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Extrempunkte bei trigon. Fkt. (sehr einfach)
Beispiel:
Bestimme die Koordinaten von zwei Wendepunkten des Graphen der Funktion f mit .
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:
Somit gilt für die Periodenlänge: p = = =
Gesucht sind Stellen mit dem mittleren Funktionswert, also der x-Wert eines Wendepunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion
immer zu Beginn und nach einer halben Periode (im Einheitskreis ist man zu Beginn und nach einer halben-Umdrehung
auf Nullniveau), hier also nach
Der x-Wert eines Wendepunkts ist also: xW =
Die .Sinusfunktion schwingt ja mit einer maximalen Auslenkung (Amplitude) von 1 LE um die x-Achse (y=0). Somit ist der mittlere Wert, also der y-Wert eines Wendepunkts bei 0.
Ein Wendepunkt wäre also z.B. W1(
Verschiebung/Streckung trigon. Term
Beispiel:
Der Graph von f mit
Bestimme den Funktionsterm g(x) des neuen Graphen.
Die Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung erreicht man durch den Koeffizienten 3 vor dem Sinus.
Die Spiegelung an der x-Achse bekommt man durch ein negatives Vorzeichen bei dem Koeffizienten vor dem Sinus, also - 3.
Bei der Verschiebung um 1 nach unten, bzw. -1 nach oben wird zu jedem Funktionswert noch -1 dazu addiert, also ein -1 an den Funktionsterm hinten angehängt.
Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit:
einfache Sinusbestimmung
Beispiel:
Die Original-Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Man sieht schnell, dass der Graph der gesuchten Funktion um 2 Einheit(en) in y-Richtung verschoben wurde. Also muss der gesuchte Term
sin(x-c)
Außerdem sieht man, dass der aufsteigende Wendepunkt (der ja bei sin(x) im Ursprung ist) hier um 2 Einheit(en) nach rechts verschoben ist. wir können also c=-2 einsetzen und erhalten so den gesuchten Term:
Amplitude und Periode bestimmen
Beispiel:
Bestimme Amplitude und Periode der Funktion f mit
Die Amplitude kann man sehr einfach als |a| bei a sin(b(x-c))+d ablesen, also ist die Amplitude A=4
Das b der allgemeinen Sinusfunktion a sin(b(x-c))+d ist in unserem Fall b=
allg. Sinusfunktion aus Schaubild
Beispiel:
Die Original-Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
- Zuerst suchen wir eine aufsteigende Wendestelle, die genau auf einem 'Kästchen-Kreuzchen' liegt. Das wäre hier im Punkt P(2|-1). Da bei sin(x) diese aufsteigende Wendestelle im Ursprung liegt, bedeutet das, dass der abgebildete Graph um 2 Einheit(en) nach rechts und um -1 Einheit(en) in y-Richtung verschoben wurde.
- Wir kennen nun von der allgemeinen Sinusfunktion f(x)=a⋅sin(b(x-c))+d die Parameter c=2 und
d=-1, also f(x)= f(x)=a⋅sin(b(x
- 2 ))- 1 - Da der y-Unterschied zwischen den Hochpunkten bei y=2 und den Tiefpunkten bei y=-4 gerade 6 beträgt, können wir einfach die Amplitude a=3 bestimmen.
- Bleibt noch der am schwierigsten zu bestimmende Parameter b. Diesen ermitteln wir über die Periode. Dazu schauen wir ausgehend von unserer steigenden
Wendestelle im Punkt P(2|-1) den Abstand zur fallenden Wendestelle (halbe Periode) oder zur nächsten steigenden Wendestelle an. Man erkennt gut, dass dieser Abstand ganzzahlig ist, nämlich gerade 2 zwischen steigender und fallender Wendestelle bzw. 4 zwischen zwei
steigenden Wendestellen. Eine Periode ist somit 4. Wir stellen die Periodenformel p=
2π b 2π p 2π 4 1 2 π
Der gesuchte Funktionsterm ist also
Extrempunkte bei trigon. Fkt. (ohne x-Versch.)
Beispiel:
Bestimme die Koordinaten von zwei Hochpunkten des Graphen der Funktion f mit
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b =
Somit gilt für die Periodenlänge: p =
Gesucht sind Stellen mit dem größten Funktionswert, also der x-Wert eines Hochpunkts. Dieser ist bei einer Kosinusfunktion
immer zu Beginn der Periode (im Einheitskreis ist man zu Beginn der-Umdrehung
ganz rechts bei x = 1), hier also nach
Der x-Wert eines Hochpunkts ist also: xH =
Aus dem Term kann man auch eine Verschiebung der Kosinusfunktion um d = -4 nach oben und eine Amplitude von a = 1 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 1 LE um y = -4. Somit ist der höchste Wert, also der y-Wert eines Hochpunkts bei -4 + 1 = -3.
Ein Hochpunkt wäre also z.B. H1(
Ein weiterer Hochpunkt ist einfach eine (oder mehrere) Periode(n) weiter in x-Richtung verschoben,
also z.B. H2(
Extrempunkte bei trigon. Funktion
Beispiel:
Bestimme die Koordinaten von zwei Wendepunkten des Graphen der Funktion f mit
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b =
Somit gilt für die Periodenlänge: p =
Gesucht sind Stellen mit dem mittleren Funktionswert, also der x-Wert eines Wendepunkts. Dieser ist bei einer Kosinusfunktion
immer nach einer Viertel- und nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel- und nach einer Dreiviertel-Umdrehung
auf der y-Achse, also bei x=0), hier also nach
Die Kosinusfunktion ist aber auch noch um
Aus dem Term kann man auch eine Verschiebung der Kosinusfunktion um d = -2 nach oben und eine Amplitude von a = 2 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 2 LE um y = -2. Somit ist der mittlere Wert, also der y-Wert eines Wendepunkts bei -2.
Ein Wendepunkt wäre also z.B. W1(
Umwandlung sin - cos
Beispiel:
Gib die Funktion f mit
1. Weg
Der Sinus hinkt dem Kosinus immer eine Viertelumdrehung am Einheitskreis, also
Da wir ja eine Kosinusfunktion suchen, müssen wir also im Argument der neuen Kosinusfunktion
2. Weg
Eine andere Möglichkeit, dieses Problem zu lösen, wäre, wenn man den Graph um eine Viertel Periode verschiebt, nachdem man Sinus und Kosinus vertauscht hat, denn jede Sinusfunktions hinkt ja der entsprechenden Kosinusfunktion immer um eine Viertel Periode hinterher.
Dazu bestimmen wir erstmal mit dem Faktor b = 3 aus dem Funktionsterm und der Periodenformel die Periodenlänge:
p =
Wir müssen also den Graph um
trigon. Anwendungsaufgabe
Beispiel:
An einem bestimmten Ort kann man die Durchschnittstemperatur zur Uhrzeit t (in h) durch die Funktion f mit
- Zu welcher Uhrzeit ist es am kältesten?
- Zu welcher Uhrzeit ist es am wärmsten?
- Wie groß ist die tiefste Temperatur?
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b =
Somit gilt für die Periodenlänge: p =
- t-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 11 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 11 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 11 h = 29 h. Weil aber 29 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 29 - 24 = 5 h. Die Lösung ist also: 5 Uhr.
- t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 6 h.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 11 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 11 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 6 + 11 h = 17 h. Die Lösung ist also: 17 Uhr.
- y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 14 nach oben und eine Amplitude von a = 6 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 6 um 14. Somit ist der tiefste Wert bei 14 ° C - 6 ° C = 8 ° C.