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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 16€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 3000€. Bei 5 Treffern bekommt man 400€, und bei 4 Treffern 10€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,2 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.2.

P_{0.2}^{6} (X \leq 3)

P_{0.2}^{6} (X = 0)

P_{0.2}^{6} (X = 1)

P_{0.2}^{6} (X = 2)

P_{0.2}^{6} (X = 3)

= 0.98304 ≈ 0.983
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.2,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.2.

P_{0.2}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.2}^{4} \cdot {0.8}^{2}

=0.01536≈ 0.0154
(TI-Befehl: binompdf(6,0.2,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.2.

P_{0.2}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.2}^{5} \cdot {0.8}^{1}

=0.001536≈ 0.0015
(TI-Befehl: binompdf(6,0.2,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.2.

P_{0.2}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.2}^{6} \cdot {0.8}^{0}

=6.4E-5≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(6,0.2,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	10	400	3000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-16	-6	384	2984
P(X=x_i)	0.983	0.0154	0.0015	0.0001
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0,154$	$0,6$	$0,3$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 15,728$	$- 0,0924$	$0,576$	$0,2984$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.983 + 10⋅0.0154 + 400⋅0.0015 + 3000⋅0.0001

≈ 1.05

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.05 - 16 = -14.95 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -16⋅0.983 + -6⋅0.0154 + 384⋅0.0015 + 2984⋅0.0001

≈ -14.95

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 8 blauen und 4 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 85€, bei 2 blauen bekommt er noch 13€, bei einer 5€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{14}{55}$
blau -> blau -> rot	$\frac{28}{165}$
blau -> rot -> blau	$\frac{28}{165}$
blau -> rot -> rot	$\frac{4}{55}$
rot -> blau -> blau	$\frac{28}{165}$
rot -> blau -> rot	$\frac{4}{55}$
rot -> rot -> blau	$\frac{4}{55}$
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ = $\frac{12}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ = $\frac{28}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{14}{55}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	5	13	85
P(X=x_i)	$\frac{1}{55}$	$\frac{12}{55}$	$\frac{28}{55}$	$\frac{14}{55}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{12}{11}$	$\frac{364}{55}$	$\frac{238}{11}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{55}$ + 5⋅ $\frac{12}{55}$ + 13⋅ $\frac{28}{55}$ + 85⋅ $\frac{14}{55}$

= $0$ $+$ $\frac{12}{11}$ $+$ $\frac{364}{55}$ $+$ $\frac{238}{11}$
= $\frac{0}{55}$ $+$ $\frac{60}{55}$ $+$ $\frac{364}{55}$ $+$ $\frac{1190}{55}$
= $\frac{1614}{55}$

≈ 29.35