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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 5 x^{- 7}$

Lösung einblenden

$x^{- 7}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{7}}$ .

Also ist $- 5 x^{- 7}$ das gleiche wie $- 5 \cdot \frac{1}{x^{7}}$ = $- \frac{5}{x^{7}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[3]{x}$

Lösung einblenden

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[3]{x}$ = $x^{\frac{1}{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $4 x^{- 1}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

$x^{- 1}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x}$ .

Also ist $4 x^{- 1}$ das gleiche wie $4 \cdot \frac{1}{x}$ = $\frac{4}{x}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

$64^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{64}$

= $4$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{27}{64})}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${(\frac{27}{64})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$

= $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}}$

= $\frac{3}{4}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0016}^{\frac{1}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0016}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{0,0016}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(10^{- 49})}^{- \frac{1}{7}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(10^{- 49})}^{- \frac{1}{7}}$

= $10^{- 49 \cdot (- \frac{1}{7})}$

= $10^{7}$

= $10 000 000$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[12]{x^{3}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[12]{x^{3}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}$

= $x^{\frac{3}{12}}$ ⋅ $x^{\frac{3}{4}}$

= $x^{\frac{3}{12} + \frac{3}{4}}$

= $x^{\frac{3}{12} + \frac{9}{12}}$

= $x^{\frac{12}{12}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[5]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[10]{x})}^{8})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[5]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[10]{x})}^{8})}^{15}$

= ${(x^{\frac{2}{5}} \cdot x^{\frac{8}{10}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{2}{5}} \cdot x^{\frac{4}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{2}{5} + \frac{4}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{6}{5}})}^{15}$

= $x^{\frac{6}{5} \cdot 15}$

= $x^{18}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{13}{t}}{10 t^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{13}{t}}{10 t^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{13}{t}}{\frac{10}{t^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{13}{t} \cdot \frac{t^{4}}{10}$

= $\frac{13}{10} t^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen