Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 3 x^{9}}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{9}}$ kann man auch als $x^{- 9}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 3 x^{9}}$ = $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{9}}$ das gleiche wie $- \frac{1}{3} x^{- 9}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[7]{x^{9}}$

Lösung einblenden

Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[7]{x^{9}}$ = ${(x^{9})}^{\frac{1}{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{9})}^{\frac{1}{7}}$ = x^{9⋅ $\frac{1}{7}$} = $x^{\frac{9}{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{9}{7}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{9}{7}}$ = $x^{- 9 \cdot \frac{1}{7}}$ = ${(x^{9})}^{- \frac{1}{7}}$ = $\frac{1}{{(x^{9})}^{\frac{1}{7}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{7}$} immer das gleiche ist wie die 7-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{9})}^{\frac{1}{7}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[7]{x^{9}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $121^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$121^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{3^{13}}{3^{11}}$

Lösung einblenden

$\frac{3^{13}}{3^{11}}$

= $3^{13 - 11}$

= $3^{2}$

= 9

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${0,008}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,008}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(8^{- 4})}^{- \frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(8^{- 4})}^{- \frac{1}{3}}$

= $8^{- 4 \cdot (- \frac{1}{3})}$

= $8^{\frac{1}{3} \cdot 4}$

= ${(8^{\frac{1}{3}})}^{4}$

= ${(\sqrt[3]{8})}^{4}$

= $2^{4}$

= $16$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[10]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[5]{x})}^{3}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[10]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[5]{x})}^{3}$

= $x^{\frac{2}{10}}$ ⋅ $x^{\frac{3}{5}}$

= $x^{\frac{2}{10} + \frac{3}{5}}$

= $x^{\frac{2}{10} + \frac{6}{10}}$

= $x^{\frac{8}{10}}$

= $x^{\frac{4}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[5]{x^{2}} \cdot \sqrt[10]{x^{6}}}{x}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[5]{x^{2}} \cdot \sqrt[10]{x^{6}}}{x}$

= $\frac{x^{\frac{2}{5}}\cdotx^{\frac{6}{10}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{5}}\cdotx^{\frac{3}{5}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{5} + \frac{3}{5}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{1}}$

= $x^{1 - 1}$

= $x^{0}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{6}{s^{3}}}{6 s^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{6}{s^{3}}}{6 s^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{6}{s^{3}}}{\frac{6}{s^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{6}{s^{3}} \cdot \frac{s^{4}}{6}$

= $s$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen