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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen
Beispiel:
Ein Bürobelieferungs-Firma liefert Toner aus, bei denen dummerweise 30% defekt sind. Die defekten Toner dürfen die Empfänger in Retoure-Kartons zurückschicken, in die maximal 4 Stück reinpassen. Ein Retoure-Karton kostet die Firma 5€ Porto. Mit welchen Portogebühren muss die Firma bei einer Schule, die 20 Toner abgenommen hat, durchschnittlich rechnen?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)
Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:
Trefferzahl: 0
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.3.
= =0.00079792266297612≈ 0.0008(TI-Befehl: binompdf(20,0.3,0))
Trefferzahl: 1-4
= - = 0.2367
(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,4) - binomcdf(20,0.3,0))Trefferzahl: 5-8
= - = 0.6492
(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,8) - binomcdf(20,0.3,4))Trefferzahl: 9-12
= - = 0.112
(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,12) - binomcdf(20,0.3,8))Trefferzahl: 13-16
= - = 0.0013
(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,16) - binomcdf(20,0.3,12))Trefferzahl: 17-20
= - = 0
(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,20) - binomcdf(20,0.3,16))Erwartungswert der Zufallsgröße X
| Ereignis | 0 | 1-4 | 5-8 | 9-12 | 13-16 | 17-20 |
| Zufallsgröße xi | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
| P(X=xi) | 0.0008 | 0.2367 | 0.6492 | 0.112 | 0.0013 | 0 |
| xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅0.0008 + 5⋅0.2367 + 10⋅0.6492 + 15⋅0.112 + 20⋅0.0013 + 25⋅0
≈ 9.38
Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum
Beispiel:
Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 18 Mädchen und 11 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
| Ereignis | P |
|---|---|
| Mädchen -> Mädchen -> Mädchen | |
| Mädchen -> Mädchen -> Jungs | |
| Mädchen -> Jungs -> Mädchen | |
| Mädchen -> Jungs -> Jungs | |
| Jungs -> Mädchen -> Mädchen | |
| Jungs -> Mädchen -> Jungs | |
| Jungs -> Jungs -> Mädchen | |
| Jungs -> Jungs -> Jungs |
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist:
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist:
Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
| Ereignis | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Zufallsgröße xi | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P(X=xi) | ||||
| xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅ + 1⋅ + 2⋅ + 3⋅
=
=
=
=
≈ 1.86
