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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 5€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 2000€. Bei 5 Treffern bekommt man 200€, und bei 4 Treffern 20€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,45 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.45.

P_{0.45}^{6} (X \leq 3)

P_{0.45}^{6} (X = 0)

P_{0.45}^{6} (X = 1)

P_{0.45}^{6} (X = 2)

P_{0.45}^{6} (X = 3)

= 0.74473609375 ≈ 0.7447
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.45,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.45.

P_{0.45}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.45}^{4} \cdot {0.55}^{2}

=0.186065859375≈ 0.1861
(TI-Befehl: binompdf(6,0.45,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.45.

P_{0.45}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.45}^{5} \cdot {0.55}^{1}

=0.06089428125≈ 0.0609
(TI-Befehl: binompdf(6,0.45,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.45.

P_{0.45}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.45}^{6} \cdot {0.55}^{0}

=0.008303765625≈ 0.0083
(TI-Befehl: binompdf(6,0.45,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	20	200	2000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-5	15	195	1995
P(X=x_i)	0.7447	0.1861	0.0609	0.0083
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$3,722$	$12,18$	$16,6$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 3,7235$	$2,7915$	$11,8755$	$16,5585$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.7447 + 20⋅0.1861 + 200⋅0.0609 + 2000⋅0.0083

≈ 32.5

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=32.5 - 5 = 27.5 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -5⋅0.7447 + 15⋅0.1861 + 195⋅0.0609 + 1995⋅0.0083

≈ 27.5

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 18 Mädchen und 7 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{204}{575}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{357}{2300}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{357}{2300}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{63}{1150}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{357}{2300}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{63}{1150}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{63}{1150}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{7}{460}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{7}{460}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{63}{1150}$ + $\frac{63}{1150}$ + $\frac{63}{1150}$ = $\frac{189}{1150}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{357}{2300}$ + $\frac{357}{2300}$ + $\frac{357}{2300}$ = $\frac{1071}{2300}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{204}{575}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{7}{460}$	$\frac{189}{1150}$	$\frac{1071}{2300}$	$\frac{204}{575}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{189}{1150}$	$\frac{1071}{1150}$	$\frac{612}{575}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{7}{460}$ + 1⋅ $\frac{189}{1150}$ + 2⋅ $\frac{1071}{2300}$ + 3⋅ $\frac{204}{575}$

= $0$ $+$ $\frac{189}{1150}$ $+$ $\frac{1071}{1150}$ $+$ $\frac{612}{575}$
= $\frac{0}{1150}$ $+$ $\frac{189}{1150}$ $+$ $\frac{1071}{1150}$ $+$ $\frac{1224}{1150}$
= $\frac{2484}{1150}$
= $\frac{54}{25}$

≈ 2.16