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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 5 x^{3}}$

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$\frac{1}{x^{3}}$ kann man auch als $x^{- 3}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 5 x^{3}}$ = $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{3}}$ das gleiche wie $- \frac{1}{5} x^{- 3}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[9]{x})}^{11}$

Lösung einblenden

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[9]{x})}^{11}$ = ${(x^{\frac{1}{9}})}^{11}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{9}})}^{11}$ = x^{$\frac{1}{9}$ ⋅11} = $x^{\frac{11}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $- \frac{6}{x^{2}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{2}}$ kann man auch als $x^{- 2}$ schreiben.

Also ist $- \frac{6}{x^{2}}$ = $- 6 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ das gleiche wie $- 6 x^{- 2}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $121^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$121^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 100^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$- 100^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{100}$

= $- 10$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{1}{3}}$

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${0,008}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,008}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(5^{- 7})}^{- \frac{1}{7}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(5^{- 7})}^{- \frac{1}{7}}$

= $5^{- 7 \cdot (- \frac{1}{7})}$

= $5^{1}$

= $5$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x} \cdot {(\sqrt[12]{x})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x} \cdot {(\sqrt[12]{x})}^{6}$

= $x^{\frac{1}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{12}}$

= $x^{\frac{1}{4} + \frac{6}{12}}$

= $x^{\frac{3}{12} + \frac{6}{12}}$

= $x^{\frac{9}{12}}$

= $x^{\frac{3}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(\sqrt[6]{x})}^{4} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{8}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(\sqrt[6]{x})}^{4} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{8}}{\frac{1}{x^{2}}}$

= $\frac{x^{\frac{4}{6}}\cdotx^{\frac{8}{6}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3}}\cdotx^{\frac{4}{3}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{- 2}}$

= $x^{2 + 2}$

= $x^{4}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{10 a^{- 2}}{5 a^{- 3}}$

Lösung einblenden

$\frac{10 a^{- 2}}{5 a^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{a^{2}}}{\frac{5}{a^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{a^{2}} \cdot \frac{a^{3}}{5}$

= $2 a$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen