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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $6 x^{- 2}$

Lösung einblenden

$x^{- 2}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{2}}$ .

Also ist $6 x^{- 2}$ das gleiche wie $6 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{6}{x^{2}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt{x})}^{3}$

Lösung einblenden

Eine 2-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{2}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt{x})}^{3}$ = ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ = x^{$\frac{1}{2}$ ⋅3} = $x^{\frac{3}{2}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{6}{x^{2}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{2}}$ kann man auch als $x^{- 2}$ schreiben.

Also ist $\frac{6}{x^{2}}$ = $6 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ das gleiche wie $6 x^{- 2}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $100^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$100^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9^{- \frac{1}{2}}$

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$9^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{9}}$

= $\frac{1}{3}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,09}^{\frac{3}{2}}$

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${0,09}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,09})}^{3}$

= ${0,3}^{3}$

= $0,027$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(9^{- 3})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(9^{- 3})}^{- \frac{1}{2}}$

= $9^{- 3 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $9^{\frac{1}{2} \cdot 3}$

= ${(9^{\frac{1}{2}})}^{3}$

= ${(\sqrt{9})}^{3}$

= $3^{3}$

= $27$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[10]{x^{8}} \cdot \sqrt[5]{x^{7}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[10]{x^{8}} \cdot \sqrt[5]{x^{7}}$

= $x^{\frac{8}{10}}$ ⋅ $x^{\frac{7}{5}}$

= $x^{\frac{8}{10} + \frac{7}{5}}$

= $x^{\frac{8}{10} + \frac{14}{10}}$

= $x^{\frac{22}{10}}$

= $x^{\frac{11}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(\sqrt[3]{x})}^{2} \cdot \sqrt[3]{x^{4}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(\sqrt[3]{x})}^{2} \cdot \sqrt[3]{x^{4}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3}}\cdotx^{\frac{4}{3}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{- 2}}$

= $x^{2 + 2}$

= $x^{4}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{10 c^{- 2}}{11 c^{- 1}}$

Lösung einblenden

$\frac{10 c^{- 2}}{11 c^{- 1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{c^{2}}}{\frac{11}{c}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{c^{2}} \cdot \frac{c}{11}$

= $\frac{10}{11 c}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen