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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $7 x^{- 3}$

Lösung einblenden

$x^{- 3}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{3}}$ .

Also ist $7 x^{- 3}$ das gleiche wie $7 \cdot \frac{1}{x^{3}}$ = $\frac{7}{x^{3}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[8]{x^{9}}$

Lösung einblenden

Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[8]{x^{9}}$ = ${(x^{9})}^{\frac{1}{8}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{9})}^{\frac{1}{8}}$ = x^{9⋅ $\frac{1}{8}$} = $x^{\frac{9}{8}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{3}{x^{3}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{3}}$ kann man auch als $x^{- 3}$ schreiben.

Also ist $\frac{3}{x^{3}}$ = $3 \cdot \frac{1}{x^{3}}$ das gleiche wie $3 x^{- 3}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $121^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$121^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 64^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$- 64^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{64}$

= $- 8$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,16}^{\frac{3}{2}}$

Lösung einblenden

${0,16}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,16})}^{3}$

= ${0,4}^{3}$

= $0,064$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(2^{- \frac{1}{7}})}^{49}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(2^{- \frac{1}{7}})}^{49}$

= $2^{- \frac{1}{7} \cdot 49}$

= $2^{- 7}$

= $\frac{1}{2^{7}}$

= $\frac{1}{128}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[8]{x^{2}} \cdot \sqrt[12]{x^{9}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[8]{x^{2}} \cdot \sqrt[12]{x^{9}}$

= $x^{\frac{2}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{9}{12}}$

= $x^{\frac{2}{8} + \frac{9}{12}}$

= $x^{\frac{6}{24} + \frac{18}{24}}$

= $x^{\frac{24}{24}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[8]{x})}^{4} \cdot \sqrt[4]{x^{5}})}^{8}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[8]{x})}^{4} \cdot \sqrt[4]{x^{5}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{4}{8}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{7}{4}})}^{8}$

= $x^{\frac{7}{4} \cdot 8}$

= $x^{14}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{10 r^{- 2}}{13 r^{- 3}}$

Lösung einblenden

$\frac{10 r^{- 2}}{13 r^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{r^{2}}}{\frac{13}{r^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{r^{2}} \cdot \frac{r^{3}}{13}$

= $\frac{10}{13} r$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen