Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}0\\ 11\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 20\\ 3\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(2|20|3\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ -12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 11\\ 2\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ -16\\ -12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 11\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16·2-\left(-12\right)·11\\ -12·0-0·2\\ 0·11-\left(-16\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32+132\\ 0+0\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}100\\ 0\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{100}^2+0^2+0^2}=\sqrt{10000}=100$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 100.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}5\\ -7\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}5\\ -7\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-4\right)-\left(-8\right)·\left(-7\right)\\ -8·5-4·\left(-4\right)\\ 4·\left(-7\right)-\left(-8\right)·5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}32-56\\ -40+16\\ -28+40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-24)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}27\\ -18\\ 6\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 12\\ 18\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}27\\ -18\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 12\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18·18-6·12\\ 6·4-27·18\\ 27·12-\left(-18\right)·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-324-72\\ 24-486\\ 324+72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ -462\\ 396\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-396\\ -462\\ 396\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-396)}}^2+{\mathrm{(-462)}}^2+{396}^2}=\sqrt{527076}=726$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 726.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -5\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}27\\ -18\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 12\\ 18\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}27\\ -18\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 12\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18·18-6·12\\ 6·4-27·18\\ 27·12-\left(-18\right)·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-324-72\\ 24-486\\ 324+72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-396\\ -462\\ 396\end{array}\right)$ = -66⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}27\\ -18\\ 6\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}4\\ 12\\ 18\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -5\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $6x_1+7x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-4|4|-5\right)$ erhält man
d = $6\cdot \mathrm{(-4)}+7\cdot 4+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-5)}$
also:

$6x_1+7x_2-6x_3=34$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 16+7\cdot 31-6\cdot (-14)-34|}{\sqrt{6^2+7^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|363\right|}{\sqrt{121}}$ $=$ $\frac{363}{11}$ = 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 726 · 33 = 7986

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 24\\ 12\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-20\\ 34\\ 8\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 24\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-20\\ 34\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24·8-12·34\\ 12·\left(-20\right)-\left(-3\right)·8\\ -3·34-24·\left(-20\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}192-408\\ -240+24\\ -102+480\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ -216\\ 378\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-216\\ -216\\ 378\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-216)}}^2+{\mathrm{(-216)}}^2+{378}^2}=\sqrt{236196}=486$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 486 = 243.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 24\\ 12\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ 34\\ 8\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 24\\ 12\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-20\\ 34\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24·8-12·34\\ 12·\left(-20\right)-\left(-3\right)·8\\ -3·34-24·\left(-20\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}192-408\\ -240+24\\ -102+480\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-216\\ -216\\ 378\end{array}\right)$ = -54⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ 24\\ 12\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-20\\ 34\\ 8\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -6\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -7\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4x_1+4x_2-7x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-3|-6|-6\right)$ erhält man
d = $4\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot \mathrm{(-6)}+\mathrm{(-7)}\cdot \mathrm{(-6)}$
also:

$4x_1+4x_2-7x_3=6$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|4\cdot 0+4\cdot 15-7\cdot (-27)-6|}{\sqrt{4^2+4^2+{(-7)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|243\right|}{\sqrt{81}}$ $=$ $\frac{243}{9}$ = 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 243 · 27 = 2187

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-4t\\ 8t\\ -1t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ -7\\ -7\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-4t\\ 8t\\ -1t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ -7\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8t·\left(-7\right)-\left(-t\right)·\left(-7\right)\\ -t·8-\left(-4t\right)·\left(-7\right)\\ -4t·\left(-7\right)-8t·8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56t-7t\\ -8t-28t\\ 28t-64t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-63t\\ -36t\\ -36t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-63t\\ -36t\\ -36t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{3969t^2+1296t^2+1296t^2}$ = $\sqrt{6561t^2}$ = $\left|$ 81t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 162 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 81t$\right|$ = 162 |⋅2

$\left|$ 81t$\right|$ = 324

1. Fall

$81t$ = 324 |: 81

t = 4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-3-4t\right|8+8t\left|1-1t\right)$ ergibt
B₁$\left(-19|40|-3\right)$.

2. Fall

- $81t$ = 324 |: -81

t = -4

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(-3-4t\right|8+8t\left|1-1t\right)$ ergibt
B₂$\left(13|-24|5\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+5x_2+5x_3=15$ ein.

S₁: => x=$\frac{3}{5}$=0.6, also S₁$\left(3|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{3}{5}$=0.6, also S₂$\left(0|3|0\right)$
S₃: => z=$\frac{3}{5}$=0.6, also S₃$\left(0|0|3\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 3⋅3 = 4.5, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 3 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅4.5⋅3
=4.5

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$2x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $2x_1+5x_2+4x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{2}$, also S₁($\frac{d}{2}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{5}$, also S₂(0|$\frac{d}{5}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{4}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{4}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₂ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₂S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{4}$ = $\frac{d^2}{40}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{40}{d}^2$	=	$10$	|⋅$40$
$d^2$	=	$400$	|
d1	=	$-\sqrt{400}$	= $-20$
d2	=	$\sqrt{400}$	= $20$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $2x_1+5x_2+4x_3=20$

Aber auch E2: $2x_1+5x_2+4x_3=-20$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-10|0|0), S₂(0|-4|0) und S₃(0|0|-5). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $2x_1+5x_2+4x_3=20$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$5x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $5x_1+4x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{5}$, also S₁($\frac{d}{5}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{4}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{5}$⋅$\frac{d}{4}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{240}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{240}{d}^3$	=	$900$	|⋅$240$
$d^3$	=	$216000$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{216000}$	= $60$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $5x_1+4x_2+2x_3=60$

Aber auch E2: $5x_1+4x_2+2x_3=-60$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-12|0|0), S₂(0|-15|0) und S₃(0|0|-30). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $5x_1+4x_2+2x_3=60$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.