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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 5 x^{3}}$

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$\frac{1}{x^{3}}$ kann man auch als $x^{- 3}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 5 x^{3}}$ = $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{3}}$ das gleiche wie $- \frac{1}{5} x^{- 3}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[6]{x})}^{5}$

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Eine 6-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{6}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[6]{x})}^{5}$ = ${(x^{\frac{1}{6}})}^{5}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{6}})}^{5}$ = x^{$\frac{1}{6}$ ⋅5} = $x^{\frac{5}{6}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $- \frac{4}{x^{5}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{5}}$ kann man auch als $x^{- 5}$ schreiben.

Also ist $- \frac{4}{x^{5}}$ = $- 4 \cdot \frac{1}{x^{5}}$ das gleiche wie $- 4 x^{- 5}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$81^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2^{15}$ : $2^{11}$

Lösung einblenden

$2^{15}$ : $2^{11}$

= $2^{15 - 11}$

= $2^{4}$

= 16

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${0,008}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,008}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(8^{4})}^{- \frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(8^{4})}^{- \frac{1}{3}}$

= $8^{4 \cdot (- \frac{1}{3})}$

= $8^{\frac{1}{3} \cdot (- 4)}$

= ${(8^{\frac{1}{3}})}^{- 4}$

= $\frac{1}{{(\sqrt[3]{8})}^{4}}$

= $\frac{1}{2^{4}}$

= $\frac{1}{16}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[10]{x})}^{2} \cdot \sqrt[15]{x^{12}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[10]{x})}^{2} \cdot \sqrt[15]{x^{12}}$

= $x^{\frac{2}{10}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{15}}$

= $x^{\frac{2}{10} + \frac{12}{15}}$

= $x^{\frac{6}{30} + \frac{24}{30}}$

= $x^{\frac{30}{30}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[10]{x})}^{2} \cdot {(\sqrt[5]{x})}^{3})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[10]{x})}^{2} \cdot {(\sqrt[5]{x})}^{3})}^{10}$

= ${(x^{\frac{2}{10}} \cdot x^{\frac{3}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{1}{5}} \cdot x^{\frac{3}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{1}{5} + \frac{3}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{4}{5}})}^{10}$

= $x^{\frac{4}{5} \cdot 10}$

= $x^{8}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{12}{u^{2}}}{6 u^{- 3}}$

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$\frac{\frac{12}{u^{2}}}{6 u^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{u^{2}}}{\frac{6}{u^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{u^{2}} \cdot \frac{u^{3}}{6}$

= $2 u$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen