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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{7 x^{9}}$

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$\frac{1}{x^{9}}$ kann man auch als $x^{- 9}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{7 x^{9}}$ = $\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{x^{9}}$ das gleiche wie $\frac{1}{7} x^{- 9}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[7]{x})}^{6}$

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Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[7]{x})}^{6}$ = ${(x^{\frac{1}{7}})}^{6}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{7}})}^{6}$ = x^{$\frac{1}{7}$ ⋅6} = $x^{\frac{6}{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{5}{7}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{5}{7}}$ = $x^{- 5 \cdot \frac{1}{7}}$ = ${(x^{5})}^{- \frac{1}{7}}$ = $\frac{1}{{(x^{5})}^{\frac{1}{7}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{7}$} immer das gleiche ist wie die 7-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{5})}^{\frac{1}{7}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[7]{x^{5}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $36^{\frac{1}{2}}$

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$36^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 100^{\frac{1}{2}}$

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$- 100^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{100}$

= $- 10$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{1}{3}}$

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${0,008}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,008}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{- 6})}^{- \frac{1}{6}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(4^{- 6})}^{- \frac{1}{6}}$

= $4^{- 6 \cdot (- \frac{1}{6})}$

= $4^{1}$

= $4$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[9]{x^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[9]{x^{6}}$

= $x^{\frac{1}{3}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{9}}$

= $x^{\frac{1}{3} + \frac{6}{9}}$

= $x^{\frac{3}{9} + \frac{6}{9}}$

= $x^{\frac{9}{9}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[9]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{10})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[9]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{10})}^{6}$

= ${(x^{\frac{6}{9}} \cdot x^{\frac{10}{6}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{2}{3} + \frac{5}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{7}{3}})}^{6}$

= $x^{\frac{7}{3} \cdot 6}$

= $x^{14}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{11 b^{- 2}}{13 b^{- 1}}$

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$\frac{11 b^{- 2}}{13 b^{- 1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{b^{2}}}{\frac{13}{b}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{b^{2}} \cdot \frac{b}{13}$

= $\frac{11}{13 b}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen