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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 6 x^{9}}$

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$\frac{1}{x^{9}}$ kann man auch als $x^{- 9}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 6 x^{9}}$ = $- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x^{9}}$ das gleiche wie $- \frac{1}{6} x^{- 9}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[3]{x})}^{4}$

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Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[3]{x})}^{4}$ = ${(x^{\frac{1}{3}})}^{4}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{3}})}^{4}$ = x^{$\frac{1}{3}$ ⋅4} = $x^{\frac{4}{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{{(\sqrt[7]{x})}^{6}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{(\sqrt[7]{x})}^{6}}$ = $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{7}})}^{6}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{7}})}^{6}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{7} \cdot 6}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{6}{7}}}$ = $x^{- \frac{6}{7}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $100^{\frac{1}{2}}$

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$100^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $100^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$100^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{100^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{100}}$

= $\frac{1}{10}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0016}^{\frac{1}{4}}$

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${0,0016}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{0,0016}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(3^{- 21})}^{- \frac{1}{7}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(3^{- 21})}^{- \frac{1}{7}}$

= $3^{- 21 \cdot (- \frac{1}{7})}$

= $3^{3}$

= $27$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[9]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{8}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[9]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{8}$

= $x^{\frac{6}{9}}$ ⋅ $x^{\frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{6}{9} + \frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{12}{18} + \frac{24}{18}}$

= $x^{\frac{36}{18}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[15]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[10]{x})}^{6})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[15]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[10]{x})}^{6})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{15}} \cdot x^{\frac{6}{10}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{1}{5}} \cdot x^{\frac{3}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{1}{5} + \frac{3}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{4}{5}})}^{10}$

= $x^{\frac{4}{5} \cdot 10}$

= $x^{8}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{8}{c^{2}}}{11 c^{- 3}}$

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$\frac{\frac{8}{c^{2}}}{11 c^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{8}{c^{2}}}{\frac{11}{c^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{8}{c^{2}} \cdot \frac{c^{3}}{11}$

= $\frac{8}{11} c$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen