Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 2 x^{- 9}$

Lösung einblenden

$x^{- 9}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{9}}$ .

Also ist $- 2 x^{- 9}$ das gleiche wie $- 2 \cdot \frac{1}{x^{9}}$ = $- \frac{2}{x^{9}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[9]{x^{7}}$

Lösung einblenden

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[9]{x^{7}}$ = ${(x^{7})}^{\frac{1}{9}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{7})}^{\frac{1}{9}}$ = x^{7⋅ $\frac{1}{9}$} = $x^{\frac{7}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\sqrt[9]{x^{7}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[9]{x^{7}}$ = ${(x^{7})}^{\frac{1}{9}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{7})}^{\frac{1}{9}}$ = $x^{\frac{1}{9} \cdot 7}$ = $x^{\frac{7}{9}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$64^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $36^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$36^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{36^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{36}}$

= $\frac{1}{6}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{1}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0001}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{0,0001}$

= $0,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(5^{\frac{1}{5}})}^{10}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(5^{\frac{1}{5}})}^{10}$

= $5^{\frac{1}{5} \cdot 10}$

= $5^{2}$

= $25$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[8]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[12]{x})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[8]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[12]{x})}^{15}$

= $x^{\frac{6}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{6}{8} + \frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{18}{24} + \frac{30}{24}}$

= $x^{\frac{48}{24}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[10]{x})}^{2} \cdot {(\sqrt[5]{x})}^{2})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[10]{x})}^{2} \cdot {(\sqrt[5]{x})}^{2})}^{15}$

= ${(x^{\frac{2}{10}} \cdot x^{\frac{2}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{1}{5}} \cdot x^{\frac{2}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{1}{5} + \frac{2}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5}})}^{15}$

= $x^{\frac{3}{5} \cdot 15}$

= $x^{9}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 d^{- 3}}{10 d^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{8 d^{- 3}}{10 d^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{8}{d^{3}}}{\frac{10}{d^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{8}{d^{3}} \cdot \frac{d^{4}}{10}$

= $\frac{4}{5} d$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen