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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 6€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 5000€. Bei 5 Treffern bekommt man 200€, und bei 4 Treffern 20€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,41 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.41.

P_{0.41}^{6} (X \leq 3)

P_{0.41}^{6} (X = 0)

P_{0.41}^{6} (X = 1)

P_{0.41}^{6} (X = 2)

P_{0.41}^{6} (X = 3)

= 0.80668968999 ≈ 0.8067
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.41,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.41.

P_{0.41}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.41}^{4} \cdot {0.59}^{2}

=0.147547110615≈ 0.1475
(TI-Befehl: binompdf(6,0.41,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.41.

P_{0.41}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.41}^{5} \cdot {0.59}^{1}

=0.041013095154≈ 0.041
(TI-Befehl: binompdf(6,0.41,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.41.

P_{0.41}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.41}^{6} \cdot {0.59}^{0}

=0.004750104241≈ 0.0048
(TI-Befehl: binompdf(6,0.41,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	20	200	5000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-6	14	194	4994
P(X=x_i)	0.8067	0.1475	0.041	0.0048
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$2,95$	$8,2$	$24$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 4,8402$	$2,065$	$7,954$	$23,9712$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.8067 + 20⋅0.1475 + 200⋅0.041 + 5000⋅0.0048

≈ 35.15

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=35.15 - 6 = 29.15 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -6⋅0.8067 + 14⋅0.1475 + 194⋅0.041 + 4994⋅0.0048

≈ 29.15

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 6 blauen und 4 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 1296€, bei 2 blauen bekommt er noch 36€, bei einer 6€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{6}$
blau -> blau -> rot	$\frac{1}{6}$
blau -> rot -> blau	$\frac{1}{6}$
blau -> rot -> rot	$\frac{1}{10}$
rot -> blau -> blau	$\frac{1}{6}$
rot -> blau -> rot	$\frac{1}{10}$
rot -> rot -> blau	$\frac{1}{10}$
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{30}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{30}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ = $\frac{3}{10}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{2}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{1}{6}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	6	36	1296
P(X=x_i)	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{9}{5}$	$18$	$216$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{30}$ + 6⋅ $\frac{3}{10}$ + 36⋅ $\frac{1}{2}$ + 1296⋅ $\frac{1}{6}$

= $0$ $+$ $\frac{9}{5}$ $+$ $18$ $+$ $216$
= $\frac{0}{5}$ $+$ $\frac{9}{5}$ $+$ $\frac{90}{5}$ $+$ $\frac{1080}{5}$
= $\frac{1179}{5}$

≈ 235.8