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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 3 x^{- 3}$

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$x^{- 3}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{3}}$ .

Also ist $- 3 x^{- 3}$ das gleiche wie $- 3 \cdot \frac{1}{x^{3}}$ = $- \frac{3}{x^{3}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{6}{5}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{6}{5}}$ = x^{6⋅ $\frac{1}{5}$} = ${(x^{6})}^{\frac{1}{5}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{5}$} immer das gleiche ist wie die 5-te Wurzel, also:

${(x^{6})}^{\frac{1}{5}}$ = $\sqrt[5]{x^{6}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt{x}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 2-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{2}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt{x}}$ = $\frac{1}{{(x)}^{\frac{1}{2}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x)}^{\frac{1}{2}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 1}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ = $x^{- \frac{1}{2}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8^{\frac{2}{3}}$

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$8^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{8})}^{2}$

= $2^{2}$

= 4

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 144^{\frac{1}{2}}$

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$- 144^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{144}$

= $- 12$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,49}^{\frac{1}{2}}$

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${0,49}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{0,49}$

= $0,7$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{2}{3})}^{8})}^{- \frac{1}{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${({(\frac{2}{3})}^{8})}^{- \frac{1}{4}}$

= ${(\frac{2}{3})}^{8 \cdot (- \frac{1}{4})}$

= ${(\frac{2}{3})}^{- 2}$

= $\frac{1}{{(\frac{2}{3})}^{2}}$

= $\frac{1}{\frac{4}{9}}$

= $\frac{9}{4}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[15]{x^{3}} \cdot \sqrt[15]{x^{12}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[15]{x^{3}} \cdot \sqrt[15]{x^{12}}$

= $x^{\frac{3}{15}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{15}}$

= $x^{\frac{3}{15} + \frac{12}{15}}$

= $x^{\frac{15}{15}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[15]{x^{3}} \cdot \sqrt[10]{x^{4}})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[15]{x^{3}} \cdot \sqrt[10]{x^{4}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{15}} \cdot x^{\frac{4}{10}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{1}{5}} \cdot x^{\frac{2}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{1}{5} + \frac{2}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5}})}^{15}$

= $x^{\frac{3}{5} \cdot 15}$

= $x^{9}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6 s^{- 1}}{10 s^{- 4}}$

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$\frac{6 s^{- 1}}{10 s^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{6}{s}}{\frac{10}{s^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{6}{s} \cdot \frac{s^{4}}{10}$

= $\frac{3}{5} s^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen