Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $5 x^{- 3}$

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$x^{- 3}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{3}}$ .

Also ist $5 x^{- 3}$ das gleiche wie $5 \cdot \frac{1}{x^{3}}$ = $\frac{5}{x^{3}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[8]{x})}^{7}$

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Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[8]{x})}^{7}$ = ${(x^{\frac{1}{8}})}^{7}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{8}})}^{7}$ = x^{$\frac{1}{8}$ ⋅7} = $x^{\frac{7}{8}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{{(\sqrt[6]{x})}^{7}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 6-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{6}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{(\sqrt[6]{x})}^{7}}$ = $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{6}})}^{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{6}})}^{7}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{6} \cdot 7}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{7}{6}}}$ = $x^{- \frac{7}{6}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $100^{\frac{1}{2}}$

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$100^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $144^{- \frac{1}{2}}$

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$144^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{144^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{144}}$

= $\frac{1}{12}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{2}{3}}$

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${0,001}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,001})}^{2}$

= ${0,1}^{2}$

= $0,01$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{18})}^{- \frac{1}{6}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(4^{18})}^{- \frac{1}{6}}$

= $4^{18 \cdot (- \frac{1}{6})}$

= $4^{- 3}$

= $\frac{1}{4^{3}}$

= $\frac{1}{64}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[8]{x})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[8]{x})}^{10}$

= $x^{\frac{3}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{3}{4} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{6}{8} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{16}{8}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[15]{x^{9}} \cdot \sqrt[15]{x^{18}})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[15]{x^{9}} \cdot \sqrt[15]{x^{18}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{9}{15}} \cdot x^{\frac{18}{15}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{6}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5} + \frac{6}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{9}{5}})}^{10}$

= $x^{\frac{9}{5} \cdot 10}$

= $x^{18}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{10 u^{- 1}}{\frac{9}{u^{2}}}$

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$\frac{10 u^{- 1}}{\frac{9}{u^{2}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{u}}{\frac{9}{u^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{u} \cdot \frac{u^{2}}{9}$

= $\frac{10}{9} u$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen