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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $7 x^{- 5}$

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$x^{- 5}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{5}}$ .

Also ist $7 x^{- 5}$ das gleiche wie $7 \cdot \frac{1}{x^{5}}$ = $\frac{7}{x^{5}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[6]{x})}^{5}$

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Eine 6-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{6}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[6]{x})}^{5}$ = ${(x^{\frac{1}{6}})}^{5}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{6}})}^{5}$ = x^{$\frac{1}{6}$ ⋅5} = $x^{\frac{5}{6}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{{(\sqrt{x})}^{3}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 2-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{2}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{(\sqrt{x})}^{3}}$ = $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{3}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{3}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 3}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ = $x^{- \frac{3}{2}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $49^{\frac{1}{2}}$

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$49^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{3^{50}}{3^{47}}$

Lösung einblenden

$\frac{3^{50}}{3^{47}}$

= $3^{50 - 47}$

= $3^{3}$

= 27

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{2}{3}}$

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${0,001}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,001})}^{2}$

= ${0,1}^{2}$

= $0,01$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(16^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(16^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$

= $16^{- 3 \cdot \frac{1}{2}}$

= $16^{\frac{1}{2} \cdot (- 3)}$

= ${(16^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$

= $\frac{1}{{(\sqrt{16})}^{3}}$

= $\frac{1}{4^{3}}$

= $\frac{1}{64}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[8]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[8]{x})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[8]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[8]{x})}^{6}$

= $x^{\frac{2}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{8}}$

= $x^{\frac{2}{8} + \frac{6}{8}}$

= $x^{\frac{8}{8}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[12]{x^{3}} \cdot \sqrt[8]{x^{10}})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x^{3}} \cdot \sqrt[8]{x^{10}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{3}{12}} \cdot x^{\frac{10}{8}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{4} + \frac{5}{4}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{3}{2}})}^{6}$

= $x^{\frac{3}{2} \cdot 6}$

= $x^{9}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{13}{a^{3}}}{8 a^{- 4}}$

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$\frac{\frac{13}{a^{3}}}{8 a^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{13}{a^{3}}}{\frac{8}{a^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{13}{a^{3}} \cdot \frac{a^{4}}{8}$

= $\frac{13}{8} a$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen