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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 9€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 3000€. Bei 5 Treffern bekommt man 100€, und bei 4 Treffern 50€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,37 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.37.

P_{0.37}^{6} (X \leq 3)

P_{0.37}^{6} (X = 0)

P_{0.37}^{6} (X = 1)

P_{0.37}^{6} (X = 2)

P_{0.37}^{6} (X = 3)

= 0.85964408271 ≈ 0.8596
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.37,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.37.

P_{0.37}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.37}^{4} \cdot {0.63}^{2}

=0.111578175135≈ 0.1116
(TI-Befehl: binompdf(6,0.37,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.37.

P_{0.37}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.37}^{5} \cdot {0.63}^{1}

=0.026212015746≈ 0.0262
(TI-Befehl: binompdf(6,0.37,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.37.

P_{0.37}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.37}^{6} \cdot {0.63}^{0}

=0.002565726409≈ 0.0026
(TI-Befehl: binompdf(6,0.37,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	50	100	3000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-9	41	91	2991
P(X=x_i)	0.8596	0.1116	0.0262	0.0026
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$5,58$	$2,62$	$7,8$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 7,7364$	$4,5756$	$2,3842$	$7,7766$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.8596 + 50⋅0.1116 + 100⋅0.0262 + 3000⋅0.0026

≈ 16

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=16 - 9 = 7 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -9⋅0.8596 + 41⋅0.1116 + 91⋅0.0262 + 2991⋅0.0026

≈ 7

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 7 blauen und 3 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 81€, bei 2 blauen bekommt er noch 9€, bei einer 3€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{7}{24}$
blau -> blau -> rot	$\frac{7}{40}$
blau -> rot -> blau	$\frac{7}{40}$
blau -> rot -> rot	$\frac{7}{120}$
rot -> blau -> blau	$\frac{7}{40}$
rot -> blau -> rot	$\frac{7}{120}$
rot -> rot -> blau	$\frac{7}{120}$
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{120}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{120}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ = $\frac{7}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ = $\frac{21}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{7}{24}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	3	9	81
P(X=x_i)	$\frac{1}{120}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{24}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{21}{40}$	$\frac{189}{40}$	$\frac{189}{8}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{120}$ + 3⋅ $\frac{7}{40}$ + 9⋅ $\frac{21}{40}$ + 81⋅ $\frac{7}{24}$

= $0$ $+$ $\frac{21}{40}$ $+$ $\frac{189}{40}$ $+$ $\frac{189}{8}$
= $\frac{0}{40}$ $+$ $\frac{21}{40}$ $+$ $\frac{189}{40}$ $+$ $\frac{945}{40}$
= $\frac{1155}{40}$
= $\frac{231}{8}$

≈ 28.88