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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 5€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 2000€. Bei 5 Treffern bekommt man 300€, und bei 4 Treffern 10€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,34 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.34.

P_{0.34}^{6} (X \leq 3)

P_{0.34}^{6} (X = 0)

P_{0.34}^{6} (X = 1)

P_{0.34}^{6} (X = 2)

P_{0.34}^{6} (X = 3)

= 0.89314657344 ≈ 0.8931
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.34,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.34.

P_{0.34}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.34}^{4} \cdot {0.66}^{2}

=0.08731619424≈ 0.0873
(TI-Befehl: binompdf(6,0.34,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.34.

P_{0.34}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.34}^{5} \cdot {0.66}^{1}

=0.017992427904≈ 0.018
(TI-Befehl: binompdf(6,0.34,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.34.

P_{0.34}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.34}^{6} \cdot {0.66}^{0}

=0.001544804416≈ 0.0015
(TI-Befehl: binompdf(6,0.34,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	10	300	2000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-5	5	295	1995
P(X=x_i)	0.8931	0.0873	0.018	0.0015
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0,873$	$5,4$	$3$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 4,4655$	$0,4365$	$5,31$	$2,9925$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.8931 + 10⋅0.0873 + 300⋅0.018 + 2000⋅0.0015

≈ 9.27

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=9.27 - 5 = 4.27 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -5⋅0.8931 + 5⋅0.0873 + 295⋅0.018 + 1995⋅0.0015

≈ 4.27

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 4 blauen und 6 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 4096€, bei 2 blauen bekommt er noch 64€, bei einer 8€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{30}$
blau -> blau -> rot	$\frac{1}{10}$
blau -> rot -> blau	$\frac{1}{10}$
blau -> rot -> rot	$\frac{1}{6}$
rot -> blau -> blau	$\frac{1}{10}$
rot -> blau -> rot	$\frac{1}{6}$
rot -> rot -> blau	$\frac{1}{6}$
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{6}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{6}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{2}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ = $\frac{3}{10}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{1}{30}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	8	64	4096
P(X=x_i)	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$4$	$\frac{96}{5}$	$\frac{2048}{15}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{6}$ + 8⋅ $\frac{1}{2}$ + 64⋅ $\frac{3}{10}$ + 4096⋅ $\frac{1}{30}$

= $0$ $+$ $4$ $+$ $\frac{96}{5}$ $+$ $\frac{2048}{15}$
= $\frac{2396}{15}$

≈ 159.73