Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 7\\ 4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-3\\ 25\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 32\\ 28\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-5|32|28\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -36\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 25\\ 24\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -36\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ 25\\ 24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36·24-\left(-24\right)·25\\ -24·\left(-3\right)-\left(-8\right)·24\\ -8·25-\left(-36\right)·\left(-3\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-864+600\\ 72+192\\ -200-108\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ 264\\ -308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ 264\\ -308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{264}^2+{\mathrm{(-308)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·0-8·3\\ 8·\left(-3\right)-\left(-8\right)·0\\ -8·3-4·\left(-3\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-24\\ -24+0\\ -24+12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ -16\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ -2\\ 8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ -16\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}16\\ -2\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16·8-\left(-8\right)·\left(-2\right)\\ -8·16-2·8\\ 2·\left(-2\right)-\left(-16\right)·16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-128-16\\ -128-16\\ -4+256\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ -144\\ 252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-144\\ -144\\ 252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-144)}}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{252}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -16\\ -8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ -2\\ 8\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ -16\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}16\\ -2\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16·8-\left(-8\right)·\left(-2\right)\\ -8·16-2·8\\ 2·\left(-2\right)-\left(-16\right)·16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-128-16\\ -128-16\\ -4+256\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ -144\\ 252\end{array}\right)$ = -36⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ -16\\ -8\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}16\\ -2\\ 8\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -7\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+4x_2-7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(5|-5|4\right)$ erhält man
d = $4\cdot 5+4\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-7)}\cdot 4$
also:

$4x_1+4x_2-7x_3=-28$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 25+4\cdot 6-7\cdot (-13)+28|}{\sqrt{4^2+4^2+{(-7)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 324 · 27 = 2916

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}31\\ 6\\ -24\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}31\\ 6\\ -24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·\left(-24\right)-\left(-6\right)·6\\ -6·31-27·\left(-24\right)\\ 27·6-18·31\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-432+36\\ -186+648\\ 162-558\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ 462\\ -396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-396\\ 462\\ -396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-396)}}^2+{462}^2+{\mathrm{(-396)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 726 = 363.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ -6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}31\\ 6\\ -24\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}31\\ 6\\ -24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·\left(-24\right)-\left(-6\right)·6\\ -6·31-27·\left(-24\right)\\ 27·6-18·31\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-432+36\\ -186+648\\ 162-558\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ 462\\ -396\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}31\\ 6\\ -24\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+7x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-4|1|4\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-4)}+7\cdot 1+\mathrm{(-6)}\cdot 4$
also:

$-6x_1+7x_2-6x_3=7$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-20)+7\cdot 16-6\cdot (-23)-7|}{\sqrt{{(-6)}^2+7^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 363 · 33 = 3993

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-2t\\ -6t\\ -3t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -3\\ -5\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-2t\\ -6t\\ -3t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ -3\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6t·\left(-5\right)-\left(-3t\right)·\left(-3\right)\\ -3t·\left(-8\right)-\left(-2t\right)·\left(-5\right)\\ -2t·\left(-3\right)-\left(-6t\right)·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}30t-9t\\ 24t-10t\\ 6t-48t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}21t\\ 14t\\ -42t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}21t\\ 14t\\ -42t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{441t^2+196t^2+1764t^2}$ = $\sqrt{2401t^2}$ = $\left|$ 49t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 122,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 49t$\right|$ = 122,5 |⋅2

$\left|$ 49t$\right|$ = 245

1. Fall

$49t$ = 245 |: 49

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(2-2t\right|5-6t\left|1-3t\right)$ ergibt
B₁$\left(-8|-25|-14\right)$.

2. Fall

- $49t$ = 245 |: -49

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(2-2t\right|5-6t\left|1-3t\right)$ ergibt
B₂$\left(12|35|16\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+5x_2+x_3=15$ ein.

S₁: => x=$15$=15, also S₁$\left(15|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{15}{5}$=3, also S₂$\left(0|3|0\right)$
S₃: => z=$15$=15, also S₃$\left(0|0|15\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 15⋅3 = 22.5, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 15 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅22.5⋅15
=112.5

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{3}$ = $\frac{d^2}{12}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{12}{d}^2$	=	$108$	|⋅$12$
$d^2$	=	$1296$	|
d1	=	$-\sqrt{1296}$	= $-36$
d2	=	$\sqrt{1296}$	= $36$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+4x_2+3x_3=36$

Aber auch E2: $2x_1+4x_2+3x_3=-36$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-18|0|0), S₂(0|-9|0) und S₃(0|0|-12). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+4x_2+3x_3=36$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{3}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{3}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{180}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{180}{d}^3$	=	$495$	|⋅$180$
$d^3$	=	$89100$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{89100}$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+3x_2+2x_3=45$

Aber auch E2: $5x_1+3x_2+2x_3=-45$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-9|0|0), S₂(0|-15|0) und S₃(0|0|-22). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+3x_2+2x_3=45$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.