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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz, so dass kein Bruch mehr mit einem x vorkommt: $\frac{1}{7 x^{7}}$

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$\frac{1}{x^{7}}$ kann man auch als $x^{- 7}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{7 x^{7}}$ = $\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{x^{7}}$ das gleiche wie $\frac{1}{7} x^{- 7}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{3}{4}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{3}{4}}$ = x^{3⋅ $\frac{1}{4}$} = ${(x^{3})}^{\frac{1}{4}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{4}$} immer das gleiche ist wie die 4-te Wurzel, also:

${(x^{3})}^{\frac{1}{4}}$ = $\sqrt[4]{x^{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe ${(\sqrt[9]{x})}^{8}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[9]{x})}^{8}$ = ${(x^{\frac{1}{9}})}^{8}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{9}})}^{8}$ = $x^{\frac{1}{9} \cdot 8}$ = $x^{\frac{8}{9}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8^{\frac{2}{3}}$

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$8^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{8})}^{2}$

= $2^{2}$

= 4

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4^{30}}{4^{27}}$

Lösung einblenden

$\frac{4^{30}}{4^{27}}$

= $4^{30 - 27}$

= $4^{3}$

= 64

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{1}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0001}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{0,0001}$

= $0,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{13}{10})}^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${({(\frac{13}{10})}^{\frac{1}{2}})}^{4}$

= ${(\frac{13}{10})}^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

= ${(\frac{13}{10})}^{2}$

= $\frac{169}{100}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[12]{x^{3}} \cdot \sqrt[4]{x^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[12]{x^{3}} \cdot \sqrt[4]{x^{2}}$

= $x^{\frac{3}{12}}$ ⋅ $x^{\frac{2}{4}}$

= $x^{\frac{3}{12} + \frac{2}{4}}$

= $x^{\frac{3}{12} + \frac{6}{12}}$

= $x^{\frac{9}{12}}$

= $x^{\frac{3}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{2}{4}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{7}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{7}{4} \cdot 12}$

= $x^{21}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 u^{- 4}}{7 u^{- 3}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 u^{- 4}}{7 u^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{u^{4}}}{\frac{7}{u^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{u^{4}} \cdot \frac{u^{3}}{7}$

= $\frac{9}{7 u}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen