Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $5 x^{- 1}$

Lösung einblenden

$x^{- 1}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x}$ .

Also ist $5 x^{- 1}$ das gleiche wie $5 \cdot \frac{1}{x}$ = $\frac{5}{x}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[3]{x}$

Lösung einblenden

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[3]{x}$ = $x^{\frac{1}{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{5}{x^{2}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{2}}$ kann man auch als $x^{- 2}$ schreiben.

Also ist $\frac{5}{x^{2}}$ = $5 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ das gleiche wie $5 x^{- 2}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $121^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$121^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $121^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$121^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{121^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{121}}$

= $\frac{1}{11}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0016}^{\frac{1}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0016}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{0,0016}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(10^{\frac{1}{7}})}^{56}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(10^{\frac{1}{7}})}^{56}$

= $10^{\frac{1}{7} \cdot 56}$

= $10^{8}$

= $100 000 000$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[15]{x})}^{6} \cdot {(\sqrt[5]{x})}^{3}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[15]{x})}^{6} \cdot {(\sqrt[5]{x})}^{3}$

= $x^{\frac{6}{15}}$ ⋅ $x^{\frac{3}{5}}$

= $x^{\frac{6}{15} + \frac{3}{5}}$

= $x^{\frac{6}{15} + \frac{9}{15}}$

= $x^{\frac{15}{15}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[4]{x^{3}} \cdot \sqrt[8]{x^{12}})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x^{3}} \cdot \sqrt[8]{x^{12}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{12}{8}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{3}{2}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{3}{4} + \frac{3}{2}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{9}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{9}{4} \cdot 12}$

= $x^{27}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{7 t^{- 4}}{\frac{13}{t}}$

Lösung einblenden

$\frac{7 t^{- 4}}{\frac{13}{t}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{7}{t^{4}}}{\frac{13}{t}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{7}{t^{4}} \cdot \frac{t}{13}$

= $\frac{7}{13 t^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen