Mathebattle EduRandomtasks

negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz, so dass kein Bruch mehr mit einem x vorkommt: $\frac{1}{3 x^{7}}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{x^{7}}$ kann man auch als $x^{- 7}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{3 x^{7}}$ = $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{7}}$ das gleiche wie $\frac{1}{3} x^{- 7}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[8]{x^{5}}$

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Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[8]{x^{5}}$ = ${(x^{5})}^{\frac{1}{8}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{5})}^{\frac{1}{8}}$ = x^{5⋅ $\frac{1}{8}$} = $x^{\frac{5}{8}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe ${(\sqrt[5]{x})}^{4}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[5]{x})}^{4}$ = ${(x^{\frac{1}{5}})}^{4}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{5}})}^{4}$ = $x^{\frac{1}{5} \cdot 4}$ = $x^{\frac{4}{5}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $16^{\frac{3}{4}}$

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$16^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{16})}^{3}$

= $2^{3}$

= 8

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{1^{23}}{1^{18}}$

Lösung einblenden

$\frac{1^{23}}{1^{18}}$

= $1^{23 - 18}$

= $1^{5}$

= 1

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

${0,0001}^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{0,0001})}^{3}$

= ${0,1}^{3}$

= $0,001$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{3}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{14}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${({(\frac{3}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{14}$

= ${(\frac{3}{10})}^{\frac{1}{7} \cdot 14}$

= ${(\frac{3}{10})}^{2}$

= $\frac{9}{100}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[10]{x})}^{4} \cdot \sqrt[10]{x^{12}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[10]{x})}^{4} \cdot \sqrt[10]{x^{12}}$

= $x^{\frac{4}{10}}$ ⋅ $x^{\frac{12}{10}}$

= $x^{\frac{4}{10} + \frac{12}{10}}$

= $x^{\frac{16}{10}}$

= $x^{\frac{8}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[15]{x^{9}} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{18})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[15]{x^{9}} \cdot {(\sqrt[15]{x})}^{18})}^{10}$

= ${(x^{\frac{9}{15}} \cdot x^{\frac{18}{15}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{6}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5} + \frac{6}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{9}{5}})}^{10}$

= $x^{\frac{9}{5} \cdot 10}$

= $x^{18}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{13 t^{- 2}}{\frac{6}{t}}$

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$\frac{13 t^{- 2}}{\frac{6}{t}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{13}{t^{2}}}{\frac{6}{t}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{13}{t^{2}} \cdot \frac{t}{6}$

= $\frac{13}{6 t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen