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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 5 x^{- 6}$

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$x^{- 6}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{6}}$ .

Also ist $- 5 x^{- 6}$ das gleiche wie $- 5 \cdot \frac{1}{x^{6}}$ = $- \frac{5}{x^{6}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[7]{x^{5}}$

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Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[7]{x^{5}}$ = ${(x^{5})}^{\frac{1}{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{5})}^{\frac{1}{7}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{7}$} = $x^{\frac{5}{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{6}{7}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{6}{7}}$ = $x^{- 6 \cdot \frac{1}{7}}$ = ${(x^{6})}^{- \frac{1}{7}}$ = $\frac{1}{{(x^{6})}^{\frac{1}{7}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{7}$} immer das gleiche ist wie die 7-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{6})}^{\frac{1}{7}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[7]{x^{6}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8^{\frac{1}{3}}$

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$8^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{8}$

= $2$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3^{23}$ : $3^{20}$

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$3^{23}$ : $3^{20}$

= $3^{23 - 20}$

= $3^{3}$

= 27

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,04}^{\frac{3}{2}}$

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${0,04}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,04})}^{3}$

= ${0,2}^{3}$

= $0,008$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(10^{- 12})}^{- \frac{1}{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(10^{- 12})}^{- \frac{1}{4}}$

= $10^{- 12 \cdot (- \frac{1}{4})}$

= $10^{3}$

= $1 000$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[9]{x})}^{3} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{4}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[9]{x})}^{3} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{4}$

= $x^{\frac{3}{9}}$ ⋅ $x^{\frac{4}{6}}$

= $x^{\frac{3}{9} + \frac{4}{6}}$

= $x^{\frac{6}{18} + \frac{12}{18}}$

= $x^{\frac{18}{18}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[9]{x^{12}})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[9]{x^{12}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{12}{9}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{4}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{5}{3}})}^{6}$

= $x^{\frac{5}{3} \cdot 6}$

= $x^{10}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 t^{- 1}}{\frac{13}{t^{4}}}$

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$\frac{8 t^{- 1}}{\frac{13}{t^{4}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{8}{t}}{\frac{13}{t^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{8}{t} \cdot \frac{t^{4}}{13}$

= $\frac{8}{13} t^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen