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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz, so dass kein Bruch mehr mit einem x vorkommt: $\frac{1}{- 3 x^{7}}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{7}}$ kann man auch als $x^{- 7}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 3 x^{7}}$ = $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{7}}$ das gleiche wie $- \frac{1}{3} x^{- 7}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[3]{x})}^{5}$

Lösung einblenden

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[3]{x})}^{5}$ = ${(x^{\frac{1}{3}})}^{5}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{3}})}^{5}$ = x^{$\frac{1}{3}$ ⋅5} = $x^{\frac{5}{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{6}{x^{2}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{2}}$ kann man auch als $x^{- 2}$ schreiben.

Also ist $\frac{6}{x^{2}}$ = $6 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ das gleiche wie $6 x^{- 2}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

$64^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{64}$

= $4$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 36^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$- 36^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{36}$

= $- 6$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0001})}^{3}$

= ${0,1}^{3}$

= $0,001$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(27^{4})}^{- \frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(27^{4})}^{- \frac{1}{3}}$

= $27^{4 \cdot (- \frac{1}{3})}$

= $27^{\frac{1}{3} \cdot (- 4)}$

= ${(27^{\frac{1}{3}})}^{- 4}$

= $\frac{1}{{(\sqrt[3]{27})}^{4}}$

= $\frac{1}{3^{4}}$

= $\frac{1}{81}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[8]{x^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[8]{x^{4}}$

= $x^{\frac{1}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{4}{8}}$

= $x^{\frac{1}{4} + \frac{4}{8}}$

= $x^{\frac{2}{8} + \frac{4}{8}}$

= $x^{\frac{6}{8}}$

= $x^{\frac{3}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[6]{x^{2}} \cdot \sqrt[9]{x^{12}})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[6]{x^{2}} \cdot \sqrt[9]{x^{12}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{2}{6}} \cdot x^{\frac{12}{9}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{4}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{5}{3}})}^{6}$

= $x^{\frac{5}{3} \cdot 6}$

= $x^{10}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{7 d^{- 4}}{5 d^{- 5}}$

Lösung einblenden

$\frac{7 d^{- 4}}{5 d^{- 5}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{7}{d^{4}}}{\frac{5}{d^{5}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{7}{d^{4}} \cdot \frac{d^{5}}{5}$

= $\frac{7}{5} d$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen