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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt hat man für 5€ 5 Versuche, einen Ball in einen Eimer zu werden. Dabei springt der Ball aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 85% wieder raus. Bleibt er aber drin, bekommt man einen Euro. Als Riskovariante kann man das Spiel auch so spielen, dass man bei einem Treffer nichts bekommt, bei zwei jedoch gleich 4€, bei drei Treffern sogar 9€, bei 4 Treffern 16 € und bei 5 Treffern volle 25€. Berechne den Erwartungswert des Gewinns der Risikovariante um diesen mit dem des normalen Spiels zu vergleichen.
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

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Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.15.

P_{0.15}^{5} (X \leq 1)

=

P_{0.15}^{5} (X = 0)

+

P_{0.15}^{5} (X = 1)

= 0.83521 ≈ 0.8352
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.15,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.15.

P_{0.15}^{5} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.15}^{2} \cdot {0.85}^{3}

=0.138178125≈ 0.1382
(TI-Befehl: binompdf(5,0.15,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.15.

P_{0.15}^{5} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.15}^{3} \cdot {0.85}^{2}

=0.024384375≈ 0.0244
(TI-Befehl: binompdf(5,0.15,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.15.

P_{0.15}^{5} (X = 4)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.15}^{4} \cdot {0.85}^{1}

=0.0021515625≈ 0.0022
(TI-Befehl: binompdf(5,0.15,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.15.

P_{0.15}^{5} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.15}^{5} \cdot {0.85}^{0}

=7.59375E-5≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(5,0.15,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	0	4	9	16	25
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-5	-1	4	11	20
P(X=x_i)	0.8352	0.1382	0.0244	0.0022	0.0001
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0,5528$	$0,2196$	$0,0352$	$0,0025$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 4,176$	$- 0,1382$	$0,0976$	$0,0242$	$0,002$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.8352 + 4⋅0.1382 + 9⋅0.0244 + 16⋅0.0022 + 25⋅0.0001

≈ 0.81

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=0.81 - 5 = -4.19 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -5⋅0.8352 + -1⋅0.1382 + 4⋅0.0244 + 11⋅0.0022 + 20⋅0.0001

≈ -4.19

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 6 blauen und 4 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 36€, bei 2 blauen bekommt er noch 12€, bei einer 7€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{6}$
blau -> blau -> rot	$\frac{1}{6}$
blau -> rot -> blau	$\frac{1}{6}$
blau -> rot -> rot	$\frac{1}{10}$
rot -> blau -> blau	$\frac{1}{6}$
rot -> blau -> rot	$\frac{1}{10}$
rot -> rot -> blau	$\frac{1}{10}$
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{30}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{30}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ = $\frac{3}{10}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{2}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{1}{6}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	7	12	36
P(X=x_i)	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{21}{10}$	$6$	$6$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{30}$ + 7⋅ $\frac{3}{10}$ + 12⋅ $\frac{1}{2}$ + 36⋅ $\frac{1}{6}$

= $0$ $+$ $\frac{21}{10}$ $+$ $6$ $+$ $6$
= $\frac{0}{10}$ $+$ $\frac{21}{10}$ $+$ $\frac{60}{10}$ $+$ $\frac{60}{10}$
= $\frac{141}{10}$

≈ 14.1