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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt hat man für 8€ 5 Versuche, einen Ball in einen Eimer zu werden. Dabei springt der Ball aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% wieder raus. Bleibt er aber drin, bekommt man einen Euro. Als Riskovariante kann man das Spiel auch so spielen, dass man bei einem Treffer nichts bekommt, bei zwei jedoch gleich 4€, bei drei Treffern sogar 9€, bei 4 Treffern 16 € und bei 5 Treffern volle 25€. Berechne den Erwartungswert des Gewinns der Risikovariante um diesen mit dem des normalen Spiels zu vergleichen.
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

P_{0.2}^{5} (X \leq 1)

=

P_{0.2}^{5} (X = 0)

+

P_{0.2}^{5} (X = 1)

= 0.73728 ≈ 0.7373
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.2,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

P_{0.2}^{5} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.2}^{2} \cdot {0.8}^{3}

=0.2048≈ 0.2048
(TI-Befehl: binompdf(5,0.2,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

P_{0.2}^{5} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.2}^{3} \cdot {0.8}^{2}

=0.0512≈ 0.0512
(TI-Befehl: binompdf(5,0.2,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

P_{0.2}^{5} (X = 4)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.2}^{4} \cdot {0.8}^{1}

=0.0064≈ 0.0064
(TI-Befehl: binompdf(5,0.2,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.2.

P_{0.2}^{5} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.2}^{5} \cdot {0.8}^{0}

=0.00032≈ 0.0003
(TI-Befehl: binompdf(5,0.2,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	0	4	9	16	25
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-8	-4	1	8	17
P(X=x_i)	0.7373	0.2048	0.0512	0.0064	0.0003
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0,8192$	$0,4608$	$0,1024$	$0,0075$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 5,8984$	$- 0,8192$	$0,0512$	$0,0512$	$0,0051$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.7373 + 4⋅0.2048 + 9⋅0.0512 + 16⋅0.0064 + 25⋅0.0003

≈ 1.39

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.39 - 8 = -6.61 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -8⋅0.7373 + -4⋅0.2048 + 1⋅0.0512 + 8⋅0.0064 + 17⋅0.0003

≈ -6.61

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Stapel Karten mit 7 Asse, 6 Könige, 6 Damen und 5 Buben werden 2 Karten gezogen. Dabei zählen 2 Asse 500, 2 Könige 250, 2 Damen 220 und 2 Buben 50 Punkte. Außerdem gibt es für ein Paar aus Dame und König 40 Punkte. Wie viele Punkte kann man bei diesem Spiel erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As	$\frac{7}{92}$
As -> König	$\frac{7}{92}$
As -> Dame	$\frac{7}{92}$
As -> Bube	$\frac{35}{552}$
König -> As	$\frac{7}{92}$
König -> König	$\frac{5}{92}$
König -> Dame	$\frac{3}{46}$
König -> Bube	$\frac{5}{92}$
Dame -> As	$\frac{7}{92}$
Dame -> König	$\frac{3}{46}$
Dame -> Dame	$\frac{5}{92}$
Dame -> Bube	$\frac{5}{92}$
Bube -> As	$\frac{35}{552}$
Bube -> König	$\frac{5}{92}$
Bube -> Dame	$\frac{5}{92}$
Bube -> Bube	$\frac{5}{138}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{7}{92}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{5}{92}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{5}{92}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{5}{138}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{3}{46}$ + $\frac{3}{46}$ = $\frac{3}{23}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße x_i	500	250	220	50	40
P(X=x_i)	$\frac{7}{92}$	$\frac{5}{92}$	$\frac{5}{92}$	$\frac{5}{138}$	$\frac{3}{23}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{875}{23}$	$\frac{625}{46}$	$\frac{275}{23}$	$\frac{125}{69}$	$\frac{120}{23}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 500⋅ $\frac{7}{92}$ + 250⋅ $\frac{5}{92}$ + 220⋅ $\frac{5}{92}$ + 50⋅ $\frac{5}{138}$ + 40⋅ $\frac{3}{23}$

= $\frac{875}{23}$ $+$ $\frac{625}{46}$ $+$ $\frac{275}{23}$ $+$ $\frac{125}{69}$ $+$ $\frac{120}{23}$
= $\frac{5250}{138}$ $+$ $\frac{1875}{138}$ $+$ $\frac{1650}{138}$ $+$ $\frac{250}{138}$ $+$ $\frac{720}{138}$
= $\frac{9745}{138}$

≈ 70.62