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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $4 x^{- 5}$

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$x^{- 5}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{5}}$ .

Also ist $4 x^{- 5}$ das gleiche wie $4 \cdot \frac{1}{x^{5}}$ = $\frac{4}{x^{5}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[7]{x})}^{8}$

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Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[7]{x})}^{8}$ = ${(x^{\frac{1}{7}})}^{8}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{7}})}^{8}$ = x^{$\frac{1}{7}$ ⋅8} = $x^{\frac{8}{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{3}{4}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{3}{4}}$ = $x^{- 3 \cdot \frac{1}{4}}$ = ${(x^{3})}^{- \frac{1}{4}}$ = $\frac{1}{{(x^{3})}^{\frac{1}{4}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{4}$} immer das gleiche ist wie die 4-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{3})}^{\frac{1}{4}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4^{\frac{1}{2}}$

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$4^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4^{50}}{4^{48}}$

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$\frac{4^{50}}{4^{48}}$

= $4^{50 - 48}$

= $4^{2}$

= 16

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{2}{3}}$

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${0,001}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,001})}^{2}$

= ${0,1}^{2}$

= $0,01$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{4}{3})}^{- \frac{1}{3}})}^{- 9}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${({(\frac{4}{3})}^{- \frac{1}{3}})}^{- 9}$

= ${(\frac{4}{3})}^{- \frac{1}{3} \cdot (- 9)}$

= ${(\frac{4}{3})}^{3}$

= $\frac{64}{27}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[15]{x^{9}} \cdot \sqrt[10]{x^{12}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[15]{x^{9}} \cdot \sqrt[10]{x^{12}}$

= $x^{\frac{9}{15}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{10}}$

= $x^{\frac{9}{15} + \frac{12}{10}}$

= $x^{\frac{18}{30} + \frac{36}{30}}$

= $x^{\frac{54}{30}}$

= $x^{\frac{9}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[15]{x^{6}} \cdot \sqrt[10]{x^{6}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[15]{x^{6}} \cdot \sqrt[10]{x^{6}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

= $\frac{x^{\frac{6}{15}}\cdotx^{\frac{6}{10}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{5}}\cdotx^{\frac{3}{5}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{5} + \frac{3}{5}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{- 2}}$

= $x^{1 + 2}$

= $x^{3}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{11}{t}}{11 t^{- 2}}$

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$\frac{\frac{11}{t}}{11 t^{- 2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{t}}{\frac{11}{t^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{t} \cdot \frac{t^{2}}{11}$

= $t$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen