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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $7 x^{- 1}$

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$x^{- 1}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x}$ .

Also ist $7 x^{- 1}$ das gleiche wie $7 \cdot \frac{1}{x}$ = $\frac{7}{x}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[8]{x^{7}}$

Lösung einblenden

Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[8]{x^{7}}$ = ${(x^{7})}^{\frac{1}{8}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{7})}^{\frac{1}{8}}$ = x^{7⋅ $\frac{1}{8}$} = $x^{\frac{7}{8}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{1}{2}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{1}{2}}$ = $x^{- 1 \cdot \frac{1}{2}}$ = ${(x)}^{- \frac{1}{2}}$ = $\frac{1}{{(x)}^{\frac{1}{2}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{2}$} immer das gleiche ist wie die 2-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x)}^{\frac{1}{2}}}$ = $\frac{1}{\sqrt{x}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$64^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{2^{13}}{2^{9}}$

Lösung einblenden

$\frac{2^{13}}{2^{9}}$

= $2^{13 - 9}$

= $2^{4}$

= 16

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{1}{3}}$

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${0,008}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,008}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(13^{8})}^{\frac{1}{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(13^{8})}^{\frac{1}{4}}$

= $13^{8 \cdot \frac{1}{4}}$

= $13^{2}$

= $169$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[9]{x})}^{3} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[9]{x})}^{3} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}$

= $x^{\frac{3}{9}}$ ⋅ $x^{\frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{3}{9} + \frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{6}{18} + \frac{24}{18}}$

= $x^{\frac{30}{18}}$

= $x^{\frac{5}{3}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}}{x}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}}{x}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3}}\cdotx^{\frac{12}{9}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3}}\cdotx^{\frac{4}{3}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{1}}$

= $x^{2 - 1}$

= $x^{1}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{11}{b^{4}}}{12 b^{- 2}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{11}{b^{4}}}{12 b^{- 2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{b^{4}}}{\frac{12}{b^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{b^{4}} \cdot \frac{b^{2}}{12}$

= $\frac{11}{12 b^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen