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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $x^{- 3}$

Lösung einblenden

$x^{- 3}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{3}}$ .

Also ist $x^{- 3}$ das gleiche wie $1 \cdot \frac{1}{x^{3}}$ = $\frac{1}{x^{3}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[4]{x}$

Lösung einblenden

Eine 4-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{4}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[4]{x}$ = $x^{\frac{1}{4}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $- \frac{4}{x^{2}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{2}}$ kann man auch als $x^{- 2}$ schreiben.

Also ist $- \frac{4}{x^{2}}$ = $- 4 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ das gleiche wie $- 4 x^{- 2}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $144^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$144^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3^{17}$ : $3^{14}$

Lösung einblenden

$3^{17}$ : $3^{14}$

= $3^{17 - 14}$

= $3^{3}$

= 27

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${1,44}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${1,44}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{1,44}$

= $1,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(27^{- 4})}^{- \frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(27^{- 4})}^{- \frac{1}{3}}$

= $27^{- 4 \cdot (- \frac{1}{3})}$

= $27^{\frac{1}{3} \cdot 4}$

= ${(27^{\frac{1}{3}})}^{4}$

= ${(\sqrt[3]{27})}^{4}$

= $3^{4}$

= $81$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[12]{x})}^{6} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{5}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x})}^{6} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{5}$

= $x^{\frac{6}{12}}$ ⋅ $x^{\frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{6}{12} + \frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{6}{12} + \frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{21}{12}}$

= $x^{\frac{7}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[15]{x^{6}} \cdot \sqrt[10]{x^{8}})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[15]{x^{6}} \cdot \sqrt[10]{x^{8}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{6}{15}} \cdot x^{\frac{8}{10}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{2}{5}} \cdot x^{\frac{4}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{2}{5} + \frac{4}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{6}{5}})}^{15}$

= $x^{\frac{6}{5} \cdot 15}$

= $x^{18}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{11 b^{- 2}}{5 b^{- 3}}$

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$\frac{11 b^{- 2}}{5 b^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{b^{2}}}{\frac{5}{b^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{b^{2}} \cdot \frac{b^{3}}{5}$

= $\frac{11}{5} b$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen