Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 3 x^{- 8}$

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$x^{- 8}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{8}}$ .

Also ist $- 3 x^{- 8}$ das gleiche wie $- 3 \cdot \frac{1}{x^{8}}$ = $- \frac{3}{x^{8}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[8]{x})}^{7}$

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Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[8]{x})}^{7}$ = ${(x^{\frac{1}{8}})}^{7}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{8}})}^{7}$ = x^{$\frac{1}{8}$ ⋅7} = $x^{\frac{7}{8}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $- \frac{7}{x^{4}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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$\frac{1}{x^{4}}$ kann man auch als $x^{- 4}$ schreiben.

Also ist $- \frac{7}{x^{4}}$ = $- 7 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ das gleiche wie $- 7 x^{- 4}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $100^{\frac{1}{2}}$

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$100^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{27}{8})}^{\frac{1}{3}}$

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${(\frac{27}{8})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$

= $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$

= $\frac{3}{2}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,09}^{\frac{3}{2}}$

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${0,09}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,09})}^{3}$

= ${0,3}^{3}$

= $0,027$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(19^{10})}^{\frac{1}{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(19^{10})}^{\frac{1}{5}}$

= $19^{10 \cdot \frac{1}{5}}$

= $19^{2}$

= $361$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[12]{x})}^{3} \cdot \sqrt[8]{x^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x})}^{3} \cdot \sqrt[8]{x^{6}}$

= $x^{\frac{3}{12}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{8}}$

= $x^{\frac{3}{12} + \frac{6}{8}}$

= $x^{\frac{6}{24} + \frac{18}{24}}$

= $x^{\frac{24}{24}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[12]{x})}^{3} \cdot \sqrt[8]{x^{10}})}^{4}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[12]{x})}^{3} \cdot \sqrt[8]{x^{10}})}^{4}$

= ${(x^{\frac{3}{12}} \cdot x^{\frac{10}{8}})}^{4}$

= ${(x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{4}$

= ${(x^{\frac{1}{4} + \frac{5}{4}})}^{4}$

= ${(x^{\frac{3}{2}})}^{4}$

= $x^{\frac{3}{2} \cdot 4}$

= $x^{6}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 r^{- 3}}{13 r^{- 1}}$

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$\frac{9 r^{- 3}}{13 r^{- 1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{r^{3}}}{\frac{13}{r}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{r^{3}} \cdot \frac{r}{13}$

= $\frac{9}{13 r^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen