Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 3 x^{- 8}$

Lösung einblenden

$x^{- 8}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{8}}$ .

Also ist $- 3 x^{- 8}$ das gleiche wie $- 3 \cdot \frac{1}{x^{8}}$ = $- \frac{3}{x^{8}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{1}{3}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

Lösung einblenden

Wir können ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{3}$} immer das gleiche ist wie die 3-te Wurzel, also:

$x^{\frac{1}{3}}$ = $\sqrt[3]{x}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[9]{x^{7}}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[9]{x^{7}}}$ = $\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{9}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{9}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{9} \cdot 7}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{7}{9}}}$ = $x^{- \frac{7}{9}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $16^{\frac{1}{4}}$

Lösung einblenden

$16^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{16}$

= $2$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{2^{28}}{2^{23}}$

Lösung einblenden

$\frac{2^{28}}{2^{23}}$

= $2^{28 - 23}$

= $2^{5}$

= 32

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,04}^{\frac{3}{2}}$

Lösung einblenden

${0,04}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,04})}^{3}$

= ${0,2}^{3}$

= $0,008$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{3}})}^{6}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${({(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{3}})}^{6}$

= ${(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 6}$

= ${(\frac{3}{2})}^{2}$

= $\frac{9}{4}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[15]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[5]{x})}^{4}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[15]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[5]{x})}^{4}$

= $x^{\frac{6}{15}}$ ⋅ $x^{\frac{4}{5}}$

= $x^{\frac{6}{15} + \frac{4}{5}}$

= $x^{\frac{6}{15} + \frac{12}{15}}$

= $x^{\frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{6}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[9]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x^{2}}}{x^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[9]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x^{2}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{9}}\cdotx^{\frac{2}{3}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{3}}\cdotx^{\frac{2}{3}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{2}}$

= $x^{1 - 2}$

= $x^{- 1}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 r^{- 3}}{10 r^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 r^{- 3}}{10 r^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{r^{3}}}{\frac{10}{r^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{r^{3}} \cdot \frac{r^{4}}{10}$

= $\frac{9}{10} r$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen