Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}19\\ 0\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}15\\ 0\\ 9\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(15|0|9\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}19\\ 0\\ 8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}19\\ 0\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·8-\left(-12\right)·0\\ -12·19-\left(-16\right)·8\\ -16·0-0·19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ -228+128\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{\mathrm{(-100)}}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-9\\ -4\\ -1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-9\\ -4\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-1\right)-12·\left(-4\right)\\ 12·\left(-9\right)-24·\left(-1\right)\\ 24·\left(-4\right)-\left(-8\right)·\left(-9\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8+48\\ -108+24\\ -96-72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56\\ -84\\ -168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}56\\ -84\\ -168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{56}^2+{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-168)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -3\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -16\\ 8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -3\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -16\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3·8-\left(-12\right)·\left(-16\right)\\ -12·\left(-2\right)-\left(-24\right)·8\\ -24·\left(-16\right)-\left(-3\right)·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-192\\ 24+192\\ 384-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ 216\\ 378\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-216\\ 216\\ 378\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-216)}}^2+{216}^2+{378}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 486.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ -3\\ -12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -16\\ 8\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ -3\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -16\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3·8-\left(-12\right)·\left(-16\right)\\ -12·\left(-2\right)-\left(-24\right)·8\\ -24·\left(-16\right)-\left(-3\right)·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-192\\ 24+192\\ 384-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ 216\\ 378\end{array}\right)$ = 54⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-24\\ -3\\ -12\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-2\\ -16\\ 8\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 7\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-4x_1+4x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|-4|4\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}+4\cdot \mathrm{(-4)}+7\cdot 4$
also:

$-4x_1+4x_2+7x_3=32$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-4\cdot (-18)+4\cdot 0+7\cdot 29-32|}{\sqrt{{(-4)}^2+4^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 486 · 27 = 4374

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ -10\\ 6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-16\\ -10\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·6-12·\left(-10\right)\\ 12·\left(-16\right)-\left(-4\right)·6\\ -4·\left(-10\right)-\left(-6\right)·\left(-16\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36+120\\ -192+24\\ 40-96\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ -168\\ -56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}84\\ -168\\ -56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{84}^2+{\mathrm{(-168)}}^2+{\mathrm{(-56)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-16\\ -10\\ 6\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-16\\ -10\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·6-12·\left(-10\right)\\ 12·\left(-16\right)-\left(-4\right)·6\\ -4·\left(-10\right)-\left(-6\right)·\left(-16\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36+120\\ -192+24\\ 40-96\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ -168\\ -56\end{array}\right)$ = 28⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ 12\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-16\\ -10\\ 6\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1-6x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|-5|-3\right)$ erhält man
d = $3\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}$
also:

$3x_1-6x_2-2x_3=27$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot 0-6\cdot (-25)-2\cdot (-12)-27|}{\sqrt{3^2+{(-6)}^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 98 · 21 = 686

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}6t\\ -2t\\ -3t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -2\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6t\\ -2t\\ -3t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2t·\left(-2\right)-\left(-3t\right)·\left(-6\right)\\ -3t·\left(-3\right)-6t·\left(-2\right)\\ 6t·\left(-6\right)-\left(-2t\right)·\left(-3\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4t-18t\\ 9t+12t\\ -36t-6t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-14t\\ 21t\\ -42t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-14t\\ 21t\\ -42t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{196t^2+441t^2+1764t^2}$ = $\sqrt{2401t^2}$ = $\left|$ 49t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 98 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 49t$\right|$ = 98 |⋅2

$\left|$ 49t$\right|$ = 196

1. Fall

$49t$ = 196 |: 49

t = 4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(0+6t\right|-2-2t\left|-3-3t\right)$ ergibt
B₁$\left(24|-10|-15\right)$.

2. Fall

- $49t$ = 196 |: -49

t = -4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(0+6t\right|-2-2t\left|-3-3t\right)$ ergibt
B₂$\left(-24|6|9\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+2x_2+4x_3=12$ ein.

S₁: => x=$\frac{6}{2}$=3, also S₁$\left(6|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{6}{2}$=3, also S₂$\left(0|6|0\right)$
S₃: => z=$\frac{6}{4}$=1.5, also S₃$\left(0|0|3\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6⋅6 = 18, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 3 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅18⋅3
=18

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{5}$ = $\frac{d^2}{20}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{20}{d}^2$	=	$720$	|⋅$20$
$d^2$	=	$14400$	|
d1	=	$-\sqrt{14400}$	= $-120$
d2	=	$\sqrt{14400}$	= $120$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+2x_2+5x_3=120$

Aber auch E2: $3x_1+2x_2+5x_3=-120$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-40|0|0), S₂(0|-60|0) und S₃(0|0|-24). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+2x_2+5x_3=120$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{3}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{3}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{3}$⋅ $\frac{d}{3}$ = $\frac{d^3}{54}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{54}{d}^3$	=	$4$	|⋅$54$
$d^3$	=	$216$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{216}$	= $6$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2+3x_3=6$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+3x_2+3x_3=-6$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-2|0) und S₃(0|0|-2). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2+3x_3=6$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.