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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 5 x^{- 5}$

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$x^{- 5}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{5}}$ .

Also ist $- 5 x^{- 5}$ das gleiche wie $- 5 \cdot \frac{1}{x^{5}}$ = $- \frac{5}{x^{5}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{1}{3}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{3}$} immer das gleiche ist wie die 3-te Wurzel, also:

$x^{\frac{1}{3}}$ = $\sqrt[3]{x}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{{(\sqrt[7]{x})}^{9}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{(\sqrt[7]{x})}^{9}}$ = $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{7}})}^{9}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{7}})}^{9}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{7} \cdot 9}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{9}{7}}}$ = $x^{- \frac{9}{7}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{2}{3}}$

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$27^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{27})}^{2}$

= $3^{2}$

= 9

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 100^{\frac{1}{2}}$

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$- 100^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{100}$

= $- 10$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

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${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0016})}^{3}$

= ${0,2}^{3}$

= $0,008$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{2}{3})}^{14})}^{\frac{1}{7}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${({(\frac{2}{3})}^{14})}^{\frac{1}{7}}$

= ${(\frac{2}{3})}^{14 \cdot \frac{1}{7}}$

= ${(\frac{2}{3})}^{2}$

= $\frac{4}{9}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[6]{x^{4}} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[6]{x^{4}} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}$

= $x^{\frac{4}{6}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{4}{6} + \frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{12}{18} + \frac{24}{18}}$

= $x^{\frac{36}{18}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(\sqrt[9]{x})}^{6} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}}{x}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(\sqrt[9]{x})}^{6} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}}{x}$

= $\frac{x^{\frac{6}{9}}\cdotx^{\frac{12}{9}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3}}\cdotx^{\frac{4}{3}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{1}}$

= $x^{2 - 1}$

= $x^{1}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 r^{- 4}}{\frac{12}{r}}$

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$\frac{9 r^{- 4}}{\frac{12}{r}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{r^{4}}}{\frac{12}{r}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{r^{4}} \cdot \frac{r}{12}$

= $\frac{3}{4 r^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen