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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $3 x^{- 6}$

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$x^{- 6}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{6}}$ .

Also ist $3 x^{- 6}$ das gleiche wie $3 \cdot \frac{1}{x^{6}}$ = $\frac{3}{x^{6}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{5}{7}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{5}{7}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{7}$} = ${(x^{5})}^{\frac{1}{7}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{7}$} immer das gleiche ist wie die 7-te Wurzel, also:

${(x^{5})}^{\frac{1}{7}}$ = $\sqrt[7]{x^{5}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe ${(\sqrt{x})}^{3}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 2-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{2}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt{x})}^{3}$ = ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ = $x^{\frac{1}{2} \cdot 3}$ = $x^{\frac{3}{2}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $36^{\frac{1}{2}}$

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$36^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $121^{- \frac{1}{2}}$

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$121^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{121^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{121}}$

= $\frac{1}{11}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,04}^{\frac{3}{2}}$

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${0,04}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,04})}^{3}$

= ${0,2}^{3}$

= $0,008$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(9^{3})}^{\frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(9^{3})}^{\frac{1}{2}}$

= $9^{3 \cdot \frac{1}{2}}$

= $9^{\frac{1}{2} \cdot 3}$

= ${(9^{\frac{1}{2}})}^{3}$

= ${(\sqrt{9})}^{3}$

= $3^{3}$

= $27$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[5]{x^{3}} \cdot \sqrt[15]{x^{18}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[5]{x^{3}} \cdot \sqrt[15]{x^{18}}$

= $x^{\frac{3}{5}}$ ⋅ $x^{\frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{3}{5} + \frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{9}{15} + \frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{27}{15}}$

= $x^{\frac{9}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[12]{x^{3}} \cdot \sqrt[4]{x^{2}})}^{8}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x^{3}} \cdot \sqrt[4]{x^{2}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{3}{12}} \cdot x^{\frac{2}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{3}{4}})}^{8}$

= $x^{\frac{3}{4} \cdot 8}$

= $x^{6}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{9}{a}}{12 a^{- 3}}$

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$\frac{\frac{9}{a}}{12 a^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{a}}{\frac{12}{a^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{a} \cdot \frac{a^{3}}{12}$

= $\frac{3}{4} a^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen