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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 2 x^{- 7}$

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$x^{- 7}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{7}}$ .

Also ist $- 2 x^{- 7}$ das gleiche wie $- 2 \cdot \frac{1}{x^{7}}$ = $- \frac{2}{x^{7}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{1}{3}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{3}$} immer das gleiche ist wie die 3-te Wurzel, also:

$x^{\frac{1}{3}}$ = $\sqrt[3]{x}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe ${(\sqrt[3]{x})}^{4}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[3]{x})}^{4}$ = ${(x^{\frac{1}{3}})}^{4}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{3}})}^{4}$ = $x^{\frac{1}{3} \cdot 4}$ = $x^{\frac{4}{3}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $16^{\frac{3}{4}}$

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$16^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{16})}^{3}$

= $2^{3}$

= 8

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{2^{29}}{2^{24}}$

Lösung einblenden

$\frac{2^{29}}{2^{24}}$

= $2^{29 - 24}$

= $2^{5}$

= 32

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{1}{3}}$

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${0,001}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,001}$

= $0,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{3}{10})}^{- \frac{1}{6}})}^{- 12}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${({(\frac{3}{10})}^{- \frac{1}{6}})}^{- 12}$

= ${(\frac{3}{10})}^{- \frac{1}{6} \cdot (- 12)}$

= ${(\frac{3}{10})}^{2}$

= $\frac{9}{100}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[10]{x^{6}} \cdot \sqrt[15]{x^{18}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[10]{x^{6}} \cdot \sqrt[15]{x^{18}}$

= $x^{\frac{6}{10}}$ ⋅ $x^{\frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{6}{10} + \frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{18}{30} + \frac{36}{30}}$

= $x^{\frac{54}{30}}$

= $x^{\frac{9}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[5]{x^{2}} \cdot \sqrt[10]{x^{6}}}{x}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[5]{x^{2}} \cdot \sqrt[10]{x^{6}}}{x}$

= $\frac{x^{\frac{2}{5}}\cdotx^{\frac{6}{10}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{5}}\cdotx^{\frac{3}{5}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{5} + \frac{3}{5}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{1}}$

= $x^{1 - 1}$

= $x^{0}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6 r^{- 3}}{\frac{6}{r}}$

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$\frac{6 r^{- 3}}{\frac{6}{r}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{6}{r^{3}}}{\frac{6}{r}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{6}{r^{3}} \cdot \frac{r}{6}$

= $\frac{1}{r^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen