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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt hat man für 7€ 5 Versuche, einen Ball in einen Eimer zu werden. Dabei springt der Ball aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 79% wieder raus. Bleibt er aber drin, bekommt man einen Euro. Als Riskovariante kann man das Spiel auch so spielen, dass man bei einem Treffer nichts bekommt, bei zwei jedoch gleich 4€, bei drei Treffern sogar 9€, bei 4 Treffern 16 € und bei 5 Treffern volle 25€. Berechne den Erwartungswert des Gewinns der Risikovariante um diesen mit dem des normalen Spiels zu vergleichen.
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

P_{0.21}^{5} (X \leq 1)

=

P_{0.21}^{5} (X = 0)

+

P_{0.21}^{5} (X = 1)

= 0.7166814904 ≈ 0.7167
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.21,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

P_{0.21}^{5} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.21}^{2} \cdot {0.79}^{3}

=0.217430199≈ 0.2174
(TI-Befehl: binompdf(5,0.21,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

P_{0.21}^{5} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.21}^{3} \cdot {0.79}^{2}

=0.057797901≈ 0.0578
(TI-Befehl: binompdf(5,0.21,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

P_{0.21}^{5} (X = 4)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.21}^{4} \cdot {0.79}^{1}

=0.0076819995≈ 0.0077
(TI-Befehl: binompdf(5,0.21,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.21.

P_{0.21}^{5} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.21}^{5} \cdot {0.79}^{0}

=0.0004084101≈ 0.0004
(TI-Befehl: binompdf(5,0.21,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	0	4	9	16	25
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-7	-3	2	9	18
P(X=x_i)	0.7167	0.2174	0.0578	0.0077	0.0004
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0,8696$	$0,5202$	$0,1232$	$0,01$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 5,0169$	$- 0,6522$	$0,1156$	$0,0693$	$0,0072$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.7167 + 4⋅0.2174 + 9⋅0.0578 + 16⋅0.0077 + 25⋅0.0004

≈ 1.52

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.52 - 7 = -5.48 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -7⋅0.7167 + -3⋅0.2174 + 2⋅0.0578 + 9⋅0.0077 + 18⋅0.0004

≈ -5.48

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 21 Mädchen und 10 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{266}{899}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{140}{899}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{140}{899}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{63}{899}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{140}{899}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{63}{899}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{63}{899}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{24}{899}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{24}{899}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{63}{899}$ + $\frac{63}{899}$ + $\frac{63}{899}$ = $\frac{189}{899}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{140}{899}$ + $\frac{140}{899}$ + $\frac{140}{899}$ = $\frac{420}{899}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{266}{899}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{24}{899}$	$\frac{189}{899}$	$\frac{420}{899}$	$\frac{266}{899}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{189}{899}$	$\frac{840}{899}$	$\frac{798}{899}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{24}{899}$ + 1⋅ $\frac{189}{899}$ + 2⋅ $\frac{420}{899}$ + 3⋅ $\frac{266}{899}$

= $0$ $+$ $\frac{189}{899}$ $+$ $\frac{840}{899}$ $+$ $\frac{798}{899}$
= $\frac{0}{899}$ $+$ $\frac{189}{899}$ $+$ $\frac{840}{899}$ $+$ $\frac{798}{899}$
= $\frac{1827}{899}$
= $\frac{63}{31}$

≈ 2.03