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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 5 x}$

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$\frac{1}{x}$ kann man auch als $x^{- 1}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 5 x}$ = $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x}$ das gleiche wie $- \frac{1}{5} x^{- 1}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{3}{5}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{3}{5}}$ = x^{3⋅ $\frac{1}{5}$} = ${(x^{3})}^{\frac{1}{5}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{5}$} immer das gleiche ist wie die 5-te Wurzel, also:

${(x^{3})}^{\frac{1}{5}}$ = $\sqrt[5]{x^{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\sqrt[9]{x^{11}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[9]{x^{11}}$ = ${(x^{11})}^{\frac{1}{9}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{11})}^{\frac{1}{9}}$ = $x^{\frac{1}{9} \cdot 11}$ = $x^{\frac{11}{9}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{2}{3}}$

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$27^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{27})}^{2}$

= $3^{2}$

= 9

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3^{10}$ : $3^{7}$

Lösung einblenden

$3^{10}$ : $3^{7}$

= $3^{10 - 7}$

= $3^{3}$

= 27

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

${0,001}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,001})}^{2}$

= ${0,1}^{2}$

= $0,01$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(2^{\frac{1}{7}})}^{- 56}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(2^{\frac{1}{7}})}^{- 56}$

= $2^{\frac{1}{7} \cdot (- 56)}$

= $2^{- 8}$

= $\frac{1}{2^{8}}$

= $\frac{1}{256}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[12]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{2}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[12]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{2}$

= $x^{\frac{3}{12}}$ ⋅ $x^{\frac{2}{4}}$

= $x^{\frac{3}{12} + \frac{2}{4}}$

= $x^{\frac{3}{12} + \frac{6}{12}}$

= $x^{\frac{9}{12}}$

= $x^{\frac{3}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[12]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{3})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{3})}^{12}$

= ${(x^{\frac{6}{12}} \cdot x^{\frac{3}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{3}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{5}{4} \cdot 12}$

= $x^{15}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{10}{c^{4}}}{10 c^{- 1}}$

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$\frac{\frac{10}{c^{4}}}{10 c^{- 1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{c^{4}}}{\frac{10}{c}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{c^{4}} \cdot \frac{c}{10}$

= $\frac{1}{c^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen