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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt hat man für 9€ 5 Versuche, einen Ball in einen Eimer zu werden. Dabei springt der Ball aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 76% wieder raus. Bleibt er aber drin, bekommt man einen Euro. Als Riskovariante kann man das Spiel auch so spielen, dass man bei einem Treffer nichts bekommt, bei zwei jedoch gleich 4€, bei drei Treffern sogar 9€, bei 4 Treffern 16 € und bei 5 Treffern volle 25€. Berechne den Erwartungswert des Gewinns der Risikovariante um diesen mit dem des normalen Spiels zu vergleichen.
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

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Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.24.

P0.245 (X1) = P0.245 (X=0) + P0.245 (X=1) = 0.6538986496 ≈ 0.6539
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.24,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.24.

P0.245 (X=2) = ( 5 2 ) 0.242 0.763 =0.252850176≈ 0.2529
(TI-Befehl: binompdf(5,0.24,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.24.

P0.245 (X=3) = ( 5 3 ) 0.243 0.762 =0.079847424≈ 0.0798
(TI-Befehl: binompdf(5,0.24,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.24.

P0.245 (X=4) = ( 5 4 ) 0.244 0.761 =0.012607488≈ 0.0126
(TI-Befehl: binompdf(5,0.24,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.24.

P0.245 (X=5) = ( 5 5 ) 0.245 0.760 =0.0007962624≈ 0.0008
(TI-Befehl: binompdf(5,0.24,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis 0-1 2 3 4 5
Zufallsgröße xi 0 4 9 16 25
Zufallsgröße yi (Gewinn) -9 -5 0 7 16
P(X=xi) 0.6539 0.2529 0.0798 0.0126 0.0008
xi ⋅ P(X=xi) 0 1,0116 0,7182 0,2016 0,02
yi ⋅ P(Y=yi) -5,8851 -1,2645 0 0,0882 0,0128

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.6539 + 4⋅0.2529 + 9⋅0.0798 + 16⋅0.0126 + 25⋅0.0008

1.95

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.95 - 9 = -7.05 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X2) aus:

E(Y)= -9⋅0.6539 + -5⋅0.2529 + 0⋅0.0798 + 7⋅0.0126 + 16⋅0.0008

-7.05

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 12 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 11 34
Mädchen -> Mädchen -> Jungs 11 68
Mädchen -> Jungs -> Mädchen 11 68
Mädchen -> Jungs -> Jungs 1 17
Jungs -> Mädchen -> Mädchen 11 68
Jungs -> Mädchen -> Jungs 1 17
Jungs -> Jungs -> Mädchen 1 17
Jungs -> Jungs -> Jungs 1 68

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: 1 68

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: 1 17 + 1 17 + 1 17 = 3 17

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: 11 68 + 11 68 + 11 68 = 33 68

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: 11 34

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1 2 3
Zufallsgröße xi 0 1 2 3
P(X=xi) 1 68 3 17 33 68 11 34
xi ⋅ P(X=xi) 0 3 17 33 34 33 34

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ 1 68 + 1⋅ 3 17 + 2⋅ 33 68 + 3⋅ 11 34

= 0+ 3 17 + 33 34 + 33 34
= 0 34 + 6 34 + 33 34 + 33 34
= 72 34
= 36 17

2.12