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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz, so dass kein Bruch mehr mit einem x vorkommt: $\frac{1}{5 x^{8}}$

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$\frac{1}{x^{8}}$ kann man auch als $x^{- 8}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{5 x^{8}}$ = $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{8}}$ das gleiche wie $\frac{1}{5} x^{- 8}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{7}{9}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{7}{9}}$ = x^{7⋅ $\frac{1}{9}$} = ${(x^{7})}^{\frac{1}{9}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{9}$} immer das gleiche ist wie die 9-te Wurzel, also:

${(x^{7})}^{\frac{1}{9}}$ = $\sqrt[9]{x^{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[8]{x^{7}}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[8]{x^{7}}}$ = $\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{8}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{8}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{8} \cdot 7}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{7}{8}}}$ = $x^{- \frac{7}{8}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$9^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $100^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$100^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{100^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{100}}$

= $\frac{1}{10}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${1,21}^{\frac{1}{2}}$

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${1,21}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{1,21}$

= $1,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(5^{- 12})}^{- \frac{1}{6}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(5^{- 12})}^{- \frac{1}{6}}$

= $5^{- 12 \cdot (- \frac{1}{6})}$

= $5^{2}$

= $25$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[10]{x^{6}} \cdot \sqrt[10]{x^{12}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[10]{x^{6}} \cdot \sqrt[10]{x^{12}}$

= $x^{\frac{6}{10}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{10}}$

= $x^{\frac{6}{10} + \frac{12}{10}}$

= $x^{\frac{18}{10}}$

= $x^{\frac{9}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[12]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{5})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x^{6}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{5})}^{12}$

= ${(x^{\frac{6}{12}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{7}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{7}{4} \cdot 12}$

= $x^{21}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{9}{c^{3}}}{11 c^{- 1}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{9}{c^{3}}}{11 c^{- 1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{c^{3}}}{\frac{11}{c}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{c^{3}} \cdot \frac{c}{11}$

= $\frac{9}{11 c^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen