Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Auf einem Jahrmarkt hat man für 10€ 5 Versuche, einen Ball in einen Eimer zu werden. Dabei springt der Ball aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 81% wieder raus. Bleibt er aber drin, bekommt man einen Euro. Als Riskovariante kann man das Spiel auch so spielen, dass man bei einem Treffer nichts bekommt, bei zwei jedoch gleich 4€, bei drei Treffern sogar 9€, bei 4 Treffern 16 € und bei 5 Treffern volle 25€. Berechne den Erwartungswert des Gewinns der Risikovariante um diesen mit dem des normalen Spiels zu vergleichen.
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-1

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.19.

P_{0.19}^{5} (X \leq 1)

=

P_{0.19}^{5} (X = 0)

+

P_{0.19}^{5} (X = 1)

= 0.7576222896 ≈ 0.7576
(TI-Befehl: binomcdf(5,0.19,1))

Trefferzahl: 2

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.19.

P_{0.19}^{5} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.19}^{2} \cdot {0.81}^{3}

=0.191850201≈ 0.1919
(TI-Befehl: binompdf(5,0.19,2))

Trefferzahl: 3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.19.

P_{0.19}^{5} (X = 3)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0.19}^{3} \cdot {0.81}^{2}

=0.045001899≈ 0.045
(TI-Befehl: binompdf(5,0.19,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.19.

P_{0.19}^{5} (X = 4)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.19}^{4} \cdot {0.81}^{1}

=0.0052780005≈ 0.0053
(TI-Befehl: binompdf(5,0.19,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.19.

P_{0.19}^{5} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.19}^{5} \cdot {0.81}^{0}

=0.0002476099≈ 0.0002
(TI-Befehl: binompdf(5,0.19,5))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	0	4	9	16	25
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-10	-6	-1	6	15
P(X=x_i)	0.7576	0.1919	0.045	0.0053	0.0002
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$0,7676$	$0,405$	$0,0848$	$0,005$
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- 7,576$	$- 1,1514$	$- 0,045$	$0,0318$	$0,003$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.7576 + 4⋅0.1919 + 9⋅0.045 + 16⋅0.0053 + 25⋅0.0002

≈ 1.26

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=1.26 - 10 = -8.74 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -10⋅0.7576 + -6⋅0.1919 + -1⋅0.045 + 6⋅0.0053 + 15⋅0.0002

≈ -8.74

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 12 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As -> As	$\frac{1}{140}$
As -> As -> andereKarte	$\frac{3}{70}$
As -> andereKarte -> As	$\frac{3}{70}$
As -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{11}{70}$
andereKarte -> As -> As	$\frac{3}{70}$
andereKarte -> As -> andereKarte	$\frac{11}{70}$
andereKarte -> andereKarte -> As	$\frac{11}{70}$
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{11}{28}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: $\frac{11}{28}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ = $\frac{33}{70}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: $\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ = $\frac{9}{70}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: $\frac{1}{140}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	10	20	30
P(X=x_i)	$\frac{11}{28}$	$\frac{33}{70}$	$\frac{9}{70}$	$\frac{1}{140}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{33}{7}$	$\frac{18}{7}$	$\frac{3}{14}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{11}{28}$ + 10⋅ $\frac{33}{70}$ + 20⋅ $\frac{9}{70}$ + 30⋅ $\frac{1}{140}$

= $0$ $+$ $\frac{33}{7}$ $+$ $\frac{18}{7}$ $+$ $\frac{3}{14}$
= $\frac{0}{14}$ $+$ $\frac{66}{14}$ $+$ $\frac{36}{14}$ $+$ $\frac{3}{14}$
= $\frac{105}{14}$
= $\frac{15}{2}$

≈ 7.5