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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $5 x^{- 6}$

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$x^{- 6}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{6}}$ .

Also ist $5 x^{- 6}$ das gleiche wie $5 \cdot \frac{1}{x^{6}}$ = $\frac{5}{x^{6}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{3}{5}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{3}{5}}$ = x^{3⋅ $\frac{1}{5}$} = ${(x^{3})}^{\frac{1}{5}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{5}$} immer das gleiche ist wie die 5-te Wurzel, also:

${(x^{3})}^{\frac{1}{5}}$ = $\sqrt[5]{x^{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[9]{x^{11}}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[9]{x^{11}}}$ = $\frac{1}{{(x^{11})}^{\frac{1}{9}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{11})}^{\frac{1}{9}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{9} \cdot 11}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{11}{9}}}$ = $x^{- \frac{11}{9}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{\frac{3}{4}}$

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$81^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{81})}^{3}$

= $3^{3}$

= 27

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{- \frac{1}{2}}$

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$81^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{81^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{81}}$

= $\frac{1}{9}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,04}^{\frac{3}{2}}$

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${0,04}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,04})}^{3}$

= ${0,2}^{3}$

= $0,008$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(10^{27})}^{\frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(10^{27})}^{\frac{1}{3}}$

= $10^{27 \cdot \frac{1}{3}}$

= $10^{9}$

= $1 000 000 000$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[12]{x^{9}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{5}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[12]{x^{9}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{5}$

= $x^{\frac{9}{12}}$ ⋅ $x^{\frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{9}{12} + \frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{9}{12} + \frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{24}{12}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[8]{x^{10}})}^{8}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[8]{x^{10}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{2}{4}} \cdot x^{\frac{10}{8}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{7}{4}})}^{8}$

= $x^{\frac{7}{4} \cdot 8}$

= $x^{14}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{7 c^{- 1}}{\frac{11}{c^{2}}}$

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$\frac{7 c^{- 1}}{\frac{11}{c^{2}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{7}{c}}{\frac{11}{c^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{7}{c} \cdot \frac{c^{2}}{11}$

= $\frac{7}{11} c$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen