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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 6 x^{7}}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{7}}$ kann man auch als $x^{- 7}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 6 x^{7}}$ = $- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x^{7}}$ das gleiche wie $- \frac{1}{6} x^{- 7}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{5}{6}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{5}{6}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{6}$} = ${(x^{5})}^{\frac{1}{6}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{6}$} immer das gleiche ist wie die 6-te Wurzel, also:

${(x^{5})}^{\frac{1}{6}}$ = $\sqrt[6]{x^{5}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{7}{4}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{7}{4}}$ = $x^{7 \cdot \frac{1}{4}}$ = ${(x^{7})}^{\frac{1}{4}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{4}$} immer das gleiche ist wie die 4-te Wurzel, also:

${(x^{7})}^{\frac{1}{4}}$ = $\sqrt[4]{x^{7}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

$27^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{27})}^{2}$

= $3^{2}$

= 9

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{2^{37}}{2^{34}}$

Lösung einblenden

$\frac{2^{37}}{2^{34}}$

= $2^{37 - 34}$

= $2^{3}$

= 8

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,36}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${0,36}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{0,36}$

= $0,6$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{11}{10})}^{6})}^{\frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${({(\frac{11}{10})}^{6})}^{\frac{1}{3}}$

= ${(\frac{11}{10})}^{6 \cdot \frac{1}{3}}$

= ${(\frac{11}{10})}^{2}$

= $\frac{121}{100}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[5]{x^{4}} \cdot \sqrt[5]{x^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[5]{x^{4}} \cdot \sqrt[5]{x^{6}}$

= $x^{\frac{4}{5}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{5}}$

= $x^{\frac{4}{5} + \frac{6}{5}}$

= $x^{\frac{10}{5}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[12]{x^{6}} \cdot \sqrt[12]{x^{15}})}^{8}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x^{6}} \cdot \sqrt[12]{x^{15}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{6}{12}} \cdot x^{\frac{15}{12}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{7}{4}})}^{8}$

= $x^{\frac{7}{4} \cdot 8}$

= $x^{14}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{5 r^{- 1}}{\frac{8}{r^{2}}}$

Lösung einblenden

$\frac{5 r^{- 1}}{\frac{8}{r^{2}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{r}}{\frac{8}{r^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{r} \cdot \frac{r^{2}}{8}$

= $\frac{5}{8} r$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen