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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 12€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 4000€. Bei 5 Treffern bekommt man 500€, und bei 4 Treffern 40€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,3 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

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Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P0.36 (X3) = P0.36 (X=0) + P0.36 (X=1) + P0.36 (X=2) + P0.36 (X=3) = 0.92953 ≈ 0.9295
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.3,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P0.36 (X=4) = ( 6 4 ) 0.34 0.72 =0.059535≈ 0.0595
(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P0.36 (X=5) = ( 6 5 ) 0.35 0.71 =0.010206≈ 0.0102
(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P0.36 (X=6) = ( 6 6 ) 0.36 0.70 =0.000729≈ 0.0007
(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis 0-3 4 5 6
Zufallsgröße xi 0 40 500 4000
Zufallsgröße yi (Gewinn) -12 28 488 3988
P(X=xi) 0.9295 0.0595 0.0102 0.0007
xi ⋅ P(X=xi) 0 2,38 5,1 2,8
yi ⋅ P(Y=yi) -11,154 1,666 4,9776 2,7916

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9295 + 40⋅0.0595 + 500⋅0.0102 + 4000⋅0.0007

10.28

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=10.28 - 12 = -1.72 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X2) aus:

E(Y)= -12⋅0.9295 + 28⋅0.0595 + 488⋅0.0102 + 3988⋅0.0007

-1.72

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 15 Mädchen und 7 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 13 44
Mädchen -> Mädchen -> Jungs 7 44
Mädchen -> Jungs -> Mädchen 7 44
Mädchen -> Jungs -> Jungs 3 44
Jungs -> Mädchen -> Mädchen 7 44
Jungs -> Mädchen -> Jungs 3 44
Jungs -> Jungs -> Mädchen 3 44
Jungs -> Jungs -> Jungs 1 44

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: 1 44

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: 3 44 + 3 44 + 3 44 = 9 44

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: 7 44 + 7 44 + 7 44 = 21 44

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: 13 44

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1 2 3
Zufallsgröße xi 0 1 2 3
P(X=xi) 1 44 9 44 21 44 13 44
xi ⋅ P(X=xi) 0 9 44 21 22 39 44

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ 1 44 + 1⋅ 9 44 + 2⋅ 21 44 + 3⋅ 13 44

= 0+ 9 44 + 21 22 + 39 44
= 0 44 + 9 44 + 42 44 + 39 44
= 90 44
= 45 22

2.05