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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 7€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 2000€. Bei 5 Treffern bekommt man 100€, und bei 4 Treffern 40€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,3 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P_{0.3}^{6} (X \leq 3)

P_{0.3}^{6} (X = 0)

P_{0.3}^{6} (X = 1)

P_{0.3}^{6} (X = 2)

P_{0.3}^{6} (X = 3)

= 0.92953 ≈ 0.9295
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.3,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P_{0.3}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{4} \cdot {0.7}^{2}

=0.059535≈ 0.0595
(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P_{0.3}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{5} \cdot {0.7}^{1}

=0.010206≈ 0.0102
(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P_{0.3}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{6} \cdot {0.7}^{0}

=0.000729≈ 0.0007
(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	40	100	2000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-7	33	93	1993
P(X=x_i)	0.9295	0.0595	0.0102	0.0007
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$2,38$	$1,02$	$1,4$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 6,5065$	$1,9635$	$0,9486$	$1,3951$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9295 + 40⋅0.0595 + 100⋅0.0102 + 2000⋅0.0007

≈ 4.8

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=4.8 - 7 = -2.2 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -7⋅0.9295 + 33⋅0.0595 + 93⋅0.0102 + 1993⋅0.0007

≈ -2.2

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 21 Mädchen und 9 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{19}{58}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{9}{58}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{9}{58}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{9}{145}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{9}{58}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{9}{145}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{9}{145}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{3}{145}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{3}{145}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{9}{145}$ + $\frac{9}{145}$ + $\frac{9}{145}$ = $\frac{27}{145}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{9}{58}$ + $\frac{9}{58}$ + $\frac{9}{58}$ = $\frac{27}{58}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{19}{58}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{3}{145}$	$\frac{27}{145}$	$\frac{27}{58}$	$\frac{19}{58}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{27}{145}$	$\frac{27}{29}$	$\frac{57}{58}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{3}{145}$ + 1⋅ $\frac{27}{145}$ + 2⋅ $\frac{27}{58}$ + 3⋅ $\frac{19}{58}$

= $0$ $+$ $\frac{27}{145}$ $+$ $\frac{27}{29}$ $+$ $\frac{57}{58}$
= $\frac{0}{290}$ $+$ $\frac{54}{290}$ $+$ $\frac{270}{290}$ $+$ $\frac{285}{290}$
= $\frac{609}{290}$
= $\frac{21}{10}$

≈ 2.1