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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 3 x}$

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$\frac{1}{x}$ kann man auch als $x^{- 1}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 3 x}$ = $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x}$ das gleiche wie $- \frac{1}{3} x^{- 1}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[9]{x})}^{8}$

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Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[9]{x})}^{8}$ = ${(x^{\frac{1}{9}})}^{8}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{9}})}^{8}$ = x^{$\frac{1}{9}$ ⋅8} = $x^{\frac{8}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{{(\sqrt[5]{x})}^{3}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{(\sqrt[5]{x})}^{3}}$ = $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{5}})}^{3}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{5}})}^{3}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{5} \cdot 3}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$ = $x^{- \frac{3}{5}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{1}{3}}$

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$27^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{27}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 144^{\frac{1}{2}}$

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$- 144^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{144}$

= $- 12$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

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${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0016})}^{3}$

= ${0,2}^{3}$

= $0,008$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(16^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(16^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$

= $16^{- 3 \cdot \frac{1}{2}}$

= $16^{\frac{1}{2} \cdot (- 3)}$

= ${(16^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$

= $\frac{1}{{(\sqrt{16})}^{3}}$

= $\frac{1}{4^{3}}$

= $\frac{1}{64}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[9]{x})}^{3} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[9]{x})}^{3} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}$

= $x^{\frac{3}{9}}$ ⋅ $x^{\frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{3}{9} + \frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{6}{18} + \frac{24}{18}}$

= $x^{\frac{30}{18}}$

= $x^{\frac{5}{3}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[3]{x} \cdot {(\sqrt[3]{x})}^{4})}^{9}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[3]{x} \cdot {(\sqrt[3]{x})}^{4})}^{9}$

= ${(x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{4}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{5}{3}})}^{9}$

= $x^{\frac{5}{3} \cdot 9}$

= $x^{15}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{13 u^{- 3}}{12 u^{- 2}}$

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$\frac{13 u^{- 3}}{12 u^{- 2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{13}{u^{3}}}{\frac{12}{u^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{13}{u^{3}} \cdot \frac{u^{2}}{12}$

= $\frac{13}{12 u}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen