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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $4 x^{- 4}$

Lösung einblenden

$x^{- 4}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{4}}$ .

Also ist $4 x^{- 4}$ das gleiche wie $4 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ = $\frac{4}{x^{4}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[6]{x^{7}}$

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Eine 6-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{6}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[6]{x^{7}}$ = ${(x^{7})}^{\frac{1}{6}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{7})}^{\frac{1}{6}}$ = x^{7⋅ $\frac{1}{6}$} = $x^{\frac{7}{6}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{{(\sqrt[9]{x})}^{8}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{(\sqrt[9]{x})}^{8}}$ = $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{9}})}^{8}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{9}})}^{8}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{9} \cdot 8}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{8}{9}}}$ = $x^{- \frac{8}{9}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8^{\frac{2}{3}}$

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$8^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{8})}^{2}$

= $2^{2}$

= 4

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 121^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$- 121^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{121}$

= $- 11$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{2}{3}}$

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${0,008}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,008})}^{2}$

= ${0,2}^{2}$

= $0,04$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(2^{- \frac{1}{6}})}^{- 36}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(2^{- \frac{1}{6}})}^{- 36}$

= $2^{- \frac{1}{6} \cdot (- 36)}$

= $2^{6}$

= $64$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[4]{x})}^{2} \cdot \sqrt[8]{x^{10}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x})}^{2} \cdot \sqrt[8]{x^{10}}$

= $x^{\frac{2}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{2}{4} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{4}{8} + \frac{10}{8}}$

= $x^{\frac{14}{8}}$

= $x^{\frac{7}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[5]{x} \cdot \sqrt[15]{x^{12}}}{x^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[5]{x} \cdot \sqrt[15]{x^{12}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{5}}\cdotx^{\frac{12}{15}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{5}}\cdotx^{\frac{4}{5}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}}}{x^{2}}$

= $\frac{x^{1}}{x^{2}}$

= $x^{1 - 2}$

= $x^{- 1}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{8}{c^{4}}}{6 c^{- 3}}$

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$\frac{\frac{8}{c^{4}}}{6 c^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{8}{c^{4}}}{\frac{6}{c^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{8}{c^{4}} \cdot \frac{c^{3}}{6}$

= $\frac{4}{3 c}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen