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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{4}{x}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x}$ kann man auch als $x^{- 1}$ schreiben.

Also ist $\frac{4}{x}$ = $4 \cdot \frac{1}{x}$ das gleiche wie $4 x^{- 1}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[4]{x^{5}}$

Lösung einblenden

Eine 4-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{4}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[4]{x^{5}}$ = ${(x^{5})}^{\frac{1}{4}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{5})}^{\frac{1}{4}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{4}$} = $x^{\frac{5}{4}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 4-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{4}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}}$ = $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{4}})}^{3}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{4}})}^{3}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{4} \cdot 3}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ = $x^{- \frac{3}{4}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $16^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$16^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2^{26}$ : $2^{22}$

Lösung einblenden

$2^{26}$ : $2^{22}$

= $2^{26 - 22}$

= $2^{4}$

= 16

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${1,44}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${1,44}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{1,44}$

= $1,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(2^{- 16})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(2^{- 16})}^{- \frac{1}{2}}$

= $2^{- 16 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $2^{8}$

= $256$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[10]{x^{4}} \cdot \sqrt[10]{x^{8}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[10]{x^{4}} \cdot \sqrt[10]{x^{8}}$

= $x^{\frac{4}{10}}$ ⋅ $x^{\frac{8}{10}}$

= $x^{\frac{4}{10} + \frac{8}{10}}$

= $x^{\frac{12}{10}}$

= $x^{\frac{6}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[10]{x^{6}} \cdot \sqrt[15]{x^{18}})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[10]{x^{6}} \cdot \sqrt[15]{x^{18}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{6}{10}} \cdot x^{\frac{18}{15}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{6}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5} + \frac{6}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{9}{5}})}^{15}$

= $x^{\frac{9}{5} \cdot 15}$

= $x^{27}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6 s^{- 4}}{\frac{7}{s}}$

Lösung einblenden

$\frac{6 s^{- 4}}{\frac{7}{s}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{6}{s^{4}}}{\frac{7}{s}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{6}{s^{4}} \cdot \frac{s}{7}$

= $\frac{6}{7 s^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen