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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz, so dass kein Bruch mehr mit einem x vorkommt: $\frac{- 2}{x^{7}}$

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$\frac{1}{x^{7}}$ kann man auch als $x^{- 7}$ schreiben.

Also ist $\frac{- 2}{x^{7}}$ = $- 2 \cdot \frac{1}{x^{7}}$ das gleiche wie $- 2 x^{- 7}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{7}{5}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{7}{5}}$ = x^{7⋅ $\frac{1}{5}$} = ${(x^{7})}^{\frac{1}{5}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{5}$} immer das gleiche ist wie die 5-te Wurzel, also:

${(x^{7})}^{\frac{1}{5}}$ = $\sqrt[5]{x^{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[4]{x}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 4-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{4}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[4]{x}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ = $x^{- \frac{1}{4}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

$8^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{8})}^{2}$

= $2^{2}$

= 4

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{2^{44}}{2^{39}}$

Lösung einblenden

$\frac{2^{44}}{2^{39}}$

= $2^{44 - 39}$

= $2^{5}$

= 32

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0016}^{\frac{1}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0016}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{0,0016}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(2^{35})}^{\frac{1}{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(2^{35})}^{\frac{1}{5}}$

= $2^{35 \cdot \frac{1}{5}}$

= $2^{7}$

= $128$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[5]{x} \cdot \sqrt[5]{x^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[5]{x} \cdot \sqrt[5]{x^{3}}$

= $x^{\frac{1}{5}}$ ⋅ $x^{\frac{3}{5}}$

= $x^{\frac{1}{5} + \frac{3}{5}}$

= $x^{\frac{4}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[8]{x^{4}})}^{8}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[8]{x^{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{4}{8}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{3}{4}})}^{8}$

= $x^{\frac{3}{4} \cdot 8}$

= $x^{6}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{11 t^{- 2}}{6 t^{- 3}}$

Lösung einblenden

$\frac{11 t^{- 2}}{6 t^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{t^{2}}}{\frac{6}{t^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{t^{2}} \cdot \frac{t^{3}}{6}$

= $\frac{11}{6} t$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen