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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 2 x^{3}}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{3}}$ kann man auch als $x^{- 3}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 2 x^{3}}$ = $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{3}}$ das gleiche wie $- \frac{1}{2} x^{- 3}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[9]{x^{8}}$

Lösung einblenden

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[9]{x^{8}}$ = ${(x^{8})}^{\frac{1}{9}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{8})}^{\frac{1}{9}}$ = x^{8⋅ $\frac{1}{9}$} = $x^{\frac{8}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[8]{x^{9}}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[8]{x^{9}}}$ = $\frac{1}{{(x^{9})}^{\frac{1}{8}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{9})}^{\frac{1}{8}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{8} \cdot 9}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{9}{8}}}$ = $x^{- \frac{9}{8}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

$8^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{8}$

= $2$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $36^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$36^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{36^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{36}}$

= $\frac{1}{6}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

${0,001}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,001})}^{2}$

= ${0,1}^{2}$

= $0,01$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(10^{\frac{1}{7}})}^{49}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(10^{\frac{1}{7}})}^{49}$

= $10^{\frac{1}{7} \cdot 49}$

= $10^{7}$

= $10 000 000$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}$

= $x^{\frac{2}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{3}{4}}$

= $x^{\frac{2}{4} + \frac{3}{4}}$

= $x^{\frac{5}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[8]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[12]{x})}^{18})}^{8}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[8]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[12]{x})}^{18})}^{8}$

= ${(x^{\frac{6}{8}} \cdot x^{\frac{18}{12}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{3}{2}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{3}{4} + \frac{3}{2}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{9}{4}})}^{8}$

= $x^{\frac{9}{4} \cdot 8}$

= $x^{18}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{12 s^{- 1}}{9 s^{- 2}}$

Lösung einblenden

$\frac{12 s^{- 1}}{9 s^{- 2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{s}}{\frac{9}{s^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{s} \cdot \frac{s^{2}}{9}$

= $\frac{4}{3} s$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen