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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen
Beispiel:
Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 10€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 2000€. Bei 5 Treffern bekommt man 400€, und bei 4 Treffern 20€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,44 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)
Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:
Trefferzahl: 0-3
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.44.
= + + + = 0.76102139904 ≈ 0.761(TI-Befehl: binomcdf(6,0.44,3))
Trefferzahl: 4
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.44.
= =0.17631043584≈ 0.1763(TI-Befehl: binompdf(6,0.44,4))
Trefferzahl: 5
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.44.
= =0.055411851264≈ 0.0554(TI-Befehl: binompdf(6,0.44,5))
Trefferzahl: 6
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.44.
= =0.007256313856≈ 0.0073(TI-Befehl: binompdf(6,0.44,6))
Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y
| Ereignis | 0-3 | 4 | 5 | 6 |
| Zufallsgröße xi | 0 | 20 | 400 | 2000 |
| Zufallsgröße yi (Gewinn) | -10 | 10 | 390 | 1990 |
| P(X=xi) | 0.761 | 0.1763 | 0.0554 | 0.0073 |
| xi ⋅ P(X=xi) | ||||
| yi ⋅ P(Y=yi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅0.761 + 20⋅0.1763 + 400⋅0.0554 + 2000⋅0.0073
≈ 40.29
Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=40.29 - 10 = 30.29 ergibt.
Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X2) aus:
E(Y)= -10⋅0.761 + 10⋅0.1763 + 390⋅0.0554 + 1990⋅0.0073
≈ 30.29
Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
| Ereignis | P |
|---|---|
| Blume -> Blume | |
| Blume -> Raute | |
| Blume -> Stein | |
| Blume -> Krone | |
| Raute -> Blume | |
| Raute -> Raute | |
| Raute -> Stein | |
| Raute -> Krone | |
| Stein -> Blume | |
| Stein -> Raute | |
| Stein -> Stein | |
| Stein -> Krone | |
| Krone -> Blume | |
| Krone -> Raute | |
| Krone -> Stein | |
| Krone -> Krone |
Die Wahrscheinlichkeit für '2 gleiche' ist:
P('Blume'-'Blume') + P('Raute'-'Raute') + P('Stein'-'Stein')
= + + =
Die Wahrscheinlichkeit für '1 Krone' ist:
P('Blume'-'Krone') + P('Raute'-'Krone') + P('Stein'-'Krone') + P('Krone'-'Blume') + P('Krone'-'Raute') + P('Krone'-'Stein')
= + + + + + =
Die Wahrscheinlichkeit für '2 Kronen' ist:
P('Krone'-'Krone')
=
Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Gewinn bei einem Spiel.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
| Ereignis | 2 gleiche | 1 Krone | 2 Kronen |
| Zufallsgröße xi | 1 | 10 | 20 |
| P(X=xi) | |||
| xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 1⋅ + 10⋅ + 20⋅
=
=
=
≈ 2.83
