Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-20\\ -4\\ 31\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ -6\\ 35\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-24|-6|35\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ -4\\ -32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -4\\ 31\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ -4\\ -32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-20\\ -4\\ 31\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·31-\left(-32\right)·\left(-4\right)\\ -32·\left(-20\right)-16·31\\ 16·\left(-4\right)-\left(-4\right)·\left(-20\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-124-128\\ 640-496\\ -64-80\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-252\\ 144\\ -144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-252\\ 144\\ -144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-252)}}^2+{144}^2+{\mathrm{(-144)}}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·0-\left(-8\right)·\left(-3\right)\\ -8·\left(-3\right)-\left(-4\right)·0\\ -4·\left(-3\right)-\left(-8\right)·\left(-3\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-24\\ 24+0\\ 12-24\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ 24\\ -12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{24}^2+{\mathrm{(-12)}}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ 9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 11\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·11-9·0\\ 9·\left(-2\right)-12·11\\ 12·0-0·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ -18-132\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -150\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -150\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0^2+{\mathrm{(-150)}}^2+0^2}=\sqrt{22500}=150$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 150.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ 9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 11\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ 9\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}9\\ t\\ -12\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ 9\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ 9\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}9\\ t\\ -12\end{array}\right)$=$12\cdot 9+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+9\cdot \mathrm{(-12)}=108\mathrm{+0}-108=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 11\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ t\\ -12\end{array}\right)$ = 0⋅t -150 = 0 wird, also t=$\frac{1}{0}$ = $\frac{1}{0}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ \frac{1}{0}\\ -12\end{array}\right)$ = $\frac{1}{0}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{0}{0}\\ 0\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·11-9·0\\ 9·\left(-2\right)-12·11\\ 12·0-0·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ -18-132\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -150\\ 0\end{array}\right)$

= -150⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ 9\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 11\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $+x_2=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-4|-2|-2\right)$ erhält man
d = $0\cdot \mathrm{(-4)}+1\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$+x_2=-2$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|0\cdot (-3)+1\cdot 1+0\cdot 5+2|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}$
$=$ $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}}$ $=$ $\frac{3}{1}$ = 3

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 3.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 150 · 3 = 150

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -18\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 16\\ -18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-20\\ 16\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·\left(-18\right)-\left(-18\right)·16\\ -18·\left(-20\right)-\left(-6\right)·\left(-18\right)\\ -6·16-9·\left(-20\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-162+288\\ 360-108\\ -96+180\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}126\\ 252\\ 84\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}126\\ 252\\ 84\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{126}^2+{252}^2+{84}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 294 = 147.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}6\\ -4\\ 11\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -18\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 16\\ -18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-20\\ 16\\ -18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9·\left(-18\right)-\left(-18\right)·16\\ -18·\left(-20\right)-\left(-6\right)·\left(-18\right)\\ -6·16-9·\left(-20\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-162+288\\ 360-108\\ -96+180\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}126\\ 252\\ 84\end{array}\right)$ = 42⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -18\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-20\\ 16\\ -18\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}6\\ -4\\ 11\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1+6x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(6|-4|11\right)$ erhält man
d = $3\cdot 6+6\cdot \mathrm{(-4)}+2\cdot 11$
also:

$3x_1+6x_2+2x_3=16$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot 7+6\cdot 19+2\cdot 14-16|}{\sqrt{3^2+6^2+2^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 147 · 21 = 1029

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}4t\\ -8t\\ t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -17\\ 10\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4t\\ -8t\\ t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -17\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8t·10-t·\left(-17\right)\\ t·4-4t·10\\ 4t·\left(-17\right)-\left(-8t\right)·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-80t+17t\\ 4t-40t\\ -68t+32t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-63t\\ -36t\\ -36t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-63t\\ -36t\\ -36t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{3969t^2+1296t^2+1296t^2}$ = $\sqrt{6561t^2}$ = $\left|$ 81t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 202,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 81t$\right|$ = 202,5 |⋅2

$\left|$ 81t$\right|$ = 405

1. Fall

$81t$ = 405 |: 81

t = 5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-10+4t\right|18-8t\left|-1+1t\right)$ ergibt
B₁$\left(10|-22|4\right)$.

2. Fall

- $81t$ = 405 |: -81

t = -5

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-10+4t\right|18-8t\left|-1+1t\right)$ ergibt
B₂$\left(-30|58|-6\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+2x_2+2x_3=12$ ein.

S₁: => x=$\frac{6}{4}$=1.5, also S₁$\left(3|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{6}{2}$=3, also S₂$\left(0|6|0\right)$
S₃: => z=$\frac{6}{2}$=3, also S₃$\left(0|0|6\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 3⋅6 = 9, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 6 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅9⋅6
=18

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{3}$ = $\frac{d^2}{12}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{12}{d}^2$	=	$3$	|⋅$12$
$d^2$	=	$36$	|
d1	=	$-\sqrt{36}$	= $-6$
d2	=	$\sqrt{36}$	= $6$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+3x_3=6$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+3x_3=-6$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-3|0) und S₃(0|0|-2). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+3x_3=6$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{5}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{2}$⋅$\frac{d}{5}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{120}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{120}{d}^3$	=	$225$	|⋅$120$
$d^3$	=	$27000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{27000}$	= $30$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+5x_2+2x_3=30$

Aber auch E2: $2x_1+5x_2+2x_3=-30$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-15|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-15). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+5x_2+2x_3=30$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.