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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $4 x^{- 6}$

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$x^{- 6}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{6}}$ .

Also ist $4 x^{- 6}$ das gleiche wie $4 \cdot \frac{1}{x^{6}}$ = $\frac{4}{x^{6}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[4]{x}$

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Eine 4-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{4}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[4]{x}$ = $x^{\frac{1}{4}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[5]{x^{3}}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[5]{x^{3}}}$ = $\frac{1}{{(x^{3})}^{\frac{1}{5}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{3})}^{\frac{1}{5}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{5} \cdot 3}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$ = $x^{- \frac{3}{5}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{1}{3}}$

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$27^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{27}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 121^{\frac{1}{2}}$

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$- 121^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{121}$

= $- 11$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{2}{3}}$

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${0,008}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,008})}^{2}$

= ${0,2}^{2}$

= $0,04$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(10^{\frac{1}{4}})}^{24}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(10^{\frac{1}{4}})}^{24}$

= $10^{\frac{1}{4} \cdot 24}$

= $10^{6}$

= $1 000 000$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}$

= $x^{\frac{1}{3}}$ ⋅ $x^{\frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{1}{3} + \frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{2}{6} + \frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{10}{6}}$

= $x^{\frac{5}{3}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[3]{x} \cdot {(\sqrt[9]{x})}^{6}}{\frac{1}{x}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[3]{x} \cdot {(\sqrt[9]{x})}^{6}}{\frac{1}{x}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{3}}\cdotx^{\frac{6}{9}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{3}}\cdotx^{\frac{2}{3}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{- 1}}$

= $x^{1 + 1}$

= $x^{2}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{11 a^{- 4}}{\frac{13}{a^{5}}}$

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$\frac{11 a^{- 4}}{\frac{13}{a^{5}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{a^{4}}}{\frac{13}{a^{5}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{a^{4}} \cdot \frac{a^{5}}{13}$

= $\frac{11}{13} a$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen