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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt hat man für 8€ 5 Versuche, einen Ball in einen Eimer zu werden. Dabei springt der Ball aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 83% wieder raus. Bleibt er aber drin, bekommt man einen Euro. Als Riskovariante kann man das Spiel auch so spielen, dass man bei einem Treffer nichts bekommt, bei zwei jedoch gleich 4€, bei drei Treffern sogar 9€, bei 4 Treffern 16 € und bei 5 Treffern volle 25€. Berechne den Erwartungswert des Gewinns der Risikovariante um diesen mit dem des normalen Spiels zu vergleichen.
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.17.

P_{0.17}^{5} (X \leq 1)

=

P_{0.17}^{5} (X = 0)

+

P_{0.17}^{5} (X = 1)

= 0.7972997928 ≈ 0.7973
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.17,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.17.

P_{0.17}^{5} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.17}^{2} \cdot {0.83}^{3}

=0.165246443≈ 0.1652
(TI-Befehl: binompdf(5,0.17,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.17.

P_{0.17}^{5} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.17}^{3} \cdot {0.83}^{2}

=0.033845657≈ 0.0338
(TI-Befehl: binompdf(5,0.17,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.17.

P_{0.17}^{5} (X = 4)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.17}^{4} \cdot {0.83}^{1}

=0.0034661215≈ 0.0035
(TI-Befehl: binompdf(5,0.17,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.17.

P_{0.17}^{5} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.17}^{5} \cdot {0.83}^{0}

=0.0001419857≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(5,0.17,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	0	4	9	16	25
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-8	-4	1	8	17
P(X=x_i)	0.7973	0.1652	0.0338	0.0035	0.0001
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0,6608$	$0,3042$	$0,056$	$0,0025$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 6,3784$	$- 0,6608$	$0,0338$	$0,028$	$0,0017$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.7973 + 4⋅0.1652 + 9⋅0.0338 + 16⋅0.0035 + 25⋅0.0001

≈ 1.02

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.02 - 8 = -6.98 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -8⋅0.7973 + -4⋅0.1652 + 1⋅0.0338 + 8⋅0.0035 + 17⋅0.0001

≈ -6.98

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 21 Mädchen und 7 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{95}{234}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{35}{234}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{35}{234}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{7}{156}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{35}{234}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{7}{156}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{7}{156}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{5}{468}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{5}{468}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{7}{156}$ + $\frac{7}{156}$ + $\frac{7}{156}$ = $\frac{7}{52}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{35}{234}$ + $\frac{35}{234}$ + $\frac{35}{234}$ = $\frac{35}{78}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{95}{234}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{5}{468}$	$\frac{7}{52}$	$\frac{35}{78}$	$\frac{95}{234}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{7}{52}$	$\frac{35}{39}$	$\frac{95}{78}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{5}{468}$ + 1⋅ $\frac{7}{52}$ + 2⋅ $\frac{35}{78}$ + 3⋅ $\frac{95}{234}$

= $0$ $+$ $\frac{7}{52}$ $+$ $\frac{35}{39}$ $+$ $\frac{95}{78}$
= $\frac{0}{156}$ $+$ $\frac{21}{156}$ $+$ $\frac{140}{156}$ $+$ $\frac{190}{156}$
= $\frac{351}{156}$
= $\frac{9}{4}$

≈ 2.25