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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 5 x^{- 4}$

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$x^{- 4}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{4}}$ .

Also ist $- 5 x^{- 4}$ das gleiche wie $- 5 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ = $- \frac{5}{x^{4}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[9]{x^{7}}$

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Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[9]{x^{7}}$ = ${(x^{7})}^{\frac{1}{9}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{7})}^{\frac{1}{9}}$ = x^{7⋅ $\frac{1}{9}$} = $x^{\frac{7}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{1}{4}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{1}{4}}$ = $x^{1 \cdot \frac{1}{4}}$ = ${(x)}^{\frac{1}{4}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{4}$} immer das gleiche ist wie die 4-te Wurzel, also:

${(x)}^{\frac{1}{4}}$ = $\sqrt[4]{x}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{1}{3}}$

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$27^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{27}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3^{39}$ : $3^{36}$

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$3^{39}$ : $3^{36}$

= $3^{39 - 36}$

= $3^{3}$

= 27

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,09}^{\frac{3}{2}}$

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${0,09}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,09})}^{3}$

= ${0,3}^{3}$

= $0,027$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(16^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(16^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$

= $16^{- 3 \cdot \frac{1}{2}}$

= $16^{\frac{1}{2} \cdot (- 3)}$

= ${(16^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$

= $\frac{1}{{(\sqrt{16})}^{3}}$

= $\frac{1}{4^{3}}$

= $\frac{1}{64}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[3]{x^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[3]{x^{4}}$

= $x^{\frac{2}{3}}$ ⋅ $x^{\frac{4}{3}}$

= $x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}$

= $x^{\frac{6}{3}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[12]{x^{9}})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[12]{x^{9}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{2}{4}} \cdot x^{\frac{9}{12}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{3}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{5}{4} \cdot 12}$

= $x^{15}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{8}{t^{2}}}{7 t^{- 3}}$

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$\frac{\frac{8}{t^{2}}}{7 t^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{8}{t^{2}}}{\frac{7}{t^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{8}{t^{2}} \cdot \frac{t^{3}}{7}$

= $\frac{8}{7} t$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen