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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $x^{- 6}$

Lösung einblenden

$x^{- 6}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{6}}$ .

Also ist $x^{- 6}$ das gleiche wie $1 \cdot \frac{1}{x^{6}}$ = $\frac{1}{x^{6}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[8]{x^{11}}$

Lösung einblenden

Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[8]{x^{11}}$ = ${(x^{11})}^{\frac{1}{8}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{11})}^{\frac{1}{8}}$ = x^{11⋅ $\frac{1}{8}$} = $x^{\frac{11}{8}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{{(\sqrt[7]{x})}^{5}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{(\sqrt[7]{x})}^{5}}$ = $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{7}})}^{5}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{7}})}^{5}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{7} \cdot 5}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{5}{7}}}$ = $x^{- \frac{5}{7}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{1}{3}}$

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$27^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{27}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{2^{47}}{2^{42}}$

Lösung einblenden

$\frac{2^{47}}{2^{42}}$

= $2^{47 - 42}$

= $2^{5}$

= 32

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,09}^{\frac{3}{2}}$

Lösung einblenden

${0,09}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,09})}^{3}$

= ${0,3}^{3}$

= $0,027$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(3^{\frac{1}{5}})}^{20}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(3^{\frac{1}{5}})}^{20}$

= $3^{\frac{1}{5} \cdot 20}$

= $3^{4}$

= $81$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[5]{x})}^{4} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{18}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[5]{x})}^{4} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{18}$

= $x^{\frac{4}{5}}$ ⋅ $x^{\frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{4}{5} + \frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{12}{15} + \frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{30}{15}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[8]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[12]{x})}^{15})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[8]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[12]{x})}^{15})}^{6}$

= ${(x^{\frac{2}{8}} \cdot x^{\frac{15}{12}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{4} + \frac{5}{4}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{3}{2}})}^{6}$

= $x^{\frac{3}{2} \cdot 6}$

= $x^{9}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{13 b^{- 4}}{\frac{11}{b^{5}}}$

Lösung einblenden

$\frac{13 b^{- 4}}{\frac{11}{b^{5}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{13}{b^{4}}}{\frac{11}{b^{5}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{13}{b^{4}} \cdot \frac{b^{5}}{11}$

= $\frac{13}{11} b$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen