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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen
Beispiel:
Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 20€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 1000€. Bei 5 Treffern bekommt man 500€, und bei 4 Treffern 30€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,3 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)
Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:
Trefferzahl: 0-3
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.
= + + + = 0.92953 ≈ 0.9295(TI-Befehl: binomcdf(6,0.3,3))
Trefferzahl: 4
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.
= =0.059535≈ 0.0595(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,4))
Trefferzahl: 5
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.
= =0.010206≈ 0.0102(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,5))
Trefferzahl: 6
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.
= =0.000729≈ 0.0007(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,6))
Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y
Ereignis | 0-3 | 4 | 5 | 6 |
Zufallsgröße xi | 0 | 30 | 500 | 1000 |
Zufallsgröße yi (Gewinn) | -20 | 10 | 480 | 980 |
P(X=xi) | 0.9295 | 0.0595 | 0.0102 | 0.0007 |
xi ⋅ P(X=xi) | ||||
yi ⋅ P(Y=yi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅0.9295 + 30⋅0.0595 + 500⋅0.0102 + 1000⋅0.0007
≈ 7.59
Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=7.59 - 20 = -12.41 ergibt.
Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X2) aus:
E(Y)= -20⋅0.9295 + 10⋅0.0595 + 480⋅0.0102 + 980⋅0.0007
≈ -12.41
Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum
Beispiel:
In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 14 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
Ereignis | P |
---|---|
As -> As -> As | |
As -> As -> andereKarte | |
As -> andereKarte -> As | |
As -> andereKarte -> andereKarte | |
andereKarte -> As -> As | |
andereKarte -> As -> andereKarte | |
andereKarte -> andereKarte -> As | |
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte |
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist:
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist:
Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 0 | 1 | 2 | 3 |
Zufallsgröße xi | 0 | 10 | 20 | 30 |
P(X=xi) | ||||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅ + 10⋅ + 20⋅ + 30⋅
=
=
=
=
≈ 6.67