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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{- 7 x}$

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$\frac{1}{x}$ kann man auch als $x^{- 1}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{- 7 x}$ = $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{x}$ das gleiche wie $- \frac{1}{7} x^{- 1}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[7]{x^{8}}$

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Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[7]{x^{8}}$ = ${(x^{8})}^{\frac{1}{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{8})}^{\frac{1}{7}}$ = x^{8⋅ $\frac{1}{7}$} = $x^{\frac{8}{7}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe ${(\sqrt[5]{x})}^{7}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

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Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[5]{x})}^{7}$ = ${(x^{\frac{1}{5}})}^{7}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{5}})}^{7}$ = $x^{\frac{1}{5} \cdot 7}$ = $x^{\frac{7}{5}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $27^{\frac{2}{3}}$

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$27^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{27})}^{2}$

= $3^{2}$

= 9

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 100^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$- 100^{\frac{1}{2}}$

= $- \sqrt{100}$

= $- 10$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,09}^{\frac{3}{2}}$

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${0,09}^{\frac{3}{2}}$

= ${(\sqrt{0,09})}^{3}$

= ${0,3}^{3}$

= $0,027$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${({(\frac{4}{3})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${({(\frac{4}{3})}^{- \frac{1}{2}})}^{2}$

= ${(\frac{4}{3})}^{- \frac{1}{2} \cdot 2}$

= ${(\frac{4}{3})}^{- 1}$

= $\frac{1}{\frac{4}{3}}$

= $\frac{3}{4}$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[10]{x^{2}} \cdot \sqrt[5]{x^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[10]{x^{2}} \cdot \sqrt[5]{x^{4}}$

= $x^{\frac{2}{10}}$ ⋅ $x^{\frac{4}{5}}$

= $x^{\frac{2}{10} + \frac{4}{5}}$

= $x^{\frac{2}{10} + \frac{8}{10}}$

= $x^{\frac{10}{10}}$

= $x^{1}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[10]{x^{8}} \cdot \sqrt[10]{x^{14}})}^{10}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[10]{x^{8}} \cdot \sqrt[10]{x^{14}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{8}{10}} \cdot x^{\frac{14}{10}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{4}{5}} \cdot x^{\frac{7}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{4}{5} + \frac{7}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{11}{5}})}^{10}$

= $x^{\frac{11}{5} \cdot 10}$

= $x^{22}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\frac{13}{t^{3}}}{13 t^{- 1}}$

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$\frac{\frac{13}{t^{3}}}{13 t^{- 1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{13}{t^{3}}}{\frac{13}{t}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{13}{t^{3}} \cdot \frac{t}{13}$

= $\frac{1}{t^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen