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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 4 x^{- 7}$

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$x^{- 7}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{7}}$ .

Also ist $- 4 x^{- 7}$ das gleiche wie $- 4 \cdot \frac{1}{x^{7}}$ = $- \frac{4}{x^{7}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{11}{9}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{11}{9}}$ = x^{11⋅ $\frac{1}{9}$} = ${(x^{11})}^{\frac{1}{9}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{9}$} immer das gleiche ist wie die 9-te Wurzel, also:

${(x^{11})}^{\frac{1}{9}}$ = $\sqrt[9]{x^{11}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{{(\sqrt[8]{x})}^{7}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{(\sqrt[8]{x})}^{7}}$ = $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{8}})}^{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{8}})}^{7}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{8} \cdot 7}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{7}{8}}}$ = $x^{- \frac{7}{8}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $16^{\frac{1}{2}}$

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$16^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $25^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$25^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{25^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{25}}$

= $\frac{1}{5}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${1,21}^{\frac{1}{2}}$

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${1,21}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{1,21}$

= $1,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(27^{4})}^{\frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(27^{4})}^{\frac{1}{3}}$

= $27^{4 \cdot \frac{1}{3}}$

= $27^{\frac{1}{3} \cdot 4}$

= ${(27^{\frac{1}{3}})}^{4}$

= ${(\sqrt[3]{27})}^{4}$

= $3^{4}$

= $81$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[3]{x})}^{2} \cdot \sqrt[3]{x^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[3]{x})}^{2} \cdot \sqrt[3]{x^{4}}$

= $x^{\frac{2}{3}}$ ⋅ $x^{\frac{4}{3}}$

= $x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}$

= $x^{\frac{6}{3}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[8]{x^{10}})}^{8}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[8]{x^{10}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{2}{4}} \cdot x^{\frac{10}{8}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{7}{4}})}^{8}$

= $x^{\frac{7}{4} \cdot 8}$

= $x^{14}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{12 s^{- 3}}{\frac{5}{s}}$

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$\frac{12 s^{- 3}}{\frac{5}{s}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{s^{3}}}{\frac{5}{s}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{s^{3}} \cdot \frac{s}{5}$

= $\frac{12}{5 s^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen