Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ -13\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -7\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -20\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-4|4|-20\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·\left(-7\right)-16·0\\ 16·1-12·\left(-7\right)\\ 12·0-0·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 16+84\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{100}^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ -36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-15\\ -12\\ -29\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ -36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-15\\ -12\\ -29\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24·\left(-29\right)-\left(-36\right)·\left(-12\right)\\ -36·\left(-15\right)-\left(-8\right)·\left(-29\right)\\ -8·\left(-12\right)-\left(-24\right)·\left(-15\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}696-432\\ 540-232\\ 96-360\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ 308\\ -264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ 308\\ -264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{308}^2+{\mathrm{(-264)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ -6\\ 27\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ -20\\ 13\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ -6\\ 27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ -20\\ 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·13-27·\left(-20\right)\\ 27·6-\left(-18\right)·13\\ -18·\left(-20\right)-\left(-6\right)·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-78+540\\ 162+234\\ 360+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}462\\ 396\\ 396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}462\\ 396\\ 396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{462}^2+{396}^2+{396}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -9\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ -6\\ 27\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -20\\ 13\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-18\\ -6\\ 27\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ -20\\ 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·13-27·\left(-20\right)\\ 27·6-\left(-18\right)·13\\ -18·\left(-20\right)-\left(-6\right)·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-78+540\\ 162+234\\ 360+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}462\\ 396\\ 396\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-18\\ -6\\ 27\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}6\\ -20\\ 13\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -9\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ 6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1+6x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|7|-9\right)$ erhält man
d = $7\cdot 4+6\cdot 7+6\cdot \mathrm{(-9)}$
also:

$7x_1+6x_2+6x_3=16$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 25+6\cdot 14+6\cdot 20-16|}{\sqrt{7^2+6^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 726 · 33 = 7986

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-32\\ -4\\ -16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-42\\ -21\\ -12\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-32\\ -4\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-42\\ -21\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·\left(-12\right)-\left(-16\right)·\left(-21\right)\\ -16·\left(-42\right)-\left(-32\right)·\left(-12\right)\\ -32·\left(-21\right)-\left(-4\right)·\left(-42\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48-336\\ 672-384\\ 672-168\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-288\\ 288\\ 504\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-288\\ 288\\ 504\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-288)}}^2+{288}^2+{504}^2}=\sqrt{419904}=648$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 648 = 324.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-32\\ -4\\ -16\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-42\\ -21\\ -12\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-32\\ -4\\ -16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-42\\ -21\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·\left(-12\right)-\left(-16\right)·\left(-21\right)\\ -16·\left(-42\right)-\left(-32\right)·\left(-12\right)\\ -32·\left(-21\right)-\left(-4\right)·\left(-42\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48-336\\ 672-384\\ 672-168\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-288\\ 288\\ 504\end{array}\right)$ = 72⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-32\\ -4\\ -16\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-42\\ -21\\ -12\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 7\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-4x_1+4x_2+7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(3|-2|5\right)$ erhält man
d = $\mathrm{(-4)}\cdot 3+4\cdot \mathrm{(-2)}+7\cdot 5$
also:

$-4x_1+4x_2+7x_3=15$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|-4\cdot (-18)+4\cdot 1+7\cdot 26-15|}{\sqrt{{(-4)}^2+4^2+7^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 324 · 27 = 2916

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}2t\\ -6t\\ 3t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ -15\\ 11\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2t\\ -6t\\ 3t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ -15\\ 11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6t·11-3t·\left(-15\right)\\ 3t·12-2t·11\\ 2t·\left(-15\right)-\left(-6t\right)·12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-66t+45t\\ 36t-22t\\ -30t+72t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-21t\\ 14t\\ 42t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-21t\\ 14t\\ 42t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{441t^2+196t^2+1764t^2}$ = $\sqrt{2401t^2}$ = $\left|$ 49t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 73,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 49t$\right|$ = 73,5 |⋅2

$\left|$ 49t$\right|$ = 147

1. Fall

$49t$ = 147 |: 49

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-1+2t\right|20-6t\left|-7+3t\right)$ ergibt
B₁$\left(5|2|2\right)$.

2. Fall

- $49t$ = 147 |: -49

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-1+2t\right|20-6t\left|-7+3t\right)$ ergibt
B₂$\left(-7|38|-16\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+3x_2+3x_3=3$ ein.

S₁: => x=$3$=3, also S₁$\left(3|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{3}{3}$=1, also S₂$\left(0|1|0\right)$
S₃: => z=$\frac{3}{3}$=1, also S₃$\left(0|0|1\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 3⋅1 = 1.5, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 1 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅1.5⋅1
=0.5

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+3x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+3x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{3}$ = $\frac{d^2}{12}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{12}{d}^2$	=	$108$	|⋅$12$
$d^2$	=	$1296$	|
d1	=	$-\sqrt{1296}$	= $-36$
d2	=	$\sqrt{1296}$	= $36$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+3x_2+4x_3=36$

Aber auch E2: $2x_1+3x_2+4x_3=-36$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-18|0|0), S₂(0|-12|0) und S₃(0|0|-9). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+3x_2+4x_3=36$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{5}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{4}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{5}$⋅ $\frac{d}{4}$ = $\frac{d^3}{240}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{240}{d}^3$	=	$900$	|⋅$240$
$d^3$	=	$216000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{216000}$	= $60$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+5x_2+4x_3=60$

Aber auch E2: $2x_1+5x_2+4x_3=-60$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-30|0|0), S₂(0|-12|0) und S₃(0|0|-15). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+5x_2+4x_3=60$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.