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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 12€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 4000€. Bei 5 Treffern bekommt man 500€, und bei 4 Treffern 40€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,3 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P_{0.3}^{6} (X \leq 3)

P_{0.3}^{6} (X = 0)

P_{0.3}^{6} (X = 1)

P_{0.3}^{6} (X = 2)

P_{0.3}^{6} (X = 3)

= 0.92953 ≈ 0.9295
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.3,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P_{0.3}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{4} \cdot {0.7}^{2}

=0.059535≈ 0.0595
(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P_{0.3}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{5} \cdot {0.7}^{1}

=0.010206≈ 0.0102
(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P_{0.3}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{6} \cdot {0.7}^{0}

=0.000729≈ 0.0007
(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	40	500	4000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-12	28	488	3988
P(X=x_i)	0.9295	0.0595	0.0102	0.0007
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$2,38$	$5,1$	$2,8$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 11,154$	$1,666$	$4,9776$	$2,7916$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9295 + 40⋅0.0595 + 500⋅0.0102 + 4000⋅0.0007

≈ 10.28

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=10.28 - 12 = -1.72 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -12⋅0.9295 + 28⋅0.0595 + 488⋅0.0102 + 3988⋅0.0007

≈ -1.72

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 15 Mädchen und 7 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{13}{44}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{7}{44}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{7}{44}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{3}{44}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{44}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{3}{44}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{3}{44}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{44}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{44}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{3}{44}$ + $\frac{3}{44}$ + $\frac{3}{44}$ = $\frac{9}{44}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{7}{44}$ + $\frac{7}{44}$ + $\frac{7}{44}$ = $\frac{21}{44}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{13}{44}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{1}{44}$	$\frac{9}{44}$	$\frac{21}{44}$	$\frac{13}{44}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{9}{44}$	$\frac{21}{22}$	$\frac{39}{44}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{44}$ + 1⋅ $\frac{9}{44}$ + 2⋅ $\frac{21}{44}$ + 3⋅ $\frac{13}{44}$

= $0$ $+$ $\frac{9}{44}$ $+$ $\frac{21}{22}$ $+$ $\frac{39}{44}$
= $\frac{0}{44}$ $+$ $\frac{9}{44}$ $+$ $\frac{42}{44}$ $+$ $\frac{39}{44}$
= $\frac{90}{44}$
= $\frac{45}{22}$

≈ 2.05