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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $4 x^{- 8}$

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$x^{- 8}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{8}}$ .

Also ist $4 x^{- 8}$ das gleiche wie $4 \cdot \frac{1}{x^{8}}$ = $\frac{4}{x^{8}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{1}{2}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{2}$} immer das gleiche ist wie die 2-te Wurzel, also:

$x^{\frac{1}{2}}$ = $\sqrt{x}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{5}{8}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{5}{8}}$ = $x^{- 5 \cdot \frac{1}{8}}$ = ${(x^{5})}^{- \frac{1}{8}}$ = $\frac{1}{{(x^{5})}^{\frac{1}{8}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{5})}^{\frac{1}{8}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[8]{x^{5}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8^{\frac{1}{3}}$

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$8^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{8}$

= $2$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{- \frac{1}{2}}$

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$64^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{64^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{64}}$

= $\frac{1}{8}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,16}^{\frac{3}{2}}$

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${0,16}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,16})}^{3}$

= ${0,4}^{3}$

= $0,064$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(10^{- 25})}^{- \frac{1}{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(10^{- 25})}^{- \frac{1}{5}}$

= $10^{- 25 \cdot (- \frac{1}{5})}$

= $10^{5}$

= $100 000$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[10]{x^{6}} \cdot \sqrt[10]{x^{12}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[10]{x^{6}} \cdot \sqrt[10]{x^{12}}$

= $x^{\frac{6}{10}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{10}}$

= $x^{\frac{6}{10} + \frac{12}{10}}$

= $x^{\frac{18}{10}}$

= $x^{\frac{9}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[15]{x^{12}} \cdot \sqrt[10]{x^{12}}}{x}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[15]{x^{12}} \cdot \sqrt[10]{x^{12}}}{x}$

= $\frac{x^{\frac{12}{15}}\cdotx^{\frac{12}{10}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{4}{5}}\cdotx^{\frac{6}{5}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{4}{5} + \frac{6}{5}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{1}}$

= $x^{2 - 1}$

= $x^{1}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{11}{t^{2}}}{9 t^{- 1}}$

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$\frac{\frac{11}{t^{2}}}{9 t^{- 1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{t^{2}}}{\frac{9}{t}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{t^{2}} \cdot \frac{t}{9}$

= $\frac{11}{9 t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen