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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 4 x^{2}}$

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$\frac{1}{x^{2}}$ kann man auch als $x^{- 2}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 4 x^{2}}$ = $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ das gleiche wie $- \frac{1}{4} x^{- 2}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[8]{x})}^{7}$

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Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[8]{x})}^{7}$ = ${(x^{\frac{1}{8}})}^{7}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{8}})}^{7}$ = x^{$\frac{1}{8}$ ⋅7} = $x^{\frac{7}{8}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{7}{8}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{7}{8}}$ = $x^{- 7 \cdot \frac{1}{8}}$ = ${(x^{7})}^{- \frac{1}{8}}$ = $\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{8}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{8}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[8]{x^{7}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8^{\frac{1}{3}}$

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$8^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{8}$

= $2$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{- \frac{1}{2}}$

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$64^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{64^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{64}}$

= $\frac{1}{8}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

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${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0001})}^{3}$

= ${0,1}^{3}$

= $0,001$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(2^{- \frac{1}{7}})}^{- 28}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(2^{- \frac{1}{7}})}^{- 28}$

= $2^{- \frac{1}{7} \cdot (- 28)}$

= $2^{4}$

= $16$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[5]{x^{4}} \cdot \sqrt[5]{x^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[5]{x^{4}} \cdot \sqrt[5]{x^{6}}$

= $x^{\frac{4}{5}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{5}}$

= $x^{\frac{4}{5} + \frac{6}{5}}$

= $x^{\frac{10}{5}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[10]{x^{2}} \cdot \sqrt[5]{x^{2}})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[10]{x^{2}} \cdot \sqrt[5]{x^{2}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{2}{10}} \cdot x^{\frac{2}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{1}{5}} \cdot x^{\frac{2}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{1}{5} + \frac{2}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5}})}^{10}$

= $x^{\frac{3}{5} \cdot 10}$

= $x^{6}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{5 u^{- 4}}{5 u^{- 3}}$

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$\frac{5 u^{- 4}}{5 u^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{u^{4}}}{\frac{5}{u^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{u^{4}} \cdot \frac{u^{3}}{5}$

= $\frac{1}{u}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen