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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 19€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 1000€. Bei 5 Treffern bekommt man 400€, und bei 4 Treffern 20€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,26 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

P_{0.26}^{6} (X \leq 3)

P_{0.26}^{6} (X = 0)

P_{0.26}^{6} (X = 1)

P_{0.26}^{6} (X = 2)

P_{0.26}^{6} (X = 3)

= 0.95687974464 ≈ 0.9569
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.26,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

P_{0.26}^{6} (X = 4)

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.26}^{4} \cdot {0.74}^{2}

=0.03753600864≈ 0.0375
(TI-Befehl: binompdf(6,0.26,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

P_{0.26}^{6} (X = 5)

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.26}^{5} \cdot {0.74}^{1}

=0.005275330944≈ 0.0053
(TI-Befehl: binompdf(6,0.26,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.26.

P_{0.26}^{6} (X = 6)

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0.26}^{6} \cdot {0.74}^{0}

=0.000308915776≈ 0.0003
(TI-Befehl: binompdf(6,0.26,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	0	20	400	1000
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-19	1	381	981
P(X=x_i)	0.9569	0.0375	0.0053	0.0003
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0,75$	$2,12$	$0,3$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 18,1811$	$0,0375$	$2,0193$	$0,2943$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9569 + 20⋅0.0375 + 400⋅0.0053 + 1000⋅0.0003

≈ 3.17

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=3.17 - 19 = -15.83 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -19⋅0.9569 + 1⋅0.0375 + 381⋅0.0053 + 981⋅0.0003

≈ -15.83

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 8 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis das erste Herz erscheint.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 1-ten Versuch st: $\frac{8}{11}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 2-ten Versuch st: $\frac{12}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 3-ten Versuch st: $\frac{8}{165}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 4-ten Versuch st: $\frac{1}{165}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis das erste Herz gekommen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3	4
Zufallsgröße x_i	1	2	3	4
P(X=x_i)	$\frac{8}{11}$	$\frac{12}{55}$	$\frac{8}{165}$	$\frac{1}{165}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{8}{11}$	$\frac{24}{55}$	$\frac{8}{55}$	$\frac{4}{165}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ $\frac{8}{11}$ + 2⋅ $\frac{12}{55}$ + 3⋅ $\frac{8}{165}$ + 4⋅ $\frac{1}{165}$

= $\frac{8}{11}$ $+$ $\frac{24}{55}$ $+$ $\frac{8}{55}$ $+$ $\frac{4}{165}$
= $\frac{120}{165}$ $+$ $\frac{72}{165}$ $+$ $\frac{24}{165}$ $+$ $\frac{4}{165}$
= $\frac{220}{165}$
= $\frac{4}{3}$

≈ 1.33