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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 3 x^{- 1}$

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$x^{- 1}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x}$ .

Also ist $- 3 x^{- 1}$ das gleiche wie $- 3 \cdot \frac{1}{x}$ = $- \frac{3}{x}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[9]{x})}^{8}$

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Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[9]{x})}^{8}$ = ${(x^{\frac{1}{9}})}^{8}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{9}})}^{8}$ = x^{$\frac{1}{9}$ ⋅8} = $x^{\frac{8}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{7}{9}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{7}{9}}$ = $x^{- 7 \cdot \frac{1}{9}}$ = ${(x^{7})}^{- \frac{1}{9}}$ = $\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{9}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{9}$} immer das gleiche ist wie die 9-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{9}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[9]{x^{7}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{\frac{1}{2}}$

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$81^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 25^{\frac{1}{2}}$

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$- 25^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{25}$

= $- 5$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{1}{3}}$

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${0,008}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,008}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(9^{3})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(9^{3})}^{- \frac{1}{2}}$

= $9^{3 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $9^{\frac{1}{2} \cdot (- 3)}$

= ${(9^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$

= $\frac{1}{{(\sqrt{9})}^{3}}$

= $\frac{1}{3^{3}}$

= $\frac{1}{27}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[8]{x})}^{4} \cdot \sqrt[8]{x^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[8]{x})}^{4} \cdot \sqrt[8]{x^{6}}$

= $x^{\frac{4}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{8}}$

= $x^{\frac{4}{8} + \frac{6}{8}}$

= $x^{\frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{5}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[6]{x^{2}} \cdot \sqrt[9]{x^{6}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[6]{x^{2}} \cdot \sqrt[9]{x^{6}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{6}}\cdotx^{\frac{6}{9}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{3}}\cdotx^{\frac{2}{3}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{- 2}}$

= $x^{1 + 2}$

= $x^{3}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{10 a^{- 2}}{\frac{9}{a^{3}}}$

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$\frac{10 a^{- 2}}{\frac{9}{a^{3}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{a^{2}}}{\frac{9}{a^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{a^{2}} \cdot \frac{a^{3}}{9}$

= $\frac{10}{9} a$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen