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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 9€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 3000€. Bei 5 Treffern bekommt man 500€, und bei 4 Treffern 20€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,32 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P_{0.32}^{6} (X \leq 3)

P_{0.32}^{6} (X = 0)

P_{0.32}^{6} (X = 1)

P_{0.32}^{6} (X = 2)

P_{0.32}^{6} (X = 3)

= 0.91250681856 ≈ 0.9125
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.32,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P_{0.32}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.32}^{4} \cdot {0.68}^{2}

=0.07272923136≈ 0.0727
(TI-Befehl: binompdf(6,0.32,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P_{0.32}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.32}^{5} \cdot {0.68}^{1}

=0.013690208256≈ 0.0137
(TI-Befehl: binompdf(6,0.32,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P_{0.32}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.32}^{6} \cdot {0.68}^{0}

=0.001073741824≈ 0.0011
(TI-Befehl: binompdf(6,0.32,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	20	500	3000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-9	11	491	2991
P(X=x_i)	0.9125	0.0727	0.0137	0.0011
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,454$	$6,85$	$3,3$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 8,2125$	$0,7997$	$6,7267$	$3,2901$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9125 + 20⋅0.0727 + 500⋅0.0137 + 3000⋅0.0011

≈ 11.6

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=11.6 - 9 = 2.6 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -9⋅0.9125 + 11⋅0.0727 + 491⋅0.0137 + 2991⋅0.0011

≈ 2.6

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Stapel Karten mit 3 Asse, 8 Könige, 9 Damen und 4 Buben werden 2 Karten gezogen. Dabei zählen 2 Asse 1000, 2 Könige 350, 2 Damen 160 und 2 Buben 70 Punkte. Außerdem gibt es für ein Paar aus Dame und König 20 Punkte. Wie viele Punkte kann man bei diesem Spiel erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As	$\frac{1}{92}$
As -> König	$\frac{1}{23}$
As -> Dame	$\frac{9}{184}$
As -> Bube	$\frac{1}{46}$
König -> As	$\frac{1}{23}$
König -> König	$\frac{7}{69}$
König -> Dame	$\frac{3}{23}$
König -> Bube	$\frac{4}{69}$
Dame -> As	$\frac{9}{184}$
Dame -> König	$\frac{3}{23}$
Dame -> Dame	$\frac{3}{23}$
Dame -> Bube	$\frac{3}{46}$
Bube -> As	$\frac{1}{46}$
Bube -> König	$\frac{4}{69}$
Bube -> Dame	$\frac{3}{46}$
Bube -> Bube	$\frac{1}{46}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{1}{92}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{7}{69}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{3}{23}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{1}{46}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{3}{23}$ + $\frac{3}{23}$ = $\frac{6}{23}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße x_i	1000	350	160	70	20
P(X=x_i)	$\frac{1}{92}$	$\frac{7}{69}$	$\frac{3}{23}$	$\frac{1}{46}$	$\frac{6}{23}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{250}{23}$	$\frac{2450}{69}$	$\frac{480}{23}$	$\frac{35}{23}$	$\frac{120}{23}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1000⋅ $\frac{1}{92}$ + 350⋅ $\frac{7}{69}$ + 160⋅ $\frac{3}{23}$ + 70⋅ $\frac{1}{46}$ + 20⋅ $\frac{6}{23}$

= $\frac{250}{23}$ $+$ $\frac{2450}{69}$ $+$ $\frac{480}{23}$ $+$ $\frac{35}{23}$ $+$ $\frac{120}{23}$
= $\frac{750}{69}$ $+$ $\frac{2450}{69}$ $+$ $\frac{1440}{69}$ $+$ $\frac{105}{69}$ $+$ $\frac{360}{69}$
= $\frac{5105}{69}$

≈ 73.99