Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz, so dass kein Bruch mehr mit einem x vorkommt: $\frac{1}{2 x^{3}}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{3}}$ kann man auch als $x^{- 3}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{2 x^{3}}$ = $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{3}}$ das gleiche wie $\frac{1}{2} x^{- 3}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[6]{x})}^{5}$

Lösung einblenden

Eine 6-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{6}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[6]{x})}^{5}$ = ${(x^{\frac{1}{6}})}^{5}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{6}})}^{5}$ = x^{$\frac{1}{6}$ ⋅5} = $x^{\frac{5}{6}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $- \frac{3}{x^{4}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{4}}$ kann man auch als $x^{- 4}$ schreiben.

Also ist $- \frac{3}{x^{4}}$ = $- 3 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ das gleiche wie $- 3 x^{- 4}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $16^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$16^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3^{27}$ : $3^{25}$

Lösung einblenden

$3^{27}$ : $3^{25}$

= $3^{27 - 25}$

= $3^{2}$

= 9

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

${0,008}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,008})}^{2}$

= ${0,2}^{2}$

= $0,04$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(3^{- 12})}^{\frac{1}{6}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(3^{- 12})}^{\frac{1}{6}}$

= $3^{- 12 \cdot \frac{1}{6}}$

= $3^{- 2}$

= $\frac{1}{3^{2}}$

= $\frac{1}{9}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[12]{x})}^{9} \cdot \sqrt[8]{x^{10}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x})}^{9} \cdot \sqrt[8]{x^{10}}$

= $x^{\frac{9}{12}}$ ⋅ $x^{\frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{9}{12} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{18}{24} + \frac{30}{24}}$

= $x^{\frac{48}{24}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[8]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[8]{x})}^{6}}{\frac{1}{x}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[8]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[8]{x})}^{6}}{\frac{1}{x}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{8}}\cdotx^{\frac{6}{8}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{4}}\cdotx^{\frac{3}{4}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{- 1}}$

= $x^{1 + 1}$

= $x^{2}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{9}{d^{2}}}{13 d^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{9}{d^{2}}}{13 d^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{d^{2}}}{\frac{13}{d^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{d^{2}} \cdot \frac{d^{4}}{13}$

= $\frac{9}{13} d^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen