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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 3 x^{- 4}$

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$x^{- 4}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{4}}$ .

Also ist $- 3 x^{- 4}$ das gleiche wie $- 3 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ = $- \frac{3}{x^{4}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[8]{x})}^{7}$

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Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[8]{x})}^{7}$ = ${(x^{\frac{1}{8}})}^{7}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{8}})}^{7}$ = x^{$\frac{1}{8}$ ⋅7} = $x^{\frac{7}{8}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[9]{x^{8}}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[9]{x^{8}}}$ = $\frac{1}{{(x^{8})}^{\frac{1}{9}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{8})}^{\frac{1}{9}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{9} \cdot 8}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{8}{9}}}$ = $x^{- \frac{8}{9}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $144^{\frac{1}{2}}$

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$144^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4^{46}}{4^{44}}$

Lösung einblenden

$\frac{4^{46}}{4^{44}}$

= $4^{46 - 44}$

= $4^{2}$

= 16

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{1}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0001}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{0,0001}$

= $0,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(5^{- \frac{1}{2}})}^{- 6}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(5^{- \frac{1}{2}})}^{- 6}$

= $5^{- \frac{1}{2} \cdot (- 6)}$

= $5^{3}$

= $125$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[9]{x^{6}} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[9]{x^{6}} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}$

= $x^{\frac{6}{9}}$ ⋅ $x^{\frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{6}{9} + \frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{12}{18} + \frac{24}{18}}$

= $x^{\frac{36}{18}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[9]{x^{6}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[9]{x^{6}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{3}}\cdotx^{\frac{6}{9}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{3}}\cdotx^{\frac{2}{3}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{- 2}}$

= $x^{1 + 2}$

= $x^{3}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{13 s^{- 3}}{\frac{8}{s^{4}}}$

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$\frac{13 s^{- 3}}{\frac{8}{s^{4}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{13}{s^{3}}}{\frac{8}{s^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{13}{s^{3}} \cdot \frac{s^{4}}{8}$

= $\frac{13}{8} s$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen