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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $4 x^{- 5}$

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$x^{- 5}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{5}}$ .

Also ist $4 x^{- 5}$ das gleiche wie $4 \cdot \frac{1}{x^{5}}$ = $\frac{4}{x^{5}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[3]{x^{5}}$

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Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[3]{x^{5}}$ = ${(x^{5})}^{\frac{1}{3}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{5})}^{\frac{1}{3}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{3}$} = $x^{\frac{5}{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $- \frac{7}{x^{5}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{5}}$ kann man auch als $x^{- 5}$ schreiben.

Also ist $- \frac{7}{x^{5}}$ = $- 7 \cdot \frac{1}{x^{5}}$ das gleiche wie $- 7 x^{- 5}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $100^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$100^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $144^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$144^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{144^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{144}}$

= $\frac{1}{12}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{1}{3}}$

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${0,008}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,008}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(16^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(16^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$

= $16^{- 3 \cdot \frac{1}{2}}$

= $16^{\frac{1}{2} \cdot (- 3)}$

= ${(16^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$

= $\frac{1}{{(\sqrt{16})}^{3}}$

= $\frac{1}{4^{3}}$

= $\frac{1}{64}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[10]{x^{6}} \cdot \sqrt[5]{x^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[10]{x^{6}} \cdot \sqrt[5]{x^{6}}$

= $x^{\frac{6}{10}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{5}}$

= $x^{\frac{6}{10} + \frac{6}{5}}$

= $x^{\frac{6}{10} + \frac{12}{10}}$

= $x^{\frac{18}{10}}$

= $x^{\frac{9}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[15]{x^{12}} \cdot {(\sqrt[10]{x})}^{12}}{\frac{1}{x}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[15]{x^{12}} \cdot {(\sqrt[10]{x})}^{12}}{\frac{1}{x}}$

= $\frac{x^{\frac{12}{15}}\cdotx^{\frac{12}{10}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{4}{5}}\cdotx^{\frac{6}{5}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{4}{5} + \frac{6}{5}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{- 1}}$

= $x^{2 + 1}$

= $x^{3}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{5 v^{- 3}}{\frac{7}{v^{4}}}$

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$\frac{5 v^{- 3}}{\frac{7}{v^{4}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{v^{3}}}{\frac{7}{v^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{v^{3}} \cdot \frac{v^{4}}{7}$

= $\frac{5}{7} v$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen