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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{- 3}{x^{9}}$

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$\frac{1}{x^{9}}$ kann man auch als $x^{- 9}$ schreiben.

Also ist $\frac{- 3}{x^{9}}$ = $- 3 \cdot \frac{1}{x^{9}}$ das gleiche wie $- 3 x^{- 9}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt{x})}^{3}$

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Eine 2-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{2}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt{x})}^{3}$ = ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ = x^{$\frac{1}{2}$ ⋅3} = $x^{\frac{3}{2}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\sqrt[5]{x^{7}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[5]{x^{7}}$ = ${(x^{7})}^{\frac{1}{5}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{7})}^{\frac{1}{5}}$ = $x^{\frac{1}{5} \cdot 7}$ = $x^{\frac{7}{5}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

$8^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{8}$

= $2$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$81^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{81^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{81}}$

= $\frac{1}{9}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${0,001}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,001}$

= $0,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(4^{\frac{1}{4}})}^{4}$

= $4^{\frac{1}{4} \cdot 4}$

= $4^{1}$

= $4$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[3]{x} \cdot {(\sqrt[3]{x})}^{2}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[3]{x} \cdot {(\sqrt[3]{x})}^{2}$

= $x^{\frac{1}{3}}$ ⋅ $x^{\frac{2}{3}}$

= $x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}$

= $x^{\frac{3}{3}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}}{x}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}}{x}$

= $\frac{x^{\frac{1}{4}}\cdotx^{\frac{3}{4}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{1}}$

= $x^{1 - 1}$

= $x^{0}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{5 b^{- 1}}{\frac{7}{b^{4}}}$

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$\frac{5 b^{- 1}}{\frac{7}{b^{4}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{b}}{\frac{7}{b^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{b} \cdot \frac{b^{4}}{7}$

= $\frac{5}{7} b^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen