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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{4 x^{8}}$

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$\frac{1}{x^{8}}$ kann man auch als $x^{- 8}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{4 x^{8}}$ = $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{8}}$ das gleiche wie $\frac{1}{4} x^{- 8}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{1}{2}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{2}$} immer das gleiche ist wie die 2-te Wurzel, also:

$x^{\frac{1}{2}}$ = $\sqrt{x}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt{x}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 2-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{2}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt{x}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ = $x^{- \frac{1}{2}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $16^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$16^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $25^{- \frac{1}{2}}$

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$25^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{25^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{25}}$

= $\frac{1}{5}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0016}^{\frac{1}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0016}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{0,0016}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(5^{6})}^{- \frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(5^{6})}^{- \frac{1}{3}}$

= $5^{6 \cdot (- \frac{1}{3})}$

= $5^{- 2}$

= $\frac{1}{5^{2}}$

= $\frac{1}{25}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[9]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[3]{x})}^{4}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[9]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[3]{x})}^{4}$

= $x^{\frac{6}{9}}$ ⋅ $x^{\frac{4}{3}}$

= $x^{\frac{6}{9} + \frac{4}{3}}$

= $x^{\frac{6}{9} + \frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{18}{9}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[15]{x^{12}} \cdot \sqrt[5]{x^{6}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[15]{x^{12}} \cdot \sqrt[5]{x^{6}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

= $\frac{x^{\frac{12}{15}}\cdotx^{\frac{6}{5}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{4}{5}}\cdotx^{\frac{6}{5}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{4}{5} + \frac{6}{5}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{- 2}}$

= $x^{2 + 2}$

= $x^{4}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{12 v^{- 4}}{9 v^{- 5}}$

Lösung einblenden

$\frac{12 v^{- 4}}{9 v^{- 5}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{v^{4}}}{\frac{9}{v^{5}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{v^{4}} \cdot \frac{v^{5}}{9}$

= $\frac{4}{3} v$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen