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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Bürobelieferungs-Firma liefert Toner aus, bei denen dummerweise 20% defekt sind. Die defekten Toner dürfen die Empfänger in Retoure-Kartons zurückschicken, in die maximal 4 Stück reinpassen. Ein Retoure-Karton kostet die Firma 5€ Porto. Mit welchen Portogebühren muss die Firma bei einer Schule, die 20 Toner abgenommen hat, durchschnittlich rechnen?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

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Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.2.

P_{0.2}^{20} (X = 0)

(\begin{matrix} 20 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {0.2}^{0} \cdot {0.8}^{20}

=0.011529215046068≈ 0.0115
(TI-Befehl: binompdf(20,0.2,0))

Trefferzahl: 1-4

$P_{0.2}^{20} (1 \leq X \leq 4)$ = $P_{0.2}^{20} (X \leq 4)$ - $P_{0.2}^{20} (X \leq 0)$ = 0.6181

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.2,4) - binomcdf(20,0.2,0))

Trefferzahl: 5-8

$P_{0.2}^{20} (5 \leq X \leq 8)$ = $P_{0.2}^{20} (X \leq 8)$ - $P_{0.2}^{20} (X \leq 4)$ = 0.3604

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.2,8) - binomcdf(20,0.2,4))

Trefferzahl: 9-12

$P_{0.2}^{20} (9 \leq X \leq 12)$ = $P_{0.2}^{20} (X \leq 12)$ - $P_{0.2}^{20} (X \leq 8)$ = 0.01

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.2,12) - binomcdf(20,0.2,8))

Trefferzahl: 13-16

$P_{0.2}^{20} (13 \leq X \leq 16)$ = $P_{0.2}^{20} (X \leq 16)$ - $P_{0.2}^{20} (X \leq 12)$ = 0

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.2,16) - binomcdf(20,0.2,12))

Trefferzahl: 17-20

$P_{0.2}^{20} (X \geq 17)$ = $P_{0.2}^{20} (X \leq 20)$ - $P_{0.2}^{20} (X \leq 16)$ = 0

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.2,20) - binomcdf(20,0.2,16))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1-4	5-8	9-12	13-16	17-20
Zufallsgröße x_i	0	5	10	15	20	25
P(X=x_i)	0.0115	0.6181	0.3604	0.01	0	0
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$3,0905$	$3,604$	$0,15$	$0$	$0$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.0115 + 5⋅0.6181 + 10⋅0.3604 + 15⋅0.01 + 20⋅0 + 25⋅0

≈ 6.84

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

Ein leidenschaftlicher Mäxle-Spieler möchte eine Mäxle-Spielautomat bauen. Wie beim richtigen Mäxle sollen auch hier zwei normale Würfel gleichzeitig geworfen werden (bzw. dies eben simuliert). Bei einem Mäxle (also eine 1 und eine 2) soll dann 18€ ausbezahlt werden, bei einem Pasch (also zwei gleiche Augenzahlen) 5€ und bei 61-65 also (also ein Würfel 6 und der andere keine 6) noch 3€. Wie groß müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Mäxle' ist:

P('1'-'2') + P('2'-'1')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{18}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Pasch' ist:

P('1'-'1') + P('2'-'2') + P('3'-'3') + P('4'-'4') + P('5'-'5') + P('6'-'6')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{6}$

Die Wahrscheinlichkeit für '60er' ist:

P('1'-'6') + P('2'-'6') + P('3'-'6') + P('4'-'6') + P('5'-'6') + P('6'-'1') + P('6'-'2') + P('6'-'3') + P('6'-'4') + P('6'-'5')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{5}{18}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den durch die beiden Würfel ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	Mäxle	Pasch	60er
Zufallsgröße x_i	18	5	3
P(X=x_i)	$\frac{1}{18}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{18}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$1$	$\frac{5}{6}$	$\frac{5}{6}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 18⋅ $\frac{1}{18}$ + 5⋅ $\frac{1}{6}$ + 3⋅ $\frac{5}{18}$

= $1$ $+$ $\frac{5}{6}$ $+$ $\frac{5}{6}$
= $\frac{6}{6}$ $+$ $\frac{5}{6}$ $+$ $\frac{5}{6}$
= $\frac{16}{6}$
= $\frac{8}{3}$

≈ 2.67