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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 11€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 4000€. Bei 5 Treffern bekommt man 200€, und bei 4 Treffern 30€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,27 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

P_{0.27}^{6} (X \leq 3)

P_{0.27}^{6} (X = 0)

P_{0.27}^{6} (X = 1)

P_{0.27}^{6} (X = 2)

P_{0.27}^{6} (X = 3)

= 0.95084702191 ≈ 0.9508
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.27,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

P_{0.27}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.27}^{4} \cdot {0.73}^{2}

=0.042480736335≈ 0.0425
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

P_{0.27}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.27}^{5} \cdot {0.73}^{1}

=0.006284821266≈ 0.0063
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

P_{0.27}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.27}^{6} \cdot {0.73}^{0}

=0.000387420489≈ 0.0004
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	30	200	4000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-11	19	189	3989
P(X=x_i)	0.9508	0.0425	0.0063	0.0004
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,275$	$1,26$	$1,6$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 10,4588$	$0,8075$	$1,1907$	$1,5956$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9508 + 30⋅0.0425 + 200⋅0.0063 + 4000⋅0.0004

≈ 4.14

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=4.14 - 11 = -6.86 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -11⋅0.9508 + 19⋅0.0425 + 189⋅0.0063 + 3989⋅0.0004

≈ -6.87

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 9 blauen und 3 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 256€, bei 2 blauen bekommt er noch 16€, bei einer 4€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{21}{55}$
blau -> blau -> rot	$\frac{9}{55}$
blau -> rot -> blau	$\frac{9}{55}$
blau -> rot -> rot	$\frac{9}{220}$
rot -> blau -> blau	$\frac{9}{55}$
rot -> blau -> rot	$\frac{9}{220}$
rot -> rot -> blau	$\frac{9}{220}$
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{220}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{220}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ = $\frac{27}{220}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ = $\frac{27}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{21}{55}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	4	16	256
P(X=x_i)	$\frac{1}{220}$	$\frac{27}{220}$	$\frac{27}{55}$	$\frac{21}{55}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{27}{55}$	$\frac{432}{55}$	$\frac{5376}{55}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{220}$ + 4⋅ $\frac{27}{220}$ + 16⋅ $\frac{27}{55}$ + 256⋅ $\frac{21}{55}$

= $0$ $+$ $\frac{27}{55}$ $+$ $\frac{432}{55}$ $+$ $\frac{5376}{55}$
= $\frac{0}{55}$ $+$ $\frac{27}{55}$ $+$ $\frac{432}{55}$ $+$ $\frac{5376}{55}$
= $\frac{5835}{55}$
= $\frac{1167}{11}$

≈ 106.09