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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 19€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 4000€. Bei 5 Treffern bekommt man 100€, und bei 4 Treffern 40€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,26 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

P_{0.26}^{6} (X \leq 3)

P_{0.26}^{6} (X = 0)

P_{0.26}^{6} (X = 1)

P_{0.26}^{6} (X = 2)

P_{0.26}^{6} (X = 3)

= 0.95687974464 ≈ 0.9569
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.26,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

P_{0.26}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.26}^{4} \cdot {0.74}^{2}

=0.03753600864≈ 0.0375
(TI-Befehl: binompdf(6,0.26,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

P_{0.26}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.26}^{5} \cdot {0.74}^{1}

=0.005275330944≈ 0.0053
(TI-Befehl: binompdf(6,0.26,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

P_{0.26}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.26}^{6} \cdot {0.74}^{0}

=0.000308915776≈ 0.0003
(TI-Befehl: binompdf(6,0.26,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	40	100	4000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-19	21	81	3981
P(X=x_i)	0.9569	0.0375	0.0053	0.0003
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,5$	$0,53$	$1,2$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 18,1811$	$0,7875$	$0,4293$	$1,1943$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9569 + 40⋅0.0375 + 100⋅0.0053 + 4000⋅0.0003

≈ 3.23

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=3.23 - 19 = -15.77 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -19⋅0.9569 + 21⋅0.0375 + 81⋅0.0053 + 3981⋅0.0003

≈ -15.77

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 6 blauen und 4 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 81€, bei 2 blauen bekommt er noch 9€, bei einer 3€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{6}$
blau -> blau -> rot	$\frac{1}{6}$
blau -> rot -> blau	$\frac{1}{6}$
blau -> rot -> rot	$\frac{1}{10}$
rot -> blau -> blau	$\frac{1}{6}$
rot -> blau -> rot	$\frac{1}{10}$
rot -> rot -> blau	$\frac{1}{10}$
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{30}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{30}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ = $\frac{3}{10}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{2}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{1}{6}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	3	9	81
P(X=x_i)	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{9}{10}$	$\frac{9}{2}$	$\frac{27}{2}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{30}$ + 3⋅ $\frac{3}{10}$ + 9⋅ $\frac{1}{2}$ + 81⋅ $\frac{1}{6}$

= $0$ $+$ $\frac{9}{10}$ $+$ $\frac{9}{2}$ $+$ $\frac{27}{2}$
= $\frac{0}{10}$ $+$ $\frac{9}{10}$ $+$ $\frac{45}{10}$ $+$ $\frac{135}{10}$
= $\frac{189}{10}$

≈ 18.9