Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $3 x^{- 3}$

Lösung einblenden

$x^{- 3}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{3}}$ .

Also ist $3 x^{- 3}$ das gleiche wie $3 \cdot \frac{1}{x^{3}}$ = $\frac{3}{x^{3}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[3]{x}$

Lösung einblenden

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[3]{x}$ = $x^{\frac{1}{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $6 x^{- 1}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

$x^{- 1}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x}$ .

Also ist $6 x^{- 1}$ das gleiche wie $6 \cdot \frac{1}{x}$ = $\frac{6}{x}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

$27^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{27}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 81^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$- 81^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{81}$

= $- 9$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,04}^{\frac{3}{2}}$

Lösung einblenden

${0,04}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,04})}^{3}$

= ${0,2}^{3}$

= $0,008$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{2}{5})}^{- \frac{1}{2}})}^{4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${({(\frac{2}{5})}^{- \frac{1}{2}})}^{4}$

= ${(\frac{2}{5})}^{- \frac{1}{2} \cdot 4}$

= ${(\frac{2}{5})}^{- 2}$

= $\frac{1}{{(\frac{2}{5})}^{2}}$

= $\frac{1}{\frac{4}{25}}$

= $\frac{25}{4}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[5]{x^{2}} \cdot \sqrt[10]{x^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[5]{x^{2}} \cdot \sqrt[10]{x^{6}}$

= $x^{\frac{2}{5}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{10}}$

= $x^{\frac{2}{5} + \frac{6}{10}}$

= $x^{\frac{4}{10} + \frac{6}{10}}$

= $x^{\frac{10}{10}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[15]{x^{12}} \cdot \sqrt[5]{x^{6}}}{x^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[15]{x^{12}} \cdot \sqrt[5]{x^{6}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{12}{15}}\cdotx^{\frac{6}{5}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{4}{5}}\cdotx^{\frac{6}{5}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{4}{5} + \frac{6}{5}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{2}}$

= $x^{2 - 2}$

= $x^{0}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 a^{- 4}}{\frac{9}{a}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 a^{- 4}}{\frac{9}{a}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{a^{4}}}{\frac{9}{a}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{a^{4}} \cdot \frac{a}{9}$

= $\frac{1}{a^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen