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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- x^{3}}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{3}}$ kann man auch als $x^{- 3}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- x^{3}}$ = $- 1 \cdot \frac{1}{x^{3}}$ das gleiche wie $- x^{- 3}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[8]{x})}^{5}$

Lösung einblenden

Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[8]{x})}^{5}$ = ${(x^{\frac{1}{8}})}^{5}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{8}})}^{5}$ = x^{$\frac{1}{8}$ ⋅5} = $x^{\frac{5}{8}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[7]{x^{9}}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[7]{x^{9}}}$ = $\frac{1}{{(x^{9})}^{\frac{1}{7}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{9})}^{\frac{1}{7}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{7} \cdot 9}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{9}{7}}}$ = $x^{- \frac{9}{7}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

$64^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{64})}^{2}$

= $4^{2}$

= 16

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{2^{29}}{2^{24}}$

Lösung einblenden

$\frac{2^{29}}{2^{24}}$

= $2^{29 - 24}$

= $2^{5}$

= 32

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,16}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${0,16}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{0,16}$

= $0,4$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{\frac{1}{6}})}^{18}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(4^{\frac{1}{6}})}^{18}$

= $4^{\frac{1}{6} \cdot 18}$

= $4^{3}$

= $64$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[8]{x^{4}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[8]{x^{4}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}$

= $x^{\frac{4}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{4}{8} + \frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{4}{8} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{14}{8}}$

= $x^{\frac{7}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[6]{x^{4}} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{8}}{x^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[6]{x^{4}} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{8}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{4}{6}}\cdotx^{\frac{8}{6}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3}}\cdotx^{\frac{4}{3}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{2}}$

= $x^{2 - 2}$

= $x^{0}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{12}{d^{2}}}{6 d^{- 3}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{12}{d^{2}}}{6 d^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{d^{2}}}{\frac{6}{d^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{d^{2}} \cdot \frac{d^{3}}{6}$

= $2 d$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen