Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{5 x^{5}}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{5}}$ kann man auch als $x^{- 5}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{5 x^{5}}$ = $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{5}}$ das gleiche wie $\frac{1}{5} x^{- 5}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[6]{x})}^{5}$

Lösung einblenden

Eine 6-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{6}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[6]{x})}^{5}$ = ${(x^{\frac{1}{6}})}^{5}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{6}})}^{5}$ = x^{$\frac{1}{6}$ ⋅5} = $x^{\frac{5}{6}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{6}{x^{7}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{7}}$ kann man auch als $x^{- 7}$ schreiben.

Also ist $\frac{6}{x^{7}}$ = $6 \cdot \frac{1}{x^{7}}$ das gleiche wie $6 x^{- 7}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

$81^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{81})}^{3}$

= $3^{3}$

= 27

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{3^{37}}{3^{35}}$

Lösung einblenden

$\frac{3^{37}}{3^{35}}$

= $3^{37 - 35}$

= $3^{2}$

= 9

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,16}^{\frac{3}{2}}$

Lösung einblenden

${0,16}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,16})}^{3}$

= ${0,4}^{3}$

= $0,064$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(16^{- 3})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(16^{- 3})}^{- \frac{1}{2}}$

= $16^{- 3 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $16^{\frac{1}{2} \cdot 3}$

= ${(16^{\frac{1}{2}})}^{3}$

= ${(\sqrt{16})}^{3}$

= $4^{3}$

= $64$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[8]{x^{10}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[8]{x^{10}}$

= $x^{\frac{2}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{2}{4} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{4}{8} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{14}{8}}$

= $x^{\frac{7}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[6]{x^{2}} \cdot \sqrt[9]{x^{12}})}^{9}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[6]{x^{2}} \cdot \sqrt[9]{x^{12}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{2}{6}} \cdot x^{\frac{12}{9}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{4}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{5}{3}})}^{9}$

= $x^{\frac{5}{3} \cdot 9}$

= $x^{15}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{6}{r^{4}}}{6 r^{- 2}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{6}{r^{4}}}{6 r^{- 2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{6}{r^{4}}}{\frac{6}{r^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{6}{r^{4}} \cdot \frac{r^{2}}{6}$

= $\frac{1}{r^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen