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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 7 x^{- 7}$

Lösung einblenden

$x^{- 7}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{7}}$ .

Also ist $- 7 x^{- 7}$ das gleiche wie $- 7 \cdot \frac{1}{x^{7}}$ = $- \frac{7}{x^{7}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[7]{x^{9}}$

Lösung einblenden

Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[7]{x^{9}}$ = ${(x^{9})}^{\frac{1}{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{9})}^{\frac{1}{7}}$ = x^{9⋅ $\frac{1}{7}$} = $x^{\frac{9}{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{7}{x^{4}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{4}}$ kann man auch als $x^{- 4}$ schreiben.

Also ist $\frac{7}{x^{4}}$ = $7 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ das gleiche wie $7 x^{- 4}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $100^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$100^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4^{19}}{4^{16}}$

Lösung einblenden

$\frac{4^{19}}{4^{16}}$

= $4^{19 - 16}$

= $4^{3}$

= 64

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

${0,001}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,001})}^{2}$

= ${0,1}^{2}$

= $0,01$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(13^{- 14})}^{- \frac{1}{7}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(13^{- 14})}^{- \frac{1}{7}}$

= $13^{- 14 \cdot (- \frac{1}{7})}$

= $13^{2}$

= $169$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[9]{x^{3}} \cdot \sqrt[6]{x^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[9]{x^{3}} \cdot \sqrt[6]{x^{4}}$

= $x^{\frac{3}{9}}$ ⋅ $x^{\frac{4}{6}}$

= $x^{\frac{3}{9} + \frac{4}{6}}$

= $x^{\frac{6}{18} + \frac{12}{18}}$

= $x^{\frac{18}{18}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[10]{x^{6}} \cdot \sqrt[15]{x^{18}})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[10]{x^{6}} \cdot \sqrt[15]{x^{18}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{6}{10}} \cdot x^{\frac{18}{15}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{6}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5} + \frac{6}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{9}{5}})}^{15}$

= $x^{\frac{9}{5} \cdot 15}$

= $x^{27}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{5}{r}}{8 r^{- 2}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{5}{r}}{8 r^{- 2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{r}}{\frac{8}{r^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{r} \cdot \frac{r^{2}}{8}$

= $\frac{5}{8} r$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen