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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{5}{x^{9}}$

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$\frac{1}{x^{9}}$ kann man auch als $x^{- 9}$ schreiben.

Also ist $\frac{5}{x^{9}}$ = $5 \cdot \frac{1}{x^{9}}$ das gleiche wie $5 x^{- 9}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[6]{x^{5}}$

Lösung einblenden

Eine 6-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{6}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[6]{x^{5}}$ = ${(x^{5})}^{\frac{1}{6}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{5})}^{\frac{1}{6}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{6}$} = $x^{\frac{5}{6}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{1}{2}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{1}{2}}$ = $x^{- 1 \cdot \frac{1}{2}}$ = ${(x)}^{- \frac{1}{2}}$ = $\frac{1}{{(x)}^{\frac{1}{2}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{2}$} immer das gleiche ist wie die 2-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x)}^{\frac{1}{2}}}$ = $\frac{1}{\sqrt{x}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9^{\frac{1}{2}}$

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$9^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{- \frac{1}{2}}$

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$64^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{64^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{64}}$

= $\frac{1}{8}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{2}{3}}$

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${0,008}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,008})}^{2}$

= ${0,2}^{2}$

= $0,04$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(3^{- 24})}^{- \frac{1}{6}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(3^{- 24})}^{- \frac{1}{6}}$

= $3^{- 24 \cdot (- \frac{1}{6})}$

= $3^{4}$

= $81$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[15]{x})}^{6} \cdot \sqrt[5]{x^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[15]{x})}^{6} \cdot \sqrt[5]{x^{6}}$

= $x^{\frac{6}{15}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{5}}$

= $x^{\frac{6}{15} + \frac{6}{5}}$

= $x^{\frac{6}{15} + \frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{24}{15}}$

= $x^{\frac{8}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[12]{x^{3}} \cdot \sqrt[12]{x^{9}}}{x}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[12]{x^{3}} \cdot \sqrt[12]{x^{9}}}{x}$

= $\frac{x^{\frac{3}{12}}\cdotx^{\frac{9}{12}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{4}}\cdotx^{\frac{3}{4}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{1}}$

= $x^{1 - 1}$

= $x^{0}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{5 s^{- 4}}{9 s^{- 2}}$

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$\frac{5 s^{- 4}}{9 s^{- 2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{s^{4}}}{\frac{9}{s^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{s^{4}} \cdot \frac{s^{2}}{9}$

= $\frac{5}{9 s^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen