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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 3 x^{8}}$

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$\frac{1}{x^{8}}$ kann man auch als $x^{- 8}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 3 x^{8}}$ = $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{8}}$ das gleiche wie $- \frac{1}{3} x^{- 8}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[6]{x})}^{7}$

Lösung einblenden

Eine 6-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{6}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[6]{x})}^{7}$ = ${(x^{\frac{1}{6}})}^{7}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{6}})}^{7}$ = x^{$\frac{1}{6}$ ⋅7} = $x^{\frac{7}{6}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[4]{x}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 4-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{4}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[4]{x}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ = $x^{- \frac{1}{4}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

$64^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{64})}^{2}$

= $4^{2}$

= 16

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{27}{64})}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${(\frac{27}{64})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$

= $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}}$

= $\frac{3}{4}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${1,44}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${1,44}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{1,44}$

= $1,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(3^{- 12})}^{- \frac{1}{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(3^{- 12})}^{- \frac{1}{4}}$

= $3^{- 12 \cdot (- \frac{1}{4})}$

= $3^{3}$

= $27$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{3}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{3}$

= $x^{\frac{2}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{3}{4}}$

= $x^{\frac{2}{4} + \frac{3}{4}}$

= $x^{\frac{5}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[12]{x^{3}} \cdot \sqrt[12]{x^{9}}}{x^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[12]{x^{3}} \cdot \sqrt[12]{x^{9}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{12}}\cdotx^{\frac{9}{12}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{4}}\cdotx^{\frac{3}{4}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{2}}$

= $x^{1 - 2}$

= $x^{- 1}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 c^{- 3}}{\frac{9}{c}}$

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$\frac{8 c^{- 3}}{\frac{9}{c}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{8}{c^{3}}}{\frac{9}{c}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{8}{c^{3}} \cdot \frac{c}{9}$

= $\frac{8}{9 c^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen