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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Bürobelieferungs-Firma liefert Toner aus, bei denen dummerweise 20% defekt sind. Die defekten Toner dürfen die Empfänger in Retoure-Kartons zurückschicken, in die maximal 4 Stück reinpassen. Ein Retoure-Karton kostet die Firma 5€ Porto. Mit welchen Portogebühren muss die Firma bei einer Schule, die 20 Toner abgenommen hat, durchschnittlich rechnen?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.2.

P_{0.2}^{20} (X = 0)

(\begin{matrix} 20 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {0.2}^{0} \cdot {0.8}^{20}

=0.011529215046068≈ 0.0115
(TI-Befehl: binompdf(20,0.2,0))

Trefferzahl: 1-4

$P_{0.2}^{20} (1 \leq X \leq 4)$ = $P_{0.2}^{20} (X \leq 4)$ - $P_{0.2}^{20} (X \leq 0)$ = 0.6181

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.2,4) - binomcdf(20,0.2,0))

Trefferzahl: 5-8

$P_{0.2}^{20} (5 \leq X \leq 8)$ = $P_{0.2}^{20} (X \leq 8)$ - $P_{0.2}^{20} (X \leq 4)$ = 0.3604

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.2,8) - binomcdf(20,0.2,4))

Trefferzahl: 9-12

$P_{0.2}^{20} (9 \leq X \leq 12)$ = $P_{0.2}^{20} (X \leq 12)$ - $P_{0.2}^{20} (X \leq 8)$ = 0.01

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.2,12) - binomcdf(20,0.2,8))

Trefferzahl: 13-16

$P_{0.2}^{20} (13 \leq X \leq 16)$ = $P_{0.2}^{20} (X \leq 16)$ - $P_{0.2}^{20} (X \leq 12)$ = 0

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.2,16) - binomcdf(20,0.2,12))

Trefferzahl: 17-20

$P_{0.2}^{20} (X \geq 17)$ = $P_{0.2}^{20} (X \leq 20)$ - $P_{0.2}^{20} (X \leq 16)$ = 0

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.2,20) - binomcdf(20,0.2,16))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1-4	5-8	9-12	13-16	17-20
Zufallsgröße x_i	0	5	10	15	20	25
P(X=x_i)	0.0115	0.6181	0.3604	0.01	0	0
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$3,0905$	$3,604$	$0,15$	$0$	$0$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.0115 + 5⋅0.6181 + 10⋅0.3604 + 15⋅0.01 + 20⋅0 + 25⋅0

≈ 6.84

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 15 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{91}{228}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{35}{228}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{35}{228}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{5}{114}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{35}{228}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{5}{114}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{5}{114}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{114}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{114}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{5}{114}$ + $\frac{5}{114}$ + $\frac{5}{114}$ = $\frac{5}{38}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{35}{228}$ + $\frac{35}{228}$ + $\frac{35}{228}$ = $\frac{35}{76}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{91}{228}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{1}{114}$	$\frac{5}{38}$	$\frac{35}{76}$	$\frac{91}{228}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{5}{38}$	$\frac{35}{38}$	$\frac{91}{76}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{114}$ + 1⋅ $\frac{5}{38}$ + 2⋅ $\frac{35}{76}$ + 3⋅ $\frac{91}{228}$

= $0$ $+$ $\frac{5}{38}$ $+$ $\frac{35}{38}$ $+$ $\frac{91}{76}$
= $\frac{0}{76}$ $+$ $\frac{10}{76}$ $+$ $\frac{70}{76}$ $+$ $\frac{91}{76}$
= $\frac{171}{76}$
= $\frac{9}{4}$

≈ 2.25