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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 19€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 5000€. Bei 5 Treffern bekommt man 400€, und bei 4 Treffern 50€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,33 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

P_{0.33}^{6} (X \leq 3)

P_{0.33}^{6} (X = 0)

P_{0.33}^{6} (X = 1)

P_{0.33}^{6} (X = 2)

P_{0.33}^{6} (X = 3)

= 0.90312211351 ≈ 0.9031
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.33,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

P_{0.33}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.33}^{4} \cdot {0.67}^{2}

=0.079853990535≈ 0.0799
(TI-Befehl: binompdf(6,0.33,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

P_{0.33}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.33}^{5} \cdot {0.67}^{1}

=0.015732427986≈ 0.0157
(TI-Befehl: binompdf(6,0.33,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

P_{0.33}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.33}^{6} \cdot {0.67}^{0}

=0.001291467969≈ 0.0013
(TI-Befehl: binompdf(6,0.33,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	50	400	5000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-19	31	381	4981
P(X=x_i)	0.9031	0.0799	0.0157	0.0013
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$3,995$	$6,28$	$6,5$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 17,1589$	$2,4769$	$5,9817$	$6,4753$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9031 + 50⋅0.0799 + 400⋅0.0157 + 5000⋅0.0013

≈ 16.78

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=16.78 - 19 = -2.22 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -19⋅0.9031 + 31⋅0.0799 + 381⋅0.0157 + 4981⋅0.0013

≈ -2.23

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Stapel Karten mit 5 Asse, 10 Könige, 8 Damen und 7 Buben werden 2 Karten gezogen. Dabei zählen 2 Asse 500, 2 Könige 350, 2 Damen 180 und 2 Buben 70 Punkte. Außerdem gibt es für ein Paar aus Dame und König 25 Punkte. Wie viele Punkte kann man bei diesem Spiel erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As	$\frac{2}{87}$
As -> König	$\frac{5}{87}$
As -> Dame	$\frac{4}{87}$
As -> Bube	$\frac{7}{174}$
König -> As	$\frac{5}{87}$
König -> König	$\frac{3}{29}$
König -> Dame	$\frac{8}{87}$
König -> Bube	$\frac{7}{87}$
Dame -> As	$\frac{4}{87}$
Dame -> König	$\frac{8}{87}$
Dame -> Dame	$\frac{28}{435}$
Dame -> Bube	$\frac{28}{435}$
Bube -> As	$\frac{7}{174}$
Bube -> König	$\frac{7}{87}$
Bube -> Dame	$\frac{28}{435}$
Bube -> Bube	$\frac{7}{145}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{2}{87}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{3}{29}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{28}{435}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{7}{145}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{8}{87}$ + $\frac{8}{87}$ = $\frac{16}{87}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße x_i	500	350	180	70	25
P(X=x_i)	$\frac{2}{87}$	$\frac{3}{29}$	$\frac{28}{435}$	$\frac{7}{145}$	$\frac{16}{87}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{1000}{87}$	$\frac{1050}{29}$	$\frac{336}{29}$	$\frac{98}{29}$	$\frac{400}{87}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 500⋅ $\frac{2}{87}$ + 350⋅ $\frac{3}{29}$ + 180⋅ $\frac{28}{435}$ + 70⋅ $\frac{7}{145}$ + 25⋅ $\frac{16}{87}$

= $\frac{1000}{87}$ $+$ $\frac{1050}{29}$ $+$ $\frac{336}{29}$ $+$ $\frac{98}{29}$ $+$ $\frac{400}{87}$
= $\frac{1000}{87}$ $+$ $\frac{3150}{87}$ $+$ $\frac{1008}{87}$ $+$ $\frac{294}{87}$ $+$ $\frac{400}{87}$
= $\frac{5852}{87}$

≈ 67.26