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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $3 x^{- 4}$

Lösung einblenden

$x^{- 4}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{4}}$ .

Also ist $3 x^{- 4}$ das gleiche wie $3 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ = $\frac{3}{x^{4}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[4]{x}$

Lösung einblenden

Eine 4-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{4}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[4]{x}$ = $x^{\frac{1}{4}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $- 5 x^{- 5}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

$x^{- 5}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{5}}$ .

Also ist $- 5 x^{- 5}$ das gleiche wie $- 5 \cdot \frac{1}{x^{5}}$ = $- \frac{5}{x^{5}}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

$81^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{81})}^{3}$

= $3^{3}$

= 27

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{2^{11}}{2^{6}}$

Lösung einblenden

$\frac{2^{11}}{2^{6}}$

= $2^{11 - 6}$

= $2^{5}$

= 32

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,16}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${0,16}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{0,16}$

= $0,4$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{1}{5})}^{\frac{1}{7}})}^{14}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${({(\frac{1}{5})}^{\frac{1}{7}})}^{14}$

= ${(\frac{1}{5})}^{\frac{1}{7} \cdot 14}$

= ${(\frac{1}{5})}^{2}$

= $\frac{1}{25}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[6]{x^{4}} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[6]{x^{4}} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}$

= $x^{\frac{4}{6}}$ ⋅ $x^{\frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{4}{6} + \frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{12}{6}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[9]{x^{6}} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[9]{x^{6}} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

= $\frac{x^{\frac{6}{9}}\cdotx^{\frac{8}{6}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3}}\cdotx^{\frac{4}{3}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{- 2}}$

= $x^{2 + 2}$

= $x^{4}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{11 u^{- 3}}{\frac{6}{u^{2}}}$

Lösung einblenden

$\frac{11 u^{- 3}}{\frac{6}{u^{2}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{u^{3}}}{\frac{6}{u^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{u^{3}} \cdot \frac{u^{2}}{6}$

= $\frac{11}{6 u}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen