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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 6 x^{7}}$

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$\frac{1}{x^{7}}$ kann man auch als $x^{- 7}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 6 x^{7}}$ = $- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x^{7}}$ das gleiche wie $- \frac{1}{6} x^{- 7}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[7]{x^{5}}$

Lösung einblenden

Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[7]{x^{5}}$ = ${(x^{5})}^{\frac{1}{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{5})}^{\frac{1}{7}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{7}$} = $x^{\frac{5}{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{5}{6}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{5}{6}}$ = $x^{5 \cdot \frac{1}{6}}$ = ${(x^{5})}^{\frac{1}{6}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{6}$} immer das gleiche ist wie die 6-te Wurzel, also:

${(x^{5})}^{\frac{1}{6}}$ = $\sqrt[6]{x^{5}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{\frac{1}{2}}$

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$81^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 16^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$- 16^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{16}$

= $- 4$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{1}{3}}$

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${0,008}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,008}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(19^{\frac{1}{7}})}^{14}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(19^{\frac{1}{7}})}^{14}$

= $19^{\frac{1}{7} \cdot 14}$

= $19^{2}$

= $361$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^{4}}$

= $x^{\frac{1}{3}}$ ⋅ $x^{\frac{4}{3}}$

= $x^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}}$

= $x^{\frac{5}{3}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(\sqrt[3]{x})}^{2} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(\sqrt[3]{x})}^{2} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3}}\cdotx^{\frac{8}{6}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3}}\cdotx^{\frac{4}{3}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{- 2}}$

= $x^{2 + 2}$

= $x^{4}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{5}{c}}{5 c^{- 2}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{5}{c}}{5 c^{- 2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{c}}{\frac{5}{c^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{c} \cdot \frac{c^{2}}{5}$

= $c$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen