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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 11€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 1000€. Bei 5 Treffern bekommt man 200€, und bei 4 Treffern 50€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,33 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

P_{0.33}^{6} (X \leq 3)

P_{0.33}^{6} (X = 0)

P_{0.33}^{6} (X = 1)

P_{0.33}^{6} (X = 2)

P_{0.33}^{6} (X = 3)

= 0.90312211351 ≈ 0.9031
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.33,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

P_{0.33}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.33}^{4} \cdot {0.67}^{2}

=0.079853990535≈ 0.0799
(TI-Befehl: binompdf(6,0.33,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

P_{0.33}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.33}^{5} \cdot {0.67}^{1}

=0.015732427986≈ 0.0157
(TI-Befehl: binompdf(6,0.33,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.33.

P_{0.33}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.33}^{6} \cdot {0.67}^{0}

=0.001291467969≈ 0.0013
(TI-Befehl: binompdf(6,0.33,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	50	200	1000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-11	39	189	989
P(X=x_i)	0.9031	0.0799	0.0157	0.0013
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$3,995$	$3,14$	$1,3$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 9,9341$	$3,1161$	$2,9673$	$1,2857$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9031 + 50⋅0.0799 + 200⋅0.0157 + 1000⋅0.0013

≈ 8.44

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=8.44 - 11 = -2.56 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -11⋅0.9031 + 39⋅0.0799 + 189⋅0.0157 + 989⋅0.0013

≈ -2.57

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Zwei Glücksräder wie rechts in der Abbildung werden gleichzeitig gedreht. Erscheinen zwei Kronen, so erhält man 40€. Bei einer Krone erhält man immer hin noch 8€. Erscheinen zwei gleiche Dinge (außer Kronen), so erhält man 5€. In allen anderen Fällen geht man leer aus. Mit wie viel Euro kann man bei einem Spiel durchschnittlich rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Blume -> Blume	$\frac{9}{64}$
Blume -> Raute	$\frac{3}{32}$
Blume -> Stein	$\frac{3}{32}$
Blume -> Krone	$\frac{3}{64}$
Raute -> Blume	$\frac{3}{32}$
Raute -> Raute	$\frac{1}{16}$
Raute -> Stein	$\frac{1}{16}$
Raute -> Krone	$\frac{1}{32}$
Stein -> Blume	$\frac{3}{32}$
Stein -> Raute	$\frac{1}{16}$
Stein -> Stein	$\frac{1}{16}$
Stein -> Krone	$\frac{1}{32}$
Krone -> Blume	$\frac{3}{64}$
Krone -> Raute	$\frac{1}{32}$
Krone -> Stein	$\frac{1}{32}$
Krone -> Krone	$\frac{1}{64}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 gleiche' ist:

P('Blume'-'Blume') + P('Raute'-'Raute') + P('Stein'-'Stein')
= $\frac{9}{64}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{17}{64}$

Die Wahrscheinlichkeit für '1 Krone' ist:

P('Blume'-'Krone') + P('Raute'-'Krone') + P('Stein'-'Krone') + P('Krone'-'Blume') + P('Krone'-'Raute') + P('Krone'-'Stein')
= $\frac{3}{64}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{32}$ = $\frac{7}{32}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Kronen' ist:

P('Krone'-'Krone')
= $\frac{1}{64}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Gewinn bei einem Spiel.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 gleiche	1 Krone	2 Kronen
Zufallsgröße x_i	5	8	40
P(X=x_i)	$\frac{17}{64}$	$\frac{7}{32}$	$\frac{1}{64}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{85}{64}$	$\frac{7}{4}$	$\frac{5}{8}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 5⋅ $\frac{17}{64}$ + 8⋅ $\frac{7}{32}$ + 40⋅ $\frac{1}{64}$

= $\frac{85}{64}$ $+$ $\frac{7}{4}$ $+$ $\frac{5}{8}$
= $\frac{85}{64}$ $+$ $\frac{112}{64}$ $+$ $\frac{40}{64}$
= $\frac{237}{64}$

≈ 3.7