Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ -15\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -15\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -12\\ -30\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(2|-12|-30\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -15\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·\left(-15\right)-24·\left(-4\right)\\ 24·\left(-2\right)-\left(-8\right)·\left(-15\right)\\ -8·\left(-4\right)-12·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-180+96\\ -48-120\\ 32+24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ -168\\ 56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ -168\\ 56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-168)}}^2+{56}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}36\\ 8\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ -6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}36\\ 8\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-6\right)-24·9\\ 24·2-36·\left(-6\right)\\ 36·9-8·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48-216\\ 48+216\\ 324-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ 264\\ 308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ 264\\ 308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{264}^2+{308}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}13\\ -6\\ 20\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}13\\ -6\\ 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·20-6·\left(-6\right)\\ 6·13-27·20\\ 27·\left(-6\right)-18·13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}360+36\\ 78-540\\ -162-234\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ -462\\ -396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}396\\ -462\\ -396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{396}^2+{\mathrm{(-462)}}^2+{\mathrm{(-396)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-7\\ -1\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}13\\ -6\\ 20\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}13\\ -6\\ 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·20-6·\left(-6\right)\\ 6·13-27·20\\ 27·\left(-6\right)-18·13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}360+36\\ 78-540\\ -162-234\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}396\\ -462\\ -396\end{array}\right)$ = -66⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ 6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}13\\ -6\\ 20\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-7\\ -1\\ 1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ 6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+7x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-7|-1|1\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-7)}+7\cdot \mathrm{(-1)}+6\cdot 1$
also:

$-6x_1+7x_2+6x_3=41$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-14)+7\cdot 20+6\cdot 30-41|}{\sqrt{{(-6)}^2+7^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 726 · 33 = 7986

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 6\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 10\\ -16\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 6\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 10\\ -16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-16\right)-\left(-4\right)·10\\ -4·6-12·\left(-16\right)\\ 12·10-6·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-96+40\\ -24+192\\ 120-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56\\ 168\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-56\\ 168\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-56)}}^2+{168}^2+{84}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 6\\ -4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 10\\ -16\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 6\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 10\\ -16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-16\right)-\left(-4\right)·10\\ -4·6-12·\left(-16\right)\\ 12·10-6·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-96+40\\ -24+192\\ 120-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56\\ 168\\ 84\end{array}\right)$ = 28⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}12\\ 6\\ -4\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}6\\ 10\\ -16\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 3\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+6x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|-4|-2\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 4+6\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$-2x_1+6x_2+3x_3=-38$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-5)+6\cdot 16+3\cdot 1+38|}{\sqrt{{(-2)}^2+6^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 98 · 21 = 686

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-1t\\ -2t\\ -2t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-1t\\ -2t\\ -2t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2t·\left(-1\right)-\left(-2t\right)·2\\ -2t·\left(-2\right)-\left(-t\right)·\left(-1\right)\\ -t·2-\left(-2t\right)·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2t+4t\\ 4t-t\\ -2t-4t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6t\\ 3t\\ -6t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}6t\\ 3t\\ -6t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{36t^2+9t^2+36t^2}$ = $\sqrt{81t^2}$ = $\left|$ 9t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 13,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 9t$\right|$ = 13,5 |⋅2

$\left|$ 9t$\right|$ = 27

1. Fall

$9t$ = 27 |: 9

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-1-1t\right|-5-2t\left|-2-2t\right)$ ergibt
B₁$\left(-4|-11|-8\right)$.

2. Fall

- $9t$ = 27 |: -9

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-1-1t\right|-5-2t\left|-2-2t\right)$ ergibt
B₂$\left(2|1|4\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+2x_2+3x_3=12$ ein.

S₁: => x=$\frac{12}{2}$=6, also S₁$\left(6|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{12}{2}$=6, also S₂$\left(0|6|0\right)$
S₃: => z=$\frac{12}{3}$=4, also S₃$\left(0|0|4\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6⋅6 = 18, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 4 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅18⋅4
=24

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{1}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{1}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{2}$ = $\frac{d^2}{20}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{20}{d}^2$	=	$5$	|⋅$20$
$d^2$	=	$100$	|
d1	=	$-\sqrt{100}$	= $-10$
d2	=	$\sqrt{100}$	= $10$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+2x_2+x_3=10$

Aber auch E2: $5x_1+2x_2+x_3=-10$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-2|0|0), S₂(0|-5|0) und S₃(0|0|-10). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+2x_2+x_3=10$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{4}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{3}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{4}$⋅ $\frac{d}{3}$ = $\frac{d^3}{360}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{360}{d}^3$	=	$16200$	|⋅$360$
$d^3$	=	$5832000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{5832000}$	= $180$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+4x_2+3x_3=180$

Aber auch E2: $5x_1+4x_2+3x_3=-180$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-36|0|0), S₂(0|-45|0) und S₃(0|0|-60). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+4x_2+3x_3=180$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.