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Extrempunkte (schwerer) BF

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- {(3 x - 9)}^{3} + 81 x$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(3 x - 9)}^{3} + 81 x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 3 {(3 x - 9)}^{2} \cdot (3 + 0) + 81$

= $- 9 {(3 x - 9)}^{2} + 81$

$f''(x) =$ $- 18 (3 x - 9) \cdot (3 + 0) + 0$

= $- 162 x + 486$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- 9 {(3 x - 9)}^{2} + 81$	=	0	\| $- 81$
$- 9 {(3 x - 9)}^{2}$	=	$- 81$	\|: $(- 9)$
${(3 x - 9)}^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

3 x - 9

=

- \sqrt{9}

=

- 3

$3 x - 9$	=	$- 3$	\| $+ 9$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
x₁	=	$2$

2. Fall

3 x - 9

=

\sqrt{9}

=

3

$3 x - 9$	=	$3$	\| $+ 9$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
x₂	=	$4$

Die Lösungen $2$ , $4$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $2$

f''( $2$ ) = $- 162 \cdot 2 + 486$ = $- 324 + 486$ = $162$ >0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $2$ ) = $- {(3 \cdot 2 - 9)}^{3} + 81 \cdot 2$ = $189$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $2$ | $189$ )

2.: x= $4$

f''( $4$ ) = $- 162 \cdot 4 + 486$ = $- 648 + 486$ = $- 162$ <0

Das heißt bei x = $4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $4$ ) = $- {(3 \cdot 4 - 9)}^{3} + 81 \cdot 4$ = $297$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $4$ | $297$ )

Extrempunkte (schwerer)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} {(x^{2} - 9)}^{3} + 9$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{6} {(x^{2} - 9)}^{3} + 9$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{2} \cdot (2 x + 0) + 0$

= ${(x^{2} - 9)}^{2} x$

$f''(x) =$ $1 \cdot {(x^{2} - 9)}^{2} + x \cdot 2 (x^{2} - 9) \cdot (2 x + 0)$

= ${(x^{2} - 9)}^{2} + 4 x^{2} (x^{2} - 9)$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

x {(x^{2} - 9)}^{2}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

${(x^{2} - 9)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x^{2} - 9$	=	0

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Die Lösungen $- 3$ , 0, $3$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 3$

f''( $- 3$ ) = ${({(- 3)}^{2} - 9)}^{2} + 4 \cdot {(- 3)}^{2} \cdot ({(- 3)}^{2} - 9)$ = ${(9 - 9)}^{2} + 4 \cdot 9 \cdot (9 - 9)$ = $0 + 0$ =0

Leider hilft uns in diesem Fall die hinreichende Bedingung nicht weiter :(

Wir müssen also auf Vorzeichenwechsel überprüfen. Dazu betrachten wir die beiden Intervalle um x= $- 3$ herum:

Also (-∞ ; -3) und (-3 ; 0). Da f' auf diesen Intervallen stetig ist, keine Definitionslücken und vor allem keine weiteren Nullstellen hat, muss das Vorzeichen von f' jeweils auf diesen gesamten Intervallen gleich sein. Es genügt also an einer Stelle des Intervalls, das Vorzeichen zu untersuchen:

(-∞ ; -3): Wir wählen x=-4∈(-∞ ; -3): f'(-4)= ${({(- 4)}^{2} - 9)}^{2} \cdot (- 4)$ = -196 also < 0

(-3 ; 0): Wir wählen x=-1∈(-3 ; 0): f'(-1)= ${({(- 1)}^{2} - 9)}^{2} \cdot (- 1)$ = -64 also < 0

Es liegt also kein Vorzeichenwechsel in f' vor, also haben wir bei x= -3 keinen Extrempunkt (sondern einen Sattelpunkt).

2.: x= $0$

f''( $0$ ) = ${(0^{2} - 9)}^{2} + 4 \cdot 0^{2} \cdot (0^{2} - 9)$ = ${(0 - 9)}^{2} + 4 \cdot 0 \cdot (0 - 9)$ = $81$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $\frac{1}{6} \cdot {(0^{2} - 9)}^{3} + 9$ = $- \frac{225}{2}$ ≈ -112.5
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ | $- \frac{225}{2}$ )

≈ T:(0|-112.5)

3.: x= $3$

f''( $3$ ) = ${(3^{2} - 9)}^{2} + 4 \cdot 3^{2} \cdot (3^{2} - 9)$ = ${(9 - 9)}^{2} + 4 \cdot 9 \cdot (9 - 9)$ = $0 + 0$ =0

Leider hilft uns in diesem Fall die hinreichende Bedingung nicht weiter :(

Wir müssen also auf Vorzeichenwechsel überprüfen. Dazu betrachten wir die beiden Intervalle um x= $3$ herum:

Also (0 ; 3) und (3; ∞). Da f' auf diesen Intervallen stetig ist, keine Definitionslücken und vor allem keine weiteren Nullstellen hat, muss das Vorzeichen von f' jeweils auf diesen gesamten Intervallen gleich sein. Es genügt also an einer Stelle des Intervalls, das Vorzeichen zu untersuchen:

(0 ; 3): Wir wählen x=1∈(0 ; 3): f'(1)= ${(1^{2} - 9)}^{2} \cdot 1$ = 64 also > 0

(3; ∞): Wir wählen x=4∈(3; ∞): f'(4)= ${(4^{2} - 9)}^{2} \cdot 4$ = 196 also > 0

Es liegt also kein Vorzeichenwechsel in f' vor, also haben wir bei x= 3 keinen Extrempunkt (sondern einen Sattelpunkt).

Minimaler Abstand zur x-Achse

Beispiel:

Zeige, dass der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{4} x^{4} + x^{3} + 3 x^{2} - 12$ die x-Achse nicht schneidet. Welcher Punkt hat den kleinsten Abstand zur x-Achse?

Bestimme diesen kleinsten Abstand.

Lösung einblenden

Wir sehen am negativen Vorzeichen vor der höchsten Potenz ( $- \frac{3}{4} x^{4}$ ), dass für sehr große und sehr kleine x-Werte die y-Werte immer negativ sind. Um nachzuweisen, dass es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen wir also zeigen, dass alle Punkte negativ sind. Dies geht am einfachsten, wenn man sich alle Hochpunkte anschaut. Wir berechnen also erstmal die Extrempunkte:

$f(x) =$ $- \frac{3}{4} x^{4} + x^{3} + 3 x^{2} - 12$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 0$

= $- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x$

$f''(x) =$ $- 9 x^{2} + 6 x + 6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x$	=	0
$3 x (- x^{2} + x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1+3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1-3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Die Lösungen $- 1$ , 0, $2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 1$

f''( $- 1$ ) = $- 9 \cdot {(- 1)}^{2} + 6 \cdot (- 1) + 6$ = $- 9 \cdot 1 - 6 + 6$ = $- 9$ <0

Das heißt bei x = $- 1$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 1$ ) = $- \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 12$ = $- \frac{43}{4}$ ≈ -10.75
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 1$ | $- \frac{43}{4}$ )

≈ H:(-1|-10.75)

2.: x= $0$

f''( $0$ ) = $- 9 \cdot 0^{2} + 6 \cdot 0 + 6$ = $- 9 \cdot 0 + 0 + 6$ = $6$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $- \frac{3}{4} \cdot 0^{4} + 0^{3} + 3 \cdot 0^{2} - 12$ = $- 12$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ | $- 12$ )

3.: x= $2$

f''( $2$ ) = $- 9 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 + 6$ = $- 9 \cdot 4 + 12 + 6$ = $- 18$ <0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $2$ ) = $- \frac{3}{4} \cdot 2^{4} + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} - 12$ = $- 4$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $2$ | $- 4$ )

Eigentlich hätte es gereicht nur die Hochpunkte zu untersuchen.

Wir sehen also, dass selbst der höchste Hochpunkt einen negativen y-Wert hat. Also müssen alle Punkte unter der x-Achse liegen.

Der höchste Punkt muss ja ein Hochpunkt sein, daher sehen wir dass der Hochpunkt (2| $- 4$ ) der höchste Punkt, also der Punkt mit dem geringsten Abstand zur x-Achse ist.

Dieser geringste Abstand ist also | $- 4$ | = 4.

Extrempunkte e-Funktion BF

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{1}{3} x} + 6 x$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{1}{3} x} + 6 x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3} + 6$

= $- e^{\frac{1}{3} x} + 6$

$f''(x) =$ $- e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3} + 0$

= $- \frac{1}{3} e^{\frac{1}{3} x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- e^{\frac{1}{3} x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- e^{\frac{1}{3} x}$	=	$- 6$	\|: $- 1$
$e^{\frac{1}{3} x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$\frac{1}{3} x$	=	$\ln (6)$	\|: $\frac{1}{3}$
$x$	=	$3 \ln (6)$	≈ 5.3753

Die Lösung x= $3 \ln (6)$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $5,3753$ ) = $- \frac{1}{3} e^{\frac{1}{3} \cdot 5,3753}$ = $- \frac{1}{3} e^{\frac{5,3753}{3}}$ = $- \frac{1}{3} e^{\frac{5,3753}{3}}$ <0

Das heißt bei x = $5,3753$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $5,3753$ ) = $- 3 e^{\frac{1}{3} \cdot 5,3753} + 6 \cdot 5,3753$ = $- 3 e^{\frac{5,3753}{3}} + 32,2518$ ≈ 14.252
Man erhält so den Hochpunkt H:( $5,3753$ | $- 3 e^{\frac{5,3753}{3}} + 32,2518$ )

≈ H:(5.375|14.252)

Extrempunkte (e-Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ :

Bitte alle Werte (mit dem WTR) fertig rechnen und als als Dezimalzahlen angeben.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $1 \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + x \cdot e^{- \frac{1}{3} x} \cdot (- \frac{1}{3})$

= $e^{- \frac{1}{3} x} \cdot (- \frac{1}{3} x + 1)$

$f''(x) =$ $(- \frac{1}{3} + 0) \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + (- \frac{1}{3} x + 1) \cdot e^{- \frac{1}{3} x} \cdot (- \frac{1}{3})$

= $e^{- \frac{1}{3} x} \cdot (\frac{1}{9} x - \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

= $(\frac{1}{9} x - \frac{2}{3}) e^{- \frac{1}{3} x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

(- \frac{1}{3} x + 1) \cdot e^{- \frac{1}{3} x}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- \frac{1}{3} x + 1$	=	0	\|⋅ 3
$3 (- \frac{1}{3} x + 1)$	=	0
$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$3$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $3$ ) = $e^{- \frac{1}{3} \cdot 3} \cdot (\frac{1}{9} \cdot 3 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$ = $e^{- 1} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$ = $- \frac{1}{3} e^{- 1}$ <0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $3$ ) = $3 \cdot e^{- \frac{1}{3} \cdot 3}$ = $3 e^{- 1}$ ≈ 1.104
Man erhält so den Hochpunkt H:( $3$ | $3 e^{- 1}$ )

≈ H:(3|1.104)

Extrempunkte e-Funktion Anwend.

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 2$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1 x - 0,7 + 1)$

= $(- 0,1 x + 0,3) e^{- 0,1 x}$

$f''(x) =$ $(- 0,1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + (- 0,1 x + 0,3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,01 x - 0,03 - 0,1)$

= $(0,01 x - 0,13) e^{- 0,1 x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

(- 0,1 x + 0,3) \cdot e^{- 0,1 x}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 0,1 x + 0,3$	=	0	\| $- 0,3$
$- 0,1 x$	=	$- 0,3$	\|:( $- 0,1$ )
x₁	=	$3$

2. Fall:

e^{- 0,1 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $3$ ) = $e^{- 0,1 \cdot 3} \cdot (0,01 \cdot 3 - 0,03 - 0,1)$ = $e^{- 0,3} \cdot (0,03 - 0,03 - 0,1)$ = $- 0,1 e^{- 0,3}$ <0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $3$ ) = $(3 + 7) \cdot e^{- 0,1 \cdot 3} + 2$ = $10 e^{- 0,3} + 2$ ≈ 9.408
Man erhält so den Hochpunkt H:( $3$ | $10 e^{- 0,3} + 2$ )

≈ H:(3|9.408)

Wendepunkte (schwerer) BF

Beispiel:

Berechne alle Wendepunkte von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot (- 3 x + 27)$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot (- 3 x + 27)$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $2 x \cdot (- 3 x + 27) + x^{2} \cdot (- 3 + 0)$

= $2 x (- 3 x + 27) + x^{2} \cdot (- 3)$

= $2 x (- 3 x + 27) - 3 x^{2}$

$f''(x) =$ $- 6 x + (2 \cdot 1 \cdot (- 3 x + 27) + 2 x \cdot (- 3 + 0))$

= $- 6 x + (2 (- 3 x + 27) + 2 x \cdot (- 3))$

= $- 6 x + (2 (- 3 x + 27) - 6 x)$

= $- 6 x + (- 6 x + 54 - 6 x)$

= $- 6 x + (- 12 x + 54)$

= $- 12 x - 6 x + 54$

= $- 18 x + 54$

$f'''(x) =$ $- 18 + 0$

= $- 18$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$- 18 x + 54$	=	0	\| $- 54$
$- 18 x$	=	$- 54$	\|:( $- 18$ )
$x$	=	$3$

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $3$ :

f'''( $3$ ) = $- 18 + 0$ = $- 18$

Da f'''( $3$ )≠0, haben wir bei x = $3$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $3$ ) = $3^{2} \cdot (- 3 \cdot 3 + 27)$ = $162$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $3$ | $162$ )

Wendetangente

Beispiel:

Bestimme eine Gleichung der Tangente im Wendepunkte des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 3$ :

Lösung einblenden

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$f(x) =$ $x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 3$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} + 18 x + 6 + 0$

= $3 x^{2} + 18 x + 6$

$f''(x) =$ $6 x + 18 + 0$

= $6 x + 18$

$f'''(x) =$ $6 + 0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x + 18$	=	0	\| $- 18$
$6 x$	=	$- 18$	\|: $6$
$x$	=	$- 3$

Die Lösung x= $- 3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $- 3$ :

f'''( $- 3$ ) = $6 + 0$ = $6$

Da f'''( $- 3$ )≠0, haben wir bei x = $- 3$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{3} + 9 \cdot {(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) - 3$ = $33$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $- 3$ | $33$ )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(-3) =$ $3 \cdot {(- 3)}^{2} + 18 \cdot (- 3) + 6$

= $3 \cdot 9 - 54 + 6$

= $27 - 54 + 6$

= $- 21$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 21$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(-3) =$ ${(- 3)}^{3} + 9 \cdot {(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) - 3$ = $(- 27) + 9 \cdot 9 - 18 - 3$ = $- 27 + 81 - 18 - 3$ = $33$

Wir erhalten so also den Punkt B(-3| $33$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$33$ = $- 21$ ⋅(-3) + c

$33$ = $63$ + c | $- 63$

$- 30$ = c

also c= $- 30$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 21$ ⋅x $- 30$

max. Flächeninhalt am Graph

Beispiel:

Der Punkte P liegt im 1. Quadrant auf dem Graph der Funktion f mit $- 2 x + 12$ . Er bildet mit dem Ursprung ein achsenparalleles Rechteck. Bestimme die Koordinaten vom P so, dass der Inhalt dieses Rechteckes maximal wird und gib diesen maximalen Flächeninhalt an.

Lösung einblenden

Wir schreiben u für den x-Wert des Punkts P und da der Punkt P auf dem Graph von f liegt, muss der y-Wert f(u) sein, also P(u|f(u)).

An der Skizze erkennt man, dass dann die Seiten des achsenparallelen Rechteck die Längen u und f(u) haben. Folglich gilt für den Flächeninhalt dieses Rechtecks:
A = u ⋅ f(u) = $u \cdot (- 2 u + 12)$ = $- 2 u^{2} + 12 u$

Wir suchen also ein Maximum von

$A(u) =$ $- 2 u^{2} + 12 u$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $A'(u) =$ $- 4 u + 12$

$A''(u) =$ $- 4 + 0$

= $- 4$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist A'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also A'(u) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von A zu bestimmen.

$- 4 u + 12$	=	0	\| $- 12$
$- 4 u$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$u$	=	$3$

Die Lösung u= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in A''(u):

Ist A''(u) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A''(u₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A''(u₀)>0).

A''( $3$ ) = $- 4$ = $- 4$ = $- 4$ <0

Das heißt bei u = $3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende u-Wert in A(u) eingesetzt werden.
A( $3$ ) = $- 2 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3$ = $18$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $3$ | $18$ )

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir also, wenn wir als x-Koordinate des gesuchten Punkts u = $3$ wählen.

Den zugehörigen y-Wert erhalten wir, wenn wir x = $3$ in f(x) einsetzen:

f( $3$ ) = $- 2 \cdot 3 + 12$ = $6$

Somit sind die Koordinaten des gesuchten Punkts P( $3$ | $6$ )

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir ja, wenn wir u = $3$ in die zu maximierende Flächeninhaltsfunktion A(u) einsetzen. Dies wurde ja bereits oben bei der hinreichenden Bedingung gemacht, somit ist der maximale Flächeninhalt A( $3$ ) = $18$ .

Extremwertaufgabe (+Nebenbed.)

Beispiel:

Bei einem Computerspiel kann man Spielpunkte gegen Booster und gegen Weisheitspillen eintauschen. Dabei kostet ein Booster 9 Punkte und eine Weisheitspille 3 Punkte. Die Spielstärke einer Figur berechnet sich aus dem Produkt von Boosterwert und Weisheitsscore.
Heinz möchte 36 Punkte in seine Figur investieren. Wie viele Booster (und wie viele Weisheitspillen) muss er dafür eintauschen, um seiner Spielfigur die maximale Spielstärke zukommen zu lassen?

Lösung einblenden

Als Zielfunktion für die Spielstärke ergibt sich somit S(x) = $x \cdot (\frac{1}{3} (36 - 9 x))$

= $\frac{1}{3} x (36 - 9 x)$

= $\frac{1}{3} x \cdot 36 + \frac{1}{3} x \cdot (- 9 x)$

= $- 3 x^{2} + 12 x$ .

Da diese Zielfunktion für die Spielstärke maximal werden soll, suchen wir deren Maximum:

$S(x) =$ $- 3 x^{2} + 12 x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $S'(x) =$ $- 6 x + 12$

$S''(x) =$ $- 6 + 0$

= $- 6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist S'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also S'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von S zu bestimmen.

$- 6 x + 12$	=	0	\| $- 12$
$- 6 x$	=	$- 12$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$2$

Die Lösung x= $2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in S''(x):

Ist S''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: S'(x₀)=0 und S''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: S'(x₀)=0 und S''(x₀)>0).

S''( $2$ ) = $- 6$ = $- 6$ = $- 6$ <0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in S(x) eingesetzt werden.
S( $2$ ) = $- 3 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2$ = $12$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $2$ | $12$ )

Die maximale Spielstärke erhalten wir also, wenn wir x = $2$ (, also $2$ Booster) wählen.

Die zugehörige Anzahl an Weisheitspillen erhalten wir, wenn wir $2$ in y = $\frac{1}{3} (36 - 9 x)$ einsetzen, y = $\frac{1}{3} (36 - 9 \cdot 2)$ ≈ 6.

Als maximale Spielstärke der Figur erhalten wir:
S( $2$ ) = $2 \cdot (\frac{1}{3} (36 - 9 \cdot 2))$
= $2 \cdot (\frac{1}{3} (36 - 18))$
= $2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 18$
= $12$ .

Extrempunkte bei ln-Funktionen

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 10 \ln (x) + 5 x$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 10 \ln (x) + 5 x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $\frac{- 10}{x} \cdot 1 + 5$

= $5 - \frac{10}{x}$

$f''(x) =$ $0 + \frac{10}{x^{2}}$

= $\frac{10}{x^{2}}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$5 - \frac{10}{x}$	=	\|⋅( $x$ )
$5 \cdot x - \frac{10}{x} \cdot x$	=
$5 x - 10$	=

$5 x - 10$	=	0	\| $+ 10$
$5 x$	=	$10$	\|: $5$
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Die Lösung x= $2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $2$ ) = $\frac{10}{2^{2}}$ = $10 \cdot (\frac{1}{4})$ = $\frac{5}{2}$ >0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $2$ ) = $- 10 \ln (2) + 5 \cdot 2$ = $- 10 \ln (2) + 10$ ≈ 3.069
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $2$ | $- 10 \ln (2) + 10$ )

≈ T:(2|3.069)

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Extrempunkte (schwerer) BF

1.: x=2

2.: x=4

Extrempunkte (schwerer)

1.: x=-3

2.: x=0

3.: x=3

Minimaler Abstand zur x-Achse

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-1

2.: x=0

3.: x=2

Extrempunkte e-Funktion BF

Extrempunkte (e-Funktionen)

Extrempunkte e-Funktion Anwend.

Wendepunkte (schwerer) BF

Wendetangente

max. Flächeninhalt am Graph

Extremwertaufgabe (+Nebenbed.)

Extrempunkte bei ln-Funktionen

1.: x= $2$

2.: x= $4$

1.: x= $- 3$

2.: x= $0$

3.: x= $3$

1.: x= $- 1$

2.: x= $0$

3.: x= $2$