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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 5 x^{- 9}$

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$x^{- 9}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{9}}$ .

Also ist $- 5 x^{- 9}$ das gleiche wie $- 5 \cdot \frac{1}{x^{9}}$ = $- \frac{5}{x^{9}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt{x}$

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Eine 2-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{2}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt{x}$ = $x^{\frac{1}{2}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{9}{8}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{9}{8}}$ = $x^{9 \cdot \frac{1}{8}}$ = ${(x^{9})}^{\frac{1}{8}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

${(x^{9})}^{\frac{1}{8}}$ = $\sqrt[8]{x^{9}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9^{\frac{1}{2}}$

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$9^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2^{14}$ : $2^{11}$

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$2^{14}$ : $2^{11}$

= $2^{14 - 11}$

= $2^{3}$

= 8

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${1,44}^{\frac{1}{2}}$

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${1,44}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{1,44}$

= $1,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(5^{- 6})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(5^{- 6})}^{- \frac{1}{2}}$

= $5^{- 6 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $5^{3}$

= $125$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[10]{x^{2}} \cdot \sqrt[5]{x^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[10]{x^{2}} \cdot \sqrt[5]{x^{3}}$

= $x^{\frac{2}{10}}$ ⋅ $x^{\frac{3}{5}}$

= $x^{\frac{2}{10} + \frac{3}{5}}$

= $x^{\frac{2}{10} + \frac{6}{10}}$

= $x^{\frac{8}{10}}$

= $x^{\frac{4}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[6]{x})}^{2} \cdot \sqrt[3]{x^{4}})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[6]{x})}^{2} \cdot \sqrt[3]{x^{4}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{2}{6}} \cdot x^{\frac{4}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{4}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{5}{3}})}^{6}$

= $x^{\frac{5}{3} \cdot 6}$

= $x^{10}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{12}{t^{2}}}{10 t^{- 4}}$

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$\frac{\frac{12}{t^{2}}}{10 t^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{t^{2}}}{\frac{10}{t^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{t^{2}} \cdot \frac{t^{4}}{10}$

= $\frac{6}{5} t^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen