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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{- 3}{x^{7}}$

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$\frac{1}{x^{7}}$ kann man auch als $x^{- 7}$ schreiben.

Also ist $\frac{- 3}{x^{7}}$ = $- 3 \cdot \frac{1}{x^{7}}$ das gleiche wie $- 3 x^{- 7}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{2}{3}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{2}{3}}$ = x^{2⋅ $\frac{1}{3}$} = ${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{3}$} immer das gleiche ist wie die 3-te Wurzel, also:

${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ = $\sqrt[3]{x^{2}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[7]{x^{8}}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[7]{x^{8}}}$ = $\frac{1}{{(x^{8})}^{\frac{1}{7}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{8})}^{\frac{1}{7}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{7} \cdot 8}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{8}{7}}}$ = $x^{- \frac{8}{7}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{\frac{1}{4}}$

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$81^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{81}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{27}{64})}^{\frac{1}{3}}$

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${(\frac{27}{64})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$

= $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}}$

= $\frac{3}{4}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

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${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0016})}^{3}$

= ${0,2}^{3}$

= $0,008$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{- \frac{1}{2}})}^{- 2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(4^{- \frac{1}{2}})}^{- 2}$

= $4^{- \frac{1}{2} \cdot (- 2)}$

= $4^{1}$

= $4$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[8]{x^{6}} \cdot \sqrt[12]{x^{18}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[8]{x^{6}} \cdot \sqrt[12]{x^{18}}$

= $x^{\frac{6}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{18}{12}}$

= $x^{\frac{6}{8} + \frac{18}{12}}$

= $x^{\frac{18}{24} + \frac{36}{24}}$

= $x^{\frac{54}{24}}$

= $x^{\frac{9}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[6]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{8})}^{9}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[6]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{8})}^{9}$

= ${(x^{\frac{2}{6}} \cdot x^{\frac{8}{6}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{4}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{5}{3}})}^{9}$

= $x^{\frac{5}{3} \cdot 9}$

= $x^{15}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{10 u^{- 2}}{\frac{6}{u^{3}}}$

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$\frac{10 u^{- 2}}{\frac{6}{u^{3}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{u^{2}}}{\frac{6}{u^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{u^{2}} \cdot \frac{u^{3}}{6}$

= $\frac{5}{3} u$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen