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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $3 x^{- 2}$

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$x^{- 2}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{2}}$ .

Also ist $3 x^{- 2}$ das gleiche wie $3 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{3}{x^{2}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{5}{6}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{5}{6}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{6}$} = ${(x^{5})}^{\frac{1}{6}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{6}$} immer das gleiche ist wie die 6-te Wurzel, also:

${(x^{5})}^{\frac{1}{6}}$ = $\sqrt[6]{x^{5}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{4}{3}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{4}{3}}$ = $x^{- 4 \cdot \frac{1}{3}}$ = ${(x^{4})}^{- \frac{1}{3}}$ = $\frac{1}{{(x^{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{3}$} immer das gleiche ist wie die 3-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{4})}^{\frac{1}{3}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $25^{\frac{1}{2}}$

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$25^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4^{22}$ : $4^{20}$

Lösung einblenden

$4^{22}$ : $4^{20}$

= $4^{22 - 20}$

= $4^{2}$

= 16

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{1}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0001}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{0,0001}$

= $0,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{10}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${({(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{10}$

= ${(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{5} \cdot 10}$

= ${(\frac{2}{3})}^{2}$

= $\frac{4}{9}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[15]{x^{3}} \cdot \sqrt[5]{x^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[15]{x^{3}} \cdot \sqrt[5]{x^{4}}$

= $x^{\frac{3}{15}}$ ⋅ $x^{\frac{4}{5}}$

= $x^{\frac{3}{15} + \frac{4}{5}}$

= $x^{\frac{3}{15} + \frac{12}{15}}$

= $x^{\frac{15}{15}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[12]{x^{3}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}}{\frac{1}{x}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[12]{x^{3}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}}{\frac{1}{x}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{12}}\cdotx^{\frac{3}{4}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{4}}\cdotx^{\frac{3}{4}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{- 1}}$

= $x^{1 + 1}$

= $x^{2}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{10}{b^{4}}}{6 b^{- 1}}$

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$\frac{\frac{10}{b^{4}}}{6 b^{- 1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{b^{4}}}{\frac{6}{b}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{b^{4}} \cdot \frac{b}{6}$

= $\frac{5}{3 b^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen