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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{- 1}{x^{5}}$

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$\frac{1}{x^{5}}$ kann man auch als $x^{- 5}$ schreiben.

Also ist $\frac{- 1}{x^{5}}$ = $- 1 \cdot \frac{1}{x^{5}}$ das gleiche wie $- x^{- 5}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{8}{9}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{8}{9}}$ = x^{8⋅ $\frac{1}{9}$} = ${(x^{8})}^{\frac{1}{9}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{9}$} immer das gleiche ist wie die 9-te Wurzel, also:

${(x^{8})}^{\frac{1}{9}}$ = $\sqrt[9]{x^{8}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $- \frac{4}{x^{6}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{6}}$ kann man auch als $x^{- 6}$ schreiben.

Also ist $- \frac{4}{x^{6}}$ = $- 4 \cdot \frac{1}{x^{6}}$ das gleiche wie $- 4 x^{- 6}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

$64^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{64})}^{2}$

= $4^{2}$

= 16

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4^{12}}{4^{10}}$

Lösung einblenden

$\frac{4^{12}}{4^{10}}$

= $4^{12 - 10}$

= $4^{2}$

= 16

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0001})}^{3}$

= ${0,1}^{3}$

= $0,001$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(16^{3})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(16^{3})}^{- \frac{1}{2}}$

= $16^{3 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $16^{\frac{1}{2} \cdot (- 3)}$

= ${(16^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$

= $\frac{1}{{(\sqrt{16})}^{3}}$

= $\frac{1}{4^{3}}$

= $\frac{1}{64}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[3]{x})}^{2} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[3]{x})}^{2} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}$

= $x^{\frac{2}{3}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{2}{3} + \frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{6}{9} + \frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{18}{9}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[8]{x})}^{4} \cdot \sqrt[8]{x^{10}})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[8]{x})}^{4} \cdot \sqrt[8]{x^{10}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{4}{8}} \cdot x^{\frac{10}{8}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{7}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{7}{4} \cdot 12}$

= $x^{21}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{10 r^{- 3}}{\frac{6}{r^{4}}}$

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$\frac{10 r^{- 3}}{\frac{6}{r^{4}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{r^{3}}}{\frac{6}{r^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{r^{3}} \cdot \frac{r^{4}}{6}$

= $\frac{5}{3} r$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen