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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Spieler würfelt mit drei Würfeln. Bei drei Sechsern erhält er 75€, bei 2 Sechsern bekommt er noch 10€, bei einer Sechs 2€. Ist gar keine Sechs dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 0)

(\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{0} \cdot {(\frac{5}{6})}^{3}

=0.5787037037037≈ 0.5787
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,0))

Trefferzahl: 1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 1)

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{1} \cdot {(\frac{5}{6})}^{2}

=0.34722222222222≈ 0.3472
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 2)

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{2} \cdot {(\frac{5}{6})}^{1}

=0.069444444444444≈ 0.0694
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 3)

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{3} \cdot {(\frac{5}{6})}^{0}

=0.0046296296296296≈ 0.0046
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,3))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	2	10	75
P(X=x_i)	0.5787	0.3472	0.0694	0.0046
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0,6944$	$0,694$	$0,345$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5787 + 2⋅0.3472 + 10⋅0.0694 + 75⋅0.0046

≈ 1.73

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 18 Mädchen und 6 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{102}{253}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{153}{1012}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{153}{1012}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{45}{1012}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{153}{1012}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{45}{1012}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{45}{1012}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{5}{506}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{5}{506}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{45}{1012}$ + $\frac{45}{1012}$ + $\frac{45}{1012}$ = $\frac{135}{1012}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{153}{1012}$ + $\frac{153}{1012}$ + $\frac{153}{1012}$ = $\frac{459}{1012}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{102}{253}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{5}{506}$	$\frac{135}{1012}$	$\frac{459}{1012}$	$\frac{102}{253}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{135}{1012}$	$\frac{459}{506}$	$\frac{306}{253}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{5}{506}$ + 1⋅ $\frac{135}{1012}$ + 2⋅ $\frac{459}{1012}$ + 3⋅ $\frac{102}{253}$

= $0$ $+$ $\frac{135}{1012}$ $+$ $\frac{459}{506}$ $+$ $\frac{306}{253}$
= $\frac{0}{1012}$ $+$ $\frac{135}{1012}$ $+$ $\frac{918}{1012}$ $+$ $\frac{1224}{1012}$
= $\frac{2277}{1012}$
= $\frac{9}{4}$

≈ 2.25