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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $x^{- 5}$

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$x^{- 5}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{5}}$ .

Also ist $x^{- 5}$ das gleiche wie $1 \cdot \frac{1}{x^{5}}$ = $\frac{1}{x^{5}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[9]{x})}^{11}$

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Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[9]{x})}^{11}$ = ${(x^{\frac{1}{9}})}^{11}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{9}})}^{11}$ = x^{$\frac{1}{9}$ ⋅11} = $x^{\frac{11}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{5}{8}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{5}{8}}$ = $x^{- 5 \cdot \frac{1}{8}}$ = ${(x^{5})}^{- \frac{1}{8}}$ = $\frac{1}{{(x^{5})}^{\frac{1}{8}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{5})}^{\frac{1}{8}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[8]{x^{5}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $49^{\frac{1}{2}}$

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$49^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{- \frac{1}{2}}$

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$81^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{81^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{81}}$

= $\frac{1}{9}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,81}^{\frac{1}{2}}$

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${0,81}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{0,81}$

= $0,9$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(10^{- \frac{1}{6}})}^{- 48}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(10^{- \frac{1}{6}})}^{- 48}$

= $10^{- \frac{1}{6} \cdot (- 48)}$

= $10^{8}$

= $100 000 000$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[5]{x})}^{3} \cdot \sqrt[15]{x^{12}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[5]{x})}^{3} \cdot \sqrt[15]{x^{12}}$

= $x^{\frac{3}{5}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{15}}$

= $x^{\frac{3}{5} + \frac{12}{15}}$

= $x^{\frac{9}{15} + \frac{12}{15}}$

= $x^{\frac{21}{15}}$

= $x^{\frac{7}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[9]{x})}^{3} \cdot \sqrt[6]{x^{8}})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[9]{x})}^{3} \cdot \sqrt[6]{x^{8}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{3}{9}} \cdot x^{\frac{8}{6}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{4}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{5}{3}})}^{6}$

= $x^{\frac{5}{3} \cdot 6}$

= $x^{10}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 b^{- 1}}{8 b^{- 3}}$

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$\frac{8 b^{- 1}}{8 b^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{8}{b}}{\frac{8}{b^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{8}{b} \cdot \frac{b^{3}}{8}$

= $b^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen