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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 5 x}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x}$ kann man auch als $x^{- 1}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 5 x}$ = $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x}$ das gleiche wie $- \frac{1}{5} x^{- 1}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[7]{x})}^{5}$

Lösung einblenden

Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[7]{x})}^{5}$ = ${(x^{\frac{1}{7}})}^{5}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{7}})}^{5}$ = x^{$\frac{1}{7}$ ⋅5} = $x^{\frac{5}{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{{(\sqrt[7]{x})}^{5}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{(\sqrt[7]{x})}^{5}}$ = $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{7}})}^{5}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{7}})}^{5}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{7} \cdot 5}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{5}{7}}}$ = $x^{- \frac{5}{7}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $144^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$144^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$64^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{64^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{64}}$

= $\frac{1}{8}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $1^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$1^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(9^{3})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(9^{3})}^{- \frac{1}{2}}$

= $9^{3 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $9^{\frac{1}{2} \cdot (- 3)}$

= ${(9^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$

= $\frac{1}{{(\sqrt{9})}^{3}}$

= $\frac{1}{3^{3}}$

= $\frac{1}{27}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[6]{x^{2}} \cdot \sqrt[3]{x^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[6]{x^{2}} \cdot \sqrt[3]{x^{2}}$

= $x^{\frac{2}{6}}$ ⋅ $x^{\frac{2}{3}}$

= $x^{\frac{2}{6} + \frac{2}{3}}$

= $x^{\frac{2}{6} + \frac{4}{6}}$

= $x^{\frac{6}{6}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[10]{x^{8}} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{18}}{\frac{1}{x}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[10]{x^{8}} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{18}}{\frac{1}{x}}$

= $\frac{x^{\frac{8}{10}}\cdotx^{\frac{18}{15}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{4}{5}}\cdotx^{\frac{6}{5}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{4}{5} + \frac{6}{5}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{- 1}}$

= $x^{2 + 1}$

= $x^{3}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{11 u^{- 3}}{\frac{10}{u^{4}}}$

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$\frac{11 u^{- 3}}{\frac{10}{u^{4}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{u^{3}}}{\frac{10}{u^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{u^{3}} \cdot \frac{u^{4}}{10}$

= $\frac{11}{10} u$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen