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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $5 x^{- 7}$

Lösung einblenden

$x^{- 7}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{7}}$ .

Also ist $5 x^{- 7}$ das gleiche wie $5 \cdot \frac{1}{x^{7}}$ = $\frac{5}{x^{7}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[7]{x^{6}}$

Lösung einblenden

Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[7]{x^{6}}$ = ${(x^{6})}^{\frac{1}{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{6})}^{\frac{1}{7}}$ = x^{6⋅ $\frac{1}{7}$} = $x^{\frac{6}{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{2}{x^{5}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{5}}$ kann man auch als $x^{- 5}$ schreiben.

Also ist $\frac{2}{x^{5}}$ = $2 \cdot \frac{1}{x^{5}}$ das gleiche wie $2 x^{- 5}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$9^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{64}{27})}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${(\frac{64}{27})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{64}{27}}$

= $\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{27}}$

= $\frac{4}{3}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0016})}^{3}$

= ${0,2}^{3}$

= $0,008$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{- \frac{1}{7}})}^{- 7}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(4^{- \frac{1}{7}})}^{- 7}$

= $4^{- \frac{1}{7} \cdot (- 7)}$

= $4^{1}$

= $4$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[3]{x})}^{2} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[3]{x})}^{2} \cdot \sqrt[9]{x^{12}}$

= $x^{\frac{2}{3}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{2}{3} + \frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{6}{9} + \frac{12}{9}}$

= $x^{\frac{18}{9}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[12]{x^{6}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}})}^{8}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x^{6}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{6}{12}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{7}{4}})}^{8}$

= $x^{\frac{7}{4} \cdot 8}$

= $x^{14}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{12}{c^{4}}}{6 c^{- 2}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{12}{c^{4}}}{6 c^{- 2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{c^{4}}}{\frac{6}{c^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{c^{4}} \cdot \frac{c^{2}}{6}$

= $\frac{2}{c^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen