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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 5 x^{6}}$

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$\frac{1}{x^{6}}$ kann man auch als $x^{- 6}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 5 x^{6}}$ = $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{6}}$ das gleiche wie $- \frac{1}{5} x^{- 6}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[5]{x})}^{4}$

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Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[5]{x})}^{4}$ = ${(x^{\frac{1}{5}})}^{4}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{5}})}^{4}$ = x^{$\frac{1}{5}$ ⋅4} = $x^{\frac{4}{5}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt{x}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 2-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{2}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt{x}}$ = $\frac{1}{{(x)}^{\frac{1}{2}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x)}^{\frac{1}{2}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 1}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ = $x^{- \frac{1}{2}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9^{\frac{1}{2}}$

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$9^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{- \frac{1}{2}}$

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$64^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{64^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{64}}$

= $\frac{1}{8}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{2}{3}}$

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${0,008}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,008})}^{2}$

= ${0,2}^{2}$

= $0,04$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(13^{\frac{1}{6}})}^{12}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(13^{\frac{1}{6}})}^{12}$

= $13^{\frac{1}{6} \cdot 12}$

= $13^{2}$

= $169$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[8]{x^{4}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[8]{x^{4}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}$

= $x^{\frac{4}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{3}{4}}$

= $x^{\frac{4}{8} + \frac{3}{4}}$

= $x^{\frac{4}{8} + \frac{6}{8}}$

= $x^{\frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{5}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[15]{x^{12}} \cdot \sqrt[15]{x^{21}})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[15]{x^{12}} \cdot \sqrt[15]{x^{21}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{12}{15}} \cdot x^{\frac{21}{15}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{4}{5}} \cdot x^{\frac{7}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{4}{5} + \frac{7}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{11}{5}})}^{15}$

= $x^{\frac{11}{5} \cdot 15}$

= $x^{33}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{5 v^{- 4}}{\frac{12}{v^{3}}}$

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$\frac{5 v^{- 4}}{\frac{12}{v^{3}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{v^{4}}}{\frac{12}{v^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{v^{4}} \cdot \frac{v^{3}}{12}$

= $\frac{5}{12 v}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen