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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 18€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 5000€. Bei 5 Treffern bekommt man 200€, und bei 4 Treffern 10€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,35 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

P_{0.35}^{6} (X \leq 3)

P_{0.35}^{6} (X = 0)

P_{0.35}^{6} (X = 1)

P_{0.35}^{6} (X = 2)

P_{0.35}^{6} (X = 3)

= 0.88257609375 ≈ 0.8826
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.35,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

P_{0.35}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.35}^{4} \cdot {0.65}^{2}

=0.095102109375≈ 0.0951
(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

P_{0.35}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.35}^{5} \cdot {0.65}^{1}

=0.02048353125≈ 0.0205
(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

P_{0.35}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.35}^{6} \cdot {0.65}^{0}

=0.001838265625≈ 0.0018
(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	10	200	5000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-18	-8	182	4982
P(X=x_i)	0.8826	0.0951	0.0205	0.0018
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0,951$	$4,1$	$9$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 15,8868$	$- 0,7608$	$3,731$	$8,9676$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.8826 + 10⋅0.0951 + 200⋅0.0205 + 5000⋅0.0018

≈ 14.05

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=14.05 - 18 = -3.95 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -18⋅0.8826 + -8⋅0.0951 + 182⋅0.0205 + 4982⋅0.0018

≈ -3.95

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 15 Mädchen und 9 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{455}{2024}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{315}{2024}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{315}{2024}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{45}{506}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{315}{2024}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{45}{506}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{45}{506}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{21}{506}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{21}{506}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{45}{506}$ + $\frac{45}{506}$ + $\frac{45}{506}$ = $\frac{135}{506}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{315}{2024}$ + $\frac{315}{2024}$ + $\frac{315}{2024}$ = $\frac{945}{2024}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{455}{2024}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{21}{506}$	$\frac{135}{506}$	$\frac{945}{2024}$	$\frac{455}{2024}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{135}{506}$	$\frac{945}{1012}$	$\frac{1365}{2024}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{21}{506}$ + 1⋅ $\frac{135}{506}$ + 2⋅ $\frac{945}{2024}$ + 3⋅ $\frac{455}{2024}$

= $0$ $+$ $\frac{135}{506}$ $+$ $\frac{945}{1012}$ $+$ $\frac{1365}{2024}$
= $\frac{0}{2024}$ $+$ $\frac{540}{2024}$ $+$ $\frac{1890}{2024}$ $+$ $\frac{1365}{2024}$
= $\frac{3795}{2024}$
= $\frac{15}{8}$

≈ 1.88