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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Spieler würfelt mit drei Würfeln. Bei drei Sechsern erhält er 50€, bei 2 Sechsern bekommt er noch 10€, bei einer Sechs 4€. Ist gar keine Sechs dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 0)

(\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{0} \cdot {(\frac{5}{6})}^{3}

=0.5787037037037≈ 0.5787
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,0))

Trefferzahl: 1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 1)

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{1} \cdot {(\frac{5}{6})}^{2}

=0.34722222222222≈ 0.3472
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 2)

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{2} \cdot {(\frac{5}{6})}^{1}

=0.069444444444444≈ 0.0694
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 3)

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{3} \cdot {(\frac{5}{6})}^{0}

=0.0046296296296296≈ 0.0046
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,3))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	4	10	50
P(X=x_i)	0.5787	0.3472	0.0694	0.0046
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,3888$	$0,694$	$0,23$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5787 + 4⋅0.3472 + 10⋅0.0694 + 50⋅0.0046

≈ 2.31

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 7 blauen und 3 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 1296€, bei 2 blauen bekommt er noch 36€, bei einer 6€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{7}{24}$
blau -> blau -> rot	$\frac{7}{40}$
blau -> rot -> blau	$\frac{7}{40}$
blau -> rot -> rot	$\frac{7}{120}$
rot -> blau -> blau	$\frac{7}{40}$
rot -> blau -> rot	$\frac{7}{120}$
rot -> rot -> blau	$\frac{7}{120}$
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{120}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{120}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ = $\frac{7}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ = $\frac{21}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{7}{24}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	6	36	1296
P(X=x_i)	$\frac{1}{120}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{24}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{21}{20}$	$\frac{189}{10}$	$378$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{120}$ + 6⋅ $\frac{7}{40}$ + 36⋅ $\frac{21}{40}$ + 1296⋅ $\frac{7}{24}$

= $0$ $+$ $\frac{21}{20}$ $+$ $\frac{189}{10}$ $+$ $378$
= $\frac{0}{20}$ $+$ $\frac{21}{20}$ $+$ $\frac{378}{20}$ $+$ $\frac{7560}{20}$
= $\frac{7959}{20}$

≈ 397.95