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Extrempunkte (schwerer) BF

Beispiel:

Berechne alle Extrempunkte von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} {(- x - 2)}^{2} + 2$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} {(- x - 2)}^{2} + 2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $(- x - 2) \cdot (- 1 + 0) + 0$

= $x + 2$

$f''(x) =$ $1 + 0$

= $1$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
$x$	=	$- 2$

Die Lösung x= $- 2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''( $- 2$ ) = $1$ = $1$ = $1$ >0

Das heißt bei x = $- 2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 2$ ) = $\frac{1}{2} \cdot {(- (- 2) - 2)}^{2} + 2$ = $2$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 2$ | $2$ )

Extrempunkte (schwerer)

Beispiel:

Berechne alle Extrempunkte von f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 6 x - 2$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{2} - 6 x - 2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 2 x - 6 + 0$

= $- 2 x - 6$

$f''(x) =$ $- 2 + 0$

= $- 2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- 2 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 3$

Die Lösung x= $- 3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''( $- 3$ ) = $- 2$ = $- 2$ = $- 2$ <0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{2} - 6 \cdot (- 3) - 2$ = $7$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 3$ | $7$ )

Minimaler Abstand zur x-Achse

Beispiel:

Zeige, dass der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{4} x^{4} - 2 x^{3} + \frac{9}{2} x^{2} - 37$ die x-Achse nicht schneidet. Welcher Punkt hat den kleinsten Abstand zur x-Achse?

Bestimme diesen kleinsten Abstand.

Lösung einblenden

Wir sehen am negativen Vorzeichen vor der höchsten Potenz ( $- \frac{3}{4} x^{4}$ ), dass für sehr große und sehr kleine x-Werte die y-Werte immer negativ sind. Um nachzuweisen, dass es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen wir also zeigen, dass alle Punkte negativ sind. Dies geht am einfachsten, wenn man sich alle Hochpunkte anschaut. Wir berechnen also erstmal die Extrempunkte:

$f(x) =$ $- \frac{3}{4} x^{4} - 2 x^{3} + \frac{9}{2} x^{2} - 37$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 0$

= $- 3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$

$f''(x) =$ $- 9 x^{2} - 12 x + 9$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- 3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$	=	0
$- 3 x (x^{2} + 2 x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Die Lösungen $- 3$ , 0, $1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x= $- 3$

f''( $- 3$ ) = $- 9 \cdot {(- 3)}^{2} - 12 \cdot (- 3) + 9$ = $- 9 \cdot 9 + 36 + 9$ = $- 36$ <0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = $- \frac{3}{4} \cdot {(- 3)}^{4} - 2 \cdot {(- 3)}^{3} + \frac{9}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 37$ = $- \frac{13}{4}$ ≈ -3.25
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 3$ | $- \frac{13}{4}$ )

≈ H:(-3|-3.25)

2.: x= $0$

f''( $0$ ) = $- 9 \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0 + 9$ = $- 9 \cdot 0 + 0 + 9$ = $9$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $- \frac{3}{4} \cdot 0^{4} - 2 \cdot 0^{3} + \frac{9}{2} \cdot 0^{2} - 37$ = $- 37$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ | $- 37$ )

3.: x= $1$

f''( $1$ ) = $- 9 \cdot 1^{2} - 12 \cdot 1 + 9$ = $- 9 \cdot 1 - 12 + 9$ = $- 12$ <0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $1$ ) = $- \frac{3}{4} \cdot 1^{4} - 2 \cdot 1^{3} + \frac{9}{2} \cdot 1^{2} - 37$ = $- \frac{141}{4}$ ≈ -35.25
Man erhält so den Hochpunkt H:( $1$ | $- \frac{141}{4}$ )

≈ H:(1|-35.25)

Eigentlich hätte es gereicht nur die Hochpunkte zu untersuchen.

Wir sehen also, dass selbst der höchste Hochpunkt einen negativen y-Wert hat. Also müssen alle Punkte unter der x-Achse liegen.

Der höchste Punkt muss ja ein Hochpunkt sein, daher sehen wir dass der Hochpunkt (-3| $- \frac{13}{4}$ ) der höchste Punkt, also der Punkt mit dem geringsten Abstand zur x-Achse ist.

Dieser geringste Abstand ist also | $- \frac{13}{4}$ | = 3.25.

Extrempunkte e-Funktion BF

Beispiel:

Berechne alle Extrempunkte von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x - 2 x^{2})$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) e^{- 2 x}$

$f''(x) =$ $(- 4 x + 2) \cdot e^{- 2 x} + (- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x + 2 + (4 x^{2} - 4 x))$

= $(4 x^{2} - 8 x + 2) e^{- 2 x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 x^{2} + 2 x$	=	0
$2 x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösungen 0, $1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x= $0$

f''( $0$ ) = $e^{- 2 \cdot 0} \cdot (- 4 \cdot 0 + 2 + (4 \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0))$ = $e^{0} \cdot (0 + 2 + (4 \cdot 0 + 0))$ = $2 e^{0}$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $0^{2} \cdot e^{- 2 \cdot 0}$ = 0
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ |0)

2.: x= $1$

f''( $1$ ) = $e^{- 2 \cdot 1} \cdot (- 4 \cdot 1 + 2 + (4 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1))$ = $e^{- 2} \cdot (- 4 + 2 + (4 \cdot 1 - 4))$ = $- 2 e^{- 2}$ <0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $1$ ) = $1^{2} \cdot e^{- 2 \cdot 1}$ = $e^{- 2}$ ≈ 0.135
Man erhält so den Hochpunkt H:( $1$ | $e^{- 2}$ )

≈ H:(1|0.135)

Extrempunkte (e-Funktionen)

Beispiel:

Berechne alle Extrempunkte von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{2}{5} x} - e^{\frac{1}{5} x}$ :

Bitte alle Werte (mit dem WTR) fertig rechnen und als als Dezimalzahlen angeben.

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{2}{5} x} - e^{\frac{1}{5} x}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $e^{\frac{2}{5} x} \cdot \frac{2}{5} - e^{\frac{1}{5} x} \cdot \frac{1}{5}$

= $e^{\frac{1}{5} x} \cdot (- \frac{1}{5} + \frac{2}{5} e^{\frac{1}{5} x})$

= $(\frac{2}{5} e^{\frac{1}{5} x} - \frac{1}{5}) e^{\frac{1}{5} x}$

$f''(x) =$ $(\frac{2}{5} e^{\frac{1}{5} x} \cdot \frac{1}{5} + 0) \cdot e^{\frac{1}{5} x} + (\frac{2}{5} e^{\frac{1}{5} x} - \frac{1}{5}) \cdot e^{\frac{1}{5} x} \cdot \frac{1}{5}$

= $e^{\frac{1}{5} x} \cdot (\frac{2}{25} e^{\frac{1}{5} x} - \frac{1}{25} + \frac{2}{25} e^{\frac{1}{5} x})$

= $(\frac{4}{25} e^{\frac{1}{5} x} - \frac{1}{25}) e^{\frac{1}{5} x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

(\frac{2}{5} e^{\frac{1}{5} x} - \frac{1}{5}) \cdot e^{\frac{1}{5} x}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$\frac{2}{5} e^{\frac{1}{5} x} - \frac{1}{5}$	=	0	\| $+ \frac{1}{5}$
$\frac{2}{5} e^{\frac{1}{5} x}$	=	$\frac{1}{5}$	\|⋅ $\frac{5}{2}$
$e^{\frac{1}{5} x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$\frac{1}{5} x$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $\frac{1}{5}$
x₁	=	$5 \ln (\frac{1}{2})$	≈ -3.4657

2. Fall:

e^{\frac{1}{5} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung x= $5 \ln (\frac{1}{2})$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''( $- 3.4657$ ) = $e^{\frac{1}{5} \cdot (- 3.4657)} \cdot (\frac{2}{25} e^{\frac{1}{5} \cdot (- 3.4657)} - \frac{1}{25} + \frac{2}{25} e^{\frac{1}{5} \cdot (- 3.4657)})$ = $e^{- \frac{3.4657}{5}} \cdot (\frac{2}{25} e^{- \frac{3.4657}{5}} - \frac{1}{25} + \frac{2}{25} e^{- \frac{3.4657}{5}})$ = $e^{- \frac{3.4657}{5}} \cdot (\frac{4}{25} e^{- \frac{3.4657}{5}} - \frac{1}{25})$ >0

Das heißt bei x = $- 3.4657$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3.4657$ ) = $e^{\frac{2}{5} \cdot (- 3.4657)} - e^{\frac{1}{5} \cdot (- 3.4657)}$ = $- e^{- \frac{3.4657}{5}} + e^{- \frac{6.9314}{5}}$ ≈ -0.25
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 3.4657$ | $- e^{- \frac{3.4657}{5}} + e^{- \frac{6.9314}{5}}$ )

≈ T:(-3.466|-0.25)

Extrempunkte e-Funktion Anwend.

Beispiel:

Berechne alle Extrempunkte von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,125 x} - 1$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,125 x} - 1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,125 x} + (x + 5) \cdot e^{- 0,125 x} \cdot (- 0,125) + 0$

= $e^{- 0,125 x} \cdot (- 0,125 x - 0,625 + 1)$

= $(- 0,125 x + 0,375) e^{- 0,125 x}$

$f''(x) =$ $(- 0,125 + 0) \cdot e^{- 0,125 x} + (- 0,125 x + 0,375) \cdot e^{- 0,125 x} \cdot (- 0,125)$

= $e^{- 0,125 x} \cdot (0,015625 x - 0,046875 - 0,125)$

= $(0,015625 x - 0,171875) e^{- 0,125 x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

(- 0,125 x + 0,375) \cdot e^{- 0,125 x}

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 0,125 x + 0,375$	=	0	\| $- 0,375$
$- 0,125 x$	=	$- 0,375$	\|:( $- 0,125$ )
x₁	=	$3$

2. Fall:

e^{- 0,125 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''( $3$ ) = $e^{- 0,125 \cdot 3} \cdot (0,015625 \cdot 3 - 0,046875 - 0,125)$ = $e^{- 0,375} \cdot (0,046875 - 0,046875 - 0,125)$ = $- 0,125 e^{- 0,375}$ <0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $3$ ) = $(3 + 5) \cdot e^{- 0,125 \cdot 3} - 1$ = $8 e^{- 0,375} - 1$ ≈ 4.498
Man erhält so den Hochpunkt H:( $3$ | $8 e^{- 0,375} - 1$ )

≈ H:(3|4.498)

Wendepunkte (schwerer) BF

Beispiel:

Berechne alle Wendepunkte von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot (x + 12)$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot (x + 12)$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $2 x \cdot (x + 12) + x^{2} \cdot (1 + 0)$

= $2 x (x + 12) + x^{2} \cdot (1)$

= $2 x (x + 12) + x^{2}$

$f''(x) =$ $2 x + (2 \cdot 1 \cdot (x + 12) + 2 x \cdot (1 + 0))$

= $2 x + (2 (x + 12) + 2 x \cdot (1))$

= $2 x + (2 (x + 12) + 2 x)$

= $2 x + (2 x + 24 + 2 x)$

= $2 x + (4 x + 24)$

= $4 x + 2 x + 24$

= $6 x + 24$

$f'''(x) =$ $6 + 0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x + 24$	=	0	\| $- 24$
$6 x$	=	$- 24$	\|: $6$
$x$	=	$- 4$

Die Lösung x= $- 4$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $- 4$ :

f'''( $- 4$ ) = $6 + 0$ = $6$

Da f'''( $- 4$ )≠0, haben wir bei x = $- 4$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} \cdot (- 4 + 12)$ = $128$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $- 4$ | $128$ )

Wendetangente

Beispiel:

Bestimme eine Gleichung der Tangente im Wendepunkte des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 3$ :

Lösung einblenden

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$f(x) =$ $- x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 3$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 6 x + 6 + 0$

= $- 3 x^{2} + 6 x + 6$

$f''(x) =$ $- 6 x + 6 + 0$

= $- 6 x + 6$

$f'''(x) =$ $- 6 + 0$

= $- 6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$- 6 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 6 x$	=	$- 6$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $1$ :

f'''( $1$ ) = $- 6 + 0$ = $- 6$

Da f'''( $1$ )≠0, haben wir bei x = $1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $1$ ) = $- 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 - 3$ = $5$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $1$ | $5$ )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $- 3 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 + 6$

= $- 3 \cdot 1 + 6 + 6$

= $- 3 + 6 + 6$

= $9$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $9$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 - 3$ = $- 1 + 3 \cdot 1 + 6 - 3$ = $- 1 + 3 + 6 - 3$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B(1| $5$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $9$ ⋅1 + c

$5$ = $9$ + c | $- 9$

$- 4$ = c

also c= $- 4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $9$ ⋅x $- 4$

max. Flächeninhalt am Graph

Beispiel:

Der Punkte P liegt im 1. Quadrant auf dem Graph der Funktion f mit $- x + 10$ . Er bildet mit dem Ursprung ein achsenparalleles Rechteck. Bestimme die Koordinaten vom P so, dass der Inhalt dieses Rechteckes maximal wird und gib diesen maximalen Flächeninhalt an.

Lösung einblenden

Wir schreiben u für den x-Wert des Punkts P und da der Punkt P auf dem Graph von f liegt, muss der y-Wert f(u) sein, also P(u|f(u)).

An der Skizze erkennt man, dass dann die Seiten des achsenparallelen Rechteck die Längen u und f(u) haben. Folglich gilt für den Flächeninhalt dieses Rechtecks:
A = u ⋅ f(u) = $u \cdot (- u + 10)$ = $- u^{2} + 10 u$

Wir suchen also ein Maximum von

$A(u) =$ $- u^{2} + 10 u$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $A'(u) =$ $- 2 u + 10$

$A''(u) =$ $- 2 + 0$

= $- 2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist A'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also A'(u) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von A zu bestimmen.

$- 2 u + 10$	=	0	\| $- 10$
$- 2 u$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$u$	=	$5$

Die Lösung u= $5$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in A''(u):

Ist A''(u) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A''(u₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A'(u₀)>0).

A''( $5$ ) = $- 2$ = $- 2$ = $- 2$ <0

Das heißt bei u = $5$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende u-Wert in A(u) eingesetzt werden.
A( $5$ ) = $- 5^{2} + 10 \cdot 5$ = $25$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $5$ | $25$ )

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir also, wenn wir als x-Koordinate des gesuchten Punkts u = $5$ wählen.

Den zugehörigen y-Wert erhalten wir, wenn wir x = $5$ in f(x) einsetzen:

f( $5$ ) = $- 5 + 10$ = $5$

Somit sind die Koordinaten des gesuchten Punkts P( $5$ | $5$ )

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir ja, wenn wir u = $5$ in die zu maximierende Flächeninhaltsfunktion A(u) einsetzen. Dies wurde ja bereits oben bei der hinreichenden Bedingung gemacht, somit ist der maximale Flächeninhalt A( $5$ ) = $25$ .

Extremwertaufgabe (+Nebenbed.)

Beispiel:

Eine Firma, die Elektroautos herstellt, verkauft in einem Land 34000 Autos im Jahr. Dabei verdient sie an jedem Auto im Schnitt 3400 €. Marktforschungen haben nun ergeben, dass Preisreduzierungen von 100€ pro Auto jeweils eine Steigerung der Anzahl der verkauften Autos um 10% zur Folge hätten. Bei welcher Preisreduzierung würde das Unternehmen den größten Gewinn erwirtschaften?

Lösung einblenden

Als Zielfunktion für den Gewinn ergibt sich somit G(x) = $(3 400 - 100 x) \cdot (34 000 + 0,1 x \cdot 34 000)$

= $(- 100 x + 3 400) \cdot (34 000 + 3 400 x)$

= $- 100 x \cdot 34 000 - 100 x \cdot 3 400 x + 3 400 \cdot 34 000 + 3 400 \cdot 3 400 x$

= $- 340 000 x^{2} + 8 160 000 x + 115 600 000$ .

Da diese Zielfunktion für den Gewinn maximal werden soll, suchen wir deren Maximum:

$G(x) =$ $- 340 000 x^{2} + 8 160 000 x + 115 600 000$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $G'(x) =$ $- 680 000 x + 8 160 000 + 0$

= $- 680 000 x + 8 160 000$

$G''(x) =$ $- 680 000 + 0$

= $- 680 000$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist G'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also G'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von G zu bestimmen.

$- 680 000 x + 8 160 000$	=	0	\| $- 8 160 000$
$- 680 000 x$	=	$- 8 160 000$	\|:( $- 680 000$ )
$x$	=	$12$

Die Lösung x= $12$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in G''(x):

Ist G''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: G'(x₀)=0 und G''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: G'(x₀)=0 und G'(x₀)>0).

G''( $12$ ) = $- 680 000$ = $- 680 000$ = $- 680 000$ <0

Das heißt bei x = $12$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in G(x) eingesetzt werden.
G( $12$ ) = $- 340 000 \cdot 12^{2} + 8 160 000 \cdot 12 + 115 600 000$ = $164 560 000$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $12$ | $164 560 000$ )

Den maximalen Gewinn erhalten wir also, wenn wir x = $12$ (, also $12$ 100€-Schritte in der Preisreduzierung) wählen.

Als maximaler Gesamtgewinn erhalten wir:
G( $12$ ) = $(3 400 - 100 \cdot 12) \cdot (34 000 + 0,1 \cdot 12 \cdot 34 000)$
= $(3 400 - 1 200) \cdot (34 000 + 40 800)$
= $2 200 \cdot (34 000 + 40 800)$
= $164 560 000$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Extrempunkte (schwerer) BF

Extrempunkte (schwerer)

Minimaler Abstand zur x-Achse

1.: x=-3

2.: x=0

3.: x=1

Extrempunkte e-Funktion BF

1.: x=0

2.: x=1

Extrempunkte (e-Funktionen)

Extrempunkte e-Funktion Anwend.

Wendepunkte (schwerer) BF

Wendetangente

max. Flächeninhalt am Graph

Extremwertaufgabe (+Nebenbed.)

1.: x= $- 3$

2.: x= $0$

3.: x= $1$

1.: x= $0$

2.: x= $1$