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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Bürobelieferungs-Firma liefert Toner aus, bei denen dummerweise 30% defekt sind. Die defekten Toner dürfen die Empfänger in Retoure-Kartons zurückschicken, in die maximal 4 Stück reinpassen. Ein Retoure-Karton kostet die Firma 5€ Porto. Mit welchen Portogebühren muss die Firma bei einer Schule, die 20 Toner abgenommen hat, durchschnittlich rechnen?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.3.

P_{0.3}^{20} (X = 0)

(\begin{matrix} 20 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{0} \cdot {0.7}^{20}

=0.00079792266297612≈ 0.0008
(TI-Befehl: binompdf(20,0.3,0))

Trefferzahl: 1-4

$P_{0.3}^{20} (1 \leq X \leq 4)$ = $P_{0.3}^{20} (X \leq 4)$ - $P_{0.3}^{20} (X \leq 0)$ = 0.2367

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,4) - binomcdf(20,0.3,0))

Trefferzahl: 5-8

$P_{0.3}^{20} (5 \leq X \leq 8)$ = $P_{0.3}^{20} (X \leq 8)$ - $P_{0.3}^{20} (X \leq 4)$ = 0.6492

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,8) - binomcdf(20,0.3,4))

Trefferzahl: 9-12

$P_{0.3}^{20} (9 \leq X \leq 12)$ = $P_{0.3}^{20} (X \leq 12)$ - $P_{0.3}^{20} (X \leq 8)$ = 0.112

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,12) - binomcdf(20,0.3,8))

Trefferzahl: 13-16

$P_{0.3}^{20} (13 \leq X \leq 16)$ = $P_{0.3}^{20} (X \leq 16)$ - $P_{0.3}^{20} (X \leq 12)$ = 0.0013

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,16) - binomcdf(20,0.3,12))

Trefferzahl: 17-20

$P_{0.3}^{20} (X \geq 17)$ = $P_{0.3}^{20} (X \leq 20)$ - $P_{0.3}^{20} (X \leq 16)$ = 0

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,20) - binomcdf(20,0.3,16))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1-4	5-8	9-12	13-16	17-20
Zufallsgröße x_i	0	5	10	15	20	25
P(X=x_i)	0.0008	0.2367	0.6492	0.112	0.0013	0
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,1835$	$6,492$	$1,68$	$0,026$	$0$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.0008 + 5⋅0.2367 + 10⋅0.6492 + 15⋅0.112 + 20⋅0.0013 + 25⋅0

≈ 9.38

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 18 Mädchen und 11 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{136}{609}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{187}{1218}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{187}{1218}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{55}{609}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{187}{1218}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{55}{609}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{55}{609}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{55}{1218}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{55}{1218}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{55}{609}$ + $\frac{55}{609}$ + $\frac{55}{609}$ = $\frac{55}{203}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{187}{1218}$ + $\frac{187}{1218}$ + $\frac{187}{1218}$ = $\frac{187}{406}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{136}{609}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{55}{1218}$	$\frac{55}{203}$	$\frac{187}{406}$	$\frac{136}{609}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{55}{203}$	$\frac{187}{203}$	$\frac{136}{203}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{55}{1218}$ + 1⋅ $\frac{55}{203}$ + 2⋅ $\frac{187}{406}$ + 3⋅ $\frac{136}{609}$

= $0$ $+$ $\frac{55}{203}$ $+$ $\frac{187}{203}$ $+$ $\frac{136}{203}$
= $\frac{0}{203}$ $+$ $\frac{55}{203}$ $+$ $\frac{187}{203}$ $+$ $\frac{136}{203}$
= $\frac{378}{203}$
= $\frac{54}{29}$

≈ 1.86