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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 13€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 1000€. Bei 5 Treffern bekommt man 100€, und bei 4 Treffern 10€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,31 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.31.

P_{0.31}^{6} (X \leq 3)

P_{0.31}^{6} (X = 0)

P_{0.31}^{6} (X = 1)

P_{0.31}^{6} (X = 2)

P_{0.31}^{6} (X = 3)

= 0.92130677559 ≈ 0.9213
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.31,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.31.

P_{0.31}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.31}^{4} \cdot {0.69}^{2}

=0.065953252215≈ 0.066
(TI-Befehl: binompdf(6,0.31,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.31.

P_{0.31}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.31}^{5} \cdot {0.69}^{1}

=0.011852468514≈ 0.0119
(TI-Befehl: binompdf(6,0.31,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.31.

P_{0.31}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.31}^{6} \cdot {0.69}^{0}

=0.000887503681≈ 0.0009
(TI-Befehl: binompdf(6,0.31,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	10	100	1000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-13	-3	87	987
P(X=x_i)	0.9213	0.066	0.0119	0.0009
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0,66$	$1,19$	$0,9$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 11,9769$	$- 0,198$	$1,0353$	$0,8883$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9213 + 10⋅0.066 + 100⋅0.0119 + 1000⋅0.0009

≈ 2.75

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.75 - 13 = -10.25 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -13⋅0.9213 + -3⋅0.066 + 87⋅0.0119 + 987⋅0.0009

≈ -10.25

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 4 blauen und 6 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 2401€, bei 2 blauen bekommt er noch 49€, bei einer 7€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{30}$
blau -> blau -> rot	$\frac{1}{10}$
blau -> rot -> blau	$\frac{1}{10}$
blau -> rot -> rot	$\frac{1}{6}$
rot -> blau -> blau	$\frac{1}{10}$
rot -> blau -> rot	$\frac{1}{6}$
rot -> rot -> blau	$\frac{1}{6}$
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{6}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{6}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{2}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ = $\frac{3}{10}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{1}{30}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	7	49	2401
P(X=x_i)	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{7}{2}$	$\frac{147}{10}$	$\frac{2401}{30}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{6}$ + 7⋅ $\frac{1}{2}$ + 49⋅ $\frac{3}{10}$ + 2401⋅ $\frac{1}{30}$

= $0$ $+$ $\frac{7}{2}$ $+$ $\frac{147}{10}$ $+$ $\frac{2401}{30}$
= $\frac{0}{30}$ $+$ $\frac{105}{30}$ $+$ $\frac{441}{30}$ $+$ $\frac{2401}{30}$
= $\frac{2947}{30}$

≈ 98.23