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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 18€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 1000€. Bei 5 Treffern bekommt man 200€, und bei 4 Treffern 10€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,32 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P_{0.32}^{6} (X \leq 3)

P_{0.32}^{6} (X = 0)

P_{0.32}^{6} (X = 1)

P_{0.32}^{6} (X = 2)

P_{0.32}^{6} (X = 3)

= 0.91250681856 ≈ 0.9125
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.32,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P_{0.32}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.32}^{4} \cdot {0.68}^{2}

=0.07272923136≈ 0.0727
(TI-Befehl: binompdf(6,0.32,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P_{0.32}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.32}^{5} \cdot {0.68}^{1}

=0.013690208256≈ 0.0137
(TI-Befehl: binompdf(6,0.32,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P_{0.32}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.32}^{6} \cdot {0.68}^{0}

=0.001073741824≈ 0.0011
(TI-Befehl: binompdf(6,0.32,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	10	200	1000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-18	-8	182	982
P(X=x_i)	0.9125	0.0727	0.0137	0.0011
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0,727$	$2,74$	$1,1$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 16,425$	$- 0,5816$	$2,4934$	$1,0802$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9125 + 10⋅0.0727 + 200⋅0.0137 + 1000⋅0.0011

≈ 4.57

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=4.57 - 18 = -13.43 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -18⋅0.9125 + -8⋅0.0727 + 182⋅0.0137 + 982⋅0.0011

≈ -13.43

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 15 Mädchen und 9 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{455}{2024}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{315}{2024}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{315}{2024}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{45}{506}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{315}{2024}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{45}{506}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{45}{506}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{21}{506}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{21}{506}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{45}{506}$ + $\frac{45}{506}$ + $\frac{45}{506}$ = $\frac{135}{506}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{315}{2024}$ + $\frac{315}{2024}$ + $\frac{315}{2024}$ = $\frac{945}{2024}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{455}{2024}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{21}{506}$	$\frac{135}{506}$	$\frac{945}{2024}$	$\frac{455}{2024}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{135}{506}$	$\frac{945}{1012}$	$\frac{1365}{2024}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{21}{506}$ + 1⋅ $\frac{135}{506}$ + 2⋅ $\frac{945}{2024}$ + 3⋅ $\frac{455}{2024}$

= $0$ $+$ $\frac{135}{506}$ $+$ $\frac{945}{1012}$ $+$ $\frac{1365}{2024}$
= $\frac{0}{2024}$ $+$ $\frac{540}{2024}$ $+$ $\frac{1890}{2024}$ $+$ $\frac{1365}{2024}$
= $\frac{3795}{2024}$
= $\frac{15}{8}$

≈ 1.88