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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $6 x^{- 2}$

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$x^{- 2}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{2}}$ .

Also ist $6 x^{- 2}$ das gleiche wie $6 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{6}{x^{2}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[7]{x})}^{9}$

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Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[7]{x})}^{9}$ = ${(x^{\frac{1}{7}})}^{9}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{7}})}^{9}$ = x^{$\frac{1}{7}$ ⋅9} = $x^{\frac{9}{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[5]{x^{7}}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[5]{x^{7}}}$ = $\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{5}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{5}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{5} \cdot 7}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{7}{5}}}$ = $x^{- \frac{7}{5}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $144^{\frac{1}{2}}$

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$144^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2^{14}$ : $2^{11}$

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$2^{14}$ : $2^{11}$

= $2^{14 - 11}$

= $2^{3}$

= 8

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${1,21}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${1,21}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{1,21}$

= $1,1$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(19^{14})}^{- \frac{1}{7}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(19^{14})}^{- \frac{1}{7}}$

= $19^{14 \cdot (- \frac{1}{7})}$

= $19^{- 2}$

= $\frac{1}{19^{2}}$

= $\frac{1}{361}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[8]{x})}^{4} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[8]{x})}^{4} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}$

= $x^{\frac{4}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{4}{8} + \frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{4}{8} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{14}{8}}$

= $x^{\frac{7}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[6]{x^{2}} \cdot \sqrt[3]{x^{4}})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[6]{x^{2}} \cdot \sqrt[3]{x^{4}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{2}{6}} \cdot x^{\frac{4}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{4}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{5}{3}})}^{6}$

= $x^{\frac{5}{3} \cdot 6}$

= $x^{10}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{5 v^{- 2}}{\frac{5}{v^{3}}}$

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$\frac{5 v^{- 2}}{\frac{5}{v^{3}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{v^{2}}}{\frac{5}{v^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{v^{2}} \cdot \frac{v^{3}}{5}$

= $v$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen