Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{- 1}{x^{4}}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{4}}$ kann man auch als $x^{- 4}$ schreiben.

Also ist $\frac{- 1}{x^{4}}$ = $- 1 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ das gleiche wie $- x^{- 4}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{9}{8}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{9}{8}}$ = x^{9⋅ $\frac{1}{8}$} = ${(x^{9})}^{\frac{1}{8}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

${(x^{9})}^{\frac{1}{8}}$ = $\sqrt[8]{x^{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{2}{3}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{2}{3}}$ = $x^{2 \cdot \frac{1}{3}}$ = ${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{3}$} immer das gleiche ist wie die 3-te Wurzel, also:

${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ = $\sqrt[3]{x^{2}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $36^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$36^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $25^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$25^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{25^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{25}}$

= $\frac{1}{5}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,81}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${0,81}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{0,81}$

= $0,9$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{4}})}^{- 8}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{4}})}^{- 8}$

= ${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{4} \cdot (- 8)}$

= ${(\frac{1}{2})}^{- 2}$

= $\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2}}$

= $\frac{1}{\frac{1}{4}}$

= $4$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}$

= $x^{\frac{2}{3}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{2}{3} + \frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{6}{9} + \frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{18}{9}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[8]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{6})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[8]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{6})}^{12}$

= ${(x^{\frac{6}{8}} \cdot x^{\frac{6}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{3}{2}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{3}{4} + \frac{3}{2}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{9}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{9}{4} \cdot 12}$

= $x^{27}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{12}{c^{2}}}{11 c^{- 3}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{12}{c^{2}}}{11 c^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{c^{2}}}{\frac{11}{c^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{c^{2}} \cdot \frac{c^{3}}{11}$

= $\frac{12}{11} c$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen