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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 9€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 3000€. Bei 5 Treffern bekommt man 100€, und bei 4 Treffern 50€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,42 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.42.

P_{0.42}^{6} (X \leq 3)

P_{0.42}^{6} (X = 0)

P_{0.42}^{6} (X = 1)

P_{0.42}^{6} (X = 2)

P_{0.42}^{6} (X = 3)

= 0.79201423936 ≈ 0.792
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.42,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.42.

P_{0.42}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.42}^{4} \cdot {0.58}^{2}

=0.15701618016≈ 0.157
(TI-Befehl: binompdf(6,0.42,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.42.

P_{0.42}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.42}^{5} \cdot {0.58}^{1}

=0.045480548736≈ 0.0455
(TI-Befehl: binompdf(6,0.42,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.42.

P_{0.42}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.42}^{6} \cdot {0.58}^{0}

=0.005489031744≈ 0.0055
(TI-Befehl: binompdf(6,0.42,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	50	100	3000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-9	41	91	2991
P(X=x_i)	0.792	0.157	0.0455	0.0055
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$7,85$	$4,55$	$16,5$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 7,128$	$6,437$	$4,1405$	$16,4505$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.792 + 50⋅0.157 + 100⋅0.0455 + 3000⋅0.0055

≈ 28.9

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=28.9 - 9 = 19.9 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -9⋅0.792 + 41⋅0.157 + 91⋅0.0455 + 2991⋅0.0055

≈ 19.9

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 15 Mädchen und 7 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{13}{44}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{7}{44}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{7}{44}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{3}{44}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{44}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{3}{44}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{3}{44}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{44}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{44}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{3}{44}$ + $\frac{3}{44}$ + $\frac{3}{44}$ = $\frac{9}{44}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{7}{44}$ + $\frac{7}{44}$ + $\frac{7}{44}$ = $\frac{21}{44}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{13}{44}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{1}{44}$	$\frac{9}{44}$	$\frac{21}{44}$	$\frac{13}{44}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{9}{44}$	$\frac{21}{22}$	$\frac{39}{44}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{44}$ + 1⋅ $\frac{9}{44}$ + 2⋅ $\frac{21}{44}$ + 3⋅ $\frac{13}{44}$

= $0$ $+$ $\frac{9}{44}$ $+$ $\frac{21}{22}$ $+$ $\frac{39}{44}$
= $\frac{0}{44}$ $+$ $\frac{9}{44}$ $+$ $\frac{42}{44}$ $+$ $\frac{39}{44}$
= $\frac{90}{44}$
= $\frac{45}{22}$

≈ 2.05