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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{x^{7}}$

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$\frac{1}{x^{7}}$ kann man auch als $x^{- 7}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{x^{7}}$ = $1 \cdot \frac{1}{x^{7}}$ das gleiche wie $x^{- 7}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[9]{x})}^{11}$

Lösung einblenden

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[9]{x})}^{11}$ = ${(x^{\frac{1}{9}})}^{11}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{9}})}^{11}$ = x^{$\frac{1}{9}$ ⋅11} = $x^{\frac{11}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{3}{x^{4}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{4}}$ kann man auch als $x^{- 4}$ schreiben.

Also ist $\frac{3}{x^{4}}$ = $3 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ das gleiche wie $3 x^{- 4}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $25^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$25^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3^{22}$ : $3^{20}$

Lösung einblenden

$3^{22}$ : $3^{20}$

= $3^{22 - 20}$

= $3^{2}$

= 9

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0001})}^{3}$

= ${0,1}^{3}$

= $0,001$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(10^{- 42})}^{\frac{1}{6}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(10^{- 42})}^{\frac{1}{6}}$

= $10^{- 42 \cdot \frac{1}{6}}$

= $10^{- 7}$

= $\frac{1}{10^{7}}$

= $\frac{1}{10000000}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[5]{x} \cdot \sqrt[10]{x^{8}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[5]{x} \cdot \sqrt[10]{x^{8}}$

= $x^{\frac{1}{5}}$ ⋅ $x^{\frac{8}{10}}$

= $x^{\frac{1}{5} + \frac{8}{10}}$

= $x^{\frac{2}{10} + \frac{8}{10}}$

= $x^{\frac{10}{10}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[4]{x} \cdot {(\sqrt[12]{x})}^{15})}^{4}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x} \cdot {(\sqrt[12]{x})}^{15})}^{4}$

= ${(x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{15}{12}})}^{4}$

= ${(x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{4}$

= ${(x^{\frac{1}{4} + \frac{5}{4}})}^{4}$

= ${(x^{\frac{3}{2}})}^{4}$

= $x^{\frac{3}{2} \cdot 4}$

= $x^{6}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{5 b^{- 4}}{11 b^{- 5}}$

Lösung einblenden

$\frac{5 b^{- 4}}{11 b^{- 5}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{b^{4}}}{\frac{11}{b^{5}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{b^{4}} \cdot \frac{b^{5}}{11}$

= $\frac{5}{11} b$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen