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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz, so dass kein Bruch mehr mit einem x vorkommt: $\frac{1}{4 x^{6}}$

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$\frac{1}{x^{6}}$ kann man auch als $x^{- 6}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{4 x^{6}}$ = $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{6}}$ das gleiche wie $\frac{1}{4} x^{- 6}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{5}{8}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{5}{8}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{8}$} = ${(x^{5})}^{\frac{1}{8}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

${(x^{5})}^{\frac{1}{8}}$ = $\sqrt[8]{x^{5}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ = $\frac{1}{{(x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ = $x^{- \frac{2}{3}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $16^{\frac{3}{4}}$

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$16^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{16})}^{3}$

= $2^{3}$

= 8

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9^{- \frac{1}{2}}$

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$9^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{9}}$

= $\frac{1}{3}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

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${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0001})}^{3}$

= ${0,1}^{3}$

= $0,001$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(2^{32})}^{\frac{1}{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(2^{32})}^{\frac{1}{4}}$

= $2^{32 \cdot \frac{1}{4}}$

= $2^{8}$

= $256$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[6]{x^{2}} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[6]{x^{2}} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}$

= $x^{\frac{2}{6}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{2}{6} + \frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{6}{18} + \frac{24}{18}}$

= $x^{\frac{30}{18}}$

= $x^{\frac{5}{3}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[9]{x})}^{6} \cdot \sqrt[3]{x^{5}})}^{9}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[9]{x})}^{6} \cdot \sqrt[3]{x^{5}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{6}{9}} \cdot x^{\frac{5}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{2}{3} + \frac{5}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{7}{3}})}^{9}$

= $x^{\frac{7}{3} \cdot 9}$

= $x^{21}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{7}{c^{4}}}{13 c^{- 1}}$

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$\frac{\frac{7}{c^{4}}}{13 c^{- 1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{7}{c^{4}}}{\frac{13}{c}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{7}{c^{4}} \cdot \frac{c}{13}$

= $\frac{7}{13 c^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen