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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 7 x^{5}}$

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$\frac{1}{x^{5}}$ kann man auch als $x^{- 5}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 7 x^{5}}$ = $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{x^{5}}$ das gleiche wie $- \frac{1}{7} x^{- 5}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[8]{x})}^{11}$

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Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[8]{x})}^{11}$ = ${(x^{\frac{1}{8}})}^{11}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{8}})}^{11}$ = x^{$\frac{1}{8}$ ⋅11} = $x^{\frac{11}{8}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{2}{3}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{2}{3}}$ = $x^{- 2 \cdot \frac{1}{3}}$ = ${(x^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ = $\frac{1}{{(x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{3}$} immer das gleiche ist wie die 3-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8^{\frac{2}{3}}$

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$8^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{8})}^{2}$

= $2^{2}$

= 4

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $49^{- \frac{1}{2}}$

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$49^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{49^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{49}}$

= $\frac{1}{7}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{1}{3}}$

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${0,001}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,001}$

= $0,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{3}{2})}^{- \frac{1}{6}})}^{- 18}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${({(\frac{3}{2})}^{- \frac{1}{6}})}^{- 18}$

= ${(\frac{3}{2})}^{- \frac{1}{6} \cdot (- 18)}$

= ${(\frac{3}{2})}^{3}$

= $\frac{27}{8}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[12]{x^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[12]{x^{6}}$

= $x^{\frac{1}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{12}}$

= $x^{\frac{1}{4} + \frac{6}{12}}$

= $x^{\frac{3}{12} + \frac{6}{12}}$

= $x^{\frac{9}{12}}$

= $x^{\frac{3}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[15]{x^{6}} \cdot \sqrt[10]{x^{8}})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[15]{x^{6}} \cdot \sqrt[10]{x^{8}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{6}{15}} \cdot x^{\frac{8}{10}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{2}{5}} \cdot x^{\frac{4}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{2}{5} + \frac{4}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{6}{5}})}^{10}$

= $x^{\frac{6}{5} \cdot 10}$

= $x^{12}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 t^{- 4}}{\frac{7}{t^{3}}}$

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$\frac{8 t^{- 4}}{\frac{7}{t^{3}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{8}{t^{4}}}{\frac{7}{t^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{8}{t^{4}} \cdot \frac{t^{3}}{7}$

= $\frac{8}{7 t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen