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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 2 x^{- 9}$

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$x^{- 9}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{9}}$ .

Also ist $- 2 x^{- 9}$ das gleiche wie $- 2 \cdot \frac{1}{x^{9}}$ = $- \frac{2}{x^{9}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[8]{x})}^{5}$

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Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[8]{x})}^{5}$ = ${(x^{\frac{1}{8}})}^{5}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{8}})}^{5}$ = x^{$\frac{1}{8}$ ⋅5} = $x^{\frac{5}{8}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $- \frac{2}{x^{3}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{3}}$ kann man auch als $x^{- 3}$ schreiben.

Also ist $- \frac{2}{x^{3}}$ = $- 2 \cdot \frac{1}{x^{3}}$ das gleiche wie $- 2 x^{- 3}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4^{\frac{1}{2}}$

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$4^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 16^{\frac{1}{2}}$

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$- 16^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{16}$

= $- 4$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,04}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${0,04}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{0,04}$

= $0,2$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(3^{\frac{1}{7}})}^{14}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(3^{\frac{1}{7}})}^{14}$

= $3^{\frac{1}{7} \cdot 14}$

= $3^{2}$

= $9$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[15]{x})}^{6} \cdot \sqrt[15]{x^{18}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[15]{x})}^{6} \cdot \sqrt[15]{x^{18}}$

= $x^{\frac{6}{15}}$ ⋅ $x^{\frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{6}{15} + \frac{18}{15}}$

= $x^{\frac{24}{15}}$

= $x^{\frac{8}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[12]{x})}^{6} \cdot \sqrt[4]{x^{5}})}^{12}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[12]{x})}^{6} \cdot \sqrt[4]{x^{5}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{6}{12}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{7}{4}})}^{12}$

= $x^{\frac{7}{4} \cdot 12}$

= $x^{21}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{5 a^{- 1}}{\frac{8}{a^{2}}}$

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$\frac{5 a^{- 1}}{\frac{8}{a^{2}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{a}}{\frac{8}{a^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{a} \cdot \frac{a^{2}}{8}$

= $\frac{5}{8} a$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen