$\text{f(x)}=$ ${\left(-x+3\right)}^3+12x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $3{\left(-x+3\right)}^2·\left(-1+0\right)+12$

= $-3{\left(-x+3\right)}^2+12$

$\text{f''(x)}=$ $-6\left(-x+3\right)·\left(-1+0\right)+0$

= $-6x+18$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-3{\left(-x+3\right)}^2+12$	=	0	| $-12$
$-3{\left(-x+3\right)}^2$	=	$-12$	|: $\left(-3\right)$
${\left(-x+3\right)}^2$	=	$4$	|

1. Fall

2. Fall

Die Lösungen $1$, $5$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x=$1$

f''($1$) = $-6\cdot 1+18$= $-6+18$= $12$ >0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($1$) = ${\left(-1+3\right)}^3+12\cdot 1$ = $20$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($1$| $20$)

2.: x=$5$

f''($5$) = $-6\cdot 5+18$= $-30+18$= $-12$ <0

Das heißt bei x = $5$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($5$) = ${\left(-5+3\right)}^3+12\cdot 5$ = $52$
Man erhält so den Hochpunkt H:($5$| $52$)

$\text{f(x)}=$ $-2x^3+9x^2+60x+3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+18x+60+0$

= $-6x^2+18x+60$

$\text{f''(x)}=$ $-12x+18+0$

= $-12x+18$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-6x^2+18x+60$ = 0 |:6

$-x^2+3x+10$ = 0

Die Lösungen $-2$, $5$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x=$-2$

f''($-2$) = $-12\cdot \left(-2\right)+18$= $24+18$= $42$ >0

Das heißt bei x = $-2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-2$) = $-2\cdot {\left(-2\right)}^3+9\cdot {\left(-2\right)}^2+60\cdot \left(-2\right)+3$ = $-65$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-2$| $-65$)

2.: x=$5$

f''($5$) = $-12\cdot 5+18$= $-60+18$= $-42$ <0

Das heißt bei x = $5$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($5$) = $-2\cdot 5^3+9\cdot 5^2+60\cdot 5+3$ = $278$
Man erhält so den Hochpunkt H:($5$| $278$)

Wir sehen am positiven Vorzeichen vor der höchsten Potenz ( $\frac{3}{4}{x}^4$), dass für sehr große und sehr kleine x-Werte die y-Werte immer positiv sind. Um nachzuweisen, dass es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen wir also zeigen, dass alle Punkte positiv sind. Dies geht am einfachsten, wenn man sich alle Tiefpunkte anschaut. Wir berechnen also erstmal die Extrempunkte:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4+x^3-9x^2+51$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^3+3x^2-18x+0$

= $3x^3+3x^2-18x$

$\text{f''(x)}=$ $9x^2+6x-18$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$3x^3+3x^2-18x$	=	0
$3x\left(x^2+x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösungen $-3$, 0, $2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x=$-3$

f''($-3$) = $9\cdot {\left(-3\right)}^2+6\cdot \left(-3\right)-18$= $9\cdot 9-18-18$= $45$ >0

Das heißt bei x = $-3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-3$) = $\frac{3}{4}\cdot {\left(-3\right)}^4+{\left(-3\right)}^3-9\cdot {\left(-3\right)}^2+51$ = $\frac{15}{4}$ ≈ 3.75
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-3$| $\frac{15}{4}$)

≈ T:(-3|3.75)

2.: x=$0$

f''($0$) = $9\cdot 0^2+6\cdot 0-18$= $9\cdot 0+0-18$= $-18$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($0$) = $\frac{3}{4}\cdot 0^4+0^3-9\cdot 0^2+51$ = $51$
Man erhält so den Hochpunkt H:($0$| $51$)

3.: x=$2$

f''($2$) = $9\cdot 2^2+6\cdot 2-18$= $9\cdot 4+12-18$= $30$ >0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($2$) = $\frac{3}{4}\cdot 2^4+2^3-9\cdot 2^2+51$ = $35$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($2$| $35$)

Eigentlich hätte es gereicht nur die Tiefpunkte zu untersuchen.

Wir sehen also, dass selbst der niedrigste Tiefpunkt einen positiven y-Wert hat. Also müssen alle Punkte über der x-Achse liegen.

Der niedrigste Punkt muss ja ein Tiefpunkt sein, daher sehen wir dass der Tiefpunkt (-3|$\frac{15}{4}$) der niedrigste Punkt, also der Punkt mit dem geringsten Abstand zur x-Achse ist.

Dieser geringste Abstand ist also |$\frac{15}{4}$| = 3.75.

$\text{f(x)}=$ $-3x+2e^{\frac{1}{3}x}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-3+2e^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}$

= $\frac{2}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}-3$

$\text{f''(x)}=$ $\frac{2}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}+0$

= $\frac{2}{9}{e}^{\frac{1}{3}x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\frac{2}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}-3$	=	0	| $+3$
$\frac{2}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}$	=	$3$	|⋅$\frac{3}{2}$
$e^{\frac{1}{3}x}$	=	$\frac{9}{2}$	|ln(⋅)
$\frac{1}{3}x$	=	$\ln \left(\frac{9}{2}\right)$	|:$\frac{1}{3}$
$x$	=	$3\ln \left(\frac{9}{2}\right)$	≈ 4.5122

Die Lösung x= $3\ln \left(\frac{9}{2}\right)$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''($\mathrm{4,5122}$) = $\frac{2}{9}{e}^{\frac{1}{3}\cdot \mathrm{4,5122}}$= $\frac{2}{9}{e}^{\frac{\mathrm{4,5122}}{3}}$= $\frac{2}{9}{e}^{\frac{\mathrm{4,5122}}{3}}$ >0

Das heißt bei x = $\mathrm{4,5122}$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($\mathrm{4,5122}$) = $-3\cdot \mathrm{4,5122}+2e^{\frac{1}{3}\cdot \mathrm{4,5122}}$ = $2e^{\frac{\mathrm{4,5122}}{3}}-\mathrm{13,5366}$ ≈ -4.537
Man erhält so den Tiefpunkt T:($\mathrm{4,5122}$| $2e^{\frac{\mathrm{4,5122}}{3}}-\mathrm{13,5366}$)

≈ T:(4.512|-4.537)

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x-4\right)·e^{-\frac{1}{2}x}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $\left(-2+0\right)·e^{-\frac{1}{2}x}+\left(-2x-4\right)·e^{-\frac{1}{2}x}·\left(-\frac{1}{2}\right)$

= $e^{-\frac{1}{2}x}·\left(x+2-2\right)$

= $x{e}^{-\frac{1}{2}x}$

$\text{f''(x)}=$ $1·e^{-\frac{1}{2}x}+x·e^{-\frac{1}{2}x}·\left(-\frac{1}{2}\right)$

= $e^{-\frac{1}{2}x}·\left(-\frac{1}{2}x+1\right)$

= $\left(-\frac{1}{2}x+1\right)e^{-\frac{1}{2}x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$x·e^{-\frac{1}{2}x}$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösung x=0 ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''($0$) = $e^{-\frac{1}{2}\cdot 0}·\left(-\frac{1}{2}\cdot 0+1\right)$= $e^0·\left(0+1\right)$= $e^0$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($0$) = $\left(-2\cdot 0-4\right)·e^{-\frac{1}{2}\cdot 0}$ = $-4$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($0$| $-4$)

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,05}x}+8$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,05}x}+2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,05}x}·\left(-\mathrm{0,05}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,05}x}·\left(-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}+2\right)$

= $\left(-\mathrm{0,1}x+\mathrm{2,3}\right)e^{-\mathrm{0,05}x}$

$\text{f''(x)}=$ $\left(-\mathrm{0,1}+0\right)·e^{-\mathrm{0,05}x}+\left(-\mathrm{0,1}x+\mathrm{2,3}\right)·e^{-\mathrm{0,05}x}·\left(-\mathrm{0,05}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,05}x}·\left(\mathrm{0,005}x-\mathrm{0,115}-\mathrm{0,1}\right)$

= $\left(\mathrm{0,005}x-\mathrm{0,215}\right)e^{-\mathrm{0,05}x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\left(-\mathrm{0,1}x+\mathrm{2,3}\right)·e^{-\mathrm{0,05}x}$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösung x= $23$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''($23$) = $e^{-\mathrm{0,05}\cdot 23}·\left(\mathrm{0,005}\cdot 23-\mathrm{0,115}-\mathrm{0,1}\right)$= $e^{-\mathrm{1,15}}·\left(\mathrm{0,115}-\mathrm{0,115}-\mathrm{0,1}\right)$= $-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{1,15}}$ <0

Das heißt bei x = $23$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($23$) = $2·\left(23-3\right)·e^{-\mathrm{0,05}\cdot 23}+8$ = $40e^{-\mathrm{1,15}}+8$ ≈ 20.665
Man erhält so den Hochpunkt H:($23$| $40e^{-\mathrm{1,15}}+8$)

≈ H:(23|20.665)

$\text{f(x)}=$ $-{\left(-2x+2\right)}^3-216x$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $-3{\left(-2x+2\right)}^2·\left(-2+0\right)-216$

= $-3{\left(-2x+2\right)}^2·\left(-2\right)-216$

= $6{\left(-2x+2\right)}^2-216$

$\text{f''(x)}=$ $12\left(-2x+2\right)·\left(-2+0\right)+0$

= $12\left(-2x+2\right)·\left(-2\right)$

= $-24\left(-2x+2\right)$

$\text{f'''(x)}=$ $48+0$

= $48$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$48x-48$	=	0	| $+48$
$48x$	=	$48$	|:$48$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $1$:

f'''($1$) = $48+0$= $48$

Da f'''($1$)≠0, haben wir bei x = $1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($1$) = $-{\left(-2\cdot 1+2\right)}^3-216\cdot 1$ = $-216$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($1$| $-216$)

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $x^3+3x^2+3x-1$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+6x+3+0$

= $3x^2+6x+3$

$\text{f''(x)}=$ $6x+6+0$

= $6x+6$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x+6$	=	0	| $-6$
$6x$	=	$-6$	|:$6$
$x$	=	$-1$

Die Lösung x= $-1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $-1$:

f'''($-1$) = $6+0$= $6$

Da f'''($-1$)≠0, haben wir bei x = $-1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($-1$) = ${\left(-1\right)}^3+3\cdot {\left(-1\right)}^2+3\cdot \left(-1\right)-1$ = $-2$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($-1$| $-2$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(-1)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^2+6\cdot \left(-1\right)+3$

= $3\cdot 1-6+3$

= $3-6+3$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(-1)}=$ ${\left(-1\right)}^3+3\cdot {\left(-1\right)}^2+3\cdot \left(-1\right)-1$ = $\left(-1\right)+3\cdot 1-3-1$ = $-1+3-3-1$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B(-1| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = 0⋅(-1) + c

$-2$ = 0 + c

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x $-2$

Wir schreiben u für den x-Wert des Punkts P und da der Punkt P auf dem Graph von f liegt, muss der y-Wert f(u) sein, also P(u|f(u)).

An der Skizze erkennt man, dass dann die Seiten des achsenparallelen Rechteck die Längen u und f(u) haben. Folglich gilt für den Flächeninhalt dieses Rechtecks:
A = u ⋅ f(u) = $u·\left(-2u+4\right)$ = $-2u^2+4u$

Wir suchen also ein Maximum von

$\text{A(u)}=$ $-2u^2+4u$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{A'(u)}=$ $-4u+4$

$\text{A''(u)}=$ $-4+0$

= $-4$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist A'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also A'(u) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von A zu bestimmen.

$-4u+4$	=	0	| $-4$
$-4u$	=	$-4$	|:($-4$)
$u$	=	$1$

Die Lösung u= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in A''(u):

Ist A''(u) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A''(u₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A''(u₀)>0).

A''($1$) = $-4$= $-4$= $-4$ <0

Das heißt bei u = $1$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende u-Wert in A(u) eingesetzt werden.
A($1$) = $-2\cdot 1^2+4\cdot 1$ = $2$
Man erhält so den Hochpunkt H:($1$| $2$)

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir also, wenn wir als x-Koordinate des gesuchten Punkts u = $1$ wählen.

Den zugehörigen y-Wert erhalten wir, wenn wir x = $1$ in f(x) einsetzen:

f($1$) = $-2\cdot 1+4$ = $2$

Somit sind die Koordinaten des gesuchten Punkts P($1$| $2$)

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir ja, wenn wir u = $1$ in die zu maximierende Flächeninhaltsfunktion A(u) einsetzen. Dies wurde ja bereits oben bei der hinreichenden Bedingung gemacht, somit ist der maximale Flächeninhalt A($1$) = $2$.

Es muss gelten: 1100 = $\pi ·x^2·h$

Wenn wir diese Gleichung nach h auflösen, erhalten wir:

h = $\frac{1100}{\pi ·x^2}$

Dies können wir in die Oberflächenformel einsetzen:

O = $2\pi ·x^2+2\pi ·x·\frac{1100}{\pi ·x^2}$

Als Zielfunktion für die Oberfläche ergibt sich somit O(x) = $2\pi ·x^2+2\pi ·x·\frac{1100}{\pi ·x^2}$

= $2\pi x^2+2\pi ·\frac{1100}{\pi x}$

= $2\pi x^2+\frac{2200}{x}$

= $\frac{2200}{x}+2\pi x^2$.

Da diese Zielfunktion für die Oberfläche minimal werden soll, suchen wir deren Minimum:

$\text{O(x)}=$ $\frac{2200}{x}+2\pi x^2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{O'(x)}=$ $-\frac{2200}{x^2}+(2·0·x^2+2\pi ·2x)$

= $-\frac{2200}{x^2}+4\pi x$

$\text{O''(x)}=$ $\frac{4400}{x^3}+(4·0·x+4\pi ·1)$

= $\frac{4400}{x^3}+4\pi$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist O'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also O'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von O zu bestimmen.

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^2$ weg!

$-\frac{2200}{x^2}+4\pi x$	=	0	|⋅( $x^2$)
$-\frac{2200}{x^2}·x^2+4\pi x·x^2$	=	0
$-2200+4\pi x·x^2$	=	0
$-2200+4\pi x^3$	=	0

$-2200+4\pi x^3$	=	0	| $+2200$
$4\pi x^3$	=	$2200$	|: $4\pi$
$x^3$	=	$\frac{2200}{4\pi }$
$x^3$	=	$\mathrm{175,07044}$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{\mathrm{175,07044}}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Die Lösung x= $\sqrt[3]{\mathrm{175,07044}}$ ≈ 5.5942 ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in O''(x):

Ist O''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: O'(x₀)=0 und O''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: O'(x₀)=0 und O''(x₀)>0).

O''($\mathrm{5,5942}$) = $\frac{4400}{{\mathrm{5,5942}}^3}+4\pi$= $4400\cdot \left(\frac{1}{\mathrm{175,0709}}\right)+4\pi$= $\mathrm{25,1327}+4\pi$ >0

Das heißt bei x = $\mathrm{5,5942}$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in O(x) eingesetzt werden.
O($\mathrm{5,5942}$) = $\frac{2200}{\mathrm{5,5942}}+2\pi ·{\mathrm{5,5942}}^2$ = $\frac{2200}{\mathrm{5,5942}}+\mathrm{62,5901}\pi$ ≈ 589.897
Man erhält so den Tiefpunkt T:($\mathrm{5,5942}$| $\frac{2200}{\mathrm{5,5942}}+\mathrm{62,5901}\pi$)

≈ T:(5.594|589.897)

Die minimale Oberfläche erhalten wir also, wenn wir x = $\mathrm{5,5942}$ (, also $\mathrm{5,5942}$ cm Radius des Dosenzylinder) wählen.

Die zugehörige Höhe erhalten wir, wenn wir $\mathrm{5,5942}$ in h = $\frac{1100}{\pi ·x^2}$ einsetzen, h = $\frac{1100}{\pi ·{\mathrm{5,5942}}^2}$ ≈ 11.188.

Als minimale Oberfläche erhalten wir:
O($\mathrm{5,5942}$) = $2\pi ·{\mathrm{5,5942}}^2+2\pi ·\mathrm{5,5942}·\frac{1100}{\pi ·{\mathrm{5,5942}}^2}$
≈ 589.897.