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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{2}{x^{3}}$

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$\frac{1}{x^{3}}$ kann man auch als $x^{- 3}$ schreiben.

Also ist $\frac{2}{x^{3}}$ = $2 \cdot \frac{1}{x^{3}}$ das gleiche wie $2 x^{- 3}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[3]{x^{4}}$

Lösung einblenden

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[3]{x^{4}}$ = ${(x^{4})}^{\frac{1}{3}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{4})}^{\frac{1}{3}}$ = x^{4⋅ $\frac{1}{3}$} = $x^{\frac{4}{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $- 4 x^{- 3}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

$x^{- 3}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{3}}$ .

Also ist $- 4 x^{- 3}$ das gleiche wie $- 4 \cdot \frac{1}{x^{3}}$ = $- \frac{4}{x^{3}}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $49^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$49^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$9^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{9}}$

= $\frac{1}{3}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,09}^{\frac{3}{2}}$

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${0,09}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,09})}^{3}$

= ${0,3}^{3}$

= $0,027$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(5^{6})}^{\frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(5^{6})}^{\frac{1}{2}}$

= $5^{6 \cdot \frac{1}{2}}$

= $5^{3}$

= $125$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[15]{x^{3}} \cdot \sqrt[15]{x^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[15]{x^{3}} \cdot \sqrt[15]{x^{6}}$

= $x^{\frac{3}{15}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{15}}$

= $x^{\frac{3}{15} + \frac{6}{15}}$

= $x^{\frac{9}{15}}$

= $x^{\frac{3}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[4]{x^{3}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}}{x^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[4]{x^{3}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{4}}\cdotx^{\frac{5}{4}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{4} + \frac{5}{4}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{2}}$

= $x^{2 - 2}$

= $x^{0}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{10 b^{- 1}}{\frac{7}{b^{4}}}$

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$\frac{10 b^{- 1}}{\frac{7}{b^{4}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{b}}{\frac{7}{b^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{b} \cdot \frac{b^{4}}{7}$

= $\frac{10}{7} b^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen