Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt hat man für 9€ 5 Versuche, einen Ball in einen Eimer zu werden. Dabei springt der Ball aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 76% wieder raus. Bleibt er aber drin, bekommt man einen Euro. Als Riskovariante kann man das Spiel auch so spielen, dass man bei einem Treffer nichts bekommt, bei zwei jedoch gleich 4€, bei drei Treffern sogar 9€, bei 4 Treffern 16 € und bei 5 Treffern volle 25€. Berechne den Erwartungswert des Gewinns der Risikovariante um diesen mit dem des normalen Spiels zu vergleichen.
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.24.

P_{0.24}^{5} (X \leq 1)

=

P_{0.24}^{5} (X = 0)

+

P_{0.24}^{5} (X = 1)

= 0.6538986496 ≈ 0.6539
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.24,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.24.

P_{0.24}^{5} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.24}^{2} \cdot {0.76}^{3}

=0.252850176≈ 0.2529
(TI-Befehl: binompdf(5,0.24,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.24.

P_{0.24}^{5} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.24}^{3} \cdot {0.76}^{2}

=0.079847424≈ 0.0798
(TI-Befehl: binompdf(5,0.24,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.24.

P_{0.24}^{5} (X = 4)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.24}^{4} \cdot {0.76}^{1}

=0.012607488≈ 0.0126
(TI-Befehl: binompdf(5,0.24,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.24.

P_{0.24}^{5} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.24}^{5} \cdot {0.76}^{0}

=0.0007962624≈ 0.0008
(TI-Befehl: binompdf(5,0.24,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	0	4	9	16	25
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-9	-5	0	7	16
P(X=x_i)	0.6539	0.2529	0.0798	0.0126	0.0008
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,0116$	$0,7182$	$0,2016$	$0,02$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 5,8851$	$- 1,2645$	$0$	$0,0882$	$0,0128$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.6539 + 4⋅0.2529 + 9⋅0.0798 + 16⋅0.0126 + 25⋅0.0008

≈ 1.95

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.95 - 9 = -7.05 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -9⋅0.6539 + -5⋅0.2529 + 0⋅0.0798 + 7⋅0.0126 + 16⋅0.0008

≈ -7.05

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 12 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{11}{34}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{11}{68}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{11}{68}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{17}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{11}{68}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{1}{17}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{1}{17}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{68}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{68}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{17}$ + $\frac{1}{17}$ + $\frac{1}{17}$ = $\frac{3}{17}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{11}{68}$ + $\frac{11}{68}$ + $\frac{11}{68}$ = $\frac{33}{68}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{11}{34}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{1}{68}$	$\frac{3}{17}$	$\frac{33}{68}$	$\frac{11}{34}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{3}{17}$	$\frac{33}{34}$	$\frac{33}{34}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{68}$ + 1⋅ $\frac{3}{17}$ + 2⋅ $\frac{33}{68}$ + 3⋅ $\frac{11}{34}$

= $0$ $+$ $\frac{3}{17}$ $+$ $\frac{33}{34}$ $+$ $\frac{33}{34}$
= $\frac{0}{34}$ $+$ $\frac{6}{34}$ $+$ $\frac{33}{34}$ $+$ $\frac{33}{34}$
= $\frac{72}{34}$
= $\frac{36}{17}$

≈ 2.12