Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{x^{3}}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{3}}$ kann man auch als $x^{- 3}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{x^{3}}$ = $1 \cdot \frac{1}{x^{3}}$ das gleiche wie $x^{- 3}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[7]{x^{6}}$

Lösung einblenden

Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[7]{x^{6}}$ = ${(x^{6})}^{\frac{1}{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{6})}^{\frac{1}{7}}$ = x^{6⋅ $\frac{1}{7}$} = $x^{\frac{6}{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\sqrt{x}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 2-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{2}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt{x}$ = $x^{\frac{1}{2}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$x^{\frac{1}{2}}$ = $x^{\frac{1}{2}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $144^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$144^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2^{42}$ : $2^{37}$

Lösung einblenden

$2^{42}$ : $2^{37}$

= $2^{42 - 37}$

= $2^{5}$

= 32

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,09}^{\frac{3}{2}}$

Lösung einblenden

${0,09}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,09})}^{3}$

= ${0,3}^{3}$

= $0,027$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(1^{- 36})}^{\frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(1^{- 36})}^{\frac{1}{3}}$

= $1^{- 36 \cdot \frac{1}{3}}$

= $1^{- 12}$

= $\frac{1}{1^{12}}$

= $1$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[8]{x^{10}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[8]{x^{10}}$

= $x^{\frac{1}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{1}{4} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{2}{8} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{12}{8}}$

= $x^{\frac{3}{2}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[5]{x^{3}} \cdot \sqrt[15]{x^{12}})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[5]{x^{3}} \cdot \sqrt[15]{x^{12}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{12}{15}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{4}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5} + \frac{4}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{7}{5}})}^{15}$

= $x^{\frac{7}{5} \cdot 15}$

= $x^{21}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{11 a^{- 2}}{6 a^{- 3}}$

Lösung einblenden

$\frac{11 a^{- 2}}{6 a^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{a^{2}}}{\frac{6}{a^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{a^{2}} \cdot \frac{a^{3}}{6}$

= $\frac{11}{6} a$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen