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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 10€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 5000€. Bei 5 Treffern bekommt man 100€, und bei 4 Treffern 20€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,32 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P_{0.32}^{6} (X \leq 3)

P_{0.32}^{6} (X = 0)

P_{0.32}^{6} (X = 1)

P_{0.32}^{6} (X = 2)

P_{0.32}^{6} (X = 3)

= 0.91250681856 ≈ 0.9125
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.32,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P_{0.32}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.32}^{4} \cdot {0.68}^{2}

=0.07272923136≈ 0.0727
(TI-Befehl: binompdf(6,0.32,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P_{0.32}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.32}^{5} \cdot {0.68}^{1}

=0.013690208256≈ 0.0137
(TI-Befehl: binompdf(6,0.32,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P_{0.32}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.32}^{6} \cdot {0.68}^{0}

=0.001073741824≈ 0.0011
(TI-Befehl: binompdf(6,0.32,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	20	100	5000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-10	10	90	4990
P(X=x_i)	0.9125	0.0727	0.0137	0.0011
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,454$	$1,37$	$5,5$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 9,125$	$0,727$	$1,233$	$5,489$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9125 + 20⋅0.0727 + 100⋅0.0137 + 5000⋅0.0011

≈ 8.32

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=8.32 - 10 = -1.68 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -10⋅0.9125 + 10⋅0.0727 + 90⋅0.0137 + 4990⋅0.0011

≈ -1.68

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 15 Mädchen und 6 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{13}{38}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{3}{19}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{3}{19}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{15}{266}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{3}{19}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{15}{266}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{15}{266}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{2}{133}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{2}{133}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{15}{266}$ + $\frac{15}{266}$ + $\frac{15}{266}$ = $\frac{45}{266}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{3}{19}$ + $\frac{3}{19}$ + $\frac{3}{19}$ = $\frac{9}{19}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{13}{38}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{2}{133}$	$\frac{45}{266}$	$\frac{9}{19}$	$\frac{13}{38}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{45}{266}$	$\frac{18}{19}$	$\frac{39}{38}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{2}{133}$ + 1⋅ $\frac{45}{266}$ + 2⋅ $\frac{9}{19}$ + 3⋅ $\frac{13}{38}$

= $0$ $+$ $\frac{45}{266}$ $+$ $\frac{18}{19}$ $+$ $\frac{39}{38}$
= $\frac{0}{266}$ $+$ $\frac{45}{266}$ $+$ $\frac{252}{266}$ $+$ $\frac{273}{266}$
= $\frac{570}{266}$
= $\frac{15}{7}$

≈ 2.14