Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{x^{8}}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{8}}$ kann man auch als $x^{- 8}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{x^{8}}$ = $1 \cdot \frac{1}{x^{8}}$ das gleiche wie $x^{- 8}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[9]{x})}^{7}$

Lösung einblenden

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[9]{x})}^{7}$ = ${(x^{\frac{1}{9}})}^{7}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{9}})}^{7}$ = x^{$\frac{1}{9}$ ⋅7} = $x^{\frac{7}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $- \frac{4}{x^{4}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{4}}$ kann man auch als $x^{- 4}$ schreiben.

Also ist $- \frac{4}{x^{4}}$ = $- 4 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ das gleiche wie $- 4 x^{- 4}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $36^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$36^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{27}{64})}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${(\frac{27}{64})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$

= $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}}$

= $\frac{3}{4}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,16}^{\frac{3}{2}}$

Lösung einblenden

${0,16}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,16})}^{3}$

= ${0,4}^{3}$

= $0,064$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(11^{14})}^{\frac{1}{7}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(11^{14})}^{\frac{1}{7}}$

= $11^{14 \cdot \frac{1}{7}}$

= $11^{2}$

= $121$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[8]{x^{2}} \cdot \sqrt[4]{x^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[8]{x^{2}} \cdot \sqrt[4]{x^{2}}$

= $x^{\frac{2}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{2}{4}}$

= $x^{\frac{2}{8} + \frac{2}{4}}$

= $x^{\frac{2}{8} + \frac{4}{8}}$

= $x^{\frac{6}{8}}$

= $x^{\frac{3}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[4]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{5}}{\frac{1}{x}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[4]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{5}}{\frac{1}{x}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{4}}\cdotx^{\frac{5}{4}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{4} + \frac{5}{4}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{- 1}}$

= $x^{2 + 1}$

= $x^{3}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{5 r^{- 2}}{\frac{9}{r^{3}}}$

Lösung einblenden

$\frac{5 r^{- 2}}{\frac{9}{r^{3}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{r^{2}}}{\frac{9}{r^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{r^{2}} \cdot \frac{r^{3}}{9}$

= $\frac{5}{9} r$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen