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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 5 x^{- 9}$

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$x^{- 9}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{9}}$ .

Also ist $- 5 x^{- 9}$ das gleiche wie $- 5 \cdot \frac{1}{x^{9}}$ = $- \frac{5}{x^{9}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[4]{x})}^{5}$

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Eine 4-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{4}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[4]{x})}^{5}$ = ${(x^{\frac{1}{4}})}^{5}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{4}})}^{5}$ = x^{$\frac{1}{4}$ ⋅5} = $x^{\frac{5}{4}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $- \frac{4}{x^{3}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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$\frac{1}{x^{3}}$ kann man auch als $x^{- 3}$ schreiben.

Also ist $- \frac{4}{x^{3}}$ = $- 4 \cdot \frac{1}{x^{3}}$ das gleiche wie $- 4 x^{- 3}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $16^{\frac{1}{4}}$

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$16^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{16}$

= $2$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2^{18}$ : $2^{14}$

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$2^{18}$ : $2^{14}$

= $2^{18 - 14}$

= $2^{4}$

= 16

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,16}^{\frac{3}{2}}$

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${0,16}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,16})}^{3}$

= ${0,4}^{3}$

= $0,064$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{19}{2})}^{- 12})}^{- \frac{1}{6}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${({(\frac{19}{2})}^{- 12})}^{- \frac{1}{6}}$

= ${(\frac{19}{2})}^{- 12 \cdot (- \frac{1}{6})}$

= ${(\frac{19}{2})}^{2}$

= $\frac{361}{4}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[12]{x})}^{9} \cdot \sqrt[12]{x^{18}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x})}^{9} \cdot \sqrt[12]{x^{18}}$

= $x^{\frac{9}{12}}$ ⋅ $x^{\frac{18}{12}}$

= $x^{\frac{9}{12} + \frac{18}{12}}$

= $x^{\frac{27}{12}}$

= $x^{\frac{9}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[12]{x^{15}})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x^{2}} \cdot \sqrt[12]{x^{15}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{2}{4}} \cdot x^{\frac{15}{12}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{7}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{7}{4} \cdot 12}$

= $x^{21}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{12}{r^{4}}}{9 r^{- 3}}$

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$\frac{\frac{12}{r^{4}}}{9 r^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{r^{4}}}{\frac{9}{r^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{r^{4}} \cdot \frac{r^{3}}{9}$

= $\frac{4}{3 r}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen