Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 3 x^{- 7}$

Lösung einblenden

$x^{- 7}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{7}}$ .

Also ist $- 3 x^{- 7}$ das gleiche wie $- 3 \cdot \frac{1}{x^{7}}$ = $- \frac{3}{x^{7}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[8]{x^{5}}$

Lösung einblenden

Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[8]{x^{5}}$ = ${(x^{5})}^{\frac{1}{8}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{5})}^{\frac{1}{8}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{8}$} = $x^{\frac{5}{8}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[6]{x^{5}}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 6-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{6}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[6]{x^{5}}}$ = $\frac{1}{{(x^{5})}^{\frac{1}{6}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{5})}^{\frac{1}{6}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{6} \cdot 5}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{5}{6}}}$ = $x^{- \frac{5}{6}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$4^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$81^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{81^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{81}}$

= $\frac{1}{9}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

${0,001}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,001})}^{2}$

= ${0,1}^{2}$

= $0,01$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(5^{7})}^{\frac{1}{7}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(5^{7})}^{\frac{1}{7}}$

= $5^{7 \cdot \frac{1}{7}}$

= $5^{1}$

= $5$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[10]{x^{4}} \cdot \sqrt[10]{x^{8}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[10]{x^{4}} \cdot \sqrt[10]{x^{8}}$

= $x^{\frac{4}{10}}$ ⋅ $x^{\frac{8}{10}}$

= $x^{\frac{4}{10} + \frac{8}{10}}$

= $x^{\frac{12}{10}}$

= $x^{\frac{6}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[4]{x^{3}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}}{x^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[4]{x^{3}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{4}}\cdotx^{\frac{5}{4}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{4} + \frac{5}{4}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{2}}$

= $x^{2 - 2}$

= $x^{0}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{10 t^{- 3}}{\frac{10}{t^{2}}}$

Lösung einblenden

$\frac{10 t^{- 3}}{\frac{10}{t^{2}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{t^{3}}}{\frac{10}{t^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{t^{3}} \cdot \frac{t^{2}}{10}$

= $\frac{1}{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen