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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Bürobelieferungs-Firma liefert Toner aus, bei denen dummerweise 10% defekt sind. Die defekten Toner dürfen die Empfänger in Retoure-Kartons zurückschicken, in die maximal 4 Stück reinpassen. Ein Retoure-Karton kostet die Firma 5€ Porto. Mit welchen Portogebühren muss die Firma bei einer Schule, die 20 Toner abgenommen hat, durchschnittlich rechnen?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.1.

P_{0.1}^{20} (X = 0)

(\begin{matrix} 20 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {0.1}^{0} \cdot {0.9}^{20}

=0.12157665459057≈ 0.1216
(TI-Befehl: binompdf(20,0.1,0))

Trefferzahl: 1-4

$P_{0.1}^{20} (1 \leq X \leq 4)$ = $P_{0.1}^{20} (X \leq 4)$ - $P_{0.1}^{20} (X \leq 0)$ = 0.8352

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.1,4) - binomcdf(20,0.1,0))

Trefferzahl: 5-8

$P_{0.1}^{20} (5 \leq X \leq 8)$ = $P_{0.1}^{20} (X \leq 8)$ - $P_{0.1}^{20} (X \leq 4)$ = 0.0431

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.1,8) - binomcdf(20,0.1,4))

Trefferzahl: 9-12

$P_{0.1}^{20} (9 \leq X \leq 12)$ = $P_{0.1}^{20} (X \leq 12)$ - $P_{0.1}^{20} (X \leq 8)$ = 9.9999999999989E-5

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.1,12) - binomcdf(20,0.1,8))

Trefferzahl: 13-16

$P_{0.1}^{20} (13 \leq X \leq 16)$ = $P_{0.1}^{20} (X \leq 16)$ - $P_{0.1}^{20} (X \leq 12)$ = 0

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.1,16) - binomcdf(20,0.1,12))

Trefferzahl: 17-20

$P_{0.1}^{20} (X \geq 17)$ = $P_{0.1}^{20} (X \leq 20)$ - $P_{0.1}^{20} (X \leq 16)$ = 0

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.1,20) - binomcdf(20,0.1,16))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1-4	5-8	9-12	13-16	17-20
Zufallsgröße x_i	0	5	10	15	20	25
P(X=x_i)	0.1216	0.8352	0.0431	9.9999999999989E-5	0	0
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$4,176$	$0,431$	$0,0015$	$0$	$0$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.1216 + 5⋅0.8352 + 10⋅0.0431 + 15⋅9.9999999999989E-5 + 20⋅0 + 25⋅0

≈ 4.61

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Mit wie vielen Hausaufgabenüberprüfungen muss die Lehrerin im Durchschnitt rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 1-ten Versuch st: $\frac{7}{8}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 2-ten Versuch st: $\frac{21}{184}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 3-ten Versuch st: $\frac{21}{2024}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 4-ten Versuch st: $\frac{1}{2024}$

Die Zufallsgröße X beschreibt Anzahl der eingesammelten Hausaufgaben bis das erste Mädchen gezogen wird.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3	4
Zufallsgröße x_i	1	2	3	4
P(X=x_i)	$\frac{7}{8}$	$\frac{21}{184}$	$\frac{21}{2024}$	$\frac{1}{2024}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{7}{8}$	$\frac{21}{92}$	$\frac{63}{2024}$	$\frac{1}{506}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ $\frac{7}{8}$ + 2⋅ $\frac{21}{184}$ + 3⋅ $\frac{21}{2024}$ + 4⋅ $\frac{1}{2024}$

= $\frac{7}{8}$ $+$ $\frac{21}{92}$ $+$ $\frac{63}{2024}$ $+$ $\frac{1}{506}$
= $\frac{1771}{2024}$ $+$ $\frac{462}{2024}$ $+$ $\frac{63}{2024}$ $+$ $\frac{4}{2024}$
= $\frac{2300}{2024}$
= $\frac{25}{22}$

≈ 1.14