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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 19€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 2000€. Bei 5 Treffern bekommt man 300€, und bei 4 Treffern 40€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,35 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

P_{0.35}^{6} (X \leq 3)

P_{0.35}^{6} (X = 0)

P_{0.35}^{6} (X = 1)

P_{0.35}^{6} (X = 2)

P_{0.35}^{6} (X = 3)

= 0.88257609375 ≈ 0.8826
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.35,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

P_{0.35}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.35}^{4} \cdot {0.65}^{2}

=0.095102109375≈ 0.0951
(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

P_{0.35}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.35}^{5} \cdot {0.65}^{1}

=0.02048353125≈ 0.0205
(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

P_{0.35}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.35}^{6} \cdot {0.65}^{0}

=0.001838265625≈ 0.0018
(TI-Befehl: binompdf(6,0.35,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	40	300	2000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-19	21	281	1981
P(X=x_i)	0.8826	0.0951	0.0205	0.0018
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$3,804$	$6,15$	$3,6$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 16,7694$	$1,9971$	$5,7605$	$3,5658$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.8826 + 40⋅0.0951 + 300⋅0.0205 + 2000⋅0.0018

≈ 13.55

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=13.55 - 19 = -5.45 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -19⋅0.8826 + 21⋅0.0951 + 281⋅0.0205 + 1981⋅0.0018

≈ -5.45

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 6 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As -> As	$\frac{1}{30}$
As -> As -> andereKarte	$\frac{1}{10}$
As -> andereKarte -> As	$\frac{1}{10}$
As -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{1}{6}$
andereKarte -> As -> As	$\frac{1}{10}$
andereKarte -> As -> andereKarte	$\frac{1}{6}$
andereKarte -> andereKarte -> As	$\frac{1}{6}$
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{1}{6}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: $\frac{1}{6}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{2}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ = $\frac{3}{10}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: $\frac{1}{30}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	10	20	30
P(X=x_i)	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$5$	$6$	$1$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{6}$ + 10⋅ $\frac{1}{2}$ + 20⋅ $\frac{3}{10}$ + 30⋅ $\frac{1}{30}$

= $0$ $+$ $5$ $+$ $6$ $+$ $1$
= $12$