Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{5 x^{9}}$

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$\frac{1}{x^{9}}$ kann man auch als $x^{- 9}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{5 x^{9}}$ = $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{9}}$ das gleiche wie $\frac{1}{5} x^{- 9}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{7}{6}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{7}{6}}$ = x^{7⋅ $\frac{1}{6}$} = ${(x^{7})}^{\frac{1}{6}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{6}$} immer das gleiche ist wie die 6-te Wurzel, also:

${(x^{7})}^{\frac{1}{6}}$ = $\sqrt[6]{x^{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{7}{x^{4}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{4}}$ kann man auch als $x^{- 4}$ schreiben.

Also ist $\frac{7}{x^{4}}$ = $7 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ das gleiche wie $7 x^{- 4}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{\frac{1}{4}}$

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$81^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{81}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 144^{\frac{1}{2}}$

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$- 144^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{144}$

= $- 12$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{1}{3}}$

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${0,001}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,001}$

= $0,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(1^{- 52})}^{- \frac{1}{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(1^{- 52})}^{- \frac{1}{4}}$

= $1^{- 52 \cdot (- \frac{1}{4})}$

= $1^{13}$

= $1$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x^{3}} \cdot \sqrt[8]{x^{12}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x^{3}} \cdot \sqrt[8]{x^{12}}$

= $x^{\frac{3}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{8}}$

= $x^{\frac{3}{4} + \frac{12}{8}}$

= $x^{\frac{6}{8} + \frac{12}{8}}$

= $x^{\frac{18}{8}}$

= $x^{\frac{9}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[10]{x})}^{6} \cdot \sqrt[10]{x^{12}})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[10]{x})}^{6} \cdot \sqrt[10]{x^{12}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{6}{10}} \cdot x^{\frac{12}{10}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{6}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5} + \frac{6}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{9}{5}})}^{15}$

= $x^{\frac{9}{5} \cdot 15}$

= $x^{27}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{12 t^{- 1}}{12 t^{- 2}}$

Lösung einblenden

$\frac{12 t^{- 1}}{12 t^{- 2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{t}}{\frac{12}{t^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{t} \cdot \frac{t^{2}}{12}$

= $t$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen