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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Es werden drei Würfel geworfen. Wieviel Sechser muss man erwarten?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 0)

(\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{0} \cdot {(\frac{5}{6})}^{3}

=0.5787037037037≈ 0.5787
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,0))

Trefferzahl: 1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 1)

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{1} \cdot {(\frac{5}{6})}^{2}

=0.34722222222222≈ 0.3472
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 2)

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{2} \cdot {(\frac{5}{6})}^{1}

=0.069444444444444≈ 0.0694
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p= $\frac{1}{6}$ .

P_{\frac{1}{6}}^{3} (X = 3)

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{3} \cdot {(\frac{5}{6})}^{0}

=0.0046296296296296≈ 0.0046
(TI-Befehl: binompdf(3,1/6,3))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	0.5787	0.3472	0.0694	0.0046
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0,3472$	$0,1388$	$0,0138$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.5787 + 1⋅0.3472 + 2⋅0.0694 + 3⋅0.0046

≈ 0.5

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Stapel Karten mit 8 Asse, 5 Könige, 10 Damen und 7 Buben werden 2 Karten gezogen. Dabei zählen 2 Asse 500, 2 Könige 350, 2 Damen 200 und 2 Buben 90 Punkte. Außerdem gibt es für ein Paar aus Dame und König 25 Punkte. Wie viele Punkte kann man bei diesem Spiel erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As	$\frac{28}{435}$
As -> König	$\frac{4}{87}$
As -> Dame	$\frac{8}{87}$
As -> Bube	$\frac{28}{435}$
König -> As	$\frac{4}{87}$
König -> König	$\frac{2}{87}$
König -> Dame	$\frac{5}{87}$
König -> Bube	$\frac{7}{174}$
Dame -> As	$\frac{8}{87}$
Dame -> König	$\frac{5}{87}$
Dame -> Dame	$\frac{3}{29}$
Dame -> Bube	$\frac{7}{87}$
Bube -> As	$\frac{28}{435}$
Bube -> König	$\frac{7}{174}$
Bube -> Dame	$\frac{7}{87}$
Bube -> Bube	$\frac{7}{145}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{28}{435}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{2}{87}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{3}{29}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{7}{145}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{5}{87}$ + $\frac{5}{87}$ = $\frac{10}{87}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße x_i	500	350	200	90	25
P(X=x_i)	$\frac{28}{435}$	$\frac{2}{87}$	$\frac{3}{29}$	$\frac{7}{145}$	$\frac{10}{87}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{2800}{87}$	$\frac{700}{87}$	$\frac{600}{29}$	$\frac{126}{29}$	$\frac{250}{87}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 500⋅ $\frac{28}{435}$ + 350⋅ $\frac{2}{87}$ + 200⋅ $\frac{3}{29}$ + 90⋅ $\frac{7}{145}$ + 25⋅ $\frac{10}{87}$

= $\frac{2800}{87}$ $+$ $\frac{700}{87}$ $+$ $\frac{600}{29}$ $+$ $\frac{126}{29}$ $+$ $\frac{250}{87}$
= $\frac{2800}{87}$ $+$ $\frac{700}{87}$ $+$ $\frac{1800}{87}$ $+$ $\frac{378}{87}$ $+$ $\frac{250}{87}$
= $\frac{5928}{87}$
= $\frac{1976}{29}$

≈ 68.14