Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -7\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-23\\ -5\\ -16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -1\\ -23\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-30|-1|-23\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}32\\ -4\\ 16\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-23\\ -5\\ -16\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}32\\ -4\\ 16\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-23\\ -5\\ -16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·\left(-16\right)-16·\left(-5\right)\\ 16·\left(-23\right)-32·\left(-16\right)\\ 32·\left(-5\right)-\left(-4\right)·\left(-23\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}64+80\\ -368+512\\ -160-92\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}144\\ 144\\ -252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}144\\ 144\\ -252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{144}^2+{144}^2+{\mathrm{(-252)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-36\\ 24\\ 8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 6\\ 13\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-36\\ 24\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-20\\ 6\\ 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24·13-8·6\\ 8·\left(-20\right)-\left(-36\right)·13\\ -36·6-24·\left(-20\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}312-48\\ -160+468\\ -216+480\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ 308\\ 264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ 308\\ 264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{308}^2+{264}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}18\\ -27\\ -6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -4\\ -18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -27\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ -4\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-27·\left(-18\right)-\left(-6\right)·\left(-4\right)\\ -6·\left(-12\right)-18·\left(-18\right)\\ 18·\left(-4\right)-\left(-27\right)·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}486-24\\ 72+324\\ -72-324\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}462\\ 396\\ -396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}462\\ 396\\ -396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{462}^2+{396}^2+{\mathrm{(-396)}}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -27\\ -6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ -4\\ -18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}18\\ -27\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ -4\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-27·\left(-18\right)-\left(-6\right)·\left(-4\right)\\ -6·\left(-12\right)-18·\left(-18\right)\\ 18·\left(-4\right)-\left(-27\right)·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}486-24\\ 72+324\\ -72-324\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}462\\ 396\\ -396\end{array}\right)$ = 66⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}18\\ -27\\ -6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-12\\ -4\\ -18\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}7\\ 6\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $7x_1+6x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-1|0|0\right)$ erhält man
d = $7\cdot \mathrm{(-1)}+6\cdot 0+\mathrm{(-6)}\cdot 0$
also:

$7x_1+6x_2-6x_3=-7$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|7\cdot 14+6\cdot 16-6\cdot (-27)+7|}{\sqrt{7^2+6^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 726 · 33 = 7986

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ -7\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-7\right)-\left(-3\right)·8\\ -3·\left(-2\right)-\left(-6\right)·\left(-7\right)\\ -6·8-6·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-42+24\\ 6-42\\ -48+12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\\ -36\\ -36\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-18\\ -36\\ -36\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-18)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2+{\mathrm{(-36)}}^2}=\sqrt{2916}=54$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 54 = 27.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ -7\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-7\right)-\left(-3\right)·8\\ -3·\left(-2\right)-\left(-6\right)·\left(-7\right)\\ -6·8-6·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-42+24\\ 6-42\\ -48+12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\\ -36\\ -36\end{array}\right)$ = -18⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ -7\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-1|-3|-5\right)$ erhält man
d = $1\cdot \mathrm{(-1)}+2\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$\mathrm{}{x}_1+2x_2+2x_3=-17$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|1\cdot 4+2\cdot 4+2\cdot (-1)+17|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 27 · 9 = 81

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}3t\\ 0t\\ 4t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 5\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3t\\ 0t\\ 4t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·5-4t·0\\ 4t·10-3t·5\\ 3t·0-0·10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 40t-15t\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 25t\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ 25t\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0+625t^2+0}$ = $\sqrt{625t^2}$ = $\left|$ 25t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 37,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 25t$\right|$ = 37,5 |⋅2

$\left|$ 25t$\right|$ = 75

1. Fall

$25t$ = 75 |: 25

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-3+3t\right|2+0t\left|-8+4t\right)$ ergibt
B₁$\left(6|2|4\right)$.

2. Fall

- $25t$ = 75 |: -25

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-3+3t\right|2+0t\left|-8+4t\right)$ ergibt
B₂$\left(-12|2|-20\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+x_2+5x_3=15$ ein.

S₁: => x=$15$=15, also S₁$\left(15|0|0\right)$
S₂: => y=$15$=15, also S₂$\left(0|15|0\right)$
S₃: => z=$\frac{15}{5}$=3, also S₃$\left(0|0|3\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 15⋅15 = 112.5, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 3 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅112.5⋅3
=112.5

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{4}$ = $\frac{d^2}{16}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{16}{d}^2$	=	$4$	|⋅$16$
$d^2$	=	$64$	|
d1	=	$-\sqrt{64}$	= $-8$
d2	=	$\sqrt{64}$	= $8$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+2x_2+4x_3=8$

Aber auch E2: $4x_1+2x_2+4x_3=-8$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-2|0|0), S₂(0|-4|0) und S₃(0|0|-2). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+2x_2+4x_3=8$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{4}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{4}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{240}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{240}{d}^3$	=	$900$	|⋅$240$
$d^3$	=	$216000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{216000}$	= $60$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+4x_2+2x_3=60$

Aber auch E2: $5x_1+4x_2+2x_3=-60$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-12|0|0), S₂(0|-15|0) und S₃(0|0|-30). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+4x_2+2x_3=60$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.