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Multiplizieren (basic)

Beispiel:

Schreibe die Aufgabe zunächst als Multiplikationsaufgabe, und berechne dann:
(-8) + (-8) + (-8) + (-8)

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Wir müssen ja 4 mal auf der Zahlengeraden um 8 nach links gehen - also insgesamt 4 ⋅ 8 nach links.

Wir können also statt der vielen Additionen einfach eine Multiplikation rechnen:

(-8) + (-8) + (-8) + (-8)
= 4 ⋅ (-8)
= -32

einfache Anwendungen

Beispiel:

Auf einem Kreditkartenkonto sind zu Beginn 40€. Jede Woche werden nun immer 20€ von dem Kreditkartenkonto abgebucht. Welchen Kontostand zeigt das Konto nach 10 Wochen?(ein Kreditkartenkonto kann man auch ins "Minus" überziehen).

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Vom Startwert 40 € werden 10 mal 20 €, also 10⋅20 € = 200 € abgezogen.

Wir rechnen somit:

40 - 10⋅20
= 40 - 200
= -160

Multiplizieren (erst Vorzeichen)

Beispiel:

Gib zunächst das Vorzeichen des Ergebnisses an und berechne dann: 3 ⋅ ( - 8 )

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Zuerst überlegt man sich welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. Und weil ja die beiden Zahlen verschiedene Vorzeichen haben, muss das Ergebnis negativ sein ("Plus mal Minus gibt Minus").

3 ⋅ ( - 8 )

= - (3 ⋅ 8)

= - (24)

= -24

Multiplizieren

Beispiel:

Berechne: 10 ⋅ 3

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Zuerst überlegt man sich welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. Und weil ja die beiden Zahlen das gleiche Vorzeichen haben, muss das Ergebnis positiv sein ("Plus mal Plus gibt Plus").

10 ⋅ 3

= + (10 ⋅ 3)

= + (30)

= 30

Kästchenaufgabe nur mal

Beispiel:

Was muss in das Kästchen?
⬜ ⋅ 3 = -21

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⬜ ⋅ 3 = -21

"+" ⋅ "+" gibt "+" und
"-" ⋅ "+" gibt "-"
Also muss das Vorzeichen des Kästchens negativ sein

Das Kästchen muss also -7 sein, denn es gilt: -7 ⋅ 3 = -21

Dividieren an Zahlengerade (pos)

Beispiel:

Trage die richtigen Zahlen in die Kästchen über der Zahlengeraden statt der "?" ein.

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Der grüne Pfeil unter der Zahlengerade startet bei -15. Deswegen muss in das erste Kästchen auf jeden Fall mal die -15.

Nach dem ersten Eingabefeld steht ja ein ":" für "geteilt durch", wir müssen also nun -15 durch eine Zahl teilen, so dass -3 ( - der Zielpunkt des grünen Pfeils unter der Zahlengerade) als Ergebnis raus kommt.

Weil ja 3⋅5 = 15 ist, gilt :
15 : 5 = 3

Weil ja der Endpunkt des oberen Pfeils und Startpunkt des unteren Pfeils -15 und nicht 15 ist, ändern wir die Rechung auf:
-15 : 5 = -3

Die gesuchte Rechnung ist somt: -15 : 5

Dividieren an der Zahlengerade

Beispiel:

Trage die richtigen Zahlen in die Kästchen über der Zahlengeraden statt der "?" ein.

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Der grüne Pfeil unter der Zahlengerade startet bei -6. Deswegen muss in das erste Kästchen auf jeden Fall mal die -6.

Nach dem ersten Eingabefeld steht ja ein ":" für "geteilt durch", wir müssen also nun -6 durch eine Zahl teilen, so dass 3 ( - der Zielpunkt des grünen Pfeils unter der Zahlengerade) als Ergebnis raus kommt.

Weil ja 3⋅2 = 6 ist, gilt :
6 : 2 = 3

Weil ja der Endpunkt des oberen Pfeils und Startpunkt des unteren Pfeils -6 und nicht 6 ist, ändern wir die Rechung auf:
-6 : 2 = -3

Der Endpunkt des grünen Pfeils unter der Zahlengerade ist aber 3 und nicht -3. Und damit bei unserer Division auch wirklich 3 als Ergebnis steht, müssen wir noch das Vorzeichen des Divisors drehen, denn dann erhalten wir mit -6 : ( - 2 ) = 3 das richtige Ergebnis.

Die gesuchte Rechnung ist somt: -6 : ( - 2 )

Dividieren (erst Vorzeichen)

Beispiel:

Gib zunächst das Vorzeichen des Ergebnisses an und berechne dann: ( - 8 ) : ( - 4 )

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Zuerst überlegt man sich welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. Und weil ja die beiden Zahlen das gleiche Vorzeichen haben, muss das Ergebnis positiv sein ("Minus geteilt durch Minus gibt Plus").

-8 : ( - 4 )

= + (8 : 4)

= + (2)

= 2

Dividieren

Beispiel:

Berechne: -20 : ( - 4 )

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Zuerst überlegt man sich welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. Und weil ja die beiden Zahlen das gleiche Vorzeichen haben, muss das Ergebnis positiv sein ("Minus geteilt durch Minus gibt Plus").

-20 : ( - 4 )

= + (20 : 4)

= + (5)

= 5

Kästchenaufgabe nur durch

Beispiel:

Was muss in das Kästchen?
⬜ : ( - 5 ) = -5

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⬜ : ( - 5 ) = -5

"+" : "-" gibt "-" und
"-" : "-" gibt "+"
Also muss das Vorzeichen des Kästchens positiv sein

Das Kästchen muss also 25 sein, denn es gilt: 25 : ( - 5 ) = -5

Mal und Geteilt

Beispiel:

Berechne: -10 ⋅ ( - 8 )

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Zuerst überlegt man sich welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. Und weil ja die beiden Zahlen das gleiche Vorzeichen haben, muss das Ergebnis positiv sein ("Minus mal Minus gibt Plus").

-10 ⋅ ( - 8 )

= + (10 ⋅ 8)

= + (80)

= 80

Punkt-vor-Strich

Beispiel:

Berechne: $- 20 - (- 8) \cdot 10$

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$- 20 - (- 8) \cdot 10$

= $- 20 + 80$

= $60$

Grundrechenarten verbal

Beispiel:

Dividiere die Zahl 81 durch die Differenz von -1 und -10.

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Zuerst müssen wir den Text in einen mathematischen Term übersetzen:

81 : (-1 - ( - 10 ))

= 81 : (-1 + 10)

= 81 : 9

= 9

komplexer Term (5 Zahlen)

Beispiel:

Berechne: $3 - 4 - 16 - (- 10 + 6)$

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$3 - 4 - 16 - (- 10 + 6)$

= $- 1 - 16 - 1 \cdot (- 4)$

= $- 17 + 4$

= $- 13$

Kästchenaufgabe (Rückwärts rechnen)

Beispiel:

Was muss in das Kästchen?
-32 : ⬜ = 2

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-32 : ⬜ = 2

"-" : "-" gibt "+" und
"-" : "+" gibt "-"
Also muss das Vorzeichen des Kästchens negativ sein

Das Kästchen muss also -16 sein, denn es gilt: -32 : ( - 16 ) = 2

Gleichungen

Beispiel:

Was muss in das Kästchen, damit die Gleichung stimmt?

$10 + (10 + ⬜) \cdot (- 5)$ = $- 25$

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$10 + (10 + ⬜) \cdot (- 5)$	=	-25	\|-10
Wenn man zu $(10 + ⬜) \cdot (- 5)$ noch 10 dazuzählt, so erhält man -25. Also muss doch $(10 + ⬜) \cdot (- 5)$ um 10 kleiner als -25 sein, also -35
$(10 + ⬜) \cdot (- 5)$	=	-35	\|:( - 5 )
Wenn das -5-fache der Klammer ( $10 + ⬜$ ) gerade -35 ergibt, dann muss doch die Klammer ( $10 + ⬜$ ) selbst -35 : ( - 5 ) = 7 sein.
$10 + ⬜$	=	7	\|-10
Wenn man zu $⬜$ noch 10 dazuzählt, so erhält man 7. Also muss doch $⬜$ um 10 kleiner als 7 sein, also -3
$⬜$	=	-3

Der gesuchte Wert für das Kästchens ⬜ ist somit: -3.

Minusklammer - Rechenvorteile

Beispiel:

Löse zuerst die Klammer auf und berechne dann möglichst geschickt:
$- 8$ + ( $38 + 31$ )

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$- 8$ + ( $38 + 31$ )

Wir lösen zuerst die Klammer auf.
Weil ja ein "+" vor der Klammer steht, können wir sie einfach weglassen.

$- 8 + 38 + 31$

Jetzt suchen wir zwei Summanden, die gut zusammen passen und berechnen zuerst die Summe der beiden passenden Summanden:

= $30 + 31$

= 61

Ausmultiplizieren

Beispiel:

Multipliziere aus und berechne: $(- 300 + 30 + 6) \cdot 5$

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$(- 300 + 30 + 6) \cdot 5$

Jetzt müssen wir die Klammer ausmultiplizieren:

= $- 300 \cdot 5 + 30 \cdot 5 + 6 \cdot 5$

= $- 1 500 + 150 + 30$

= $- 1 350 + 30$

= -1320

Ausklammern

Beispiel:

Klammere aus und berechne: $- 6 \cdot 28 - 6 \cdot (- 8)$

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$- 6 \cdot 28 - 6 \cdot (- 8)$

Jetzt klammern wir am besten den Faktor -6 aus:

= $- 6 \cdot (28 - 8)$

= $- 6 \cdot 20$

= -120

Potenzen mit Vorzeichen

Beispiel:

Berechne: $- 2 \cdot 2^{3}$

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Hier ist es ganz wichtig, dass man die Regel 'Hoch-vor-Punkt-vor-Strich' anwendet und unterscheidet, ob das Minus in Klammer ist (und damit mit potenziert werden muss) oder nicht.

$- 2 \cdot 2^{3}$

= $- 2 \cdot 8$

= $- 16$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Multiplizieren (basic)

einfache Anwendungen

Multiplizieren (erst Vorzeichen)

Multiplizieren

Kästchenaufgabe nur mal

Dividieren an Zahlengerade (pos)

Dividieren an der Zahlengerade

Dividieren (erst Vorzeichen)

Dividieren

Kästchenaufgabe nur durch

Mal und Geteilt

Punkt-vor-Strich

Grundrechenarten verbal

komplexer Term (5 Zahlen)

Kästchenaufgabe (Rückwärts rechnen)

Gleichungen

Minusklammer - Rechenvorteile

Ausmultiplizieren

Ausklammern

Potenzen mit Vorzeichen