Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}2\\ 27\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 26\\ 6\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(0|26|6\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 27\\ 10\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 27\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24·10-\left(-12\right)·27\\ -12·2-\left(-8\right)·10\\ -8·27-\left(-24\right)·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-240+324\\ -24+80\\ -216+48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ 56\\ -168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}84\\ 56\\ -168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{84}^2+{56}^2+{\mathrm{(-168)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-36\\ -8\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-29\\ -15\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-36\\ -8\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-29\\ -15\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-12\right)-\left(-24\right)·\left(-15\right)\\ -24·\left(-29\right)-\left(-36\right)·\left(-12\right)\\ -36·\left(-15\right)-\left(-8\right)·\left(-29\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}96-360\\ 696-432\\ 540-232\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ 264\\ 308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ 264\\ 308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{264}^2+{308}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}9\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ -14\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}9\\ 18\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ -14\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·\left(-14\right)-\left(-6\right)·0\\ -6·7-9·\left(-14\right)\\ 9·0-18·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-252+0\\ -42+126\\ 0-126\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-252\\ 84\\ -126\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-252\\ 84\\ -126\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-252)}}^2+{84}^2+{\mathrm{(-126)}}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 18\\ -6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ -14\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ -14\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-14\\ t\\ -7\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ -14\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ -14\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-14\\ t\\ -7\end{array}\right)$=$7\cdot \mathrm{(-14)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-14)}\cdot \mathrm{(-7)}=-98\mathrm{+0}\mathrm{+98}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}9\\ 18\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-14\\ t\\ -7\end{array}\right)$ = 18⋅t -84 = 0 wird, also t=$\frac{14}{3}$ = $\frac{14}{3}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ \frac{14}{3}\\ -7\end{array}\right)$ = $\frac{1}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}-42\\ 14\\ -21\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{-7}}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}9\\ 18\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ -14\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·\left(-14\right)-\left(-6\right)·0\\ -6·7-9·\left(-14\right)\\ 9·0-18·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-252+0\\ -42+126\\ 0-126\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-252\\ 84\\ -126\end{array}\right)$

= -42⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}9\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ -14\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ 4\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 3\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1-2x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-4|-6|4\right)$ erhält man
d = $6\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}+3\cdot 4$
also:

$6x_1-2x_2+3x_3=0$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 19-2\cdot (-9)+3\cdot 5-0|}{\sqrt{6^2+{(-2)}^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}36\\ 24\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}49\\ 18\\ -28\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}36\\ 24\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}49\\ 18\\ -28\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24·\left(-28\right)-\left(-8\right)·18\\ -8·49-36·\left(-28\right)\\ 36·18-24·49\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-672+144\\ -392+1008\\ 648-1176\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-528\\ 616\\ -528\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-528\\ 616\\ -528\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-528)}}^2+{616}^2+{\mathrm{(-528)}}^2}=\sqrt{937024}=968$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 968 = 484.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-10\\ -10\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}36\\ 24\\ -8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}49\\ 18\\ -28\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}36\\ 24\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}49\\ 18\\ -28\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24·\left(-28\right)-\left(-8\right)·18\\ -8·49-36·\left(-28\right)\\ 36·18-24·49\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-672+144\\ -392+1008\\ 648-1176\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-528\\ 616\\ -528\end{array}\right)$ = 88⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}36\\ 24\\ -8\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}49\\ 18\\ -28\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-10\\ -10\\ -2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1+7x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-10|-10|-2\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-10)}+7\cdot \mathrm{(-10)}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$-6x_1+7x_2-6x_3=2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-17)+7\cdot 11-6\cdot (-31)-2|}{\sqrt{{(-6)}^2+7^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 484 · 33 = 5324

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}4t\\ 3t\\ 0t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}9\\ 13\\ 0\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4t\\ 3t\\ 0t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}9\\ 13\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3t·0-0·13\\ 0·9-4t·0\\ 4t·13-3t·9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ 52t-27t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 25t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 25t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0+0+625t^2}$ = $\sqrt{625t^2}$ = $\left|$ 25t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 62,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 25t$\right|$ = 62,5 |⋅2

$\left|$ 25t$\right|$ = 125

1. Fall

$25t$ = 125 |: 25

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-9+4t\right|-8+3t\left|-3+0t\right)$ ergibt
B₁$\left(11|7|-3\right)$.

2. Fall

- $25t$ = 125 |: -25

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-9+4t\right|-8+3t\left|-3+0t\right)$ ergibt
B₂$\left(-29|-23|-3\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+5x_2+2x_3=60$ ein.

S₁: => x=$\frac{60}{4}$=15, also S₁$\left(15|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{60}{5}$=12, also S₂$\left(0|12|0\right)$
S₃: => z=$\frac{60}{2}$=30, also S₃$\left(0|0|30\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 15⋅12 = 90, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 30 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅90⋅30
=900

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{1}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{1}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{1}$ = $\frac{d^2}{4}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{4}{d}^2$	=	$36$	|⋅$4$
$d^2$	=	$144$	|
d1	=	$-\sqrt{144}$	= $-12$
d2	=	$\sqrt{144}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+2x_2+x_3=12$

Aber auch E2: $4x_1+2x_2+x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-12). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+2x_2+x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{3}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{5}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{3}$⋅ $\frac{d}{5}$ = $\frac{d^3}{180}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{180}{d}^3$	=	$495$	|⋅$180$
$d^3$	=	$89100$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{89100}$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+3x_2+5x_3=45$

Aber auch E2: $2x_1+3x_2+5x_3=-45$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-22|0|0), S₂(0|-15|0) und S₃(0|0|-9). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+3x_2+5x_3=45$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.