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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $6 x^{- 1}$

Lösung einblenden

$x^{- 1}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x}$ .

Also ist $6 x^{- 1}$ das gleiche wie $6 \cdot \frac{1}{x}$ = $\frac{6}{x}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[5]{x})}^{3}$

Lösung einblenden

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[5]{x})}^{3}$ = ${(x^{\frac{1}{5}})}^{3}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{5}})}^{3}$ = x^{$\frac{1}{5}$ ⋅3} = $x^{\frac{3}{5}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\sqrt[5]{x^{4}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[5]{x^{4}}$ = ${(x^{4})}^{\frac{1}{5}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{4})}^{\frac{1}{5}}$ = $x^{\frac{1}{5} \cdot 4}$ = $x^{\frac{4}{5}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $100^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$100^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{27}{64})}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${(\frac{27}{64})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$

= $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}}$

= $\frac{3}{4}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0001})}^{3}$

= ${0,1}^{3}$

= $0,001$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(12^{\frac{1}{2}})}^{- 4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(12^{\frac{1}{2}})}^{- 4}$

= $12^{\frac{1}{2} \cdot (- 4)}$

= $12^{- 2}$

= $\frac{1}{12^{2}}$

= $\frac{1}{144}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[5]{x^{3}} \cdot \sqrt[10]{x^{8}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[5]{x^{3}} \cdot \sqrt[10]{x^{8}}$

= $x^{\frac{3}{5}}$ ⋅ $x^{\frac{8}{10}}$

= $x^{\frac{3}{5} + \frac{8}{10}}$

= $x^{\frac{6}{10} + \frac{8}{10}}$

= $x^{\frac{14}{10}}$

= $x^{\frac{7}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[3]{x} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{8})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[3]{x} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{8})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{8}{6}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{4}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{5}{3}})}^{6}$

= $x^{\frac{5}{3} \cdot 6}$

= $x^{10}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{9}{r^{2}}}{13 r^{- 1}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{9}{r^{2}}}{13 r^{- 1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{r^{2}}}{\frac{13}{r}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{r^{2}} \cdot \frac{r}{13}$

= $\frac{9}{13 r}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen