Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ 14\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}12\\ 6\\ 15\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}19\\ 6\\ 29\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(19|6|29\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 4\\ -32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 6\\ 15\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-16\\ 4\\ -32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ 6\\ 15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·15-\left(-32\right)·6\\ -32·12-\left(-16\right)·15\\ -16·6-4·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}60+192\\ -384+240\\ -96-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252\\ -144\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}252\\ -144\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{252}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -16\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}10\\ -5\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ -16\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ -5\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16·0-0·\left(-5\right)\\ 0·10-12·0\\ 12·\left(-5\right)-\left(-16\right)·10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 0+0\\ -60+160\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+0^2+{100}^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 3\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 16\\ -8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ 3\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 16\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3·\left(-8\right)-12·16\\ 12·\left(-2\right)-\left(-24\right)·\left(-8\right)\\ -24·16-3·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-192\\ -24-192\\ -384+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ -216\\ -378\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-216\\ -216\\ -378\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-216)}}^2+{\mathrm{(-216)}}^2+{\mathrm{(-378)}}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 486.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 3\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 16\\ -8\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ 3\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 16\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3·\left(-8\right)-12·16\\ 12·\left(-2\right)-\left(-24\right)·\left(-8\right)\\ -24·16-3·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24-192\\ -24-192\\ -384+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ -216\\ -378\end{array}\right)$ = -54⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-24\\ 3\\ 12\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-2\\ 16\\ -8\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 7\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+4x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|-5|1\right)$ erhält man
d = $4\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot \mathrm{(-5)}+7\cdot 1$
also:

$4x_1+4x_2+7x_3=-25$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 8+4\cdot 15+7\cdot 18+25|}{\sqrt{4^2+4^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 486 · 27 = 4374

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ 36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-28\\ -18\\ 49\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ 36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-28\\ -18\\ 49\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24·49-36·\left(-18\right)\\ 36·\left(-28\right)-\left(-8\right)·49\\ -8·\left(-18\right)-\left(-24\right)·\left(-28\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1176+648\\ -1008+392\\ 144-672\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-528\\ -616\\ -528\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-528\\ -616\\ -528\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-528)}}^2+{\mathrm{(-616)}}^2+{\mathrm{(-528)}}^2}=\sqrt{937024}=968$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 968 = 484.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ -14\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ 36\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-28\\ -18\\ 49\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ 36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-28\\ -18\\ 49\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24·49-36·\left(-18\right)\\ 36·\left(-28\right)-\left(-8\right)·49\\ -8·\left(-18\right)-\left(-24\right)·\left(-28\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1176+648\\ -1008+392\\ 144-672\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-528\\ -616\\ -528\end{array}\right)$ = -88⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ 36\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-28\\ -18\\ 49\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ -14\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1+7x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|5|-14\right)$ erhält man
d = $6\cdot \mathrm{(-3)}+7\cdot 5+6\cdot \mathrm{(-14)}$
also:

$6x_1+7x_2+6x_3=-67$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 4+7\cdot 26+6\cdot 15+67|}{\sqrt{6^2+7^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 484 · 33 = 5324

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}6t\\ -2t\\ -9t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -11\\ -11\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}6t\\ -2t\\ -9t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -11\\ -11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2t·\left(-11\right)-\left(-9t\right)·\left(-11\right)\\ -9t·0-6t·\left(-11\right)\\ 6t·\left(-11\right)-\left(-2t\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}22t-99t\\ 0+66t\\ -66t+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-77t\\ 66t\\ -66t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-77t\\ 66t\\ -66t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{5929t^2+4356t^2+4356t^2}$ = $\sqrt{14641t^2}$ = $\left|$ 121t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 121 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 121t$\right|$ = 121 |⋅2

$\left|$ 121t$\right|$ = 242

1. Fall

$121t$ = 242 |: 121

t = 2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-10+6t\right|0-2t\left|13-9t\right)$ ergibt
B₁$\left(2|-4|-5\right)$.

2. Fall

- $121t$ = 242 |: -121

t = -2

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-10+6t\right|0-2t\left|13-9t\right)$ ergibt
B₂$\left(-22|4|31\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+2x_2+2x_3=6$ ein.

S₁: => x=$\frac{3}{2}$=1.5, also S₁$\left(3|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{3}{2}$=1.5, also S₂$\left(0|3|0\right)$
S₃: => z=$\frac{3}{2}$=1.5, also S₃$\left(0|0|3\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 3⋅3 = 4.5, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 3 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅4.5⋅3
=4.5

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{2}$ = $\frac{d^2}{12}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{12}{d}^2$	=	$3$	|⋅$12$
$d^2$	=	$36$	|
d1	=	$-\sqrt{36}$	= $-6$
d2	=	$\sqrt{36}$	= $6$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+3x_2+2x_3=6$

Aber auch E2: $2x_1+3x_2+2x_3=-6$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-2|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+3x_2+2x_3=6$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+3x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+3x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{3}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{4}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{3}$⋅ $\frac{d}{4}$ = $\frac{d^3}{144}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{144}{d}^3$	=	$324$	|⋅$144$
$d^3$	=	$46656$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{46656}$	= $36$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+3x_2+4x_3=36$

Aber auch E2: $2x_1+3x_2+4x_3=-36$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-18|0|0), S₂(0|-12|0) und S₃(0|0|-9). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+3x_2+4x_3=36$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.