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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $7 x^{- 9}$

Lösung einblenden

$x^{- 9}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{9}}$ .

Also ist $7 x^{- 9}$ das gleiche wie $7 \cdot \frac{1}{x^{9}}$ = $\frac{7}{x^{9}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[3]{x^{2}}$

Lösung einblenden

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[3]{x^{2}}$ = ${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ = x^{2⋅ $\frac{1}{3}$} = $x^{\frac{2}{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[9]{x^{7}}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[9]{x^{7}}}$ = $\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{9}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{9}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{9} \cdot 7}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{7}{9}}}$ = $x^{- \frac{7}{9}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $25^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$25^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{27}{64})}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${(\frac{27}{64})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$

= $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}}$

= $\frac{3}{4}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0001})}^{3}$

= ${0,1}^{3}$

= $0,001$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(3^{- \frac{1}{7}})}^{21}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(3^{- \frac{1}{7}})}^{21}$

= $3^{- \frac{1}{7} \cdot 21}$

= $3^{- 3}$

= $\frac{1}{3^{3}}$

= $\frac{1}{27}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[6]{x^{4}} \cdot \sqrt[3]{x^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[6]{x^{4}} \cdot \sqrt[3]{x^{5}}$

= $x^{\frac{4}{6}}$ ⋅ $x^{\frac{5}{3}}$

= $x^{\frac{4}{6} + \frac{5}{3}}$

= $x^{\frac{4}{6} + \frac{10}{6}}$

= $x^{\frac{14}{6}}$

= $x^{\frac{7}{3}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[6]{x^{8}})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[6]{x^{8}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{8}{6}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{4}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{5}{3}})}^{6}$

= $x^{\frac{5}{3} \cdot 6}$

= $x^{10}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{10}{r}}{8 r^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{\frac{10}{r}}{8 r^{- 4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{r}}{\frac{8}{r^{4}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{r} \cdot \frac{r^{4}}{8}$

= $\frac{5}{4} r^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen