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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- x^{- 8}$

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$x^{- 8}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{8}}$ .

Also ist $- x^{- 8}$ das gleiche wie $- 1 \cdot \frac{1}{x^{8}}$ = $- \frac{1}{x^{8}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{2}{3}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{2}{3}}$ = x^{2⋅ $\frac{1}{3}$} = ${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{3}$} immer das gleiche ist wie die 3-te Wurzel, also:

${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ = $\sqrt[3]{x^{2}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe ${(\sqrt[8]{x})}^{7}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[8]{x})}^{7}$ = ${(x^{\frac{1}{8}})}^{7}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{8}})}^{7}$ = $x^{\frac{1}{8} \cdot 7}$ = $x^{\frac{7}{8}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $121^{\frac{1}{2}}$

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$121^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 81^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$- 81^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{81}$

= $- 9$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0016})}^{3}$

= ${0,2}^{3}$

= $0,008$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(27^{- 4})}^{\frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(27^{- 4})}^{\frac{1}{3}}$

= $27^{- 4 \cdot \frac{1}{3}}$

= $27^{\frac{1}{3} \cdot (- 4)}$

= ${(27^{\frac{1}{3}})}^{- 4}$

= $\frac{1}{{(\sqrt[3]{27})}^{4}}$

= $\frac{1}{3^{4}}$

= $\frac{1}{81}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[10]{x})}^{4} \cdot \sqrt[10]{x^{8}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[10]{x})}^{4} \cdot \sqrt[10]{x^{8}}$

= $x^{\frac{4}{10}}$ ⋅ $x^{\frac{8}{10}}$

= $x^{\frac{4}{10} + \frac{8}{10}}$

= $x^{\frac{12}{10}}$

= $x^{\frac{6}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{x^{2}})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{x^{2}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{2}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{3}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{3}{4} \cdot 12}$

= $x^{9}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 s^{- 4}}{7 s^{- 3}}$

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$\frac{9 s^{- 4}}{7 s^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{s^{4}}}{\frac{7}{s^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{s^{4}} \cdot \frac{s^{3}}{7}$

= $\frac{9}{7 s}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen