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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 5 x^{- 3}$

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$x^{- 3}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{3}}$ .

Also ist $- 5 x^{- 3}$ das gleiche wie $- 5 \cdot \frac{1}{x^{3}}$ = $- \frac{5}{x^{3}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{3}{4}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{3}{4}}$ = x^{3⋅ $\frac{1}{4}$} = ${(x^{3})}^{\frac{1}{4}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{4}$} immer das gleiche ist wie die 4-te Wurzel, also:

${(x^{3})}^{\frac{1}{4}}$ = $\sqrt[4]{x^{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{{(\sqrt[8]{x})}^{9}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{(\sqrt[8]{x})}^{9}}$ = $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{8}})}^{9}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{8}})}^{9}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{8} \cdot 9}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{9}{8}}}$ = $x^{- \frac{9}{8}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{\frac{2}{3}}$

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$64^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{64})}^{2}$

= $4^{2}$

= 16

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $25^{- \frac{1}{2}}$

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$25^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{25^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{25}}$

= $\frac{1}{5}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{2}{3}}$

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${0,001}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,001})}^{2}$

= ${0,1}^{2}$

= $0,01$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(2^{- \frac{1}{7}})}^{28}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(2^{- \frac{1}{7}})}^{28}$

= $2^{- \frac{1}{7} \cdot 28}$

= $2^{- 4}$

= $\frac{1}{2^{4}}$

= $\frac{1}{16}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[5]{x})}^{3} \cdot \sqrt[15]{x^{18}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[5]{x})}^{3} \cdot \sqrt[15]{x^{18}}$

= $x^{\frac{3}{5}}$ ⋅ $x^{\frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{3}{5} + \frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{9}{15} + \frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{27}{15}}$

= $x^{\frac{9}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[8]{x^{4}} \cdot \sqrt[12]{x^{9}})}^{8}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[8]{x^{4}} \cdot \sqrt[12]{x^{9}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{4}{8}} \cdot x^{\frac{9}{12}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{3}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{5}{4}})}^{8}$

= $x^{\frac{5}{4} \cdot 8}$

= $x^{10}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 c^{- 4}}{7 c^{- 5}}$

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$\frac{9 c^{- 4}}{7 c^{- 5}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{c^{4}}}{\frac{7}{c^{5}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{c^{4}} \cdot \frac{c^{5}}{7}$

= $\frac{9}{7} c$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen