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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $3 x^{- 6}$

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$x^{- 6}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{6}}$ .

Also ist $3 x^{- 6}$ das gleiche wie $3 \cdot \frac{1}{x^{6}}$ = $\frac{3}{x^{6}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[7]{x^{5}}$

Lösung einblenden

Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[7]{x^{5}}$ = ${(x^{5})}^{\frac{1}{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{5})}^{\frac{1}{7}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{7}$} = $x^{\frac{5}{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $- \frac{6}{x}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x}$ kann man auch als $x^{- 1}$ schreiben.

Also ist $- \frac{6}{x}$ = $- 6 \cdot \frac{1}{x}$ das gleiche wie $- 6 x^{- 1}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

$8^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{8}$

= $2$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $49^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$49^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{49^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{49}}$

= $\frac{1}{7}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,16}^{\frac{3}{2}}$

Lösung einblenden

${0,16}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,16})}^{3}$

= ${0,4}^{3}$

= $0,064$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(2^{\frac{1}{6}})}^{42}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(2^{\frac{1}{6}})}^{42}$

= $2^{\frac{1}{6} \cdot 42}$

= $2^{7}$

= $128$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[10]{x})}^{2} \cdot \sqrt[10]{x^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[10]{x})}^{2} \cdot \sqrt[10]{x^{6}}$

= $x^{\frac{2}{10}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{10}}$

= $x^{\frac{2}{10} + \frac{6}{10}}$

= $x^{\frac{8}{10}}$

= $x^{\frac{4}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[8]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[12]{x})}^{15}}{\frac{1}{x}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[8]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[12]{x})}^{15}}{\frac{1}{x}}$

= $\frac{x^{\frac{6}{8}}\cdotx^{\frac{15}{12}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{4}}\cdotx^{\frac{5}{4}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{4} + \frac{5}{4}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{- 1}}$

= $x^{2 + 1}$

= $x^{3}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{10 u^{- 4}}{\frac{6}{u^{2}}}$

Lösung einblenden

$\frac{10 u^{- 4}}{\frac{6}{u^{2}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{u^{4}}}{\frac{6}{u^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{u^{4}} \cdot \frac{u^{2}}{6}$

= $\frac{5}{3 u^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen