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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{- 3}{x^{4}}$

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$\frac{1}{x^{4}}$ kann man auch als $x^{- 4}$ schreiben.

Also ist $\frac{- 3}{x^{4}}$ = $- 3 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ das gleiche wie $- 3 x^{- 4}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{1}{2}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{2}$} immer das gleiche ist wie die 2-te Wurzel, also:

$x^{\frac{1}{2}}$ = $\sqrt{x}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[4]{x^{5}}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 4-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{4}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[4]{x^{5}}}$ = $\frac{1}{{(x^{5})}^{\frac{1}{4}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{5})}^{\frac{1}{4}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{4} \cdot 5}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{5}{4}}}$ = $x^{- \frac{5}{4}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{1}{3}}$

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$27^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{27}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9^{- \frac{1}{2}}$

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$9^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{9}}$

= $\frac{1}{3}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

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${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0016})}^{3}$

= ${0,2}^{3}$

= $0,008$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(1^{- \frac{1}{3}})}^{- 21}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(1^{- \frac{1}{3}})}^{- 21}$

= $1^{- \frac{1}{3} \cdot (- 21)}$

= $1^{7}$

= $1$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x^{3}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x^{3}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}$

= $x^{\frac{3}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{3}{4} + \frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{8}{4}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}}{x^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3}}\cdotx^{\frac{12}{9}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3}}\cdotx^{\frac{4}{3}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{2}}$

= $x^{2 - 2}$

= $x^{0}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{12 c^{- 4}}{\frac{10}{c^{3}}}$

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$\frac{12 c^{- 4}}{\frac{10}{c^{3}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{c^{4}}}{\frac{10}{c^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{c^{4}} \cdot \frac{c^{3}}{10}$

= $\frac{6}{5 c}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen