Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 5\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 21\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 26\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(5|-5|26\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 21\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 21\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·21-\left(-24\right)·\left(-7\right)\\ -24·0-\left(-8\right)·21\\ -8·\left(-7\right)-12·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252-168\\ 0+168\\ 56+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ 168\\ 56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}84\\ 168\\ 56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{84}^2+{168}^2+{56}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 24\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}10\\ 9\\ -8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 24\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ 9\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24·\left(-8\right)-\left(-12\right)·9\\ -12·10-8·\left(-8\right)\\ 8·9-24·10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-192+108\\ -120+64\\ 72-240\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ -56\\ -168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ -56\\ -168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-56)}}^2+{\mathrm{(-168)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 196 = 98.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 8\\ -2\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -8\\ -16\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 8\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -8\\ -16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-16\right)-\left(-2\right)·\left(-8\right)\\ -2·\left(-2\right)-\left(-16\right)·\left(-16\right)\\ -16·\left(-8\right)-8·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-128-16\\ 4-256\\ 128+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ -252\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-144\\ -252\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-144)}}^2+{\mathrm{(-252)}}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-16\\ 8\\ -2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -8\\ -16\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 8\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -8\\ -16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-16\right)-\left(-2\right)·\left(-8\right)\\ -2·\left(-2\right)-\left(-16\right)·\left(-16\right)\\ -16·\left(-8\right)-8·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-128-16\\ 4-256\\ 128+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-144\\ -252\\ 144\end{array}\right)$ = -36⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-16\\ 8\\ -2\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-2\\ -8\\ -16\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+7x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|0|-5\right)$ erhält man
d = $4\cdot 4+7\cdot 0+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$4x_1+7x_2-4x_3=36$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 15+7\cdot 17-4\cdot (-25)-36|}{\sqrt{4^2+7^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 324 · 27 = 2916

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ 12\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}20\\ 8\\ 34\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ 12\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}20\\ 8\\ 34\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·34-24·8\\ 24·20-3·34\\ 3·8-12·20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}408-192\\ 480-102\\ 24-240\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216\\ 378\\ -216\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}216\\ 378\\ -216\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{216}^2+{378}^2+{\mathrm{(-216)}}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 486 = 243.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ -13\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 12\\ 24\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 8\\ 34\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ 12\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}20\\ 8\\ 34\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·34-24·8\\ 24·20-3·34\\ 3·8-12·20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}408-192\\ 480-102\\ 24-240\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}216\\ 378\\ -216\end{array}\right)$ = 54⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 12\\ 24\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}20\\ 8\\ 34\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ -13\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+7x_2-4x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|-4|-13\right)$ erhält man
d = $4\cdot \mathrm{(-3)}+7\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-13)}$
also:

$4x_1+7x_2-4x_3=12$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 18+7\cdot 17-4\cdot (-16)-12|}{\sqrt{4^2+7^2+{(-4)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 243 · 27 = 2187

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-2t\\ -2t\\ t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-2t\\ -2t\\ t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2t·1-t·4\\ t·1-\left(-2t\right)·1\\ -2t·4-\left(-2t\right)·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2t-4t\\ t+2t\\ -8t+2t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6t\\ 3t\\ -6t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-6t\\ 3t\\ -6t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{36t^2+9t^2+36t^2}$ = $\sqrt{81t^2}$ = $\left|$ 9t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 18 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 9t$\right|$ = 18 |⋅2

$\left|$ 9t$\right|$ = 36

1. Fall

$9t$ = 36 |: 9

t = 4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-4-2t\right|-4-2t\left|-3+1t\right)$ ergibt
B₁$\left(-12|-12|1\right)$.

2. Fall

- $9t$ = 36 |: -9

t = -4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-4-2t\right|-4-2t\left|-3+1t\right)$ ergibt
B₂$\left(4|4|-7\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+4x_2+2x_3=60$ ein.

S₁: => x=$\frac{60}{5}$=12, also S₁$\left(12|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{60}{4}$=15, also S₂$\left(0|15|0\right)$
S₃: => z=$\frac{60}{2}$=30, also S₃$\left(0|0|30\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 12⋅15 = 90, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 30 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅90⋅30
=900

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{4}$ = $\frac{d^2}{16}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{16}{d}^2$	=	$81$	|⋅$16$
$d^2$	=	$1296$	|
d1	=	$-\sqrt{1296}$	= $-36$
d2	=	$\sqrt{1296}$	= $36$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+4x_2+3x_3=36$

Aber auch E2: $2x_1+4x_2+3x_3=-36$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-18|0|0), S₂(0|-9|0) und S₃(0|0|-12). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+4x_2+3x_3=36$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{4}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{4}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{240}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{240}{d}^3$	=	$900$	|⋅$240$
$d^3$	=	$216000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{216000}$	= $60$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+4x_2+2x_3=60$

Aber auch E2: $5x_1+4x_2+2x_3=-60$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-12|0|0), S₂(0|-15|0) und S₃(0|0|-30). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+4x_2+2x_3=60$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.