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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 2 x^{- 3}$

Lösung einblenden

$x^{- 3}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{3}}$ .

Also ist $- 2 x^{- 3}$ das gleiche wie $- 2 \cdot \frac{1}{x^{3}}$ = $- \frac{2}{x^{3}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{5}{8}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{5}{8}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{8}$} = ${(x^{5})}^{\frac{1}{8}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

${(x^{5})}^{\frac{1}{8}}$ = $\sqrt[8]{x^{5}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $- \frac{7}{x^{7}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{7}}$ kann man auch als $x^{- 7}$ schreiben.

Also ist $- \frac{7}{x^{7}}$ = $- 7 \cdot \frac{1}{x^{7}}$ das gleiche wie $- 7 x^{- 7}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $36^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$36^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4^{45}}{4^{43}}$

Lösung einblenden

$\frac{4^{45}}{4^{43}}$

= $4^{45 - 43}$

= $4^{2}$

= 16

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,04}^{\frac{3}{2}}$

Lösung einblenden

${0,04}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,04})}^{3}$

= ${0,2}^{3}$

= $0,008$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(16^{- 3})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(16^{- 3})}^{- \frac{1}{2}}$

= $16^{- 3 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $16^{\frac{1}{2} \cdot 3}$

= ${(16^{\frac{1}{2}})}^{3}$

= ${(\sqrt{16})}^{3}$

= $4^{3}$

= $64$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[10]{x})}^{8} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{18}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[10]{x})}^{8} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{18}$

= $x^{\frac{8}{10}}$ ⋅ $x^{\frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{8}{10} + \frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{24}{30} + \frac{36}{30}}$

= $x^{\frac{60}{30}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[4]{x^{3}} \cdot \sqrt[8]{x^{12}})}^{8}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x^{3}} \cdot \sqrt[8]{x^{12}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{12}{8}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{3}{2}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{3}{4} + \frac{3}{2}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{9}{4}})}^{8}$

= $x^{\frac{9}{4} \cdot 8}$

= $x^{18}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{13}{v^{4}}}{11 v^{- 3}}$

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$\frac{\frac{13}{v^{4}}}{11 v^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{13}{v^{4}}}{\frac{11}{v^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{13}{v^{4}} \cdot \frac{v^{3}}{11}$

= $\frac{13}{11 v}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen