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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $5 x^{- 3}$

Lösung einblenden

$x^{- 3}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{3}}$ .

Also ist $5 x^{- 3}$ das gleiche wie $5 \cdot \frac{1}{x^{3}}$ = $\frac{5}{x^{3}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[3]{x^{4}}$

Lösung einblenden

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[3]{x^{4}}$ = ${(x^{4})}^{\frac{1}{3}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{4})}^{\frac{1}{3}}$ = x^{4⋅ $\frac{1}{3}$} = $x^{\frac{4}{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $6 x^{- 2}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

$x^{- 2}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{2}}$ .

Also ist $6 x^{- 2}$ das gleiche wie $6 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{6}{x^{2}}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $16^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

$16^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{16})}^{3}$

= $2^{3}$

= 8

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $1^{43}$ : $1^{40}$

Lösung einblenden

$1^{43}$ : $1^{40}$

= $1^{43 - 40}$

= $1^{3}$

= 1

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,09}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${0,09}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{0,09}$

= $0,3$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(3^{- \frac{1}{5}})}^{- 10}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(3^{- \frac{1}{5}})}^{- 10}$

= $3^{- \frac{1}{5} \cdot (- 10)}$

= $3^{2}$

= $9$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[15]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[5]{x})}^{3}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[15]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[5]{x})}^{3}$

= $x^{\frac{6}{15}}$ ⋅ $x^{\frac{3}{5}}$

= $x^{\frac{6}{15} + \frac{3}{5}}$

= $x^{\frac{6}{15} + \frac{9}{15}}$

= $x^{\frac{15}{15}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^{4}})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^{4}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{4}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{5}{3}})}^{6}$

= $x^{\frac{5}{3} \cdot 6}$

= $x^{10}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{9}{v^{3}}}{11 v^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{9}{v^{3}}}{11 v^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{v^{3}}}{\frac{11}{v^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{v^{3}} \cdot \frac{v^{4}}{11}$

= $\frac{9}{11} v$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen