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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 3 x^{9}}$

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$\frac{1}{x^{9}}$ kann man auch als $x^{- 9}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 3 x^{9}}$ = $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{9}}$ das gleiche wie $- \frac{1}{3} x^{- 9}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[7]{x^{9}}$

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Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[7]{x^{9}}$ = ${(x^{9})}^{\frac{1}{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{9})}^{\frac{1}{7}}$ = x^{9⋅ $\frac{1}{7}$} = $x^{\frac{9}{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[5]{x^{3}}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[5]{x^{3}}}$ = $\frac{1}{{(x^{3})}^{\frac{1}{5}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{3})}^{\frac{1}{5}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{5} \cdot 3}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$ = $x^{- \frac{3}{5}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8^{\frac{1}{3}}$

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$8^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{8}$

= $2$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4^{\frac{1}{2}}$

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$- 4^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{4}$

= $- 2$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,09}^{\frac{3}{2}}$

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${0,09}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,09})}^{3}$

= ${0,3}^{3}$

= $0,027$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{5}})}^{10}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${({(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{5}})}^{10}$

= ${(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{5} \cdot 10}$

= ${(\frac{3}{2})}^{2}$

= $\frac{9}{4}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[8]{x^{4}} \cdot \sqrt[8]{x^{10}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[8]{x^{4}} \cdot \sqrt[8]{x^{10}}$

= $x^{\frac{4}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{4}{8} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{14}{8}}$

= $x^{\frac{7}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[15]{x^{12}} \cdot \sqrt[10]{x^{14}})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[15]{x^{12}} \cdot \sqrt[10]{x^{14}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{12}{15}} \cdot x^{\frac{14}{10}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{4}{5}} \cdot x^{\frac{7}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{4}{5} + \frac{7}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{11}{5}})}^{10}$

= $x^{\frac{11}{5} \cdot 10}$

= $x^{22}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{13}{c}}{13 c^{- 2}}$

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$\frac{\frac{13}{c}}{13 c^{- 2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{13}{c}}{\frac{13}{c^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{13}{c} \cdot \frac{c^{2}}{13}$

= $c$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen