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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $x^{- 5}$

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$x^{- 5}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{5}}$ .

Also ist $x^{- 5}$ das gleiche wie $1 \cdot \frac{1}{x^{5}}$ = $\frac{1}{x^{5}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{4}{3}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{4}{3}}$ = x^{4⋅ $\frac{1}{3}$} = ${(x^{4})}^{\frac{1}{3}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{3}$} immer das gleiche ist wie die 3-te Wurzel, also:

${(x^{4})}^{\frac{1}{3}}$ = $\sqrt[3]{x^{4}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ = $\frac{1}{{(x)}^{\frac{1}{3}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x)}^{\frac{1}{3}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{3} \cdot 1}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ = $x^{- \frac{1}{3}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{\frac{2}{3}}$

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$64^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{64})}^{2}$

= $4^{2}$

= 16

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $49^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$49^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{49^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{49}}$

= $\frac{1}{7}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0001})}^{3}$

= ${0,1}^{3}$

= $0,001$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(3^{- \frac{1}{7}})}^{14}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(3^{- \frac{1}{7}})}^{14}$

= $3^{- \frac{1}{7} \cdot 14}$

= $3^{- 2}$

= $\frac{1}{3^{2}}$

= $\frac{1}{9}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[12]{x})}^{3} \cdot \sqrt[12]{x^{9}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x})}^{3} \cdot \sqrt[12]{x^{9}}$

= $x^{\frac{3}{12}}$ ⋅ $x^{\frac{9}{12}}$

= $x^{\frac{3}{12} + \frac{9}{12}}$

= $x^{\frac{12}{12}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[5]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[5]{x})}^{6})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[5]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[5]{x})}^{6})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{6}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5} + \frac{6}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{9}{5}})}^{10}$

= $x^{\frac{9}{5} \cdot 10}$

= $x^{18}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6 a^{- 3}}{8 a^{- 4}}$

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$\frac{6 a^{- 3}}{8 a^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{6}{a^{3}}}{\frac{8}{a^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{6}{a^{3}} \cdot \frac{a^{4}}{8}$

= $\frac{3}{4} a$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen