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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt hat man für 8€ 5 Versuche, einen Ball in einen Eimer zu werden. Dabei springt der Ball aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% wieder raus. Bleibt er aber drin, bekommt man einen Euro. Als Riskovariante kann man das Spiel auch so spielen, dass man bei einem Treffer nichts bekommt, bei zwei jedoch gleich 4€, bei drei Treffern sogar 9€, bei 4 Treffern 16 € und bei 5 Treffern volle 25€. Berechne den Erwartungswert des Gewinns der Risikovariante um diesen mit dem des normalen Spiels zu vergleichen.
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

P_{0.25}^{5} (X \leq 1)

=

P_{0.25}^{5} (X = 0)

+

P_{0.25}^{5} (X = 1)

= 0.6328125 ≈ 0.6328
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.25,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

P_{0.25}^{5} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.25}^{2} \cdot {0.75}^{3}

=0.263671875≈ 0.2637
(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

P_{0.25}^{5} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.25}^{3} \cdot {0.75}^{2}

=0.087890625≈ 0.0879
(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

P_{0.25}^{5} (X = 4)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.25}^{4} \cdot {0.75}^{1}

=0.0146484375≈ 0.0146
(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.25.

P_{0.25}^{5} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.25}^{5} \cdot {0.75}^{0}

=0.0009765625≈ 0.001
(TI-Befehl: binompdf(5,0.25,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	0	4	9	16	25
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-8	-4	1	8	17
P(X=x_i)	0.6328	0.2637	0.0879	0.0146	0.001
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,0548$	$0,7911$	$0,2336$	$0,025$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 5,0624$	$- 1,0548$	$0,0879$	$0,1168$	$0,017$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.6328 + 4⋅0.2637 + 9⋅0.0879 + 16⋅0.0146 + 25⋅0.001

≈ 2.1

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.1 - 8 = -5.9 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -8⋅0.6328 + -4⋅0.2637 + 1⋅0.0879 + 8⋅0.0146 + 17⋅0.001

≈ -5.9

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Zwei Glücksräder wie rechts in der Abbildung werden gleichzeitig gedreht. Erscheinen zwei Kronen, so erhält man 20€. Bei einer Krone erhält man immer hin noch 10€. Erscheinen zwei gleiche Dinge (außer Kronen), so erhält man 1€. In allen anderen Fällen geht man leer aus. Mit wie viel Euro kann man bei einem Spiel durchschnittlich rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Blume -> Blume	$\frac{9}{64}$
Blume -> Raute	$\frac{9}{64}$
Blume -> Stein	$\frac{3}{64}$
Blume -> Krone	$\frac{3}{64}$
Raute -> Blume	$\frac{9}{64}$
Raute -> Raute	$\frac{9}{64}$
Raute -> Stein	$\frac{3}{64}$
Raute -> Krone	$\frac{3}{64}$
Stein -> Blume	$\frac{3}{64}$
Stein -> Raute	$\frac{3}{64}$
Stein -> Stein	$\frac{1}{64}$
Stein -> Krone	$\frac{1}{64}$
Krone -> Blume	$\frac{3}{64}$
Krone -> Raute	$\frac{3}{64}$
Krone -> Stein	$\frac{1}{64}$
Krone -> Krone	$\frac{1}{64}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 gleiche' ist:

P('Blume'-'Blume') + P('Raute'-'Raute') + P('Stein'-'Stein')
= $\frac{9}{64}$ + $\frac{9}{64}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{19}{64}$

Die Wahrscheinlichkeit für '1 Krone' ist:

P('Blume'-'Krone') + P('Raute'-'Krone') + P('Stein'-'Krone') + P('Krone'-'Blume') + P('Krone'-'Raute') + P('Krone'-'Stein')
= $\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{1}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{7}{32}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Kronen' ist:

P('Krone'-'Krone')
= $\frac{1}{64}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Gewinn bei einem Spiel.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 gleiche	1 Krone	2 Kronen
Zufallsgröße x_i	1	10	20
P(X=x_i)	$\frac{19}{64}$	$\frac{7}{32}$	$\frac{1}{64}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{19}{64}$	$\frac{35}{16}$	$\frac{5}{16}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ $\frac{19}{64}$ + 10⋅ $\frac{7}{32}$ + 20⋅ $\frac{1}{64}$

= $\frac{19}{64}$ $+$ $\frac{35}{16}$ $+$ $\frac{5}{16}$
= $\frac{19}{64}$ $+$ $\frac{140}{64}$ $+$ $\frac{20}{64}$
= $\frac{179}{64}$

≈ 2.8