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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt hat man für 9€ 5 Versuche, einen Ball in einen Eimer zu werden. Dabei springt der Ball aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 74% wieder raus. Bleibt er aber drin, bekommt man einen Euro. Als Riskovariante kann man das Spiel auch so spielen, dass man bei einem Treffer nichts bekommt, bei zwei jedoch gleich 4€, bei drei Treffern sogar 9€, bei 4 Treffern 16 € und bei 5 Treffern volle 25€. Berechne den Erwartungswert des Gewinns der Risikovariante um diesen mit dem des normalen Spiels zu vergleichen.
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

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Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.26.

P_{0.26}^{5} (X \leq 1)

=

P_{0.26}^{5} (X = 0)

+

P_{0.26}^{5} (X = 1)

= 0.6117261504 ≈ 0.6117
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.26,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.26.

P_{0.26}^{5} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.26}^{2} \cdot {0.74}^{3}

=0.273931424≈ 0.2739
(TI-Befehl: binompdf(5,0.26,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.26.

P_{0.26}^{5} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.26}^{3} \cdot {0.74}^{2}

=0.096246176≈ 0.0962
(TI-Befehl: binompdf(5,0.26,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.26.

P_{0.26}^{5} (X = 4)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.26}^{4} \cdot {0.74}^{1}

=0.016908112≈ 0.0169
(TI-Befehl: binompdf(5,0.26,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.26.

P_{0.26}^{5} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.26}^{5} \cdot {0.74}^{0}

=0.0011881376≈ 0.0012
(TI-Befehl: binompdf(5,0.26,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	0	4	9	16	25
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-9	-5	0	7	16
P(X=x_i)	0.6117	0.2739	0.0962	0.0169	0.0012
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,0956$	$0,8658$	$0,2704$	$0,03$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 5,5053$	$- 1,3695$	$0$	$0,1183$	$0,0192$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.6117 + 4⋅0.2739 + 9⋅0.0962 + 16⋅0.0169 + 25⋅0.0012

≈ 2.26

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.26 - 9 = -6.74 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -9⋅0.6117 + -5⋅0.2739 + 0⋅0.0962 + 7⋅0.0169 + 16⋅0.0012

≈ -6.74

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 7 blauen und 3 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 80€, bei 2 blauen bekommt er noch 20€, bei einer 10€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{7}{24}$
blau -> blau -> rot	$\frac{7}{40}$
blau -> rot -> blau	$\frac{7}{40}$
blau -> rot -> rot	$\frac{7}{120}$
rot -> blau -> blau	$\frac{7}{40}$
rot -> blau -> rot	$\frac{7}{120}$
rot -> rot -> blau	$\frac{7}{120}$
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{120}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{120}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ = $\frac{7}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ = $\frac{21}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{7}{24}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	10	20	80
P(X=x_i)	$\frac{1}{120}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{24}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{7}{4}$	$\frac{21}{2}$	$\frac{70}{3}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{120}$ + 10⋅ $\frac{7}{40}$ + 20⋅ $\frac{21}{40}$ + 80⋅ $\frac{7}{24}$

= $0$ $+$ $\frac{7}{4}$ $+$ $\frac{21}{2}$ $+$ $\frac{70}{3}$
= $\frac{0}{12}$ $+$ $\frac{21}{12}$ $+$ $\frac{126}{12}$ $+$ $\frac{280}{12}$
= $\frac{427}{12}$

≈ 35.58