nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Bürobelieferungs-Firma liefert Toner aus, bei denen dummerweise 30% defekt sind. Die defekten Toner dürfen die Empfänger in Retoure-Kartons zurückschicken, in die maximal 4 Stück reinpassen. Ein Retoure-Karton kostet die Firma 5€ Porto. Mit welchen Portogebühren muss die Firma bei einer Schule, die 20 Toner abgenommen hat, durchschnittlich rechnen?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.3.

P0.320 (X=0) = ( 20 0 ) 0.30 0.720 =0.00079792266297612≈ 0.0008
(TI-Befehl: binompdf(20,0.3,0))

Trefferzahl: 1-4

P0.320 (1X4) = P0.320 (X4) - P0.320 (X0) = 0.2367

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,4) - binomcdf(20,0.3,0))

Trefferzahl: 5-8

P0.320 (5X8) = P0.320 (X8) - P0.320 (X4) = 0.6492

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,8) - binomcdf(20,0.3,4))

Trefferzahl: 9-12

P0.320 (9X12) = P0.320 (X12) - P0.320 (X8) = 0.112

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,12) - binomcdf(20,0.3,8))

Trefferzahl: 13-16

P0.320 (13X16) = P0.320 (X16) - P0.320 (X12) = 0.0013

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,16) - binomcdf(20,0.3,12))

Trefferzahl: 17-20

P0.320 (X17) = P0.320 (X20) - P0.320 (X16) = 0

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,20) - binomcdf(20,0.3,16))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1-4 5-8 9-12 13-16 17-20
Zufallsgröße xi 0 5 10 15 20 25
P(X=xi) 0.0008 0.2367 0.6492 0.112 0.0013 0
xi ⋅ P(X=xi) 0 1,1835 6,492 1,68 0,026 0

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.0008 + 5⋅0.2367 + 10⋅0.6492 + 15⋅0.112 + 20⋅0.0013 + 25⋅0

9.38

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis die erste rote Kugel gezogen ist.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 1-ten Versuch st: 2 3

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 2-ten Versuch st: 8 33

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 3-ten Versuch st: 4 55

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 4-ten Versuch st: 8 495

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 5-ten Versuch st: 1 495

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis die erste rote Kugel gezogen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 1 2 3 4 5
Zufallsgröße xi 1 2 3 4 5
P(X=xi) 2 3 8 33 4 55 8 495 1 495
xi ⋅ P(X=xi) 2 3 16 33 12 55 32 495 1 99

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ 2 3 + 2⋅ 8 33 + 3⋅ 4 55 + 4⋅ 8 495 + 5⋅ 1 495

= 2 3 + 16 33 + 12 55 + 32 495 + 1 99
= 330 495 + 240 495 + 108 495 + 32 495 + 5 495
= 715 495
= 13 9

1.44