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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 14€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 4000€. Bei 5 Treffern bekommt man 400€, und bei 4 Treffern 50€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,43 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.43.

P_{0.43}^{6} (X \leq 3)

P_{0.43}^{6} (X = 0)

P_{0.43}^{6} (X = 1)

P_{0.43}^{6} (X = 2)

P_{0.43}^{6} (X = 3)

= 0.77678648271 ≈ 0.7768
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.43,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.43.

P_{0.43}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.43}^{4} \cdot {0.57}^{2}

=0.166615266735≈ 0.1666
(TI-Befehl: binompdf(6,0.43,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.43.

P_{0.43}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.43}^{5} \cdot {0.57}^{1}

=0.050276887506≈ 0.0503
(TI-Befehl: binompdf(6,0.43,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.43.

P_{0.43}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.43}^{6} \cdot {0.57}^{0}

=0.006321363049≈ 0.0063
(TI-Befehl: binompdf(6,0.43,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	50	400	4000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-14	36	386	3986
P(X=x_i)	0.7768	0.1666	0.0503	0.0063
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$8,33$	$20,12$	$25,2$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 10,8752$	$5,9976$	$19,4158$	$25,1118$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.7768 + 50⋅0.1666 + 400⋅0.0503 + 4000⋅0.0063

≈ 53.65

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=53.65 - 14 = 39.65 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -14⋅0.7768 + 36⋅0.1666 + 386⋅0.0503 + 3986⋅0.0063

≈ 39.65

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Zwei Glücksräder wie rechts in der Abbildung werden gleichzeitig gedreht. Erscheinen zwei Kronen, so erhält man 20€. Bei einer Krone erhält man immer hin noch 8€. Erscheinen zwei gleiche Dinge (außer Kronen), so erhält man 2€. In allen anderen Fällen geht man leer aus. Mit wie viel Euro kann man bei einem Spiel durchschnittlich rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Blume -> Blume	$\frac{9}{64}$
Blume -> Raute	$\frac{3}{32}$
Blume -> Stein	$\frac{3}{32}$
Blume -> Krone	$\frac{3}{64}$
Raute -> Blume	$\frac{3}{32}$
Raute -> Raute	$\frac{1}{16}$
Raute -> Stein	$\frac{1}{16}$
Raute -> Krone	$\frac{1}{32}$
Stein -> Blume	$\frac{3}{32}$
Stein -> Raute	$\frac{1}{16}$
Stein -> Stein	$\frac{1}{16}$
Stein -> Krone	$\frac{1}{32}$
Krone -> Blume	$\frac{3}{64}$
Krone -> Raute	$\frac{1}{32}$
Krone -> Stein	$\frac{1}{32}$
Krone -> Krone	$\frac{1}{64}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 gleiche' ist:

P('Blume'-'Blume') + P('Raute'-'Raute') + P('Stein'-'Stein')
= $\frac{9}{64}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{17}{64}$

Die Wahrscheinlichkeit für '1 Krone' ist:

P('Blume'-'Krone') + P('Raute'-'Krone') + P('Stein'-'Krone') + P('Krone'-'Blume') + P('Krone'-'Raute') + P('Krone'-'Stein')
= $\frac{3}{64}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{32}$ = $\frac{7}{32}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Kronen' ist:

P('Krone'-'Krone')
= $\frac{1}{64}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Gewinn bei einem Spiel.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 gleiche	1 Krone	2 Kronen
Zufallsgröße x_i	2	8	20
P(X=x_i)	$\frac{17}{64}$	$\frac{7}{32}$	$\frac{1}{64}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{17}{32}$	$\frac{7}{4}$	$\frac{5}{16}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 2⋅ $\frac{17}{64}$ + 8⋅ $\frac{7}{32}$ + 20⋅ $\frac{1}{64}$

= $\frac{17}{32}$ $+$ $\frac{7}{4}$ $+$ $\frac{5}{16}$
= $\frac{17}{32}$ $+$ $\frac{56}{32}$ $+$ $\frac{10}{32}$
= $\frac{83}{32}$

≈ 2.59