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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $2 x^{- 4}$

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$x^{- 4}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{4}}$ .

Also ist $2 x^{- 4}$ das gleiche wie $2 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ = $\frac{2}{x^{4}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{6}{7}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{6}{7}}$ = x^{6⋅ $\frac{1}{7}$} = ${(x^{6})}^{\frac{1}{7}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{7}$} immer das gleiche ist wie die 7-te Wurzel, also:

${(x^{6})}^{\frac{1}{7}}$ = $\sqrt[7]{x^{6}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe ${(\sqrt[7]{x})}^{5}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[7]{x})}^{5}$ = ${(x^{\frac{1}{7}})}^{5}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{7}})}^{5}$ = $x^{\frac{1}{7} \cdot 5}$ = $x^{\frac{5}{7}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{\frac{2}{3}}$

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$64^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{64})}^{2}$

= $4^{2}$

= 16

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9^{- \frac{1}{2}}$

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$9^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{9}}$

= $\frac{1}{3}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{1}{3}}$

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${0,008}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,008}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(4^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$

= $4^{- 3 \cdot \frac{1}{2}}$

= $4^{\frac{1}{2} \cdot (- 3)}$

= ${(4^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$

= $\frac{1}{{(\sqrt{4})}^{3}}$

= $\frac{1}{2^{3}}$

= $\frac{1}{8}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[12]{x^{6}} \cdot \sqrt[8]{x^{10}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[12]{x^{6}} \cdot \sqrt[8]{x^{10}}$

= $x^{\frac{6}{12}}$ ⋅ $x^{\frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{6}{12} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{12}{24} + \frac{30}{24}}$

= $x^{\frac{42}{24}}$

= $x^{\frac{7}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[4]{x})}^{2} \cdot \sqrt[12]{x^{15}})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[4]{x})}^{2} \cdot \sqrt[12]{x^{15}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{2}{4}} \cdot x^{\frac{15}{12}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{7}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{7}{4} \cdot 12}$

= $x^{21}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{13 t^{- 4}}{6 t^{- 5}}$

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$\frac{13 t^{- 4}}{6 t^{- 5}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{13}{t^{4}}}{\frac{6}{t^{5}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{13}{t^{4}} \cdot \frac{t^{5}}{6}$

= $\frac{13}{6} t$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen