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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $2 x^{- 5}$

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$x^{- 5}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{5}}$ .

Also ist $2 x^{- 5}$ das gleiche wie $2 \cdot \frac{1}{x^{5}}$ = $\frac{2}{x^{5}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{1}{3}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{3}$} immer das gleiche ist wie die 3-te Wurzel, also:

$x^{\frac{1}{3}}$ = $\sqrt[3]{x}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{4}{x^{5}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{5}}$ kann man auch als $x^{- 5}$ schreiben.

Also ist $\frac{4}{x^{5}}$ = $4 \cdot \frac{1}{x^{5}}$ das gleiche wie $4 x^{- 5}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $36^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$36^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{1^{15}}{1^{10}}$

Lösung einblenden

$\frac{1^{15}}{1^{10}}$

= $1^{15 - 10}$

= $1^{5}$

= 1

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0016}^{\frac{1}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0016}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{0,0016}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(4^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$

= $4^{- 3 \cdot \frac{1}{2}}$

= $4^{\frac{1}{2} \cdot (- 3)}$

= ${(4^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$

= $\frac{1}{{(\sqrt{4})}^{3}}$

= $\frac{1}{2^{3}}$

= $\frac{1}{8}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[5]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[5]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{12}$

= $x^{\frac{3}{5}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{15}}$

= $x^{\frac{3}{5} + \frac{12}{15}}$

= $x^{\frac{9}{15} + \frac{12}{15}}$

= $x^{\frac{21}{15}}$

= $x^{\frac{7}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[8]{x^{4}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{5})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[8]{x^{4}} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{5})}^{12}$

= ${(x^{\frac{4}{8}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{7}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{7}{4} \cdot 12}$

= $x^{21}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{6}{t^{3}}}{12 t^{- 2}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{6}{t^{3}}}{12 t^{- 2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{6}{t^{3}}}{\frac{12}{t^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{6}{t^{3}} \cdot \frac{t^{2}}{12}$

= $\frac{1}{2 t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen