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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 2 x^{- 2}$

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$x^{- 2}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{2}}$ .

Also ist $- 2 x^{- 2}$ das gleiche wie $- 2 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ = $- \frac{2}{x^{2}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{1}{3}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{3}$} immer das gleiche ist wie die 3-te Wurzel, also:

$x^{\frac{1}{3}}$ = $\sqrt[3]{x}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{9}{7}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

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Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{9}{7}}$ = $x^{9 \cdot \frac{1}{7}}$ = ${(x^{9})}^{\frac{1}{7}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{7}$} immer das gleiche ist wie die 7-te Wurzel, also:

${(x^{9})}^{\frac{1}{7}}$ = $\sqrt[7]{x^{9}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{1}{3}}$

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$27^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{27}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 36^{\frac{1}{2}}$

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$- 36^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{36}$

= $- 6$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{2}{3}}$

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${0,008}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,008})}^{2}$

= ${0,2}^{2}$

= $0,04$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(3^{- 20})}^{- \frac{1}{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(3^{- 20})}^{- \frac{1}{5}}$

= $3^{- 20 \cdot (- \frac{1}{5})}$

= $3^{4}$

= $81$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[8]{x^{6}} \cdot \sqrt[12]{x^{15}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[8]{x^{6}} \cdot \sqrt[12]{x^{15}}$

= $x^{\frac{6}{8}}$ ⋅ $x^{\frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{6}{8} + \frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{18}{24} + \frac{30}{24}}$

= $x^{\frac{48}{24}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[5]{x} \cdot \sqrt[15]{x^{12}}}{\frac{1}{x}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[5]{x} \cdot \sqrt[15]{x^{12}}}{\frac{1}{x}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{5}}\cdotx^{\frac{12}{15}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{5}}\cdotx^{\frac{4}{5}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{- 1}}$

= $x^{1 + 1}$

= $x^{2}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{13}{b}}{8 b^{- 4}}$

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$\frac{\frac{13}{b}}{8 b^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{13}{b}}{\frac{8}{b^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{13}{b} \cdot \frac{b^{4}}{8}$

= $\frac{13}{8} b^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen