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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt hat man für 10€ 5 Versuche, einen Ball in einen Eimer zu werden. Dabei springt der Ball aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 78% wieder raus. Bleibt er aber drin, bekommt man einen Euro. Als Riskovariante kann man das Spiel auch so spielen, dass man bei einem Treffer nichts bekommt, bei zwei jedoch gleich 4€, bei drei Treffern sogar 9€, bei 4 Treffern 16 € und bei 5 Treffern volle 25€. Berechne den Erwartungswert des Gewinns der Risikovariante um diesen mit dem des normalen Spiels zu vergleichen.
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

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Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.22.

P_{0.22}^{5} (X \leq 1)

=

P_{0.22}^{5} (X = 0)

+

P_{0.22}^{5} (X = 1)

= 0.6958830528 ≈ 0.6959
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.22,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.22.

P_{0.22}^{5} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.22}^{2} \cdot {0.78}^{3}

=0.229683168≈ 0.2297
(TI-Befehl: binompdf(5,0.22,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.22.

P_{0.22}^{5} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.22}^{3} \cdot {0.78}^{2}

=0.064782432≈ 0.0648
(TI-Befehl: binompdf(5,0.22,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.22.

P_{0.22}^{5} (X = 4)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.22}^{4} \cdot {0.78}^{1}

=0.009135984≈ 0.0091
(TI-Befehl: binompdf(5,0.22,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.22.

P_{0.22}^{5} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.22}^{5} \cdot {0.78}^{0}

=0.0005153632≈ 0.0005
(TI-Befehl: binompdf(5,0.22,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	0	4	9	16	25
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-10	-6	-1	6	15
P(X=x_i)	0.6959	0.2297	0.0648	0.0091	0.0005
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0,9188$	$0,5832$	$0,1456$	$0,0125$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 6,959$	$- 1,3782$	$- 0,0648$	$0,0546$	$0,0075$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.6959 + 4⋅0.2297 + 9⋅0.0648 + 16⋅0.0091 + 25⋅0.0005

≈ 1.66

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.66 - 10 = -8.34 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -10⋅0.6959 + -6⋅0.2297 + -1⋅0.0648 + 6⋅0.0091 + 15⋅0.0005

≈ -8.34

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 12 Mädchen und 9 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{22}{133}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{99}{665}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{99}{665}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{72}{665}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{99}{665}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{72}{665}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{72}{665}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{6}{95}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{6}{95}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{72}{665}$ + $\frac{72}{665}$ + $\frac{72}{665}$ = $\frac{216}{665}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{99}{665}$ + $\frac{99}{665}$ + $\frac{99}{665}$ = $\frac{297}{665}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{22}{133}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{6}{95}$	$\frac{216}{665}$	$\frac{297}{665}$	$\frac{22}{133}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{216}{665}$	$\frac{594}{665}$	$\frac{66}{133}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{6}{95}$ + 1⋅ $\frac{216}{665}$ + 2⋅ $\frac{297}{665}$ + 3⋅ $\frac{22}{133}$

= $0$ $+$ $\frac{216}{665}$ $+$ $\frac{594}{665}$ $+$ $\frac{66}{133}$
= $\frac{0}{665}$ $+$ $\frac{216}{665}$ $+$ $\frac{594}{665}$ $+$ $\frac{330}{665}$
= $\frac{1140}{665}$
= $\frac{12}{7}$

≈ 1.71