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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{7 x^{6}}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{6}}$ kann man auch als $x^{- 6}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{7 x^{6}}$ = $\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{x^{6}}$ das gleiche wie $\frac{1}{7} x^{- 6}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{1}{2}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

Lösung einblenden

Wir können ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{2}$} immer das gleiche ist wie die 2-te Wurzel, also:

$x^{\frac{1}{2}}$ = $\sqrt{x}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{7}{x^{7}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{7}}$ kann man auch als $x^{- 7}$ schreiben.

Also ist $\frac{7}{x^{7}}$ = $7 \cdot \frac{1}{x^{7}}$ das gleiche wie $7 x^{- 7}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

$64^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{64})}^{2}$

= $4^{2}$

= 16

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 9^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$- 9^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{9}$

= $- 3$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,36}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${0,36}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{0,36}$

= $0,6$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(16^{- 3})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(16^{- 3})}^{- \frac{1}{2}}$

= $16^{- 3 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $16^{\frac{1}{2} \cdot 3}$

= ${(16^{\frac{1}{2}})}^{3}$

= ${(\sqrt{16})}^{3}$

= $4^{3}$

= $64$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[8]{x})}^{2} \cdot \sqrt[8]{x^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[8]{x})}^{2} \cdot \sqrt[8]{x^{6}}$

= $x^{\frac{2}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{8}}$

= $x^{\frac{2}{8} + \frac{6}{8}}$

= $x^{\frac{8}{8}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[4]{x} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{5})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{5})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{4} + \frac{5}{4}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{3}{2}})}^{6}$

= $x^{\frac{3}{2} \cdot 6}$

= $x^{9}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{9}{r^{4}}}{8 r^{- 3}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{9}{r^{4}}}{8 r^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{r^{4}}}{\frac{8}{r^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{r^{4}} \cdot \frac{r^{3}}{8}$

= $\frac{9}{8 r}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen