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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt hat man für 5€ 5 Versuche, einen Ball in einen Eimer zu werden. Dabei springt der Ball aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 81% wieder raus. Bleibt er aber drin, bekommt man einen Euro. Als Riskovariante kann man das Spiel auch so spielen, dass man bei einem Treffer nichts bekommt, bei zwei jedoch gleich 4€, bei drei Treffern sogar 9€, bei 4 Treffern 16 € und bei 5 Treffern volle 25€. Berechne den Erwartungswert des Gewinns der Risikovariante um diesen mit dem des normalen Spiels zu vergleichen.
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

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Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.19.

P0.195 (X1) = P0.195 (X=0) + P0.195 (X=1) = 0.7576222896 ≈ 0.7576
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.19,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.19.

P0.195 (X=2) = ( 5 2 ) 0.192 0.813 =0.191850201≈ 0.1919
(TI-Befehl: binompdf(5,0.19,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.19.

P0.195 (X=3) = ( 5 3 ) 0.193 0.812 =0.045001899≈ 0.045
(TI-Befehl: binompdf(5,0.19,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.19.

P0.195 (X=4) = ( 5 4 ) 0.194 0.811 =0.0052780005≈ 0.0053
(TI-Befehl: binompdf(5,0.19,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.19.

P0.195 (X=5) = ( 5 5 ) 0.195 0.810 =0.0002476099≈ 0.0002
(TI-Befehl: binompdf(5,0.19,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis 0-1 2 3 4 5
Zufallsgröße xi 0 4 9 16 25
Zufallsgröße yi (Gewinn) -5 -1 4 11 20
P(X=xi) 0.7576 0.1919 0.045 0.0053 0.0002
xi ⋅ P(X=xi) 0 0,7676 0,405 0,0848 0,005
yi ⋅ P(Y=yi) -3,788 -0,1919 0,18 0,0583 0,004

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.7576 + 4⋅0.1919 + 9⋅0.045 + 16⋅0.0053 + 25⋅0.0002

1.26

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.26 - 5 = -3.74 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X2) aus:

E(Y)= -5⋅0.7576 + -1⋅0.1919 + 4⋅0.045 + 11⋅0.0053 + 20⋅0.0002

-3.74

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Zwei Glücksräder wie rechts in der Abbildung werden gleichzeitig gedreht. Erscheinen zwei Kronen, so erhält man 20€. Bei einer Krone erhält man immer hin noch 8€. Erscheinen zwei gleiche Dinge (außer Kronen), so erhält man 2€. In allen anderen Fällen geht man leer aus. Mit wie viel Euro kann man bei einem Spiel durchschnittlich rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
Blume -> Blume 9 64
Blume -> Raute 3 32
Blume -> Stein 3 32
Blume -> Krone 3 64
Raute -> Blume 3 32
Raute -> Raute 1 16
Raute -> Stein 1 16
Raute -> Krone 1 32
Stein -> Blume 3 32
Stein -> Raute 1 16
Stein -> Stein 1 16
Stein -> Krone 1 32
Krone -> Blume 3 64
Krone -> Raute 1 32
Krone -> Stein 1 32
Krone -> Krone 1 64

Die Wahrscheinlichkeit für '2 gleiche' ist:

P('Blume'-'Blume') + P('Raute'-'Raute') + P('Stein'-'Stein')
= 9 64 + 1 16 + 1 16 = 17 64

Die Wahrscheinlichkeit für '1 Krone' ist:

P('Blume'-'Krone') + P('Raute'-'Krone') + P('Stein'-'Krone') + P('Krone'-'Blume') + P('Krone'-'Raute') + P('Krone'-'Stein')
= 3 64 + 1 32 + 1 32 + 3 64 + 1 32 + 1 32 = 7 32

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Kronen' ist:

P('Krone'-'Krone')
= 1 64

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Gewinn bei einem Spiel.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 2 gleiche 1 Krone 2 Kronen
Zufallsgröße xi 2 8 20
P(X=xi) 17 64 7 32 1 64
xi ⋅ P(X=xi) 17 32 7 4 5 16

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 2⋅ 17 64 + 8⋅ 7 32 + 20⋅ 1 64

= 17 32 + 7 4 + 5 16
= 17 32 + 56 32 + 10 32
= 83 32

2.59