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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $4 x^{- 5}$

Lösung einblenden

$x^{- 5}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{5}}$ .

Also ist $4 x^{- 5}$ das gleiche wie $4 \cdot \frac{1}{x^{5}}$ = $\frac{4}{x^{5}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{3}{4}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{3}{4}}$ = x^{3⋅ $\frac{1}{4}$} = ${(x^{3})}^{\frac{1}{4}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{4}$} immer das gleiche ist wie die 4-te Wurzel, also:

${(x^{3})}^{\frac{1}{4}}$ = $\sqrt[4]{x^{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $- 5 x^{- 1}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

$x^{- 1}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x}$ .

Also ist $- 5 x^{- 1}$ das gleiche wie $- 5 \cdot \frac{1}{x}$ = $- \frac{5}{x}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $16^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$16^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3^{19}$ : $3^{17}$

Lösung einblenden

$3^{19}$ : $3^{17}$

= $3^{19 - 17}$

= $3^{2}$

= 9

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${0,001}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,001}$

= $0,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(16^{3})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(16^{3})}^{- \frac{1}{2}}$

= $16^{3 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $16^{\frac{1}{2} \cdot (- 3)}$

= ${(16^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$

= $\frac{1}{{(\sqrt{16})}^{3}}$

= $\frac{1}{4^{3}}$

= $\frac{1}{64}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[12]{x^{15}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[12]{x^{15}}$

= $x^{\frac{1}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{1}{4} + \frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{3}{12} + \frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{18}{12}}$

= $x^{\frac{3}{2}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[6]{x^{4}} \cdot \sqrt[9]{x^{15}})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[6]{x^{4}} \cdot \sqrt[9]{x^{15}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{4}{6}} \cdot x^{\frac{15}{9}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{2}{3} + \frac{5}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{7}{3}})}^{6}$

= $x^{\frac{7}{3} \cdot 6}$

= $x^{14}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 v^{- 1}}{\frac{6}{v^{2}}}$

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$\frac{8 v^{- 1}}{\frac{6}{v^{2}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{8}{v}}{\frac{6}{v^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{8}{v} \cdot \frac{v^{2}}{6}$

= $\frac{4}{3} v$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen