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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{- 4}{x}$

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$\frac{1}{x}$ kann man auch als $x^{- 1}$ schreiben.

Also ist $\frac{- 4}{x}$ = $- 4 \cdot \frac{1}{x}$ das gleiche wie $- 4 x^{- 1}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{8}{7}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{8}{7}}$ = x^{8⋅ $\frac{1}{7}$} = ${(x^{8})}^{\frac{1}{7}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{7}$} immer das gleiche ist wie die 7-te Wurzel, also:

${(x^{8})}^{\frac{1}{7}}$ = $\sqrt[7]{x^{8}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{11}{8}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{11}{8}}$ = $x^{11 \cdot \frac{1}{8}}$ = ${(x^{11})}^{\frac{1}{8}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

${(x^{11})}^{\frac{1}{8}}$ = $\sqrt[8]{x^{11}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

$27^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{27}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$9^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{9}}$

= $\frac{1}{3}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${0,008}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,008}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(5^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(5^{\frac{1}{3}})}^{3}$

= $5^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

= $5^{1}$

= $5$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}$

= $x^{\frac{2}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{2}{4} + \frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{7}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[9]{x^{6}} \cdot \sqrt[9]{x^{15}})}^{9}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[9]{x^{6}} \cdot \sqrt[9]{x^{15}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{6}{9}} \cdot x^{\frac{15}{9}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{2}{3} + \frac{5}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{7}{3}})}^{9}$

= $x^{\frac{7}{3} \cdot 9}$

= $x^{21}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{11 t^{- 4}}{\frac{10}{t^{2}}}$

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$\frac{11 t^{- 4}}{\frac{10}{t^{2}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{t^{4}}}{\frac{10}{t^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{t^{4}} \cdot \frac{t^{2}}{10}$

= $\frac{11}{10 t^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen