Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 2 x^{- 4}$

Lösung einblenden

$x^{- 4}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{4}}$ .

Also ist $- 2 x^{- 4}$ das gleiche wie $- 2 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ = $- \frac{2}{x^{4}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[5]{x^{4}}$

Lösung einblenden

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[5]{x^{4}}$ = ${(x^{4})}^{\frac{1}{5}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{4})}^{\frac{1}{5}}$ = x^{4⋅ $\frac{1}{5}$} = $x^{\frac{4}{5}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\sqrt[3]{x^{2}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[3]{x^{2}}$ = ${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ = $x^{\frac{1}{3} \cdot 2}$ = $x^{\frac{2}{3}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $121^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$121^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$

= $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}$

= $\frac{2}{3}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,16}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${0,16}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{0,16}$

= $0,4$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(27^{4})}^{\frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(27^{4})}^{\frac{1}{3}}$

= $27^{4 \cdot \frac{1}{3}}$

= $27^{\frac{1}{3} \cdot 4}$

= ${(27^{\frac{1}{3}})}^{4}$

= ${(\sqrt[3]{27})}^{4}$

= $3^{4}$

= $81$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[8]{x^{4}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[8]{x^{4}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}$

= $x^{\frac{4}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{4}{8} + \frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{4}{8} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{14}{8}}$

= $x^{\frac{7}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[9]{x^{3}} \cdot \sqrt[6]{x^{4}}}{\frac{1}{x}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[9]{x^{3}} \cdot \sqrt[6]{x^{4}}}{\frac{1}{x}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{9}}\cdotx^{\frac{4}{6}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{3}}\cdotx^{\frac{2}{3}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{- 1}}$

= $x^{1 + 1}$

= $x^{2}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{7 v^{- 4}}{\frac{12}{v^{2}}}$

Lösung einblenden

$\frac{7 v^{- 4}}{\frac{12}{v^{2}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{7}{v^{4}}}{\frac{12}{v^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{7}{v^{4}} \cdot \frac{v^{2}}{12}$

= $\frac{7}{12 v^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen