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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $7 x^{- 8}$

Lösung einblenden

$x^{- 8}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{8}}$ .

Also ist $7 x^{- 8}$ das gleiche wie $7 \cdot \frac{1}{x^{8}}$ = $\frac{7}{x^{8}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[9]{x^{8}}$

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Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[9]{x^{8}}$ = ${(x^{8})}^{\frac{1}{9}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{8})}^{\frac{1}{9}}$ = x^{8⋅ $\frac{1}{9}$} = $x^{\frac{8}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $- 3 x^{- 3}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

$x^{- 3}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{3}}$ .

Also ist $- 3 x^{- 3}$ das gleiche wie $- 3 \cdot \frac{1}{x^{3}}$ = $- \frac{3}{x^{3}}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $36^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$36^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 144^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$- 144^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{144}$

= $- 12$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

${0,001}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,001})}^{2}$

= ${0,1}^{2}$

= $0,01$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(2^{30})}^{\frac{1}{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(2^{30})}^{\frac{1}{5}}$

= $2^{30 \cdot \frac{1}{5}}$

= $2^{6}$

= $64$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[10]{x^{8}} \cdot \sqrt[5]{x^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[10]{x^{8}} \cdot \sqrt[5]{x^{6}}$

= $x^{\frac{8}{10}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{5}}$

= $x^{\frac{8}{10} + \frac{6}{5}}$

= $x^{\frac{8}{10} + \frac{12}{10}}$

= $x^{\frac{20}{10}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[10]{x^{4}} \cdot \sqrt[15]{x^{18}})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[10]{x^{4}} \cdot \sqrt[15]{x^{18}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{4}{10}} \cdot x^{\frac{18}{15}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{2}{5}} \cdot x^{\frac{6}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{2}{5} + \frac{6}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{8}{5}})}^{10}$

= $x^{\frac{8}{5} \cdot 10}$

= $x^{16}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{12}{r}}{11 r^{- 2}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{12}{r}}{11 r^{- 2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{r}}{\frac{11}{r^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{r} \cdot \frac{r^{2}}{11}$

= $\frac{12}{11} r$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen