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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: -5 x -3

Lösung einblenden

x -3 ist ja nur eine andere Schreibweise für 1 x 3 .

Also ist -5 x -3 das gleiche wie -5 · 1 x 3 = - 5 x 3 .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: x 6 7

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Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...) 1 7 schreiben, also gilt hier: x 6 7 = ( x 6 ) 1 7

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

( x 6 ) 1 7 = x6⋅ 1 7 = x 6 7

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: x - 1 4
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

x - 1 4 = x -1 · 1 4 = ( x ) - 1 4 = 1 ( x ) 1 4

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...) 1 4 immer das gleiche ist wie die 4-te Wurzel, also:

1 ( x ) 1 4 = 1 x 4

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: 27 1 3

Lösung einblenden

27 1 3

= 27 3

= 3

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ( 27 64 ) 1 3

Lösung einblenden

( 27 64 ) 1 3

= 27 64 3

= 27 3 64 3

= 3 4

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: 0,001 1 3

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0,001 1 3

= 0,001 3

= 0,1

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ( 3 1 5 ) -15

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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( 3 1 5 ) -15

= 3 1 5 · ( -15 )

= 3 -3

= 1 3 3

= 1 27

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: x 2 6 · ( x 9 ) 12

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

x 2 6 · ( x 9 ) 12

= x 2 6 x 12 9

= x 2 6 + 12 9

= x 6 18 + 24 18

= x 30 18

= x 5 3

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ( x 2 3 · x 15 9 ) 9

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

( x 2 3 · x 15 9 ) 9

= ( x 2 3 x 15 9 ) 9

= ( x 2 3 x 5 3 ) 9

= ( x 2 3 + 5 3 ) 9

= ( x 7 3 ) 9

= x 7 3 · 9

= x 21

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: 8 a 8 a -2

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8 a 8 a -2

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= 8 a 8 a 2

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= 8 a · a 2 8

= a