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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 20€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 1000€. Bei 5 Treffern bekommt man 500€, und bei 4 Treffern 30€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,3 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

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Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P0.36 (X3) = P0.36 (X=0) + P0.36 (X=1) + P0.36 (X=2) + P0.36 (X=3) = 0.92953 ≈ 0.9295
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.3,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P0.36 (X=4) = ( 6 4 ) 0.34 0.72 =0.059535≈ 0.0595
(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P0.36 (X=5) = ( 6 5 ) 0.35 0.71 =0.010206≈ 0.0102
(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P0.36 (X=6) = ( 6 6 ) 0.36 0.70 =0.000729≈ 0.0007
(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis 0-3 4 5 6
Zufallsgröße xi 0 30 500 1000
Zufallsgröße yi (Gewinn) -20 10 480 980
P(X=xi) 0.9295 0.0595 0.0102 0.0007
xi ⋅ P(X=xi) 0 1,785 5,1 0,7
yi ⋅ P(Y=yi) -18,59 0,595 4,896 0,686

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9295 + 30⋅0.0595 + 500⋅0.0102 + 1000⋅0.0007

7.59

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=7.59 - 20 = -12.41 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X2) aus:

E(Y)= -20⋅0.9295 + 10⋅0.0595 + 480⋅0.0102 + 980⋅0.0007

-12.41

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 14 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
As -> As -> As 1 204
As -> As -> andereKarte 7 204
As -> andereKarte -> As 7 204
As -> andereKarte -> andereKarte 91 612
andereKarte -> As -> As 7 204
andereKarte -> As -> andereKarte 91 612
andereKarte -> andereKarte -> As 91 612
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte 91 204

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: 91 204

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: 91 612 + 91 612 + 91 612 = 91 204

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: 7 204 + 7 204 + 7 204 = 7 68

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: 1 204

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1 2 3
Zufallsgröße xi 0 10 20 30
P(X=xi) 91 204 91 204 7 68 1 204
xi ⋅ P(X=xi) 0 455 102 35 17 5 34

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ 91 204 + 10⋅ 91 204 + 20⋅ 7 68 + 30⋅ 1 204

= 0+ 455 102 + 35 17 + 5 34
= 0 102 + 455 102 + 210 102 + 15 102
= 680 102
= 20 3

6.67