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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 5 x^{4}}$

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$\frac{1}{x^{4}}$ kann man auch als $x^{- 4}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 5 x^{4}}$ = $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{4}}$ das gleiche wie $- \frac{1}{5} x^{- 4}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[5]{x})}^{4}$

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Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[5]{x})}^{4}$ = ${(x^{\frac{1}{5}})}^{4}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{5}})}^{4}$ = x^{$\frac{1}{5}$ ⋅4} = $x^{\frac{4}{5}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{8}{9}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{8}{9}}$ = $x^{- 8 \cdot \frac{1}{9}}$ = ${(x^{8})}^{- \frac{1}{9}}$ = $\frac{1}{{(x^{8})}^{\frac{1}{9}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{9}$} immer das gleiche ist wie die 9-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{8})}^{\frac{1}{9}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[9]{x^{8}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $121^{\frac{1}{2}}$

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$121^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 100^{\frac{1}{2}}$

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$- 100^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{100}$

= $- 10$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{1}{4}}$

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${0,0001}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{0,0001}$

= $0,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(16^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(16^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$

= $16^{- 3 \cdot \frac{1}{2}}$

= $16^{\frac{1}{2} \cdot (- 3)}$

= ${(16^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$

= $\frac{1}{{(\sqrt{16})}^{3}}$

= $\frac{1}{4^{3}}$

= $\frac{1}{64}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[6]{x^{4}} \cdot {(\sqrt[9]{x})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[6]{x^{4}} \cdot {(\sqrt[9]{x})}^{12}$

= $x^{\frac{4}{6}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{4}{6} + \frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{12}{18} + \frac{24}{18}}$

= $x^{\frac{36}{18}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[12]{x^{6}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}})}^{8}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x^{6}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{6}{12}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{7}{4}})}^{8}$

= $x^{\frac{7}{4} \cdot 8}$

= $x^{14}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{13}{t^{2}}}{7 t^{- 3}}$

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$\frac{\frac{13}{t^{2}}}{7 t^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{13}{t^{2}}}{\frac{7}{t^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{13}{t^{2}} \cdot \frac{t^{3}}{7}$

= $\frac{13}{7} t$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen