\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}t\\ -2t\\ -2t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2t·4-\left(-2t\right)·1\\ -2t·1-t·4\\ t·1-\left(-2t\right)·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8t+2t\\ -2t-4t\\ t+2t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6t\\ -6t\\ 3t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-6t\\ -6t\\ 3t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{36t^2+36t^2+9t^2}$ = $\sqrt{81t^2}$ = $\left|$ 9t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 13,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 9t$\right|$ = 13,5 |⋅2

$\left|$ 9t$\right|$ = 27

1. Fall

$9t$ = 27 |: 9

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(0+1t\right|-3-2t\left|-3-2t\right)$ ergibt
B₁$\left(3|-9|-9\right)$.

2. Fall

- $9t$ = 27 |: -9

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(0+1t\right|-3-2t\left|-3-2t\right)$ ergibt
B₂$\left(-3|3|3\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+x_2+3x_3=9$ ein.

S₁: => x=$\frac{9}{3}$=3, also S₁$\left(3|0|0\right)$
S₂: => y=$9$=9, also S₂$\left(0|9|0\right)$
S₃: => z=$\frac{9}{3}$=3, also S₃$\left(0|0|3\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 3⋅9 = 13.5, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 3 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅13.5⋅3
=13.5

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+3x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+3x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{4}$ = $\frac{d^2}{8}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{8}{d}^2$	=	$18$	|⋅$8$
$d^2$	=	$144$	|
d1	=	$-\sqrt{144}$	= $-12$
d2	=	$\sqrt{144}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2+4x_3=12$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+3x_2+4x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-12|0|0), S₂(0|-4|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2+4x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{3}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{5}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{3}$⋅ $\frac{d}{5}$ = $\frac{d^3}{180}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{180}{d}^3$	=	$150$	|⋅$180$
$d^3$	=	$27000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{27000}$	= $30$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+3x_2+5x_3=30$

Aber auch E2: $2x_1+3x_2+5x_3=-30$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-15|0|0), S₂(0|-10|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+3x_2+5x_3=30$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.