Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\\ 6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-1\\ -43\\ -36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -39\\ -30\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(5|-39|-30\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 36\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -43\\ -36\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 36\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ -43\\ -36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36·\left(-36\right)-24·\left(-43\right)\\ 24·\left(-1\right)-8·\left(-36\right)\\ 8·\left(-43\right)-36·\left(-1\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1296+1032\\ -24+288\\ -344+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-264\\ 264\\ -308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-264\\ 264\\ -308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-264)}}^2+{264}^2+{\mathrm{(-308)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 484.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·1-16·0\\ 16·\left(-7\right)-\left(-12\right)·1\\ -12·0-0·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ -112+12\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{\mathrm{(-100)}}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-4\right)-\left(-8\right)·\left(-2\right)\\ -8·5-4·\left(-4\right)\\ 4·\left(-2\right)-8·5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32-16\\ -40+16\\ -8-40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ -48\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ -48\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-48)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-48)}}^2}=\sqrt{5184}=72$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 72.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-4\right)-\left(-8\right)·\left(-2\right)\\ -8·5-4·\left(-4\right)\\ 4·\left(-2\right)-8·5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32-16\\ -40+16\\ -8-40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48\\ -24\\ -48\end{array}\right)$ = -24⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -8\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -4\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|-2|-2\right)$ erhält man
d = $2\cdot \mathrm{(-2)}+1\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$2x_1+x_2+2x_3=-10$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 7+1\cdot 1+2\cdot 1+10|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 72 · 9 = 216

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ -6\\ 27\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -26\\ 40\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ -6\\ 27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ -26\\ 40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·40-27·\left(-26\right)\\ 27·\left(-12\right)-\left(-18\right)·40\\ -18·\left(-26\right)-\left(-6\right)·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-240+702\\ -324+720\\ 468-72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}462\\ 396\\ 396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}462\\ 396\\ 396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{462}^2+{396}^2+{396}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 726 = 363.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}7\\ -3\\ -7\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ -6\\ 27\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ -26\\ 40\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ -6\\ 27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ -26\\ 40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·40-27·\left(-26\right)\\ 27·\left(-12\right)-\left(-18\right)·40\\ -18·\left(-26\right)-\left(-6\right)·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-240+702\\ -324+720\\ 468-72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}462\\ 396\\ 396\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-18\\ -6\\ 27\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-12\\ -26\\ 40\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}7\\ -3\\ -7\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1+6x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(7|-3|-7\right)$ erhält man
d = $7\cdot 7+6\cdot \mathrm{(-3)}+6\cdot \mathrm{(-7)}$
also:

$7x_1+6x_2+6x_3=-11$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 28+6\cdot 4+6\cdot 22+11|}{\sqrt{7^2+6^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 363 · 33 = 3993

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-2t\\ 2t\\ -1t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -4\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-2t\\ 2t\\ -1t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2t·\left(-4\right)-\left(-t\right)·2\\ -t·\left(-5\right)-\left(-2t\right)·\left(-4\right)\\ -2t·2-2t·\left(-5\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8t+2t\\ 5t-8t\\ -4t+10t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6t\\ -3t\\ 6t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-6t\\ -3t\\ 6t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{36t^2+9t^2+36t^2}$ = $\sqrt{81t^2}$ = $\left|$ 9t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 9 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 9t$\right|$ = 9 |⋅2

$\left|$ 9t$\right|$ = 18

1. Fall

$9t$ = 18 |: 9

t = 2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(1-2t\right|1+2t\left|1-1t\right)$ ergibt
B₁$\left(-3|5|-1\right)$.

2. Fall

- $9t$ = 18 |: -9

t = -2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(1-2t\right|1+2t\left|1-1t\right)$ ergibt
B₂$\left(5|-3|3\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+3x_2+3x_3=18$ ein.

S₁: => x=$\frac{18}{2}$=9, also S₁$\left(9|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{18}{3}$=6, also S₂$\left(0|6|0\right)$
S₃: => z=$\frac{18}{3}$=6, also S₃$\left(0|0|6\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 9⋅6 = 27, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅27⋅6
=54

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+4x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{5}$ = $\frac{d^2}{40}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{40}{d}^2$	=	$160$	|⋅$40$
$d^2$	=	$6400$	|
d1	=	$-\sqrt{6400}$	= $-80$
d2	=	$\sqrt{6400}$	= $80$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+4x_2+5x_3=80$

Aber auch E2: $2x_1+4x_2+5x_3=-80$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-40|0|0), S₂(0|-20|0) und S₃(0|0|-16). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+4x_2+5x_3=80$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{2}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{4}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{2}$⋅ $\frac{d}{4}$ = $\frac{d^3}{192}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{192}{d}^3$	=	$9$	|⋅$192$
$d^3$	=	$1728$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{1728}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+2x_2+4x_3=12$

Aber auch E2: $4x_1+2x_2+4x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+2x_2+4x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.