Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 7 x^{- 7}$

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$x^{- 7}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{7}}$ .

Also ist $- 7 x^{- 7}$ das gleiche wie $- 7 \cdot \frac{1}{x^{7}}$ = $- \frac{7}{x^{7}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[7]{x})}^{6}$

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Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[7]{x})}^{6}$ = ${(x^{\frac{1}{7}})}^{6}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{7}})}^{6}$ = x^{$\frac{1}{7}$ ⋅6} = $x^{\frac{6}{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{{(\sqrt[8]{x})}^{7}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{(\sqrt[8]{x})}^{7}}$ = $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{8}})}^{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{8}})}^{7}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{8} \cdot 7}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{7}{8}}}$ = $x^{- \frac{7}{8}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{\frac{3}{4}}$

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$81^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{81})}^{3}$

= $3^{3}$

= 27

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 144^{\frac{1}{2}}$

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$- 144^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{144}$

= $- 12$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{1}{3}}$

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${0,008}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,008}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(2^{- \frac{1}{5}})}^{- 35}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(2^{- \frac{1}{5}})}^{- 35}$

= $2^{- \frac{1}{5} \cdot (- 35)}$

= $2^{7}$

= $128$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[5]{x^{4}} \cdot {(\sqrt[5]{x})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[5]{x^{4}} \cdot {(\sqrt[5]{x})}^{6}$

= $x^{\frac{4}{5}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{5}}$

= $x^{\frac{4}{5} + \frac{6}{5}}$

= $x^{\frac{10}{5}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[12]{x^{3}} \cdot \sqrt[8]{x^{4}})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x^{3}} \cdot \sqrt[8]{x^{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{3}{12}} \cdot x^{\frac{4}{8}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{3}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{3}{4} \cdot 12}$

= $x^{9}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{10 t^{- 4}}{10 t^{- 2}}$

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$\frac{10 t^{- 4}}{10 t^{- 2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{t^{4}}}{\frac{10}{t^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{t^{4}} \cdot \frac{t^{2}}{10}$

= $\frac{1}{t^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen