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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 3 x^{- 9}$

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$x^{- 9}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{9}}$ .

Also ist $- 3 x^{- 9}$ das gleiche wie $- 3 \cdot \frac{1}{x^{9}}$ = $- \frac{3}{x^{9}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[4]{x^{3}}$

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Eine 4-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{4}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[4]{x^{3}}$ = ${(x^{3})}^{\frac{1}{4}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{3})}^{\frac{1}{4}}$ = x^{3⋅ $\frac{1}{4}$} = $x^{\frac{3}{4}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{1}{2}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{1}{2}}$ = $x^{1 \cdot \frac{1}{2}}$ = ${(x)}^{\frac{1}{2}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{2}$} immer das gleiche ist wie die 2-te Wurzel, also:

${(x)}^{\frac{1}{2}}$ = $\sqrt{x}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{2}{3}}$

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$27^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{27})}^{2}$

= $3^{2}$

= 9

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{27}{8})}^{\frac{1}{3}}$

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${(\frac{27}{8})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$

= $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$

= $\frac{3}{2}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

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${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0001})}^{3}$

= ${0,1}^{3}$

= $0,001$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{1}{2})}^{- 6})}^{\frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${({(\frac{1}{2})}^{- 6})}^{\frac{1}{3}}$

= ${(\frac{1}{2})}^{- 6 \cdot \frac{1}{3}}$

= ${(\frac{1}{2})}^{- 2}$

= $\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2}}$

= $\frac{1}{\frac{1}{4}}$

= $4$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[9]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[9]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x^{4}}$

= $x^{\frac{3}{9}}$ ⋅ $x^{\frac{4}{3}}$

= $x^{\frac{3}{9} + \frac{4}{3}}$

= $x^{\frac{3}{9} + \frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{15}{9}}$

= $x^{\frac{5}{3}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[6]{x^{4}} \cdot \sqrt[6]{x^{10}})}^{9}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[6]{x^{4}} \cdot \sqrt[6]{x^{10}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{4}{6}} \cdot x^{\frac{10}{6}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{2}{3} + \frac{5}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{7}{3}})}^{9}$

= $x^{\frac{7}{3} \cdot 9}$

= $x^{21}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{10 t^{- 4}}{6 t^{- 3}}$

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$\frac{10 t^{- 4}}{6 t^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{t^{4}}}{\frac{6}{t^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{t^{4}} \cdot \frac{t^{3}}{6}$

= $\frac{5}{3 t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen