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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 2 x^{8}}$

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$\frac{1}{x^{8}}$ kann man auch als $x^{- 8}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 2 x^{8}}$ = $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{8}}$ das gleiche wie $- \frac{1}{2} x^{- 8}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{9}{8}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{9}{8}}$ = x^{9⋅ $\frac{1}{8}$} = ${(x^{9})}^{\frac{1}{8}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

${(x^{9})}^{\frac{1}{8}}$ = $\sqrt[8]{x^{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{11}{9}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{11}{9}}$ = $x^{- 11 \cdot \frac{1}{9}}$ = ${(x^{11})}^{- \frac{1}{9}}$ = $\frac{1}{{(x^{11})}^{\frac{1}{9}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{9}$} immer das gleiche ist wie die 9-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{11})}^{\frac{1}{9}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[9]{x^{11}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $16^{\frac{1}{4}}$

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$16^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{16}$

= $2$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{64}{27})}^{\frac{1}{3}}$

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${(\frac{64}{27})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{64}{27}}$

= $\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{27}}$

= $\frac{4}{3}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

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${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0016})}^{3}$

= ${0,2}^{3}$

= $0,008$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{- \frac{1}{2}})}^{- 4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(4^{- \frac{1}{2}})}^{- 4}$

= $4^{- \frac{1}{2} \cdot (- 4)}$

= $4^{2}$

= $16$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[8]{x^{4}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[8]{x^{4}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}$

= $x^{\frac{4}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{3}{4}}$

= $x^{\frac{4}{8} + \frac{3}{4}}$

= $x^{\frac{4}{8} + \frac{6}{8}}$

= $x^{\frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{5}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[12]{x^{9}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{5}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[12]{x^{9}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{5}}{\frac{1}{x^{2}}}$

= $\frac{x^{\frac{9}{12}}\cdotx^{\frac{5}{4}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{4}}\cdotx^{\frac{5}{4}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{4} + \frac{5}{4}}}{x^{- 2}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{- 2}}$

= $x^{2 + 2}$

= $x^{4}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{7 r^{- 2}}{\frac{9}{r^{3}}}$

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$\frac{7 r^{- 2}}{\frac{9}{r^{3}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{7}{r^{2}}}{\frac{9}{r^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{7}{r^{2}} \cdot \frac{r^{3}}{9}$

= $\frac{7}{9} r$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen