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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{7}{x^{7}}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{7}}$ kann man auch als $x^{- 7}$ schreiben.

Also ist $\frac{7}{x^{7}}$ = $7 \cdot \frac{1}{x^{7}}$ das gleiche wie $7 x^{- 7}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{11}{8}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{11}{8}}$ = x^{11⋅ $\frac{1}{8}$} = ${(x^{11})}^{\frac{1}{8}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

${(x^{11})}^{\frac{1}{8}}$ = $\sqrt[8]{x^{11}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{7}{8}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{7}{8}}$ = $x^{- 7 \cdot \frac{1}{8}}$ = ${(x^{7})}^{- \frac{1}{8}}$ = $\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{8}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{8}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[8]{x^{7}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

$8^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{8})}^{2}$

= $2^{2}$

= 4

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3^{28}$ : $3^{25}$

Lösung einblenden

$3^{28}$ : $3^{25}$

= $3^{28 - 25}$

= $3^{3}$

= 27

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

${0,001}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,001})}^{2}$

= ${0,1}^{2}$

= $0,01$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(5^{\frac{1}{4}})}^{8}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(5^{\frac{1}{4}})}^{8}$

= $5^{\frac{1}{4} \cdot 8}$

= $5^{2}$

= $25$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}$

= $x^{\frac{1}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{3}{4}}$

= $x^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}$

= $x^{\frac{4}{4}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[12]{x})}^{3} \cdot \sqrt[8]{x^{10}})}^{4}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[12]{x})}^{3} \cdot \sqrt[8]{x^{10}})}^{4}$

= ${(x^{\frac{3}{12}} \cdot x^{\frac{10}{8}})}^{4}$

= ${(x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{4}$

= ${(x^{\frac{1}{4} + \frac{5}{4}})}^{4}$

= ${(x^{\frac{3}{2}})}^{4}$

= $x^{\frac{3}{2} \cdot 4}$

= $x^{6}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 b^{- 2}}{\frac{12}{b}}$

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$\frac{9 b^{- 2}}{\frac{12}{b}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{b^{2}}}{\frac{12}{b}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{b^{2}} \cdot \frac{b}{12}$

= $\frac{3}{4 b}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen