$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{\left(2x-4\right)}^2-8$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-\left(2x-4\right)·\left(2+0\right)+0$

= $-4x+8$

$\text{f''(x)}=$ $-4+0$

= $-4$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-4x+8$	=	0	| $-8$
$-4x$	=	$-8$	|:($-4$)
$x$	=	$2$

Die Lösung x= $2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''($2$) = $-4$= $-4$= $-4$ <0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($2$) = $-\frac{1}{2}\cdot {\left(2\cdot 2-4\right)}^2-8$ = $-8$
Man erhält so den Hochpunkt H:($2$| $-8$)

$\text{f(x)}=$ $-2x^3+3x^2+72x-1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+6x+72+0$

= $-6x^2+6x+72$

$\text{f''(x)}=$ $-12x+6+0$

= $-12x+6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-6x^2+6x+72$ = 0 |:6

$-x^2+x+12$ = 0

Die Lösungen $-3$, $4$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x=$-3$

f''($-3$) = $-12\cdot \left(-3\right)+6$= $36+6$= $42$ >0

Das heißt bei x = $-3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-3$) = $-2\cdot {\left(-3\right)}^3+3\cdot {\left(-3\right)}^2+72\cdot \left(-3\right)-1$ = $-136$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-3$| $-136$)

2.: x=$4$

f''($4$) = $-12\cdot 4+6$= $-48+6$= $-42$ <0

Das heißt bei x = $4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($4$) = $-2\cdot 4^3+3\cdot 4^2+72\cdot 4-1$ = $207$
Man erhält so den Hochpunkt H:($4$| $207$)

Wir sehen am negativen Vorzeichen vor der höchsten Potenz ( $-\frac{3}{4}{x}^4$), dass für sehr große und sehr kleine x-Werte die y-Werte immer negativ sind. Um nachzuweisen, dass es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen wir also zeigen, dass alle Punkte negativ sind. Dies geht am einfachsten, wenn man sich alle Hochpunkte anschaut. Wir berechnen also erstmal die Extrempunkte:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^4+6x^2-14$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^3+12x+0$

= $-3x^3+12x$

$\text{f''(x)}=$ $-9x^2+12$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-3x^3+12x$	=	0
$3x\left(-x^2+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösungen $-2$, 0, $2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x=$-2$

f''($-2$) = $-9\cdot {\left(-2\right)}^2+12$= $-9\cdot 4+12$= $-24$ <0

Das heißt bei x = $-2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-2$) = $-\frac{3}{4}\cdot {\left(-2\right)}^4+6\cdot {\left(-2\right)}^2-14$ = $-2$
Man erhält so den Hochpunkt H:($-2$| $-2$)

2.: x=$0$

f''($0$) = $-9\cdot 0^2+12$= $-9\cdot 0+12$= $12$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($0$) = $-\frac{3}{4}\cdot 0^4+6\cdot 0^2-14$ = $-14$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($0$| $-14$)

3.: x=$2$

f''($2$) = $-9\cdot 2^2+12$= $-9\cdot 4+12$= $-24$ <0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($2$) = $-\frac{3}{4}\cdot 2^4+6\cdot 2^2-14$ = $-2$
Man erhält so den Hochpunkt H:($2$| $-2$)

Eigentlich hätte es gereicht nur die Hochpunkte zu untersuchen.

Wir sehen also, dass selbst der höchste Hochpunkt einen negativen y-Wert hat. Also müssen alle Punkte unter der x-Achse liegen.

Der höchste Punkt muss ja ein Hochpunkt sein, daher sehen wir dass der Hochpunkt (-2|$-2$) der höchste Punkt, also der Punkt mit dem geringsten Abstand zur x-Achse ist.

Dieser geringste Abstand ist also |$-2$| = 2.

$\text{f(x)}=$ $4e^{\frac{1}{3}x}-3x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $4e^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}-3$

= $\frac{4}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}-3$

$\text{f''(x)}=$ $\frac{4}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}+0$

= $\frac{4}{9}{e}^{\frac{1}{3}x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\frac{4}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}-3$	=	0	| $+3$
$\frac{4}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}$	=	$3$	|⋅$\frac{3}{4}$
$e^{\frac{1}{3}x}$	=	$\frac{9}{4}$	|ln(⋅)
$\frac{1}{3}x$	=	$\ln \left(\frac{9}{4}\right)$	|:$\frac{1}{3}$
$x$	=	$3\ln \left(\frac{9}{4}\right)$	≈ 2.4328

Die Lösung x= $3\ln \left(\frac{9}{4}\right)$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''($\mathrm{2,4328}$) = $\frac{4}{9}{e}^{\frac{1}{3}\cdot \mathrm{2,4328}}$= $\frac{4}{9}{e}^{\frac{\mathrm{2,4328}}{3}}$= $\frac{4}{9}{e}^{\frac{\mathrm{2,4328}}{3}}$ >0

Das heißt bei x = $\mathrm{2,4328}$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($\mathrm{2,4328}$) = $4e^{\frac{1}{3}\cdot \mathrm{2,4328}}-3\cdot \mathrm{2,4328}$ = $4e^{\frac{\mathrm{2,4328}}{3}}-\mathrm{7,2984}$ ≈ 1.702
Man erhält so den Tiefpunkt T:($\mathrm{2,4328}$| $4e^{\frac{\mathrm{2,4328}}{3}}-\mathrm{7,2984}$)

≈ T:(2.433|1.702)

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\left(x^2-2x-2\right)·e^x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}\left(2x-2+0\right)·e^x+\frac{1}{2}\left(x^2-2x-2\right)·e^x$

= $e^x·\left(x-1+\frac{1}{2}{x}^2-x-1\right)$

= $\left(\frac{1}{2}{x}^2-2\right)e^x$

$\text{f''(x)}=$ $\left(x+0\right)·e^x+\left(\frac{1}{2}{x}^2-2\right)·e^x$

= $e^x·\left(x+\frac{1}{2}{x}^2-2\right)$

= $\left(\frac{1}{2}{x}^2+x-2\right)e^x$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\left(\frac{1}{2}{x}^2-2\right)·e^x$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösungen $-2$, $2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x=$-2$

f''($-2$) = $e^{-2}·\left(-2+\frac{1}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-2\right)$= $e^{-2}·\left(-2+\frac{1}{2}\cdot 4-2\right)$= $-2e^{-2}$ <0

Das heißt bei x = $-2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-2$) = $\frac{1}{2}·\left({\left(-2\right)}^2-2\cdot \left(-2\right)-2\right)·e^{-2}$ = $3e^{-2}$ ≈ 0.406
Man erhält so den Hochpunkt H:($-2$| $3e^{-2}$)

≈ H:(-2|0.406)

2.: x=$2$

f''($2$) = $e^2·\left(2+\frac{1}{2}\cdot 2^2-2\right)$= $e^2·\left(2+\frac{1}{2}\cdot 4-2\right)$= $2e^2$ >0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($2$) = $\frac{1}{2}·\left(2^2-2\cdot 2-2\right)·e^2$ = $-e^2$ ≈ -7.389
Man erhält so den Tiefpunkt T:($2$| $-e^2$)

≈ T:(2|-7.389)

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-x-5+5\right)$

= $-x{e}^{-\mathrm{0,2}x}$

$\text{f''(x)}=$ $-1·e^{-\mathrm{0,2}x}-x·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,2}x-1\right)$

= $\left(\mathrm{0,2}x-1\right)e^{-\mathrm{0,2}x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-x·e^{-\mathrm{0,2}x}$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösung x=0 ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''($0$) = $e^{-\mathrm{0,2}\cdot 0}·\left(\mathrm{0,2}\cdot 0-1\right)$= $e^0·\left(0-1\right)$= $-e^0$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($0$) = $5·\left(0+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}\cdot 0}-2$ = $23$
Man erhält so den Hochpunkt H:($0$| $23$)

$\text{f(x)}=$ $-{\left(-2x-6\right)}^3-768x^2$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $-3{\left(-2x-6\right)}^2·\left(-2+0\right)-1536x$

= $-3{\left(-2x-6\right)}^2·\left(-2\right)-1536x$

= $6{\left(-2x-6\right)}^2-1536x$

$\text{f''(x)}=$ $12\left(-2x-6\right)·\left(-2+0\right)-1536$

= $12\left(-2x-6\right)·\left(-2\right)-1536$

= $-24\left(-2x-6\right)-1536$

= $-24·\left(-2x\right)-24·\left(-6\right)-1536$

= $48x+144-1536$

= $48x-1392$

$\text{f'''(x)}=$ $48+0$

= $48$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$48x-1392$	=	0	| $+1392$
$48x$	=	$1392$	|:$48$
$x$	=	$29$

Die Lösung x= $29$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $29$:

f'''($29$) = $48+0$= $48$

Da f'''($29$)≠0, haben wir bei x = $29$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($29$) = $-{\left(-2\cdot 29-6\right)}^3-768\cdot {29}^2$ = $-383744$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($29$| $-383744$)

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $x^3-12x^2+3x$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-24x+3$

$\text{f''(x)}=$ $6x-24+0$

= $6x-24$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-24$	=	0	| $+24$
$6x$	=	$24$	|:$6$
$x$	=	$4$

Die Lösung x= $4$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $4$:

f'''($4$) = $6+0$= $6$

Da f'''($4$)≠0, haben wir bei x = $4$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($4$) = $4^3-12\cdot 4^2+3\cdot 4$ = $-116$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($4$| $-116$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(4)}=$ $3\cdot 4^2-24\cdot 4+3$

= $3\cdot 16-96+3$

= $48-96+3$

= $-45$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-45$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $4^3-12\cdot 4^2+3\cdot 4$ = $64-12\cdot 16+12$ = $64-192+12$ = $-116$

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $-116$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-116$ = $-45$⋅4 + c

$-116$ = $-180$ + c | + $180$

$64$ = c

also c= $64$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-45$⋅x + $64$

Wir schreiben u für den x-Wert des Punkts P und da der Punkt P auf dem Graph von f liegt, muss der y-Wert f(u) sein, also P(u|f(u)).

An der Skizze erkennt man, dass dann die Seiten des achsenparallelen Rechteck die Längen u und f(u) haben. Folglich gilt für den Flächeninhalt dieses Rechtecks:
A = u ⋅ f(u) = $u·\left(-\frac{1}{4}{u}^2+\frac{75}{16}\right)$ = $-\frac{1}{4}{u}^3+\frac{75}{16}u$

Wir suchen also ein Maximum von

$\text{A(u)}=$ $-\frac{1}{4}{u}^3+\frac{75}{16}u$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{A'(u)}=$ $-\frac{3}{4}{u}^2+\frac{75}{16}$

$\text{A''(u)}=$ $-\frac{3}{2}u+0$

= $-\frac{3}{2}u$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist A'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also A'(u) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von A zu bestimmen.

$-\frac{3}{4}{u}^2+\frac{75}{16}$	=	0	| $-\frac{75}{16}$
$-\frac{3}{4}{u}^2$	=	$-\frac{75}{16}$	|⋅ $\left(-\frac{4}{3}\right)$
$u^2$	=	$\frac{25}{4}$	|
u1	=	$-\sqrt{\frac{25}{4}}$	= $-\frac{5}{2}$
u2	=	$\sqrt{\frac{25}{4}}$	= $\frac{5}{2}$

Die Lösungen $-\frac{5}{2}$, $\frac{5}{2}$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in A''(u):

Ist A''(u) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A''(u₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A''(u₀)>0).

1.: u=$-\frac{5}{2}$

A''($-\frac{5}{2}$) = $-\frac{3}{2}\cdot \left(-\frac{5}{2}\right)$= $\frac{15}{4}$= $\frac{15}{4}$ >0

Das heißt bei u = $-\frac{5}{2}$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende u-Wert in A(u) eingesetzt werden.
A($-\frac{5}{2}$) = $-\frac{1}{4}\cdot {\left(-\frac{5}{2}\right)}^3+\frac{75}{16}\cdot \left(-\frac{5}{2}\right)$ = $-\frac{125}{16}$ ≈ -7.813
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-\frac{5}{2}$| $-\frac{125}{16}$)

≈ T:(-2.5|-7.813)

2.: u=$\frac{5}{2}$

A''($\frac{5}{2}$) = $-\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{5}{2}\right)$= $-\frac{15}{4}$= $-\frac{15}{4}$ <0

Das heißt bei u = $\frac{5}{2}$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende u-Wert in A(u) eingesetzt werden.
A($\frac{5}{2}$) = $-\frac{1}{4}\cdot {\left(\frac{5}{2}\right)}^3+\frac{75}{16}\cdot \left(\frac{5}{2}\right)$ = $\frac{125}{16}$ ≈ 7.813
Man erhält so den Hochpunkt H:($\frac{5}{2}$| $\frac{125}{16}$)

≈ H:(2.5|7.813)

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir also, wenn wir als x-Koordinate des gesuchten Punkts u = $\frac{5}{2}$ wählen.

Den zugehörigen y-Wert erhalten wir, wenn wir x = $\frac{5}{2}$ in f(x) einsetzen:

f($\frac{5}{2}$) = $-\frac{1}{4}\cdot {\left(\frac{5}{2}\right)}^2+\frac{75}{16}$ = $\frac{25}{8}$

Somit sind die Koordinaten des gesuchten Punkts P($\frac{5}{2}$| $\frac{25}{8}$)

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir ja, wenn wir u = $\frac{5}{2}$ in die zu maximierende Flächeninhaltsfunktion A(u) einsetzen. Dies wurde ja bereits oben bei der hinreichenden Bedingung gemacht, somit ist der maximale Flächeninhalt A($\frac{5}{2}$) = $\frac{125}{16}$.

Als Zielfunktion für den Gewinn ergibt sich somit G(x) = $\left(2900-100x\right)·(70000+\mathrm{0,04}x·70000)$

= $\left(-100x+2900\right)·\left(70000+2800x\right)$

= $-100x·70000-100x·2800x+2900·70000+2900·2800x$

= $-280000x^2+1120000x+203000000$.

Da diese Zielfunktion für den Gewinn maximal werden soll, suchen wir deren Maximum:

$\text{G(x)}=$ $-280000x^2+1120000x+203000000$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{G'(x)}=$ $-560000x+1120000+0$

= $-560000x+1120000$

$\text{G''(x)}=$ $-560000+0$

= $-560000$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist G'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also G'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von G zu bestimmen.

$-560000x+1120000$	=	0	| $-1120000$
$-560000x$	=	$-1120000$	|:($-560000$)
$x$	=	$2$

Die Lösung x= $2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in G''(x):

Ist G''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: G'(x₀)=0 und G''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: G'(x₀)=0 und G''(x₀)>0).

G''($2$) = $-560000$= $-560000$= $-560000$ <0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in G(x) eingesetzt werden.
G($2$) = $-280000\cdot 2^2+1120000\cdot 2+203000000$ = $204120000$
Man erhält so den Hochpunkt H:($2$| $204120000$)

Den maximalen Gewinn erhalten wir also, wenn wir x = $2$ (, also $2$ 100€-Schritte in der Preisreduzierung) wählen.

Als maximaler Gesamtgewinn erhalten wir:
G($2$) = $\left(2900-100\cdot 2\right)·(70000+\mathrm{0,04}\cdot 2·70000)$
= $\left(2900-200\right)·\left(70000+5600\right)$
= $2700·\left(70000+5600\right)$
= $204120000$.

$\text{f(x)}=$ $-3x^2·\ln \left(\frac{1}{2}x\right)$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x·\ln \left(\frac{1}{2}x\right)-3x^2·\frac{1}{\frac{1}{2}x}·\frac{1}{2}$

= $-3x-6x\ln \left(\frac{1}{2}x\right)$

$\text{f''(x)}=$ $-3+(-6·1·\ln \left(\frac{1}{2}x\right)-6x·\frac{1}{\frac{1}{2}x}·\frac{1}{2})$

= $-6\ln \left(\frac{1}{2}x\right)-9$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-3x-6x\ln \left(\frac{1}{2}x\right)$	=	0
$-3x\left(2\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösungen 0, $\frac{2}{\sqrt{e}}$ ≈ 1.2131 sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

f($0$) = $-3\cdot 0^2·\ln \left(\frac{1}{2}\cdot 0\right)$ ist nicht definiert, somit ist an der Stelle x = $0$ kein Extrempunkt möglich.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''($\mathrm{1,2131}$) = $-6\ln \left(\frac{1}{2}\cdot \mathrm{1,2131}\right)-9$= $-6\ln \left(\frac{\mathrm{1,2131}}{2}\right)-9$= $-6\ln \left(\frac{\mathrm{1,2131}}{2}\right)-9$ <0

Das heißt bei x = $\mathrm{1,2131}$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($\mathrm{1,2131}$) = $-3\cdot {\mathrm{1,2131}}^2·\ln \left(\frac{1}{2}\cdot \mathrm{1,2131}\right)$ = $-\mathrm{4,4148}\ln \left(\frac{\mathrm{1,2131}}{2}\right)$ ≈ 2.207
Man erhält so den Hochpunkt H:($\mathrm{1,2131}$| $-\mathrm{4,4148}\ln \left(\frac{\mathrm{1,2131}}{2}\right)$)

≈ H:(1.213|2.207)