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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 9€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 5000€. Bei 5 Treffern bekommt man 300€, und bei 4 Treffern 50€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,4 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.4.

P_{0.4}^{6} (X \leq 3)

P_{0.4}^{6} (X = 0)

P_{0.4}^{6} (X = 1)

P_{0.4}^{6} (X = 2)

P_{0.4}^{6} (X = 3)

= 0.8208 ≈ 0.8208
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.4,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.4.

P_{0.4}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.4}^{4} \cdot {0.6}^{2}

=0.13824≈ 0.1382
(TI-Befehl: binompdf(6,0.4,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.4.

P_{0.4}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.4}^{5} \cdot {0.6}^{1}

=0.036864≈ 0.0369
(TI-Befehl: binompdf(6,0.4,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.4.

P_{0.4}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.4}^{6} \cdot {0.6}^{0}

=0.004096≈ 0.0041
(TI-Befehl: binompdf(6,0.4,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	50	300	5000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-9	41	291	4991
P(X=x_i)	0.8208	0.1382	0.0369	0.0041
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$6,91$	$11,07$	$20,5$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 7,3872$	$5,6662$	$10,7379$	$20,4631$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.8208 + 50⋅0.1382 + 300⋅0.0369 + 5000⋅0.0041

≈ 38.48

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=38.48 - 9 = 29.48 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -9⋅0.8208 + 41⋅0.1382 + 291⋅0.0369 + 4991⋅0.0041

≈ 29.48

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 7 blauen und 3 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 156€, bei 2 blauen bekommt er noch 25€, bei einer 10€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{7}{24}$
blau -> blau -> rot	$\frac{7}{40}$
blau -> rot -> blau	$\frac{7}{40}$
blau -> rot -> rot	$\frac{7}{120}$
rot -> blau -> blau	$\frac{7}{40}$
rot -> blau -> rot	$\frac{7}{120}$
rot -> rot -> blau	$\frac{7}{120}$
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{120}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{120}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ = $\frac{7}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ = $\frac{21}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{7}{24}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	10	25	156
P(X=x_i)	$\frac{1}{120}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{24}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{7}{4}$	$\frac{105}{8}$	$\frac{91}{2}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{120}$ + 10⋅ $\frac{7}{40}$ + 25⋅ $\frac{21}{40}$ + 156⋅ $\frac{7}{24}$

= $0$ $+$ $\frac{7}{4}$ $+$ $\frac{105}{8}$ $+$ $\frac{91}{2}$
= $\frac{0}{8}$ $+$ $\frac{14}{8}$ $+$ $\frac{105}{8}$ $+$ $\frac{364}{8}$
= $\frac{483}{8}$

≈ 60.38