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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{3}{x^{4}}$

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$\frac{1}{x^{4}}$ kann man auch als $x^{- 4}$ schreiben.

Also ist $\frac{3}{x^{4}}$ = $3 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ das gleiche wie $3 x^{- 4}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[7]{x^{5}}$

Lösung einblenden

Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[7]{x^{5}}$ = ${(x^{5})}^{\frac{1}{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{5})}^{\frac{1}{7}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{7}$} = $x^{\frac{5}{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $6 x^{- 1}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

$x^{- 1}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x}$ .

Also ist $6 x^{- 1}$ das gleiche wie $6 \cdot \frac{1}{x}$ = $\frac{6}{x}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

$27^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{27}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4^{43}}{4^{41}}$

Lösung einblenden

$\frac{4^{43}}{4^{41}}$

= $4^{43 - 41}$

= $4^{2}$

= 16

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${0,001}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,001}$

= $0,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(9^{- 3})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(9^{- 3})}^{- \frac{1}{2}}$

= $9^{- 3 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $9^{\frac{1}{2} \cdot 3}$

= ${(9^{\frac{1}{2}})}^{3}$

= ${(\sqrt{9})}^{3}$

= $3^{3}$

= $27$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[15]{x^{3}} \cdot \sqrt[10]{x^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[15]{x^{3}} \cdot \sqrt[10]{x^{6}}$

= $x^{\frac{3}{15}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{10}}$

= $x^{\frac{3}{15} + \frac{6}{10}}$

= $x^{\frac{6}{30} + \frac{18}{30}}$

= $x^{\frac{24}{30}}$

= $x^{\frac{4}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[9]{x^{15}})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[9]{x^{15}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{15}{9}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{2}{3} + \frac{5}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{7}{3}})}^{6}$

= $x^{\frac{7}{3} \cdot 6}$

= $x^{14}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{7 b^{- 1}}{10 b^{- 2}}$

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$\frac{7 b^{- 1}}{10 b^{- 2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{7}{b}}{\frac{10}{b^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{7}{b} \cdot \frac{b^{2}}{10}$

= $\frac{7}{10} b$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen