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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{- 4}{x^{6}}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{6}}$ kann man auch als $x^{- 6}$ schreiben.

Also ist $\frac{- 4}{x^{6}}$ = $- 4 \cdot \frac{1}{x^{6}}$ das gleiche wie $- 4 x^{- 6}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[3]{x}$

Lösung einblenden

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[3]{x}$ = $x^{\frac{1}{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe ${(\sqrt[7]{x})}^{6}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[7]{x})}^{6}$ = ${(x^{\frac{1}{7}})}^{6}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{7}})}^{6}$ = $x^{\frac{1}{7} \cdot 6}$ = $x^{\frac{6}{7}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $144^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$144^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3^{45}$ : $3^{42}$

Lösung einblenden

$3^{45}$ : $3^{42}$

= $3^{45 - 42}$

= $3^{3}$

= 27

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $1^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$1^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(4^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$

= $4^{- 3 \cdot \frac{1}{2}}$

= $4^{\frac{1}{2} \cdot (- 3)}$

= ${(4^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$

= $\frac{1}{{(\sqrt{4})}^{3}}$

= $\frac{1}{2^{3}}$

= $\frac{1}{8}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[12]{x})}^{6} \cdot {(\sqrt[8]{x})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x})}^{6} \cdot {(\sqrt[8]{x})}^{10}$

= $x^{\frac{6}{12}}$ ⋅ $x^{\frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{6}{12} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{12}{24} + \frac{30}{24}}$

= $x^{\frac{42}{24}}$

= $x^{\frac{7}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[3]{x} \cdot {(\sqrt[3]{x})}^{4})}^{9}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[3]{x} \cdot {(\sqrt[3]{x})}^{4})}^{9}$

= ${(x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{4}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{5}{3}})}^{9}$

= $x^{\frac{5}{3} \cdot 9}$

= $x^{15}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{13 u^{- 4}}{\frac{6}{u^{5}}}$

Lösung einblenden

$\frac{13 u^{- 4}}{\frac{6}{u^{5}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{13}{u^{4}}}{\frac{6}{u^{5}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{13}{u^{4}} \cdot \frac{u^{5}}{6}$

= $\frac{13}{6} u$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen