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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen
Beispiel:
Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 13€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 2000€. Bei 5 Treffern bekommt man 200€, und bei 4 Treffern 10€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,44 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)
Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:
Trefferzahl: 0-3
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.44.
= + + + = 0.76102139904 ≈ 0.761(TI-Befehl: binomcdf(6,0.44,3))
Trefferzahl: 4
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.44.
= =0.17631043584≈ 0.1763(TI-Befehl: binompdf(6,0.44,4))
Trefferzahl: 5
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.44.
= =0.055411851264≈ 0.0554(TI-Befehl: binompdf(6,0.44,5))
Trefferzahl: 6
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.44.
= =0.007256313856≈ 0.0073(TI-Befehl: binompdf(6,0.44,6))
Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y
| Ereignis | 0-3 | 4 | 5 | 6 |
| Zufallsgröße xi | 0 | 10 | 200 | 2000 |
| Zufallsgröße yi (Gewinn) | -13 | -3 | 187 | 1987 |
| P(X=xi) | 0.761 | 0.1763 | 0.0554 | 0.0073 |
| xi ⋅ P(X=xi) | ||||
| yi ⋅ P(Y=yi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅0.761 + 10⋅0.1763 + 200⋅0.0554 + 2000⋅0.0073
≈ 27.44
Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=27.44 - 13 = 14.44 ergibt.
Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X2) aus:
E(Y)= -13⋅0.761 + -3⋅0.1763 + 187⋅0.0554 + 1987⋅0.0073
≈ 14.44
Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum
Beispiel:
Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 18 Mädchen und 6 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
| Ereignis | P |
|---|---|
| Mädchen -> Mädchen -> Mädchen | |
| Mädchen -> Mädchen -> Jungs | |
| Mädchen -> Jungs -> Mädchen | |
| Mädchen -> Jungs -> Jungs | |
| Jungs -> Mädchen -> Mädchen | |
| Jungs -> Mädchen -> Jungs | |
| Jungs -> Jungs -> Mädchen | |
| Jungs -> Jungs -> Jungs |
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist:
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist:
Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
| Ereignis | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Zufallsgröße xi | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P(X=xi) | ||||
| xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅ + 1⋅ + 2⋅ + 3⋅
=
=
=
=
≈ 2.25
