Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{- 7}{x}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x}$ kann man auch als $x^{- 1}$ schreiben.

Also ist $\frac{- 7}{x}$ = $- 7 \cdot \frac{1}{x}$ das gleiche wie $- 7 x^{- 1}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[3]{x^{2}}$

Lösung einblenden

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[3]{x^{2}}$ = ${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ = x^{2⋅ $\frac{1}{3}$} = $x^{\frac{2}{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\sqrt[3]{x}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[3]{x}$ = $x^{\frac{1}{3}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$x^{\frac{1}{3}}$ = $x^{\frac{1}{3}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

$8^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{8}$

= $2$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$9^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{9}}$

= $\frac{1}{3}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,04}^{\frac{3}{2}}$

Lösung einblenden

${0,04}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,04})}^{3}$

= ${0,2}^{3}$

= $0,008$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(16^{3})}^{\frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(16^{3})}^{\frac{1}{2}}$

= $16^{3 \cdot \frac{1}{2}}$

= $16^{\frac{1}{2} \cdot 3}$

= ${(16^{\frac{1}{2}})}^{3}$

= ${(\sqrt{16})}^{3}$

= $4^{3}$

= $64$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[6]{x^{2}} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[6]{x^{2}} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}$

= $x^{\frac{2}{6}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{2}{6} + \frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{6}{18} + \frac{24}{18}}$

= $x^{\frac{30}{18}}$

= $x^{\frac{5}{3}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[5]{x} \cdot \sqrt[5]{x^{3}})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[5]{x} \cdot \sqrt[5]{x^{3}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{1}{5}} \cdot x^{\frac{3}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{1}{5} + \frac{3}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{4}{5}})}^{15}$

= $x^{\frac{4}{5} \cdot 15}$

= $x^{12}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{5 a^{- 2}}{\frac{6}{a}}$

Lösung einblenden

$\frac{5 a^{- 2}}{\frac{6}{a}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{a^{2}}}{\frac{6}{a}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{a^{2}} \cdot \frac{a}{6}$

= $\frac{5}{6 a}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen