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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 7€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 2000€. Bei 5 Treffern bekommt man 400€, und bei 4 Treffern 10€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,45 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.45.

P_{0.45}^{6} (X \leq 3)

P_{0.45}^{6} (X = 0)

P_{0.45}^{6} (X = 1)

P_{0.45}^{6} (X = 2)

P_{0.45}^{6} (X = 3)

= 0.74473609375 ≈ 0.7447
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.45,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.45.

P_{0.45}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.45}^{4} \cdot {0.55}^{2}

=0.186065859375≈ 0.1861
(TI-Befehl: binompdf(6,0.45,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.45.

P_{0.45}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.45}^{5} \cdot {0.55}^{1}

=0.06089428125≈ 0.0609
(TI-Befehl: binompdf(6,0.45,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.45.

P_{0.45}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.45}^{6} \cdot {0.55}^{0}

=0.008303765625≈ 0.0083
(TI-Befehl: binompdf(6,0.45,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	10	400	2000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-7	3	393	1993
P(X=x_i)	0.7447	0.1861	0.0609	0.0083
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,861$	$24,36$	$16,6$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 5,2129$	$0,5583$	$23,9337$	$16,5419$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.7447 + 10⋅0.1861 + 400⋅0.0609 + 2000⋅0.0083

≈ 42.82

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=42.82 - 7 = 35.82 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -7⋅0.7447 + 3⋅0.1861 + 393⋅0.0609 + 1993⋅0.0083

≈ 35.82

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 10 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As -> As	$\frac{1}{91}$
As -> As -> andereKarte	$\frac{5}{91}$
As -> andereKarte -> As	$\frac{5}{91}$
As -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{15}{91}$
andereKarte -> As -> As	$\frac{5}{91}$
andereKarte -> As -> andereKarte	$\frac{15}{91}$
andereKarte -> andereKarte -> As	$\frac{15}{91}$
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{30}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: $\frac{30}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ = $\frac{45}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: $\frac{5}{91}$ + $\frac{5}{91}$ + $\frac{5}{91}$ = $\frac{15}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: $\frac{1}{91}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	10	20	30
P(X=x_i)	$\frac{30}{91}$	$\frac{45}{91}$	$\frac{15}{91}$	$\frac{1}{91}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{450}{91}$	$\frac{300}{91}$	$\frac{30}{91}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{30}{91}$ + 10⋅ $\frac{45}{91}$ + 20⋅ $\frac{15}{91}$ + 30⋅ $\frac{1}{91}$

= $0$ $+$ $\frac{450}{91}$ $+$ $\frac{300}{91}$ $+$ $\frac{30}{91}$
= $\frac{0}{91}$ $+$ $\frac{450}{91}$ $+$ $\frac{300}{91}$ $+$ $\frac{30}{91}$
= $\frac{780}{91}$
= $\frac{60}{7}$

≈ 8.57