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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 7 x^{- 4}$

Lösung einblenden

$x^{- 4}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{4}}$ .

Also ist $- 7 x^{- 4}$ das gleiche wie $- 7 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ = $- \frac{7}{x^{4}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{5}{6}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{5}{6}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{6}$} = ${(x^{5})}^{\frac{1}{6}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{6}$} immer das gleiche ist wie die 6-te Wurzel, also:

${(x^{5})}^{\frac{1}{6}}$ = $\sqrt[6]{x^{5}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{1}{3}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{1}{3}}$ = $x^{- 1 \cdot \frac{1}{3}}$ = ${(x)}^{- \frac{1}{3}}$ = $\frac{1}{{(x)}^{\frac{1}{3}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{3}$} immer das gleiche ist wie die 3-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x)}^{\frac{1}{3}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{1}{3}}$

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$27^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{27}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $144^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$144^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{144^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{144}}$

= $\frac{1}{12}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,25}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${0,25}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{0,25}$

= $0,5$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{5}})}^{15}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${({(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{5}})}^{15}$

= ${(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{5} \cdot 15}$

= ${(\frac{3}{2})}^{3}$

= $\frac{27}{8}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[3]{x} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{4}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[3]{x} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{4}$

= $x^{\frac{1}{3}}$ ⋅ $x^{\frac{4}{6}}$

= $x^{\frac{1}{3} + \frac{4}{6}}$

= $x^{\frac{2}{6} + \frac{4}{6}}$

= $x^{\frac{6}{6}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[8]{x^{2}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}}{\frac{1}{x}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[8]{x^{2}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}}{\frac{1}{x}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{8}}\cdotx^{\frac{3}{4}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{4}}\cdotx^{\frac{3}{4}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{- 1}}$

= $x^{1 + 1}$

= $x^{2}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{10}{u}}{11 u^{- 2}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{10}{u}}{11 u^{- 2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{u}}{\frac{11}{u^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{u} \cdot \frac{u^{2}}{11}$

= $\frac{10}{11} u$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen