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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $5 x^{- 6}$

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$x^{- 6}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{6}}$ .

Also ist $5 x^{- 6}$ das gleiche wie $5 \cdot \frac{1}{x^{6}}$ = $\frac{5}{x^{6}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[7]{x})}^{5}$

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Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[7]{x})}^{5}$ = ${(x^{\frac{1}{7}})}^{5}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{7}})}^{5}$ = x^{$\frac{1}{7}$ ⋅5} = $x^{\frac{5}{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[6]{x^{5}}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 6-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{6}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[6]{x^{5}}}$ = $\frac{1}{{(x^{5})}^{\frac{1}{6}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{5})}^{\frac{1}{6}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{6} \cdot 5}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{5}{6}}}$ = $x^{- \frac{5}{6}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $121^{\frac{1}{2}}$

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$121^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}}$

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${(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$

= $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}$

= $\frac{2}{3}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0016}^{\frac{1}{4}}$

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${0,0016}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{0,0016}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(10^{- \frac{1}{6}})}^{- 30}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(10^{- \frac{1}{6}})}^{- 30}$

= $10^{- \frac{1}{6} \cdot (- 30)}$

= $10^{5}$

= $100 000$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[10]{x^{8}} \cdot \sqrt[5]{x^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[10]{x^{8}} \cdot \sqrt[5]{x^{6}}$

= $x^{\frac{8}{10}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{5}}$

= $x^{\frac{8}{10} + \frac{6}{5}}$

= $x^{\frac{8}{10} + \frac{12}{10}}$

= $x^{\frac{20}{10}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[15]{x^{9}} \cdot \sqrt[10]{x^{12}})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[15]{x^{9}} \cdot \sqrt[10]{x^{12}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{9}{15}} \cdot x^{\frac{12}{10}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{6}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5} + \frac{6}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{9}{5}})}^{10}$

= $x^{\frac{9}{5} \cdot 10}$

= $x^{18}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{10 t^{- 1}}{9 t^{- 2}}$

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$\frac{10 t^{- 1}}{9 t^{- 2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{t}}{\frac{9}{t^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{t} \cdot \frac{t^{2}}{9}$

= $\frac{10}{9} t$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen