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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Bürobelieferungs-Firma liefert Toner aus, bei denen dummerweise 10% defekt sind. Die defekten Toner dürfen die Empfänger in Retoure-Kartons zurückschicken, in die maximal 4 Stück reinpassen. Ein Retoure-Karton kostet die Firma 5€ Porto. Mit welchen Portogebühren muss die Firma bei einer Schule, die 20 Toner abgenommen hat, durchschnittlich rechnen?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

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Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.1.

P0.120 (X=0) = ( 20 0 ) 0.10 0.920 =0.12157665459057≈ 0.1216
(TI-Befehl: binompdf(20,0.1,0))

Trefferzahl: 1-4

P0.120 (1X4) = P0.120 (X4) - P0.120 (X0) = 0.8352

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.1,4) - binomcdf(20,0.1,0))

Trefferzahl: 5-8

P0.120 (5X8) = P0.120 (X8) - P0.120 (X4) = 0.0431

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.1,8) - binomcdf(20,0.1,4))

Trefferzahl: 9-12

P0.120 (9X12) = P0.120 (X12) - P0.120 (X8) = 9.9999999999989E-5

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.1,12) - binomcdf(20,0.1,8))

Trefferzahl: 13-16

P0.120 (13X16) = P0.120 (X16) - P0.120 (X12) = 0

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.1,16) - binomcdf(20,0.1,12))

Trefferzahl: 17-20

P0.120 (X17) = P0.120 (X20) - P0.120 (X16) = 0

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.1,20) - binomcdf(20,0.1,16))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1-4 5-8 9-12 13-16 17-20
Zufallsgröße xi 0 5 10 15 20 25
P(X=xi) 0.1216 0.8352 0.0431 9.9999999999989E-5 0 0
xi ⋅ P(X=xi) 0 4,176 0,431 0,0015 0 0

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.1216 + 5⋅0.8352 + 10⋅0.0431 + 15⋅9.9999999999989E-5 + 20⋅0 + 25⋅0

4.61

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

In einer Urne sind 11 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis die erste rote Kugel gezogen ist.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 1-ten Versuch st: 11 13

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 2-ten Versuch st: 11 78

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 3-ten Versuch st: 1 78

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis die erste rote Kugel gezogen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 1 2 3
Zufallsgröße xi 1 2 3
P(X=xi) 11 13 11 78 1 78
xi ⋅ P(X=xi) 11 13 11 39 1 26

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ 11 13 + 2⋅ 11 78 + 3⋅ 1 78

= 11 13 + 11 39 + 1 26
= 66 78 + 22 78 + 3 78
= 91 78
= 7 6

1.17