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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Spieler würfelt mit drei Würfeln. Bei drei Sechsern erhält er 175€, bei 2 Sechsern bekommt er noch 20€, bei einer Sechs 4€. Ist gar keine Sechs dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 0)

(\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{0} \cdot {(\frac{5}{6})}^{3}

=0.5787037037037≈ 0.5787
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,0))

Trefferzahl: 1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 1)

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{1} \cdot {(\frac{5}{6})}^{2}

=0.34722222222222≈ 0.3472
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 2)

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{2} \cdot {(\frac{5}{6})}^{1}

=0.069444444444444≈ 0.0694
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 3)

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{3} \cdot {(\frac{5}{6})}^{0}

=0.0046296296296296≈ 0.0046
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,3))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	4	20	175
P(X=x_i)	0.5787	0.3472	0.0694	0.0046
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,3888$	$1,388$	$0,805$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5787 + 4⋅0.3472 + 20⋅0.0694 + 175⋅0.0046

≈ 3.58

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Mit wie vielen Hausaufgabenüberprüfungen muss die Lehrerin im Durchschnitt rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 1-ten Versuch st: $\frac{7}{8}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 2-ten Versuch st: $\frac{21}{184}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 3-ten Versuch st: $\frac{21}{2024}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 4-ten Versuch st: $\frac{1}{2024}$

Die Zufallsgröße X beschreibt Anzahl der eingesammelten Hausaufgaben bis das erste Mädchen gezogen wird.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3	4
Zufallsgröße x_i	1	2	3	4
P(X=x_i)	$\frac{7}{8}$	$\frac{21}{184}$	$\frac{21}{2024}$	$\frac{1}{2024}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{7}{8}$	$\frac{21}{92}$	$\frac{63}{2024}$	$\frac{1}{506}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ $\frac{7}{8}$ + 2⋅ $\frac{21}{184}$ + 3⋅ $\frac{21}{2024}$ + 4⋅ $\frac{1}{2024}$

= $\frac{7}{8}$ $+$ $\frac{21}{92}$ $+$ $\frac{63}{2024}$ $+$ $\frac{1}{506}$
= $\frac{1771}{2024}$ $+$ $\frac{462}{2024}$ $+$ $\frac{63}{2024}$ $+$ $\frac{4}{2024}$
= $\frac{2300}{2024}$
= $\frac{25}{22}$

≈ 1.14