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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $6 x^{- 6}$

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$x^{- 6}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{6}}$ .

Also ist $6 x^{- 6}$ das gleiche wie $6 \cdot \frac{1}{x^{6}}$ = $\frac{6}{x^{6}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{3}{4}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{3}{4}}$ = x^{3⋅ $\frac{1}{4}$} = ${(x^{3})}^{\frac{1}{4}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{4}$} immer das gleiche ist wie die 4-te Wurzel, also:

${(x^{3})}^{\frac{1}{4}}$ = $\sqrt[4]{x^{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\sqrt[3]{x^{4}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[3]{x^{4}}$ = ${(x^{4})}^{\frac{1}{3}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{4})}^{\frac{1}{3}}$ = $x^{\frac{1}{3} \cdot 4}$ = $x^{\frac{4}{3}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $25^{\frac{1}{2}}$

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$25^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 16^{\frac{1}{2}}$

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$- 16^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{16}$

= $- 4$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{1}{3}}$

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${0,008}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,008}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(9^{3})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(9^{3})}^{- \frac{1}{2}}$

= $9^{3 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $9^{\frac{1}{2} \cdot (- 3)}$

= ${(9^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$

= $\frac{1}{{(\sqrt{9})}^{3}}$

= $\frac{1}{3^{3}}$

= $\frac{1}{27}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[8]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[12]{x})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[8]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[12]{x})}^{6}$

= $x^{\frac{2}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{12}}$

= $x^{\frac{2}{8} + \frac{6}{12}}$

= $x^{\frac{6}{24} + \frac{12}{24}}$

= $x^{\frac{18}{24}}$

= $x^{\frac{3}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[5]{x^{2}} \cdot \sqrt[5]{x^{4}})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[5]{x^{2}} \cdot \sqrt[5]{x^{4}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{2}{5}} \cdot x^{\frac{4}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{2}{5} + \frac{4}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{6}{5}})}^{15}$

= $x^{\frac{6}{5} \cdot 15}$

= $x^{18}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{13 b^{- 2}}{8 b^{- 4}}$

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$\frac{13 b^{- 2}}{8 b^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{13}{b^{2}}}{\frac{8}{b^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{13}{b^{2}} \cdot \frac{b^{4}}{8}$

= $\frac{13}{8} b^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen