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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $2 x^{- 8}$

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$x^{- 8}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{8}}$ .

Also ist $2 x^{- 8}$ das gleiche wie $2 \cdot \frac{1}{x^{8}}$ = $\frac{2}{x^{8}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{11}{8}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{11}{8}}$ = x^{11⋅ $\frac{1}{8}$} = ${(x^{11})}^{\frac{1}{8}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

${(x^{11})}^{\frac{1}{8}}$ = $\sqrt[8]{x^{11}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\sqrt[9]{x^{8}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[9]{x^{8}}$ = ${(x^{8})}^{\frac{1}{9}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{8})}^{\frac{1}{9}}$ = $x^{\frac{1}{9} \cdot 8}$ = $x^{\frac{8}{9}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{\frac{1}{4}}$

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$81^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{81}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $25^{- \frac{1}{2}}$

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$25^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{25^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{25}}$

= $\frac{1}{5}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{1}{3}}$

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${0,008}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,008}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(4^{\frac{1}{2}})}^{2}$

= $4^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

= $4^{1}$

= $4$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[8]{x^{4}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[8]{x^{4}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}$

= $x^{\frac{4}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{3}{4}}$

= $x^{\frac{4}{8} + \frac{3}{4}}$

= $x^{\frac{4}{8} + \frac{6}{8}}$

= $x^{\frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{5}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[10]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{12}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[10]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{12}}{\frac{1}{x^{2}}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{10}}\cdotx^{\frac{12}{15}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{5}}\cdotx^{\frac{4}{5}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{- 2}}$

= $x^{1 + 2}$

= $x^{3}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{9}{b}}{7 b^{- 4}}$

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$\frac{\frac{9}{b}}{7 b^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{b}}{\frac{7}{b^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{b} \cdot \frac{b^{4}}{7}$

= $\frac{9}{7} b^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen