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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{3}{x^{5}}$

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$\frac{1}{x^{5}}$ kann man auch als $x^{- 5}$ schreiben.

Also ist $\frac{3}{x^{5}}$ = $3 \cdot \frac{1}{x^{5}}$ das gleiche wie $3 x^{- 5}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[9]{x^{8}}$

Lösung einblenden

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[9]{x^{8}}$ = ${(x^{8})}^{\frac{1}{9}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{8})}^{\frac{1}{9}}$ = x^{8⋅ $\frac{1}{9}$} = $x^{\frac{8}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{3}{5}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{3}{5}}$ = $x^{- 3 \cdot \frac{1}{5}}$ = ${(x^{3})}^{- \frac{1}{5}}$ = $\frac{1}{{(x^{3})}^{\frac{1}{5}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{5}$} immer das gleiche ist wie die 5-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{3})}^{\frac{1}{5}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[5]{x^{3}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $25^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$25^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4^{23}}{4^{21}}$

Lösung einblenden

$\frac{4^{23}}{4^{21}}$

= $4^{23 - 21}$

= $4^{2}$

= 16

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0001})}^{3}$

= ${0,1}^{3}$

= $0,001$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{3})}^{\frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(4^{3})}^{\frac{1}{2}}$

= $4^{3 \cdot \frac{1}{2}}$

= $4^{\frac{1}{2} \cdot 3}$

= ${(4^{\frac{1}{2}})}^{3}$

= ${(\sqrt{4})}^{3}$

= $2^{3}$

= $8$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[6]{x^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[6]{x^{4}}$

= $x^{\frac{1}{3}}$ ⋅ $x^{\frac{4}{6}}$

= $x^{\frac{1}{3} + \frac{4}{6}}$

= $x^{\frac{2}{6} + \frac{4}{6}}$

= $x^{\frac{6}{6}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[15]{x^{12}} \cdot \sqrt[5]{x^{7}})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[15]{x^{12}} \cdot \sqrt[5]{x^{7}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{12}{15}} \cdot x^{\frac{7}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{4}{5}} \cdot x^{\frac{7}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{4}{5} + \frac{7}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{11}{5}})}^{10}$

= $x^{\frac{11}{5} \cdot 10}$

= $x^{22}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{10}{v}}{8 v^{- 4}}$

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$\frac{\frac{10}{v}}{8 v^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{v}}{\frac{8}{v^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{v} \cdot \frac{v^{4}}{8}$

= $\frac{5}{4} v^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen