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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $6 x^{- 4}$

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$x^{- 4}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{4}}$ .

Also ist $6 x^{- 4}$ das gleiche wie $6 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ = $\frac{6}{x^{4}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[7]{x^{5}}$

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Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[7]{x^{5}}$ = ${(x^{5})}^{\frac{1}{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{5})}^{\frac{1}{7}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{7}$} = $x^{\frac{5}{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{5}{8}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{5}{8}}$ = $x^{- 5 \cdot \frac{1}{8}}$ = ${(x^{5})}^{- \frac{1}{8}}$ = $\frac{1}{{(x^{5})}^{\frac{1}{8}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{5})}^{\frac{1}{8}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[8]{x^{5}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $144^{\frac{1}{2}}$

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$144^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $36^{- \frac{1}{2}}$

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$36^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{36^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{36}}$

= $\frac{1}{6}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{1}{4}}$

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${0,0001}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{0,0001}$

= $0,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{1}{2})}^{12})}^{\frac{1}{6}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${({(\frac{1}{2})}^{12})}^{\frac{1}{6}}$

= ${(\frac{1}{2})}^{12 \cdot \frac{1}{6}}$

= ${(\frac{1}{2})}^{2}$

= $\frac{1}{4}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[8]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[8]{x})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[8]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[8]{x})}^{12}$

= $x^{\frac{6}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{8}}$

= $x^{\frac{6}{8} + \frac{12}{8}}$

= $x^{\frac{18}{8}}$

= $x^{\frac{9}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[5]{x})}^{3} \cdot \sqrt[10]{x^{8}})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[5]{x})}^{3} \cdot \sqrt[10]{x^{8}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{8}{10}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{4}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5} + \frac{4}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{7}{5}})}^{10}$

= $x^{\frac{7}{5} \cdot 10}$

= $x^{14}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{12 s^{- 1}}{\frac{9}{s^{2}}}$

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$\frac{12 s^{- 1}}{\frac{9}{s^{2}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{s}}{\frac{9}{s^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{s} \cdot \frac{s^{2}}{9}$

= $\frac{4}{3} s$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen