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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: 4 x -8

Lösung einblenden

x -8 ist ja nur eine andere Schreibweise für 1 x 8 .

Also ist 4 x -8 das gleiche wie 4 · 1 x 8 = 4 x 8 .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ( x 9 ) 7

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Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...) 1 9 schreiben, also gilt hier: ( x 9 ) 7 = ( x 1 9 ) 7

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

( x 1 9 ) 7 = x 1 9 ⋅7 = x 7 9

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: x - 5 7
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

x - 5 7 = x -5 · 1 7 = ( x 5 ) - 1 7 = 1 ( x 5 ) 1 7

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...) 1 7 immer das gleiche ist wie die 7-te Wurzel, also:

1 ( x 5 ) 1 7 = 1 x 5 7

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: 27 2 3

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27 2 3

= ( 27 3 ) 2

= 3 2

= 9

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: 9 - 1 2

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9 - 1 2

= 1 9 1 2

= 1 9

= 1 3

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: 0,008 2 3

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0,008 2 3

= ( 0,008 3 ) 2

= 0,2 2

= 0,04

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ( 16 3 ) - 1 2

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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( 16 3 ) - 1 2

= 16 3 · ( - 1 2 )

= 16 1 2 · ( -3 )

= ( 16 1 2 ) -3

= 1 ( 16 ) 3

= 1 4 3

= 1 64

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: x 2 10 · x 3 5

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

x 2 10 · x 3 5

= x 2 10 ⋅ x 3 5

= x 2 10 + 3 5

= x 2 10 + 6 10

= x 8 10

= x 4 5

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: x 6 9 · x 8 6 x 2

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

x 6 9 · x 8 6 x 2

= x 6 9 ⋅ x 8 6 x 2

= x 2 3 ⋅ x 4 3 x 2

= x 2 3 + 4 3 x 2

= x 2 x 2

= x 2 -2

= x 0

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: 10 a -1 5 a 2

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10 a -1 5 a 2

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= 10 a 5 a 2

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= 10 a · a 2 5

= 2a