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Extrempunkte bei trigon. Fkt. (sehr einfach)

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten von zwei Wendepunkten des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $\sin (x)$ .

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $1$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{1}$ = $2 π$

Gesucht sind Stellen mit dem mittleren Funktionswert, also der x-Wert eines Wendepunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer zu Beginn und nach einer halben Periode (im Einheitskreis ist man zu Beginn und nach einer halben-Umdrehung auf Nullniveau), hier also nach $0$ ⋅ $2 π$ = $0$ und nach $\frac{1}{2}$ ⋅ $2 π$ = $π$ .

Der x-Wert eines Wendepunkts ist also: x_W = $0$ , bzw. eben x_W = $π$ .

Die .Sinusfunktion schwingt ja mit einer maximalen Auslenkung (Amplitude) von 1 LE um die x-Achse (y=0). Somit ist der mittlere Wert, also der y-Wert eines Wendepunkts bei 0.

Ein Wendepunkt wäre also z.B. W₁( $0$ |0), ein weiterer W₂( $π$ |0)

Verschiebung/Streckung trigon. Term

Beispiel:

Der Graph von f mit $f(x) =$ $\sin (x)$ wird um den Faktor $\frac{1}{2}$ in y-Richtung gestreckt und an der x-Achse gespiegelt und um 2 nach unten verschoben.

Bestimme den Funktionsterm g(x) des neuen Graphen.

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Die Streckung um den Faktor $\frac{1}{2}$ in y-Richtung erreicht man durch den Koeffizienten $\frac{1}{2}$ vor dem Sinus.

Die Spiegelung an der x-Achse bekommt man durch ein negatives Vorzeichen bei dem Koeffizienten vor dem Sinus, also - $\frac{1}{2}$ .

Bei der Verschiebung um 2 nach unten, bzw. -2 nach oben wird zu jedem Funktionswert noch -2 dazu addiert, also ein -2 an den Funktionsterm hinten angehängt.

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $g(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - 2$

Amplitude und Periode bestimmen

Beispiel:

Bestimme Amplitude und Periode der Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 \cdot \sin (4 (x + 1)) + 3$ .

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Die Amplitude kann man sehr einfach als |a| bei a sin(b(x-c))+d ablesen, also ist die Amplitude A=5

Das b der allgemeinen Sinusfunktion a sin(b(x-c))+d ist in unserem Fall b= $4$ . Mit der Periodenformel gilt dann für die Periode p= $\frac{2π}{b}$ = $\frac{2π}{4}$ , also p= $\frac{1}{2} π$ .

einfache Sinusbestimmung

Beispiel:

Der im Schaubild rechts abgebildete Graph ist der einer Sinusfunktion, die um jeweils ganzzahlige Werte in x- und y-Richtung verschoben. Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.

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Die Original-Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Man sieht schnell, dass der Graph der gesuchten Funktion um 3 Einheit(en) in y-Richtung verschoben wurde. Also muss der gesuchte Term sin(x-c) +3 sein.

Außerdem sieht man, dass der aufsteigende Wendepunkt (der ja bei sin(x) im Ursprung ist) hier um 2 Einheit(en) nach rechts verschoben ist. wir können also c=-2 einsetzen und erhalten so den gesuchten Term:

$\sin (x - 2) + 3$

allg. Sinusfunktion aus Schaubild

Beispiel:

Der im Schaubild rechts abgebildete Graph ist der einer Sinusfunktion, die um jeweils ganzzahlige Werte in x- und y-Richtung verschoben. Auch die Amplitude ist ganzzahlig. Die Periode ist entweder ein Vielfaches von π oder auch ganzzahlig. Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.

Lösung einblenden

Die Original-Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Zuerst suchen wir eine aufsteigende Wendestelle, die genau auf einem 'Kästchen-Kreuzchen' liegt. Das wäre hier im Punkt P(-3|-3). Da bei sin(x) diese aufsteigende Wendestelle im Ursprung liegt, bedeutet das, dass der abgebildete Graph um 3 Einheit(en) nach links und um -3 Einheit(en) in y-Richtung verschoben wurde.
Wir kennen nun von der allgemeinen Sinusfunktion f(x)=a⋅sin(b(x-c))+d die Parameter c=-3 und d=-3, also f(x)= f(x)=a⋅sin(b(x+3))-3
Da der y-Unterschied zwischen den Hochpunkten bei y=-1 und den Tiefpunkten bei y=-5 gerade 4 beträgt, können wir einfach die Amplitude a=2 bestimmen.
Bleibt noch der am schwierigsten zu bestimmende Parameter b. Diesen ermitteln wir über die Periode. Dazu schauen wir ausgehend von unserer steigenden Wendestelle im Punkt P(-3|-3) den Abstand zur fallenden Wendestelle (halbe Periode) oder zur nächsten steigenden Wendestelle an. Man erkennt gut, dass dieser Abstand nicht ganzzahlig ist, also muss er ein Vielfaches von 2π sein. Der Abstand von der steigenden Wendestelle im Punkt P(-3|-3) zur nächsten wieder steigenden ist gerade etwas mehr als 3, also π. Eine Periode ist somit $π$ . Wir stellen die Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ um zu b= $\frac{2π}{p}$ = $\frac{2π}{π}$ und erhalten so b=2.

Der gesuchte Funktionsterm ist also $2 \cdot \sin (2 (x + 3)) - 3$

Extrempunkte bei trigon. Fkt. (ohne x-Versch.)

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten von zwei Wendepunkten des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (2 π x) - 2$ .

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Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $2 π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{2 π}$ = 1

Gesucht sind Stellen mit dem mittleren Funktionswert, also der x-Wert eines Wendepunkts. Dieser ist bei einer Kosinusfunktion immer nach einer Viertel- und nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel- und nach einer Dreiviertel-Umdrehung auf der y-Achse, also bei x=0), hier also nach $\frac{1}{4}$ ⋅ 1 = $0,25$ und nach $\frac{3}{4}$ ⋅ 1 = $0,75$ .

Der x-Wert eines Wendepunkts ist also: x_W = $0,25$ , bzw. eben x_W = $0,75$ .

Aus dem Term kann man auch eine Verschiebung der Kosinusfunktion um d = -2 nach oben und eine Amplitude von a = 3 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 3 LE um y = -2. Somit ist der mittlere Wert, also der y-Wert eines Wendepunkts bei -2.

Ein Wendepunkt wäre also z.B. W₁( $0,25$ |-2), ein weiterer W₂( $0,75$ |-2)

Extrempunkte bei trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten von zwei Tiefpunkten des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $\cos (2 π (x + 4))$ .

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Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $2 π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{2 π}$ = 1

Gesucht sind Stellen mit dem geringsten Funktionswert, also der x-Wert eines Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Kosinusfunktion immer nach einer halben Periode (im Einheitskreis ist man nach einer halben-Umdrehung ganz links bei x = -1), hier also nach $\frac{1}{2}$ ⋅ 1 = $0,5$ .

Die Kosinusfunktion ist aber auch noch um -4 nach rechts verschoben, d.h. sie startet bei t = -4 mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach $0,5$ + ( - 4 ) = $- 3,5$ . Der x-Wert eines Tiefpunkts ist also: x_T = $- 3,5$ .

Die .Kosinusfunktion schwingt ja mit einer maximalen Auslenkung (Amplitude) von 1 LE um die x-Achse (y=0). Somit ist der tiefste Wert, also der y-Wert eines Tiefpunkts bei 0 - 1 = -1.

Ein Tiefpunkt wäre also z.B. T₁( $- 3,5$ |-1)

Ein weiterer Tiefpunkt ist einfach eine (oder mehrere) Periode(n) weiter in x-Richtung verschoben,
also z.B. T₂( $- 3,5$ + 1 |-1)= T₂( $- 2,5$ |-1)

Umwandlung sin - cos

Beispiel:

Gib die Funktion f mit $f(x) =$ $\cos (2 x - \frac{3}{2} π)$ als Sinusfunktion an.

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1. Weg

Der Sinus hinkt dem Kosinus immer eine Viertelumdrehung am Einheitskreis, also $\frac{π}{2}$ hinterher (Während der Kosinius ja bereits mit dem Höchstwert 1 startet, erreicht der Sinus diesen erst nach der Vierteldrehung bei $\frac{π}{2}$ )

Da wir ja eine Sinusfunktion suchen, müssen wir also im Argument der neuen Sinusfunktion $\frac{π}{2}$ addieren, um wieder das gleiche Verhalten wie bei der ursprünglichen Kosinusfunktion zu erhalten, also $f(x) =$ $\sin (2 x - \frac{3}{2} π + \frac{1}{2} π)$ = $\sin (2 x - π)$

2. Weg

Eine andere Möglichkeit, dieses Problem zu lösen, wäre, wenn man den Graph um eine Viertel Periode verschiebt, nachdem man Sinus und Kosinus vertauscht hat, denn jede Sinusfunktions hinkt ja der entsprechenden Kosinusfunktion immer um eine Viertel Periode hinterher.

Dazu bestimmen wir erstmal mit dem Faktor b = 2 aus dem Funktionsterm und der Periodenformel die Periodenlänge:

p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{2}$ = $1$ π

Wir müssen also den Graph um $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$ π = $\frac{1}{4}$ π nach links verschieben, wenn wir sin statt cos schreiben möchten. Das heißt wir müssen statt x immer (x + $\frac{1}{4}$ π) schreiben:

$f(x) =$ $\sin (2 (x + \frac{1}{4} π) - \frac{3}{2} π) + 0$ = $\sin (2 x + \frac{1}{2} π - \frac{3}{2} π)$ = $\sin (2 x - π)$

trigon. Anwendungsaufgabe

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann man die Durchschnittstemperatur zur Uhrzeit t (in h) durch die Funktion f mit $f(t) =$ $5 \cdot \sin (\frac{1}{12} π (t - 10)) + 19$ (0 ≤ t ≤ 24) näherungsweise angeben.

Zu welcher Uhrzeit ist es am kältesten?
Wie groß ist die höchste Temperatur?

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Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{1}{12} π}$ = 24

t-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 10 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 10 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 10 h = 28 h. Weil aber 28 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 28 - 24 = 4 h. Die Lösung ist also: 4 Uhr.
y-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 19 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 19. Somit ist der höchste Wert bei 19 ° C + 5 ° C = 24 ° C.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Extrempunkte bei trigon. Fkt. (sehr einfach)

Verschiebung/Streckung trigon. Term

Amplitude und Periode bestimmen

einfache Sinusbestimmung

allg. Sinusfunktion aus Schaubild

Extrempunkte bei trigon. Fkt. (ohne x-Versch.)

Extrempunkte bei trigon. Funktion

Umwandlung sin - cos

1. Weg

2. Weg

trigon. Anwendungsaufgabe