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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{4 x^{8}}$

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$\frac{1}{x^{8}}$ kann man auch als $x^{- 8}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{4 x^{8}}$ = $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{8}}$ das gleiche wie $\frac{1}{4} x^{- 8}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[9]{x^{8}}$

Lösung einblenden

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[9]{x^{8}}$ = ${(x^{8})}^{\frac{1}{9}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{8})}^{\frac{1}{9}}$ = x^{8⋅ $\frac{1}{9}$} = $x^{\frac{8}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ = $\frac{1}{{(x)}^{\frac{1}{3}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x)}^{\frac{1}{3}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{3} \cdot 1}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ = $x^{- \frac{1}{3}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{1}{3}}$

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$27^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{27}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{2^{13}}{2^{8}}$

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$\frac{2^{13}}{2^{8}}$

= $2^{13 - 8}$

= $2^{5}$

= 32

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

${0,008}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,008})}^{2}$

= ${0,2}^{2}$

= $0,04$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(27^{- 4})}^{\frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(27^{- 4})}^{\frac{1}{3}}$

= $27^{- 4 \cdot \frac{1}{3}}$

= $27^{\frac{1}{3} \cdot (- 4)}$

= ${(27^{\frac{1}{3}})}^{- 4}$

= $\frac{1}{{(\sqrt[3]{27})}^{4}}$

= $\frac{1}{3^{4}}$

= $\frac{1}{81}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[9]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[3]{x})}^{4}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[9]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[3]{x})}^{4}$

= $x^{\frac{6}{9}}$ ⋅ $x^{\frac{4}{3}}$

= $x^{\frac{6}{9} + \frac{4}{3}}$

= $x^{\frac{6}{9} + \frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{18}{9}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[15]{x^{6}} \cdot \sqrt[10]{x^{8}})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[15]{x^{6}} \cdot \sqrt[10]{x^{8}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{6}{15}} \cdot x^{\frac{8}{10}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{2}{5}} \cdot x^{\frac{4}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{2}{5} + \frac{4}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{6}{5}})}^{10}$

= $x^{\frac{6}{5} \cdot 10}$

= $x^{12}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6 r^{- 4}}{\frac{10}{r^{3}}}$

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$\frac{6 r^{- 4}}{\frac{10}{r^{3}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{6}{r^{4}}}{\frac{10}{r^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{6}{r^{4}} \cdot \frac{r^{3}}{10}$

= $\frac{3}{5 r}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen