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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $7 x^{- 7}$

Lösung einblenden

$x^{- 7}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{7}}$ .

Also ist $7 x^{- 7}$ das gleiche wie $7 \cdot \frac{1}{x^{7}}$ = $\frac{7}{x^{7}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[7]{x})}^{5}$

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Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[7]{x})}^{5}$ = ${(x^{\frac{1}{7}})}^{5}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{7}})}^{5}$ = x^{$\frac{1}{7}$ ⋅5} = $x^{\frac{5}{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $5 x^{- 7}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

$x^{- 7}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{7}}$ .

Also ist $5 x^{- 7}$ das gleiche wie $5 \cdot \frac{1}{x^{7}}$ = $\frac{5}{x^{7}}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $64^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$64^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $16^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$16^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{16^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{16}}$

= $\frac{1}{4}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{1}{3}}$

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${0,008}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{0,008}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(27^{4})}^{\frac{1}{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(27^{4})}^{\frac{1}{3}}$

= $27^{4 \cdot \frac{1}{3}}$

= $27^{\frac{1}{3} \cdot 4}$

= ${(27^{\frac{1}{3}})}^{4}$

= ${(\sqrt[3]{27})}^{4}$

= $3^{4}$

= $81$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[15]{x^{12}} \cdot \sqrt[10]{x^{12}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[15]{x^{12}} \cdot \sqrt[10]{x^{12}}$

= $x^{\frac{12}{15}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{10}}$

= $x^{\frac{12}{15} + \frac{12}{10}}$

= $x^{\frac{24}{30} + \frac{36}{30}}$

= $x^{\frac{60}{30}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[8]{x^{4}} \cdot \sqrt[12]{x^{15}})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[8]{x^{4}} \cdot \sqrt[12]{x^{15}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{4}{8}} \cdot x^{\frac{15}{12}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{7}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{7}{4} \cdot 12}$

= $x^{21}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{12 r^{- 3}}{5 r^{- 2}}$

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$\frac{12 r^{- 3}}{5 r^{- 2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{r^{3}}}{\frac{5}{r^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{r^{3}} \cdot \frac{r^{2}}{5}$

= $\frac{12}{5 r}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen