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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{- 5}{x^{8}}$

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$\frac{1}{x^{8}}$ kann man auch als $x^{- 8}$ schreiben.

Also ist $\frac{- 5}{x^{8}}$ = $- 5 \cdot \frac{1}{x^{8}}$ das gleiche wie $- 5 x^{- 8}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[8]{x^{5}}$

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Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[8]{x^{5}}$ = ${(x^{5})}^{\frac{1}{8}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{5})}^{\frac{1}{8}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{8}$} = $x^{\frac{5}{8}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{1}{3}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{1}{3}}$ = $x^{- 1 \cdot \frac{1}{3}}$ = ${(x)}^{- \frac{1}{3}}$ = $\frac{1}{{(x)}^{\frac{1}{3}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{3}$} immer das gleiche ist wie die 3-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x)}^{\frac{1}{3}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$64^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $16^{- \frac{1}{2}}$

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$16^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{16^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{16}}$

= $\frac{1}{4}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{1}{3}}$

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${0,008}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,008}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(16^{8})}^{\frac{1}{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(16^{8})}^{\frac{1}{4}}$

= $16^{8 \cdot \frac{1}{4}}$

= $16^{2}$

= $256$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[5]{x^{2}} \cdot \sqrt[15]{x^{9}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[5]{x^{2}} \cdot \sqrt[15]{x^{9}}$

= $x^{\frac{2}{5}}$ ⋅ $x^{\frac{9}{15}}$

= $x^{\frac{2}{5} + \frac{9}{15}}$

= $x^{\frac{6}{15} + \frac{9}{15}}$

= $x^{\frac{15}{15}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[9]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[9]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

= $\frac{x^{\frac{3}{9}}\cdotx^{\frac{2}{3}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{3}}\cdotx^{\frac{2}{3}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{1}}$

= $x^{1 - 1}$

= $x^{0}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 c^{- 1}}{12 c^{- 2}}$

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$\frac{8 c^{- 1}}{12 c^{- 2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{8}{c}}{\frac{12}{c^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{8}{c} \cdot \frac{c^{2}}{12}$

= $\frac{2}{3} c$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen