Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Erwartungswerte bei Binomialverteilungen

Beispiel:

Ein Bürobelieferungs-Firma liefert Toner aus, bei denen dummerweise 30% defekt sind. Die defekten Toner dürfen die Empfänger in Retoure-Kartons zurückschicken, in die maximal 4 Stück reinpassen. Ein Retoure-Karton kostet die Firma 5€ Porto. Mit welchen Portogebühren muss die Firma bei einer Schule, die 20 Toner abgenommen hat, durchschnittlich rechnen?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.3.

P_{0.3}^{20} (X = 0)

(\begin{matrix} 20 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {0.3}^{0} \cdot {0.7}^{20}

=0.00079792266297612≈ 0.0008
(TI-Befehl: binompdf(20,0.3,0))

Trefferzahl: 1-4

$P_{0.3}^{20} (1 \leq X \leq 4)$ = $P_{0.3}^{20} (X \leq 4)$ - $P_{0.3}^{20} (X \leq 0)$ = 0.2367

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,4) - binomcdf(20,0.3,0))

Trefferzahl: 5-8

$P_{0.3}^{20} (5 \leq X \leq 8)$ = $P_{0.3}^{20} (X \leq 8)$ - $P_{0.3}^{20} (X \leq 4)$ = 0.6492

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,8) - binomcdf(20,0.3,4))

Trefferzahl: 9-12

$P_{0.3}^{20} (9 \leq X \leq 12)$ = $P_{0.3}^{20} (X \leq 12)$ - $P_{0.3}^{20} (X \leq 8)$ = 0.112

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,12) - binomcdf(20,0.3,8))

Trefferzahl: 13-16

$P_{0.3}^{20} (13 \leq X \leq 16)$ = $P_{0.3}^{20} (X \leq 16)$ - $P_{0.3}^{20} (X \leq 12)$ = 0.0013

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,16) - binomcdf(20,0.3,12))

Trefferzahl: 17-20

$P_{0.3}^{20} (X \geq 17)$ = $P_{0.3}^{20} (X \leq 20)$ - $P_{0.3}^{20} (X \leq 16)$ = 0

(TI-Befehl: binomcdf(20,0.3,20) - binomcdf(20,0.3,16))

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1-4	5-8	9-12	13-16	17-20
Zufallsgröße x_i	0	5	10	15	20	25
P(X=x_i)	0.0008	0.2367	0.6492	0.112	0.0013	0
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$1,1835$	$6,492$	$1,68$	$0,026$	$0$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.0008 + 5⋅0.2367 + 10⋅0.6492 + 15⋅0.112 + 20⋅0.0013 + 25⋅0

≈ 9.38

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 12 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{11}{34}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{11}{68}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{11}{68}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{17}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{11}{68}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{1}{17}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{1}{17}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{68}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{68}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{1}{17}$ + $\frac{1}{17}$ + $\frac{1}{17}$ = $\frac{3}{17}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{11}{68}$ + $\frac{11}{68}$ + $\frac{11}{68}$ = $\frac{33}{68}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{11}{34}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{1}{68}$	$\frac{3}{17}$	$\frac{33}{68}$	$\frac{11}{34}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{3}{17}$	$\frac{33}{34}$	$\frac{33}{34}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{68}$ + 1⋅ $\frac{3}{17}$ + 2⋅ $\frac{33}{68}$ + 3⋅ $\frac{11}{34}$

= $0$ $+$ $\frac{3}{17}$ $+$ $\frac{33}{34}$ $+$ $\frac{33}{34}$
= $\frac{0}{34}$ $+$ $\frac{6}{34}$ $+$ $\frac{33}{34}$ $+$ $\frac{33}{34}$
= $\frac{72}{34}$
= $\frac{36}{17}$

≈ 2.12