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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt hat man für 7€ 5 Versuche, einen Ball in einen Eimer zu werden. Dabei springt der Ball aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 72% wieder raus. Bleibt er aber drin, bekommt man einen Euro. Als Riskovariante kann man das Spiel auch so spielen, dass man bei einem Treffer nichts bekommt, bei zwei jedoch gleich 4€, bei drei Treffern sogar 9€, bei 4 Treffern 16 € und bei 5 Treffern volle 25€. Berechne den Erwartungswert des Gewinns der Risikovariante um diesen mit dem des normalen Spiels zu vergleichen.
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.28.

P_{0.28}^{5} (X \leq 1)

=

P_{0.28}^{5} (X = 0)

+

P_{0.28}^{5} (X = 1)

= 0.5697257472 ≈ 0.5697
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.28,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.28.

P_{0.28}^{5} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.28}^{2} \cdot {0.72}^{3}

=0.292626432≈ 0.2926
(TI-Befehl: binompdf(5,0.28,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.28.

P_{0.28}^{5} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.28}^{3} \cdot {0.72}^{2}

=0.113799168≈ 0.1138
(TI-Befehl: binompdf(5,0.28,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.28.

P_{0.28}^{5} (X = 4)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.28}^{4} \cdot {0.72}^{1}

=0.022127616≈ 0.0221
(TI-Befehl: binompdf(5,0.28,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.28.

P_{0.28}^{5} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.28}^{5} \cdot {0.72}^{0}

=0.0017210368≈ 0.0017
(TI-Befehl: binompdf(5,0.28,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	0	4	9	16	25
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-7	-3	2	9	18
P(X=x_i)	0.5697	0.2926	0.1138	0.0221	0.0017
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,1704$	$1,0242$	$0,3536$	$0,0425$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 3,9879$	$- 0,8778$	$0,2276$	$0,1989$	$0,0306$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5697 + 4⋅0.2926 + 9⋅0.1138 + 16⋅0.0221 + 25⋅0.0017

≈ 2.59

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.59 - 7 = -4.41 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -7⋅0.5697 + -3⋅0.2926 + 2⋅0.1138 + 9⋅0.0221 + 18⋅0.0017

≈ -4.41

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 10 blauen und 5 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 81€, bei 2 blauen bekommt er noch 9€, bei einer 3€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{24}{91}$
blau -> blau -> rot	$\frac{15}{91}$
blau -> rot -> blau	$\frac{15}{91}$
blau -> rot -> rot	$\frac{20}{273}$
rot -> blau -> blau	$\frac{15}{91}$
rot -> blau -> rot	$\frac{20}{273}$
rot -> rot -> blau	$\frac{20}{273}$
rot -> rot -> rot	$\frac{2}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{2}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{20}{273}$ + $\frac{20}{273}$ + $\frac{20}{273}$ = $\frac{20}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ = $\frac{45}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{24}{91}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	3	9	81
P(X=x_i)	$\frac{2}{91}$	$\frac{20}{91}$	$\frac{45}{91}$	$\frac{24}{91}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{60}{91}$	$\frac{405}{91}$	$\frac{1944}{91}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{2}{91}$ + 3⋅ $\frac{20}{91}$ + 9⋅ $\frac{45}{91}$ + 81⋅ $\frac{24}{91}$

= $0$ $+$ $\frac{60}{91}$ $+$ $\frac{405}{91}$ $+$ $\frac{1944}{91}$
= $\frac{0}{91}$ $+$ $\frac{60}{91}$ $+$ $\frac{405}{91}$ $+$ $\frac{1944}{91}$
= $\frac{2409}{91}$

≈ 26.47