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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 4 x^{- 9}$

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$x^{- 9}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{9}}$ .

Also ist $- 4 x^{- 9}$ das gleiche wie $- 4 \cdot \frac{1}{x^{9}}$ = $- \frac{4}{x^{9}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[3]{x^{5}}$

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Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[3]{x^{5}}$ = ${(x^{5})}^{\frac{1}{3}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{5})}^{\frac{1}{3}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{3}$} = $x^{\frac{5}{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{7}{8}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{7}{8}}$ = $x^{- 7 \cdot \frac{1}{8}}$ = ${(x^{7})}^{- \frac{1}{8}}$ = $\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{8}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{8}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[8]{x^{7}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{\frac{3}{4}}$

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$81^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{81})}^{3}$

= $3^{3}$

= 27

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{3^{30}}{3^{27}}$

Lösung einblenden

$\frac{3^{30}}{3^{27}}$

= $3^{30 - 27}$

= $3^{3}$

= 27

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

${0,001}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,001})}^{2}$

= ${0,1}^{2}$

= $0,01$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(2^{30})}^{\frac{1}{6}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(2^{30})}^{\frac{1}{6}}$

= $2^{30 \cdot \frac{1}{6}}$

= $2^{5}$

= $32$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[9]{x})}^{3} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[9]{x})}^{3} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}$

= $x^{\frac{3}{9}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{3}{9} + \frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{15}{9}}$

= $x^{\frac{5}{3}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[3]{x^{5}})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[3]{x^{5}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{2}{3} + \frac{5}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{7}{3}})}^{6}$

= $x^{\frac{7}{3} \cdot 6}$

= $x^{14}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{12 r^{- 3}}{\frac{7}{r^{4}}}$

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$\frac{12 r^{- 3}}{\frac{7}{r^{4}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{r^{3}}}{\frac{7}{r^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{r^{3}} \cdot \frac{r^{4}}{7}$

= $\frac{12}{7} r$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen