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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 8€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 3000€. Bei 5 Treffern bekommt man 300€, und bei 4 Treffern 50€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,32 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P_{0.32}^{6} (X \leq 3)

P_{0.32}^{6} (X = 0)

P_{0.32}^{6} (X = 1)

P_{0.32}^{6} (X = 2)

P_{0.32}^{6} (X = 3)

= 0.91250681856 ≈ 0.9125
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.32,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P_{0.32}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.32}^{4} \cdot {0.68}^{2}

=0.07272923136≈ 0.0727
(TI-Befehl: binompdf(6,0.32,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P_{0.32}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.32}^{5} \cdot {0.68}^{1}

=0.013690208256≈ 0.0137
(TI-Befehl: binompdf(6,0.32,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.32.

P_{0.32}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.32}^{6} \cdot {0.68}^{0}

=0.001073741824≈ 0.0011
(TI-Befehl: binompdf(6,0.32,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	50	300	3000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-8	42	292	2992
P(X=x_i)	0.9125	0.0727	0.0137	0.0011
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$3,635$	$4,11$	$3,3$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 7,3$	$3,0534$	$4,0004$	$3,2912$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9125 + 50⋅0.0727 + 300⋅0.0137 + 3000⋅0.0011

≈ 11.05

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=11.05 - 8 = 3.05 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -8⋅0.9125 + 42⋅0.0727 + 292⋅0.0137 + 2992⋅0.0011

≈ 3.05

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Zwei Glücksräder wie rechts in der Abbildung werden gleichzeitig gedreht. Erscheinen zwei Kronen, so erhält man 40€. Bei einer Krone erhält man immer hin noch 4€. Erscheinen zwei gleiche Dinge (außer Kronen), so erhält man 3€. In allen anderen Fällen geht man leer aus. Mit wie viel Euro kann man bei einem Spiel durchschnittlich rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Blume -> Blume	$\frac{9}{64}$
Blume -> Raute	$\frac{3}{32}$
Blume -> Stein	$\frac{3}{32}$
Blume -> Krone	$\frac{3}{64}$
Raute -> Blume	$\frac{3}{32}$
Raute -> Raute	$\frac{1}{16}$
Raute -> Stein	$\frac{1}{16}$
Raute -> Krone	$\frac{1}{32}$
Stein -> Blume	$\frac{3}{32}$
Stein -> Raute	$\frac{1}{16}$
Stein -> Stein	$\frac{1}{16}$
Stein -> Krone	$\frac{1}{32}$
Krone -> Blume	$\frac{3}{64}$
Krone -> Raute	$\frac{1}{32}$
Krone -> Stein	$\frac{1}{32}$
Krone -> Krone	$\frac{1}{64}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 gleiche' ist:

P('Blume'-'Blume') + P('Raute'-'Raute') + P('Stein'-'Stein')
= $\frac{9}{64}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{17}{64}$

Die Wahrscheinlichkeit für '1 Krone' ist:

P('Blume'-'Krone') + P('Raute'-'Krone') + P('Stein'-'Krone') + P('Krone'-'Blume') + P('Krone'-'Raute') + P('Krone'-'Stein')
= $\frac{3}{64}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{32}$ = $\frac{7}{32}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Kronen' ist:

P('Krone'-'Krone')
= $\frac{1}{64}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Gewinn bei einem Spiel.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 gleiche	1 Krone	2 Kronen
Zufallsgröße x_i	3	4	40
P(X=x_i)	$\frac{17}{64}$	$\frac{7}{32}$	$\frac{1}{64}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{51}{64}$	$\frac{7}{8}$	$\frac{5}{8}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 3⋅ $\frac{17}{64}$ + 4⋅ $\frac{7}{32}$ + 40⋅ $\frac{1}{64}$

= $\frac{51}{64}$ $+$ $\frac{7}{8}$ $+$ $\frac{5}{8}$
= $\frac{51}{64}$ $+$ $\frac{56}{64}$ $+$ $\frac{40}{64}$
= $\frac{147}{64}$

≈ 2.3