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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $5 x^{- 8}$

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$x^{- 8}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{8}}$ .

Also ist $5 x^{- 8}$ das gleiche wie $5 \cdot \frac{1}{x^{8}}$ = $\frac{5}{x^{8}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[4]{x^{3}}$

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Eine 4-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{4}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[4]{x^{3}}$ = ${(x^{3})}^{\frac{1}{4}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{3})}^{\frac{1}{4}}$ = x^{3⋅ $\frac{1}{4}$} = $x^{\frac{3}{4}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{7}{9}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{7}{9}}$ = $x^{- 7 \cdot \frac{1}{9}}$ = ${(x^{7})}^{- \frac{1}{9}}$ = $\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{9}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{9}$} immer das gleiche ist wie die 9-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{9}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[9]{x^{7}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{\frac{3}{4}}$

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$81^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{81})}^{3}$

= $3^{3}$

= 27

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2^{37}$ : $2^{33}$

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$2^{37}$ : $2^{33}$

= $2^{37 - 33}$

= $2^{4}$

= 16

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,16}^{\frac{3}{2}}$

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${0,16}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,16})}^{3}$

= ${0,4}^{3}$

= $0,064$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(15^{8})}^{\frac{1}{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(15^{8})}^{\frac{1}{4}}$

= $15^{8 \cdot \frac{1}{4}}$

= $15^{2}$

= $225$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[10]{x})}^{4} \cdot \sqrt[15]{x^{18}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[10]{x})}^{4} \cdot \sqrt[15]{x^{18}}$

= $x^{\frac{4}{10}}$ ⋅ $x^{\frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{4}{10} + \frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{12}{30} + \frac{36}{30}}$

= $x^{\frac{48}{30}}$

= $x^{\frac{8}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[4]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{5})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{5})}^{12}$

= ${(x^{\frac{2}{4}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{7}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{7}{4} \cdot 12}$

= $x^{21}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{11}{c}}{8 c^{- 3}}$

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$\frac{\frac{11}{c}}{8 c^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{c}}{\frac{8}{c^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{c} \cdot \frac{c^{3}}{8}$

= $\frac{11}{8} c^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen