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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 13€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 2000€. Bei 5 Treffern bekommt man 200€, und bei 4 Treffern 10€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,44 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.44.

P_{0.44}^{6} (X \leq 3)

P_{0.44}^{6} (X = 0)

P_{0.44}^{6} (X = 1)

P_{0.44}^{6} (X = 2)

P_{0.44}^{6} (X = 3)

= 0.76102139904 ≈ 0.761
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.44,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.44.

P_{0.44}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.44}^{4} \cdot {0.56}^{2}

=0.17631043584≈ 0.1763
(TI-Befehl: binompdf(6,0.44,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.44.

P_{0.44}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.44}^{5} \cdot {0.56}^{1}

=0.055411851264≈ 0.0554
(TI-Befehl: binompdf(6,0.44,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.44.

P_{0.44}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.44}^{6} \cdot {0.56}^{0}

=0.007256313856≈ 0.0073
(TI-Befehl: binompdf(6,0.44,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	10	200	2000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-13	-3	187	1987
P(X=x_i)	0.761	0.1763	0.0554	0.0073
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,763$	$11,08$	$14,6$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 9,893$	$- 0,5289$	$10,3598$	$14,5051$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.761 + 10⋅0.1763 + 200⋅0.0554 + 2000⋅0.0073

≈ 27.44

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=27.44 - 13 = 14.44 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -13⋅0.761 + -3⋅0.1763 + 187⋅0.0554 + 1987⋅0.0073

≈ 14.44

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 18 Mädchen und 6 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{102}{253}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{153}{1012}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{153}{1012}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{45}{1012}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{153}{1012}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{45}{1012}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{45}{1012}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{5}{506}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{5}{506}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{45}{1012}$ + $\frac{45}{1012}$ + $\frac{45}{1012}$ = $\frac{135}{1012}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{153}{1012}$ + $\frac{153}{1012}$ + $\frac{153}{1012}$ = $\frac{459}{1012}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{102}{253}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{5}{506}$	$\frac{135}{1012}$	$\frac{459}{1012}$	$\frac{102}{253}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{135}{1012}$	$\frac{459}{506}$	$\frac{306}{253}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{5}{506}$ + 1⋅ $\frac{135}{1012}$ + 2⋅ $\frac{459}{1012}$ + 3⋅ $\frac{102}{253}$

= $0$ $+$ $\frac{135}{1012}$ $+$ $\frac{459}{506}$ $+$ $\frac{306}{253}$
= $\frac{0}{1012}$ $+$ $\frac{135}{1012}$ $+$ $\frac{918}{1012}$ $+$ $\frac{1224}{1012}$
= $\frac{2277}{1012}$
= $\frac{9}{4}$

≈ 2.25