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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{x^{2}}$

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$\frac{1}{x^{2}}$ kann man auch als $x^{- 2}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{x^{2}}$ = $1 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ das gleiche wie $x^{- 2}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{7}{5}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{7}{5}}$ = x^{7⋅ $\frac{1}{5}$} = ${(x^{7})}^{\frac{1}{5}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{5}$} immer das gleiche ist wie die 5-te Wurzel, also:

${(x^{7})}^{\frac{1}{5}}$ = $\sqrt[5]{x^{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{8}{7}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{8}{7}}$ = $x^{- 8 \cdot \frac{1}{7}}$ = ${(x^{8})}^{- \frac{1}{7}}$ = $\frac{1}{{(x^{8})}^{\frac{1}{7}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{7}$} immer das gleiche ist wie die 7-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{8})}^{\frac{1}{7}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[7]{x^{8}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8^{\frac{2}{3}}$

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$8^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{8})}^{2}$

= $2^{2}$

= 4

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 16^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$- 16^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{16}$

= $- 4$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0016})}^{3}$

= ${0,2}^{3}$

= $0,008$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(8^{- 4})}^{\frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(8^{- 4})}^{\frac{1}{3}}$

= $8^{- 4 \cdot \frac{1}{3}}$

= $8^{\frac{1}{3} \cdot (- 4)}$

= ${(8^{\frac{1}{3}})}^{- 4}$

= $\frac{1}{{(\sqrt[3]{8})}^{4}}$

= $\frac{1}{2^{4}}$

= $\frac{1}{16}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[6]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[9]{x})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[6]{x^{2}} \cdot {(\sqrt[9]{x})}^{6}$

= $x^{\frac{2}{6}}$ ⋅ $x^{\frac{6}{9}}$

= $x^{\frac{2}{6} + \frac{6}{9}}$

= $x^{\frac{6}{18} + \frac{12}{18}}$

= $x^{\frac{18}{18}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[8]{x^{6}} \cdot \sqrt[12]{x^{15}}}{\frac{1}{x}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[8]{x^{6}} \cdot \sqrt[12]{x^{15}}}{\frac{1}{x}}$

= $\frac{x^{\frac{6}{8}}\cdotx^{\frac{15}{12}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{4}}\cdotx^{\frac{5}{4}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{4} + \frac{5}{4}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{- 1}}$

= $x^{2 + 1}$

= $x^{3}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{11 t^{- 1}}{\frac{11}{t^{2}}}$

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$\frac{11 t^{- 1}}{\frac{11}{t^{2}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{t}}{\frac{11}{t^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{t} \cdot \frac{t^{2}}{11}$

= $t$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen