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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 5 x^{- 9}$

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$x^{- 9}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{9}}$ .

Also ist $- 5 x^{- 9}$ das gleiche wie $- 5 \cdot \frac{1}{x^{9}}$ = $- \frac{5}{x^{9}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{4}{3}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{4}{3}}$ = x^{4⋅ $\frac{1}{3}$} = ${(x^{4})}^{\frac{1}{3}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{3}$} immer das gleiche ist wie die 3-te Wurzel, also:

${(x^{4})}^{\frac{1}{3}}$ = $\sqrt[3]{x^{4}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt{x}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 2-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{2}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt{x}}$ = $\frac{1}{{(x)}^{\frac{1}{2}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x)}^{\frac{1}{2}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 1}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ = $x^{- \frac{1}{2}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{\frac{1}{3}}$

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$64^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{64}$

= $4$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$64^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{64^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{64}}$

= $\frac{1}{8}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{2}{3}}$

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${0,001}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,001})}^{2}$

= ${0,1}^{2}$

= $0,01$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(3^{- 6})}^{- \frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(3^{- 6})}^{- \frac{1}{3}}$

= $3^{- 6 \cdot (- \frac{1}{3})}$

= $3^{2}$

= $9$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[15]{x^{6}} \cdot \sqrt[10]{x^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[15]{x^{6}} \cdot \sqrt[10]{x^{6}}$

= $x^{\frac{6}{15}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{10}}$

= $x^{\frac{6}{15} + \frac{6}{10}}$

= $x^{\frac{12}{30} + \frac{18}{30}}$

= $x^{\frac{30}{30}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[12]{x^{6}})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[12]{x^{6}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{6}{12}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{3}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{3}{4} \cdot 12}$

= $x^{9}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6 v^{- 3}}{\frac{11}{v^{4}}}$

Lösung einblenden

$\frac{6 v^{- 3}}{\frac{11}{v^{4}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{6}{v^{3}}}{\frac{11}{v^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{6}{v^{3}} \cdot \frac{v^{4}}{11}$

= $\frac{6}{11} v$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen