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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 11€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 4000€. Bei 5 Treffern bekommt man 300€, und bei 4 Treffern 50€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,42 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.42.

P_{0.42}^{6} (X \leq 3)

P_{0.42}^{6} (X = 0)

P_{0.42}^{6} (X = 1)

P_{0.42}^{6} (X = 2)

P_{0.42}^{6} (X = 3)

= 0.79201423936 ≈ 0.792
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.42,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.42.

P_{0.42}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.42}^{4} \cdot {0.58}^{2}

=0.15701618016≈ 0.157
(TI-Befehl: binompdf(6,0.42,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.42.

P_{0.42}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.42}^{5} \cdot {0.58}^{1}

=0.045480548736≈ 0.0455
(TI-Befehl: binompdf(6,0.42,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.42.

P_{0.42}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.42}^{6} \cdot {0.58}^{0}

=0.005489031744≈ 0.0055
(TI-Befehl: binompdf(6,0.42,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	50	300	4000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-11	39	289	3989
P(X=x_i)	0.792	0.157	0.0455	0.0055
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$7,85$	$13,65$	$22$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 8,712$	$6,123$	$13,1495$	$21,9395$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.792 + 50⋅0.157 + 300⋅0.0455 + 4000⋅0.0055

≈ 43.5

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=43.5 - 11 = 32.5 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -11⋅0.792 + 39⋅0.157 + 289⋅0.0455 + 3989⋅0.0055

≈ 32.5

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 12 Mädchen und 7 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{220}{969}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{154}{969}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{154}{969}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{28}{323}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{154}{969}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{28}{323}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{28}{323}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{35}{969}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{35}{969}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{28}{323}$ + $\frac{28}{323}$ + $\frac{28}{323}$ = $\frac{84}{323}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{154}{969}$ + $\frac{154}{969}$ + $\frac{154}{969}$ = $\frac{154}{323}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{220}{969}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{35}{969}$	$\frac{84}{323}$	$\frac{154}{323}$	$\frac{220}{969}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{84}{323}$	$\frac{308}{323}$	$\frac{220}{323}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{35}{969}$ + 1⋅ $\frac{84}{323}$ + 2⋅ $\frac{154}{323}$ + 3⋅ $\frac{220}{969}$

= $0$ $+$ $\frac{84}{323}$ $+$ $\frac{308}{323}$ $+$ $\frac{220}{323}$
= $\frac{0}{323}$ $+$ $\frac{84}{323}$ $+$ $\frac{308}{323}$ $+$ $\frac{220}{323}$
= $\frac{612}{323}$
= $\frac{36}{19}$

≈ 1.89