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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 4 x^{- 8}$

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$x^{- 8}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{8}}$ .

Also ist $- 4 x^{- 8}$ das gleiche wie $- 4 \cdot \frac{1}{x^{8}}$ = $- \frac{4}{x^{8}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[9]{x})}^{7}$

Lösung einblenden

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[9]{x})}^{7}$ = ${(x^{\frac{1}{9}})}^{7}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{9}})}^{7}$ = x^{$\frac{1}{9}$ ⋅7} = $x^{\frac{7}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $- \frac{7}{x^{2}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{2}}$ kann man auch als $x^{- 2}$ schreiben.

Also ist $- \frac{7}{x^{2}}$ = $- 7 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ das gleiche wie $- 7 x^{- 2}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

$8^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{8})}^{2}$

= $2^{2}$

= 4

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 9^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$- 9^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{9}$

= $- 3$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,64}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${0,64}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{0,64}$

= $0,8$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(5^{- \frac{1}{4}})}^{- 4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(5^{- \frac{1}{4}})}^{- 4}$

= $5^{- \frac{1}{4} \cdot (- 4)}$

= $5^{1}$

= $5$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[10]{x^{8}} \cdot \sqrt[5]{x^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[10]{x^{8}} \cdot \sqrt[5]{x^{6}}$

= $x^{\frac{8}{10}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{5}}$

= $x^{\frac{8}{10} + \frac{6}{5}}$

= $x^{\frac{8}{10} + \frac{12}{10}}$

= $x^{\frac{20}{10}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[9]{x^{6}} \cdot \sqrt[9]{x^{15}})}^{9}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[9]{x^{6}} \cdot \sqrt[9]{x^{15}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{6}{9}} \cdot x^{\frac{15}{9}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{2}{3} + \frac{5}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{7}{3}})}^{9}$

= $x^{\frac{7}{3} \cdot 9}$

= $x^{21}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{5}{t^{4}}}{8 t^{- 1}}$

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$\frac{\frac{5}{t^{4}}}{8 t^{- 1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{t^{4}}}{\frac{8}{t}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{t^{4}} \cdot \frac{t}{8}$

= $\frac{5}{8 t^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen