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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $2 x^{- 9}$

Lösung einblenden

$x^{- 9}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{9}}$ .

Also ist $2 x^{- 9}$ das gleiche wie $2 \cdot \frac{1}{x^{9}}$ = $\frac{2}{x^{9}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[3]{x})}^{2}$

Lösung einblenden

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[3]{x})}^{2}$ = ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ = x^{$\frac{1}{3}$ ⋅2} = $x^{\frac{2}{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{6}{x^{7}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{7}}$ kann man auch als $x^{- 7}$ schreiben.

Also ist $\frac{6}{x^{7}}$ = $6 \cdot \frac{1}{x^{7}}$ das gleiche wie $6 x^{- 7}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $49^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$49^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$9^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{9}}$

= $\frac{1}{3}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,16}^{\frac{3}{2}}$

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${0,16}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,16})}^{3}$

= ${0,4}^{3}$

= $0,064$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(10^{- 9})}^{\frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(10^{- 9})}^{\frac{1}{3}}$

= $10^{- 9 \cdot \frac{1}{3}}$

= $10^{- 3}$

= $\frac{1}{10^{3}}$

= $\frac{1}{1000}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[8]{x})}^{2} \cdot \sqrt[8]{x^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[8]{x})}^{2} \cdot \sqrt[8]{x^{6}}$

= $x^{\frac{2}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{8}}$

= $x^{\frac{2}{8} + \frac{6}{8}}$

= $x^{\frac{8}{8}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[15]{x^{9}} \cdot \sqrt[15]{x^{18}})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[15]{x^{9}} \cdot \sqrt[15]{x^{18}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{9}{15}} \cdot x^{\frac{18}{15}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{6}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5} + \frac{6}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{9}{5}})}^{15}$

= $x^{\frac{9}{5} \cdot 15}$

= $x^{27}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6 c^{- 4}}{\frac{12}{c}}$

Lösung einblenden

$\frac{6 c^{- 4}}{\frac{12}{c}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{6}{c^{4}}}{\frac{12}{c}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{6}{c^{4}} \cdot \frac{c}{12}$

= $\frac{1}{2 c^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen