Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{2}{x}$

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$\frac{1}{x}$ kann man auch als $x^{- 1}$ schreiben.

Also ist $\frac{2}{x}$ = $2 \cdot \frac{1}{x}$ das gleiche wie $2 x^{- 1}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{1}{4}}$
(Nutze dazu eine Wurzelterm.)

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Wir können ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{4}$} immer das gleiche ist wie die 4-te Wurzel, also:

$x^{\frac{1}{4}}$ = $\sqrt[4]{x}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $7 x^{- 4}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

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$x^{- 4}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{4}}$ .

Also ist $7 x^{- 4}$ das gleiche wie $7 \cdot \frac{1}{x^{4}}$ = $\frac{7}{x^{4}}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{1}{3}}$

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$27^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{27}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{2^{27}}{2^{23}}$

Lösung einblenden

$\frac{2^{27}}{2^{23}}$

= $2^{27 - 23}$

= $2^{4}$

= 16

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,16}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${0,16}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{0,16}$

= $0,4$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{- 3})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(4^{- 3})}^{- \frac{1}{2}}$

= $4^{- 3 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $4^{\frac{1}{2} \cdot 3}$

= ${(4^{\frac{1}{2}})}^{3}$

= ${(\sqrt{4})}^{3}$

= $2^{3}$

= $8$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[4]{x})}^{3} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{5}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x})}^{3} \cdot {(\sqrt[4]{x})}^{5}$

= $x^{\frac{3}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{3}{4} + \frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{8}{4}}$

= $x^{2}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${({(\sqrt[8]{x})}^{4} \cdot \sqrt[12]{x^{15}})}^{8}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({(\sqrt[8]{x})}^{4} \cdot \sqrt[12]{x^{15}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{4}{8}} \cdot x^{\frac{15}{12}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{7}{4}})}^{8}$

= $x^{\frac{7}{4} \cdot 8}$

= $x^{14}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 a^{- 2}}{6 a^{- 1}}$

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$\frac{8 a^{- 2}}{6 a^{- 1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{8}{a^{2}}}{\frac{6}{a}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{8}{a^{2}} \cdot \frac{a}{6}$

= $\frac{4}{3 a}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen