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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 12€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 1000€. Bei 5 Treffern bekommt man 300€, und bei 4 Treffern 50€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,44 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.44.

P_{0.44}^{6} (X \leq 3)

P_{0.44}^{6} (X = 0)

P_{0.44}^{6} (X = 1)

P_{0.44}^{6} (X = 2)

P_{0.44}^{6} (X = 3)

= 0.76102139904 ≈ 0.761
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.44,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.44.

P_{0.44}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.44}^{4} \cdot {0.56}^{2}

=0.17631043584≈ 0.1763
(TI-Befehl: binompdf(6,0.44,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.44.

P_{0.44}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.44}^{5} \cdot {0.56}^{1}

=0.055411851264≈ 0.0554
(TI-Befehl: binompdf(6,0.44,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.44.

P_{0.44}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.44}^{6} \cdot {0.56}^{0}

=0.007256313856≈ 0.0073
(TI-Befehl: binompdf(6,0.44,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	50	300	1000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-12	38	288	988
P(X=x_i)	0.761	0.1763	0.0554	0.0073
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$8,815$	$16,62$	$7,3$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 9,132$	$6,6994$	$15,9552$	$7,2124$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.761 + 50⋅0.1763 + 300⋅0.0554 + 1000⋅0.0073

≈ 32.74

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=32.74 - 12 = 20.74 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -12⋅0.761 + 38⋅0.1763 + 288⋅0.0554 + 988⋅0.0073

≈ 20.74

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 4 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As -> As	$\frac{1}{14}$
As -> As -> andereKarte	$\frac{1}{7}$
As -> andereKarte -> As	$\frac{1}{7}$
As -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{1}{7}$
andereKarte -> As -> As	$\frac{1}{7}$
andereKarte -> As -> andereKarte	$\frac{1}{7}$
andereKarte -> andereKarte -> As	$\frac{1}{7}$
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{1}{14}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: $\frac{1}{14}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ = $\frac{3}{7}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ = $\frac{3}{7}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: $\frac{1}{14}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	10	20	30
P(X=x_i)	$\frac{1}{14}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{14}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{30}{7}$	$\frac{60}{7}$	$\frac{15}{7}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{14}$ + 10⋅ $\frac{3}{7}$ + 20⋅ $\frac{3}{7}$ + 30⋅ $\frac{1}{14}$

= $0$ $+$ $\frac{30}{7}$ $+$ $\frac{60}{7}$ $+$ $\frac{15}{7}$
= $\frac{0}{7}$ $+$ $\frac{30}{7}$ $+$ $\frac{60}{7}$ $+$ $\frac{15}{7}$
= $\frac{105}{7}$
= $15$