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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{- 3}{x^{4}}$

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$\frac{1}{x^{4}}$ kann man auch als $x^{- 4}$ schreiben.

Also ist $\frac{- 3}{x^{4}}$ = $- 3 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ das gleiche wie $- 3 x^{- 4}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[9]{x})}^{7}$

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Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[9]{x})}^{7}$ = ${(x^{\frac{1}{9}})}^{7}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{9}})}^{7}$ = x^{$\frac{1}{9}$ ⋅7} = $x^{\frac{7}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{7}{8}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{7}{8}}$ = $x^{- 7 \cdot \frac{1}{8}}$ = ${(x^{7})}^{- \frac{1}{8}}$ = $\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{8}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{8}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[8]{x^{7}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{\frac{1}{2}}$

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$64^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2^{49}$ : $2^{45}$

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$2^{49}$ : $2^{45}$

= $2^{49 - 45}$

= $2^{4}$

= 16

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

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${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0001})}^{3}$

= ${0,1}^{3}$

= $0,001$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{3}{10})}^{6})}^{\frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${({(\frac{3}{10})}^{6})}^{\frac{1}{2}}$

= ${(\frac{3}{10})}^{6 \cdot \frac{1}{2}}$

= ${(\frac{3}{10})}^{3}$

= $\frac{27}{1000}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[5]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{18}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[5]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{18}$

= $x^{\frac{3}{5}}$ ⋅ $x^{\frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{3}{5} + \frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{9}{15} + \frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{27}{15}}$

= $x^{\frac{9}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[15]{x})}^{3} \cdot \sqrt[5]{x^{3}})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[15]{x})}^{3} \cdot \sqrt[5]{x^{3}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{15}} \cdot x^{\frac{3}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{1}{5}} \cdot x^{\frac{3}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{1}{5} + \frac{3}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{4}{5}})}^{15}$

= $x^{\frac{4}{5} \cdot 15}$

= $x^{12}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{7}{t^{4}}}{10 t^{- 1}}$

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$\frac{\frac{7}{t^{4}}}{10 t^{- 1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{7}{t^{4}}}{\frac{10}{t}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{7}{t^{4}} \cdot \frac{t}{10}$

= $\frac{7}{10 t^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen