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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 2 x^{7}}$

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$\frac{1}{x^{7}}$ kann man auch als $x^{- 7}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 2 x^{7}}$ = $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{7}}$ das gleiche wie $- \frac{1}{2} x^{- 7}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[8]{x^{7}}$

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Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[8]{x^{7}}$ = ${(x^{7})}^{\frac{1}{8}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{7})}^{\frac{1}{8}}$ = x^{7⋅ $\frac{1}{8}$} = $x^{\frac{7}{8}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{7}{4}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{7}{4}}$ = $x^{7 \cdot \frac{1}{4}}$ = ${(x^{7})}^{\frac{1}{4}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{4}$} immer das gleiche ist wie die 4-te Wurzel, also:

${(x^{7})}^{\frac{1}{4}}$ = $\sqrt[4]{x^{7}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{\frac{3}{4}}$

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$81^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{81})}^{3}$

= $3^{3}$

= 27

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $100^{- \frac{1}{2}}$

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$100^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{100^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{100}}$

= $\frac{1}{10}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,16}^{\frac{1}{2}}$

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${0,16}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{0,16}$

= $0,4$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{7}{5})}^{- \frac{1}{5}})}^{10}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${({(\frac{7}{5})}^{- \frac{1}{5}})}^{10}$

= ${(\frac{7}{5})}^{- \frac{1}{5} \cdot 10}$

= ${(\frac{7}{5})}^{- 2}$

= $\frac{1}{{(\frac{7}{5})}^{2}}$

= $\frac{1}{\frac{49}{25}}$

= $\frac{25}{49}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[8]{x^{2}} \cdot \sqrt[8]{x^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[8]{x^{2}} \cdot \sqrt[8]{x^{6}}$

= $x^{\frac{2}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{8}}$

= $x^{\frac{2}{8} + \frac{6}{8}}$

= $x^{\frac{8}{8}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[10]{x^{2}} \cdot \sqrt[15]{x^{6}})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[10]{x^{2}} \cdot \sqrt[15]{x^{6}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{2}{10}} \cdot x^{\frac{6}{15}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{1}{5}} \cdot x^{\frac{2}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{1}{5} + \frac{2}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5}})}^{15}$

= $x^{\frac{3}{5} \cdot 15}$

= $x^{9}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 v^{- 3}}{13 v^{- 1}}$

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$\frac{9 v^{- 3}}{13 v^{- 1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{v^{3}}}{\frac{13}{v}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{v^{3}} \cdot \frac{v}{13}$

= $\frac{9}{13 v^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen