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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 6€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 4000€. Bei 5 Treffern bekommt man 100€, und bei 4 Treffern 30€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,39 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.39.

P_{0.39}^{6} (X \leq 3)

P_{0.39}^{6} (X = 0)

P_{0.39}^{6} (X = 1)

P_{0.39}^{6} (X = 2)

P_{0.39}^{6} (X = 3)

= 0.83433448999 ≈ 0.8343
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.39,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.39.

P_{0.39}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.39}^{4} \cdot {0.61}^{2}

=0.129124709415≈ 0.1291
(TI-Befehl: binompdf(6,0.39,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.39.

P_{0.39}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.39}^{5} \cdot {0.61}^{1}

=0.033022056834≈ 0.033
(TI-Befehl: binompdf(6,0.39,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.39.

P_{0.39}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.39}^{6} \cdot {0.61}^{0}

=0.003518743761≈ 0.0035
(TI-Befehl: binompdf(6,0.39,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	30	100	4000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-6	24	94	3994
P(X=x_i)	0.8343	0.1291	0.033	0.0035
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$3,873$	$3,3$	$14$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 5,0058$	$3,0984$	$3,102$	$13,979$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.8343 + 30⋅0.1291 + 100⋅0.033 + 4000⋅0.0035

≈ 21.17

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=21.17 - 6 = 15.17 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -6⋅0.8343 + 24⋅0.1291 + 94⋅0.033 + 3994⋅0.0035

≈ 15.17

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 3 blauen und 7 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 625€, bei 2 blauen bekommt er noch 25€, bei einer 5€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{120}$
blau -> blau -> rot	$\frac{7}{120}$
blau -> rot -> blau	$\frac{7}{120}$
blau -> rot -> rot	$\frac{7}{40}$
rot -> blau -> blau	$\frac{7}{120}$
rot -> blau -> rot	$\frac{7}{40}$
rot -> rot -> blau	$\frac{7}{40}$
rot -> rot -> rot	$\frac{7}{24}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{7}{24}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ = $\frac{21}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ = $\frac{7}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{1}{120}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	5	25	625
P(X=x_i)	$\frac{7}{24}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{120}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{21}{8}$	$\frac{35}{8}$	$\frac{125}{24}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{7}{24}$ + 5⋅ $\frac{21}{40}$ + 25⋅ $\frac{7}{40}$ + 625⋅ $\frac{1}{120}$

= $0$ $+$ $\frac{21}{8}$ $+$ $\frac{35}{8}$ $+$ $\frac{125}{24}$
= $\frac{0}{24}$ $+$ $\frac{63}{24}$ $+$ $\frac{105}{24}$ $+$ $\frac{125}{24}$
= $\frac{293}{24}$

≈ 12.21