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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{x^{4}}$

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$\frac{1}{x^{4}}$ kann man auch als $x^{- 4}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{x^{4}}$ = $1 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ das gleiche wie $x^{- 4}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[9]{x^{7}}$

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Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[9]{x^{7}}$ = ${(x^{7})}^{\frac{1}{9}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{7})}^{\frac{1}{9}}$ = x^{7⋅ $\frac{1}{9}$} = $x^{\frac{7}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{8}{7}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{8}{7}}$ = $x^{- 8 \cdot \frac{1}{7}}$ = ${(x^{8})}^{- \frac{1}{7}}$ = $\frac{1}{{(x^{8})}^{\frac{1}{7}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{7}$} immer das gleiche ist wie die 7-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{8})}^{\frac{1}{7}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[7]{x^{8}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$64^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4^{12}$ : $4^{10}$

Lösung einblenden

$4^{12}$ : $4^{10}$

= $4^{12 - 10}$

= $4^{2}$

= 16

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,16}^{\frac{3}{2}}$

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${0,16}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,16})}^{3}$

= ${0,4}^{3}$

= $0,064$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{3})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(4^{3})}^{- \frac{1}{2}}$

= $4^{3 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $4^{\frac{1}{2} \cdot (- 3)}$

= ${(4^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$

= $\frac{1}{{(\sqrt{4})}^{3}}$

= $\frac{1}{2^{3}}$

= $\frac{1}{8}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[9]{x^{6}} \cdot \sqrt[3]{x^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[9]{x^{6}} \cdot \sqrt[3]{x^{4}}$

= $x^{\frac{6}{9}}$ ⋅ $x^{\frac{4}{3}}$

= $x^{\frac{6}{9} + \frac{4}{3}}$

= $x^{\frac{6}{9} + \frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{18}{9}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[10]{x})}^{4} \cdot \sqrt[15]{x^{12}})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[10]{x})}^{4} \cdot \sqrt[15]{x^{12}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{4}{10}} \cdot x^{\frac{12}{15}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{2}{5}} \cdot x^{\frac{4}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{2}{5} + \frac{4}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{6}{5}})}^{10}$

= $x^{\frac{6}{5} \cdot 10}$

= $x^{12}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{12}{t^{4}}}{11 t^{- 5}}$

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$\frac{\frac{12}{t^{4}}}{11 t^{- 5}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{t^{4}}}{\frac{11}{t^{5}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{t^{4}} \cdot \frac{t^{5}}{11}$

= $\frac{12}{11} t$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen