Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz, so dass kein Bruch mehr mit einem x vorkommt: $\frac{1}{7 x^{3}}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{3}}$ kann man auch als $x^{- 3}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{7 x^{3}}$ = $\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{x^{3}}$ das gleiche wie $\frac{1}{7} x^{- 3}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[6]{x})}^{7}$

Lösung einblenden

Eine 6-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{6}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[6]{x})}^{7}$ = ${(x^{\frac{1}{6}})}^{7}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{6}})}^{7}$ = x^{$\frac{1}{6}$ ⋅7} = $x^{\frac{7}{6}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe so um, dass kein Bruch und kein Minus mehr in einer Hochzahl einer Potenz steht: $x^{\frac{5}{6}}$
(Nutze dazu Wurzelterme und/oder Brüche.)

Lösung einblenden

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{5}{6}}$ = $x^{5 \cdot \frac{1}{6}}$ = ${(x^{5})}^{\frac{1}{6}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{6}$} immer das gleiche ist wie die 6-te Wurzel, also:

${(x^{5})}^{\frac{1}{6}}$ = $\sqrt[6]{x^{5}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $25^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$25^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{2^{32}}{2^{29}}$

Lösung einblenden

$\frac{2^{32}}{2^{29}}$

= $2^{32 - 29}$

= $2^{3}$

= 8

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,16}^{\frac{3}{2}}$

Lösung einblenden

${0,16}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,16})}^{3}$

= ${0,4}^{3}$

= $0,064$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(4^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(4^{\frac{1}{3}})}^{3}$

= $4^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

= $4^{1}$

= $4$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[12]{x^{6}} \cdot \sqrt[12]{x^{15}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[12]{x^{6}} \cdot \sqrt[12]{x^{15}}$

= $x^{\frac{6}{12}}$ ⋅ $x^{\frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{6}{12} + \frac{15}{12}}$

= $x^{\frac{21}{12}}$

= $x^{\frac{7}{4}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[6]{x^{10}})}^{9}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[6]{x^{10}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{10}{6}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{2}{3} + \frac{5}{3}})}^{9}$

= ${(x^{\frac{7}{3}})}^{9}$

= $x^{\frac{7}{3} \cdot 9}$

= $x^{21}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{13 v^{- 2}}{\frac{7}{v^{3}}}$

Lösung einblenden

$\frac{13 v^{- 2}}{\frac{7}{v^{3}}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{13}{v^{2}}}{\frac{7}{v^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{13}{v^{2}} \cdot \frac{v^{3}}{7}$

= $\frac{13}{7} v$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen