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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 4 x^{- 1}$

Lösung einblenden

$x^{- 1}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x}$ .

Also ist $- 4 x^{- 1}$ das gleiche wie $- 4 \cdot \frac{1}{x}$ = $- \frac{4}{x}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[7]{x})}^{5}$

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Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[7]{x})}^{5}$ = ${(x^{\frac{1}{7}})}^{5}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{7}})}^{5}$ = x^{$\frac{1}{7}$ ⋅5} = $x^{\frac{5}{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{{(\sqrt[5]{x})}^{4}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{(\sqrt[5]{x})}^{4}}$ = $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{5}})}^{4}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{5}})}^{4}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{5} \cdot 4}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ = $x^{- \frac{4}{5}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $49^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$49^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 16^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$- 16^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{16}$

= $- 4$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,25}^{\frac{1}{2}}$

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${0,25}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{0,25}$

= $0,5$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(16^{3})}^{\frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(16^{3})}^{\frac{1}{2}}$

= $16^{3 \cdot \frac{1}{2}}$

= $16^{\frac{1}{2} \cdot 3}$

= ${(16^{\frac{1}{2}})}^{3}$

= ${(\sqrt{16})}^{3}$

= $4^{3}$

= $64$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[9]{x})}^{6} \cdot \sqrt[9]{x^{15}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[9]{x})}^{6} \cdot \sqrt[9]{x^{15}}$

= $x^{\frac{6}{9}}$ ⋅ $x^{\frac{15}{9}}$

= $x^{\frac{6}{9} + \frac{15}{9}}$

= $x^{\frac{21}{9}}$

= $x^{\frac{7}{3}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[8]{x})}^{4} \cdot \sqrt[12]{x^{9}})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[8]{x})}^{4} \cdot \sqrt[12]{x^{9}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{4}{8}} \cdot x^{\frac{9}{12}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{3}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{5}{4} \cdot 12}$

= $x^{15}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{7}{d^{3}}}{9 d^{- 1}}$

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$\frac{\frac{7}{d^{3}}}{9 d^{- 1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{7}{d^{3}}}{\frac{9}{d}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{7}{d^{3}} \cdot \frac{d}{9}$

= $\frac{7}{9 d^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen