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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $6 x^{- 4}$

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$x^{- 4}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{4}}$ .

Also ist $6 x^{- 4}$ das gleiche wie $6 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ = $\frac{6}{x^{4}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{6}{7}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{6}{7}}$ = x^{6⋅ $\frac{1}{7}$} = ${(x^{6})}^{\frac{1}{7}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{7}$} immer das gleiche ist wie die 7-te Wurzel, also:

${(x^{6})}^{\frac{1}{7}}$ = $\sqrt[7]{x^{6}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\sqrt[7]{x^{9}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[7]{x^{9}}$ = ${(x^{9})}^{\frac{1}{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{9})}^{\frac{1}{7}}$ = $x^{\frac{1}{7} \cdot 9}$ = $x^{\frac{9}{7}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{1}{3}}$

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$27^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{27}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9^{- \frac{1}{2}}$

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$9^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{9}}$

= $\frac{1}{3}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,09}^{\frac{3}{2}}$

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${0,09}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,09})}^{3}$

= ${0,3}^{3}$

= $0,027$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{- 6})}^{- \frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(4^{- 6})}^{- \frac{1}{3}}$

= $4^{- 6 \cdot (- \frac{1}{3})}$

= $4^{2}$

= $16$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^{4}}$

= $x^{\frac{1}{3}}$ ⋅ $x^{\frac{4}{3}}$

= $x^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}}$

= $x^{\frac{5}{3}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(\sqrt[12]{x})}^{3} \cdot {(\sqrt[8]{x})}^{6}}{x}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(\sqrt[12]{x})}^{3} \cdot {(\sqrt[8]{x})}^{6}}{x}$

= $\frac{x^{\frac{3}{12}}\cdotx^{\frac{6}{8}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{4}}\cdotx^{\frac{3}{4}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{1}}$

= $x^{1 - 1}$

= $x^{0}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{10}{a^{3}}}{13 a^{- 4}}$

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$\frac{\frac{10}{a^{3}}}{13 a^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{a^{3}}}{\frac{13}{a^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{a^{3}} \cdot \frac{a^{4}}{13}$

= $\frac{10}{13} a$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen