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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt hat man für 7€ 5 Versuche, einen Ball in einen Eimer zu werden. Dabei springt der Ball aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% wieder raus. Bleibt er aber drin, bekommt man einen Euro. Als Riskovariante kann man das Spiel auch so spielen, dass man bei einem Treffer nichts bekommt, bei zwei jedoch gleich 4€, bei drei Treffern sogar 9€, bei 4 Treffern 16 € und bei 5 Treffern volle 25€. Berechne den Erwartungswert des Gewinns der Risikovariante um diesen mit dem des normalen Spiels zu vergleichen.
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

P_{0.25}^{5} (X \leq 1)

=

P_{0.25}^{5} (X = 0)

+

P_{0.25}^{5} (X = 1)

= 0.6328125 ≈ 0.6328
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.25,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

P_{0.25}^{5} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.25}^{2} \cdot {0.75}^{3}

=0.263671875≈ 0.2637
(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

P_{0.25}^{5} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.25}^{3} \cdot {0.75}^{2}

=0.087890625≈ 0.0879
(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

P_{0.25}^{5} (X = 4)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.25}^{4} \cdot {0.75}^{1}

=0.0146484375≈ 0.0146
(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

P_{0.25}^{5} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.25}^{5} \cdot {0.75}^{0}

=0.0009765625≈ 0.001
(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	0	4	9	16	25
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-7	-3	2	9	18
P(X=x_i)	0.6328	0.2637	0.0879	0.0146	0.001
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,0548$	$0,7911$	$0,2336$	$0,025$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 4,4296$	$- 0,7911$	$0,1758$	$0,1314$	$0,018$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.6328 + 4⋅0.2637 + 9⋅0.0879 + 16⋅0.0146 + 25⋅0.001

≈ 2.1

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.1 - 7 = -4.9 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -7⋅0.6328 + -3⋅0.2637 + 2⋅0.0879 + 9⋅0.0146 + 18⋅0.001

≈ -4.9

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

Ein leidenschaftlicher Mäxle-Spieler möchte eine Mäxle-Spielautomat bauen. Wie beim richtigen Mäxle sollen auch hier zwei normale Würfel gleichzeitig geworfen werden (bzw. dies eben simuliert). Bei einem Mäxle (also eine 1 und eine 2) soll dann 18€ ausbezahlt werden, bei einem Pasch (also zwei gleiche Augenzahlen) 5€ und bei 61-65 also (also ein Würfel 6 und der andere keine 6) noch 1€. Wie groß müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Mäxle' ist:

P('1'-'2') + P('2'-'1')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{18}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Pasch' ist:

P('1'-'1') + P('2'-'2') + P('3'-'3') + P('4'-'4') + P('5'-'5') + P('6'-'6')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{6}$

Die Wahrscheinlichkeit für '60er' ist:

P('1'-'6') + P('2'-'6') + P('3'-'6') + P('4'-'6') + P('5'-'6') + P('6'-'1') + P('6'-'2') + P('6'-'3') + P('6'-'4') + P('6'-'5')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{5}{18}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den durch die beiden Würfel ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	Mäxle	Pasch	60er
Zufallsgröße x_i	18	5	1
P(X=x_i)	$\frac{1}{18}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{18}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$1$	$\frac{5}{6}$	$\frac{5}{18}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 18⋅ $\frac{1}{18}$ + 5⋅ $\frac{1}{6}$ + 1⋅ $\frac{5}{18}$

= $1$ $+$ $\frac{5}{6}$ $+$ $\frac{5}{18}$
= $\frac{18}{18}$ $+$ $\frac{15}{18}$ $+$ $\frac{5}{18}$
= $\frac{38}{18}$
= $\frac{19}{9}$

≈ 2.11