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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz, so dass kein Bruch mehr mit einem x vorkommt: $\frac{1}{x}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x}$ kann man auch als $x^{- 1}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{x}$ = $1 \cdot \frac{1}{x}$ das gleiche wie $x^{- 1}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[3]{x})}^{4}$

Lösung einblenden

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[3]{x})}^{4}$ = ${(x^{\frac{1}{3}})}^{4}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{3}})}^{4}$ = x^{$\frac{1}{3}$ ⋅4} = $x^{\frac{4}{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $- \frac{3}{x^{4}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{4}}$ kann man auch als $x^{- 4}$ schreiben.

Also ist $- \frac{3}{x^{4}}$ = $- 3 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ das gleiche wie $- 3 x^{- 4}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $16^{\frac{1}{4}}$

Lösung einblenden

$16^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{16}$

= $2$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$

= $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}$

= $\frac{2}{3}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0016}^{\frac{1}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0016}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{0,0016}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(8^{- 4})}^{\frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(8^{- 4})}^{\frac{1}{3}}$

= $8^{- 4 \cdot \frac{1}{3}}$

= $8^{\frac{1}{3} \cdot (- 4)}$

= ${(8^{\frac{1}{3}})}^{- 4}$

= $\frac{1}{{(\sqrt[3]{8})}^{4}}$

= $\frac{1}{2^{4}}$

= $\frac{1}{16}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[5]{x})}^{4} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{21}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[5]{x})}^{4} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{21}$

= $x^{\frac{4}{5}}$ ⋅ $x^{\frac{21}{15}}$

= $x^{\frac{4}{5} + \frac{21}{15}}$

= $x^{\frac{12}{15} + \frac{21}{15}}$

= $x^{\frac{33}{15}}$

= $x^{\frac{11}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[5]{x^{2}} \cdot \sqrt[10]{x^{12}})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[5]{x^{2}} \cdot \sqrt[10]{x^{12}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{2}{5}} \cdot x^{\frac{12}{10}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{2}{5}} \cdot x^{\frac{6}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{2}{5} + \frac{6}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{8}{5}})}^{10}$

= $x^{\frac{8}{5} \cdot 10}$

= $x^{16}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{11}{u^{4}}}{6 u^{- 1}}$

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$\frac{\frac{11}{u^{4}}}{6 u^{- 1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{u^{4}}}{\frac{6}{u}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{u^{4}} \cdot \frac{u}{6}$

= $\frac{11}{6 u^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen