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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt hat man für 10€ 5 Versuche, einen Ball in einen Eimer zu werden. Dabei springt der Ball aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 71% wieder raus. Bleibt er aber drin, bekommt man einen Euro. Als Riskovariante kann man das Spiel auch so spielen, dass man bei einem Treffer nichts bekommt, bei zwei jedoch gleich 4€, bei drei Treffern sogar 9€, bei 4 Treffern 16 € und bei 5 Treffern volle 25€. Berechne den Erwartungswert des Gewinns der Risikovariante um diesen mit dem des normalen Spiels zu vergleichen.
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.29.

P_{0.29}^{5} (X \leq 1)

=

P_{0.29}^{5} (X = 0)

+

P_{0.29}^{5} (X = 1)

= 0.5488923096 ≈ 0.5489
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.29,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.29.

P_{0.29}^{5} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.29}^{2} \cdot {0.71}^{3}

=0.301003151≈ 0.301
(TI-Befehl: binompdf(5,0.29,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.29.

P_{0.29}^{5} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.29}^{3} \cdot {0.71}^{2}

=0.122944949≈ 0.1229
(TI-Befehl: binompdf(5,0.29,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.29.

P_{0.29}^{5} (X = 4)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.29}^{4} \cdot {0.71}^{1}

=0.0251084755≈ 0.0251
(TI-Befehl: binompdf(5,0.29,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.29.

P_{0.29}^{5} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.29}^{5} \cdot {0.71}^{0}

=0.0020511149≈ 0.0021
(TI-Befehl: binompdf(5,0.29,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	0	4	9	16	25
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-10	-6	-1	6	15
P(X=x_i)	0.5489	0.301	0.1229	0.0251	0.0021
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,204$	$1,1061$	$0,4016$	$0,0525$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 5,489$	$- 1,806$	$- 0,1229$	$0,1506$	$0,0315$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5489 + 4⋅0.301 + 9⋅0.1229 + 16⋅0.0251 + 25⋅0.0021

≈ 2.76

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.76 - 10 = -7.24 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -10⋅0.5489 + -6⋅0.301 + -1⋅0.1229 + 6⋅0.0251 + 15⋅0.0021

≈ -7.24

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 4 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As -> As	$\frac{1}{14}$
As -> As -> andereKarte	$\frac{1}{7}$
As -> andereKarte -> As	$\frac{1}{7}$
As -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{1}{7}$
andereKarte -> As -> As	$\frac{1}{7}$
andereKarte -> As -> andereKarte	$\frac{1}{7}$
andereKarte -> andereKarte -> As	$\frac{1}{7}$
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{1}{14}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: $\frac{1}{14}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ = $\frac{3}{7}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ = $\frac{3}{7}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: $\frac{1}{14}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	10	20	30
P(X=x_i)	$\frac{1}{14}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{14}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{30}{7}$	$\frac{60}{7}$	$\frac{15}{7}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{14}$ + 10⋅ $\frac{3}{7}$ + 20⋅ $\frac{3}{7}$ + 30⋅ $\frac{1}{14}$

= $0$ $+$ $\frac{30}{7}$ $+$ $\frac{60}{7}$ $+$ $\frac{15}{7}$
= $\frac{0}{7}$ $+$ $\frac{30}{7}$ $+$ $\frac{60}{7}$ $+$ $\frac{15}{7}$
= $\frac{105}{7}$
= $15$