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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{x^{8}}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{8}}$ kann man auch als $x^{- 8}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{x^{8}}$ = $1 \cdot \frac{1}{x^{8}}$ das gleiche wie $x^{- 8}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[7]{x^{9}}$

Lösung einblenden

Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[7]{x^{9}}$ = ${(x^{9})}^{\frac{1}{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{9})}^{\frac{1}{7}}$ = x^{9⋅ $\frac{1}{7}$} = $x^{\frac{9}{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{5}{8}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{5}{8}}$ = $x^{5 \cdot \frac{1}{8}}$ = ${(x^{5})}^{\frac{1}{8}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

${(x^{5})}^{\frac{1}{8}}$ = $\sqrt[8]{x^{5}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $16^{\frac{1}{4}}$

Lösung einblenden

$16^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{16}$

= $2$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{27}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${(\frac{27}{8})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$

= $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$

= $\frac{3}{2}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0001})}^{3}$

= ${0,1}^{3}$

= $0,001$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(5^{14})}^{\frac{1}{7}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(5^{14})}^{\frac{1}{7}}$

= $5^{14 \cdot \frac{1}{7}}$

= $5^{2}$

= $25$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[9]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{8}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[9]{x^{3}} \cdot {(\sqrt[6]{x})}^{8}$

= $x^{\frac{3}{9}}$ ⋅ $x^{\frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{3}{9} + \frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{6}{18} + \frac{24}{18}}$

= $x^{\frac{30}{18}}$

= $x^{\frac{5}{3}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[12]{x^{3}} \cdot \sqrt[12]{x^{15}})}^{6}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x^{3}} \cdot \sqrt[12]{x^{15}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{3}{12}} \cdot x^{\frac{15}{12}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{1}{4} + \frac{5}{4}})}^{6}$

= ${(x^{\frac{3}{2}})}^{6}$

= $x^{\frac{3}{2} \cdot 6}$

= $x^{9}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{11 b^{- 2}}{5 b^{- 3}}$

Lösung einblenden

$\frac{11 b^{- 2}}{5 b^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{b^{2}}}{\frac{5}{b^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{b^{2}} \cdot \frac{b^{3}}{5}$

= $\frac{11}{5} b$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen