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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $5 x^{- 6}$

Lösung einblenden

$x^{- 6}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{6}}$ .

Also ist $5 x^{- 6}$ das gleiche wie $5 \cdot \frac{1}{x^{6}}$ = $\frac{5}{x^{6}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt{x^{3}}$

Lösung einblenden

Eine 2-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{2}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt{x^{3}}$ = ${(x^{3})}^{\frac{1}{2}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ = x^{3⋅ $\frac{1}{2}$} = $x^{\frac{3}{2}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $4 x^{- 7}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

$x^{- 7}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{7}}$ .

Also ist $4 x^{- 7}$ das gleiche wie $4 \cdot \frac{1}{x^{7}}$ = $\frac{4}{x^{7}}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$4^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $1^{29}$ : $1^{24}$

Lösung einblenden

$1^{29}$ : $1^{24}$

= $1^{29 - 24}$

= $1^{5}$

= 1

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${1,21}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${1,21}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{1,21}$

= $1,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(5^{- \frac{1}{5}})}^{- 5}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(5^{- \frac{1}{5}})}^{- 5}$

= $5^{- \frac{1}{5} \cdot (- 5)}$

= $5^{1}$

= $5$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[3]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{8}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[3]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{8}$

= $x^{\frac{2}{3}}$ ⋅ $x^{\frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{2}{3} + \frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{4}{6} + \frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{12}{6}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[10]{x})}^{6} \cdot \sqrt[5]{x^{6}})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[10]{x})}^{6} \cdot \sqrt[5]{x^{6}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{6}{10}} \cdot x^{\frac{6}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{6}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5} + \frac{6}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{9}{5}})}^{10}$

= $x^{\frac{9}{5} \cdot 10}$

= $x^{18}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{11}{d}}{12 d^{- 3}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{11}{d}}{12 d^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{d}}{\frac{12}{d^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{d} \cdot \frac{d^{3}}{12}$

= $\frac{11}{12} d^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen