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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 6€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 3000€. Bei 5 Treffern bekommt man 200€, und bei 4 Treffern 20€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,41 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.41.

P_{0.41}^{6} (X \leq 3)

P_{0.41}^{6} (X = 0)

P_{0.41}^{6} (X = 1)

P_{0.41}^{6} (X = 2)

P_{0.41}^{6} (X = 3)

= 0.80668968999 ≈ 0.8067
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.41,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.41.

P_{0.41}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.41}^{4} \cdot {0.59}^{2}

=0.147547110615≈ 0.1475
(TI-Befehl: binompdf(6,0.41,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.41.

P_{0.41}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.41}^{5} \cdot {0.59}^{1}

=0.041013095154≈ 0.041
(TI-Befehl: binompdf(6,0.41,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.41.

P_{0.41}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.41}^{6} \cdot {0.59}^{0}

=0.004750104241≈ 0.0048
(TI-Befehl: binompdf(6,0.41,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	20	200	3000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-6	14	194	2994
P(X=x_i)	0.8067	0.1475	0.041	0.0048
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$2,95$	$8,2$	$14,4$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 4,8402$	$2,065$	$7,954$	$14,3712$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.8067 + 20⋅0.1475 + 200⋅0.041 + 3000⋅0.0048

≈ 25.55

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=25.55 - 6 = 19.55 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -6⋅0.8067 + 14⋅0.1475 + 194⋅0.041 + 2994⋅0.0048

≈ 19.55

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 12 Mädchen und 11 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{20}{161}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{22}{161}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{22}{161}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{20}{161}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{22}{161}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{20}{161}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{20}{161}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{15}{161}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{15}{161}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{20}{161}$ + $\frac{20}{161}$ + $\frac{20}{161}$ = $\frac{60}{161}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{22}{161}$ + $\frac{22}{161}$ + $\frac{22}{161}$ = $\frac{66}{161}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{20}{161}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{15}{161}$	$\frac{60}{161}$	$\frac{66}{161}$	$\frac{20}{161}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{60}{161}$	$\frac{132}{161}$	$\frac{60}{161}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{15}{161}$ + 1⋅ $\frac{60}{161}$ + 2⋅ $\frac{66}{161}$ + 3⋅ $\frac{20}{161}$

= $0$ $+$ $\frac{60}{161}$ $+$ $\frac{132}{161}$ $+$ $\frac{60}{161}$
= $\frac{0}{161}$ $+$ $\frac{60}{161}$ $+$ $\frac{132}{161}$ $+$ $\frac{60}{161}$
= $\frac{252}{161}$
= $\frac{36}{23}$

≈ 1.57