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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen
Beispiel:
Ein Bürobelieferungs-Firma liefert Toner aus, bei denen dummerweise 40% defekt sind. Die defekten Toner dürfen die Empfänger in Retoure-Kartons zurückschicken, in die maximal 4 Stück reinpassen. Ein Retoure-Karton kostet die Firma 5€ Porto. Mit welchen Portogebühren muss die Firma bei einer Schule, die 20 Toner abgenommen hat, durchschnittlich rechnen?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)
Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:
Trefferzahl: 0
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.4.
= =3.656158440063E-5≈ 0(TI-Befehl: binompdf(20,0.4,0))
Trefferzahl: 1-4
= - = 0.051
(TI-Befehl: binomcdf(20,0.4,4) - binomcdf(20,0.4,0))Trefferzahl: 5-8
= - = 0.5446
(TI-Befehl: binomcdf(20,0.4,8) - binomcdf(20,0.4,4))Trefferzahl: 9-12
= - = 0.3834
(TI-Befehl: binomcdf(20,0.4,12) - binomcdf(20,0.4,8))Trefferzahl: 13-16
= - = 0.021
(TI-Befehl: binomcdf(20,0.4,16) - binomcdf(20,0.4,12))Trefferzahl: 17-20
= - = 0
(TI-Befehl: binomcdf(20,0.4,20) - binomcdf(20,0.4,16))Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 0 | 1-4 | 5-8 | 9-12 | 13-16 | 17-20 |
Zufallsgröße xi | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
P(X=xi) | 0 | 0.051 | 0.5446 | 0.3834 | 0.021 | 0 |
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅0 + 5⋅0.051 + 10⋅0.5446 + 15⋅0.3834 + 20⋅0.021 + 25⋅0
≈ 11.87
Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum
Beispiel:
Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 21 Mädchen und 6 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie viele Mädchen kann man bei den ersten 3 verlosten Plätzen erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
Ereignis | P |
---|---|
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen | |
Mädchen -> Mädchen -> Jungs | |
Mädchen -> Jungs -> Mädchen | |
Mädchen -> Jungs -> Jungs | |
Jungs -> Mädchen -> Mädchen | |
Jungs -> Mädchen -> Jungs | |
Jungs -> Jungs -> Mädchen | |
Jungs -> Jungs -> Jungs |
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist:
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist:
Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 0 | 1 | 2 | 3 |
Zufallsgröße xi | 0 | 1 | 2 | 3 |
P(X=xi) | ||||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅ + 1⋅ + 2⋅ + 3⋅
=
=
=
=
≈ 2.33