Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 6 x^{4}}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{4}}$ kann man auch als $x^{- 4}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 6 x^{4}}$ = $- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x^{4}}$ das gleiche wie $- \frac{1}{6} x^{- 4}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[7]{x^{6}}$

Lösung einblenden

Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[7]{x^{6}}$ = ${(x^{6})}^{\frac{1}{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{6})}^{\frac{1}{7}}$ = x^{6⋅ $\frac{1}{7}$} = $x^{\frac{6}{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{5}{x^{2}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{2}}$ kann man auch als $x^{- 2}$ schreiben.

Also ist $\frac{5}{x^{2}}$ = $5 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ das gleiche wie $5 x^{- 2}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

$27^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{27}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 25^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$- 25^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{25}$

= $- 5$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

${0,001}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,001})}^{2}$

= ${0,1}^{2}$

= $0,01$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{2}{5})}^{6})}^{\frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${({(\frac{2}{5})}^{6})}^{\frac{1}{3}}$

= ${(\frac{2}{5})}^{6 \cdot \frac{1}{3}}$

= ${(\frac{2}{5})}^{2}$

= $\frac{4}{25}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[5]{x} \cdot \sqrt[5]{x^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[5]{x} \cdot \sqrt[5]{x^{3}}$

= $x^{\frac{1}{5}}$ ⋅ $x^{\frac{3}{5}}$

= $x^{\frac{1}{5} + \frac{3}{5}}$

= $x^{\frac{4}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[8]{x})}^{4} \cdot \sqrt[12]{x^{15}})}^{8}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[8]{x})}^{4} \cdot \sqrt[12]{x^{15}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{4}{8}} \cdot x^{\frac{15}{12}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{7}{4}})}^{8}$

= $x^{\frac{7}{4} \cdot 8}$

= $x^{14}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 d^{- 1}}{\frac{13}{d^{2}}}$

Lösung einblenden

$\frac{8 d^{- 1}}{\frac{13}{d^{2}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{8}{d}}{\frac{13}{d^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{8}{d} \cdot \frac{d^{2}}{13}$

= $\frac{8}{13} d$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen