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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 10€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 5000€. Bei 5 Treffern bekommt man 200€, und bei 4 Treffern 20€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,3 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P_{0.3}^{6} (X \leq 3)

P_{0.3}^{6} (X = 0)

P_{0.3}^{6} (X = 1)

P_{0.3}^{6} (X = 2)

P_{0.3}^{6} (X = 3)

= 0.92953 ≈ 0.9295
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.3,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P_{0.3}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{4} \cdot {0.7}^{2}

=0.059535≈ 0.0595
(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P_{0.3}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{5} \cdot {0.7}^{1}

=0.010206≈ 0.0102
(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P_{0.3}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{6} \cdot {0.7}^{0}

=0.000729≈ 0.0007
(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	20	200	5000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-10	10	190	4990
P(X=x_i)	0.9295	0.0595	0.0102	0.0007
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,19$	$2,04$	$3,5$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 9,295$	$0,595$	$1,938$	$3,493$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9295 + 20⋅0.0595 + 200⋅0.0102 + 5000⋅0.0007

≈ 6.73

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=6.73 - 10 = -3.27 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -10⋅0.9295 + 10⋅0.0595 + 190⋅0.0102 + 4990⋅0.0007

≈ -3.27

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 8 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As -> As	$\frac{1}{55}$
As -> As -> andereKarte	$\frac{4}{55}$
As -> andereKarte -> As	$\frac{4}{55}$
As -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{28}{165}$
andereKarte -> As -> As	$\frac{4}{55}$
andereKarte -> As -> andereKarte	$\frac{28}{165}$
andereKarte -> andereKarte -> As	$\frac{28}{165}$
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{14}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: $\frac{14}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ = $\frac{28}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ = $\frac{12}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: $\frac{1}{55}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	10	20	30
P(X=x_i)	$\frac{14}{55}$	$\frac{28}{55}$	$\frac{12}{55}$	$\frac{1}{55}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{56}{11}$	$\frac{48}{11}$	$\frac{6}{11}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{14}{55}$ + 10⋅ $\frac{28}{55}$ + 20⋅ $\frac{12}{55}$ + 30⋅ $\frac{1}{55}$

= $0$ $+$ $\frac{56}{11}$ $+$ $\frac{48}{11}$ $+$ $\frac{6}{11}$
= $\frac{0}{11}$ $+$ $\frac{56}{11}$ $+$ $\frac{48}{11}$ $+$ $\frac{6}{11}$
= $\frac{110}{11}$
= $10$