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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 4 x^{- 3}$

Lösung einblenden

$x^{- 3}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{3}}$ .

Also ist $- 4 x^{- 3}$ das gleiche wie $- 4 \cdot \frac{1}{x^{3}}$ = $- \frac{4}{x^{3}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[9]{x})}^{8}$

Lösung einblenden

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[9]{x})}^{8}$ = ${(x^{\frac{1}{9}})}^{8}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{9}})}^{8}$ = x^{$\frac{1}{9}$ ⋅8} = $x^{\frac{8}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\sqrt[5]{x^{3}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[5]{x^{3}}$ = ${(x^{3})}^{\frac{1}{5}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{3})}^{\frac{1}{5}}$ = $x^{\frac{1}{5} \cdot 3}$ = $x^{\frac{3}{5}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $121^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$121^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2^{10}$ : $2^{6}$

Lösung einblenden

$2^{10}$ : $2^{6}$

= $2^{10 - 6}$

= $2^{4}$

= 16

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${1,21}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${1,21}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{1,21}$

= $1,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{- 3})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(4^{- 3})}^{- \frac{1}{2}}$

= $4^{- 3 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $4^{\frac{1}{2} \cdot 3}$

= ${(4^{\frac{1}{2}})}^{3}$

= ${(\sqrt{4})}^{3}$

= $2^{3}$

= $8$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[12]{x})}^{3} \cdot {(\sqrt[8]{x})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x})}^{3} \cdot {(\sqrt[8]{x})}^{10}$

= $x^{\frac{3}{12}}$ ⋅ $x^{\frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{3}{12} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{6}{24} + \frac{30}{24}}$

= $x^{\frac{36}{24}}$

= $x^{\frac{3}{2}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[5]{x} \cdot \sqrt[5]{x^{4}}}{x^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[5]{x} \cdot \sqrt[5]{x^{4}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{5}}\cdotx^{\frac{4}{5}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{2}}$

= $x^{1 - 2}$

= $x^{- 1}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{8}{b^{3}}}{12 b^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{8}{b^{3}}}{12 b^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{8}{b^{3}}}{\frac{12}{b^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{8}{b^{3}} \cdot \frac{b^{4}}{12}$

= $\frac{2}{3} b$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen