Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-8\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 1\\ -3\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-10|1|-3\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 1\\ -5\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 1\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·\left(-5\right)-8·1\\ 8·\left(-8\right)-8·\left(-5\right)\\ 8·1-\left(-4\right)·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}20-8\\ -64+40\\ 8-32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{12}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 36.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}36\\ 8\\ -24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ 6\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}36\\ 8\\ -24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·6-\left(-24\right)·9\\ -24·2-36·6\\ 36·9-8·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48+216\\ -48-216\\ 324-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ -264\\ 308\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ -264\\ 308\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{\mathrm{(-264)}}^2+{308}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ 4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ 6\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·4-9·12\\ 9·\left(-6\right)-18·4\\ 18·12-6·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-108\\ -54-72\\ 216+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ -126\\ 252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-84\\ -126\\ 252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-84)}}^2+{\mathrm{(-126)}}^2+{252}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ 6\\ 9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ 4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ 6\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·4-9·12\\ 9·\left(-6\right)-18·4\\ 18·12-6·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24-108\\ -54-72\\ 216+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-84\\ -126\\ 252\end{array}\right)$ = -42⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}18\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-6\\ 12\\ 4\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+3x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|3|1\right)$ erhält man
d = $2\cdot 1+3\cdot 3+\mathrm{(-6)}\cdot 1$
also:

$2x_1+3x_2-6x_3=5$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 4+3\cdot 18-6\cdot (-15)-5|}{\sqrt{2^2+3^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 18\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 22\\ -22\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 18\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 22\\ -22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·\left(-22\right)-\left(-4\right)·22\\ -4·0-12·\left(-22\right)\\ 12·22-18·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396+88\\ 0+264\\ 264+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-308)}}^2+{264}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 18\\ -4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 22\\ -22\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 22\\ -22\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 22\\ 22\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 22\\ -22\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 22\\ -22\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 22\\ 22\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+22\cdot 22+\mathrm{(-22)}\cdot 22=0\mathrm{+484}-484=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}12\\ 18\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 22\\ 22\end{array}\right)$ = 12⋅t +308 = 0 wird, also t=$-\frac{77}{3}$ = $-\frac{77}{3}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-\frac{77}{3}\\ 22\\ 22\end{array}\right)$ = $\frac{1}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}-77\\ 66\\ 66\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{-11}}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 18\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 22\\ -22\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·\left(-22\right)-\left(-4\right)·22\\ -4·0-12·\left(-22\right)\\ 12·22-18·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396+88\\ 0+264\\ 264+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-308\\ 264\\ 264\end{array}\right)$

= -44⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}12\\ 18\\ -4\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ 22\\ -22\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 0\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1-6x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(1|-4|0\right)$ erhält man
d = $7\cdot 1+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-6)}\cdot 0$
also:

$7x_1-6x_2-6x_3=31$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 16-6\cdot (-20)-6\cdot (-27)-31|}{\sqrt{7^2+{(-6)}^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 242 · 33 = 2662

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}2t\\ -3t\\ 6t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}10\\ -8\\ 9\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2t\\ -3t\\ 6t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ -8\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3t·9-6t·\left(-8\right)\\ 6t·10-2t·9\\ 2t·\left(-8\right)-\left(-3t\right)·10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-27t+48t\\ 60t-18t\\ -16t+30t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}21t\\ 42t\\ 14t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}21t\\ 42t\\ 14t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{441t^2+1764t^2+196t^2}$ = $\sqrt{2401t^2}$ = $\left|$ 49t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 73,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 49t$\right|$ = 73,5 |⋅2

$\left|$ 49t$\right|$ = 147

1. Fall

$49t$ = 147 |: 49

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-8+2t\right|11-3t\left|-7+6t\right)$ ergibt
B₁$\left(-2|2|11\right)$.

2. Fall

- $49t$ = 147 |: -49

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-8+2t\right|11-3t\left|-7+6t\right)$ ergibt
B₂$\left(-14|20|-25\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+5x_2+2x_3=60$ ein.

S₁: => x=$\frac{60}{4}$=15, also S₁$\left(15|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{60}{5}$=12, also S₂$\left(0|12|0\right)$
S₃: => z=$\frac{60}{2}$=30, also S₃$\left(0|0|30\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 15⋅12 = 90, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 30 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅90⋅30
=900

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{5}$ = $\frac{d^2}{20}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{20}{d}^2$	=	$80$	|⋅$20$
$d^2$	=	$1600$	|
d1	=	$-\sqrt{1600}$	= $-40$
d2	=	$\sqrt{1600}$	= $40$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+5x_2+4x_3=40$

Aber auch E2: $2x_1+5x_2+4x_3=-40$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-20|0|0), S₂(0|-8|0) und S₃(0|0|-10). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+5x_2+4x_3=40$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{2}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{2}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{72}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{72}{d}^3$	=	$3$	|⋅$72$
$d^3$	=	$216$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{216}$	= $6$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+2x_2+2x_3=6$

Aber auch E2: $3x_1+2x_2+2x_3=-6$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-2|0|0), S₂(0|-3|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+2x_2+2x_3=6$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.