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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 10€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 4000€. Bei 5 Treffern bekommt man 200€, und bei 4 Treffern 20€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,34 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.34.

P_{0.34}^{6} (X \leq 3)

P_{0.34}^{6} (X = 0)

P_{0.34}^{6} (X = 1)

P_{0.34}^{6} (X = 2)

P_{0.34}^{6} (X = 3)

= 0.89314657344 ≈ 0.8931
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.34,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.34.

P_{0.34}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.34}^{4} \cdot {0.66}^{2}

=0.08731619424≈ 0.0873
(TI-Befehl: binompdf(6,0.34,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.34.

P_{0.34}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.34}^{5} \cdot {0.66}^{1}

=0.017992427904≈ 0.018
(TI-Befehl: binompdf(6,0.34,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.34.

P_{0.34}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.34}^{6} \cdot {0.66}^{0}

=0.001544804416≈ 0.0015
(TI-Befehl: binompdf(6,0.34,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	20	200	4000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-10	10	190	3990
P(X=x_i)	0.8931	0.0873	0.018	0.0015
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,746$	$3,6$	$6$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 8,931$	$0,873$	$3,42$	$5,985$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.8931 + 20⋅0.0873 + 200⋅0.018 + 4000⋅0.0015

≈ 11.35

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=11.35 - 10 = 1.35 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -10⋅0.8931 + 10⋅0.0873 + 190⋅0.018 + 3990⋅0.0015

≈ 1.35

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 12 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As -> As	$\frac{1}{140}$
As -> As -> andereKarte	$\frac{3}{70}$
As -> andereKarte -> As	$\frac{3}{70}$
As -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{11}{70}$
andereKarte -> As -> As	$\frac{3}{70}$
andereKarte -> As -> andereKarte	$\frac{11}{70}$
andereKarte -> andereKarte -> As	$\frac{11}{70}$
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{11}{28}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: $\frac{11}{28}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ = $\frac{33}{70}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: $\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ = $\frac{9}{70}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: $\frac{1}{140}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	10	20	30
P(X=x_i)	$\frac{11}{28}$	$\frac{33}{70}$	$\frac{9}{70}$	$\frac{1}{140}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{33}{7}$	$\frac{18}{7}$	$\frac{3}{14}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{11}{28}$ + 10⋅ $\frac{33}{70}$ + 20⋅ $\frac{9}{70}$ + 30⋅ $\frac{1}{140}$

= $0$ $+$ $\frac{33}{7}$ $+$ $\frac{18}{7}$ $+$ $\frac{3}{14}$
= $\frac{0}{14}$ $+$ $\frac{66}{14}$ $+$ $\frac{36}{14}$ $+$ $\frac{3}{14}$
= $\frac{105}{14}$
= $\frac{15}{2}$

≈ 7.5