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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $x^{- 9}$

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$x^{- 9}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{9}}$ .

Also ist $x^{- 9}$ das gleiche wie $1 \cdot \frac{1}{x^{9}}$ = $\frac{1}{x^{9}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[9]{x})}^{8}$

Lösung einblenden

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[9]{x})}^{8}$ = ${(x^{\frac{1}{9}})}^{8}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{9}})}^{8}$ = x^{$\frac{1}{9}$ ⋅8} = $x^{\frac{8}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{{(\sqrt[3]{x})}^{5}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{(\sqrt[3]{x})}^{5}}$ = $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{5}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{5}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{3} \cdot 5}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ = $x^{- \frac{5}{3}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $100^{\frac{1}{2}}$

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$100^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{64}{27})}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${(\frac{64}{27})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{64}{27}}$

= $\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{27}}$

= $\frac{4}{3}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0001})}^{3}$

= ${0,1}^{3}$

= $0,001$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(3^{- 12})}^{- \frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(3^{- 12})}^{- \frac{1}{3}}$

= $3^{- 12 \cdot (- \frac{1}{3})}$

= $3^{4}$

= $81$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[12]{x^{6}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[12]{x^{6}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}$

= $x^{\frac{6}{12}}$ ⋅ $x^{\frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{6}{12} + \frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{6}{12} + \frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{21}{12}}$

= $x^{\frac{7}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[4]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{5}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[4]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{5}}{\frac{1}{x^{2}}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{4}}\cdotx^{\frac{5}{4}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{4} + \frac{5}{4}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{- 2}}$

= $x^{2 + 2}$

= $x^{4}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 b^{- 2}}{7 b^{- 4}}$

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$\frac{8 b^{- 2}}{7 b^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{8}{b^{2}}}{\frac{7}{b^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{8}{b^{2}} \cdot \frac{b^{4}}{7}$

= $\frac{8}{7} b^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen