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cosh
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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen
Beispiel:
Auf einem Jahrmarkt hat man für 7€ 5 Versuche, einen Ball in einen Eimer zu werden. Dabei springt der Ball aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% wieder raus. Bleibt er aber drin, bekommt man einen Euro. Als Riskovariante kann man das Spiel auch so spielen, dass man bei einem Treffer nichts bekommt, bei zwei jedoch gleich 4€, bei drei Treffern sogar 9€, bei 4 Treffern 16 € und bei 5 Treffern volle 25€. Berechne den Erwartungswert des Gewinns der Risikovariante um diesen mit dem des normalen Spiels zu vergleichen.
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)
Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:
Trefferzahl: 0-1
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.
= + = 0.6328125 ≈ 0.6328(TI-Befehl: binomcdf(5,0.25,1))
Trefferzahl: 2
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.
= =0.263671875≈ 0.2637(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,2))
Trefferzahl: 3
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.
= =0.087890625≈ 0.0879(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,3))
Trefferzahl: 4
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.
= =0.0146484375≈ 0.0146(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,4))
Trefferzahl: 5
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.
= =0.0009765625≈ 0.001(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,5))
Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y
Ereignis | 0-1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Zufallsgröße xi | 0 | 4 | 9 | 16 | 25 |
Zufallsgröße yi (Gewinn) | -7 | -3 | 2 | 9 | 18 |
P(X=xi) | 0.6328 | 0.2637 | 0.0879 | 0.0146 | 0.001 |
xi ⋅ P(X=xi) | |||||
yi ⋅ P(Y=yi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅0.6328 + 4⋅0.2637 + 9⋅0.0879 + 16⋅0.0146 + 25⋅0.001
≈ 2.1
Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.1 - 7 = -4.9 ergibt.
Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X2) aus:
E(Y)= -7⋅0.6328 + -3⋅0.2637 + 2⋅0.0879 + 9⋅0.0146 + 18⋅0.001
≈ -4.9
Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum
Beispiel:
Ein leidenschaftlicher Mäxle-Spieler möchte eine Mäxle-Spielautomat bauen. Wie beim richtigen Mäxle sollen auch hier zwei normale Würfel gleichzeitig geworfen werden (bzw. dies eben simuliert). Bei einem Mäxle (also eine 1 und eine 2) soll dann 18€ ausbezahlt werden, bei einem Pasch (also zwei gleiche Augenzahlen) 5€ und bei 61-65 also (also ein Würfel 6 und der andere keine 6) noch 1€. Wie groß müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
Ereignis | P |
---|---|
1 -> 1 | |
1 -> 2 | |
1 -> 3 | |
1 -> 4 | |
1 -> 5 | |
1 -> 6 | |
2 -> 1 | |
2 -> 2 | |
2 -> 3 | |
2 -> 4 | |
2 -> 5 | |
2 -> 6 | |
3 -> 1 | |
3 -> 2 | |
3 -> 3 | |
3 -> 4 | |
3 -> 5 | |
3 -> 6 | |
4 -> 1 | |
4 -> 2 | |
4 -> 3 | |
4 -> 4 | |
4 -> 5 | |
4 -> 6 | |
5 -> 1 | |
5 -> 2 | |
5 -> 3 | |
5 -> 4 | |
5 -> 5 | |
5 -> 6 | |
6 -> 1 | |
6 -> 2 | |
6 -> 3 | |
6 -> 4 | |
6 -> 5 | |
6 -> 6 |
Die Wahrscheinlichkeit für 'Mäxle' ist:
P('1'-'2') + P('2'-'1')
= + =
Die Wahrscheinlichkeit für 'Pasch' ist:
P('1'-'1') + P('2'-'2') + P('3'-'3') + P('4'-'4') + P('5'-'5') + P('6'-'6')
= + + + + + =
Die Wahrscheinlichkeit für '60er' ist:
P('1'-'6') + P('2'-'6') + P('3'-'6') + P('4'-'6') + P('5'-'6') + P('6'-'1') + P('6'-'2') + P('6'-'3') + P('6'-'4') + P('6'-'5')
= + + + + + + + + + =
Die Zufallsgröße X beschreibt den durch die beiden Würfel ausbezahlten Euro-Betrag.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | Mäxle | Pasch | 60er |
Zufallsgröße xi | 18 | 5 | 1 |
P(X=xi) | |||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 18⋅ + 5⋅ + 1⋅
=
=
=
=
≈ 2.11