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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 6€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 5000€. Bei 5 Treffern bekommt man 200€, und bei 4 Treffern 40€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,27 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^{6} (X \leq 3)$ =

$P_{0.27}^{6} (X = 0)$ +

$P_{0.27}^{6} (X = 1)$ +

$P_{0.27}^{6} (X = 2)$ +

$P_{0.27}^{6} (X = 3)$ = 0.95084702191 ≈ 0.9508
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.27,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^{6} (X = 4)$ =

$(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.27}^{4} \cdot {0.73}^{2}$ =0.042480736335≈ 0.0425
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^{6} (X = 5)$ =

$(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.27}^{5} \cdot {0.73}^{1}$ =0.006284821266≈ 0.0063
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^{6} (X = 6)$ =

$(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.27}^{6} \cdot {0.73}^{0}$ =0.000387420489≈ 0.0004
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	40	200	5000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-6	34	194	4994
P(X=x_i)	0.9508	0.0425	0.0063	0.0004
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,7$	$1,26$	$2$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 5,7048$	$1,445$	$1,2222$	$1,9976$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9508 + 40⋅0.0425 + 200⋅0.0063 + 5000⋅0.0004

≈ 4.96

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=4.96 - 6 = -1.04 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -6⋅0.9508 + 34⋅0.0425 + 194⋅0.0063 + 4994⋅0.0004

≈ -1.04

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote und 3 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis die erste rote Kugel gezogen ist.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 1-ten Versuch st: $\frac{7}{10}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 2-ten Versuch st: $\frac{7}{30}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 3-ten Versuch st: $\frac{7}{120}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 4-ten Versuch st: $\frac{1}{120}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis die erste rote Kugel gezogen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3	4
Zufallsgröße x_i	1	2	3	4
P(X=x_i)	$\frac{7}{10}$	$\frac{7}{30}$	$\frac{7}{120}$	$\frac{1}{120}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{7}{10}$	$\frac{7}{15}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{30}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ $\frac{7}{10}$ + 2⋅ $\frac{7}{30}$ + 3⋅ $\frac{7}{120}$ + 4⋅ $\frac{1}{120}$

= $\frac{7}{10}$ $+$ $\frac{7}{15}$ $+$ $\frac{7}{40}$ $+$ $\frac{1}{30}$
= $\frac{84}{120}$ $+$ $\frac{56}{120}$ $+$ $\frac{21}{120}$ $+$ $\frac{4}{120}$
= $\frac{165}{120}$
= $\frac{11}{8}$

≈ 1.38