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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $5 x^{- 2}$

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$x^{- 2}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{2}}$ .

Also ist $5 x^{- 2}$ das gleiche wie $5 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{5}{x^{2}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{3}{2}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{3}{2}}$ = x^{3⋅ $\frac{1}{2}$} = ${(x^{3})}^{\frac{1}{2}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{2}$} immer das gleiche ist wie die 2-te Wurzel, also:

${(x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ = $\sqrt{x^{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{8}{9}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{8}{9}}$ = $x^{- 8 \cdot \frac{1}{9}}$ = ${(x^{8})}^{- \frac{1}{9}}$ = $\frac{1}{{(x^{8})}^{\frac{1}{9}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{9}$} immer das gleiche ist wie die 9-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{8})}^{\frac{1}{9}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[9]{x^{8}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{\frac{1}{3}}$

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$64^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{64}$

= $4$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2^{29}$ : $2^{26}$

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$2^{29}$ : $2^{26}$

= $2^{29 - 26}$

= $2^{3}$

= 8

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{2}{3}}$

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${0,001}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,001})}^{2}$

= ${0,1}^{2}$

= $0,01$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(5^{10})}^{\frac{1}{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(5^{10})}^{\frac{1}{5}}$

= $5^{10 \cdot \frac{1}{5}}$

= $5^{2}$

= $25$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[3]{x} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{8}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[3]{x} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{8}$

= $x^{\frac{1}{3}}$ ⋅ $x^{\frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{1}{3} + \frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{2}{6} + \frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{10}{6}}$

= $x^{\frac{5}{3}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[12]{x^{6}} \cdot \sqrt[12]{x^{9}})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x^{6}} \cdot \sqrt[12]{x^{9}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{6}{12}} \cdot x^{\frac{9}{12}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{3}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{5}{4} \cdot 12}$

= $x^{15}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{12 v^{- 3}}{11 v^{- 4}}$

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$\frac{12 v^{- 3}}{11 v^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{v^{3}}}{\frac{11}{v^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{v^{3}} \cdot \frac{v^{4}}{11}$

= $\frac{12}{11} v$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen