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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Bürobelieferungs-Firma liefert Toner aus, bei denen dummerweise 40% defekt sind. Die defekten Toner dürfen die Empfänger in Retoure-Kartons zurückschicken, in die maximal 4 Stück reinpassen. Ein Retoure-Karton kostet die Firma 5€ Porto. Mit welchen Portogebühren muss die Firma bei einer Schule, die 20 Toner abgenommen hat, durchschnittlich rechnen?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

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Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.4.

P0.420 (X=0) = ( 20 0 ) 0.40 0.620 =3.656158440063E-5≈ 0
(TI-Befehl: binompdf(20,0.4,0))

Trefferzahl: 1-4

P0.420 (1X4) = P0.420 (X4) - P0.420 (X0) = 0.051

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.4,4) - binomcdf(20,0.4,0))

Trefferzahl: 5-8

P0.420 (5X8) = P0.420 (X8) - P0.420 (X4) = 0.5446

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.4,8) - binomcdf(20,0.4,4))

Trefferzahl: 9-12

P0.420 (9X12) = P0.420 (X12) - P0.420 (X8) = 0.3834

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.4,12) - binomcdf(20,0.4,8))

Trefferzahl: 13-16

P0.420 (13X16) = P0.420 (X16) - P0.420 (X12) = 0.021

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.4,16) - binomcdf(20,0.4,12))

Trefferzahl: 17-20

P0.420 (X17) = P0.420 (X20) - P0.420 (X16) = 0

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.4,20) - binomcdf(20,0.4,16))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1-4 5-8 9-12 13-16 17-20
Zufallsgröße xi 0 5 10 15 20 25
P(X=xi) 0 0.051 0.5446 0.3834 0.021 0
xi ⋅ P(X=xi) 0 0.255 5.446 5.751 0.42 0

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0 + 5⋅0.051 + 10⋅0.5446 + 15⋅0.3834 + 20⋅0.021 + 25⋅0

11.87

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 21 Mädchen und 6 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie viele Mädchen kann man bei den ersten 3 verlosten Plätzen erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 266 585
Mädchen -> Mädchen -> Jungs 28 195
Mädchen -> Jungs -> Mädchen 28 195
Mädchen -> Jungs -> Jungs 7 195
Jungs -> Mädchen -> Mädchen 28 195
Jungs -> Mädchen -> Jungs 7 195
Jungs -> Jungs -> Mädchen 7 195
Jungs -> Jungs -> Jungs 4 585

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: 4 585

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: 7 195 + 7 195 + 7 195 = 7 65

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: 28 195 + 28 195 + 28 195 = 28 65

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: 266 585

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1 2 3
Zufallsgröße xi 0 1 2 3
P(X=xi) 4 585 7 65 28 65 266 585
xi ⋅ P(X=xi) 0 7 65 56 65 266 195

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ 4 585 + 1⋅ 7 65 + 2⋅ 28 65 + 3⋅ 266 585

= 0+ 7 65 + 56 65 + 266 195
= 0 195 + 21 195 + 168 195 + 266 195
= 455 195
= 7 3

2.33