$\text{f(x)}=$ $-{\left(3x-9\right)}^2+36x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-2\left(3x-9\right)·\left(3+0\right)+36$

= $-18x+90$

$\text{f''(x)}=$ $-18+0$

= $-18$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-18x+90$	=	0	| $-90$
$-18x$	=	$-90$	|:($-18$)
$x$	=	$5$

Die Lösung x= $5$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''($5$) = $-18$= $-18$= $-18$ <0

Das heißt bei x = $5$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($5$) = $-{\left(3\cdot 5-9\right)}^2+36\cdot 5$ = $144$
Man erhält so den Hochpunkt H:($5$| $144$)

$\text{f(x)}=$ $-x^3-3x^2+45x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2-6x+45$

$\text{f''(x)}=$ $-6x-6+0$

= $-6x-6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-3x^2-6x+45$ = 0 |:3

$-x^2-2x+15$ = 0

Die Lösungen $-5$, $3$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x=$-5$

f''($-5$) = $-6\cdot \left(-5\right)-6$= $30-6$= $24$ >0

Das heißt bei x = $-5$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-5$) = $-{\left(-5\right)}^3-3\cdot {\left(-5\right)}^2+45\cdot \left(-5\right)$ = $-175$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-5$| $-175$)

2.: x=$3$

f''($3$) = $-6\cdot 3-6$= $-18-6$= $-24$ <0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($3$) = $-3^3-3\cdot 3^2+45\cdot 3$ = $81$
Man erhält so den Hochpunkt H:($3$| $81$)

Wir sehen am positiven Vorzeichen vor der höchsten Potenz ( $\frac{3}{4}{x}^4$), dass für sehr große und sehr kleine x-Werte die y-Werte immer positiv sind. Um nachzuweisen, dass es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen wir also zeigen, dass alle Punkte positiv sind. Dies geht am einfachsten, wenn man sich alle Tiefpunkte anschaut. Wir berechnen also erstmal die Extrempunkte:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4-6x^2+15$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^3-12x+0$

= $3x^3-12x$

$\text{f''(x)}=$ $9x^2-12$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$3x^3-12x$	=	0
$3x\left(x^2-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösungen $-2$, 0, $2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x=$-2$

f''($-2$) = $9\cdot {\left(-2\right)}^2-12$= $9\cdot 4-12$= $24$ >0

Das heißt bei x = $-2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-2$) = $\frac{3}{4}\cdot {\left(-2\right)}^4-6\cdot {\left(-2\right)}^2+15$ = $3$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-2$| $3$)

2.: x=$0$

f''($0$) = $9\cdot 0^2-12$= $9\cdot 0-12$= $-12$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($0$) = $\frac{3}{4}\cdot 0^4-6\cdot 0^2+15$ = $15$
Man erhält so den Hochpunkt H:($0$| $15$)

3.: x=$2$

f''($2$) = $9\cdot 2^2-12$= $9\cdot 4-12$= $24$ >0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($2$) = $\frac{3}{4}\cdot 2^4-6\cdot 2^2+15$ = $3$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($2$| $3$)

Eigentlich hätte es gereicht nur die Tiefpunkte zu untersuchen.

Wir sehen also, dass selbst der niedrigste Tiefpunkt einen positiven y-Wert hat. Also müssen alle Punkte über der x-Achse liegen.

Der niedrigste Punkt muss ja ein Tiefpunkt sein, daher sehen wir dass der Tiefpunkt (-2|$3$) der niedrigste Punkt, also der Punkt mit dem geringsten Abstand zur x-Achse ist.

Dieser geringste Abstand ist also |$3$| = 3.

$\text{f(x)}=$ $-4e^x+x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-4e^x+1$

$\text{f''(x)}=$ $-4e^x+0$

= $-4e^x$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-4e^x+1$	=	0	| $-1$
$-4e^x$	=	$-1$	|:$-4$
$e^x$	=	$\frac{1}{4}$	|ln(⋅)
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}\right)$	≈ -1.3863

Die Lösung x= $\ln \left(\frac{1}{4}\right)$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''($-\mathrm{1,3863}$) = $-4e^{-\mathrm{1,3863}}$= $-4e^{-\mathrm{1,3863}}$= $-4e^{-\mathrm{1,3863}}$ <0

Das heißt bei x = $-\mathrm{1,3863}$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-\mathrm{1,3863}$) = $-4e^{-\mathrm{1,3863}}-\mathrm{1,3863}$ = $-4e^{-\mathrm{1,3863}}-\mathrm{1,3863}$ ≈ -2.386
Man erhält so den Hochpunkt H:($-\mathrm{1,3863}$| $-4e^{-\mathrm{1,3863}}-\mathrm{1,3863}$)

≈ H:(-1.386|-2.386)

$\text{f(x)}=$ $x·e^{-\frac{1}{3}x}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $1·e^{-\frac{1}{3}x}+x·e^{-\frac{1}{3}x}·\left(-\frac{1}{3}\right)$

= $e^{-\frac{1}{3}x}·\left(-\frac{1}{3}x+1\right)$

$\text{f''(x)}=$ $\left(-\frac{1}{3}+0\right)·e^{-\frac{1}{3}x}+\left(-\frac{1}{3}x+1\right)·e^{-\frac{1}{3}x}·\left(-\frac{1}{3}\right)$

= $e^{-\frac{1}{3}x}·\left(\frac{1}{9}x-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\right)$

= $\left(\frac{1}{9}x-\frac{2}{3}\right)e^{-\frac{1}{3}x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\left(-\frac{1}{3}x+1\right)·e^{-\frac{1}{3}x}$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''($3$) = $e^{-\frac{1}{3}\cdot 3}·\left(\frac{1}{9}\cdot 3-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\right)$= $e^{-1}·\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\right)$= $-\frac{1}{3}{e}^{-1}$ <0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($3$) = $3·e^{-\frac{1}{3}\cdot 3}$ = $3e^{-1}$ ≈ 1.104
Man erhält so den Hochpunkt H:($3$| $3e^{-1}$)

≈ H:(3|1.104)

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,125}x}-7$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,125}x}+3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,125}x}·\left(-\mathrm{0,125}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,125}x}·\left(-\mathrm{0,375}x+\mathrm{2,625}+3\right)$

= $\left(-\mathrm{0,375}x+\mathrm{5,625}\right)e^{-\mathrm{0,125}x}$

$\text{f''(x)}=$ $\left(-\mathrm{0,375}+0\right)·e^{-\mathrm{0,125}x}+\left(-\mathrm{0,375}x+\mathrm{5,625}\right)·e^{-\mathrm{0,125}x}·\left(-\mathrm{0,125}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,125}x}·\left(\mathrm{0,0469}x-\mathrm{0,7031}-\mathrm{0,375}\right)$

= $\left(\mathrm{0,0469}x-\mathrm{1,0781}\right)e^{-\mathrm{0,125}x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\left(-\mathrm{0,375}x+\mathrm{5,625}\right)·e^{-\mathrm{0,125}x}$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösung x= $15$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''($15$) = $e^{-\mathrm{0,125}\cdot 15}·\left(\mathrm{0,0469}\cdot 15-\mathrm{0,7031}-\mathrm{0,375}\right)$= $e^{-\mathrm{1,875}}·\left(\mathrm{0,7031}-\mathrm{0,7031}-\mathrm{0,375}\right)$= $-\mathrm{0,375}{e}^{-\mathrm{1,875}}$ <0

Das heißt bei x = $15$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($15$) = $3·\left(15-7\right)·e^{-\mathrm{0,125}\cdot 15}-7$ = $24e^{-\mathrm{1,875}}-7$ ≈ -3.319
Man erhält so den Hochpunkt H:($15$| $24e^{-\mathrm{1,875}}-7$)

≈ H:(15|-3.319)

Zuerst multiplizieren wir den Term aus

$x·{\left(x-12\right)}^2$

$\text{f(x)}=$ $x^3-24x^2+144x$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-48x+144$

$\text{f''(x)}=$ $6x-48+0$

= $6x-48$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-48$	=	0	| $+48$
$6x$	=	$48$	|:$6$
$x$	=	$8$

Die Lösung x= $8$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $8$:

f'''($8$) = $6+0$= $6$

Da f'''($8$)≠0, haben wir bei x = $8$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($8$) = $8^3-24\cdot 8^2+144\cdot 8$ = $128$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($8$| $128$)

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $x^3-15x^2+9x+3$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-30x+9+0$

= $3x^2-30x+9$

$\text{f''(x)}=$ $6x-30+0$

= $6x-30$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-30$	=	0	| $+30$
$6x$	=	$30$	|:$6$
$x$	=	$5$

Die Lösung x= $5$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $5$:

f'''($5$) = $6+0$= $6$

Da f'''($5$)≠0, haben wir bei x = $5$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($5$) = $5^3-15\cdot 5^2+9\cdot 5+3$ = $-202$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($5$| $-202$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(5)}=$ $3\cdot 5^2-30\cdot 5+9$

= $3\cdot 25-150+9$

= $75-150+9$

= $-66$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-66$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(5)}=$ $5^3-15\cdot 5^2+9\cdot 5+3$ = $125-15\cdot 25+45+3$ = $125-375+45+3$ = $-202$

Wir erhalten so also den Punkt B(5| $-202$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-202$ = $-66$⋅5 + c

$-202$ = $-330$ + c | + $330$

$128$ = c

also c= $128$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-66$⋅x + $128$

Wir schreiben u für den x-Wert des Punkts P und da der Punkt P auf dem Graph von f liegt, muss der y-Wert f(u) sein, also P(u|f(u)).

An der Skizze erkennt man, dass dann die Seiten des achsenparallelen Rechteck die Längen u und f(u) haben. Folglich gilt für den Flächeninhalt dieses Rechtecks:
A = u ⋅ f(u) = $u·\left(-2u+8\right)$ = $-2u^2+8u$

Wir suchen also ein Maximum von

$\text{A(u)}=$ $-2u^2+8u$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{A'(u)}=$ $-4u+8$

$\text{A''(u)}=$ $-4+0$

= $-4$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist A'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also A'(u) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von A zu bestimmen.

$-4u+8$	=	0	| $-8$
$-4u$	=	$-8$	|:($-4$)
$u$	=	$2$

Die Lösung u= $2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in A''(u):

Ist A''(u) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A''(u₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A''(u₀)>0).

A''($2$) = $-4$= $-4$= $-4$ <0

Das heißt bei u = $2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende u-Wert in A(u) eingesetzt werden.
A($2$) = $-2\cdot 2^2+8\cdot 2$ = $8$
Man erhält so den Hochpunkt H:($2$| $8$)

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir also, wenn wir als x-Koordinate des gesuchten Punkts u = $2$ wählen.

Den zugehörigen y-Wert erhalten wir, wenn wir x = $2$ in f(x) einsetzen:

f($2$) = $-2\cdot 2+8$ = $4$

Somit sind die Koordinaten des gesuchten Punkts P($2$| $4$)

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir ja, wenn wir u = $2$ in die zu maximierende Flächeninhaltsfunktion A(u) einsetzen. Dies wurde ja bereits oben bei der hinreichenden Bedingung gemacht, somit ist der maximale Flächeninhalt A($2$) = $8$.

Als Zielfunktion für die Spielstärke ergibt sich somit S(x) = $x·\left(\frac{1}{7}\left(84-14x\right)\right)$

= $\frac{1}{7}x\left(84-14x\right)$

= $\frac{1}{7}x·84+\frac{1}{7}x·\left(-14x\right)$

= $-2x^2+12x$.

Da diese Zielfunktion für die Spielstärke maximal werden soll, suchen wir deren Maximum:

$\text{S(x)}=$ $-2x^2+12x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{S'(x)}=$ $-4x+12$

$\text{S''(x)}=$ $-4+0$

= $-4$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist S'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also S'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von S zu bestimmen.

$-4x+12$	=	0	| $-12$
$-4x$	=	$-12$	|:($-4$)
$x$	=	$3$

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in S''(x):

Ist S''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: S'(x₀)=0 und S''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: S'(x₀)=0 und S''(x₀)>0).

S''($3$) = $-4$= $-4$= $-4$ <0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in S(x) eingesetzt werden.
S($3$) = $-2\cdot 3^2+12\cdot 3$ = $18$
Man erhält so den Hochpunkt H:($3$| $18$)

Die maximale Spielstärke erhalten wir also, wenn wir x = $3$ (, also $3$ Booster) wählen.

Die zugehörige Anzahl an Weisheitspillen erhalten wir, wenn wir $3$ in y = $\frac{1}{7}\left(84-14x\right)$ einsetzen, y = $\frac{1}{7}\left(84-14\cdot 3\right)$ ≈ 6.

Als maximale Spielstärke der Figur erhalten wir:
S($3$) = $3·\left(\frac{1}{7}\left(84-14\cdot 3\right)\right)$
= $3·\left(\frac{1}{7}\left(84-42\right)\right)$
= $3·\frac{1}{7}·42$
= $18$.

$\text{f(x)}=$ $30\ln \left(x\right)-5x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{30}{x}·1-5$

= $-5+\frac{30}{x}$

$\text{f''(x)}=$ $0-\frac{30}{x^2}$

= $-\frac{30}{x^2}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$-5+\frac{30}{x}$	=	0	|⋅( $x$)
$-5·x+\frac{30}{x}·x$	=	0
$-5x+30$	=	0

$-5x+30$	=	0	| $-30$
$-5x$	=	$-30$	|:($-5$)
$x$	=	$6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Die Lösung x= $6$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''($6$) = $-\frac{30}{6^2}$= $-30\cdot \left(\frac{1}{36}\right)$= $-\frac{5}{6}$ <0

Das heißt bei x = $6$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($6$) = $30\ln \left(6\right)-5\cdot 6$ = $30\ln \left(6\right)-30$ ≈ 23.753
Man erhält so den Hochpunkt H:($6$| $30\ln \left(6\right)-30$)

≈ H:(6|23.753)