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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 6 x^{- 3}$

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$x^{- 3}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{3}}$ .

Also ist $- 6 x^{- 3}$ das gleiche wie $- 6 \cdot \frac{1}{x^{3}}$ = $- \frac{6}{x^{3}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{5}{7}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{5}{7}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{7}$} = ${(x^{5})}^{\frac{1}{7}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{7}$} immer das gleiche ist wie die 7-te Wurzel, also:

${(x^{5})}^{\frac{1}{7}}$ = $\sqrt[7]{x^{5}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{{(\sqrt[5]{x})}^{3}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{(\sqrt[5]{x})}^{3}}$ = $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{5}})}^{3}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{5}})}^{3}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{5} \cdot 3}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$ = $x^{- \frac{3}{5}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{\frac{1}{3}}$

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$64^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{64}$

= $4$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$

= $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}$

= $\frac{2}{3}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{1}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0001}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{0,0001}$

= $0,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{\frac{1}{3}})}^{6}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(4^{\frac{1}{3}})}^{6}$

= $4^{\frac{1}{3} \cdot 6}$

= $4^{2}$

= $16$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[12]{x})}^{3} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x})}^{3} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}$

= $x^{\frac{3}{12}}$ ⋅ $x^{\frac{3}{4}}$

= $x^{\frac{3}{12} + \frac{3}{4}}$

= $x^{\frac{3}{12} + \frac{9}{12}}$

= $x^{\frac{12}{12}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(\sqrt[6]{x})}^{4} \cdot \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(\sqrt[6]{x})}^{4} \cdot \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{4}{6}}\cdotx^{\frac{4}{3}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3}}\cdotx^{\frac{4}{3}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{2}}$

= $x^{2 - 2}$

= $x^{0}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{7}{v^{3}}}{7 v^{- 1}}$

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$\frac{\frac{7}{v^{3}}}{7 v^{- 1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{7}{v^{3}}}{\frac{7}{v}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{7}{v^{3}} \cdot \frac{v}{7}$

= $\frac{1}{v^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen