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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $7 x^{- 9}$

Lösung einblenden

$x^{- 9}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{9}}$ .

Also ist $7 x^{- 9}$ das gleiche wie $7 \cdot \frac{1}{x^{9}}$ = $\frac{7}{x^{9}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{7}{8}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{7}{8}}$ = x^{7⋅ $\frac{1}{8}$} = ${(x^{7})}^{\frac{1}{8}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

${(x^{7})}^{\frac{1}{8}}$ = $\sqrt[8]{x^{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{8}{9}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{8}{9}}$ = $x^{8 \cdot \frac{1}{9}}$ = ${(x^{8})}^{\frac{1}{9}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{9}$} immer das gleiche ist wie die 9-te Wurzel, also:

${(x^{8})}^{\frac{1}{9}}$ = $\sqrt[9]{x^{8}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

$81^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{81})}^{3}$

= $3^{3}$

= 27

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4^{41}}{4^{38}}$

Lösung einblenden

$\frac{4^{41}}{4^{38}}$

= $4^{41 - 38}$

= $4^{3}$

= 64

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0016}^{\frac{1}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0016}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{0,0016}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(2^{- 16})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(2^{- 16})}^{- \frac{1}{2}}$

= $2^{- 16 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $2^{8}$

= $256$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[4]{x})}^{3} \cdot {(\sqrt[12]{x})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x})}^{3} \cdot {(\sqrt[12]{x})}^{15}$

= $x^{\frac{3}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{3}{4} + \frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{9}{12} + \frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{24}{12}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[10]{x^{2}} \cdot \sqrt[15]{x^{6}})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[10]{x^{2}} \cdot \sqrt[15]{x^{6}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{2}{10}} \cdot x^{\frac{6}{15}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{1}{5}} \cdot x^{\frac{2}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{1}{5} + \frac{2}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5}})}^{10}$

= $x^{\frac{3}{5} \cdot 10}$

= $x^{6}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 t^{- 3}}{6 t^{- 1}}$

Lösung einblenden

$\frac{8 t^{- 3}}{6 t^{- 1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{8}{t^{3}}}{\frac{6}{t}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{8}{t^{3}} \cdot \frac{t}{6}$

= $\frac{4}{3 t^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen