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Extrempunkte (schwerer) BF

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x \cdot {(x - 9)}^{2}$ :

Lösung einblenden

Zuerst multiplizieren wir den Term aus

$x \cdot {(x - 9)}^{2}$

$f(x) =$ $x^{3} - 18 x^{2} + 81 x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $3 x^{2} - 36 x + 81$

$f''(x) =$ $6 x - 36 + 0$

= $6 x - 36$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

3 x^{2} - 36 x + 81

= 0 |:3

$x^{2} - 12 x + 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{12+6}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{12-6}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 27$ = $36$ $-$ $27$ = $9$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $6$ - $3$ = 3

x₂ = $6$ + $3$ = 9

Die Lösungen $3$ , $9$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $3$

f''( $3$ ) = $6 \cdot 3 - 36$ = $18 - 36$ = $- 18$ <0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $3$ ) = $3^{3} - 18 \cdot 3^{2} + 81 \cdot 3$ = $108$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $3$ | $108$ )

2.: x= $9$

f''( $9$ ) = $6 \cdot 9 - 36$ = $54 - 36$ = $18$ >0

Das heißt bei x = $9$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $9$ ) = $9^{3} - 18 \cdot 9^{2} + 81 \cdot 9$ = 0
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $9$ |0)

Extrempunkte (schwerer)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 4 x + 3$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} - 4 x + 3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x - 4 + 0$

= $2 x - 4$

$f''(x) =$ $2 + 0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2 x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

Die Lösung x= $2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $2$ ) = $2$ = $2$ = $2$ >0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $2$ ) = $2^{2} - 4 \cdot 2 + 3$ = $- 1$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $2$ | $- 1$ )

Minimaler Abstand zur x-Achse

Beispiel:

Zeige, dass der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + x^{3} - 9 x^{2} + 50$ die x-Achse nicht schneidet. Welcher Punkt hat den kleinsten Abstand zur x-Achse?

Bestimme diesen kleinsten Abstand.

Lösung einblenden

Wir sehen am positiven Vorzeichen vor der höchsten Potenz ( $\frac{3}{4} x^{4}$ ), dass für sehr große und sehr kleine x-Werte die y-Werte immer positiv sind. Um nachzuweisen, dass es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen wir also zeigen, dass alle Punkte positiv sind. Dies geht am einfachsten, wenn man sich alle Tiefpunkte anschaut. Wir berechnen also erstmal die Extrempunkte:

$f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + x^{3} - 9 x^{2} + 50$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $3 x^{3} + 3 x^{2} - 18 x + 0$

= $3 x^{3} + 3 x^{2} - 18 x$

$f''(x) =$ $9 x^{2} + 6 x - 18$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$3 x^{3} + 3 x^{2} - 18 x$	=	0
$3 x (x^{2} + x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Die Lösungen $- 3$ , 0, $2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 3$

f''( $- 3$ ) = $9 \cdot {(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) - 18$ = $9 \cdot 9 - 18 - 18$ = $45$ >0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = $\frac{3}{4} \cdot {(- 3)}^{4} + {(- 3)}^{3} - 9 \cdot {(- 3)}^{2} + 50$ = $\frac{11}{4}$ ≈ 2.75
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 3$ | $\frac{11}{4}$ )

≈ T:(-3|2.75)

2.: x= $0$

f''( $0$ ) = $9 \cdot 0^{2} + 6 \cdot 0 - 18$ = $9 \cdot 0 + 0 - 18$ = $- 18$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $\frac{3}{4} \cdot 0^{4} + 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 50$ = $50$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0$ | $50$ )

3.: x= $2$

f''( $2$ ) = $9 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 18$ = $9 \cdot 4 + 12 - 18$ = $30$ >0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $2$ ) = $\frac{3}{4} \cdot 2^{4} + 2^{3} - 9 \cdot 2^{2} + 50$ = $34$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $2$ | $34$ )

Eigentlich hätte es gereicht nur die Tiefpunkte zu untersuchen.

Wir sehen also, dass selbst der niedrigste Tiefpunkt einen positiven y-Wert hat. Also müssen alle Punkte über der x-Achse liegen.

Der niedrigste Punkt muss ja ein Tiefpunkt sein, daher sehen wir dass der Tiefpunkt (-3| $\frac{11}{4}$ ) der niedrigste Punkt, also der Punkt mit dem geringsten Abstand zur x-Achse ist.

Dieser geringste Abstand ist also | $\frac{11}{4}$ | = 2.75.

Extrempunkte e-Funktion BF

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- x \cdot e^{- x}$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x \cdot e^{- x}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 1 \cdot e^{- x} - x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x} \cdot (x - 1)$

$f''(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- x} + (x - 1) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x} \cdot (- x + 1 + 1)$

= $(- x + 2) e^{- x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

(x - 1) \cdot e^{- x}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $1$ ) = $e^{- 1} \cdot (- 1 + 1 + 1)$ = $e^{- 1}$ = $e^{- 1}$ >0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $1$ ) = $- 1 \cdot e^{- 1}$ = $- e^{- 1}$ ≈ -0.368
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $1$ | $- e^{- 1}$ )

≈ T:(1|-0.368)

Extrempunkte (e-Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ :

Bitte alle Werte (mit dem WTR) fertig rechnen und als als Dezimalzahlen angeben.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x \cdot e^{\frac{1}{2} x} + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $e^{\frac{1}{2} x} \cdot (2 x + \frac{1}{2} x^{2})$

= $(\frac{1}{2} x^{2} + 2 x) e^{\frac{1}{2} x}$

$f''(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{\frac{1}{2} x} + (\frac{1}{2} x^{2} + 2 x) \cdot e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $e^{\frac{1}{2} x} \cdot (x + 2 + (\frac{1}{4} x^{2} + x))$

= $(\frac{1}{4} x^{2} + 2 x + 2) e^{\frac{1}{2} x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

(\frac{1}{2} x^{2} + 2 x) \cdot e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 x$	=	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 x)$	=
$x^{2} + 4 x$	=
$x (x + 4)$	=

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösungen $- 4$ , 0 sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 4$

f''( $- 4$ ) = $e^{\frac{1}{2} \cdot (- 4)} \cdot (- 4 + 2 + (\frac{1}{4} \cdot {(- 4)}^{2} - 4))$ = $e^{- 2} \cdot (- 4 + 2 + (\frac{1}{4} \cdot 16 - 4))$ = $- 2 e^{- 2}$ <0

Das heißt bei x = $- 4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} \cdot (- 4)}$ = $16 e^{- 2}$ ≈ 2.165
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 4$ | $16 e^{- 2}$ )

≈ H:(-4|2.165)

2.: x= $0$

f''( $0$ ) = $e^{\frac{1}{2} \cdot 0} \cdot (0 + 2 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{2} + 0))$ = $e^{0} \cdot (0 + 2 + (\frac{1}{4} \cdot 0 + 0))$ = $2 e^{0}$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $0^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} \cdot 0}$ = 0
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ |0)

Extrempunkte e-Funktion Anwend.

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 6$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 6$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5 x + 1 + 1)$

= $(- 0,5 x + 2) e^{- 0,5 x}$

$f''(x) =$ $(- 0,5 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (- 0,5 x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (0,25 x - 1 - 0,5)$

= $(0,25 x - 1,5) e^{- 0,5 x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

(- 0,5 x + 2) \cdot e^{- 0,5 x}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 0,5 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 0,5 x$	=	$- 2$	\|:( $- 0,5$ )
x₁	=	$4$

2. Fall:

e^{- 0,5 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung x= $4$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $4$ ) = $e^{- 0,5 \cdot 4} \cdot (0,25 \cdot 4 - 1 - 0,5)$ = $e^{- 2} \cdot (1 - 1 - 0,5)$ = $- 0,5 e^{- 2}$ <0

Das heißt bei x = $4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $4$ ) = $(4 - 2) \cdot e^{- 0,5 \cdot 4} - 6$ = $2 e^{- 2} - 6$ ≈ -5.729
Man erhält so den Hochpunkt H:( $4$ | $2 e^{- 2} - 6$ )

≈ H:(4|-5.729)

Wendepunkte (schwerer) BF

Beispiel:

Berechne alle Wendepunkte von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot (- 3 x + 9)$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot (- 3 x + 9)$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $2 x \cdot (- 3 x + 9) + x^{2} \cdot (- 3 + 0)$

= $2 x (- 3 x + 9) + x^{2} \cdot (- 3)$

= $2 x (- 3 x + 9) - 3 x^{2}$

$f''(x) =$ $- 6 x + (2 \cdot 1 \cdot (- 3 x + 9) + 2 x \cdot (- 3 + 0))$

= $- 6 x + (2 (- 3 x + 9) + 2 x \cdot (- 3))$

= $- 6 x + (2 (- 3 x + 9) - 6 x)$

= $- 6 x + (- 6 x + 18 - 6 x)$

= $- 6 x + (- 12 x + 18)$

= $- 12 x - 6 x + 18$

= $- 18 x + 18$

$f'''(x) =$ $- 18 + 0$

= $- 18$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$- 18 x + 18$	=	0	\| $- 18$
$- 18 x$	=	$- 18$	\|:( $- 18$ )
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $1$ :

f'''( $1$ ) = $- 18 + 0$ = $- 18$

Da f'''( $1$ )≠0, haben wir bei x = $1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $1$ ) = $1^{2} \cdot (- 3 \cdot 1 + 9)$ = $6$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $1$ | $6$ )

Wendetangente

Beispiel:

Bestimme eine Gleichung der Tangente im Wendepunkte des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{3} - 9 x^{2} - 3 x - 2$ :

Lösung einblenden

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$f(x) =$ $- x^{3} - 9 x^{2} - 3 x - 2$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} - 18 x - 3 + 0$

= $- 3 x^{2} - 18 x - 3$

$f''(x) =$ $- 6 x - 18 + 0$

= $- 6 x - 18$

$f'''(x) =$ $- 6 + 0$

= $- 6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$- 6 x - 18$	=	0	\| $+ 18$
$- 6 x$	=	$18$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$- 3$

Die Lösung x= $- 3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $- 3$ :

f'''( $- 3$ ) = $- 6 + 0$ = $- 6$

Da f'''( $- 3$ )≠0, haben wir bei x = $- 3$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{3} - 9 \cdot {(- 3)}^{2} - 3 \cdot (- 3) - 2$ = $- 47$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $- 3$ | $- 47$ )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(-3) =$ $- 3 \cdot {(- 3)}^{2} - 18 \cdot (- 3) - 3$

= $- 3 \cdot 9 + 54 - 3$

= $- 27 + 54 - 3$

= $24$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $24$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(-3) =$ $- {(- 3)}^{3} - 9 \cdot {(- 3)}^{2} - 3 \cdot (- 3) - 2$ = $- (- 27) - 9 \cdot 9 + 9 - 2$ = $27 - 81 + 9 - 2$ = $- 47$

Wir erhalten so also den Punkt B(-3| $- 47$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 47$ = $24$ ⋅(-3) + c

$- 47$ = $- 72$ + c | + $72$

$25$ = c

also c= $25$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $24$ ⋅x + $25$

max. Flächeninhalt am Graph

Beispiel:

Der Punkte P liegt im 1. Quadrant auf dem Graph der Funktion f mit $- \frac{1}{5} x^{2} + \frac{12}{5}$ . Er bildet mit dem Ursprung ein achsenparalleles Rechteck. Bestimme die Koordinaten vom P so, dass der Inhalt dieses Rechteckes maximal wird und gib diesen maximalen Flächeninhalt an.

Lösung einblenden

Wir schreiben u für den x-Wert des Punkts P und da der Punkt P auf dem Graph von f liegt, muss der y-Wert f(u) sein, also P(u|f(u)).

An der Skizze erkennt man, dass dann die Seiten des achsenparallelen Rechteck die Längen u und f(u) haben. Folglich gilt für den Flächeninhalt dieses Rechtecks:
A = u ⋅ f(u) = $u \cdot (- \frac{1}{5} u^{2} + \frac{12}{5})$ = $- \frac{1}{5} u^{3} + \frac{12}{5} u$

Wir suchen also ein Maximum von

$A(u) =$ $- \frac{1}{5} u^{3} + \frac{12}{5} u$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $A'(u) =$ $- \frac{3}{5} u^{2} + \frac{12}{5}$

$A''(u) =$ $- \frac{6}{5} u + 0$

= $- \frac{6}{5} u$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist A'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also A'(u) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von A zu bestimmen.

$- \frac{3}{5} u^{2} + \frac{12}{5}$	=	0	\| $- \frac{12}{5}$
$- \frac{3}{5} u^{2}$	=	$- \frac{12}{5}$	\|⋅ $(- \frac{5}{3})$
$u^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
u₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Die Lösungen $- 2$ , $2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in A''(u):

Ist A''(u) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A''(u₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A''(u₀)>0).

1.: u= $- 2$

A''( $- 2$ ) = $- \frac{6}{5} \cdot (- 2)$ = $\frac{12}{5}$ = $\frac{12}{5}$ >0

Das heißt bei u = $- 2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende u-Wert in A(u) eingesetzt werden.
A( $- 2$ ) = $- \frac{1}{5} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{12}{5} \cdot (- 2)$ = $- \frac{16}{5}$ ≈ -3.2
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 2$ | $- \frac{16}{5}$ )

≈ T:(-2|-3.2)

2.: u= $2$

A''( $2$ ) = $- \frac{6}{5} \cdot 2$ = $- \frac{12}{5}$ = $- \frac{12}{5}$ <0

Das heißt bei u = $2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende u-Wert in A(u) eingesetzt werden.
A( $2$ ) = $- \frac{1}{5} \cdot 2^{3} + \frac{12}{5} \cdot 2$ = $\frac{16}{5}$ ≈ 3.2
Man erhält so den Hochpunkt H:( $2$ | $\frac{16}{5}$ )

≈ H:(2|3.2)

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir also, wenn wir als x-Koordinate des gesuchten Punkts u = $2$ wählen.

Den zugehörigen y-Wert erhalten wir, wenn wir x = $2$ in f(x) einsetzen:

f( $2$ ) = $- \frac{1}{5} \cdot 2^{2} + \frac{12}{5}$ = $\frac{8}{5}$

Somit sind die Koordinaten des gesuchten Punkts P( $2$ | $\frac{8}{5}$ )

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir ja, wenn wir u = $2$ in die zu maximierende Flächeninhaltsfunktion A(u) einsetzen. Dies wurde ja bereits oben bei der hinreichenden Bedingung gemacht, somit ist der maximale Flächeninhalt A( $2$ ) = $\frac{16}{5}$ .

Extremwertaufgabe (+Nebenbed.)

Beispiel:

Eine zylinderformige Dose soll 1210 ml Volumen haben. Bestimme den Radius des Dosen-Zylinders, so dass der Zylinder eine möglichst kleine Oberfläche hat und man somit möglichst wenig Blech benötigt. Gib dann die minimale Oberfläche in cm² an.

Lösung einblenden

Es muss gelten: 1210 = $π \cdot x^{2} \cdot h$

Wenn wir diese Gleichung nach h auflösen, erhalten wir:

h = $\frac{1 210}{π \cdot x^{2}}$

Dies können wir in die Oberflächenformel einsetzen:

O = $2 π \cdot x^{2} + 2 π \cdot x \cdot \frac{1 210}{π \cdot x^{2}}$

Als Zielfunktion für die Oberfläche ergibt sich somit O(x) = $2 π \cdot x^{2} + 2 π \cdot x \cdot \frac{1 210}{π \cdot x^{2}}$

= $2 π x^{2} + 2 π \cdot \frac{1 210}{π x}$

= $2 π x^{2} + \frac{2 420}{x}$

= $\frac{2 420}{x} + 2 π x^{2}$ .

Da diese Zielfunktion für die Oberfläche minimal werden soll, suchen wir deren Minimum:

$O(x) =$ $\frac{2 420}{x} + 2 π x^{2}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $O'(x) =$ $- \frac{2 420}{x^{2}} + (2 \cdot 0 \cdot x^{2} + 2 π \cdot 2 x)$

= $- \frac{2 420}{x^{2}} + 4 π x$

$O''(x) =$ $\frac{4 840}{x^{3}} + (4 \cdot 0 \cdot x + 4 π \cdot 1)$

= $\frac{4 840}{x^{3}} + 4 π$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist O'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also O'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von O zu bestimmen.

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{2 420}{x^{2}} + 4 π x$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{2 420}{x^{2}} \cdot x^{2} + 4 π x \cdot x^{2}$	=
$- 2 420 + 4 π x \cdot x^{2}$	=
$- 2 420 + 4 π x^{3}$	=

$- 2 420 + 4 π x^{3}$	=	0	\| $+ 2 420$
$4 π x^{3}$	=	$2 420$	\|: $4 π$
$x^{3}$	=	$\frac{2 420}{4 π}$
$x^{3}$	=	$192,57748$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{192,57748}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Die Lösung x= $\sqrt[3]{192,57748}$ ≈ 5.7748 ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in O''(x):

Ist O''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: O'(x₀)=0 und O''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: O'(x₀)=0 und O''(x₀)>0).

O''( $5,7748$ ) = $\frac{4 840}{{5,7748}^{3}} + 4 π$ = $4 840 \cdot (\frac{1}{192,5798}) + 4 π$ = $25,1324 + 4 π$ >0

Das heißt bei x = $5,7748$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in O(x) eingesetzt werden.
O( $5,7748$ ) = $\frac{2 420}{5,7748} + 2 π \cdot {5,7748}^{2}$ = $\frac{2420}{5,7748} + 66,6966 π$ ≈ 628.596
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $5,7748$ | $\frac{2420}{5,7748} + 66,6966 π$ )

≈ T:(5.775|628.596)

Die minimale Oberfläche erhalten wir also, wenn wir x = $5,7748$ (, also $5,7748$ cm Radius des Dosenzylinder) wählen.

Die zugehörige Höhe erhalten wir, wenn wir $5,7748$ in h = $\frac{1 210}{π \cdot x^{2}}$ einsetzen, h = $\frac{1 210}{π \cdot {5,7748}^{2}}$ ≈ 11.549.

Als minimale Oberfläche erhalten wir:
O( $5,7748$ ) = $2 π \cdot {5,7748}^{2} + 2 π \cdot 5,7748 \cdot \frac{1 210}{π \cdot {5,7748}^{2}}$
≈ 628.596.

Extrempunkte bei ln-Funktionen

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (x) + 3 x$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (x) + 3 x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $\frac{- 6}{x} \cdot 1 + 3$

= $3 - \frac{6}{x}$

$f''(x) =$ $0 + \frac{6}{x^{2}}$

= $\frac{6}{x^{2}}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$3 - \frac{6}{x}$	=	\|⋅( $x$ )
$3 \cdot x - \frac{6}{x} \cdot x$	=
$3 x - 6$	=

$3 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Die Lösung x= $2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $2$ ) = $\frac{6}{2^{2}}$ = $6 \cdot (\frac{1}{4})$ = $\frac{3}{2}$ >0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $2$ ) = $- 6 \ln (2) + 3 \cdot 2$ = $- 6 \ln (2) + 6$ ≈ 1.841
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $2$ | $- 6 \ln (2) + 6$ )

≈ T:(2|1.841)

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Extrempunkte (schwerer) BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=3

2.: x=9

Extrempunkte (schwerer)

Minimaler Abstand zur x-Achse

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-3

2.: x=0

3.: x=2

Extrempunkte e-Funktion BF

Extrempunkte (e-Funktionen)

1.: x=-4

2.: x=0

Extrempunkte e-Funktion Anwend.

Wendepunkte (schwerer) BF

Wendetangente

max. Flächeninhalt am Graph

1.: u=-2

2.: u=2

Extremwertaufgabe (+Nebenbed.)

Extrempunkte bei ln-Funktionen

1.: x= $3$

2.: x= $9$

1.: x= $- 3$

2.: x= $0$

3.: x= $2$

1.: x= $- 4$

2.: x= $0$

1.: u= $- 2$

2.: u= $2$