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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 16€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 2000€. Bei 5 Treffern bekommt man 300€, und bei 4 Treffern 20€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,3 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P_{0.3}^{6} (X \leq 3)

P_{0.3}^{6} (X = 0)

P_{0.3}^{6} (X = 1)

P_{0.3}^{6} (X = 2)

P_{0.3}^{6} (X = 3)

= 0.92953 ≈ 0.9295
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.3,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P_{0.3}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{4} \cdot {0.7}^{2}

=0.059535≈ 0.0595
(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P_{0.3}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{5} \cdot {0.7}^{1}

=0.010206≈ 0.0102
(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.3.

P_{0.3}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{6} \cdot {0.7}^{0}

=0.000729≈ 0.0007
(TI-Befehl: binompdf(6,0.3,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	20	300	2000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-16	4	284	1984
P(X=x_i)	0.9295	0.0595	0.0102	0.0007
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,19$	$3,06$	$1,4$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 14,872$	$0,238$	$2,8968$	$1,3888$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9295 + 20⋅0.0595 + 300⋅0.0102 + 2000⋅0.0007

≈ 5.65

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=5.65 - 16 = -10.35 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -16⋅0.9295 + 4⋅0.0595 + 284⋅0.0102 + 1984⋅0.0007

≈ -10.35

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 10 blauen und 5 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 256€, bei 2 blauen bekommt er noch 16€, bei einer 4€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{24}{91}$
blau -> blau -> rot	$\frac{15}{91}$
blau -> rot -> blau	$\frac{15}{91}$
blau -> rot -> rot	$\frac{20}{273}$
rot -> blau -> blau	$\frac{15}{91}$
rot -> blau -> rot	$\frac{20}{273}$
rot -> rot -> blau	$\frac{20}{273}$
rot -> rot -> rot	$\frac{2}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{2}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{20}{273}$ + $\frac{20}{273}$ + $\frac{20}{273}$ = $\frac{20}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ = $\frac{45}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{24}{91}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	4	16	256
P(X=x_i)	$\frac{2}{91}$	$\frac{20}{91}$	$\frac{45}{91}$	$\frac{24}{91}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{80}{91}$	$\frac{720}{91}$	$\frac{6144}{91}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{2}{91}$ + 4⋅ $\frac{20}{91}$ + 16⋅ $\frac{45}{91}$ + 256⋅ $\frac{24}{91}$

= $0$ $+$ $\frac{80}{91}$ $+$ $\frac{720}{91}$ $+$ $\frac{6144}{91}$
= $\frac{0}{91}$ $+$ $\frac{80}{91}$ $+$ $\frac{720}{91}$ $+$ $\frac{6144}{91}$
= $\frac{6944}{91}$
= $\frac{992}{13}$

≈ 76.31