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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{3 x^{9}}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{9}}$ kann man auch als $x^{- 9}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{3 x^{9}}$ = $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{9}}$ das gleiche wie $\frac{1}{3} x^{- 9}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[5]{x^{7}}$

Lösung einblenden

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[5]{x^{7}}$ = ${(x^{7})}^{\frac{1}{5}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{7})}^{\frac{1}{5}}$ = x^{7⋅ $\frac{1}{5}$} = $x^{\frac{7}{5}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[8]{x^{5}}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[8]{x^{5}}}$ = $\frac{1}{{(x^{5})}^{\frac{1}{8}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{5})}^{\frac{1}{8}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{8} \cdot 5}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{5}{8}}}$ = $x^{- \frac{5}{8}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{1}{3}}$

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$27^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{27}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$

= $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}$

= $\frac{2}{3}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0001})}^{3}$

= ${0,1}^{3}$

= $0,001$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(2^{\frac{1}{2}})}^{16}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(2^{\frac{1}{2}})}^{16}$

= $2^{\frac{1}{2} \cdot 16}$

= $2^{8}$

= $256$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[9]{x^{6}} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[9]{x^{6}} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}$

= $x^{\frac{6}{9}}$ ⋅ $x^{\frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{6}{9} + \frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{12}{18} + \frac{24}{18}}$

= $x^{\frac{36}{18}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[10]{x^{4}} \cdot \sqrt[5]{x^{4}})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[10]{x^{4}} \cdot \sqrt[5]{x^{4}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{4}{10}} \cdot x^{\frac{4}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{2}{5}} \cdot x^{\frac{4}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{2}{5} + \frac{4}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{6}{5}})}^{15}$

= $x^{\frac{6}{5} \cdot 15}$

= $x^{18}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{5}{a^{3}}}{5 a^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{5}{a^{3}}}{5 a^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{a^{3}}}{\frac{5}{a^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{a^{3}} \cdot \frac{a^{4}}{5}$

= $a$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen