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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 5 x}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x}$ kann man auch als $x^{- 1}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 5 x}$ = $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x}$ das gleiche wie $- \frac{1}{5} x^{- 1}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[5]{x^{3}}$

Lösung einblenden

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[5]{x^{3}}$ = ${(x^{3})}^{\frac{1}{5}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{3})}^{\frac{1}{5}}$ = x^{3⋅ $\frac{1}{5}$} = $x^{\frac{3}{5}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\sqrt[3]{x^{2}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[3]{x^{2}}$ = ${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ = $x^{\frac{1}{3} \cdot 2}$ = $x^{\frac{2}{3}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $49^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$49^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{64}{27})}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${(\frac{64}{27})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{64}{27}}$

= $\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{27}}$

= $\frac{4}{3}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0016}^{\frac{1}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0016}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{0,0016}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{8}{5})}^{- 4})}^{\frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${({(\frac{8}{5})}^{- 4})}^{\frac{1}{2}}$

= ${(\frac{8}{5})}^{- 4 \cdot \frac{1}{2}}$

= ${(\frac{8}{5})}^{- 2}$

= $\frac{1}{{(\frac{8}{5})}^{2}}$

= $\frac{1}{\frac{64}{25}}$

= $\frac{25}{64}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[10]{x})}^{2} \cdot \sqrt[15]{x^{9}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[10]{x})}^{2} \cdot \sqrt[15]{x^{9}}$

= $x^{\frac{2}{10}}$ ⋅ $x^{\frac{9}{15}}$

= $x^{\frac{2}{10} + \frac{9}{15}}$

= $x^{\frac{6}{30} + \frac{18}{30}}$

= $x^{\frac{24}{30}}$

= $x^{\frac{4}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[15]{x})}^{3} \cdot \sqrt[10]{x^{4}})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[15]{x})}^{3} \cdot \sqrt[10]{x^{4}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{15}} \cdot x^{\frac{4}{10}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{1}{5}} \cdot x^{\frac{2}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{1}{5} + \frac{2}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5}})}^{15}$

= $x^{\frac{3}{5} \cdot 15}$

= $x^{9}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{7 b^{- 1}}{\frac{10}{b^{4}}}$

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$\frac{7 b^{- 1}}{\frac{10}{b^{4}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{7}{b}}{\frac{10}{b^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{7}{b} \cdot \frac{b^{4}}{10}$

= $\frac{7}{10} b^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen