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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- x^{7}}$

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$\frac{1}{x^{7}}$ kann man auch als $x^{- 7}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- x^{7}}$ = $- 1 \cdot \frac{1}{x^{7}}$ das gleiche wie $- x^{- 7}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[7]{x^{5}}$

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Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[7]{x^{5}}$ = ${(x^{5})}^{\frac{1}{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{5})}^{\frac{1}{7}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{7}$} = $x^{\frac{5}{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{7}{9}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{7}{9}}$ = $x^{- 7 \cdot \frac{1}{9}}$ = ${(x^{7})}^{- \frac{1}{9}}$ = $\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{9}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{9}$} immer das gleiche ist wie die 9-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{9}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[9]{x^{7}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{2}{3}}$

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$27^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{27})}^{2}$

= $3^{2}$

= 9

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $1^{44}$ : $1^{39}$

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$1^{44}$ : $1^{39}$

= $1^{44 - 39}$

= $1^{5}$

= 1

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,25}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${0,25}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{0,25}$

= $0,5$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(10^{42})}^{\frac{1}{6}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(10^{42})}^{\frac{1}{6}}$

= $10^{42 \cdot \frac{1}{6}}$

= $10^{7}$

= $10 000 000$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[8]{x})}^{2} \cdot {(\sqrt[12]{x})}^{9}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[8]{x})}^{2} \cdot {(\sqrt[12]{x})}^{9}$

= $x^{\frac{2}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{9}{12}}$

= $x^{\frac{2}{8} + \frac{9}{12}}$

= $x^{\frac{6}{24} + \frac{18}{24}}$

= $x^{\frac{24}{24}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[15]{x})}^{9} \cdot \sqrt[15]{x^{18}})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[15]{x})}^{9} \cdot \sqrt[15]{x^{18}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{9}{15}} \cdot x^{\frac{18}{15}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{6}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5} + \frac{6}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{9}{5}})}^{10}$

= $x^{\frac{9}{5} \cdot 10}$

= $x^{18}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{13 r^{- 4}}{\frac{6}{r^{3}}}$

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$\frac{13 r^{- 4}}{\frac{6}{r^{3}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{13}{r^{4}}}{\frac{6}{r^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{13}{r^{4}} \cdot \frac{r^{3}}{6}$

= $\frac{13}{6 r}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen