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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 8€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 2000€. Bei 5 Treffern bekommt man 100€, und bei 4 Treffern 40€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,25 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

P_{0.25}^{6} (X \leq 3)

P_{0.25}^{6} (X = 0)

P_{0.25}^{6} (X = 1)

P_{0.25}^{6} (X = 2)

P_{0.25}^{6} (X = 3)

= 0.96240234375 ≈ 0.9624
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.25,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

P_{0.25}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.25}^{4} \cdot {0.75}^{2}

=0.032958984375≈ 0.033
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

P_{0.25}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.25}^{5} \cdot {0.75}^{1}

=0.00439453125≈ 0.0044
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.25.

P_{0.25}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.25}^{6} \cdot {0.75}^{0}

=0.000244140625≈ 0.0002
(TI-Befehl: binompdf(6,0.25,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	40	100	2000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-8	32	92	1992
P(X=x_i)	0.9624	0.033	0.0044	0.0002
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,32$	$0,44$	$0,4$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 7,6992$	$1,056$	$0,4048$	$0,3984$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9624 + 40⋅0.033 + 100⋅0.0044 + 2000⋅0.0002

≈ 2.16

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.16 - 8 = -5.84 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -8⋅0.9624 + 32⋅0.033 + 92⋅0.0044 + 1992⋅0.0002

≈ -5.84

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Zwei Glücksräder wie rechts in der Abbildung werden gleichzeitig gedreht. Erscheinen zwei Kronen, so erhält man 40€. Bei einer Krone erhält man immer hin noch 4€. Erscheinen zwei gleiche Dinge (außer Kronen), so erhält man 1€. In allen anderen Fällen geht man leer aus. Mit wie viel Euro kann man bei einem Spiel durchschnittlich rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Blume -> Blume	$\frac{9}{64}$
Blume -> Raute	$\frac{3}{32}$
Blume -> Stein	$\frac{3}{32}$
Blume -> Krone	$\frac{3}{64}$
Raute -> Blume	$\frac{3}{32}$
Raute -> Raute	$\frac{1}{16}$
Raute -> Stein	$\frac{1}{16}$
Raute -> Krone	$\frac{1}{32}$
Stein -> Blume	$\frac{3}{32}$
Stein -> Raute	$\frac{1}{16}$
Stein -> Stein	$\frac{1}{16}$
Stein -> Krone	$\frac{1}{32}$
Krone -> Blume	$\frac{3}{64}$
Krone -> Raute	$\frac{1}{32}$
Krone -> Stein	$\frac{1}{32}$
Krone -> Krone	$\frac{1}{64}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 gleiche' ist:

P('Blume'-'Blume') + P('Raute'-'Raute') + P('Stein'-'Stein')
= $\frac{9}{64}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{17}{64}$

Die Wahrscheinlichkeit für '1 Krone' ist:

P('Blume'-'Krone') + P('Raute'-'Krone') + P('Stein'-'Krone') + P('Krone'-'Blume') + P('Krone'-'Raute') + P('Krone'-'Stein')
= $\frac{3}{64}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{32}$ = $\frac{7}{32}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Kronen' ist:

P('Krone'-'Krone')
= $\frac{1}{64}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Gewinn bei einem Spiel.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 gleiche	1 Krone	2 Kronen
Zufallsgröße x_i	1	4	40
P(X=x_i)	$\frac{17}{64}$	$\frac{7}{32}$	$\frac{1}{64}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{17}{64}$	$\frac{7}{8}$	$\frac{5}{8}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ $\frac{17}{64}$ + 4⋅ $\frac{7}{32}$ + 40⋅ $\frac{1}{64}$

= $\frac{17}{64}$ $+$ $\frac{7}{8}$ $+$ $\frac{5}{8}$
= $\frac{17}{64}$ $+$ $\frac{56}{64}$ $+$ $\frac{40}{64}$
= $\frac{113}{64}$

≈ 1.77