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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 6 x^{9}}$

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$\frac{1}{x^{9}}$ kann man auch als $x^{- 9}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 6 x^{9}}$ = $- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x^{9}}$ das gleiche wie $- \frac{1}{6} x^{- 9}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{7}{8}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{7}{8}}$ = x^{7⋅ $\frac{1}{8}$} = ${(x^{7})}^{\frac{1}{8}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

${(x^{7})}^{\frac{1}{8}}$ = $\sqrt[8]{x^{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[8]{x^{11}}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[8]{x^{11}}}$ = $\frac{1}{{(x^{11})}^{\frac{1}{8}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{11})}^{\frac{1}{8}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{8} \cdot 11}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{11}{8}}}$ = $x^{- \frac{11}{8}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $16^{\frac{1}{2}}$

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$16^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2^{21}$ : $2^{16}$

Lösung einblenden

$2^{21}$ : $2^{16}$

= $2^{21 - 16}$

= $2^{5}$

= 32

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

${0,001}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,001})}^{2}$

= ${0,1}^{2}$

= $0,01$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(3^{\frac{1}{6}})}^{12}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(3^{\frac{1}{6}})}^{12}$

= $3^{\frac{1}{6} \cdot 12}$

= $3^{2}$

= $9$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[8]{x^{6}} \cdot \sqrt[8]{x^{10}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[8]{x^{6}} \cdot \sqrt[8]{x^{10}}$

= $x^{\frac{6}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{6}{8} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{16}{8}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[10]{x^{8}} \cdot \sqrt[15]{x^{18}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[10]{x^{8}} \cdot \sqrt[15]{x^{18}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

= $\frac{x^{\frac{8}{10}}\cdotx^{\frac{18}{15}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{4}{5}}\cdotx^{\frac{6}{5}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{4}{5} + \frac{6}{5}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{- 2}}$

= $x^{2 + 2}$

= $x^{4}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{8}{a^{2}}}{9 a^{- 3}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{8}{a^{2}}}{9 a^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{8}{a^{2}}}{\frac{9}{a^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{8}{a^{2}} \cdot \frac{a^{3}}{9}$

= $\frac{8}{9} a$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen