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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz, so dass kein Bruch mehr mit einem x vorkommt: $\frac{2}{x^{8}}$

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$\frac{1}{x^{8}}$ kann man auch als $x^{- 8}$ schreiben.

Also ist $\frac{2}{x^{8}}$ = $2 \cdot \frac{1}{x^{8}}$ das gleiche wie $2 x^{- 8}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[8]{x})}^{5}$

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Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[8]{x})}^{5}$ = ${(x^{\frac{1}{8}})}^{5}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{8}})}^{5}$ = x^{$\frac{1}{8}$ ⋅5} = $x^{\frac{5}{8}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $4 x^{- 5}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

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$x^{- 5}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{5}}$ .

Also ist $4 x^{- 5}$ das gleiche wie $4 \cdot \frac{1}{x^{5}}$ = $\frac{4}{x^{5}}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $36^{\frac{1}{2}}$

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$36^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2^{32}$ : $2^{29}$

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$2^{32}$ : $2^{29}$

= $2^{32 - 29}$

= $2^{3}$

= 8

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,09}^{\frac{3}{2}}$

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${0,09}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,09})}^{3}$

= ${0,3}^{3}$

= $0,027$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{3}{2})}^{- \frac{1}{6}})}^{- 24}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${({(\frac{3}{2})}^{- \frac{1}{6}})}^{- 24}$

= ${(\frac{3}{2})}^{- \frac{1}{6} \cdot (- 24)}$

= ${(\frac{3}{2})}^{4}$

= $\frac{81}{16}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}$

= $x^{\frac{1}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{1}{4} + \frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{6}{4}}$

= $x^{\frac{3}{2}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3}}\cdotx^{\frac{8}{6}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3}}\cdotx^{\frac{4}{3}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{- 2}}$

= $x^{2 + 2}$

= $x^{4}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{8}{s^{3}}}{7 s^{- 4}}$

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$\frac{\frac{8}{s^{3}}}{7 s^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{8}{s^{3}}}{\frac{7}{s^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{8}{s^{3}} \cdot \frac{s^{4}}{7}$

= $\frac{8}{7} s$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen