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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 7 x^{- 1}$

Lösung einblenden

$x^{- 1}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x}$ .

Also ist $- 7 x^{- 1}$ das gleiche wie $- 7 \cdot \frac{1}{x}$ = $- \frac{7}{x}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[9]{x})}^{7}$

Lösung einblenden

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[9]{x})}^{7}$ = ${(x^{\frac{1}{9}})}^{7}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{9}})}^{7}$ = x^{$\frac{1}{9}$ ⋅7} = $x^{\frac{7}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $- 4 x^{- 5}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

$x^{- 5}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{5}}$ .

Also ist $- 4 x^{- 5}$ das gleiche wie $- 4 \cdot \frac{1}{x^{5}}$ = $- \frac{4}{x^{5}}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $49^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$49^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{64}{27})}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${(\frac{64}{27})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{64}{27}}$

= $\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{27}}$

= $\frac{4}{3}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${0,001}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,001}$

= $0,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(2^{\frac{1}{5}})}^{- 30}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(2^{\frac{1}{5}})}^{- 30}$

= $2^{\frac{1}{5} \cdot (- 30)}$

= $2^{- 6}$

= $\frac{1}{2^{6}}$

= $\frac{1}{64}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[10]{x})}^{4} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[10]{x})}^{4} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{12}$

= $x^{\frac{4}{10}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{15}}$

= $x^{\frac{4}{10} + \frac{12}{15}}$

= $x^{\frac{12}{30} + \frac{24}{30}}$

= $x^{\frac{36}{30}}$

= $x^{\frac{6}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[5]{x^{2}} \cdot \sqrt[10]{x^{12}})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[5]{x^{2}} \cdot \sqrt[10]{x^{12}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{2}{5}} \cdot x^{\frac{12}{10}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{2}{5}} \cdot x^{\frac{6}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{2}{5} + \frac{6}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{8}{5}})}^{10}$

= $x^{\frac{8}{5} \cdot 10}$

= $x^{16}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 d^{- 1}}{\frac{10}{d^{2}}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 d^{- 1}}{\frac{10}{d^{2}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{d}}{\frac{10}{d^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{d} \cdot \frac{d^{2}}{10}$

= $\frac{9}{10} d$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen