Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -7\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ -21\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-13\\ -7\\ -22\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-13|-7|-22\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ -21\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 8\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ -21\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-21\right)-24·0\\ 24·\left(-7\right)-12·\left(-21\right)\\ 12·0-8·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168+0\\ -168+252\\ 0+56\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168\\ 84\\ 56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-168\\ 84\\ 56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-168)}}^2+{84}^2+{56}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16·\left(-4\right)-\left(-12\right)·3\\ -12·0-0·\left(-4\right)\\ 0·3-\left(-16\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}64+36\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{100}^2+0^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 100 = 50.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ -9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·\left(-8\right)-\left(-9\right)·\left(-6\right)\\ -9·0-0·\left(-8\right)\\ 0·\left(-6\right)-12·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-96-54\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-150)}}^2+0^2+0^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 150.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ -9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -8\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ -9\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 9\\ 12\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ -9\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ -9\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 9\\ 12\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+12\cdot 9+\mathrm{(-9)}\cdot 12=0\mathrm{+108}-108=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -8\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 9\\ 12\end{array}\right)$ = 0⋅t -150 = 0 wird, also t=$\frac{1}{0}$ = $\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}\frac{1}{0}\\ 9\\ 12\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}\frac{0}{0}\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·\left(-8\right)-\left(-9\right)·\left(-6\right)\\ -9·0-0·\left(-8\right)\\ 0·\left(-6\right)-12·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-96-54\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-150\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

= -150⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ -9\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -8\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-2|-2|-1\right)$ erhält man
d = $1\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$\mathrm{}{x}_1=-2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 1+0\cdot (-5)+0\cdot (-5)+2|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 150 · 3 = 150

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -10\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-10\right)-\left(-6\right)·\left(-4\right)\\ -6·\left(-8\right)-\left(-3\right)·\left(-10\right)\\ -3·\left(-4\right)-\left(-6\right)·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}60-24\\ 48-30\\ 12-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ 18\\ -36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}36\\ 18\\ -36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{36}^2+{18}^2+{\mathrm{(-36)}}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 54 = 27.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -10\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-10\right)-\left(-6\right)·\left(-4\right)\\ -6·\left(-8\right)-\left(-3\right)·\left(-10\right)\\ -3·\left(-4\right)-\left(-6\right)·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}60-24\\ 48-30\\ 12-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ 18\\ -36\end{array}\right)$ = 18⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -10\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(0|0|-1\right)$ erhält man
d = $2\cdot 0+1\cdot 0+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}$
also:

$2x_1+x_2-2x_3=2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 3+1\cdot 3-2\cdot (-10)-2|}{\sqrt{2^2+1^2+{(-2)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 27 · 9 = 81

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-8t\\ -4t\\ -1t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}7\\ 8\\ -7\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8t\\ -4t\\ -1t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ 8\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4t·\left(-7\right)-\left(-t\right)·8\\ -t·7-\left(-8t\right)·\left(-7\right)\\ -8t·8-\left(-4t\right)·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}28t+8t\\ -7t-56t\\ -64t+28t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36t\\ -63t\\ -36t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}36t\\ -63t\\ -36t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1296t^2+3969t^2+1296t^2}$ = $\sqrt{6561t^2}$ = $\left|$ 81t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 121,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 81t$\right|$ = 121,5 |⋅2

$\left|$ 81t$\right|$ = 243

1. Fall

$81t$ = 243 |: 81

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-8-8t\right|-4-4t\left|1-1t\right)$ ergibt
B₁$\left(-32|-16|-2\right)$.

2. Fall

- $81t$ = 243 |: -81

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-8-8t\right|-4-4t\left|1-1t\right)$ ergibt
B₂$\left(16|8|4\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+5x_2+x_3=15$ ein.

S₁: => x=$\frac{15}{5}$=3, also S₁$\left(3|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{15}{5}$=3, also S₂$\left(0|3|0\right)$
S₃: => z=$15$=15, also S₃$\left(0|0|15\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 3⋅3 = 4.5, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 15 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅4.5⋅15
=22.5

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{4}$ = $\frac{d^2}{16}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{16}{d}^2$	=	$9$	|⋅$16$
$d^2$	=	$144$	|
d1	=	$-\sqrt{144}$	= $-12$
d2	=	$\sqrt{144}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+2x_2+4x_3=12$

Aber auch E2: $3x_1+2x_2+4x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-4|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-3). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+2x_2+4x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{5}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{5}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{3}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{5}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{3}$⋅ $\frac{d}{5}$ = $\frac{d^3}{270}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{270}{d}^3$	=	$100$	|⋅$270$
$d^3$	=	$27000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{27000}$	= $30$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+3x_2+5x_3=30$

Aber auch E2: $3x_1+3x_2+5x_3=-30$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-10|0|0), S₂(0|-10|0) und S₃(0|0|-6). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+3x_2+5x_3=30$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.