Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ -21\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ -24\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-2|9|-24\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-8\\ -12\\ 24\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ -21\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -12\\ 24\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ -21\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12·\left(-21\right)-24·7\\ 24·0-\left(-8\right)·\left(-21\right)\\ -8·7-\left(-12\right)·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}252-168\\ 0-168\\ -56+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}84\\ -168\\ -56\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}84\\ -168\\ -56\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{84}^2+{\mathrm{(-168)}}^2+{\mathrm{(-56)}}^2}=\sqrt{38416}=196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 196.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 24\\ 36\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}11\\ 0\\ 11\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 24\\ 36\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}11\\ 0\\ 11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24·11-36·0\\ 36·11-8·11\\ 8·0-24·11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264+0\\ 396-88\\ 0-264\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}264\\ 308\\ -264\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}264\\ 308\\ -264\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{264}^2+{308}^2+{\mathrm{(-264)}}^2}=\sqrt{234256}=484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 484 = 242.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ -9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -6\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ -6\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·\left(-4\right)-\left(-9\right)·\left(-6\right)\\ -9·\left(-12\right)-\left(-6\right)·\left(-4\right)\\ -6·\left(-6\right)-18·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72-54\\ 108-24\\ 36+216\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-126\\ 84\\ 252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-126\\ 84\\ 252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-126)}}^2+{84}^2+{252}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 294.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ -9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ -6\\ -4\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-12\\ -6\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·\left(-4\right)-\left(-9\right)·\left(-6\right)\\ -9·\left(-12\right)-\left(-6\right)·\left(-4\right)\\ -6·\left(-6\right)-18·\left(-12\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72-54\\ 108-24\\ 36+216\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-126\\ 84\\ 252\end{array}\right)$ = -42⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ -9\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-12\\ -6\\ -4\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -2\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1-2x_2-6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(4|-1|-2\right)$ erhält man
d = $3\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-2)}$
also:

$3x_1-2x_2-6x_3=26$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot 7-2\cdot (-10)-6\cdot (-22)-26|}{\sqrt{3^2+{(-2)}^2+{(-6)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 294 · 21 = 2058

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 0\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2·0-\left(-4\right)·6\\ -4·6-4·0\\ 4·6-2·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+24\\ -24+0\\ 24-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 0\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ t\end{array}\right)$=$6\cdot \mathrm{(-6)}+6\cdot 6+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-36\mathrm{+36}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ t\end{array}\right)$ = -4⋅t -12 = 0 wird, also t=$-3$ = $-3$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{-3}}{1}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2·0-\left(-4\right)·6\\ -4·6-4·0\\ 4·6-2·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+24\\ -24+0\\ 24-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$

= 12⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 0\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1-2x_2+x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(-1|-5|3\right)$ erhält man
d = $2\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+1\cdot 3$
also:

$2x_1-2x_2+x_3=11$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 6-2\cdot (-9)+1\cdot 8-11|}{\sqrt{2^2+{(-2)}^2+1^2}}$
$=$ $\frac{\left|27\right|}{\sqrt{9}}$ $=$ $\frac{27}{3}$ = 9

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 9.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 18 · 9 = 54

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}3t\\ -6t\\ -2t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}3t\\ -6t\\ -2t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6t·\left(-6\right)-\left(-2t\right)·3\\ -2t·2-3t·\left(-6\right)\\ 3t·3-\left(-6t\right)·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36t+6t\\ -4t+18t\\ 9t+12t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}42t\\ 14t\\ 21t\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}42t\\ 14t\\ 21t\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1764t^2+196t^2+441t^2}$ = $\sqrt{2401t^2}$ = $\left|$ 49t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 73,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 49t$\right|$ = 73,5 |⋅2

$\left|$ 49t$\right|$ = 147

1. Fall

$49t$ = 147 |: 49

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(2+3t\right|5-6t\left|3-2t\right)$ ergibt
B₁$\left(11|-13|-3\right)$.

2. Fall

- $49t$ = 147 |: -49

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(2+3t\right|5-6t\left|3-2t\right)$ ergibt
B₂$\left(-7|23|9\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+4x_2+x_3=12$ ein.

S₁: => x=$\frac{12}{4}$=3, also S₁$\left(3|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{12}{4}$=3, also S₂$\left(0|3|0\right)$
S₃: => z=$12$=12, also S₃$\left(0|0|12\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 3⋅3 = 4.5, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 12 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅4.5⋅12
=18

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$4x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{4}$, also S₁($\frac{d}{4}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{4}$, also S₂(0|$\frac{d}{4}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₂.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₂: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{4}$⋅$\frac{d}{4}$ = $\frac{d^2}{32}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{32}{d}^2$	=	$\mathrm{4,5}$	|⋅$32$
$d^2$	=	$144$	|
d1	=	$-\sqrt{144}$	= $-12$
d2	=	$\sqrt{144}$	= $12$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $4x_1+4x_2+3x_3=12$

Aber auch E2: $4x_1+4x_2+3x_3=-12$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-3|0|0), S₂(0|-3|0) und S₃(0|0|-4). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $4x_1+4x_2+3x_3=12$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+2x_2+3x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{2}$, also S₂(0|$\frac{d}{2}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{3}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{3}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{2}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{3}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{2}$⋅ $\frac{d}{3}$ = $\frac{d^3}{36}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{36}{d}^3$	=	$6$	|⋅$36$
$d^3$	=	$216$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{216}$	= $6$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+3x_3=6$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+3x_3=-6$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-3|0) und S₃(0|0|-2). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2+3x_3=6$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.