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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{4 x^{4}}$

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$\frac{1}{x^{4}}$ kann man auch als $x^{- 4}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{4 x^{4}}$ = $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}}$ das gleiche wie $\frac{1}{4} x^{- 4}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{4}{3}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{4}{3}}$ = x^{4⋅ $\frac{1}{3}$} = ${(x^{4})}^{\frac{1}{3}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{3}$} immer das gleiche ist wie die 3-te Wurzel, also:

${(x^{4})}^{\frac{1}{3}}$ = $\sqrt[3]{x^{4}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{{(\sqrt[7]{x})}^{8}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{(\sqrt[7]{x})}^{8}}$ = $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{7}})}^{8}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{7}})}^{8}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{7} \cdot 8}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{8}{7}}}$ = $x^{- \frac{8}{7}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$4^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3^{18}$ : $3^{16}$

Lösung einblenden

$3^{18}$ : $3^{16}$

= $3^{18 - 16}$

= $3^{2}$

= 9

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${0,001}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,001}$

= $0,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(10^{- 16})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(10^{- 16})}^{- \frac{1}{2}}$

= $10^{- 16 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $10^{8}$

= $100 000 000$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[6]{x})}^{4} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{8}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[6]{x})}^{4} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{8}$

= $x^{\frac{4}{6}}$ ⋅ $x^{\frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{4}{6} + \frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{12}{6}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(\sqrt[15]{x})}^{3} \cdot \sqrt[5]{x^{4}}}{x}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(\sqrt[15]{x})}^{3} \cdot \sqrt[5]{x^{4}}}{x}$

= $\frac{x^{\frac{3}{15}}\cdotx^{\frac{4}{5}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{5}}\cdotx^{\frac{4}{5}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{1}}$

= $x^{1 - 1}$

= $x^{0}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{5 c^{- 3}}{7 c^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{5 c^{- 3}}{7 c^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{c^{3}}}{\frac{7}{c^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{c^{3}} \cdot \frac{c^{4}}{7}$

= $\frac{5}{7} c$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen