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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne ein x im Nenner: $\frac{1}{x^{9}}$

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$\frac{1}{x^{9}}$ kann man auch als $x^{- 9}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{x^{9}}$ = $1 \cdot \frac{1}{x^{9}}$ das gleiche wie $x^{- 9}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: $\sqrt[3]{x}$

Lösung einblenden

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[3]{x}$ = $x^{\frac{1}{3}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{\sqrt[8]{x^{9}}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[8]{x^{9}}}$ = $\frac{1}{{(x^{9})}^{\frac{1}{8}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{9})}^{\frac{1}{8}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{8} \cdot 9}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{9}{8}}}$ = $x^{- \frac{9}{8}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $16^{\frac{3}{4}}$

Lösung einblenden

$16^{\frac{3}{4}}$

= ${(\sqrt[4]{16})}^{3}$

= $2^{3}$

= 8

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $36^{- \frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$36^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{36^{\frac{1}{2}}}$

= $\frac{1}{\sqrt{36}}$

= $\frac{1}{6}$

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,49}^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

${0,49}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{0,49}$

= $0,7$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(2^{- 6})}^{- \frac{1}{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(2^{- 6})}^{- \frac{1}{2}}$

= $2^{- 6 \cdot (- \frac{1}{2})}$

= $2^{3}$

= $8$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\sqrt[5]{x^{2}} \cdot \sqrt[5]{x^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\sqrt[5]{x^{2}} \cdot \sqrt[5]{x^{4}}$

= $x^{\frac{2}{5}}$ ⋅ $x^{\frac{4}{5}}$

= $x^{\frac{2}{5} + \frac{4}{5}}$

= $x^{\frac{6}{5}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{\sqrt[5]{x^{4}} \cdot \sqrt[15]{x^{18}}}{x}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{\sqrt[5]{x^{4}} \cdot \sqrt[15]{x^{18}}}{x}$

= $\frac{x^{\frac{4}{5}}\cdotx^{\frac{18}{15}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{4}{5}}\cdotx^{\frac{6}{5}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{\frac{4}{5} + \frac{6}{5}}}{x^{1}}$

= $\frac{x^{2}}{x^{1}}$

= $x^{2 - 1}$

= $x^{1}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{7 c^{- 4}}{11 c^{- 1}}$

Lösung einblenden

$\frac{7 c^{- 4}}{11 c^{- 1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{7}{c^{4}}}{\frac{11}{c}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{7}{c^{4}} \cdot \frac{c}{11}$

= $\frac{7}{11 c^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen