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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 7 x^{- 2}$

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$x^{- 2}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{2}}$ .

Also ist $- 7 x^{- 2}$ das gleiche wie $- 7 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ = $- \frac{7}{x^{2}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[8]{x^{7}}$

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Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[8]{x^{7}}$ = ${(x^{7})}^{\frac{1}{8}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{7})}^{\frac{1}{8}}$ = x^{7⋅ $\frac{1}{8}$} = $x^{\frac{7}{8}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ = $x^{- \frac{1}{3}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $25^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$25^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{3^{15}}{3^{13}}$

Lösung einblenden

$\frac{3^{15}}{3^{13}}$

= $3^{15 - 13}$

= $3^{2}$

= 9

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,09}^{\frac{3}{2}}$

Lösung einblenden

${0,09}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,09})}^{3}$

= ${0,3}^{3}$

= $0,027$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(10^{- 35})}^{- \frac{1}{7}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(10^{- 35})}^{- \frac{1}{7}}$

= $10^{- 35 \cdot (- \frac{1}{7})}$

= $10^{5}$

= $100 000$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[9]{x^{6}} \cdot \sqrt[9]{x^{15}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[9]{x^{6}} \cdot \sqrt[9]{x^{15}}$

= $x^{\frac{6}{9}}$ ⋅ $x^{\frac{15}{9}}$

= $x^{\frac{6}{9} + \frac{15}{9}}$

= $x^{\frac{21}{9}}$

= $x^{\frac{7}{3}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[12]{x^{6}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x^{6}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{6}{12}} \cdot x^{\frac{3}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{3}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{5}{4} \cdot 12}$

= $x^{15}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6 s^{- 4}}{9 s^{- 5}}$

Lösung einblenden

$\frac{6 s^{- 4}}{9 s^{- 5}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{6}{s^{4}}}{\frac{9}{s^{5}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{6}{s^{4}} \cdot \frac{s^{5}}{9}$

= $\frac{2}{3} s$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen