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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 5 x^{- 3}$

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$x^{- 3}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{3}}$ .

Also ist $- 5 x^{- 3}$ das gleiche wie $- 5 \cdot \frac{1}{x^{3}}$ = $- \frac{5}{x^{3}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[9]{x^{7}}$

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Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[9]{x^{7}}$ = ${(x^{7})}^{\frac{1}{9}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{7})}^{\frac{1}{9}}$ = x^{7⋅ $\frac{1}{9}$} = $x^{\frac{7}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe ${(\sqrt[3]{x})}^{5}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[3]{x})}^{5}$ = ${(x^{\frac{1}{3}})}^{5}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{3}})}^{5}$ = $x^{\frac{1}{3} \cdot 5}$ = $x^{\frac{5}{3}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$81^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$64^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{64^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{64}}$

= $\frac{1}{8}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${1,44}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${1,44}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{1,44}$

= $1,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(17^{- 10})}^{- \frac{1}{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(17^{- 10})}^{- \frac{1}{5}}$

= $17^{- 10 \cdot (- \frac{1}{5})}$

= $17^{2}$

= $289$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[4]{x})}^{2} \cdot \sqrt[12]{x^{15}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x})}^{2} \cdot \sqrt[12]{x^{15}}$

= $x^{\frac{2}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{2}{4} + \frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{6}{12} + \frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{21}{12}}$

= $x^{\frac{7}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[15]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[10]{x})}^{8}}{x^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[15]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[10]{x})}^{8}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{15}}\cdotx^{\frac{8}{10}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{5}}\cdotx^{\frac{4}{5}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{2}}$

= $x^{1 - 2}$

= $x^{- 1}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{5 c^{- 4}}{\frac{7}{c^{3}}}$

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$\frac{5 c^{- 4}}{\frac{7}{c^{3}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{c^{4}}}{\frac{7}{c^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{c^{4}} \cdot \frac{c^{3}}{7}$

= $\frac{5}{7 c}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen