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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Spieler würfelt mit drei Würfeln. Bei drei Sechsern erhält er 125€, bei 2 Sechsern bekommt er noch 20€, bei einer Sechs 2€. Ist gar keine Sechs dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 0)

(\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{0} \cdot {(\frac{5}{6})}^{3}

=0.5787037037037≈ 0.5787
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,0))

Trefferzahl: 1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 1)

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{1} \cdot {(\frac{5}{6})}^{2}

=0.34722222222222≈ 0.3472
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 2)

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{2} \cdot {(\frac{5}{6})}^{1}

=0.069444444444444≈ 0.0694
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 3)

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{3} \cdot {(\frac{5}{6})}^{0}

=0.0046296296296296≈ 0.0046
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,3))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	2	20	125
P(X=x_i)	0.5787	0.3472	0.0694	0.0046
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0,6944$	$1,388$	$0,575$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5787 + 2⋅0.3472 + 20⋅0.0694 + 125⋅0.0046

≈ 2.66

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 15 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{91}{228}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{35}{228}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{35}{228}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{5}{114}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{35}{228}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{5}{114}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{5}{114}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{114}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{114}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{5}{114}$ + $\frac{5}{114}$ + $\frac{5}{114}$ = $\frac{5}{38}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{35}{228}$ + $\frac{35}{228}$ + $\frac{35}{228}$ = $\frac{35}{76}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{91}{228}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{1}{114}$	$\frac{5}{38}$	$\frac{35}{76}$	$\frac{91}{228}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{5}{38}$	$\frac{35}{38}$	$\frac{91}{76}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{114}$ + 1⋅ $\frac{5}{38}$ + 2⋅ $\frac{35}{76}$ + 3⋅ $\frac{91}{228}$

= $0$ $+$ $\frac{5}{38}$ $+$ $\frac{35}{38}$ $+$ $\frac{91}{76}$
= $\frac{0}{76}$ $+$ $\frac{10}{76}$ $+$ $\frac{70}{76}$ $+$ $\frac{91}{76}$
= $\frac{171}{76}$
= $\frac{9}{4}$

≈ 2.25