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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 2 x^{- 2}$

Lösung einblenden

$x^{- 2}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{2}}$ .

Also ist $- 2 x^{- 2}$ das gleiche wie $- 2 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ = $- \frac{2}{x^{2}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{8}{7}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{8}{7}}$ = x^{8⋅ $\frac{1}{7}$} = ${(x^{8})}^{\frac{1}{7}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{7}$} immer das gleiche ist wie die 7-te Wurzel, also:

${(x^{8})}^{\frac{1}{7}}$ = $\sqrt[7]{x^{8}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $- 7 x^{- 6}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

$x^{- 6}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{6}}$ .

Also ist $- 7 x^{- 6}$ das gleiche wie $- 7 \cdot \frac{1}{x^{6}}$ = $- \frac{7}{x^{6}}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $16^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$16^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{2^{48}}{2^{43}}$

Lösung einblenden

$\frac{2^{48}}{2^{43}}$

= $2^{48 - 43}$

= $2^{5}$

= 32

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${0,001}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,001}$

= $0,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{10}{3})}^{- \frac{1}{2}})}^{- 4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${({(\frac{10}{3})}^{- \frac{1}{2}})}^{- 4}$

= ${(\frac{10}{3})}^{- \frac{1}{2} \cdot (- 4)}$

= ${(\frac{10}{3})}^{2}$

= $\frac{100}{9}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[9]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[9]{x})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[9]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[9]{x})}^{15}$

= $x^{\frac{6}{9}}$ ⋅ $x^{\frac{15}{9}}$

= $x^{\frac{6}{9} + \frac{15}{9}}$

= $x^{\frac{21}{9}}$

= $x^{\frac{7}{3}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[6]{x^{2}} \cdot \sqrt[6]{x^{8}})}^{9}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[6]{x^{2}} \cdot \sqrt[6]{x^{8}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{2}{6}} \cdot x^{\frac{8}{6}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{4}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{5}{3}})}^{9}$

= $x^{\frac{5}{3} \cdot 9}$

= $x^{15}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{12 s^{- 2}}{\frac{9}{s^{3}}}$

Lösung einblenden

$\frac{12 s^{- 2}}{\frac{9}{s^{3}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{s^{2}}}{\frac{9}{s^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{s^{2}} \cdot \frac{s^{3}}{9}$

= $\frac{4}{3} s$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen