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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $7 x^{- 2}$

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$x^{- 2}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{2}}$ .

Also ist $7 x^{- 2}$ das gleiche wie $7 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{7}{x^{2}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{3}{2}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{3}{2}}$ = x^{3⋅ $\frac{1}{2}$} = ${(x^{3})}^{\frac{1}{2}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{2}$} immer das gleiche ist wie die 2-te Wurzel, also:

${(x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ = $\sqrt{x^{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{{(\sqrt[9]{x})}^{7}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{(\sqrt[9]{x})}^{7}}$ = $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{9}})}^{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{9}})}^{7}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{9} \cdot 7}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{7}{9}}}$ = $x^{- \frac{7}{9}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{\frac{3}{4}}$

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$81^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{81})}^{3}$

= $3^{3}$

= 27

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2^{45}$ : $2^{42}$

Lösung einblenden

$2^{45}$ : $2^{42}$

= $2^{45 - 42}$

= $2^{3}$

= 8

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

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${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0016})}^{3}$

= ${0,2}^{3}$

= $0,008$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{3})}^{\frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(4^{3})}^{\frac{1}{2}}$

= $4^{3 \cdot \frac{1}{2}}$

= $4^{\frac{1}{2} \cdot 3}$

= ${(4^{\frac{1}{2}})}^{3}$

= ${(\sqrt{4})}^{3}$

= $2^{3}$

= $8$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[8]{x^{10}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[8]{x^{10}}$

= $x^{\frac{1}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{1}{4} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{2}{8} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{12}{8}}$

= $x^{\frac{3}{2}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[12]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[12]{x})}^{15})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[12]{x})}^{15})}^{12}$

= ${(x^{\frac{6}{12}} \cdot x^{\frac{15}{12}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{7}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{7}{4} \cdot 12}$

= $x^{21}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 d^{- 1}}{\frac{8}{d^{2}}}$

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$\frac{8 d^{- 1}}{\frac{8}{d^{2}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{8}{d}}{\frac{8}{d^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{8}{d} \cdot \frac{d^{2}}{8}$

= $d$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen