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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 20€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 5000€. Bei 5 Treffern bekommt man 100€, und bei 4 Treffern 50€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,21 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.21.

P_{0.21}^{6} (X \leq 3)

P_{0.21}^{6} (X = 0)

P_{0.21}^{6} (X = 1)

P_{0.21}^{6} (X = 2)

P_{0.21}^{6} (X = 3)

= 0.97977203119 ≈ 0.9798
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.21,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.21.

P_{0.21}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.21}^{4} \cdot {0.79}^{2}

=0.018206338815≈ 0.0182
(TI-Befehl: binompdf(6,0.21,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.21.

P_{0.21}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.21}^{5} \cdot {0.79}^{1}

=0.001935863874≈ 0.0019
(TI-Befehl: binompdf(6,0.21,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.21.

P_{0.21}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.21}^{6} \cdot {0.79}^{0}

=8.5766121E-5≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(6,0.21,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	50	100	5000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-20	30	80	4980
P(X=x_i)	0.9798	0.0182	0.0019	0.0001
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0,91$	$0,19$	$0,5$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 19,596$	$0,546$	$0,152$	$0,498$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9798 + 50⋅0.0182 + 100⋅0.0019 + 5000⋅0.0001

≈ 1.6

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.6 - 20 = -18.4 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -20⋅0.9798 + 30⋅0.0182 + 80⋅0.0019 + 4980⋅0.0001

≈ -18.4

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 8 blauen und 4 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 85€, bei 2 blauen bekommt er noch 16€, bei einer 7€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{14}{55}$
blau -> blau -> rot	$\frac{28}{165}$
blau -> rot -> blau	$\frac{28}{165}$
blau -> rot -> rot	$\frac{4}{55}$
rot -> blau -> blau	$\frac{28}{165}$
rot -> blau -> rot	$\frac{4}{55}$
rot -> rot -> blau	$\frac{4}{55}$
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ = $\frac{12}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ = $\frac{28}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{14}{55}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	7	16	85
P(X=x_i)	$\frac{1}{55}$	$\frac{12}{55}$	$\frac{28}{55}$	$\frac{14}{55}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{84}{55}$	$\frac{448}{55}$	$\frac{238}{11}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{55}$ + 7⋅ $\frac{12}{55}$ + 16⋅ $\frac{28}{55}$ + 85⋅ $\frac{14}{55}$

= $0$ $+$ $\frac{84}{55}$ $+$ $\frac{448}{55}$ $+$ $\frac{238}{11}$
= $\frac{0}{55}$ $+$ $\frac{84}{55}$ $+$ $\frac{448}{55}$ $+$ $\frac{1190}{55}$
= $\frac{1722}{55}$

≈ 31.31