Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-33\\ 13\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-31\\ 8\\ 2\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-31|8|2\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}24\\ -12\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-33\\ 13\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}24\\ -12\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-33\\ 13\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·4-\left(-8\right)·13\\ -8·\left(-33\right)-24·4\\ 24·13-\left(-12\right)·\left(-33\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48+104\\ 264-96\\ 312-396\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56\\ 168\\ -84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}56\\ 168\\ -84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{56}^2+{168}^2+{\mathrm{(-84)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ 4\\ 32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 7\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 4\\ 32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 7\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·\left(-7\right)-32·7\\ 32·\left(-8\right)-16·\left(-7\right)\\ 16·7-4·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-28-224\\ -256+112\\ 112+32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-252\\ -144\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-252\\ -144\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-252)}}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 324 = 162.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 18\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 4\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 18\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-18\\ 4\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·\left(-12\right)-12·4\\ 12·\left(-18\right)-\left(-4\right)·\left(-12\right)\\ -4·4-18·\left(-18\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216-48\\ -216-48\\ -16+324\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ -264\\ 308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ -264\\ 308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{308}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 18\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 4\\ -12\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 18\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-18\\ 4\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·\left(-12\right)-12·4\\ 12·\left(-18\right)-\left(-4\right)·\left(-12\right)\\ -4·4-18·\left(-18\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216-48\\ -216-48\\ -16+324\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ -264\\ 308\end{array}\right)$ = 44⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 18\\ 12\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-18\\ 4\\ -12\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6x_1-6x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|-4|5\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-6)}\cdot 4+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-4)}+7\cdot 5$
also:

$-6x_1-6x_2+7x_3=35$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-6\cdot (-23)-6\cdot (-20)+7\cdot 20-35|}{\sqrt{{(-6)}^2+{(-6)}^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 484 · 33 = 5324

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ 6\\ -27\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 24\\ -31\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ 6\\ -27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 24\\ -31\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-31\right)-\left(-27\right)·24\\ -27·6-18·\left(-31\right)\\ 18·24-6·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-186+648\\ -162+558\\ 432-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}462\\ 396\\ 396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}462\\ 396\\ 396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{462}^2+{396}^2+{396}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 726 = 363.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 6\\ -27\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 24\\ -31\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ 6\\ -27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 24\\ -31\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-31\right)-\left(-27\right)·24\\ -27·6-18·\left(-31\right)\\ 18·24-6·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-186+648\\ -162+558\\ 432-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}462\\ 396\\ 396\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}18\\ 6\\ -27\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}6\\ 24\\ -31\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1+6x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-5|-4|-5\right)$ erhält man
d = $7\cdot \mathrm{(-5)}+6\cdot \mathrm{(-4)}+6\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$7x_1+6x_2+6x_3=-89$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 10+6\cdot 23+6\cdot 11+89|}{\sqrt{7^2+6^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 363 · 33 = 3993

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}9t\\ 2t\\ -6t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 7\\ 12\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}9t\\ 2t\\ -6t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 7\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2t·12-\left(-6t\right)·7\\ -6t·\left(-7\right)-9t·12\\ 9t·7-2t·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24t+42t\\ 42t-108t\\ 63t+14t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}66t\\ -66t\\ 77t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}66t\\ -66t\\ 77t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4356t^2+4356t^2+5929t^2}$ = $\sqrt{14641t^2}$ = $\left|$ 121t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 302,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 121t$\right|$ = 302,5 |⋅2

$\left|$ 121t$\right|$ = 605

1. Fall

$121t$ = 605 |: 121

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(5+9t\right|-1+2t\left|-1-6t\right)$ ergibt
B₁$\left(50|9|-31\right)$.

2. Fall

- $121t$ = 605 |: -121

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(5+9t\right|-1+2t\left|-1-6t\right)$ ergibt
B₂$\left(-40|-11|29\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+5x_2+5x_3=15$ ein.

S₁: => x=$15$=15, also S₁$\left(15|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{15}{5}$=3, also S₂$\left(0|3|0\right)$
S₃: => z=$\frac{15}{5}$=3, also S₃$\left(0|0|3\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 15⋅3 = 22.5, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 3 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅22.5⋅3
=22.5

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{5}$ = $\frac{d^2}{50}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{50}{d}^2$	=	$18$	|⋅$50$
$d^2$	=	$900$	|
d1	=	$-\sqrt{900}$	= $-30$
d2	=	$\sqrt{900}$	= $30$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+3x_2+5x_3=30$

Aber auch E2: $5x_1+3x_2+5x_3=-30$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-10|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+3x_2+5x_3=30$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+3x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{3}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{3}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{3}$⋅ $\frac{d}{3}$ = $\frac{d^3}{216}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{216}{d}^3$	=	$64$	|⋅$216$
$d^3$	=	$13824$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{13824}$	= $24$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+3x_2+3x_3=24$

Aber auch E2: $4x_1+3x_2+3x_3=-24$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-8|0) und S₃(0|0|-8). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+3x_2+3x_3=24$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.