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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{2}{x^{5}}$

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$\frac{1}{x^{5}}$ kann man auch als $x^{- 5}$ schreiben.

Also ist $\frac{2}{x^{5}}$ = $2 \cdot \frac{1}{x^{5}}$ das gleiche wie $2 x^{- 5}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{3}{5}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{3}{5}}$ = x^{3⋅ $\frac{1}{5}$} = ${(x^{3})}^{\frac{1}{5}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{5}$} immer das gleiche ist wie die 5-te Wurzel, also:

${(x^{3})}^{\frac{1}{5}}$ = $\sqrt[5]{x^{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{6}{7}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{6}{7}}$ = $x^{- 6 \cdot \frac{1}{7}}$ = ${(x^{6})}^{- \frac{1}{7}}$ = $\frac{1}{{(x^{6})}^{\frac{1}{7}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{7}$} immer das gleiche ist wie die 7-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{6})}^{\frac{1}{7}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[7]{x^{6}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $100^{\frac{1}{2}}$

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$100^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $144^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$144^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{144^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{144}}$

= $\frac{1}{12}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,04}^{\frac{3}{2}}$

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${0,04}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,04})}^{3}$

= ${0,2}^{3}$

= $0,008$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{3})}^{- \frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(4^{3})}^{- \frac{1}{3}}$

= $4^{3 \cdot (- \frac{1}{3})}$

= $4^{- 1}$

= $\frac{1}{4}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[15]{x^{12}} \cdot \sqrt[5]{x^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[15]{x^{12}} \cdot \sqrt[5]{x^{6}}$

= $x^{\frac{12}{15}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{5}}$

= $x^{\frac{12}{15} + \frac{6}{5}}$

= $x^{\frac{12}{15} + \frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{30}{15}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[12]{x^{15}})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[12]{x^{15}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{15}{12}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{4} + \frac{5}{4}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{3}{2}})}^{6}$

= $x^{\frac{3}{2} \cdot 6}$

= $x^{9}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{9}{u^{2}}}{8 u^{- 3}}$

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$\frac{\frac{9}{u^{2}}}{8 u^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{u^{2}}}{\frac{8}{u^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{u^{2}} \cdot \frac{u^{3}}{8}$

= $\frac{9}{8} u$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen