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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 14€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 4000€. Bei 5 Treffern bekommt man 300€, und bei 4 Treffern 40€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,44 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.44.

P_{0.44}^{6} (X \leq 3)

P_{0.44}^{6} (X = 0)

P_{0.44}^{6} (X = 1)

P_{0.44}^{6} (X = 2)

P_{0.44}^{6} (X = 3)

= 0.76102139904 ≈ 0.761
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.44,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.44.

P_{0.44}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.44}^{4} \cdot {0.56}^{2}

=0.17631043584≈ 0.1763
(TI-Befehl: binompdf(6,0.44,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.44.

P_{0.44}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.44}^{5} \cdot {0.56}^{1}

=0.055411851264≈ 0.0554
(TI-Befehl: binompdf(6,0.44,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.44.

P_{0.44}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.44}^{6} \cdot {0.56}^{0}

=0.007256313856≈ 0.0073
(TI-Befehl: binompdf(6,0.44,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	40	300	4000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-14	26	286	3986
P(X=x_i)	0.761	0.1763	0.0554	0.0073
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$7,052$	$16,62$	$29,2$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 10,654$	$4,5838$	$15,8444$	$29,0978$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.761 + 40⋅0.1763 + 300⋅0.0554 + 4000⋅0.0073

≈ 52.87

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=52.87 - 14 = 38.87 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -14⋅0.761 + 26⋅0.1763 + 286⋅0.0554 + 3986⋅0.0073

≈ 38.87

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 8 blauen und 4 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 36€, bei 2 blauen bekommt er noch 12€, bei einer 7€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{14}{55}$
blau -> blau -> rot	$\frac{28}{165}$
blau -> rot -> blau	$\frac{28}{165}$
blau -> rot -> rot	$\frac{4}{55}$
rot -> blau -> blau	$\frac{28}{165}$
rot -> blau -> rot	$\frac{4}{55}$
rot -> rot -> blau	$\frac{4}{55}$
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ = $\frac{12}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ = $\frac{28}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{14}{55}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	7	12	36
P(X=x_i)	$\frac{1}{55}$	$\frac{12}{55}$	$\frac{28}{55}$	$\frac{14}{55}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{84}{55}$	$\frac{336}{55}$	$\frac{504}{55}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{55}$ + 7⋅ $\frac{12}{55}$ + 12⋅ $\frac{28}{55}$ + 36⋅ $\frac{14}{55}$

= $0$ $+$ $\frac{84}{55}$ $+$ $\frac{336}{55}$ $+$ $\frac{504}{55}$
= $\frac{0}{55}$ $+$ $\frac{84}{55}$ $+$ $\frac{336}{55}$ $+$ $\frac{504}{55}$
= $\frac{924}{55}$
= $\frac{84}{5}$

≈ 16.8