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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $6 x^{- 9}$

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$x^{- 9}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{9}}$ .

Also ist $6 x^{- 9}$ das gleiche wie $6 \cdot \frac{1}{x^{9}}$ = $\frac{6}{x^{9}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{5}{7}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{5}{7}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{7}$} = ${(x^{5})}^{\frac{1}{7}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{7}$} immer das gleiche ist wie die 7-te Wurzel, also:

${(x^{5})}^{\frac{1}{7}}$ = $\sqrt[7]{x^{5}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe ${(\sqrt[6]{x})}^{7}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 6-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{6}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[6]{x})}^{7}$ = ${(x^{\frac{1}{6}})}^{7}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{6}})}^{7}$ = $x^{\frac{1}{6} \cdot 7}$ = $x^{\frac{7}{6}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{\frac{1}{4}}$

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$81^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{81}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{27}{8})}^{\frac{1}{3}}$

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${(\frac{27}{8})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$

= $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$

= $\frac{3}{2}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

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${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0016})}^{3}$

= ${0,2}^{3}$

= $0,008$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(5^{9})}^{- \frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(5^{9})}^{- \frac{1}{3}}$

= $5^{9 \cdot (- \frac{1}{3})}$

= $5^{- 3}$

= $\frac{1}{5^{3}}$

= $\frac{1}{125}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[8]{x^{2}} \cdot \sqrt[8]{x^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[8]{x^{2}} \cdot \sqrt[8]{x^{6}}$

= $x^{\frac{2}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{8}}$

= $x^{\frac{2}{8} + \frac{6}{8}}$

= $x^{\frac{8}{8}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[9]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{8})}^{9}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[9]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{8})}^{9}$

= ${(x^{\frac{3}{9}} \cdot x^{\frac{8}{6}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{4}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{5}{3}})}^{9}$

= $x^{\frac{5}{3} \cdot 9}$

= $x^{15}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{11}{u^{2}}}{11 u^{- 4}}$

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$\frac{\frac{11}{u^{2}}}{11 u^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{u^{2}}}{\frac{11}{u^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{u^{2}} \cdot \frac{u^{4}}{11}$

= $u^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen