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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $2 x^{- 8}$

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$x^{- 8}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{8}}$ .

Also ist $2 x^{- 8}$ das gleiche wie $2 \cdot \frac{1}{x^{8}}$ = $\frac{2}{x^{8}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{2}{3}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{2}{3}}$ = x^{2⋅ $\frac{1}{3}$} = ${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{3}$} immer das gleiche ist wie die 3-te Wurzel, also:

${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ = $\sqrt[3]{x^{2}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{7}{8}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{7}{8}}$ = $x^{- 7 \cdot \frac{1}{8}}$ = ${(x^{7})}^{- \frac{1}{8}}$ = $\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{8}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{8}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[8]{x^{7}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{2}{3}}$

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$27^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{27})}^{2}$

= $3^{2}$

= 9

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $36^{- \frac{1}{2}}$

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$36^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{36^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{36}}$

= $\frac{1}{6}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${1,21}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${1,21}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{1,21}$

= $1,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{- 6})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(4^{- 6})}^{- \frac{1}{2}}$

= $4^{- 6 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $4^{3}$

= $64$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[6]{x})}^{4} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[6]{x})}^{4} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}$

= $x^{\frac{4}{6}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{4}{6} + \frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{12}{18} + \frac{24}{18}}$

= $x^{\frac{36}{18}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[8]{x^{2}} \cdot \sqrt[8]{x^{10}})}^{4}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[8]{x^{2}} \cdot \sqrt[8]{x^{10}})}^{4}$

= ${(x^{\frac{2}{8}} \cdot x^{\frac{10}{8}})}^{4}$

= ${(x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{4}$

= ${(x^{\frac{1}{4} + \frac{5}{4}})}^{4}$

= ${(x^{\frac{3}{2}})}^{4}$

= $x^{\frac{3}{2} \cdot 4}$

= $x^{6}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{12 r^{- 2}}{\frac{9}{r^{3}}}$

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$\frac{12 r^{- 2}}{\frac{9}{r^{3}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{r^{2}}}{\frac{9}{r^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{r^{2}} \cdot \frac{r^{3}}{9}$

= $\frac{4}{3} r$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen