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Extrempunkte (schwerer) BF
Beispiel:
Berechne alle Extrempunkte von f mit :
Zuerst multiplizieren wir den Term aus
Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.
=>
Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.
(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).
Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.
= | |||
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x1 | = |
2. Fall:
= | | | ||
x2 | = |
Die Lösungen
Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):
Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0
und f''(x0)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung:
f'(x0)=0 und f'(x0)>0).
1.: x=
f''() = = = <0
Das heißt bei x = ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f() =
=
Man erhält so den Hochpunkt H:(|
2.: x=
f''() = = = >0
Das heißt bei x = ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f() =
=
Man erhält so den Tiefpunkt T:(|
)
Extrempunkte (schwerer)
Beispiel:
Berechne alle Extrempunkte von f mit :
Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.
=>
=
=
Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.
(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).
Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
x =
Die Lösung x=
Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):
Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0
und f''(x0)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung:
f'(x0)=0 und f'(x0)>0).
f''(
Leider hilft uns in diesem Fall die hinreichende Bedingung nicht weiter :(
Wir müssen also auf Vorzeichenwechsel überprüfen. Dazu betrachten wir die beiden Intervalle um x=
Also (-∞ ; 5) und (5; ∞). Da f' auf diesen Intervallen stetig ist, keine Definitionslücken und vor allem keine weiteren Nullstellen hat, muss das Vorzeichen von f' jeweils auf diesen gesamten Intervallen gleich sein. Es genügt also an einer Stelle des Intervalls, das Vorzeichen zu untersuchen:
(-∞ ; 5): Wir wählen x=0∈(-∞ ; 5): f'(0)=
(5; ∞): Wir wählen x=6∈(5; ∞): f'(6)=
Es liegt also kein Vorzeichenwechsel in f' vor, also haben wir bei x= 5 keinen Extrempunkt (sondern einen Sattelpunkt).
Minimaler Abstand zur x-Achse
Beispiel:
Zeige, dass der Graph der Funktion f mit
Bestimme diesen kleinsten Abstand.
Wir sehen am negativen Vorzeichen vor der höchsten Potenz (
Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.
=>
=
Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.
(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).
Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.
|
= | ||
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x1 | = |
2. Fall:
|
= | |
|
|
|
= | |
|
|
x2 | = |
|
=
|
x3 | = |
|
=
|
Die Lösungen
Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):
Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0
und f''(x0)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung:
f'(x0)=0 und f'(x0)>0).
1.: x=- 2
f''(
Das heißt bei x =
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f(
Man erhält so den Hochpunkt H:(
2.: x=0
f''(
Das heißt bei x =
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f(
Man erhält so den Tiefpunkt T:(
3.: x=2
f''(
Das heißt bei x =
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f(
Man erhält so den Hochpunkt H:(
Eigentlich hätte es gereicht nur die Hochpunkte zu untersuchen.
Wir sehen also, dass selbst der höchste Hochpunkt einen negativen y-Wert hat. Also müssen alle Punkte unter der x-Achse liegen.
Der höchste Punkt muss ja ein Hochpunkt sein, daher sehen wir dass der Hochpunkt (-2|
Dieser geringste Abstand ist also |
Extrempunkte e-Funktion BF
Beispiel:
Berechne alle Extrempunkte von f mit
Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.
=>
=
=
Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.
(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).
Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.
|
= | |
|
|
|
= | |⋅ |
|
|
= | |ln(⋅) | |
|
= |
|
|: |
|
= |
|
≈ 8.6711 |
Die Lösung x=
Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):
Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0
und f''(x0)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung:
f'(x0)=0 und f'(x0)>0).
f''(
Das heißt bei x =
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f(
Man erhält so den Hochpunkt H:(
≈ H:(8.671|34.027)
Extrempunkte (e-Funktionen)
Beispiel:
Berechne alle Extrempunkte von f mit
Bitte alle Werte (mit dem WTR) fertig rechnen und als als Dezimalzahlen angeben.
Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.
=>
=
=
=
Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.
(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).
Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
|
= | |⋅ 5 | |
|
= |
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!
2. Fall:
|
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
Da die notwendige Bedingung keine Lösung hat, kann es also keine Extremstelle geben.
Extrempunkte e-Funktion Anwend.
Beispiel:
Berechne alle Extrempunkte von f mit
Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.
=>
=
=
=
Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.
(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).
Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
|
= | |
|
|
|
= |
|
|:( |
x1 | = |
|
2. Fall:
|
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
Die Lösung x=
Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):
Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0
und f''(x0)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung:
f'(x0)=0 und f'(x0)>0).
f''(
Das heißt bei x =
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f(
Man erhält so den Hochpunkt H:(
≈ H:(11|3.256)
Wendepunkte (schwerer) BF
Beispiel:
Berechne alle Wendepunkte von f mit
Zuerst multiplizieren wir den Term aus
Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.
=
=
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.
(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').
Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.
|
= | |
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
Die Lösung x=
Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.
Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x0)=0 und f'''(x0)≠0).
Überprüfung bei x =
f'''(
Da f'''(
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f(
Man erhält so den Wendepunkt: WP(
Wendetangente
Beispiel:
Bestimme eine Gleichung der Tangente im Wendepunkte des Graphen der Funktion f mit
Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:
Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.
=
=
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.
(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').
Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.
|
= | |
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
Die Lösung x=
Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.
Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x0)=0 und f'''(x0)≠0).
Überprüfung bei x =
f'''(
Da f'''(
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f(
Man erhält so den Wendepunkt: WP(
Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
Wir erhalten so also den Punkt B(3|
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=