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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 7 x^{4}}$

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$\frac{1}{x^{4}}$ kann man auch als $x^{- 4}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 7 x^{4}}$ = $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{x^{4}}$ das gleiche wie $- \frac{1}{7} x^{- 4}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[4]{x})}^{3}$

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Eine 4-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{4}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[4]{x})}^{3}$ = ${(x^{\frac{1}{4}})}^{3}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{4}})}^{3}$ = x^{$\frac{1}{4}$ ⋅3} = $x^{\frac{3}{4}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe ${(\sqrt[8]{x})}^{11}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[8]{x})}^{11}$ = ${(x^{\frac{1}{8}})}^{11}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{8}})}^{11}$ = $x^{\frac{1}{8} \cdot 11}$ = $x^{\frac{11}{8}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $100^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$100^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 49^{\frac{1}{2}}$

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$- 49^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{49}$

= $- 7$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0001})}^{3}$

= ${0,1}^{3}$

= $0,001$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(2^{- \frac{1}{7}})}^{- 21}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(2^{- \frac{1}{7}})}^{- 21}$

= $2^{- \frac{1}{7} \cdot (- 21)}$

= $2^{3}$

= $8$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[8]{x})}^{6} \cdot \sqrt[12]{x^{18}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[8]{x})}^{6} \cdot \sqrt[12]{x^{18}}$

= $x^{\frac{6}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{18}{12}}$

= $x^{\frac{6}{8} + \frac{18}{12}}$

= $x^{\frac{18}{24} + \frac{36}{24}}$

= $x^{\frac{54}{24}}$

= $x^{\frac{9}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[5]{x^{3}} \cdot \sqrt[10]{x^{8}})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[5]{x^{3}} \cdot \sqrt[10]{x^{8}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{8}{10}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{4}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5} + \frac{4}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{7}{5}})}^{15}$

= $x^{\frac{7}{5} \cdot 15}$

= $x^{21}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{5}{t^{2}}}{6 t^{- 4}}$

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$\frac{\frac{5}{t^{2}}}{6 t^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{t^{2}}}{\frac{6}{t^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{t^{2}} \cdot \frac{t^{4}}{6}$

= $\frac{5}{6} t^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen