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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $4 x^{- 7}$

Lösung einblenden

$x^{- 7}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{7}}$ .

Also ist $4 x^{- 7}$ das gleiche wie $4 \cdot \frac{1}{x^{7}}$ = $\frac{4}{x^{7}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{3}{5}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{3}{5}}$ = x^{3⋅ $\frac{1}{5}$} = ${(x^{3})}^{\frac{1}{5}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{5}$} immer das gleiche ist wie die 5-te Wurzel, also:

${(x^{3})}^{\frac{1}{5}}$ = $\sqrt[5]{x^{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{3}{x^{7}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{7}}$ kann man auch als $x^{- 7}$ schreiben.

Also ist $\frac{3}{x^{7}}$ = $3 \cdot \frac{1}{x^{7}}$ das gleiche wie $3 x^{- 7}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

$8^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{8})}^{2}$

= $2^{2}$

= 4

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{27}{64})}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${(\frac{27}{64})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$

= $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}}$

= $\frac{3}{4}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

${0,008}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,008})}^{2}$

= ${0,2}^{2}$

= $0,04$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(16^{- 3})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(16^{- 3})}^{- \frac{1}{2}}$

= $16^{- 3 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $16^{\frac{1}{2} \cdot 3}$

= ${(16^{\frac{1}{2}})}^{3}$

= ${(\sqrt{16})}^{3}$

= $4^{3}$

= $64$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[6]{x})}^{4} \cdot \sqrt[3]{x^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[6]{x})}^{4} \cdot \sqrt[3]{x^{4}}$

= $x^{\frac{4}{6}}$ ⋅ $x^{\frac{4}{3}}$

= $x^{\frac{4}{6} + \frac{4}{3}}$

= $x^{\frac{4}{6} + \frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{12}{6}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[8]{x})}^{6} \cdot \sqrt[8]{x^{12}})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[8]{x})}^{6} \cdot \sqrt[8]{x^{12}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{6}{8}} \cdot x^{\frac{12}{8}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{3}{2}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{3}{4} + \frac{3}{2}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{9}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{9}{4} \cdot 12}$

= $x^{27}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{7 c^{- 1}}{\frac{11}{c^{3}}}$

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$\frac{7 c^{- 1}}{\frac{11}{c^{3}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{7}{c}}{\frac{11}{c^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{7}{c} \cdot \frac{c^{3}}{11}$

= $\frac{7}{11} c^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen