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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{- 5}{x^{4}}$

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$\frac{1}{x^{4}}$ kann man auch als $x^{- 4}$ schreiben.

Also ist $\frac{- 5}{x^{4}}$ = $- 5 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ das gleiche wie $- 5 x^{- 4}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[5]{x^{4}}$

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Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[5]{x^{4}}$ = ${(x^{4})}^{\frac{1}{5}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{4})}^{\frac{1}{5}}$ = x^{4⋅ $\frac{1}{5}$} = $x^{\frac{4}{5}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{1}{2}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{1}{2}}$ = $x^{- 1 \cdot \frac{1}{2}}$ = ${(x)}^{- \frac{1}{2}}$ = $\frac{1}{{(x)}^{\frac{1}{2}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{2}$} immer das gleiche ist wie die 2-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x)}^{\frac{1}{2}}}$ = $\frac{1}{\sqrt{x}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{1}{3}}$

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$27^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{27}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $49^{- \frac{1}{2}}$

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$49^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{49^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{49}}$

= $\frac{1}{7}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,09}^{\frac{3}{2}}$

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${0,09}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,09})}^{3}$

= ${0,3}^{3}$

= $0,027$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(10^{\frac{1}{6}})}^{- 18}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(10^{\frac{1}{6}})}^{- 18}$

= $10^{\frac{1}{6} \cdot (- 18)}$

= $10^{- 3}$

= $\frac{1}{10^{3}}$

= $\frac{1}{1000}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[5]{x^{4}} \cdot {(\sqrt[5]{x})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[5]{x^{4}} \cdot {(\sqrt[5]{x})}^{6}$

= $x^{\frac{4}{5}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{5}}$

= $x^{\frac{4}{5} + \frac{6}{5}}$

= $x^{\frac{10}{5}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[8]{x^{4}} \cdot \sqrt[12]{x^{9}})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[8]{x^{4}} \cdot \sqrt[12]{x^{9}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{4}{8}} \cdot x^{\frac{9}{12}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{3}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{5}{4} \cdot 12}$

= $x^{15}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6 a^{- 3}}{\frac{8}{a^{2}}}$

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$\frac{6 a^{- 3}}{\frac{8}{a^{2}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{6}{a^{3}}}{\frac{8}{a^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{6}{a^{3}} \cdot \frac{a^{2}}{8}$

= $\frac{3}{4 a}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen