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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 7 x^{- 1}$

Lösung einblenden

$x^{- 1}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x}$ .

Also ist $- 7 x^{- 1}$ das gleiche wie $- 7 \cdot \frac{1}{x}$ = $- \frac{7}{x}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[9]{x})}^{8}$

Lösung einblenden

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[9]{x})}^{8}$ = ${(x^{\frac{1}{9}})}^{8}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{9}})}^{8}$ = x^{$\frac{1}{9}$ ⋅8} = $x^{\frac{8}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $4 x^{- 7}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

$x^{- 7}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{7}}$ .

Also ist $4 x^{- 7}$ das gleiche wie $4 \cdot \frac{1}{x^{7}}$ = $\frac{4}{x^{7}}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$4^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{3^{49}}{3^{47}}$

Lösung einblenden

$\frac{3^{49}}{3^{47}}$

= $3^{49 - 47}$

= $3^{2}$

= 9

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,16}^{\frac{3}{2}}$

Lösung einblenden

${0,16}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,16})}^{3}$

= ${0,4}^{3}$

= $0,064$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(5^{- 12})}^{- \frac{1}{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(5^{- 12})}^{- \frac{1}{4}}$

= $5^{- 12 \cdot (- \frac{1}{4})}$

= $5^{3}$

= $125$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[8]{x^{6}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[8]{x^{6}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}$

= $x^{\frac{6}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{6}{8} + \frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{6}{8} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{16}{8}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}}{x}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}}{x}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3}}\cdotx^{\frac{8}{6}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3}}\cdotx^{\frac{4}{3}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{1}}$

= $x^{2 - 1}$

= $x^{1}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{9}{d^{2}}}{11 d^{- 3}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{9}{d^{2}}}{11 d^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{d^{2}}}{\frac{11}{d^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{d^{2}} \cdot \frac{d^{3}}{11}$

= $\frac{9}{11} d$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen