Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 6 x}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x}$ kann man auch als $x^{- 1}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 6 x}$ = $- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x}$ das gleiche wie $- \frac{1}{6} x^{- 1}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[6]{x})}^{5}$

Lösung einblenden

Eine 6-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{6}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[6]{x})}^{5}$ = ${(x^{\frac{1}{6}})}^{5}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{6}})}^{5}$ = x^{$\frac{1}{6}$ ⋅5} = $x^{\frac{5}{6}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt{x}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 2-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{2}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt{x}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ = $x^{- \frac{1}{2}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$4^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3^{45}$ : $3^{42}$

Lösung einblenden

$3^{45}$ : $3^{42}$

= $3^{45 - 42}$

= $3^{3}$

= 27

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${0,001}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,001}$

= $0,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(16^{- 3})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(16^{- 3})}^{- \frac{1}{2}}$

= $16^{- 3 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $16^{\frac{1}{2} \cdot 3}$

= ${(16^{\frac{1}{2}})}^{3}$

= ${(\sqrt{16})}^{3}$

= $4^{3}$

= $64$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[12]{x^{9}} \cdot \sqrt[12]{x^{15}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[12]{x^{9}} \cdot \sqrt[12]{x^{15}}$

= $x^{\frac{9}{12}}$ ⋅ $x^{\frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{9}{12} + \frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{24}{12}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[9]{x})}^{3} \cdot \sqrt[6]{x^{8}})}^{9}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[9]{x})}^{3} \cdot \sqrt[6]{x^{8}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{3}{9}} \cdot x^{\frac{8}{6}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{4}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{5}{3}})}^{9}$

= $x^{\frac{5}{3} \cdot 9}$

= $x^{15}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{12}{r^{4}}}{11 r^{- 3}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{12}{r^{4}}}{11 r^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{r^{4}}}{\frac{11}{r^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{r^{4}} \cdot \frac{r^{3}}{11}$

= $\frac{12}{11 r}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen