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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $5 x^{- 1}$

Lösung einblenden

$x^{- 1}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x}$ .

Also ist $5 x^{- 1}$ das gleiche wie $5 \cdot \frac{1}{x}$ = $\frac{5}{x}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[6]{x^{5}}$

Lösung einblenden

Eine 6-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{6}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[6]{x^{5}}$ = ${(x^{5})}^{\frac{1}{6}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{5})}^{\frac{1}{6}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{6}$} = $x^{\frac{5}{6}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[4]{x^{5}}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 4-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{4}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[4]{x^{5}}}$ = $\frac{1}{{(x^{5})}^{\frac{1}{4}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{5})}^{\frac{1}{4}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{4} \cdot 5}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{5}{4}}}$ = $x^{- \frac{5}{4}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$9^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3^{23}$ : $3^{21}$

Lösung einblenden

$3^{23}$ : $3^{21}$

= $3^{23 - 21}$

= $3^{2}$

= 9

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${0,001}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,001}$

= $0,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(12^{10})}^{\frac{1}{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(12^{10})}^{\frac{1}{5}}$

= $12^{10 \cdot \frac{1}{5}}$

= $12^{2}$

= $144$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[15]{x^{12}} \cdot \sqrt[15]{x^{18}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[15]{x^{12}} \cdot \sqrt[15]{x^{18}}$

= $x^{\frac{12}{15}}$ ⋅ $x^{\frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{12}{15} + \frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{30}{15}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[5]{x^{4}} \cdot \sqrt[5]{x^{6}}}{x}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[5]{x^{4}} \cdot \sqrt[5]{x^{6}}}{x}$

= $\frac{x^{\frac{4}{5}}\cdotx^{\frac{6}{5}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{4}{5} + \frac{6}{5}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{1}}$

= $x^{2 - 1}$

= $x^{1}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{6}{c^{2}}}{9 c^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{6}{c^{2}}}{9 c^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{6}{c^{2}}}{\frac{9}{c^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{6}{c^{2}} \cdot \frac{c^{4}}{9}$

= $\frac{2}{3} c^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen