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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $4 x^{- 5}$

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$x^{- 5}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{5}}$ .

Also ist $4 x^{- 5}$ das gleiche wie $4 \cdot \frac{1}{x^{5}}$ = $\frac{4}{x^{5}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[9]{x^{11}}$

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Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[9]{x^{11}}$ = ${(x^{11})}^{\frac{1}{9}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{11})}^{\frac{1}{9}}$ = x^{11⋅ $\frac{1}{9}$} = $x^{\frac{11}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{7}{8}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{7}{8}}$ = $x^{7 \cdot \frac{1}{8}}$ = ${(x^{7})}^{\frac{1}{8}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

${(x^{7})}^{\frac{1}{8}}$ = $\sqrt[8]{x^{7}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $25^{\frac{1}{2}}$

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$25^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{2^{27}}{2^{24}}$

Lösung einblenden

$\frac{2^{27}}{2^{24}}$

= $2^{27 - 24}$

= $2^{3}$

= 8

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,49}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${0,49}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{0,49}$

= $0,7$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{3})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(4^{3})}^{- \frac{1}{2}}$

= $4^{3 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $4^{\frac{1}{2} \cdot (- 3)}$

= ${(4^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$

= $\frac{1}{{(\sqrt{4})}^{3}}$

= $\frac{1}{2^{3}}$

= $\frac{1}{8}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[9]{x})}^{3} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[9]{x})}^{3} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}$

= $x^{\frac{3}{9}}$ ⋅ $x^{\frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{3}{9} + \frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{6}{18} + \frac{24}{18}}$

= $x^{\frac{30}{18}}$

= $x^{\frac{5}{3}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[10]{x^{2}} \cdot \sqrt[5]{x^{4}}}{x^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[10]{x^{2}} \cdot \sqrt[5]{x^{4}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{10}}\cdotx^{\frac{4}{5}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{5}}\cdotx^{\frac{4}{5}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{2}}$

= $x^{1 - 2}$

= $x^{- 1}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 u^{- 2}}{\frac{11}{u^{3}}}$

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$\frac{9 u^{- 2}}{\frac{11}{u^{3}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{u^{2}}}{\frac{11}{u^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{u^{2}} \cdot \frac{u^{3}}{11}$

= $\frac{9}{11} u$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen