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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{- 7}{x^{6}}$

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$\frac{1}{x^{6}}$ kann man auch als $x^{- 6}$ schreiben.

Also ist $\frac{- 7}{x^{6}}$ = $- 7 \cdot \frac{1}{x^{6}}$ das gleiche wie $- 7 x^{- 6}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[9]{x^{8}}$

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Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[9]{x^{8}}$ = ${(x^{8})}^{\frac{1}{9}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{8})}^{\frac{1}{9}}$ = x^{8⋅ $\frac{1}{9}$} = $x^{\frac{8}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $3 x^{- 3}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

$x^{- 3}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{3}}$ .

Also ist $3 x^{- 3}$ das gleiche wie $3 \cdot \frac{1}{x^{3}}$ = $\frac{3}{x^{3}}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$81^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $100^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$100^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{100^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{100}}$

= $\frac{1}{10}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{2}{3}}$

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${0,001}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,001})}^{2}$

= ${0,1}^{2}$

= $0,01$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(2^{- \frac{1}{3}})}^{- 21}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(2^{- \frac{1}{3}})}^{- 21}$

= $2^{- \frac{1}{3} \cdot (- 21)}$

= $2^{7}$

= $128$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x^{3}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x^{3}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}$

= $x^{\frac{3}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{3}{4} + \frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{8}{4}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(\sqrt[4]{x})}^{3} \cdot \sqrt[8]{x^{10}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(\sqrt[4]{x})}^{3} \cdot \sqrt[8]{x^{10}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{4}}\cdotx^{\frac{10}{8}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{4}}\cdotx^{\frac{5}{4}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{4} + \frac{5}{4}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{- 2}}$

= $x^{2 + 2}$

= $x^{4}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 r^{- 2}}{\frac{9}{r}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 r^{- 2}}{\frac{9}{r}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{r^{2}}}{\frac{9}{r}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{r^{2}} \cdot \frac{r}{9}$

= $\frac{1}{r}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen