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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $3 x^{- 1}$

Lösung einblenden

$x^{- 1}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x}$ .

Also ist $3 x^{- 1}$ das gleiche wie $3 \cdot \frac{1}{x}$ = $\frac{3}{x}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[8]{x^{5}}$

Lösung einblenden

Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[8]{x^{5}}$ = ${(x^{5})}^{\frac{1}{8}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{5})}^{\frac{1}{8}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{8}$} = $x^{\frac{5}{8}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ = $\frac{1}{{(x)}^{\frac{1}{3}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x)}^{\frac{1}{3}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{3} \cdot 1}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ = $x^{- \frac{1}{3}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $121^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$121^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3^{17}$ : $3^{14}$

Lösung einblenden

$3^{17}$ : $3^{14}$

= $3^{17 - 14}$

= $3^{3}$

= 27

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

${0,001}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,001})}^{2}$

= ${0,1}^{2}$

= $0,01$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{- 3})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(4^{- 3})}^{- \frac{1}{2}}$

= $4^{- 3 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $4^{\frac{1}{2} \cdot 3}$

= ${(4^{\frac{1}{2}})}^{3}$

= ${(\sqrt{4})}^{3}$

= $2^{3}$

= $8$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[8]{x^{6}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[8]{x^{6}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}$

= $x^{\frac{6}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{6}{8} + \frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{6}{8} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{16}{8}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[6]{x^{4}} \cdot \sqrt[9]{x^{15}})}^{9}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[6]{x^{4}} \cdot \sqrt[9]{x^{15}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{4}{6}} \cdot x^{\frac{15}{9}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{2}{3} + \frac{5}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{7}{3}})}^{9}$

= $x^{\frac{7}{3} \cdot 9}$

= $x^{21}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{6}{s}}{8 s^{- 3}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{6}{s}}{8 s^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{6}{s}}{\frac{8}{s^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{6}{s} \cdot \frac{s^{3}}{8}$

= $\frac{3}{4} s^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen