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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 5 x^{- 4}$

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$x^{- 4}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{4}}$ .

Also ist $- 5 x^{- 4}$ das gleiche wie $- 5 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ = $- \frac{5}{x^{4}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[3]{x^{5}}$

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Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[3]{x^{5}}$ = ${(x^{5})}^{\frac{1}{3}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{5})}^{\frac{1}{3}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{3}$} = $x^{\frac{5}{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{{(\sqrt[9]{x})}^{7}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{(\sqrt[9]{x})}^{7}}$ = $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{9}})}^{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{9}})}^{7}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{9} \cdot 7}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{7}{9}}}$ = $x^{- \frac{7}{9}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $100^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$100^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $144^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$144^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{144^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{144}}$

= $\frac{1}{12}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{1}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0001}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{0,0001}$

= $0,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(27^{- 4})}^{\frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(27^{- 4})}^{\frac{1}{3}}$

= $27^{- 4 \cdot \frac{1}{3}}$

= $27^{\frac{1}{3} \cdot (- 4)}$

= ${(27^{\frac{1}{3}})}^{- 4}$

= $\frac{1}{{(\sqrt[3]{27})}^{4}}$

= $\frac{1}{3^{4}}$

= $\frac{1}{81}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[4]{x})}^{3} \cdot \sqrt[8]{x^{10}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x})}^{3} \cdot \sqrt[8]{x^{10}}$

= $x^{\frac{3}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{3}{4} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{6}{8} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{16}{8}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[6]{x^{4}} \cdot \sqrt[3]{x^{5}})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[6]{x^{4}} \cdot \sqrt[3]{x^{5}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{4}{6}} \cdot x^{\frac{5}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{2}{3} + \frac{5}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{7}{3}})}^{6}$

= $x^{\frac{7}{3} \cdot 6}$

= $x^{14}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6 t^{- 2}}{11 t^{- 1}}$

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$\frac{6 t^{- 2}}{11 t^{- 1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{6}{t^{2}}}{\frac{11}{t}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{6}{t^{2}} \cdot \frac{t}{11}$

= $\frac{6}{11 t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen