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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{2 x^{8}}$

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$\frac{1}{x^{8}}$ kann man auch als $x^{- 8}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{2 x^{8}}$ = $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{8}}$ das gleiche wie $\frac{1}{2} x^{- 8}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[4]{x}$

Lösung einblenden

Eine 4-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{4}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[4]{x}$ = $x^{\frac{1}{4}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\sqrt[3]{x^{4}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[3]{x^{4}}$ = ${(x^{4})}^{\frac{1}{3}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{4})}^{\frac{1}{3}}$ = $x^{\frac{1}{3} \cdot 4}$ = $x^{\frac{4}{3}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{\frac{1}{4}}$

Lösung einblenden

$81^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{81}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{27}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${(\frac{27}{8})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$

= $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$

= $\frac{3}{2}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{1}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0001}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{0,0001}$

= $0,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{14}{3})}^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${({(\frac{14}{3})}^{\frac{1}{2}})}^{4}$

= ${(\frac{14}{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

= ${(\frac{14}{3})}^{2}$

= $\frac{196}{9}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[12]{x^{9}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[12]{x^{9}}$

= $x^{\frac{2}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{9}{12}}$

= $x^{\frac{2}{4} + \frac{9}{12}}$

= $x^{\frac{6}{12} + \frac{9}{12}}$

= $x^{\frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{5}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[12]{x^{15}})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[12]{x^{15}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{2}{4}} \cdot x^{\frac{15}{12}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{7}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{7}{4} \cdot 12}$

= $x^{21}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{9}{b}}{11 b^{- 2}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{9}{b}}{11 b^{- 2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{b}}{\frac{11}{b^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{b} \cdot \frac{b^{2}}{11}$

= $\frac{9}{11} b$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen