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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{5}{x^{5}}$

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$\frac{1}{x^{5}}$ kann man auch als $x^{- 5}$ schreiben.

Also ist $\frac{5}{x^{5}}$ = $5 \cdot \frac{1}{x^{5}}$ das gleiche wie $5 x^{- 5}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[5]{x})}^{4}$

Lösung einblenden

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[5]{x})}^{4}$ = ${(x^{\frac{1}{5}})}^{4}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{5}})}^{4}$ = x^{$\frac{1}{5}$ ⋅4} = $x^{\frac{4}{5}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[6]{x^{5}}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 6-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{6}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[6]{x^{5}}}$ = $\frac{1}{{(x^{5})}^{\frac{1}{6}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{5})}^{\frac{1}{6}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{6} \cdot 5}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{5}{6}}}$ = $x^{- \frac{5}{6}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $16^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

$16^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{16})}^{3}$

= $2^{3}$

= 8

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$- 4^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{4}$

= $- 2$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,36}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${0,36}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{0,36}$

= $0,6$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(5^{- \frac{1}{2}})}^{- 6}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(5^{- \frac{1}{2}})}^{- 6}$

= $5^{- \frac{1}{2} \cdot (- 6)}$

= $5^{3}$

= $125$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[10]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[10]{x})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[10]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[10]{x})}^{12}$

= $x^{\frac{6}{10}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{10}}$

= $x^{\frac{6}{10} + \frac{12}{10}}$

= $x^{\frac{18}{10}}$

= $x^{\frac{9}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[6]{x^{4}} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}}{\frac{1}{x}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[6]{x^{4}} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}}{\frac{1}{x}}$

= $\frac{x^{\frac{4}{6}}\cdotx^{\frac{12}{9}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3}}\cdotx^{\frac{4}{3}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{- 1}}$

= $x^{2 + 1}$

= $x^{3}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{5 b^{- 4}}{7 b^{- 2}}$

Lösung einblenden

$\frac{5 b^{- 4}}{7 b^{- 2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{b^{4}}}{\frac{7}{b^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{b^{4}} \cdot \frac{b^{2}}{7}$

= $\frac{5}{7 b^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen