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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz, so dass kein Bruch mehr mit einem x vorkommt: $\frac{- 3}{x}$

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$\frac{1}{x}$ kann man auch als $x^{- 1}$ schreiben.

Also ist $\frac{- 3}{x}$ = $- 3 \cdot \frac{1}{x}$ das gleiche wie $- 3 x^{- 1}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[4]{x}$

Lösung einblenden

Eine 4-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{4}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[4]{x}$ = $x^{\frac{1}{4}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe ${(\sqrt[8]{x})}^{5}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[8]{x})}^{5}$ = ${(x^{\frac{1}{8}})}^{5}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{8}})}^{5}$ = $x^{\frac{1}{8} \cdot 5}$ = $x^{\frac{5}{8}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{1}{3}}$

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$27^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{27}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{3^{31}}{3^{28}}$

Lösung einblenden

$\frac{3^{31}}{3^{28}}$

= $3^{31 - 28}$

= $3^{3}$

= 27

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0016}^{\frac{1}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0016}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{0,0016}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{10}{3})}^{- \frac{1}{5}})}^{- 10}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${({(\frac{10}{3})}^{- \frac{1}{5}})}^{- 10}$

= ${(\frac{10}{3})}^{- \frac{1}{5} \cdot (- 10)}$

= ${(\frac{10}{3})}^{2}$

= $\frac{100}{9}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[5]{x} \cdot \sqrt[15]{x^{12}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[5]{x} \cdot \sqrt[15]{x^{12}}$

= $x^{\frac{1}{5}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{15}}$

= $x^{\frac{1}{5} + \frac{12}{15}}$

= $x^{\frac{3}{15} + \frac{12}{15}}$

= $x^{\frac{15}{15}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[15]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{12})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[15]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{12})}^{10}$

= ${(x^{\frac{6}{15}} \cdot x^{\frac{12}{15}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{2}{5}} \cdot x^{\frac{4}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{2}{5} + \frac{4}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{6}{5}})}^{10}$

= $x^{\frac{6}{5} \cdot 10}$

= $x^{12}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{11 u^{- 3}}{6 u^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{11 u^{- 3}}{6 u^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{u^{3}}}{\frac{6}{u^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{u^{3}} \cdot \frac{u^{4}}{6}$

= $\frac{11}{6} u$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen