Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{2}}$ kann man auch als $x^{- 2}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{x^{2}}$ = $1 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ das gleiche wie $x^{- 2}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[4]{x})}^{5}$

Lösung einblenden

Eine 4-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{4}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[4]{x})}^{5}$ = ${(x^{\frac{1}{4}})}^{5}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{4}})}^{5}$ = x^{$\frac{1}{4}$ ⋅5} = $x^{\frac{5}{4}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{{(\sqrt[7]{x})}^{6}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{(\sqrt[7]{x})}^{6}}$ = $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{7}})}^{6}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{7}})}^{6}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{7} \cdot 6}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{6}{7}}}$ = $x^{- \frac{6}{7}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $16^{\frac{1}{4}}$

Lösung einblenden

$16^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{16}$

= $2$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $144^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$144^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{144^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{144}}$

= $\frac{1}{12}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

${0,008}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,008})}^{2}$

= ${0,2}^{2}$

= $0,04$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(17^{6})}^{\frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(17^{6})}^{\frac{1}{3}}$

= $17^{6 \cdot \frac{1}{3}}$

= $17^{2}$

= $289$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x} \cdot {(\sqrt[8]{x})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x} \cdot {(\sqrt[8]{x})}^{6}$

= $x^{\frac{1}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{8}}$

= $x^{\frac{1}{4} + \frac{6}{8}}$

= $x^{\frac{2}{8} + \frac{6}{8}}$

= $x^{\frac{8}{8}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(\sqrt[12]{x})}^{9} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}}{\frac{1}{x}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(\sqrt[12]{x})}^{9} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}}{\frac{1}{x}}$

= $\frac{x^{\frac{9}{12}}\cdotx^{\frac{5}{4}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{4}}\cdotx^{\frac{5}{4}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{4} + \frac{5}{4}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{- 1}}$

= $x^{2 + 1}$

= $x^{3}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{11 c^{- 3}}{5 c^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{11 c^{- 3}}{5 c^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{c^{3}}}{\frac{5}{c^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{c^{3}} \cdot \frac{c^{4}}{5}$

= $\frac{11}{5} c$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen