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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Spieler würfelt mit drei Würfeln. Bei drei Sechsern erhält er 75€, bei 2 Sechsern bekommt er noch 20€, bei einer Sechs 4€. Ist gar keine Sechs dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 0)

(\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{0} \cdot {(\frac{5}{6})}^{3}

=0.5787037037037≈ 0.5787
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,0))

Trefferzahl: 1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 1)

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{1} \cdot {(\frac{5}{6})}^{2}

=0.34722222222222≈ 0.3472
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 2)

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{2} \cdot {(\frac{5}{6})}^{1}

=0.069444444444444≈ 0.0694
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 3)

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{3} \cdot {(\frac{5}{6})}^{0}

=0.0046296296296296≈ 0.0046
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,3))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	4	20	75
P(X=x_i)	0.5787	0.3472	0.0694	0.0046
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,3888$	$1,388$	$0,345$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5787 + 4⋅0.3472 + 20⋅0.0694 + 75⋅0.0046

≈ 3.12

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Stapel Karten mit 7 Asse, 2 Könige, 2 Damen und 4 Buben werden 2 Karten gezogen. Dabei zählen 2 Asse 1000, 2 Könige 450, 2 Damen 220 und 2 Buben 70 Punkte. Außerdem gibt es für ein Paar aus Dame und König 40 Punkte. Wie viele Punkte kann man bei diesem Spiel erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As	$\frac{1}{5}$
As -> König	$\frac{1}{15}$
As -> Dame	$\frac{1}{15}$
As -> Bube	$\frac{2}{15}$
König -> As	$\frac{1}{15}$
König -> König	$\frac{1}{105}$
König -> Dame	$\frac{2}{105}$
König -> Bube	$\frac{4}{105}$
Dame -> As	$\frac{1}{15}$
Dame -> König	$\frac{2}{105}$
Dame -> Dame	$\frac{1}{105}$
Dame -> Bube	$\frac{4}{105}$
Bube -> As	$\frac{2}{15}$
Bube -> König	$\frac{4}{105}$
Bube -> Dame	$\frac{4}{105}$
Bube -> Bube	$\frac{2}{35}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{1}{5}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{1}{105}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{1}{105}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{2}{35}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{2}{105}$ + $\frac{2}{105}$ = $\frac{4}{105}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße x_i	1000	450	220	70	40
P(X=x_i)	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{105}$	$\frac{1}{105}$	$\frac{2}{35}$	$\frac{4}{105}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$200$	$\frac{30}{7}$	$\frac{44}{21}$	$4$	$\frac{32}{21}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1000⋅ $\frac{1}{5}$ + 450⋅ $\frac{1}{105}$ + 220⋅ $\frac{1}{105}$ + 70⋅ $\frac{2}{35}$ + 40⋅ $\frac{4}{105}$

= $200$ $+$ $\frac{30}{7}$ $+$ $\frac{44}{21}$ $+$ $4$ $+$ $\frac{32}{21}$
= $\frac{4200}{21}$ $+$ $\frac{90}{21}$ $+$ $\frac{44}{21}$ $+$ $\frac{84}{21}$ $+$ $\frac{32}{21}$
= $\frac{4450}{21}$

≈ 211.9