Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -5\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\\ -8\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(8|3|-8\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -3\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·\left(-3\right)-8·0\\ 8·6-\left(-8\right)·\left(-3\right)\\ -8·0-\left(-4\right)·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12+0\\ 48-24\\ 0+24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ 24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ 24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{12}^2+{24}^2+{24}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ -32\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ -9\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ -32\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ -9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32·\left(-9\right)-\left(-4\right)·\left(-9\right)\\ -4·0-\left(-16\right)·\left(-9\right)\\ -16·\left(-9\right)-\left(-32\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}288-36\\ 0-144\\ 144+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -144\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ -144\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ 27\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -18\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ 27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ -18\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·4-27·\left(-18\right)\\ 27·\left(-12\right)-18·4\\ 18·\left(-18\right)-\left(-6\right)·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24+486\\ -324-72\\ -324-72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}462\\ -396\\ -396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}462\\ -396\\ -396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{462}^2+{\mathrm{(-396)}}^2+{\mathrm{(-396)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ 27\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ -18\\ 4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ 27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ -18\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·4-27·\left(-18\right)\\ 27·\left(-12\right)-18·4\\ 18·\left(-18\right)-\left(-6\right)·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24+486\\ -324-72\\ -324-72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}462\\ -396\\ -396\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ 27\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-12\\ -18\\ 4\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1-6x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|-1|-4\right)$ erhält man
d = $7\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-4)}$
also:

$7x_1-6x_2-6x_3=16$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 13-6\cdot (-28)-6\cdot (-20)-16|}{\sqrt{7^2+{(-6)}^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 726 · 33 = 7986

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}10\\ 8\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ 8\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3·4-6·8\\ 6·10-6·4\\ 6·8-3·10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12-48\\ 60-24\\ 48-30\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ 36\\ 18\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-36\\ 36\\ 18\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-36)}}^2+{36}^2+{18}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 54 = 27.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 8\\ 4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ 8\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3·4-6·8\\ 6·10-6·4\\ 6·8-3·10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12-48\\ 60-24\\ 48-30\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ 36\\ 18\end{array}\right)$ = 18⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}10\\ 8\\ 4\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-2x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|-2|-5\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-2)}\cdot 0+2\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$-2x_1+2x_2+x_3=-9$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-2\cdot (-3)+2\cdot 7+1\cdot (-2)+9|}{\sqrt{{(-2)}^2+2^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 27 · 9 = 81

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}8t\\ 4t\\ t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 9\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8t\\ 4t\\ t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4t·9-t·0\\ t·9-8t·9\\ 8t·0-4t·9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36t+0\\ 9t-72t\\ 0-36t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36t\\ -63t\\ -36t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}36t\\ -63t\\ -36t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1296t^2+3969t^2+1296t^2}$ = $\sqrt{6561t^2}$ = $\left|$ 81t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 202,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 81t$\right|$ = 202,5 |⋅2

$\left|$ 81t$\right|$ = 405

1. Fall

$81t$ = 405 |: 81

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-12+8t\right|-4+4t\left|-3+1t\right)$ ergibt
B₁$\left(28|16|2\right)$.

2. Fall

- $81t$ = 405 |: -81

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-12+8t\right|-4+4t\left|-3+1t\right)$ ergibt
B₂$\left(-52|-24|-8\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+4x_2+4x_3=12$ ein.

S₁: => x=$12$=12, also S₁$\left(12|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{12}{4}$=3, also S₂$\left(0|3|0\right)$
S₃: => z=$\frac{12}{4}$=3, also S₃$\left(0|0|3\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 12⋅3 = 18, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 3 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅18⋅3
=18

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{2}$ = $\frac{d^2}{20}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{20}{d}^2$	=	$5$	|⋅$20$
$d^2$	=	$100$	|
d1	=	$-\sqrt{100}$	= $-10$
d2	=	$\sqrt{100}$	= $10$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+5x_2+2x_3=10$

Aber auch E2: $2x_1+5x_2+2x_3=-10$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-5|0|0), S₂(0|-2|0) und S₃(0|0|-5). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+5x_2+2x_3=10$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{3}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{5}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{3}$⋅ $\frac{d}{5}$ = $\frac{d^3}{450}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{450}{d}^3$	=	$\mathrm{202,5}$	|⋅$450$
$d^3$	=	$91125$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{91125}$	= $45$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+3x_2+5x_3=45$

Aber auch E2: $5x_1+3x_2+5x_3=-45$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-9|0|0), S₂(0|-15|0) und S₃(0|0|-9). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+3x_2+5x_3=45$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.