Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 5 x^{6}}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{6}}$ kann man auch als $x^{- 6}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 5 x^{6}}$ = $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{6}}$ das gleiche wie $- \frac{1}{5} x^{- 6}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[8]{x^{7}}$

Lösung einblenden

Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[8]{x^{7}}$ = ${(x^{7})}^{\frac{1}{8}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{7})}^{\frac{1}{8}}$ = x^{7⋅ $\frac{1}{8}$} = $x^{\frac{7}{8}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{- \frac{7}{6}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{- \frac{7}{6}}$ = $x^{- 7 \cdot \frac{1}{6}}$ = ${(x^{7})}^{- \frac{1}{6}}$ = $\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{6}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{6}$} immer das gleiche ist wie die 6-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{(x^{7})}^{\frac{1}{6}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[6]{x^{7}}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$4^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $25^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$25^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{25^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{25}}$

= $\frac{1}{5}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0001})}^{3}$

= ${0,1}^{3}$

= $0,001$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(3^{- 16})}^{- \frac{1}{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(3^{- 16})}^{- \frac{1}{4}}$

= $3^{- 16 \cdot (- \frac{1}{4})}$

= $3^{4}$

= $81$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x^{3}} \cdot \sqrt[8]{x^{12}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x^{3}} \cdot \sqrt[8]{x^{12}}$

= $x^{\frac{3}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{8}}$

= $x^{\frac{3}{4} + \frac{12}{8}}$

= $x^{\frac{6}{8} + \frac{12}{8}}$

= $x^{\frac{18}{8}}$

= $x^{\frac{9}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[12]{x^{9}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}}{\frac{1}{x}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[12]{x^{9}} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}}{\frac{1}{x}}$

= $\frac{x^{\frac{9}{12}}\cdotx^{\frac{5}{4}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{4}}\cdotx^{\frac{5}{4}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{\frac{3}{4} + \frac{5}{4}}}{x^{- 1}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{- 1}}$

= $x^{2 + 1}$

= $x^{3}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{11 a^{- 4}}{10 a^{- 5}}$

Lösung einblenden

$\frac{11 a^{- 4}}{10 a^{- 5}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{a^{4}}}{\frac{10}{a^{5}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{a^{4}} \cdot \frac{a^{5}}{10}$

= $\frac{11}{10} a$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen