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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 13€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 5000€. Bei 5 Treffern bekommt man 100€, und bei 4 Treffern 10€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,45 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.45.

P_{0.45}^{6} (X \leq 3)

P_{0.45}^{6} (X = 0)

P_{0.45}^{6} (X = 1)

P_{0.45}^{6} (X = 2)

P_{0.45}^{6} (X = 3)

= 0.74473609375 ≈ 0.7447
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.45,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.45.

P_{0.45}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.45}^{4} \cdot {0.55}^{2}

=0.186065859375≈ 0.1861
(TI-Befehl: binompdf(6,0.45,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.45.

P_{0.45}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.45}^{5} \cdot {0.55}^{1}

=0.06089428125≈ 0.0609
(TI-Befehl: binompdf(6,0.45,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.45.

P_{0.45}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.45}^{6} \cdot {0.55}^{0}

=0.008303765625≈ 0.0083
(TI-Befehl: binompdf(6,0.45,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	10	100	5000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-13	-3	87	4987
P(X=x_i)	0.7447	0.1861	0.0609	0.0083
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,861$	$6,09$	$41,5$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 9,6811$	$- 0,5583$	$5,2983$	$41,3921$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.7447 + 10⋅0.1861 + 100⋅0.0609 + 5000⋅0.0083

≈ 49.45

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=49.45 - 13 = 36.45 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -13⋅0.7447 + -3⋅0.1861 + 87⋅0.0609 + 4987⋅0.0083

≈ 36.45

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 7 blauen und 3 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 48€, bei 2 blauen bekommt er noch 12€, bei einer 6€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{7}{24}$
blau -> blau -> rot	$\frac{7}{40}$
blau -> rot -> blau	$\frac{7}{40}$
blau -> rot -> rot	$\frac{7}{120}$
rot -> blau -> blau	$\frac{7}{40}$
rot -> blau -> rot	$\frac{7}{120}$
rot -> rot -> blau	$\frac{7}{120}$
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{120}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{120}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ = $\frac{7}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ = $\frac{21}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{7}{24}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	6	12	48
P(X=x_i)	$\frac{1}{120}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{24}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{21}{20}$	$\frac{63}{10}$	$14$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{120}$ + 6⋅ $\frac{7}{40}$ + 12⋅ $\frac{21}{40}$ + 48⋅ $\frac{7}{24}$

= $0$ $+$ $\frac{21}{20}$ $+$ $\frac{63}{10}$ $+$ $14$
= $\frac{0}{20}$ $+$ $\frac{21}{20}$ $+$ $\frac{126}{20}$ $+$ $\frac{280}{20}$
= $\frac{427}{20}$

≈ 21.35