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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 20€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 1000€. Bei 5 Treffern bekommt man 400€, und bei 4 Treffern 20€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,32 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P_{0.32}^{6} (X \leq 3)

P_{0.32}^{6} (X = 0)

P_{0.32}^{6} (X = 1)

P_{0.32}^{6} (X = 2)

P_{0.32}^{6} (X = 3)

= 0.91250681856 ≈ 0.9125
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.32,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P_{0.32}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.32}^{4} \cdot {0.68}^{2}

=0.07272923136≈ 0.0727
(TI-Befehl: binompdf(6,0.32,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P_{0.32}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.32}^{5} \cdot {0.68}^{1}

=0.013690208256≈ 0.0137
(TI-Befehl: binompdf(6,0.32,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P_{0.32}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.32}^{6} \cdot {0.68}^{0}

=0.001073741824≈ 0.0011
(TI-Befehl: binompdf(6,0.32,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	20	400	1000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-20	0	380	980
P(X=x_i)	0.9125	0.0727	0.0137	0.0011
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,454$	$5,48$	$1,1$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 18,25$	$0$	$5,206$	$1,078$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9125 + 20⋅0.0727 + 400⋅0.0137 + 1000⋅0.0011

≈ 8.03

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=8.03 - 20 = -11.97 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -20⋅0.9125 + 0⋅0.0727 + 380⋅0.0137 + 980⋅0.0011

≈ -11.97

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 6 blauen und 4 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 1296€, bei 2 blauen bekommt er noch 36€, bei einer 6€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{6}$
blau -> blau -> rot	$\frac{1}{6}$
blau -> rot -> blau	$\frac{1}{6}$
blau -> rot -> rot	$\frac{1}{10}$
rot -> blau -> blau	$\frac{1}{6}$
rot -> blau -> rot	$\frac{1}{10}$
rot -> rot -> blau	$\frac{1}{10}$
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{30}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{30}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ = $\frac{3}{10}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{2}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{1}{6}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	6	36	1296
P(X=x_i)	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{9}{5}$	$18$	$216$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{30}$ + 6⋅ $\frac{3}{10}$ + 36⋅ $\frac{1}{2}$ + 1296⋅ $\frac{1}{6}$

= $0$ $+$ $\frac{9}{5}$ $+$ $18$ $+$ $216$
= $\frac{0}{5}$ $+$ $\frac{9}{5}$ $+$ $\frac{90}{5}$ $+$ $\frac{1080}{5}$
= $\frac{1179}{5}$

≈ 235.8