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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 5€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 5000€. Bei 5 Treffern bekommt man 500€, und bei 4 Treffern 40€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,26 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

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Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

P_{0.26}^{6} (X \leq 3)

P_{0.26}^{6} (X = 0)

P_{0.26}^{6} (X = 1)

P_{0.26}^{6} (X = 2)

P_{0.26}^{6} (X = 3)

= 0.95687974464 ≈ 0.9569
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.26,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

P_{0.26}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.26}^{4} \cdot {0.74}^{2}

=0.03753600864≈ 0.0375
(TI-Befehl: binompdf(6,0.26,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

P_{0.26}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.26}^{5} \cdot {0.74}^{1}

=0.005275330944≈ 0.0053
(TI-Befehl: binompdf(6,0.26,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

P_{0.26}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.26}^{6} \cdot {0.74}^{0}

=0.000308915776≈ 0.0003
(TI-Befehl: binompdf(6,0.26,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	40	500	5000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-5	35	495	4995
P(X=x_i)	0.9569	0.0375	0.0053	0.0003
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,5$	$2,65$	$1,5$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 4,7845$	$1,3125$	$2,6235$	$1,4985$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9569 + 40⋅0.0375 + 500⋅0.0053 + 5000⋅0.0003

≈ 5.65

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=5.65 - 5 = 0.65 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -5⋅0.9569 + 35⋅0.0375 + 495⋅0.0053 + 4995⋅0.0003

≈ 0.65

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

Ein leidenschaftlicher Mäxle-Spieler möchte eine Mäxle-Spielautomat bauen. Wie beim richtigen Mäxle sollen auch hier zwei normale Würfel gleichzeitig geworfen werden (bzw. dies eben simuliert). Bei einem Mäxle (also eine 1 und eine 2) soll dann 12€ ausbezahlt werden, bei einem Pasch (also zwei gleiche Augenzahlen) 7€ und bei 61-65 also (also ein Würfel 6 und der andere keine 6) noch 3€. Wie groß müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Mäxle' ist:

P('1'-'2') + P('2'-'1')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{18}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Pasch' ist:

P('1'-'1') + P('2'-'2') + P('3'-'3') + P('4'-'4') + P('5'-'5') + P('6'-'6')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{6}$

Die Wahrscheinlichkeit für '60er' ist:

P('1'-'6') + P('2'-'6') + P('3'-'6') + P('4'-'6') + P('5'-'6') + P('6'-'1') + P('6'-'2') + P('6'-'3') + P('6'-'4') + P('6'-'5')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{5}{18}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den durch die beiden Würfel ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	Mäxle	Pasch	60er
Zufallsgröße x_i	12	7	3
P(X=x_i)	$\frac{1}{18}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{18}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{2}{3}$	$\frac{7}{6}$	$\frac{5}{6}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 12⋅ $\frac{1}{18}$ + 7⋅ $\frac{1}{6}$ + 3⋅ $\frac{5}{18}$

= $\frac{2}{3}$ $+$ $\frac{7}{6}$ $+$ $\frac{5}{6}$
= $\frac{4}{6}$ $+$ $\frac{7}{6}$ $+$ $\frac{5}{6}$
= $\frac{16}{6}$
= $\frac{8}{3}$

≈ 2.67