Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 7 x^{- 8}$

Lösung einblenden

$x^{- 8}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{8}}$ .

Also ist $- 7 x^{- 8}$ das gleiche wie $- 7 \cdot \frac{1}{x^{8}}$ = $- \frac{7}{x^{8}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[3]{x}$

Lösung einblenden

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[3]{x}$ = $x^{\frac{1}{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{{(\sqrt[7]{x})}^{6}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{(\sqrt[7]{x})}^{6}}$ = $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{7}})}^{6}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{7}})}^{6}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{7} \cdot 6}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{6}{7}}}$ = $x^{- \frac{6}{7}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

$8^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{8}$

= $2$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 81^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$- 81^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{81}$

= $- 9$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,16}^{\frac{3}{2}}$

Lösung einblenden

${0,16}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,16})}^{3}$

= ${0,4}^{3}$

= $0,064$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{2}{3})}^{- \frac{1}{5}})}^{10}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${({(\frac{2}{3})}^{- \frac{1}{5}})}^{10}$

= ${(\frac{2}{3})}^{- \frac{1}{5} \cdot 10}$

= ${(\frac{2}{3})}^{- 2}$

= $\frac{1}{{(\frac{2}{3})}^{2}}$

= $\frac{1}{\frac{4}{9}}$

= $\frac{9}{4}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{5}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{5}$

= $x^{\frac{3}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{3}{4} + \frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{8}{4}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[15]{x^{12}} \cdot \sqrt[15]{x^{21}})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[15]{x^{12}} \cdot \sqrt[15]{x^{21}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{12}{15}} \cdot x^{\frac{21}{15}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{4}{5}} \cdot x^{\frac{7}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{4}{5} + \frac{7}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{11}{5}})}^{15}$

= $x^{\frac{11}{5} \cdot 15}$

= $x^{33}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{11 v^{- 3}}{\frac{13}{v^{4}}}$

Lösung einblenden

$\frac{11 v^{- 3}}{\frac{13}{v^{4}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{v^{3}}}{\frac{13}{v^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{v^{3}} \cdot \frac{v^{4}}{13}$

= $\frac{11}{13} v$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen