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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $3 x^{- 6}$

Lösung einblenden

$x^{- 6}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{6}}$ .

Also ist $3 x^{- 6}$ das gleiche wie $3 \cdot \frac{1}{x^{6}}$ = $\frac{3}{x^{6}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[7]{x^{6}}$

Lösung einblenden

Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[7]{x^{6}}$ = ${(x^{6})}^{\frac{1}{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{6})}^{\frac{1}{7}}$ = x^{6⋅ $\frac{1}{7}$} = $x^{\frac{6}{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $5 x^{- 4}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

$x^{- 4}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{4}}$ .

Also ist $5 x^{- 4}$ das gleiche wie $5 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ = $\frac{5}{x^{4}}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

$64^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{64}$

= $4$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{27}{64})}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${(\frac{27}{64})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$

= $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}}$

= $\frac{3}{4}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${0,001}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,001}$

= $0,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(3^{\frac{1}{3}})}^{12}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(3^{\frac{1}{3}})}^{12}$

= $3^{\frac{1}{3} \cdot 12}$

= $3^{4}$

= $81$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[6]{x^{4}} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[6]{x^{4}} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}$

= $x^{\frac{4}{6}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{4}{6} + \frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{12}{18} + \frac{24}{18}}$

= $x^{\frac{36}{18}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[5]{x^{2}} \cdot \sqrt[10]{x^{12}})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[5]{x^{2}} \cdot \sqrt[10]{x^{12}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{2}{5}} \cdot x^{\frac{12}{10}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{2}{5}} \cdot x^{\frac{6}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{2}{5} + \frac{6}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{8}{5}})}^{15}$

= $x^{\frac{8}{5} \cdot 15}$

= $x^{24}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{5}{d^{4}}}{5 d^{- 5}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{5}{d^{4}}}{5 d^{- 5}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{d^{4}}}{\frac{5}{d^{5}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{d^{4}} \cdot \frac{d^{5}}{5}$

= $d$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen