$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{\left(-x-1\right)}^2+2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $\left(-x-1\right)·\left(-1+0\right)+0$

= $x+1$

$\text{f''(x)}=$ $1+0$

= $1$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$x+1$	=	0	| $-1$
$x$	=	$-1$

Die Lösung x= $-1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''($-1$) = $1$= $1$= $1$ >0

Das heißt bei x = $-1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-1$) = $\frac{1}{2}\cdot {\left(-\left(-1\right)-1\right)}^2+2$ = $2$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-1$| $2$)

$\text{f(x)}=$ $3x^4-28x^3+60x^2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $12x^3-84x^2+120x$

$\text{f''(x)}=$ $36x^2-168x+120$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$12x^3-84x^2+120x$	=	0
$12x\left(x^2-7x+10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösungen 0, $2$, $5$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x=$0$

f''($0$) = $36\cdot 0^2-168\cdot 0+120$= $36\cdot 0+0+120$= $120$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($0$) = $3\cdot 0^4-28\cdot 0^3+60\cdot 0^2$ = 0
Man erhält so den Tiefpunkt T:($0$|0)

2.: x=$2$

f''($2$) = $36\cdot 2^2-168\cdot 2+120$= $36\cdot 4-336+120$= $-72$ <0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($2$) = $3\cdot 2^4-28\cdot 2^3+60\cdot 2^2$ = $64$
Man erhält so den Hochpunkt H:($2$| $64$)

3.: x=$5$

f''($5$) = $36\cdot 5^2-168\cdot 5+120$= $36\cdot 25-840+120$= $180$ >0

Das heißt bei x = $5$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($5$) = $3\cdot 5^4-28\cdot 5^3+60\cdot 5^2$ = $-125$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($5$| $-125$)

Wir sehen am positiven Vorzeichen vor der höchsten Potenz ( $\frac{3}{4}{x}^4$), dass für sehr große und sehr kleine x-Werte die y-Werte immer positiv sind. Um nachzuweisen, dass es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen wir also zeigen, dass alle Punkte positiv sind. Dies geht am einfachsten, wenn man sich alle Tiefpunkte anschaut. Wir berechnen also erstmal die Extrempunkte:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4-\frac{3}{2}{x}^2+2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^3-3x+0$

= $3x^3-3x$

$\text{f''(x)}=$ $9x^2-3$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$3x^3-3x$	=	0
$3x\left(x^2-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösungen $-1$, 0, $1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x=$-1$

f''($-1$) = $9\cdot {\left(-1\right)}^2-3$= $9\cdot 1-3$= $6$ >0

Das heißt bei x = $-1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-1$) = $\frac{3}{4}\cdot {\left(-1\right)}^4-\frac{3}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2+2$ = $\frac{5}{4}$ ≈ 1.25
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-1$| $\frac{5}{4}$)

≈ T:(-1|1.25)

2.: x=$0$

f''($0$) = $9\cdot 0^2-3$= $9\cdot 0-3$= $-3$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($0$) = $\frac{3}{4}\cdot 0^4-\frac{3}{2}\cdot 0^2+2$ = $2$
Man erhält so den Hochpunkt H:($0$| $2$)

3.: x=$1$

f''($1$) = $9\cdot 1^2-3$= $9\cdot 1-3$= $6$ >0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($1$) = $\frac{3}{4}\cdot 1^4-\frac{3}{2}\cdot 1^2+2$ = $\frac{5}{4}$ ≈ 1.25
Man erhält so den Tiefpunkt T:($1$| $\frac{5}{4}$)

≈ T:(1|1.25)

Eigentlich hätte es gereicht nur die Tiefpunkte zu untersuchen.

Wir sehen also, dass selbst der niedrigste Tiefpunkt einen positiven y-Wert hat. Also müssen alle Punkte über der x-Achse liegen.

Der niedrigste Punkt muss ja ein Tiefpunkt sein, daher sehen wir dass der Tiefpunkt (-1|$\frac{5}{4}$) der niedrigste Punkt, also der Punkt mit dem geringsten Abstand zur x-Achse ist.

Dieser geringste Abstand ist also |$\frac{5}{4}$| = 1.25.

$\text{f(x)}=$ $-4x+3e^{\frac{1}{2}x}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-4+3e^{\frac{1}{2}x}·\frac{1}{2}$

= $\frac{3}{2}{e}^{\frac{1}{2}x}-4$

$\text{f''(x)}=$ $\frac{3}{2}{e}^{\frac{1}{2}x}·\frac{1}{2}+0$

= $\frac{3}{4}{e}^{\frac{1}{2}x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\frac{3}{2}{e}^{\frac{1}{2}x}-4$	=	0	| $+4$
$\frac{3}{2}{e}^{\frac{1}{2}x}$	=	$4$	|⋅$\frac{2}{3}$
$e^{\frac{1}{2}x}$	=	$\frac{8}{3}$	|ln(⋅)
$\frac{1}{2}x$	=	$\ln \left(\frac{8}{3}\right)$	|:$\frac{1}{2}$
$x$	=	$2\ln \left(\frac{8}{3}\right)$	≈ 1.9617

Die Lösung x= $2\ln \left(\frac{8}{3}\right)$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''($\mathrm{1,9617}$) = $\frac{3}{4}{e}^{\frac{1}{2}\cdot \mathrm{1,9617}}$= $\frac{3}{4}{e}^{\frac{\mathrm{1,9617}}{2}}$= $\frac{3}{4}{e}^{\frac{\mathrm{1,9617}}{2}}$ >0

Das heißt bei x = $\mathrm{1,9617}$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($\mathrm{1,9617}$) = $-4\cdot \mathrm{1,9617}+3e^{\frac{1}{2}\cdot \mathrm{1,9617}}$ = $3e^{\frac{\mathrm{1,9617}}{2}}-\mathrm{7,8468}$ ≈ 0.153
Man erhält so den Tiefpunkt T:($\mathrm{1,9617}$| $3e^{\frac{\mathrm{1,9617}}{2}}-\mathrm{7,8468}$)

≈ T:(1.962|0.153)

$\text{f(x)}=$ $\left(-x-2\right)·e^{\frac{1}{4}x}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $\left(-1+0\right)·e^{\frac{1}{4}x}+\left(-x-2\right)·e^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $e^{\frac{1}{4}x}·\left(-\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}-1\right)$

= $\left(-\frac{1}{4}x-\frac{3}{2}\right)e^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f''(x)}=$ $\left(-\frac{1}{4}+0\right)·e^{\frac{1}{4}x}+\left(-\frac{1}{4}x-\frac{3}{2}\right)·e^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $e^{\frac{1}{4}x}·\left(-\frac{1}{16}x-\frac{3}{8}-\frac{1}{4}\right)$

= $\left(-\frac{1}{16}x-\frac{5}{8}\right)e^{\frac{1}{4}x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\left(-\frac{1}{4}x-\frac{3}{2}\right)·e^{\frac{1}{4}x}$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösung x= $-6$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''($-6$) = $e^{\frac{1}{4}\cdot \left(-6\right)}·\left(-\frac{1}{16}\cdot \left(-6\right)-\frac{3}{8}-\frac{1}{4}\right)$= $e^{-\frac{3}{2}}·\left(\frac{3}{8}-\frac{3}{8}-\frac{1}{4}\right)$= $-\frac{1}{4}{e}^{-\frac{3}{2}}$ <0

Das heißt bei x = $-6$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-6$) = $\left(-\left(-6\right)-2\right)·e^{\frac{1}{4}\cdot \left(-6\right)}$ = $4e^{-\frac{3}{2}}$ ≈ 0.893
Man erhält so den Hochpunkt H:($-6$| $4e^{-\frac{3}{2}}$)

≈ H:(-6|0.893)

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,125}x}+5$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,125}x}+3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,125}x}·\left(-\mathrm{0,125}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,125}x}·\left(-\mathrm{0,375}x-\mathrm{0,75}+3\right)$

= $\left(-\mathrm{0,375}x+\mathrm{2,25}\right)e^{-\mathrm{0,125}x}$

$\text{f''(x)}=$ $\left(-\mathrm{0,375}+0\right)·e^{-\mathrm{0,125}x}+\left(-\mathrm{0,375}x+\mathrm{2,25}\right)·e^{-\mathrm{0,125}x}·\left(-\mathrm{0,125}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,125}x}·\left(\mathrm{0,0469}x-\mathrm{0,28125}-\mathrm{0,375}\right)$

= $\left(\mathrm{0,0469}x-\mathrm{0,65625}\right)e^{-\mathrm{0,125}x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\left(-\mathrm{0,375}x+\mathrm{2,25}\right)·e^{-\mathrm{0,125}x}$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösung x= $6$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''($6$) = $e^{-\mathrm{0,125}\cdot 6}·\left(\mathrm{0,0469}\cdot 6-\mathrm{0,28125}-\mathrm{0,375}\right)$= $e^{-\mathrm{0,75}}·\left(\mathrm{0,28125}-\mathrm{0,28125}-\mathrm{0,375}\right)$= $-\mathrm{0,375}{e}^{-\mathrm{0,75}}$ <0

Das heißt bei x = $6$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($6$) = $3·\left(6+2\right)·e^{-\mathrm{0,125}\cdot 6}+5$ = $24e^{-\mathrm{0,75}}+5$ ≈ 16.337
Man erhält so den Hochpunkt H:($6$| $24e^{-\mathrm{0,75}}+5$)

≈ H:(6|16.337)

$\text{f(x)}=$ ${\left(-2x+2\right)}^3+768x^2$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3{\left(-2x+2\right)}^2·\left(-2+0\right)+1536x$

= $3{\left(-2x+2\right)}^2·\left(-2\right)+1536x$

= $-6{\left(-2x+2\right)}^2+1536x$

$\text{f''(x)}=$ $-12\left(-2x+2\right)·\left(-2+0\right)+1536$

= $-12\left(-2x+2\right)·\left(-2\right)+1536$

= $24\left(-2x+2\right)+1536$

= $24·\left(-2x\right)+24·2+1536$

= $-48x+48+1536$

= $-48x+1584$

$\text{f'''(x)}=$ $-48+0$

= $-48$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$-48x+1584$	=	0	| $-1584$
$-48x$	=	$-1584$	|:($-48$)
$x$	=	$33$

Die Lösung x= $33$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $33$:

f'''($33$) = $-48+0$= $-48$

Da f'''($33$)≠0, haben wir bei x = $33$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($33$) = ${\left(-2\cdot 33+2\right)}^3+768\cdot {33}^2$ = $574208$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($33$| $574208$)

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+6x-2$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+6+0$

= $3x^2-6x+6$

$\text{f''(x)}=$ $6x-6+0$

= $6x-6$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-6$	=	0	| $+6$
$6x$	=	$6$	|:$6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $1$:

f'''($1$) = $6+0$= $6$

Da f'''($1$)≠0, haben wir bei x = $1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($1$) = $1^3-3\cdot 1^2+6\cdot 1-2$ = $2$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($1$| $2$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(1)}=$ $3\cdot 1^2-6\cdot 1+6$

= $3\cdot 1-6+6$

= $3-6+6$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(1)}=$ $1^3-3\cdot 1^2+6\cdot 1-2$ = $1-3\cdot 1+6-2$ = $1-3+6-2$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B(1| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $3$⋅1 + c

$2$ = $3$ + c | $-3$

$-1$ = c

also c= $-1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x $-1$

Wir schreiben u für den x-Wert des Punkts P und da der Punkt P auf dem Graph von f liegt, muss der y-Wert f(u) sein, also P(u|f(u)).

An der Skizze erkennt man, dass dann die Seiten des achsenparallelen Rechteck die Längen u und f(u) haben. Folglich gilt für den Flächeninhalt dieses Rechtecks:
A = u ⋅ f(u) = $u·\left(-u^2+\frac{3}{4}\right)$ = $-u^3+\frac{3}{4}u$

Wir suchen also ein Maximum von

$\text{A(u)}=$ $-u^3+\frac{3}{4}u$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{A'(u)}=$ $-3u^2+\frac{3}{4}$

$\text{A''(u)}=$ $-6u+0$

= $-6u$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist A'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also A'(u) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von A zu bestimmen.

$-3u^2+\frac{3}{4}$	=	0	| $-\frac{3}{4}$
$-3u^2$	=	$-\frac{3}{4}$	|: $\left(-3\right)$
$u^2$	=	$\frac{1}{4}$	|
u1	=	$-\sqrt{\frac{1}{4}}$	= $-\frac{1}{2}$
u2	=	$\sqrt{\frac{1}{4}}$	= $\frac{1}{2}$

Die Lösungen $-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in A''(u):

Ist A''(u) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A''(u₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A''(u₀)>0).

A''($\frac{1}{2}$) = $-6\cdot \left(\frac{1}{2}\right)$= $-3$= $-3$ <0

Das heißt bei u = $\frac{1}{2}$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende u-Wert in A(u) eingesetzt werden.
A($\frac{1}{2}$) = $-{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+\frac{3}{4}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)$ = $\frac{1}{4}$ ≈ 0.25
Man erhält so den Hochpunkt H:($\frac{1}{2}$| $\frac{1}{4}$)

≈ H:(0.5|0.25)

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir also, wenn wir als x-Koordinate des gesuchten Punkts u = $\frac{1}{2}$ wählen.

Den zugehörigen y-Wert erhalten wir, wenn wir x = $\frac{1}{2}$ in f(x) einsetzen:

f($\frac{1}{2}$) = $-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}$ = $\frac{1}{2}$

Somit sind die Koordinaten des gesuchten Punkts P($\frac{1}{2}$| $\frac{1}{2}$)

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir ja, wenn wir u = $\frac{1}{2}$ in die zu maximierende Flächeninhaltsfunktion A(u) einsetzen. Dies wurde ja bereits oben bei der hinreichenden Bedingung gemacht, somit ist der maximale Flächeninhalt A($\frac{1}{2}$) = $\frac{1}{4}$.

Es muss gelten: 990 = $\pi ·x^2·h$

Wenn wir diese Gleichung nach h auflösen, erhalten wir:

h = $\frac{990}{\pi ·x^2}$

Dies können wir in die Oberflächenformel einsetzen:

O = $2\pi ·x^2+2\pi ·x·\frac{990}{\pi ·x^2}$

Als Zielfunktion für die Oberfläche ergibt sich somit O(x) = $2\pi ·x^2+2\pi ·x·\frac{990}{\pi ·x^2}$

= $2\pi x^2+2\pi ·\frac{990}{\pi x}$

= $2\pi x^2+\frac{1980}{x}$

= $\frac{1980}{x}+2\pi x^2$.

Da diese Zielfunktion für die Oberfläche minimal werden soll, suchen wir deren Minimum:

$\text{O(x)}=$ $\frac{1980}{x}+2\pi x^2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{O'(x)}=$ $-\frac{1980}{x^2}+(2·0·x^2+2\pi ·2x)$

= $-\frac{1980}{x^2}+4\pi x$

$\text{O''(x)}=$ $\frac{3960}{x^3}+(4·0·x+4\pi ·1)$

= $\frac{3960}{x^3}+4\pi$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist O'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also O'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von O zu bestimmen.

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^2$ weg!

$-\frac{1980}{x^2}+4\pi x$	=	0	|⋅( $x^2$)
$-\frac{1980}{x^2}·x^2+4\pi x·x^2$	=	0
$-1980+4\pi x·x^2$	=	0
$-1980+4\pi x^3$	=	0

$-1980+4\pi x^3$	=	0	| $+1980$
$4\pi x^3$	=	$1980$	|: $4\pi$
$x^3$	=	$\frac{1980}{4\pi }$
$x^3$	=	$\mathrm{157,56339}$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{\mathrm{157,56339}}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Die Lösung x= $\sqrt[3]{\mathrm{157,56339}}$ ≈ 5.4011 ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in O''(x):

Ist O''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: O'(x₀)=0 und O''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: O'(x₀)=0 und O''(x₀)>0).

O''($\mathrm{5,4011}$) = $\frac{3960}{{\mathrm{5,4011}}^3}+4\pi$= $3960\cdot \left(\frac{1}{\mathrm{157,5602}}\right)+4\pi$= $\mathrm{25,1332}+4\pi$ >0

Das heißt bei x = $\mathrm{5,4011}$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in O(x) eingesetzt werden.
O($\mathrm{5,4011}$) = $\frac{1980}{\mathrm{5,4011}}+2\pi ·{\mathrm{5,4011}}^2$ = $\frac{1980}{\mathrm{5,4011}}+\mathrm{58,3438}\pi$ ≈ 549.884
Man erhält so den Tiefpunkt T:($\mathrm{5,4011}$| $\frac{1980}{\mathrm{5,4011}}+\mathrm{58,3438}\pi$)

≈ T:(5.401|549.884)

Die minimale Oberfläche erhalten wir also, wenn wir x = $\mathrm{5,4011}$ (, also $\mathrm{5,4011}$ cm Radius des Dosenzylinder) wählen.

Die zugehörige Höhe erhalten wir, wenn wir $\mathrm{5,4011}$ in h = $\frac{990}{\pi ·x^2}$ einsetzen, h = $\frac{990}{\pi ·{\mathrm{5,4011}}^2}$ ≈ 10.802.

Als minimale Oberfläche erhalten wir:
O($\mathrm{5,4011}$) = $2\pi ·{\mathrm{5,4011}}^2+2\pi ·\mathrm{5,4011}·\frac{990}{\pi ·{\mathrm{5,4011}}^2}$
≈ 549.884.

$\text{f(x)}=$ $x^2·\ln \left(\frac{1}{2}x\right)$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $2x·\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+x^2·\frac{1}{\frac{1}{2}x}·\frac{1}{2}$

= $x+2x\ln \left(\frac{1}{2}x\right)$

$\text{f''(x)}=$ $1+(2·1·\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+2x·\frac{1}{\frac{1}{2}x}·\frac{1}{2})$

= $2\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+3$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$x+2x\ln \left(\frac{1}{2}x\right)$	=	0
$x\left(2\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösungen 0, $\frac{2}{\sqrt{e}}$ ≈ 1.2131 sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

f($0$) = $0^2·\ln \left(\frac{1}{2}\cdot 0\right)$ ist nicht definiert, somit ist an der Stelle x = $0$ kein Extrempunkt möglich.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''($\mathrm{1,2131}$) = $2\ln \left(\frac{1}{2}\cdot \mathrm{1,2131}\right)+3$= $2\ln \left(\frac{\mathrm{1,2131}}{2}\right)+3$= $2\ln \left(\frac{\mathrm{1,2131}}{2}\right)+3$ >0

Das heißt bei x = $\mathrm{1,2131}$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($\mathrm{1,2131}$) = ${\mathrm{1,2131}}^2·\ln \left(\frac{1}{2}\cdot \mathrm{1,2131}\right)$ = $\mathrm{1,4716}\ln \left(\frac{\mathrm{1,2131}}{2}\right)$ ≈ -0.736
Man erhält so den Tiefpunkt T:($\mathrm{1,2131}$| $\mathrm{1,4716}\ln \left(\frac{\mathrm{1,2131}}{2}\right)$)

≈ T:(1.213|-0.736)