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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 14€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 2000€. Bei 5 Treffern bekommt man 300€, und bei 4 Treffern 30€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,4 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.4.

P_{0.4}^{6} (X \leq 3)

P_{0.4}^{6} (X = 0)

P_{0.4}^{6} (X = 1)

P_{0.4}^{6} (X = 2)

P_{0.4}^{6} (X = 3)

= 0.8208 ≈ 0.8208
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.4,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.4.

P_{0.4}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.4}^{4} \cdot {0.6}^{2}

=0.13824≈ 0.1382
(TI-Befehl: binompdf(6,0.4,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.4.

P_{0.4}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.4}^{5} \cdot {0.6}^{1}

=0.036864≈ 0.0369
(TI-Befehl: binompdf(6,0.4,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.4.

P_{0.4}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.4}^{6} \cdot {0.6}^{0}

=0.004096≈ 0.0041
(TI-Befehl: binompdf(6,0.4,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	30	300	2000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-14	16	286	1986
P(X=x_i)	0.8208	0.1382	0.0369	0.0041
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$4,146$	$11,07$	$8,2$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 11,4912$	$2,2112$	$10,5534$	$8,1426$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.8208 + 30⋅0.1382 + 300⋅0.0369 + 2000⋅0.0041

≈ 23.42

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=23.42 - 14 = 9.42 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -14⋅0.8208 + 16⋅0.1382 + 286⋅0.0369 + 1986⋅0.0041

≈ 9.42

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 14 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As -> As	$\frac{1}{204}$
As -> As -> andereKarte	$\frac{7}{204}$
As -> andereKarte -> As	$\frac{7}{204}$
As -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{91}{612}$
andereKarte -> As -> As	$\frac{7}{204}$
andereKarte -> As -> andereKarte	$\frac{91}{612}$
andereKarte -> andereKarte -> As	$\frac{91}{612}$
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{91}{204}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: $\frac{91}{204}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: $\frac{91}{612}$ + $\frac{91}{612}$ + $\frac{91}{612}$ = $\frac{91}{204}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: $\frac{7}{204}$ + $\frac{7}{204}$ + $\frac{7}{204}$ = $\frac{7}{68}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: $\frac{1}{204}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	10	20	30
P(X=x_i)	$\frac{91}{204}$	$\frac{91}{204}$	$\frac{7}{68}$	$\frac{1}{204}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{455}{102}$	$\frac{35}{17}$	$\frac{5}{34}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{91}{204}$ + 10⋅ $\frac{91}{204}$ + 20⋅ $\frac{7}{68}$ + 30⋅ $\frac{1}{204}$

= $0$ $+$ $\frac{455}{102}$ $+$ $\frac{35}{17}$ $+$ $\frac{5}{34}$
= $\frac{0}{102}$ $+$ $\frac{455}{102}$ $+$ $\frac{210}{102}$ $+$ $\frac{15}{102}$
= $\frac{680}{102}$
= $\frac{20}{3}$

≈ 6.67