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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $5 x^{- 5}$

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$x^{- 5}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{5}}$ .

Also ist $5 x^{- 5}$ das gleiche wie $5 \cdot \frac{1}{x^{5}}$ = $\frac{5}{x^{5}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{5}{8}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{5}{8}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{8}$} = ${(x^{5})}^{\frac{1}{8}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

${(x^{5})}^{\frac{1}{8}}$ = $\sqrt[8]{x^{5}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\sqrt[5]{x^{4}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[5]{x^{4}}$ = ${(x^{4})}^{\frac{1}{5}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{4})}^{\frac{1}{5}}$ = $x^{\frac{1}{5} \cdot 4}$ = $x^{\frac{4}{5}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $144^{\frac{1}{2}}$

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$144^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{64}{27})}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${(\frac{64}{27})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{64}{27}}$

= $\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{27}}$

= $\frac{4}{3}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,09}^{\frac{3}{2}}$

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${0,09}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,09})}^{3}$

= ${0,3}^{3}$

= $0,027$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(14^{\frac{1}{4}})}^{8}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(14^{\frac{1}{4}})}^{8}$

= $14^{\frac{1}{4} \cdot 8}$

= $14^{2}$

= $196$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x^{3}} \cdot \sqrt[8]{x^{12}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x^{3}} \cdot \sqrt[8]{x^{12}}$

= $x^{\frac{3}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{8}}$

= $x^{\frac{3}{4} + \frac{12}{8}}$

= $x^{\frac{6}{8} + \frac{12}{8}}$

= $x^{\frac{18}{8}}$

= $x^{\frac{9}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[5]{x^{4}} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{18}}{x^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[5]{x^{4}} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{18}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{4}{5}}\cdotx^{\frac{18}{15}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{4}{5}}\cdotx^{\frac{6}{5}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{4}{5} + \frac{6}{5}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{2}}$

= $x^{2 - 2}$

= $x^{0}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{12 v^{- 4}}{\frac{10}{v}}$

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$\frac{12 v^{- 4}}{\frac{10}{v}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{v^{4}}}{\frac{10}{v}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{v^{4}} \cdot \frac{v}{10}$

= $\frac{6}{5 v^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen