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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz, so dass kein Bruch mehr mit einem x vorkommt: $\frac{1}{- 5 x^{7}}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{7}}$ kann man auch als $x^{- 7}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 5 x^{7}}$ = $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{7}}$ das gleiche wie $- \frac{1}{5} x^{- 7}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt{x^{3}}$

Lösung einblenden

Eine 2-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{2}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt{x^{3}}$ = ${(x^{3})}^{\frac{1}{2}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ = x^{3⋅ $\frac{1}{2}$} = $x^{\frac{3}{2}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{4}{x^{3}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{3}}$ kann man auch als $x^{- 3}$ schreiben.

Also ist $\frac{4}{x^{3}}$ = $4 \cdot \frac{1}{x^{3}}$ das gleiche wie $4 x^{- 3}$ .

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $81^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

$81^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{81})}^{3}$

= $3^{3}$

= 27

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{2^{48}}{2^{43}}$

Lösung einblenden

$\frac{2^{48}}{2^{43}}$

= $2^{48 - 43}$

= $2^{5}$

= 32

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,008}^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

${0,008}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,008})}^{2}$

= ${0,2}^{2}$

= $0,04$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(19^{- 14})}^{- \frac{1}{7}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(19^{- 14})}^{- \frac{1}{7}}$

= $19^{- 14 \cdot (- \frac{1}{7})}$

= $19^{2}$

= $361$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[10]{x})}^{4} \cdot \sqrt[10]{x^{12}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[10]{x})}^{4} \cdot \sqrt[10]{x^{12}}$

= $x^{\frac{4}{10}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{10}}$

= $x^{\frac{4}{10} + \frac{12}{10}}$

= $x^{\frac{16}{10}}$

= $x^{\frac{8}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[10]{x^{2}} \cdot \sqrt[15]{x^{6}})}^{15}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[10]{x^{2}} \cdot \sqrt[15]{x^{6}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{2}{10}} \cdot x^{\frac{6}{15}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{1}{5}} \cdot x^{\frac{2}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{1}{5} + \frac{2}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5}})}^{15}$

= $x^{\frac{3}{5} \cdot 15}$

= $x^{9}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 c^{- 1}}{8 c^{- 2}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 c^{- 1}}{8 c^{- 2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{c}}{\frac{8}{c^{2}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{c} \cdot \frac{c^{2}}{8}$

= $\frac{9}{8} c$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen