Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 6 x^{8}}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{8}}$ kann man auch als $x^{- 8}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 6 x^{8}}$ = $- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x^{8}}$ das gleiche wie $- \frac{1}{6} x^{- 8}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[4]{x})}^{5}$

Lösung einblenden

Eine 4-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{4}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[4]{x})}^{5}$ = ${(x^{\frac{1}{4}})}^{5}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{4}})}^{5}$ = x^{$\frac{1}{4}$ ⋅5} = $x^{\frac{5}{4}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe ${(\sqrt[5]{x})}^{4}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[5]{x})}^{4}$ = ${(x^{\frac{1}{5}})}^{4}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{5}})}^{4}$ = $x^{\frac{1}{5} \cdot 4}$ = $x^{\frac{4}{5}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{\frac{1}{4}}$

Lösung einblenden

$81^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{81}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\frac{64}{27})}^{\frac{1}{3}}$

Lösung einblenden

${(\frac{64}{27})}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{64}{27}}$

= $\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{27}}$

= $\frac{4}{3}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0016}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0016})}^{3}$

= ${0,2}^{3}$

= $0,008$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{3}{2})}^{- 16})}^{\frac{1}{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${({(\frac{3}{2})}^{- 16})}^{\frac{1}{4}}$

= ${(\frac{3}{2})}^{- 16 \cdot \frac{1}{4}}$

= ${(\frac{3}{2})}^{- 4}$

= $\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{4}}$

= $\frac{1}{\frac{81}{16}}$

= $\frac{16}{81}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{x^{5}}$

= $x^{\frac{1}{4}}$ ⋅ $x^{\frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{1}{4} + \frac{5}{4}}$

= $x^{\frac{6}{4}}$

= $x^{\frac{3}{2}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[5]{x^{3}} \cdot \sqrt[10]{x^{12}})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[5]{x^{3}} \cdot \sqrt[10]{x^{12}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{12}{10}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{6}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5} + \frac{6}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{9}{5}})}^{10}$

= $x^{\frac{9}{5} \cdot 10}$

= $x^{18}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 t^{- 1}}{\frac{6}{t^{3}}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 t^{- 1}}{\frac{6}{t^{3}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{t}}{\frac{6}{t^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{t} \cdot \frac{t^{3}}{6}$

= $\frac{3}{2} t^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen