Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 7 x^{- 5}$

Lösung einblenden

$x^{- 5}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{5}}$ .

Also ist $- 7 x^{- 5}$ das gleiche wie $- 7 \cdot \frac{1}{x^{5}}$ = $- \frac{7}{x^{5}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[6]{x^{5}}$

Lösung einblenden

Eine 6-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{6}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[6]{x^{5}}$ = ${(x^{5})}^{\frac{1}{6}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{5})}^{\frac{1}{6}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{6}$} = $x^{\frac{5}{6}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe ${(\sqrt{x})}^{3}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 2-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{2}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt{x})}^{3}$ = ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ = $x^{\frac{1}{2} \cdot 3}$ = $x^{\frac{3}{2}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $16^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$16^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{27}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${(\frac{27}{8})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$

= $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$

= $\frac{3}{2}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,04}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${0,04}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{0,04}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(2^{- \frac{1}{6}})}^{- 18}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(2^{- \frac{1}{6}})}^{- 18}$

= $2^{- \frac{1}{6} \cdot (- 18)}$

= $2^{3}$

= $8$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[12]{x^{3}} \cdot \sqrt[8]{x^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[12]{x^{3}} \cdot \sqrt[8]{x^{4}}$

= $x^{\frac{3}{12}}$ ⋅ $x^{\frac{4}{8}}$

= $x^{\frac{3}{12} + \frac{4}{8}}$

= $x^{\frac{6}{24} + \frac{12}{24}}$

= $x^{\frac{18}{24}}$

= $x^{\frac{3}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[6]{x^{2}} \cdot \sqrt[6]{x^{4}}}{x^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[6]{x^{2}} \cdot \sqrt[6]{x^{4}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{6}}\cdotx^{\frac{4}{6}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{3}}\cdotx^{\frac{2}{3}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{2}}$

= $x^{1 - 2}$

= $x^{- 1}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{5}{t^{4}}}{8 t^{- 5}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{5}{t^{4}}}{8 t^{- 5}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{t^{4}}}{\frac{8}{t^{5}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{t^{4}} \cdot \frac{t^{5}}{8}$

= $\frac{5}{8} t$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen